Introducción a la estadística y prueba de hipótesis en SPSS Marcelo Rodríguez G. Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística
Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas Ingeniería en Agronomía
Diseño Experimental
14 de marzo de 2011
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Introducción
14/03/2011
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Introducción De nición (Estadística) Es la ciencia de recolectar, describir e interpretar datos, (convertir información en conocimiento) como un apoyo e ciente para la toma de decisiones.
De nición (SPSS) Es un programa estadístico que permite realizar el proceso de descripción de los datos, en forma automatizada, (no recolecta ni interpreta los datos).
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Conceptos Estadísticos Unidad de análisis:
es el ente que proporciona un dato. También
recibe el nombre de unidad experimental.
Medición:
es el proceso que asigna un valor a una unidad de análisis.
En Estadística no siempre una medición es como lo que clásicamente entendemos, medición también puede entenderse como observación o conteo. Su objetivo es generar datos.
Error de medición:
es la diferencia entre el valor exacto que posee la
unidad de análisis y el valor entregado por un instrumento de medición.
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Conceptos Estadísticos Exactitud: Un valor es exacto si no contiene error. Precisión: Un valor será más preciso en la medida en
que acerque a
su valor exacto (tiene que ver con la aproximación numérica).
Error de precisión:
es la diferencia entre el valor exacto y su
aproximación numérica.
Población:
es el universo o conjunto total de unidad de análisis.
Sobre este conjunto se obtendrán las conclusiones nales.
Muestra aleatoria:
es un subconjunto de la población que posee un
grado de representatividad adecuado.
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Conceptos Estadísticos
Censo:
estudio que involucra a toda la población. No contiene error
de precisión, pero es costoso.
Muestreo:
estudio que involucra a una muestra. Contiene error de
muestreo, pero es menos costoso.
Sesgo:
componente de un estudio que hace que la muestra no sea
aleatoria, pues distorsiona las conclusiones del estudio e impide que se lleve a cabo un proceso inferencial.
Parámetros:
información relacionada con la población y que es de
interés para el investigador.
Estimadores:
aproximaciones de los parámetros basadas en la
muestra.
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Clasi cación de los Métodos Estadísticos Los métodos estadísticos pueden clasi carse en dos grandes grupos: 1
Descriptivos.
2
Inferenciales.
De nición (Métodos Descriptivos) Se preocupan de describir el conjuntos de datos. Generalmente están relacionados con el análisis preliminar o exploratorio de los datos.
De nición (Métodos Inferenciales) Son los encargados de llevar adecuadamente los resultados de una muestra aleatoria hacia la población objetivo.
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Ejemplos de Problemas Estadísticos Ejemplo Evaluar el grado de dulzor de un fruto
◦
( Brix). Identi car el efecto de un fertilizante, en el crecimiento de la lechuga. Comparar la efectividad de dos insecticidas, en el control de plagas. Comparar la efectividad de una dieta, en cierto tipo de animal.
Todos estos problemas son distintos, pero hay una linea general de razonamiento que es la misma para todos, la cual es llamada metodología de la investigación estadística.
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Metodología de la Investigación Estadística
La metodología de la investigación estadística se basa en el Método Cientí co. La Estadística proporciona técnicas que permiten describir, obtener o comprobar los resultados de una investigación. Para que esos resultados sean con ables es importante considerar todas las etapas de la investigación, éstas son: la plani cación y ejecución del estudio.
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Metodología de la Investigación Estadística: Plani cación i) Planteamiento del Problema.
Aquí debe quedar claro el problema que
motiva la investigación, deben plantearse las preguntas que motivan el estudio y otros aspectos que permitan comprender con claridad, pero de manera resumida, lo que se desea describir, obtener o comprobar.
ii) Delimitar la Población Objetivo.
Aquí se de ne cuales serán las
unidades experimentales a analizar. Este punto es no menos importante, ya que las conclusiones que se desprendan del estudio sólo pueden alcanzar a este conjunto.
iii) Describir los Objetivos.
Aquí se deben plantear, con la mayor
claridad posible, el(os) objetivo(s) general(es) que motivan la investigación, así como los objetivos especí cos que se desprendan de cada objetivo general (en el caso de haber más de uno). Los objetivos se plantean como verbo en in nitivo.
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Metodología de la Investigación Estadística: Plani cación
iv) Plantear las Hipótesis de Trabajo.
Cada objetivo especí co se
transforma en una hipótesis de trabajo y esta a su vez en dos hipótesis estadística: la que postula lo que investigación plantea, es decir, la hipótesis de investigación
(H1 )
y
la que refuta esto y que representa al estado actual de los hechos, es decir, la hipótesis nula
(H0 ).
Las hipótesis son aseveraciones que están sujetas a con rmación, son sólo conjeturas y deben ser con rmadas en base a los datos recolectados.
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Metodología de la Investigación Estadística: Plani cación v) Establecer la Metodología Estadística.
Una vez delineados los
objetivos, se debe plantear de la manera más precisa posible, las técnicas estadísticas que permitirán comprobar los objetivos planteados. Sin embargo, una vez recolectados los datos, estos procedimientos deben ser con rmados en base al comportamiento que presenten los datos.
vi) Plantear el plan de muestreo.
Con la metodología estadística
planteada, se procede a desarrollar el plan de muestreo que permitirá escoger la muestra de unidades que se analizarán para validar los objetivos propuestos. Aquí se deberá determinar el tamaño de la muestra, la técnica especí ca que se utilizará (m.a.s., m.a.e. u otro) y se seleccionarán las unidades de análisis que conformarán esta muestra.
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Metodología de la Investigación Estadística: Ejecución i) Recopilar los datos.
Esto se realiza basándose en el plan de muestreo
que se planteó antes y a través del instrumento que permitirá recopilar los datos, por ejemplo: cuestionarios, pruebas, instrumentos de medición, etcétera. En esta etapa es importante evitar errores en la obtención de los datos.
ii) Diseño de la base de datos.
Una vez que se han recogido los datos y
se ha veri cado que no hay errores, se procede a crear la matriz de datos. Generalmente previo al ingreso de los datos al computador, se procede a un proceso de codi cación, en el caso de que los datos recopilados no sean realmente números. Comúnmente se utiliza el software estadístico IBM-SPSS o StatGraphics.
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Metodología de la Investigación Estadística: Ejecución iii) Procesar los datos.
Una vez creada la matriz de datos se procede al
procesamiento de los datos. Esto se debe hacer a través de un software estadístico y se aplican las técnicas que se plani caron anteriormente. De no ser posible aplicar éstas porque se viole algún supuesto que las valida, se buscarán técnicas alternativas para el mismo propósito. Habitualmente se realiza primero un análisis exploratorio (estadística descriptiva) y posteriormente uno con rmatorio (inferencia estadística).
iv) Analizar los resultados obtenidos.
