TRIGONOMETRÍA
1. En un triángulo rectángulo BAC, (AB = c, AC = b, AB = c), el lado c es media proporcional entre los otros dos lados, además se cumple: 5 −1 tan(x) = sen2 (B) + +1 + 3 , 2 calcule la medida de ángulo x en radianes. π π π A) B) C) 4 10 12 3π 5π D) E) 10 12 2. En un triángulo ABC, C = 90º, de lados a, b, c y perímetro P, simplifique: a sec( A2 ).csc( A2 ) W= [(1 + cos A)(1 + cosB)(1 + cos C)]−1/ 2 A) p B) 2p C) p2 2 D) p E) p 2 2 3. En la figura mostrada, AOB es un sector circular, m∠AOB = 90º, OD = 2 CD. Calcule cot(θ)
A) 2 sen(θ) B) 2 cos(θ) C) 2sen2(θ) D) 2 cos2(θ) E) 2 tan(θ) 5. En la figura mostrada; m∠CAD = 9º, m∠BDA = 7º, m∠ABD = m∠ACD =90º y AD = 20u. Calcule la longitud BC, (en u). C B
A
A) 16 B) 17,2 C) 18,4 D) 19,2 E) 20,4 6. De la figura mostrada, AE = ED = DC, calcule: E tan(θ).csc(α).
D
α
θ
A
C
0
B) 1 + E) 2
D
C)
5
B
5
4. Halle la razón entre las áreas de las regiones triangulares ABC y ADC, respectivamente. B
A
θ
θ D
θ
C
si
C
A
A) 2 + 5 D) 5 – 1
D
θ E
B
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 7. Si cot(2x + 10º).cot(x + 5º) = 1 y cos(3y).csc(2y) = 1, entonces el valor de 3 sec(x + y + 10º), es: A) 5 B) 6 C) 8 D)10 E) 15 8. Un niño observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 18,5º. Si el niño se encuentra a 24m del pie del edificio, ¿cuánto deberá caminar (en m) en dirección del edificio, para observar la parte superior de este con un ángulo de 26,5º? A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 9. Calcule la medida aproximada del ángulo de elevación del sol, cuando TRIGONOMETRÍA
1
una persona de h metros de estatura proyecta una sombra de 2h metros de longitud en un terreno a nivel. A) 15º B) 18º C) 18,5º D) 26,5º E) 30º 10. Desde un faro de 300 m de altura sobre el nivel del mar se observa un barco que se aleja, con ángulo de depresión de medida α y media hora mas tarde se observa, en la misma dirección el mismo barco, con un ángulo de depresión de medida α. Halle la rapidez del barco (en m/hr) A) 100[cot(β) – cot(α)] B) 150[cot(β) – cot(α)] C) 300[tan(β) – tan(α)] D) 600[tan(β) – tan(α)] E) 600[cot(β) – cot(α)] 11. Sea el triángulo con vértices: A = (2; −1) , B = (–1; 2), C = (3; 3) y baricentro G. Además, θ = m∠GAB, calcule tan(θ). 9 5 3 A) B) C) 5 9 5 5 4 D) E) 3 9 12. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(–1; 3) y es paralela a la recta L: 2x – 3y + 4 = 0. x A) y = + 4 B) y = 2x − 6 3 2 11 1 C) y = x + D) y = x + 8 3 3 3 3 E) y = − x + 2 Si θ es un ángulo en 4 posición normal y además se cumple: cos(θ) + cos( θ) = 0 cot(θ) − cot( θ) = 0 17 csc(θ) = 15 Halle: E = tan(θ) – sec(θ) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. Si α es la medida de un ángulo en posición normal, además:
7π 〉 , calcule 2 el valor de: E = 40 sec(α) – 41 sen(α) A) – 50 B) – 32 C) 1 D) 32 E) 50 14. Los puntos A(a + b; b) y B(b; a – b) pertenecen al lado terminal del ángulo en posición normal α, calcule A = csc2(α) + tan2(α), si b > 0 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 15. De la figura mostrada (b > a), determine tan(α) en términos de a y b. tan(α) = 0,225 , α ∈ 〈3π;
