02 desarrollo 3 y conclusión (M. Bonino)

1. Conceptos y sus relaciones de Incidencia. a. Punto Impropio ¿Qué tienen en común todo par de rectas paralelas? Cuando queremos dar una dirección dibujamos dibujamos una recta, pero la dirección no es esa recta, dado que cualquier recta paralela lo cumple. so de Geomet Geometría ría Métri Métrica, ca, tomo tomo II”, II”, observ observa a que el Puig Adam, en su libro “Cur “ Curso concepto de dirección tiene relaciones de incidencia idénticas a las del punto: I. Dos recta recta de un plano plano o tienen tienen en común común un punto, punto, o tienen tienen común común una direcc dirección. ión. II. Dos puntos puntos determ determina inan n una recta; recta; y análo análogam gament ente: e: Un punto punto P y una direcc dirección ión determinan una recta. (aplicación del V postulado de Euclides) III. Por una recta y un punto no incidentes, no pasa más que un plano. Análogamente: Análogamente: Por una recta no pasa más que un plano paralelo a una dirección dada (distinta de la de la recta). Por lo que podemos afirmar que todo par de rectas paralelas tienen un punto en o improp im propio io.. común al que llamaremos punt llamaremos punto punt o impropio impro pio los enunciados anteriores se resumen Unificando Unificando el concepto de dirección y punto en lo siguiente: I. Dos Dos rect rectas as en un plano plano dete determ rmin inan an un II. Dos puntos puntos (propi (propios, os, o uno propio propio y otro otro punto punt o (propio (pro pio o Impropio Impr opio)) común com ún a ambas. amba s. Impropios) determinan una recta a la que pertenec pert enecen. en. b. Recta Impropia tos Impropios Impr opios? ¿Qué sucede con dos pun dos puntos ? orientación . Para comprobarlo Dos puntos impropios determinan una orientación. comprobarlo tracemos por un punto punto cualq cualquie uiera ra del del espac espacio io rectas rectas parale paralela las s a ambas ambas direc direcci cion ones, es, estas estas parale paralela las s para lelos determinan un plano. Todos los planos que podemos obtener de este modo son paralelos entre sí y sí y se dice que tienen la misma orientación (la cual contiene todas las direcciones) . Propiedades de Incidencia que cumple el concepto de Orientación: II'. Dos direcciones direcciones determinan, determinan, pues, una orientación que que las contiene. contiene. (Enunciado análogo al II anterior). III'. Un punto y una orientación orientación determinan determinan un plano plano al que pertenecen. pertenecen. (Enunciado análogo al III anterior). IV. IV. Un plano y una orientación orientación distinta de la del plano determinan una dirección, lo mismo que un plano y una recta no incidentes definen un punto. V. Dos planos planos o tienen tienen una recta recta común común o una orienta orientació ción n común. común. De lo anterior podemos convenir en llamar recta impropia a la orientación, orientación , dado que cumple las relaciones de incidencia de la recta, y englobar II y II' de la siguiente forma: II. Dos puntos puntos (propio (propios s o impropios impropios)) determinan determinan una recta recta (propi (propia a o impropia) impropia).. c. Plano Impropio Como observamos los elementos impropios se comportan en sus propiedades como si plan o impropio imp ropio.. fuesen puntos y rectas de un plano, que llamaremos llamaremos plano

Comp. de Geometría

1

[email protected] [email protected]

2. Generalización de las relaciones de incidencia. En gran medida ya lo hicimos a medida que realizamos los convenio de nominación a modo de comprobación de que los nombres cumplían las propiedades de los conceptos aludidos. Pero acá los resumiremos sin distinción de los adjetivos de propio o impropio. En Geometría plana. (i). (i). Dos rectas rectas determi determinan nan un punto situado situado en ambas.

(ii) (ii).. Dos puntos puntos determ determin inan an una recta recta que pasa por ellos. ellos .

En Geometría del espacio. (ii) (ii).. Dos puntos puntos deter determi minan nan una recta recta que pasa por ambos. ambo s.

(v). (v). Dos Dos plan planos os dete determ rmin inan an situada en ambos.

una una

rect recta a

(iii (iii).Un ).Un punto punto y una recta recta no inci inciden dentes tes determinan un plano que pasa por ellos.

(iv) (iv).U .Un n plan plano o y una una rect recta a no inci incide dent ntes es definen un punto situado en ellos.

Fácilmente se puede verificar que: Tres puntos puntos no aline alineado ados s determ determin inan an un plano plan o que qu e pasa p asa por ellos. ello s.

Tres planos no concurrentes en una recta determinan un punto situado en ellos.

Si una recta tiene dos puntos en una plano, está contenida en él.

Si una recta pertenece a dos planos que pasan pasa n por un punto, punt o, es incidente incid ente con dicho dich o punto. punt o.

3. Leyes de dualidad. La presentación en doble columna de las proposiciones proposiciones anteriores nos permite ver la simetría entre las relaciones relaciones de incidencia, en el plano, la recta y el punto, y en el espacio el en” se convierte punto y el plano, y su relación con la recta. La relación de pertenencia “estar en” se en la recíproca “pasar por”, pero si no se quiere distinguir una de otra se puede utilizar el concepto universal de “incidencia”. (Ver anexo 2)

4. Operaciones básicas de la proyectividad proy ección n desde un punto o una recta y la sección por una recta o un plano, son las La proyecció operaciones básicas de la proyectividad. a. Tipos de Proyección punto A desde otro O. ▪ Proyección de un punto A Consiste Consiste en trazar la recta a que pasa por ambos. recta r desde desde un punto O que no pertenece a ella. ▪ Proyección de una recta r α definido por ambas. Consiste Consiste en trazar el plano α definido recta r que que no lo contiene. ▪ Proyección de un punto O desde una recta r Consiste, como en el caso anterior, en trazar el plano definido por ambos.

Comp. de Geometría

2


b. Tipos de secciones. Seccionar o cortar dos figuras geometrías es la operación correlativa o dual a proyectar. recta r por por otra a otra a. ▪ Sección de una recta r Es la determinación del punto P común de ambas1. recta r, o viceversa. α por una recta r, ▪ Sección de un plano α por Consiste en hallar el punto P común a ambos. otro β.. ▪ Sección de un plano α por α por otro β r común a ambos. Consiste en determinar la recta r común c. Relaciones entre proyección y sección B , C, C , …, de una recta r , desde un punto V exterior V exterior ▪ Al proyectar una serie rectilínea, A, rectilínea, A, B, a ella, se obtiene un haz de rectas a, b, c,..., de vértice V que pertenecen pertenecen al plano plano V y r. Que se designa V(ABC...). definido por V y Recíprocamente, Recíprocamente, la sección de un haz de rectas a, b, c,..., por otra recta r , que no V del haz, produce una serie rectilínea, A, C,.. . pase por el vértice V del rectilínea, A, B, C,... ▪ Si proyectamos una serie rectilínea, A, B, C,..., C,... , desde una recta r, r , no coplanaria con la serie, serie , se obtiene un haz de planos α, β, γ,... cuya arista es r. Si seccionamos un haz de planos α, β, γ,... de arista m por una recta r, no coplanaria con ella, se obtiene una serie rectilínea, A, B, C. V desde un punto O exterior al ▪ La proyección proyección de un haz de rectas a, b, c,... de vértice V desde r es la proyección de v desde v desde O. haz, produce un haz de planos α, β, γ,... cuya arista r es Así mismo, la sección de una haz de planos α, β, γ,... de arista r, por otro plano Ω, V es la que no contiene a la arista, determina un haz de rectas a, b, c,... cuyo vértice V es r con el plano Ω. intersección de la arista r con ABCD E desde un punto exterior a ella, se obtiene una ▪ Al proyectar una forma plana ABCDE superficie radiada de vértice O. Del mismo modo, la sección de una superficie radiada de vértice O por un plano α que no contiene a éste produce una forma plana ABCDE . De las propiedades antes establecidas se deduce: “Las operaciones de proyección y sección conservan las relaciones de incidencia.”

5. Categoría de una forma geometría fundamental. Es el número de condiciones necesarias para fijar o determinar cada elemento constituyente de manera inequívoca, dentro de la propia forma a la pertenece. a. Figura de Primera categoría Son las constituidas por elementos de una sola especie puntos (serie rectilínea), recta (haz de rayos) y plano (haz de planos). 1

En el desarroll desarrollo o del texto texto no se hará disti distinción nción entre entre figuras figuras propia propia o impropia, impropia, a menos menos que que sea necesari necesario. o.

Comp. de Geometría

3


Las más sencillas o fundamentales son : ▪ La serie rectilínea o conjunto de infinitos puntos de una recta. Son figuras de esta forma la recta y/o el segmento. ▪ Haz de rayos o radiación plana, es el conjunto de infinitas rectas de un plano que pasan por un punto. Son figuras de esta forma un ángulo y el haz de rectas o rayos. ▪ El haz de planos, es el conjunto de infinitos planos que pasan por una recta. Son figuras de esta forma el ángulo diedro y el haz de planos.

b. Figura de segunda categoría Son las constituidas por elementos de dos especies (puntos y rectas o rectas y planos). Las más sencillas o fundamentales son : ▪ La forma plana, es el conjunto de todos los puntos y rectas de un plano. Son figuras de esta forma las curvas planas y los polígonos. ▪ La radiación, es el conjunto de las infinitas rectas y planos que pasan por un punto. Son figuras de esta forma la radiación radiación de rectas, la radiación de planos, las superficies superficies cónicas y las superficies piramidales. c. Figuras de tercera categoría Son el conjunto de los infinitos puntos, rectas y planos del espacio. ▪ Son figuras de esta forma los poliedros, las superficies curvas, las superficies regladas y todas las figuras geométricas. http://trazoide.com/wiki

6. Haces y secciones proyectivas a. La proyectividad según Poncelet Definición “Dos “Dos figur figuras as de primer primera a o de segund segunda a categ categorí oría a se llama llaman n proyec proyectiv tivas as entr entre e sí cuan cuando do pued pueden en obte obtene ners rse e una una de otra otra medi mediant ante e una una suce sucesi sión ón de proyeccio proy ecciones nes y seccion se cciones.” es.” 4. c: Apliquemos los visto en § 4.c proyecta proy ectando ndo una serie ABCD... ABCD. .. desde desd e un punto punt o exterior exte rior (fig I) tenemos tene mos un haz de rectas abcd... Cortando este haz por otra recta, tenemos otra serie A'B'C'D'... Proyectando esta serie desde una recta (no secante) obtenemos un haz de planos αβγδ..., el cual cortado a su vez por otra recta dará una serie A''B''C''D''...

