2 Final Libro-estadistica Inferencial

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1.1 CONCEPTO La probabilidad es una disciplina abstracta que se usa como modelo para hacer deducciones relativas a eventos que posiblemente puedan ocurrir. En estadística intentamos expresar la probabilidad en términos cuantitativos precisos. Un enunciado probabilístico puede predecir todos los casos desde la certeza de que el suceso ocurrirá hasta la certeza de que no ocurrirá.

Si es seguro que ocurrirá un suceso especifico, la probabilidad de que ocurra equivale a uno (1). Si no existe posibilidad alguna de que ocurra, la probabilidad es cero (0). Los enunciados probabilísticos, por tanto, tienen un rango de 0 a 1 inclusive, y son habitualmente expresados como fracciones, decimales o porcentajes. 1.1.1 espacio muestral Dado un ensayo aleatorio llamaremos espacio muestral  al conjunto de eventos simples. Por ejemplo: (1) Tirar un dado, {1,2,3,4,5,6} Estadistíca Inferencial

M.Sc. Julio R. Gallegos Ramos

2 (2) Tirar 2 dados, {(1,1), (1,2),..., (5,6), (6,6)} (3) Elegir un punto al azar en [0,1], {x: 0x1} 1.1.2. Evento Llamaremos evento a un subconjunto de . Por ejemplo: (1) A “El número es par”  {2,4,6} (2) B “La suma es 10”  {(4,6), (5,5),(6,4)} (3) C {x: 0x1/2} 1.1.3. Probabilidad de un evento (motivación empírica). Repitamos un ensayo n veces y supongamos que un evento A del mismo aparece kn veces. Sea: fnkn/n frecuencia relativa de A en n ensayos. Es un hecho empírico que f n tiende a un número fijo. A este número lo llamamos probabilidad del evento A. 1.1.4. Relaciones entre eventos

 espacio muestral un conjunto. Evento A subconjunto de  0 evento imposible (nunca ocurre)  evento cierto (siempre ocurre) Como los eventos son conjuntos, valen para ellos las mismas operaciones y relaciones de los conjuntos pero se usan para ellas un lenguaje peculiar a la teoría de probabilidades: (1) Si AB decimos que la ocurrencia de A implica la ocurrencia de B ( 2) Si AB  BA  AB. c

(3) A  A no ocurre. c c cc c c 0  ,   0, A  A, AB B A (4) AB  A ocurre o B ocurre o ambos ocurren  Por lo menos uno de los eventos ocurre. Estadistíca Inferencial


3 AB=BA, A0A, A, A(BC)(AB)CABC. Dados A1,A2,A3,... escribimos Ai  Por lo menos uno ocurre. (5) AB A y B ocurren simultáneamente. A00, AAA, A=A, ABBA, (AB)CA(BC)ABC. Ai  Ocurrencia simultánea de A1,A2,A3,... (6) Leyes distributivas: (AB)CACBC, c

(7) AB A ocurre y B no ocurre AB

c

c

AB BA, (AB)B A, (AB)CACBC, A A  A . c

c

(8) AB (AB)(BA) AB A B  Ocurre exactamente uno de los eventos. A Ac A B A B

AB Por lo menos uno de los dos eventos ocurre. AB  Ambos eventos ocurren c c

A B Ninguno ocurre ocurre.

c c AB A B Exactamente uno de los eventos

(AB)c  Ac B c, (AB)c  Ac Bc (Relaciones de De Morgan ). ABC Por lo menos uno ocurre. ABC  Los tres ocurren. Ac BcCc Ninguno ocurre.

 A BcCc  Ac B Cc Ac BcC  Exactamente uno ocurre. ABCc  ABcC  Ac BC  Exactamente dos ocurren. AB  BC AC  Por lo menos 2 ocurren.

Estadistíca Inferencial


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Designemos mediante B a una familia de subconjuntos de . . Decimos que B es una algebra si es cerrada bajo un número finito de operaciones de conjuntos. Más precisamente, (1) A  B  Ac B (2) A,B B  ABB. Se deduce que AB, AB y AB pertenecen a B. Decimos que B es una algebra si es cerrada bajo un número infinito contable de operaciones de conjuntos. Mas precisamente: (1) A  B  Ac B (2) AnB An B. En particular, se deduce que si A nB  AnB. Un ejemplo de un algebra que también es algebra es la familia de todos los subconjuntos de . 1.2. TIPOS DE PROBABILIDADES Existen tres enfoques para el estudio de la probabilidad. a) b) Probabilidad Probabilidad Clásica Empírica c) Probabilidad Subjetiva

1.2.1. Probabilidad clásico o probabilidad a priori Es conocido con el nombre de probabilidad a priori, debido a que es posible conocer el resultado “antes de que el hecho ocurra”; es decir, sin llevar a cabo el experimento y solo basado en un razonamiento lógico. Se usa para experimentos simples. Se conoce todos los resultados posibles y se supone que la probabilidad de todos ellos por separado es la misma (son pues, resultados equiprobables.

P( A) 

X Número de casos de ocurrencia del evento A  n Número de casos posibles



5 Ejemplo 1: Hallar la probabilidad de obtener sello en el lanzamiento de una moneda: Solución: Definimos el espacio muestral:  = {cara, sello} Sea el evento: A : obtener sello en el lanzamiento de una moneda P( A) 

X 1  n 2

p( A)  0,5100%  50%

La probabilidad de obtener sello en el lanzamiento de una moneda es del 50%.

Ejemplo 2 : Hallar la probabilidad de obtener el número tres en el lanzamiento de un dado. Solución: Definimos el espacio muestral: ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea el evento: B : obtener el número tres en el lanzamiento de un dado P( B) 

X 1  n 6



6 p( B)  0,17100%  17%

La probabilidad de obtener el número tres en el lanzamiento del dado, es del 17%.

1.2.2. Probabilidad empírica o probabilidad a posteriori Llamado también probabilidad de frecuencia relativa o a posteriori, por que se fundamenta en la repetición de la ocurrencia de un evento, al realizar una gran cantidad de pruebas o experimentos. Se tiene algunas razones para suponer que las probabilidades de los resultados posibles no son iguales, pero no se posee una herramienta lógica para resolver el problema, por lo que se observa la situación y se anota durante un tiempo todo resultado. Se supone que la proposición de A durante el tiempo de observación seguirá imperturbable en el futuro. Ejemplo 3: En una encuesta realizada a 400 vendedores ambulantes de la ciudad de Juliaca, se encontró que 40 de ellos se dedicaban a esta actividad porque habían sido despedidos de instituciones públicas y privadas. Hallar la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente un vendedor ambulante, este haya sido despedido de uno de estos centros de trabajo. Solución: Sea el evento: C : el vendedor ambulante ha sido despedido Número de vendedores que han sido despedidos = 40 Número total de vendedores que fueron encuestados = 400 Luego: Estadistíca Inferencial


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P(C ) 

X 40  n 400

P(C) = 0,1(100%) = 10 % La probabilidad de que al seleccionar un vendedor ambulante, este haya sido despedido de uno de estos sectores, es del 10%. 1.2.3. Probabilidad subjetiva o personal Es la probabilidad asignada bajo un criterio “personal”, basado en cualquier tipo de evidencia disponible. Las probabilidades subjetivas se asignan a eventos que pueden suceder solo una vez o muy pocas veces. Se conoce todos los resultados, no se puede mantener que sean equiprobables y no tiene sentido acudir a la experiencia observando la situación repetidas veces, o ambas cosas. Ejemplo 4: La probabilidad de que se encuentre una cura para el SIDA en los próximos años.

1.3. PROBABILIDAD DE DOS O MÁS EVENTOS Dos o más eventos pueden ser: a) Mutuamente excluyentes. b) No excluyentes o conjuntos. c) Independientes. d) Dependientes. 1.3.1. Eventos Mutuamente Excluyentes Se usa cuando se desea averiguar la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento. Estadistíca Inferencial


8

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de A o de B es: P( A  B)  P( A)  P( B)

donde: P

: Probabilidad



: Símbolo de la unión (suma de probabilidades y debe leerse como “0”)

P(AB) : Probabilidad de que ocurra el evento A o B. P(A)

: Probabilidad de que ocurra el evento A.

P(B)

: Probabilidad de que ocurra el evento B.

Ejemplo 5: De 200 niños examinados por una nutricionista en un C. E., se encontró que 80 padecían de desnutrición leve, 50 padecían de desnutrición crónica y 70 normales. Si de los niños examinados se selecciona uno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que padezca de desnutrición leve o crónica?. Solución: Sean los eventos: A: El niño seleccionado padece de desnutrición leve B: El niño seleccionado padece de desnutrición crónica C: El niño seleccionado es normal n(A) = 80 n(B) = 50 n(C) = 70 Estadistíca Inferencial


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Como los eventos son mutuamente excluyentes, se tiene: P( A  B)  P( A)  P( B) P( A  B) 

80 200



50 200



130 200

 0,65  65%

La probabilidad de que un niño seleccionado al azar padezca de desnutrición leve o desnutrición crónica es de 65%.

1.3.2. Eventos No Excluyentes Son eventos que se interceptan; es decir, que pueden ocurrir simultáneamente los dos eventos. La probabilidad de ocurrencia de A o de B es: P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)

donde: P(AB): Probabilidad de que ocurra el evento A o B. P(AB): Probabilidad de que ocurran simultáneamente los eventos A y B.

Ejemplo 6: De 100 pacientes adultos mayores examinados, 20 padecían de artritis, 32 padecían de gastritis y 8 tenían ambos males. Si se selecciona un paciente al azar. ¿Hallar la probabilidad de que el paciente seleccionado padezca de artritis o gastritis?. Solución: Sean los eventos: A: El paciente seleccionado padece de artritis Estadistíca Inferencial


10 B: El paciente seleccionado padece de gastritis n(A) = 20 n(B) = 32 n(A  B) = 8 Como los eventos son mutuamente no excluyentes, se tiene: P(AB) : Probabilidad de que ocurran los eventos A o B. P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) P( A  B) 

20



32



8

100 100 100

 0,44  44%

La probabilidad de que el paciente seleccionado al azar, padezca de artritis o gastritis es del 44%.

1.3.3. Eventos Independientes Son sucesos independientes; es decir, que un suceso es independiente de otro. Si los eventos A y B son independientes, se debe cumplir: P(A/B) = P(A) La ocurrencia de los eventos independientes de A y B, es: P(AB) = P(A) P(B) Ejemplo 7: En el Centro poblado de Salcedo, la probabilidad de que una persona sea mayor de 18 años es del 45%, la probabilidad de que consuma carne es del 15%. Si se selecciona una persona al azar de este centro Poblado. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma carne y tenga más de 18 años de edad?. Solución: Estadistíca Inferencial


11 Sean los eventos: A: La persona elegida es mayor de 18 años B: La persona elegida consume carne P(A) = 0,45 P(B) = 0,15 Entonces: P(AB) = P(A) P(B) P(AB) = (0,45)(0,15) = 0,0675 = 6,75% La probabilidad de que una persona elegida en forma aleatoria del Centro Poblado de Salcedo consuma carne y tenga más de 18 años de edad, es de 6,75%.

1.3.4. Eventos Dependientes Son aquellos en los que la probabilidad del segundo suceso fue realmente afectado por el resultado del primero. Si los eventos A y B son dependientes, entonces la ocurrencia simultánea de los eventos es: P(AB) = P(A) P(B/A) Ejemplo 8: En un estudio se encontró la probabilidad de que se incremente el empleo en una ciudad, es de 35%; de que se incremente el consumo de primera necesidad dado el incremento del empleo es de 10%. ¿Cuál es la probabilidad de que se incremente el empleo y el consumo de ese artículos de primera necesidad? Solución:



12 Sean: Eventos A : Incremento del empleo

Probabilidades P(A) = 0,35

B : Incremento del consumo de artículos de primera necesidad B/A: Incremento de consumo de artículos de primera necesidad dado que se incrementa el empleo P(B/A) = 0,10

Entonces: P (AB) = P(A)P(B/A) P (AB) = (0,35)(0,10) = 0,035 La probabilidad de que haya un incremento en el empleo y en el consumo de esos artículos de primera necesidad es del 3,5%.

Ejemplo 9: La presente tabla refiere al Grado de selectividad a una Universidad POSTULANTES

INGRESANTES

TOTAL

UNMSM

58459

4639

63098

UNAP

19574

2025

21599

TOTAL

78033

6664

84697

Probabilidad Marginal



13

El 74.5% de los jóvenes tienen un grado de selectividad a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

El 25.5% de los jóvenes tiene un grado de selectividad a la Universidad Nacional del Altiplano Puno.

El 92.1% pertenece a la cantidad de postulantes tanto en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y la Universidad Nacional del Altiplano Puno

El 7.87% pertenece a la cantidad de ingresantes tanto en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y la Universidad Nacional del Altiplano Puno Probabilidad Compuesta (Conjunta)

El 69% pertenece a la cantidad de postulantes que tienen el grado de selectividad a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Estadistíca Inferencial


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El 5.5% pertenece a la cantidad de ingresantes que tienen el grado de selectividad a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

El 23.1% pertenece a la cantidad de postulantes que tienen el grado de selectividad a la Universidad Nacional del Altiplano Puno.

