01 Razão e Proporção

Razão e proporção Razão

Olá, seja bem-vindo! Estamos iniciando um novo ano letivo e você, que está começando o 9º ano, é nosso convidado a descobrir outras maravilhas da Matemática. Talvez já tenha percebido, ao longo destes anos, que a Matemática, em muitas situações, aplica-se a diferentes áreas do conhecimento, sendo, por isso, uma grande ferramenta. Do auxílio na leitura de mapas, em estudos geográficos, ao estudo dos fenômenos físicos, a Matemática tem grandes aplicações. De fato, o estudo de mapas tem algo em comum com certos conceitos físicos. Para entender esta relação, observe o mapa:

VENEZUELA

Capítulo

1

• S 1 E Õ O Ç P A U I R R G A • V A C I T Á M E T A M

GUIANA

GUIANA SURINAME FRANCESA

COLÔMBIA

OCEANO ATLÂNTICO

AMAPÁ

RORAIMA

AMAZONAS

PARÁ

MARANHÃO PIAUÍ

ACRE

BAHIA

MATO GROSSO

PERU

DISTRITO FEDERAL GOIÁS

BOLÍVIA

MINAS GERAIS

MATO GROSSO DO SUL OCEANO PACÍFICO

SÃO PAULO

PARAGUAI

CHILE

ESPÍRITO SANTO RIO DE JANEIRO

PARANÁ SANTA CATARINA

1 1 5 1 P 9 F E

PERNAMBUCO ALAGOAS SERGIPE

TOCANTINS

RONDÔNIA

CEARÁ RIO GRANDE DO NORTE PARAÍBA

ARGENTINA

OCEANO ATLÂNTICO

RIO GRANDE DO SUL URUGUAI 1 : 33 630 000

Neste grupo, trabalharemos as seguintes competências e habilidades: • Reconhecer e conceituar razão como uma divisão entre dois inteiros. • Saber utilizar razão em situações do cotidiano. • Aplicar o conceito de razão ao estudo das proporções. • Saber reconhecer razão centesimal e aplicar na resolução de problemas com porcentagem. • Saber utilizar a regra de três e propriedade fundamental da proporção na resolução de problemas. • Ler, interpretar e resolver situaçõesproblema envolvendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais. • Saber representar graficamente variação de grandezas.

78

Observar se todos os alunos compreendem a simbologia utilizada para conjuntos, como b ∈ * (b pertence aos inteiros não nulos).

Antes de iniciar o estudo sobre razões equi valentes, questionar os alunos sobre suas lembraças referentes a frações equivalentes. Assim, poderão relacionar os temas mais facilmente.

Capítulo 1 – Razão e proporção \ Grupo 1

Observe que o mapa apresenta uma escala 1: 33 630 000. Isto significa que cada unidade do mapa representa 33.630.000 unidades reais. Em ciências físicas há, entre tantos temas, o estudo da velocidade. Assim, dizer que um carro está percorrendo certo trecho a uma velocidade de 80 km/h significa que ele poderá percorrer, nessa velocidade, uma distância de 80 quilômetros em 1 hora. Observe que tanto em escalas de mapas quanto no estudo da velocidade, comparam-se duas grandezas que podem variar. riar. No caso da velocidade, a distância e o tempo são grandezas que podem sofrer variações. variações. A Matemática colabora com o estudo das variações de grandezas por meio do estudo da razão entre razão entre elas. O termo razão tem razão tem mais de um sentido na Língua Portuguesa. Usa-se, por exemplo, no sentido de raciocínio, raciocínio, pensamento, pensamento, mas, em Matemática, é utilizado para expressar a ideia de divisão, donde surgem termos como rateio ou rateio ou racional. racional. Aliás, racional é racional é o nome dado ao con junto dos números núme ros que podem pode m ser expressos como uma razão (divisão) entre dois inteiros, sendo este conjunto representado por . Nas séries anteriores, já foram apresentados os conjuntos numéricos dos naturais, inteiros e racionais. Agora, no estudo da variação entre duas grandezas, expressa na forma de uma razão, propõe-se recordar o conceito de números racionais.

7

Diz-se que um número é racional quando pode ser escrito sob a forma de uma divisão (razão) entre dois inteiros. De forma geral, denominaden omina-se se número racional aquel aquelee a b

, em que

a ∈  e b ∈  *. Assim, os números naturais, inteiros, as frações e decimais, exatos ou dízimas periódicas, podem ser chamados simplesmente de números racionais,

=

7

25

2, 5

=

0, 33... =

1

1

−8 =

10

0

3

=

−16 2

0 27

Termos de uma razão Para estudar de forma mais detalhada uma razão e aplicar esse estudo a outros ramos do conhecimento, é necessário, antes, nomear cada um dos termos de uma razão. Assim, observe a razão representada de duas formas diferentes, porém, equivalentes: a:b

=

a b

Nessa representação da razão, o termo a é chamado de antecedente e antecedente e o termo b, de consequente. consequente. Exemplo Na razão

3 7

(3 : 7), 3 é o antecedente

e 7 é o consequente. Diz-se também que 3 está para 7 ou, simplesmente, simplesmente, 3 para 7. 7.

