08 - Escalonamento de Sistemas Lineares (1)

 CEFET Química – Unidade Maracanã Matemática – 4° período

Professora: Bianca da Rocha email: bdarocha@ahoo!com!br bdarocha@ahoo!com!br

"#T$%$ $U&$ E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' &i*ro: )an+e Edi+ora: ,+ica

E'C$&"($)"' )i0emos 1ue um sis+ema es+2 escalonado3 se o n4mero de coe5cien+es nulos an+es do 6rimeiro coe5cien+e não7nulo aumen+a de e1ua8ão 6ara e1ua8ão! %e9a aluns e;em6los:

Resol*er um sis+ema escalonado < mui+o sim6les! %e9amos o 6rimeiro e;em6lo acima! )a +erceira e1ua8ão sabemos 1ue 0=>?-! 'ubs+i+uindo na seunda ob+emos  = >?- e de6ois3 6ela 6rimera3

 TC(#C$ )" E'C$&"($ME(T" Para escalonar um sis+ema ado+amos o seuin+e 6rocedimen+o: >7 Fi;amos como 6rimeira e1ua8ão uma das 1ue 6ossuem o coe5cien+e da 6rimeira incAni+a diferen+e de 0ero! se aluma for iual a > se +orna mais f2cil -7 U+ili0ando as 6ro6riedades de sis+emas e1ui*alen+es3 anulamos +odos os ce5cien+es das >D incAni+a nas demais e1ua8es! 7 (o no*o sis+ema e1ui*alen+e ob+ido3 se hou*er uma e1ua8ão com o coe5cien+e da -D incAni+a não7nulo3 ela de*er2 ocu6ar o luar da -D e1ua8ão e3 a seuir3 anularemos +odos os coe5cien+es da seunda incAni+a na D e1ua8ão em dian+e! G7 Re6e+imos o 6rocesso com as demais incAni+as caso

E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' >H Passo: %amos +rocar a >D e1ua8ão com a -D3 6ara 1ue o 6rimeiro coe5cien+e de ; se9a >! 6ro6! > dos sis+emas e1ui*alen+es -H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da >D incAni+a a 6ar+ir da -D e1ua8ão3 a6licando as 6ro6riedades - e  dos sis+emas e1ui*alen+es! Para a seunda linha:

7I

E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' Para a +erceira linha:

H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da -D incAni+a na da D e1ua8ão3 a6licando as 6ro6riedades - e  dos sis+emas e1ui*alen+es!

$ora o nosso sis+ema es+2 escalonado! )e+ermine ra6idamen+e3 se e;is+ir3 uma solu8ão 6ara esse

E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' >H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da >D incAni+a a 6ar+ir da -D e1ua8ão!

-H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da -D incAni+a na D e1ua8ão!

$ 4l+ima e1ua8ão encon+rada .0=7- não admi+e nenhum *alor rea 6ara 0 1ue sa+isfa8a a iualdade3 loo es+e sis+ema < im6ossí*el 7

E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' >H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da >D incAni+a a 6ar+ir da -D e1ua8ão!

E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' -H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da -D incAni+a na D e1ua8ão!

$ e1ua8ão .0 =. < *erdadeira 6ara 1ual1uer *alor real de 03 6or+an+o ela 6ode ser su6rimida!  Temos en+ão o sis+ema escalonado  Temos 1ue -3.3. < solu8ão e 73G3> +amb
E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' $ -D e1ua8ão nos fornece  = G03 subs+i+uindo na >D +eremos ; J G0 J0 = - loo ; = - – K0 3 assim +odas as in5ni+as 7u6las da forma  - – K0 3 G0 3 0 serão solu8es 6ara o sis+ema! (o+e 1ue es+e sis+ema não 6ode ser de+erminado 6ois +em mais incAni+as do 1ue e1ua8es! %amos escalonar 6ara saber se ele < '# ou 'P#!

Para aili0ar os c2lculos3 *amos re6resen+ar as e1ua8es 6or ma+ri0es e reali0ar o mesmo 6rocedimen+o de escalonamen+o na>ma+ri0! %e9a: > 7> : > > 7> : 7- - 7> : >

7. . > :  K

&embre7se 1ue o símbolo  < de e1ui*alNncia

Para anular o coe5cien+e da >D incAni+a na -D linha3 somamos L seunda linha a 6rimeira linha mul+i6licada 6or 7-! $ ma+ri0

E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' > > 7> : 7. . > : K

Es+a ma+ri0 e1ui*ale ao sis+ema

$ora sabemos 1ue o sis+ema < 6ossí*el e inde+erminado 'P#3 6ois como 0 = K3 ; J  – K = - nos fornece ;J = ! &oo 6ara 1ual1uer *alor 1ue escolhemos 6ara ;3 usamos O7; 6ara  e K 6ara 0! $ssim  ;3 7;3 K < uma solu8ão eral! E;: >3-3K < solu8ão3 3.3K < ou+ra solu8ão3 7>3 G3K +amb
E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$' &#(E$RE' (o+e 1ue +emos um sis+ema homoNneo3 loo .3.3. ser2 solu8ão! Mas ser2 1ue ela < 4nica > > > :. - > 7> : . G > >:.



> > >:. . 7> 7 : . . 7 7 : .

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> > >:. . 7> 7 : . . . :.

 Temos en+ão 0 = .3 subs+i+uindo 0=. na seunda3 +emos:  = . e subs+i+uindo esses dois *alores na 6rimeira encon+ramos ;=.3 loo a 4nica solu8ão 6ara esse sis+ema < a solu8ão +ri*ial .3.3.!