y 45º (a; b)
x
α
a+b a−b a+b B) C) a−b a+b b−a b−a a+b D) E) a+b 2a − b 16. De la figura mostrada, halle el valor y de: tan(α) + tan(β). A)
2 α x
–4 β
–2
A) 1/2 D) 2
B) 1 E) 5/2
C) 3/2
TRIGONOMETRÍA
2
17. En la figura mostrada si ABCD es un rombo, entonces al calcular F = tan(θ) + cot(θ), se obtiene:
y
y B
L: 40x – 9y = 0
α C
θ
x θ
30º
x A
D
θ
28 3 28 3 B) 15 15 28 2 28 2 C) − D) 15 15 15 3 D) 28 18. De la figura mostrada, si OP = OQ, calcule el valor de tan(α). A) −
y Q
M (– 6;2 3 )
α
60º P
A) –
(
3 +2
)
3 +2 ÷ C) – ÷ 3 3 +2 ÷ E) – ÷ 5
0
x
3 +2 ÷ B) – ÷ 2 3 +2 ÷ D) – ÷ 4
A) 0, 4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7 E) 0,8 20. Si θ es un ángulo en posición normal 5 cos(θ) = – . Los puntos P y Q tienen 13 por coordenadas (–15; a) y (b; – 24) respectivamente, pertenecen a su lado final. Calcule la distancia entre dichos punto. A) 8 B) 10 C) 12 D) 13 E) 25 21. Si: 43 tan( β ) − 2 = 55 −3 cot( θ ), 0 < β < π, π < θ < 2π, entonces, al calcular se W = 13sen(β) + 34 cos( θ), obtiene: A) – 5 B) – 4C) – 3D) – 2 E) – 1 22. Si tenemos la medida de dos ángulos coterminales; donde la medida del mayor ángulo es el séxtuplo de la medida del menor ángulo y la suma de sus medidas está comprendida entre 1000º y 1050º. Calcule la medida del menor ángulo. A) 72º B) 122º C) 144º D) 174º E) 216º 23. De la figura y mostrada, halle (–1; 3) k = 3 tan(β) – 10 sec( α )
β
α
x
19. De la figura mostrada, halle tan(α) TRIGONOMETRÍA
3
M 50Acm
A) – 2 D) 1
B) – 1 E) 2
C) 0 1 2 determine el intervalo de α. 2π 4 π 2π 4 π 2π 4 π A) 〈 ; 〉 B) 〈 ; ] C) [ ; 〉 3 3 3 3 3 3 2π 4 π 4π D) [ ; ] E) [ π; ] 3 3 3
28. Si cos(α)∈ [ −1, − 〉 , además; α∈〈0; 2π〉
24. En la circunferencia trigonométrica de
» la figura mostrada, AM = – 30º; halle (en unidades) el valor de PQ. y
P
A
x
π 8π 〉 , halle los valores de a 7 7 para los cuales se verifica la siguiente 2a + 1 igualdad: 1 − sen2 (β) = . 5 1 A) [0; 1] B) 〈− ;1〉 C) [0; 2〉 3 1 1 D) [ − ;2] E) 〈− ;1〉 2 2
29. Si β ∈ [ ;
M Q
4 3 4 D) 4 3
4 3 4 3 C) 3 2 E) 5 3 3π 25. Si π < θ1 < θ2 < , determine la 2 verdad (V) ó falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. sen(θ1) < sen(θ2) II. cos(θ1) > cos(θ2) III. tan(θ1) < tan(θ2) A)
A) FFF D) FFV
B)
B) FVF E) VFV
B) VFF E) FFF
31. Simplifique:
C) FVV F=
26. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. cos(4 rad) < cos(5 rad) II. sen(1 rad) > sen(4 rad) III. cos(5 rad) < cos(6 rad) A) VVV D) FVV
30. El resultado de 1749 π 327π F = 4 tan( ) + 5 cot( ) es: 4 4 A) – 1 B) 3 C) 5 D) 9 E) 11
tan( 52π + α ).sen( 72π − α ).sen( 92π + α ) cos(5π + α ).cos(7π − α ).cot(9π + α ) A) – 2 D) 1
B) – 1 E) 2
C) 0
C) VFV
π π , además tan( − α ) = −1 . 3 12 Calcule la medida del ángulo 2α. π π 3π A) B) C) 3 2 4 2π 5π D) E) 3 6
27. Si α ≤
TRIGONOMETRÍA
4
