5. GEOMETRÍA 1° - TEXTO

Geometría

Intelectum Geometría

Ig Indicadores

de logro

Unidad 1

Unidad 2

• Identifica las notaciones de una semirrecta, de un rayo y las representa gráficamente. • Define los diferentes elementos de un segmento. • Efectúa diversas operaciones utilizando segmentos y propiedades de rectas paralelas. • Identifica ángulos suplementarios y complementarios. • Formula las propiedades básicas de ángulos. • Calcula la medida de ángulos complementarios y suplementarios. • Identifica las principales líneas notables dentro de un triángulo. • Calcula la longitud de los lados de un triángulo aplicando la clasificación de estos por la medida de sus lados. • Resuelve problemas que implica la utilización de las líneas notables dentro de un triángulo. • Expresa gráficamente los principales triángulos pitagóricos. • Utiliza el teorema de Pitágoras para la resolución de problemas.

• Determina casos de congruencia de triángulos identificándolos gráficamente. • Representa gráficamente las propiedades de congruencia. • Calcula la medida de los ángulos y los lados de triángulos aplicando las clasificaciones de congruencia. • Demuestra el teorema del punto medio en un triángulo. • Clasifica los polígonos según su forma, medida de sus lados y ángulos. • Identifica las propiedades en los polígonos convexos. • Efectúa el cálculo de medidas de ángulos internos y externos, y cantidad de diagonales de polígonos utilizando sus diversas propiedades. • Clasifica los cuadriláteros entre trapezoides, trapecios y paralelogramos. • Demuestra las propiedades de los cuadriláteros según su clasificación. • Analiza y representa gráficamente una circunferencia, además reconoce sus principales elementos. • Calcula la medida de ángulos exteriores e interiores de una circunferencia, así como la medida de sus arcos aplicando propiedades.

GIZAH: PIRÁMIDE DE KEFRÉN En el desierto de Gizah, ubicado a unos kilómetros de El Cairo, se encuentra la gran Pirámide de Kefrén. La curiosidad que envuelve a esta pirámide es que fue la primera en ser construida bajo los dogmas del triángulo sagrado egipcio (triángulo rectángulo cuyos lados tienen la longitud o proporción de 3-4-5, probablemente se construyó de esta forma para lograr ángulos rectos en las construcciones. Las pirámides diseñadas con triángulos sagrados contienen 4 triángulos de este tipo en su estructura, siendo estos los que se forman con cada uno de las apotemas de las caras, la base y la altura de la pirámide, y que precisamente están orientados en la dirección de los cuatro puntos cardinales.

Contenido: Unidad 1

• Segementos.

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 4

• Congruencia de triángulos.

• Proporcionalidad.

• Triángulos.

• Polígonos.

• Triángulos rectángulos notables.

• Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.

• Circunferencia.

• Ángulos.

• Cuadriláteros.

• Semejanza de triángulos.

• Área de una superficie plana. • Geometría del espacio. • Tranformaciones geométricas en el plano cartesiano.

Unidad 3

Unidad 4

• Evalúa la aplicación del teorema de la cuaterna armónica en las proporciones y las relaciones asociadas a Descartes y Newton. • Interpreta los teoremas de Thales, de las bisectrices interior y exterior. • Determina longitudes de segmentos utilizando la proporción geométrica. • Aplica el teorema de Thales para obtener longitudes de segmento de rectas secantes intersecadas por rectas paralelas. • Identifica elementos del triángulo y los relaciona con los casos de semejanza. • Representa y describe las propiedades sobre semejanza de triángulos. • Calcula longitudes, interpretando gráficamente la semejanza de triángulos, añadiendo segmentos de recta paralelos a los lados. • Representa la proyección ortogonal de un punto y de un segmento sobre una recta. • Evalúa cada uno de los teoremas aplicados en las relaciones métricas de triángulos rectángulos. • Demuestra el teorema de Dostor relacionando las longitudes de los lados de dos triángulos rectángulos semejantes.

• Establece diferencias ente regiones semejantes, equivalentes y congruentes. • Identifica las relaciones de áreas de regiones triangulares y cuadrangulares. y calcula el área de regiones triangulares y circulares. • Determina el área de un trapecio, paralelogramo, rectángulo y de un rombo, utilizando diversas relaciones. • Define elementos geométricos en el espacio, identifica conceptos referentes al plano en el espacio y sus posiciones relativas. • Aplica el teorema de Thales para calcular la medida de segmentos entre planos paralelos. • Describe los diferentes tipos de poliedros (pirámide, prisma, esfera y cilindro), además de sus elementos y su clasificación. • Identifica los distintos casos de simetría puntual y axial en el plano cartesiano y define sus propiedades. • Establece la traslación de figuras tomando en cuenta la dirección de los ejes coordenados, utilizando las distintas propiedades estudiadas. • Calcula las coordenadas de rotacion de puntos en el plano.

α

h/2

altura (h)

apo

tem

a (A

h

Ap

p)

Triángulo sagrado

lado

(h)

Pirámide diseñada con triángulos sagrados

unidad 1

segmentos Conceptos geométricos

Existen dos tipos de elementos idealizados y primordiales en el estudio y desarrollo de la geometría; la recta y el punto. 1. Un punto es la intersección de infinitas rectas en 2. Una recta es la sucesión de infinitos puntos en un solo lugar. una sola dirección. Ln

L1 L2 P

P P1 P2 3

LA

Pn

Observación Solo bastan dos puntos para definir una recta. L1 B A

L4

A!L1 y B!L1 & L1 <> AB

Entonces, la recta origina al punto y a su vez el punto origina a la recta.

la recta

Es un elemento geométrico que se define como una sucesión de puntos que se extienden infinitamente en una sola dirección y en ambos sentidos. L1 B

Notación: AB : se lee, recta AB. L1 : se lee, recta L1.

A

Tipos de recta

a) Rectas secantes. Son aquellas rectas que tienen un punto en común.

b) Rectas paralelas. Son aquellas rectas que no se intersecan y pertenecen a un mismo plano.

L1 P

L2

L2

L1

L1 // L2: se lee, L1 paralelo a L2.

P: punto común de L1 y L2.

LA Semirrecta

Es una recta que se extiende indefinidamente en un sentido y está limitada por un punto en el otro; además, dicho punto inicial no pertenece a la semirrecta. B

La mínima distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.

Notación: AB : se lee, semirrecta AB.

A

Atención

EL Rayo

Es una recta que se extiende ilimitadamente en un extremo y limitado por un punto en el otro; además, dicho punto inicial sí pertenece al rayo. B

Notación: AB : se lee, rayo AB.

A GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

5

el Segmento

Es una porción de recta limitada por dos puntos fijos. La medida de la separación de estos dos puntos determina la longitud del segmento. Atención

A

B

A

,

Notación: AB = ,: se lee, longitud del segmento AB igual a ",".

Notación: AB: se lee, segmento AB.

B

La longitud del segmento siempre será un número real positivo.

,

Tipos de segmentos a) Segmentos congruentes. Son aquellos segmentos que tienen igual longitud. A

D

,

B

B

,

C

L1

D

C

B

Recuerda

B

Z

A

c) Punto medio de un segmento. Es aquel punto de un segmento que divide a este en dos segmentos congruentes.

Y

C

B

M

A

Si AM , MB & M es el punto medio de AB.

X

Ejemplo: Si M es punto medio del segmento AB, calcula la longitud de este si AM = 3. x

M

A

N

Ejemplo: Grafica los puntos colineales A, Z, B, Y, C y X de manera consecutiva. Graficamos:

{A, B, C, D} ! L1 & A, B, C y D son colineales.

Si graficamos los puntos colineales A, M y B en el mismo orden en el que están escritos, entonces estos puntos serán consecutivos.

5

Si AB , MN & AB = MN ` x = 5

b) Puntos colineales. Son aquellos puntos que pertenecen a una misma recta. B

M

x

A

Si AB = CD = , & AB , CD

A

Ejemplo: Si AB , MN y MN = 5, ¿cuánto mide el segmento AB?

M: punto medio & AM = MB Si AM = 3 & MB = 3 ` AB = 6

Operaciones con segmentos

Para sumar o restar segmentos, tenemos que partir del principio fundamenta: La suma de las partes es igual al todo. A

B

a

b

C

Partes

Todo

& AB + BC = AC & a + b = ,

, Suma: a + b = , Ejemplos: Calcula x. A

1

Calcula x.

x B

3

C

AB + BC + CD = AD 1+3+2=x & x=6

6

Intelectum 1.°

Resta: , - b = a

2

D

A

1

5 B

x

C

AB + BC + CD = AD 1+x+1=5 & x=3

1

D

Problemas resueltos 1

Si B y C son puntos medios de AC y AD respectivamente; además, BC mide 7; calcula AD.

Resolución: Sea el gráfico: y

Resolución: 7

A

F

L B

C

Análogamente, C es punto medio de AD, entonces: AC = CD & 14 = CD Por lo tanto, AD = 14 + 14 = 28

A

m m 13y 13y = = 6, 5 R= 2y (m + y) - (m - y)

D

Como B es punto medio de AC, entonces: AB = 7 & AC = 14

V

5

Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que M es punto medio de AD (M está entre B y C). Calcula: R = AB ; si AB + CD = 4 . CD BM - MC 3

Resolución: 2

Sea el gráfico:

En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, los cuales cumplen la siguiente relación: 3PQ = 2QR = 5RS = 180. Halla PS.

a

m-a

A

B

Sean los puntos consecutivos: Q

R

S

3a + 3b = 4b - 4a 7a = b a =1 b 7 Nos piden: R = AB = a & R = 1 CD b 7 6

Sea el gráfico: A

y

B

C

D

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AC = 5, BD = 7 y AD = 9; calcula BC.

Resolución:

y E

Del dato: x + x + y + y = 100 2(x + y) = 100 x + y = 50 Según el gráfico: BD = x + y & BD = 50 4

a+b = 4 b-a 3

5RS = 180 RS = 36

Resolución: x

D m

a+b = 4 (m - a) - (m - b) 3

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E; B es punto medio de AC, y D de CE. Halla BD, si AE = 100.

x

C

AB + CD = 4 BM - MC 3

De la relación tenemos: 3PQ = 180 2QR = 180 PQ = 60 QR = 90 Del gráfico observamos: PQ + QR + RS = PS 60 + 90 + 36 = PS & PS = 186 3

M m

Resolución:

P

b

m-b

En una recta se toman los puntos consecutivos L, F, V y A, tal que F es punto medio de LA. 13 (FV) Halla: R = LV - VA

Graficamos y colocamos los datos: 5 A

2

B

C

7

D

Del gráfico observamos que: AB = 9 - 7 AB = 2 luego: AB + BC = AC Reemplazando tenemos: 2 + BC = 5 ` BC = 3

GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

7

ÁNGULOS Ángulo plano

Nota Para medir un ángulo se utiliza un transportador, el cual está dividido en 180 partes, que se denominan grados sexagesimales. & 1 parte = 1° sexagesimal.

Es la figura geométrica plana determinada por dos rayos que tienen el mismo origen y la porción de plano contenido entre dichos rayos. A

• Los rayos OA y OB son los lados del ángulo. • El origen común O es el vértice del ángulo.

Lados α

O

Notación: +AOB: se lee, ángulo AOB.

B

Vértice

Medida angular Observación Las medidas de un ángulo pueden variar desde 0° hasta 180° (ángulo convexo) y también desde los 180° hasta 360° (ángulo cóncavo).

La medida angular es la magnitud de la separación que hay entre los lados del ángulo. Notación: A m+AOB: se lee, medida del ángulo AOB. m+AOB = a: donde α representa el valor del α O ángulo AOB. B

Clasificación de los ángulos según sus medidas

Dependiendo de su medida, un ángulo se clasifica en:

A) Ángulo agudo

B) Ángulo recto

Si: 0º 1 α 1 90º

C) Ángulo obtuso

Si: α = 90º

α

Si: 90º 1 α 1 180º

α

α

Clasificación de los ángulos según su posición

La posición de un ángulo con respecto a otro determina la siguiente clasificación: Recuerda Si a y b son dos ángulos opuestos por el vértice, se cumple que: a=b

A) Adyacentes

B) Consecutivos

Son aquellos ángulos separados por un rayo común a ellos, además, comparten el mismo vértice.

β

O

Son aquellos ángulos separados por un lado común y son tomados uno a continuación de otro.

θ

α

C) Opuestos por el vértice Son aquellos ángulos que comparten un mismo vértice y cuyos rayos son opuestos y colineales.

α

β α

O

β

O

Clasificación de los ángulos según la suma de sus medidas

El resultado de la suma de dos ángulos determina la siguiente clasificación:

A Ángulos complementarios Cuando dos ángulos suman 90º.

Atención La bisectriz es aquel rayo que divide a un ángulo en dos ángulos de igual medida.

8

Intelectum 1.°

a + b = 90º

β α

• a es el complemento de b y viceversa. Notación: Ca: se lee, complemento de a. ` Ca = 90º - a & Ca = b

B) Ángulos suplementarios Cuando dos ángulos suman 180º.

β

α

a + b = 180º

• α es el suplemento de β y viceversa. Notación: Sa: se lee, suplemento de a. ` Sa = 180º - a & Sa = b

G

Propiedades básicas de los ángulos Estas propiedades se basan en dos ángulos muy especiales, los cuales son:

A) Ángulo llano

B) Ángulo de una vuelta

α

Si a = 180º &

Si a = 360º &

Ángulos sobre una recta Si se tiene el siguiente gráfico:

Ángulos al rededor de un punto

θ

Recuerda

Si se tiene el siguiente gráfico: α

β

α

α

β

γ

• Dos rectas son paralelas cuando no se intersecan y ambas pertenecen a un mismo plano. • Dos rectas son secantes cuando tienen un punto en común.

φ γ

θ

Entonces, se cumple:


a + b + q + g + f= 360º

a + b + q + g = 180º

Dos rectas paralelas cortadas por una recta secante

Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una recta secante se originan ocho ángulos, los cuales tienen las siguientes propiedades. L3

b

a

d

c

e

f g

h

L1

Sea: L1 // L2 y L3 secante a L1 y L2 , la cual

L2

+a, +b, +c, +d, +e, +f, +g y +h

origina los siguientes ángulos:

A) Ángulos correspondientes

Cada par de ángulos correspondientes tienen la misma medida entre sí. b

a

L1

d

c

e

f h

g

L2

Pares de ángulos correspondientes: +a con +e (a = e) +c con +g (c = g) +b con +f (b = f) +d con +h (d = h)

Nota Si se tienen dos rectas paralelas ( L1 // L2 ); se cumplen las siguientes propiedades:

L3

B) Ángulos alternos Alternos internos

Alternos externos

L3 c

I) L1

L3

L1

d e

f

a

x

b

L2

L1 g

+c y +f & c = f +d y +e & d = e

L2

II) L1

b

β

c

C) Ángulos conjugados Conjugados externos

L3

L3 c

d e

f

+c y +e & c + e = 180° +d y +f & d + f = 180° Los conjugados internos suplementarios.

L2

son

a

ángulos

L2

θ

d

& α + β + q = a + b + c + d

b

III) L1

L1 g

a

α

+b y +g & b = g

Conjugados internos

β

& x=α+β

L2

h

+a y +h & a = h

L1

α

h

+a y +g & a + g = 180° +b y +h & b + h = 180° Los conjugados externos suplementarios.

φ ω θ

L2

β

L2

α

& α + β + q + w + f = 180°

son

ángulos


9


Se tienen los ángulos consecutivos AOC y COB. Si OM es bisectriz del +AOB y la m+BOC - m+AOC = 42°, calcula la m+COM.

4 Del gráfico, calcula x si: x - α = 55°.

P x

Resolución: ▪▪ Graficamos los ángulos consecutivos:

A

C β-α

α

M

M

2

▪▪ Del gráfico: x + a = 180° ▪▪ Del dato: x - a = 55°

5

Calcula el suplemento de x, si OD es bisectriz del ángulo AOC. B A

D

40° x

3x

O

C

Resolución:

Resolución:

3

(+)

▪▪ Sumamos las expresiones 2x = 235° & x = 117,5°

Un tercio de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo excede en 8° a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo. Halla la medida de dicho ángulo.

Sea x el ángulo, luego planteamos: c 1 mc 1 m CS x - 8° = c 3 m C x 3 2 5 2 1 790° - _180° - xiA - 8° = 3 a90° - x k 5 2 6 1 3 x 7 x - 90° A - 8° = 54° 10 6 x - 15° - 8° = 54° - 3x 6 10 7x = 77° 15 & x = 165°

R

Resolución:

β

O B ▪▪ Reemplazamos los ángulos en la siguiente ecuación: m+ BOC - m+ AOC = 42° (b + a) - (b - a) = 42° b + a - b + a = 42° 2a = 42° a = 21° ▪▪ Nos piden: m+COM m+COM = a = 21° & m+ COM = 21°

a N

▪▪ Si OD es bisectriz del + AOC, entonces: 40° + x = 3x x = 20° ▪▪ Luego nos piden: S20° = 180° - 20° & S20° = 160°

6

Halla a, si L1 // L2 .

α

L1

β

Un ángulo menos su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. Halla dicho ángulo.

100°

Resolución: Sea x el ángulo, luego planteamos: x - Cx = 1 Sx 4 1 x - (90° - x) = (180° - x) 4 4(2x - 90°) = 180° - x 8x - 360° = 180° - x 9x = 540° & x = 60°

10 Intelectum 1.°

L2

3β

Resolución: α

90°-β β

L1

100° 180°-3β 3β

L2

▪▪ Por propiedad sabemos: x = γ + θ

9

Si: x = 100° θ=β γ = 180° - 3β & (180° - 3b) + b = 100°

θ

x

γ

7

a = 90° + 40° & α = 130°

En la figura PS // CM. Calcula q. θ

S M

T

α

α α

L2

Resolución: Por propiedad sabemos: a + a + 90° + a + a = 180° 4a = 90° & a = 22,5° 10 En la figura, si L1 // L2 , calcula x.

