Programación de aula de Matemáticas Matemáticas II 2º Bachillerato Bachillerato
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Programación de aula de Matemáticas Matemáticas II 2º Bachillerato Bachillerato A la hora de proceder a estructurar estructur ar en unidades didácticas didácticas la distribución distribución y concreción de obeti!os" contenidos y criterios de e!aluación para cada uno de los cursos" cursos " la editorial #deb$ ha aplicado una serie de criterios" de manera %ue permitan una ense&an'a integrada. As(" las secuencias de aprendi'ae están organi'adas seg)n los siguientes criterios* Adecuación. +odo Adecuación. +odo contenido de aprendi'ae está (ntimamente ligado a los conocimientos pre!ios del alumno,a. Continuidad. -os Continuidad. -os contenidos se !an asumiendo asumiendo a lo largo de un curso" ciclo o etapa. Progresión. Progresión. #l #l estudio en orma helicoidal de un contenido acilita la progresión. -os contenidos" una !e' asimilad asimilados" os" son retomados constantemente a lo largo del proceso educati!o" para %ue no sean ol!idados. ol!idados. /nas !eces se cambia su tipolog( tipolog(aa 0por eemplo" eemplo" si se han estudiado como co mo procedimientos" se retoman como !alores otras otr as !eces se retoman como contenidos interdiscipli interdisciplinario narioss en otras otra s áreas. Interdisciplinariedad. #sto Interdisciplinariedad. #sto supone %ue los contenidos aprendidos en un área sir!en para a!an'ar en otras y %ue los contenidos correspondientes a un ee !ertebrador de un área sir!en para aprender los contenidos de otros ees !ertebradores de la propia área" es decir" %ue permiten dar unidad al aprendi'ae entre di!ersas áreas. Priorización. 3e Priorización. 3e parte par te siempre de un contenido %ue act)a como ee organi'ador organi'ador y" en torno a $l" se !an integrando otros contenidos. Integración y equilibrio. -os equilibrio. -os contenidos seleccionados deben cubrir todas las capacidades %ue se enuncian en los obeti!os y criterios de e!aluación. Asimismo" se busca la armon(a y el e%uilibrio en el tratamiento de conceptos" procedimientos y !alores. 4" muy especialmente" se han de trabaar los !alores trans!ersales. Interrelación y globalización. A globalización. A la hora de programar" se han tenido en cuenta los contenidos %ue son comunes a dos o más áreas" de orma %ue" al ser abordados" se obtenga una !isión !isión completa. Asim Asimism ismo" o" se presentan los contenidos en su aspecto más general" para poder anali'ar los aspectos más concretos a lo largo de las unidades didácticas" hasta llegar a obtener una !isión global. 5on todos estos criterios" la materia se estructura en unidades y tambi$n tambi$n se secuencian los ees ees !ertebradores de la materia" materia" de manera %ue permitan una ense&an'a integrada integrada en orden hori'ontal" o bien posibiliten posibiliten al proesor,a el tratamiento tratamiento de un solo ee en orden !ertical.
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Programación de aula de Matemáticas Matemáticas II 2º Bachillerato Bachillerato A la hora de proceder a estructurar estructur ar en unidades didácticas didácticas la distribución distribución y concreción de obeti!os" contenidos y criterios de e!aluación para cada uno de los cursos" cursos " la editorial #deb$ ha aplicado una serie de criterios" de manera %ue permitan una ense&an'a integrada. As(" las secuencias de aprendi'ae están organi'adas seg)n los siguientes criterios* Adecuación. +odo Adecuación. +odo contenido de aprendi'ae está (ntimamente ligado a los conocimientos pre!ios del alumno,a. Continuidad. -os Continuidad. -os contenidos se !an asumiendo asumiendo a lo largo de un curso" ciclo o etapa. Progresión. Progresión. #l #l estudio en orma helicoidal de un contenido acilita la progresión. -os contenidos" una !e' asimilad asimilados" os" son retomados constantemente a lo largo del proceso educati!o" para %ue no sean ol!idados. ol!idados. /nas !eces se cambia su tipolog( tipolog(aa 0por eemplo" eemplo" si se han estudiado como co mo procedimientos" se retoman como !alores otras otr as !eces se retoman como contenidos interdiscipli interdisciplinario narioss en otras otra s áreas. Interdisciplinariedad. #sto Interdisciplinariedad. #sto supone %ue los contenidos aprendidos en un área sir!en para a!an'ar en otras y %ue los contenidos correspondientes a un ee !ertebrador de un área sir!en para aprender los contenidos de otros ees !ertebradores de la propia área" es decir" %ue permiten dar unidad al aprendi'ae entre di!ersas áreas. Priorización. 3e Priorización. 3e parte par te siempre de un contenido %ue act)a como ee organi'ador organi'ador y" en torno a $l" se !an integrando otros contenidos. Integración y equilibrio. -os equilibrio. -os contenidos seleccionados deben cubrir todas las capacidades %ue se enuncian en los obeti!os y criterios de e!aluación. Asimismo" se busca la armon(a y el e%uilibrio en el tratamiento de conceptos" procedimientos y !alores. 4" muy especialmente" se han de trabaar los !alores trans!ersales. Interrelación y globalización. A globalización. A la hora de programar" se han tenido en cuenta los contenidos %ue son comunes a dos o más áreas" de orma %ue" al ser abordados" se obtenga una !isión !isión completa. Asim Asimism ismo" o" se presentan los contenidos en su aspecto más general" para poder anali'ar los aspectos más concretos a lo largo de las unidades didácticas" hasta llegar a obtener una !isión global. 5on todos estos criterios" la materia se estructura en unidades y tambi$n tambi$n se secuencian los ees ees !ertebradores de la materia" materia" de manera %ue permitan una ense&an'a integrada integrada en orden hori'ontal" o bien posibiliten posibiliten al proesor,a el tratamiento tratamiento de un solo ee en orden !ertical.
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Programación de aula de Matemáticas Matemáticas II 2º Bachillerato Bachillerato MATEMÁTICAS II. 2.º BACHILLERATO
Unidades del libro del alumno
1. 2. 7. 8. :. ;. =. >. ?. 1@. 11. 12. 17. 17. 18.
Matrices 6eterminantes 3istemas de ecuaciones ecuacione s lineales 9ectores 9e ctores en el espacio I 9ectores 9e ctores en el espacio II
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato PROGRAMACI ÓN DE AULA MATEMÁTICAS II. 2. º BACHILLERATO
A continuación se citan los obeti!os y contenidos %ue se trabaan en el libro del alumno. Asimismo" bao el t(tulo de acti!idades se describe el recorrido de aprendi'ae propuesto en la unidad. Además" se presenta una serie de criterios de e!aluación %ue establecen el tipo y grado de aprendi'ae %ue se espera haya alcan'ado el alumno,a al inal de la unidad respecto a las capacidades epresadas en los obeti!os.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD 1: Matrices Objetivos didácticos − 5onocer el concepto de matri' num$rica y la nomenclatura asociada a ella 0dimensión" ila" − − −
− − − − − − −
columna" as( como sus caracter(sticas undamentales y la manera de representarla. Identiicar los dierentes tipos de matrices seg)n su dimensión y sus elementos. 5onocer el concepto de rango de una matri' y calcularlo mediante la aplicación de transormaciones elementales. Manear con destre'a los algoritmos de las operaciones con matrices* calcular la matri' suma de dos matrices" la matri' multiplicación de una matri' por un n)mero real y la matri' producto de dos matrices asimismo" conocer las propiedades de estas operaciones. 5onocer el concepto de matri' in!ersa de una matri' y su representación" y calcular dicha matri'" en el caso de %ue eista" por di!ersos m$todos. Cbtener la matri' traspuesta de una matri' y conocer las propiedades de la trasposición de matrices. /tili'ar las matrices para organi'ar la inormación" representar relaciones /sar la calculadora para eectuar operaciones con matrices. Cbtener la potencia nD$sima de una matri' sencilla. Aplicar las órmulas %ue regulan todos los algoritmos de cálculo sin %ue eso impida atender a las regularidades o simpliicaciones %ue aconseen las caracter(sticas propias de cada procedimiento. 9alorar la utilidad de las matrices para almacenar inormación y de las operaciones con ellas para manear dicha inormación.
Contenidos Conceptos − Matri'. − Matri' num$rica. − Igualdad de matrices. − Matri' cuadrada" ila" columna" triangular" diagonal" identidad y nula. − Matri' escalonada. − Eango de una matri' escalonada. − +ransormaciones elementales. − Matrices e%ui!alentes. − Eango de una matri'. − Matri' suma" matri' dierencia" matri' producto por un n)mero real y matri' producto. − Propiedades de las operaciones con matrices. − Matri' in!ersa. − +ransposición de matrices y matri' traspuesta. −
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − − − − − − − − − − −
Eepresentación de matrices. 5lasiicación de matrices seg)n su dimensión y seg)n sus elementos. Cbtención del rango de una matri'. Cbtención de la matri' suma" de la matri' dierencia" de la matri' producto por un n)mero real y de la matri' producto de dos matrices. 5álculo de la matri' in!ersa a partir de la deinición. 5álculo de la matri' in!ersa por el m$todo de
Valores, actitudes y normas − 9aloración de la utilidad de las matrices como herramienta para organi'ar inormación" representar relaciones − Eeconocer la importancia de los algoritmos de cálculo %ue acilitan el trabao con matrices.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. ; se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. =" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla" como son las operaciones con n)meros reales" las propiedades de estas operaciones y las tablas de doble entrada como m$todo de representación de datos. #n la unidad se distinguen tres apartados* atrices num!ricas, Operaciones con matrices y atriz asociada a un gra"o.
Matrices numéricas (pás! " a 11# 3e parte de la obser!ación de una matri' de dimensión 2 7 para introducir el concepto de matri' y su nomenclatura asociada* ila" columna" dimensión. A continuación" se indica cómo representar una matri' y sus elementos y se enuncia la caracter(stica %ue deben tener dos matrices para ser iguales. #n el margen se presenta el lenguae matemático %ue simpliica la notación y una aplicación de las matrices el proesor,a" si lo preiere" puede iniciar el apartado presentando el eemplo de aplicación o bien presentarlo cuando ya se ha deinido el concepto de matri'. 3eguidamente" se clasiican las matrices seg)n su dimensión y sus elementos" dando la deinición de cada tipo y un eemplo. Ginalmente" se introduce el concepto de rango de una matri'. #l procedimiento consiste en presentar !arias matrices escalonadas" deinir este concepto y el de rango de una matri' escalonada" !er %ue eisten una serie de operaciones con las ilas de una matri' %ue permiten transormarla en una matri' escalonada" deinir el concepto de matrices e%ui!alentes y" por )ltimo" deinir el rango de una matri' como el rango de una matri' escalonada e%ui!alente. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato A continuación" se muestra" mediante dos eemplos" cómo obtener en la práctica el rango de una matri'. 3i el proesor,a lo cree oportuno" puede apuntar la relación %ue eiste entre el rango de una matri' y el n)mero de !ectores linealmente independientes si se consideran las columnas de la matri' como !ectores" aun%ue esto no tomará plenamente sentido hasta %ue se trabaen los !ectores en la unidad 8.
Operaciones con matrices (pás! 1$ a 1"# #n este blo%ue" se presentan las operaciones de adición de matrices" multiplicación de una matri' por un n)mero real" multiplicación de matrices y trasposición de matrices. 5ada subapartado tiene la misma estructura* presentación de la operación" eemplo resuelto y propiedades. #n el margen puede !erse una aplicación de cada una de estas operaciones al mundo real" siguiendo con el eemplo inicial. 5omo en el apartado anterior" el proesor,a puede optar por utili'ar estos eemplos para introducir la operación o bien presentarlos cuando ya se ha introducido $sta. #n el caso de la multiplicación de matrices" la más complea de estas operaciones" se empie'a deiniendo el producto de una matri' ila por una matri' columna y" a continuación" se ampl(a al caso general. Al obser!ar %ue eiste una matri' elemento neutro de la multiplicación de matrices cuadradas" se le da el nombre de matri' identidad y se simboli'a. #n el margen" se remarca la no conmutati!idad de la operación producto de dos matrices. #l proesor,a puede hacer %ue el alumno,a lo compruebe eectuando el producto de dos matrices determinadas. Para inali'ar este apartado" se introduce" a partir de la matri' identidad" la matri' in!ersa. 3eguidamente" se eplican dos m$todos para el cálculo de la matri' in!ersa* a partir de la deinición" planteando un sistema de ecuaciones lineales y por el m$todo de
=
Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato #n la Organización de conocimientos 0pág. 27" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 27 a 2: se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 6einir matri' num$rica" ila" columna y dimensión de una matri'. − Identiicar" dado un conunto de matrices" los dierentes tipos %ue eisten* cuadrada" diagonal − Identiicar el rango de una matri' escalonada y calcular" por el m$todo de
matri' no escalonada. #ectuar di!ersas operaciones con matrices 0suma" resta" producto por un n)mero real" producto y trasposición y enunciar las propiedades de estas operaciones. Indicar la condición para %ue eista la matri' in!ersa de una matri' cuadrada" eplicar dos m$todos dierentes para calcularla y obtener la matri' in!ersa de una matri' determinada. Interpretar la matri' asociada a un grao y escribir la correspondiente a una relación determinada. Cbtener la potencia nD$sima de una matri' aplicando el m$todo de inducción completa. Eeconocer la utilidad de la calculadora como herramienta %ue acilita los cálculos con matrices. /tili'ar las matrices para almacenar inormación" !alorando su utilidad.
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UNIDAD $: Determinantes Objetivos didácticos − 5onocer el concepto de determinante" as( como la manera de representarlo. − 5alcular determinantes de orden 1" 2 y 7 directamente a partir de su epresión" y de orden n" − − − − − − − − −
desarrollando por una ila o columna. 5onocer las propiedades de los determinantes y aplicarlas para simpliicar su cálculo. Hallar determinantes mediante el m$todo de
Contenidos Conceptos − 6eterminantes de orden 1" 2 y 7. − Eegla de 3arrus. − 6eterminantes de orden n. − Menor complementario y adunto de un elemento. − 6eterminante de una matri'. − Propiedades de los determinantes. − Menor de orden de una matri'. Procedimientos − 5álculo de determinantes de orden 1" 2 y 7 mediante su deinición. − 5álculo de determinantes de orden 7 mediante la regla de 3arrus. − 6eterminación del menor complementario y del adunto de un elemento. − 6esarrollo de un determinante por ilas o por columnas. − Aplicación de las propiedades de los determinantes al cálculo de $stos. − 5álculo de determinantes por el m$todo de
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato Valores, actitudes y normas − Aprecio de los determinantes como instrumento para el cálculo matricial. − 5ostumbre de considerar todas las estrategias posibles antes de resol!er un eercicio o problema y de interpretar la solución obtenida.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 2; se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 2= se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* las deiniciones de matri'" matri' cuadrada" diagonal principal de una matri' cuadrada" la deinición de la e%ui!alencia de dos matrices" transormaciones elementales %ue permiten pasar de una matri' a otra e%ui!alente" las deiniciones de rango de una matri' y de in!ersa de una matri' cuadrada. #n la unidad se distinguen cinco apartados* $eterminantes de orden uno, dos y tres% $eterminantes de orden n, Propiedades de los determinantes y aplicaciones, C&lculo del rango de una matriz por determinantes y C&lculo de la inversa de una matriz por determinantes.
