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Trabajo Colaborativo Fase 2 ASIGNATURA:
CALCULO INTEGRAL
TRABAJO COLABORATIVO FASE DOS
PRESENTADO POR:
Alejandro García López - Código. 75.085.037 Álvaro Mauricio Alpala - Código. Francisco Javier Arregui Quintero – Código. 1.059.063.753 Carlos Andrés Arias – Código.
GRUPO: 100411_239
TUTORA: Oscar Mauricio Mora Arroyo
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
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Trabajo Colaborativo Fase 2 ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CEAD - PALMIRA MARZO DE 2017
INTRODUCCIÓN Con la realización de este trabajo colaborativo, se busca que cada integrante del grupo se apropie de la información que contienen la unidad uno sobre integración, pues permitirán desarrollar habilidades con relación a los contenidos de aprendizaje de esta unidad, tales como la integral indefinida, la integral definida y los teoremas fundamentales del cálculo. Además, permite plantear inquietudes, dar soluciones, encontrar diferencias y también los aspectos en común, lo que fortalece el aprendizaje y permite la interacción y trabajo en conjunto de los integrantes del grupo, como el enfoque principal que tienen los trabajos colaborativos.
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Trabajo Colaborativo Fase 2
DESARROLLO TRABAJO COLABORATIVO FASE 2
Primera Parte (Punto 1 Al 4) Encontrar la antiderivada general G (x) de las siguientes funciones: 1.
f ( x) 3x 3 2 x 2 2 x 10
Se aplica teorema de antiderivada de suma y resta de una función:
∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 2
2 x + ¿∫ 2 x−∫ 10 3 x 3 +¿ ∫ ¿
∫ 3 x 3+ 2 x 2 + x 2+2 x−10 dx=∫ ¿ Se aplica teorema antiderivada de una función multiplicada por una constante (C):
∫ C f ( x ) dx=C ∫ f ( x ) dx 2
x +¿ 2∫ x−10∫ dx +C 3
x +¿ 2∫ ¿ 2
2 x +¿ ∫ 2 x −∫ 10=3 ∫ ¿ 3 x 3 + ¿∫ ¿
∫¿ Se aplica antiderivada de una potencia. Antiderivada de una función constante: xn +1 ∫ x dx= n+1 +C ∫ dx=x+ C n
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Trabajo Colaborativo Fase 2 x4 x3 x2 +2 +2 −10 x+C 4 3 2 x 3 +¿ 2∫ ¿
x 2+¿ 2 ∫ x−10∫ dx +C=3
( ) ( ) ( )
3∫ ¿ Este es el resultado 3 x 4 2 x 3 2 x2 + + −10 X +C 4 3 2 Comprobamos la función resultante, sacando la derivada: f ( x )=
3 x 4 2 x3 2 x 2 4 x3 3 x2 2x + + −10 X +C=3 +2 +2 −10 4 3 2 4 3 2
f ´ ( x )=3 x 3+2 x 2 +2 x −10
( ) ( ) ( )
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Trabajo Colaborativo Fase 2 f
2. f
(x )=
2
(x )=
x2 2 1 +x
2
x 1+ x −1 = 2 2 1 +x 1+ x
se sumaun termno al lado y lado de x
2
Se efectúa una suma de términos semejantes f f f
(x )=
x2 1+ x2−1 = 2 2 1 +x 1+ x
(x )=
1 +x 2 1 − se realizaoperaciones matematicas reduccion termnos 2 2 1 +x 1+ x
( x ) =1− 1 2 1+ x
sabemos que
1 (arctanx)’= 1+ x 2
la derivada de 1 =x se realiza anti derivada
Entonces la respuesta es f ( x )=X −arctanx
Sen ² ( x ) +cos 4 ( x ) + Sen ² ( x ) cos 2 ( x ) f ( x )= cos2 ( x )
3.
