11519777 Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

RO BOTICA: Control, detección, visión e inteligencia ~' o r:

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K. S. FU R. C. GONZALEZ C. S. G. LEE

Traducción SEBASTIAN DORMIDO BENCOMO Catedrático lnfonnática y Automática Facultad de Ciencias Físicas UNED (Madrid)

Re,isión técnica ANTONIO VAQUERO SANCHEZ Catedrático Informática y Automática Facultad de Ciencias Físicas Universidad Complutense de Madrid

.. RO DE CORTESlJ.

11

McGraw-Hill MADRID • BOGOTA • BUENOS AIRES • GUATEMALA• LISBOA • MEXICO NUEVA YORK • PANAMA • SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MONTREAL NUEVA DELHI • PARIS • SAN FRANCISCO • SINGAPUR ST. LOUIS • SIDNEY • TOKIO • TORONTO

CONTENIDO

Prólogo

l.

Introducción l.l. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.

2.

3.

xi

Antecedentes 1 Desarrollo histórico 4 Cinemática y dinámica del brazo del robot 6 Planificación de la trayectoria y control del movimiento del manipulador 7 Sensores del robot 9 Lenguajes de programación de robots 10 Inteligencia del robot 11 11 Referencias

Cinemática del brazo del robot

13

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

13

Introducción El problema cinemático directo El problema cinemático inverso Observaciones finales Referencias Problemas

Dinámica del brazo del robot 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Introducción Formulación de Lagrange-Euler Formulación de Newton-Euler Ecuaciones de movimiento generalizadas de d'Alernbert Observaciones finales Referencias Problemas

15

54

78 79 79

85

128

85

146 146 147

87

106

viii

CONTENIDO

4. Planificación de trayectorias de un manipulador 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Introducción Consideraciones generales sobre la planificación de trayectoria Trayectorias de articulación interpoladas Planificación de trayectorias de caminos cartesianos del manipulador Observaciones finales Referencias Problemas

5. Control de manipuladores de robot 5.1.

152 152 155 157 178 201 201 203 206

Introducción

206 5.2.

Control del brazo del robot PUMA

5.3.

Técnica del par calculado

5.4.

Control subóptimo de tiempo mínimo

5.5.

Control de estructura variable

5.6.

Control por realimentación desacoplado no lineal

5.7.

Control de movimiento resuelto

5.8.

Control adaptativo

5.9.

Observaciones finales

208 210 228 232 234 239 251 272

Referencias Problemas

273 274

6. Detección 275 6.1.

Introducción

275

CONTENIDO

8.4. 8.5. 8.6. 8.7.

Segmentación y descripción Reconocimiento Interpretación Observaciones finales Referencias Problemas

de estructuras

tridimensionales

9. Lenguajes de programación del robot 9.1. Introducción 9.2. Características de los lenguajes de nivel de robots 9.3. Características de los lenguajes a nivel de tarea 9.4. Observaciones finales Referencias Problemas

10. Inteligencia de robot y planificación de tareas !O. l.

ÍX

431 440

456 460 460 462 465 465 467

478 487 489 489 491

Introducción Búsqueda del espacio de estados !0.3. Reducción del problema 10.4. Uso de la lógica de predicados !0.5. Análisis «rneans-ends» !0.6. Resolución del problema !0.7. Aprendizaje del robot 10.8. Planificación de tareas de robot 10.9. Problemas básicos en la planificación de tareas !0.10. Sistemas expertos e ingeniería del conocimiento !O.! l. Observaciones finales Referencias Problemas

540 540

Apéndices

542

10.2.

A Vectores y matrices B Jacobiano del manipulador Bibliografia Indice

491 492

502 507

512

515

523

525

528 536 539

542

564

576 591

CAPITULO

UNO INTRODUCCION

Una máquina puede hacer el trabajo de cien hombres normales, pero ninguna máquina puede hacer el trabajo de un hombre extraordinario. Elbert Hubbard

1.1

ANTECEDENTES.

1 ,

_ - La necesidad cada vez más resionante de aumentar la productividad y conseguir ' '... productos acabados de una calida um orrne, está hacÍendo que la industria gire cada vez más hacia una automatización basada en computador. En el momento actual, la mayoría de las tareas de fabricación automatizadas se realizan mediante máquinas de uso especial diseñadas para realizar funciones predeterminadas en un proceso de manufacturación. La inflexibilidad y generalmente el alto coste de estas máquinas, a menudo llamadas sistemas de automatización duros, han llevado a un interés creciente en el uso de robots capaces de efectuar una variedad de funciones de fabricación en un entorno de trabajo más flexible y a un menor coste de producción. La palabra robot proviene de la palabra checa r_obota, que significa trabajo. El \ diccionario Webster define a un robot como «un disQositivo automático que," / efectúa funciones ordinariamente asignadas a~~los seres humanos». Con esta ,. f ~ definición, se pueden considerar que las lavadoras son robots. Una definición utilizada por el Robot Institute of America da una descripción más precisa de los , ,, robots industriales: «un robot es un maní ulador reprogramable multifuncional - • ~ diseñado para mover materiales, piezas o dis ositivos es cializados, a través de 'I ' movimientos programados variables para la realización de una diversidad de tareas». Ensuma, un robot es un mañipu a or reprogramable de uso general con sensores externos que pueden efectuar diferentes tareas de montaje. Con esta definición, un robot debe poseer inteligencia que se debe normalmente a los algoritmos de computador asociados con su sistema de control y sensorial. Un robot industrial es un manipulador de uso general controlado por computador que consiste en algunos elementos rígidos conectados en serie mediante articulaciones prismáticas o de revolución. El final de la cadena está fijo a una base soporte, mientras el otro extremo está libre y equipado con una herramienta para manipular objetos o realizar tareas de montaje. El movimiento de las articulaciones resulta en, o produce, un movimiento relativo de los distintos elementos. Mecánicamente, un robot se compone de un brazo y una muñeca más

-

2

ROBOTICA: COSTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA

una herramienta. Se diseña para alcanzar una pieza de trabajo localizada dentro de su volumen de trabajo. El volumen de trabajo es la esfera de influencia de un robot cuyo brazo puede colocar el submontaje de la muñeca en cualquier punto dentro de la esfera. El brazo generalmente se puede mover con tres grados de libertad. La combinación de los movimientos posiciona a la muñeca sobre la pieza de trabajo. La muñeca normalmente consta. de tres movimientos giratorios. La combinación de estos movimientos orienta a la pieza de acuerdo a la configuración del objeto para facilitar su recogida. Estos tres últimos movimientos se denominan a menudo elevación (pitch), desviación (yaw) y giro (roll). Por tanto, para un robot con seis articulaciones, el brazo es el mecanismo de posicionamiento, mientras que la muñeca es el mecanismo de orientación. Estos conceptos se ilustran para el robot Cincinnati Milacron T3 y el robot PUMA de Unimation que se muestran en la figura 1.1.

•

Barrido del brazo G iro

a)

Rotación de cintura 320c J Rotación del hombro C(r Rotación del codo 270

'

, 17 0i~

\ /

Doblado de muñeca

200'

Montaje de la pinza b)

Figura 1.1

a) Robot Cincinnati Milacron T3. b) Robot de la serie PUMA 560

INTRODUCCION

3

Muchos robots industriales, que están disponibles comercialmente, se utilizan ampliamente en tareas de fabricación y de ensamblaje, tales como manejo de malerial, soldaduras por arco y de punto, montajes de piezas, pintura al spray, carga y descarga de máquinas controladas numéricamente, exploraciones espaciales y submarinas, investigación de brazos protésicos y en el manejo de materia- \ )es peligrosos. Estos robots caen en una de las cuatro categorías ue definen-,. movimientos básicos (Fig. 1.2): 1 Coordenadas cartesianas ~jes lineales) (eje lo: robot RS-1 de IBM y el robot Sigma de Olive"tti). Coordenadas cilíndricas (dos ejes lineales y un eje rotacional) (ejemplo: robot Versatran 600 de Prab). Coordenadas esfé ·cas un e·e lineal y dos ejes rotacionales) (ejemplo: Unimate 2000B de Unimation Inc.). Coordenadas de revolución articuladas (tres ejes rotacionales) (ejemplo: robot ·-· T de Cincinnati Mílacron y el PUMA de Unimation lnc.). La mayoría de los robots industriales de hoy día, aunque están controlados

por mini y microcomputadores, son básicamente simples máquinas posicionales.

Cilíndrico

De revolución

Cartesiano o xy:

Esférico

Figura 1.2 Diversas categorías de robots.

4 ROIJOTICA: CO~TROL, DETECCIO~. VIS!O~ E l~TELIGENCIA

Ejecutan una tarea dada mediante la grabación de secuencias prerregistradas o preprogramadas de movimientos que han sido previamente guiadas o enseñadas por el usuario con un control de mando portátil. Más aún, estos robots están equipados con pocos o ningún sensor externo para obtener la información vital en su entorno de trabajo. Como resultado de esto, los robots se utilizan principalmente en tareas repetitivas relativamente simples. Se está dedicando un gran esfuerzo de investigación para mejorar el rendimiento global de los sistemas manipuladores, y un camino es a través del estudio de las diversas áreas importantes tratadas en este libro. 6

-·

1.2 DESARROLLO HISTORICO La palabra robot se introdujo en la lengua inglesa en 1921 con el drama satírico R.U.R. de Karel Capek (Rossum Universal Robots). En este trabajo, los robots son máquinas que se asemejan a los seres humanos, pero que trabajan sin descanso. Inicialmente, los robots se fabricaron como ayudas para sustituir a los operarios humanos, pero posteriormente los robots se vuelven contra sus creadores, aniquilando a toda la raza humana. La obra de Capek es en gran medida responsable de algunas de las creencias mantenidas popularmente acerca de los mismos en nuestro tiempo, incluyendo la perfección de los robots como máquinas humanoides dotadas con inteligencia y personalidades individuales. Esta imagen se reforzó en la película alemana de robots Metropolis, de 1926, con el robot andador eléctrico y su perro «Sparko», representada en 1939 en la Feria Mundial de Nueva York, y más recientemente por el robot C3PO, protagonista en la película de 1977, La Guerra de las Galaxias. Ciertamente los robots industriales modernos parecen primitivos cuando se comparan con las expectativas creadas por los medios de comunicación durante las pasadas décadas. Los primeros trabajos que condujeron a los robots industriales de hoy día se remontan al período que siguió inmediatamente a la Segunda Guerra Mundial. Durante los años finales de la década de los cuarenta, comenzaron programas de investigación en Oak Ridge y Argonne National Laboratories para desarrollar manipuladores mecánicos controlados de forma remota para manejar materiales radiactivos. Estos sistemas eran del tipo «maestro-esclavo», diseñados para reproducir fielmente los movimientos de mano y brazos realizados por un operario humano. El manipulador maestro era guiado por el usuario a través de una secuencia de movimientos, mientras que el manipulador esclavo duplicaba a la unidad maestra tan fidedignamente tal como le era posible. Posteriormente se añadió la realimentación de la fuerza acoplando mecánicamente el movimiento de las unidades maestro y esclavo de forma que el operador podía sentir las fuerzas que se desarrollaban entre el manipulador esclavo y su entorno. A mediados de los años cincuenta, el acoplo mecánico se sustituyó por sistemas eléctricos e hidráulicos en manipuladores tales como el Handyman de General Electric y el Minotaur I construido por General Milis. El trabajo sobre manipuladores maestro-esclavo fue seguido rápidamente por sistemas más sofisticados capaces de operaciones repetitivas autónomas. A me-

INTRODUCCION

5

diados de los años cincuenta, George C. Dcvol desarrolló un dispositivo que él llamó «dispositivo de transferencia programada articulada», un manipulador cuya operación podía ser programada (y, por tanto, cambiada) y que podía seguir una secuencia de pasos de movimientos determinados por las instrucciones en el programa. Posteriores desarrollos de este concepto por Devol y Joseph F. Engelberger condujo al primer robot industrial, introducido por Unimation Inc. en 1959.La clave de este dispositivo era el uso de una computadora en conjunción con un manipulador para producir una máquina que podía ser «enseñada» para realizar una variedad de tareas de forma automática. Al contrario que las máquinas de automatización de uso dedicado, estos robots se podían reprogramar y cambiar de herramienta a un coste relativamente bajo para efectuar otros trabajos cuando cambiaban los requisitos de fabricación. Aunque los robots programados ofrecían una herramienta de fabricación nueva y potente, se hizo patente en los años sesenta que la flexibilidad de estas máquinas se podían mejorar significativamente mediante el uso de una realimentación sensorial. Al comienzo de esa década, H. A. Ernst [1962] publicó el desarrollo de una mano mecánica controlada por computador con sensores táctiles. Este dispositivo, llamado el MH-1, podía «sentir» bloques y usar esta información para controlar la mano de manera que apilaba los bloques sin la ayuda de un operario. Este trabajo es uno de los primeros ejemplos de un robot capaz de conducta adaptativa en un entorno razonablemente no estructurado. El sistema manipulativo consistía en un manipulador ANL, modelo 8, con 6 grados de libertad, controlado por una computadora TX-0 mediante un dispositivo de interfase. Este programa de investigación posteriormente evolucionó como parte del proyecto MAC, y se le añadió una cámara de televisión para comenzar la investigación sobre la percepción en la máquina. Durante el mismo período, Tomovic y Boni [ 1962] desarrollaron una mano prototipo provista con un sensor de presión que detectaba el objeto y proporcionaba una señal de realimentación de entrada a un motor para iniciar uno de dos modelos de aprehensión. Una vez que la mano estaba en contacto con el objeto, se enviaba a una computadora información proporcional a su tamaño y peso mediante estos elementos sensibles a la presión. En 1963, la American Machine y Foundry Company (AMF) introdujo el robot comercial VERSATRAN. Comenzando en este mismo año, se desarrollaron diversos diseños de brazos para manipuladores, tales como el brazo Roehampton y el Edinburgh. A finales de los años sesenta, McCarthy [1968] y sus colegas en el Stanford Artificial Intelligence Laboratory publicaron el desarrollo de una computadora con manos, ojos y oídos (es decir, manipuladores, cámaras de TV y micrófonos). Demostraron un sistema que reconocía mensajes hablados, «veía» bloques distribuidos sobre una mesa, y los manipulaba de acuerdo con instrucciones. Durante este período, Pieper [1968] estudió el problema cinemático de un manipulador controlado por computadora, mientras que Kahn y Roth [1971] analizaban la dinámica y el control de un brazo restringido utilizando control bang-bang (casi de tiempo mínimo). Mientras tanto, otros países (en particular Japón) comenzaron a ver el potencial de los robots industriales. Ya en 1968, la compañía japonesa Kawasaki 1

6

RODOTICA:

CONTROL,

DETECCION,

VISJO:-,. E INTELIGENCIA

Heavy Industries negoció una licencia con Unimation para sus robots. Uno de los desarrollos más poco usuales en robots sucedió en 1969, cuando se desarrolló un camión experimental por la General Electric para la Armada Americana. En el mismo año se desarrolló el brazo Boston y al año siguiente el brazo Stanford, que estaba equipado con una cámara y controlado por computadora. Algunos de los trabajos más serios en robótica comenzaron cuando estos brazos se utilizaron como robots manipuladores. Un experimento en el brazo Stanford consistía en apilar automáticamente bloques de acuerdo con diversas estrategias. Esto era un trabajo muy sofisticado para un robot automatizado de esa época. En 1974, Cincinnati Milacron introdujo su primer robot industrial controlado por computadora. Lo llamó «The Tomorrow Tool» (la herramienta del mañana) o T3, que podía levantar más de 100 libras así como seguir a objetos móviles en una linea de montaje. Durante los años setenta se centró un gran esfuerzo de investigación sobre el uso de sensores externos para facilitar las operaciones manipulativas. En Stanford, Bolles y Paul [ 1973], utilizando realimentación tanto visual como de fuerza, demostraron que un brazo Stanford controlado por computadora, conectado a una PDP-10, efectuaba el montaje de bombas de agua de automóvil. Hacia la misma época, Will y Grossman [1975] en IBM desarrollaron un manipulador controlado por computadora con sensores de contacto y fuerza para realizar montajes mecánicos en una máquina de escribir de veinte piezas. Inoue [1974], en el Artificial Intelligence Laboratory del MIT, trabajó sobre los aspectos de inteligencia artificial de la realimentación de fuerzas. Se utilizó una técnica de búsqueda de aterrizajes. propia ~ la navegación aérea, para realizar el posicionado inicial de una tarea de montaje precisa. En el Draper Laboratory, Nevins y colaboradores [1974] investigaron técnicas sensoriales basadas en el control coordinado de fuerza y posición. Este trabajo desarrolló la instrumentación de un dispositivo remote center compliance (RCC) (centro remoto de control coordinado de fuerza y posición) que se unió a la placa de montaje de la última articulación del manipulador para cerrar el conjunto de coincidencias de piezas. Bejczy [ 1974], en el Jet Propulsion Laboratory, desarrolló una técnica de control de par basada en computadora sobre su brazo Stanford ampliado para proyectos de exploración espacial. Desde entonces han sido propuestos diversos métodos para manipuladores mecánicos. Hoy día vemos la robótica como un campo de trabajo mucho más amplio que el que teníamos simplemente hace unos pocos años, tratando con investigación y desarrollo en una serie de áreas interdisciplinarias, que incluyen cinemática, dinámica, planificación de sistemas, control, sensores, lenguajes de programación e inteligencia de máquina. Estos tópicos, introducidos brevemente en las secciones que siguen, constituyen el núcleo del material de este libro.

(i )

1.3 CINEMATICA Y DIN AMICA DEL BRAZO DEL ROBOT

,/

"'. • ,- La cinemática del brazo del robot trata con el estudio analítico de la geometría ' 1 ~ovimiento de un brazo de robot con respecto a un sistema de coor enaaas

lNTRODuCCIOS

7

de referencia fijo sin C.Q!!_siderar las fuerzas. o momentos que originan el movimiento. A.fil, la ~nemática se interesa por la descripción analítica del desplazamiento espacial del robot comouña función del tiempo, en particular de las relaciones en re la posición aelasvariables de articulación y la posicióny oñentac1óñaeJ-efecror ma -del razo ael rooor.. -Hay dos pro6 emas fundamentales en la cinemática del robot. El primer. problema se suele conocer c~mo el problema cinemático directo, mientras que el seg_uílao es e --rob!eiñacinemático inverso. Como las variables indepenciien es en ti"n robot son las variables"' e articulación, y una tarea se suele dar en términos del sistema de coordenadas de referencia, se utiliza de manera más frecuente el problema cinemático inverso. Denavit y Hartenberg [1955] propusieron un enfoque sistemático y generalizado de utilizar álgebra matricial para describir y representar la geometría espacial de los elementos del brazo del robot con respecto a un sistema de referencia fijo. Este método utiliza una matriz de transformación homogénea 4 x 4 para describir la relación espacial entre dos elementos mecánicos rígidos adyacentes y reduce el problema cinemático directo a encontrar una matriz de transformación homogénea 4 x 4 que relaciona el desplazamiento espacial del sistema de coordenadas de la mano al sistema de coordenadas de referencia. Estas matrices de transformación homogéneas son también útiles en derivar las ecuaciones dinámicas de movimiento del brazo del robot. En general, el problema cinemático inverso se puede resolver mediante algunas técnicas. Los métodos utilizados más comúnmente son el algebraico matricial, iterativo, o geométrico. En el capítulo 2 se da un tratamiento detallado { de los problemas cinemáticos directo e inverso. ' - La dinámica del robot, por otra 2arte, trata con la formulación matemática I l de las ecuaciones del movirmento del brazo. Las ecuaciones c!inámicas de movI=' miento de un manipula or son un conjunto de ecuaciones matemáticas que descrÍben la conducta dinámica del manipulador. Tales ecuaciones de movimienson ut1les para simulación en computadora ae'J movimiento del brazo, el diseño de ecuaciones de control apropiadas para el robot y la evaluación del diseño y estructura cinemática del robot. El modelo dinámico real de un brazo se puede obtener de leyes fisicas conocidas tales como las leyes de Newton y la mecánica Iagrangiana. Esto conduce al desarrollo de las ecuaciones dinámicas de movimiento para las distintas articulaciones del manipulador en términos de los parámetros geométricos e inerciales especificados para los distintos elementos. Se pueden aplicar sistemáticamente enfoques convencionales como las formulaciones de Lagrange-Euler y de Newton-Euler para desarrollar las ecuaciones de movimientos del robot. En el capitulo 3 se presenta una discusión detallada de la dinámica del brazo del robot. ~

to

,

1 -1.4

PLANIFICACION DE LA TRAYECTORIA (§> Y CONTROL DEL MOVIMIENTO DEL MANIPULADOR

Con el conocimiento de la cinemática y la dinámica de un manipulador con elementos series, sería interesante mover los actuadores de sus articulaciones para

8

ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA

cumplir una tarea deseada controlando al manipulador para que siga un camino previsto. Antes de mover el brazo, es de interés saber si hay algún obstáculo presente en la trayectoria que el robot tiene que atravesar (ligaduras de obstáculos) y si la mano del manipulador necesita viajar a Jo largo de una trayectoria especificada (ligaduras de trayectoria). El problema de control de un manipulador se puede dividir convenientemente en dos subproblemas coherentes: el subproblema de planificación de movimiento (o trayectoria) y el subproblema de control del movimiento. La curva espacial que la mano del manipulador sigue desde una localización inicial (posición y orientación) hasta una final se llama la trayectoria o camino. La planificación de la trayectoria (o planificador de trayectoria) interpola y/o aproxima la trayectoria deseada por una clase de funciones polinomiales y genera una secuencia de puntos de «consignas de control» en función del tiempo para el control del manipulador desde la posición inicial hasta el destino. El capítulo 4 discute los distintos sistemas de planificación de trayectoria para movimientos libres de obstáculo, así como el formalismo para describir el movimiento deseado del manipulador en términos de la secuencia de puntos en el espacio a través de los cuales debe pasar y la curva espacial que recorre. CCN~L En general, el problema de control de movimientos consiste en: 1) obtener los modelos dinámicos del manipulador, 2) utilizar estos modelos para determinar leyes o estrategias de control para conseguir la respuesta y el funcionamiento del sistema deseado. Como la primera parte del problema de control se discute extensivamente en el capítulo 3, el capítulo 5 se concentra sobre la segunda parte del problema de control. Desde el punto de vista de análisis de control, el movimiento del brazo de un robot se suele realizar en dos fases de control distintas. La primera es el control de movimiento de aproximación en el cual el brazo se mueve desde una posición/orientación inicial hasta la vecindad de la posición/orientación del destino deseado a lo largo de una trayectoria planificada. El segundo es el control del movimiento fino en el cual el efector final del brazo interacciona dinámicamente con el objeto utilizando información obtenida a través de la realimentación sensorial para completar la tarea. Los enfoques industriales actuales para controlar el brazo del robot tratan cada articulación del brazo como un servomecanismo de articulación simple. Este planteamiento modela la dinámica de un manipulador de forma inadecuada porque desprecia el movimiento y la configuración del mecanismo del brazo de forma global. Estos cambios en los parámetros del sistema controlado algunas veces son bastante significativos para hacer ineficaces las estrategias de control por realimentación convencionales. El resultado de ello es una velocidad de respuesta y un amortiguamiento del servo reducido, limitando así la precisión y velocidad del efector final y haciéndolo apropiado solamente para limitadas tareas de precisión. Los manipuladores controlados de esta forma se mueven a velocidades lentas con vibraciones innecesarias. Cualquier ganancia significativa en el rendimiento en esta y otras áreas del control del brazo del robot requieren la consideración de modelos dinámicos más eficientes, enfoques de control sofisticados y el uso de arquitecturas de computadoras dedicadas y técnicas de procesamiento en paralelo. El capítulo 5 está enfocado a deducir las leyes

INTRODUCCION

9

de control del movimiento de aproximación y las estrategias que utilizan los modelos dinámicos analizados en el capítulo 3 para controlar eficazmente un manipulador. @

i.s

SENSORES DEL ROBOT

La utilización de mecanismos sensores externos permite a un robot interaccionar con su entorno de una manera flexible, esto está en contraste con operaciones preprogramadas en las cuales a un robot se le «enseña» para efectuar tareas repetitivas mediante un conjunto de funciones programadas. Aunque esto último es con mucho la forma más predominante de operación de los robots industriales actuales, la utilización de tecnología sensorial para dotar a las máquinas con un mayor grado de inteligencia al tratar con su entorno es realmente un tema de investigación y desarrollo activo en el campo de la robótica. La función de los sensores del robot se pueden dividir en dos categorías principales: estado interno y estado externo. Los sensores del estado interno tratan con la detección de variables tales como la posición de la articulación del brazo, que se utiliza para controlar el robot. Por otra parte, los sensores de estado externo tratan con la detección de variables tales como alcance, proximidad y contacto. Los sensores externos, que se estudian en los capítulos 6 al 8, se utilizan para guiado de robots, así como para la identificación y manejo de objetos. El enfoque del capítulo 6 es sobre sensores de alcance, proximidad, contacto y de fuerza-par. En los capítulos 7 y 8 se a'nalizan en detalle los sensores y técnicas de visión. Aunque los sensores de proxirriidad, contacto y fuerza juegan un papel significativo en la mejora del funcionamiento del robot, se reconoce que la visión es la capacidad sensorial más potente del robot. La visión del robot se puede definir como el proceso de extraer, caracterizar e interpretar información de imágenes de un mundo tridimensional. Este proceso, también comúnmente conocido como visión de máquina o de computadora, se puede subdividir en seis áreas principales: 1) sensor, 2) preprocesamiento, 3) segmentación, 4) descripción, 5) reconocimiento, 6) interpretación. Es conveniente agrupar estas diversas áreas de visión de acuerdo con la sofisticación que lleva su desarrollo. Consideramos tres niveles de procesamiento: visión de bajo, medio y alto nivel. Aunque no existen fronteras nítidas entre estas subdivisiones, proporcionan un marco útil para categorizar los distintos procesos que son componentes inherentes de un sistema de visión por máquina. En nuestra discusión, trataremos los sensores y el preprocesamiento como funciones de visión de bajo nivel. Esto nos llevará desde el propio proceso de formación de imagen hasta compensaciones tales como reducción de ruido, y finalmente a la extracción de características primitivas de imágenes tales como discontinuidades en la intensidad. Asociaremos con la visión de medio nivel aquellos procesos que extraen, caracterizan y etiquetan componentes en una imagen resultante de la visión de bajo nivel. En términos de nuestras seis subdivisiones, trataremos la segmentación, descripción y reconocimiento de objetos individuales como funciones de visión de medio nivel. La visión de alto nivel se refiere a procesos que

10 ROllOTICA: CONTROL. DETECCION, VJSI01' E INTELIGE:,./CIA

intentan emular el conocimiento. El material del capítulo 7 trata de los sensores, preprocesamiento y con conceptos y técnicas necesitadas para realizar funciones de visión de bajo nivel. Los temas de visión de los niveles superiores se estudian en el capítulo 8.

