Nobody every procrastinat ed their way to the top.
Espaço Vetoria etoriall e Transformaçõe T ransformações s Lineares
Parte !spa"o #ectorial $e%ni"&o Um espaço espaço vecto vectoria riall real real é um conjunto conjunto
V , não vazio, com estas duas
operações denidas ondi"&o* !+iste uma adi"&o com adi"&o com as se!uintes propriedades* propriedades* -echo* echo* " soma soma de #uai #uais# s#ue uerr dois dois elem elemen ento tos s de V elemento de
é um
V $ ∀ x ,
y ∈ V , x + y ∈ V
omutatividade* omutatividade* " " ordem por #ue é feita a soma de vectores de não afecta o resultado$ resultado$ ∀ x , y ∈ V , x + y = y + x ssociatividade* ssociatividade* %uma %uma soma de pelo menos & vectores de V , a prioridade atri'u(da a cada soma não afecta o resultado$ ∀ x , y ∈ V , ( x + y ) + z = x +( y + z )
!+ist/ncia de elemento neutro* E)iste neutro* E)iste um elemento de soma com cada elemento de
V cuja
V não o altera$
0 v ∈ V : : ∀ x ∈ V ∃ ´
, x + ´ 0 v = x
!+ist/ncia de elemento sim0trico* *ada sim0trico* *ada elemento de
V pode
ser somado com outro para resultar no elemento neutro da soma$ ∀ x , ∃− x : x + (− x ) = ´ 0v ∈ V : 1 ondi"&o* E)iste ondi"&o* E)iste multiplica"&o multiplica"&o por um escalar com escalar com as se!uintes propriedades -echo* echo* " multip multiplic licaçã ação o de #ual#u #ual#uer er n+mer n+mero o real real por #ual#u #ual#uer er elemento de V é um elemento de V $ ∀ α ∈ R , ∀ x ∈ V
,αx ∈ V
ssociatividade* ssociatividade* %uma %uma multiplicação entre pelo menos n+meros reais e 1 elemento de V , a prioridade atri'u(da a cada multiplicação não afecta o resultado$
“You need to know what life you want (as well as what life1you don't want), then you have to muster up the will and the drive to
∀ α , β ∈ R , ∀ x ∈ V , ( αβ ) x = α ( βx )
$istributividade em
R * " multiplicação entre uma soma de
n+meros reais e um elemento de
V é i!ual - soma da multiplicação de
cada um dos n+meros reais por esse elemento$ ∀ α , β ∈ R , ∀ x ∈ V , ( α + β ) x = αx + βx $istributividade no espa"o* " multiplicação de um n+mero real pela soma de elementos de V é i!ual - soma da multiplicação desse n+mero real por cada um dos elementos$ ∀ α , β ∈ R , ∀ x , y ∈ V , α ( x + y )=αx + αy !+ist/ncia de elemento neutro " multiplicação de 1 por cada elemento de V resulta nesse elemento$ ∀ x ∈ V , 1 x = x
ombina"&o 2inear .ejam
V
um espaço vectorial,
v1 , v2 , … , vn
a 1 , a 2 , … , an
n+meros reais$ Um vector
v1 , v2 , … , vn
se e)istem n+meros reais tais #ue
v 3
vectores em
a1 v 1 + a2 v 2 + … , + an v n
n
3
av ∑ = i
i
i 1
V são c0amados de
vectores$ !+emplo* *onsiderando os se!uintes vectores v 1= (1,2,1 ) 1,0,2
v 2=¿ ) v 3=( 1,1,0 ) v =(1,2,4 )
e
v é uma com'inação linear de
Nota 4em* /s elementos do espaço Vectorial
Veri#ue se
V
é uma com'inação linear de
v1 , v2 , v3.
“You need to know what life you want (as well as what lifeyou don't want), then you have to muster up the will and the drive to
v v
v
v =(1,2,4 )
a1 ( 1,2,1 )+ a2 ( 1,0,2)+ a3 ( 1,1,0 )
( a1 , 2 a1 , a 1)+( a2 , 0,2 a2 )+( a3 ,a 3 , 0 )
v
.endo
a1 v 1 + a2 v 2 + a 3 v 3
( a1 + a 2+ a3 , 2 a1 +a 3 , a 1+ 2 a 2)
tem2se #ue 31,,45
( a1 + a 2+ a3 , 2 a1 +a 3 , a 1+ 2 a 2)
"ssim temos
{
a1 + a2 + a3 =1 a1=2 2 a1+ a3=2 ↔ a2=1 a1+ 2 a 2=4 a3=−2
∴
.ejam
V
1
, v2 , … , vn }
v 1 , v 2 , … , vn
vectores
é com'inação linear de
um espaço vectorial e
{v
conjunto
v
v1 , v2 , v3
v1 , v2 , … , vn
∈ V
$ 6izemos #ue o
é 2inearmente ndependente 3L75, ou #ue os
são Linearmente 7ndependentes, se a e#uação
a1 v 1 + a2 v 2 + … + an v n= 0
7sso implica #ue dizemos #ue
{v
1
a1= a2=a n=0 , v2 , … , vn }
v1 , v2 , … , vn
vectores
$ %o caso em #ue e)ista al!um
a1 ≠ 0
é 2inearmente $ependente (2$), ou #ue os
são L6$
Nota 4em* Um conjunto de vectores é linearmente independente se e s8 se a +nica com'inação linear dos seus vectores #ue i!uala o vector nulo do espaço #ue o contém é a#uela cujos coecientes são todos 9$ Propriedades* .ejam
V
um espaço vectorial e
v1 , v2 , … , vn
:
V $ .ão v;lidas as
se!uintes propriedades
“You need to know what life you want (as well as what life&you don't want), then you have to muster up the will and the drive to
2
X #ue
conten0a o vector nulo é Linearmente V é Linearmente 6ependente$ Em particular, o conjunto =9> ? 6ependente$ v1 , v2 , … , vn
