1 Ecuaciones lineales lineales en álgebra lineal WEB
EJEMPLO INTRODUCTOR INTRODUCTORIO IO
Modelos lineales en economía e ingeniería A fnales del verano de 1949 Wassly Wassly Leonte, proesor de Harvard, ntrodujo cudadosamente la últma de sus tarjetas peroradas en la computadora de la unversdad, la Mark II. Las tarjetas contenían normacón acerca de la economía de Estados Undos, y representaban un resumen de más de 250,000 pezas de normacón producdas por la ofcna encargada de las estadístcas laborales en Estados Undos después de dos años de trabajo ntenso. Leonte había dvddo la economía de Estados Undos en 500 “sectores”, tales como la ndustra del carbón, la ndustra automotrz, las comuncacones, etc. Para cada sector, escrbó una ecuacón lneal que descrbía la orma en que dcho sector dstrbuía sus saldas haca otros sectores de la economía. Debdo a que la Mark II, una de las computadoras más grandes de la época, no podía manejar el sstema resultante de 500 ecuacones y 500 ncógntas, Leonte había condensado el problema en un sstema de 42 ecuacones y 42 ncógntas. La programacón de la computadora Mark II para las 42 ecuacones de Leonte requró varos meses de esuerzo, y él estaba ansoso por ver cuánto tempo le tomaría a la máquna resolver el problema. La Mark II zumbó y destelló durante 56 horas hasta que fnalmente produjo una solucón. La naturaleza de esta solucón se analzará en las seccones 1.6 y 2.6.
Leonte, quen recbó el Premo Nobel de Economía en 1973, abró la puerta a una nueva era en el modelado matemátco de la economía. Sus esuerzos desplegados en Harvard en 1949 marcaron uno de los prmeros usos sgnfcatvos de las computadoras para analzar lo que entonces era un modelo matemátco a gran escala. Desde entonces, los nvestgadores nvestgadores de muchos otros campos han empleado computadoras para analzar modelos matemátcos. Debdo a las masvas cantdades de datos nvolucrados, por lo general, los modelos son lineales; esto es, se descrben medante sistemas de ecuaciones lineales. La mportanca del álgebra lneal para las aplcacones se ha elevado en proporcón drecta al aumento del poder de las la s computadoras, cada nueva generacón de equpo y programas de cómputo dspara una demanda de capacdades aún mayores.
Por lo tanto, la cenca de las computadoras está sóldamente lgada al álgebra lneal medante el crecmento eplosvo de los procesamentos paralelos de datos y los cálculos a gran escala. Los centífcos e ngeneros trabajan ahora en problemas mucho más complejos de lo que creían posble hace unas cuantas décadas. En la actualdad, el álgebra lneal tene para los estudantes unverstaros un mayor valor potencal en muchos campos centífcos y de negocos que cualquer otra matera de matemátcas. El materal ncludo en este teto proporcona la base para un trabajo posteror en muchas áreas nteresantes. A contnuacón se presentan unas cuantas posbldades; posterormente se descrbrán otras.
• Exploración petrolera petrolera. Cuando un barco busca
medante eplosones con pstolas de are. Las ondas rebotan en las rocas que hay bajo la superfce marna y se mden empleando geóonos conectados a etensos cables nstalados debajo del barco.
•
Programación lineal. En la actualdad, muchas
decsones admnstratvas mportantes se toman con base en modelos de programacón lneal que utlzan centos de varables. Por ejemplo, la ndustra de las aerolíneas emplea programas lneales para crear los tneraros de las trpulacones de vuelo, montorear las ubcacones de los avones, o planear los dversos programas de servcos de apoyo como mantenmento y operacones en termnal.
• Redes eléctricas. Los ngeneros utlzan programas de cómputo de smulacón para dseñar crcutos eléctrcos y mcrochps que ncluyen mllones de transstores. Estos programas utlzan técncas de álgebra lneal y sstemas de ecuacones lneales.
depóstos submarnos de petróleo, diariamente sus computadoras resuelven mles de sstemas de ecuacones lneales por separado. La normacón sísmca para elaborar las ecuacones se obtene a partr de ondas de choque submarnas creadas
L
os sstemas de ecuacones lneales se encuentran en el corazón del álgebra lneal, y este capítulo los utlza para ntroducr algunos de los conceptos centrales del álgebra lneal de una manera smple y concreta. En las seccones 1.1 y 1.2 se presenta un método sstemátco para resolver sstemas de ecuacones lneales. Este algortmo se utlzará para realzar rea lzar cálculos a lo largo del teto. En las seccones 1.3 y 1.4 se muestra cómo un sstema de ecuacones lneales es equvalente e quvalente a una ecuación vectorial y a una ecuación matricial. Esta equvalenca reducrá problemas que nvolucran combnacones lneales de vectores a preguntas sobre los sstemas de ecuacones lneales. Los conceptos undamentales de generacón, ndependenca lneal y transormacones lneales, que se estudan en la segunda mtad del capítulo, desempeñarán un papel esencal a lo largo del teto mentras se eplora la belleza y el poder del álgebra lneal.
1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal en las varables x 1, . . . , x n es una ecuacón que puede escrbrse de la orma (1) donde b y los coefcientes a1, . . . , an son números reales o complejos, por lo general conocdos. El subíndce n puede ser cualquer entero postvo. En los ejemplos y ejerccos del lbro, n está normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la vda real, n puede ser gual a 50, 5000, o ncluso a valores más grandes. a1 x1
+
a2 x2 +
···
+
an xn
=b
Las ecuacones 4 x1
− 5x
=x
y
− 5 x = −2
y
2
+
2
1
x2
√
=2
6
−x
+
1
x3
son ambas lneales porque pueden reordenarse algebracamente como en la ecuacón (1): 3x1
Las ecuacones
2
4x1
− 5x = x x 2
2 x1 + x2 x2
y
1 2
−x =2 3
√
= 2√ x − 6
6
1
√
no son lneales debdo a la presenca de x 1 x 2 en la prmera ecuacón y x1 en la segunda. Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una coleccón de una o más ecuacones lneales que nvolucran las msmas varables —dgamos, x 1, . . . , x n. Un ejemplo es 2 x1 x1
2 +
1.5x3
−
4x3
−x
= 8 = −7
(2)
Una solución del sstema es una lsta ( s1, s2, . . . , sn) de números que hacen de cada ecuacón un enuncado verdadero cuando los valores s1, . . . , sn susttuyen, respectvamente, a x 1, . . . , x n. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solucón del sstema (2) porque, cuando estos valores susttuyen en (2) a x 1, x 2 y x 3, respectvamente, las ecuacones se smplfcan a 8 = 8 y −7 = −7. El conjunto de todas las solucones posbles se llama conjunto solución del sstema lneal. Se dce que dos sstemas lneales son equivalentes s tenen el msmo conjunto solucón. Esto es, cada solucón del prmer sstema es una solucón del segundo sstema, y cada solucón del segundo sstema es una solucón del prmero. Determnar el conjunto solucón de un sstema de dos ecuacones lneales resulta sencllo porque consste en localzar la nterseccón de dos rectas. Un problema típco es
− 2x = −1 −x 3x = 3 x1
2
1 +
2
Las gráfcas de estas ecuacones son rectas, las cuales se denotan medante ℓ 1 y ℓ 2. Un par de números ( x 1, x 2) satsace las dos ecuacones de este sstema s, y sólo s, el punto ( x 1, x 2) pertenece tanto a ℓ 1 como a ℓ 2. En el sstema anteror, la solucón es el punto únco (3, 2), lo cual puede verfcarse con acldad. Vea Vea la fgura 1.
x 2
2
l2
3
l1
FIGURA 1
Eactamente una solucón.
x 1
Por supuesto, la nterseccón de dos rectas recta s no debe darse necesaramente en e n un solo punto —las rectas pueden ser paralelas o concdr y, por lo tanto, “ntersecar” en todos los puntos sobre la recta. En la fgura 2 se muestran las gráfcas que corresponden a los sguentes sstemas:
− 2x = − 1 −x + 2x = 3
(a)
x1
2
1
2
(b)
− 2x = −1 −x + 2x = 1 x1
2
1
2
x 2
x 2
2
2
x 1
3
l2
3
l1
l1 (a)
FIGURA 2
x 1
(b)
(a) Sn solucón. (b) Con nfndad de solucones.
Las fguras 1 y 2 lustran los sguentes hechos generales acerca de los sstemas lneales, los cuales serán verfcados en la seccón 1.2. Un sstema de ecuacones lneales puede no tener solucón, o 2. tener eactamente una solucón, o 3. tener una cantdad nfnta de solucones. 1.
Se dce que un sstema de ecuacones lneales es consistente s tene una solucón o una nfndad de solucones; un sstema es inconsistente cuando no tene nnguna solucón.
Notación matricial La normacón esencal de un sstema lneal puede regstrarse de manera compacta en un arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sstema x1
−4x
1
− 2x + x = 0 2x − 8x = 8 + 5x + 9x = −9 2
3
2
3
2
3
con los coefcentes de cada varable alneados en columnas, la matrz
⎡ ⎣
−
1 0 4
−2 2 5
⎤ − ⎦ 1 8 9
(3)
se denomna matriz coefciente (o matriz de coefcientes) del sstema (3), y
⎡ ⎣
1 0 4
−2
−
2 5
1 8 9
0 8 9
−
−
⎤ ⎦
(4)
se denomna matriz aumentada del sstema. (Aquí, la segunda fla contene un cero x 1 + 2 x 2 − 8 x 3 = 8.) La matrz porque la segunda ecuacón podría escrbrse como 0 · x aumentada de un sstema consta de su matrz de coefcentes con una columna adconal que contene las constantes de los lados derechos de las ecuacones. El tamaño de una matrz ndca el número de flas y columnas que la ntegran. La matrz aumentada (4) que se presentó líneas arrba tene 3 flas y 4 columnas y se conoce como una matrz de 3 × 4 (se lee “3 por 4”). S m y n son enteros postvos, una matriz m × n es un arreglo rectangular de números con m flas y n columnas. (El número de flas sempre va prmero.) La notacón matrcal smplfcará los cálculos de los ejemplos que se presentan enseguda.