30°

2α α

C

P

L1

α

b = 40°

Por ángulo llano sabemos: ▪▪ a + (90° - b) = 180° & a = 90° + b

Halla α si L1 // L2 .

A

L1

B x

Resolución:

2θ

• Del gráfico tenemos:

S θ 60°

P

Resolución:

T

60°

▪▪ Por propiedad: x = 2a + 2q = 2(α + q) (I) ▪▪ Por ángulos conjugados internos: (2a + a) + (2q + q) = 180° 3(a + q) = 180° a + q = 60° ▪▪ En (I): x = 2(α + q) = 2(60º) & x = 120°

M C

Por ángulos internos: m+PST = m+TDC Entonces: m+ PST = 60° & q = 90° - 60° = 30° 8

Si L1 // L2 , halla x.

20° 40°

L1

35° 25° 30°

L2

C

O

30° D

θ

x

Resolución: Por propiedad: 40° + 25° + 30° = x + 35° + 20° 95° = x + 55° & x = 40°

L2

11 Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, se traza la bisectriz OP del ángulo AOC. Si m+AOB - m+BOC = 70º, calcula m+POB.

Resolución: ▪▪ OP es la bisectriz del ángulo AOC. ▪▪ Si m+POB = x P x

A

α

B

C

α O

▪▪ Del dato: m+AOB - m+BOC = 70º, reemplazamos los ángulos: (α + x) - (α - x) = 70º α + x - α + x = 70º 2x = 70º & x = 35º


11

TRIÁNGULOS

definición

Observación

Es una figura geométrica que se origina al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

Elementos del triángulo

B

• Tres lados: AB; BC y CA • Tres vértices: A; B y C • Tres ángulos internos: a; b y q • Tres ángulos externos: a; b y c

β

a

b

Notación: iABC Se lee: triángulo de vértices A, B y C.

α

A

iABC = AB , BC , AC θ

c

Atención Teorema de la existencia del triángulo Para que un triángulo pueda existir un lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos lados y menor que su suma.

Clasificación de los triángulos A) Por la medida de sus lados

B

A

c

A

a

α

C

B

β

c θ

b

c

α

a

α

α

A

C

b

A

α

a

a α

C

AB = BC = AC

AB = BC

AB < BC < AC

& b - a < c < a + b ; b $ a

3. Triángulo equilátero Sus tres lados son congruentes.

B

β

c

b

B

2. Triángulo isósceles Tiene dos lados congruentes.

1. Triángulo escaleno No tiene lados congruentes.

C a

C

B) Por la medida de sus ángulos 1. Triángulo acutángulo Sus tres ángulos son agudos.

2. Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto.

B β

c

Recuerda Teorema de la correspondencia

Al lado de mayor longitud se opone un ángulo de mayor magnitud. C

A

α

b

3. Triángulo obtusángulo Tiene un ángulo obtuso. B

B

θ

β

c

a C

θ

α

A

b

c

a C

β

A

a

θ

α

C

b

a < 90°; b< 90°; q< 90°

a < 90°; b < 90°; q = 90°

a < 90°; b < 90°; q > 90°

Se cumple: c2 < a2 + b2

Se cumple: c2 = a2 + b2

Se cumple: c2 > a2 + b2

θ α

β

A

B

Si: AB > BC > CA &

Teoremas 1. En el iABC

q>a>b

2. En el iABC

B

β

3. En el iABC

B

B

β

A

12 Intelectum 1.°

α

β θ

C

A

θ α

C

A

θ

α

C

a + b + q = 180°

a + b + q = 360°

a+b=q

Los ángulos internos de un triángulo suman 180°.

Los ángulos externos de un triángulo suman 360°.

La suma de dos ángulos internos es igual a la medida del ángulo externo opuesto.

G

Líneas notables en el triángulo

Todo triángulo tiene las siguientes líneas notables:

A) Ceviana

Se llama así a cualquier segmento que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o en la prolongación del mismo. B

Nota Baricentro: Es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

En el iABC: BI: ceviana interior BE: ceviana exterior A

E

B

C

I

B) Mediana

N

P

Es aquella ceviana que parte de un vértice y cae en el punto medio del lado opuesto.

G

B

A

En el iABC: Si AM , MC & BM: mediana A

Si AN; BM y CP son medianas. & G: baricentro.

C

M

C

M

C) Altura

Además:

2GN = AG

2GM = BG

2PG = CG

Es aquella ceviana que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación. B

B

B

Nota

A

C

H

A

C

En un tríangulo rectángulo Lado BA: altura

En un tríangulo acutángulo BH: altura (dentro del tríangulo)

H

C

A

Ortocentro: Es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. B

En un tríangulo obtusángulo BH: altura (fuera del tríangulo)

H

D)Bisectriz

Es aquel segmento que divide a un ángulo interno en dos ángulos congruentes (bisectriz interior) o aquel rayo que divide a un ángulo externo en dos ángulos congruentes (bisectriz exterior). C α α

A

E

C

θ

B

I

A

En el iABC; si +ACI , +BCI & CI: bisectriz interior.

A

E)Mediatriz

Si AH1; BH2 y CH3 son alturas. & H: ortocentro.

Q

Nota Incentro: Es el punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo.

Es aquella recta que interseca a un segmento en su punto medio, formando además, con dicho segmento, un ángulo recto (90°); cada lado de un triángulo tiene por consecuencia una mediatriz. B

Si AM , MC y L1 9 AC & L1 : mediatriz de AC. M

B β β

P3

En el iABC:

A

C

H2

θ

B

En el iABC; si +CBE , +QBE & BE : bisectriz exterior.

L1

H1

H3

α A

α

P1

I

θ θ P2

C

Si AP1; BP2 y CP3 son bisectrices. & I: incentro.

C


13

Propiedades adicionales

4. Si BD es bisectriz y a > q.

1. Si el punto I es el incentro del i ABC. Nota

C

Excentro: Es el punto de intersección de dos bisectrices exteriores.

A

A

E P2 β

α α

α

P1

C θ θ

B

θ

θ & x = 90° + 2

I x

α

β β

x

B

α

A

β

θ

2. Si el punto E es el excentro del i ABC.

B

Si BP1 ; CP2 son bisectrices exteriores. & E: excentro.

β

B

α-θ & x= 2

E

x

β

C

H D

5. Si L1 es mediatriz del lado AC y α > q. Nota

C

Circuncentro: Es el punto de intersección de tres mediatrices de los tres lados de un triángulo. B

L3

α

θ

A

β

θ & x = 90° 2 3. Si el punto E es el excentro del i ABC.

L2

C θ

O

C

A L1

Si L1 ; L2 y mediatrices. & O: ortocentro.

x

L3

A

son

β

α α

L1

B

α

A

β

α

θ

H x

E

β

P

B

&

C

x= θ 2

& x = α-θ 2

Efectuar Halla x en cada caso. 1.

3.

x

2.

2x

40°

75°

4.

2x

5.

100°

85°

5x

5x

60°

6.

x

10° x

60°

14 Intelectum 1.°

40°

38°

53°

62°

30°


Halla x + y.

4 Si a < q, ¿cuántos valores enteros toma a para que el triángulo exista?

40° 28° y

θ

7

x 50°

Por ángulo exterior, tanto para x como para y: x = 28° + 40° = 68° y = x + 50° = 68° + 50° & y = 118° Nos piden: x + y = 118° + 68° & x + y = 186° 2

Resolución: Sea el triángulo ABC. 7

2x

2x

C

Resolución: Por definición de triángulo equilátero: m + A = m + B = m + C

B 2x

3

5

Halla x.

A

B

De la figura: Por ángulo exterior: m + BDC = 4x También el iDBC: es isósceles. & m + C = 4x

A a

H M

B α

A

60° 80° H M

40°

2x

C

D

Por lo tanto: 2x + 4x + 90° = 180° 4x x = 15° B C i ABC: isósceles & m+A = m + ABD = 2x 2x

Resolución:

40°

En el i ABC: 60° + 40° + m + ABC = 180° m + ABC = 80° Pero BM es bisectriz, entonces: m + MBC = 40° C m + AMB = 80° Por tanto, en el i HBM: a + 80° = 90° a = 10°

Otra forma: Como BM es bisectriz, entonces por propiedad: α = 60° - 40° = 10° 2

C

Resolución:

B

A

C

2x

Halla α, si BM es bisectriz.

60°

α

a

Entonces: 2x 2x + 2x + 2x = 180° C 6x = 180° x = 30°

2x

Por dato: a < q Entonces: AC > AB a > 7

4

Además por teorema de existencia del triángulo: AB > BC & 7 - 4 < a < 7 + 4 3 < a < 11 Pero: a > 7 ` a toma 3 valores: 8; 9 y 10.

B

A

B θ

A

Halla x.

A

α

a

Resolución:

4

6

4x

Los ángulos interiores de un triángulo son tres números consecutivos, calcula la medida del mayor ángulo.

Resolución: a + 1°

α

a + 2°

Por suma de ángulos interiores: a + a + 1° + a + 2° = 180° 3a = 177° a = 59° El mayor es: a + 2° = 59° + 2° = 61°


15

7

Halla b si BM es mediana.

Resolución: B

B

BQ y BH son alturas del triángulo ABC y M es el cruce de las alturas. En el AQC: m+QAC = 20° En el AHM: m+AMH = 70°

α

4 α

A

M

b

C A

Resolución: De la figura:

El iBAM es isósceles: & AB = AM = 4

B

α

4

6

A

α

4

M

b

Q

x 20°

70°

M 70°

H

Por ángulos suplementarios: x + 70° = 180° & x = 110° 10 Halla el valor de x.

Como BM es mediana, entonces: AM = MC = b = 4

C

B

β

A 8

C

θ

β

C

α

β

θ

Resolución:

Del gráfico, y es un ángulo formado por 2 bisectrices, entonces por propiedad: y = 90° & y = 45° 2 Por ángulos suplementarios: y + x = 180° 45° + x = 180° & x = 135° 11 Halla el valor de n si G es el baricentro del i ABC.

α

B

y x

z

C

Por teoría, el baricentro es el cruce de las medianas y forma segmentos proporcionales, entonces: AG = 2GM ` AG = 2(4) & AG = 8 = n 12 Si MN es mediatríz del lado AC y BM es bisectríz del + ABC. Calcula f.

θ + α + β + 180° = 1080° θ + α + β = 1080° - 180° θ + α + β = 900°

B

N

A B

60°

20°

φ

M

Resolución:

x

16 Intelectum 1.°

M

Resolución:

180°

A

4

A

_ θ + x = 360° b b α + y = 360°` + β + z = 360° b a θ + α + β + x + y + z = 3 _360°i

Halla x.

G

n

β

Por ángulos interiores: x + y + z = 180° Además:

9

θ

Resolución:

Calcula a + q + b.

θ

x

y

70°

C

Si MN es mediatríz y BM es bisectríz, se cumple: φ = 60° - 20° & φ = 20º 2

C

G

triángulos rectángulos notables Triángulo rectángulo

Nota

Es aquel triángulo que posee un ángulo interno recto, de esta manera los otros dos ángulos internos restantes suman 90°, es decir, son complementarios. Notación: ABC: se lee, triángulo rectángulo ABC. Elementos: AB = a catetos (lados adyacentes al ángulo recto) BC = b AC = c hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) a y b: ángulos agudos.

A Hipotenusa (c) c

α

a B

b Catetos (a y b)

β

C

En la notación de un triángulo rectángulo, la letra que representa al vértice asociado al ángulo recto va en medio de las otras dos: ABC 90°

Teorema de Pitágoras

El sabio y matemático griego Pitágoras postula el siguiente teorema: “En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa”. c2

Postulado: a2 + b2 = c2 c

a

a2

Atención

Demostración: Se construyen dos cuadrados sobre los lados a y b. Las áreas de estos cuadrados son respectivamente a 2 y b 2.

b

Todo triángulo rectángulo sin excepción cumple con el teorema de Pitágoras.

Sumamos las áreas: a 2 + b 2 = c 2 y vemos que la suma es igual al área del cuadrado construido sobre el lado c. b2

Triángulos pitagóricos

Son aquellos triángulos rectángulos cuyos lados tienen medidas enteras, por ejemplo: a)

b)

5

3

5 4

Observación

c)

13

25

7

53°

12

d)

e)

El triángulo pitagórico de 3; 4 y 5 también es un triángulo notable de ángulos: 37° y 53°.

24

3a

5a

37°

f)

4a

a: constante de proporcionalidad.

8

17 9 15

41 40

20

29

21


17

Principales triángulos rectángulos notables

Algunos ángulos internos de un triángulo rectángulo determinan ciertas relaciones entre sus catetos y su hipotenusa que, además, son fáciles de asociar con dichos ángulos. A estos triángulos “famosos” se les denomina triángulos rectángulos notables. Atención

A) Triángulo de 30° y 60°

Una aplicación de los triángulos rectángulos, se puede mostrar en la siguiente propiedad. En un triángulo rectángulo de 15° y 75°:

60°

2a

a 3

B

a

15° a A

75°

H

2a 30°

15°

M

1 4 44 2 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3

30° 30°

2a 60° a

C

B) Triángulo de 45°

B

15°

H

45° C

a 2

a

BH = AC 4

45°

a

C) Triángulo de 53°/2

53° 2 2a

a 5

Demostración: • Se parte de un cuadrado de lado a. • Trazamos la diagonal AC = d. & d2 = a2 + a2 (T. Pitágoras) d = 2 a

A

60°

a

C

Demostración: • Se parte del triángulo notable de 37° y 53°. • Trazamos la ceviana exterior CD, de tal manera que AD = AC. & 2a = 53 ` a = 53°/2 En el DBC (T. Pitágoras): x2 = (5b + 3b)2 + (4b)2 x = 4b 5 Pero: 4b = a & x = a 5

d

7a

D) Triángulo de 37°/2 8°

a: constante de proporcionalidad.

37° 2

a 10

3a

a

Demostración: • Se parte del triángulo notable de 37° y 53°. • Trazamos la ceviana exterior AE, de tal manera que, EC = AC. & 2a = 37° ` a = 37°/2 En el EBA (T. Pitágoras): x2 = (5b + 4b)2 + (3b)2 x = 3b 10 Pero: 3b = a & x = a 10

45° 45°

D α

5b 2a A 3b

x 53° 5b α

B

4b a

37°

E α

5b 2a

x

C 4b B

37° 5b α

53° 3b a

18 Intelectum 1.°

a

a

También existe un triángulo notable de 82° y 8°. 5a 2

D

45° 45°

a

a

Nota

82°

a

H

B

a

2a

h

2a

2a

75°

B

A


A

30°

Demostración: • Se parte de un triángulo equilátero de lado 2a. • Trazamos la mediatriz BH = h. & (2a)2 = a2 + h2 (T. Pitágoras) h=a 3

A

C

C


Halla x.

4 5

Halla x en la figura.

x+3

De la figura tenemos: B

A

L

45°

53° 18

En el AHB (53° y 37°): Si: AH = 3 # 6 = 18 & BH = 4 # 6 = 24 En el BHC (37° y 53°): Si: BH = 24 = 3 # 8 & HC = 4 # 8 = 32 ` x = 32

53°

37°

Calcula VG si LF = 6 .

24

H

37°

x

C

F 5

V

C

x

Resolución:

Por el teorema de Pitágoras: 52 + (x + 2)2 = (x + 3)2 25 + x2 + 4x + 4 = x2 + 6x + 9 20 = 2x & x = 10

60°

53° 18 H

A

Resolución:

2

B

x+2

En la figura, calcula AD si BC = 8. A B

G

Resolución: Sabemos que: G k

60°

2k

V

k 3

30°

Resolución:

a 2

a L

a

G

45°

A

F

LGF: En el LVG: 6 =a 2 2k = 3 ` VG = 3 2 a= 3 k= 3 2

30°

B

Halla x.

P 8

En el

3

C

6

60° 30° D

L

Resolución: F 16 L

30°

7°

37° R x

8 A

30°

R

B

A

A

En el LAF(30°; 60°): FA = 8 En el RAF(37°; 53°): 8 = 3k 8 =k 3

& x = 4k = 4 c 8 m = 32 3 3

Del grafico: AP // CD. Por ángulos alternos internos: m+A = 30° En el APD, como: BC = 8 & PD = 8 En el APD(30° y 60°): Si: PD = 8 & AD = 16

13

7°

x

D

Si el triángulo ABC es un triángulo pitagórico, halla a + b, además, ab = 60.

F 16

30°

C

L

a C

b

Resolución: ABC es un triángulo rectángulo pitagórico. & a < 13 y b < 13; también ab = 60 {a; b} ! Z+ & 60 = a # b, Entonces, tenemos dos resultados: 60 = 6 # 10 & a = 6 y b = 10 60 = 5 # 12 & a = 5 y b = 12 Aplicamos el teorema de Pitágoras en ambos casos: 1) 62 + 102 = 132 136 = 169 (no cumple) & a ! 6 y b ! 10

2) 52 + 122 = 132 169 = 169 & a = 5 y b = 12 ` a + b = 5 + 12 = 17


19

unidad 2

congruencia de triángulos DEFINICIÓN

Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos interiores respectivamente iguales y sus lados correspondientes de igual longitud. Nota

F1

β c

F2

,,

Donde , se lee congruente.

c

,

a θ

α

b

A

F1 , F2

β

a θ C

α

,

Si: AB , SR, BC , ST y AC , RT y m+BAC , m+SRT, m+ABC , m+RST y m+BCA , m+STR. & Se dice que el triángulo ABC es congruente al triángulo RST.

