Listopad, 2017. Mikroekonomija III - vježbe ______________________ _________________________________ _______________________ _______________________ ______________________ ___________________ ________
TEORIJA IGARA - matematičko združivanje Gale-Shapley algoritam za pronalaženje stabilnog združenog sistema 1. korak: Svaki korak: Svaki se čovjek najprije udvara ženi koja je 1. na njegovom popisu. Svaka žena koja ima više od jednog udvarača odabire svoga favorita između onih koji joj se udvaraju i istovremeno odbija druge tj. govori drugima da njih nikada neće izabrati. Svaki čovjek koji nije odbijen stavljen je na "listu čekanja" žene kojoj se udvara. 2. korak: Svaki korak: Svaki čovjek koji je bio odbijen, započinje s udvaranjem sljedećoj po redu ženi (dakle 2.) sa svog popisa. Svaka žena koja ima više od jednog udvarača, uključujući i udvarače iz prethodnog koraka, odabire svog favorita te ga stavlja na svoju "listu čekanja". Istovremeno, obavještava ostale da njih nikada neće izabrati. 3. korak: korak: Svaki čovjek koji je bio odbijen, započinje s udvaranjem sljedećoj po redu ženi sa svog popisa - drugoj na njegovom popisu (ako je bio stavljen na "listu čekanja" u prethodnoj fazi), odnosno trećoj na oj na njegovom popisu, ako je bio dva puta odbijen. Ponovno, svaka žena odabire svoga favorita između onih koji joj se udvaraju (uključujući i muškarce s njezine "liste čekanja" iz prethodne faze), stavlja ga na listu čekanja i odbacuje druge.
Zadatak 1. Gale-Shapley algoritam - pronalaženje stabilnog združenog sistema (4x4) Zamislite zajednicu u kojoj je broj muškaraca jednak broju žena te se znaju njihove međusobne preferencije prema članovima suprotnog spola. spola. Muškarci su označeni oznakama a, b, c i d, dok su žene označene sa A, B, C i D. Niti jedan član ove zajednice nije indiferentan između dva ili više drugih članova suprotnog spola. Potrebno je uz pomoć Gale-Shapleyevog algoritma pronaći stabilan združeni sistem muškaraca i žena ukoliko strukture njihovih preferencija imaju sljedeći oblik: Preferencije žena:
Preferencije muškaraca:
Zadatak 2. Pronalaženje stabilnog združenog sistema (4x4) Postavke zadatka odgovaraju postavkama zadatka 1. te je potrebno, uz pomoć Gale-Shapleyevog algoritma, pronaći stabilan združeni sistem muškaraca i žena ukoliko strukture njihovih preferencija imaju sljedeći oblik: Preferencije žena:
Preferencije muškaraca:
1
Listopad, 2017. Mikroekonomija III - vježbe ___________________________________________________________________________ Zadatak 3. Pronalaženje stabilnog združenog sistema (5x5) Postavke zadatka odgovaraju postavkama zadatka 1. te je potrebno, uz pomoć Gale-Shapleyevog algoritma, pronaći stabilan združeni sistem muškaraca i žena ukoliko strukture njihovih preferencija imaju sljedeći oblik: Preferencije žena:
Preferencije muškaraca:
Zadatak za vježbu Određ ivanje i definiranje razloga (ne)stabilnosti sistema (3x3) S obzirom na zadane preferencije žena i muškaraca, odredite jesu li predloženi sistemi stabilni te obrazložite svoje odgovore. Preferencije žena:
Preferencije muškaraca:
Rješenje: i. Predloženi sistem je stabilan jer ne postoji niti jedan par koji bi pristao oformiti novi par, drugačiji od predloženih u sistemu. ii. Predloženi sistem je nestabilan jer se b može udvarati B i ona će prihvatiti njegovo udvaranje jer je prema predloženom sistema sada sa svojim trećim izborom, dok joj je b drugi izbor. Udvaraču b odgovara prihvaćanje njegove ponude od strane B jer je on sada sa svojim trećim izborom (C) dok mu je B drugi izbor.
Ako je broj muškaraca u nekoj zajednici n, te broj žena u toj istoj zajednici također n, tada je maksimalni broj udvaranja n2-2n+2.
2
Listopad, 2017. Mikroekonomija III - vježbe ___________________________________________________________________________ Zadatak za vježbu Određ ivanje i definiranje razloga (ne)stabilnosti sistema (3x3) S obzirom na zadane preferencije žena i muškaraca, odredite jesu li predloženi sistemi stabilni te obrazložite svoje odgovore na primjeru žene B i muškarca b. Preferencije žena:
Preferencije muškaraca:
Rješenje: i. Predloženi sistem je nestabilan jer se c može udvarati B i ona će prihvatiti njegovo udvaranje jer bi tako ostvarila svoj prvi izbor. Udvaraču c odgovara prihvaćanje njegove ponude od strane B jer je on sada sa svojim trećim izborom (C) dok mu je B drugi izbor. ii. Predloženi sistem je nestabilan jer se b može udvarati A i ona će prihvatiti njegovo udvaranje jer bi tako ostvarila svoj prvi izbor. Udvaraču b odgovara prihvaćanje njegove ponude od strane A jer je on sada sa svojim trećim izborom (C) dok mu je A prvi izbor. iii. Predloženi sistem je nestabilan jer se c može udvarati B i ona će prihvatiti njegovo udvaranje jer bi tako ostvarila svoj prvi izbor. Udvaraču c odgovara prihvaćanje njegove ponude od strane B jer je on sada sa svojim trećim izborom (C) dok mu je B drugi izbor. iv. Predloženi sistem je stabilan jer ne postoji niti jedan par koji bi pristao oformiti novi par, drugačiji od predloženih u sistemu.