1.6

LENGUAJES DE PROGRAMACION

DE ROBOTS

Un gran obstáculo en la utilización de los manipuladores como máquinas de uso general es la falta de comunicación eficaz y apropiada entre el usuario y el sistema robótico, de forma que éste pueda dirigir al manipulador para cumplir una tarea dada. Hay algunas formas de comunicarse con un robot, y los tres grandes enfoques para lograrlo son: el reconocimiento de palabra discreta, enseñar y reproducir y lenguajes de programación de alto nivel. El estado actual del reconocimiento de la voz es bastante primitivo y generalmente depende del orador. Pueden reconocer un conjunto de palabras discretas de un vocabulario limitado y normalmente requiere que el usuario pare entre palabras. Aunque es posible ahora reconocer palabras en tiempo real debido a componentes de computadora más rápidos y algoritmos de procesamientos eficientes, la utilidad del reconocimiento de palabras discretas para describir una tarea es limitada. Más aún, requiere una gran cantidad de memoria para almacenar el discurso, y normalmente se necesita un período de entrenamiento para incorporar patrones de voz con fines de reconocimiento. El método de enseñar y reproducir lleva consigo el instruir al robot al dirigirlo a través de los movimientos que va a realizar. Esto se suele efectuar en los pasos siguientes: 1) dirigir al robot en movimiento lento utilizando control manual a través de la tarea de montaje completa, siendo grabados los ángulos de las articulaciones del robot en posiciones apropiadas con el fin de reproducir el movimiento; 2) edición y reprodución del movimiento enseñado, y 3) si el movimiento enseñado es correcto, entonces el robot lo ejecuta a una velocidad apropiada de forma repetitiva. Este método se conoce también como guiado y es el enfoque más comúnmente utilizado en los robots industriales de hoy día. Un planteamiento más general para resolver los problemas de comunicación hombre-robot es la utilización de programación de alto nivel. Los robots se utilizan comúnmente en áreas tales como soldadura por arco, soldadura de punto y pintura al spray. Estas tareas no requieren interacción entre el robot y el entorno y se pueden programar fácilmente mediante guiado. Sin embargo, el uso de robots para efectuar tareas de montajes requiere generalmente técnicas de programación de alto nivel. Se necesita este esfuerzo porque el manipulador se controla normalmente por una computadora, y la manera más efectiva para que los humanos se comuniquen con las computadoras es a través de un lenguaje de programación de alto nivel. Más aún, al utilizar programas para describir tareas de montaje, permite a un robot efectuar trabajos diferentes simplemente ejecutando el programa apropiado. Esto aumenta la flexibilidad y versatibilidad del robot. El capítulo 9 presenta el uso de técnicas de programación de alto nivel para lograr una comunicación efectiva con un sistema robótico.

INTRODUCCION

t.7 INTELIGENCIA

11

DEL ROBOT

Un problema básico en robótica es la planificación de movimiento para resolver alguna tarea preespecificada, y luego controlar al robot cuando ejecuta las órdenes necesarias para conseguir esas acciones. Aquí planificación significa decidir un curso de acción antes de actuar. Esta parte de síntesis de acción del problema del robot se puede lograr mediante un sistema de resolución de problemas que logrará algún objetivo marcado, dada alguna situación inicial. Un plan es así una representacíón de un curso de acción para lograr un objetivo dado. La investigación sobre resolución de problemas con robots ha conducido a muchas ideas acerca de los sistemas para la resolución de problemas en inteligencia artificial. En una formulación típica de un problema de robot tenemos un robot que está equipado con sensores y un conjunto de acciones primitivas que puede realizar en algún mundo fácil de comprender. Las acciones del robot cambian un estado o configuración del mundo en otro. En el «mundo de bloques», por ejemplo, imaginamos un mundo de algunos bloques etiquetados colocados en una mesa o uno sobre otro y un robot consistente en una cámara de tele..-isióny un brazo y mano móvil que es capaz de tomar y mover bloques. En algunas situaciones, el robot es un vehículo móvil con una cámara de TV que efectúa tareas tales como empujar objetos de un sitio a otro en un entorno que contiene otros objetos. En el capítulo 10 introducimos algunos métodos básicos para la resolución de problemas y sus aplicaciones a la planificación de robots. La discusión hace énfasis en la resolución del problema o aspectos de planificación de un robot. Un planificador de robot intenta encontrar una trayectoria desde nuestro mundo del robot inicial hasta un mundo del robot final. El camino consiste en una secuencia de operaciones que se consideran primitivas para el sistema. Una solución a un problema podría ser la base de una secuencia correspondiente de acciones físicas en el mundo fisico. La planificación de robots, que proporciona la inteligencia y la capacidad de resolución de problemas a un sistema robótica, es todavía un área de investigación muy activa. Para aplicaciones de robots en tiempo real, necesitaremos algoritmos de planificación potentes y eficaces que se ejecutarán por sistemas de computadoras de uso especial a alta velocidad.

1.8

REFERENCIAS

las referencias generales citadas a continuación son representativas de publicaciones que tratan con temas de interés en robótica y en campos relacionados. Las referencias que se dan al final de los capítulos que siguen se clasifican según los ternas específicos que se estudian en el texto. La bibliografía al final del libro se Organiza en orden alfabético por autores, y contiene toda la información pertinente para cada referencia citada en el texto. Algunas de las mejores revistas y actas de conferencia que de forma rutinaria contienen artículos sobre los diversos aspectos de la robótica incluyen: IEEE Journal o( Robotics and Automation: International Journal of Robotics Research;

12 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA

Journal of Robotic Systems; Robotica: IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics; Artificial Intelligence: IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence; Compute, Graphics, Vísion, and Jmage Processing; Proceedings of the International Symposium on Industrial Robots; Proceedings of the International Joint Conference on Artificial Intel/igence; Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation; IEEE Transactions on Automatic Control; Mechanism and Machine Theory; Proceedings of the Society of Photo-Optical and Jnstrumentation Engineers; ASME Journal of Mechanical Design; ASME Journal of Applied Mechanics: ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control: and ASME Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design. Lecturas complementarias al material de este libro se puede encontrar en los libros de Dodd y Rossol [1979], Engelberger [1980], Paul [1981], Dorf [1983], Snyder [1985], Lee, González y Fu [1986], Tou [1985] y Craig [1986].

DOS /

CINEMATICA DEL BRAZO DEL ROBOT

¡Y mire cómo se agita, se pone en marcha, se desplaza y parece sentir una emoción vital! Henry Wadsworth Longfellow

2.1

INTRODUCCION

Un manipulador mecánico se puede modelar como una cadena articulada en lazo abierto con algunos cuerpos rígidos (elementos) conectados en series por una articulación de revolución o prismática movida por actuadores. Un final de la cadena se une a una base soporte mientras que el otro extremo está libre y unido con una herramienta (el efector final) para manipular objetos o realizar tareas de montaje. El movimiento relativo en las articulaciones resulta en el movimiento de los elementos que posicionan la mano en una orientación deseada. En la mayoría de fas aplicaciones de robótica, se está interesado en la descripción espacial del efector final del manipulador con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fija. La cinemática del brazo del robot trata con el estudio analítico de la geometría del movimiento de un robot con respecto a un sistema de coordenadas de referencia fijo como una función del tiempo sin considerar las fuerzas/momentos que originan dicho movimiento. Así pues. trata con la descripción analítica del desplazamiento espacial del robot como función del tiempo, en particular las relaciones entre las variables espaciales de tipo articulación y la posición y orientación del efector final del robot. Este capitulo se plantea dos cuestiones fundamentales, ambas de interés teórico y práctico en la cinemática del robot: 1.

2.

Para un manipulador determinado, dado el vector de ángulos de las articulaciones q(t) = (q1(t), qi(t), ... , q.(t)f y los parámetros geométricos del elemento, donde n es el número de grados de libertad, ¿cuál es la orientación y la posición del efector final del manipulador con respecto a un sistema de coordenadas de referencia? Dada una posición y orientación deseada del efector final del manipulador y los parámetros geométricos de los elementos con respecto a un

C A P I T U L O

sistema de coordenadas de referencia, ¿puede el manipulador alcanzar la posición y orientación de la mano que se desea? Y si puede, ¿cuántas configuraciones diferentes del manipulador satisfacerán la misma condición?


La primera pregunta se suele conocer como el problema cinemático directo, mientras la segunda es el problema cinemático inverso ( o solución del brazo). Como las variables independientes en un brazo de robot son las variables de articulación y una tarea se suele dar en términos de las coordenadas de referencia, el problema cinemático inverso se utiliza de forma más frecuente. En la figura 2.l se muestra un simple diagrama de bloques que indica las relaciones entre estos dos problemas. Como los elementos de un brazo pueden girar y/o trasladarse con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, el desplazamiento espacial total del efector final se debe a las rotaciones angulares y traslaciones angulares de los elementos. Denavit y Hartenberg [ 1955] propusieron un método sistemático y generalizado de utilizar álgebra matricial para describir y representar la geometría espacial de los elementos de un brazo con respecto a un sistema de referencia fijo. Este método utiliza una matriz de transformación homogénea 4 x 4 para describir la relación espacial entre dos elementos mecánicos rígidos adyacentes y reduce el problema cinemático directo a encontrar una matriz de transformación homogénea 4 x 4 equivalente que relaciona el desplazamiento espacial del «sistema de coordenadas» de la mano al sistema de coordenadas de referencia. Estas matrices de transformación homogéneas son también útiles para derivar las ecuaciones de movimiento dinámico de un brazo. En general, el problema cinemático inverso se puede resolver por algunas técnicas. Los métodos utilizados más comúnmente son la matriz algebraica, métodos iterativos o geométricos. Se presentará un enfoque geométrico basado en el sistema de coordenadas de los elementos y la configuración del manipulador para ol:itener una solución de las articulaciones en forma cerrada para manipuladores simples con articulaciones giratorias. A continuación se estudiará un planteamiento más general utilizando matrices homogéneas 4 x 4 para obtener una solución de la articulación para manipuladores simples. Parámetros de los elementos

Angules de

Cinemática directa

las articulaciones -----.,. q,(1) ..... q,(1)

---,...

Posición y orientación del efector final

Parámetros de los elementos

¡ ¡ ¡

Angulos de las articulaciones q,(I) .....

q,(1)

Figura 2.1

-

Cinemática inversa

~-----...J

Los problemas cinemáticos directo e inverso.

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

15

z p

X

Figura 2.2 Sistemas de coordenadas de referencia y ligado al cuerpo.

2.2

EL PROBLEMA CINEMA TICO DIRECTO

otz-"1=

Se utiliza álgebra" vectorial y matricial para desarrollar un método generalizado y sistemático para describir y representar la localización de los elementos de un brazo con respecto a un sistema de referencia fijo. Como los elementos de un brazo pueden girar y /o trasladarse con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, se establecerá un sistema de coordenadas ligado al cuerpo a lo largo del eje de la articulación para cada elemento. El problema cinemático directo se .reduce a_encontrar una matriz de transformáción que relaciona el sistema de coordenadas ligado al cuerpo al sistema de coordenadas ae referencia. Se utiliza" üi1a matriz de rotación 3 x 3 para describir las operaciones rotacionales del sistema ligado al cuerpo con respecto al sistema de referencia. Se utilizan entonces las coordenadas homogéneas para representar vectores de posición en un espacio tridimensional, y las matrices de rotación se ampliarán a matrices de transformación homogénea 4 x 4 para incluir las operaciones traslacionales del sistema de coordenadas ligado al cuerpo. Esta representación matricial de un elemento mecánico rígido para describir la geometria espacial de un brazo fue utilizada por primera vez por Denavit y Hartenberg [1955]. La ventaja de utilizar la representación de elementos de Denavit-Hartenberg es su universalidad algorítmica para derivar las ecuaciones cinemáticas de un brazo.

2.2.1

Matrices de rotación (j)

P.i~

Una matriz de rotación 3 x 3 se puede definir como una matriz de transformación que opera sobre un vector de posición en un espacio euclídeo tridimensional y transforma sus coordenadas expresadas en un sistema de coordenadas rotado OUVW (sistema ligado al cuerpo) a un sistema de coordenadas de referencia OXYZ. En la figura 2.2 se dan dos sistemas de coordenadas rectangulares, uno el

• Los vectores se representan en letras minúsculas en negrita; las matrices en letras mayúsculas en negrita.

16

ROBOTICA: INTELIGENCIA

CONTROL,

DETECCION,

YISIO"'

E

sistema de coordenada OXYZ, con OX, OY y OZ como sus ejes de coordenadas, y el sistema de coordenadas OUVW, con OU, OV, OW como sus ejes de coordenadas. Ambos sistemas de coordenadas tienen sus orígenes coincidentes en el punto O. El sistema de coordenadas OXYZ está fijo en el espado tridimensional y se considera que es el sistema de referencia. El sistema de coordenadas OUVW está girando con respecto al sistema de referencia OXYZ. Físicamente, uno puede considerar que el sistema de coordenadas OUVW es un sistema de coordenadas ligado al cuerpo. Esto es, está permanente y convenientemente unido al cuerpo rígido (por ejemplo, un avión o un elemento del brazo del robot) y se mueve junto con él. Sean (i_., í, k:) y (iu, jv, kw) los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas de los sistemas OXYZ y OUVW, respectivamente. Un punto p en el espacio se puede representar por sus coordenadas con respecto a ambos sistemas de coordenadas. Para facilitar el análisis, supondremos que p está en reposo y fijo con respecto al sistema de coordenadas OUVW. Entonces el punto p se puede representar por sus coordenadas con respecto al sistema de coordenadas OUVW y OXYZ, respectivamente, como Puvw

=

(p.,, p.; p.,.f

y

(2.2-1)

Px,z

donde Px,: y Pwvw representan el mismo punto p en el espacio con respecto a diferentes sistemas de coordenadas y el superíndice Ten los vectores y matrices denota la operación traspuesta. Nos gustaría encontrar una matriz R de transformación 3 x 3 que transformara las coordenadas de Pwvw a las coordenadas expresadas con respecto al sistema de coordenadas OXYZ, después de que el sistema de coordenadas OUVW ha sido girado. Esto es, (2.2-2)

Obsérvese que fisicamente el punto Pwvw ha sido girado junto con el sistema de coordenadas OUVW. Recordando la definición de las componentes de un vector tenemos (2.2-3)

donde Px, p, y p, representan las componentes de palo largo de los ejes OX, O Y y OZ, respectivamente, o las proyecciones de p sobre los ejes respectivos. Así, utilizando la definición del producto escalar y la ecuación (2.2-3), Px Py

= i, ' P = j.x · iwPu + i_,: · jvp •. + = l, · P = t. · iuPw + j, · jvPv +

i_,: ' kwPw j, ' kwPw

P,

=

k, ' P = k, ' iwPw

+ k, ' jvPv + k, ' kwPw

(2.2-4)

CINEMATICA

O

expresado en forma matricial,

[ J'.y" : ] [ ~•.

i, . jy .

k, · i"

k, ·

p,

-

p,

J, J,

'. " . k, .

) y ·

l í,

DEL BRAZO

DEL ROBOT

l [p "

17

(2.2-5)

P v

kz' k ,

p,.

l

Utilizando esta notación, la matriz R en la ecuación (2.2-2) está dada por

R =

[ i,

i,

)y . l."

k, ·

I"

i, .

J,

t.·

jv k, 'jv

i,

k, k, k, · k , )y.

(2.2-6)

Análogamente, se pueden obtener las coordenadas de Puv ..· con las coordenadas de p..,::

n ¡ ....

Puvw

o

p., p,.

=

j,.. ¡~ k,.. · 1.,,

=

Qpxyz

í, • jyJ, i•. k,. . jy '

l [;:]

Jv · k,k, i•. k., · k,

(2.2-7)

(2.2-8)

Como los productos escalares son conmutativos, se puede ver de las ecuaciones (2.2-6) a (2.2-8) que (2.2-9)

'Y

QR

(2.2-1 O)

donde 13 es la matriz identidad 3 x 3. La transformación en la ecuación (2.2-2) o (2.2-7) se llama una transformación ortogonal, y como los vectores en los productos escalares son todos vectores unitarios, se llama también una transformación ortonormal. El interés primario en desarrollar la matriz de transformación anterior es encontrar las matrices de rotación que representan rotaciones del sistema de coordenadas OUVW respecto a cada uno de los tres ejes principales del sistema de coordenadas de referencia OXYZ. Si el sistema de coordenadas OUVW se gira un ángulo a respecto al eje OX para llegar a una nueva posición en el espacio, entonces el punto Puvw, que tiene coordenadas (p., p.,, p,.)7 con respecto al sistema

OUVW, tendrá coordenadas diferentes (p.,,, P}~ Pzf con respecto al sistema de referencia OXYZ. La matriz de transformación necesaria R,,.« se llama la matriz de rotación respecto al OX con ángulo a. R,,. « se puede derivar del concepto de rnatriz de transformación anterior, esto es, Pxyz

=

R.,,.« Puvw

(2.2-11)

18 Rül!OTICA: CONTROL, DETffCION. VISION E INTELIGENCIA

con i, - i., y i, . j.

-s~n cos

J.: L k, . j,,

Análogamente, las matrices de Y con ángulo
o [

e,.]

(2.2-12)

C1.

rotación 3 x 3 para rotaciones respecto al eje O al eje OZ con ángulo fJ son, respectivamente sen O cos

cos R=.

e

-sen cos O

= [ se~()

6

ee

ºJ

O (2.2-13) 1

Las matrices Rx. ,, R, . .,. y R:. 6 se llaman las matrices de rotación básicas. Se pueden obtener otras matrices de rotación finitas a partir de estas matrices. ~

'

Ejemplo: Dado dos puntos a., .... = (4, 3, 2)7 y b.v,.. = (6, 2, 4)7 con respecto al sistema de coordenadas girado OUVW, determinar los puntos correspondientes a_.y,, bxy: con respecto al sistema de coordenadas de referencia si ha sido rotado 60º respecto del eje OZ. SOLUCIÓN:

axy:

=

ªxyz

=

R:.

0,500 [ 0,~66 4(0,5)

60'

a.,...

Y

º] [ l bxy:

- 0,866 0,~00 ~

=

~

4

i

I

R,.

=

+ 3( - 0,866) + 2(0)]

= [ 4(0,866) + 3(0,5) + 2(0) 4(0) + 3(0) + 2( 1) bxy: =

0,500 [

0,~66

60º ~vw

º]

-0.866 0,500 O O 1

[6] 2 4

0,598

= =

¡- l 4,964 2.0

[ 1,268] 6,196 4,0

Así, ax,, y bxy, son iguales a (-0,598, 4,964, 2,0)7 y (1,268, 6,196, 4,0)7, respectivamente, cuando se expresan en términos del sistema de coordenadas de referencia. O Ejemplo: Si a_.y, = (4, 3, 2)7 y bx,: = (6, 2, 4)7 son las coordenadas con respecto al sistema de coordenadas de referencia, determinar los puntos correspondientes a.,. .,, b.,.,.. con respecto al sistema de coordenadas rotado OUVW si ha sido girado 60º respecto del eje OZ.


z

z

X

z

u o X

z

1 1 1 1

lw

------y

V

X

= -90º

z

X

V

8

=

90°

X

Figura 2.3 Sistemas de coordenadas en rotación.

19


0,500 0,866 º1] [4] awvw

= [ - 0,866 0,500 0

o

2,0

0,500 0,866

h.,.... =

[

- o,~66 o,~oo

;J ln

2.2.2 Matriz de rotación compuesta

+

3(0,866)

+

2(0)

l

4( - 0,866) + 3(0,5) + 2(0) 4(0) + 3(0) + 2(1)

=

3 2

o

= [- ~:~:]

[ 4(0,5)

=

[-!:I~Jj

=

o

(Pi~

Las matrices de rotación básicas se pueden multiplicar entre sí para representar una secuencia de rotación finita respecto del eje principal del sistema de coordenadas OXYZ. Como las multiplicaciones de matrices no conmutan, es importante el orden o secuencia de realización de las rotaciones. Por ejemplo, para desarrollar una matriz de rotación que represente una rotación de ángulo ix respecto del eje OX seguida por una rotación del ángulo 8 respecto del eje OZ seguida por una rotación del ángulo e respecto del eje OY, la matriz de rotación resultante que representa estas rotaciones es R

=

=

Ry.~R,.eR.x,o

[ CO -~
=

[ coca

SB -S
O SO][CO I O

O

so

C
O

Sé S« - C
=

+ cos«

-SO CB

º] [1 O I

O

soca]

-~l

O

c«

O O

=

c«

Six

cosos, + - cesa

(2.2-14)

CdrCo: - S
=

se

=

=

=

donde C
=

R

=

R,.R,,R,,

o = [~ c« s«

=

[

coco

CaSBC
-SO

-~·[C O]

-SO C8

s o o

Ca

O

COSO

O:x.CB

CctSBS
SixCB

SixSOS
+

SixC
cecs

º] tq s:] o

O

O

l

1

-S
o

l

=

C
,, (2.2-15)

CINEMATICA

Además de girar respecto

de los ejes principales

DEL BRAZO

21

DEL ROBOT

del sistema de referencia

OXYZ, el sistema de coordenadas giratorio OUVWpuede también rotar respecto de su propio eje principal. En este caso, la matriz de rotación compuesta se puede obtener de las siguientes reglas simples: 1. 2.

3.

. _ Jr

resultante

o

Inicialmente ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, de aquí que la matriz de rotación es una matriz identidad 13 de 3 x 3. Si el sistema de coordenadas giratorio OUVW está girando respecto de uno de los ejes principales del sistema OXYZ, entonces premultiplicar la matriz de rotación previa (resultante) por una matriz de rotación básica apropiada. Si el sistema de coordenadas rotante OUVW está girando respecto de su propio eje principal, entonces postmultiplicar la matriz de rotación previa (resultante) por una matriz de rotación básica apropiada.

Ejemplo:

\;

_ ;..·

Encontrar la matriz de rotación resultante que representa un giro de ángulo respecto del eje O Y seguido por una rotación de ángulo e r~specto del eje O W seguido por una rotación de ángulo ex respecto del

~

~

eje

OU.

SOLUCIÓN:

t

;"

R = R, .

~

o

'\

-[ c1 -S

=

[ csce se -SC()

.¡,

13 R,..

9

o s1][ce -se o se C() o C O o 1

So S« - CSeC:1. COC::r. SSOC::r.

+

CSx

a

= R, .

m~

Ru.

.¡,

o

9

R,.. Ru.

-ºs, ]-

a

=

Ccx

s«

c«

csses« + s1c,] -ces« CC':1. - SSOS::r.

Obsérvese que este ejemplo se escoge de forma que la matriz resultante es la misma de la ecuación (2.2-14), pero la secuencia de rotación es diferente de la que generó dicha ecuación. O

2.2.3 Matriz de rotación respecto de un eje arbitrario

O~~

Algunas veces el sistema de coordenadas rotante OUVW puede girar un ángulo respecto de un eje arbitrario r que es un vector unitario que tiene de componentes r~ rY y r, y que pasa a través del origen O. La ventaja es que para ciertos movimientos angulares el sistema OUVW puede realizar una rotación alrededor del eje r en lugar de algunas rotaciones respecto de los ejes principales de los sistemas de coordenadas OUVWy/o OXYZ..fªra derivar esta matriz de roJació.n. ~o~_em?_~J!:imero realizar algunas rotaciones respecto de los ejes principales ~istema OXYZ para alinear el eje rcon el eie OZ. Luego hacemos la rotación é

22

ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA Y. V

/

--------------------~ /1

/

/

,,

" '---/

l. R,.a 2. R,.-P 3. R,.• 4. R,.~ 5. K... -a

/

/

1 1

1 1 1 1 11 1 1

/

<,

---..

/

/

/'

/

/

1

/

,

jI

-,

----------~--1

s -

I

/

/

1 1 1 1 1 1 1

"

,.

1

1

/

/

/

/

/

'

-2

-~-~-~-------4-

2. W

Figura 2.4 Rotación respecto de un eje arbitrario.

respecto de r con ángulo y giramos el eje principal del sistema OXYZ para volver el eje r otra vez a su posición original. Con referencia a la figura 2.4, el alineamiento del eje 02 con el eje r se puede hacer girando respecto del eje OX con ángulo IX (el eje r está en el plano XZ), seguido por una rotación de ángulo - f3 respecto del eje O Y (el eje r ahora se alinea con el eje 02). Después de la rotación del ángulo respecto del eje OZ o eje r, invertir las secuencias de rotaciones anteriores con sus respectivos ángulos opuestos. La matriz de rotación resultante es

R,.<1>

Rx,

-:« Ry.p

R,.<1> Ry. _11 R.... = cp

o] [ O

o

[i

C1X

SIX

+S«

X

-S{J

CIX

[cpO o1 -:P] [~ S{J

O

o

O

C{J

O

¡e~.

C{J

O

sp]

o

o C1X S1X

-S

S

-~·]

C

o

CIX

De la figura 2.4 encontramos fácilmente que

sen

IX

Jr;

r,

+ ,2 %

COS

IX

Jr;

r.

+ ,2 %

,2

;]

sen

f3 ==

cos

f3

Jr;

+

z

CINEMA TICA DEL BRAZO

DEL ROBOT

23

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores,

rxryV - r,S rxr,V + ,;V + C rySl ryr,V ryr,V + rxS rxS r;V + C donde

·v

V = vers =

(2.2-16)

- cos . Esta es una matriz de rotación muy útil.