Fig. I Comp. de Geometría

Fig. II

4


Análogam Anál ogamente ente (fig. (fig . II) por proyeccio proy ecciones nes y seccione secci ones s sucesivas suces ivas podemos pode mos pasar pasa r de una figura de segunda categoría ABCD, a otras abcd, A'B'C'D' que llamaremos proyectivas con ella. i. Determinación de figuras proyectivas Dada dos figuras, para reconocer si son proyectivas según Poncelet, debemos encontrar una sucesión de proyecciones y secciones que las ligue, pero ¿cómo podemos reconocer, reconocer, a prior priori, i, si tal sucesi sucesión ón existe existe?. ?. Para Para esto esto se buscar buscaran an propie propiedad dades, es, invar invaria iante ntes s de la proyectividad, que este presente en las dos figuras:

7. Invariantes métricos a. Razón Simple Dado tres puntos alineados ABC llamamos razón simple entre ellos (ABC) al valor de la razón entre los segmentos orientados AB:AC, cuyo signo es + o –, según que el sentido de ellos sea coincidente u opuesto. ( ABC )= )= AB AC i. Propiedades:

( ACB )=

1

( ABC )

( CAB )=

( CBA )=1 −( ABC )

1 1

−( ABC )

(BAC )=

( ABC ) ( ABC )− )−1

ii. Variación de la razón simple. Coordenadas baricéntricas. Existe una correspondencia biunivoca entre el valor numérico de la razón razón simple simple (XBC) y la posic posició ión n de X , siend siendo o X un punto punto variable en una recta y los puntos B, C fijos en la misma. Por lo que que el valo valorr que que toma toma (XBC) determi determina na una posició posición n para X, denominada coordenada baricentrica baricentrica de X.

( XBC )= )= XB =λ XC

y b y c a las de B y C respectivamente, se tendrá en valor y Si llamamos x a la abscisa de X, y b signo para cualquier posición de X:

λ= b − x c− x b−λ c de donde despejando x obtenemos x= 1− λ , que da la abscisa única x correspondiente correspondiente a

baricéntrica. un valor dado de λ, obteniendo de este modo la coordenada baricéntrica. iii. La razón simple como invariante en la proyección paralela. Con el uso del Teorema de Thales, se demuestra de modo inmediato: ☑

Realizando una proyección proyección paralela de una terna ABC, según otra A'B'C', A'B'C ', se conserva el valor de la razón simple (A'B'C')=(ABC).

Comp. de Geometría

5


También se cumple que la razón simple es invariante en toda proyección central sobre rectas paralelas. ☑

☒

V sobre otra A'C' D' Al proyectar una serie ACD serie ACD desde un punto propio V sobre otra A'C'D' no paralela, varía la razón simple. Esto se demuestra fácilmente con la aplicación del teorema del seno. Expresem Expre semos os la raz razón ón sim simple ple en fun funci ción ón de los áng ángulo ulos s ord ordina inario rios s convexos ac, ad formados por los rayos proyectantes VA, VC, VD se tiene: sen sen ac senad AC =VC AD = VD senVAC , senVAD dividiendo AC dividiendo AC : AD, AD , obtene ob tenemos: mos: sen ac VC ( ACD )= AC = sen · AD senad VD De los dos factores de la igualdad anterior, el primero es fijo si lo son los tres rayos acb; el segundo depende de la recta que secciona el haz. Para otra sección:

( A ' C ' D ' )= A ' C ' = senac · VC ' A ' D '

de donde se da la igualdad

senad VD '

VC VC ' = VD VD' VD ' , si las secciones son paralelas.

Por lo tanto: La razón simple es un invariante métrico en toda proyección paralela. iv. Razón simple de una terna de rayos

senab sen sen ac Siendo ab, ac los ángulos convexos (únicos que pueden proyectar segmentos propios). Y atribuyéndole signos iguales o distintos a los ángulos, según sea del mismo o de opuesto sentido.

(abc )=

b. Razón Doble como invariante métrico de la proyección. En consecuencia de lo visto anteriormente construiremos construiremos un invariante invariante para la proyección proyección no paralela. Para esto debemos neutralizar el factor variable VC : VD: divi dividam damos os la razón razón simpl simple e (ACD (ACD)) por una análo análoga, ga, constr construid uida a tomando otro punto B.

( BCD)=

BC senbc VC · = BD senbd VD

(ACD):(BCD): AC BC sen sen ac senbc = : : AD BD sen sen ad senbd

o bien

( ACD ) : (BCD )=(acd ): ( bcd )

puntos ABCD y El primer miembro de se llama razón doble o armónica de la cuaterna de puntos ABCD se designa (ABCD). El segundo miembro se llama razón doble de la cuaterna de rayos a, b, c, d designándosela designándosela por (abcd), manteniéndose en estas los convenios establecidos en los

Comp. de Geometría

6


párrafos anteriores en cuanto a los signos.

La razón doble de una cuaterna cuate rna de

{

rayos puntos con ellos.

}

obtenida

{

proyectando cortando

}

{

puntos rayos

}

es igual a la razón doble de la cuaterna de

la anterio anterior r

{

desdeun punto por una recta

}

no

{

alineado concurrente

}

Razón doble de...

( ABCD )=

cuatro puntos:

cuatro rayos: (abcd )=

AC BC : AD BD

senac senbc : senad senbd

(αβγδ)=

cuatro planos de un haz (es la de sección recta):

sen sen ac senbc : sen sen ad senbd

Comparando esta sección recta abcd con otra oblicua a'b'c'd', ambas se cortan en una cuaterna de puntos ABCD situada en la intersección de sus planos, tenemos que:

(αβγδ)=( abcd )= )=(( ABCD)=( a ' b ' c ' d ' ) La razón doble de una haz de cuatro cuatr o planos es igual a la de puntos unarecta que resulta lta de cor cortar tarlo por rayos un plano concurrente con la arista. cualquiera no incidente

{

}

{

{

}

}

Concluimos: La razón doble de cuatro elementos de una figura de primera categoría es un invariante en toda transformación proyectiva de la misma.

Cuaterna Armónica: Se le llama a cuatro elementos cuya razón doble vale -1. 2 i. Razón doble con elementos impropios. ¿Qué ¿Qué suce sucede de si uno uno de los los punt puntos os,, A por por ejem ejempl plo, o, es impr improp opio io (dad (dado o que que las las ABCD )? demostraciones anteriores suponen propios los puntos ABCD)? AC sen sen ac VC , · = AD sen sen ad VD

BC senbc VC · = BD senbd VD

verificándose ahora (por el paralelismo entre a y la recta BD) VC senVDC senad = = VD sen VCD senac

(

)

sen n ac senad BD · · ( ABCD )= AC · BD = se AD BC

2

senad se sen n ac

BC

Se dice que AB esta armónicamente separado de XX' de XX' cuando cuando (ABXX')=-1. La separación armónica es reciproca, si ( ABXX')=-1, ( ABXX')=-1, (XX'AB) (XX'AB) =-1 por lo tanto se dice puede decir que XX' que XX' estan estan armonicamente separados de AB de AB..

Comp. de Geometría

7


Finalmente, Finalmente, la razón doble de cuatro puntos impropios es la razón doble de cuatro rayos proyecta proy ectantes ntes desd desde e un punto punto cualq cualquie uiera ra del plano, plano, defin definici ición ón indep independ endie iente nte del punto punto elegido elegido,, se conserv conservará ará la validez validez de la relació relación n (ABCD) cómo invariante métrico de la abcd por la recta impropia. proyectividad, aun en el caso en que se corte el haz abcd por ii. Propiedades: Si

( ABCD )=μ 1

( BADC )=( )=(CDAB )=( )=( CDAB)=( DCBA)=μ ( ACDB )=

1 1

( ABDC )= μ 1

( ADBC )=1− μ

−μ

1

( ADCB )= 1

− μ1

iii. Variación de la razón doble. Coordenadas proyectivas. Análo Análogo go al proced procedim imien iento to reali realizad zado o con con la razó razón n simple se determina:

μ=( XBCD )= XC : BC = XC · k XD BD

XD

Por Por lo que los los valore valores s de μ son los de la razón simple λ=( multiplicado por el factor k = BC : BD λ= ( XCD ) multiplicado , por ser BCD puntos fijos. La representación g r á f ic a de la f u nción

μ=λ k = c− x k , es la misma de la función d − x

λ=( λ= ( XCD )

pero con un cambio en el eje vertical. Análisis: Anál isis: Para Para Para Para Para

X ≡ B X ≡ C X→D X ≡ B' X → ∞

(BBCD) (BBCD ) = (BCD):(BCD (BCD) :(BCD)) = 1 (CBCD) (CBC D) = 0 (DBCD) → ±∞ (armónicam (armó nicament ente e separa se parado do de d e B respecto resp ecto CD) (B'BCD) (B'BC D) = -1 (∞BCD)=1: (∞BCD )=1:(BCD) (BCD)=(BCD =(BCD))

A cada valor x, abscisa absci sa del punto punt o X, correspo corr esponde nde un valor μ y, recíp r ecíproca rocament mente, e, a cada valor μ corresponde un valor λ=( XCD ) y por lo tanto tan to un valor valo r de x número núme ro indicado indi cadorr de la posición de X. Por lo tanto la razón doble (XBCD) puede servir como número indicador de la posición de X y se llama coordenada proyectiva proyectiva de X respecto a los tres puntos fijos BCD.