S

B

En general, dos figuras planas son congruentes cuando ambas tienen la misma forma y tamaño.

T

b

R

Notación: TABC , TRST

Se puede determinar si dos triángulos son congruentes a tráves de tres casos distintos:

Caso I: Ángulo - Lado - Ángulo (ALA)

Dos triángulos serán congruentes si ambos poseen un lado y dos ángulos adyacentes a este que tienen la misma medida. B a

S

β

,

α

A

a

β

α

C R

T

En ambos casos: m+A = m+R = a (Ángulo) AB = RS = a (Lado) m+B = m+S = b (Ángulo)

Caso II: Lado - Ángulo - Lado (LAL)

Dos triángulos serán congruentes si ambos poseen dos lados y un ángulo formado por estos dos lados que tienen la misma medida.

Atención La congruencia de figuras (leáse en términos prácticos como igualdad), aparece en la vida cotidiana, en nuestro quehacer diario y también en nuestros juegos.

R

A C

a

β

a

,

b

T β

B

b

S

En ambos casos: AB = RS = a (Lado) +B = +S = b (Ángulo) BC = ST = b (Lado)

Caso III: Lado - Lado - Lado (LLL)

Dos triángulos serán congruentes si ambos poseen tres lados que tienen la misma medida. A

R

c

B

a

b

C

a

En ambos casos: AC = RT = a (Lado) CB = TS = b (Lado) AB = RS = c (Lado)

N 7

b

b

T

B

θ

S

a

,

Ejemplo: halla x.

A

c

, C

b

x M

a

θ

P

Resolución: Vemos que: TABC , TMNP; pues AB = MP = a; m+A = m+P; AC = NP = b (caso LAL) & x = 7

20 Intelectum 1.°

G

PROPIEDADES de la congruencia de triángulos A) Propiedad de la bisectriz

Si se toma un punto cualquiera de la bisectriz de un ángulo, entonces se cumple que dicho punto equidista de los lados de dicho ángulo. A

Q

• Si OM es bisectriz del +AOB. P

α α

O

&

M

OQ = OR

y

PQ = PR

Observación

• También se cumple que:

R

B

OQP ,

De la propiedad C. Cuando trazamos la mediana relativa a la hipotenusa se generan dos triángulos isósceles cuyos lados iguales miden igual que dicha mediana.

ORP

B) Propiedad de la mediatriz

Si se toma un punto cualquiera de la mediatriz de un segmento, entonces se cumple que dicho punto equidista de los extremos de dicho segmento. L

• Si L es mediatriz de AB.

P

&

α

A

α


B

M

AP = PB

AMP ,

BMP

Observación

C) Propiedad de la mediana relativa a la hipotenusa

Si en un triángulo rectángulo se traza la mediana relativa a la hipotenusa, entonces dicha mediana medirá la mitad de la hipotenusa. B

A

Si BM es mediana:

α

β

De la propiedad D. El segmento que se genera al unir los dos puntos medios de los lados de un triángulo mide la mitad del lado al cual es paralelo.

& BM = AC 2

β

α

M

C

& BM = AM = MC

D) Teorema de los puntos medios

Si se toma el punto medio de uno de los lados de un triángulo y por este punto se traza una recta paralela a un segundo lado, entonces dicha recta interseca al tercer lado en su punto medio. B

• Si L es paralela a AC.

L

N

&

M C A

BN = NC

Observación


De la propiedad E. La base de un triángulo isósceles será siempre aquel lado diferente de los otros dos lados iguales.

MN = AC 2

E) Propiedad del triángulo isósceles

Si se traza la altura relativa a la base de un triángulo isósceles, entonces dicha altura también será mediatriz, bisectriz y mediana. B αα

A

θ

H

θ

C

Si el TABC es isósceles (AB = BC), entonces: • BH es mediatriz de AC. • BH es mediana relativa a AC. • BH es bisectriz del +B. • BH es altura relativa a AC.


21


Calcula UR si HB = BE, HU = 9 y ER = 3.

4

H

Halla x. Si CE = 3 y AE = 9. B θ

E A U

B

2x − 4

R

Resolución: θ α

U

2

Piden x = UR HUB , BRE (ALA) HU = BR / RE = UB 9 = BR 3 = UB Entonces, UR = 3 + 9 = 12

E

9 3

θ

B

x

3 R

9

Del gráfico, calcula CM.

Se deduce: m + BAC = 180° - (q + a) m + ADE = 180° - (q + a) 5

D

A

C

Entonces, el DBAC , DEDA (ALA) AD = AC & 2x - 4 = 12

En la figura mostrada, halla x. Si: AB = CD ( L mediatriz de AC )

4

B

L

80°

D

A

x

H

C

M

Resolución: Resolución:

B 80°

A P

C

4

n R n Q n S

2n

2n

A

M

6

En la siguiente figura, halla x sí AB = DC, AH = 6.

2x

x

D x

H

Por el teorema de la mediatriz: AD = CD Además: m+ DAC = m+ DCA = x

Si trazamos PQ paralela a AM, entonces PQ = 2 = n (teorema de los puntos medios). En el RPS, por propiedad de la mediana: PQ = RQ = QS = 2 = n Del dato CR = RS = SM = 2n = 4 ` CM = 12 3

C

Resolución:

H

α

α θ E

α

Halla q, si BC = BD.

C

Para el TADC, por ángulo exterior: m+ADB = 2x Luego: TBAD es isósceles: m +ADB = m +abd & 2x = 80° ` x = 40°

B

B

x A

H

6

D

C

B

θ x 6

H

C

D

B

α

E

Resolución:

Resolución:

A

x

55° A θ

E

D

E α

22 Intelectum 1.°

θ

Del triángulo AHB y DEC observamos que se aplica el caso ALA, C luego: x = 6

55° 55°+ θ

55°

A θ

E

D

El TABE es isósceles & m+AEB = m+BAE = 55° EL TBAD , TBEC (caso LLL) & m+BEC = 55° + q C ` m+AEB + m+BEC = 180° 55°+ 55°+ q = 180° q = 70° 7

G

polígonos

definición

Es aquella figura geométrica cerrada que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales y que pertenecen a un mismo plano, mediante segmentos de recta, de tal modo que esa figura limite una región del plano. D

E

δ

c P

Elementos del polígono

F

C θ

• Vértices: A; B; C; D; E; F; G; H; ... Q

b

• Lados: AB; BC; CD; DE; EF; FG; GH; ...

B β

• Ángulos internos o interiores: a; b; q; d; ...

G

a A

α

Observación

• Ángulos externos o exteriores: a; b; c; ...

R

• Diagonales: AC; AD; AE; ...

H

• Diagonales medias: PQ; PR; PS; ...

S

Clasificación de POLÍGONOS SEGÚN SU FORMA A) Polígono convexo

B) Polígono cóncavo (no convexo)

Un polígono es convexo cuando todos sus ángulos internos son convexos, es decir, miden entre 0° y 180°. B

α3

B

A α1

G

α7

Un polígono es cóncavo cuando al menos uno de sus ángulos internos es cóncavo, es decir, mide más de 180°.

C

α2

α5

A

E

F

α3

β

α2

α5 D

F α1

α6

G

E

Nota

b > 180°

a1; a2; a3 ; … ; a7 < 180°

& Es un polígono cóncavo.

& Es un polígono convexo.

C α4

α4 D α6

Clasificación de polígonos según la medida de sus lados y ángulos A)Polígono equilátero

Es aquel que tiene todos sus lados congruentes. Puede ser convexo o cóncavo. B

B) Polígono equiángulo

Es aquel cuyos ángulos internos son congruentes; siempre es convexo. B

C

α

α

C) Polígono regular

Es aquel que tiene sus lados y ángulos internos congruentes. B

C

D E

AB = BC = CD = DE = EA

A α

α α

F

Otra manera de reconocer si un polígono es convexo o cóncavo es trazando una recta secante al polígono, si la recta lo interseca en dos puntos es un polígono convexo, si lo interseca en más de dos puntos, es un polígono cóncavo. Convexo 2 1

β

A

A

• La diagonal de un polígono es aquel segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. • La diagonal media de un polígono es aquel segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera.

α

E

D

β

β

C

Cóncavo 1

β

2

3

D

AB = BC = CD = AD y +A , +B , +C , +D , +E , +F +A , +B , +C , +D


23

cLASIFICACIÓN de polígonos según el número de sus lados

Dependiendo del número de lados que poseen, los polígonos adquieren la siguiente denominación o nomenclatura: a) Triángulo

b) Cuadrilátero

c) Pentágono

d) Hexágono

e) Heptágono

Atención 3 lados

A los polígonos que tienen más de doce lados se les denomina de la siguiente manera: n.° lados

Denominación

13 14 15 16 17 18 19 20

Tridecágono Tetradecágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octodecágono Nonadecágono Icoságono

f) Octágono

4 lados

5 lados

g) Nonágono

h) Decágono

9 lados

10 lados

8 lados

6 lados

7 lados

i) Endecágono

j) Dodecágono

12 lados

11 lados

Propiedades de los polígonos convexos

En un polígono de n lados, se cumple: A) Igualdad de sus elementos:

n.° ángulos internos = n.° vértices = n

C

B) Suma de sus ángulos externos:

a + b + q + d + f + g + ... = 180°(n – 2)

Sm + i = 180°(n - 2)

A

D1 = (n - 3)

La suma de ángulos internos para polígonos convexos: Sm + i = 180°(n – 2)

Dn

también se cumple para los polígonos cóncavos.

Dm =

G

H

h

V3 M1

V2

V4

M(n − 1)

M2

V1

V5

DM = (n - 1 )

G) n.° total de diagonales medias:

f

ω

α

Mn

n _n - 3i DT = 2

F) n.° de diagonales medias trazadas del punto medio de un lado:

µ

υ

D) n.° de diagonales trazadas desde un solo vértice:

Observación

F

Dm

θ

g

a

C) Suma de sus ángulos internos:

E) n.° total de diagonales:

e

B β

Sm + e = 360°

c

E φ

δ

b

a + b + c + d + e + f + ... = 360°

d

D

M(n − 2)

n (n - 1) 2

M3

Polígonos regulares

Un polígono regular es aquel polígono que posee lados y ángulos de igual medida; además, todo polígono regular puede ser inscrito o circunscrito a una circunferencia. C l

B

α

D

l

α

α

R

A

Ángulo interno Ángulo central Ángulo externo E

α

O

Q l/2

l α

Elementos del polígono regular

l

β

R

θ

α

F

l/2

Polígono regular de n lados

24 Intelectum 1.°

a=

180° (n - 2) n

b = 360° n

q = 360° n

G


¿Cuántos lados tiene un polígono, cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 7200°?

Resolución:

Piden: n Según el dato: DT + n = 3n n (n - 3) + n = 3n 2

Resolución:

Sm + i = 180°(n - 2) / Sm+e = 360° Dato: 180°(n - 2) + 360° = 7200° 180°n - 360° + 360° = 7200° 180°n = 7200° & n = 40 lados 2

7

n (n - 3) = 2n 2 n - 3 = 4 & n = 7 lados

Si ABCDE es un pentágono regular, calcula x. B

Calcula el número de diagonales de un decágono.

2x

A

C

Resolución:

3

n (n - 3) ; n = 10 2 10 (10 - 3) & D = 10 . 7 = 35 diagonales DT = 2 2 DT =

D

E

Resolución: B α

Calcula el número de diagonales medias de un heptágono.

2x

A

2x

Del gráfico: a: ángulo int erior 180° (n - 2) a= n 180° (5 - 2) a= 5 a = 108°

C

Resolución:

4

n (n - 1) ; n=7 2 7 (7 - 1) & Dm = 7 . 6 = 21 diagonales medias Dm = 2 2 Dm =

Luego del iABC: B α

¿En qué polígono el número de diagonales medias es el doble del número total de diagonales de dicho polígono?

Resolución:

Dato: Dm = 2D Simplificamos: Reemplazamos: n - 1 = n-3 2 n (n - 1) 2n (n - 3) = n - 1 = 2n - 6 & n = 5 2 2

D

E

2x

A

8

2x

4x + a = 180° 4x + 108° = 180° 4x = 72° x = 18°

C

Determina la medida del ángulo x, si ABCDEF es un polígono regular. C

B

D

x

Entonces, el polígono es un pentágono. A

5

En un polígono regular se cumple que el doble de un ángulo exterior excede en 90° a un ángulo interior. Calcula el número de lados.

Resolución: Dato: Ángulo exterior: 360° n Ángulo interior: 180° (n - 2) n 6

2 d 360° n n

F

Resolución: C

180°_n - 2i = 90° n

2 d 360° n - 180° + 360° = 90° n n 3_360°i = 270° & n = 4 lados n

La suma del número de diagonales más el número de vértices de un polígono es igual al triple del número de lados. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

E

B

x

30°

α

30°

D

30° A

α

α 30°

E

Sea la m+ BCD = a 180° (n - 2) Entonces: a = n 180° (6 - 2) a= 6 a = 120°

F

Del gráfico observamos que DBCD , DBAF, además son isósceles. Entonces: m+CBD = m+CDB = 30° m +ABF = m+AFB = 30° Como ABCDEF es un polígono regular, sus ángulos internos son iguales, luego: 30° + 30° + x = 120° 60° + x = 120° & x = 60°


25

CUADRILÁTEROS DEFINICIÓN

Es la figura geométrica que resulta al unir, mediante sus extremos, cuatro segmentos de recta coplanares y no colineales. Un cuadrilátero puede ser, además, cóncavo o convexo. Cuadrilátero cóncavo

Atención Un cuadrilátero cóncavo solo puede tener un único ángulo cóncavo (mayor que 180°).

Nota • Propiedad adicional en un cuadrilátero cóncavo.

Cuadrilátero convexo

Elementos Vértices: A; B; C y D B B Lados opuestos: (AB y CD), (BC y AD). β β C Lados consecutivos: (AB y BC) , (BC y CD), (CD θ θ C α y DA), (DA y AB). A Ángulos opuestos: (+a y +q), (+b y +w). ω ω α Ángulos consecutivos: (+a y +b), (+ b y +q), D D A (+q y +w), (+w y +a). a; b; q y w son menores que q 2 180° (ángulo cóncavo). Diagonales: AC y BD. 180°. En ambos casos se cumple que: a + b + q + w = 360°

θ φ

Perímetro (2P): 2P = AB + BC + CD + AD

Propiedades del cuadrilátero cóncavo

a) Ángulo exterior al ángulo cóncavo o al ángulo mayor que 180°.

y

x

x+y=q+f

b) Menor ángulo formado por dos bisectrices internas de ángulos opuestos. α

β

• Propiedad adicional en un cuadrilátero convexo.

x

α

y x

β

θ

α

a+q+b=x

β

θ

α φ

x

θ

x=

x+y=a+b

c) Menor ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior que parten de vértices opuestos.

β

x

β β

α α

φ

θ+φ 2

θ-φ 2

x=

Propiedades del cuadrilátero convexo

a) Ángulo formado por dos bisectrices de ángulos consecutivos.

Observación El trapezoide simétrico también se llama DELTOIDE:

αα

θ

B

A

α

α β

β

C

b) Menor ángulo formado por dos c) Ángulo formado por dos bisectrices bisectrices de ángulos opuestos. exteriores de ángulos consecutivos.

φ

α

β

x=

β

φ

θ+φ 2

β

x=

θ

x

x

x α

α α

θ

β

β

θ-φ 2

β

φ

x=

θ+φ 2

Clasificación de cuadriláteros convexos

D

• BD es mediatriz de AC. • TABC y TACD son isósceles • TABD es simétrico al DBCD con respecto a la diagonal BD.

Los cuadriláteros convexos pueden ser clasificados, de acuerdo al paralelismo de sus lados opuestos, en:

A) Trapezoides

Son aquellos cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos. Son de dos tipos: I. Trapezoide asimétrico: es aquel trapezoide cuyos elementos no tienen ninguna simetría. B

II. Trapezoide simétrico: es aquel cuyos lados consecutivos son simétricos a los otros dos, con respecto a una diagonal. B

φ θ

A C D

26 Intelectum 1.°

A

β β

α α

C

φ θ

AC: eje de simetría.

D

G

Propiedades del trapezoide I.

II.

C

B

III.

B

C

x w

A

D

y

N

M

C

Recuerda Elementos del trapecio

P

G

z

Q

A

B

D

A

D

Q

Si: M; N; P y Q son puntos medios. & MG = GP y NG = GQ

Si: 2P = AB + BC + CD + AD P < x + y + z + w < 3P

Si: 2P = AB + BC + CD + AD & P < AC + BD < 2P

B

B) Trapecios

Son aquellos cuadriláteros que poseen solamente un par de lados opuestos paralelos (BC // AD) y son: I. Trapecio escaleno: posee lados opuestos no paralelos de diferente medida. B

C

II. Trapecio rectángulo: posee un lado perpendicular a los lados paralelos del trapecio. C

B

A

D

III. Trapecio isósceles: posee lados opuestos no paralelos de igual medida. B

A

D

AB ! BC ! CD ! AD

A

M A

a

B

θ

θ

D

Nota Segmento que une los puntos medios de las bases:

M

A

P

N

C

& x = a + b

A

Recuerda

b

α β

D

• AB , CD y BC , AD. • +A , +C y +B , +D; además: m+A + m+B = 180°. • AG , GC y BG , GD. Donde G es el punto de intersección de las diagonales AC y BD.

Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

B

C

a

G b

D

2

I. Romboide: posee lados y ángulos consecutivos de II. Rombo: posee lados congruentes y ángulos consediferente medida. cutivos de diferente medida.