El 2.4% pertenece a la cantidad de ingresantes que tienen el grado de selectividad a la Universidad Nacional del Altiplano Puno.

Probabilidad Aditiva

El 97.6% de los jóvenes que tiene el grado de selectividad pertenecen a la UNMSM o pertenecen al grupo de los postulantes.



15

El 76.8% de los jóvenes que tiene el grado de selectividad pertenecen a la UNMSM o pertenecen al grupo de los ingresantes.

El 94.5% de los jóvenes que tiene el grado de selectividad pertenecen a la UNAP o pertenecen al grupo de los postulantes.

El 30.9% de los jóvenes que tiene el grado de selectividad pertenecen a la UNAP o pertenecen al grupo de los ingresantes. Probabilidad Condicional

Sabiendo que los jóvenes que tiene un grado de selectividad a la Universidad Nacional Mayor de san Marcos, la probabilidad de pertenezca al grupo de los postulantes es de 92%.



16 Sabiendo que los jóvenes que tiene un grado de selectividad a la Universidad Nacional Mayor de san Marcos, la probabilidad de pertenezca al grupo de los ingresantes es de 7.3%.

Sabiendo que los jóvenes que tiene un grado de selectividad a la Universidad Nacional del Altiplano Puno, la probabilidad de pertenezca al grupo de los postulantes es de 90.5%.

Sabiendo que los jóvenes que tiene un grado de selectividad a la Universidad Nacional del Altiplano Puno, la probabilidad de pertenezca al grupo de los ingresantes es de 9.3% 1.4. TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes es utilizado para calcular la probabilidad de que cierto elemento seleccionado pertenezca a un grupo establecido, conociendo la característica de este elemento. Si los eventos B1, B2, ... , Bk forman una partición del espacio muestral  y A es un evento cualquiera de  , entonces se observa lo siguiente:



17

En las particiones del espacio muestral se observa que la característica A se presenta en cada una de las k particiones, de la cual se deduce la siguiente fórmula:

P( Br / A) 

P( Br ) P( A / Br ) k

 P ( B ) P( A / B ) i

i

i 1

donde: Bi : El elemento seleccionado pertenece a la i-ésima categoría. B1 : El elemento seleccionado pertenece a la primera categoría. B2 : El elemento seleccionado pertenece a la segunda categoría. Bk : El elemento seleccionado pertenece a la k-ésima categoría. A : El elemento seleccionado tiene la característica en estudio. Ejemplo 10: En un salón de clase se reunió a los alumnos de los cinco niveles de la carrera profesional de Educación Física, para realizar un estudio acerca de la preferencia por la práctica del fútbol, obteniéndose los siguientes resultados:

Nivel Primero Segundo Estadistíca Inferencial

Nº de Estudiantes 55 40

Practican Fútbol 20 15 M.Sc. Julio R. Gallegos Ramos

18 Tercero Cuarto Quinto TOTAL

35 40 30 200

20 10 5 70

Si se selecciona un estudiante y se observa que éste estudiante tiene preferencia por el fútbol. a. b. c.

¿Cuál es la probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al primer nivel? ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al quinto nivel? ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al primero o quinto nivel?

Solución Se observa que el espacio muestral se ha particionado en cinco niveles, a la vez se distinguen los siguientes eventos: B1 B2 B3 B4 B5 A

: El estudiante seleccionado pertenece al primer nivel. : El estudiante seleccionado pertenece al segundo nivel. : El estudiante seleccionado pertenece al tercer nivel. : El estudiante seleccionado pertenece al cuarto nivel. : El estudiante seleccionado pertenece al quinto nivel. : El estudiante seleccionado practica fútbol.

Las probabilidades de que el estudiante pertenezca a cada una de los niveles son:

55 P(B1) = P(B3) = P(B4) =

200 35 200 40 200


40 = 0,275

P(B2) =

200

= 0,200

= 0,175 = 0,200

P(B5) =

30 200

= 0,150


19

Las probabilidades de que el estudiante elegido practique fútbol dado que pertenece cada uno de los niveles son: P(A/B1) = P(A/B3) = P(A/B4) =

a)

20 55 20 35 10 40

= 0,364

P(A/B2) =

15 40

= 0,375

= 0,571 = 0,250

P(A/B5) =

5 30

= 0,167

La probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al primer nivel dado que practica fútbol es:

P( B1 / A) 

P( B1 ) P( A / B1 )



k

P( B1 ) P( A / B1 ) P( B1 ) P( A / B1 )  ......  P ( B5 ) P( A / B5 )

 P ( B ) P( A / B ) i 1



i

i

(0,275)(0,364) (0,275)(0,364)  (0,200)(0,375)  ....  (0,150)(0,167)

P( B1 / A)  0,286

Existe un 28,6 % de probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al primer nivel dado que practica fútbol.

b)

La probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al quinto nivel dado que practica fútbol es: P( B5 / A) 

P( B5 ) P( A / B5 ) k

 P ( B ) P( A / B ) i

i



P( B5 ) P( A / B5 ) P( B1 ) P( A / B1 )  ......  P( B5 ) P( A / B5 )

i 1



20



(0,150)(0,167) (0,275)(0,364)  (0,200)(0,375)  ....  (0,150)(0,167)

P( B5 / A)  0,071

Existe un 7,1 % de probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al quinto nivel dado que practica fútbol.

c)

La probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al primero o quinto nivel dado que practica fútbol es: P( B1  B5 ) / A  P( B1 / A)  P( B5 / A) P( B1  B5 ) / A  0,286  0,071 P( B1  B5 ) / A  0,357

Existe un 35,7 % de probabilidad que el estudiante seleccionado pertenezca al primero o quinto nivel dado que practica fútbol. Ejemplo 11: Una empresa de transporte público cubre tres rutas en la ciudad Juliaca, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea. a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería? Solución: A1=cubre el servicio de la línea 1 Estadistíca Inferencial


21 A2= cubre el servicio de la línea 2 A3= cubre el servicio de la línea 3 B1= sufre un accidente B2= no sufre un accidente N A1

0,4545 0,25

S S

A2

N S

0,30 A3

N Datos: P A1=45% P (B1/A1)=2%=0,02 PA2=25% =0,25 P (B1/A2) =3%= 0,03 A3=30% = 0,3 P (B1/A3) =1% = 0,01 La probabilidad de no sufrir un accidente para la línea son: P (B2/A1)=1-P (B1/A1) =1-0,02= 0,98



22 a)

Calcular la probabilidad de que, en un dia , un autobús sufra un accidente

Empleando la formula

P (B1)=0,45.0, 02+0,25.0, 03+0,3.0, 01= 0,0195 b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra un accidente Empleando la formula se obtiene

C) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra un accidente? Calculando las tres probabilidades a posteriori empleando el teorema de bayes.



23 La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es: = Entonces, sabiendo que el autobús sufre un accidente, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad es la mayor. P (A1/B1) =0,4615



24

2.1. INTRODUCCION El comportamiento de una variable aleatoria queda descrita por su distribución de probabilidad. En muchas tareas estadísticas, se busca determinar una distribución de probabilidad o modelo probabilístico que satisfaga un conjunto de supuestos, para estudiar los resultados observados de un experimento aleatorio. En las distribuciones de mayor uso tenemos:  Distribuciones discretas  Binomial  Poisson  Distribuciones continuas  Normal  Normal estandar. 2.2. DISTRIBUCIONES DISCRETAS 2.2.1.Distribución Binomial



25 Es una distribución discreta utilizada más frecuente en estadística aplicada. La distribución se deriva de un procedimiento conocido como ensayo de Bernoulli.

La distribución binomial se utiliza para calcular probabilidades de variables discretas. Se aplica en aquellos experimentos aleatorios que tienen sólo dos posibles resultados mutuamente excluyentes. Asimismo, al llegar a cabo el experimento aleatorio, siempre estamos interesados en que suceda uno de los dos resultados, si el experimento que esperábamos efectivamente sucede, diremos que hubo un ÉXITO, si el resultado que esperábamos no sucede, entonces diremos que hubo un FRACASO estos dos resultados, se designan en término de probabilidad, como p y q

RESULTADOS

PROBABILIDAD

ÉXITO

p

probabilidad de Éxito

FRACASO

q

probabilidad de Fracaso

Y debe cumplir la condición: p + q = 1 El espacio muestral del experimento aleatorio de Bernoulli se puede escribir como conjunto  = (E, F). Una variable aleatoria X tiene distribución Binomial si su función de densidad de probabilidad es:

n P X  x     p x q ( n x ) 

n!

 x

x!(n  x)!

p x q ( n x ) ;

x  0,1,2,...., n

donde: n x p

: Número de ensayos : Número de éxitos : Proporción de éxito.



26 q

: Proporción de fracaso.

n    x

: Coeficiente binómico

n!

: Factorial de n = n(n-1)(n-2)(n-3)(...)(2)(1)

NOTA: i) El factorial de 0 es 1; es decir, 0! = 1 ii) Todo número a la potencia 0 es igual a 1; es decir, (5) 0 = 1 CARACTERISTICAS: a)

Esperanza Matemática E(X)   E ( X )  np

b) Varianza V(X)  2  V ( X )  np(1  p) Los criterios que debe satisfacer un experimento binomial son: i)

Debe existir un número fijo de pruebas repetidas ( n).

ii)

Cada una de las n pruebas debe tener dos resultados posibles, favorable o desfavorable (éxito o fracaso).

iii)

La probabilidad de éxito de un experimento es fijo.

iv)

Las pruebas son independientes.

v)

Interesa el número de éxitos enn pruebas.

NOTA:



27 i)

En tablas es fácil los cálculos cuando n  5 y la probabilidad esté en el rango 0,001  p  0,5.

ii)

Cuando “n” es relativamente grande (n ). y la proporción de casos favorables p es muy pequeña (p0), entonces se aproxima a la distribución de Poisson.

Ejemplo 1: Se conoce que existe una probabilidad del 5% de que un estudiantesea desaprobado en la asignatura de Sociologia¿Cuál es la probabilidad de que 6 estudiantes seleccionados al azar de una sección, que hayan seguido dicho curso?. a) b) c)

Tres resulten desaprobados. Menos de tres resulten desaprobados. Al menos dos resulten desaprobados.

Solución: a) Definamos la variable aleatorias X: X: Número de estudiantes que resultan desaprobados Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} La probabilidad de éxito es p = 5 % = 0,05

P( X  3) 

6! 3!(6  3)!

(0,05) 3 (0,95) 63  0,0021434375  0,002

La probabilidad de es quedetres estudiantes resulten desaprobados en la asignatura de Física 0,002.

b) P( X  3)  P( X  0)  P( X  1)  P( X  2)



28

P( X  0) 

P( X  1) 

6! 0!(6  0)! 6!

1!(6  1)!

P ( X  2) 

(0,05) 0 (0,95) 60  0,73

(0,05)1 (0,95) 61  0,23

6! (0,05) 2 (0,95) 6 2  0,03 2!(6  2)!

P(x<3) = 0,73 + 0,23 + 0,030 = 0,99 La probabilidad de que menos de tres estudiantes resulten desaprobados en el curso de Física, es de 0,99.

c) P( X

 2)  1  P( X  2)

P( X  2)  1  P( X  0)  P( X  1) P( X  2)  1  0,73  0,23)  0,04 La probabilidad de que al menos dos estudiantes resulten desaprobados en el curso de Física es de 0,04. Ejemplo 2: Se tiene entendido de que el 25% de la población de Juliaca, no pagan sus impuestos y el municipio tiene normas estrictas de cumplir en generar ingresos para luego ejecutarlas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 personas que no pagan sus impuestos de una muestra de 15 personas? Solucion:



29 N=15 x=10 p=0.25 q=0.75

La probabilidad de obtener 10 personas que no pagan sus impuestos es de 0.07%. Ejemplo 3: En una ánfora hay cierta cantidad de votos, de los cuales 20% son del candidato X y el resto 80% del candidato Y. Cuál es la probabilidad de sacar: a) Un voto del candidato X en un intento. b) Un voto del candidato Y en un intento. c) Dos votos del candidato X en dos intentos. d) Tres votos del candidato X en tres intentos. e) Tres votos del candidato Y en cinco intentos. a)

N=1 x=1 p=0.2 q=0.8



30 La probabilidad de sacar un voto del candidato X en un intento es de 20%. b) N=1 Y=1 p=0.8 q=0.2

La probabilidad de sacar un voto del candidato Y en un intento es de 80%. c) N=2 x=2 p=0.2 q=0.8

La probabilidad de sacar dos votos del candidato X en dos intentos es de 4%. d) N=3 x=3 p=0.2 q=0.8

La probabilidad de sacar tres votos del candidato X en tres intentos es de 0.8%.