Ejemplo: Encontrar la matriz de rotación R,. ~ que representa la rotación de ángulo respecto del vector r = ( l, l, l )r. SOLUCIÓN: Como el vector r no es un vector unitario, necesitamos normalizarlo y encontrar sus componentes a lo largo del eje principal del sistema OXYZ. Por tanto, r, 1

'" =

J r;

+ r; + r; =

J3'

r

l

=-, y

=

J3 l

J3

Sustituyendo en la ecuación (2.2-16), obtenemos la matriz R,, ~: 1

i¡3V + C l -S

/3V4> -

=

I¡

/) V +~:

1

S

i¡3V + C

v3

1/3

V -

/3

J3

'

R,.~

1

j3 S

1

/3

V +

J3l S

V + 3V-

1/

J31 S fiS

i¡3V4> + C ~

2.2.4

o

Matriz de rotación con representación de ángulos de Euler

La representación matricial para la representación de un cuerpo rígido simplifica muchas operaciones, pero necesita nueve elementos para describir completamente la rotación de un cuerpo rígido rotante. No conduce directamente a un conjunto completo de coordenadas generalizadas. Tal conjunto de coordenadas generalizadas pueden describir la orientación de un cuerpo rígido rotante con respecto a un sistema de coordenadas de referencia. Pueden ser proporcionadas por los llamados tres ángulos de Euler , () y 1/1. Aunque los ángulos de Euler describen la orientación de un cuerpo rígido con respecto a un sistema de referencia fijo, hay muchos tipos diferentes de representaciones de ángulos de Euler. Las tres representaciones más ampliamente utilizadas de los ángulos de Euler se tabulan en la tabla 2.1. la primera representación de ángulos de Euler en la tabla 2.1 se suele asociar

con el movimiento giroscópico. Esta representación se suele llamar los ángulos

24


Tabla 2.1

Tres tipos de representaciones de ángulos de Euler

Secuencia de rotaciones

Sistema I ángulos eulerianos

Sistema II ángulos de Euler

Sistema III elevación, desviación y giro

efJ respecto del eje OZ

efJ respecto del eje OZ

(} respecto del eje O U iJ¡ respecto del eje O W

(} respecto del eje O V iJ¡ respecto del eje O W

iJ¡ respecto del eje OX (} respecto del eje O Y efJ respecto del eje OZ

eulerianos, y corresponde a las siguientes secuencias de rotaciones (véase figura 2.5): l. 2. 3.

Una rotación de ángulo respecto del eje OZ (R,, ~). Una rotación de ángulo 8 respecto del eje OU rotado (R¿ 9). Finalmente, una rotación de ángulo 1/¡ respecto del eje rotado O W (R,., ,¡,),

La matriz de rotación euleriana resultante es R~.e."'

=

R,.~ Ru, 9 R,.,"' = C O

=

r

O

1

O

CCi/¡ - SCOSI/¡ SCi/¡ + CCOSI/¡

iase

-~o] [~! ~:"' ~] ce

z. w

X.U

u·

o

j

- CSi/1 - SCOCI/¡ 1 - SSi/¡

SOS!/¡

w·

O

CCOCI/¡ S8Ci/¡

o

=

1

SSO -CSO

ce

J

(2.2-17)

Figura 2.5 Sistemas de ángulos eulerianos l.


25

La matriz de rotación de ángulos eulerianos anterior R.¡,, 8,"' se puede también especificar en términos de las rotaciones respecto de los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia: una rotación del ángulo ,/¡ respecto del eje OZ seguida por una rotación de ángulo 8 respecto del eje OX y finalmente una rotación del ángulo
, () y ,/¡ corresponde a la siguiente secuencia de rotaciones: l. 2. l

Una rotación del ángulo
La matriz de rotación resultante es R.;. 8,"' = R, . .; Ru, 8 R.,.,"' =

o

sol [e"' O

=

C
SI/¡

o C8 O - C
º] =

-SI/¡ C,J¡

O

O

I

C
(2.2- 18)

La matriz de rotación de ángulos de Euler anterior R.;. 8,"' se puede también especificar en términos de las rotaciones respecto de los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia: una rotación de ángulo
w·

V'

X, U

u· Figura 2.6 Sistema de ángulos eulerianos 11.

26 ROBOTICA: CONTROL, DETECCIO:s.;, VISION E INTEUGE1'CIA

Otro conjunto de representación de ángulos de Euler para la rotación se llama giro, elevación y desviación (roll, pitch, yaw) (RPY). Esta se utiliza principalmente en ingeniería aeronáutica en el análisis de vehículos espaciales. Corresponde a las siguientes rotaciones en secuencia: l. Una rotación de 1/¡ respecto del eje OX (Rx.,¡,)-desviación. 2. Una rotación de () respecto del eje O Y (Ry, 8)-elevación. 3. Una rotación de respecto del eje OZ (R,. 4i)-giro. La matriz de rotación resultante es

[e~s: º] [ ¡c~ce

R4i,e,.¡, = R,,4> Ry,e Rx.,i, = =

=

C -S~ O

O 1

O CO -58

1

o

o

:][~

C8

O

Ci/¡ o Si/¡

s~s•i

SCi/¡ cssoc« + CS8Si/¡ SC8 SS8Si/¡ + CCi/¡ S
~~-]-

(2.2-19)

La matriz de rotación anterior R4i, 9 • .¡, para el giro, elevación y desviación se puede especificar en términos de la rotación respecto de los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia y del sistema de coordenadas giratorio: una rotación de ángulo
¡i:2.5

Interpretación geométrica de las matrices de rotación

Es conveniente interpretar las matrices de rotación básica de forma geométrica. Escojamos un punto p fijo en el sistema de coordenadas OUVW que sea (1, O, O)", esto es, p.,.,.. = i•. Entonces la primera columna de la matriz de rotación represenz

.: /

Giro 4>

>------Desviación

y Elevación

X

Figura 2.7 Giro, elevación y desviación.

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

27

las coordenadas de este punto con respecto al sistema de coordenadas OXYZ. : álogarnente, escogiendo p como (0, 1, Of y (O, O, If, se puede identificar que elementos de la segunda y tercera columna de una matriz de rotación repre1; sentan )os ejes OV y OW, respectivamente, del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de coordenadas OXYZ. Así, dado un sistema de referencia oxrz y una matriz de rotación, los vectores columna de la matriz de rotación representan los ejes principales del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de referencia y se puede deducir la localización de todos los ejes principales del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de referencia. En otras palabras, una matriz de rotación geométricamente representa los ejes principales del sistema de coordenadas rotado con respecto al sistema de coordenadas de referencia. Como la inversa de una matriz de rotación es equivalente a su traspuesta, los vectores fila de la matriz de rotación representan los ejes principales del sistema de referencia OXYZ con respecto al sistema de coordenadas rotado OUVW. Esta interpretación geométrica de las matrices de rotación es un concepto importante que proporciona indicaciones en muchos problemas cinemáticos del brazo del robot. Se dan a continuación algunas propiedades útiles de las matrices de rotación:

t. Cada

vector columna de la matriz de rotación es una representación del vector unitario del eje rotado expresado en términos de los vectores unitarios de los ejes del sistema de referencia, y cada vector fila es una rep.resentación del vector unitario de los ejes de referencia expresado en función de los vectores unitarios de los ejes rotados del sistema OUVW. 2. Como cada fila y columna es una representación de un vector unitario, la magnitud de cada una de ellas debería ser igual a l. Esta es una propiedad directa de un sistema de coordenadas ortonormal. Más aún. el determinante de una matriz de rotación es + 1 para un sistema de coordenadas dextrógiro y - 1 para un sistema de coordenadas levógiro. 3. Como cada fila es una representación vectorial de vectores ortonormales, el producto interno (producto escalar) de cada fila por cualquier otra fila es igual a cero. Análogamente. el producto interno de cada columna por cualquier otra columna también es igual a cero. 4. La inversa de una matriz de rotación es la traspuesta de la matriz de rotación y donde

13 es una matriz identidad de 3 x 3.

Las propiedades 3 y 4 son especialmente útiles para comprobar los resultados de multiplicc:lciones de matrices de rotación y para determinar un vector columna erróneo.

Ejemplo: Si los ejes de coordenadas OU, OV y OW se fueran a girar un ángulo

ex respecto del eje OX, ¿cuál sería la representación de los ejes de

28 'lt,OBOTICA: CONTROL, DETECCION, VTSION E INTELIGENCIA

coordenadas del sistema de referencia en términos del sistema de coordenadas rotado OUVW? Los nuevos vectores unitarios de los ejes de coordenadas se hacen i,. = (1, O, 0)7, i. = (O, 1, 0)7 y k, = (O, O, 1)7 puesto que se expresan en términos de ellos mismos. Los vectores unitarios originales son entonces SOLUCIÓN:

í, = li. + Oj. + Ok; = (1, O, 0)7 j1 k,

= Oi, + cos exj. = Oi. + sen exj. +

sen exk,..

=

(O, cos ex, -sen ex)7

cos exkw

=

(O, sen ex, cos ex)7

Aplicando la propiedad 1 y considerando éstos seno como:x filas de la matriz de o :x rotación, la matriz R¿ ª se puede reconstruir como cos - sen ex

l

cos ex

que es la misma que la traspuesta de la ecuación (2.2-12).

o

~~·

2.2.6 Coordenadashomogéneas y matrizde transformación

1

Come, una matriz de rotación 3 x 3 no nos da ninguna posibilidad para la traslación y el escalado, se introduce una cuarta coordenada o componente al vector de posición p = (px, pf p,)7 en un espacio tridimensional que lo transforma en p = (wp"' wp,. wpv w) . Decimos que el vector de posición p se expresa en coordenadas homogéneas. En esta sección utilizamos un «circunflejo» (es decir, p) para indicar la representación de un vector cartesiano en coordenadas homogéneas. Posteriormente, si no existe confusión, se eliminarán estos «circunflejos». El concepto de una representación en coordenadas homogéneas en un espacio euclídeo tridimensional es útil para desarrollar transformaciones matriciales que incluyan rotación, traslación, escalado y transformación de perspectiva. En general, la representación de un vector de posición de N componentes por un vector de (N + 1) componentes se llama representación en coordenadas homogéneas. En una representación en coordenadas homogéneas, la representación de un vector N-dimensional se efectúa en el espacio (N + !)-dimensionar y el vector fisico N-dimensional se obtiene dividiendo las coordenadas homogéneas por la coordenada N + 1 que es w. Así, en un espacio tridimensional, un vector de posición p = (p"' p1, P:f se representa por un vector ampliado (wp"' wp,,. wp" wf en la representación de coordenadas homogéneas. Las coordenadas fisicas se relacionan a las coordenadas homogéneas como sigue: Px

P:

=

w»,

"'

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

29

No existe una representación en coordenadas homogéneas única para una representación en un espacio tridimensional. Por ejemplo, p1 = (w1p,.., w1p,. w1p., w1)7 y p2 = (w2p,.., w2p,, w2pz, w2)7 son todas coordenadas homogéneas representando el mismo vector de posición p = (p..., p.,, p,)7. Así se puede ver a la cuarta componente de las coordenadas homogéneas w como un factor de escaJa. Si esta coordenada es la unidad (w = 1), entonces las coordenadas homogéneas transformadas de un vector de posición son las mismas que las coordenadas fisicas del vector. J!n aplicacion~..du:obótica, este factor de escala será siempre igual a 1, aunque se utiliza normalmente en informática gráfica como un factor de escala universal que toma cualquier valor positivo. La matriz de transformación homogénea es una matriz 4 x 4 que transforma · un vector de posición expresado en coordenadas homogéneas desde un sistema de coordenadas hasta otro sistema de coordenadas. Una matriz de transformación homogénea se puede considerar que consiste en cuatro submatrices: matriz de vector de rotación posición (2.2-20) transformación de perspectiva

escalado

La submatriz 3 x 3 superior izquierda representa la matriz de rotación; la submatriz superior derecha 3 x I representa el vector de posición del origen del sist¡ema de coordenada rotado con respecto al sistema de referencia; la submatriz inferior izquierda 1 x 3 representa la transformación de perspectiva; y el cuarto elemento diagonal es el factor de escala global. La matriz de transformación homogénea se puede utilizar para explicar la relación geométrica entre el sistema ligado al cuerpo OUVW y el sistema de coordenadas de referencia OXYZ. Si un vector de posición p en un espacio tridimensional se expresa en coordenadas homogéneas [es decir, p = (p,.., p,. Pz, 1 )7], entonces, utilizando el concepto de matriz de transformación, una matriz de rotación 3 x 3 se puede ampliar a · una matriz de rotación homogénea 4 x 4 Trot para operaciones de rotación pura. Así, las ecuaciones (2.2-12) y (2.2-13), expresadas como matrices de rotación homogénea, se hacen

T

x, ~

[I O =

O cos O sen

o T

_

•. , -

o

sen

o o

[oos 6

é

o C( C(

-sen cos

o

-sen (} cos e

o o

C( C(

o o 1

o

~] ~]

T,.•

~[ c;s~ o

sen 4>

o o

cos 4>

-sen iJ>

o

o o

~] (2.2-21)

30


Estas matrices de rotación 4 x 4 se llaman las matrices de rotación homogéneas básicas. La submatriz superior derecha 3 x l de la matriz de transformación homogénea tiene el efecto de trasladar el sistema de coordenadas OUVW que tiene ejes paralelos al sistema de coordenadas de referencia OXYZ, pero cuyo origen está en (dx, dy, dz) del sistema de coordenadas de referencia:

Tt,ans

=

l

o

l

O

l

O O

o

O

l

dy

l

dz

o o o

l

(2.2-22)

Esta matriz de transformación 4 x 4 se llama matriz de traslación homogénea básica. La submatriz inferior izquierda l x 3 de la matriz de transformación homogénea representa la transformación de perspectiva, que es útil para visión por computadora y la calibración de modelos de cámara tal como se presenta en el capítulo 7. Por ahora, los elementos de esta matriz se fijan a cero para indicar la transformación de perspectiva nula. Los elementos de la diagonal principal de una matriz de transformación homogénea producen escalado local y global. Los primeros tres elementos diagonales producen un alargamiento o escalado local, como en (2.2-23)

Así, los valores de las coordenadas se alargan mediante los escalares a, b y e, respectivamente. Obsérvese que las matrices de rotación básicas, T,01, no producen ningún efecto de escalado local. El cuarto elemento diagonal produce escalado global como en (2.2-24)

donde s > O. Las coordenadas cartesianas fisicas del vector son X

s

P,

)'

s

P,

z s

w

s s

=

(2.2-25)

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

3)

Por tanto, el cuarto elemento diagonal en la matriz de transformación homogénea tiene el efecto de globalmente reducir las coordenadas si s > 1 y de alargar tas coordenadas si O < s < 1. En resumen, una matriz de transformación homogénea 4 x 4 transforma un vector expresado en coordenadas homogéneas con respecto al sistema de coordenadas OUVW en el sistema de coordenadas de referencia OXYZ. Esto es, con w = 1, Px)'Z

y \,·

T

2.2.7

(2.2-26a)

TPuvw

"-.. ;

j.;

["·o o Sx

=

=

ny

Sy

nz

Sz

ª"

P,J

ay e, az Pz

o

= [n O

s

a

o o

~]

(2.2-26b)

1

Interpretación geométrica de las matrices de transformación homogéneas

En general, una matriz de transformación homogénea para un espacio tridimensional se puede representar como en la ecuación (2.2-26b). Escojamos un punto p ítjo en el sistema de coordenadas OUVW y expresado en coordenadas homogéneas como (O, O, O, 1 )7; esto es, Puvw es el origen del sistema de coordenadas OVVW. Entonces la submatriz superior derecha 3 x I indica la posición del origen del sistema OUVW con respecto al sistema de coordenadas de referencia OXYZ. Escojamos el punto p como (1, O, O, 1)7; esto es, Puvw = iu. Más aún, suponemos que los orígenes de ambos sistemas de coordenadas coinciden en un punto O. Este tiene el efecto de hacer los elementos en la submatriz superior derecha 3 x I un vector nulo. Entonces la primera columna (o vector n) de la matriz de transformación homogénea representa las coordenadas del eje OU de OUVW con respecto al sistema de coordenadas OXYZ. Análogamente, cogiendo p como (O, l, O, 1)7 y (O, O, 1, 1)7, se puede identificar que la segunda columna (o vector s) o la tercera columna (o vector a) de los elementos de la matriz homogénea representan, respectivamente, los ejes O V y O W del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de coordenadas de referencia. Así, dado un sistema de referencia OXYZ y una matriz de transformación homogénea T, los vectores columnas de la submatriz rotación representan los ejes principales del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de coordenadas de referencia, y se puede dibujar la orientación de todos los ejes principales del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de coordenadas de referencia. El vector cuarta columna de la matriz de transformación homogénea representa la posición del origen del sistema de coordenadas OUVW con respecto al sistema de referencia. En otras palabras, una matriz de transformación homogénea geométricamente representa la localizacion de un sistema de coorde-


nadas rotado (posición y orientación) con respecto a un sistema de coordenadas de referencia. Como la inversa de una submatriz de rotación es equivalente a su traspuesta, los vectores fila de una submatriz rotación representan los ejes principales del sistema de coordenadas de referencia con respecto al sistema de coordenadas OUVW. Sin embargo, la inversa de una matriz de. transformación homogénea no es equivalente a su traspuesta. La posición del origen en el sistema de coordenadas de referencia con respecto al sistema de coordenadas OUVW se puede deducir solamente después de que se determine la inversa de la matriz de transformación homogénea. En general, la inversa de una matriz de transformación homogénea se puede encontrar que es

n" T-1

=

S:,;

n1 n, Sy s,

(2.2-27)

[ a, ay a,

o o o

'--

Así, de la ecuación (2.2-27), los vectores columna de la inversa de una matriz de transformación homogénea representan los ejes principales de los ejes de referencia con respecto al sistema de coordenada rotado OUVW, y la submatriz 3 x 1 superior derecha representa la posición del origen del sistema de referencia con respecto al sistema OUVW. Esta interpretación geométrica de las matrices de transformación homogénea es un concepto importante utilizado frecuentemente a lo largo de este libro.

2.2.8

Matriz de transformación homogénea compuesta

Las matrices de rotación y traslación homogéneas se pueden multiplicar juntas para obtener una matriz de transformación homogénea compuesta (la llamaremos la matriz T). Sin embargo, como la multiplicación de matrices no es conmutativa, se debe prestar una atención cuidadosa al orden en el cual se multiplican estas matrices. Las reglas que siguen son útiles para determinar una matriz de transformación homogénea compuesta: l. Inicialmente, ambos sistemas de coordenadas son coincidentes, ya que la matriz de transformación homogénea es una matriz identidad 4 x 4, 14. 2. Si el sistema de coordenadas rotante OUVW está rotando/trasladándose respecto de los ejes principales del sistema OXYZ, entonces premultiplicar la matriz de la transformación homogénea previa (resultante) por una matriz de traslación/rotación básica apropiada. 3. Si el sistema de coordenadas rotantes OUVW está rotando/trasladándose respecto de su propio eje principal, entonces postmultiplicar la matriz de transformación homogénea (resultante) por una matriz de rotación/traslación básica apropiada.


DEL ROBOT

33

\Ejemplo: Dos puntos aj.¿ = (4, 3, 2f y b"""' = (6, 2, 4f se trasladan a una ~ distancia de + 5 unidades a lo largo del eje OX y - 3 unidades a lo largo ~ del eje OZ. Utilizando la matriz de transformación homogénea apropiada, determinar los nuevos puntos ªxyz y bxyz•

n -f]

. SOLUCIÓN: ~ llxy=

o o o

[~

o 1 o o hxyz ~

~3(l)1) 1(05)

3

+

J [ 9J 3

~ = 2(1) 1(1~(-3) =

[~

o o 1 o o 1 o o

Los puntos trasladados son axyz

-:

rn

)J •

= (9, 3, - W Y bxyz = ( 11, 2, W.

o

Ejemplo: Se quiere determinar una matriz T que representa una rotación de ángulo ex respecto del eje OX, seguida por una traslación de b unidades a lo largo del eje girado O V. SOLUCIÓN: Este problema puede ser engañoso, pero ilustra alguna de las componentes fundamentales de la matriz T. Se utilizarán dos métodos, uno poco ortodoxo que es ilustrativo, y el otro ortodoxo que es más simple. Después de la rotación T¿ ª' el eje rotado O V es (en término de los vectores unitarios ix, t-, k, del sistema de referencia) j.. = cos cxj.v + sen cxk,; es decir. la columna 2 de la ecuación (2.2-21). Así, una traslación a lo largo del eje rotado O V de b unidades es biv = b cos ::xjy + b sen é'Ck,. Así la matriz T es

[' o o O

T

I

= r; .r,.• = ~ ~ ~

[~

o

o

sen ex

cos

C(

b cos

::X

]

coso

::X

o ex - sen

sen

cl

cos

[~

1

b sen ex

O

1

b sen ex

o

o

(X

f] ~

cos

o

(X

-sen

o

e<

b

c~s •] 1

En el método ortodoxo, siguiendo las reglas dichas anteriormente, hay que darse cuenta que como la matriz T,.• girará el eje O Y respecto del eje O V,


entonces la traslación a lo largo del eje O V cumplirá el mismo objetivo, esto es, T - T•• T,,

-l~

-l~

o cos

- sen a cos (X

(X

sen a

o

o

o

cos (X sen a

o

~]l~ ~]-

h b sen

(X (X

o

o

1

o 1 o o

,~so]

o -sen cos

o o

o

(X

o

1

Ejemplo: Encontrar una matriz de transformación homogénea T que represente una rotación de ángulo '.l respecto del eje OX, seguida por una traslación de a unidades a lo largo del eje OX, seguida por una traslación de d unidades a lo largo del eje OZ, seguida por una rotación de ánguJo O respecto del eje OZ. SOLUCIÓN: o o 1 o -·sen (} cos (}

sen &

T

-B

l'º ' o

o o

o o o 1 o o 1 o o

-l~

l

e

eos sen (}

=

~H~

cos cos

(X

(X

o

sen O cos (}

º ] ll

o o

I O

O I

o 1 o o

o

cos sen a (X

o

o

-sen :x cos (X

o

e

sen (X sen -sen :x cos O

O O

~]-

~]- º] a cos a sen (}

~

o o

sen

o

(X

cos

o

(X

d 1

Hemos identificado dos sistemas de coordenadas, el sistema de coordenadas de referencia OXYZ la elrelación sistema del de coordenadas móvil (traslación rotación) OUVW. Parafijo describir desplazamiento espacial entrey estos dos sistemas de coordenadas, se utiliza una matriz de transformación homogénea

y

4 x 4. Las matrices de transformación homogénea tienen el efecto combinado de rotación, traslación, perspectiva y escalado global cuando operan sobre vectores de posición expresados en coordenadas homogéneas. Si estos dos sistemas de coordenadas se asignan a cada elemento del brazo del robot, por ejemplo, el elemento i - 1 y el elemento i, respectivamente, entonces el

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

35

sistema de coordenadas del elemento i - 1 es el sistema de coordenadas de referencia y el sistema de coordenadas del elemento i es el sistema de coordenadas móvil cuando se activa 'la articulación i. Utilizando la matriz T, podemos especificar un punto p¡ en reposo en el elemento i y expresado en el sistema de coordenadas del elemento i (u OUVW) en términos del sistema de coordenadas del elemento i - 1 (u OXYZ) como Pi-1

donde:

(2.2-28)

Tp¡

·.

T = matriz de transformación homogénea 4 x 4 que relaciona los dos sistemas de coordenadas. p¡ = vector de posición ampliado 4 x 1 (x¡, Y;, z., l)T que representa un punto en el sistema de coordenadas del elemento i en coordenadas homogéneas. Pi-t = es el vector de posición ampliado 4 x 1 (x¡_1, Yi-l• Z¡_1, t¡T que representa el mismo punto p¡ en términos del sistema de coordenadas del elemento i - 1.

2.2.9 Elementos, articulaciones y sus parámetros

©~

Un manipulador mecánico consiste en una secuencia de cuerpos rígidos, llamados elementos, conectados mediante articulaciones prismáticas o de revolución (véase Fig. 2.8). Cada par articulación-elemento constituye un grado de libertad.

Articulación

2 Elemento 1 <,

Articulacl
Elemento 4

Articulac ión 6

+,

Figura 2.8

Un robot PUMA ilustrando articulaciones y elementos.

36 ROBOTICA: CONTROL, DETECCJON, YJSION E INTELIGENCIA

De aquí que para un manipulador con N grados de libertad hay N pares articulación-elemento con el enlace O (no considerado parte del robot) unido a una base soporte donde se suele establecer un sistema de coordenadas inercial para este sistema dinámico, y el último elemento está unido a la herramienta. Las articulaciones y elementos se enumeran hacia afuera desde la base; así la articulación I es el punto de conexión entre el elemento 1 y la base soporte. Cada elemento se conecta, a lo más, a otros dos, así pues no se forman lazos cerrados . ., En geilcral, dos elementos se conectan mediante un tipo de articulación que tiene dos superficies deslizantes, una sobre la otra, mientras permanecen en contacto. Unicamente son posibles seis tipos diferentes de articulaciones: de revolución (giratoria), prismática (deslizante), cilíndrica, esférica, de tornillo y planar (véase Fig. 2.9). De éstas, únicamente las articulaciones giratoria y prismática son comunes en los manipuladores. Un eje de articulación se establece (para la articulación 1) en la conexión de dos elementos (véase Fig. 2.1 O). Este eje de articulación tendrá dos normales conectadas a él, una para cada uno de los elementos. La posición relativa de tales elementos conectados (elemento i - 1 y elemento i) viene dada por d.; que es la distancia medida a lo largo del eje de la articulación entre las normales. El ángulo de articulación 8; entre las normales se mide en un plano normal al eje de la articulación. De aquí que d, y 8; se puedan llamar la distancia y el ángulo entre los Revolución

Planar

&7

Cilindrica

Prismática

Eslerica

De tomiIIo

Figura 2.9 Tipos de articulaciones.

,.--...._, '


37

\

Articulación i + l 8,+ l

Figura 2.10 Sistema de coordenadas de elementos y sus parámetros.

elementos adyacentes, respectivamente. Determinan la posición relativa de los elementos vecinos. Un elemento i (i = l, ... , 6) se conecta a lo más a otros dos elementos (por ejemplo, el elemento i - 1 y el elemento i + l); así se establecen dos ejes de articulación en ambos extremos de la conexión. El significado de los elementos, desde una perspectiva cinemática, es que mantienen una configuración fija entre sus articulaciones, que se pueden caracterizar por dos parámetros: a¡ y 1X1• El parámetro a¡ es la distancia más corta medida a lo largo de la normal común entre los ejes de la articulación (es decir, los ejes Z¡_ 1 y Z¡ para las articulaciones i e i + 1, respectivamente), y IX; es el ángulo entre los ejes de articulación medidos en un plano perpendicular a a; Así, a¡ y IX¡ se pueden llamar la longitud y el ángulo de torsión del elemento i, respectivamente. Determinan la estructura del ele-

mento i.

En resumen, se asocian cuatro parámetros, a.; IX¡, d, y 91, con cada elemento de un manipulador. Si se ha establecido un convenio de signo para cada uno de estos parámetros, entonces constituyen un conjunto suficiente para determinar completamente la configuración cinemática de cada elemento del brazo del robot. Obsérvese que estos cuatro parámetros van apareados: los parámetros del elemento (a;, IX;) que determinan la estructura del elemento y los parámetros de la articulación (d1, 9¡) que determinan la posición relativa de los elementos vecinos.

