a í r t e m o n o g i r T
Intelectum Trigonometría
I t Indicadores
de logro
Unidad 1
Unidad 2
• • • •
• Diferencia entre ángulos de elevación y depresión. • Determina el valor de los ángulos de elevación y depresión utilizando las razones trigonométricas. • Dene cada una de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. • Identica grácamente cada ángulo cuadrantal. cuadrantal. • Determina el valor valor de las razones trigonométricas de ángulos coter minales. • Identica el cuadrante al cual pertenece cada ángulo y la forma de reducción. • Aplica los casos estudiados para la reducción de ángulos al primer primer cuadrante. • Dene los elementos de una circunferencia trigonométrica trigonométrica (origen de arcos, origen de complementos y suplementos). • Representa grácamente cada línea trigonométrica y analiza su variación.
• • • • • • •
Identica la posición nal, inicial y el vértice del ángulo trigonométrico. trigonométrico. Discrimina entre el sistema sexagesimal, centesimal y radial. Identica las fórmulas fórmulas de conversión y las equivalencias entre sistemas. Aplica las equivalencias entre los sistemas de medición para calcular la medida del ángulo pedido. Identica los elementos de un sector circular para el cálculo de su área y de sus aplicaciones. Calcula el área del sector circular y el área de un trapecio trapecio circular. Utiliza las relaciones dadas sobre sectores circulares en diversas aplicaciones. Identica los catetos catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Identica los ángulos agudos en un triángulo rectángulo y dene cada una de las razones trigonométricas. Determina las razones trigonométricas de ángulos agudos notables. Calcula el valor de las razones trigonométricas trigonométricas de triángulos rectángulos.
LA MINERÍA Y LAS SECCIONES CÓNICAS La minería en el Perú ha ido evolucionando a través del tiempo . Se ha pasado de métodos empíricos a métodos técnicos para la minería a gran escala . Uno de los métodos de explotación de la minería a gran escala es la “minería a cielo abierto”, también conocida como “a tajo abierto”, este método de explotación necesita del uso de conceptos trigonométricos a la hora de diseñar las cortadas mineras . Las elipses, circunferencias y parábolas son necesarias para el diseño del límite económico del tajo .
Contenido: Unidad 1
•
•
•
•
Sistemas de medición angular. Sector circular. Razones trigonométricas de ángulos agudos. Resolución de triángulos rectángulos.
Unidad 2
•
•
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•
Ángulos verticales y horizontales. Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud. Reducción al primer cuadrante. Circunferencia trigonométrica.
Unidad 3
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•
•
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Identidades trigonométricas. Ángulos compuestos. Ángulos múltiples. Transformaciones trigonométricas. Funciones trigonométricas.
Unidad 4
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•
•
•
Funciones trigonométricas inversas. Ecuaciones trigonomét trigonométricas. ricas. Resolución de triángulos oblicuángulos. Secciones cónicas. Límites y derivadas de funciones trigonométricas.
Unidad 3
Unidad 4
• Discrimina entre las las identidades fundamentales. • Identica las identidades identidades de suma y diferencia de dos ángulos. • Determina el valor de las identidades trigonométricas trigonométricas de un ángulo orientado. • Aplica las identidades de ángulos compuestos al utilizar razones trigo trigonométricas de suma o diferencia de ángulos. • Reconoce las identidades identidades de ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple. • Aplica las transformaciones transformaciones trigonométricas en problemas que impliquen la reducción de expresiones. • Calcula el valor de expresiones trigonométricas aplicando las identidades de ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple. • Comprende la división de las transformaciones trigonométricas trigonométricas (de suma o diferencia a producto o viceversa). • Analiza las funciones trigonométricas e identica identica el dominio y rango. • Discrimina entre función par, impar, creciente, decreciente y periódica. periódica. • Dene las funciones inyectivas y sobreyectivas.
• Evalúa la gráca de las funciones inversas y analiza analiza su dominio y rango. • Representa grácamente las funciones trigonométricas inversas y evalúa la variación del dominio y rango de cada una. • Identica los elementos de una ecuación y analiza el método para la solución general. • Calcula el valor de la variable, aplicando propiedades de razones trigo trigonométricas y el valor de sus respectivos dominios. • Identica las relaciones dadas de la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes. • Emplea la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes en la resolución de triángulos oblicuángulos. • Discrimina cada una de las secciones cónicas (circunferencia, elipse elipse y parábola) e identica sus propiedades. • Utiliza la ecuación de cada una de las secciones cónicas para calcular el valor de sus elementos. • Analiza las propiedades de límites y la denición de la derivada.
unidad 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquella figura generada sobre un plano por la rotación de un rayo alrededor de su origen o vértice, desde una posición inicial hasta una posición final y en un sentido determinado. (Lado Inicial)
B +
O
θ
m+AOB = q, es (+)
&
Sentido antihorario
Observaciones • La medida del ángulo trigo nométrico no se encuentra sujeto a restricciones, puede tener cualquier magnitud.
A α
Sentido horario
-
C
m+AOC = a, es (-)
&
(Lado Final)
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
+3
Existen muchos sistemas de medida angular, ya que se pueden formar arbitrariamente, dependiendo del número de partes iguales en la que se divide el ángulo de una vuelta. A cada parte de esta división se le considera como “unidad del sistema de medida”. Los sistemas considerados convencionales son: 2. Sistema centesimal (francés)
1. Sistema sexagesimal (inglés)
Unidad
Unidad
• Grado sexagesimal: (1°)
• Grado centesimal: (1g)
-
-3 <
Subunidades
Subunidades
• Minuto sexagesimal: (1') • Segundo sexagesimal: (1")
• Minuto centesimal: (1m) • Segundo centesimal: (1 s)
Equivalencias
Equivalencias
1° = 60'
1' = 60" 1° = 3600"
Observación a' b' c" = a° + b' + c"
(Notación de un ángulo en grados, minutos y segundos)
1
g
m
100
=
m
1
s
100
=
m+trigonométrico
< +3
• Al realizar operaciones de suma o sustracción de un ángulo trigonométrico, se recomienda que todos los ángulos tengan un mismo sentido de rotación.
m + 1vuelta = 400g
m+1 vuelta = 360°
3
1° = 10 000
Por ejemplo:
s
Observación: xg ym zs = xg + ym + zs (Notación del ángulo en grados, minutos y segundos centesimales)
θ β α
Cambiamos todos los ángulos a un mismo sentido: -β
3. Sistema radial o circular (internacional) Unidad
-θ α
Un radián (1 rad); denido como la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al
radio de la circunferencia a la que pertenecen. Nota
Si L = r
r O
r
α
r
L
&
1 rad
a=
Además: m+1vuelta = 2p rad
Todos los ángulos giran con sentido antihorario Algunos valores para p p.
3
p.
22 7
+
2
p . 3,1416
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
5
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS Entre los tres sistemas de medición angular podemos obtener las siguientes equivalencias: Nota A lo largo de la historia, la expresión de pi ( p) ha asumido muchas variaciones. El papiro de Rhird, escrito por el egipcio Ahmes (1650 a.n.e) arma que el área de un círculo es como la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro disminuido en
1 9
)
m+1 vuelta = 360° = 400g = 2p rad
&
180° = 200g = p rad
Factor de conversión
Llamado también método del factor unidad, se usa para transformar un ángulo de un sistema de medida a otro. Ejemplo: 2. Convierte 150 g a radianes.
1. Transforma 60° al sistema radial. 60° = 60° # 1 = 60° # π rad
=
180°
π 3
150g = 150g # 1 = 150g # π radg 200
rad
factor de conversión
=
3π rad 4
factor de conversión
Además, se pueden obtener otros factores de conversión de las equivalencias entre sistemas. Así tenemos: rad = 200g
rad = 180°
p
π rad 180° 180° π rad
p
180° = 200g
=
1
π rad 200 g
=
1
180° 200 g
=
9° 10 g
=
1
=
1
200 g π rad
=
1
200 g 180°
=
10 g 9°
=
1
Fórmulas de conversión
Sean S, C, R las medidas de un ángulo trigonométrico en los tres sistemas, tal como muestra el gráfico: m+a = S° = Cg = R rad
Se cumple: S 180
=
C 200
Donde: =
R
π
Fórmula de conversión
α
S: n.° de grados sexagesimales C: n.° de grados centesimales R: n.° de radianes
Observación Una forma de demostrar la fórmula general de conversión es usar la regla de tres simple:
• Para todo ángulo en el sistema sexagesimal. S°
&
n.° de grados = S
60 # S'
&
n.° de minutos = 60S
3600 # S"
&
n.° de segundos = 3600S
a=
Para un ángulo a: m+a = S° = Cg = R rad m+1 vuelta m+a m+a =
+a
S°
m+1vuelta S 360°
a=
• Para todo ángulo en el sistema centesimal.
Análogamente para los otros sistemas, se tiene: m+1 vuelta S 360°
=
=
m+1 vuel ta R 2π rad
`
S 360°
6
=
a=
360°
C 400g
+a
=
R 2π rad
Intelectum 5.°
Cg
&
n.° de grados = C
100 Cm
&
n.° de minutos = 100C
10 000 Cs
&
n.° de segundos = 10000C
a=
m+1 vuelta C 400°
a=
a=
Corolario
Si se trabaja con S y C: S 9
=
C 10
Problemas resueltos 1
Del gráfico, calcula a. 2α + 30° 10° − α
40° −
R
=
160π 180
R
=
8π 9
T
∴ 160° = 8π rad
α
9
4
Resolución:
Convierte 24,5 g a grados sexagesimales.
Colocamos los ángulos en un solo sentido (sentido antihorario): Resolución: 2α + 30°
El ángulo es 24,5 g (40° − α)
(10° − α)
−
−
S 9
Del gráco: -(10° - a) + (2a + 30°) - (40° - a) = 180° -10° + a + 2a + 30° - 40° + a = 180° 4a - 20° = 180° ∴ a = 50°
2
&
C = 24,5
Aplicando la relación: C 10
=
Reemplazando S 9
24, 5 10
=
&
S=
9 (24, 5 ) 10
S = 22,05 `
Del gráfico, encuentra X.
24,5g = 22,05° = 22°3'
A
B (50 - 10x)g
O (36x + 45)°
C
5
Si A es en radianes el complemento de 75° y B es, en radianes, el suplemento de 144°. Calcula la siguiente expresión: H = A + B - 7π rad 60
D
Resolución: Resolución:
El complemento de 75°: 90°
Del gráco, invertimos el sentido de giro del +DOA
+
+AOB
+
+BOC
+
+COD
360°
=
15 180
=
(36x + 45)° - (50 - 10x)g 9°g = 180°
R
=
(36x + 45)° - (45 - 9x)° = 180°
10
36x + 45 - 45 + 9x = 180
45x = 180
x = 4
&
A
R
π 15π 180
S = 160
π
=
12
...(I)
12
El suplemento de 144°: 180° - 144° = 36°
Luego, aplicando la relación: 36 180
=
R
=
R
π 36π 180
Resolución: &
R
&
π rad
=
Convierte 160° a radianes.
El ángulo es 160°
75° = 15°
-
Luego, aplicando la relación:
(36x + 45)° + 90° + [-(50 - 10x)g] + 90° = 360°
`
3
+DOA. Luego:
B
&
π
=
R
&
π
=
5
rad
5
...(II)
Aplicando la relación:
Reemplazando (I) y (II) en la expresión:
S 180
H
=
R
π
Reemplazando: 160 180
=
H
R
π
`
=
=
π 12
+
17π 60
H
=
π 5
-
π 6
-
7π 60
7π 60 =
=
5π + 12π 60
10π 60
=
-
7π 60
π 6
rad
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
7
6
Expresa en grados, minutos y segundos sexagesimales π rad. 32
3
Resolución:
Por método de factor de conversión: 180° π rad π rad 180° = = 32
π 32
π rad
32
32
rad = 5,625°
1 30k
+
π
=
1 2
1 30k
+
π
=
1 6
1 30k
+
π
=
1 36
1 30k
Luego:
1 30k
5,625° = 5° + (0,625) # 1° = 5° + (0,625) # 60' 5,625° = 5° + 37,5' = 5° + 37' + (0,5) # 60" 5,625° = 5° + 37' + 30" 5,625° = 5° 37' 30" π rad = 5,625° = 5° 37' 30" `
=
1 36 1
=
k=
-
π
36π 36
-
6 5 (1 - 36π)
Luego: la medida del ángulo en el sistema internacional será: R = kp = 6π
32
5 - 180π
7
S + 2C 58R
. Si S, C y R son los sistemas de medidas estudiadas para un mismo ángulo. Halla T
=
Resolución: =
S 9
C 10
=
C 200
=
4
π
π
=
S 180
T = S + 2C 58R
`
8
T=
=
=
(9k) + 2 (10k) 58 πk 20
π
=
20 (29 k) 58πk
S 180
=
S 180
=
S=
10
π
+
R
=
5π 4
R
π
Reemplazando:
d n
5π /4
π 5π 4π
180 (5 π) 4π
S = 225
Determina la medida en el sistema internacional, de un ángulo cuyos números convencionales cumplen la relación: 30R
&
Aplicando la equivalencia:
k
En T:
T = 29k 58πk 20
4
El ángulo es 5π rad
R
20R
=
Convierte 5π rad a grados sexagesimales. Resolución:
De la fórmula general de conversión S 180
9
π
20 3C
+
+
π
6 S
+
+
π
=
1 2
`
5π 4
rad = 225°
10 Se tienen tres ángulos tal que al sumar sus medidas de dos en dos se obtiene: 12°, 10 g y π rad 36
Halla la medida del menor de los ángulos.
Resolución:
De la fórmula general de conversión: S 180
=
C 200
=
Resolución:
10
π
=
k
Reemplazamos en la expresión: π 30 (kπ)
+
π
1 30k
8
20 3 (200 k)
+
+
π
+
+
1 30k
Intelectum 5.°
π
+
+
π
+
6 180k
+
1 30k
+
π
=
π
=
1 2 1 2
Sean los ángulos: A, B y C Del enunciado: A + B = 12° B + C = 10g <> 9° (+) A + C = π <> 5° 36
A + B + C = 13° 12° + C = 13° C = 1°
T
SECTOR CIRCULAR
LONGITUD DE ARCO EN UNA CIRCUNFERENCIA El arco de una circunferencia es una porción de ella comprendida entre dos puntos. Sea L la longitud de un arco AB en una circunferencia de radio R con un ángulo central q rad, se verifica: Observación Corona circular
R θ rad
L = qR
L
... (1)
R
R r
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR El sector circular es una porción de círculo limitado por dos radios y el arco correspondiente. Sea S el área del sector circular AOB de ángulo central q rad y de radio R. Se verifica:
Es la región plana comprendida entre dos circunferencias.
A R O
q rad
S
S
=
θ R2
... (2)
2
R B
De las expresiones (1) y (2), se deducen las siguientes expresiones para el cálculo del área de un sector circular:
S
=
2
LR 2
S
=
L 2θ
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR El trapecio circular está definido como una porción de corona circular, limitada por dos radios. El cálculo de su área se obtiene de la expresión:
Recue rda Del gráco:
h
S
=
c
L1 + L2 2
m
θ rad
h
L1
S
θ
L2
=
L2
-
L1
S2
S1
h
S4 S3
Propiedades
Se obtiene relación:
1.
2.
A R
C
A
D
θ rad
S2
L2
R B
siguiente
S1S3 = S2S4
C
L1
S1 α rad
E
la
O
L2
L1
θ rad
B
a
D
L3
F
b c
A1 A2
=
L1 L2
=
α θ
L1 a
=
L2 b
=
L3 c
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
9
APLICACIONES 1. Ruedas - n.° vueltas Si una rueda gira por una supercie de forma dada, se cumple:
Recue rda qg: representa el número de radianes que gira la rueda al trasladarse del punto A hasta B.
R
nV
B
LC
=
LC
LC = θg .R
2πR
Además: LC 2πR
nV
=
&
LC = nV 2pR
Donde: nV: número de vueltas que da la rueda al desplazarse de A hacia B. qg: giro de la rueda en radianes. LC: longitud recorrida por el centro de la rueda. R: radio de la rueda.
R A
donde: LC = qg . R Entonces: qgR = nV2pR
Casos particulares A)
qg = 2pnV
LC R1
R1
nV
=
nv
=
LC 2πR1
`
nV =
`
nV
θ (R2 + R1)
2πR1
θ rad
R2
B) R2
θ rad
R1
R1
LC
LC 2πR1
=
θ (R2
-
R1)
2πR1
2. Engranajes - fajas L A A
LB
θ A
Observación
• En cada caso si A gira un ángulo qA, entonces B girará otro ángulo qB.
B
θB
R A
RB
• Además, las longitudes de arco que se desplazan
Para engranajes:
son iguales, es decir:
2
Engranajes
1 D1
D2
LA = LB
A B L A
w1D1 = w2D2
θ A
R A
RB
De donde se concluye:
LB
RB
R A
w1, w2: velocidades angulares D1,
θB
qARA = qBRB
nARA = nBRB
Fajas
D2: número de dientes
3. Ejes eje C1 θ1
C1
R1
q1 = q2
R2
C2
θ2
Ruedas unidas por un eje
10
Intelectum 5.°
n1 = n2
R2 θ
C2
ß
R1
q1, q2: ángulo de giro realizado por C 1 y C2
respectivamente.
R1; R2: radios de C1 y C2. n1, n2: número de vueltas de C 1 y C2.
T
Problemas resueltos 1
7 2
En la figura, S2 – S1 =
L AM = (2r)(2q) = 4qr
p, halla a.
!
2d = 4qr
&
&
d = 2qr
LMB = (3q)(2r) = 6qr !
3d
=
Por dato: OA = LCD = 2r 2r = 3q(2r + BD) !
S2
▪
S1
α
1
2
3
4
Resolución: Tenemos: 10α
d ^1
BD =
2r 3θ
S1 =
c
d + 2d 3dr r = 2 2
S2 =
c
3d + 2r BD 2
6α
-
2r
=
3θ h
-
2
3θ
2
m
m
=
3d 4θ
=
c
3d
+
d
m; θ ^ d
θ
6
1 - 3θ
2
hE
3α α
α
1
2
3
S2 - S1 = 7 2 ^10α + 6αh 2
=
4
d
2
d2 (1 - 9θ2) q + 1)(1 - 3q) = (3 3 3
π
4-
^3 α + αh 2
2
c m ^ h
16α 4 2
4α
-
=
7 2
=
7 2
π
7 2
p
7 2
p
32a - 4a = 28a =
6θ
6θ
2
S1 + S2 =
3d 4θ
S1 + S2 =
d
S1 + S2 =
d
d
+
2
^1 - 9θ2h
3
6θ
π
S1 + S2 =
a= π
2
;
3
=
2 - 9θ
+
θ 4 2
θ
1 2
6θ
2
2
12θ
-
3 2
E
G
d2 (2 - 9θ2) 12θ3
8
3 2
Del gráfico, calcula el área sombreada en términos de q y d, además OA = LCD .
Halla el área de la región sombreada, si: OA = OB = AP = AQ = 4 cm
!
A
A
C
Q d
P 2θ 3θ
O
B
Resolución:
Resolución:
AO = OQ = OB = Radio
A
C
S1
M
15°
d S2
60°
2θ
OA = 2r
12
45°
r
De la gura:
Tenemos: 15° = π rad
A
2d
r
O
B
O
D
Luego:
Q
π
3θ B
S = 12 2
P
D
45° O
B
S=
2 3
^ 4 h2
π cm2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
11
4
De la figura, halla Sx en función de S1 y S2.
De (1) y (2): r = 2
Luego: A=
Sx θ rad
θ rad
A=
S1
c c
L1 + L2 2
m π` j m π^ h r 2
r -
2+4 22
2
2
1
A = (6 - p) m2
θ rad
S2
6 Resolución:
De Sx: Sx =
θB
θ . a2 & a2 = 2S x θ 2
c
b
10
Resolución:
Sx θ rad a
Se tienen dos ruedas tangentes con centros fijos, si A gira qA teniendo un radio igual a 20, calcula el diámetro de B si esta gira θ qB, además: A = 9
De S1:
θ rad
S1 = θ c 2
S1
2
&
c
2
=
2S1
Se cumple: L1 = L2 qA . RA = qB . RB
B
θ
A
θ A . 20 = RB θB
θ rad
20
De S2:
S2
S2 =
θB
L2
θ b2 & b2 = 2S2 2 θ
θ A
L1
RB =
9 10
. 20 = 18
Piden: 2RB = 2(18) = 36
Por Pitágoras tenemos: a2 = c2 + b2 2Sx
θ
5
=
2S1
θ
+
2S2
θ
&
Sx
=
S1 + S2
7
En el sistema mostrado la polea de radio 1 da 4 vueltas. ¿Qué
ángulo gira la polea de radio 4?
De la figura mostrada, ¿cuál es el área de la región sombreada, si L AB = 2 m, LCD = 4 m, además AOB y COD son sectores circulares?
A
B
!
!
2 3
C
C
D 1
4
A
Resolución: O
1 rad B
D
Resolución: r
C
A 4
R 2 O
1 rad B
Tenemos que:
Las poleas B y C tienen el mismo eje por lo tanto: nC = nB = 2 Finalmente, A y B están unidos por fajas, se cumple: nAr A = nBr B nA(4) = (2) 3 θ A
L = qR Para
12
D
Las poleas D y C están unidas por fajas entonces: nDr D = nCr C (4)(1) = nC(2) nC = 2
2π
AOB: 2 = 1 . R
...(1)
COD: 4 = R + r
...(2)
Intelectum 5.°
(4) = 6 qA = 3p rad = 3p rad 180° π rad
`
qA = 540°
T 8
Cuántas vueltas da la rueda mostrada cuando gira sin resbalar desde A hasta B (considera p = 22/7)
10 Del gráfico, la rueda se traslada de A a C sin resbalar, la longitud que recorre el centro de la rueda de A a B es igual a 17 m. Si la
rueda da 7 vueltas desde A hasta C, ¿cuál es el radio de la rueda? (Considera p = 22 )
O
7
2 cm r
14 cm
B
A B
A
C 27 m
11 cm
Resolución:
Resolución:
Para el ejercicio, sabemos: nV =
θ (R - r )
!
=
´1
... (1)
2πr r = 2 cm
qR = 11 cm
&
q=
De la expresión: nv =
11 14
9
11 (14 2) 14 2π (2) -
=
,c
2πr
De los datos: c = 1 + 2
3 4
C 27 m
En (1):
nV =
´2
A B
Por dato: R = 14 cm, L AB
r
; nv = 7
27 c = 44 m c = 17 +
11 (12) 14 . 4 . 22 7
Reemplazando:
&
nV =
`
La rueda da 0,75 vueltas desde A hasta B.
0,75
=
En el sistema de poleas mostrado, cuando la polea D da 6 vueltas, la polea A da 28 vueltas.
¿Cuál es el radio de la polea A?
z=
44 2πr
r=
22 7π
=
22 22 7. 7
r = 1 m
`
11 En la siguiente figura O y O1 son centros. Calcula el perímetro de la región sombreada. P
B
A C r A
2
3 cm
7
60°
O
M
O1
N
Resolución:
4 D
En el gráco: P
Resolución:
Poleas C y D unidas por una banda, entonces: nCr C = nDr D nC(2) = (6)4 nC = 12 Poleas C y B unidas por el mismo eje: nC = nB = 12 Finalmente, A y B poleas en contacto, entonces: nAr A = nBr B r A = 3
60°
O
30°
M
c
60° 180°
m(3 cm) p cm h m^
OPN: LPN =
En el
O1PM: LPM =
En el
OPO1: MN + OM + NO1 = 6 cm
!
!
c
π
30° 180°
=
3
3 cm
3 cm + MO1 - MN = 6 cm 3 cm + 3 3 cm - MN = 6 cm
c
Piden: π +
3 2
O1
N
En el
(28)r A = 12(7) `
3 3 cm
3 cm
π+3 3
-
&
=
3 2
π cm
MN = ^3
3
-
3 h cm
m
3 cm
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
13
Razones trigon ométricas de ángulos agudos DEFINICIÓN Son los diferentes cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, con respecto a uno de sus ángulos agudos. Sea el triángulo rectángulo ACB, respecto al ángulo agudo A definimos: B
Nota
senq =
cateto opuesto hipotenusa
cosq =
cateto adyacente hipotenusa
=
b c
tanq =
cateto opuesto cateto adyacente
=
a b
cotq =
cateto adyacente cateto opuesto
=
b a
secq =
hipotenusa cateto adyacente
=
cscq =
hipotenusa cateto opuesto
c a
B
c c
α
A
b
C
A
Sabemos que: a < b / c < b Entonces: a b
1
<
/
c b
sena < 1
θ
C
b
Se cumple: • Ángulos complementarios 1
a c
<
m+A + m+B = 90° cosa < 1
/
Análogamente: csca > 1
a
a
=
/
• Teorema de Pitágoras 2
seca > 1
2
a + b
2
c
=
=
c b
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Razones trigonométricas recíprocas
Para un mismo ángulo, si el producto de dos razones trigonométricas es igual a la unidad, entonces son recíprocas.