8. Proyectividad entre formas de primera categoría. Anteriormente vimos que para saber si dos figuras geometrías eran proyectivas entre sí debíamos determinar determinar si existía una sucesión de proyecciones proyecciones y/o secciones que pasáramos de una a otra. Chasles aplicando los invariantes metrícos metrícos vistos y analizados analizados anteriormente, planteo lo siguiente:

Comp. de Geometría

8


a. Definición de proyectividad según Chasles: “Dos “Dos formas formas de primer primera a catego categorí ría a son proye proyecti ctivas vas,, cuando cuando se corres correspon ponden den elem elemen ento to a elem elemen ento to de tal tal modo modo que que la razó razón n dobl doble e de cuat cuatro ro elem elemen ento tos s cualesquiera, tomados en una forma, es igual a la razón doble de sus homólogos en la otra.” A,B,C ,D,... .. de una serie son respectivamente homólogos Si los elementos A,B,C,D,. homólogos con los de otra D',. .. escribimos proyectiva con ella A', B', C', D',... ABCD... ⊼ A'B'C'D'. A'B'C 'D'... .. lo que se traduce, según Chasles, que son iguales las razones dobles de las cuaternas homólogas: ( AB C D ) = ( A ' B ' C ' D ' )

(AB CE)=( A'B' C'E')

Análogamente si la serie ABCDE... es proyectiva con el haz de rectas abcd... y con el haz de planos αβγδε ... ... escribimos: ABCD... ⊼ abcd... ⊼ αβγδε... (figuras de primera categoría) i. Teorema: Dos series o haces congruentes son proyectivos. ii. ¿Qué sucede si las series son impropias? §8.b .i: Razón doble dobl e con elementos eleme ntos impropios impro pios,, De la propiedad anterior y por lo visto en §8.b.i: resulta que: Dos series impropias son proyectivas entre sí cuando lo son los haces que las proyectan desde dos puntos propios cualesquiera. cualesquiera. Definición Definición independiente de los puntos elegidos por el paralelismo de los pares de haces proyectantes de una misma serie impropia. impropia . b. Teorema fundamental de la proyectividad Antes Antes de menci mencion onar ar el teorem teorema a debem debemos os menci menciona onarr cuándo cuándo dos dos formas formas de primer primera a categoría son superpuestas: base, en el en el caso de las series lo son cuando tienen la misma recta base, caso de dos haces de planos lo son cuando tienen la misma arista y en los haces de rectas si están situados en el mismo plano y tienen el mismo vértice. “Si “Si en una proyec proyectiv tivid idad ad (segú (según n Chasl Chasles es), ), entre entre dos formas formas de primer primera a categ categorí oría a superpuestas, tres elementos de una de ellas coinciden con sus homólogos en la otra, coinciden todos los restantes pares de puntos homólogos”

Comp. de Geometría

9


Demostración: ... ⊼ A´BĆ´DÉ´F´... coinciden A con A´, En la proyectividad: ABCDEF proyectividad: ABCDEF... A´, B con B´, C con C´ por lo tanto: (ABCD) = (A´BĆ´D´) = (ABCD´) Lo que exige que D D´ por no existir un punto que forme con otros tres una (§8.b. .b.ii iii: i: Vari ariaci ación ón de la razón razón dob doble le y coo coorde rdenad nadas as razón razó n dob doble le dete determin rminada ada (§8 proyecti proy ectiva). va). ≡

Análogamente E homólogos.

≡

E´, F

≡

F´,... Es decir coinciden todos los pares de puntos

c. Equivalencia de las definiciones de Chasles y Poncelet. “La conservación de la razón doble en las operaciones de proyectar y cortar, prueba que: Dos figuras proyectivas según Poncelet, lo son según Chasles. Recíprocamente demostraremos que: Dos series proyectivas, según Chasles, pueden obtenerse una de otra por una sucesión de proyecciones y secciones, es decir, son proyectivos, según Poncelet. Demostración: Supong Sup ongamo amos s las ser series ies cop coplan lanari arias as V (bastando, si no cumplieran la condición, proy pr oyec ectar tar un una a de el ella las s de desd sde e un pun punto to exterior a las dos sobre un plano que pase porr la ot po otra ra)) y ad adem emás ás no su supe perp rpues uesta tas s (bas (b asta tand ndo, o, en ca caso so de qu que e lo fu fuer eran an,, proy pr oyec ectar tar una de el ella las s so sobre bre ot otra ra re rect cta a coplan cop lanari aria). a). Sea Sean n esta estas s rec rectas tas ABC... y C'' B'' A'' A1B1C 1 ... y r y r 1 sus bases respectivas. Elijamos ahora en la recta AA1 dos puntos B' C' A' r cualesquiera V, V 1 y cortemos los haces proyectivos V 1(A1B1C 1...) ⊼ V(ABC...), por la recta r 2≡B 2C 2, siendo B 2 la intersección de VB y V 1B1, y el punto C 2 la intersección V' VC y A 2 la intersección de r 2 de VC y V 1C 1. Sea Sea A AA1. con AA con Las La s se secc ccio ione nes s de es esto tos s ha hace ces s co con n r 2 ser serán án dos ser series ies pro proyec yectiv tivas as (Chasles) con tres elementos A elementos A 2, B 2, C 2 coincidentes. Luego coincidirán todos los demás. Es decir, en la recta r 2 se cortarán los pares de rayos homólogos de los haces proyectivos V(ABC ...) y V 1(A1B1C 1 ...) , quedando de este modo enlazadas las la s se seri ries es da dadas das ABC ..., A1B1C 1 ... po porr un una a su suce cesi sión ón de pr proy oyec ecci cion ones es y secciones. secci ones. Así, proy proyectand ectando o ABC... desde V y co corta rtand ndo o po porr r 2 obtenemos A 2B 2C 2 ... y proyectando esta serie desde V 1 y cortando por r 1 obtendremos A1B1C 1 ... La demostración para haces de rectas o planos, puede siempre reducirse a la anterior, seccionando previamente cada haz por una recta. La equivalencia de ambas definiciones de proyectividad nos permite aplicarlas indistintamente para llevar, en cada momento, las deducciones por la vía más cómoda: d. Determinación de una proyectividad por tres pares de elementos homólogos. Una proyectividad entre dos formas de primera categoría queda definida dando tres pares de elementos3 homologos. 3

Destaquemos que utiliza la palabra elementos y no puntos.

Comp. de Geometría

10


Demostración: “Dado tres puntos de una serie A, B, C y otros tres homólogos homólogos A´, B´, C´ en la infinidad dad de maneras un conjunto de proyecciones y otra. Podemos hallar de infini secciones, es decir, una proyectividad (Poncelet) en la que sean homólogos ABC A´BĆ´.. Cu y A´BĆ´ Cual alq qui uier era a qu que e se sea a la su suce cesi sió ón de ope pera raci cio one nes s el eleg egiida, la correspondencia obtenida es la misma, pues todo nuevo punto X de la serie ABC... define una razón doble (XABC), y le ha de corresponder en la segunda serire el único punto X´ 4. Que forma con A´, B´, C´ una razón doble (XÁ´BĆ´) igual a la (XABC) (Chasles).” e. Nota Nota (Definición (Definición de Staudt): Staudt) : Otra forma de determinar la proyectividad es la presentada por Staudt, que cumple la Chasles) . particularidad de “unificar” las dos definiciones anteriormente citadas (Proncelet y Chasles). Esta definición se destaca por su aplicación dado que podría decirse que es un caso particular particular de la definición de Chasles, porque plantea la correspondencia correspondencia de razones dobles armónicas). Aplicand iguales a -1 (cuaternas armónicas). Aplicando o una propieda propiedad d de los cuadriverti cuadrivertices ces que 5 comprueba cuaternas armónicas atraves de simples condiciones condiciones de incidencia incidencia , simplicando el trabajo métrico de determinar si dos figuras de primera categoría son proyectivas. f. Grupo Proyectivo Aplicando cualquiera de las definiciones resulta: ▪ ▪

El producto de dos proyectividades es una proyectividad. La transformación inversa de una proyectividad es también proyectividad.

Por tanto: Todas las proyectividades entre formas de primera categoría forman grupo. Llamado grupo proyectivo6. En resumen: “La relación proyectiva es invariante respecto de todas las proyectividades.” Si dos dos seri series es son son proy proyec ecti tiva vas, s, sus sus trans transfo form rmad ados os medi mediant ante e cual cualqui quier er proy proyec ecti tivi vida dad d se corresponden con los primeros mediante otra proyectividad.

9. Proyectividad e Involución entre formas de primera categoría. a. Formas Perspectivas

Un a ser ie y u n ha z son perspectivos, perspectivos, cuando la serie es sección del haz.

4

5 6

Dos series son perspectivas, cuando ambas son secciones secciones de un mismo haz.

Dos haces son perspectivos, cu an do a mb os son proyecci proyecciones ones de una misma misma serie.

La unicidad de este punto fue tratada en §x Variación de la razón doble. Coordenada proyectiva. Anexo 5 : Obtención de cuaternas armónicas con el simple uso de regla. “Concepto de Grupo: cuando un conjunto de transformaciones es tal que contiene todas las transformaciones inversas y todas las transformaciones producto de dos cualesquiera de las del conjunto se dice que estas transformaciones “forman grupo”. Podemos pues resumir en el siguiente Ax. III 4-5: Los movimientos del plano forman grupo”. PUIG ADAM, P. (1970). Curso de Geometría Métrica. Tomo 1. Madrid: Editorial Euler. Pg 25.

Comp. de Geometría

11


Las rectas que unen puntos Los Los puntos puntos de inter intersec secció ción n homólogos se intercecan en de pares de rayos homólogos un punto punto V llamado centro está están n alin alinea eado dos s en el eje perspect pers pectivo ivo de las series. perspect pers pectivo. ivo.

pers pectivida ividad. d. La correspondencia entre formas perspectivas se llama perspect Según la definición de Poncelet, podemos decir: “Toda proyectividad es una producto de perspectividades.”

b. Relación entre Proyectividad y Perspectividad Perspectividad.. i. Teorema Dos Dos seri series es proy proyec ecti tiva vas s AB ABC. C... ..,, A'B' A'B'C' C'.. .... situa situadas das en bases bases disti distinta ntas s tales tales que un punto punt o común a ambas amba s bases base s es homólogo homó logo de sí mismo, doble A A', son perspectivas.

Dos haces haces proyec proyecti tivos vos abc... abc...,, a'b'c a'b'c'.. '.... de vérti vértices ces disti distinto ntos s tales tales que el rayo rayo a a' común a ambos haces es homólogo de sí mismo (doble), son perspectivos. ≡

≡

Demostración: Proyectando las dos series desde el punto V de intersección de BB' y CC' se obtienen dos haces proyectivos superpuestos con tres rayos dobles a, b, c y, por tanto, serán doble dobles s todos los demás, Teorema fundamental.