31 e) N=5 Y=3 p=0.8 q=0.2

La probabilidad de sacar tres votos del candidato Y en cinco intentos es de 20.5%. Ejemplo 4: Estudios demuestran que en los municipios de Puno el 60% tienen conocimiento acerca de la ejecución adecuada del presupuesto sin generar malversación, de estos se selecciono una muestra de 10 municipalidades de la región para determinar la probabilidad: a) Que 7 municipalidades tengan una adecuada ejecución de su presupuesto. b) Que tanto de menor o igual a 2 tengan una adecuada ejecución de su presupuesto. Solucion a) N=10 X=7 p=0.6 q=0.4

La probabilidad de que 7 municipalidades tengan una adecuada ejecución de su presupuesto es de 21.5%.



32

b) N=10 X≤2 p=0.6 q=0.4 Este es un ejemplo de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ACUMULADA

El tanto a halla res de 1.2% de adecuada ejecución de su presupuesto. Ejemplo 5: La probabilidad de éxito de un programa social es de 83% en base a 20 beneficiarios. Calcular la probabilidad de que una vez ejecutada el programa a 16 beneficiarios mejore su calidad de vida. Solucion N=20 x=16 p=0.83 q=0.17



33

La probabilidad de que mejore la calidad de vida de 16 beneficiarios es de 20.5%. Ejemplo 6: Si el 20% de beneficiarios de un programa social pierden un año de beneficios y se toma al azar un grupo de 6 beneficiarios. Cuál es la probabilidad de que máximo 2 pierdan o ya no sean beneficiarios de este programa. Solucion

N=6 X≤2 p=0.8 q=0.2

La probabilidad de que máximo 2 pierdan es de 1.7%.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) En promedio cierto estudiante puede resolver la mitad de los problemas que se le presenten; para aprobar es necesario



34 solucionar 7 de 10 preguntas de un examen ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen? 2) Supóngase que el 24% de cierta población tiene sangre tipo B. A partir de una muestra de 20 individuos extraída de esa población calcular la probabilidad de: a) Encontrar exactamente 3 individuos con sangre tipo B. b) o más individuos con con sangre tipotipo B. B. c) Encontrar Encontrar tres menos de tres individuos sangre d) Encontrar exactamente cinco individuos con sangre tipo B. 3) Un estudiante que no se ha preparado absolutamente nada para un examen que tiene 20 preguntas de verdadero falso. Decide lanzar al aire una moneda para responder. Anota “verdadero” si la moneda cae cara y “falso” si cae sello. a) Que probabilidad hay de que pase el examen, si para hacerlo debe contestar correctamente por lo menos el 70% de las preguntas? b) ¿Que probabilidad de que conteste por lo menos la mitad de las preguntas correctamente? 2.2.2. Distribución Poisson La distribución de Poisson es una distribución discreta, tiene muchos usos en la economía, biología, medicina, el comercio, en el control de calidad industrial, ciencias sociales, líneas de espera, llamadas telefónicas, etc. Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson, si su función de densidad de probabilidad está definido por: e   x PX  x  x! ;

x  0,1,2,3,4,....

donde: e:

constante (2.71828182)



35 X: El número de éxitos en n pruebas : Número esperado(Promedio) de presentaciones del suceso  = np PARÁMETRO: Parámetro es  > 0. CARACTERÍSTICAS: Esperanza matemática E(X) Varianza V(X)

  E( X )  

 2  V (X )  

SUPUESTOS DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON a) Existe un gran número de pruebas posibles para la verificación de un proceso dado dentro de cada unidad de medida, y la probabilidad de ocurrencia en cualquiera de estas pruebas es muy pequeña, además la variable aleatoria debe ser un número entero dentro de la unidad de medida. b) Independencia, cualquier número de ocurrencias puede acontecer un una sola unidad de medida, y esto no afecta el numero de ocurrencias en cualquier otra unidad de medida. c)

Estabilidad, el valor constante.

de (promedio)debe permanecer

NOTA: La distribución de POISSON es generalmente utilizada en los problemas en que se encuentran el número de eventos de cierto tipo, que ocurren en un intervalo de tiempo, o en una región, ó en un volumen. Por lo expuesto, esta distribución llamada distribución de “Eventos raros”, tales como: (9)



36

  

Número de llamadas telefónicas recibidas por una central telefónica, durante un intervalo pequeño de tiempo. Número de fallas de unidades en un día de operación Número de alumnos que ingresan a la Ciudad Universitaria en un día dado.

Ejemplo 1: La tasa de mortalidad para cierta enfermedad es de 7 por cada 1000 personas. ¿Cuál es la probabilidad que se observen exactamente 5 decesos por esta enfermedad en un grupo de 400 personas? Solución: X: Número de decesos a causa de la enfermedad Rx = {0, 1, 2, 3, .....} p = 7/1000 = 0,007, n = 400,  = np = 400(0,007) = 2,8

e  x e 2,8 (2,8)5 PX  5    0,087 x! 5! La probabilidad de que existan 5 decesos por causa de cierta enfermedad es de 0,087.

Ejemplo 2: En la ciudad de Puno se han producido a razón de 3 apagones por mes. Hallar la probabilidad de que en los próximos 6 meses, no haya ningún apagón. Solución: X: Número de apagones Rx = {0, 1, 2, 3, .....} Estadistíca Inferencial


37

MESES

APAGONES

1 mes 6 meses

3 apagones X X = 6(3)/1 = 18

PX  0 

e   ( ) x e 18 (18) 0   e 18 x! 0!

La probabilidad de que en los próximos 6 meses no haya ningún apagón -18 es de e .

APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Con una distribución Poisson sea X B(n, p) donde p es pequeña y n grande. Luego:

El resultado implica que para n grande (n > 50) y p pequeño, (p < 0,1) entonces se pueden aproximar probabilidades binomiales a través de la distribución Poisson.

Ejemplo 3: Willington realiza en promedio 35 copias por minuto, ¿cuáles son las probabilidades de que realice, a) 10 copias en un minuto, b) 15 copias en dos minutos?



38 Solución: a)

λ = 35

ε = 2.718

b) λ = 6 x 2 = 12

Ejemplo 4: En el tópico de la universidad nacional de juliaca, se registran en promedio la atención de 6 estudiantes por dia, entonces ¿cuál es la probabilidad de que se atienda a 10 estudiantes en tres días? Solución: a) λ = 6 x 3 =18



39 Ejemplo 5: El promedio de que un estudiante llegue tarde a clases en temporada de lluvia es de 3 veces por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante llegue 4 veces tarde por semana? Solución: a)

λ=3

Ejemplo 6: En promedio, hay 50 incendios serios cada año en la provincia de Chimbomba. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún incendio mañana? El número medio de incendios por día es 50364 0,137. Luego, la probabilidad de cero incendios mañana es Solucion

Sea X P(X

B(100, 0,05). Estimar 3).

E[X] = 100 × 0,05 = 5 Luego aproximando usando las tablas de la distribución Poisson, se tiene



40

La solución exacta usando la distribución binomial es 0,2578. Ejemplo 7: La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos. Solucion N = 85 P = 0.02 X=4 λ = 1.7

Ejemplo 8: Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y, λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es



41 Solucion

Ejemplo 9: En una clínica el promedio de atención es 16 pacientes por hora, encuentre la probabilidad que en 30 minutos se atiendan 4 pacientes. Formula de Poisson Solución:

La probabilidad de que en treinta minutos se atiendan tres personas.

Debemos calcular:

Ejemplo 10: Los reportes de crímenes recientes indican que 3.2 de los robos de vehículos motorizados ocurren cada minuto en estados unidos. Suponga que la distribución de los robos por minuto puede calcularse con la distribución de probabilidad de poisson; a) calcule la probabilidad de que ocurran cuatro robos exactamente en un minuto; b) cual es la probabilidad de que en cuarto de hora cualquiera ocurran exactamente 45 robos.



42 Solución:

a)

Solución: b)

Ejemplo 11: Con objeto de revisar la calidad en el pulido de un lente, cierta compañía acostumbra determinar el número de manchas en la superficie considerando el lente defectuoso si 3 o mas de tales manchas asperezas y otro tipo de defectos aparecen en el. Si la tasa media es de 2 defectos por , ¿calcule la probabilidad de que un lente de , que ha sido revisado no se le catalogue como defectuoso? Un lente no se le cataloga si tiene menos de 3 defectos. Solucion

Solución:



43

Ejemplo 12: En una tienda los clientes llegan al mostrador conforme una distribución de Poisson con un promedio de 10 por hora. En una hora dada, ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen el al menos 5 clientes? Solucion:



44

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) En promedio, cinco fumadores pasan por la esquina de cierta calle cada 10 minutos ¿cuál es la probabilidad de que durante un periodo dado de 10 minutos el número de fumadores que pasen sea de: a) Seis o menos? b) Siete o más? c) Exactamente ocho? 2) Cierto alimento produce una reacción alérgica en un 0,1% de una población grande, Si 1,000 personas comen este alimento diario en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas tengan reacción alérgica a dicho alimento? 3) En una determinada región de la selva se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el 0,5% de los habitantes de dicha zona. Determinar la probabilidad de que, consultados 2,000 de estos habitantes, dicho producto sea demandado por 2 o más personas.

4) A una garita de peaje llegan aleatoriamente 300 autos por hora calcular la probabilidad de que: a) Un auto llegue durante un periodo de un minuto. b) Por lo menos dos autos lleguen durante un periodo 5 minutos. 2.3. DISTRIBUCIONES CONTINUAS 2.3.1. Distribución Normal La distribución Normal, es con toda seguridad, la distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la Estadística. Esta distribución conocida como distribución de GAUSS o curva de campana, fue descubierta en 1733 por De Moiure como una derivación del limite de la distribución Binomial. La importancia de la distribución Binomial se puede resumir en las siguientes observaciones:



45 1) Se conocen muchos fenómenos aleatorios que siguen la ley de probabilidad NORMAL. Algunos de estos fenómenos son: la industria, Economía, ciencias sociales, etc. 2) Sirve como una buena aproximación para muchas distribuciones en aquellas situaciones en donde n asume en valor grande (n > 30) Se dice que una variable2 aleatoria X tiene una distribución NORMAL, con media  y varianza  , si su función de densidad está dada por:

1

f ( x) 

e

2

1  x     2  

2

   x  

PARÁMETROS: Esperanza matemática: E(X) E(X) =  - < x < + Varianza: V(X) V(X) = 2 2.3.2. Distribución Normal Estándar Si z es una variable aleatoria que tiene una distribución normal, con 2 media =0 y varianza  =1, entonces Z, se llama variable aleatoria Normal estándar, su función de densidad, es:

f ( z) 

donde:

1 2

Z

e

1 2

 z2

   x  

X  



46

USO DE TABLAS: 2

Si X – N(, ), será necesario aplicar algunas de las siguientes propiedades:

i)

P( x  a)  P x    a       a   

 





  

a  ii) P( x  a)  1  Px  a   1       b  a iii) P(a  x  b)  Px b  P x  a              iv) P( x  a)  Px  a   1    a       v) P( x  a)  P a  x  a     a        a          Ejemplo 1: La presión sanguínea media en profesores de 20 a 25 años de edad es de 123 unidades con desviación típica de 13,7 unidades. Si se selecciona al azar uno de estos profesores, calcule: La probabilidad de que su presión sanguínea sea: a)

Menor a 120 unidades

b) c)

Mayor a 128 unidades Entre 120 y 128 unidades

Solución: a)

P[X < 120]



47

 X   120         

P( X  120)  P

 120  123     (0,22)  0,41294  13,7 

P( X  120)   

La probabilidad de que un hombre elegido al azar, tenga la presión sanguínea menor a 120 unidades, es de 0,41.

b)

P[X > 128]  128  123   x   128       1   (0.36496)   1        13,7 

P( x  128)  1  P( x  128)  1  P

P(x > 128) = 1 – 0,64 = 0,36 La probabilidad de que un hombre elegido al azar, tenga la presión sanguínea mayor a 128 unidades, es de 0,36.

c)

P[120 < X < 128]

   P  X  128  P X  120 P120  X  128 P120  X  128  0,64  0,41  0,23

La probabilidad de que un hombre elegido al azar, tenga la presión sanguínea entre 120 y 128 unidades, es de 0,23. Ejemplo 2: Se sabe que las puntuaciones obtenidas al pasar un test siguen una distribución normal con media 210 puntos y desviación típica 0,6 puntos. Si se pasa el test a 100 personas, ¿Cuántas de esas 100 Estadistíca Inferencial


48 personas deberemos esperar que obtengan una puntuación entre 209 y 211 puntos? Solucion

Tipificamos los extremos del intervalo:

209  210

z1 

0,6

z2 

211  210 0,6

 1,67  1,67

Y la probabilidad de que una persona obtenga puntuación entre 209 y 211 es: p(209  X  211)  p(1,67  z  1,67)  p( z  1,67)  p( z  1,67)  2 p( z  1,67)  1 

2  0,9525  1  0,905

Con lo cual, la esperanza matemática para las 100 personas es: E= 100 . 0,905 = 90,5 personas estarán en el intervalo indicado. Ejemplo 3: El peso de 600 alumnos se distribuye según una distribución normal N(67; 5). Calcula cuántos de ellos pesan: a)

Más de 80 kg.

b)

Menos de 50 kg.

c)

Entre 50 y 80 kg.

