159430106 Iniciacao a Logica Matematica Edgard de Alencar Filho

Edgerd de Alencat Fiiho

Nobel

■D 1975 Edgard de Alencar Filho

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Dados Internacionais dc Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro. SP. Brasil)

A.355Í

Alcncar Filho, Edgard de, 1913 Iniciação à lógica malemática/ Odgard de Alencar Filho. - São Paulo : Nobel. 2002. Bibliografia ISBN 85-213-0403-X

1. Lógica simbólica e matemática f. Título. 86-0802

C D D-511.3

Índice para catálogo sistemático: 1. Lógica matemática 511.3

É PROIBIDA A RLPRODUÇÀO Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida, copiada, transcrita ou mesmo transmitida por meios eletrônicos ou gravações, sem a permissão, por escrito, do editor. Os infratores serão punidos péla Lei n° 9.610/98.

Impresso no BrasiliPrm ted in Brazil

Indice

Capítulo 1 PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Conceito dc proposição . .............................................................. Valores lógicos cias prop o siçõ es.......................................................................... Proposições simples e proposições c o m p o stas................................................... Conectivos ............................................................................................................. Tabela-verdade........................................................................................................ N o ta ç ã o ................................ .................................................................................. Exercícios ................................................ .. ..........................................................

Ij p p jg jj j^

Capítulo 2 o p e r a ç õ e s l ó g ic a s s o b r e p r o p o s iç õ e s

2. 3. 4. 5. 6. 7.

N e g a ç ã o ................................................................................................................... Conjunção ............................................................................................................. Disjunção .............................................................................................................. Disjunção exclusiva ................................................................................ C ondicional............................................................................................................. Bicondicional ..................................................................., .................................. Exercícios ................ ............................................................................................

p Ig 20 21 23 27

Capítulo 3 CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE 1. 1 abela-verdadc de uma proposição c o m p o s ta ................................................... 2. Número de linhas de uma tabela-verdade...........................................................

29 29

3. Construção da tabela-vcrdadc de uma proposição composta 4. 5. 6. 7.

Exemplificação ......................................................' ................... Valor lógico de uma proposição c o m p o sta ............................. Uso de parêntesis ...................................................................... Outros símbolos para os conectivos..................................... Exercícios .................................................................................

30 30 36 38 39 39

Capítulo 4 TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇOES E CONTINGÊNCIAS 1. ’ 2. 3. 4.

Tautologia ................................................................................... Princípio de substituição para as tautologías ........................ C ontradição................................................................................... Contingência .............................................................................. Exercícios ........................................................................... • • •

43 45 46 47 48

Capítulo 5 IMPLICAÇÃO LÓGICA 1. D e f i n i ç ã o d e im p l i c a ç ã o l ó g i c a

.............................................................

2. Propriedades da implicação lógica ........................................ 3. Exemplificação ........................................................................... 4. Tautologias c implicação lógica .............................................. Exercícios ...................................................................................

49 49 50 53

Capítulo 6 EQUIVALÊNCIA LÓGICA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Definição de equivalência ló g ic a ............................................. Propriedades da equivalência ló g ic a ........................................ Exemplificação ........................................................................... Tautologías e equivalência lógica.............................................. Proposições associadas a uma condicional........................ .. • Negação conjunta de duas proposições................................... Negação disjunta de duas p ro p o s iç õ e s................................... Exercícios ................ - ............................. * ................................

55 55 56 57 59 62 63 63

Capítulo 7 ÁLGEBRA DAS PROPOSIÇÕES 1. Propriedades da co njunção........................................................ 2. Propriedades da d is ju n ç ã o ........................................................

67 69

3. Propriedades da conjunção e da d is ju n ç ã o .................................................... 4. Negação da cond icio n al........................................................................................ 5. Negação da bicondicional .............................. .................................................. Exercícios ................ , , ......................................... - ..........................................

71 74 74 75

Capítulo 8 MÉTODO DEDUTIVO 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Exemplificação................................................................ . ..................................... Redução do número de c o n e c tiv o s................................................................... Forma, normal das proposições ........................... ............................................ Forma normal conjuntiva . . .............................................................................. Forma normal disjuntiva .................................................................................. Princípio de dualidade ................................... ................................................ • Exercícios ................................................ - .............* ..........................................

78 81 82 82 84 85 '85

Capítulo 9 ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERÊNCIA 1. 2. 3. 4. 5.

Definição de argum ento. . . , .............................................................................. Validade de um argum ento................................................................................... Critério de validade de um a rg u m en to .............................................................. Condicional associada a um a rg u m e n to ..................................................... .. . Argumentos válidos fu n d am en tais.....................................................................

8/ 87 8X 89 90

6. Regras de infcrcncia .....................................................................................................

91

7. Exemplos do uso das regras de inferência........................................................ Exercícios ........................................................ . ................................................

92 96

Capítulo 10 VALIDADE MEDIANTE TABELAS-VERDADE 2. Exemplificação ............................. ................... 3. Prova de não-validade........................................ Exercícios ........................................................ ..

Capítulo 11 VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA 2. Exemplificação. ........................................ ............................................................ Exercícios .........................................................................................................- -

118

C apítulo 12 VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALENCIAS 1. 2. 3. 4.

Regra de substituição................................................................................ Equivalencias notáveis ........................................................... .................... Exemplificação ................ .. ................................................................................ In c o n sistê n c ia ........................................................................................ .. Exercícios ...................- ..........................................................................

129 129 131 138 141

Capítulo 13 • DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA 1. 2. 3. 4.

Demonstração c o n d icio n al........................................... * .................. * • • Exemplificação ........................................................................................... Demonstração indireta ........................................................................... Exemplificação ........................................................................................... Exercícios .................................................................................................*

145 146 149 150 153

Capítulo 14 SENTENÇAS ABERTAS 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Sentenças abertas Conjunto-verdade Sentenças abertas Conjunto-verdade Sentenças abertas Conjunto-verdade Exercícios

com uma variável........................................... de uma sentença aberta com uma variável . com duas vanáveis ...................................... de uma sentença aberta com duas variáveis com n variáveis............................................. de um a sentença aberta com n variáveis. .

................................................................... - .............

156 156 158 159 160 161 162

Capítulo 15 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS ........................................ * .................. 2. Conjunção 3. Disjunção ............. .. ............................................................. 4. Negação ................................................................................... 5. C ondicional................................... .......................................... 6. Bicondicional ......................................................................* 7. Álgebra das sentenças a b e rta s.............................................. Exercícios ......................................................... * .................

164 166 168 169 170 171 172

Capítulo 16 QUANTIFIC ADORES 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Quantificador u n iv e rsa l......................................* ........................................- . . Q uantificador existencial .......................................................................... .. ■ Variável aparente e variável liv re ......................................................................... Quanti ficador de existência e unicidade ................................................ .. Negação de proposições com quantificadoT ................................................... Contra-exemplo ................................ .................................................................. Exercícios ........................................................... ..................................................

175 178 180 180 181 183 183

Capítulo 17 QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL 1. 2. 3. 4.

Quantificação p arcial.............................................................................................. 187 Quantificação m ú l ti p la ......................................................................................... 187 Comutatividadc dos quantificadores................................................................ .. 189 Negação de proposições com quanti ficadores................... . . . ............................... 190 Exercícios .......................................................... .............................* .................. 190

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

.........................................................................

193

B IB L IO G R A F IA .........................................................................................................

203

Capítulo

1

Proposições. Conectivos

1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Definição - Cbama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Assim, p. ex., são proposições: (a) (b) (c)

A Lua é um satélite da Terra Recife é a capital de Pernambuco n > \í 5

(d)

sen

= 1

A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princípios (ou axiomas): (I) PRINCIPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (II) PRINCIPIO DO TERCEI RO EXCLUÍDO: Toda a proposição ou é verda deira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Por virtude deste princípio diz-se que a Lógica Matematica é uma Lógica bivalente. Por exemplo, as proposições (a), (b), fc) e (d) são todas verdadeiras, mas são falsas as cinco seguintes proposições: (a) VASCO DA GAMA dcscobriu o Brasil (b) DANTE escreveu os Lusíadas

E D G A R D DE A L E N C A R F IL H O

12

(c)

-j

é um numero inteiro

(d)

O númeTo n é racional

(e)

tg |

=2

Assim, as proposições são expressões a respeito das quais tem sentido dizer que são verdadeiras ou falsas. .

2. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES Definição Cliatna-se valsr lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade sc a proposição c falsa. Os valores lógicos verdade e falsidade dc uma proposição designam-se abrevia damente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princípios da não contradição e do terceiro excluído alirmam c que: Toda a proposição tem um, e um só, dos valores V, F. Consideremos, p. ex., as proposições; (aj (b)

O mercúrio é mais pesado que a água O Sol gira cm torno da Terra

0 valor lógico da proposição (a) é a verdade( V) e o valor lógico da proposição (b) ê a falsidade! F). 3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições podem ser classificadas em simples ou atómicas e compostas ou moleculares. Definição l Chama-se proposição simples ou proposição atómica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante dc si mesma. As proposições simples são geralmente designadas pelas letras latinas minúsculas p, q, i , s , . . . , chamadas letras proposici onais. Assim, p. ex., são proposições simples as seguintes: p : Carlos 6 careca q : Pedro é estudante r : O núm ero 25 é quadrado perfeito Definição 2 Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas sao habitualmente designadas pelas letras latinas maiúsculas P. O. R, S, . . . , também chamadas letras proposicionais.

IN IC IA Ç Ã O À L Ó G IC A M A T E M Á T IC A

13

Assim, p. ex.f são proposições compostas as seguintes: P : Carlos é careca e Pedro é estudante Q : Carlos é careca ou Pedro é estudante R : Se Carlos é careca, então e infeliz visto que cada uma delas é formada por duas proposições simples. As proposições compostas também costumam ser chamadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposição composta P é formada pela combinação das proposições simples p, q, r , . . . , escreve-se: P(p, q, i\ ■• •}■

As proposições simples e as proposições compostas tambcm são chamadas respectivamente átomos c moléculas. Observaremos ainda que as proposições componentes de uma proposição composta podem ser, elas mesmas, proposições compostas.

4

CONECTIVOS

Definição — Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Assim, p. ex., nas seguintes proposições compostas: P Q R S T

: : : : :

0 número 6 c par e o número 8 é cubo perfeito O triângulo ABC é retângulo ou é isósccles Não está chovendo Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiãngulo

são conectivos usuais em Lógica Matemática as palavras que estão grifadas, isto c: “e” , “ou”, “não” , “se . . . então . . . ” “ . . . se e somente se . . . ”

S. TABELA-VERDADE Segundo o Princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p c verdadei ra ou é falsa, isto c, tem o valor lógico V(verdade) ou o valor lógico F(falsidade). Em se tratando de uma proposição composta, a determinação do seu valor lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes, se faz com base no seguinte princípio:

14

E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente deter minado. Admitido este princípio, para aplicá-lo na ptática à determinação do valor lógico de uma proposição composta dada, recoirc-se quasi sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta correspondentes a todas as possíveis atribuições dc valores lógicos às proposições simples componentes. Assim, p. ex., tio caso dc urna proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são: ,

l 2 3 4

P

q

v v F F

v F v F

v

Observe-sc que os valores lógicos V e F sc alternam dc dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso. W , VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F. No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são: V

7

P v v v v F F F

8

F

1 2

3 4 5 6

r

q v v

v

F

v

F v v

v

F F

F F F

v F

IN IC IA Ç A O A LÚ G ICA M A T E M Á T IC A

15

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatru em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segundaproposição q e de um em uni para a terceira proposição r. e que, alem disso,V W , W F , VFV. VFF, F W , FVF, FFV c FFF são os arranjos ternários com repetição dos dois ele mentos V e F.

6.

NOTAÇÃO

0 valor lógico de uma proposição simples p indica-$e por V(p). Assim,expri me-se que p é verdadeira! V), escrevendo: V(p) - V. Analogamente, exprime-se que p é falsa(F), escrevendo: V(p) - F. Sejam, p. ex., as proposições simples: p : O Sol é verde q : Um hexágono tem 9 diagonais r ; 2 c raiz. da equação x2 + 3x - 4 = ü Temos: V(p) = F,

V(q) - V,

V(r) = F

Do mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta F indica-sc por V(P).

EXERCÍCIOS

1. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) ^b) ( c) (d )

O número 17 c primo. Fortaleza é a capital do Maranhão. TIRADENTES morreu afogado. (3 + 5f = 32 + 52

( e ) O valor archimediano de ir é ({ ) ( g) (h ) ( i) (j )

~-

- K - 7 0,131313. . . é uma dízima periódica simples. As diagonais de um paralelogramo são iguais. Todo polígono regular convexo é inscritível. O hexaedro regular tem 8 arestas.

E D G A R D DE A L E M C A R F I L H O

16

( k. ) I 1) (m) (n ) ô J i, p j (qJ ( r) ( s)

A expressão n 2 - n + 4 1 (n t N) só produz números primos. Todo número divisível por 5 termina por 5. 0 produto de dois números ímpares é um número ímpar. sen2 30° + s e n 2 b0c - 2. 1 + 3 + 5 + . . . + o - 1f = n2. As raízes da equação x 3 - 1 0 são todas reais. O número 125 é c u b o porfcito. 0,4 e - 4 são as raízes da equação x3 I 6x = 0. O cubo é um poliedro regular.

(tj

sen( ~

U )

5

+ x) = sen( f <

* f

•

- x).

Capítulo

2

Operações Lógicas sobre Proposições

1. Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre proposições, chamadas operações lógicas. Estas obedecem a regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. Bstudarcmos a seguir as operações lógicas fundamentais.

2.

NEGAÇÃO O

) ,',T

Definição Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “ não p ” , cujo valor lógico é a verdade(V) quando p é falsa c a falsidade(F) quando p é verdadeira. Assim, "não p ” tem o valor lógico oposto daquele de p. Simbolicamente, a negação de p indica-se com a notação “ " p ”, que se lé: “não p ” . O valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade m uito simples:

ou seja, pelas igualdades: V - F,

~ F=V

e V( - p) = - V(p)


18

Hxemplos: ( 1)

p :2 + 3 = 5

( V)

c

p ;2 + 3 £ 5

(F )

V( ~ p) = ~ V(p) '= ~ V = F

(2)

q:7<3 (F) e. ~ q ;7< 3 V( - q . ) > - V(q) = ~ F = V

(V)

(3)

r : Roma é a capital da França (F ) t ~ r : Roma não é a capital da França (V) V( - r) - - V(r) = ~ F - V

Na linguagem comum a negação efetua-sc, nos casos mais simples, antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Assim, p. ex., a negação da proposição: p : O Soi é uma estrela é ~ p : O Sol não é uma estrela Outra maneira de efetuar a negação consiste cm antepor à proposição dada expressões tais como “ não é verdade que” , “é falso que” . Assim, p. ex., a negação da proposição: q : Carlos ó mecânico é (j : Não é verdade que Carlos c mecânico ou ~ q : É falso que Carlos c mecânico Observe-se, entretanto, que a negação dc “Todos os homens são elegantes” é “Nem todos os homens são elegantes” e a de “Nenhum homem c elegante" é “ Algum homem é elegante” .

3.

CONJUNÇÃO ( A > I - :

Definição Cbama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “ p e q '\ cujo valor lógico é a verdade(V) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidade(F) nos demais casos. Simbolicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: “ p a q” , que se lê: “ p e q” .

IN IC IA Ç Ã O À LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

19

O valor lógico da conjunção de duas proposições c, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade;

p Aq

V V

q v F

F F

V F

F F

p

v F

ou seja, pelas igualdades: V A V = V,

V A F = F,

F A V = F,

F A F -F

e V(p A q} = V(p) A V(q) Fxemplos: (1) ( p : A neve é branca <|q : 2 < 5 (V)

(V)

p A q : A neve é branca e 2 < 5 (V) V(p A q) ■= V(pJ A V(q) = V A V = V (2) í p : O enxofre é verde (F ) ^ q : 7 é um número primo (V) p A q : O enxofre é verde e 7 é um número primo V(p A q) - V(p) A V(q) = F A V = F (3) ( p : CANTOR nasceu na Rússia | q : FERMAT era médico (F)

(F)

(V)

p A q : CANTOR nasceu na Rússia c FERMAT era médico (F) V(p A q) - V(p) A V(qj = V A F = F (4) í p : tr > 4 \q

: sen

j

p A q : rc > 4

(F) = O

(F)

e sen ^

=0

(F)

V( p A q) = V(p) A V(q) = F A F = F

E D G A R D OE A L E N C A R F I L H O

20

4.

DISJUNÇÃO ( V )

eg

Definição Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “ p ou q” , cujo valor lógico é a verdade(V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade(F) quando as proposições p e q são ambas falsas. Simbolicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação: “p V q ” , que se lê: “ p ou q” . O valor lógico da disjunção de duas proposições 6, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade: p Vq

q V F V F

p V V F F

V V V F

ou seja, pelas igualdades: V V V = V,

V V F - v,

F V v = V,

F V F

=F

V(p V q ) = Vip) V V(q) Hxemplos: (1)

íp : \q :

Paris é a capital da França 9 -4 = 5 (V)

(V)

p V
5

(V J

p V q : CAMÕES escreveu os Lusíadas ou n = 3 V(p V q) = V(p) V V(qJ = V V F = V

( V)

V (p V q ) - V (p ) V V (q ) = V V V ~ V

(2) i p : CAMÕES escreveu os Lusíadas \ n : n = 3 (F )

(3)

íp : (q :

Roma é a capital da Rússia 5/7 é uma fração própria

(V)

(F) (V)

p V q : Roma é a capital da Rússia ou 5/7 c uma fração própria V(p V q) = V(p) V V(q) - F V V - V

(V)

21

IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M Á T IC A

(4) i p : CARLOS GOMES nasccu na Bahia (F) \ q : V ^ = l (F)________________________ p V q : CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou \ / - T ; l V(p V q) - V(p) V V(q) = F V F = F

5.

(F)

DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( V )

Na linguagem comum a palavra "o u ” tem dois sentidos. Assim, p. ex., conside remos as duas seguintes proposições compostas: P : Carlos é médico ou professor O : Mario c alagoano ou gaúcho Na proposição P sc está a indicar que uma pelo menos das proposições “Carlos é médico” , “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras: “Carlos c médico e professor” . Mas, na proposição Q,seestá a precisar que uma c somente uma das proposições “Mario é alagoano” , “ Mario égaúcho é verdadeira, pois, não c possível ocorrer “Mario é alagoano c gaúcho” . Na proposição P di/.-sc que “ ou” é inclusivo, enquanto que, na proposição Q, diz-se que “ ou” é exclusivo, Fin Lógica Matemática usa-se habitualmente o símbolo ” V ” para “ou' inclusivo e o símbolo “ V ” para “ ou” exclusivo. Assim sendo, a proposição P c a disjunção inclusiva ou apenas disjunção das proposições simples “ Carlos c m édico”, “ Carlos é proíessor” , isto c: P ; Carlos é médico V Carlos c professor ao passo que a proposição O c a disjunção exclusiva das proposições simples “ Mario é alagoano”, “Mário c gaúcho”, isto c; O' : Mario é alagoano V Mario c gaúcho De um modo geral, chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por “ p V q” , que se le: “ou p ou q ’ ou “p ou q, mas não ambos”, cujo valor lógico c a verdade(V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p c q são ambas verdadeiras, c a falsidade(F) quando p c q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Logo, o valor lógico da disjunção exclusiva de duas proposições c definido peia seguinte tabela-verdade: p

q

p v q

v

V F

F

V F F

v

v v

F

F


22

ou seja, pelas igualdades:

vvv=F,

v v f = v,

F y v = v,

f v f

=

f

e V(p v q) = V(p) v V(q) NOTA A língua latina tem duas palavras diferentes correspondentes aos dois sentidos distintos da palavra “ ou” na linguagem comum. A palavra latina "vei" exprime a disjunção no seu sentido débil ou inclusivo, ao passo que a palas latina “au t” exprime a disjunção no seu sentido forte ou exclusivo.

6.

CONDICIONAL ( -*•)

Definição Charna-se proposição condicional o u apenas condicional uma proposição representada por “sc p então q” , cujo valor lógico é a falsidade' F ) no caso em que p é verdadeira c q é falsa c a verdade( V) nos demais casos. Simbolicamente, a condicional de duas proposições p e q indica-se com a notação: “p -» q” , que também se lê dc uma das seguintes maneiras: (1) (ii)

p é condição suficiente para q q é condição necessária para p

Na condicional‘'p - ^ q ” , diz-sc que p é o antecedente

e q o consequente. O

sím b o lo L‘ > ” c cham ado sím bolo de implicação.

0 valor lógico da condicional de duas proposições é. portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

p V V F F

q v

v

F

F

V F

v v

ou seja, pelas igualdades: V -v V - V,

V - » F = P\

f

-> v =

v

,

f

-»f =

v

C V(p -> qj = V(p) -» V(q)

Portanto, uma condicional é verdadeira todas as vezes que o seu antecedente é uma proposição talsa.

23

IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

Exemplos: (1) í p : GALOIS morreu em duelo (V) 1 q : 17 c um número real (V)

{

p -> q : Sc GALOIS morreu em duelo, então 7r é um número real ( V) V(p -»■’qj = V(p) -+ V(q) = V V = V (2)

ip (q :

: O mes de Maio tem 31 dias A Terra é plana (F)

(V)

p -*■q : Se o mcs de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana V(p -*■ q) = V(p) ->• V(q ) = V -»■F = F (3)

ip Iq :

: DANTE escreveu os Lusíadas (F) CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos

(F)

(V)

p

q : Sc DANTE escreveu os Lusíadas, então CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos (V) V(p -*• q) = V(p) -> V(q) = F V - V (4) j p : SANTOS DUMONT nasceu no Ceará ) q : O ano tem 9 meses (F)

(F)

p -> q : Se SANTOS DUMONT nasceu no Ceará, então o ano tem 9 meses (V) V(p -+ q) = V(pj -* V(q) = F -*■F = V NOTA Uma condicional p -*■q não afirma que o consequente q se deduz ou é conseqüência do antecedente p. Assim, p. ex., as condicionais: 7 é um número ímpar -* Brasília c uma cidade 3 + 5 = 9 - * SANTOS DUMONT nasceu no Ceará não estão a afirmar, de m odo nenhum, que o lato de “ Brasília ser lima cidadc se deduz do fato de “ 7 ser um número ím par” ou que a proposição “ SANTOS DUMONT nasceu no Ceará5' é conseqüência da proposição u3 + S = 9 ” . O que uma condicional afirma c unicamente uma relação entre os valores lógicos do anlcccdcnte e do consequente de acordo com a tabela-verdade anterior.

7. BICONDICIONAL (

)

Definição — Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por “p sc c somente se q” , cujo valor lógico c a verdade{ V) quando p ú q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, c a falsidade(F) nos demais casos.


24

Simbolicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a notação: p <—>■q, que também sc lê de uma das seguintes maneiras: (i) (ii)

p é condição necessária c suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p

O valor lógico da bicondicional de duas proposições é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

p

q

p <~* q

v v

v

F F

v

v F F v

F F

ou seja, pelas igualdades: V < _ » V - V , V«—* F = F,

F*~* V = F,

F<-^F=V

e V(p

q) = V(p)

Portanto, uma bicondicional c verdadeira duas condicionais: p -* q e q -» p.

V(q) somente quando também

o são as

Exem plos (1)

j p : Roma fica na Europa (V) ( q : A neve é branca (V) P q ; Roma fica na Europa se c somente se a neve é branca V(p *-+ q) = V(p) V(q) = V +-+ V - V

(2)

í p : Lisboa é a capital de Portugal lq

:

tg f

=3

(V)

(F)

p q ; Eisboa é a capital de Portugal se V(p<-H> q) = V(p)
( p : VASCO DA GAMA descobriu o Brasil j q : TIRADENTES foi enforcado (V) P

(V)

q ; VASCO DA GAMA descobriu o Brasil foi enforcado (F) V(p <—v q) = V(p) V(q) = F V=F

e somente setg= 3 (F)

(F)

se e somente sc TIRADENTES

IN IC IA Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A

(4) ( p ; A Terra é plana (F) \ q : V ^ c um número racional

25

(F)

p q : A Terra c plana se e somente se yJ~T é um número racional V(p q) - V(p) V(q) = F > F = V

(V)

EXERCÍCOS

1.

Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) - p (d) q <—*- p (g) ** p A ~ q

(b)

(e) 00

p Aq p^~ q p « -+ ~ q

(c) (f) (i)

p Vq p V~ q p A ~ q -> p

2. Sejam as proposiçocs p : Jorge é rico c q : Carlos c feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) q -*■p (d) ~ p q

(b) (e)

p V ~ q ~ ~ p

(c)

q (f)

~ p -p A q -p

3. Sejítm as proposições p : Cláudio lála inglês e q : Cláudio fala alemáo. Tradu/.ir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) (d)

p Vq -pA -q

(b) (c)

p A q ~~p

(c) (f)

pA~ q ~ ( - p A -q )

4. Sejam as proposições p : João é gaúcho e q : Jaime c paulista. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (a) (d)

H P A -q ) p -* -q

(b) (e)

— p ~ p ►~ q

(c) (f)

~(-pV-q) ~ (~ q -> -p J

5. Sejam as proposições p : Marcos é alto e q : Marcos é elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: (aj Marcos é alto e elegante (b) Marcos é alto, mas não é elegante (c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante (d) Marcos não c nem alto e nem elegante (e) Marcos é alto ou c baixo e elegante (f) É falso que Marcos c baixo ou quo não é elegante

26


6. Sejam as proposições p : Suely c rica c q : Suely é feliz. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: (a) (b) (c) (d)

Suely Suely Suely Suely

é é é é

pobre, mas feliz rica ou infeliz pobre e infeliz pobre ou rica, mas é inleliz

7. Sejam as proposições p : Carlos (ala francês, q : Carlos fala inglês e r : Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: (a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão (b) Carlos fala francês e inglês, ou não falafrancês e alemão (c) É falso que Carlos fala francês mas que não falaalemão (d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês

8. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) (c)

x = 0 o i.i x > 0 x > 1 t>u x + y = 0

xÔ e y =£ 0 x2 =x . x e x° = 1

9. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) (b) (c) (d)

(x + y = 0 e z > 0) x - 0 e (y + 7 > x x^ 0 ou (x = ü (x = y e * = t.) ou

ou /. = 0 ou 7 = 0) e y < 0) (X < y c r. - 0)

10. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: (a) íb) (c) (d) (c) {f) (g) (h)

Se x > 0 então y - 2 Se x + y = 2 então z > 0 Se x = 1 ou z = 2 então y > J Se z > 5 então x # I ex ¥= 2 Se x y então x +z > 5 ey + z < 5 Se x + y > z e /. = 1 então x + y > 1 Se x < 2 então x = I ou x - 0 y - 4 e sc x < y então x < 5

11. Simbolizar as seguintes proposições matemáticas: (a) x ê maior que 5 e menor que 7 ou x não é igual a 6 (b) Se x é menor que 5 e maior que 3, então x c igual a 4 (c) x é maior que 1 ou x é menor que 1 e maioi que 0


12. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (c) (e) (g)

3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10 sen n = 0 e cos n = 0 0 > 1 A y / T é irracional \ f T < 1 A \ f s " é racional

(b) (d) (f )

2 + 7 = 9 e 4 + 8=12 1>0A 2 + 2=4 ( \ Í ~ T )2 - -1 A it é racionai

13. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) Roma é a capital da França ou tg45' = I (b) FLEMING descobriu a penicilina ou sen30° = ^ (c) (d) (e) (0 (g) (h) (i) ò)

V ? < o ou Londres é a capital da Itália 2 > > /T ou Recife é a capital do Ceará > 1 V rr nao é um número real 2 = 2 V sen90° ± t g45° 52 = 10 V 7r é racional 3* 3 V 5* 5 \ f - 4 ' = 2 \f ~ - T V 13 é um número primo -5 < - 7 V | - i i = -2

(k)

| - 5 | < 0 V tg |

<1

14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (bj (c) (d) (e)

Se 3 + 2 - 6 entao 4 + 4 = 9 Se 0 < 1 então \ / T é irracional Se V 3 > 1 então -1 < - 2 Se j —1 1 = 0 então sen30° = ^ LgóO0 = y / J - » 2 = 2

(f) y / j > V T -> 2° - 2 (g) - -1 -* V 2 T = 5 (h) 7J > 4 — »■ 3 > y f T 15. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g )

3 + 4 = 7 sc c somente se 53 = 125 02 =1 sc c somente se (1 + 5)° = 3 = 4 sc e somente se \J~T - 0 tg7r = 1 scc somente sc senir = 0 -1 > - 2 «-> rr2 < 2 0 - 2 > 0 «-► JT2 < 0 3J + 4 2 = 5 2 ►rr é racional

(h) 1 > sen ^

+-+ cos ^

 I cos20° > 2 (j) v ^ T = - ] < - > -2

28


16. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) Nâo é verdade que 12 é um número ímpar (b) Não é verdade que Belém é a capital do Pará (c) É falso que 2 + 3 = 5 e1 +1- 3 (d) E falso quo 3 + 3 = 6 ou\ / -1 = 0 (e) ~{J + 1 = 2 «—►3 + 4 =5) (i ) '-(1 + 1 = 5 «—*■ 3 + 3 =1) (g) 2 + 2 = 4 ->-(3 + 3 = 7 ► 1+ 1 - 4 ) (h) - ( 2 + 2 * 4 e 3 + 5 - 8 ) 17. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) ~(senO° = 0 ou eosO° = 1) (b) ~ ( 2 3 =£8 ou 4 3 té 4 3) (e) ~(tg45° = 2 se e somente se ctg45° = 3) (d) Brasília é a capital do Brasil, c 2o= 0 ou 3o = I (e) ~ (3 2 = 9 -> 3 -- 5 A O2 = 0) (O 34 = 81 ^ - ( 2 + I = 3 /. 5 . 0 = 0) (g) 4 3 ¥■ 64 ~ (3 + 3 = 7 «—» 1 + i - 2) 18. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V c h determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) p A ~~q (d) ~ p A ~ q

(b) (e)

pV-q ~p v ~q

(c) (f)

~p A q p A ^ p V q)

19. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo: (a) (c) (e)

V(qJ = F V(q) - F V(q) = V

e V(p A q ) - F e V(p.-*q) = F e V ( p ^ 'q ) = F

(b) (d) (f)

V(q) = F V(q) = F V(q) = F

e e e

V(p V V(q -> V(q

20. Determ inar V(p) e V(q> cm cada um dos seguintes casos, sabendo: (a) V(p -> q) = V e (b) V(p -> q) = V e (c) V( p <-> q) = V e (d) V(p «—> q) = V e (e) V(p «—»■q) = F e

V(p A q) - F V(p V q) = F V(p A qj = V V(p V qj = V V (~ p V qj = V

q) = F p) = V p) = V

3

Capitulo

Construção de Tabelas-Verdade

1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Dadas várias proposições simples p, q, r, . . . , podemos combiná-las pelos conectivos lógicos: —

, A , V , -» , «—►

e construir proposições compostas, tais como:

p(p> q) ~ ~p v (p -*• q) Q
»-r ) )

Então, com o emprego das tabelas-vcrdadc das operações lógicas lundamentais (Cap. 2): ~p,

pAq,

p V q,

p -+q,

p* *q

é possível construir a tabela-verdadc correspondente a qualquer proposição compos ta dada,tabeía-verdade esta que mostrará exatamente os casos em que a proposição composta será verdadeira(V) ou falsa(F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende dos valores lógicos das proposições simples componentes.

2.

NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE

O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta deponde _ número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta eom n proposições simple» componentes contém 2n linhas.


30

Dem. Com efeito, toda proposição simples tem dois valores lógicos: V e F, que se excluem. Portanto, para uma proposição composta P (p i, p2, . . . , pn,) com n proposições simples componentes p i, p 2 , . . . , Pn há tantas possibilidades deatribuição dos valores lógicos V c F a tais com ponentes quantos são os arranjos com repetição n a n dos dois elementos V e F, isto é, A2jn = 2n, segundo ensina a Análise Combinatória.

3. CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Para a construção prática da tabcla-verdade dc unia proposição composta começa-se por contar o número dc proposições simples quo a integram. Sc há n proposições simples componentes: p , , p¿ , . . . , pn , então a tabcla-verdade contém 2n linhas. Posto isto, à 1? proposição simples p, atribuem-se 2n/2 ~ 2n ~ ‘ valoresV seguidos de 2n_1 valores F; à 2? proposição simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - * valores V, seguidos de 2n - 2 valores F, seguidos dc 2n 2 valores V,seguidos, finalmente, dc 2n " 2 valores F; e assim poT diante. De modo genérico, a k-ésima proposição simples p |< (k < n ) atribuem-se alternadamente 2n/2*c = 2n ^ valores V seguidos de igual número de valores F. No caso, p. ex., de uma proposição composta com cinco (5) proposições simples componentes, a tabela-veidade contém 25 " 32 linhas, e os grupos de valores V e F sc alternam de 16 em 16 para a Ia proposição simples p , , de 8 em 8 para a 2? proposição simples p2, de 4 em 4 para a 3? proposição simples p ;1, de 2 cm 2 para a 4? proposição simples p4, c, enfim, de 1 em 1 para a 5? proposição simples ps .

4.

EXEMPLIFICAÇÃO

( I ) Construir a tabela-vcrdade da proposição: P(p, q) = ~ (p A - q ) 1? Resolução — Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas proposições simples componentes p c q. Em seguida, forma-se a coluna para - q . Depois, forma-se a coluna para p a ~ q Afinal, forma-se a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta dada.

p v v F

F

<1 ~ q v F v F F v v F

p A ~q F

v F F

~ (p A ~ q )

v F v v

31

IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T E M Á T IC A

2? Resolução — Formam-se primeiro as colunas corrcspondentes às duas proposições simples p e q. Em seguida, à direita, traça-se uma coluna para cada Uma dessas proposições c para cada um dos conectivos que figuram na proposição composta dada.

p

q

V

v F v F

v F F

~

(P

A

-

q)

Depois, numa certa ordein, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores lógicos convenientes, no modo abaixo indicado:

p

q

~

v v

v

v

F

F

F

v

F

F

v v 4

(P v v F F 1

A

~

F

F

v F F

v

F F

F

v

v

F

3

o

1

Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se nacoluna completada em último lugar (coluna 4). Portanto, os valores lógicos da proposição composta dada correspondentes a todas as possíveis atribuições dos valores lógicos V e F às proposições simples componentes p c q ( W , VF, FV e FF) são V, F, V e V, isto é, simbolicamente: P
P( VF) = F,

P( FV) = V,

P( FF) = V

ou seja, abreviadamente: P (W . VF, FV, FF) = V F W Observe-se que a proposição P(p, q) associa a cada um dos elementos do conjunto U - { W , VF, FV, FF } um único elemento do conjunto {V, F} , isto é, P(p, q) outra coisa não é que uma função de U em {V, F} : P(p, q) : U -* {V, F }

32


cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:

U

3? Resolução Resulta de suprimir na tabela-verdade anterior as duas primeiras colunas da esquerda iclativas. às proposições simples componentes p e q, o que dá a seguinte tabela-verdade simplificada para a proposição composta dada: A

F v v

(P v v F F

4

1

3

V

F v F F

q) F

v F

v 2

v F v F 1

(2) Construir a (abela-vcrdadc da proposição: P(p, q) = M p a q) V

<-»■ pj

lí1 Resolução: P

v v F I

q v F v F

p Aq

q^P

~ (P A q)

~ (q ^ p )

~{p A q) V ~(q<—*-p)

v F F F

v F F v

F v v v

F v v F

F v v v

2? Resolução:

p v v F

F

q v F v F

(P

A

F v v v

v v F F

F F

3

1

V

F

(q v F v F

v F F v

P) v v F F

3

1

2

1

F v v v

v v

F

q) v F. v F.

2

1

4

v

F


Portanto, simbolicamente; P(VV) * F,

P( VF) = V,

P(FV) = V,

P< FF) = V

ou seja, abreviadamente: P (W , VI’, FV, FF) - F V W Obscrve-sc que P(p, q) outra coisa não 6 que uma função de li - ( W , VF, FV, F F ) em (V , F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital 6 a seguinte:

3? Resolução. <—>

F

(q v F v F

3

1

2

-

(P

A

q)

,v

F V

v v

v F

v v

F F

v F F F

v v

F

F v v v

3

1

2

1

4

V

F

v F F v

P) v v F F 1

(3) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p, q, r) = p V ~ r -»■q A —r 1? Resolução: ~r

V~r q A

pV-r-^qA-r

P

q

T

v v v v

v v

v

F

v

F

F

F

v

v

v

F F V

v

F

V V

F

v

v

v

F

F

F F F

v

F

v

v

v

F F

v

F

F

F

v

v

F F

F F V V V F

F F F F

p

_ 34


2? Resolução:

p V v v v F F

F F

q

r

P

V

v v

v

F F

v F v F v F

v v v v F F F F

v v v v

1

v v F F

F

-

!

