S.L.D. – S.L.D. – 543 543 214
Tarea N°3
Tarea N°3 La figura muestra un circuito regulador de tensión como el utilizado en la Tarea N 2. El cual admite un modelo linealizado dado por d x/dt = A x + B u + E p, p, y = C x + D u + F p, p, con x = [iL1 - iL1o iL2 T iL2o vC1 - vC1o vC2 - vC2o] , u = d - do, p p = e – e – e eo, y y = vC2 - vC2o en torno al punto de operación dado por uo = do = 0.5 y p o = eo = 12. Se pide desarrollar, fundamentar y comentar todo lo siguiente para lo cual utilice los parámetros de la Tarea N°1.
PREGUNTA A)
Simule el sistema para d(t) = 0.5u(t) - 0.1u(t-25m) + 0.1/50m[r(t-100m)-r(t-150m)] y e(t) = 12u(t).Considere p y y. Asegúrese de estar en S.S. para t = 0. 0 ≤ t ≤ 200m en ésta y todas las respuestas. Grafique x, u, p Desarrollo.
A partir de la Tarea 1 y 2, se obtienen las el modelo linealizado que representan al sistema dado (circuito cuk). Sabemos que el modelo linealizado debe ser de la siguiente forma:
̇
Donde las matrices matrices A, B, C, D, E se se determinan evaluándolas en los puntos de operación. Ptos de operación.
( ) Pto.
oper .
D.I.E. – D.I.E. – UdeC. UdeC.
Pág. 1
S.L.D. – S.L.D. – 543 543 214
Tarea N°3
() Pto.
oper .
() Pto.
oper .
Pto.
oper .
Pto.
oper .
Pto.
oper .
Luego se obtiene el modelo linealizado que representa el sistema dado.
̇ ̇ ( ̇̇)
Teniendo el modelo linealizado del circuito regulador de tensión, tensión, simulamos para una entrada d(t) = 0.5u(t) 0.1u(t-25m) + 0.1/50m[r(t-100m)-r(t-150m)] y una perturbación e(t) = 12u(t), para asi graficar x, u, p p y y en un tiempo 0 ≤ t ≤ 200m.
Obs: Como en el problema se pide calcular las variaciones de las corrientes y los voltajes en los inductores y capacitores respectivamente, estos valores se obtienen restando el punto de operación a la entrada, perturbación, variables de estado y salida.
D.I.E. – D.I.E. – UdeC. UdeC.
Pág. 2
S.L.D. – 543 214
D.I.E. – UdeC.
Tarea N°3
Pág. 3
S.L.D. – 543 214
Comentario:
Tarea N°3
Dado que la entrada ( ) al sistema linealizado es una combinación entre un escalón que parte desde cero y baja a los 25ms, y una rampa que parte desde 0.1 a los 100ms y sube hasta cero a los 150ms idealmente se esperaría que el sistema respondiera en forma similar a la entrada. Esto se puede aprecia en los gráficos, que es así para las corrientes y voltajes de los inductores y los capacitores respectivamente adoptan la forma de la entrada aunque sean aproximadas, este comportamiento es debido a la Función de Transferencia del Sistema. Además es de notar que la aproximación a la forma de la entrada es máxima debido a que la perturbación ( )) es nula (ver grafico de ).
PREGUNTA B)
Obtener sistemáticamente un modelo discreto del tipo xd(k +1) = Ad xd(k) + Bd ud(k) + Ed pd(k); yd(k) = Cd xd(k) + Dd ud(k) + Fd pd(k) para un muestreo de T = 5m. Simule con las condiciones de (a) con las entradas de (a) apropiadamente muestreadas. Grafique xd, ud, pd y yd. Asegúrese de estar en S.S. para t=0. Compare estos resultados con los de (a). En la pregunta anterior se calcularon las matrices A, B, E, C, D, F del sistema linealizado en tiempo continuo, estos resultados se utilizaran para así obtener las matrices del modelo discreto Ad, Bd, Ed, Cd, Dd, Fd del tipo xd(k +1) = Ad xd(k) + Bd ud(k) + Ed pd(k); yd(k) = Cd xd(k) + Dd ud(k) + Fd pd(k).