Una vez procesados los datos, se
procede a analizar los resultados obtenidos desde el punto de vista estadístico. Dependiendo de los objetivos, esto puede consistir simplemente en una descripción de lo que ocurre en los datos o la búsqueda de diferencias estadísticamente signi cativas, cuando proceda.
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Metodología de la Investigación Estadística: Ejecución
v) Obtener las conclusiones y publicar los resultados.
Finalmente, y
tratando de evitar un lenguaje demasiado técnico, se procede a obtener las conclusiones y a incorporarlas en un informe estadístico del estudio, cuyos resultados serán incorporados al informe nal del estudio, que deberá redactar el equipo investigador. Aquí termina la labor estadística.
vi) Tomar las decisiones pertinentes.
Con estos resultados se procede a
tomar las decisiones más pertinentes para el propósito que se ha planteado.
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Variable Estadística De nición (Variable estadística) Es cualquier característica o atributo que es deseable conocer acerca de las unidades de análisis y que se espera varíe de una unidad a otra. Comúnmente, se identi can con la letra
X.
De nición (Recorrido de una Variable) Es el conjunto de todos los posibles valores de una variable. Comúnmente, se identi can con el símbolo
RX .
De nición (Dato estadístico) Es la observación, conteo o medición de una variable estadística sobre una unidad de análisis.
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Tipos de Variables: Cualitativas y Cuantitativas
De nición (Variable Cualitativa) Variable que representa una cualidad o atributo.
De nición (Variable Cuantitativa) Variable que representa una cantidad o valor numérico.
De nición (Variable Cuantitativa Discreta) Si la variable cuantitativa se generó a través de un conteo, entonces ésta es discreta y sólo puede tomar valores enteros (su recorrido se puede contar)
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Tipos de Variables: Cualitativas y Cuantitativas De nición (Variable Cuantitativa Continua) Si la variable cuantitativa se generó a través de una medición (generalmente se usa un instrumento de medición, como una balanza, un reloj, termómetro, prueba, etcétera), entonces ésta es continua y admite valores decimales y sus valores pertenecen a un intervalo de los números reales (su recorrido no es contable).
Variable
Cualitativa o categórica (cualidad o atributo)
Cuantitativa o numérica (cantidad)
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Discreta (contable)
Continua (no contable)
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Escalas de Medición Toda variable estadística se puede clasi car en una de las siguientes escalas de medida, las que presentaremos en un orden ascendente respecto de la riqueza de información que nos entrega cada una de ellas.
Las escalas de medición son: Nominal Ordinal Intervalo Razón
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Escala Nominal De nición (Escala Nominal) Escala empleada en variables de tipo cualitativa, utiliza los números sólo como símbolos, códigos o nombres (nominal deriva de nombre) para separar a las unidades de análisis en distintos grupos o clases excluyentes, sin que sea posible establecer un orden entre los códigos de dos unidades que pertenezcan a distintas clases ni tampoco distancia entre los códigos de estas unidades.
Ejemplo (Escala Nominal) Sea
X
la variedad de las manzanas. Entonces, la variable es cualitativa y
medida en escala nominal. Sus clases o categorías pueden ser las siguientes:
RX ≡ {Fuji(1); Royal
Gala(2); Cripps Pink(3)}.
Nota: en este ejemplo se ha asignado los códigos 1, 2 y 3 a las tres variedades, sin que 3 signi que mejor que 2 ni que 1.
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Escala Ordinal De nición (Escala Ordinal) En esta escala, empleada en el mismo sentido que la escala nominal, los números sí indican un orden, aunque no establecen distancias, es decir, siguen siendo códigos y no realmente números.
Ejemplo (Escala Ordinal) Sea
X
el desempeño laboral. Entonces, la variable es cualitativa y medida
en escala ordinal. Sus clases o categorías pueden ser:
RX ≡ {Malo(1); Regular(2); Bueno(3); Excelente(4)}. Nota: Si bien la unidad de análisis que tenga un código 4 tuvo mejor desempeño que la que obtuvo un 3 ó 2 ó 1, no signi ca que ésta haya tenido, por ejemplo, un desempeño el doble de satisfactorio que la que obtuvo un 2 (4 es el doble de 2).
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Escala de Intervalos De nición (Escala de Intervalos) Esta escala, utilizada exclusivamente para variables cuantitativas, en este caso, los número de dejar de ser códigos y son efectivamente cantidades numéricas, por lo que es posible medir la magnitud de la diferencia entre los valores. Sin embargo, su principal característica es que el cero (0) no indica ausencia de característica, es decir, depende de la unidad en que se mida la variable (el 0 es relativo).
Ejemplo (Escala de Intervalos) Sea
X
la temperatura ambiente. Entonces, la variable es cuantitativa
continua y medida en escala de intervalos, pues la temperatura
0o C
no
indica ausencia de temperatura.
0o C 6= 0o F 6= 0o K,
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29 F = · C + 32 . 5
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Escala de Razón De nición (Escala de Razón) Se usa en el mismo sentido que la escala de intervalos, pero además en este caso tiene sentido el concepto de razón o cociente entre dos cantidades (lo cual no es posible establecer en la escala de intervalos) sólo que en este caso el cero (0) indica ausencia de la característica, es decir, no depende de la unidad en que se mida la variable (el 0 es absoluto).
Ejemplo (Escala de Razón) Sea
X
el peso de las raíces secas de cierta planta. Entonces, la variable es
cuantitativa continua y medida en escala de razón, pues el peso 0, indica ausencia de peso.
0
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tonelada
≡0
libras
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≡0
kgs.
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Diagrama de Tipos de Variables v/s Escalas de Medición
Escalas de Medición
z
no existe orden
z }| {
Nominal
|
z }| {
Ordinal
Cualitativa
|
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{z⇒
}|
existe orden
0 absoluto
z }| { z }| { Razón } V |Intervalo ⇒ {z } Discreta Continua
Cuantitativa
{z
Tipos de Variables
(UCM)
{
0 relativo
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}
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Variable de respuesta y explicatoria De nición (Experimento) Un experimento es el proceso de obtener una observación y representa cualquier situación que tenga más de un resultado.
De nición (Variable Respuesta Y ) Mide alguna característica del resultado de un experimento. La variable de respuesta, depende de alguna manera, de otra variable. Es también llamada variable dependiente.
De nición (Variable Explicatoria X ) Es la que explica o causa los cambios en la variable de respuesta, es controlada por el investigador. También es llamada variable independiente.