Zadatak za vježbu Određ ivanje i definiranje razloga (ne)stabilnosti sistema (4x4) Zadane su sljedeće preferencije žena i muškaraca te je potrebno odrediti jesu li predloženi združeni sistemi stabilni? Ako je odgovor potvrdan objasnite razloge njegove stabilnosti, a ako nije odgovorite koji parovi ne bi prihvatili predložene sisteme združivanja. Preferencije žena: Preferencije muškaraca:
i.
ii.
3
Listopad, 2017. Mikroekonomija III - vježbe ___________________________________________________________________________ Rješenje: i. Predloženi sistem je stabilan jer ne postoji niti jedan par koji bi pristao oformiti novi par, drugačiji od predloženih u sistemu. ii. Predloženi sistem je nestabilan jer se c može udvarati B i ona će prihvatiti njegovo udvaranje jer bi tako ostvarila svoj prvi izbor. Udvaraču c odgovara prihvaćanje njegove ponude od strane B jer je on sada sa svojim drugim izborom (D) dok mu je B prvi izbor.
Zadatak za vježbu Pronalaženje stabilnog združenog sistema (4x4) Postavke zadatka odgovaraju postavkama zadatka 1. te je potrebno, uz pomoć Gale-Shapleyevog algoritma, pronaći stabilan združeni sistem muškaraca i žena ukoliko strukture njihovih preferencija imaju sljedeći oblik: Preferencije žena:
Preferencije muškaraca:
Rješenje:
4
Listopad, 2017. Mikroekonomija III - vježbe ___________________________________________________________________________
TEORIJA IGARA – dominantne i dominirane strategije Zadatak 1. Igra s nultom sumom U industriji mineralne vode djeluju dva konkurentska poduzeća, "Aqua minerale" i "Mineral Health", koja se bave punjenjem i prodajom mineralne vode u bocama različite litraže. Svako od poduzeća ima za cilj povećati vlastiti udjel na tržištu. U zavisnosti od izabrane strategije pojedinog poduzeća, mijenja se i visina ostvarenog tržišnog udjela na način koji to prikazuje donja matrica isplata. Mineral Health Aqua minerale
E
F
G
H
A
40
50
70
20
B
65
80
65
60
C
65
90
30
35
D
70
60
40
10
a) Primjenom maximin i minimax strategija odredite ravnotežno rješenje odnosno sedlastu točku. b) Dokažite da se do istog rješenja može doći i eliminacijom dominiranih strategija oba poduzeća! Definirajte redoslijed njihova ispuštanja iz daljnjeg razmatranja te odredite u odnosu na koju/koje strategije su ispuštene strategije lošije! U procesu eliminacije strategija započnite s poduzećem Mineral Health.
Zadatak 2. Dominantna strategija, Nash Karlovačka i Zagrebačka pivovara natječu se na hrvatskom tržištu piva. Svaka kompanija na početku godine odlučuje o iznosu novčanih sredstava koji će dotične godine uložiti u reklamiranje svojih vodećih brandova (Karlovačkog piva i Ožujskog piva). Ukoliko određena kompanija odluči značajno povećati izdatke za reklamiranje u odnosu na prošlogodišnje, može se reći kako primjenjuje agresivnu strategiju reklamiranja. Alternativno, ako kompanija izdatke za reklamiranje zadrži na prošlogodišnjoj razini, tada je strategija reklamiranja ostala nepromijenjena. Profitne isplate kompanija za svaku od izabranih strategija prezentirane su u matrici isplate. Vrijednosti ovih isplata dane su u milijunima kuna. Zagrebačka pivovara agresivno reklamiranje
uobičajeno reklamiranje
agresivno reklamiranje
20, 15
30, 5
uobičajeno reklamiranje
15, 25
23, 18
a) Ima li ijedna od kompanija dominantnu strategiju? Ako ima, koja je to strategija? b) Odredite Nashovu ravnotežu!