Tipificamos los valores 50 y 80 kg.:



49 Solucion

z1  z2 

50  67 5 80  67 5

 3,4  2,6

La probabilidad de que un alumno pese más de 80 kg. es:

p( X  80)  p( z  2,6)  1  p( z  2,6)  1  0,9953  0,0047 Cabe esperar, por tanto, que:

E  600  0,0047  2,82  3 alumnos pesen más de 80 kg. La probabilidad de que un alumno pese menos de 50 kg. es:

p( X  50)  p( z  3,4)  p( z  3,4)  1  p( z  3,4)  1  1  0 y ningún alumno pesa menos de 50 kg. La probabilidad de que un alumno pese entre 50 y 80 kg. es: p(50  X  80)  p(3,4  z  2,6)  p( z  2,6)  p( z  3,4)  p( z  2,6)  p( z  3,4)  1 

0,9953  1  1  0,9953 Cabe esperar, pues que: E= 0,9953 . 600 = 597 alumnos pesen entre 50 y 80 kg.

Ejemplo 4: En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 4º. Calcular el número de días que se espera tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º. Estadistíca Inferencial


50 Solucionn Tipificamos los valores 22 y 28:

z1 

22  26 4

 1

z 2  28  26  0,5 4 Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es:

p(22  X  28)  p(1  z  0,5)  p( z  0,5)  p( z  1)  p( z  0,5)  p( z  1) 

 p( z  0,5)  1  p( z  1)  p( z  0,5)  p( z  1)  1  0,6915  0,8413  1  0,5328 Y el número esperado de días es:

 E







30 0,5328 15,9 16

días

Ejemplo 5: Aproximando con una distribución normal, calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda 100 veces, el número de caras obtenido esté comprendido entre 45 y 55. Solucion

Se tiene:

m  np  100 

1 2


 50


51

s  npq  100  z1  z2 

45  50 5 55  50

1 1



2 2

5

 1 1

5 Y la probabilidad pedida es, con la aproximación realizada:

p (45  X  55)  p(1  z  1)  p( z  1)  p( z  1)  p( z  1)  1  p ( z  1) 

 2 p( z  1)  1  2  0,8413  1  0,6826

Problermas Propuestos 1.- En cierta ciudad, el número de interrupciones del suministro eléctrico por mes se considera una variable aleatoria normal para la cual μ = 11.6 y σ = 3.3 Determine la probabilidad de que en un mes cualquiera haya al menos ocho interrupciones. Determine la probabilidad de que en un mes cualquiera haya entre tres y siete interrupciones. Determine la probabilidad de que en un mes cualquiera haya a lo más cinco interrupciones. Resp. 0.8623 0.0771 0.0228

2.- En un proceso fotográfico, el tiempo de revelado de las impresiones puede considerarse una variable aleatoria normal para la cual μ = 12,9 minutos σ = 2 minutos.



52 Determine la probabilidad de que el tiempo de revelado tarde entre 16 y 16.5 minutos Determine la probabilidad de que el tiempo de revelado se lleve al menos 16.2 minutos Determine la probabilidad de que el tiempo de revelado se lleve a lo más 16.35 minutos Resp. 0.0246 0.0495 0.9577

3.- La cantidad de café instantáneo que una máquina dispensadora deposita en vasos de 4 onzas puede considerarse una variable aleatoria con distribución normal para la cual σ = 0.04 onzas. Si sólo 2 % de los vasos contienen menos de 4 onzas, ¿cuál sería el contenido promedio de estos vasos? Resp. μ = 4.082

4.- Se procede a detener el funcionamiento de una máquina para repararla si en una muestra aleatoria de 100 artículos de la producción diaria se encuentran por lo menos 15 % de artículos defectuosos. Si se sabe que la máquina realmente produce 10 % de artículos defectuosos, encuentre la probabilidad de detener la máquina un día cualquiera. 5.- Una línea aérea vende boletos sobre la base que el 5 % de las personas que hacen reservación para un vuelo no se presentan. Se sabe que la aerolínea vendió 160 boletos para un vuelo con sólo 155 asientos, ¿cuál es la probabilidad de que haya un asiento disponible para cada persona con reservación que se presenta al vuelo?



53

3.1. Introducción Cuando queremos estudiar alguna característica de una población para obtener el máximo de información veraz, se nos plantea relacionado con la elección de los individuos. Puesto que un no problema podemos estudiar a toda la población por varias razones (proceso largo y coste elevado, entre otros), debemos elegir estudiar una muestra que sea representativa y que nos permita extrapolar los resultados que obtengamos a la población de referencia. Sin embargo, debemos considerar que el empleo de técnicas de muestreo implica una serie de ventajas y limitaciones. Entre las ventajas se incluyen una mayor eficiencia en términos económicos y mayor rapidez de obtención de resultados. Si empleamos sólo el tamaño muestral necesario, seleccionando la muestra de manera que represente lo más fielmente posible a la población, podremos obtener también mayor validez, puesto que el tiempo y dinero ahorrados se podrán emplear en recoger la información o variables del estudio con mayor precisión y fiabilidad, implicando una mayor validez interna final del estudio. 3.2. Técnicas de muestreo



54 La mejor forma de asegurar la validez de las inferencias es seleccionar la muestra mediante una técnica aleatoria. A este tipo de muestreo se le denomina muestreo probabilístico y puede definirse como aquel en que todos los individuos de la población tienen una probabilidad de entrar a formar parte de la muestra (normalmente equiprobable, es decir, con la misma probabilidad). Los diseños en que interviene el azar producen muestras representativas la mayoría de las veces, aunque no garantizan la representatividad de la población que sometemos a estudio. Aunque en muchos estudios no es posible obtenerla rigurosamente de esta forma, es importante seleccionarla intentando que sea lo más parecida posible a la población de interés. En este caso, el muestreo no probabilístico utiliza métodos en que no interviene el azar y por lo tanto, se desconoce la probabilidad asociada a cada individuo para formar parte de la muestra. Normalmente estos métodos se utilizan en estudios exploratorios o intencionales, en los cuales no es necesario proyectar los resultados. El inconveniente de este método es que no puede asegurarse la representatividad de la muestra. 3.3. Clasificación de los tipos de muestreo probabilístico Entre los métodos de muestreo probabilísticos más utilizados en investigación encontramos los siguientes: Muestreo aleatorio simple, estratificado, sistemático y muestreo en etapas múltiples. A continuación se describen las características de cada uno de los sistemas de muestreo

3.3.1.

Muestreo aleatorio simple

Se caracteriza porque cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido para formar parte de la muestra. Una vez censado el marco de la población, se asigna un número a cada individuo o elemento y se elige aleatoriamente. La aleatorización puede realizarse mediante listas de números aleatorios generados por ordenador, aplicándolas para escoger de la población los individuos o sujetos que coincidan con los números obtenidos.



55 Este tipo de muestreo se caracteriza por su simplicidad y fácil comprensión, aunque también posee algunas limitaciones, ya que no siempre es posible disponer de un listado de todos los individuos que componen la población, generalmente cuando son poblaciones grandes. Si se seleccionan muestras pequeñas mediante este método pueden aparecer errores aleatorios, no representando la muestra adecuadamente a la población. Un ejemplo de muestreo aleatorio simple la elección individuos a través realizadasería totalmente al azardedelos un cierto número de DNI.de la elección 3.3.2.

Muestreo estratificado

En este tipo de muestreo la población de estudio se divide en subgrupos o estratos, escogiendo posteriormente una muestra al azar de cada estrato. Esta división suele realizarse según una característica que pueda influir sobre los resultados del estudio. Por ejemplo, en el caso de seleccionar una muestra para evaluar la altura, dada la heterogeneidad entre hombres y mujeres, la variable de género podría ser una variable de estratificación. Si tenemos constancia o suponemos a priori que la población de estudio presenta variabilidad de respuesta con respecto a alguna característica propia, deberemos tener en cuenta este tipo de muestreo, dado que se producen estimaciones más precisas cuanto más homogéneos sean los elementos del estrato y más heterogeneidad exista entre estratos. Así pues, entre las ventajas de este tipo de muestreo es que tiende a asegurar que la muestra represente adecuadamente a la población en función de la variable de estratificación seleccionada, sin embargo, debe conocerse la distribución de la población en las variables de estratificación, clara desventaja de este muestreo. Para obtener la muestra en cada uno de los estratos pueden aplicarse diferentes fracciones de muestreo, pudiendo ser proporcional al tamaño en relación a la población, es decir, la distribución se realiza de acuerdo con el peso o tamaño de la población de cada estrato. Por ejemplo, si de los 5 millones de hipertensos españoles hay un 35% de pacientes que fuman, podemos estratificar de manera que en nuestra muestra queden representados al igual que en el total de la población, Estadistíca Inferencial


56 la misma proporción de hipertensos fumadores (35%) y de no fumadores (65%). 3.3.3.

Muestreo sistemático

El muestreo sistemático es muy similar al muestreo aleatorio simple. La diferencia se obtiene en que en este tipo de muestreo se divide el total de poblaciónde demuestreo estudio entre el tamaño la muestra, obteniendo unalaconstante (k). La primera de unidad que formará parte de la muestra debe estar entre 1 y k y se elige al azar; a partir de esta unidad se van seleccionando sistemáticamente uno de los k individuos siguiendo un orden determinado. Por ejemplo, si obtenemos un valor de k=10 y seleccionamos al azar el número 6, deberíamos elegir todas las historias clínicas que finalizaran en «6»: «006», «016», «026» .... Es un método de muestreo muy sencillo de realizar y que cuando la población esta ordenada siguiendo una tendencia conocida, asegura una cobertura de unidades de todos los tipos. La principal limitación es que si la constante se asocia al fenómeno de interés puede cometerse un sesgo. 3.3.4.

Muestreo en etapas múltiples

Consiste en empezar a muestrear por algo que no constituye el objeto de la investigación (unidades primarias), y obtener una muestra dentro de cada una de ellas (unidades secundarias). Pueden utilizarse sucesivamente tantas etapas como sean necesarias, y en cada una de ellas, una técnica de muestreo diferente. Este método de muestreo se utiliza cuando la población de referencia es muy amplia y dispersa, ya que facilita la realización del estudio. Principalmente, el muestreo en etapas múltiples se utiliza en estudios multicéntricos, donde debemos elegir primero los hospitales y después de haberlos seleccionado, realizamos el muestreo de pacientes dentro del mismo.

3.4.

Clasificación de los tipos de muestreo no probabilístico

Los procedimientos no probabilísticos son aquellos en los que no conocemos la probabilidad de que un elemento de la población pase a formar parte de la muestra ya que la selección de los elementos Estadistíca Inferencial


57 muestrales dependen en gran medida del criterio o juicio del investigador. La muestra, en este caso, se selecciona mediante procedimientos no aleatorios.. Los tipos de muestreo no probabilístico son: muestreo de conveniencia, muestreo discrecional y muestreo por cuotas, de los que pasaremos a explicar brevemente: 3.4.1.

Muestreo de conveniencia.

El investigador decide qué individuos de la población pasan a formar parte de la muestra en función de la disponibilidad de los mismos (proximidad con el investigador, amistad, etc.). 3.4.2.

Muestreo discrecional.

La selección de los individuos de la muestra es realizada por un experto que indica al investigador qué individuos de la población son los que más pueden contribuir al estudio. Este muestreo es adecuado si dentro de la población que queremos estudiar, existen individuos que no queremos que se nos escapen por utilizar un método totalmente aleatorio o de conveniencia. 3.4.3.

Muestreo por cuotas.

Si se conocen las características de la población a estudiar, se elegirán los individuos respetando siempre ciertas cuotas por edad, género, zona de residencia, entre otras que habrán sido prefijadas. 3.5.

Cálculo del tamaño muestral

Para determinar el tamaño muestral necesario para que los resultados de un estudio sean extrapolables a toda la población se deben considerar situaciones, en función del objetivo de nuestro estudio determinando los parámetros. En la determinación de parámetros nuestro objetivo será determinar mediante una muestra valores de nuestra población de interés, por ejemplo, determinar la proporción de pacientes con insuficiencia renal aguda. Veamos dos de las situaciones más comunes en el cálculo del tamaño muestral.



58 3.5.1.