Resolución de un sistema lineal En esta seccón y en la sguente se descrbe un algortmo, o procedmento sstemátco, para resolver sstemas lneales. La estratega básca es reemplazar un sistema con un sistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solución) que sea más ácil de resolver. Dcho de manera senclla, utlce el térmno x 1 que esté presente en la prmera ecuacón de un sstema para elmnar los térmnos x 1 que haya en las otras ecuacones. Después use el térmno x 2 presente en la segunda ecuacón para elmnar los térmnos x 2 en
las otras ecuacones, y así sucesvamente, hasta que obtenga un sstema de ecuacones equvalente muy smple. Para smplfcar un sstema lneal se utlzan tres operacones báscas: reemplazar una ecuacón medante la suma de la propa ecuacón y un múltplo de otra ecuacón, ntercambar dos ecuacones, y multplcar todos los térmnos de una ecuacón por una constante dstnta de cero. Después del prmer ejemplo, se verá por qué estas tres operacones no camban el conjunto solucón del sstema. EJEMPLO 1
Resuelva el sstema (3).
El procedmento de elmnacón se muestra enseguda con y sn notacón matrcal, y los resultados se colocan uno junto al otro para compararlos: Solución
x1
− 2x
2 +
2x2
−4 x
1 +
5x2
x3
− 8x
3
+
9x3
= 0 = 8 = −9
⎡ ⎣
−
1 0 4
−2 2 5
1 8 9
−
0 8 9
−
⎤ ⎦
Mantenga x 1 en la primera ecuación y elimínela de las otras ecuaciones.
Para hacer esto, sume 4 veces la ecuacón 1 a la ecuacón 3. Por lo general, luego de alguna práctca este tpo de cálculos se realzan mentalmente:
·[ ]: [ecuación 3]: [nueva ecuación 3]: 4 ecuación 1 +
4 x1
−4x
− 8x
1 +
2 +
5x2
− 3x
4 x3
+
9 x3
2 +
13x3
= 0 = −9 = −9
El resultado de este cálculo se escrbe en lugar de la tercera ecuacón orgnal: x1
− 2x
x3
2 +
2x2
−
− 3x
2 +
8x3 13x3
= 0 = 8 = −9
⎡ − ⎣ − 1
2
1
0
0
2
8
8
0
−3
13
−9
⎤ ⎦
Ahora, multplque la ecuacón 2 por 1 /2 para obtener 1 como el coefcente para x 2. (Este cálculo smplfcará la artmétca del sguente paso.) x1
− 2x
2 +
− 3x
2 +
x2
−
x3 4x3 13x3
= 0 = 4 = −9
⎡ − ⎣ − 1
2
1
0
0
1
4
4
0
−3
13
−9
⎤ ⎦
Utlce x 2 en la ecuacón 2 para elmnar −3 x 2 en la ecuacón 3. El cálculo “mental” es
· [ecuación 2]: [ecuación 3]: [nueva ecuación 3]:
3x2
3
−3x
+
− 12x = 12 13x = −9 x = 3 3
2 +
3 3
El nuevo sstema tene una orma triangular :1 x1
− 2x
x3
⎡ 1 −2 1 0 ⎤ =0 ⎣ 0 1 −4 4 ⎦ x − 4x = 4 0 0 1 3 x = 3 Al fnal, se deseará elmnar el térmno −2 x 2 de la ecuacón 1, pero resulta más efcente utlzar prmero x 3 en la ecuacón 3, para elmnar los térmnos −4 x 3 y + x 3 en las ecua2 + 2
3 3
cones 2 y 1. Los dos cálculos “mentales” son
· [ec. 3 ]: [ec. 2 ]: [nueva ec. 2]:
4x3
4
+
x2 x2
− 4x
3
= 12 = 4 = 16
−1 · [ec. 3 ]: [ec. 1 ]: [nueva ec. 1]: +
− x = −3 x = 0 = −3 3
x1 x1
− 2x − 2x
2 + 2
3
Es convenente combnar los resultados de estas dos operacones: x1
− 2x
2
x2 x3
= −3 = 16 = 3
⎡ − ⎣ 1
2
0
0
1
0
−3 ⎤
0
0
1
3
16
⎦
Ahora, después de haber lmpado la columna que está sobre la x 3 en la ecuacón 3, regrese a la x 2 en la ecuacón 2 y úsela para elmnar el −2 x 2 ubcado sobre ella. Debdo al trabajo prevo realzado con x 3, ahora no este nnguna operacón que nvolucre a térmnos de x 3.
1En la próma seccón, el térmno ntutvo triangular se reemplazará por uno más precso.
Sume dos veces la ecuacón 2 a la ecuacón 1 para obtener el sstema
⎧⎪x ⎨ ⎪⎩
1
x2 x3
= 29 = 16 = 3
⎡1 ⎣0
0 1 0
0
0 0 1
29 16 3
⎤ ⎦
En esenca, el trabajo ya está hecho. Se observa que la solucón únca del sstema orgnal es (29, 16, 3). Sn embargo, como hay muchos cálculos nvolucrados, resulta una buena práctca verfcar las operacones. Para comprobar que (29, 16, 3) es una solucón, susttuya estos valores en el lado zquerdo del sstema orgnal, y calcule: (29)
(29, 16, 3)
Cada una de las ecuacones orgnales determna un plano en el espaco trdmensonal. El punto (29, 16, 3) pertenece a los tres planos.
−4(29)
− 2(16) +
2(16) 5(16)
+
− +
(3) 8(3) 9(3)
= 29 − 32 3 = 0 = 32 − 24 = 8 = −116 80 27 = −9 +
+
+
Los resultados concden con el lado derecho del sstema orgnal, así que (29, 16, 3) es una solucón del sstema. ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚ En el ejemplo 1 se lustra cómo, en un sstema lneal, las operacones sobre ecuacones corresponden a las operacones sobre las flas apropadas de la matrz aumentada. Las tres operacones báscas menconadas con anterordad corresponden a las sguentes operacones sobre la matrz aumentada.
O PERACIONES ELEMENTALES PERACIONES ELEMENTALES DE DE FILA FILA 1. (Reemplazo) Reemplazar una fla por la suma de sí msma y un múltplo de otra fla.2 2. (Intercambo) Intercambar dos flas. 3. (Escalamento) Multplcar todas las entradas de una fla por una constante dstnta de cero. Las operacones de fla pueden aplcarse a cualquer matrz, no úncamente a una que surja como la matrz aumentada de un sstema lneal. Se dce que dos matrces son equivalentes por flas s este una sucesón de operacones elementales de fla que converta una matrz en la otra. Es mportante advertr que las operacones de fla son reversibles. S dos flas se ntercamban, pueden regresarse a sus poscones orgnales medante otro ntercambo. S una fla se escala medante una constante c dstnta de cero, al multplcar después la nueva fla por 1 /c se obtene la fla orgnal. Por últmo, consdere una operacón de reemplazo que nvolucra dos flas —por ejemplo, las flas 1 y 2— y suponga que a la fla 2 se le suma la fla 1 multplcada por c para producr un nueva fla 2. S desea “revertr” esta operacón, sume a la nueva fla 2 la fla 1 multplcada por −c y obtenga la fla 2 orgnal. Vea Vea los ejerccos 29 a 32 al fnal de esta seccón. secc ón. Por el momento, nuestro nterés resde en las operacones de fla sobre la matrz aumentada de un sstema de ecuacones lneales. lneale s. Suponga un sstema que se transorma en otro nuevo medante operacones de fla.
2Una parárass común del
reemplazo de una fla es “sumar a una fla un múltplo de otra fla”.
Al consderar cada uno de los tpos de operacones de fla, puede advertrse que cualquer solucón del sstema orgnal contnúa sendo una solucón del sstema nuevo. Asmsmo, como el sstema orgnal puede producrse medante operacones de fla sobre el sstema nuevo, cada una de las solucones del sstema nuevo tambén es una solucón del sstema orgnal. Esta eplcacón justfca el hecho sguente. S las matrces aumentadas de dos sstemas lneales son equvalentes por flas, entonces los dos sstemas tenen el msmo conjunto solucón. Aunque el ejemplo 1 es etenso, puede afrmarse que, después de algún tempo de práctca, los cálculos se ejecutan con rapdez. Por lo general, en el teto y en los ejerccos las operacones de fla serán muy ácles de realzar, lo cual permtrá que el estudante se enoque en los conceptos mportantes. mportantes. No obstante, se recomenda aprender a realzar operacones de fla de manera precsa porque se utlzarán a lo largo de todo el lbro. En el resto de esta seccón se muestra cómo utlzar las operacones de fla para determnar el tamaño de un conjunto solucón, sn resolver por completo el sstema lneal.
Preguntas de existencia y unicidad En la seccón 1.2 se estudará porqué un conjunto solucón para un sstema lneal l neal puede no contener nnguna solucón, contener solamente una solucón, o contener una nfndad de solucones. Para determnar cuál posbldad es verdadera para un sstema en partcular, se ormulan dos preguntas.