Luego, para calcular las matrices del modelo discreto, se utiliza la siguiente fórmula:
∫ ∫ Las matrices Cd, Dd y Fd permanecen iguales sin sufrir ningún cambio.
Procedemos a calcular las matrices.
• Para Ad se determinar la matriz de transición, que se calcula como
Donde T esta compuesta por los vectores propios de los valores propios 1, 2, 3, 4. Para calcular los vectores y valores propios se ocupo el comando matlab [T,diagA]=eig(A) y luego se obtendría Luego obtenida A d se procede a calcular Bd y Ed ocupando el comando cuad en matlab.
Así utilizando las formulas antes mencionadas e ingresándolas en matlab se obtiene:
D.I.E. – UdeC.
Pág. 4
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Teniendo las matrices discretas del sistema, con las condiciones de (a) con las entradas de (a) apropiadamente muestreadas, graficamos xd, ud, pd y yd y comparamos estos resultados con los de (a). Graficos obtenidos para modelo discreto xd, ud, pd y yd
D.I.E. – UdeC.
Pág. 5
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comparación de graficos obtenidos para modelo discreto
D.I.E. – UdeC.
xd, ud, pd y yd y los obtenidos en a)
Pág. 6
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: Notamos que al comparar las graficas del modelo lineal continuo con las del modelo lineal di scretizado para la entrada representada por un escalón que parte desde cero y baja a los 25ms, y una rampa que parte desde 0.1 a los 100ms y sube hasta cero a los 150ms, en la parte del escalón (hasta antes que comience a afectar el escalón en el modelo t=0.1) el grafico del modelo continuo y el discretizado, coinciden exactamente, esto se debe a que el escalón es constante en el tiempo y el descenso que efectúa es instantáneo, para la rampa (desde t=0.1) el grafico del modelo continuo y el discretizado, se separa levemente la discretizada de la continua debido a que la rampa varia a medida que trascurre el tiempo y además puede también afectar el hecho de no tener un paso (T) lo suficientemente pequeño . Al observar los gráficos de la perturbación y la entrada, percibimos que estos coinciden exactamente los graficos.
D.I.E. – UdeC.
Pág. 7
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
PREGUNTA C)
Repita (a) pero utilice un retentor de orden cero para la entrada. Compare estos resultados con los discretos de (b). Grafico del modelo obtenido en a con retentor.
D.I.E. – UdeC.
Pág. 8
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comparación grafico del modelo obtenido en a) con retentor con los gráficos obtenidos en b)
D.I.E. – UdeC.
Pág. 9
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: Al observar los gráficos del modelo linealizado con retentor de orden cero, con los del modelo discretizado, estos, coinciden en todos los puntos de la grafica, por lo que se considera una buena aproximación al modelo continuo, esto se debe a que el retentor considera el valor de la entrada donde se encuentra constante hasta que toma el próximo valor de de muestreo, es decir, se cumple la condición del integrando de que u(t) sea continua en intervalos de la integración (así se pude apreciar en los gráficos).
PREGUNTA D)
Encuentre la F. de T. h c(s) a partir del modelo lineal. Reescribimos el sistema lineal obtenido en la pregunta a) como:
̇ ̇ ̇ ̇
Transformaremos el problema diferencial difícil de solucionar, a un problema más fácil de solucionar, usando la T.L a estas ecuaciones y así obteniendo un nuevo sistema matricial, con las nuevas ecuaciones que son más sencillas de abordar Luego a estas ecuaciones las transformamos al plano de Laplace, Considerando condiciones iníciales nulas:
D.I.E. – UdeC.
Pág. 10
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Así obtenemos la expresión en forma matricial
( )
Resolvemos este sistema de ecuaciones usando el método de Cramer para obtener la salida de interés
Sabiendo que la T.L de la salida dividido la T.L de la entrada es igual a la función de transferencia, se considera una entrada la cual la T.L sea sencilla para determinar función de transferencia del sistema, por lo que se considero con una entrada un impulso debidoa que su T.L es igual a 1 entonces : Como
Reemplazando los valores de
D.I.E. – UdeC.