Aten ción Se puede armar para un mismo ángulo: sen y csc Recíprocos cos y sec tan y cot
senacsca = 1
sena =
1 csc α
cosaseca = 1
cosa =
1 sec α
tanacota = 1
tana =
1 cot α
Ejemplo: Calcula b + 20°, si b es agudo: sen36°csc b = 1
&
1 csc β
sen36° =
sen36° = senb
Nota: Sean a, b, q, x, y, z, ángulos agudos: a = x senacscx = 1 b = y cosbsecy = 1 q = z tanqcotz = 1 &
&
b agudo: &
b = 36°
`
b + 20° = 56°
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Sean a y b ángulos complementarios (a + b = 90°), se cumple: sena = cosb
tana = cotb
seca = cscb
Ejemplos: • sen40° = cos50°
14
Intelectum 5.°
• tan70° = cot20°
• sec30° = csc60°
T Razones trigonométricas de ángulos notables
Estas razones se obtienen a partir de triángulos rectángulos notables donde la proporción entre sus lados y la medida de sus ángulos interiores es conocida. sen
60° 2k
cos
tan
cot
sec
Observación
csc
Otros triángulos notables
k
30°
30° 3k
1 2
1
3 2
3
5
2
3
2
3
2k
82°
k
8° 7k
60°
1 2
3 2
2
1
3
3
7k
3
16°
45° 2k
74°
25 k
2
24 k
k
45°
45°
1
1
2
k
1
1
2
2
2
37°
3 5
4 5
3 4
4 3
5 4
5 3
53°
4 5
3 5
4 3
3 4
5 3
5 4
53° 5k
3k
37° 4k
A partir de estos triángulos rectángulos se pueden obtener otros notables:
135° 2
143° 2 a
10 a
a
5a
37°/2
45°/2 a( 2 + 1)
127° 2
a
53°/2
3a
2a
Ejemplos: 1. Calcula tan15°, en:
Observación
Resolución:
A
En el triángulo ACB notable de 30° y 60° 60°
1
15° 2
C
3
15° 2
30° B 2 + 3
P
prolongamos CB hasta el punto P, tal que BP = BA. Luego, ABP isósceles; en el TACP: m+ APC = 15° Entonces: tan15° =
1 2+
Para el triángulo notable de 15° y 75° se cumple: N
a 75° M
15° R
O 4a
3
NO MR
2. En la figura, halla x:
=
1 4
Resolución: 6
B
El triángulo rectángulo BCD es notable de 53° y 37°,
C
como BC = 6, entonces: BP =
En el triángulo isósceles BPA: BP = AP =
53° P
30°
E
15 2
Luego en el APE notable de 30° y 60°, se tiene: x
A
15 2
x
=
` x =
AP 2
15 4
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
15
Problemas resueltos 1
Según el gráfico, calcula sen q.
Resolución: B
Del enunciado: Luego: Q = tanatanq
A
N
α
45°
θ
A
3
C
Q=
c
1
Resolución:
B
a 2
B
a 2
M
C `
a
a 1 . 2 a
Q=
1 2
N
2 1
4
45°
θ
A
H
M 1 2
2
1 2
En el triángulo ABC, si BM es mediana, calcula cot q.
C
D
B
1
Trazamos BH y NM los cuales determinan puntos medios en AC y HD respectivamente. De la gura, tenemos: N
senq =
1 θ
A
Q=
θ
a 2 c . c a
M
5 2
senq =
53°
45°
A
θ
C
M
1
Resolución:
29 2 2 29
Trazamos la altura BH = 4a =
2 29
B
29
4a
2
3 4
Si: cosf =
, f es agudo, calcula:
J = 13csc2f + 3tan2f
53°
45°
A
4a
H
3a
θ
M
AHB notable de 45°:
AH = BH = 4a Resolución:
BHM notable de 37° y 53°:
Sea f ángulo agudo en el TABC:
HM = 3a
A 4 x
φ C
B
3
Por el teorema de Pitágoras: x2 + ( 3 ) 2 = 42 x2 = 16 - 3 x = 13
Luego: AM = MC = 7a
En TBHC: tanq =
En J: J = 13csc2f + 3tan2f J = 13
2
`
2
c m c m
J = 13 .
4 x
+
x
3
42 ( 13 ) 2
3
3 .
+
( 13 ) 2 3
J = 16 + 13 ` J = 29
5
16
En un triángulo ABC (B = 90°) se traza la mediana AM (M en BC); y se cumple que: m +BAM = a; m+ACB = q. Calcula: Q = tanatanq.
Intelectum 5.°
tanq =
=
4a 10a
2 5
Si: tan(3q - 60°)senbtan2qcscb = 1 Calcula q. Resolución:
Sabemos que: senbcscb = 1 /
3
BH HC
1 tan2θ
cot2q
=
tan(3q - 60°) = cot2q
Por ser co-razones tenemos: (3q - 60°) + 2q = 90° 5q = 150° ` q = 30°
7a
C
T 6
Si: cos(3x - y + 10°)sec(x - y + 50°) = 1, calcula: J = sec3xcos2(2x + 5°)
9
Calcula cos α , si ABCD es un cuadrado. 2
18
B
7
Resolución:
P
cos(3x - y + 10°)sec(x - y + 50°) = 1 cos y sec son razones recíprocas: 3x - y + 10° = x - y + 50° 2x = 40° x = 20° En J: J = sec3xcos 2(2x + 5°) J = sec60°cos 245° 2 J = 2 . 1
α
A
J = 1
D
Resolución: 18
B
c m
`
C
1
2
7
C
P1
Q
R
ω
θ
α
24
7
cos3xsec69°
24
1 / tany = cot63°, donde y, 3x agudos.
=
Calcula: P = csc2(2x - 1°)sen2(2y + 6°) A
Resolución:
Trazamos QP y PR:
De los datos: cos3xsec69°
y; 63° son ángulos complementarios: y + 63° = 90° y = 27°
En P: P = csc2(2 . 23° - 1°) . sen2(2.27 + 6°) P = csc245° . sen260°
`
8
P=
AQP notable de 37° y 53° & q = 53°
1
=
cos y sec son razones recíprocas: 3x = 69° x = 23° tany = cot63°
P = ( 2 )2.
D
2
c 23 m
3 2
Halla (a + b) en las siguientes expresiones: sen(a + 30°) = cos(4a + 10°) tan(b + 20°)cot50° = 1 siendo a y b agudos. Resolución:
De los datos: sen(a + 30°) = cos(4a + 10°) (a + 30°) y (4a + 10°) son ángulos complementarios: a + 30° + 4a + 10° = 90° 5a = 50° a = 10°
tan(b + 20°)cot50° = 1 tan y cot son razones recíprocas: b + 20° = 50° b = 30° ` a + b = 40°
DRP notable de 16° y 74° & w = 74°
Luego: q + w + a = 180° 53° + 74° + a = 180° a = 53°
cos α = cos 53c
`
2
2
=
2
5 5
10 En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se cumple: senA + senB + cosA + cosB = 3 Calcula el valor de E: E = tanA + tanB Resolución: Del enunciado, se tiene el gráco: A c
b
C
a / cos A c
=
b c
•
b / cosB c
=
a c
senB
=
• a2 + b2 = c2
B
a
• senA =
Del enunciado: senA + senB + cosA + cosB = 3 a c
+
b c
Luego:
+
b c
+
a c
(a + b) 2 c &
c
2
2
+
c
=
3
=
9 4
2ab 2
&
=
Piden: tanA + tanB =
&
9 4 a b
a+b c
=
3 2
a2 + b 2 + 2ab c2 &
2ab c
+
b a
2
=
a
=
2
5 4
+
ab
b
9 4
=
ab
&
a 2 =
2
+
b
2
=
5 8
8 5
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
17
Resolución de tr iángulos rectángulos CASOS Se presentan los siguientes casos:
Aten ción El lado opuesto de q está relacionado con sen q y tan q. El lado adyacente de q está relacionado con cos q y cot q.
Conocidos un ángulo agudo ( a) y la hipotenusa (b) A α
Datos: hipotenusa “b” y un ángulo agudo “a” Incógnita: determinar los catetos en función de “b” y “a”
b c
a
B
C
θ
b
senq =
a
En el
&
a = csenq
cosq =
b c
&
b = ccosq
tanq =
a b
&
a = btanq
cotq =
b a
&
b = acot q
c
ABC: sena =
BC b
cosa = AB b
&
BC = bsena
&
AB = bcosa
Conocidos un ángulo agudo ( a) y su cateto opuesto (a) A α
Luego:
Datos: cateto opuesto “a” y un ángulo agudo “ a” Incógnita: determinar el otro cateto y la hipotenusa en función de “a” y “a”
ao csen θ o btanθ
c
B
θ
C
a
b o ccosθ o acotθ
ABC: cota = AB
En el
a
csca = AC a
&
&
AB = a cota AC = a csca
Conocidos un ángulo agudo ( a) y su cateto adyacente (c) A α
Datos: cateto adyacente “c” y un ángulo agudo “a” Incógnita: determinar el otro cateto y la hipotenusa en función de “c” y “a”
c
B
En el
C
ABC: tana =
BC c
seca = AC
Nota
c
El área de una región triangular está dada por el semiproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados
&
&
BC = c tana AC = c seca
Ejemplos: 1. Del gráco, calcula “x” en términos de “m” y “ q”. C θ
θ
x a
b
E m
S
θ
A
S=
18
a.c 2
senq
Intelectum 5.°
Resolución: AED: isósceles: mBEAD = mBEDA entonces: AE = ED = m
D
B
T EDC: por ángulo exterior: mBCED = 2q además: CD = EDtan2q x = mtan2q Impor tante
2. Según el gráco, halla el perímetro del cuadrado ABCD en función de q y m. B
La hipotenusa de un triángulo rectángulo está relacionada con sec q y cscq
C
B
E
c
a
m θ
A
θ
A
D
secq =
Resolución: ADE: AD = AE cosq = m cos q Luego: 2p = 4m cosq
cscq =
C
b
c b
c = b sec q
&
c
c = a cscq
&
a
Luego: c o bsenθ o acscθ
a
3. Del gráco que se muestra, halla x en términos de a y a. θ
B
b
C
a M x α
A
D
Resolución: ABCD: AD = a + x MAD: MA = AD tana x = (a + x)tana x = a tana + x tana x(1 - tana) = a tana x=
a tan α 1 - tan α
Efectuar 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reduce:
L = secAsecCsenCsenA
7. La gura mostrada es un trapecio, calcula: M = 5 senθ tan θ; (AE = BE = BC)
2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reduce: L = senC . senA 3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reduce: L(sec2A - cot2C)(csc2C - tan2A) 4. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 1 y 7 , calcula la cosecante del menor ángulo agudo. 5. En un triángulo rectángulo los lados mayores miden 3
y
5
, calcula el seno del menor ángulo agudo.
6. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro, se pide calcular la cosecante del mayor ángulo agudo.
B
A
C
θ
E
D
8. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es 5/2 del producto de los catetos, halla el valor de la
cotangente del menor de los ángulos agudos. 9. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos vale 2,4 m, ¿cuánto vale el cateto mayor?
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1
19
Problemas resueltos 1
3
Si en el gráfico: 2AM = MB cos (θ - α) Calcula: E = cosθ. cos α
Halla x en función de a y b. C 45°
B
a
b
x
α
M
A
B
D
θ
A
C
D
Resolución: C
Resolución:
45° 45° B
2n
a
b
x
A1
A2
α
A
M
n
θ - α
A
D
BD = 2nseca BH = 3ncosq cos(q - a) =
BH BD
&
E =
`
2
cos (θ α) cos θ . cos α -
Del gráfico, halla:
3n cosθ 2n secα
=
=
Por áreas: A (ACB) = A1 + A2
θ
θ
C
H
3 cosq . 2
=
cosa
AHB
A
BHC
a.b 2
=
b.x sen45 2
a.b 2
=
b.x 2 . 2 2
°
a .x sen45 2
°
+
+
a.x 2 . 2 2
Reduciendo: 2ab = x
3 2
A
B
D
x =
`
4
a .b
2
(a + b)
2
^a + bh
De la figura, halla tana. D
B α
θ
A
H
α
A
C
2a
C
B
Resolución:
Resolución:
D
Sea: HC = m B
α
θ
α
θ
A
H m
En el En el &
A
AHB =
(m tan θ) (mtan θ) 2
A
BHC =
m(m tan θ) 2 2
&
20
A
AHB
A
BHC
=
m tan 2
3
=
2
=
θ
2
m tan θ 2
Intelectum 5.°
2
tan q
=
3
m tan θ 2
m2 tan θ 2
B atanα C
2a acotα
C
Del gráco: acota = 2a + atana cota = 2 + tana
BHC: BH = mtanq AHB: AH = BHtanq AH = mtan2q 2
A
1 tan α
=
2 + tana
tan2a + 2tana - 1 = 0 tan α
=
2!
^ 2 h2
-
2
4^1 h^ 1 h -
=
-
tana = 2 + 1 0 tana = - 2 - 1 Como a es un ángulo agudo: tan a 2 0 ` tana = 2 + 1
2!2 2
2
unidad 2
AnGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos ángulos se clasifican en ángulos de elevación y ángulos de depresión.
Nota Cuando se observa la totalidad de un objeto se genera un ángulo de observación:
b: ángulo de depresión
a: ángulo de elevación
q: ángulo de observación
Ejemplos: 1. Desde dos puntos separados 84 m, se observa la parte alta de un poste que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación de 37° y 45°. Halla la altura del poste. Resolución:
h
Del gráfico: 3k + 4k = 84 7k = 84 k = 12
3k
=
37°
45° 4k
84 m
3k
Impor tante 6
2
-
6
75°
+
2
15° 1
Piden: h = 3k = 3(12) = 36 m
75° 2
-
15° 3
2 4
+
3
tan15° = cot75° = 2 -
3
tan75° = cot15° = 2 +
3
2. Desde un helicóptero que se encuentra a 100 3 m sobre el nivel del mar, se observan dos botes cuyos ángulos de depresión son 15° y 75°. Halla la distancia que separa a los botes. Resolución: 15°
100
Del gráfico:
75°
100
3
75° 100
15° d
3 cot75° 100
3 cot15°
3
cot75° + d = 100
d = 100
3
d = 100
3 2+
d = 100
3 2 3
3
cot15°
(cot15° - cot75°)
_
_
3
-
_2 -
3
ii
i
d = 600 m
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
21
ÁNGULOS HORIZONTALES Son aquellos ángulos ubicados en el plano horizontal, que en la práctica son determinados por el uso de la rosa Náutica.
Rosa Náutica
Observación NE NO NNE NNO
> > > >
N45°E N45°O N22°30'E N22°30'O
N1/4 NE < >
N11°15'E
< < < <
N1/4 NO < >
Llamada también compás marino, es un instrumento de orientación que permite localizar un punto respecto de otro llamado referencia; haciendo uso de las llamadas direcciones o rumbos (32) y los puntos cardinales (N; S; E; O) formando entre dirección y dirección un ángulo de 11°15'. N 1 / 4 N N N O
N O 1 O / 4 N N O N O 1 / 4
N11°15'O
O
N
E N 4 / N 1 E / 4 N N 1 N E
θ θ θ
O N O
N E N 1 / 4 E
θ
θ
O 1 / 4N O
O O O 1/ 4 S
O O S
O 1 / 4 O S O S S 4 O / 1 S O O S S S 4 S / 1 S
N E
E
E N θ E θ E 1/ 4 N θ
E E 1 / 4 S E E S E S E 1 S / 4 E S E
S S S 1 E / 4 S E
q = 11°15'
E 1 / 4 S
Rumbo
Nota El opuesto de una dirección dada se obtiene cambiando las direcciones que aparezcan por sus respectivos opuestos, sin cambiar el ángulo. Dirección Dirección opuesta NaE SaO N1/4NE
S1/4SO
SO ENE
NE OSO
Es el ángulo agudo horizontal que forma la dirección de la persona u objeto con respecto al eje norte-sur, cuando esta se desvía hacia el este (E) u oeste(O).
Dirección Es la línea recta sobre la cual se encuentra la persona u objeto con respecto a una rosa Náutica, quedando determinada dicha dirección por su rumbo. N A θ
O
E
P
El rumbo de A con respecto a P es q al este del norte. La dirección de A con respecto a P es N q E (norte q este).
S
Ejemplos: Dos autos parten desde un mismo punto A; el primero en la dirección N aE y el segundo con rumbo S2 aE. Cuando el primero recorre 20 metros y el segundo 21 metros, la distancia que los separa es 29 m. Calcula a. Resolución: Notamos que el triángulo BAC es rectángulo, ya que
N B 20 m α
O
A
29 m E
2α 21 m C
S
se cumple el teorema de Pitágoras. Luego, tenemos: a + 90° + 2a = 180° 3a + 90° = 180° 3a = 90° a = 30°
Efectuar 1. Desde un punto en tierra ubicada a 20m de un edicio, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 26°, ¿cuál es la altura del edicio? 2. Desde lo alto de un edicio de 30 m de altura se ve un objeto en tierra con un ángulo de depresión de 38°, ¿a qué distancia de la base del edicio, se encuentra el objeto?
22
Intelectum 5.°
3. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 10°. Si nos acercamos 20 m, el ángulo de elevación se duplica. ¿Cuál es la altura de la torre? 4. Desde un punto en tierra ubicado a 40 m de un gran hotel, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37°, ¿cuál es, aproximadamente, la altura del hotel?
T
Problemas resueltos 1
Un castillo se encuentra en la parte más alta de una colina que tiene una inclinación de 15° con respecto al plano horizontal. Desde un punto sobre la colina a 18 m del pie del castillo se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 45°. Halla la altura del castillo.
Resolución:
Resolución:
Sea la altura del faro: 4x En el
3 4
ABC (37°; 53°)
BC = 3x En el
Se observa que: h = 18cos15°tan45° - 18sen15° h
=
`
18
<
6
+
2
4
h=9
2
-
6
-
2
4
4
F
x = 12
Nos piden: 4x = 4(12) = 48 m
4x
=
3x + 28
Karen observa la parte más alta de una torre de 12 m con un ángulo de elevación igual a q. Si avanza 13 m lo observa con un ángulo de elevación igual a 2 q. Calcula: E =
m
4x 3x + 28
&
ABD (37°; 53°)
tan 37°
=
2cot
q 2
13
Resolución:
2
Interpretando los datos:
Desde un punto se observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación a; y desde el punto medio de la distancia que separa el pie de la torre y el punto, el ángulo de elevación es el complemento de a. Calcula la tangente del segundo ángulo.
Resolución: Del gráco: AB = BC = 13 m
Entonces:
Entonces, por T. de Pitágoras: BD = 5 m
cot
Nos piden:
2x m
_
tan 90° - a 2x m
=
m x
&
i = cota =
m
=
m x
5
2x
Nos piden:
_
tan 90° - a
3
Reemplazamos: E= `
Por T. de Pitágoras: x2 = 182 + 122 = 468 x = 6 13
Del gráco: =
q - 13 2
Trazamos CP, de tal modo que: PA = AC = x
Sea la altura de la torre: m
cota
2cot
i = mx
=
2x x
=
2
2
d
6 13 + 18 12
n
-
13
E = 3
Dos ciudades A y B están separadas 50 millas una de la otra. La ciudad B está situada con respecto a A, 58° al este del sur. Una tercera ciudad C se ve desde B en la dirección 62° al oeste del sur. Calcula la distancia en millas de la ciudad B a la ciudad C.
Resolución: N O
Desde lo alto de un faro se observa, a un mismo lado, dos barcos anclados, con ángulos de depresión de 53° y 37°. Si los barcos están separados una distancia igual a 28 m, ¿cuál es la altura del faro?
6 13 + 18 q = 2 12
A
E 58°
S
50 millas 30°
N
58°
28°
O 60°
x C
B
62°
ACB es notable: E
&
x = 25 millas
S
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
23
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Recue rda Los cuadrantes en el plano cartesiano se dividen así: y IIC IIIC
Todo ángulo trigonométrico dibujado en el plano cartesiano con su vértice en el origen de coordenadas, con su lado inicial en el eje positivo de las abscisas y su lado final en alguno de los cuatro cuadrantes es llamado ángulo en posición normal. Observa el siguiente gráfico:
IC IVC
y x
Lado final Lado inicial
α
a: ángulo en posición normal
x
O Vértice
Como indicamos anteriormente, el lado final de un ángulo en posición normal puede pertenecer a alguno de los cuatro cuadrantes, pero también puede coincidir con alguno de los ejes coordenados. A este tipo de ángulos se les llama ángulos cuadrantales. Los principales ángulos cuadrantales son: y
y
O
x
x
O
x
270° O
Los siguientes ángulos también son cuadrantales. y
y
180°
90°
Atenc ión
y
O
y 450° x
x
-180°
La medida de un ángulo cuadrantal es siempre un múltiplo de 90°, es decir: 90° . n ó
y
y
p 2
. n; n ! Z
Las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal son:
-270° x
y
x
-90°
P(x; y) r
sena = y
α
O
x
cosa =
x
tana =
y r x r
y x
csca = seca = cota =
r y r x
x y
Ejemplo: Observa el siguiente gráfico y calcula las razones trigonométricas del ángulo a: Recue rda
y
La longitud del radio vector se calcula así:
5
r=
Intelectum 5.°
(3) 2 + (5) 2 5
sena =
α
O
24
r=
P(3; 5)
r
x2 + y 2 ; r > 0
Donde: x: abscisa y: ordenada r: radio vector
Resolución:
3
3
cosa = tana =
34 5 3
9 + 25
=
34
=
5 34 34
csca =
34 5
=
3 34 34
seca =
34 3
34
x
=
cota =
3 5
360°
x
T
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Anteriormente ya hemos visto la definición de un ángulo cuadrantal, en esta parte conoceremos las razones trigonométricas de cada uno de ellos. RT
sen
cos
tan
cot
sec
csc
0°
0
1
0
ND
1
ND
90°
1
0
ND
0
ND
1
180°
0
-1
0
ND
-1
ND
270°
-1
0
ND
0
ND
-1
360°
0
1
0
ND
1
ND
m+
Impor tante Los ángulos negativos se forman cuando el ángulo gira en sentido horario. y
-β -α x
O
ND: no definido
ÁNGULOS COTERMINALES Para que dos o más ángulos sean coterminales deben tener el mismo lado inicial, final y vértice. Observa los siguientes gráficos: y
y θ
φ x
-α
x
-ω
Observación -a y q son ángulos coterminales
f y - w son ángulos coterminales
Las razones trigonométricas de ángulos coterminales son iguales. Tomando como ejemplo el gráfico de la izquierda tenemos:
sen( -a) = senq cos(-a) = cosq tan(-a) = tanq
Los ángulos coterminales no necesariamente deben ser ángulos en posición normal.
csc( -a) = cscq sec(-a) = secq cot(-a) = cotq
La diferencia de dos ángulos coterminales es una cantidad exacta de vueltas, que se r epresenta por: 360° . n ; n ! Z De lo anterior se puede deducir que para hallar los ángulos coterminales de un ángulo solo se le debe sumar a este un número entero de vueltas, es decir: dado el ángulo q en general sus ángulos coterminales serían de la siguiente forma:
Recue rda Los signos de las razones trigonométricas de cualquier ángulo dependen del cuadrante en que se encuentre el lado fnal. Observa el siguien te gráfco: y
q + 2p . n ; n ! Z
Ejemplo: Si cosq = -0,6 y tanq 2 0; halla: H=
2
Se cumple:
tan θ + senθ sec θ
-
=
cosq = -0,6 = - 3 5
2
IIIC
(+) Tan Cot
IC Todas RT son positivas IVC
x
Cos (+) Sec
=
-
&
cosq 1 0
=
cosq 1 0 / tanq 2 0 & q ! IIIC
• secq = r
y
x
θ
x
-
=
5 3
= -
=-
-
5 3
Reemplazando en la expresión:
H
dn d n d n 4 3
5
(−3; a)
2
(+) Sen Csc
(-3) + a = 5 9 + a2 = 25 a2 = 16 (a 1 0) & a = -4 y 4 4 • tanq = x 3 3 y 4 4 • senq = r 5 5
Resolución:
&
IIC
=
+
5 3
-
4 5
=
8 15 5 3
=-
8 25
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
25
Problemas resueltos 1
8 17
Si q ! IIC y senq =
y
, halla: (x; y)
E = secq - tanq
7 r 25 =
Resolución: y
Se cumple: a2 + 82 = 172 a2 + 64 = 289 a2 = 225 (a 1 0) & a = -15
y r x cota = y
17
sena = θ
x
Piden: E = secq - tanq
E=
2
17 - 15
- 17 +
8
=
15 2
Si cos q
1 = 9
-9
=-
15
3 5
=
7 25 24 7
-
=-
24 7
B = tanq + cotq
4
Resolución:
M=
7 2 25
-
M
7 25
20 7
=
y q ! IIIC, calcula:
-
24 7
+
= -
4
4 5
`
M=
-
4 5
Del gráfico, calcula cot a; siendo O 1 centro de la semicircunferencia OA BH = 5 3
y además:
1 =! 3
Del dato: cosq
=
Reemplazando:
8 - 15
c m c m -
α
8
a
E=
x
24
−
(a; 8)
y D
Como q ! IIIC, entonces el cos q es negativo, por lo tanto: cosq =
-
1 3
y
α
O
θ
−1
(−1; y)
=
cotq = x y
=
-
32 = (-1)2 + y2 9 = 1 + y2 2 & y = 8 y = !2 2
2 2 1
=
Analizamos los siguientes triángulos:
1 2 2
=
En el triángulo BHD:
-
53°
-2 2
H
2 2
=
D
12k 37°
2 2 1 . 2 2
En el triángulo AHD:
D
-
-
2 4
12k 53°
9k
A
B
37°
`
2 2
B=
+
9
2 4
En el gráco, tenemos: y D(31k; 12k)
=
9 2 4
12k
2
α
4
Se sabe que cos a = -0,96;
-
3p 1 a 1 -p 2
Calcula: M = sena(2cota + 4)
Resolución: Del dato: cosa = Como
26
-
96 100
-
=
3p 1 a 1 -p 2
24 25
-
&
Intelectum 5.°
a ! IIC
53°
37° O
A 15k
3
H
16k
Reemplazamos: B=
B x
H
OA 5k 15k = = BH 3k 9k
Por dato:
&
Del gráco y 1 0, entonces: y = y x
O1
Resolución:
=
tanq =
37°
x r 3
Luego: r 2 = x2 + y2
A
16k
O1
B x
H 9k
31k
Del gráco: DH = 31k (medida de la abscisa) HD = 12k (medida de la ordenada) Así encontramos un punto en el lado nal del ángulo a: D(31k; 12k) Luego, nos piden calcular: cota = x = 31k = 31 y 12k 12
T
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE
DEFINICIÓN Es un procedimiento que permite calcular las razones trigonométricas de ángulos trigonométricos de cualquier magnitud relacionados con RT de ángulos del primer cuadrante. Estas relaciones se establecen debido a que las RT son periódicas, es decir, repiten sus valores en cierto intervalo o periodo. Recue rda
er
1. caso
90°
Para ángulos menores que una vuelta: 90°
90° + θ 180° − θ
90° − θ 360° + θ
180° 180° + θ 270° − θ
270° + θ 360° − θ
180°
IIC sen y csc (+)
IC todas (+)
IIIC IVC tan y cot cos y sec (+) (+)
0° 360°
RT( n # 90° ! q) =
(!) RT(q), si n: par (!) Co-RT(q), si n: impar
0° 360°
270°
270°
Ejemplos: Reduce al primer cuadrante: ! IV C ! II
C
1. sen145° = sen(180° - 35°) = sen(2 # 90° - 35°) = sen35° ! IV
6 4 47 4 4 8
3. sec 17p = sec 10
= csc
d
3p 2
+
p
5
n
p 5
C
2. tan280° = tan(270° + 10°) = tan(3 # 90° + 10°) = - cot10°
4. cot(p + q) = cotq ! III
Aten ción
C
Al ángulo de la RT que se va a reducir se le resta un número entero de vueltas de tal manera que el ángulo que quede sea positivo y menor que una vuelta y luego se procede como en el 1. er paso.
