12-Elemente de Fizica Nucleului Si Problema

12. Elemente de fizica nucleului

520

12. ELEMENTE DE FIZICA NUCLEULUI

12.1. Caracteristicile nucleului atomic

Nucleul unui atom este încărcat cu întreaga sarcin ă electrică pozitivă a atomului şi ocupă centrul acestuia concentrând practic toat ă masa atomului. Nucleul este alc ătuit din dou ă tipuri fundamentale de particule stabile, protonul şi neutronul, numite nucleoni . Protonul are sarcina electric ă + e , masa de repaus egal ă cu 1836 mase electronice, num ărul cuantic de spin 1 / 2 , iar momentul magnetic este

μ P = 2,793 μ N , unde μ N =

eh este magnetonul nuclear. 2m e

este o particul ă neutr ă din punct de vedere electric, masa sa de repaus este practic egal ă cu masa protonului, num ărul cuantic de spin este 1 / 2 , iar momentul său magnetic este μ n = −1,91μ N . Numărul de protoni din nucleu numit număr atomic Z , determină numărul de ordine al elementului chimic c ăruia îi apar ţine nucleul în tabelul periodic al lui Mendeleev. Numărul total de nucleoni este denumit număr de masă A , iar: N= A −Z (12.1) Neutronul

reprezintă numărul de neutroni din nucleu. Ţinând cont de aceste nota ţii, orice nucleu poate fi reprezentat sub forma AZ X , unde X este simbolul elementului chimic căruia îi apar ţine nucleul. Un nucleu cu un num ăr de protoni Z şi de neutroni N fixate se mai numeşte nuclid. Nuclizii cu acela şi Z se numesc izotopi , cei cu acela şi A se numesc izobari iar cei cu acela şi N se numesc aceleaşi nume numere re N şi Z , dar dar avân avândd prop propri riet et ăţi fizice diferite izotoni . Nuclizii cu ace


521

(de exemplu, stabilitatea) se numesc izomeri. Iată câteva exemple de nuclizi: 11H este nucleul hidrogenului, 12 C 6

4 He 2

este nucleul heliului,

8 Li 3

este nucleul litiu lui,

este unul din izotopii carbonului.

În natur ă se întâlnesc toate eleme ntele cu numărul atomic Z cuprins într e 1 (hidrogen) şi 92 (uraniu), cu excep ţia a dou ă elem elemen ente te o bţinut inutee arti artifi fici ciaal: techneţiu (Z = 43 ) şi promeţiu (Z = 61) . Elementele care au Z > 92 , numite transuraniene, obţinute doar prin reac ţii nucleare, sunt instabile şi au un timp de viaţă foarte mic. Până la mijlocul ta tabelului periodic al el elementelor, nucleele au aproxim ativ acelaşi număr de protoni şi neutroni dar, pe m ăsur ă ce Z creşte, numărul neutronilor dep ăşeşte numărul prot protoni onilor, lor, astfel astfel încât încât la la finalul tabelu tabelului lui lui lui Mendeleev se ajunge ca

N Z

= 1,6 .

Masa unui nucleu , exprimată în unităţi

ato atomi mice ce de masă (a.m.u), reprezint ă numărul rul între întregg cel cel mai mai apr aprop opia iatt de rapo raportu rtull dint dintre re mas masaa ato atomu mulu luii c ăruia îi apar ţine nucleul (se consider ă că masa electronilor este neglijabil ă în raport cu masa nucleului) şi 1 / 12 din masa izotopului 126 C , care reprezint ă tocmai unitatea − atomic ă de masă, 1amu = 1,66 ⋅ 10 27 kg .

Constatându-se că nucleele au un volum bine delimitat şi acceptând că nucleul are formă sferică, s-a ajuns, într-o prim ă aproximaţie, la o dependen ţă a razei nucleului R de numărul de masă A de forma: R = r 0 3 A

(12.2)

unde r 0 ∈ (1,2 ÷ 1,5 ) ⋅ 10 −15 m , este raza unui nu cleon, considerat de asem enea sferic. Se poate astfel calc ula o densitate medie a materiei nucleare luând r 0 ≅ 1,4 ⋅ 10 −15 m A × 1amu 1amu ρ nucl. = = ≅ 2 ⋅ 1017 kgm −3 . (12.3) 3 3 4πR 4πr 0 3

3


522

Se poate observa cât de mare este densitatea nuclear ă în comparaţie cu densitatea substan ţei în genere. (Plumbul, de exemplu, are densitatea ρ = 13,9 ⋅ 10 3 kgm −3 ). r Momentul cinetic total al nucleului , I , numit spin nuclear, reprezintă suma vectorial ă a momentelor cinetice orbitale şi de spin ale tuturor nucleonilor r r care compun nucleul. Cuplajul este de tip j − j , cuplându-se, mai întâi, momentul r r r r r cinetic orbital l şi de spin s pentru fiecare nucleon în parte, rezultând j = l + s r şi apoi prin însumarea tuturor momentelor nucleonice j se obţine spinul r nuclear I : r r (12.4) I= ji .

∑

r

r

Nucleul are şi un moment magnetic dipolar μ I , asociat asociat spinului nuclear I . Orice nucleu prezint ă o barieră de potential. În general, aceasta este o groapă de potential de în ălţime finită, mărginită de o barier ă propriu-zisă a cărei formă este determinat ă de tipul de particul ă care păr ăseşte nucleul (proton, neutron, particule α ). Pentru protoni şi particule α , bariera de poten ţial este de tip coulombian. La formarea unui nucleu se elibereaz ă o cantitate de energie ΔE numit ă energie de leg ătură. Cu cât energia de legatur ă este mai mare, cu atât nucleul este mai stabil. Energia de leg ătur ă se calculeaz ă pornind de la defectul de masă Δm care se înregistreaz ă la formarea nucleului, calculat ca diferen ţa dintre suma maselor nucleonilor care compun nucleul, lua ţi ca particule libere, şi masa nucleului rezultat:

Δm = Zmp + (A − Z )mn − M A X .

(12.5)

Z

Atunci, conform rela ţiei lui Einstein, energia de leg ătur ă a nucleului este:

ΔE = Δmc 2 . Dacă se defineşte energia de leg ătură per nucleon, ε : ΔE ε= A

(12.6) (12.7)


523

şi

se reprezintă funcţie de numărul de masă A (Fig. 12.1) se constat ă că aceasta prezintă maxime pentru nucleele 42 He,126 C,168 O , care sunt foarte stabile.

Fig. 12.1

Cea mai mare energie de leg ătur ă per nucleon se atinge în jurul valorii A = 60 , ε max ≅ 8,8 MeV , iar până la sfâr şitul tabelului periodic, aceasta scade lent, până la aproximativ 7,6 MeV . Pentru a putea în ţelege mai bine propriet ăţile nucleelor trebuie discutate caracteristicile for ţelor care ac ţionează între nucleoni, numite forţe nucleare. For ţele nucleare, care asigur ă constituirea şi stabilitatea nucleelor, nu sunt for ţe de natur ă gravitaţională (for ţa gravitaţională dintre doi nucleoni este de ordinul a 2 ⋅ 10 −26 N ) şi deoarece acestea ac ţionează şi între particule f ăr ă sarcină, (neutron – neutron) sau între un neutron şi un proton, for ţele nucleare nu pot fi nici de natur ă electrostatică. Se poate observa, de altfel, c ă doi protoni aflaţi la o distanţă aproximativă de 10 −15 m se resping cu o for ţă de ordinul a 2N . S-a considerat deci c ă for ţele nucleare sunt de o alt ă natur ă, iar interactiile dintre nucleoni au fost numite interacţii tari. Se poate estima care trebuie s ă fie ordinul de m ărime al for ţelor nucleare folosindu-se relaţiile de incertitudine ale lui Heisenberg. Astfel, considerându-se nucleonul localizat în interiorul nucleului, ceea ce revine la o nedeterminare în poziţie de ordinul r 0 = 10 −15 m , impulsul minim al nucleonului trebuie s ă fie de ordinul h / r 0 , ceea ce conduce la energia cinetic ă a unui nucleon, Ec ~