2 .e
não nulos são Linearmente 6ependente se, e s8 se,
um é m+ltiplo escalar do outro$ 2 .endo #ue
v1 , v2 , … , vn
v :
#ual#uer #ue seja
são o Linearmente 6ependente, então,
v1 , v2 , … , vn
,
v
2 .e X é Linearmente 7ndependente e 7ndependente$ 2 Um conjunto =
v1 , v2 , … , vn
é Linearmente 6ependentes$ Y
? X , então Y é Linearmente
> é Linearmente 6ependente se, e
somente se, ao menos um dos vectores é com'inação linear dos demais$ !+emplo* @ara vericar se os vectores 3A1, 1, 15, 39,A1, 15 e 31, 9, 15 são linearmente independentes temos #ue resolver o sistema 0omo!éneo resultante da i!ualdade α 1
3A1, 1, 15 B
α 2
39,A1, 15 B
α 2
31, 9, 15 39, 9, 95
Catricialmente, corresponde a D"9F
[
−1
0
1
1 1
−1
0 1
1
¿ ¿ ¿
0 0 0
]
/ sistema é sempre poss(vel por ser 0omo!éneo$ "ssim, os vectores são linearmente independentes se este sistema for determinado, isto é, se a caracter(stica de " coincidir com o n+mero de vectores 3nG de vari;veis5$ "ssim temos #ue estudar a car3"5$ Possibilidade* "través do determinante
⃗ | | | | −1
0
1 1
−1 1
1
− 1 −1
0 c 2= c2 + c1 1 1 1
0 2
1
0 1
"plicando o Teorema de Laplace
“You need to know what life you want (as well as what life4you don't want), then you have to muster up the will and the drive to
|
6et
|
−1
0
1
1 1
−1
0 1
1
| |
−1 1+ 2 (− 1) ∗ 1I 2
1 1
21 I D321I15 J 31I5F &
Uma vez #ue " é uma matriz #uadrada e tem ≠ 0 →Car ( A )=n =3 2K o sistema é poss(vel e determinado
determinante
1 Possibilidade* *;lculo directo da caracter(stica$
[
−1
0
1
1 1
−1
0 1
1
¿ ¿ ¿
0 0 0
⃗ ] [
l 3= l 3 +¿ l 2
−1
l 2=l 2 + l 1 0 l 3=l 3 + l 1 0
0 −1 1
1 1 2
¿ ¿ ¿
0 0 0
] [
−1
0
1
0 0
−1
1 3
¿ ⃗
0
¿ ¿ ¿
0 0 0
]
.endo caracter(stica o nG de lin0as não nulas, temos #ue *ar3"5 *ar3"5 n &, lo!o o sistema é poss(vel e determinada$ onclus&o* /s trMs vectores são linearmente independentes$ %otemos #ue a matriz " é a matriz formada pelos & vectores em coluna aso 5eral* / sistema linear 0omo!éneo com as inc8!nitas admite unicamente a solução nula %este caso, os vectores
a1= a2=a m=0
X 1 , X 2 , … , X m
a1 , a2 , … , am
,
se e s8 se *ar3"5 m$
são linearmente independentes$
.e *ar3"5 N m, o sistema admite um innidade de soluções$ %este caso, os X 1 , X 2 , … , X m vectores são linearmente dependentes$ 6eorema* .endo " uma matriz de ordem n O m com caracter(stica p, e)istem p colunas e p lin0as linearmente independentes e #uais#uer r colunas e r lin0as, com r K p, são linearmente dependentes$ 7ubespa"os #ectoriais 6ado um espaço vectorial
V , é muitas vezes poss(vel formar um outro
espaço vectorial usando um su'conjunto . de *omo
V
e as operações de
V $
V é um espaço vectorial, as operações de soma e multiplicação
por um escalar produzem sempre um outro vector em @ara um novo sistema, usando um su'conjunto . de
V $ V , ser um espaço
vectorial, o conjunto . tem #ue ser fec0ado em relação -s operações de soma e multiplicação por um escalar$ @or outras palavras, a soma de dois
“You need to know what life you want (as well as what lifeHyou don't want), then you have to muster up the will and the drive to
elementos de . tem #ue ser sempre um elemento de . e a multiplicação de um elemento de . por um escalar tem #ue pertencer sempre a .$ $e%ni"&o* .eja
V um espaço vectorial$ Um su'conjunto . Q R , de
é um su'espaço vectorial de
V
V
se, e s8 se, satisfaz as se!uintes
condições
{
Seu,v ∈ S → ( u + v ) ∈ S ( fechado ara a adi !" o )# Se $ ∈ R % ume&calar ar'i(r ) rio e u ∈ S, en( " o $u ∈ S ( fechado araa mul(ilica !" o e&calar ) #
"s suas propriedades são Um su'conjunto . de um espaço vectorial
V é um su'espaço vectorial de
se e s8 se for N&o va8io* . contém pelo menos um elemento$ ∃ x ∈ S -echado para a soma* " soma de #uais#uer dois elementos de . é um elemento de .$ ∀ x , y ∈ S , x + y ∈ S -echado para a multiplica"&o por n9meros reais* " multiplicação de #ual#uer n+mero real por #ual#uer elemento de . é um elemento de .$ ∀ α ϵ R , ∀ x ∈ S,αx ϵ S
:47* .e . é um su'espaço de um espaço vectorial vector nulo de Nota 4em* .e
V , então . contém o
V $ V
V é um su'espaço
é um espaço vectorial, então
dele mesmo$ / conjunto formado apenas pelo vector nulo é tam'ém um su'espaço de V $ "ssim, #ual#uer espaço vectorial não nulo V tem pelo menos dois su'espaços$ / pr8prio E e o conjunto =9> constitu(do apenas pelo vector nulo em V c0amado o su'espaço nulo 3os c0amados su'espaços triviais5$ 6eorema* .eja