DOS PREGUNTAS OS PREGUNTAS FUNDAMENTA FUNDAMENTALES LES ACERCA DE UN DE UN SISTEMA LINEAL SISTEMA LINEAL 1. ¿El sstema es consstente? Es decr, ¿ existe al menos una solucón? 2. S este solucón, ¿ sólo hay una? Esto es, ¿la solucón es única? Estas dos preguntas aparecerán a lo largo del teto en muchas ormas derentes. En esta seccón y en la próma, se mostrará cómo contestarlas medante operacones de fla sobre la matrz aumentada. EJEMPLO 2
Determne s el sguente sstema es consstente: x1
− 2x
2 +
2 x2
−4 x
1 +
5 x2
x3
− 8x +
3
9x3
= 0 = 8 =− 9
Éste es el sstema del ejemplo 1. Suponga que se realzan las operacones necesaras para obtener la orma trangular Solución
x1
− 2x
2 +
x2
x3
− 4x
3
x3
=0 =4 =3
⎡ 1 −2 1 ⎣ 0 1 −4 0
0
1
0 4 3
⎤ ⎦
En este punto ya se conoce x 3; s su valor se susttuyera en la ecuacón 2, sería posble calcular x 2 y, por ende, se podría determnar x 1 a partr de la ecuacón 1. Por lo tanto,
este una solucón; y el sstema es consstente. (De hecho, x 2 se determna úncamente con la ecuacón 2 puesto que x 3 tene un solo valor posble, y por lo tanto x 1 se resuelve solamente a partr de la ecuacón 1. De manera que la solucón es únca.) ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚ EJEMPLO 3
Determne s el sguente sstema es consstente: x2
2 x1
− 3x − 8x
5 x1 Solución
La matrz aumentada es
− 4x = 8 2x = 1 7x = 1 3
2 +
3
2 +
3
⎡ 0 1 −4 ⎣ 2 −3 2 5
−8
8 1 1
7
(5)
⎤ ⎦
Para obtener una x 1 en la prmera ecuacón, se ntercamban las flas 1 y 2:
⎡ 2 −3 2 ⎣ 0 1 −4 5
−8
1 8 1
7
⎤ ⎦
Para elmnar el térmno 5 x 1 en la tercera ecuacón, se agrega a la fla 3 la fla 1 multplcada por −5/2:
⎡ 2 −3 2 ⎣ 0 1 −4 0
−1/2
2
−
1 8 3/2
⎤ ⎦
(6)
Enseguda, utlce el térmno x 2 en la segunda ecuacón para elmnar el térmno −(1/2) x x 2 de la tercera ecuacón. Sume a la fla 3 la fla 2 multplcada por 1 /2:
⎡ 2 −3 2 ⎣ 0 1 −4 0
0
1 8 5/2
0
⎤ ⎦
(7)
Ahora, la matrz aumentada está en orma trangular. Para nterpretarla de manera correcta, regrese a la notacón con ecuacones: 2x1
− 3x
2
Este sstema es nconsstente porque no este un punto que pertenezca de manera smultánea a los tres planos.
2x3
= 1 x − 4x = 8 (8) 0 = 5/2 La ecuacón 0 = 5/2 es una orma corta de 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 5/2. Desde luego, este sstema en orma trangular tene una contradccón. No esten valores de x 1, x 2, x 3 que satsagan (8) porque la ecuacón 0 = 5/2 nunca es verdadera. Como (8) y (5) tenen el 2 +
3
msmo conjunto solucón, el sstema orgnal es nconsstente (es decr, no tene solucón). ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚ Preste atencón especal a la matrz aumentada en (7). Su últma fla es típca de un sstema nconsstente en orma trangular.
N OTA
NUMÉRICA
En problemas reales, los sstemas de ecuacones lneales se resuelven empleando una computadora. Para una matrz de coefcentes cuadrada, los programas de cómputo cas sempre usan el algortmo de elmnacón que se presenta aquí en la seccón 1.2, con pequeñas modfcacones para mejorar su precsón. La gran mayoría de los problemas de álgebra lneal que se presentan en los negocos y la ndustra se resuelven con programas que utlzan la aritmética de punto fotante. Los números se representan como decmales ±. d 1 · · · d p × 10r , donde r es un entero y el número p de dígtos a la derecha del punto decmal usualmente se encuentra entre 8 y 16. Normalmente, las operacones artmétcas con estos números resultan neactas, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al número de dígtos almacenados. El “error de redondeo” tambén se presenta cuando un número como 1/3 es ntroducdo a la computadora, puesto que su representacón debe apromarse medante un número fnto de dígtos. Por ortuna, las neacttudes de la artmétca de punto otante muy pocas veces causan problemas. Las L as notas numércas ncludas en este lbro lo prevendrán, ocasonalmente, sobre aspectos que podrá necestar tener en consderacón más adelante en su carrera.
PROBLEMAS DE PRÁCTICA
A lo largo del teto, debe ntentar resolver los problemas de práctca antes de trabajar con los ejerccos. Después de cada sere de ejerccos se presentan las solucones. 1.
Eprese con sus propas palabras la sguente operacón elemental de fla que debe realzarse para resolver los sstemas presentados a contnuacón. [Para (a), este más de una respuesta posble.] a.
x1
+
4x2
x2
− 2x − 7x
3 +
8x4
3 +
2x4
5x3
x3
2.
− +
x4 3x4
= 12 = −4 = 7 = −5
2 +
x2
+
5x3 8x3 2x3
− 2x = 0 = −4 = 3 x = 1 4
4
1
5
2
0
4
0
0
−7
−6 ⎤ 2
5
0
⎦
¿Es (3, 4, −2) una solucón del sguente sstema? 5x1
x2
+
2x3
1 +
6x2
+
9x3
1 +
5x2
− 3x
−2x −7x
4.
− 3x
La matrz aumentada de un sstema lneal ha sdo transormada medante operacones de fla a la orma que se presenta a contnuacón. Determne s el sstema es consstente.
⎡ ⎣ 3.
x1
b.
−
3
= 7 = 0 = −7
¿Para cuáles valores de h y k es consstente el sguente sstema? 2x1
−6x
−
1 +
x2 3x2
=h =k
1.1 EJERCICIOS Resuelva los sstemas de los ejerccos 1 a 4 usando las operacones elementales de fla sobre las ecuacones o sobre la matrz aumentada. Utlce el procedmento de elmnacón sstemátca descrto en esta seccón. x1
1.
+
5x2
= 7 = −5
−2x − 7x 1
2
2. 2x1
+
4x2
5x1
+
7x2
= −4 = 11
10.
3. Encuentre el punto ( x 1, x 2) que pertenece tanto a la línea x 1 5 x 2 7 como a la línea x 1 2 x 2 2. Vea la fgura.
=
−
x 2
9.
=−
+
⎡ − ⎢⎢ − ⎣ − ⎡ − ⎢⎢ − ⎣ 1
1
0
0
0
1
3
0
0
0
1
3
0
0
0
2
1
2
0
3
0
1
0
4
−2 ⎤
0
0
1
0
6
0
0
0
1
−3
3x1 12.
+
x1 3x1
− 4x 4. Encuentre el punto de nterseccón de las rectas x 1 y 3 x 1 7 x 2 5.
=
− 5 x 2 = 1
Consdere cada matrz de los ejerccos 5 y 6 como la matrz aumentada de un sstema lneal. Eprese con sus propas palabras las sguentes dos operacones elementales de fla que deben realzarse en el proceso para resolver el sstema.
6.
4
5
0
7
0
1
3
0
6
0
0
1
0
2
0
0
0
1
−5 −1 ⎤ 4⎥ ⎥ −3 ⎦
⎡ − ⎢⎢ − ⎣ 1
6
4
0
0
2
7
0
0
0
1
2
0
0
3
1
7.
7
3
0
1
0
0
−1 0
1
0
0
1
−2
3
3
2 +
3
1 +
x1 2x1
2
+
3
2
+
3
2
3
3
+
2
+
3
2
+
3
x1
+
1 +
8.
1
4
9
0
0
1
7
0
0
0
2
0
⎤ ⎦
x1
−x
1
− 3x +
2
x2
+
5x3
x2
+
x3
=5 =2 =0
= 2 − 3x = 3 x − 2x 3x 2x = 1 3x 7x = − 5 − 2x = −3 x 16. = 0 2x 2x x 3x = 1 −2x 3x 2x x = 5 17. ¿Las tres rectas x 1 − 4 x 2 = 1, 2 x 1 − x 2 = −3, y − x 1 − 3 x 2 = 4 tenen un punto de nterseccón común? Eplque su res15.
3x3
4
3
+
4
+
4
4
2 +
⎡ − ⎣
14.
Determne s los sstemas de los ejerccos 15 y 16 son consstentes. No resuelva los sstemas por completo.
1
6
⎥⎥ ⎦
2 +
1
−4 ⎤
1
⎥⎥ ⎦
= −5 3x 5x = −2 7x 7x = 6 − 3x 4x = −4 − 7x 7x = −8 6x − x = 7 − 3x = 8 2x 9x = 7 x 5x = − 2
2 +
En los ejerccos 7 a 10, la matrz aumentada de un sstema lneal ha sdo reducda medante operacones de fla a la orma que se muestra. En cada caso, ejecute las operacones de fla apropadas y descrba el conjunto solucón del sstema orgnal.
⎡ ⎢⎢ ⎣
4x3
2
⎤ ⎥⎥ ⎦
1
13.
+
x2
11.
x 1
5.
7
Resuelva los sstemas de los ejerccos 11 a 14.
x1 +
⎡ − ⎢⎢ − ⎣
4
x 1 – 2 x 2 = –2
x 1 + 5 x 2 = 7
−
−4 ⎤ −7 ⎥⎥ −1 ⎦
2 +
3 3
+
4
3
+
4
puesta. 18. ¿Los tres planos x 1 + 2 x 2 + x 3 = 4, x 2 – x 3 = 1, y x 1 + 3 x 2 = 0 tenen al menos un punto de nterseccón común? Eplque su respuesta.
En los ejerccos 19 a 22, determne el valor o los valores de h tales que la matrz dada es la matrz aumentada de un sstema lneal consstente.
19.
21.
1
h
4
3
6
8
1
3
−4
h
20.
−2
22.
8
1
h
−2
4
2
−3
−6
es consstente para todos los valores posbles de y g. ¿Qué puede afrmarse acerca de los números a, b, c y d ? Justfque su respuesta.
−3 6
h
9
5
En los ejerccos 23 y 24, varos enuncados clave clave de esta seccón se ctan drectamente, se han modfcado un poco (pero sguen sendo verdaderos), o se han alterado de alguna orma que los vuelve alsos en algunos casos. Marque cada enuncado como verdadero o also y justique su respuesta. (S el enuncado es verdadero, dé la ubcacón apromada en el teto donde aparece uno smlar o haga reerenca a una defncón o teorema. S es also, dé la ubcacón del enuncado que se cta o utlza de manera ncorrecta, o proporcone un ejemplo que muestre que no es verdadero en todos los casos.) En muchas seccones de este teto aparecerán preguntas smlares del tpo verdadero /also.