(h / r 0 )2 2m p

~ 10 MeV . În aceste condi ţii, energia poten ţială a unui nucleon


524

aflat în câmpul de for ţe creat de ceilal ţi nucleoni, trebuie s ă fie, în valoare absolută, cu mult mai mare de 10 MeV astfel încât nucleonul s ă fie puternic legat în nucleu. Ştiind că energia poten ţială a unui electron din atom este de ordinul eV , ne putem da astfel seama că interactiile tari sunt cu mult mai puternice decât interacţiile electromagnetice întâlnite la nivel microscopic. Toate datele experimentale asupra nucleelor şi reactiilor nucleare au condus astfel la stabilirea unor caracteristici ale for ţelor nucleare, cele mai importante dintre acestea fiind: - for ţele nucleare sunt for ţe de atrac ţie independente de sarcina electric ă; - for ţele nucleare au o raz ă mică de acţiune ~ 1,5 ⋅ 10 −15 m şi prezintă caracter de saturaţie; - for ţele nucleare depind de orientarea spinului nucleonilor; - nu sunt for ţe centrale; ele depind îns ă de distanţa dintre nucleoni r după o lege de tipul r −n , cu n > 2 . Conform ipotezei lui Yukawa (1935), forţele nucleare sunt for ţe de schimb , nucleonii schimbând între ei ni şte particule instabile a c ăror masă este cuprinsă între masa electronic ă şi masa nucleonic ă şi de aceea au fost numite mezoni. Este vorba despre mezonii de tip π , numiţi pioni, care alc ătuiesc un triplet π + , π − , π 0 . Interacţiile de schimb ale nucleonilor pot fi reprezentate prin reac ţii de tipul: n10 → p11 + π −

(

p11 → n10

+ π+

p11 → p11 + π 0 n10 → n10 + π 0 .

(12.8)

Trebuie menţionat că mezonii π au fost puşi în evidenţă abia 12 ani mai târziu de la data introducerii lor ca particule virtuale de c ătre Yukawa, prezen ţa acestora fiind detectat ă în radiaţia cosmică de către Powell, Lattes şi Ochiallini. Sa constatat că mezonii π + şi π − au masa de repaus egal ă cu 273 m e şi timpul de viaţă de aproximativ 2,6 ⋅ 10 −8 s iar mezonul π 0 are masa de repaus egal ă cu


525

264 m e , timpul său de viaţă fiind mai mic de 4 ⋅ 10 −16 s . Numărul cuantic de

spin al pionilor este s = 0 .

12.2. Modele nucleare

Studiile asupra propriet ăţilor nucleelor şi fenomenelor nucleare, în general, au condus la elaborarea unor modele nucleare pe baza c ărora să se poată explica unitar comportarea nucleelor. Există două modele nucleare clasice mai importante: modelul nuclear în picătură şi modelul păturilor nucleare precum şi un model care îmbin ă unele din caracteristicile celor dou ă, dar explic ă şi alte proprietăţi ale nucleului decât acestea, şi anume, modelul generalizat al nucleului . Modelul nucleului în picătură, conform căruia nucleul are o comportare asemănătoare cu o picătur ă de lichid, se bazeaz ă pe următoarele propriet ăţi ale nucleului: • Nucleul are un volum bine delimitat; • Numărul de nucleoni din unitatea de volum, distan ţa medie dintre nucleoni şi densitatea materiei nucleare au acelea şi valori pentru toate nucleele; • For ţele de leg ătur ă dintre nucleoni sunt for ţe cu rază mică de acţiune, ele exercitându-se numai între un num ăr limitat de nucleoni; • Nucleonii din stratul superficial exercită o tensiune superficial ă, la fel ca moleculele din stratul de la suprafa ţa unei picături de lichid. Conform acestui model, nucleul este presupus a fi o pic ătur ă sferică de lichid nuclear incompresibil şi care este înc ărcat electric cu sarcin ă pozitivă. Pe baza modelului în pic ătur ă se pot explica apari ţia energiei de leg ătur ă a nucleului precum şi reacţiile nucleare, fisiunea şi fuziunea. Nu se poate îns ă face nici un fel de evaluare asupra niveleleor energetice ale nucleului. Pentru ob ţinerea acestora şi confruntarea rezultatelor cu experien ţa s-a elaborat modelul în pături. Acest model are la baz ă aser ţiunea că fiecare nucleon se deplaseaz ă într-un potenţial mediu creat de to ţi nucleonii. Acest poten ţial este de forma unei gropi

526


simetrice dreptunghiulare în cazul nucleelor grele şi parabolice în cazul nucleelor uşoare. Stările staţionare ale nucleonilor afla ţi în groapa de poten ţial a nucleului sunt caracterizate de un set de numere cuantice care sunt ata şate aceloraşi m ărimi ca în cazul atomului: energie, moment cinetic orbital, moment cinetic de spin precum şi proiecţiile acestor momente pe o ax ă fixă. Aceasta revine la atribuirea unui set de numere cuantice pentru fiecare stare sta ţionar ă a unui nucleon. Momentele cinetice orbital şi de spin ale unui nucleon se cupleaz ăr conducând la r r momentul cinetic total al nucleonului j şi apoi printr-un cuplaj j − j se obţine r momentul de spin al nucleului I . Calculele conduc la concluzia ca nucleul este organizat în p ături distincte de energie, numărul maxim de neutroni şi protoni dintr-o pătur ă fiind, în ordinea crescătoare a numărului păturii nucleare, dat de valorile: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, numite numere magice. Rezultatul absolut remarcabil al acestui model este faptul că nucleele pentru care Z sau/ şi N iau valori din şirul numerelor magice, au o largă r ăspândire natural ă, fiind extrem de stabile. În schimb, nucleele pentru care Z sau N difer ă cu o unitate fa ţă de unul din numerele magice, sunt instabile şi abundenţa lor natural ă este redus ă. Datorită faptului că anumite date experimentale nu au putut fi explicate doar cu ajutorul unuia din cele dou ă modele anterior mentionate, s-a elaborat modelul generalizat sau modelul unificat al nucleului. După cum o arat ă şi numele său, acest model îmbin ă unele din caracteristicile celor dou ă modele, unele propriet ăţi ale nucleului fiind explicate cu ajutorul modelului în p ături, în special comportarea nucleonilor din p ătura externă, care este de tip uniparticul ă, cât şi unele particularit ăţi specifice modelului în picătur ă (nucleul are un miez ai c ărui nucleoni au o mi şcare colectivizată). Cu ajutorul modelului unificat a fost explicat ă apariţia nivelelor energetice de rota ţie la nucleele cu p ături externe incomplete, acestea fiind nuclee care nu prezint ă simetrie sferică, precum şi existenţa spectrelor de vibra ţie la unele nuclee. S-au obţinut, de asemenea, estim ări mai exacte ale spinilor nucleari precum şi ale momentelor magnetice de dipol şi de cuadripol ale unor nuclee.