V
um espaço vectorial e "
≠ 0 $ / conjunto . de todos os vectores de
{v
1
, v 2 , … , v m } *V
com "
V , #ue são com'inações
lineares dos vectores ", é um su'espaço vectorial de V$
“You need to know what life you want (as well as what lifePyou don't want), then you have to muster up the will and the drive to
{a
73
1
v 1 + a 2 v2 + …+ am v m : a 1=a2= …= am ∈ R }
5eradores de um 7ubespa"o #ectorial V é um
$e%ni"&o* Um conjunto de !eradores para um espaço vectorial conjunto de vectores de
V tal #ue #ual#uer vector
v
V pode
de
ser e)presso como uma com'inação linear 3nita5 dos vectores de , isto é, v 3 a1 v 1 + a2 v 2 + … + am v m onde cada ai é um escalar e cada v i : $ %este caso, dizemos #ue !era .e
V , ou #ue os vetores de !eram
v1 , v 2 , … , vm
V é !erado por
v de
então #ual#uer vector
a1 v 1 + a2 v 2 + … + am v m
a1 , a2 , … , am
$ "ssim,
Nota"&o* .e !era
!+emplo* R R
2
,
2
,
v 3
V = a1 v 1 + a2 v 2 + … + am v m i, ai : >$
{v
V =¿ + >¿ se
V , escrevemos
dizemos #ue os vectores V =¿ v 1 , v 2 , … , v m >¿
tais #ue
V
v1 , v2 , … , vm
pode ser e)presso como uma com'inação linear dos vectores isto é, e)istem escalares
V $
v 1 , v 2 , … , vm
!eram
V
1
, v2 , … , vm}
,
e escrevemos
$ v 3), W5 de
D31, 95, 39, 15F pois para #ual#uer vector
v 3), W5 )31, 95 B W39, 15$ 6o mesmo modo,
39, 1, 95 39, 9, 15F pois para #ual#uer vector
R
3
D31, 9, 95
v 3), W, z5 de
)31, 9, 95 B W39, 1, 95 B z39, 9, 15$ Xeneralizando, R
n
R
3
,
v
D31, 9, 9, $$$, 95,39,
1, 9, $$$, 95, $$$,39, 9, 9, Y, 15F$ :bserva"&o* .e a um conjunto de !eradores de um su'espaço vectorial um #ual#uer vector de
V juntarmos
V o'temos ainda um conjunto de !eradores de
V $ @or outro lado, se num conjunto de !eradores um dos vectores for
com'inação linear dos restantes, então o conjunto o'tido retirando esse vector é ainda um conjunto de !eradores de V $ epetindo este processo, de um conjunto de !eradores de su'conjunto deste #ue ainda !ere
V
V
podemos sempre o'ter um e seja formado por vectores
linearmente independentes$
“You need to know what life you want (as well as what lifeSyou don't want), then you have to muster up the will and the drive to
6eorema* .e
V é !erado por m vectores, #uais#uer r vectores de V
com r; m, são linearmente dependentes$ 7sto é, se em
V ,
0; r vectores
linearmente independentes, então #uais#uer m vectores de ., com m Nr, não !eram .$ .e os vectores !eram
{v
1
, v2 , … , vm } ∈
V , então e)iste
V são linearmente independentes e não
v m + 1 ∈ V
tal #ue
{v
1
, v 2 , … , v m , v m+ 1 }
são
linearmente independentes$ V , é desej;vel encontrar
onclus&o* 6e facto, dado um espaço vectorial um conjunto !erador de
V com tão poucos elementos #uanto poss(vel, a
#ue c0amamos conjunto !erador m(nimo$ @or m(nimo, #ueremos dizer um conjunto !erador sem elementos desnecess;rios, isto é, todos os elementos no conjunto são necess;rios para se !erar o espaço vectorial$ @ara se ver como encontrar um conjunto !erador m(nimo, é preciso considerar como os vectores no conjunto [dependem\ uns dos outros$ 4ase de um 7ubespa"o #ectorial /s elementos de um conjunto !erador m(nimo formam peças ';sicas para a construção de todo o espaço vectorial e, por causa disso dizemos #ue formam uma 'ase para o espaço vectorial$ $e%ni"&o* Uma base para um espaço vectorial vectores linearmente independentes #ue !era 6eorema* .eja
V $
V um espaço vectorial nitamente !erado 1$ Então
a5
V é um conjunto de
V contém uma 'ase de
V
V tem um conjunto de !eradores com n vectores então #ual#uer
conjunto com mais de n vectores é Linearmente 6ependente c5
1 6izemos #ue espaço vectorial
V é nitamente !erado #uando
V é não nulo
e e)iste um conjunto nito de vectores #ue !era V$
“You need to know what life you want (as well as what lifeZyou don't want), then you have to muster up the will and the drive to
$e%ni"&o* " dimensão de um espaço vectorial não nulo de vectores de #ual#uer 'ase de dim R .e
n
V é o n+mero
V $ "ssim, dim R2 dim R 2
n$
V é um espaço vectorial de dimensão n, então
a5
V#
V , forma uma 'ase de
V
c5
um su'espaço de
^ dim
'5 .e dim
V $
V $ Então
V
dim
V então
= V $
