Definición. Es aquel polígono de cuadro lados. En todo cuad cuadri rilá láte tero ro la suma suma de las las medi medida das s de sus sus ángu ángulo los s
Trapecio. Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados
2.
interiores es 360°.
opuest opuestos os parale paralelos los a los cuales cuales se les denom denomina ina /ases.
Cuadr i l át er oConvexoABCD i: B 11 A"
"
β θ
Elementos
B
Vértices: A, A, B, ! "
φ
α
"iagonales: A ! B"
Elementos /
Base Bases s : A" ! B 4
2 a
AB, B, " ! "A
B
A
a
#ados:
AB" : trapecio
/
AB ! " "
A
#aterales:
Base media: 23 Altura : 4
α $ β $ θ $ φ % 360°
Ti posdeTr apeci os A.
Cuadr i l át er oCóncavoPQRT; c&nca'o en (
Trapec apecio io Esca Escale leno no.. Es aquel cu!os laterales son de di5erente longitud.
* !
ω
B
(
Elementos
En la 5igura:
Vértices: ), *, + ! (
B 11 A"
#ados:
-
"
A
AB ≠ "
)*, *+, +( ! ()
)
+
→ AB" es un trapecio escaleno
"iagonales: )+, ! *(
*
+
En la 5igura:
$ ! $ - $ % 360°
)( 11 *+
)* ≠ +( )
Cl asi ficaci ón 1.
(
En el caso que:
)* ⊥ )( ! )* ⊥ *+
Trapezoide. Es aquel aquel cuadri cuadrilát látero ero cu!os cu!os lados lados
→ )*+( es un trapecio escaleno, llamado trapecio
opuestos no son paralelos.
rectángulo B.
(rape-oide asimétrico
Trapec apecio io Isósc Isóscel eles es.. Es aquel cu!os laterales son de igual longitud.
B
B
β a
β p
a
"
A
A
(rape-oide simétrico o /is&sceles *
E7e de simetría
α
"
En la 5igura: 5igura: i: A" 11 B ! AB % "
/
a
α
→ AB es un trapecio is&sceles +
) a
Entonces:
/ (
-1 –
m∠BA" % m∠ A" m∠ AB % m∠B"
)A % )" )B % ) → A % B" us ángulos opuestos son suplementarios
Pr opi edades B
8.
Propiedades
/
AB % " ! B % A" us ángulos opuestos son de igual medida
2 A
us diagonales se /isecan "
a
Tipos de Paralelograos A.
!oboide
23 : 2ediana del trapecio
B 11 A"
/
B
β
23 11 B 11 A"
n
m
a a
2 %
+
a
/
n
α
9
α
A
m
β "
/
i: AB ≠ B ! B" ≠ A
→ AB" : rom/oide m
B.
!obo
B
n
ββ n
a
α α
A m+n
Observación: e cumple: %
9.
9
"onsec#encia: A
i: B* % *" ! A) % )
".
→ )* 11 A" 11 B "
a
a
)* %
−
9
m
m
m
m "
A
i: AB ≠ B, ! además es equiángulo
→ AB": rectángulo
i: A) % )" n
e cumple:
%
)
−
"onsec#encia: A % B"
m
9
D.
"#adrado
B
m
Paralelograo. Es aquel cuadrilátero en el cual sus AB 11 "
!
B 11 A"
α
a
A
/
-2 – "
"
→ AB": cuadrado
a
β
m
i: AB % B ! A % B"
/
β
m A
AB" es un paralelogramo
m
dos pares de lados opuestos son paralelos.
α
"
n
B
B"
!ec$%ng#lo
/
B
⊥
B
Observación: m
a
→ AB" : rom/o
*
)
A
"
A" 11 B
A
n β β
a
α α
m
i: AB % B ! B" ≠ A
/
B
m
a
Cuadri l át er os
"onsec#encia: es equiángulo ! las diagonales
@.
son /isectrices
i la suma de las distancias de los 'értices de un paralelogramo a una recta eterior es de 9= m. alcular la distancia del punto de corte de las diagonales a la recta eterior.
80. e tiene un trapecio AB" C B 11 A" so/re la prolongaci&n de " se toma un punto )G calcular )2G si: C2, punto medio de AB, 2A % 2B m∠2) % 8.
En un paralelogramo AB" el lado AB % 9A". e u/ica 2, punto medio de " ! se une con los 'értices A ! B. El triángulo A2B es:
m∠" B % ;m A" % 83m. 88. En un paralelogramo AB" se tra-a la /isectriinterior "E CE en B . >allar la distancia de E a
9.
3.