527

12.3. Transformări ale nucleului

Nucleele care îşi menţin structura şi proprietăţile o perioadă îndelungată de timp sunt catalogate drept stabile . Există însă nuclee care sunt instabile, fie în mod natural, caz în care avem de-a face cu o transformare a nucleului care poart ă numele de radioactivitate naturală, fie instabilitatea nucleului este provocat ă de cauze externe, a şa cum este cazul reactiilor nucleare . Dacă instabilitatea nucleului se manifest ă doar prin trecerea acestuia de pe un nivel energetic pe altul, atunci avem de-a face cu procese de excitare sau dezexcitare, după cum nucleul absoarbe sau emite o cantitate de energie. În cazul acestor procese, nucleul î şi menţine identitatea reprezentat ă simbolic prin notaţia A X. Z Toate procesele definite mai sus, numite, într-un cuvânt, transformări nucleare, au loc cu conservarea m ărimilor fizice care definesc sistemul alcatuit din nucleele şi particulele implicate în proces, printre care enumer ăm: energia, impulsul, sarcina electric ă, spinul. În cele ce urmeaz ă vom discuta radioactivitatea naturală şi legile ei precum şi reacţiile nucleare.

12.4. Radioactivitatea natural ă . Tipuri de dezintegr ări. Familii radioactive. Legea dezintegr ării Radioactivitatea natural ă desemneaz ă orice fenomen de emisie spontan ă a

diferitelor particule de c ătre nuclee. Procesul propriu-zis, prin care un nucleu emite o particul ă şi trece în alt nucleu mai stabil, se nume şte dezintegrare . Se cunosc trei tipuri de particule emise de nucleele radioactive: α, β şi γ . Dezintegr ările α şi β conduc la schimbarea structurii nucleului, pe când radia ţia γ preia doar excesul de energie din nucleu. Dezintegrarea α constă în emisia de c ătre nucleele grele, cu A > 210 , a unei particule alcatuit ă din 2 protoni şi doi neutroni, notat ă 42 α . Particula α reprezintă de fapt un nucleu de heliu şi de aceea se mai noteaz ă şi cu 42 He .


528

Emisia unei particule α este o transformare nuclear ă care poate fi reprezentată prin formula de deplasare radioactiv ă: A A −4 4 X Y → + α. Z X −2 2

(12.9)

Se consider ă că particula α preexistă emisiei sale din nucleu, procesul de emisie propriu-zis constând într-o tunelare a barierei de poten ţial a nucleului. Particulele α au în urma emisiei energii cinetice de ordinul MeV , dar fiind particule grele(A = 4 ) , în urma ciocnirilor cu atomii substanţei pe care o str ă bat ele îşi pierd rapid energia. Se poate spune deci c ă particulele α au o mare putere de ionizare, şi în consecinţă, sunt foarte pu ţin penetrante. În aer, de exemplu, parcursul R al unei particule α depinde într-o primă aproximaţie, de energia cinetic ă a particulei după legea: R(cm) ≅ 0,3E 3α / 2 (MeV ) .

(12.10)

Se poate vedea c ă pentru E α de ordinul MeV parcursul în aer este de ordinul centimetrelor (pentru E α = 1MeV , R = 0,3 cm ). Dezintegrarea β constă în emisia de c ătre un nucleu a unei particule care poate fi β − , care este un electron sau o particul ă β + , care este antiparticula asociată electronului, şi anume pozitronul . Aceste procese se pot reprezenta, în principiu, prin formula de deplasare radioactivă: A X→ Z+A1Y Z A X→ Z−A1Y Z

+ β− + β+ .

(12.11)

Dezintegr ările β − şi β + sunt însoţite, în general, şi de alte procese la care participă nucleul şi un electron din atom. Astfel, nucleul excitat rezultat în urma unei dezintegr ări β poate transmite surplusul de energie unui electron de pe pătura periferică a atomului care este astfel expulzat din atom. Acest proces se numeşte conversie internă. De asemenea, nucleul poate capta un electron de pe pătura internă a atomului, procesul numindu-se captură K .


529

Examinând relaţiile deplasărilor radioactive (12.11) şi ţinând cont de faptul că energia nucleelor este cuantificat ă, se poate trage concluzia c ă particulele β + şi respectiv β − sunt monoenergetice. Experimental, îns ă, s-a constatat c ă spectrul particulelor β − este continuu, acestea având orice energie cuprinsă între 0 şi E βmax (Fig. 12.2).

Fig. 12.2

S-a presupus astfel c ă particulele β ± nu sunt singurele particule emise întro astfel de dezintegrare şi s-a emis ipoteza (Pauli, 1931) c ă acestea sunt înso ţite de nişte particule, botezate neutrini , care împart cu particula β energia rezultat ă în urma dezintegr ării. Aceste particule, f ăr ă sarcină şi de masă practic nulă, sunt neutrinul electronic , notat ν 0e , care înso ţeşte dezintegrarea β + : A A X →Z −1 Y Z

+ β + + ν 0e

şi antineutrinul electronic ~ ν e0 , care înso ţeşte dezinte-grarea − ~0 A A X →Z +1 Y + β + ν e . Z

(12.12)

β− : (12.13)

Apariţia neutrinilor electronici este asigurat ă de existenţa proceselor de transformare a unui proton într-un neutron şi invers: 1 p→ 01 n + β + 1 1 1 − n p → + β 0 1

+ ν 0e + ~ν 0 . e

(12.14)


530

Ulterior, descoperirea experimental ă a neutrinilor electronici a validat acest model. Trebuie s ă menţionăm că numărul de ioni produ şi de o particulă β pe unitatea de parcurs este în general, cu peste 10 2 ÷ 10 3 mai mic decât în cazul particulelor α . Aceasta face ca particulele β , a căror energie este tot de ordinul MeV , să fie mult mai penetrante decât particulele α , parcursul lor fiind în metale de ordinul milimetrului, iar în aer de ordinul zecilor de centimetri. Dezintegrarea γ . În majoritatea cazurilor, dup ă o dezintegrare α sau β , nucleul r ămâne excitat şi emite surplusul de energie sub form ă de fotoni cu energia de ordinul MeV , adică în domeniul γ al radiaţiilor electromagnetice. Dezintegrarea γ se reprezintă prin legea de transformare: A * X Z

→ ZA X + γ

(12.15)

asteriscul indicând faptul c ă nucleul ini ţial este excitat. Radiaţia γ este extrem de pu ţin ionizantă dar foarte penetrant ă faţă de radiaţia α sau β , parcursul său în aer fiind de ordinul a 10 2 m iar în plumb doar de câţiva centimetri. Familii radioactive. Nucleul rezultat în urma unei dezintegr ări radioactive poate fi, la rândul său, radioactiv şi prin dezintegrare s ă dea naştere unui alt nucleu radioactiv ş.a.m.d. Se ob ţine, în acest fel, o familie radioactiv ă alcatuită din nuclee instabile ce rezult ă unul din altul, capul familiei dând numele acesteia. Se cunosc trei familii radioactive naturale, independente una fa ţă de alta: familia 238 uraniului, având capul de serie izotopul 92 U , familia thoriului , cu capul de serie

232 Th şi familia actiniului 90

care începe cu

235 Ac . 89

Există şi o familie radioactiv ă artificială, a neptuniului, care începe cu izotopul obţinut artificial 237 Np . 93 Dezintegrarea radioactiv ă este un act individual caracteristic fiecărui tip de nucleu radioactiv în parte. Fiind dat un ansamblu de nuclee radioactive de acela şi tip nu se poate preciza când se va dezintegra fiecare nucleu în parte ci doar care este probabilitatea ca un nucleu din ansamblu s ă se dezintegreze în unitatea de timp. În acest sens dezintegrarea radioactiv ă este un fenomen cu caracter statistic, iar probabilitatea de dezintegrare în unitatea de Legea dezintegrării.