Demostración: Cortando ambos haces por la recta r que une los lo s pu punt ntos os bb bb'' y cc' se ob obtie tiene nen n do dos s se seri ries es proy pr oyec ecti tiva vas s su supe perp rpue uesta stas s co con n tr tres es pu punt ntos os dobles A, B, C y, por tanto, serán dobles todos los demás, Teorema fundamental . fundamental .

ii. Determinación Determinación de una perspectividad a partir de una proyectividad Da d a d os superpuestas:

se rie s

p r oye ct ivas

no

D ados dos superpuestos

hace s

proyectivos

no

ABCD... ABCD. .. ⊼ A'B'C'D'...

abcd... ⊼ a'b'c'd '... '...

los hace s que las p roye ct an r e s p e c t iv a m e n t e de sde dos p u n t os homólogos A, A' (tomados cada uno en la otra serie) son perspectivos. El eje e de esta esta pers perspe pect ctiv ivid idad ad es independiente del par de puntos homólogos proyecti ctivo vo de las elegi elegido dos s y se llama llama eje proye series dadas.

la s ser ies obtenidas, c or t á n d o l o s respectivamente por dos rayos homólogos a y a' (tomado cada uno en el otro haz) son perspectivos. El cent centro ro V de esta esta pers perspe pect ctiv ivid idad ad es independiente del para de rayos homólogos proyectivo de los elegidos y se llama centro proyectivo haces dados.

e

Fig. I

Comp. de Geometría

Fig. II

12


Demostración (teorema izquierdo) Demostración A(A'B'C'.. C'...) .) y A'(ABC A'(ABC...) ...) son proyectivos y tienen el rayo En efecto los haces A(A'B' común AA' homólogo de sí mismo. Por tanto, aplicando teorema anterior, queda demostrada la primera parte del teorema. Para hallar el punto homologo de uno C de la primera serie, basta proyectarlo sobre e el eje e y proyectar el punto obtenido desde A sobre la base de la desde A' sobr I) . Recíprocamente para hallar el homólogo de un punto de ésta. segunda serie (fig. I). Aplicando esta construcción al punto de intersección de las bases de las series ABC.... resulta como homólogo (realizando considerado como punto M de la serie ABC.. los pasos anteriormente descritos) el punto M' de intersección del eje con la base de la segunda serie y, análogamente, considerando el punto de intersección de ambas bases como punto N' de la segunda serie, resulta como homólogo el punto N de intersección de e con la primera serie. Si las series no son perspectivas , los puntos M' y N son distintos los cuales bastaran para determinar el eje, el cual es, por tanto, independiente del par de A y A' A' elegidos, puntos A puntos elegidos, demostrado de este modo la segunda parte del teorema. Si las series son perspectivas, perspectivas, es decir si son secciones de un mismo haz, e l eje M' que proyectivo pasa por el punto común a las dos series M M' que es doble y también por el punto de intersección de AB' y BA'. Tomando como nuevos vértices de proyección B y B', el eje ha de pasar por los dos mismo puntos, lo que demuestra que el teorema es cierto en todo caso. ≡

Demostración Demostraci ón (teorema derecho) Se demuestra correlativamente, aunque la ley de dualidad hace innecesaria la demostración. c. Puntos limites de dos series perspectivas. ¿Có ¿Cómo dete determ rmiinamo namos s los homó homólo logo gos s de punt puntos os impropios?. impropios? . En el caso en que los puntos impropios de dos series no son homólogos entre sí, cada uno de ellos tiene punt o un homólogo propio en la otra serie, que se llama punto límite de la misma. misma. Llamarem Llamaremos os L al punt punto o lími límite te de la primera serie (homólogo del punto impropio de la segunda) y K' al punto punto límit límite e de la segun segunda da serie serie (hom (homól ólog ogo o del impropio de la primera). En la figura se indica su construcción, mediante el eje proyectivo (método correlativo al visto anteriormente). Si expresamos la igualdad de las razones dobles formadas por estos dos pares de puntos y otros dos pares homólogos, se obtiene:

( LK ∞ AB )=( L ' ∞ K ' A ' B ' )

o sea

LA K ' B ' = LB K ' A '

de donde: LA · K ' A ' = LB · K ' B '

En dos series proyectivas con puntos límites el producto de distancias de dos puntos homólogos a los puntos límites respectivos respectivos es constante.

Comp. de Geometría

13


d. Construcción de perspectividad en formas superpuesta superpuestas. s. ABC. .. y A'B'C'... A'B'C '... son Si ABC... son dos dos seri series es proyecti proyectivas vas superpues superpuestas, tas, proyectan proyectandol dolas as desde dos puntos situados situados fuera de su base, se obtien tiene e dos haces aces proy royectiv tivos no superp superpues uestos tos.. A los los cuale cuales s se les les puede puede aplicar las construcciones de la derecha del epígrafe 11.b.ii.

Si abc... y a'b'c'... son dos haces proyecti proyectivos vos superpues superpuestos, tos, cortándo cortándolos los por dos dos rec rectas tas que que no pase pasen n por por su vért vértic ice e común, obtendremos dos series proyectivas no superpuestas, a las que puede aplicarse las las cons constr truc ucci cion ones es de la izqu izquiierd erda del del epígrafe 11.b.ii.

e. Involución i. Definición: Una proyectividad entre series superpuestas en la cual todos los puntos se corresponden corresponden doblemente se llama involución. ii. Teorema: Si en una proye proyecti ctivid vidad ad entre entre dos forma formas s de primer primera a catego categoría ría superp superpues uestas tas,, dos 7 eleme elemento ntos s homól homólogo ogos s AA AA'' se corres correspon ponden den doble doblemen mente te , se corres correspon ponden den asimi asimismo smo doblemente los restantes puntos homólogos. Demostración: La razón doble AA'XX' for formada mada con A, A' y ot otro ro par de pun punto tos s ho homó mólo logo gos s cualesquiera X, X', es igual a la que resulta de permutar A y A' y también X y X' (§8.b.ii Propiedades de razones dobles). (AA'XX')=(A'AX'X) A'AX',, el lo que demuestra, que en la proyectividad definida por las ternas AA'X ⊼ A'AX' punto homólogo de X', como perteneciente a la primera forma, es X, y, por tanto, todos los puntos homól homólogos ogos se correspo corresponden nden dobleme doblemente. nte. El razonami razonamiento ento es general lo mismo para series que para haces. Tal proyectivida d se llama involución. iii. Teorema: Si una involución tiene dos puntos dobles M y N, la razón doble formada por dos puntos homólogos cualesquiera A y A' y los puntos dobles M y N (característica), vale -1. Reciproco : Los pares de puntos AA', BB', … armónicamente seprados por dos puntos fijos MN forman una involución cuyos puntos dobles son MN.

f. Ejemplos métricos: La semejanza, la congruencia y las simetrías como casos particulares de proyectividades. i. Series Semejantes y Congruentes: Dos Dos seri series es proy proyec ecti tiva vas s en las las que que son son homó homólo logo gos s los los punt puntos os impr improp opio ios s LL', LL', son son semejantes.

7

Corresponden doblemente: AA'...

Comp. de Geometría

⊼

A'A....

14


Formando cuaterna con estos puntos y otros tres homólogos, resulta: ( AL∞ BC )=( )=( A ' L ' ∞ B ' C ' ) o sea ( ABC )=( A ' B ' C ' ) es dec decir ir,,

AB A' B' = AC A ' C '

segmentos homólogos

lo qu que e pr prue ueba ba la pr prop opor orci cion onal alid idad ad de lo los s pa pare res s de AB AC = = razón de semejanza. A ' B ' A ' C '

Si además de corresponderse los puntos impropios de dos series proyectivas, proyectivas, son iguales dos dos segm segmen ento tos s homó homólo logo gos s AB = A'B' A'B',, las las seri series es son son cong congru ruen ente tes. s. Pues Puesto to que que son son semejantes y la razón de semejanza es igual 1. Reciproco: Toda semejanza (y en particular toda congruencia) es una proyectividad. Por conservar las razones simples y por tanto, las dobles. Homotecia Toda proyectividad con un punto doble impropio y otro propio M, es una homotecia de centro M.

( MAB)=( MA ' B ' )

por lo que q ue

MA MA ' = MB MB '

ii. Series Simétricas. Dos series en involución cuyos puntos dobles son uno propio O y otro impropio, son simétricas respecto del punto O. Por ser una involución con dos puntos dobles, se tiene (OL AA') = -1 - 1 se s e desp desprend rende e OA:OA' = -1, OA = -OA'. ∞

Reciproco: Toda simetría es una involución cuyos puntos dobles son el centro y el punto impropio.

10. Invariantes métricos en formas de segunda categoría. Así como Así como vimo vimos s que que la razón razón dobl doble e es un invari invariant ante e métri métrico co en form formas as de prime primera ra categoría, ahora veremos cómo trasponer lo visto a las figuras de segunda categoría, y de este modo ir armando la teoría métrica de la proyectividad. Proyectemos una terna PAB desde un punto V no alineado con ella y expresemos la razón simple ( PAB) en función de los ángulos del haz: PA sen pa VA · = PB sen pb VB

Multi Multipli plica cando ndo por por la razón razón simpl simple e

MB senmb VB · = MA senma VA

[1]

form formad ada a por por un nuev nuevo o punt punto o M,

obtenemos el invariante “razón doble” PA MB PA MA · = : =( PMAB ) PB MA PB PB

Comp. de Geometría

15

(sin razones de distancia a V)


Apliquemos la misma idea con tres razones simples: MB senmb VB · , [2] = MC se sen n mc VC

NC sennc VC · = [3] NA sen sen na VB

que que cump cumpla lan n la cond condic ició ión n que que el extr extrem emo o que que está está en el denominador de cada razón se halla en el numerador de la siguiente, para si al multiplicar [1], [2] y [3] simplificamos las razones de distancia a V y obtenemos un nuevo invariante proyectivo 8:

ν=

PA MB NC sen pa senmb sen sen nc = · · · · PB MC NA sen pb senmc sen sen na

A, o a los seis rayos apbmcna. aplicable aplicable a seis puntos APBMCN puntos APBMCNA, “El producto de tres razones en cadena es un invariante proyectivo de las formas planas plana s o radiad r adiadas, as, es e s decir, deci r, un valor va lor que se s e conserva cons erva al proyectar pr oyectarlas las o cortarlas cortar las 9 sucesivamente.”

11. Valores Valores particulares de los invariantes métrico-proyectivos. A modo de ir aproximando a las aplicaciones y alcance de la utilización de invariantes eoremas s de Ceva Ceva y metrícos-proyecti metrícos-proyectivos vos analizados analizados anteriormente, anteriormente, se presentaran los Teorema Menelao. Menelao. Se invita al lector a continuar su análisis con la aplicación métrica de los teoremas de Menelao y de Ceva respeto a los puntos notables de un triangulo. a. Teorema de Ceva ”La condición necesaria y suficiente para que sean concurrentes las rectas que unen los vértices A, B, C de un triángulo respectivamente con tres puntos M, N, P situados en los lados opuestos, es que el producto de las tres razones simples en cadena (PAB)·(MBC)·(NCA) valga -1”. Demostración (directo) ABC ubico Sobre el plano de un triángul triángulo o ABC ubico un punto D no situado en ningún lado, desde el cual proyecto los vértices. Sean M, N y P las intersec inte rseccio ciones nes de las pro proyecc yeccion iones es sob sobre re los lados BC, AC y AB respectivamente. Apliquemos Aplique mos el invariante de segunda categor categoría ía Fig. II Fig. I defin de finid ido o por lo los s sei seis s pun puntos tos APBMCN APBMCN vi visto sto V el anteriormente, tomando como vértice V el punto D: C

B

PA MB NC se sen n PDA sen MDB senNDC · · · · = =−1 PB MC NA se sen n PDB senMDC senNDA

ν= por ser: 8 9

La característica de los invariantes es su independencia con la distancia al centro de proyección, en otras palabras no depender de la recta que secciona el haz. P. Puig Adam. “Curso de geometría métrica” Tomo II Complementos; Biblioteca Matemática S.L. Ediciones; Madrid: 1975; Pag. 114