β α

α b

& x = b - a

Son aquellos cuadriláteros que poseen lados opuestos paralelos y congruentes, y son:

a

β

D

C) Paralelogramos

B

C

Si: a + b = 90° & x = b - a 2

b

Si: PQ // AD // BC y AP = PC y BQ = QD

2

a x

A

Q

x

A

D

b

Si: MN // AD // BC y AM = MB y DN = NC

a

B

x

B

II. Segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio.

C

D

H

AD: base mayor. BC: base menor. MN: mediana. BH: altura.

Propiedades de trapecio I. Base media o mediana, es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.

N

C

m +A = m +D / AB = CD

m +A = m +B = 90°

C

a A

α α

β

β

a α α

G a

β

β

C

a

D

• AB , BC , CD , AD. • +A , +C y +B , +D; además: m+A + m+B = 180°. • AC es mediatriz de BD y viceversa. • AC es bisectriz del +A y el +C. • BD es bisectriz del +B y el +D.


27

III. Rectángulo: posee ángulos congruentes y lados consecutivos desiguales. B

α

β

a

Atención P

G D

β

β

b

D

A

• AB , CD y BC , AD

Q

En un paralelogramo se cumple que cualquier segmento trazado entre los lados opuestos y que pase por la intersección de las diagonales es bisecado por dicha intersección.

a

• A , B , C , D; (m+A = m+B = m+C = m+D = 90°) • AG , GB , GC , GD & AC , BD

45° 45°

P x

Si: {G} = AC + BD & PG = GQ = PQ 2

A

a

D

• A , B , C , D ; (m+A = m+B = m+C = m+D = 90°) • m+GAB = m+GBC = m+GCD = m+GDA = 45°

B

C

b

A a

D

b

45° 45°

• AB , BC , CD , AD

a α α

C

a

G

Propiedades del paralelogramo B

45° 45°

45° 45°

a

a α

α

A

C

α

B

C

G

β

B

A

b

IV. Cuadrado: posee lados y ángulos congruentes.

Si AP es bisectriz interior del +BAD. & x=b-a

C c x

dD

x= b+d = a+c = a+b+c+d 2 2 4

Paralelogramo de Varignon: en todo cuadrilátero cóncavo o convexo, los puntos medios de cada uno de los lados son los vértices de un paralelogramo al que se le denomina “paralelogramo de Varignon”. B

B

N M

C

C

A

P A

N

M

Q

P

Q

D

D

En ambos casos se cumple que MN // PQ y MQ // NP, además MN = QP y MQ = NP.

Efectuar 1. Calcula x.

3. Halla el valor de x. 70°

40°

140°

x

130°

100°

x

x

4. Del gráfico, calcula x.

2. Del gráfico, halla el valor de x. 80°

150° x

28 Intelectum 1.°

140°

30°

x

70°

60°

G


Según la figura, calcula x.

5

130°

80°

En un cuadrilátero convexo ABCD, halla la medida del menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y D, si m+C - m+A = 34°.

Resolución:

Con los datos del enunciado, construimos el gráfico:

x

B β

Resolución:

x α

α

D

Del gráfico observamos que x es el menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y D. En el BEDA: 180° - x = a + b + m+A ...(1) En el ABCD: 2a + 2b + m+A + m+C = 360°

130°

4x

& a + b = 180° - m+A + m+C ...(2) 2

110°

Reemplazando (2) en (1) y operamos: 180° - x = 180° - m+A + m+C + m+A 2 m + C m + A x = & x = 34° = 17° 2 2 Por lo tanto, el menor ángulo que forman las bisectrices de los ángulos B y D es 17°.

Resolución:

2x + 4x + 130° + 110° = 360° 6x = 120° & x = 20° 3

180° - x

A

Halla x. 2x

β

E

Sabemos que: 130° + x + 90° + 80° = 360° & x = 60° 2

C

De la figura, calcula x. 120° 2x α

α

θ

4

B

θ

De la figura:

120°

α

Sea ABCD un trapecio, halla el triple de m.

x 180° - x θ

α

θ

A

180° - x = 2x + 120° 2 360° - 2x = 2x + 120° 360° - 120° = 4x 240° = 4x & x = 60°

100°

x

D

23

Por propiedad del trapecio: m = 23 - 15 = 8 = 4 2 2 Nos piden: 3m = 3(4) = 12 7

En el siguiente trapecio, halla x.

40°

12 3x

30°

36

Resolución: 100° 40° 70°

C

Resolución:

Del gráfico, calcula x.

30°

15

m

Resolución: 2x

6

x

x

Luego: 100° + 70° + 90° + x = 360° 260° + x = 360° x = 100°

Resolución:

Observamos que 3x es la mediana del trapecio, entonces: 3x = 36 + 12 2 x = 48 & x = 8 6 GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 2

29

8

En un rombo ABCD, m+A es menor que 90°, se trazan BH y CR perpendiculares a AD (H en AD y R en su prolongación). Halla HD, si AR = 17 y HR = 11.

11 En la figura BC // AD; si: AB = 6 y BC = 4. Calcula AD. B

C

6q

Resolución: Graficamos:

H

17 11 R

A

D

D B

Resolución:

4

B 3q

C

9

3q

A

6

Del gráfico: TAHB , TDRC ` AH = RD Siendo: AH = 17 – 11 AH = 6 ` RD = 6 Luego: DH = 11 – RD & DH = 11 – 6 ` DH = 5

Se forma el EBCD: Romboide m +CBE = 3q

Según la figura; halla x.

Luego: DABE(Isósceles) AE = 6 ` AD = 10

3q

A

6

3q

E

4

D

Trazamos BE tal que: BE // CD

x2 + 2x - 30

B

C

3q

C

12 De la figura, halla: x + y. x A

7

D

2x - 5

5

Resolución:

y

Del gráfico: ABCD es rectángulo. Se cumple: BC = AD x2 + 2x - 30 = 2x - 5 x2 = 25 ` x=5

13

Resolución: x

10 Sea ABCD un romboide. Calcula m. B

A

2m

Resolución:

Por propiedad: m+A = m +C 2m = 5m - 30

30 Intelectum 1.°

5m - 30°

D

30 = 3 m

` 10 = m

7

C

13 14

5

Por propiedad de base media: x+5 = 7 & x = 9 2

15 Por propiedad de base media: 5 5 + 13 = y & y = 9 y 2 Entonces: 13 ` x + y = 18

G

CIRCUNFERENCIA

definición

Es el conjunto de puntos pertenecientes a un mismo plano, los cuales tienen la misma distancia con respecto a un único punto denominado centro de la circunferencia (O), y a la distancia constante de estos puntos al centro, se le llama radio de circunferencia (r). • El punto “O” es el centro de la circunferencia, la misma que está conformada por la unión de todos los puntos P1; P2; P3; P4; P5; ...; Pn. • La distancia que hay entre O a cualquiera de los otros puntos (P1; P2; ...; Pn) es la misma e igual al radio: & OP1 = OP2 = OP3 = OP4 = ... = OPn = r

P4

O

r r

P3 P2

r P1

Importante El círculo: es una porción de plano conformado por una circunferencia y la región interna que esta limita.

r O

Pn

Circunferencia Región interna

Elementos asociados a la circunferencia A) Radio

Es aquel segmento que une un punto de la circunferencia con el centro de la misma.

B) Cuerda

Es aquel segmento que une dos puntos distintos de una circunferencia.

O

Es aquella cuerda que contiene al centro de la circunferencia; además, el diámetro es el doble del radio.

B

P r

Q

A

O

P

OP: radio(r).

AB: cuerda.

D) Sagita (flecha)

Es aquella porción de un radio perpendicular a una cuerda que está comprendida entre la cuerda y la circunferencia.

Es aquella porción de un radio perpendicular a una cuerda que está comprendida entre la cuerda y el centro.

Es aquella porción de circunferencia limitada por dos puntos distintos de dicha circunferencia.

A

Atención

P

H

O

Un arco, dependiendo de sus extremos y de los puntos que contenga, adquiere las siguientes notaciones:

O

H

B

B

B

HP: Sagita. Es aquella recta que interseca a la circunferencia en dos puntos diferentes.

S

R

Ls : recta secante. Circunferencia + Ls = {R; S}

AB: Arco .

H) Recta tangente

Es aquella recta que interseca a la circunferencia solamente en un punto.

B

I) Recta exterior

Es aquella recta que no interseca, ni ella, ni sus prolongaciones a la circunferencia.

Lt

Ls

O

A P

!

OH: Apotema.

G) Recta secante

O

F) Arco

A P

O

PQ: diámetro, PQ = 2(OP).

E) Apotema

A

Circunferencia + Región interna Círculo

C) Diámetro (cuerda máxima)

!

> ;; ? AB o APB Extremos del arco. Punto interior del arco.

Le O

P

Lt : recta tangente. Circunferencia + Lt = P

Le : recta exterior. Circunferencia + Le = Q


31

Propiedades fundamentales Nota Medida del arco: un arco es una porción de circunferencia, por lo tanto, posee dos maneras de ser medido, una longitudinalmente y otra angularmente.

I. Una recta tangente será perpendicular al radio que pase por el punto de tangencia.

II. En una circunferencia dos cuerdas congruentes determinan dos arcos congruentes. B

Lt O

B

O

P M

L L = 2πα.R

360°

α R

B

L: longitud de arco en m o cm. • Medida angular del arco Es una porción de los 360° (de la circunferencia) contenidos en un arco.

O

! !

Si: L 1 // L 2 & AM , BN

IV. Una recta tangente y otra secante paralelas, determinan en una circunferencia dos arcos congruentes.

V. Todo radio perpendicular a una cuerda biseca a esta y al arco que dicha cuerda determina.

VI. Dos segmentos tangentes trazados desde un mismo punto exterior son congruentes.

A

Lt

B

mAB = a°

H

O

P

B

P

P

a=q

R

! !

L2

Si: AB , MN & AB , MN

α !

θ

N

SI: OP = radio & OP = L t

A

R

L1

M

A

R

A

N

A

• Medida longitudinal del arco Es la longitud contenida en un arco.

III. Dos rectas secantes y paralelas determinan en una circunferencia dos arcos congruentes.

B

E

A

g

a: medida angular en "°" o " ".

Q

! !

Si: OP = radio y OP = AB

Si P y Q son puntos de tangencia. & PE , QE

! !

Si: AB // Lt & BP , AP

& AH , HB y AP , PB

Ángulos asociados a la circunferencia

Los ángulos y los arcos presentes en una circunferencia se relacionan de la siguiente manera:

A) Ángulo central Observación Semicircunferencia Es aquel arco cuyos extremos son los extremos de un diámetro.

Es aquel que tiene como vértice al centro de la circunferencia y como lados a dos radios.

R θ A

!

Cuadrante Es aquel arco determinado por dos radios perpendiculares entre sí. A θ

R

θ O !

Es aquel cuyo vértice es el punto de intersección de dos cuerdas que no comparten alguno de sus extremos. x

Si AB es un cuadrante. & m+ARB = m+ASB = q = 135°

N

32 Intelectum 1.°

α E

!

!

B

β

x

x = mAM + mNB 2

!

x = mPQ 2

Es aquel cuyo vértice es un punto externo a la circunferencia y cuyos lados pueden ser dos rectas secantes, dos rectas tangentes o una recta secante y otra tangente. Q

M

Lt

2x

Q

E) Ángulo exterior

B B

Q

x = mRQ 2

D) Ángulo interior

S

x

!

!

A

2x

x

P

x = mAB

Si AB es una semicircunferencia. & m+ARB = m+ATB = q = 90°

Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son una cuerda y una recta tangente.

P

B

T B

O

R x

x

O

C) Ángulo semiinscrito

Es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

A

S θ

B) Ángulo inscrito

B β

P

x

α

β-α 2

x

P

α

M

E

E

x=

N A

A

β

x=

β-α 2

x=

β-α 2

G

Propiedades angulares I. Los arcos que conforman una circunferencia suman 360° correspondientes a una vuelta.

II. El arco que corresponde a infinitos ángulos inscritos se le denomina arco capaz.

φ

A

P

A D

O

α

B

θ

B

P

A

α

θ

Q

!

a + b = 180°

IV. La medida angular de un arco no depende del tamaño de la circunferencia a la que pertenece.

V. Un arco determinado por un ángulo semiinscrito tendrá la misma medida angular a pesar del tamaño de su circunferencia.

VI. Si dos circunferencias congruentes se intersecan, determinarán en ambos arcos congruentes.

!

N

R

O

P

Lt

β

A B θ C

β

α

α β

R2

θ B

a = b = q = mPQ 2

M

R

Por propiedad sabemos que: EA , EB y OA = OB = R. `
a + b + q + f = 360°

R1 O

θ α α

E

β

Q

α

Dos rectas tangentes a una circunferencia originan un trapezoide simétrico.

β

C

A

Observación

α

C

β

III. Un ángulo exterior formado por dos tangentes y el menor arco que estas determinan, suman 180°.

R2

R1

P

Q

B

!

mMN = mAB o α = β

Si P es tangente común. & a = b = q

Si: R1 = R2 & a = b Atención

Teoremas asociados a la circunferencia A) Teorema de Poncelet

Cuando todos los lados de un triángulo o cuadrilátero son tangentes a una única circunferencia se denomina a estos como triángulo o cuadrilátero circunscrito.

B) Teorema de Pitot

En un triángulo rectángulo se cumple que la suma de sus catetos es igual a su hipotenusa más el doble de su inradio.

En un cuadrilátero circunscrito se cumple que la suma de sus lados opuestos es igual a la suma de los otros dos lados opuestos. a

b

a O

d O

r

b

c

c

a + b = c + 2r

a+c=b+d

Efectuar 1. Halla x. T

R

x - 8 12 S

2. Halla x. 3

x

4

5


33

Problemas resueltos !

1

Halla a en la siguiente circunferencia. A

P

55°

2α -10° B

5

Resolución:

Por propiedad de ángulo inscrito:

m+APB = mAB 2 - 10° 2 a & 55° = 2

!

2

52°

Resolución:

52°

C

32°

P 2β

B

68°

Por propiedad de ángulo interior:

m+CPD = mAB + mCD 2 + 32 68° ° 2b = 2

3

Halla q.

!

A

r

B

O

x

D

Resolución:

20°

Trazamos el radio OT, por propiedad OT = TD, entonces se forma el OTD. Por dato: BD = r, además T OB = OT = r, entonces: OD = 2r r x El OTD es notable D A O r B r de 30° y 60° r & x = 30°

100°

D B

Resolución:

7

!

m+APB = mAB - mCD 2 ° 100 20° i= 2 2q = 80° ` q = 40°

En la figura; calcula R, si AB = 12 y BC = 5. B

R

A

Resolución:

Halla x en la circunferencia.

A

x + 20° P

B

12

84°

34 Intelectum 1.°

Calcula x, si BD = r y T es punto de tangencia.

4b = 100° ` b = 25°

A

!

2x = 76° ` x = 38°

T

C

Por ángulo exterior:

2x

B

6

θ

104°

D

Resolución:

P

!

Sabemos que mAB = 104° & 2x + 104° = 180°

A

Halla b en la siguiente circunferencia.

!

2x

110° = 2a - 10° ` a = 60°

A

4

m+APB = mAP 2 Resolución: 84 x + 20° = ° Por propiedad de ángulo semiinscrito: 2 ! x + 20° = 42° mAP m+APB = 2 ` x = 22° 84 x + 20° = ° 2 x + 20° = 42° ` x = 22° Halla x.

B

A

R

O

5 C

O C

Reemplazando: 12 + 5 = AC + 2R 17 = AC + 2R ... (I)

Luego calculamos AC usando el teorema de Pitágoras: (AC)2 = (AB)2 + (BC)2

reemplazando AC = 12 2 + 5 2 & AC = 13, reemplazando en (I). 17 = 13 + 2R & R = 2

unidad 3

PROPORCIONALIDAD Razón geométrica

Una razón geométrica viene a ser el resultado de la comparación de las longitudes de dos segmentos rectilíneos, mediante la división de la longitud de uno sobre la longitud del otro o viceversa. B

30

N

15 M

A

La razón geométrica entre AB y MN será: AB = 30 = 2 MN 15 ` AB es igual a 2 veces MN.

Atención Los valores de los segmentos de recta que se dividen para hallar una razón geométrica deben tener las mismas unidades de longitud. 35 mm A

Proporción geométrica

25.4 mm

Una proporción geométrica es el conjunto de dos o más pares de segmentos rectilíneos que poseen una misma razón geométrica. A

M

C

10 cm

E Q

R

24 m

Razón entre EF y QR: EF = 15 m = 5 QR 24 m 8

Razón entre CD y OP: CD = 20 u = 5 OP 32 u 8

Razón entre AB y MN: AB = 10 cm = 5 MN 16 cm 8

F

15 m

P

32 u

O

N

D

20 u

B

16 cm

C

´3 B

´4

Para hallar la razón geométrica entre AB y MN tendremos: AB = 35 mm mismas unidades( ) MN 25, 4 mm CORRECTO AB = 3, 5 cm MN 1 pulg

diferentes unidades(x) INCORRECTO

I. a + c = a / a - c = a b+d b b-d b

Cuando un segmento de recta AB es dividido interiormente por el punto C y en su prolongación por el punto D, determinando así cuatro segmentos, que forman la proporción geométrica: AC = AD ; entonces dichos CB BD segmentos constituyen una cuaterna armónica. A

N

1 pulg

Una proporción geométrica tal como a = c tiene las sib d guientes propiedades:

Cuaterna armónica

´2

M

Observación

Vemos que AB = CD = EF = 8 & las razones AB = CD = EF son proporcionales. MN OP QR 5 MN OP QR

´1

B

3.5 cm

& AC, CB, BD y AD forman una cuaterna armónica.