531

notată cu λ , este o caracteristic ă a fiecărui tip de nucleu radioactiv şi de aceea ea se mai nume şte constant ă de dezintegrare radioactiv ă. Pentru a vedea cum variaz ă în timp numărul de nuclee radioactive datorit ă dezintegr ării lor, să consider ăm un ansamblu de N nuclee radioactive dintre care, în intervalul de timp dt , se dezintegreaz ă un număr de nuclee dN . Ţinând cont de probabilitatea de dezintegrare în unitatea de timp λ : timp,

− λ=

dN dt . N

(12.16)

se obţine: dN

= −λdt N şi presupunând c ă la t = 0, N = N0 , prin integrare obţinem: N(t ) = N 0 e −λ t .

(12.17)

Aceasta este legea dezintegrării radioactive care ne arat ă cum variază în timp numărul de nuclee nedezintegrate. Intervalul de timp dup ă care numărul de nuclee radioactive scade la jum ătate, numit timp de înjumătăţire, T1/ 2 , se obţine din condiţia N(T1/ 2 ) =

N0 2

,

adică: N0 2

= N0 e −λT1/ 2

ceea ce conduce la:

=

ln 2

=

0,693

. (12.18) λ λ Se observ ă că timpul de înjumătăţire T1/ 2 este o caracteristic ă a fiecărui tip de nuclee radioactive în parte şi ne arat ă că indiferent câte nuclee radioactive de un acelaşi tip ar cuprinde un ansamblu dat (desigur c ă numărul acestora trebuie s ă fie foarte mare pentru a se putea aplica legea dezintegr ării, care este o lege cu caracter statistic) num ărul acestora scade la jum ătate în acela şi interval de timp T1/ 2 . T1/ 2


532

Pentru fiecare specie de nuclee radioactive se define şte timpul de viaţă mediu τ , ca fiind timpul mediu dup ă care un nucleu de un anumit tip se dezintegrează: 1

(12.19) τ= . λ O mărime importantă care trebuie definit ă pentru o substan ţă radioactivă este activitatea Λ care este dat ă de numărul de dezintegr ări care au loc în unitatea de timp în substan ţa respectivă. Ţinând cont de legea dezintegr ării, activitatea Λ este:

Λ=−

dN dt

= λN = Λ 0 e − λ t

(12.20)

unde Λ 0 = λN0 este activitatea substan ţei la momentul ini ţial. Unitatea de măsur ă pentru Λ în SI este dezintegrarea/secund ă numită Becquerel (Bq) dar pornind de la activitatea unui gram de radiu

(3,7 ⋅ 1010 dez / s , s-a ales ca unitate special ă 1Curie (Ci) , ca fiind activitatea

unui gram de radiu, 1Ci = 3,7 ⋅ 1010 dez / s ; în practic ă se folosesc şi submultiplii acestei unităţi: 1mCi = 3,7 ⋅ 10 7 dez / s, 1μCi = 3,7 ⋅ 10 4 dez / s ,

care sunt activit ăţi întâlnite uzual la sursele radioactive utilizate în laboratoarele de fizică nuclear ă. Urmărirea modului în care activitatea unei surse variaz ă în timp conduce la determinarea constantei de dezintegrare λ pentru tipul de nucleu din care este preparată sursa. Se alege în acest scop un detector de radia ţii adecvat sursei care va indica apari ţia unui puls în urma interac ţiei unei particule rezultate din dezintegrarea unui nucleu şi care poate fi contorizat de o instala ţie de num ărare aferentă. În acest fel, se determin ă numărul de pulsuri înregistrate în unitatea de timp, care reprezintă viteza de numărare R care, în condi ţii experimentale fixate, este propor ţională cu activitatea sursei şi, în conse-cin ţă, prezintă aceeaşi lege de variaţie în timp: R(t ) = R 0 e −λ t .

(12.21)


533

Determinând viteza de num ărare la diferite momente de timp şi reprezentând grafic ln R(t ) în funcţie de timp, se ob ţine o dreapt ă (Fig. 12.3): ln R(t ) = ln R(0 ) − λ ⋅ t

(12.22)

Fig. 12.3

care are panta (− λ ) . În final, prezentăm ca exemplu, schema de dezintegrare a unuia dintre izotopii cei mai utilizaţi la fabricarea surselor γ radioactive folosite în laboratoarele nucleare, şi anume izotopul

60 Co 27

(Fig. 12.4)

Fig. 12.4

printr-o dezintegrare β − , trece în izobarul 60 Ni care se 28 află într-o stare excitată şi prin emisia consecutiv ă a doi fotoni γ , ajunge în final Izotopul

60 Co , 27

în starea fundamental ă stabilă; timpul de înjumătăţire al izotopului 60 este 27 Co T1/ 2 = 5,3 ani . Izotopii radioactivi sunt utiliza ţi în multe domenii de activitate, printre care enumer ăm geologia şi arheologia (datarea rocilor şi a fosilelor organice), medicina (scintigrafia, iradierea tumorilor maligne), industria (defectoscopia nedistructiv ă ce utilizează radiaţia γ ), agricultura şi industria alimentar ă (stârpirea micilor dăunători, sterilizarea alimentelor).


534

12.5. Reac ţ ii nucleare

O reacţie nucleară constă într-o ciocnire dintre un nucleu şi o particulă (care poate fi şi un alt nucleu) în urma c ăreia rezultă un nou nucleu şi o altă particulă. Reacţia nuclear ă se poate scrie simbolic sub forma: A

+ a →B + b

(12.23)

unde A este nucleul ţintă, şi a este particula proiectil, iar B şi b sunt nucleul, respectiv, particula rezultate din reac ţie. O reacţie nuclear ă este caracterizat ă de energia de reacţie Q care se calculează cu formula: Q = [(M A

+ m a ) − (MB + m b )] ⋅ c 2 .

(12.24)

Reacţia nuclear ă este exotermă dacă Q > 0 şi endoterm ă dacă Q < 0 . Scrierea reactiilor nucleare sub forma (12.23) este similar ă cu cea utilizat ă la reacţiile chimice dar o diferenţă importantă între cele două tipuri de reac ţii este dată de mărimea energiei de reac ţie Q . Ca exemplu, s ă consider ăm reacţia nuclear ă în care un nucleu de fluor este b ombardat cu un proton: 19 F+ 11H→168 O+ 42 α 9

+ 6,52 MeV .

(12.25)

Comparând aceast ă reacţie cu reacţia chimică în care un atom de fluor se combină cu un atom de hidrogen conducând la ob ţinerea acidului clorhidric: F+

1 2

H2

→ HF + 0,38 keV

(12.26)

constatăm c ă în cele două cazuri energia degajat ă sub formă de caldur ă difer ă cu peste trei ordine de m ărime. Toate reacţiile nucleare sunt guvernate de legile de conservare a unor mărimi fundamentale, printre care men ţionăm sarcina electric ă, numărul total de nucleoni, energia, impulsul, momentul cinetic. Sunt şi alte marimi care se conservă într-o reacţie nuclear ă dar nivelul tratării abordate aici nu ne permite definirea acestora şi ca atare, nu le men ţionăm.


