ÁLGEBRA
LEYES DE EXPONENTES DESARROLLO DEL TEMA I.
NOTA NOTACIÓN CIÓN UTILIZ UTILIZAD ADA A
III. TEOREMA TEOREMAS S
A. Para potencia:
exponente n
1.
am an am n
2.
am amn; a 0 an
3.
4.
a b
a = potencia
base B. Para radicación: radicación:
am
n
índice n
a = raíz
radicando
amn n
an bn
n
an a 5. b n ;b 0 b
II. DEFINIC DEFINICION IONES ES
6. m n a mn a 1.
2.
a R
a R
a0 1
7.
1
8.
a a
3. a R n N / n 2
n
ab n a n b
na
b
n n
a ;b 0 b
IV. IV. PROPIEDADES
a n a a a.. ...... .... ..." ." n " factores factores
anb p c 1. m x a n x b p x c mnp a 4. a R 0 n R a
5
1
1
m m an n a
nm 1 n 1
2.
n n x x... n x "m"radicales
3.
n x n x... n 1 x
4.
n x n x ... n1 x
an
m am n R / 3a n R
nm
a
LEYES DE EXPONETES
Exigimos más!
V. ECUACIÓN ECUACIÓN EXPONENCIAL EXPONENCIAL
V. ECUACIÓN ECUACIÓN EXPONENCIAL EXPONENCIAL
A. Diversos Diversos ejemplos: ejemplos: x
x
x
x
2 4; 3 4 5 ; 3
4x
A. A . si : x x aa x1 a
x 1
81 2
B. Teorema:
si : a x
x b B. si : x b x1 b
ay
x y; a 1
C. Propiedad: x
x
si : a a x 0; a, b 1
problemas
resueltos
Problema 1
3 x k
Reducir: E 4 2
1
27 3
1
36 2
1
x
Resolución: 1 1 1 E 4 2 27 3 36 2
E 4
1
3 27 27
1
36
1
Por teorema:
90
2x 2 3x 3 3 2
44
4 x 4 9x 9 5x 13 13 x 5
30
15 x x11 x 22
x
k
E 21 31 6 1
E
y
C. si : x c y c x y
y
Problema 4
k x4
1 1 1 3 2 1 6 2 3 6 6 6
Determine un valor de x en: Problema 3
E 1
3
xx 3 4
Determine x en: Resolución:
3
Problema 2
Simplificar: 3
X.
4
x 1
8
Resolución:
3
X.
3
X... X...90fact 0facto ores
3 22
x 1
23
x. x. x...44facto x...44factore ress Siendo x >1 Resolución:
Sea "k" la expresión simplificada, luego
3
2
2x 2
2x 2
2 3
2
3x 3
3x 3
2 2
x 1
x 1
3 x3 3 3 x 4
x
x3 4
x
x3 22
3
3
Por comparación: x3 2 x 32
LEYES DE EXPONETES
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V. ECUACIÓN ECUACIÓN EXPONENCIAL EXPONENCIAL
V. ECUACIÓN ECUACIÓN EXPONENCIAL EXPONENCIAL
A. Diversos Diversos ejemplos: ejemplos: x
x
x
x
2 4; 3 4 5 ; 3
4x
A. A . si : x x aa x1 a
x 1
81 2
B. Teorema:
si : a x
x b B. si : x b x1 b
ay
x y; a 1
C. Propiedad: x
x
si : a a x 0; a, b 1
problemas
resueltos
Problema 1
3 x k
Reducir: E 4 2
1
27 3
1
36 2
1
x
Resolución: 1 1 1 E 4 2 27 3 36 2
E 4
1
3 27 27
1
36
1
Por teorema:
90
2x 2 3x 3 3 2
44
4 x 4 9x 9 5x 13 13 x 5
30
15 x x11 x 22
x
k
E 21 31 6 1
E
y
C. si : x c y c x y
y
Problema 4
k x4
1 1 1 3 2 1 6 2 3 6 6 6
Determine un valor de x en: Problema 3
E 1
3
xx 3 4
Determine x en: Resolución:
3
Problema 2
Simplificar: 3
X.
4
x 1
8
Resolución:
3
X.
3
X... X...90fact 0facto ores
3 22
x 1
23
x. x. x...44facto x...44factore ress Siendo x >1 Resolución:
Sea "k" la expresión simplificada, luego
3
2
2x 2
2x 2
2 3
2
3x 3
3x 3
2 2
x 1
x 1
3 x3 3 3 x 4
x
x3 4
x
x3 22
3
3
Por comparación: x3 2 x 32
ÁLGEBRA
EL POLINOMIO DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFI DEFINI NICI CIÓN ÓN Es la expresión algebraica que se caracteriza por presentar a todas sus variables en el mumerador, estando cada una de estas afectada solo por exponentes natural. Son ejemplos de polinomios:
P x 2x 3 7 x 4 Q x; y 5x 4 3x2y 5xy2
R x 7 x2 3x 4
* Q x x5 2x3 x 1 C. Polinimi Polinimio o compl completo eto::
* P x 2 x x2 *
Q x 5x x 3 x 2 1 0
Obsevación:
En todo polinomio completo respecto a la variable x se cumple que: N° de términos = GR(x) +1
Obsevación:
Todo númerador real es un polinomio en forma muy especial el cero, al cual llamaremos polinomio identicametne nulo.
II. GRAD GRADO O A. Grado Gra do absoluto (GA) B. Grado relativo relativo (GR) (GR) * P x; y 5x2y 7
GR x 2; GR y 7; GA 2 7 9
x; y 2x 3 5x 2y 2 4y * Q x; GR x 3; GR y 2; GA 2 2 4 Obsevación:
Todo número real diferente de cero tiene grado cero el cero carece de grado.
III. POLINOMIOS ESPECIALES ESPECIALES A. Polinomio homogéneo:
* P x; x; y x 4 3xy3 5x 2 y2 B. Polinom Polinomio io orden ordenado: ado:
*
P x x 2 5x10 4 x17
IV. IV. EUCLIDEANO A. A . Forma general
P x a0 xn a1x n1 a2x n2 ... an Donde:
x = variable o ideterminada a0 , a1, a2 , ..... an son co coeficientes a0xn = término dominante, aquí a0 0 y n a0 = coeficiente principal an = término independiente de x Obsevación:
Un polinomio se dice literal si su grado mayor o igual que la unidad, de no ocurrir esto el polinomio es constante. B. Propiedades del polinomio polinomio literal literal P(x)
* P(1) P(1) = suma suma de coe coefi fici cien ente tess * P(0) P(0) = térm término inoss indep independ endien ientes tes de de x
EL POLINOMIO
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III. III. POLINOMIOS POLINOMIOS MÓNICO: Es un plinomio literal que se encuentra en función de una sola variable, todos sus coeficientes son enteras y el princiapl es uno. Son polinomios mónicos:
P x x5 2x 2 x 10 10 Q x x 2 7x 4
problemas
resueltos
Problema 1
¿Cuántos polinomios de la forma P x; y xn 7 nx ny y10n existen? Resolución:
Según la definición definición n 7 , n 10 n deben ser números naturales, luego: n 7 0 10 n 0 n7 10 n 7 n 10
Como n tenemos: n = 7; 8; 9 y 10 existen cuatro p olinomios Problema 2
Si P 2x 7 6x 1 . Determinar el polinomio P(7x + 2) Resolución:
Según el polinomio dato.
P 2x 7 6x 1 De acuerdo con en ca mbio de variable
2x 7 u 2x u 7 x u7 2 P u 6 u 7 1 2 P u 3 u 7 1 P u 3u 22 Finalmente el polinomio buscado es: P 7x 2 3 7x 2 2 2 P 7x 7x 2 21x 6 22 7 x 2 21x 28 P 7x Problema Problema 3
Calcular mn si el polinomio: P x , y xm2 5xy 3 mny n1
es homogéneo. Resolución:
Por condición el polinomio dado es homogéno., luego se cumple:
m24n1 m 6 n 3 mn 18 Problema 4
Dado el siguiente polinomio mónico lineal: P x a 2 x 2 a b 1 x 2a 2a b
Determine su término independiente. Resolución:
Por ser un polinimio lineal se cumple que: a2 0 a2 ahora tenemos:
P x 3 b x 4 b Por se un polinomio mónico se cumple que: 3b 1 b2 con lo cual tenemos: término independiente de x = 2
ÁLGEBRA
PRODUCTOS NOTABLES DESARROLLO DEL TEMA I.
CONCEPTO
5.
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que tienen forma determinada, se pueden recordar fácilmente sin necesidad de efectuar la operación.
Producto de multiplicar binomios con término común
• (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab • (x + a)(x + b)=x3 + (a+b+c)x 2 + (ab+bc+ac)x + abc
II. TEOREMAS 1.
Trinomio cuadrado perfecto
6.
Desarrollo de un trinomio al cuadrado
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
• (a + b)2 a2 + 2ab + b 2 • (a – b)2 a2 – 2ab + b 2 7.
Desarrollo de un trinomio al cubo
• (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b+c)(a+c)
Nota:
• (a+b+c) 3=a3+b3+c3+3(a+b+c)
(a - b)2n (b - a)2n
(ab+bc+ac)–3abc Corolario:
Identidad de Lengendre
• (a + b)2 + (a – b) 2 = 2(a2 + b2)
8.
• (a2m+ambn+b2n)(a2m –ambn+b2n) = a4m+a2mb2n+b4n
• (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Caso particular:
• (a + b)4 – (a – b) 4 = 8ab(a2 + b2)
2.
Diferencia de cuadrados
(x 2 + x + 1)(x 2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
9.
• (a + b)(a – b) = a2 – b 2
Identidad de Argan’d
Identidades de Lagrange
• (a2+b2)(x2+y2) (ax+by)2+(ay–bx) 2 • (a2+b2+c2)(x 2+y2+z2) (ax+by+cz) 2 + (ay–bx) 2 +
3.
Desarrollo de un binomio al cubo
(az–(cx) 2+(bz–cy)2
• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .... forma desarrollada • (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) .... forma abreviada 3
3
2
2
3
• (a – b) = a – 3a b + 3ab – b .... forma desarrollada. 3
3
3
• (a – b) = a – b – 3ab(a – b) ... forma abreviada
10. Identidades condicionales
Si: a+b+c=0, se verifica: • a2+b2+c2=–2(ab+bc+ac) • a3+b3+c3=3abc
4.