2.2.10

La representación de Denavit-Hartenberg

Para describir la relación traslacional y rotacional entre elementos adyacentes, Dcnavit y Hartenberg (1955] propusieron un método matricial de establecer de fonna sistemática un sistema de coordenadas (sistema ligado al cuerpo) para cada elemento de una cadena articulada. La representación de Denavit-Hartenberg (D-H) resulta en una matriz de transformación homogénea 4 x 4 que representa


cada uno de los sistemas de coordenadas de los elementos en la articulación con respecto al sistema de coordenadas del elemento previo. Así, mediante transformaciones secuenciales, el efector final expresado en las «coordenadas de la mano» se puede transformar y expresar en las «coordenadas de base» que constituyen el sistema inercial de este sistema dinámico. Se puede establecer para cada elemento en sus ejes de articulación un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (x¿ y¡, z.)", donde i = 1, 2, ... , n (n = número de grados de libertad), más el sistema de coordenadasde la base. Como una articulación giratoria tiene solamente un grado de libertad, cada sistema de coordenadas (x¿ Y;, z;) del brazo de un robot corresponde a la articulación i + 1 y está fija en el elemento i. Cuando el actuador de la articulación activa la articulación i, el elemento i se moverá con respecto al elemento i - 1. Como el sistema de coordenadas i-ésimo está fijo en el elemento i, se mueve junto con el elemento i. Así pues, el sistema de coordenadas n-ésimo se mueve con la mano (elemento n). Las coordenadas de la base se definen como el sistema de coordenadas número O (x0, y0, z0), que también es el sistema de coordenadas inercial del brazo. Así, para un brazo como el PUMA de seis ejes, tenemos siete sistemas de coordenadas, que representarnos con (x0, Yo, z0), (x¿ y 1, z1), ... , (x6, Y6, z6). Cada sistema de coordenadas se determina y establece sobre la base de tres reglas: 1. El eje z; _ 1 yace a lo largo del eje de la articulación. 2. El eje X¡ es normal al eje Z; _ 1 y apunta hacia afuera de él. 3. El eje y¡ completa el sistema de coordenadas dextrógiro según se requiera. Mediante estas reglas, uno es libre de escoger la lbcalización del sistema de coordenadas O en cualquier parte de la base soporte, rllientras que el eje z0 esté a lo largo del eje de movimiento de la primera articulación. El último sistema de coordenadas (el n-ésimo) se puede colocar en cualquier parte de la mano, mientras que el eje x, sea normal al eje z~_ 1. La representación de D-H de un elemento rígido depende de cuatro parámetros geométricos asociados con cada elemento. Estos cuatro parámetros describen completamente cualquier articulación prismática o de revolución. Refiriéndonos a la figura 2.1 O, estos cuatro parámetros se definen como sigue: O;:

Es el ángulo de la articulación del eje X¡_ 1 al eje X¡ respecto del eje z;_ 1 (utilizando la regla de la mano derecha). d; Es la distancia desde el origen del sistema de coordenadas (i - 1)-ésimo hasta la intersección del eje z¡_ 1 con el eje X¡ a lo largo del eje z1_ 1. a1: Es la distancia de separación desde la intersección del eje Z¡-1 con el eje X¡ hasta el origen del sistema i-ésimo a lo largo del eje x1 ( o la distancia más corta entre los ejes Z¡_ 1 y z1). 1X1: Es el ángulo de separación del eje z, _ 1 al eje z, respecto del eje x¡ (utilizando la regla de la mano derecha). • (x1, Ji, z¡) realmente representan los vectores unitarios a lo largo de los ejes principales del sistema de coordenadas i, respectivamente, pero se utilizan aquí para denotar el sistema de coordenadas i.

CINEMATICA

DEL BRAZO

39

DEL ROBOT

Para una articulación giratoria, d.; a; y IX; son los parámetros de articulación y permanecen constantes para un robot, mientras que 8¡ es la variable articulación que cambia cuando el elemento i se mueve (o gira) con respecto al elemento ; - l. Para una articulación prismática, 8¡, a¡ y IX¡ son los parámetros de la articulación y permanecen constantes para un robot, mientras que d¡ es la variable de la articulación. Para el resto de este libro, la variable de la articulación se refiere a 8¡ (o d¡), esto es, la cantidad que varía, y los parámetros de articulación se refieren a los restantes tres valores geométricos constantes (d;, a., et¡) para una a~ticulación giratoria o (8;, a.; IX;) para una articulación prismática. Con las tres reglas básicas anteriores para establecer un sistema de coordenadas ortonormal en cada elemento y la interpretación geométrica de los parámetros de la articulación y del elemento, se presenta en el algoritmo 2.1 un procedí-

E

...E

§

<.

~~

!'86~ ll3

r::

Y6 (s)

3

z6

(a)

x6 (n)

Parámetros de coordenadas de los elementos de un robot PUMA Ar1icuRango de la d, a; articulación !ación ; 8¡

ª·

1 2 3 4

s

6

90

o

90

o o o

o

o

o

431.8 mm

149,09 mm

90 -90 90

-20,32 mm

o

-45 a 225

433,07 mm

-110 a 170

o

-100 a 100

-90

o

o

1

b

o

56,25 mm

-160 a +160 -225 a 45

-266 a 266

Figura 2.11 Establecimiento del sistema de coordenadas de elementos para un robot ~~ ~


Y5 y6 (Barrido)

Centro de la mano OH (Alcance) z6~

~z4 v

....._\

.J

(Elevación) x6 ~

Z3 84 d6~

Z5

s

X4

/,./ ,-..:.---

,.,.,.

/---

-

---

x5

y4

-

------

los orígenes coinciden

--

(d4 = ds = O)

x3~

x2

>-

d¡~~y2 82

/,,(,/~ d¡

e,

t=z

r \"'

f--=:

Yo--;-Y =X ~o

o

Parámetros de las coordenadas de los elementos de un robot Stanford Articulación i

8¡

a,

1

81 = -90 82 = -90 -90

-90 90

2 3 4

s 6

84 =

o

85 = O 116 = O

o

-90 90

o

a;

o o o o o o

d¡ d, d2 d¡

o o

dt,

Figura 2.12 Establecimiento del sistema de coordenadas de elementos para un robot Stanford.

miento para establecer un sistema de coordenadas ortonormal consistente para un robot Ejemplos de aplicación de este algoritmo a un robot tipo PUMA de seis ejes y un brazo Stanford se dan, respectivamente, en las figuras 2.11 y 2.12. Algoritmo 2.1: Asignación del sistema de coordenadas de los elementos. Dado un brazo con n grados de libertad, este algoritmo asigna un sistema de coordenadas ortonormal a cada elemento del brazo de acuerdo a configuraciones de brazos similar a aquellas de la geometría del brazo humano. El etiquetado del sistema de coordenadas comienza desde la base soporte hasta el efector final del brazo. Las relaciones entre elementos adyacentes se pueden representar mediante una matriz

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

41

de transformación homogénea 4 x 4. La importancia de esta asignación es que ayudará al desarrollo de un procedimiento consistente para derivar la solución de la articulación tal como se presenta en secciones posteriores. (Obsérvese que la asignación de los· sistemas de coordenadas no es única.) 01.

Establecer el sistema de coordenadas de la base. Establecer un sistema de coordenadas ortonormal dextrógiro (x0, Yo, z0) en la base soporte con el eje z0 estando a lo largo del eje de movimiento de la articulación 1 y apuntando hacia afuera del hombro del brazo del robot. Los ejes x0 e Yo se pueden establecer convenientemente y son normales al eje z0• 02. Inicializar y repetir. Para cada t. i = I, ... , n - l, realizar los pasos 03 a 06. 03. Establecer los ejes de la articulación. Alinear el Z¡ con el eje de movimiento (giratorio o deslizante) de la articulación i + l. Para robots que tengan configuraciones de brazo levógiras, los ejes z1 y z2 están apuntando hacia afuera del hombro y el «tronco» del brazo del robot. 04. Establecer el origen del sistema de coordenadas i-ésimo. Localizar el origen del sistema de coordenadas i-ésimo en la intersección de los ejes Z¡ y z, _ 1 o en la intersección de las normales comunes entre los ejes Z; y z;_ 1 y el eje Z¡. 05. Establecer el eje X¡. Establecer X¡ = ±(z¡_ 1 x z¡)/lz;-1 x z;I o a lo largo de la normal común entre los ejes z.; 1 y Z¡ cuando son paralelos. 06. Establecer el eje Y;· Asignar y¡ = +(z; x x¡)/lz; x x;I para completar el sistema de coordenadas dextrógiro. (Extender si es necesario los ejes z, y X¡ a los pasos 09 a 012.) 07. Establecer el sistema de coordenadas de la mano. Normalmente la articulación n-ésima es de tipo giratorio. Establecer z, a lo largo de la dirección del eje z, _ 1 y apuntando hacia afuera del robot. Establecer x, tal que sea normal a ambos ejes z"_ 1 y z". Asignar Yn para completar el sistema de coordenadas dextrógiro. (Véase la sección 2.2.11 para más detalle.) 08. Encontrar los parámetros de la articulación y del elemento. Para i, i = 1, ... ,n, realizar los pasos 09 a 012 09. Encontrar d; d, es la distancia del origen del sistema de coordenadas (i - l}-ésimo a la intersección del eje Z;- i y el eje X; a lo largo del eje Z¡ _ 1. Es la variable de la articulación si i es prismática. D 1 O. Encontrar a.. a¡ es la distancia de la intersección del eje Z¡ _ 1 y el eje X¡ al origen del sistema de coordenadas i-ésimo a lo largo del eje X¡. DI l. Encontrar 81• 81 es el ángulo de rotación desde el eje X;_ 1 hasta el eje x, respecto del eje Z¡_1• Es la variable de articulación si i es giratoria. D 12. Encontrar 1X1• IX¡ es el ángulo de rotación desde el eje Z;- 1 hasta el eje z1 respecto del eje X¡. Una vez establecido el sistema · de coordenadas D-H para cada elemento, se puede desarrollar fácilmente una matriz de transformación homogénea que relacione el sistema de coordenadas i-ésimo con el sistema de coordenadas

42


(i - 1)-ésimo. Observando la figura 2.10, es obvio que ün punto r, expresado en el

sistema de coordenadas i-ésimo se puede expresar en el sistema de coordenadas (i - 1)-ésimo como r¡_ 1 realizando las siguientes transformaciones sucesivas: l. Girar respecto del eje Z¡- 1 un ángulo de O¡ para alinear el eje X;- 1 con el eje X¡ (el eje X¡_ 1 es paralelo a X¡ y apunta en la misma dirección). 2. Trasladar a lo largo del eje Z¡_ 1 una distancia de d, para llevar en coincidencia los ejes X¡_ 1 y x, 3. Trasladar a lo largo del eje x, una distancia de a, para traer en coincidencia también los dos orígenes de los ejes x. 4. Girar respecto del eje X¡ un ángulo :x¡ para traer en coincidencia a los sistemas de coordenadas. Cada una de estas cuatro operaciones se puede expresar mediante una matriz rotación-traslación homogénea básica y el producto de estas cuatro matrices de transformación homogéneas básicas da una matriz de transformación homogénea compuesta, i- 1 A;, conocida como la matriz de transformación D-H para sistemas de coordenadas adyacentes i e i - l. Así, oo i-1A¡

=

Tz. dT,. sTx. .r;

11

=[~ l

o l

= [~ _

-

o l o o o l

[cos 8; sen O¡

o

o o o

I

d ~]

o

[~

cos

(X¡

sen

tx1

o

~l

[cos 8;

-sen

o

O¡

o

sen 01

cos O¡

o

o

o l

o

l

f

=

o

o -sen cos

o

~] =

tx¡ (X¡

8;1

o

- cos IX¡ sen O; cos (X¡ tx¡ cos 8¡ sen

sen :X¡ sen O; -sen :X¡ cos 8; cos (X¡

a; cos a¡ sen 8¡

o

o

o

1

d,

(2.2-29)

Utilizando la ecuación (2.2-27) se puede encontrar la inversa de esa transformación como -sae~ -cos [i-

1 A¡]-1

sen 8¡

cos

cos 8

sen

l

[ ¡A¡-1

cos 8; sen

IX¡ IX¡

o

sen 81

o

sen 8; - sen

(X¡ IX¡

o

i

cos 81

et¡

COS IX¡

o

-d¡

-d¡

tx¡

COS IX¡

l

(2.2-30)

donde tx¡, a1, d, son constantes mientras que 8¡ es la variable de la articulación para una articulación tipo revolución.

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

Para una articulación prismática, la variable articulación es d.; mientras y 8¡ son constantes. En este caso, i- t A¡ se hace : JI ,, 0.1 - cos 11¡ sen 8¡ sen 11¡ sen 8¡ N

43 que

.

¡- i

_

_

[' º '

cos

11¡

cos

8¡

- sen

cos

!l¡

8¡

s en

8O¡;

T,. 9T,. dTx.11 -

A¡ -

O

sen

.o

cos

11¡

o

o

fl

il¡

(2.2-31)

y su inversa es

;A¡-1

p-1A;]-1

[

sen

cos O;

o

8¡

- cos

11¡

sen 8¡

cos

11¡

cos 8¡

sen é1¡

cos

il¡

sen 8¡

- sen

!l¡

cos 8;

cos a¡

o

o

o

-d; ~en

>;l

-d¡ cos

11¡

1

(2.2-32) la matriz i - 1 A¡ se puede relacionar un punto p¡ en reposo en el elemento i y expresado en coordenadas homogéneas con respecto al sistema de coordenadas i en el sistema de coordenadas i - 1 establecido en el elemento Utilizando

i - 1 por (2.2-33)

donde P;- i = (x.; 1, Y;-¡,:¡_ 1, l)r y P; = (x¿ Y;, Z¡, lf. 1 Las. seis matrices de transformación iA; para el robot PUrytA de seis ejes han sido determinadas sobre la base del sistema de coordenadas establecido en la figura 2.11. Estas matrices ; - 1 A; se dan en la figura 2.13.

2.2.11 Ecuaciones cinemáticas para los manipuladores

0~1,

La matriz homogénea ºT¡ que especifica la localización del sistema de coordenadas i-ésimo con respecto al sistema de coordenadas de la base es el producto en cadena de matrices de transformación de coordenadas sucesivas ;- 1 A¡ y se expresa como ºT¡

=

i

ºA11A2

...

i-1A¡

íl

j-1A. J

para i

=

1, 2, ... .n

[~¡

y¡

Z¡

o o

~¡] =

j=

[º~¡

1

º~¡]

(2.2-34)


cos O¡

=

i-lA;

sen O¡

cos

o o

o

o o -1o o o

[ e,S1 ºA1 =

C3 iA3

S3

=

o o

- cos

S3

CL¡

a3S3

o o

sen (}¡

sen

cos O¡

-sen

11¡

a¡ cos O¡

sen O¡

cos O¡ a¡ sen O¡

11¡

o o

a,c,

-C3

o l o o

11¡

1

[ e, S4

3~=

o

o o

l

a,c, aiS2

l

d i

o

o o

l

n

-S4 C4

o o

-1

o

,-

._,.., , .:

o

-s6

o

o

o

l

[ e,

c6

o o

Ss

l

s / 4A -

s-

o

o

l

[ eSs, o

;1

-Cs

o o

!

o

o

-s,

[ e, e,, T1 s ºA1

1Ai

iA3

=

Fipn

-a2S2

Ci3

o

-

n -

1

d2S,

+ di

a3Si3

l

C4 Cs C6 - S4S6

-C4CsS6 - S4C6

C4Ss

d6C4S5

S4

-S4CsS6

+ C4C6

S4Ss

d6S4S s d6Cs + d4

=

donde C; • cos é.; S;

a2C1 C2 + a3C1 C23 a2S1 Ci + a3S1 Ci3 S1Si3 C,

o o

-Sn

o

C,Si3

e,

S1 C23

o T2 • 3~4Ass~

s~=

e, C6 + C4S6 -SsC6

SsS6

o :11!

sen é.; C;¡

o ,!!!!

cos(6;

+

6¡); S;¡

Cs

o

= sen(8;

1

+

8¡),

2.13 Matrices de transformación de coordenadas de los elementos del robot

PUMA.

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

45

donde: (X¡, y¡, zJ

= matriz

de orientación del sistema de coordenadas i-ésimo establecido en el elemento i con respecto al sistema de coordenadas de la base. Es la matriz particionada superior izquierda 3 x 3 de ºT¡. p¡ = vector de posición que apunta desde el origen del sistema de coordenadas de la base hasta el origen del sistema de coordenadas i-ésimo. Es la matriz particionada superior derecha 3 x 1 de ºT¡. Específicamente, para i = 6, obtenemos la matriz T, T = 0T6, que especifica la posición y orientación del punto final del manipulador con respecto al sistema de coordenadas de la base. Esta matriz T se utiliza tan frecuentemente en la cinemática del brazo del robot que se llama la «matriz del brazo». Considere que la matriz T sea de la forma: T

Y6 z6 ~6] [°~6 0~6] o

= [~6 o =

["·

p.]

s,. a, n, s, a, P, n, s, a, Pz

o o o

=

[~

s

o

a o

n

(2.2-35)

1

donde (véase Fig. 2.14):

= vector

normal de la mano. Suponiendo una mano del tipo de mordaza paralela que es ortogonal a los dedos del brazo del robot. s = vector de deslizamiento de la mano. Está apuntando en la dirección del movimiento de los dedos cuando la pinza se abre y se cierra. a = vector de aproximación de la mano. Está apuntando en la dirección normal a la palma de la mano (es decir, normal a la placa de montaje de la herramienta del robot). p = vector de posición de la mano. Apunta desde el origen del sistema de coordenadas de la base hasta el origen del sistema de coordenadas de la mano, que se suele localizar en el punto central de los dedos totalmente cerrados. n

Si el manipulador se relaciona a un sistema de coordenadas de referencia mediante una transformación B y tiene una herramienta unida a la base de montaje de la última erticulacióu descrita por H, entonces el punto final de la herramienta se puede relacionar con el sistema de coordenadas de referencia multiplicando las matrices B, ºT6 y H juntas como (2.2-36)


Figura 2.14 Sistema de coordenadas de la mano [o, s, a].

La solución cinemática directa de un manipulador de seis elementos es, por tanto, simplemente un asunto de 1calcular T = 0 A6 mediante la multiplicación en cadena de las seis matrices i - A¡ y evaluar cada elemento en la matriz T. Obsérvese que la solución cinemática directa da una única matriz T para un q = (q1, q2, ..• , q6)r y un conjunto de sistemas dé coordenadas dados, donde q¡ = 8¡

para una articulación giratoria y q¡ = d, para una articulación prismática. Las únicas ligaduras son las acotaciones físicas de 8¡ para cada articulación del brazo del robot. La tabla en la figura 2.11 da las ligaduras de articulación de un robot de la serie PUMA 560 basado en el sistema de coordenadas asignado en la figura 2.11. Habiendo obtenido todas las matrices de transformación de coordenadas i- i A; para el brazo de un robot, la siguiente tarea es encontrar un método eficaz de calcular T utilizando una computadora digital de uso general. El método más eficiente es multiplicando las seis matrices i- 1 A¡ juntas manualmente y evaluando los elementos de la matriz T explícitamente en un programa de computadora. Las desventajas de este método son: 1) es engorroso multiplicar juntas las seis matrices "' i A¡, 2) la matriz del brazo es aplicable solamente a un robot particular para un conjunto especifico del sistema de coordenadas (no es bastante flexible). En. el otro extremo se pueden meter las seis matrices "' 1 A¡ y permitir que la computadora realice la multiplicación. Este método es muy flexible, pero con el coste de tiempo del cálculo en cuanto que la cuarta fila de i- i A¡ consiste mayormente en elementos nulos. Un método que tiene ambos, cálculo rápido y flexibilidad, es multiplicar a 2 «mano» las tres primeras matrices ¡ - 1 A¡ para formar T1 = 03A 11 A 2 A3 y A/A/ también las últimas tres matrices i- i A¡ para formar T2 = A6, que es una tarea relativamente directa. A continuación expresamos los elementos de T1 y T2

explícitamente en un programa y permitimos que la computadora los multiplique para formar la matriz del brazo resultante T = T1 T2•


DEL ROBOT

47

Para un robot de la serie PUMA 560, T1 se determina de la figura 2.13 como

=

[c,c,, ºA3

T, =

S,C23 -S23

-

o

=

ºA11A/A3 -S, C1

o o

C1S23 S1S23 C23

o

a,C,C, + a,C,C,, - d,S,] ª2S1C2 + a3S1C23 + d2C1 -a2S2 - a3S23 1

(2.2-37)

y la matriz T2 se encuentra que es

(2.2-38)

=

=

donde Cu cos (8¡ + 8) y S¡i sen (8¡ + 8). La matriz del brazo T para el robot PUMA que se muestra en la figura 2.11 se encuentra que es (2.2-39)

donde:

nx

=

C1[CdC4C5C6

n,

= = = = =

S1[CdC4C5C6

11,

-S2JCC4C5C6

+ C4S6) - S4S6) - S23S5C6] + C,(S4C5C6 + C4S6) - S4S6)

- S4S6]

-

-

S23S5C6]

- S1(S4C5C6

(2.2-40)

C23S5C6

P,.

= =

+ S4C6) + S23SsS6] - S1(-S4C5S6 + C4C6) S1[-C23(C4C5S6 + S4C6) + S23SsS6] + C1(-S4C5S6 + C4C6) S23(C4C5S6 + S4C6) + C23SsS6 (2.2-41) C1(C23C4S5 + S23C5) - S1S4S5 S1(C23C4S5 + S23C5) + C1S4S, (2.2-42) -S23C4S5 + C23C5 C1[d6(C23C4S5 + S23C5) + S23d4 + a3C23 + a2C2] - S1(d6S4S5 + d2)

P,

=

S1[d6(C23C4S5

s" s, s,

ax ""

a, = a,

P: =

C1[ -C23(C4C5S6

+ S23C5) + S23d4 + a3C23 + a2C2] + C1(d6S4S5 + d2) d6(C23Cs - S23C4Ss) + C23d4 - a3S23 - a2S2 (2.2-43)


Como una comprobación, si 81 = 90º, 82 = O°, 83 86 = Oº. entonces la matriz T es -1

1

o o o o

=

Oº,

-149,09]

O

O

Oº, 85

921,12 20,32 1

que está de acuerdo con el sistema de coordenadas establecido en la figura 2.11. De las ecuaciones (2.2-40 a 2.2-43), la matriz del brazo T requiere doce llamadas de funciones trascendentes, cuarenta multiplicaciones y veinte sumas si solamente calculamos la submatriz superior derecha 3 x 3 de T y el vector normal n se encuentra del producto vectorial de (n = s x a). Más aún, si combinamos d¿ con la longitud de la herramienta del dispositivo terminal, entonces d6 = O y la nueva longitud de la herramienta se incrementará en d¿ unidades. Esto reduce los cálculos a doce llamadas de funciones trascendentes, treinta y cinco multiplicaciones y dieciséis sumas.

-

Ejemplo: Ha sido preparada una estación de trabajo de un robot con una cámara de TV (véase la figura que se muestra en la página 49). La cámara puede ver el origen del sistema de coordenadas de la base donde está unido un robot de seis articulaciones. Puede también ver el centro de un objeto (supuesto que es un cubo) que va a ser manipulado por el robot. Si se ha establecido un sistema de coordenadas local en el centro del cubo, este objeto tal como lo ve la cámara se puede representar mediante una matriz de transformación homogénea T 1• Si el origen del sistema de coordenadas de la base tal como lo ve la cámara se puede expresar también mediante una matriz de transformación homogénea T2 y

1]

OO 10 -1

O

9

1

o

-1

O

o

o

-

O 1200

-1

o

] 10

1 ¿Cuál es la posición del centro del cubo con respecto al sistema de coordenadas de la base? b) Suponer que el cubo está dentro del alcance del brazo. ¿Cuál es la matriz de orientación [n, s, a] si necesita que la pinza (o los dedos) de la mano se alineen con el eje y del objeto y al mismo tiempo coja el objeto desde lo alto?

a)


DEL ROBOT

49

';r--x,

Y,/ !2

1

SOLUCIÓN:

Cllmar•Tcubo

y

=

T,

-[~

o o

1

o o o

-1

o "'•""T base -- T2 -[ ~O

o Para encontrar

bmTcubo•

-1

o o

T

10

9

o

/

.

1

o o -1

o

-1100 1 2 0 1

utilizamos la regla de «producto en cadena»:

Utilizando la ecuación (2.2-27) para invertir la matriz T2, obtenemos la

baseT

= [~

-1

~ ~ 1 [~ ~

1]

10 matriz de transformación resultante:

cubo

O

o

o o o

1

-1 O

10 1

O O O O

Oo

O

o1 o o

1 1


Por tanto, el cubo está en la posición ( 11, 10, 1 )7 del sistema de coordenadas de la base. Sus ejes x, y y z son paralelos a los ejes -y, x y z del sistema de coordenadas de la base, respectivamente. Para encontrar [n, s, a], hacemos uso de

o

T6

-

-

[º

s O O

a O

PJ1

donde p = (11, 10, 1)7 de la solución anterior. De la figura anterior necesitamos el vector de aproximación a para alinear con la dirección negativa del eje OZ del sistema de coordenadas de la base [es decir, a = (O, O, - 1 )7]; el vector s se puede alinear en una o en otra dirección del eje y de bmTcubo [es decir, s = ( ± 1, O, 0)7]; y el vector n se puede obtener del producto vectorial des y a: k D

j O O

Hl

k O -1

Por tanto, la matriz de orientación [n, s, a] se encuentra que es O 1 -1 [n, s, a] = + 1 O o o [

o o

o

~J

-1J

o

2.2.12 Otras especificaciones de la localización de efector final En secciones anteriores analizamos las traslaciones y rotaciones de cuerpos rígidos (o elementos) e introdujimos la matriz de transformación homogénea para describir la posición y orientación de un sistema de coordenadas del elemento. De particular interés es la matriz del brazo 0T6 que describe la posición y orientación de la mano con respecto al sistema de coordenadas de la base. La submatriz superior izquierda 3 x 3 de ºT6 describe la orientación de la mano. Esta submatriz de rotación es equivalente a ºT6• Hay otras especificaciones que se pueden utilizar para describir la localización del efector final. Representación del ángulo de Euler para orientación. Como se indicó en la sección 2.2.4, esta representación matricial para la rotación de un cuerpo rígido simplifica muchas operaciones, pero no conduce directamente a Ün conjunto completo de coordenadas generalizadas. Tal conjunto de coordenadas generalizadas se puede proporcionar mediante los tres ángulos de Euler (
CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

51

Utilizando la matriz de rotación con la representación de los ángulos euleriano como en la ecuación (2.2-17), la matriz del brazo 0T6 se puede expresar como: C
o

sec»

ssse ce

o

O

Px] I

Otra ventaja de utilizar la representación de ángulos Euler para la orientación es que la memoria necesitada para almacenar la posición y orientación de un objeto se reduce a un vector de seis elerr-c..tos XYZ
csce ºT _

l

S
-

-se o

CSeStjJ - S
C
Px] P,

Pz 1

(2._2-45)

. .• 1

Tal como se discutió en el capítulo 1, existen diferentes tipos de brazos de robot de acuerdo al movimiento de sus articulaciones (XYZ, cilíndricas, esféricas y de brazo artículado). Así se puede especificar la posición de la mano (p:v P,~ p=f en otras coordenadas tales como cilíndricas o esféricas. La matriz de transformación del brazo resultante se puede obtener por

o donde ºR6 (RPY).