Determinantes de orden uno+ dos ' tres (pás! $" a $&# #n este apartado se deine el determinante de una matri' como un n)mero asociado y se indica su simboli'ación. A continuación" se presenta la deinición de los determinantes de orden 1" 2 y 7. 5ada deinición se acompa&a de un eemplo concreto. #n el caso de orden 7 se da tambi$n la regla de 3arrus" %ue permite recordar más ácilmente su epresión. Determinantes de orden n (pás! , a ,1# Al principio del apartado se ra'ona la necesidad de calcular un determinante de orden n a partir del determinante de orden n J 1 y no mediante una órmula general" ecesi!amente larga y di(cil de recordar. 3e plantea la necesidad de conocer el menor complementario y el adunto de un elemento de la matri' de orden n y se deinen ambos conceptos" primero" para una matri' y un elemento determinados y despu$s" en general. A continuación" se pone de maniiesto %ue la epresión de un determinante de orden 7 coincide con la suma de los elementos de la primera columna por sus aduntos y se establece la deinición general por recurrencia. Antes de hacer esta generali'ación y si el proesor,a lo cree oportuno" puede pedir a sus alumnos,as %ue obtengan el !alor del determinante de una matri' desarrollándolo por cual%uier ila o columna" para %ue comprueben %ue el resultado obtenido es el mismo. #l apartado inali'a con un eemplo de cálculo de un determinante de orden 8. -ropiedades de )os determinantes (pás! ,$ a ,.# www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato #n este blo%ue" se presentan las propiedades de los determinantes y su aplicación al cálculo de determinantes. Puesto %ue una demostración rigurosa de estas propiedades" para determinantes de cual%uier orden" ecede los ni!eles de este curso" lo %ue se hace es enunciar la propiedad" comprobarla para determinantes de orden 7" y mostrar su signiicación y aplicación mediante un eemplo num$rico. Para acilitar la notación" se introduce al mismo tiempo la noción de combinación lineal de l(neas. /na !e' inali'ada la eposición de las cinco propiedades principales y de cuatro propiedades deri!adas de las primeras" se presenta un eemplo en el %ue la aplicación de estas propiedades permite demostrar" sin necesidad de eectuar cálculos" la anulación de un determinante. A continuación" se presentan las propiedades como un medio para simpliicar el cálculo de determinantes. 5oncretamente" se muestra %ue" aplicando estas propiedades" siempre es posible conseguir un nue!o determinante" con el mismo !alor %ue el original" en el %ue una de sus l(neas sólo tenga un elemento no nulo. #l proceso seguido se muestra mediante un eemplo resuelto en el %ue se reduce el cálculo de un determinante de orden 8 a uno de orden 7. 3e introduce el m$todo de
Cá)cu)o de) rano de una matriz por determinantes (pás! ," a ,&# Para calcular el rango de una matri' mediante determinantes se empie'a por deinir el concepto de menor y se muestra" para una matri' concreta" un posible menor de orden 1" uno de orden 2 y otro de orden 7" indicando en cada caso cómo se obtiene. 3eguidamente" se eempliica el procedimiento de orlar un menor partiendo del menor de orden 2 obtenido anteriormente. Ginalmente" se muestra el procedimiento general para obtener el rango de una matri'" enumerando en una tabla sus etapas y eempliicando cada una de ellas mediante la matri' ya considerada. Cá)cu)o de )a inversa de una matriz por determinantes (pá! /# Para eplicar el m$todo de cálculo de la matri' in!ersa mediante determinantes" se presenta una propiedad %ue relaciona el producto de una matri' por la matri' de aduntos de la traspuesta y la matri' in!ersa. 3e ha omitido la demostración debido a su compleidad. 3e muestra" a continuación" la epresión %ue permite calcular la matri' in!ersa a partir de la matri' de aduntos de la traspuesta. /n eemplo resuelto permite obser!ar cómo se aplica la epresión obtenida para calcular la in!ersa de una matri' de dimensión 7 7. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 81 y 82 se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en el estudio de los determinantes. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a 5alcular un determinante de orden n aplicando las propiedades de los determinantes hasta llegar a una matri' triangular. b 5alcular el rango de una matri' 7 8 dependiente de un parámetro. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato c 5alcular el rango de una matri' 8 8" tambi$n dependiente de un parámetro. #n la Organización de conocimientos 0pág. 87" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 87 a 8: se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 6einir y calcular determinantes de orden 1" 2 y 7. − #nunciar y aplicar la regla de 3arrus. − 6einir menor complementario y adunto de un elemento" y obtenerlos para un elemento − − − − − − − −
determinado de una matri'. 5alcular determinantes de orden 8 por recurrencia. #nunciar las propiedades de los determinantes y mostrarlas mediante un eemplo. 6emostrar la anulación de un determinante sin calcularlo" aplicando las propiedades pertinentes. 5alcular un determinante de orden 8 por el m$todo de
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UNIDAD ,: Sistemas de ecuaciones lineales Objetivos didácticos − 5onocer los conceptos de ecuación lineal" sistema de ecuaciones lineales" incógnita" coeiciente" − − − − − − − −
t$rmino independiente" ecuación homog$nea y solución. Eeconocer la clasiicación de los sistemas de ecuaciones lineales seg)n sus soluciones. 5onocer y aplicar di!ersos procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales* m$todo de
Contenidos Conceptos − #cuaciones lineales. − 3istemas de ecuaciones lineales. − +ipos de sistemas de ecuaciones lineales seg)n sus soluciones. − 3istemas escalonados. − M$todo de
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato Valores, actitudes, y normas − Integrar los conocimientos de álgebra lineal y de la resolución de los sistemas de ecuaciones en su conteto histórico. − 9aloración de la utilidad del lenguae algebraico para plantear y resol!er problemas en dierentes ámbitos.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 8; se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 8=" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* las transormaciones elementales por ilas para la obtención de matrices e%ui!alentes" necesarias para la resolución de sistemas por el m$todo de
0cuaciones )inea)es (pá! /"# 3e empie'a la unidad recordando la deinición de ecuación lineal con n incógnitas y los conceptos asociados* coeicientes" t$rmino independiente y solución. A continuación" se identiican estos conceptos deinidos en una ecuación concreta. istemas de ecuaciones )inea)es! C)asi%icaci*n (pá! /&# 3e deine el sistema de ecuaciones lineales" partiendo de la base de %ue el alumno,a tiene asimilado el concepto de sistema de ecuaciones" y se introduce su notación usual. Asimismo" se deine el concepto de solución de un sistema. 3e presenta la clasiicación de los sistemas seg)n sus soluciones" eempliicándolo en el caso de sistemas con dos incógnitas" ya conocidos por el alumno,a. Método de 2auss (pás! 3 a 33# #l m$todo de
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato Antes de eempliicarlo" se recuerdan las transormaciones %ue permiten pasar de un sistema a otro e%ui!alente. /na !e' presentado este m$todo" se hace notar %ue las transormaciones aplicadas sólo aectan a los coeicientes de las incógnitas y a los t$rminos independientes" lo %ue permite la simpliicación del proceso. Para ello" se introducen los conceptos de matri' asociada al sistema y matri' ampliada asociada al sistema" y se resuel!e de nue!o el eemplo anterior utili'ando la notación matricial. Ginalmente" se presentan en orma de tabla los dierentes casos %ue pueden presentarse al aplicar el m$todo de
4eorema de 5ouc6é78robenius (pás! 39 ' 3.# #n el apartado +eorema de Eouch$DGrobenius" se enuncia este teorema y se muestra" en orma de organigrama" cómo proceder para llegar a la clasiicación de un sistema. A continuación" se describe el proceso mediante !arios eemplos resueltos. 3i el proesor,a lo cree oportuno" para a%uellos alumnos,as más a!entaados" puede dar la demostración de este teorema" haci$ndoles !er %ue la compatibilidad del sistema es e%ui!alente a %ue la columna de t$rminos independientes sea la combinación lineal de las de los coeicientes" y %ue esto hace necesario %ue el rango de A y el de AK sean el mismo. 5eso)uci*n de sistemas por )a matriz inversa (pá! 3"# Para resol!er un sistema por el m$todo de la matri' in!ersa" se epresa el sistema en orma matricial y" suponiendo %ue la matri' asociada al sistema es regular" se comprueba %ue la solución puede hallarse a partir de la matri' in!ersa. /n eemplo permite obser!ar cómo se aplica esta ecuación matricial. 5e)a de Cramer (pá! 3&# #n el )ltimo apartado" se presenta un nue!o m$todo de resolución" la regla de 5ramer" %ue permite hallar las soluciones del sistema siempre %ue la matri' asociada al sistema sea regular. 3e presenta la epresión de cada solución. 3e eempliica con un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. 3i el proesor lo cree oportuno" puede in!itar a los alumnos,as a elaborar la demostración de la regla de 5ramer para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas 0en el margen de la página :? se encuentra dicha demostración para n L 2. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. ;@ a ;2" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a 6iscutir y resol!er un sistema de ecuaciones %ue depende de un parámetro mediante el m$todo de
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato c Eesol!er un problema en el %ue inter!iene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. #n la Organización de conocimientos 0pág. ;7" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. ;7 a ;: se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 5lasiicar los sistemas de ecuaciones lineales seg)n sus soluciones. − Aplicar el m$todo de
compatible. #nunciar el teorema de Eouch$DGrobenius y aplicarlo para discutir un sistema dependiente de un parámetro o de ninguno. #plicar en %u$ consiste el m$todo de resolución de sistemas por la matri' in!ersa y poner un eemplo de su aplicación. 6eterminar si un sistema es resoluble por 5ramer y" en caso airmati!o" hallar sus soluciones. Eesol!er problemas mediante sistemas de ecuaciones indicando* la elección de las incógnitas" el planteamiento del sistema de ecuaciones" su resolución y la comprobación de las soluciones. 5onocer a grandes rasgos la historia del álgebra y ubicar en ella los sistemas de ecuaciones lineales. Eeconocer las !entaas %ue supone el uso de lenguae algebraico para representar y resol!er situaciones cotidianas y del ámbito cientiicot$cnico.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD /: Vectores del espacio I Objetivos didácticos − #ntender los conceptos de !ector io y !ector libre en el espacio. − Cperar con !ectores libres en el espacio" tanto gráica como anal(ticamente" y conocer las principales − − − − − − − − − −
−
propiedades de estas operaciones. #presar un !ector como combinación lineal de otros. 5onocer si un conunto de !ectores libres del espacio son linealmente dependientes o independientes. 6eterminar el rango de un conunto de !ectores de 97. 3aber si un conunto de !ectores libres del espacio orman o no base de 97. Identiicar !ectores dados por sus componentes. Hallar las componentes de un !ector de 97 respecto a una base. /tili'ar los !ectores para establecer un sistema de reerencia en el espacio. Cbtener las coordenadas de un punto del espacio respecto a un sistema de reerencia. Eelacionar las componentes de un !ector con las coordenadas del origen y el etremo de uno cual%uiera de sus representantes. Aplicar el cálculo !ectorial para resol!er problemas geom$tricos sencillos* determinación del punto medio de un segmento" di!isión de un segmento en partes iguales" determinación de las coordenadas del baricentro de un triángulo y del de un tetraedro" reconocimiento anal(tico de las relaciones de alineación y coplanariedad de puntos. 9alorar la utilidad del cálculo !ectorial en la resolución de problemas geom$tricos.
Contenidos Conceptos − Magnitud escalar y !ectorial. − 9ector io del espacio. − 6irección" módulo y sentido de un !ector io. − #%uipolencia de !ectores ios. − 9ector libre del espacio. − 6irección" módulo y sentido de un !ector libre. − Cperaciones con !ectores libres* adición y multiplicación por un n)mero real. − Propiedades de las operaciones con !ectores libres. − 5ombinación lineal de !ectores. − 6ependencia e independencia lineal de !ectores en 97. − Eango de un conunto de !ectores. − Base de 97. − 5omponentes de un !ector en una base. − 3istema de reerencia en el espacio. − 5oordenadas de un punto del espacio. − 5omponentes de un !ector determinado por dos puntos. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − Punto medio de un segmento.
Procedimientos − Eeali'ación gráica de operaciones con !ectores en el espacio. − #presión de un !ector de 97 como combinación lineal de otros !ectores. #n concreto" epresión de un !ector de 97 como combinación lineal de tres !ectores no nulos y no coplanarios. − 6eterminación de las componentes de un !ector en una base. − 6eterminación de la dependencia o independencia de un conunto de !ectores y de su rango. − Eeali'ación de operaciones con componentes. − 6eterminación de la dependencia o independencia lineal de un conunto de !ectores. − Cbtención de las coordenadas de un punto de espacio en un sistema de reerencia. − 5álculo de las componentes de un !ector determinado por dos puntos. − Cbtención de las coordenadas del punto medio de un segmento y" en general" de los puntos %ue di!iden un segmento en partes iguales. − 5álculo de las coordenadas del baricentro de un triángulo y del de un tetraedro en unción de las coordenadas de los !$rtices. Valores, actitudes, y normas 9aloración de la utilidad del cálculo !ectorial en la resolución de problemas geom$tricos y" en general" de problemas del ámbito cient(ico y del tecnológico.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. ;> se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. ;?" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* los principales conceptos relati!os a !ectores en el plano 0!ector io" e%uipolencia de !ectores ios" !ector libre" operaciones con !ectores libres de 92" combinación lineal" base de 92 y componentes de un !ector en una base" sistemas de reerencia en el plano y coordenadas de un punto del plano en un sistema de reerencia. #n la unidad se distinguen tres apartados* Vectores, Operaciones con vectores libres y Coordenadas de un punto del espacio.
ectores (pás! . ' .1# -a unidad empie'a recordando la dierencia entre magnitudes escalares y !ectoriales" poniendo as( de maniiesto la necesidad del uso de los !ectores. A continuación" se deine el concepto de !ector io y se eplica %u$ se entiende por dirección" módulo y sentido de un !ector io. +ras deinir los !ectores ios e%uipolentes" se da la de !ector libre y para eplicar %u$ son la dirección" el módulo y el sentido de un !ector libre. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato 3e proundi'a en estos conceptos demostrando a los alumnos %ue para indicar %ue dos !ectores ios son e%uipolentes" se utili'a el signo " y %ue si dos !ectores ios son e%uipolentes" entonces son representantes del mismo !ector libre.
Operaciones con vectores )ibres (pás! .$ a .&# #n la primera parte" se introducen gráicamente la adición de !ectores libres y el producto de un !ector libre por un n)mero real" y se citan las principales propiedades %ue !eriican estas operaciones" obser!ando %ue el conunto de los !ectores libres del espacio con las dos operaciones deinidas tiene estructura de espacio !ectorial sobre el cuerpo de los n)meros reales. 3eguidamente" se deine la resta de !ectores libres del espacio como la suma del !ector opuesto y se recuerda la regla del paralelogramo" tan )til para obtener gráicamente sumas y restas de !ectores. 3e ilustra mediante un eemplo resuelto %ue la adición de !ectores libres es una operación bien deinida" esto es" %ue no depende de los representantes elegidos para lle!arla a cabo. 3e deine el concepto de combinación lineal de !ectores de 97" y se presenta el procedimiento para epresar cual%uier !ector libre del espacio como combinación lineal de tres !ectores no nulos y no coplanarios. A partir de un conunto de cuatro !ectores" tres de los cuales son linealmente independientes" se introducen los conceptos de dependencia e independencia lineal" as( como el de rango de un conunto de !ectores libres del espacio. 3e establecen los conceptos de base de 97 y de componentes de un !ector en una base. +odos estos conceptos se desarrollan en un eemplo resuelto. 3e halla la epresión de la suma de dos !ectores y del producto de un !ector por un n)mero real en componentes. #l uso de dichas epresiones se ilustra mediante eemplos. A continuación" se aplican las operaciones con componentes para tratar de manera anal(tica dos problemas %ue sólo se hab(an resuelto gráicamente hasta el momento* la determinación de la dependencia o independencia lineal de un conunto de !ectores y el cálculo del rango de un conunto de !ectores. #n ambos casos" se presentan las ases del procedimiento y se proponen un par de eemplos. Coordenadas de un punto de) espacio (pás! " ' "1# #n primer lugar" se deinen los conceptos de sistema de reerencia y de !ector posición de un punto. A continuación" se eplica el procedimiento %ue permite asignar unas coordenadas a cada punto del espacio. /n eemplo ilustra el procedimiento antes citado y" además" permite poner de maniiesto %ue las coordenadas de un punto del espacio dependen del sistema de reerencia elegido. 3eguidamente" se muestran dos aplicaciones sencillas del uso de coordenadas para la resolución de problemas geom$tricos* el cálculo de las componentes de un !ector determinado por dos puntos y el cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento. #sto se consigue mediante la deducción de la epresión para eectuar los cálculos y la eempliicación correspondiente donde se muestran aplicaciones inmediatas de las órmulas presentadas. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. >2 a >8" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en el estudio de los !ectores. Para ello se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato a Hallar la resultante de !arias uer'as. b 6emostrar %ue las componentes de un !ector de 97 en una determinada base son )nicas. c 6ados tres !ectores" alguna de cuyas componentes depende de cierto parámetro" hallar los !alores de ese parámetro %ue con!ierten los tres !ectores en linealmente dependientes. d 5omprobar %ue tres !ectores dados orman base y hallar las componentes de otro !ector en la base ormada por los tres primeros. e 6i!idir un segmento en partes iguales. Eesol!er sistemas de ecuaciones !ectoriales para hallar las componentes de un !ector en una base. g Hallar las coordenadas del baricentro de un tetraedro. #n la Organización de conocimientos 0pág. >:" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. >: a >= se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − − − − − − − − − − − −
#plicar la dierencia entre !ector io y !ector libre. 6eterminar las componentes de un !ector a partir de los puntos origen y inal. #ectuar operaciones con !ectores libres del espacio" tanto gráica como anal(ticamente. #nunciar las principales propiedades %ue !eriican la adición de !ectores libres y el producto de !ectores libres por escalares. #presar un !ector como combinación lineal de otros !ectores dados. A!eriguar si un conunto de !ectores libres del espacio son linealmente dependientes o independientes. Hallar el rango de un conunto de !ectores de 97. A!eriguar si un conunto de !ectores libres del espacio orman base de 97 y determinar las componentes de otro !ector de 97 en la base dada. Hallar las coordenadas de un punto del espacio respecto a un sistema de reerencia. 6adas las coordenadas de dos puntos del espacio" encontrar el punto medio del segmento" as( como las coordenadas de los puntos %ue di!iden dicho segmento en" por eemplo" cinco partes iguales. 5onocidas las coordenadas de los !$rtices de un tetraedro" hallar las de su baricentro. #nrentarse a di!ersas situaciones geom$tricas resolubles !ectorialmente" !alorando la utilidad de este tipo de cálculos.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD 3: Vectores del espacio II Objetivos didácticos − 5onocer las operaciones producto escalar" !ectorial y mito de !ectores libres del espacio" y sus − − −
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principales propiedades. 5alcular productos escalares" !ectoriales y mitos a partir de su deinición y a partir de sus propiedades. Eelacionar la ortogonalidad de dos !ectores con la anulación de su producto escalar y la dependencia lineal de tres !ectores con la anulación de su producto mito. Interpretar geom$tricamente el producto escalar en t$rminos de proyecciones ortogonales" el producto !ectorial en t$rminos de áreas de paralelogramos y el producto mito en t$rminos de !ol)menes de paralelep(pedos. 5onocer el concepto de base ortogonal y de base ortonormal. Cbtener productos escalares" !ectoriales y mitos a partir de sus respecti!as epresiones anal(ticas en base ortonormal. 5alcular el módulo de un !ector y el ángulo ormado por dos !ectores a partir del producto escalar. Hallar !ectores unitarios paralelos o perpendiculares a uno dado y" en general" !ectores de módulo y dirección dados. /tili'ar el producto escalar para demostrar teoremas geom$tricos. /tili'ar el producto !ectorial para obtener !ectores perpendiculares a dos !ectores dados. 5alcular áreas de pol(gonos a partir del producto !ectorial y !ol)menes de paralelep(pedos a partir del producto mito. 5onocer algunas aplicaciones del producto escalar y del producto !ectorial a la (sica. 5onocer el concepto de coseno director y sus principales propiedades. 9alorar la utilidad del cálculo !ectorial en la resolución de problemas geom$tricos y (sicos.