Suma y diferencia de cubos
• (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 • (a – b)(a 2 + ab + b2) = a3 – b3
III. PROPIEDAD
Si a2+b2+c2=ab+ac+bc; a,b c
a = b = c
PRODUCTOS NOTABLES
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problemas
resueltos
Si x x 1
Calcular:
Calcular:
Problema 1
5 . Calcular: x 3 x 3
x 3 y3 z3 xyz
Resolución:
x 1
x
3 x.x 1
x 3 x 3
3 1 5 125
y4
x 2 y2
z4
2x2 yz
x2z2 y2 z2
De la condición tenemos:
Fácilmente podemos reconocer que: x + y +z = 0
x2 y2 z2 xy xz yz 3 xy xz yz
x 1
x2 y2 z2 xy xz yz
Luego se cumple que:
125
x 3 x 3 15 125 x 3 x 3
Resolución:
3
5
x 3 x 3
x4
Resolución:
En la condición de plantea:
x
k
140
Problema 2
Sabiendo que:
x 12 7;y 7 10 z 10 12
x3 y3 z3 Finalmente tenemos:
3xyz
x3 y 3 z3 xyz 3xyz E xyz E 3
Por propiedad tenemos: x=y=z Finalmente en "k" tenemos:
E
k
x y z
2
3 xy xz yz
x4
x4
5x 4 x4 K 5 k
y4
x 2 y2
4 k x
Problema 3
Si x,y,z ; tal que
x4
z4
2x2 yz
x2z2 y2 z2
x4
x4
2x 4
x4
ÁLGEBRA
división algebraica DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN Dados dos polinomios llamados dividendo y divisor, es posible encontrar otros dos polinomio llamados cocientes y residuo, tal que verifiquen la siguiente identidad. D x d x Q x R x
B. Clases de cocientes Hay dos clases de cocientes. 1. Cociente Entero. Es el cociente propiamente
dicho de la división. 2 . C o ci e nt e C o m p le t o. Es una expresión
fraccionaria que está compuesto por el cociente entero, por el residuo y por el divisor
Donde: D x : es el dividendo d x : es el divisor Q x : es el cociente
Se sabe que: D x d x Q x R x Dividiendo entre d x : D x
R x :es el resto o residuo
d x
A. Propiedades: 1. El grado del dividendo d eberá ser mayor o igual que el grado del divisor.
D d 2. El grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor. Q D d 3. El grado del resto o residuo, con respecto a la
variable con la cual se efectúa la división, es menor que el grado del divisor. Por lo cual se deduce que, el máximo valor que puede tomar el grado del resto o residuo es igual al grado del divisor disminuido en uno. R d R max d 1
Q x
R x d x
cociente entero CocienteCompleto
C. Teorema
Si al dividendo y al divisor de una división se les multiplica por una misma expresión distinta de cero, entonces el resto o residuo también quedará multiplicado por dicha expresión. Sabemos que: D x d x Q x R x
Multiplicando ambos miembros por A x :
A x D x A x d x Q x A x R x Observación: Para efectuar la división entre polinomios se recomienda utilizar el método de Horner o para cierto caso especial la regla de Ruffini.
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más!
II. TEOREMA DEL RESTO A. Definición: Es una regla práctica que permite encontrar en forma directa el residuo de cierta división, consta de dos pasos.
x n yn ;n / n 2 xy B. Cociente notable (C--N): Es el cociente de una división exacta. Ejemplo: La división:
xn yn ;n / n 2 xy
1. Se iguala el divisor a cero y se despeja por
transposición de términos la parte variable. 2. Se reemplaza el valor numérico de la parte
¿Origina un cociente notable? Por el teorema del resto x - y = 0 x=0 sea el dividendo:
variable en el polinomio dividendo, obtenido así el residuo de la división. Ejemplo: Determinar el residuo de dividir
D x x n yn
x 4 2x 7 x 1
R x y n yn R x 0
a. x 1 0 x 1 b. D x x4 2x 7
xn y n Si origina C N n / n 2 xy
B. Propiedad: Si la división:
4
R x 1 2 1 7 1 2 7 R x 10
x m yr
Observación: El teorema del resto o teorema de Descartes en sus inicios solo se aplicaba cuando el divisor era un binimio de primer grado, hoy en día el divisor podrá ser un polinomio literal de grado arbitrario.
x a yb
origina un C - N se cumple: 1. El número de términos del C - N "n" verifica:
nm r a b
III. DIVISIONES NOTALES A. Definición: Es una división entre binomios que presenta la siguiente forma.
problemas
"a" en "a", mientras que los de y aumentan en "b" en "b"
resueltos
Problema 1
En las columnas del residuo:
Calcular ab si la división es exacta
a 7 10 10 b 10 0 a 17 b 10 ab 170
2x 4 5x 3 x 2 ax b x2 x 1
1
0
-2
7
1 -1
1
1
1 -1 1 -1 -1
8
x = -1
0 -1
0
Problema 2
Resolución:
Si Q(x) es el cociente de dividir:
Dada la ecuación: 1
2
-5
1
-1
2
-2
2
1
7
a
-7
10
Resolución:
-7 0
x5 2x 7 x 1
b
- 10 10 2
2. En el C - N los exponentes de x disminuyen de
0
Según la regla de Ruffini tenemos:
Q x x 4 x 3 x2 x 1 Q 1 1 1 1 1 1 Q 1 3 Problema 3
Dertermine el resto de dividir:
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Exigimos más! x7 2x 5 x 3 x 1 x2 1
R x x 2x x 1 R x x 1
Resolución:
Resolución:
Según propiedad se cumple que :
Según el teorema del resto:
Problema 4
x 2 1 0 x2 1
Si la división: xn2 y 33
En el dividendo tenemos: 3 2 D x x2 x 2 x2 x x 2 x x 1
representa "n"
Reemplazando x2 por 1
x5 y 3
Origina un cociente notable. Calcular la suma de cifras del número que
n 2 33 5 3 n 2 11 5 n 2 55 n 57 de c ifras 12
ÁLGEBRA
factorización en DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN Es el proceso mediante el cual un polinomio de coeficientes enteros se transforma como la multiplicación de dos o más polinomios, también de coeficientes enteros.
II. FACTOR PRIMO
Ejemplo: Factorizar: f(x;y) 4x3y4 + 5x2y5 + 7x4y7 Se observa: x 2y4 como factor común. Luego factorizando tenemos:
Es aquel polinomio literale que no se puede expresar
f(x; y) x2y4 (4x – 5y + 7x 2y3)
como una multiplicación de otros polinomios literales. Ejemplo: * f(x) x2 – 4 no es primo, por que se puede expresar como (x – 2)(x + 2). * f(x) x – 2 es primo, por que no se puede factorizar. * f(x) 3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2) percatese que 3 es de grado cero. Se dice que la factorización se realiza en cuando los factores primos obtenidos presentan únicamente coefi-
B. Identidades
Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como: – Diferencia de cuadrados: A2 – B 2 = (A + B) (A – B) Ejemplo: Factorizar
: P(x) 9x 2 –16
Reconocemos : P(x) (3x)2 – (4)2 : P(x) (3x + 4) (3x – 4)
Luego
cientes enteros; mientras no se indique alguna aclaración la factorización solo se realiza en .
– Diferencia de cubos A3 – B3 = (A – B) (A 2 + AB + B2)
Observación: * Al factor primo también se le llama polinomio irreductible.
Ejemplo: Factorizar
: P(x) 27x 3 – 8
Reconocemos : P(x) (3x)3 – (2)3 Luego
: P(x) (3x – 2)(9x 2 + 6x + 4)
III. CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN – Suma de cubos A. Factor común
Se denomina así al factor repetido en varios términos, para lo cual se eligen las bases comunes afectadas del menor exponente.
A3 + B3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2) Ejemplo: Factorizar
: f(x) 8x 6 + 1
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! Reconocemos : f(x) (2x2)3 + (1)3
Ejemplo:
: f(x) (2x2 + 1) (4x 4 –2x2 + 1)
Luego
– Trinomio cuadrado perfecto A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
Luego los factores se forman: Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
Ejemplo Factorizar : f(x) 9x4 + 6x2 + 1 Notese
: f(x) (3x 2)2 + 2(3x2)(1) + (1) 2
Luego
: f(x) (3x 2 + 1) 2
E.
Aspa doble Se usa en forma particular para polinomios de la forma: P(x;y) ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f
Proceso: * Traza dos aspas simples
C. Agrupación de términos
Consiste en seleccionar convenientemente los términos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad. Ejemplo:
* Verificación final con los extremos, veamos en un ejemplo: Factorizar:
Factorizar:
P(x;y) 15x 2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16
como se encuentra ordenado. f(x;y) x – x y + x y – y 10
2 8
8 2
10
1.er Aspa Nos percatamos que no existe factor común en todos los términos, pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: f(x;y) x2 (x8 – y8) + y2 (x8 – y8) 2.O Aspa
Factor Repetido: (x 8 – y8)
Luego: f(x;y) (x8 – y8) (x2 + y2)
Continuamos:
Verificación final
f(x;y) (x + y ) (x + y ) (x + y) (x – y) (x + y ) 4
4
2
2
2
2
(Los términos estan descompuestos)
Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados: f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y)
D. Aspa simple
Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios de la forma: P(x) ax2n + bxn + c ó que se amolden a dicha forma.
Luego, en un esquema se tiene:
Proceso * Descomponer los extremos. * Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.
P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8)
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! F.
Aspa doble especial Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos con la forma: P(x) Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + F
Proceso: * Se descomponen los términos extremos en 2 factores cada uno. Luego:
* Se hace el balanceo
f(x) = (x – a) q (x) Al valor de "a” se denomina cero del polinomio.
Ejemplo: Factorizar:
Por ejemplo: P(x) = x3 – x 2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos:
P(x) (x 2 5x 1)(x 2 x 1) G.