F

F

F

v v

v F v

v F v F v F v F

3

2

J

F

v F

v

•i

A

F v F F v v v F

v v

v

4

r

v v

F F v

F F

F

F v F v F v F v

1

3

2

F F

F F

F

v F V

F V *F

v F

1

Portanto, simbolicamente: P( V W ) - F,

P (W F ) = V,

P(VFV) - F,

P(VFF) = F

P(FVV) = V,

P(FVF) = V,

P(FFV) = V,

P(FFF) = F

ou seja. abreviadamente: PfVVV, W F . VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) ~ F V F F W V F Observe-se que a proposição P(p, q, r) outra coisa não é que uma função de u 3= {w v , W F . VFV. V FF, F W , FVF, FFV, FFF) em {V, F) , cuja represen tação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:

35

IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA MATEM ÁTICA

3a Resolução: -+■

q

A

-

r

F

v v

F F

F F

F v F

F v F v

v

v

v v F

F

v

v F

v

F

v

v v v

F

v

v

F

F

F

F

v

F

2

1

4

1

3

2

i

p

V

~

r

v v v v

v v v v

F F F F

F

v F v F v

v

F v F v F v

F

F

v

1

3

F

F F

F

v F

(4) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p, q, r) - (p -►q) A (q -* r) -►(p -> r) Resolução:

r

P v v v v

q v v F F

v

F F F F

v v

v

F F

v F F F

v F

(P v v v v

-*■

A

(q v v

—

r)

->•

(P

-y

r)

v

F

v v v

v v v v

V F

F F

V F V F

v v

q) v v

F F

F F

F F F

F F F F

v v v

v v

F

v v

v

F F

v v

1

2

1

3

v

v

F

F

F F

v v

v F

v v v v v v v v

1

2

1

4

F

v

v

v

v

F

F

F F F F

v v v v

v

1

2

1

Portanto, simbolicamente: P (W V ) = V,

P(VVF) = V,

P( VFV) = V,

P(VFF) = V

P (F W ) = V,

P{FVF) = V,

P(FFV) = V.

P(FFF) = V

ou seja, abreviadamente: P (W V . W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, F FF) - V VV VV VW

F V F

3e


Observe-se que a última coluna (coluna 4) da ta bei a-verdade da proposição P(p, q, r) só encerra a letra V(verdade), isto é, o valor lógico desta proposição é sempre V quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes p» q e r.

(5) Construir a tabela-verdade da proposição: P(p, q, r) = (p -> ( ~ q V r » A ~ ( q V (p

~ r))

Resolução:

(p

-y

(~

F

v F v v v v v v

F F v v F F v v

1

4

2

V V V V F F

F

q

V

r»

~

(q

V

(P

F F

F

v v v v v v F

v v v v

4

A

v F v F v F v

v F

v F

F F

v F v v v F v v

F F F

F F F

F

v

v

v v F F v v F F

1

3

1

6

5

1

v v F

F v v

F

F

r))

F

F v

v

F

v

F

v F v v

F

F

F F

v F

v F v F v

1

3

2

F F

v F

v F

1

Note-se que é uma tabela-verdade simplificada da proposição P(p, q, r), pois, não encerra as colunas relativas às proposições componentes p, q e r. Portanto, simbolicamente: P (W V ) = F,

P(VVF) = F,

P(VFV) = V,

P(VFF) = F

P (F W ) = F,

P(FVF) = F,

P(FFV) = F,

P(FFF) = V

ou seja, abreviadamente: P (W V , W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, F FF) = FFV FFFFV

5.

VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA

Dada uma proposição composta P(p, q, r , , . .), pode-se sempre determinar o seu valor lógico (V ou F) quando são dados ou conhecidos os valores lógicos respectivos das proposições com ponentes p, q, r, . . .


37

Exemplos: (1) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente V e F, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: PÍP- q) = ~ (p v q) Resolução

~p A ~q

Temos, sucessivamente:

V(P) - ~ (V V F )«-+ ~ V A ~ F = ~ V (2) Sejam as proposições p : ir = 3 e q : sen (V ou F) da proposição:

►F A V •- F +-*■ F = V ~

= 0 . Determinar o valor lógico

P(p, q) = (p -*■ q) -*■(p -+ p A q) Resolução — As proposições componentes p e q são ambas falsas, isto é, V(p) = F e V(q) = F. Portanto: V(P) = (F + F ) - M F - * F A F) = V

(F -> F) = V -> V = V

(3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F, determinar o valor lógico (V ou F)

da proposição: P(p, q, r) = (q <—* (r -*■ —p)) V ( ( - q ^ p j Resolução

Temos, sucessivamente: V(P) = (F ( F ~ V)) V ( ( —F -v V) F) = - (F (F F)J V ((V V) F) = = (F ^ V jv (V ^ > F ) = FVF=F

(4) Sabendo que V(r) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: p -* ~ q V r. Resolução Como r c vcrdadcira(V), a disjunção --q V r é vcrdadcira(V). Logo, a condiciona] dada é verdadeira(V). pois, o seu consequente é verdadeiro (V). (S,) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: (p -» q) -» ( ~ q -> ~ p ). Resolução — Como q é verdadeira(V), então ~ q é falsa(F). Logo, a condicional ~ q ->■~ p é verdadeira(V), pois, o seu antecedente é falso(F). Por conseqüência, a condicional dada é verdadeira(V), pois, o seu consequente é verdadciro(VJ.

E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O

38

(6) Sabendo que as proposições “ x = 0 ” e “x = y ” são verdadeiras e que a proposição “y = z” é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) da proposição: xÔVx^y-ty^z

Resolução


~V V ~V -> -rF = F V F -» V = F -* v = v

. 6. USO DE PARENTESIS óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que devcin ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, p. ex., a expressão p A q V r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições: (0

(p A q) V r

e

(ii)

p A (q V r)

que não têm o mesmo significado, pois, na (i), o conectivo principal é " V , e na (ii), o conectivo principal c “ A ” , isto é, a (i) 6 uma disjunção e a (ii) c uma conjunção. Analogamente, a expressão p A q - + r V s dá lugar, colocando parêntesis, às seguintes proposições: t(P A -s- r> V s,

p A ((q -+ r) V

p A (q -* (r V s)),

s), (p A (q -* r)) V

s,

(p A q ) - + ( r V s)

tais que, duas quaisquer delas, não têm o mesmo significado. Por outro lado, cm muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim dc simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalm ente, ambiguidade alguma venha a aparecer. A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções, das quais são particularmente im portantes as duas seguintes: (I) A “ordem de precedencia” para os conectivos é: (1)

~ ; (2) A e V ;(3) ■+;

Portanto, o conectivo mais “ fraco” c Ássim, p. ex., a proposição:

e o conectivo mais ' ‘forte ’ é

(4) .

p ->• q <—* s A r é uma bicondicional c nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional há que usar parêntesis: p

(q «-*- s A rj

39


e, analogamente, para convertê-la numa conjunção; q «—►s) A r

(p

O conseqüente da condicional é uma bícondicional. Desejando-se converter este consequente numa conjunção cumpre escrever: P "*■ ((q

s) A r)

Também são bicondicionais as três seguintes proposições; p A q j - t - r V s;

p

q <—*■r A s;

p V q -—*~ r

s

(II) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem -se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. Segundo estas duas convenções, as quatro seguintes proposições: (( ~ÜM P a q)))

v (~ p ))i ((P

(((p V ( - q ) j A r) A (~ p ));

((~ p )

V (~ q )) A (r A(~ p ))) (q -> (~ (p V r))))

escrevem-se mais simplesmente assim: - .'- ( p A q ) V ' p ;

(p V ~ q ) A (r A ~ p )

(p V - q) A r A ~ p ;

~ p -* (q -* - ~ ( p V rj)

7. OUTROS SÍMBOLOS PARA OS CONECTIVOS Nos livros de Lógica, usam-se diferentes símbolos para os conectivos, Assim, p. ex., são frequentem ente usados os símbolos:

“ 1”

para a negação (

“ . ”

e “ ec ” para a conjunção ( A )

“ D”

(ferradura) para a condicional (->-)

)

EXERCÍCIOS

1.

Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: (a) ~ (p V - q) (c) p A q - > p V q (e) ( p - ^ q ) - » - p A q

(g) (p

~ q) "í-i> q ^ P

(b) ~ ( p - > - q ) (d) ~ p -*-(
40

2.

E D G A R D DE A L E N C A R F f L H O

Construir as ta belas-verdade das seguintes proposições: (a) - p A r ^ q V - r (b) p -*■r q • -: (cj p ~ Mp -+ ~ r)* -* q V r(d) (p A q ™ r) V f ^ p — * q V - i>

3.

Determinar P (W , VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos: (a) (b) (0)

P(p, q j = ~C^P ►q) P (p .q ) = ~ p V q -►p P(p, q) = (p V q) A H p A q)

(e) ( f)

P(p, q j - (p A ~ q ) V ( ~ p A q_) P(p, q) = - ( ( p V q) A (~ p V - q)) P(p, q) - - q V p ^ q - » ~ p

(g.)

p(p .

(d)

q)

=

(p V

q) A - p -+ (q -> p)

Determinar P (V W , W F , VFV. VFF, F W , FVF, FFV, FFF) em cada um dos seguintes casos: (a) (b) (c) (d) (e)

P
= p V j q A r) = tP A ~ q ) V i = - p V (q A ~ r ) = (p V q) A ( p V r) = (p V - r) A (q V ~ r) = M p V - q ) A ( - p V r)

Determinar P(VFV)em cada um dos seguintes casos: (a) (b)

(c) (d) (e) (f)

P(p, P(p, P(p, P(p, P(p, P(p,

q,r) q,r) q,r) q,r) q,r) q,r)

= = = = = =

pAM-»~q ~ p A (q V —r) ~ ip A q ) * - > - ( p V - r ) {r A (p V - q ) ) A ~ ( ~ r V(p A q)j (p V q -> r) -►q V ~ r (p V ( q - * - r ) ) A (~ p V r* —-q)

6. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V, determinar o valor lógico ( V ou F) da proposição: {p A (, - q -4- p)) A ~ ((p *-*►'~ q ) - q V ~ p )

7. Sejam as proposições p : tg(jr -x.) = ctgx c q : n < 2. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (~ p A q ) V ( p A - q ) (c ) ~ (p A q) *—*■ - p v - q

(b) (d)

(p -►q) A ~ p -* ~ q (p V ( ~ p v qj) V ( ~ p A - q )

IN IC IA Ç Ã O A LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

8

Sabendo que os valores Lógicos das proposições p, q e r são respectivamente V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes p ro p o r ções: (a) (p<—> p - ^ q ) V ( p - * r ) (c)

¿ , . i (b) ( p -* ~<Ú *-»"U-P ■ r) ^

(p A q •+ 0 ** (p -* (
9. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que as propostçoes r e s são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das segum es proposições: (a) (c) (e) (g) (i) (k)

pAq-»f q <-*■ p A s (q - S) -> r (qVr)A(pVs) (pA~q)Vr (s +-* r) (p

(b) i V s q (d) p ~ (r A s) ( Ó ~ r -+ P A q (h) ( r ^ ) A ( p A q) 0) - (tr^ p )V (s-q )) 0) r ^ q ^ (~ P «-* r)

q)

10. Sabcndo que os valores lógicos das proposições p, q, r c s s ã o respectivamente V, V, F e F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das seguintes proposições: (a) p -?■ q *—►q p (c) (p - t) - ( - P - ~ r) (e) '-(p A s)-> ~ p A ~ s 11.

(b) ( t - ' P ) *l p r) (d) - (p A q)--> >'P V ~ q (O p V sj A (s V i))

Sabcndo que V ( p ) - V( r ) = V e V(q) = V(s) ” F, determinar o valor lógico (V ou F) de cada urna das seguintes proposições: (a) p Aq<—>- r A 'S (c) ( ~ p -»■ q ) -> ( s ->r) (e) (q A r) A s -» (p s) (g) (p A q) A (r A s) > p V s

(b) (d) (O (b)

(p - * -* -q )í ) (,p A q ) V s - , ( p ^ s )

p -» ~ q (~ p v s)

(p V r) A s V ( - s A r)

12. Sabcndo que as proposições “x = 0” e “ x = y ” são verdadeiras c que as proposições “y = e “y = t ” são falsas, determinar o valor logico(V ou f ) de cada uma das seguintes

proposições:

(a) x - l ) A x - y - > y ^ íc( (e) x = 0 + ( x ^ y V y t6 t )

(b) x ^ 0 V y = t - + y - z 1« * + 0 V ***■***'■

13. Sabcndo que a condicional p ^ q é verdadeira(V), determinar o valor lógico (V ou F) das condicionais: pVi^qVr

e

p Ar->qAr


42

14. Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma dasseguinies proposições: (a) (b) (c)

p *—*■q A ~ r, sabendo que V(pJ - V(r) = V p A q - » p V r, sabendo que V(p) = V(r) = V (p -> ~ q ) A ( ~ p V r), sabendo que V(qJ = F c

V(r) =V

15. Suprimir o maior número possível de parêntesis nas seguintes proposições: (a) {(q <—> (r V q)) *—* (p A ( ~ ( - q ) ) ) ) (b) ((p A ('-( ~ q ) )) ^ ( q ^ ( r V q » ) (c) (((p V q )-+ (~ r)) V ((((—q> A r) A q)))

Capitulo

4

Tautologías, Contradições e Contingências

I. TAUTOLOGIA Definição Chama-sc tautologia toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabcla-verdade encerra somente a letra V( verdade). Em outros termos, tautologia é toda proposição compostn P(p, q, r , .. .) cujo valor lógico é sempre V(verdade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, . . . As tautologías são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. É imediato que as proposições p ^ p e p *—*■p são tautológicas (Principio de identidade para as proposições),

hxeniplos: (1) A proposição “ ~{p A ~ p ) ” (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade;

p v F

~p

F v

p

A

F P

~p

~ (p

A ~*-p) v

V

-

Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultáneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.


44

(2) A proposição "p V p” (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, corno imediatamente se vc pela sua labcla-verdadc:

p v F

~p P V ' P F v

v v

Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. (3) A proposição up V M p A q f c tautológica, conforme se vê pela sua tabeia-verdade: p

9

p Aq

v v F

v

v F F F

F

v F

F*'

H p A q) p V ~ (p A q)

v v v v

F v v v

(4) A proposição “ p A q -M p+-+q)” é tautológica, conforme mostra a sua (abcla-verdade: '

p

q

p Aq

v v

V F

v

F F

v F

F F F

p*-*q p A q -^(p-e—» q) v v v 1 v F v v

(.5) A proposição “ p V ( q A ~ q ')+ -+ p ” é tautológica, conforme mostra a sua labela-verdíidc:

p v

q v

V F F

v

f

^q q A - q p V (q A ~ q ) p V (q A ~ q) v v F F v v v F v F F F v F v F

p

IN IC IA Ç Ã O À LÓ GICA M A T F M Á T IC A

(6) A proposição up A r -+ tabela-verdade:

p v v v v F F

F F

q v v F F V v F F

r

~q

v

F F v v F F v v

F

v F V

F v F

q V r” c tautológica, conforme se vê pela sua

p A r ~q V r pAr-*~qV r

V

F

v F F F F F

v v F F

F F 1

2.

F

v v

*)

{p -»• (q -+ r)J” c tautológica, conforme mostra a

->

q)

-*

r)

-

v v F F v v v v

v v F

v F V

v

F

V

v v F F

v

v v v v v v v v

2

1

F

V F

3

F

v F v F v 1 1

v v v v v v v v

v F v v v

v

(7) A proposição %í((p -*■q> sua tabela-verdade:

IIP v

45

4

(P v V V

v F F F

F 1

v F

v v v v v v 3

(q v v F V

v v

r))

v F v

v F

V V

v v v

F

F

F F

V v

v

1

-)

1

F

PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO PARA AS TAUTOLOGIAS

Seja Pfp. q, r . . . . ) uma tautologia e sejam P0(p. q, r , . . .), Qo • • •) Que assim se obtém também é uma tautologia. Subsiste, pois, para as tautologías o chamado “ Princípio de substituição” seguinte: Se P(p. q. r , . . é uma tautologia, então P(P{i. Q0, R<>, . ..) também é uma tautologia, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0. R0, . . .


46

3.

CONTRADIÇÃO

Definição — Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade cncerra somente a letra F(falsidade). Km outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q. r , . . .)cujo valor lógico é sempre F(faisidade), quaisquer que sejam 'os valores lógicos das proposições simples componentes p. q, r , . . . Como uma tautologia é sempre verdadeira(V), a negação de uma tautologia è sempre falsa(F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa. Portanto, P(p. q, r , . . .) é uma tautologia se e somente se ~ P (p , q. r , . . . ) é uma contradição, e P(p. q, r . . , é uma contradição se e somente se ~ P (p , q. r , . . . ) é uma tautologia. As contradições são também denominadas proposições contraválidas

ou

proposições logicamente falsas. Para as contradições vale um “ Princípio de substituição” análogo ao que foi dado' para as tautologías: Se P(p, q, r, . ..) é uma contradição, então P(P0 , Qo• ■•) também é uma contradição, quaisquer que sejam as proposições P0, Q0 , R0 . , . .

Exemplos:
p

~P

p A ~p

V F

F V

F F

Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. (2) A proposição “ p *—»■~~p” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade;

P

~p

V F

F V

p*~*~p F F

IN IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A

47

(3) A proposição “ (P A q) A ~ (p V q)” é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade;

p V V F F

q v F v F

p A q

p Vq

v F F F

v v v F

~(p V q) (pA q) A ~ (p V q) F F F F

F F F v

(4) A proposição “ ~-p A (p A ~ q ) ” é uma contradição, conforme mostra a sua tabela-verdade:

4.

P

q

~p

v v F F

v F v F

F F v v

~q ! p A ~q

F v F V |

F v F F

~ p A (p A ~ q )

F F F F

CONTINGÊNCIA

Definição Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma ve?., Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nc-m contradição. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. Exemplos; (1) A proposição “ p - » ~ p ” é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela verdade:

P v F

~p p-*~p F

v

F v

4g


(2) A proposição “ p V q - ^ p ” é uma contingência, conforme mostra a sua tabda-verdade:

p v v F F (3)

A proposição “x - 3 A (x a sua tabcla-verdadc:

v F

F

v

F

F

y

F F

v v

p Vq

v v v

v v

F

v

p

F

x f- 3)” é uma contingência, conforme mostra

x i~- 3 x = 3 A (x A y -+ x t- 3)

3 x # y x v* y

x= 3 x = y x

v v

p Vq

q v F v F

F V F

v

v

F v

V

V

F F F

EXERCÍCIOS 1. Mostrar que as seguintes proposições sao tautológicas: (a)
(g) (i) (k )

(p

p) v (P -* ~P>

(p -+ qj A p -* q (p- »q ) A ~ q ~ p p <—>p A (p V q) ~ ( p A ~ p ) v (q -*■~~q) - ( p V q> -> (p +-*■ q)

(b ) íd ) (f) (h)

(j) (D

(p

p A - p ) «-> ~ p p V (q V ~ p ) (p V q) A ~ -p -* q ~ ( p V - p ) v (q V *~q) pV (pA q)^p fp^q)A p->q

Mostrar que as seguintes proposiçoes sao tautológicas: (a)

(c)

(p -> q )-* (p A r -> q) (p - q) -> (p A r q A r)

(b )

(d)

(p -> q) -» (p -*■q V r) (p q) > ( p V r -> q V i

Mostrar que as seguintes proposições são contingentes: (a) (c) 4.

p Vq^p Aq (p -+ (p -* q)) -+ q

(b) (d)

(q -*■ p )-* (p -> q) p^(p-^qA-q)

Determinar quais das seguintes proposíçoes são tautológicas, contra válidas, ou contingentes: (a) (c) (e) (g)

p -> (~ p -» q) p (q -+ (q -> p}) pV^q^(p^-vq) p (p V q) V r

(b) (d) (f) (h)

- p V q ^ (p^q) ((p -> q) *-» q) p ~ p V ~ q -» ( p q ) pA q-^(p^qV r)

Capítulo

5

Implicação Lógica

1. DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA Definição Diz-se que uma proposição Píp, q. r . . . .) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q{p, q; r . . . se Qlp. q, r . . . . } c verdadeira(V) todas as vc7.es que P(p, q. r , . . . ) é verdadeirat V), Em outros termos, uma proposição P(p, q. r. . . . ) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r , .. .) todas as vezes que nas respectivas tabelas-verda.de dessas duas proposições não aparece V na última coluna dc P(p. q , i , e F na última coluna de Q(p. q. r , . . . ) , com V e F em uma mesma linha, isto e. não ocorre P(p, q, r , . . .) e Q(p, q. r . . . . ) com valores lógicos simul táñeos respectivamente V c F. Indica-se que a proposição P(p, q, r , . . ,) implica a proposição Q(p, q, r , . . .) com a. notação: P(p, q, r , . . . ) =» Q(p. q- r----- > Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente contradição implica uma contradição.

uma

2. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T). isto é. simbólicamente: (R ) P(p, q, r, . . . ) (T)

^ Píp. q, r, . . .)

Se P(p, q, r , . . .) =>■ Q(p, q: r , . . .) e Q(p, q, r , . . .) =¡>R(p, q, r , . ..) , en tão Pfp, q, r , . . . ) => R(p, q, r , . . . )

EDGARD DE ALENCAR FILHO

50

3. EXEMPLIFICAÇÃO ( I ) As tabeias-verdade das proposições: p A q,

p

V

p <-* q

q,

são:

p*

P

q

p A q

PV q

V V

v

V

F

F F

V

F F F

v v v

F F

F

v

F

q

*

v

A proposição "p A q” é vcrdadeÍTa(V) somente na linha 1 e, nesta linha, as q” também sao verdadeiras(V). Logo, a primeira proposições “ p V q’ e “ p proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto e: p A q =» P V q

e p A q => p <—*q

As mesmas tabelas-verdade também dem onstram as importantes Regras de inferência: O)

P =* p v q

(ii)

p A q =* p

q =» p V q p A q -> q

e e

(A d içã o )

(Simplificação)

(2) As tabelas-verdade das proposições: P < --q ,

p -> q,

q -> p

são: p->q

q^p

V

v

F

v v

V

F F

F

V

v v

v

P

q

V V

v

F

F F

p

*

q

F

A proposição “ p * * q" e verdadeira(V) nas linhas 1 e 4 c, nestas linhas, as :ambém são verdadeiras. Logo, a primeira proposiproposições “ p -+ q” e “ q ção implica cada uma das outras duas proposições, isto e: P

«— >

q

=* p - ^ q

e

p ^ q

=> q ^ p

51


(3) A tabehirverdade da proposição: “(p V q) A ~ p ” c: p

v v F F

q v F v F

pV q

~p

v v

F F v v

v F

(p V q) A ~ p ) F

F

v F

Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 3 e, nesta linha, a proposição “ q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica: (p V q) A ~ p => q denominada Regra do Silogismo disjuntivo. Outra forma desla importante Regra de inferência é: (p V q) A ~ q => p

(4) A tabcla-verdade da proposição “(p -* q) A p” é:

(p -> q)

P

q

p-*q

v v

v

v

v

F

F

F F

v

v v

F F F

F

a

p

Esta proposição é verdadeira(V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição “ q” também é verdadeira(V). Logo, subsiste a implicação lógica: (p

q) A p =»■ q

denominada Regra Modus ponens. (5) As tabelas-verdade das proposições “(p - * q ) A - q ” e “ ~p” são:

P

q

p-+q

v v

v

v

F

F

F F

v

v v

F

~q ( p - * q ) A ~ q ) F F F v F F

v

v

-p

F F

v v


A proposição ,v(p -> q ) A - q ” é verdadeirafV) somente na linha 4, e nesta linha, a proposição “ ~ p ” tam bém é vcrdadeira(V). Logo, subsiste a implicaçao lógica: (p~> q) A ~ q => ~ p denominada Regra Modus tollens. As mesmas tabelas-vcrdadc também mostram que M~ p ” implica “ p - + q ’\ isto é: ~ p => p -*• q-

4. TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LOGICA Teorema

A prop osição P(p. q, r, . . .) implica a proposição Q(p. q, r----- ).

isto é: P(p, q. r___ ) => Q(p, q. r, . . .) se e somente se a condicional: P(p. q, r ___ ) -*• Q(p, q. i ----- )

d)

é tautológica. Dem. - (i) Se Píp, q, r , . . .) implica Q(p. q. r, . . .), então, não ocorre que os valores lógicos sim ultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e l . e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional (1) encerra somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica. (ji) R e c i p r o c a m e n t e , se a condicional (1) é tautológica, isto é, se a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V, então, não ocorre quo os valores lógicos simultâneos das proposições P( p. q, r----- ) e Q(p, q, r , . . .) sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda. Portanto, a ioda im p lic a ç ã o lógica corresponde uma condicional tautológica, e vice-versa. Corolário - Se P(p, q, r , . . . ) => Q ( p , q, r , . . .), então, também se tem: P(P„, Q0, R n. . . .) => 0 ( P < „ Qo - R o . . . - ) quaisquer que sejam as proposições P0, Q0, R0 , . ..

NOTA Os símbolos -* e => são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica (aplicado, p. ex., às proposições p e q dá a nova proposição p - q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece quo a condicional P(p, q, r , . . .)-*-> Q(p, q, r , . . . ) é tautológica).

IN IC IA Ç Ã O Ã L C G IC A M A T E M Á T IC A

5

Exemplos: (1) A condicional “(p -* q) A (q ->■ r) -*■(p -*■r)” é tautológica, pois, a coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (Cap. 3, § 4, Logo, subsiste a implicação lógica:

últim; Ex. 4)

Cp -> q) A (q -> r) => p — r denominada Regra do Silogismo hipotético. (2) A condicional “ p e tautológica,pois, a última coluna tabela-verdade encerra somente a letra V:

q v F v F

p V V

F F

~p

da su;

P A ~ p p A ~ p -»• q

F F v v

F F

v v v

F

v

F

Logo, subsiste a im plicação lógica; p A ~ p => q. Assim, de um a contradição p A ~ p se deduz qualquer proposição q (Princípio da inconsistência). (3 ) A proposição “ (p

> q) A p” im plica a proposição “ q", pois, a condicional

“(p «—■ >q) A p -•> q” é tau tológica conforme se ve pela sua tabela-verdade:

p

q

v v F F

v F

v F

p v F F v

Portanto, simbolicamente:

q (p ■*—+ q ) v F F F

A

p

(p «-► q) A p

q

v v v v

(p <-+ q) A p =* q.

EXERCfCIOS 1.

Mostrar que a pio posição p implica a proposição qíp => q) cm cada um do seguintes casos: (a) (b) (c)

p : n > 3; q : tg45° = 1 p : sen30° = 1; q :yj 2 > \f 1 p : ABCD é um losango; q : ABCD é um paralelogramo

E D G A ftD D £ A L O CAR F IL H O

54

(d) (e) (f>

(g)

p : O polígono ABCDE . . . é regular; q : O polígono ABC DE . . . é ins crit ível p ; O número inteiro x termina por 0; q : O número mte;ro x i divisível por 5 p : ABC’ é um triângulo; q : A soma dos ângulos internos A. B e C é igual a 180° p ;ts |

= v ^ i

2. Mostrar: (a) q =>p -+ q;

q ;sén f

= cos f

(b) q =*■p A q

*p

3. Mostar que p —q não implica p -» q. Resolução As tabelas-verdade das duas proposições dadas são:

p

q

V v F F

v F v F

-q

F v

F v

p «-+ ~ q

p -+ q

F v v F

v F v v

A proposição “p » ~ q ” é verdadeiraf V) na linha 2 e, nesta linha, a proposição “ p -*• q” é falsa(F). Logo, a primeira proposição n ão implica a segunda. 4. Mostrar que p não implica p A q e que p V q não implica p. 5. Mostrar:

(x = y V x < 4) A x < 4 => x = y.

6. Mostrar:

(x =£ 0 -> x = y) A x ¥=y =» x = 0.

Capítulo 6

Equivalência Lógica

í.

DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Definição Diz-sc que uma proposição P(p, q, r. . . .) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q. r , . . se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Irtdica-sc que a proposição P(p. q. r, . . .)c equivalente a proposição Q(p, q, r , . . .) com a notação: P(p, q, r , . . .) ■*** Q(p, q, r , . . . ) Em particular, se as proposições P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r, . . . ) são tautologías ou são ambas contradições, então são equivalentes.

ambas

2. PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA É im ediato que a relação de equivalência lógica entre proposições goza propriedades reflexiva(R), simétricaíS) e transitiva(T), isto é, simbolicamente:
(S) (T)

P(p, q, r , . . .) *=* P(p, q, r , . . 0 .), então Se P(p, q, r, .) <=> Q(p, q ,r, Q(p, q; r , . . -) <=* P(p, q, r , . . •) Se P(p, q, r, , , •) <=> Q(p, q, ^ •> c R(p, q, r, . . •)> então •) P(p, q r , . . •) <=> R(p, q, r , . , •)

Q(p, q, r , . .

das


56

3. EXEMPLIFICAÇÃO ( i ) As p r o p o s i ç õ e s <==* p (Regra da d u p l a

e

~p”

são e q u iv a le n t e s , is t o é, s i m b o l i c a m e n t e : Realmente, é o que d e m o n s t r a a ta b e ia -v e T d a -

“ p”

n e g a çã o ).

de: p

~P

— p

v F t

F v

v F t

Portanto, a dupla negação equivale à afirm ação. (2) ~.p_> p

As proposições “ ~ p - * p ,, e “ p” são equivalentes, isto 6, simbolicamente: p (Regia de CLAVIUS). Realmente, é o que demonstra a tabela-verdade: P

~p

~ p -> p

v F t

F v

v F t

(3) As condicionais “ p -> p A q” c “ p -> q” têm tabelas-verdade idênticas:

P

q

p A q

p -* p A q

p-*q

v v

v

v

v

v

F

F F F

F

F

v

v v

v

F F

F

v +

_*

Por consequência, estas condicionais são equivalentes, isto é, subsiste a equivalência lógica: p -* denominada Regra de absorção.

p A

q p -> q

(4) A condicional “ p -» q” e a disjunção “ ~ p V q” têm tabelas-verdades idênti cas:

p

q

p~*q

-p

~p v q

v v F F

v F v F

v F v v

F F

v F v

+

v v

v *

IN tC IA Ç Ã O Ã LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

57

Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto c, subsiste a im portante equivalência lógica: p H- q <=*• —p V q (5) A bicondicional “ p «-4* q” e a conjunção “(p -*■ q) A (q -> p)” tem verdade idênticas: P

q

p ^ q

p-^q

v v

v

v

v

F

F

F F

v

F F

F

v

tabelas-

q - ^ p (p -+ q) A p)

v

v v

v v

F F

F

v

v

... Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a im portante equivalência lógica: p <__* q <=> (p _> q) a (q -> p) (6) A bicondicional *‘p las-verdade idênticas: P

v V F F

q v F v F

p « -> q

v F F

v t

q,J c a disjunção “(p A q) V ( ~ p A ~ q ) ” têm tabe-

(P

v v F F

A

q)

V

(~ p

A

~q)

v F F F

v

v

F

F

F

F

F

F

F v

V

F v t

v v

F v

v

F

F

Por consequência, estas duas proposições são equivalentes, isto é, subsiste a im portante equivalência lógica: p +-*■ q «=* (p A q) V (~ p A ~ q )

4. TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Teorema - A proposição P( p, q, r , . . . ) é equivalente à proposição Q(p, q, r , . . .)> isto c: P(p, q, r , . . .) <*=► Q(p, q, r , . . . ) se e somente se a bicondicional: P(p, q, r , . . . ) <—* Qfp, q. r , . . . ) é tautológica.

(1)

58


Dem. (i) Sc as proposições P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . , , ) são equivalentes, então, têm tabelas-verdade idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bicondicio nal (1) é sempre V(verdade), isto c, (1) é tautológica. (ii) Reciprocamente, se a bicondicional (1) ó tautológica, então, a última coluna da sua labela-verdade encerra somente a letra V(verdade), c por conseguinteos valores lógicos respectivos das proposições P(p, q. r , . . .) e Q(p. q, r , . . . } são ambos V(vcrdade) ou são ambos F(falsidade), isto é, estas duas proposições são equivalentes. Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica, c vice-versa. Corolário

Se P(p, q, r , . . . ) <=* Q(p, q, r, . . .), então, tam bém se tem: P(P0s Q0, R0, . . . ) « = * Q(P
quaisquer que sejam as proposições P0 , Qn, R0, . . . NOTA — Os símbolos +-> e são distintos, pois, o primeiro é de operação lógica (aplicado, p, ex,, às proposições p e q dá a nova proposição p ►q), enquanto que o segundo é de relação (estabelece que a bicondicional P(p, q, r, . . .) <—+ Q(p, q, r, . . .) é tautológica).

Exemplos: (1) A bicondicional “(p A ~ q -> c) «-*■ (p q j” , oridc c é uma proposição cujo valor iógieo é F(falsidade), é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-vcrdade encerra somente a letra V(verdade):

p

q

(P

A

-q

-»

c)

V V F F

v F V F

V V

F V

V

F

F

F

F F

F V F F

F

V

V V

1

3

2

4

(P

q)

V

V F

F F

V V V v

F F

v v

v F v F

1

5

1

2

1

v

Portanto, as proposições “ p A —q - * c ” c “p - * q ” são equivalentes, isto é, simbolicamente: p A ~~q -v c <=>- p -> q Nesta equivalência consiste o “ Método de demonstração por absurdo’4.


59

(2) À bicondicional “ (p A q - > r ) ^ ( p - > ( q - > r ) ) ” é tautológica, pois, a última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(vcrdade):

íp

A

F F F

v v F F v v F F

2

1

V v v v

v v F F

F

F

F F F 1

->

q

<—>

r)

v

v

F

F

v v v V v v

v F v F v F

v v v v v v v v

3

1

4

(P

(q

-

0)

v v v v F F F F

v F v v v v v v

v v F

v F v F v F v

F

v F v v v F v v

1

3

1

2

1

F

v v F

F

Portanto, as condicionais “ p A q - > r ” e “ p -►(q -* r)” são equivalentes, isto é, simbolicamente: p Aq

r *=> p

(q -» r)

Esta im portante equivalência lógica é denominada “ Regra de Exportação-lmportação” . (3) As proposições “ x = I V x < 3 ” e “ ~ { x < 3 A x = 1)” não são equivalentes, pois. a bicondicional: (x = 1 V x < 3) <—* ~ (x < 3 A x = 1) não é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade: (x = 1 V

5.

x < 3)

-

v v

v v

F F

F

F

F

v

v

v

F

F

F

v

v

v v v

(x < 3 V F V F

A x = l)

v F F F

v v F F

PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL

Definição — Dada a condicional p -> q, chamam-se proposições associadas a p -> q as três seguintes proposições condicionais que contcm p e q: (a) Proposição recíproca de p -+ q : q -»■ p (b) Proposição contrária de p -» q : - p -*■~-q (c) Proposição contrapositiva de p -> q : ~ q -> ~ p

60

E O G A R D DE A L E N C A R F I L H O

Ás tabelas-verdade destas quatro proposições são: p

q

p "*■ q

q~>p

~ p -» ~ q

~ q -> ~ p

v

v

v

F

F

v v

v

v F

v v

v

F

F

F

F

v v

v t

v

v v

t

F

í

, c demonstram as duas importantes propriedades: (I) À condicional p -> q c a sua contrapositiva ~ q - > ~ p são equivalentes, is to é, simbolicamente: p -» q < = * ~ q ^ ~ p (II) A recíproca q -> p e a contrária ~ p - > ~ q da condicional p -+ q equivalentes, isto é, simbolicamente: q -> p <=> ~ p

são

~q

As mesmas tabelas-verdade também demonstram que a condicional p - + q e a sua recíproca q -+ p ou a sua contrária —p > ~ q ntâo são equivalentes. A contrária de p -*■ q também é denominada a inversa de p -> q e a contrapositiva de p -»• q outra coisa não é que a contrária da recíproca de p q c por isso tam bém ê denominada contra-recíproca dc p > q. Também se diz que p ^ - q é a direta cm relação às associadas. Exemplos: (1) Seja a condicional relativa a um triângulo T: p "> q : Se T é equilátero, então T é isósceles A recíproca desta proposição é: q -> p : Sc T c isósceles, então T é equilátero Aqui, a condicional p -> q é verdadeira(V), mas a sua recíproca q -> p é falsa(F), (2) A contrapositiva da condicional: p -+ q : Se Carlos é professor, então c pobre é ~ q -> ~ p : Se Carlos não é pobre, então não e professor


61

(3) Seja achar a contrapositiva da condicional: “ Sc x c m enor que zero, então x não é positivo”. Representando por p a proposição “x é menor que 7.ero,k e por q a proposição “x é positivo” , a condicional dada sob forma simbólica escreve-se: p ^ - q , e por conseguinte a sua contrapositiva c: — q ^ ~ p ^ = > q -*■~ p isto é, em linguagem corrente: “ Se x c positivo, então x não é menor que zero” .

(4) Seja demonstrar a proposição condicional: p -?■ q : Se x2 é ímpar, então x c ímpar A contrapositiva desta condicional é: —q

~ p : Se x é par, então x 2 c par

que vamos demonstrar ser verdadeira. Com efeito, suponhamos x par, isto c, x = 2 n (n € Z ). Como x 2 = 2 .2 n 2 , segue-se que x2 e par. Logo, a contrapositiva é verdadeira, e por conseguinte a proposição condicional dada p q também ó verdadeira.

(5) Determinar: (a) (b) (c)

A contrapositiva da contrapositiva de p -»■ q A contrapositiva da recíproca de p -»> q A contrapositiva da contrária dc p -> q

Resolução — (&) A contrapositiva de p-> q é ~ q -> ~ p . £ a contrapositiva ~ q -*■~ p é: ~ ~ p -> -— q <=* p -*■ q. (b) A recíproca de p -* q é q p. É a contrapositiva de q p c: ~ p -»■ ~ q . (c) A contrária dc p ^ q é ~ p - » ~ q . E a contrapositiva de ~ p - + ~ q -— q ->• -v~p <■--> q -> p. Observe-se que a recíproca, e a contrária são cada uma a contrapositiva outra c que a condicional e a contrapositiva são cada uma a contrapositiva outra.

