Manual de Fizica

szbe+a3b3

scalar devine negat tv

rezultd' Daci acunl vectorul;estc perpendjcular pe vectorul i atunci cosg:0 De aici pentru acest caz spccial, a 6-0' \'ectorutui ot Problemarr3r'Ir: Aratati pe bara figurii 0.3-7, ci valoarea or a componentej { a

la poate fi rnlcrrlJtd cx produ\ scalar prrn rxpresie

L

I

ar-a

Pr

ii ca ln general

a\'em

al :a

Pi'

29

LEGILE CALCULULUI VECTORIAL

b) Produsul vectori{l a dol voctorl

in fizicd intilnim de multc ori exe car€ se rotdac intr_un sens bine definit sau suprafete care au un sens de rotatie bine dcfinit (de exemplu, suprafata unui circuit electric dreptunshiular. Darrurs de un curent electric lnlr-un \ens bine definil r. -

in

accstc cazuri se folose5te cu succes produsul

vectorial, care poate fi ilustrat in ,elul

Drmitor: cei doi yectori d $i , din figura 0.3-10 determind o suprafate in formi de paralelogram. Rotind acum vectorul a peste pozilia vectorului , in a$a fel lncit el sA descrie suprafaia paralelogramului, atunci prin aceastd mi$care s_a definit un anumit sens de rotarie.Sine imapinrim acum un tirbuion sau un surub cu filet drept, rotit In acela5i sens. La pozitia vect"orllor desenatd ln figura 0.3-10, acest surub s_ar mi$ca ln sus; el ar electua o mi$care de inaintare perpendicular pe suprafala paralelogramului amintit. Acum definim ca Produs vectorial al celor doi yectori d $i , un vector ., a ceruj orientare corespunde mi$cirii de haintare aqurubului drept; lungimea lui se fie egaln cu valoarea suprafetei parale logramu lu i delinit prin ; $i l). DupI cum se vede u$or din figura 0.3_10, aceaste supralati arc valoarea a, sin @. Dxca pentru produsul vectorial al vectorilor.! Si , introducem temnul ax, atunci putem scrie:

c:ox , $i 6:aD sin 9.

Dac?i acum vectorul a este paralel cu

caz special rezulttr: ax

vectorul ,, atunci sin 9:0. De aici, pentru acest

r:0.

!-i

Fig. 0.3-10, Formarea

prodLrsului

veclorial c:o X b

glg. 0.3-11. Produsll vectorial b x o este

vectorul opus

lui oxb.

Produsul vectorial astfel definit are o particularitate: factorii o+9i ilnu pot fi schimba{t lntre ei. Aceasta deoarece conform definiti;i date ixi tn"""-na ca vectorul i'trebuie rotit peste vectorul ai Prin aceasta se schimbi sensul de rotalje (v. fjg. 0.3-11). 9urubut se mj$ce acum ln alttr direclie. Aceasta e{pljci relalia:

L^EGILE CALCULULUI VECTORIAT

30

Exemple pentru aplic:lrea produsului vectorial ln tizicri Ie vom cunoaste la tratarea miscerii dc rotatie in 1. ,1. 7, a mom€ntului forlei tn 1. 5. 2, a fortei l"orentz in 6. 1. 3 $i la aplicaiii specialo .le lt,gii inductiei in tj. :1. 1. Mai mentiondm, fdre demonstralie, cI produsul vectorialTal vectorilor 7qi7 poate fi determin:rt din component(le cclor doj vectori in telul urmitor:

t:\azb3_a3b) tt+\a3\ Se vede cii

at\)

e21

latb! azb)

?3.

dupi aceasti reguldprodusul i'x ia; ir,.up."r.ntrrea dup:i componente exacl

vectorul opus lui c fi aoume -c,

1.

Elemente de mecanicl

1.1. Lungimea gi timpul

1.1.1. Lungimea Pentru indicarea unei instrucfiuni de misurare pentru mlrimea funtlamentali-lungime pornim de la uo{iunile matematice driaptd si segmenr. Oricirei bare, oricilei muchii a unui corp putem sd-i asociem o dreaptdi de asemenea, prin doul colluri ale unui corp se definepte pozilia unei drepte. Barele 9i muchiile corpurilor au un lnceput qi un stirgi[. Aceste limite 'marcheazd pe o dreapte, pe care ne-o inchipuim pe un corp, un segment de lungimc 1. Dellnllto eg'atltllil lunglnritorl Lungimea I, marrsltr prin punelcle _4 tl 1J, eBl€ egall cu lunglnea l, mEreard prlD ponctcle d' ii B', dac{ prin suprapunerer bllletor, respertiv a muchlllor corpurlloi pot ll &duse slmultan sit eoincld{ ,4 cu ,{. Sl B eu .B,,

ln*limbajul fizicii mai spunem: . . . daci ,4

ti ,4,, pe de o parte, gi coincidenfl se infelege ixistenta simultand spatriu gi timp a doud evenimente; notiunea de coiniidentra esL -in o noliune fundamentali, care ru poate fi expticatd mai departe. Nu-este intotdeauna posibil ca douE lungimi pe care vrem si le comparim - fie -. sh aduse la cojncidentA. lndllimea unui cui' me-talic nu poate fi supiapusE peste litimea lui. De aceea trebuie creat un etalon care poate fi traniportat. Aici trebuie si presupunem ci prin schimbarea locului nu ie schimb5 lungimea datl de etalon -- 9i,.8', pe de altd parte, coincid. Prin B

Dollnllla .

mulrtplutui

lung lm lt:

Valoa.ee dubld, rrtpld, ..., de n orl u unei lunolmt se obtltre punlnd eap la csp pc o dr€aptd douri, lrcl,..., n here sau nnlrhll de corpurl de tun0lme l.

- Aceast5 definilie a multiplului lungimii nu contiDe o instrucliune comPleti de misurare. Pini acum nu pot fI mlsurate decit segmente qi muchiia ciror lungime este un multiplu intreg al unei lungimi f-undamentale l. Cu

I

I

I

i

CAPITOLUI.

37

t.

EI.EMENTE

DE MECANICA

ajutorul t€oremelor razelor vectoare este insd posibit sI se impartd o lungime datd (de exemplu, o lungime unitate) in pdrli egale. Pot fi deci produse etaloane de lungime cu subdiviziuni oricit de mici gi pot fi determinate toate lungimile existente in limitele preciziei unui asemenea etalon.

Detinif i{ unltiirii

de ltnglme:

Unitater de lunginre esle dali prin distairla dintre (€le doua trfutrturl la extremirtrlile unei bare de Dlatin[ tr.idi{rn, plslrflt lfl Bircul Internalional de ]Ilirsurl ;i Greultr(l Ia Parls..{oeasli barir servefte drepl elalon rlei tunginre. O luDslnle c0elii (u diitanta dintr€ acesle trisilluri o numim l D! (un metru). trletrul €sle unit{lea de lulrglme a slstenului nostru de un ildlil

-

De Ia unitatea de lungime metru au fost derivate urmitoarele uoiti{i: (terametrul Tm :1grz m - rar folosit) (gigametrul Gm :10e m - rar folosit) rar folosit) (megametrul Mm :106 m

kilometrul km :103 m (hectometrul hm :10'z m rar folosit) (decametrul dam :101 m -- rar folosit) m :1 m metrul decimetrul dm :10_1 m centimetrul cm :10-2 m milimetrul mm :10-3 m micrometrul pm -10-6 m nanometrul nm :10-e m (picometrul pm -10-'!2 m - rar folosit)

lD afartr de acestea se mai folosesc urmdtoarele unitdti: ' in opticd: r A:10-'o m (un angstriim). lD fizica atomici: 1F:10-t3 rn (un fermi).

in

astronomie: 1

AL:9,4605.101, m (un an lumine).

Anul lumind este distanla parcursd de lumini, in vid, intr-un an

(!.

7.-.4).

ln tabela 1/1 sint date citeva vatori de lungimi incepind de la tungimea cea mai mice pe care o cunoagte fizica, pini la cea mai mare. Scara cuprinde ulr domeniu de 10-15-1025m; acestea sint patruzeci de puteri zecimale. DuPi felul metodei prin care se electueazl misuritorile de lungimi, tabela poate fi impirtitd in gase grupe. l.

Cu definit.ia lungimii, pe care am cunoscut-o mai s[s, poate Ii cuprins domeniul de la 100 m pind la ciliva 1O-0 m. Pentru aceasta slnt necesare rulete, rigle, tublere ti $uluburi micrometrice.

2. Cu aiutorul microscopului poate Ii cuprins domeniul de 10-3-:-5 10-? m. Ultramicroscoapele ajung plnd la 10-? m,

r

Pentru a satisface exigentele mesurdtorjlor de foarte mare precizie,

ln special ln

dome_

niul fizicii atomice, ln ultiriul timp s-a definit un nou etalon de lungime pe baza lungimii de undtr a Bdiatiei unei anumite surse de lumin{.

I

LUNGIMEA SI TIMPUL

33

Microscoapele electronice (v. 6.1.6) deschid domeniul ptnd la citira 10 e m. Deci cu aces_ te aparate pot Ii observate cele mai mari molecule. 4. in do.[eniul 10_0 -10-1a m, obiecte]e de studju (atomij;j nucleeic atomice) se bombardeazd cu particulele cele mai mici- de exemplu, electrori sau nuclee soare- fi se cerceteazi in ce fel acesle particule sint derriate de la traiectoria lor. pentru diametrut eloctronului iDdicat in tabell nu exjsti plni acum nici o posibititate de nr:isurare. Acest djamctru se

3.

calculeazd pur teoretic.

5. La luugimi mai mari decit

10 m s€ folosesc procedeele de calcul ale trigonometriej. pentru rcexsta est€ necesar, de ex€mplu, un se€lmetrt masDret .l A cn brzi. iar tle Ia puDctele ,l si B se vizeazi punctul C. a cdrui distanfd trebuie determinati. Se oblin ung_hiurile a p dln triunghiul -{ /JC, celetatte mlrimi puund fi calculate. Oa bazd dr ptecaie pentru Si inii_ suritorj, care se e\tind pini in spa{iul cosmic, sr folosettu diametrul pimintului sau dia_

rnetrul traiectoriei Pemintului ln jurul Soarelui. in ultimul caz, unghiul sub care apare

6.

st€aua trebuie determinat o datA tn primevare $i o datd in toamnl. in acest lel s€ aj;nge plni )a distante de un an lumini, deci circa 10rG m. l)istantele celor mai multe stele fixe (stetele care ne apar lntr-un loc stabil a cerului) nu mai pot fi d€terminate nici din purcte diferite ate trai;ctoriei pimintului. Distantele sint prer iar ccle doud unghiuri .r $i p devin aproape egale. S-a cercetat lnsi hrmina -mari,

cmisldesteleSjs-adescoperitcAexistdniai rnulte tipuri de stele, a c{ror strdlucire ja na$tere in acela$i fel. Toate stelele unci astfel de ctasc trebuie se aibe la supralatd aceeasj luIninozitate. Deoarece iluminarea scad€ cu petratul distantei, vlzute de pe Femlnt stetele apar cu dilerite luminozitili. Diferentelc de tuminozitate sint astfel o m:lsurd pentru distanfule slelelor. ]Iateria cea mai indepirtati care a putut fi descoperitd ln spatiuicosmic are, duptr ircerste metodd, o distanti de 102{ m de la pEmint.

. Ultima indicatie a tabelei poarti denumirea de "diametru ipotctjc. al Universuluj. Ce se intelege prin aceasta? observlndu se lumina stelelor s-a vezut ca liniile spectrale sint clr atir nrlli deplasate spre roiu, cu clt stelele sint mai lndeperhte de noil. Se deduce de aici, cA toate stelele se lndeperteazi unele de celelalte ca schiiele unei explozii. Stelele lnvecinate au o viteza r(lativ mictr Intre ele, iar cele mai indepirtate o viteztr mai mare. DacI consialerim o stea $i

I)drnintul, atunci acele stele se lndepdrteaze cel mai repede de el, care sint cele mai lndepi;tntc,. Inse nici un corp nu se poate misca maj repede decit cu viteza luminii (v. g.6). Dici. dacl toate st€lele participi la miscarea de lugn f;lI de pimint _ $i nu cunoa$tem nici o e-\ceptie - atunci exist6 o djstanlS maximd, la caie s€ mai pot gesi stete. Ele ar trebui si fie itunci ata dc lndepe(ate de Pdmint, inclt acestei distant; sd icorespund{ tocmai viteza de fugi c : viteza luminii. Din aceste rationamente se obline aproxim;tiv valoarea l02s m drcpt diamelru ipotetic al Universului.

Nu ne vom ocupa de problema daci cele dou6 limite date ale scbrii lungimilor sint intr-adever limite principale, care nu pot fi trecute niciodatd. Putem si spunem insd cd deocamdati in cadrul fizicii nu are sens si se vorbeasci de lungimi $i mai mari, respectiv gi mai mici. 'Iabela arati ce diferitele metode de mesur.are se suprapun la margiuile domeniilor'. astfel incit o metodl poate fi mereu verificatd prin alta"qi cd in cele din urrni, poate fi redusi la definilia noastri iniliali a lungimii fab?lo tlt Cltpro Dolori Jp tungint 10-r5 m diarneLrul teorctic al clectronului ) calcul teoret ic 10um diametrul mediu al nuclerlor atonlice I n,rnor.or* cu particulete 10 ro m diametrul atomului de h idrogen ceJe mri mici 10-o m diametrul moleculelor

f

r . Lrrnoaitem asrmenei deplasiri din domeniul acusticii. De e\emplu, indltimea sunatului emisdeolocomoti\'Scareseindepertcazddenoj Doppler 3 5.4t.

I-

Fizi.n cuF sup.rior

se deplaseazd tnspre suneicte mai joase (efecl

CAPITOTUT 1, EI.EMENTE DE MECANICA

34

bomb.rdrr.r ru

' nr diarnetrulvirusurilor I n"'tic,r.t. 106 rr diametrulbacteriilor u ltra n) icroscop 10- s nr grosimea foitelor de aur suLler grosimea pir l0 rn unui lir de l0r rn diametrul piceturilor do apt ) 10-2 m ldtimea unei unghii 10-r m lungimea unei palme rulet( 100 m inellimea unei mese riglr 10r rn indliimea medie a copacilor nr iniltimea medie a catedralelor 10, ) rn inlllimea deasupra mdrii la Poiana llra)oY 103 101 rn: 10 km raza lizuali medie l0i m: 100 km drum de o zi cu bicicl€ta procedee In: 1000 km distanla trlangalia-Satu llare 106

10?

..r,

,r

10?

m

diametrul Soarelui distanta Soare-Pimint

10r 101r 10r3

m

distanta Soare-Neptun

nl

un an lumini diametrul (leii

10r6

10rr

trigonometrice

1/4 Ecuatorul Pimintului

l/4 distanle Pemint-l,uni

103

1021

lactee

rnisurarea

(direcl ie longitudinale)

str:llucirr i

c(a mai indepdrtati rnrterie obscr!ate

strlrlor

din spatiul 1015 m

cosmic

diametrul ipotetic al Uaiversului

)

J

calcul teoretic

l.l .2. Timpul Cind ajungem intr-un loc unde arn mai fost cu cifiva ani inainte ii glsim acolo totul neschirnbat spunem; ,,aici timpul parci a stat pe loc". intr-o lume in care nu e\isti schirnb,rri (si nici irnbitrinirea oamenilor), nu existd asimilarea alimelltelor etc., nu are sens si se yorbeascl de un timp. Schimhdrile pe cale le percepem la observa!iile din fizicri le nurnim .sernnale. De exemplu: aprinderea unei ldmpi, aparilia unui obiect intr-un loc anumit (devia!ia unui ac), aparilia unui segment etc. I)eosebim semnale precise gi semnalc nedefinite. Aprindcrea inceati a unci pe cind fulgerul t,ste un semnal precis.

limpi

este un sernnal nedefinit,

il : lislm si cacll
E I E.rperienlu I .l

LUNGIMEA SI TIMPUL

3s

elev, observatonll, se plaseazal in aprolticr.ca utruia (lit)trc ei, insii in asa fcl incit sit-i vacli pe arnincloi (iig. 1.1-l). I-l urr scrun al sau. tei rloi bat cu un ciocan intr-o lllacir rnelalicit. (lu ochii, ohst n.alurul constirtl'r sirnrrltaneitate, Lu(,ch(,a insl pelcepe
F

i8. '1.1-1.

Semnalele

deciansate .oncomitent, in general nu sint recep" lionat€ concomitent.

Fig. 1 .-l-2. rn situatia reprezentate

aici,

nalele sosesc

sem-

concomi

tent.

Rezultql: ;i in acerstr cxperienfi se emil patru semnalc doui optice ;i douir acustice. Scmnalele {}custi(.e sosesc mai tirziu la obsetvator dec it ce le opt icc. insI. sprt, deosebire de prima experien{ir, acurn 5i ce lc (loual srmnale acustice sosesc concomitent la urechea ol)servatoru lu i . Pcntlu a Ii in(lel)rtrdent de toatc problemele timpului de parcurgere rlefinim acum sirnullancitatea a doui evenirnente in fehtl rrrmirtor;

I)ouri errninrc le r.orr'!rpar i douir l{r..uri. I ii/J (itl (azul sp€(inl Ioate Ii -{=B), uu Ix.sinrull:rn {h(.ii doun senrn tr d. txr!rirtli de(l niato {tc ole so*s. (onrollriletrt (in (oin{,idenlir) t:r un ohs€rvrtor. flIllrt la J(.oousi (listanlir t{lir ito to(.uritc A ;i lJ.

NoIiuuea d(. concornitent, respectiv de coincidcnfl, pt, care o folosim la act,astii dcfili!it'. tlehuic deosebitr'i (lc toiiunea de simultaneitate a doui evenimcntt. Irrima notiune se rt,feri la o coinciden!.{ spatiall ;i tetnporalat pentru pcrceptia st,nzoliali a observatorului cega ce se in!elege prin aceasta r)u I)utem aFaliza sau defini rnai departe, o presupurern de Ja inceput. A doua nofiune poate fi aplicati la evenimente care au loc in diferite puncte, Ea rste o n0liune deliniti fizic. Dupii aceste pregaitiri putern cla acurn defili[ia pentlu mdsurarea tirnpultri.

CAPITOLUT

36

Delinilia

egelltA!ii

llmPului

I.

ELEMENTE DE MECANICA

I

I)oui scntnale A ii B dofin€s( in(ep$lul ii stirfitul unui lnlerl'al de timp. Douir intervale de timp (sau, pe sc rt, dol timpi) I tl 1' sint ogale dat,t senrnal€le,{ ni A'tl semnalele B ti ts' la i ceputul ii slirtltul celor douii intervale dc timp sint declatr'

tste simultan. Aceasti definifie este folositoare mai intii doar pentru mlsurarea unor asemenea intervale de timp care incep 9i se termini coocomitent. In experienlele care urmeazi Yom observa citeva procese care au loc concomitent.

Erperienla I.I/2r DouA, bile de plumb sinl Prinse cu sfoarb de irratul unui stativ 5i Pot Pendula libe; (fig. 1.1-3). Vizali bara stativului io d irecIia bra[ului' Cind sloara unui Pendul trece prilr dreptut acestei linii vizate se obiine un semnal clar' NIodificatri apoi lungirnea sforii unuia dintre pendulc, Pind cind cele doud semnale coincid, cind Pendulele trec din Partea drcapti

la linia vizati.

W

l,-

N

_4

Fig. 1.1-3. Experienli pentru rntroducerea mifcirii period ice,

Rezulteti Daci ati obtinut aceasti situalie puteli spune: timpii necesari pendulelor pentru o oscilalie de pendulare comPlete (adicn din pozitia de mijloc la stinga, peste pozilia de mijloc la dreaPta 9i inapoi in pozitia de mijloc) sint aceiagi. Efectuati experienla 5i prin inlocuirea unuia diutre pendulele cu sfoarl printr-o rigl5 sau un alt co.p pus se penduleze. Montali in spatele stativului un motor cu un indicator rotativ ti regtali viteza motorului in aqa lel incit indicatorul sE coincidi cu trecerea inspie dreapta a pendulelor prin linia de ochire (de vizare). Avem acum trei procese diterite, care au loc concomitent 9i ale cdror 5emnale coincid i[ repetate rinduri, Vom schimba experienla in felul urmitor: Erperienla 1.113: De bra!ul stativului se fixeazi ttoud pendule de lungimi dilerite. Lungimea unuia dintre pendule se moditicir pini ce pendulul .lung va trece in dieptul barei stativului tocmai atunci cird pend[lul scurt trece

a treia

oar5.

sint reglate corect, condilia pusi in probleme Chiar dacl pindulul lung a ajuns pind la a zecea coincidenld cu bara statiYului, el coincide cu pendulul scurt

Obserualie: Dacd ambele pendule

se pestreaze.

LUNGIMEA SI TIMPUL

37

care ajunge acum la a treizecea coincidenfi. ln acelaEi fet putem construi 9i pendule cu un alt raport al intervalelor de timp.

Rezullat: Experienta 1.1/3 ne conduce la presupunerea cI o oscilalie completir a pendulului mare necesiti un interval de timp exact de trei ori mai mare decit oscilalia pendulului mic. De aceasti presupunere legim ideea cr durata de oscilalie a pendutului mic (5i de asemenea a pendulului mare) este intotdeauna aceeagi. Spunem cir aceste procese sirL periodice, adici ele se repeti mereu, iar intre fiecard repetare se afld intervale de timp egale. Aceasti presupunere nu o putem demonstra, insl ni se pare de neinchipuit ca doui procese coniplet independette unul de cetilalt, gi carc coincid in repetare infiniti, si nu fie perioclice. S-ar mai putea inchipui ca durata unei perioade / si sufere pentru toate aceste procese o mdrire sau miclorare uniforml. lnsd atunci acealti ,,dilatare a timpului" ar exista Ia toate procesele (;i la activitatea noastrl cardiaci); intregul ritm al vielii s-ar dirija drrpa ea si n-am putea aua niciodatl de aceasti dilatare a timpului. Cu presupunerea cI oscilaliile perdulelor sint periodice (adici intr.e coincidenlele cu bara stativului existi mereu intervaie de timp esale) este acum posibil si se constate egalitatea a doui interv_ale de timp la procese care nu au loc simultan. DacI astizi intre doui coincidenle ale unei oscilalii de pendul existi urt anumit interval de timp, atunci miine doui asemenea coincidenfe vor indica acela;i interval de timp. Cu ajutorul noliunii oscilafiei periodice este acum posibil sd se defineasci m6surarea multiplului unui timp.

Delin ilia nrrr I tiplutui tinr Iului: UI prores, linrilat prln senlnnlel€ J ti ll, ure de n ori dumta oscilflliei periodice u unui pendul de durolu I, ds(i s€ntnalele -.1 li lJ au lo( sinrullar (u lornirea penduIului tt cu terlninarea perio{rd€i a n-a. Un interval de timp , dat (de exemplu, un timp etalon, o ulilate de timp sau durata unei anumite oscilafii de pendul) poate fi subimpirlit in intervale de timp arbitrar de mici de aceeali duratl, confecfionind un pendul care efectueaze in intervalul l, de exemplu, zece, o suti... perioade complete. Pe baza acestui lapt pot fi construite acum aparate peiiodice de misurat timpul, mai rapide sau mai lente (ceasornice cu cadran, ieasornice cu pendul e_tc.), iar cu ajutolul definitiei pentru misurarea egalitnlii timpului pot fi determinali timpi arbitrari (9i procese aperiodice). Ceasurile nu-sint aitceva decit emitltoare de semnale periodice. 'frecerca Soarelui la meridianul Pimintului este si ea aproximativ un proces periodic. Deoarece, vizut dinspre Soare. axa pamintului nu are o pozitie lix5, ci inconjurd Soarele o dati pe an, ziua solarl este supusd unei mici fluctuatrii (fig. 1.1-a). De aceea, drept etalon de timp se ia valoarea medie pe un an a zilei solare, ziua solar[ mijlociel. (]a unita[e [1] a mirirnii Pentru a satislace cerinlele nrisuritorilor de cea rnai inalte precizie, in uttimuttimp s-. - -. .r un detjnit rrou etalon de timp pe baza lrecYentci unei anumite $uise de lumind.

CAPTIOLUL 1. ELEMENTE DE MECANICA

38

fundamentale timP se ta a 86 400-a partc a unci zile solare mijlocii; aceasta este o secundir. I)eci ln sistt'rnul dc unitir!i pe calc il vorn pune Ia bazl este valabili Ielatia I I.l

:

s.

Proeedec de rnisrrare

peltru tinpi Aqa cum arn ficut la mirimea lungirne, vom Privi gi aici o tabeli a valorilor de timP cu care opereazi fizica gi vom cunoaste diferitele metode de mdsuri tolosite (v. tabela 1/2). Anul este cea mai lungi Perioadl folosi tit pcntru miisurarcir timpultri, Pe baza aceslrti ..ctrtnometnl' avcln iDdicaiii oxacl o Flg. 1.1-4. Unghiul a, cu care trebuie sA se ma de tirnp ccl tltrlt Pinir la anttl 'l'oate Pemintul dupa o rotalie conrPlet; (fal: de deplaseze i ik' inforrnat 1000 i.e.n. cerul stelelor fixe) pind la trecerea prin meridian penlru pcrioade rnai lunQi se a Soareiui, este in pozilia indePertata de Soare bazeazir pe rnctode ind irccte, (v teze liniari mice) ma mic decit in Pozllie aPropiat; de Soare (vitezA liniara mare) (vezi 2 5.4). care tru ltiloscsc Procese PcriDe aceea ziLra solare nu este aonstant:. odice pentru Inasurarca t ilnpului. Se cunosc. de exemPlu. lt'gi despre desfi5urarca in timp a unor procesc la care se transformd energie (energia termicii, dezintcQlarea Prin radiaiie, energia radianti). Din straturile scoarlei p;rminte5ti se poatt' r'edea ii astlzi citd energie radioactivl a existat la naqte."o lor; de aici poatc fi calculat timpul care a trebuit sit se scurgl la un asetncuea transft'r dt' ('nergie si astfel se cunoaste virsta straturilor respective. in mod asernilnartor poate fi calculat ;i timpul in care va fi epuizatd energia solara existentit in prezcnt 5i in care nu vor mai exista condiliile de viali cerute de biologie. in tahelr l/l xrn indicltl (, luugilne pcntru diametrul ipotetic al ['nitersului; calcularea (lu acestei lungirni se hr7,r p(' contlatarex c:i spaliul cosmic urnplut cu materie se dilatL

'@-;-'--'-

ajuto|.ut cercctnr;lor de r:rdioactiritate, carecuprind;i schije de Incteoriti. r'irslT Lrni(er'ului a fost apreciat:i la aproximativ 101rani;lcestea sint l5 0:]8 1ors s=1{)r; s Daci st presupune cd Unirir:rsrrt. a cirui lirnitn exterioa.d sr.extinde cu !iteza lltminii. a inccpuI extjnderea sa

de aproximati\ ,ori s (u viteza luminii c-:] 1OsI ,atunci extind(rea totali intirnpul 1Or?s ajunge la o distanl,t dc aproliinuti\ 10e5 m?,actasta estt lnsd tocmai Yaloarta' la crre s_a apre ciat pe o calt conrplcl dileritn (r'. p.33) diamelrul UniYersului. Dileritele ttorii se sprijine reciproc.

Toate valorile de timp mai mici de 1000 de ani se dettrmini pe baza unor procese periodice. Din perioada traiectoriei Pimintului rezulti ca misur'r a timpului anul; din pcrioada de rotatie a Pimintului rezultal ziua; perioada acului mare de ceasornic irnparte ziua irr 24 de ore; sutimi dc secundi mai

LUNGIMEA

9I

39

TTMPUL

pot Ii misurate cu cronorrlelre. dacir sint dcclan;alt clt'tlronic. inttrvalt'si clc dau pt' tale inai scurte de tirnp se mitsoari crt aparatc tlt'flctvetllii inalll; 6s ltttt'r'r'ale $i ruai (lulatll lO o dc pinri la tirnP perioclice de electrici semnale scurte nu mai pot ii identificale lrtin courpararea tlileclir lt LitnPultli cu ull proces peliodic. Tabela 112 Clleoa ttaloti de timP

10u s acum 1Ol3 s acum 10r, s

vlrstft Universului epoca glaciaril

paleolitic, apxrilia olllului din Ne.ndrrtal

rcurn l0Ll s cultura din Creta 2.1Oo s durata de riattr mcdir ll ornulu! s anul s ziua 10' s b{taia inimii

:].2 107 0,9. 105 0,8

1U 2

compa-

ralio radioac

dr

ti! I tinrp

1

s : perioadi o curenttllui xlll'rnctit

i

de

parcuN ai

3cm 10

23

s ,,timpul

sem

nlrle periodice (ceasuri,

oscihtii,

2

10-6 s pe.ioada undelor medii (radio) 10-ro s timpul de parcurs al luurirlii pentru

cu

omi_tltoare

nale

ii

culendar)

particule cu I itrz:i

cunoscutl

elementar"

Si clariliclm qi urtnitorrelt l)robl('rnl: carc este tilnpul cel nlai scllrt desprc care mai are sells sat sc vorl)('ascal ill fizici. I)acI un st'mnal ctl celr Inli mare vitezi existentil il) rattlrir rlcci cu viteza Iurninii c::l' 108 m/s parcurgc cea mai rnici lungitnc cristenll in naturir - diarnt'1r'rrl eleclronultti d:t0-it,, , atunci el ncccsitar pentru accasta un tirnp de 10-23s. I)espre un timp mai mic n-are sens si se vorbeasci in lizici. A splttiului' de o Prezintl:rnumite dilicultnli mintale, dtrci Yorbirn dc o tinriti superioarl(lilicullirli rrrintalc qi ;"1€rioaid a timpului, de virsta li raza Uri!crsrrlui' insri iiiniie "L,per;oara aseminltoare ar rezulta !i daci am vorbi dc un timp nclinilat Ii un nllj\1'c nolinril't' Iisll'

surprinzitorfaptulcrifizicaiaaiciodecizie.(leidrept'trl'buiesiiIintlt)co'rtdef'tptulci fizi';a vorbe$te de spatiu $i timp numai intr_un sens Ioarte sptci:ll' ii anumc ill stnsul posibi utunci litilii de m;surare.^Dacn indicim limito pentru noliunca dt spaliu,ii timp (lin fiTicri' indicd; Iimitele (tomeniulLri in cadrnl clruia are sens sI se aplicc misur1torile dc ti p !ii lun_

girne definite dc fiTicn. in mod conitirnt, fizica se despxrte aici de orice,notiur)c liloTolic:i, iar;i de o notnrno proa neivi despre spatiu fi timp- (lu aceasta nu se ncagi valoarc| notitlni_ )or de spaliu ii timp dinafara Iizi;ii, deoarcce tizicianul care filozofeazir trebnic si sr i,trrbr: unde se ex'tinde Uninersul cu lirrita lui, care se d(ptaseazi mcreu, fi ce a existat incinto de in tervalul de timp de 6.10e ani? Detinilia dati notiunilor de spaliu ii tjlDp a tost posibili printr-o construclic univoci a notiunilor dc sprliu ii tirnp. c,r.e poat€.fi repetatl de orice c\p(_ iimentator. partea constructivi i:i gdseqte eipresia in post latele: inrarial)ilitaLe^ ctnlonului pentru dctinilir de lungime, invariabilitatea pcrioxd;i pe!r'lLrlului.pec.retrebuiasilc.cnunlim p.oc.diuritor a" masrrrare

a

iungimii ii

a

tirnpulu;. ..1-irnitcle'' sp.ltiului

$i

tirnpului sint lin)itcle

;cestor noiiuni de spatiu fi timp ldcute ml;urabilc dxtorite acestei constrttclii mintalc li sint astlel $i limite ale d;meniului experientci noastrc. Elc nu s int Iimite pentrn gin(l ircn asupra spa-

tjutui$itimpului;acesteainmo.ilnecesaftrcbuiesidcpiicascilimittlttlnsanlbluluiDotional corstluit.

CAPITOI.UT

40

1,

EI.EMENTE DE MECANICA

Dactr lizlea sputre: nu are B€trs si se vorheasctr de o lungt r€ nrai rnarc decit I02t n|, aluncl piln aceasts s€ exprlnl{ (ir o lizl(.I pur:i. rare rnnrhG in (adrut nrelodchr ei proprii, blne dellnile, nu dre l,rel€nlin l:r o inlcrlr€lare Iizici univereatl a lunrii. ta un risputrs obligororiul grrsxrot cxperi tental, ls problentel€ gindtrii li ale vtelll.

1.2. Cinematica 1.2.1. Sisteme de referinfl gi deserierea migedrilor ln cinematicir

se descriu formele de migcare ale

corpurilor. ln acest domeniu se presupune ce lntre corpuri nu existl nici un fel de interactriune, de exemplu ele nu se Ciocnesc. Drept exemplu alegem migcarea unui vehicul; aici existi multe p5r!i care se migci. J)acE ne intereseazi migcarea intregului vehicul, atunci extragem un punct al acestui corp gi cercetEm in ce loc se aflS acest punct in diferite momente. Ijrept punct putem alege axul din fari, butucul unei roti sau centrul de greutate. Descrierea unei mi$ceri este posibilS in trei feluri: l. Pe un anumit traseu, in dreptul unor puncte diferite scriem ora la care un vehicul a trecut pe acolo, De multe ori, in locul orei se folosegte indicaiia timpului unui ceas-. care a fost pornit la inceputul procesului de miqcare (ceas cronometru). Insi qi pentru un iuceput arbitrar al m5surSrii timpului este posibile o descriere univocd a procesului de mi;care (fig.l .2-l). 2. Distanfele de la locul pornirii (sau un loc arbitrar al drumutui) sint trecute impreune cu timpii corespunzitori i\tr-o tqbeld (fig. 1.2-2).

al fizicii nu se pune problema cauzelor migcerii. ln plus,

6h15nn

lEht6kn

,eh

Ehh

I

l

FiE.

1. 2-1. Descrierea

Lrnei

mitcarl prin reprezentarea drumului 5i indicarea unor repere

de timp.

FiE. 1.2-2. Descrierea

c5ri printr-o tabeli

unei

mis-

spa'!iu-timp

3. Pornind de la tabeld se

+Hf+,ll,I+,f,+,,1

deseneaze o diaoramd, introducind valorile numerice care indici spatiul parcurs pe axa ordonatelor, iar valorile de tilnp corespunzetoare pe axa absciselor. ln figura 1.2-3 este desenate o asemenea

diagrame de spafiu-timp. I(grec.) linein

: a

mi$ca.

CINEMAIICA

11

Pini-acum am desclis mi$cari. crre au loc pe o dreapta. lnsa. de excmplu. Ia o bicicleta exista perli care se mi;ci cu totul altfel, cum ar fi ventilul rofii din fat5, axul pedalei etc. Daci vrem sI reprezent5m migcarea acestor pirti componente, alegem cel mai bine modul de reprezertare nr. 1. Ce-i drept, pentru descrierea locului este nevoie aici de un sistem de coordonate bidimensional. Pe cele doui axe ale sistemului sint trecute valorile de distanli misurate in direcfia orizontali li in cea verticald (lig. 1.2-4). Diagrama din figura 1.?4 trebuie bine deosebiti de modul de reprezentare a unei migciri intr-o diagrame spatiu-timp (fig. 1.2-3), deoarece curbele in 3 figura 1.2-4 nu arati desfigurarea in timp a nriqcirii, 2 ci traiecforia unei pdrti componeDte i bicicletei; numim o asemenea diagrami de lraiectorie, ln reprezentarea unei curbe de traiectorie pot fi-. introduse valori ale timpului doar in citeva locuri t>de interes special. Daci vrem si reprezentim intreaga Fig .1.2-3. Descrierea unei desfdgurare a migcdrii in funcfie de timp, atun-ci mjtclri printr-o diagrame trebuie sd descompunem traiectoria corpului int.-o spaliu-timp. componente orizontali gi una verticali qi si repre_ zentdm liecare compouente separat in funclie de timp (fig.L2_b). . Descrierea tuluror proceselor de miqcare depinde' ioi'rte mult de locul de -Ia care observim miScarea.

i, tp \

s 5

€nr

t, )at

FiC. 1,7-4 Traiectoria o) ventilului unei roti;

E

butucului unei ro1i,

E a

b)

s

b)

lanpo1enle orEonui x

*

CAPITOI.UL

47

I.

EI.EMENIE DE MECANICA

J

I -,,5

t

t s

,L .a

sl

Fig. 1. 2-5. Curba spaliu-timp o) pentru mitcarea butucului !nei roti (componenta verticale); b) pentru mi$carea butucului (componenta orizontalS); c) pentru mi$carea ventilului unei roti (componenta verticale); d) pentru mi$carea ventilului (componenta orizontale) i dreaPta punctat, arat; curba spatiu-timp a butucului, iar curba plini arat: cum ventilul rimine in urme fat: de butuc, respectiv i-o ia inainte.

CINEMATICA

43

Fig. 1. 2-6. Traiectoria

o) butucului unei roti din

perspectiva biciclistu lu i b) ventilului unei roti din perspectivabiciclistu lu i (oriBinea coordonatelor poate fi deplasat; $i in butuc sau in orice alt punct).

I

t

I

a

t

\

s

s

s

[ontomb tnorhb ,

t: G.

s

e)

s

*

fonponenh onzonb/i x

*

t N

s

I I

t s Fi8.1,2-7. Diagra-

ma spatiu-timp

o), b) pentru mis-

carea butucului

uhei roti din per-

spectiva biciclis-

tului;

c), d) pentru mi$carea ventilului unei roli din per-

spectiva biciclistu lu i.

d)

/*

Reprezentem incd o dat5 milclrile figuiilor 1.2-4 Qi 1.2-5, aia cum se prezinte ele din perspectiva biciclistului (fig. 1.2-6 9i 1.?7). Cadrul bicicletei, ghidonul, gaua qi centrul de greutati sint pentru biciclist pirli iu repaus; axul pedalei gi ventilul se miqci pe traiectorii circulare. Pentru un observator Ia marginea strezii, bicicleta si migci in lungul strizii; pentru observatorul de pe bicicleti strada aluneci sub el, copacii la margine qi pietrele kilomeLrice alunecd pe lingi el.

CAPI]OIUL 1,

11

ELEMENTE DE MECANICA

Observatorul de la marginea stlizii are un alt spa{iu de observare decit cel de pe }icicletd. Fiecare din cei doi observatori je consideri pe el insusi in repaus in otiginea unui sistem de coordonate. N-ar avea sens si se intrebe care observatol folosegte sistemul de coordonate adevlrat. privite de pe I-ur, sau de pe Soare, mi;cirile descrise aici se vid iarlsi complet altfel. Dcscrierea migcdrilor se referi deci intotdeauna la irn anumit sislem de referin ld, misclrile neputind fi determinate absolut (independent), ci numai relativ (fa[i de sistemul de referin{A).

Rcznll,:l:

U dcsc.ierc oontlletrl n unci ntiir:iri eep\ile: a) O indiealle asupra sistomului de .elerinlir iD (,are se descrie mi;(areai b) I di(arca lo(rlui (orpului nli;(ltl in acest sistem de relerin!i in orl(e moment doril. lne€putul misurlrii limpulri poate li alcs (omplct or}ilror. h intre ga lume nr erislri ni..i un slstetll de relerinll prir.ilcgiat ir nrod univoci peDlru lie(ar€ rnlscare rlegeD din toate sistemelc de rcferinlii posibile pe acela, care estc€l mal favorahil p€ntru problom! pusi.

Pl Prahtema l.-'/rr Rolrta din fa[i a unei biciclete are un diamrtru de 1 m. Ee se invirlestc jn un( i curse de doud ori p. .rcundr. I decursul (:onstruiti curba traiectorici \'€ntilului cu repere de tjmp ta intervaledel/8 s din perspecti\-a la) unui obscrlator de pe mar(inea \trtz;isr dllr perspecti\a biciclislului. I \patiu timp ale conlpo;ent;i orizontate $j at€ celei verticale a rniscirii I br Construilj diagramele ventilului din p€rspectiv.r unui observator la marginea strezii si din perspecLiva bjcictistului. I 1.2.2. Migearea rectilinie si noliunea de vitezli

ln

ceea

ce urmeazd voin studia formele de migcare alc ulor

corpuri

care se deplascazi pe o dreaptl. Pentru aceasta folosim o lirie cu cirucioare. Ea consti dintr-o pereche de gine montate pe o placl de bazd plani Ei citeva cdrucioare, care se pot misca pe aceste Eine in mare m5surA firi frecare li care pot li incircate cu discur.i. Pe o asemenea linie nu puiem replezeDta

decit desfSguriri scurte de rnisclri. De aceea avem nevoie di un cronometru, care poate da in acest timp scurt foarte multe semnale precise. Un asemenea emiiStor de semnale este tensiunea alternativh pe care o ludm de la releaua uzinei electrice. Aceasti tensiune este pe secundi exact de cincizeci de ori pozitivi qi de cincizeci de ori neaativi. Ea inlocuieqte un pendul care oscileaz6 foarte repede qi cu care am putea mesura timpul. No/.ir Proced€ul de mdsurare a timpilor scurti descris aici va fi aplicat de mai multe ori ln experienrele care urmeaztrj el este adecvat ln special la tratarea mecanicii in rxperiente efectualr de elevi. Experieniele descrise pot fi lnsi oriclnd modilicate, Iolosindu-se cronornetre Si aparaLr de mdsurd pentru timpi scurli. Fotografiile ligurilor de pral care urmeazl nu sint date ca si lnlocuiascri e)aperienlele, ci ca sd lndrume cdtre o Iolosire corecti a aparatelor Si o repetare a lor,

Eapericnla 1.2/li Folosim linia reprezentate ln figura 1.2-8. Perechea de qine de glisare, pe de o parte, $i $ina din mijtoc, pe de alLd parte, se conectezA prin intermediul a doui rezistente loarte mari la bornele Lrnei prize a refelei de curent alLrrlrltiv, afr cum arati figura 1.2-9. Cele doud rczistente stnt astfel dimensionate incil Ia o atingerc a $inei tensiunea de retea de 220V se nu aibi nici un lel de efect asupra corpului uman. Datoritii

CINEMATICA

45

rezistentelor marj nu pot c:rcula declt curenti de intensittrti complet neimportante (maxiln

0,0003 A:300pA). ,\cest curent ajunge pentru a incirca $inele in rjt ml curenlului alternativ de cincizeci de ori pe secundd negativ $i de cincizeci de ori pozitiv.