2.° caso Para ángulos mayores de una vuelta:
Ejemplo: cos750° = cos(2 # 360 + 30°) = cos30°
RT(n # 360° + q) = RT(q); n ! Z
=
Ejemplos: Reduce al primer cuadrante: 1. tan600° = tan(360° + 240°) = tan240° = tan60° =
3. sen 91p = sen
d
= sen
a
6
3
90p 6
p+
= - sen π 6
2. sec3000° = sec(8 # 360° + 120°) = sec120° = -sec60° = - 2
4. tan
a
55
k
+
p
6
6
n
k
=-
d tan d
p
1 2
3p p + q = tan 26p + +q 2 2
=
3 2
3p +q 2
n
n
= - cotq
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
27
3.er caso Para ángulos negativos: sen(-q) = -senq cot(-q) = - cotq cos(-q) = cosq sec(-q) = secq tan(-q) = -tanq csc( -q) = -cscq Ejemplos: Halla el valor de las siguientes RT: 1. sen(-690°) = - sen690° = - sen(360 # 1 + 330°) = - sen330° = - sen(4 # 90° - 30°) = -(-sen30°) =
Nota 1. sen( a - b) = sen[ -(b - a)] sen( a - b) = -sen( b - a) Análogamente se cumple para:
3. cot(-2782°) = - cot2782° = - cot(360° # 7 + 262°) = - cot262° = - cot(2 # 90° + 82°) = - cot82°
1
=-
2
2. sec( -585°) = sec585° = sec(360 # 1 + 225°) = sec225° = sec(3 # 90° - 45°) = -csc45°
1 7
4. cos(-1965°) = cos1965° = cos(360° # 5 + 165°) = cos165° = cos(90° + 75°) = - sen75°
=- 2
=-
d
6 + 4
2
n
tan(a - b), cot(a - b) y csc(a - b)
2. cos( a - b) = cos[ -(b - a)] cos( a - b) = cos(b - a) Análogamente se cumple para: sec( a - b)
Propiedades 1. Si: a + b = 90° & sena = cosb tana = cotb seca = cscb
2. Si: a + b = 180° & sena = senb cosa = -cosb tana = -tanb
3. Si: a + b = 270° & sena = -cosb tana = cotb seca = -cscb
4. Si: a + b = 360° & sena = - senb cosa = cosb tana = - tanb
Ejemplos de aplicación: 1. Calcula M, si: M
=
π tan 12
5π + tan 12
Resolución: tan 7π tan (π 12 =
tan 11π 12
-
tan (π
=
7π - tan 12
5π ) 12 π
-
12
= -
)
-
11π tan 12
tan 5π 12
= -
tan
2. Halla el valor de b del siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas: sen(sen2a) + sen( p + senb) = 0
...(I)
sen(cos2a) + cos 1 (p + 2senb) = 0
...(II)
2
Resolución:
π
De la expresión (I) tenemos:
12
sen(sen2a) - sen(sen b) = 0
Reemplazamos: M = tan M
M
π
12
=
π tan 12
=
2 tan
;
Pero:
+
tan 5π 12
5π + tan 12
π 12
tan
π 12
tan
5π 12
+
=
tan
( tan 5π ) - (- tan π ) 12 12
sen2a = senb
- -
5π + tan 12
5π 12
tan 15°
+
π tan 12
De la expresión (II) tenemos: sen(cos2a) = cos( π - senb) 2
E
cos2a +
=
2
-
3
&
28
Intelectum 5.°
- senb = 90°
cos2a = senb
tan 75°
3
=
+
2+
2+
3
...(b)
sen2a + cos2a = senb + senb 1 = 2senb
3@ &
M = 8
π 2
Sumamos (a) y (b): =
Luego: M = 26 2 `
...(a)
senb =
1 = sen30° 2
` b
= 30°
T
Problemas resueltos 1
5
sen150 ° sec 300° - tan 135° tan315° + cos240°
Calcula: P =
Resolución: 555...25 = 4° + 25 = 4° + 1 R = sen((4° + 1) p + a)
Resolución: sen150° = sen(180° - 30°) = +sen30° =
1 2
2 ° 4p p + + 2 2
R = sen(
sec300° = sec(360° - 60°) = +sec60° = 2 tan135° = tan(180° - 45°) = -tan45° = -1
5
tan315° = tan(360° - 45°) = - tan45° = -1 cos240° = cos(180° + 60°) = -cos60° = - 1
2
P=
&
1+1 3 2
4 3
=-
sen 480° cos150° tan930° cot 240° sec 660° csc 330°
Calcula: L =
= cosa
a)
Calcula: E = cos 635p sen 427p 6
E
=
E
=
E
=
5
_ i
2
` R
4
tan
907p 3
Resolución:
2
Reemplazando: 1 . 2 - -1 P= 2 1 -1 2
R = sen( p + a)
`
a
ksena107 acos 6 ka cos 4 ka tan 3 k cos 106p p
E
p
2 2
-
p
p-
6
-
d nd 3 2
p
4
k tan a302
p+
p
3
k
p
n_ i 3
3 . =-
2 . 2.2
3 =-
3 2 4
3 2 4
=-
Resolución: L=
- sen120°cos 30°tan210° - cot 60°sec 300°csc 30 °
L=
sen(180 ° - 60°) cos30°tan (180 ° + 30 °) cot 60°sec (270° + 30°)csc 30 °
L=
&
d nd nd n d n_ i_ i 3 2
1
2
1
3
2
=
3 16
P= P=
Calcula el valor de la expresión: P=
5p 2p 7p tan csc 4 3 6 A = 5p 5p 11p cos cot sec 3 4 6 sen
P=
Descomponemos los ángulos:
a
k tan a 3 k csc a A = cos a2 k cota 4 k seca2 3 a sen 4 ka tan 3 ka csc 6 k A = acos 3 kacot 4 kasec 6 k p+
p-
p
-
p
p-
4
p
p+
p
-
p
d
-
A =
` A = - 3
1
3
p+
p
p
-
1 2
p
p
6
p-
k
p
6
7
i
sen 7 2_ A + B i + B A cos 7 2 _ A + Bi + A A sen _180° + B i cos _180° + Ai
-
-
tan _90° - 2Bi tan 7 3_ A + Bi + 2A A cot _2Bi
tan _270° + 2 Ai
- senB cot 2B - cos A - cot 2 A
&
P=
senB cot 2B + cos A cot 2 A
-
2 . 3 .2.2. 3 2.2
3
2
+
cot 2B - cot 2B
=
1-1
=
0
Se define: 2f (x) + f (-x) = senx; x ! R .
Resolución: Del dato: 2f (x) + f (-x) = senx Reemplazando x por -x en (1): 2f (-x) + f (x) = sen(-x) = -senx
p
=
senB senB
2
-2
2
_
tan 5 A + 3B
Calcula: A = [f ( p + x) + f (p + x)]2 + 2senxcosx
k
p
-
n_ i_ i d n_ id n 2 2
i
Tenemos que: A + B = 90° & senB = cosA 2A + 2B = 180° & cot2B = –cot2A Reemplazamos en la expresión:
Resolución: sen
_
tan A - B
Por dato: A + B = 90° & A = 90° - B Ordenamos la expresión:
3
3
_ i cos _3 A + 2B i sen 2 A + 3B
Resolución:
3 2
sen60°cos 30°tan30° cot 60°csc 30°csc 30°
Siendo A y B ángulos complementarios, simplifica: P=
L=
L=
6
sen(360° +120 °)cos(180 ° - 30 °) tan (2 # 360 ° + 210 °) cot (180 ° + 60°)sec (360 ° +300 °) csc (360 ° - 30 °)
3 2
= -
...(1) ...(2)
Sumando (1) y (2): 3f(x) + 3f(-x) = 0 & f(-x) = -f(x) Reemplazando f( -x) = -f(x) en (1): 2f(x) - f(x) = senx & f(x) = senx A = [sen( p + x) + sen(p + x)]2 + 2senxcosx 2
4
Reduce: R =
sen(555...25 p 2
+ a)
A = [cosx - senx]2 + 2senxcosx A = cos2x - 2cosxsenx + sen2x + 2senxcosx ` A = 1
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
29
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA DEFINICIÓN
Nota
Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas rectangulares y cuyo radio es igual a la unidad.
La ecuación de la circunferencia trigonométrica es: x2 + y2 = 1
y Medida de un arco positivo
B R 1 =
A(1; 0): origen de arcos
θ θ rad
A' O
A
B(0; 1): origen de complementos de arcos
x
α rad
A'(-1; 0): origen de suplementos de arcos
α
Impor tante
CT
Un arco dirigido en posición normal es aquel que se genera a partir del origen de arcos (A) y su extremo fnal es cualquier punto sobre la CT. y P(x0; y0)
B'
O(0; 0): origen de coordenadas
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Son segmentos dirigidos, de medidas positiva y negativa, los cuales nos representan en la circunferencia trigonométrica el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o número.
El seno de un arco es la medida del segmento que une el extremo del arco con el eje de las abscisas.
rad x
A
O
Medida de un arco negativo
I. Línea trigonométrica seno
θ θ
Donde:
Gráfica
CT
Variación del seno y
y B
CT
Además: (x0; y0) = (cosq; senq)
CT
N
1
α
A'
P
A O
M
x
O
x
s enα
α
Nota Q
Variación analítica del seno sen
π =
2
B'
1
MN = |sena| senπ
=
-1
θ
0
decrece crece decrece crece
sen0
=
sen2π
/
PQ = |senq|
-1 # sena # 1; 6 a ! R
0
=
0
II. Línea trigonométrica coseno sen
3π
El coseno de un arco se determina por la medida del segmento horizontal que une el extremo de un arco con el eje de las ordenadas.
1
=
2
-
Gráfica
Variación del coseno y
y
Nota Variación analítica del coseno cos
π
2
=
CT
B
A'
O
CT R
P
0
Q
α
A
S
α
θ cosπ
=
1
-
decrece decrece cre ce
cos
30
crece
3π 2
=
cos0
=
cos2π
1
=
B'
1
0
Intelectum 5.°
PR = |cosa|
/
-1
SQ = |cosq|
x
O
x
cosα
1
-1 # cosa # 1; 6 a ! R
T
Ejemplo: Calcula el área de la región sombreada. y
Resolución:
Nota
y
CT Asomb. =
CT
Variación analítica de la tangente
cos a . sena
base.altura 2
=
2
-3
Como: a ! IVC & cosa 2 0 & |cosa| = cosa x
|senα|
x
sena 1 0 & |sena| = -sena
α
α
senαcosα ` Asomb. = 2
|cosα|
tanπ
=
0
+3
cre ce
crece
cre ce
crece
+3
tan0 = 0 tan2π = 0
-3
III. Línea trigonométrica tangente La tangente de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco. Gráfica
Variación de la tangente
y
+3
y B
β
P
CT
B
CT
α a
A
A
x
O
A'
A'
Observación
x
O
La tangente no está defnida para los arcos cuyo extremo está en B o B', es decir, no se defne para todo arco de la forma:
Q B'
B' -3
AP = |tana|
%
AQ = |tanb|
/
-3 < tana < +3; 6 a ! R - (2n + 1)
/;n ! 2
p
(2n + 1) p ; n 2
Z
!Z
IV. Línea trigonométrica cotangente La cotangente de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de los complementos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco. Gráfica
B
Variación analítica de la cotangente
Variación de la cotangente
y N
cot
y
M
B
-3
CT A O
α
A'
x
A
β
/
=
0
-3
decrece decrece
+3
+3
decrece decrece
-3
a
BM = |cota|
2
x
O
B'
π
+3
CT A'
Nota
cot
B'
3π 2
=
0
-3 < cota < +3; 6 a ! R - {np}; n! Z
BN = |cotb|
Observación
Ejemplo: En la CT mostrada, calcula el área sombreada.
Resolución:
A
|cotα| S1
B 1 O
x
O
Por definición: AB = |cota| / CD = |tana|
y
y
Del gráfico: Asomb. = S1 + S2 + S3
S2 1
C S3 α
α
CT
La cotangente no se defne para los arcos cuyo extremo coincide con A o A', es decir, no está determinada para los arcos de la forma: n p; n ! Z.
x |tanα|
Asomb. = Asomb. =
1. cota 2 1 2
+
1.1 2
1. tana +
2
(1 + |tana| + |cota|)
` Asomb.= 0,5(1
(-) (-) - tana - cota)
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
31
V. Línea trigonométrica secante La secante de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x.
Nota
Gráfica
Variación analítica de la secante -3
secπ
= -1
y
+3
crece
crece
-3
sec 0
=
sec2π
CT
Q
1
=
y B
β
decrecedecrece
Variación de la secante
1
α P
O
A'
α
x
A
CT
+3
B'
-3
La secante no se defne para los arcos cuyo extremo coincide con B' y B; es decir, no está determinada para los arcos de la forma: (2n + 1)
1
+3
1
-
seca ! G-3; -1] , [1; +3H
Observación
p 2
x
O
; n ! Z.
OP = |seca|
/
a ! R - {(2n + 1) π }; n ! Z
OQ = |secb|
2
VI. Línea trigonométrica cosecante La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la línea tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y. Gráfica
Variación de la cosecante y
+3
y P CT
1
α
α
O
β
x
x
O
Nota Variación analítica de la cosecante csc
=
1
-
Q
1 -3
OP = |csca| +3
c re ce
d ec re ce
+3
-3
c re ce
d ec re ce
-3
/
OQ = |cscb|
csca ! G-3; -1] , [1; +3H a ! R - {np}; n ! Z
Ejemplos: csc
= -1
1. En la gura adjunta se tiene una CT. Calcula el área de la región trapecial OMPQ. P
2. Halla el área de la siguiente región sombreada. y S
M
Resolución: Analizamos la gráca: B
α
α
O
R
Observación
S;
=
=
A
β
B
x
Q A/B
A'
P cscβ
M
α
O cosα
β
A
x
CT
^QO + PMh^RPh 2
_- sec a - cos ai
` S; = -
Intelectum 5.°
O
Resolución:
Observa que: MP = |cosa| & PM = -cosa OQ = |seca| & QO = -seca RP = |sena| & PR = sena
32
A' CT
S;OMPQ
S
β
Q
La cosecante no se defne para los arcos cuyos extremos coinciden con A o A', es decir, la cosecante no está determinada para los arcos de la forma: (n p) ; n ! Z
y
P
Q
2
.sena
_sec a + cos ai sena 2
En la CT se observa que la línea OS representa la cscb, mientras que QM representa el cos a, entonces: OS = |cscb| = cscb (+) QM = |cosa| = -cosa (-) (OS) (QM) Luego: S DOQS = 2 (csc β) (- cos α) SDOQS = 2 `
SDOQS =
-
1 c sc β c os α 2
T
LÍNEAS AUXILIARES Senoverso (o verso) El verso de un arco es el segmento dirigido en el eje x que parte del punto cuya coordenada es el coseno de dicho arco hacia el origen de arcos. y α
N
A
Del gráfico: MA = versa NA = versq
x
O M
versa = 1 - cosa versq = 1 - cosq
& &
Impor tante
θ
Arcos cuadrantales
Cosenoverso (o coverso) El coverso de un arco es al segmento dirigido en el eje y que parte del punto cuya coordenada es el seno de dicho arco hacia el origen de complementos. y B
Son aquellos arcos en posición normal, cuyo extremo coincide con alguno de los puntos de intersección de dos ejes con la CT. Ejemplo: y
π
P O
Del gráfico: PB = cova RB = covq
α
x
R
2 & &
cova = 1 - sena covq = 1 - senq
rad
O
x
θ
y
Exsecante (q external) La exsecante de un arco es el segmento dirigido en el eje x que parte del origen de arcos hacia el punto cuya coordenada es la secante de dicho arco.
O
-π
y
N
M
α
O
A
x rad
Del gráfico: AM = exseca & exseca = seca - 1 AN = exsecq & exsecq = secq - 1
x
θ
Ejemplo: De la figura, calcula OP en términos de q. y
Del gráfico:
CT
θ
tana =
P x
O
OP 1
sen θ =
OP =
&
cos θ
+
1
sen θ 1 + cos θ
Como: q ! IIC & senq 2 0 & |senq| = senq cosq 1 0 & |cosq| = -cosq Resolución: y θ
Reemplazando tenemos:
|cosθ|
OP =
CT P
` OP
|senθ|
1
=
sen θ cos θ
-
=
senθ versθ
senθ vers θ
α
|cosθ| O
1
x
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
33
Problemas resueltos 1
<
F
Si: x ! 3p ; 2p y además sen 2x = 2
n - 5, 3
3
En la CT, halla la distancia entre A y C en términos de b. y
calcula el menor valor entero de n.
β
CT
Resolución:
C
Como x se encuentra limitado, analicemos los valores que puede tomar en la CT.
x
O
y
A /2
π
π
2π x
Resolución:
senx
Gracamos la CT: y
-1
3π /2
Entonces: - 1 # senx # 0 1 $ sen2x $ 0 1 $ n - 5 $ 0
0
M
&
Luego, en el MNC: (MN)2 + (NC)2 = (MC)2 sen2b + (1 + |cosb|)2 = (MC)2 sen2b + (1 - cosb)2 = (MC)2
... (1)
< b < 5 p
...(I)
(I) en (II): sen2b + (1 - cosb)2 + (CA)2 = (AM)2 sen2b + 1 - 2cosb + cos2b + x2 = (2)2 2 - 2cosb + x2 = 4 & x2 = 2 + 2cosb ` x = 2 + 2 cos b
halla los valores de la siguiente expresión: 2 2
x
En el MCA: (MC)2 + (CA)2 = (AM)2 ...(II)
... (2)
2
x
1 A
2 A partir de las siguientes condiciones: senb > tanb
C
O 1
n $ 5 3
6$
18 $ n $ 15 nmín. = 15
sen
1
N |cos β|
`
P = 1 -
CT
|sen β|
3
3p 2
β
b+2
Resolución: Analicemos las dos condiciones en la CT: y
4
5π /2 tanβ
senβ
&
De la CT, halla PQ en términos de b. y
senβ < tanβ CT
x
senβ 2π
tanβ &
senβ > tanβ
O
3π /2
Q
P
x
β
Entonces: 3p 2
< b # 2p
Resolución:
-1 < senb # 0 1 > sen2b $ 0
3 > sen2b + 2 $ 2
Del gráco, tenemos: 1 3
&
-2 3 1 3 `
34
Intelectum 5.°
<
1
#
2
b+2 2 > 2 sen b + 2 sen
> 1-
;
sen
P ! 0; 1
3
1
D
$- 1
2 2
y
1 2
CT
C
tanβ
tanβ
m O
$0
1
b+2 β
A
n P
Q
x
T m + n = 1 & n = 1 - m En el ADC: m 1
=
1 tan b + 1
&
m
...(I) 1
=
tan b + 1
Resolución: y
...(II) |senθ|
(II) en (I): n = 1 -
5
x
1 1 tan b + 1
tan b + 1 - 1
n=
x2 + y2 = 1
θ
tan b + 1
&
n
tan b
=
Se trata de una circunferencia trigonométrica. Para el cálculo del área de la región triangular, usaremos distancias, por ello emplearemos el valor absoluto.
tan b + 1
Calcula el máximo valor de: R
=
2sen2x + 3 6
+
Asomb. =
cos 2x + 2 3
senq base . altura 1. senq = = 2 2 2
Como q ! IIC
Resolución: Si: R
A
senq 2 0
Asomb. =
|senq| = senq
senq 2
1 4 424 4 3
B
7
R = A + B
Calcula el área de la región sombreada.
En A, sabemos que: -1 # sen2x # 1 -2 # 2sen2x # 2 1 # 2sen2x + 3 # 5
&
Reemplazamos:
2sen2x + 3 cos 2x + 2 = + 6 3 1 44 2 4 43
&
1/6 #
y
CT
2sen2x + 3 # 5/6 6
x α
1/6 # A # 5/6 En B, sabemos que: -1 # cos2x # 1 1 # cos2x + 2 # 3
Resolución:
1 c os 2x + 2 # #1 3 3
y
1 #B #1 3 1 5 # A # 6 6
x
|senα|
1 #B #1 3
|cosα|
1 1 5 + +1 # A + B # 6 3 6
&
1 11 #A+B # 2 6
Asomb. =
1 11 #R # 2 6 `
6
CT
base.altura 2
cos a sena =
2
Como: a ! IVC & cosa 2 0 & |cosa| = cosa
Rmáx. = 11/6
sena 1 0 & |sena| = -sena Calcula el área de la región sombreada. y θ
Reemplazamos: x
2
2
y
+
1
=
Asomb. = x
`
_cos ai_- senai 2
Asomb. = - sena cos a 2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2
35
unidad 3
IDENTIDADES TRIGONOMeTRICAs DEFINICIÓN
Impor tante Debes recordar que en una circunferencia trigonométrica se cumple: y B
M (cosθ; senθ)
A
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Las identidades fundamentales se dividen en tres grupos: a) Identidades recíprocas b) Identidades por cociente c) Identidades pitagóricas A continuación estudiaremos cada uno de estos grupos:
θ
O
Es una ecuación que contiene operadores trigonométricos (sen, cos, sec, csc, tan y cot) y que es válida para todos los valores admisibles de la variable o variables.
x
(cos q; senq) = (x; y)
a) Identidades recíprocas Para realizar la definición y demostración de cada identidad recíproca tomaremos como referencia la circunferencia trigonométrica. Analizamos el siguiente gráfico: y B r 1 =
θ
A' O
Del triángulo rectángulo PQO tenemos:
P(x; y) A Q
csc q = OP x
1 ; senq ! 0 senθ
=
PQ
q ! np ; n ! Z
&
Por lo tanto: senqcscq = 1 ;
6
q ! R - {np / n ! Z}
B'
Además: secq = Nota
&
En resumen, las identidades recíprocas son:
Por último, definimos la última identidad recíproca:
OP OQ
1 ; cosq ! 0 cos θ
=
tanq = PQ
OQ
q ! (2n + 1) π ; n ! Z 2
&
Luego: secqcosq = 1 ;
senqcscq = 1 secqcosq = 1 cotqtanq = 1
6 q ! R -
$(2n
+
tanq ! 0
/ cotq
/
Por lo tanto: 1) π / n 2
!