Comp. de Geometría

16


I: ▪ opuestos por el vértice en la Figura I: ̂ =− MDC ̂ ̂ ̂ =− PDB ̂ =− NDA ̂ , MDB , NDC PDA II: ▪ suplementarios y opuestos por el vértice en la Figura II: ̂ =180º − MDC ̂ ̂ ̂ =180º − PDB ̂ =− NDA ̂ , MDB , NDC PDA (análogamente para otras posiciones de D). Demostración (reciproco) AB que dé para Dado los punto M y N no hay más que un punto P sobre sobre AB proyectivas). s). valor -1 (Coordenadas proyectiva

ν

el

Si proyectamos los seis puntos A, P, B, M, C, N desde un punto V situado fuera de su plano plano,, obten obtendr dremo emos s seis seis rectas rectas de una radia radiació ción n a , p , b , m , c , n cuyo invarian invariante te sen pa senmb sen sen nc · · sen pb sen sen mc senna

es igual al anterior en virtud de lo visto en §8.b: Invariantes métricos

en formas de segunda categoría, permitiéndonos afirmar que: “la condición necesaria y suficiente suficiente para que concurran en una recta los planos que unen las aristas a, b, c de un triedro con los opuestos, es que se verifique: sen pa senmb sen sen nc · · =−1 sen pb sen sen mc senna

i. Alcance del Teorema de Ceva: Debido a su independencia con la medida del vértice V a los puntos proyecta proy ectantes ntes podemos pode mos traspone tras ponerr la conclusió conc lusión n a la Geome G eometría tría esférica esfé rica (cota (cotando ndo la radia radiaci ción ón por una superf superfic icie ie esfér esféric ica) a) susti sustituy tuyend endo o el concepto de recta por circunferencia máxima y los segmentos por los senos de las distancias esféricas 10 . Invito hacer una paréntesis en el desarrollo del tema para reflexionar sobre la anterior conclusión, dado que nos hacer ver frente a qué propiedades (invariantes) estamos trabajando, dado que así como puedo cortar la radiación por una superficie esfé es féri rica ca ta tamb mbié ién n po podr dría ía ha hace cerl rlo o po porr un una a co corr rrug ugad ada a o un unas as pa pare rede des s de un una a habitación como mas adelante cuando veamos las aplicaciones de la Geometría Proyectiva desarrollaremos con el estudio de las Anamorfosis; y en todos estos casos obtendremos figuras que tienen razones en común.

b. Teorema de Menelao “La “La cond condic ició ión n nece necesa sari ria a y sufi sufici cien ente te para para que que esté estén n alin alinea eado dos s los los punt puntos os M, N, P respecti respectivame vamente nte situados situados en las rectas rectas de los lados BC, CA, y AB de un triangulo triangulo ABC es que el producto de las tres razones en cadena (PAB)·(MBC)·(NCA) valga +1.” (directo):: Demostración (directo) Supongamos los puntos M, N, P pertenecientes a una recta, sobre la cual se ubica el vértice V de proyección (distinto de M, N, P). situado situ ado fuera de los segmentos segmentos prop propios ios11 determinados por dichos puntos. invar varia iante nte mét métric rico o de seg segund unda a cat catego egoría ría Aplicand Apli cando o el in tendremos: 10 Anexo 6: Definición de triangulo esférico. 11 Anexo 3: 3: Propiedades de orden y separación.

Comp. de Geometría

17


PA MB NC sen PVA sen sen MVB MVB senNVC · · · · = =+ 1 PB MC NA sen PVB sen MVC sen NVA

ν=

por reducirse cada denominador con el numerador siguiente: PA MB NC · · =+ 1 PB MC NA

(reciproco):: Demostración (reciproco) Dado M y N no hay más que un punto P en el lado AB lado AB que dé para ν el valor +1. i. Alcance del Teorema de Menelao: Proyectando desde un nuevo punto V exterior al plano y invariante nte para figuras figuras de segunda segunda categoría, categoría, aplicand aplicando o el invaria resulta el Teorema Teorema análogo en la radiación, radiación, o el equivalente en la Geom Geomet etrí ría a esfé esféri rica ca (rea (reali liza zand ndo o las las sust sustit ituc ucio ione nes s de 12 conceptos mencionadas anteriormente).

c. Generalización: Teorema de Carnot Generalizando Generalizando la idea pueden hallarse “invariantes métrico-proyec métrico-proyectivos tivos de 3, 4, …, n razones tomando ternas alabeadas en cadena en espacios de 3, 4, …, n dimensiones. dimensiones. Los Los prod produc ucto tos s de esta estas s razo razone nes s será serán n igua igualm lmen ente te inva invari rian ante tes s resp respec ecto to de las las colineaciones en dichos espacios. Los valores particulares de estos invariantes darán lugar a teoremas análogos a los de Menelao y de Ceva” 13: Teorema de Carnot “El producto de las razones simples en cadena de las ternas formadas por los vértices de cada lado de un polígono plano o alabeado y sus intersecciones con una recta o con un plano vale la unidad.”

12. Proyectividad entre formas de segunda y tercera categoría a. Formas planas homográficas “Diremos “Diremos que dos figuras planas son homográfi homográficas cas cuando se correspon corresponden den punto a punto punt o y recta rect a a recta, rect a, de tal modo que a todo tod o punto punt o y recta rect a incidente incid entes s en una de las figuras figu ras 14 correspondan un punto y una recta incidentes en la otra.” Teorema: En dos figuras planas homograficas, homograficas, a una serie de puntos (haz de rectas) de una de ellas le corresponde otra serie (haz) proyectiva con la primera en la otra. Demostración: Por definición a puntos alineados (rectas concurrentes) de una de las figuras corresponde puntos alineados (rectas concurrentes) en la otra. Si definimos en 12 13 14

Precisamente Menelao demostró su teorema para aplicarlo en triángulos esféricos. P. Puig Adam. “Curso de geometría métrica” Tomo II Complementos; Biblioteca Matemática S.L. Ediciones; Madrid: 1975; pg 125. Puig Adam. “Curso de geometría métrica” Tomo II Complementos, Editor: Biblioteca Matemática S.L.; Madrid: 1975, Pág.:160

Comp. de Geometría

18


una de las figuras una cuaterna armónica mediante un cuadrivértice, en la otra quedara definido el cuadrivérti cuadrivértice ce homologo y, por tanto, una cuaterna armónica. Al existir correspondencia correspondencia en las figuras armónicas podemos afirmar (Staudt) que las series (haces) homólogas son proyectivas. Consecuencia Consecuencia del teorema: En dos figuras planas homográficas se conservan las razones dobles.

El ejemplo más sencillo de formas planas homogr homografic aficas as lo constitu constituyen yen dos seccion secciones es planas de una misma radiación y se llaman perspect pers pectivas. ivas. Los puntos (rectas) homólogos son los de intersección de una misma recta (plano) de la radiación por los dos planos.

El ejem ejempl plo o más senc encillo de form formas as radiadas radiadas homogr homográfic áficas as lo constitu constituyen yen dos radi radiac acio ione nes s proy proyec ecta tant ntes es de una una mism misma a forma plana, y se llaman asimismo perspect pers pectivas. ivas. Los rayos (planos) homólogos son son los los proyec proyectan tantes tes de un mism mismo o punto punto (recta) de la forma plana proyectada.

Otros ejemplos de transformaciones homográficas son: la traslación, las simetrías, el giro, la homotecia, así como la homología y, su caso particular, la afinidad, que se estudiaran a continuación. b. Grupo de las homografía. De la definición se concluye: ▪ La transformación inversa de una homografía es homografía. ▪ El producto de dos homografías es otra homografía. ▪ La identidad es una homografía. Por lo tanto: Todas las homografías entre formas planas o radiadas forman grupo. c. Propiedades de las homología. Dos formas planas perspectivas es decir, secciones de una misma radiación, se llaman también homológicas y cumplen: 1.La pareja de puntos homológicos A y A', B y B', … están alienados con otro punto fijo O, llamado centro de homología. 2.Las 2. Las parejas pare jas de rectas rect as homologa homo logas s r y r', s y s', … se cortan cort an en puntos punt os pertenec pert enecient ientes es a una recta fija e, llamada eje de homología.

Comp. de Geometría

19


d. Teorema de las tres homologías “Dos figuras φ' y φ'' no coplanarias, coplanarias, homologicas homologicas de una tercera tercera φ respecto de de un mismo eje e de homología y de dos centros distintos O' y O'' son homológicas entre sí respecto del mismo eje e y de centro O alienado con O' y O''.” Demostración: φ' y φ'' En la correspondencia resultante entre son dobles todos los puntos del eje e, por lo que esta correspondencia es una homología. homología. Dado que el plano AA'A'' plano AA'A'' determi determinado nado por un punto cualquiera A de φ y sus homologos A'A'' contiene O' y O' y O'' (situados respectivamente en AA' y AA''), la recta A'A'' de este plano corta la O'O''. Pues al se Pues serr co copl plan anar aria ias s do dos s re rect ctas as ho homó mólo loga gas s A'A'',, B'B'' cualesquiera, los son también las rectas A'A'' que unen los pares de puntos homólogos situados en ell ellas, as, de do donde nde se de despr sprend ende e qu que e to toda das s las B'B'',... ,... qu rectas A'A'', B'B'' que e un unen en pa pare res s de pu punt ntos os homólogos se cortan entre si y con O'O''. Y como todas no son coplanarias, pasan forzosamente por un el punto de intersección de A'A'' con O'O'', llamado O (centro de la homología φ' φ''). φ'') . e. Determinación de una homología. Una homología queda determinada dando: ▪ El centro, el eje y un par de puntos homólogos A, A'. A' con Pues uniendo A uniendo A y A' con puntos del eje, se obtiene cuantas rectas rr' ho homó mólo loga gas s se des desee, ee, y so sobre bre ell ellas, as, cu cuant antos os puntos homólogos BB' … hagan falta, alineándolos con O. ▪ El centro, el eje y un par de rectas homólogicas. ▪ Dos triángulos homológicos, Pues los vértices homólogos homólogos estén alineado alineados s con un punto O y sus lados homólogos se corten en puntos de una recta. ▪ El centro, el eje y una recta limite.

i. Rectas Limites de una homología. Se le llama rectas limites de una homología a las rectas homologas de la recta impropia de plano,considerada como de una y otra figura. Propiedades: ▪ Las rectas límites son paralelas al eje. Dado que han de concurrir en él con la recta impropia. l lo mismo que dista el eje de la otra k´ ▪ El centro dista de una recta límite l lo ▪ El conocimiento de una recta límite equivale al de dos rectas homólogas. En la figura se muestra la construcción de estas rectas límites en una homología entre formas planas superpuestas: Sea la homología que se muestra en la figura, definida por su centro O, el eje e y un par de punto homólogos A y A'. Uniendo un punto R del eje con A y A' se r y obtienen dos rectas homólogas r y r'. El punto K', homologico del punto K impropio r' y K' es de la recta r, debe pertenecer a r' y estar alineado con O y K , por lo tanto, K' es el ∞

∞

Comp. de Geometría

20


y la paralela a r r por punto de intersección de r' y la por O. Del mismo mismo mo modo do,, el pun punto to L, homol homológico ógico de L' impropio de la recta r', será la intersección de r con la paralela por O a r'. K' son, Las paralelas al eje por L y K' son, respectivamente, las l y k' buscadas. rectas límites l y k' buscadas.