Razões equivalentes Duas razões são equivalentes quando, embora escritas com números diferentes, representam o mesmo significado comparativo entre as grandezas envolvidas. Exemplo 1

Números racionais

que pode ser escrito sob a forma

pois podem ser escritos como uma razão entre dois inteiros. Veja exemplos.

2

é uma razão equivalente a

5 10

. Ma-

tematicamente, tematicamente, indica-se: 1 2

=

5 10

Vale lembrar, lembrar, do estudo das frações, f rações, que é possível obter uma razão equivalente a outra dada, multiplicando-se ou dividindo-se cada um de seus termos por um mesmo número, diferente de zero.

1 1 5 1 P 9 F E

79

Matemáca \ \ Variações

1× 5 2× 5

=

5 10

ou

5÷5 10÷5

1

=

T . W . V A N U R K / S H U T T E R S T O C K

2

Razão entre grandezas de mesma espécie A razão entre grandezas de uma mesma espécie é o quociente entre os números que expressam as medidas envolvidas em uma mesma unidade. Como exemplo, veja a situação a seguir. Situação 1 Caio percorreu um trecho de 600 metros, enquanto seu amigo Paulo percorreu apenas 300 metros. Escrever a razão entre a distância percorrida por Paulo em relação à distância percorrida por Caio. Distância (Paulo) Distância (Caio)

=

300 m 600 m

=

1 2

Foi mostrado, por meio desta razão, que a distância percorrida por Paulo cor-

 1  responde à metade   da distância  2  percorrida por Caio. Observe que a razão encontrada não possui unidades de medida, sendo apenas um número racional que exprime o quociente entre as duas medidas.

Razão entre grandezas de espécies diferentes

1 1 5 1 P 9 F E

A razão entre duas grandezas de espécies diferentes é, de maneira análoga à mostrada anteriormente, o quociente entre os números que expressam as medidas envolvidas. No entanto, a razão deve ser acompanhada de uma notação que indica e relaciona as unidades envolvidas. Veja um exemplo na situação a seguir. Situação 2 Um trem percorreu uma distância de 160 km em 2 horas. Escreva a razão entre a distância percorrida pelo trem e o tempo utilizado para percorrer essa distância.

Distância (km) Tempo (h)

=

160 km 2h

=

80 km 1h

= 80 80 km/h

A razão obtida (80 km/h) indica a velocidade média do média do trem no referido trecho. Neste caso, como as grandezas não são de mesma espécie, o quociente obtido (80) deve estar acompanhado da notação que indica a relação entre as grandezas (km/h).

Escala Outra razão muito utilizada pelo homem, que foi exemplificada no início do texto, é a escala. escala. Utilizada em mapas, maquetes, ampliações de imagens, dentre outros, ela indica a razão entre a medida do desenho (imagem) e a medida real. Assim, em uma escala dada por 1 : 500 000, temos que cada unidade do mapa representa 500.000 unidades reais: Comprimen Comprimento to do desenho desenho Comprimen Comprimento to real

=

1 500..000 .000

Assim, tomando-se como base esta escala, se certa distância em um mapa é dada por 3 cm, esta mesma distância, na realidade, será de 1.500.000 cm: 3 · 500.000 = 1.500.000

Pode-se, ainda, transformar a unidade de medida para outra mais conveniente: 1.500.000 cm = 15.000 m = 15 km

80 Iniciamos o estudo de proporções citando, como exemplo, o preparo de refresco com suco concentrado. Se possível, mostrar para os alunos um rótulo deste tipo de produto com a respectiva proporção de suco concentrado e água.


Proporção

Marcela e Gabriela estavam tomando um lanche e conversavam sobre o preparo de refresco com suco concentrado. K C O T S R E T T U H S / Z E R G A K Z A K S

Quando temos uma igualdade entre duas razões, dizemos que há uma proporção. porção . No exemplo sobre o suco, temos a seguinte igualdade de razões, que estabelece uma proporção: 3 9

=

6 18

De maneira geral, podemos indicar uma proporção assim: a b

Marcela disse que usava 9 partes de água para 3 partes de suco concentrado. Já Gabriela disse que fazia diferente, misturando 18 partes de água para 6 partes de suco concentrado. Marcela, então, disse: – Estranho, Estranho, Gabriela! Já tomei desse suco que você prepara, mas não percebi diferença no sabor. – É porque as medidas que utilizamos são proporcionais, Marcela. – Como assim? Proporcionais? Proporcionais? Para entender o comentário feito por Gabriela, vamos escrever os dados do texto em uma tabela:

=

c d

Termos de uma proporção Quando estabelecemos uma igualdade entre duas razões – portanto, uma proporção –, cada um de seus termos recebe um nome. Acompanhe no esquema: a:b=c:d

meios extremos

Logo, temos que: a e d são os extremos da proporção; b e c são os meios da proporção.