Contenidos Conceptos − Producto escalar de dos !ectores libres del espacio. − 3igniicado geom$trico de la anulación del producto escalar. − Eelación entre el módulo de un !ector y el producto escalar de dicho !ector por s( mismo. − Base ortogonal y base ortonormal. − Propiedades del producto escalar. − Interpretación geom$trica del producto escalar. − #presión anal(tica del producto escalar en una base ortonormal. − Producto !ectorial de dos !ectores libres del espacio. − Propiedades del producto !ectorial. − Interpretación geom$trica del producto !ectorial. − #presión anal(tica del producto !ectorial en una base ortonormal. − Producto mito de tres !ectores libres del espacio. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − − − − −
3igniicado geom$trico de la anulación del producto mito. Propiedades del producto mito. Interpretación geom$trica del producto mito. #presión anal(tica del producto mito en una base ortonormal. 5osenos directores de un !ector en una base ortonormal.
Procedimientos − 5álculo del producto escalar de dos !ectores a partir de la deinición" de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal. − 5álculo del módulo de un !ector y del ángulo entre dos !ectores a partir del producto escalar. − Cbtención de un !ector perpendicular o paralelo a otro" %ue tenga un módulo determinado. − Aplicación del producto escalar a la demostración de teoremas geom$tricos sencillos. − Aplicación del producto escalar a la obtención del trabao reali'ado por una uer'a. − 5álculo del producto !ectorial de dos !ectores a partir de la deinición" de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal. − Cbtención de un !ector perpendicular a otros dos !ectores" %ue tenga un módulo determinado. − Aplicación del producto !ectorial al cálculo de áreas de pol(gonos" especialmente de paralelogramos y triángulos. − Aplicación del producto !ectorial al cálculo del momento de una uer'a" del momento cin$tico y de la uer'a magn$tica. − 5álculo del producto mito de tres !ectores a partir de la deinición" de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal. − Aplicación del producto mito al cálculo de !ol)menes de poliedros" especialmente paralelep(pedos y tetraedros. Valores, actitudes y normas 9aloración de la utilidad del cálculo !ectorial en la resolución de problemas geom$tricos y (sicos.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. >> se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. >?" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* los principales conceptos relati!os a !ectores en el espacio 0!ector io" e%uipolencia de !ectores ios" !ector libre" operaciones con !ectores libres de 97" combinación lineal" base de 97 y componentes de un !ector en una base y la deinición de sistema de reerencia en el espacio y de coordenadas de un punto del espacio en un sistema de reerencia. #n la unidad se distinguen tres apartados* Producto escalar, Producto vectorial y Producto mito.
-roducto esca)ar (pás! & a &3# www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato -a unidad se inicia con la deinición del producto escalar de dos !ectores libres del espacio" operación ya conocida para dos !ectores libres del plano. A continuación" se deduce de la deinición %ue dos !ectores libres del espacio no nulos son perpendiculares si" y sólo si" su producto escalar es @" y %ue el módulo de cual%uier !ector libre del espacio coincide con la ra(' cuadrada positi!a del producto escalar de dicho !ector por s( mismo. 5omo consecuencia de la determinación de la perpendicularidad entre dos !ectores" se deinen los conceptos de base ortogonal y de base ortonormal. 3eguidamente" se citan las principales propiedades del producto escalar y se interpreta geom$tricamente en t$rminos de proyecciones ortogonales. +ras deducir la epresión anal(tica del producto escalar en una base ortonormal" se aplica la epresión obtenida. Además de hallar productos escalares de dos !ectores a partir de sus componentes en una base ortonormal" se eplica cómo calcular el módulo de cada uno y el ángulo %ue orman y" mediante un eemplo resuelto" cómo obtener !ectores ortogonales o paralelos a uno dado" de longitud determinada. #l apartado termina mostrando algunas aplicaciones del producto escalar a la geometr(a 0demostración del teorema de Pitágoras y del teorema %ue enuncia %ue cual%uier ángulo inscrito en una semicircunerencia es recto y a la (sica 0cálculo del trabao reali'ado por una uer'a.
-roducto vectoria) (pás! &9 a &&# 3e presenta la deinición de producto !ectorial de dos !ectores libres del espacio y se citan sus principales propiedades. 3e indica la interpretación del producto !ectorial de dos !ectores libres del espacio como el área del paralelogramo construido sobre ellos. 3e deduce la epresión anal(tica del producto !ectorial en una base ortonormal y aplicación en un eemplo resuelto. 3e muestran" mediante eemplos resueltos" !arias aplicaciones del producto !ectorial* obtención de un !ector de módulo determinado y perpendicular a dos ya dados" cálculo del área de triángulos y paralelogramos y cálculo de magnitudes (sicas 0momento de una uer'a" momento cin$tico y uer'a magn$tica. -roducto mi;to (pás! 1 a 1$# 3e propone la deinición de producto mito de tres !ectores libres del espacio y se enumeran sus principales propiedades. 3e obser!a %ue tres !ectores libres del espacio son linealmente dependientes si" y sólo si" su producto mito !ale @. 3e indica la interpretación del producto mito de tres !ectores libres del espacio como el !olumen del paralelep(pedo construido sobre ellos. 3e deduce la epresión anal(tica del producto mito en una base ortonormal y se aplica en un eemplo resuelto. 3e muestran" mediante eemplos resueltos" !arias aplicaciones del producto mito* obtención del !olumen de un paralelep(pedo y de un tetraedro.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 1@7 y 1@8 se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en el estudio de los !ectores. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a Buscar los ángulos %ue orma un !ector con cada uno de los de la base a partir de los cosenos directores" conociendo sus componentes en dicha base ortonormal. b #ectuar operaciones con !ectores y determinar el ángulo %ue orman dos !ectores combinación lineal de otros dos !ectores" conocidos sus módulos y el ángulo %ue orman entre ellos. c 6eterminar un parámetro del %ue dependen las componentes de tres !ectores para %ue el !olumen del paralelep(pedo construido sobre ellos tenga un !alor dado para %ue los tres !ectores sean linealmente dependientes. d Hallar el !olumen de un tetraedro determinando pre!iamente una o más coordenadas desconocidas de sus cuatro !$rtices a partir de las condiciones descritas en el enunciado. #n la Organización de conocimientos 0pág. 1@:" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 1@: a 1@= se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 6einir producto escalar" producto !ectorial y producto mito enunciar sus principales propiedades − − − − − − − − − −
y dar una interpretación geom$trica de cada una de estas operaciones. Hallar productos escalares" !ectoriales y mitos de !ectores libres del espacio conociendo sus componentes en una base ortonormal. A!eriguar si dos !ectores son o no ortogonales a partir de su producto escalar. Hallar el módulo de un !ector y el ángulo entre dos !ectores a partir del producto escalar. Cbtener !ectores paralelos o perpendiculares a uno dado" de módulo determinado. 6emostrar alg)n teorema geom$trico sencillo usando el producto escalar. Hallar el trabao reali'ado por una uer'a eercida sobre un obeto %ue se despla'a desde un punto A hasta un punto B. Hallar un !ector simultáneamente perpendicular a dos !ectores dados" de módulo determinado. 5alcular el área de un paralelogramo y el área de un triángulo conociendo las coordenadas de sus !$rtices. #nunciar algunas de las aplicaciones del producto !ectorial a la (sica 0momento de una uer'a" momento cin$tico" uer'a magn$tica. A!eriguar si tres !ectores son o no linealmente dependientes a partir de su producto mito.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − 5alcular el !olumen de un paralelep(pedo y el de un tetraedro conociendo las coordenadas de sus
!$rtices. − #nrentarse a situaciones geom$tricas di!ersas" resolubles !ectorialmente.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD 9: Geometría afín Objetivos didácticos − Identiicar rectas y planos epresados a partir de sus ecuaciones" etrayendo los elementos %ue los
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determinan y" rec(procamente" calcular las ecuaciones de rectas y planos a partir de sus elementos determinantes. #presar una recta mediante cual%uiera de sus ecuaciones 0!ectorial" param$tricas" continuas o impl(citas y transormar unas ecuaciones en otras. #presar un plano mediante cual%uiera de sus ecuaciones 0!ectorial" param$tricas o general y transormar unas ecuaciones en otras. 5omprender %ue una recta !iene determinada por un punto y un !ector director o bien por dos puntos" mientras %ue un plano !iene determinado por un punto y dos !ectores directores linealmente independientes" por dos puntos y un !ector director o bien por tres puntos no alineados. 6eterminar la posición relati!a de dos rectas" de dos planos" de tres planos o de una recta y un plano" conocidas sus ecuaciones impl(citas o generales a partir de la discusión de sistemas de ecuaciones lineales. 6eterminar la posición relati!a de dos rectas o de una recta y un plano a partir de sus ecuaciones !ectoriales. Hallar la ecuación del ha' de planos secantes %ue contiene una recta determinada y la ecuación de un ha' de planos paralelos entre s(. 5onocer la posición relati!a de rectas y planos respecto de la reerencia. Plantear problemas geom$tricos utili'ando rectas y planos" y resol!erlos mediante m$todos anal(ticos. #aminar los procedimientos para resol!er un problema y elegir en cada caso el más adecuado. 9alorar la utilidad de representar gráicamente los datos de un problema antes de resol!erlo anal(ticamente.
Contenidos Conceptos − #cuaciones de una recta en el espacio* ecuación !ectorial" ecuaciones param$tricas" ecuaciones continuas y ecuaciones impl(citas. − #cuaciones de un plano en el espacio* ecuación !ectorial" ecuaciones param$tricas y ecuación general. − Posición relati!a de dos rectas en el espacio* coincidentes" paralelas" secantes" %ue se cru'an. − Posición relati!a de dos planos en el espacio* coincidentes" paralelos" secantes. − Ha' de planos paralelos y ha' de planos secantes. − Posición relati!a de tres planos* coincidentes" secantes en una recta" dos coincidentes y secantes al tercero" secantes en un punto" paralelos y distintos dos a dos" dos planos coincidentes y paralelos al tercero" secantes dos a dos" dos planos paralelos y secantes al tercero. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − Posición relati!a de recta y plano* recta contenida en el plano" recta y plano paralelos" recta y plano
secantes. − Posición relati!a de rectas y planos respecto de los ees y los planos de reerencia. Procedimientos − Cbtención de la ecuación de una recta dados un !ector director y un punto o bien dos puntos. − Cbtención de las dierentes ormas de epresión de una recta a partir de una ecuación dada. − Identiicación de puntos %ue pertenecen a una recta dada. − Identiicación de !ectores directores de una recta dada. − #scritura de las ecuaciones de un plano dados un punto y dos !ectores linealmente independientes" dos puntos y un !ector o bien tres puntos no alineados. − Cbtención de las dierentes ormas de epresión de un plano a partir de una ecuación dada. − Identiicación de puntos y rectas %ue están incluidos en un determinado plano. − #studio de la posición relati!a de dos rectas si sus ecuaciones !ienen dadas en orma impl(cita o !ectorial. − #studio de la posición relati!a de dos y de tres planos a partir de sus ecuaciones generales mediante el análisis de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales correspondiente. − #studio de la posición relati!a de una recta y un plano si sus ecuaciones !ienen dadas en orma !ectorial o continua. − 6iscusión de la posición relati!a de una recta y un plano mediante el estudio de las soluciones del sistema ormado por sus ecuaciones impl(citas y general. − 6eterminación de un plano %ue contiene un punto y pertenece a un ha' de planos secantes. − 6eterminación de un plano %ue contiene un punto y es paralelo a otro plano. − Interpretación de las ecuaciones impl(citas de la recta como la intersección de dos planos e identiicación de la recta como intersección de los mismos. Valores, actitudes y normas 9aloración de las !entaas %ue supone la planiicación de la resolución de un problema" lo %ue permite elegir el meor procedimiento de resolución" y de la importancia de la representación gráica en geometr(a.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 1@> se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 1@?" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* las ecuaciones de la recta en el plano" la determinación de la posición relati!a de dos rectas en el plano a partir de las soluciones del sistema ormado por sus ecuaciones y el enunciado del teorema de Eouch$DGrobenius. Además" se proponen una serie de acti!idades relacionadas con la geometr(a m$trica del plano* determinación de !ectores" dependencia e independencia lineal de !ectores" discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales y determinación de las ecuaciones de una recta. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato #n la unidad se distinguen tres apartados* #ectas en el espacio, Planos en el espacio y Posiciones relativas.
5ectas en e) espacio (pás! 11 a 11,# -a unidad empie'a haciendo notar %ue una recta en el espacio %ueda determinada por un punto y una dirección y recuerda %ue eso mismo suced(a con las rectas en el plano. A continuación" se considera un sistema de reerencia en el %ue sit)an un punto y un !ector director y" a partir de las relaciones obser!adas en una igura" se obtiene la ecuación !ectorial de la recta. 3eguidamente" se aplican transormaciones sencillas a esta ecuación para obtener las restantes ecuaciones de una recta* param$tricas" continuas e impl(citas. 6e orma paralela se desarrolla un eemplo con una recta concreta" %ue se epresa" sucesi!amente" mediante su ecuación !ectorial" sus ecuaciones param$tricas" sus ecuaciones continuas y sus ecuaciones impl(citas. #n un cuadro del margen" se eplica cómo proceder para hallar la ecuación !ectorial de la recta a partir de dos puntos" en lugar de utili'ar un punto y un !ector director. -os eemplos resueltos permiten obser!ar cómo obtener las ecuaciones de una recta" cómo determinar si un punto o un !ector pertenecen a una recta" cómo obtener puntos y !ectores directores conocidas las ecuaciones de una recta y cómo se transorman unas ecuaciones en las otras. -)anos en e) espacio (pás! 11/ a 11.# #l apartado comien'a enunciando %ue" para determinar un plano en el espacio" son necesarios un punto y dos direcciones" %ue pueden !enir dadas por dos !ectores directores linealmente independientes. #n el margen" se ampl(a esta inormación para dar todos los casos posibles* un plano puede determinarse por un punto y dos !ectores directores linealmente independientes" por dos puntos y un !ector director o bien por tres puntos no alineados. A continuación se considera un sistema de reerencia en el %ue se sit)an un punto y dos !ectores directores y" a partir de las relaciones obser!adas en una igura" se obtiene la ecuación !ectorial del plano. 3eguidamente" se aplican transormaciones a esta ecuación para obtener las restantes ecuaciones de un plano* param$tricas y general. 6e orma paralela" se desarrolla un eemplo con un plano concreto %ue se epresa" sucesi!amente" mediante su ecuación !ectorial" sus ecuaciones param$tricas y su ecuación general. #n el margen" se presenta una nue!a orma de deducir la ecuación general del plano y cómo hallar la ecuación !ectorial de un plano a partir de tres puntos" en lugar de utili'ar un punto y dos !ectores directores. -os eemplos resueltos permiten obser!ar cómo obtener las ecuaciones de un plano" cómo determinar si un punto o un !ector director pertenecen a un plano" cómo obtener puntos y !ectores directores conocidas las ecuaciones de un plano y cómo se transorman unas ecuaciones en las otras. -osiciones re)ativas (pás! 11" a 1$.# #ste apartado desarrolla la posición relati!a de dos rectas" de dos planos" de tres planos y de una recta y un plano. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato 5ada uno de estos casos se desarrolla escribiendo las ecuaciones impl(citas de las rectas y,o las ecuaciones generales de los planos" considerando la matri' y la matri' ampliada asociadas al sistema de ecuaciones" hallando los rangos de la matri' y de la matri' ampliada y" a partir de los !alores obtenidos" determinando las posiciones relati!as. #n orma de tabla" se presentan los rangos y una imagen donde se aprecian dichas posiciones relati!as. Además" en los casos de dos rectas y de recta y plano" se consideran las ecuaciones !ectoriales de ambos y se determina su posición relati!a a partir del estudio de la relación de dependencia o independencia lineal de sus !ectores directores. #n los casos de posiciones relati!as de planos se estudian los haces de planos paralelos y los de planos secantes. Para ello" se obser!a" con ayuda de una imagen" %ue los planos de un ha' de planos secante tienen una recta com)n y %ue los de un ha' de planos paralelos !ienen determinados por los mismos !ectores directores. +ambi$n se desarrollan las caracter(sticas de los planos %ue pertenecen a un ha' de planos secantes a partir de sus ecuaciones generales y" de manera paralela" se resuel!e un eemplo donde se aplican estos conocimientos y cómo determinar un plano concreto del ha' dado dicho ha' y un punto del plano. 3e demuestra al alumno,a %ue las ecuaciones impl(citas de la recta coinciden con las ecuaciones generales de dos planos cuya intersección es la propia recta. /no o más eemplos permiten obser!ar cómo se aplican estos procedimientos en casos concretos. Por )ltimo" se presentan" en dos grandes tablas" las posiciones relati!as de algunas rectas y planos respecto de los de reerencia. -a inalidad de estas páginas es ayudar al alumno a identiicar una serie de rectas y planos caracter(sticos" a%uellos %ue son paralelos a algunos ees o planos de reerencia. -a presencia" en cada caso" de una imagen de las ecuaciones !ectorial e impl(citas de las rectas y de las generales de los planos deber(a acilitar esta labor de identiicación. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 12> y 17@ se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en el estudio de la geometr(a a(n. Para ello se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a 6iscutir las posiciones relati!as de dos rectas" dadas por ecuaciones %ue contienen un parámetro. b 6eterminar el plano %ue contiene una recta y %ue cumple otra condición" utili'ando dos procedimientos dierentes. c 6eterminar la recta %ue contiene un punto y corta dos rectas dadas" y la recta %ue contiene un punto" está situada en el mismo plano %ue otra recta y es" además" paralela a otro plano #n la Organización de conocimientos 0pág. 171" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 171 a 177 se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
Actividades de eva)uaci*n − #scribir las dierentes ecuaciones de una recta determinada por un punto y un !ector director o por − − −
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dos puntos. #numerar las dierentes ecuaciones de un plano determinado por un punto y dos !ectores directores" por dos puntos y un !ector director o por tres puntos. 6eterminar puntos y !ectores directores de rectas y planos a partir de una cual%uiera de sus ecuaciones. Hallar la posición relati!a de rectas y planos tanto a partir de la discusión del sistema ormado por sus ecuaciones impl(citas o generales como a partir del análisis de la dependencia de sus !ectores directores. Cbtener la ecuación del ha' de planos secantes %ue contiene una recta y la del ha' de planos paralelos a uno dado. Eesol!er problemas de intersección %ue puedan plantearse con elementos geom$tricos del espacio" como por eemplo la determinación del punto de corte de dos rectas" la recta intersección de dos planos o el punto de intersección de una recta y de un plano. #studiar la posición relati!a de dos elementos del espacio en el caso de %ue sus ecuaciones dependan de un parámetro. Eesol!er di!ersos problemas geom$tricos mediante m$todos %ue incluyen el uso de haces de planos. Por eemplo" la determinación del plano %ue contiene una recta y pasa por un punto o la determinación de la recta %ue contiene un punto y corta dos rectas dadas.