Divisores binomicos (evaluación) Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3. Proceso:
Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como: P(x)= (x – 2) (x 2 + x + 2) (Nótese que esta factorizada)
Consiste en evaluar usando la regla de Ruffini.
problemas
resueltos
Problema 1 Factorizar:
Agrupando los términos indicados y factorizando parcialmente = 5p 2(rp2 –5q)–r(rp 2 –5q)
5r(p4+q)–p2(r2+25q)
D) (5x+7y)(3x+3y) E) (4x+7y)(2x+3y)
= (rp2 –5q)(5p 2 –r) Resolución:
10x2+29xy+21y2
A) (rp2 –5q)(5p 2 –r) B) (rp–5q)(5p 4 –r)
Respuesta: A) (rp 2 –5q)(5p 2 –r)
C) (rp4 –5q)(5p 3 –r)
Problema 2
D) (rp3 –5q)(5p 2 –r)
Factorizar:
E) (rp2 –5q)(5p 4 –r)
5x 2x
7y 3y
14xy + 15xy 29xy
10x2+21y2+29xy Finalmente:
Resolución:
A) (6x+7y)(2x+3y)
(5x+7y)(2x+3y)
B) (5x+7y)(2x+4y) C) (5x+7y)(2x+3y)
Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
FACTORIZACIÓN EN Z
Exigimos más! Problema 3 Factorizar e indicar la suma de sus factores primos. 12a 2 –59b–63– 7ab–10b 2+15a
Resolución:
Por diferencia de cuadrados tenemos:
De acuerdo con el criterio del factor común tenemos:
P(x) (x 1) (x 1) (x 1)
Aquí recono cemos que los factor es primos son: (x + 1) y (x – 1)
2 2xy y2 ) P(x; y) x5 y (x
A) 7a–3b+4 B) 7a– 3b+3
Dando uso de los productos notables tenemos:
C) 7a– 4b+2 D) 7 a– 5b+2
P(x; y) x5 y (x y)2
E ) 7a– 3b+2
Finalmente los factores primos son: x, y (x y) Resolución:
2
N de factores p ri mos 3
2
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 63
–5b 2b
–7 9
Problema 5
Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9) luego factores primos: 7a– 3b+2 Respuesta: E) 7a–3b+2
Problema 4 ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio: 7
6 2
Respuesta E) 2x
Problema 6 Reconocer un factor de: P(x) x 5 x 1
B) 2
C) 3
D) 4
(x) x 3 x 2 x 1
A) 2x + 1 C) 3x – 1 E) 2x
x2 – x – 1 x2 – x + 1 x3 – x – 1 x3 – x2 + 1 x3 + x2 + 1
Resolución:
Con la finalidad de formar una diferencia UNI
B) 3x + 2 D) 3x + 1
de cubos sumamos y restamos x 2. 5 P(x) x x 2 x2 x 1
P(x) x 2 (x 3 1) x2 x 1
Resolución:
2 x 1) (x 2 x 1) P(x) x2(x 1) (x
Por agrupación de términos tenemos:
Por el criterio del factor común:
2
P(x) x x ( x 1) UNI
A) 1
A) B) Respuesta C) 3 C) D) E)
Determine la suma de los factores primos del polinomio:
3
5 3
P(x; y) x y 2x y x y ?
E) 5
de f .p 2x
UNI
Ordenando y aplicando el criterio de aspa doble
4a 3a
P(x) (x 1)2 (x 1)
2
P(x) x (x 1) (x 1)
P(x) (x 2 x 1) x 2(x 1) 1 P(x) (x 2 x 1)(x3 x 2 1)
Por el criterio del factor común: P(x) (x 1) (x2 1)
Respuesta D) x 3 – x 2 + 1
ÁLGEBRA
POTENCIA DE UN BINOMIO DESARROLLO DEL TEMA I.
FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+ Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos de manera consecutiva desde la unidad hasta el número indicado. Notación: n! ó n Se lee: Factorial de "n". Así: 2! 1 2 2 3! 1 2 3 6 4 ! 1 2 3 4 24 5! 1 2 3 4 5 120 6 ! 1 2 3 4 5 6 720
En general: n! 1 2 3... (n – 2)(n – 1)n o también: n ! n(n – 1)(n – 2). .. 3 2 1 Observaciones: 1. (a b) ! a! b!
Luego: x – 4 0 x – 1 1 x4
x5
3. Si: a! = b! a = b * a; b 0; 1 Ej emplo: (x – 5 )! = 6 (x – 5)! = 3! x–5=3 x=8 4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro factorial menor. (n2) ! 2 1 1) (n n! n (n 2)...3 (n1) !
n! = n(n – 1)! n! = n(n – 1) (n – 2)!
II. NÚMERO COMBINATORIO Representa el número de combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k".
2. (ab) ! (a !) (b !)
Notación: Cnk n Ck n Ck
3. a ! a! b! b
n! Definición: Cnk ;nk k !(n k)!
Propiedades
Donde: n k o
1. n! existe n zo
Ejemplo:
Luego: • (–5)! No existe • –5! Si existe • (2/3)! No existe • 7! Si existe
C52
5! 120 10 2!(5 2)! 2 6
Regla práctica: "k " factores
2. Por definición 1! = 1. Por acuerdo 0! = 1. Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1
Cnk
n(n – 1)(n – 2)...(n – k 1) (n – k) ! n! k!(n – k)! 1 2 3...k (n – k) !
"k " factores
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más! 5. Reglas de degradación
Propiedades
1. Cnk Existe n z
Cnk n Ckn11 k
•
k zo k n
10 9 Ejemplo: C10 3 3 C2
2. Propiedad complementaria
n Cnk n – k 1 Ck–1 k
•
n Cnk Cn–k
Ejemplo: C58 8 5 1 C 84 C58 4 C 84 5 5 Ejemplo: 50 C50 48 C2
Cnp Cnq
2. a Posiblidad: p + q = n
n Cn–1 n – k k
Ejemplo: C 94 9 C 84 9–4 9 C 4 9 C 84 5
3. Propiedad de igualdad
1. a Posibilidad: p = q
Cnk
•
50 49 1 225 2 1
III. BINOMIO DE NEWTON (Para exponente entero y positivo)
Ejemplo: Hallar la suma de valores de "n" en: 10 C10 n C6 .
1. a Posibilidad: n 1 = 6. 2. a Posibilidad: n + 6 = 10 n2 = 4.
n
Definición: (x a)n Cnk x n–kak k 0
Donde: x; a 0 n Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a2 (x + a) 3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Luego n1 + n 2 = 10.
(x + a) 4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 (x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
4. Suma de combinatorios Cnk Ckn1 Ckn11
Nos damos cuenta: (x a)5 c05x 5 c15x 4a c 52x 3a 2 c 53x 2a 3 c 54xa 4 c 55a 5
Ejemplo: Hallar: S C04 C15 C 26 C37
Luego:
Luego: S C50 C15 C 26 C37
(x a)n c0n xn c1nx n1a cn2 xn 2a2 c3n xn 3a3 ... Cnn an Desarrolloo expansión delbinomio
S C16 C62 C73
Propiedades
S C72 C73
1.
N. de términos Exponente " n " 1 de (x a)n
S C 83 S
8 7 6 3 2 1
56
Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y) 7. N.º de términos = 7 + 1 = 8.
POTENC IA DE UN BINOMIO
Exigimos más! 2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficientes:
90 30 60 60 180 T61 c60 3 x 2 y 90 30 60 60 180 T61 c60 3 2 x y
cn0 c1n cn2 c3n ... cnn 2n
c50 c15 c52 c 35 c 54 c55 2 5 32
4. Término central ("n" exponente del binomio) Si "n" par existe un solo término central:
n–2 c1n–2 c2n–2 ... cn–2 2n–2 cn–2 0
Tc Tn 1
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de: (5x2 + y4)40 Luego: x = y = 1 (5(1)2 + (1)4)60 6 60
2
5. Suma de exponentes Siendo B (x,a) = (xp + aq)n
3. Término de lugar general: Siendo: (x + a) n. En su desarrollo:
Exponentes
n n–k k Tk 1 ck x a
(p q)n(n 1) 2
Ejemplo: Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de:
Donde: "k + 1" es el lugar.
Ejemplo: Hallar el T61 en el desarrollo de:
3
x 4
39
Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
B(x; y) = (3x2 + 2y3)90 1 1 39(39 1) 3 2 exponentes Exp 650 2
90 T61 c60 (3x 2)30(2y 3) 60
problemas
resueltos
Problema 1
Resolución:
Problema 2
Si "x" es un número real tal que el término central en el desarrollo de:
Sabemos que:
Hallar el valor de "n" de modo que:
2 – 3x 3 2
12
TK 1 Cnk x n–k a k
n n (2r 1) 2n 4 r 0 r
TC T12 T7 1
Nivel difícil
2
12–6 T7 C12 (–3x 2) 6 924 6 (2 3)
Es 924, hallar el valor de: 1 + x2 + x4 + x6
12.11.10.9.8.7 26 36 x6 924 6.5.4.3.2.1 36 26 x=1
Nivel intermedio
A) 18 B) 16 C) 17 D) 15 E) 20
A) 4 B) 8 C) 6
Resolución:
Entonces: 1 + 12 + 14 + 16 = 4
D) 16 E) 2
Respuesta: A) 4
Sabemos: n n 2n r 0 r
n n r n 2n–1 r 0 r
POTENCIA DE UN BINOMIO
Exigimos más! Entonces:
Determinar el valor de:
n n n n 2r 2n– 4 r 0 r r 0 r
2 n 2n1 2n 2n 4 (n 1) 2n 2n 24 n = 15
Respuesta: D) 15
K
n2 3n 7 Nivel intermedio
A)
47
B)
17
(n!)2 – 21(n!) – 72 = 0 (n! – 24 )(n! + 3) = 0 n! = 24 ;
n! = -3
n=4 Entonces:
C) 3 3 D)
35
E)
61
Problema 3
Resolución: Tenemos:
Si: n! (n! 3) 18. n! 4
(n!)2 – 3(n!) = 18(n!) + 18 4
K
42 4 3 7
K 35
Respuesta: D) 35
ÁLGEBRA
racionalización DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN:
n
Es el proceso mediante el cual una expresión irracional se transforma en otra parcialmente racional. Frecuentemente se racionalizan denominadores con el auxilio del factor racionalmente (R:F) según la relación.
A;n A Q
Veamos algunos ejemplos:
5
3
4
3
2
3 3 24
Veamos algunos ejemplos: (Exp. Irracional).(FR) = Exp. Racional C. Radical doble: A. Factor racionalizante (F.R)
Es el menor número irracional positivo que multiplica
Se denomina asi a todo número irracional que se puede expresar según la forma:
a otro número irracional y lo transforma en racional. Ejempo:
m
A n B ;m n , A B Q
¿Cuál es el factor racionalizante de
2?
Veamos algunos ejemplos:
Resolución:
observar lo siguiente 2 2 4 2 2 8 16 4
4 12
2 3
3
10 108
II. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLE A SIMPLES
2 18 36 6 2 32 64 8
A. 1° caso
A B . Se transforma según la fórmula: A B A C A C 2 2
Existen varios números irracionales que multiplican a
2 y lo transforman en racional pero entre todos
ellos
2
es el menor FR 2
Donde "C" se calcula Así: C A 2 B !racional! B. 2° caso
B. Radical simple:
Se denomina así a todo número irracional que se puede experesar segúnla foma:
A B . Se transforma en Donde: x.y N x y M
M2 N x y
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más!
II. CASOS DE RACIONALIZACIÓN 1
•
n m A FR A; A # primo
4
n
Donde: FR A n m , veamos algunos ejemplos.