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Ejemplo Ejemplo Un ingeniero realizó un experimento para determinar los efectos de un fertilizante en el crecimiento y desarrollo de plantas. Se aplicaron dos fertilizantes (uno orgánico y otro convencional) a 20 plantas (a 10 plantas se le aplicaron cada fertilizante. Posteriormente, a cada planta, se le mide el peso de sus raíces en seco.
Experimento = Proceso de pesar las raíces secas. Unidad experimental = Raíces secas. Error Experimental = Es la variación entre los pesos de distintas raíces tratadas de manera idéntica. Variable de respuesta = Peso de las raíces en seco. Variable explicatoria = Tipos de Fertilizantes.
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Iniciando SPSS Cuando
se
inicia
SPPS,
aparece esta ventana, que es llamada
Vista de datos
en ella sólo se debe ingresar los datos. Para entregarle las características de las variables (nombre, escala, decimales, etc), hay que ingresar a
variables
Vista de
Existe una ter-
cera vista que es llamada
Vista de resultados,
es
donde SPSS entrega todos los resultados.
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Libro de códigos: Explicación de la base de datos Puede descargar la base de datos desde:
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http://bit.ly/data_riego
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Diseño de la base de datos: Las variables En Vista de variable debe modi car: La Anchura en 8. Los Decimales (según el caso). La Etiqueta (nombre completo de la variable, este nombre es el que aparece en los grá cos y salidas).
Los Valores, si la variable es nominal u ordinal, hay de nir que signi can los valores. En Medida, debe ingresar la escala de medición de las variables (nominal, ordinal, intervalo y razón). SPSS no distingue entre las de intervalo o razón y simplemente le llama escala.
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Medidas de Resumen Estas medidas estadísticas resumen al conjunto de datos, también se les denomina
estadísticos.
Estas medidas se clasi can en medidas de posición,
dispersión y forma.
(Medidas de Posición) Entregan la posición relativa que poseen los individuos dentro de la distribución y se subdividen en dos: a) Las medidas de tendencia central, que tienden a ubicarse en el centro de la distribución, entre las cuales se encuentran:
La media o promedio aritmético. La mediana o valor del centro. La moda, o valor más frecuente. b) Los percentiles, que tienden a ubicarse en distintas partes de la distribución de la variable, entre los que se encuentran:
Los cuartiles (dividen al conjunto en cuatro partes iguales). Los deciles (dividen al conjunto en 10 partes iguales).
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Medidas de tendencia central: Media De nición (Media) La media o promedio aritmético de un conjunto de
x1 , x2 , . . . , xn ,
n
datos digamos
viene dado por:
x=
n X xi i=1
n
.
De nición (Media Recortada al 5%) Es el promedio de los datos sin considerar el 5% más pequeño, ni el 5% más alto. El uso de la media es exclusivamente para variables cuantitativas. La media puede ser afectado de manera desproporcionada por la existencia de datos atípicos (fuera de lo común). La media recortada al 5%, comúnmente no es afectada por valores atípicos.
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Medidas de tendencia central: Mediana De nición (Mediana) Corresponde al valor central cuando las
n
observaciones se ordenan de
menor a mayor. Es decir, considere las siguientes observaciones
x1 , x2 , ..., xn , además si ordenamos estas observaciones de tenemos x(1) , x(2) , ..., x(n) , entonces la mediana sería si n es impar; x( n+1 ) , 2 x( n2 ) + x( n2 +1) Me = , si n es par. 2
menor a mayor
No se puede usar esta medida si la escala de medición de la variables es nominal. Su cálculo no es afectado por la existencia de datos atípicos.
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Medidas de tendencia central: Moda
De nición (Moda (Mo )) Corresponde al valor o categoría con más alta frecuencia en los datos.
El uso de esta medida es para cualquier tipo de variable. En el caso de variables cuantitativas, los datos pueden ser agrupados en clases y la moda se de ne como la marca de clase que tiene la mayor frecuencia. Puede existir más de una moda en un conjunto de datos.
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Medidas de posición: Los percentiles De nición (Percentil α) Los percentiles cumplen con la condición de superar a no más del
(1 − α)100%
de los datos y de ser superado, a los más por el porcentaje
complementario de las observaciones.
Considere los siguientes datos ordenados de menor a mayor
x(1) , x(2) , ..., x(n) .
Entonces,
Pα = (1 − d) · x(e) + d · x(e+1) . Donde,
i = α(n + 1), e=
parte entera de
i,
d = i − e.
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Medidas de posición: Cuartiles De nición (Cuartiles) Los cuartiles dividen a un conjunto ordenado de datos en 4 grupos de igual tamaño: El cuartil 1
(Q1 ) marca P0,25 .
la parte alta del primer cuarto de los datos,
(Q3 ) marca P0,75 .
la parte baja del último cuarto de los datos,
corresponde al El cuartil 3
corresponde al El cuartil 2
(Q2 )
corresponde a la
P0,50 = Me .
Metodología para el cálculo aproximado de Q1 y Q3 Paso 1:
Ordene los datos de menor a mayor y encuentre la
Paso 2:
Divida los datos en 2 mitades, por encima y por debajo de la
Me . Paso 3:
Si
n
es impar incluya la mediana en ambas mitades.
Encuentre la mediana en ambas mitades, estas son
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Me .
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Q1
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y
Q3 . 34 / 98
Medidas de dispersión
Las segundas medidas estadísticas de resumen, las de dispersión, nos entregan el grado de dispersión, variabilidad u homogeneidad que poseen los datos dentro del conjunto, generalmente respecto de una medida de tendencia central, entre las que se encuentran: El rango o desviación máxima El rango intercuartil. La varianza. La desviación estándar o típica. El coe ciente de variación. Entre otras.
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Medidas de dispersión: Rango y rango intercuartil De nición (Rango) Corresponde a la diferencia entre el mayor y menor de los datos.
R = Máx − Mín
De nición (Rango Intercuartil) Esta medida de variabilidad es resistente a valores atípicos y se concentra en el 50% de los datos. También llamado Amplitud Intercuartil.
RI = Q3 − Q1 El uso de
R
R
y
RI
no es para variables nominales.
es afectado por la existencia de datos atípicos.
RI
no es afectado por la existencia de datos atípicos.
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Medidas de dispersión: Varianza De nición (Varianza) La varianza de las observaciones
x1 , x2 , ..., xn
es
n
s2 =
1 X (xi − x)2 . n−1 i=1
Esta mide las variaciones promedio que existen en los datos con respecto a la media de la muestra. Su calculo es afectado por la existencia de datos atípicos. El uso de esta medida es exclusivamente para variables cuantitativas. Esta medida no se puede interpreta, pues tiene unidades de medida al cuadrado.
