10) Función cuadrática

Fatela PREUNIVERSITARIOS

MATEMÁTICA GUÍA º 10 “FUCIÓ CUADRÁTICA” La función cuadrática es una función muy común en Matemática. Se trata de una función de segundo grado: la "x" aparece elevada al cuadrado como máxima potencia. Su representación gráfica es una curva curva llamada “parábola”, la cual presenta como punto característico al “vértice”. En dicho punto la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Su forma analítica general es:

y = a.x2 + b.x + c

Término Cuadrático

Término Lineal

Término Independiente Para graficarla realizamos una tabla de valores:

a=1 Por ejemplo: y = x 2 – 4.x + 3

b = − 4 c=3

x

y

0

3

1

0

5

2

−1

4

3

0

3

4

3

y 6

Ordenada al origen

d2

d2

2

Eje de Simetría x = Xv

1 0

d 1

Vértice V (Xv , Yv )

d 2

3

4

5

6

7

8

9

x

Ceros X1 y X2

Matemática, Función Cuadrática - 1 -15


En esta sencilla función cuadrática, con sólo hacer una tabla de valores hemos hallado todos los elementos característicos de la parábola: su vértice V(2, −1), sus ceros X 1 = 1 y X2 = 3, y su ordenada al origen f(0) = 3, tal cual se muestra en la gráfica. En adelante, desarrollaremos las fórmulas necesarias para hallar estos elementos en una parábola cualquiera, que por lo general no son fáciles de hallar con una simple tabla de valores.

CEROS O RAÍCES DE LA FUCIÓ CUADRÁTICA: La función cuadrática, como toda función puede tener "ceros" o "raíces", que son valores de la variable independiente "x" que hacen cero a la función "y". 2

Función cuadrática

y=ax +bx+c 2

0=ax +bx+c 0 a

= x2 +

b a

x+

Ecuación cuadrática c

Dividimos miembro a miembro por "a"

a 2

Completamos cuadrados

2

c  b  b   b  0 = x + 2  x +  −   + a  2a   2a   2a  2

2

b  b2 c  0 = x + + −  2a  4a 2 a 

b2

b   = x − +   4a 2 a 2a   c

b2 − 4ac

Despejamos "x":

4a 2 Fórmula Resolvente de la Ecuación de Segundo Grado

x1-2 =

− b ± b2 − 4ac

2a

2

b   = x +  2a  

2

b2 − 4ac b = x ± + 4a 2 2a

−

b 2a

±

b 2 − 4ac 2a

= x

Esta fórmula nos permite hallar las dos raíces o ceros de la ecuación cuadrática, lo que se logra al tomar alternativamente los signos "+" y " −" de la fórmula resolvente. Como vemos, una parábola puede tener dos ceros reales y distintos como en este caso, en que corta dos veces en su trayectoria real al eje "x", en los puntos X 1 y X2. Matemática, Función Cuadrática - 2 -15


TIPOS DE SOLUCIOES DE LA ECUACIÓ DE SEGUDO GRADO El radicando de la fórmula resolvente, llamado discriminante determina el tipo de soluciones que tiene la ecuación de segundo grado. Discriminante

2

x1-2 =

− b ± b − 4ac

2a

1) Si el discriminante es positivo: La raíz cuadrada de un número positivo es también positiva, con lo cual el doble signo de la raíz cuadrada lleva a dos raíces reales y distintas. La curva cortará entonces dos veces en su trayectoria real al eje "x".

2) Si el discriminante es cero: La raíz cuadrada de cero es cero, con lo cual el doble signo de la raíz cuadrada lleva a dos raíces reales e iguales, o puede decirse una raíz real doble. La curva tocará entonces una sola vez al eje "x" sin atravesarlo. Puede verse que la curva "rebota" sin cruzar el eje de abscisas, o sea que tiene su vértice sobre dicho eje.