Fig. 1.2-8. Linie cu cirucior ti inregistrator de urme.

Treceti acum cu drgetul uscat p€ste Sini. Simtili o \'ibralie usoarl, care corespunde schinr-

birii lensiunij alternatire.

Corespunzdtor

stirii

de incdrcare, degetul se

putin de $ind;astf€l, le trec€rea peste $in{ apare aceasti vibratie.

Fig.

ljpeite mai mult sau n)ai

1.).-9, Conectarea Iiniei penrnAsura.ea timpilor m jci.

tru

Et.petiento 1.9/2: Sina neagrd ie acoperi cu praf de sulf.'Ireceti acum cu degetul peste iiDi. Obscruolit: Se lormeaTe un sistem de dungi deschise $i inchise (fig. 1.2-10). Int.tprctaret Prin frecare, sultul sr incarci negati! ii aderi mereu atunci de $intr, clnd aceasia este

incircati tocmai poziti\'.

t'

FiE. 1.2-10. Figuri de praf produse cu degetul mi$cat de-a lungu

I

liniei.

Etpetienta 1.9/Jr Treceti cu degetul mai intii incet, iar apoi r€pede peste iind. ItxplicaIi observatiile ficute. Clt timp estr necesar ca degetul sI deseneze o dungA deschjse lsau in€hisd)? Eapetienla 1.211: Lrezati acum un cdrucior pe linie. La partea inlerioare cirurjorul are o lameli, care in timpul mersuluigljseazi usor pe;ina din mijloc Si pro\oaci acolo, ca ii dege-

tul, figuri pe praf.

a) l{llcarca utrilormd

Erperienta /.2/5: Inclinafi linia in aga fet incit dupi fiecare impingere ciruciolul si inscrie dungi de llfinre constantS. \:erificali, daci la inceputul 9i sfirgitul mi;cirii la cinci sau zece dunsi corespunde aceeaii distanti (fis. 1.2-11). Forma de migcare care a produs o astlel de urmi, se numeqte o mi;care Lutiformd.

Deltnitie: Ln o mlics.e uDilotmii, pe o dreapli sint lrrcurse ilr llrtervale egale de ttnrp sparll ogale.

t'

I,

CAPITOLUT

46

ETEMENIE DE MECAXICA

in orice moment gi Experien[ele noastre aratd ci o mi5care uuiforml nu poate fi oblinute decit aproximativ gi numai Aceasti condilie trebuie satisfdcuti

in orice loc al migc[rii.

pe distan[e mici. Comparind inlre ele diferitele urme de caitucioare Ini)cate uniform. ol)sclv,rm o lifime cliferiti a dungilor'. In acela5i timp de 1 s. carucioarel, Palcurg sPrlii ditelile. Cu raprtltul ';o dintre spa!iuI r;i tirnput colespttnzaltol putern sii exprimirm viteza ciu ucibrului.

DcfiDitie: Vil€ze r,:r llnoi mit(iri unifornre este raporlul dlntrc spa!iul s (arbit}nr) Si tinrpul I ne(€sat pGn(ru parcur0erea ncescui spatiu:

: ;

:

:

t_. I

Viteza p este o mdrimc derivati din mirimile fundamentalc dc spatiu.s rii timp l. Unitatea ei rezulti din cea a s1-.a!iului qi a tirnpului ca tiind 1ul: 1. De rnulte oli se fo-

*l'. ii unilalca t,,j - h ilrrrticali logalura intlc

loseltr

unit,ili de vitezl Tabela

doul

!)

ll3 Elempl(. dc

;

|ileze

(rr'ftercn ierbii 1o t ll

rn.lc

celc

xvion

crr

r(,ar!i€ 100 L

\itez.r pcritoricrir

lu-:r

I'rlrintuluilr l:cu:,Lor

: 165

; :

mir$i luit{r-

1,4

crosist

2,8 - : glonl de pusc:i

bicicli\t

5,d

:

ss t)t

500

:l.l(r

raclr.lJ

-rl

.:,

-

:

rindullici

gg Jll r;lsrx I']nnrintului p; orbila lui

ss vitczi sunctului:l:]0 L liteza iurninii ss

FiE. 1. 7-11. Figur; de praf

J lo{ T3.tos

I]L

:

a unei misc;ri !niformer

I \oti pontru intcrprctarcl Iisurilor de pral: toate fotografiile figurilor dc pral sint n)icsoratc ln srara 1:5. I>crrtru a ob{ine lungirnile adcvlratc, lunAiruilc ini\ural( p,, li:ruri lreLuie irrnullil( cu i.

.

.t

il

,+7

CINEMATICA

In figura

1.2-12 este reprezcn'

tata diagrarnc spa(iu-tirnp a unei mi;ciri uniforme, RezultatuI este o

dreaptd care trece prin origine, dach la timpul l:0 se consideri spatiul so:0. Dreapta poate fi descrisi matematic prin funclia: S

:

Const'r.

Aici s gi I sint valotile corelate de !i timp ale tni;cirii. Coustanta

spatiu

este panta dreptei. Cu

merge mai repr:de, cu

cit vehiculul atit mai in-

clinatl este dreapta in diagrarna spaliu-timp. I)in definiIia vitezei rezulti ca factorul dc panta al dreptei corespundc r.itezei rni;cirii. 10 {}

FiZ.

c;ri

1.1-11. DiaBrama spatiu-trmp a unei mi5-

uniforme, avind valorile mdsurate din urmitoarea tabela:

20.

30

.10

50

60

7t)

tit,

50

50

50

50

50

5(r

5{r

56,7

ri6,3

2S.U

:17.8

Astfel obtinem lecile rnilicirii uDiforme: l. \'ltez& ., r Itritcirrii unilornre eslo coDsl$nli, 2. . Le0ea Fpalirl-limp este s-o/Ptobl(n1c 1:l/Jr St rndsoar:: distanlr de 2,0 nt prrcursA dc sunct in 0.006 s. Calculali viteza sunetului in cele doui unitdti ale vitezei. Calculali drumul parcurs in 16 min de un avion xllnd dc doui ori yitcza suDetului (dace se milce uniform). Pbblemo 1.213: Pe autostradd, o ma$ini parcurge 0,5 kID iD 18 s. (;alculali \jteza $i druI

mul percurs ln 21

h.

2

b) llit(flrefl neunilornri

Daci o masind i$i miire$te viteza la pornire. ea nu efectueazr o miScat.e uniformi. De asemenea, in timpul rnersului, in general mi5carea nu (,ste uniformi. in curbe, migcalea nu iste rcctilinie gi aitfel esle neuniforrui. La fcl se schimbd 9i valoarea vitezei. Vom studia misearea reetilinie neunilornrtr mai indeaproape. in fiqura 1.2-13 estc reprezcntatr-r miscarca unui vchicul care mai intii devine din ce in ce rnai rapidir (1o pinir ta), apoi e[ectueazlr o rniscare uniformi (1r, pin,r /c), iar apoi trcbuic si:r m(,argir de exernplu pc o porliune de deal dirr ce in ce mai abrupti (1" pin la) ;i ir linc vchiculul a ajuns Ia porliunea cu panta cea mai lrarc, circuliDd Pe ca crr vitezl foartc mici, dar constanti (la pinn 1"). Tineti inse conI ci reprezentarea graficn din dir{rxnrl !pxliu-tin)p (tig. 1.2-t:j) trebuie bine deosebitd de nrersul Yehiculului, (urr ar lrrbuj reprezentrte inlr,u sislcnr (r. U). ObserDalie:

CAPITOLUI 1, EI.EMENTE DE IIECANICA

48

Pentru intervale de timp /D pinl 1" 9i td pini to putem indica viteza vehiculut,no. r.specliv uo ,:",'" "rilui: crr cslc: uu,, ',""

: :,. ln gcr,,ral csfe valabil:l rela{ia: u,., ".: lrlt, a/ Prin scmnul A (delta, un D grecesc) exprimirn faptul ci aici este vorba de utr irterval. dc diferenla a doua valori. Pentru calculul lui l, aici este indik'rcnt cit dc mare sau cit de mic alegern intervalul Al 9i intervalul corespunz,rtor As; se obIinc tnereu aceeagi valoare, cit timp intervalele sint luate din dorneniul tni;cirii ttniforme. Sal fornlulirn lcttnt viteza pentrtl momentul lM, cart' s€ a[li in intervalul .

16-1o. ,\ici l1u tnaiestc valahil procedeul Pe care l-am putrrt aplica la migcarea uniformir. Nu trc intloiln insi de faptul ci Ia timpul lrr vehiculul are o vitezl

E

foaltc precis.r. in oricc rnomcnI tahometrul iodici o valoare foarte precisl. Yorn produce in mod t'xperitneutaI o mi;care neunifolmi, care corespunde porliunii tx lo din curba figurii 1.2-13 si vom deterlnina viteza intr-un anumit momen t: Eqterienlu 1.2/6; l,inia se lohsegte ca plan inclinat. I-5sAm uI clrucior incercat cu-o greutate ntliiionaki si mearg:r pe linia inclinati cu 20'. Din urma de praf (filf. i..2-14) (,\lraecm valolile de rh'uru r;i tirnp Pentru reprezentarea migcirii inlr-o diaurarn,r spafiu-tirnp (lig. 1.2-15): 10

o

tl

r,,,0,6;)

.{0

50 50

9,) 50

r!

51

61

50

50

10

80

50

50

74

81

50

50

io

50

1.1

'll

3.1

;o

5o

5o

6.(i

9.9

I,lt

21,6

30,1

.10,3

9.8

16,6

25,1

35,3

.11

,t

61,1

1,0;

5.01

5,95

6,8!l

7_,82

1,6

-1.9

1.28

2.! I

lalori de tinrp citite din gura

:11

11'

;(r

1

66,1

fi_

1.2-1,1,

!ahri de stgnrcnte citite din figura 1.2 I l. \':rlori de secnrente cor'ectlte (indicrl ia

7L'ro u

mentekrr tste

n):isurririi

(l(Pl:tsa

s( g-

tn in

locul \trrtrlluii \'(zi P ng).

valori dt tiDtp corcctrtt duP:i figur.r 1.2 i{j (punctul d. Tcro al mirsuririi tirnpului d(plas.rt ln mom€ntu1 startului)

t,

Fie. 1.213. Didgrarra spalru'tinp a difer

ite slari de

mrfcare.

unui vehicu

CINEMATICA

19

Fig,

1,2-14. FlBura de praf a unei mi$ceri neuniforme r).

a

a

a Fig, .1.2-15. D;agrama figurii de praf djn fi|. 1,2-14, Curba pline reprezinti valorile corectate ale spaliului $i timp![ji.

Rezultal: Curba spa[iu-timp are forma unei parabole pitratice, Conlirmlm acest lucru, introducind intr-o altl diagramd in locul spa!iilor valorile ridlcinilor acestora. Rezultatul este o dreapti (fig. 1.2-16). lntre spafiile gi valorile corespunzitoare ale timpului existi deci legetura:

t

{a ,

/i:ft't

loarea constantei

I

i: : : I

figura

praI._

,k

se determine diu panta areptei

/i: /ltain

1.2-16. Noliir Se poate lntlmpla, ca dreapta sd nu treactr exact prilr punctul zero. Alunci inceputul misur,Arii timpului a Iost greiit ales, Aceaste greieale se Iace u$or, deoarece la lnceputul mjscdrii cdruciorul se mi$ctr lncet ti reperele de timp slnt loarte d;se. lnsd dupi desenarea drepiei Vi-VT tt+.1, printr-o deplasare adecvati a axei timpului aceast?i gre$eale poate Ii u$or corectati. Sd determinim actm uileza inslanlanee rld a chruciorului in momenlul IM (v. fig. 1.2-15). Mai intii, aceaste viteze uu

poate

r

sau s:1ct2.

Aici punctul zero al m5surerii spaliului gi punctul zero al misuririi timpului au fost puse la startul ciruiiorului. Va-

Toate diagramele

{ - firi.l @r. ipe.ior

fi decit aproximate cu ajutorul expresiei:

li

t,r2,

x:

-19:jl. la-

lz

tabclele care urmeazi (plne la p. i5 ) se refere la aceasttr urml dc

CAPITOI,L,I"

50

!.

ELEMENTE DE MECANICA

\.6n

a

a

Fig,

1.2-16. Reprezentarea valorr

or pentru radicalul sPatiu,ui

Tn functie

de timp

Aceasti uilezd de inleroal ,2,r corespunde vitezei unui carucior in migcare uniformi, care parcurge poriiunea de drum As:ss-s2 in acelaqi timp A,l:lr-lr, necesar gi tlruciorului mi;cat neuniform. Pentru viteza uu in locul ,M Putem sE scriem:

A's.uM=i,2.3: -' (in inlervalul de timp /. -lr). in cele ce urmeazl yorn deduce o forml mai exacti Pentru viteza instantanee. Din figura 1.2-15 extragem rela{ia: Itr 2
ciruciorul parcurge in intelvalul de timp ly-1, o distantrS mai mare decit ar parcurge cu o vitezd de interval Dr,2 constanti. Pe de alti parte: daci clruciorul ar avea viteza de interval u3,a deja din momentul ly el ar ajunge in timpul l" -lu cu mull in afarr distan(ei ss (vezi dreptele spaliu-timp p"unctate cu roqu in figura 1.2-15). Putem scrie deci a doua inegalitate: 0r,

2


Iirperienla .1.9/?: Producefi pe linia cu cdrucioare aqezatl in pozilie oblici o urmi de praf, marcali doud repere de timp ir gi l. cu douh iigii de hirtie (Iig. 1.2-17) 9i formaii viteza Fig. 1.217. Fi8ur5

ii

de

corespunde un timp

de figurii

1.2-14.

praf

cu

d"g

repere de

s (vezi

timp; intervalului de timp

ti-tr

nota p. 48). Aceasta fiSurlcorespun-

i a a

;

CINEMATICA

51

(le iuterval t,r,3. -\liltati cal pel)tlu toate vilezele de iulelval t,,," pot 1i fortnrte rluPir alegerea albit[aIi a valolilor de lirDp l, si

si r.rr, r, clre l{. este \.a-

lal)ilu ir)egalitntea : r,r,,-
fi€: irrstarrtnne€ I,\r esle l,ak,arefl linririr (trlre

" ,, ,, l: .lil

tlit*e

ff

Itor I

5n-

l,rrr j'

r,\r- trnr c! r r,

.(,

50

(arr tinrl vilozrlo {l'. intrrral ,r..,

(cu

.- 1r):

de

iotervd

ti'n A..l

rl

.o

ai

2t,5 23,2

242 55

50

26,1

270 28,0

io,4+

290 30,0 31,1

32.1 33,1

bc

5-0 -

34,2 35,3

w+!4

36,4

375 38.7 39,9

70

id

4l,l

l. 6at

+

43,5

448 46,1

75

T fr -50 ..b

474 487

.,,-..

1.

o ro{ oo.nr-e

c;.u(ror-l

are

o vltezi rnstantanee r'\!:55 cin. s-l.

Varor le corectate ale spat ului Si timpului sint extrase din figura de praf . respectiv 1 .214.

dir {ig.

1.2-17

.CAPITOI.UI. 1, EI.EMENTE DE MECANICA

52

Rezultatul ralionamentelor noastre asupra vitezei instantanee se poate interpreta in felul lymdtor: viteza de interval u!.2 se reprezintd (fig. 1'2-19) ca pdnld serunlei prin punclele &(t2' sr) ii Pr(lr. sr) in curba spaIiu-limp. Pozi(ia limitd a acestei secante reprezinti o tangentd la curba spatiu-timp in punctul P;(lM, s!,,), daci linem cont de condilia lr
prima acum viteza ilstantanee rivatei:

rr!1 ca valoare a de-

t,L Fig. 1.2-19, Dace valorile de timp

in

Viteza hslanlanee iIr nronlenlul tM a unul corp ln Dritcare .ectilinle €sle egalA cu valoarca p.lmei derlrate

11

ti

12

se aproPie

ordine arbitrara de va-

loarea tM, seaanta S se apropie de tanSenta f.

a luncliei spllllu-lilnp ir lotlll lM:

'M:s(lrr). Determinarea vitezei instantanee a unei anumite migcdri are loc asttel in urmdtoarele trei etape: s:f(l), 1. Determinarea funcliei spaliu-timp 2. Derivarea in raport cu timpul a functiei spatiu-timp ,:i:ttO, uy:f(ls). 3. Introducerea valorii speciale 111 I. spre deosebire de indicele Iolosit ln calcuf(l) se deriYeazd in raport cu timpul; ac€st mod de scriere este familiar in fizictr inctr din timpul lui L Newton(1643-1727), care a inlrodus notiunea de vitezd instantanee. Prin punctele de deasupra simbolurilor s

lul dilereniial ln f'(r), exprinldm Iaptul

li

cA funcJia

Si deducem acum viteza instantanee determinati in experienta 1.217 d,in nou pe baza deiiniliei date mai inainte. Pentru aceasta trebuie sd deducem mai intii Imctia spatriu-timp s:kl' a miqcirii cercetate acolo. Valoarea ft o determindm in felul aritat in figura 1.2-16. Apoi funcfia s:kfz se deriveazl in raport cu timpul; se obline ;:3 kl. Dupa definilia de mai sus, viteza instantanee este datd atunci de relatia: a' -i1t'; -2 P1" ' Pentru migcarea reprezentatd in figura 1.2-14 se obtine

1:22:|

i:++

;

:| t;

u1,

:dat

Ia

1,

.

Vom nrai studia de multe ori mjscili care au loc dupi legea spaliu-tjmp s:&r'. De mai glndim p€Itru acest caz particular la un procedeu mai comod pentru determinarea ritezelor. in ligura 1.2-20 esle reprezenlatd o mitcare, care are loc dupd legea s:.I{l!. Si se determine viteza ln tocul sM, respectiv Ia timPul lM. Pentru aceasta lnscrjem in dreapta ti in stinga lui lM cele doud intervale egale de timp aceea vrem sA ne

AI

-:lr-lM-lM-lr.

CINEMAIICA

53

Spatiile sr li s2 asociate timpilor leszC ca fiind:

,r ti

,z se calcu-

r,:*4:* fry- At l'z; 2J \ ""-

*r::*

4l)'.

Iron+

2l

|

Dacd trecem secanta prin punctele Pl(lr, sr) ii Pr(tz,sz), obfinem o dreapti paralele cu tangenta la curba s:&r2 ln punctul PM(1 , sM). Aceasla lnseamntr, cd ln acest caz special deja viteza de hrt€rval indic{ valoarea vitezei instantane€. Si demonstrim aceastd afirmatie pe cale matematici: Derivata ln raport cu timpul a funcliei spaliu'timp este i:2H. Panta tangentei ln locul lM este deci lg

c:2 kl}I.

Pentru panta s€cantei obtinem pentru cazul

cial

spe-

ales

,

t,

tr

-\t \2

11{J)'i l'"-'., r

[,".i)-(,"

I

:2

t,

Fie. 1.1-20. La rniscdri, pentru care este valabil; legea s:kt2, panta tangentei este egali cu panta secantei reprezentate, Viteza instantanee este in ace5t caz egale cu viteza pe interval.

Atv.

,r)

Deci lntr-adevet secanta $i tangenta slnt paralelc. Astfel. ln cazul functiei spatiu-timp petratice, putem determina vit€za instantanee mai simplu: ,M

AI - _ . cu l, =lt\t- Ai si l,:I1r+ tr_t, 2 -2

De aici rezult, pentru mdsur.itori cu figuri de pra, urmetoarea instructiune de mtrsurare: fie de deterrDinat yiteza pe tru locul sM. Numerati din :lcest loc n reper€ de timp in sus ti n ln jos. Fie distanta pinii la al n-lea reper de sus dr, .lar distanlA la al u-lea reper

de jos dl . Viteza

ln

locul sM este aiunci.

,M-(dr Eremplu (\ezi p. 48 si 5l) /t:

54

+

5n

d,)-= s-r. 2tt 6.t

1'4

-'50

10 dun!ai sr

-95.1

cm

10 dun{i

s.,-35.3

d, dt +

"

d,

d2:41,4

'Jl --z:.r

r.:,r;,{

crn

-- 25,1 cnr.=22,3 crn . 5n . ', - .15.6 Sll .

cm

",n

2.,u

CAPI'TOLUL 1. EI.EMENTE OE MECANICA

54

Irorl.rr( l.J/l: Prodnccti ptrn irrclinat ii arr'itali ct: t:rtr nrii lnaintc, cir \.it('7rr timp (r- 2.irl). introducind difrr;tclc nrorntntt inlr o (I)acit nu existi o linie Iolosi tigura

;r

o urma dc praf pc Lln rjutonrI nx tod(i d!'7\'o Iestc o ftrncli( liniarii dc \ilr/c lc inst:rnlancc i \it(zi-ti]lrp. d irsrx rri cu eiiru(iorrr. sr Poxte

-t

rl

a a

1.2 21.)

a a

!ra

t.2.3. Aeeeleralia

a

Dacir un conducitor de maEini apasir pe

a i

accelclatot, viteza sc schirnbi. Xlasina st: deceleree:i. (:urnplrilortll rrnei tna5ini ttu sr' intereseazar lurnai rle viteza maximi, ci si de tirnpul in care poat(, schitnba viteza ma-

t({

sinii cu o diferenli de vitezi Ap:lz -2r (lori ta. Acest lucru este important la pornire, depl$ire ii frinate. La pornirc si depirSire u,

.a

7 a a

mai mic decit u2 (AI, estc pozitiv), iar la lrinare r,2 este rnai mic decit u, (Aa este negativ). O diferenln de vitezi negativi di o

este

intetinire, care poate

fi numiti ;i

It II

acceleralie

negatiud.

La experienlele cu linia inclinatir oblinem migclri a ciror vitezi cregte lot timpul; este

vorba aici deci de rniqciiri accr:k'r'ate, Sit studiem mai indeaproape.

Ie

.l .l .l

Prubl(na 1.)15: (lit de mnrt csts. confi)rnr probltttlej 1.2-.I crrsterea fitezelor insl:rDtaD(r alr uutli carru(ior

la

.a

momentel€:

123n /E:-s; 5i;5 -s;

ra

-s

..

.l -s

l

:i:l rl :l :] :l

ln tabela de la p. 5:i sint redate vitezele instantanee ale migcirlii leprezentate in figura 1.2-14. Daci valolile din tabeli se introduc intr-o diagrami (fig. 1.2-22), atunci se vede ci vitezele instantanee ale ciluciot'ului cresc cu aceeagi valoale in intervale de timp egale. De aceea lorma de mi;care studiati aici se numegte migcare uni/om-acceleruld.

: :.

: ;

::

:

i , :

; : :

=

.

1

: :

=

-

{ {

I

i I

l. l.

t

I

a

:

Fig. 1.2-21. Figuri de praf referitoare la pro-

n

:

:

Mi;carea uniform-accelerat

blema1.2-4 (vezi nota p. 46)

:l rl

:

I

a

a

a a 1 a

{

a a

CINEMATICA

55

Vitezele instantanee rnr au fost calcuLrtr dupii ccrrNlial ,r!-(d,..1.,-

,,u

,I.

'II

t.l

2t

:]l

l.l

:ni

:-)(r

50

50

50

1,6

-1,9

9,8

10.6

2;,1

20.5

:9.2

3U,2

10.7

l

DeliDi!ic:

.-)

I

7t

13.t

50

50

3;.3

17, I

61,1

5:,ii

6J.;

6.1

!4

l)$..ii ln o rnii(are !rloarr.n Iilezoi losl!rnl:m.o \r rrhirrrhir tu ntoea:i |aloaro Ar,. in ilrlqrralo rl(' lirrllr Al oqalr. nlnn(i :r(on nrilrritrc sr!

nunr€5t€ uniI0r r-a(l,(k'Illl:i.

Din ligura

1.2-22 se vcdc

cI

ra-

port.ul

fl : .\l

-,t-1, t, t,

este o constantii. Acclstri mirinre se preteazi pcntru caracterizarca mi;cirii unifolrtr-acct.lt'r'atr; ca sr nume)lr. irrr{.lora!ic si s(. lrult'rzar

c!

Fte. 1.)-)2. Viteza nrlscrrii reprezentate in frg. 1.2-15 eite o functie llnlara de timp.

a.

l)€linil.ie: Prir tc(elenrlill nrii(irrii unilo.rn-[c(olorale (a) in!elogcnr ftlporltll dhtm \:rrla!ir dc vit{'zri &) ii linrlul A1 rr(r'rllr porlrx (.0{stfl: Atr

o1

Cn uttilule

r rcrr,l,,r'rli,,i

rl

tull,l lr:

rrr

Irentru dinrcttsiur|a accclcl1r(ici sc oltlint, tlLrpri delinitia (latr. dirn (:1,? '?. 0u ajutrilu) noii rniirimi dciilitc, calactt listica rniscirlji uuifol rn-lcccl(,fatc ,, rrrist.irlii uniformJroatc fi cxptitrlIi acurn rnai cract: irccrlt,r'alir,,,:!a ' \/ itccc lt,ra lo (,st(, coDslalllii. Dacl dlept corrdi(ic iniIialti pcntru 1:0 s(' illc{.I(. vil(,za rro:0, atunci peDtIu acc(,lcra(ic sc ob!iDe a:1.1 l(.Hrx vituzrr-tirnp rniscirii rluiforrn aCce

lerate eSte: 2:ol.

t

"*11"1

CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE MECANICA

56

' I P

Ptoblena I.2/6. Determinati ecceleralia mi$c{rii rePrezeirtate ln figura 1.2-14. Detethinati

| 9i tactorul k ln

legea spaliu'timp

_ Din

r:*r1.

evaluarea experientelor este egalcu jum6tatea acceleratiei '2

rezulti ce factorul

atk:+a.

t din legea spatiu-timp

Astlel ob!inem rezultatul impor-

miScarea uniform-acceleratd este complet determinatE prin indicarea acceleratiei (constante) a. Legile ei sint: l. Accelersrla mltcdtll unllorm-acceletate a e8tc coDstaBtl. 2. Lrgcs vltozi-tlm} o8te u:ol. 3. Legca Bpallu-ttmp este s: 1 ol1.

tant cd

'lPl

Prcblem{

,.9/7j O ma$in6 este tn 8 s accelerat{ uhilorm din repaus la viteza:5l!3' h

I Calculati acceleralia, drumul I

parcurs Si vite7a dup& 4

I Problemo L9/8. O ma$intr merge llati acceleralia $i viteze finala.

s.

uniform-acceletat Si atinge

s:0,12 km ln l:13 s. Calcu-

Pentru miy{ri neunilorm-aeeel€rat€ se poate forma la viteze o acceleratie de interval:

-

-

aqa cum am

ficut ti

Au

"''2* tr-tl - N

Acceleratia instantanee se aproximeazi gi aici cu atit mai bine, cu cit se mai mic. Pind la urme se poate lorma 9i aici valoarea ,2 limiti. Acceleratia-lrinstantanee este:

alege intervalul

ai,: lim !1 Ar-0

AI

'

Acceleratia este derivata in raport cu timpul a functiei vitezd-timp. DacI pentru r, se introduce derivata i a funcfiei spatiu-timp, atunci, dupE regulile calculului diferen[iat, acceleraiia este egale cu derivata a doua in raport cu timpul a functiei spatiu-timp, deci egale cu s. Accelerolla uDel mlgctrrl la momentul lu este eg{ld cu lraloareo derlr1nlcl a dous ln rsport cu tlmpul a lutrallel apallu-tlmp in mome[tul lu.

Sint valabile urmitoarele relafii:

s:i (r) su :f (lu) 2.. u:s:f (l). 1.

3.

uy:sy: f(/y)

funclia spafiu-timp, spatiul la timpul l1a; funcfia vitezi-timp, viteza la timpul Iy;

o, :,ir,

lunciia acceleratie-timP. acceleratia la timPul ls.

a:u:s:f(I) :i*:i(tn)

Acum putem deduce teoretic legitura dintre factorul /r al funciiei spaliutimp s:/r/2-qi acceleraiia a. Migcareiuniform-acceleratl este descrisi de funclia

CINEMATICA

57

spatiu-timp s:k12. Prin calcularca primei derivate, formlm viteza u:s:2kt. Prirtr'-o nouir diftrenIicrc ob{inern acceleraIia n:ir:J:Z*. Derrarece, 4upl curn am corstatat, A cslc o rnirirne constantii. rclatia (-2k exprinll Iaptul cI la baza tipului de rniscale disctrtat aici stl o acceleratic cooslatltL l'actor.ul k poatc fi inlocuit acurn prin exprcsia k:1 a, .\stfcl toal,e tniscirile unilorrnaccelerate

pot Ii


prin tunclil *,rn'r,r-r,rrO .s:1a1r. 2

Probl?ma l.!19: lixplicali urmtrtoarele afirmatii:

a) l):rc:l mi$caru! rst( unilorrni. nccol(.ra1ia arr iI ori(r Ironrclll \.ulorr(,a z€ro. b) I)xcI rcpr(.z(Dtorra funcli('i spnliu-titIp arc for llr !n(i parahole. alunri (stc v(,rba

de

o rrri!ic:tre uoifornr-a(c(lrratri. I)roblcma 1.!11t|: iD Iigura 1.2-2:l cstt rcdrti o milicarr prinlr-o nrmli de praf (d). dia, grama spaIiu-tinrp (r) ti diagranrt \itezn-tilnp (c). l)ctcrnlinati u(((,lerulia acestei ntisc:1ri pe doui cAi diferite. f)upi diagr.mir \itezn-timp din figura 1.2-211. in oricr. rnol|rcnt a misclrii studiate acceleratia estr, aceeasi. lcum rezult:i un pro(ed(.u comod prntrll .lcternrinarea acceleraliei pentru acest tip dr nri$cnre din urma dr pral inscrisi. ln tigura 1.2-2.1 estc redescnatil ligura 1.2-2(t trlr'irili. A(unr drternrinem viteza nn pentnr Iimpul /rr, ci pentru linrpii 1, ti /{. (arc se deoseb(sc dc linrpul IM prin va]oarea ,\/ | - Uupn ccuctiile dutr pe p. 53r'bli c' :

2

50 irr r,!-ldt+d2\. -:: s- r:lr.-:j-s 2L

t,r:ldr' tlrt.

I

5l) ( r:l-. ilr -:- s-r --

)-

11

2

:l

Am detorminat astfrl doud valori ale vitezei, separrtr printr-nn intrrval de tinrp L

Vom dclernrinx in continuare Iakrarea n(celeraliei

(t'

f!'-'- ";rn

'

la tinlpul /*. obtininrt:

:(1, -

r, ).

A/: as. 50

(19.-,)'

50

ExprimatA In cuvinte, instructiuuca pentru trrisur{rca arcclcraliei p(ntru acest tip de mi;care este urmitoarea: din locul in carc lrcbuie dcternrin:lt:l accrleratia so nulnlrd,l rcpere ln sus li n repere in jos. Se determini intervalete spatiflle rcrrspunzitonr! 11 5i lr $j sr

tnmullctte dif(,renla lor Problcma metodd.

,l'. .,, la,, rn )

1.!ll1: Determinati din nou acceleratia din prohlerna 1.2/10 dupi acenstn noui

L2.4. Clderca libertr Expetienla

P

I

1.218

'a) Lisim sA cadi conromitert o bili de plurnb rii o foaie de ziar. b) Presdm hirtia dindu-i forma uuei bile pe car.e o lisirn sI cadi conromitent cu bila de plumb.

CAPITOLUT

58

t ,

60 50 40 30

/a t0

il

c)

Fig. 1,2-23. Referitor la blema '1.2-4 o) figure de praf; b) diagrama spatiu-timp; c) d iagrama viteza-timn

F

g.

1.)-14. Determinarea

d

a unei mi9-

acceleraliei cAri uniform accelerate

1 v2:\d2+ d) ,] s 50r vr:(d4+ d3) ns ta-vz lz-1, 50

so

tso'j

rr

t2

50

1,1

dl 1

ns 50

t,

1

I

I

l. .t t,' ,,1 d,

t,

4

!-

=3a"-

1,

ELEM€NTE DE MECANICA

59

CINEMATICA

Rezuttat:

'i,;f:;'.";t;" i,i:i,x.[':

$"Ji,,:"*"

Este de prisupus ci ,recarea -cu aerul influenleazl esenlial mi5carea de cedere. In exPerienta care urmeazi vom exclude frecarea cu aerul:

kt litl

I I Etperienla i.2/9: intr-un tub de sticld se afl' o I bild de lemn 5i un fulg. I a) Vidim tubul cu o pompn si lislm ambele.cor- I puri sd cadi concomitent. intorcind tubul' I f) Lisam si intre aer in tub;i repetbm experienla I n"rrrrr,lrif^ lo'#ll ",0r,. cele dour corpuriaiuns si- L murtan ta

fund.

Dellnilte:

Prin ctrdcrp llb+re sc inlclege ml)r&rca pe ctrrc o elotlueazi ur rortt ritrd (ade l{rd plediel (de excnrplu' tezlstenla a€rulul) de Ia

o anumitd indlllme po

pdmint'

I I I I I I I

ltil I I I I I I I

I

I

I\,/ .l

H d U

[l;l I I

I I

I I I

I

V) \,/ #

0U

Flg. 1.2-25. Futg sr La corpuri grele, cu rezistenta mici a a.erului I]P, ,l '.ri".i " ii,.;'" tub o,.u si b) fare 'eDutem sa facem ibstraclie de intluenla frecarii aeruz stenta aeruh'i in clasS cada si o lisim [i.'Cj l]rl-a" "f"f f" "rr" cade aproximativ ca o bilS de ofel care cade liber'^ Ga li le il a fost primul care a observat, cd ltecarea cu aerul este un fenomen secundar perturbitor al tuturor miicirilor de cidere' Pini atunci' in"a ain ti-put lui A r i s t o te I lumeaeta de pirere, cI- ur.r. c.9rp greu trebuie cauza si cadE repide, iar un corp ugor, incet. in studiul clderii. libere, dinliberS; la ciderea pornit de rici n-a te i li sreutdtilor'experimentale, Ga ci s-ar putea ca in ciderea verticali sd avem de-a face numai cu Ei ili '"r/ experien!e "prr"" fi-lta al unei migciri pe planul inclinat' El ficea decigisea ," le€fa el Astfel 1'2/0' problema n6i in asemdndtoare cu cele electuate ae fie observabile trebuie-sI lege o asemenea ci patratica bdnuia rp"iir-il-p 9i lui G a I i I e i: Vom examina singuri presupunerea .i iu -f 1 2-26^o biln de ofel B "aa".iu'tlf".a. igurii coniorm Eiiriiiii t.itto: intr-un d ispozitii C, bila cade 9i se clapaapasl se M. DacI un electromagnet de linrta pe o placl P' se cizind ".i1, declangeaze un cronometru iomandat electric. Eila opre$te. se deschide un contact, iar eronometrul Experjenla poate Ii efectuati $i cu un dis Dozitiv pentru elevi: ln acest cazca aparat de m'_ iurare a timpului se foloseite o linie inclinaLi.

LEsiim

iniltimi.

si cadd bila de la dilerite

F,p. 1.2-26. L/perientii

ciicuitul desenat

r calileo

de cioere l,berd.

Cit ti'r'P

c.r rotu este inchis, ceasLl merge

Galilei

(1564-1642),

+

.4L,

CAPITOIUI. 1, ETEMENIE DE MECANICA

60

.t+

t+

Fig.

1.2-17. Curba spaliu-timp a cederii libere a unei bile de otel (spatii arbi-

trare)

i

Fig. 1.2.28. Reprezentarea radicalilor spaliilor s in functie de timpul r. Panta

s:kt2.

dreptei este

l* :zz,zsy'6 ,

:990:-

o -zt

:

ln tabela care urmeazi sint reprezentate rezultatele unui gir de mlsuritori efectuate cu dispozilir.ul descris: s (cm)

tr6rl.6r (s)

,0 s,17

,1

8,49

8.12

i .6i

i.li

13,9

,7

6,55

5,11

4,i

5

| 0,21.r 0,166 Diagrama spa{iu-timp, descnati pe baza valorilor tabelei (fig. 1.2-27) rc indreptifegte si presupunem ci migcarea de clderc poate fi descrisd intr-adever prin legea s:A'/2. Pentru control introducem iDtr-o a doua diagrami valorile ridicinilor distanjelor de cldere (fig. L2-2{t). Ilezultatul este o dreapti pe care putem s-o descriem priu ecualia |-s:[-[t. Astfel am confirmat presupunerea lui Galilei, ci la migcarea de cirdere este vorba de.o migcare uniformaccelerati. Si determinim acum valoarca constanti a acceleraliei. Formim deci a doua derivatd in raport cx timpul a luucfiei spafiu-timp: 0.411

0,383

o,365

0,:1471 0,321

0,290

0.261

o detcrminirn din diagrama 1.2-28. determinind rrrai intii panta -tT W - + ^ dreplei: A -=4.9ir { . I)e aici poate f i calculatl valoarea o :24 :0,90 3 Astfel am dcterrninat acceleratia. cu cate sint acct,lt,rate toate corpurile in cidere in lrx'ul ricolii noastx'. Ea poale [i rernisurati de cltre oricinc in orice moln('nl; ea ale pcntru oricarc acelaqi lqc o vaklale aproapr neschimbati. Notarm aceflsti-l constanti:l impoltantli cu simbolul g;i o nurniln actoloralia piminteasei. Valoarea exacti pentru latitudinea de 45' estc a:O,Sf Valoarea A

l.

CINEMATICA

61

.Valoarea acceleratiei ptrmlntelti 9 depinde de latitudiEea locului de observalie $i de lui deasupra suprafelei ptrmlntului. Valoarea datA est€ valabild pentN 15. lati-

tntrllimea

tudine $i lnillimea nivelului mdrii. La Ecuator se g{se$te 9,?8

iar la pol },sa-s!

9,83

g.

li rotalia pdmlntului (vezi 2.2,1\. Cu un procedeu mai exact pentru detelminarea acc€lerariei ptrmlnte$ti o sd lacem cunottinli tn 3.i.4, a.

Aceste dilerente sint legate de aplatisarea

g in locul lui a in ecuatia '2 s:!ap, etrdtrii Iegea libere in formularea ei obiqnuiti: Dacd introducem

atunci obginem

5:1r1'. 2' Problema 1.2112: Controlari pe baza tabetei de la

p. 60 relaftas:19f. 2

P.to.blema 1.2113:

Opiatrecadede 1a oindltime de 12 m pe pdmtnt. Ctt dureaz, (cel pulin),

plnd ce ajunge pe pdmint? Calcutati viteza final{. Problema 1.2114: Se se ingire pe o ate ni$te bite mici din temn in a$a fel lnclt ta a?latere verticali bilele sd ajunge Ia intervate egale pe p{mlnt. Desenati un asemenea coliei. Care ' este raportul

d

i

strn

telor dintre bile? Calculati distantele pentru At:0,1

bilS atinge pAmlntul).

1.2.5" Canaetcrul veetor:al aI vitezei gi

La

al

s. (La

{:0prima

aeeeleraliei

calcularea vi{ezelor lormim expresii ca:

i

"-t:l tz- t,

limiti

ale unor asemenea rapoarte de dilerenfe. punctul de plecare este intotdeauna o pereche de puncte'ordonate prpr. Astfel numdrdtorul are caracter vectorial; in schimb, hiferenla de timp di-n

9i valorile

al unui asemenea calcul

numitor este o mirime scalari. De aici rezulti: Vitcza este

I

o mfuime

veelorialh:

*u,,,_ ;"-i : _r+as. i_i

Direc[ia vectorului viteze i redi direcfia de migcare a corpului stucliat, iar Iungimea lui este o misurd pentru valoarea vitezei. Problefia 1.2115: in Iigura 1.2,29 este desenat un sistem de coordonate unidimensional cu un v€ctor unitale i Fiu or, la timput ,r:12 s In punctul p1 $i la timpul lz-24 s lr "oap vectorului P2. Care este expresia viteze? Fie un alt corp ln aceleaqi momente In locurile pi ti p;. lnterpretali semnul negaLiv.

punctul

Fig.

1.2-29. Referitor ta p.oblema

.1.2/1S.

Csre este expresla

vectorului viteztr?

P;( . -.- -+--4--;;--g--r Prn

4-

CAPIIOLUL

62

I.a calcularca accclttaliilor sc folmcazir exprcsii dc

].