:47* 6ado um conjunto * de vectores !eradores de um su'espaço vectorial V , e)iste uma 'ase de V formada por vectores em *$ 6ado um conjunto * de vectores linearmente independentes de um su'espaço vectorial V , e)iste uma 'ase de V contendo os vectores de *$ oordenada de um #ector numa 4ase .ejam de
{v
V um espaço vectorial e
V $ @ara
1
v = a1 v 1 + a2 v 2 + … + am v m
c0amados coordenadas de
v
, v2 , … , vm}
uma 'ase ordenada
, os escalares
em relação - 'ase e
a1 , a2 , … , am
[ v ]+
[] a1 a2 ⋮
são
é
am
c0amado o vector das coordenadas de
v
em relação - 'ase $
/. Cudando a posição dos vectores da 'ase, muda tam'ém o vector das coordenadas$
Parte 6ransforma"
“You need to know what life you want (as well as what life]you don't want), then you have to muster up the will and the drive to
ntrodu"&o Estamos familiarizados com funções ordin;rias, tais como a função f 2 denida pela e#uação f3)5 x $ Essa e#uação transforma um n+mero real em outro n+mero real, no caso, seu #uadrado$ Estudaremos a!ora funções #ue transformam vectores em vectores. Transformações lineares são funções cujos dom(nios e contradom(nios são su'conjuntos de espaços lineares, os #uais ainda preservam a estrutura do espaço linear$ -un"&o de em 4 = f : A → + > α : " for associado um J
.ejam dois conjuntos " e $ .e a cada elemento
e um s8 J elemento β : , dir2se2; #ue foi denida uma transformação J ou aplicação J de " em $ T " _ $ "o elemento β d;2se o nome de ima!em J ou transformada de
α pela
transformação T ' T3a5$ / conjunto das ima!ens de todos os elementos de ", c0ama2se contradom(nio da transformação 2 T3"5 2 sendo " o seu dom(nio$ $e%ni"&o*
V e
.ejam
dois
espaços
vectoriais$
6ransforma"&o 2inear ou ?omomor%smo é uma função de
Uma V em
, - : V → , satisfazendo as se!uintes condições
2inear na soma* " ima!em da soma de #uais#uer dois o'jectos de - é a soma das ima!ens desses o'jectos$
(
∀ x 1 , x 2 ∈ A , - x 1 + x2
) =- ( x ) + - ( x ) 1
2
2inear na multiplica"&o por escalares (ou n9meros reais)* " ima!em do produto de #ual#uer o'jecto de - por #ual#uer n+mero real é o produto desse n+mero real pela ima!em desse o'jecto$ ∀ α ϵ R , ∀ x ϵ A , - ( αx )= α- ( x )
:47*
Uma
transformação
endomor%smo de R
n
linear
de
R
n
em
R
n
$
!+emplo* - ( x , y , z )=( x + y + z , 0 )
“You need to know what life you want (as 19you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
diz2se
um
- é uma transformação linear por#ue os seus dom(nio e contradom(nio 3
R
3
e R
2
, respectivamente5 são espaços vectoriais e por#ue é
2inear na soma*
( x + x + y + y + z + z 1
2
e
r 2=( x 2 , y 2 , z 2)
- ( r 1 + r 2 ) =- [ ( x 1 , y 1 , z1 ) + ( x 2 , y 2 , z 2 ) ]
maneira*
∀ r 1=( x 1 , y 1 , z1 )
1
2
1
2
- [ ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1+ z2 ) ]
, 0)
1 - ( r 1 ) + - ( r 2 )=- ( x1 , y 1 , z 1 ) + - ( x 2 , y 2 , z 2 ) =( x 1+ y 1 + z 1 , 0 ) + ( x 2+ y 2+ z 2 , 0 )
( x + x + y + y + z + z 1
2
1
2
1
2
maneira*
, 0)
( r + r )=- ( r ) +- ( r )
∴ -
1
2
1
2
2inear na multiplica"&o por escalares (ou n9meros reais)* 3 ∀ α ϵ R , ∀ r =( x , y , x ) ϵ R , maneira*
- ( αr )=- [ α ( x , y , z ) ] =- ( αx,αy,αz )=( αx + αy + αz , 0 )
1 maneira*
α- ( r ) = α - ( x , y , z ) =α ( x + y + z , 0 ) =(αx + αy +αz , 0 )
:47* Uma transformação linear de R
n
em
R
m
ca denida #uando se
con0ecem as ima!ens dos vectores de uma 'ase de
R
n
$
"s propriedades das Transformações Lineares propriedade* " ima!em do vector nulo é o vector nulo 6(@) 3 @. 1 propriedade* " ima!em do oposto de um vector é o oposto da ima!em desse vector T3Au5 AT3u5$ A propriedade* .e . é um su'espaço vectorial de ∈
3`5 `
.> é um su'espaço vectorial de R
m
R
n
então f3.5 =f
$
N9cleo e maBem de uma 6ransforma"&o 2inear N9cleo
“You need to know what life you want (as 11you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
.eja a transformação linear conjunto de vectores de
- : →V , c0ama2se n9cleo de
-
ao
cuja ima!em é o vector nulo$ / - ={ u ∈ : - ( u ) =0 } *V
.e
n
- é uma transformação linear
vectorial de R
n
- : R → R
m
/ -
,
0 um subespa"o
(do conCunto de partida).
maBem .eja a transformação linear
- : →V , c0ama2se imaBem de
-
ao
conjunto de elementos do espaço de c0e!ada de #ue são ima!ens de pelo menos um dos o'jectos de - $ 7sto é, as ima!ens formam o contradom(nio de
- $
ℑ- ={ v ∈ V : ∀ u ∈ , - ( u )= v } .