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UNIDAD .: Geometría métrica Objetivos didácticos − 6einir y determinar ángulos entre elementos del espacio 0dos rectas" dos planos y una recta y un − − − − − − − −
plano. Eeconocer las condiciones de perpendicularidad entre rectas" entre planos y entre rectas y planos. 5onocer el concepto de distancia entre dos puntos" de un punto a una recta" de un punto a un plano" entre dos rectas" entre dos planos y de una recta a un plano" y calcular dichas distancias. 5onocer las epresiones" basadas en el producto escalar" para obtener el ángulo entre dos rectas" dos planos o una recta y un plano" y saber aplicarlas. 5onocer las epresiones" basadas en el producto escalar" !ectorial o mito" para obtener la distancia entre dos elementos del espacio" y saberlas utili'ar. 6eterminar el plano mediador de un segmento y los planos bisectores de dos planos dados. Cbtener la ecuación de la recta perpendicular com)n a dos rectas %ue se cru'an. 6eterminar el punto sim$trico a uno dado respecto de otro punto" de una recta y de un plano. 9alorar las dierentes estrategias de resolución de un problema y la necesidad de escoger la más adecuada para las caracter(sticas de dicho problema.
Contenidos Conceptos − Nngulo entre dos rectas. − Eectas perpendiculares. − Nngulo entre dos planos. − Planos perpendiculares. − Nngulo entre recta y plano. − Eecta y plano perpendiculares. − 6istancia entre dos puntos. − 6istancia de un punto a una recta. − 6istancia de un punto a un plano. − 6istancia entre dos rectas. − 6istancia entre dos planos. − 6istancia entre recta y plano. − Plano mediador y plano bisector. − Perpendicular com)n. − Puntos sim$tricos respecto de un punto. − Puntos sim$tricos respecto de una recta. − Puntos sim$tricos respecto de un plano. Procedimientos − 5álculo del ángulo %ue orman dos rectas" dos planos y una recta y un plano. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − 6eterminación de la perpendicularidad de dos rectas" de dos planos y de una recta y un plano. − 5álculo de la distancia entre dos puntos" de un punto a una recta" de un punto a un plano" entre dos − − − −
rectas" entre dos planos y entre recta y plano. 6eterminación del plano mediador de un segmento conocidos sus etremos. 6eterminación de los planos bisectores de dos planos dados. Cbtención de la ecuación de la recta perpendicular com)n a dos rectas %ue se cru'an. Cbtención del punto sim$trico a otro punto respecto de un tercer punto" de una recta o de un plano.
Valores, actitudes y normas 9aloración de la b)s%ueda y aplicación de nue!as estrategias para la resolución de problemas geom$tricos.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 178 se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 17:" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* la epresión anal(tica del producto escalar y del ángulo entre dos !ectores" la epresión anal(tica del producto !ectorial y del producto mito" as( como sus interpretaciones geom$tricas y un eemplo resuelto del cálculo de un producto escalar" del ángulo entre dos !ectores" de un producto !ectorial y de un producto mito" en el %ue se incluye la interpretación geom$trica de los dos )ltimos. #n la unidad se distinguen tres apartados* /ngulos entre elementos del espacio, $istancias entre elementos del espacio y #esolución de problemas m!tricos.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato 3e deinen planos perpendiculares y recta y plano perpendiculares a partir de la deinición de ángulo" y se deduce cómo determinarlos obser!ando cómo se aplican estos conceptos mediante unos eemplos resueltos. #n los márgenes de este apartado" se desarrollan" además" otras ampliaciones" recuerdas" %ue complementan los contenidos estudiados. As( se presenta la relación entre la geometr(a a(n y la geometr(a m$trica" se recuerda la deinición de ángulo diedro y de ángulo rectil(neo del diedro" se deduce %ue el !ector normal del plano es ortogonal a $ste" se eplica cómo puede hallarse un !ector normal a un plano si $ste está epresado mediante su ecuación !ectorial y cómo hallar la ecuación general de un plano dados un !ector normal y un punto y" inalmente" se obser!a %ue la proyección de una recta sobre un plano coincide con la intersección de este plano con uno perpendicular %ue contiene la recta.
Distancias entre e)ementos de) espacio (pás! 1/$ a 1/&# #l apartado empie'a con la deinición de la distancia entre dos puntos y el enunciado de sus propiedades. A continuación" se ilustra mediante un eemplo resuelto en el %ue se calcula la distancia entre dos puntos y se aplica para hallar el per(metro de una igura plana. #n el margen" aparece una ampliación destinada a %ue los alumnos,as puedan obser!ar %ue la distancia es" en realidad" una aplicación con una serie de caracter(sticas" %ue coinciden con sus propiedades" y %ue puede aplicarse a di!ersos conuntos. Para hallar la distancia de un punto a una recta" se dierencian sus posibles posiciones relati!as y se determina la distancia en cada caso. A continuación" se deduce" con ayuda de una representación gráica" la órmula para calcular la distancia de un punto a una recta cuando el punto no pertenece a dicha recta. -a órmula hallada puede utili'arse" en realidad" para todos los casos. /n eemplo resuelto permite obser!ar cómo se calcula en al práctica esta distancia. A continuación" se siguen los mismos pasos para la distancia de un punto a un plano" entre dos rectas" entre dos planos y entre recta y plano* describir las posibles posiciones relati!as y determinar la distancia en cada caso" y deducir la órmula para calcular la distancia en el caso más di(cil 0punto %ue no pertenece al plano" rectas %ue se cru'an" planos paralelos y recta paralela al plano. /nos eemplos resueltos demuestran cómo se calcula en la práctica la distancia buscada. Además" en el caso del cálculo de la distancia de un punto a un plano" se apro!echa el resultado para hallar la órmula general de la distancia de un plano al origen de coordenadas. #n los márgenes de este apartado se desarrollan" además" otras ampliaciones %ue complementan los contenidos estudiados. As( se presenta la proyección ortogonal de un punto sobre una recta y la de un punto sobre un plano se recuerdan las posiciones relati!as de dos rectas y cómo se identiican" las posiciones relati!as de dos planos y cómo se identiican" as( como la condición de paralelismo entre dos planos. Por )ltimo" se recuerdan tambi$n las posiciones relati!as de una recta y un plano y cómo se identiican" as( como la condición de paralelismo entre una recta y un plano. #s importante %ue los alumnos,as se acostumbren a representar gráicamente las situaciones" pues esto les acilitará la comprensión de las deducciones" de las órmulas obtenidas y del proceso para calcular cual%uier distancia. Además" puede ser importante %ue el proesor,a haga hincapi$ en las deducciones de las órmulas para %ue los alumnos,as comprendan cómo se obtienen y no se limiten sólo a aplicarlas. www. edebedigital. com
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5eso)uci*n de prob)emas métricos (pás! 13 a 13$# #n este apartado se pretende %ue el alumno,a apli%ue los conocimientos ad%uiridos para la resolución de los siguientes problemas geom$tricos* determinación de las ecuaciones del plano mediador y del plano bisector" obtención de la perpendicular com)n a dos rectas %ue se cru'an y determinación de puntos sim$tricos respecto de un punto" de una recta o de un plano. #l apartado empie'a determinando los puntos del espacio %ue e%uidistan de los etremos de un segmento y %ue coinciden con el plano mediador. /n eemplo resuelto permite obser!ar cómo se calcula en un caso concreto. A continuación" se determinan los puntos %ue e%uidistan de dos planos dados" se identiican con sus planos bisectores y se obser!a su cálculo mediante un eemplo resuelto. 3eguidamente" se presentan dos procedimientos" ambos de orma paralela" para hallar la recta perpendicular com)n a dos rectas dadas" se describen los pasos de los procedimientos y se desarrollan en un eemplo resuelto. 6e esta manera se pretende %ue el alumno,a obser!e y asimile una de las caracter(sticas de las matemáticas* %ue muchos eercicios y problemas tienen más de una estrategia !álida de resolución. Por )ltimo" el apartado introduce los conceptos de centro de simetr(a" ee de simetr(a y plano de simetr(a para desarrollar los conceptos y los procedimientos de cálculo del punto sim$trico de un punto respecto de otro punto" respecto de una recta o respecto de un plano. #n un eemplo resuelto" se obser!a cómo calcular" dado un punto" su sim$trico respecto de un punto dado" de una recta dada y de un plano dado. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 1:7 y 1:8" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en el estudio de la geometr(a m$trica. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a 6eterminar el plano perpendicular a una recta y %ue pasa por un punto. b Hallar la ecuación de un plano %ue contiene una recta y %ue además !eriica otra condición. c 5alcular los parámetros de las ecuaciones de unas rectas para %ue cumplan una serie de condiciones. d Hallar la ecuación de la proyección ortogonal de una recta sobre un plano" conocidas las ecuaciones de ambos elementos geom$tricos. #n la Organización de conocimientos 0pág. 1::" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 1:: a 1:= se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − 5alcular el ángulo entre dos rectas" entre dos planos y entre una recta y un plano. − 5alcular la distancia entre dos puntos" de un punto a una recta" de un punto a un plano" entre dos − − − − − − − − − −
rectas" de una recta a un plano y entre dos planos. Eesol!er problemas m$tricos %ue puedan plantearse con elementos geom$tricos del espacio. #scribir la ecuación de una recta %ue pasa por un punto y es perpendicular a otra recta dada. 6eterminar la ecuación de un plano %ue contiene un punto" es paralelo a una recta y perpendicular a otro plano. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a un plano y %ue pasa por un punto dado. 5alcular los planos bisectores a dos planos dados y el ángulo %ue orman entre ellos. Presentar dos estrategias dierentes para determinar la perpendicular com)n a dos rectas %ue se cru'an y aplicar una de ellas para resol!er un caso concreto. 5alcular la ecuación de un plano perpendicular a dos rectas dadas %ue pase por un punto determinado. 6eterminar el punto sim$trico a un punto respecto de otro punto" de una recta y de un plano. Eelacionar los puntos sim$tricos respecto de un plano y el concepto de plano mediador. #laborar" en los casos posibles" dos estrategias dierentes para resol!er un problema m$trico y escoger la más adecuada.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD ": Curvas y superficies Objetivos didácticos − 5aracteri'ar una cur!a del plano en coordenadas cartesianas por sus ecuaciones impl(cita" epl(cita o − − − − − − − − − − − − −
param$tricas" y saber pasar de unas a otras. Identiicar posiciones relati!as entre cónicas y rectas. 5alcular ecuaciones de tangentes y normales a cónicas %ue cumplan re%uisitos establecidos. 6eterminar la posición de un punto del plano a partir de sus coordenadas polares. Cbtener las coordenadas polares de un punto del plano a partir de las cartesianas" y !ice!ersa. 5aracteri'ar una cur!a del plano mediante su ecuación polar. Eeconocer gráicamente algunas cur!as planas de inter$s y relacionarlas con sus ecuaciones. 5aracteri'ar una supericie del espacio en coordenadas cartesianas por sus ecuaciones impl(cita" epl(cita o param$tricas" y saber pasar de unas a otras. Eeconocer gráicamente cada tipo de cuádrica y relacionarlas con su ecuación reducida" as( como conocer sus propiedades. Eepresentar una cur!a del espacio en coordenadas cartesianas por sus ecuaciones param$tricas o impl(citas y saber pasar de unas a otras. 5onocer las principales caracter(sticas %ue deinen las h$lices cil(ndricas y las h$lices cónicas" y saber %u$ tipos de ecuaciones las deinen. 6ar la posición de un punto del espacio a partir de sus coordenadas cil(ndricas o es$ricas. 5alcular las coordenadas cil(ndricas o es$ricas de un punto del espacio a partir de las cartesianas y !ice!ersa. 9alorar la utilidad de las cur!as y supericies en la resolución de problemas de aplicación a otras áreas 0ingenier(a" astronom(a.
Contenidos Conceptos − 3istema de coordenadas cartesianas en el plano. − 5ur!as del plano* cur!as algebraicas y cur!as trascendentes. − #cuación impl(cita" ecuación epl(cita y ecuaciones param$tricas de una cur!a del plano en coordenadas cartesianas. − Posiciones relati!as de cónicas y rectas. +angentes y normales a cónicas. − 3istema de coordenadas polares en el plano. − #cuación polar de una cur!a del plano* ecuación polar de la recta" de la circunerencia y de otras cur!as planas de inter$s 0cónicas y espirales. − 3istema de coordenadas cartesianas en el espacio. − 3upericies en el espacio* supericies algebraicas y supericies trascendentes. − #cuación impl(cita" ecuación epl(cita y ecuaciones param$tricas de una supericie en el espacio en coordenadas cartesianas. − 5uádricas* ecuación reducida y principales caracter(sticas. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − − − − −
5ur!as en el espacio* cur!as planas y cur!as alabeadas. #cuaciones impl(citas" epl(citas y param$tricas de una cur!a en el espacio. H$lices cil(ndricas y h$lices cónicas. 3istema de coordenadas cil(ndricas. 3istema de coordenadas es$ricas.
Procedimientos − 6eterminación de la ecuación impl(cita de una cur!a del plano en coordenadas cartesianas a partir de las ecuaciones param$tricas y !ice!ersa. − 6eterminación de posiciones relati!as entre cónicas y rectas en el plano. − 5álculo de la tangente a una cónica por un punto dado y de la normal a la tangente en dicho punto. − Cbtención de las coordenadas polares de un punto del plano a partir de sus coordenadas cartesianas y !ice!ersa. − 6eterminación de la ecuación polar de una cur!a del plano a partir de su ecuación impl(cita en coordenadas cartesianas y !ice!ersa. − Cbtención de las coordenadas cil(ndricas o es$ricas de un punto del espacio a partir de sus coordenadas cartesianas y !ice!ersa. Valores, actitudes y normas − 5on!eniencia del uso de coordenadas adecuadas para obtener ecuaciones de cur!as y supericies %ue aciliten su maneo. − 9aloración del uso de coordenadas polares en el plano" y de cil(ndricas y es$ricas en el espacio" al manipular algunas cur!as y supericies. − 9aloración de la utilidad de las cur!as y supericies en la resolución de problemas de aplicación a otras áreas.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 1:> se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 1:?" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* ecuaciones param$tricas y ecuación impl(cita de la recta del plano %ue pasa por un punto dado y tiene !ector director preiado" ecuaciones param$tricas y ecuación impl(cita del plano del espacio %ue pasa por un punto dado y tiene !ectores directores preiados" y ecuaciones param$tricas y ecuaciones impl(citas de la recta del espacio %ue pasa por un punto dado y tiene !ector director preiado. A continuación" se proponen dierentes acti!idades relati!as al cálculo de ecuaciones de rectas y planos %ue con!iene %ue el alumno,a domine antes de iniciar la unidad. #n la unidad se distinguen cinco apartados* Curvas en el plano en coordenadas cartesianas, Curvas en el plano en coordenadas polares, (uper"icies en el espacio en coordenadas cartesianas, Curvas en el espacio en coordenadas cartesianas y Coordenadas no cartesianas en el espacio. www. edebedigital. com
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Curvas en e) p)ano en coordenadas cartesianas (pás! 19 a 193# -a unidad empie'a recordando %u$ es un sistema de coordenadas cartesianas en el plano y cómo asignar coordenadas cartesianas a cada uno de los puntos. A continuación" se introduce la noción de cur!a del plano a partir de tres eemplos conocidos por el alumno,a* recta" circunerencia y sinusoide. 3e obser!a" a partir de los tres eemplos" %ue las cur!as del plano son conuntos de puntos cuyas coordenadas cartesianas !eriican una ecuación del tipo G 0" y L @" llamada ecuación impl(cita de la cur!a del plano. 3eguidamente" se habla de otra orma de determinar una cur!a en el plano" distintas de la ecuación impl(cita* la ecuación epl(cita. 3e introduce una tercera orma de plantear la ecuación de cur!as* las ecuaciones param$tricas. +ambi$n se demuestra" mediante un eemplo" %ue las ecuaciones param$tricas no son )nicas. #n este punto" ser(a interesante comentar %ue" dependiendo del criterio seguido para la elección del parámetro obtenemos dierentes parametri'aciones de una misma cur!a. #n el margen" puede leerse una clasiicación de las cur!as del plano en algebraicas y trascendentes. A continuación" se comenta %ue no hay un m$todo general para obtener la ecuación impl(cita de una cur!a del plano a partir de sus ecuaciones param$tricas y se eplica el procedimiento %ue se debe seguir en dos situaciones concretas. 3eguidamente" se dice %ue" para eectuar el proceso in!erso eiste la misma diicultad y se muestra un procedimiento para obtener las ecuaciones param$tricas de la circunerencia centrada en el origen de radio r a partir de su ecuación impl(cita y de las deiniciones de seno y coseno. 3e ilustra en una tabla la ecuación impl(cita y las ecuaciones param$tricas más utili'adas de algunas cur!as en el plano 0básicamente de las cónicas principales" as( como el signiicado del parámetro elegido. Ginalmente" se presentan las distintas posiciones relati!as de una recta respecto a un cónica y se eplica el procedimiento para hallar la ecuación de una recta tangente a un cónica %ue pase por un punto dado y la perpendicular a dicha tangente. Ambos procedimientos se eempliican con un problema resuelto. Curvas en e) p)ano en coordenadas po)ares (pás! 199 a 19&# 3e inicia el apartado eplicando %u$ es un sistema de coordenadas polares en el plano y cómo asignar coordenadas polares a cada uno de los puntos. A continuación" se muestra en una tabla la relación eistente entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares de un mismo punto. 3e dan los procedimientos para pasar de coordenadas polares a cartesianas y !ice!ersa" y se acompa&a cada uno de ellos con un eemplo. 3eguidamente" se obser!a %ue tambi$n pueden utili'arse las coordenadas polares para caracteri'ar las cur!as en el plano" y se da el concepto de ecuación polar de una cur!a en el plano. A partir de las relaciones eistentes entre coordenadas cartesianas y polares" se eplica cómo obtener la ecuación polar de una cur!a del plano" conocida su ecuación impl(cita cartesiana" y !ice!ersa. Además" se obtiene la orma general de la ecuación polar de la recta y la circunerencia a partir de sus ecuaciones impl(citas y se considera el caso en %ue se toma el sistema de reerencia con origen en la recta o en el centro de la circunerencia" respecti!amente. #n este punto" se puede hacer notar al www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato alumno,a %ue tomar un sistema de reerencia adecuado permite simpliicar la epresión de la cur!a" y comentar %ue esto no es eclusi!o de estas cur!as y este sistema de coordenadas sino %ue es general. Para acabar" se muestra en una tabla la representación gráica y la ecuación polar de dierentes cur!as de inter$s en algunos campos cientiicotecnológicos 0elipse" hip$rbola" parábola" espiral de Ar%u(medes" espiral logar(tmica y espiral hiperbólica" especiicándose el sistema de reerencia escogido.