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Medidas de dispersión: Desviación estándar De nición (Desviación estándar) Se de ne la desviación estándar (típica) como
√ s=
v u u s2 = t
n
1 X (xi − x)2 . n−1 i=1
Su calculo es afectado por la existencia de datos atípicos. El uso de esta medida es exclusivamente para variables cuantitativas. Se interpreta como la cantidad de desviaciones promedio de los datos con respecto a la media.
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Medidas de Dispersión: Coe ciente de variación
De nición (Coe ciente de variación) Corresponde a una medida de dispersión relativa a la media. Esta dada por
CV =
s 100% x
No depende de la unidad de medida.
x > 0. Útil para comparar variabilidad entre grupos. Mientras más pequeño es el valor del
CV
más homogéneos (parecidos
entre si) son los datos.
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Relación entre el promedio y la desviación estándar Regla empírica
De nición (Regla empírica )
Media = 0 y Desviación Estándar =1.
Para un conjunto de datos (n grande) que tienen un histograma
1.250
simétrico, con forma de campana, los intervalos, que se presenta a aproximadamente los siguientes porcentajes de los datos.
Frecuencia
continuación, contienen
1.000
750
500
Intervalo
Porcentaje
[x − s; x + s] [x − 2s; x + 2s] [x − 3s; x + 3s]
68, 27% 95, 45% 99, 73%
250
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Normal
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Intervalo de con anza del 95% para la verdadera media poblacional µ (para muestras grandes) De nición (Intervalo de Con anza para µ) Intervalo de Con anza del 95% para la verdadera media poblacional
µ
(para muestras grandes), se de ne como
s s √ √ x − 1, 96 · ; x + 1, 96 · n n n ≥ 30. s 1, 96 · √ es llamado error de estimación. n s √ es llamado error típico de la media. n Se recomienda utilizar este intervalo para
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Medida de forma: sesgo De nición (Sesgo) Índice que expresa el grado de asimetría de la distribución de los datos (histograma). La asimetría positiva indica que los valores más extremos se encuentran por encima de la media. La asimetría negativa indica que los valores más extremos se encuentran por debajo de la media. Su formula es
n X 3 (xi − x) i=1 n sk = 3 (n − 1)(n − 2) s
. Si Si Si
sk = 0, sk < 0, sk > 0,
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entonces la distribución es simétrica. entonces la distribución es asimétrica negativa. entonces la distribución es asimétrica positiva. (UCM)
Introducción
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Medida de forma: Relación Entre Promedio y la Mediana
Distribución Simétrica (No Sesgada):
x = Me Distribución Asimétrica Positiva, :
Me < x Distribución Asimétrica Negativa:
x < Me
Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen de su mitad derecha. La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución. La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas).
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(UCM)
Introducción
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Medida de forma: Error típico del sesgo De nición (Error típico del sesgo) Es la desviación típica de la distribución muestral del índice de asimetría, el cual permite tipi car el valor del índice de asimetría e interpretarlo como una puntuación z. Índices tipi cados mayores que 1,96 en valor absoluto permiten a rmar que existe asimetría (positiva o negativa, dependiendo del signo del índice). Su formula es
s esk =
Si,
sk esk ≤ 1, 96,
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6n(n − 1) . (n − 2)(n + 1)(n + 3)
entonces la distribución de los datos es simétrica.
(UCM)
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Coe cientes de apuntamiento: Curtosis De nición (Curtosis) Índice que expresa el grado en que una distribución acumula casos en sus colas en comparación con los casos acumulados en las colas de una distribución normal con la misma varianza. Su formula es
n X 4 (xi − x) 2 i=1 n(n − 1) n(n + 1) − k= (n − 1)(n − 2)(n − 3) s4 (n − 2)(n − 3)
. Si Si
k > 0, k = 0,
entonces la distribución es más puntiagudas (Leptocurtica).. (proximos a cero) entonces indican semejanza con la curva
normal. Si .
k < 0,
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entonces la distribución es más aplanada (Mesocurtica). (UCM)
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Coe cientes de apuntamiento: Error típico de la curtosis De nición (Error típico de la curtosis) El error típico del índice de curtosis, el cual puede utilizarse para tipi car el valor del índice de curtosis y poder interpretarlo como una puntuación z.. Índices mayores que 1,96 en valor absoluto permiten a rmar que la distribución se aleja de la distribución normal. Su formula es
s ek = Si,
k ≤ 1, 96, ek
entonces la distribución de los datos es como la normal.
Dependiendo del signo de
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24n(n − 1)2 . (n − 3)(n − 2)(n + 3)(n + 5)
(UCM)
k,
se identi ca si es platicurtica o mecocurtica.
Introducción
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Identi cación de datos atípicos: Método de la puntuación z
De nición (Método de la puntuación z :) Si consideramos la regla empírica, sabemos que aproximadamente el de los datos está en el intervalo
[x − 3s; x + 3s].
100%
Es muy improbable que un
dato esté fuera de este intervalo, y en caso que fuese, éste se llamaría un dato atípico. Es decir, un dato es no atípico si
xi − x xi − x ≤3 ∈ [−3; 3] ⇔ xi ∈ [x − 3s; x + 3s] ⇔ s s ∴
Si consideramos la transformación
atípico si
zi =
xi −x s , entonces un dato
xi
es
|zi | > 3.
[email protected]
(UCM)
Introducción
14/03/2011
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Identi cación de datos atípicos: Método de Tukey De nición (Método de Tukey:) Considere las siguientes barreras (bisagras),
Barrera Interior Inferior: BII = Q1 − 1, 5RI Barrera Interior Superior: BIS = Q3 + 1, 5RI Barrera Exterior Inferior: BEI = Q1 − 3RI Barrera Exterior Superior: BES = Q3 + 3RI Identi que los datos en este diagrama No atípico
z }| { · · · · · · [ [BEI · · · · · · [ [BII · · · · · · BIS] ] · · · · · · BES] ] · · · · · · {z } {z } | {z } | {z } | |
Potencial
[email protected]
Posible
(UCM)
Posible
Introducción
Potencial
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Identi cación de datos atípicos: Diagrama de caja De nición (Diagrama de caja) El diagrama de caja, entrega información sobre centralidad, dispersión y la forma de la distribución de los datos, identi ca valores atípicos y es útil para comparar dos distribuciones.
(Procedimiento para realizar esta grá ca) Paso 1:
Los bordes de la caja se representan por
Q1
y
Q3 ,
trazar una linea vertical que atraviese la caja en la
Paso 2:
se debe
Me .
Trazar líneas desde los bordes de la caja hasta los valores adyacentes (el menor y mayor de los datos no atípicos).
Paso 3:
Marque los posibles valores atípicos con con
[email protected]
o
y los potenciales
∗.