En un rom/oide AB", el ángulo eterior de B es los ;183 del ángulo interior en ". alcular la medida del menor ángulo. En la 5igura, se sa/e que el trapecio AB" es is&sceles ! que AB
la
prolongaci&n
de
AB
si
las
alturas
del
paralelogramo son 3 ! . 89. e tiene un trapecio AB", en el cual B ! A" son sus /ases. En " se u/ica su punto medio 2 ! en A" el punto , tal que 23 11 AB . i B % 6, A % 80, calcular ".
B
83. En un rom/oide AB", se tra-a B> ⊥ A" C> en
;
A" ! además B> interseca a A en ), tal "
3
E
que
<
) % 9C". alcular la m∠AB, si la
m∠A" % 90°. =.
#a altura de un trapecio rectángulo mide 86 m. El lado no paralelo mide 90 m. >allar la distancia que une los puntos medios de las diagonales.
8=. e tiene un rectángulo AB", cu!as diagonales se cortan en el punto HG. )or HG se le'anta una perpendicular H< a
B"
de modo que: AH %
H< . alcular el menor ángulo que 5orman A< !
;.
#a diagonal de un rectángulo mide 80 ! su /ase ?. i su perímetro es el mismo que el de un rom/o cu!a diagonal menor es igual a la altura del rectángulo. "iga cuánto mide la diagonal ma!or del rom/o.
B .
8;. En la 5igura, AB" es un rectángulo, si B" % 80, "E % 9 ! α $ β % @0°, calcular A<:
B
6.
En la 5igura, AB" es un trapecio, 2# % = cm, B# % 9 cm, A# % ? cm ! A" % @ cm. alcular B. B
β
A
#
α
"
E
2 < A
.
"
En un trapecio AB" de /ases AB ! " la /ase AB % B % 89. >allar la /ase ma!or si m∠B % 9m∠".
?.
e tiene un rom/oide AB" C ABDB se tra-a la
8.
En un paralelogramo AB" la /isectri- interior del ángulo A interseca a B en +G. >allar A"G si " %
F que interseca al lado A" /isectri- del ángulo
? + % 6. A 80 B @
en el punto )G ! en AB se toma un punto
88
" 8=
E 83
que m∠<) % @0°. >allar B
-3 –
e tiene un cuadrado AB", interiormente se constru!e un triángulo equilátero A2". e prolonga
Cuadri l át er os
2 4asta un punto alla la
los ángulos A ! B se cortan en ). i la m ∠ A)B % 30° !
m∠<". A 8;°
88. En un trape-oide AB" las /isectrices interiores de
B 80°
30°
" =;°
m∠" % 90°. >allar la m∠.
E .A.
A 90°
B 30°
=0°
" ;0°
E 9;°
3.
En un trapecio la mediana ! el segmento que une los puntos medios de las diagonales están en la relaci&n de cuatro a tres. >allar en qué relaci&n están las /ases. A 913 B 31; 81 " 91 E 81?
89. e tiene el rom/o AB". "esde HG punto de intersecci&n de las diagonales, se tra-a H* C* punto medio de A". i H* % 3. >allar el perímetro del rom/o. A 9= B 89 8? " 90 E 86
=.
En un paralelogramo AB" cu!o ángulo A mide =;° !
83. i las diagonales de un trapecio di'iden a la mediana en tres partes iguales. En qué relaci&n están las /ases. A 3:9 B 3:8 9:8 " =:8 E .A.
AB % ?, se tra-a la altura B> relati'a a " C> en " si A" %
A 9 ;.
B 8
9
. alcular >". 3
" 913
E ;1=
En un rectángulo AB", se sa/e que " % 6 cm la /isectri- del ángulo A corta a B en * tal que: CB* 9
C* % 9= cm . alcular la longitud del segmento que une los puntos medios de A* ! " . A = cm 6 cm E @ cm B cm " ? cm 6. En un paralelogramo AB" CA" I AB se tra-a la /isectri- interior BE CE en A" si AB mide 6 µ. >allar la longitud del segmento que une los puntos medios de B" ! E . A =µ .