JJ

(2.2-46)

matriz de rotación expresada en los ángulos de Euler o [n, s, a] o

Coorcknadas cílindricas para el subconjunto de posicionamiento. En una representación de coordenadas cilíndricas, la posición del efector final se puede especificar por las siguientes traslaciones/rotaciones (véase Fig. 2.15): l. 2.

J.

Una traslación de r unidades a lo largo del eje OX (Tx.,). Una rotación de ángulo :x alrededor del eje OZ (T=.,). U na traslación de d unidades a lo largo del eje OZ (T=. d).

52 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, YISION E INTELIGENCIA

a

X

Figura 2.15 Representación del sistema de coordenadas cilíndricas.

La matriz de transformación homogénea que representa las operaciones anteriores se puede expresar como:

º º ºHe.

X

s«

I O O O I d O O I

- T, ,T, ,T,, -[~ Tcílindrica

[' o o '] [e"

O O

-s« o

O I O O = Srx O O I O O O O O I O

-Srx

o

Ca

o 1 o o

Ca

,cal

o o

o 1 o o

rS«

~l

X

(2.2-47)

d

1

Como solamente estamos interesados en los vectores de posición (es decir, la cuarta columna de Tcillndrical, la matriz de brazo 0T6 se puede obtener utilizando la ecuación (2.2-46):

ºT 6

,ex] [

o = ['O oI o -s« Ü

Ü

1

o o o

y Px

= rCoc, py = rS«, P:

=

d

I

(2.2-48)

ºR6 O

o

o ~]

d.

Coordenadas esféricas para el subconjunto de posicionamiento. Podemos utilizar también el sistema de coordenadas esféricas para especificar la posición del efector final. Esto utiliza las siguientes traslaciones/rotaciones (véase Fig. 2.16): l.

2. 3.

Una traslación de r unidades a lo largo del eje OZ Cf:. U na rotación de ángulo f3 respecto del eje O Y (Ty, ¡¡), Una rotación de ángulo rx respecto del eje OZ (T,.• ).

J


DEL ROBOT

53

a

•

figura 2.16 Representación del sistema de coordenadas esféricas.

La matriz de transformación para la operación anterior es

lea

T,p1r = T,,aRy.{JT:,r =

O OH

-s«

Sa

Ca. O

~

O O I O O I

o

X

l~

o o 1o oo o 1

ºJ

O r

_ -

1

r·cp

-Sf3 O

=s«

Sa.Cf3 -Sf3

I

ceO ol Sf3o o Cf3 o o

X

1

,c,spl

CrxSfJ. o Ca. S':1.Sflo rSrxSf3 rCf3 o C{J 1

~1

Ü

(2.2-49)

l

O

Otra vez, nuestro interés es el vector de posición con respecto al sistema de coordenadas de la base; por tanto. la matriz del brazo ºT 6 cuyo vector de posición se expresa en coordenadas esféricas y la matriz de orientación [n, s, a] o ángulos de Euler o (RPY) se puede obtener:

ºT= 6

donde Px

=

rC'XS{3, py

l =

l

o o

O

I

Ü

Ü

O

l

o o o

rS':XS{J, P:

rS'rXxSf{3Jl rC{J l

=

l

o

(2.2-50)

o

rC{J.

En resumen, existen algunos métodos (o sistemas de coordenadas) que se pueden escoger para describir la posición y orientación del efector final. Para posicionamiento, el vector de posición se puede expresar en coordenadas cartesianas (p,:, Py, P:f, cilíndrica (rC':l, r Sx, d)7, o esférica (rC'XS{3, rSa.Sf3, rC{3)7. Para describir la orientación del efector final con respecto al sistema de coordenadas de

la base, tenemos cartesianas [n. s, a], ángulos de Euler (
1/J) y (RPY). El

54


Tabla 2.2 Diversas representaciones de posicionamiento/orientación Posicionamiento Cartesiana (px, r; p,)7 Cilíndrica (rCIX, rSa, d)7 Esférica (rC1XS{3, rS'Y.S{J, rC{Jf 1

O

[ Tposición

=

Px]

O O P1 1 P:

~ ~

o o

Orientación Cartesiana [n, s, a] Angulos de Euler (
T

=

rol

O

[[n, a]

o

R,p,8,.,

o

o

s,

o

º~J

1

2.2.13 Clasificación de los manipuladores Un manipulador consiste en un grupo de cuerpos rígidos o elementos, con el primero de ellos conectado a una base soporte y el último conteniendo el dispositivo terminal (o herramienta). Además, cada elemento se conecta a lo más a otros dos de manera que no se forman bucles cerrados. Hicimos la hipótesis de que la conexión entre elementos (las articulaciones) tienen solamente un grado de libertad. ~ Con esta restricción, son de interés dos tipos de articulaciones: de revolución (o giratorias) y prismáticas. Una articulación de revolución solamente permite la rotación respecto de un eje, mientras que la articulación prismática permite el deslizamiento a lo largo de un eje con ninguna rotación (deslizamiento con rotación se denomina una articulación tipo tornillo). Estos elementos se conectan y se accionan de forma tal que se fuerzan a moverse relativamente uno respecto de otro con el fin de posicionar el efector final (una mano o herramienta) en una posición y orientación particular. Por tanto, un manipulador, considerado como una combinación de elementos y de articulaciones, con el primer elemento conectado a la base y el último conteniendo la «mano», se puede clasificar por el tipo de articulaciones y su orden (desde la base hasta la mano). Con este convenio, el robot PUMA se puede clasificar como 6R y el brazo de Stanford como 2R-P-3R, donde R es una articula- ción de revolución y P es una articulación prismática.

2.3

EL PROBLEMA CINEMATICO INVERSO

En esta sección se plantea el segundo problema de la cinemática del robot: la cinemática inversa o solución del brazo para un manipulador con seis articulaciones. Los robots basados en computadora se suelen controlar en el espacio de las variables de articulación, mientras que los objetos que se manipulan se suelen

expresar en el sistema de coordenadas de mundo. Con el fin de controlar la posición y orientación del efector final de un robot para alcanzar su objeto, es más

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

55

irnportante la solución cinemática inversa. En otras palabras, dada la posición y orientación del efector final de un brazo de robot de seis ejes 0T6 y sus parámetros de articulación y elementos, nos gustaría encontrar los ángulos de articulación correspondientes q = (q1, q2, q3, q4, q5, q6)7 del robot de manera que pueda p0sicionar como se desee el efector final. En general, el problema cinemático inverso se puede resolver por diversos métodos, tales como la transformación inversa (Paul y col. [1981]), el álgebra de tornillo (Kohli y Soni [1975]), matrices duales (Denavit [1956]), cuatemiones duales (Yang y Freudenstein [1964]), iterativo (Uicker y col. [1964]), y métodos geométricos (Lee y Ziegler [1984]). Pieper [1968] presentó la solución cinemática para cualquier manipulador con seis grados de libertad que tiene pares de revolución o prismáticos para las tres primeras articulaciones y los ejes de las articulaciones de las últimas otras tres se intersectan en un punto. La solución se puede expresar como un polinomio de cuarto grado en una incógnita y una solución en forma cerrada para las incógnitas restantes. Pau] y col. [1981] presentaron una t~nica transformada inversa utilizando las matrices de
s, ax. Px.] s,

a,

P, - o A i A

s, O

ª•

P, 1

O

-

1

2A

2

3

JA 4A sA 4

S

(2.3-1) 6


La ecuación anterior indica que la matriz de brazo T es una función de senos y cosenos de 81, 82, •.. , 86• Por ejemplo, para un robot PUMA, igualando los elementos de las ecuaciones matriciales como en las ecuaciones (2.2-40) a (2.2-43), tenemos doce ecuaciones con seis incógnitas (ángulos de las articulaciones) y estas ecuaciones tienen funciones trigonométricas complejas. Como tenemos más ecuaciones que incógnitas, se puede concluir inmediatamente que existen múltiples soluciones para un robot como el PUMA. Exploraremos dos métodos para encontrar la solución inversa: la técnica transformada inversa para encontrar la solución de los ángulos de Euler, que puede también utilizarse para encontrar la solución de las articulaciones de un robot como el PUMA, y un método geométrico que proporciona más comprensión en resolver manipuladores simples con articulaciones giratorias.

2.3.1 Técnica transformada inversa para Ia solución de ángulos de Euler En esta sección demostraremos el concepto básico de la técnica transformada inversa aplicándola a resolver los ángulos de Euler. La matriz de rotación 3 x 3 se puede expresar en términos de los ángulos de Euler (e/>, 8, i/1) como en la ecuación (2.2-17), dada por

Cc/>Ci/1 -

=

[

Scf>Ci/1

ssces«

+ Ccf>C8Sif¡ S8Sif¡

- Ccf>Si/1 - ScpC8Cif¡ - Scf>Si/1 + CcpC8Cif¡ S8Cif¡

ScpS8] - CcpS8

ce

(2.3-2)

Se desea encontrar el valor correspondiente de cp, 8, ¡/J. Igualando los elementos de la ecuación matricial anterior, tenemos:

n" = Ccf>Ci/1 - ScpC8Sif¡ ny n,

Scf>Ci/1

S"

sy

= =

+

CcpC8Sif¡

(2.3-3a) (2.3-3h)

S8Sif¡

(2.3-3c)

- C Si/1 - ScpC8Cif¡

(2.3-3d)

-Scf>Si/1

+

CcpC8Cif¡

(2.3-3e)

S8Cif¡

(2.3-3/)

ª"

ScpS8

(2.3-3g)

ay

-CcpS8

(2.3-3h)

a, =

ce

(2.3-3,)

sz


DEL ROBOT

57

Utilizando las ecuaciones (2.3-31), (2.3-3f) y (2.3-3h), una solución a las nueve ecuaciones anteriores es:

(} =

cos - 1 (a?)

VI =

cos -

1)

=

(2.3-4) (2.3-5)

1

cos - l

( ;~)

(~;y)

(2.3-6)

U solución anterior es inconsistente y mal condicionada porque: l. La función arco coseno no se comporta bien en cuanto a su precisión en la determinación del ángulo ya que es dependiente del valor del ángulo. Esto es, cos ( 8) = cos ( - 8). 2. Cuando sen (8) se aproxima a cero, esto es, (} ~ Oº o (} ~ ± 180º, las ecuaciones (2.3-5) y (2.3-6) dan soluciones imprecisas o están indefinidas. Debemos, por tanto, encontrar un método más consistente para determinar la solución de los ángulos de Euler y una función arco trigonométrica más consistente para calcular la solución del ángulo. Con el fin de evaluar (} para - n ~ (} ~ n, se utilizará una función arco tangente, are tg2 (y, x), que devuelve tg " 1 (y/x)

ajustada al cuadrante apropiado. Se define como:

e

are tg2 ( y, x)

¡

Oº ~ 8 ~ 90º i 90º ~ (} ~ 180º -180º ~ (} ~ -90º i

-90º ~ 8 ~

oc

para +x y + y para -x y +y para

-x

(2.3- 7)

y -y

para +x y -y

Utilizando la función arco tangente (are tg2) con dos argumentos, tendremos una visión de la solución general propuesta por Paul y col. [1981]. En la ecuación matricial [ecuación (2.3-2)] se dan los elementos de la matriz en el lado izquierdo, mientras que los elementos de las tres matrices del lado derecho son incógnitas y son dependientes de q>, 8, VI· Paul y col. [1981] sugieren premultiplicar la ecuación matricial anterior por su transformada inversa desconocida sucesivamente y de los elementos de la ecuación matricial resultante determinan el ángulo incógnita. Esto es, movemos una incógnita (por su transformada inversa) del lado derecho de la ecuación matricial al lado izquierdo y resolvemos para la incógnita, a continuación movemos la siguiente incógnita al lado izquierdo y repetimos el proceso hasta que se resuelven todas las incógnitas. Prernultiplicando la ecuz ción matricial anterior por R;: i tenemos una incógnila (q,) en el lado izquierdo y dos incógnitas (8, VI) en el lado derecho de la ecuación matricial, así tenemos

Sq> Cq> o

~]

O

= SVI

nr

s,

a,

O C(} -S{}

O]} [nxnz

ªx] [lÜ S(J O C(}O ] [CVI Ü

s, s, a,

-SVI

CVI

o

58

o

ROBOTICA: CONTROL, DETECCJON, VISION E INTELIGENCIA

C
-St/1

C
[

cec s sec»

n~

-~e]ce (2.3-8)

Igualando los elementos (1, 3) de ambas matrices en la ecuación (2.3-8) tenemos: (2.3-9) que da

=

tg-1

(

~:J

=

are tg2 (ax, -ay)

(2.3-1 O)

Igualando los elementos (1, 1) y (1, 2) de ambas matrices tenemos: Ct/1 St/1

= Con, + = -Csx -

(2.3-1 la)

Sn,

(2.3-1 lh)

Ss,

que conduce a la solución para t/1, .t, "I'

(St/1) CiJ¡

_

=

tg -i

=

are tg2 (- Csx - Sos ; Cdm,

= tg

1

(-Csx - Ss,) Cdm; + Sn1•

+ Sn)

(2.3-12),

Igualando los elementos (2, 3) y (3, 3) de ambas matrices tenemos:

se = Soa; ce = a, que nos da la solución para

_1

(se ) -

_

ce

(2.3-13)

e,

= tg 1(Sax-Ca>·)

ull =tg

- Ca,

= are tg2 (Sax-Car a:) (2.3-14)

ª=

Como el concepto de la técnica transformada inversa es mover una incógnita al lado izquierdo de la ecuación matricial a un tiempo y resolver para la incógnita. podemos intentar resolver la ecuación matricial anterior para , e, iJ¡ por postmultiplicar dicha ecuación matricial por su transformada inversa R~.1~ o -S C St/1 o Ct/1

o

º] [ o

1

cOe -seO

I CO ]

O

S8

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

59

Multiplicando las matrices tenemos: nxCi/1-sxSi/l nyCi/1-sySi/l [ n,Cij¡ -s,Slj¡

nxSi/l+sxCi/1 nySi/1 + syCi/1 n,Si/1 + s,Ci/1

ª"'] [C
a,

o

-S
se

SSB] - C
ce

Otra vez, igualando los elementos (3, 1) de ambas matrices en dicha ecuación matricial, tenemos: (2.3-16)

que da i/1

=

tg "

1

=

(n·) s.

are tg2 (n,, s,)

(2.3-17)

Igualando los elementos (3, 2) y (3, 3) de ambas matrices tenemos:

se = C()

=

n,Si/1

(2.3-18a)

+ s,Cij¡

(2.3-18b)

a,

1

que nos conducen a la solución para B, 1

()

=

tg "

1

(n,Sij¡

ª+•

=

are tg2 (n,Sij¡

+ s,Cij¡, a,)

(2.3-19)

s,Ci/1)

Igualando los elementos ( 1, 1) y (2, 1) de ambas matrices tenemos: C
=

nyCi/1 - sySi/1

(2.3-20a) (2.3-20b)

que da

nxCi/1 - sxSi/1

=

are tg2 (nyCt/1 - sySt/1, nxCt/1 - sxSi/1)

(2.3-21)

Corresponde al usuario la libertad de premultiplicar o postmultiplicar una ecuación matricial dada. Apliquemos esta técnica transformada inversa para resolver los ángulos de Euler para un robot tipo PUMA (solución OAT de un robot PUMA). Los robots

60

ROBOTICA: C01'TROL, DETECCJON, VISIO:-,/ E INTELIGENCIA

PUMA utilizan los símbolos O, A, T para indicar los ángulos de Euler y sus definiciones se dan a continuación (con referencia a la figura 2.17): O (orientación) es el ángulo formado desde el eje Yo hasta la proyección del eje a de la herramienta sobre el plano XY respecto del eje z0. A (altitud) es el ángulo formado desd_e.-etplanoXY hasta el eje a de la herramienta respecto del eje s de 1.í'°,.,herramienta. T (herramienta) (tool) es el ángulo formado desde el plano XY hasta el ejes de la herramienta respecto del eje a de la herramienta.

.. · '!,.

•••• •••

~{j).....

··. ······ ... ···

, , <::: ; :; ,;:~\)

O, una medida del ángulo formado entre el eje MUNDO Y y una proyección de la HERRAMIENTA Z sobre el plano MUNDO XY

········· ...

· .. ··········

'D0 ::··. r

, A una medida rdel ángulo formado ent e la HERRAMIENTA Z y

un plano paralelo al plano MUNDO XY

•-

..

..... ·········

..· ' 'T v,'lJo. ,>·..-, •.••• •• ..,.,0....-~oº ;-

,

HERRAMIENTA

'{

T. una medida del ángulo formado entre la HERRAMIENTA Y y un plano paralelo al plano MUNDO XY

Y

·· ·;·-. .. · · .. .... -,

···

· ··

··~

•• ••• '!,.

.. ··~~{j)

Figura 2.17 Definición de los ángulos de Euler O, A y T. (Tomado del manual del robot PUMA 398H.)

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

61

Zo

figura 2.18 Alineamiento inicial del sistema de coordenadas de la herramienta.

Inicialmente el sistema de coordenadas de la herramienta (o el sistema de coordenadas de la mano) está alineado con el sistema de coordenadas de la base del robot, como se nos muestra en la figura 2.18. Esto es, cuando O = A = T = Oº, los puntos de la mano en el eje y0 negativo con los dedos en un plano horizontal y el eje s están apuntando al eje x0 positivo. La transformación necesaria que describe la orientación del sistema de coordenadas de la mano (n, s, a) con respecto al sistema de coordenadas de la base (x0, y0, z0) está dado por

[

~ -1

~ O

~]

-

(2.3-22)

O

De la definición de los ángulos OAT y la matriz de alineación inicial [ecuación (2.3-22)], la relación entre la transformación de la mano y los ángulos OA T está dada por

l r· ~] u a,

s,.

-so so co = ¡ca o

["'

ª>' ª=

'1>· Sy n: s,

= R=.O

o

uº]

-1 O1

1

o o [

[CST

o

-!]

.: C

o

AI

O

R,

,R.'

=

O SA] O

CA

º]

-ST CT

O

O

I

O

Postmultiplicando la ecuación matricial anterior por la transformación inversa s, a, CT ST -so T•

ª•·

nY sY ay n, s. ª=

l[

-ST

o

CT

o

º] ¡ca

o = so I

O

co O

~] u

Ü1

o

º]o

-1

X

X

[

CA Ü

-SA

o 1

o

s;]

CA

62


y multiplicando las matrices tenemos: CO SOCA·] SO -COCA O -SA

(2.3-23)

Igualando los elementos (3, 2) de dicha ecuación matricial tenemos: n,ST

+

s,CT = O

(2.3-24)

=

(2.3-25)

lo que la da solución de T, T

=

tg-1

( ~~.)

are tg2 (s,, -n,)

Igualando los elementos (3, l) y (3, 3) de ambas matrices tenemos: SA = -a, y CA

= - n,CT +

(2.3-26a) (2.3-266)

s,ST

entonces las ecuaciones anteriores dan A

=

tg-1

(

-a, ) - n,CT + s:ST ,· '

i=

are tg2 (-a,,

-n,CT

+

s,ST) (2.3-27)

Igualando los elementos (l, 2) y (2, 2) de ambas matrices tenemos: CO SO

=

=

n.S]' nyST

(2.3-28a) (2.3-28b)

+ sxCT + s)'CT

que dan la solución de O, O

=

tg-

=

are tg2

1

+ syCT) + s.ct (n,ST + syCT, nxST +

(nyST nxST

sxCT)

(2.3-29)

La premultiplicación o la postmultiplicación anterior de las transformadas inversas desconocidas se pueden también aplicar para encontrar la solución de las articulaciones de un robot PUMA. Los detalles respecto a la solución del robot PUMA se pueden encontrar en Paul y col. [1981]. Aunque la técnica de la transformada inversa proporciona un método general para determinar la solución de las articulaciones de un manipulador, no da una indicación clara sobre cómo seleccionar una solución apropiada de las diversas soluciones posibles para una configuración de brazo particular. Esto tiene que descansar sobre la intuición geométrica del usuario. Así, un método geométrico

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

63

es más útil para derivar una solución de ángulos de articulación consistentes, dada la matriz del brazo como en la ecuación (2.2-39), y proporciona un medio para que el usuario pueda seleccionar una solución única para una configuración de brazo particular. Este método se presenta en la sección 2.3.2.

2.3.2 Un método geométrico Esta sección presenta un método geométrico para la resolución del problema cinemático inverso de manipuladores de seis elementos con articulaciones giratorias. La discusión se enfoca sobre un manipulador tipo PUMA. Basado en el sistema de coordenadas del elemento y en la geometría del brazo humano, se pueden identificar diversas configuraciones de brazo de un robot tipo PUMA (Fig. 2.11) con la ayuda de tres indicadores de configuración (BRAZO, CODO y MUl',IECA) -dos asociados con la solución de las tres primeras articulaciones y el otro con las tres últimas-. Para un robot de seis ejes tipo PUMA, existen cuatro soluciones posibles para las tres primeras articulaciones y para cada una de las cuatro soluciones hay dos soluciones posibles para las tres últimas. Los dos primeros indicadores de configuración permiten determinar una solución de las cuatro soluciones posibles para las tres primeras articulaciones. Análogamente, el tercer indicador selecciona una solución de las dos posibles para las tres últimas articulaciones. Los indicadores de articulación del brazo se especifican por el usuario para encontrar la solución inversa. La solución se calcula en dos etapas. Primero, se deriva un vector de posición apuntando desde el hombro hasta la muñeca. Esto se utiliza para obtener la solución de cada articulación i (i = 1, 2, 3) para las tres primeras articulaciones examinando la proyección del vector de posición sobre el plano X¡_ 1y¡_ 1. Las tres articulaciones últimas se resuelven utilizando la solución de la articulación calculada de las tres primeras articulaciones, las submatrices de orientación de ºT; y i- 1 A¡ (i = 4, 5, 6), y la proyección del sistema de coordenadas de los elementos sobre el plano X;_ 1y¡_ 1. De la geometría se puede encontrar fácilmente la solución del brazo de forma consistente. Como una verificación de la solución de la articulación, se pueden determinar los indicadores de configuración del brazo de las ecuaciones de decisión correspondientes, las cuales son funciones de los ángulos de la articulación. Con modificaciones y ajustes apropiados se puede generalizar este método para resolver el problema cinemático inverso de la mayoría de los robots industriales de hoy día con articulaciones giratorias. Si se dan ,crThcrnmicnta• entonces podemos encontrar 0T6 por premultiplicar y postmultiplicar ,crThcrramicnta por B - 1 y H- 1, respectivamente, y la solución del ángulo de articulación se puede aplicar a ºT6 como se desee.

O

T6

-

=

T

=-1~B

-1

ThcrramicnlaH

r ~

s,. a,. s, a,

=

o o o

P,

n, s. l P,l

ª·

(2.3-30)

Pz

64 ROBOTICA: CONTROL, DETECCIO:S:, VISION E INTELIGENCIA

Definición de las diversas configuraciones de brazo. Para un robot PUMA mostrado en la figura 2.11 (y otros robots giratorios), se definen diversas configuraciones de brazo de acuerdo con la geometría del brazo humano y el sistema de coordenadas de elementos que se estableció utilizando el algoritmo 2.1 como (Fig. 2.19): BRAZO DERECHO (hombro): 02 positivo mueve la muñeca en la dirección z0 positivo mientras la articulación tres no se activa. BRAZO IZQUIERDO (hombro): 02 positivo mueve la muñeca en la dirección z0 negativa mientras la articulación tres no se activa. BRAZO ARRIBA (codo por encima de la muñeca): Posición de la muñeca del brazo { DERECHO} con respecto al si. stema de coordenadas del hombro IZQUIERDO . y2. negativo} a lo largo del eje tiene valor de coordenada { . . posiuvo BRAZO ABAJO (codo por debajo de la muñeca): Posición de la muñeca del . de coordenadas del hombro DERECHO} con respecto al sistema brazo { IZQUIERDO tiene valor de coordenada

positivo} . { negativo

a lo largo del eje y 2•

MUÑECA ABAJO: El vector unitario s del sistema de coordenadas de la mano y el vector unitario y5 del sistema de coordenadas (x., Ys. z5) tienen un producto escalar positivo. MUÑECA ARRIBA: El vector unitario s del sistema de coordenadas de la mano y el vector unitario y 5 del sistema de coordenadas (x., y 5, z5) tienen un producto escalar negativo. (Obsérvese que la definición de las configuraciones del brazo con respecto al sistema de coordenadas del elemento pueden tener que ser ligeramente modificadas si se utilizan diferentes sistemas de coordenadas para los elementos.) Con respecto a la definición anterior de las diversas configuraciones del brazo, se definen dos indicadores de configuraciones de brazo (BRAZO y CODO) para cada configuración. Estos dos indicadores se combinan para dar una solución de las cuatro posibles para las tres primeras articulaciones. Para cada una de las cuatro configuraciones del brazo (Fig. 2.19) definidas por estos dos indicadores, el tercer indicador (MUÑECA) da una de las dos posibles soluciones de articulación para las tres últimas articulaciones. Estos tres indicadores se pueden definir como: BRAZO= { + l -1

brazo DERECHO brazo IZQUIERDO

(2.3-31)

CODO

{+1 -1

brazo ARRIBA brazo ABAJO

(2.3-32)

MUÑECA

{+1 -1

muñeca ABAJO muñeca ARRIBA

(2.3-33)


Brazo izquierdo

65

y arriba

Brazo derecho y arriba

Brazo izquierdo y abajo

Brazo derecho y abajo

Figura 2.19 Definición de diversas configuraciones de brazo.