Z
.
= OQ PQ
cotq =
&
1 tan θ
q ! n π ; n ! Z 2
cotqtanq = 1 ; 6 q ! R -
$n π2
/ n
!
Z
.
De las identidades recíprocas se deducen las siguientes identidades: senq =
1 cscθ
cosq =
1 secθ
tanq =
1 cot θ
cscq =
1 senθ
secq =
1 cos θ
cotq =
1 tanθ
b) Identidades por cociente Nota En resumen, las identidades por cociente son:
tanq = cotq =
Tomaremos como referencia, para la definición y demostración de estas identidades, el gráfico anteriormente presentado. y Luego: cot q = x = cosθ ; senq ! 0 Sabemos que: tan q = = senθ ; cosq ! 0 y senθ x cos θ
θ θ
sen cos cos
&
θ θ
sen
&
36
Intelectum 5.°
tanq =
&
2
θ ; 6 q ! R - (2n + 1) π / n θ 2
sen cos
q ! (2n + 1) π ; n ! Z
$
!
Z
.
&
cotq =
cos
q ! np ; n ! Z
θ ; 6 q ! R - {np / n ! Z} θ
sen
T
c) Identidades pitagóricas Del gráfico anterior, observamos que en el triángulo rectángulo PQO se cumple lo siguiente: x2 + y2 = 12
Aten ción
cos2q + sen2q = 1 ; 6 q ! R
&
Dividimos entre cos 2q la identidad anterior: cos
2
θ 2 cos θ
&
+
sen
2
θ cos θ
=
2
1 cos
2
Por último, dividimos la primera identidad pitagórica entre sen2q:
1 + tan2q = sec2q
&
θ
cos
2
θ sen θ 2
cos q ! 0 ; q ! (2n + 1) π ; n ! Z
sen
2
θ sen θ
+
1
=
2
sen
2
&
θ
1 + cot2q = csc2q
En la resolución de problemas debemos notar que se usa más de una identidad. También se recomienda expresar todo el enunciado en función de senos y cosenos, casi siempre es necesario para identicar las identidades.
2
2
&
Por lo tanto:
sen2q ! 0; q ! np; n ! Z
Por lo tanto:
1 + tan q = sec q ; 6 q ! R - (2n + 1) π / n 2 2
2
$
!
z
.
1 + cot2q = csc2q ; 6 q ! R - {np / n ! Z}
Ejemplos: A continuación presentamos diferentes aplicaciones de las identidades trigonométricas. 1. Simplifica:
Luego de factorizar, multiplicamos en aspa:
2
P
tan x =
2
-
sen x
-
cos x
2
cot x
2
sen x
2
P
=
2
cos x
Resolución: Expresemos P en función de senos y cosenos: 2
P
=
2
2
-
sen x
sen x
cos x
=
2
cos x 2
1
2
-
cos x 2
cos x 1
2
-
sen x 2
sen x
n o
2
2
sen xsen x 2
cos x
=
2
2
cos x cos x 2
Impor tante
sen x
Teorema de Pitágoras 4
sen x 2
d e
2
cos x
2
-
cos x
sen x
c c
1 2
-
cos x 1 2
-
sen x
1 1
m m
sen x =
cos x 4
B
6
2
P
=
cos x
sen x 6
=
6
tan x &
cos x
AB2 + AC2 = BC2
2
sen x A
C
2. Demuestra: cosxcotx - (1 - 2sen2x) cscx = senx 2
Resolución: Para demostrar identidades debemos comenzar trabajando en el miembro más operativo.
cos x senx
-
1 senx
2
cos x - 1 senx
cosxcotx - (1 - 2sen2x)cscx = senx
- sen
cosx
senx
2
- (1 - 2sen x)
1 senx
2
senx
Expresamos cada término en función de senos y cosenos: cos x
+ 2senx = senx
x
+ 2 senx = senx + 2senx = senx
-senx + 2senx = senx Nota
= senx
senx = senx
Las identidades pitagóricas en resumen son: cos2q + sen2q = 1
3. Si: senx + cosx =
1 2
Resolución: Elevamos al cuadrado cada miembro del dato: (senx + cosx) 2 =
1 + cot2q = csc2q
1 + 2senxcosx =
1 4
senxcosx =
1 2
c
senxcosx =
-
3 8
2
c m 1 2
1 + tan2q = sec2q
; halla senxcosx.
sen2x + cos2x + 2senxcosx =
1 4
1 4
-
1
m
1
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
37
IDENTIDADES AUXILIARES 1. sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q
4. sen6q + cos6q = 1 - 3sen2qcos2q
2. tanq + cotq = secqcscq
5. sec2q + csc2q = sec2qcsc2q
3. (1 ! senq ! cosq)2 = 2(1 ! senq)(1 ! cosq) Demostración A continuación demostraremos las identidades auxiliares usando las identidades fundamentales. 2
1. (sen2q + cos2q) = (1)2 sen4q + cos4q + 2sen2qcos2q = 1
Observación
sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q
Las siguientes identidades se deducen de las identidades pitagóricas: 2
2
cos q = 1 - sen q
2. tanq + cotq =
sen2q = 1 - cos2q
+
cos θ senθ
2
2
sen θ + cos senθcos θ
=
θ
=
1 senθcos θ
tanq + cotq = cscqsecq
sec2q - tan2q = 1 csc2q - cot2q = 1
senθ cos θ
3. (1 + senq + cosq)2 = 1 + sen2q + cos2q + 2senq + 2cosq + 2senqcosq (1 + senq + cosq)2 = 2 + 2senq + 2cosq + 2senqcosq (1 + senq + cosq)2 = 2(1 + senq) + 2cosq(1 + senq) (1 + senq + cosq)2 = 2(1 + senq)(1 + cosq) En general:
(1 ! senq ! cosq)2 = 2(1 ! senq)(1 ! cosq)
4. (sen2q + cos2q)3 = (1)3 sen6q + cos6q + 3(sen2qcos2q)(sen2q + cos2q) = 1 sen6q + cos6q = 1 - 3sen2qcos2q 5. sec2q + csc2q = sec2q + csc2q =
1 cos
2
+
θ
1 sen
2
θ
θ + cos2 θ 2 2 cos θsen θ
sen
2
=
1 cos
2
θsen2 θ
sec2q + csc2q = sec2qcsc2q
Efectuar 1. Reduce: L = (tanq + cotq)senq
7. Reduce: U = (secα - cosα)(1 + cot2α)
2. Reduce: E = senαtanα + cosα
8. Si: senxcosx = n Halla: N = tanx + cotx
3. Reduce: V = tanx(cscx - senx)
9. Halla k si: 2(1 + senα + cosα)2 = k(1 + senα)(1 + cosα)
4. Reduce: R = (senα + cosα)2 + (senα - cosα)2
10.Si:
senx 1 + cosx
+ cotx
6. Simplifica: N = senθ - cos θ csc θ - senθ
38
Intelectum 5.°
4 6
=
3 2
Halla: sen2αcos2α
5. Simplifica: I=
α + cos 4 α 6 sen α + cos α
sen
11. Si: senα + cosα = Halla: 4senαcosα
1 2
12.Si: senα + sen2α = 1 Calcula: 1 + cos2α + cos4α
T
Problemas resueltos 1
2 2
senα + cosα =
senx + 1 cos x cos x + 1 senx
1 + senx +
E=
Halla el valor de 4sen αcosα.
1 + cos x +
Resolución: Tenemos: (senα + cosα)2 =
E=
^cos x + 1h
2
c m 2 2
`
sen α + 2senαcosα + cos α = sen2α + cos2α + 2senαcosα =
1 2
H=
1 + 2senαcosα =
1 2
Resolución:
2senαcosα =
1 2
2
`
5
cos x ^senx + 1 h
1
=-
H=
Dada la siguiente igualdad: α + cos4 α 6 6 sen α + cos α
4
=
3 2
Halla: k = sen2αcos2α
H=
6
7 + sen x + ^cos x h
Si:
2
2
senα 3
=
cos α 4
Resolución:
sen6α + cos6α = 1 - 3sen2αcos2α = 1 - 3k
Como:
Reemplazamos en la igualdad: 4 4 sen α + cos α 1 - 2k 3 = = 6 6 1 3 k 2 sen α + cos α
&
k
>
`
cosα = 4k
/
U = 3k . 4k = 12k2 = 12 2
Si:
El dato, dividimos entre tanx: 1 tanx
1 - 2 cos θ senθ + cos θ
1 5
=
1 2
2
c m 1 5
=
, halla: N = senqcosq
2
1 - cos θ - cos senθ + cos θ
1 tanx
2
θ
=
1 2
2
Simplifica:
^senθ - cos θh^senθ + cos θh senθ + cos θ senθ
sen2q - 2senqcosq + cos2q =
1 4
1 - 2senqcosq =
1 4
2sen qcosq =
3 4
Resolución: E= 1 + cos x +
-
cos θ
=
1 2
=
1 2
=
1 2
Elevando al cuadrado:
1 + senx + tan x + sec x 1 + cos x + cot x + csc x
1 + senx +
2
sen θ - cos θ senθ + cos θ
&
&
E=
12 25
Resolución:
tanx + 4 = cotx 4 = cotx - tanx ` J = 4
4
4
0
k =
7
tanx + 4 =
senα = 3k
=
&
Si: tan2x + 4tanx = 1; halla: J = cotx - tanx
cos α 4
=
=
Sabemos: sen 2α + cos2α = 1 (3k)2 + (4k)2 = 1 & 9k2 + 16k2 = 1 25k2 = 1
2 - 4k = 3 - 9k 5k = 3 - 2 ` k = 1/5
=
senα 3
7+1 2
=
; 0° < α < 90°;
sen4α + cos4α = 1 - 2sen2αcos2α = 1 - 2k
2
... (1)
2
7 + ^sen x + cos x h
halla: U = senαcosα
tan x + 4 tan x tan x
senx cos x
2
Por teoría tenemos:
Resolución:
1 senx
4
2
Resolución:
3
1+
m m
Reemplazando (1) en la expresión:
4senαcosα = - 1
sen
1 cos x
7 + sen x + sen x 2
Del dato: cosx = 1 - cos2x = sen2x
1 2
=
1+
Si: cosx + cos2x = 1, calcula:
2
2
=
hc hc
cos x + 1 1 cos x 1 senx
senx
2
-
senx + 1
E = tanx
1 2
2
=
^senx + 1h ^cos x + 1 h
2 2
senα + cosα =
^ ^
senx cos x cos x senx
+
+
1 cos x 1 senx
`
N=
3 8
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
39
Angulos compuestos
IDENTIDADES DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS sen( a + b) = senacosb + cosasenb
Nota Existen identidades auxiliares que se derivan de las identidades de la suma y diferencia de dos ángulos. sen (α ! β) • tanα ! tanb = cos αcos β sen (α ! β) • cotb ! cotα = senαsen β
cos( a + b) = cosacosb - senasenb tan α + tan β tan(a + b) = 1 - t an α t an β
IDENTIDADES DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen( a - b) = senacosb - cosasenb
• sen( a + b)sen( a - b) = sen2a - sen2b
cos( a - b) = cosacosb + senasenb tan α - tan β tan(a - b) = 1 + t an α t an β
• cos( a + b)cos( a - b) = cos2a - sen2b • tanα ! tanb ! tan(a + b)tanαtanb = tan(a ! b) • 1
!
tanαtanb =
cos (α " β) cos αcos β
Ejemplos: 1. Calcula sen67°.
4. Calcula sen 21°.
Resolución:
Resolución:
sen67° = sen(30° + 37°)
sen(37° - 16°) = sen37°cos16° - cos37°sen16°
= sen30°cos37° + cos30°sen37° =
1 4 . 2 5
=
4+3 3 10
=
3 3 . 2 5
+
=
sen75°sen15° = sen(45° + 30°)sen(45° - 30°)
= sen2 45° - sen2 30°
cos7° = cos(60° - 53°)
= cos60°cos53° + sen60°sen53° =
1 3 . 2 5
=
3+4 3 10
6
15° 2
74°
=
25
1 4
-
2
1 2
E = tan22° + tan23° + 1 . tan22° tan23°
16° 24
=
E = tan22° + tan23° + tan(22°+ 23°) tan22°tan23°
tan 16 + tan 8 1 - tan 16 tan 8 c
7 24 1-
+
E = tan(22° + 23°) = tan45°
c
c
82°
=
1
Resolución:
Resolución: tan24° = tan(16° + 8°)
7
2
c m c m
6. Calcula: E = tan22° + tan23° + tan22° tan23°. 3. Calcula tan24°.
+
2
=
3 4 . 2 5
+
4
-
6
4 7 . 5 25
Resolución:
Resolución:
275°
-
5. Calcula sen75°sen15°.
2. Calcula cos7°.
Recue rda
3 24 . 5 25 44 125
1 7
7 1 . 24 7
=
c
73 168 23 24
E = 1 =
73 161
5 2
1 8° 7
PROPIEDADES 3. Si: A + B + C = (2k + 1) π ; k ! Z
1. Si: f(x) = asenx + bcosx, entonces: f(x)máx. =
a
2
+
b
2
/
f(x)mín. =
-
2. Si: A + B + C = kp ; k ! Z Se cumple: tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC cotAcotB + cotBcotC + cotBcotA = 1
40
Intelectum 5.°
a
2
+
b
2
2
Se cumple: cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC tanAtanB + tanBtanC + tanCtanA = 1
T
Ejemplos: 1. Calcula tanq. 8
B
C
2
Aten ción
θ
También se puede usar: cot α cot q + cot q cot b + cot b cot α = 1
3
2
A
4
E
D
8
. cot q + cot q.
3 4
+
3 4
cot q +
Resolución:
.
2 8 3
16
=
1
=
1
cot q = 8
B 2
C
α + q + b = 180°
&
tanα + tanq + tanb = tanα tanq tanb 8 2
α
+
tan θ +
4 3
4 3 16 3
θ
4 + tan θ +
β 3
A
4
E
D
`
=
=
=
tanq =
`
8 4 tan θ 2 3
tan q =
13 16 16 13
16 tan θ 3 13 tan θ 3 16 13
2. Si: α + b + φ + q = π . 2
A = tan(2α + 3b - q)tan(α - 2b + 3q), B = tan(α - 2b + 3q)tan(φ - q - 2α) C = tan(φ - q - 2α)tan(2α + 3b - q). Calcula: A + B + C Resolución: x = 2α + 3b - q,
Sean:
A = tanxtany
y = α - 2b + 3q,
z = φ - q - 2α
Además: x + y + z = α + b + φ + q = π
B = tanytanz
2
Entonces: A + B + C = tanxtany + tanytanz + tanxtanz = 1
C = tanxtanz
Recue rda
3. Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, calcula: R=
cos A senBsenC
+
cosB senAsenC
+
cos C senAsenB
Si:
x + y + z = p
senx = seny + z
cosx = - cosy + z
tanx = -tany + z
Resolución:
cosA = -cos(B + C)
Dato: A + B + C = p
cosB = -cos(A + C)
cosC = -cos(A + B)
R=
R=
- cos
^B + Ch
senBsenC
+
- cos
^ A + Ch
senAsenC
- cosB cos C +
senBsenC senBsenC
+
+
- cos
^ A + Bh
senAsenB
- cos A cos C +
senAsenC senAsenC
+
- cos A cos
B + senAsenB senAsenB
R = -cotBcotC + 1 - cotAcotC + 1 - cotAcotB + 1 R = 3 - (cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC)
&
R = 3 - 1 = 2
= 1
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
41
Problemas resueltos 1
Si: cos(45° - q) = m Calcula: sen qcosq, en términos de m.
Resolución: Sabemos:
c tan c tan
Resolución: Del dato: cos(45° - q) = m & cos45°cos q + sen45°sen q = m 2 2 cosθ + senθ 2 2 & senθ + cosθ
&
tan
2m
=
+
3b 12
5b 20
+
4c 20
m m
c
5a
3c
-
15
m
Elevando al cuadrado:
tan
&
1 1 + 2senqcosq = 2m2 2m
senqcosq =
2
5
1
-
&
tan
=
9 40
&
tan
=
tan
`
c
5a
-
3c
15
m
a 3
7 24
c c
=
-
c 5
a 3
+
b 4
b 4
+
c 5
m m
=
7 24
=
9 40
j = tancc
9 40 7 9 . 24 40
1+
sen2q + 2senqcosq + cos2q = 2m2
`
7 24
=
(sen q + cosq)2 = ( 2 m) 2
&
=
Piden:
m
=
4a 12
-
=
a 3
+
b 4
m c -
b 4
+
28 0 - 2 16 960 1023 960
64 1023
En el gráfico calcula a.
2
α
37°
2
5
Si: tan(a - b) = 2 / tan(b + c) = 3 Calcula tan(a + c).
Resolución: Si: a - b = α b + c = β
a
Resolución:
a + c = α + β
&
Del gráco:
De los datos:
2 a+2 / tan ^37° + αh = 5 5 a+2 De: tan(37° + α) = 5 tanα
tanα = 2 / tanb = 3 Nos piden: tan(a + c) = tan(α + b) `
3
2
=
tanα 1-
+ tan
β tan α tan β
=
2+3 1 - ^ 2 h^ 3 h
=
5 -5
tan37° + tan α 1 - tan37°tanα
&
tan(a + c) = -1
a=
&
Si: tan(A - B) = 2; tanC = 4 y tan(B - C) = 1 Halla tanA.
6
=
tan A - tanC 1 - tan A tanC
&
3 4
1-
87 14
2 5 3 2 . 4 5
+
En el gráfico, calcula x.
Resolución: Sabemos: tan(A - C) =
=
a+2 5
θ
…(1)
α
θ
x
También: tan[(A - B) + (B - C)] =
tan ^ A - Bh + tan ^B - Ch 1 - tan ^ A - Bh tan ^B - C h
…(2) 3
De (1) = (2): tan A - tanC 1 + tan A tanC
=
tan A - 4 1 + 4 tan A
=
` tanA
=
tan^ A - Bh + tan ^B - Ch
5
Resolución:
1 - tan^ A - Bh tan ^B - C h
Del gráco:
2+1 1 - ^ 2 h^1 h
tanθ
=
3 ; tan ^ θ + αh = 8 ; x x
tan(2q + α) =
1 13
12 x
tan(q + (q + α)) =
&
tanθ + tan ^ θ + αh
4
Si: tan
c
4a + 3b 12
Calcula tan
42
c
m
=
5a - 3c 15
7 24
y tan
m.
Intelectum 5.°
c
5b + 4c 20
m
=
4
9 40
1 - tanθtan ^ θ + α h 3 x 1-
8 x 3 8 . x x
+
=
12 x
&
x
=
=
12 x
12
2
12 x
=
a+2 5
c 5
mm
T
ANGULOS MÚLTIPLES
IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE Seno del ángulo doble
Observación
Formulas de degradación del coseno cos2 q = 2cos2q - 1
Triángulo rectángulo del ángulo doble
cos2 q = 1 - 2sen2q
Si consideramos a 2 q agudo se tiene:
sen2q = 2senqcosq
Coseno del ángulo doble
Tangente del ángulo doble 2
1
2
cos2 q = cos q - sen q
tan2q =
2tanθ
2 tan θ 1 - tan
2
2
+ tan θ
θ
2θ 1
2
- tan θ
Ejemplos: 1. Simplifica: B
=
8senx c os x c os 2x cos 4x 2sen8x
Resolución: 4 (2senx cos x ) cos 2x cos 4x B= 2sen8x B
=
2sen4x cos 4x 2sen8x
=
sen8x 2sen8x
=
=
4sen2x cos 2x cos 4 x 2sen8x
=
2 (2sen2x cos 2x ) cos 4x 2sen8x
Nota Para “n” cosenos: cosxcos2xcos4x ... cos2 n-1x
1 2
n
=
sen2 x n
2 senx
2 3
2. Si: tanα =
, halla: sen2 α - cos2α
Resolución: sen2α = 2senαcosα
13
2
=
2
2
3
.
13
cos2α = cos2α - sen2α
=
2
3
c
=
13
m c -
13
12 13
2 13
2
m
=
5 13
Recuerda Propiedades adicionales • cotq + tanq = 2csc2q
α
3
sen2α - cos2α
=
12 13
-
5 13
=
• cotq - tanq = 2cot2q
7 13
3. Si: 16tanx + tan2x = 1. Calcula: tan4x Resolución: Del dato: 16tanx = 1 - tan2x 2 tan x 1
=
2
-
tan x t an 2 x
Piden: tan4x =
2 tan 2x 2
1 - tan 2x
1 8
2 =
=
1
1 8
c m c m
-
1 8
1 8
2
=
16 63
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD Seno del ángulo mitad
Coseno del ángulo mitad
Nota
Tangente del ángulo mitad
El signo + o - depende del sen
θ 2
=
!
1
-
cos θ 2
cos
θ 2
=!
1 + cos θ 2
tan
θ 2
=!
1 - cos θ 1 + cos θ
cuadrante al que pertenece
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
θ 2
.
43
Ejemplos: 1. Si: cos q =
• cot
θ θ 2
θ
<
2. Si: cosq =
2π
Calcula:
2
Fórmulas adicionales 2
<
Calcula: cos θ
Atenc ión • tan
3 3π / 8 2
Resolución:
= cscq - cotq
3π 2
θ
<
<
Nota
2
2π
&
1+ =-
θ 2
<
<
π
&
θ d IIC 2
-
3 8
2
=-
11 8 2
=-
11 4
3π 2
<
θ tan 2
Fórmulas adicionales ` cos
• sen3 q = senq(2cos2 q + 1)
θ 2
= -
,
θ
!
-
3π ; π 2
θ 2
θ<-π
`
• 4senqsen(60°-q)sen(60°+ q) = sen3q
&-
1=+
1+
11 4
• cos3 q = cosq(2cos2 q - 1)
• 4cos qcos(60° -q)cos(60° +q) = cos3q
tan
1 3
Resolución: 3π 4
= cscq + cotq
θ cos
-
tan θ 2
=
3π 4
c m c m -
1 3
-
1 3
θ 2
<
<-
4 3 2 3
=
Recue rda Triángulo rectángulo notable de 54° y 36°
Seno del ángulo triple
Coseno del ángulo triple
sen3q = 3senq - 4sen3q
cos3 q = 4cos3q - 3cosq
tan 3θ
=
1
4. cos2q = 4cos3 2θ - 3cos 2θ
2. senq = 3sen θ - 4sen3 θ
5. tan12α =
3
3
3 tan4α
3
-
3
tan 4α 2
1 - 3 tan 4α
3
5
3
6. tan57° =
3. cos27q = 4cos39q - 3cos9q
36°
3 tan19° - tan 19° 2
1 - 3 tan 19°
+ 1
Efectuar
2 3
1.
Si: tanx =
2.
Reduce: cot6x - tan6x
, halla csc4x.
3.
Si: tan(45° + x) =
4.
Si: sen ` π
Intelectum 5.°
IIIC
2
=
3 tanθ
4
44
!
Tangente del ángulo triple
1. sen18q = 3sen6q - 4sen36q
54°
5
θ 2
2
Ejemplos:
- 2
&
IDENTIDADES DEL ÁNGULO TRIPLE
• tan q tan(60° -q)tan(60° +q ) = tan3q
10
π 2
3
-
x
j
=
2 5
, halla cos2x.
2 , halla sen 3x . 3
1 6
5.
Si senq =
6.
Si x = π , calcula:
7.
Halla x, si: cotx =
8.
Calcula sen6x, si: senx + cosx =
, calcula sen3 q.