B 3µ
9µ
" 6µ
perpendicular 23 al lado
A 30° B =;° 8;° " ;° E 60° 8;. En un paralelogramo AB" se tra-a la /isectri- del ángulo G que corta a A" en E ! a la prolongaci&n de BA en <. i E" % 6 ! B< % 80. >allar el perímetro de dic4o paralelogramo. A =0 B 36 30 " 39 E 30 86. En un trape-oide AB", m∠B % ?0° ! m∠ % 8;0°. >allar el menor ángulo 5ormado por la /isectri- interior del ángulo A ! la /isectri- eterior del ángulo ". A 30° B 90° 9;° " 3;° E =0°
E 9,;µ
A"
se tra-a la
C en A" . >allar
A 83
B 86
89
" 88
E 80
E, por A se tra-a una paralela a B" que corta a la prolongaci&n de E en <. >allar A<, B" % 6, "E % B 8=
86
" 83
A"
B ?°
89°
" 8;°
E 8?°
m∠" % @0° ! B % " % A". >allar la m ∠BA. A =;°
B 30°
8;°
" 90°
E 80°
8@. En un trapecio AB" C B 11 A" , se cumple: AB % B % 9 m∠BA % m∠ A" % α ! m∠ A" % @0 $ α.
E 8;
En un cuadrado AB", en la prolongaci&n
se
u/ica el punto E, tal que: m∠ AE % ?9°. alcular el perímetro del cuadrado si E % 9;. A 60 B ;0 0 " ?0
60°, B % " % A". >allar la m∠ AB.
8?. e tiene un cuadrilátero AB", si m∠B" % 60°.
e tiene un rom/oide AB" se prolonga B" 4asta
=. A 89
8. e tiene un trape-oide AB", m∠B % 8==°. m∠B" % A 6°
2 si AB % 80 " % 90 m∠" % ;3°.
@.
a " en ). >allar la m∠"<).
e tiene un cuadrilátero AB" m∠ A % m∠ % @0° desde el punto medio 2G de B
?.
8=. Jnteriormente a un cuadrado AB" se constru!e el triángulo equilátero A<". #a prolongaci&n de B< corta
E ;
80. En un trape-oide AB" la suma de las medidas de los ángulos interiores de A ! B es 900°. >allar la medida del menor ángulo que 5orman las /isectrices de los ángulos eteriores de ! ". A ;0° B 800° 60° " ?0° E 890°
>allar A". A 3 B =
;
" 6
E 9
90. En un rom/oide AB", AB % 3 ! B % 8= las /isectrices interior ! eterior del ángulo "G intersecan a la recta B en los puntos 2 ! . alcular la longitud del segmento que une los puntos medios de A3 ! 2" .
A 3
B =
;
" 3,;
98. En un rectángulo AB", se tra-a >
⊥
E 80 B"
luego
se tra-a 2 /isectri- del ángulo A>. alcular B si A2 % 6 ! 2 % =
-4 –
9
C2 en
A"
.
Cuadri l át er os
A 3
B 6
80
" 89
E 80
A = m
9
B 3,;
6
" =,;
E ;
30. >allar 2G. AB % 90 m 2B % ; m B % 6 m. B
99. alcular la /ase ma!or A" de un trapecio AB" en el cual B%". #a /isectri- eterior del ángulo corta
2
a la prolongaci&n de A" en
un ⊥
rom/oide A" ,
AB"
de
m∠ ADm∠B,
modo
que
se
el
A B " E
=m ;m 6m m ?m
=;°
tra-a
A
"
ángulo:
m∠ AB>%m∠"B, si B% ; m ! "%= m. alcular "B. A 8m
B 9m
3m
" =m
E ;m
9=. e tiene un trapecio AB" C B : /ase menor, A"
AB%B%"% A 30°
9
B 60°
. alcular la m∠". ;°
" ;3°
E =;°
9;. En el trapecio AB" C A" 11 B se sa/e que AB % B ! A % ". i la medida del ángulo " es =0°, 4allar la medida del ángulo 5ormado por las /isectrices de los ángulos AB ! A". A 80° B =;° ;0° " 9;° E 90° 96. En un paralelogramo AB" se tiene que el ángulo AB mide 890° ! B % 3": i se tra-a la altura "> ! la mediana del trapecio AB>" es ;,;, 4alla el
perímetro del paralelogramo AB". A 88 B 89 86 " 8?
E 8@
9. En un trapecio de /ases B%= ! A"%89, se tra-a la diagonal A que corta a la mediana del trapecio 23 en un punto E. >allar la relaci&n entre las
medidas
de
E3 ! 2E
,
pertenece al lado AB . A 9 B 3 6
sa/iendo " =
que
2
E 8,;
9?. B 11 A" B % ; A" % 83. >allar 2). )
α
B
2 A
A 6 B ? " @ E .A.
α "
9@. "ado un paralelogramo AB", de manera que los ángulos A"B ! B" sean de @0°. i 2 es el punto medio de A" ! por el 'értice A ! B se tra-an paralelas a B2 ! m que cortan en , calcular la longitud de A si B % 8?.
-5 –
Cuadri l át er os