∞

f. Homologías y homografías particulares. Aplicaciones. Aplicaciones. i. Eje impropio Los pun puntos tos donde se debe eben cort corta ar las parej areja as de recta ectas s homoló homológic gicas as son impropi impropios, os, por lo que éstas éstas son paralelas. paralelas. Esta condición convierte a la homología en una homotecia de centro O y razón: OA ' OB ' OC ' = = =k OA OB OC

Si k = -1 resulta una simetría central. ii. Centro impropio El punto de concurrencia de los rayos de homología es un punto del infinito, por lo que son paralelos. A este caso particular, llamado homología afín o, simplemente afinidad lo desarrollaremos a continuación. iii. Centro y eje impropios Por una parte, los rayos de homología serán paralelos y por otra las las pare pareja jas s de rec rectas tas homo homoló lóg gicas icas tamb tambié ién n lo será serán. n. Es Esta tas s características características convierten a esta homología en una traslación traslación cuya dirección es la de escape del punto O par hacerse impropio. Nota: giros. “Un giro en el plano (y en general una congruencia) que no sea traslación ni simetría, no es caso particular de la homología por no existir en él serie doble ni haz doble alguno. No hay en él más que un punto doble real que es el centro del giro.” 15 g. Homología afín. Como vimos anteriormente, esta transformación es un caso límite de homología, cuando el centro es impropio y el eje propio. Por tanto, las condiciones que se cumplen en la afinidad son: ▪ Las parejas de puntos afines AA', BB', … se hallan sobre rectas paralelas entre sí y paralelas a una dirección determinada, llamada dirección de afinidad. ▪ Las parejas de rectas r y r', s y s', … se cortan en puntos que pertenecen a una recta fija, llamada eje de afinidad.

15

Puig Adam, Curso de Geometría Tomo II, pg. 167

Comp. de Geometría

21


Ejemplo: A'B'C 'D' En la figura al cuadrilátero ABCD le corresponde el A'B'C'D' en una afinidad de eje e y dirección d . Como se muestra en la figura se mantienen las condiciones de la homología, excepto que que el haz haz de rayo rayos s conc concur urre re,, en este este caso caso,, en un punt punto o impropio en la dirección d.

i. Rectas limites En la afinidad los únicos puntos dobles son los del eje. Los afines de los puntos impropios también están en el infinito. Por esta causa, en la afinidad no se toman en consideración consideración las rectas límites que son dobles (ambas impropias). ii. Determinación Una afinidad queda definida dando el eje y un par de puntos homólogos, puesto que éstos determinan la dirección del centro o de afinidad. iii. Razón de afinidad En una afinidad, donde su dirección no coincide con la del eje, la característica o razón doble (AA'OA e ) determinada por un par de puntos homólogos cualesquiera AA', el centro y el eje, se reduce a la razón simple de la distancia del eje a cada par de puntos homologos, tomados en la dirección de la misma: A e A ' =k A e A

k una constante llamada razón de afinidad. Siendo k una Observación: k es positivo, una pareja de elementos afines: puntos, segmentos, o ▪ Si el valor de k es figuras, se hallan en el mismo semiplano respecto del eje. k es negativo cada elemento esta situado a distinto semiplano de su afín ▪ Si el valor de k es respecto del eje. ▪ Si la dirección de afinidad y el eje son perpendiculares se dice que la afinidad es =− A e A y en este caso la afinidad ortogonal. En este caso si k =-1 k =-1 se cumple que: A e A ' =− axial cuyo eje es el de afinidad. (en el caso de no ser ortogonal se es una simetría axial cuyo obtiene una simetría oblicua). Cayley exclamó “Proyective Geometry is all Geometry” Una Un a de la las s pr preg egun unta tas s qu que e an anot ote e al co come menz nzar ar es este te tr trab abaj ajo, o, en ma marc rco o de investigación podría decir que fue mi pregunta inicial, es ¿porque se dice que la geometrí geom etría a proy proyecti ectiva va es toda la geom geometría etría?. ?. Y ahor ahora a estoy en cond condici iciones ones de comprender, dado que todas las transformaciones geométricas planas estudiadas en cur curso sos s de geo geomet metría ría mé métri trica, ca, son cas casos os par parti ticul culare ares s de la tra transf nsfor ormac mación ión homográfica. En otras palabras: “la Geometría métrica plana, es decir, la Geometría que estudia las propiedades invariantes en estas transformaciones, aparece así como un capítulo de la Geometría proyectiva plana.” 16

16

Puig Adam, Curso de Geometría Tomo II, décima edición 1975; pg. 168

Comp. de Geometría

22


h. Abatimientos Abatimientos de figuras planas a través de la homología afín. A continu continuació ación n desarro desarrolla llaremo remos s una operació operación n que proporci proporciono ono soluci solución ón a distint distintos os problemas métricos en los variados sistemas de representación, que es el abatimiento de o de d e dibujo di bujo.. Veamos Veam os alguno a lgunos s ejemplo ej emplos: s: una figura plana sobre el plan el plano i. Abatimiento Abatimiento de una figura plana dada por su proyecci proyección ón ortogonal. π el plano de dibujo y α un α un plano secante, del que conocemos su traza t sobre t sobre π y un Sea π el P' y la cota o distancia PP'. punto P definido por su proyección ortogonal P' y Supongamos trazada en α un figura φ de la que conocemos su proyección ortogonal φ' sobre el plano del dibujo y queremos saber la verdadera magnitud de φ. Abatim Abatimos os el plano plano α sobre π , lo que significa significa girar α alred alrededo edorr de su traza traza t π (se suele elegir el hasta superponerlo con π (se sentido que más convenga). La figura φ se convierte en φ1 de modo que cada par de puntos homólogos A (original) y A1 (abatido) e st á n en u na re ct a perpendi perpendicula cularr al plano bisector bisector del diedro diedro descr scrito en el aba abatim timiento ento.. Como Como la dire direcc cció ión n de esta esta perp perpen endi dicu cula larr es fija fija,, podemos afirmar: Entre la figura original φ y su abatimiento φ 1 existe una homología afín de eje t y de dirección normal al eje. Además: Entre la figura figura original φ y su proyección proyección ortogonal φ' existe asimism asimismo o una homología afín de eje t y de dirección normal al eje. dado que estam estamos os bajo bajo las hipótes hipótesis is del teorema teorema de las tres Por lo tanto concluimo concluimos s dado homologías que: Existe una homología afín17 de eje t y t y dirección perpendicular a él entre φ' (conocida) φ' (conocida) y φ1 (incógnita del problema). Por lo que para resolver el problema necesitaremos dos puntos homólogos en esta afinidad. Resolución geométrica del problema: Construyo el triángulo PP'Q (PQ perpendicular a t) del que se PP'' (cota) y llevando la hipotenusa QPQ conoce los catetos P'Q y PP sobre la perpendicular a t por Q en el sentido indicado por el abatimiento. Ubicados los dos puntos homologos P' y P1 , la construcción de la figura φ1 es inmediata. En la figura están detallados todos los trazados necesarios para hacerlos.

Observaciones: ▪ También puede aplicarse la homología afín en problemas inversos donde la incógnita sea la proyección ortogonal φ', conociendo el abatimiento φ1. 17

La homología es afín dado que el centro esta alineado con los otros dos impropios, por lo que sera también impropio.

Comp. de Geometría

23


▪ Análogamente procederíamos si la proyección fuese oblicua. ii. Abatimiento Abatimiento de una figura plana dada por su proyección central. A conti continua nuació ción n resol resolve verem remos os un probl problema ema corre correla lativ tivo o al anteri anterior or donde donde en lugar lugar de conocer conocer su proyecci proyección ón ortogon ortogonal, al, conocere conoceremos mos su proyecci proyección ón central central φ1 de la figura φ situada en un plano α , desde un centro O, sobre el plan plano o del dibu dibujjo π (ver (verti tica call en la figu figura ra). ). Conociendo la posición de O respecto de π por su proyecci proyección ón ortogon ortogonal al O' y su dist distan anci cia a OO'. También conocemos t la traza de α y l' la traza del plano paralelo a α por O, es decir, la proyección sobre π de la recta del infinito del plano α o lugar de las proyecciones de todos sus puntos impropios. Por lo tanto de modo indirecto queda determinado α (paralelo Ol' por Ol' por t). t) . el plano α (paralelo En la practica la recta límite l', se le llama linea de fuga del plano α , porque en ella concurren las imágenes (sobre π ) de todos los sistemas de rectas paralelas del plano α . Para determinar esta recta punt os de fuga, fug a, que son alcanza con conocer dos puntos la intersección de las imágenes de dos pares de rectas paralelas de figura φ. Volvi olvien endo do con con el prob proble lema ma plan plante tead ado, o, para para averiguar la verdadera forma de φ, abatiremos el α sobre π , teniendo en cuenta que: plano α sobre Entre φ y su abatimiento φ 1 existe una homología afín de eje t y su dirección perpendicular al plano bisector del diedro descrito en el abatimiento. Ademas: Entre φ y φ y φ' existe exist e una un a homolo ho mología gía de centro cent ro O, O , eje e je t y recta rec ta límite límit e l'. Por lo tanto aplicando el teorema de las tres homologias, resluta: Entre φ' y φ 1 existe una homología de eje t cuyo centro es el punto O1 situado en una paralela para lela por O a la direcc d irección ión de afini a finidad, dad, es decir, d ecir, en una perpendi perp endicula cularr al eje t, y por lo tanto t anto a la línea de fuga l' y a una distancia QO1 de ella igual a QO hipotenusa del triángulo rectángulo OO'Q del que se conocen los catetos O'O y O'Q (quedando determinado el centro de la homología O1 ). φ' y φ1 y la recta límite l', tenemos todos Conocido el centro y el eje de la homología entre φ' y φ' y así determinar la verdadera forma los elementos necesarios para construir φ1 conocida φ' y de una figura plana φ conociendo su proyección cónica sobre el plano π . Si pensamos en el problema inverso al anterior, dicha homología nos permite determinar φ' conocida φ1, es deci decirr, cons constr trui uirr la pers perspe pect ctiv iva a de una una figu figura ra plan plana a cono conoci cida da,, o si prev er el efecto efec to visual visua l de una forma ideada idea da en pensamos pensamos en una aplicaci aplicación ón plástica plástica,, prever 18 proyecto proy ectos, s, como Anamo rfosis is que desarrol como es el caso caso de las las Anamorfos desarrollare laremos mos en el siguien siguiente te epígrafe. 18

Es un efecto efecto perspectivo perspectivo utilizado utilizado en arte para forzar forzar al observador observador a un determinado determinado punto de vista vista preestabl preestablecid ecido o o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara. La anamorfosis fue un método descrito en los estudios de Piero della Francesca sobre perspectiva. (Wikipedia)

Comp. de Geometría

24


13. Aplicaciones técnicas Continuado con las aplicaciones técnicas que proporciona el estudio de la Geometría Proyectiva podemos mencionar: ▪ Siste Sistema ma de repres represent entaci ación ón de Monge en sist sistem emas as diéd diédri rico cos s orto ortogo gona nall (for (forma ma repres represent entati ativa va para para la Geomet Geometrí ría a eucli euclidi diana ana del espac espacio io). ). En mi caso caso visto visto en Matemática C de C de sexto año del plan 76 y actualmente se encuentra en Matemática IV de sexto año opción Matemática-Diseño, bajo el nombre de Geometría Descriptiva. ▪ También podemos nombrar el sistema de proyección acotada o planos acotados, usada para representar gráficamente objetos irregulares como por ejemplo relieves utilizado en Topografía. Es una proyección proyección ortogonal ortogonal sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyección.