(UCM)
Introducción
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Identi cación de datos atípicos: Diagrama de caja
[email protected]
(UCM)
Introducción
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Ejemplo de un análisis descriptivo en SPSS
[email protected]
(UCM)
Introducción
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Ejemplo de un análisis descriptivo en SPSS
[email protected]
(UCM)
Introducción
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Ejemplo de un análisis descriptivo en SPSS
El DAC promedio es de 2,2815 mm, con un 95% de con anza se espera que el intervalo (2,2589; 2,3061) contenga al verdadero valor del DAC promedio. Si no se considera al 5% de las plantas con el DAC más pequeño ni al 5% con el DAC más grande, el DAC promedio sería de 2,2750. El 50% de las plantas tiene un DAC inferior 2,25. Existe una desviación de 0,51329 mm con respecto al DAC promedio.
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Introducción
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Ejemplo de un análisis descriptivo en SPSS
El DAC mínimo es de 1,04 y el máximo es de 4,71. Existen cuatro datos atípicos que son el 85, 180, 242 y el 796. La distribución del DAC es asimétrica (0,230/0,060 = 3,83>1,96), esta última a rmación no concuerda con los expuesto grá camente, esto ocurre, por la existencia de los datos atípicos. Con respecto a la curtosis, sería como la de la normal (0,124/0,119 = 1,042 < 1,96).
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Introducción
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Ejemplo Introductorio de prueba de hipótesis
Un distribuidor cree que más del 80% de sus semillas están sanas. Se selecciona una muestra aleatoria de 30 semillas y 25 de ellas están sanas. Proporciona esta muestra su ciente evidencia para creer el distribuidor tiene razón.
Se de ne la variable aleatoria:
X=
número de semillas sanas de las 30 semillas seleccionadas.
Bajo el supuesto de que la proporción de semillas sanas en la población es
p = 0.80,
la variable aleatoria
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(UCM)
X
es una binomial con
Introducción
n = 30
y
p = 0.80.
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Ejemplo Introductorio de prueba de hipótesis En otras palabras, bajo este supuesto (p
= 0.80),
la distribución de probabilidad sería,
pX (x) = si
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Introducción
30 0, 80x 0, 2030−x , x
x = 0, 1, ..., 30
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Ejemplo Introductorio de prueba de hipótesis La probabilidad de que el número de semillas sanas sea superior o igual a 25, cuando la proporción se semillas sanas es de un 80% es de
30 X 30 P(X ≥ 25) = 0, 80x 0, 2030−x = 0, 427512438, x x=25
Por otro lado, la probabilidad de que el número de semillas sanas sea superior o igual a 28, es de
P(X ≥ 28) =
30 X 30 0, 80x 0, 2030−x = 0, 044178985, x
x=28
Fíjese que esta última probabilidad es muy pequeña y su hubiese ocurrido este escenario, no dudaría en darle la razón al distribuidor.
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Introducción
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Introducción a la inferencia estadística De nición (Métodos Inferenciales) Son los encargados de llevar adecuadamente los resultados de una muestra aleatoria hacia la población objetivo.
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Introducción
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Método para obtener muestras aleatorias
(Método para obtener muestras aleatorias) 1
Asigne la secuencia de números de 1 a
N
(tamaño de la población) a
las unidades experimentales (UE). 2 3
Genere un número aleatorio Repita este proceso
n
U
entre 0 y 1. Calcule
(tamaño de la muestra) veces y obtendrá una
permutación aleatoria de los números 1 al 4
X = U (N − 1) + 1.
n.
Los números obtenidos son las UE a considerar en la muestra.
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Introducción
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Método para obtener muestras aleatorias Ejemplo (Método para obtener muestras aleatorias) Suponga que en un estudio existen 16 manzanas que constituyen una población, se desea medir el grado de dulzor de la manzana (se mide en una escala de 1 a 7, donde 1=muy poco dulce y 7=muy dulce). Como tamaño de muestra se ha considerado a 4 manzanas. Seleccione la muestra.
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UE1
UE2
UE3
UE4
UE5
UE6
UE7
UE8
UE9
UE10
UE11
UE12
UE13
UE14
UE15
UE16
Introducción
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Ejemplo para obtener muestras aleatorias
Considere los siguientes n
◦ aleatorios, generados con el computador, en
Excel, =aleatorio().
0,776
0,989
Realice la siguiente tranformación
13
0,591
0,123
X = 15U + 1 16
10
y redondear al entero.
3
Entonces, debería medir los frutos 13, 16, 10 y 3.
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Estudios por muestreo v/s estudios censales Ejemplo Considere el ejemplo anterior, recuerde que se desea medir el grado de dulzor.
Suponga que se realiza un censo (todas las manzanas) y en cada una de las 16 manzanas se va a aplicar la evaluación y se mide el grado de dulzor y los datos son.
Uno es
de
los
identi car
objetivos el
del
UE1 = 5
UE2 = 1
UE3 = 2
UE5 = 4
UE6 = 3
UE7 = 2
UE8 = 3
UE9 = 2
UE10 = 4
UE11 = 4
UE12 = 2
UE13 = 2
UE14 = 1
UE15 = 1
UE16 = 1
estudio
grado de dulzor
(parámetro) de los frutos.
UE4 = 2
Como esta es información poblacional lo identi caremos con la letra este caso,
µ.
En
µ = (5 + 1 + 2 + · · · + 1)/16 = 2, 438.
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Estudios por muestreo v/s estudios censales Ahora, si consideremos, la muestra aleatoria, encontrada anteriormente, sólo deberíamos evaluar los frutos 13, 16, 10 y 3. Entonces, tendríamos los siguientes datos. UE13 = 2
UE16 = 1
UE10 =4
UE3 =2
Dada la información de la muestra, podríamos tener una
grado de dulzor
estimación del
(estadístico). Como esta es información muestral lo
x. En este caso, x = (2 + 1 + 4 + 2)/4 = 2, 250. Fíjese que x
identi caremos con la letra
Esta discrepancia, se debe al
Nota:
no es exactamente igual a
µ.
error de muestreo.
Si a cada individuo es remunerado con 5.000 pesos, adicionales, por
cada experimento, en el censo, gastaríamos 80.000 pesos y en el muestreo 20.000 pesos. La diferencia es grande, pero no hay mucha diferencia en los resultados (µ
= 2, 438
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y
x = 2, 250.). Introducción
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Hipótesis Estadísticas
De nición (Hipótesis Estadísticas) Conjetura acerca de los parámetros de una población. Es decir, es una supocisión acerca de la distribución de los datos en la población. Una prueba de hipótesis consiste en tener un procedimiento que decida, a partir de la muestra, cuál de dos hipótesis es más razonable para la población en estudio.