⎡ ⎣
1
−4
0
3
−2
5
7
−5 −9
g h k
=−
=
=
27. Suponga que el sstema presentado a contnuacón es consstente para todos los valores posbles de y g. ¿Qué puede afrmarse acerca de los coefcentes c y d ? Justfque su res-
puesta. +
3x2
cx1
+
dx 2
bx2
cx1
+
dx 2
= f =g
29.
30.
31.
32.
⎡ ⎣ ⎡ ⎣ ⎡ ⎣ ⎡ ⎣
0
⎤⎡ − ⎤ ⎦ − ⎦,⎣ − − − ⎤ ⎡ − − ⎤ ⎦,⎣ − − ⎦ − − ⎤ ⎡ ⎤ − − ⎦,⎣ ⎦ − − − − − − ⎤ ⎡ ⎤ − − − − ⎦,⎣ − − ⎦ 5
1
4
7
1
−2 4
7
0
2
5
3
1
6
3
1
6
3
4
1
3
4
2
6
0
1
3
5
9
0
5
9
1 0 0 1 0 4 1 0 0
2
1
0
1
2
1
0
5
2
8
0
5
2
8
1
3
6
0
7
1
6
2
5
0
1
2
5
0
1
3
2
0
1
3
2
−3
9
5
0
0
0
−1
Un aspecto mportante en el estudo de la transerenca de calor es determnar la dstrbucón de la temperatura en estado estable sobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura presente alrededor de los bordes. Suponga que la placa mostrada en la fgura representa la seccón transversal de una vga de metal, con un ujo de calor nsgnfcante en la dreccón perpendcular a la placa. Sean T 1, . . . , T 4 las temperaturas en los cuatro nodos nterores de la malla que se muestra en la fgura. En un nodo, la temperatura es apromadamente gual al promedo de los cuatro nodos más cercanos —a la zquerda, arrba, a la derecha y abajo. 3 Por ejemplo, T 1
= (10
+
20 + T 2
⎤ ⎦
26. Construya tres matrces aumentadas derentes de tres sstemas lneales cuyo conjunto solucón sea x 1 2, x 2 1, x 3 0.
x1
+
En los ejerccos 29 a 32, encuentre la operacón elemental de fla que transorma la prmera matrz en la segunda, determne entonces la operacón de fla nversa que transorma la segunda matrz en la prmera.
23. a. Todas las operacones elementales elementales de fla son reversbles.
b. Una matrz de 5 × 6 tene ses flas. c. El conjunto solucón de un sstema lneal que ncluya las varables x 1, . . . , x n es una lsta de números ( s1, . . . , sn) que hace de cada ecuacón del sstema un enuncado verdadero cuando los valores s1, . . . , sn susttuyen, respectvamente, respectvamente, a x 1, . . . , x n. d. Las dos preguntas undamentales acerca de un sstema lneal nvolucran la estenca y la uncdad. operacones elementales de de 24. a. En una matrz aumentada, las operacones fla no camban nunca el conjunto solucón del sstema lneal asocado. b. Dos matrces son equvalentes por flas cuando poseen el msmo número de flas. c. Un sstema nconsstente tene tene más de una solucón. d. Dos sstemas lneales son equvalentes equvalentes s tenen el msmo conjunto solucón. nvolucre a g, h y k , la cual per25. Encuentre una ecuacón que nvolucre mta que esta matrz aumentada corresponda a un sstema consstente:
ax1
10° 10°
+
T 4 )/4,
o
2 0° 0°
2 0° 0°
1
2
4
3
3 0° 0°
3 0° 0°
4T 1
− T − T = 30 2
4
40° 40°
= f =g
28. Suponga que a, b, c y d son constantes de tal orma que a
es derente de cero y el sstema presentado a contnuacón
3Vea Frank M. Whte, Heat and Mass Mass Transer Transer (Readng, MA:
Addson-Wesley Addson-Wesley Publshng, 1991), pp. 145Ϫ149.
33. Escrba un sstema de cuatro ecuacones cuya solucón proporcone un estmado para las temperaturas T 1, . . . , T 4.
34. Resuelva el sstema de ecuacones del ejercco 33. [ Sugerencia: Para acelerar los cálculos, ntercambe las flas 1 y 4
antes de comenzar las operacones de “reemplazo”.]
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA
a. Para realzar “cálculos a mano”, lo mejor es ntercambar las ecuacones 3 y 4. Otra posbldad es multplcar la ecuacón 3 por 1 /5; o reemplazar la ecuacón 4 por su suma con la fla 3 multplcada por −1/5. (En cualquer caso, no utlce x 2 en la ecuacón 2 para elmnar 4 x 2 en la ecuacón 1. Espere hasta alcanzar la orma trangular y hasta que los térmnos con x 3 y x 4 hayan sdo elmnados de las prmeras dos ecuacones.) b. El sstema está en orma trangular. trangular. La smplfcacón posteror comenza con x 4 en la cuarta ecuacón. Utlce esta x 4 para elmnar todos los térmnos con x 4 localzados arrba de ella. Ahora, el paso adecuado es sumar la ecuacón 4, multplcada por 2, con la ecuacón 1. (Después de esto, vaya a la ecuacón 3, multplíquela por 1/2, y utlce la ecuacón resultante para elmnar los térmnos con x 3 ubcados arrba de ella.) 2. El sstema correspondente a la matrz aumentada es 1.
x1
+
5 x2
+
2x3
4 x2
− 7x
3
5x3
= −6 = 2 = 0
La tercera ecuacón vuelve x 3 = 0, que certamente es un valor permsble para x 3. Después, al elmnar los térmnos con x 3 en las ecuacones 1 y 2, es posble encontrar valores úncos para x 2 y x 1. Por lo tanto, este una solucón y es únca. Compare esta stuacón con la del ejemplo 3. 3. Resulta sencllo verfcar s una lsta específca de números es una solucón. Sean x 1 = 3, x 2 = 4, y x 3 = −2, y encuentre que (3, 4, –2)
Como (3, 4, −2) satsace las dos prmeras ecuacones, se encuentra sobre la línea de nterseccón de los dos prmeros planos. Como (3, 4, −2) no satsace las tres ecuacones, no pertenece a los tres planos.
5(3)
−2(3) −7(3)
− + +
(4)
2( 2)
− = 15 − 4 − 4 = 7 6(4) 9(−2) = −6 24 − 18 = 0 5(4) − 3(−2) = −21 20 6=5 + +
+ +
+
Aunque se satsacen las prmeras dos ecuacones, la tercera no, entonces (3, 4, −2) no es una solucón al sstema. Observe el uso de paréntess cuando se hacen susttucones, los cuales son muy recomendables como proteccón contra errores artmétcos. 4. Cuando la segunda ecuacón se reemplaza por su suma con la prmera ecuacón multplcada por 3, el sstema se converte en 2x1
−x =h 0=k 2
+
3h
S k + 3h es derente de cero, el sstema no tene solucón. El sstema es consstente c onsstente para cualesquera valores de h y k que produzcan k + 3h = 0.
1.2 REDUCCIÓN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADAS ESCALONADAS En esta seccón se pereccona el método de la seccón 1.1 en un algortmo de reduccón por flas que permtrá analzar cualquer sstema de ecuacones lneales.1 Las preguntas undamentales de estenca y uncdad, epuestas en la seccón 1.1, podrán contestarse utlzando la prmera parte del algortmo. El algortmo se aplca a cualquer matrz, ya sea vsta como una matrz aumentada para un sstema lneal o no. Entonces, la prmera parte de esta seccón trata acerca de una matrz rectangular arbtrara. Se comenza por ntroducr dos clases mportantes de matrces que ncluyen las matrces “trangulares” de la seccón 1.1. En las defncones presentadas a contnuacón, una fla o una columna distinta de cero en una matrz serán una fla o una columna que contengan al menos una entrada derente de cero; una entrada principal de una fla se refere a la entrada derente de cero que se encuentra más a la zquerda (en una fla dstnta de cero). DEFINICIÓN
Una matrz rectangular está en orma escalonada (o en orma escalonada por flas) s tene las tres propedades sguentes: Todas las flas dstntas de cero están arrba de cualquer fla ntegrada sólo por ceros. 2. Cada entrada prncpal de una fla está en una columna stuada a la derecha de la entrada prncpal de la fla que se encuentra arrba de dcha entrada. 3. Todas las entradas que se localcen en una columna stuada debajo de una entrada prncpal son ceros. 1.
S una matrz en orma escalonada satsace las sguentes condcones adconales, entonces se encuentra en orma escalonada reducida (o orma escalonada reducida por flas): La entrada prncpal de cada fla dstnta de cero es 1. 5. Cada 1 prncpal es la únca entrada dstnta de cero en su columna. 4.
Una matriz escalonada (respectvamente, matriz escalonada reducida) es una matrz que está en orma escalonada (respectvamente, orma escalonada reducda). La propedad 2 enunca que las entradas prncpales orman un patrón escalonado (“como escalera”) que avanza haca abajo y a la derecha de la matrz. La propedad 3 es una smple consecuenca de la propedad 2, pero se ncluyó aquí para enatzarla. Las matrces “trangulares” de la seccón 1.1, tales como
⎡ 2 −3 2 ⎣ 0 1 −4 0
0
0
1 8 5/2
1Este algortmo es una varacón de lo que
⎤ ⎦
y
⎡1 ⎣0 0
0 1 0
0 0 1
29 16 3
⎤ ⎦
se conoce comúnmente como eliminación gaussiana. Los matemátcos chnos utlzaron un método de elmnacón smlar alrededor del año 250 a.C. El proceso no se conocó en la cultura occdental sno hasta el sglo xix, cuando un amoso matemátco alemán, Carl Fredrch Gauss, lo descubró. Un ngenero alemán, Wlhelm Jordan, popularzó el algortmo al emplearlo en un teto sobre geodesa en 1888.
están en orma escalonada. De hecho, la segunda matrz está en orma escalonada reducda. A contnuacón se presentan ejemplos adconales. Las sguentes matrces están en orma escalonada. Las entradas prncpales ( ) pueden tener cualquer valor dstnto de cero; las entradas con astersco (*) pueden tener cualquer valor (ncluso cero). EJEMPLO 1 ■
⎡ ⎢⎢ ⎣
0 0 0
∗ ∗ ∗⎤ ∗ ∗ ⎥⎥ , ⎦ 0
0
0
0
0
0
⎡ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣
0 0
0
0
0
0
0
0
0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 ∗ 0
0
0
0
0
∗ ∗ ∗ ∗ 0
∗ ∗ ∗ ∗
∗⎤ ∗ ⎥⎥ ∗ ⎥⎥ ∗⎦ ∗
Las sguentes matrces están en orma escalonada reducda porque las entradas prncpales son números 1, y abajo y arrba de cada 1 prncpal sólo esten ceros.