(6) Determinar: (a) (b; (c) (d)

A contrapositiva de p -> ■*- q A contrapositiva de ~ p q A contrapositiva da recíproca dc p -+ ~ q A recíproca da contrapositiva de - p ^q

de

é: da da

62


Resolução —(a) A contrapositiva de p -* ~ q é: — q + ~ p « q -* ~ p (b) A contrapositiva dc ~ p -* q é: 4 “*■"— p « - q - p (c) A recíproca de p - * ~ q é - q - > p. E a contrapositiva de - q - p é: ~p

~— q <=> —p -*■ q

( d) A contrapositiva. de ~ p -* ~ q é: — ' 9 * — -p«=» q -* p E a recíproca de q -> p c p -» q. (7) Determinar; (a) (b)

A contrapositiva da recíproca de x = 0 -+ x < 1 A contrapositiva da contrária de x < 1 — \ < 3

Resolução (a) A recíproca de x = 0 -» x < 1 c x <. 1 — - D E a cuntrapositiva desta recíproca c x ^ O - ^ x ^ l . (b) A contrária de x < l - * x < 3 é x < l ^ \ < 3 . F- a contrapositiva desta contrária c x < 3 -* x < 1.

6. NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES Definição Chama-se negação conjunta dc duas proposições p c q a proposição “não p e não q”, isto é, simbolicamente “ ~~p A ~ q ” . A negação conjunta de duas proposições p e q também :ndici peia rotação “p i q”. Portanto, temos; p 4 q

~ p A -~q

Como a proposição “~ p A —q” é verdadeira somente nr ambas falsas, então, a tabcla-vcrdadc dc “ p l q” c a seguinte:

p

q

p 4q

v v F

v F v

F

F

F

F

F v

c-m que p e q são

63


7. NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES Definição Chama-se negação disjunta dc duas proposições p e .q a proposição “não p ou não q”, isto é, simbolicamente “ ~ p V ~ q ” . A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação “p t q ” . Portanto, temos: pt q

'pV ~q

Como a proposição “~ p V ~ q ” é falsa somente no caso em que p e q são ambas verdadeiras, então, a tabela-verdade de “ p t q c a seguinte:

Os sírnbolos

p

q pfq

v v F F

v

F

F

v v v

v F

é “ t ” são chamados “ conectivos de SCIIEFFER” ,

EXERCÍCIOS

1.

Mostrar que as proposições p e q sao equivalentes ( p ^ q) cm cada um dos seguintes casos: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

p : l + 3 = 4 ; q : ( l + 3 )2 = 16 p:senO ° = l ; q :c o s 0 0;=:ü p : 2o = 1; q : n

¡4

2. Exprimir a bicondicional p Resolução Temos:

*■q em função dos três conectivos: A, V e ~ .

p q <:=* (p _* q) A (q -* p) p -*■ q ~p V q q p <==s- ~ q V p Portanto: p

*■q *=* ( - p V q) A (~ q V p).

3. Demonstrar por tabelas-verdadc as seguintes equivalências: (aj

p A (p V q ]« p

(C)

p

(è )

( p - í- q ) A( p ^ r ) * = * p - > q A r

* — *■ p

(gJ (P

A q <=> p -> q

(b )

P

(dj (f)

q

V (p A q) <=>* p *■ p

V q «=> p -+

(p -►qj V (p

r).« ■ p

q q Vr

q) "*■1 *=* P A ~ r -> ~ q

4. Mostrar que as proposições “ x = l V x < 3 ” c “—{x < 3 A x = l ) equivalentes.

não são

5. Demonstrar que o conectivo “ V ” ( “ ou” exclusivo) exprime-se em função dos três conectivos A e V do seguinte modo: p V q

(p V q) A ~ (p A q)

Dern. Com efeito, as tabelas-vcrdade de “ p V q” e “(p V q) A - ( p A q)” são idênticas:

pv q

(P

V

q)

A

v

F

v

v v

v

F

v v v F

F v v

F

v v F F

v

F

F

F

v v v

1

2

1

4

3

p

q

v v F F

F

F

(P

A

v v F

v F

F

F

F F

v F

1

2

1

v

6. Demonstrar que os três conectivos ~ , V c A exprimem-se em funçao do conectivo “ 4 ” dc SCHEFFER do seguinte modo: (a)

—p

(b )

q <=> (p i p A q « (p i

(c)

p V

pf p q) l (p 4- q)

p) i (q i q)


Dem.

65

Realmente, é o que demonstram as tres tabelas-vcrdadc seguintes:

p

v F

(a)

~p P 1 P F F v v t +

P

q

p Vq

v v F

v F v

F

F

v v v F

p 4 q (P 1 q) 4(p i q)

v v v F

F F F v

t

t

P v v F F

(e)

q v F v F

p A q p 1 p q i q (p 4 p) 4 (q 4 q)

v F F F

F F v v

F v F v

v F F F

t

7. Demonstrar por tabclas-verdade que os três conectivos V e A exprimem-se cm lunção do conectivo “ t ” dc SCHEFFER do seguinte modo: (a)

~p^= p t p

(b) (c)

P V q =* (P t p) t ( q t q) p A q !=*■(p f q) t (p t q)

Sabendo queas proposições p c q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determinar o valor lógico (V ou F) das seguintesproposições: (a) (b) (c) (d)

(~ p 4 q) A ( q t - r ) ((p t q) V (q 4 r» t (r 4 p) ( - p t - q ) <-»■ ((q 4 r) 4 p) ((p t ~ p ) V q) l ( q A r )

ED G A R D d e A L E N C A R FILH O 66

9. DemOmtxar que o conectivo “ V ” exprimose em função unicamente de “ -*■ " pela equivalência: p V q <=> (p -*■ q) -* p10. Demonstrar que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade comutativa, isto é:

p 1 q<-*q i p

e

p t q*=* q t p

11. Demonstrar; ((p t ~ p ) t (p t " p)) *=*• p A —p 12. Demonstrar que as seguintes proposições são contingentes:

(a)

(p lq )y(-q tp )

(b)

(pt(qV r))^M

(c)

{(p 1 ~p) V q) * ( ~q / W )

7

Capítulo

Álgebra das Proposições

I.

PROPRIED/VIJES DA CONJUNÇÃO

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t c c proposições também simples cu|os valores lógicos respectivos são V(verdadc) c F(falsidade). (a) Idempotente: p A p (^ * p Dem. - Com efeito, são idênticas as t a b c l a s - v e T d a d e das proposições p A p c p, ou seja, a bicondiconal p A p ^ —> p é tautológica: p

pA p

p A p <—» p

v

v

F

F

v v

t

f

Assim, p. ex., temos: ( i) (ii >

(b) Comutativa:

x

1 A x * 1 <=> x # 1

x < 0 A x < 0 í= * x < 0

p A q <=> q A p

Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-vòrdade das proposições p A q c q A p, ou seja, a bicondicional p A q *—* q A p é tautológica: p Aq

q A p p A q *-*• q A p

p

4

v v

v

v

v

F

F F F

F F F

F F

v F

t

t

v v v v

E D G A f t D DE A L E N C A R F I L H O

68

A ssim , p. e x ., tem os: (i) (ii)

x

1 A X > 0 <==* x > 0 A x ^ 1

t i> 3 A /r<4

< 4 A 7r > 3

<-■■■> n

(iii) \[ 2 > 1 A s/~$ < 3 (c)

A ssociativa:

Dem.

V T < 3A V ? > I

(p A q) A r <==• p A (q A r)

Com cfcilo, são idênticas as tabelas-vcrdade das proposições (p

a

q) A r

e p A (q A r):

r

pa q

p v v v v

q v v F F

v

F

v v

v

F F

v

F F

F

F

F F

F

v

v

F

V F F F

F F

A q) A

(P

r

qAr

v F

F

F

F F

F F F

v

F

F F

F F

F

F

F F

F F F

A r)

t

Observe-se que íi bicondicional (p A q) A r Assim, p. ex., temos: (a 2* b A b ^ c ) A (x # 0 A X > 1) A

A (q v

í

(i) (ii)

P

v

* p A (q A r) C tautológica.

c < d <*=* a > b A ( b ^ c A c < d) 3 <=> X # 0 A (x > 1 A X < 3)

X<

(d) Identidade; p A t < =>• p C pA Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-vordade das proposições p a t e p, p A c e c, ou seja, as bicondicionais p A t «—>p e p A c c são tauto lógicas:

P

t

c

p A í

PAC

v

v v

F F

v F

F F

F í

t

- t

-

p A t« -* p

v v

p A c f—» c

v v

t

Kstas propriedades exprim em quo t e c sao respectivam ente elemento neutro e

elemento absorvente da con jun ção.

IN IC IA Ç A Q A LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

69

Assim, p. ex., temos: (i) (ii)

2.

x =£ 1 A I x | > 0 <=> x ¥= 1 x ^ 1 A | x | < 0 *=> | x | < 0

PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V(verdade) e F(falsidade). (a) Idem potente: p v p<^=» p Dein. Com efeito, são idênticas as tabelas-vcrdade ou seja, a bicondicional p 1/ p p é tautológica:

PV P v

p V

F t

das proposições p Vp e p,

pv P ^ P

v v

F

t

Assim, p. ex., lemos: (i) x ¥=■0 V x

0 *-=» x ^ 0

(ii) x < 1 V x < 1 '■*=* x <- 1

(b) Comutativa: p Vp Dem. Com efeito , são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v q e q V p, ou seja, a bicondicional p V q «—* q V p é tautológica:

p

q

PV q

qv p

p v q « -* q V p

v v

v F v F

v v v F

v v v

v v v v

í

t

F

F

Assim, p. ex., temos: ( i)

(ii)

x ^ l V x ^ O ^ x ^ O V x ^ l a> b v b< c

b< c v a> b


70

(c) Associativa:

(p v q) V r<=>p v (q v r) Dem. Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições (p v q) v r e p v (q V r):

p

v v v v F F F F

r

q v v

v

F

v

F

F

F

v v

v

F F

v

F

pvq v v v v v v

(p V q) V r

F F

F

q V r

P V (q V r)

v v v v v v v

F

v v v

v v v v v v v

F

F

F

v v v

í

t

Observc-se que a bieondicional (p v q) V r *—*■p v (q v r) é tautológica. Assim, p. ex., temos: (i) (ii)

(x # 1 V X > 2) V X < 4 <=> x * 1 V (x> 2 V X < 4 ) j a ^ b V b < c) v c < d ■■**=> a ^ b v (b < c v c < d)

(d) Identidade: p V t <=M e p v c <=> p Dem. — Com efeito, são idênticas as tabclas-verdade das proposições p V t e t, p V c e c, ou seja, as bícondicionais p V t*~> t e p V c « —>p são tauto lógicas:

P v F í

t

c

pv t

pV c

v v

F F

v v

v

t

t

p v t-M t

F

p

p Vc

v v

v v

í

Estas propriedades exprimem que t e c são respectivamente elem ento absor vente e elem ento neutro da disjunção. Assim, p. ex., temos: (i) (ii) (iií)

x* 1V x* 1V x* 0V

1x | > 0 | x | < 0 «=#■ x ¥= 1 x2 < 0 <=*»■x # 0

| x J> 0

71


3.

PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q e r proposições simples quaisquer.

(a) Distributivas: (i) 00

p

(q v r) *=> (p A q) V (p

a

r)

P V (q A r) <==> (p V q) A ( p V

r)

a

Dem. —(i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p A (q v r) e (p A q) V (p a r): p

q

r

q Vr

P A (q V r)

v v v v

v v

v F v F v

v v v F

v v v

v

F F F

F

F

F F F

v v F

v

v v

F

F

F

F

F

F

F

P

A

q

p A r

v F v F

(p A q) v (p A r)

v v F F F

F

F F F

F

F

F F

F

í

v v v F F

F í

Obs-erve-sc quo a bieondicional p A (q V r) ^►{p a q) v (p a r) é tautológica, (ii) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p v (q A r) e (p v q) a ( p V r):

P v v v v F F F F

q v v F F

v v F F

q A r

P V (q A r)

P v q

v

v

F

F F F

v v v v v

v v v v v v

v v v v v

v v v v v

F

F F

v F

F F F

v F v F

v F

v F F F

F F

F

í

p V r

(p V q) A (p v r)

r

í

Observe-se que a bicondicional p V (q a r) (p V q) A (p V r) c tautológica. A equivalência (i) exprime que a conjunção é distributiva em relação à disjunção e a equivalência (ii) exprime que a disjunção é distributiva em relação à conjunção.


72

Assim, p, ex., segundo (i), a proposição: “Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê4' é equivalente à seguinte proposição: “Carlos estuda e Jorge ouve música” ou “ Carlos estuda e Jorge Jê” Segundo (ii), a proposição; “Chove ou faz vento e frio” é equivalente à seguinte proposição: “ Chove ou faz vento” e “ Chove ou faz frio"

(b) Absorção: (i) (ii)

p A (p V q) *=* P p V Íp A ^ ^ P

Dem. - (i) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p A (p v l ) c P» ou scÍa’ a bicondicional p a (p v q) *-* p é tautológica;

p

v v F F

p V q

p A (P V q)

p A (p V q) <*—►p

v v

v

v v v

F

F

v v v v

q. v F

F F

í

r

Analogamente, s ã o idênticas as tabelas-verdade das proposições p V (p A q) e p, ou seja, a bicondicional p v (p A q) 4—» p é tautológica; ( ii)

P

q

p

a

v v

v

v

F

F F

v

F F F

í

F

q

p

V

(p

v v F F

A

q) p V (p

A

v v v v

q) *-*■ p


73

(c) Regras de DE MORGAN (1806-1871):

(0 (ii)

"(p Aq ) ^ =>~ pv' vq ~ (p v q)

-p A~q

Dem. (i) Com efeito, são idénticas as tabelas-verdade das proposições ~ (p A q) c - p v ~ q :

p v v F

F

q v F v F

Pa q v F F F

H P A q)

F v v v

~p

-q

F F v v

F v F v

í

- p v -q F

v v v t

Observe-se que a bicondicional ~ (p A q) ■*—►~ p v ~ q é tautológica. (ii) Analogamente, são idénticas as tabelas-vcrdadc das proposições - ( p V q) e -v-p a ~ q :

p

v v F F

q v F v F

p

vq v v v F

~ (P V q)

F F F v

~p

~q

F F v v

F v F

v

t

- p A ~q F F F v r

Observe-sc que a bícondícional - ( p V q ) ^ - p A - q c tautológica. As Regras dc DE MORGAN ensinam: (i) Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa. (ii) Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas. Estas Regras de DE MORGAN podem exprimir-se ainda dizendo que a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção. Assim, p. ex,, segundo (i), a negação da proposição: “ K inteligente e estuda” é a proposição: "Nao é inteligente ou não estuda”

74

E D G A R D D E A L E N C A R Fl L H O

Segundo (ii), a negação da proposição: “ E médico ou professor’* é a proposição: ‘"Não &médico e não é professor” NOTA As Regras de DE MORGAN mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação, ou a conjunção a partir da disjunção e da negação: p v q « = > ~ (~ p A ~ q ) p A ~ (~ p v ~q)

4. NEGAÇÃO DA CONDICIONAL Como p -> q <==* - p V q {Cap. 6, §3, Ex. 4), temos: q) ^

~ (p

~ ( ~ P v q) H

^ p

A ~q

ou seja: ~(p-> q) <==>'p A - q

~ (p

Esla cquivalência também é demonstrada pelas tabclas-vcrdadc das proposições e p a ~ q , que são idênticas:

p v v F F

q v F

v F

p->q v F v v

~q

P A~q

F

F

v F

v F v

F v F F

~(p -*■q)

F

t

t

NOTA — A condicional p -*■q não goza das propriedades idem potente, comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposições p - > p e p , p - ^ q e q ->■ p, (p ->• q) r e p (q -> r) não são idênticas.

5. NEGAÇÃO DA B1CONDICIONAL Como p <--* q c

(p

q) A

(q ■->p) (Cap. 6, §3, Ex. 5), temos:

P «-»■ q <=» (~P V q)

A (~ q

V p)

75


e, portanto:

M.p

q) ^

v q ) v ~ (~ qiv

p)

~ (P +-+ q) ■«=> ( ~ ~ p A ~ q ) V (---- q A - p ) ou seja:

9) ^ ( P A ~q) v (*“P A q)

~( p -(p

Esta equivalência também c demonstrada pelas tabelas-verdade das proposições q ) c (p A ~ q ) V (~- p A q), que são idênticas:

(P v v F F

f

v v F

q)

(P

A

v F v F

v v F F

F v F F

v F F v

q) F v F v

V

(~P

A

q)

F v v F

F F v v

F F v F

v F v F

t

t

As tabelas-verdade das proposições M p «—*■q), p *—*■~ q e ~ p

P

9

v v F F

v F v F

P*

*

v F F v

^ q são idênticas:

9 ~ ( p + -* q ) ~ q p — - q ~ p ~ p * -> q F F F F F v v F v v v v v v F F v F F v t

t

t

PortantO, subsistem as equivalências:

~(p + -* q) <=* p *-* ~q «=* ~p «-* q NOTA A bicondicional p <—* q não goza da propriedade idem potente, pois, é imediato que uâo são idênticas as tabelas-verdade das proposições p <■ * p c p, mus goza das propriedades comutativa e associativa.

EXERCÍCIOS 1. Demonstrar as propriedades comutativa e associativa da bicondicional, isto c: (a)

p <—>• q <=$■ q •*—*■p

(b)

(p ^ -» q )^ + r< -* » p * -> (q ^ f)


76 2. Demonstrar por tabelas-verdade as equivalencias: (a)

q) A (p -> r) (b)

p - > q A r <=►(p

p - + q v r «=> (p -> q) v (p -» )

Dem. —(a) Com efeito, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p -> qA r e (p q) a (p - r ) :

P •

q

v v v v

V F F F

v v

F F F F

v v v v

v v

F F

F F

A

r

(P

v v v v F F F F

v

v

F F F

F

v

v

v

F F F

F

F

v F

q)

A

(p

v v

v v

v

F F

F F

F F F

v v v v

v v v v

v v

v v v v

F F F Fl

F F

t

->

r)

v

v

F

F

v

v

F

F

v v v v

v F

v F

t

(b) Analogamente, são idênticas as tabelas-verdade das proposições p -+ q V r

e

(P ■+ q) v (p -> r):

p

v v v v

v v v

F F F F

v v v v

F

t

q

V

r

(P

v v

v v v

v v

F

F

v v v v

v v v

v v

F

F

F F F F

F F

v v F F

F

F

4)

V

(P

-*■

v v

v v

v

F

F

F F

v

v

F

v v v v

v

F F

v v v

v v v v

v v

v v v v

F F F F

F F

, r)

F

F

v v v v

v F

v F

t

A equivalência (a) exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à conjunção e a equivalência (b) exprime que a condicional é distributiva à esquerda em relação à disjunção. A condicional não 6 distributiva à direita em relação i nenhuma dessas duas operações (conjunção e disjunção).

3. Dar a negação em linguagem corrente da proposição: ‘ Rosas são vermelhas e violetas são a7.uis” .


77

Resolução Denotando por p a proposição “ Rosas são vermelhas” c por q a proposição “ Violetas são azuis” , a proposição dada sob forma simbólica cscreve-se “ p a q” , cuja negação é (P A O) <í=3‘ ~ P v ■ Lo§°’ a negação da proposição dada cm linguagem corrente 6: “ Rosas não são vermelhas ou violetas não são azuis” 4. Dar a negação em linguagem corrente de cada uma das seguintes proposições: (a) (b) (c) (d)

É falso que não está frio ou que está chovendo. Não é verdade que o pai de Marcos c pernambucano ou que a mãe é gaúcha. Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os preços estão au mentando. Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.

5. Demonstrar as seguintes Regras de DE MORGAN para três componentes: (a)

~ (p A q A r )

(b)

Mp V q V r)« ~ p A -q A -r

~p v ~q V ~r

6. Demonstrar por “ Indução m atem ática” as seguintes “Propriedades distributivas generalizadas” : (a)

p A ( q i V qj V . . .

(b )

p V (qi A q 2 A • •• Aqn) «=*■(p V q i) A (p v q2> A . •• A (p v qn)

V qnJ <=*•(p A q i ) V (p A q2) V . . . V (p A qn)

Capítulo

O

Método Dedutivo

1. Todas as implicações c equivalèncias foram demonstradas ate aqui pelo “ Método das tabelas-verdade” . Vamos agora exemplificar a demonstração de implicações e equivalencias por um m étodo mais eficiente, denominado Método de dutivo”. No emprego do “Método dedutivo” desempenham papel im portante as equiva lencias relativas à “ Álgebra das Proposições” , que, observamos, subsistem quando as proposições simples p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa), que nelas figuram,são substituídas respectivamente por proposições com p ostas P, Q, R, I (tautología) c C (contradição). 2. EXEMPLIFICAÇÃO (1) Demonstrar as implicações: (i) c =>■p

(ii) p =* t

onde p é urna proposição qualquer c c e t sao proposições cujos valores lógicos respectivos são F(falsidade) c V(verdadc). Dem. - Temos, sucessivamente: (i) (ii)

c p *=> ~ c V p <==> t v p <=* t p -* i ~p ^ t ^ t

Observc-se quo as tabelas-verdade de c condicionais são tautológicas:

p c p + t mostram

p

c

t

c -> p

p-M

v

F

F

F

v v

v v

v v

que estas

79


(2) Demonstrar a implicação: p A q => p (Simplificação) Dem. Temos, sucessivamente: p A q -*P ■*=* ~ (p A q) v p «“=>(~ p V ~ q ) V p ^ T V ~q*=»T

(~ p v p) V ~ q

(3) Demonstrar a implicação: p=>p V q (Adição) Dem. Temos, sucessivamente: p -> p V q *=> ~ p V (p V q) <=> (~ p V p) V q <=> T V q <=> T (4) Demonstrar a implicação: (p * q) A p =* q (Modus ponens) Dem. — Temos, sucessivamente: (P

Ç) A P

P A ( ' P Vq)<=^ (p A ~ p ) V (p A q) «=* p A q =» q

(5) Demonstrar a implicação: (p ->■ q) A ~ q Dem. — Temos, sucessivamente: (p -» q) A

C V (p A q)

~ p (Modus tollens)

q «*=►( ~ p V q) A ~ q •«=» ( - p A - q ) V (q V ~-q) (—p a ~ q ) V C a ~q^> ~ p

(6) Demonstrar a implicação: (p v q) A ~ p =» q (Silogismo disjuntivo) Dem. Temos, sucessicamente: (p v q) A ~ p *=* (p A"*-p) V (q A - p ) «=> C V (q a ~ p ) ^ q A - p ^ q (7) Demonstrar a implicação: p a q ■* p V q Dem. Temos, sucessivamente: p A q -» p V q *=* ~ (p A q) V (p V q) <*=» (~ p V ~ q ) V (p V <=» (~-p V p)V ( ~ q V q) T v T T

q)

(8) Demonstrar a implicação: p => q -* p Dem, - Temos, sucessivamente: p ^ ( q - » p ) ^ ~ p v ( q -> p) ' <=> T V ~ q< = > T

p V ( ~ q V p) <=>(-p v p ) V ^ q

(9) Demonstrar a implicação: p = > ~ p -* -q Dem. Temos, sucessivamente: p ->• ( ~ p -* q ) « = » - p V (~ p -» q) ■=> - p V {—~ p V q ) < = > ~ p V ( p V q ) ( ~ p V p) V q <=* T V q <=* T


80

(10) Demonstrar a implicação: p-> q=>p Dem. Temos, sucessivamente: (p

q)

-> ( p

a

r

q)

<=» ~ { p -»

r-* q

A

q) v (p A

r -»

<=> ~ ( ~ p V q ) V ( ~ ( p

~q)

<=> ( ----- p A

(p

q)

a

r) V q )

V ( ( ~ p V ~ r ) V q)

A ~ q ) V ((~ p

v

q) V ~ r )

<=S> ( p A ~ q ) V ~ ( p A ~ q ) ) V ~ r

T v

<=* T

• (11) Demonstrar a equivalência: p -> q •*=> p A ~q-<- c(Redução a Dem. Temos, sucessivamente: p

A ~q

-*C <=» ~ (p A ~ q ) V c *=* - (p A~ q ) *** ( ~ p -s^=> - p V q •<=»• p -* q

absurdo)

V~ ~ q )

(12) Demonstrar a equivalência: p -* q « = * p v q - * q Dem. Temos, sucessivamente: p V

q 4 q

~ ( p V q) V

<==> ( ~ p

V q) A

q

<“ =» ( ~ p

T

~p

(13) Demonstrar a equivalência: (p -* q) Dem- Temos, sucessivamente:

A

V q

A

~q) V q ( ~ p ■«==> p -> q

V q) A

(~ q

V q)

(p -*• ~ q ) <=> - p

( p -> q ) A ( p -* ~ q ) * ç * ( ~ , p V q ) A ( ~ p V ~ q )

~ p V (q A ~ q )

■*=* —p V C <=> ~ p (14) Demonstrar a equivalência: p A q - » r *=*■ p -»• (q -*■ r) (Ex p or taçao-I mportaç ão) Dem. Temos, sucessivamente: p -> -(q -»• r)

~ p V ( q - > r) « = > ~ p V ( ~ q V r ) « » ( - p V < => — ( p A q ) V r * ■ * p A q

(15) Demonstrar a equivalência: (p -»■ r) A (q - » r) p v Dem. • Temos, sucessivamente: ( p -> r) A ( q -> r) <=> ( - p V r) A ( ~ q V r ) <=> ( ~ p <=> ~ ( p V q ) V r

<=>

~ q )V

r

r

q

r

A ~q) V r

p V q ^ r

(16) Demonstrar a equivalência: (p -* q) V (p -» r) «=> p - * q v i Dem. — Temos, sucessivamente: (p

->• q )

V (p

->■ r) «=* ( ~ p

V

q)

v r ) <=* (~ p <=> p -*■ q V r

V (-p

~ p v ( q V r)

V

~p) V

(q V

r)

81

INIC I A Ç Ã O Ã L Ó G IC A M A T E M Á T IC A

(17) Demonstrar a equivalência: (p -* r) v (q 7+ s) <=* p Dem. - Temos, sucessivamente: (p -» r)

V

(q -> s) <=* ( ~ p <==> ~ (p

v r)

V

(~ q

V

A

q)

A

q -> r

s) <=> ( ~ p V ( r v 5)

V

s

~ q ) V (r v s) p A q -> r V s

V

(18) D em onstraras equivalencias: (a) (b) (c) (d) Dem. (a) (b)

~ p <=> p 4 p p A q <=> (p 4 p) 1 (q 4 q) p v q < ^ ( p l q) 1 (p 4 q) p -> q ((p l p) 4 q ) 4 ((p 4 p) 4 q)

Temos, sucessivamente: ~-p <=> ~ p A ~ p <=>• p 4 p p A q <=»■ " ~ p A ----- q ~ (p 4 q) (p 4 q) 1 (p 4 q) p -> q <=> ~ p V q <*** ~ ( p A ~ q ) <=> H £ ~ - ~ p A ~ q ) <=> ~ ( ~ p 4 q ) (~ p 4 q) 4 ( ~ p 4 q) *=* (Cp 4 p) 4 q) 4 ((p 4 p) 4 q)

(c)

(d)

(] 9) Demonstrar as equivalencias:

Dem.

(a )

~ p « -> p tp

(b) (c) (d)

p A q <=* (p t q) t (p f c}) p V q <-> (p f p) T ( q t q) p -* q p t (q t q)


(a)

V - p< =»p t p

(b)

p A q ^ ~ ( ~ p V ~ q ) *=* ~ (p t q) *=* (p t q) t (p t q) p v q « — ■'■p V — q « - p t ~ q (p t p) t (q t q) p -> q <-=> ~ p V q <=» ~ p V ~ ~ q <=> p t ~ q p t (q t q)

(c ) (d )

3.

REDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS Teorema

E n tre

o s c in c o c o n e c tiv o s

três c x p r im c m -se e m te r m o s d e a p e n a s (1 ) -

Dem. (1 )

A ,

c V

f u n d a m e n t a is ( ~ ,

dois d o s

(2 ) ~

e

A

A

(3 ) ~

Com efeito:

-+ c +—»■ e x p r i m e m - s e

em term o s

de ~

e

V ;

p A q — -p A -s— q *=> ~ ( ~ p V ~ q ) p q ~ p V q p

q^

(p -> q) a (q -+p) < ^ - ( ~ ( - p

,

V

s e g u in t e s p a r e s :

v q) V~ ( ~ q V p »

e

-*

,

E D G A R D DE A L É N C A R F IL H O

82

(2) V , -+

c

<—>■ exprimem-se

e m te r m o s

de ~

p V q - ^ > -—

p V ~ ~ q * = s> -~ (~ p A ~ q )

p -> q

V q <=* ~ ( p A ~ q )

*= *

p « -> q < = > (p -> (3) A ,

v e

q) A (q

A

:

A ~q ) A ~ (~ p

A q)

►exprimem-se em termos de — e -»•:

p A q ***. . ^ ( ~ p v ~ q )

pV q<=> ~

-*• p ) «=* ~ ( p

e

~ ( p -> ~ q )

p V q <=* ~ p -> q

p <—*• q <=* ( p -*■ q ) A ( q

p ) <===> — C (p -»■ q ) -+ - - ( q - * p ) )

Os conectivos A , V e -> não se exprimem em termos de — e +-* . 0 conectivo v exprime-se em função unicamente de -> p e la equivalência: p V

q < “> (p -> q ) -> q. Todos os conectivos exprimem-se em termos de um mostrou A. M. SCHEFFBR em 1913 (§2, Ex. 18 e 19).

4

ú n ic o :

1 ou t, cortforme

FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES

Deíinição - Diz-se que uma proposição está na forma normal (FN ) somente se, quando muito, contém os conectivos ~ , A e v . Exemplificando, estão na forma normal (FN ) as seguintes proposições: -p

A ~q,

~ (~ p

V ~ q ),

(p A

q)

V

(~ q

se e

V r)

Toda a proposição pode ser levada para uma FN equivalente pela eliminação dos conectivos -> e «—► , sc existirem, isto é, pela substituição de p q por ~ p V q e de p ►q por (~ p v q) A (p V ~ q ). Hú duas espccies de FN para uma proposição: aforma normal conjuntiva (FNC) e a forma normal disjuntiva (FND), que a seguir vamos definir c exemplificar.

5.

FORMA NORMAL CONJUNTIVA

Definição - Diz-se que uma proposição está na forma normal conjuntiva (FNC) se c somente sc são verificadas as seguintes condições: (1) Contém, quando muito, os conectivos A e V ; (2) ~ não aparece repetido (com o ~ ~ ) e não tem alcance sobre A e v (isto é, só incidc sobre letras proposicionais); (3) v não tem alcance sobre a (isto e, não há componentes do tipo p V (q a r)).

83

IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G ICA M A T E M Á T IC A

Exemplificando, estão na FNC as seguintes proposições: ~p

v

~q,

-~p

A

q

A

r,

(-p

V

q)

(~ q

A

V

~ r)

Para toda pToposição pode-se determinar uma FNC equivalente mediante as seguintes transformações: (.1) Eliminando os conectivos -* c <—>• mediante a substituição de p ^ - q por ~ p v q e de p ^ q por (~ p v q) A (p v ~ q ); (2) Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos dc ~ pelas regras da “Dupla negação” e de “ DE MORGAN’’; (3) Substituindo p v (q A r) e (p A q) v r pelas suas equivalentes respectivas (p v q) A (p v r> e (p v r) A (q v r).

Lxemplos: (1) Determinar a FNC da proposição ■ —(((p v q) Resolução Temos, sucessivamente: ~ ( ( p V q ) A ' q) (( -p A - q ) V q)

A

^q)

(~ (p V q ) V - ~ q ) - r ) < > ( - p v q) A ( ~ q

A~ (q

A r ) «

A( - q

v

(q

v

A

r))

<=> q) A (~-qV ~ r)

A ( ~ q V~ r ) v

Observe-sc que uma outra FNC da proposição dada c: 0 ~ P V q) A ( ~ q V ~ r )

equivalente à anterior. Assim sendo, uma mesma proposição pode ter mais de uma FNC, mas equivalentes. (2) D eterm inara FNC da proposição: ( p -> q)^—+ ( - q * - p) Resolução —Temos, sucessivamente: t e p V q ) ^ (>• - q ( - ( ~ p v q ) V (q

V

- p ) *=* ( - p

V -p )) A ((~ p

V

q) * ►(q V ~ p ) ~ ( q V ~ p)) <=>

V q) V

( ( ----- p A ~ q ) V ( q V - p ) ) A ( ( ~ p V q ) V ( ~ q A — - p ) ) ^

((p

A ~ q ) V (q V ~ p ) ) A ( ( ~ p

( p V q V - p ) A (~ ~ q V

q

V

~p)

V q) V ( ~ q A A (~ p v q V

p)> ~ q ) A (~ p V q V

p)

Observe-se que a proposição dada é tautológica, pois, cada elemento da sua FNC é tautológico. Realmente, o 19 elemento contém p c ~ p , o 29 elemento contém q e - q, o 3? elemento contém q c ~ q , e, finalmente, o 49 elemento contém p e ~ p . De modo geral, é tautológica toda a proposição cujos elementos da sua FNC encerram, cada uni deles, uma proposição e a sua negação, isto é, cujos elementos são todos tautológicos.

84


(3) Determinar a PNC da proposição: p <—* q v ~ r R e s o l u ç ã o — Temos, sucessivamente: (p -+ (q V~ r)) A ((q V ~ r) -*• p) *=> (—p V q V - t ) A (' (q V ~ r ) V p) <-=5- (~ p v q V ~.r) A ( ( - q A r ) v p) *=* (~ p V q V ~ r ) A (p v ~ q ) A (p V r)

V

FORMA NORMAL DISJUNTIVA

Definição - Diz-se que uma proposição está na forma normal disjuntiva (FND) se e somente se são verificadas, as seguintes condições: (1) Contém, quando muito, os conectivos ~ , A e V ; (2) - não aparece repetido (com o —'- j e não tem alcance sobre A e V (isto é, só incide sobre letras proposicionais); (3) A não tem alcance sobre v (isto é, não há componentes do tipo p A (q v r)). Exemplificando, estão na FND as seguintes proposições: -p

V q,

p

V

(-q

(p

A r ),

A

~q)

V

(~ p

A -q

A

r)

Para toda proposição pode-se determinar uma FND equivalente mediante as seguintes transformações; (1) Eliminando os conectivos e «—* mediante a substituição de p -»■ q por ~ p V q e de p ^ q por ( ~ p V q) A (p V ~ q ); (2) Eliminando negações repetidas e parêntesis precedidos de ~ pelas regras da “Dupla negação” e de “ DE MORGAN” ; (3) Substituindo p A (q V r) e (p v q) A r pelas suas equivalentes respectivas (p A q) V (p A r) e (p A t) V (q A x).

Exemplos; (1) Determinar a FND da proposição: (p Resolução Temos, sucessivamente: (~ p

V q) A (~ q V p ) «

((-p v

( ~ p A ~ q ) V (q A ~ q ) V ( ~ p

q)

A

(q -»■ p)

q) A ~ q ) V

((~ p

v q j A p ) «

A p) V (p A q)

Observe-se que uma outra FND da proposição dada c ( ~ p A —q) v (p A q), equivalente à anterior. Portanto, uma mesma proposição pode ter mais de uma FND, mas equivalentes.

IN IC IA Ç Ã O

A

85

LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

(2) Determinar a FN'D da proposição: ~ (((p Resolução Temos, sucessivamente: ~ ((p v q) A ~ q ) A <=> ( ~ ( p V q ) V '—

V

((~ p A ~ q ) <=>

~ (q

V

q)

A

~q)

A ~ q

A

(q

A

t))

A r ) »

q ) A ( ~ q V ~ r ) <=»

( - q V ~ r) ~ q ) V ( ( ( ~ p A ~ q ) Vq ) A~ r ) —q) V ( q A ~ q ) V (~~p A~ q A~ r ) V q) A

( ((—p A ~ q ) V q) A

<=> (~ p

V

^ (q

A ~r)

Observe-se que uma outra FND da proposição dada é; (~ p A ~ q ) V (~ p

equivalente

A -q A

- r ) V (q A ~ r )

à a n te r io r .

Im porta notar que é contraválida toda a proposição cujos elementos da sua FND encerram, cada um deles, uma proposição e a sua negação, isto é, cujos elementos são todos contraválidos.

7.

PRINCÍPIO DE DUALIDADE

Seja P uma proposição que só contcm os conectivos A e V . A proposição que resulta de P trocando cada símbolo A por V e cada símbolo V por A cha ma-se a dual de P. Assim, p. ex ,, a dual de ~ ((p A q) V ~ r ) ó ~-((p v q) A — r). Princípio de dualidade: Se P e Q são proposições equivalentes que só contém os conectivos— . A e v , então as suas duais respectivas Pi c Q i tambcm são equiva lentes. Assim, p. ex., da equivalência p A (p v q) c=> p deduz-se, pelo Princípio de dualidade, a equivalência p v (p A q )< = » p . Analogamente, a partir de (p A ~ p ) v deduz-se, pelo Princípio dc dualidade: (p v ~ p ) A q*=* q.