•
1 1. 31 3 3 3 3.FR
4
FR
FR
3
A 3 B A 3 B
•
Resultado
A B
A - B
A B
A B
A - B
7 2 1
7 2
2
3
2
2
1 3
3
7 2 FR
7 2 72
5 2 1
7 2
5 32
2
7 2
7. 2 5
•
5 11 5
11 3
11 3
•
5
•
13 3
2FR 2
13
3
8
2FR 13 9 2
2 2FR FR 4 2 13 3
3
3
3
3
3
25 10 4 52
25 3 10 3 4 7
1 3
11 3 5
11 3 5
3 2 3 3 3 2 1. 11 11. 5 5
311 3 5 FR
3
1 3
11 3 5
3
3
3
3
3
121 55 25 121 55 25 3 3 11 5 3 11 3 5
11 3
3
121 3 55 3 25 6
D. Denominador con índice susperior a tres: 1.
2
3
25 10 4 3 3 3 3 5 2
2
2 2 3 11 3 FR 11 3 5 11 3 5 FR 11 3
3
7 2
3
A B
1 5
A B
2 2 1. 3 5 3 5.3 2 3 2 1 3 3 3 3 5 2 5 2 FR
3
2
A 3 A.3 B 3 B
veamos algunos ejemplos: 1
3
veamos los siguientes ejemplos
A B
Resultado
A 3 A.3 B 3 B
3
de dos:
1
4
5 1
Expresión
B. Denominador binomio con índice potencia
•
5 1
5 1 5 1
de tres:
13 13 13 2 2.3 4.5 4 5 5 3 120 5 23.3.5 2 .3.5.FR 13FR 13FR 2.3.5 30
Expresión
2
4
C. Denominador binomio con índice potencia
3 5 5. 21 53 2 3 2 4 3 22 .FR 5
•
4 5 12 4 4 5 1 FR 5 1 FR 1 4 2 5 1 5 1 5 12 4 5 1 5 1 1
A. Denominador monomio
•
FR
n
n A n B FR A B Donde: FR n A
n 1
nA
n 2 n
B ... n B
n1
RACIONALIZACIÓN
Exigimos más! 2. n / n número impar
3. n / n número par
n A n B FR A B
n A n B FR A B
Donde:
Donde:
FR n A
n 1
nA
problemas
n 2 n
B ... n B
n1
FR n A
n 1
nA
n 2 n
n1
resueltos
Donde se debe cumplir que:
Problema 1
Transformar a radicales simples la siguiente expresión: E 8 60
Como:
a b a b x ab y
E 6 2 5 11 2 30 1
Problema 2
Transformar a radicales simples la siguiente expresión:
Ahora en la expresión "E" se tendría: E
Resolución:
Reconociendo: A = 8 B = 60
5 1
6 5 1
52 6 Reduciendo:
Resolución:
E 6
Hallemos "C": 52 6 C 82 60 4 C 2
82 82 2 2
3 2 2
32
52 6 3 2
Luego: E
B ... n B
Problema 4
Racionalizar el denominador de la expresión: Problema 3 E
El equivalente de:
Finalmente:
7 7
5 73
E 6 2 5 11 2 30 1.Es : E 8 60 5 3
Método práctico: Debemos observar que el radical doble presenta la siguiente forma: x2 y
Luego podemos afirmar que: x 2 y a b
Resolución: Resolución:
Observamos que 7 5 7 3 corresponde
Utilizemos el método práctico para
a la relación (2) visto anteriormente,
transformar a los radicales dobles en
con lo cual tenemos.
simples. *
6 2 5 5 1 5 1
*
11 2 30 6 5
E
7FR
7
E
7FR 5 5 3 FR 3 7
7FR 8
ÁLGEBRA
ECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA
I. ECUACIÓN Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z. •
Si se restan miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros con lo que se obtiene x = 2.
•
Si se multiplican miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad.
Notación: A(x; y;...z)
Primer miembro
B(x; y;...z)
Segundo miembro
Donde: x; y; ...; z: incógnita Una ecuación que sólo se verifique para ciertos v alores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miembros de la igualdad: 1 y 5x 2 . 3 Se obtiene: y = 15x 2
Por ejemplo: • x – 1= 3 se verifica solo para x = 2; es una ecuación condicional. • x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de x; es una identidad.
Análogamente, si los dos miembros de: 9 C k – 492 5 se multiplican por:
Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =.
A. Soluciones de una ecuación Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. L as soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo: x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
B. Operaciones aplicadas en la transformación de ecuaciones •
Si se suman miembro a miembro varias igualdades, se obtiene otra igualdad.
Se obtiene: C •
5 9
5 (k – 492) 9
Si se dividen miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad siempre que no se divida por cero. Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2. Análogamente, en la igualdad F = ma se puede dividir los dos miembros por m(m 0) obteniéndose: a F m Fórmula: La fórmula es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio.
ECUACIONES
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II. ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Forma General:
ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b
son constantes arbitrarias. Como primer paso para la resolución de esta ecuación transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente.
ax = b Después dividimos ambos miembros entre “a”, obteniéndose otra ecuación equivalente que es la solución de la ecuación dada: x –b a
1 . Si: 0 , la ecuación tiene raíces reales y diferentes. 2 . Si: 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales (raíces dobles). 3 . Si: 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.
IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS CO EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍCES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x" ax2 + bx + c = 0 Se cumple: b • Suma: s x1 x 2 – a
Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 obtendremos la identidad: a – b b 0 a –b + b = 0
Teorema: La ecuación lineal con una incógnita ax + b = 0, a 0 Tiene solución única: x–b a
III. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICA) A. Forma general 2
ax bx c 0
c • Producto: p x1 .x 2 a b2 4ac ; a 0 a Para determinar la diferencia de raíces se recomienda utilizar la equivalencia de Legendre, veamos: (x 1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4(x1 x2) • Diferencia: | x1 x2 |
A. Casos particulares Dada la ecuación cuadrática en "x": ax 2 + bx + c = 0 De raíces x 1 ; x2, si estas son: 1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0. 2. Recíprocas, se cumple: x . x = 1. 1
V. RECONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA EN "X" Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:
donde: x incógnita, asume dos valores a;b ; c /a 0
B. Fórmula de Carnot Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación: ax 2 + bx + c = 0; a 0 Estas se obtienen a partir de la relación: 2 x1;2 –b b – 4ac 2a
1. Discriminante dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0; a 0 se define como:
b2 – 4ac
2. Propiedad del discriminante El discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta, es decir:
2
x 2 – sx p 0
VI. TEOREMAS CUADRÁTICAS EQUIVALENTES A. Ecuaciones cuadráticas equivalentes Siendo:
Se cumple:
ax 2 + bx + c = 0 a1x2 + b1 x + c1 = 0 a b c a1 b1 c1
B. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común ax 2 + bx + c = 0 a1 x2 + b1 + c1 = 0
Sean: Se cumple:
(ab1 – a1b)(bc1 – b1c) (ac1 – a1c) 2
ECUACIONES
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VII.POLINOMIO DE GRADO SUPERIOR A. Definición Dado un número entero n 3, un polinomio en variable x con coeficientes en k de grado n, es una función de la forma: P(x) anxn + an–1 xn–1 + ........ + a1x + a0, con an 0 A la cual llamaremos polinomio de grado superior, donde: • x = es la variable independiente. • a i K, son los coeficientes de las x y son constantes que pueden ser cualesquiera números. • K es un conjunto. • an= coeficiente principal • ao= término constante • n = [P]° es el grado del polinomio P(x) Observación: El estudio de todo polinomio: P(x) anxn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 con an 0, a0 0 radica en el tratamiento de sus coeficientes a i K y en particular de a n y a0.
B. El Teorema fundamental del Álgebra Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con coeficientes complejos en general, tiene al menos una raíz gene-ralmente compleja. Colorario: Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exactamente "n" raíces. Por ejemplo P(x) = x 5 + x – 1 tiene en total 5 raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos decir que F(x) x 4 tiene en total 4 raíces (cada una es igual a cero).
VIII. POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias) Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene como raíz el número imaginario Z, entonces Z también es raíz de P(x). Observaciones
Propiedad Un polinomio con coeficientes reales puede escribirse como el producto de un número real, multiplicado por factores cuadráticos irreductibles con coeficientes reales y factores lineales con coeficientes reales.
B. Teorema (paridad de raíces irracionales) Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raíz a b , donde
b es irracional, a y b son
racionales; entonces a b también es raíz de P(x). Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales. Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde
a,
b, ab son irracionales, entonces a b,; a b, a b también son raíces de P(x).
Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras raíces también son de multiplicidad K.
IX. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES Dado el polinomio de grado n > 0: P(x) = anxn + an–1 xn–1 + ....... + a0 an 0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyas n raíces son r 1, r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas tantas veces como se repiten las raíces múltiples), entonces existen relaciones entre los coeficientes de P(x) y las raíces r i. Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo: • anxn an1xn1 ... a0 0 xn
an1 n1 an2 n2 a x x ... 0 0 an 0 an an an
(1*) • Como r1, r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces el polinomio P(x) se puede escribir como: P(x) = a n(x – r1) (x – r 2) .... (x – r n) Como P(x) = 0 an(x – r1)(x – r2)....(x – rn)=0, an 0 (x – r1)(x – r2)....(x – rn) = 0 (2*)
•
•
La paridad de raíces imaginarias, refiere lo siguiente, si Z = a + bi, con b 0 es raíz de un polinomio P(x) entonces Z = a – bi también es raíz de P(x). Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces (x – Z) (x – Z ) será un factor de P(x).
• Pero son idénticos (1*) y (2*): xn
an1 x 1 an2 n 2 a ... 0 x x an an an
(x r1)(x r2 )...(x rn) xn r1 r2 ... rn x n1 n
r1r2 r1r3 ... xn1 ... 1 r1r2 r3...rn
ECUACIONES
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problemas
resueltos
Problema 1 Sea la ecuación 4x 2 – 2x + 3 = 0, cuyas raíces son a y b. Halle otra ecuación cuadrática que tenga por raíces (2a – 1) y (2b – 1) UNI 2008 - I Nivel fácil 2 A) y – y + 1 = 0 B) y2 – y – 2 = 0 C) y2 + y + 3 = 0 D) y 2 1 y 2 0 2 2 1 E) y y 3 0 4 Resolución: Dada la ecuación: 4x 2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b} y 1. Si cambiamos: "x" por " " 2 2 entonces: 4 y 2 y + 3 = 0 2 2
tenemos: y2 – y + 3 = 0 de raíces {2a; 2b} 2. Si cambiamos: "y" por "y+1" Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0 Tenemos: y 2 + y + 3 = 0 de raíces {2a – 1, 2b – 1} Respuesta: C) y 2 + y + 3 = 0
Problema 2 Las raíces de la ecuación x x 2 4 son:
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3 Respuesta: B) Solo x = 3
Problema 3 Una ecuación cuadrática tienen como raíces a 4 y 2. Halle la suma de las cifras del producto de estas raíces, siendo el discriminante de la ecuación. UNI 2006 - II Nivel difícil B) 11 D) 13
A) 10 C) 12 E) 14
A) solo x = 6 B) so lo x = 3 D) x 6 , x = 3 E) No existen soluciones Resolución:
x x 2 4
x 2 4 x
Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que
3x = 1
x0
Si: – 1 x 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 + 3x – 1 = 3 x + 2 Reduciendo: 3 x+1 = 3
Resolución:
De donde: x = 0
Suma de Raíces S 2 2
0 1 x 0
Producto Raíces P 2 2 8
Luego la ecuación será: x 2 (2 2)x 2 2 8 0
Luego calculando el discriminante: 2
(2 2) 4( 2 2 8) 36
Luego: Producto de Raíces = (40)(34) = 1360
cifras 10 Respuesta: A) 10
Si: x < –1 Eliminando los valores absolutos: x
3 –x –1 3 x – 1 3 2 Reduciendo: 3 –x–1 = 3 Tenemos: –x – 1 = 1 De donde: x –2 C.S. {–2;0} Piden: –2 + 0 = –2 Respuesta: B) –2
Problema 4 Si {x1; x 2} es el conjunto solución de:
Problema 5 Las raíces de la ecuación x x 2 4 3 1 3 2 3 son: entonces la suma de x 1 y x 2 es: UNI 2008-I UNI 2008-I Nivel intermedio Nivel fácil A) Solo x = 6 A) –4 B) –2 B) So lo x = 3 C) 2 D) 4 C) x = 3, x = 6 E) 0 D) x 6 , x = 3 E) No existen soluciones Resolución: x 1
C) x = 3, x = 6
Reduciendo: 3x . 3 –2 . 3 x – 1 = 0 Tenemos:
Tenemos: x + 1 = 1
UNI 2007 - II Nivel intermedio
Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3 x – 1) = 3x + 2
x 1
x
– 3 x – 1 3x 2
x – 2 0 4 – x 0
Si: 3
tenemos x2 – 9x + 18 = 0
Si: x 0
x
Resolución:
x x 2 4
x 2 4 x
ECUACIONES
Exigimos más! Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que:
x 1 5 x 1 17 2 2
x 2 0 4 x 0
como x > 0: Tenemos: x 2 – 9x + 18 = 0 (x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3.