⎡ ⎢⎢ ⎣
1
0
0
1
0
0
0
0
⎤ ∗ ∗⎥ ∗ ∗⎥, ⎦ 0
0
0
0
⎡ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣
0
1
0
0
0
0
∗
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
∗ ∗ ∗ ∗
0
∗ ∗ ∗ ∗
0
0 0 0 0 1
⎤ ∗⎥ ∗ ⎥⎥ ∗ ⎥⎦ ∗ ∗
❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚
Cualquer matrz dstnta de cero se puede reducir por flas (esto es, transormarse medante operacones elementales de fla) para producr más de una matrz en orma escalonada, para ello se usan derentes sucesones de operacones de fla. Sn embargo, la orma escalonada reducda que se obtene a partr de una matrz es únca. El teorema sguente se comprueba en el apéndce A ncludo al fnal del teto. TEOREMA 1
Unicidad de la forma escalonada escalonada reducida Cada matrz es equvalente por flas a una y sólo una matrz escalonada reducda. S una matrz A es equvalente por flas a una matrz escalonada U , se dce que U es una orma escalonada (o una orma escalonada por flas) de A; s U está en su orma escalonada reducda, se afrma que es la orma escalonada reducida de A . [La mayoría de los programas de matrces y de las calculadoras con capacdad para resolver re solver matrces utlzan la abrevatura RREF para encontrar la orma escalonada reducda (por flas). Algunos usan REF para la orma escalonada (por flas) (del nglés row reduced echelon orm y row echelon orm).]
Posiciones pivote Cuando las operacones de fla sobre una matrz producen una orma escalonada, las operacones de fla posterores para obtener la orma escalonada reducda no camban las poscones de las entradas prncpales. Como la orma escalonada reducda es únca, las entradas principales siempre están en las mismas posiciones en cualquier orma escalonada obtenida a partir de una matriz dada. Estas entradas prncpales corresponden
a los números 1 prncpales que hay en la orma escalonada reducda.
DEFINICIÓN
En una matrz A, una posición pivote es una ubcacón en A que corresponde a un 1 prncpal en la orma escalonada reducda de A. Una columna pivote es una columna de A que contene una poscón pvote.
En el ejemplo 1, los cuadros ( ) dentfcan las poscones pvote. Muchos conceptos undamentales ncludos en los prmeros cuatro capítulos de este lbro estarán conectados de una orma u otra con las poscones pvote que aparecen en una matrz. ■
Reduzca por flas la matrz A que se muestra a contnuacón hasta la orma escalonada, y localce las columnas pvote de A.
EJEMPLO 2
⎡ 0 −3 −6 ⎢ −1 −2 −1 A=⎢ ⎣ −2 −3 0 1
4
5
⎤ ⎥⎥ − ⎦
4 3 3 9
9 1 1 7
− −
Use la msma estratega básca aplcada en la seccón 1.1. El elemento superor de la columna dstnta de cero que se encuentra más a la zquerda de la matrz es la prmera poscón pvote. En esta poscón, debe colocarse una entrada dstnta de cero, o pivote. Una buena alternatva es ntercambar las flas 1 y 4 (porque las comparacones mentales en el sguente paso no nvolucrarán raccones). Solución
⎡ 1 4Pivote5 −9 −7 ⎤ ⎢⎢ −1 −2 −1 3 1 ⎥⎥ ⎣ −2 −3 0 3 −1 ⎦ 0
−3 −6
4
9
Columna pivote
Cree ceros debajo del pvote 1, para ello sume múltplos de la prmera fla a las flas de abajo, y obtenga la matrz (1) que se presenta enseguda. La poscón pvote de la segunda fla debe estar lo más a la zquerda que sea posble —a saber, en la segunda columna—. Se elegrá al 2 en esta poscón como el sguente pvote. Pivote
⎡1 ⎢⎢ 0 ⎣0 0
4 2 5 3
−
Sume la fla 2 multplcado por fla 4.
5 4 10 6
−
−9 −7 ⎤ −6 −6 ⎥⎥ −15 −15 ⎦ 4
(1)
9
Próxima columna pivote
−5/2 a la fla 3, y la fla 2 multplcado por 3 /2 a la
⎡1 ⎢⎢ 0 ⎣0 0
4 2 0 0
5 4 0 0
−9 −7 ⎤ −6 −6 ⎥⎥ 0 0⎦ −5 0
(2)
La matrz en (2) es derente a cualquera de las matrces encontradas en la seccón 1.1. ¡No hay orma de crear una entrada prncpal en la columna 3! (No pueden usarse las flas 1 o 2 porque al hacerlo se destruría el arreglo escalonado de las entradas prncpales ya producdas.) Sn embargo, es posble producr una entrada prncpal en la columna 4 ntercambando las flas 3 y 4. Pivote
⎡1 ⎢⎢ 0 ⎣0 0
4 2 0 0
5 4 0 0
−9 −7 ⎤ −6 −6 ⎥⎥ −5 0 ⎦ 0
Forma general:
0
⎡ ∗ ∗ ∗ ∗⎤ ⎢⎢ 0 ∗ ∗ ∗ ⎥⎥ ⎣0 0 0 ∗⎦ 0
0
0
0
0
Columnas pivote
La matrz está en orma escalonada y, por lo tanto, las columnas 1, 2 y 4 de A son columnas pvote.
⎡ 0 −3 −6 ⎢ A=⎢ ⎣ −1 −2 −1 −2 −3 1
4
0 5
4 3 3 9
⎤ Posiciones pivote 9 1⎥ ⎥⎦
−1 − −7
Columnas pivote
(3)
❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚
Un pivote, como el lustrado en el ejemplo 2, es un número dstnto de cero stuado en una poscón pvote que se utlza cuando es necesaro para crear ceros por medo de operacones de fla. Los pvotes empleados en el ejemplo 2 ueron 1, 2 y −5. Debe advertrse que estos números no son los msmos que los elementos reales de A ubcados en las poscones pvote lumnadas que se muestran en (3). De hecho, una sucesón derente de operacones de fla podría nvolucrar un conjunto de pvotes dstnto. Además, un pvote no será vsble en la orma escalonada s la fla se escala para convertr el pvote en un 1 prncpal (lo cual muchas veces es convenente para realzar cálculos a mano). Con el ejemplo 2 como guía, ahora es posble descrbr un procedmento efcente para transormar una matrz en una matrz escalonada o escalonada reducda. El estudo cudadoso y el domno de este procedmento producrán grandes dvdendos durante todo el curso.
Algoritmo de reducción por flas El algortmo que se descrbe enseguda consta de cuatro pasos, y produce una matrz en orma escalonada. Un qunto paso produce una matrz en orma escalonada reducda. El algortmo se lustra medante un ejemplo. Aplque operacones elementales de fla para transormar la sguente matrz a la orma escalonada y después a la orma escalonada reducda:
EJEMPLO 3
⎡ 0 3 −6 6 ⎣ 3 −7 8 −5 3
−9
12
−9
4 8 6
−5 ⎤ 9 15
⎦
Solución
PASO 1 Empece con la columna dstnta de cero que se encuentra más a la zquerda. En este caso es una columna pvote. La poscón pvote está en la parte superor.
⎡ 0 3 −6 6 ⎣ 3 −7 8 −5 3
−9
12
−9
4 8 6
−5 ⎤ 9 15
⎦
Columna pivote
PASO 2 Seleccone como pvote una entrada dstnta de cero en la columna pvote. S es necesaro, ntercambe flas para mover esta entrada a la poscón pvote. Intercambe las flas 1 y 3. (Tambén podrían haberse ntercambado las flas 1 y 2.)
⎡ 3 −Pivote 9 12 −9 ⎣ 3 −7 8 −5 0
3
−6
6
6 8 4
15 9 5
−
⎤ ⎦
PASO 3 Use operacones de reemplazo de fla para crear ceros en todas las poscones ubcadas debajo del pvote. Como paso prelmnar, se podría dvdr la fla superor entre el pvote, 3. Pero con dos números 3 en la columna 1, esto es tan ácl como sumar la fla 1 multplcada por −1 a la fla 2.
⎡ 3 −Pivote 9 12 −9 ⎣ 0 2 −4 4 0
3
−6
6
6 2 4
⎤ − ⎦ 15 6 5
−
PASO 4 Cubra (o no tome en cuenta) la fla que contene la poscón pvote y cubra todas las flas, s este alguna, por encma de ésta. Aplque los pasos 1, 2 y 3 a la submatrz restante. Repta el proceso hasta que no haya más flas dstntas de cero por modfcar. Con la fla 1 cuberta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la sguente columna pvote; para el paso 2, en dcha columna se selecconará como pvote la entrada “superor”.