,
la función de transferencia en el plano de lapalce es:
Pág. 11
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: Aplicando la Transformada de Laplace y sus propiedades, fue mucho más sencillo resolver las ecuaciones para obtener la función de transferencia, además este tipo de ecuaciones algebraicas permite tener una visualización más precisa sobre las respuestas en frecuencia como lo son los diagramas de bode exacto y asintótico. Además Enfocando el diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia, el comportamiento en estado estacionario queda determinado de forma directa. Luego, si se quiere mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta estacionaria.
PREGUNTA E) 1
Grafique el Diagrama de Bode Exacto y Asintótico de la F. de T. h c(s). Utilice el rango logarítmico 10 rad/s 4 ≤ ω ≤ 10 rad/s. Superponga los Bodes. De la pregunta anterior se tiene que la función de transferencia es.
Luego para determinar el diagrama de bode en magnitud y en fase se evalúa la función de transferencia en jw (h(jw)) y se obtiene la parte real con la parte compleja.
1
4
Luego utilizando matlab se determina el modulo de la función de transferencia h(jw) para 10 rad/s ≤ ω ≤ 10 rad/s así. Magnitud bode = abs(h(jw)) Fase bode = angle(h(jw)) Para el bode asintótico se tiene los siguientes polos y ceros: ceros = 1.0e+002 *
0.8333 + 3.0505i 0.8333 - 3.0505i
polos = 1.0e+002 *
1.6879 + 6.9157i 1.6879 - 6.9157i -6.4009 -0.3083
D.I.E. – UdeC.
Pág. 12
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Bode asintótico modulo De la gráfica siguiente se puede apreciar la evolución de la magnitud de la función de transferencia en donde vemos como los polos y ceros van cambiando la forma de esta curva también vemos como en un primer instante la magnitud se mantiene constante hasta que un cero produce un aumento en la magnitud luego el primer polo produce un descenso en su magnitud, luego otro cero lo hace aumentar y otro pol o lo hace disminuir, vemos que todo esto ocurre en las décadas de frecuencia.
Bode asintótico fase Para el bode de la frecuencia vemos el efecto de que el sistema sea de fase no mínima y como los polos y ceros que están en el semi pl ano derecho hacen que el desfase se mantenga en descenso, así podemos concluir que para mayores frecuencias el sistema atenúa la señal, podemos decir que el sistema representa un filtro pasa bajo Grafico bode exacto y bode asintótico en modulo y fase.
D.I.E. – UdeC.
Pág. 13
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: Ya que el Diagrama de Bode asintótico es aproximado y para calcularlo de forma rápida, no es igual al Exacto, pero sin embargo, es una buena aproximacio al momento de no tener ninguna forma de simularlo computacionalmente. La respuesta en frecuencia nos brinda información indirecta acerca de la respuesta transitoria, además existe una relación con el tipo de sistema siendo posible calcular los coeficientes del voltaje Vc2 para el calculo de la siguiente actividad (Ya que describen el comportamiento de los distintos tipos de sistemas). PREGUNTA F)
Con la entrada 0.2[sin(2πf ot) + 1/3sin(6πf ot)] determine - del Bode Exacto - la atenuación / amplificación y atraso / adelanto para los armónicos f o y 3f o, con T o = 50m = 1/f o. Utilice estos resultados para generar la expresión del voltaje vC2(t) y grafique la entrada y el voltaje.
Del diagrama de bode obtenido anteriormente se debe construir la salida (voltaje) de la siguiente manera.
Para el armónico f o y 3f o se calcula la ganancia gn1 y delta- 1 para fo y la ganancia gn2 y delta- 2 para 3fo como se muestra en las siguientes imágenes.
Para fo:
Para 3fo:
D.I.E. – UdeC.
Pág. 14
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Obteniendo así:
gn1=36.1 [dB] gn1= 63.826 delta- 1=-47° -0.8203[rad]
gn2=28.6 [dB] gn2= 26.915 delta- = -326.7° -0.57019[rad] luego se construye la salida de la siguiente forma
0.2[gn1*sin(2πf ot+ delta- 1) + 1/3*gn2*sin(6πf ot+ delta- 2)] Gráficos del la entrada y el voltaje.