535

Reacţiile nucleare se clasific ă după diferite criterii, printre cele mai importante fiind: valoarea energiei particulelor care intr ă în reacţie, tipul acestor particule precum şi caracterul transformarii nucleare care are loc în cadrul reac ţiei. Astfel, după primul criteriu menţionat, reactiile nucleare se clasific ă în: a) reacţii nucleare la energii joase (de ordinul eV); b) reacţii nucleare la energii medii (pân ă la câţiva MeV) şi c) reacţii nucleare la energii înalte (de ordinul GeV). După tipul de particule care intr ă în reacţie distingem: a) reacţii nucleare cu neutroni; b) reac ţii nucleare cu particule înc ărcate şi c) reacţii nucleare cu fotoni γ . În funcţie de caracterul transform ării nucleare, se disting dou ă categorii de reacţii nucleare mai importante: reacţia de fisiune şi reacţia de fuziune. Reacţia nucleară de fisiune este caracteristic ă nucleelor grele a c ăror instabilitate este determinat ă de conţinutul mare de protoni, care determin ă o creştere importantă a for ţelor de respingere coulombiene, dar şi de numărul mare de neutroni. Pe baza modelului în pic ătur ă, se consider ă că fisiunea nuclear ă este precedată de deformarea nucleului care se alunge şte şi care se rupe apoi în dou ă fragmente de mase comparabile. Cea mai cunoscut ă reacţie de fisiune, şi prima din punct de vedere istoric, este reacţia de fisiune a 235 U . Această reacţie se produce în urma coopt ării de 92 către nucleul de 235 U a unui neutron lent, având drept faz ă intermediar ă formarea nucleului compus 236 U care apoi se desface în dou ă nuclee şi 2 sau 3 neutroni conform reac ţiilor: 235 U+ 01n→ 236 U→140 Xe+ 93 Sr +3 01 n 54 92 92 38

(12.27) 235 92 U+ 01n→ 236 U→ 40 Zr + 137 Te 92 92 52

+2 01 n .

Fragmentele de fisiune sunt β radioactive şi printr-un lanţ de transformări trec în final în nuclee stabile, ca de exemplu:


536

T1/ 2 =17h T1/ 2 =74 min 92 97 Zr Nb Mo ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 87 40 41 42 − −

β

β

(12.28) T1/ 2 =1min 137 T1/ 2 =0,3 min 137 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 53 I ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → Te ⎯ 52 − −

β

β

T1/ 2 =0,3 min 137 T1/ 2 =3,8 min ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 54 Xe ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →

β− T1/ 2 =3,8 min

β− T1/ 2 =30ani

β−

β−

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →137 ⎯ →137 Cs ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ Ba 55 56 Reacţiile de fisiune sunt reac ţii exoterme cantitatea de energie degajat ă în fiecare proces de fisiune fiind de aproximativ 10 8 eV . Aceast ă energie este preluată sub formă de energie cinetic ă de c ătre fragmentele de fisiune şi de către neutronii rezultaţi din reac ţie, care apoi o disip ă în substanţa pe care o str ă bat. Neutronii rezultaţi în urma unui act de fisiune pot genera, în anumite condi ţii, noi acte de fisiune ajungându-se la producerea unei reacţii de fisiune în lan ţ. În aceste condi ţii, reacţia de fisiune se autoîntre ţine, ajungându-se la eliberarea unei cantităţi de energie extrem de mari prin fisiunea complet ă a unei cantit ăţi de substanţă fisionabilă date. Astfel, s-a calculat c ă prin fisionarea complet ă a unui gram de 235 U se eliberează o cantitate de energie de aproximativ 30 Mwh . 92 Desf ăşurarea controlată a unei reac ţii de fisiune are loc într-un reactor 235 nuclear, primul reactor nuclear folosind drept combustibil 92 U fiind realizat de Enrico Fermi în 1942. Controlul reac ţiei se realizeaz ă cu ajutorul unei substan ţe, numite moderator , care preia o parte din energia neutronilor ducând la încetinirea (termalizarea) acestora. Puterea reactorului este reglat ă cu ajutorul unor materiale care absorb neutronii şi care se introduc controlat în miezul reactorului. Un alt tip particular de reac ţie nuclear ă îl constituie reacţiia de fuziune. Aceste reacţii, caracteristice nucleelor u şoare, sunt reac ţii puternic exoterme, ele desf ăşurându-se la temperaturi extrem de mari, de ordinul a 10 7 ÷ 10 9 K , fiind numite reacţii termonucleare. La asemenea temperaturi, substan ţa fuzionabilă se află în stare de plasm ă, care este un amestec de nuclee şi electroni liberi, nucleele


537

având, la aceste temperaturi o energie suficient de mare încât str ă pungerea barierei de poten ţial este asigurat ă şi reacţia să fie astfel amorsat ă. Reacţiile termonucleare se realizeaz ă în stelele din Univers, în particular în Soare, pe baza a dou ă cicluri termonucleare mai importante: ciclul proton – proton şi ciclul carbon – azot. Într-una din variantele ciclului proton – proton, un nucleu de heliu se formeaz ă din 4 nuclee de hidrogen: + +ν 1 1 2 H H H e + → + e 1 1 1 2 H+ 11H→ 32 He + 1

γ

(12.29)

2 32 He →211 H+ 42 He .

Energia totală eliberată pe ciclu este de aproximativ 25 MeV . Într-una din variantele ciclului carbon – azot, din 4 nuclee de hidrogen rezult ă în final un nucleu de heliu, iar nucleul de carbon, care joac ă rolul unui catalizator, se regăseşte la finalul ciclului: 1 H+ 12 C→137 N 1 6 13 N→13 C + e+ 7 6 1 H+ 13 C→147 N + 1 6 1 H+ 14 N→15 O 7 1 8

+ νe γ (12.30)

+γ

15 O→15 N + e+ 7 8

+ νe

1 H+ 15 N→12 C+ 42 He . 7 1 6

Ciclul carbon – azot este înso ţit, de asemenea, de degajarea unei mari cantităţi de căldur ă şi este caracteristic stelelor mai fierbin ţi decât Soarele, în interiorul căruia temperatura este de aproximativ 1,5 ⋅ 10 6 K , şi căruia îi este caracteristic ciclul proton – proton.


538

Este de remarcat c ă pe măsur ă ce reacţia de fuziune autoîntre ţinută într-o stea avanseaz ă în timp, cantitatea de substan ţă fuzionabilă scade treptat pân ă la un prag critic sub care autoîntre ţinerea nu mai este posibil ă şi reacţia termonuclear ă încetează iar steaua se stinge. Dificultatea major ă a realizării experimentale a unui reactor nuclear bazat pe reacţia de fuziune const ă tocmai în imposibilitatea întreţinerii controlate a reacţiei pe o perioadă suficient de lung ă de timp astfel încât aceasta s ă intre în regimul de autoîntreţinere. Date fiind, însă, rezervele imense de elemente u şoare în natur ă (hidrogen, deuteriu) precum şi numeroasele experimente realizate (pu ţine fiind însă raportate) care, deşi sofisticate, par a fi simplu de realizat, suntem îndrept ăţiţi să credem că sursele de energie ale viitorului se vor baza pe reac ţii de fuziune. Iată câteva exemple de reac ţii de fuziune posibil a fi utilizate în acest scop: 2 H+ 21H→ 32 He+ 01n + 3,2 MeV 1 6 Li+ 01n→ 31 H+ 42 He + 4,8 MeV 3 13 C+ 11H→14 N + 8,2 MeV . 7 6

(12.31)


539

PROBLEME REZOLVATE

12.1. Ştiind că raza nucleelor este r 1,2 10 −13 cm este raza unui

dat ă de formula empirică R = r 0 A 1 / 3 , unde

nucleon şi A este numărul de mas ă al unui = ⋅ nucleu, să se estimeze: a) concentraţia nucleonilor în nuclee; b) densitatea materiei nucleare; c) distanţa medie dintre nucleoni. 0

Rezolvare:

a) Concentraţia nucleonilor – num ărul de nucleoni din unitatea de volum – se obţine împăr ţind numărul de nucleoni din nucleu la volumul nucleului: A V

=

A 4πR 3

3

=

A 4πr 03 A

=

3 4πr 03

=

3

(

)

3 4 ⋅ 3,14 ⋅ 1,2 ⋅ 10 −15

≈ 1,4 ⋅ 10 44

nucleoni m

3

.