Determinación de parámetros

Supongamos que se desea hacer inferencia sobre un valor de la población como puede ser una proporción (por ejemplo: la prevalencia de diabetes en la población) o una media (ejemplo: la media de colesterol en la población). Para estimar una proporción Para estimar una proporción debemos tener una idea aproximada del parámetro que queremos medir. Se puede obtener a partir de estudios pilotos o una revisión de la literatura. Generalmente, ante la imposibilidad de disponer de información de referencia se utiliza el valor de 0,5 (50%), proporción con la que se obtiene el tamaño muestral máximo necesario (llamado el criterio de la máxima indeterminación). Cuando queremos estimar una proporción, debemos elegir la precisión (e) que se quiere obtener para determinar el parámetro que queremos medir, de manera que ésta sea la oscilación mínima del valor a estimar, o lo que es lo mismo, decir su intervalo de confianza. El tamaño muestral necesario para la estimación de una proporción se obtendría como:

Z : valor para el nivel de confianza p: proporción esperada (q=1-p). e: precisión deseada. Cuanto mayor es la precisión deseada, mayor es el tamaño muestral necesario para la estimación del parámetro. En el caso que la población que se desea estudiar sea finita y con un tamaño conocido (N) se utiliza la fórmula:

Veamos un ejemplo. Estadistíca Inferencial


59 Pretendemos estudiar la prevalencia de Diabetes Mellitas y no conocemos el valor aproximado de la proporción de diabéticos en la población. Considerando un nivel de confianza al 95% y una precisión deseada del 6%, la muestra necesaria para nuestro objetivo sería de:

Si la población de la que pretendemos estudiar la prevalencia de Diabetes Mellitas en una cierta ciudad, donde viven 20000 habitantes (población finita), con el mismo nivel de confianza y precisión deseados que en el ejemplo anterior, necesitaríamos una muestra de:

Para poblaciones con un número de individuos elevado no es necesario disponer del total de la población, puesto que ambas fórmulas proporcionan el mismo tamaño muestral.

Para estimar una media En el caso de la estimación de una media, como puede ser el media del colesterol, se debe tener una idea de la varianza (S2) de la distribución de la variable. Para la estimación de una media se calcula el tamaño muestral como: Z : valor para el nivel de confianza S: desviación estándar estimada. e: precisión deseada. Como en el caso anterior, el cálculo de la muestra en el caso de poblaciones finitas debe calcularse a partir de una nueva fórmula, aunque para poblaciones elevadas proporcionan también el mismo tamaño muestral. Estadistíca Inferencial


60

n

N *Z2 *S2 e 2 ( N  1)  Z 2 * S 2

Problemas propuestos Una empresa farmaceutica va a realizar un estudio de mercado antes de lanzar una Una nueva pasta piloto dentalprevia hacia aluna población consumidores. encuesta estudio, revelóde que30,000 el 60 % de los consumidores prefieren su producto. a) ¿Qué tamaño de muestra deberá escoger si quiere tener una confianza del 95% de que el error de estimación de la proporción a favor del producto no sea superior a 0.0212 ?. b) con los mismos datos complete la presente tabla:

PRECISION e 10% 7% 5%

NIVEL DE CONFIANZA 90% (1.64)

95% (1.96)

99% (2.58)

Algunos valores estandarizados (z) en función de grado de confiabilidad asumido (para dos colas): Para un: 99 % ------------- z = 2, 58 (Empleado con frec.) 95 % ------------- z = 1, 96 (El más empleado) 90 % ------------- z = 1, 64



61

4.1 Concepto Un estimador de un parámetro poblacional es una variable aleatoria “que depende de la información de la muestra; su valor proporciona aproximaciones a este parámetro desconocido. Un valor específico de esa variable aleatoria se llama estimación” (Newbold, Carlson y

Thorne, 2008, p.296). Existen dos tipos de estimacion:  Estimación por punto. Utilizar un solo valor para estimar el parámetro.  Estimación por intervalo. Utilizar un rango de valores o intervalo. 4.2.- ESTIMADOR PUNTUAL Y ESTIMACIÓN PUNTUAL “Sea x1, x2,…, Xn una muestra de tamaño n seleccionados de una población definida X de parámetros o cuya distribución la denotaremos por f(x, o)”. (Córdova, 2009, p.377).

Consideremos un parámetro poblacional como la media poblacional µ o la proporción poblacional P. Un estimador puntual de un parámetro poblacional es una función de la información de la muestra que genera un único número llamado estimación puntual. Por ejemplo, la media Estadistíca Inferencial


62 muestral X es un estimador puntual de la media poblacional, µ, y el valor que toma X para un conjunto dado de datos se llama estimación puntual, X. (Newbold, Carlson y Thorne, 2008, p.296). 4.3. ESTIMACIÓN DE INTERVALOS “Método estadístico que básicamente consiste en obtener el intervalo de extremos cerrados [a, b], dentro del cual se ubican los posibles valores de u n parámetro con una medida de fiabilidad denominado nivel de confianza”. (Córdova, 2009, p.377).

Los 3 elementos de una estimación por intervalo Lo primero que es importante notar es que el intervalo se construye alrededor (±) de la media muestral, el estadístico. Además, el intervalo se abre (±) de acuerdo con el nivel de confianza especificado, z, y al error estándar del estimador, en este caso, el error estándar de la media, SX. (Diaz, 2013, p.244). En otras palabras, el intervalo de confianza tiene 3 elementos: 1. El estadístico, en los ejemplos anteriores la media muestral, alrededor del cual se construye el intervalo. 2. El nivel de confianza especificado, que se utiliza para determinar el valor de z, la desviación estándar de la distribución normal estandarizada, que es la que permite medir las probabilidades de acuerdo con esta distribución. 3. El error estándar de la media, sx, que aquí se calculó a partir de la desviación estándar de la muestra. Con estos mismos 3 elementos se construyen diferentes intervalos de confianza dependiendo de diversas circunstancias que se presentan.

4.4. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LAS MEDIAS



63 Spiegel y Stephens (2009) afirman: Si el estadístico S es la media muestral , entonces los lmites de confianza de 95 y 99% para la estimación de la media poblacional μ estn dados por   1.96 σ  y   2.58 σ , respectivamente. En general, los lmites de confianza estn dados por   zc σ , donde zc (que depende del nivel de confianza deseado) puede leerse en la tabla 9.1. Empleando los valores para σ  obtenidos en el capítulo 8, se ve que los límites de confianza para la media poblacional están dados por (p.229)

X  C Si el muestreo se hace ya sea de una población infinita o de una población finita, pero con reposición, y están dados por (Spiegel y Stephens, 2009, p.229).

X  C Si el muestreo se hace sin reposición de una población de tamaño finito Np. Spiegel y Stephens (2009) afirman: Por lo general no se conoce la desviación estándar poblacional σ; de manera que para obtener los límites de confianza anteriores, se usa la estimación muestral ^s o s. El resultado es satisfactorio si N ≥ 30. Si N < 30, la aproximación es pobre y se debe emplear la teoría del muestreo para muestras pequeñas. (p.229). Ejemplo 1: Para estimar la cantidad media de 65 mamíferos se toma una muestra representativa de 37 mamíferos que se encuentran en vulnerabilidad de extinción, de esta muestra se obtuvo la media aritmética equivalente a 16.25 y una desviación de 8.026. Determinar los intervalos de confianza de 95% para estimar el parámetro indicado. Solucion: n=37 N=65 Estadistíca Inferencial


64

Z95%=1.96 x

µ= x ± Z

= 16.25

s = 8.026 µ= 16.25± (1, 96)

µ= 16.25± (1, 96)

µ=16.25 + µ=16.25+

µ=16.25 0.6614

µ=16.25 -

µ= 16.25+ 1.710

µ= 16.25 - 1.710

µ=17.96

µ= 14.54

0.6614

14.54≤ µ ≤ 17.96 Interpretación: en un 95% de las veces el verdadero valor del parámetro va estar comprendida en este rango [14.54 - 17.96].

4.5. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LAS PROPORCIONES Tal como se vio para la media aritmética, el intervalo de estimación se construye sumando al estadístico el producto de la z correspondiente al nivel de confianza por el valor del error estándar, o X ± zσX. El procedimiento para estimar una proporción es igual, salvo que, por supuesto, se utilizan la proporción de la muestra y su correspondiente error muestral. (Diaz, 2013, p.252). En símbolos: p ± zσp Spiegel y Stephens (2009) afirman: Si el estadístico S es la proporción de “éxitos” en una muestra de tamaño N obtenida de una población binomial en la que p es la proporción de éxitos (es decir, la probabilidad Estadistíca Inferencial


65 de éxito), entonces los límites de confianza para p están dados por P ± zcσp, donde P es la proporción de éxitos en una muestra de tamaño N. Empleando los valores para σp indicados en el capítulo 8 se ve que los límites de confianza para la proporción poblacional están dados por(p.229) P ± ZC

=P±Z

C

Si el muestreo se hace de una población infinita o de una población finita, pero con reposición, y están dados por P ± ZC Si el muestreo se hace sin reposición y de una población finita de tamaño Np. Para calcular estos límites de confianza se emplea la estimación muestral P para p, la que por lo general resulta satisfactoria siempre que N ≥ 30. (Spiegel y Stephens, 2009, p.229). Ejemplo 2 : En un muestreo aleatorio simple de los 24 departamentos del Perú en el año 2012, de una población grande. El 57% informaron que sus municipalidades tienen acceso a internet. Construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción real de los que consideran que sus municipalidades tienen acceso a internet. Solucion n=24 N=? Z95%=1.96

P= p ± Z

p= 0.57 q=0.43 P=0.57±(1,96)


P=0.57±(1,96)


66

P=0.57+ (1, 96)

P=0.57 - (1, 96)

P= 0.57+ (1.96)

P=0.57 - (1, 96)

P= 0.57+0.198

P= 0.57 - 0.198

P=0.768

P=0.372

0.372≤ µ ≤0.768 Interpretación: en un 95% de las veces el verdadero valor del parámetro va estar comprendida en este rango [0.372–0.768].



67

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0.12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de sesenta ladrillos cuyo peso medio es de 4.07 kilos.

a. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy. b. Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a). c. Se decide que mañana se tomara una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos mañana tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a). Respuestas: a) (4.03, 4.11) b) menor c) mayor 2) Un director de producción sabe que la cantidad de impurezas contenida en los envases de cierta sustancia química sigue una distribución. Se extrae una muestra aleatoria de nueve envases cuyos contenidos de impurezas son los siguientes:

18.2 16.6

13.7 12.3

15.9 18.8

17.4 16.2

21.8

a. Calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio poblacional de las impurezas. b. Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado (a). Respuestas: a) (15.035, 18.498) b) mayor Estadistíca Inferencial


68 3) La Dirección General de Tráfico quiere conocer la velocidad a la que circulan los automóviles en un tramo determinado de una carretera. Para una muestra de siete automóviles, el radar señalo las siguientes velocidades en k/h. 79

73

68

77

86

71

69

a. Calcular la media y la varianza muestral. b. Suponiendo que la distribución de la población es normal, hallar un intervalo de confianza del 95% para la velocidad media de los automóviles que circulan por dicho tramo. Respuestas: a) =74.71 s = 6.40 b) (68.79, 80.63) 4) Una empresa de alquiler de coches está interesada en conocer el tiempo que sus vehículos permanecen en el taller de reparaciones. Una muestra aleatoria de nueve coches indicó que el pasado año el número de días que estos coches habían permanecido fuera de servicio era:

16

10

21

22

8

17

19

14

19

Especificando las hipótesis necesarias, calcular un intervalo de confianza del 90% para el número medio de días que la totalidad de los vehículos de la empresa se encuentran fuera de servicio. Respuesta: (13.25, 19.19) 5) Un ingeniero industrial desea estimar con un 90% de confianza y una precisión del 3% la proporción de artículos defectuosos que están saliendo de la línea de producción. ¿ De qué tamaño deberá tomar la muestra si:

a) no dispone de información alguna? b) conoce que la proporción de artículos defectuosos nunca ha sido mayor de 0.12?. Respuestas: a) 748 b) 316



69

5.1. CONCEPTO “El procedimiento de pruebas de hipótesis consiste básicamente en que

una vez planteada la hipótesis que desea probarse, se prosigue a recabar datos muéstrales para conocer si éstos concuerdan con ella o si la contradicen”.( Diaz, 2013, p. 270).

Una hipótesis estadística es una suposición o afirmación sobre alguna caracterstica de una población. Por ejemplo, “el promedio de contenido de las cajas del cereal  es de 300 g” es una afirmación sobre el promedio de peso, en gramos, de esas cajas (Díaz, 2013, p..269) Diaz (2013) afirma: Es importante analizar con detenimiento cómo se plantean las hipótesis. Después de H 0 y H1 están dos puntos (:) que indican que a continuación se presenta la hipótesis. Esto es importante porque suele cometerse el error de sustituir los dos puntos por el signo igual que (=), y aunque pudiera ser válido se presta a confusiones con los signos de igualdad que se utilizan en la hipótesis misma (μ = 300, la nula, o μ ≠ 300, la alternativa). (p.270). 5.2. HIPOTESIS ESTADISTICA a) Hipótesis alternativa e hipótesis nula Estadistíca Inferencial


70

La hipótesis nula (H ) es aquella que refleja el no cambio que 0

esperamos rechazar. El rechazo de H , implica que aceptamos la 0

hipótesis alternativa (H ). Por otra parte, la hipótesis alternativa es a

aquella proposición que el analista o investigador espera aprobar. (Gómez, 200, p.214) b) Errores tipo I y tipo II Diaz (2013) afirma: Debido a que la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula se hace con base en datos muéstrales, no se tiene una confiabilidad de 100% de que la decisión sea correcta por lo que, al igual que se hizo con la estimación de parámetros en el capítulo anterior, a la decisión se le asigna un determinado nivel de confianza. Para explicar cómo se maneja ese nivel de confianza es necesario revisar los 4 posibles resultados de la decisión: se puede aceptar o rechazar la hipótesis nula cuando ésta puede ser cierta o falsa, esto a su vez conduce a 2 tipos de decisiones correctas y a 2 incorrectas. En el cuadro siguiente se resumen estas consideraciones: (p.270).