8
2
1 - tan x 2
1 + tan x
tan 40° tan 20° tan 10°
5 2
3
-
tan 2
-
3 tan
θ
θ
T
Problemas resueltos 1
Sabiendo que: cot α - tanα = 2, halla: sen4α
Resolución:
Resolución:
C
Ordenando:
Trabajamos en la condición del problema: 2
1 + tan
tanα(cot α - tanα) = 2tanα tanαcotα - tan α = 2tanα 1 - tan2α = 2tanα 1 =
2 tan α
&
1 - tan
2
1 = tan2α
sen4α = ` sen4α
2 tan 2α 2
1 + tan 2α
=
&
2
1 + ^1 h
= 1
5
-1 # E # 1
` E ! [-1;
10 sen
x 1 225° 2
180° 1 x sen 2
` j
...(1)
E
1 = -
...(2)
6
2
-
1 5
-
= -
20
20 5
=-
5
2 5
= -
2
=-
2
x 2 x 1 + tan x tan 2 1 - tan x cot
Simplifica: M =
2
2 ^1
+
cos2 φh
; donde φ es un ángulo agudo. M
M
1 - ^1 - 2sen 2 ^1
2 ^1 - cos
+2
2
φh
2 ^1 + cos φh
cos
=
2
2
φh
2sen
φ - 1h
=
2+
2
2sen
φ
4 cos
2
^1 + cos φh^1 - cos φh 1 + cos φ
=
φ
2
φ
2 + 2 cos φ
7
=
x 2
=
1 - tan x^csc x + cot xh 1 + tanx^csc x - cot xh 1 - tanx csc x - 1 1 + tan x csc x - 1
Si: senθ =
tan
Observamos que: 0 < cosφ < 1 (φ es agudo) Entonces T máx., si cos φ es mínimo & cosφ = 0 &
Tmáx. = 1 - (0)
a-b a+b
= cscx + cotx
&
`
π
4
π tan 4
`
-
-
θ
2 θ 2
=
Entre qué valores varía la expresión E, si:
&
`
-
` π4
-
θ 2
j
2
` tan
θ 2
j
-
2
=
=
θ
-
θ 2
o`
; π 4
` π2 π cos ` 2
-
1+
-
1 - senθ 1 + senθ
=-
-
tanx cotx tanx cotx
1
j
1 - cos =
2 4 tan α^1 - tan αh
^1 + tan2 αh
π
tan 2
= 1 π tan 4
tan x cscx tan x cscx
=-
4
j e j
1 - tan x cscx 1 + tan x cscx
=
, halla: tan ` π
Resolución:
T = 1 - cosφ
E=
1
=-
tan x = cscx - cotx / cot
Resolución:
4
cos x 2
Entonces:
1 - cos 2φ
` Tmáx.
1]
Por identidad auxiliar sabemos:
Halla el máximo valor que puede tomar la siguiente expresión:
T=
o
Resolución:
M = 0
2+
α 1 + tan α 2
1 5
5
M = cos2b - cos2b
T=
-
e o
10
=
Reemplazando (1) en (2) tendremos:
2+
2
` 2x j
&
Resolución:
T=
α
1 - tan
Si: secx = 5 / 360° < x < 450°
Resolución: Dato: secx = 5 cosx =
En la expresión pedida tenemos: M = 2cos2α - 1 + 1 - cos2b M = 2cos2α - cos2b
1 + tan
2
me
α
Calcula: E =
Sabiendo que: tan 2α = 2tan2b + 1, halla:
Trabajamos en la condición: sec2α - 1 = 2(sec2b - 1) + 1 sec2α - 1 = 2sec2b - 1 2 2 & sec α = 2sec b 2 2 & cos b = 2cos α
2 tan α
B
2
1 - tan
c
Pero sabemos que: -1 # sen4α # 1
2 ^1 h
M = cos2α + sen2b
3
2
En el ABC adjunto reconocemos que: E = 2(sen2α)(cos2α) & E = sen4α
&
α
2α
A
Nos piden:
`
E=
2tan α
2
&
2
α
-
θ
2
j
!
IC
j θj θ
1=
1+
a-b a+b a-b a+b
b a
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
45
8
12 Si senq =
Simplifica: 2
F
=
senx^ 4cos x
9
-
1h
senx ^3 cos x^3
M=
2
-
=
=
1h
2
cos x^ 4sen x
Resolución: senx 6 4^1 F cos x 6 4 ^1 F
-
sen x h
-
2
-
cos xh
-
2
-
4sen x h
1@
=
4 cos xh
2
senx ^4
-
4sen x
cos x^ 4
-
4 cos x
-
4sen x =
3
3 cos x
4 cos x
-
-
2
3
3senx =
2
-
1@
-
1h
=-
tan3x
-
=
tan3x
M = 1 - 4sen2q = 1 - 4
Sabemos: cos2x = 1 - 2sen2x
M = 1 - 4
Entonces: =
62^1 - 2sen2 xh + 1 @ senx tan3x 3
F
=
Por identidad: cos θ^2 cos 2θ - 1 h M= = 2cos2q - 1 cos θ
Reemplazando: M = 2(1 - 2sen2q) - 1
^2 cos 2x + 1hsenx
Resolución:
F
cos3θ cos θ
Sabemos por identidad del ángulo doble: cos2 q = 1 - 2sen2q
Simplifica: F
3senx 4sen x tan3x -
=
^2 - 4sen2 x + 1h senx
=
c m 1 16
=
=
Resolución:
tan2x =
senx + 2senx cos x + 3(3senx - 4sen 3x ) E= (3 cos x - 1) (2 cos x + 1)
1 7
Nos piden: tan4x
2 tan x 2
1 - tan x
tan4x = tan2(2x) =
3
senx + 2senx cos x + 9 senx - 12 sen x ^3 cos x - 1h^2 cos x + 1h
2
2
=
2senx^5 + cos x - 6sen xh ^3 cos x - 1h^2 cos x + 1h
tan4x = 1
Pero: sen2x = 1 - cos2x E
=
2senx ^5 + cos x
-
2
6 + 6 cos x h
^3 cos x - 1h^2 cos x + 1 h
2
=
2senx ^6 cos x
+
cos x
-
1h
=
2senx^ 3cos x - 1h^2 cos x + 1h
^3 cos x - 1h^2 cos x + 1h
=
2 senx
11 Simplifica: M = 4cos3xsen 3x + 4sen3xcos 3x Resolución: Sabemos: sen3x = 3senx - 4sen3x cos3x = 4cos3x - 3cosx Reemplazando: M = 4(4cos3x - 3cosx)sen 3x + 4(3senx -4sen3x)cos3x M = 4(4cos3xsen 3x - 3cosxsen 3x + 3senxcos 3x - 4sen3xcos 3x) M = 4[3senxcosx(cos 2x - sen2x)] M = 12senxcosxcos2x M = 6 . 2senxcosxcos2x = 6sen2xcos2x M = 3 . 2sen2xcos2x & M = 3sen4x Intelectum 5.°
` tan4x
=
^3 cos x - 1 h^2 cos x + 1 h
Factorizamos el numerador por aspa simple: E
` M =
3 4
Resolución: 14tanx = 1 - tan2x 7 . 2tanx = 1(1 - tan2x) 1 7
E
1 4
cos 3x
=
=
-
1 4
Calcula: tan4x
sen3x sen 3x cos 3x
E = senx + sen 2x + 3sen 3x ( 3cosx - 1) ( 2 cosx + 1 )
E
1
2
c m
13 Si: 14tanx + tan2x = 1
tan 3x
10 Simplifica:
46
, calcula:
Resolución:
1h
sen 3x cos 3x
1 4
c m c m
2 tan 2x 2
1 - tan 2x
1 7
1 7
-
2
2 7 48 49
=
7 24
14 Si: 2tan3q = 3tan2q + 6tanq -1 Calcula: tan6q
Resolución: 2tan3q = 3tan2q + 6tanq -1 1-3tan2q = 6tanq - 2tan3q 1(1-3tan2q) = 2(3tanq - tan3q) 1 2 1 2
=
3 tan θ 1
-
3
-
tan
3 tan
2
θ
θ
= tan3q Nos piden: 1 & 3θ
53°/2 2
53° 2
=
tan6q = tan 53° =
4 3
T
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS Las transformaciones trigonométricas tienen como objetivo expresar sumas o diferencias de senos y/o cosenos en forma de producto (o viceversa) para simplificar expresiones trigonométricas.
TRANSFORMACIÓN DE UNA SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO Suma y diferencia de senos senα + senq = 2sen `
α+θ 2
Aten ción
j cos`
α-θ 2
j
senα - senq = 2sen `
α-θ 2
j cos`
α+θ 2
Para la demostración de las transformaciones trigonométricas hemos utilizado las identidades de ángulos compuestos estudiadas anteriormente.
j
Demostración: Sabemos por ángulos compuestos lo siguiente:
Luego realizamos un cambio de variable: α = x + y
sen(x + y) = senxcosy + cosxseny
(+)
sen(x - y) = senxcosy - cosxseny
q = x - y
sen(x + y) + sen(x - y) = 2senxcosy
α+θ
y=
/
2
α-θ
2
Por último reemplazamos estos valores en (1) y obtenemos:
Al sumar ambas expresiones obtenemos:
x=
&
...(1)
senα + senq = 2sen
La diferencia de senos se podrá demostrar de forma análoga.
c
α+θ
2
mcos c
α-θ
2
m
Suma y diferencia de cosenos cosα + cosq = 2cos
c
α+θ
2
mcos c
α-θ
2
m
cosα - cosq = - 2sen
c
α+θ
2
msen c
α-θ
2
m
Demostración: Tenemos por ángulos compuestos:
Realizamos el cambio de variable anteriormente utilizado:
cos(x + y) = cosxcosy - senxseny cos(x - y) = cosxcosy + senxseny
(+)
α = x + y q = x - y
Sumamos ambas expresiones:
cos(x + y) + cos(x - y) = 2cosxcosy
...(2)
α+θ
x =
&
2
/
y=
Impor tante Si al aplicar las transformaciones trigonométricas obtenemos ángulos negativos debes emplear las identidades de ángulos negativos.
α-θ
2
Finalmente, al realizar el cambio en (2) obtenemos: cosα + cosq = 2cos
c
α+θ
2
mcos c
α-θ
2
m
La diferencia de cosenos se demuestra de manera análoga. Ejemplo: Observación La siguiente identidad también es muy usada, veamos: Si: α + b + q = 180° & tanα + tanb + tanq = tanαtanbtanq
Simplifica: R=
sen2x cos2x
+
sen5x
+
+
cos5x
sen8x
R=
cos8x
+
R=
sen2x
+
sen8x
cos2x
+
cos8x + cos 5x
2x
+
2sen
R= 2 cos
c c
8x
2 2x
+
2
8x
+
+
sen5 x
+
cos5x
Factorizamos el término en común:
Resolución: Agrupamos convenientemente y transformamos a producto: R=
2sen5x cos 3x 2 cos 5x cos 3x
sen5 x^2 cos 3x
h sen5x = cos 5x cos 5x ^2 cos 3x + 1h +1
=
tan 5x
sen 5x
m c m c cos
cos
2x
-
8x
2 2x
-
2
8x
m m
+
sen5x
+
cos 5x
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
47
TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO A UNA SUMA O DIFERENCIA 2senαcosq = sen(α + q) + sen(α - q)
2cosαcosq = cos(α + q) + cos(α - q)
2senαsenq = cos(α - q) - cos(α + q)
Nota También puedes utilizar estas identidades:
La demostración de cada una de estas identidades se realizará de manera muy sencilla haciendo uso de las identidades de ángulos compuestos de la misma forma en que lo hicimos anteriormente.
• sen(a + b)sen(a - b) = sen2a - sen2b
Ejemplo:
• cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - cos2b
Calcula:
A = 8(-cos72° - cos180°)(cos36° - cos180°)
A = 32sen36° sen72° sen108° sen144°
A = 8
; A = 8 ;
Resolución:
5 -1 4
-
; A = 8 ;
A = 8(2sen144°sen36°)(2sen108°sen72°)
A = 8
A = 8(cos108° - cos180°)(cos36° - cos180°) Además sabemos que: cos108° = -cos72°
5- 5 4 25 5 16 -
E
E;
5 +1 4
^- 1h
E;
5 -1 4
1-
Agrupamos de manera conveniente:
-
-
E
^- 1h
E m > ^ h ^ ^h h H 5 +1 4
1+
Ec
5+ 5 4
=
10
=
5
8
2
5
-
4
2
2
Propiedades Si: α + b + q = 180°, entonces: β senα + senb + senq = 4cos α cos cos θ
β cosα + cosb + cosq = 4sen α sen sen θ + 1
sen2 α + sen2b+ sen2q = 4senαsenbsenq
cos2 α + cos2b + cos2q = - 4cosαcosbcosq - 1
sen2α + sen2b + sen2q = 2 + 2cosαcosbcosq
cos2α + cos2b + cos2q = -2cos αcosbcosq + 1
2
2
2
2
2
2
SERIES TRIGONOMÉTRICAS 1. Serie de senos cuyos ángulos se encuentran en progresión aritmética sen
Observación
senx + sen(x + r) + sen(x + 2r) + ... + sen(x + (n - 1)r) =
M = sen1° + sen2° + sen3° + ... + sen90°
=
1 2
cot
c m + 1 ° 2
nr
sen
c
P +U 2 sen r 2 2
1 2
2. Serie de cosenos cuyos ángulos se encuentran en progresión aritmética sen
cosx + cos(x + r) + cos(x + 2r) + ... + cos(x + (n - 1)r) = sen
Donde:
nr
c
P +U 2 cos r 2 2
P : primer ángulo U : último ángulo n : n.° de términos r : razón
PRODUCTOS TRIGONOMÉTRICOS NOTABLES +
6 n ! Z
, se cumple: sen
p
2n + 1
cos tan
48
m
Intelectum 5.°
. sen
p
2n + 1 p
2n + 1
2p 2n + 1
. cos
. tan
. sen
2p 2n + 1
2p 2n + 1
3p 2n + 1
. cos
. tan
... sen
3p 2n + 1
3p 2n + 1
np 2n + 1
... cos
... tan
np 2n + 1
np 2n + 1
2n + 1
=
=
2
=
n
1 2
n
2n + 1
m
T
Problemas resueltos 1
4
Calcula el valor de M . N si: M = 8sen36°sen144° / N = 4sen72°sen108°
Expresa como el producto de dos senos la siguiente expresión: R = sen2α - sen2q
Resolución:
Resolución:
En M tenemos:
Recordemos:
M = 8sen36°sen144°
sen
M = 4 . 2sen36°sen144°
x 2
R=
M = 4(cos108° - cos180°) = 4(cos108° + 1) En N tenemos:
R=
N = 4sen72°sen108° = 2 . 2sen72°sen108° N = 2[cos(108° - 72°) - cos(72° + 108°)]
2
2
x 2
1 =
-
cos x 2
-
1 - cos 2q 2
cos 2θ - cos 2α 2
R=
M . N:
c
2 α + 2θ 2
m c sen
2α - 2θ 2
m
2
R = sen(α + q)sen( α - q)
M . N = 4(cos108° + 1)2(cos36° + 1) M . N = 8(cos108° + 1)(cos36° + 1)
... (1)
5
5 -1 4
5 +1 4
cos36° =
sen
&
2
1 - cos 2a
2sen
N = 2[cos36° - cos180°] = 2(cos36° + 1)
-
cos x
-
En R tenemos:
M = 4[cos(144° - 36°) - cos(144° + 36°)]
cos108° = -sen18° =
1
!
=
Halla el equivalente de: senx + seny S= cos x + cos y Si: x + y = 30°
En (1) reemplazamos:
c M . N = 8 c M . N = 8
`
2
5
-
-
1
+
4
5-
5
4
mc
mc
1
5+
5
+
1
4 5
4
m
+1
m = 8 c
Resolución: Empleamos las fórmulas de transformación:
25 - 5 16
m = 10 S=
Factoriza: T = senb + sen3b + sen5b + sen7b
T = 2sen4b[2cos
c
2
mcos c
+
-
+
=
tan
ax 2 yk +
Como: x + y = 30° &
m]
S = tan15° 6
-
2
6
+
2
6
-
2h
S=
T = 4 sen4bcos2 bcosb
3
-
+
3β - β 2
+
ax 2 yk S= x y cos a k 2 sen
Resolución: T = senb + sen7b + sen3b + sen5b T = 2sen4bcos3 b + 2sen4bcosb T = 2sen4b(cos3b + cosb) 3β + β
a x 2 y k cos a x 2 y k x y 2 cos a k cos a x 2 y k 2 2sen
M . N = 10
Simplifica:
`
^a + qh - sen^a - qh E= cos ^b - qh - cos ^b + qh
S=
^
2
4
sen
6
Reduce:
Resolución: 2cos
E=
E= `
^α + θh + ^α - θh
; ; ^ β
2sen
S= 2 -
θh + ^β +
2 cos asenq 2senbsenq
E = cosαcscb
2
=
cosa
^ α + θh - ^α - θh
E ; θh E ; ^β sen
sen
2 +
θh - ^β 2
E θh E
cos
7x 2
cos
3x 2
-
sen
9x 2
sen
x 2
Si: x = π
10
Resolución: Multiplicamos S por 2:
senb
2S
=
2 cos
7x 3x cos 2 2
-
2sen
9x x sen 2 2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
49
8
Aplicando las fórmulas de transformación de un producto, tenemos: 2S
=
cos
-
c
7x 2
; c cos
+
9x 2
m
3x 2 -
x 2
cos
+
m
-
c
cos
7x 2
c
-
9x 2
3x 2
+
x 2
m mE
Resolución: Agrupando convenientemente: E=
2S = cos5x + cos2x - cos4x + cos5x 2S = 2cos5x + cos2x - cos4x Como x =
p
10
36°
?
&
2S
2 cos
=
E=
: 90° 5p 10
2p 10
1 4 1 4
[2sen66°sen6°][2sen78°sen42°] [cos60° - cos72°][cos36° - cos120°]
72°
72°
?
?
+ cos
Calcula: E = sen6° sen42° sen66° sen78°
-
cos
4
4p 10
S 0
5 - 1
18°
Recordar:
10 + 2 5
4k
54° k 10 - 2 5 54°
36° ( 5 + 1) k
4 10 - 2 5
cos 2p = cos36° =
36°
5 +1 4
10
5 + 1
Por ángulo doble: E =
&
4p
cos
10
=
cos 72°
=
5
-
1
4
` E
=
Reemplazando: 2S
5 +1 4
=
` S
=
9
5 -1 1 = 4 2
c
1 3- 5 4 4
mc
m
3+ 5 4
1 16
Calcula: Q = sen π + sen 5π + sen 9π + ... + sen 33π 15
1
15
15
15
4
Resolución:
7
Demuestra la siguiente igualdad:
Razón de la progresión: r =
sen x - sen2 x + sen3 x
Números de términos:
cos x - cos 2x + cos3x
= tan2x
n=
Resolución:
4π 15
U-P Razón
+ 1
33π π 15 15 4π 15
n =
&
Agrupando convenientemente: sen3x + sen x - sen2 x cos 3x + cos x - cos2x
= tan2x
sen
Q=
Transformando a producto: 2 sen2x cos x - sen2x 2 cos 2x cos x - cos 2 x
= tan2x
Factorizando: sen 2x (2 cosx - 1) = tan2x cos 2x (2cos x - 1 ) sen 2x &
cos 2x
Pero:
c
9 4π # 2 15
c m
4π sen 30
18π 15
=
sen
* sen
17π 15
=
sen
50
Intelectum 5.°
π 15
+
p
33π 15
2
cπ cπ
m π m
sen =
`
-
=
sen
π 5
18 15
sen
2 sen 15
+
3π 15
=-
sen
3π 15
+
2 15
=-
sen
2π 15
Q
sen
jc π m c πm -
sen
2 sen 15
2 15
&
=
&
c πm c πm π c m = - sen
Reemplazamos:
= tan2x
= tan2x
sen
f
* sen
Q ` tan2x
m
+ 1 n = 9
π 5
17 15
π 5
T
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
CONCEPTOS PREVIOS Función acotada Una función f es acotada, si 7 M !
+
R 0
tal que: |f(x)| # M ; 6 x ! Domf
Ejemplo: La función f(x) = senx es acotada, ya que |senx| # 1, 6x ! R sen x
-1 Conjunto de cotas inferiores
Función par Una función f es par si
Observación 1 Conjunto de cotas superiores
Función impar 6 x ! Domf cumple:
Una función f es impar si:
-3 - 2 -1 O
Ejemplo: ¿Es f(x) = x3 - 2x una función impar?
Ejemplo: ¿Es f(x)= x2 - 5 una función par?
Resolución: f(-x) = (-x)3 - 2(-x) = - x3 + 2x = - (x3 - 2x) = - f(x) ` f(x) es una función impar
Resolución: f(-x) = (-x)2 - 5 = x2 - 5 = f(x) f(x) es una función par
Función creciente
&
1
2 3
x
-5 • La gráca de una función impar, es simétrica respecto al origen. y
Función decreciente
Una función f es creciente en un intervalo I de su Una función f es decreciente en un intervalo I de dominio, si para todo par de números x 1; x2 que su dominio, si para todo par de números x 1, x 2 que pertenecen a dicho intervalo se cumple: pertenecen a dicho intervalo se cumple: x1 < x2
y
6 x ! Domf cumple:
f(-x) = -f(x) / -x ! Domf
f(-x) = f(x) / -x ! Domf
`
• La gráca de una función par, es simétrica respecto al eje y.
f(x1) < f(x2)
x1 < x2
Ejemplo:
&
-3 -2 -1 O
1
2
3
x
f(x1) > f(x2)
Ejemplo:
¿Es creciente la función f(x) =
x
¿Es decreciente la función g(x) = 2 ; x > 0?
?
x
Resolución: Resolución: Gráficamente observamos que la función f es creciente Gráficamente observamos que la función g es 6 x ! Domf. decreciente 6 x > 0. y f(x)
y
x
=
Observación g(x) x
=
2 x
x
El número T se denomina período principal si es positivo y mínimo entre todos los períodos positivos.
Función periódica Una función f es periódica, si existe un número real T ! 0, tal que 6 x ! Domf se cumple: f(x + T) = f(x) / (x + T) ! Domf Ejemplo: Halla el período principal de: f(x) = cosx Resolución: f(x + T) = cos(x + T) cos(x + T) = cosx cosx . cosT - senx . senT = cosx Hacemos: cosT = 1; senT = 0
&
`
T = 2kp; k ! Z+ T = 2p; 4p; 6p; ... El período principal de la función f(x) = cosx es 2 p.
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
51
ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno
Función coseno
f = {(x; y) ! R 2 / y = senx; x ! R } Observación
f = {(x; y) ! R 2 / y = cosx; x ! R }
y
y
Función seno Dominio : R Rango : [-1; 1] Período : 2p Función impar : sen( -x) = -senx
O
π
π
3π 2
2
O
x
2π
π
x
3π 2π 2
π
2
Función coseno Dominio : R Rango : [-1; 1] Período : 2p Función par : cos( -x) = cosx
Función tangente f = {(x; y) ! R 2 /
Función cotangente
2 y = tanx; x ! R - {(2n + 1) π }, n ! Z} f = {(x; y) ! R / y = cotx; x ! R - {np}, n ! Z}
2
Función tangente
y
y
π Dominio: R - (2n + 1) , n d z 2 Rango : R Período : p Función impar : tan( -x) = -tanx
%
/
O
−π
2
Función cotangente
π
x
3π 2
π
2
O
π
3π 2
π
2
2π
x
Dominio: R - {np}; n ! Z Rango : R Período : p Función impar : cot( -x) = -cotx
Función secante
Función secante π ,n d 2 : G-3; -1] , [1;+3H
Dominio : Rango
R -
%(2n
+
1)
/
z
f = {(x; y) ! R 2 /
2
y y
Período : 2 p Función par : sec( -x) = secx
1
Función cosecante Dominio : R - {np}; n ! Z Rango : G-3; -1] , [1;+3H Período : 2p Función impar : csc( -x) = -cscx
Función cosecante
2 y = secx; x ! R - {(2n + 1) π }, n ! Z} f = {(x; y) ! R / y = cscx; x ! R - {np}; n ! Z}
1 −π
2
O
π
3π 2
π
2
2π
5π 2
O
x
π
π
2
-1
3π 2
2π
x
1
−
REGLAS PARA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS Desplazamiento horizontal Sea la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función f(x - c) es necesario desplazar la gráfica de f en |c| unidades, a lo largo del eje de las abscisas. • A la derecha, si c > 0 • A la izquierda, si c < 0 Ejemplo: y y senx =
y sen(x − π) 4 =
O
52
Intelectum 5.°
π
π
4
2
π
3π 2
2π
x
En este caso: c= π 4
T
Desplazamiento vertical Sea la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función f(x) + c es necesario desplazar la gráfica de f en |c| unidades, a lo largo del eje de las ordenadas. • Hacia arriba, si c > 0 • Hacia abajo, si c < 0
Nota La amplitud de una función periódica con valor máximo M y valor mínimo m es:
Ejemplo: y 3 2 1
1
y = cosx + 2
O -1
π
3π 2
π
2
2π
2
Ejemplo: Sea: y = senx m = -1 ; M = 1
En este caso: c = 2
y = cosx x
(M - m)
` Amplitud
=
1 2
(1 - (-1)) = 1
Opuesto de una función Sea la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = -f(x) es necesario reflejar en forma simétrica la gráfica de f con respecto al eje de las abscisas. Ejemplo: y
-
y
O
π
π
senx
= -
Observación En general, el período de cualquier función de la forma: y = AsenBx o y = AcosBx; donde B > 0, es: 2π T=
x
2π y senx =
B
Suma de funciones Sean las gráficas de las funciones f(x) y g(x), para construir la gráfica de la función y = f(x) + g(x) es necesario sumar los valores correspondientes de las ordenadas de f(x) y g(x). Ejemplo: y
y = x
y = x + senx
y = senx 2π
-
-π
O
2π
π
x
Recue rda
Producto de funciones
Función
Sean las gráficas de las funciones f(x) y g(x), para construir la gráfica de la función y = f(x). g(x) es necesario multiplicar los valores correspondientes de las ordenadas de f(x) y g(x).
senBx; cosBx secBx, cscBx
Ejemplo:
tanBx; cotBx
y y x y senx
B
π B
=
=
2π
2π
y x y xsenx
= -
-
Período
=
-π
O
π
2π
x
Efectuar 1. Halla el dominio de las siguientes funciones. funciones. a) f(x) = cscx + tanx b) f(x) = c) f(x)
x + senx
csc cs cx 1 - 2 cos x
d) f(x) = cot(psenx)
2. Halla el rango de las siguientes funciones. funciones. 2 a) f(x) = x + 2sec x; x ! 60; π @ - π
$2.
b) f(x) = "cos x + 4 , c) f(x) = sen(Inx) d) f(x) =
csc xsen x cos3x
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3
53
Problemas resueltos 1
4
Halla el dominio y rango de: f(x) = 5cot x + π
`2
4
j
f(x) =
Resolución: x 2
+
π ! kπ & 4
cos x 1 - senx
Resolución: El dominio de cosx no presentan restricción, pero f(x) por ser una fracción, su denominador no puede ser cero, entonces: 1 - senx ! 0 & senx ! 1 π ; 5π ; 9π ; ... & x ! & x ! 4k + 1 π ; k ! Z
x π ! kπ 2 4
x ! 2kp - π 2
Dom(f) = R - $2kπ -
'2
π ,k!Z
. 2
2
1
2
^
h
2
π / k ! Z} ` Dom(f) = R - {(4k + 1)
Ran(f) = R
2
5 2
Determina el dominio de la siguiente función:
Halla el dominio y rango de: g(x) = 4cos2x + 9
Determina el dominio y rango de: g(x) = 5sec(x - π ) + 1 4
Resolución: Función de referencia: y = secx Dom y = R - {(2n + 1) π / n ! Z}
Resolución: Teniendo como referencia el dominio y rango de la función básica:
2
Ran y = R - G-1; 1H Para el domino de g(x): x - π ! (2n + 1) π & x ! (2n + 1) π
y = senx: Dom(senx) = R ; Ran(senx) = [-1; 1]
4
Entonces: x ! R & (2x) ! R
x
Luego: Dom(g) = R
&
2
2
2nπ ! 2
+
π
+
2
π 4
x ! np +
&
3π 4
π
+
4
=
4nπ + 3π 4
x ! (4n + 3) π
&
Como en el dominio no hay restricciones:
4
Luego: Dom(g) = R - {(4n + 3) π / n ! Z}
-1 # cos2x # 1 -4 # 4cos2x # 4 5 # 4cos2x + 9 # 13
4
Para el rango de g(x): sec(x - π ) ! R - G-1; 1H 4
5 # g(x) # 13
5sec(x - π ) ! R - G-5; 5H 4
Entonces: Ran(g) = [5; 13] ` Dom(g)
5sec(x - π ) + 1 ! R - G-4; 6H 4
= R / Ran(g) = [5; 13]
Luego: Ran(g) ! R - G-4; 6H
3
6
Halla el rango de la función: h(x) = sen2x + 2senx + 1
3
Resolución:
Resolución:
La función h(x) está denida alguna restricción.