, , Si: 1 = 4 ,2 ,3

D

II. a - b = c - d / a + b = c + d b d b d

Nota A una cuaterna armónica también se le llama Proporción armónica.

` Se dice que los puntos C y D dividen “armónicamente” al segmento AB.

Relaciones asociadas a la cuaterna armónica Relación de Descartes Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, se cumple que el doble de la inversa de AB es igual a la suma de los inversos de AC y AD.

Relación de Newton Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, cuyo punto medio es O; se cumple que el producto de OC y OD es igual al cuadrado de OA.

A

A

C

B

Si: AC = AD & 2 = 1 + 1 BC BD AB AC AD

D

O C

B

D

Si: AC = AD / AO , OB & (OA)2 = (OC)(OD) BC BD

Ejemplo: Si los puntos M y N dividen al segmento PQ armónicamente, hallar PM si: PN = 5QN y MQ = 3. Resolución: x 3 Graficamos: & PM = PN ; Reemplazando: x = 5QN & x = 15 P M Q N MQ QN 3 QN

Atención Si dos puntos C y D dividen armónicamente a un segmento AB, entonces dichos puntos se denominaron conjugados armónicos de A y B. A

C

B

D

Si: AC = AD CB BD & C y D son los conjugados armónicos de A y B.


35

Teoremas de proporcionalidad Observación

Teorema de Thales

El teorema de Thales también puede ser interpretado de las siguientes maneras: P

A

a

C

R

L3

Si: AP//BQ//CR; entonces: I. a = m o II. a = b b n m n

Teorema de la bisectriz interior

En todo triángulo la bisectriz interior de cualquiera de sus ángulos divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz.

Teorema de la bisectriz exterior

La bisectriz exterior de un triángulo divide externamente a la prolongación del lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz. Existen tres casos:

B a b

A

M

m

B

C

n

A

β

α

C

P

n

m

Se cumple: AB = AP o a = m BC CP b n

Se cumple: AB = AM o a = m BC MC b n

b

a

θ

θ

b

a

θ θ

L3

Si: L1 // L2 // L3 & MA = MP AB PQ

θ θ

El teorema de la bisectriz interior también puede ser interpretado de la siguiente manera:

L2

a) Caso 1: Si a < b

B

Nota

P Q

Si: L1 // L2 // L3 & AO = PO OB OQ

Si: L1 // L2 // L3 & AB = PQ BC QR

L1

B

L3

B

Q

A

L2

O R

C

M

L1

P

A Q

B

L2

n

P

A

L1

m Q

B

b

El teorema de Thales dice que tres o más rectas paralelas determinan sobre dos rectas secantes, segmentos respectivamente proporcionales.

b) Caso 2: Si a > b A

m

C

n

M

Si: BM es bisectriz interior: I. a = m o II. a = b b n m n

Teorema de las bisectrices

En un triángulo la bisectriz de un ángulo interno y la bisectriz del ángulo externo adyacente a este dividen “armónicamente”, es decir, en una cuaterna armónica al lado opuesto a dicho ángulo.

Nota

B

Un haz armónico es el conjunto de cuatro rayos que tienen el mismo origen y que determinan sobre cualquier recta transversal a ellos, una cuaterna armónica. O

M

A

N

B

P

C

φ

D

Si: { OA, OB, OC , OD} es un haz armónico. & MN = MQ y AB = AD NP PQ BC CD

36 Intelectum 1.°

a

M

b

φ

C d

P

m

b

β

A

n

a =m b n

o

c) Caso 3: Si a = b = q B

Si BM y BP son una bisectriz interior y una bisectriz exterior respectivamente y además: m+BAC ! m+BCA (AB ! BC). Se cumple: AM = AP o a = d MC CP b c

θ

α

Se cumple: AB = PA BC PC c

θ

a P

θ

A

Q

θ

B

a

A

α

θ

P

θ

a β

C

Se cumple: BP // AC ` b proporción.

C

G


Calcula x, si BD // AE.

Resolución: 5x

3x + 2

12 D

B

8

A

E

5

Resolución: Por el teorema de Thales: 5x = 12 & 40x = 36x + 24 8 3x + 2 4x = 24 ` x = 6 2

Igualamos (I) y (II):

Por teorema de Thales: a = 3b b 6a a 2 1 a 2 ... (I) a k = & = b 2 b 2 x = 6a & x = a ... (II) 2 3b 4 b

C

x = 2 4 2 x=2 2

En la figura mostrada los puntos U, N, I, L forman una cuaterna armónica. Halla x. U

N

3

2

I

L

x

Resolución:

Por ser cuaterna armónica: 3 = 3 + 2 + x & 3x = 2x + 10 2 x x = 10

Calcula x, si L1 // L2 // L3. x

L1

4

9

6

L2

x

Si m // n // l // r , halla x.

3x + 2

2y + 1 y

6

Resolución:

m

2

x

L3

3

Resolución: Por el teorema de Thales: x = 2 & xy = 12 6 y x = 2 & 6x + 4 = 2xy + x 3x + 2 2 y + 1 5x + 4 = 2(12) `x=4

Halla x, si 5RL = 4LT. R θ

L θ

Q

4x

M

T

3x + 5

7

Si: AB = 5 y RS = 12. Calcula AR. BC 6 B

Resolución: Del dato: 5RL = 4LT & RL = 4 LT 5

4

β β

Del gráfico: 4x = RL = 4 3x + 5 LT 5

C

A R

& 20x = 12x + 20 8x = 20 x = 2,5

b

B

3b 6a

S

Resolución:

En la figura, L1 // L2 // L3, calcula x. a

l r

Si L1 // L2 // L3, entonces, por el teorema de Thales: x = 4 & x2 = 36 ` x = 6 9 x

n

2 x

β β

L1 L2 L3

A

5k x

R

6k 12

S

C

Por el teorema de Thales: x = 5k 12 6k x = 10


37

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Definición

Se dice que dos triángulos son semejantes cuando ambos poseen ángulos internos respectivamente congruentes, además de que sus lados correspondientes son proporcionales. M

Constante de proporcionalidad (k): Es un factor numérico que indica la relación que existe entre los elementos longitudinales de dos figuras geométricas semejantes; en este caso, triángulos:

a C

Los lados homólogos de dos triángulos semejantes son aquellos que se oponen a los ángulos congruentes. Del gráfico: el lado AB es homólogo al lado LM, el lado BC es homólogo al lado MN y el lado AC es homólogo al lado LN.

S B

Proporcionalidad de elementos homólogos

2°

C

A

T

R

Los elementos homólogos de dos triángulos semejantes, tales como sus alturas, su perímetro, su inradio o circunradio guardan la misma proporción que sus lados. B

` AB = BC = AC = k < 1 SR ST RT • Si k > 1 & los elementos del segundo triángulo son menores que los del primero:

A

L

r

B

H

1°

i

T

C

` AB = BC = AC = k > 1 SR ST RT

2°

MT: altura del TLMN. I: inradio del TLMN. 2q: perímetro del TLMN.

A) Primer caso: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

R 1°

BH: altura del TABC. r: inradio del TABC. 2p: perímetro del TABC.

M

S

Si: +A , +R y +B , +S

B S

C

& TABC a TRST

T

` AB = BC = AC = k RS ST RT

` AB = BC = AC = k = 1 SR ST RT

C

Nota La interpretación de la notación de una semejanza entre dos triángulos es: (Si el TABC y el TRST son semejantes) 1. TABC a TRST & AB = k RS

T R

A

B) Segundo caso: Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo y los lados que comprenden al ángulo en el primer triángulo son respectivamente proporcionales a los lados que comprenden al ángulo en el segundo triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. B

2. TABC a TRST & BC = k ST

S

3. TABC a TRST & AC = k RT

`

Si: TABC a TNML, entonces sus lados homólogos son proporcionales. AB = BC = AC = k NM LM NL ` Sus elementos homólogos también son proporcionales: 2p & BH = r = =k MT i 2q k: constante de proporcionalidad.

Casos de semejanza de triángulos

• Si k = 1 & los elementos de ambos triángulos son congruentes: B

N

C

2°

R

A

T

a

S A

N L

A

• Si k < 1 & Los elementos del segundo triángulo son mayores que los del primero:

1°

Si: +A , +L; +B , +M; +C , +N y AB = BC = AC = K LM MN LN & El TABC y el TLMN son semejantes (a). Notación: TABC a TLMN Se lee: “El TABC es semejante al TLMN”.

B

Observación

AB = BC = AC = k RS ST RT

38 Intelectum 1.°

A


R C

Si: +A , +R y AB = AC RS RT & TABC a TRST

T

G

C) Tercer caso: Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes. B

Si AB = BC = AC RS ST RT & TABC a TRST

S

A

Toda recta paralela al lado de un triángulo y secante a los otros dos lados o sus prolongaciones, determina un triángulo semejante al primero.


R

i. A

T

C

Atención

N C

Propiedades de semejanza

M B

B)

A) x

a x

a

x x

ii.

x

x

A

b x

x

M

b

C

En ambos casos (A y B) se cumple que: x = ab a+b C)

a

B

En ambos casos se cumple:

D)

AB = AC = BC MN NC MC

x x

x

F)

A x

x

a

B

a

x

a

b

E)

P

b

b

b

Observación

x

Q

• El punto de intersección de las diagonales de un trapecio biseca al segmento que pasa por dicho punto, es paralelo a las bases y esta comprendidos entre los lados del trapecio.

P

En los casos (C, D, E y F) se cumple que x = ab

B P

Teoremas de Semejanza I. Dos triángulos con un lado común, dos lados paralelos y dos lados secantes, cumplen la siguiente relación: B

II. Un triángulo cuyo lado forma un ángulo con una ceviana de tal manera que es congruente con el ángulo opuesto a dicho lado, cumple la siguiente relación: B

C a

θ

N

A

M

Si: AB // CD // MN &

D

x = ab a+b

C Q

O

A

D

Si PQ // AD // BC & PO , OQ

• La altura de un triángulo rectángulo divide al mismo en dos triángulos semejantes entre sí. B

x

b

x

N

θ

A

θ

a

Si: +BAC , +CBN &

N

C

b

x = ab

A En el

H

θ

C

ABC se cumple: TAHB a TBHC


39


Calcula x, si los triángulos son semejantes:

Resolución: Por propiedad: x = (6 ) (4 , 5 ) & x = 3 3

α 2

3

5

θ

θ

α

x

6

Calcula. B

Resolución:

3

Por semejanza de triángulos: 3 = 5 & x = 10 2 x 3 2

α C x

α A α

Halla x.

Resolución: Del gráfico: m+ACB = m+ADC Luego: TABC a TACD

8

3

x

7

Entonces: x = 3 & x2 = 81 ` x = 9 27 x

En el triángulo, G baricentro y GE // AC. Calcula x. B

Resolución: Por propiedad: 1 = 1 + 1 & 1 = 11 ` x = 24 x 3 8 x 24 11 3

D

27

G A

Halla x.

E

4

C

x

Resolución: Trazamos la mediana BM: 2

θ

2a

θ

Por propiedad: x2 = 6(4) & x = 2 6

E

4 M

x 2

C

x 2

TBGE a TBMC G baricentro: BG = 2GM

Halla la altura del trapecio, sabiendo que AB = 3 y CD = 10. A

α

3

B

8

De la figura, PC = 14; AD = 21 y QR = 6. Halla el lado AB.

D

10

α

Resolución:

x-6

x

4,5

40 Intelectum 1.°

A

B

Halla x. x

C

7

C

Q

D

R

Resolución:

Veamos que: ADC a BAD Entonces: 10 = x & x2 = 30 ` x = 30 x 3

6

E P

B

H

x

5

G a

A

Resolución:

4

Luego: GE = BG CM BM 4 = 2a x 3a 2 8 =2 x 3 ` x = 12

B

6

x

14

E P

Q

C

6 A

R

21

Se observa: TBQP a TDQA AD = QR & 21 = 6 7 BP QE x-6

D

` x=8

G

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Proyección ortogonal de un punto

La proyección ortogonal de un punto respecto a una recta vendría a ser el pie de la altura o perpendicular trazada desde dicho punto a la recta. P'

Si proyectamos P sobre L1 y también sobre L2, obtenemos: • P': proyección de P sobre L1, por lo tanto PP'

L1

P

L1.

• P'': proyección de P sobre L2, por lo tanto PP''

L2.

I. Proyección oblicua A

• PP': proyectante de P respecto a L1 (P' ! L1).

L2

• PP'': proyectante de P respecto a L2 (P'' ! L2).

P''

• L1 y L2: ejes de proyección.

A'

A

D

C

P

M B'

A'

N'

II. Proyección cónica F

A

E

P'

D'

L

A'B': proyección oblicua de AB sobre L , además AA' // BB'.

H

Q'

B

α

Proyectamos AB sobre L y tenemos:

La proyección ortogonal de un segmento sobre una recta es la reunión de todas las proyecciones de los puntos que conforman a dicho segmento sobre una recta dada. Para determinar la proyección de un segmento sobre una recta solo basta con proyectar sus extremos, de esta manera el segmento contenido entre las proyecciones de sus extremos vendría a ser la proyección del segmento dado. N

B

α B'

Proyección ortogonal de un segmento

L

Atención También existen otras clases de proyección, y son:

B

C' Q

F

A' B'

Proyectamos AB, MN, CD, PQ y FE sobre la recta L, y obtenemos: • A'B': proyección ortogonal de AB sobre L , además: AA'

L y BB'

L.

• MN': proyección ortogonal de MN sobre L , además: M ! L y NN'

L.

Proyectamos AB sobre L y tenemos: A'B': proyección cónica de AB sobre L , además F se denomina punto focal.

• C'D': proyección ortogonal de CD sobre L , además: CD // L y CC' , DD'. • P'Q': proyección ortogonal de PQ sobre L , además: PP' • H: proyección ortogonal de FE sobre L , además: EF

L y Q'Q

L

L.

L.

Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

En todo triángulo rectángulo, la altura relativa a su hipotenusa determina dos triángulos que son semejantes al triángulo rectángulo dado. En el

B β

ABC tenemos:

AB: cateto menor.

α

BC: cateto mayor. BH: altura relativa a la hipotenusa (AC).

A

α

β H

C

AC: hipotenusa. AH: proyección ortogonal de AB sobre AC. HC: proyección ortogonal de BC sobre AC.

Si BH AC (AC es la hipotenusa) & ABC a AHB a BHC; por lo tanto se cumplen los siguientes teoremas: GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

41

Teorema 1

Observación Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Demostración:

b

a m

H

C

Teorema 1: a2 = mc + Teorema 2: b2 = nc 2 2 a + b = (m + n)c

b

a m

H

C

c

A

a2 = cm

H

Teorema 3

Teorema 4

El cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

H

2

2

2

Se cumple: a + c = b + d

m

H

C

n

h2 = mn

Teorema 5

Teorema 6

Los cuadrados de las longitudes de los catetos son proporcionales a las longitudes de sus respectivas proyecciones sobre la hipotenusa.

A

Se cumple:

El cuadrado de la inversa de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las inversas de las longitudes de los catetos. B

a

C

A

Se cumple:

B

c 2

C

c

Donde: AH es la proyección de AB sobre AC y HC es la proyección de BC sobre AC.

b

D

h

Donde: BH es la altura relativa a AC.

B

d

b

ab = hc

Se cumple:

a

B

h

A

A

C

Donde: HC es la proyección de BC sobre AC.

a

Propiedad adicional: En todo trapezoide cuyas diagonales son perpendiculares.

n

Donde: AH es la proyección de AB sobre AC.

B

Nota

c

b2 = cn

Se cumple:

El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a esta.

c & Se cumple: a2 + b2 = c2

La longitud del cateto mayor al cuadrado es igual al producto de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa. B

Se cumple:

n

c

Teorema 2

B

A

B

A

La longitud del cateto menor al cuadrado es igual al producto de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa.

b

m

H

n

a

h

b

C A

2

a =m n b2

Donde: AH es la proyección de AB sobre AC y HC es la proyección de BC sobre AC.

Se cumple:

H

C

1 = 1 + 1 h2 a2 b2

Donde: BH es la altura relativa a AC.

Ejemplo: Halla la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden 6 cm y 8 cm respectivamente. Solución: Del teorema N.° 6, tendríamos: 1 = 1 + 1 & x2 = (36) (64) & x = 4,8 cm 100 x2 62 82

42 Intelectum 1.°

G

Teorema adicionales

Existen, además, varios teoremas que derivan de los antes mencionados y son:

Teorema 1

Teorema 2

En una semicircunferencia, el cuadrado de la longitud de una cuerda que parte del extremo del diámetro es igual al producto de las longitudes del diámetro y la proyección de dicha cuerda sobre al diámetro.

En una semicircunferencia, el cuadrado de la longitud de la altura trazada desde un punto en ella hacia su diámetro es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados por el pie de la altura en el diámetro.

P

P

Atención Relaciones métricas en la circunferencia I. Teorema de las cuerdas: A

b A

c

P

B

n

H

A

m

B

n

H

Se cumple: b2 = cn

Se cumple: h2 = mn

Donde: AB es diámetro y HB es la proyección de PB sobre AB.

Donde: AB es diámetro y PH es perpendicular a AB.

Teorema 4

La longitud del segmento de la tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores es igual al doble de la raíz cuadrada del producto de los radios de dichas circunferencias.

O2 T

O1

La longitud del segmento de la tangente común a dos circunferencias ortogonales es igual a la raíz cuadrada del doble del producto de los radios de dichas circunferencias.