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Tipos de Hipótesis H0 →
Hipótesis nula: Hipótesis que supone que los datos obtenidos
en la muestra provienen de una población con una distribución conocida por el investigador.
H1 →
Hipótesis alternativa (o hipótesis del investigador): Es la
hipótesis contraria a la hipótesis nula, por lo que se acepta cuando
H0
es rechazada.
Observación El objetivo de una prueba de hipótesis es elegir entre
H0
o
H1 ,
mediante información muestral. La hipótesis nula no se rechaza a menos que los datos proporcionen evidencias convincentes de que es falsa. Esta es la razón por la que tampoco se puede considerar como cierta si es que no se rechaza.
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Tipos de errores, nivel de signi cación y valor−p De nición (Error tipo I) Es rechazar
H0 ,
cuando
H0
es verdadera.
De nición (Error tipo II) Es no rechazar
H0 ,
cuando
H0
es falsa.
De nición (Nivel de signi cación α) Se de ne como la máxima probabilidad de cometer el error tipo I.
De nición (valor−p) El valor−p, es el mínimo valor de
α
que lleva al rechazo de
H0 .
Es también
llamado signi cancia (sig.).
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Pasos para una prueba de hipótesis 1
Formular las hipótesis:
Luego de plantear las hipótesis de
investigación (basadas en los objetivos), se plantean las hipótesis estadísticas, 2
H0
y
H1 .
Elegir y calcular el estadístico de prueba:
Dependiendo de las
hipótesis planteadas en el punto anterior, se propone una metodología estadística, que tiene asociada un estadístico de prueba. 3
Determinar región de rechazo y valor−p: 1
2 4
Fijar el nivel de signi cación α (comúnmente se ja en α = 0, 05) y determinar la región de rechazo de H0 . Calcular el valor−p. Regla: Rechace H0 si el valor−p es menor que α.
Concluir estadísticamente y tomar la decisión:
Dependiendo del
resultado del paso anterior, se concluye si se rechaza o no
H0 .
Se
deben responder las preguntas de investigación o veri car si se cumplen la hipótesis. Basado en esta conclusión se debe tomar una decisión acorde al área de investigación.
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Ejemplo de Prueba de hipótesis Recuerde el problema del distribuidor que cree que más del 80% de sus semillas están sanas. Se selecciona una muestra aleatoria de 30 semillas y 25 de ellas están sanas.
(Hipótesis) H0 : p ≤ 0, 80
v/s
H1 : p > 0, 80
n = 30 semillas fue extraída de H0 cierta, la distribución de la
La hipótesis nula es que la muestra de población con
p ≤ 0, 80.
Luego, bajo
H1 es una distribución binomial con (n = 30, p = 0, 80) que es una distribución conocida por
una
muestra que más favorece a parámetros
el
investigador.
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Ejemplo de Prueba de hipótesis (Estadístico de Prueba) El estadístico de prueba es la variable aleatoria
X
que cuenta la cantidad
H0 es cierta es conocida, es una binomial de parámetros (n = 30, p = 0, 80). Para este caso el estadístico de prueba observado es X = 25. de semillas sanas en la muestra de tamaño 30, y su distribución cuando
(Región de rechazo) Consideremos
α = 0, 05
P(X ≥ 22) = 0, 871349246 P(X ≥ 23) = 0, 760790619 P(X ≥ 24) = 0, 606969924
y las siguientes probabilidades
P(X ≥ 25) = 0, 427512438 P(X ≥ 26) = 0, 255233255 P(X ≥ 27) = 0, 122710806
Entonces la región de rechazo sería: Rechace
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Introducción
H0
P(X ≥ 28) = 0, 044178985 P(X ≥ 29) = 0, 010522490 P(X ≥ 30) = 0, 001237940 si
X ≥ 28.
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Ejemplo de Prueba de hipótesis
(Valor−p) valor−p=P(X
≥ 25) = 0, 427512438
(Conclusión) Como el estadístico de prueba no pertenece a la región de rechazo ( o equivalentemente el valor−p > 0,05), no debería rechazarse basándose en la muestra observada y con
α = 0, 05,
H0 .
Es decir,
no existen evidencias
su cientes que demuestren los dichos del distribuidor.
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Introducción
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Prueba Z para la media de una población Se supone que la variable aleatoria y grande (n
X
es continua y la muestra es aleatoria
≥ 30).
(Prueba Z para la media de una población)
Donde
x − µo √ σ/ n
Estadística de prueba (calculado):
zc =
Hip. Nula
Hip. Alternativa
Rechace
H0 : µ = µ0 H0 : µ ≤ µ0 H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ 6= µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0
H0 si |zc | > z1−α/2 zc > z1−α zc < −z1−α
p 2[1 − P(Z < |zc |)] 1 − P(Z < |zc |) 1 − P(Z < |zc |) Valor
µ es la media de la población en estudio, µ0
es un valor conocido que
se de ne a partir del problema práctico, es el valor numérico con el cuál se compara la media poblacional y
σ
es la desviación estándar de la población
(se asume conocida por el investigador). Además
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Introducción
Z ∼ N (0, 1). 14/03/2011
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Ejemplo de una prueba Z para la media de una población Ejemplo Un Ingeniero Agrónomo de una empresa desea saber si la producción media de trigo (diaria) es superior a los a 400 kg. Una muestra aleatoria de 172 días reveló que la producción media de la muestra era 407 kg. Se sabe de estudios anteriores que la desviación estandar es 38 kg. ¾El ingeniero debe llegar a la conclusión de que la media de su producción diaria es mayor a 400 kg, o es razonable que la diferencia existente se deba a la casualidad? Hipótesis:
H0 : µ ≤ 400
v/s
H1 : µ 407−400 √ 38/ 172
Estadístico de prueba:
zc =
Región de Rechazo: Si
α = 0, 05.
> 400 = 2, 42
Entonces rechace
H0 ,
si
zc > z0,95 = 1, 645. Descargue las tablas estadísticas desde
[email protected]
(UCM)
http://bit.ly/tablas_est.
Introducción
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Ejemplo de una prueba Z para la media de una población Valor-p: valor-p
= 1 − P(Z < |2, 42|) = 1 − 0.992240 = 0, 00776.
Este valor-p es usualmente considerado pequeño, ya que
0, 00776 < α = 0, 05. Conclusión: Se rechaza la hipótesis nula equivalentemente, valor-p
< 0, 05.)
H0 (zc > 1, 96
o
y el ingeniero puede llegar a la
conclusión de que la producción media diaria es mayor a 400 kg.
