1.2. MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA MARCOS Se aplican aplican los mismos principios principios generales expuestos. expuestos. Para transformar transformar un marco indeterminado en uno isostático, se eliminan las reacciones de apoyo redundantes. Esto puede hacerse de diversas maneras, por lo que conviene elegir un marco isostático en el que resulte más expedito el cálculo de defo deform rmac acio iones nes.. Tam ambi bién én en ma marc rcos os pued puede e hace hacers rse e el plan plante team amie ient nto o matricial usando las ecuaciones ., para establecer el sistema y .! para resolverlo. Esto se ilustra en los siguientes e"emplos.
Ejemplo. Se presenta el caso sencillo llo de un marc arco con un solo grado de indeterminaci#n. En el paso a se plantea el marco isostático que se obtiene elimi eli mina nand ndo o la co comp mpon onent ente e hori hori$o $ont ntal al de reac reacci ci#n #n en el apoyo apoyo %. Esto Esto equivale a transformar este apoyo en uno libre. En el paso b se calcula la de&exi#n que corresponde a la componente de reacci#n eliminada, o sea, la de&exi#n hori$ontal del punto D, ba"o la acci#n delas cargas externas. Se utili$# el método del traba"o virtual. Para hacer este cálculo, cálculo, que se muestra al 'nal del e"emplo, e"emplo, se obtuvieron obtuvieron primero primero las tres tres compon component entes es de rea reacci cci#n #n V A, H A y V D, y el diagrama de momentos &exionantes en todos los miembros del marco isostático. %espués se aplic# una fuer$a unitaria hori$ontal en el punto D y se calcularon las reacciones y los diagramas de momentos correspondientes. Por medio de la ecuaci#n (.)( se calcul# entonces la deformaci#n
∆ D
que result# de *++(.-!E/.
0bsérvese que como result# con signo negativo, su sentido es inverso al de la fuer$a unitaria aplicada, o sea, es hacia la derecha. 1#tese que los signos de los moment momentos os &exio &exionan nantes tes en las column columnas as están están determ determina inados dos de acuerdo con la convenci#n establecida en la secci#n .2., o sea, que las columnas se observan como se indica en la 'gura .*!. En el paso c se aplic# una fuer$a unitaria para corregir corregir la incompatibi incompatibilidad lidad geométrica. Esta etapa resulta idéntica a la segunda parte del paso anterior. 3a deformaci#n deformaci#n δ DD se calcula entonces con la ecuaci#n (.)(, pero tanto M co como m son son los los diagr diagrama amass que que co corr rres espo pond nden en a la fuer$ fuer$a a unit unitar aria ia hori$o hori$onta ntall aplica aplicada da en D. 3a de&exi de&exi#n #n corres correspon pondie diente nte
δ DD
result# de
*4.4!E/. 5abiendo determinado ∆ D y δ DD se plantea la ecuaci#n ., que es una sola ecuaci#n porque el grado de indeterminaci#n del marco es igual a uno. %e esta ecuaci#n se despe"a el valor de la reacci#n hori$ontal HD que result# con un valor positivo de !! ton. El valor positivo indica que su sentido debe serr el mism se mismo o que que el de la fuer fuer$a $a unit unitar aria ia apli aplica cada da para para co corr rreg egir ir la incompatibilidad. Estas operaciones se reali$an en el paso d del e"emplo. Por 6ltimo, en el paso e se calculan las otras tres componentes de reacci#n, ya conocido el valor de HD, y se tra$an los diagramas de fuer$a cortante y mome moment nto o &exi &exion onan ante te.. 0bsé 0bsérv rves ese e nuev nuevam amen ente te que que los los sign signos os de los los momentos se han determinado con la convenci#n de la secci#n .2.. Por
e"emplo, la columna CD hay que observarla desde la parte exterior del marco. Entonces, la reacci#n HD produce un momento en el sentido del relo", y por lo tanto, positivo. El diagrama correspondiente se ha dibu"ado en la cara de la columna en la que hay esfuer$os de compresi#n.
7ES0389/01 %E 81 :;790 5/PE7EST;?0 @/7T8;3 %;T0SA EI=constante
18 kN/m 90 kN C
B
4.5m
D
A
6m
Paso aB Planteamiento del marco isostático.
18 kN/m 90 kN
C
B
4.5m D
A
6m Paso bB de las reacciones y la de&exi#n correspondiente del marco isostático. 18 kN/m 90 kN
B
C
A
D
HA=90 kN
VA=13.5 kN
VD=121.5 kN
∆ D =−10023.75 / EI
Paso cB ;plicaci#n de la carga unitaria y cálculo de la deformaci#n correspondiente.
1
1
9álculo
δ DD =182.25 / EI
Paso dB Planteamiento de la ecuaci#n de compatibilidad geométrica y cálculo de la fuer$a correctiva. ∆ D + H D δ DD =0
H D =
−∆ D δ DD
− =
−10023.75 EI 182.25
=+ 55 ton
EI
Paso eB 7eacciones 'nales y cálculo del diagrama de fuer$a normal, cortante y momento &exionante.
18 kN/m 90 kN
B
C
35 kN A
D
13.5 kN
121.5 kN
N(kN)
+
55 kN
55 -
13.5 121.5
V(kN)
+
13.5 121.5 +
35
55
157.5
+
247.5 +
+ M(kN)
247.5
9<39830 %E %EC07:;9/01ES P07 T7;>;?0 @/7T8;3 *. 9álculo de las reacciones del marco isostático y su correspondiente diagrama de momento &exionante D:B. 18 kN/m
.
90 kN
B
C
405 kN
+
+ N)
HA=90 kN A VA=13.5 kN
D VD=121.5 kN
;plicaci#n de la carga unitaria en % y cálculo del diagrama de momento &exionante DmB.
4.5
4.5
C
B
4.5
4.5 +
-
1
D
A
1
(. 9álculo de las de&exiones de la viga isostática con cargas externas y con la fuer$a unitaria correctiva. ∆ D =
1 3
Mmh+
δ DD =2
[
1 3
2 3
]
Mml =
1 3
mmh + mml =
( 405 ) (−4.5 ) ( 4.5 ) + 2 ( 405 ) (− 4.5 ) ( 6 )= −10023.75
2 3
3
EI
(−4.5 ) (−4.5 ) ( 4.5 ) + (−4.5 ) (−4.5 ) ( 6 )= 182.25 EI