3) Si el discriminante es negativo: La raíz cuadrada de un número negativo no tiene resultado en el campo real, con lo cual la solución son dos raíces complejas conjugadas. La curva no toca en este caso al eje "x" sino que se halla siempre por arriba o por debajo de dicho eje de abscisas. a es +

a es −

y

b2 − 4 a c > 0

2 Raíces Reales y distintas

x

y b2 − 4 a c = 0

2 Raíces Reales e iguales

x



y 2 Raíces Complejas Conjugadas

2

b − 4 a c < 0

x

VÉRTICE El vértice es un punto muy importante de una parábola: allí la función cuadrática pasa de ser creciente a decreciente, teniendo un máximo la función en ese punto; o pasa de ser decreciente a creciente teniendo un mínimo. Para obtener las expresiones analíticas de las coordenadas del vértice, es necesario tener en cuenta que las parábolas tienen un eje de simetría vertical que pasa por dicho vértice. La existencia de un eje de simetría implica que las dos "ramas" de la curva, a la derecha e izquierda del eje están equidistantes respecto al mismo. Por ello: XV =

X1 + X 2

La abscisa del vértice X v es igual al promedio de las raíces X 1 y X2

2

A partir de esta expresión se puede obtener otra, que es más útil y directa en la práctica, pues permite hallar X v sin calcular antes las raíces, sino a partir de los coeficientes "a" y "b" de la forma general: X1 XV =

− b + b 2 − 4ac

2a

+

−b − b 2 − 4ac

X2

2a

2 2 2 − b + b − 4ac − b − b − 4ac

XV =

2a 2

=

−2b 1

. ⇒ 2a 2

Como el vértice es un punto más de la parábola, sus coordenadas X v e Yv también deben satisfacer la ecuación de la curva. Por tanto:

XV = −

b 2a

YV = f ( X v )



La ordenada del vértice "Y v" es el valor que toma la función "y" cuando la variable "x" se reemplaza por el valor previamente hallado de "Xv".

EJE DE SIMETRÍA

Otro elemento importante de la parábola es el eje de simetría, que como sabemos es una recta vertical que pasa por vértice. Su ecuación es: La ecuación del eje de simetría es la correspondiente a una recta vertical del tipo: x = constante

x=X

Este eje se llama de simetría debido a que si trazamos cualquier recta perpendicular al mismo, vemos que la distancia desde un punto de la curva al eje de simetría, es igual a la distancia desde dicho eje al punto ubicado en la otra rama. Así pues, la parábola es una curva con ramas simétricas.

ORDEADA AL ORIGE Al igual que en las rectas, la parábola tiene una ordenada al origen, que es el valor que toma la función cuando "x" vale cero. Gráficamente corresponde al punto donde la curva corta al eje "y". La Ordenada al Origen de una parábola es igual al término independiente "c" de la forma general.

f(0) = c

Para Practicar

Verificar con el Simulador Digital "Función Cuadrática"

1) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar todos sus elementos significativos sin hacer tabla de valores, sino aplicando las expresiones vistas. Graficar.

a) b) c) d) e)



Raíces o Ceros.



Coordenadas del Vértice.



Ecuación del eje de simetría.



Ordenada al origen.

2

y=−x +6x–8

X1 = 2, X2 = 4; V(3,1);

y = x2 + 4 x

X1 = 0, X2 = −4;V(−2, −4);Eje x = −2; f(0) = 0

2

y=−x +1 2

y=x −4x–5 2

y=−x +2x−4

X1 = −1, X2 = 1; V(0,1);

Eje x = 3; f(0) = −8 Eje x = 0;

f(0) = 1

X1 = −1, X2 = 5; V(2,−9); Eje x = 2; f(0) = −5 X1 y X2 ∉R ;

V(1,−3); Eje x = 1; f(0) = −4



ESTUDIO DE LA FAMILIA DE PARÁBOLAS: y = a x2 Ahora estudiaremos las curvas de esta familia de parábolas, en las cuales no existe el término lineal ni el término independiente. Para todas ellas:

b=c=0

El Vértice estará siempre en el origen, dado que: XV = −

b 2a

=−

0 2a

=0

V (0; 0)