EXERCÍCIOS 1. Demonstrar as equivalencias: (a )

p A (p v

q ) «*=»■ p

(b )

p v ( p A q ) < =>p

Dem. — Temos, sucessivamente: (a) (b)

p p

A v

(p V (p A

(p V c) A (p V q ) ^ <=* (p A t) V (p A q) =

q ) <==> q)

p p

V A

(c A q) ■<=> p V C <=> p (t v q ) ^ p A t » p

É D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

86

2. Simplificar as proposições: (a)

'~L'- p -> •'-q )

Resolução (a) (b )

(b )

-(p

V q)

v (~ p A

q)


- ( - p -+ ~ q ) <=> ~ ( ~ ~ p v ~ q ) ^ ~ (P v ~ q ) ^ - ( p V q ) v ( - v p A q ) « ( —p A ~ q) V ( ~ p A q) ~ p A T •<=*• P

~P A 9 ~ p A ( ~ q V q)

<«=»•

3. Simplificar as proposições: (a )

-(p

qj

(b )

~ (~ p

(c) (e)

~ (~ p V ~ q) ( p -> q ) A C - p -»• q )

(d) (f)

(p V q ) A ~ p p A (p q) A

v ^

A q)

(p ->

~q)

4. Demonstrar a equivalência: p -> q <—> ((p t p) t (p f p)} ^ (q t q) 5. Usar o “ Método dedutivo” para demonstrar; (a )

p A -p = > q

(b )

~ p -* p < = > p

(c)

(d )

(p

(e)

p^p A q«p-^q ( p -►r) V (q -* r)

(0

(p - ^ q ) A (?-*■

q) -+ q <=> p V q

pA qî

r )« = * p -> q

A

r

6. Demonstrar: p t q ■•*=* ((p 4- p) 4- (q l q)) l ((p f p) l (q i q)) 7. Determinar uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente paracada das seguintes proposições: (a) ( c>

p -^ q p 4-» - p

(e)

p tq

(g) (ij 00 (m)

p t ~p (p A - p ) 4 (q A ~ q ) (p t q) <~> p p t~ (q v

r)

(b) (d) (f) (H) (j) (1) (n)

uma

p -^ p p v ~p p t p p ^q (~ p A q) V q ~ p 1 ( q v p)

8. Determinar uma fornia normal disjuntiva (FND) equivalente para cada uma d a s s e g u in t e s p r o p o s i ç õ e s : V ~q)

(b )

~ (p

-* q )

~p -p

(d )

V q)

(f)

~ (P ~ (p

(h )

p ^ ~ p

(0

pv - p Pt q

0)

p q

00

p t p

(1 )

p

(a )

~ (~ p

(c) (e)

( p -> q ) A

(g )

(p ^

q)

V

a

t~ p

q)

Capítulo

9

Argumentos. Regras de Inferência

1.

DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO

Sejam P | , P2, . . . . , Pji (o > 1) c Q proposições quaisquer, simples ou compostas. Definição Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequência finita P f , P2, . . . , Pn (n > 1) de proposições tem como consequência ou acarreta uma proposição final O. As proposições P , , P2, . . . , Pn di?,em-se as premissas do argumento, c a proposição final Q diz-se a conclusão do argumento. Um argumento de premissas P , , P2, . . . . Pn e dc conclusão Q indica-se por: P 3, P 2, . . . , P n t— Q e se lê de uma das seguintes maneiras: (i) (ü) (iii) (iv)

“ P j, P2, . . . , Pn acarretam Q” “Q decorre de P ( , P2, . . . , Pn ” “Q se deduz. dc P |, P2, . . . , Pn ” “ Q se infere de P j, P2,. . . , Pn ”

Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão ch ama-se silogis mo.

2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO Definição Um argum ento P i , P2 v . . . , Pn 1— Q diz-se válido se c somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P l5 P2 ......... Pn são verdadeiras.


S8

Em outros termos, um argumento P j, P2, .• .> Pn I---- Q é válido se e somente se fór V o valor lógico da conclusão 0 todas as vezes que as premissas P | , P2>• • -sPn tiverem o valor lógico V. Portanto, todo argumento válido goza da seguinte propriedade característica: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento não-válido diz-sc um sofisma. Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é válido (correto, legítimo) ou F sc c um sofisma (incorreto, ilegítimo). Às premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos admitidas como , tal. AÜás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou a falsidade das premissas e das conclusões. A validade de um argum ento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento c válido significa afirmar que as premissas estão de tal m odo relacionadas com a conclusão que não é possível ict a conclusão falsa sc as premissas são verdadeiras.

3. CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO Teorema - Um argumento P j, P2, . . . , Pn b condicional;

Q c válido se e somente sc a

(P, A P2 A . . . A P n )-* Q

(l)

é tautológica. Derti. - Com efeito, as premissas Pi-, P?> ■■• >Pn são todas verdadeiras se e somente se a proposição Pt A P2 A . . . A Pn c verdadeira. Logo, o argumento P ,, P2, . . . , Pn |-----Q é válido sc e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que a proposição P, A P2 A • . - A Pn é verdadeira, ou seja, sc e somente sc a proposição P t A P2 A . . . A Pn implica logicamente a conclusão Q: P, A P iA . . . A P,i -> Q ou, o que é equivalente, se a condicional (1) é tautológica.

NOTA

Se o argumento P, (p, q, r , . . .), . . . , Pn(p> q»T, • ■•) I----- Q(p, q, h ■• •)

é válido, então o argumento da “mesma forma": P ,(R , S, T

,

, Pn(R , S, T , . . . ) |----- Q(R, S, T , . . .)

também é válido, quaisquer que sejam as proposições R, S, T , . . .

89


Exemplificando, do argumento válido p |----- p v q (1) segue-se a validade dos argumentos: (~ p A r>)-----(~ p A r) V (~ s -» r); (p -*■ r V s) h— (p

r V s) V ( ~ r A s)

pois, ambos têm a mesma forma de (1). Portanto, a validade ou não-validade de um argum ento depende apenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade das proposições quo o integram. Argumentos diversos podem ter a mesma forma, e como 6 a forma que determina a validade, é lícito falar da validade de uma dada forma ão invés de falar da validade de um dado argumento, E afirmar que uma dada forma é válida equivale a asseverar que não existe argumento algum dessa forma com premis sas verdadeiras e uma conclusão falsa, isto c, todo argumento de forma válida é um argumento válido. Vice-versa, dizer que um argumento c válido equivale a dizer que tem forma válida.

4. CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO Consoante o Teorema anterior (§3), dado um argumento qualquer: P |, P 3..........P.,f------ Q a este argumento corresponde a condicional: (P, A P j A . . . A Pn)-+ Q cujo antecedente 6 a conjunção das premissas c cujo consequente é a conclusão, denominada '■‘condicional associada” ao argumento dado. Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas são as diferentes proposições cuja conjunção formam o antecedente c cuja conclusão c o consequente. Exemplificando, a “condicional associada” ao argumento: p A -q ,

p - * ~ r , qV ~ sf----- ~ (r V s)

é (p A - q) A (p

~ í ) A (q V ~ s ) -+ ~ ( r V s)

e o “ argumento correspondente” à condicional: (p -+ q V r) A ~ s A (q V r -*■s) -> (s -*» p A ~ q) é p - > q V r , ~ s,

q V r - > s |---------- s - » - p A ~ q

go


5.

ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS

São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente) os cons tantes da seguinte lista: I. Adição (AD): (i)

p I------ p

v q;

(ii)

p I------q V p

(ii)

p A q |----------- q

(ii)

p, q |------- 9 A P

* II. Simplificação (SíMP): (i)

p A q |------ p ;

III. Conjunção (CONJ): (i)

p, q i----- p A q ;

IV. Absorção (ABS): P ^ q i -----p ~ * (p A q)

V,

Modus

ponens

(MP): p^q>

VI.

Modus

tollens

—

q

(MT): p -» q ,

~ q |------ ~ p

VIL Silogismo disjuntivo (SD): (i)

p V q,

~ p |----- q;

(ii)

p V q,

~ q l------p

VIII. Silogismo hipotético (SH): p -> q,

IX.

q -> 11----- p -+ r

Dilema construtivo (DC): p -+ q,

r -»• s,

p V ri-----q v s

91


X. Dilema destrutivo (DD): p ^ -q ,

r -> s ,

~ q V ~ s l ------- ~ p V

A validade destes dez argumentos c consequência imediata das tabclas-vcrdade construídas no C apítulo 5 e do Teorema anterior.

6. REGRAS DE INFERÊNCIA básicos d a lis t a a n t e r i o r s ã o u s a d o s p a r a f a z e r ‘Inferências", é, e x e c u t a i os “ p a s s o s ” d e uma dedução o u demonstração, e p o r i s s o c h a m a m - s e , t a m b é m , r e g r a s de inferência, s e n d o h a b it u a l e s c r e v ê - lo s n a f o r m a p a d r o n i z a d a a b a i x o in d ic a d a c o l o c a n d o as premissas s o b r e um t r a ç o h o r i z o n t a l e , c m s e g u id a , a conclusão s o b o m e s m o t r a ç o . O s a rg u m en to s

is to

I. Regra da Adição (AD):

11. Regra de Simplificação (SIMP): (D Hl, Regra

da

PAq p

Conjunção (CONJ):

*q

(ü)

q AP

P A q

ÍV. Regra da Absorção (ABS): P "* q p -+(p V. Regra Modus ponens (MP): p -^ q P

q

A

q)

92


VI. Regra Modus tollens (MT): p^q

-~p VII. Regra do Silogismo disjuntivo (SD): (i)

p Vq

(ii)

q

p V q -q

p

VIII. Regra do Silogismo hipotético (SH): p -* q q -» r P -+ r IX. Regra do Dilema construtivo (DC): p-> q r -> s pV r q Vs X. Regra do Dilema destrutivo (DD): p -+ q r ->■$■ ~q V~s -p V -r Com o auxílio destas dez regras de inferência pode-se demonstrar a validade dc um grande número dc argumentos mais complexos.

7.

EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA

Damos a seguir exemplos simples do uso de cada uma das regras de inferência na dedução de conclusões a partir dc premissas dadas. 1.

Regra da Adição — Dada uma proposição p, dela se pode deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição, isto é, deduzir p v q, ou p v r, ou s V p, ou t V p, etc.

93

IN IC IA Ç Ã O Â LÓGtCA M ATEM ÁTICA

Exemplos: (a)

(c)

(*)

(b)

(1)

P

(2)

pV

(D

p

(2)

( p A q) V r

(D

x*0

P ~q

(d)

P

A q

P

(f)

x ^ O V x =# 1

11.

(1) (2)

-P p q v ~p

(D

p v q

(2)

(r A s) V

(D (2)

X

P

< 1

(p

q)

V

p

x=2v x< 1

Regra da Simplificação Da conjunção p A q d e duas proposições se pode deduzir cada uina das proposições, p ou q. Ex■emplos: (a)

(1) (2 )

(c )

III.

(p v q )A i

x

(2 )

x =# 1

da

>0

(1)

p A ~q

P

(2)

p V q

(1)

Regra

(b )

P

A x # l

P

(d)

(1)

x£ A

A ,x L-

B___ P

(2 )

Conjunção P e r m it e deduzir conjunção p A q o u q A

(p r e m i s s a s ) a s u a

d e d uas p r o p o siç õ e s d a d a s p c q p (c o n c lu s ã o ).

Exemplos: (a)

(c)

(1)

pvq

(2)

~ r ____ P

(1) (2)

pvq. 9Vr

(3)

(pVq)A

~r

(3)

(p

(1) (2)

x<5 x> 1

(3)

x > 1A x < 5

P

(b)

(d)

V

q)

(1) x G A (2) x ^ B 7 Íj

x"^ B A

A ( q V r)

P P x € A


94

IV, Regra da Absorção Esta regra permite, dada uma condicional nomo premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo consequente é a conjunção p A q das duas proposições que integram a premissa, isto c, p ^ p A q. ¡'.xvmplos: (a)

(1)

x = 2 -> x < 3

(2)

x - 2 -> x - 2 A x < 3

P

(b)

(D

x G A -+ x € A U B

(2)

x ê

P

A -^ x G A A x é A U B

. Regra Moduiv ponens - Também c chamada Regra de separação e ]permite deduzir q (conclusão) a partir de p -+ q c p (premissas). Exemplos: (a)

(c)

(c)

(D (2)

~p ~p

~q

(3)

-q

(1) (2)

p -■> q A r

(3)

qA r

(0 (2)

X

(3)

x+y> 1

P

P P

(b)

P P

^ 0 -* X + y > 1 xÔ

(d)

P P

(0

(1) (2)

p A q -* r p Aq

P P

(3)

r

(0 (2)

~pv r^ sA -q

(3)

s A ~q

(D (2)

x6A H B ^x6A

(3)

x6A

P P

-p V r

x e a o b

P P

VI. Regra Modus. tollens Permite, a partir das premissas p - q (condicional) e ~ q (negação do consequente), deduzir como conclusão ~ p ( negação do ante cedente). Exemplos: (»)

(1)

q A r-+ s

(2)

(c)

(3)

~ (q A r)

(1) (2)

p^qv r ~ (q v r)

(3)

~p

p p

p p

(b)

(d)

(D (2)

p -> ~ q ~vq

(3)

~p

(D (2)

x ^ 0 -» -x = y x ifcy

(3)

x= 0

P P

P P

IN IC IA Ç Ã O À LÓGiCA M A T E M Á T IC A

95

VII. Regra do Silogismo disjuntivo — Permite deduzir da disjunção p v q dc duas proposições e da negação ~ p (ou ~ q ) de uma delas a outra proposição q (ou p). Exemplos; (a)

(c)

(1) (2)

(p A q) V r ~~r

(3)

p

(1) (2)

x - 0 V x —1 P x* 1 ______ P_

(3)

x=0

a

P P

(b )

(1) (2)

q

~p V - q — p

P

( 3)

(d)

(1) (2) (3)

~ (p ■+ q ) v r P ~ ~ ( p -» q) ____ P r

VIII. Regra do Silogismo hipotético Esta regra permite, dadas duas condicionais: p -> q e q -> r (premissas), tais que o consequente da primeira coincide com o antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p r (conclusão) cujo antecedente e consequente são respectivamente o antecedente da pre missa p - * q e o consequente da outra premissa q -> r (transitividade da seta

Exemplos: (a)

(c)

P P

(D (2)

-p -* ~ q ~ q -> ~ r

(3)

~p^~r

(D (2)

(p -> q) -> r r -> (q A s)

(3J

(p -+ q) -+ (q A s)

(b)

P P

(d)

(D (2)

~ p -+ q V r q V r -> ~ s

P P

(3)

~ p ->■~ s

(1) (2)

| x | = 0 -+ x = 0 x = 0 -> x + 1 = 1

(3)

1x | = 0 -í-x + 1 = 1

P P

. Regra do Dilema construtivo — Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes, e a conclusão é a disjunção dos consequentes destas condicionais. Exemplos; (a)

(1) (2) (3)

(p A q )^ r S— >■t (p A q) V s

(4.)

~r V t

F P P

(b)

d) (2) (3)

x < y x=2 x < y ->■x > 2 x
(4)

x~2V x> 2

P P P


X.

Regra do Dilema destrutivo Nesta regra, as premissas são duas condicionais e a disjunção da negação dos seus consequentes, e a conclusão é a disjunção da uegaçã» dos antecedentes destas condicionais. K x cm p io s:

(a)

(I) (2) (3)

~ q -r p -+ ~ s —r V

(4)

~ ~ q v -p

(b)

P P P

(1) (2) (3)

x + y ~ 7 -» x = 2 y - x = 2 -* x = 3 x # 2 V x ¥= 3

(4)

x + y ¥= 7 V y -

P P P x# 2

EXERCÍCIOS

1. Construir a “ condicional associada” a cada um dos seguintes argumentos: (a)

~p,

(b )

p -> q 1-------~ ( p A ~ q )

(ç) (d)

p, p ^ q, ~ q V (r A s)i------ r As x = y -> x = 5, x - 5 ^ x < ? , 1-------x = y -> x < z

~ q - + p i --------9

2. Construir o argumento (premissas e conclusão) correspondente a cada uma das seguintes condicionais: (a )

p A (q V ~ p )

(c)

~ (x

< 0 A

y

=£

q( b ) x)

x

( p -*

q)

< 0 V

y

A (p A =

~ q)

-+ S

x.

3. Indicar a Regra de inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos: ( a) (b ) (c ) (d) (c) (f) (g ) (h ) ( i) (j) (k )

p q I----(p -* q ) V - í - p A ( q - * r ) | ------- p p ^ q , q-s— rl--- p ^ ~ r p -v (q ^ r), p |----q -+• r (q V r) ^ ~ p , ~ ~ p I--------(q V r) p -* q , í -+ ' “ S |-----(p -+ q ) A ( r - * ~ s ) (P A q )V .(~ p A r), ~ ( ~ p A f ) |-----p A q p - q V r h - p - ^ p A ( q v r) x + y = 7. -» y + x = zy x + y = z |— y + x = z x , y € R -*>x + y e R , x + y ^ R | — x , y £ R x ^ 0. x ^ 1 h - ~ x ^ 0 A x # 1

IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M A T IC A

(m )

X < 0 V X = 1,

X #

97

1 1------- X < 0

( n ) x = i -y x < 3, x < 3 x + y ( o ) rr > 3 A n < 4 |---- rr < 4

— x = 1 -s- x + y < 5

Usar a regra “ Modus ponens” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas:

(x > y A y > z) -> x > z x> ya y > ¿

(d)

(1) (2)

2 > 1 -* 3 > 1 2> 1

x +] = 2 x + 1 - 2 -> y + l = 2

(0

( 1) (2)

x +0 =. y -+ x = y x+0=y

(1) (2)

(c)

(D (.2)

ti

(c)

ti

x ,y € E R - + x y £ R x iy ë R

>

(I)(2)

X

(b)

(1) (2)

(a)

(x = y A y = z) -> x - z

Usar a regra “ Modus tollens” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de premissas: (a)

(1) (2)

x ^ 0 -> x + y ^ y x+y =y

(c)

(1) (2)

(p q) ~ ( r - ~ < r A s)

a

s)

(b)

(1) (2)

x = z -> x = ó x^ 6

(d)

( 1) (2)

x > 3 -> x > y x> y

Usar a regra do “Silogismo disjuntivo” para deduzir seguintes pares de premissas; (a)

(c)

(1 )

x + 8=

12

(2 )

x + 8

12

(l)

sV(rAt)

&

v x ^ 4

(b)

(d)

(2)

a c o n c lu s ã o

de cada

(1)

y < 6 V x + y < 1 0

(2 )

x + y < 10

(U ( 2)

'P V ~q

dos

'~ q

7. Usar a regra do “ Silogismo hipotético5' para deduzir seguintes pares de premissas:

a c o n c lu s ã o de

cada um dos

(a)

(1) (2)

p -+ rv ~s r V ~ s -> t

(b)

(1) (2)

x = 3 -+ x < y x < y -> x + l

(c )

( I)

s V t -+ r A q

(d )

(1 )

(2 )

r A q -* ~ p

xy = 6 -+ xy + 5 = 11 xy + 5 - l l - > y = 2

(2 )

um


98

8. Usar a regia do “Dilema construtivo” para deduzir a conclusão dc cada um dos seguintes ternos de premissas: (a)

(c)

(1) (2) (3)

p -v r —q -+ ~ s

(1) (2) (3)

y =

(b)

p V~q 0 -*■ x y = 0 y > 1 -*■ xy > 3 y=0Vy> 1

(d)

(D (2) (3)

x

0) (2) (3)

x

=5V x< y > 3 < y -*■ ¿ < 2

x - 5 ->• x x

x y

= = =

2 -*• x 2 = 4

=3 -+ y2 = 9

2 V y 3

Usar a regra do “'Dilema destrutivo” para deduzir a conclusão de seguintes ternos de premissas: (a)

(c)

(D

p

(2 )

q ->

r

A s

(3)

~~r V

~ (r

(D (2) (3)

x < 3 -*• x ^ y x > 4 -+ x < y x =y V x < y

A q -+ r

(b)

0) (2) (3)

p -*• ~ r A q ~ (~ r A q) v ~ ~ q -»■s

(d)

(D (2) (3)

x

A s)

y =£ 18 = 2 -» y = 9 x = 8 -* -y = 18 y # 9 v

Capítulo

10

Validade Mediante Tabelas-Verdade

1. As tabelas-verdade podem scr usadas para demonstrar, verificar ou testar a validade de qualquer argumento. Dado um argumento: P i I P 2 , . . . ) Pnl -----Q

(1)

cumpre constatar se é ou não possível ter V(Q) - F quando V(P,) = V(P2) = . . .= = V(Pn) = V. Para isso, o procedimento prático consiste em construir uma tabela-verdade com uma coluna para cada premissa e a conclusão, e nela identificar as linhas em que os valores lógicos das premissas P j , P2 , . . . , Pn são todos V. Nessas linhas, o valor lógico da conclusão Q deve ser também V para que o argumento dado (1) seja válido. Se, ao invés, em ao menos uma dessas linhas o valor lógico da conclusão Q for F, então o argumento dado (1) é não-válido, ou seja, é um sofisma. Uma outra alternativa para demonstrar, verificar ou testar a validade do argu mento d a d o ( l ) consiste cm construir a “condicional associada’’; ( P , A - P 2 A . . . A Pn) - 0

e reconhecer se esta condicional é ou não uma tautologia mediante a construção da sua respectiva tabcla-verdade. Sc esta condicional c tautológica, então o argumento dado ( l ) é válido. Caso contrário, o argumento dado (1) é um sofisma. 2.

EXEMPLIFICAÇÃO

(1) Verificar se é válido o argumento: p -+■q, q |----- p Resolução Construamos a seguinte tabela-verdadc:

V

q v

v

F

F

v

F

F

p

p->q

v F v v

«- t *- 3

E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O

100

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3, c a conclusão figura na coluna 1. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 1 e 3. Na linha I a conclusão lambem c verdadeira (V), mas na linha 3 a conclusão é falsa (F). Logo, o argumento dado não é válido, ou soja, é um sofisma, pois, a falsidade da conclusão é compatível com a verdade das premissas. Observe-se que esta forma de argumento não-válido apresenta certa semelhança com a forma dc argumento válido Modus ponens. Tem o nome de “ Sofisma de afirmar o consequente” . (2) Verificar se c válido o argumento: p -* q, ~ p i-------- q Resolução Construamos a seguinte tabela-verdade:

p v v F F

9 v F v F

P-*<1 ~p F v F F v v v v

F v F v

3 *- 4

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 3 e 4, e a conclusão (igura na coluna 5. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 3 e 4. Na linha 4 a conclusão também é verdadeira (V), mas na linha 3 a conclusão é falsa (F). Logo, u argumento dado não é válido, ou seja, é um sofisma. Observe-sc que esta forma de argumento não-válido apresenta certa semelhança com a forma de argumento válido Modus tollens. Tem o nome de “Sofisma de negai o antecedente” . (3) Verificar a validade do argumento: p q, q i— p Resolução — Construamos a seguinte tabeia-verdade:

9 P v v F v v F F . F

p ^ q

v F F v

<- I

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 3, o a conclusão figura na coluna 1. As premissas são ambas verdadeiras (V) somente na linha 1, c nesta linha a conclusão também é verdadeira (V), isto é, não é possível ter premissas verdadeiras c conclusão falsa. Logo, o argumento dado é válido.

101


(4) Testar a validade do argumento: p v q, ~ q , p~+r Resolução - Construamos a seguinte tabela-verdade:

q v v F F v v F F

p

v v v v F F F F

P

r

v F v F v F v F

V

q

v v v v v v

~q

F F v v F F v v

F

F

p ^

r

v F v F v v v v

<- 3

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4, 5 e 6, e a conclusão figura na coluna 3. As três premissas são verdadeiras (V) somente na linha 3, e nesta linha a conclusão também é verdadeira (V), isto é, não é possível ter premissas verdadeiras e conclusão falsa. Logo, o argumento dado e válido. (5) Testar a validade do argumento: Se y >

x. = 0

e

y = z, então y > 1

1

Portanto, y =£ t Resolução

R e p r e s e n t a n d o as tr ê s p r o p o s i ç õ e s s im p le s x = 0 , y = z e y > l

r e sp e c tiv a m e n te p o r p ,

q

e r, o a r g u m e n t o d a d o s o b f o r m a s im b ó lic a e s c r e v e - s e : ~ r f------ ~ q

p A q - > r,

Posto isto, construamos a seguinte tabela-verdade:

p v v v v F F F F

q v v F F v v F F

r

v F v F

v F v F

P

A

v v F F F F F F

q

p

A q -> r

v F v v v v v v

~r

~ q

F v F v F v

F F v v

F

v v

v

F F

102

E D G A R O DE A L E N C A R F I L H O

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 5 e 6, e a conclusão figura na coluna 7. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 4, 6 e 8. Nas linhas 4 e 8 a conclusão também c verdadeira (V), mas na linha 6 a conclusão é falsa (F), isto é, a falsidade da conclusão ê compatível com a verdade das premissas. Logo, o argumento dado não é válido, ou seja, é um sofisma.

NOTA

Para demonstrar que um argumento é não-válido basta encontrar um

argumento da mesma forma e que tenha, no entanto, premissas verdadeiras c con

clusão falsa, lista maneira de demonstrar a não-validade dc um argumento chama-se “ Método do contra-excinplo” . Iexemplificando, o seguinte argumento tem a mesma forma do que foi dado: Se l —0 0> 1

e

0-0,

então 0 > 1

_____________

Portanto, 0 ^ 0 À primeira premissa c verdadeira (V), porque o seu antecedente é falso, e a segunda premissa é obviamente verdadeira (V), mas a conclusão c claramente falsa (F). Logo, este argumento é um contra-exemplo que prova quo o argumento dado é uão-válido (sofisma).

(6) Verificar se é valido o argumento: ~ p -> q, p I-— ~ q Resolução A “condicional associada” ao argumento dado c: ((-~p

q) A p) -> ~ q

Construamos a tabela-verdade desta condicional:

p

9

^p

v v

v

F F

F F

v

F F

v v

~ p - > q (~ p -> q) A p ~ q ( ( ~ P ^ q ) A p)-* ~ q

v v v F

v v

F

F

v

F F

v

v v v

F

Na última coluna desta tabela-verdade figuram as letras V c F. Logo, a “ con dicional associada” nao é tautológica e por conseguinte o argumento dado não é válido, ou seja, é um sofisma. Chega-se a mesma conclusão observando que as premissas do argum ento dado são ambas verdadeiras (V) na linha 1 e que nesta linha a conclusão c falsa (F).

103


(7) Verificar se é válido o argumento: p q i---- p - > q V r Resolução — A “condiciona! associada” ao argumento dado é: (p -+ q) -+ (í> -+ q V r) Construamos a tabela-verdade desta condicional:

p

q

r

p-*q

qv r

v v v v

v v

v F

v v

F F

v

v v v

F F F F

v v

v

F F

v

F F

F

v v v v

F F

p -*■q V r (p ^ q) -> (p -> q V r)

v v v

F

F

v v v

v v v v

F

v v v v v v v v

*- 1 «-2

4-5 6 <-7

-8

Na última coluna desta tabela-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a “condicional associada” é tautológica c por conseguinte o argumento dado é válido. Chega-se a mesma conclusão observando que a premissa do argumento dado é v e rd a d e ira (V) nas linhas 1, 2, 5, 6, 7 c 8, c cm cada uma destas linhas a conclusão c verdadeira (V).

(8) Testar a validade do argumento: Se Se

x = 0, então x + y = y y= então x + y ^ y

Logo, se x = 0, então y =£ z Resolução — Representando as três proposições simples x - 0 , x + y = y c y = z respectivamente por p, q e r, o argumento dado sob forma simbólica escreve-se: p -+ q ,

r

—q i-----p ->■~ r

Então, a “condicional associada” ao argumento dado é: (p

q) A (r -+ ~ q ) -*• (p -»■~ r)

E D G A R O DE A L E N C A R F IL H O

Posto isto, construamos a tabcla-verdadc desta condicional a fim de reconhecer se c ou não uma tautologia:

(p v v v v

->

v v F

F F F F

F v v v v

1

2

— >

-q )

v

F

F

F F v v F F

F

v v v

v F v F

v v v F v v v

1

4

1

3

&

V

v F F v v F

A

(r

F v F F

v F

F

V

v v

v v v v v v v

2

5

(P

->

~ r)

v v v v F

F V

F v F v

F F F

F v v v v v

1

3

-t- 2

F

v F v

<-6 4- 7 *- 8

2

Na coluna 5 desta tabcla-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a “condicional associada” c tautológica e por conseguinte o argumento dado é válido. Chega-se ao mesmo resultado observando que as premissas do argumento dado são ambas verdadeiras (V) nas linhas 2, 6, 7 e 8, c em cada uma destas linhas a conclusão também é verdadeira (V).

(9 ) Testar a validade do argumento:

Sc 8 não c par, en tão 5 não é primo Mas 8 c par Logo, 5 e primo Resolução Cumpre, em primeiro lugar, passar o argumento dado para a forma simbólica. Representando por p a proposição “ 8 c par” e por q a proposição “ 5 é primo” , temos: -p -* ~ q ,

p ,-----q


P

v v F F

<1 v F v F

~p

~q

~p

^~q

F

F

F

v

v v

v V

F

F

V

v


1055

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 1 e 5, e a conclusão figura na coluna 2. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas I e 2, mas na linha 2 a conclusão é falsa (F). Logo, o argumento dado é um sofisma, embora tenha premissas e conclusão verdadeiras.

(10) Verificar a validade do argumento: Se 7 é menor que 4, então 7 nao é primo 7 não é menor que 4 Logo, 7 é primo Resolução Seja p a proposição “ 7 é menor que 4 ” e q a proposição “ 7 é primo”. Então sob forma simbólica o argumento dado escreve-se: p ^ -q ,

~ p i-----q


p

9

"~9

p -*• ~ q

~p

v

v

F

V

F

v

F

F

F v v v

F F

F

v F V

v v

-e- 3 4

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 4 c 5, e a conclusão figura na coluna 2. As premissas são ambas verdadeiras (V) nas linhas 3 e 4, mas na linha 4 a conclusão c talsa (F). Logo, o argumento dado c um sofisma, embora tenha premissas e conclusão verdadeiras.

0 1) Verificar se 6 válido o argumento: Se 7 6 primo, então 7 não divide 21 7 divide 21 Logo, 7 não é primo Resolução Representando por p a proposição “ 7 e prim o” e por q a propo sição “ 7 divide 21” , o argumento dado sob forma simbólica escrcvc-sc:



3

As premissas do argumento dado figuram nas colunas 2 e 5. c a conclusão figura na coluna 3. As premissas são ambas verdadeiras (V) somente na hnha 3, e nesta tinha a conclusão também c verdadeira (V), Logo, o argumento dado é válido. Observe-se que a primeira premissa e a conclusão deste argumento válido são proposições falsas. (12) Verificar a validade do argumento: Se chove, Marcos fica resfriado Marcos não ficou resfriado Logo, não chovcu Resolução - Representando por p a proposição “ Chove” e por q a proposi ção “ Marcos fica resfriado” , o argumento dado $ob forma simbólica cscreve-se: p -* q ,

~ q i--------p

c por conseguinte é válido, pois, tem a forma do argumento válido Modus tollens (MT). (13) Verificar se é válido o argumento: Sc um homem é careca, ele é infeliz Se um homem é infeliz., ele morre jovem Logo, carecas morrem jovens Resolução — Representando as proposições “ He é careca” , “ Ele é infeliz” e “ Kle morre jovem ” respectivamente por p, q e r, o argumento dado sob for ma simbólica escreve-se: p -*■ q,

q -» r |---- p -* r

e por consegirintc e válido, pois, tem a forma do argumento válido Silogismo hipotético (SH).

10 7


(14) Testar a validade do argumento:

Se 8 6 par, então 3 não divide 7 Ou 5 não 6 primo ou 3 divide 7 Mas 5 é primo Portanto, 8 c ímpar Resolução Representando as proposições simples “ 8 c par” , “ 3 divide 7" e “ 5 é primo” respectivamente por p, q e r, o argumento dado sob furma simbólica escreve-se: p -> ~ q ,

~ r v q,

r h ------ P

Então, a “condiciona] associada” ao argumento dado é: ((p - > ~ q ) A ( ~ r V q) A r)

~p

Posto isto, construamos a tabela-verdade abreviada desta condicional de reconhecer se c ou não uma t a u t o l o g i a :

A

v v F F F F

F F v v v v v v

~q) F F v v F F v v

F F F v v v F v

1

3

2

4

((p

->

V V

(~r

V

A

r)

F

v F v F v

v

F v v v F v

q) v v F F v v F F

2

3

1

F

v

v F v F v

x r V

F

~ p

F F v v F

v

F

F

v v v v v v v v

5

1

6

F

F

a tun

F F F F

v v v v 2

+- 5

Na coluna 6 desta tabela-verdade figura somente a letra V (verdade). Logo, a “condicional associada” é tautológica e por conseguinte o argumento dado é válido, Chega-se ao mesmo resultado observando que as três premissas do argumento dado são ao mcsino tem po verdadeiras (V) somente na linha 5, e nesta linha a conclusão também é verdadeira (V). Notc-se que a segunda premissa e a conclusão deste argumento válido são pro posições falsas.

10g

3.


PROVA DE NÃO VALIDADE

0 método usual para demonstrar, verificar ou testar a não-validade de um dado argumento P | , P j, . . . , [---- - O consiste çm encontrar uma atribuição de valores lógicos às proposições simples componentes do argumento quo torne todas as pre missas P , , P2, . . . , Pri verdadeiras (V ) c a conclusão Q falsa (F ), o que equivale em encontrar uma linha da labela-verdade relativa ao argumento dado em que os valores logícos das premissas P , , P 2, . . . , Pn sã ° todos V c o valor lógico da conclusão Q é K ti óbvio que, todas as vezes que seja possível encontrar essa atribuição de valores lógicos, sem a construção da tabcla-verdade completa relativa ao argumento dado, evita-se unia boa parte de trabalho. Exemplos: (1) Demonstrar a não-validade do argumento: (p -+ q) V ~ (r A s),

p v s i -----r->-q

Dem. Com a seguinte atribuição de valores lógicos às proposições simples componentes do argumento dado: F

os valores lógicos das duas premissas sao V e o valor lógico da conclusão é F, pois, temos: Premissa: (F + F) V -~(V Á V )-= V V ~ V = V V F = V Premissa: F V V = V Conclusão: V -» F - F I?

2í*

Logo, t) argumento dado c não-válido (sofisma). (2) Demonstrar a não-validade do argumento: p v ~-q>

~(~r A s),

~ ( - p A ~ s)l

-q -* r

Dem. Com a seguinte atribuição de valores lógicos às proposições simples componentes do argumento dado:

109


os valores lógicos das três premissas são V e o valor lógico da conclusão é F, pois, temos: I? Premissa: 2? Premissa: 3? Premissa: Conclusão:

V V ~F = V V V = V ~ ( ~ F A F) = ~(V A F ) = ^ F = V ~ ( ~ V A ~ F ) = ~ ( F A V) = ~ f = V —F -* F = V -*■ F = F

Logo, o argum ento dado não é válido (sofisma). (3) Demonstrar que é não-válido o argumento: p A q

-*■

(p-^r)vs,

p A ~r h

p V ~q

Dem. Atribuindo às proposições simples componentes do argumento dado os valores lógicos indicados pela tabela:

P 9 s resulta o valor lógico V para as duas premissas c o valor lógico F para a conclusão, pois, temos: 1? Premissa: V A V -* (V -+ F )V V = V -» -F V V = V ^ V = V 2? Premissa: V A - F = V A V = V Conclusão: VV - V" FV F= F Portanto, o argumento dado nâo é válido (sofisma), (4) Demonstrar que ê não-válido o argumento: ( 1) (2) (3)

xÔ x - 0 V ~ (x x ) y > x -> y > l Ax + y > 2 y > 1

x < 1

Dem. - Atribuindo às proposições simples componentes do argum ento dado os valores lógicos indicados pela tabela: V

F

y>x

x=0 x< 1

y> i x+y> 2

11Q


resulta o valor lógico V para as três premissas e o valor lógico F para a conclu são, pois, temos: 1? Premissa: 2? Premissa: 3Í* Premissa: Conclusão:

~F = V F V - ( F V ~ V ) = F V ~ (F V F) - F V ~ F = F V V = V V -> V A V = V -+ V = V V -> F = F

(5) Demonstrar a não-vaJidade do argumento: (l>

x2 - 3 x + 2 = 0 - * x - I V x —2

(2)

x-

(3)

3x > x2

1

V

x = 2 -+ 3 x > x 2

3x > x 2 V x = 1

Dem. Atribuindo a todas as proposições simples componentes do argumento dado o mesmo valor lógico F, resulta o valor lógico V para as três premissas e o valor lógico F para a conclusão, pois, temos: 1'} Premissa: 2? Premissa: 3? Premissa: Conclusão:

F -v F V F - F — F = V F V F -> F = F -> F = V ~F = V FV F= F

EXERCÍCIOS 1. Usar tabclavverdade para verificar que são válidos os seguintes argumentos:

(a)

p

(b)

(g)

p -> ~ q , r ^ p , q l------~ r p - f q , r v - q , ~ r h - ------- p p -> q V r, |---- p -> r p -> ~ q, p, ~ q -» r i----r p A ~ q , ~ r -*■ q )— p Ar p V ( q V r), ~ p , ---- q

(h)

pv~q,

(c) (d)

(e) (f)

q,

r - ~ q |--- r ^ ~ p

~p,

-~ (pM )-+ q> --- r

2. Verificar mediante tabclas-verdade que são válidos os seguintes argumentos: (a)

p -*■~ q ,

(b)

p -+ q A r,

q,

~ p -> r A s |----- r

|ç ) (dj

p v q, q -*■r, ~ r V s i--- s p A q - + f, s -> p A q, s j---- - q V r

(e )

p v q,q -> r,

~ (q A r),~~p

p -+ s,

As

s |----- ~ p A s

~S|--------- r A (p V q)


3.