uper%icies en e) espacio en coordenadas cartesianas (pás! 1. a 1.,# #mpie'a el apartado recordando %u$ es un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio" y cómo asignar coordenadas cartesianas a cada uno de los puntos. 6espu$s se introduce la noción de supericie del espacio a partir de un eemplo conocido* el plano. 3e obser!a %ue" como en el caso del plano" el conunto de puntos del espacio %ue orman una supericie cumple una ecuación del tipo G 0" y" ' L @" llamada ecuación impl(cita de la supericie. #n el margen" se eplica %u$ es la ecuación epl(cita de una supericie. A continuación" se clasiican las supericies en algebraicas y trascendentes" y se citan las cuádricas como eemplos t(picos de supericies del espacio. 3e deine esera" se demuestra %ue es una cuádrica y se da la orma general de su ecuación en unción de su radio y de las coordenadas de su centro. 3eguidamente" se eplica %u$ son las ecuaciones param$tricas de una supericie y se da la orma general de las ecuaciones param$tricas de la esera. 3e muestra un procedimiento para obtener una parametri'ación de la esera de centro el origen de coordenadas y radio r a partir de la ecuación impl(cita. Ginalmente" se consideran los principales tipos de cuádrica. 3e muestra al alumno,a" de cada uno de ellos" su representación gráica" su ecuación reducida y sus principales caracter(sticas. Curvas en e) espacio en coordenadas cartesianas (pás! 1./ ' 1.3# 5omo en los apartados anteriores" se introduce" a partir de eemplos conocidos por el alumno,a" la noción de cur!a del espacio. 3e clasiican las cur!as del espacio en planas y alabeadas" y se eplica %u$ son las ecuaciones impl(citas y epl(citas de una cur!a en el espacio y %ue $stas no tienen por %u$ ser )nicas. 3e introduce la deinición de ecuaciones impl(citas y epl(citas en coordenadas cartesianas de cur!as en el espacio en general. A continuación se da otra orma de caracteri'ar las cur!as del espacio* las ecuaciones param$tricas. 3e obser!a al margen su interpretación (sica. Ginalmente" se describen en una tabla los dos tipos de cur!as alabeadas más importantes 0las h$lices cil(ndricas y las h$lices cónicas" dando tambi$n su interpretación (sica. Coordenadas no cartesianas en e) espacio (pás! 1.9 ' 1..# #n este apartado" se presentan dos tipos de sistemas de coordenadas no cartesianas del espacio" muy )tiles en el estudio de determinadas cur!as y supericies* sistema de coordenadas cil(ndricas y de coordenadas es$ricas. #n el primer caso" se empie'a deiniendo %u$ es un sistema de coordenadas cil(ndricas y cómo asignarlas a un punto cual%uiera del espacio. A continuación" se eplican en una tabla los procedimientos para pasar de coordenadas cil(ndricas a cartesianas y de cartesianas a cil(ndricas" acompa&ados de sendos www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato eemplos. 3e obser!a tambi$n la simplicidad de la ecuación impl(cita del cilindro en coordenadas cil(ndricas. #n el sistema de coordenadas es$ricas" se presenta una eposición análoga y" en este caso" se destaca la simplicidad de la ecuación de la esera en estas coordenadas. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 1=> a 1>@" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a Hallar la ecuación polar de una cónica" conociendo su ecuación impl(cita cartesiana. b 6ado un cuerpo celeste %ue gira alrededor de otro describiendo una órbita el(ptica de oco el segundo cuerpo" calcular las distancias m(nima y máima entre ambos cuerpos. c 6adas las ecuaciones impl(citas cartesianas de un plano y una esera" en la %ue alguna !iene dada en unción de un parámetro" determinar su posición relati!a en unción de ese parámetro y hallar el radio de la circunerencia intersección cuando sean secantes. d Identiicar cuádricas a partir de su ecuación impl(cita cartesiana. e 6emostrar %ue una cur!a del espacio" descrita a partir de sus ecuaciones param$tricas" está contenida en determinada supericie del espacio. 6eterminar la longitud de una espira de una h$lice cil(ndrica a partir de sus ecuaciones param$tricas. #n la Organización de conocimientos 0pág. 1>1" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en las Actividades 0págs. 1>1 a 1>7 se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 6educir la ecuación impl(cita" la ecuación epl(cita y unas ecuaciones param$tricas de las cur!as del − − − − −
plano más usuales" y saber pasar de unas a otras. 6eterminar la posición relati!a de rectas respecto a cónicas en el plano. 5alcular las ecuaciones de rectas tangentes a un cónica por un punto dado. Cbtener" además" la ecuación de la normal en el punto de tangencia. Hallar las coordenadas cartesianas de un punto del plano epresado en coordenadas polares y las coordenadas polares de un punto del plano epresado en coordenadas cartesianas. Cbtener la ecuación polar de una cur!a del plano dada por su ecuación impl(cita cartesiana y la ecuación impl(cita cartesiana de una cur!a del plano dada por su ecuación polar. Eeconocer la ecuación polar de la recta" la circunerencia" la elipse" la hip$rbola" la parábola y los principales tipos de espiral.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − Cbtener la ecuación impl(cita" la ecuación epl(cita y unas ecuaciones param$tricas de las supericies −
− − − −
− − −
del espacio más usuales" y saber pasar de unas a otras. #scribir la ecuación impl(cita y unas ecuaciones param$tricas de la esera" conocidos su centro y su radio. 4 rec(procamente* determinar el centro y el radio de una esera conociendo alguna de las ecuaciones %ue la determinan. Eeconocer los tipos de cuádrica más usuales gráicamente o a partir de su ecuación reducida y describir sus principales caracter(sticas. Cbtener las ecuaciones impl(citas y unas ecuaciones param$tricas de las cur!as planas del espacio más usuales" y saber pasar de unas a otras. Eeconocer las ecuaciones impl(citas y param$tricas %ue describen las h$lices cil(ndricas y cónicas" hacer una representación gráica aproimada y eplicar su interpretación (sica. Hallar las coordenadas cil(ndricas y es$ricas de un punto del espacio epresado en coordenadas cartesianas y las coordenadas cartesianas de un punto del espacio epresado en coordenadas cil(ndricas o es$ricas. Eeconocer algunas cur!as y supericies del espacio dadas por sus ecuaciones impl(citas en coordenadas cil(ndricas o es$ricas. 5alcular las distancias m(nima y máima entre un cuerpo celeste %ue gira alrededor de otro describiendo una órbita el(ptica de oco el segundo cuerpo y el segundo cuerpo celeste. #nunciar alguna situación en la %ue se aprecie la necesidad del estudio de cur!as y supericies.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD &: Límites de funciones Objetivos didácticos − Ad%uirir la noción intuiti!a y !isual" comprender el concepto y conocer las deiniciones ormales de − − − − − − − − −
l(mite de una unción en un punto" tanto inito como ininito. Ad%uirir la noción intuiti!a y !isual" comprender el concepto y conocer las deiniciones ormales de l(mite de una unción en el ininito" tanto inito como ininito. 5omprender el concepto de l(mite lateral por la i'%uierda y por la derecha de una unción" as( como la relación eistente entre el l(mite y los l(mites laterales. 5onocer las propiedades y operaciones con l(mites. 5alcular de manera sistemática l(mites de unciones racionales en un punto. Hallar l(mites de unciones utili'ando las propiedades adecuadas. #ntender el concepto de indeterminación" reconocer los dierentes tipos de indeterminación y saber resol!erlos en los casos %ue se indican en la unidad. 5onocer el concepto de as(ntota de una unción y reconocer gráicamente as(ntotas !erticales" hori'ontales y oblicuas. 5alcular las ecuaciones de las as(ntotas de una unción a partir de la epresión anal(tica de $sta. 9alorar la importancia del cálculo de l(mites como herramienta para el estudio de unciones.
Contenidos Conceptos − -(mite inito de una unción en un punto. − -(mites laterales initos de una unción en un punto. − Propiedades de los l(mites. − Indeterminación. − -(mite ininito de una unción en un punto. − -(mites laterales ininitos de una unción en un punto. − -(mite inito de una unción en el ininito. − -(mite ininito de una unción en el ininito. − Cperaciones con l(mites. − +ipos de indeterminación. − As(ntotas !erticales de una unción. − As(ntotas hori'ontales de una unción. − As(ntotas oblicuas de una unción. Procedimientos − 5álculo de l(mites de unciones en un punto mediante tablas de !alores. − 5álculo de l(mites de unciones en un punto a partir de su gráica. − 5álculo de l(mites de unciones en un punto utili'ando las propiedades adecuadas. − 5álculo de l(mites en un punto de unciones deinidas a tro'os. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − − − − − − − −
Eesolución de la indeterminación @,@. 5álculo sistemático de l(mites ininitos de unciones racionales en un punto. 5álculo de l(mites de unciones en el ininito mediante tablas de !alores. 5álculo sistemático de l(mites de unciones en el ininito. Eesolución de indeterminaciones. Cbtención de las as(ntotas !erticales de una unción. Cbtención de las as(ntotas hori'ontales de una unción. Cbtención de las as(ntotas oblicuas de una unción.
Valores, actitudes y normas − 9aloración de la utilidad del cálculo de l(mites en el estudio de unciones. − Aprecio del !alor %ue tienen los l(mites de unciones para resol!er problemas de (ndole real.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 1>; se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 1>=" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* el concepto de entorno 0y las dierentes maneras de epresarlo y el concepto de entorno reducido 0y las dierentes maneras de epresarlo. #n cada caso" se muestra un eemplo. #n la unidad se distinguen seis apartados* 01mite "inito de una "unción en un punto, 01mite in"inito de una "unción en un punto, 01mite "inito de una "unción en el in"inito, 01mite in"inito de una "unción en el in"inito, Operaciones con l1mites y As1ntotas de una "unción.
=>mite %inito de una %unci*n en un punto (pás! 1"" a 1&,# 3e introduce intuiti!amente el concepto de l(mite inito de una unción en un punto mediante la obser!ación de una tabla de !alores y de la gráica de una determinada unción en el entorno de un punto concreto" para llegar" inalmente" a la deinición ormal de l(mite. 3eguidamente" se eplica el concepto de l(mites laterales de una unción en un punto siguiendo el mismo proceso %ue en el caso del l(mite de una unción en un punto" es decir" primero intuiti!amente y despu$s ormalmente" y se establece la relación eistente entre el l(mite y los l(mites laterales. Posteriormente" se dan algunas propiedades de los l(mites uncionales %ue nos permitirán el cálculo sistemático de l(mites. +ambi$n se da en orma de tabla la órmula" acompa&ada de un eemplo" para el cálculo del l(mite de unciones polinómicas y racionales en un punto. A continuación" se resuel!en unos eercicios a modo de eemplo en donde se calcula el l(mite de otras unciones en particular" se muestra como proceder para el cálculo sistemático de l(mites de unciones deinidas a tro'os. Ginalmente" se introduce el concepto de indeterminación a partir de la indeterminación cero partido por cero" %ue puede aparecer en el cálculo de l(mites de unciones en un punto" y se muestra mediante unos eemplos cómo proceder para resol!er anal(ticamente este tipo de indeterminación. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
=>mite in%inito de una %unci*n en un punto (pás! 1&/ ' 1&3# 3iguiendo el mismo procedimiento %ue en el caso del l(mite inito de una unción en un punto" se introducen el concepto de l(mite ininito de una unción en un punto. 3e concluye la eplicación proponiendo la deinición ormal de l(mite ininito de una unción en el ininito. 3e introducen unas obser!aciones generales para poder calcular este tipo de l(mites y se muestra en eemplos resueltos la manera de resol!er la cuestión en alguno casos sencillos" poniendo de maniiesto %ue en ocasiones hay %ue considerar de modo similar al apartado anterior la lateralidad de los l(mites. =>mite %inito de una %unci*n en e) in%inito (pá! 1&9# 6e modo parecido se introduce intuiti!amente el concepto de l(mite inito en el ininito obser!ando sucesi!as aproimaciones. 3e presentan !arios gráicos %ue ilustren las tendencias aproimati!as de las secuencias num$ricas %ue se presentan. 3e propone" posteriormente" la deinición ormal de l(mite inito de una unción en el ininito. =>mite in%inito de una %unci*n en e) in%inito (pá! 1&.# /tili'ando un procedimiento análogo al anterior se introduce el conceptos de l(mite ininito de una unción en el ininito" completando la eplicación teórica con los correspondientes gráicos. Igualmente se introduce la deinición ormal de l(mite ininito de una unción en el ininito. Operaciones con )>mites (pás! 1&" a $1# #n primer lugar" se hace notar %ue las propiedades de los l(mites !istas anteriormente se siguen !eriicando si alguna de las unciones tiene l(mite ininito o bien cuando se trata de l(mites en el ininito y se resumen" en orma de tabla" los dierentes casos determinados %ue pueden aparecer cuando operamos con l(mites. A continuación se eplica %ue" como en el caso de l(mites initos" pueden aparecer casos de indeterminación al operar con l(mites ininitos o en el ininito y se indican todos los tipos de indeterminación %ue pueden surgir. 3eguidamente" se muestra cómo resol!er los dierentes tipos de indeterminación en los casos más sencillos" a ecepción de dos de los tipos %ue" como se indica" se tratarán más adelante. #n el margen" se da el concepto de ininit$simos e%ui!alentes mostrando los casos de e%ui!alencia en el cero más t(picos y eplicando la utilidad de este concepto a la hora de resol!er indeterminaciones. #n el otro margen se recuerda el n)mero e %ue utili'amos para resol!er el caso particular de indeterminación uno ele!ado a ininito. #n este apartado" y si el proesor,a lo cree necesario" se puede estudiar criterios generales %ue permiten resol!er rápidamente algunas indeterminaciones. As>ntotas de una %unci*n (pás! $$ ' $,# 3e presentan los tres tipos de as(ntotas. Cbser!ando la gráica de una unción" se da la idea intuiti!a y !isual de as(ntotas de una unción 0!erticales" hori'ontales y oblicuas www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato A continuación" se da la deinición ormal de cada uno de los tipos de as(ntotas. #n el caso de las as(ntotas oblicuas se resuel!e un eercicio a modo de eemplo donde se obtiene una órmula %ue permite el cálculo sistemático de las citadas as(ntotas. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 2@8 a 2@;" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a Aplicación de las deiniciones ormales de l(mite inito de una unción en un punto. b Aplicación de las deiniciones ormales de l(mite inito de una unción en el ininito. c Eesolución de indeterminaciones en las %ue aparecen epresiones con radicales. d Eesolución de indeterminaciones del tipo uno ele!ado a ininito cuando la !ariable tiende a un n)mero real. e Cbtención de parámetros %ue hagan %ue el l(mite de una unción en un punto tenga un !alor concreto. Cbtención de parámetros %ue hagan %ue las as(ntotas de una unción sean unas rectas determinadas. #n la Organización de conocimientos 0pág. 2@=" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 2@= a 2@? se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 6ada la gráica de una unción" determinar el l(mite en dierentes puntos y el l(mite en el ininito" y − − − − − − − −
comprobarlo con la construcción de tablas de !alores adecuadas. 5alcular di!ersos tipos de l(mites en unciones a tro'os. 6einir intuiti!amente l(mites laterales y eplicar la relación entre los l(mites laterales y el l(mite de una unción en un punto. #nunciar las propiedades de los l(mites initos en un punto. Hallar los l(mites ininitos en el ininito de unciones sencillas. 5alcular sistemáticamente l(mites de unciones polinómicas y racionales" as( como tambi$n de unciones obtenidas a partir de operaciones con otras unciones. #plicar %u$ es una indeterminación e indicar los dierentes tipos de indeterminación %ue pueden presentarse en el cálculo de l(mites. Eesol!er dierentes tipos de indeterminación. Eeconocer" dada la gráica de una unción" las as(ntotas !erticales" hori'ontales y oblicuas" y hallar sus ecuaciones a partir de la epresión anal(tica de la unción.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − Apreciar el !alor de las t$cnicas de análisis matemático en el estudio de unciones.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD 1: Continuidad de funciones Objetivos didácticos − Ad%uirir la idea intuiti!a de continuidad de una unción en un punto. − 5onocer las condiciones para %ue una unción sea continua en un punto. − 5omprender el concepto de continuidad lateral de una unción en un punto y la relación %ue eiste − − − − − − − −
entre $sta y la continuidad. #studiar la continuidad de una unción en un inter!alo. 5onocer los distintos tipos de discontinuidades %ue puede presentar una unción en un punto. Eeconocer los puntos de discontinuidad de una unción" tanto !isual como anal(ticamente" y saber clasiicarlos. 6escribir las propiedades de las unciones continuas. 6emostrar la continuidad de las unciones elementales y aplicarla para estudiar la continuidad de unciones obtenidas a partir de operaciones con unciones elementales. 5onocer el enunciado y signiicado de los teoremas más elementales relacionados con la continuidad. Aplicar el teorema de Bol'ano para determinar los ceros de una unción" as( como tambi$n las soluciones o ra(ces de una ecuación. 9alorar la importancia %ue tiene el estudio de la continuidad en el comportamiento de muchos enómenos de la naturale'a.
