Árboles. Longitud de camino interno y externo Estructura de Datos Dr. Jesús Carrillo Ahumada
Se define la longitud de camino de nodo X como el número de arcos que se deben de recorrer para llegar desde la raíz hasta el nodo X. Por definición la raíz tiene longitud de camino 1, sus descendientes directos longitud de camino 2 y así sucesivamente. Considerando la siguiente figura.
Fig 1. Representación de un árbol general
Se observa que el nodo B tiene la longitud de camino 2, el nodo I longitud de camino 4 y el nodo H longitud de camino 3.
Longitud de camino interno
La longitud de camino interno (LCI) del árbol es la suma de las longitudes de camino de todos los nodos del árbol. Esta medida es importante porque permite conocer los caminos que tiene el árbol. Se calcula de la siguiente fórmula:
=
donde i representa el nivel del árbol, h su altura y
el número de nodos en el nivel i.
La LCI del árbol de la Fig.1 se calcula de la siguiente forma:
= 1 ∗ 1 + 2 ∗ 2 + 5 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 36
Ahora, la medida de la longitud de camino interno (LCIM) se calcula dividiendo la LCI entre el número de nodos del árbol . La medida es importante porque:
Permite conocer, en promedio, el número de decisiones que se deben de tomar para llegar a un determinado nodo partiendo de la raíz. Se expresa:
=
/
En la Fig. 1 se calcula de la siguiente forma:
=
36 =3 3
Longitud de camino externo
Para definir la longitud de camino externo de un árbol es necesario definir los conceptos de árbol extendido y nodo especial.
Un árbol extendido es aquel en el que el número de hijos de cada nodo es igual al grado del árbol. Si alguno de los nodos del árbol no cumple con esta condición entonces debe incorporarse al mismo tantos nodos especiales como se requiera para llegar a cumplirla.
Fig 2. Árbol extendido
Los nodos especiales tienen como objetivo remplazar las ramas vacías o nulas que pueden tener descendientes y normalmente se representan con la forma de un cuadrado. En la Figura 2 se representa un árbol extendido de la Figura 1. El número de nodos especiales de este árbol es 25.
La longitud de camino externo (LCE) de un árbol es la suma de las longitudes de camino de todos los nodos especiales del árbol. Se calcula de la siguiente forma:
=
el número de nodos especiales en el nivel i. Observar que i comienza desde 2, puesto que la raíz se encuentra en el nivel 1 y no puede ser un nodo especial. donde i representa el nivel del árbol, h su suma,
= 1 ∗ 2 + 1 ∗ 3 + 11 ∗ 4 + 12 ∗ 5 = 109
La medida de la longitud de camino externo (LCEM) se calcula dividiendo la LCE entre el número de nodos especiales del árbol ( ):
=
/
Indica el número de arcos que se deben recorrer en promedio para llegar, partiendo desde la raíz, a un nodo especial cualquiera del árbol.
La LCEM de la Fig. 2 se calcula de la siguiente manera:
=
109 = 4.36 25
Ejemplo Con la estructura general de un árbol Figura 3, y el árbol extendido de la Figura 4, se calcula la longitud de camino interno:
Fig 4. Longitud de camino interno para un árbol general
Fig 5. Longitud de camino interno para un árbol extendido.
Realizar gráficamente y el cálculo de la longitud de camino interno y externo con un ejemplo propuesto.
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