Pivote ⎡ ⎣ 30 −29 −124 −49
0
3
−6
6
6 2 4
⎤ − ⎦ 15 6 5
−
Nueva columna pivote
Para el paso 3, se podría nsertar el paso opconal de dvdr la fla “superor” de la submatrz entre el pvote 2. En vez de eso, se suma −3/2 veces la fla “superor” a la fla de abajo. Esto produce
⎡ ⎣ 30 −29 −124 −49 0
0
0
0
6 2 1
⎤ − ⎦ 15 6 4
Cuando se cubre la fla que contene la segunda poscón pvote para el paso 4, queda una nueva submatrz que tene solamente una fla:
⎡ ⎣ 30 −29 −124 −49 0
0
0
0
6 2 1
⎤ 15 −6 ⎦ 4
Pivote
Se ha alcanzado una orma escalonada para la matrz completa sn tener que aplcar los pasos 1, 2 y 3 en esta submatrz. S se qusera obtener la orma escalonada reducda, tendría que eectuarse un paso más.
PASO 5 Empece con el pvote stuado más a la derecha trabajando haca arrba y a la zquerda, cree ceros arrba de cada pvote. S un pvote no es 1, hágalo 1 medante una operacón de escalamento. El pvote stuado más a la derecha está en la fla 3. Se crean ceros ce ros encma de él, sumando múltplos adecuados de la fla 3 a las flas 2 y 1.
⎡ 3 −9 12 −9 ⎣ 0 2 −4 4 0
0
0
0
0 0 1
−9 ⎤ −14 ⎦
Fila 1 Fila 2
− · − ·
( 6) Fila 3 + ( 2) Fila 3 +
4
El sguente pvote está en la fla 2. Escale esta fla dvdéndola entre el pvote.
⎡ 3 −9 12 −9 ⎣ 0 1 −2 2 0
0
0
0 0 1
0
−9 ⎤ −7 ⎦
Fila escalada por
1 2
4
Se crea un cero en la columna 2 sumando 9 veces la fla 2 a la fla 1.
⎡3 ⎣0 0
0 1 0
−6 −2 0
9 2 0
0 0 1
−72 ⎤ −7 ⎦ 4
Fila 1
+
·
(9) Fila 2
Por últmo, se escala la fla 1 al dvdrla entre el pvote 3.
⎡1 ⎣0 0
0 1 0
−2 −2 0
3 2 0
0 0 1
−24 ⎤ −7 ⎦
Fila escalada por
1 3
4
Ésta es la orma escalonada reducda de la matrz orgnal.
❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚
La combnacón de los pasos 1 a 4 se llama ase progresva del algortmo de reduccón por flas. El paso 5, que produce la orma escalonada reducda únca, se llama ase regresiva .
N OTA
NUMÉRICA
En el paso 2 que se mostró con anterordad, un programa de computadora generalmente seleccona como pvote en una columna la entrada que tenga el mayor valor absoluto. Esta estratega, llamada pivoteo parcial, se usa porque reduce los errores de redondeo en los cálculos.
Soluciones de sistemas lineales El algortmo de reduccón por flas conduce drectamente a una descrpcón eplícta del conjunto solucón de un sstema lneal cuando se aplca, el algortmo, a la matrz aumentada del sstema. Por ejemplo, suponga que la matrz aumentada de un sstema lneal ha sdo transormada en la orma escalonada reducida equvalente
⎡1 ⎣0 0
0 1 0
−5
1 4 0
1 0
⎤ ⎦
Esten tres varables porque la matrz aumentada tene cuatro columnas. El sstema de ecuacones asocado es x1
− 5x = 1 x =4 0 =0 3
x2
+
3
(4)
Las varables x 1 y x 2 correspondentes a columnas pvote de la matrz se denomnan variables básicas.2 La otra varable, x 3, se llama variable libre . Cuando un sstema es consstente, como en (4), el conjunto solucón puede descrbrse de manera eplícta al resolver el sstema de ecuacones e cuacones reducido para las varables báscas en térmnos de las varables lbres. Esta operacón es posble debdo a que la
2Algunos tetos utlzan el
las entradas prncpales.
térmno variables principales porque corresponden a las columnas que contenen
orma escalonada reducda coloca cada varable básca en una, y sólo una, ecuacón. En (4), se puede despejar x 1 de la prmera ecuacón y x 2 de la segunda. (La tercera ecuacón no se toma en cuenta porque no orece restrccones a las varables.)
⎧⎪x = 1 5x ⎨ −x ⎪⎩xx =es 4libre +
1 2
3
(5)
3
3
Al afrmar que x 3 es “lbre”, se mplca la posbldad de asgnarle cualquer valor. Una vez que se eectúa esta asgnacón, las órmulas de (5) determnan los valores para x 1 y x 2. Por ejemplo, cuando x 3 = 0, la solucón es (1, 4, 0); cuando x 3 = 1, la solucón es (6, 3, 1). Cada asignación dierente de x 3 determina una solución (dierente) del sistema, y sistema, y cada solución del sistema está determinada por una asignación de x 3. La solucón de (5) se denomna solución general del sstema porque proporcona una descrpcón eplícta de todas las solucones.
Encuentre la solucón general del sstema lneal cuya matrz aumentada se ha reducdo a EJEMPLO 4
⎡1 ⎣0
6 0 0
0
2 2 0
−5 −2 −4 ⎤ −8 −1 3 ⎦ 0
1
7
La matrz está en orma escalonada, pero se requere la orma escalonada reducda antes de despejar las varables báscas. A contnuacón se completa la reduccón por flas. El símbolo ~ colocado antes de una matrz ndca que ésta es equvalente por flas a la matrz precedente. Solución
⎡1 ⎣0 0 ⎡1 ∼ ⎣0 0
6 0 0 6 0 0
2 2 0 2 1 0
−5 −2 −4 ⎤ ⎡ 1 −8 −1 3 ⎦ ∼ ⎣ 0 0
−5 −4 0
6 0 0
1
7
0 0 1
⎤ ⎡1 10 5⎦ ∼ ⎣0
0
7
0
2 2 0 6 0 0
−5 −8 0
0 1 0
3 4 0
−
0 0 1 0 0 1
⎤ ⎦ ⎤ 0 5⎦
10 10 7
7
Esten cnco varables puesto que la matrz aumentada tene ses columnas. Ahora el sstema asocado es x1
+
6x2
+
x3
3 x4
− 4x
4
x5
=0 =5 =7
(6)
Las columnas pvote de la matrz son 1, 3 y 5; así que las varables báscas son x 1, x 3 y x 5. Las varables restantes, x 2 y x 4, deben ser lbres. Al despejar las varables báscas, se
obtene la solucón general:
⎧⎪x = −6x − 3x ⎪⎪x es libre ⎨ ⎪⎪xx =es 5libre4x ⎪⎩ 1
2
4
2
+
3
(7)
4
4
x5
=7
Observe que el valor de x 5 ya quedó fjado por la tercera ecuacón del sstema (6). ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚
Descripciones paramétricas de conjuntos solución Las descrpcones en (5) y (7) son descripciones paramétricas de conjuntos solucón en los cuales las varables lbres actúan como parámetros. La resolución de un sistema sgnfca encontrar una descrpcón paramétrca del conjunto solucón, o determnar que el conjunto solucón está vacío. Cuando un sstema es consstente y tene varables lbres, el conjunto solucón permte obtener muchas descrpcones paramétrcas. Por ejemplo, en el sstema (4) se podría sumar cnco veces la ecuacón 2 a la ecuacón 1 y obtener el sstema equvalente x1
+
5x2 x2
+
x3
= 21 = 4
Podría tratarse a x 2 como parámetro y despejar x 1 y x 3 en térmnos de x 2, y se tendría una descrpcón precsa del conjunto solucón. Sn embargo, para ser consstente, se establece la convencón (arbtrara) de usar sempre las varables lbres como parámetros para descrbr un conjunto solucón. (La seccón de respuestas ncluda al fnal del teto reeja tambén esta convencón.) convencón.) Cuando un sstema es nconsstente, el conjunto solucón está vacío, ncluso s el sstema tene varables lbres. En este caso, el conjunto solucón no tene representacón paramétrca.
Sustitución regresiva Consdere el sstema sguente cuya matrz aumentada está en orma escalonada pero no en orma escalonada reducda: x1
− 7x
2 +
x2
2 x3
− 3x
− 5x
3 +
4 +
8x5
3x4
+
x5
x4
−
x5
= 10 = −5 = 4
Un programa de computadora resolvería este sstema por susttucón regresva, en lugar de calcular la orma escalonada reducda. Esto es, el programa resolvería la ecuacón 3 para x 4 en térmnos de x 5 y sustturía la epresón para x 4 en la ecuacón 2; resolvería la ecuacón 2 para x 2 y luego sustturía las epresones para x 2 y x 4 en la ecuacón 1 y despejaría x 1. El ormato matrcal que se utlza en este teto para aplcar la ase regresva de reduccón por flas, la cual produce la orma escalonada reducda, requere el msmo número de operacones artmétcas que la susttucón regresva. Pero la dscplna del ormato matrcal reduce sustancalmente la posbldad de cometer errores durante los
cálculos eectuados a mano. Se recomenda de manera enática usar solamente la orma escalonada reducida para resolver un sstema. La Guía de estudio (Study Guide) que acompaña a este teto orece algunas sugerencas útles para realzar operacones de fla con eacttud y rapdez.
N OTA
NUMÉRICA
En general, la ase progresva de la reduccón por flas es mucho más larga que la ase regresva. Para resolver un sstema, un algortmo se mde generalmente en fops (u operacones en punto otante). Un op es una operacón artmétca ( ϩ, Ϫ, *, /) con dos números reales en punto otante. 3 Para una matrz de n × (n ϩ 1), la reduccón a la orma escalonada puede requerr 2n3/3 ϩ n2/2 Ϫ 7n/6 ops (lo cual es apromadamente 2n3/3 ops cuando n es moderadamente grande —por ejemplo, n ≥ 30). Por otro lado, la reduccón posteror a la orma escalonada reducda necesta cuando mucho n2 ops.