.e - é uma transformação linear vetorial de R
m
en
m
ℑ- 0 um subespa"o
,
(do conCunto de cheBadas). f uma transformação linear de
6eorema* .eja , $ $ $,
n
- : R → R
5 é uma 'ase #ual#uer de
R
n
R
, então
n
em
R
m
$ .e 3
e1
f ( e1 ) , … , f ( e n) !eram
ℑf $
6eorema do N9cleo e da maBem* .e n
- é uma transformação linear
m
- : ( R ) →V ( R ) , então a dimensão do conjuntos de partida ser; denido
por n
dim ( R )=dim ( / - )+ dim (ℑ- )
“You need to know what life you want (as 1you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
nCectividade, 7obreCectividade e 4iCectividade nCectividade Uma transformação linear
n
m
- : V ( R ) → ( R )
é inCectiva se elementos u ≠ v então
distintos do dom(nio tMm ima!ens distintas, isto é, se - ( u) ≠ - ( v ) . 7sso é e#uivalente a dizer #ue se
6ransforma"&o 2inear seCa,
- ( u)= - ( v ) então
- 0 inCectiva se e sD se
- 0 inCectiva se e sD se
dim ( / - ) =0
/ -
3
u= v .
{0 R } n
, ou
$
7obreCectiva Uma transformação linear
n
m
- : V ( R ) → ( R )
é sobreCectiva se todo
elemento do contradom(nio é ima!em de al!um elemento do dom(nio, isto é, se 0 ∈ então e)iste v ∈ V tal #ue - ( v )=0 $ $ "ssim,
- é so'rejectiva se, e somente se
{
=ℑ- = R 1
m
dim =dim ( R )=dim ( ℑ- ) =m m
“You need to know what life you want (as 1&you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
ℑ- coincide com o
- 0 sobreCectiva se e sD se
transforma"&o
conCunto de cheBada, isto (¿ ℑ- )= 2im do con3un(o de che4ada . 2im ¿
0,
se
e
sD
se
se
4iCectivadade n
m
- : V ( R ) → ( R )
Uma transformação linear
é biCectiva #uando o
contradom(nio coincide com o espaço de c0e!ada e em #ue cada ima!em corresponde a um +nico o'jecto$ 7sto é, ao mesmo tempo é injectiva e so'rejectiva$
{
Seu≠ven("o- ( u ) ≠- ( v ) . e m =ℑ- = R
Nota 4em*
n
em
injectiva e so'rejectiva, é um endomor%smo de isomor%smo de R
n
:bserva"&o* .eja
R R
n
m
simultaneamente
3isto é,
n =m 5 ou
$ n
m
- : V ( R ) → ( R )
2 .e T é so'rejectiva, então dim 5 dimV . 2 .e T é injectiva, então
dim 6dimV $
dimV = dim , então as condições se!uintes são e#uivalentes
2 .e entre si
2 T é 'ijetiva 2 T é injetiva 2 T é so'rejetiva m > n , a transformação T nunca ser; so'rejectivo, j; #ue
2 .e
dim- ( V ) 5n < m.
2
.e
dim / - = n− m
m5n,
a
transformação
T
s8
ser;
so'rejectiva
.
Eatri8 de uma 6ransforma"&o 2inear ( A )
“You need to know what life you want (as 14you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
se
Uma transformação linear
n
m
- : ( R ) →V ( R ) , considerando tam'ém as
'ases 2
{u
,u 2 , … , un }
em U
2*
{v
, v2 , … , vn}
em V
1
1
6esta forma cada um dos vectores, ima!ens de 7 ( u1 ) , 7 ( u 2) , … , 7 ( un )
ui
,
est; em # 3por#ue fazemos a passa!em para o
espaço de c0e!ada5 e conse#uentemente é com'inação Linear dos vectores da ase $ "ssim teremos 7 ( u1 ) =a11 v1 + a21 v2 + … + am 1 v m 7 ( u2 ) =¿
a12 v 1+ a22 v 2+ … + a m 2 v m
7 ( u n)
a1 n v 1 + a2 n v 2 + … + amn v m
E vamos ter a matriz
[
A mxn =
a11 a21
a12 a22
⋯ ⋯
a1n a2n
⋯
⋯
⋯
⋯
am 1
am 2 ⋯
amn
]
6iz2se a matriz da transformação linear de
m
R .
Esta matriz tem ordem
- na 'ase
+ de
R
n
+ e C são i!uais,
dizemos simplesmente #ue " é a matriz do endomorsmo
- na 'ase
+ $
.e for conveniente e)plicitar as 'ases a #ue respeita a matriz A , A C 8 +
em vez de "$
:47* " matriz " é a +nica matriz #ue satisfaz #ual#uer `
∈ R
n
C
m x n $ Em particular, a matriz de um
endomorsmo é #uadrada$ %este caso, se as 'ases
escrevemos
e
9 '
2
3
X '
1
, para
$
“You need to know what life you want (as 1Hyou don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
6eorema* .e " é uma matriz de uma transformação linear n
R → R
m
então
f
de
car ( A )= dim (ℑf ) .