Contenidos Conceptos − 5ontinuidad de una unción en un punto. − 5ontinuidad lateral de una unción en un punto. − 5ontinuidad de una unción en un inter!alo. − 6iscontinuidad de una unción en un punto. − +ipos de discontinuidades. − Propiedades de las unciones continuas. − 5ontinuidad de las unciones elementales. − +eorema de conser!ación del signo. − +eorema de Bol'ano. − +eorema de los !alores intermedios. − +eorema de Oeierstrass. Procedimientos − 5omprobación de la continuidad o no de una unción en un punto a partir de las tres condiciones de continuidad. − 5omprobación de la continuidad de una unción en un punto mediante la deinición de l(mite. − #studio de la continuidad lateral de una unción en un punto. − #studio de la continuidad de una unción en un inter!alo. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − 6eterminación y clasiicación de los puntos de discontinuidad de una unción. − #studio de la continuidad de unciones obtenidas a partir de operaciones con unciones elementales. − Aplicación del teorema de Bol'ano para comprobar si una unción tiene un @ en un inter!alo dado y
obtención de dicho cero con un determinado error. − Aplicación del teorema de Bol'ano para comprobar si una unción tiene un @ o si una ecuación tiene una solución real en un inter!alo dado" as( como su determinación con una cierta precisión. − Aplicación del teorema de los !alores intermedios para comprobar si una unción toma determinado !alor en un inter!alo dado" as( como la obtención del punto del inter!alo para el cual toma dicho !alor. Valores, actitudes y normas − Aprecio de la importancia de la continuidad para el estudio de las unciones. − 9aloración de la continuidad para el estudio del comportamiento %ue siguen muchos enómenos de la naturale'a.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 21@ se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 211 se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* la deinición de n)mero real mediante dos sucesiones de aproimaciones decimales 0por deecto y por eceso y la consiguiente sucesión de inter!alos" los conceptos de máimo y m(nimo absoluto de una unción en un punto y la deinición de @ de una unción a partir de la b)s%ueda de las ra(ces de la ecuación G0 L @. 3e proponen tambi$n unas acti!idades con la inalidad de recordar los m$todos para resol!er ecuaciones de grado mayor %ue dos. #n la unidad se distinguen tres apartados* Continuidad de una "unción en un punto, Propiedades de las "unciones continuas y *eoremas relativos a la continuidad.
Continuidad de una %unci*n en un punto (pás! $1$ a $1.# 3e introduce la idea intuiti!a de continuidad de una unción en un punto a partir de la obser!ación de la gráica de di!ersas unciones. A continuación" se da la deinición ormal de continuidad en un punto apro!echándola para introducir la deinición de unción discontinua en un punto" y se comprueba la continuidad de una unción en un punto. Posteriormente" se obser!a %ue en la tercera condición de continuidad se resumen las anteriores" por lo %ue se puede decir %ue una unción es continua en un punto si !eriica dicha condición. 3eguidamente" usando la deinición de l(mite" se ormali'a el concepto de continuidad. #n el eemplo %ue sigue" se muestra el proceso %ue se debe seguir para !er si una unción es continua en un punto a partir de esta )ltima deinición. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato 3e introduce el concepto de continuidad lateral de una unción en un punto y se obser!a la relación %ue eiste con la continuidad de la unción en dicho punto a partir de la relación eistente entre l(mites laterales y l(mite de una unción en un punto. 5omo eemplo" se estudia la continuidad de la unción identidad menos la parte entera. Posteriormente" se deine la continuidad en un inter!alo. #s con!eniente %ue el proesor,a haga notar %ue la deinición dada para la continuidad de un inter!alo cerrado no es e%ui!alente a decir %ue la unción es continua si lo es en cada punto del inter!alo cerrado" en los puntos etremos del inter!alo" sólo se pide continuidad lateral desde el interior de $ste. #n el margen" tambi$n se deine la continuidad en un inter!alo semiabierto. 6e nue!o" el subapartado termina con el análisis de la continuidad de una unción en un inter!alo. 3eguidamente" se presenta una tabla con la clasiicación de los dierentes tipos de discontinuidades" ilustrando cada uno de los casos y obser!ando las condiciones de continuidad %ue se !eriican y las %ue dean de !eriicarse en cada situación. A continuación" se obser!a %ue" si la unción presenta una discontinuidad e!itable en un punto" se puede deinir una nue!a unción %ue coincide con la primera en todos los puntos de su dominio sal!o en el punto considerado" en caso de %ue pertene'ca" y e!ita la discontinuidad en este punto. 3e proponen tres eemplos en los %ue se muestran respecti!amente el caso de una discontinuidad no e!itable de salto ininito" no e!itable esencial y e!itable. #n el margen puede !erse un es%uema del proceso %ue debe seguirse para clasiicar discontinuidades.
-ropiedades de )as %unciones continuas (pás! $1" ' $1&# 5omo consecuencia de las propiedades !istas para los l(mites" se obtienen algunas de las propiedades de las unciones continuas. A partir de $stas" se comprueba la continuidad en su dominio de algunas de las unciones elementales 0potenciales" polinómicas" racionales e irracionales. Por otro lado" se presentan en una tabla otras unciones elementales 0eponenciales" logar(tmicas y trigonom$tricas"obser!ando a partir de su gráica %ue son continuas en todo su dominio. 3eguidamente" se resuel!e un eercicio a modo de eemplo en donde se estudia la continuidad de unciones obtenidas mediante operaciones con unciones elementales. 4eoremas re)ativos a )a continuidad (pás! $$ a $$$# 3e enuncia el teorema de conser!ación del signo y se ustiicación a partir de la obser!ación de la gráica de una unción continua. 3e enuncia el teorema de Bol'ano y se ustiica de manera intuiti!a. #n el margen se encuentra una demostración rigurosa del teorema" %ue el proesor,a podrá dar o no en unción del grupo de alumnos,as. A continuación" se muestra" mediante dos eemplos" la utilidad de este teorema para la determinación de ceros de unciones y ra(ces de ecuaciones. A continuación se enuncia el teorema de los !alores intermedios y se indica %ue es consecuencia inmediata del teorema de Bol'ano en el margen se encuentra la demostración detallada. A continuación" se muestra" mediante un eemplo" su aplicación para !er %ue una unción toma un !alor determinado en un inter!alo. #n este punto" se puede comentar" si se cree oportuno" %ue el teorema de www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato Bol'ano y el de los !alores intermedios son e%ui!alentes" ya %ue el teorema de los !alores intermedios se obtiene a partir del de Bol'ano" y $ste es un caso particular del anterior. 3e enuncia el teorema de Oeierstrass y se ustiica de manera intuiti!a. 3eguidamente" se obser!an tres consecuencias de este teorema. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 227 y 228" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a 6eterminación del !alor de los parámetros presentes en la epresión anal(tica de una unción para %ue sea continua en un punto o bien continua en todo su dominio. b 6eterminación del !alor de los parámetros presentes en la epresión anal(tica de una unción para %ue $sta presente una discontinuidad e!itable en un punto o bien una discontinuidad. c Aplicación del teorema de Bol'ano para probar %ue las gráicas de dos unciones se cortan en alg)n punto y la determinación de $ste en un inter!alo de cierta amplitud. d Aplicación del teorema de Bol'ano para obtener la aproimación de una ra(' c)bica con un error determinado. #n la Organización de conocimientos 0pág. 22:" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 22: a 22= se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − Eeconocer !isualmente si una unción es continua en un punto. − 5omprobar si una unción es continua en un punto mediante la !eriicación de las tres condiciones − − − − − −
de continuidad. 5omprobar" utili'ando la deinición ormal de continuidad" si una unción es continua en un punto. Indicar la relación %ue eiste entre continuidad lateral de una unción en un punto y continuidad en ese punto y estudiar la continuidad lateral de una unción en un punto. Poner un eemplo de unción continua en un inter!alo abierto pero %ue no lo es en el cerrado. #numerar los distintos tipos de discontinuidad %ue puede presentar una unción" indicando las caracter(sticas de cada uno" y reconocerlos !isualmente. Hallar los puntos de discontinuidad de una unción y determinar el tipo de discontinuidad %ue presenta en cada uno de ellos. #numerar las propiedades de las unciones continuas.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − Anali'ar" teniendo en cuenta la continuidad de las unciones elementales" la continuidad de unciones
obtenidas a partir de operaciones con unciones elementales. − 6eterminar la eistencia de ceros de unciones y de ra(ces de ecuaciones" y obtener estos ceros y ra(ces con un error determinado utili'ando el teorema de Bol'ano. − Probar %ue una unción toma determinado !alor en un inter!alo dado y calcular el punto de este inter!alo donde la unción toma dicho !alor utili'ando el teorema de los !alores intermedios. − Apreciar el !alor %ue tiene la continuidad de unciones para resol!er problemas de (ndole real.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
UNIDAD 11: Derivadas Objetivos didácticos − 5omprender el signiicado de la tasa de !ariación media de una unción en un inter!alo. − 5omprender el signiicado de la deri!ada de una unción en un punto y conocer su deinición ormal. − Interpretar geom$tricamente la tasa de !ariación media de una unción en un inter!alo y la deri!ada − − − − − − − − −
de una unción en un punto. 6eterminar la ecuación de la recta tangente a una unción en un punto. #ntender el concepto de deri!ada lateral por la i'%uierda y por la derecha de una unción" as( como la relación eistente entre la deri!ada y las deri!adas laterales. #ntender el concepto de unción deri!ada de una unción y calcular deri!adas sucesi!as. 5onocer la unción deri!ada de las unciones elementales. 5omprender la deri!abilidad de las unciones elementales y las reglas %ue permiten deri!ar unciones %ue son el resultado de operar con otras unciones deri!ables. 5onocer la relación %ue eiste entre las deri!adas de dos unciones in!ersas y aplicarla para deducir la deri!ada de algunas unciones. Eeconocer y utili'ar los m$todos de deri!ación* de la unción in!ersa" logar(tmica y en orma impl(cita. 5onocer el concepto de dierencial de una unción en un punto" su interpretación geom$trica y su aplicación para eectuar cálculos aproimados. 9alorar la importancia de la deri!ada en el estudio de la !ariación de una unción y su aplicación en dierentes contetos* (sica" %u(mica" biolog(a
Contenidos Conceptos − +asa de !ariación media de una unción. − 6eri!ada de una unción en un punto. − 6eri!adas laterales. − Gunción deri!ada. − 6eri!adas de orden superior. − 6eri!ada de unciones elementales. − Gunción deri!ada y operaciones. − 6eri!ación logar(tmica. − 6eri!ación impl(cita. − 6ierencial de una unción. Procedimientos − 6eterminación de la tasa de !ariación media de una unción en un inter!alo. − Identiicación de la pendiente de la recta secante a la gráica de una unción por dos puntos. − 6eterminación de la !elocidad media de un mó!il %ue sigue una trayectoria rectil(nea. − Cbtención de la deri!ada de una unción en un punto. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato − − − − − − − − − − − − −
6eterminación de la pendiente de la recta tangente a la gráica de una unción en un punto. Cbtención de la ecuación de la recta tangente a la gráica de una unción en un punto. 6eterminación de la !elocidad instantánea de un mó!il %ue sigue una trayectoria rectil(nea. Cbtención de las deri!adas laterales de una unción en un punto. Identiicación de puntos angulosos" de retroceso o de inleión con tangente !ertical. 5álculo de deri!adas de orden superior a partir de la deinición ormal. Cbtención de deri!adas de unciones elementales. 5álculo de la deri!ada de la unción suma" del producto de una constante por una unción" de la unción producto y de la unción cociente. Aplicación de la regla de la cadena para obtener la deri!ada de una unción compuesta. 6eterminación de la deri!ada de unciones in!ersas. Cbtención de deri!adas de unciones del tipo eponencialDpotencial por deri!ación logar(tmica. 5álculo de deri!adas de unciones dadas en orma impl(cita. Cbtención de !alores aproimados de unciones utili'ando el concepto de dierencial de una unción.
Valores, actitudes y normas − Importancia de la deri!abilidad para el estudio de las unciones. − 9aloración de los procesos deducti!os como instrumento básico en el trabao matemático. − Eeconocimiento de la importancia de la deri!ada y de la dierencial de una unción como instrumento en el campo cient(ico.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 22> se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 22?" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* deinición de la pendiente de una recta y ecuación puntoDpendiente de una recta" deinición de las operaciones deinidas en el conunto de las unciones reales de !ariable real" deinición de la unción compuesta de dos unciones" deinición de unción in!ersa de una unción dada %ue sea inyecti!a en su dominio" y deinición de l(mite inito y continuidad de una unción en un punto. #n la unidad se distinguen cuatro apartados* *asa de variación media, $erivada de una "unción en un punto, -unción derivada y $i"erencial de una "unción.
4asa de variaci*n media (pás! $, ' $,1# 3e introduce el concepto de tasa de !ariación media de una unción en !arios inter!alos mediante una unción %ue relaciona la temperatura y la proundidad en el interior de la +ierra. #n este punto" el proesor,a puede sugerir al alumno,a %ue recuerde los conocimientos aprendidos en (sica" tales como las ecuaciones %ue dan la posición de un mó!il y su !elocidad en unción del tiempo en un mo!imiento rectil(neo uniorme" o en un mo!imiento con aceleración constante" y compruebe %ue la www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato !elocidad media es la tasa de !ariación de la unción %ue da la posición de un mó!il en el inter!alo de tiempo considerado. #n el eemplo %ue sigue" el alumno,a aplicará el concepto de +9M 0tasa de !ariación media y su interpretación geom$trica a una unción algebraica conocida. 3e pretende %ue comprenda %ue la +9M es una medida de la rapide' con %ue !ar(a una unción en un inter!alo" y %ue dicha unción puede epresar el comportamiento de un enómeno (sico o %u(mico. 6espu$s de esto" se propone la deinición ormal de tasa de !ariación media de una unción en un inter!alo. #l cálculo ormal de la tasa de !ariación media se complementa con la interpretación geom$trica en la %ue se obser!a la coincidencia de dicha tasa con la pendiente de la recta secante a la cur!a por los puntos %ue limitan el inter!alo estudiado. 3e postula de una manera rigurosa la interpretación geom$trica de la tasa de !ariación media.
