6 Momen Lentur
KL2203, Kelas 01 S Semester t II 2010/2011
Momen Lentur Murni (pure bending)
1
Tegangan akibat Momen Lentur
F
x
M
z
0:
M :
x
dA 0
y
x
dA M
Deformasi akibat Momen Lentur
xy xz 0 xy xz 0
2
JK y y x
L
y
y
m
c
y c
x m
Distribusi Tegangan akibat Momen Lentur y c
x E x x m
y
c
m
x
dA 0
dA m ydA 0 c
ydA 0 Garis netral melewati centroid penampang.
3
Distribusi Tegangan akibat Momen Lentur y dA M x
m c
m
M S
y dA M 2
m
Mc I
x
My I
; S
I c
I = momen inersia penampang S = modulus penampang
4
Kelengkungan (curvature) 1
m c
m Ec
1 Mc Ec I
1 M EI
1/ = kelengkungan = jari-jari kelengkungan (radius of curvature)
Contoh 1 Suatu balok kantilever baja berukuran
penampang 20 mm 60 mm dikenai momen di ujungnya seperti tergambar. Jika tegangan leleh baja diketahui sebesar 250 MPa, MPa tentukan nilai momen M yang mengakibatkan balok mulai leleh.
M
20 mm 60 mm
5
Contoh 1 M
Gaya dalam momen: pada seluruh
balok bekerja momen lentur M. Momen inersia penampang: 1 1 3 I bh3 20 60 12 12 4 36 10 mm 4 Tegangan:
m M
Mc 250 I 250 36 104 30
M
+
3 106 N-mm 3 kN-m
Contoh 2 Tinjau kembali balok kantilever
pada Contoh 6.1. Tentukan tegangan tarik dan tekan maksimum akibat momen sebesar 3 kN-m yang bekerja di ujung balok,, jika j penampang p p g balok berbentuk T seperti tergambar. Abaikan pengaruh fillet di ujungujung penampang.
6
Tentukan lokasi centroid: Area, mm 2
y , mm
yA, mm3
1 20 90 1800
50
90 103
2 40 30 1200 A 3000
20
24 103 3 yA 114 10
y
Ay A i
i
i
114 103 38 mm 3000
Momen inersia penampang (terhadap
sumbu yang melewati centroid) I x ' I x Ad 2 1 3 2 90 20 90 20 50 38 12 1 3 2 30 40 30 40 20 38 12 868 103 mm 4
Tegangan g g tarik dan tekan maksimum:
m A
Mc I 3 106 22
76.0 MPa 868 103 3 106 38 B 131.3 131 3 MPa 868 103
7
Momen Lentur pada Penampang Komposit Kompatibilitas:
x
y
Transformasi Penampang: Penampang Ekivalen Karena formula tegangan akibat momen lentur
diturunkan untuk material homogen, maka penampang komposit harus “diubah” menjadi penampang ekivalen: Distribusi regangan harus sama tinggi penampang harus sama Jari-jari kelengkungan harus sama.
8
Distribusi Tegangan pada Penampang Komposit
Garis netral tidak melewati centroid penampang komposit.
Gaya pada Penampang Ekivalen
dF1 1dA
E1 y
dF2 2 dA
E2 y
dF2
dA
E2 E1 y Ey dA n 1 dA E1 E1 y
ndA
9
Penampang Ekivalen Dianggap terdiri atas satu jenis material saja (salah satu
material dijadikan material ekivalen, E*) Dibuat dengan mengubah lebar dari masing-masing material: E b* bi *i E Selanjutnya analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan seperti untuk penampang homogen, menghasilkan tegangan normal ekivalen, *. Tegangan yang sebenarnya terjadi pada setiap material adalah:
*
Ei E*
Penampang Ekivalen
Penampang komposit
Penampang ekivalen
Tegangan ekivalen, *
Tegangan aktual,
10
Contoh 3 Suatu balok kantilever kayu
berukuran penampang 75 mm 200 mm diperkuat dengan menambahkan pelat baja setebal 6 mm di sisi atas balok seperti tergambar.
2 kN/m 3m
Jika diketahui modulus elastisitas kayu adalah 12 GPa dan modulus elastisitas baja adalah 200 GPa, tentukan tegangan maksimum yang terjadi pada kayu dan pelat baja akibat beban merata 2 kN/m seperti tergambar.