▪ También debemos destacar, como mencionamos anteriormente, las aplicaciones que proporciona a las artes plásticas como es la realización de anamorfosis.

Comp. de Geometría

25


a. Anamorfosis i. Aspectos históricos de las Anamorfosis. Tiene su comienzo en el Renacimiento, dentro de la disciplina de la Geometría Proyectiva, considerada como una “forma curiosa de perspectiva”. Fue practicada durante siglos e incluso, se impartió en las escuelas de artes en Europa entre los siglos XVI y XIX, para después caer en desuso hasta casi desaparecer en la enseñanza de Bellas Artes. Por tanto, es una técnica bastante desconocida en la actualidad. Uno de los primeros en hablar de anamorfosis fue Leonardo Da Vinci en el Codex Atlanticus,19 donde realizó dibujos simples de un ojo humano y el rostro de un niño aplicando esta técnica. Estos dibujos aparecen estirados en dirección horizontal, de tal modo que vistos frontalmente son casi irreconocibles, pero colocados en la posición correcta (muy sesgada, viendo la hoja casi de lado o de canto) se recompone, de manera que aparecen los dibujos del rostro y el ojo con sus correctas proporciones.

Otra obra famosa por la utilización de esta técnica es “Los Embajadores” (1533) de Hans Holbein el Joven donde con gran calidad pictórica se observa la anamorfosis de una calavera que aparece a los pies de los mismos,. Podemos revertir esa deformación, observándola desde el lateral izquierdo inferior (punto de visión y de fuga).

19

Lenoardo Da Vinci: “La anamorfosis”, en Códex Atlánticus (1483-1518). El Codex Atlanticus es una recopilación de más de 2.500 hojas de dibujos dibujos de temas variados variados (anatomía, geometría geometría y otros), así como de diseños de proyectos. proyectos.

Comp. de Geometría

26


En la actualidad, las anamorfosis son usadas por artistas plasticos en la realización de pinturas callejeras, como es el caso de Julian Beever, un artista británico que se dedica a pint pintar ar con con tiza tizas, s, quie quien n se hizo hizo reco recono noci cido do a nive nivell mund mundia iall por por cade cadena nas s de corr correo eos s electrónicos con imágenes de sus obras anamórficas, como las siguientes:

[Invito al lector a buscar más imágenes de este artista en Internet.]

Comp. de Geometría

27


ii. El primer paso Cuál es el truco, cómo se hace, si la hubiera: qué proyección hace que sea posible esta ilusión... estas son algunas de las preguntas que supongo nos hacemos al ver este tipo de obras. Pero primero respondamos qué son: “La anamorfosis es la representación de figuras realizadas con una perspectiva determinada que deforma extremadamente los objetos; sin embargo, éstos, vistos desde el punto de fuga que converge en la visión, se recomponen de forma que parecen elevarse en el aire dando la sensación de realidad (3D)” 20 iii. Método: la perspectiva invertida En el Renacimiento Alberti formula teóricamente la perspectiva cónica 21 donde obtiene la tercera dimensión sobre dos dimensiones, haciendo que toda las líneas paralelas al plano de tierra (suelo) convergen en la lejanía en su punto su punto de fuga que va a parar al horizonte. La figura de la izquierda es una representación del siglo XII que carece de perspectiva cónica, por ende de punto de fuga, fuga, causando que no exista proporción entre el tamaño de los guerreros y el castillo, como tampoco en la relación que establece la lejanía donde los barcos situados en la zona superior del cuadro (que se supone se hallan más más lejo lejos s en el hori horizo zonte nte)) son son tan tan grand grandes es como como los los situados en primer término.

En la actu actual alid idad ad lo norm normal al en la pers perspe pect ctiv iva a proyectada en un p lano bidimensional por lo que los objetos se empe empequ queñe eñezc zcan an confo conform rme e se alej alejan an,, mante manteni niend endo o constante los invariantes métricos desarrollados.

Figuras:: Modo de aplicar la técnica desarrollada por Alberti. Figuras

En las anamorfosi anamorfosis s sucede sucede lo contrario los objetos representados representados se agrandan agrandan conforme conforme se alejan, pero de tal forma forma que al invertírse las proporciones, la la sensación que percibimos percibimos es que emergen (o hunden) del suelo, dando la sensación de tridimensionalidad. punto de fuga fu ga invertido” y invertido” y en que “...vistos La explicación esta fundamentada en el “ punto “...vistos desde el punto de fuga que converge en la visión, ...” en ...” en vez de fugar hacia el horizonte en un punto que coincide con la altura del espectador, fuga hacia nuestros ojos. 20 Marí María a Góm Gómez ez;; “Anamorfosis el ángulo mágico”; Primera edición Publicación Universidad de Valencia; 2008; Pág.:47. 21 La perspectiva La perspectiva cónica cónica de una figura es la representación de esta sobre un plano, tal y como la vemos en realidad. Existen distintos tipos de perspectiva cónica: cónica: frontal de un punto de fuga, oblicua de dos y oblicua de tres puntos de fuga.

Comp. de Geometría

28


H

PF

La imag imagen en repr repres esent enta a un espac espacio io dond donde e las las línea líneas s blan blanca cas s señal señalan an las las fuga fugas s de una perspectiva cónica que convergen en el punto de fuga situado en H, justo donde coincide la mirada o altura de los ojos hacia el horizonte de un espectador . El contorno de las lineas negras representan las dimensiones que tendría una pintura anamórfica sobre el suelo. Como podemos ver esta forma un trapecio que converge hacia el punto de vista del espectador (PV) (PV) y punto de fuga inverso coincidentes con sus ojos. En lo que respecta a las dimensiones vemos que a medida que se prolonga, aumenta considerablemente su tamaño. A mayor longitud más se extenderá y se abrirá su proyección respecto al H, tomando dimensiones que se pierden en la lejanía, por lo tanto imposibles de realizar.

x H

PV t

El dibujo muestra la forma y dimensión que tendría una pintura bidimensional anamórfica (zona verde sobre el plano del suelo). Esto nos muestra que el fenómeno de la anamorfosis se da al percibir de forma “invertida” la perspectiva que vemos normalmente.

Comp. de Geometría

29


Veamos Veamos algunas obras del artista Julian Beever desde distintos puntos.

Fig. Fotografía sacada desde H

Fig. Fotografía sacada desde PV o PF

Otro ejemplo:

Comp. de Geometría

30


iv.. Relación entre la figura anamórfica y la que nosotros percibimos al verla desde el PV o F. iv F. Recordemos que si dos formas planas φ y φ' situadas en planos distintos se corresponden punto a punto de modo que los pares de puntos homólogos están alineados con un punto fijo PV y consideramos como recta homóloga de la determinada por dos puntos cualesquiera AB de la primera la determinada por p or los puntos homólogos A'B homólogos A'B'' de la primera figura, resulta que: φ y φ' son secciones de un un mismo haz por lo tanto son perspectivas, perspectivas, son homológicas. homológicas.

Por Por lo que podem podemos os cons consid ider erar ar a φ' la figur figura a anam anamor orfi fica ca resu result ltant ante e de secc seccio ionar nar la proyección de la figura φ desde el punto PV con el plano π, plano de dibujo. Recordemos, para determinar una homología debemos conocer: Centro: punto donde se intersecan las rectas determinadas por pares de puntos ▪ Centro: homólogos. Eje: recta determinada por la intersección de rectas homólogas. ▪ Eje: ▪ Recta límite del plano α: recta donde concurren las imágenes (sobre π) de todos los sistemas de rectas paralelas de α . PV, eje t (intersección de π Podemos afirmar que entre φ y φ' existe una homología de centro PV, con α) y recta límite l' (intersección de π con un plano paralelo a α que contiene a PV).

Observación: Tengamos en cuenta que a medida que los puntos de la figura φ se aproxima a la recta de PV lo puntos de la figura φ' intersección del del plano α con el plano paralelo a π que contiene a PV lo se aproxi aproximan man a la recta recta impro impropia pia homol homologa oga de la recta recta mencion mencionada ada.. Provoc Provocand ando o que las φ' se pierdan en la lejanía y por tanto imposibles de realizar y distinguir al ojo dimensiones de φ' se humano por lo que distorsionaría el efecto de 3D al no tener los “puntos limites de la figura” bien definidos. Por lo tanto la sensación anamórfica en 3D que percibimos como más “real” de las figuras pintadas está relacionada con la longitud y dimensión de la pintura y la altura del PV , dado que el ángulo entre la proyección y el plano de dibujo a medida que esta se aleja el espectador se va cerrando provocando que las anamorfosis se perciba más plana o achatada. Si deter determi mina namo mos s una una func funció ión n de dos dos vari variab able les, s, dond donde e la cali calidad dad del del efecto efecto 3D esta esta relaci relaciona onado do con: con: altura altura de los los ojos ojos y la dimens dimensión ión de la figura figura anamór anamórfic fica, a, los los result resultado ados s obtenidos obtenidos por la experiencia experiencia de Eduardo Eduardo Relero (artista argentino de Rosario Rosario que reside reside en España) es que esta función tiene un máximo cuando la dimensión de la figura es 4 veces la altura de los ojos.

Comp. de Geometría

31


v. La homología buscada De modo modo correl correlati ativo vo al §12.h.ii realicemos un abatimiento del plano α sobre el plano π teniendo en cuenta que entre φ y su abatimiento φ1 existe una homología afín de eje t y direc direcció ción n perpend perpendicu icular lar al pano pano bisect bisector or del diedr diedro o descri descrito to en el abatimi abatimiento ento.. Por lo que aplicando el teorema de las tres homologías, afirmamos que: entre φ' y φ1 existe una homología de eje t cuyo centro es el punto F 1 situado en una paralela por F a la dirección de afinidad, es decir, en una perpendicular al eje t, y por tanto a la línea de fuga l' y a una distancia h de ella; que nos permite a partir de φ1 determinar la homológiaca φ'.