111

Usar tabelas-verdade para mostrar a validade dosseguintes argumentos: (a)

(1) (2) (3)

x=Q ^x^y x = / . -*x. = y x-

(b)

(1) (2) (3)

x^ 0 ( c)

( I) (2) (3)

x ¥=y -+ x + z x ^ z -^ x ^ O x=0

x. = 6 - » x > y ~ (y > S A y > 5 -+ x > y x> y

(d) (3)

x=y

(1 ) (2) y>x

y > x «—»■x = 0 xy = 0<—■* x = 0 xy # 0

4. Demonstrar a não-validade dos seguintes argumentos pelo “ Método de atribuição de valores lógicos” : p -> q, r -+ s„ p y s |------- q v r ~ (p A q), ~ p A ~ q - > r A s , S-> r [-----r p<—> q V r , q <—>p V r, r ^ p v q, ~ p |-----q v r p -+ q v r, s +-* r, —p V q |-----A q (p -*• q) -*■ r, r -*• ~ s V t, (s -> t) -*• u, u (----- p -» q p -> -(q-*r), s -> ( t -> v), q -> s A t, ~ ( q A v) )p <—* r -

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

5. Passar para a forma simólica e testar a validade do argumento: Sc trabalho, não posso estudar Trabalho ou passo em Física Trabalhei Logo, passei em Físíca

11

Capítulo

Validade Mediante Regras de Inferência

1. O método das tabelas-verdade permite demonstrar, verificar ou testar a validade dc qualquer argumento, mas o seu emprego torna-se cada vez mais trabalhoso à medida que aumenta o numero dc proposições simples componentes dos argumentos. Assim, p. ex., para testar a validade dc um argumento com cinco (5) proposições simples componentes c necessário construir uma tabela-verdade com 2' = 32 linhas, perspectiva nada animadora. Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a validade de um dado argumento P , , P2, . . . , Pn l-----Q consiste em deduzir a conclusão Q a partir das p r e m i s s a s P , , P2 , . . . , Pn mediante o uso de c e r t a s r e g r a s de i n f e r ê n c i a .

2. EXEMPLIFICAÇÃO

(1) Verificar que é válido o argumento: p Resolução

q,

p A r |-----q

Temos, sucessivamente: (1) UJ

p -^ q pA r

(3)

p q

(4)

P P________ __ 2 — S1MP 1 ,3 - M P

Da segunda premissa: p A r, pela Regra de Simplificação (SIMP), inlerimos p. De p e da primeira premissa: p-» q. pela Regra Modus ponens(M P), inferimos q, que é a conclusão do argumento dado.

11 3


Assim, a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado por meio d« duas Regras de inferência, e por conseguinte o argumento dado é válido.

(2) Verificar que é válido o argumento: pA q,

p v f - ^ s |-----p A s

Resolução - Temos, sucessivamente:

(U

PAq

(2)

pv r-> s

(3) (4) (5; (6)

p pv r s p a s

P P 1 3 2,4 3,5

- SIMP -A D MP - CONJ

Da primeira premissa: p A q, pela Regra de Simplificação (SIMP), inferimos p. De p, pela Regra da Adição (AD). inferimos p V r. De p v r e da segunda premissa: p v r ^ s , pela Regra Modus ponens (MP), inferimos s. De s e de p (linha 3), pela Regra da Conjunção (CONJ), inferimos p A s, que é a conclusão do argumento dado. Assim, a conclusão pode ser deduzida das duas premissas do argumento dado por meio de quatro Regras de inferência, e poi conseguinte o argumento dadoé válido.

(3) Verificar a validade do argumento: p Resolução

(q

r),

p -* q,

pl

Ternos, sucessivamente: (1)

p -> (q -r)

P

(2) p -*q

P

(3)

p

P

(4) (5) (6)

q^r q r

1,3 MP 2,3 - MP 4,5 - MP

(4) Verificar a validade do argumento:

E D G A R D OE A L E N C A R F I L H O

Resolução

Temos, sucessivamente: (1) (.2)

p -+ q p Aq

r

P P

(3)

- ; ( p A rj

P___________

(4) ( 5) (6) (7)

p -> p A q p >i p ■->p A r ~p

I — ABS 2,4 — SH 5 —ABS 3 ,6 - M T

(5) Verificar que é válido o argumento; pv q ^ r, Resolução

r Vq

(p -*■(s

>t)),

p A s |-----s +->• t


(1) p v q ^ r (2) (3) 74) (5) (6j (7) ( 8) (9)

P

r v q -> (p -+ (s <-+ t)) p as

P P

P p v q r r v q p -+ ( s <

3 - S1MP 4 -A D 1,5 - MP 6 AD 2,7 - MP 4 , 8 - MP

S -J5—9- t

________

(6) Verificar que c válido o argumento: p -> ->*■q, Resolução

p -» (r

~ q), (~ s V ~ r) -> ~ ~ q ,

Temos, sucessivamente: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

P -~ q ~ p -+ (r^ ~ q ) H V -r)-+ — q ~s *~s v •'~r — q -p r -s- ~ q —r

P P P P 4 — AD 3,5 - MP 1 ,6 - M T 2 ,7 - M P 6 ,8 - M T

I--------r

115

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA

(7) Verificar a validade do argumento: p A q -> r,

r

t-> -u ,

s,

t,

~ s V ui--------(P A 9)

Resolução - Temos, sucessivamente: (O (2) (3) (4) (5)

p A q-> r r -* s t -» ~ u t ~s V u

P P P P P

(6) (7) ( 8) (9)

~u ~s ~r ~ (p

3,4 5,6 2,7 1,8

-

1,

p v s 1-----r V t

A

q)

MP SD MT MT

(8) Verificar a validade do argumento: p ^ q,

q

s

r

Resolução - Temos, sucessivamente; (1) (2) (3) (4)

p -* q q -+ r s -+ 1 pv s

P P P P

(5) (6)

p^r rV t

1,2 - S H 3,4,5 - DC

(9) Verificar a validade do argumento: p -*■ q,

-*■(s -» t),

r V (p v s),

Resolução — Temos, sucessivamente: 0) (2) (3) (4)

p^q ~ r -►(s -> t) r V (p V s) ~r

P P P

(5) (6) (?)

s -*> t

2,4 - MP 3,4 - SD 1,5,6 - D C

pVS q V t

*-r 1-----q V t

E O G A R D DE A L E N C A R F IL H O

11 6

(10) Verificar que é válido o argumento: p -* q, Resolução

(p-*r)-*svq,

pAqî,

\-----q


(1) (2) (3) (4)

P-* q (p -> r) -* s V q p A q -> r ~s

P P P P

(5) (6) (7) (8)

p^p A q

1 -A B S 3,5 SH 2,6 MP 4,7 SD

p -* r SV q

q

Verificar a validade do argumento: p V (;— T A — -q),

P-* ^ Resolução (I) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

s-* ~ r,

~ (p A

Temos, sucessivamente: P P P P

p -v q p v (~-*r A ~ ~ q )

S-+ —r ~ (p A q)

I ABS 4,5 MT 2,6 - SD 7 - SIMP 3,8 MT 9 - AD

p +p A q ~p ——r A ~ ~ q

-— r ~s —s v ~ q

Verificar a validade do argumento: p -> r, Resolução (0

q -> s,

~ r,

(p

V

q)

A

(r

V í

Temos, sucessivamente: p -* r -> s

(2) (3) (4)

( P

(5) ( 6) (?)

p V q r V s s

q

V q ) A ( r V s)

P P P P 4 - SIMP 1,2,5 DC 3,6 - SD

'S V


Verificar que é válido o argumento: p -> 9 , Resolução

q -*■ r,

r -+ s,

S,

pV t


(O (2) (3) (4) (5)

p -> q q^r r -* s ~s pv t

P P P P P

(6) (?) (8) (9)

p -*■ r p -+ s

1,2 3,6 4,7 5,8

t

— SH — SH - MT - SD

Verificar que e válido o argumento: (p -* q) A (r Resolução

s),

t- » u ,

u— * v,

qV

T em os, sucessivamente:

d) (2) (3j (4)

(p -* q) A (r -* s) t— >u u* v ~ q V ~v

P P P P

(5) (6) (7)

t— >v p-* q ~ p V '“t

2,3 1 4,5,6

SH S1MP

( 15) Verificar a validade do argumento: x = y -» x = / ,

Resolução

x~ -+ X -L

x = 0 ^ x ^ 1,


( I) (2 ) (3) (4)

x=y x =z x=0 x

-+ x = z ->• x = 1 ->■ x * l =y

(5) (6 J (7)

x = y -* x = 1 x= 1 x^ 0

P P P P

1,2

Sil

4.5 MP 3.6 - MT


118 (16) Verificar a validade do argumento: Se Se Ou Se Mas

x x x x x

= y, então x = /. = / , então x = t = y ou x - 0 = 0, então x + u = 1 +u 1

Portanto, x = t Resolução


(U (2 ) (3) (4) iíl (6 ) (7) (») (.9)

x x x x

= y -> x = /. = z -*■x - t =y V x=0 = 0 -»x + u = l X+ u 1

P P P P P

x=y x 0 x=y x=t

1,2 SH 4,5 — MT 3,7 SD 6,8 MP

x=t

(17) Verificar que c válido o argumento: x. = y -*■ x =

x ^ y -> x < z ,

xz,

y # z A x # z j ---- y > z

Resolução —Temos, sucessivamente; ( 1) (2 ) (3) (4)

x x x y

= y -» x = z # y -+ x ■< L < /. V y > z ^ zA x# 2

P P P P

(5)

x x x y

* / ^y z

4

(6) (7) (8)

-S IM P

1 ,5 - MT

2,6 3,7

MP SD

EXERCÍCIOS 1. Usar a regra “ Modus pone ns” para deduzir de cada um dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada: (a) ( 1 ) (2 ) (3)

p-> q q^r P r

(b)

(0

( 2) (3)

p -^ -q p ~qî r

119


(c) ( 1 ) (2) (3)

p q A r q A r -* s

(d)

P

(D (2) (3)

~ p ->• q V r s v t- * ~ p s Vt qV r

s

Usar a regra “ Modus poncns” para deduzir dc cada üm dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada: (a) 0 ) (2) (3)

2 > 1-* 3 > 1 3 > 1 -* 3 > 0

(b)

2 > 1

(D (2) (3)

x=y

3> U (c) Cl) (2)

(3)

x + 1“ 2 x+l=2^-y+l-2 y+ 1 =2 x=y

x + Q= y~»x = y x+0 =y x = y-^x+-2=y + 2

(d)

CU (2) (3)

(a > b A b > c) -+ a > c a> b A b > c a > c -> a > 10 a > 10

x +2 - y +2

Usar a regra “ Modus poncns” para deduzir dc cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão indicada: (a) ( 1 ) (2) (3)

(a = b A b = c) a = i- c = a a=b A b=c

=c

(b)

(c)

(1)

p

(2)

P ~ q -> r r ~t

(3) (4)

c=a

(d)

-* ~^q

(l)

(2)

~ p -> q q -» r

(3)

~P

(1)

(3)

P v q P V q-*-~r - r -+■ s A ~ t

(4)

s A ' l - > U W

(4)

r-*~s

u

Í5)

~ s -» t -4- u

(2)

V v

(6)

t

4. Usar as regras “ Modus poncns” e “ Modus tollens” para deduzir de cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão indicada: (a) ( 1 ) ( 2) (3)

p -> q ~ p -+ r ~q r

P P P

(b)

(0 p -» ~ q ( 2 ) -------q (3 j - p ^ r A s r A s

P P P

1 20


p^q q -+ — r s -+ ~ r

(C> 0 ) (2) O) (4)

P P P P

P

(d)

■'~S

( 1)

x 4- 0 -> y = 1

P

(2) (3) (4)

x - y -*■y - 1 y = t -*.y =£ 1

p P

x —y

P

/.

X= 0

5. Usar as regras da “ Conjunção”, “ Simplificação” , “ Modus poncns” e “ Modus tollens” para verificar que são válidos os seguintes argumentos: (a) p A q, p -> r |-----p a r (b) ~ p a q, r -*■ p |----- ~ p A~ r (c) r p, r -» q, r |--- p A q (d) ~ p -> q, ~ (r A s), p - + r A s |---- ~ p A q 6 . Usara regra do “ Silogismo disjuntivo” para verificar que são válidos os seguintes

argumentos: (a.) p v 9> q - > r f -------- p (b) PA q, r v s, p - > - s i — r (d) - p , p v ( q V r), - r | ----q (c)p, p -> ~ q , q v r|--------p A r (c.) p v ~ q , ---- q, p ^ r A sf----- s 7. Usar a regra do “ Silogismo disjuntivo” para deduzir de cada um dos seguintes ternos de premissas a conclusão indicada: x = y v x ■=7 x = /. ->■x = 6 x# 6

(a) < 0 (2) (3)

(b>

x ^ O -^ x ^ y x = y v x = z.

0 )

(2) (3)

x¥z

x- y
x=0

I+ I~ 2 A 2 + 1 = 3 3 - 2 = 1 V 2 -1 * 1 1 + 1 = 2 -y 2 - í = 1

(d)

x=0 v x=y x —y x —/, X

0) (2) (3)

o II X

3 -2 = 1

8 . Verificar que são v á l i d o s os seguintes argumentos:

( a ) r ^ p v q, (b)p-^-q, (c)

r, ~ p l - ^ q — q, —p —»■r |—

p A q,

(d .)p-*q5

q ^ ~ r,

(e ) (f)

~q,

p p

-►q, q,

p

r,

p

p i ------r

~ p

r,

r

q - * st e — r A

p

-*■ r i--r |---- q A

f

s

I IM I C I A Q Á O

A

L Ó G IC A M A T E M Á T IC A

(g)p-*q,

~q,

(h )

p V ~q>

( i ) ~p

r-

~q,

v

(j ) p ~ q , (k ) ~pV ~ ~ q , (1) p -> ~q ( m ) p A q,

A r, p -î5

rA s-* ~ t,

q~>s|

9. Verificar que sao válidos os seguintes argumentos: (a)

(b)

( 0

x+

(.2 )

X = 4 A y <

(3)

x + 8 - 12A y < x

8 = 12

Vx

=£4

X

y

+8 <

(1)

x

+ 2 < 6 - * x < 4

(2)

y < 6 v

(3)

x + y

<

y

12

x

+y <

10

1 0 A x. + 2 < 6

x < 4 A y < 6 x = y - + x ^ v l

x=y +3 V

(3)

x + 2 ^ y A x

x

=

5 A

x

i- y

(1)

x

<

y v

x

=y

(2)

(3) H)

y

x < y

a

3

t 2 = =5

y

'•Ji

x

%

(d)

(1) (2.)

X 11

(O

y = 5 -* x < 5

= 5

x < 5

(e)

(l)

(2 ) (3) (4)

3x + 2y = 18 A x + 4 y x = 2 -* 3x + 2 y =£ 18 x = 2V y - 3 x # 4 , - » y =£ 3

=

4 (!) (1) (2) (3) (4)

x + 2 > 5 -> x = 4 x = 4 -> x + 4 < 7 x+4 < 7 x + 2 > 5 V (5 - x > 2 A x < 3)

E D G A R D DE A L E N C A R FI LHO

122

( g>

(D (2)

x > 5 - * x - 6 V

(3j

x < 5 -f x

(4)

x - 7 A x ^ 6

x > 6

x # 5 A x < 5 - i - x > 5 7

x = 7 "f x ^ 5

(5)

x > 6

10.

Us a r a re gr a d a “ A d i ç ã o ” p a r a v e r i f i c a r q u e s a o ( a)

p v q,

(b)

p A ~p,

(c)

1 1,

p-*r,

~~q, q

(d)

p A q ^ s,

(e)

p A ~q,

válidos

os seguintes argumentos:

-> s [------ s v

~q v

r

s i ------- s

r -» p A q |------- s V q

r, r-s-q,

rv

s,

p v s - * - t i -------

U s a r a regra d a “ A d i ç ã o ” p a r a v e r i f i c a r q u e s a o

(a) ( I )

os seguintes argumentos:

- r i ------ q v s

r -> ~ < j , p,

válidos

(D

x > y v

(2)

x > 3 -* x > y

(2)

x > 5 v y < 6

(3)

x > y

(3)

x + y = 1 A x > y

x > 3 v y < 4

(b)

y < 4 V x > 2

(c)

(11

x = 2 -

(2)

x =h 4 A x < 3

(.3)

x ^ 2

x > y v

x < 3

(d)

V x > 4 h- x = 5

y < 6 -> y < x

(2)

y < 6

(3)

y < x

x + 2 = 5 V x - 2

x

-»>

1

X

x = lv

(4)

%

IO

(3)

x

12.

>

X I to li

(2)

x = 1 -*■ 2 - x = 1

+2=5 =

1

X=

3

=3

x - 5 -+ y > x

v

y = x v

(1)

y < 6

0)

x = 5 A x ¥= 4

(e)

x > 5

y > x

(1)

x + 2 ^ 5 V 2x = 6

(2)

x +2

(3)

2 x - 2 - 8 -* 2 x

(4)

x

+

3

=8

x ^ 3 v

x

A 2x -

>

¥= 6 2- S

2

Deduzir de cada um dos seguintes conjuntos de premissas a conclusão ludicada: (a) ( 1 ) (2 ) (3)

sen30°

= 0 , 5 -> c s c 3 0 ° = 2

se n30° = 0,5 c s c 3 0 ° = 2 -+ t g 3 0 ° = 0 , 5 8 t g 3 0 ° = 0,58 V c o s 6 0 c = 0 , 5

INICIAÇAO À LÓGICA MATEMÁTICA

(b) ( 1 ) (2 ) (3)

123

D x 3 = 3x 2 A D3 = 0 DxJ - 3x 2 -*• Dx 2 = 2x I3x2 - 2x V ü x 3 = 12 -* x = 2 x=2

(c) (.1 ) (2 ) (3) (4)

y<4A x=y+3 " ( x ^ y + 3 j-* x > 2 y > 2 -» x > 2 y > 2 v y = 3 -+ x > 5 y< 3V x> 5

(d) ( 1 ) (2 ) (3) (4) (5)

x = yv x < y y “ x+ 4 (x < 3 V x > 5) A y = x + 4 - i - y # 8 x4 y y - 6 v x < y -j- x < 3 (X = 4V y * 8 ) A x < 3

13. Usar a regra do “Silogismo hipotético’' para verificar que são válidos os seguintes argumentos:

(a) (l) (2) (3)

5 x - 4 = 3x + 4 -» 5x = 3x + 8 2x = 8 -> x = 4 5x = 3x + 8 -> 2x = 8 5x - 4 = 3x + 4 -> x = 4

(b) O (2 ) (3) (4)

x ^ y ->y < x (x > 5 -> y < x) -» y = 5 y^S V x =6 x > 5 -* x & y x- 6V x>6

(2) (3) (4J

7, = 5 -* ((y = 3 -*■y + z = 8 ) A z > y) (xy + z = 11 ->■x = 2) -» (y = 3 A z = 5) xy = 6 -> x - 2 xy + z = 1 1 -> xy = 6

y+

(.

= 8

EOGARD DE ALEMCAR FILHO

T24 (d ) ( 1 )

5 x = 2 0 -> x = 4

(2 )

2 x = 6 V x ¥= 3

(3)

<5x- 3 = I7-*x = 4 )-» 2 x # 6

(4)

5 x - 3 = 1 7 -+ 5 x = 2 0 x 4- 3 V x < 4

( x + y = 5 -> y = 3 ) v x + z = 3 /. ^ 1 V ( x + /. = 3 -» x + y •- 5 )

x + y ^ 5 A 7:= 1 x + /. - 3 - # y - 3

(0

(t)

x = 3 -* x > y

(21

x ¥= 3

(3)

( x = 3 -* x < z ) - » x < z

(4)

x > y -* x < /.

z - 5

z = 5 v 7. > 5

14.

U s a r a regra d o “ D i l e m a c o n s t r u t i v o ” p a r a v e r i f i c a r a argumentos:

<*) (O (2)

2 x + y - 7 -*■ 2 x = 4 2x + y - 5 ^ -y = 1

(3)

2x + y = 7 V 2x + y = 5

(4)

2x¥=4 y

(b)

-

1

( 1)

x =£ 6 -> ( x = 2 v

(2)

2 x + 3 y = 2 1 A x =£ 6

(3)

x = 2

y - 9

(4)

x —H

y - 1

y = 1 V y = 9

(c) (D (2)

x > 5

V y < 6

y < 6 -* x < z

(3j

x > 5

(4)

y < z A z = 6

y < z

x O . V z - 6

x = 8)

validade

dos seguintes


(d) ( 1 ) (2 ) (3) (4)

y = 0 -*■xy = 0 y =0 Vy< 1 xy = 0 V xy > 3 -> x # 4 y < 1 -» xy > 3 x^4V x > y

(*) Cf) (2 ) (.3) (4) (5)

x< yvy< x y < x -» x > 6 x < y -*■ x < 7 (x > 6 V x < 7) -+ y > 11 y > 11 V x < 0 x < 0 V y < 12

(f) (1) 2x - .1 Ox + 12 = 0 A x < 4 (2) X2 - 5x + 6 = 0 -* x = 2 v x = 3 (3) x = 2 x.2 = 4 (4) x = 3 -* x 2 = 9 (5) 2 x 2 - I Ox + 1 2 = 0 -> x 2 - 5x + 6 = 0 V x2 = 9

X2 = 4

d.)

x = 5 v

(-)

x > 3 V

f. < 2

(3)

x < y

z < 2

X < y

(6)

<

z < x -* X = 4 V

x ~ 5 —■> X > 3

15)

X

(4)

/. < 2

x- 4 ( h ) (1) (y = 5 -+• x < y) Ax > 1 (2) y >5 V y =5 (3) x < y V y > 4 -+x +1 > y A y < 9 (4)y > 5 y > 4_______________ _____ x + 1> y V x > 4

15. Verificar a validade de cada um dos seguintes argumentos: ( a) p A (b ) p v

12b

126


( c ) p

>■ q ,

q-+~r,

(d ) p

v q,

q -*■r,

(e ) -p v

~q,

p v p

-*

p V r,

( g ) - p

q ■-> r, A s,

( h ) p v q ,

q -»■ r,

-q A -'í,

q,

pv

( k ) p -f q, ( m j r "♦ t, (n )p

A (p

~- p . - > t,

~ r (- —

q)

l | ------ ~ S A

p

~ ~ r - s * s | -------— p A s

p -+ r,

s -» q,

s V 11------t

— q - s - s f ------ s

l v q - > ~ p , r V s | ------- ~ p

>~q,

( p -> — s ) -» — t, s

p,

t -»• q,

s v

r - » t | ----------- r

t | -------u V

16- Verificar que são válidos os seguintes argumentos: (a) (O (2 )

(3) (4)

x=yv x> y x< 4v x< z x = y -* x < /. x > y -v x < 7. x <4

(b) ( 1 ) (2 ) (3) (4)

2x + y = 5 -» 2x = 2 2x+y = 5 v y = 3 2x s 2 - > x = 1

y

= 3 -> 2x = 2

x=i

(c) (D (2 > (3) (4)

x< x< x> x< x

(d)

(1)

(2 ) (3) (4)

3 V x>4 3 -> x té y 4 - 5- x y v x # y - » xx

=2

x - 3 -* 2 x 2 - 18 x = 3 v x =• - 3 x = - 3 - * 2 x 2 = 18 2x 2 = 18 -» x 2 = 9 x2 = 9

t

~ t | --------- s

r, ~ r |-------- q v s

~r,

( o ) p V q -+

V

~ l f ------- ~ r A ~ t

s - v q,

p -»■ L,

q T r, (p -> r) -> ~ s,

( l)p v ^ -q ,

(s A t)|—

(------ r

r->~q,

(jjp-s-q, ( j ) p

~s

~ q -* ~ r ,

(f)p-»-~q, > q,

s,

=£ 4 A x = 2

M

127


(e) (1)

(9

7, >

7

X -> X

(2)

X< 6 v X = 3

(3)

x = 3 -> /, > x

(4)

x< 6-^ /. > x

(5)

x = 7 V x = 5

T

x= 5

(1) (2)

x=3 Vx=4 x = 3 -+ x 2 —7x + 12 = 0

(3)

x = 4- >- x2 - 7 x + I 2 = 0

(4) (5)

x 2 ~ 7 x + 12 = 0 - » - x > 2 x2 < 9 -> x > 2 x2 < 9 x 2 = 9 V x 2 > 9

(6)

x 2 = 9 V x2 > 9

(1)

x > y v

(2)

x < 4 4 x < y

x < 4

(3)

x > y -*■ x = 4

(4)

x 4 4

A y < 4

x < y

th)

0)

x=

5rr

-* senx = —1 -

(2)

* = - ? ■

(3)

1 senx = —

(4.)

x = -7 — 6

COSX =

(i) ( 1 ) (2 ) Í.3) (4) (5)

-* c *s c x = ii

-»• s e n x = +

■ v

2

cscx = 2

x + 2 y = 5 V 3x + 4 y = 11 x> y y x < 2-> y< 2V y x = 1 x > y v x < 2 x + 2 y = 5 ■-> x = I x =

1A

(y < 2 V y

< 1)

128

17.


Us ar as

Regras de Inferência

p ara m o s t r a r

que

são

válidos

os seguintes argu

mentos:

(a) (b)

p, p

a

( q V r), cj v

s -> r |---- ~ s r— s,

s

v

11—

t

(c) p v q — ^ r , q, s A t -»• r f---------------------------~ (s A t) (d) p -> q , ~ q , ~ p v — r — s |------------------------------------------------------ s (e) p v (q A r), q - + s, r -> 1, s A t - > p v r, ~ p i --------------- r (f) q v ( r - > t ) , q -* s , —s - ^ ( t ^ p ) , ~ s |------r p (g) p V q - » ( p ^ S A t), p A r i-----t V u

Capítulo

12

Validade Mediante Regras de Inferência e Equivalências

1. REGRA DE SUBSTITUIÇÃO Há muitos argumentos cuja validade nâo se pode demonstrar, verificar ou testar com o uso exclusivo das dez Regras de Inferência dadas anteriormente (Cap. 7), sendo necessário recorrer a um princípio de inferência adicional, a ’‘Regra de substituição” de proposições equivalentes seguinte: Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P pode ser substituída por uma proposição equivalente, e a proposição 0 que assim se obtém é equivalente à P. 2.

EQUIVALENCIAS NOTÁVEIS

A fim dc facilitar o emprego da “ Regra dc substituição” damos a seguir uma lista de proposições equivalentes, que podem substituir-se mutuamente onde quer que ocorram; 1. Idempoténcia (1 D ): (i)

p

p

A p ;

(i i )

p ^ p v

p

II. Comutação (COM): (0

p A q <=> q

a

p ;

III. Associação (ASSOC): (i) (ii)

p A (q A r) <==>■(p A q) A r p v (q V r) <=* (p V q) V r

( ii)

p v 9 *=* q v p

L D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

] V. Distri buiçáo (D IS1'): (i) (ii)

(P A

r)

p V (q A 9 *=*(p V q) A ( p v

r)

p a

(q

V 9

<=> ( P A qj V

V. Dupla negação (DN):

p <=* — p

VI. De Morgan (DM): (i) ( ii)

~ (p A q) < = > -p v ~ 9 ~ (p V q ) ~ P

A ~q

VIL Condicional (COND): p -* .q ‘«=>~ p V q

VIII. Bicondicional (BICOND): ( i)

(ii)

p «-+ q < => ( p -*■9) A ( q -» p) p ^ q « ( p A ( | ) v (~ p A ~ q )

IX. Contraposição (CP): p - » q ^ -q -» ~ p

X. Exportação-lmportação(El): p A q

r

p -> ( q -> 9

Estas equivaléncias notáveis constituem dez Regras de Inferência adicionais que se usam para demonstrar, verificar ou testar a validade de argumentos mais com plexos. . u i Uma im portante diferença no modo de aplicar as dez primeiras Kegras dc Inferência e estas dez últimas Regras de Inferência deve ser observada: as dez primeiras Regras de Inferência só podem ser aplicadas a linhas completas de uma demonstração ou dedução, ao passo que as dez últimas Regras de Inferência podem ser aplicadas tanto a linhas completas como a partes de linhas completas consoante a “ Regra de substituição” .


131

Definição Dado um argumento P , , P2, . . . , Pn I-----Q, chama-se demonstra* ção ou dedução de Q, a partir das premissas P , . P2, . . . , Pn . toda a scqucncia finita de proposições X ,,X 2 ......... tais que cada Xj ou é uma premissa ou resulta dc proposições anteriores da sequência pelo uso de uma Regra de Inferência, e de tal modo que a última proposição X^ da sequência seja a conclusão Q do argumento dado.

3.

EXEMPLIFICAÇÃO

( 1 ) Demonstrar que é válido o argumento: p -+ ~ q , Dem.

Temos, sucessivamente: (1) (2 )

p -* ^ q P q____________P

(3)

~ " ~ q p

(4) (5)

q -~ p -p

i

cp

3 2,4

DN MP

( 2 ) Demonstrar que 6 válido o argumento: p->-q, Dem.

q |----- ~ p

r ^ —q |-----p -> -~ r

Temos, sucessivamente: (1) (2)

p *q r-^ -q

P P

(3 ) (4) (5)

---- q 4 ~ r q -^ ~ r p ^ -r

2 -C P 3 DN 1,4 SH

(3) Demonstrar que é válido o argumento: p v (q A r), Dem. - T emos, sucessivamente: (1) (2)

P V (q A r) pv q^s

(3)

(p v q)

(4) (5)

p v q

s

A

(p

p P V

r) 1 - DIST 3 - SIMP 2,4 - MP

pv q

s l------p V s


32

(4j

válido o a r g u m e n t o : Temos, sucessivamente:

Demonstrar que c

Dem.

fl) ( 2)

p V q -^ rA S ~s

(3)

~ rv ~s M.r A s ) ~(.PV q) ~ p A ~q

(4)

(5) (6 ) (7)

p

v

q

r A s,

~ s | -------~ - q

P P 2 . — AD

3

- DM 1 , 4 - MT 5 - DM SIMP 6

~q

(5) Demonstrar a validade do argumento: “ Sc Londres não lica na Bélgica, eniao Paris não fica na França. Mas Paris fica na França. Logo, Londres tica na Bélgica” . Dem. Representando as proposições '"Londres fica na Bélgica 5 e Paris fica na França” respectivamente por p c q , o argumento dado na forma simbólica escreve-se : ~ p -> -~ q ,

q |-----p

Posto isto, temos sucessivamente; (D ~ p - > ~ q P GO _ q _ ____________P _ ; _______ (3) (4) (5) (6 )

~ ~p v ~q pV ~q ~~q p

1

CON D DN 2 -D N 4,5 - SD 3

Logo, o argumento dado é válido, embora sua conclusão seja uma pi oposição falsa. 1^6 ) Demonstrar a validade do argumento:

(p Dem.

V

~ q) v r,

- p V (q A ~ p ) |-----q -* t

Temos, sucessivamente; II) ( 2)

(p v '■q) v r P ~ p v (q A ~ p )________ P___________

(3) (4)

(~p v Op v

(5)

~p

q) q)

A O p A

~p

V~ p ) 2 -

3

4

DIST - ID

- SIMP

133


(6)

p V (~q

(7) ( 8)

~.q V r q— ►r

v

i ASSOC 5,6 SD 7 - COND

r)

(7) Demonstrar a validade do argumento: p

Dem.

(8)

-> - q ,

r ^ q,

Temos, sucessivamente: (1)

p V -q

(2)

r >q

(3)

r

(4) (5) ( 6) (7) ( 8)

~q^~r p -+ ~ r — r-^ -p i ~p ~p

2 CP 1,4 SH 5 -C P 6 - DN 3,7 MP

D e m o n s t r a r a vali dade d o a r g u m e n t o :

p -* q,

q ■<—> s,

t V (r A ~ s) |

Dem. Temos, sucessivamente:

0)

p-*
(2) (3)

q S t V (r A ~ s )

(4) (5)

2 BICOND 4 SIMP 1,5— SH Õ v r) A (t v ~ s) 3 - D1ST 7 - SIMP t v ~s 8 -C O M ~s V l 9 - COND s -> t 6 ,1 0 - S H p

6

(. )

O)

( 8) (9) ( 10) (II)

(q -* s) A (s -> q) q -*■s P ■■¥S

(9) Demonstrar a validade do argumento: “Se estudo, então não sou reprovado cm Física. Sc não jogo basquete, então estudo. Mas fui reprovado em Física. Portanto, joguei basquete” . Dem. Representando “ Estudo” por p, “ Sou reprovado em Física” por q e “Jogo basquete” por r, o argumento dado sob forma simbólica escreve-se: •r -*■p,

q I---- r


134

Posto isto, temos sucessivamente:

( 2)

p -+ ~ q ~ r^ p

(3)

q

(4) (5)

---- q -p

(D

(6 )

(7) ( 8)

P P P 3 ~ — DN 1,4 - MT 2 - CON D 6 DN 5,7 SD

v p

rv p r

Logo, o argumento dado c válido. (10) Demonstrar que é válido o argumento: p V (q A x),

p ^s,

s-+ n

Dem. —Temos, sucessivamente: ( 1) ( 2) (3) (4) (5) (6) (7) (8 ) (9) (10) (1 1 ) ( 12) (13)

p p p

p V (q A r) p s

s -*■ r p^r (p V q) A ( p V r) p V r rV p

‘— r v p -r-*p ~ r -> r —~ r v r rVí r

2.3 - S H DIST 1 SIMP 5 6 -C O M 7 - DN COND 8 4,9 SH 10 - COND 11 -D N 12 - I D

strar que é válido o argumento: p A q -* ~ 'r,

p *—*■q |---- p ->■s

i V (s A t),

Temos, sucessivamente: (D (2) (3)

p A q-> ~ r r v (s A t)

(4) (5)

(p ^ q ) A (q ^ p )

p ^ q p -*■ q

P P P 3 4

- BICON -S IM P

135

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA

5 -A B S 1,6 SH 2 - Dl ST 8 - S1MP 9 DN 1 0 - COND 7,11 - SH

p -> p A q

(6 )

(H )

p -* ~ r (r v s) A (r V t) r v s ~~r V s ~ r -* s

( 12)

P

in

(8 )

(9) ( 10 )

s

( 12) Demonstrar quo é válido o argumento: p ->• q,

r-> s,

q v s-+ H

h ----- ~ p A ~ r

Dem. - Temos, sucessivamente: (1 ) (2 )

p^q

(3) (4)

q v s-> -t

(5) (6 ) (7) ( 8) (9) ( 10 ) ( 11) (12)

L-* S (

~ ( q V s) ~ q A ~S

~q ~p ~r - p A ~r

P P P P 4 -D N 3,5 - MT 6 -D M 7 SIMP 7 - SIMP 1,8 -M T 2,9 - MT 1 0 , 1 1 - CONJ

(13) Demonstrar a validade do argumento: p -> q,

Dem.

q -+ (p -+ (r V s)),

r^ -s,

~ (r A s)i----- — p

Temos, sucessivamente: (0 (2 )

(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (U )

P -* 9 q -» (p -> (r v s» r +-+ s ~ ( r A s)

P P P P

(r A s) v ( ~ r A ~ s) ~ r A ~s ~ ( r v s) p * (p -* (r v s » (P A p) -* (r V s) p -* r v s -p

3 5

BICOND - SIMP 6 - DM 1 ,2 - s n 8 - El 9 JD 7 ,1 0 - MT

,36

E O G A R D DE A L E N C A R F I L H O

(14) Demonstrar a validade do argumento:

p -*■ q, q -> r, r Dem.

p, p - * - n ----- ~ p A —r

Temos, sucessivamente: ( 1) (2) (3) (4)

p~»q q -> r r -* p p -* ~ r

P P P P

(!) (6) (7)

p -^ r (p -+ r) A (r -+ p)

1 ,2 - S H 3,5 - AD 6 - BICOND 7 - BICOND 4 - COND 9 - DM 8,10 SD

(8) (9)

( 10) (11)

P* * r ( P A r) V ( ~ p A - r ) - p v ~r ~ ( p A r) ~p A~r

(15) Demonstrar que é válido o argumento: -p i/q -^ í, Dem-

í v s-* -~ t,

t|---------q


(1)

-pvq^r

P

(2)

r V S- * ~ t

P

JÇ3) J ________________ P___ ___ (4) (5)

t ~ ( i V s)

( 6)

■-*■! A ~ s

(7)

~r

(8)

-(-p v q)

(9) (10)

pa

p A ~q

(11)

~q

3 DN 2,4 - MT 5 - DM 6 - S1MP 1,7 - MT 8 -D M 9 - DN 10 S1MF

(16) Demonstrar a validade do argumento: ( 1) (2) (3) (4)

k<6

y > 7 v x = y -+ ~ (y = 4 A x < y) y ^ 4 -+ x < 6 x < 6 -+ x < y x =£ y

137

IN IC IA Ç A O Ã LÓ G ICA M A T E M Á T IC A

Dem. — Temos, sucessivamente: (1) (2) (3) (4)

x<6 P y > 7 v x = y -> ~ (y = 4 A x < y ) P y 9t 4 - t- x < 6 P x < 6^x< y P 1 , 4 - MP 1,3 —MT 5,6 —CONJ DN 2,8 - MT 9 —DM 10 - SIMP

(5) x < y ( 6) y = 4 (7) y - 4 A x < y ( 8 ) — (y = 4 a x < y ) (9) ~ (y > 7 v x = y) (10) y > ? A x ^ y (11)

x^y

(17) IJemonstrar a validade do argumento: (1)

y + 1

(2)

y > 1

(3)

x - 3

(4) (5)

x > 3

A y < 1 y <

1 V y =

l

V x > 3 - > x =£ y

x = 3 -*

x

^ y

________

M x = y V y > 1)

IJem.