ETEMENTE DE MECANICA

forrna:

l !L. tr-t,

Daci linern cont aici dt calactt'rul vcclorial al vitezci, ob{incrui

-?: a-''

'' \r. l,- l, .\/ Accelcra(ia cstc dc ascln(,n('l o rnirlirnt, \1.ctoriali. Astfel Iegile rliscirii rectilinii stabiljtc ruai sus- pol Ii sclisc (a ecLlalii vectoriale. LrUilc nriSrarii unilorrno: l. l,eU0 r il(ziFlilllt,: D=roDsl-. ::. l,cgetl spulirLlirrl: s =r)1. s este aici lrr) vector rliriial in oricc l|tolllcDl a] lni$cIrii de la otigint'a coorrlo-

nalelor insple lrxul colpului stltdial. I)a(i un (otp are o litezi negativi p, alurtci acesla sc itrdepirltcazi in scus conlrar dc oliginoa coor-donatclor. Scl)sul rDiscllii lrri esle opus st,nsrrlrri sistt'nrulrri rit, coordonate. ln r): collst. este cott{inrrt faptul ci ditt,t,tia ntiscllii so l)Isllcazi. I-e0 ilc nr itcnri i un iforrtl-arcelors l0: l. l,egfir nrt(lfralir-tinrp: l/= ro sl.,

r.

L.11ra r irczir-rinrpr

3.

L{$ea

i:ir. spatiu-rin,",::

]

,,i"

Toti vt'ctolii ittr acccasi rlircctic- conslanla. -\ccstc lcgi alo rniscit-ii unifolrl accclelale desclirr t,azrrlspccial. il] citre l)entru 1 0 a\'('lll a6 0 si su.=0. Daci ptesrrprrrerr (lrepl (,ol(lilii iniliale vileza i, si spa(irrl .r.i. atrrn.i rezu ItI legile l.

Lr.!tra ar(clcral ie-r in: p: i:const..

:1,

Lcur

r iloza-l irn

>>+ tt D=ttt+u!.

;,. L€ucr spariu-ri,,,',,

"i,+i,t+i,.

irr rnonrcntul I 0 (dilccliilc Lrr 5i r,, Ilrlirclclizeazrj slarcrr misc:rlii _,i1. nu tr('l)tti(' su colr.sprrntlii cu cclt a trri t.:i lut valolloa zelo. dNci'l colptrl potncstt' la inct'lluLLrl rllasrrIIIii tirnprrlui rlt' la oIigi ctr coor(lonal.lor' (lin Vectot

ii

]=1

s,,

repaus.

I)atit tolJrrrl esle frilrill. alrrnci 1x' baza ecualioi vocl()r'iill(' i)-xl i l,o sc prlalc vt'tlt'a ctttn !ilezlr r, (lcvitre Ilai tl)i(,4 cu lilll])ul. dcoillccc lltut)ci \1'clotul a esle dr. sclj\ ,rl)U: r't,clr,r.trlui |o:

I

CINEMATICA

63

Probtema t.2l16: O maiine

are Ia timpul t-0

viteza D.:120 -h

II

.

Cit dureazd pine ce maSine se cprelte, daci ea este frthati cu o accelerafie a --3 Calculati drumul de lrlnare ! \m. ProbleIl/a t.:l l7:(] matrni are la timpul i:O viteza rr.:80 -h De la momentul

l:0

timp de 10 s ea

este acceleratd

cu o acceleralie a:Z,S

{.

31 s'

Ce vi-

sliriitul perioadei de accelerare? Ce distanii parcurge In acest timp? Pind,4cum am motivat caracterul vectorial al vitezei ti al acceleratiei numai prin legea matematici care stI la baza lormirii lor. Acest pas necesiti inse $i o motivare fizicl. Chiar dac5 reprezentarea vectoriall poate fi apticati h notiunile de vitezi gi accelerafie, prin aceasta inci nu e sigur ce ti in naturi sint valabile legile de calcul pentru vectori, definite in matematici. Trebuie si mai demonstrim ci viteza gi accelera(ia pot fi descompuse in componente $i adunate ca vectori. Aceasti demonstratie o vom face in capitolul urmdtor. teze are la

1,2.6. Prineipiul independenlei

;i mi;eirile de aruneare

Erperienla 1.2111: Pe o plangeti de desen agezati oblic se priude o foaie de hirtie de sugativi (eventual qi hirtie de ziar). Pe muchia de sus se fixeazd o stinghie de aproximativ 15 cm, astfel incit sA se formeze un jgheab in care se poate rostogoli o biln (fig. 1.2-30). O bili de ofel se imbibd bine cu un ulei viscos;i se pune in migcare in jgheab. Experienta se repete cu diferite viteze inifiale ale bilei. Rezullel: Bila descrie curbe parabolice. (Obseruali: parabolele desenate in acest fel nu sint diagrame spatiu-timp, ci corf" de traiectorii; ele descriu forma migclrii intr-un plan). ll.tpeLienla 1.9112: in figura 1.2-31 este desenat un aparat de aruncare. Daci alcul A este lovit cu un ciocan, bila B, cadc vt'r'tical, iar bila B, este aruncatd I I

tt, '\

l

Fig. torir

',

.

1.2-30. in fun.lie de viteza v, bila descrie traiecparaboli(e cu descl.ioeri ma. mari sar.r mai mici.

FiE. 'l.2-31. lndependent

de lnil-

limea h, ambele bile ajung simultan la pamint.

i

CAPITOLUL

64

I.

EI.EMENTE DE MECANICA

orizontal inaiute. Repetim experienta, lovind arcul cu diferite mea aparatului se modifici de mai multe ori.

tirii; li

indlti-

Rezultal: ln toate cazurile bilete ajung simultan pe pimint; B, descrie ln cidere o traiectorie parabolicE in genu I experientei

1

.2/11

.

i.("

t-42i

NT T

t

._ _\,_ ),_ 1,,t-44'

\\

I

ii I

I I

\ \ I.

).

\, r-4a,

Fig. 1.2-32. l'1i:carea vertical; este Fig. 1.2-33. Experiente pentru deindependenta de mi$carea ori- monstraliaprincipiuluiindependenlei.

\t.i r_l-,

zontala.

Miqcirite de aruncare efectuate in experien{ele 1.2171 si 1.2112 pot fi strinse la un loc intr-o diagraml (fig. 1.2-32). Figura arat5: daci s-ar arunca de la marginea unei mese concomitert mai multe bile cu diferite viteze itr direclie orizontali, atunci toate ar parcurge in timpi egali distanfe egale pe verticali. Obseruali: lungimile traiectoriilor parcurse pot fi foarte diferite.

a unei bile rdmine neiniluentati de o mi$care orizontalS suplimentari. Situafia coustatath mai sus se numegte principiul

Nliqcarea verticalS de cidere indeperulenlei.

Pr in c i p lu I

t n d e p en d e tr 1e l: Dacd o mlirare are mai multe componetrte - ilr cazul noslru uia orlzonlald tl utra vertlcal{ - alulri proeesul de ml are in dlreclia utrei componente rimine neintluenlat de proeesul de miirare in dlreclio unel alte componente.

O demonstrafie foarte sugestiye a acestui principiu este experienia reprezentatd in figura 1.2-33. Pe valabllitateo prln(iplulul lnd€pendenlel se bazeaztr poslbllltates ca vllezele 9l aceelemulle str lie tratale nulematle (s lectorl, descompuse in conrpoDetrte ll (ollrpusc in v€(lorl sumi. Aici intilnim pentru prima dati in aceaste carte ur printripiu al lizicii. Ce inseamn5 aceasti notiune ?

Principii ale fizicii sint afirmalii care nu pol fi erplicale sau deduse din alte afirmalii. Ele rezumd un malerial bogat de obserualii 9i se ;folosesc ca bazd penlru calcule teorelice. Ele stnt afirmalii de bazti, carc pot fi folosite pentru erplicarea unor fenomene complicate.

CINEMATICA

65

a) Arunmrea orizonlald SE determindm forma exacti a traiectoriei pe care se mi$ce o bilS aruncatd cu o vitezd orizontald initial5 uo. Pentru aceasta avem nevoie de un sistem d=it-y"6

Fig, 1 ,2-34. Vectoru

d,n

s

I s

poate

fi

Fig, 1.2-35. Reprezentarea traiec-

compus

toriei printr-o familie de vectori dependenti de timp s (t)

componentele vectoriale indepeodente

si s

.

unitari e, 9i e, (lig. 1.2-34). Componenta migclrii pe directia orizontalS urmeaze legea spa{iu-timp:

de coordonate bidimensional cu vectorii

i,-- ,oi,

cu

sr:ro

,.

bila se migcd in continuare pe direciia orizontali cu viteza iniliali uo. Pentru componenta milcdrii pe direclia vertical5 oblinem in mod corespunzltor Aceasta inseamne: independent de mi5carea de cidere verticald,

i,:ioci pi s,:lel'. Punctele traiectoriei la

timpul I

se

obfin din vectorul rezultant

Li+i:,"

ti+f,cPi.

Putem sd formam rezultanteteiltrl; i1lr1;

(t ;, ... ,t" vectorilor f qii,

pentru

timpii l:1 s, 2 s, 3 s etc... ln figura 1.2-35 sint desenate aceste rezultante; virfurile vectorilor rezultanti determine mersul curbei traiectoriei. Putem determina inse bgetura dintre valorile s5 qi s, 9i in alt fel, eliminind din ecua{iile pentru s, Si s!,/ timpul l. Din prima expresie rezulte pentru timpul I expresia:

I:L 5

- Firicl cui rupeiot

CAPITOLUT 1, ETEMENTE DE MECANICA

66

Introducind aceastE expresie

in a

doua ecua[ie, rezultl:

',:*c*:* *'t 4"0

Astfel, aga cum am binuit de la experienla 1.2111, traiectoria bilei

o

este

parabolS.

Si determinem acum viteza pe care o posede corpul , lntr-un loc arbitrar al traiectoriei (fis. 1.2-36). hnpn erh n2orhi rr + Pe direciia orizontati, ac€aste vitezi este: L',:L,o €l salr o,:

Do'

Pe directia yerticald, viteza rezultd din prima deriYatd a lunctiei spafiu-tirnp pentru componenta verticali:

n!:gt

e2

szn o!:

t 0.

Se determinem directia vectorului Pentru aceasta formdm expresiai

s

"lmre

i:7,+7r.

ol D". lgd: "- : !. Do Dt

s so

si mai eliminim tirnpnl I, jntroducind in locul lui eypresia /- : .\turci oblinem:

,q.ici putem

+

Flg. 1.2-36. Vectorii vltezei liniare v pot fi compusi din cornponentele v si v.

Aceast, expresie dd directia vitezei rezultante pentru ;egu1 traiectorjei, care este dat s.. Trebujc se ne afteptim ca aceaste direciie sE corespunde cu directia curbei [raiectoriei ln acelati loc rr, deoarec.e directia momentanE a traiectoriei rezulti din direclia vitezei o. Pentru comparatie, Iormam prima deriyati in raport cu rariabjla sr a functiei traiectoriei, obtinind: de valoarea

-. lrm

As"

Asu-0 As, -:4

1. ,6

Aceasta este valoarea pe care am calculat-o $j pentru tgra. Deci vectorul viteziieste in fiecare punct orientat tangential 1a traiectorie. Rezultatele teoretice aratre .i aplicarea princi-

piului

independenlei corespunde rezultat€lor d€termjnate experimental

h) Aruncarca verti(ali Sd mai aplicem principiul independentei $i lntl-un alt caz: fie o bild aruncati vertical ln sus cu viteza i.ri1i"fa fr in acest caz curba traiectoriei este foarte simpli: este un segment de dreaptd dirjjat vertical in sus. a cerui lungjme- indllimea aruncirii mai trebuje determinate de noi (fig. 1.2 37. o). In orice moment al mi$cdrii, r'jtcza se compune dintr o cornponentl de vitez{ dirijatn ln sus

i:,"; ln ios t)2:-01 e2, astfel fiind valabili relatia: v : vL+ D2- @o-

$i o componentd diriiattr

gt)e2,

CINEMATICA

57

Spaiiul parcurs se compune ln mod analog din componentele:

--) sr: +r0l .z ;i s2: *

i:("",Deoarece aici este vorba de

spatiu timp,

1

-gl,

ezi

1;t,,)i.

o mifcare pe o traiectorie dreapt5, putem

reprez€ntinds:uo/- I

desena

u$or o curbd

aIr. Aceaste ecuatie spatiu-tirnp este repr€zentatA printr-o

2

parabole cu deschiderea io jos (fig. 1.2 37. ,). Acum mai determinim iniltimer aruncdrji: dacd bila atinge punctul maxim, viteza ei estc (gal{ eu zero; aceasta, l, deoarece mai lnainte ea avea o vjtezi diriiatd ln sus, iar acum se va intoarce pe pdmint cu o \itcze mereu cresclndi.

,(rd):0 ,@:

Conditia siune

Do

permite calcularea timpului de

ascenI,

-gta:o'

de

unde

rezult a: L. c

Introducem aceast{ valoare in funelia spatiu-timp, oblintnd astfel lnillimea arunc{rii sa:

.,:rnlo - t oi&:t "6 g 2 o' 2s

I,

4

.

b)

t*

FiB, 1.2-37, Aruncarea pe vertical;. ln stinga, curba traiec-

Prcblema 1.2118: F'iDtina arteziani din l,acul Geneva atinge o lndllime de 92 m. Cu ce vitezi trcbuie str iastr apa din toriei ; in dreapta. diagrama spatiu-timp. duzi pentru a atinge a€eastd ineltime? Problema 1.2119: O bili este aruncati \.ertical In sus cu viteza initiale rro. Determinali din conditia s(le):o timpul l, dupd care bila ajunge din nou pe pdmlnt. Cu ce viteztr atinge pdmintul? (Exemplu: r,o:200 ms r). Problema 1.2120: Dintr-un frrtun, lnclinat cu un unghi d fate de pozilia orizontale, ll$negte ap5 cu viteza iniliali ,0. Traiectoria pe care o urmeazd apa poate Ii descrisi plin relalia

sy-srrgd-',

2

,,"3,

ui

cos2a

Deduceti aceasti relaiie, determinati lnaltimea maximd $i distanta maximd pe care le atinge apa.

(lndi.olie. descompuneti vectorul

ponentdverticald

linia

u0

sin

cr

€2).

vit"rd{

lnt"-o

"o-pon"ntd

orizontalS

uo cos

cr! 9i o com-

Detcrminati de asemenea viteza orizontaltr, cea veticald $i viteza

,

1,2.7. It{iqcarea circulari

Un corp care in migcare planl pestreazi mereu aceeati distanta de la o axe sau un centru de rotatie descrie un cerc. Dati exemple penuu mi$cfui circulare (de exeDplu, la bicicleti, Itratlnd, 5F

ceas).

cAplTot-ut- 1. ELEMENI! DE MECANICA

68

Obscrvati virlul acultti mare al unui ceas. El descrie mi5crr|t, la care valoarea vitezei riirnine constanti, insl dircrlia vitezri se schimbir rnercu (fig. 1.2-38). Numim acersla o ni;r'ue circulafi uniformd. Dtiinilic: t'n oorl dtsc.ic o nrit(tle cirtulari rrnilornlir. d:rci in inlcrrltlc de lirnp A I cgule. arl,ilnrr de lungi. el Inr( rye pc un (€r( rrcreu dlnomri de {ceeafi lungirre As. I'cnlru vnloaNs ritezci estc li n,(i rntnbili relallo:

o

. ,: A" Al

Ii.';","]-f '3;,r.H'j"":

virfului unui ac de

Prin interlalul spalial As tntelegem aici un

arc de cerc

rectilicat,

cea-

sorni'

adicd tndrcptrt.

tr{igcarea circularl se deosebegte de migcirile studiqte pind acum prin faJrtul ci traiectoiia poate fi descrisi de corp de mai multe ori, consecutiv. DacA acest lucru se face mereu in acela5i timp, atunci miScarea se numegte poriodicd. Putem s-o descriem prin timpul in care este parcursl o dati intreaga traiectorie. Numim acest timp Perioadu rotaliei ;i il notim cu I.

pl Probtma 7.?/31: Indicati perioadele ptntru rotatia Plmintului $i pentru diferitele

ace ale

lceasulul.

O migcare periodicl poate

fi

descrisl si indicind de cite ori pe secundd

corpul trece in dreptul unui anumit reper de pe traiectoria circularS. Numirul rotiliilor pe secundl este o altd mirime caracteristici pentru migclri periodice. El se nume5le lrecuenld.

Delinille: Frcrven(a v {r unei milciri periodice es(e laporlul dintre numdrul n de pareurgerl alo tr{iectoriel ll titnpul I ner€sar penlru atear(a: n t

Dimensiunea frecven{ei este dim v:?-1, deoarece n nu are dimensiuni' Unitatea ei Iv] =s-r a fost denumitl hertz, dupl numele fizicianului H e i n r i c h Hertz (1857-1894): 1Hz:1 s-1. p I Problema 1.3/:l:. Indicali lreclenlele obi$nuite ale rotatiei discurilor la un picup. Calculali ' lrec!enlele acelor ceasornicului !i Ale rotctiei P,tnlntului. I

Daci se consideri o singuri rotatie a corpului (n:1), atunci timpul T. Astfet se obtine ligltura dintre frecventa v li

corespunzetor este perioada

perioada

I:

v:-

l^I

ll

_I:-.

CINEMATICA

69

n) Vltozr liniflri a migcirrit clrculsre unllorme Viteza unui corp care execute

o

migcare circulare uni-

r,-lt. circumterinla traiectoriei lui A/ circulare fiind As:2 r r, iar timpul corespunzitor, perioada f: formar rezulta din

u:

2nr

Fig. '1.2-39.

'

vi'

Aceasti vitezii se numeqte uitezo tiniarcii a mischrii. c"rrr.definifiei, valoarea eieste constanti pentru miicarea circulard i:1iJllLi,",ii'," ,.:1.:- " uuiformi a unui corp. Direcfia ei se'schimbl de la un punct !:ri;'i" in altul al trAiectoriei. Direc{ia vitezei i intr-un anumit mornent lczultl din conditia ca distan!a de la centru sd rdmini constanti_ Pentru ca taza r a traicctoriei si riminl constanti in decursul migcirii, Ia o descompuncr.e in colnponcnte a vectorului ;- in direciia traiectoriei (tangcnfa la cerc) ;i directia pcrpendiculari (raza vectoare corespunzitoare) - componcnta lui u il] direc[ia razei vectoare de coltact trebuie sI fie egali cu zero. in caz contrar s-ar schlmba valoarea razei.

rezulti ci itrebuie sI fie perpendicrrlar pe direclia razci rn punctul dc contact, deci tangent la traiectoria circularl (fig. 1.2-3g). . .Vitezele. liniare ale punctelor unui corp in rotalie nu sint egale. Ele depind de distan{a r de Ia centrul de rotatie a punctului considera-"t: De aici

T Probb.rna 1;2123: Un djsc de picup are diantetrul d-S0 cm

Cakuhli vileTa perrtru un puI(.t d,.p,. Ptoblt

na I-21:t t-alcul.\i-

rnarSrrre.

a)_pentru un puncL al ccuatorului; b) peutru locul

rotatiei.

,i

Iace 4E de

rotaiii

pe minut,

,colii; c) pentru ploie$ti viteza ]iniarea

b) Vit€za unghinl&ri

Pentru toate puDctele unui cor.p in rotalie uniformi este comun unghiul g descris de razcle lor vectoare intr-un anumit timp I. [fIsur5m acest'ungh'i in radiani. Astfel, delinim unghiul g ca raportul dintre lungimea ariu_ " " lui subintins de acel unghi gi raza r a cercului: p:4, Nold. Pentru transforrnarea graclelor cercur rntres. unghjurui ae :oo"ir

coreslerlffee'jIl',""':#i'i,,,i.il"ff::ili:

arad,60.: arcd. in 23 mare: d (in rndl: a*,1n.,. rezulte 180':rr rad, 90": 180'

:"J#',Li3j:,:i

generat este valabile retatja d9 transfor-

CAPITOLUT

70

T.

ELEMENTE DE MECANICA

Raportut dintre unghiul descris de raza vectoare 9i timpul I necesar pentru aceasta este o mlsure pentru viteza rotatiei. Numim acest raport - rileld unghiulafi.

Delirirle:

Viteza unghiulard or a unei milctrrl elloulare uDilorm€ esle ruportul dlnt.e uDghlul desorls de raza vectoare 9l tlmpul I neeesar peDtau aceasla:

I

.:9. Din g:l1urr11e dim

9:9*' :!:1.

Astf"l, viteza unghiulara

o: l

are

dimensiunile unei frecvenfe: dim (,):T-1. Unitatea ei este [o]:s 1:flz. Cercul complet cu unghiul 2zr este descris intr-o perioadi ?. Astfel, pentru migcarea circulard unilorml rezulti intre viteza unghiulari 9i perioada ? lesdtura o:?1. Cu l":1 rezultd legiturl intre viteza unghiularl (,) 9i v

frecvenla v ca fiind
II prottr^o

1.1/?i. Calculati vitcTa untrhiulari:

a) a secundarului. br a minutarului. c) a Peminlului.

Viteza unghiulari o se Preteazi bine pentru descrierea rotatiei unui Toate punctele au aceeagi vitezi rnghiulari or, pe cind viteza corp rigid. liniari -u Poate se lie foarte diferitd pentru diferitele puncte' Legitura intre viteza unghiulard t,:9 5i viteza liniari u: I a unui punct

la distanfa

r

de centrul de rotatie rezulti din

9:l

Astf"l

an'ern

':t

$i

rezulte u:(ol'. Cu

aiutorul acestei relalii aritali ci mitcatea circular& uniforma are o vitezi unghiulard uni-

formd.

vitezaunghiu]ardpoatefipliYitd$icavector.AcestvectolaTedirectiaaxeiderotatje, ilanul traiectoriei. Alegem sensul lui conlorm regulii turubului datd

deci perpendicu"lar{ pe

ln 0.3.5 (fig. 1.2-40). v""to.ii i i si i .rrrt toti perpendiculari ,ntre ei'

Fig. 1.2-40. Viteza unghiulare

o

ca vector axial,

CINEMATICA

71

Datoriti relatiei (scalare) r:(,). a direcliei $ia sensului alese pentlu (o putem reprezenta viteza ('.)

$i

liniarl

ca produs vectorial al vectorilor

r.:

D:(OXr. Cu valoarea ,:CD.sin((l}, r). Vectorul produs

r:oXr

este perpendicular pe

planul format de cei doi factori. avlnd sensul inaintirii unui $urub drept (IiS. 1.2-41). Valoarea lui este produsul valorjlor, dacd cei doi vectori slnt perpendiculari intre ei. Problcma 1.2126:

ljn

cerc

(.:1,2

m) este descris uni-

Fig. 1.2-41 . LegAtura dintre viteza unghiulari.o , vrteza lrnrar; D s ra7a r i V: aX r.

form in timpul ?:0,4 s. Calculalj viteza unghiu-

lare Sj valoarea vitezei liniare. Desenati cei trei vectori (ln perspectivtr) pentN un punct de pe traiectorie. Prcblemai 1.2127: Calculali viteza ulghiulari a unei roli (r:0,75 m) la o vitezd de mels

--

km h

c) Aecelemlia radiali (centrtperd)

Considerim u[ corp care se migcl cu vitezE constanti , pe un cerc. La migcarea lui circulari constante, valoarea vitezei liniare este constantE, Se schimbl insi direcfia ei, deoarece i este mereu perpendicular pe i Acestlucrusevedefoartcclardacdvitezeleisint trasate din acela$i punct, adicd daca vectorii se deplaseazi in a$a fel inclt se porneasci din origine (fig. 1.2-42). VirIul vectorului , descrie un cerc (deoarece u este constant) cu aceeaqi viteza unghiulare
Vectorul vitezd

, al corpului

se schimbl agadar

aicr intr-un mod culo-

tul special. Trebuie si existe deci o acceleraiie 7 provoaci aceaste schim"ar" bare. Direcfia acestei acceleralii o putem determina din condilia ca valoarea lui ., se rdmine neschimbati. Pentru ca valoarea lui isi rimind constanti in decursul miEcdrii, la o descompunere in componente a vectorului 7 in directria traiectoriei (tangenta la cerc) si direclia perpendiculari pe aceasta (raza vectoare), componenta tangenriald a lui a trebuie sd fie egali cu zero. De aici rezulti ci a trebuie se fie perpendicular pe direclia traiectoriei, si fie dirijat inspre centrul traiectoriei. Aceasti acceleratie se numeSte accelerulie rudiald, normald sau centripetd

O

7r, ,pr"

deosebire de accelerafia tangenlialn c].

accelera[ie tangeniiati fr ar schimba valoarea vitezei liniare. La circularl uniiormi, acceleralia tangenliali are valoarea zero, Acceleraria radialS nu schimbi valoarea vitez6i liniare, ci numai dire'ctia ei. Putem si determinim valoarea ei din a,:li*A'. al+0 Al migcarea

CAPITOLUL

72

ln

cercul vitezelor

(fig.

1,

ELEMENTE DE MECANICA

1.2-42), Au

este arcul corespunzltor unghiuluiA g, iar u este raza: Au:r,Ag. De aici re-

Ao Ao (,. or:uo. , 5t "u A O; Deoarece t, Ei o sint constante, !i

zulta ot:

tt

valoarea acceleraliei radiale este constantS. Cu tl:1" o se obline ar:16z SaU

fiE. 1.2-41. Cercul vite2elor $i

dr:-'

ral ia rad

Aerelem!ia raditrl:l a mltc{rll clrculare unitorme este?,: spre cotrtru.

ia

-.'in.

l;

accele

0..

*,"

dirlroldmereu

Prcbltma 1.2198: O piatrl este rotittr cu o sfoarA (l:80 cm) in 16 s de 6 ori, uniform pe un cerc. Calculali \.iteza ei unghiulare, cea liniari ii acceleratia radiali. Ptublema 1.2[29: Determinatj riteza unghiulard ii acceleratia radiald pentru cjrcumferinta ro lilor unei locomotiYe (r:70 cm) care merge cu o vitezd D:140 km/h,

d) Ml$ca.ea circlllari neunilormfr DacA o roatS din repaus se pune i[ mi;care, atunci viteza ei unshiularl o cregte, iar pentru un anumit punct cregte ii viteza liniard a:or. Variatria Vitezei liniare u. o putem exprima ptir, accelerulia tangen{iald 4". Variatia Aaa vitezei rezultd Ia razd constantl din varialia atiat:lim ' Al A
ar:lim'49:r tim 19' ar-o Al Ar-o A, Valoarea

limitd a raportuluiag, care

descrie

valiafia in timp a vitezei

uughiulare
At-o AI

Dimensiunile ei sint dim a:?-2, iar unitatea ei [{]:s-'z:H2'z. LegItura intre acceleralia unghiulare a ;i acceleralia tangenliald ar este datl in cazul migcirii circulare (r:const.) de relatia cr:ra. Pl Ptoblema I.!l3a: l'n \'olant este adus in Al--43 s in mod uniform din repaus plna la Iiteza lunghiularr(!:3,9s_I.(lslculaIi acceleratia unghiulari.rii acceleraIia tangenti:1li o, pentru lpunctele Pr(rr-0,2 m) $i P,{ rjz -1.8 m,.

* ln literatura noastrd

pentru acceleraiia unghiulard se lolose$te notalia €

(n

rcd )

DINAMICA

73

1.2.8. Privire de ansamblu asupra genurilor de migeare O miqcate generald are o acceleratie i compusi din acceleraiia tangenlialI o1 si acceleratia radiall a, : o:ar+ ar. Migcdrile tratate reprezinte cazuri particulare. Astfel, miqcarea rectilinie este caracterizatd prin iaptul ci acceleralia radiali este zero. Tabela urmEtoare di o privire de ansamblu asupra miEcirilor tratate $i a particu laritetilor lor. .""","r.tr,.

"j

.""r"a,rrd o,*.,,"1

l.

accel€.afia radi

*,**l

I

MiScarea reclimiscarea

d, :0

unilormA

I

directie I v.loare

linie

l.

!l{

I

4r :0

const,

a":0

const,

ar:O

const.

const.

const,

const,

2. miicarea

,:!o,p

uniform-ac-

celerati

3.

const.

const.

2

rni$carea

neuniformar

lI- Mitcatea cir ct atd

tan genIi-

radialA (lnspre

tan genti-

altr

c€ntru)

ala

radiald

tangenti-

1. urir;carea

at:0

circulare uniforrne

2. nliicarea circularA neu1riforrni

IIl. lli$cdreu nerald

:(l)

:0

:u, tangentiald

radiale

abi I

arc

de

ald

tanarc de genti- ria5il

ali

s: f(t)

gc-

Iariabild

variabild

1.3. Dinamie a I.3.1. Legea inerliei PinI acum nu am studiat decit formele de

migcare ale corpurilor. Nu ne-am pus inci problema cauzelor care provoaci o migcare li a interactiunilor prin care corpurile se influenleazi reqiproc in migcirile lor. in legituri cu aceste probleme vom efectua citeva experienle:

CAFITOI.UL

I.

€LEMENTE DE MECANICA

Erperienla 1.3/7: Pe placa unei mese se aranjeazi o stivl de monede. Cu o lirie platl se aplicl mai intii lovituri lente, apoi mai rapide asupra monedei de jos (fig. 1.3-l). Obserualie: In primul caz a) stiva se ristoarni; in cel de-aldoilea D) moneda de jos zboari afar5, iar stiva rimine in picioare. Erpetienlq 1.3/2: O bagheld de lemn esle aruncati in sus in pozilie orizonlald: simultan. cu ajrrlorul unei bare se loveste de sus, mijlocul baghetei. Obserualie: bauheta se rupe la mijloc. Etperienta 1.J13: L\ colp este suspendat de o sfoari. In partea de jos

a corpului este prinsa o sfoare

de

aceeaqi qrosime, de care se trage din ce in ce mai tare. Obseroalie: Suspensia corpului se rupe (fia. 1.3 - 2).

Erperien.ta 7.3/4: Corpul se prinde din nou cu o sfoari identicir. l)e data aceasta se trage brusc. Obserualie: Sfoara de care s-a tras se rupe (fie. 1.3 - 3). Drperienlo 1. 315: Iln cirucior incircat se pune ir miscar.e cu mina dreapti fi se frinerzii dupii un anutrlit timp cu mina stingir (1ig. 1 .3 - 4).

,ry9

Fig. 1.3 1. Erperient; referitoare ta inerlie.

La o lovituri puternicd, stiva de

monede

rSmine in p ic io are. Obseruatie: in arnbele cazuri se sirnte

cu^rn

..

tnllnll.

ciruciorul opune

rezisteDii

O observalie analoaei

putetn

Iace atunci cind ne aflim iltr-o rnaqini care porne;te sau frineazi br.usc.

In primul caz sintem impirii splc spitflrul scaunului, iar in cel de-al doilea caz sinlem arunca!i irrairrlc. in ce const:l elcmcntul comun al expe-

Fig. 1 .3-2. ne lente se sia bil-^i La o tra.t iu

Fig. 1.3,3. La o tract iu-

ne

brusce,

pe sub b iJi.

Fig. 1.3-4. Cind ciruciorul este accelerat cu ajutorul miinii pina la viteza y, el se opune acestei schimb;ri i daca el este frinat din viteza v, el se opune de asemenea acestei schimbari.

75

DINAMICA

Recunoaqtem cA diferitele corpuri opun unei schimb5ri a stErii lor de migcare o rezistenla; aici considerEm gi repausul ca o stare speciall de miqcare. In prima experien!5 (fig. 1.3-1, a) monedele de jos transmit starea lor de mi;care celor de sus. Acestei transmisii i se opun monedele de sus, dacl migcaiea se efectueazi bmsc (fig. 1"3-1, b). Ele rimin a^tunci in repaus. In experienla 1.3/4 corpul se opune unei accelerari in jos. In experienfa 1.3/5 ciiuciorul se opune unei accelerEri sau unei friniri.

In rezumat putem spune: Toale corpurile au lendinla sd-;i menlind starea lor momentand de repaus sau mip care,1

particulari aflati la baza tuturor acestor observatii este numiti inerfie. Inerlia corpului a fost descoperiti, in isforia fizicii, relativ tirziu. in antichitate se licea auziti conceplia potrivit cireia migcarea unui'corp trebuie menlinutd permanent printr-o forld activS. Deoarece toate migclrile pe'care le constatlm pe Plmint aiung intr-un mod sau altul repede in repaus, aceasti concep[ie este uior de inCaracteristica

acea proprietate a materiei

[eles.Eaa fost contestatl abia de c[tre (ialilei 9i Neuton. Galilei a descoperit ci un vehicul ili pistreaza starea de migcare daci asupra lui nu actioneazi influen!e exterioare gi ci ajunge in repaus numai datorit[ faptului ce este frinat prin frecare, Newton a formulat principiul inerfiei, numit 9i prima ariornd a l'Lri Newlon.

Prln(tp Utr corp

iul in€rri€i:

iti

rentine starea de repaus sou de nrllcare utrllorme2 alita

tilnp cit

asupra

lul xrr arlloDeazi itrlluen!e exterloare. I .3,2. Masa

inerli

Din experienfele preliminare descrise Etim ci aceast5 caracteristic5 particulari numiti inerlie o putem constata numai daci se schimbi starea de

migcare a unui corp. Inerlia este o proprietate a materiei, pe care nu oputem reduce la mdrimile fundamentale spaiiu ti timp 9i sintem astfel nevoifi sd introducem o noue mirime fundamentalS. Aceasta se nume$te mssd inerld a corpului li se noteaze cu simbohll m. Pentru Iixarea unei instrucliuni de mlsurare pentru mirimea fundamentali mcro inerlri considerim ciocnirea a doui vehicule. Presupunem ci dupi ciocnire vehiculele nu mai rico5eazi. O asemenea ciocnire rePreziutd r,2 Flste yotba, binetnteles,de mitcarea unifoflni $i Rctilinie. (n. red.)

CAPIIOTUL

I.

ELEMENIE DE MECANICA

b

Fig. 1.3-5. Linie cu dispozitiv de pornire pentru experienle de ciocnire a doua carucioare o) vedere geoerald; b) dispozitiv de pornire, ?n detaliu.

pentru fiecare vehicul o schimbare bruscl a mi5cirii, iar pe baza inerfiei fiecare dintre cele doud vehicule are tendinfa si-si continue drumul in direclia inilialI. SI studiem asemenea ciocniri pe o linie cu carucioare. Etpefienla 1.3/6: la ambele capete ak, unei linii cu cirucioaie se fixeazl cite o bobini cu miez de fier. Bobinele folosesc ca maqneti de fi\are pcntru doue clrucioare. intre supor!ii bobinelor li cirucioare sint prinse arcuii care la deschiderea circuitului bobinelor imprimi clrucioarelor o vitezi. 'fensiunea arcurilor poate fi variati prin distantroare mici (IiEii de calton) (fig. 1.3-5). Folosim doud cirucioare identice;i lc dim startul unul impotriva celllilalt. Pe plScile frontale ale cirucioarelor lipim pufinn plastilini, In acest ftl atenulm ciocnirea gi realizlm ca dupi ciocnire cirucioarele sr nu se mai despartS. Prin schimbarea tensiunii arcurilor reglirn vitezele cirucioarelor in aEa fel incit dupi ciocnire si se opreasci irnediat. Aceastl ciocnire poate li cititd foarte ugor din urma de praf a cirucioarelor (fig. 1.3-6). Rezullat: Cdrucioarelc rlmin in repaus i[totdeauna e\act atunci cind vitezele lor inaintea ciocnirii au avut aceleasi valori. Pe baza acestui rezultat indicim acum un procedeu de rnlsurare pentru definilia masei inerte m. Delirilia egaliltrlii IDaselor: (orpuri Doui uu ncee si mas:i inertrl, ds(tr dupd o cio(nlre (u vlleze egato li ds rcDsurl opuse ele a.iuD$ intediat in r€paus. Delini!ia nulliplulul musei: Un numtrt do n corpurl ou ceeaii mas{ itrertai uu impreuni de n ori mnsa lnerttr o unui eorp singur. Sd extindem experienla de ciocnire 1.3/6 la corpuri avind mase diferite, pentru a obline pe aceasti cale o instrucliune de misurare pentru determinarea unor mase oarecariEl Experienla 7.3/7i Cuplem dou5 cdrucioare identice (trasorut de urme al unuia I dintre aceste cirucioare se ridicl) 9i le lisim sI se ciocneasci de I mai multe ori cu un al treilea clrucior, care porneqte din cealalti parte I mereu cu aceeaii vitezS. Reglim viteza de pornire a primelor doud cirucioare I pini ce dupi ciocnire carucioarelc ramin in repaus.

I

DINAMICA

77

FiB, 1.3-6. Figuri de praf pehtru se opresc dupe

cer!cioare, care

o) un c;rucior loveste un alt ciruc ior I b) un ciruc caru c io are

c) c

a a ) -, -

un cerucior love$te trei

Re:r1lrr1: Ilepausul se obfine intotdeauna ime-

diat dupi ciocnire, cu condi{ia ca viteza ciruciorului

sir lie dubli compalativ cr viteza celorlalte doui ci-

, l, ,

t

t

ln

ucioare.

rnod aseminitor pu-

tem sI ciocrirn trei carucioare cu uDul ;i, cu condilia ca ele si se opreascir

I

dupir ciocnire. obliriern urmitol ul

I

Re:u/irr1.

i-a

.a "a La

-I : -

a {

Ptrtern rezurna

.,4

:

u

I

tn:tselog

Este valabilS relatia:

a

.

|aport

inefie mr si ai, este invets vitezekr k-rl inainte de ciocnire u, gi ur.

.a

a

obser-

valiile noastre in ieJui urmaltor: (laci doul erupe de

atullci

a a a

b b i

cit Llcioare a-

cirucioare se af lii imediat dupat ciocn ire in tepaus,

!t ,l

aa

'Irei

vind viteza a, se oplesc dacl se lovesc de un clrucior avind viteza 3 u.

ra

{

t,

doua

aruc ioare.

2 3

ior lovette

I

.a

t

3!:

"'

"r,,

,r.'ur.=

t2rt2.

Cunoscind masa inerte

a

primului corp, atunci dupl

CAPIIOI.UI. 1. ELEMENIE DE MECANICA

78

o experient, de ciocnire, conform acestei relafii, putem determina cealalte masir

m2.

Mai tipsr';te definilia uniiilii de masi: drept etalon de masi se alege cilindrul de platinl iridiatd de la Biroul Interna{ional de Misuri 9i Greuta!i

din Palis.

Masa corpului ctalon se numegte kilogram (kg),

Unititile derivate

sint:

1 t:103 kg;

I g:10 3 kg; I me:10-6 ks. are masa inerti I kg, daetr dupi

Un eorp ajunge imerliat in repaus.

o ciocnire eu eorpul etalon

Dupi definilia lungimii 9i a timpului, aici am definit pe cea de-a treia rnirime fundamental.i, masa inertii. Pentru indicarea dimensiunilor mrrimii fundamentale ,,masi" alegem viteza M. llasa nu posedl direcfie. Ea este o mlrime scalari, Deoarece determinarea maselor prin experienta de ciocnire este ioarte incornodi, vom indica ;i un alt procedeu de determinare a maselor. Motivarea rnai exacta a acestui procedeu se va face la capitolul gravitalia (v. 2.4). I-a o serie de corpuri determinim valorile maselor gi cu ajutorul unui dinamometru controlem greutllile acestor corpuri. Constatlm ci masa inerti gi greutatea sint proportionale. Un corp care este de doui ori (de n ori) mai inert decit unul cu masa inerti de 1 kg este qi de doui ori (de n ori) mai greu. Astfel putem si inlocuim comparalia maselor in experienle de ciocnire printr-o comparafie prin mlsurarea greutliilor cu dinamometrul. Trebuie si fim insi conftienli ci o mase inerti este in mod principial altceva decit

o T

greutatc.

abela

111

CUeoa

ttalori de

masa electronului masa protonului masa unui atom de aur masa unui litru de aer (conditii normal.) masa unri litru de api masa unui autoturism mediu masa unei locomotive masa productiei mondi.le lntr un nn (1963) masa l.unii

mass

Pemlntului

masa Soarelui masa Ceii Lactee

masa

I

UniveNului

masd.

9,109 .10-sr kg 1,6725.10-21 kg 3,3 .10-15 kg

1,29 .10-3

1

kS

kg kg 100 t:105 kg 10rr kg 7,347.1022 kg 5,977 -1021 kg t,993.1030 kg '10e kg 1051 kg

I t-103

OINAMICA

79

1.3.3. Cantitatea de migearca si teorema conservirii cantitllii de mi;eare

ln ecualia datl la paqina 77 apar produse intre masi 9i vitezi. Vom introduce pentru asemenea produse o noud dcnutnire. Delinilie: Cantlt{tea de mitcar€ p a unul corp este prodrrsul dinlre nrasa lui m ii vlteza lul

Deoarece

vitezaI,

este

o mlrime vectorial5,

qi

L':

mlrimea de miqcare p

are caractcr de vector:

mu:p. Cantitatea de miscare este o mirime derivatl din mdrimile mase 9i kg: nr . tezl: dim p:MLT 1. Ca unitate rezulti [p]:

Si ilustrim mirimea derivati p prin citeva exemple: 1 . Un cbrucior cu masa m:0,3 kg gi viteza u:0,2 ^ are o cantitate care P:0,06 \g I 2. Un vagon de mar[I avind cantitate de migcare p:333

masa

totali 20 t ii o viteze

666 !E11

cte 60

vi

de mil-

\3 h

are

o

.