6
x
! R ,
no es necesario hacer
Función de referencia: y = tanx Dom(tanx) = R - {(2n + 1) π / n ! Z} 2
Buscamos que h(x) presente un solo operador trigonométrico: h(x) = sen2x + 2senx + 1 = (senx + 1)2 ...(1)
2x - π ! (2n + 1) π
&
3
2x ! (2n + 1) π
&
2
5π 6
nπ ! 2
A continuación continuación tomaremos tomaremos la expresión (1) (1) a partir del dominio.
2x ! np +
Como x ! R & -1 # senx # 1 -1 + (1) # senx + (1) # 1 + (1) 0 # senx + 1 # 2
Luego: Dom(f) = R -
x
&
'
nπ 2
+
+
2
+
π 3
5π 12
5π / n 12
!
Z
1
Ran(tanx) = R Luego, a partir del dominio obtenemos: -3 < tan(2x - π ) < +3 3
Elevando al cuadrado:
2
0 # (senx + 1)
0 # h(x) # 4 Por lo tanto, el Ran(h) = [0; 4]
54
Halla el dominio y rango de la f unción: f(x) = 7tan(2x - π ) + 3
Intelectum 5.°
# 4
-3 < 7tan(2x - π ) + 3 < +3 3
-3 < f(x) < +3 Entonces: Ran(f) = R nπ 5π ` Dom(f) = R / +
'
2
12
n
!
Z
1
/ Ran(f)
= R
unidad 4
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Debemos recordar que todas las funciones trigonométricas son funciones periódicas, es decir, ninguna de estas funciones tiene inversa. Esto se comprueba ya que podemos obtener diferentes valores de ángulos que tienen el mismo valor del seno, coseno, tangente, etc.
FUNCIÓN SENO INVERSO O ARCO SENO (y = arcsenx) La función inversa del senx es arcsenx. La función es creciente en todo su dominoo y es impar: arcsen(-x) = -arcsenx Gráficamente: f
y arcsenx =
f*
y = f(x) = senx
1
−
O -
1
x
π
π π
Dom(f) =
9
Ran(f) =
7- 1; 1 A
-
; 2 2
y = f*(x) = arcsenx
C
• La función es inyectiva cuando cada elemento del rango tiene un único valor en el dominio. Es decir: f(x1) = f(x2) x1 = x2 &
• La función es sobreyectiva, sobreyectiva, si y solo si, para todo y ! B, existe por lo menos un x ! A A,, tal que: f(x) = y
y 2
Denimos la siguiente función: f: A " B
Sin embargo, si restringiendo el dominio de cada una de estas funciones podemos hallar la inversa. A continuación continuación detallaremos detallaremos cada una de las funciones trigonométricas trigonométricas inversas. inversas.
π
Observación
Dom(f*) = 7- 1; 1 A
9
Ran(f*) =
-
π π
; 2 2
C
2
FUNCIÓN COSENO INVERSO O ARCO COSENO (y = arccosx) La función inversa del cosx es arccosx. Es una función decreciente en todo su dominio. No es par ni impar. Gráficamente: y π
f y arccosx =
π
2 O
1
−
1
f*
y = f(x) = cosx
y = f*(x) = arccosx
Dom(f) = [0; p]
Dom(f*) = [-1; 1]
Ran(f) = [-1; 1]
Ran(f*) = [0; p]
x
Ejemplos: Halla el valor de cada una de las siguientes expresiones: 1. arcsen
d n -
1 2
2. arccos
Sea: q = arcsen &
d n -
1 2
d n d n [0; p]; cosa = d n
Sea: a = arccos
q ! [- p/2; p/2] ; senq = - 1
`
2
q = - p/6
&
Impor tante
2 2
2 2
a!
Una función es biyectiva cuan do es inyectiva y sobreyectiva.
2 2
q = p/4
`
FUNCIÓN TANGENTE TANGENTE INVERSA O ARCO TANGENTE TANGENTE (y = arctanx) La función inversa de tanx es arctanx. La función es creciente en todo su dominio y es impar: arctan(-x) = -arctanx Gráficamente: y π
2 y arctanx =
O
x
f y = f(x) = tanx Dom(f) =
-
π π
; 2 2
Ran(f) = G-3; +3H π -
f* y = f*(x) = arctanx Dom(f*) = G-3; +3H Ran(f*) =
-
π π
; 2 2
2
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
55
FUNCIÓN COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTE (y = arccotx) La función inversa de cotx es arccotx. La función es decreciente en todo su dominio. No es par ni impar. Gráficamente: y
Nota Hay diversas maneras de denotar su función inversa, por ejemplo: y = arcsenx o y = sen-1x Se lee: “y es un arco cuyo seno es x”
f
f*
y = f(x) = cotx Dom(f) = G0; pH Ran(f) = G-3; +3H
y = f*(x) = arccotx Dom(f*) = G-3; +3H Ran(f*) = G0; pH
π
y arccotx
π
=
2 x
O
Ejemplos: • arctan(-1)
• arccot(2 +
Sea: b = arctan(-1) & b ! G-p/2; p/2H; tanb = -1 ` b = -p/4
3)
Sea: a = arccot(2 + 3 ) & a ! G0; pH; cota = 2 + ` a = p/12
3
FUNCIÓN SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE (y = arcsecx) La función inversa de secx es arcsecx. La función es creciente. No es par ni impar. Gráficamente: y
f
π
f*
y = f(x) = secx Dom(f) = [0; p]
π
2
Observación Para las siguientes funciones inversas se cumple: arccos( -x) = p - arccosx arccot( -x) = p - arccotx arcsec( -x) = p - arcsecx
O
1
−
y = f*(x) = arcsecx
x
1
-
π 2
$ .
Dom(f*) = G-3; -1] , [1; +3H
Ran(f) = G-3; -1] , [1; +3H
Ran(f*) = [0; p] -
$ π2 .
FUNCIÓN COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE (y = arccscx) La inversa de cscx es arccscx. La función es decreciente y es impar:
arccsc(-x) = -arccscx
Gráficamente: y
f
f*
π
2
y = f(x) = cscx
1
−
O
1
x
-π
Dom(f) =
9
-
y = f*(x) = arccscx
π π
C
-{0} ; 2 2
Ran(f) = G-3; -1] , [1; +3H
Dom(f*) = G-3; -1] , [1; +3H Ran(f*) =
2
Ejemplos: • arcsec2 Sea: q = arcsec2 & q ! [0; p] - {p/2}; sec q = 2 ` q = p/3
Nota Propiedad: arctanx + arctany = arctan
d 1x xyy n + kp +
-
π π
C
-{0} ; 2 2
• arccsc(- 2 ) Sea: f = arccsc(- 2 ) & f ! [- p/2; p/2] - {0}; cscf = - 2 ` f = -p/4
-
Donde: Si: xy < 1 k = 0 Si: xy > 1 y x > 0 / y > 0 k = 1 Si: xy > 1 y x < 0 / y < 0 k = -1 &
&
&
56
9
Intelectum 5.°
Propiedades: 1.
FT[arcFT(x)] = x; 6 x ! Dom(arcFT) Es decir: • sen[arcsen(x)] = x; 6x ! [-1; 1] • cos[arccos(x)] = x; 6x ! [-1; 1] • tan[arctan(x)] = x; 6x ! R • cot[arccot(x)] = x; 6x ! R • sec[arcsec(x)] = x; 6x ! G-3; -1] , [1; +3H • csc[arccsc(x)] = x; 6x ! G-3; -1] , [1; +3H
arcFT[FT(x)] = x; 6x ! Ran(arcFT)
2.
Es decir: • arcsen(senx) = x; 6x ! [-p/2; p/2] • • • • •
arccos(cosx) = x; 6x ! [0; p] arctan(tanx) = x; 6x ! G-p/2; p/2H arccot(cotx) = x; 6x ! G0; pH arcsec(secx) = x; 6x ! [0; p] - {p/2} arccsc(cscx) = x; 6x ! [-p/2; p/2] - {0}
T
Problemas resueltos 1
Halla dominio y rango de la siguiente FT: F(x) = 2arcsen4x
4
Calcula: P=
5 12
2 9
tan2(arcsec7) +
cot2(arccsc8)
Resolución: Para el dominio:
-1 # 4x # 1 ` DomF
&
;
=
-
Resolución:
1 1 # x # 4 4
1; 1 4 4
Del enunciado tenemos: arcsec7
E
-
π π # arcsen4x # 2 2
=
θ
8
1
θ
α
63
1
Luego:
-p # 2arcsen4x # p
P=
F(x) `
7
48
Para el rango:
arccsc8
α
=
RanF = [-p; p]
5 12
tan2(arctan
48 )
2 9
+
cot2(arccot
63 )
Por propiedad sabemos que: tan(arctanx) = x
2
cot(arccotx) = x
Reduce: 1 3
k = sen2(arccos
)
Aplicando esta propiedad tenemos: P=
Resolución: Sea: arccos 1 = q 3
&
cosq =
1 3
5 12
2 48 )
(
+
2 9
(
63
)2
P = 20 + 14 = 34
Luego: k = sen2q
5
Por identidades:
Calcula:
c m
c m + arctan
3
c m + arccos c m + arctan
3
q = arcsen 3 + arccos 3
2
8
k = 1 - cos q
8
2
k = 1 -
c m
k = 1 -
1 9
1 3
Resolución:
8 9
=
q = arcsen 3
3 8
8
3
Por propiedad:
Calcula: M = sec
;
c c
a rc ta n 2 c os 2 a rc se n
1 2
mmE
arcsenx + arccosx = Como:
Resolución:
π ; 6 x ! [-1; 1] 2
3 ! [-1; 1] 8
Empezaremos a trabajar desde la parte interna hacia afuera. arcsen
1 2
=b
1 2
senb =
&
;b=
arcsen
&
π 6
c m + arccos c m 3 8
Además: arctan
Reemplazamos:
3 8
3
=
Reemplazando tenemos:
M = sec 8arctan`2cos π jB
q=
3
1 2
`
` π2 j ` π3 j +
=
π 2
π 3
M = sec 8arctan`2cos` 2. π jjB 6
=
5π 6
q = 5π 6
M = sec[arctan1]
6
Luego: arctan1 = q M = sec
π 4
&
=
tanq = 1; q = 2
π 4
Calcula: E = arctan 1 + arctan 2 - arctan 1 3
3
8
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
57
Resolución:
9
Por propiedad: E = arctan 1 + arctan 2 - arctan 1 3
3
E = arctan
a rc sen
Sea: M = cos
c
a = arcsen 3 5
N O O O P
a rc sen
3 5
m
+
ar cs en
15 17
m
&
...(1)
3 5
sena =
3 & cosa = 4 5
a
4
f = arcsen 15 17
Calcula:
; c
'
s ec a rc ta n 2 c os 2 a rc se n
1 2
&
mE1
; c
'
1 2
mE1
8 17
cosf =
8
Resolución: s ec a rc ta n 2 c os 2 a rc se n
15 17
senf =
f
17
H=
15 17
ar cs en
f
5
E = arctan1 ` E = 45°
H=
+
M = cos(a + f) = cosacosf - senasenf
&
7
3 5
a
- arctan 1 8
J 9 1 K E = arctan K 7 8 K1 + 9 $ 1 L 7 8
c
Resolución:
8
J 1 2 N K + O E = arctan K 3 3 O - arctan 1 8 K1 - 1 $ 2 O 3 3 L P 9 7
Calcula: cos
&
15
Reemplazamos en (1):
30° H = sec{arctan[2cos(2 . 30°)]}
M
=
c mc m c mc m 4 5
8 17
-
3 5
15 17
=
32 85
-
45 85
&
M = - 13
85
H = sec{arctan[2cos60°]}
10 Calcula el valor de:
q = arccos(-1)n - arcsen( -1)n - arccot(-1)n, n ! Z.
1 2
H = sec{arctan1}
Resolución: En estos casos se analizan dos posibilidades.
45° `
H = sec45° =
1.° Si n es par, entonces ( -1)n = 1, luego:
2
q = arccos(1) - arcsen(1) - arccot(1) & q = 0 -
8
Calcula: tan ` π 4
-
arccot3
π 2
0
j
π 2
-
π 4
=-
3π 4
π 4
2.° Si n es impar entonces ( -1)n = -1, luego:
Resolución: M = tan ` π 4
-
arccot3
q = arccos(-1) - arcsen(-1) - arccot(-1) & q = p +
j ; sabemos que:
p
-
Entonces: M=
tan π 4 1 + tan
M
58
-
4
c c
; pero: arccot3 tan (arccot3 )
1 1 - tan arctan 3 =
Observamos que:
tan (arccot3)
π
1 1 + tan arctan 3
m m
1=
Intelectum 5.°
3π 4
π 2
1+
1 3 1 3
=
2 3 4 3
= arctan 1 3
Si n es par, entonces:
θ
Si n es impar, entonces: &
M=
1 2
Entonces:
θ
=
=-
θ
=
3π 4 3π 4
( - 1) n + 1 3 π ;6n! Z 4
π 2
-
3π 4
=
3π 4
T
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
DEFINICIÓN
Nota
Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados de algún operador trigonométrico como seno, coseno, tangente, etc. Ejemplos: 1 2
• sen2x = • cosx =
• tan `2x + 2 2
-
π 6
j
=
1
• senx + cos2x = 1 • tan22x + 1 = 2sec2x + tanx
• tanx + tan2x = 0
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL Es de la forma:
Una ecuación no es trigono métrica si la variable incógnita “x” se encuentra dentro del operador trigonométrico y fue ra de él. Ejemplo: • tan3x = 2x - 1 • tan2x = x2 - 1 • 1 + cos2x = px • x + senx = p
FT(ax + b) = N
Donde: a, b son constantes con a ! 0 y FT es cualquiera de las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante). Además N es un valor admisible. Forma inversa:
VP = arcFT(N)
Donde VP es el valor principal del ángulo (ax + b) definido en el rango de la función trigonométrica inversa. Ejemplos: 3 2
• sen2x = • cos `x
-
• tan ` x
3
π 3
-
j
π 4
c m VP = arccos c m 3 2
VP = arcsen
&
2 2
=
=
2 2
&
j = - 1
π 3
VP = arctan(-1) =
&
• cot(px) = 3 & VP = arccot(3) =
-
c
3x 2
π 4
• sec
π 4
• csc `2x -
+
π 3
π 3
m = - 5
j = 2
VP = arcsec(-5)
&
VP = arccsc(2) =
&
π 6
Nota Para resolver este tipo de ecuaciones es indispensable recordar el valor de las razo nes trigonométricas (RT) de ángulos notables, los signos de las funciones trigonomé tricas (FT), la periodicidad, y otros conceptos vistos en ca pítulos anteriores.
Expresiones generales (xG) Para el seno y la cosecante: Si: senx = N
xG = kp + (-1)k VP
&
; y si: cscx = N
&
xG = kp + (-1)k VP
; y si: secx = N
&
xG = 2kp ! VP
; 6k ! Z
Para el coseno y secante: Si: cosx = N
xG = 2kp
&
!
VP
; 6k ! Z Dada:
Para la tangente y cotangente: Si: tanx = N
xG = kp + VP
&
Observación FT(ax + b) = N
; y si: cotx = N
xG = kp + VP
&
; 6k ! Z
SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL
Entonces: VP = arcFT(N) Donde:
Se realizan los siguientes pasos:
FT
1.° Se halla el valor principal (VP) de la ecuación trigonométrica.
sen
2.° Se iguala el argumento a una de las expresiones generales, de donde se despeja la variable x, obteniéndose la solución general de la ecuación trigonométrica.
cos
[0, p]
Ejemplos:
tan
-
1. Resuelve: cos2x =
2x
π π
; 2 2
C
π π
; 2 2
2
c m 1 2
=
π 3
Resolución: VP = arctan(1) =
π 4
Luego:
= 2kp ! π 3
;k!Z
π 6
;k!Z
x = kp !
-
tan 5x = 1
Resolución: Luego:
9
2. Resuelve:
1 2
VP = arccos
VP
5x 2
= kp +
x=
2kπ 5
π 4 +
;k!Z π 10
;k!Z
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
59
SISTEMA DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Un sistema de ecuaciones trigonométricas está formado por varias ecuaciones donde por lo menos una de ellas es trigonométrica y las demás algebraicas. Ejemplos: 1. senx - seny =
1 2
2. tanx + tany = 2 x + y =
3 2
cosx + cosy =
4. x + y =
3. tanxtanz = 3 tanytanz = 6
π 4
2π 3 3 2
senx + seny =
x + y + z = p Observación • Se llama solución principal (Sp) al menor valor que sa tisface la igualdad original. • Se llama solución general (Sg) a la reunión de todos los valores angulares que hacen posible la igualdad original.
5. sen2x + cos2y =
3 4
cos2x - sen2y =
1 4
6. x + y =
π 4
sen2x + seny =
Ejemplos de aplicación 1. Resuelve e indica el conjunto solución de sen5x + senx = sen3x
De donde: 1 - sen2x = 0
Resolución: Transformamos la ecuación: sen5x + senx = sen3x 2sen3xcos2x = sen3x 2sen3xcos2x - sen3x = 0 sen3x(2cos2x - 1) = 0 Si: sen3x = 0, entonces: VP = 0 & 3x = np + (-1)nVP x= Atenci ón Así como en las ecuaciones trigonométricas elementales no hay métodos, para resol ver un sistema de ecuaciones trigonométricas, solo es nece sario recordar diversas identi dades trigonométricas vistas anteriormente.
π 3
3π /2
.
x = np !
$x /x
=
Finalmente: CS = CS1 , CS2 CS =
$x /x
=
π 6
nπ !
nπ 0x 3
=
Con la circunferencia trigonométrica: x = $(2k + 1) π . ; k ! Z 2 3. Halla la solución general de la siguiente ecuación trigonométrica: tan2x + 2tanx - 1 = 0
2x = 2np ! VP
&
π 6
.; n ! Z
π nπ ! 6
Resolución: De la ecuación tenemos: tan2x + 2tanx - 1 = 0 2tanx = 1 - tan2x
. 6n ! Z
2 tan x 1
2. Halla la solución general de: cot x = senx + cotx 2
Resolución: Tenemos: cot x = senx + cotx 2
Por propiedad: cot x = cscx + cotx 2
x
=
kπ 2
x
=
'c
&
Intelectum 5.°
kπ +
Simplicamos: 1 senx 2
= senx
sen x = 1
=
1
tan x
2x = kp + VP kπ + arctan (1) x= 2
Entonces: cscx + cotx = senx + cotx &
2
-
Por ángulo doble de la función tangente: tan2x = 1 Aplicamos la solución general para la tangente:
x=
cscx = senx
0 2π x
π
Si: 2cos2x - 1 = 0 2cos2x = 1 & cos2x = 1/2 VP =
/2
π
CT
nπ ; n Z ! 3
=
cos2x = 0 & cosx = 0 &
y
nπ 3
Luego: CS 1 = $ x /x
Luego: CS 2 =
60
2 2
π 4
2 +
π 8
m 1; k
4k + 1 π 8
!Z
T
Problemas resueltos 1
Resuelve: 2tanx = sec2x
4
Resolución: Como sec2x = 1 + tan2x, entonces: 2tanx = 1 + tan2x 0 = 1 - 2tanx + tan2x 0 = (1 – tanx) 2
Resolución:
(senx - 1)(2senx + 1) = 0 senx - 1 = 0
π 4
2
x = kp + (–1)k π
`
sen 2 x
-
π 3
j
π ! [0; 2
x =
&
2
II. 2senx + 1 = 0 & senx = =
0
-
1 2
2pH
Vp =
&
Resolución:
k = 1 & x =
Se tiene que: VP = arcsen0 & VP = 0
k = 2 & x = ` Se
xG = kp + (-1)k VP; k ! Z
5
xG = kp + (-1)k(0)
&
xG = kp
6 7π 6
11π 6
tienen tres soluciones en [0; 2 pH.
Resuelve: tan 2x = tanx
Se tiene: tan 2x - tanx = 0 & tanx(tanx - 1) = 0
π 3
= kp
kπ 2
x =
&
Si: k = 0 & x =
π 6
+
π 6
De donde: I. tanx = 0
; k ! Z (solución general)
(solución principal)
& &
Resuelve: 10sen 2x – senx = 2
II. tanx - 1 = 0 & tanx = 1
VP = arctan0 = 0
= kp + VP
xG
= kp; k ! Z
1
&
Resolución: Factorizamos la ecuación:
Luego, la solución general será: ` x
10sen 2x - senx - 2 = 0 5senx +2 2senx -1
6
De donde: I. 5senx + 2 = 0 VP = arcsen
&
5
k
xG
= kp + (-1) arcsen 1
c m; k -
2 5
c m -
2 5
tan6x = -
xG
2
1 2
VP =
&
=
2
= kp +
xG
1
π 4
;k!Z
, xG 2
}; k ! Z
3 3
6
k = 0 & x = k = 1 & x =
2
+ (-1) arcsen
c m} -
2 5
c
-
3 3
m=-
π 6
π 6 -
π
36
;k ! Z
Evaluando tenemos:
xG , xG
k
arctan
&
x = kπ
π 6
6
` x = {kp
xG
6
= kp + (-1)k π ; k ! Z
1
3 3
6x = kp -
Finalmente, la solución de la ecuación se obtendrá haciendo: x
=
= kp + VP
Luego: x G = kp + `- π j
!Z
II. 2senx - 1 = 0 senx =
x
2
Resolución:
senx = - 2
π 4
xG
Halla la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la ecuación: tan6x = -
(5senx + 2)(2senx - 1) = 0
&
= {kp} , {kp +
π 4
VP =
xG
1
&
π 6
Resolución:
Luego:
&
-
x = kp - (-1)k π ; para que x ! [0; 2pH
Usando la expresión general para el seno:
3
π 2
I. senx = 1 & VP =
/ k ! Z}
Halla la solución principal de:
2x –
2senx + 1 = 0
0
&
Luego, la solución general será: π 4
= 1
2sen x – senx – 1 = 0
&
tanx = 1
x = {kp +
1 senx 2
2senx -
&
VP =
Resuelve: 2senx - cscx = 1 x ! [0; 2pH; e indica el número de soluciones.