!+emplo* 6etermine a Catriz da Transformação Linear
R 2 (¿¿ 3 ) →V ( R ) dada por
¿
7 ( x , y , z )=( x + y , y + z ) em relação -s 'ases
+ ={ u1 , u2 ,u 3 }={( 1,0,0 ) # ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1)}em # C ={ v 1 , v 2 }={( 1, 0 ) # ( 1, 1)}e m V #
Passo* *onsiderando #ue 7 ( u i )= 7 ( x , y , z )=( x + y , y + z ) , determina2se as ima!ens dos vectores da 'ase
+ $
u1=( 1,0,0 ) ↔ 7 ( u1 )=( 1 + 0, 0 + 0 )=( 1, 0 ) u2=( 0,1,0 ) ↔ 7 ( u2 ) =( 0 + 1,1 + 0 )=( 1,1 ) u3=( 0,0,1 ) ↔ 7 ( u3 )= ( 0 + 0, 0 + 1 ) =( 0, 1)
1 Passo* Escrever as ima!ens 7 ( u i ) com'inação dos vectores
vi
da 'ase
dos vectores da 'ase
+ , como
C $
7 ( u1 ) =( 1,0 ) ↔ ( 1,0 )=a 11∗v 1+ a21∗v2 =a11∗( 1, 0 ) + a21∗( 1, 1 ) → a11=1 e a 21= 0 7 ( u2 ) =( 1,1 ) ↔ ( 1, 1 )= a12∗v 1 + a 22∗v 2= a12∗( 1,0 ) + a22∗( 1, 1 ) → a12=0 e a22=1 7 ( u3 ) = ( 0, 1 ) ↔ ( 0,1 ) = a13∗v 1+ a23∗v 2=a13∗( 1, 0 )+ a23∗(1,1 ) →
a13=−1 e a 23=1
"ssim teremos 7 ( u1 ) =1∗v 1+ 0∗v 2 7 ( u2 ) =0∗v 1 + 1∗v 2 7 ( u3 ) =−1∗v1 + 1∗v 2
Lo!o
“You need to know what life you want (as 1Pyou don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
A =
[
1 0
−1
0 1
1
] A
aso !special* Se a matriz
da transformação linear estiver
determinada nas bases canónicas de partida
e
chegada)
n
e
R
m
(do espaço de
possível obter directamente expressão da transformação linear f ( x , y , z ) a partir de: Se R
então
R
é
2
Se R
3
[]
[]
f ( x , y , z )= A∗
a
x y
x f ( x , y , z ) = A∗ y z
Eatri8 de passaBem ou mudan"a de base ( : ) *onsiderando as 'ases 2 + 3'ase de partida5 2
C 3'ase de c0e!ada5
Vamos ter #ue escrever os vectores da 'ase vectores
vi
da 'ase
{u
1
,u 2 , … , un }
{v
1
, v2 , … , vn }
+ como com'inação dos
C $
"ssim teremos
u1= a11 v 1 + a21 v 2 + … + a m 1 v m u2=¿
a12 v 1+ a22 v 2+ … + a m 2 v m
un
a1 n v 1 + a2 n v 2 + … + amn v m
E vamos ter a matriz
:=
[
a11 a 21
a12 a22
⋯
⋯
am 1 a m 2
" matriz
:
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
a1 n a2 n
⋯ a mn
]
c0ama2se matri8 de mudan"a de base ou matri8 de
passaBem da base
+
para a base
C
de
R
“You need to know what life you want (as 1Syou don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
n
$
conveniente, escrevemos ∈
de um vector `
R
n
:C 8 +
$ Esta matriz transforma as coordenadas
na 'ase
+ nas coordenadas de ` na 'ase
C
$"ssim teremos possibilidade
1 possibilidade1 X +
−1
: X C
X C
:
X + −1
3 :
é matriz
passa!em da 'ase * para a 'ase 5 Nota 4em* No caso particlar em !e a base canónica de
C
(con"nto de chegada) é
n
R # a matriz de passagem $ da base
+ para
a base C é obtida de forma imediata# basta dispor em colna os vectores da base
+ %
!+emplo* + ={ ( 1,1,2 ) # ( 1,0,1 ) , # ( 0,0,1) }
.ejam
e
C ={ ( 2,0,1 ) # ( 1,1,0 ) # ( 1,0,0 ) } $
6etermine a matriz de passa!em da 'ase para *$
( 1,1,2 ) α 11( 2,0,1 ) +α 21 ( 1,1,0 )+ α 31 ( 1,0, 0 ) → a11=2 e a21=1 e α 31=−4 ( 1,0,1 ) α 12 ( 2,0,1 )+ α 22 ( 1,1,0 ) + α 32 ( 1,0,0 ) → α 12=1 e α 22=0 e α 32=−1 ( 0,0,1 ) α 13 ( 2,0,1 )+ α 23 ( 1,1,0 ) +α 33 ( 1,0,0 ) → α 13=1 e α 23=0 e α 33=−2 Lo!o
[
2
:= 1
−4
1
1
0 −1
0 −2
]
:pera"
“You need to know what life you want (as 1Zyou don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
" denição das operações al!é'ricas para as transformações lineares sur!e na se#uMncia da denição dessas mesmas operações para as funções em !eral$ .er; poss(vel denirmos trMs operações f e
.ejam
4 duas transformações lineares de '1
+ as respectivas matrizes nas 'ases
matriz A + + nas 'ases
R
m
'1
de R
α ϵ R , a função
,
n
'1
de R
n
C
, com matriz
n
e
'3
de R
e
de R .
R
n
em R
αf é uma transformação linear de
m
, com
R
n
em
matriz m
'2
e
de R .
'2
nas 'ases
R
R
de
m
m
h ; f é uma transformação linear com matriz R
A
e m
'2
e
m
de R .