3. O molecull de api are masa m:3,35.10 'z7 kg pi, la o temperaturl de 0'C. o vitezi medie u:1840T. Cantitatea ei de miqcare este astlel L,o. m p :6.18 . 10-24 :a: . s

in paragraful 1.2.1, am vdzut

ctr descrierea unui proces de mi$care depinde intotdeauna de sistenrul de referinti. Existi un numtrr arbitrar de sisteme de coordonate ln care poate fi de_ scris un proces de mi$care. Astfel, la definilia datS de noi masei'am procedal lnti-un fel special clnd am cerut repaus dupi ciocnire, deoarece acest repaus existe numai pentru Lrn obselvator care lmpreuni cu linia cu cirucioare se afle ln repaus lattr de un anumit sistem. Vrem str eliminem acum acest caz particular. Existe ii sisteme de referintd fald de care cdrucioarele merg mai departe dupd ciocnire, cu o viteze comune ,, fln observator care de la lnceput se afli Intr-un sistem de coordonate care se mi$cd fatl de linie cu o vitezd 1,, poate str compare loarte u$or din acest sistem masele

inerte ale celor doi participanti la cjocnire. El determini, de exemplu, lnainte de ciocnirc, cele doud viteze Di $i oi $i poate spune acum:

m\. m2:D;i

D;r

'

Cum ar lntelege afirmaiia acestui obs€tvator un altul care se aIlA in repaus lntr_un sis_ tem solidar cu linia? El ar lnlocui vitezele Di $i uj prin cele doui r€latrii (IiS. 1.3-7) oi:ttr-o si D; - D2+D, Aici ur ti L'2 slnt vitezele determiDate din urma de praf.

* Spre deosebire de m{rimile din sistemul in repaus, mdrimile mtrsurate observatorului ln mi$care au fost marcate cu uit accent.

in

sistemul

CAPIIOLUL 1. ELEMENTE DE MECANICA

80

v

.l -1- --= ' ffi,

@

-,!.-f; F..:1f.-r-Ei-,

G

a

f*,

ry#

Fig. 1.3-8. Doue

cirucioare

cu

ifer ite se ciocnesc $i dupa ciocn ire se m itce mase

d

impreune inspre stlnga.

t

i$

::

.3-7. Ciocnirea a doui cerucioare din pers:n repaus $i a unui observatbr in mi$care asoc iate. FiE.

1

pectiva unL; observator

Prin semnele diferite din partea dreapttr se exprimd faptul ce ambele cerucioare se apropie unul de altul. Astrel, in sistemul liniei, ciruciolul care merge ln dreapta pare a avca un mers maj l€ilt, iar cel care merge ln stlnga pare a avea un mers mai rapid decit in sistemul mobil. Din ecustia /x.pi:mzu;,ln sistemul liniei lezulti ecualia:

ml\_D):m2@2+o) m

h-

nt2oz: D(tnr+ m2\.

Aceaste ecuaiie arat6 cd masele se pot compara gi atunci clnd dup{ ciocnire ambii parteneri ,$i continutr mi$carea. Atunci lnse pentru deterrninarea masei inerte mz din masa jnerti cunoscutd ml trebuie ma-

trei viteze dilerite.

1.3/a. Un cSrucior din partea stingd { Iiniei se ciocne$te cu I unul, doua sau trei cirucioare care vin din partea dreapte, cu viteze comI pl€t arbirrare, Dupi ciocnire. cdrDcioarele sint lisale se mai meargi lpulin $i sint apoi oprite, pentru a,ru dislruge cele douA urme ale mi$I cdrilor inaintc dc ciocnire. Din cele trei sisteme de dungi determinali I raportul masclor inrrtc ale parlenerjlor de ciocnil.e. in figura 1.3-E este redat sistemulde dungi alunui proaes Pl Prcbt(na I.J/J. raport xu avut mas(le cirucioarelor Iolosite Ia aceaste lde ciocnire. Ce lexperientS?.Determinati masa m2 daci se cunoaste masa mr:300 g a

El Er,.ritnlo

I

Carucrofulur care clocnetle-

-l

fi

t:

I

li

t't

il

I .i

:,

t

Ecuatia;

poate

::

-l.

sau tlansrormat

surate

I

mpr - m2uz:(ma+m2)a scrisi li vectorial. -)+

Cu ur:-urPf

1921115,

mrur+m2uz

-

: (mrfmr\o.

Dupd definilia cantitilii de migcare prrtem scrie in locul acestei rela!ii:

Pt* Pz: P"' Aici p,x:(mr+m2) u este cantitatea de mipcare

ciocnire. Aceast6 ecuatie poate

fi exprimate sub forma:

dupd

al

rl

oiNAMicA

81

Fig. 1-3-9. Doue cArucioare in pozitie de repaus sint pornite cu ajutorul aceluia$i resort in sensuri opuse. l,a o rio(rire la (nre corpnrile nu so nrai dcsport, suma canlltitilor de nrilc{r€ i {into d€ ciocnire €ste egfllii (u caoti{ot€a de nlitcare

t

duli cio(nire. lu aceasti teoreml deduszi cu ajutorul principiului relativitnlii din instrucfiunca noastra de misurare pentlu determinarea lnaselor inerte. ne-anl referit mai intii numai Ia cazurile in care corpurile se ciocnesc Ai se mi"sci nedespirfile dupir ciocnirc. jn ccea ce urrncaza vom cerceta in rnod experirnenlal daci valabilitatea acestei teoreme poate fi extinsl ti la alte cazuri. \'a cSdea deci limitarea pe carc am impus-o corpurilor de a nu se mai desparti dupn ciocnire. Erperienla 1.319: Pe mijlocul liniei se a;azi doui cirucioare care se atirg cu pr$ile irontale (fig. 1.3-9). Unul dintre cele doui cerucioare are montat pe placa lui frontal.i o foaie de arc, tinuti intinsi cu cearl de lipit. I)upi citva tirnp arcul se desprinde si imprimi fiecdruia dintre cele doud cirucioare o anumiti vitezi (fig. 1.3-10). ArEtali ci 9i in acest caz se pdstrcazd cantitatea de mi5care, care la inceputul mi;cirii avea valoarea zero. Ilodificafi condifiile experienlei, punind de o parte un clrucior, iar de cealalti tloud (fig. 1.3-11), Etperienla 1.3/.10: Ldsnm si se ciocneasci doui cirucioarc cu viteze diferitc, pe partca frontalS a unui carucior liind din nou fixat un arc (fig. 1.3-12). Datoritn acfiunii arcului, dupir ciocnire clrucioarele se despart din nou, cel pulin unul dintre cerucioare schimbindu-qi sensul de mi;care. in figura 1.3-13 este redat:i prin ligurile imprimate in praf o asemenea ciocnire cu aclionarea arcului. La aceasti cioclire, ambele clrucioarc Ai-au inversat directia lor de migcare initialn. Puiin dupi inversarea migcirii, cirucioarelo au lost oprite cu mina pentru a se pistra parlial urmele de praf dinaintea ciocnirii. La cele doud capete ale liniei fisura arati clar urmele de praf pentru determinarea vitezelor inifiale a, 9i ar, iar in mijloc cele doud urme de praf pentru determinarea celor dou5 viteze ui pi ur Pe care le-au avut clrucioarcle dupi ciocnire. Prcblena 1 J/:: Determinali cele patru vjt(zc din figura 1.3-13. Ar{tali ci !i la aceasttr expcriente, 1. care dupi ciocni.e cirurioarele mcrg mai departe, suma cantitililor de mi$care inainte de ciocnire este egall cu suma cantjtitilor de mi$cArc dupi ciocnire. (Aici sum(le trebuie prjvit€ vectori:ill)-

Fig. 1.3-10. Figuri de praf de la experlenla 6

-

Firici, (ir5

superior

'1

.3/9.

;

:l

4

I

CAPITOLUI

sz

I.

ELEMENTE DE MECANICA

Fi8. 1.3-12. Doui carucioare se ciocnesc elastic.

$i la genul de ciocnire studiat aici, provocat cu ajutorul unui arc, suma cantiti!ilor de miscare inainte de ciocnire este egali cu suma cantitllilor de migcare dupd ciocnire. Rezultatul comun al diferitelor experienle de ciocniri pe care le-am colsiderat in acest paragraf pot {i rezumate intr-o Rezultut:

teorernl eeneral va labi ld.

Teorem{ ronservirrii cnntitntll

de miScare:

ftrtr-un sistonr in(his, suns tanlitifilor de ntiiesre flr€ lot timpul

s(eesli \'alonre, nccoo;i direciie $i e(ela9i s€trs. Sum:r eentiti_ liloi dc mtxsrc 5e pirslreaz,r: mrDtl m2'2 + ... :.onst' Printr-un sislem inc,/ris in!elegem un dispozitiv limitat in spaliu, asupra ciruia tru actioneazi nici un fel de influen!e din exterior, de exemplu forte, cantitltri de mi5care, energii. El este supus numai proceselor care au loc in interiorul unei delimilnri imasinate. No[iunea sistetnului inchis reprezinti o idealizare, in naturi nu existn sisleme inchise insi, de exemplu. sistemul solar este cu o bunl aproximalie un sistem inchis

1.3.4. Delinilia forrei

In paragraful anterior am introdus noliunea cantitnlii migcare. Pentru procese de ciocnire care Pot fi studiate

de pe

Iinia cu cirucioare, am enuntat teorema conservlrii cantititii

de mi;care. Putem considera un clrucior izolat ca sistern inchis gi putem forma in orice moment Produsul dintre Inasa lui 9i r:iteza lui; acest produs are intotdeauna aceeaEi va-

loare. Daci masa m este constanti si viteza p rlmine constanti. Astfel afirmatia teoremei inerliei este coniinutai drept caz particular in teorema conservirii cantitilii de milcare' Aceaiti alirmalie i$i pierde valabilitatea in rnomentrtl in care existl o intcrvenlie din cxterior asupra ciLrttciorului. Deja frecarea sau o micir inclinare a liniei modificir esenfial cantilalea de mi)care a unui curucior. Fig. 1,3-11. Doue c;rucioare

ti

un carucior pornesc in sensuri opuse'

DINAMICA

83

Fig. '1 .3-14. La

inderea r igidE a. mtng , expepr

r rmen p

tatoru

ierde

I

)..:

iSi

pozitia fixa.

Acllunea ext€rioarI, D€cesar{ 0cDlru s(hlnrharea cantlriril tultcerc a [nul corp, o nufirinr lortri.

.

[.-recarea este

o [o[(1. ahtnecarea pe o linie inclinatl

datorefLe de asemenea

lltei

de

se

forte.

Etperienlu.7.J1l.l: Plasa!i-vi cu picioarele apropiate in fata unui pet'ete (fig. 1.3-14). Un partinet.va aruncii u rninue rnedrclnal, grca. Prinde(i aceasla minge o dati r.igid. r.rr rniirrile intinse 9i alt5 datl indoind miinilJ. Obseroalie: in_primul caz simtiti o forti iDtensii, forti care va unprDge spre perete; in cazLrl al doilea, chiar in aceaslii pozi{ie ncfavorabi15, cu Dicioarele aDr.u_ pirte. nu vrl picrdeti pozi!ia.

Rezullat: in

ambele cazur.i schirnbarea cantitirtii de mi;care a.-rningei este aceeaii: insii acfiunile forlei sint d

iferi te.

. timpul .Aceasti experientri ne relevl ci actiunea for.[ei depinde de in care are loc schimbarea iantiilfji de rniicare. .\cesl lucru este confirmat qi de experien[ele 1.3/l piDi la i.3,5. Acolo s-a produs. de asemenea, o schimbare a currlita{ii de migcare respective. Daci indeosebi aceasti schimbare are loc intr-un timp cit mai scurt, efectul observat tste evident. _Daci pornim un vehicul cu forfa muqchilor.nogtri, atuuci "in decursul timpului ii modificdm canLilnlca .1" ,nircar". Da,ci vrem si punem in migcare intr-un anuroiI tirnp un vehicul mare, atunci efortul lorlei noastre treblrie sr tie flarte mare. Dacd vrem se pror/oc5m unui vehicul mai rnic o schirnbate q cantili(ii de mi5care intr-un limp foarte scurt. forlir lrebuie sa fie de asemenea foarle mare. Avem denzatia unei forle mari daci inlr-un anumil limp are loc o schitnhare rnare a cantitdiii de migcare, sau daci o anumitir schimbare a--cantit5tii de mi;care se realizeazi intr-un timp rnai scurt. Mirimea generale,,foril" o delinim astfel incit sii colcspundl tig, 1.3-13, tigura de praf oe ta e),Derren!a 1 t,iO pe.tru -niFCared errr.ata rnspre stinga se efectLeara o corpensdre d frecer,i. orr'l i-cllna-ed Iiniei., astfel incil lr,S(a.ea diri atd .nsore stirgd (.epreze-tat,i ma, rngust rn trgJre) apa.e cd rigcare inrirl,ara.

CAPITOI.UL

84

I.

EIEMENTE DE MECANICI

senzatiilor ddscrise, adicl ea si fie direct proporlioneli- cu vadatia cantitEiii in care are loc aceasti O" *ii""." pi invers proporlionall cu iotervalul de timp 'Pentru caracterizarea mlrimii generale forld alegem simbolul F' J.-fri--'n"i".

Dellnllte: Forla F este leportul ditrtre varhtla ttmp Al'

carttt[lll dc mllcaro

AP

tl

itrtervalul

de

io crre are loc eceasttr gchimbrtre:

in general, raportul

Al nu

-Ap '-n' este constant pentru intervale de

timp

mai

lunsi. De aceea trebuie sd mai indicim o definilie pentru calculul avalorilor uno, torie. ln acest scop formdm valoarea limiti acestui ir"i?"t"""" ^1" ."oo.t 44 pentru Al--+0:

'

ai'

4P =p. F:lim ar*o Ai Forfa este derivata in raport cu tinrpul a ca.ntititii de migcare Pentru expresia: unitat-ea forlei, in sistemul de unitdli cotistruit pini acum' oblinem

tFl:

jqa'

Aceasti unitate a foriei a fost denumitE newton, dup5 numele fizicianului

Isaac

N-ewtolr

[F]:N. de mi5cate Asupra unui corp actioneazl forta lN, daci.cantitatea lui pi*"nt1'nilc mlrimii p:rnu se schimbi in timpul Al:1s cu Ap:1 !{-I ' forti sint: dim

l,'

':

di'/' :Y! :vtr-' dim t

'l''z

I)in cantitatea de miqcare am dedus forta, care este o mSrime vectorialir' dupl Variatia A-i a unei cantiteti de mi$care este 9i ea un vector' Astfel' deiinitia de mai sus )i lorla esle un veclor:

?: ai. 1

,3.5, Forta

in

cazul masei eonstante

Ecuatria de deiinilie

i

a fortei F:lim,

ecuaria fundamental[ a mt'canieii

! :p

poate

f

regulile calculului diferenlial (regula produsului) in forma:

i

transfo:mati.dup5

F:p:mu+mo'

DINAMICA

in

85

in general observem procese la care corpurile nu-9i schimbd masa lor. acest caz special avem cu m:0

F:mi:ma forta F,

caro accelereeztr uD corp cu masa m, se mdsoard lul Eomeotand o:

corpulul 9l acceleBlia

prln produsul dlntre

rnasa

Aceaste relatie, oblinuti din ecuatia de definilie de mai sus punind m: :consl., se uumeite eeualia tundamentalit a meeanieii. Ea se mai numegte li a d.oua ariomd s lui Newlon. Prima axiomd a lui Newton este principiul iner!iei (v. 1.3.1). No!iunea de ,,axiomi" are aici o altn semrific;tie d;cit

in

matematicd

!

Ecuatia F:md poate fi folositl in doub feluri: l. Am oblinut o relaiie care ne permite si m6sur.im lorte la sisteme in miscare. Erperienla ,.Ji I2j Puneli linia in pozitie inclinata ;i dafi drumul unui lF cirucior de masd m cunoscutS. Determinati accelerafia cEruciorului. Cit lde mare este forla care accelereazi ciruciorul? Variati masa caruciolului. I Discutati gi cazul limitd, in care planul se agazd vertical (p:90i). 2. Din cunoagterea forfei care acfioneazd asupra unui corp poate fi calculate acceleralia acestuia;i astlel presupusd forma lui de migcare ii traiectoria. Dac5, de exemplu, asupra unui corp actioneaze o fortd constantd F, atunci acesta va executa o miqcare uniform-acceleratd cu acceleralia o:f fi, in cazul in care forla ili pAstreazi directia, el va descrie o -ig""r" l.]: (de "oJiorteeii s f2 exemplu: caderea libera s:l a1.1.t' " 2n

2r-

Din ecuatia -F':m(I rezulte ci asupra unui corp in migcare unilormd nu acfioneazl nici o for{i. El nu suleri nici o schimbare a cantitetrii lui de mi9care. El se miEci liber, suma forlelor fiind un vector zero. De ce o maginE care trebuie sA mearge pe un drum orizontal, cu vitezl constantS, trebuie totugi acfionatd? Prcblema 1.313: Un autoturism (620 kg) este accelerat cu o acceleralie a:O a. Ce fort6 se transmite ln acest caz de la roti la masintr? Ptoblema 1.31t: Un ctrrucior cu masa m:0,33 kg este antrenat cu o forte constantd F:0,62 N. Ce acceleratie se obline datorite acestei for!e: Probtema 1.315: Asupra unui corp aclioneaze o

lorti F:0,3 N; el obtjne

o acceleratie

a:3 I

.

Clt de mare este masa corpului? I .3.6. Leglltura

dintre forla mtrsurati statie 9i dinamie

In paragralul 1.3.4 am dedus noliunea de forfl din cantitatea de mi;care p. Noliunca de forti definiti in acest fel se numegte noliunee dinatnicd de forld. ln afari de aceasta, din cursul mediu mai cunoagtem gi o altl noliune

CAPI]OLUL

I

ELEMENTE OE MECANICA

t I

t

:

I

a

I I

a a

I

i .t I

a

a

{ I

a

I

.l

a

Ia

a a

(t

t

I

a a

a

t

a a

a a

a

a a

l-

rl

J

.t

tt. t:

'I .a

t-

t;

:l ..{

ts

t: t:

:

: a

I,

Frs.

a

pentru e

J

rienta 1.3/14.

, t{

1.1-16.

l-rgurrde PraI

Un cerucior este antrenat de o fort d F:10 Zf (d), 20 sf (b),

,30 sf (o

(c)

40 ct (d).

I

Pe-

DINAMICA

87

rlc forfri. Acolo arn nlirslll.ill forh cu ajutorul lln{)r inlir)doIi dt, atcrrIi ((linilrnorn(,t.re); notiunca rlc Iirr'(it iltto(lnsat in acr.sl [cl se numeste noliuneu slulicri a /r;r1ci. l)cDlr.u nofiunca dinatnicii dc lirltli arn inllodrrs unitllca N. iar.for.ta

slllic;r :rrrr rrrtrsrrllrl-', { ll ||ililoa kqt. t rritatea kgf rrrr estc co(,r('Dlal Ialir de sistcrnul de

unilatti conslnrit de noi pinri acum. l)t, aceea, Fig. 1.3,15. Experiente referifitri o cclcctare expetimcnltli'r tru pu.tcln face toire la proporiionaliiatea dinlcgilttua irtt|c cck' dorrir notiuni de folt:i. in tre forla misurate static ti dinamr.. t'rpericllolt: car(' lrrrreazii vorn t'xamina rlocd etislri o leqdlurit irtlrc rrl1tsurtreu sluticit ;i ceu dinontiui ( fot tei. I.).,"perienlo l.:1i13: O linie se afazar in pozitie u;or inclinati, in a5a fel incit Irecar.r'a cirnrciorltlui s, fic tocmai egalati de ac!iunea pantei. inclinarea potlivitri sc ve(lc dupij sislt'rnul de dungi uniforrne al misci;ii uniformc, daci cri.uciorulcslc .so. irnpins cu rnina. (I)ent*r o cxperienli care urmeazi imediat

ciruciorul este incir'(ar cu trei discuri de cite 10gI) cu o sfoari intinsi l)csl(.o l()lir c:iluciolul t'sle antrenat de un disc de I0 gf (fig. 1.3_15). Re:ullul: I)i, sislcrn.l dc dungi st, vcde ci r'i;carea este un ifor.m-acce lera ti , in lillrpul cxpr:rit'Itci (lcscrise actioneazi o for.fi constanti. Greutatea, I)(' carc l)lllctn s-o (lcl*t.tninlrn inaintea inc(,pcrii expt,rien{ei printr-o mdspr{_ lnnr{, :lili(ar. r,xr.r'cilit d(,ci r_r lrl.irrrrr. tlinarl icir constan lii. Dtpttitrtltt /.i ./4: Varicrn t,xpcr.icn{a e[ec.llralil it(liDoNuri. irrdcpirllirrtl ltna dupd irllu pirsclu
'gir)

Ia discullli

(l(' ilnlr(,Ilar-r.

llczullu[: La liccalc trper.it,ntI, acceler'illia cfcslr ctr ac('ctsi v:tloare. Irr lieur.n l.ll-1(i sinl l.rdrte rrzrrllalt'k,un('i as tIc I de expelicl!c; il Iigur.a l.il-17 cste r.e1lt-czcrrlal:r atcclcr.a!ia n

tir. rle

l(rrLa

sltriilar in el .

in func-

dc alltt.crrarc m.i-

Itr cxpcricrrlir allcl.ioll.li al)

variat [or'la rk: aDttcl]ar.(' IDasui.itlal slalic si arn I)irsttllt { "tt.tirrrtlr irrlrr.ltglr rnitsi - ceil lt tljrrrcior Lrlrri i.tnJ)rcll)ii crr cta a cor.ptrlui (le anll(,nitrc. irr cxltcliclla uftriltoal.e vorn rllt,rrf irrr. insi Ii)ltil (i(, itr]ll.1,nafe (,onstan[a-1. valiild rllrsa ltccek,r'llir. E

r p t r ie n tu

acum un

./...r'/ I 5: Crr r.rr c ior.rr lu i ii adrjua.irur alt ci)r'ucior, incitlcat cu patru

Fig. 1 .3 17.

Accelerarea unui cErucior i,r ru^(tie de torta de antrenare t.ror (eval"a-ea fipu-rlor oe Dral 1_3 16. o p?nd la d)i Fs.or -o.

l'

E

CAPTTOLUI 1, EI,EMENTE DE MECANICA

88

a 10 gf (cauza?);i procedim ca in experien!a 1.3/14, inregistratorul celu i de-al doilea cirucior fiind scos din lunciiune. Rezultat: La fiecare antrenare ob!inem numai iumetatea valorii acceleratiei din serie Precederte de

discuri

lp

experien!e (fig. 1.3-18). Rezumat: La primele experienfe, acceleratia a este proportional5 cu {orta de antre-

nare Fsrar, misurati static. Pe de altii parte, in cea de-a doua serie de expeiienle, acceteralia sc dovedeSte a fi invers proporlionall cu masa m. Este deci valabilh relalia

Fie. 1.1-18. Acce'erarea a coui {iru' i^ l,rnclre de 'o'la ae

c 3"re .uplare.

antrenare f,,o,.

,-+.

sau, transformat, F at - ma. Pentru rnc Putem scrie, colespunzltor delinifiei dinamice a forlei, Falo' De aici rezulti relatia: Fstot -Fain satt F516:c h-671' ht.e torlele mlsurute stati( ti (ele rn{sumtc dinomi( erlstfl o p'oporlionalitatc' Aceasti relaiie simpli are ca urmare faptul cI ambcle detinilii ale forfei pot ii'foiosite impreuni f5ri contradictii 5i ci se poaLc.trece de la una la ^cealalti. Rimine si determinim factorul de Propo$ionalitate c Pentru aceasta cel rnai bine lolosim cdderea Iihera. (Aceasta corespunde unei experienfe cLt linia de citucioare, la care ciruciorul are rnasa inerta 0, unde se acceleleazifi deci nurnai masa de antrenare.) Un corp de 7 kg masl inertd care cade va ,ni."r"t a. o fortl de greutate de 7 kgf.bin experientra 1 2/10 gtim cd acceleratia lui este de 9,81 a. Datorita proporlionalitliii demorstrate a celor doui genuri de for{e avem atunci: kgf :9,81 N 9i I N:0,102 kgl' pine acum intotdeauna in unititi statice misuratd Forla de greutate G, in unitatea N, coerent' in sistemul nostru' acum fi dati kgf,p"oate de masS' g."utate lkgf are (Ia45' latitudine 9i nivelul mdrii) masa inerti i, .o.p "r-o 1kg qi este atras spre mijlocut Pamintului cu o iorli F:9,81 +' 1 kg:9'81 N'

l

Greutot€a [nui (orp este egal{ ctr produsul dlntre mirslr lul tnGrttr tl nccelorolla

plminieasci: c_ag, unei sforj' de o Prcbtema 1.316: Un cirucior de mase 0,313 kg este antrenat, p-rir intermediul de antlenare' corpului asuPra care aclioneaze forli kg. Catcuta;i 0,U5 sreutat" o*i,ta masa icceleralia caruciorului )i torla ln sfoara.

I

89

DINAMICA

1.3.7. For{a

ln

cazul masei variabilel propulsia raehetei

cc am sludiat pini icum' AIn definit forla prin ecualia l':'p: ni+ io' in ceea ecualia fundcme[tali a mecanicii: i"'ort't * del"l constanta' liind ca considerate a fost caz particular' mentrinlnd vi_ F-mu. Aceasttr presupunere va cldea acum' Considerdm un alt teza constanti, vom avea deci: masa

F:

mD.

ploue puternic intr_un cerucior deschis' Dace O masa variabili avem. de exemplu' dace Ilaca \ariatia masei ln tjmpul ai cade masa de ploaje am in carucior. alu'ci ;:l;ii ff' este

unilormi,

se poate

sqie

;:43'

g"u"tit F:mt, ne spune acum cd asupra unui

astfel

deceluciortlebuiesiactrionezemeleuololtdsuplimentaredincxterior,ca{iteTaserimln5 rrrnat $i t, nu mai r;p""rt", r':o' ;;":1;;i;*;;;;;.i,

este

't'n.iciruciorur€ste "*L"io"'e rezulti pentru I':0 fo{a de fr,*r." o acctleratie negati\'i o' Din r:n'+ma ""r"i"r,, Pslc constanl6: ta depinde de masa rru n"." 1., fiina r,ra- ' /,r, Aceasle torla de trinare inl"t"t" trlnare aminlite? 1n torlPle.de ii"lui" "" ,"'p""iit:''c'n| in Dromenlul rn a ceruciorului "i;;.".|;;;;-4. orizontala 0 la viteza ,, a ceru' viieza ta ae *"'"i il;prr ""t" "J"il ^ Al Ai):l,' Forta Decesara pentru a(easla estc ciorului; ea capatd deci o accele'a[ic con{orrn ecu{tiei

': fuudatnentale: I1-

Ai "o

1m

A, -:

Anr

x'

-

a lost explicata ctl Astfel, toria de frirrare Fr:i u care apare ln caTul masei tariabile F:ma fundamcntale ecuatiei ajutoru I mase .Pclltru 'ceasta considerdm Sa Inai sludi(m caTul rn carP carJcior't pi"tae lnercu unuisisten-l d" toordonsle: asupra in originea repaus in ,r."."p_."."_fr''.."t.ntuli-0seall5 expul:ua21 in tiecare inter!al lui sa nu actioneTe ni.in to,1a. .iculn ft"it'ip'ncrn ta o""st corp nou valabils relatia mo: din este cu F:0 eiunci ;".'iil,; A,;;;;";i;""a 4,, ", r'iteza'u' ca li clnd asupra corpului' a accelerdri unei electul aici are m<0 :-;r. u*,rUi masei ln care u este diferit in cizul ao"" ]"tta r':-'' lui ar ac[iona o lorti "*t".io,te 'ii"i"ta "';tfe Cu aceasto Anr:nrAl' masa in timpul A' de ?ero, , este viteza cu cnre corpul expulztazi rachelei' ptopulsiti am indicat baza

I .3.8.

Impulsul si teorema inrpulsului

lr) lmpulsul

I

=-4.

E.roerienlu 1.3 16r Alezdm o bili de olel pe u qini . 1i o lovim cu un ciocan (tig .l3r19)rni)care 'E:peiienta 1.J717; Lisnm un caruciot in unilormd se se ciocnPasci de un perele (cu un arc elastic). Obseruqlier Corpurile i9i schimbl starea de milcare in t imPu I Procesului de ciocnire, fof,la llu a aciionat asuPra lor decit ur ti mP scurt.

I' Fig. 1.3-19. lmPu i5ul dat unei

90

CAPITOI.UL

J.

ETEMENIE DE MECANICA

.Timpul aclionirii forfei este aia de mic, inclt procesul de accelerare nu :

*:"il:'i"T " i;;.l:ll il',t'il il'

:,::

ilTT: il::l:

;;11

""'l;J ciocnirii. Dupe aclionarea forfei, cantitatea de migcare este r#r. ln timpul Al al ciocnirii, foria a provocat o varialie a cantitilii de migcare t(^i_*Gt_irl. Dacd se cunoagte timpul aclionlrii Al, conform definiiiei date de noi forlei

i:

A1t')

la- ciocnire,

se poate calcula forfa

F

(presupuse constanti). Insd, deoarece

in

general, nu se poate mEsura Al, introducem o noui merime, adecvatd pentru descrierea procesului de ciocnire: tmputsut L,p.

Delinlliel A]

Impulsut

eslc produsul dhrhe torra

i9l timpul A, al aertond.tl €l!

ap1 rar. Dimensiunile impulsului sint dim Ap:dim F dim L,t:MLT-|, deci acelea ale unei cantiteti de migcare. Unitaiea lul este tApj:Ns. 4p-,FA/ este vatabitd numai pentnr cazut specjat. tn care rorla ,.""^ cclroneaTa tare ^?.-,t]:]l':.,rl"tsului este conslante ln acesL-caz putem sa ilustidm impulsul FAt printr un ar.!iunghi_,n rliagrama forla-timp gig. 1.J_2O, o)_ Conditi€ torlei conslanlc p
caz

Delinirio,

I

3

2

Impulsut unui o(,ip este ltrtegrela itr mport cu timpul lorrei care aelionoazi asuprs luli

a

tf

Ap: J F(O

dr.

Legltura impulsului cu cantitatea de miscare zult6 din definilia lorlei;

I

re_

Fig. 1.3-20. Reprezentarea in pulsului o) la forta constante fi b) la forli var iab

ile in

timp.

91

OINAMICA

Impulsul Ap exeraltat asullra unul corp esle egal cu varla{la

(anrllillt lut

d€ ntlitare:

FAI:Ap =A(mD).

Din definiiia generali rezultd cA

impulsul

este egal cu varialia totale a cfintittrtii de mi$care

a

corPului:

'! rlrtar: '",. d, J -di:-(rr-ro). f to

Fig. 1.3-21, La tragerea unui Proiectil, ,unul sufera un recul

lo

fi determinat cxperimental. bill (m:230 g) ln repaus este loYittr cu un ciocan si obline o rritezd

Astfel, impulsul poate Prohlema

i

,:2.? A

Calculati irnpulsul $i forta active, aceasta liind considerati constante, iar timpul

J/7: O

dc aclionare fiind Al:0,05 Probl(ma 1.318:

s.

Un cerucior (m:360 g) alind vjleza u:Q,64 56 lovette

p€rPenalicular

de tlrr perete. Catculali impulsul exercitat de perete, dacd: o) ciruciorul €ste reflectat

cu

,) ciruciorul rdmtne lipit de perete. Prcblima 1.119: Rispundeti daci la ciocnirea unor bile elastjce (biliard), tragerea unui proiectil (pu$c, cu air conrprjmat), lansarea unei rachete sau la aruncare (lovirea unei acecati \iteze;

nlingi) foria rtrmine constante. b) Teorems inrpulsulul La jocul cu mingea medicinalS, sPorrivul care prinde mingea aclioneazd cu un impuls asupra mingei pentru a o op[i. in acelasi timp inse 5i propriul sdu corp ob,tine un impuls de la minge. La tragerea cu pu$ca (sau tulul)

proiectiiul capiti un irnpuls, insir li pusca sau tunul vor recula (fig' 1.3-21). O-racheti obfine un impuls in timpul arderii gazelor de ardere, insi li acestea expulzate capiti un impuls, si adume in sens contrar. Rezultat: La proccse de ciocnire apar intotdeauna doui ilnpulsuri contrare. Considerim inci o dati experienfa 1.3/9. Rezultatul acestei experiente era cI impulsurile la care au ajuns cdrucioarele erau egale 9i de sens contrar: mrir: - m2ir. Astfel experien!a confirml teorema despre corservarea cantititii

de

migcare.

Pentru impulsurile exercitate oblinem (cu uo:0) afirmalia: Impulsul Lp. care aclioneqz.d asupra primului cdrucior este egal ;i de sens rcntrar tu impulsul L,p, pe care el il emtcitd asupru celui tle-ql doilea cdtuciori L,pr: -LP2. Suma impulsurilor exercitate in sistemul celor doul corPuri este egale cu zero: Ap,-]-Apr:0. Acest rez;ltat toate fi generalizat pentru un sistem cu mai multe corpuri, asupra ciruia nu acrioneazi lorie exterioare, ci in care apar numai forle interioare. intr-un asemenea sistem inchis (v. 1.3.3) este valabild teorema conservirii cartiti!ii de mi;care. Fiecirei varialii a cantitilii de migcare apirute ii corespunde alta in sens invers. Suma tuturor varialiilor este egali cu zero. Deoarece impulsul exercitat asupra unui corp este egal cu varialia totale a cartitdtii lui de migcare, teorema conservirii cantitdrii de miqcare

97

CAPITOLUL

poate suluii

li

exprimati Si

ca

teorcma impul-

Itrtr-un 3lstem itrehls, suma luturor lDpul3urllot esle mereu €gal{ cu zero, pl Problena t-3tt0: Dali exemple pentru \alebiljtstea I teoremei impulsulu i. c) Forra St iorta de reecllune Sd, cercetlm mai indeaproape sistemul care se compune din doui corpuri. litpetiertltt i.Ji 73r Doi biric!i pe patine cu rotile stau fa!5 in fali $i lin capetele unei fringh

1. ELEMENIT OE MECANICA

dgnEt

{r-F:+

i

FiE. 1.3-12. Forta ii forla de reacliune in cazul atragerii unei piese din fier

de.dtre

un magnet,

ii.

a) Amlndoi trag cu (aproximativ) aceca5i forti de capetele fringhiei. b) Un sineur bliat trage, de capitul fringhiei, pe cind celilalt tine doar Iringhia.

Biiefii sint accelerali unul

spre altul. Nu existd nici o diferenll intre cazurile enuIriate. El Erperienla 7.J/79: lntr-un vas cu api punem doui buclli de plut5. pe I una asezem un magnet, iar pe cealalti o bucati de fier nemagnetizat (fig. 1.3-22). Obseroalie: Cele doui plute se migci uua citre ceatalti. Deci nu numai magnetul aclioneazi cu o auumitd fort5 asupra ficrului, ci gi lierul exercitd o anumiti Iorti asupra magnetului. Oblinind aceeagi accelerafie deducem ci cele dou5 forte sint egale. Acest rezultat poate Ii obginut din teorema impulsului. Imputsut flAt exercitat de magnet asupra fierului, trebuie sd lie inversul impulsului pe care 'i il capetd lierul, intrucit cele doul corpuri formeazi un sistem inchis: Obserualie:

FrAt: -FrA7.

Timpul A1 este acelaqi pentru ambele corpuri. De aici rezultd pentru iorlele care acfioneazd:

Fl:-n" DaoI uu corp 6xercil{ asupr& altula o torfi lotti egalA 9i de seDs eontrar, F*:-f

?,

atunci sl Bulerd dln pari.a occstuta

o

Aceasti afirmatie despre apariija in perechi a fortelor a fost exprimatl de Ne w t o n fundamentale ale rnecanicii, ca egalitate djntre -oclio" Si -rraciio" Newlon). in constructia n oas trd ca nu este o axiomi, deoarece a fost dedusd din teoremtr conserverii cantite!ii de mi$care.

in cadrul principiilor (a 3-a axiome a lui

Tlebuie [inut cont irtotdeauna cE for{a de reac}iune se aplici celuilalt corp. For{a de atrac}ie a magnetului se aplicl fierului,iar lorrt de reaciiune, magnetului. Ewmple de lorte $i foriS de reacliune: 1, O piahe este atrase de Pdmint Cu aceeaqi for[E piatri atrage Pdmintul.

93

DINAMICA

2. Ua cal actioneazi cu o lorie asupra unei c6rufe.

O

fortA de reactiune de aceeaqi marime este exercitatl asuPra calutui de cltrc ciruti, (Cu toate acestea, cum poate fi pusi cdruta in rniScare?) 3. Elicea unui vapor exercitl o lorii asupra apei. Fo(a de Leacfiune a apei impinge vaporul inainte, Forla de leacliune nu trebuie qonfundatd cu o forid egalS ;i de scns contrar aplicati aceluiagi corp ;i care anuleazi deci acfiunea unei forle. Eaempln: Asupra unui corp, suspendat de uu resort 9i aflat in repaus actioneazi doui forle. Greutatca dirijatd in jos este compensati de foria resortului, care actio[eazi cu aceeagi valoare in sus (fig. 1.3-23). AceastE forti a resortului nu este forla de reacliune corespunzitoare greuteiii. Am putea s-o [umirn /orlri de tonpensare. Ea este aplicati. aceluiasi corP li anuleazir ac!iunea greutltii.

Fig. 1.3-21. Forta

de

compensare,

Greutatea corpului este compensata de forla e lastica a resortului.

Pnblena 1.3111: Pentru grtutate si forla corespunzdtoare a resortului indicati forlele de reactiune corespunzetoare.

Daci asupra unui cotp acfioueazi o forti concomitent cu lorta de compensale, atunci el nu este accelerat. Ac!itruile celor doui lorle se anuleazS, ial cantitatea de uri;care a crxpului nu se schimbi. Astfel statica se caracterizeazl fali de dinamicd prin faptul ci liecare forlI care apare este anulati printr-o lorti de compensart:. (lu aceasta putem inlclege mai ugor procedeul static de nrisurare a lortelor. I"orta nu se mlsoari prirr acfiunea ei dinamicS, ci prin frrr'(a c'rrespunziloare, cale o comPenseaze. 1.3.S. Forle conlrale a) Foria c€ntripcil

Peutru uu corp de mase constante m, forla -F? tare aciioueazi asuPra ttli acum am cousiderat doar este proporlioualir cu acceleralia trli,i:n,ipinl cazul in caLe Ior'!a.5i astfel si acceleraiia, au aceeaSi direclie cu o tni5care deja existenta a corpului. Atunci for{a schimbd numai valoarea vitezei t-l li a caDlitilii de mi,scare rnu, nu insi 9i direcfia lor. Apare o accclcralie tangeniiald (Ir. Am ronstatat (1.2.1 ce Ia miqcarea circulard apar acceleratii perpendiculare pc direc{ia de mi;care, adice acceleralii radiale. O sI studicm acum aceasti miqcare in privinta lo{etor care actioneazE. Etpe enlu 1.3120: l,egnm un cirucior cu o sfoari de un dinamometru' Dupd aceea il lotim uniform pe o traiectorie circulari sau il ldsdm se execute o mitcare circulari unifonne pe o mase rotativl (iig. 1.3-24).

I'

94

CAPITOLUL

Obserualie:

t.

EIEMENTE DE MECANICA

La aceasti migcare dinamometrul

se extinde, iar resortul acrioneazl cu o forte asupra corpului. Rezullal: Pentru a tine un corpde o Ira iectorie circulare, tlebuie sI se exercite asupra lui o lorld dirijatd spre centrul cercului. Aceastl forid se

nume5le forld cenlripeldr sau forlir radialS. Trebuie sA se aibe in vedere ci iu decursul rotaLiej sale corpul executd ii o rotalie in jurul centrului slu de greutate. Daci ne inchipuim intreaga masi a corpului concentrate in centrul lui de greutate, atunci rotafia corpului in jurul centrului siu de greutate

iEi pierde importanta 9i ne putem

Fig. 1.3-74. Forta centripet:. La rotatie resortut exercjtl asupra corpului o forli in directia centrului de rotalie.

Fi8. 1.1-25. Dispozitiv simplu pentru studiul forter centripete. Prin ridicarea tubului de strcl; raza t.aieatoriei poate .i micso-ata.

limita in mod exclusiv la studiul ac[iunilor -de forte pe traiecloria circulari. In acest caz am idealizat corpul ca punct material: in fizicd o asemenea idealizare se numegte model. La studiul forfei radiale folosim modelul punctului material. O schimbare a condiliilor experimentale arate cI merimea forlei centripete depinde de pelioada de rotatie ?(sau de frecvenfa v:4, respectiv o:2nv), T

de masa m a corpului in miqcare 9i de distanla

aceste dependente

mai in am5lunt.

lui r. de Ia centru. SI studiem

Erperienla 1.3121: Sfoara experientei pentru demonstrafia forfei radiale este introdusi printr-o feavi de forma arltatd in figura 1.3-25. Prin aceasta dinamometrul rimine fix la rotirea corpului ii putem mlsura mErimea fortei radiale. Modificdm consecutiv masa corpului in rotarie, raza traiectoriei gi frecvenJa.

l,robltma L3112: Un corp cu masa nr:2g se miice pe o traiectorie de razi surem dilerite perioade de rotat.ie f ti forla radiali Fr corespunzltoare:

Eolositi selia de m{surtrtori penlru determinarea dependenlei lntre

I (lat.) petere :

I

a tinde.

r:30

F, ti

7

.

cm.