Marcela

Gabriela

Partes de suco concentrado

3

6

Propriedade fundamental das proporções

Partes de água

9

18

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

Se escrevermos as medidas utilizadas pelas garota sob a forma de uma razão e a simplificarmos, teremos: Marcela:

3 9

=

a b

1

=

c d

⇔

a·d=b·c

3

No exemplo dos sucos, temos: Gabriela:

6 18

=

1 3

3

Observe que, nos dois casos, a razão de suco concentrado para água é de 1 para 3. 3. Logo, as razões

3 9

e

6 18

são iguais.

9

=

6 18

⇔ 3 ⋅ 18 = 9 ⋅ 6 ⇔ 54 = 54

Por meio desta propriedade fundamental, quando um dos termos de uma proporção não for conhecido, podemos deter-

1 1 5 1 P 9 F E

81

Matemáca \ Variações

minar seu valor por meio da resolução de uma equação. Acompanhe um exemplo. Exemplo Uma indústria de produtos de higiene lançou no mercado um produto concentrado para limpeza de pisos. De acordo com as orientações do rótulo, esse produto concentrado deve ser diluído em água na proporção de 2 partes dele para 7 partes de água. Com isso, há economia, por exemplo, de material necessário para fabricação da embalagem do produto, bem como diminuição do espaço necessário para transporte e armazenamento, pois a embalagem fica com tamanho reduzido. Caso sejam utilizados 420 mL desse produto, quantos mililitros de água deverão ser utilizados para sua diluição? Resolução De acordo com o texto, chamando de x o volume de água, em mililitros, temos a seguinte proporção: produto água

=

2 7

=

420 x

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, podemos resolver a equação da seguinte forma: 2 7

=

420 x

⋅ x = 7 ⋅ 420 2x = 2.940 2

x x

1 1 5 1 P 9 F E

=

2.940 2

= 1.470

Com isso, serão necessários 1.470 mL de água para diluição do produto. A aplicação da propriedade fundamental, com a resolução da equação, é conhecida como regra de três, que é nosso próximo assunto.

Regra de três No estudo das proporções, chegamos a uma igualdade de razões. Nos exemplos

vistos anteriormente, dos 4 termos utilizados em uma proporção, 1 era desconhecido. Portanto, conheciam-se 3 deles. Exemplo: 2 3

=

10 x

Com o auxílio de algumas propriedades, como a propriedade fundamental das proporções, estudada recentemente, e, por meio da resolução de equações, é possível determinar o valor desconhecido. É a chamada regra de três. Para entender melhor como trabalhar com este tipo de regra, vamos primeiramente detalhar o que são grandezas e como elas podem se relacionar, de forma direta ou inversa. De maneira geral, grandeza é tudo que pode ser medido, mensurado ou contado. Assim, volume, massa, comprimento, tempo, temperatura e capacidade são alguns exemplos de grandezas. Quando determinamos a velocidade média de um trem que percorre um trecho entre duas estações, estamos comparando distância e tempo. Assim, se a velocidade do trem não mudar, quanto maior a distância, maior será o tempo gasto para percorrê-la. Por outro lado, se a velocidade do trem aumentar, em um trecho, o tempo para percorrê-lo será menor. Desta forma, duas grandezas podem se relacionar de forma direta ou inversa. Vamos analisar melhor um exemplo de cada caso.

Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão observada entre os valores da primeira grandeza é igual à razão entre os correspondentes valores da segunda grandeza. Temos, como exemplo, o uso de ingredientes em receitas.

É possível que alguns alunos já façam uso da propriedade fundamental aplicando a regra de três. Proporções é um conteúdo desenvolvido em séries anteriores, como no 7º ano. No entanto, é importante retomar esses conceitos, oferecendo oportunidade para um novo olhar sobre o tema.

82


Observe a tabela a seguir, que relaciona a quantidade de ovos necessários para se fazer um bolo. Ovos

Número de bolos

3

1

6

2

9

3

30

10

Observe que, se duplicamos o número de ovos, duplicamos o número de bolos. Por outro lado, se triplicamos o número de ovos, triplicamos o número de bolos, e assim por diante. Dizemos, neste caso, que as grandezas número de ovos e número de bolos são diretamente proporcionais.

Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão observada entre os valores da primeira grandeza é o inverso da razão entre os correspondentes valores da segunda grandeza. Como exemplo, considere um prêmio de loteria que deve ser repartido igualmente entre ganhadores. A tabela a seguir traz alguns exemplos da maneira como um prêmio de 24.000 reais pode ser dividido. Número de ganhadores

Prêmio individual (R$)

1

24.000

2

12.000

3

8.000

8

3.000

Pode-se observar que, quando dobramos o número de ganhadores, o prêmio individual fica reduzido à metade. Da mesma forma, quando triplicamos o número de ganhadores, o prêmio individual fica reduzido à terça parte, a assim por diante.

Neste caso, as grandezas número de ganhadores e prêmio individual são inversamente proporcionais.

Regra de três simples

Vamos observar como podemos aplicar a regra de três simples em grandezas que sejam diretamente proporcionais ou que sejam inversamente proporcionais. Para tanto, é conveniente organizar o pensamento, e o cálculo, seguindo estes passos: 01. Construir uma tabela agrupando e organizando em colunas as grandezas de mesma espécie. Em cada linha, mantêm-se as grandezas de espécies diferentes em correspondência; 02. Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais; 03. Escrever a proporção e resolver a equação, invertendo uma das razões, caso as grandezas sejam inversamente proporcionais. Vamos analisar duas situações. Situação 1 Considere um carro que tenha um consumo médio de combustível de 12 km/L, ou seja, esse veículo percorre, em média, 12 km com 1 litro de combustível. Quantos litros de combustível esse veículo deverá consumir para percorrer um trecho de 420 km, mantendo-se essa média de consumo? Resolução Organizar os dados em uma tabela: Distância (km)

Consumo (L)

12

1

420

x

Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos escrever a proporção e resolver a equação: 12 420 12x x

1

= ⇒ 12 ⋅ x = 1 ⋅ 420 x

= 420 ⇒ x =

= 35

420 12

1 1 5 1 P 9 F E

83


Portanto, estima-se que serão necessários 35 litros de combustível. Situação 2 Em uma indústria, 2 máquinas podem produzir, juntas, 3.000 peças em 36 horas. Se a indústria aumentar o número de máquinas para 6 unidades, quanto tempo será necessário para que todas elas produzam as mesmas 3.000 peças? Resolução Organizamos os dados em uma tabela: Tempo (h)

2

36

6

x

Observe que o número de peças, por se manter igual, não precisa ser relacionado. Como as grandezas são inversamente proporcionais, pois aumentando o número de máquinas, diminuí-se o tempo necessário para produzir as mesmas peças, na razão inversa, podemos escrever a proporção, invertendo uma das razões, e resolver a equação: 6

=

x 36

⋅ x = 2 ⋅ 36 6 x = 72 6

x x

Razão centesimal

Uma razão é dita centesimal se o seu consequente (denominador) é formado pelo número 100. Nesse sentido, há três maneiras de se representar essa razão. Acompanhe os exemplos. 7 100

Número de máquinas

2

Retomemos o estudo desse importante tópico, verificando o significado de razão centesimal.

=

115 100

= 1,15 = 115%

Situação 1 Um produto custa 80 reais e terá um desconto de 15%. Qual deverá ser o valor do desconto? Resolução Devemos calcular 15% de 80: 15% de 80

6

Porcentagem No estudo de razão e proporção, fazemos, a todo momento, comparações entre grandezas. Se compararmos grandezas tomando como base um denominador (consequente) comum e que seja fácil de operar, poderemos trabalhar com proporções de forma mais prática. Isto é feito por meio das frações centesimais, ou seja, de denominador 100, as quais aplicamos no cálculo da porcentagem.

=

15 100

⋅ 80 = 12

ou

Portanto, serão necessárias 12 horas para produzir as mesmas 3.000 peças.

1 1 5 1 P 9 F E

= 0,07 = 7%

O cálculo com porcentagens é realizado da maneira como se faz com qualquer razão ou proporção, fazendo uso, por exemplo, de fração de quantidade, multiplicação por decimais ou regra de três. Acompanhe a seguinte situação:

72

= 12

No exemplo mostrado na situação 2, fazer perceber que o resultado final é coerente com o problema proposto, isto é, aumentando o número de máquinas, diminuí-se o tempo necessário para produção do mesmo número de peças.

15% de 80

= 0,15 ⋅ 80 = 12

ou ainda por regra de três: 80 reais → 100% x reais → 15% 80 x

=

100x x

100 15

= 1.200

= 12

Seja qual for o método, conclui-se que o desconto será de 12 reais.