Q

P

c

d

B

C

Se cumple:

ac = bd

II. Teorema de la tangente: T

Teorema 3

x

D

b

a

h

M

r

B

a

P

x2 = ab

Se cumple:

C

Q O2

O1 R

R

b

III. Teorema de las secantes:

x

P

x

A

n D

r A

N

B b

Se cumple:

m a

P

ab = mn

Se cumple: x = 2Rr Donde: P y Q son puntos de tangencia y m+O1NO2 = 90°.

Se cumple: x = 2 Rr Donde: P; Q y T son puntos de tangencia.

Teorema de Dostor

Dados dos triángulos rectángulos semejantes, el producto de las longitudes de sus hipotenusas es igual a la suma de los productos de las longitudes de sus catetos homólogos. B b

a A

α

Se cumple:

S

c

a β

C

R

an + bm = c,

m

n α

Donde: β

,

ABC a

RST

T

Ejemplo: Si de un punto parte dos rayos tangente y secante a una circunferencia. Halla la longitud de la cuerda si el segmento tangente mide 6 y el segmento secante mide 9. Solución: Del teorema de la tangente: Segmento tangente (T): 6 Segmento secante (S): 9 62 = 9(9 - x) & x = 5 Cuerda (C): x GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

43


Calcula x.

5 α

x

α

5

25

Resolución:

Resolución:

Del triángulo rectángulo calculamos el valor del cateto que falta. Aplicando el teorema de Pitágoras: 252 = 242 + a2 24 625 = 576 + a2 a x 49 = a2 & a = 7 25 Luego:

2

Sabemos: x = ab En el problema: x2 = 4 (4 + 5 ) x2 = 36 x=6

x

2

b

Calcula x.

a(24) = x(25) & x = 6,72 6

12

Calcula x.

x

8

x

Resolución:

16

Sabemos: h2 = ab

En el gráfico del problema: 122 = 8x 144 = 8x x = 18

h a

3

b

x2 = 16(4) & x2 = 64 ` x = 8 Halla la hipotenusa.

x

6 23

4 2

4

Resolución: 7

Calcula x. 5

x+1

3x

Resolución:

Resolución:

Por la segunda relación: 62 = (x + 1)(3x) 36 = 3x2 + 3x 12 = x2 + x 0 = x2 + x - 12 x 4 x -3 0 = (x + 4)(x - 3)

Sabemos:

x 2 + (4 2 ) 2 = 5 2 + ( 23 ) 2 & x 2 + 32 = 25 + 23 x 2 = 48 - 32 `x=4 4

24

x

4

a

Calcula x.

Halla la altura relativa a la hipotenusa. 6

x

8

8

Para: x>0&x=3 Por lo tanto, la hipotenusa es: (x + 1) + (3x) = 4x + 1 = 4(3) + 1 = 13

Halla x. 8 x

Resolución:

15 10

Por la quinta relación: 1 = 1 + 1 & 1 = 82 + 62 x2 62 82 x 2 _8 2i_6 2i x2 =

^64h^36h

100 576 x2 = & x = 4, 8 25

44 Intelectum 1.°

Resolución: 15

8 17 x

10

Por el teorema de Pitágoras: x = 17 2 - 10 2 x = 3 21

unidad 4

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PLANA Superficie Plana y Región Plana

Una superficie plana es aquel conjunto cuyos elementos son rectas dispuestas a lo largo y ancho de un espacio bidimensional. Luego, una región plana vendría a ser una superficie plana limitada por una línea cerrada. Notación: P: superficie plana compuesta por rectas longitudinales (La ) y transversales (Lb ). R: región plana perteneciente a la superficie P. C: línea cerrada, límite de R.

P R

C

Lb

La

Recuerda El área de una región plana es igual a la suma de las áreas de todas sus regiones parciales:

A1 A3 A2

Área de una región plana

El área de una región plana es la medida de la extensión de superficie la cual está limitada por una línea cerrada o contorno. Además, esta medida se expresa en unidades cuadradas (cm2; m2; inch2; etc.) P 1 1 1 1 1 1

A

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

Las regiones A y B pertenecen a la superficie plana P. I. El área de la región A es todo lo que está de color verde. II. El área de la región B está representada aproximadamente por 45 cuadrados de color amarillo, por lo tanto su área aproximada será: 45 unidades cuadradas.

1 1 1 1 1

=

+

+

AT = A1 + A2 + A3

Comparación de regiones planas

Dos regiones planas, pueden relacionarse de la siguiente manera: I. Regiones semejantes Son aquellas regiones cuyos contornos o líneas cerradas que los delimitan tienen la misma forma aunque diferente tamaño y por lo tanto tienen áreas diferentes.

II. Regiones equivalentes Son aquellas regiones cuyos contornos tienen formas distintas; sin embargo ambas encierran o contienen una misma extensión de superficie o área.

III. Regiones congruentes Son aquellas regiones cuyos contornos tienen la misma forma; esto determina que ambas regiones contengan superficies con la misma extensión o área.

P

Q

Q

P A C1

A

B

a

C2

Se dice que las regiones P y Q son semejantes si: C1 a C2 y A ! B

C1

<>

Q

P A

B

C1

,

B C2

C2

Se dice que las regiones P y Q son equivalentes si: si A = B y C1 ! C2

Se dice que las regiones P y Q son congruentes si: C1 , C2 y A = B


45

Áreas de regiones triangulares

Una región es triangular cuando su contorno lo conforma un triángulo. Además, conociendo las dimensiones de dicho contorno podemos calcular el área de la región triangular en unidades cuadradas. En general, el área de una región triangular es igual al semiproducto de la longitud de uno de sus lados y la longitud de la altura relativa a dicho lado. Esta fórmula varía en función a la naturaleza del triángulo:

Atención Notación del área de una región triangular:

II. Área de un triángulo rectángulo III. Área de un triángulo obtusángulo

I. Área de un triángulo acutángulo

B

B

B

S

a

A

b

h

a

A

Se lee: área de la región triangular ABC.

c

C

H

A

A TABC = 1 (AC)(BH) 2 1 A TABC = ch 2

A A

a

b

C

Notación: AiABC = S

B

A

C

c

1 (AC)(BC) 2 1 cb = ABC 2

b

c

h H

C

A TABC = 1 (AC)(BH) 2 1 A TABC = ch 2

ABC =

Formulas alternativas para calcular el área de un tríangulo I. Fórmula del inradio El área de una región triangular es igual al producto de su semiperímetro con el inradio de dicha región triangular. B

II. Fórmula de Herón El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto de su semiperímetro con la diferencia del semiperímetro y cada de sus lados. B

Nota Área de una región triangular equilátera: • En función de la longitud de cualquiera de sus lados.

a

A

A ,

60°

60° ,

AiABC = ,

2

4

& C

• En función de la longitud de cualquiera de sus alturas. B

AiABC = pr

&

III. Fórmula del circunradio (a) El área de una región triangular es igual al producto de las longitudes de los tres lados divididos entre cuatro veces la longitud de su circunradio.

h

A

a C

A

2 AiABC = h 3 3

46 Intelectum 1.°

AiABC = abc 4R

AiABC = p (p - a) (p - b)(p - c)

IV. Fórmula del circunradio (b) El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del semiproducto del circunradio con las longitudes de las alturas relativas a cada lado de dicha región. B

b

O c

R

h1

F C

Si R es el circunradio del triángulo ABC. &

C

c

Si P = 1 (a + b + c) 2

B

60°

b

A

C

c

Si P = 1 (a + b + c) 2

3

60°

a

r

B

,

b

I

A

h2

H

G

R

O h 3

C

Si R es el circunradio del triángulo ABC. &

AiABC =

R h h h _ i 2 1 2 3

G

Relaciones entre áreas de regiones triangulares

Cuando comparamos las áreas de dos regiones triangulares mediante un cociente nos damos cuenta de que las áreas de ambas regiones son proporcionales a los elementos de dichas regiones. a) Si dos regiones triangulares poseen uno de sus lados de igual longitud; sus áreas serán proporcionales a las longitudes de las alturas relativas a dichos lados.

b) Si dos regiones triangulares tienen una de sus alturas de igual longitud; sus áreas serán proporcionales a las longitudes de los lados a las cuales son relativas a dichas alturas.

S

B

B h2

h1 A

R

C

b

A

T

A3 ABC h1 = A3 RST h 2

Si: AC = RT = b &

H

m

C

R

C

b

θ

R

Si: m+ACB = m+TRS = q &

n

n

α

T

C

b

F h

A

A3 ABC m = A3 RST n

C

b

Si: AC // EF y AC es base común. & A9ABC = A9AEC = A9AFC

S

m

a A

B

T

Q

B

m θ

E

d) Si dos regiones triangulares poseen, cada uno, un ángulo que es suplementario con el otro; entonces sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan dichos ángulos.

S

B

A

h

Si: BH = SQ = h &

c) Si dos regiones triangulares poseen uno de sus ángulos de igual medida, sus áreas son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan dichos ángulos.

a

S

h

b

Observación Si dos o más regiones triangulares comparten la misma base y las longitudes de sus alturas son iguales, entonces son equivalentes.

R

β

T

n

A Si: m+BCA + m+TRS = 180° & 3 ABC = ab A3 RST mn a + b = 180°

A3 ABC = ab A3 RST mn

Propiedades adicionales I. Si en un triángulo cualquiera trazamos II. Si en un triángulo cualquiera trazamos las III. Si en un triángulo cualquiera trazamos las una ceviana interior, esta determinará dos tres bases medias relativas a cada lado se tres medianas, entonces se determinarán regiones triangulares proporcionales a las determinan cuatro regiones triangulares las seis regiones triangulares las cuales tienen longitudes de los segmentos que dicha cuales son equivalentes la misma área, pues son equivalentes. ceviana origina. B B

B

S G

N S1 A

S

S1

m

P

n

C

N

S M

C

S

C

S = ATABM = ATMBC,donde BM es mediana

A

S

G S M

L S C

M

S = ATANM = ATNBL = ATMLC = ATNLM B

B

B

A

S A

S = ATANG = ATBGN = ATBGC = ATCGL = ATCGM = ATAGM

S1 m = ; donde BP es ceviana. S2 n

S

S

M

S

N

L

S

S

A

S

S

S

M

L

L

3S A

C

S = ATABG = ATBGC = ATAGC; (G es baricentro)

C

S = A jAMLC = 3(ATMBL)


47

Áreas de regiones cuadrangulares

Atención Notación del área de una región cuadrangular: B

Una región es cuadrangular cuando su contorno lo conforma un cuadrilátero concavo o convexo y su área, en términos generales, es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales por el seno de la medida del menor ángulo determinado por dichos diagonales. II. Área de un cuadrilátero convexo

I. Área de un cuadrilátero cóncavo

C

C

B

S

B

A

D

θ

d1

Notación: A: ABCD = S

d1

d2

C

A

Se lee: área de la región cuadrangular ABCD.

θ

d2

D

A

D

Si d1 = AC y d2 = BD & A: ABCD = 1 d1d2senq 2

Si d1 = BD y d2 = AC & A: ABCD = 1 d1d2senq 2

Áreas de regiones cuadrangulares específicas I. Área de un trapecio Es igual al producto de la semisuma de las longitudes de sus bases por la longitud de su altura o distancia entre sus bases.

Recuerda Área de un cuadrado:

B

B

,

C

,

S

,

A

,

D

a

II. Área de un paralelogramo Es igual al producto de longitud de uno de sus lados (base) por la longitud de la distancia hacia el otro lado paralelo al primero (altura).

C

A

El área de un cuadrado es la medida de superficie básica dada su simplicidad visual y matemática.

b

h D

H

B

A

b

IV. Área de un rombo Es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. B

C

d2

a

Nota Si dos o más regiones limitadas por paralelogramos tienen una misma base y los lados opuestos a dicha base son colineales, entonces dichas regiones son equivalentes. F

E

h A

A

b

En el rectángulo ABCD se cumple: A= ABCD = ab

D

A

Si AB // CD // EF y CD y EF son colineales. & A : ACDB = A : AEFB

48 Intelectum 1.°

d1

C

D

En el rombo ABCD se cumple: AoABCD = 1 d1 d2 2

Relaciones entre áreas de regiones cuadrangulares B

H

D

Si ABCD es un paralelogramo y CH su altura. & AfABCD = bh

Si ABCD es un trapecio y CH su altura. & A: ABCD = 1 (a + b)h 2 III. Área de un rectángulo Es igual al producto de las longitudes de sus lados no congruentes.

D

C

h

AdABCD = ,2 = S

C

a

B

Cuando en una región cuadrangular cóncava o convexa se trazan segmentos que determinan otras regiones cuadrangulares dentro o fuera de la primera, entonces se sabe que estas regiones se encuentran relacionadas de las siguientes maneras:

G a. Relaciones de áreas en regiones cuadrangulares B

B

N C

M

S

A

N S

K M

A

D

L

C

& AdABCD = 2(AdKLMN) = 2S

B

K

S1

R1

D L

R2

S2

C

A

D

& R1 R2 = S1S2

& AdABCD = 2(AdKLMN) = 2S

b. Relaciones de áreas de trapecios B

C

R1 S

B

C

S

S

M

D

A

2

D

A

& AdABCD = 2 S

& S = R1R2

C S

S

R2 A

M

B

D

N

& AdABMN = AdNMCD = S

c. Relaciones de áreas de paralelogramos P

B

B

C

S1 S A

A

D

& AdABCD = 2(ATAPD) = 2S

B

C I

S1

C

S2 E D

A

& S1 + S2 = 1 AdABCD 2

S2 D

& S1 + S2 = 1 AdABCD 2

Áreas de regiones circulares

Una región es circular cuando su contorno lo conforma una circunferencia y su área es igual al cuadrado de la longitud de su radio multiplicado por el número irracional pi (π); que aproximadamente es igual a 3,141592654... P

Si cortamos un círculo compuesto de cuerdas por el segmento PO, se origina el siguiente triángulo isósceles P1OP2 O

O R ,c

P1

h H

P2

` Sabemos que las regiones del círculo y el triángulo son equivalentes, por lo tanto sus áreas son iguales, entonces: A5 = A9 , pero A9 = 1 (base)(altura) ... (I) 2 Sabemos que la longitud de la circunferencia es igual a la longitud de la base de triángulo, así también la longitud del radio es igual a la longitud de la altura triángulo, entonces ,c = 2pR = P1P2 y h = R = OH; reemplazando en (I): A9 = 1 ,c h & A9 = 1 (2pR)(R) & A9 = pR2; pero área del círculo < > área del triángulo & A5 = pR2 2 2


49

Tipos de regiones circulares A) Círculo Una región circular o círculo es aquella región plana cuyo contorno es una circunferencia.

B) Sector circular Es aquella región plana comprendida entre dos radios distintos y el arco que estar determinar. A

Atención

R

Notación de las áreas de regiones circulares: a) Notación del área de un círculo: A5 = S; Se lee: área de la región circular.

O

f) Notación del área de una faja circular: A PQMN = S Se lee: área de la faja circular comprendida entre las cuerdas PQ y MN.

,AB

R B

& A5 = pR2 donde R es radio y O es centro.

A

C) Segmento circular Es aquella región plana limitada por un arco y la cuerda que une los extremos de dicho arco.

AOB =

1, R & 2 AB

A

AOB =

q pR2 d 360 o n

D) Corona circular Es aquella región plana contenida entre dos circunferencias concéntricas.

A R

d) Notación del área de una corona circular: AV = S Se lee: área de la corona circular. e) Notación del área de un trapecio circular: A MNPQ = S Se lee: área del trapecio circular comprendido entre los arcos MN y PQ.

R

R

b) Notación del área de un sector circular: A MON = S Se lee: área del sector circular con centro en O y arco MN. c) Notación del área de un segmento circular: A MN = S Se lee: área del segmento circular comprendido en el arco MN.

O θ

O θ R

R

O

,AB

r

R B

A = A - A 9 AOB & A = &

2 ,! AB R - R senq 2 2

A &

2 A AB = R d pqo - senq n 2 180

E) Trapecio circular Es aquella porción de corona circular limitada entre dos radios distintos.

=A R -A A

r

= pR2 - pr2

& A

= (R2 - r2)p

F) Faja circular Es aquella porción de círculo comprendida entre dos cuerdas paralelas.

A M r

O

R

q

2 3 4

A =A

AOB

A MNAB = qpo (R2 - r2) 360

A = A5 - (A

β

B

R O

R

N

AB

+A

MN );

2 2 βπR2 R2 senβ A =pR2- e απRo - R senα + o o

Entonces: A

50 Intelectum 1.°

α

B

- A MON q q A = pR2 d 360 o n - pr2 d 360 o n

&

R R

M N

1

A

ABMN

360

2

360

2

a+b 2 = pR2 d1 - 360 o n + R (sena + senb) 2

G


Calcula el área de la región sombreada. E

B

5

En la figura halla el área del cuadrilátero ABCD.

C

4

D

Resolución: Por relación de áreas: (ATABO) (ATCOD) = (ATBOC) (ATAOD); reemplazando: (8)(9) = (2)(ATAOD) 36 = ATAOD

Sea S el área de la región sombreada, entonces: S = SdABCD - S AED (4 ) (4 ) S = 42 2 ` S = 16 - 8 = 8

Por lo tanto : AABCD = 8 + 2 + 9 + 36 = 55 m2

6

La altura de un triángulo mide 12 cm y su base mide la mitad de la altura. Determina su área.

Calcula el área de un círculo si su diámetro es igual al lado de un cuadrado de área igual a 36 m2.

Resolución:

Ad = 36 m2 L2 = 36 m2 L = 6 m Dato: 2r = L & r = 3 m A5 = p(3 m)2 & A5 = 9p m2

Resolución: Si h = 12 cm & b = 12 cm 2 b = 6 cm

12 cm

Luego: AT = bh 2 6 (12) AT = 2 & AT = 36 cm2

6 cm

3

A

7

r

O

B

Halla el área del círculo mostrado, si: R = 6 m.