NIA-

95

OINAMICA

Rezullatul erperienlelor: Forfa centripeti F7 este direct proportionale cu m a corpului rotit qi cu raza r a traiectoriei circulare, 9i ' masa invers propor[ionald cu pitratul perioadei de rotalie I:

t r*m

fz

.

56 dedueem factorul de prop orf iona I itate in mod teoretic. Accelerafia radiala a migcdrii circulare uniforme este ?":-6f 1v, 1.2.7). Daci o introducem in ecualia fundamentall a mecanicii F:ma (m este constant), atunci ' ,ri cu F,:m 4n'- r, oblinem forta radiala Fr--n Tz

F'actorul de proportionalitate ciutat este 4n2. Forra cerrtrlpetd care lltre corpul pe traleclorla circular{ are vstoareo:

Fr:mo2r ssu Fr:^ L.

t

Prcbtema 1.3113: Din ieria de mlsur{tori a problemei 1.3/12 deteaminali valoarea factoru-

lui de proportionalitate.

Problema l.3l1.l: Un corp se miscd uniform pe o traiectorie eirculard verticald. Desenali (ii fortele de raacliune) care apar ln punctul cel mai inalt $i in punctul cel mai

fortele

de

jos.

Prcblema 1.311;: O minge (m:0,8 kg) este rotite cu bralul (l:70 cm) p€ un cerc vertical cu lrecvenfa v:0,8 Hz. Calculati forta cu care trebuie aciionat asupra ei ln punct[l cel mai inalt $i cel mai jos al traiectoriei. Cum zboari mingea dacd este ldsati liberl $i astf€l actiunea fortei inceteazi? Ptoblema 1.3116: O sfoarl (l:0,84 m) mai poate sd suporte 8 kgf fire a se rupe. Legat de ea se rotette un corp (m-2 kg) pe un cerc vertical Calculati frecvenla $i viteza liniarl

la care ala

se rupe.

Ili$carea circulari uniforml este o migcare sub influenta unei forle radiale pure F". Aceasta schimbi mereu dircclia, insd nu gi valoarea vitezei. Forta care aclioneazl la o migcare generalS poate li descompusl intr-o component[ i; in direclia traiectoriei 9i o alti componentd F] perpendicutara pe prima: F:FtIFr. Prima componenti schimbl valoarea vitezei, iar a doua direcfia ei; prima provoaci o acceleraiie liniar5, iar a doua o acceleraiie radiale. b) Forta 9i sistemul de reterln{tr; lorra ceDtrilugd

Expetienla 1.3122: Pe platforma unei mese rulante se afle un cerucior liber. Accelerim masa inspre dreapta. Abserualii:

1. Un observator care se miqci impreune cu masa observd

cum

ciruciorul se migcI accelerat inapoi. Asupra ceruciorului actioneazi deci (fali de masi) o forfe F:ma. Pentru a-l retine trebuie si se exercite o forte corespunzitoare in sens contrar (fig. 1.3-26).

I'

96

CAPIIOLUL

'-

EIEMENTE DE MECANICA

2. Un observator in rcpaus colstate ri masa

capdti o accele-

lalie, a. Pentru el ciluciorul rimine in repaus (datorite inerliei lui), deci asupra

Iui nu actioleazi nici for!5 (fig. 1.3-26, a). Daci vom fixa ciruciorul de masir, atunci li asupra lui actioo

neaze o

fortri, care ii

imprimi o

lie

accelera-

Fig.1.3-76. d) Pentru observato.ul in repaus ceruciorul rimine

in relaus datorlta rnertie lui. El nLr sufer; nici o fort:. b) Observatorul in rniicare asociata constat; o accelera-tie ciruciorulu $i astfel o fort;.

a

a.

La intrebarea dacd asupra ciruciorului actioneazl o forti, cei doi observatori dau rispunsuri diferite. ObscNatorul in mi$care misoarl fale de sistemul lui de referinll o acceleralie, deci pentru el

existb o lort5

l':ma.

Ob-

F..

- --

----

g- --6-

u--'-

o) Pentru obse.vatorul in regaus bila este accelerate inspre centru (accelerat e radialS). b) Pentru observatorul in migcare asociate bila se a{l; in repaus. Forlele cdre dctioreala .iJpr" ei e'onpelseaz:. F)9. 1.3-27.

servatolul in repaus nu constati nici o schimbare a cantit6lii de migcare a ciruciorului, deci pentru el nu existi nici o forta. Care dintre cele doui sisteme de referinti este acum

cel

,,corect"?

Pentru clarilicarea acestei probleme mai efectuim citeva experien!e. I'roblenla 1.J117: Suspendati un corp de un dinamometru- Mitca[i I mai lntij iAr apoi uniform in sus Si corespunzdtor in jos lnterpretali observaliile a, ln \islemul de referinld arind aceeaSi mi$care: ,) 1n sistemul de ref€rinti ln repaus,

accelerat,

Problemo 1.3118: Cum se schimbi i.reutatea {rnui om lntr-un ascensor accelerat, intr-o rachetl lansati. la siritura cu parasuta $i intr-o capsuli spalirle ln cedere libertr? Interpretati de fiecare datl procesele din sistemul in mitcare $i din cel in r€paus.

Erperien[a 1.3i23: Pe o placi circulall, in lungul unui diametru se adincituri in care a;ezim bile. Rotim placa cu o frecvent,r sporiti. Obseru{rtie:

afli

mici

La o anumiti turatie bilele exterioare zboari. l)aci se mlregte frecventa, nici celelalte bile nu mai sint relinute. Observatorul avind aceeaii miicare de rotaiie constatl o forti carc trage bilele inspre exterior. Pentru observatorul din afari, in momentul in care i$i iau zborul bilele se mi;ci tangenlial;i ueact.ionate de lorte.

I

OINAMICA

97

rotativl se afli o bill rnobili. Ca sI se roleascir, riminind in acela;i loc pe masi, bila trebLrie legati cu o sfoari de centr.ul

I,)rperienla 1.3124: I,e o masi meset.

l.

Ol)selvatorul miscat ilnpreuli cu rnasa constat.t o fortl care trage hila in exlelior. Fll o runteste fortal centrifuaar. I)acir sfoitr.ll exerciti o Iolfi (onlpcnsaloillc irspr.e ccnttu (for.!a centripetit), bila rimine in repaus (fig. 1.3-27, r). 2. Observatoml extern Ye(le (de exerrlplu, prin iutindcl.ea resor.tuhli unui dirarnotnr.lrrr), ci sr. excrcitit rnereu o fol lil asupra t)ilei (tbrfa cent|ipctir). Accas(a provoaci o accelerafie radiali a bilei pe tr.a_ iectoria circularir (fig. 1.3-27. rr). Amindoi obsclvatorii t,orrsllll o for.(ir de aceea;i valoare dirijatal inspre centru. Obselvatorul in rolaIic (olstatit in ])lus forta ccntr.i[ugri. I)in partea observatorului iu n,paus o asetrrrnca I{)ltal nu poltl(' l'i coustlltali:t. Ptoblcma l.3ll0: l)escrirli proccsrle lu rupcrea storii (c]iperienta 1.3/21) iD rxport cu anrbele Obserualii:

l,robltnu 1..)l!0: Stuclia(i for[el(. (nrc aclionrxzit ill1r{ f.lir (lc nrutiDri;,) flll:i dr ros(.l.

nra$iDi: o)

curbri tsupr:r con(luciltotului unci

0 fr.rrfl o voll Dutni de inleurliutte dacl are o forti de rcrctiune. I.'orta o forlir de i teraciiune. iu rlrina ctre lotcst(. piatra se sir[te krr!a dc roacliune exelr.ilalrr tlr grialr.ir. irr sctrirllr. lirlla couirilugl pt,car.t o constltil nurnai ohservntolul el iu rliscare - nu este o folti rle r.eacIiutrc. Nrr (,\islir lnr ll doilel-;icorl) ilsul)lit tirnrirr sir actioncze o tol.ti-t opusil forfei ceulliluct'. lla t'sl,t, o fttli tpurcnld sau o /ir ri de itrctlie. Cu ac('asl;i l)rc(izarc lrn d('os('l)il for.lt'lo dc inor.lic dc ftrr.felt.dr iuteracfiunc. Astli'l arn alirrs tlin rrorr Problt'rlra sislctIrullli do 11'li'rintr'l ..col.(,ct't. irr cxlx't icrr!clc troitsltr uultiri obsct.yaIorrrI in r(,1)xus ar.c posiLtilitatt a si c{)nslalr iD rnod csclusiv lir'{r. dt' iulcr.ac{.itrut': irr sctrirull. ct,l in tni5car.t, ob*r'vii 1i lor'{c tlc int,r'lic. (lilcil sislctnul lui sc rniscit itcc(,1(,r.aI fatii de ct' lirllll. (lluD poatc (.ons[al:l inst't citlcvll daci'r sc alLi iulr.-rru sislt.rn in cltLe sc obsrlvti nurnai Iorlr rk. irrlclir<:lirrrrc?'['n'lrrric clr.t.t'tirt (l cii p(,t]ttu Ioate forl.clt. t:xistli lirlll tk' r'caclirrnt'. l)ati-r au.sl lrrcr.rr rstc vlllallil I)r,ntnl tr)atc centripetar estt'

forflic culc a1rar, alLrrrci csle valalriLi si Lt.or.crll irullrrlstl.ikrr'5i lt'ot-t,rua colsclvirlii rarrtilir{ii
Prohlemu 1.:il! l: trltlsll rle lucrrt eiite un sistc r illerli I? Ptuhl.m(t l.il2:i: lloti\ati fxptul ci l.aisin(l un sistetn inertixl. fiecare sistelrr aflat hr miicare urrii,rrri fuli (le el este {lc asetne ex un sistetn iDerlixl. in el se obsrrvii flcrlea$i

fort".

Cu loale cir for'(ek,tle iuerlie se nunlcsc ,si for.(e aparente. ele au fttit de sislrcelc si efecte ca fortele de iul(.racliun('. ln special for(a ccntriftrgir F,. lrre o irrrp0r'tirrrfi t:lr'('. Iiit este folositil. tle exenrPltr, la rentt'ifrrge (cettrifrrgi (lc lll)te. centlifugl rle izotopi), la s[orciltorul certrifugnl

terrlrl a(:celet.lt

pctttlu rufc $i la r('gulltrxul cclltrilugal. 7

- Ei:i
l'

CAPITOIUL

98

;, Ptublemo 1.3123: Interpr€tati fortele care actioneaza la regulatorul

aentrifugal

temul

ln

ln repaus.

(fig.

ln

1,3-28)

I.

ELEMENTE OE MECANICA

I

sis-

rotat,e $i ln sistemul

ln sl€temul itr rotalle, Iorra eoDlrllug[ este lo.rs do compemsre

a lorrel

ceDtrlpele.

Valoaiea €i este decl aeeeetl: b

t:m
L1

-

I..3/9lr O ma$in{ (m:

:0,8 t)

rnerg€ cu

u:80

krn

-

tr-o curbi atlnd raza dc curburii ,:.r0 m. (:alculati forla centri_ fugn.

l,nblema

1.31

z5: lnlerpretati for'

lele care actioneazA asupra

")

,n

ma-

sinii ln curbtr, in ambele sistemc' (le importanld are lnclinarea 9o_ selei in curbe? Probltma 1.3126: Rotiti o gileat{ umpluti cu aPA Pe un cerc vtrtical. Motivati ci deasupra unei

F

b)

ig. 1.3-28. Regulato.ul centrifugal:

o) Pentru ob;ervatorul in repaus greutatea bilei se des_ ctmour'e ir doLa componenle. Una este for!a radiala, ceal;iU e\re .onlpensati oe forla e'ercitatii de susPensie. o) Pent'u oDservaLorJI :n mifcare asociati rezulta o forla tolalii (ompusA din greutate $i forla centrifuBa'

anumite lrecvente vo apa u se scurge. Calculx[i vo Pentru o raztr a traiebtoriei r:75 cm.

1.3127: Pdmi[tul se ro' 24 h o dati ln iurul axei

Phblefia

te$te

ln

sale. Calculati forla centrifugi asupta unui corP (In:2,4 kg) ta latitudinile:

9,:@, pr:30o, 9r:600 (la pol).

pi gn:90o

Flg- 1.3:)9. Urma Pendulului Foucault (mult extinsi).

l)Irlintrrl st' tolcsl('. cl nll cstc lln sistcm iner!ia[' Acest Iucrtr l"ttttcarrlt irr llii-)0. iu cunoscuta cxperienti cu pendulul' I,tp2visr7, t,ii2it: l)e tt sirrtrir Ittngrr (1:10 ln) suspendiln un corp, reali,inil a.tf,'l un pcntlttl (rrr =:lll k{). li-accrn sa oscileze pendulul $i observim rrrrna nritcallii timp Inai indolungat (fis. 1.1]-29). Obserualie: I)t'ntlulttl nu oscileazl intr-un plan. in emisfera nordicS, asupra pcnduttrlui actioneazi meretl o forii, care il deviaze spre dreapta' Aceasta nu este o forld de interacfiune, deoarece nu existe o for[i tle reacfiune. Acest Iapt devine foarte evident li prin ac-eea tI ia Ecuatoi pendrrlul nu suferi nici o deviafie, iar pe emisfera sutlicti el este dcviat spre stinga. De aceea forla deviatoare trelluie sii fit'o forfd de inerfie; sistemul nostru de observare nu este un sis[etn ioe{iat, ci el'este accelerat. Pdmintul se rotegte (la stinga) sub Pendui. Asttel' aceaste experienld cu pendulul deuro[streaza rotaiia Plmintului' I)eoarece

ru

fost dovcdit dc

LUCRUL MECANIC

5I

99

ENERGIA

Forta de inertie observati in experienfa lui Foucault actioneazi asupra tuturor corpurilor care se mi$cd pe suprafafa Pimintului. Ea se numeste forld Coriolis. I)e exemplu, pentru sisteme de vinturi (alizee, cicloane), ea produce o deviere spre dreapta, in emislera nordice, ii o deviere spre stinga,

in

emisfera sudici.

1.4. Luerul meconic gi energia 1.4.1. Definilia lur'rului mecanic a) Lrcrrl mefanl( cird lorla fl

deplasarea au &ceeall dlrccrle

tl scns No[iunea de lucnr rrecanic are multe infelesuri in limbajul uzual. In lizicl vorbim dc un lucru mecanic daci o forti F actioneazi. asupra unui corp si acesta se deplaseazl sub influenla ei de-a lungul unui drum s.

Dclinilie: Lurrul nre(atric Wr este produsut dtEtre lorta care sctloneaztr 9l drumul

parcurs s:

w:,F-.s,

.

Deiinilia de mai sus este valabili numai pentru cazul particular in care: 1) forta F 9i drumul s au aceeati directie $i sens, 2) fortra rimine corstante de-a lungul intregului drum. Pentru acest caz particular W:Fs, lucrul mecanic poate fi reprezentat in diagrama forfi-spafiu printr-un dreptunghi. Aceasta se numegte diagrama lucrului mecanic (fig. 1.a-1). Ilin acest caz particular putem da dimen-

siunile lucrului mecanic deoarece o generalizare nu poate determiua o schimbare a dimensiunilor. Aceste dimensiuni sint: dim W:dimF.dims:ML2T-2. Pentru unitatea lucrului mecanic W:N.m introducem prescuitat 1W1:J (joule),. Unitatea dedusl din unitatea de forld kgf este kgm. Avind legi-

tura 1 kgf:9,81 N rczulti latia I kgm:9,81 .I.

re-

b) l,ucrul mecaxl( (ind lorta ll plasorca nu dlreclii dllerlte

de-

lui

Daci drumul este

toriu,

s al

fixat in mod

lN l3

corpu-

obliga-

acesta nu se poate migca

intotdeauna in direc!ia forfei F care actioneazl (fig. 1.4-2).

r (.ngl.) rrorl' : Iucru. 2 J. P.Joule (1818-1889).

Fig. 1.4-1. Diagrama lucrului mecanic stanta: W- F(s/ -so).

ta fode con-

CAPITOLUI

'100

t.

EI.EMENTE DE M€CANICA

Atunci componenta fortei, care este Perpendiculari pe I este anulat5 printr-o foril de compensare gi nu contribuie la lucrul mecanic. Aclioneazd numai com-

Fr:F cos 9, adicl proiectia pe direclia drumului (aici g este unghiul dintre forld qi drum). Lucrul me- Fig. 1.4-2. Lucrul mecanic cind forta ti --' -a canic efectuat este W:iq.s cos g. Aceasti dromul au directii diferitei W: F.s. expresie poate fi scrisi prescurtat, ca produs scalar al celor doi vectori F Ei s (v. 0.3.5): ponenta forlei

ei

,Pr'i: r. r. Deltntlle!

"o"

(r1"').

Lucrul mccanlc Iy e3te ptoilusul 3cslar dlntrc torltr F careecrloDe&ztr

ll dnrDul

parcur8 s.'

w:i.i Obserualie: Lucrul mecauic nu are directrie, el este_o mirime scalarS. Din definilia lucrului mecanic W':F s cos (F,s) rezulti o proprietate speciali. Lucrul mecanic poate deveni zero chiar daci o forte aciioneazi aiupra corputui gi acesta parcurge un-drum. Acest caz are loc atunci cind forli ;i diumul sint perpendiculare. In speli, la migcarea circulare, unde fortra centripete este mereu perpendiculard pe drum, nu se efectueaz6 lucru mecanic. Lucrul mecanic este negativ dace unghiul dintre forfa 9i drum este mai mare decit 90'.

()

Lucrul mecanlc itr cazul torlel varlabllo Vom face o altE genemlizare pentru cuul lo carc lorta rru rtrmlne constantA lungul drumului. Reprezentarel forlei F:F(s) In diagrama fortS-spaltu dA o curbe (rig.

1.4-3).

I

Fig. 1.4-3. Diagrama

lucrului mecanic

forti

la

variabilSr

w: I FG) ds.

Jl,

-l

de_a

LUCRUL MECANIC SI ENEROIA

'l 01

agest caz general, supralaia detimitati de curbd reprezinti lucrut ntecanic efectuat. !lMail!irtii determildm lucrul rnecanic pariial AWr ln intervalul Asi, pentru care consid(renr forta .constante: A tvi: I'rAs,.

Intregul lucru mecanic efectuat de la so pind la sl este atunci aproximativ suma lu-

crurilor mecanice partiale: WE

E aiAsr. il

aproxirrrdrn rnai biD€ daci tnic9ordm interYalele. Valoarea exactA rste va-

Ioarea limitd pentru Asi+0: sr n !r- rinr ! FrAsr-. I F.rsr as as,_0 i-l cea mai gr rralA definitie a lucrului "1"

Cu aceasta olltinem

mccanic:

Lucrul mecatrlc este integralu fo4oi in raport cu spailul:

rY: J Frs) in

aceastd

direclie Si

I.

d.

definilie sint cuprinsc cazurjle parliculare. in 6pecial dactr F*ti

este co[stant, rezulti

iau

aceeasi

w: lr J dr:l (s.,-sd.

i)aci

f-oria €ste o functie simptd a drumului, etunci putem efectua integrar.a. Dac:l nu este satisftrcute, atunci putem obline lucrul mecanic In piima aproximatie, determinind suprafata din diagrama io4i spaliu prin mtrsurarea pntrilelelor. icesl lucru €ste valabjl .tn specjal ln tehnicd, unde magina iare efectuea?i lucrul mecanic de-

aceasle conditie seneaze

$i diagrama Iucrului

1.,1.2. Forme speeiak!

mecanic.

de lueru meeanie

Pentru citeva foltne speciale ale foriei care actioneazi, din definilia Iuclului mecanic poate fi deduse o expresie speciald, e) Lucrul llleeanlc de a(relrnrre

Fie o fortd (constanti) F avind aceeasi directie cu accelereazi o matini (tig. 1.4-4). In acest caz putem sil calcu-

drumul

f,

care

ldm lucrul mecanic coololm relafiei W: Fs. Conform ecuaf.iei fundamentale a mecauicii, foria acceleraloare poale fi exprimala prin

F:md.

Sub influenla ei, corpul efectueaz5 o migcare un iformaccelerati. Drumul parculs din pozi[ia de repaus este

s: I

el2.

11r Fig. 1.4-+. Lucrul mecanic de accelerare:

wo: -l t"

o2

CAPIIOIUI.

102

Astfel ob{inem lucrul

w:12

mecanic

mc212.

I.

SI,EMENTE OE MECANICi

Aici putem sd intro'

W: l- mu2' Aceastd expresie a lucrului mecanic depus pentru accelerarea corpului nu mai depinde de genul si de mirirnia aicelerafiei a sau a forlei acceleratoare F. Ea depind* de masa m a corpului 5i de viteza Iinali al,ins5 u. ducem af

:rr,

unde

u

esleviteza atinsa de corp; '2

Lrrrrul me(otri( de irccelerare rsle ucoele.eaz{ ulr oorp de mus{ m dls rePaff plnd

.

la vileza D, este:

I km

' l>tohh,na l-1ll: O racheti (rl:2_10 kg) este acceleratd diu repaus ptnA la D/:7,9 (le pcntru viteza a obtine lucrlr mecanic este necesal oxlcula!i lucrul tnecanic de arcelerare. dlrl) lil) kmh-r Prublfi1o 1.412: O lna$ini ctl 1135n 1n:1,2 L este accelerati in 6 s dc la

h t,r-1)0 km h r. Cal(rulali lucrul mecanic

electuat.

'1-50

b) Lrr.rul lrn'{{ni( de ridi(Ilrc

'l

Pentlu a tidica un corp, asuPra lui trehuie si aclionezg o forte care sI se opunir glcutii!ii lui. l,.LpetienkL 1.4/I: Suspendlm un corp, care se afll pe masd, de un dinarnom(,tnr ii il ridicirn. Observlm in acest timp alungirea resortului. Obseroulie: La illceput resortul aratd o intindere mai mare' I)acii apoi dinamometrul este migcat uuiform. resortul exerciti o toril egali cu greutatea corpului. miscare Problem.l 1.4 11: hdicati ce forle constatd h acest caz un observator care are aceeati ln ."p^,o. MoLivaii faptul cd forfa exe'citatl la lnceput de .,r.pri ti un alLul care ." "iltrinteractiune. ",i citrr resort nu este o rorta de Fol'ta e\ercitati la inceput de citre resort, suplimentar fatr'd de forta tie compt'nsare pentru greutate, accelereazi corpul. Neglijim lucrul mecanic cl" acc"iern," efe.ctuat de aceastd lorti; el este recuperat plin frinare la atingerea itril!imii finale. Pentru ridicarea corpului in migcare uniformi trebuie si actiunlm asupra lui cu o forld care compenseaze tocmai gleutatea lui: n2:nrg. Atunci lucrul mecanic efectuat [a o ridicare ta inll[imea h' : W

h:tn!111.

rir.lica oblic corpul (f ig. 1.4-5), drumul s 9i forfa Flt nu mai au ""ot" aceeapi direclie. Pentru calculul lucrului mecanic trebuie sI formim atunci produsul scalar: lV:Frr't-F'2s cos (F'L. s). Aici F;:m9, iar s cos (F;i's) este tocrnai iniltimea fi la care se ridicl corpul' mlsuratd pe verticali' l)eci 1i in cazul ridicirii oblice lucrul mecanic este Wn:mgh' -\stfel lacrrrl meturi( de tidicare ut depinde de faptul cir ridicim corpul vertical sau oblic in sus. Importantd este doar inlltimea ridicirii /r, mdsurati pe verticale.

Oi""l

I

LUCRUL M€CANIC

9I

ENERGIA

103

Lucrul meeonle electuat prin rldlesrea la itrtllinrea .ft a unui corp avi[d rEasa m e8te

Wn:mgh' Ptoblema 1.411: Pentru ridicarea

unui corp pe un plan inclinat

si se exercite o lorte ln direciia planului care este egale $i de sens colrtrar cu componenta greuterii pe direclia planului. trebuie

(lalculati lucrul total. Artrtaii cd

se

m€canic

pot economisi

forte cu pl{nul inclinat. inse nu mecanic (reaukl do out

si lucru

Fi3. 1.4-5. Lucrul mecanic de ridicare nu depjnde decit de diferenta de iniltime h : Wh - .r,gh.

Ptoblcnla t.1lt: lIn camion lrn--:1,5 t) nreruc tl knr pr o sosea cu o panti de 8 ,l;. (:i1 culnli lncrnl nrecanic de ridi(are efectuat. Un caz special existi atunci cind un corp se rnifear orizontal. Atunci torfa ;i dlurnul sint perpendiculare Ei lucrul rnecanic este zero. A(lelafi [(,zultat se ob[ine ;i din erpresia lucrului meranic de ridicare, deoarece [:(]. Aici se arattr ci notiunea de lucru mecanic din fizicii trrbuie bine deosebiti d( (etl fizioloaire. d( exemplrr. Lrace strAbatenr dislante nr.rri p( oriTr'I|lJLi. nvc'n i'npresj:r (:r:r' fecut un efort $i am efectLrat un ..lucru'. ins:i uD ILlcru rn(canir ill \cnsul fizicii r'[(rlLtirnt nLlmAi daci stribatem o dif€ren1i de nirel. I'roblema 1.116: (lind se poate \orbi iD fizici de un lucru nrecrnie de ridicxl\ ..g.!ti\.?

c) l'orrr de lre(ure

f)aci o tna;inir rncrge pe o sos(a orizoltalii, rnotonll nu efectueaz.i lucnl ln('canic de ridicarr. In acest caz nu st efectrrcazi-r luclu mtcanic? Ltperienlu /.4/:?: 'l\'agem un cirnrcior pc suprafele orizollLale de netczirni diferite ;i rnlsurlrn forla pe care trebuic s-o ext'rcitim iu direc{ia tlac[iunii.

Rezulktl: Si p{,nt[u a mi;ca ciruciorul uniforru pe orizontali. trebuitr si acliorliln cu o for1i. Ea trebuie si fie egalir ii de sens contrar cu Ior{a dt trccare Fr. De aceea si la accaslal migcare se elcctueazi rrn lucrrr rneranic. ll nurnirrr lucru rnecanic de flt'cale lV7. I)eoarece forfa de lr'ccarc in general lrr t'stc constaoti, rnairirnea lucrului rnecanic de lrecare sr ob!ilre prin integrare:

wt: i17 a,. in toate proceselc de migcare la care apar forle de frecare trebuie s; se efectueze acest lucru rnecanic asupra corpului miicat.

CAPIIOI.UL

104

t,

ELEMENT€

D€ MECANICA

d) Lur.rul mocanic de intind€ro Pentru a intinde un re-

sort trebuie sd actionim asupra lui cu o forli din exterior.

Erperienla 7.J/J: L)eterminati peltru resorturi spira k' de diferite e lastic ititi dopendenla forlei de intinderl de deplasarea din pozilia dc repaus

(fig.

1.4-6).

Rezullut: Forla I?; necesard pentru intinderea

unui resort esto direct proporgio-

nali cu intinderca r: F, - a 11'0"' 1"i Hooke). Factorul

de

proportiona litate

Fig. 1.4-6. Lucrul mecanic de intindere: Wi:kx1.

k:&

se nume$te consl(nro resorlului. Ea

(v. 3.1.2). Deoarcce forla de intindere F, depinde de pozitie, pentru calculul lucrului mecanic trebuie sI irtegrem: caracterizeazd proprietatea de elasticitate a resortului

wt: I F,

dr.

(:u F,:kr putem efectua integrarea: rl

l'1',-1k(r?-rf).

( r dr wr:-A '' 'J---

2

Lucrul mecanic efectuat la intinderea unui resort de la pozitia inifiali ro pind la cea final5 q este W,:r-k14-r!). ln particutar pentru intinderea rlin poziJia de repasus

(ao:0 rezulti luuul mecanic

de intindere lV1:1'2

*r7.

Deoarece lorta de intindere Fr este proportionali cu drumul ,, diagrama lucrului mecanic este un triunghi (fig. 1.4-6). Suprafala lui poate fi determinatd 9i in mod elemcntar (f5ri integrare) din baza c7 qi indltimea F1(o1): :krr. De aici rezulti aceeagi expresie pentru lucrul mecanic de intindere:

Wr: )-Prl.

LUCRUL MECANIC SI ENERGIA

Ptoblenfi 1.417: tin resort este lntins

cu

3,4 cm de o forte I:1,2 kp. (lalculali lucrul mecanic care trebuie efectuat pentru o lntindere cu 15 cm din pozitia de repaus.

Ce lucru mecanic este necesar pentru elon-

gatiu dubld')

1.4.3. Energia

t:r.,';,il;.,';::il:^1rHt.i]::::':"::fi:

*

ridicim corpul de antrenare c, al unui ciruciol (Iig. 1.4-7), atunci eiectuim un lucru rnecanic de ridicar.e. Prin aceasta dem corpului posibil! tatea si accelt'reze ciruciorul r;i si efectueze astfel un lucru mecanic asupra unui alt corp, Erperienlu 1.411: Un cirucior este accelerat de o greutate G, (fig. 1.4-7). l)ace apoi corpul Cr este oprjt cu ajutorul unui inel cdruclorut mai parcurge o distanti scurti cu vitt'z5 constanti. Apoi corpul C, este ridicat de pe celilalt inel. Viteza ciruciorului devine din ce in ie mai micE 9i la urmi egali cu zero. f)upi aceea procesul se repeti in sens opus. D-aci

Re:ullat: (lorpul Cr ridicat

efectueaze un lucru mecanic de accelerare asupra

ciruciorului. Daci acesta are o vitez5, el poate ridica corpul C, deci si efectueze un lucru mecanic de ridicare. Vedem ci datorita lucrului mecanic electuat asupra lui, el a dobindit capacitatea sA efectireze, la rindul lui, un lucru mecanic. I)aci un corp are capacitatea sI efectueze un lucru mecanic asupra unui alt corp sau asupla hli insu;i, el posedi €nerrie. Delltlitie: Ilne.[i& C erte luerul rnecanlc irmagazlDat illtr-un eorp, Ea il lace cepabll str elecluezo rlin llou lllolu me(anl(. Energia are prin ulmare aceleaEi dimensiuni ca si lucrul rnecanic gi se misoarir in aceleasi unit.i!i; J:N , m. I)acI efcctuim un lucru mecanic asupr.a unui corp, acesta ciitigd eirergic..Corespunzator lolrnelor speciale ale lucrului mecanic deosebim fi forme speciale de enertie. ) Dllorgllr Iolenlitli I)en[ru a ridica un corp..la,ro ilrillime i, trebuie si efectuim un lucru trecanic de ridicar.e lVx:mglr. -Fa[a de punctul lui de plecare, el posedd atunci o erterqie polenliuld. Aceastil mlrime este egall cu lucrul mecanic de ridicare rlt'< l ual asu;r|a acelui cor.p. Erer0iu porGrltalll

{

uDuI colp fald de itrdtttEra

Er:

mgh'

i=0

e.te:

CAPITOLUL

106

t.

ELEMENTE DE MECANICA

Peltru a se putea indica mlrimea energiei in mod univoc, trehuie si se fixeze un punct de reper (h:0). O piatri pe mase are faie de podea o anumitd energie potentiall, daci punctul de referirtt[ se alege la inll]imea mesei, .Ep:0. Fate de tavan, piatra are chiar o energie potertriald negativS. Ptoblcma 1.416: Ce semnifjcatie are afirmatia ci un corp poseda fald de un punrl o (ntrgie potenliale negatiYi? Problema 1.419: Fundul unui lac de acumulare dreptunghiular (a:60 m, ,:35 m, adincimee apei c:6,3 m) se afltr Ia 72 m deasupra uzinej. Calculati energia potentialr aapei.

b) Eoctgla rltretletr

Pentru accelerarea unui corp

ll'u.?

t-

pinl la viteza , este necesar lucrul mecanic in migcare de a efectua lucru mecanic

n1pz. Capacilatea aceslui corp

se numegte energie cinelicri, Ea este egald

tuat asupra acelui

cu lucrul mecanic de accelerare efec-

corp.

Energi[ olllcticri tr unui corp itr mlieare avitrd vltezo x esle:

e.: -2 !

^u'.

Pentru o indicalie univocl ;i pentru energie cineticl este necesar si se indice sistemul de reterinti fald de care se mdsoari viteza. Fald de un sistemde refelinfd legat rigid de un colp in migcare, acesta nu arc energie cineticil. I Problcma 1.1/lrr Exist; cazul ln care un corp are energie cinetice negatitri? I frott"no I.J//l. O ma;inI (rn:800 kg) este accelerat{ de la uo:35!a ta u1:06lll.

rhh

I catcututi

cr(.$terea energiei cinetice.

e) En€rgla de lntlndere

Pentru intinderea, unui resort trebuie electuat uD lucnl mecanic. Acesta estc apoi conIinut in resortul intins ca energie de intindere. 11r'. E ergi de irfllndere o unul rcaorl cu :t din pozllir lul de repaus ecto f,: Prublenw I.llta: hrdicati exemple

efeoluarea unui lucru mecanic.

ln

care energia unui r€sort irr.tjns este tolosit, pentrn

1.4.4. Teorema eonservfuii energiei mecaniee Etperienla 1.415:

sort (fig.

Un cirucior se mi9ci cu o vitezd l cltre un

re-

1.4-8).

Obseroalie: Cdruciorul compriml resortul 9i este respins de el cu (aproape) aceeaqi vitezd. Intetprctwe, Cdruciorul care vine are energie cinetici. El efectueazl lucrtl rnecanic de intindere asupra resortului gi igi pierde complet euergia. Resortul

107

lucRUL M€CANIC 5l ENEiGIA

comprimat are energie de comprimdre. EI efectueazl lucru mecanic de accelerare asupra ciruciorului, pierzindu-9i energia. DupI ciocnire, ciruciorul are (aproape) acceaSi vitezd 5i, astfel, (aproape) aceeagi energie cinetici ca la incepul. Erperien{a 7.4/6: Ridicdm un pendul (bil[ suspendata de un fir) la inillimea h ia!5 de pozifia de repaus (fig. I 4-9). Dupd aceea il

lYt

r-fiYr-1't.

t' --l 'f.i--T$

V

'77777)1777-77277--7--7*.

r, '

t)-u L

I

lt

[-,T

firrq//

kr--7jr] u ,7777777a"777>---777r/

lEsdm liber.

vitezi crescindi inapoi in pozilia de repaus, se migcl mai departe in partea cealaltd cu vitezii descrescindd

Obseroaliet Pendu lul

pini la

se

intoarce cu

Fig. 1.4-8. Transformarea energiei la ciocnirea elastic;.

(aproape) aceeagi inilaceea procesul se

lime, DupI repetS.

l,-

Interprelare: La ridicare efectudm ull lucru mecanic de ridicare, iar corpul pendulului obline energie potentiale fali de pozilia de repaus. Dupd eliberare, el efectueazi lucru mecanic de accelerare gi pierde in acest timp energia poten{ialE. Iu punctul cel mai de jos, corpul pendulului nu mai are decit energie cinel,icS. Apoi el efectueazd lucru mecanic

de ridicare, i9i pierde energia cinetica ii

caplti ln

G

Fig. '1.4-9. Transformarea energiei la

oscilafia

unu

i

pendul.

energie potenIia16. ambele experienle are loc o tlansformare de energie dintr-o formi in alta. Energia cinetjci a cEruciorului se lransformi in energie de comprimare a resortului si aceasta din nou in cnergie cinetici a cdruciorului. Energia potentiali a corpului pendulului se transformi in energie cineticl ;i aceasta din nou in energie potenliald. Cantitilile de energie prezente la inceputul qi la siirpitul procesului sint (aproape) aceleagi. SI cercetim acum forma intermediard. Etperienla 1.4/7: ln timpul experienlei 1.4/6, cu ajutorul unui aparat Pentru misuLarea intervalelor scurte de timp determindm timpul in care corpul pendulului trecind intercepteazi un fascicul de lumini (fig. 1.4-9). Prcbltma 1.1.13: Bila de pendul (d:2,4 cm, nr:300 9), legati de un f;r (l:1,20 m), se ridicl Lr indltirnea /r:20 cm. in punctul de minim, pentru parcutgerea barierei de lumind (As:d) oa necesjtl timpul Al:0,012 s. Cal.culali energia cineticd in acest puncl 5i erergia potenlirlA la inceput.

Rezuuat: Erergia potentiali a corpului de pendul in punctul de maxim qi energia lui ciueticd in cel de minim sint egale.

CAPITOLUT 1, ETEMENTE DE MECANICA

108

Ei punctele intermediare ale mi;cilii. in aceste puncte existl energie poteu{ial5 cit qi energie r:ineticL Erperienfu 1.4i8: Pe o linie cu iulegistralea tirnpului acct,lerirn un cilucior cu ajutorul unui torp de antrenarc. Pentru punctul iniIial. final ;i alte citeva puucte jntermediare deterrniDim enelgia poteniialir a corpului de antrenare, misurindu-i irirllimea ;i cncrgia cinetici a carucionrlui. rnirsurindu-i viteza. (Forfa de fiecare o compensiun priutr-o greutrle adifir-rrrnlir slu priu lsezalea oblica a liniei.)

atit

Si studiem

Rezultat: Energia potentiali a corpului scade mereu, iar energia cineticir a ciluciorului cre;te mercu. in tiecare purtct al rni;clrii, surna celor doui forme de energie este egala cu energia potcnti{le dati

corpului la incepu l. gisit astfel o proprietate importarti a energiei, li Am

anurne ca

o lornri do onergie poflte ti lrlrnslormat,i itr alti Ior ni ile elrcrglo. Experienlele noastre arati cI la transformarea unei forme de euergie iIr alta, suma energiilor limi[e aceeagi, La procescle considcratc s-a pistrat eilergia

mecanici totali, adici srima energiei potenliale Trorernft r.orrrorrririi oror0ioi llre(:llri.:e: intr-un sistonr irrchis sunr energiei Jrolcnli:rlo li

;i a celei cinetice.

(elei (irclir€ r:irriDr rofls(rnli.

in afari de teorema conservirii cantitltii de miicare (r,. 1.3,3), am stabilit o a doua teoreml de coDselvare, cu cale putcm si desclienr procesele mecanict,. l,la afirrnri, iu special, car iutr-urr sistem iDchis (v, 1,3.3, nu poato fi produsi t'ner'lie troul dal nici nu st'pierde energie. Energia nn poate Ii decit tlansfolmati\ dintr-o lolmir iu alta. Acest luclu ale loc, de eiemplu, in magini. Si arirtim in citeva exemple cum poate 1i aplicati in mecaI1ici teolema conselvirii enelgie i, Pentm oscilaIiile pendnlului, petrtru un corp in cldere, pentnr clruciorul accelerat pe linic tcoterna cstc valabilii intr-o Iorlnir specialS. Nu apar cJt'cit cnclaia potenliali ii cinetici. Perltru ficcale puuct a1 rni;calii silt valabjlc Cu aceasta.

relatiile

(iig.

1.4- 10)

E.p1E q:consl.,

nryhl

L

m1z:06n51.

Daci ne relerim ir special la doul puDcte l'r li P, ,1",t" mgttt | tnui :otllh" )- - tnll.

avem:

---

Cu ar:oastir fcrltnii spccialii a teorernei consclviLii eneroiei puLern sd calcularrIr dillainlr rnisc'aLt'a IDtri col.ll.

1.)tetttplir'. Utr cotp avitt
-1129$o-fu).

LUCRUL MECANIC SI ENERGIA

109

+ I

t

h-0 T

-1,^)

\'

I

Yo=0

i I

r

r

\,

ii ;

.l_

I

?r???????viv7?r:

h' rig. 1.4-10.

Suma

dintre energra poten-tial; constanti.

fi

FiB. 1,4-11. Conservarea energ iei in migcarea de

crnetica este

cidere.

t'toblema 1.4111:,A.rlta1i cn din legile cederii libeie se obtinc acela$i rezultat (v. 1.2.4). l'toblcma 1,1115: lleterminali viteza unui pendul Iesat liber la irirliimea.I fate de pozitia dr repaus, in punctul minim al traiectoriei. IJtohlema 1.tl1t: l)eterminali, pe brza teoremei energiei, lnriltimea maximai la care aiunge un corp aruncat !n sus cu o vitezi initialA uo:400 a (negliiati frecarea). Ptoblenla 1.1117: lndjcali forma speciale a teoremei lcnserreril rn(rgiei, cind un corp oscjleaze lntre doud resorturi orizontale (v.3.1.2).

La toate aceste experiente energia mecanici se conselvi numai aproximativ. Energia linali este mereu mai mice decit energia initiali ceea ce vine in contradicrie cu teorema conservirii energiei. Trebuie se linem cont de faptul cd, din cauza fortelor de frecare care apar, nu este vortla de sistclne izolate. In toate cazurile, corpurile mai efectueazi lucru mecanic de frecare; asttel o parte din energie se transformd intr-o forml de encrgie din care nu

nrai poate fi retransformate in energie cineticl sau potentialn, ci este datE mediului inconjuritor ca enerqie calorice.

1.4.5. Aplicarea

l.e

ce-

orcnrelor dc eonservare la prmese de cioenire

l'):tperienlu 1.419: I)e la r-r inillime /r l5s5m sI cadir de plastilinir pe o placl de olel (sau de sticli).

r-r

bili

de olel 9i o

bill

Obsertelie: Bila de ofel sare inapoi (aproapc) la aceea;i inil(ime, iar bila de plastilini riminc jos, deformatl (fic. 1.4-12). Inlerptelate. Bila de ofel se delormeazi la ciocnire (unne pe placa afumati). Energia cinetici a bilei de otrel se transformi, la ciocnire. in energie de deformare (energie de intindere). Energia de intindere a bilei elastice deformate se transforme apoi din nou in energie cineticir, cind bila i;i reia forma

CAPITOI-UI"

110

'.