Porcentagem é um assunto que já foi apresentado de forma ampla nas séries anteriores. Assim, antes de iniciar este assunto, promover a revisão de conceito e cálculo com porcentagem. É um assunto muito importante, de relevância em nosso cotidiano. Reforçar essa importância.

84


Fator de mulplicação

O exemplo mostrado na situação 1 anterior indica o desconto que é dado no valor de um produto. No entanto, se quisermos conhecer o valor final, com desconto, precisaremos ainda subtrair do valor inicial o valor do desconto. Assim, para se chegar ao valor inicial ou final, em casos de acréscimo ou de desconto, devemos realizar diversas operações. Todavia, podemos fazer uso do chamado fator multiplicativo, em que o valor final, com aumento ou desconto, é obtido de maneira mais rápida. Acompanhe. Suponha que um produto com preço desconhecido terá um acréscimo de 15% em seu preço. Desta forma, o novo preço será equivalente a 115% do preço inicial: 100% 

preço inicial

+

15% 

= 115%

100%   

preço inicial

−

15%



= 85%

desconto

Assim, para determinar o preço final de um produto que sofreu um desconto de 15%, bastará multiplicar o preço por 0,85 (85% = 0,85). Situação 3 Um produto que custava R$ 160,00 sofreu um desconto, de 15%. Qual é o valor final desse produto? Resolução 0,85 · 160 = 136 O valor final do produto, após um desconto de 15%, será de R$ 136,00. As tabelas a seguir mostram alguns exemplos de fatores multiplicativos. Fator mulplicavo para acréscimo

aumento

(1 + porcentagem de aumento) Acréscimo ou lucro

Fator multiplicativo para obter o valor final

ou

10%

1,10

1,15. O número decimal 1,15 é chamado, neste caso, de fator multiplicativo. Veja um exemplo:

25%

1,25

50%

1,50

8%

1,08

100%

2,00

Ao calcularmos 115% de um valor, podemos multiplicar esse valor por

115 100

Situação 2 Um produto custa R$ 160,00 e sofrerá um acréscimo de 15%. Qual será seu valor final, com acréscimo?

Fator mulplicavo para desconto

(1 – porcentagem de desconto) Desconto


1,15 · 160 = 184

10%

0,90

O valor final, com acréscimo, será de R$ 184,00.

30%

0,70

50%

0,50

Por outro lado, o preço do produto pode sofrer um desconto de 15%. Assim, o valor final será equivalente a 85% do preço inicial:

3%

0,97

99%

0,01

1 1 5 1 P 9 F E

Razão e proporção Avidades 1 e 2 • Razão Exercícios de Aplicação 01) Cássia convidou alguns amigos para comerem pizza em sua casa e assistirem a um filme. No dia combinado, 5 garotos e 7 garotas estavam presentes, incluindo Cássia.

d. Qual é a razão entre o número de garotas e o total de pessoas, nessa ordem? 7 12

02) Três amigos decidiram abrir um negócio. Para isso, foi necessário um valor em dinheiro, como capital para cobrir os primeiros gastos e manter a empresa em funcionamento nos primeiros meses. Cada um investiu um valor diferente dos demais. Veja: Sobre este número de pessoas presentes, responda: a. Qual é a razão entre o número de garotos e o número de garotas, nessa ordem? 5 7

Capítulo

1


Otávio: R$ 25.000,00 Pedro: R$ 30.000,00 Luciano: R$ 45.000,00 Com isso, indique, por meio de uma fração irredutível, a razão entre a quantia que cada um investiu e o total do investimento.

No exercício 01, é importante que fique clara a relação entre a ordem em que a frase é escrita e a respectiva razão.

Total investido: 25.000 + 30.000 + 45.000 = 100.000

b. Qual é a razão entre o número de garotas e o número de garotos, nessa ordem?

Otávio = Pedro =

25.000 100.000 30.000 100.000

Luciano =

7

= =

45.000 100.000

1 4 3

10

=

9 20

5

2 1 5 1 P 9 F E

c. Qual é a razão entre o número de garotos e o total de pessoas, nessa ordem? Total de pessoas = 5 + 7 = 12 5 12

03) Uma razão que é amplamente utilizada no estudo da Geografia é a densidade demográfica. Suponha que, em dada região, a densidade demográfica seja 8,5 hab./km². Explique o que significa esta razão. Significa que a cada km² de área da referida região existem, em média, 8,5 habitantes.

Com relação ao exercício 3, se necessário, combinar com o(a) professor(a) da área de Geografia uma rápida revisão sobre densidade demográfica.

86 No exercício 05, reforçar com os alunos a importância de se escreverem as medidas em uma mesma unidade quando se trabalha com escalas.