YV = f ( X v ) = a X 2v = a . 0 = 0

y 5

2

y=x

4 y = 2 x2 y = 1/2 x

3

2

2 1 −5 −4 −3

y = −x2 y = −2 x

−2

−1

0 −1

x 1

2

3

4

5

−2

2

−3

y = −1/2 x

2

−4 −5

Como podemos observar, cuando el coeficiente cuadrático "a" es positivo, las ramas van "hacia arriba" y la función tiene un mínimo en el vértice. Por caso contrario, cuando el coeficiente "a" es negativo las ramas van "hacia abajo" y la función tiene un máximo en el vértice. Además vemos que cuanto mayor es el valor absoluto de "a" las ramas "se cierran" más sobre la vertical, dando una parábola de más rápido crecimiento o decrecimiento. Por caso contrario cuando el valor absoluto de "a" es menor que 1, las ramas están más abiertas que en la parábola 2 básica y = x , con lo que se obtiene una curva de más lento crecimiento o decrecimiento.



Ahora veremos que los parámetros "b" y "c" sólo desplazan la curva, de manera que el vértice pueda estar en cualquier punto del plano, pero no alteran la forma de la parábola, la cual depende exclusivamente de "a".

FORMA CAÓICA DE LA FUCIÓ CUADRÁTICA Aparte de la forma general ya vista, donde la parábola queda definida por los parámetros "a", "b" y "c", existe la llamada "forma canónica" que a menudo es más útil, pues en la misma los parámetros son directamente las coordenadas del vértice y el factor "a" que como vimos define la forma de la curva. 2

Desplazaremos una parábola de la familia vista y = a x (con vértice en el origen) a un punto cualquiera del plano de coordenada V(X v;Yv):

y

Tomamos un sistema de referencia auxiliar x'y':

y'

P (x';y') ≡ (x;y)

y'

y'

x'

y' = a (x')

2

Como: x' = x − Xv

x'

y Yv

y' = y − Yv

Vértice V(Xv;Yv)

x Xv x Forma Canónica de la Parábola

Reemplazando:

2

y − Yv = a (x − Xv) 2

y = a (x − Xv) + Yv

FORMA FACTORIZADA DE LA FUCIÓ CUADRÁTICA Una tercera forma de expresión de una función cuadrática es la forma factorizada. En ella los tres parámetros que definen a la parábola son las dos raíces X 1 y X2 (cuando son reales y distintas) y el coeficiente cuadrático "a". Forma Factorizada de la Parábola

y = a (x − X1) (x − X2)

Es natural aceptar esta forma de expresión de la función cuadrática, pues se verifica que cuando "x" toma el valor de las raíces X 1 o X2 la



función "y" se anula. Además tiene el coeficiente "a" que define la forma de la curva. Quedando definida la forma y los dos ceros de la función, la parábola queda totalmente definida.

LAS TRES FORMAS DE EXPRESIÓ DE LA PARÁBOLA En el siguiente esquema se marcan los caminos a seguir para pasar de una forma a otra de expresión de la parábola. Fórmula Resolvente

Forma General

Completar Cuadrados

2

y = a.x + b.x + c Desarrollo de Cuadrado de Binomio

Propiedad Distributiva

Forma Factorizada

Forma Canónica y − Yv = a (x − Xv)2

Para Practicar

y = a (x − X1) (x − X2)

X + X2 XV = 1 2 YV = f ( X V )

Verificar con el Simulador Digital "Función Cuadrática" y sus simuladores adicionales “Forma Canónica” y “Forma Factorizada”

1) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, expresarlas en las restantes formas; Graficar.

a) y = − x2 + 6 x – 8 b) y = x2 + 4 x c) y = − x2 + 1

y = − (x – 3)2 + 1

y = − (x − 2) (x – 4)