Además de estos indicadores, el usuario puede definir un conmutador «FLIP» como: F IP _ L -

{+

1 _ ¡

Cambiar la orientación de la muñeca No cambiar la orientación de la muñeca

(2.3-34)

Los valores señalados de estos indicadores y el conmutador se especifican por el usuario para encontrar la solución cinemática inversa. Estos indicadores se pueden también fijar a partir del conocimiento de los ángulos de la articulación del brazo del robot utilizando las correspondientes ecuaciones de decisión. Posteriormente daremos las ecuaciones de decisión que determinan estos valores de los indicadores. Las ecuaciones de decisión se pueden utilizar como una verificación de la solución cinemática inversa.

66

ROBOTICA: co;s;TROL, DETECCION,

v1s10:-.:

E 1:-;TELIGE:-.:CIA

Solución del brazo para las tres primeras articulaciones. Del diagrama cinemático del robot PUMA en la figura 2.11, definimos un vector de posición p que apunta desde el origen del sistema de coordenadas del hombro (x0, Yo, z0) hasta el punto donde intersecciona el último de los tres ejes de la articulación como (véase figura 2.14): (2.3-35)

que corresponde al vector de posición de 0T4: (2.3-36)

Solución de la articulación J. Si proyectamos el vector de posición p sobre el plano x0y0 como en la figura 2.20, obtenemos las siguientes ecuaciones para obtener 01: ()R1 =n+
et=
+

p; - dzz

sen

R = Jp;

(2.3-37)

+ p;

cos

=

r

(2.3-38) (2.3-39) (2.3-40)

R

donde los superíndices L y R sobre los ángulos de las articulaciones indican las configuraciones de brazo IZQUIERDO/DERECHO. De las ecuaciones (2.3-37) a (2.3-40) obtenemos las funciones seno y coseno de 01 para las configuraciones de brazo IZQUIERDO/DERECHO: sen

et

cos

et

= sen (

cos (

ix)

= cos

ix

+ sen
(2.3-41)

(2.3-42)

sen

Of

cos

ef

= sen (n +

cos (n

+
(2.3-43)

(2.3-44)

66

v1s10:-;

ROBOTICA: CONTROL, DETECCION,

E ISTELIGENCIA

Solución del brazo para las tres primeras articulaciones. Del diagrama cinemático del robot PUMA en la figura 2.11, definimos un vector de posición p que apunta desde el origen del sistema de coordenadas del hombro (x0, Yo, z0) hasta el punto donde intersecciona el último de los tres ejes de la articulación como (véase figura 2.14): (2.3-35)

que corresponde al. vector de posición de 0T4: (2.3-36)

Solución de la articulación J. Si proyectamos el vector de posición p sobre el plano x0y0 como en la figura 2.20, obtenemos las siguientes ecuaciones para obtener 81: 8Rl =1t+
8¡=
=

Jp;

+

p; -

sen

=

sen

IX

Py R d2 R

(2.3-37)

R

=

Jp; + p;

(2.3-38)

=

Px R

(2.3-39)

COS IX

=

r R

(2.3-40)

d2 2 cos

donde los superíndices L y R sobre los ángulos de las articulaciones indican las configuraciones de brazo IZQUIERDO/DERECHO. De las ecuaciones (2.3-37) a (2.3-40) obtenemos las funciones seno y coseno de 81 para las configuraciones de brazo IZQUIERDO/DERECHO: sen

ef =

cos

o

ra .

sen

= cos

(

7.)

=

sen

cos :x - cos

sen 'Y.

(A.

IX)

= cos

,1, 'I'

cos a

+ sen

sen a -

'I'

-

1

(2.3-41) _

Px'

+R2

(2.3-42)

Pyd2

sen

ef

COS

e R¡

sen (1t

+

+

IX)

(2.3-43)

=

COS

(1t

+
+

IX)

=

- Px' + Pyd2 -----=~ -

R 2

(2.3-44)


67

Plano x0y0

OA = d2

A8

I

1 1 \

/

=

08 =

\

Brazo izquierdo

' ,....._

/

r

J p2,

=

J p2,

+ p2y -d22

+ p2y = R

I

./

\

// ....

Cilindro interior con radio d,

Yo

/

OA = di

(p,. p_,.)

,....-

8

/

A8 = r =

I ~=r+,t,+a

J P2 X

+ P~-d2 .'f 2

I

1

\ \

08 =

lfc"~~~.,...+-'-~~~~-xo

\

\

Jp; + p;

-, Brazo derecho

Figura 2.20 Solución para la articulación 1. Combinando las ecuaciones (2.3-41) a (2.3-44) y utilizando el indicador de BRAZO para indicar las configuraciones de brazo IZQUIERDO DERECHO, obtenemos, respectivamente, las funciones seno y coseno de 81: sen 81 cos ll¡

- BRAZO pyj p;

p;

+ p; + p;

d¡ -

Px'Íz

(2.3-45)

(2.3-46)

68 ROBOTICA: CONTROL, DETECCI01', VISION E 1'-'TELIGENCIA

ir..

p ; p,)

O AA = d1 EF = P., EG = BBC = a1 P,. C = a.1 DE = P, D= d4

Z¡

A

AD = R = J P: + P; + P; - di E = r = dl

J

pl

+ p2 -

r

,\'

2

Figura 2.21 Solución para la articulación 2.

donde se toma la raíz cuadrada positiva en estas ecuaciones y se define BRAZO como en la ecuación (2.3-31). Con el fin de evaluar 81 para -n ~ 81 ~ n, se utilizará tal como se definió en la ecuación (2.3- 7) una función arco tangente. De las ecuaciones (2.3-45) y (2.3-46), y utilizando la ecuación (2.3-7), se encuentra que 81 es: 8 1) 81 = t g _ 1 (sen cos 8¡

=

tg

_1

(-BRAZOpyjp; + p; - dJ - Pxdi) - BRAZO PxJ p; + p; - d'f + pyd2

(2.3-47~

Solución de la articulación 2. Para encontrar la articulación 2, proyectamos el vector de posición p sobre el plano x 1y 1 tal como se muestra en la figura 2.21. De esta figura encontramos que tenemos cuatro configuraciones diferentes de brazo. Cada una corresponde a valores diferentes de la articulación 2 como se muestra en la tabla 2.3, donde Oº ~ :x ~ 360º y oc ~ f3 ~ 90º. Tabla 2.3

Diversas configuraciones de brazo para la articulación 2

Configuraciones Brazo Brazo Brazo Brazo

de brazo

IZQUIERDO IZQUIERDO DERECHO y DERECHO y

y ARRIBA y ABAJO

ARRIBA ABAJO

82 f3 + f3 + f3 - f3

IX :X IX IX

BRAZO

CODO

BRAZO· CODO

-1 -1

+I

-1

+l +t

+I

-1

-1

+! +t -1

CINEMATICA DEL BRAZO DEL ROBOT 69

En la tabla anterior, 82 se puede expresar en una ecuación para diferentes configuraciones de brazo y codo utilizando los indicadores de BRAZO y CODO como:

=

82

a

+ (BRAZO · COD0)/3 = a + K · /3

(2.3-48)

donde el indicador de configuración de brazo combinado K = BRAZO· CODO dará un valor de signo apropiado y el «punto» representa una operación de multiplicación sobre los indicadores. De la geometría del brazo en la figura 2.21 obtenemos:

r =

R = J p; + p; + p; sen

P,

!X

Jp; + p; -

df

(2.3-49)

P, J p; + p; + p; - df

= -- R =

(2.3-50) 2

BRAZO· r

cosa

cos

BRAZO· Jp;

ª2 + R2 2

2

P1

-

d2

(2.3-51)

Jp; + p2y + p2z _ d22

R

/3 =

+

(2.3-52)

(df + an 2a2R -

p; + p; + p; + a~ - df - (d¡ + a~) 2a2Jp; + p; + p; - df sen

/3 = Ji

- cos2

P

(2.3-53)

De las ecuaciones (2.3-48) a (2.3-53) encontramos las funciones de seno y coseno de 92: sen (!X cos 82

+

=

sen a cos

= =

cos

K ·

/3) =

sen

!X

cos (K ·

/3) +

/3 + (BRAZO · CODO) cos

cos

!X

sen (K ·

sen

/3

cos a cos /3 - (BRAZO · CODO) sen a sen

/3

(!X

+ K · /3)

!X

=

/3)

(2.3-54) (2.3-55)

De las ecuaciones (2.3-54) y (2.3-55) obtenemos la solución para 82:

8 2 -_ tg _

1

(s e n 82) - cos 82

(2.3-56)

Solución para la articulación 3. Para la articulación 3, proyectamos el vector de P<>sición p sobre el plano x2y2 tal como se muestra en la figura 2.22. De esta fi~ura obtenemos cuatro configuraciones de brazos diferentes. Cada configuraCton corresponde a valores diferentes de la articulación 3 como se muestra en la tabla 2.4, donde (2p4)y es la componente y del vector de posición desde el origen

70 ROBOTICA: Plano

co;-;TROL.

UETEC'C'ION,

YISION

E INTELIGENCIA

,,y, D

BD=~ AD=

o.,=

ef¡ -

R =.l

•

Jp2 .{ + p2y + pl~ - di2

/3


A

~D

0.1

X_¡

=

ef, -

/3

=

90°


e

D

Brazo izquierdo y arriba


de (x2, y 2, z2) hasta el punto donde se intersectan los últimos tres ejes de articu- lación. De la geometría del brazo en la figura 2.22 obtenemos las ecuaciones siguientes para encontrar la solución a ('3: (2.3-57) + p; - d¡

R=

cos

Jp;

p; ai + (d¡ + 2a Jd¡ +

2

sen

sen

/3

ai) - R2 + ai

BRAZO· CODO

Jd¡

d4 +

a~

(2.3-58)

jt

cos2
/3

laJI +

cos

jd¡

a~

(2.3-59)

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

71

Tabla 2.4 Diversas configuraciones de brazos para la articulación 3 Configuraciones de brazo

(2p4)y

03

BRAZO CODO BRAZO·CODO

Brazo IZQUIERDO y ARRIBA

) o

tj)-{3

-1

+l

-1

Brazo IZQUIERDO y ABAJO

~o

tj)-{3

-l

-1

+l

Brazo DERECHO y ARRIBA

~o

tj)-{3

+I

+l

+l

Brazo DERECHO y ABAJO

)O

tj)-{3

+l

-1

-1

De la tabla 2.4 podemos expresar 83 en una ecuación para configuraciones de brazos diferentes: (2.3-60)

De la ecuación (2.3-60), las funciones seno y coseno de 83 son, respectivamente: sen 83

=

sen ( -

cos 83 = cos ( -

/3) = /3) =

sen cos

cos cos

/3 /3 +

cos sen

/3

(2.3-61)

sen /3

(2.3-62)

sen i

1

De las ecuaciones (2.3-6 l) y (2.3-62), y utilizando las ecuaciones (2.3-57) a (2.3-59), encontramos la solución para 83: (2.3-63)

Solución del brazo para las últimas tres articulaciones. Conociendo los tres primeros ángulos de articulación, podemos evaluar la matriz 0T3 que se utiliza extensivamente para encontrar la solución de las tres últimas articulaciones. La solución de las tres últimas articulaciones de un robot PUMA se pueden encontrar haciendo que estas articulaciones cumplan los criterios siguientes: l. 2.

Fijar la articulación 4 de forma tal que una rotación respecto de la rotación 5 alineará el eje de movimiento de la articulación 6 con el vector de aproximación dado (a de T). Fijar la articulación 5 para alinear el eje de movimiento de la articulación 6 con el vector de aproximación.

3.

Fijar la articulación 6 para alinear el vector de orientación dado (o vector de deslizamiento o y6) y el vector normal.

72

ROBOTICA: CONTROL, OETECCION, \ 1SION E INTELIGENCIA

Matemáticamente, los criterios anteriores significan. respectivamente:

a s

= =

dado a

=

(a,,, a1, a,)7

(2.3-64)

Z5

dado a

=

(a,,, a1, az)7

(2.3-65)

Y6

dado s

=

(s..,, s1, s.)7 y n

=

(n..,, n1, n.)7

(2.3-66)

En la ecuación (2.3-64) se puede tomar el vector producto vectorial como positivo o negativo. Como resultado de esto, existen dos soluciones posibles para (}4. Si el vector producto vectorial es cero (es decir, z3 es paralelo a a), indica el caso degenerado. Esto sucede cuando los ejes de rotación son paralelos para las articulaciones 4 y 6. Indica que en esta configuración de brazo particular sería suficiente un robot de cinco ejes en lugar de uno que tenga seis. Solución de la articulación 4. Ambas orientaciones de la muñeca (ARRIBA y ABAJO) se definen observando la orientación del sistema de coordenadas de la mano (n, s, a) con respecto al sistema de coordenadas (x5, y5, z5). El signo del vector producto vectorial en la ecuación (2.3-64) no se puede determinar sin referirse a la orientación del vector unitario n o s con respecto al vector unitario x5 o y 5, respectivamente, que tienen una relación fija con respecto al vector unitario z4 a partir de la asignación del sistema de coordenadas del elemento. (De la figura 2.11 tenernos el vector unitario z4 apuntando en la misma dirección que el vector unitario y 5.) Comenzaremos con la hipótesis que el producto vectorial en la ecuación (2.3-64) tiene signo positivo. Esto se puede indicar mediante un indicador de orientación n que se define como: si se está en el caso degenerado si s · y 5 #- O (2.3-67) n s ~ s,

l

n · Ys

si s · y5

=

O

De la figura 2.11, y5 = z4, y utilizando la ecuación (2.3-64), se puede reescribir el indicador de orientación O cerno:

o n=

(Z3 X ~Z3 X (Z3 X n· llz3 X

s·

si se está en el caso degenerado a)

•I a)

a¡I

si

S ·

(z , X a)

si S · (Z3 X a)

,f. Ü

=

(2.3-68)

Ü

Si nuestra hipótesis del signo Je! producto vectorial en la ecuación (2.3-64) no es correcta, se cambiará posteriesmente utilizando la combinación de MUÑECA y el indicador de orientación O. La n se utiliza para indicar la orientación inicial

CINEMATICA

1abla 2.5

DEL BRAZO

DEL ROBOT

73

Diversas orientaciones para la muñeca

Or ·Íentación de muñeca

íl=s · y5 o n · y5

MUÑECA

M=MUÑECA sign (Q)

ABAJO ABAJO ARRIBA ARRIBA

~o
+I +1 -1 -1

+I -1 -1

+1

z4 (dirección positiva) a partir de la asignación de los sistemas del vector nitario u das de los elementos, mientras que el indicador MUÑECA especifica de coordena a del usuario en la orientación del subsistema MUÑECA de acuerdo la preferenci ición dada en la ecuación (2.3-33). Si ambos indicadores tienen el con la defin , entonces la hipótesis del signo dél producto vectorial en la ecuación mismo signo {2.3-64) es correcta. En la tabla 2.5 se tabulan diversas orientaciones de MUÑECA que resultan de la combinación de algunos valores de los indicadores de MUÑECA y su orientación. Otra vez, observando la proyección del sistema de coordenadas (x¿ y4, z4) sobre el plano x3y3 y de la tabla 2.5 y la figura 2.23, se puede demostrar que es cierto lo siguiente (véase Fig. 2.23): (2.3-69) donde x3 0T3, respectivamente, M = MUÑe y3 son los vectores columnas x e y. de ECA sigo (!l), y la función sigo se define como: SI X ~ (2.3- 70) . s1 gn (x) = { _+ 1 Ü

SI X

1------

z,

1

1 1

sen 84 = - z, (

1 • ~J)

1


<

Ü


Así, la solución para 84 con los indicadores de MUÑECA y orientación es:

(2.3-71)

Si ocurre el caso degenerado, se puede escoger para 84 cualquier valor conveniente mientras se satisfaga la orientación de la muñeca (ARRIBA/ABAJO). Esto se puede asegurar siempre fijando 84 igual al valor actual de 84. Además de esto, el usuario puede activar el conmutador FLIP para obtener la otra solución de 84, esto es, 84 = 84 + 180º. Solución de la articulación 5. Para encontrar 85, utilizamos el criterio que alinea el eje de rotación de la articulación 6 con el vector de aproximación (o a = z5). Mirando la proyección del sistema de coordenadas (x5, y5, z5) sobre el plano x4y4, se puede demostrar que es cierto lo siguiente (véase Fig. 2.24): (2.3-72) donde x4 e y4 son, respectivamente, los vectores columnas x e y de ºT4 y a es el vector de aproximatón. Así, la solución a 85 es: - 85

5)

-

=

tg " i (sen 8 cos 85

=

tg_1 [(C1C23C4 - S1S4)ax C1S23a.,,

Si 85

~

7t ~

8

5~

7t

+ (S1C23C4 + C1S4)ay - C4S23a=J + S1S23a, + C23a:

(2.3- 73)

O, entonces ocurre el caso degenerado.

Solución de la articulación 6. Hasta ahora hemos alineado el eje de la articulación 6 con el vector de aproximación. A continuación necesitamos alinear la orientación de la pinza para facilitar la recogida del objeto. El criterio para hacer

cos 9~ = -(a· y4)

X.


CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

75

esto es fijar s = y6. Mirando la proyección del sistema de coordenadas de la mano (n, s, a) sobre el plano x5y 5, se puede demostrar que se cumple (véase figura 2.25): sen 06

=

n · y5

cos

()6

=

S .

Y5

(2.3-74)

donde y s es el vector columna de ºT5 y n y s son, respectivamente, los vectores normal y de deslizamiento. Así, la solución a 06 es:

-

C1C23S4)nx C1C23S4}sx

+ +

(C1C4 (C1C4

- S1C23S4)n1 - S1C23S4)s1

+ +

(S4S23)n=J (S4S23)s,

(2.3- 75) La derivación anterior de la solución cinemática inversa de un robot PUMA se basa en la interpretación geométrica de la posición del punto final del elemento 3 y del requisito de orientación de la mano (o herramienta). Existe un inconveniente en la derivación anterior para 04, 05 y 06. El criterio para fijar el eje de movimiento de la articulación 5 que es igual al producto vectorial de z3 y a puede no ser válido cuando sen Os : : : : O, lo que significa que Os : : : : O. En este caso, el manipulador se hace degenerado con los ejes de movimiento de las articulaciones 4 y 6 alineadas. En este estado, solamente es significativo la suma de 04 y 06. Si ocurre el caso degenerado, entonces somos libres de escoger cualquier valor para 64, y normalmente se utiliza su valor actual y a continuación nos gustaría tener 64 + 06 igual al ángulo total necesitado para alinear el vector de deslizamiento s y el vector normal n. Si el conmutador FLIP está activado (es decir, FLIP = 1), entonces ()4 = ()4 + n, Os = - Os Y 06 = 06 + n. En resumen, existen ocho soluciones al problema cinemático inverso de un robot tipo PUMA de seis articulaciones. La solución de las tres primeras articu-

X1

FiRUra 2.25 Solución para la articulación 6.


laciones (81, 82, 83) posicionan el brazo mientras que las soluciones de las últimas tres articulaciones (84, 85, 86) proporcionan la orientación apropiada de la mano. Hay cuatro soluciones para las tres primeras articulaciones. Dos para la configuración del brazo del hombro derecho y dos para la configuración del brazo del hombro izquierdo. Para cada configuración de brazo, las ecuaciones (2.3-47), (2.3-56),(2.3-63),(2.3-71 ), (2.3-73) y (2.3- 75) dan un conjunto de soluciones (81, 82, 83, 84, 85, 86) y (81, 82, 83, 84 + n, -85, 86 + rr) (con el conmutador FLIP activado) da otro conjunto de soluciones. Ecuaciones de decisión para los indicadores de configuración de brazo. La solución derivada para un brazo tipo PUMA en la sección anterior no es única y depende de los indicadores de configuración de brazo especificados por el usuario. Estos indicadores (BRAZO, CODO y MUÑECA) se pueden determinar también a partir de los ángulos de las articulaciones. En este apartado deducimos las ecuaciones de decisión respectivas para cada indicador de configuración de brazo. El signo de la ecuación de decisión (positivo. cero o negativo) proporciona una indicación de la configuración de brazo tal como se definieron en las ecuaciones (2.3-31) a (2.3-33). Para el indicador BRAZO, siguiendo la definición del brazo DERECHO/IZQUIERDO, se puede encontrar una ecuación de decisión como: Z¡ X p' k +sen el Zo. -ijz-,-x-p- Zo. o [z¡ x p'I g(8, p) ='j Px O -p>'

sen 81

-

p., cos 81

(2.3-76)

llz1 x p'I donde p' = (p.,, py, 0)7 es la proyección del vector de posición p [Ec. (2.3-36)] sobre el plano x0y0, z1 (sen 1• cos 81, 0)7 del vector tercera columna de 0T1 , y z0 = (O, O, 1)7. Tenemos las posibilidades siguientes:

e

l.

2. 3.

Si g(8, p) > O, entonces el brazo está en la configuración de brazo DERECHO. Si g(8, p) < O, entonces el brazo está en la configuración de brazo IZQUIERDO. Si g(8, p) = O, entonces el criterio para encontrar la configuración de brazo IZQUIERDO/DERECHO no se puede determinar unívocamente. El brazo está dentro del cilindro de radio d2 en el espacio de trabajo (véase Fig. 2.19). En este caso se toma por defecto el brazo a la DERECHA (BRAZO = + 1).

Como el denominador de las ecuaciones de decisión anteriores es siempre positivo, la determinación de la configuración del brazo IZQUIERDO/DERECHO se reduce a comprobar el signo del numerador de g(8, p): BRAZO

=

sign [g(8, p)]

=

sigo (-Px cos 81

-

A· sen 81)

(2.3-77)

CINEMATICA

DEL

BRAZO

DEL ROBOT

77

donde la función signo se definió en la ecuación (2.3-70). Sustituyendo las componentes x e y de p de la ecuación (2.3-36), la ecuación (2.3-77) se hace: BRAZO = sign [g(O, p)] = sign [g(O)] = sign ( -d4S23

-

a3C23

-

a2C2) (2.3-78)

De aquí que a partir de la ecuación de decisión en la ecuación (2.3-78) se puede relacionar su signo con el indicador de BRAZO para la configuración DERECHO/IZQUIERDO como:

+1 { -1

=> =>

brazo DERECHO brazo IZQUIERDO (2.3-79)

Para el indicador de brazo CODO, seguimos la definición de brazo ARRIBA/ ABAJO para formular la correspondiente ecuación de decisión. Utilizando (2p4)>. y el indicador BRAZO en la tabla 2.4, la ecuación de decisión para el indicador CODO se basa en el signo de la componente y el vector de posición 2 A3 3 A4 y el indicador de BRAZO: => =>

CODO encima muñeca CODO debajo muñeca (2.3-80)

Para el indicador MUÑECA, seguimos la definición de MUÑECA ARRIBA/ ABAJO para obtener un producto escalar positivo de los vectores unitarios se y 5 (O Z4):

+ 1 si S · z4 > 0 { -1 Si S · Z4 < Ü

MUÑECA

An¡ulos de articulación

~------~ Cinemática directa

Posición y orientación del efector final

+ Ecuaciones de decisión BRAZO, CODO, MUiil'ECA Cinemática inversa

Figura 2.26 Simulación en computador de la solución de la articulación.

(2.3-81)

78 ROBOTICA: CONTROL, OETECCION, VISION E INTELIGENCIA

Si s · z4 = O, entonces el indicador MUÑECA se puede encontrar de: sin· z4 > O MUÑECA= { ~:

=

sign (n · z 4)

(2.3-82)

sin· z4 < O

Combinando las ecuaciones (2.3-81) y (2.3-82) tenemos: si S. Z4 #- Ü + 1 => MU~ECA ARRIBA MUÑECA = {sign (s. z4) sign (n · Z4) { - 1 => MUNECA ABAJO Si S' Z4 = Ü (2.3-83) Estas ecuaciones de decisión proporcionan una verificación de la solución del brazo. Las utilizamos para prefijar la configuración de brazo en el problema cinemático directo y a continuación utilizamos los indicadores de configuración de brazo para encontrar la solución cinemática inversa (véase Fig. 2.26). Simulación en computador. Se puede escribir un programa para verificar la validez de la solución inversa del robot PUMA mostrado en la figura 2.11. El programa genera inicialmente todas las posiciones en el espacio de trabajo del robot dentro de los límites de ángulos de las articulaciones. Se introducen en la rutina cinemática directa para obtener la matriz de brazo T. Estos ángulos de las articulaciones se utilizan también para calcular las ecuaciones de decisión para obtener los tres indicadores de configuración de brazo. Estos indicadores, junto con la matriz de brazo T, se dan a la rutina de la solución inversa para obtener la solución de los ángulos de las articulaciones que deberían estar de acuerdo con los deducidos previamente en la rutina cinemática directa. En la figura 2.26 se muestra un diagrama de bloques de la simulación en computador.

2.4 OBSERVACIONES FINALES Hemos discutido en este capítulo el problema cinemático directo e inverso. Se definieron los parámetros de los elementos y de las articulaciones del brazo de un robot y se introdujo una matriz de transformación homogénea 4 x 4 para describir la localización de un elemento con respecto a un sistema de coordenadas fijo. Se dedujeron las ecuaciones cinemáticas directas para un robot tipo PUMA de seis ejes. Se introdujo el problema cinemático inverso y se utilizó la técnica transformada inversa para determinar la solución de los ángulos de Euler. Esta técnica se puede utilizar también para encontrar la solución inversa de robots simples. Sin embargo, no proporciona una comprensión geométrica del problema. Así se introdujo un método geométrico para encontrar la solución inversa de un robot con seis articulaciones de tipo giratorio. Se determinó la solución inversa con la ayuda de tres indicadores de configuración de brazo (BRAZO, CODO y MUÑE-


DEL ROBOT

79

CA). Hay ocho soluciones para un robot tipo PUMA -cuatro soluciones para Jas tres primeras articulaciones y para la configuración del brazo, dos soluciones más para las últimas tres articulaciones-. Se puede verificar mediante simulación en computadora la validez de las soluciones cinemáticas directa e inversa. Con modificaciones y ajustes apropiados se puede generalizar el método geométrico a otros robots industriales simples con articulaciones de tipo giratorio. Los conceptos cinemáticos que se han tratado en este capitulo se utilizarán de forma amplia en el capítulo 3 para deducir las ecuaciones de movimiento que describen Ja conducta dinámica de un brazo de robot.