(4)

x > 3 -> x it y

(5)

x - 3 -> x =£ y

P P P P P

(6)

x # y

3.4,5

(7)

x ^ y

(1) (2) (3)

y ^ lA

y
y > f - + y < l v y = l x = 3 V x > 3

v x ^ y

DC ID I COM 8 - DM 2.9 MT 7.10 —CONI II DM 6

(8)

y < l A y ^ l

(9)

~(y < 1

v

y

= 1)

(10)

y >

1

(11)

x # y A

(12)

~(x = y v y >

y > l I)

( 1 8 ) Demonstrar a validade do argumento: (1)

x - y -> x < y

(2)

y - 0 +->• x < y

(3)

x = 0 v

(4)

( x - y -s- y = 0 ) -+ x = 0

xy = 0 ^ y = 0

~ ( x < y a x - I)


138

Dem. - Temos, sucessivamente: (1) (2 ) (3) (4)

x = y -)> x < y y- 0 x< y x = 0 v xy ■= 0 -* y = 0 (x - y y = 0) --»■ x = U

(5 )

(y - 0 -» x < y ) A (x < y x < y -* y = 0 x = y -* y = 0 x'= 0

y = 0)

li

o

s (1 1 ) (1 2 ) (13) (14)

2

BICOND S1MP 1,6 - SH MP 4 ,7 8 - AD MP 3 ,9 5 - SIMP 1 0 , 1 MP 12 AD DM 13 5

X II O < X II O

(6) (7) (8)

P P P P

y = 0 -+ x < y x
(19) Demonstrar a validade do argumento: (1) (2) (3)

x < y A y <'/.->■ x < / (y < 7. -*■x < z) /• = 3 x

s

( 1) (2) (4) (5) (6 )

X A

Dem.

p p p

x < y -» (y < ' -» x < 7.) y < z -*• x < z /. = 3

3,4 2,5

x < y a y < z -» -x < 7. (y < /■-* x < /.) -> / - 3

1

El MP MP

4. INCONSISTÊNCIA Duas ou mais proposições que não podem ser simultânea mente verdadeiras dizem-se inconsistentes. Também se diz que formam um conjunto inconsistente de proposições. Um argumento se diz inconsistente se as suas premissas nao podem ser simultâneamenlc verdadeiras (inconsistentes).

139


As proposições: - (p V

~q),

pV

- r,

q -*• r

p. ex., são inconsistentes, pois, c impossível encontrar uma atribuiçao de valores às proposições simples componentes p, q e r que torne essas três proposições com postas simultáneamente verdadeiras. Com efeito, construindo as tabclas-vcrdade dessas tres proposições verifica-se que, cm cada linha, pelo menos uma delas c falsa (F), isto é, não há uma só linba em que admitam, todas, o valor lógico V. -

F F F F

v v F

F

(P v v v v F F F F

V

~

q)

P

V

~

r

9

->

r

v v v v

F F v v

v v

v v v v

v v v v

F v F v

v

v v

v

v

F

F

F F

v

F F

F F

v v

F

F

v

v

F

F

v v

v v

F F

F F F F

v v v v v

v

F F

F

F

v

v

F

v F V . F v F

v v F F

F

v F

Também se pode demonstrar que as tres proposições dadas são inconsistentes deduzindo do seu conjunto uma contradição qualquer, p. ex., do tipo A A ~~A, mediante as regras de dedução usadas para os argumentos, pois, como estas regras preservam a verdade, a contradição que se obtém prova quo estas très proposições não podem ser conjuntamente verdadeiras. Realmente, temos, sucessivamente: (1) (3)

~ (P V ~q) p V ~r q -> r

(4) (5)

~p ~p

(2)

(6)

9

0)

r

(8)

~p

(9) ( 10)

1 DM 4 DN 5 - SIMP 3,6 - MP 5 - SrMP 2,8 SD 7,9 CONJ

A ------ q A q

~r

r

A

Outros exemplos: (1) Demonstrar que são inconsistentes as três seguintes proposições:

(2 )

x = I -* y < x y < x -»• y = O

( 3)

~ (y = 0 v x

(D

1)

y EDGARD DE ALENCAR FILHO

¡40

( 2) (3)

1,2

o it >s t

(7) (8 ) (9J

X

~ (y = 0 V x * 1) II

(6 )

li

y < x -> y = 0

X

(5)

A

Temos, sucessivamente: X

Dem.

y# ü A x =1 x = 1 y=0 y 4- 0 y=0 A y# 0

su

3 DM 5 SIMP 4,6 MP 5 -S IM P 7,8 CONJ (Cont.)

i 2) Demonstrar que é inconsistente o conjunto das seguintes proposições:

-pV-q, De m.

p A S ,

~ s V r,

r -» r a q

Te mos, s u cess ivame n te: ( 1) (2) (3) (4) (5) ( 6) (7) ( 8) (9) ( 10) (11)

~pv~q p As ~s V r

r->r Aq 2 - SIMP 2 SIMP 1,5 - SD 3,6 - SD 4,8 MP 9 - SIMP 7 , 1 0 - CONJ (Cont.)

P s ~q r r Aq q q A ~q

(3) Demonstrar que é consistente o conjunto das seguintes proposições:

r -> s,

- Cp v q),

~-q A r

Dem. Com efeito, para a seguinte atribuiçao de valores lógicos às proposições simples componentes p, q, r e s: V

F

r s

q

P

a& três proposições compostas dadas são simultáneamente verdadeiras, pois, temos: - ( F V F) = -~F = V.

F -> F - V.

~F A V = V AV = V

I N IC IA Ç A Ò Â LÓ G ICA M A T E M Á T IC A

141

EXERCÍCIOS 1.

Demonstrar a

( a)

p^~q,

(b )

p ->■ q ,

validade q,

dos seguintes argumentos:

~ p -> r

- p ^ —

(c)

p

(d)

~p-*-~q,

~r,

(e)

- p

q-M \

t-> p y

(g)

-P V

(h)

p,

( i)

- p -> q,

(j )

P ^ 9 ,

~p q,

>r,

~q, q-*r, '9 ,

~ r |------ p

P V q,

(m)

(r A - l ) 4 - s ,

( TO

(r A

(o)

- p v ~ q , ~ r - * p,

(P)

p - > q v r , ------p,

~q,

s) v

p,

(q)

r -» p

~ ( p A q),

(u )

~

a

p V q,

(y)

'-(pV

(>-)

p -*■ 9)

2. D e m o n s t r a r a (1)

V

F -*• q,

t - » ~ p , q V t| ------------ 5 A r

~ s,

s |-------- ~p

r,

n / - p ,

A s ) V t,

q -»n —

x

-------r A q ~ q v

u,

v p v

r

dos seguintes argumentos: > z

z > 6 ^ - ( x > y - * z < 7 )

(3)

x > z -> z < 7 _____________

(1)

x ^ y - > x > y

y

x >

(3)

x < y

(4)

x -it y x > y

A

~ u | ---------------- ^ p

r ^ S , q A S - H A S ( ----------- s A t

(2)

(2)

~q

q - * s |------- r A

z > 6 V z < y

(b)

s | -------s

r y q i -----------------------------~ t

H q v p -> s,

' - i ) , p V 9»

validade

A p

q V ~ S | -------- - ( r v s )

S -> q A r,

x> y

q

s - * ~ r | --------------------------

t-^ q Ar,

q^-~p,r-+~s,

(r

Si--------- ~ q ~ r | ----- q

p -> ~“ F,

t -+ p A s, r -* ~ p ,

i

r

p A q | -~ - ( ~ l A r)

r -> ~ s ,

~ q “> r ,

~-p->q,

(w)

p ^ s,

v —1)5

~(p

( x )

p - * r A s | ------ s A

q - > — p,

q»

p A ~q,

(v)

(a)

q | -------p

~q,

(r)

~s

~ q |----- p

' P ^ r i -------- ~ ~ r

~ p

)

rj-------p - r j - q

~ q -» ~ p i------- q y ~ s

(k)

(s)

s

- ( q A r ) - » p | -------------------r

( l )

(t

a

q f-------- p

~"'-r,

q,

|----- r

f

~ q -------r

~q-»~r,

v q,

(f )

a s

r,

v

x < y

v x < y -*■ x 4 4 ~ (x 41 - y -> x 4 4 )

q

E D G A R D DÊ A L E N C A R F I L H O

142 \

(c)

(D (2) (3) (4)

x=3Vy=3 x > 2 Vx + y> 5 y = 3V x = 3 -* x + y > 5 ~ (y < 5 A y > 3 ) - ^ x > 2 y<5

(<Í)
x< 3 Ay> 6 y 4 7 -* -(X = 2 A y > x) y > 6 A x < .U y > x A x = l y=7

( 1) (2 ) <3)

y#3 x + y.= 8 -*y = 3 x ty = 8 V x ^ 5 ~ (x = 5 A y = 4)

(0

0) (2 ) (3)

x 3 v x + y < 5) x > 3 -+ ~ (x > y v y ^ 2 ) x> y

(D (2) (3)

~ (y - x = 2 V x + y > 8 ) ~ (x > y v y < 5) x - 2 -+x + y > 8 ~ (x = 2 v y < 5)

(h)

(D (2) (3) (4)

x —1 -+ x < y x 2 - 4x + 3 = 0 -» x = 1 V x = 3 ~ (x = y V x 2 4x + 3 =£ 0') x = 3 -> x < y x< y v y^ 4

0 )

(D (2 ) (3) (4)

~ (x > y A x + y > 7) x > y -+ x < 4 x + y > 7 -* -x < 4 x -y = 2 x < 4 x - y ¥= 2

( j)

(D (2 ) (3) (4)

~(z x< x> x>

< 3 V x > y) A y = 2 y v x= 1 /, -s- x > y x -* x < y

X —1

IN IC IA Ç Ã O A LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

(k)

(D

3x + y \ H

(2)

= 9 -» .3x + y = 1 1 «—»• y = 2 y#2vx+y=5

(3)

+y = = =

5

6

x

2x 2x

(.3)

2x = 6 V x = 4

0 ) (2 )

(3)

8 <■■->■ x

8 A x ^ 3j

5x = 15 <—*■x = 3 = 15 A 4 x = 12 x = 3 -» x + 2 y = 7 5x

~(y
=3 =4

fl) (2)

~(2x #

(m )

«--*■ 3 x = 9

3x

x

(1)

143

- 1 Ax

CD

y > x

(2)

~(y < 1

+ 2y ^ 7)

* x = y

v

x < y

V y > x)

x < y A x ^ y (<>)

(1)

x 4

(2 ) O)

y = 6 <-•> x + y = 1 0 y > 4

Ax + y

x< y A (P)

(1) (2 ) (3) ( 4) ( 5) (6)

y

=

-

10

6

x> yV x< 6 x > y -*■ x > 4 x> 4 x=5 a x<7 x < 6 -> x = 5 A x < 7 x < 7 A x = .W z > x V y < ¿ x> y ~ ( y < 7. v /. > x) x < 6

3.

Demonstrar a validade dos seguintes argumentos: r V *I ~ p - + s |------- s

(« )

r -+ p A q,

~ p v ~q»

(b )

p V q ^ r,

~ t,

(c)

( p -* q ) - > r,

(d ) (e ) (f )

~ ( p A q ) -■* ( r

( g)

(h ) (i)

~r,

( ~ p v q ) v s | s),

r A ~s,

q -

p v ~ (q V ~ r), ~ p , r - > s v t|----- s v t p v q - > r , ~ r , q v ( ~ s v t ) ( ----- s -+ t P V ( ~ q ■+ r), ~ ( p V s) A - r | ----- q ( p q) -+ í, ~ ( V S , ~ ( p A ~ q ), SV t ^ u - p v q, s r, p v (r A tj |-----q v s


< j J p * ~ q , p V (r A sj|----- q -* S q ( 1 ) '■p V ~ q - + r, r H- s i--- ~ s -*■p ( m) p V q, q -> r, s -* t, ~ r |-s -» p ( n j p ^ q, q V r-» S, ~S |----- "~p (o ) p v (q A r), p v r s A t |--- s Cpj ( p -> q) V (r A S), ~q| — —p V S (q.) p -> q, p A q -*■i’ V s, r v s ->~ t, —p ( ' ) p v q ->*■ r A s, ™r |----- ■

(p ->~ t ) -*■uf---- u

4. Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposiçoes sao inconsistentes dedu zindo uma contradição para cada um deles: (a)

(U (2 ) (3)

q p ~ (p V r) qV f

(b)

p V ~q (D (2 ) • ~ ( q - r ) (3) P ^ r

(c)

(U (2 ) (3) (4)

M p V q) ~^q r ~ rv s

(d)

(D (2 ) (3) (4)

p v s -i-q q-> ~ r t -> p t Ar

íc)

d) (-) 0)

x=y x< 4 x< 4 Vx < / x < z v x i^ y )

m

d) (2) (3)

x - 0 ►x + y = : x> 1 A x=0 x + y = y -> x > 1

(g)

(1) (2 ) (3)

x = y -> x < /. x < /. A (x = y V y < / -» x < z

(h)

(1) (2 ) (3) (4)

x < y -* x 4-- y y > z ->■/.< y x = y A y > 7. x< yV z< y

y
Demonstrar que os seguintes conjuntos de proposições sao consistentes: (“)

p -* q (D ( 2 )q q -> r (3) ~ r V S

(b)

d) (2) (3)

p -* q ~ q -> r pv r

(c)

0 ) (2)

(d)

(3)

"P V ~q ~-p-> r ~r

(D (2) (3)

p -> q r -> q q -» ~ s

( 1) (2 ) (3)

x = y -* x 4 y x < y V x=y x < y -» x < y

(0

(D (2 )

x= 2 Vx= 3 x# 2 Vx4 3

(c)

/ /

Capítulo

13

Demonstração Condicional e Demonstração Indireta

l.

DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL

Ouíro método muito úlil para demonstrar a validade de um argumento c a “Demonstração condicionar’. Esta demonstração, todavia, só pode set usada se a conclusão do argumento tem a forma condicional. Seja o argumento: P ] , P z , . . . , Pn l-----A - B

(1)

cuja conclusão é a condicional A -* B. Sabemos que este argumento é válido se e somente se a “condicional associada” : (P, A P2 A . . . A Pn) -+ (A -» B) é tautológica. Ora, pela “ Regra de Im portação” , esta “condicional associada” é equivalente à seguinte: |(P , A P2 A . . . A Pn) A A | -> B Assim sendo, o argumento (1) é válido se e somente se tam bém c válido o argu mento: P j , P , , . . . , P n,A l----- B cujas premissas são todas aquelas do primitivo argumento (1), mais uma, A, e cuja conclusão é B (observe-se que A c B são respectivamente o antecedente e o conse quente da conclusão do primitivo argumento ( 1 )). Em resumo, temos a seguinte regra DC: Para demonstrar a validade do argu mento (1), cuja conclusão tem forma condicional, A -+ B , introduz-se A como “ premissa adicional'’ (indicada por PA) e deduz-se B.

X.. E D G A R O DE A L E N C A R F I L H O

146

2.

EXEMPLIFICAÇÃO

<]) Demonstrar a validade du argumento:

pvíqî),

— q-^p

Dem. Dc conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento cuja conclusão tem forma condicional, cumpre deduzh ' Lp ’ a partir das premissas, p V (q v r), e q, isto c, demonstrar a validade do argumento;

p V (q

r),

~r,

qi-----p

Temos, sucessivamente;

(D

( 2)

p p PA

P V (q ~r

q. (4) (5) (6 ) (7) (8)

p v ( ~ q V r)

( pv ~q) V r p V -q -— Cj

P

1 4 2,53 6,7

COND ASSOC SD DN SD

(2) Demonstrar a validade do argumento: ~ p -*■ ~ q V r, Dem.

s v (r-v t),

~ p V s,

~ s |------ q -» t

Dc conformidade com a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do .u-

gumento: ~

p

~ q V r,

s v (r^ t),

~pV

s,

Temos, sucessivamente: (l) ( 2) (3) (.4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (1 1) ( 12)

~p^~q Vr s v (r -*■ t) ~p v s 4 p -* s —q V r q-* r r -* t q -* t t

P P P P PA 3 - CON D 4,6 - MT 1,7 - MP 8 CON D 2,4 SD 9,10 SH 5,11 - MP

~ s,

qf —

t

147


(3) Demonstrar a validade-do.argumentõ: (D (2) (3)

(y = 4 x > yj A x > x x > y v 7. > y - > y < 4 A y =£ 3 y = 2 -» /, > y _______________ y = 2 v y = 4 -» -y < 4 v y > 3

Dem. - De conformidade com a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do ar gumento; (1) (2) (3) (4)

(y = 4 -> x > y) A x > /. x > y V z> y ^ y < 4 A y#3 y = 2 ->- / > y y =2v y=4 y< 4v y> 3

Temos, sucessivamente: (1) (2 ) (3) (4)

(y = 4 - * x > y ) A x > / x > y v / > y y < 4 A y =?fc 3 y = 2 ■-**■/>■y y =2 V y =4

P P P PA

(5)

y

(6)

x >

(8)

= 4 -+ x > y y Vy>y y< 4 Ay# 3 y <4

(9)

y < 4 V y > 3

1 - S1MP 3,4,5 DC 2,6 - MP 7 - S1MP 8 -A l)

(?)

(4) Demonstrar a validade do argumento: ~ p -* (q -> r), Dem.

s V (r

-»

t),

p

SI-------- s - s -(q - ^ t)

Consoante a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento: ~ p -> (q -*■r),

s v ( r - * 0 > P~»s,

~ s |-----q -+ t

Como a conclusão deste argumento também é uma condicional, q -* t. fazendo uso novamente da mesma Regra DC, cumpre demonstrar a validade do ar gumento:

]4g


Temos, sucessivamente: ( 1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ( 8) (9) ( 10)

P P P PA PA

~ p -*■( q . - 0 s v (r t) p -> s ~s (l \ -p q -v r r r -* 1 t

3,4 - MT 1,6 MP 5,7 - MP 2,4 SD 8,9 MP

(5) Demonstrar a validade do argumento: p -* q,

q ■*-> s,

t V (r A ~ s) |------- p -* t

Dem. Consoante a Regra DC, cumpre demonstrar a validade do argumento: p

q,

q <--*• s,

t V ( r A ~ s),

p|----- t

Temos, sucessivamente: ( 1) (2) (3)

p+ q q <-* s

( 4)

P

p p p PA

t V (r A ~~s)

( 5)

q

( 6)

(q -> s) A (s

( 7) ( 8)

q s

(9)

(t

(10) (11) (12)

t

q)

s

V rj A (t v ~ s) t V ~s

1,4 - MP 2 - BICOND 6 - SIMP 5 , 7 - MP 3 - DIST 9 - SIMP 8 DN 10,11- SD

( 6 ) Demonstrar a validade do argumento: ~ p -> - q . D em .

r -+ s,

( ~ p A t) v (r A u )| --------q -* s

Consoante a Regra DC, cum pre demonstrar a validade do argumento: ~p^~q,

r-> s,

( - p A t ) V (rAu),

q|----- s

149

N IC f A Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A

íucessivamenté; (D ( 2) (3) (4)

~ p -> ~ q P P r -*■s (~ p A t) v (r A u) P PA q.

(5) (6) (7) ( 8) (9) ( 10)

— q

(11) (12)

r A u

(13)

s

P'' p v ~t ~ ~ P

V ~t

~ ( ~ p A t)

r s

4 -D N 1,5 - MT 6 -D N 7 AD 8 - DN 9 -D M 3,10 - S D 11 - S1MP 2,12 - M P

3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA Um outro método frequentemente empregado para demonstrar a validade de um dado argumento: Pl r P2, . . . , ? v\----- Q

(1)

chamado “ Demonstração indireta’" ou “ Demonstração por absurdo” consiste em admitir a negação —Q da conclusão Q, sito é, supor verdadeira, e dai deduzir logicamente uma con trad ição qualquer C (p. ex., do tipo A A —A) a partir das premissas P , , P2 , . . . , Pn e ~ Q , isto é, demonstrar que c válido o argumento: I V P 2 ------- P n , - Q H - C Se assim ocorre, então o argumento dado (1) também c válido. Com eteilo, pela Regra DC (Demonstração condicional), o argumento: P . , P z , . . - , P n l -------- Q - C é válido. E como temos: C

v C <¡=5- Q v C <==* Q

segue-se que é válido o argumento dado ( 1 ). Em resumo, temos a seguinte Regra Dl: Para demonstrar a validade do argumen to (1) introduz-se ~ Q como “premissa adicional” (indicada por PA) e dcduz-sc umu contradição C (p. ex.: A A ~ A ).

E D G A R O OE A L E N C A R F I L H O

4.

EXEMPLIFICAÇÃO

(1 ) Demonstrar a validade do argumento: p-> ~ q ,

r -> q i-----~ (p A r)

Dem. - De conformidade com a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma contradição das premissas p ~ q , r~ * q e p A r. Temos, sucessi vamente: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ( 8)

p - ^ - qf r -> q p A r

- P P PA

p r ~q q q A ^q

3 - SIMP 3 SIMP 1,4 —MP 2 ,5 - MP 6,7 - CON! (Cont.)

(2) Demonstrar a validade do argumento: ~ p -* q, Dem.

~ q V r,

----- p v s

De conformidade com a Regra Dl, cumpre deduzir uma contradição - p -> q, ~ q v r, ~ r c —(p V s). Temos, sucessivamente:

das premissas

(1) (2 ) (3) (4)

-p ^ q ~-q V r ~r ~ (p v s)

P P P PA

m (6) (?) ( 8) (9)

~ p A ~S ~p

4 -D M 5 - SIMP 1 ,6- MP 2,3 SD 7,8 CONJ (Cont.)

q ~q q A~q

(3) Demonstrar a validade do argumento: p -» q v r,

~ r f-— p — q

Dem, — De conformidade com a Regra DC (Demonstração condicional), cum pre demonstrar a validade do argumento: p -> q

V

r,

~ r,

p|----- q


151

e, portanto, consoante a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma con trad ição das premissas p -*■q V r, ~ r , p e ~ q . Temos, sucessivamente: (1) (2) (3) (4)

p ^q v r ~r p ~q

(5) (6 ) (7)

qvr q q A~ q

P P PA PA 1,3 - M P 2,5 - SD 4 v6 --_.CONJ (Cont.)

(4) Demonstrai a validade do argumento: ~ p V q,

~q,

~ r-^ s,

^ p -»■( s ~ t ) \-------t -*■ r

Dem. De conformidade com a Regra DC (Demonstração condicional), cumpre demonstrar a validade do argumento: ~ p V q,

~q,

~ r-* s,

~ p -*■(s -> ~ t) ,

t|-----r

e, portanto, consoante a Regra Dl (Demonstração indireta), cumprc deduzir uma contradição das premissas ~- p V q, ^q , ~ r - > s , ~ p - * (s ~ * ~ t), t e ~ r. Temos, sucessivamente: ~pV q ~q ~ r -» s ~p + ( s ^ ~ t) t ~ r

P P P P PA PA

(?) ( 8) (9) ( I 0);

~p s -»■ ~ t s *-t

( 11)

t A —t

SD 1,2 4,7 MP 3,6 - MP 8,9 MP 5,10 CONJ (Cont.)

( 1) m (3) (4) (5) (6)

(5) Demonstrar a validade do argumento: (1 )

(2) (3)

~7.

—(y # 1 V z ¥= - 1) (xz)Az=-l-*-x =0 ~ ( y = 1 v x = 0 ) v ( x < y A x > z) x=o

E D G A R D DE A L E N C A R FI LHO

152

Dem.

Dc conformidade com a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpre das premissas (1), (2), (3) e x 4 0. Temos, sucessi-

d eduzir u m a c o n t r a d i ç ã o vãmente:

4 - 1) A f.. x = 0) V (x

~(y

( x < y A x > ¿)

- 1 ->

(3) (4)

—(y = 1 V x 40

< y A x > z)

(5)

y =

(6)

y

(7) («) (9) ( 10 ) (II)

(12) (13)

(6)

4

(U (2)

Demonstrar a

(U (2) (3)

X= 0

1A Z= - 1

= i y = 1 V x —0

= 1 V x = 0) < y a x > z z = -1 (x < y A x > /.) A z = -1 x =0 X= 0 A x 4 0 ~~ (y x

validade

P P P PA

1 V z

1 3 6 7 3,8 5 9,10 2,11 4,12

DM SIMP AD DN SD SIMP CONJ MP CONJ (Cont.)

do argumento:

x * 1 V ~ (x + y - y V x > y) x > y -+ x2 > xy A y = 1 1 •~(y = 1

x 2 > xy)

De conformidade com a Regra Dl (Demonstração indireta), cumpri uma c o n t r a d i ç ã o das premissas (1), (2), (3) e y = 1 -» x > x y Temos, sucessivamente: Dem,

deduzir

d (2 (3 (4

x = 1 V - ( x + y = y V x > y) x>y~»x2 > x y A y = l x 4- 1 y = 1 -+ x2 > xy

P P P PA

(5

~(x + y - y V x > y) x+y^yA x>y x >y x2 > xy a y = 1 x2 > x y

1,3 - SD 5 -DM 6 - S1MP 2,7 -■ MP 8 -S ÍM P 8 - SIMP 4,10 - MP 9,11 - CONJ (Cont.)

(6

.(7 (8

(9 (10 (11 (12

y = i

x2 > xy x3, > xy a x2 > xy

153


(7) Demonstrar a validade do argumento: (1) (2) (3)

xx = 2 x

:.

-(x = 2 ^

x = y)

Dem. — Consoante a Regra DJ (Demonstração indireta), cumpre deduzir uma contradição das premissas (1), (2), (3) c x = 2<—>x = y. Temos, sucessiva m ente:

(13)

1

(12)

it X

(9) (10 ) (11)

II

m

r~l

(.5) (6 ) (7)

P P P PA

x < y -» xy = x x^y A xy^x x
(1) (2 ) (3) (4)

x4 y xy 4 x x
- S1MP - SliVlP 1 , 6 - MT 7 AD 3,8 - MP 4 BICOND 10 SIMP MP 9,11 5,12 CONJ (Cont.) 2 2

EXERCÍCIOS 1 . Usar a Regra DC (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os

seguintes argumentos:

(c

(d (e (f (g (h (¡ (j O (I (m

~r v

q s |--- r ~ q p - ^ - q , ~- ( r A p j I------- q - > ~ r r -> t, (r -*>-~s) -*■ q |----- p -* p A q p - ^ q, r -> p, s -» r |------- s -+ q ~ p , ~ r -> q, ~ s -* p |~ ( r A s) -> q p

q, ~ r -» q,

-* —q |-- p v

~ s ->■

r

~ p v ~ s, q -> -~r, t -*■s A T |t -+■~ (p V q) r s, s — *■ q, r V (s A p) |------~ q -> p A s r v s, ~ t -*p, r -*■~ q |------- p A q -* s A t r -+ p, s 1, t -> r |------- H p v q q -> p,t. v s, q v ~ s |------- ~ (p v r) -* t p V q -> r, s 4 » r A r t, SV U I-p -> U p -*■ q, r t, s -*■r, pv s f------ ~ q -»• t -

(b

-

(a

154

E D G A R D DE A L E N C A R F t L H O

2. Usar a Regra DC (Demonstração condicional) seguintes argumentos: ( a)

( 1)

K ^ y - > x > y v y > x

(2 )

y /

(3 ;

x> yv y> x ^ x ^ 2

p a ra m o s t r a r q u e

são válidos os

2 v x = 2

y = 2 -> x = y íb )

(D U) (3 )

x = I -* xy = 2 x +y ^ -í-x ^ l y - 1 v x = 2 ->■ -(.x f y = 3 A xy = 2) x = 1 -> x ^ T

(D

y 411

x = 0 -* x2 - x = 0 o II

* 1

t

li

( ¿)

(3)

a

x = 2 v x2 - x = 0 x ■= 0 v

x 3 - 3x 2 + 2x = 0

x = 1 -+ x 3 - 3 x 2 + 2 x = 0

3. Usar a Regra DC' (Demonstração condicional) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: (a )

p v q,

( b) (c )

- p v ~q, p V ( r A s) |-- q-*S p A q - > ~ rv^ s, r As |---- p -*■~ q

( d) (c)

p -> q, p v ~ r, ~s v t -* r j----~ s -*■ q ( p >q) v r, s V t ->~ r } s V ( t A u) )---- p -*• q

(f)

( p -►q) A ~ (r A ~ s), p v ^ q , q, r - * ~ s ,

(g)

~ r v ~ q i --- ~ p - > ~ r

s

1 v u,

~ u |---- r->t

p -*( ~ s ->t)|------~ t -+ ~r

4. Usar it Regra Dl (Demonstração indireta) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: (b ) ( C) (d) (c) (f)

(g) (h )

H p A q), p r, q V ~ 0 ------- ~ p p -*■~ q , r - > ^ p , q V r|-~ p H p A q), - r -> q, - p -> r |--r p q v r, q -*■ ~p, s-* j~ (p A s) p v q, p * ~ f , <1 s |-~ r v s p v q, S -4 - p, ~ (q V r) t ---------- ~ S -

( a)

p ~q> q v ~ r , - (s V ~ r ) |--~ p ~p-> ~q, - p v r, r->~-S|-- ~ q y ~ s

(i)

p A q < - > 'r ,

(j)

^PV~q>

- i ->-p,

r v s

—-q

p, q v ^ s ,

-—-r j------ q ---- ~ ( r v s)

155


(

k)

p v q -* r,

~ r,

s- *pt -~ s

(1 )

( p - » q ) v r, s V t -*■~ r,

(in)

P^q,

(n )

s v ( t A u ) f ---- p ^ q

~ S | -- ~ p (p->q)->r? r v s - » ~ t , t|--------------- ~ q

5. Usar a Regra Dl (Demonstração indireta) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: -----(a )

(1) (2 )

(-9 (4)

2x + 3y = 24 " (x = 6-+y = 4) V 2x= 12 ( 2 x = 12 x - 6) V 2x x ^ 6 2x = 12 -> y = 4

(b)

(D

y = 1 ■-» X = 0 V X >

(2 )

/ - - 1 - >x = 0 v X < /

(3 )

x > y

(4 )

x<

(5 )

y = 1V

y

r

/- - 1

x =0

6. Usar a Regra D l (D em onstração indireta) para mostrar que são válidos os seguintes argumentos: ( a)

(p -9- q) V (r A s),

( b)

p -> q,

q «-* s,

~ q i---p -> s t V (r A —s) |------ p -* l

vr,

s v (r -> t),

(c )

•vp+ ~q

(d )

~ ( p -»■q) V (s -> ~ r ) ,

(e )

( - p - » q)

A (r- + s),

p <-*■ t V

r,

(f)

(p -»■q) + —>( r A s * t),

p -> qA r,

r,

(g )

~ ( p - » - q ) - » ( ( r t e s ) V t),

q v s,

p

-> s,

p -* ~ s |---- ~ r v ~ s

p,

q,

~ t f ------- q - t f ----- ~ s ~ t i -- r -> s

~ S | ------q->t

14

Capítulo

Sentenças Abertas /

'

1. SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARJÁVEL Definição Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A ou apenas sentença aberta em A, urna expressão p(x) tal que p(a) c falsa (F) ou verdadeira (V) para todo a £ A. Lm ou Iros termos, p{x) é uma sentença aberta em A se c somente se p(x) torna-sc uma proposição (falsa ou verdadeira) todas as vezes que sc substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A(a fc A). O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo ou apenas universo (ou ainda domínio) da variável x e qualquer elemento a £ A diz-se um valor da variável x. Se a C A c tal quo p(a) e uma proposição verdadeira (V), diz-se que a satisfaz
x + l> 8 x+5=9 x é primo

(b) (d) (f )

(conjunto

x 2 - 5x + 6 = 0 x é divisor de 10 x c múltiplo de 3

2. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM UMA VA RIÁVEL Definição Chama-se conjunto-verdade dc uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o conjunto de todos os elementos a C A tais que p(a) c uma propo síção verdadeira (V).

IN IC IA Ç Ã O Â LÓ GICA M A T E M Á T IC A

157

Este conjunto rcpresenta-se por Vp. Portanto, simbolicamente, temos: Vp = { x l x £ A A p(x) é V } ou seja, mais simplesmente:

'

Vp = { x I x fe A A p(x)}

ou

V p= ( x £ A l p ( x ) }

Obviamente, o conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x) em A c sempre um subconjunto do conjunto A(Vp C A). h xem p lo s:

( 1 ) Seja a sentença aberta “ x + I > 8 ” cm N (conjunto dos números naturais). 0 conjunto-verdade é: Vp = {x | x e N A x + i > 8 } = { 8 , 9 , 1 0 , . . .

(2) Para a sentença aberta “x + 7 < 5” cm

N,

Vp={x|xfcNA x+7<5}

}C N

o conjunto-verdade é: =
(3) 0 conjunto-verdade em N da sentença aberta ‘“x + 5 > 3” c: V p = {x | x £ N. A X + 5 > 3 }

=N c N

(4) Para a sentença aberta “ x é divisor de 10" em N, temos: Vp = (x U £ N A x é divisor de 10 } - { 1, 2. 5, 10 } C N

(5)

O conjunto-verdade da sentença aberta LLx~ - 2x > 0” em Z (conjunto dos números inteiros) é: Vp = {x 1 x G 7. A x 2 - 2x > 0 }

= Z - {0, 1, 2 }

NOTA - Mostram os exemplos anteriores que, se p(x) é uma sentença aberta cm um conjunto A, três casos podem ocorrer: (1) p(x) é verdadeira (V) para todo x e A , isto é, o conjunto-verdade Vp coincide com o universo A da variável x(Vp *= A). Diz-se, neste caso, que p(x) exprime uma condição universal (ou uma proprie dade universal) no conjunto A.

153

ED G A R D Dé A L E N C A R FILH O

( 2 ) p(x) c verdadeira (V) somente pata alguns x fc A, isto 6, o conjunto-verdadc Vp ê um subconjunto próprio do universo A da variável x(Vp ( A). Neste caso, diz-sç que p(x) exprime uma condição possível (ou uma propriedade possível) noconjunT trA -— (3) p(x) não c verdadeira (F ) para nenhum x G A , isto ê, o con jun to-ver da de Vp é va/io ( Vp - v ). Oi/-«;, neste caso, que p(x) exprime uma condição impossível (ou uma proprie dade impossível) no conjunto A. No universo R (conjunto dos números reais), as condições: x+ I> x

c

x+L=x

são universal a primeira (visto ser verificada por todos os números reais) c impossível a segunda (visto não ser verificada por nenhum número real). No mesmo universo R a condição 9 x 2 - I = 0 c possível, visto ser verificada somente pelos números reais 1/3 e - 1/3. Pelo contrário, no universo N (conjunto dos números naturais) a mesma condição 9x* - I = 0 c impossível, pois, não existe nenhum número natural que verifique tal condição. Por sua vez, a condição 3x > 1 é universal em N (o triplo de um número natural é sempre maior quo 1), mas não é universal em R (não c verificada para x = 1/3 ou para x < 113). Como se ve através desies exemplos, o emprego dos adjetivos “ universal’ , “ possível'" e “ impossível” depende geralmente do universo adotado. Note-se, po rém, que a condição x = x é universal, e por conseguinte a condição x / x é impossível, qualquer que seja o universo considerado, por virtude do AXIOMA lÒGlCO DA IDLNTÍDADF: Todo o ente é idêntico a si mesmo, isto c, simbóli ca me n te: a - a, qualquer que seja o ente a Imtende-se por ente (ser ou entidade) a tudo aquilo que se considera como existente e a que, por isso, se pode dar um nome.

3.

SENTENÇAS ABERTAS COM DUAS VARIÁVEIS

Definição Dados dois conjuntos A e B, chama-se sentença aberta com duas variáveis em A x B ou apenas sentença aberta em A x B, uma expressão p(x, y) tal quo pta, b) é falsa (F ) ou verdadeira ( V) para todo o par ordenado (a, b ) £ A x 15. Km outros termos, p(x, y) é uma sentença aberta em A x B sc e somente se pt x, y) torna-se uma proposição (falsa ou verdadeira) todas as vezes que as variáveis x e y são substituídas respectivamente pelos elementos a e b de qualquer par ordenado (a, b) pertencente ao produto cartesiano A x B dos conjuntos A e B ((a, b) e A x B).

I N IC IA Ç Ã O À LÓ G ICA M A T E M Á T IC A

159

O conjunto A x B recebe o nom e de conj un to*uni verso ou apenas universo (ou ainda d o m ín io ) das variáveis x e y . c qualquer elemento (a, b) de A x B diz-se um par de valores das variáveis x e y.