Contoh 3 2 kN/m
Akibat beban yang bekerja, momen
maksimum akan terjadi di tumpuan yang besarnya:
3m
M max 2 31.5 9 kN-m
Misalkan penampang diubah
– Mmax
menjadi penampang ekivalen dengan material kayu: E * Ek 12 GPa bb* bb
Eb 200 75 1250 mm * E 12
11
Lokasi centroid penampang ekivalen (dari sisi bawah)
y
A y 1250 6 203 75 200 100 134.3 mm 1250 6 75 200 A i
i
i
Momen inersia penampang ekivalen 1 3 2 I * 1250 6 1250 6 203 134.3 134 3 12 1 3 2 75 200 75 200 100 134.3 12 103.1 106 mm 4 Tegangan ekivalen maksimum, sisi atas:
9 10 71.7 6.26 MPa 6
*A
103.1 106
Tegangan ekivalen maksimum, sisi bawah:
9 10 134.3 11.73 MPa 6
* B
103.1106
Tegangan ekivalen di batas kayu – baja: 9 106 65.7 5.73 MPa C* 103.1 106 Tegangan aktual, sisi atas dan bawah baja:
200 104.3 3 MPa 104 12 200 5.73 95.6 MPa 12
A 6.26 6 26 C baja
Distribusi tegangan A C
B
6.26 5.73
–11.73
–11.73
(MPa) *
5.73
104.3 95.6
(MPa)
12
Contoh 3 A C
B
5.73
–11.73 11 73
104.3 95.6
(MPa)
max baja 104.3 MPa (tarik)
max kayu 11.73 MPa (tekan)
Beton Bertulang (elastis) Kemampuan beton menerima
tegangan tarik sangat kecil, sehingga daerah yang mengalami tegangan tarik harus diperkuat dengan menambahkan tulangan b j baja. Agar efektif, tulangan baja diletakkan di sisi tarik terjauh dari garis netral.
13
Beton Bertulang (elastis) Pada daerah yang mengalami tarik, hanya tulangan yang
menerima tegangan tarik, sedangkan bagian beton dianggap tidak bekerja. Dengan demikian, penampang beton bertulang dianggap berupa bagian beton yang mengalami tekan dan tulangan baja yang mengalami tarik. Analisis tegangan akibat momen lentur dilakukan dengan mengganti penampang menjadi penampang ekivalen beton.
Beton Bertulang (elastis)
n
Es Ec
14
Lokasi garis netral:
QNA 0
bx
x nAs d x 0 2
1 2 bx nAs x nAs d 0 2 Inersia penampang ekivalen: 2
I*
bx3 2 x bx nAs d x 12 2 bx3 2 nAs d x 3
Tegangan tekan maksimum pada beton:
*A max beton
Mx I*
Tegangan g g pada p tulangan g baja: j
s n s* n
M d x I*
Catatan: ilustrasi perhitungan di atas dilakukan dengan asumsi
momen yang bekerja adalah momen positif. Jika momen yang bekerja adalah momen negatif, formulasi yang dihasilkan akan sama, tetapi bagian beton yang mengalami tekan berada di sisi bawah dan tulangan baja berada di sisi atas.
15
Kombinasi Momen Lentur dan Gaya Aksial Momen lentur dan gaya aksial sama-sama
mengakibatkan tegangan normal pada penampang, sehingga efek dari kedua gaya dalam tersebut dapat digabungkan. Tegangan normal pada suatu titik merupakan penjumlahan dari tegangan normal akibat momen lentur dan akibat gaya aksial.
aksial lentur
F My A I
Kombinasi Momen Lentur dan Gaya Aksial
F A
My I
16
Contoh 4 Gambar di samping memperlihatkan
satu bagian dari rantai yang menerima beban 160 lb. Tentukan tegangan maksimum tarik dan tekan maksimum pada penampang, p g serta jjarak antara centroid ppenampang dengan garis netral.
Gaya dalam pada penampang:
P 160 lb M 160 0.65 =104 lb Tegangan akibat gaya aksial:
a
P 160 815 psi A 0.5 2 4
Tegangan maksimum akibat momen lentur:
Mc 104 0.25 8475 psi 4 I 0 5 0.5 64 Tegangan maksimum tarik dan tekan:
b
m 815 8475 9290 psi ; m 815 8475 7660 psi
17
Lokasi garis netral (di sebelah kanan centroid):
815
104 y
64
0.5
0
y 0.024 in.
4
Contoh 5 Penampang balok T seperti
tergambar menerima gaya aksial tekan P yang bekerja di titik D. Jika tegangan izin tarik material balok adalah 30 MPa, dan tegangan izin tekannya 120 MPa MPa, tentukan nilai maksimum P yang dapat diterima balok.
18
Karakteristik penampang telah dihitung pada Contoh 6.2:
y 38 mm ; A 3000 mm 2
; I 868 103 mm 4
Sistem ekivalen gaya aksial sentris + momen lentur:
P P (tekan)
M P 38 10 28P (momen negatif) Tegangan di sisi atas dan bawah penampang:
28P 22 3.76 104 P P 3000 868 103 28P 22 P 15.59 B 15 59 104 P 3 3000 868 10 Periksa terhadap tegangan izin: A
3.76 104 P 30 P 79.7 kN 15.59 104 P 120 P 77.0 kN
Pmax 77 kN
Lentur Tak Simetris (Unsymmetrical Bending) Sampai saat ini, penampang
yang dianalisis selalu memiliki sumbu simetri vertikal dan momen lentur bekerja pada bidang sumbu simetri tersebut. Sekarang S k akan k diti ditinjau j kasus k di mana momen tidak bekerja pada bidang sumbu simetri tersebut, atau penampang tidak memiliki sumbu simetri.