REFERENCIAS Más información sobre matrices se puede encontrar en Bellman [ 1970], Frazer y colaboradores. (1960] y Gantmacher (1959]. La utilización de matrices para describir la posición de un elemento mecánico rígido se puede ver en el trabajo de Denavit y Hartenberg (1955] y en su libro (Hartenberg y Denavit (1964]). Más información sobre coordenadas homogéneas se puede ver en Duda y Hart [ 1973] y Newman y Sproull (1979]. La discusión sobre cinemática es una extensión de un trabajo de Lee [ 1982]. Una ampliación sobre cinemática se puede encontrar en Hartenberg y Denavit (1964] y Suh y RadclifTe(1978]. Aunque la representación matricial de los elementos presenta un enfoque sistemático para resolver el problema cinemático directo, el método vectorial para el problema cinemático presenta una representación más concisa de los mismos. Esto se estudia en un trabajo por Chase (1;963]. Otros libros de robótica que analizan el problema cinemático son Paul (1981], Lee, González y Fu (1986] y Snyder (1985]. Pieper [ 1968], en su tesis doctoral, utilizó un método geométrico para resolver el problema cinemático inverso. El estudio de la técnica transformada inversa para encontrar la solución del brazo se basó en el trabajo de Paul y col. (1981]. El método geométrico para resolver la cinemática inversa de un manipulador de seis elementos con articulaciones giratorias se basó en el trabajo de Lee y Ziegler (1984]. La solución del brazo de un robot tipo Stanford se puede ver en un informe de Lewis [ 1974]. Otras técnicas para resolver la cinemática inversa se pueden ver en los artículos de Denavit (1956], Kohli y Soni (1975], Yang Y Freudenstein ( 1964], Yang [ 1969], Yuan y Freudenstein [ 1971 ], DufTy y R.ooney (1975], Uicker y col. (1964]. Finalmente, el libro tutorial editado por Lee, González y Fu (1986] contiene numerosos trabajos recientes sobre robótica.

PROBLEMAS

('i¡)

¿Cuál es la matriz de rotación para una rotación de 30'' respecto del eje OZ, seguida una rotación de 60" respecto del eje OX, seguida por una rotación de 90º respecto del CJC OY?

\~

80 ROBOTICA: CONTROL, DETECCI01', \llSION E INTELIGE~CIA

),Cuál es la matriz de rotación para una rotación de ángulo rjJ respecto del eje OX, (~i2 -segtíida por una rotación de ángulo i/J respecto del eje O W, seguida por una rotación de ángulo O respecto del eje O Y?

..13 Encontrar otra secuencia de rotaciones que sea diferente del problema 2.2, pero que .,~~lle

en la misma matriz de rotación.

2.4 Deducir la fórmula para sen (rp + 8) y cos (rp + O) desarrollando simbólicamente dos rotaciones de rjJ y (} utilizando los conceptos de matriz de rotación estudiados en este capítulo. (Í:5) Determinar una matriz T que representa una rotación de ángulo a. respecto del eje seguida por una traslación de b unidades de distancia a lo largo del eje OZ, seguida por una rotación de ángulo rjJ respecto del eje O V.

"oz,

r

'2~Para

la figura que se muestra a continuación, encontrar las matrices de transforma= 1, 2, 3, 4, 5.

' -eión homogénea 4 x 4 ;-1A; y ºA; para i

/

/

/

/

/

/

/

/

/

Z

¡

•1

Y1

Yo

( ~ ~n

Para la figura que _se muestra en la página 81, encontrar las matrices de transforma· homogénea 4 x 4• - 1 A; y O A; para i = 1, 2, 3, 4.

/~ Se ha preparado una estación de trabajo de robot con una cámara de TV, tal como· : s~uestra en la sección 2.2.11. La cámara puede ver el origen del sistema de coordenadas ele la base donde se fija un robot de seis elementos, y también el centro de un cubo que tiene que ser manipulado por el robot. Si se ha establecido un sistema de coordenada local en el centro del cubo, entonces este objeto, tal como lo ve la cámara, se puede representar por una matriz de transformación homogénea T1. También el origen del sistema de

CINEMATICADEL BRAZO DEL ROBOT

81

.,.,

?\

T

5 in

1

1 1

1 1 1 1 1

1

4in

1

I

/

/

.j---- --------

/

1

/

/

/

/

/

/

,, 1},\

/ ~l

'º "/

/

, ,.,.,.

/

/

/

/

/

...

Y1

1

/

~ll

1---....,__

---(

3 in

/

coordenadas de la base tal como lo ve la cámara se puede expresar por una matriz de transformación homogénea T2, donde

-[

1

o

o

o

o

o

'~]

T, y

o

-ri

o o

-1

o o

-1

-IO] 20 10

a) Desgraciadamente, después de que se ha colocado el equipo y se han tomado estos sistemas de coordenadas, alguien gira la cámara 90ª respecto del eje z de la cámara. ¿Cuál es la posición/orientación de la cámara con respecto al sistema de coordenadas de la base del robot? b) Después de que haya calculado la respuesta a la pregunta a), la misma persona giró el objeto 90º respecto del eje x del objeto y lo trasladó cuatro unidades de distancia a lo largo del eje y girado. ¿Cuál es la posición/orientación del objeto con respcc10 al sistema de coordenadas de la base del robot? ¿Y con respecto al sistema de COordenadas de la cámara girada?

-

~9 Hemos estudiado un método geométrico para encontrar la solución cinemática .. ,versa de un robot tipo PUMA. Encontrar los requisitos computacionales de la solución .

de la articulación en términos de operaciones de multiplicación y suma y el número de llarnadas trascendentes (si el mismo término aparece dos veces, el cálculo se debería contar SOiamente una vez).

~

82 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, YISION E INTELIGENCIA 1

2;0k:stablecer el sistema de coordenadas del elemento ortonormal (x., Y;, z.) para i = 1, 2-,- ... , 6 para el robot PUMA 260 que se muestra en la figura siguiente y completar la tabla. Rotación de cintura 330º

ffi

Rotación de hombro 3 IOº

8,0\ ~

Rotación de codo

/~ci~

¡:.;:"' ~'(

~: _>;;;!:'~ndc

13 in

Parámetrosde coordenadasde los elementos del robot PUMA Articulación

,

11,

~,

d,

a,

2 3 4 5 6

/~

Establecer un sistema de coordenadas de elementos ortononnales (x¿ Y;, z;) para

'~i--4= 1, 2, ... , 5 para el robot MINI MOVER que se muestra en la figura siguiente y completar la tabla.

'

CINEMATICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

83

Parámetros de coordenadas de los elementos del robot MINIMOVER Articulación

i

O,

~,

a,

d,

2

3 4 5

'i:ii).

~n robot tipo Stanf?rd se ha movid.~ a las posiciones que se_.muestran ,en I~ figu,ra. = (90°, - 120·, 22 cm, O", 70·, 90· )7. Establecer el sistema de coordenadas del elemento ortogonal (X¡, y¡, z¡) para i = l, 2, ... , 6 para este brazo y completar la tabla.

't;a(vana bles de articulación en esta posicion son: q

Parámetros de coordenadas de los elementos del robot Stanford Aniculación ;

2

3 4 5 6

2.Jl Utilizando las seis matrices i- 1 A¡ (i = l, 2, .... 6) del robot PYMA de la figura 2.13, encontrar su error de posición al final del elemento 3 debido al error de medida de los tres P11meros ángulos de articulación (601, 602, 603). Es suficiente una solución aproximada de primer orden. 2.14 Repetir el problema 2.13 para el robot Stanford que se muestra en la figura 2.12.

·~n la figura se muestra un manipulador con dos grados de libertad. Si la longitud de cada elemento es de un metro, establecer sus sistemas de coordenadas de elementos y encontrar O A I y I A2• Encontrar la solución cinemática inversa para este manipulador.

84 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION. VISION E INTELIGENCIA

/~

-\

·'----lW

Para el robot PUMA que se muestra en la figura 2.J 1, suponer que hemos encontra- do correctamente la solución de las tres primeras articulaciones (81; 82, 83) y que se dan 1 ; A;, i = 1, 2, ... , 6 y ºT6. Utilizar la técnica de transformación inversa para encontrar la solución de los tres últimos ángulos de las articulaciones (04, 05, 06). Compare sus soluciones con las ecuaciones dadas (2.3-71 ). (2.3-73) y (2.3-75). 2.17 Para el robot Stanford de la figura 2.12, obtener la solución de los tres primeros ángulos de articulación. Puede utilizar cualquier método con el que se sienta cómodo.

2.18

Repetir el problema 2.16 para el robot Stanford de la figura 2.12.

1

/

CAPITULO

TRES DINAMICA DEL BRAZO DEL ROBOT Lo inevitable se supera mediante el esfuerzo Olicer Wendell Holmes

3.l

INTRODUCCION

~}1

La dinámica del robot trata con las formulaciones matemáticas de las ecuaciones de movimiento del brazo. Las ecuaciones de movimiento de un manipulador son un conjunto de ecuaciones matemáticas que describen su conducta dinámica. Tales ecuaciones son útiles para la simulación en computadora del movimiento del robot, el diseño de ecuaciones de control apropiadas para el robot y la evaluación del diseño y estructura del brazo. En este capítulo nos centraremos en la formulación, características y propiedades de las ecuaciones dinámicas de movimiento que son adecuadas con fines de control. El objetivo del control de un manipulador basado en computadora es mantener la respuesta dinámica del mismo de acuerdo con algún rendimiento del sistema preespecificado y objetivos deseados. En general, el rendimiento dinámico de un manipulador depende directamente de la: eficacia de los algoritmos de control y de su modelo dinámico. El problema de control consiste en obtener modelos dinámicos del brazo del robot Iisico y a continuación especificar leyes o estrategias de control correspondientes para conseguir la respuesta y rendimiento del sistema deseado. Este capítulo trata principalmente con la primera parte del problema de control del manipulador; esto es, la modelización y evaluación de las propiedades y conducta dinámica de robots controlados por computadora. El modelo dinámico de un robot se puede obtener a partir de leyes fisicas conocidas tales como las leyes de la mecánica newtoniana y lagrangiana, Esto conduce al desarrollo de las ecuaciones de movimiento dinámico para las diversas articulaciones del manipulador en términos de los parámetros geométricos e inerciales de los elementos. Métodos convencionales como las formulaciones de Lagrange-Euler (L-E) y Newton-Euler (N-E) se pueden aplicar entonces sistemáticamente para desarrollar las ecuaciones de movimiento del robot. De estas dos formulaciones se obtienen diferentes formas de describir la dinámica del brazo del robot, tales como las ecuaciones de Lagrange-Euler de Uicker (Uicker [1965], Bcjczy [1974]), las ecuaciones recursivas de Lagrange de Hollerbach (Hollerbach ; [1980]), las ecuaciones de Newton-Euler de Luh (Luh y col. [1980a]) y las ecuaciones generalizadas d' Alembert y Lee (Lee y col. [ 1983]). Estas ecuaciones de movimiento son «equivalentes» unas a otras en el sentido de que describen la Conducta dinámica del mismo robot fisico. Sin embargo, sus estructuras pueden


diferir porque se obtienen por diversas razones y objetivos. Algunas se obtienen para lograr tiempos de cálculo rápido en la evaluación de los pares de las articulaciones nominales para controlar el manipulador, otras se obtienen para facilitar el análisis y la síntesis de control, y todavía otras se obtienen para mejorar la simulación en una computadora del movimiento del robot. La obtención del modelo dinámico de un manipulador basado en la formulación de L-E es simple y sistemática. Suponiendo el movimiento del cuerpo rígido, las ecuaciones de movimiento resultante, excluyendo la dinámica de los dispositivos de control electrónico, huelgo y el rozamiento de los engranajes, son un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales acopladas de segundo orden. Bejczy [1974], utilizando la representación de la matriz de transformación homogénea 4 x 4 de la cadena cinemática y la formulación lagrangiana, ha demostrado que las ecuaciones de movimiento dinámico para un robot tipo Stanford de seis articulaciones son fuertemente no lineales y constan de carga inercial, fuerzas de reacción de acoplo entre las articulaciones (Coriolis y centrífuga) y efectos de carga de la gravedad. Más aún, estos pares/fuerzas dependen de los parámetros fisicos del manipulador, de la configuración instantánea de las articulaciones, de la velocidad y aceleración de las articulaciones y de la carga que está soportand~/ el robot. Las ecuaciones de movimiento L-E proporcionan ecuaciones de estado explícitas para la dinámica del robot y se pueden utilizar para analizar y diseñar estrategias de control avanzadas en el espacio de las variables de articulación. En una menor medida se están utilizando para resolver el problema dinámico directo, esto es, dadas las fuerzas/pares deseadas, se utilizan las ecuaciones dinámicas para resolver las aceleraciones de las articulaciones, que se integran a continua· ción para obtener las coordenadas y velocidades generalizadas; o para el problema dinámico inverso, esto 'es, dadas las coordenadas generalizadas deseadas y sus primeras dos derivadas respecto del tiempo, se calculan las fuerzas/pares generalizados. En ambos casos se puede necesitar calcular los coeficientes dinámicos D;•, h;k,,. y C; definidos en las ecuaciones (3.2-31), (3.2-33) y (3.2-34), respectivamente. Desgraciadamente, el cálculo de estos coeficientes requiere una relativa cantidad de operaciones aritméticas. Así las ecuaciones de L-E son muy dificiles de utilizar con fines de cr .rol en tiempo real a menos que se simplifiquen. Como una alternativa para derivar ecuaciones de movimientos más eficientes, se dirigió la atención a desarrollar algoritmos para calcular las fuerzas/pares generalizados basados en las ecuaciones de movimientos de N-E (Arrnstrong [1979], Orín y col. [1979], Luh y col. [!980a]). La obtención es simple, pero engorrosa, e implica términos de producto vectorial. Las ecuaciones dinámicas resultantes, excluyendo la dinámica del dispositivo de control, huelgo y roza· miento de los engranajes, son un conjunto de ecuaciones recursivas hacia adelante y hacia atrás. Este conjunto de ecuaciones se puede aplicar secuencialmente a los elementos del robot. La recursión hacia adelante propaga la información cinemática -tal como velocidades lineales, velocidades angulares, aceleraciones angulares y aceleraciones lineales del centro de masa de cada elemento- desde el sistema de coordenadas inercial hasta el sistema de coordenadas de la mano. La recursión hacia atrás propaga las fuerzas y momentos ejercidos sobre cada elemento desde el efector final del manipulador hasta el sistema de referencia de

DINAMICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

87

la base. El resultado más significativo de esta formulación es que el tiempo de cál'culo de las fuerzas/pares generalizados se encuentra que es linealmente proporcional al número de articulaciones del brazo e independiente de la configuración del mismo. Con este algoritmo se puede realizar el control en tiempo real sirnple del robot en el espacio de las variables de articulación. La ineficacia de las ecuaciones de movimiento de L-E surge parcialmente de las matrices homogéneas 4 x 4 que describen la cadena cinemática, mientras que la eficacia de la formulación de N-E se basa en la formulación vectorial y en su naturaleza recursiva. Para mejorar aún más el tiempo de cálculo de la formulación Iagrangiana. Hollerbach (1980] ha explotado la naturaleza recursiva de la formulación lagrangiana. Sin embargo, las ecuaciones recursivas destruyen la «estructura» del modelo dinámico que es bastante útil en darnos comprensión para el diseño del controlador en el espacio de estados. Para el análisis del control en el espacio de estado, sería interesante obtener un conjunto explícito de ecuaciones diferenciales en forma cerrada (ecuaciones de estado) que describan la conducta dinámica del manipulador. Además, se deberían identificar fácilmente las fuerzas de interacción y de reacción de los acopios en las ecuaciones, de manera que se pudiese diseñar un controlador apropiado para compensar sus efectos (Huston y Kelly (1982]). Otro método para obtener un conjunto eficiente de ecuaciones de movimiento explícito se basa en el principio de d'Alembert generalizado para deducir las ecuaciones de movimiento que se expresan explícitamente en forma vectorial matricial apropiadas para el análisis del control. Además, para permitir un cálculo más rápido de los coeficientes dinámicos que las ecuaciones de L-E, las ecuaciones de movimiento de G-D explícitamente identifican las contribuciones de los efectos traslacionales y rotacionales de los elementos. Tal información es útil para diseñar un controlador en el espacio de estado. La eficacia computacional se consigue a partir de una formulación compacta utilizando matrices de transformación de Euler (o matrices de rotación) y vectores de posición relativos entre articulaciones. En este capítulo se obtienen y analizan las ecuaciones de movimiento de L-E, N-E y G-D de un robot y se estudia un manipulador con dos elementos para ilustrar el uso de estas ecuaciones. Como el cálculo de los coeficientes dinámicos de las ecuaciones de movimiento es importante tanto en el análisis del control como en la simulación por computadora, se tabulan las operaciones matemáticas Y la carga computacional de estas ecuaciones de movimientos. El cálculo de las fuerzas/pares aplicadas a partir de las ecuaciones de movimientos de d'Alembert generalizadas es del orden O(n3), mientras que en las ecuaciones N-E son del orden de O(n4) [o del orden O(n3) si se optimizan] y las ecuaciones de N-E son del orden de O(n), donde n es el número de grados de libertad del brazo.

3.2 FORMULACION

DE LAGRANGE-EULER

{J~

las ecuaciones de movimiento general de un manipulador se pueden expresar convenientemente mediante la aplicación directa de la formulación de LagrangeEuler a sistemas no conservativos. Muchos investigadores utilizan la representa-

88


ción matricial de Denavit-Hartenberg para describir el desplazamiento espacial entre los sistemas de coordenadas de elementos vecinos para obtener la informa. ción cinemática del elemento, y emplean la técnica dinámica lagrangiana para deducir las ecuaciones dinámicas de un manipulador. La aplicación directa de la formulación dinámica lagrangiana, junto con la representación de coordenadas de elementos de Denavit-Hartenberg, resulta en una descripción algorítmica conveniente y compacta de las ecuaciones de movimiento del manipulador. El algoritmo se expresa mediante operaciones matriciales y facilita tanto el análisis como su realización en una computadora. La evaluación de la dinámica y de las ecuaciones de control en términos funcionalmente explícitos se basará en el algoritmo matricial compacto deducido en esta sección. La derivación de las ecuaciones dinámicas de un manipulador con n grados de libertad se basa en la comprensión de: l. La matriz de transformación de coordenadas homogéneas 4 x 4, i - 1 A¡, que describe la relación espacial entre los sistemas de coordenadas del elemento i-ésimo y el elemento (i - 1 )-ésimo. Relaciona un punto fijado en el elemento i expresado en coordenadas homogéneas con respecto al sistema de coordenadas i-ésimo en el sistema de coordenadas (i - 1)ésimo. 2. La ecuación de Lagrange-Euler

d (ºL)

dt

o~¡

oL

t¡

i

=

l, 2, ... , n

/

(3.2·1)

oq ¡

1

donde

=

función lagrangiana = energía cinética K - energía potencial P", energía cinética total del brazo; energía potencial total de brazo; q¡ = coordenada generalizada del brazo;
= =

De las ecuaciones de Lagrange-Euler anterior se requiere escoger adecuadamente un conjunto de coordenadas generalizadas para describir el sistema. Las coordenadas generalizadas se utilizan como un conjunto de coordenadas convenientes que describen completamente la localización (posición y orientación) de un sistema con respecto a un sistema de coordenadas de referencia. Para un manipulador simple con articulaciones giratorias-prismáticas, están disponibles diversos con· juntos de coordenadas generalizadas para describir el manipulador. Sin embargo, como las posiciones angulares de las articulaciones están disponibles rápida· mente porque se pueden medir mediante potenciómetros o codificadores u otros dispositivos sensores, proporcionan una correspondencia natural con las coorde· nadas generalizadas. Esto, en efecto, corresponde a las coordenadas generalizadas

DINAMICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

89

con las variables articulaciones definidas en cada una de las matrices de transformación de coordenadas de elementos 4 x 4. Así, en el caso de una articulación giratoria, q¡ = O;, que es el margen del ángulo de la articulación; mientras que para una articulación prismática, q¡ = d¿ que es la distancia recorrida por la articulación. La siguiente deducción de las ecuaciones de movimiento de un manipulador con n grados de libertad se basa en las matrices de transformación de coordenadas homogéneas desarrolladas en el capítulo 2.

3.2.1

Velocidades de las articulaciones de un robot

ú)

~t

La formulación de Lagrange-Euler requiere el conocimiento de la energía cinética

del sistema físico, que a su vez requiere un conocimiento de la velocidad de cada articulación. En esta sección se deducirá la velocidad de un punto fijado en el elemento i y se explorarán los efectos del movimiento de otra articulación sobre todos los puntos en este elemento. Con referencia a la figura 3.1, sea 'r; un punto fijo y en reposo en el elemento i y expresado en coordenadas homogéneas con respecto al sistema de coordenadas del elemento i-ésimo,

, -[n-

(x,, y,,

z,,

!)'

(3.2-

2)

Sea 0r¡ el mismo punto ir; con respecto al sistema de coordenada de la base, i - t A; la matriz de transformación de coordenadas homogéneas que relaciona el desplazamíento espacial del sistema de coordenadas del elemento i-ésimo con respecto al sistema de coordenadas del elemento (i - 1 )-ésimo y O A; la matriz de transformación de coordenadas que relaciona el sistema de coordenadas i-ésimo con el sistema de coordenadas de la base; entonces 0r¡ está relacionado con el punto ir; por (3.2-3) donde (3.2-4)

Si la articulación i es de revolución, se sigue de la ecuación (2.2-29) que la forma &eneral de

i

r-

1 A;

está dada por

¡_ 1

AI

f =

e,

cos sen O;

o o

- cos CL¡ sen O¡ sen CL; sen O; -sen O!¡ cos O¡ cos ci; cos O; sen o,:1 cos O!¡

o

o

a,

cosO,l

a; sen O;

d¡ 1

(3.2-5)

90 ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VJSION E INTELIGENCIA

Figura 3.1

Un punto ir; en el elemento t. ' 1

!

o, si la articulación i es prismática, de la ecuación (2.2-31 ). la forma general de ;-1A; es

[cm 8,

i-1A;

sen u;

o

o

-cosa.¡ sen fJ¡ cos :X¡ cos () i sen a.;

o

sen a.¡ sen fJ¡ - sen a, cos fJ; cos :X¡

o

n

(3.2-6)

En general, todos los elementos no nulos en la matriz O A; son una función de (fJ1, fJi, ... , fJ;), y a.;, a.; d, son parámetros conocidos de la estructura cinemática del brazo y fJ¡ o d, es la variable de articulación del elemento i. Con el fin de deducir las ecuaciones de movimiento que son aplicables a ambas articulaciones de revolución y prismática, utilizaremos la variable q¡ para representar la coordenada generalizada de la articulación i que es fJ¡ (para una articulación giratoria) o d, (para una articulación prismática). Como el punto ir; está en reposo en el elemento i, y suponiendo el movimien· to del cuerpo rígido, otros puntos asi como el punto 'r, fijado en el elemento i Y expresado con respecto al sistema de coordenadas i-ésimo tendrán velocidad nula con respecto a dicho sistema de coordenadas (que no es un sistema inercial). La

DINAMICA DEL BRAZO DEL ROBOT

91

velocidad de 'r, expresada en el sistema de coordenadas de la base (que es un sistema inercial) se puede expresar como

1

i-lA

+

2 · · •

+

i

••.

r¡

1A

ºA

1.

.

+

A;'r¡

•-

=

1

¡-¡A

0

.

OA 1

i

2· • ·

1A

ºAº

r¡

¡

+ ...

i

O

L .

·

u:,OA

=i

A;'r¡

(

)

i

1=1

(3.2- 7)

·

'r,

-:,-rt uqj

La forma compacta anterior se obtiene porque ir¡ = O. La derivada parcial de O A¡ con respecto a qi se puede calcular fácilmente con la ayuda de una matriz Q¡ que, para una articulación de revolución, se define como -1

Q, ~

[f

o o o o

o o o

~]

(3.2-8a)

y, para una articulación prismática, como (3.2-8b)

Entonces se sigue que (3.2-9) Por ejemplo, para un brazo con todas las articulaciones giratorias, q¡ utilizando la ecuación (3.2-5),

[-~ne cos 8.'

ai-1A¡

06¡

-

. [I a,

O

o

-1

o

-cos 'X¡ cos 8¡ sen 'X; cos 8¡ - cos a, sen 8¡ sen 'X¡ sen 8¡

o o

[eme,

o o - cos 'X¡ sen 8¡

-a

a¡

1

~ne ]

=

1

cos 8;

o o sen 'X¡ sen 8;

=

cose,]

8;, y

o o o == Q/-IA¡

o o o

sen 8;

o o

cos IJ.¡ cos 8¡ sen x,

o

- sen a; cos 8¡ cos '.1.¡

o

a;

sen 8; d¡ l

=

-

92


De aquí, para i ;iOA

_u_¡

oq1

= =

1, 2, ... , n, {ºA 1 1A

2· · ·

o

J-2A

J-1

QJ i : lAJ·

· ·

lA

i-

¡

para}~ para}>

(3.2-10)

La ecuación (3.2-10) se puede interpretar como el efecto del movimiento de la articulación} sobre todos los puntos en el elemento i. Con el fin de simplificar las notaciones, definamos U¡i ~ oº AJoqJ, entonces la ecuación (3.2-10) se puede escribir como sigue para i = 1, 2, ... , n, ulj -- ºA j-1 Q j J-1A j para j ~ (3.2-11) {o para}> Utilizando esta notación,

V¡

se puede expresar como (3.2-12)

Conviene apuntar que la derivada parcial de i-1A¡ con respecto a q¡ resulta en una matriz que no retiene la estructura de una matriz de transformación de coordenadas homogéneas. Para una articulación giratoria, el efecto de prernulti/ plicar i- i A¡ por. Q¡ es equivalente a intercambiar los elementos de las dos primeras filas de ·- 1 A¡, negando todos los elementos de la primera fila y anulan! do todos los elementos de las filas tercera y cuarta. Para una articulación prismática, el efecto es sustituir los elementos de la fila tercera por la fila cuarta de ,- 1 A1 y anular los elementos en las otras filas La ventaja de utilizar las matrices Q; es que podemos todavía utilizar las matrices i- 1 A¡ y aplicar las operaciones anteriores a ,- i A¡ cuando se premultiplica por la Q¡. A continuación necesitamos encontrar los efectos de interacción entre las articulaciones como Q 1 1-1A i

-

¡

ºA j-1

Q j J-1A

ºA 1-1 Q1 1-IA j-1 Qj J-IA

o

i ~ k ~ j

1-1

i

i~j~k

(3.2-13)

i
Por ejemplo, para un robot con todas las articulaciones giratorias, i y q1 = 81, así que

=j =k =

1

La ecuación (3.2-13) se puede interpretar como los efectos de interacción del movimiento de la articulación j y k sobre todos los puntos en el elemento i.