2

y = (x + 2) − 4

y = x (x + 4)

2

y=−x +1

y = − (x + 1) (x – 1) 2

d) y = 2 (x − 2) (x + 3)

2

y = 2 x + 2 x − 12

1  25  y = 2 x +  − 2 2 

e) y = − 2 (x – 4)2 + 8 y = − 2 x2 + 16 x − 24 y = − 2 (x − 2) (x – 6) 2) Para que el vértice de la parábola y = x 2 se desplace al punto (3; −2) se utiliza la expresión: y = (x+3)2 +2

2

y = (x−3) +2

2

y = (x+3) −2

2

y = (x−3) −2

NRAC



3) El intervalo de valores de “m” para que la ecuación 2mx2 − 4x + 1 = 0 tenga raíces reales y distintas es:

(−∞; 2)

4) El intervalo de valores de “k” para que la ecuación 5x2 −2kx + 20 = 0 tenga raíces complejas conjugadas es:

(−10; 10)

5) El conjunto de valores que puede tomar “n” para que la ecuación: 2 {1 } −nx + 2x − 1 = 0 tenga raíces reales e iguales es: Por último veremos el tema de la reconstrucción de la ecuación de segundo grado: Si se conocen las raíces de una ecuación, se trata de encontrar una forma de expresión de la ecuación cuadrática que admita como raíces a dichos valores.

RECOSTRUCCIÓ DE LA ECUACIÓ DE SEGUDO GRADO Cuando conocemos la ecuación cuadrática y queremos hallar las raíces usamos la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado. Este es el problema directo. Ahora plantearemos el problema inverso: se conocen las raíces de la ecuación y se desea hallar una forma de expresión de la misma que admita como raíces a los valores dados. Problema Directo

a x2 + b x + c = 0

X1 X2 Problema Inverso

Dada la forma general de la ecuación cuadrática, se cumple: 2

a.x + b.x + c = 0

Según la forma factorizada de la ecuación cuadrática, se cumple: a (x − X1) (x − X2) = 0 a ( x 2 − X 2 x − X1 x + X1X 2 ) =0

 

a  x2 +

b a

x+

c

 =0 a

a ( x 2 − ( X 2 + X1 ) x + X1X 2 ) =0



b

Por comparación:

a

= − ( X1 + X 2 )

c = X1 . X 2 a

Fórmulas de la reconstrucción de la ecuación de segundo grado Como vemos sólo hay dos coeficientes independientes en la ecuación cuadrática, puesto que el valor de "a" tomado en forma aislada no es importante. Generalmente se hace a = 1 al reconstruir la ecuación. Recordemos que si a una ecuación cuadrática se la multiplica miembro a miembro por una cierta constante se obtiene una ecuación equivalente, lo que indica que la nueva ecuación tiene las mismas raíces X 1 y X2 que la ecuación original: 2. (x2 + 5 x + 6) = 0 .2 Ecuaciones Equivalentes

2

x +5x+6=0

X1 = −2

La forma:

Las ecuaciones equivalentes tienen raíces idénticas

X2 = −3

x2 +

b

− (X1 + X2)

a

x+

c a

=0

2

2 x + 10 x + 12 = 0

X1 = −2

X2 = −3

se llama forma normalizada o reducida de la ecuación cuadrática. X1 . X2

Dados las raíces X 1 y X2: el coeficiente lineal de la forma normalizada es igual a la suma de las raíces cambiada de signo y el término independiente es igual al producto de dichas raíces. Para Practicar

Verificar con el Simulador Digital "Función Cuadrática" y sus simuladores adicionales “Forma Canónica” y “Forma Factorizada”

1) Dadas las raíces reconstruir las ecuaciones cuadráticas normalizadas: 2 a) X1 = −2 ; X2 = 3 x −x−6=0 2 b) X1 = −1 ; X2 = −5 x +6x+5=0 2 c) X1 = 0 ; X2 = −3 x +3x=0