Preguntas de existencia y unicidad Aunque una orma escalonada no reducda es una herramenta poco efcente para resolver un sstema, está consderada como el mecansmo correcto para resolver las dos preguntas undamentales enuncadas en la seccón 1.1. EJEMPLO 5
Determne la estenca y uncdad de las solucones del sstema 3x2 3x1 3x1
Solución
−
6x3
+
2 +
8x3
2 +
12x3
− 5x − 9x
− 7x − 9x
6 x4
+
4 x5
4 +
8 x5
4 +
6 x5
= −5 = 9 = 15
La matrz aumentada de este sstema se redujo por flas en el ejemplo 3 a
⎡ 3 −9 12 −9 ⎣ 0 2 −4 4 0
0
0
0
6 2 1
⎤ − ⎦ 15 1 5 6 4
(8)
Las varables báscas son x 1, x 2 y x 5; las varables lbres son x 3 y x 4. No hay nnguna ecuacón del tpo 0 = 1 que orgne un sstema nconsstente, así que podría usarse susttucón regresva para encontrar una solucón. Pero en (8) ya es evdente la existencia de una solucón. Además, la solucón no es única porque esten varables lbres. Cada asgnacón derente de x 3 y x 4 determna una solucón dstnta. Por lo tanto, el sstema tene un número nfnto de solucones. ❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚
3Tradconalmente,
un fop era sólo una multplcacón o una dvsón porque la suma y la resta requerían mucho menos tempo y podían no tomarse en cuenta. La defncón de fop que se da aquí es la preerda en la actualdad, como consecuenca de los avances en la arqutectura de computadoras. Vea Vea Golub y Van Loan, Matrix Computations Computations, 2a. edcón (Baltmore: The Johns Hopkns Press, 1989), pp. 19 Ϫ20.
Cuando un sstema está en orma escalonada y no contene nnguna ecuacón del tpo 0 = b, con b derente de 0, toda ecuacón dstnta de cero contene una varable básca
con un coefcente derente de cero. Las varables báscas están completamente determnadas (sn varables lbres), o por lo menos una de las varables báscas puede epresarse en térmnos de una o más varables lbres. En el prmer caso este una solucón únca; en el últmo, hay un número nfnto de solucones (una para cada asgnacón de valores a las varables lbres). Estas observacones justfcan el teorema sguente.
TEOREMA 2
Teorema de existencia y unicidad
Un sstema lneal es consstente s, y sólo s, la columna del etremo derecho de la matrz aumentada no es una columna pvote —esto es, s, y sólo s, una orma escalonada de la matrz aumentada no tene nnguna fla de la orma [0 … 0 b]
con b derente de cero.
S un sstema lneal es consstente, entonces el conjunto solucón contene () una solucón únca, cuando no esten varables lbres, o ben () un número nfnto de solucones, cuando este por lo menos una varable lbre.
El procedmento sguente defne cómo encontrar y descrbr todas las solucones de un sstema lneal.
USO DE SO DE LA LA REDUCCIÓN REDUCCIÓN POR POR FILAS FILAS PARA PARA RESOLVER RESOLVER UN UN SISTEMA LINEAL SISTEMA LINEAL 1. Escrba la matrz aumentada del sstema. 2. Utlce el algortmo de reduccón por flas para obtener una matrz aumentada equvalente de orma escalonada. Decda s el sstema es o no consstente. S no hay solucón, deténgase; en caso contraro, contnúe con el sguente paso. 3. Contnúe la reduccón por flas hasta obtener la orma escalonada reducda. 4. Escrba el sstema de ecuacones que corresponda a la matrz obtenda en el paso 3. 5. Reescrba cada ecuacón derente de cero del paso 4 de manera que su únca varable básca esté epresada en térmnos de cualesquera varables lbres que aparezcan en la ecuacón.
PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1.
Encuentre la solucón general del sstema lneal cuya matrz aumentada es 1 0
− 3 −5 1
1
0 3
2.
Encuentre la solucón general del sstema x1
−2x
− 2x − 4x2
1 +
3 x1
x3
2
5x3
+
3x4
+
− 5x
− 6x − 6x
8x4
3 +
2
4
=0 =3 =2
1.2 E JERCICIOS En los ejerccos 1 y 2, determne cuáles matrces están en orma escalonada reducda y cuáles sólo en orma escalonada. 1. a.
c.
d.
2. a.
c.
d.
⎡ ⎣ ⎡ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎣ ⎡ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎢⎢ ⎣
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
⎤ ⎦ ⎤ ⎥⎥ ⎦
b.
0
1
1
0
2
0
2
2
0
0
0
3
3
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
Encuentre las solucones generales de los sstemas cuyas matrces aumentadas se dan en los ejerccos 7 a 14.
⎤ ⎦
9.
1
1
1
4
⎤ ⎦ ⎤ ⎥⎥ ⎦
⎤ ⎥⎥ ⎦ b.
11.
⎡ ⎣
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
12.
⎤ ⎦
13.
0
1
1
1
1
0
0
2
2
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
⎤ ⎥⎥ ⎦
14.
Reduzca por flas las matrces de los ejerccos 3 y 4 a la orma escalonada reducda. Encerre las poscones pvote ncludas en la matrz fnal y en la matrz orgnal, y enumere las columnas pvote. 3.
⎡ ⎣
1
2
3
4
4
5
6
7
6
7
8
9
⎤ ⎦
4.
⎡ ⎣
1
3
5
7
3
5
7
9
5
7
9
1
× 2 derente de
cero.
7.
1
1
⎡ ⎣
6. Repta el ejercco 5 para una matrz de 3
⎤ ⎦
1
3
4
7
3
9
7
6
0
1
5
1
−2
−6
10.
−6
1
4
0
7
2
7
0
10
1 3
−2 −1 −6 −2
3 2
⎡ ⎤ − ⎣− ⎦ − − − ⎡ − ⎤ ⎣ − − ⎦ − − ⎡ − − − ⎤ ⎢⎢ ⎥⎥ − ⎣ ⎦ ⎡ − − − ⎤ ⎢⎢ ⎥⎥ − − ⎣ ⎦ 3
4
2
0
9
12
6
0
6
8
4
0
1
7
0
6
5
0
0
1
2
3
1
7
4
2
7
1
3
0
1
0
2
0
1
0
0
4
1
0
0
0
1
9
4
0
0
0
0
0
0
1
2
5
6
0
5
0
1
6
3
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
En los ejerccos 15 y 16 se utlza la notacón del ejemplo 1 para matrces en orma escalonada. Suponga que cada matrz representa la matrz aumentada para un sstema de ecuacones lneales. En cada caso, determne s el sstema es consstente. De ser así, establezca s la solucón es únca.
15. a.
5. Descrba las ormas escalonadas posbles de una matrz de
2 × 2 dstnta de cero. Utlce los símbolos ( ■), * y 0, como en la prmera parte del ejemplo 1.
7
8.
b.
⎡ ⎣ ⎡ ⎣
0
∗
0
0
∗ ∗
0
0
∗
0
0
0
0
∗⎤ ∗⎦ ∗ ∗
0
0
∗⎤ ∗⎦
16. a.
b.
⎡ ⎣ ⎡ ⎣
∗⎤ ∗⎦
0
∗
0
0
0
∗
0
∗
0
0
0
0
∗ ∗
∗⎤ ∗⎦ ∗
En los ejerccos 17 y 18, determne el valor o los valores de h tales que la matrz sea la matrz aumentada de un sstema lneal consstente. 17.
2
3
h
4
6
7
18.
1 5
−3 −2 h −7
En los ejerccos 19 y 20, elja h y k de tal orma que el sstema a) no tenga solucón, b) tenga una solucón únca, y c) tenga muchas solucones. Dé respuestas por separado para cada ncso. 19.
x1
+
hx2
4x1
+
8x2
=2 =k
20.
x1
+
3x2
3x1
+
hx2
=2 =k
En los ejerccos 21 y 22, señale cada enuncado como verdadero o also. Justfque cada respuesta. 4 21. a. En algunos casos, una matrz se puede reducr por flas a
más de una matrz en orma escalonada reducda, usando derentes secuencas de operacones de fla. b. El algortmo de reduccón por flas se aplca solamente a matrces aumentadas para un sstema lneal. c. Una varable básca de un sstema lneal es una varable que corresponde a una columna pvote en la matrz de coefcentes. d. Encontrar una descrpcón paramétrca del conjunto solucón de un sstema lneal es lo msmo que resolver el sstema. e. S una fla en la orma escalonada escalonada de una matrz aumentada es [0 [0 0 0 5 0], entonces el sstema lneal asocado es nconsstente. de una matrz es únca. 22. a. La orma escalonada de b. En una matrz, las poscones pvote dependen de s se usan o no ntercambos de fla en el proceso de reduccón por flas. c. La reduccón de una matrz a orma escalonada se llama ase progresiva progresiva del proceso de reduccón por flas.