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Introducción
14/03/2011
73 / 98
Intervalo de Con anza del (1 − α)100% para µ
De nición (Intervalo de Con anza para µ) Bajo las mismas condiciones del caso anterior. Se de ne el intervalo de con anza del
(1 − α)100% para la verdadera media poblacional µ, σ σ x − z1−α/2 · √ ; x + z1−α/2 · √ n n
mediante
σ ee = z1−α/2 · √ es llamado error de estimación. n σ √ es llamado error típico de la media o error estándar. n
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Introducción
14/03/2011
74 / 98
Tamaño de muestra para la estimación de µ Suponiendo que
n
es grande, el tamaño de la muestra sería,
n>
2 z1−α/2 · σ2
ee2
.
Además, si se conoce el tamaño de la población (N ), el tamaño de muestra nal (corrección para poblaciones nitas) sería
nf >
n . 1 + n/N
Ejemplo 1
Considere el ejemplo anterior, encuentre un IC del 95% para
µ.
¾Tiene
sentido este intervalo? 2
Estime el tamaño de muestra para
µ,
con una con anza del 95%, un
error de estimación inferior a 5 kg.
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14/03/2011
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Prueba T para una muestra Se supone que la muestra es aleatoria proveniente de una distribución
X∼
N (µ, σ 2 ).
(Prueba T para una muestra) x − µo √ s/ n
Estadística de prueba (calculada):
tc =
Hip. Nula
Hip. Alternativa
Rechace
H0 : µ = µ0 H0 : µ ≤ µ0 H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ 6= µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0
H0 si |tc | > t1−α/2 (n − 1) tc > t1−α (n − 1) tc < −t1−α (n − 1)
p 2[1 − P(T < |tc |)] 1 − P(T < |tc |) 1 − P(T < |tc |) Valor
µ es la media de la población en estudio, µ0 es un valor conocido que σ es la desviación estándar de la población (se asume desconocida por el investigador). Además T ∼ t(n − 1). Cuando n ≥ 30, se puede aproximar tα (n) ≈ zα .
Donde
se de ne a partir del problema y
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Introducción
14/03/2011
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Intervalo de Con anza del (1 − α)100% para µ De nición (Intervalo de Con anza para µ) (1 − α)100% para la verdadera media µ, (cuando σ es desconocido) se de ne como s s x − t1−α/2 (n − 1) · √ ; x + t1−α/2 (n − 1) · √ n n
Intervalo de Con anza del poblacional
Ejemplo Recuerde el experimento experimento en el cual 30 lotes de una misma variedad, se hicieron crecer en un mismo ambiente. La altura de planta fue la variable que se registró. Considerando la muestra, la altura promedio fue de
x = 11, 67
cm y la desviación estándar fue de
s = 1, 76.
El ingeniero
cree que la altura es signi cativamente diferente de 12 cm. Pruebe esta hipótesis, con
α = 0, 05.
Encuentre un intervalo de con anza del 95% para la altura media.
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Introducción
14/03/2011
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Prueba Z para la proporción (Prueba Z para la proporción) Suponga que los datos proviene de una distribución que puede tomar dos categorías. Entonces,
Estadística de prueba (calculada):
π b − π0 zc = p π0 (1 − π0 )/n
Hip. Nula
Hip. Alternativa
Rechace
H0 : π = π 0 H0 : π ≤ π 0 H0 : π ≥ π 0
H1 : π 6= π0 H1 : π > π 0 H1 : π < π 0
H0 si |zc | > z1−α/2 zc > z1−α zc < −z1−α
Para que esta prueba se cumple se debe veri car que
[email protected]
(UCM)
Introducción
p 2[1 − P(Z < |z|)] 1 − P(Z < |z|) 1 − P(Z < |z|) Valor
nπ0 ≥ 5 y n(1−π0 ) ≥ 5. 14/03/2011
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Ejemplo de prueba Z para proporciones Ejemplo Recuerde el problema en que distribuidor cree que más del 80% de sus semillas están sanas. Se selecciona una muestra aleatoria de 30 semillas y 25 de ellas están sanas. Proporciona esta muestra su ciente evidencia para creer que el distribuidor tiene razón. Este problema fue resuelto mediante pruebas de hipótesis usando la distribución binomial, Resuélvalo utilizando la prueba hipótesis con
α = 0, 05
Z
para proporciones. Pruebe la
y compare con los resultados obtenidos
anteriormente. ¾Que ocurre con el valor-p, si bajo las mismas condiciones, utilizamos 300 semillas y 250 de ellas están sanas? Compare con el valor-p obtenido mediante la prueba de hipótesis utilizando la binomial (use excel para ayudarse en la sumas).
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Introducción
14/03/2011
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Comparación de medias: Prueba T para muestras relacionadas
La prueba que veremos ahora también se utiliza cuando queremos comparar las medias de dos poblaciones. Una de las característica de esta prueba es que las dos muestras serán relacionadas (apareadas). Esto se puede hacer de dos formas distintas: 1
Haciendo mediciones a la misma unidad de análisis con instrumentos de medición distinto.
2
Hacer mediciones a una unidad de análisis, luego aplicar un tratamiento y nalmente volver a hacer las mediciones sobre la misma unidad de análisis.
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Introducción
14/03/2011
80 / 98
Comparación de medias: Prueba T para muestras relacionadas Ejemplo Un suelo agrícola productivo requiere cierto nivel de ventilación para mantener activo el crecimiento de la raíz de la planta y la actividad de los microbios de suelo. La actividad microbiana, medida como el aumento de CO2 , se usó como medida del nivel de oxigenación del suelo. La evolución CO2 /kg suelo/día en cada contenedor se midió 2 días distintos de iniciado el periodo de incubación. La actividad microbiana en cada muestra de suelo se registró como el porcentaje de incremento en el CO2 producido por encima del nivel atmosférico. Los datos se muestran a continuación. Muestra de suelo
1
2
3
4
5
6
7
Día 1
0,43
0,68
0,68
0,45
0,72
0,70
0,56
Día 2
0,56
0,72
0,69
0,55
0,82
0,69
0,54
[email protected]
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Introducción
14/03/2011
81 / 98
Comparación de medias: Prueba T para muestras relacionadas Una de las hipótesis es identi car si existe un efecto, atribuible a las fechas, en los porcentajes de incremento en el CO2 . Podríamos plantear la siguiente hipótesis
H1 : µ1 < µ2 .
Considere los siguientes
estadísticos, Estadístico Promedio Desv. Estándar
Día 1
Día 2
0,6029
0,6529
0,12257
0,10579
Fíjese que los promedios muestrales no son tan diferentes. ¾Porqué la grá ca no muestra la poca diferencia que se ve en los promedios? Respuesta: No se deben comparar los promedios, sino la diferencia en las
[email protected] distintas fechas.(UCM)
Introducción
14/03/2011
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Comparación de medias: Prueba T para muestras relacionadas (Prueba T para muestras relacionadas) d = x1 − x2 , d = sd = desviación estándar de las diferencias, y µd = media poblacional de las diferencias.