2) La ecuación de segundo grado reducida (a = 1) en la variable “x” sabiendo que una de las raíces es X 1 = −2 y que el coeficiente del término lineal es −3 es: 2

x −3x +10 = 0 x2 +3x −10 = 0 2

x −3x −10 = 0 2

x +3x +10 = 0 NRAC

3) El valor (o los valores) de “m” para que la abscisa de uno de los puntos de intersección entre las curvas correspondientes a las funciones y = 2x2 – m e y = 1 – 3 x sea X1 = −5 es (o son): (m= 34)

4) Si se restringe el dominio de la función y = −x2 + 2x −3 al intervalo (−1; 2) la imagen es:

(−6; −2]

5) La expresión de una función cuadrática que sólo es negativa en el intervalo ( −3; 2) puede ser: 2

x +x −6 = 0

2

x −x −6 = 0

2

x +x +6 = 0

2

x −x +6 = 0

NRAC

6) Las temperaturas entre las 0 hs y las 24 hs en una zona rural se 1 2 ( x − 12 ) + 10 , donde T es la 10 temperatura en ºC y "x" es la hora del día. Responda:

ajustan por la función T ( x ) = −

a) ¿Cuál fue la temperatura máxima? b) ¿A que hora del día se registró? c) ¿Qué temperatura se registra a las 3 de la tarde?

(10 °C) (12 hs) (9,1 °C)

7) Un cuerpo se arroja verticalmente desde una altura de 40 m. La altura en función del tiempo está dada por: h(t ) = 40 + 30 t − 4, 9 t 2 , donde "h" es la altura en (m) (m) y "t" es el tiempo en (s). Responda: a) ¿Cuál fue la altura máxima? b) ¿En qué instante se registró? c) ¿Cuándo vuele a tocar el suelo? d) Graficar.

(85,9 m) (3,06 s) (7,25 s)



Trabajo Práctico º 10 : Función Cuadrática 10.1) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, encontrar todos sus elementos significativos sin hacer tabla de valores, sino aplicando las expresiones vistas. Graficar.  Raíces

o Ceros.

 Coordenadas

del Vértice.

 Ecuación

del eje de simetría.

 Ordenada

al origen.

2

a) b) c) d) e)

y=x −2x+3 y = −2 x2 − 12 x −10 2

y=x +4x+4 2

y=2x −8 2

y=−x −4x−3

10.2) Dadas las siguientes funciones cuadráticas, expresarlas en las restantes formas (Canónica, Factorizada y General); Graficar.

a) y = − x2 − 2 x + 3 b) y = x2 − 2 x c) y = −2 x2 + 2 d) y = (x − 3) (x + 1) e) y = 2 (x – 3)2 − 8 10.3) Para que el vértice de la parábola y = x 2 se desplace al punto ( −5; −1) se utiliza la expresión: 2

y = (x+5) +1

y = (x−5)2 +1

2

y = (x+5) −1

y = (x−5)2 −1

NRAC

10.4) El intervalo intervalo de valores de “m” para que la ecuación mx2 +5x + 5 = 0 tenga raíces reales y distintas es: (− ∞ ; −5/4]

(5/4; ∞ )

(− ∞ ; 5/4)

(−5/4; ∞ )

10.5) El intervalo de valores de “k” para que la ecuación

NRAC

2

−2x + 5kx − 8 = 0

tenga raíces complejas conjugadas es: (−5/8; 5/8)

(−8/5; ∞)

(−∞; 8/5)

(−8/5; 8/5)

NRAC



10.6) El conjunto de valores que puede tomar “n” para que la ecuación: 2 −x + nx − 4 = 0 tenga raíces reales e iguales es:

{4}

{−4, 4}

{} = ∅

{−2, 2}

NRAC

10.7) Hallar el conjunto de valores que puede tomar “n” para que la ecuación: −2x2 + 5nx + 7 = 0 tenga raíces reales e iguales. 10.8) Dadas las raíces reconstruir las ecuaciones cuadráticas reducidas o normalizadas:

a) X1 = −1 ; X2 = 5 b) X1 = 2 ; X2 = −3 c) X1 = −4 ; X2 = −1 10.9) Hallar la ecuación de segundo grado reducida (a = 1) en la variable “x”, sabiendo que una de las raíces es X 1 = 6 y que el coeficiente del término lineal es −12.