C

B

F

vi. Anamorfosis de una circunferencia. Siempre debemos comenzar con la realización del boceto φ, que nos mostrará y orientará para traspasar traspasar (proyectar) el dibuj dibujo o que, que, final finalme ment nte e será será la imag imagen en “ilu “iluso sori ria” a”,, no la real, real, entendiendo por “real” la pintada y deformada, φ' figura anamórfica. De este modo, tan sólo serán “iguales” el boceto y la imagen “ilusoria” que emergerá en el aire cuando la veamos del PV). punto de fuga o vista (F o PV). Cuadricular el boceto es imprescindible para trasladar el dibujo a la cuadrícula anamórfica (de lo contrario deberíamos proyectar un número muy grande de puntos, que en realidad son infinitos). Actividad Comenzaremos con una figura simple una circunferencia inscripta en un cuadrado dividido a su vez en 36 cuadrados, esta sera φ1. Recordemos que estamos en condiciones de decir que el problema se reduce a la construcción l' y el eje e. de una figura homologa a φ1 conociendo el centro PV , la linea de fuga o recta límite l' y

Resolución: Tacemos d, la diagonal del cuadrado, para simplificar la construcción.

Comp. de Geometría

32


PV 1

Camara de fotos

Imagen

V

Linea de fuga

x d

'

l

D

eje

x

e

d'

V

X

Comp. de Geometría

33


Protocolo de construcción:

{ D } = d ∩ e , D es punto común entre d y su homologa d'. 2. Trazo r / PV ∈ r ∧ r ∥ d . Sea { L ' }= r ∩ l ' , L' es el punto homologo del impropio de la 1. Sea

1

diagonal d, por lo tanto es el punto común de las imágenes de las rectas paralelas a d. 3. Trazo la recta d' que contiene L' y D. 4. Construyo los homólogos de los puntos de intersección de la diagonal d con la cuadricula proyectando los mismos desde PV e intersectandolo con d'. 5. Construyo Construyo los homólogos homólogos de los vértices que no pertenecen a d. Construyendo Construyendo los lados homólogos que contienen a estos vértices realizando pasos análogos a los anteriores. 6. Teniendo en cuenta que las homográfias homográfias conservan conservan las relaciones de incidencia incidencia termino de construir la cuadricula anamórfica.

Camara de fotos

Imagen

F

Comp. de Geometría

34


vii. Construcción de una Anamorfosis sobre un plano acotado. La cuadricula anamórfica anterior fue realizada sobre una hoja de garbanzo. Teniendo la consideración de cubrir máximamente su superficie, realizamos lo siguiente: Datos: ▪ El centro ▪ La dimensión de la figura a proyectar (el boceto). ▪ La dirección del eje y de la linea de fuga. ▪ Y la imagen de la recta que contiene al centro y es perpendicular al eje. La cual forma parte de la cuadricula (siempre y cuando la misma coincida con uno de los ejes de simetría de la cuadricula). Protocolo de construcción: 1. Ubico el centro de la homografía. 2. Trazo, sobre el borde bord e opuesto de la hoja h oja respecto del centro, una recta en la dirección del eje que sera el lado de la cuadricula anamórfica donde ubicare, a mi conveniencia, V' la V' la imagen del vértice con mayor cota y que pertenece a la diagonal d. 3. Proyecto V' desde el centro. Sobre esta recta se encuentra V. V. 4. Ubico V , dado que conozco la distancia de la recta que contiene al centro y es perpendicular al eje y V . Determinando de este modo la homología dado que conocemos el centro, el eje y un par de puntos homólogos. viii. Anamorfosis de “CeRP”. Realización de la cuadricula de 8x8, sobre la que se realizara el boceto.

Comp. de Geometría

35


Camara de fotos

F

Comp. de Geometría

Imagen

36


Realización de la cuadricula anamórfica:

Debido a la dimensión de de la cuadricula anamorfica, fue necesario la utilización de hilos como instrumentos de geometría.

Hilo

Camara de fotos

F

Comp. de Geometría

Imagen

37


Terminada la cuadricula anamorfica

Verificación de invariantes invariante s métricos Dieron aproximados debido a la dimensión y la utilización de los instrumentos

Traspaso de cada figura dentro de los cuadraditos a la cuadricula anamorfica respetando proporciones.

Comp. de Geometría

38


Camara de fotos

Imagen

Camara de fotos

F

Comp. de Geometría

39

Imagen


perspectiva Para obtener mayor realismo se pinto aplicando nociones basicas de la la perspectiva lumniar, utlilización de claroscuros y sombras.

Comp. de Geometría

40


Camara de fotos

Imagen

Comp. de Geometría

41


Comp. de Geometría

42


ix. Anamorfosis sobre varios planos. El siguiente desafío es pensar que sucede sucede cuando la cuadricula anamórfica anamórfica debe realizarse realizarse sobre varios planos adyacentes. adyacentes. La siguientes siguientes imágenes muestra una obra de Eduardo Eduardo Ruiz Relero, argentino, donde utilizo como planos de dibujo el piso y las paredes.

Para ver estas pinturas anamorficas desde otros puntos de vista ingresen en: http://www.youtube.com/watch?v=aOfjjexC2rg Comp. de Geometría

43


Resolución: Al igual que en el caso anterior, realizar un esquema ayuda a identificar las homologías que permiten obtener la anamorfosis deseada.

Referencias: F o PV: Centro de la proyección, que representa los ojos del observador o punto donde colocar la cámara para obtener el efecto adecuado. α:

plano sobre el que se encuentra el dibujo original φ (cuadricula).

π 1: π 2:

Plano de dibujo representa el suelo. Plano de dibujo representa una pared (paralelo a α).

Observaciones del esquema: Aplicando el teorema de las tres homologías podemos descomponer esta en dos: 1. sobr sobre e el el pla plano no π 1, que tendríamos que repetir los pasos desarrollados en los epígrafes anteriores. 2. Sobre el plano π 2, que se identifica como una homología de centro propio y eje impropio dado que el punto en común entre dos rectas homologas es impropio. Pasos: 1. En los epígrafes epígrafes anteriores anteriores vimos vimos que para determinar determinar φ1, , la proyección de φ sobre el plano π 1, exist existe e una homo homolo logí gía a afín afín que que hace hace copl coplana anari rios os los los elem element entos os de la mism misma. a. Es Esta ta α sobre π 1. Y permite determinar la homología surge del abatimiento en sentido antihorario de α sobre PV,, eje t y t y linea de fuga l'. figura homologa de φ sobre el plano π 1, en lo homología de centro PV 2. De modo análogo al anterior haremos coplanarios coplanarios los elementos de la homología homología que permita φ π . determ determina inarr la verdad verdadera era forma forma de la proyec proyecció ción n de sobre 2 Para Para esto esto exis existe te una α sobre π 1 en sentido opuesto al anterior 22, homología afín que determina el abatimiento de α sobre por lo que está contie contiene ne el mismo mismo eje pero pero direcc dirección ión perpendi perpendicul cular ar a la direc direcció ción n de la homologí homología a que determina determina φ1. De este este modo modo tenem tenemos os las las cond condic icio iones nes y los los elem elemen ento tos s necesarios de la homología de centro propio y eje impropio que me permite obtener la imagen de φ sobre π 2: Sobre la proyección φ sobre π 1, se traza la recta intersección de π 1 y π 2. En esta recta están los puntos en común que tienen las dos figuras homológicas a φ, puntos de referencia para determinar la razón de la homotecia que determina la homología de centro propio y eje impropio.

22

Se sugiere que el abatimiento sea en sentido opuesto al anterior dado que de lo contrario al restablecer el plano π 2, el cual sería un papel, la imagen quedara del lado no visible.

Comp. de Geometría

44


Comp. de Geometría

45


Aplicando este método y teniendo habilidad en técnicas de dibujo podríamos lograr obras como las siguientes:

Comp. de Geometría

46


Las ultimas cuatro imágenes fueron descargadas de: http://imgur.com/a/1Pnbq

Comp. de Geometría

47


Comp. de Geometría

48


14. Conclusión Cayley menciono que la “Geometría Desde el comienzo tuve la cuestión porqué Cayley menciono “ Geometría Proyectiva era toda la Geometría” ; culminado el estudio de las transformaciones proyectivas elementales y de mayor mayor interés interés,, podemo podemos s compre comprende nderr que debido debido al descubr descubrimi imiento ento de las propie propiedad dades es invariantes respecto de estas transformaciones como es el ejemplo de la razón doble, podemos considerar las transformaciones de la geometría euclidiana como simple casos particulares de la anterior. Además de que la misma permite sistematizar las diferentes geometrías, conocidas como no euclidianas. El procedimiento es proyectando figuras del plano euclídeo y seccionar con planos no euclídeos, sabiendo que las relaciones de incidencia se conservan y que la razón doble entre elementos también. Pero en la actualidad se conocen otros grupos de transformaciones como las racionales, de contac contacto, to, contin continuas uas,... ,... donde donde las proyec proyectiv tivida idades des no son más que transfo transforma rmacio ciones nes muy partic particular ulares es de estas. estas. En consec consecuenc uencia ia debemo debemos s decir decir que la frase frase de Cayley Cayley “Projective Geometry is all Geometry” en Geometry” en la actualidad es considerada un anacronismo.

Debido a que el alcance alcance de esta trabajo trabajo fue conocer la Geometría Geometría de forma más global global ya sea por el recorrido historico realizado como por la adopción de más herramientas para la reso resolu luci ción ón de prob proble lema mas, s, como como plan plante tear arno nos s comp compre rend nder er cómo cómo es que que los los arti artist stas as (mencionados en el desarrollo, entre otros) lograban esos efectos en sus obras, tengamos en cuenta que lo estudiado fueron las transformaciones básicas necesarias para la realización de estas anamorfosis en el plano, pero podríamos plantearnos realizar anamorfosis en el espacio, es decir estudiar proyectividad entre formas de tercera categoría; o continuar con los distintos sistemas sistemas de represent representación ación;; realizar realizar un estudio estudio analític analítico o de la proyectivi proyectividad; dad; estudiar estudiar las geometrías no euclidianas, el estudio de transformaciones racionales, de contacto, continuas; entre otras temas. Por lo que debemos reconocer que solo estamos frente a la punta de un iceberg que sabemos donde esta ubicado, ahora solo queda explorarlo.

Comp. de Geometría

49


02 desarrollo 3 y conclusión (M. Bonino)

Recommend Documents