A

R O

60°

O

R B

Resolución:

Resolución: Usando la fórmula de Herón: p = 13 + 14 + 15 = 21 2

B

A

4

r

Los lados de un triángulo miden 13 cm, 14 cm y 15 cm. Halla el área de la región triangular.

15 cm

13 cm

6 O

AT = 21 (21 - 13) (21 - 14) (21 - 15) C AT = 21 (8) (7) (6)

14 cm

AT = 84 cm

2

A

30° 2r 30°

Resolución: b

5 cm

b

a

r O

Del gráfico: 3r = 6 r = 2 A5 = pr2 = p(2)2 A5 = 4p m2

r

6 B

8

Halla el área de la región sombreada: B

El perímetro de un rectángulo mide 14 cm. Si su diagonal mide 5 cm, calcula el área del rectángulo.

a

9 m2

A

D

Resolución:

2

2 m2

8 m2 O

4 A

C

B

6m

C

6m A

Perímetro: 14 = 2a + 2b 7 = a + b ...(I) Por el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = 52 ...(II)

Resolución:

Resolviendo (I) y (II): a = 3 / b = 4 Por lo tanto, el área: A = (3)(4) = 12 cm2

A = 62 -

D

Por diferencia de áreas: A=

p (3) 2 = 36 - 9p = 9 (8 - p) m 2 2 2 2 GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

51

GEOMETRÍA DEL ESPACIO Definición Como sabemos, la geometría plana estudia las figuras planas, las cuales son aquellas que tienen todos sus puntos en un mismo plano. Ahora bien, la geometría espacial tiene por objeto el estudio de las figuras sólidas o del espacio, es decir, de las figuras cuyos puntos no pertenecen todas a un mismo plano, sino al espacio tridimensional. Por ejemplo: Atención La geometría del espacio siempre nos rodea desde lo más pequeño (las moléculas), hasta lo más grande (las estrellas) Ejemplos: • El cristal iónico NaCl (sal común) tiene forma cúbica.

Prisma

Pirámide

Esfera

Sólidos geométricos Ejemplos NaCl

• El Sol tiene una forma esférica.

L

Un sólido geométrico es aquella porción del espacio separada del espacio inmediato, por un conjunto de puntos que forman la superficie del sólido. Los sólidos de acuerdo a su superficie pueden ser: poliedros, cuerpos de revolución y cuerpos irregulares. Poliedro irregular

Cuerpo de revolución

Rectas y planos en el espacio La recta

Es un ente geométrico definido, sobre las cuales se apoyan las definiciones de otras representaciones geométricas.

L

Axioma de la recta La recta es la unión de infinitos puntos colineales, sin un punto de origen.

B A

El segmento que une dos puntos en el espacio es parte de una recta. Notación: recta L o L recta AB o AB

El plano Si se piensa en una superficie llana, perfectamente lisa y sin espesor, que se extiende indefinidamente en todas las direcciones, se tendrá una buena idea de lo que se supone es una superficie plana o simplemente un plano. Por ejemplo: la superficie del tablero de una mesa perfectamente lisa nos da una idea aproximada de una parte de la superficie plana y si la imaginamos de extensión ilimitada, tendremos la idea de un plano.

52 Intelectum 1.°

G

Un plano en el espacio se representa por medio de Axioma del plano un paralelogramo. Tres puntos no colineales determinan un plano al cual pertenecen. A P

Notación:

C

B

plano P o 6 P

Atención

H

Los puntos que pertenecen a un mismo plano se llaman puntos coplanarios.

{A; B; C} ! 6 H

Un plano, se determina mediante los siguientes teoremas: er

H

do

er

1. teorema: una recta y un punto 2. teorema: dos rectas que se 3. teorema: dos rectas paralelas exterior a ella determinan un plano. intersecan (secantes) determinan determinan un plano. un plano. A

L

β

L

L

Q

P

A ! 6P / L16P

β

R

L 1 6R / b16R

L 1 6Q / b16Q

Nota

El espacio Axioma del espacio El espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanarios ni colineales.

Dos puntos cualesquiera de un plano determinan una recta contenida en el plano.

c b

d

Esto nos indica que el espacio no es llano.

a; b; c; d están en diferentes caras del cubo.

B

A

H

L

a {A; B} ! 6H /

L 1 6H

Posiciones relativas en el espacio A) Posiciones relativas entre dos planos: Planos paralelos: dos planos son paralelos entre sí Planos secantes: son dos planos que tienen una cuando no tienen un punto en común, es decir, no se recta en común denominada arista o traza de un plano sobre otro. intersecan. Si: 6P + 6Q = Q & 6P // 6Q Q: vacío o nulo.

P Q

L

Si: 6P + 6Q = L & 6P / 6Q son secantes.

P

Observación Tres puntos no siempre forman un plano (puntos colineales).

A

B

C

L H

{A; B; C} ! 6H / L 1 6H

Q

B) Posiciones de una recta y un plano en el espacio: Una recta puede estar contenida Una recta puede ser secante a un Una recta puede ser paralela a un plano. en un plano. plano. L L L P

L 1 6P

P

O

L + 6P = {Q}; Q: punto.

P

L + 6P = Q; Q: vacío.


53

Proyecciones en el espacio a) Proyección de un punto sobre b) Proyección de una recta sobre c) Proyección de una figura un plano. un plano. cualquiera sobre un plano. L

A

Recuerda Una recta pertenece a un plano o está contenida en él, si tienen al menos dos puntos comunes. L

B

A

P

Notación: {A; B} ! 6P {A; B} ! L & L 1 6P El espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanares, esto nos indica que el espacio no es llano.

β H

A'

H S H

A" H A’ ! H

Teorema de Thales

Si tres o más planos paralelos son intersecados por dos rectas, los segmentos entre los planos tienen longitudes proporcionales.

Si: fP//fQ//fR &

B A

A

P

D

P

S es el área proyectada del cubo sobre el plano H.

B es proyección de L sobre el plano H.

AC = BD CE DF

B D

C

Q

C

E

R

F

L1

L2

Poliedros Un poliedro es un sólido geométrico formado por regiones poligonales contiguas, situadas en distintos planos que constituyen las caras. Para ser un poliedro debe tener un mínimo de 4 caras.

B

G

F C

B D

A

A

C E

H

D

Poliedro de 6 caras

Poliedro de 4 caras

Elementos

Atención La condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan es que tengan tres puntos comunes no colineales.

P

A

B C

Cara: cada una de las regiones poligonales que las liDiagonal mitan. Vértice Arista: cada una de las intersecciones de sus caras. a Vértice: cada uno de los puntos en que concurren sus b c aristas. Ángulo diedro: ángulo formado por dos caras consecuα tivas. Ángulo poliedro: los anguloides de cada vértice. Diagonal: el segmento de recta que une dos vértices no a: ángulo diedro. a; b y c: ángulos del poliedro. situados en una misma cara.

Arista Cara

Clasificación Poliedros irregulares: sus caras son Poliedros regulares: sus caras son regiones poligonales regiones poligonales irregulares, desiguales regulares congruentes y todos sus diedros y anguloides y cuyos anguloides no son congruentes del también son congruentes. todo.

Tetraedro

54 Intelectum 1.°

Cubo

Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

G Hexaedro regular o cubo: limitados por 6 regiones Paralelepípedo rectangular o rectoedro: es aquel cuadradas. poliedro cuyas caras son rectángulos. d

D

a

a

a

AT = 6a2

V = a3

D=a 3

d=a 2

AT = 2(ab + bc + ac) c

D b

a

d: diagonal de una de las caras del cubo. AT: área total de la superficie del cubo. V: volumen del cubo. D: diagonal del cubo.

a2 + b2 + c2

D=

V = abc

AT: área total del paralelepípedo. D: diagonal del paralelepípedo. V: volumen total del paralelepípedo

Atención

Pirámide

Sólido (poliedro), cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común.

Poliedros regulares hechos de roca

Elementos Vértice: es el vértice común de las caras triangulares. Caras laterales: son las caras triangulares. Base (S): es la cara no lateral que tiene la forma de un polígono. Altura (h): es la perpendicular trazada del vértice a la base.

Vértice

Arista lateral

Los 5 poliedros regulares son bien conocidos como sólidos platónicos. Es indeterminada la fecha de inicio de su estudio.

Cara lateral

h S

Arista de la base

Pirámide regular

Una pirámide es regular si la base es una región poligonal regular y sus aristas laterales son congruentes. Pirámide triangular

Pirámide cuadrangular

h

h Ap S

Base: triángulo equilátero.

AL: área lateral. AT: área total.

Ap

h

S

Ap

S

Base: cuadrado.

Base: hexágono regular. V = 1 Sh 3

AT = AL + S

AL = (semiperímetro de la base)Ap Donde:

Pirámide hexagonal

h: altura de la pirámide. Ap: apotema de la pirámide.

V: volumen. S: área de la base.

Prisma

Se llama prisma a aquel poliedro limitado lateralmente por varias regiones paralelográmicas y dos regiones poligonales congruentes cuyos planos que las contienen son paralelos.

Elementos Bases: son las regiones poligonales congruentes y paralelas: ABC y DEF. Caras laterales: son regiones paralelográmicas cuya cantidad es igual al número de lados de la base y forman la superficie lateral del prisma: ABED, EBCF, CFDA. Aristas laterales: son las intersecciones de las caras laterales: AD; BE; CF. Altura (h): Es la distancia entre las bases.

Vértice

F

D Arista lateral

E

Cara lateral

h C

A Arista de la base

B


55

Prisma recto Cuando las aristas laterales son perpendiculares a las bases. En este caso, las caras laterales son regiones rectangulares y la altura coincide con las aristas laterales. Prisma cuadrangular

Prisma triangular

S

S

Recuerda S

a a

AL = c

S

Área lateral

S

V = Sh

Perímetro de la base

S

Perímetro mh de la base

AT = 2S + AL

h

h: altura S: área de la base.

a

a

Desarrollo de un prisma recto:

h

h

h

El cubo está formado por 6 cuadrados iguales.

Prisma hexagonal

AL: área lateral.

AT: área total.

V: volumen.

a

Cilindro

a a

a

a

a

a

a

Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica y por dos planos paralelos entre sí, secantes a todas las generatrices.

Elementos Base (B): bases congruentes, contenidas en dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices. Directriz: es una línea curva plana. Generatriz (g): recta que se desplaza paralelamente a sí misma a lo largo de la directriz. Superficie lateral: es la superficie generada por la generatriz y que es secante a las bases.

a

a

Un tetraedro regular está formado por 4 triángulos equiláteros.

Generatriz (g)

P

Superficie lateral

Directriz (curva cerrada)

Cilindro circular recto a a

a

a

a

R

a

a

a a

Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos.

a

a

a

Ab = pR2 Área lateral

hog

AL = 2pRh o 2pRg

ATb = 2pR2 V = pR2h

a

2πR a

Donde: R: radio de la circunferencia. AL: área lateral del cilindro.

AT = 2pR(g + R)

Ab: área de la base. AT: área total del cilindro.

ATb: área total de las bases. V: volumen del cilindro.

Esfera

Sólido formado por infinitas superficies circulares congruentes con un mismo centro que se intersecan entre sí en una misma línea cuya medida es la diagonal de las circunferencias.

R D

R R

R

56 Intelectum 1.°

Circunferencia menor Circunferencia máxima

V = 4 pR3 3

As = 4pR2

Elementos: R: radio de la esfera D: diámetro de la esfera V: volumen total de la esfera As: área de la superficie esférica

D = 2R

G


Con una región rectangular ABCD se construye la superficie lateral de un prisma hexagonal regular tal que AB sea una arista lateral; AB = 5 y BC = 24. Calcula el volumen del prisma correspondiente a dicha superficie.

4

Resolución: Sea el cilindro:

Resolución: B

24

B

5

a

a Aa

C

a

A

R

D

Dato: 6a = 24 & a = 4 Piden: V = Abase(h)

5

2 Abase = 4 3 # 6 = 24 3 4 V = 24 3 # 5 & V = 120 3

2

h = g = 10R

5

a a

Si el área total de un cilindro es 198p cm2 y su altura es 10 veces su longitud del radio del círculo de su base. Halla el radio.

Datos: h = g = 10R; AT = 198p cm2 Área total del cilindro es: AT = 2pR(g + R) Reemplazando: 198p = 2pR(10R + R) 198 = 22R2 & R = 3 cm

Una pirámide triangular regular tiene 15 cm de apotema. Si el lado de la base es 6 cm, halla su área total.

Resolución: Sea la pirámide regular triangular:

Calcula x, si AT = 54p. Ap = 15 cm x

S x

Nos piden: área total AT = AL + S La base es un triángulo equilátero de lado 6 cm, entonces:

Resolución: Sabemos: AT = 2pR(g + R) ...(1) Del dato: g = h = x; R = x y AT = 54p 2 Reemplazando datos en (1): 2 54π = 2π x ` x + x j & 54 = 3x 2 2 2

3

S = 1 ^3 3 h 6 2 S=9 3

La figura muestra un rectoedro. Calcula el volumen de la pirámide O - ABCD. 9

6

C

B

3

A

D

Resolución:

O 6 A

9

C

B

3 6

D

Piden: S (h) V = base 3 Datos: Sbase = 6 # 3 = 18 h=6 Entonces: 18 (6) V= & V = 36 3

30° 3 3

6 60° 3

perímetro = 6 + 6 + 6 = 18 semiperímetro = 9 AL = (semiperímetro) Ap AL = 9 # 15 = 135 cm2 AT = 135 + 9 3 AT = 135 + 9(1,732) AT = 150,59 cm2

36 = x ` x = 6

O

6

3

2

6

6

En una pirámide cuadrangular regular, el área total es 360 u2 y su apotema mide 13 u, calcula el volumen de la pirámide.

Resolución:

12 5 a = 10

13 5

10

AT = Abase + AL 360 = a2 + 4 c a13 m 2 360 = a2 + 26a a2 + 26a - 360 = 0 & a = 10 Piden V: V = 100 # 12 & V = 400 u3 3


57

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO DEFINICIÓN

Las transformaciones geométricas son correspondencias que asocian a dos puntos en el plano cartesiano; es decir la modificación de la posición de un punto origina un segundo punto. Estas modificaciones de la posición pueden ser originadas por: • Simetría • Traslación • Rotación

Se representa como (Sim). Se representa como (Tras). Se representa como (Rot).

Simetría en el plano cartesiano Simetría puntual (de un punto)

En el plano cartesiano, un punto es simétrico de otro cuando ambos equidistan de un tercer punto fijo, el cual sería el punto de referencia simétrica. y

Observación

P'(x'1; y'1)

Si el punto de referencia simétrica Q coincide con el origen de coordenadas (0; 0), tendremos:

y

O(0; 0)

x

P'(x'1; y'1)

Si PO = OP' & P' es simétrico a P. ` P' = Sim P(O)

P(x1; y1)

O

x

Simetría puntual (de una figura)

En el plano cartesiano una figura es simétrica de otra cuando todos los puntos contenidos en la primera figura equidistan de los puntos contenidos en la segunda con respecto de un punto fijo; el cual sería el punto de referencia simétrica. y

Además: Q(x0; y0) = O(0; 0)

A'(x'1; y'1)

B'(x'2; y'2)

f'

C(x3; y3)

& coordenadas x1' = - x1 y1' = - y1 de P':

Q(x0; y0) f

C'(x'3; y'3)

B(x2; y2)

0

Si el punto de simetría Q(x0,y0) coincide con el origen de coordenadas O(0; 0); tendremos: A' = Sim A(0) Coordenadas de A': x1' = -x1 x1' = -y1 B' = Sim B(0) Coordenadas de B': x2' = -x2 x2' = -y2

x

f ' es simétrico a f con respecto de Q.

A' = Sim A(Q) Coordenadas de A':

B' = Sim A(Q) Coordenadas de B':

C' = Sim A(Q) Coordenadas de C':

x1' = 2x0 - x1

x2' = 2x0 - x2

x3' = 2x0 - x3

y1' = 2y0 - y1

y2' = 2y0 - y2

y3' = 2y0 - y3

Simetría axial (de un punto)

En el plano cartesiano, dos puntos son simétricos entre sí, respecto de una recta L, si la distancia de ambos puntos a dicha recta es la misma. y

C' = Sim C(0) Coordenadas de C':

P(x; y) d

x3' = -x3 x3' = -y3

d 0

58 Intelectum 1.°

Si: AQ = QA' f ' = Sim f(Q) es simétrica a la figura f. BQ = QB' & CQ = QC' Se representa: f ' = Sim f(Q) y se lee: La figura f contiene infinitos puntos pero elegimos tres de ellos (A; B y C). Hallamos sus respectivos puntos simétricos (A'; B' y C') de esa manera ubicamos la figura f '.

A(x1; y1)

Nota

Z ] x1' = 2x - x 0 1 ] Coordenadas de P': [ ] y ' = 2y - y ] 1 0 1 \

Q(x0; y0)

P(x1; y1)

Si P'Q = QP & P' es simétrico a P. Se representa: P' = Sim P(Q). y se lee: P' es simétrico a P con respecto a Q.

L

Si PP' es perpendicular a L y además PH = HP'. & P' es simétrico a P con respecto a la recta L.

H

Se representa: P' = Sim P( L )

P'(x'; y') x

G Simetría axial: (de una figura)

Nota

En el plano cartesiano, una figura es simétrica de otra, con respecto de una recta fija L, si a todos los puntos contenidos en la primera figura le corresponden otros puntos contenidos en la segunda figura, de tal manera que L es mediatriz de las rectas formadas entre los puntos homólogos de ambas figuras. De esa manera L pasaría a ser el eje de simetría entre dichas figuras. y

La simetría también es conocida como reflexión.