x1 1 5 x 2 1 17 2 2 x1 x 2 2 5 17 2
Respuesta: B) x = 3, x = 6
Respuesta: B)
Problema 8 Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales 2 3 y 3 2. Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. UNI 2007 - II Nivel intermedio A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84
2 5 17 2
Resolución: Por el teorema de la paridad de raíces Problema 6 irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra Problema 7 La suma de todas las soluciones posiserá (3 2) la cual origina el polinomio La función polinomial: tivas de la ecuación: cuadrático x2 + 6x + 7. 2 10 2 F(x, y, z) (x y)(y z 3) 6xx Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 1 x x2 4 2 la otra será 2 3 que origina el [(Z y)(y x 3)] (x y z 3) es: polinomio: (x 2 + 4x + 1). UNI 2009-II tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es Por lo tanto el polinomio mónico será: Nivel difícil igual a: P(x) = (x2 + 6x + 7)(x 2 + 4x + 1) UNI 2008 - I 2 5 17 Nivel fácil Nos piden: P(x) (14)(6) 84 A) 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Respuesta: E) 84 Problema 9 2 5 17 B) Resolución: Dados los siguientes polinomios: P(x) 2 2 4 (x y)(y z 3) (z y)(y x 3) de grado 2 y término independiente 5 17 2 0 0 uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. C) 2 2 (x z y 3) 0 Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma 0 de raíces de Q(x). 3 5 17 D) Se genera un sistema de ecuaciones: UNI 2004 - II 2 Nivel intermedio x y 0 y z 3 0 3 5 17 A) 0 B) 8/3 E) z y 0 y x 3 0 2 x y z 3 0 C) 10/3 D) 4 E) 5 Resolución: De donde: Piden: x > 0 Resolución: x y 0 De los datos: P(x) = ax 2 + bx + 1 1 z y 0 Llamemos a: Q(x) = (x – 1) (ax 2 + bx + 1) + 3x + 1 x y z 3 0 x2 + x + 1 = m; m > 0 C.S. (1,1,1) Pero: Q(2) 7; (1)(4a 2b 1) 7 7 Del dato: x y 0 4a 2b 1......(1) 10 y x 3 0 2 2 7 (1 x x ) P(1) 2 ; a b 1 2 x y z 3 0 1 x x2 a b 1...(2) 10 C.S. 7m Reemplazando : de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2 m m2 7m 10 0 (m 2)(m 5) 0 m2m5
Reemplazando: x2 x 1 2 x 2 x 1 5 x2 x 1 0 x 2 x 4 0
3
4
y z 3 0 C.S. z y 0 x y z 3 0 y z 3 0 y x 3 0 C.S. (2; 1,2) x y z 3 0
Nesiguala2
Utilizando la fórmula general:
Respuesta: C) 2
De donde: Q(x) 3 x3 4x 2 3 x 2 2 se pide: x1 x2 x 3
4 8 3 / 2 3
Respuesta: B) 8/3
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES El sistema de los números reales, es un conjunto provisto de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y una relación de orden y otra de igualdad. Notación
Denotamos por al conjunto de los números reales. A. Axiomas de adición
(A1) a, b : a b (Clausura o cerradura) (A2) a, b : a b b a (Conmutatividad) (A3) a, b, c : a (b c) (a b) c (Asociatividad)
(M4) a : !1 / a 1 1 a a (Existencia y unicidad del elemento neutro) (M5) a – {0} : !a 1 / a a –1 a–1 a 1 (Existencia y unidad del elemento inverso) C. Axioma distributiva
Distributividad de la multiplicación respecto de la adición. (D1) a, b, c : a(b c) ab ac (D2) a, b, c : (b c)a ba ca D. Relación de orden
Es una comparación que se establece entre 2 elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales, el campo real es un campo ordenado. Símbolos de la relación de orden: > : "mayo r que"
(A4) a : !0 / a 0 0 a a
< : "menor que"
: "menor o igual que" : "mayor o igual que"
(Existencia y unidad del elemento neutro)
II. DESIGUALDAD (A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0 (Existencia y unidad del elemento inverso)
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor. Existen dos tipos de desigualdades.
B. Axiomas de multiplicación
(M1) a, b : ab
6>1
(Desigualdad verdadera)
5 < –2
(Desigualdad falsa)
(Clausura) A. Axioma de tricotomia
(M2) a, b : ab ba (Conmutatividad) (M3) a, b, c : a(bc) (ab)c (Asociatividad)
Si a b , entonces una y solamente una de las siguientes relaciones se cumple:
NÚMEROS REALES
Exigimos más! B. Axioma de transitividad
•
Si: a x b ab 0 entonces:
Si: (a b) (b c) (a c); a, b, c
0 x 2 Max(a2, b2 )
C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad
a,b,c,d , se cumple: • •
•
Si: 0 a b entonces a a b b 2
•
Si: 0 a b entonces a ab b
a b a c b c
a b c d a c b d D. Propiedades de desigualdades entre medias
•
Si: a b c 0 ac bc
Si: x1; x2; ... xn son números positivos, se define: •
•
a b Si: a b c 0 c c
•
Si: a b –a –b
Media aritmética de x 1; x2; ... ; xn n MA (x1; x2; ...; xn) = 1 x i n i1
•
Media geométrica de x 1; x 2; ...; xn n
•
Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd
•
a ; a2 0
MG (x1; x2; ...; xn) = n xi i1
•
Media armónica de x 1; x2; ...; xn MH (x1; x2; ... xn) =
•
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
•
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
•
n x1 i1 i n
Media potencial de x 1; x2; ...; xn n
•
1 a y tienen el mismo signo a – {0} a
MP (x1; x2; ...; xn) =
x k k i i 1
n
Entonces: •
Si a y b tienen el mismo signo y a b 1 1 a b
•
Si: ab 0 a x b 1 1 1 a x b
MP MA MG MH Para dos números: a b, K k k a
bk a b ab 2
•
a b a2n–1 b2n–1 , n
•
0 a b a2n b2n , n
•
a b 0 a2n b2n; n
2
2 11 a b
E. Recta numérica real
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los números reales, es decir, existe una correspondencia biunivoca entre el conjunto de los números reales y esta recta.
NÚMEROS REALES
Exigimos más!
, – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas
resueltos
Problema 1
Luego:
Sean a, b, c y d cuatro números reales positivos tal que a – b = c – d y a < c. Decir la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1 1 (c d) (a b) c a
I. II.
UNI 2008 - II
n
ai
1 d 1 b c a
a c , si a b b d
A) a1n i1 n
bd, ac a c b d
c a , si c d d b
Nivel fácil
(V )
n
ai
B)
a1 i 1 n
C)
a1
II. Si c < d a < b
c a III. b d UNI 2004 - I Nivel fácil
A) FFV B) FVV C) FVF
III.
ca d b
(F)
a c bd
D)
ab cd
ca b d
(F)
ann
E)
n
an
n
ai an
i1
a1
n
ai n an
i 1
n a1 a ai n n i1 n
D) VFV Respuesta: E) VFF
E) VFF
Resolución:
Para un grupo de datos no todos iguales: Resolución:
Problema 2
I.
Sean los números racionales a 1, a2, ...,
Si a < c 1 1 ; si a b a b 0 c a
an tales que a 1< a 2 < ... < an–1 < an. Entonces se cumple que:
a1
a1 a2 a3 ... a n an n
NÚMEROS REALES
Exigimos más! n
•
ai
a1 i1 n
an
a,b números enteros, a b 1 a2 es un número racional.
• n
ai
Respuesta: B) a1 i1 n
Si k y k 2 es par, entonces k es par. Nivel difícil
B) FFV
Problema 3
C) VFV
D) VFF
Clasifique como verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirma-
E) FFF
ciones:
Resolución:
a,b números enteros, a/b es un número racional.
b) Solución del problema •
Es falso, cuando b = 0.
•
Es verdadero, porque en:
UNI 2009 - I
an A) FVV
•
Número A / A Z B Z 0 racional B
a b (1 a2 0) ; 1 a2
•
Es verdadero: o
2 2. K Z K
a) Aplicación de teorema Recordar:
o
K 2
Respuesta: A) FVV
ÁLGEBRA
INECUACIONES DESARROLLO DEL TEMA I.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas inecuaciones de la forma: I. ax 2 + bx + c > 0 II. ax 2 + bx + c > 0 III. ax2 + bx + c < 0 IV. ax2 + bx + c 0 Donde: a 0 ;b, c
D. Método de los puntos de corte
A. Método de resolución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita I. Método de completar cuadrados. II. Método de la ley de signos de la multiplicación. III. Método de los puntos de corte. B. Método de completar cuadrados Sea: ax2 + bx + c 0 1. El coeficiente de x 2 debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre a. 0 x 2 bx c a a 2. El término independiente se pasa al segundo miembro. b c x2 x a a 3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado. 2
x 2 2(x) b b c b a 2a 2a 2a
2
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro. 2
5. Finalmente:
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes: I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
x b b2 4ac 2a 4a2
Teorema
x2 m x m x m;m 0 x2 m x m x m;m 0 C. Método de la regla de signos de multiplicación Sea: ax 2 + bx + c 0 1. Se factoriza el trinomio (factor común, diferencia de cuadrados, aspa simple)
Sea: ax2 + bx +c 0 P(x)
Consideraciones previas • En la resolución de una inecuación cuadrática se transpone, si es necesario, todos los términos a un sólo miembro de la desigualdad. 1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible; si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática. 2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando a cero el factor o los factores. 3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real. 4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los puntos de corte colocando los signos intercalados empezando por la derecha con signo positivo. 5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (abiertos). II. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (cerrados). II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el intervalo negativo (abierto). IV. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es el intervalo negativo (cerrado). Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 b Se verifica para todo x diferente de 2a C.S. : x b 2a Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 No se verifica para ningún valor real "x".