,
{kp
+ (-1)k π 6
}; k ! Z
` Piden:
-
π 36
= - 5°
k = 2 & x =
11π 36
= 55°
5π 36
= 25°
k = 3 & x =
17π 36
= 85°
25° + 55° + 85° = 165°
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
61
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Nota
Resolver un triángulo oblicuángulo significa calcular la medida de uno de sus elementos principales.
Los triángulos oblicuángulos (oblicuos) pueden ser acután gulos u obtusángulos.
Los elementos principales de un triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos.
B
c
a
A
LEY DE SENOS C
b
Para resolver un triángulo oblicuángulo bastará conocer tres de sus elementos, uno de estos deberá ser necesariamente un lado del triángulo, y utilizaremos cuatro leyes fundamentales, que detallaremos a continuación.
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
Triángulo acutángulo
B
B a
A
a
c
c b
a senA
=
b senB
c senC
=
=
2R
R
C
Triángulo obtusángulo
C
b
A
Demostración: Para la demostración consideraremos el triángulo acutángulo graficado anteriormente. B
Impor tante
M
De la ley de senos tenemos: a = 2RsenA b = 2RsenB c = 2RsenC De la ley de cosenos, pode mos obtener lo siguiente: 2
cosA =
b
cosB =
a
2
2
c -a 2bc
+
+c
2
-
2
b
c/2
C C O R
a
senC =
c 2 R
=
c 2R
c senC
&
=
2R
C
b
A
Seguimos el mismo procedimiento para los otros dos lados del triángulo, conseguiremos los siguientes resultados: a senA
2
Del triángulo AMO:
c/2
2C
=
2R
/
b senB
=
2R
Por lo tanto, queda demostrada la ley de senos.
2ac
cos C =
2
a
2
b -c 2ab
+
LEY DE COSENOS
2
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos al doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman. Nota También se puede realizar la demostración utilizando el teorema de Euclides ya sea para un triángulo acutángulo u obtusángulo: B
Tr iáng ulo acutángulo
c
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
m
Del gráfico:
A
sen(180° - C) =
a
H
b
Triángulo obtusángulo
B
a c
m
A
C b
a2 = b2 + c2 + 2bm
62
cos(180° - C) =
180° - C H
Intelectum 5.°
AH b
c
A
a2 = b2 + c2 - 2bm
b2 = a2 + c2 - 2accosB
Demostración: Para la demostración graficamos el triángulo obtusángulo ABC, además trazamos la altura AH en la prolongación de BC.
b
A
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
C
a
B
HC b
&
AH = bsen(180° - C)
&
AH = bsenC
&
HC = bcos(180° - C)
&
HC = -bcosC
Luego, aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo AHB. AB2 = HB2 + AH2
c2 = b2cos2C - 2abcosC + a2 + b2sen2C
c2 = (HC + a)2 + (bsenC) 2
c2 = b2(cos2C + sen2C) + a2 - 2abcosC
c2 = (-bcosC + a)2 + b2sen2C
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
De manera análoga se realiza la demostración para los dos lados restantes.
T
LEY DE TANGENTES En todo triángulo oblicuángulo, la diferencia de dos de sus lados es a su suma como lo tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la mitad de la suma de dichos ángulos; es decir: B
tan c
a-c a+c
a
A
=
tan
c c
A - C 2 A + C 2
m m
tan b-c b+c
=
tan
c c
B-C 2 B+C 2
m m
tan a-b a+b
=
tan
c c
A - B 2 A + B 2
Nota Para la demostración de la ley de tangentes se utilizó la siguiente propiedad:
m m
n m
=
p q
&
n+m n-m
=
p+q p-q
C
b
Demostración: De la ley de senos y aplicando proporciones tenemos: a senA
=
a-b a
b senB
=
senA - senB senA &
a+b a
=
senA + senB senA
a-b a+b
=
senA - senB senA + senB
Luego, transformamos a producto: 2sen a-b a+b
a-b a+b
&
=
2sen
=
a-b a+b
tan
c
c c
m c m c
A-B A +B cos 2 2 A+B A -B cos 2 2
m c
A-B A +B cot 2 2
c c
A - B tan 2 =
tan
A + B 2
m
m m
2sen =
2 cos
tan =
tan
c c
c c
m c m c
A-B A +B cos 2 2 A - B A+B sen 2 2
A - B 2 A + B 2
m m
m m
Impor tante Para realizar la demostración de las demás proyecciones utilizaremos los siguientes grácos como referencia.
m m
a = bcosC + ccosB A
Las siguientes relaciones se comprueban de manera análoga.
LEY DE PROYECCIONES
c
b
Dado cualquier triángulo, uno de sus lados es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos lados sobre él. B
C m
n a
B
b = ccosA + acosC
a = bcosC + ccosB
b = acosC + ccosA
B
a
c
c = acosB + bcosA A
c
C
b
A
a
C m
n b
Demostración: Del triángulo ABC, trazamos CH, perpendicular a AB. C
Del triángulo AHC: cosA = Del triángulo BHC: cosb =
a
b
m b n a
Luego: A
B
H m
n c
c = m + n c = bcosA + acosB
De igual forma se demuestran las demás proyecciones.
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
63
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO En todo triángulo, con respecto a sus ángulos se cumple:
1. Seno
2. Coseno A
A
c
Observación
b
B
C
p: semiperímetro & p =
• Región cuadrangular con vexa.
sen A 2
=
sen B 2
=
sen C 2
=
A D θ
(p
-
-
(p
-
b) (p bc a) (p ac a) (p ab
-
-
-
A
c
a
Área de una región cuadran gular y el ángulo comprendido entre ellos.
(p
3. Tangente
b
B
a+b+c 2
c
C
a
B
c) b)
cos A 2
=
cos B 2
=
cos C 2
=
C
a
p: semiperímetro
c)
b
p: semiperímetro
p (p a ) bc
tan A 2
=
p (p b ) ac
tan B 2
=
tan C 2
=
-
-
p (p c) ab -
(p
b) (p c ) p (p a )
-
-
-
(p
a) (p c ) p (p b)
-
-
-
(p
a) (p b ) p (p c)
-
-
-
C B
CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS EN UN TRIÁNGULO
AC = d1 / BD = d2 &
A=
d1 . d 2 2
1. Inradio
. sen q
2. Exradio r = (p - a)tan A
A
• Región cuadrangular cón cava c
B
θ
a
A =
a .b 2
C
a
D
r b = ptan B
2
b
B
2
B
r = (p - b)tan B
b r
A
r a = ptan A
2
r = (p - c)tan C 2
2
r a A
r c = ptan C 2
C
p: semiperímetro
p: semiperímetro
C
. senq
3. Altura
4. Bisectriz interior A
c
b
ha
B
C
a
ha =
asenBsenC senA
hb =
bsenAsenC senB
hc =
csenAsenB senC
5. Bisectriz exterior
A A A 2 2
c
b
Va =
2bc A cos b+c 2
Vb =
2ac B cos a+c 2
Vc =
2ab C cos a+b 2
Va B
C
a
6. Mediana A
A
c
b
b
c
V'a
ma
B B
a
64
Intelectum 5.°
C
V'a =
2bc A sen b-c 2
V'b =
2ac B sen a-c 2
V'c =
a 2
2ab C sen a-b 2
M
a 2
2
= b2 + c2 + 2bc cosA
2
= a2 + c2 + 2ac cosB
2
= a2 + b2 + 2ab cosC
4ma 4mb 4mc
C
T
Problemas resueltos 1
En un triángulo ABC, se cumple: Calcula la medida del ángulo C.
a+b a+c
=
c-a b
3
senθ
Del gráfico, calcula
senα
α
Resolución: Del dato tenemos: a+b a+c
53°
c-a b
=
θ
b(a + b) = (a + c)(c - a) ba + b2 = c2 - a2 &
c2 = a2 + b2 + ab
Resolución:
...(I)
Del gráco tenemos:
Por la ley de cosenos: c2 = a2 + b2 - 2abcosC
B
...(II)
α
Igualamos (I) y (II), y obtenemos: 2
2
2
3k
2
a + b + ab = a + b - 2abcosC cosC =
cosC =
C
ab - 2ab -1 2
5k
3k
θ
37°
A
Luego, el valor del ángulo C es 120°.
2
53°
Aplicamos la ley de senos en el triángulo ABC: 3k senθ
Dado su triángulo ABC, se tienen los siguientes datos: a = 4, m + B = 30° y m + C = 45°. Calcula b y c.
Gracamos el triángulo y colocamos los datos: B
&
4
m + A = 105°
=
5k senα
=
2R
&
Nos piden calcular: 3k senθ = 2R = 3k (2R) senα 5k 5k (2R) 2R
Resolución:
30°
D
4
senq =
=
3k / 2R
sena =
5k 2R
3 5
Calcula x en la figura.
c 45° A
b
2α
Aplicamos la ley de senos: 4 sen105°
=
b sen30°
c sen45°
=
b=
4. =
6
Resolución: Por ley de senos:
1 2
+
6 sen 2α
6
4
2
4
b = 2( 6
2α
2)
-
4 sen α
2senα cosα senα
&
=
3 2
6 4
=
&
sen2α sen α
cosα
=
3 4
Por ley de cosenos:
4sen45° sen105°
4. 2 2 c= 6+ 2 4 16 c= ( 12 + 2) c = 4( 3
&
α
=
x
Luego: c=
α
x
Reemplazamos los respectivos valores: 4sen30° sen105°
6
4
C
-
1)
42 = 62 + x2 - 2(6)(x)cosa 16 = 36 + x2 - 12x =
=
16 2 . 2( 6 + 2 ) 16 2 3 +2
2 2
c m 3 4
Luego: x2 - 9x + 20 = 0 (x - 5)(x - 4) = 0 & x = 5 0 x = 4 Si: x = 4 & a = 45° & cosa = ` x
2 3 ! 2 4
= 5
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
65
5
En un triángulo ABC, se sabe que: coseno del mayor ángulo interno.
a 4
b 5
=
=
c 6
, determina el
7
Calcula el área de la región sombreada mostrada en la figura: B
Resolución: Gracamos el triángulo ABC: 12
B
a 4
6k 4k
A
b 5
c 6
=
r
= k A
a = 4k / b = 5k / c = 6k Sabemos que a mayor ángulo se le opone mayor lado.
C
5k
=
2
Del teorema de Herón tendremos: AT =
p^p - ah^ p - bh^ p - ch
2
c = a + b - 2abcosC (6k)2 = (4k)2 + (5k)2 - 2(4k)(5k)cosC
Como: p =
36k2 = 16k2 + 25k2 - 40k2cosC
Luego:
36k2 = (16 + 25 - 40cosC)k2
AT =
5 40
cosC =
&
6
=
12 + 14 2
21^21
- 14
Pero sabemos: AT = p . r = 21
36 = 41 - 40cosC cosC =
C
16
Resolución:
Aplicamos la ley de cosenos: 2
14
1 8
+ 16
= 21
h^21 - 16 h^21
15
&
- 12
h = 21
15
21r = 21 15 ` r = 15
Finalmente el área del círculo es:
1 8
A9
Si se tiene que
cos α
21 5
=
, calcula d.
2
8
d
37°
= pr 2 = π^
2
15 h
= 15p
Dos automóviles parten simultáneamente de una estación con movimiento rectilíneo uniforme siguiendo pistas que forman un ángulo de 60°. Las velocidades que llevan son de 36 y 72 km/h. Calcula la distancia que los separa al cabo de 3 horas y 30 minutos.
α
Resolución: B
Resolución: c 2 37°
=
2 &
d
&
d2
=
=
2 sen α
c m 3 5
sen α
=
d
=
6 5 senα
36 25 (1 cos2 α)
c b=c
2sen37° sen α
&
=
-
&
d
2
` d
=
36 4
&
d
2
=
9
= 3
d
2
=
c
6 5sen α
2
m
36
e c mo
25 1
-
21 5
2
36
km h
72
km h
Intelectum 5.°
m (3,5 h) = 126 km m(3,5 h) = 252 km
Como ya conocemos 3 elementos del triángulo ABC, podemos calcular los 3 elementos restantes. En este caso calcularemos el lado opuesto al ángulo de 60°, usando la ley de cosenos. x2 = b2 + c2 - 2bc cos60° x2 = 2522 + 1262 - 2(252)(126) x2 = 79 380 - 31 752 x =
47 628
x =
2
x = 126
66
C
b
Luego tendremos que: c=
&
60°
Del MRU sabemos que: d = v . t
Por la ley de senos: d sen37°
A
α
21 5
Por dato: cos a =
x
d
2
5
. 3 3
. 7
km
2
c m 1 2
T
SECCIONES CÓNICAS
DEFICICIÓN La superficie cónica se genera al girar una recta llamada generatriz alrededor de otra recta fija llamada eje, con la cual se corta en un punto v, llamado vértice. Denominamos sección cónica a la curva de intersección de una superficie cónica con un plano. Las secciones cónicas generadas son: la circunferencia, la elipse y la parábola. eje
eje
eje
Circunferencia
Impor tante Si el plano que corta a la supercie cónica es perpendicular al eje, la sección es una circunferencia. Si inclinamos el plano de modo que sea oblicuo con el eje y corte a todas las generatrices, la sección es una elipse. Si continuamos inclinando el plano de modo que sea oblicuo con el eje y que sea paralelo a una generatriz, resulta una parábola.
Parábola
Elipse
LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. A ese punto fijo lo llamaremos centro (C(h; k)) y a la distancia de ese centro a cualquier punto (P(x; y)) de la circunferencia lo llamaremos radio (r).
Nota
y
r
La ecuación canónica de la circunferencia, es:
P(x; y)
C(h; k)
y
x
r x
O
La forma ordinaria de la ecuación de toda circunferencia con centro C(h; k) y radio r es: (x - h)2 + (y - k)2 = r 2
x2 + y2 = r 2
Donde: P(x; y) es un punto cualquiera de la circunferencia.
Ecuación general de la circunferencia Desarrollamos la ecuación ordinaria y obtenemos la ecuación general.
Observación
(x - h)2 + (y - k)2 = r 2
Si: h = 0, el centro de la circunferencia es el punto (0; k). Grácamente:
x2 - 2hx + h2 + y2 - 2yk + k2 = r 2 x2 +y2 + (-2h)x + (-2k)y + k2 + h2 - r 2 = 0 2
2
y
2
Donde: -2h = A; -2k = B ; k + h - r = C Entonces:
r
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
O(0; k)
Ejemplo: Halla el centro y el radio de la circunferencia: x2 + y2 - 8x - 10y = 8
x
Resolución: Para llegar a la ecuación general de la circunferencia debemos completar cuadrados a la expresión dada: x2 - 2 . 4 . x + 16 - 16 = (x - 4)2 - 16 y2 - 2 . 5 . y + 25 - 25 = (y - 5)2 - 25 Luego:
Si: k = 0, el centro de la circunferencia es el punto (h; 0). Grácamente: y
r 2
2
(x - 4) - 16 + (y - 5) - 25 = 8
O(h; 0)
x
(x - 4)2 + (y - 5)2 = 49 Por lo tanto: (h; k) = (4; 5) / r = 7
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
67
LA ELIPSE Observación La elipse es una gura simétrica respecto a su eje focal y también respecto a su eje normal.
La elipse es un lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo es constante. A esos puntos fijos se les denomina focos. Elementos: L2 B1 R
b a V 1 F'
C(h; k) V2
F
c
b
L1
S
B2
Focos (F; F'): son los puntos fijos de la elipse Eje focal ( L1): recta que pasa por los focos
Nota Sabemos que: 2a: longitud del eje mayor 2b: longitud del eje menor 2c: distancia focal Entonces se cumple: a2 = b2 + c2
Vértices (V1; V2):son los puntos de intersección de l a elipse con el eje focal. Centro C(h; k): punto medio del segmento V 1V2. V1 V2 : eje mayor. Además: V 1V2 B1 B2 : eje
= 2a
menor. Además: B1B2 = 2b
Eje normal ( L2): recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro (C(h; k)). Nota
F'F: Distancia entre focos; (F'F = 2c)
La excentricidad (e) de una elipse es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. e = c ; 0 # e # 1 a
Además, se cumple que: a > b Lado recto (RS): es una cuerda perpendicular al eje focal y pasa por cualquiera de los focos. La gráfica de la elipse es la siguiente: y 8
Impor tante En toda elipse se cumple: RS =
2b
2
a
Donde: RS: lado recto
−2
2
x
−2
Ecuación general de la elipse Es posible transformar la ecuación de la elipse a una ecuación cuadrática. Partimos de la ecuación ordinaria, desarrollamos los binomios y luego agrupamos convenientemente:
_ x - hi2 a2
Impor tante El cambio de variable que se realizó es el siguiente: A = b2 B = a2 C = - 2hb2 D = - 2ka2 E = b2h2 + a2k2 - a2b2
Intelectum 5.°
b2
x2 - 2xh + h2 a2
+
x2 - 2xh + h2 a2
+
a2 b2
f
=
1 , (elipse de eje horizontal y centro C(h; k))
y2 - 2yk + k2 b2 y2 - 2yk + k2
x2 - 2xh + h2 a2
b2
p
+
a2 b2
f
=
1
-
1
=
0
y 2 - 2yk + k2 b2
p
-
a2 b2 = 0
b2x2 - 2hb2x + b2h2 + a2y2 - 2ka2y + a2k2 - a2b2 = 0 b2x2 + a2y2 + (-2hb2)x + (-2ka2)y + (b2h2 + a2k2 - a2b2) = 0 &
68
+
_y - ki2
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0
T
Ecuaciones de la elipse con eje focal paralelo al eje x e y Ecuación de la elipse de centro C(h; k) y eje focal paralelo al eje x.
y
V1
P(x; y)
b c b
V1 F(h - c; k)
_ x - hi2
c C (h; k) F'(h + c; k) V2
a2
+
_y - ki2 b2
=
1
V2 a
a
Observación
x
Si Si el el centro centro de de la la coincide con coincide con el el entonces: = k = 0. entonces: h h= k = 0.
Ecuación de la elipse de centro C(h; k) y eje focal paralelo al eje y.
elipse elipse origen, origen,
Con eje focal yparalelo al eje x: y b
V1 y
F
a
(h; k + c) a
c B1
B2 C(h; k) c F' b
a
b
L
P(x; y)
x
a
2
_ x - hi
(h; k - c) V2
b b
b
b
2
2
+
_y - k i
=
a2
2 2
+
2
+
a2 x
1
a
x
2 2
=
1
2
=
1
b2 y
x
y y
x2 1. Dada la ecuación de la elipse: 9
+
_y - 3i2 25
=
1
Determina sus elementos (vértices, extremos del eje menor, focos y la longitud del lado recto). Resolución: Notamos que la elipse tiene como centro al punto: C = (0; 3) &
x
a bde la elipse Si el centro coincide con el origen, entonces: h =paralelo k = 0 al eje y: Con eje focal
Ejemplos de aplicación:
Además: 25 > 9 b2 = a2 - c2 9 = 25 - c2 & c = 4
y
a
a = 5 y b = 3
a a
2. Según la ecuación de la elipse: 100x 2 + 64y2 = 6400 Halla el perímetro del triángulo F 1F2P, siendo F 1 y F2 los focos, y P un punto cualquiera distinto de los vértices. Resolución: Transformamos la ecuación: 2 100x2 + 64y = 6400 6400 6400 6400 &
x2 64
=
y2 100
=
b b
x x
b b a a
2
2
x2 y2 x2 + y 2 b2 + a 2 b a
= =
1 1
1
De donde: a 2 = 100; b2 = 64 & a = 10; b = 8 Entonces, el eje focal de la elipse es paralelo al eje y. Sus vértices son: V1 = (0; 3 - 5) & V1 = (0; -2) V2 = (0; 3 + 5) & V1 = (0; 8) Los extremos del eje menor son: A1 = (0 - 2; 3) & A1 = (-2; 3) A2 = (0 + 2; 3) & A2 = (2; 3) Los focos son: F1 = (0; 3 - 4) & F1 = (0; -1) F2 = (0; 3 + 4) & F2 = (0; 7) Longitud de lado recto: 2 LR = 2b a
=
2 (9) 5
=
18 5
Además: c2 = a2 - b2 = 100 - 64 = 36 & c = 6 y P
F1
O
F2
x
Piden: Perímetro del TF1F2P = F1P + PF2 + F1F2 Por denición: F1P + PF2 = 2a = 2(10) = 20 Además: F1F2 = 2c = 2(6) = 12 Luego: Perímetro del TF1F2P= 20 + 12 = 32
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
69
LA PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto y de una recta del mismo plano. El punto se denomina foco y la recta directriz. Observación
E
En la parábola se cumple: • HV = VF • AB = 4VF
LD
H
A
V (h; k)
L
F Q B
Elementos: Foco (F): punto fijo de la parábola Vértice (V(h; k)): es el punto medio del segmento trazado perpendicularmente del foco a la directriz. Eje focal (L): divide simétricamente a la parábola. Directriz ( L D) : recta perpendicular al eje focal.
Observación Se denomina ecuación canónica de la parábola cuando su vértice coincide con el origen de coordenadas y su eje focal coincide con el eje x.
Lado recto (AB): segmento perpendicular al eje focal que pasa por el foco. Cuerda focal (EQ): segmento que une dos puntos de la parábola y pasa por el foco.
Ecuación de la parábola
y
1. Ecuación de la parábola, cuyo eje focal es paralelo al eje x. • Si la parábola se abre hacia la derecha (p > 0): F
x
y
LD H
P(x; y)
Ecuación ordinaria h -p
Foco: F
p
y2 = 4px ; p > 0
p > 0 x
O
y
F
(y - k)2 = 4p(x - h)
p V(h; k) F(h + p; k)
x
• Si la parábola se abre hacia la izquierda (p < 0): y
LD F
Foco: F
Ecuación ordinaria V(h; k)
(y - k)2 = 4p(x - h)
y2 = 4px ; p < 0
; p < 0
x
2. Ecuación de la parábola, cuyo eje focal es paralelo al eje y. • Si la parábola se abre hacia arriba (p > 0): y
Ecuación ordinaria
F(h; k + p)
2
(x - h) = 4p(y - k) p
p > 0 O
• Si la parábola se abre hacia abajo (p < 0)
70
Intelectum 5.°
V(h; k)
P(x; y)
H
Directriz x
T Ecuación ordinaria
y
(x - h)2 = 4p(y - k)
V(h; k)
p < 0
F
Observación x
O
Se denomina ecuación ordinaria de la parábola cuando su vértice coincide con el origen de coordenadas y su eje focal coincide con el eje y.
Ejemplos: 1. Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco tienen como coordenadas ( -4; 3) y ( -1; 3); respectivamente.
Resolución: V(h; k) = V(5; 4) & h = 5
Resolución: Por dato del enunciado, sabemos que: V(-4; 3) y F( -1; 3)
Calculamos el valor del parámetro (p): p = (-1) - (-4) = 3 > 0
Resolución: (7 - 1 ) 2 + (3 - 3 ) 2 = 6 3 0 p 3 & 4p = 6 0 4p = -6 & p 2 2 =
=
=
-
Como la parábola se abra hacia arriba, entonces: 3 2
Ahora, el foco F es punto medio del lado recto SR:
h = 4
&
/
m
3=
&
3 2
F (4; 3) = F (h; p + k)
+
k
k
&
=
3 2
La ecuación, es:
h = 4
/
3
=
Foco: F 2
x = 4py ; p > 0
4. Halla el vértice, el foco y la longitud del lado recto de la parábola:
x
Resolución: Completamos cuadrados: y2 - 6y + 9 = -10x + 1 + 9
Foco: F
2
2
x = 4py ; p < 0
(y - 3) = -10x + 10 (y - 3)2 = 4 - 5 (x - 1) 2
c m
Entonces: Vértice: V(h; k) = V(1; 3) p=-5
2
F(h + p; k) = F
&
SR = 4p
=
4
c 25 m -
=
c
-
3 ;3 2
m
10
5. El vértice de una parábola está sobre la recta 3x + 7y + 1 = 0 y el foco es el punto F(2; 1). Halla la ecuación de tal parábola. Resolución: V(h; k) ! L: 3x + 7y + 1 = 0 & 3h + 7k + 1 = 0 ...(1) Además: F(h; k + p) = F(2; 1) & h = 2
...(2)
k + p = 1
...(3)
2
c mcy 32 m
(x - 4)2 = 4 3 2 &
La ecuación de la parábola es: (x - h)2 = 4p(y - k) (x - 5)2 = -8(y - 4)
F
2. Halla la ecuación de la parábola cuyos puntos extremos del lado recto son S(1;3) y R(7; 3), si esta se abre hacia arriba.
c
x
y2 - 6y + 10x - 1 = 0
Reemplazamos los valores: (y - 3)2 = 4(3)(x + 4) (y - 3)2 = 12(x + 4)
F 1 + 7; 3 +2 2 2
F
k = 4
/
y
Luego, la parábola se abre hacia la derecha. Se cumple: (y - k)2 = 4p(x - h)
p=
y
F(h; k + p) = F(5; 2) & k + p = 2 & p = -2
Además, la parábola es paralela al eje x.