B'(x'2; y'2) L

Observación

Si: AH1 = H1A' BH3 = H3B CH2 = H2C'

C'(x'3; y'3)

f'

H3 C(x3; y3)

H2

A'(x'1; y'1) H1

y AA'; BB' y CC' son perpendiculares a L. & la figura f ' = Sim f( L )

f

A(x1; y1)

En una transformación geométrica cuando todos los puntos homólogos coinciden con los puntos dados, la transformación se llama identidad o coincidente.

B(x2; y2)

0

x

De la figura f tomamos tres puntos cualesquiera (A; B y C) y hallamos sus puntos simétricos con respecto a la recta L, es decir, sus puntos homólogos (A'; B' y C') y de esa manera ubicamos f '.

A' = Sim A(

L)

B' = Sim B( L )

C' = Sim C( L )

Propiedades: Si el eje de simetría coincide con alguno de los ejes de coordenadas (eje x; eje y). Simetría con el eje x (si L = x)

Simetría con el eje y (si L = y)

y

y P(x1; y1) P(x1; y1) x

O

De un punto

P'(x'1; y'1)

& P' = Sim P(y) ` Las coordenadas de P' son: x1' = -x1 y1' = y1

& P' = Sim P(x) ` Las coordenadas de P' son: x1' = x1 y1' = -y1

y

De una figura

A'(x'1; y'1)

C'(x'3; y'3) O

& f' = Sim f(x) ` Las coordenadas de tres puntos de f ' son: B'(x'2; y'2) x1' = x1 A': f' y1' = -y1 x

C(x3; y3)

B':

f A(x1; y1)

B(x2; y2)

x

O

P'(x'1; y'1)

C':

C(x3; y3)

f

y2' = -y2 y3' = -y3

C'(x'3; y'3)

A:

x2' = x2 x3' = x3

y

& f ' = Sim f(y) ` Las coordenadas de tres puntos de F' son:

f'

B:

B(x2; y2) A(x1; y1)

B'(x'2; y'2) O

A'(x'1; y'1) x

C:

x1' = -x1 y1' = y1 x2' = -x2

y2' = y2

x3' = -x3

y3' = y3


59

Traslación en el plano cartesiano Traslación de un punto En el plano cartesiano, un punto P(x1; y1) varía su posición por traslación cuando se desplaza x0 unidades horizontalmente así como y0 unidades verticalmente; donde x0 e y0 son las coordenadas de la flecha V(x0; y0), de tal manera que V es paralela al segmento PP'; siendo P' la posición final de P. Recuerda El plano cartesiano esta dividido en cuatro regiones denominadas cuadrantes, las cuales estan limitados entre sí por los ejes de coordenadas:

y

Segundo cuadrante IIC Tercer cuadrante IIIC

Primer cuadrante IC Cuarto cuadrante IVC

Si PP' // V y PP' ≅ V; además, V(x0; y0) parte del origen de coordenadas.

y P(x1; y1)

y0

x

& P' es la traslación del punto P en dirección y sentido de V(x0; y0)

V P'(x'1; y'1) y0

d

x0 unidades horizontalmente e y0 unidades verticalmente.

x0 V (x0; y0)

d

O

` Se representa: P' = Tras P(V ) x

x0

Coordenadas de P':

x1' = x1 + x0 y1' = y1 + y0

El sentido de la traslación de un punto P está dado por los signos de las coordenadas de la flecha V(x0; y0). IIC -x0 +y0

y P'

P

P

P

P

V(-x0; y0) V(-x0; -y0) -x0 -y0

• Si x0 es positivo, el punto P se traslada a la derecha ".

IC

P'

+x0 P' +y0

• Si x0 es negativo, el punto P se traslada a la izquierda !.

V(x0; y0) x V(x0; -y0)

• Si y0 es positivo, el punto P se traslada hacia arriba -.

P' +x 0 -y0

IIIC

• Si y0 es negativo, el punto P se traslada hacia abajo ..

IVC

Traslación de una figura

Observación La distancia de traslación “d” de P a P' es igual a la longitud de la flecha V. & d=

En el plano cartesiano, una figura varía su posición por traslación cuando todos los puntos contenidos en dicha figura se desplazan x0 unidades horizontalmente, así como y0 unidades verticalmente, donde x0 e y0 son las coordenadas de la flecha V(x0; y0); además, la distancia que recorren los puntos de la figura es igual a la longitud de V. y

x02 + y02

C'(x'3; y'3)

V (x0; y0)

f'

C(x3; y3)

A'(x'1; y'1) f A(x1; y1)

B'(x'2; y'2) x

B(x2; y2)

Si AA'; BB' y CC' son paralelos a V(x0; y0) y AA' = BB' = CC' = d Entonces, f' es la traslación de f en la dirección y sentido de V(x0; y0); x0 unidades horizontalmente e y0 unidades verticalmente. Y representa como: f' = Tras f(V )

60 Intelectum 1.°

donde d es la distancia de traslación: d =

x02 + x02

G

De la figura f tomamos tres puntos A; B y C y los trasladamos siguiendo la dirección y sentido de V (x0 unidades horizontalmente e y0 unidades verticalmente); obtenemos así los puntos A'; B' y C' que a su vez pertenecen a la figura F'; de esta manera ubicamos F'. A' = Tras A(V ) Coordenadas de A':

B' = Tras B(V ) Coordenadas de B':

C' = Tras C(V ) Coordenadas de C':

x1' = x1 + x0

x2' = x2 + x0

x3' = x3 + x0

y1' = y1 + y0

y2' = y2 + y0

y3' = y3 + y0

Propiedades Cuando las traslaciones se hacen en dirección de los ejes de coordenadas (eje x; eje y). Traslación en el eje x (si V(x0; 0))

Traslación en el eje y (Si V(0; y0))

y

y

P(x1; y1) V

De un punto

O

V (0; y0)

P'(x'1; y'1)

V x

O

V (x0; 0)

P(x1; y1)

x

& P' = Tras P(V ) donde: V(0; y0). ` Las coordenadas de P' son:

& P' = Tras P(V ) donde: V(x0; 0). ` Las coordenadas de P' son: y1' = y1

x1' = x1 + x0

P'(x'1; y'1)

y1' = y1 + y0

x1' = x1 y

y

C'(x'3; y'3)

C(x3; y3)

C'(x'3; y'3)

f

A'(x'1; y'1)

B'

B(x2; y2)

V (x0; 0)

De una figura

V (0; y0)

f'

A(x1; y1)

x

A'(x'1; y'1)

& f' = Tras f(V ) ` Las coordenadas de los tres puntos de f ' son: Punto A':

Punto B':

Punto C':

x1' = x1 + x0

x2' = x2 + x0

x3' = x3 + x0

y1' = y1

y2' = y2

y3' = y3

C

A(x1; y1)

f'

B'(x'2; y'2) x

f

B(x2; y2)

& f' = Tras f(V ) ` Las coordenadas de tres puntos de f ' son: Punto A: x1' = x1 y1' = y1 + y0

Punto B: x2' = x2 y2' = y2 + y0

Punto C: x3' = x3 y3' = y3 + y0

Se dice que una transformación geométrica es unívoca cuando a cada elemento de una figura le corresponde un elemento y solamente un elemento de la figura transformada. Así mismo, se dice que una transformación es biunívoca cuando a cada elemento de una figura le corresponde un elemento y únicamente un elemento de la figura transformada y a este, le corresponde un elemento y solamente un elemento de la figura original. GEOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 4

61

Rotación en el plano cartesiano Rotación de un punto

Nota Cuando el centro de giro C(x0; y0) coincide con el origen de coordenadas. y

En el plano cartesiano un punto varía su posición por rotación cuando gira un ángulo a con respecto a un punto fijo C, de tal manera que CP = CP'; además, C sería el centro de giro. y

P'(x'1; y'1) r

P'(x'1; y'1)

• Se representa:

r

P(x1; y1)

α

α

r

O

x

Además: C(x0; y0) = O(0; 0) Coordenadas de P': x'1 = x1cosa - y1sena

C(x0; y0)

O

Si OP = OP' y O(0; 0) es el centro de giro & P' = Rot P(O; a)

• Coordenadas de P':

P(x1; y1)

r

P' = Rot P(C; a)

x1' = x0 + (x1 - x0)cosa - (y1 - y0)sena

x

y1' = y0 + (x1 - x0)sena + (y1 - y0)cosa

El sentido de giro del ángulo a tiene por referencia el giro de las manecillas del reloj. y Giro antihorario (+)

P'

y1' = x1sena + y1cosa

α

P

C α (x0; y0)

Giro horario (-)

P''

Atención La rotación es una transformación unívoca; en la rotación, el centro de giro es el único punto doble.

Si: CP = CP' y C(x0; y0) es el centro de giro & P' es la rotación del punto P con respecto a C(x0; y0) con una magnitud de a.

O

x

Si C(x0; y0) es el centro de giro y CP = CP' = CP'': • El punto P' es producto de una rotación positiva pues su giro es en sentido antihorario & P' = Rot P(C; a). • El punto P'' es producto de una rotación negativa pues su giro es en sentido horario & P' = Rot P(C; -a). • El signo negativo representa un giro opuesto (horario) al giro original a (antihorario).

Rotación de una figura

En el plano cartesiano una figura varía su posición por rotación cuando todos los puntos contenidos en dicha figura giran un ángulo a en un sentido dado (horario o antihorario) con respecto a un punto fijo C(x0; y0), el cual será llamado centro de giro o centro de rotación. Observación El radio vector de un punto P(x; y) es igual a la longitud del segmento que une el origen de coordenadas (0; 0) con dicho punto P(x; y).

y Q'(x'2; y'2)

R'(x'3; y'3)

f' P'(x'1; y'1)

y O

P(x; y)

α

V x

& Vp = x2 + y2 donde VP es el radio vector del punto P(x; y).

O

C(x0; y0)

Q(x2; y2)

P(x1; y1)

x

f R(x3; y3)

P' = Rot P(C; a) Coordenadas de P':

Q' = Rot Q(C; a) Coordenadas de Q':

R' = Rot R(C; α) Coordenadas de R':

62 Intelectum 1.°

Si: CR = CR', CP = CP', CQ = CQ' y C(x0; y0) es el centro de giro. & f' es la rotación de f un ángulo de a y con respecto a C(x0; y0). Se representa: f' = Rot f(C; a) De la figura f tomamos tres puntos P; Q y R y los rotamos un ángulo a y con respecto al punto C(x0; y0) obtenemos así a P'; Q' y R' que a su vez pertenecen a la figura f ', que vendría a ser la rotación de f en las condiciones dadas.

x1' = x0 + (x1 - x0)cosa - (y1 - y0)sena y1' = y0 + (x1 - x0)sena + (y1 - y0)cosa x2' = x0 + (x2 - x0)cosa - (y2 - y0)sena y2' = y0 + (x2 - x0)sena + (y2 - y0)cosa x3' = x0 + (x3 - x0)cosa - (y3 - y0)sena y3' = y0 + (x3 - x0)sena + (y3 - y0)cosa

G Propiedades

Cuando el ángulo de rotación (a) es recto (90°) o llano (180°). Respecto a un punto cualquiera Centro de giro C(x0; y0)

Respecto al origen de coordenadas Centro de giro O(0; 0) y

y P'(x'1; y'1)

P'(x'1; y'1) P(x1; y1)

C(x0; y0)

O

P(x1; y1)

& P' = Rot P(C; 90°)

& P' = Rot P(C; 90°) ` Las coordenadas de P' son: De un punto

` Las coordenadas de P' son:

y1' = y0 + x1 - x0

x1' = x0 - y1 + y0

x

O

x

x'2 = - y1

y'1 = x1

y

y

P(x1; y1)

P(x1; y1)

P'(x'1; y'1)

P'(x'1; y'1)

x

O

& P' = Rot P(C; 180°) ` Las coordenadas de P' son:

& P' = Rot P(O; 180°) ` Las coordenadas de P' son:

y1' = 2y0 - y1

x1' = 2x0 - x1 Q'(x'2; y'2)

f

R'(x'3; y'3)

P(x1; y1)

P(x1; y1) x

O

x

& f' = Rot f(0; 90°) ` Las coordenadas de 3 puntos:

& f' = Rot f(C; 90°) ` Las coordenadas de 3 puntos:

De una figura

Q(x2; y2)

P'(x'1; y'1)

f O

R(x3; y3)

f'

Q(x2; y2)

P'(x'1; y'1) C(x0; y0)

y

Q'(x'2; y'2)

R(x3; y3)

R'(x'3; y'3)

y1' = - y1

x1' = - x1

y f'

x

O

C(x0; y0)

x1' = x0 - (y1 - y2)

x2' = x0 - (y2 - y0)

x3' = x0 - (y3 - y0)

x1' = - y1

x2' = - y2

x3' = - y3

y1' = y0 + (x1 - x0)

y2' = y0 + (x2 - x0)

y3' = y0 + (x3 - x0)

y1' = x1

y2' = x2

y3' = x3

& f' = Rot f(C; 180°) ` Las coordenadas de tres puntos: x1' = 2x0 - x1

y

P'(x'1; y'1)

Q'(x'2; y'2) f'

R'(x'3; y'3) O

& f ' = Rot f(C; 180°) ` Las coordenadas de tres puntos: y

y1' = 2y0 - y1 R(x3; y3) C(x0; y0)

f

P(x1; y1)

R(x3; y3)

x2' = 2x0 - x2

Q'(x'2; y'2)

y2' = 2y0 - y2

x

x3' = 2x0 - x3 y3' = 2y0 - y3

O

P'(x'1; y'1) f'

R'(x'3; y'3) Q'(x'2; y'2)

x1' = -x1

Q(x2; y2)

y1' = -y1

f P(x1; y1) x

x2' = -x2 y2' = -y2 x3' = -x3 y3' = -y3


63

Problemas resueltos 1 Halla el punto simétrico a P(-5; -3) con respecto al punto (-2; -1). y

P'(x'; y')

4 Halla el radio vector del punto resultante de la traslación de A(-3; 2). Si este punto ha sido trasladado siguiendo la dirección de la flecha (0; -8).

Resolución: x

Q(-2; -1)

& Piden: A' = Tras A(V )

y

A(-3; 2)

x

P(-5; -3) r

Resolución: Piden: P' = Sim P(Q) P' = Sim(-5; -3)(Q)

& Q(-2; -1)

x0 = -2 y0 = -1

& P(-5; -3)

x = -5 y = -3

Hallamos las coordenadas de P'(x'; y'): x' = 2(-2) - (-5) & x = 1 y' = 2(-1) - (-3) & y = 1 ` P'(1; 1) 2

V A'(x'; y')

5

Halla el radio vector del punto simétrico a (-6; 8) con respecto al eje y.

A(-6; 8)

Radio vector A'(6; 8) & VA' =

3 (4) & y' = 2 + 2 3 2 Piden (x')(y') & x'y' = -2 - 2 3

y' = 2 +

6 V (1; 1) A'(x'; y') V

A(1; 2) x

62 + 82 & VA = 10

y

Piden: A' = Rot A(C'; 60°) A' = Rot(1; 2)(C; 60'); C(-3; 2) x = 1 x0 = -3 y = 2 y0 = 2

Coordenadas da A'(x'; y'): x' = (-3) + (1 - (-3))cos60° - (2 - 2)sen60° x' = -3 + 4 (1/2) & x' = -1 y' = (2) + (1 - (-3))sen60° + (2 - 2)cos60°

Hallar las coordenadas de la traslación del punto A(2; -1) en dirección de la flecha V(1; 1)

Resolución:

y

60° C (-3; 2)

x

O

Resolución:

y

P(-3; 5)

Piden: P' = Rot P(O; 45°) P' = Rot(-3; 5)(O; 60°); O(0; 0) x = -3 x0 = 0 y = 5 y0 = 0

A(2; -1)

Piden A' = Tras A(V )

Coordenadas de A'(x'; y'): x' = (2) + (1) y' = (-1) + (1) & A'(3; 0) x' = 3 y' = 0

64 Intelectum 1.°

` A'(- 1; 2 + 2 3 )

Halla las coordenadas de la posición final de (-3; 5), si este punto ha rotado 45° con respecto al origen de coordenadas, en sentido antihorario.

x

A' = Tras(2; -1)(V ); donde V(1; 1) x = 2 x0 = 1 y = -1 y0 = 1

(- 3) 2 + (- 6) 2 & VA' = 3 5

Resolución:

Piden: A' = Sim(-6; 8)(y) (x'; y') = Sim(-6; 8)(y) & x' = -(x) y' = y x' = -(-6) y' = 8 ` A'(6; 8)

A'(x'; y')

V(0; -8)

Halla el producto de las coordenadas de A', Si dicho punto es resultado de la rotación de 60° de A(1; 2) con respecto al punto (-3; 2), en sentido antihorario.

A'(x'; y') y

x' = -3 y0 = -6 & A'(-3; -6)

Radio vector A'(-3; -6) & VA' =

Resolución:

3

A' = Tras(-3; 2)(V ); V(0; -8) x = -3 x0 = 0 y = 2 y0 = -8 Coordenadas de A'(x'; y'): x' = (-3) + 0 y0 = (2) + (-8)

P'(x'; y')

45°

-x

Coordenadas de P'(x'; y') x' = (-3)cos45° - (5)sen45°

O

y' = (-3)sen45° + (5)cos45°

x' = - 3 2 - 5 2 y' = - 3 2 + 5 2 2 2 2 2 x’ = - 4 2 y' = 2 ` P' = (- 4 2 ; 2 )

5. GEOMETRÍA 1° - TEXTO

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