2 .e h é uma transformação linear de R
R
em
m
'2
e
com
αA nas 'ases
n
n
f + 4 é uma transformação linear de
2 " função
2 @ara
de R
R
num espaço vectorial e
CA
'3
R
de
nas 'ases
, então '1
de
$
Eudan"a de 4ase na Eatri8 de uma 6ransforma"&o 2inear .ejam n m 2 f uma transformação linear de R em R # 2
'1
<
'1 duas 'ases de
e
R
n
'2
e
<
e
'2 duas 'ases de
e
'2
2 A matri8 de 2 A
<
a matri8 de
f nas 'ases
'1
f nas 'ases
2 : a matriz de passa!em da 'ase 2
= a matriz de passa!em da 'ase
2 X ∈ R
n
e
de R
n
<
'1 de Rn e <
de R
m
<
'2 de R m
'1 para a 'ase
'1 #
'2
'2
para a 'ase
<
9 = f ( X ) #
“You need to know what life you want (as 1]you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
R
m
2
X '
e
1
X '
<
os vectores coluna das coordenadas de ` nas 'ases
1
<
'1 e ' 1 respectivamente
2
9 '
2
e
9 '
< 2
<
'2 e ' 2
os vectores coluna das coordenadas de ` nas 'ases
respectivamente Vamos ter Fsando a Eatri8 de Eudan"a de 4ase X ' = : X ' 1
9 ' == 9 ' 2
om a Eatri8 da 6ransforma"&o 2inear 9 ' A X ' 3
<
2
1
9 '
2
9 '
2
=9 ' 9 '
<
A X '
3
=A X '
2
<
<
< 2
3 A X '
< 1
1
1
( =A : ) X '
3
2
6a#ui conclui2se então #ue A nas 'ases
3
1
< 1
=A: , e ser; a matri8 de
3
<
f
<
'1 de Rn e
'2 de Rm
E para determinarmos A temos #ue A
<
=A:
3
↔=A:= A −1
<
−1
↔= =A:= = A −1
<
−1
<
↔ A:== A −1
↔ A : : == A : −1
<
<
−1
−1
↔ A == A :
< :47* " matriz A normalmente é dada e a matriz A é o #ue se
pede$
Eatri8es 7emelhantes
“You need to know what life you want (as 9you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
$e%ni"&o* 6uas matrizes " e de ordem n dizem2se semel0antes se e)istir −1 uma matriz re!ular : tal #ue + = : A: $ %o nosso caso espec(co .ejam 2
f um endomorsmo de Rn e
2 A é a matrizes de 2 A
<
as matrizes de
'1
−1
duas das suas 'ases
f respeitantes - 'ase
'1
f respeitantes - 'ase
'2
2 : é a matriz de passa!em da 'ase 2 :
'2
e
'2
é a matriz de passa!em da 'ase
para a 'ase
'1
'1 #
para a 'ase
'2 #
< Então A e A são semel0antes pois <
−1
A = : A: ,
Parte #alores PrDprios e #ectores PrDprios A *onsiderando a transformação linear n n - : R → R #alor prDprio de uma transforma"&o linear .er; o n+mero real #ue, ao ser multiplicado por pelo menos um o'jecto não nulo de - , !era a sua ima!em$ ♥
> valor r?rio de- ↔ ∃ x ≠ 0 : - ( x )= > x
E)emplo - ( x , y )=( x + y , 4 x + y )
•
> =−1
por#ue, por e)emplo,
e)actamente i!ual a •
> =3
i!ual a
- ( 1,−2 ) =(−1, 2 )
#ue vai ser
−1 ( 1, −2)
por#ue, por e)emplo,
- ( 1, 2 )=(3, 6 ) #ue vai ser e)actamente
3 ( 1, 2)
& .8 aplic;vel a endomorsmos 3'ase de partida 'ase de c0e!ada5
“You need to know what life you want (as 1you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
:u - a #ual#uer escalar
*0ama2se valor prDprio de
G seja sin!ular 3não invert(vel5, isto é ¿ A @ > n
> tal #ue
¿ A @ > n
G3 @
3a solução desta e#uação d;2nos os valores pr8prios5 PolinDmio caracterHstico de uma transforma"&o linear V um espaço vectorial de dimensão - : V →V n e
.eja
- o polin8mio de
transformação, o polin8mio caracter(stico de relação a #ual#uer 'ases
uma -
em
V ser; ( > ) =¿ A @ > n∨¿
!+emplo* 2 2 - : R → R
.endo
- ( x , y )=( x + y , 4 x + y ) e tomando a 'ase can8nica teremos
A (
[ ] [ ]| 1 4
1 1
−>
1 0
0 1
]= 1− > 4
1 4
1 1
[ ] 1
0
e 2 = 0 1
- ser;
/ polin8mio caracter(stico de de( [
[ ]
1
|
1 −>
= > 2− 2 > −3
E como os valores pr8prios de uma transformação linear são as ra(zes reais do seu polin8mio caracter(stico 2 ↔ > =−1 V > =3 > −2 > −3 =0 -
Nota bem* / polin8mio caracter(stico de
não depende da 'ase
escol0ida$ #ector prDprio de uma transforma"&o linear* / vector u , em #ue u ≠ 0 , é um vector pr8prio de ♥
escalar
>
tal #ue
associado a
- ( u ) => u . %este caso
>
- se e)iste um
é um valor pr8prio de
u .