04) Em uma avaliação na forma de teste, um candidato deveria responder a 25 questões. De todas as questões, ele conseguiu responder 15 delas com convicção; nas outras 10, ele precisou “chutar”, escolhendo uma alternativa ao acaso. Escreva, sob a forma de fração irredutível, a razão entre o número de questões respondidas com convicção e o total de questões. 15 25

=

3 5

05) Em um determinado mapa, a distância linear entre duas cidades era de 3 cm. Na realidade, esta distância era de 600 km. Com isso, utilizando-se grandezas dadas em uma mesma unidade, qual será a escala considerada nesse mapa? Devemos escrever as duas medidas em uma mesma unidade, como centímetros. Com isso, a distância real será de: 600 km = 600.000 m = 60.000.000 cm Logo, a escala utilizada será: 3 : 60 000 000 Ou, simplificando: 1 : 20 000 000

Exercícios Propostos 06) Escreva, em forma de fração, uma razão entre dois números em que: a. o antecedente é 3 e o consequente é 10.

b. o antecedente é 15 e o consequente é 11.

3

15

10

11

07) Complete as equivalências entre frações de forma que indiquem razões iguais. a.

16 24

No exercício 07, não é necessário, ainda , fazer uso da regra de três. Pretende-se, com este exercício, apenas retomar o conceito de frações e razões equivalentes, por meio até mesmo do cálculo mental. No uso de escalas, como em miniaturas de carros, ou mapas, evitar o uso da unidade específica centímetros. Embora seja muito usual, não é a única que deve ser utilizada. Assim, é preferível usar apenas o termo unidade.

=

2 3

b.

18 54

=

2

6

15

c.

10 2

=

170

d.

20

34

=

450 600

08) Cléber possui uma coleção de miniaturas de carros. S A H N U D T R T E E R A S S T G O R C A K D I N /

O último exemplar que ele adquiriu foi produzido na escala 1 : 32. Explique o que significa esta escala. Significa que cada 1 unidade medida na miniatura equivale a 32 unidades de medidas reais.

2 1 5 1 P 9 F E

87


Avidades 3 e 4 • Proporção Exercícios de Aplicação 01) Em uma festa, havia uma proporção de garotos para garotas na razão de 2 para 3. Se havia 123 garotas, qual era o número total de pessoas nessa festa? Chamando de x o número de garotos, temos: garotos garotas 3x x x

2

2

x

3

3

123

= ⇒ =

⇔ 3 ⋅ x = 2 ⋅ 123

= 246

=

246 3

= 82

Assim, havia 82 garotos. O total de pessoas será de: 123 + 82 = 205 pessoas

02) Jorge estabeleceu, em seu testamento, que deixava todos os seus bens para seus três filhos e que a divisão desses bens deveria ser proporcional à idade de cada um deles. Amadeu, o filho mais velho, tinha 30 anos de idade; Conrado, o do meio, tinha 25 anos; e Daniel, com 20 anos de idade, era o filho caçula. Como Jorge possuía o equivalente a R$ 750.000,00, é correto afirmar que: R.: A a. Amadeu receberá o equivalente a R$ 300.000,00. b. Conrado receberá o equivalente a R$ 200.000,00. c. Daniel receberá o equivalente a R$ 250.000,00. d. Amadeu receberá o equivalente a R$ 200.000,00. e. Conrado receberá o equivalente a R$ 150.000,00. A soma das idades será 75 anos (30 + 25 + 20). Uma vez que a herança (750.000 reais) deve ser dividida proporcionalmente às idades, teremos: Amadeu:

30 75

20

Daniel:

75

⋅ 750.000 = 300.000

Conrado:

25 75

⋅ 750.000 = 250.000

⋅ 750.000 = 200.000

03) Uma funcionária de uma loja recebia um salário de 800 reais. No mês de março, conseguiu um aumento e passou a receber 1.000 reais. Qual a razão entre o acréscimo no salário e o salário antes do aumento? Acréscimo = 1.000 – 800 = 200 200 800 2 1 5 1 P 9 F E

=

1 4 1

O aumento equivale a

4

do salário antes do aumento.

88


04) Uma receita simples de arroz branco faz uso de 4 xícaras de arroz para 3 copos de água. Mantendo-se esta proporção, responda: a. Quantos copos de água serão necessários, caso se utilizem 10 xícaras de arroz? xícaras de arroz copos de água

4

4

3

3

= ⇒

=

10 x

⇔

⇔ 4 ⋅ x = 3 ⋅ 10 4x = 30 x = 7, 5

b. Caso se utilizem 12 copos de água para o preparo, quantas xícaras de arroz serão necessárias? xícaras de arroz copos de água

4

4

3

3

= ⇒

=

x 12

⇔

⇔ 3 ⋅ x = 4 ⋅ 12 3x = 48 x = 16 Serão necessárias 16 xícaras de arroz.