Derivada de una %unci*n en un punto (pás! $,$ a $,3# 3e considera el eemplo de una unción polinómica de segundo grado sencilla y se calcula" a partir de la aproimación propuesta" el l(mite de la +9M cuando el inter!alo considerado tiende a cero. 3e ormula de manera rigurosa la deinición de deri!ada de una unción en un punto dado. ue!amente el proesor,a puede utili'ar como unción la ecuación del mo!imiento rectil(neo uniormemente acelerado de esta orma" el alumno,a comprenderá meor %ue el inter!alo %ue tiende a cero si la !ariable es el tiempo es un instante e identiicará !elocidad instantánea con la tasa de !ariación instantánea o deri!ada de la unción despla'amiento del mo!imiento reerido. 3eguidamente" en la interpretación geom$trica" el proesor,a hará obser!ar al alumno,a %ue" si el inter!alo en el %ue se considera la !ariación de una unción se reduce a un punto" la tasa de !ariación instantánea correspondiente coincide con la pendiente de la recta tangente en dicho punto. A continuación" se utili'a este resultado para obtener la ecuación puntoDpendiente de la recta tangente a la unción en un punto. 3e introduce el concepto de deri!adas laterales de una unción en un punto y se obser!a la relación %ue eiste entre la deri!abilidad de la unción en dicho punto a partir de la relación eistente entre l(mites laterales y l(mite de una unción en un punto. 5omo eemplo" se estudia la deri!abilidad de la unción !alor absoluto en el cero. #s con!eniente abordar los conceptos de continuidad y deri!abilidad de una orma intuiti!a" obser!ando primero gráicamente los casos más recuentes de continuidad y no deri!abilidad" para proponer en segundo lugar la condición anal(tica. #l proesor,a" además" puede sugerir al alumno,a %ue recuerde unciones no continuas en algunos puntos y comprobar %ue en ellos no puede dibuar una recta tangente a la gráica" por lo %ue la continuidad resulta una condición absolutamente necesaria para la deri!abilidad. 8unci*n derivada (pás! $,9 a $/1# 3e introduce el concepto de unción deri!ada de una orma natural a partir de la deri!ada de la unción en un punto. #l proesor,a puede partir de una unción muy sencilla 0por eemplo" 0 L 2 para %ue el alumno,a calcule su deri!ada en di!ersos puntos. 3eguidamente" sugerirá una orma de e!itar el cálculo reiterati!o de l(mites* eectuar el cálculo en un punto gen$rico. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato A continuación" se deine la unción deri!ada segunda de una unción de orma análoga a cómo se deine unción deri!ada y se comenta %ue" reiterando el proceso" se pueden deinir todas las deri!adas de orden superior. 3eguidamente" se deducen las órmulas de las deri!adas de unciones elementales 0constante" potencial" logar(tmica y seno con el m$todo %ue se ha eplicado y %ue es con!eniente %ue el alumno,a practi%ue. 3e obtienen de igual orma las reglas para deri!ar la unción suma" producto" cociente y compuesta" y se aplican las órmulas obtenidas para deri!ar unciones concretas. 3e estudia la deri!ación de unciones in!ersas obteniendo la deri!ada de la in!ersa de una unción a partir de la deinición de unción in!ersa recordada en la preparación de la unidad y la regla de la cadena. 5omo eemplo" se aplica esta órmula para obtener la deri!ada de la unción arcoseno. +ambi$n se eplica el m$todo de deri!ación logar(tmica presentando en una tabla el procedimiento para obtener la deri!ada de una unción eponencialDpotencial y un eemplo donde se practica el m$todo descrito. #n el margen" se obser!a %ue" para poder aplicar el m$todo eplicado" la unción eponencialDpotencial considerada ha de ser estrictamente positi!a" es decir" de base estrictamente positi!a. 3e utili'a la deri!ación logar(tmica en un eemplo concreto para obtener la deri!ada de una unción dada en orma impl(cita y %ue no se puede epresar epl(citamente.
Di%erencia) de una %unci*n (pá! $/$ ' $/,# 3e introduce la notación de incrementos para la deri!ada de una unción en un punto y" con ayuda de una interpretación gráica de la situación" se obtiene una aproimación de la !ariación de la unción a partir de la deri!ada de la unción en un punto y el incremento de la !ariable considerado desde dicho punto. Ginalmente" se demuestra cómo esta aproimación puede utili'arse para calcular !alores aproimados de la unción. 3e recogen" en orma de tabla" las principales deri!adas de unciones simples y unciones compuestas %ue el alumno,a debe conocer* se adunta para %ue pueda recurrir a ella en caso de duda sin tener %ue buscar en el interior de la unidad" donde tambi$n aparecen estas órmulas pero me'cladas con otros contenidos. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 288 a 28;" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a Cbtener la órmula de una deri!ada utili'ando el m$todo de inducción. b Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráica de una unción dada impl(citamente. c 5omprobar la regla de deri!ación del producto de dos unciones a partir del m$todo de deri!ación logar(tmica. d 5alcular la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal a la gráica de una unción" as( como los puntos en los %ue la recta tangente es paralela a una recta dada. e #studiar la continuidad y deri!abilidad de una unción y comprobar los resultados obtenidos a partir de la gráica de la unción. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato #n la Organización de conocimientos 0pág. 28=" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en el apartado Actividades 0págs. 28= a 28? se presenta una lista de conceptos y procedimientos para %ue el alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" se plantean !arias cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − Hallar la tasa de !ariación media de una unción polinómica y racional entre dos puntos dados y − − − − − − − − − − − − −
calcular la pendiente de la recta secante %ue pasa por ellos. 6einir la deri!ada de una unción en un punto y dar su interpretación geom$trica. 6eterminar la ecuación de la recta tangente a la gráica de una unción en un punto. 5alcular !elocidades medias e instantáneas de mo!imientos rectil(neos uniormemente acelerados y ustiicar %ue son eemplos de tasas de !ariación media e instantáneas respecti!amente. 6educir la deri!abilidad de una unción deinida a tro'os" o de !alor absoluto" y caracteri'ar los puntos de no deri!abilidad encontrados. Cbtener la unción deri!ada de alguna unción elemental a partir de la deinición de unción deri!ada. Hallar la órmula de la deri!ada en$sima de una unción concreta. 5alcular" dadas dos unciones" la unción deri!ada de su suma" producto" cociente y composición. Cbtener la deri!ada de alguna unción no elemental empleando conuntamente la tabla de deri!adas elementales y de propiedades de las deri!adas. Aplicar el m$todo de deri!ación de la unción in!ersa o bien logar(tmica en alg)n caso concreto. 6eterminar la ecuación de la recta tangente en un punto a una cur!a cuya ecuación se conoce de orma impl(cita. 5alcular el !alor aproimado de un radical utili'ando la dierencial. 5itar eemplos en el campo de la (sica" %u(mica o biolog(a en los %ue puede ser )til el estudio de la +9M o de la deri!ada. Eeconocer la utilidad de la unción deri!ada en el estudio de enómenos susceptibles de ser tratados mediante unciones.
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UNIDAD 1$: Aplicaciones de las derivadas Objetivos didácticos − /tili'ar el concepto de deri!ada para determinar el crecimiento y decrecimiento de una unción en − − − − − − − −
un punto y en un inter!alo. Eeconocer la eistencia de máimos y m(nimos relati!os. /tili'ar el concepto de deri!ada segunda para determinar la conca!idad y con!eidad de una unción en un punto y en un inter!alo. Eeconocer la eistencia de puntos de inleión. Cbtener la representación gráica de unciones. Eesol!er problemas de optimi'ación. 5onocer los teoremas de Eolle y -agrange e interpretar su signiicado geom$trico. 5onocer la regla de -QHRpital y aplicarla para resol!er indeterminaciones. 9alorar la aplicación de las deri!adas en el estudio de unciones y en la resolución de problemas de otros campos* aritm$tica" geometr(a" (sica
Contenidos Conceptos − Eelación entre crecimiento 0decrecimiento de una unción en un punto y el signo de la deri!ada. − #tremos relati!os. − Eelación entre la cur!atura 0con!eidad de una unción en un punto y el signo de la deri!ada segunda. − Puntos de inleión. − +eorema de Eolle y del !alor medio de -agrange. − Eegla de -KHRpital. Procedimientos − /so de la deri!ada primera de una unción para estudiar la monoton(a de una unción en un punto o en un inter!alo. − 6eterminación de los etremos relati!os de una unción. − /tili'ación de la deri!ada segunda de una unción para estudiar la cur!atura de una unción" en un punto o en un inter!alo. − 6eterminación de los puntos de inleión de una unción. − Crgani'ación mediante tablas de los datos obtenidos en el análisis de una unción. − Eepresentación gráica de una unción a partir de los aspectos esenciales de su análisis. − Planteo y resolución de problemas de optimi'ación. − /tili'ación de la calculadora gráica para la representación gráica de unciones. − Aplicación del teorema de Eolle para comprobar si la deri!ada de una unción tiene un @ en un inter!alo dado y obtención de dicho @. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas Matemáticas II 2º Bachillerato Bachillerato Aplicación del del teorema de -agrange para par a hallar el el punto o los puntos en %ue la recta tangente a la − Aplicación unción tiene una pendiente determinada. − /tili'ación de la regla de -QHRpital para resol!er indeterminaciones. Valores, actitudes y normas 3istemati'ación y orden en la presentación de datos dato s para la representación gráica de una unción. − 3istemati'ación soluciones obtenidas con los datos dato s iniciales. iniciales. − Inter$s por contrastar las soluciones − Aprecio del !alor %ue tiene el estudio de unciones y la optimi'ación de unciones para resol!er problemas de (ndole (ndole real.
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. Objetivos 0pág. 2:@ se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación la Preparación de la unidad 0pág. 2:1" 2:1 " se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios necesarios para abordarla* la interpretación geom$trica de la deri!ada" el teorema de Bol'ano y el teorema de Oeiertrass. Además" se proponen unas acti!idades para recordar la resolución de inecuaciones y las órmulas de deri!ación. #n la unidad se distinguen distinguen cinco apartados* $erivada apartados* $erivada y monoton1a de una "unción, "un ción, $erivada y curvatura de una "unción, #epresentación gr&"ica de "unciones, Optimización de "unciones y *eoremas sobre "unciones derivables.
Derivada ' monoton>a de una %unci*n (pás! $3$ a $33# 3e inicia la unidad recordando la deinición de deri!ada de una unción en un punto y obteniendo a partir de $sta las condiciones condiciones %ue ha de cumplir cumplir la unción para %ue sea estrictamente creciente o decreciente en un punto. A continuación" se aplica el resultado obtenido en un eemplo. 3eguidamente" se ustiica la condición necesaria de eistencia de etremo relati!o. #n este punto" se obser!a a partir de un eemplo eemplo concreto %ue esta condición es necesaria pero no suic s uiciente. iente. A continuación" se considera %ue la deri!ada segunda en el punto etremo tenga signo positi!o y se anali'a este caso para concluir %ue el etremo relati!o es un máimo. Posteriormente" se indica indica %ue" ra'onando de orma análoga al considerar %ue la deri!ada segunda tiene signo negati!o en el etremo relati!o" se obtiene %ue es un m(nimo. 3eguidamente" se aplican los resultados obtenidos en un eemplo. eemplo. #l estudio de etremos relati!os se completa mostrando en el margen margen los dierentes comportamientos de las pendientes de las rectas tangentes en un entorno del un etremo relati!o" dependiendo del tipo del etremo relati!o %ue consideremos. A continuación" continuación" se establece el criterio para encontrar inter!alos de crecimiento crecimiento y decrecimiento de una unción. A modo de eemplo" se muestra cómo calcular estos inter!alos de monoton(a de una unción mediante el procedimiento de cálculo de inter!alos de igual signo de la unción deri!ada primera. #ste procedimiento procedimiento es muy lim limitado" itado" ya %ue sólo se sabe resol!er inecuacione inecuacioness en el caso en %ue la unción unción deri!ada primera sea polinómica polinómica de grado menor o igual %ue dos. As(" se muestra otro procedimiento procedimiento www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas Matemáticas II 2º Bachillerato Bachillerato más general para obtener estos inter!alos sin tener %ue recurrir a la resolución res olución de inecuaciones. inecuaciones. 3e muestra un caso concreto en el eemplo eemplo %ue sigue. #n el margen" se eplica cómo utili'ar la calculadora gráica para obtener la gráica de una unción y se muestra la de una de las unciones unciones propuestas con el in de poder comprobar los resultados obtenidos ob tenidos anteriormente. Para acabar" se comenta %ue este es te procedimiento permitirá permitirá tambi$n determinar determinar los puntos etremos de la unción en el caso de %ue la unción sea continua.
Derivada ' curvatura de una %unci*n (pás! $39 a $3&# 3e inicia el análisis de la cur!atura de una unción deiniendo los conceptos de con!eidad y conca!idad en un punto a partir de las posiciones relati!as entre la gráica de la unción y la recta tangente a $sta en dicho punto. Acto seguido" se ra'onan intuiti!amente las condiciones %ue ha de cumplir la deri!ada segunda de la unción en un punto para %ue $ste sea de con!eidad o conca!idad. A continuación" se aplica aplica el resultado obtenido en un eemplo. eemplo. 3eguidamente" se presenta el concepto de punto de inleión de una unción y se ustiica la condición necesaria de eistencia eistencia de $ste. A partir de un eemplo concreto se obser!a %ue aun%ue esta condición es necesaria no es suiciente. -uego se da una condición suiciente de punto de inleión. A continuación" se generali'a la determinación de puntos etremos relati!os o de inleión cuando se anulan deri!adas deri!adas sucesi!as. #n el margen" margen" se resume a modo de es%uema cómo proceder para saber si un punto es un etremo relati!o o de inleión. inleión. #n los eemplos %ue siguen" se aplica este procedimiento* en el primero" se hallan los puntos de inleión de una unción y" en el segundo" se concluye %ue la unción dada no puede tener puntos de inleión. A continuación" continuación" se establecerá el criterio para encontrar inter!alos inter!alos de con!eidad con!eidad y conca!idad de una unción. A modo de eemplo" se muestra cómo calcular estos inter!alos de monoton(a de una unción mediante el procedimiento de cálculo de inter!alos de igual signo de la unción deri!ada segunda. 5omo ocurr(a con los inter!alos inter!alos de monoton(a" este procedimi pro cedimiento ento es muy limitado" limitado" ya %ue sólo se sabe resol!er inecuaciones en el caso en %ue la unción deri!ada segunda sea polinómica de grado menor o igual %ue dos. As(" As(" se muestra tambi$n otro procedimiento procedimiento más general para obtener estos inter!alos y se eempliica en un caso concreto. Para inali'ar" se obser!a %ue este procedimiento permitirá tambi$n determinar los puntos de inleión de la unción si es continua. 5epresentaci*n rá%ica de %unciones (pás! $9 a $9,# Para hacer la representación gráica de una unción" se anali'an anali'an los siguientes aspectos* dominio" puntos de corte con los ees" signo" simetr(a y periodicidad" as(ntotas y ramas ininitas" inter!alos de monoton(a y etremos relati!os" inter!alos de cur!atura y puntos de inleión. /na !e' recogida toda la inormación" se eplica el procedimiento para dise&ar el gráico de una unción. A continuación" se muestran dos eemplos en los %ue se lle!a a la práctica el proceso descrito" e!itando cálculos ecesi!os. #l proesor,a puede sugerir t$cnicas para acilitar acilitar la representación gráica de algunas unciones" unciones" como por eemplo las las ormas posibles posibles de las las unciones unciones polinómic polinómicas as de grado n" o la traslación traslación de unciones unciones racionales. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas Matemáticas II 2º Bachillerato Bachillerato
Optimizaci*n de %unciones (pás! $9/ ' $93# 3e empie'a este apartado comentando la utilidad utilidad del cálculo de etremos relati!os" no sólo en problemas de tipo tipo matemático sino tambi$n tambi$n en ámbitos ámbitos más generales generales cuyas cuyas situaciones se representan mediante unciones. A continuación" se enumeran los pasos %ue se deben seguir para la resolución de un problema de optimi'ación. #n los tres eemplos %ue siguen se resuel!en problemas del ámbito aritm$tico" geom$trico y (sico" respecti!amente. 4eorema 4eoremass sobre %unciones derivab)es (pás! $99 a $9"# 3e enuncia el teorema de Eolle y se da su demostración. A continuación" se interpreta geom$tricam ge om$tricamente. ente. Posteriormente se aplica en un eemplo concreto. 3e enuncia el teorema del !alor !alor medio de -agrange y se demuestra a partir p artir del teorema de Eolle. Eolle. #n este punto" se puede comentar" si se cree oportuno" opor tuno" %ue el teorema de Eolle y el del !alor medio de de -agrange son e%ui!alentes" e%ui!alentes" ya %ue este )ltimo se obtiene a partir del de Eolle y $ste es un caso particular del otro. A continuación" se interpreta geom$tricamente y se aplica en un eemplo. 3e enuncia la regla de -QHRpital y se resalta su utilidad para el cálculo de l(mites cuando aparecen las indeterminaciones @,@ e ininito partido por ininito" ya %ue se eplica cómo reducir los otros tipos a estos dos. #n los eemplos %ue siguen" se aplica esta regla en cuatro tipos de indeterminación* @,@" ininito partido por ininito" ininito" @ por ininito ininito e inin ininito ito ele!ado ele!ado a @ el resto de tipos se !erán en la resolución de eercicio eercicioss y problemas. #n la #esolución la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. problemas 0págs. 2;? a 2=2" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello" se presentan los siguientes modelos modelos de eercicios y problemas* a 6eterminar 6eterminar una unción unción polinómic polinómicaa de la %ue se conoce alg)n etremo relati!o relati!o y punto de inleión. inleión. b 5omprobar %ue una ecuación polinómica polinómica presenta una )nica ra(' en en un inter!alo inter!alo dado. c 6eterminar 6eterminar la gráica aproimada de una unción unción a partir del gráico de su unción unción deri!ada. deri!ada. d Aplicar Aplicar la regla de -QHRpital -QHRpital para la resolución resolución de indetermi indeterminacione naciones. s. e /tili'ar /tili'ar el teorema del !alor !alor medio para obtener la unción cuya deri!ada deri!ada es id$nticame id$nticamente nte nula. Eepresentar Eepresentar grái gráicam camente ente una unci unción ón irraci irracional onal.. #n la Organización de conocimientos 0pág. 2=7" se presentan de manera es%uemática los principales principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste eiste entre unos y otros. otr os. Ginalmente" en el apartado Actividades apartado Actividades 0págs. 0págs. 2=7 a 2=: se presenta una lista de conceptos y procedimientos procedimientos para %ue el alumno,a alumno,a repase los conceptos y procedimientos básicos básicos de la unidad y pueda arontar con $ito la resolución de las restantes acti!idades" acti!idades" se plantean plantean !arias cuestiones cuestiones para cuya resolución son precisos muy pocos cálculos o ninguno y se proponen !arios eercicios y problemas www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato para %ue el alumno repase lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución" si $sta es num$rica" para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 6eterminar el crecimiento o decrecimiento de una unción en un punto y hallar los inter!alos de − − − − − − −
− −
− −
crecimiento y decrecimiento de la unción. A!eriguar la conca!idad o con!eidad de una unción en un punto y hallar los inter!alos de conca!idad y con!eidad de la unción. Cbtener los etremos relati!os y puntos de inleión de una unción. 6emostrar %ue una unción polinómica de segundo grado presenta su máimo o m(nimo absoluto dependiendo del signo de su coeiciente de segundo grado en el !$rtice. #ectuar el estudio global y la representación gráica de una unción polinómica o racional. 6ibuar la gráica de una unción de la cual conocemos la representación gráica de su deri!ada. Eesol!er un problema de optimi'ación en una situación de la !ida real. 5omprobar si una unción polinómica determinada cumple las hipótesis del teorema de Eolle en un inter!alo cerrado y hallar al menos un punto en el %ue la recta tangente a la gráica sea paralela al ee de abscisas. Interpretar geom$tricamente el resultado. 6emostrar %ue una unción %ue tiene tres etremos relati!os no puede tener más de dos ceros a partir del teorema de Eolle" y generali'ar el resultado. A!eriguar si una unción polinómica" " de grado dos" !eriica las hipótesis del teorema de -agrange en un inter!alo cerrado Sa" bT y hallar el punto en %ue la recta tangente a su gráica es paralela a la secante %ue pasa por Sa" 0aT y Sb" 0bT. Interpretar geom$tricamente el resultado. Indicar cuándo es posible aplicar la regla de -QHRpital y resol!er algunos tipos de indeterminaciones a partir de ella. #plicar en %u$ consiste la optimi'ación de unciones y citar eemplos en %ue $sta pueda aplicarse.