:u
“You need to know what life you want (as you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
-
:s vectores prDprios s&o as solu"
[ x
com X 3
z]
y
( A− > n) . X = 0 ,
-
. *alcula2se esta e#uação para cada valor pr8prio$
Nota 4em* *ada vector pr8prio est; associado a um +nico valor pr8prio, isto é, valores pr8prios distintos estão associados a vectores pr8prios distintos$ :bserva"&o*
/
su'espaço
B > = {( x , y , z ) ∈ R : f ( x , y , z )= > ( x , y , z ) }
B> = {( x , y , z ) ∈ R : ( A @ > n ) X = 0 } n
n
é um su'espaço vectorial de
denominado de subespa"o prDprio de
ou R
n
,
- associado ao valor prDprio
> $
Uma vez #ue cada vector pr8prio est; associado a um +nico valor pr8prio, > 1 > 2 se e são valores pr8prios distintos de um endomorsmo - , então B> B > ={0 R } 1
n
2
onclus&o* .eja A a matriz de um endomorsmo R
n
$ / escalar
isto é,
0
é valor pr8prio de
f de
R
n
numa certa 'ase de
f se e s8 se
de( ( A − 0 n )=0 ,
de( ( A )=0 $ Então
2 9 é valor pr8prio de
f
2 A é sin!ular 2
/ f ≠
=
0 Rn
>
2 f não é injetiva$ 2 9 é valor pr8prio de
f , então B0 / f
6eorema* " matriz
n x n $ .ejam
A e
u1 , … , u E
D 1 , … , D E
valores pr8prios distintos de
e vectores pr8prios associados a cada um destes valores
prDprios, respectivamente$ Então
u1 , … , u E
são vectores linearmente
independentes$
“You need to know what life you want (as &you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
Eultiplicidade lB0brica (
FA D
) D aparece como zero
" multiplicidade al!é'rica é o n+mero de vezes #ue do polin8mio caracter(stico$ E)emplo
[
3
0
−4
A = 0
3 0
5 −1
0
]
e
A @ > n
[
]
3 @ >
0
−4
0 0
3 @ > 0
5 −1 @ >
de( ( A @ > n )
Então : ( > )
(3− > )( 3 −> )(−1 @ > ) $ /s valores pr8prios > 1=3 > 2=−1 > 1=3 associados - matriz A são e $ / valor pr8prio tem multiplicidade al!é'rica i!ual a , ou ainda, & é uma raiz dupla do > 2=−1 polin8mio caracter(stico$ b; tem multiplicidade i!ual a 1$ Eultiplicidade 5eom0trica = m 4 ( > ) > " multiplicidade !eométrica de um valor pr8prio
> é a dimensão de seu
espaço pr8prio$ m4 ( > )= 2im ( B> )
!+emplo* 2 2 - : R → R
.endo e
- ( x , y , z )=( x + y + z , x + y + z , x + y + z ) , considerando a 'ase can8nica
> =3
( A @ > n) x = 0 ↔
[
1− 3
1
1 1
1− 3 1
][ ] [ ] {
{
0 x −2 x + y + z =0 z = x y = 0 ↔ x −2 y + z = 0 ↔ y = x 1 1−3 z 0 x + y −2 z = 0 z = x 1
B3= { ( x , x , x ) ∈ R : x ∈ R }↔ 2im ( B3 ) =1 ↔ m 4 ( 3 )= 1 3
6eorema* " multiplicidade !eométrica de um valor pr8prio é menor ou i!ual - sua multiplicidade al!é'rica$ m 4 ( > ) 5 FA D
“You need to know what life you want (as 4you don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
.e um valor pr8prio tem multiplicidade al!é'rica 1 então tam'ém tem multiplicidade !eométrica 1$ FA D = 1 ↔ m4 ( > ) =1
# Parte !ndomor%smo $iaBonali8Jvel *onsiderando a transformação linear n n - : R → R
/ endomorsmo
- é dia!onaliz;vel se e s8 se e)istir uma 'ase de
R
n
na #ual a matriz #ue representa o endomorsmo nessa 'ase é dia!onal$ Tal n acontece se e s8 se e)istir uma 'ase de R constitu(da apenas por vectores pr8prios de T$ ondi"
n valores pr8prios distintos
:u 1 op"&o* .e e somente se, para #ual#uer valor pr8prio, a multiplicidade !eométrica é i!ual - multiplicidade al!é'rica$ FA D =m4 ( > i ) , ∀i i
:u A op"&o* .e e s8 se a soma das multiplicidades !eométricas dos valores n pr8prios for n =dimR .
∑ m ( > ) =n= dimR 4
n
i
:u Nota bem* .e
- for dia!onaliz;vel então é poss(vel o'ter uma 'ase de
vectores pr8prios onde a matriz de T nessa 'ase é uma matriz dia!onal 3 2 5 onde os valores pr8prios aparecem na dia!onal dessa matriz na mesma ordem #ue os vectores pr8prios aparecem na 'ase$
“You need to know what life you want (as Hyou don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
2
[
> 1
0
0
> 2
… …
0 ⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
> n
Eatri8 $iaBonali8Jvel Uma matriz #uadrada A de ordem
0
]
n é dia!onaliz;vel se e)istir uma
matriz dia!onal semel0ante a A , isto é, se e)istir uma matriz invert(vel ou re!ular @ tal #ue −1
2 = : A: % dia4onal
2 =
> 1
0
0
> 2
… …
0 0
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ > n A →ma(riz de - numa 'a&eGualGuer :=[ u1
u2 … u n ]
:→ ma(riz de a&&a4em de 'a&ee de ve(ore& r?rio& de A ara a 'a&ecan?nica
onclus&o* .e
- é um endomorsmo com matriz A numa certa 'ase,
A é dia!onaliz;vel se e s8 se
- é dia!onaliz;vel$
“You need to know what life you want (as Pyou don't want), then you well as what life have to muster up the will and the drive to