4Preguntas del tpo verdadero/also como éstas aparecerán en muchas sec-
cones. Los métodos para justfcar sus respuestas se descrberon antes de los ejerccos 23 y 24 de la seccón 1.1.
d. S un sstema tene varables lbres, el conjunto solucón contene muchas solucones. e. Una solucón general de un sstema es una descrpcón descrpcón eplícta de todas las solucones del sstema. 23. Suponga que una matrz de coecientes de 3 × 5 para un sstema tene tres columnas pvote. ¿Es consstente el sstema? ¿Por qué sí o por qué no? 24. Suponga que un sstema de ecuacones lneales tene una matrz aumentada de 3 × 5 cuya qunta columna es una columna pvote. ¿Es consstente consstente el sstema? ¿Por qué sí o por qué no? 25. Suponga que la matrz de coefcentes de un sstema de ecuacones lneales tene una poscón pvote en cada fla. Eplque por qué este sstema es consstente. 26. Suponga que la matrz de coefcentes de un sstema lneal de tres ecuacones en tres varables tene un pvote en cada columna. Eplque por qué tene este sstema una solucón únca. 27. Reestructure la últma oracón del teorema 2 utlzando el concepto de columnas pvote: “S un sstema lneal es consstente, entonces la solucón es únca s, y sólo s, __________ _____________.” 28. ¿Qué debería saberse acerca de las columnas pvote de una matrz aumentada para advertr que el sstema lneal es consstente y tene una solucón únca? 29. Un sstema de ecuacones lneales con menos ecuacones que ncógntas ocasonalmente se denomna sistema subdeterminado. Suponga que un sstema así resulta ser consstente. Eplque por qué debería estr un número nfnto de solucones. 30. Proporcone el ejemplo de un sstema subdetermnado nconsstente de dos ecuacones en tres ncógntas. 31. Un sstema de ecuacones lneales con más ecuacones que ncógntas ocasonalmente se denomna sistema sobredeterminado. ¿Puede ser consstente un sstema así? Ilustre su respuesta con un sstema específco de tres ecuacones en dos ncógntas. 32. Suponga que una matrz de n × (n + 1) se reduce por flas a la orma escalonada reducda. Apromadamente, ¿qué raccón del número total de operacones (ops) está nvolucrada en la ase regresva de la reduccón cuando n = 30? ¿Cuándo n = 300? Suponga que un conjunto de puntos en el plano representa datos epermentales. Un polinomio de interpolación para los datos es un polnomo cuya gráfca pasa por todos los puntos. En el trabajo centífco, se puede usar un polnomo así, por ejemplo, para estmar valores entre los puntos de datos conocdos. Otro uso es crear curvas para mágenes gráfcas en una pantalla de computadora. Un método apropado para encontrar un polnomo de nterpolacón es resolver un sstema de ecuacones lneales. WEB
33. Encuentre el polnomo de nterpolacón p(t ) a0 a1t 2 a2t para los datos (1, 12), (2, 15), (3, 16). Esto es, encuentre a0, a1 y a2 tales que
= +
a0
+
a1 (1)
+
a2 (1)2
a0
+
a1 (2)
+
a2 (2)2
a0
+
a1 (3)
+
a2 (3)2
Encuentre un polnomo de nterpolacón para estos datos y estme la uerza sobre el proyectl cuando éste vaja a 750 pes/seg. Utlce p(t ) = a0 + a1t + a2t 2 + a3t 3 + a4t 4 + a5t 5. ¿Qué pasaría s se tratara de usar un polnomo con grado menor que 5? (Por ejemplo, pruebe con un polnomo cúbco.) 5
+
= 12 = 15 = 16
34. [M] En un epermento de túnel de vento, la uerza sobre un
5Los
ejerccos marcados con el símbolo [M] están dseñados para resolverse con ayuda de un “Programa Matrcal” (un programa de computadora, como MATLAB, Maple, Mathematca, MathCad o Derve, o una calculadora programable con capacdad para resolver matrces, como las calculadoras que abrcan Teas Instruments y Hewlett-Packard).
proyectl debda a la resstenca del are se mdó a derentes velocdades: Velocdad (100 pes /seg) 0 2 4 6 8 10 Fuerza (100 lb) 0 2.90 14.8 39.6 74.3 119
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE PRÁCTICA 1.
La orma escalonada reducda de la matrz aumentada y el sstema correspondente son 1 0
0 1
−2 1
9 3
x1
y
− 2x = 9 x =3 3
x2
+
3
Las varables báscas son x 1 y x 2, y la solucón general es
⎧⎪x = 9 2x ⎨ −x ⎪⎩xx =es 3libre +
1
La solucón general al sstema de ecuacones es la línea de nterseccón de los dos planos.
2
3
3
3
Nota: Resulta esencal que la solucón general descrba cada varable, con cualquer parámetro claramente dentfcado. El sguente enuncado no descrbe la solucón:
⎧⎪x = 9 2x ⎨ ⎪⎩xx == 33 −− xx +
1
3
2
3
3
2
Solución incorrecta
Esta descrpcón mplca que tanto x tanto x 2 como x como x 3 son lbres, lo cual desde luego no es el caso. 2. Al reducr por flas la matrz aumentada del sstema se obtene:
⎡ 1 − 2 −1 3 ⎣ −2 4 5 −5 3
− 6 −6
8
0 3 2
⎤ ⎡ 1 − 2 −1 3 ⎦ ∼ ⎣0 0 3 1 0 0 − 3 −1 ⎡ 1 − 2 −1 3 ∼ ⎣0 0 3 1 0
0
0
0
⎤ ⎦ ⎤ 0 3⎦ 0 3 2
5
Esta matrz escalonada muestra que el sstema es inconsistente, porque la columna de la etrema derecha es una columna pvote: la tercera fla corresponde a la ecuacón 0 = 5. No hay necesdad de realzar nnguna otra operacón de fla. Observe que, en este problema, la presenca de las varables lbres es rrelevante porque el sstema es nconsstente.
1.3 ECUACIONES VECTORIALES Importantes propedades de los sstemas lneales pueden ser descrtas medante el concepto y la notacón de vectores. Esta seccón relacona ecuacones que nvolucran vectores con sstemas de ecuacones ordnaras. El térmno vector aparece en varos contetos matemátcos y íscos que se estudarán en el capítulo 4, “Espacos vectorales”. Hasta números. Esta dea senclla entonces, el térmno vector se usará para denotar una lista de números. permte realzar aplcacones nteresantes e mportantes con la mayor rapdez posble.
Vectores en R2 Una matrz con una sola columna se llama vector columna o smplemente vector. Los sguentes son ejemplos de vectores con dos entradas u
= −31
,
v
=
.2 .3
,
w
=
w1 w2
donde w1 y w2 son cualesquera números reales. El conjunto de todos los vectores con dos entradas se denota medante R2 (lea “r-dos”). La R representa el conjunto de los números reales que aparecen como entradas entra das en los vectores, y el eponente 2 ndca que 1 cada vector contene dos entradas. Dos vectores en R2 son iguales s, y sólo s, sus entradas correspondentes son guales. Así, 4 y 7 no son guales. Se dce que los vectores en R2 son pares ordenados ordenados 7
4
de números reales. Dados dos vectores u y v en R2, su suma es el vector u + v que se obtene al sumar las entradas correspondentes de u y v. Por ejemplo, 1 2
−
+
2 5
= −12
2 +5 +
=
3 3
Dados un vector u y un número real c, el múltiplo escalar de u por c es el vector cu que se obtene al multplcar cada entrada de u por c. Por ejemplo, si u
1La
= −31
y
c
= 5,
entonces
cu
= 5 −31 = −155
mayor parte del teto trata acerca de vectores y matrces que sólo tenen entradas reales. Sn embargo, todas las defncones y teoremas de los capítulos 1 a 5, y de la mayor parte del teto restante, sguen sendo váldos cuando las entradas son números complejos. Los vectores y matrces complejos surgen de manera natural, por ejemplo, en ngenería eléctrca y en ísca.
El número c de cu se llama escalar, y se escrbe en letra cursva para dstngurlo del vector en negrtas u. Las operacones de multplcacón por un escalar y suma de vectores se pueden combnar como en el sguente ejemplo. EJEMPLO 1
Dados u =
−
1 2
y v=
−
2 , 5
encuentre 4u, (−3)v y 4u + (−3)v.
Solución
4u
= −48
− = −156
,
( 3)v
y
− = −48
4u + ( 3)v
+
−6 = −2 15 7
❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚
Algunas veces, por convenenca (y tambén para ahorrar espaco), se escrbe un vector columna como
−
3 1
de la orma (3, −1). En este caso, se usan paréntess y una
coma para dstngur el vector (3, −1) de la matrz por flas 1 × 2 [3, −1], que se escrbe entre corchetes y sn coma. Así, 3 −1 = [ 3 −1 ]
x 2
porque las matrces tenen derentes ormas, aunque tengan las msmas entradas.
(2, 2)
x 1
(3, –1)
(–2, –1)
Descripciones geométricas de R2 Consdere un sstema de coordenadas rectangulares en el plano. Como cada punto en el plano está determnado por un par ordenado de números, puede identicarse un punto
FIGURA 1
Vectores como puntos.
geométrico (a, b) con el vector columna
a . b
Por lo tanto, puede consderarse a
R2
como el conjunto de todos los puntos en el plano. Vea Vea la fgura 1. Con recuenca, la vsualzacón geométrca de un vector como x 2
(2, 2)
x 1
(–2, –1)
FIGURA 2
Vectores con echas.
−
3 1
resulta be-
nefcada con la nclusón de una echa (segmento de recta drgdo) desde el orgen (0, 0) hasta el punto (3, −1), como en la fgura 2. En este caso, los puntos ndvduales a lo largo de la echa no tenen sgnfcado especal. 2 La suma de dos vectores tene una representacón geométrca útl. La sguente regla puede verfcarse por medo de geometría analítca.
(3, –1)
2En
ísca, las echas pueden representar uerzas y, por lo general, son lbres de moverse en el espaco. Esta nterpretacón de los vectores se estudará en la seccón 4.1.
EGLA DEL PARALELOGRAMO PARALELOGRAMO PARA PARA LA LA SUMA R EGLA DEL S u y v en R2 se representan como puntos en el plano, entonces u ϩ v corresponde al cuarto vértce del paralelogramo cuyos otros vértces son u, 0 y v. Vea la fgura 3.
x 2
u+v u v x 1
0
La regla del paralelogramo.
FIGURA 3
EJEMPLO 2
Los vectores u =
2 ,v 2
= −61
,y u+v
= −43
se representan en
la fgura 4.
❙❙❙❙❘❙❙❙❙❚ ❙❙❙❚
x 2
u+v
3 u
v –6
2
x 1
FIGURA 4
El sguente ejemplo lustra el hecho de que el conjunto de todos los múltplos escalares de un vector fjo es una recta que pasa por el orgen, (0, 0).
EJEMPLO 3
Solución
Sea u =
−
3 . 1
Represente en una gráfca los vectores u, 2u y − 23 u.
Vea la fgura 5, donde se muestran u, 2u =
−
6 ,y 2
− u = 2−/23 2 3
. La echa
para 2u tene el doble de largo que la empleada para u, y ambas apuntan en la msma dreccón. La echa para − 23 u es dos tercos del largo de la echa para u, y las dos apuntan en dreccones opuestas. En general, la longtud de la echa para cu es |c| veces la