Serão necessários 7,5 copos de água.

Exercícios Propostos 05) Verifique se a propriedade fundamental das proporções é aplicável, ou seja, se há proporção entre as razões dadas. 2

a. 2

=

3

3 8 12

e

8 12

⇔ 2 ⋅ 12 = 3 ⋅ 8 ⇔ 24 = 24

Há proporção

8

b. 8 10

10

=

12 15

e

12 15

06) O responsável por uma linha de produção estava preocupado pois era de 2 para 23 a razão entre o número de peças de um lote que saíram com defeito e o total produzido. Se, nesse referido lote, 58 peças estavam com defeito, qual foi o total produzido? peças com defeito total de peças

=

2 23

⇒

2 23

=

58 x

⇔

⇔ 2 ⋅ x = 23 ⋅ 58 2x = 1.334 x = 667 Portanto, foram produzidas, no total, 667 peças.

⇔ 8 ⋅ 15 = 10 ⋅ 12 ⇔ 120 = 120

Há proporção

c. 6 9

=

6 9 8 11

e

8 11

⇔ 6 ⋅ 11 = 8 ⋅ 9 ⇔ 66 ≠ 72

Não há proporção

2 1 5 1 P 9 F E

89


07) Alberto, Bernardo e Carlos resolveram abrir uma pizzaria. Alberto investiu R$ 30.000,00, Bernardo R$ 40.000,00 e Carlos R$ 50.000,00. Após um ano de funcionamento, a pizzaria obteve lucro de R$ 24.000,00. Se o lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia a ser recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, é correto afirmar que: a. Carlos receberá R$ 6.000,00. b. Alberto receberá metade da quantia recebida por Carlos. R.: C c. Bernardo receberá um terço de todo o lucro obtido. d. Bernardo receberá uma quantia maior que a quantia recebida por Carlos e. Carlos receberá uma quantia maior que a soma das quantias de Bernardo e Alberto. O total investido pelos três sócios foi de 120.000 reais: 30.000 + 40.000 + 50.000 = 120.000 Vamos indicar por meio de uma fração irredutível a razão que mostra o investimento de cada sócio: 30.000

Alberto:

120.000

=

40.000

Bernardo: Carlos:

120.000

50.000 120.000

=

1

1 4

Bernardo:

=

1

Carlos:

5 12

3

5 12

⋅ 24.0 00 = 8.00 0

⋅ 24.000 = 10.000

Observando as alternativas, concluímos que a alternativa C é a correta. 2 1 5 1 P 9 F E

100 cm

Nesse tapete, é colocada uma borda igualmente espaçada de seus lados, como mostra a figura a seguir. x

   x 100 cm    

          

200 cm x

x

Sabendo que a razão do lado menor para o lado maior do retângulo determinado pelo tapete com a borda é

3

⋅ 24.000 = 6.000 1

200 cm

4

Assim, o lucro de 24.000 reais deverá ser dividido conforme as razões obtidas anteriormente: Alberto:

08) Considere um tapete retangular com lados medindo 100 cm e 200 cm, conforme representado na figura a seguir.

6 11

, podemos afir-

mar que a medida x da largura da borda, em centímetros, é de: a. 5 b. 6 R.: C c. 10 d. 11 e. 20 As dimensões do novo retângulo serão dadas por (100 + 2x) e (200 + 2x). Assim, de acordo com a proporção dada no texto, temos:

+ 2x 6 = ⇒ 1.100 + 22x = 1.200 + 12 200 + 2x 11 10x = 100 x = 10 cm 100

90


Avidades 5, 6 e 7 • Regra de três Exercícios de Aplicação 01) Uma indústria possui duas máquinas que podem fabricar 5.000 peças em 1 dia. Aumentando-se o número de máquinas para 5 unidades, com a mesma capacidade de produção que as duas primeiras, quantas peças poderão ser fabricadas em 1 dia? Dos dados do enunciado, podemos montar a seguinte tabela: nº máquinas

peças

2

5.000

5

x

03) O lado de um quadrado e o perímetro desse mesmo quadrado são diretamente proporcionais? Vamos criar uma tabela para alguns valores de lado e do respectivo perímetro. lado

perímetro

1

4

2

8

3

12

Observando a variação dos valores na tabela, pode-se verificar que lado e perímetro de um quadrado são diretamente proporcionais.

Como as grandezas são diretamente proporcionais, temos: 2 5

=

5.000 x

⋅ x = 5 ⋅ 5.000 2x = 25.000 2

25.000

x

=

x

= 12.500

2

Poderão ser fabricadas 12.500 peças.