Comentario: Es evidente que la salida obtenida resulte similar a la entrada ,además se nota que a medida avanza el tiempo la respuesta estacionaria dependerá de la entrada al sistema, los desfases y cambios de amplitud dados por el diagrama de bode permitieron construir esta señal de entrada, obteniendo una señal de salida con simetría de media onda. Al inicio de la gráfica, como se comentara más adelante, la presencia de otros armónicos hace diferencia en desfases y excedentes de la curva. PREGUNTA G)
Simule el sistema continuo pero con la entrada como indicada en (f) y compare los resultados con los calculados en (f). Asegúrese de estar en S.S. en t = 0.
D.I.E. – UdeC.
Pág. 15
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: Podemos notar una diferencia en el inicio de las curvas, percibiendo que la respuesta simulada parte en 0 [V] y luego evoluciona hasta formar una senoide que se superpone a la de la salida obtenida construida con el diagrama de bode, mientras que la respuesta calculada del diagrama de bode parte desde -8[V] aprox. Estos cambios podemos atribuirlos a la dinámica del circuito, es decir, que en el diagrama de bode, el comportamiento en estado estacionario queda determinado de forma directa(desde el comienzo de la grafica), en cambio el voltaje Vc2 simulada en el sistema continuo tiene una parte transitoria y luego de esto se comporta de forma estacionaria como la salida construida del diagrama de bode.
Podemos agregar que si bien obtener de forma exacta la amplificación y fase de un diagrama de bode es difícil, este entrega una muy buena aproximación de las características en frecuencia en estado estacionario de un sistema. PREGUNTA H)
Grafique el Diagrama de Bode de la F. de T. del sistema discreto h d(z) a partir del modelo lineal obtenido en (b). Utilice el rango lineal 0 rad/s ≤ Ω ≤ π /T rad/s.
Del la función de transferencia h(s), se aplica la transformada z y se obtendría la función de transferencia del sistema discreto hd(z).
1
4
Luego utilizando matlab se determina el modulo de la función de transferencia h(jw) para 10 rad/s ≤ ω ≤ 10 rad/s así. Magnitud bode = abs(hd(jw)) Fase bode = angle(h d(jw))
Luego se obtubieron los siguientes polos y ceros.
z1 83.3333 305.05i
i p1 116.758 469.376
i p3 49.908 200.634
z2 83.3333 305.05i
p2 116.758 469.376 i
p4 49.908 200.634
D.I.E. – UdeC.
Pág. 16
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: En el primer grafico podemos apreciar nuevamente los efectos de los polos y ceros del sistema los cuales atenúan y amplifican la señal, esto es análogo al caso continuo, solo que ahora se está probando con la señal discretizada y lo mismo para el sistema el desfase sigue siendo el mismo por lo tanto podemos aseverar que la desratización no altera las características continuas del sistema, por ende usar este método es una gran herramienta de estudio. PREGUNTA I)
Si la entrada en el sistema discreto equivalente es 0.2[sin(2πf okT) + 1/3sin(6πf okT)] determine la atenuación / amplificación y atraso / adelanto para los armónicos f o y 3f o. Utilice estos resultados para generar la expresión del voltaje vC2(kT) y grafique la entrada y el voltaje.
Del diagrama de bode obtenido anteriormente se debe construir la salida (voltaje) de la siguiente manera.
Para el armónico f o y 3f o se calcula la ganancia gn1 y delta- 1 para fo y la ganancia gn2 y delta- 2 para 3fo como se muestra en las siguientes imágenes.
Para fo:
D.I.E. – UdeC.
Pág. 17
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Para 3fo:
Obteniendo así:
gn1=36 [dB] 63.0957 gn1= 63.826 delta- 1=-65° -0.820 [rad] gn2=27.5 [dB] 23.7137 gn2= 26.915 delta- = -387.6° -6.764 [rad] luego se construye la salida de la siguiente forma
0.2[gn1*sin(2πf ot+ delta- 1) + 1/3*gn2*sin(6πf ot+ delta- 2)] Gráficos del la entrada y el voltaje.