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UNIDAD 1,: Integrales indefinidas Objetivos didácticos − #ntender la integración como operación in!ersa de la deri!ación. − 5onocer los conceptos de primiti!a y de integral indeinida de una unción" y la relación %ue eiste − − −
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entre ambos. Eeconocer integrales indeinidas inmediatas. 5onocer las principales propiedades de las integrales indeinidas y usarlas para calcular algunas integrales indeinidas sencillas mediante el m$todo de descomposición. 5alcular integrales indeinidas mediante dierentes m$todos 0integración por descomposición" integración por cambio de !ariable" integración por partes y m$todos de integración para unciones racionales. 6eterminar la primiti!a de una unción %ue cumpla una condición dada. Habituarse a anali'ar los dierentes m$todos de integración antes de resol!er una integral y seleccionar el más adecuado en cada caso.
Contenidos Conceptos − Primiti!a de una unción. − Integral indeinida de una unción. − Propiedades de la integral indeinida. − Integral indeinida inmediata. − Integral indeinida casi inmediata. Procedimientos − Cbtención de integrales indeinidas inmediatas. − 6eterminación de integrales indeinidas inmediatas. − Aplicación de las propiedades de la integral indeinida para calcular integrales de unciones sencillas por el m$todo de descomposición. − 5álculo de integrales indeinidas por cambio de !ariable. − 5álculo de integrales indeinidas aplicando el m$todo de integración por partes. − 5álculo de integrales indeinidas de unciones racionales con ra(ces reales 0simples o m)ltiples y compleas simples. − 5álculo de integrales indeinidas de algunas unciones trigonom$tricas e irracionales mediante cambios de !ariable adecuados. − 6eterminación de la primiti!a de una unción %ue cumple una condición dada. Valores, actitudes y normas Hábito de anali'ar los dierentes m$todos de integración antes de abordar la resolución de una integral" con el in de seleccionar el más adecuado. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 2=; se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 2==" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* el teorema del !alor medio y de una de sus consecuencias y conocimientos di!ersos relati!os a polinomios 0igualdad de polinomios" ra(' de un polinomio" di!isión de polinomios" descomposición actorial de un polinomio" m(nimo com)n m)ltiplo de dos o más polinomios y polinomio irreducible o primo. #n la unidad se distinguen dos apartados* Primitivas e integrales inde"inidas y !todos b&sicos de integración.
-rimitivas e intera)es inde%inidas (pás! $." a $"1# 3e inicia la unidad planteando el problema in!erso al de la obtención de la deri!ada de una unción" se ilustra mediante un eemplo y se da la deinición de primiti!a de una unción dada. A continuación" se obser!a %ue pueden eistir dierentes primiti!as de una misma unción" concluy$ndose además %ue todas las unciones %ue diieran sólo en una constante de una primiti!a cual%uiera serán tambi$n primiti!as de la unción inicial. 3eguidamente" se completa el resultado anterior demostrando a partir del teorema del !alor medio %ue una unción deinida en un inter!alo cerrado no puede tener otras primiti!as %ue las %ue se obtienen sumando una constante a cual%uiera de sus primiti!as pre!iamente iada. 5aracteri'ado as( el conunto ormado por todas las primiti!as de una unción dada" se deine el concepto de integral indeinida y se eplican algunas cuestiones de notación. A continuación" se enuncian y demuestran las propiedades más importantes de las integrales indeinidas y se muestran algunos eemplos de aplicación. #n el subapartado Integrales inde"inidas inmediatas" se empie'a mostrando una tabla de integrales inmediatas. #l alumno,a debe darse cuenta de %ue cada una de esas integrales indeinidas son las unciones %ue aparecen en la tabla de las deri!adas inmediatas %ue ya conoce" dispuestas en el margen" lo %ue le acilitará su memori'ación. 3e recomienda practicar el cálculo de integrales indeinidas inmediatas obser!ando las integrales indeinidas propuestas en los eemplos. A continuación se eplica cómo calcular integrales cuyo integrando es de la orma 0g 0. gK0 " siendo 0 el integrando de una integral indeinida inmediata" procedimiento %ue se ilustra mediante eemplos. 3e adunta tambi$n una tabla de integrales inmediatas generali'adas" obtenida a partir de la tabla de integrales indeinidas inmediatas cambiando 0 por 0g 0. gK0. 3e recomienda" no obstante" %ue el alumno,a no la memorice es preerible entender el procedimiento %ue se ha utili'ado para construirla. Métodos básicos de interaci*n (pás! $"$ a $"&# 3e presenta la integración por descomposición tras obser!ar %ue es una simple aplicación reiterada de las propiedades de las integrales indeinidas. 3e muestran tres eemplos t(picos de aplicación de este m$todo. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato 3e eplica la integración por cambio de !ariable demostrando cómo proceder para aplicar este m$todo y se ilustra con eemplos para %ue el alumno,a !isualice en dos casos particulares el procedimiento eplicado. 3e recomienda %ue el alumno,a haga los eercicios propuestos a continuación" aun%ue se le ad!ierte %ue necesitará reali'ar unos cuantos problemas similares más del apartado de Actividades" para dominar la elección del cambio de !ariable adecuado. 3e propone la integración por partes tras ustiicar la órmula correspondiente. 3e especiican los pasos a seguir para aplicar el m$todo correctamente y se presentan !arios eemplos. 3e eplican los m$todos de integración de unciones racionales. Inicialmente se introduce el m$todo general de integración para unciones racionales basado en la descomposición en suma de racciones simples. -a eplicación se reduce al caso en %ue el grado del polinomio numerador es menor %ue el grado del polinomio denominador" ya %ue" como se obser!a en el margen" el caso contrario puede reducirse ácilmente a $ste. 6ebido a la multitud de casos distintos %ue pueden presentarse y a la compleidad de algunos de ellos" nada más se tratan inicialmente algunos casos* el polinomio denominador tiene sólo ra(ces reales simples" el polinomio denominador tiene sólo una ra(' real m)ltiple" el polinomio denominador tiene sólo dos ra(ces compleas conugadas" es decir" es un polinomio irreducible de grado 2. #n cada uno de estos casos" se da el procedimiento %ue se debe seguir y se aplica en un caso concreto a modo de eemplo. #n la )ltima página del tema se recogen" en orma de tabla" las principales integrales indeinidas inmediatas e inmediatas generali'adas %ue el alumno,a debe conocer. 3e adunta para %ue pueda recurrir a ella en caso de duda sin tener %ue buscar en el interior de la unidad" donde tambi$n aparecen estas órmulas pero me'cladas con otros contenidos. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 2?@ a 2?8" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a 6eterminar la primiti!a de una unción %ue cumple una condición dada. b 5onocida la gráica de una unción" estudiar la monoton(a y los etremos relati!os de una cual%uiera de sus primiti!as. c 5alcular integrales indeinidas trigonom$tricas cuyo integrando es del tipo sen a U cos b" sen a U sen b" o bien" cos a U cos b" usando órmulas trigonom$tricas. d 5alcular integrales indeinidas trigonom$tricas cuyo integrando es del tipo senm U cosn usando cambios de !ariable adecuados" seg)n los !alores de m y n. e 5alcular integrales indeinidas racionales de unciones trigonom$tricas mediante el cambio de !ariable tg0,2 L t. 5alcular integrales indeinidas aplicando el m$todo de integración por partes reiteradamente en el caso en %ue" despu$s de cierto n)mero de pasos" se !uel!e a obtener la integral indeinida inicial. g 5alcular integrales indeinidas irracionales aplicando un cambio de !ariable. h 5alcular integrales indeinidas racionales cuyo denominador tiene ra(ces reales simples y m)ltiples simultáneamente. i 5alcular integrales indeinidas racionales cuyo denominador tiene ra(ces reales y compleas simultáneamente. www. edebedigital. com
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato #n la Organización de conocimientos 0pág. 2?:" se presentan de manera es%uemática los principales contenidos de la unidad" mostrando la relación %ue eiste entre unos y otros. Ginalmente" en las Actividades 0págs. 2?: a 2?= se presenta una lista de conceptos y procedimientos %ue el alumno,a debe tener claros si ha comprendido los contenidos básicos de la unidad" se plantean !arias cuestiones de tipo teórico %ue el alumno,a debe responder para proundi'ar en los contenidos teóricos de la unidad y se proponen !arios eercicios y problemas para %ue el alumno,a repase y proundice en lo aprendido. #stos eercicios y problemas !an acompa&ados de la solución para a!orecer el proceso de autoe!aluación.
Actividades de eva)uaci*n − 6einir primiti!a e integral indeinida de una unción y eplicar la relación %ue eiste entre ambos − − −
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conceptos. #nunciar las dos propiedades principales de las integrales indeinidas y saber aplicarlas en eemplos concretos. 5alcular una serie de integrales indeinidas inmediatas y casi inmediatas. Eesol!er integrales indeinidas por el m$todo de descomposición" aun en casos en los %ue el integrando no est$ claramente epresado como combinación lineal de unciones ácilmente integrables. 5alcular integrales indeinidas por cambio de !ariable" con indicación del cambio de !ariable %ue se ha de utili'ar si $ste presenta especial diicultad. Hallar integrales indeinidas mediante el m$todo de integración por partes" aun en el caso de %ue deba aplicarse este m$todo reiteradamente. Eesol!er integrales indeinidas de unciones racionales cuando el polinomio denominador tiene ra(ces reales simples" ra(ces reales m)ltiples y,o ra(ces compleas simples. 5alcular integrales trigonom$tricas e irracionales de los tipos epuestos en los problemas resueltos 5" 6" # y G. 3aber reconocer el m$todo más adecuado para resol!er una integral indeinida similar a alguno de los modelos tratados en la unidad. Cbtener la primiti!a de una unción %ue cumple una condición dada. 9alorar la necesidad de anali'ar cuál es el m$todo de integración más adecuado para resol!er una integral indeinida.
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UNIDAD 1/: Integral definida y aplicaciones Objetivos didácticos − 5omprender el concepto de integral deinida entre a y b de una unción continua en el inter!alo Sa" − − − − − − − −
bT. 5onocer las principales propiedades de las integrales deinidas. #nunciar el teorema del !alor medio del cálculo integral e interpretarlo geom$tricamente. #nunciar el teorema undamental del cálculo y aplicarlo a la deri!ación de unciones cuya epresión anal(tica !iene dada por una integral deinida. 5alcular integrales deinidas a partir de la regla de Barrow. 6eterminar áreas de dierentes iguras planas aplicando el cálculo integral. 5alcular el !olumen de un sólido de re!olución a partir del cálculo integral. 5onocer algunas aplicaciones del cálculo integral a la (sica. 9alorar la utilidad de las integrales deinidas para abordar gran !ariedad de problemas de aplicación a otras áreas.
Contenidos Conceptos − Integral deinida entre a y b de una unción continua en Sa" bT. − Propiedades de las integrales deinidas. − +eorema del !alor medio del cálculo integral. − +eorema undamental del cálculo. − Eegla de Barrow. Procedimientos − Aproimación del cálculo del área de la igura plana %ue limita una unción monótona y positi!a en el inter!alo Sa"bT" el ee de abscisas y las rectas L a y L b" a partir del cálculo de sumas ineriores y superiores. − 5álculo de integrales deinidas a partir de la regla de Barrow. − 5álculo del área limitada por la gráica de una unción continua" el ee de abscisas y rectas !erticales. − 5álculo del área limitada por la gráica de dos unciones continuas y rectas !erticales. − 5álculo del !olumen de un sólido de re!olución. − 6eri!ación de unciones cuya epresión anal(tica !iene dada por una integral deinida. − 5álculo de la !ariación del espacio recorrido y de la !ariación de !elocidad eperimentada entre dos instantes por un mó!il %ue se despla'a siguiendo una trayectoria rectil(nea. − 5álculo del trabao reali'ado por una uer'a %ue act)a en la dirección del mo!imiento al despla'ar un cuerpo de un punto a otro.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato 9aloración de la utilidad de las integrales deinidas en la resolución de dierentes problemas de aplicación a la geometr(a" a la (sica ...
Actividades de aprendizaje -os Objetivos 0pág. 2?> se presentan en un teto moti!ador seguido de las capacidades %ue se pretende %ue el alumno,a desarrolle a lo largo de la unidad. #n la Preparación de la unidad 0pág. 2??" se e!ocan los conocimientos pre!ios necesarios para abordarla* las simetr(as y traslaciones de gráicas" el área de algunas iguras planas 0se disponen en una tabla la órmula del área unto con el dibuo del paralelogramo" el triángulo y el c(rculo" y el !olumen de algunos sólidos 0se disponen en una tabla la órmula del !olumen unto con el dibuo del cilindro el cono y la esera. #n la unidad se distinguen cuatro apartados* /rea bajo una curva, Integral de"inida, *eoremas de integración y Aplicaciones.
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Programación de aula de Matemáticas II 2º Bachillerato 3eguidamente" se da una interpretación geom$trica para una unción positi!a en un inter!alo determinado. 3e enuncia el teorema undamental del cálculo y se demuestra a partir del teorema anterior. #ste teorema nos será )til para calcular la deri!ada de una unción cuya epresión anal(tica !enga dada por una integral deinida. 3e obtiene como consecuencia del teorema undamenta del cálculo la regla de Barrow. #ste teorema permite calcular de manera eecti!a integrales deinidas sin necesidad de calcular sumas ineriores y sumas superiores. A continuación" se presenta en una tabla el procedimiento %ue se debe seguir" acompa&ado de un eemplo. 3e proponen" tambi$n" eemplos complementarios ilustrando cómo proceder en el caso de una unción deinida a tro'os 0se puede obser!ar %ue las unciones deinidas a tro'os por unciones continuas son unciones integrables y cómo aplicar la regla de Barrow para calcular la integral deinida de una unción cuya integral indeinida se obtiene mediante cambio de !ariable 0se hace notar %ue puede aplicarse la regla de Barrow despu$s de deshacer el cambio o aplicar el cambio de !ariable a los etremos de integración.
Ap)icaciones (pás! ," a ,1,# 3e eplica como aplicar la integrales al cálculo de áreas de iguras planas. 5omen'ando por el área limitada por la gráica de una unción continua" el ee de abscisas y dos rectas !erticalmente 0se eplica el procedimiento en tres eemplos concretos y continuando por un eemplo con el %ue se muestra cómo proceder si se pide calcular el área limitada por la gráica de una unción y el ee de abscisas. +ambi$n se eplica cómo calcular el área limitada por la gráica de dos unciones continuas y rectas !erticales y hori'ontales. 3e obtiene trabaando con áreas" una órmula para el caso en %ue las dos unciones consideradas sean positi!as y se comprueba %ue esta órmula es !álida tambi$n en general. A continuación" se aplica esta órmula en un caso concreto a modo de eemplo. -uego se consideran dos eemplos con los %ue se muestra cómo proceder si se pide calcular el área limitada por dos gráicas. 3e presenta el m$todo para calcular el !olumen de un sólido de re!olución obteniendo una órmula para calcular el !olumen de un sólido de re!olución generado por una unción continua en un inter!alo cerrado al girar en torno al ee de abscisas. Para ello" se sigue un proceso similar al descrito en la deinición de la integral deinida. 3eguidamente" se presenta un eemplo ilustrati!o. 3e muestran inalmente algunas aplicaciones al cálculo de la (sica. 3e destacan dos* !ariación del espacio recorrido y !ariación de la !elocidad eperimentada entre dos instantes por un mó!il %ue sigue una trayectoria rectil(nea. #n ambos casos" se presenta la órmula %ue se debe aplicar y un eemplo ilustrati!o. #ntre las aplicaciones a la dinámica" se cita el caso del trabao reali'ado por una uer'a %ue act)a en la dirección del mo!imiento despla'ando un cuerpo de un punto a otro. 5omo en los casos anteriores" se ilustra la órmula presentada mediante un eemplo. #n la #esolución de ejercicios y problemas 0págs. 718 a 71;" se pretende %ue el alumno,a proundice un poco más en los contenidos de la unidad. Para ello" se presentan los siguientes modelos de eercicios y problemas* a 6eterminar la constante c del teorema del !alor medio del cálculo integral en casos sencillos. www. edebedigital. com
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