C.S. : x
INECUACIONES
Exigimos más! Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 Se verifica para todo valor real “x”. C.S. : x Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”. C.S. : x
II. INECUACIONES POLINOMIALES Son aquellas que presentan la siguiente forma general: P(x) a0 xn a1xn-1 a2 xn-2 ... an-1x an 0 x Variable a0; a1; a2; ... an Coeficientes n Z n 2 • Reducir el polinomio mediante factorizaciones obteniendo la forma equivalente siguiente:
x a1 x a2 ... x an 0 donde todos los a i son diferentes entre sí, para luego aplicar: el método de los puntos de corte.
III. INECUACIONES FRACCIONARIAS Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple expresión asume la siguiente forma general: P(x) 0 Q(x) Donde: P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes reales. Resolución:
Se tiene: P(x) 0 Q(x) Multiplicamos a ambos miembros por: Q2 (x)
2
P(x) Q (x) 0 Q(x)
Expresión reducida: P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x) 0 Para luego utilizar el método de los puntos de corte.
IV. INECUACIONES IRRACIONALES Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos más usuales son: A. Caso I 2n1 P(x)
Q(x)
Donde P(x), Q(x) son polinomios; n N se resuelve: P(x) Q(x)2n+1
Ejemplo: (1) Resolver:
3
x 2 1
Resolución: Se obtiene: x – 2 > 1 x>3 B. Caso II
2n P(x) 2n Q(x)
Es equivalente a resolver un sistema constituido a partir de: 0 2n P(x) 2n Q(x) Así: P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x)
... (1) ... (2) ... (3)
finalmente: C.S. S1 S2 S3 Ejemplo: (1) Resolver: x 2 6 x Resolución: 1° x + 2 0 x –2 ... (1) 2° 6–x 0 –x –6 x 6 ... (2) 3° x + 2 < 6 –x 2x < 4 x<2 ... (3) Luego: C.S. = S1 S2 S3 C.S.: [–2; 2> C. Caso III
P(x) Q(x)
Se resuelve el sistema construido a partir de: P(x) 0 ... (1) Q(x) > 0 ... (2) P(x) < Q2(x) ... (3) finalmente: C.S. S1 S2 S3 Ejemplo: Resolver: x 2 3 Resolución: 1° x – 2 0 x 2 ... (1) 2° 3 > 0 x R ... ( 2) 3° x – 2< 32 x < 11 ... (3)
INECUACIONES
Exigimos más! Luego: C.S. S1 S2 S3 C.S. = [2; 11>
–
D. Caso IV
P(x) Q(x)
Se resuelve:
–
P(x) 0
S1 P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x) S2 P(x) 0 Q(x) 0 Finalmente: C.S. S1 S2
V. VALOR ABOLUTO (V.A) a. Definición Sea a , el valor absoluto se denota por |a|, el cual se define por:
a;a 0 a = – a;a 0 Ejemplos: 1. |4 – 2| =|2| = 2 2. |3 – 5| =| –2| = –( –2) = 2 B. Propiedades 1. El valor absoluto de todo número real siempre es un número no negativo. a 0 2. El valor absoluto de todo número real siempre es igual al valor absoluto de su opuesto. a = –a 3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números reales es igual a la multiplicación de los valores absolutos de los números en mención.|ab| = |a||b|
4. El valor absoluto de la división de dos números reales (divisor es diferente de cero) es igual a la división de los valores absolutos. a = a ;b0 b b
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto de la base elevado al cuadrado. a2 = |a|2 6. La raíz cuadrada de todo número elevado al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del número. a2 = a
Nota: – Hagamos la siguiente generalización: x – a; x – a 0 x – a = – x + a; x – a<0 – Generalizando: |a + b| = | –a –b| ; |a – b| = |b – a|
Generalizando: |abc... n| = |a||b||c|...|n| Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten hacer lo siguiente: – |3(x – 4)| = 3|x – 4| – 2|x + 2| = |2x + 4| – –2|x + 2| = –|2x + 4| –
x +1 x +1 = 3 3
–
x + 2 = – x + 2 –3 3
Comentario Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el trabajo de una ecuación e inecuación con un valor absoluto.
7. Desigualdad triangular: |a + b| |a| + |b| En particular si: |a + b| = |a| + |b| ab 0 Nota: – Generalizando si n o: a2n = |a|2n a2n+1 = |a| 2n.a – ¡Tenga cuidado! Teoría de exponentes x2 = x x 0
Números Reales x2 = x x
VI. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A. Caso 1
|x| = 0 x = 0 Ejemplo: • |x – 3|=0 x – 3 = 0 x = 3 B. Caso 2 |x| = a (a 0) (x = a a = –a) Ejemplo: • |x – 3| = 5 Si 5 0
x – 3 = 5 x – 3 = –5 x = 8 x = –2
INECUACIONES
Exigimos más! |x – 3| = –4 Si –4 0 (Falso) C.S. = C. Caso 3 |x| = |a| x = a x = –a Ejemplo: |x – 3| = |2x + 2| x – 3 = 2x + 2 x – 3 = –2x –2 –5 = x 3x = 1
x = -5
x=
B. Caso 2
|x| a: x a x –a Ejemplo: |x – 2| 3: x – 2 3 x – 2 –3 x 5 x –1 C. Caso 3 |x| |y| (x – y)(x + y) 0 Ejemplo: |x – 2| |2x – 3| ( –x + 1)(3x – 5) 0 (x – 1)(3x – 5 ) 0 Aplicando puntos de corte:
1 3
VII. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A. Caso 1
|x| a: a 0 ( –a x a)
5 x – ;1 ; + 3
Ejemplo: |x – 3| 5: 5 0 ( –5 x – 3 5) –2 x 8
problemas
resueltos
Problema 1 Halle el valor de a , para que la inecuación (a2 14) x 2 4x 4a 0, tenga como solución el conjunto [–2; 4]. UNI 2010-II A) –6 B) – 4 C) –2 D) –1 E) –1/2 Resolución: (a2 – 14)x2 – 4x + 4a 0 Se debe cumplir que: 4 2 2 4a –8 2 a – 14 a –14 a 4 a –4
7 a a –4 2
Por tanto: a = –4
De donde: 2 x x 2 x x 0; x 0
Problema 2 Si el conjunto solución de la inecuación: (2x – x) (3x – Log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0 es de la forma: S a; b c; . Halle a + b + c. UNI 2009-I A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 Resolución: (2 x – x)(3 x – log 3x)(x 2 – 9)(3 x – 9) > 0 Resolviendo:
A) 16
Resolución: Analizando: x 2 2bx c 0
De donde: 3x log3 x 3x log3 x 0; x 0 Resolviendo: (2x –x)(3x –log3x)(x+3)(x–3)(3 x –9) > 0 C.V.A. = Si: log 3x R x > 0 x x 2 -x x 3 (x 3)(3x 9) 0 3 -log3x
Respuesta: B) –4
UNI 2008 - II B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
x 3; 5
Operando: a) Aplicación de fórmula o teorema • •
b Suma de raíces: x 1 + x2 = a c Producto de raíces: x1x 2 a
Reduciendo: (x – 3)(3 x – 9) > 0 (x 3 0 3x 9) (x 3 0 3 x 9) (x 3 x 2) (x 3 0 3x 9) x > 3 x < 2..... S1 Luego: C. S.: C. V. A S 1 3 ; + S = 0; 2 a b c a + b + c = 5 Respuesta: E) 5 Problema 3 La inecuación x 2 – 2bx – c < 0 tiene como conjunto solución 3;5 . Halle b + c.
b) Solución del problema –3 5 serán raíces de la ecuación: x2 – 2bx – c = 0 Entonces: x1 x 2 2 b 1 2b
x1 x 2 15 c 15
c
Conclusión b + c = 16 Respuesta: A) 16
INECUACIONES
Exigimos más! –14 4x
Problema 4
2x 6
Resolver:
7 x 2
|2x + 6| = |x + 8|
x –10 –
Nivel fácil
Resolución:
x 3
7 x 3 2
x –10 –
x = 2
3x = –14 x = –
14 3
14 Respuesta: C.S.= – ;2 3 Problema 5 Resolver: |3x + 5| = 2x – 3 Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema: |x| = a a 0 (x = a x = –a) Entonces: 2x –3 0 (3x+5=2x –3 3x+5= –2x+3) 3 (x = –8 5x = –2) x 2 2 x = – 5
–
–10
–7 2
3
+
7 Respuesta: x – ; 3 2 Problema 7 Sea la igualdad: x a b x a b .....(*) entonces la proposición verdadera es: UNI 2009 - I Nivel fácil 2 A) (*) si y solo si x 0 a b2 B) (*) si y solo si x = a = b C) (*) si y solo si x 0 a b D) (*) si y solo si x 0 a b E) (*) si y solo si x = a = –b
3 (F) 2
– 2 3 (F) 5 2 Respuesta: C.S. =
Problema 6 Resolver: |3x + 4| x + 10
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicando el teorema: |x| a (a 0) ( –a x a) Entonces: x+10 0 ( –x –10 3x + 4 x + 10) x –10 ( –x –10 3x+4 3x+4 x+10)
E)
0;
1 D) 2 ; 0
Operando: I. Calculando el conjunto A (de la inecuación). i) x 0 : 0 1 C.S.i 0; ii) x 0 : x - (-x)
1 2x 1 1 x 1 pero x 0
2 2 II. Calculando el conjunto B (de la inecuación)
i) 1 x 0 : 2x 1 1 2
1 2x 1 0 x 1 , pe
1 x0 2
b) Solución del problema
Conclusiones ab x 0 Otra solución Tenemos: x a b x a b (2x) (2b – 2a) = 0
1
Como x A ; 2
x y x y x y (x a b) x a b x a b (x a b) 2b 2a 2x 0
1
2x 1
Resolución: a) Aplicación de fórmula o teorema
Como: –8
1 , 0 2
B x A / x – x – 1 1
|a|=|b| a = b a = –b 2x + 6 = x + 8 2x + 6 = –x –8
C)
Resolución A x / x – x 1
Intersectando:
Aplicando el teorema:
1 1 B) , 2 2
A)
C.S. ii) x 0 : 1 1 11 C.S.ii 0; C.S. C.S.i C.S.ii 0;
B 0; Calculando A–B
x = 0 a = b Recuerda: x y (x y)(x y) 0 Problema 8 Sean los conjuntos: A x / x x 1 y B x A / x x 1 1
Entonces podemos decir que A\B es: UNI 2009-II Nivel intermedio
A B 1 ;0 2 Respuesta: D) 1 ; 0 2
INECUACIONES
Exigimos más! Problema 9 Dada la siguiente relación: y y x x diga cuál de las siguientes gráficas es la que le corresponde: UNI 2010 - I Nivel difícil
A)
B)
Resolución:
Ubicación de incógnita Encontrar la gráfica de la relación.