Tenemos entonces que
Sen ² ( x ) cos2 ( x )=1
4
f ( x )=
Sen ² ( x ) +cos ( x ) +1 cos2 ( x )
Podemos entonces separar términos f ( x )=
Sen ² ( x ) cos 4 ( x ) 1 + + 2 2 2 cos ( x ) cos ( x ) cos ( x )
tenemos:
∫ tan2 ( x ) +cos 2 ( x ) +Sec 2 ( x ) d ( x )
simplificando y reemplazando las identidades trigonométricas
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Trabajo Colaborativo Fase 2 x+sen ( x ) cos ( x )+tan ( x )+ c ( tan ( x )−x ) + 1 ¿ 2 Agrupando términos tenemos: x+ sen ( x ) cos ( x )+ c 1 2 tan ( x )−x + ¿ 2
4.
1+ SEN 2 ( X ) ( X )= 1−SEN 2 ( X ) ¿ f¿
SEN 2 ( X ) +cos 2 ( X )=1 SE DESPEJA cos 2 ( X ) cos 2 ( X ) =1−SEN 2 ( X ) SEN 2 ( X )=1−cos 2 ( X )
( X )=
1+ SEN 2 ( X ) =Reemplazando tenemos 1−SEN 2 ( X ) ¿ f¿
1+( 1−cos 2 ( X )) ( X )= cos2 X ¿ f¿
( X )=
( X )=
2−cos2 ( X ) USAMOS COMUN DENOMINADOR cos 2 X ¿ f¿ 2 cos 2 X − cos 2 X cos 2 X ¿ f¿
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Trabajo Colaborativo Fase 2
( X )=2
1 cos 2 X 1 − donde =Sec2 x 2 2 2 cos X cos X cos X ¿ f¿
f ( X )=¿ 2 Sec 2 x−1 2
2 Sec x−1=¿ 2 tan(x) – x +c Respuesta ∫¿
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Trabajo Colaborativo Fase 2 Segunda parte (punto 5 al 8) El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫ (�)�� =�(�) + �. Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales: 5.
x 2−4 ∫ 2 ( x +2 ) dx
Se saca la constante x 2−4 1 x 2−4 dx= . ∫ 2 ( x +2 ) 2 ∫ x+2 dx Se aplica regla algebraica: a ( b+c ) a ( b+c ) a a b+ c = × = = 2 2 b−c b−c b+ c ( b−c ) ( b+c ) b −c 2 2 x 2−4 x 2−4 x−2 ( x −4 ) ( x−2 ) ( x −4 ) ( x−2 ) = × = = x +2 x +2 x−2 ( x−2 )( x +2 ) x 2−22
( x 2−4 ) ( x−2 ) 1 .∫ 2 x 2−22
1 = 2 .∫ x−2 dx
1 . x−2 dx 2 ∫ Se aplica teorema de antiderivada de suma y resta de una función:
∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx 1 . ( x dx −∫ 2dx ) 2 ∫ Se aplica antiderivada de una potencia:
∫ x n dx=
xn +1 +C n+1 1 +1
2
x x = ∫ x dx= 1+1 2
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Trabajo Colaborativo Fase 2
Se aplica antiderivada de una constante:
∫ dx= x+C ∫ 2 dx=2 x El resultado de la funcion es: x 2−4 1 x2 dx= ∫ 2 ( x +2 ) 2 2 −2 x +C
(
)
senx
∫ cos2 x . dx propiedad fundamental sen 2 x +cos 2 x=1
6.
senx
∫ cos2 x . dx producto de dos fracciones cosx . cosx=cos 2 x senx
1
senx
1
∫ cosx . cosx . dx donde sabemos cosx =tanx y cosx =secx ∫ tanx . secx . dx propiedad conmutativa ∫ secx .tanx . dx hemosllegado a una integral directa
∫ secx .tanx . dx la respuestaes laderivada de secx .tanx =secx+c es la respuesta.
7.
x2 x x 1 dx
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Trabajo Colaborativo Fase 2 2
−x dx Por sustitucion podemos decir A=x+1 ∫ xx+1 donde
dA dA =x+1=1 entonces =1 ,donde dx=dA dx dx
x2 −x ∫ A dA de laecuación A=x +1tenemos x=A−1 2
( A−1) −( A−1) dA de la ecuación A=x +1tenemos x =A−1 ∫ A
( A−1)2 −( A−1) dA Resolvemos la diferencia de cuadrados ∫ A
∫
A ²−2 A ( 1 ) +(1)²−( A−1) dA A
∫
A ²−2 A+1−A−1 dA A
∫
A ²−3 A dA A
∫
A ( A−3) dA A
∫ (A−3) dA Respuesta
8.