Suponga que se tiene datos bivariados. Considerando promedio de las diferencias,
n=
tamaño de las muestra
Entonces,
d √ sd / n
Estadística de prueba:
tc =
Hip. Nula
Hip. Alternativa
Rechace
H0 : µd = 0 H0 : µd ≤ 0 H0 : µd ≥ 0
H1 : µd 6= 0 H1 : µd > 0 H1 : µd < 0
[email protected]
(UCM)
H0 si |tc | > t1−α/2 (n − 1) tc > t1−α (n − 1) tc < −t1−α (n − 1) Introducción
p 2[1 − P(T < |tc |)] 1 − P(T < |tc |) 1 − P(T < |tc |) Valor
14/03/2011
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Comparación de medias: Prueba T para muestras relacionadas Ejemplo (Prueba T para muestras relacionadas) Basándose en el ejemplo anterior y considere
d = x1 − x2 .
Pruebe la
hipótesis de que porcentaje de incremento en el CO2 ha aumentado (µ1
< µ2
o
µd < 0).
Entonces, las diferencias serían
Muestra de suelo
1
2
3
4
5
6
7
d
-0,13
-0,04
-0,01
-0,10
-0,10
0,01
0,02
Fíjese que está prueba es igual a una prueba T para una muestra, para las diferencias. Hipótesis:
H0 : µd ≥ 0
Estadístico de prueba:
v/s
tc =
H1 : µ d < 0 −0,05 √ 0,06/ 7
α = 0, 05. tc < −t0,95 (6) = −1, 943.
Región de Rechazo: Si
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(UCM)
= −2, 205
Entonces rechace
Introducción
H0 ,
si
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Comparación de medias: Prueba T para muestras relacionadas Ejemplo (Prueba T para muestras relacionadas) Signi cancia: valor−p Donde,
= 1 − P(T < | − 2, 205|) = 1 − P(T < 2, 205).
T ∼ t(6). 1 − 0, 975 < valor − p < 1 − 0, 950 0, 025 < valor − p < 0, 05
Conclusión: Como
tc = −2, 205 < −1, 943
o equivalentemente
valor−p <0,05. Entonces, existe su ciente evidencia muestral para a rmar que se ha producido un aumento promedio signi cativo en día 2 en comparación con el día 1.
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Prueba T para muestras relacionadas en SPSS Ingrese los datos en SPSS como indica la imagen. Descargue los datos desde
http://bit.ly/eje_relacionadas
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Prueba T para muestras relacionadas en SPSS Seleccione el menú de Análisis y siga la misma ruta.
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Prueba T para muestras relacionadas en SPSS En el lado izquierdo debe seleccionar ambas variables y trasladarlas al lado derecho. Luego haga click en Aceptar.
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Prueba T para muestras relacionadas en SPSS El valor−p de la salida, es bilateral, para que coincida con el unilateral hay que dividirlo por 2. Entonces, valor−p
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= 0, 035.
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Comparación de medias: Prueba T para muestras independientes (Prueba T para muestras independientes) Suponga que tiene dos muestras independientes y cada una con distribución normal, donde
µ1
y
µ2
son las medias de las poblaciones, y
σ1
y
σ2
son las
desviaciones estándar de las poblaciones (se suponen iguales). Entonces,
x − x2 q1 sp n11 + n12
Estadística de prueba:
tc =
Hip. Nula
Hip. Alternativa
Rechace
H0 : µ1 = µ2 H0 : µ1 ≤ µ2 H0 : µ1 ≥ µ2
H1 : µ1 6= µ2 H1 : µ1 > µ2 H1 : µ1 < µ2
donde
sp =
q
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H0 si |tc | > t1−α/2 (n1 + n2 − 2) tc > t1−α (n1 + n2 − 2) tc < −t1−α (n1 + n2 − 2)
p 2[1 − P(T < |tc |)] 1 − P(T < |tc |) 1 − P(T < |tc |) Valor
(n1 −1)s21 +(n2 −1)s22 . n1 +n2 −2 (UCM)
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Comparación de medias: Prueba T para muestras independientes Ejemplo Considere un problema de crecimiento bacterial. A cada conjunto de condiciones de empaque, se le asignaron, al azar, 5 cortes de carne. Se asume que los cortes forman un grupo homogéneo. Se mide el número de bacterias por centímetro cuadrado. Condiciones de empaque
Con
α = 0, 05,
Al vacio (T1 )
100% CO2 (T2 )
620
550
640
500
680
440
630
510
670
550
pruebe la hipótesis de que existe efecto atribuible a las
condiciones de empaque.
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Comparación de medias: Prueba T para muestras independientes Considere los siguientes estadísticos,
Estadístico Promedio Desv. Estándar Tamaño de muestra
Al vacío
100% CO2
x1 = 648 s1 = 25, 884 n1 = 5
x2 = 510 s2 = 45, 277 n2 = 5
Fíjese que según el diagrama se ve un efecto atribuible al empaque (las carnes tratadas con 100% CO2 tienden a diferir en la cantidad de bacterias, en comparación con las carnes tratadas al vacío).
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Comparación de medias: Prueba T para muestras independientes Hipótesis:
H0 : µ1 = µ2
Estadístico de prueba:
H1 : µ1 6= µ2 648 − 510 q = 5, 917 tc = 1 1 36, 878 5 + 5 v/s
α = 0, 05. |tc | > t0,975 (8) = 2, 306.
Región de Rechazo: Si
Entonces rechace
H0 ,
si
Signi cancia: valor−p
= 2[1 − P(T < |5, 917|)] = 2[1 − P(T < 5, 917)] < 2[1 − 0, 9995] = 0, 001 Donde, T ∼ t(8). Conclusión: Como
|tc | = 5, 917 > 2, 306
o equivalentemente valor−p
<0,05. Entonces, existe su ciente evidencia muestral para a rmar que existe un efecto, en la cantidad de bacterias promedio, atribuibles a los tipos de empaque.
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Prueba T para muestras independientes en SPSS Ingrese los datos en SPSS como indica la imagen. Descargue los datos desde
http://bit.ly/carne_indep
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Prueba T para muestras independientes en SPSS Siga la misma ruta,
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Prueba T para muestras independientes en SPSS Seleccione la variable a contrastar (numero de bacterias) , la variable de agrupación (empaques) y de na los grupos (1= Al vacio y 2=100% CO2 .)
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Prueba T para muestras independientes en SPSS
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Prueba T para muestras independientes en SPSS
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