1 Limites y sus propiedades El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Definición de límite:
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado. Definición informal de limite:
Si f(x)está definida para valores próximos a C, encontramos que los valores f(x)de se acercan a un valor único L, entonces, Lim f(x)=L X→C
Propiedades Si b y c son números reales, n un entero positivo, f y g son funciones que tienen límites cuando X → C , sin validas las siguientes propiedades Limite de una constante:
Lim x→a f(x) = L y Lim x→a g(x) = G Limite de una suma de funciones:
Lim x→a [f(x) ± g(x)] = [Lim x→a f(x)] ± [Lim x→a g(x)] = L ± G Limite de un producto:
Lim x→a [f(x).g(x)] = [Lim x→a f(x)].[Lim x→a g(x)] = L.G Limite de un cociente:
Lim x→a f(x) = Lim x→a f(x) = g(x)
Lim x→a g(x)
L
, G≠0
G
Limite de una raíz:
2Límite de una función El
límite de una función es
un concepto fundamental del análisis matemático, un caso
de límite aplicado a las funciones. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c , significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c , independientemente de lo que ocurra en c .
Definición formal[editar ] Funciones de variable real [editar ]
Visualización de los parámetros utilizados en la definici ón de límite.
Si la función
tiene límite
tiende hacia el límite queramos de
en
podemos decir de manera informal que la función
cerca de
haciendo que
si se puede hacer que esté suficientemente cerca de
Los conceptos cerca y suficientemente
cerca son
esté tan cerca como siendo
distinto de .
matemáticamente poco precisos. Por
esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
3Límite finito
Definición Intervalo cerrado
Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b]. [a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b } El intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x para los cualesa <= x <= b.
Límite infinito Observemos la función f(x)=1/x 2 para valores de x positivos muy grandes. x
f(x)
100
1,0x10 -4
1.000
1,0x10 -6
10.000
1,0x10 -8
100.000
1,0x10 -10
1.000.000 1,0x10 -12
Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.
2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición.
Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a,b) y sea ( , ) x0 ∈ a b , se dice que f es continua en " 0 x " si ( ) ( )0 0 lím f x f x x x =→
. Es decir, si se cumplen tres cosas: 1. ( )0 f x está definida 2. f x L x x = → lím ( ) 0 (existe); y 3. ( )0 L = f x Caso contrario, se dice que f es
Continu idad de una fun ción en un intervalo abierto
Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto. Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua x (a, b).
Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) ( –1, 1).
en el intervalo
Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x 1 y x 1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo ( –1,1).