3

b) Densitatea materiei nucleare este

ρ=

m V

=

A ⋅ mN V

= n ⋅ mN = 1,4 ⋅ 10 44 ⋅ 1,66 ⋅ 10 −27 ≈ 2,3 ⋅ 1017 kg m −3 .

unde mN - masa unui nucleon – s-a luat aproximativ egal ă cu 1 u.a.m. c) În nucleu fiecărui nucleon îi revine volumul V/A şi deci distanţa medie dintre nucleoni este V d=3 A

=3

1 n

≈ 2 ⋅ 10 −15 m .


540

12.2. Să se determine, din considerente statistice, impulsul limit ă al nucleonilor în

materia nuclear ă dacă raza nucleelor verific ă relaţia R = r 0 A 1 / 3 , unde r 0

= 1,2 ⋅ 10 −15 m este raza unui nucleon. Rezolvare:

Volumul maxim din spa ţiul fazelor care corespunde nucleonilor din nucleu este 3 4πp max

3

V

unde V este volumul substan ţei nucleare. Divizând acest volum cu h 3 se ob ţine numărul de celule din spa ţiul fazelor, în fiecare putându-se afla simultan doi protoni şi doi neutroni cu spini opuşi. Considerând num ărul de protoni egal cu num ărul de neutroni, avem 3 4πp max A = , 3h 3

4

de unde, ţinând cont c ă V

=

4πR 3 3

=

4πr 03 A 3

,

obţinem p max

=

h 9 3 4r 0 π 2

= 1,3 ⋅ 10 −19 kg m s -1 .

Se cere s ă se determine energia de leg ătur ă a unui nucleu având acela şi număr de protoni şi neutroni, dacă raza nucleului respectiv este de 1,5 ori mai mică decât raza nucleului 27 Al . 12.3.

Rezolvare:

Deoarece R

= r 0 A 1 / 3 se obţine

= r 0 A 1z/ 3 ; R Al = r 0 A 1Al/ 3 = 27 este numărul de masă pentru Al. Rz

unde A Al


541

Prin ipoteză: R Al

=

Rz

3 2

⎛ A ⎞ = ⎜⎜ Al ⎟⎟ ⎝ A z ⎠

1/ 3

,

de unde A z = 8 . Din enunţul problemei rezult ă: A z − Z = Z , şi deci: Z

=

Az 2

= 4.

Elementul este deci 84 Be . Prin definiţie, energia de leg ătur ă este: ΔE = [Z mp + (A − Z ) mn − MN ]c 2 . Utilizând valorile: mp = 1,007825 u.a.m. mn = 1,008665 u.a.m. MBe = 8,00531 u.a.m.

se obţine

= (4 ⋅ 1,007825 + 4 ⋅ 1,008665 − 8,00531) ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 10 8 ⋅ 1,6 ⋅ 10 − 27 = 1,38 ⋅ 10 −11J = 86 MeV

E

(

)

Într-un minereu de uraniu raportul dintre num ărul de nuclee de 238 U şi numărul de nuclee de plumb 206 Pb este 3. Evaluaţi vârsta minereului, admi ţând că tot plumbul 206 Pb reprezintă descenden ţa finală a seriei de transformări nucleare a uraniului 238 U . Timpul de înjum ătăţire al 238 U este 4,5 ⋅ 10 9 ani. 12.4.

Rezolvare:

Notăm: No - numărul iniţial de nuclee, NU - numărul de nuclee de uraniu, NPb - numărul de nuclee de plumb şi aplicăm legea dezintegr ării radioactive:


542

NU

= N o e - λt

unde No = NU + NPb . Rezultă

= (NU + NPb ) e -λt

NU

care, prin împ ăr ţire la NPb şi ţinând cont c ă λ = NU NPb

ln 2 devine T1/2

⎛ NU ⎞ - Tln1/22 t . = ⎜⎜ + 1⎟⎟ e N ⎝ Pb ⎠

Prin logaritmare se ob ţine ln

NU NPb

⎛ N ⎞ ln 2 = ln⎜⎜ U + 1⎟⎟ t, N T ⎝ Pb ⎠ 1/2

de unde

⎛ NU

ln⎜⎜

t

12.5.

N = ⎝ Pb

O cantitate de 1g de

⎞ N + 1⎟⎟ − ln U NPb ⎠ T1/2 ≈ 1,1 ⋅ 10 9 ani . ln 2

226 Ra 88

emite particule α cu puterea de aproximativ

418 J / or ă. Ştiind că timpul de înjumătăţire pentru izotopul radioactiv dat este de 1622 ani, să se determine energia cu care sunt emise particulele

α.

Rezolvare:

Fie formula puterii E E α ⋅ ΔN = t t unde E este energia emis ă în timpul t, E α este energia fiecărei particule p

=

α emise

şi ΔN – numărul de dezintegr ări în timpul t. Se cunoa şte că ΔN = No − N unde N = No e -λt este numărul de nuclee r ămase nedezintegrate dup ă timpul t.


543

Folosind formula de aproximare: e − x ≈ 1 − x , se g ăseşte

ΔN = No λt = No

ln 2 T1/2

t.

Dar No

unde m este masa de NA

226 Ra , 88

=

m A

NA

A = 226 este numărul de masă şi

= 6,022 ⋅ 10 26 kmol −1 este numărul lui Avogadro. Înlocuind în rela ţia iniţială a puterii, se ob ţine: m p

=

A

NA

ln 2 T1/2

t Eα

t

de unde: Eα

=

p A T1/2 m N A ln 2

= 8,82 ⋅ 10 −15 J = 0,06 MeV .

Se consider ă dezintegrarea succesiv ă a două substanţe radioactive, cu constantele de dezintegrare λ 1 şi λ 2 . a) Să se găseasc ă ecuaţia secular ă: λ 1N1 = λ 2N2 cu condi ţia ca de la începutul transform ării să treacă un timp t care să respecte relaţia T2 << t << T1 , în condiţiile în care T2 << T1 . 12.6.

b) Folosind ecua ţia secular ă, în cazul transform ării 226 Ra în 222 Rn , să se calculeze timpul de înjum ătăţire al radiului dacă, după un anumit timp de la începutul transformării, raportul maselor celor dou ă substanţe este 10 6 / 6,5 , iar timpul de înjumătăţire al radonului este 3,8 zile. Rezolvare:

a) Dacă nucleele N2 care iau na ştere ca rezultat al dezintegr ării nucleelor N1 , sunt la rândul lor radioactive, atunci pentru descrierea celor dou ă transformări succesive se scrie un sistem de dou ă ecuaţii:


544

dN1(t ) dt dN2 (t ) dt

= −λ1N1(t ) = λ1N1(t ) − λ 2N2 (t ) .

Rezolvarea acestui sistem duce la rezultatul N1(t ) = N10 exp(− λ 1t ) N 2 (t ) = N 20 exp(− λ 2 t ) +

λ1N10 [exp(− λ1t) − exp(− λ 2 t )] λ 2 − λ1

unde N10 şi N20 sunt valorile lui N1( t ) şi N2 ( t ) pentru t = 0 . Dacă T1 >> T2 ( λ 1 << λ 2 ) şi t << T1 , avem: N1(t ) ≈ N10

λN N 2 (t ) = N 20 exp(− λ 2 t ) + 1 10 [1 − exp(− λ 2 t )] λ2

Pentru N20 = 0, ultima relaţie devine

λ1 N [1 − exp(− λ 2 t )] . λ 2 10 În cazul t >> T2 ( λ 2 t >> 1), avem λ N 2 (t ) = 1 N10 , λ2 sau λ1N1 = λ 2N2 . N 2 (t ) ≈

b) Raportul maselor substan ţelor este mRa NRa ⋅ 226 10 6 = , = mRn NRn ⋅ 222 6,5 de unde


545

NRa NRn

=

222 ⋅ 10 6 226 ⋅ 6,5

Se scrie ecua ţia secular ă: λ RaNRa = λ RnNRn sau NRa TRa

=

NRn TRn

de unde NRa

TRa

=

TRa

= 574.000 zile ≅ 1600 ani.