19
dA 0 y dA M z dA 0
garis netral melalui centroid
x
distribusi tegangan g g akibat momen lentur
x
m
zydA 0 c vektor momen bekerja pada sumbu utama yang melalui centroid
x
M y M sin
M z M cos
+
Mz y Iz
Myz Iy
20
Contoh 6 Momen lentur sebesar 1600 lb-in.
bekerja pada penampang balok kayu berukuran 1.5 in. 3.5 in. pada bidang yang membentuk sudut 30o terhadap bidang vertikal seperti tergambar. Tentukan: tegangan maksimum pada balok, lokasi garis netral.
Komponen momen pada sumbu utama:
M z 1600cos30o 1386 lb-in. M y 1600sin 30o 800 lb-in. Inersia penampang:
1 3 1 5 33.5 5 55.359 359 in. in 4 1.5 12 1 3 I y 1.5 3.5 0.984 in.4 12 Iz
Tegangan maksimum:
1386 1.75 800 0.75 5.359
0.984
1062 psi
21
Persamaan garis netral:
M cos y M sin z
Iz
Iy
0
I y z tan z 3.143 z I y
Sudut :
tan
Iz tan 3.143 Iy
72.4o
Contoh 7 Momen M0 sebesar 1.5 kN-m bekerja
pada penampang balok Z seperti tergambar. Diketahui momen inersia dan produk inersia penampang tersebut adalah: I y 3.25 106 mm 4 I z 4.18 106 mm 4 I yz 2.87 106 mm 4 Tentukan nilai tegangan di titik A
dan sudut antara garis netral dengan bidang horizontal.
22
Inersia utama dan sumbu utama (via lingkaran Mohr)
I1 I v
Iy Iz 2
Iy Iz 2 I yz 2 2
1 2
2 2.87 40 4o 40.4 4.18 3.25
m ttan 1
2 3.25 4.18 2 3.25 4.18 6 2.87 10 2 2 6 6 4 3.72 2.91 10 6.63 10 mm
I 2 I u 3.72 2.91 106 0.808 106 mm 4
Komponen momen pada sumbu utama M u M 0 sin m 1500sin 40.4o 973 N-m M v M 0 cos m 1500cos 40.4o 1142 N-m
Tegangan di A
u A y A cos m z A sin m 86 mm v A y A sin m z A cos m 23.9 mm
A
M u vA M vu A Iu Iv
973 10 23.9 1142 10 86 3
0.808 106 13.97 MPa
3
6.63 106
23
Garis netral
tan
Iv tan m Iu
(lihat Contoh 6.6)
6.63 tan 40.4o 0.808 81.9 81 9o
Sudut antara garis netral dengan bidang horizontal:
m 81.9o 40.4o 41.4o
Beban Aksial Eksentris Dengan memperhatikan
hasil pembahasan kombinasi aksial + lentur serta lentur tak simetris sebelumnya, formula tegangan g g akibat beban eksentris yang lebih umum dapat disusun sebagai berikut:
P Mz y Myz A Iz Iy
24
Contoh 8 Gaya vertikal 4.8 kN bekerja
pada sebuah kolom berukuran penampang 80 mm 120 mm seperti tergambar. Tentukan: tegangan pada titik A, B, C, dan D, lokasi garis netral.
Sistem ekivalen:
M x 4800 40 192 103 N-mm M z 4800 25 120 103 N-mm
Karakteristik penampang:
A 80 120 9600 mm 2
1 3 80 120 5.12 106 mm 4 12 1 3 I z 80 120 11.52 106 mm 4 12 Ix
Tegangan di keempat pojok penampang:
A
P Mxz Mzx 4800 192000 40 120000 60 A Ix Iz 9600 5.12 106 11.52 106
0.5 1.5 0.625 2.625 MPa
B 0.5 1.5 0.625 1.375 MPa C 0.5 1.5 0.625 1.625 MPa D 0.5 1.5 0.625 0.375 MPa
25
Garis netral
Terlihat bahwa terdapat perubahan tanda tegangan (tarik – tekan) di sisi BC dan AD, sehingga dapat ditentukan titik G dan H di mana nilai tegangan = 0. 0 Karena distribusi tegangan adalah linier, maka garis netral pasti melalui titik G dan H. BG 1.375 BG 36.7 mm 80 1 1.625 625 11.375 375 AH 2.625 AH 70 mm 80 2.625 0.375
26