H0 es verdadera

H0 es falsa

Se acepta H0

Correcto

Error tipo II

Se rechaza H0

Error tipo I

Correcto

5.3. TIPOS DE ENSAYO DE HIPOTESIS Pruebas Bilaterales y Unilaterales Para aprobar o rechazar una hipótesis nula nos basamos en el estadístico de la prueba, es decir nos basamos en una medida que nos arroja la muestra aleatoria perteneciente a la población objeto de Estadistíca Inferencial


71 estudio. Dicha medida puede ser la media muestral, la proporción muestral, etc. (Gómez, 2009, p.216) El área que corresponde a las colas es el nivel de significación , que para el caso de una prueba bilateral debe repartirse por iguales partes en ambas colas y que para el caso de una prueba unilateral dicho nivel se concentra en la cola correspondiente. (Gómez, 2009, p.216) a) Prueba de Hipótesis Bilateral H0 H1

H1

REGI OD NE

REGIOD NE

REC HA Z O

REGI ONDE

REC HAZ O

ACEPTACION

Vc

Vt

0

Vt

Vc

b) Prueba de Hipótesis Unilateral hacia la Izquierda

H1

H0

REGION DE REC HA Z O

REGI ONDE ACEPTACION

Vc

c)

Vt

0

Prueba de Hipótesis Unilateral hacia la derecha



72

H0

H1

REGION DE REGION DE

RECHAZ O

ACEPTACION

0

Vt

Vc

5.4. PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS Con el fin de resolver los problemas de pruebas de hipótesis de una manera metódica y sistemática y de tal forma que nos conduzca con claridad y responsabilidad al fin último de la prueba que es aceptar o rechazar la hipótesis nula, se recomienda seguir los siguientes pasos afirmó (Gomez.2009.p.8) 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Es bueno insistir que debemos la hipótesis nuladebemos de forma simple,que es decir, utilizando solo elformular signo igual (=). También recordar la hipótesis nula debe reflejar el no cambio, mientras que la hipótesis alternativa debe reflejar lo que el investigador considera que está sucediendo. 2. Especificar el nivel de significación Recordemos que ésta es la máxima probabilidad que le asignamos al hecho de cometer un error de tipo I en la decisión. Entre más pequeña es , mayor será , que consiste en la máxima probabilidad de cometer un error de tipo II. 3. Formular la regla de decisión Esta debe de reflejar qué valores del estadístico se toman para rechazar la hipótesis nula. Como ejemplo, podramos formular la siguiente regla de decisión: “Rechazamos la hipótesis nula si el valor de Z es mayor que 2.9. 4. Calcular el estadístico sobre el cual se tomará la decisión Este es calculado a través de los datos muéstrales. El estadístico que se calcule debe ser coherente con el parámetro poblacional que se está



73 sometiendo a prueba, es decir si por ejemplo estamos sometiendo a prueba una diferencia de medias, el estadístico correspondiente que debemos calcular será la diferencia de medias muéstrales etc. 5. Rechazar o aprobar la hipótesis nula. Si confrontamos el estadístico de prueba calculado con el estadístico según el criterio de decisión, procedemos a rechazar o aceptar la hipótesis nula. 5.5.PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA Gómez, (2009) afirma: Si una población es normal, las medias

muéstrales también se distribuirán normalmente, cualquiera sea el tamaño de la muestra. No obstante, si no se conoce la desviación estándar poblacional ( ), ésta puede ser reemplazada por la desviación estándar de la muestra(S) si el tamaño de la muestra es mayor que 30(n>30). (p. 219)

5.5.1. Estadísticos de Pruebas a utilizar: a) Prueba de hipótesis para la media: a.1 Para varianza conocida el estadístico e s:

a.2 Para varianza desconocida y muestras pequeñas, n < 30, y aproximadamente normal la población, el estadístico es:

Y para muestras grandes (n ≥ 30), el estadístico es:



74

1) Según el teorema central del límite, si una población no es normal o no sabemossesidistribuirán se cumple aproximadamente o no éste comportamiento, las medias muéstrales como una distribución normal, si el tamaño de la muestra es mayor que 30(n>30). 2) Si una población es normal o está muy cerca de éste comportamiento y por otra parte no conocemos la desviación estándar poblacional y además el tamaño de la muestra es menor que 30(n<30), entonces, las medias muéstrales se distribuirán de acuerdo a la ley t-student.

Ejemplo 1: Según experiencias pasadas, se sabe que en una compañía el retardo promedio por mes de sus obreros es de 64 minutos con una desviación estándar de 8 minutos. El gerente de la compañía considera que éste promedio ha aumentado sensiblemente en los últimos meses, por lo cual ordena efectuar la investigación correspondiente. Para tal fin, se toma una muestra aleatoria de n=64 obreros y se encuentra que la misma presenta una media de minutos. Se pide comprobar si el gerente tiene o no la razón con un nivel de significación de 0.05. Solución Observemos que las medias muéstrales se distribuirán normalmente, según el numeral 2 de ésta página. Siguiendo los pasos planteados en la página anterior tenemos: Hipótesis nula e hipótesis alternativa: Ho: 64 minutos (que refleja el no cambio) y Ha: minutos (que refleja el cambio).



75 2) Nivel de significación: 0.05. Éste valor lo sugiere el presente problema, pero en la práctica es el investigador quien lo fija de acuerdo a sus necesidades. 3) Formular la regla de decisión: Como podemos observar en el numeral 3 de la página 218, la prueba es unilateral a la derecha, por lo cual el valor de z1 correspondiente, según el gráfico de la página 218, es de 1.64 de acuerdo con la tabla de distribución normal. Por lo tanto, la regla de decisión ser la siguiente: “Se rechaza la hipótesis nula si el valor de Z calculado es: 4)

Cálculo del estadístico sobre el cual se tomará la decisión:

5) Tomar la decisión: Como 4.0 que es el valor de Z calculado, es mayor que el valor de Z según el criterio de decisión, entonces 4.0 se encuentra en la zona de rechazo, por lo cual debemos rechazar la hipótesis nula de que el promedio de retardos sigue siendo de 64 minutos. Por lo tanto, el gerente tiene la razón con un nivel de significación del 5%.

Ejemplo 2: Un proceso manufacturero usado por una fábrica durante los últimos años da una producción media de 100 unidades por hora con una desviación estándar de 8 unidades. Se acaba de introducir en el mercado una nueva máquina para realizar ese tipo de producto. Aunque es muy cara comparada con la que está ahora en uso, si la media de producción de la nueva máquina es de más de 150 unidades por hora, su adopción daría bastantes beneficios. Para decidir si se debiera comprar la nueva máquina, a la gerencia de la fábrica se le permite hacer un ensayo durante 35 horas, hallándose un promedio de 160 unidades por hora. Con ésta información qué decisión se debe tomar si se asume un nivel de confianza del 99 por ciento.



76 Solución. Según el enunciado, solo se compra la máquina si la producción es de mas de 150 unidades por hora, por lo tanto las hipótesis son: H0: = 150 H1:

> 150

Por lo tanto, se acepta que la producción promedio por hora es superior a las 150 unidades y asumiendo un riesgo del 1 por ciento se puede comprar la nueva máquina. Ejemplo 3: Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población, obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%. Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta. Solución.

n = 64

a = 5% = 0,05



77

Solución: H0: <= 22 H1: > 22 a = 0,05

H0

H1

REGION DE REGION DE

RECHAZ O

ACEPTACION

0

1 . 6 45

4

Se rechaza Ho, porque zprueba (4) es mayor que ztabla (1,645), por lo tanto el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión es mayor de 22 horas, lo que implica que la empresa de investigación de mercados tiene la razón.

Ejemplo 4 : Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realizan 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. Estadistíca Inferencial


78

Datos: N= 40 n=8 Nivel de confianza del 99% Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005

Solución: H0: < = 40 H1: ( > 40 grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 a = 0,005

H1

H0

REGION DE REC HA Z O

REGI ONDE ACEPTACION

2.83

3.49


0


79 H0 es aceptada, ya que t prueba (2,83) es menor que t tabla (3,499), por lo que no es acertado pensar que están realizando un número de visitas promedio superior a 40. 5.6. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN Gómez, (2009) Para resolver pruebas de hipótesis para la proporción en

muestras grandes podemos en la distribución enproceso el muestreo de la proporción utilizandobasarnos la distribución normal y el que debemos seguir es muy similar al utilizado para el caso de la media . (p.226)

5.6.1. Estadísticos de Pruebas a utilizar: a) Prueba de hipótesis para Proporciones Muestras grandes np≥5, n(1-p)≥5 , el estadístico es:

Ejemplo 5: El rector de una universidad pública afirma que el 15% de los estudiantes de la universidad que él dirige está en contra de una ley que actualmente se discute en el congreso y que supuestamente afecta a la comunidad universitaria. El representante de los estudiantes, considera que dicha proporción es mayor y para comprobarlo toma una muestra de 100 estudiantes seleccionados aleatoriamente y encuentra que el 23% están en desacuerdo con dicho proyecto de ley. Se pide comprobar si el rector tiene o no la razón con un nivel de significación del 5%. Solución 1) Hipótesis nula e hipótesis alternativa: H 0: P=0.15, Ha: P>0.15. La prueba es unilateral a la derecha, puesto que el representante de



80 los estudiantes, piensa que la proporción es superior a la afirmada por el señor rector. 2)

Nivel de significación:

3) Criterio de decisión: Como la proporción muestral se distribuye normalmente y la prueba es unilateral a la derecha, entonces, según la tabla el valor de z es: +1.64. Por lo tanto, el criterio de decisión ser el siguiente: “Si el valor de Z calculado es mayor que +1.64, se rechaza la hipótesis nula de que la proporción es del 15%”. 4) Cálculo del estadístico sobre el cual se basará la decisión: n=100, p=0.23, q=0.77. Según la fórmula 6.13 de la página 171 para Z, en la distribución en el muestreo de la proporción, el correspondiente valor de z será:

5) Tomar la decisión: Como el valor de Z calculado (+2.24) se encuentra en la zona de rechazo, entonces, con un nivel de significación del 5%, debemos rechazar la hipótesis nula de que la proporción de estudiantes en contra de la ley es del 15% y por consiguiente debemos aceptar la hipótesis del representante estudiantil de que dicha proporción es mayor. Ejemplo 6: El porcentaje de durabilidad de paciente con cierta enfermedad neoplastia es de 40% en pacientes tratados convencionalmente. Para probar la eficacia adicional de la quimioterapia se tomó una muestra de 100 pacientes a los cuales se les sometió a este tipo de tratamiento en este grupo la durabilidad observada fue de 80%. ¿Se puede afirmar que la quimioterapia permite aumentar el porcentaje de durabilidad? Solución HO: n 0.40 Hi: n 0.40 Estadistíca Inferencial


81

Estadístico: la variable es cualitativa

La regla de decisión se rechaza Ho si Área de aceptación 0.95 = 1.645 Entonces se tiene Se concluye que el uso de la quimioterapia produce un porcentaje de curatibilidad mayor al 40% en este tipo de pacientes. Para

Ejemplo 7: Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?  a.Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.  b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto solucion n = 1000 x = 25



82

Donde: x = ocurrencias n = observaciones = proporción de la muestra = proporción propuesta a)

a = 0,01

H0

H1

REGION DE REGIONDE

RECHAZ O

ACEPTACION

-0.93

0

2.32

H0 es aceptada, ya que z prueba (-0,93) es menor que z tabla (2,326), por lo que no es cierto que más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.