Zadatak za vježbu Dominantne i dominirane strategije Kraš i Zvečevo su dva najveća hrvatska poduzeća za proizvodnju slatkih proizvoda. Iako je njihov asortiman proizvoda prilično širok, ova poduzeća su prepoznatljiva i cijenjena po svojim čokoladama iznimne kakvoće. Zahvaljujući proizvodnji originalnih, visokokvalitetnih proizvoda, njihove
5
Listopad, 2017. Mikroekonomija III - vježbe ___________________________________________________________________________ najpoznatije čokolade Dorina i Mikado su pronašle svoje mjesto i izvan hrvatskih granica. Sljedeća matrica isplata pokazuje mjesečne iznose profita u tisućama kuna koje ova poduzeća ostvaruju kada prodaju svoje čokolade po različitim cijenama. Zvečevo (Mikado) 15 kn
17 kn
19 kn
21 kn
15 kn
53, 55
58, 52
59, 49
60, 48
17 kn
52, 57
55, 54
64, 53
63, 52
19 kn
54, 58
53, 57
66, 59
66, 55
21 kn
47, 59
50, 63
65, 65
70, 60
a) Ima li ijedno od poduzeća dominantnu strategiju? Ako ima, koja je to strategija? b) Ima li ijedno od poduzeća dominiranu strategiju? Ako ima, definirajte redoslijed njihova ispuštanja iz daljnjeg razmatranja! U odnosu na koju/koje strategije su ispuštene strategije lošije? U eliminaciji strategija započnite s poduzećem Zvečevo (čokolada Mikado). c) Postoji li Nashova ravnoteža u ovoj igri?
Rješenje: a) Nijedno poduzeće nema dominantnu strategiju. b) Oba poduzeća imaju dominirane strategije. Redoslijed i spuštanja glasi: Mikado 21kn (lošija od 17kn i 19 kn) Dorina 21kn (lošija od 19 kn) Mikado 17kn (lošija od 15kn) Dorina 17kn (lošija od 19 kn) + 15kn (lošija od 19 kn) Mikado 15kn (lošija od 19kn) c) Nashova ravnoteža postoji i uspostavljena je primjenom strategija (19kn, 19kn) s isplatama (66,59).
Zadatak 4. Dominantne i dominirane strategije Matrica isplata mjesečnih iznosa profita koje poduzeća iz prethodnog zadatka (Kraš i Zvečevo) ostvaruju kada prodaju svoje čokolade po različitim cijenama se promijenila i poprimila oblik: Zvečevo (Mikado) 15 kn
17 kn
19 kn
21 kn
15 kn
36, 28
34, 34
38, 35
36, 36
17 kn
34, 32
37, 36
46, 35
44, 37
19 kn
35, 34
38, 38
44, 39
42, 35
21 kn
32, 38
36, 42
45, 43
41, 40
a) Ima li ijedno od poduzeća dominantnu strategiju? Ako ima, koja je to strategija? b) Ima li ijedno od poduzeća dominiranu strategiju? Ako ima, definirajte redoslijed njihova ispuštanja iz daljnjeg razmatranja! U odnosu na koju/koje strategije su ispuštene strategije lošije? U eliminaciji strategija započnite s poduzećem Kraš (čokolada Dorina). c) Nakon što ste ispustili iz razmatranja dominirane strategije utvrđene pod b), ima li sada ijedno poduzeće dominantnu strategiju? d) Kako glasi Nashova ravnoteža?
6
Listopad, 2017. Mikroekonomija III - vježbe ___________________________________________________________________________ Zadatak 5. Formiranje matrice, Nash Jure i Ana bi željeli zajedno provesti subotnju večer, ali se njihovi ukusi u pogledu zabave razlikuju. Ana bi željela otići u kazalište, dok bi Jure radije pogledao nogometnu utakmicu. Oboje bi radije proveli večer zajedno (makar to i ne odgovaralo njihovim prvotnim željama u pogledu subotnjeg izlaska), nego je proveli odvojeno. Isplata za osobu čijoj želji bude udovoljeno iznosit će 5, dok će drugoj osobi isplata biti 4. Najlošiji mogući ishod ostvaren je ako se večer provede bez onog drugog. a) Odredite matricu plaćanja s pripadajućim kombinacijama isplata. b) Postoji li Nashova ravnoteža u igri između Jure i Ane?
Zadatak 6. Dominantne strategije - algoritam Dva liderska poduzeća "Tommy" i "Konzum" donose odluku o cijenama 20-tak osnovnih prehrambenih proizvoda koji predstavljaju tzv. "košaricu dobara". Ova košarica ima važnu praktičnu primjenu budući se koristi u statističkim analizama prilikom usporedbe životnog standarda hrvatskih građana s građanima susjednih zemalja. Jasno je kako svaka pojedina cijena proizvoda uključenog u košaricu određuje hoće li košarica u konačnici imati visoku ili nisku cijenu. Sukladno formiranoj visokoj ili niskoj cijeni košarice, poduzeća ostvaruju isplate predstavljene sljedećom matricom u kojoj je varijabla X pozitivna veličina (X>0): Konzum visoka cijena košarice
niska cijena košarice
visoka cijena košarice
150, 150
30, 200
niska cijena košarice
110+X, 110-X
60, 60
a) Odredite vrijednost varijable X za koju će oba poduzeća imati dominantnu strategiju! b) Za koju vrijednost varijable X samo jedno poduzeće ima dominantnu strategiju? c) Postoji li ijedna vrijednost varijable X za koju nijedno poduzeće neće imati dominantnu strategiju?
7