A² −3 A+c 2
dx 1 cos( x) dx
∫ 1+ cos x . dx multiplicamos numerador y denom por su conjugado
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Trabajo Colaborativo Fase 2 dx
1−cos x
∫ 1+ cos x . 1−cos x dx 1−cos x
∫ 1−cos ² x . dx tenemos que sen ² x +cos ² x=1 despejamos sen ² x ∫
1−cos x . dx separamos lasintegrales sen ² x 1
cos x
∫ sen ² x dx−∫ sen2 x . dx por identidades inmediatas tenemos 2
csc x=
1 ; entonces sen2 x cos x
∫ csc2 x dx −∫ sen2 x . dx pasamos sen2 x alnumerador ∫ csc2 x dx −∫ sen−2 x . cos x dx tenemos integralesinmediatas ∫ csc 2 v dv=−cot v
;
¿−cot x −
sen −2 +1 +c −2+1
¿−cot x −
sen +c −1
∫ v n dv =
v n +1 reemplazando tenemos n+ 1
−1
Respuesta=−cot x−
1 +c sen x
Tercera parte (punto 9 al 12) Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.
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Trabajo Colaborativo Fase 2 9. Para una empresa manufacturera, la función que determina la oferta de su producto estrella en miles de litros, tiene un comportamiento exponencial descrito por
P (t )=e0.1 t , donde t está
medido en días. Según lo anterior, determinar el volumen promedio de producción de este artículo en los primeros 10 días de operación de la empresa. P (t )=e0 . 1t t= 10 P (t )=e( 0 .1 .10)=0 ,1 .10=1 P (t )=e1 a1=a
Se aplica regla P (t )=e P (t )=2.718
Litros. Este es el volumen promedio de producción de este artículo en los primeros
10 días.
10. Aplicar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para determinar √x
4
f ( x ) , si f ( x )=∫ e t dt '
1
d Se aplica: dx
√x
[
]
u(x)
∫ f ( t ) dt = f ( u ( x ))∗u' (x) a
' 4
f ' ( x )=e √ x ∗¿ 1 4 2
( √ x ) =( x ) =x 4
1 ' 2
2
1 ( √ x ) =( x ) = x 2 '
−1 2
=
1 1
2x2
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Trabajo Colaborativo Fase 2 2
'
f ( x )=
e x ∗1 1
2 x2 x
2
e f ( x )= 2√ x '
11. La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se reemplazan una vez se haya desarrollado el proceso de integración, teniendo en cuenta el siguiente criterio b
∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a ) , a
Generalmente conocido como segundo teorema fundamental del, cálculo. π
Evaluar la siguiente integral
∫ [ cos ( x ) tan ( x)] dx 0
π
∫ [ cos ( x ) tan ( x)] dx resolvemos lasidentidades trigonometricas 0 π
reemplazo ∫ [ cos ( x ) tan ( x)] dx resolvemos tan ( x )= senx cosx 0
π
∫ 0
[
cos ( x )
]
sen ( x) dx se cancela cosx en ambas fracciones cos ( x)
π
∫ [ sen ( x ) ] dx ahora aplicamos teorema fundamental 0
b
∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a ) , a π
∫ f ( senx ) dx=sen(π )−sen ( 0 ) , 0
Sen (π)=0-sen (0) =0 Respuesta = 0
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Trabajo Colaborativo Fase 2
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Trabajo Colaborativo Fase 2 CONCUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
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Trabajo Colaborativo Fase 2
(20 de Febrero de 2017). Obtenido de https://www.youtube.com/watch? v=tygkDkPx0is&list=PL-uugTfX-9PBNldJgJRY91Oa-LN4I95hF
(26 de Febrero de 2017). Obtenido de https://www.youtube.com/watch? v=wh7UzliYjmA
Rodríguez, A. (2015, noviembre, 23). Fundamentos de integración. [Video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7148.
Rondón, J. (2010). Cálculo integral. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7146.
https://www.youtube.com/watch?v=On9LaPHyvbE&spfreload=10.
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