DINAMICA

J,.2.2 Energía cinética de un manipulador

DEL BRAZO

DEL ROBOT

93

(P~

pespués de obtener la velocidad de la articulación de cada elemento, necesitamos encontrar la energía cinética del elemento i. Sea K¡ la energía cinética del elemento;,; = l, 2, ... , n, expresada en el sistema de coordenadas de la base, y sea dK¡ la energía cinética de una partícula con masa diferencial dm en el elemento i; entonces dK¡

= =

(:x¡ + y¡ + i¡) dm 1/2 traza (vívT) dm = 1/2

1/2

Tr (v¡vT) dm

(3.2-14)

donde se utiliza un operador traza" en lugar de un producto escalar de vectores en la ecuación anterior para formar el tensor del cual se puede obtener la matriz de inercia del elemento J¡ (o matriz de pseudoinercia). Sustituyendo V¡ de la ecuación (3.2-12), la energía cinética de la masa diferencial es

(3.2-15)

La matriz Uij es la velocidad de cambio de los puntos ('rJ sobre el elemento i · relativo al sistema de coordenadas de la base cuando qj cambia. Es constante para todos los puntos en el elemento i e independiente de la distribución de masa del elemento i. También q¡ son independientes de la distribución de masa del elemento i, así que, sumando todas las energías cinéticas de todos los elementos y poniendo la integral dentro de los corchetes, (3.2-16)

El término integral dentro del corchete es la inercia de todos los puntos en el elemento i, de aquí que: f f xf dm fx¡Y¡d X¡ dm ] , m ¡ 1 ¡ r fx¡y¡dm ¡ X¡Z¡dm f yf dm ..------J == f r. r: dm == . dm / f y¡:¡ ¡ {3.2-17) dm

f

-r

f -~

'

• Tr A ~

L01,·

[ f X¡:¡

dm fx¡dm

f y¡:¡dm

f :¡ dm

fy,dm

f:¡dm

f-¡dm .

f dm

94

ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VIS!ON E INTELIGENCIA

donde \ = (X¡, y¡, z;, 1 )7 se define como antes. Si utilizamos el tensor de inercia /11 que se define como

donde los índices i, j, k indican los ejes principales del sistema de coordenadas i-ésimo y Ó¡i es la delta de Kronecker, entonces J; se puede expresar en un tensor de inercia como -(u

+ t., + t.,

t.,

fu

m;i;

ly,

m¡J¡

i; - i:

m.i¡

2

t., J¡

/JU

- I,, + i: 2

i:

t;

m.x,

m¡y¡

l}C}C

+

2 m.i¡

m¡ (3.2-18)

o utilizando el radio de giro del cuerpo rígido m, en el sistema de coordenadas Z¡), se puede expresar J¡ como

(x;, y1,

- k¡, 1 + k¡22 + k¡33

kf,2

k¡,3

x,

k¡23

J¡

k¡, 1 + k¡22 - k¡33

i¡

2

kf,2 J;=m¡

k¡, 1 - k¡22 + k¡33 2

k¡,3

k¡23

2

X¡

J¡

t,

l (3.2-19)

donde km es el radio de giro del elemento i respecto del eje yz e i¡'¡ = (x1, Ji, i,, J )7 es el vector centro de masa del elemento i desde el sistema de coordenadas del elemento i-ésimo y expresado en el sistema de coordenadas del elemento i-ési1110, De aquí que la energía cinética total K de un brazo de robot es

(3.2-20)

DINAMICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

95

que es una cantidad escalar. Obsérvese que las J¡ son dependientes de la distribución de masa del elemento i y no de su posición o velocidad de movimiento y se expresan con respecto al sistema de coordenadas i-ésimo. Por tanto, la J; se necesita calcular solamente una vez para obtener la energía cinética de un robot.

3.2.3

Energía potencial de un manipulador

Sea P la energía potencial total de un robot y sea P; la energía potencial de cada uno de sus elementos: i

=

1, 2, ... , n

(3.2-21)

y la energía potencial total del brazo se puede obtener sumando todas las energías potenciales en cada elemento, " (3.2-22) P = P; m¡g(ºA; ii'¡)

I

i= 1

¿"

i= 1

donde g = (g.,,, gy, g=, O) es un vector fila de gravedad expresado en el sistema de coordenadas de la base. Para un sistema de nivel, g = (O, O, -lgl, O) y g es la constante gravitacional (g = 9,8062 m/s2).

3.2.4 Ecuaciones de movimiento de un manipulador

De las ecuaciones (3.2-20) y (3.2-22), la función lagrangiana l

= K -

P está

dada

por

l

=

¿ ¿ ¿ i

n

1/2

m;g(ºA/r;) i=I

j=l

i

k=I

[Tr (UiiJi V~),tqk]

+

¿ n

(3.2-23)

i=l

Aplicando la formulación de Lagrange-Euler a la función lagrangiana del brazo [ecuación (3.2-23)] da el par generalizado necesario 'i para que el actuador de la articulación i mueva el elemento i-ésimo del manipulador,

T¡ ~ :

(:~)

-

;~

=

==

I,

i=t

t

s=:

Tr(VikJiVJ¡)iik

+

I,

'f. 'f.

j=ik=lm=I

Tr(Vik,,.JiVJ¡)qkq,,. - I,migV/ri i=t

(3.2-24)

96 ROBOl .CA: CONTROL. DETECCION, VISlON E l;',;TELIGENCIA

para i = 1, 2, ... , n. La ecuación anterior se puede expresar de forma mucho más simple en notación matricial como r, =

.

L

k=l

DAk

+

L" L"

k=I

m=I

hikmi¡ki¡m

+

i

C¡

=

1, 2, ... , n

(3.2-25)

o en forma matricial como r(t) = D(q(t)) ij(t)

+ h(q(t), q(t)) + c(q(t))

(3.2-26)

donde r(t) = n x I vector par generalizado aplicado en las articulaciones i = 1, 2, ... , n; esto es, (3.2-27)

=

q(t)

un vector n x expresar como

de las variables de articulación del brazo y se puede (3.2-28)

=

q(t)

un vector n x I de la velocidad de las articulaciones del brazo y se puede expresar como (3.2-29}

ij(t)

=

un vector n x I de la aceleración de las variables de articulación q(t) y se puede expresar como ij(t) = (q'¡(t), ij2(t), ... , ij.(t))T

D(q)

=

una matriz simétrica inercial relacionada con la aceleración n x n cuyos elementos son i, k = 1, 2, ... , n (3.2-31) " Tr (V,kJJVJ)

o;

h(q. q)

=

=

¿

j = núx (i. k)

un vector de fuerza de Coriolis y centrífuga no lineal n x 1 cuyos elementos son h(q, q)

donde

(3.2-30)

n

h,

=

(h1, h2,

.•.•

n

= ¿ ¿

l = 1 m= 1

h¡k,,.i¡ki¡,,.

i

h.f

=

1, 2, ... , n

(3.2-32)

y

hikm

=

¿•

j=mhfi.k,m)

Tr (VjkmJJ Uj¡)

i, k, m

=

1, 2, ... , n

(3.2-33)

DINAMICA

c(q)

=

DEL BRAZO

DEL ROBOT

97

un vector de la fuerza de la carga gravitatoria n x I cuyos elementos son n

¿ (-migVi/i)

C¡

donde

i

=

1, 2, ... , n

(3.2-34)

j=i

J.2.5 Ecuaciones de movimiento de un brazo de robot con articulaciones giratorias Si las ecuaciones dadas por (3.2-26) a (3.2-34) se amplían para un robot de seis ejes con articulaciones giratorias, entonces se obtienen los términos siguientes que forman las ecuaciones de movimiento dinámico:

La matriz simétrica relacionada con la aceleración, 0(9). De la ecuación (3.2-31) tenemos

0(9)

=

o.,

(3.2-35)

donde Tr(U11J1Ufi) + Tr(U21'J2UL) + Tr(U41J4U¡¡) + Tr(U51J5Uf¡)

D11 D12

D21 = Tr(U22J2UL)

· + Tr(U52J5U;¡) Du

=

D14 Du

D,6

+ Tr(U31J3Uft) + + Tr(U61J6U¿¡) + tr(U32J3Uft) + Tr(U42.J4U¡¡) +

=

+ Tr(U62J6U¿¡)

D31 = Tr(U33J3Uf¡) + Tr (U63J6 U¿1) D41

=

D51

= Tr(U55J5U;¡)

Tr(U44J4U¡¡)

+ Tr(U43J4U¡¡)

+ Tr(U53J5Uf1)

+ Tr(U54J5Ufi)

+ Tr(U64J6U¿1)

+

+ Tr(U6sJ6U¿1)

D61 = Tr (U66J6 U¿¡)

D22 = Tr (U22J2U{2)

+

Tr (U52J5U{2)

D23 = D32

+

=

+ Tr (U32J3Uf2)

+

Tr(U33J3Uf2) Tr (U63J6 U¿2)

+ Tr (U42J,U¡2) +

Tr (U62J6U¿2)

+ Tr(U,3J,U¡2) + Tr(U53J5Uf2)

+

98

D36

ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VTSION E INTELIGENCIA

= =

Tr(U55J5U;2)

+·Tr(U65J6U¿2)

D25

Ds2

D26

D62

D33

Tr(U33J3UL) + Tr(U43J4UL) + Tr (U63J6 U¿3)

D34

D43

D3s

D53

D63

D44

= =

Tr(U66J6U¿2) + Tr(U53J5U;3)

Tr(U44J4UI3)

+ Tr(U54JsU;3)

Tr(U55J5U;3)

+ Tr(U65J6U¿3)

= Tr (U66J6 U¿3) = Tr(U44J4UI4) +

+ Tr (U64J6 U¿3)

Tr(Us4JsU;4) + Tr(U64J6U¿4)

D45

D54

= Tr(UssJsU;4) + Tr(U65J6U¿4)

D46

D64

=

Tr (U66J6 U¿4)

o.,

Tr(UssJs U;s) + Tr (U6sJ6 U¿s)

Ds6

D6s

D66

Tr (U66J6 U¿6)

=

+

Tr (U66J6 U¿s)

Los términos de Coriolis y centrifugo, b(O, Ó). Los coeficientes relacionados con la velocidad en los ~érminos de Coriolis y centrífugos en las ecuaciones (3.2-32) y (3.2-33) se puede1 expresar separadamente mediante matrices simétricas 6 x 6 representadas po H;. v y definidas de la forma siguiente:

H;.v

h¡23 h¡¡4 h¡24

h¡¡4 h;23 h¡24 h¡33 h¡34 h¡34 h¡44

h¡¡5

h¡25

hi35

h¡45

h¡55

hi56

hil6

hi26

h, 36

hi46

hi56

hi66

h¡¡¡

h;12

h;12

h¡22

h¡13

h¡¡3

h¡¡5

hil6

h¡25

hi26

h¡35 h¡45

hi36 hi46

i

= l , 2, ... , 6

Sea un vector columna de seis dimensiones representado por variables de las seis articulaciones:

(3.2-36)

ó la velocidad de las (3.2-37)

Entonces la ecuación (3.2-32) se puede expresar en la siguiente forma de producto de matriz-vector: h.

1

=

Ó7ff.

1,1)

Ó

(3.2-38)

donde el subíndice i se refiere a la articulación (i = 1, ... , 6) en el cual «manifiestan» los pares o fuerzas inducidos por la velocidad.

se

DINAMICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

99

La expresión dada por la ecuación (3.2-38) es una componente en un vector columna de seis dimensiones representado por h(O, 9): h¡ 9TH l. v9 9T h2 H2.v8 (3.2-39) • IJTH3.vÓ h(O, 9) h3 h4

9TH4, vÓ

hs

IJTHs,vÓ

h6

{jTH6,v9

Los términos de gravedad, c(O). De la ecuación (3.2-34) tenemos (3.2-40) donde Ci

C2

= -(m1gU111r1 + msgUs1 5i\

=

-(m2gU2/i'2 + m6gU62 6i'6)

+ + +

m2gU2/r2 m3gU3/i\ 4i'4

m4gU424i'4

+ msgUs/rs +

+ 5i's +

msgU54

Cs

-(msgUs/i's

+

m6gU6s6r6)

-m6gU66

+

m4gU4/i'4

+

¡

C4

=

+

1

+ +

c6

m3gU313i'3

m6gU616i'6)

-(m3gU3/r3 4r4 -(m4gU44

C3

+

m4gU43

msgUs3

5i's

t m6gU63 6i'6)

m6gU6/r6)

6r6

Los coeficientes C¡, Dik y hikm en las ecuaciones t).2-31) a ~3.2·34) son funciones de ambas, las variables de articulación y los parámetros inerciales del manipulador y algunas veces se llaman los coeficientes dinámicos del manipulador. El significado fisico de estos coeficientes dinámicos se puede ver fácilmente de las ecuacíones de movimiento de Lagrange-Euler dadas por las ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34): l. El. coeficiente c, representa los términos de carga gravitatoria debido a los elementos y se define por la ecuación (3.2-34). 2. El coeficiente está relacionado con la aceleración de las variables de articulación y se define por la ecuación (3.2-31). En particular, para i = k, D¡¡ está relacionado con la aceleración de la articulación i donde el par

D,.

motor r, actúa, mientras que para i :/:- k, D¡k está relacionado al par (o fuerza) de reacción inducido por la aceleración de la articulación k y actuando en la articulación i o viceversa. Como la matriz de inercia es simétrica y Tr (A) = Tr (A T), se puede demostrar que Du. = Du.

100

ROBOTJCA: C,ONTROL, DETECCION, VJSION E INTELIGENCIA

3.

El coeficiente hikm está relacionado con la velocidad de las variables de la articulación y se define por las ecuaciones (3.2-32) y (3.2-33). Los dos últimos índices, km, están relacionados con las velocidades de las articulaciones k y m, cuya interrelación dinámica induce un par (o fuerza) de reacción en la articulación i. Así el primer índice i se relaciona siempre con la articulación donde se «siente» los pares (o fuerzas) de reacción inducidos por la velocidad. En particular, para k = m, hikk está relacionado con la fuerza centrifuga generada por la velocidad angular de la articulación k y «sentida» en la articulación i, mientras que para k -/:- m, h¡k,,, está relacionada con la fuerza de Coriolis generalizada por las velocidades de las articulaciones k y m y «sentida» en la articulación i. Se observa que, para un i dado, tenemos hikm = h¡,,,k que resulta obvio por razonamientos físicos.

Al evaluar estos coeficientes, es conveniente observar que alguno de ellos puede ser nulo por las siguientes razones: El diseño cinemático particular de un manipulador puede eliminar algún acoplo dinámico (coeficientes Du y h¡¡,,..) entre los movimientos de las articulaciones. 2. Alguno de los coeficientes dinámicos relacionados con la velocidad tienen solamente una existencia formal en las ecuaciones (3.2-32) y (3.2-33);esto es, son físicamente inexistentes. (Por ejemplo, la fuerza centrífuga no interaccionará con el movimiento de la articulación que lo genere, esto es, h¡¡¡ = O siempre; sin embargo, puede interaccionar con los movimientos en las otras articulaciones en la cadena, esto es, podemos tener h jii i= O.) 3. Debido a variaciones particulares en la configuración del elemento durante el movimiento, algunos coeficientes dinámicos se pueden anular en instantes particulares de tiempo. l.

Las ecuaciones de movimiento de un manipulador, tal como se han dado por las ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34),son ecuaciones diferenciales ordinarias de segun· do orden no lineales acopladas. Estas ecuaciones están en forma de ecuaciones diferenciales simbólicas e incluyen todos los efectos inerciales, centrífugos, de Coriolis y gravitacionales de los efectos de los elementos. Para un conjunto dado de pares aplicados r 1 (i = 1, 2, ... , n) como una función del tiempo, la ecuación (3.2-26) debería ser integrada simultáneamente para obtener el movimiento real del manipulador en términos de la historia temporal de las variables de articulación q(t). Después, dicha historia temporal se puede transformar para obtener Ja correspondiente del movimiento de la mano (trayectoria de la mano) utilizando las matrices de transformación homogéneas apropiadas. O, si se conocen de antemano a partir de un programa de planificación de trayectoria la historia temporal de las variables de articulación, velocidades y aceleraciones, entonces se pueden utilizar las ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34) para calcular los pares aplicados r(t) como función del tiempo que se necesita para producir el movimiento del manipulador particular planificado. Esto se conoce como control en lazo abierto. Sin embargo, el control en lazo abierto es más deseable para un sistema robótico autónomo. Este tema se estudiará en el capítulo 5.

DINAMICA

DEL BRAZO

m:1.

ROHHr

101

fabla 3.1 Complejidad computacional de las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange * Formulación de Lagrange-Euler

Multiplicaciones"

Adiciones

32n(n -

1)

24n(n -

4n(9n -

7)

51n - 45 n--2

f. m gU/rJ

o

Tr [U.¡Jt(UtYJ

(128/J)n(n

1

iª'

¿

Tr [Ut¡Jt(Ut;)

•

T

]

+ l)(n + 2)

o

1)

+ t )(n +

(65/2) n(n

(1/6) nin - l)(n

+

2)

1)

•••h(i,j)

(128/3)n2(n

Tr [U.,1tJ .. (U,. ¡)7]

. . .i: t

=

Tr (U,,.11J,..(U,,.;)7]

l>(q)q

+

b(q,

q) +

c(q)

+ l)(n + 2)

+ t )(n

(65/2) n2(n

t- 2)

o

( 1/6)n2(n

(128/3)n4 + (512/3)n3 + + (844/3)n2 + (76/3)n

(98/3)n4 + (781/6Jn1 + + (637/3)n2 + (107/6)n

- 1 )(n

+

1)

• n = .número de grados de libertad del brazo.

1 A causa de su estructura matricial, las ecuaciones de L-E son interesantc:s desde d punto de vista de control en lazo cerrado porque dan un conjunto de ecuaciones de estado como en la ecuación (3.2-26). Esta forma permite el diseño de una ley de control que compensa fácilmente todos los efectos no lineales. Bastante a menudo en el diseño de un controlador por realimentación para un manipulador se utilizan los coeficientes dinámicos para minimizar los efectos no lineales de las fuerzas de reacción (Markiewicz [ 1973]). Es de interés evaluar las complejidades computacionales inherentes a la ohtención de coeficientes en las ecuaciones (3.2-31) a (3.2-34). La tabla 3. 1 resume las complejidades computacionales de las ecuaciones de movimiento de L-E en términos de las operaciones matemáticas requeridas (multiplicaciones y sumas¡ que se .necesitan para calcular la ecuación (3.2-26) para cada punto de consigna en la trayectoria. Computacionalmente estas ecuaciones de movimiento son ex- tremadamente ineficientes cuando se las compara con otras formulaciones. En el siguien.teapartado desarrollaremos las ecuaciones de movimiento de un robot Que serán más eficaces para calcular los pares nominales.

3.2.6 Un ejemplo de un manipulador con dos elementos

[}~

Para demostrar cómo utilizar las ecuaciones de movimiento de L-E en las ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34), se desarrolla en este apartado un ejemplo para un


Figura 3.2 Un manipulador de dos elementos.

manipulador de dos elementos con articulaciones de revolución tal como se muestra en la figura 3.2. Todos los ejes de rotación en las articulaciones están a lo largo del eje z normal a la superficie del papel. A continuación se dan las dimensiones fisicas tales como posición del centro de masa, masa de cada elemento y sistemas de coordenadas. Estamos interesados en deducir las ecuaciones de movimiento del robot con dos elementos anteriores utilizando las ecuaciones (3.2-26) a (3.2-34). Suponemos lo siguiente: variables de articulación = 81, 82; masa de los elementos =m1, mú parámetros de los elementos = cc1 = cc2 = O; d, = d2 = O; y a1 = a2 = /. Entonces. de la figura 3.2 y del estudio del apartado previo se obtienen las matrices de transformación de coordenadas homogéneas i- 1 A¡ (i = 1, 2) como

[e, 'A, - ~' ºA2

ºA11A2

=

o

-S, OO /C,] C1 /S1 o

l

o

O

O

1

[e "

S1 2

IA2

[e,o -s, S2

o -S12

o

-

C12

o o

o o l

o

C2

OO IC,] /S2

O

1

O

O

O

1

/(C., + C,)] /(S12

+

o 1

S1)

DINAMlCA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

donde C1 = cos 01; S1 = sen 01; Cii = cos (O; + O); Sii = sen (O; definición de la matriz Q;, para una articulación giratoria, tenemos

o Q¡

1

-1 O

[o

o

o

=

o o o o

o

Utilizando la ecuación (3.2-11) tenemos

o0A1 O -1

U, 1 =

-

[°

0

1

o

= Q1

001

[-s,

Ai

=

o o

. [-s.,

0 o0A2 M¡ = Q1 A2

e, o o

o o

o o

i c ']

1

o -

IS 1

o

1

«c..

+

-IS] 1c o o

1

o O o o o o o o

o o o o

-S12

o o

-1 1

= ~

-C12

C ,2

-

o

[º oº] [c.,

1 1

=

o

o o

o o

-S,

para U 21 y U 22, tenemos

Análogamente,

U21

O

o o o o

-C, -Si

e, o o

O

S1

O

Oi). De la

!]

r

ºJ

o

+

o o

O

o o

-S12 o S12 C12

o o

o

1

o

C,)]

/(S12

o

+ S1) =

1

,)] - l(S., + S /(C12

+ C1)

o o

U 22--- - o A1Q2'A2-oºA-2082

-

[e, S1

- o o

-

[-s.,

C ,2

o

-s, o

ic,]

e, o IS1 o 1 o o o 1

-S12

-C12

o o o

103

[º 1

o o

º] [e,

-Si

O

S2

C2

o o o o o o

o o

o o

-IS.,]

o o o o12 o

IC

-1O

o o

o o 1

o

ic,] IS2

o 1

=

o

104


De la ecuación (3.2-18), suponiendo que todos los productos de inercia son nulos, podemos deducir la matriz de pseudoinercia J¡:

[ 'i,~,I' o

=

J¡

- i/2m1/

-''f"]

o o o o

o o o o

J2

[ 'i,~,I' o

=

_ 1/2m2'

m1

o o o o

-'/t]

o o o o

m2

A continuación, utilizando la ecuación (3.2-31), tenemos D11

= Tr(U11J1U¡1)

~Tr ¡[-s,

I

+Tr \[CSf"

= i¡3m1/2

+ Tr(U21J2Uf¡) =

o o o o

-C1 -Si o

o

-S12 -·r']

-IS] [/,m,1'

o o

/C1 o

o o o o

oO - i/2m1/

o

J(

+

e 1 2 + e i)

o

o o

o o

TI +

U11

O

m1

o o

o

O

-l(S.,+S,J r,m,I'

-C12

-'t•]

o

o

O

- 1/2m2/

O

o O

o o O o

U21 -

m2

1

+ 4/3m2'2 + m2C2/2 1

1

Para D 12 tenemos D12

=

D21

=

{[S "

Tr(U22J2Ufi) -C12

=

o

=

Tr o C 12

-S12

o

o o

o o o

-IS.,l [ 'f,m,I' IC12

O

o

o

O

- i/2m2/

o o o o o o o o

-'/r'l O m2

}U2T1

-

= m2/2( - i¡6

+ 1/2 + 1/2C2)

i¡3m2l2

+ i¡2m2l2C2

Para D22 tenemos D22 = Tr(U22J2UI2)

= Tr

=

1

{[s"

-C12 -S12

C12

o o

o o

/3m2'2Sf2

=

+

1

-IS.,] ['/,m,l'

o o o o

/3m2'2Cf

IC12

2

O

o

o

O

-1/2m2'

'/3m2'2

o o o o

o o o o

-·r'] } o

m2

ur ""' 22

DINAMICA

DEL BRAZO

DEL ROBOT

IOS

para deducir los términos de Coriolis y centrífugo, utilizamos la ecuación (3.2-32). para i = 1, utilizando la ecuación (3.2-32), tenemos

Utilizando la ecuación (3.2-33) podemos obtener el valor de h¡•m· Por tanto, el valor anterior que corresponde a la articulación 1 es

Análogamente, para i = 2 tenemos

h2

=

2

2

L L •= m= l

1

hi.mÓlÓm

=

h211Óf + h212Ó1Ó2

+ h221ÓL + h222Óf =

Por tanto,

A continuación necesitamos deducir los términos relacionados con la gravedad, e = (c1, c2)7. Utilizando la ecuación (3.2-34) tenemos:

e,

=

=

-(m1gU11

(0,

-m1

ti\

+

O, O) -g,

[-S, C1

~

[-s., - mz(O, -g, O, O)

=

1/2m1g/C1

+

1/2

=

m2gU212r2)

C12

~

m2glC12

-C1 -Si

o o

ol oo o

-IS'] o o

-S12

o o

+ m2glC1

o o

o

-C12

o o

2

/C1

o

-/(Su + s,)] /(C12

+

o o

C1)

--

o o

l

2

106

ROBOTICA: CONTROL, DETECCION, VISION E INTELIGENCIA C2

-m2gU22 2¡2 =

[-s,, C,2

-C,2 -S,2

o o

-IS,,] /C12

I

2

o

-m2(0, -g, O, O)

~

o o

o o

o o

o

= -mz(1/2g/C12 - g/C12)

De aquí obtenemos los términos de la matriz de gravedad:

Finalmente, las ecuaciones de movimiento de Lagrange-Euler para el manipulador de dos elementos se encuentra que son -r(t)

=

=

D(8)6.(t)

+

h(8, Ó)

+

c(8)

['/3m,/2 + 4/3m2/2 + m2C2/2 '/3m2/2 + i/2m2/2C2

i

1

3.3 FORMULACION

DE NEWTON-EULER

En los apartados previos hemos deducido un conjunto de ecuaciones diferencia· les de segundo orden no lineal a partir de la formulación de Lagrange-Euler que: describen la conducta dinámica de un robot. El uso de estas ecuaciones para calcular los pares nominales de las articulaciones a partir de sus posiciones. velocidades y aceleraciones para cada punto de consigna de la trayectoria en tiempo real ha sido un cuello de botella computacional en el control en lazo abierto. El problema se debe principalmente a la ineficacia de las ecuaciones de movimiento de Lagrange-Euler, que utiliza las ecuaciones de transformación homogéneas 4 x 4. Para lograr un control en tiempo real, ha sido propuesto un modelo dinámico simplificado para el robot que ignora las fuerzas de Coriolis Y centrífugas. Esto reduce el tiempo de cálculo para los pares de las articulaciones a un límite obtenible (es decir, menos de I O m para cada punto de la trayectoria utilizando una computadora POP 11/45). Sin embargo, las fuerzas de Coriolis Y

D11 D12 D13 D14 D~s

'D12 D22 D23 D24 Dis D26 116

D13 D23 D33 D34 D3s D36

D14 D24 D34 D44 D4s D46

D1s D16 Dis D26 D3s D36 D4s D46 Ds6 Ds6 D66

11519777 Robotica Control Deteccion Vision e Inteligencia

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