10.10) Hallar la ecuación de segundo grado reducida (a = 1) en la variable “x”, sabiendo que una de las raíces es X 1 = −3 y que el término independiente es 15.

10.11) El valor (o los valores) de “m” para que la abscisa de uno de los puntos de intersección entre las curvas correspondientes a las funciones y = −x2 + 2m e y = 6 – 5 x sea X1 = 4 es (o son):

10.12) Si se restringe el dominio de la función y = x 2 + 4x al intervalo (−3; 0], hallar el conjunto imagen.

10.13) La expresión de una función cuadrática que sólo es positiva en el intervalo ( 1; 7) puede ser: 2

−x +8x −7 = 0

2

2

−x −8x −7 = 0 −x +8x +7 = 0

2 −x −8x +7 = 0 NRAC

10.14) La ganancia de una compañía se ajusta por la función cuadrática G( p) = −

2 000

p ( p − 12 ) , donde G es la ganancia en "$" y "p"

3 es el precio en "$" a que se vende cada producto. Responda:

a) ¿Cuál es la ganancia máxima que puede obtener? b) ¿A qué precio de venta unitario se obtiene la máxima ganancia? c) ¿Para qué precios se llega a una situación de equilibrio?



d) ¿Para qué precios se obtendrá una utilidad de $ 20 000?

10.15) El arco de un puente que cruza un río, se adapta a la función 1 x ( x − 20 ) , donde "h" es la altura del arco y 20 "x" es el ancho del río, ambos en metros.

cuadrática h( x ) = −

a) ¿Cuál es la altura máxima a que se elevará el arco? b) ¿A qué distancia del margen del río alcanzará el puente la altura máxima? c) ¿Qué altura tendrá el arco a 5 m de la orilla?



Respuestas del trabajo Práctico º 10 "Función Cuadrática" 10.1) a) X1 y X2 ∉R ; b) X1 = −5 X2 = −1; c) X1 = X2 = −2; d) X1 = −2 X2 = 2; e) X1 = −3 X2 = −1;

V(1,2); V(−3, 8); V(−2, 0); V(0, −8); V(−2, 1);

Eje x = 1; Eje x = −3; Eje x = −2; Eje x = 0; Eje x = −2;

f(0) = 3 f(0) = −10 f(0) = 4 f(0) = −8 f(0) = −3

10.2) a) b) c) d) e) 10.3) 10.4) 10.5) 10.6) 10.7) 10.8)

y = − (x + 1) 2 + 4 y = (x − 1)2 − 1 y = − 2 x2 + 2 2 y=x −2x−3 2 y = 2 x − 12 x + 10

y = − (x + 3) (x – 1) y = x (x − 2) y = −2 (x + 1) (x – 1) 2 y = (x − 1) − 4 y = 2 (x − 1) (x – 5)

Opción c) Opción c) Opción d) Opción b) {} = ∅

a) x2 − 4 x − 5 = 0 b) x2 + x − 6 = 0 c) x2 + 5 x + 4 = 0 10.9) x2 − 12 x + 36 = 0 10.10) x2 + 8 x + 15 = 0 10.11) m = 1 10.12) [−4; 0] 10.13) Opción a) 10.14) a) $ 24 000 b) $ 6 c) $ 0 y $ 12 d) Para p1 = $ 3,55 y p2 = $ 8,45 10.15) a) 5 m b) 10 m c) 3,75 m


10) Función cuadrática

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