ELEMENIE DE MECANICA

q

initia16. La bi la de plastilin5, deformarea corpului se plstreaze. Energia potenfiald a fost transformati in c5ldurS. Aceaste experien!5 ne arati posibi [itatea de a fixa exact nofiunea ciocnirii

t I I

irilii

elasti ce.

Dolin iliel O ciocnl.e o ntrmlm elaatlctr decA suma enet0lllor cinellee dup{ olocrrile este egali cu cea dltralDtc do oiocnlre.

in schimb, la ciocnirea inclasticl

a)

Fie. 1.4-17, Cio.nirea elasticE tr neelastic5.

se

l4

valaLili Leorerna couservirii energiei cinetice. $tim deja cI pentru ambele proccse de ciocnire este valabili teorema conserverii cantititii de miEcare (v. 1.3.3). Si analiziim acum procesele dc ciocnire cu ajutorul celor doul teoreme de conser-

vare (ne limitim aici la ciocnirea

trall a doui

corpuri).

cen-

-t-r\_.,/ y,/

pierde energie mecanicE. Pentru ea nu este

\

c6),i \-J Fig. 1.413. Ciocnire neelastica centrala a doue bile.

a) Ciootrhes neelastlee Ciocnirea neelasticl este caracterizatl prin faptul cI dupd ciocnire cele doui corpuri se mi$ci impreund mai departe: ur:ol:u' (iis. 1.4-13). DacI se cunosc masele ii vitezele corpurilor inainte de ciocnire. viteza u' dupi ciocnire poate fi determinatl cu ajutorul teoremei de conscrvare a cantititii

de mipcare mrurfmrur:(mrfmr)u':

, ,:*

nttur+mzD2

.

^r+^,

Obseroalie: Raportirn toti vectorii vitez{ la un vector unitar comun e in sensul axei de ciocnire: de exemplu, i:rri v"to.it" vitezelor trebuie astfel luate in consideratie cu semnele respective I Existd un caz special atunci cind corpurile care se ciocnesc au mase egale. e.ste valoarea medie a vitezelor iniliale. Atnnci viteza linala u':!| Daci in particular u2:-rr (c-a la experienqa 1.3/6 pentru tixalea egaliti!ii maselor), atunci u':0. Ciocnirea inclastici poatc fi deci tratati complet cu ajutorul teoremei corservirii cantitifii de migcare. b) Cll,enlrea ehstl0ii

PentIu ciocnilea elastica centrale a doui corpuri (fig. 1.,{-14) slnt valabile retafiile: tttrtt rltttru": tttru', +111222 (conservafea cantitSIii de mi$care): 1 . lI ^ l " 1 - mrul* - n4r$: - n,rr;ta rnur2 (conservarea energiei).

I

rucRUL MECANTC 9t

111

ENERGTA

Din aceste doud ecualii pot fi calculate cele doue viteze u, qi u, dupd ciocnire, O rezolvare simplil rezulttr dacl ecuatia a doua taansforma[tr m t(Dl-D 12 )

:

m2

,#

@2-D'22 )

se lmparte la prima

mlot-t il:I,],2Q,2-D;), (presupunlird rr +

D1):

\+ o;:

oi+

-,..O

Fig. 1.4-14. Ciocnire elastice centrala doua bile.

D2'

a

Din,i-,i:r,"-r, ti Drrui+ m2o;: l}lr0r +rn2rz

obti[em (de exempl[, priu metoda determinantilor)

,r) 0!) st D;: -g!ll:ll!2pr mz mr ) n1Astfe l, vitezele dupl ciocnire au fost determiuate numai din legile de r,,-

r,rrr\r nrzr2p2 lnt I

con-

servare. Ptubkmo Lllt8: Dou,i cirucioare (ri,==200 S, rrr-500 g) se mi$ci unul citre celilalt (s€orne!) cn rr.-:12 x; 2,:21lll. Detern)inali \,itezele: a) duptr o ciocnire elastice: b ) dupl o ci(rnire inelastictr.

I-n caz;Tarticul:u'aI legilor ciocuirii elaslice rezultl pcntru mase egale r]rr-rrr2, Alunc' vitt'zt'le linale ur:tt, qi v'r:u, pot fi indicatc foarte simplu ii flri cunoalterca masei: col'purile schimbi intre ele vitezele. lil alt caz palticulal rcprezintl ciocnirea perpendiculare pe un perete. I)entru a-l putca trata, Iacem pc m2 si deviui din ce irr ce mai male Si calculirn valoare a limiti peutru rnr-+o". I)in

\ l,r

:

,

,t

errr-

o

,)

$l

._

_+U

;;_, rezu Il

i:

lim oi:2Y"-P, 9i lim ui:ur'

DacI peleiele se afli ix repaus (r,,:0) ob[iuem rri: 1u -p, $icuui:0; nirea elastici de un perete in repaus corpul este reflectat viteza in "io.sens opus. I,rohl?ne

1.111s:

Uncorp€lastic (fl-(l.6tl kg) s( loreste cu \iteza ,r-2,.1 T- perpendicular

(lr un p(rele irl repaus. (lalculali\iteza lui linali. \'erificati ialabilitatea teoremelor dr con' serrarc. Ce vitezd ar trebui sA aibi perctelr. cx dup{ ciocnire rorpul str se alle in repaus?

: I

CAPITOI.UL

112

I.

ELEMENTE DE MECANICA

c) Clocnlreo obllctr

Vom studia numai un caz particular al ciocnilii oblice, 9i anume ciocnirea oblicl a unei bile de un perete (de exemplu, ciocnirea de baudd a unei bile de biliard) (fig. 1.415).

Componenta paralela cu peretele a cantitaiii de miqcare p rlmine neschimbat5: pl:pi . Pentru componenta perpendiculard pe perete este valabili rela! ia i t : *?,. De aici poate f i dedusl imediat .legea ci viteza ini-

tiald u, normala la suprafafa re ectauti 9i viteza finala u'se afll intr-un plan qi ci unghiul de incidenli este egal cu unghiul de reflexie, Aceasti lege a rellexiei corespunde legii de reflexie a razelor luminoase pe o oglirde, pe care o cunoaqtem dir optice (v. 7.4.1). Cu aceasta, prin exemplul procesului de ciocnire am aratat jmPortania teoremelor de conservare pentru metoda deductivl din lizici. Daci presupunem aceste teoreme ca principii general valabile, atunci Putem deduce din ele anumite legi pentru cazuri particulale. 1.4.6. Putrroa

Doud magini de aceeagi mase urci un deal, una nlai repede, cealaltd mai lncet. La ambele maqini se efectueaze acelaqi lucru mecatric de ridicare. Motorut maEinii mai rapide efectueazd acest lucru mecanic intr-un timp mai scurt. El este 5i in stare sd accelereze maqina intr-rur timp mai scurt Pine la o anumite vitezi. Noi spunem ca motoru I maqinii care urc.{ mai repede este mai puternic. ce pufurea lui este mai mare.

Dellnlrlc: Puterea electuat!

P

esac

raportul dltrtrc lucrul tn€(aDlc liy Sl rtmpul

, ln oata

sc€€ta u lost

P-w. I

La

putGr6

vailabll{

evem!

p: ri- 4! - r,i,. A!*0 A, Ca gi lucrul mecanic Ai

unile

timpul, puterea este o mirime scalard. Dimensiw :MLzT-x. Pentru unitatea ei s-1 se

ei sint dim P:didim I

introduce prescurtat

[P]:J

W (watt), avind deci J:W.s.

Ptubtema 1.4120: O macara ridic{ o piese de 8,3

Iucrul mecanic $i

put€rea.

Ptublema 1.41211 O matintr

(m:1,2 t)

t in 30 s la o tnlltime

de 12 m. Calculall km

este accelerate

in12sdin rePauspintr la u-80-'

Calculali lorta acceleratoar€, lucrul mecanic de accel€raae, puterea motorului care se atinge vit€za tinali.

I

li

drurnul duptr

ROTATIA CORPURII OR t{ICIDE

0

113

unitate tle putere des folositA dc-

rivri rlin unitatea de forln kgf. 1 CI' (('al-put(,r'e) (,stc l)ul('r(:a la care luclul rnecanic de 75 kgm este elcctuat

lnls:

t cP:i5

ks"'

.

I't' hlt frt t.a 22: l),,lrnrirIli facl,'nrl (1,, cool.-1,15. Ciocnire elaslicd oblrca de un pererrrsir rr trl,rr rl,'uri tlrriliili 'l(. putert.. lDte rrgid, a unei bile. ,li(nli I)lll(re! rIlrui rrolor l:l.l (:l)) ill urripulcrr cor.rrntal dr W. Iltrlr I'thbltnn t.1l!3: I n on) (rr-=70 kg) ureji o sctun (l.-tt nr) ln I] s. (:llculrti pulercr lui in Constrn(l,ir unor Ina$ini dr irnlrrnar(, rlr rce(,rti putrr(,poate Ii c(,nrl)let difcrjtA. Sn colllp:rrinr ur nrotor { krtri(. cure rnerge (u turn(i(, rnrre. cu o rortA hidrntllicn, care se nri$ctr lent. Monrcntul forlri (produsul dintre lorld $i bral. \'ezi cursul nrediu) motorului cste mic. Chiur dx({i axul lllotoruluieste luat ca tanrbur (lrralul forlei mjnim), nu poatc fi ridicattr declt .o grrulitr nricri. dr txrnrplLr lr-O.l k$f. I:ie Iteast:t gr€utalt ridicatir in l{r s la o inilliare dt';Inr rn (dalrIilri lurrliri Dttrri ir rDolorrlui) Alnnri pul(r(,r nroiorului (sle exacl 0,1 (]l). lit)rtn hidranlicri nrc urr nr,!nenI lll fortoi rnri nrrrc ri p{. r\ul ri po:rlr. ridica, dter(Inplu, grcLrlalo (l.itc ri(licnlri in lo s la o Inillirnr (lr' 1 nr..rlunci put(rex tste deti,k'(louA rnurinirLr. prin urrrnft, flcr,cnii putrrr l)rDtru un ADunrit s(op tre_ buir ril(,rsri rnrr(,u rrurirrr potriyit:i. i\4otorul se foLsrtte eirr(l csl( nrcrsar lrunrri on Inonrtrt al fr)r1(.i lltic. i:rr ronln hi(lrrnlicri sr Ii,k,trst(. h grrul;ili nrari. i'rin nrullipliciri i,i (lrntrllti_ pli(nri (de c\cl|rplu. \(ripcti sau fl)li (linlat(. dr dilcritr (liametre), o nrariini pootr li in a5& icl ndaplrlri s(opului. iD(it \:i st f(,loscuscri dirr plin pulcr(a ei.

;5ligf. l)n(i n(c.slri

:rs(

lllt'Dt.

l).1 Cl'.

1.5. Rotalia corpurilor riuidc 1.5,1. firrpul rig id lir,lrritnk! /.i//: l\.un pLllr inclinal (16l!r drutrul unui cilindru gol ti unuia pliIl. :rnrhdoi (ilirldrii rllrr(l a(rlati ilinnrrtru ii nrftati rnxsi. l)bs? talit: (:ilindnrl plin rrjunge Drni rtprdr jos. Sir inlerprcl:inr rcrst rrzultnt surprinz:1tor. l)ifrrunln fulti de rni;(drile studiulr I)ind r(um coiislri llr laptulci Lr rcerslir r.\prri(,Dl:i (orpurilc nu nlxj pot li considerate t. puncte nrntt,ri:rle. l-reblri(,si Iur'inl ln consi(krrlie dinrcnsiunil( lor. fornla fi distribulin nrllsrlor. l,a un corp cu allflnritc dirnrnsiuni con!itatArn. ln alar{ rriscerii centrului siu dr grl'utate $i nrisciri supli'urntarr..\ccstra slnl rloetnate de lntrrgul (orp s|u nlrnrai de anut|rit(, p.iIli xle luili ri(. supmpun nrircnrii rlr trcnslatie. SE Lm,tem stud;ul nostru la un caz siII)plu. Corpul sri nu ail,ri pirti filobilc iD.lrpr.lldent. 'l oate puDctele lui mxteriirle nu electu(a7A drcit rnitciri de nnsnrnblu. .\crsl (orp (ste nunlil ririd. l)eflrlllc: tln ro.I rigid

eslo un.irtern de puDrle mslerlsh s cAror dlstarlle rAtulne lre3(hlmbutd.

Ulalrrirl. lr(cst corp rigid repac?i[tri un nrodcl. il gdsinr re:rlizat cu ap!orilllalir llltr-o l)iln dc otrl. o roali de biciclettr (fArd {x) sau un cdrucior (itrrtr roti). Ii.rtrctiekr I.j/:l: l)inr druDlul unei bile pc un igheab. t)bs( te!i(: Bil. efr.(trlrazri o nritcarr {cccleratA, ltrsd lu acela;i tinrp ea €lcctu€azi ii o nli9(::r I'i puDctul

cltre d€ rotali€.

E

- Iird

€u!3

ilpBior

CAPITOI-UL 1, ETEMENTE DE MECANICA

114

Aceasti experie[l5 si altele arati ci: un corp rigid electueazi Seneral o mi$care care se compune dintr-o translalie a corpului jn jurul axei sale. 9i o rotatie

in

Confornr principiului jndcpendcntei (v. 1.2.6), ac€ste doue de irigcar€ pot Ii studiate separat. fli$cirile de transIatie ,u fost drj, tratate de noi. Acum vom studia mai aminuntit

coDrpon€Dte

rotalja unuj corp rigid in jurul unei a\c. Ljlnitini studiul nostru la un caz simplu.Axa de rotatie a corpului si fie dati ti si nu se schimbe in decursul miScirii. La rotxlix corpului rigid in jurul axei sale, toate punctele rnateriale eI(jctuea?ii nrjlctrri circulareVitcza lor ,, depinde de djstaDfa lor r, de axri. Ptntru toate punctele corpului, vite?a unijhiularl o rsie insi constanti (\'. 1.2.7). l.:i este deci potri\'itl pentru a descric rotalia corpului in intre-

{inrc. Din ea rezulti ti conform rehli(i r)i:ori !iteza difcritrbr

puncte materjalo, ,\nr introdus 'iiteza tlnghiulard ca vector (v + \/.

1

F ig. 1.5-1. Rotalia unui corp rigid in jurul unei

2.7). Valoarea

lui (, rrte cJ: :lI . rrr (c rlrrerlie lrnl Iixlt (lireclia axci care lormeazrl impreunA cu rotafja A1 un sistrnr drept (lig. 15-1). (londitia roastri a a\ri fixe poate Ii atunci ii nst[r'l iormulati: tcu po.te viteza urshiulxre (, trebuie sii ribrl o direclit 1i\i ,\sttcl acceleratia unghiulxrr-r i = sn schirnbe doar 1'aloarca vittzci unghiulnre. 1i,,.. -"r., direclia Iui rj aeci si tectorul accelerxtiei unghiulare a arr dileclill axei, adicd :]rceasi direclie cu ln.

1.5.2. lllomentul forlei Ert)ericIl( /.r/Jr I"ixnm axa unei roti dc biciclrti. (lu un deget, care aclioneazi in dileritc pllllctc,,l, uDci \pil(.. pllrr'rr roclx irl ur:.(,rrc ObserDati?: I.orla care aclioneazn produce o rniscare dc rotalic ac(rlcrati .r rotii Darli Iorl:r acliontazi mai aproapo d('alii, rorta

Rt.ullal:

sc

accclrrerzl mai grtLr. l)acir djrcctirl forl!'i

trece prin axi, ni(i nu st prodrr(r rc(rlrr.rlic \u numai mririnrcx lorl(i, (lar si (lirtrnla ri dr pentru acc('leralia un(hiuhrd a corpului-

r\a dr rota(ic (ste importantd

l;rytiutla /.,;/I: tln cer. cstr alirnat .rsllrl inril !( poatr r(ni (IiS. 1 :,2). t n corp.

carc

aclioncNZl prin interrnrdiul unci sfori asLrpra unni rilindnr rl( sLrsp.nsir. puD(, cLrrul intr rotatir a(crlr rrta.

o

ll:i\rrrilr Jccr'l,rali:r t:rn;{cnlirlS i unllipun(l,k tn (,rc \i pul.rrr ,l, lirrrrirru Ll, Jr(i J.(r'lrrxlitr LInj:hilrl ni1 llrrlru., f l',rti (.,D\lr'nttl. ,r si J(.cr d \int conslrnti. Varirrr rririlr.r I lor(Fi rl,, rrl'(r:rr( ./i si Ira\urtlrl,cc, lcri,;n rrrj:lrirrlxril 1 <-1-r (,,r,':pUD:/it,,:rr,,. l)lrpi (c(J \xri, rr p,,rlru ,, f,'rl:i ti\:, / !l/ ,li.lr'rlr ri lr:,/:,.ilindrrrlLri ,lc \rr\prrsicr dc n\:r \i rra -I ,I srrft,rr ,lu fi, (xt, .lJl:i a. I'rahlenn t.il t: Un cerc (m:1,15 ks, r::)1 (ln) cstc oc(rleftrt din rrpaus cu dil(,ritc Iorlc 1j (ra7. citindrului r:1,0 cm) Se rxirsorri tirnpij -\1 prrtru prima rotrlic cornpletn.

l.irrr | :rr, I rrr

rrr----rr -t-rr,-

I

50

(io

llolositi Sirul de nrisuritori ptntru dctcrnrin.rrea dcprndcnlei

(lilltre forla,Ir Ii acccleralia unghiularri .,,rstrnti

I

d.

Fig. 1-52. Apa.at

pentru studiu

I

cu

cerc de

miScirii

rotalie.

ROTATIA CORPURILOR RIGIDE

115

Rezullale: 1. O forti constanti F produce o mi$care uniform-accelerattr.

2. Acceleratia unghiulartr cL a corpului In rotatie este direct proporiionaltr cu fo{a F $i cu distanta r dintre punctul ei de aplicalie 5i axa: c.-ir. Aceasta justifici introducelea unei noi merimi, cu ajutorul cireia putem descrie actiunea de rotaiie a fortei.

Delintli€: llomentul M sl lorl€i F €ste prcdu.ul diDtre lorla F de aplica!i€ ii axa d€ mtu!ie:

li

distanla

r

dintre punctul

el

Dimensiunile momentului lorlei sint dim ,11:dinr r dirn I:-llLz7'-2, adjci dimensiunile unui lucru mecanjc. Dilerrnta latd de lucrul mecanic rezulte din definitia diferittr $i din proprieletile Iectorjale ale mon)entului forlei, care \.or fi dez\'dltate in continrrare. Pentru rotalia cu axi IixA, hotAritoare rste doar componenta Iorlei perperdiculare pe

ax{.

Vom considera numai asemenea lorle a ceror direclie este perpendjculartr pe

;

}Iomer-

lul forlei l-am cunoscut deja ln cursul mediu. La ptrghie, o forte proloaca o rotatie daci ea nu trece prin axe. Actiunea de rotire €ste cu atlt mai mere, cu cit distanla r plne la axd

este mai mare (Iig. 1.5'3). Am vdzut cd momentul unei forle poate moment ln sens contrar. Putem aplica, de exemplu,

fi

conrpensat printr un

v

in

acelasi punct lorta de compensare F2--1.'1. insa $i o forta l;2 avlnd aceeali directie potte conr' pensa dacd actioneaze pe partea cealalti Ia o anumitd distanti 12. S-a aritat ci pentru compensare trebuie lndepliniti conditia /rrr.r:1,rr, (legea

,/i

plrghiei: ,,forte inmulliti cu bratul foriei

egal cu greutatea inmuliitd cu bralul greutdiii").

in felul acesta arD oblinut ur procedeu pentru m{iluraryo slalicd a momentului forlei. La pirghia lndoittr sau la discul pentru misurarea momentelor putem areta ce bralul liirtei nu este distanla dintre punctul de aplicatie ii axe, ci perpendi'

il FiB. 1.5'3. Momentul fortei la

peda

a

b cic leter

culara de la axi pe directia fortei. Daci punctul de aplicalie al fo4ei se deplaseazi de-a lungul directriei ei, momentul

Iortei nu se schimbe. B.atul fortei rI' poate Ii detelminat din distanta , dintre punctul de aplicatie al fo4ei Ij !i axi $i unghiul format de . li F: rp:r s;1 11, p). nstlel obtin€m pentru monientul fo4ei rt :r F sr'n(r, I'). Aceasti expr€sie ne este cunoscuti dtn 0.3.5 ca valoare a produsului vectoljal, Vom concepe deci Si momentul fortei ca vector $i vom ldrgi defjnilia:

Delinllie: trIomenttl .,1, al unei forre F al ejirel punct de apllcalie se alld este produlrul veclorial dlolre distatrl[ ii lorld,!

la dlstatrta r de axA,

ir-i"i.

Datorit{ faptului ctr

(i aj,

M:.F definilia dati la ti r sint perpendiculari.

in cazul particular, ln care F

sin

lnceput. este 1,alabita numai

Prcblema 1,512: Ce se poate face Ia biciclettr, p€ntru a miri momentul lorlei asupra pedalelor?. Problema f.il3: Un biciclist aclioneazd asupra unei pedale (r-18 cm) cu o forld F:48 kgf. Calculali momentul fortei, dacd ungbiul format este 0', 45', 90" $i 180.. Vectorul rnomentului lortei este perpendicular pe planul lormat a" iSi i In cazul nostru

particular al axei fixe pe cr""?9i ? sint perpendiculari, el are dir€clia axei, care tmpreuni cu r Si F Iorm€azd un sistem drept. Aceasta este tocmai direciia vitezei unghiulare G) $i

I

CAPITOLUL

116

I.

EIEMENTE DE MECANICA

a accelerati€i unghiulare d. Acum putem indica rezulaatul experientelor $i vectorial: acceleeste direct proporilonal{ cu momentul M care actioneaz{: M-d..

latia unghiulard s s unui corp

1.5.3. Momentul de inerlie La mitcarea de translatie, acestei l€gi li colespunde legea fundameBtal, a m€canicii (itr cazul particular al masei constante)

F:

mo. Raportul

w

-4. care

este

constant pentru un aEumit

corp, descrie comportarea inertd a corpului rigid la rotatie. Dac{ raportul este mare, un anumit moment al forfei proyoaci numai o mici acceleratie unghiulare. Daca el este mic, corpul poate

Ii pus mai

unui corp.

u$or

in rotalie. De

aceea laportul

{ .e num"tt"

moment

(le tnelie

al

d

'

DellDirle: Momontul do ttrorrlo I f,l unul eolp rlgld o3to roportul dltrtrc momcrtul aarG acrlotroaz{ il accoletorh unghlular[ c. provoef,ld!

M el lorroi

-M t:-. Islnt dim I-

Dimensiunile momentului de inetie

:

Nms2:kg. m:.

dirn dim

M :ML2, iar c.

unitatea

lui lfl:

Sd D?clefi acum de carc proprieldli oI? cotpului depindt momenlul lui de inetlie, cercul 1,5/4 ad{ugtrm inc?l un cerc $i epoi un al treilee ceic au un moment alfortei constant acceleretia unghiular{r€spectivd, aceeaii mase. Determinrm Rezultal: Acceleratie unghiulare provocattr de acela$i moment al fo4ei este inlerc pro-

cu El Eape enla'l.sl1t La experienla pentru

portional{ cu masa totalii m a cercurilor:

I: "-- este direcl proporliohel cu

o-,1. A.,l"l

momentul de inertie

mese m: J-.m.

d.

La aceasld experjenti, toate punclele materiale ale corpului ln rotatrie se alltr le eprcdpe distanti r de axa de rotatie. Trebuie sA vedem acum dacd rnoEentul de inertie depinde

aceea$i

de distributia maselor.

E

P

Eapttienla 7.i/6. \'om suspenda consecutiv de aparat trci cercuri avlnd aceea$i mas{ instr raze r diferite. lI{surem acccleratja unghjular} e pentru un moment al fortrei corlstant. Ptoblema f.ill: Cercurjle (m:1,15 kg) evind razele r slnt pornite din repaus de o lo4d F-30 gf, al cirei brat este 1,0 cm. Se misoard de fiecare datd timpul At El primel rotalii:

(cm)

Prelucrati datele experienlei

Rezullal:

ti

determinaii dependenla lui

I

de r.

I

tr omenlul de ineriie al uDui corp se mic$oreaze dacd scade distente a dintre masd $i axd, N{omentul d€ iner}ie este direct proporlional cu pdtratul distanlei

ri l--t2,

Rezultatul acestei experiente descrie numsi cazul particuler ln cere toate puDctele mato-

riale se afltr la aceeaii distanfd

I

r

de axd.

ROTATIA CORPURILOR RICIDE

117

Rezumdm rezultatele experien!elorl llomentul de inertie al unui corp este direct proportional cu produsul dintre masa lui rn $i pritratul distantei r de axa de rotatie: 1-mr2. Ptobtcma t.il;: Aritali ci factorul de proporlionalitale nu are dimensiuni. Deter-l

":

minali valoarea lui din dal"le problcnrei 1.5/1. Din accste experienle reztilti cn --.1.

m12

-

llofirentul do ltrcrlle rola{le, este:

,

al unui eorp, s rtrrul msstr m

se

allA la dlstatrlf,

r

de ara de

Spre deosebire de masa totaltr a uDui corp rigid, care este ind€pendent;i de distrjbulia punctelor rn:rteriale. monrentul de inerlie depinde in mod esential de distanta dintre puncte ti .rxi. r\celaii rorp are fatA de diferite axe un moment de inerlie I diferil. (lalculul rnonrentulti de inerije prin f=mr, este limitat la corpuri, la care toate punctel(' nrateriale sr afl6 la aceea$i distanli . de axi. Putem generaliza $i pentru alte corpuri, daci crlctltrm pentru dif(,ritele mase Am. momentele de inertie pa{iale Arj: mjr-z, pe care

le {dunim apoi: /1o1=f,r?Am.. \'aloarea exact:i se obtine prin integrare: i=1

I-.: -") lceaste integrare poate

fi

( r!

r-r a--

0

efcctuattr pentru corpuri a\.lnd forme simple. De exemplu,

penlru nrornentul de inerlie al unei sfere pline obtinem

I rt:?

mte (axa de

rotati€ treclnd prin

5

centrul slerei). iar pentru momeDtul de inertic al unui cilindru plin, ,.r:imra (axa de rotatic fiind axA cilindrului)- I)entrtl corpuri la care nu putem calcula momentul de in€rtie acesta tr€buic deterrnir.rt eyporirncnlal cu ajutorul relaliei .lI: /d, mdsurindu-se pentru un anumit mornrDt .l-a acceleratia unghiularl a provocatri.

1.5.4. Momentul inrpulsului impulsului

gi teorema eonse.virii momentului

) Moroc tul lrupulsulul I)irr (.cuxlia ilo bazi n miscairii ac rotalie .i:11]utem deduce tncA o conctuzie. l)acr'i crro x(lio rnzl asupra unui corp este egal cu zero. atunci $i Id este egsl 'nornentul,/lz cu zoro. Accelcralin unghiulo.ir trclrui(. s:I fie dcci egalA cu zrro. iar viteza unghiulrre a corpului trcbuit si fio corstantii. Acost tlpt poatc fi p.ivit ca letiea inerliei a rni$cirii de rotatie: unc(,rpasupr?r(iirujanua.tion(.az:i ici unnxnnrDtalunei forte, iti ptrstreazd viteza unghiularii.

Aceasta pare

si

conLravinri cxpcricnlei obilnuite. dupi care orice rotalie ajunge Ia re-

paus. I)acri se rnicsorerzd lnsi frccxrcn ll a\ui nnci roli (dc excmplu, priD rulrnenti sau ulei), llcr':rstri nri$care de rotali( durerzli nn liDlp rri indelungat. I)e{i \.ileza lrnghiulartr se micto-

hrll dr trccnre oxorciti un monrcnt care frineazi. in cazul ideal, ctnd lrccaren csie conlplct clirninati, vit(zo unghiulxrlr rinrine constaDtl. Putem formuta rrri prc(is l(,lrca in('rtici rcfrritorrc lx nriscarrn &' rotatie dtlc;i introducern o Ioue tniritne drcpt cantitatt de ririscnre a rotalici. crastr se nnDtc$tl:.?lonxntul ir pulsului (sarl: momentul cantitnlii dc mi$care, mornent cinct,c, rroment unghiular). roazri prin faplul c:i

I

CAPITOLUT

118

I.

EI.EMENIE DE MECANICA

DGlltrltte: trlometrtul lnpukului

,

ql vltoza lul uDghlulard

*

al uEul corp este produsul dlntre mometrtrrl

lui

de

lnertte

,l

o):

?:ri. Momentul impulsului este o merime vectorirld avind dircclia vjtezei unghiulare. Djmensiunile lui slnt dim ,:dim I dim 6:141e1-r. Obsetqalie: llai exact ar trebui si se face deosebirea dintre momentul cantit{tii de mitcare Io $i momentul impulsului -1IAl. Atunci momentul impulsului este egal cu variatja momentului cantiteiii de mi$care. in timp ce la translatii se separi noliunile de impuls $i cantitate de mi$care, l:r rotalii nn se obitnuie$te separarea notiunilor de moment al cantititii de mitcar€ ii momeflt al jmpulsului, in general $i mdrimea 1(, se numesie moment al jmpulsului; in aceasti cart€ s-a ales aceast5 nomenclaturtr din cete patru lolosite, date mai sus. Probkma 1.516i Un cilindru (rr:350 g, t-2,7 cm) se rostogolegt€ pc o suprafate cu viteza

colstante

L,:0,9 . Calculali

momentul impulsului.

s

b) Teorcma rotrservdrii monr€ntulul impuls lui Teorema inertiei a mi$cdrii dc rotal'e spune c{i momentu} impulsului uni (orp

asuprn

ctrruia nu aclioneaze momentul unei forle se conserve, Pentru un corp cu moment d€ inertjc constant I. aceasta lnseamai ci valoar€a $i direclia vitezei lui unghiularr se conser\'e. De asemenea, pentru un corp neavind o axe de rotatie fixi aceasta jnseanni in special cri o rotalie in iurul unei axc oar€care se conservd,' dacl nu actionea?i din exterior mom€ntul unei forte. -A.m dedus deci

aceasti conservare a momentului impulsului la

un corp avind monrentul de inertic constant, Ne rimlne se mai stu-

di€m corpul al cErui momenl de inerlie variaze. ErFricnlo r.5/7. Un plc\ asezal pe un scaun rolaliv este pus intr o miicare de lotalie unrlormi ltiq. 1.5 4). El line ln mlini doui heller. mari, o dattr clt mai departr dc corp, apoi clt mai aproape. Obs(tt)ali€: Daci haltercle sint mincatr ln €\terior, !it12a unghiulare scade. Ea !a crertc din nou d:ica halterele vor fi aduse lnspre mijloc.

Rezullat: Experienta de rnai sls .onfirma valubilitatea t.,olem{i conservdrii momenlului inrpulsului ii alunci cind momrntul dc inerlie rariazi. I)ace i sr mEre$te prjrttr-o distantn nrai mare de axi a rnaselor, \'ite7a unghiul.rri (,) se mictorcaTi $i invcrs. Prodnsul J(,) !e conservi. 'l-eorema conservirii cantitef ide mircarc poatc fi generaliTati: Uomentul impulsrlui tolal al unui sislom in(his csle (onslant. Ecualia de baz5 a mitcdrii de rotatie poatc fi de asemenea generfllizattr pentru cazul unui moment a1 impulsului lariabil:

Molllentul M nl nnel fo.le rrrc ac!ione:rzi asupra unui {.ortr €Uul (u varirllfl ir tinrp o momenl lul irrpulsrlui 6.= /(or

e8t€

-) AD M- lim at-o^ -' t

Se sludiFtlr mii inderproxp(. tr,'r'.mx conscrviiri. rrrr,rrrtrrtului inlpulsului lntr un (az particular.

*

I

Se

mai noteaze cu

Ii

b)

Fi8. '1.5-4. Conservarea momentului impu lsu lu i la rotalia pe un scaun rotitor. La

micgorarea sau 1, (nota red.).

lui /

miregte o.

se

ROTAIIA CORPURILOR

RIGIDE

119

Erpetienla l.r/E: Rotim uniform un corp pr ur cerc. cu njulorul unei slori trei:ute printr o lra\'6, c:r in e\perirnl;r l.:]i21. l)upn .tcer,r scurtem (lunsirn) sfoari 5i astfel raztl trairctoriri \e rrodific:i ff,ra a acIiona cu uu rnornent al irnpulsului (fig. ].,1 5).

()bs?rnli": l\,((r(ul nrai rnic corpul sc rotcstc ruli r(pe(ie! iar

t'

pe

cerfrrl nrLli nrnre el se rotcste tnxi incct.

Inl.rprrl tt: (:ir(l \l(,Nrx (ste ora' scrrtri. disianfa llrusri corpului dr rotrlic es{( r)ri rnici si isttel rnom(lltul siu ilo in('rtit (s1e mritni(. Djn crLrzlr (orser1.irii nlomentului inrpulsul i ,:1(D lrrhuir sl'i sr rnircnscii (lciri Ii1rzr lui unghinlari .D. l'tubltntu f.iit: l-irsrli ca sfonra cu njuiorul crireii r(,titi un corp si se infisoare pc un drS(t. [)(scrieli ol)scrvatio ii jllltlprCtrlio. ln, dictlli e\ernplc l:r cnrc sc !rriazi inor)entul rle inrrtir. prntru r sc ig. '1.5-5. Conserputra miri sau micliotl vitoza unghiularii tiri iDfluent( (lio ('xterior. varea momentului Pcntru acest c:rz pxrliculrr, in care un singur corp so rote$to impulsulLri la mirrape Irai(ctoria lui in jrirul unuicentru. teoreIna conscr!irii nronrtntu lui inrDulsului nrpulsului mai poatr cxDrimati $i Doatr fi cxprimati si sub o alli lornr:'l lornr:'1 (lig rli!: 1 5i ii). iil. Intr'un punct /)r rproapc de centrul C ti intr un nl dr)ilca punct I,, la o distanti rnni rn:rrc '1,,/:. curpIl tr',Lrrin.,i aibd acclali Ilr0nrcnl rt irnprtl\IlLli: I,a, l"u, i't I'r. tr c{t( Irrii rrric. d{.cr icnln c,'rpul lrpbuie sa aibi uI{hirrl.rrit ,,r.,r i,'r1.. ', !ilr-zri Dacir \'onr coDsider:l corpul ca fiind mic lalA de distaDtn pinri tr (t. atunci nroulenlul fui de inrrlir \u li I ni'!. itit itifl toorcma conser\6rii \a r,zultx nui 19r nrr;l?2 .\ceasra in. 'li 'a/ ruxa (l(,

F

(ernllrn iD,i (:i rriilr l..l

/:19 $l( trriertoriei

linrp -\r lr punctii, /'r ir /,, sinl ritalp. impulsului arn (lcd s /eor.mo driilar:

descrise

(:u aceasta,

dr Ie(torul a in acelei$i int{:ryale de djr t.orenra co servirii nroolentului

l,|l o rrltrflrr rcnrcultr ldrl irftuetrle erlr.loarc, l{ztr }ealoarc a unui xorp dosrrle rrtl o{l{le i irte.valr dr

lln'I €galr.

.{cest cnz particulur ll t.:orcnrti conservirii momentnlui impulsuluj ioari urt rol special

la

rni$carcA corpurilor

ct.e$ti (v.

t'lt

2 5.3)

1,5.5. Encrgia do rotalie F-orta

FiB, 1.5-6. Teorema ariilor drept caz particular cire pun.: un corp intr-o rnitc:rre al teoremei de conservare a momentului im_

od suru ' de rotalie ,1,,(tue:rz:i tu(ru nrec:rrric. acce lerind toate punctek materialc- Si (alculdm acest lucru nreranic de accolerare. Ajci intlrnpinAm dificultate ca punctete rnateriai€ ,\rri. rvind dist{nlr diterite de nxn obljD si vite2e r)i diforite, decj rsupra tor se exercitA

diferitc tucrnri nrecanice

AW;- I

lx11rr;

2

(hnsiderlrr mri lntii raTul sin)ptu. iD care intreaga nr:rsi u rste (lislribuitri pe "uipLrtui un rcrc avlnd raza r- ,\censti condilie est(. aproxirtativ indcptiniii lu eiiperi(.ntn noastri iu cercul. r\lunci vitczrr r,, -ror a tuluror punctrlor nrrterirlc .str nccellsi. t_ucrul mecxnic total de accckrrrc lt., poltc ti deterrrinat atunci prix adunare:

It"

s\r

r

A

) 2 .. Jzr;r',r - -r'o' ) Z-r 2 /-

Jar,

r

2

CAPITOIUL T. ELEMENTE OE MECANICA

170

Aici ln locul lui mr2 putem

str punem momentul de

I al corpului:

inertie

1

2

Dacd punctele materiale ale corpului nu se

lucrul mecanic parlial

afli

Ia aceeali distanl{ de axe obtinem pentr!

aw,: 1 4 -,12", iar pentru sumi 1

w.= '- $1a,n.,a.r: / ,, r

.,$a-..rq / .

constant pentru toate punctele materiald, poate

(Din nou

(,)2,

Valoarea

ljmiti

a sumei este tocmai momentul ae inergie

2ulttr ctr rezultatul

W.: L1^",

dedus tn cazul

2

Ii

scos

f: frr 0

ln afara

parantezei.)

dm al corpului. De aici !e-

particular, este general valabil. Lucrul mecanic

efectual pentau accelerarea corpului este acumulat In corp sub forma energiei de rotaiie.

EDergle de rotalle a utrul corp evlDd un moment do lne4le

o vltez{ ulghlulard (d

f

FI care sc rotelte cu

este:

E,or=

! I.r.

PlProbl?na I.J/S. O bila (r:4.4 cm, rn:0,62 kg) se rostogole$te pe masd cu viteza

ls

u:36 -91.

lCalculali energia ei cinelicE (de translatie)

vlrii

ti energia ei de rotalie. Energia de rotatie este un caz particular al energiei cinetice. Conform teoremei eonsetenergiei, ea poate fi translormat{ intr-o alte Iorme sau oblinutd dintr-o attd lormd.

Fl Problema ,.J/9r Cu ajutorulexpresiei energiei pentru un cerc(m:1,15kg,r:31cm) catculali lviteza unghiularE pe careo pro\oace o greutate (F:3090 cu un brat al folei (rr-1,0 cm), I care coboare cu ,i:34 crn (vezi experienla 1.5/4)..

1.5.6. Analogia dintre mtrrimile translaliei

qi rotaliei

Expresiile pentru energia de rotatie ti pentru energia cincticl a migcirii de translatrie au aceeagi Iormi; la lel expresiile momentului impulsului qi cantitElii de miicare. intre ele existi o coresfondenfi, daci vitezei unghiulare or i se asociazi yiteza de translalie rr, iar momentului de inerfie ,1, masa m a corpului (vezi tabela urmetoare).

ROTATIA CORruRILOR RIGIDE

Ei$carea

121

aitcar€a de otatie

de traBlafi.

uItghiul

spaiiul ds

\iteza

viteza unghiulartr

dl

d, dt

acceleratia

P

d's

o:

dP

dl

acceleralia unghiularf,

dr!

rto dr

d2q

d,,

momentul de inerlie 'J ,:

[.2

dm

0

cantitatea de mi$cere

lorta

momentul impulsului

P:m,

--,

r F: dD

momentul fortei

dl

M:1

ma

a

i energia de rotatie L-ror: : , o!

1

ener'cia -2

db

.lr: dl

(ln cazul particular I:const.)

(in cazul particular m:const.)

I-:

,-l o

cinetica E": 1mo2

Est€ valabili teorema d€ conserr,.are:

lntr-un sistem

cantitatea de mitcare

.t

p

I

lnchis

momenlul impulsului )

I

este constant(e).

2.

Cimpul gravitafional

2.1. GravitaJia qi e impul gravita{ional 2.1.1. (iravitafia Obsclvirrn cii lolt(,corl)ulile silt all-asr de I)lrrnirrt. (ia ;i ineltia, aceasti ploplietat(,de a fi llllas( eslr o caraclcristicii parti(ularI a tuturot corpurilor mateliale. Noi o denurnirl1 eltulatea corpului. {rlrse.roli. Atra(ljr rorpuril(,r de (nroti\':rrr?).

(tltrt l,rin)jnt nu estr ull rrtct at ctnrpului

sau magnetic

lilr!a dc alrt(.1ic l)c (.arc 1) observatn ca interactie intre un tor'p 1i I)ilmint a(,tiottcazir 5i inlle alte cor'pur.i. |iperiertlu :?.?,/1j .\lirn:irl lilx'r' r) slrlir rlt. un fir. lung. Al)r'opi(.rrr tle ea o a doua sltlit ii ollscr'\'am tlrrpii urnbli (la(ri asllol se rrrotlificir pozi(.ia plituei s[crr.. l.lxlx.r'ienta nu indirir rrit.i rrn rt,zultal ruirsulabil. Dc aici insrl nu putcln (l(,(lu(,c incit absrnla trrrci lorfe irrtlt sfclc. I.lN I)oat(. fi ltil (l(, rnicli inr.il sir nu protlurir ri tlcviere obsr.r'vabilir, Ilc lrcera Jlt.rfi'ctiollrn disI)0zitivul c\perirrcnllrl. Sir vetlcru acrrrn dac:i

Ii.r'ptriertlu i].1 :): liolrsirrr un dispozitiv la t.ar.t de Iir lrrn! dr. lolsirrrl. llilnir rrn bla( lrlnsvt'r'sal, l-a |rpctt,lt, slk, sirt pIinst.d(,u.i sli,rc rnici (Iigur 2.1-l). I)c fil csltr fixali o oulindl'r cil[e proiccl(,.rz1i sp(]tul Irrrninos ll rtnei lhnpi I:lcutt'r'1x,rrn r'<.ran allal la 8 rnetri departare. A(l(.sI indicat{)r lunrinos reda rnilc.trea sferei mici mtllt amplificalri (vezi pentru cornparati(' gaivanortetrtll crr oglindi). in fafa sfrrelor mici se aiazi r]iuafari doui sfere mari de plumb lixate pe un braf mobi[. rttt

I

F

ig. 2.1-1. lnstrument

tru dete.tarea

pen-

gravrtaliei (balanta gravitationa lA a lur Schiirhoiz).