83 PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Se quiere probar la hipótesis nula de que “el salario medio de los motoristas del transporte público es igual a 165 dólares quincenales”, contra quienes piensan que es menor. Una muestra de 16 de esos salarios produjo los resultados siguientes: 173 152 178 171 145 163 146 170 157 135 175 159 173 199 137 131 Utilice α = 0.10, y concluya si se aprueba o no la hipótesis Respuesta: Ha  < 165 tc = -1.028 se acepta Ho 2) El tiempo para reparar un instrumento electrónico es una variable aleatoria medida en minutos que se distribuye normalmente. Los tiempos de reparación para 16 de tales instrumentos, elegidos al azar, se dan continuación: 159 222

280 363

201 168

212 250

224 149

379 260

179 485

264 170

¿Parece razonable suponer que el tiempo medio real de reparación sea mayor que 245 minutos? Respuesta: Ha  > 245 , tc = 0.122 , p- valor > 0.40, se acepta Ho 3) Se investigó que el 26% de quienes visitan un determinado sitio deportivo de Internet son mujeres. El porcentaje se basó en una muestra de 380 visitantes. a) Hallar el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de usuarios mujeres. b)¿Cuál es el margen de error asociado con la proporción estimada de mujeres? c) ¿Qué tamaño debería tener la muestra si queremos tener un margen de error del 3%? Respuestas: a) (0.2159, 0.3041) b) 4.41% c) 822 4) La política de una comisión de tránsito consiste en agregar una ruta más de autobuses, si más del 55% de los viajeros potenciales indican Estadistíca Inferencial


84 que la utilizarían. Una muestra de 170 usuarios reveló que 95 tomarían una “va norte sin pasar por el centro de la ciudad”. ¿ Cumple ésta vía con los criterios de la comisión de tránsito?. Utilice un nivel de significación del 5%. Respuesta: Ha : P > 0.55 , z c = 0.2313 , no 5) Una compañía de televisión afirma que el 60% de la tele audiencia mira su encuesta telenovela”Barreras de amor durante y odio”, entre las 8:00 y 9:00 p.m. En una telefónica realizada un período determinado, en 300 hogares, 165 miraban esa telenovela. ¿Podría afirmarse que la audiencia se ha modificado? Respuesta: Ha :   0:60, zc = 1.67, p- valor = o.0768, no



85

6.1 INTRODUCCION Los datos bivariantes se presentan cuando en una población o muestra se miden simultáneamente dos variables en cada uno de los individuos o sujetos que integran el conjunto o subconjunto bajo estudio. Algunos ejemplos de datos variantes son: la estatura y el peso de varones adultos, el coeficiente de inteligencia y el rendimiento académico de los alumnos. Como ejemplo de datos bivariantes tenemos: Horas de estudio y rendimiento escolar Coeficiente intelectual y rendimiento academico Estres y desempeño laboral 6.2. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE El análisis de regresión se encarga de descubrir la relación funcional entre dos o más variables. Cuando se estudian solamente dos variables la metodología a utilizar se conoce como análisis de regresión simple,



86 en tanto que si se trata de tres o más variables el análisis regresional es múltiple. El análisis de regresión puede ser lineal o no lineal. (14) 6.2.1. Análisis de regresión lineal Es la relación que existe entre dos variables, la misma que está definida en una función expresada en términos de una ecuación de una línea recta, tal como se muestra en el siguiente gráfico:

6.2.2. Análisis de regresión no lineal Es la relación que existe entre dos variables, la misma que está definida por una ecuación polinomial de grado avanzado. Estas ecuaciones no lineales producen curvas cuadráticas, hiperbólicas, parabólicas, cúbicas, etc., tal como se muestra en el siguiente gráfico:

6.3. MODELO de REGRESION Estadistíca Inferencial


87

La variable Y se conoce como la variable dependiente, endógena o predicha, en tanto que la variable X es llamada variable independiente, exógena o predictora. La magnitud de Y depende de la magnitud de X, y por lo tanto puede predecirse en base al valor que asuma la variable independiente. El regresional permite expresar la relación entre las variables X y Yanálisis mediante una ecuación matemática. El modelo matemático poblacional está representado por:

Yi    X i  i donde:

 Yi Xi

: Parámetro poblacional, intercepto : Parámetro poblacional, pendiente de la recta : Variable dependiente : Variable independiente

i

: Error poblacional





88 El modelo matemático muestral esta representado por:

Yi    X i  ei ˆ

ˆ

donde: 

ˆ

: Estimador muestral, intercepto : Estimador muestral, pendiente de la recta : Variable dependiente : Variable independiente : Error muestral

 Yi Xi ei

ˆ

El modelo estimado de la recta de regresión muestral se define del siguiente modo:

Yi    X i ˆ

ˆ

ˆ

donde: ei

 Yi  Yi ˆ

En la expresión anterior  y  son los coeficientes de regresión, son valores desconocidos que deberán ser determinados matemáticamente. Cuando se estiman los valores de los coeficientes de regresión, es posible calcular los valores predictivos de Y para determinados valores de X, mediante la sustitución apropiada en la ecuación de regresión muestral. ˆ

ˆ

Esta ecuación de regresión sería el medio de predicción que se usaría para predecir los valores de Y correspondientes a los valores de X. Gráficamente se representa del siguiente modo:



89

Para estudiar la regresión de Y en X contamos con el modelo de regresión lineal simple que se basa en los siguientes supuestos. La variable independiente X tiene valores que son pre establecidos por el equipo de investigadores. Esto implica que solamente Y, la variable dependiente, es una variable aleatoria y que X no varia aleatoriamente sino que esta bajo el control de los investigadores. El valor de la variable aleatoria Y depende en cierto grado del valor de la variable independiente X. La relación que media entre X e Y se puede describir adecuadamente mediante una ecuación lineal cuya representación geométrica es una línea recta. Los valores paramétricos de la variable Y son función de la variable X. 6.4. PENDIENTES DE LOS MODELOS DE REGRESION 6.4.1. Recta ascendente (creciente) En esteuna tiporelación de modelo de regresión, observa que aumenta ambas variables tienen directa, es decir siseuna variable la otra también aumenta y si una variable disminuye la otra también disminuye. Como por ejemplo: X : Horas dedicadas al estudio Estadistíca Inferencial


90 Y : Rendimiento académico La gráfica tiene la siguiente forma:

Este grfico se puede entender del siguiente modo: “Mientras el alumno le dedique menos horas al estudio, su rendimiento será deficiente; pero si el alumno le dedica más horas al estudio, su rendimiento será satisfactorio o mejor”. 6.4.2. Recta descendente (decreciente) En este tipo de modelo de regresión, se observa que ambas variables tienen una relación inversa, es decir si una variable aumenta la otra disminuye y si una variable disminuye la otra aumenta. Como por ejemplo: X : Horas dedicadas al vicio Y : Rendimiento académico

La gráfica tiene la siguiente forma:



91

Este grfico se puede entender del siguiente modo: “Mientras el alumno le dedique menos horas al vicio, su rendimiento será satisfactorio; pero si el alumno le dedica más horas al vicio, su rendimiento ser deficiente o peor”. 6.5. DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN La regresión entre dos variables cuantitativas debe ser definida usando métodos que ofrezcan mayor precisión que la ofrecida mediante la utilización de los diagramas de dispersión. Los estimadores del modelo de regresión son los siguientes:

  Y  X ˆ

ˆ

n

n

  ˆ

n



X iYi

i 1

i 1

n

n

X

X

n

i

Y

i

i 1

    X  n

2 i

1

i


2

i



1

i




92 Ejemplo 1: Los siguientes datos muestran los gastos invertidos en publicidad (en miles de soles) (Xi) y las ventas obtenidas (en cientos) de vehículos (Yi) de 7 tiendas sucursales del Perú. Hallar el modelo de regresión lineal y Estimar la venta de vehículos para cuando una Empresa invierta S/.8000 y S/.10000. en gastos de publicidad

Nro.

Gastos.(X)

Venta de(Y)

1

4

2,5

2

5

3,2

3

7

7,5

4

9

8,4

5

12

10,2

6

15

14,5

7

18

19,8

Estimando el modelo de regresión lineal. Para encontrar el modelo se realizará los siguientes cálculos:

Nro.

X

Y

Xi*Yi

Xi ²

Y.est

(Yest. - Yprom.)²

(Yi - Yprom.)²

1

4

2,5

10

16

2,51358885

48,01475907

48,20326531

2

5

3,2

16

25

3,668466899

33,34358269

38,97326531

3

7

7,5

52,5

49

5,978222997

12,00368977

3,774693878

4

9

8,4

75,6

81

8,287979094

1,333743308

1,08755102

5

12

10,2

122,4

144

11,75261324

5,33497323

0,573265306

6 7

15 18

14,5 19,8

217,5 356,4

225 324

15,21724739 18,68188153

33,34358269 85,35957168

25,57469388 107,2704082

Total

70

66,1

850,4

864

66,1

218,7339024

225,4571429

Prom. 10

9,44286



93 Calculando el estimador  tenemos: ˆ

n

n   ˆ

n

n

 X Y   X Y i

i

i

i 1

i 1

n

n

X i 1

2 i

i

i 1

 n    Xi   i1 

2

,1)  1,154878049   7(850,4)  (70)(66 7(864)  (70) 2 ˆ

Calculando el estimador



ˆ

tenemos:

  Y  X ˆ

ˆ

 ˆ

 70   (1.154778049)   2.105923345 7  7 

66,1

Entonces la ecuación de regresión lineal es: Ŷi = -2.105923345 + 1,154878049 X i

Este modelo nos servirá para hacer las predicciones de las ventas obtenidas (en cientos de soles) de vehículos (Y) para los diferentes gastos invertidos (en miles de soles) (X). Al interpretar estos resultados es conveniente recordar que la razón esencial que motivó el cálculo de la ecuación de regresión es poder usar esta para establecer estimados o proyecciones de los valores de la variable dependiente Y. Así por ejemplo podría interesarnos predecir el valor de Y asociado con un valor particular de X. Estimar la venta de vehículos para cuando una Empresa invierta S/.8000 y S/.10000, en gastos de publicidad.. Para responder a esta pregunta, se requiere la sustitución del valor de X = 8 y 10 respectivamente en los términos de la ecuación de regresión. Ŷi = -2.105923345 + 1,154878049 X i Estadistíca Inferencial


94

Ŷ8 = 7,133101045 Ŷ10 = 9,442857143 Se estima que la venta de vehículos para cuando una Empresa invierta S/.8000 en gastos de publicidad, obtendrá una venta de 713 vehículos, con un coeficiente de determinación de 97,02% Se estima que la venta de vehículos para cuando una Empresa invierta S/.10000 en gastos de publicidad, obtendrá una venta de 944 vehículos, con un coeficiente de determinación de 97,02% NOTA: Para realizar la predicción, es necesario cumplir las siguientes condiciones: 2 1/2

El coeficiente de correlación(r =(R ) ), sea mayor o igual a 0,80. El error estándar del estimador que sea cercano a cero. Que se cumplan los supuestos del análisis de regresión. 6.6. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN (R 2) R2 nos indica la cantidad de mejoramiento en términos de reducción del error total gracias al uso de la recta de regresión y se dice que mide 2 la bondad de ajuste. R Representa la reducción relativa de la suma de cuadrados total gracias al uso de la recta de regresión. Por Ejemplo si: 2 R = 0,80 significa que hubo con una reducción del 80% de la suma de cuadrados total. Si R 2 =1 indica que la reducción de la suma de cuadrados del error total fue del 100%. Lo que nos dice que el error Y i -

Yi = 0, para todo i y que todos los puntos están sobre la recta de ˆ

regresión. En las siguientes gráficas se muestra diferentes valores del coeficiente de determinación:



95

2

2

0,8  R < 1

R =1

0,5  R2 < 0,8

0,3  R2 < 0,5

0 < R2 < 0,3

R2 = 0

n

 y

i

Y

 y

Y

ˆ

R2 

2



i 1 n

i

2

suma _ de _ cuadrados _ de _ error _ exp licado suma _ de _ cuadrados _ de _ error _ total

i 1

Donde :

0  R2  1



96 De nuestro ejemplo: n

 y ˆ

R2 

i

Y 

2



i 1 n

 y  Y 

2

218,7339024 225,4571429

 0,970179519  97,02%

i

i 1

Observamos que hay una bondad de ajuste del 97,02% lo que implica que el ajuste es muy bueno.

6.7.INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PENDIENTE DE LA POBLACIÓN. El intervalo de confianza para la pendiente de la población, β1, se construye de la siguiente manera. CASO I: Muestra pequeña (n  30) P[b1 ± Tα/2(n-2)Sb1] = 1-α CASO II: Muestra grande (n>30) P[b1 ± Zα/2(n-2)Sb1] = 1-α



97 Ejemplo 2: El siguiente cuadro muestra, la edad (Xi) medida en años y la presión sistólica (Yi) medida en (mm.Hg), en una muestra de 15 madres de familia. Hallar el modelo lineal y estimar la presión sistólica para las madres de familia de las edades de 50 años y 75 años

Ma dre

Edad Presión (Xi) (Yi)

Xi * Yi

Xi ²

Yi ²

Y.est

(Yest. Yprom.)²

(Yi Yprom.)²

1

42

130

5460

1764

16900

125,34065

435,1126074

262,44

2

46

115

5290

2116

13225

129,203490

288,881347

973,44

3

42

148

6216

1764

21904

125,34065

435,1126074

3,24

4

41

100

4100

1681

10000

124,374936

476,3334091

2134,44

5

80

156

12480

6400

24336

162,037657

250,8313762

96,04

6

74

162

11988

5476

26244

156,243392

100,8697265

249,64

7

70

151

10570

4900

22801

152,38055

38,19918638

23,04

8 9

80 85

156 162

12480 13770

6400 7225

24336 26244

162,037657

250,8313762

96,04

166,866211

427,0922704

249,64

10

72

158

11376

5184

24964

154,311971

65,80406717

139,24

11

64

155

9920

4096

24025

146,586284

0,149215572

77,44

12

81

160

12960

6561

25600

163,003368

282,3531657

190,44

13

41

125

5125

1681

15625

124,374936

476,3334091

449,44

14

61

150

9150

3721

22500

143,68915

6,304357909

14,44

15

75

165

12375

5625

27225

157,20910

121,2003482

353,44

Total

954

2193 143260 64594 325929

2193

3655,40847

5312,4

Prm.