NRn

TRn

=

222 ⋅ 10 6 ⋅ 3,8 226 ⋅ 6,5

Fotonii γ care însoţesc dezintegrarea β −1 a nucleelor E γ =1,78 MeV. Se cere s ă se determine:

12.7.

27 Al 13

au energie

a) densitatea nucleului de 27 Al ; b) energia de leg ătur ă a unui nucleon în nucleul de 27 Al ; c) raza nucleului de 27 Al ; d) înălţimea barierei de poten ţial electrostatice pe care o au de învins particulele β −1 (se consider ă neglijabilă raza electronului); e) să se scrie ecua ţia de dezintegrare şi să se determine structura nucleului final; f) raza traiectoriei electronilor rezulta ţi din dezintegrare, dac ă aceştia pătrund întro camer ă Wilson perpendicular pe câmpul magnetic constant cu induc ţia magnetică B = 1T în care se afl ă camera; g) perioada rotaţiei electronilor în câmpul magnetic considerat, ştiind că energia lor este E β−1 = 100 MeV ; h) ce grosime de Pb este necesar ă pentru a mic şora de 16 ori intensitatea fasciculului incident cunoscând coeficientul de atenuare liniar ă în Pb a radiaţiei μ = 1,16 cm −1 .


546

Rezolvare:

a)

ρ=

M V

=

A u.a.m. 4πR 3 3

=

3A

1 3 N A 4π R o A 1/ 3

(

⋅

)

=

3A 4πN A R 3o A

= 1,3 ⋅ 1017 kg ⋅ m −3

unde

= 1,45 ⋅ 10 −15 m este raza unui nucleu şi N A - numărul lui Avogadro. Se observ ă că densitatea nucleului nu depinde de natura acestuia. Ro

b) Wnucl

=

Wleg A

=

Z mp

+ (A − Z) mn − M Al ⋅ 931MeV A

= 12,09 MeV

unde: M Al = 27,9829 u.a.m.; mp = 1,007825 u.a.m.; m n = 1,008665 u.a.m.

c) R Al

( )1/ 3 = 4,35 ⋅ 10 −15 m

= r o ⋅ A 1/ 3 = 1,45 ⋅ 10 −15 ⋅ 271/ 3 = 1,45 ⋅ 10 −15 ⋅ 3 3 d) .

U=

1

Z1 e Z 2 e

4πε o R Al

+ Re

unde: Z1 = 13 Z2 = 1 R Al

= 4,35 ⋅ 10 −15 m

ε 0 = 8,856 ⋅ 10 −12 F / m . Înlocuind, se ob ţine: U = 6,89 ⋅ 10 −13 V


e)

27 Al 13

547

X + γ . Nucleul rezultat este un izotop al Si şi are: → β − + 27 14 Z = 14 protoni A – Z = 13 neutroni.

f) Egalând for ţa centripetă cu for ţa Lorentz: m e v 2e

= e v eB

r

se obţine: me v e

r =

eB

unde: ve

2E

=

β-

me

şi deci:

r =

me eB

2E

β-

me

2 E - me β

=

eB

g) T

2πr

=

v

Din mv 2 r

= evB

se deduce: v r

=

eB m

şi, atunci, perioada rota ţiei electronului devine: 2 πm . T= eB

≅ 5,02 ⋅ 10 − 3 m .


548

Se observ ă că perioada rotaţiei particulelor încărcate electric într-un câmp magnetic constant nu depinde de viteza ini ţială a acestora, ci numai de valoarea inducţiei magnetice a câmpului. Înlocuind, se ob ţine 2 π ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 T= 3,57 ⋅ 10 −11 s . = 1,6 ⋅ 10 -19 ⋅ 1 h) I = I0 e -μx . Înlocuind I = I0 16 , se ob ţine: x

=

4 ln 2

μ

=

1 16

= e − μx , sau 16 = e μx , de unde

4 ⋅ 0,693 1,6 ⋅ 10

2

= 0,02 m .

12.8. Să se demonstreze c ă

procesul de formare a perechii electron-pozitron dintro cuantă γ nu poate avea loc în vid. Rezolvare:

Dacă presupunem c ă formarea perechii electron-pozitron din cuanta γ s-ar observa în vid, atunci ar trebui satisf ăcute teoremele de conservare ale energiei şi impulsului după cum urmează: Eγ

= Ee− + Ee+ =

m − c2 e 2

1−

+

v − e c

m + c2 e 2

1−

2

v + e c2

Deci rezultă: pγ

=

Eγ c

=

m −c e 2

1−

v − e c

2

+

m +c e 2

1−

.

v + e c2

Pentru mărimea impulsurilor electronului şi pozitronului avem:

.


p − e

=

549

m −v − e e

;

2

1−

p + e

v − e

=

c2

m +v + e e . 2 v + 1− e c2

Deoarece m −c e 2

1−

v − e c2

+

m +c e 2

1−

v + e c2

>

m −v − e e 2

1−

v − e c2

+

m +V + e e v 2+

1− e c2

rezultă pγ

> p e− + p e+

care este o inegalitate imposibil ă deoarece vectorii p γ , p − şi p + alcătuiesc un e e triunghi. În concluzie, respectarea teoremei de conservare a impulsului presupune că în procesul de formare a perechii electron-pozitron dintr-o cuant ă γ mai trebuie să participe o particul ă.

Be + x→12 C+n. 12.9. Fie reacţia nuclear ă: 9 4 6

a) Să se identifice particula x. b) Să se calculeze masa particulei notat ă cu x, dacă energia de reac ţie este Q = 5,64 MeV. c) Să se calculeze energia de leg ătur ă a particulei x. Se dau: MC = 12 u.a.m.; mn = 1,008665 u.a.m.; MBe = 9,012185 u.a.m.; mp = 1,007276 u.a.m. şi MeV u.a.m. = 931.478 2 c

Rezolvare:

a) sarcinii:

9 A 12 1 . 4 Be+ Z x → 6 C+ 0 n

Aplicăm teoremele de conservare ale masei şi


550

9 + A = 12 + 1 ,

deci A = 4

4+Z=6+0,

deci Z = 2.

şi

Rezultă că este vorba despre o particul ă 42 α . b) Din Q = [(MBe + m α ) − (MC + mn )]c 2 , rezultă: mα

Q

=

c

2

+ MC + m n − MBe = (

5,64 931.478

+ 12 + 1,008665 − 9,12185)u.a.m. =

= 4,0026 u.a.m. c) Energia de leg ătur ă a particulei 42 α este:

(

E = Z mp

+ (A − Z) mn − m α ) ⋅ c 2 = (2 m p + (4 − 2) m n − m α ) ⋅ c 2 =

= (2 ⋅ 1,007276 + 2 ⋅ 1,008665 - 4,0026) c 2 u.a.m. = 27,27 MeV.