GRAVITAT!A

5I CIMPUL

GRAV!TATIONAL

173

Indicatorul luminos dovedeite o deplasare a sfe[elor mici spre cele mari. Acest lucru devinc deosebit de limpede dacl sferele mari siut lotite fi apropiate din partea cealaltl. Rezultat: Slerele mici sint atrase de cele mari.

Obserua{ie:

Forta de alraclie observat?i aici nu o put(ni interpr€tn ca magnetici sau eleltrici deoarece folosim sfere de plumb nelncircate. Experienla arat, ci atractia ului corp de citl'e Pilnint reprezinti doar un caz particular al unei atraclii generale a doui co|puri intre cle. Acest Ienomen se numelte rlrcuilulie1 . 'l'oate corpurile se atrag cu o forli de gravitafie.

[,a corpurile cu care [acenr e]ipericnlele in mod obisnuit, atraclia rtciprocri pe brTa fortei gravitalionale este atit de micA. incil nu o puttn) obser\.a. Pentru.r dole(!r tfeclul forfsi este necesAr un instrumelrt atit de senriibil Q htlarla de !ruDilllie tolositi d(' noi. La corpurjle rnai rnari. acliunea Iorlei graritatiei este mai lrare. Acersta o rccunoaltom pe exernp|trl Pamintului. I orla sa de atrrclie (car{r nt este a$a de furniliarii) constituie un caz particular al sravitaliei univcrsal{r dintre corpuri. .\cest fapt a fost stabilit pentru prima dati de cltre Ne w t o D.

2.t,2.

Dlasa grea

Ca o caracteristici particulalil a corpurilor, care descrie ac[iunea gravitatriei, introducer\ lma$a greT,rr. Ea trebuie sI lie definiti ca mirime fundamentalS printr-utr procedeu de mdsurare. egalit l)ellrl!Io lii: DouI (orpurt au Dtllsa grclt m, €galir da(tr h lloclall putrct sul€rn o lorli tgull dln p{rrtcu unul al trcilea (orp. Drept colpuri de comparatie peutru Inasele grele este convt'ttabil sit alegemPimintul. Atunci for'{a carc acfi-oneazit, aclici 11rculatea corpultti. esle atit de mare, incit o putem mlsura bint'. Pentru misurarea statici a foltei pulem folosi ttu arc. Itlasele grelt' a doud corpuri pot fi comparate 5i cu o pirghie cu brale (gal(' (balanfi cu brate egale). Ele sint egale cind forfa de alrac!ic a Pirnintului provoacl Inolnent(' de lotatie egale la braie egale ale pirghiei. Delinll lrt nru lti plu lu i: Musrle gr€le r dolltr (orpurl sc adr ir d (i unlnr c0rpurllP.

Vom arita prin misurarea forfei cir aceastir afil.llralic are sens, F)tperienlo 2.71,1: Ilisurim forta pe car'('o suferit dotrli corprtri crt accea5i nrrsilE I mr, impreuni, din partea Pimintultli. Rezultqtz Irorla totali F eslc de douar ori tnai rnax' dt'cit [o]'ta cale actioneazi asupr.a ficcirui cotp indil'iclrral. I)t'aceea putern courpara masele greie plin Inirimilc tot{elot excrcilal(' ilsuPra lor: atr-F F,, . lt mg2: mgt: ,

r (lol.) ,rdris :

greu.

cAPtTOLUj. 2. CiMPUL CRAVTTATIONAL

174

Compararea fortelor se poate efectua cu arcul sau pirrthia. Dac;r la echilibru raportul bla[elor pilghiei este I : n, atunci for[ele torespunzdtoare gi deci masele grele se cornport,r ca n : 1. Unitatea masei grrle sc poate fixa cu ajutot'ul unui corp etalon. Se ia acelaqi corp care stabile;te;i unitatea masei inerte (v. 1.3.2.) (la u n i t a t e de masi grea se alege masa grea a cilindlului dr ptatin,r-iridiu al Bitoului InternaIional de Mdsuri ;i Gleuti{i 5i se noteazl cu [rnr] :kgr. Pentru compararea maselor grele se poate folosi pentru I kga apro\imativ masa grea a 1 dm, api pula. Nu este :rvantajos si s€ foloseasc5 aceea$i denumire { uul ri cotp .lololl peDtru proprietatea de inertic ti de greutate. ln felul acesta se llerrr u\or d(i,srI)irrl (lr naturi lr acestor doui caracterislic i. Vrem se facem o deosebire stricti inlre rczistenta unui corp fltl rlr vxrialii de mi$care, care se manilesti priD nrasa sx irertd m $i proprietatca s| (le n atlnE(:rlt( rorpuri (acliune) ti de a li atras de alte corpuri (reacliune)- Aceasti propri(tate sr,rlllnir(star prin masa grea m4.

Mast inerld t unui rcrp o pulem deteunirtt prin c.rperittrlt tlt tiotnire si cuajutorul rela{iei }':rlrr. I)ctclrDinarea masciprin cintiilirt,(crr rlIt,s u balatrfir cu brate egale) compali intotdeauna forlele exercitate dt' l)itruint. dcci sc |eferi intotdeauna la masa grea nr. Masa grea a unui corp se delerninti ptin tinldrirc. Deosebirea celor doud caracteristici nu exclude inse existenla lntre ele tl unei legituri carc

se poate formula matematic (v. 2.2.1).

2.1.3. Ctmpul gravitational F'orta gravitatici actioneazi asupra corpurilor fird ca noi si putern constata un mecanism de transmitere. Nu este necesar si existe un mediu interrne.dial pentru lraDsrniterea ei. Acest fapt ni-l demonstreazi e\perientele de cirdele inlr'-un tlrb vidal I)in aceastar cauzir s-a vorbit ini[ial dcsple for']a gravitatiei (ca !i despre foltel(, rnagnelice si elecllict') c.a o forld care aclioneazd la dislanfri. adicir r.r Ior'li care actioneazi IiIi intelrDediul unui spaliu intermediar de la l1rl corp la altul indcpirtat de el (acliunt la distan{ir). IU. l.araday a fost priurul care a opus acestei teorii. conceplia ce [a p'ravitatc estr volba dt'un..e/erl de pro.tintilule". adicl un efect care se transmite dc la un punct in spa{irr la altul..Continuind ideite lui Faraday, aslirzi se presupuue ci orice Inasi rnodific.{ spafiul din jurul ei, 5i anume itr asa fel incit in accst spaliu modificat, asupra u[ui corp care posedal caracteristica partictrlarii rnasi grea se ext,r'citir o for'fi. Re4irrneo din spliu u deoenil purtdlucttt tutor propriekili fizirc. Un asettenea sislem fizic se nuntelre c i m p. Anr l:icut drja cunostinld cu exemplc de cimpuri. 1. Cirrpul rnrgnetir sc manifeste ln $patiul din iurul unui nragDct sAu al unui conductor prin cllrc trecc currnt electric. 'l'oale corpurile (u xjutorul (drom il dete(tanr (nrxgneli. snrcini in nriicare) suferE in el ($i de la el) o forli. 2. CiDlpul rlrctric ia na$tcre in iurul unui co.p iri(trrcat. El ex€rcite lorle asupra ulor sarciqi de probd i[troduse in el. -

GRAVITATIA SI CTMPUL GRAYITATTONAL

125

Delinllte: UIl (lmp gravltallorrf,l se manlle3td in 3pa[lul dln ,urul unul .orp o lorld de atraello asuprt u[or oorpurl .le probi.

h

carc se Gxercltl

ExistI deosebiri intre cimpul gravitalional qi celelalte doud cimpuri: 1. Cunoaqtem un singur fel de masa grea; cimpul gravitational exercite asupra ei o forii atractivl. (In cimpul electric sarcina dg acelagi fel este respinsl, iar cea de sens opus este atrasE!) I

2. lrnpotriva for'fei gravitaliei nu este posibili nici o ecranar€ (cum o putem realiza in cimpul electric printr-o cu$ce Faraday). 3. t,'or[ele mijlociie de cimpul gravitaiional sint relativ foarte mici. Ele se

pot misura bine numai la mase foarte mari. (lnterhcfiunile electromagnetice sint considerabil mai puternice.)

2.1,4. Intensitatoa clmpulri gravitalional Vrern si studiem acurn irtensitatea cimpului gravita{ional. Ne restringem mai intii la un anumit punct in cimpuI terestru. Aducem in acest punct un corp de probi. Forta exercitatd asupra sa o misurdm cu un dinamometru. Dace luim un alt corp de probd, mhsurem o alti fortn. Cdutim acum o mirime care se fie independeDti de masa corpului introdus ,si sd descrie numai proprietatea cimpului. La definirea masei grele am folosit forta exercitat6 de un al treilea corp asupra celor care trebuie comparat€. Am constatat cA masa grea este propor|ionali cu fo{a gravitatiei (misurabilS): F-mc. ln spetd, greutatea unui corp ca fortl a gravitaliei in cimpul terestru este proportionali cu masa sa grea.

-lms

de corpul dc probe considerat. ln el am gisit o mirime carc poate cuprinde intensitatea cimpului in punctul Raportul

este deci independent

considerat.

Daci intr-un alt punct al cimpului. [or[a asupra flceluia$i corp de probl este mai mare, crette $i coelicientul I. Vom spune ci in acest punct cimpul este mai intens. Rezultd cE

tatea

clmpului, Detinlri.,

raportul-l mc

este

potrivit pentru a cuprinde intensi-

Intoffltstoa olnrpuhri ? irltr-un punot al cinpului Oravltaltonal re?r.rl[le raportul dlDlre lorlo fr p" o.." o .xereltl oiurpul rJupra ulrul lorp acolo, il mass r& 0r.[ mo I

!a lr:

'

-mg

CAPIlOLUL 2.CIMPUL GRAVITATIONAL

176

Intensitatea cimpului este o mirime vectorial6 care descrie cimpul.

ei

Dimensiunea

este

dimG: di*I

dim m,

iar unitatea

ei

:LILT-2ltl:t,

rcl:=j-. *g*r.

pl Problemd i..I/lr Calculati intensrtatea cimpului terestru pentru 45'latiiudine N si la nive'l iul rdrii, acolo greulatIu corpului rrorrnal tiind I kgl. I rrcelc:i eorp cintdrt$lt pc t-une U.17 kgI. Calculali jntensitatea coresPunzdtoare a cimpului. a) Calculul forlei in tittrprl gIavtlalional Inteniitatea cimpului descrie acliunea exercitati de cimpul gravitalional Cunosci[d-o putem calcula pentru liecare corP de Probd forta pe care o exercite cimpul asupra sa in punctul considerat:

F:mgG. Ptublerna 2.112: Fie intensitatea ciulplui

cula[i Io{a I

asupra

C-9,81

ks

rn

--. xH". corplrlui cu masa grea nb-2,1

Cal-

ls. l"e

c:,.0-I' kgc 1, o

anumitii altitudine

Prmtntului. Clt

mare este acolo "greutatea" corpului?

de

deasupra suprafelei

FiE. 7.1-2. Reprezentarea

clmpului 8ravitational P:mintu

lu

i prin linii

al de

cimp (cimp rad ial) lltrii dc cimp in cimpul terestru qi in general in cimpul unui corp sferic, intensitatea cimpului este indreptati spre centru. Acest sens al intensititii cimpului qi deci qi al foriei poate li reprezentat intuitiv prin linii de cimp. Acestea sinl linii a ciror tangenti coincide in fiecare purct cu direclia intensitltii cimpului in punctul respectiv. Exemplul cel mai simplu il constituie reprezentarea cimpulLti unei sfere (fig. 2.1-2). Liniile de cimp sint ra-

b) Reprezenlf,rea ciDpulul prltr

ze indreptate spre centrra (ctmp radial).

La suprapunerea a doui cimpuri (de exemplu, in sistemul Pimint-LunI), direc!ia linii tor de lorte rezul-

te din suma vectoriald a intensith!ilor

cimpuri lor luate individual (fig.2.1-3). Fig. 2,1-3. CTmpul Sravita-

'tional al sistemului PIm?nt Si Lune,

GRAVI'ATIA

9]

CTMPUL ORAV IATIONAL

127

2.1.5. Proporlionalitatea dintre masa grea 9i masa inerti Intensitatea cimpului gravitational se poate determina pentru fiecare purct al cimpului printr-o misurare a fortei F si a masei grete nrr. Metoda mlsuririi statice a foriei, utilizata pina acum, presupltne cir in p-unctul de rirnp co-nsiderat se poatc plasa un dinamornetru. Daci actasta nu este posibil, atunci forla se poate misura dinamic priD acceleralia pe care o imprirnir unui corp. Accasta acceleralic se poale calcula din valor.ik, observa{iilor. chiar penlru un punct inaccesibil. Si deducem acurn in rnod lcneral rclal.ia dintre intensitatea cilnpului gravitalional gi acceleratia unui corJr de probi. pornim de la un punct al suprafeiei Plmintului cu intensitatca cirnpuhri sravilalionat (;.-0.S1 #.. l;rula..esercilali asupra colprrlui crr masa qt.ca arg esle Ii _llq{i. I)ac;r cor.pltl tste liber, atunci datorili acestei f'r'[e el'a Ii ac.rli,r'at spr.c cenirul l)irrnintuiui, Pentru aceastl rniqcare de ciidere este valabiki ligea importanti girsiti experimenlal (v. 1.2..1): In ciderea liberi, toate corpurile au aceeaqi accelera!ie 9:g,g1 a. De aici _rezulti ci in punctul considerat intensitatea cimpului gravitational !i acceleratia tuturor corprrrilol au aceeagi valoare numeiici. Ilezultir o afirrnatit,rnai cup|inzitoare despre legitura dintre masa grea si cea inerlar a unui corp. (lr)ntorm ecualiei fundamerrtalc a rnecanicii, tor.la acceleralo;r|e l,'= ntc l) st: poalt' exprima prin produsut diDtre rnasa inerti m si acccletatia o. llilr r oG,,nry rezrrlti m : no--5: 9, Intmcit. conforrn rezultalului cxprlirnerrtirl. 17 t'stt' acclagi pentru toate corpurile. iar conform defiuiliei, 1; este irdepeldent rle corJrulde pr.obi, rezultii cri ai,: trry' este coustant pentru Ioate cor'pru'ile. Rozrltolt ,U s Urr:r lt ulllli(o]pest€ direat lro]orllonrl{ ru lrasa sa inerti: nrr-rn. l)in crtrza stabililii unila(ii cu ajutor.ul aceluia;i corp etalon;'valorile ttumerice ale tlasci glele si ]uasei iner.te vol coincide pentiu fiecar.e corp.* Ptobltma r.llJ: l,r.p()rlio,alitatea dedusri prntr. un singur pu,(t se poatc g.ncr:llizr pcntru toate pun(1{.1{. cj rpLtlui, Prcblenla :!.111: S(' pot (.tr'ctua

ti atte cxperir,nl(, pontrLl dcte(t.r('a proporlion.ttil:i1ii? Din egalitatea !alotilor.nutnclit:e penttu rnasa grea 5i riea iDet.tir a unui colp lezultri ca in tr)ate pu.ttele Lrnui cirnp gravitaIidDal intensitalea t irnpului arc aceeali nutnericil cit accelet.lttia irnplirnatir in acelea;i punrrte rr,ui 'al{)itIe corp (oalocaIc) de plobii.l)e acest fapI yo[l face uz la dcterrninart,a inlcnsit,ltii cimpului. Cu pendulul gravit:l{ional

(r. :l.l.tt sc poate detrrnrinn e\,ci

,.$i drci intensitat.n cinrpului {rx!ilnlional G. Cu t'lr

se pot

1rc((,1(.rali, gftrvit.tli(.i tr.r(,strc

stu(tii ditr.rrnlc dlj intrnsitrlt

ale ci.upului pe supr.rtrto Prrri.,tnrui. Ifr se poate utiriz.. nrni nrrs h.iutrr*r zric:inriItelor de nrinereuri, ficind uz de varia!iile jntenaittitii de cimp cauz:rte de densitatcx difrriti.

*

Rezullatul apare ircidental in mec,nica chsi(ri- (:ele dour categorii de mase sint ideutificate

ln teoria relativittlii (nota red.).

CAPITOLUL 2, CIMPUL GIAVITA'I'IoNAI.

128

2.2. Caz partieular: cimpul sime trie radia16

cu

2.2.1. Legea gravitaliei ( Legea atraeliei univemale) fnt0nsilatea

e

u.) I)epenrlenla

lnrpului radial

le

dtstunlu r

Considerdm cimpul terestru ca un e\emplu de cimp ladial. (Vorn fa(e lbstraclie

Fi8. 2.2-1. lntensitatea cirnpului gravita-

tional scade cu distanta de la Pamint. de rolatia Parnintului itr jurul a\ci sak, 9i de mi;carea sa in julul Soalelui.; .Iv $tim ci accelerafia gravitafici terestre g ;i deci intensitatea cimpului sravitalional este mai rnarc la poli decit la Ecuator (v. 1.2.4). Corelatir cu turtirea Pimintului la cei doi Poli, aceasti observalie a dus la ideea c,l iltensitatea cimpului gravitational depinde dt, distania punctului considerat de la ct,utrul Fi8. 2.2 2. lntensitatea cimpului gravrtalional Pdmintului. este datl de accererdtia rddiala a unur satelit. Daci vlem si cercetim aceasti dependenii tnai exact, atunci trebuie si rnAsurArn forfa exercitate asupra unui corp la diferite altitudini. Aceastl e\perienie a efectuat-o P h. v. .I o I I y intre 1877 5i 1881 la Miinchen. Mai intii, el a misurat forla exercitati asupra urui corp (5 kg, mercur.) sus intr.-un turn inalt de 25 m. Apoi l-a agdiat de un fir la 21 m rnai jos ii a masurat din nou forfa (Iig. 2.2-1). Ea era jos cu 32 mgf mai mare. Reiultal. Intensitatea cimpului oravita!ional scade pe mesura cre)terii distantei r de la centrul Pemintutui. Pentru un studiu mai exact al dependenfei trebuie se alegem distante ll1ai rnari de Ia P5rniot. Drept corpuri de probe putem alege satelilii plasafi in ultimii ani in cimpul terestru ;i de asemenea I-una. ld€ea de a determina dependenla din datele orbitei lunare yine de la N e w t o n. El $i-a dat seama cA aceea$i fo4tr pe care o sulere un coip la suprarala Pamintuluj Dentine $l Luna pe orbita ei. Din perioada de revolutie 7' ii raza orbitei r, cu ajutorul expresiei ar: :o2r (presupunind o orbiti circulari) putem determina accelera{ia radiald (Iig, 2.2-2). Ea coincide numeric cu intensitatea clmpului gravitational la d istan[a r. Pl t'rcllcmo 2.211: Din otbila luhare (r:60,3 Rp, T:2?,32 zile) ti urmltoar€le date ale unor | latelili cu orbite aproximativ circular€, dete.minali dependenta intensitdtii cimpului gra-

A

I vitalioEal G de distante

.:Rp+h

de la c€ntrul Pilmintului.

C|MPUL CU SIMETRIE RADIAI.A

129 Distota E dle i d. la luprafata PlEtntulul {t!r)

Tiros I Echo I Samos

720

1

II III

35

Syncom

600 514 800

1

9S,2 118 95 440

Rezultal: Intensitatea cimpului gravitalional este invers proportionaE pEtratul distanfei

r

la centru; G-

*

cu

.

Problemo 2.2.12: Cu datele problemei 2.2/1 calculati distania ,t penbu un Eatelit care ln I p exact 24h (sincron cu .otaiia Pamhtului) face o rotalie completi. l'

S) Dependenla de masa actiuantd Ms Erperienla 2.2/l: Folosim balanla noastrE gravitationali ti aqezem pe braful I E rotitor alte sfere a cEror masd M9 este mai mice declt cea a sferelor de I plumb. Le aducem la aceea$i distantd fali de sferele de proba. Rezullul: Forta exercitate de un corp cu masa mai mici este mai mici. (Ar trebui si luim sfere de aceeaqi merime ti, de exemplu, masa pe jumitate pentru a putea studia dependenla mai precis). Dependenla intensitifii cimpului gravitalional de masa Mo care activeazi cimpul nu se poate ob{ine 'experimental. De aceea o vom deduce teoretic. Presupunem cd existl o forii opuse dar la {el de mare ca fo{a gravitaliei (v. 1.3.8). Un corp exercite asupra Pdmintului o forli egal6 dar de sens contrar for[ei cu care este alras de el. Conform rezultatelor noastre de pind acum, F-mcG ti G-i, forta care

actioneazi in cimput corpului de mase mase ms se poate exprima prin

Ms

asupra corpului de probd

de

f':"'3'

Aici c, este independent

de m4 9i de r. Din motive de simetrie, forfa reactivi exercitatl de corpul de probl asupra corpului cu masa Mo trebuie presupusi de forma:

p": Din

ega

litatea for$elor

'tl ".!t

-mc_ Lt -;

.

^Me -_:-

-u2

qi a independen{ei mlrimii cz de Mi, rezultd ci cl este direct proporlional cu Mr, adicd. ct:lMc,Forta exercitati asupra masei m, este deci

rr:\!!#. Rezultal: Intensitatea cimpului gravitational G este direct proportionali cu masa M9 care produce cimpul: G-Mg, dace r este coustant. t - fizica cur !up.rio.

CAPIIOLUL 2. CiMPUt GRAVITATIONAL

130

Rezumind, obfinetn:

n€zultut:

Irrteusil t€n unui cirnp grovitnlionrl r:rdhl este dlr€(( prolorrlon{|tr r ni{s& M, a (orpulri (trro produce (irnlul Si lDvers lroporlioDlli (u lrilmrul dis. tanlel llr (elltrul sir:

G1+. Factorul de propor'fionalitate 1al acestei legi

se numeite constantd gruoitutionald, Cu ajutolul intensitSlii cimpului slavitatioual G, pentru fiecare punct al cirupului se poate determina forta l-:ll?ec a cil'ei acliuue o sulerd acolo un corp de probd: UIr torp cu firxst ,rs ellal It distanlrr r de (orpul (tr rn$s$ ,11, esle supus rrlrci lo4€

F-.'t]!1.. Aceastl lege a fost stabiliti de Newton ti este una dintre celc mai importante legi ale fizicii gi astronomiei. Legea atracliei universalc a lui Newton este valabild pentru miEcarea planetelor in julul Soalelui 9i a sateli!itor in jurul Pemintului gi in spaliul cosmic; ea este valabilS pentru intregul uIlivers al stelelor fixe. Cu legea lui Newton se inlituli deosebilea dintre corpurile cerului gi ale Pimintului, toate fiind supuse aceloragi legi. Cunoatterea gravitaiiei incadreazd Pdmintul iu Cosmos. N e w t o n a gisit legea care ii poarti numele, aplicind o metodd verificatd a fizicii: el a Ledus necunoscutul la lucruri cunoscute, Pentru aceasta, in cazul siu era insi nevoie de o adevirat5 cutezanll pentru vremea respectivi, qi anume lealizarea acelui pas spre legile spaliului ceresc. Newton a presupus ci pentru planete li stele sint valabile acelea;i legi pe care le-au recunoscut fizicienii ca fiind valabile pe Pimint. Acea fo{e care lasd mdrul sA cade din pom constituie 9i cauza datorit5 cdreia Luna i;i ulmeazl traiectoria in jurul Plmintului, ial planetele traiectoriile in jurul Soarelui. Foria reactive a Lunii asupra PimiDtului, folositi pentru deducelea legii gravitatiei, se manifesti sugestiv in fenomcnul flrr.ruftri .si rcflutttlui. Datorite forl{i dr atraclir a Lunii csupra l)iirnintrrhri, apa mirilor este pusd ln mi9care $i formeazi o culnle de rnar{r pr partea I)imintului tndreptati spre Luna. Faptul cd $i pe prrtea opusii apare o asenrenea cullne de rnaree trebuie atribuit forlei centriluge care rcztlltridjn rotatia sistemului l'drrint-l,une iu jurul centrului de grcutatc conrun. Un studiu rnai amdnunlit al aceslor proces€ necesitd luarea h consideratie, de e\eDrpln, a attactiei Soarelui ti a rotaliei Pdrnintului.

2.2.2. Determinarea eonstantei gravitalionale Constanta glavitalionali y n-a putut fi determinati de N e w t o n. Abia suti de ani mai tilziu, Caven d is h a inventat balanla de torsiune cale ii poalti numele gi cu care a devenit posibili misurarea experimentali a iorlei gravitatiei la corpuri cu masi misurabil5. Pentru determinarea constantei gravitationale folosim balanta de torsiuue (a lui S c h ii r h o lz):

o

I

CIMPUI CU SIMEIRIE RADIAI.A

131

Expuimla 2.212: Bralul transversal pe firul de torsiune are lungimea 2 d:10 cm (1i9.2.2-3), iar fiecare din sferele de probi masa ms:20 g". Indicatorul luminos redi milcarea lor pe o scald aflati la distanla I:8 rn, rnEriti la scara m:21. Sferele mari de plumb

Uvti:t,S xgtl distanla .:4,8 cm in fata sferelor de probi. Cind indicatorul luminos s-a oprit intr-o anumitd pozifie, sferele sint rotite in asa fel incit si se afle de

se agazi

la

partea cealalti

la

ll

aceeagi distan$i,

\-\

Indicatorul luminos descrie la inceput o migcare accelerate pe care o urm6rim misurind-o. qii apoi oscileazE spre o nou5 pozi{ie de repaus (figura 2.2-4). Fig. 2.2-3. Experientd pentru determ inarea constantei gravitatiei (vezi 5i fig.2.1-1,).

Prcblemd 2.213: Din seria de m{suritori

r

(s)

s (cm) 0

0,:l

1,1

2,5

7,0

10

determiuali accelcratia illdicatorului luminos

Si, linlnd cont de reportul de mdrire, acceleratia I ., sferelor dr prnbi. , Odal,i crr acceleratia sferelor de probl "" am glsit dublul iutensititii cimpului. Ast- t fel outern calcuta v:9I

Ms

Rezulkrl: Valoarea exacti a constantei

gravitafiouale

l

20

hii

este:

T:6,67.10-,,

'":"lsa

.

s"KgE

Fig. 2.2-4. Punctul luminos al balantei gravitalionale oscileaz6 spre noua pozilie.

Yaloarea nuruerici indicd mlrimea fortei exercitate intre doud corpuri cu rnasa de 1 kg" aflate la distanta de 1 m. Ptoblema 2.211: Deternrinali roDstanta y cu ajutorul rezultatului problemei 2,2/3 li al dimensiunilor dispozitivului experimental.

Problcma 2.215: (lalctllali forta care actioDeaza lntre slera de prolr, (rrr:20 gg) ti plunrb (.[rr:1,5 kgs) ale balantei gravitalionale pentru o distani{ r:4,8 cm. Problen& 2.216: Doir:i yapoare (fiecare cu m?:15 000 lE) au lntre centrele lo! de r:40 rn. (;alculali forta cu care se atrag masele lor.

sfera de greutate

O aplicalie importantl a legii gravitafiei o leprezinti determinarea cu ajutorul ei a masei grele M9 a corpulul care produce cimpul, DacE intensita-

CAPr|OIUL 2. CIMPUT GRAV'TATIONAI-

132

tea cimpului (sau accelerafia unui corp de probt) se masoarl la o distan$5 r, atunci rezulE:

Mo:t. Y in particular, in p

acest mod poate

Probkmo 2.217: Cu r^za Pemlntului

1 I masa si

densitatea medie

a

Rp:6

[i

determinate masa Pdminlulul.

3?O

km, G:9,81

Pdmlntului.

Probtemo 3.:l/8. Cu ajutorul razei orbitei P{miltului ti I jurrll

I

soarelui. determinali masa Mrs a Soarelui.

Rezullale: Ilasa grea

Mss:1,99.

a pimintului

#ff

Ut

y

determinatt

a perioadei sale de revolutie ln

este Msp:5,97

'

102 kg", cea a Soarelui

1030 kgs.

Cu ajutorul expresiei pentru intensitatea cimpului putem mEsura masa M, pentru liecare colp producitor de cimp, pentru care cunoagtem o valoare a intensititii cimpului la o distantd cunoscuti (sau raza orbitei 9i perioada dc rcvolutic a rrnui corp care se rotelte in jurul slu). Ptoblcma 2.219: Se poate determina masa Lunii ill acest mod?

Prohlenu 2,2110: I)islanta de la Lund Ia centrul Pimintului este de 384 000 km:60,3 fip, este de 3 476 km, iar masa reprezinti 1/81 din masa Pimintului. Determinali intcnsitatoa cimpului gr:r\'italional pe suprafata Lunii $i greutetea unui om (88 kgs). Determinali pozilia punctului pe linia Pemint-Luntr ln care foriele de atrsclic se compenseaza exact. I'toblema 2.2111: Calculati intensitatea cimpului terestru Ia distanta rr:Rp, rz:2Rp,.., ...rro:lO Fp. Heprozent.rli grefic dependenla intensitdtii cimpului de distantd.

diafielrul ei

2.3. Poten[ialul e impului gravitarionol 2.3.1, Lrrcrul nrecanie tntr-un clmp

Iu cirupul gravita[ional ur cotp este supus unei forge ?:mrd. Dacn ll mi5cirn unifotn (adici fdrl forte) in cimp, atunci lu fiecare punct al traiectoriei trobuie si alrlicirn dinafari forta opusi Fo:-mrc. La aceasti miqcare a cor|ulrri deprrntrrr deci un lucru mecanic. a) Luorul mecanic iutr-rfl clrtlp (le lntonsltalo conrtoDt{ a cimpulul) Voul celceta mai intii cazul cel mai simplu, in care intensitatea cimpului ramine conslantl dc-a lrruqultraiectoriei. Putem calcula atunci lucrul mecanic eiectuat ca Wrr:Fo' s. uudc s rlste drumul parcurs, iar Fa: ' G forla.

oblineur (v. f itl. 1.4-5).

Wp: -mgG's : -mec s cos (G; s).

I

-mg

POIENTNTUL CIMPULUI GRAVITATIONAI.

133

ln aceastl expresie, s cos (G; s) este componenta drumului parcurs dupd direclia intensitltii cimputui. O putem inlocui priu diferenfa de ini[[ime dintre punctul final 9i cel inifial: Wrr:

mgG

(hr-hr).

Lucrul mecanic este pozitiv cind migcdm un corp impotriva foriei grade exemplu de la suprafata Pimintului in sus. El este negativ, cu alte cuvinte cigtigim lucru mecanic cind corpul considerat se apropie pe directia Iui G de corpul care activeazi cimpul. Energia ciitigate de corpul ridicat este egalA cu lucrul mecanic cheltuit. Iinergia polenliald a unui corp ridicat in cimpul terestru este deci Er:rno61,

vitllii,

(v.

1.4.3).

Energia se raporteazd Ia punctul cu i:0, adic{ la supratata Pemlntului, Nu se poate defini o energie potentiali absolutd. PenlN definirea ei trebuie sd se indice lntotdeauha un punct de referin{2l Po. Problema 2.311: O racheti

lati

energia

(rnr:800 kge) trebuie lansatd la o lnellime dc

in punctul cel mai lnalt

Si viteza

initiald necesartr.

120 km. Calcu-

b) Lu(rul mecatrlo iD ciDpul radlf,l

Pentru drumuri mai mari in cimpul radial, G nu mai poate fi considerat constant. Presupunem ci punctele. extreme P, gi P, ale drumului se afli pe o razi (fig. 2.&1). Pentru porfiuni de drum egale As, lucrul mecanic nu este egal pentru ci intensitatea cimpului scade spre exterior, Pentru un interval As1 lucrul mecanic partial este

tw1:-mod1'd'i1 :me GtLrt (As 9i G fiind indreptate in sens contrar). Lucrul mecanic total rezultd din insumarea lucrului partial W

rrx\mg i:1

G1

L,rb

iar la limite

wrz: lim n+6

nlr

l. i:1

msc1L,r1: mt

\

cdr.

lnlocuim in aceaste expresie funclia de intensitate a cimpului radial G:v l&:

Wrr:mr1l.l,

J1

ar.

Fig. 2.3-1. Calculul lucrului mecanic ln clmpu I gravitalional.

lP I

CAPITOLUL

134

Cu ajutorul regulii de integrare

i' ,, I *: lt '-1"l'' ,.

'1

obfinem:

w,,:

2. CIMPUL GRAVITAIIONAT

-y^g M s fLl",

: t *tu t (:- - L1

Lucrul mecanic Wr2 este A0 daci rr.rr; el este nul pentru rr:12. Acest rezultat este valabil nu numai cind Pr $i P, se aflS pe o razd. Dacd aceste puncte nu se alli pe o razl putem merge mai iniii pe Fi8. 2.3-2. Lucrul mecanic aceasta pinl la un punc[ fi(cu ri:rr1 pi apoi pe un este independent de drurn. cerc cu 12 pinl ta %. Intregul lucru mecanic se cheltuiegte pe prima parte de drum. La migcarea pe cerc, drumul este mereu perpendicular pe forld 9i lucrul mecanic este deci nul. Este valabile afirmatria ci pe toate celelalte drumuri intre Pr qi P, lucrul mecauic are aceeali mlrime, Lucrul mecanic este independent de drum (figura

2.}2). Nu vom demonstra aceast{ teoremtr. O vom motiva doar aminlind ce orice drum fi descompus ln int€rvale de drum allate radial sau pe cercuri.

lntre cele dou{ puncte poate

Dacd lucrul mecaDic n-ar fi independent de drum, atunci pe diferite drumuti s-a! Putea clqtiga energie (ceea ce contravine legii consrr'virii energiei).

Rezullsl: Lucrul mecanic cheltuit in cimpul cu simetrie radiall

w,":1msMe(+

-

;

este

)

Valoarea sa depitrde numai de distantele celor doud puncte Pr qi P, de M 9i nu de drumul parcurs. Problcma 3.J/2r Un corp \ms:l,,tc ) este ridicat la 25 000 km deasupra Pamhtului. I Calculali lucrul mecanic: a) ln aproximatia G constalt $i D) cu ecualia exacte' Energia corpului aflat in P, fafd de pozifia sa in P, este egald cu lucrul mecanic cheltuit la deplasarea de la P, la Pr: l1 ---,r, i1

Pl

E o_t,,ct,cl;

-;1.

Problema 2.313: Calculaii energia poterliali a satelitului Sputnik I (mr:508 kg8) rigeul (i-240 km) ti la apogeul (.ft:l 6?0 km) fatd de supmfala Ptrmlntului.

Ca un caz particular putem calcula lucrul mecanic care trebuie un corp pentru a-l scoate complet din sfera atracliei terestre.

Penlru aceasta inlocuim

rr:oo qi obf inem Wr-:'7

moMo

!

la

pe-

cheltuit pentru

.

rl Prcblema 2.J14: Calculaii lucrul mecanic pe care sonda lunartr Lunik I (mg:361 tgr) ll aduce pe Luntr. Care este viteza initiale mirimd pe care trebuie s-o doblndeascd dacd acest lucru urmeaze sd fie furnizat prin energia cineticl (negliiali rezistenla aerului).

r

I

Perigeu (apogeu), punctul cel mai aproDiat (lndeptulat) de Pdmirt

al

orbitei.

POIENIIAI"UL CIMPULUI GRAVIIATIONAL

13s

2.3.2. Potenlialul

Lucrul mecanic Wr":mr\Gdr

in

cimpul gravitafional depinde de in-

tensitatea cimpului. Cu ajutorul ei vom introduce

o a doua

miirime pentru descri-

erea cimpului:

Intensitatea cimpului G este independentd de mr, deci lucru mecanic IVu este direct proporlional cu rne. Raportul I.l1 estc indeperdent de masa cor-

pului mi;cat, descriind deci intensitatea #frputui pe drumul de la Pr la P2. DacA alegem un punct ini[ial fix Po, atunci b este o mirime care descrie ms

cimpul in punctul Pr. Numim aceastd mlrime polenlialul punctului derivirii ei din energia potentia16.

P, datoriti

D€llnlrie: Potenllalol yot al unul puDcr al cimpulul {lald dc Po) reprezlnttr roportul dlDlre luorul ls Pr, li eeeast{

mecanic lyor cheltult petrtru deplassrca uDul corp au masa m, de la Po frrastr |

vo,: IIL

.

Pentru cimpul radial, potenlialul este:

,;':r,r(; -;) Potentrialul este o mirime scalari care descrie cimpul. Dimensiunea sa este

616

y:

{'m w : ML2aI-2M;1 iar unitatea _ "-_-'- Ity1r "'s ', '"' dim ms

l. kgc

Dace punctul Po se afl5 pe suprafala Pdmintului, atunci pentru toate 1) aUti, valori pozitive ale punctele cimpului terestru cu Vo,:1 Mr(1 poten!ia

lului.

""

Prcblema 2.315: Cu ro:fip calculari potentialele pentru .r:fiI', 12:2.Rp, ri:3Rp...rs: :8Rp $i valoarea limiti pentru r+oo. Reprezentali grafic potentialul ln lunclie de r. Prcblema 2.316: Cu ro:o6 calculati valorile potentialului pentru rr-Rr, r2:2Rp,..,re: :8np. Reprczentati grafic dependenta de r $i cu aceasta comparqli curba din problema

2.315.

Potentialut cimpului terestru formeazd o depresiune de potenlial (fig. 2.3-3). Ne putem imagina loarte intuitiv cd sub influenfa cimpului, corpurile se roslogolesc in aceastb depresiune.

c PrTOt-UL 2. CiMFUt-

136

GRAVTTAITONAL

Fig. 2.3-3. Cimpul potential

al

PSmintului (groapa de potenlial). Potentialele sint

_-- J lnorcale .rn unrtatr 1u/ -,kg Pentru curba ro$;e punctul de referinta Po se afli Ia infinit. pentru curba neagr: Po se afld pe suprafata Pim

intu

lu

/0,-0pcnlrv

q-q

Yu=oqn v

i.

2J.3. Legltura rlintre potcngial gi intensitatea eim-

ort:, Am calculat valorite potentialului din intensitatea cimpului. Avem:

vo,:- I

G.ds.

Relatia aceasta stabile$te legetura dintre potential gi intensitatea cimpului.

Prin diferentiere putem gisi intensitatea cimpului G:- dVor. Intensitad/

tea cimpului are ca valoare panta curbei potentialului. Semnul din fain indice sensul: cind potenfialul creqte, G este i;dreptat in sens contrar.

a)

Reprczcntare& (.lmplrlui

prin

poaenllal

.- .Fiecare punct al cimpului are o anumit5 valoare a poteniialului. putem ilustra cimpul scriind aceastl valoare sub forma unui numlr pentru fiecare

punct.

Aceasta corespunde metodei jndiciirii

altitudinii punctelor pe o harttr, pentru a cuprinde peisajul sub raport spatial. Cu ajutorul valorilor potentia)ului cuprinderir proprietelile fizico ale cimpului. . Reprezentarea se poate face si mai clari, unind prin linii punctele cu acelagi potenlial. Aceste sectiuni ale unor supralele e ijtotenlialer 'sint cercurj

r (lat.)

o?quus

-

egal.

LEGAIURA DINIRE MASA INERTA

5I

MASA ORTA

137

in cimpul radial. ln particular, suprafaia Pimiutului reprezinti aproximativ o suprafatrA echipoteniiali. Problema 2.317: Uotivati faptul ci liniile de clmp ale unui clmp strebat intotdcauna perconcentrice

pendicular suprafetele echipotentiale. Prcbl.ma 2.318: Determinali potentialul suprafetei Pimintului cu r0:@. Ce se poate spune despre distanta dintre snprafelele cchipotentiale cu dilrrenli do potcntial egnli?

b) Cslculul Iu.,rrlui mccanl( ru nlrlorul porcnllahlul Cu ajutorul potenfialului 1'0, al unui punct putem calcula, pcrtru oricare corp de probi, lucru mecanic Wor:m, tr1o, care trebuie cheltuit peltru a-l aduce din Po in Pr. In Ielul acesta am calculat;i energia poteniiali pe care a dobindit-o corpul de probi iu I']r falI de pozilia sa in Po.

2.4. Leg[tura ilintre masa inerti gi maso grca Am aritat iD 2.2.1 propor[io[a I itatea pculru orice corp, intre.masa inertd gi masa grea; n*mg. Ea este valabilzi pentru orice punct al cimpului gravitafional. f)aci pentru un corp s-a determinat masa inerti (cu ajutorul unei experien[e de ciocnire sau accelerare), atunci se poate indica ii masa sa Srea. Invers, daci se cunoagte masa qrea a unui corp, din ea rezulti ii masa sa

inerti.