63,6

146,2



98 n  n    X i  Yi   X i Yi   i 1 i 1  n

  ˆ

n

i 1

   Xi  n  X i2   i 1  n

2

n

i 1

143260 

(954)(2193)

 ˆ

64594 

15 (954) 2

 0,965710787

15

  Y  X ˆ

ˆ

 ˆ

 954   (0,965710)   84,78079396 15  15 

2193

Entonces la ecuación de regresión lineal es: Ŷi = 84,78 + 0,97 X i

Luego calculamos: n

 SY

X

SY

X





Yi   2

i 1

ˆ

n



Yi  

ˆ

i 1

n

X Y

i i

i 1

n2 325929  (84,78)( 2193)  (0,97)(143260)


15  2

 8,96257175


99

S 

SY

X

ˆ

 n   Xi  n  X i 2   i1  n

i 1

S 

8,96257175

ˆ

64594 

2

9542

 0,14315673

15

Para el ejemplo: P[b1 ± Tα/2(n-2)Sb1] = 1-α P[0,97 ± 2,16(0,14)] = 1 - 0,05 P*0,66078146 ≤  1 ≤ 1,27921854+ = 0,95 El intervalo de confianza para la pendiente poblacional se encuentra entre 0,66 y 1,28, con una confiabilidad del o nivel de confianza del 95%.



100 6.8.INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CONDICIONAL La estimación por punto de la media condicional de la variable dependiente, dado un valor especifico de X, es el valor de la línea de regresión Ŷ. Cuando se utiliza la ecuación de regresión para estimar la media condicional se representa por: X

μy = b0 ± b1X El intervalo de confianza de 100(1-α) % para μy/x cuando se desconoce 2 σ y/x esta dada por la expresión: CASO I: Muestra pequeña (n  30)

   ( X 0  X )2 1 P  Y  T( / 2;n  2 ) S y / x  2 n  n   n  2 X  X    i  i 

     1  n 

ˆ





i 1



i 1



 

CASO II: Muestra grande (n > 30)

   ( X 0  X )2 1 P   Y  Z ( / 2 ) S y / x  2 n  n   n  2  X i    X i    i 1   i 1  ˆ

     1  n   

PARA EL CASO PARTICULAR SI LA EDAD FUESE 46 AÑOS Ŷi = 84,78 + 0,97 (46) Ŷi = 129,2



101 Para el ejemplo:



P 129,20  2.16(8,9625717)



   1  0,05 15 64594  954 15   1



(46  63.6) 2 2

P121,8    136,6  0,95 ˆ

El intervalo de confianza para U46 = 129,20; se encuentra entre 121,8 y 136,6 mm.Hg de presión sistólica, con un nivel de confianza del 95%.

6.9. INTERVALO DE PREDICCIÓN PARA VALORES INDIVIDUALES DE X En contraste con los intervalos de confianza, que son estimaciones de parámetros de poblaciones, en un intervalo de predicción se estima un valor individual y es, por lo tanto, un intervalo de probabilidad. Podría parecer posible construir un intervalo de predicción utilizando el error estándar del estimador. Sin embargo, ese intervalo estaría incompleto, porque el error estándar del estimador no incluye la incertidumbre asociada con el hecho de que la línea de regresión basada en datos muestrales incluye también error muestral, y por lo general, no es idéntica a la línea de regresión para la población. El error estándar completo para un intervalo de predicción se denomina error estándar del pronóstico, e incluye la incertidumbre asociada la “dispersión” vertical con respecto a la línea de regresión ycon además, la incertidumbre asociada con la posición del valor mismo en la línea de regresión. Cuando se desconoce σ2y/x, el intervalo de predicción del 100 (1-α) por ciento para Y esta dado por la expresión:



102

CASO I: Muestra pequeña (n ≤ 30)

 

  2

P Y  T / 2;( n  2 ) S y / x 1  1  n  

(X 0  X )

ˆ

  2  X i    X i   i 1   i 1

 

n

n

  1  n   

2

CASO II: Muestra grande (n > 30)

   1     ( / 2 ) y / x 1 n P Y Z S  

(X 0  X )2

ˆ

n  n  2  X i    X i   i 1   i 1

2

      1  n   

Ejemplo 3 El gerente de personal de la empresa agroindustrial “bajo mayo” estudia la relacion entre la variable dependiente: y=gastos y la variable independiente x=salario, de su personal obrero.Una Muestra aletoria de 10 obreros revelo los siguentes datosen dolares por semana: ALARIOS ASTOS

8 5


5 0

5 2

0 7

5 0

0 0

0 5

5 0

0 5

0 0


103

SALARIOS X 28 25 35 40 45 50 50 35 70 80 458

GASTOS Y 25 20 32 37 40 40 45 30 55 60 384


2

X 789 625 1225 1600 2025 2500 2500 1225 4900 6400 23789

2

Y 625 400 1024 1369 1600 1600 2025 900 3025 3600 16168

X.Y 700 500 1120 1480 1800 2000 1250 1050 3850 4800 19550


104

Prueba de hipótesis: HO: Ha:

0 no existe correlación 0 si existe correlación

14.2715



105

El valor de tc es mayor que el de t tabulada, por ende rechazamos h0. si la muestra fuera representativa , podríamos afirmar que existe relación entre salarios y gastos en un 95% = + = =

=384-(1.3799) (458)=-257.1542 =

=1.3799

-257.1542+1.3799

Fuente variaciónde (Fv)

Suma cuadradosde (Sc)

Regresión

Grados de libertad (gl) 1

Residual

n-2

Total

n-1

Sc total-Sc regresión

Cuadrados medios (CM)

F(Fc) calculada

Sc reg/1 Sc res/n-2

Syy

Fv

gl

Sc

CM

Fc

Regresión

1

13632.63

13632.63 8.9320

Residual

8

12210.23

Total

9

1422.4


F 0.05 532


106

SUMA DE CUADRADOS Scregresión=

= 13632.6392

Sc total=1422.4 Sc residual = 1422.4-13632.63 INTERVALO DE CONFIANZA PARA

=

6.9455

Ρ

ρ



107 Con un 955 de seguridad el coeficiente de regresión va a variar entre los valores en un 92.68 y 106.58por cada gasto que realizara del salario.

Ejemplo 4: El Vicepresidente de Investigación y Desarrollo (ID) de una gran compañía y de fabricación fibras cree queen lasID.ganancias anuales dequímica la empresa dependen de ladecantidad gastada El nuevo presidente de la compañía no está de acuerdo y ha solicitado pruebas. Los datos de seis años son los siguientes. Año

1990 1991 1992 1993

Millones gastados en Investigación y Desarrollo (X) 2 3 5 4

Ganancia Anual (millones) (Y) 20 25 34 30

1994 1995

11 5

40 31

SUMA DE CUADRADOS Y PRODUCTOS X

Y


X2

Y2

XY


108 2 3 5 4 11 5 30

Sxx = 200 – Syy = 5642 – Sxy = 1000 –

20 25 34 30 40 31 180

4 9 25 16 121 25 200

400 625 1156 900 1600 961 5642

40 75 170 120 440 155 1000

= 50 = 242 = 100

COEFICIENTE DE CORRELACION La regla de decisión para la hipótesis planteada es: Si tc > t / 2 (n-2) gl , rechazamos H 0 (existe relación). Si tc < t / 2 (n-2) gl , rechazamos H a (no existe relación). Donde: r2 =

r2 =

; asi que r =

= 0.8264

r = 0.9091 tc =

t / 2 (n-2) gl



109

tc =

= 4.3644

t = 0.5/2 (6-2) = 2.776

Como se puede observar, el valor tc es mayor que el de t tabulada; por lo tanto, rechazamos H 0. Si la muestra fuera representativa, podríamos afirmar que existen relación entre los Millones gastados en Investigación y Desarrollo y la Ganancia Anual (millones). El coeficiente de determinación (r 2) tiene un valor de 82.64%, lo cual implica que un modelo lineal explica en un porcentaje como el descrito la tendencia de los datos observados, considerando esto como aceptable. ECUACION DE PREDICCION =

-

x donde: =2



= 30 – 2(5) = 20 yi = 20 + 2(xi) ANALISIS DE REGRESION H0 = Ha =

=0 0

FV Regresión

gl 1

Sc 200

CM 200

Residual Total

4 5

42 242

10.5

Fc 19.047******

F 0.05 7.71

Suma de cuadrados Sc regresión = Estadistíca Inferencial

= 200 M.Sc. Julio R. Gallegos Ramos

110 Sc total = 242 Sc residual = 242 – 200 = 42 INTERVALO DE CONFIANZA PARA

P =

=2

t = 0.5/2 (6-2) = 2.776

=

P 0.73

= 0.4582

3.27

Ejemplo 5 La agroindustria “ECOANDINO” de Lima quiere determinar la relación entre cantidad de fertilizante y producción de papa por hectárea que produce. Si la muestra del experimento proporciona lo siguientes datos. X2

Y2

“” sacos de fertilidad por hectárea. 1

“Y” Rendimiento de quintales. 8

1

64

8

2 3 4 5 6 7

10 13 16 20 24 28

4 9 16 25 36 49

100 169 256 400 576 784

20 39 64 100 144 196


XY


111 8 9 10 TOTAL: 55

31 36 39 TOTAL: 225

64 81 100 TOTAL: 385

961 1296 1521 TOTAL: 6127

248 324 390 TOTAL: 1533

Coeficiente de regresión.

H0: P = 0 H0: P diferente a 0

T=0.5/2(10-2)gl = 2.306 Podríamos afirmar que si existe relación entre sacos de fertilidad por hectárea y rendimiento de quintales de papa. Además con el coeficiente de determinación tiene un valor de 99.4%. Lo cual indica que el resultado es muy aceptable.

Ecuación de predicción. Estadistíca Inferencial


112

…………..2 ……………………..3 Análisis de regresión.

 Fuente de variación (FV) Regresión Residual Total

Grados de libertad (GL) 1 8 9

Suma de cuadrados (SC)

Cuadrados medios (CM)

F calculada(FC)

158.4 6.1 1064.5

1058.4 0.7

1512

0.05 5.32

Se puede observar que FC es mayor que F tabulada al 0.05, lo cual implica una alta significancia. Concluimos sobre la hipótesis que el efecto de sacos de fertilidad por hectárea es impactante sobre el rendimiento de quintales de papa.



113 Ejemplo 6: El gerente de personal de la Municipalidad Provincial de San Román quiere estudiar la relación entre el ausentismo y la edad de sus trabajadores. Tomó una muestra aleatoria de 10 trabajadores de la Municipalidad y encontró lo siguientes datos.

“” EDAD 25 46 58 37 55 32 41 50 23 60

“Y” AUSENTISMO 18 12 8 15 10 13 7 9 16 6

Diagrama de dispersion



114

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE: 2

2

“”

“Y”

X

Y

XY

25 46

18 12

625 2116

324 144

43 58

58 37 55 32 41 50 23 60 427

8 15 10 13 7 9 16 6 114

3364 1369 3025 1024 1681 2500 529 3600 19833

64 225 100 169 49 81 256 36 1448

66 52 65 45 48 59 39 66 4452

2

Sxx = x – Sxx = 19833 – Sxx = 19833 – 182329 Sxx = 1600.1 2

Syy = y – Syy = 1448 – Syy = 1448 – Syy = 1448 – Syy = 148.4



115

Sxy = xy – Sxy = 4452 – Sxy = 4452 – Sxy = 4452 – Sxy = - 415.8 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN: H0: P=0 : no existe correlación. H1: P≠0 : existe correlación.

tc = tα =



2

hallando r y r

2

r = r2 = r2 = r2 =0.72809 r= Estadistíca Inferencial


116 r = 0.8533

Reemplazando a la fórmula de “tc” tc =

tc = tc = 4.6289

Reemplazando a la fórmula de “tt” tα = tα = tα = 2.3060 tc > tα si existe relacion entre las variables edad y ausentismo ECUACIÓN DE PREDICCIÓN: y = α + ᵦ(xi)

α = y + ᵦẊ promedios:

Ẋ = 42.7 Ῡ = 11.4 Hallando ᵦ^

ᵦ=



117

ᵦ= ᵦ= hallando α^

α= Ῡ- ᵦẊ α= 11.4 - (- 0 .2599) 42.7 α= 22.4959 yi = α^ + ᵦ (xi) yi = 22.496 análisis de regresión H0 : ᵦ = 0 H1 : ᵦ ≠ 0



118

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2 Final Libro-estadistica Inferencial

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