Se (a, b) G A x B c Lal que p(a b) e uma proposição verdadeira (V), diz-se que (a, b) satisfaz, ou verifica p(x, y). Uma sentença aberta çom duas variáveis cm A x B também se chama função propusidonal com duas variáveis em A x B ou simplesmente função proposicional em A x B (ou ainda, condição cm A x B). Exemplos

Sejam òs conjuntos A = { 1 ,2 ,3 }

c B = { 5 ,6 }

. São senten ças

abertas em A x B as seguintes expressões:

(a) (b) (c) (d)

x c menor que y(x < y) x é divisor de y(x | y) y e o dõbro de x(y = 2 x) mdc (x, y) = I

O par ordenado (3, 5) € A x B , p. ex., satisfaz (a) c (d), pois, 3 < 5 e o jndc(3 5 )= í, c o par ordenado (3. 6 ) í A x B, p. ex., satisfaz (b) e (c), pois, 3 | 6 c 6 = 2 .3 .

4.

CONJUNTO VL RD ADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM DUAS VARIÁ VEIS

Definição Chama*se conjunto-verdade dc uma sentença aberta p(x, y) em A x B , o conjunto dc todos os elementos (a, b) G A x B tais que p(a, b) c uma proposição verdadeira (V). Este conjunto rcprcscnta-sc por Vp. Portanto, simbolicamente» temos: V p= {(*, y) | x t- A A y GB A p(x, y)} ou seja, mais simplesmente: V p= {(x, y ) £ A x l í | p(x, y)} O conjunto-verdade Vp dc urna sentença aberta p(x, y) em A x B é sempre um subconjunto do conjunto A x B( Vp A x B). Exemplos: (1) Sejam os conjuntos A = { l, 2. 3, 4} c B * { 1 ,3 ,5 } da sentença aberta “ x < y ” cm A x B c: V p= { ( x , y) | x G A A y C B A x < y }

. 0 conjunto-verdade

=

= {(1, 3), ( 1, 5), (2, 3), (2, 5). (3, 5), (4. 5) } C A x B


I6U I (2) Sejam os conjuntos A - { 2 ^ 3 ,4 , 5} verdade da sentença aberta “ x divide V p “ { ( x, y ) |

-

c B = { 3 , 6 , 7 , 1 0 } . 0 conjuntoy” (x | y ) cm A x B é:

x £ A A y £ BA x

| y}

=

{(2, 6 ),(2 , 1 0 ),( 3 ,3 ),< 3 , 6 ) , (S, 10) > C A x B

(3) Sejam os conjuntos A = {1,2, 3 } c B ={3, 4 } . 0 conjunto-verdade .sentença aberta “ x + I < y” cm A x B c: V p" -

{(x,

y) | x C A. A y £ BA x + l < y }

{ ( 1, 3),.( 1, 4), (2, 4 )} í

da

-

AxB

(4) Sejam os conjuntos A = { 2 .3 ,4 } e B= {.1,2,6} da sentença aberta ” mdc(x, y) = 2” em A x B c :

.0

conjunto-verdade

Vp ~ ({X, y) | x G A A y e BA mdc(x, y) = 2 } = -

{( 2 , 2 ), ( 2 , 6 ), (4, 2). (4 , 6 )}

CAxB

(5) O conjunto-verdade da sentença aberta “2x + y = 1 0 " cm N x N, sendo N o conjunto dos números naturais, c: {(x, v) | x, y e N -

A

2x

+

y

=

I0 }

=

{ (1 ,8 ), (2, 6 ), (.3,4), (4, 2 » C N x N

( 6 ) O conjunto-verdade da sentença aberta “ x 2 + v 2 - i conjunto dos números inteiros, é: V p=

{(X ,

= {(0 ,

5

em 7.x Z, sendo 7. o

y) | x ,y c Z A x2 + y 2 = 1 } =

1 ) , ( 1 ,0 ) ,{ - 1 ,0 ) ,( 0 ,

I) } C Z x Z

SENTENÇAS ABERTAS COM N VARIÁVEIS

Consideremos os n conjuntos A l A j , . . . , An e o seu produto cartesiano A, x A j x . . . x An. Definição Chama-se sentença aberta com n variáveis eni A t x A 2 x . . . x An ou apenas sentença aberta em A , x A; x . . . x An, uma expressão p(X i, x2 l . . ., Xn) tal que p (a j, a2, . . . , an) c falsa (F ) ou verdadeira (V ) para toda n-upla ( a 1, i\i......... an) G A, x Ai x . . . x An.

IN IC IA Ç Ã O Â LÕ G ICA M A T E M Á T IC A

161

\ O conjunto A, x A2 x . . . x A j , rcccbc o nome de eonjunto-universo ou apenas universo (ou ainda domínio) das variáveis x , , x 2 , . . ., xn, e qualquer clemcnlo ( a , , a 2 ........ an) £ A , x A2 x . . . x An diz-se uma n-upla de valores das variáveis X ( , X 2 , . . ., XfiSe ( a h a , ........ an) € A , x A2 x . . . x A n c tal que p( a ,, a2, . . ., an) c uma proposição verdadeira (V), di/.-se que ( a i , a2, . . .. an) satisfaz ou verifica p( X, , Xa, - . - , x n>. Uma sentença aberta cojn n variáveis em A| x A2 x . . . x A^ também sc chaina função pr o posiciona) com n variáveis em A| x A2 x . x An ou simplesmente função proposicionai em A ( x A3 x . . . x An (ou ainda condição cm A, x A2 x . . . . . . x An). Hxcmplo A expressão “x + 2y + 3/. < 1#” c uma sentença aberta em N x N x N, sendo N o conjunto dos números naturais. O terno ordenado (1, 2, 4) G N x N x N, p. ex., satisfaz esta sentença aberta, pois, 1 + 2 . 2 + 3 . 4 < 1H.

6. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM N VARIÁVEIS Definição Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p( X| , x2, . . . , xn) em A, x A : x . . . x An, o conjunto de todas as n-uplas(af , a2, . . ., an) € A, x A2 x . . . x Án tais que p( a, , a3........ an) c uma proposição verdadeira (V). Portanto, simbolicamente, temos: v p = { u , , x 2, . . . . x „ ) | x i GA, A x2 € A ; A . . . A xn € At1 Ap(X| , X2, ---- xn )} mi seja, mais simplesmente; Vp = {(x , , x 2----- - xn) C A, x A2 x

x A„ | p ( x , . x2........ xn )}

O con jun to-verdade da sentença aberta “ 18x - 7y + 13/.= 39" cm sendo Z o c o n ju n to dos números inteiros, ó :

E xem plo /.

x

7.

x

Z,

Vp ~ {< x i , x2 , Xj) | x , , x2, x 3 G Z A 18x - 7y + 13* = 3 9 }

=

= {(I, - 3 . 0 ) , (4, 1, - 2), <3, 4, 1) , (6, 8 , - 1 ) , . . . } NOTA Fm Matemática, as equações e as inequações são sentenças abertas que exprimem relação de igualdade c desigualdade, respectivamente, entre duas expres sões com variáveis. Mas, o conceito de sentença aberta é muito mais amplo que o de equação ou inequação; assim, “x divide y ’\ "x é primo com y ’\ “x é filho de y ”, etc., são sentenças abertas, sem serem equações nem inequações.

15

Capítulo

Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas

1. As operações lógicas que definimos para proposições (Cap. 2) estendem-se na turalmente à sentenças abertas.

2. CONJUNÇÃO Consideremos, p. ex., as sentenças abertas: “x é medico” ,

“ x é professor”

o universo da variável x em cada. uma delas sendo o conjunto H dos scrcs humanos. Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo A (que sc lê “ e” ), obtem os uma n o v a sentença aberta em H: “ x 6 módico A x é professor" que c verificada por todos os indivíduos que satisfazem ao mesmo tem po as duas condições dadas, c só por esses indivíduos. Logo, e natural chamar a nova sentença aberta assim obtida conjunção das duas primeiras. Analogamente, a conjunção das sentenças abertas em R (conjunto dos números reais): “x > 2 ”,

“x < 8”

c a sentença aberta cm R: “x > 2 A X < 8 ”

IN IC IA Ç A O A LO G ICA M A T E M A T IC A

165

Assim, fazendo x = 5, x = rr, x = 2, x = - 1, x ~ 8.57, ctc., teremos sucessiva mente:

x

x> 2

x< 8

7 n 2

V V F F v

v v v v F

-1

8,57

x > 2 Ax < 8

v v F F F

Note-se que a conjunção x > 2 A x < 8 costuma ser escrita: 2 < x < 8 . Aliás, sendo a e b números reais quaisquer, escreve-se, por definição: ax>aA x
j a, b |

x> a A x 15 |x x | y A y | x <=* x = y

(2) No universo R (conjunto dos números reais): 2x + y = 8 A 5x - 3y = 9 *-=►x = 3 A y = 2

o

que também se pode escrever:

J

2x + y - 8

j

^ 5 x - 3y = 9

x

= 3

[y

=2

(3) No universo das liguras geométricas: x é um retângulo A x é um losango <=?-xc um quadrado

166


De modo geral, sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em uin conjunto A. Ú. óbvio queum elem ento a G A satisfaz a sentença aberta p(x) Aq(x) cm A sc a proposição p(a) A q(aj c verdadeira (V). Ora, esta proposição c verdadeira se e somente se as proposições p(a) e q(á) são ambas verdadeiras, isto c, sc e somente se aC A satisfaz ao mesmo tempo as sentenças abertas p(x) e q (x )e m A, Portanto, o conjunto-verdade Vp A tj da sentença aberta p(x) A q(x) em A é a interseção ( n ) dosconjuntos-vcrdadc Vp c Vq das sentenças abertas p(x) e <{( x ) em A. Temos, pois» simbólicamente: Vp A d

= V n Vq “ {x £ A | p{x) } n

{xGAiq(x)}

lüxcmplificando, sejam as sentenças abertas em Z (con junto dos números intei ros): p(x) : x 2 t x - 2 = 0 q(x) : x 2

4=0

Temos: Vp A q = {x C Z | x 2 + x - 2 = 0 } n { x £ Z | x 2 - 4 = ()} = = { '- 2 , ] >

n

{ -2 ,2 } = { -2 }

3. DISJUNÇÃO Consideremos ainda as sentenças abertas em H (conjunto dos seres humanos): “x c médico”,

ux é professor”

Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo obtemos uma nova sentença aberta cm H:

V (que se lê “ ou” ),

“ x é médico V x é professor” que é verificada por todo indivíduo que satisfaz uma pelo menos das duas condições dadas, e só por esses indivíduos. Logo, é natural chamar a nova sentença aberta assim obtida disjunção das duas pTimciras. Analogamente, a disjunção das sentenças abertas em R (conjunto dos números reais): “x < 2 ”„

“x > 8”

é a sentença aberta em R: “x < 2 v x >

8”

167


Assim, para x = 0 , x - - 1 . x = 2, x = 'S,"x~=ir, x = 8,57, cie., lesemos sucessi vamente; x

x<2

x> 8

x< 2 Vx> 8

0

v v F F F F

F F F F F v

v v

- 1

2 5 n 8,57

F F F

v . . . .

. . . .

Oulros exemplos: 1 ) No universo N (conjunto dos números naturais): x | 6 V x | 1 0 <=*■ x G

{ 1 , 2, 3, 5, 6 , 1 0 }

( 2 ; No universo R (conjunto dos números reais): x. - 2

V

x-

3

x2 + x -

=0

6

x = 5 V x < 5 <=> x < 5 Aliás, sendo a c b números reais quaisquer, escicve-se, por definição: a (a b > c,

etc.

De modo geral, sejam p(x) c q(x) sentenças aborias em um conjunto A. F imediato quo um elem ento a G A satisfaz a sentença aberta p(x) v q(x) em A se a proposição p(a) V q(a) é verdadeira (V). Ora, esta proposição é verdadeira se e somente sc uma pelo menos das proposições p(a) e q(a) é verdadeira, isto e, se e somente sc a
I6g


reunião ( U ) dos conjuntos-verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) c q(x) em A. Temos, pois, simbolicamente: Vp v q = Vp U Vq = { x é A | p(x)>

U { x G A J q( x >}

lixcmpli ficando, sejam as sentenças abertas em Z (conjunto dos números in teiros): p(x) : x 2 + x -2 = 0 q tx ): x2

4~ 0

Temos: Vp v t] = {x G Z | x 2 + x - 2 = 0 } U { x G Z | x 2 - 4 = ü} = -

{ - 2 , 1}

U

{-2, 2 } ={-2, 1 , 2 }

Para as sentenças abertas d n R (conjunto dos números reais): p(x.) : x < 0 ,

q (x ):x > 0

lemos: Vp V q - {x G li 1 x < 0 > U { x e k | x > 0} ~ R * U R* - R*

4.

NEGAÇÃO Consideremos no universo 11 dos seres humanos a sentença aberta; “x tem menos de 2 1 anos"

Antepondo a esta sentença aberta o conectivo — (que se le “ não c verdade que"), obtemos a nova sentença aberta cm 11: “ ~ x tem menos de 21 anos” que é natural chamar negação da primeira, pois, é verificada precisamente pelos indivíduos quo não satisfazem aquela. Obviamente, a negação de “ x tem menos de 21 anos” é logicamente equivalente à seguinte sentença aberta em II: “x tem 21 anos V x tem mais de 21 anos” Outros exemplos: ( I) No universo N (conjunto dos números naturais): -~x c par

x é únpar

169

IN IC IA Ç Ã O Ã LÓ G IC A M A T E M Á T IC A

( 2) No universo

R (conjunto dos números reais): ~ (x < y) <--> x > y

ou seja: (x < y) < => x = v V x > y Por sua vc/.: ~ ( k = y ) <*=*■x < y v x > y

(3) Lm qualquer universo U: ~ (x = y ) « = > x ^ y De modo geral, seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto A. E óbvio que um elemento a E A satisfaz a sentença aberta ~ p (x ) em A se a proposição ~ p (a ) c verdadeira (V). Ora, esta proposição é verdadeira sc e somente se a proposição p(a) é falsa (F), isto c, sc e somente se a C A não satisfaz a sentença aberta p(x) em A. Portanto, u conjuiit o- verdade V ^ p da sentença aberta ~ p (x ) em A c o complemento em relação a A do con ju n to verdade Vp da sentença aberta p(x) em A. Temos, pois, simbolicamente:

v . p - C A Vp - C a

{x £ A I p{ *>}

lixemplificando, seja A o conjunto dos números naturais divisíveis por 5, isto é, A = {5k | k £ N } = {5, 10, 15, 2 0 ,. . . } . Para a sentença aberta cm A: p(x) : X termina por 5 temos: V ~p = C ,\ { x £ A 1 x (cnnira por 5 } = = {x E A 1 x icrmina por 0 }

5.

CONDICIONAL Consideremos as sentenças abertas em Z (conjunto dos números inteiros): “x

2-

5x + 6 = tr ,

uyc

- 9 =

Ü”

Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo -+ (que se lê: “ se . . . então . . .”) obtemos uma nova sentença aberta cm 7. “x 2 -5 x + 6= O ^ x 2 - 9 - 0 ”

170


denominada condicional das duas primeiras, c verificada por todo número inteiro diferente de 2 (paia x -- 2 a condicional é falsa (F) porque o antecedente é verda deiro (Y) e o consequente é falso (F)). De m odo geral, sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um mesmo conjunta A. Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo ->, obtem os uma nova sentença aberta cm A; “ p(x) -» q(x)” , que c verificada por todo elemento a £ A tal que a condicional “ (Ha) q(a)” é verdadeira (V). Por ser p(x) q(x) ~ p (x ) V q(x), segue-se que o conjunto-verdade Vp q da sentença aberta p(x) •-* q(x) ern A coincide com o conjunto-verdade da sentença aberta ~p(x.) V q(x) cin A e, portanto, c a reunião ( U ) dos conjuntos-verdade Vv. p e Vq das sentenças abertas ~ p (x ) e q(x) cm A. Temos, pois,simbólicamente: ^ p -*■ q ~

p LJ Vq = C A Vp U Vq

ou seja: Vp -> q ~ t.'A { x fc A | p(x}}

U |xGAlq(x)}

Fxemplificando, sejam as sentenças abertas em N (conjunto dos números natu rais): p(x) : x | 12,

q(x) : x | 45

Temos: Vp

6.

q = CN

{ x G N | x | I2 } U

{x £ N | X | 45 } =

= Cn

{1, 2, 3, 4, 6, 12} U { 1 , 3 , 5 , 9 , 1 5 , 4 5 } -

= 'N -

{ 2 . 4 , 6 , 12}

BICONDICIONAL Consideremos as sentenças abertas em 7. (conjunto dos números inteiros): “ x > - 5” ,

“ x < 0”

Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo «-► (que se lê: “ sc e so mente se” ) obtemos uma nova sentença aberta cm 7.: “ x > - 5 *— x < 0 ” denominada bieondicional das duas primeiras, c que é verificada por todo número inteiro maior que - 5 e menor que 0, isto c, para x = - 4 , 3, -2, - 1 , e somente por esses números. De modo geral, sejamp(x) c q(x) sentenças abertas cm um mesmo conjunto Á. Ligando estas duas sentenças abertas pelo conectivo «—*■, obtemos unianovasen

IN IC IA Ç Ã O Á LÓ GICA M A T E M Á T IC A

171

tença aberta em A: "p(x) ■+—» q(x)’\ que é verificada por todo elemento a £ A tal que a bicondieional “ p(a) <—*■q(a)” c verdadeira(V). Por ser p(x) <-> q(x) (p(x) -+ q(x)) a (q(x) p(x)). segue-se que oconjunto-verdade V p .: > q da sentença aberia p(x) <-> q(x) em A coincide com o conjuntoverdade da sentença aberta cm A: (p( x ):^ q[x)) A (q(x) -*• p(x)) e, portanto, é a interseção ( H ) dos coujuntos-verdade V p ^ q e Vq p das sentenças abertas etn A: p(x) -* <|(x) c q(x) -»p(x). Teínas, pois, simbólicamente: Vp

q = Vp > . q n Vq

p = (V~ p, U V q)

i '

( V _ q U V p)

-

= (C A Vp U V q) n ( C A V q U V p) Oti seja:

Vp w

q = |( 'a { X e A I p( x)}

u

n |C ’A { x € A | q(x)}

{ X e A | q (x )} I n U { x t A | p(x)} |

Exemplificando, sejam as sentenças abertas cm N (conjunto dos números na turais): p(x) : x | C

q ( x ) : x | 15

Temos:

( NV p U Vq = ( Si { 1, 2,

0 } U {1 ,3 ,5 ,1 5 }

= N - { 2, 6 }

f N Vq U Vp = C'N {1 . 3. 5. I 5 } U { 1, 2, 3, 6 } = N - { 5 , 1 5 } '

e, portànto: Vp

q = (N

{ 2 , 6 } ] n [ N - { 5, 15>J = N - < 2 ,5 ,6 ,1 5 }

7. ÁLGEBRA DAS SENTENÇAS ABERTAS As propriedades das operações lógicas sobre proposições (C’ap. 7) se transmitem autom aticamente üs operações lógicas sobre sentenças abertas ent um mesmo con junto que vimos dc definir. Assim, a conjunção e a disjunção continuam a ser comutativas e associativas, e cada uma delas c distributiva em relação à outra. Subsiste a propriedade da dupla negação, assim como as leis de DE MORGAN. Quanto às propriedades de identidade: p A tM p ,

p A C < -> C,

assumem agora novo aspecto. Assim, temos:

p V t <•---■> t,

pVC^>p

Ê D G A R D DE A L E N C A R F IL H O

172

(|J A. conjunção de uma sentença aberta com uma outra que exprime uma condi ção universal c equivalente à primeira. (II) A conjunção de unia sentença aberta com uma outra que exprime uma condi ção impossível também exprime unia condição impossível. Destas duas propriedades resultam mais duas outras por dualidade lógica, subs umi ndo "conjunção” por “ disjunção”, “ universal” por “ impossível c “ impossível5 pot “ universal'’. Consideremos, p. ex., cm R (conjunto dos números reais) os sislcmas:

j

J

2x - I > 3

^x f I > x

2x - I > 3

^x+ 1 - x

t|uc se podem escrever, rcspcctivamentc: 2x

1> 3

A

x + I > x,

2x

I > 3 A x + 1= x

Como a sentença aberta x + 1 > x exprime uma con d ição universal e a sentença aberta x + l - x exprime uma condição impossível, teremos: 2x

-

2x

1> 3

A x

+ i > x

2x

I> 3

1> 3 A x+ I =x

x + i - x (impossível)

2x

I > 3V x + 1> x

x+

2x

I > 3V x t

A n a lo g a m e n te :

CONVENÇÃO creve-se:

I= x <=» 2x

I > x (universal) f> 3

Dadas varias sentenças abertas pi(x ), p í(x ), p 3( x ) . . . . , es

p , (x ) a P j (

x

)

p « ( x ) A P j ( x ) A P: «( x ) A p 4 ( x )

a p 3( x )

e m lu g a r d e ( p , ( x ) A

e m lu g a r d e ( p , ( x ) A p_>( x ) A. P : $ ( x »

p 3(x » A A

p4 (x );e tc .

A n a l o g a m e n t e p a ra a d is j u n ç ã o .

EXERCÍCIOS I . Determinar o conjunto-verdade era A seguintes sentenças abertas compostas: (a) x < 7 A x c ímpar (c) 3 I x A x < 8 (d)

(X

+

{1. 2, 3 , . . 9 , 10 } de cada uma das

(b) x é par 4)£AA(X2 -5 ) Í A

A

x + 2 < 10

p .í(x );


173

2. Determinar o conjunto-verdade em A seguintes sentenças abertas compostas: (a) x 2 - 3 t = 0 V XJ = X (c) x é primo v (x + 5) fe A

{O, 1, 2, 3, 4, 5 }

(b) (d)

x c par V x 2 < 9 x 2 -> 16 V x 2 - 6 x + 5= 0

3. De terminar o conjunto-verdade em A seguintes sentenças abertas compostas: (a) (x < 3) (c) - ( x i 12) (e) - ( x é primo)

(b) (d) (f)

de atida uma das

{(), 1, 2, 3 , 4 , 5 }

de

-'•(xé ímpar) ~ (x + ! >£ A —(x 2 - 3x = 0)

4. Determinar o conjunto-verdade em A = { 3, - 2 , - 1 , 0, I, 2, 3} uma das seguintes sentenças abertas compostas: (a) x c par -*■x 2 ■ 1 - 0 (c) (x + 5 ) £ a + x < 0 (e) x 2 + x - 6 < 0x 2 - 9

(b) (d)

x2

=0

x 2 3 X - 0 « —>x 2 x = 0 x c primo >(x t3) & A

x é par x 3 > 12

de cada uma das

x2 < 8 x 2 - 5x + 6 = 0

ó. Sejam as sentenças abertas em R (conjunto dos números reais): p(x) : 2x - 3 < 0 Determinar Vp A qc

c

q(x ) :

x + 1 -> 0

Vp ^ q .

7. Sejam as sentenças abertas cm R (conjunto dos números reais): p(x) : lS x 2 + 2x

8^0

Determinar V p V q

e

q ( x ) : 5x 2 + 19x + 1 2 = 0

e V p A<].

8 . Sejam as sentenças abertas cm R (conjunto dos números reais):

p(x) : -4 x + 3 > 0 Determinar Vp A q

c

e

q(x): 5x + 2 > 0

V.^,p .

9. Sejam as sentenças abertas cm A = { 1, 2, 3, 4. 5, 6 , 7, 8 . 9} p(x) : x 2 £ A

de cada

x | 1 2 ->x é primo I - ¿ 0 - * x 2 + 4 x +3 = 0

5. Determinar o eonjunto-verdade cm A ~ {0, 1, 2, 3, 4, 5} seguintes sentenças abertas compostas: (a) (c)

cada

e

Determinar VpH>q , Vq ^ p

q(x) : x c ímpar e

Vp<._>q

.

:

u


174

10. Sejam p(x), q(x) e r(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Exprimir o conjunto-verdade da sentença aberta composta; p( x ) - » q ( x ) v - d » cm função dc Vp, Vq c Vr . Resolução


Vp - q v ~ r = CA V p U Vq v

- CAV p U ( V q U V ^ r) = CAV p U (V q U CAV r)

11. Sejam p(x), q(x) c r(x) sentenças abertas em um mesmo conjunto A. Achar a expressão do conjunto-verdade dc cada uma das sentenças abertas compostas abaixo em função de Vp, Vq e Vr : (a) M.píx) v q (x » (c) p (x )-M > i{ x )-* q(*))

(b) ( d)

~ p (x ) > ~ q (x ) (p(x) - q(x)) A (q(x)

r(x »

16

Capítulo

Quantificadores

1.

QUANTIFICADOR UNIVERSAL

Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A = # 0 ) e seja Vp o seu conjunío-verdade: Vp = {x | x £ A

A

p(x.)}

Quando Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta p(x), podemos, então, afirmar: (i) “ Para todo elemento x de A, p(x) é ver dadeira (V )“ (ii) ' ‘Qualquer que seja o elemento x dc A, p(x) c verdadeira ( V )'’ ou seja, mais simplesmente: (iii) “Paia todo x de A, p(x)” (iv) “ Qualquer que seja x de A, p(x)” Pois bem, no simbolismo da Lógica Matemática indica-se este fato, abreviada mente, de uma das seguintes maneiras: (1) (2) (3)

( V x e A) (p(x)) v x E A, p(x) v x £ A : p(x)

.Muitas vezes, para simplificar a notação, omitc-se a indicação do domínio A da variável x, escrevendo mais simplesmente: (4) (5) ( 6)

( V x) (p(x)) V x, p(x) v k : p(x)

E D G A R O OE A L E N C A R F I L H O

176

Subsiste, pois, a equivalência: ( V x C A) ( p ( x ) ) * » Vp = A Importa notar c|ue pfx), simplesmente, é uma sentença aberta, c por conseguinte carece de valor lógico V ou F; mas, a sentença aberta p(x) com o símbolo ..«---antes dela, isto c, ( V xfc A )(pfó)X torna-se uma proposição c, portanto, tem um valor lógico, quo c a verdade ( V) se Vp = A e a falsidade (F) se Vp ^ A. I.m outros termos, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A. o símbolo V , referido à variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime «ui não uma condição universal no conjunto A. A esta operação lógica da-se o nome de quantificação universal c ao respectivo símbolo V (que é um A invertido; o dc i|uantificador universal. Quando, cm particular, A seja um conjunto finito com n elementos a t , a2, . . . , ¿tn, isto e, A --- { a , , a2- ,. . ., a n } , é óbvio que a proposição ( V x & A) (p(x)) é equivalente à conjunção das n proposições p (ai), pía2), - ■ p\an), ou seja, simbo licamente: ( V x £ A) (p(x)) «=> (p(a i > a p(» 2 ) a - - - a PÍan)) Portanto, num universo finito, o quantificador universal equivale a conjunções sucessivas. Assim. p. ex., no universo finito A = {3, 5, 7 } e sendo p(x) a sentença aberta l‘x é primo” , temos: ( Y x G A) (x é primo) =«=> (3 e primo A 5 é primo A 7 é primo) Lxcmplificando, a expressão: ( V x) (x é mortal) lê-se “ Qualquer que seja x, x é m ortal” , o que é uma proposição verdadeira (V) no universo H dos scrcs humanos ou, mais geralmente, no universo dos seies vivos. Se a variável da sentença aberta for uma outra, em vez da letra x, escreve-se o quantificador universal V seguido dessa variável. Assim, a expressão: ( V Fulano) (Fulano é mortal) lê-se “Qualquer que seja Fulano, Fulano é m ortal'’, o que significa exatam ente o mesmo que a proposição anterior. Analogamente, as expressões: ( V x) (2x > x) : “ Qualquer que seja x, 2x > x ” ( V y) (2y > y ) : “ Qualquer que seja y, 2y > y ” exprimem ambas o mesmo fato: “O dobro de um número é sempre maiorque esse número” , o quo é verdadeiro em N, mas falso em R (p. ex., 2 .0 =0, 2 . ( - 3 ) < -3 , etc.).

177


Muitas vezes (quando não há perigo de dúvida), o quantificador c escrito depuis e não antes da expressão quantificada. Por exemplo, tem-se em R: x 2 - 4 = (x + 2) (x - 2), V x Aqui, o símbolo V x pode ler-se “ qualquer que seja -X” ou “para todo o valor dc x ” ou simplesmente “ para todo o x ” . Algumas vezes, para evitar possíveis dúvidas, o dom ínio da variável é devida mente especificado. Assim: x+ l>x,

Y x £ R

Aqui, “ V x € R” lê-sc: “ qualquer que seja x €E R ” ou ainda “ para todo x £ R ” . Outras vezes ainda, para condensar a excrita, escreve-sc a variável com o índi ce do símbolo V . Assim, p. ex.: V x> 0

2x > x ("Para todo o x > 0, tem-sc 2x > x ”)

v xÔ

x 2 > 0 (“ Para todo o x # 0, tem-se x 2 > C”)

Outros exemplos: (1) A proposição: ( V n £ N) (n + 5 > 3) é verdadeira, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) :n + 5 > 3 é: Vp = {n | n e N A n + 5 > 3 } = < 1 , 2 , 3 , . . . } = N

(2) A proposição: ( V n.fc N )(n + 3 > 7 ) e falsa, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) :n + 3 > 7 é: Vp = { n | ri E N A n + 3 > 7 } = { 5 , 6 , 7 , . . . } ^ N

(3) Obviamente, a proposição ( V x £ R) (x 2 > 0) é verdadeira e a proposição ( v x € R) (3x - S = 0) é falsa.


178

2.

QUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A(A Vp o seu conjunto-vcrdade: Vp = { x | x G A

) e seja

A p(x)}

Quando Vp não é vazio ( V p ^ $ ) , então, um elemento, pelo menos, do con junto A satisfaz a sentença aberta p(x), e podemos afirmar: A (D “ Existe pelo menos u m x E A tal que p(x) e verdadeira (V )5’ (ii) “ Para algum x £ A , p(x) é verdadeira (V ) n1 ou seja, mais simplesmente: (iii) “‘Existe x £ A Cal que p(x)” (iv) “ Para algum x £ A, p(x)” Pois bem, no simbolismo da Lógica Matemática indica-se este fato, abreviada mente, de uma das seguintes maneiras: ( 1) (2) (3)

( 3 x e A) (p(x)) 3 x 6 A, p(x) 3x G A : p(x)

Muitas vezes, para simplificar a notação, omite-se a indicação do domínio A da variável x, escrevendo mais simplesmente: (4) (5) ( 6)

(3 x ](p (x )) 3 x, p(x) 3 x :p ( x )

Subsiste, pois, a equivalência: ( 3 x G A) (p{x)) •«=?• Vp # (p Cumpre notar que, sendo p(x) uma sentença aberta, carece de valor lógico V ou F; mas a sentença aberta p(x) com o símbolo 3 antes dela, isto 6, ( 3 x G A) (p(x)), torna-se uma proposição c, portanto, tem um valor lógico, que é a verdade (V) se Vp # $ e a falsidade (F ) se Vp = . Deste modo, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A,o símbolo 3 , referido à variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime ou não uma condição possível no conjunto A, A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo 3 (que é um E invertido) o de quantificador existencial.

179

IN IC IA Ç Ã O À LÓGICA M A T E M A T IC A

Quando, em particular, A seja um conjunto finito com n elementos a i, a2 , . a^, isto c, A = { a j , a j , . . an } , é óbvio que a proposição ( j x € A ) (p(x)) é equivalente à disjunção das n proposições p (3 c par V 4 é par v 5 é par) Exemplificando, a expressão; ( 3 x) (x vive na Lua) lê-se “ Existe pelo menos um x tal que x vive na Lua” , e é uma proposição falsa (F) no universo H dos seres humanos, que também se pode traduzir por “Algum scr vive na Lua” . Analogamente, a expressão: ( 3 x) (x > x2) lê-sC “ Existe pelo menos um x tal que x > x2” , o que é uma proposição verdadeira (V) em R ( “ Algum número real é superior ao seu quadrado“), mas falsa (F ) em N ( “Nenhum número natural c superior ao seu quadrado”). Para o símbolo 3 adotam-se ainda convenções análogas àquelas que indicamos para o quantificador universal V , com esta única diferença: nunca pode ser escrito após a sentença aberta quantificada. Outros exemplos: ( I) A proposição: (3nGN)(n +4

(2) A proposição: ( 3 n G N) (n + 5 < 3) é falsa, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n) : n + 5 < 3 é: Vp = { n | n G N A n + 5 < 3 } =

proposição


180

3.

VARIÁVEL APARENTE E VARIÁVEL LIVRE

Quando há um quantificador a incidir sobre uma variável, esta diz-se aparente ou muda; caso contrário, a variável diz-se livre. Assim, p. ex., a letra x c variável livre nas sentenças abertas: 3x - l = 14 (equação),

x + 1>x

(inequação)

mas e variável aparente nas proposições: ( 3 x) (3x - 1 = 14),

( V x) (x + 1 > x)

É frequente em Matemática o uso do seguinte PRINCIPIO DE SUBSTITUIÇÃO DAS VARIÁVEIS APARENTES: Todas às vexes que uma variávd aparente é subs tituída, em todos os lugares que ocupa numa expressão, por outra variável que nâo figure na mesma expressão, obtém-se uma expressão equivalente. Assim, p. ex., são equivalentes as proposições: (* ) (* * )

( V Fulano) (Fulano é mortal) c ( V x ) (x é mortal); ( 3 Fulano) (Fulano foi à Lua) e ( 3 x) (x foi à Lua)

De modo geral, qualquer que seja a sentença aberta p(x) em um conjunto A subsistem as equivalencias: (i) (ii)

4

( v x e A) (p(x)) <=►( V y £ A) (p(y)) ( 3 x € A) (p(x)) <=> ( 3 y £ A ) (p(y))

QUANTIFICADOR DE EXISTÊNCIA E UNICIDADE Consideremos em R a sentença aberta “x 2 = 16” . Por ser 4 2 = 16,

( - 4 ) 2 = 16

e

4#=-4

podemos concluir: ( 3 x, y G R.) (x 2 = 16 A y 2 = 16 A x

y)

Peio contrário, para a sentença aberta “x 3 = 27” em R teremos as duas propo sições: (i) (ii)

( 3 x G R ) ( x 3 =2 7 ) x 3 = 27 A y 3 = 27 =* X = y

A primeira proposição diz que existe pelo menos um x £ R tal que x 3 = 27(x = 3): é uma afirmação de existência.

IN IC IA Ç Ã O À LÓ GtCA M A T E M Á T IC A

181

A segunda proposição diz quo não pode existir mais de um x € R tal que x 3 = 27: é uma afirmação de unicidade. A conjunção das duas proposições diz que existe um x £ R e um só tal que x 3 - 27. Para indicar este fato, escreve-sc: ( 3 ! x £ R) (x 3 = 27) onde o símbolo 3 ! é chamado quantificador existencial de unicidade e se lê: “ Existe um e um só” . Muitas proposições da Matemática encerram afirmações de existência e unici dade. Assim, p. ex., no universo R: a# 0

( V b) ( 3 ! x) (ax = b)

Exemplificando, são obviamente verdadeiras as proposições: ( 3 ! x E N J I x 2 - 9 = 0) ( 3 !x£2)(-l < x < l) ( 3 ! x € R) ( I x | = 0)

5. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADOR É claro que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido do símbolo de negação - . Por exemplo, no universo H das seres humanos, as expres sões: (i) (iií)

( V x) (x fala francês)(ii) ~ ( V* x) (x fala francês) ( 3 x) (x foi à Lua)(iv) —( 3 x) (x foi à Lua)

são proposições que, em linguagem comum, se podem enunciar, respectivamente: (* ) (* * j (* * * ) (****)

“Toda a pessoa fala francês” “ Nem toda a pessoa fala francês” “ Alguém foi à Lua” “ Ninguém foi à Lua”

São também evidentes as equivalencias: ~ ( Y x) (x fala francês) -<=* ( 3 x) (~ x fala francês) 3 x) (x foi à Lua) « ( T x ) (~ x foi à Lua) De modo geral, a negação da proposição ( V x £ A) (p(x)) é equivalente a afirmação de que, para ao menos um x £ A, p(x) é falsa ou ~ p (x ) c verdadeira.

\

\

-182


Logo, subsiste a equivalência: ~ [ ( V x € A) (p(x))J <=> ( 3 x £ A) (~p(x)> Analogamente, a negação da proposição ( 3 x £ A )(p (x )) é equivalente a afir mação de que, para todo x £ A, p(x) é falsa ou ~ p (x ) é verdadeira. Logo, subsiste a equivalência: ~ [ ( 3 x £ A )(p(x))]<=> ( V x £ A )(~ p (x )) Estas duas im portantes equivalencias são conhecidas por segundas regras de negação de DE MORGAN. Portanto: A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial (seguido de negação) e vice versa. lixem pios: (1) A negação da proposição: “Todo o aluno da turma A c bem comportado" é a proposição: “ Existe pelo menos um aluno da turma A que não e bem com por tado” , ou seja, mais simplesmente: “ Nem todo aluno da turma A é bem compor tado” . (2) A negação da proposição: “Existe peio menos um aluno da turma A que está doente” é a proposição: '“ Qualquer que seja o aluno da turma A, ele não está doente” , ou seja, mais simplesmente: “ Nenhum aluno da turma A está doente“ . (3) A negação da proposição: “ Existe um planeta que é habitável' é a proposição: “ Todos os planetas não são habitáveis” , ou seja: “Nenhum planeta é habitável“ . Representando por P o conjunto de todos os planetas, teremos, simbolicamente: ~ ( 3 x £ P) (x é habitável) <=>( V x G P ) ( x não é habitável) (4) A negação da proposição: “ Para todo o número natural n, tem-se n + 2 > 8 ” é a proposição: “ Existe pelo menos um número natural n tal que n + 2 > 8 ” . Simbolicamente: ~ ( V n £ N) (n + 2 > 8 ) <=> ( 3 n £ N) (n + (5) - ( 3 x 6 R) ( x2 < 0 ) « ( V x 6 R ) ( x2 > 0) ( 6) - ( V x £ R) (3x - .5 * Q) «-*< 3 x e R) (3x - 5 * 0 ) (7) ~ ( V x £ R) ( | x | > 0) «=>■ ( 3 x £ R) ( | x | < 0) (8 )

3 x £ R) (senx = 0 ) ^ ( V I £ R ) (senx * 0 )

2-4 8 )

183


6.

