Formulario de Algebra I
Relaciones
Relaciones Definición de relación:
R ⊂ A × B = {( x, y ) / x ∈ A, y ∈ B}
Dominio de una relación:
Dom[ R] = { x ∈ A / ( x, y ) ∈ R}
Rango de una relación:
Rg[ R] = { y ∈ B / ( x, y ) ∈ R}
Relación Inversa:
R ⊂ B × A 1 R − = {( y, x ) / ( x, y ) ∈ R}
Composición de relaciones:
R ⊂ A × B ∧ S ⊂ B × C S o R = {( x, y ) / ∃ y ∈ B ∧ ( x, y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ S }
Propiedades de la composición:
-
Asociatividad:
(T o S ) o R = T o (S o R) -
Relación Inversa:
(S o R )−1
= R
−1
o
S
−1
Relaciones definidas
R es una relación definida en A, ⇔ R ⊂ A 2 ∨ R ⊂ A × A R es una relación definida en A, ⇔ R ∈ P ( A 2 ) Propiedades de las relaciones definidas: R ⊂ A
2
-
Reflexividad:
R es reflexiva ⇔ ∀ x : x ∈ A ⇒ ( x, x ) ∈ R
-
No reflexividad:
R no es reflexiva ⇔ ∃ x / x ∈ A ∧ ( x, x ) ∉ R
-
Arreflexividad:
R es arreflexiva ⇔ ∀ x : x ∈ A ⇒ ( x, x ) ∉ R
-
Simetría:
R es simétrica ⇔ ∀ x∀ y ∈ A : ( x, y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∈ R
-
No simétrica:
R no es simétrica ⇔ ∃ x∃ y / ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∉ R
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Relaciones
-
Asimetría:
R es asimétrica ⇔ ∀ x∀ y : ( x, y ) ∈ R ⇒ ( y, x ) ∉ R
-
Antisimetría:
R es antisimétrica ⇔ ∀ x∀ y : ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, x ) ∈ R ⇒ x = y
-
Transitividad:
R es transitiva ⇔ ∀ x∀ y∀ z : ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∈ R
-
No transitividad:
R no es transitiva ⇔ ∃ x∃ y∃ z / ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∉ R
-
Atransitividad:
R es atransitiva ⇔ ∀ x∀ y∀ z : ( x, y ) ∈ R ∧ ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∉ R
Relaciones de Equivalencia (~) 2
La relación R ⊂ A es de equivalencia en A, si y solo si cumple la: -
Reflexividad:
∀ x : x ∈ A ⇒ x ~ x
-
Simetría:
∀ x∀ y : x ~ y ⇒ y ~ x
-
Transitividad:
∀ x∀ y∀ z : x ~ y ∧ y ~ z ⇒ x ~ z
Clases de equivalencia:
Clase de equivalencia del elemento a ∈ A es el conjunto de todos los elementos de A equivalentes a a :
K a = { x ∈ A / x ~ a } Conjunto de índices:
Sea A ≠ φ un conjunto dotado de una relación de equivalencia. Se denomina conjunto de índices a un conjunto formado por los representantes de cada clase de equivalencia. Es decir:
I = {a ∈ A / K a es una clase de equivalencia en A} Conjunto cociente:
El conjunto formado por las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por la relación de equivalencia, donde I es el conjunto de índices:
A
~
= {K u / u ∈ I }
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Relaciones
Partición de un conjunto:
Sean dos conjuntos A ≠ Ø e I ≠ Ø tales que, cualquiera que sea elemento u ∈ I , existe un subconjunto K u ⊂ A . Entonces el conjunto {K u / u ∈ I } es una partición de A si y solo sí: i.
∀u : u ∈ I ⇒ K u ≠ Ø
ii.
u ≠ v ⇒ K u ∩ K v = Ø
iii.
∀a ∈ A, ∃ u ∈ I / a ∈ K u
Relaciones de equivalencia definidas en un conjunto:
Si ~ es una relación de equivalencia definida en el conjunto A ≠ Ø, entonces existe un subconjunto I ⊂ A , tal que cualquiera que sea u en I , existe K u ⊂ A : i.
u ∈ I ⇒ K u ≠ Ø
ii.
a ~ a ' ⇔ a ∧ a ' ∈ K u
iii.
K u ∩ K v ≠ Ø ⇒ K u = K v
iv.
u ≠ v ⇒ K u ∩ K v ≠ Ø
v.
∀a ∈ A, ∃ u ∈ I / a ∈ K u
Partición y relación de equivalencia: 2
R ⊂ A {K u / u ∈ I }: una partición de A
(a, b ) ∈ R ⇔ a ∧ b ∈ K u ∃ u ∈ I / a ∈ K u
-
Reflexibilidad: a ∈ A
-
Simetría: (a, b ) ∈ R
-
Transitividad: (a, b ) ∈ R ∧ (b, c ) ∈ R
⇒
⇒
a ∧ b ∈ K u
⇒
⇒
b ∧ a ∈ K u
⇒
a ∧ a ∈ K u ⇒
a, b ∧ c ∈ K u
(b, a ) ∈ R ⇒
a ∧ c ∈ K u
⇒
(a, c ) ∈ R
Relaciones de Orden 2
Orden Amplio: Sea R ⊂ A , R es una relación de orden amplio en A si y solo sí cumple la:
-
Reflexividad:
a ∈ A ⇒ (a, a ) ∈ R
-
Antisimetría:
-
Transitividad:
(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b (a, b ) ∈ R ∧ (b, c ) ∈ R ⇒ (a, c ) ∈ R
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Relaciones
Orden Parcial: Sea R una relación de orden parcial de A ⇔ existen pares de elementos
incomparables: ∃ a, ∃ b / (a, b ) ∉ R ∧ (b, a ) ∉ R Orden Total: Sea R una relación de orden total de A ⇔ no existen pares de elementos
incomparables:
a ≠ b ⇒ (a, b ) ∈ R ∨ (b, a ) ∈ R 2
Orden Estricto: Sea R ⊂ A , R es una relación de orden estricto en A si y solo sí cumple
la: -
Arreflexividad:
a ∈ A ⇒ (a, a ) ∉ R
-
Asimétrica:
-
Transitividad:
(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∉ R (a, b ) ∈ R ∧ (b, c ) ∈ R ⇒ (a, c ) ∈ R
El signo de preceder:
Sea (a, b ) ∈ R y se puede igualmente denotar por aRb y con el signo de preceder a
p
b.
Con esta notación se tiene: - Reflexividad: - Antisimetría: - Transitividad: - Linealidad:
a ∈ A ⇒ a p a a pb∧b p a ⇒ a =b a pb∧b p c ⇒ a pc a ≠ b⇒ a pb∨b p a
Relaciones Funcionales
Sea R una relación binaria que R ⊆ A × B , que es lo mismo decir de que R es una relación o aplicación de A en B : R : A → B , Si R cumple dos condiciones: -
Condición de Existencia:
∀a ∈ A, ∃ b ∈ B / (a, b ) ∈ R
-
Condición de Unicidad:
(a, b) ∈ R ∧ (a, c ) ∈ R ⇒ b = c
Se dice que esta relación R que cumple estas dos condiciones, se llama Función, Aplicación o Transformación Lineal y se denota por f :
f : A → B
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