Comentario: Al igual que la pregunta f) es evidente que la salida obtenida resulte similar a la entrada ,además se nota que a medida avanza el tiempo la r espuesta estacionaria dependerá de la entrada al sistema, los desfases y cambios de amplitud dados por el diagrama de bode permitieron construir esta señal de entrada, obteniendo una señal de salida con simetría de media onda. Al inicio de la gráfica, como se comentara más adelante, la presencia de otros armónicos hace diferencia en desfases y excedentes de la curva. Adsemas podemos evidenciar que para el diagrama de bode se debe utilizar la transformada z para obtener la función de transferencia de modelo discreto y que la costruccion de salidas a partir del bode también es posible para modelos discretizados. D.I.E. – UdeC.
Pág. 18
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
PREGUNTA J)
Simule el sistema dado por (b) pero con la entrada como indicada en (i) y compare los resultados con los calculados en (i). Asegúrese de estar en S.S. en t = 0.
Comentario: Al igual que en el caso continuo podemos notar una diferencia en el inicio de las curvas, percibiendo que la respuesta simulada parte en 0 [V] y luego evoluciona hasta formar una senoide que se superpone a la de la salida obtenida construida con el diagrama de bode, mientras que la respuesta calculada del diagrama de bode parte desde -8[V] aprox. Estos cambios podemos atribuirlos a la dinámica del circuito, es decir, que en el diagrama de bode, el comportamiento en estado estacionario queda determinado de forma directa(desde el comienzo de la grafica), en cambio el voltaje Vc2 simulada en el sistema discretizado tiene una parte transitoria y luego de esto se comporta de forma estacionaria como la salida construida del diagrama de bode.
Podemos agregar que si bien obtener de forma exacta la amplificación y fase de un diagrama de bode es difícil, este entrega una muy buena aproximación de las características en frecuencia en estado estacionario de un sistema.
D.I.E. – UdeC.
Pág. 19
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
PREGUNTA K)
Comparar el voltaje y corriente obtenidos en (g) con las discretas obtenidas en (j). Graficos de comparación de graficos obtenidos en g) con j)
D.I.E. – UdeC.
Pág. 20
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: Vemos que las dos gráficas no corresponden en todos sus puntos, esto es debido a que la simulación discreta no corresponde al caso continúo ya que la entrada es periódica. Vimos que par a una muestra de una señal periódica estos valores no son los mismos que a la simulación continua debido a que la entrada a l a función no es constante (varia a medida que transcurre el tiempo) y además puede también afectar el hecho de no tener un paso (T) lo suficientemente pequeño. Por lo tanto al igual que en la parte c) deberemos aplicar un retentor a la señal de entrada, esto con el fin de que las simulaciones sean lo más exactas en comparación con las simulaciones continuas. PREGUNTA L)
Simule el sistema como en (a) con la entrada como indicada en (f) pero utilizando un retentor de orden cero. Compare estos resultados con los obtenidos en (j). Asegúrese de estar en S.S. en t = 0. Gráficos de comparación de entrada con retentor los discretos obtenidos en j).
D.I.E. – UdeC.
Pág. 21
S.L.D. – 543 214
Tarea N°3
Comentario: Como esperábamos al aplicar un retentor de orden cero a la señal sinusoidal luego de inclusive haber sido muestreada, la simulación discreta ahora si corresponde al caso continúo al coincidir los puntos por lo que se considera una buena aproximación al modelo continuo, esto se debe a que el retentor considera el valor de la entrada donde se encuentra constante hasta que toma el próximo valor de de muestreo, es decir, se cumple la condición del integrando de que u(t) sea continua en intervalos de la integración (así se pude apreciar en los gráficos). Con eso podemos concluir la importancia de seguir un procedimiento en todo tipo de análisis de esta índole el cual sería algo como: 1) Muestrear la señal, debido a que no queremos una muestra infinita de valores para efectuar nuestros análisis y simulaciones. 2) Aplicar un retentor de orden 0 para la entrada y ver qué pasa con la salida, con el fin de poder saber bien cuál es el tiempo idóneo para hacer durar el retentor, para alcanzar la señal original dada
D.I.E. – UdeC.
Pág. 22