Transformarea este deosebit de simpli, intrucit pentru ambele caracteristici s-a ales ca etalon acelaqi corp de platinl-iridiu. In felut acesta, factorul de propor! ion a I itate c:-11 are valoarea l.IIasa inerti m Ei masa qrea m, ale mo

unui corp au mereu aceea;i valoare nurnericb daci alegem ca unitlti kg Si kgg. Legitura aceasta dintre cele doud rnirimi justifici o simplificare in sensul ci vom renunla la distincfia ficuti pini acum cu grijd intre cele doui mase. ln cel. c€ trrmenztr vonr Iorbt pur tl slrlrplu de masa unul (o!p, alunrl cind nu e3te trevole de o dlsttnelld pr€oisi intrc lnerllll il {treulalco corDlrlul, \-on nola trceastl m{s[ cr m (hrd lrldl(je) Sl o lorn n{srrra cu rrnll.atee kg. O misuritoare a aceste i mase o putem efectua fie printr-o experien!I de acceIerare fie prin misurarea fortei in cimpul gravitational. Codtopirea celor doutr tipuri de mlrimi fundamentale ,U $i lre ln tipul de mirime fundamentale II lnseamnd o simplificar€ ln modul de scriere. Astfet, de €xemplu, unitatea cont" kf se simplitica la stantei eravitalionaf. Ifl: ty1: E s3ke; "'kg face dist;nctie atlt de precis Ea aduce ins6 $i dezavantaie, deoarece nu se mai poate lntr€ dilerite merimi: Inlensitatea ctmpului potenlial 6: I obtine cu F:ma dimensiunea unei acc€lera-

tii a. Potenrjalul

cimpului gravitalion

n€a pAtretului unei

vitezc.

^

i", : y, a1 cu dim W:MLr't'- i

dinrensiu-

.CAPITOI.UI.

138

2.5. Migcarea corpurilor gravita!ional

in

2, CIMPUI, GRAVIIATIO

NAI.

eimpul

2.5.1. Migcarea unui eorp in clmpul terestru SI considerdm uD corp care se afli sub inlluenla unui cimp gravitatrional. Vom face abstractie de toate celelalte forie care actioneazd asupra corpului. Vom neglija mai ales frecarea cu aerul pe care o sufere corpul la o migcare in cimpul terestru. Mi$carea corpului in cimpul gravitational se poate iluslra Ioarte bine lisind o bile se se rostogoleasci lntr-o albie ai cErei pereti au o formd care

urmeaz, curba potenlialului (fig.

2.5-1).

Cind corpul se migce deasupra PSmintului, intr-o regiune unde intensitatea cimpului gravitational este constantd, atunci el va descrie una din curbele studiate in 1.2.6. Dindu-i-se drumul din repaus, el va executa o migcare de cidere. Daci el posedd o anumiti vitezi ini[iald ur, atunci rezulti o miqcare de alunecare. SI cercetdm cazul cind intensitatea _rTinuesteconstanta. :if,r,l i'J*,XJt:i.}"."iJ]i,,:,'joo.il cimpurui mi$carea Lrnei bile.ain Sroapa de poconsiderem mai intii cazul particular cind corpul nu posedd nici o Dilezd initiald. lntr-un punct P, al cimpului el este expus liber actiunii cimpului. EI va fi atunci accelerat pe direciia liniilor de cimp, adici indreptat spre centrul Pimintutui. ln lelul acesta, el pierde energie potenliald 9i cistige energie cineticir E":! npz. Dupd tegea conservirii energiei, suma celor doue energii r5-

d:

mine constantl: ErrlEar:Err-18c2. Raportind energia poteutiale de relerintl Po de la infinit,

la

punc-

tul

Epr:- ym!!- 9i Err:- ym!! tt tz Cu

ur:6

putem calcula \titeza u2pe care o are corpul la distanta rr:

"*(*-i)

(v.2.3.1).

MI;CAREA CORPURILOR

IN

CIMPUL GRAVITATIONAL

139

Daci inparticularun corp (deexemplu, un meteorit) vine din spafiul lipsit de cimp (rr-+c.) pe supralata Pimintului, viteza sa linald este

*:Ve

up:11,3 ' 10r4.

Dintre migcirile unui corp cu viteze cazuri particulare.

iniliali

u, vom studia numai doue

2.5.2. fuunearea verticaltr

vitezl u, vertical in sus, Daci corpul nu mai suferl nici un alt impuls, atunci energia cineticd electueazd un lucru mecanic de ridicare, iar viteza cprpului scade, El poate urca numai pini cind s-a consumat intreaga energie Corpul aruncat de pe suprafala Pimintului cu o

posede o energie

inifiali

-Ea,.

initiali.

12

Cu ajutorul legii conservirii energiei gi luind ur:0, putem calcula distanla de la centrul Pimintului la care poate ajunge corpul:

1

mmP mmp . -Y ,1 t-mui:-l . rr(2 ymp - ulrr) :2 \mp\, t

r:

t"'

-2'Y 2\ mp-tLt

i

.

,

Problema 2.511: Dupi arderea combustibilului de aciionare, o racltettr doblndelte o vi_ tezl u,:7,a.1614la o lndltime /r:2,8 km. Calculari altitudinea maxime posibila Ia

in iealitate? Problenla 2.512: Calcul4ti viteza u1 pe care trebuie s-o aib{ un corp la suprafata mintului pentru ca el s{ poatd p{rdsi radial domeniul de gravitatie al Pimtntului

mi$care verticale. Poate str atinge aceaste hdltime

Un corp care se

alli in cimpul

de centrul ei, are nevoie de viteza

Pd_

gTavilational al unei mase m la distanta r

u,: -lr l/ Z y Il

pentru

a putea

pirisi cimpul.

Aceasti uilezd de fugd este independent5 de masa corpului care se migci (motivare?). Pentru un punct al suprafetei Pimintului ea este ,r:11,3 ' 103 Il. Ptublema 2.513: Calculati yiteza de lugd: a) ln clmpul terestru Pentlu suprafata I-unii; c) pe suprafata Soarelui.

un corD pe

rr:5rp;b)

pentru

2.5.3. Aruncarea orizontald Cintt viteza

ini[iali

u, a corPului este mice gi paralell la suprafaJa P5mincare se apropie de Pemini:.

tului, aiunci el descrie o traiectorie

140

CAPITOLUI.

2. CIMruI GRAVIIATIONAI.

Cind viteza ,r creste, se miregte gi distanta dintre punctul de cidere gi punctul de plecare.

La o vitezi inifiaH 9i mai mare, corpul intimpla sd uu mai cadi pe pemint, ci sd-l inconjure pe o orbitd (fig. 2,12).

Panbo/i

se poate

h-/13.t03+ 19

103+-vo-tlU?j? nryN';

t'',1

Etperienla 2.5/1: Dim drumul unor bile cu i diferite viteze initiale lntr-o groape de poi tenfial, Obserafiie: La o anumitl

o

vitezi, bila descrie traiectorie circulari in jurul

centrului (din cauza frecErii, migcacurlnd intr-o spirali spre centru).

rea se tratrsforme in

Sd calculam viteza u1, pentru

care

corpul aruncat orizontal descrie o traiectorie circulari in jurul Pimintului. Atunci forla de gravitafie Fr:\ry este forfa centri-

petn Fr:m:is- care il mentine pe c€rc. EgaHm cele doui expresii petrtru forti: :m D1" . obfinem de aici pentru fie'ftnlP 't2

terestre.

1r-

ur.: l/TEr o"""ra.a peutru o orbitE circulard, - lfiecare 1.titczd u12 raza rc:!-!! a cercului descris cu ea. oi"

care distantE

pentru

Fig. 2.5-2. Forma traiectoriei depinde de viteza initialtr. Po trebuie imaginat tn imediata vecinetate a suprafetei

rviteza

Pentru un punct al suprafetei Pdmintului

se

obtine

iar

utr:7,9. lF a. Aceastl

vitezd se numegte prima uitezd aslronauticd (sau cosmicd). Problema 2.514: Un satelit urmeazd sd descrie o orbitd circular{ la odistanli de fi:210 km de suprafaia Pdmlntului. Ce vitezd inilialtr trebuie sd i se ihprime? Cum depinde ea de masa satelitului? Dac{ viteza unui corp care se rotelt€ pe o traiectorie circ[lari se micgoreaztr, el se apropie de Pemlnt pe o spiral{. Aceasta se lntlmpl{ mai ales clnd iatervin lorle de frecale.

Etperienla 2.5/2: Pornim bila din groapa de potential cu o vitezi mai mare decit este necesare pentru descrierea unei traiectorii circulare. Obserualie: Mai intii bila se indepirteazi pe traiectoria ei de centru. Urcind pe perete, ea pierde din vitezd in conformitate cu legea conserverii energiei. Apoi insi nu mai remine pe orbita circulari corespunzitoare vitezei ei, ci urce mai departe pini la cel mai iualt punct.

MT'CAREA CORPURI-OR

iN

CiMPUT- GRAVITAT|ONAI

141

mici 9i nu poate descrie o tt.aieclorie circulari cu raza atinsi. De aceea, ea se apropie diu nou rle centru 9i ci;tign astlel vitezi. Cind nu existi frecaie, ca ajuncc cu lileza Acolo viteza ei este prea

iniliall in punctul de plecare gi procesul se repeti. 0 asemenea migcare o executi un corp in cimpul terestnt ciu(l vileza sa initiali esle mai male decit e necesar pentru o traiectorie circulalir. El Plmintul situat in unul din focare. Cu cit viteza sa irlitialir cste este mai intinsl. Corpul tsi descrie traiectoria cu viteze dilerite. Vite?a este ma\;mi h punctul cel

descrie o elipsi cu

rnai mare, cu

atit tlaiectoria eliptici

mai apropiat de Pimlnt (la perigeu) $i rninime ln punctul cel mai in(lcplrtAt rle l,inrtnt (1a apogeu). Denlonstraii acest lucrlr cu aiutorul legii consei!.drii encrgiei.

DacI viteza de lansare a unui corp este egald cu viteza de Iugir ap, atunci

chiar la pornirea orizontali el va pirisi cimpul terestru. 'fraiectol.ia este o paraboli. Cind colpul o stllbate, viteza lui scade continuu apr.opiindu-se de zero.

Pentru un corp lansat de pe suprafata Pimintului, viteza de fugi este, indiferent de unghiul de pornire, tr:11.3 10311 . Ea se numegte a doua uilezd

'n-ttIf:x.f;lir'iil'i',{?',,;t.ri, Cu

de l..sare

,, *',, *u.", el descrie o hiperbor.i.

o aDumitl vitezi [inalI, el pirrist;te cimpul grar.ita]ional al Plmintului.

Putem recunoaite aproximativ form.r curbei din experientele cu bila in groapa dc potential. Se poate demonstra nratenratic ce dace mi$carea are loc nrnlai sub inllircnta fortei gravitationale, atunci cruba lraiectoaiei este o conice.

Rezult6 urmltoarele legi pentru traiectoriile sateliiitor care se rnigci Iiberi

ln cimpul gravitalional al Pimintului: I:

Orblta satelltulul

e3te

o corrledi

lntr-un[l dh locarele sal€ se alL{ eentr||l Pdmln-

tulul.

Iai e\act ar trebui str se spund ce focnrul cste centrul de greutate conrun al sistemului Pernlnt-salelit. Acesta coincide ln general cu ce trul l)dmintului. Doar cind nrasa satelituIui este mai nare (de ex. in caznl Lu[ii) rl se Afld ir afara centrului pe drenptace uneste centrele lor. II:

V€otorul lndrept$t egale A.{.

de Ia Pilmiut spre satellt pnrcurge i[ tlmpl egrlt Al aru

Aceaste teoreme conline afirmalia despre dileritcle viteze de orbite. Noi am dedus-o ca teo-

remi a suprafetelor, ca un caz particular al teoremei conserYerii inrpulsului (v.

III.

Pentru loate orbltelG inehiso ule

s{teltlllori

1.5.4).

este conslurtt;

T2

(r-semiaxa mare a orbitei, ?- pelioada AceastA relatie se poate obtine pentru traiectoaia

torta Din

^ctivi.

Forta gravitationald

yllll:ll-r4rz T2

obtinenr

Fs:^(!+

de revolutie).

circulari egalind cele dootr e\presii pentru actioneazi ca forlA ccntripetd Ft:tn.jzr.

I:./'IA, conditie T2 ' 1r2 "a

lntre r $i

T

peDtru oricc traiectorie

circulard posibill. ln clmpul unei anumite rnase m, partea dreaptd este constante.

cAPtTOtU! ?. ClMPUl, GRAVITATIONAI

147 m_

Pl Ptoblena z.J/5; Determinati constanta Y 4"'2 pentru clmpul terestru' -f I Prcbtema 2.5/6. Satelitul natural al Pemlntului, I.una, descrit tproxinrltiY o orbiti circu lhra cu perioada de revolulie T:27,32 zile. Calculati raztr orbitei' Prima lege a miqcerii sateliiilor descrie forrna ttaiecl'orit'i irdividtralc, iara doua lorria de migcare cu care este parcursi..{ lrtria k'ge se relerA la [actorii determiianti ai tuturor traiectoriikrr. In ultimii ani au fost lansati numero$i sateliti trtiticiali: Tabela

Ciltva 3atellll ortlllcltrll rl P[miuttrl"l

211:

(LB)

Sputnik I Eraploaer

I

Discov€rer

vostoL II Mercur II

XVII

83,ti 8,2 950 .1 730

12.11.60

6.8.61 20.2.62

II Syncom III

P

4.10.51

31. 1.58

Telstar

7. 5.6i' 19.8.6{

Cosmos 107

10.2.66

I Ptobl.md 2.5/T. I exemple.

225 3ti8 180 176 160

:li

2

95tl

$6

510 985

115

96

8It,6

256 256 800

96o

lo

6{1

35 927

80

l

225

l3ri 89,7

201

Dovediii valabilitatea celei de-a treia lcgi a nti;cirii sattlililor pe citt\"r

2.5.4. Miqcarea

ln elmpul gravitarional al

Soarelui

Pentru migcarea in cimpul gravitational al Soalelui sint valabile acelea;i au foit date.pentru tr;iectoriile in cimpul telestt'u' Ele descriu rni5fegi "aie carea unur corp rn mtricare tiberi sub inftuen[a oricirtti cimp gravitatiolral plartete., .i-"tti" radiali. Legile siut valabile in special pcntrtt tnigcarea (fig 2 5-:])' I)irnirtului pentru orl)ita jurui dcci Soatelui lor in ti i* p"

".ilit"f"

Tabela

212

Plstretcle Sorrel

i Distant. a.die de la soarc

(in

olbitei

Mercul

e

Venus

Pdmlnt Merte

6

Jupiter

9l

Saturn

D

Uranus

6

Neptun

Plutou

I

0,06 0,82 1,00 0,11 318 95 14,6 17,2 0,e (?)

0,39 0,72

l,00 1,52

raze ale

terestre)

o,24 0,62 1,00 1,88 11,9

9,6 19,2 30,1 39,5

29,5 84 165

249

CONSIDERATII ISTORICE

143

Fig, 2,5-3, Orbitele planetelor.

Legile migcerii planetelor (legile

lui

Kepler, vezi 2.6.2) sint:

I. Orblta uDet planete este o ellpsi, lar Soarolo se alltr ln utrul dln focErelo II. naza vectoare Soare-plsnet{ parcurgo ln tlmpl egnll srll egale. III. Pentru toate otbltele pl{rlelolor -Looo"1",.1. ""1"

T2

Ptobltm/. 2.518: Calculali constanta

Din ea calculaii

- t" p"nt", 12

ol,

orbitele planetelor.

masa Soarelui,

Ptublernd 2.519: Cum se poate determina masa plan€tei Jupiter?

In ultimii ani, de pe Pimint au fost lansari cifiva satelifi pe o orbith in jurul Soarelui: Tabeld

Clrlva Brtellrl aralllclall al Soarehl

I Lunik I

Pioneer IV Sonda \tenus

2.1.59 3.3.59 12.2,A1

369 6,1 643

1,46.104 1,48.103

1,1

.103

(k-)

213

('llc)

I ,57 .104

460

1,7.103 1,5.103

407

288

Viteza pe care trebuie si o aibi un corp pentru ca pornind de pe Pimint piriseascd sistemnl Solar este a:16,78. Ea se numegte a 3-a uitezd

si

eslrorromicd (sou cosmicd). Itrohleoa 2.5110: Indicati hrsemndtatea

I

fi

m,erimea celor

trei viteze

cosnrjce.

2,6. Considera,tii istorice

I

2.6,1. Dezvoltarea istoriei a imaginii astronomite despre Univers Oamenii s-au preocupat dintotdeauna de aqtri ii migcirilc lor. Gisim o orientare astronomicA gxacta la construcliile templelor gi monnintelor multor popoare antice care practicau un cult al Soarelui ca, de exemplu, la

cAPtTOLUt 2, C|MPUL ORAVTAITONAL

144

templele iucagilor din Peru qi la marile piramide de Ia Gizeh in Egipt. Piramidele sint indreptate cu o inaltd precizie spre meridianul Soarelui. La toate aceste popoare, observatiile asupra cerului serveau unor scopuri religioase, dar gi anumitor aplicatii practice. Primii care s-au ocupat de cercetarea cerului. 9i de fapt de cercetare pur pi simplu de dragul studiului, au lost glecii. Cu ei incepe marea traditie a cercetdrii qi gindirii europene. Pentru greci, locul Pdmintului era in centrul Universului. T h a I e s d i n M i I e t (cam 624 pind la 546 i. e. n.) considera Pimintul ca un disc plat care plute$te pe apele oceanului. Peste el este agezat cerul ca o emisferi goal6 in forme de clopot. Dimineafa, zeul soarelui urce la risdrit intr-o trisurd de aur gi stribate bolta cereascd. Seara, el se scufundd la apus in valurile oceanului qi se intoarce pe sub discul pimintesc inapoi spre risirit. Fllozolul naturii Anaximandru (cam 611 pinn la 546 i.e.n.) opune acestei conceptii lnc5 puternic iniluenlate de gindirea mitologice, o imagine a Universului in care Plmintul se afli in centrul unei mari sfere cereqti. El este lnconjurat de o imensd sferi goali, cerul. Pimintul pi cerul se rotesc cu vitezi constante in jurul unei axe fixe, axa Universului. Pentru Anaximandru, PEmintul avea forma uuei coloane cilindrice a carei in5lfime reprezenta a treia parte din diametrul ei. Placa de acoperire era boltite 5i (384 pind collinea !5rile 9i mdrile lumii populate. Apoi, Aristotel la 322 i.e.n.) 9i gcoalasaau propovdduit ideea formei sferice a Pimintului. Spafiul cosmic al astroromiei antice era limitat spre exterior de sfera cereascl 5i avea deci un diametru finit. La greci, ceea ce ar putea exista in exteriorul sferei cere$ti nu flcea obiectul vreunor consideratii. Pe baza acestei concepfii fundamentale s-a dezvoltat imaginea astronomice a Universului in antichitate. Observafiile asupra cerului au lost necontenit imbunitltite, imaginea mai completl a Universului ingaduind astfel interpretarea rezultatelor acestor observatii. Celebrul astronom Pto lemeu (85 pini la 165 e.n.) a rezumat, in cartea sa Almageste, cunoqtintele astronomice ale antichitdtii: 1. In centrul Uoiversului se aild Pimintut. El are o iorml sferice 9i se afl6 in repaus complet. 2. ln jurul Pimintului se migci planetele pe ni$te sfere cristaline; pe o primi sleri situate cel mai aproape de Pdmint se migci Luna, apoi Mercur, Venus, Soarele, Marte, .Iupiter qi Saturn. Aceste gapte slere sint inconjurate de o ultimi, a opta sferd de cristal, care poarte toate stelele fixe. Toate sferele se afle intr-o continui rotalie in jurul Plmintului $i anume executd o rotatie pe zi. Deoarece Pimintul se gdsegte in centrul Universului, acest sistem se numegte geocenrlic.r Concepfia geocentrice despre lume situa omul observator ln centru gi presupunea ca orbiti cercul, drept cea mai frumoasd qi mai desivirqiti figuri. Teoria geocentricd era capabili sI descrie toate fenomenele Universului in limitele preciziei cu care se ficeau observatiile atuuci. Sistemul geocentric a durat pine in secolul al XVI-lea. Odati cu imbunititirea instrumentelor de observaiie se obtineau date din ce in ce mai multe 1

I

(grec.), gea

:

ptmint

145

CONSIDERATII ISIORICE

li precise despre orbitele planetelor. Teoria a pulut fi adaptale observatiilor mai precise odata cu aPlicarca orI

bitelor circulare suprapuse. Se pierdea astlel din simplitatea structurali a mode lului. Cu aparitia cSrtii lui Nicolqus C o p t'r n i c (1473-1543), De rcuoluti-

onibus orbium coeleslium (Despre mi9-

cdrile de rotatic ale corpurilor ceregti), in anul 1543 incepe o cotituri revolutionari. Copernic li ia Pimintului pozitia privitegiatd de centru al Universutui. El stabileqte trei principii fundamentale: l. Soarele se afli lui p lanetar.

in centrul

sistemu-

are lotmide sferd !i iltr-o zi face o rotatie in jurul axei sale.

2. Pdmintul

Johannes Kepler

(1 57

1-1 630)

3. Toate plarretele se rotesc pe circutnferin!e in jurul Soarelui. Pdmintul i;i parcurge orbita circularl intr-un al. El este insolit de Luni care il inconjoari in timp de 30 de zile. Deoarece nici teoria lui Copernic nu plezenta miscarea planetelor mai exact exista iniliat vleun argument esential pentru decit sistemul qeocentric, 'iistemului uu siu ieliocenliicl iu afari de simplitatea formelor corectitudinea de migcare. Din contrl, era foarte diticil sn se recalculeze nigcarea aparenti observati a astrelor irtr-un alt sistem de referintS, legat de Soare. Abia treptat structura mai simpli a sistemului 9i mai ales observarea satelitilor lui Jupiter cu lunetele noi, construite atunci (Galilei, 1564 pinl Ia 1642), au ajutat la impunerea teoliei. .lohanres Kepter (1571 -1630) a lost acela care a adaptat precizia calculelol la noile posibilitili de observalie. Et a inlocuit cercurile mentinute 5i dc Copernicpiir^ alte orbite planetare. ln Astrcnomianoua (1609) K

e

p

Ie

r

leunefte legile care ii poartl nuruele: L Prima lt'[e a lui K e pl e r: orbitele planetelor sint elipse, in unul din focare aflindu-se Soarele.

2. r\ rloua lege a lui Kepler: raza vectoare care u[eqte Soarele cu l)lancta parcurge in timpi egali rrii egale. iccslc iegi se'releri la orbita liecirrei planete in parte. Zece ani mai tirz.in l{cjilet face curosculi legea tat'e stabilelte o legituri intle orbitele difcriti:lor planete; 3. A Lreia lege a lui Kepler: raportul pdtratelor perioadelor de revolulie ? a dorrir plauete este egal cu raportul cuburilol semiaxelor mari:

r\:T'i=.fi;

I (grec.), helio$ l0

- tiziol

curs ruP.tio!

soare

ui.

146

CAPIIOLUI. 2. CIMPUL GRAVIIATIONAL

Cu alutorul constantei orbitale

:

3,36 . lO18

4

7'2

, din perioada de revolufie

mesurate se poate calcula distanta medie

la Soare. Kep ler a obtinut aceste legi din materialul de observatie vast gi precis al astronomului d anez T gcho ilc Brahe (1566-1601). Ele au inldturat inexactitlfile care afectau 9i orbitele circulare ale lui Copernic ai au permis un calcul pe deplin exact al orbitelor planetare. 2.G.2. Cotitura galileeanl - imaginea mecatrieisltr a Universului

Teoriile

lui

Kepler lncercau si ilus-

treze armonia Universului creat de Dumne-

Galileo Galilei (1564-1

6421

zeu. Kepler igi imagina aceast[ operi de crea]ie ca un produs similar al unui ingenios -constructor de domuri din evul mediu. Kepter a incercat aprofun-

darea relaliilor numerice ale razelor orbitelor planitare, sperind si dovedeasci armonia universului prin aceste raportuii numerice. Cind Ga I i le i, cu autoritatea sa de mare cercetitor al naturii, a intervenit in sprijinul ideilor lui Copernic ai Kepler, s-a dezldn{uit un puternic conflict intre acesta qi biserica catolicA. i)incolo de invinuirea de erezie aruncate lui Galilei, se afla teama ca noua qtiinfd a naturii sd nu devini 'n. instrument al ateismului, se afla refuzul omului de a se inchipui pe sine qi intreg Pimintul impins pe o pozitie perilericd, neinsemnati, incetind de a mai fi centru al Uniyersului. Era, de asemenea o lupti pentru meniinerea filozofiei lui Aristotel, preluati dogmatic de cdtre bis'erici 9i care acum era zdruncinatE. - Gali-lei a pus bazele unei qtitudini noi gi pline de succes q omului rcrcetdlor lald de naturd. ,,Aceastd noul pozitie 5i meioda care decurqe in mod necesar din ea constituie marea consecinta a Renagterii; degi de 6bicei prea putin apreciate la justa valoare de scrierile istorice tradiJionale care accentueazi prea mult-crearia artistici 9i istoria evenimentelor acestei epoci, aceasti cotiturd a gindirii, aceaste noue cale a cunoagterii depagegte, prin consecinrele sale ca insemndtate pentru omenire, de departe tot restul strilucitor sau jalnic al acestei vremi. Astezi sintem captivali cu totii - chiar qi cei potrivnici - nu o Qtim, pentru cI dintre noi-- de vraja acestei gindiii noi; desigur, noi datorita obignuinlei ni se pare
-

coNstDERATrr rsroRlcE

147

Newton desivirgegte opera inceGalilei. El completeaze mecenica cu o udtat€ si desevlriire care

puta de

ramin hottrrltoare pentru urmetoarele doui secole. El introduce in fizici concepfia model5rii lucrind cu modelul centrului de masl. Et igi bazeazl legile pe principiul cauzalitdfii. In lume nu existi hazard, ci pentru toate lntimplirile fizice existl o

stricte necesitate. Mecanica lui Newton $i-a serbetorit unul din triumfurile cele mai mari cind, prin aplicarea consecvente a metodelor sale, o nouh planete a fost prezise ii apoi chiar gisitl exact in locul calculat dinainte (1846). Este vorba de indepdrtata gi slab luminata planela Neptun. Francezul L e y e r r i e r observase neregularitdli

h

lsaac Newton

(1

643-1727)

orbita planetei extreme Uranus. Cu aiuto.ul l€gii gravitationale a lui Newton, el a calculat ce aceste petturbatii ar pulea

Ii

provocat

tj e comunicat-o astronomului Galle din Potsdam. In noaptea urmrtoare, Galle a putut d€scoperi planeta necunoscute pind atunci. glsind-o exect ln locul calculat dinainte de Leyerr ier. La fel

de o planetd inctr

necun-oscutd,

I-a calculat pozilia

a fost gesitd ln 1930 planeta Pluton, care este $i mai lndepirtatd de Soare decit Neptun. ln fala acestor succese lire precedent, oamenii secolului al XIX-lea au

Iost cuprinti de o mare gi adeviratd admiratie. Matematicianul qi fizicianul francez L a p I a c e emite teza cd, in principiu, totul se poate calcula dinain!e. ,,Un spirit care timp de un moment cunoalte toate fortele care insufletesc natura qi pozitia reciprocd a tuturor fiinielor care o compun ar trebui, dace ar fi suficient de cuprinzitor pentru a putea supune toate aceste date unei analize matematice, si cuprindi in aceeaEi formuld miicarea celor mai mari astre cere$ti qi a celui mai ugor atom; nimic nu i-ar fi incert, iar viitorul ca gi trecutul ar fi deschise ochiului siu." Acest ,,demon laplacean" marcheazl trinta cercetel'ii mecaniciste. Pe linia succeselor acestei gindiri t-a dezvoltat mate:ialismul mecanicist al secolului al XlX-tea. Tot ce se petrece ln lume este supus legilor mecanice, chiar ii spiritualul reprezinti doar orafinare a materialului (conceplie necanicisti despre Univers). Pentru materialistul mecanicist nu mai existi libertatea de voin[d. ea este o autoiluzionare,Tot ce se petrece in naturi 9i in om este ca desf5gurarea unei maqini mari (L'homme, la machine), care odatl pusi in funcliune execute o anumite mitcare. Aceasti gindire constituie un exemplu de depiqire nepermisi a limitelor unei itiirte. Conceptiile imaginii mecaniciste a Universului despre posibilitatea de a calcula tot ce se petrece sint nedemonstrabile 9i reprezintl, ;i in cadrul iizicii, speculalii care nu pot fi dovedite. Ele nu pot fi justificate in numele fizicii, chiar dacl se crede, ca in secolul al XIX-lea, intr-o determinare cauzali gen'erali in desfdgurarea proceselor din naturi. t0.

3. Oscilalii qi unde mecanice

3.1.

Ose

ila!ia armonici

Dintre procesele de migcare, /enomenele oscilqloriir se remarci in mod deosebit. Caracteristica lor este revenirea ritmici Ia diferitele pozitii ale obiectului oscilator. A;a, de exemplu, peudulul ceasornicului executi oscilalii regulate; deEi mai putin uniform, totugi oscileazi ;i spicurile unui lan de griu sau

o barcd pe valuri.

lnsemndtatea oscilafiilor pentru fizicd

capitol, ne vom ocupa separat de ele. 3.1,1. Proeese de oseilalie qi

justifici faptul ci, in cadrul

acestui

mlrimi de oseilagie

Experienla 3.111: De un lir atirnlm un corp ;i il lovim pentru o devialie nu prea mare (pendul grauitalional, fig.3.1-1, a).

a-i imprima

Etperienla 3-112: De un arc elicoidal atirndm un corp gi cu el tragem arcul in jos (pendul cu arc, lig. 3.1-1, D). Erperienla 3.1/3: lncastrdm la un capet o bandd de o[el (cu o oglindd la capdtul liber) Ei o deviem (pendul cu arc lamelqr, fig. 3.1-1, c). Erperienla 3.-l/4: Turndm apd intr-o {eavd groasl de ciliva centimetri, astupim unul din capete cu un dop de plutd qi suflind cu griji aducem apa in miqcare (coloand de apd oscilantd, fig. 3.1-1, d).

Fig. 3.1-1, Citeva procese tipice de oscilalie: o) pendul gravitational, b) pendul cu arc,

i 4

1 (lat,)

,6cilloa. : a

a

!.

c) pendul cu arc lamelar, d) oscililia coloaneide apt.

balansa,

e

,r' i',/ s.\\i/ il \\:

# c)

oscile.

U d)

OSC

LAIIA ARMONICA

149

il loate cazulile observim o migcare continul incolo Ei incoace a corpului. Caracteristic penIru accastir ltrrscare este: l. Dupl intervale de tirnp t'gale, l.rrucesul individual de tnigcare se repeti -el estcdel.reriodir. 2. trIigcarea decurgc Iiecare datir sirnetric Iati de o arulniti pozilie, po.ilia de repaus a oscilatorului. Crrscrrdli deosebirea fall de mincar€a circulartr care este tot periodicl, dur peDtru (irr( nu se puate iDdica o pozilie de repaus deosebiti. I)€linilie: Ili,rr.nRn unui (orp r re se retrelil h inlcrr'{le d€ titlrp tixc ii (n.o s. hrc sirrehic luli de o pozilie dc rep$us o nunrinr osci/oli.. Obseruulie:

Pentru descrierea procesului oscilator folosim urmltoarcle rrllirni: a ta os e i l a l i e i sau per ioad a f sc numeile durala uuei oscilalii complete. Prin aceasta se inlelege timpul dintre donl stiri de oscilafie succesive identice in care corpu I oscilator trece din nou ir acela5i sens printr-un puncl oarecare al traiectoriei salc (de exemplu, timpul pentru uu drum dus ;i intors). Unitalea per.iu perioada de oscilari€ este [?]:s. 2. Numirul ose ilaliilor sau lrce venta v este raportul ditrtre numerul de oscilalii n ;i timpul necesal corespunzltor' ,:

1. I)ur

,I

Iv]

I

De aici r€zultd pentlu

n-1

Si

l: I

:s-t :

Hz (v. 1.2.7).

urmAtoarea relatie

irltrr perioada T 9i frecventa

v

1' '--l-?! 5i 7=3. Devialia nromonlanI sau elongalia

y din pozitia de repaus indicl drurnul cu care masa oscilant, s-a indepirtat locmai de la pozitia de repaus. Ea se modilicl in fiecare momenl. deci este dependentE de timp. Unitatea de elongalie este lg):m.

Deoarece un oscilator se mi$ce spre.alnbelc pnrli al pozitiei dr echilibnl, elongatia se consideri pozitivi iDtr-rn sens $i negati\'a in celalalt. Elongalia estc decj nuli pentru pozilia de repaus care se mai nume$te li poailia de zero.

Amplitudinea

A a unei oscila[ii este deviatia (elongatia) maximd pe care o atiuge obiectul oscilant in cursul unei oscilatii. Ea se ia intotdeauna pozitivi. Amplitudinea este deci distanfa dintre poziiia de zero qi punctul de intoarcere. ln toate experieulele 3.1/l pinn la 3.1/4 amplitutlinea nu rimine constantl. Ea scade mai repede in experienfa 3.1/4, in timp ce in experienta 3.1/l se micioreazl doar pulin. Idealizind ultimul caz, deosebim, in functie de comportarea amplitudinii, douri fornte de oscilafie: 4.

Df,cd ampllludlnea rinrl e cgull de la o osclhlle la elta Ee gprroe cd osclrslla esIG neamortizold. OscA c{ scnde se sputr. od mcllarh .3ta amorliratd.

caPuotut !. osc[ATlr 5l t NoE MECANICE

150

lleci osrilaiia prudulului gravitational este slab anorlizatd, in schirnb cea a coloanei de apu este puternit umortizalit. Probl.na J.tlt: Deternrinati in experientelt

3.1i I

-

3.1/,1

ii frecyenlele, precum $i evolulia arttplitudiDii. Prcblemo 3.Il!: Orservati ij descrieli felul in care variazd vitcza cantitati\ ii ca stDs in tinlpul unei osci_ lalii a pendulului gravitational. Erectltaii mni u)tllto perioadele

pentru diferite poziiii rilomentane ale pendulului (de exemplu, pentru f:0, pozitia dc repaus, i: 1 7'. desene

ll

-- t', ..., 1-) )i reprezenlxli srhematic prilr vectori tlon' 8 gatia (cu albastru) fi Iiteza resprctiri (cu ro$u) (Iis.3.l-2). Pmbluna 3.t|3: incercali ca din larialia vitezei sd de-

t_ t17t ?_ t.8t i_ t+ t-u t'6t Fig.3,1-7. E longatia ii

viteza

pentru citeva pozilii instantanee ale pendu lu lu i cu arc.

scrieli schenlatic acc€lcraiia ca mirime $i ca sens. Addugali yectorii respectivi (cu verde) ln desenul probl€_

mci

3.1i2;

3.1.2. Studiul eantitativ al oscilariei armonico Erperienla 3.,lij: 0 sferi de masi.-t m o atirnarm de un fil lung dc o[el intre douar arcuri elicoidale. O lislrn sa oscileze din dilct ite pozitii iniliale ;i misurim de fiecare datir perioada de oscilatie. Ulmirirn rni;carea sfcrei dupl proiec[area urlbrei unui cirliret cilinclric agezat pe sirma dc o(el (fig. 3.1-3). tln asemenea dispozitiv se numegte sislern oscilahrPrin lelul atirntrrii stj elilnind irr Inare mAsuri greutatea sferei, clar nu ti ef€ctul masti interne. Deocamdati facenr abstraclie dc laptul cli dupri un tiorp IDai hldelungrt amplitudjnea scad€. Presupunenr oscilalia n(amorli:ald 1\'. 3.1.5.).

/,-i I Frg. 3.1-3.

Oscilaior arnronrc; forta

cu rotu se forla compen-

reactiva F, desenate

poate mes!ra prin satoare

Fs

cu

ajutorulunor corpuri trecut:

(atirnate de sfoara peste scripete).

t t: l'erioad de or(ilnlie fl de(l lle(venla oscilalorului sinl constaDle' Perioada tle oscilafie nici nu variazl in culsul experientrei de oscilalie 5i nici nu depinde cle alnplitudine. I'recventa mlsuratd mai sus este deci o mirime caracteristicar pentru oscilatolul nostru, in timpul unei oscilalii vileza variazi ca mdrime 9i sens. Este deci vorba dt'o miscat'e acctlelatij. I)ar fiecirrei accelerafii ii este proporlionald o forld. Cind pendulul se indePlrqeazar de pozi!ia de repaus, aceastd fortrd actrioneazi intirzietol, iar cind pendulul se intoarce spre pozilia de rePaus, ea il accelercazi. lrorIa este deci intotdeauna indreptati spre pozilia de repaus. Aceasli foria care aclioneazi pendulul intr-un punct considerat este insi independenti de faptul daci pendulul oscileazi prin acest punct sau dace este oprit in punctul respectiv de cahe o lori6 compensatoare Fr.

RezuI

oscrtAJrA aRMONICA

151

Avem astlel posibilitatea si mrsurrm forlele active in timpul oscilafiei Etperienla 3.1/6: Modificind experienfa 3.1/5 devieln sfera din pozi{ia ei de repaus cu ajutorul unui fir trecut prin unul din arculile elicoidale 8i petrecut peste un scripete, atirnind greutd{i de acest fir (v. fig.3.1-3).

Enmplu

de mdsurdloqre:

Forla I.s (gf)

600

l'llorgatia y

(rnrn

It

l:

czuIIs

)

Hapotlul

16,0

irlle lorrrl sl

,18,1

J1,8

clotrUtlle

I] :l'

64,O

96.0

esle eonslunt.

II

ii lor!fl reu(tir[ 1' :-/'s €le proporlknml]ii rr elong$lla. lntmcit cele doul uriirimi, forla Ir activi in procesul de oscilafie r;i elongafia g siut indreptaie in sens opus, aveln: +

F: -kv.

Hapor'lind 1t 9i u la acela;i vector uuitate e, se obline Fe:-kg e. Observind cir .li, ca ii y, poale fi in cursul oscilafiei atit pozitiv, cit qi negativ. din ecuati:r vectoriali rezultl ecua! ia valorici:

F: -kv.

,t esle o constantl tot atit de caracteristicl pentru sistemul oscilator sau mdrime ca li flecvenla. Ea se numegte mtitime de reslqrilire direcloqte. L uitatea ei esle [A]: -. \li5carea oscilatorului nostru urmeazl deci o simpld lege a for[ei. Toate se numesc oscilalii

uri;cilile penlru care estc valabill aceasti lege a fortei uttnonice-

Dellollle: orire rri;car{ periodi(ir l)rcro({ln de lorle plolorliontrle cu elon0alla ii indreptato slrrc Jlozllhr dc ]epa s (del.i pe[tru ( re esie lalalllI o leoc linieri o lorrei] sb ourrref tc (rrrn0ni..i. I)c lingi sirnplitatea legii sale a [or!ei, oscila[ia armonicd se relnarce prin accca cir ll ea se reduc aproape toate procesele oscilatorii din fizicE gi tehuici. l'ftn,luno J.ti1: \i,rilicrli pc o clt lt'I]s( nrin:i ton r( (u xccca din experienta :1,U5 dad: a) pendulul{rr'r'ilaliorrl. b) pcndulul cu arc si c) pendrlul cu arc lanrelar de\,iaTd drpi o legr a lorlri lirlinrii si deci execut:1 dr asrrDenen oscihlii aruronice.

3,1.3. l)oscrir.rra rnatrmalir.I a oseilaliri armonico Sl-r

folrnrrlirnr acurn rlerlrrclirr legile dt' rDiscale ale oscilafiilol almonice. F. rlin ecualit funclumettluki u ltlerunicii (v. 1,3.5)

Crrnoscirrcl lor'!a

?.. F:m q:D1Ul. scalar, F:my,

cAPrroIUL 3" OSCI.AII|

152

tr

UNOE MECANTCE

se poate calcula acceleratia a 9i deci viteza corespunzetoare u gi drumul s ca functii de timp. Pentru mi$carea armonice F:-kC. Inlocuind aceasti relalie in ecuafia fundamentali a mecanicii, se obline importauta ecualie a oscila!iilor: m

V:-k

Y,

scalar

mg

:-k

g,

in care, pe lingl masa pendulului m 9i mdrimea directoare k a sistemului, mai intri functia spa[iu-timp y:f(l), care trebuie determinatd gi derivata sa a aoua ij:i(r;. Exceptind Iactorul derivata a doua ar trebuisa coincidi

-4,

cu funcfia de baz5. De aceea 9i pentrr.Ici este vorba de o func[ie spatiu-timp periodice vom cduta solufia sub lorma unei funclii sinusoitlo.le. E iErperienla 3.117: Lesi\m sA cade o razl de lumine pe oglinda din experienfa j3.li3 pi de acolo pe o oglindd rol itoare. Obseroalie: Nliqcarea petei luminoase este desfd$urati in timp datoritE oglinzii rotitoare. Ca imagine a func{iei spaliu-timp recunoa$tem o curbl sinusoidalE.

Presupunem deci solu/io:

U:A sin rot cu derivatele

i:. A cos tol, y: -.2 .4 sin <,rl: -<,r29. Deocamdatd ,4 qi o sint constante necunoscute. lnlocuind expresia pentru I in ecualia oscilagiilor, se obfine: m( -azA sin or):-kl sin