INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE DOCEN TE Y TÉCNI TÉCNICA CA Nº 81 PROFESORADO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA
ÁLGEBRA TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES LINEALES MATRIZ MATRIZ CAMBIO DE DE BASE BASE
ISFDyT Nº 81
PROFESOR: Ing. Esp. Ariel Quiñones
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TRANSFORMACIONES LINEALES MATRIZ CAMBIO DE BASE:
:: → ′ ’ ’’ : . ’ ′ ’: ’’ .’’’
Relación entre la matriz estándar matriz
(asociada en las bases canónicas) y la
.. ′’’ .′’
Sea una tra trans nsfformaci ormación ón lineal lineal con con matri matrizz asocia asociada da Consideremos base de y base base de .
Matrices de cambio de base o de paso en cada espacio: En :
es la matriz de cambio de la base de la canónica a
En
es la matriz de cambio de la base de la canónica a
:
en bases canónicas.
a la canónica:
Entonces se tiene la igualdad: base e inversibles)
Álgebra
a la canónica:
(
y
matrices cambio de
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRIZ CAMBIO DE BASE: Esto Esto pued puede e repre eprese sent ntar arse se medi median ante te el sigu siguie ient nte e esqu esquem ema: a:
También es posible cambiar de base sólo en el espacio inicial, o sólo en el espacio final:
′
1) Aquí es la matriz en la base canónica y (es decir, sus columnas contienen las imágenes de la base canónica, expresadas como coordenadas en ). ). Entonces tenemos:
’
( es la matriz identidad) Álgebra
TRANSFORMACIONES LINEALES
′
MATRIZ CAMBIO DE BASE:
2) Ahora es la matriz en y la base canónica (es decir, sus columnas contienen las imágenes de la base , expresadas como coordenadas en base canónica ). ).
’ :: → / f x, y x1 y,1x y, 0 10 10 1 1 1,1,1,–1 ’ 1,1,0,11,,0,1,0,1,1 11 11 Entonces tenemos:
( es la matriz identidad)
Ejemplo:
Dada la transformación lineal
1)Verificar 1) Verificar que la matriz en bases canónicas es 2)Verificar 2) Verificar que la matriz en las bases y
es
Álgebra
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRIZ CAMBIO DE BASE: Los cambios de base son: En el espacio inicial
11 11 1 1 0 ′ 10 01 11 ′
: el cambio de
a la base canónica es
( se hall halla a coloc oloca ando ndo en colum olumna nass los vect ectores ores de canónica). El cambio inverso, de la base canónica a será .
En el espacio final
: el cambio de
expr xpresad esados os en base base
a la base canónica es
( se hal halla coloc oloca ando ndo en colum olumna nass los los vect ectore ores de B’ expr xpresa esados dos en base base canónica).
El cambio inverso, de la base canónica a
será
Álgebra
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRIZ CAMBIO DE BASE:
12 12 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 12 21 . 10 10 . 1 1 11 11 2 2 2 .
Se cumplirá entonces que:
Es decir, podríamos haber hallado
.
de la siguiente manera
Ejercicio: Verificar
Álgebra
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICES EQUIVALENTES:
Sean y dos matrices pertenecientes a Diremos que es equivalente con y lo notaremos
Propiedad:
∈ ∈
Dos matrices y
y
~
)
. .
pertenecientes a son equivalentes si y sólo si existen matrices inversibles tales que
Observaciones: •
•
Dos matrices matrices equivalentes equivalentes tienen el mismo rango rango (dimensión de la imagen) imagen)
y son producto de matrices elementales, luego número finito de operaciones elementales sobre . Álgebra
se obtiene haciendo un
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICES EQUIVALENTES:
~ → , 3 2
En el ejemplo anterior diremos que: •
•
•
•
Pues son matrices asociadas asociadas a la misma misma t.l. en distintas distintas bases. Además Además por operaciones operaciones element elementales ales sobre sobre matriz
se obtiene la
Existen dos matrices cuadradas inversibles inversibles ( y ) tal que
Por último verifica que y A de orden tienen el mismo rango que corresponde a la dimensión de la imagen de la t.l.
Álgebra
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TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICES SEMEJANTES: Caso particular de un endomorfismo.
: → dim .. ..
Sea , siendo y la matriz asociada a la t.l. en base canónica de cada espacio. Si se efectúa un nuevo cambio de base de a la canónica con una matriz de pasaje , entonces se tiene
Las matrices y representan el mismo endomorfismo respecto de la base (canónica) y . Diremos que no singular /
y
son equivalentes pues existe la matriz cambio de base Álgebra
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICES SEMEJANTES: Para los endomorfismos, podemos enunciar las propiedades:
Si es semejante con Si es semejante con Si
|| ||
es semejante con es semejante con
, entonces , entonces y
es semejante con
, para todo
es regular (inversible), entonces
Álgebra
∈
es regular y
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICES SEMEJANTES:
:: → / , , 1, 1, 2, 3 21,, 31 11,,00 00,,11∈ → 12 ^^ 13 ∴ 11 32 11 3 2 . → 11 32 . 2 3 1,2 37 1,2 12 Ejemplo:
Encontrar base
siendo
1) Con matrices cambio de base
es la matriz matriz cambi cambio o de base de a , po por lo tanto tanto escribimo escribimoss los vectore vectoress de la base como como combi combinac nación ión lineal lineal de los vecto vectore ress de :
En general cualquier elemento
Verificar con:
tendrá coordenadas en la canónica
que
Álgebra
y la
TRANSFORMACIONES LINEALES
0,1,01 11,,11 2,2,33 → 32 ^^ 11 ∴ 13 12 ∈
MATRICES SEMEJANTES:
es es la matriz cambio de base de a ,porlo tanto escri scrib bimos imos los vector ctore es de la bas base como comb combin inac ació ión n line lineal al de los los vect ectores ores de (también se pued puede e hall hallar ar dir direct ectamen amentte como como la inv inversa ersa de ):
1 3 1 2 . → 1312 . 32 1,2 21 1,2 37 .. → 1512 1310
En gene generral cual cualqu quie ierr elem elemen ento to
Verificar con: Luego
tendr ndrá coor oorden denadas das en la bas base B
que
siendo
la matriz asociada en la Canónica Álgebra
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICES SEMEJANTES:
. . 13 12 1512 1310 11 32 02 30 12,,13 2,6,92 2, 2 1,1 2, 3 → 223622 6,9 1, 1 2,2, 33 → 3 9 0 2 ^^ 30 ∴ 02 30
matriz diagonal
2) Verifiquemos a partir de la f explícita
luego
Álgebra