SR = 4p
3. Halla la ecuación de la parábola, cuyo vértice y foco son los puntos V(5; 4) y F(5; 2), respectivamente.
-
3 2
+
k
k
&
=
3 2
Reemplazando (2) en (1): 3(2) + 7k + 1 = 0 & k = -1
...(4)
La ecuación, es: (x
2
c mcy 32 m (x - 4) = 6 c y 3 m 2 -
4) 2
=
4 3 2
-
2
&
-
De (2) y (4): k + p = -1 + p = 1 & p = 2 Por lo tanto: V(2; -1) La ecuación es: (x - 2)2 = 8(y + 1)
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
71
Problemas resueltos 1
De la figura, calcula la ecuación general de la circunferencia mostrada, si ON = 3 13 y r < 8.
3
y
Halla la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (6; 3) y (-2; 3) y la longitud del lado recto es 2 u.
Resolución: L : y 15 =
De las coordenadas de los vértices notamos que el eje focal es paralelo al eje x. Luego, la ecuación de la elipse es de la forma:
N r
_x - hi2 a2 x
O
+
=
b2
6
=
2a =
y =
SR = 2
6
&
-
3 13
2
+
&
0
=
2b a
2 =
b =
2
&
2 (4) 2
=
2
Por lo tanto, la ecuación y la gráca de la elipse es: y
(x - 2) 16
2 +
(y - 3) 4
2 =
1 V1(-2; 3)
2 13 )
C(2; 3) F
F'
V2(6; 3)
a = 6 / a = 9 (no cumple)
&
C : (x - 6)2 + (y - 9)2 = 62
4
Desarrollando, obtenemos la ecuación general:
C : x2 + y2 - 12x - 18y + 81 = 0
Halla la ecuación ordinaria de una parábola cuyo vértice es (6; 5) y su foco es (6; 9).
Resolución:
El vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo es el extremo del lado recto de la parábola y 2 = 12x, el segundo vértice del triángulo es el vértice de la parábola. ¿Cuáles son las coordenadas del tercer vértice del triángulo, sabiendo que está ubicado en el eje x?
Resolución: Dato: y2 = 12x (De aquí deducimos que el vértice es el origen de coordenadas y que el eje focal es el eje x)
Gracando la parábola:
Luego: 4p = 12 & p = 3 (p hacia la derecha) Gracamos:
y F(6; 9)
2 0,
entonces la parábola se abre
y A
O
x
De la gura, se observa que la parábola se abre hacia arriba, entonces p 2 0. p = 9 - 5 = 4 Por lo tanto, la ecuación ordinaria de la parábola es: (x - 6)2 = 4(4)(y - 5) (x - 6)2 = 16(y - 5) Intelectum 5.°
y2 12x =
6
V(6; 5)
72
x
O
La ecuación de la circunferencia es:
2
(2; 3)
a = 4
OTN (teorema de Pitágoras):
a2 + (15 - a)2 = ( 3
n
2
x
O
( 2) 3 + 3 ; 2 2
+ -
Además, por dato sabemos:
a N(6; 9)
15 a
8
2a = 8
L : y 15
a T
d6
76 - (- 2) A2 + ( 3 - 3) 2
Además: V1V2 = 2a =
(0; 15)
1
Calculamos el centro de la elipse: C =
Resolución:
En el
_y - ki2
3 V(0; 0) 53° 2
15
F (3; 0) 53°/2 6
C (a; 0)
x
B
Sabemos que AB = 4VF, entonces: FB = 2VF & m+FBV = 53°/2 En el triángulo r ectángulo VBC: m+FCB = m+FBV = 53°/2 & FC = 2(6) = 12 Luego, las coordenadas del tercer vértice del triángulo son: (a; 0) = (15; 0)
T
LÍMI TES Y DERI VADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE El símbolo
lím x"c
f(x) = L significa que una función f(x) tiende, o se aproxima a L, cuando x está muy próximo a c
(diferente de c) o dicho de otra manera, para x próximo a c, pero diferente a c, f(x) está próximo a L.
Sea la función y = 2x + 3
y
x
y
L
1,98
6,96
f(x)
1,99
6,98
2
7
2,01
7,02
2,02
7,04
y f(x)
f(x)
=
x
c
x
x
En el gráfico que se muestra, la curva representa la gráfica de la función f(x), el número c aparece en el eje x, el límite L, en el eje y. Los números x, que están próximos a c, se dividen en dos clases: los que están a la izquierda de c y los que están a la derecha de c. •
lím x"c
-
f(x) = L: signica que cuando x se aproxima a c por la izquierda f(x) se aproxima a L, o el límite de f(x)
por la izquierda cuando x tiende a c es L. •
lím x"c
+
Observación
f(x) = L: signica que cuando x se aproxima a c por la derecha f(x) se aproxima a L, o el límite de f(x)
Observamos que conforme nos acercamos a x = 2 por la izquierda (x < 2) el valor de la función se aproxima a 7, y si tomamos valores cercanos a x = 2 por la derecha (x > 2) el valor de la función también se aproxima a 7. ` lím
x"2
por la derecha cuando x tiende a c es L.
(2x + 3) = 7
Ejemplo: • De la gráca se observa que: y
lím
7 6 5 4 3
x " ^-2h-
f(x) = 3 y
Por lo tanto:
lím
x "-2
lím
x " ^-2h+
f(x) = 3
f(x) = 3 sin importar que f(-2) = 4
• En cambio: lím
-2
3
x
x " 3-
f(x) = 7 y
Por lo tanto:
lím x " 3+
lím x"3
f(x) = 4
f(x) no existe
TEOREMA DE ESTRICCIÓN Sean f, g y h tres funciones reales de variable real y además c un punto que no pertenece necesariamente a Dom(f) + Dom(g) + Dom(h) ! f. Observación
Si se cumple que: i) f(x) # g(x) # h(x) ii)
lím x"c
f(x) =
Entonces:
lím x"c
lím x"c
En general, si se cumple que: lím f(x) = L
h(x) = L
x"c
Entonces, se debe cumplir previamente que los límites laterales coinciden, es decir:
g(x) = L
Ejemplo:
Como:
Calcula: L =
lím x"0
x.sen
1 x
lím xsen
Resolución: xsen
1 x
Como:
|x|
sen
=
x"0
x sen
1 sen x 1 x
#
lím 0 x"0
1 x
lím xsen x"0
# 1; 6x ! 0
|x|
&
0#
xsen
1 # x x
` L
1 x
1 x
=
=
=
lím x x"0
=
0 ; entonces:
lím -
x"c
f(x) = L y
lím
f(x) = L
+
x"c
0
0 ; pues lím
x"0
f(x) = 0 +
lím x"0
|f(x)| = 0
= 0
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
73
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS Vamos a utilizar el teorema de estricción para demostrar los límites trigonométricos que veremos en cálculos posteriores.
Atenc ión Sea el gráco:
Teorema 1
y
senx
lím
f
x
x"0
g L
= 1
Demostración:
h x
c
1.° Analizamos cuando x tiende a cero por la derecha, es decir, para x > 0: y C
CT
Se observa que cuando x se acerca a c, g se encuentra entre f y h, además cuando x tiende a c, f(x) y h(x) tienden a L, entonces g(x) también tiende a L.
R V R V R V S Área de W S Área W S Área de W S la región W Sdel sector W S la región W S W1 S W1 S W S triangular W S circular W Striangular W SS W S W S W ABO W S AOB W S OAC W T X T X T X 1 senx 2
B 1
tanx
x A
1 H
O
<
senx
senx
1 x 2
<
x
<
tanx
<
1 cosx
1 senx x
<
1
1 tanx 2
d n:
Multiplicamos por
x
<
senx
Invertimos: Ahora analizamos cuando x tiende a cero por la izquierda, es decir, para x < 0:
Nota n ! R ; n ! 0 se cumple:
ii)
lím x"0
tan (nx) x
=
=
senx
1 2
|senx| <
1 2
|x| <
De (I) y (II), además
1
<
cosx
<
C
|tanx|
lím x"0
2
cosx = cos0 = 1 y
lím x"0
x
<
senx
CT 1 2
2
Multiplicamos por ( -2): senx > x
B
n
n
2
tanx
6
sen (nx) x
... (I)
Como x < 0 |senx| = -senx, |x| = - x; |tanx| = -tanx
x
senx 1
lím
1
- 1 senx < - 1 x < - 1 tanx
A
x
O
x"0
<
x
Luego:
y
i)
senx
<
cosx
1 = 1, se tiene que:
senx x senx senx x senx
lím
x
x"0
>
tanx
<
tan x senx
<
1 cosx
<
1
...(II)
= 1
Teorema 2 lím x"0
tan x x
= 1
Demostración:
Nota
senx
m, n ! R ; n ! 0 se cumple:
6
i) ii)
lím x"0
lím x"0
sen (mx) sen (nx ) tan (mx) tan (nx)
=
=
m n m n
tan x lím x x 0
=
"
lím
cos x
x"0
x
=
senx
lím
x " 0 x cos x
=
lím x"0
a kd n = senx x
1 cos x
arcsenx
lím
x
=
x
lím x"0
_
como x " 0
i
=
lím
arcsenx " 0
&
arcsenx
_
arcsenx
lím
sen arcsenx
x
i
x " 0 sen arcsenx
Teorema 4 lím
arctan x x
= 1
x
x"0
=
d
lím θ"0
lím x"0
x"0
1 cos x
= 1
1
Hacemos: q = arcsenx, entonces q tiende a 0
arcsenx
arcsenx
lím
x " 0
= 1
Por FTI: sen(arcsenx) = x arcsenx
.
1
Demostración:
Intelectum 5.°
x
Teorema 3 x"0
74
senx
lím x"0
senθ θ
arcsenx x
=
lím
θ
θ " 0 senθ
= lím
θ"0
d
senθ θ
-1
n
-1
n
= (1)-1
&
lím x"0
arcsenx x
= 1
T
NOCIÓN INTUITIVA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Consideremos la curva y = f(x) que corresponde a una función continua y en ella dos puntos diferentes P(x 1; y1) y -y y Q(x2; y2). PQ es una recta secante a la curva con pendiente: m = 2 1 x 2 - x1 y
y2 = f(x2); y1 = f(x1) y si
Q
y2
x2 - x1 = h
P
y1
&
x1
O
m=
&
_
f x1 + h
x
x2
x2 = x1 + h Atenci ón
i - f _ x1 i
La tangente a la curva y = f(x) en el punto P es el límite de las sucesivas secantes, cuando el punto Q tiende hacia e l punto P.
h
Cuando el punto Q lo consideramos cada vez más cerca al punto fijo P, la recta secante PQ se acerca cada vez más a una recta tangente a dicha curva en el punto P.
Cuando Q se aproxima a P (Q P), h tiende a cero (h 0). "
"
Por lo tanto: La pendiente m T de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P(x 1, y1) es: mT =
lím
_
f x1 + h
i - f _ x1 i
h
h"0
Definición La derivada de una función f, denotada por f ', es aquella que viene dada por:
f'(x) =
lím
_
f x+h
h"0
i - f_ x i
h
Ejemplo: Calcula la derivada de la función f(x) = 3x2 - 9x + 4, en el punto x 0 = 3. Resolución: f'(x0) =
f'(x0) =
f'(x0) =
f'(x0) =
f'(x0) =
f'(x0) =
f'(x0) =
lím
f _ x 0 + h i - f _ x 0i h
h"0
lím
f _3 + hi - f _ 3 i h
h"0
lím
_
3 3+h
h
_
3 9 + 6h + h
2
i - 27 - 9h + 4 - 7 27 - 27 + 4A h
h"0
lím
27 + 18h + 3h
h"0
lím h"0
2
-
27 - 9h + 4 - 4
h
h"0
lím
Al proceso de hallar la derivada se llama diferenciación o derivación. Esta operación consiste en hallar una función f' a partir de una función f. Si una función tiene derivada en c, se dice que dicha función es diferenciable o derivable en c. Es decir la función f es diferenciable en c, si f'(c) existe.
i2 - 9_3 + hi + 4 - 93_ 3i2 - 9_ 3i + 4 C
h"0
lím
Nota
3h
2
+
9h
h
3h + 9 = 9
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
75
PROPIEDADES SOBRE DERIVADAS DE FUNCIONES REALES a) f(x) = c, entonces f'(x) = 0 Ejemplos: • Si f(x) = -5 • Si f(x) = n
f'(x) = 0
&
f'(x) = 0; 6 n ! R
&
b) f(x) = xn, entonces f'(x) = nxn - 1 Ejemplos:
Observación La derivada de y = f(x) que la hemos denotado como f'(x), tiene otras notaciones como: dy ; dx
Dxf(x) que signican lo
• Si f(x) = x-2
&
f'(x) = -2x-3
• Si f(x) = x-3
&
f'(x) = -3x-4
c) f(x) = cg(x), entonces f'(x) = cg'(x) Ejemplos: • Si f(x) = 3x5
f'(x) = 3(x5)' = 3 . 5x4 = 15x4
&
• Si f(x) = -2x-3
f'(x) = -2(x-3)' = -2(-3x-4) = 6x-4
&
mismo que f'(x). Ejemplo: f(x) = 3x4 + 4x3, entonces f'(x) = 12x3 + 12x2 ó dy = 12x3 + 12x2 ó dx
d) h(x) = f(x) ! g(x), entonces h'(x) = f'(x) ! g'(x) Ejemplos: • Si f(x) = x5 + x4 & f'(x) = (x5)' + (x4)' = 5x4 + 4x3 • Si f(x) = 4x3 + 5x2 + 8x + 11
3 Dxf(x) = 12x + 12x2
f'(x) = (4x3)' + (5x2)' + (8x)' + (11)'
&
= 4 . 3x 2 + 5 . 2x + 8 + 0 = 12x2 + 10x + 8 e) h(x) = f(x) g(x), entonces h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) Ejemplo: • Si f(x) = (x3 + 3x2 - 2x + 5)(4x - 3) f'(x) = (x3 + 3x2 - 2x + 5)'(4x - 3) + (x3 + 3x2 - 2x + 5)(4x - 3)' = (3x2 + 6x - 2 + 0)(4x - 3) + (x3 + 3x2 - 2x + 5)(4 - 0)
&
= (3x2 + 6x - 2)(4x - 3) + (x3 + 3x2 - 2x + 5)4 = 12x3 - 9x2 + 24x2 - 18x - 8x + 6 + 4x3 + 12x2 - 8x + 20 = 16x3 + 27x2 - 34x + 26 Nota Si f(x) =
x
;
entonces f'(x) =
f) h(x) = 1 2
x
f (x) f'(x) g (x) - f (x) g '(x) , entonces h'(x) = g (x) g 2 (x)
Ejemplo: • Si f(x) =
x
3
f'(x) =
&
76
Intelectum 5.°
f'(x) =
f'(x) =
f'(x) =
-
2x x
2
2
+ -
5x + 3 1
(x3 - 2x 2 + 5x + 3) '(x 2 - 1) - (x 3 - 2x 2 + 5x
+
3 ) (x 2 - 1 ) '
(x 2 - 1) 2 (3x2 - 4x + 5 + 0 ) (x 2 - 1 ) - (x 3 - 2x 2 + 5x x 3x
4
-
3x
2
-
4x
3
+
4
-
4x + 5x x
x
4
-
x
4
8x -
2
-
2x
2
2x - 5 +
1
2x
4
2
2
-
+
1
-
5 - 2x
2x
2
+
1
4
+
4x
3
+
3 )2x
-
10x
2
-
6x
T
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS • (senx)' = cosx
• (cotx)' = -csc2x
• (cosx)' = - senx
• (secx)' = secxtanx
2
• (tanx)' = sec x
• (cscx)' = - cscxcotx Nota
Ejemplos: 1. (x + tanx)' = x' + (tanx)'
4. (2xcosx - 2senx)'
2
= 1 + sec x
= (2xcosx)' - (2senx)' = (2x)'cosx + 2x(cosx)' - 2(senx)'
2. (x - cosx) = x' - (cosx)'
Si f es una función diferenciable en u y u es una función diferenciable en x, entonces: • d (senu) = cosu du dx
= 1 - (-senx)
= 2cosx + 2x(-senx) - 2(cosx)
•
= 1 + senx
= -2xsenx
•
3. (xcscx)' = x'(cscx) + x(cscx)'
•
= cscx + x(-cscx.cotx)
•
= cscx - x.cscx.cotx = cscx(1 - x.cotx)
•
d dx d dx d dx d dx d dx
dx
(cosu) = -senu du dx
(tanu) = sec2u du dx
(cotu) = -csc2u du dx
(secu) = secutanu du dx
(cscu) = -cscucotu du dx
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1
• (arcsenx)' =
1-x
2
1
• (arccosx)' = -
1-x
• (arctanx)' =
2
1 1+x
2
1
• (arccotx)' = -
1+x
2
1
• (arcsecx)' = x
x
2
-
1
1
• (arccscx)' = x
x
2
-
Observación
1
Las formas: 0 . 3; 3 - 3; 00; 30 ó 13 pueden ser transformadas a las formas 0 ; 3
REGLA DE L'HOSPITAL Se aplica para calcular los límites de la f orma:
lím x"a
0 ; 0
f (x) = g (x)
3
0
3
lím x"a
f'(x) = g'(x)
x"a
1 1
x"0
lím
3
f''(x) g''(x)
Ejemplo: Calcula el siguiente límite: lím
x " 0
x tan x
Resolución: • Evaluando en x = 0: lím
x " 0
x tan x
=
0 0
• Aplicando L'Hospital: lím
x " 0
x tan x
=
lím x"0
x' = (tan x) '
lím x"0
1 2
sec x
=
1 2
sec 0
=
&
lím
x tan x
=
1
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
77
Problemas resueltos 1
5
Calcula: lím tan 2x x " 0 tan 5x
E=
B=
Resolución: E=
d d
x"0
5
lím asenax - bsenbx tan ax + tan bx
x"0
Resolución:
tan 2x 2 2x
lím
Calcula:
tan 5x 5x
n n
=
lím tan 2x x"0 2x 2 5 lím tan 5x x"0
0 0
Evaluando x = 0 se obtiene
(indeterminado)
Aplicando L’Hospital: lím a (a cos ax ) - b (b cos bx ) B =x 0 a sec 2 ax + b sec 2 bx
5x
"
2.1 5 .1
E=
2
2 5
=
B=
a -b a+b
2
x - sen5x `
2
a sec ax + b sec bx
2
lím x - sen7x
2
a cos ax - b cos bx
x"0
Calcula: x"0
2
lím
B=
2 =
_a - b i_ a + bi _a + b i
B = a - b
Resolución: 1
lím
R=
x"0
1 1
R=
3
-
1
-
Halla f '
-
7 5
&
sen7x x sen5x x R
1
-
7 lím x"0
=
1
-
5 lím
x"0
sen7 x 7x
6
P=
sen5 x 5x
4
a π6 k
▪
a π6 k, para f(x) = xsenx.
=
sen
a π6 k
f '
a π6 k
=
1 2
f '
π 6
=
6+π 3 12
a k
+
a k
3 2
π . 6
=
1 2
+
a π3 k = 4 a π3 k
m.
1 2
=
f'
a π6 k = 2
a π3 k
+
n
=
π - sen 6
a kk = 2
= 2 m = -4 &
-4 + 2n = 8 n = 6 &
78
2sen2x cos 5x x cos 3x
lím
lím sen2x .1 2x
x"0
2
=
&
P
lím sen2x lím cos 5x . x"0 x cos 3x
x"0
=
4
Otra forma:
7
lím
7 cos 7 x
x"0
cos 3x
-
-
3 cos 3x
3xsen3x
Sean las funciones f, g: G0; pH f(x) = cotx; g'(x) = f(x)
6x !
=
"
4
R tal
que
G0; pH y
...(1)
lím x"0
[g(x)- lnx]
Resolución: Del enunciado: g'(x) = cotx
Reemplazamos m = -4 en (1): `
x cos 3x
1
Halla:
4
&
1 2
n
g(p/2) es una raíz del polinomio: x 4 - 16x3 + 96x2 - 256x + 256
a k = ma
-m .
x"0
P=
f '(x) = m(-senx) f'
P=
n d
7x - 3x 7x + 3x cos 2 2
Por L’Hospital:
+ n = 4 m + 2n = 8
π 6
x"0
d
1 4 424 4 3
▪
y
m cos
P=
π 3 12
Resolución: f
lím
P = 2 . 2
Calcula mn, si: f(x) = mcosx + n f
(indeterminado)
Por lo tanto: 2sen
π π cos 6 6
+
0 0
Evaluando x = 0 se obtiene
Resolución: f'(x) = senx + xcosx f'
lím sen7 x - sen3 x x cos 3x
x"0
Resolución:
3 2
=
Calcula:
mn = -24
Intelectum 5.°
g'(x) =
cos x senx
(senx) ' g'(x) = senx Se sabe que: (lnx)' =
1 x
En la función g: g'(x) = (senx)'
c
1 senx
m
T Por la regla de la cadena, se tiene: [ln(senx)]' = (senx)'
c
m
1 senx
=
f'(x) =
`
cos x senx
[ln(senx)]' = cotx, x ! G0; pH
9
&
También sabemos que para una función constante h(x) = c, c ! R , se cumple: h'(x) = 0, 6x ! R
arc sec θ 1 + 2x tan θ + x2 tan 2 θ + x 2 arc sec θ
Se muestra la gráfica del movimiento de una partícula. Determina la ecuación de la aceleración y su gráfica. x(m)
Entonces, la función g tendría la siguiente forma: g(x) = ln(senx) + c; x ! G0; pH; c ! R Por dato, g `
π 2
Senoide
0,4
-3π
j es una raíz del polinomio:
2
π
-π -π
3π 2
π
2
2
-0,4
t(s)
P(x) = x4 - 16x3 + 96x2 - 256x + 256
Resolución:
Factorizando por aspa doble especial: 4
3
Sabemos que la gráca de sent, es:
2
x - 16x + 96x - 256x + 256 2
-8x
16
2
-8x
16
x x
x(m) 1
-π 2
P(x) = (x - 8x + 16)(x - 8x + 16) P(x) = (x - 4)2(x - 4)2 P(x) = (x - 4)4
&
2
Luego: g `
π 2
j = ln`
π sen 2
j + c
&
g
-π
π
2
π
3π 2
2
t(s)
-1
Desplazamos la gráca hacia la derecha p/2 unidades, entonces, se obtiene sen(t - p/2) que también sería equivalente a desplazar hacia la izquierda 3 p/2 unidades obteniéndose: sen(t + 3p/2).
π
` 2 j = c
Reemplazando: P(c) = 0 (c - 4)4 = 0 `
8
&
x(m)
c = 4
g(x) = ln(senx) + 4
f(x) = arccot
c
xarcsec θ 1 - xtan θ
m
g'(x) =
&
g'(x) = g'(x) =
0,4
(1 + x tan θ) 2 arcsec θ (1 + x tan θ) - xarc sec θtan θ
- 3π 2
-π - π
2
1 + 2x tan θ + x tan θ
v= arc sec θ 2
[f(g(x))]' = -
&
1+
2
c
xarc sec θ 1 + x tan θ
2
2
m
= 0,4cos(t + 3p/2) m/s
2
a=
d x dt
2
= - 0,4sen(t + 3p/2) m/s2
Se observa que: a(t) = -x(t)
0,4
1 + 2x tan θ + x tan θ 2
2
2
2
1 + 2x tan θ + x tan θ + x arc sec θ 2
a(t) t(s)
2
1 + 2x tan θ + x tan θ 2
t(s)
x(m)
2
x arc sec θ 2
2
dx dt
arc sec θ =-
3π 2
Entonces la gráca de a(t) se obtiene por reexión de la gráca de x(t) sobre el eje x.
2
1 + 2x tan θ + x tan θ 1+
2
1 + 2x tan θ + x tan θ
arc sec θ =-
π
Nos piden la ecuación de la aceleración:
Luego, por la regla de la cadena: [f(g(x))]' = g'(x) f'(g(x))
1 + g (x)
-0,4
2
Luego, la ecuación del movimiento es: x(t) = 0,4sen(t + 3p/2) m
arc sec θ 2
π
2
1 + 2x tan θ + x2 tan 2 θ
2
2π t(s)
x(m)
(xarc sec θ) '(1 + x tan θ) - (xarc sec θ) (1 + x tan θ) '
[f(g(x))]' = -
3π 2
Encogiendo la gráca verticalmente en un factor 0,4, se tiene: 0,4sen(t + 3p/2).
xarc sec θ 1 + x tan θ
g' (x)
π
2
2
Resolución: Sea: g(x) =
π
-2π -3π -π -π 2
Halla la derivada de la siguiente función:
-0,4
2
1 + 2x tan θ + x tan θ
TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4
79