Si: x 0 y 0 y x y x 2x 0 y x
Análisis de los datos o gráficos y y x x yx y x
Operación del problema Si: x 0 y 0 y x y x
Si: x 0 y 0 y x y x xy y
x
y
C)
D)
Si: x 0 y 0 y x y x 2y 0 y 0
Luego:
x
y
y
E) x
Respuesta: D)
x
ÁLGEBRA
FUNCIONES DESARROLLO DEL TEMA La palabra función se escu chará muy a menudo en la misma vida diaria por ejemplo en las siguientes frases: 1. Los precios están en función a la oferta y la demanda. 2. El volumen de una esfera está en función del radio de la misma. Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una regla o ley". El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una definición formal, pero antes daremos algunos conceptos previos.
I. PAR ORDENADO Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b) Donde: a: se llama 1.a componente. b: se llama 2. a componente. Que formalmente se define así: (a,b) = {{a}, {a, b}}
Por el diagrama del árbol A B AxB m
n
p
(m,p)
q
(m,q)
r
(m,r)
p
(n,p)
q
(n,q)
r
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven A
B
m
p q
n
r
A B m,p , m, q , m,r , n,p , n,q , n,r Por el diagrama cartesiano
Teorema:
(a,b) = (m,n) a = m b = n
II. PRODUCTO CARTESIANO Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto cartesiano de A y B denotado por A x B se define: A x B a,b / a A b B Ejemplo: Sean A = m, n , B p, q,r A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)} B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
A B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r
III. RELACIONES Dados 2 conjuntos no va cíos, A y B se llama relación R de A en B a todo subconjunto de A x B. Ejemplo: Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
Vemos que:
A x B B x A A B
A x B m,p , m,q , m,r , n,p , n, q , n,r
FUNCIONES
Exigimos más! Ejemplo:
Se citan las relaciones: R1 m,p , n,p , n, r
f
A
B
R 2 m, q , n, p , n, q
m
1
R 3 m, q
n
2
p
3
q
7
IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función f es una correspondencia entre 2 con juntos A y B tales que a cada elemento a A le co-
Df = A m,n,p, q , Rf 1, 3
rresponde un único elemento de B. Se llama función f al conjunto de pares ordenados (a,b) que: Para cada a A, !b B / a, b f asimismo: a,b f (a,c) f b = c
Observación:
Si: x,y f función de A en B se denota, y = f(x), se dice: y: es imagen de x bajo f.
Ejemplo
x: es la preimagen de x bajo f. x: variable independiente. y: variable dependiente. C. Cálculo del dominio y el rango
Cumple la definición, por tanto f es una función.
El dominio se halla ubicando los posibles valores que puede asumir la variable independiente. El rango, dependiendo del dominio considera los valores de la variable dependiente.
Ejemplo:
Ejemplo:
f 3, a , 4, a , 5,b
A
f
3
B
Halle el dominio y el rango en:
m
7
n
9
p
f 3,m , 3,n , 7,p , 9,n
f x
I)
25 x 2 x2 7
Df = x R / 25 x2 0 x 2 7 0
2 = x R / x 5 x 5 0 x 7 0
– No se cumple la condición de unicidad. – No es función.
x 5,5 x , 7
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el mismo primer elemento".
x 5 , 7
7;
Df = x 5 , 7
A. Dominio de una función
7,
7 ,5
Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes que coinciden con los elementos del conjunto de partida denotado por Df (dominio de f). Df = { x A / !b B a,b f}} B. Rango de una función
Es el conjunto de todas las segundas component es de todos los pares ordenados de f, denotado por R f (Rango de f). Rf b B / a A a, b f
II)
Rf = R+ 0
D. Gráfica de una función
Se define como el conjunto de los pares (x,y) x, y R x R / x Df Rf Así:
A
B
C
D
E
Sea: f 3,5 , 2, 2 , 1, 2 , 4, 3 , 5, 4
FUNCIONES
Exigimos más!
Observación:
•
•
D. Función escalón unitario
0, x a U x 1, x a
Si tanto la variable independiente "x" y la variable dependiente "y" son reales se llama función real en variable real. Si los pares son continuos la gráfica obtenida es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales f es una función real de variable real si y solo si cada recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica. E. Función signo (sig.x)
Ejemplo:
1 x 0 y Sig x 0 x 0 1 x < 0
V. FUNCIONES ESPECIALES A. Función identidad
F. Función máximo entero f x
B. Función constante
x n n x n 1,n Z
2 2 x 1 1 1 x 0 f x x 0 0 x 1 1 1 x 2 2 2 x 3 y 2 1 -2
-1 O
C. Función valor absoluto
x x 0 f x x 0 x 0 x x < 0
1 -1 -2
2
3
Df=R Rf=z
FUNCIONES
Exigimos más! G. Función inverso multiplicativo
f x 1 x
/ x 0 ; f x 1/ x; x 0
f x
xn / n N
VI. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
H. Función polinomial
1. Función lineal
f x ax b ; a 0
2. Función cuadrática a 0 f x ax 2 bx c; de raíces x 1, x2 Discriminante:
I. Función potencial
= b2 – 4ac
En esta sección veremos una forma rápida de construir las gráficas de algunas funciones definidas a partir de otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sentido, dada la gráfica de una función de base y = f(x) veremos primero la forma de construir rápidamente las gráficas de las funciones siguientes: 1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k 2 . g(x) = -f(x); g(x) = f(-x); g(x) = -f(-x) 3. g(x) = af(x); g(x) = f(ax); ( a 0 ) 4. g(x) = |f(x)|; y 5. g(x) = f(x) [Todas en base a la gráfica y = f(x)] (1a) La gráfica de g x f x k se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades: i) Hacia arriba, si k > 0 ii) Hacia abajo, si k < 0 y
g(x) = f(x)+2 y = f(x)
2
h(x) = f(x)-2 O -2
(1b) La gráfica de g x f x h se obtiene despla-
3. Función cúbica f x ax 3 bx 2 cx d Reemplazando x por x b se transforma en: 3a
k x 3 px q
f1 x x 3 px q , de raíces x1, x 2 , x 3 llamamos discriminante: 2
3
q p 2 3
zando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
h uni-
dades: i) Hacia la derecha, si h > 0 ii) Hacia la izquierda, si h < 0 pues si f(x) = x 2, entonces: f(x – 4) = (x – 4) 2 = g(x) f(x + 3) = (x + 3) 2 = j(x) Donde en el caso de: j(x) = (x + 3) 2 [x – (–3)] 2 se tiene que: h = –3 (<0). Tenemos la gráfica correspondiente a continuación:
FUNCIONES
Exigimos más! Ejemplo: Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2) 2 + 1 Resolución:
Sean f(x) = (x + 2) 2 – 1, entonces: f(–x) = [(–x) + 2] 2 – 1 = (x – 2) 2 – 1
–f(–x) = –x(x – 2)2 + 1 Luego y = g(x) = –f(–x): obtiene com(1c) La gráfica de g x f x h k se
y
binando (1a) y (1b) en cualquier orden.
3
y
2
y=f(-x+2)-1
2
f(x)=(x+2)-1 -2 -4 -3
y=(x-7)2 y=f(x)=x 2
2
1 -1
0 1
=(x-2)-1 1
2 3
4
7
2
x
O
x
-3
g(x)=-(x-2)+1=-f(-x)
2
g(x) = (x-7)-3
2
y=x -3 -3
(7;-3)
Note que pudimos haber graficado esta parábola directamente, claro.
(2a) La gráfica g x f x se obtiene por reflexión
(3a) La gráfica de y a f x . a 0 , se obtiene:
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a
i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en un factor a, si a > 1, con base en el eje X.
este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa. y
(3b) La gráfica de y f ax , a > 0, se obtiene:
-f
y=-f(x)
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x) en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
x
O f
(2b) La gráfica
ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
y=f(x)
un factor a, si 0 < a < 1.
y f x se obtiene por reflexión
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa. y y=f(x)
f(x)=f(-x)
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x) verticalmente en un factor a.
y=-f(x)
Gráfica de: y = |f(x)| Desde que:
f x , si f x 0 f x 0 f(x), si f x 0
y f x
Entonces la gráfica de: y f(x) se encontrará completamente en el semiplano superior y 0 y se obtiene a
-x
O
x
x
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x)
(2c) La gráfica de (2a) y (2b).
y f x se obtiene combinado
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo eje x (es decir, en la zona y 0).
FUNCIONES
Exigimos más!
VII. FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIÓ-DICAS A. Función par
Una función f se llama función par si: i) x Domf x Dom f
si existe un número real T 0 , tal que: x Domf x T Dom f ii) f (x + T) = f(x) . x Dom f
i)
Tal número T es llamado un periodo de T. y
ii) f (–x) = f(x) En este caso la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza x por – x. Geométricamente, la gráfica es simétrica respecto al eje y.
f(x)
0
x
x+T T
x+2T x+3T
x
Note que f(x+T) = f(x)
Así tenemos que las funciones f(x) = x 2, f(x) = Cosx, f(x) = x 4, son funciones pares. B. Función impar Una función f se llama función impar, si:
i) x Domf x Dom f ii) f (–x) = –f(x)
Toda función periódica con periodo T tiene su gráfica de modo tal que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente en el siguiente intervalo consecutivo de longitud T. Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T... también son periodos de f. Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 : Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k
con k
entero 0, son periodos de seno y coseno, siendo 2 el menor periodo positivo.
Aquí la r egla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica res-pecto al origen.
Definición Se llama periodo mínimo de una función periódica al menor de sus periodos positivos.
y
f
VIII. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
f(x) -x 0
A. Igualdad de funciones
x
x
Dos funciones f y g son iguales si:
f(-x)=-f(x)
i) Dom f = Dom g
Son funciones impares: a) f(x) = x3 b) f(x) = sen x c) (x) = 1/x
ii) f(x) = g (x), x Dom f
En tal caso se denota f = g.
Una función que es a la vez par e impar es, por ejemplo: f(x) = 0, x 5 , 2 2 ,5 . y
-5
-2
0
Así tenemos q ue las funciones: f(x) = x 2 –x, x 0, 4 ; g(x) x 2 x, x 0, 5 No son iguales, pues aunque tienen la misma regla
2
5
x
C. Funciones periódicas
Una función f, en R, se denomina función periódica
de correspondencia, sus dominios no coinciden.