12.10. Să se calculeze energia de leg ătur ă corespunzătoare unui nucleon în nucleul

, precum şi energia ce s-ar degaja la formarea a m = 10gr . U238 din protoni şi neutroni ? Se cunosc: mU = 238,07 u.a.m., m p = 1,00893 u.a.m., 92 U

238

mn = 1,00812 u.a.m. Rezolvare:

Energia de legatur ă în MeV a nucleului U238 este:

ΔW = Δm (u.a.m.) 931MeV = Z ⋅ m p + (A − Z) ⋅ m n − M ⋅ 931 = 1851,85 MeV. Energia de leg ătur ă corespunzătoare unui nucleon în nucleul de U238 este: ΔW 1851,85 = = 7,78 MeV / nucleon . A

238

Energia degajat ă la formarea unei mase m = 10 g de U238 va fi:


Wt

551

= N ⋅ ΔW =

m ⋅ NA A

ΔW = 46,86 ⋅ 10 24 MeV .

Nucleele radioactive artificiale P 32 şi I131 au timpii de înjumătăţire TP = 14 zile şi TI = 7 zile. Considerând c ă la momentul ini ţial numărul nucleelor radioactive de iod este de 2 ori mai mare decât num ărul nucleelor de fosfor, s ă se calculeze dup ă cât timp raportul dintre numărul nucleelor r ămase ne dezintegrate se inverseaz ă. 12.11.

Rezolvare:

Din legea dezintegr ării radioactive găsim NP

= N0 P ⋅ e

− λPt

= N0 P ⋅ e

= N0 I ⋅ e

NI

− ln 2 t TP

− ln 2 t TI

.

Făcând raportul lor NP NI

N0 P

=

N0 I

⋅e

− ln 2 t + ln 2 t TP

TI

şi deoarece, din enun ţ

N0 I

= 2 N0PI

NP

= 2 NI

acesta devine: 2=

⎛ 1 1 ⎞ 1 ln 2⎜⎝ TI − TP ⎠⎟ t . e 2

Astfel, rezultă: t

=

2 1 TI

− T1

P

=

2 TI TP TP

− TI

= 28 zile .


552

Un gram din cenu şă unui os g ăsit într-o să pătur ă arheologică produce Λ = 5 dez. β/min. Ştiind că un gram din cenu şa unui os actual produce Λ0 = 15 dez. β/min. şi că timpul de înjumătăţire al 146 C * este T = 5650 ani, se 12.12.

cere 1) vârsta osului; 2) ecuaţia reacţiei de dezintegrare a

14 C* 6

şi

viteza relativistă a

electronului emis dac ă el are energia cinetic ă WC = 156 keV, iar masa de repaus a electronului m 0 = 9 ⋅ 10 −31 kg. Rezolvare:

1) Din legea dezintegr ării radioactive Λ = Λ 0 e −λt , se obţine

⎛ Λ 0 ⎞ ⎛ Λ ⎞ ln⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ Λ ⎠ = T ⎝ Λ ⎠ = 8951ani. t= λ ln 2 ln⎜⎜

2) Ecuaţia reacţiei de dezintegrare este 14 0 14 , → + C * e 7N −1 6 iar energia cinetic ă relativistă este

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 2 2 2⎜ − 1⎟ Wc = mc − m 0 c = m 0 c 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1 − v c2 ⎟ ⎝ ⎠ de unde rezult ă v = 2,3 ⋅ 10 8 m/s.

12.13. Din nucleele unui element A

se formează prin dezintegrare nuclee ale unui element B, de asemenea radioactiv. Constanta radioactiv ă a elementului A este λ A , iar a elementului B este λ B . Care este legea de varia ţie în timp a numărului de nuclee din elementul B, dac ă preparatul con ţinea iniţial numai N A (0) nuclee ale elementului A?


553

Rezolvare:

Viteza de formare a elementului B este propor ţională cu numărul de atomi ai elementului B existenţi la un moment dat şi numărul atomilor existenţi din elementul A, adică d NB dt

= −λ B NB + λ A N A .

Din legea dezintegr ării radioactive avem: -λ t N A = N A (0) e A , încât ecua ţia diferenţială ce descrie viteza de formare a elementului radioactiv B devine d NB dt

+ λ B NB = λ A N A (0) e - λ A t .

Soluţia acestei ecua ţii este dată de soluţia generală a ecuaţiei omogene la care se adaug ă o soluţie particular ă a ecuaţiei neomogene. Ecua ţia omogenă: d NB dt

+ λ B NB = 0 ,

are soluţia generală

= C e - λB t . Soluţia particular ă a ecuaţiei neomogene o c ăutăm de forma -λ t NB = K e A . Introducând aceast ă expresie în ecua ţia neomogenă obţinem λ N (0) . K= A A λB − λ A Deci, soluţia general ă a ecuaţiei neomogene este de forma λ N (0) - λ A t -λ t . NB = C e B + A A e λB − λ A Din condi ţiile iniţiale t = 0, NB (0) = 0 , rezultă pentru C expresia − λ A N A (0) C= λB − λ A şi în final λ N (0) -λ A t -λB t . NB (t ) = A A e -e λB − λ A NB

[

]


554

12.14. Se consider ă o succesiune de dou ă dezintegr ări radioactive A → B → C şi se presupune c ă λ A << λ B . Să se arate c ă după un timp mult mai mare decât

durata medie de via ţă a celor mai stabile nuclee, raportul dintre cantitatea de element A şi cea de element B, r ămâne constant în timp. Rezolvare:

Din problema precedent ă se ştie că λA -λ t -λ t NB (t ) = N A (0) e A -e B . λB − λ A

)

(

Deoarece λ B >> λ A , e −λBt << e −λ A t , deci putem neglija factorul e

−λBt i ob inem ş ţ NB (t ) = N A (0)

λA -λ t e A , λB − λ A

sau NB (t ) = N A (t )

λA . λB − λ A

De aici rezult ă: NB (t ) N A (t )

12.15.

=

λA = cons tan t . λB − λ A

Un preparat con ţine m = 10 mg

20 Ca

47

pur, care se dezintegreaz ă după

schema: 20 Ca

47

→ 21Sc 47 + β − + ~ ν

21Sc

47

→ 22Ti 47 + β − + ~ ν.

Cunoscând timpii de înjum ătăţire ai TA =4,8 zile, TB =3,43 zile şi masa atomică a

se calculeze: 1) activitatea ini ţială a preparatului;

47 47 şi 21Sc , respectiv 20 Ca 47 20 Ca , M = 46,9694 u.a.m., s ă


555

2) activitatea preparatului dup ă t = 2 zile; 3) timpul t după care cantitatea de Sc atinge o valoare maxim ă. Rezolvare:

1) Activitatea iniţială ce corespunde Ca 47 este Λ 0 = λ A N0A , unde

λA =

0,693 TA

, N0 A =

NA ⋅ m M

cu N A = numărul lui Avogadro, m = cantitatea ini ţială de substan ţă, M = masa atomică. Astfel: 0,693 N A ⋅ m Λ0 = ⋅ = 2,14 ⋅ 1014 dez / s . TA

M

2) După un timp t, activitatea totală va fi suma activităţilor celor două substanţe Ca 47 şi Sc 47 :

Λ t = λ A N A (t ) + λ B NB (t ) , unde N A (t ) şi NB (t ) reprezintă numărul de atomi existen ţi la momentul t. Din problema anterioar ă, avem −λ t N A (t ) = N0A e A

λ A N0A −λ A t −λBt , e -e λB − λ A astfel că activitatea totală devine λ N Λ t = λ A N0 A e −λ A t + A 0A λ B e −λ A t - e −λB t = λB − λ A NB (t ) =

[

]

[

= Λ 0 e −λ A t + Λ 0

λB −λ t −λ t e A -e B λB − λ A

[

]

]

12-Elemente de Fizica Nucleului Si Problema

Recommend Documents