CONTRA EXEMPLO

Para mostrar que uma proposição da forma ( V x £ A) (p(x)) é falsa (F ) basta mostrar que a sua negjção ( 3 x £ A ) ( ~ p ( x ) ) é verdadeira (V), isto c, que existe pelo menos um elemento x 0 & A tal que p(xr>) é uma proposição falsa (F), Pois bem, o elemento x„ diz-se um contra-exemplo para a proposição ( V x £ A)(p(x)). Exemplos: (1)

A proposição ( V" n € N) (2 n > n 2) c falsa, sendo o número -exemplo: 2 2 = 22 . Os números 3 e 4 também são contra-exemplos, pois, temos: 2 3 < 3 2 e 24 = 4 2 . Para n = 1 e para todo n > 4 se tem 2 n > n 2.

2

(2)

A proposição ( V x £ R)( | x | ^ 0) é falsa, -exemplo: | 0 | = 0 .

0

sendo

(3) A proposição ( V x £ R ) ( x 2 > x ) é falsa, sendo, p. ex., -exenipJo:

o

número

um contra-

( - L )2 < -±- .

( 4 ) A proposição ( V x £ R) ((x + 2 ) 2 = x2 + 4} é falsa,sendo, p.ex.,I um contra* -exemplo: (1 + 2 ) 2 ¥= I 2 + 4 ou 9 # 5 . (5) A proposição ( V x £ Z+) (x 2 +• x + 41 c umnúmero primo) éfalsa, sendo o número 40 um contra-exemplo, pois, temos: 402 ^ 40 + 41=- 40(40+ l) + 41 = 40 , 41 +41 - 41(40 + I >^ 41 .41 ^ 412, que é um número composto. É interessante notar que o trinom io x 2 + x + 41, analizado pela primeira ve/ pelo femoso matemático suíço LEONHARD FUL FR (1707-1783), produz núme ros primos para x = 0, 1, 2, 3 , . . . , 39,

EXERCÍCIOS 1.

Sendo R o conjunto dos números reais, determinar ü valor lógico (V ou F) dc cada uma das seguintes proposições: (a) (c) (c)

( V x £ R) ( I x | = x j ( 3 x £ R ) ( | x j = 0) ( V x £ R) (x + 1 > x)

(b) ( 3 x £ R) (x 2 = x) (d) ( 3 x G R) ( x + 2 = x> ( f ) Í V x C R ) l x J = s)

184


Resolução: (a) (c)

F (J - 3 L . 3 =£ -3 J ; V ( ( 0 | = O);

V ( l 2 = i); F(A equação x + 2 = x não tem so lução), V (Todo o número real é solução da inequação x +1> x ) ; F (3 2 ^ 3 )

(e) (f)

(b) (d )

2. Dar a negação das proposições do Exercício 1. Resolução: ( a) ( 3 x £ R )(~ ( | x | = x » ( 3 x £ R )( J x | ^ x) (b )

( v

X £ R) ( - ( x 1 = x ))« = * (

(c) (d) (c) (0

(V (v (3 (3

x E R) ( ~ ( J x J = 0 » <=> ( V x € R) ( | x | ^ 0) x £ R) (~ (x + 2 = x)) <=> ( V x G R ) ( x + 2 ^ x ) x G R ) (~ (x + I > x)) «==>■( 3 x £ R) (x + I < x) x £ R) ( ~ ( x 2 = x j) ( 3 x £ R) (x 2 * x)

V x € R ) ( x 2 #

x)

3. Sendo A = { 1, 2, 3, 4, 5 } , determinar o valor lójpco (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (c) (c)

( ( (

3 3 3

x£ x£ xC

A) A) A)

(x + 3 = 10)(b) (x + 3 < 5) (d) (3X> 7 2 ) ( f )

(V (V {3

x£ x£ X£

A ) ( x + 3 < 10 A) (x + 3 < 7) A) (x 2 + 2x =

Resolução: (a) (b) (c) (d) (e) (0

F V V F V V

(Nenhum elem ento de A é raiz da equação x + 3 =* 10) (Para cada elem ento de A se tem x + 3 < 10) (1 é solução da inequação x + 3 < 5) (5 não c solução da inequação x + 3 < 7) (3 4 = 81 > 7 2 ) (3 é raiz da equação x 2 + 2x = 15)

4. Dar a negação das proposições do Exercício 3Resolução: (a) ( V x € A ) H x + 3 = 1 0 ))« = > (V * £ A )(x + 3 # 10) (b) ( 3 x £ A) ( ~ (x + 3 < 10)) <=>( 3 x £ A) (x t 3 > 10) (l) ( V x E A) ( ~ ( x + 3 < 5)) <=>( V x £ A) (x (d) ( 3 x £ A) ( ~ (x + 3 < 7)) <=* ( 3 x £ A) (x (c) (V x £ A) ( ~ ( 3 X > 72» <=> ( V x £ A) (3 X <£ 72) (f) ( V x 6 A) ( ~ ( x 2 + 2x = 15)) <=> ( V x £ A)

+ 3 > 5) + 3 > 7) (x 2 + 2 x ^ 1 5 )

185


5. Sendo R o conjunto dos números reais,. determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (c)

( 3 x e R ) ( 2 x = x) ( 3 x G R ) ( x 2 + 5 = 2x)

(b) (d)

( 3 x £ R) (x 2 + 3x = 2) ( V x G R) (2x + 3x = 5x)

6 . Dar a negação das proposições do Exercício 5. 7 . Sendo A = {l , 2, 3 } , determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das

seguintes proposições: (a) ( 3 x £ A) (x 2 + x - 6 = 0 ) (c) ( 3 x £ A) (x 2 + 3x = 1) (e) 3 x G A) ( x2 + 3x = 1)

(b) ( 3 y G A) (~ (y 2 + y = 6 )) (d) ~ ( V x G A ) ( x 2 + x = 6 ) (f) ( V /.G A ) ( / , 2 + 3 / T 1)

8 . Sendo A = { 1, 2, 3 } , determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das

seguintes proposições: (a) (b ) (c) (d)

(V (3 (V (3

x G A) ((x + I f = x 2 + 1) x G A) (x 3 - x 2 - 1 0 x - 8 = 0) x G A) (x 3 - 6 x : + I lx - 6 = 0) x G A )(x 4 - 4 x 3 - * 7 x 2 - 5 0 x = 2 4 )

9. Sendo A - { 1, 2, 3, 4} segtiinles proposições:

, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das

(a) ( V xG A) (x + 3 < 6 ) (c) ( V x G A) (x 2 - I 0 < 8 )

( 3 x G A) (x + 3 < 6 ) (d) ( 3 x G A) ( 2 x 2 + x = 15)

10. Dar a negação das proposições do Exercício 9. 1 1 . Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico (V ou F) dc

cada uma das seguintes proposições: (a) (b) (c ) (d) (p) (f) (g)

( V x f e R ) (x2 + 1 > 0 ) ( 3 x G R ) ( x 2+ 1 = 0 ) ( 3 x G R ) (4x - 3 = 1 - 2x) ( V x G R ) (x 2 + 3x + 2 - 0) ( 3 x G R) (3x 2 2x - 1 = 0 ) ( 3 x G R) (3x 2 - 2x + 1 - 0> ( V x G R)(x + 2 ) 2 = x 2+ 4x + 4)

12. Sendo A = {2, 3 , . . ., 8 , 9 } , dar seguintes proposições: (a) ( v x G A) (x + 5 < 12) (c) ( V x G A )(x 2 > 1) (e) ( V x £ A ) ( 0 x =0.)

um con tra-exem p lo para cada uma das (b) (d) (0

( V x G A) (x é primo) ( V x G A) (x c par)

( V x 6 A) (x | 72)

ED G A F5 D DE A L E N C A R F I L H O

186

Resolução: (a) Para x - 7.8 c 9, temos x + 5 > 12. Logo, cada um desses três números c um contra-exemplo. ( b) Os números 4, 6 , 8 e 9 não são primos c, portanto, cada um deles c um contra-exemplo. (c) Não há contra-exemplo porque a proposição é verdadeira. (d) Os números 3, 5, 7 c 9 são ímpares e, portanto, cada um deles é um contra-exemplo. (e) Não há contra-exemplo porque a proposição é verdadeira. (f) Os números 5 c 7 não dividem 72 e, portanto, cada um deles é um contra-exemplo. 13. Sendo A - {3, 5, 7, 9 } , dar um contra-exemplo para cada uma das seguintes proposições: (a) ( V x e A) (x + 3 > 7) (c) ( V x € A) (x é primo)

(b) (d)

( V x € A) (x é ímpar) (V x£A)(|x|=xJ

14. Dar a negação das proposições do Exercício 13. 15. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições: (a) {b) (c) (d)

(V (3 (3 (3

x x x x

E A) (p(X)) A ( 3 x GA) (q(x>) e A) (p(x)) V ( V xG A ) (q(x)) € A) (~ p(x)) V ( V x e A ) ( - q (x )) £ A) (p(x)) -> ( V x G A) ( - q (x ))

16- Dar a negação de cada uma das seguintes proposições: (a) (b)

(V x) (x + 2 < 7) M 3 x) (x 2 - 3 = 3) ( 3 x) (x* - 9) V ( V x) (2x - 5 # 7)

17. Demonstrar: (i) (ii) (iii)

p(y) =* ( 3 x e A) (p(x ) ) 5 y e A ( y x £ A) (p(x)) =*■p(y), y G A (V x G A) (p(x)) => ( 3 x G A) (p(x))

1 8 . Demonstrar:

(i) (ii) (iii) (iv)

( V x) (p(x) A q(x)) ^ [ ( V x ) (p(x)) A< V x) ( q(x» ] ( 3 x) (p(x) a q(x)) = > [ ( 3 x ) (p(x)) A ( 3 x) (q(x))] ( 3 x) (p(x) v q(x)) <==>[( 3 x) (p(x)) V ( 3 x) (q(x))] [( V x) (p(x) V ( V x) (q(x))] =►( V x) (p(x) v q (x »

Capítulo

17

Quantificação de Sentenças Abertas Com Mais de Uma Variável

1. QUANTIFICAÇÃO PARCIAL Consideremos, p. ex., a expressão: ( 3 x fez A) (2x + y < 7) sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}

o universo das variáveis x e y. Lsta expressão, que se pode Iet: ‘‘Existe pelo menos um x G A para o qual se tem 2x + y < 7", não é uma proposição, visto que o seu valor lógico, embora não dependa de x (variável aparente), depende ainda de y (variável livre). Portanto, é uma sentença aberta em y, cujo conjuntoverdade é { 1 , 2 , 3 ,4 }, pois,somenie para y - 5 não existe x fc A tal que 2x + y < 7. Analogamente, a expressão: ( V y (= A) (2x + y < 1 0) sendo A = { l, 2, 3 ,4 , 5} o universo das variáveis x e y, que se pode ler: ‘‘Para Lodo y
188

E D G A R O DE A L E N C A R F I L H O

Assim, p. ex., são proposições as seguintes expressões: (i) (ij) (iii) Exemplos:

( V x G Aj ( V y £ B) (p(x, y)) V x G A) ( 3 y G B ) ( p ( x , y » ( 3 X G A) ( V y G B) ( V z G C) (p(x, y, z))

(

\

( 1 ) Consideremos os conjuntos: H = {J orge, Cláudio, Paulo} , M = {Sucly, Carmen} e seja p(x, y ) a sentença aberta em H x M: “x é irmão de y ” . A proposição: ( V x G H ) ( 3 y G B) (p(x, y)) se pode ler: “ Para todo x de H existe pelo menos um y de M tal que x é irmão de y ” . Em outros termos: “ Cada homem de H c irmão de Suely ou de Carmen” . A proposição; ( 3 y G M) ( V x G H) ( p ( x , y ) ) se pode lêr: “ Pelo menos uma das mulheres de M é irmã de todos oshomens de H” . Obscrve-sc que, mudando a ordem dos quantificadorcs,obtém-se uma proposição diferente. (2) A proposição: ( V x G N.) ( V y G N) ((x + y )7 > x 2 + y 2 ) se pode ler: “ Quaisquer que sejam x e y pcrlcnccntcs a N, (x + y ) 2 é maior que x 2 + y 2” . Esta proposição também se pode escrever: (V x, y G N) ((x + y ) 2 > x 2 + y 2) ou {x f y )2 > x 1 + y 2 , V x,

y G

N

e é obviamente verdadeira (V), enquanto que a proposição: (x + y ) 2 >

x2

+ y2 , V x,

y G

R

c falsa (F). Costuma-se, para simplificar a notação, omitir a indicação do dom ínio de cada variável e escrever, p. ex.: (x + y ) 2 = x 2 + 2xy + y 2, V x, y o

que é verdadeiro cm N e em R.


(3) Consideremos os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} tença aberta em A x B: “ 2x + y = 8 ”. A proposição: \

1 89

eB = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }

e a sen

( V x e A) ( 3 y 6 B) (2 x + y = 8)

é verdadeira (V), pois, para x = 1, 2, 3. 4 temos y = 6 , 4, 2, A proposição;

QG B.

( V y G B) ( 3 x G A) (2x + y =

8)

é falsa(F), pois, para y = 8 , temos x = 0 A proposição:

A.

( 3 y G B) ( V x e A) (2x + y =

8)

também c falsa (F ), pois, não existe um y G B tal que para todo x E A seja 2x + y = 8.

Analogamente, também é falsa (F ) a proposição: ( 3 x G A) (Y y G B) (2x + y - 8 )

3. COMUT ATIVIDADE DOS QUANT1 FICADORES I. Quantificadores da mesma espécie podem ser comutados: ( V x) ( V y) (p(x, y)) « ( v y ) ( V ( 3 xj ( 3 y) (p(x, y)) ^ { 3 y ) ( i

x) (p(x, y)); x) (p(x, y »

II. Quantifica dores de espécies diferentes nâo podem em geral ser comutados Exemplificando, seja a sentença aberta “x é filho de y ” , o universo das variáveis x e y sendo o conjunto 11 dos seres humanos. A proposição: ( V x ) ( 3 y ) ( x é filho d c y ) é verdadeira ( V), mas a proposição: (3

y) ( V x) (x é filho de y)

é falsa (F). Seja, agora, a sentença aberta “ y > x ” , o universo das variáveis x c y sendo o conjunto N dos números naturais. A proposição: ( V x ) ( 3 y ) ( y > x)

190


c verdadeira ( V), mas a proposição: , ( 3 y) ( V x) (y > x) é falsa (F).

4

\

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANT1FICADORES

A negaçao de proposições com mais dc um quantificador se obtém mediante a aplicação sucessiva das regras para negação de proposições com um único quantifi cador (segundas regras de negação de DB MORGAN). 1 'x e m p to s :

( 1 ) Negação de proposições com dois quantificadorcs da mesma cspécic; ~ ( V x) ( v y) (p(x, y)) «=. ( 3 x.) ( ~ ( V y) (p(x, y))) «=**■( 3 x) ( 3 y) ( - p ( x , y )); ~ ( 3 x ) ( 3 y)(.p(x, y ) ) « = » ( V x ) H 3 y) (p(x, y » ) -=> ^ ( V x ) ( V y )( ~ p (x ,y ) )

(2) Negação de proposições com dois quantificadores de espécies diferentes: - { V x) ( 3 y) (p(x, y)) «=*■( 3 x) ( ~ ( 3 y) (p(x, y j» <==• ^ > ( 3 x) ( V y) (~ p (x , y)); ~ ( 3 x) ( V y) (p(x, y)) *■*• (. V x) ( - ( V y) ( p(x, y)))<=> * » ( V x ) ( 3 y ) ( ~ p f x ,y ) ) (3) Negação de proposições com três quantificadores: H 3 x ) ( 3 y ) < V z) (p(x, y, zj) » ( V x ) ( ~ ( 3 y ) ( V z )(p (x , y, z » ) *=* ( V x) ( V y) ( 3 z) ( - p ( x , y, z»

EXERCÍCIOS I.

Sendo {1, 2, 3, 4, 5} o universo das variáveis x e y, determinai o conjunto-verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas; 00 ( 3 y) (2x + y < 7)

(b)

( V *) (2x + y < 10)

INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA I|

191

2 .' Sendo {l, 2, . . . , 9, 10 } o universo das variáveis x e y, determinar o coni junto-verdade dc cada uma das seguintes sentenças abertas: / (a) ( V y ) (x + y < 14)

(b)

( 3 y) (x + y < 14)

/ 3. Sendo { 1, 2, 3} o universo das variáveis x e y, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) (c) (e) (g)

( 3 x)(V y )(x 2 < y + 1 }(b) ( V x )( 3 y ) ( x 2 + y 2 < 12) (Y x ) ( v y )(x a + y2 < 12)(d)(V x ) ( Y y ) ( * 2+2y < 10) ( 3 x) (. V v) ( x 2 + 2 y < 1 0 ) ( f ) ( V x.) ( 3 y) (x 2 + 2 y < 10) ( 3 x ) ( 3 y) ( x 2 + 2y < 10)

4. Sendo { 1 , 2 , 3 } o universo das variáveis x, y e v., determinaro valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) ( 3 x) ( V y) ( 3 z ) ( x 2 + y 2 < 2 / 2)
( Y y: £ R) ( 3 ( V x £ R ) ( .3 ( YxGR)(3 < V y e R) ( 3

x e R) (x + y = y) y e R ) ( x + y = 0) y G R ) ( x y = 1) x£R)(y
6 . Sendo A = {1, 2 , . . . , 9, 10 } , determinar o valor lógico (V ou F) dc cada

uma das seguintes proposições: (a) ( V x G A fJ 3 y e A) (x + y < 14) (b) < V x C A) ( Y y e A) (x + y < 14) 7. Dar a negação de cada uma das seguintes proposições: (a) (c) (e)

( V x) ( 3 y) (p(x) v q(y)) (b) ( 3 y) ( 3 x) (p(x) a ~ q (y )) (d) ( 3 x) ( Y y) (p(x, y ) -+ q(x, y »

( 3 x) ( Y y) (p (x) V wq(y)) ( V x) ( 3 y) (p(x, y) ■+ q(y))

8 . Dar a negação de cada uma das proposições do Exercício 5,

9. Demonstrar: (i) (ii)

( 3 x) ( Y y) (p(x, y)) ( 3 y) ( Y x) (p(x, y)) => ( V x) ( 3 y) (p(x, y)>

( Y y ) ( 3 x) (p(x, y))

192


10. Conjuntos Limitados Seja A um subconjunto não vazio do conjunto R dos números reais (A A C R).

0

e

Definição 1: üíz se que A é limitado inferiormente (ou limitado à esquerda) se e somente se: ( 3 a G R) ( V x G A) (a < x) Definição 2: Diz-se que A c limitado superiormente (ou limitado à direita) se c somente se: ( 3 b G R) < V x G A) (x < b) Definição 3: Diz-sc que A é limitado sc c somente se: ( 3 a, b e R ) ( V x £ A ) ( a < x A * < b)

Respostas dos Exercícios

CAPfTULO 1 1 -(a) V (h) F

(b) F (i ) V

(c) F

(d) F

( j) F

(k) F

(o) V

(P) F

(q) V

(r) V

(c) V (D F (s) V

(0 F (m) V (t) v

CAPITULO 2 1. (a) (b) (c) ( d) (e) (f) (g) (h) (i)

Não está frio. Está frio e está chovendo. Fstá frio ou está chovendo, Fstá chovendo se e somente se está frio. Se está frio, então não está chovendo. Está frio ou não está chovendo. Não está frio e não está chovendo. Fstá frio se e somente se não está chovendo. Sc está frio e não está chovendo, então está frio,

2. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

Se Carlos é feliz, então Jorge é rico. Jorge c rico ou Carlos não é feliz. Carlos c feliz se e somente se Jorge não é rico. Se Jorge não é rico, então Carfos é feliz. Nào c verdade que Jorge não ó rico. Se Jorge não é rico e Carlos é feliz, então Jorge é rico.

3. (a) (b) (c) (d) (c) (f)

Cláudio fala inglês ou alemão. Cláudio fala inglês e alemão. • Cláudio fala inglês mas não alemão. Cláudio não fala inglês e nem alemão. Não é verdade que Cláudio não fala inglês. Não é verdade que Cláudio não fala inglês e nem alemão.

4. (a) Não é verdade que João é gaúcho e Jaime não é paulista, (b) Não é verdade que João não é gaúcho.

(g) v (n) F (u) F

E D G A R D DE A L E N C A F i F I L H O

194

(c) Não c verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é paulista. ( d)

S e J o ã o é g a ú c h o , e n t ã o J a im e n ã o c p a u lis ta .

(e) João não é gaúcho sc e somente sc Jaime não c paulista. (f) Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é gaúcho. p A q

5. (a )

(d) ~ p A

~ -q

6 . (a)

~p A q (d) (~ p V q) A ~ q

7.

8.

(b )

p A ~q

(c)

p V (~ p A

(b )

p V ~q

(a) (p V q) A ~ r (d) " {(q V r) A - p )

( b ) (p A

{ a ) x = 0 v x > 0 (d)

(b)

q)

V

q)

(c)

~ ( ~ p V q)

(f)

~ (~ p V

(0

~p A ~q

~ (p A r) (c)

x # 0 A y ^ 0

~q)

~ (p A ~ r)

(c)

x > l V x

+ y = 0

x2 = x. x A x° = 1

9. ( a ) (cj

1 0 . (a)

( x + y = 0 A 7, > 0 ) V x ^ O V

z-

0

( x = () A y < 0 )

(b) x = 0 A (y + z > x V z = 0)

(d) (X =

y A z = t) V (x < y A / = 0 )

x> 0 y =2 x= I v z = 2 ^ y > l

(b )x

(e)

x :it y - > x t z > 5 A y + ? . < 5

( f ) ( x + y > z A r. - l ) -4 x + y >

(g )

x < 2 - > x - l V

( h ) y = 4 A ( x < y -» x < 5 )

(cj

11. ( aj

( x > 5 A

x

(d)

x = 0

< 7 ) V

x

^ 6

+y =2

^ z > 0

z > 5 - + x :fí l A x # 2

( b ) x < 5 A x > 3 - * - x =

!

4

(c) x > 1 V (x < 1 A x > 0) 12 , (a.) F

(b) V

(c) F

(d) v

(e) F

(f) F

(g) F

13. (a) V

(b) v (!) V

(c) F (,i) F

(d) F

(e) V

(f) V

(g) F

14. (a) V (h) V

(b) v

(c) F

(d) V

(e) V

(0

F

(g) v

15. (a) V (h) 1

(b) V (i) V

(c) F

(d) F

(è ) V

(f) V

(g) F

16. (a) V (h ) V

(b) F

(c) V

(d) F

(e.) V

(0 F

(g) v

17. (a) F

(b) F

(c) F

(d) V

(c) V

(f) F

(g) v

( h) f

(k) F

(,i) v

IN IC I A C A O Á LÓ GICA M A T E M Á T IC A

18. (a) V

(b) V

(c) F

(d)

F

(o) V

19. (a) V(p) = V (d) V(p) = V

ou ou

V(p ) s F V(p) = F

(b) V(p) = F (e) V(p) = F

20. (aj (bj (c) id) (e)

e e e e e

V(q) = V V( q) = F V(q) = V V( q) - V V(q) = V

V(p) = F

V(p) = F V( p) = F V(p) = V V(p) = V V(p) = F

P

U)

(b)

P v v

~q F V F V

q v

~q F v F v

F

P v v F F

q v F v F

P v v F F

q v F v F

F

p-*~q

~(p ^~ q)

F

v

v v v

F F F

p A q

p V q

v • F F F ~p

F F v v

V ~q)

F F v F

p Aq

v v

v v F v

-*• p v v

v

v

F

v

Q.

v

~(p

v v F v

t

F F

P V -q

cr

(d)

V V F F

q v F V F

e

- p ( q p )

v v F v

V q

(f) F (c) V(p) ( f ) V(p) V(q) = F


197

(b) r

<--*

q

V

v F v F v

v v F F v v F

v v F v v v

F

v F F F v F F v

F

2

1

4

1

p

q

i

P

v v v v F

v v F

v F v F v F v

v v v v F v F

F

F

v F v v

1

F F F

F

v v F F

v F

v F

F

v

~

r

F

v

v

F

F

v F v

v

v F v F v

v F

3

2

1

r)

—

q

V

ï

v F v F v F

F v F

v v

v

v v

v v v F v v

F

F

(c ) P

q

r

P

“>

(P

-

v v v v

v v F F v v

v F v

v v v v

F

v

v F v v v

v v

F v

F F

v F

F F F F

F

v F

F

v

v F v

V

F

v v

v F

v F

F

v

v F F F

v

F

v v v

1

4

l

3

2

1

->

r)

V

<-

P

c—?-

F F F h

F

F

F F

v v F

F

v F

v

F

v F

F v F

5

3

2

1

q

V

(d) (P

v v v v F

F F F

1

A

q

F

v v F F v v F F

v v v v v v

2

1

3

v v F F F F F

v F

F

F

F v v F F

v v v

F F

F F v F v v F v

F

F

v

v

v F v F v F v F

1

4

1

3

2

1

F F F F

v v v v

v v v v

F

F

v F v v v v v v

1

5

2

v F v F v F

v

r)

F v F v F v

F

v v

v v


198

3. (a) VI F V ( I ) l'VFV

(b) W F F (g) W F V

(c) F W H

4 . (a) V V V W F F F

(d) F W F

(b) V F W V F V F (o) W F V F V F V

(d) V V V W F F F

(c)

VFFV

F V F F V V W
(f) V

(e) V (k) V

(f) v

(•) F

(d) V (j)

(b) F

(c) V

(d) V

(e) V

(f) v

I I. (a) F

(b) V

(c> V

(d) V

(e) V

(f) F

ís) v

(h) v

I 2, (a) V

(b) V

(c) F

(d) V

(c) V

13. (a) V

(b) V

14. (a) F

(b) V

(b) F

(c j

F

(d) V

7. (u) F

(b) V

(c) V

(d) V

8 . (a) F

(b) F

(c) V

9. (a) F (g) v

(b) V (h) V

(c )

IO. (a) V

5. (a) V 6. F

(c )

F

V

—*■(.p A ---- q) 15. (a) (q «--* r V q) < •9» <

<

(b) p A --- q ^ ( q < - i . r V q) (c) (p V q -+.-vr.) V t e q

CAPITULO 4 4. (a), (b), (c), (g), (h) tautológicas;

(d), (e), ( 0 contingentes

CAPÍTULO 6 8 . (a) F

(b) V

(c) F

(d) V

d) v


1 99

CAPÍTULO 7

4. (a) (b) (c )

(d)

Está frio e não está chovendo. O pai de Marcos não é pernambucano e a mãe hão é gaúcha, As vendas-estão aumentando ou os preços estão diminuindo. lorge não estuda Física ou estuda Química.

CAPITULO 8

(b) p v ~ q

3. (a) ~ p A q (e )

q

(c ) p A q

7. (a) - p v q (c) ~ p v ~ q

(b) *-p (f) ~ p

( i ) (p y ~ p ) A (q V ~ q )

(c) p A ~ p (d) p v ~p (g) p v ~ p 00 ~p A ~q ( j ) (p V - q ) A ( - p V q) A q ( l ) p A ( p V ~ q ) A ( ~ p V q)

(k) p A (p V

q) A ( ~ p v ~ q )

(m) ( ~ p v

V r) A ( ~ p v -~q V ~ r ) ( n )

q

8. (a) p a q (e) (i)

(d) ~ p A q

( f ) C (Ctr.)

-p v q -p y -q

(b) p A - q (f) ~p 7 ~ q (j ) ~ p A - q

p A (p V q) A r

(c) ~ p V 0 ~ p A q) (d ) ~ p A -q (g) p V ~ p

(h )

(k) ~ p

(l)pv -p

p A ~p

CAPÍTULO 9

1 . (a)

( ~ p a (~ q -*■ p)) -*■ q

(b)

( p ^ q ) - + - ( p A ~q)

(c) (d)

(p A (p -* q) Â ( ~ q V (r A s))) -+ r a ((x = y

s

x = 5 ) A ( x = 5 -*■x < /,)) -+ ( x = y -í- x < z )

2 . (a)

p, q v ~ p I— q p q, p A ~ q I— s (c)~ (x < 0 A y ? t x)i— x < 0 v y = x ( b)

3. (a)

AD SD (m JSD (g )

(b) SIMP (h) ABS (n) SH

(c) SH ( i ) .MP (o) SIMP

(d) MP ( j ) MT

(e) MT (k) CONJ

(f) CONJ (1) AD

E D G A R D DE ALEIMCAR F l L H O

200

4. (a) x = z
(b> xy E R (f) X = y

(c) X > Z

5. (a) x. = 0

(b)

(c) ~ ( p

6 . (a) x ^ 4

(b)

y< 6

(c)

r

(d) 3 > 1

> q)

(d) x > 3

At

(d) ~ p

7. (a) p ->• t (c) s V t -* ~ p

(b) x = 3 -*>x =é z (d) xy * 6 -+ y = 2

8 . (a) r v ~ s

(b) x > 3 v 7. < 2 (d) x 2 = 4 v y 2 = 9

(c) xy = 0 v xy > 3

(b ) P V ----- q

9. (a) ~ (p A q) v ~ q (c) x < 3 V x > 4

(d) x ^ 2 V x # 8

CAPÍTULO 10

5 ..p - » ~ q ,

p v r,

pi—

r ; Sofisma

CAPITULO 14

1.

{3} {2}

(b)

{ 1,2, 3, 4}

(c)

{2,3}

O)

{ 5}

(f )

{6,7,8,...}

2. (a) (d)

{3. - ■3} {0 }

(b)

{ - 1, 0, 1 } {4, -3}

(c) (f)

{ 2, - 2 } {3,-2}

3. (a) (e)

{ L 3 ,4 } {4}

(á)

(«0

00

(b)

(c) { 1 }

(f)

(g)

4. (a) { “ !• 1 , 2 , 4 } 0 (d) (g) { - 2 , 2, 4 }

5. (a) 6.

{9,10}

(b)

{ L 3, 9 }

(c) { - 2 , 2 } (h) { ' L O } {4, 10}

(f)

(c) { 4 , 9 }

{ (1, 5), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5)}

(d) (h)

{1,3,4} { 3 , 4 , 7 , 9}

{ - 3 ,3 }

(d) { 1 }


201

7.

{(2, 8 ), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}

8.

{ (9 ,1 ), ( 6 ,2), (3, 3)}

9.

{(2, 3), (2, 5), (3; 2), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4 )}

10.

{ (2, 2), (2,

11. { ( - 2, - 1),

5), (3, 3), (3, 6 ), (4, 4), (5, 5), (5, 2), ( 6 , 6 ), ( 6 ,

3) }

( - 2, 0), (0, ~ 1), ( 0, 0), ( 1, - 1) }

CAPÍTULO 15

1 . (a)

{1,3,5}

(b) { 2 , 4 , 6 , 8 }

(c) { 3 , 6 }

2. (a)

{0,1,3}

(b) { 0 , 1 , 2 , 4 }

(c) { 0 , 2 , 3 , 5 }

(d) { 1 , 4 , 5 }

3. (a) (c)

{4,5} { 0,1,4}

(b) { 0 , 2 , 4 } ( f ) {1, 2, 4, 5}

(c) {0,5}

(d) {5}

4. (á) { - 3 , - 1 , 1 , 3 / (d) { - 3 , - 1 , 1 } 5. (a)

(b) { - 3 , - 2 , 0, 2, 3} (e) { - 3 , 2 , 3 }

{0, 2, 4, 5}(b) { 0, 2, 3, 5 }

6. V p A q

1 -1 . 4

{-3,-2,-1 }

q -1

(d)

{ 0, 1}

1, — ►C

Vp A q * { - f }

7- Vp v q =

8- V p A q -

(c)

(c) { 2 , 4 } Vp

]

(d) { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 }

> -f « T l

9. V p ^ q = {1,3, 4, 5,' 6 , 7, 8, 9}

v ~p - 1 i Vq _* p = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 }

v p 4—?■q = { 1 , 3 , 4 , 6,8 } 11. (a) CAVp n CAV q

(b) Vp U CAVq

(c) CAVp U v q U v r(d) ( vq n vr) U (CAVp n v r) u CA(Vp U vq)


202

CAPÍTULO 16

5. (a) V

(c) F

íb) V

(b) ( V x £ R ) ( x 2 + 3x ¥= 2) (d) ( 3 x E R) (2x + 3x ^ 5x)

6 . (a) ( V x e R) ( 2x # x)

(c) ( V x e R ) ( x 2 + 5 # 2 x ) 7. (a) V

(b) V

(c) F

(d) V

8 . (a) F

(b) F

(c.) V

(d) F

9. (a) F

(b) V

(c) V

(d) F

(b) F

(d) F

(c) V

(c> 9

14. (a) ( 3 x e A'j (x + 3 < 7 ) (c) ( 3 x £ A ) (x não é primo) (3 (V (V (3

(f) V

(f) F

(g) V

(b) Não há (a proposição é verdadeira) (d) Não há (a proposição é verdadeira)

13.
15. (a) (b) (c) (d)

(e) V

(b) ( V x E Á ) ( x + 3 > 6 ) (d) ( V x E A ) ( 2 x 2 + x # 1 5 )

10. (a) ( 3 x £ A ) ( x t 3 > 6 ) (c) ( 3 x E A) ( x 2 - 10 > 8 ) 11. (a) V

(d) V

x G A )(-p (x ))V (V x E A) (~-p(x)) A ( 3 x E A) (p(x)) A ( 3 x x E A) (p(x)) A ( 3 x

x x € £

(b) ( 3 x € A ) ( x é par) (d) ( 3 x E A) ( | x 1 =£ x) E A) (~ q (x )) E A) (~ q (x )) A) (q(.x)) A) (q(x))

16. (a) ( 3 x) (x + 2 > 7) V ( V x) (x 2 - 1 ^ 3 ) (b) ( V x ){ x 2 ± 9) A ( 3 x) (2x - 5 = 7)

CAPÍTULO 17

l.(a)

{1 , 2 }

(b) $

2. (a)

{ 1, 2, 3 f

(b)

3. (a) V

(b) B

{ 1 , 2 , . . . , 9 , 10}

(c) F

(d) F

(e) V

(f) F

(g) V


4. (a) V

(b) F

5. (a) V

(bj V

6 . (a) V

(b) F

7- (a)
(c)

(c) F

203

(d) V

( 3 x) ( V y) (~ p (x ) A -q(.y)} (b) (d) ( Y y ) ( V x )(~ p (x ) v q(y)) { V x) ( 3 v) ( p ( x , y ) a ~ q (x ,y ))

{ V x )( 3 y )( ~ p (x ) A q(yj> ( 3 X) ( V y) (p iX, y) a ~ q (y ))

(3 y £ R ) ( V x é R ) ( x + y # y ) ( 3 x6 R)(VyeR)(xy#l)

( 3 X G R)( V y e R)(x + y ^ 0) ( 3 yëR,)(V x£-R)(y>x)

(b) (à)

Bibliografia

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 1 5. 16. 17. ■18.

BOSCH. J. - Simbolismo Lógico; Eudeba; 1965 BURGOS, A. —Iniciación a la Lógica Matemática; S.C.; 1973 CHEIFETZ y AVENOSO Lógica y Teoría de Conjuntos; Alhambra; 1974 CHAUVINEAU, L La Logique Moderne; P.U.F.; 1966 COPI, IRVING M. — Introduction to Logic; MacMillan; 1963 DEANO, A. —Introducción a La Lógica Formal; Alianza; 1973 GARRIDO, M. Lógica Simbólica; Tecnos; 1973 Hi LBERT y ACKERMANN - Lógica TeSrica; Tecnos; 1968 KFMENY, SNELL y THOMPSON,- Matemáticas Finitas; Eudeba; 1967 LIPSCHUTZ, S. - Finite Mathematics; Schaum; 1966 L1GHTSTONE, A. H. - Symbolic Logic; H arper,J966 MORA y LEBLANC - Lógica Matemática; F.C.E.; 1965 MORENO, A. - Ejercicios de Lógica; Eudeba; 1973 MURO, HERMOSA y JACHIMOVICZ Ejercicios de Lógksa; Paidós; 1974 MENDELSON, E. - Boolean Algebra; Schaum; 1970 NOVIKOV, P. S. - Mathematical Logic; Oliver & Boyd; 1964 NUNO, J. Elementos de Lógica Formal; EBVC; 1973 SUPPES y HILL - Lógica Matemática: Reverte; 1973

159430106 Iniciacao a Logica Matematica Edgard de Alencar Filho

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