B. Adición de funciones
Recordemos que una función está completamente
FUNCIONES
Exigimos más! definida cuando se especifica su dominio y su reg la
Asimismo:
de correspondencia.
c . f x, c f x / x Dom f para cualquier constante real c.
Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g, se define una nueva función llamada.
C. División de funciones
Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g, Función Suma
se define la nueva función "cociente" denotada por
"f + g", tal que:
"f/g", tal que:
i) Dom f g Dom f Dom g
i) Dom (f/g) = Dom f x Dom g / g(x) 0
ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
= Domf Dom g x Domg / g(x) 0
C. Sustracción y multiplicación de funciones
Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
ii)
f / g x
las funciones:
Dom f g Dom f Dom g
f / g x,
2. Multiplicación "f . g" Dom (fg) = Dom f Dom g
ii)
(f . g)(x) = f(x) g(x)
f g x f x g x / x Dom f Dom g f g x, f x g x / x Dom f Dom g
, x Dom (f / g)
Es así, que:
ii) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
i)
g x
La condición (i) exige que el dominio de f/g no debe contener los valores de x que hagan que g(x) = 0.
1. Diferencia "f – g" i)
f x
/ x Dom f / g g x f x
IX. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas 2 funciones f y g la función composición denotado por fog se define así: • fog = {(x;y)|y = f(g(x))} •
Dfog = x Dg g(x) Df
Esquematizando con el diagrama sagital:
Notación La multiplicación de una función por sí misma:
f 2 f : f : f n f.f...f (n veces), n
Donde: Dom(fn) Domf Domf ... Domf Domf Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia entera positiva de f tiene el mismo dominio de la función f.
Ejemplo: f = {(3;5), (4;3), (5;2)}
Así:
f 2 x, f x .f x / x Dom f
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}
FUNCIONES
Exigimos más!
X. FUNCIÓN INVERSA Definiciones previas. A. Función inyectiva
Llamada también univalente o uno a uno, se dice inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único valor del dominio. Formalmente: f es inyectiva si para: x1; x2 Df x1 x 2 f(x1 ) f(x2 )
Equivalentemente: f(x1 ) f(x 2 ) x1 x2
fog = {(5;5), (3;2)} Ejemplo:
Ejemplo: Ver f(x) x 1 es inyectiva. x 1
f(x) 4x 3 , x 15, 22 g(x) 3x 1, x 7,14
Resolución:
•
(fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
•
Dfog x 7,14 3x 1 5, 22 x 16 , 23 3 3 x 7, 23 3
Sean x1 ; x 2 Df Si: f(x1) = f(x2) x1 1 x2 1 x1 x2 x1 1 x2 1 f es inyectiva.
fog(x) 12x 1 / x 7, 23 3
Teorema f es inyectiva si todo vector horizontal corta su gráfica a lo más en 1 punto.
Propiedades de la composición de funciones
Ejemplo:
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad) 1.
(fog)oh = fo(goh) [asociativa]
2.
Si I es la función identidad: foI = f
función f:
Iof = f
3.
(f + g)oh = (foh) + (goh)
4.
(fg)oh = (foh) . (goh)
5.
fog goh, en general
6.
InoIm = Inm; n,m, Z+
7.
Ino(f + g) = (f + g) n, n Z+
8.
I n oIn | I |, para n par Z+
9.
I n o In In o I n I , n Z+, impar
1
1
1
FUNCIONES
Exigimos más! B. Función suryectiva (epiyectiva)
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjunto de llegada queda cubierto por el rango de ese modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada.
x
f x 1 f x 1
f x x 1 x 1
f x x
Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
XII. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función identidad, así:
C. Función biyectiva
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.
XI. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA Dada una función f x, y / y f x inyectiva se
Propiedades:
define la función inversa denotado por f* como lo que: f* y; x / y f(x) x Df
f x, y / y f x , x Df y f x f* y, x / y f x , x Df x f * y
y f x
De donde:
f * y x
x DF
Df* = Rf, Rf* = Df I. f * f x x; x Df Ejemplo: Halle la inversa de f(x) x 1 si existe. x 1 Resolución:
II.
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva.
III. (fog)* = g* o f*
su inversa Para hallar la inversa se despeja "x".
f f * y y; x Df* Rf
IV. (f*)* = f
FUNCIONES
Exigimos más!
problemas
resueltos
Nivel difícil
Problema 1 Sean A y B conjuntos no vacíos, señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I.
Si:
Respuesta: C) VFF A) 1;2
Problema 2
f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4); (1, 1)}
(x, y);(x,z) f {(x, y) /x A, yB} AxB
implica que y = z, entonces po-
(2, 1)} h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
C)
1;1
E)
;
Resolución :
y K
II. Toda función sobreyectiva f: A B es inyectiva.
0 ;1
D) 0 ;
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
demos decir que f es una función de A en B.
B)
Dadas las funciones:
Determine la función compuesta f o g
III. Toda función inyectiva f: A B es
x K
o h.
sobreyectiva.
1 ; x K x K 1 y K
UNI 2010-I
A) VVV
Nivel intermedio
B) VFV
A) {(1, 0); (5, 1)}
f * (x) K
x K
1 y K
; y K
1
; x K x K
f(x) f * (x)
C) VFF
B) {(3, –3); (5, –4)}
D) FFV
C) {(1, 1); (7, 1)}
Lo cual se cumple para cualquier valor
E) FFF
D) {(1, 1); (2, –3)}
real de K, es decir: K ; .
UNI 2010-I
E) {(3, –1); (7, 1)}
Respuesta: E) ;
Nivel fácil Resolución:
Resolución:
I.
Verdadero
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
De acuerdo a la condición de unici-
g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
dad esta proposición es perfecta-
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
Problema 4 El rango de la función f :
definida por: f(x) x 1 es: x
mente válida.
UNI 2007 - II
Calculando goh:
A)
2, 2
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
B)
2, 2
fo(goh) = {(1;1), (7;1)}
C)
1, 1
D)
1, 1
E)
0
goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)} II. Falso No necesariamente, por ejemplo: F : 1;2 0; 4
y F(x) x 2
Es una función sobreyectiva, pero no es inyectiva.
Respuesta: C) {(1;1), (7;1)}
Problema 3 Resolución:
Dada la función: III. Falso
f(x) K
No necesariamente, por ejemplo: : 1;3 2; 4
y F(x) 2x 1
Es una función inyectiva, pero no es sobreyectiva.
0
1
; x K x K
Halle todos los valores que puede tomar K para que la gráfica de la función f y de su inversa sea la misma. UNI 2010-I
Sabemos: x1 2; x 0 x x 1 2 ; x 0 x f(x) 2 f(x) 2
FUNCIONES
Exigimos más! Ranf = ; 2 2 ; 2; 2
Por 5:
13 x 2 7 Respuesta: A)
5
2, 2
5
x 2 7 13 5 f(x)
Problema 5 Luego:
Dada la función: 2
f(x) 5x 7x 8 x3/5
De la segunda proposición se deduce: Respuesta: D) 7;13
UNI 2008 - I
13 ; 7 5 5
b3 n3 es decir abc mnp
En la figura adjunta se muestra las gráficas de las funciones f y g definidas por:
7 13 5 ; 5
f(x) = ax 2 + bx + c g(x) = mx 2 + nx + p
D) [7;13 7;13]
Resolución:
Piden: Rango de
ambn
Problema 6
13 7 B) ; 5 5
E)
III. a > m, ya que f es más cerrada que g. Siendo:
xn n3 4mnp n2 4mp
Rg f 7;13
Halle el rango de f .
C)
– b – n a b 2a 2m m n
xb b 3 4abc b2 4ac
7 f(x) 13
3 3 definida sobre , . 5 5
A)
II. Como tienen vértices iguales entonces:
f .
De las siguientes relaciones:
Siendo: 2 7x 6 f(x) 5x x3 5
I.
n2 4mp
II.
a b m n
Solo I y II son verdaderas. Respuesta: D) I y II
Problema 7 Sea P(x) = x 3 – 3ax2 – a2x + 3a3, donde a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: UNI 2009 - II Nivel fácil A) Q(x) P(x); x 0 B) Q(x) P(x); x 0; a C) P(x) Q(x); x a; 2a D) Q(x) P(x); x 2a;3a E) P(x) Q(x); x 3a Resolución: Graficando la función P(x):
III. abc mnp
Tenemos: 5(5x 3)(x 2) f(x) 5x 3
A) Solo I B) Solo II
Reduciendo:
P(x) (x2 a2 )(x 3a) P(x) (x a)(x a)(x 3a)
C) So lo III
f(x) 5(x 2) 3 3 Si: x ; , entonces: 5 5
5
D) I y II E ) II y III
Resolución:
3 x 3 5
Del gráfico: f y g tienen raíces reales e iguales.
Restando 2:
3 2 x 2 3 2 5
¿Cuáles son verdaderas?
5
I.
0 para g n2 – 4mp = 0 n2 4mp
Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)
FUNCIONES
Exigimos más! Esbozando ambas gráficas:
Respuesta: A) 0;
Problema 3 Indique la gráfica que mejor representa a:
g(x)
x2 4 3 , x UNI 2008 - II Nivel difícil Respuesta: D)
Para x 2a; 3a la gráfica de la función Q(x) está en la parte superior del P(x).
Q(x) P(x); x 2a; 3a
A )
Respuesta:
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es ver-
D) Q(x) P(x); x 2a; 3a
B)
Problema 8
Problema 10
dadera (V) o falsa (F): I.
Sea f una función tal que:
con una función impar es un a fun-
f x 2 x 2 x 4 x ; x 4 entonces Dom(f) Ran(F) es igual a: Nivel 2009 - II
ción par. C)
II. El producto de dos funciones impares es una función impar. III. La suma de dos funciones pares
Nivel intermedio
es una función par.
A) [0; B) [1; C)
La composición de una función par
D)
0;
UNI 2011 - I
A) VFV
D) [4;
B) VVV
1;
C) FVV
E)
D) FFV Resolución:
E)
E) VFF
Esbozando la gráfica de: x 2 x Resolución:
(por álgebra de funciones) Resolución:
Tenemos:
Ubicación de incógnita Valor de verdad Operación del problema I.
F par :F( x) F(x) G impar : G( x) – G (x)
La expresión:
(FoG)(x) F(G(x))
x 2 x es inyectiva. Dom(f) = 0;
De donde:
(FoG)(x) F(G( x))
Analógicamente la e xpresión:
(FoG)(x) F(G(x))
2x 4 x
(FoG)(x) (FoG)(x)
es inyectiva:
FoGespar_________(V)
2 x 4 x 4; Ran(f) = 4;
Dom(f)nRan(f) = 0;
Ahora:
Luego:
II. F impar: F(–x) = –F(x) G impar: G(–x) = –G(x)