04) Se considerarmos a medida do lado de um quadrado e a de sua respectiva área, as grandezas lado e área serão diretamente proporcionais? Vamos criar uma tabela para alguns valores de lado e da respectiva área.

02) Considere uma muda de árvore. Podemos pensar que, em condições normais, conforme o tempo passa, sua altura aumenta. Neste caso, podemos afirmar que as grandezas tempo e altura são necessariamente diretamente proporcionais? Explique. Apesar de as duas grandezas aumentarem, o aumento de uma geralmente não é proporcional ao aumento da outra. Logo, podem não ser diretamente proporcionais. Tampouco são necessariamente inversamente proporcionais.

lado

área

1

1

2

4

3

9

Observando a variação dos valores na tabela, pode-se verificar que lado e área de um quadrado não são diretamente proporcionais.

2 1 5 1 P 9 F E

91


05) Alguns estudos apontam que 1 litro de óleo de cozinha pode poluir um volume de 1 milhão de litros de água. Desta forma, ao despejarmos no ralo da pia óleo de cozinha utilizado para fritura de alimentos, o local em que a água da tubulação desemboca fica seriamente contaminado. Além disso, com o passar do tempo, a tubulação acumula resíduos do óleo, podendo até entupir. Para amenizar esse problema, basta separar o óleo em recipientes, como garrafas PET, e destiná-lo para a produção de sabão ou de biodiesel. Cada vez mais, empresas têm-se especializado na coleta deste material e correto destino. Por meio de uma rápida pesquisa na internet, podem-se encontrar pontos de coleta próximos à sua residência. Considerando os dados apresentandos, se, acidentalmente, apenas 0,7 litro de óleo for despejado em um rio, quantos litros de água serão contaminados, se essas grandezas são proporcionais?

06) Em uma papelaria, 3 canetas custam, juntas, R$ 5,40. Mantendo-se a proporção de preço, responda: a. Quantas canetas será possível comprar com doze reais e sessenta centavos? 3 x

=

5, 40 12,60

⋅ x = 3 ⋅ 12,6 5, 4 x = 37, 8 x = 7 5, 4

Será possível comprar 7 canetas.

b. Qual será o custo para a compra de 11 canetas? 3

Seja x o volume de água, em milhões de litros: 1 0, 7

=

11

=

5, 40 x

⋅ x = 11 ⋅ 5, 4 3x = 59 , 4 x = 19, 8 3

1 x

= 1 ⋅ 0, 7 x = 0, 7

Aproveitar o exercício 05 para promover um rápido debate e reflexão acerca do descarte adequado de óleo de cozinha e outros materiais. É possível que as famílias de alguns alunos já tenham o hábito de fazer o descarte adequado. Sendo assim, é importante compartilhar suas experiências.

x

O custo será de 19,80 reais.

0,7 milhão = 700 mil 700 mil litros de água poderão ser contaminados.

Exercícios Propostos 07) Aplique a regra de três e determine o valor de x em cada igualdade a seguir. a.

3 7

=

3x = 378 2 1 5 1 P 9 F E

=

378 3

x = 126

1

+x 8

=

10

54

3 · x = 7 · 54 x

b.

x

4 · (1 + x) = 8 · 10 4 + 4x = 80 4x = 80 – 4 x

=

76 4

x = 19

4

No exercício 07, verificar se os alunos estão aplicando a regra de três na resolução das equações.

92


c.

9 2x

− 1

=

80

3

100

6

5

⋅ x = 5 ⋅ 80 100x = 400 x = 4

6x – 3 = 54 6x = 54 + 3

=

x

100

3 · (2x – 1) = 9 · 6

x

=

57

09) Três amigos resolveram acampar e levaram comida suficiente para 12 dias. No entanto, 1 pessoa decidiu se juntar ao grupo sem levar comida. Se quiserem manter a porção de comida que caberia a cada pessoa, em quantos dias a comida acabará sem que façam um racionamento?

6

x = 9,5

+1 5 d. x − 1 = 6 x

6 · (x + 1) = 5 · (x – 1) 6x + 6 = 5x – 5 6x – 5x = –5 – 6 x = –11

nº pessoas

dias

3

12

4

x

As grandezas apresentadas são inversamente proporcionais. Assim, temos: 3 4

08) Um carro, em uma rodovia, com velocidade média de 80 km/h, vai da cidade A até a cidade B em 5 horas.

=

x 12

= 3 ⋅ 12 4x = 36 x = 9 4x

Portanto, a comida deverá acabar em 9 dias.

K C O T S R E T T U H S / A I L I T N E Z

Para fazer esse mesmo percurso a uma velocidade média de 100 km/h, ele demorará: a. 6 horas e 15 minutos. b. 5 horas e 15 minutos. c. 4 horas e 15 minutos. R.: D d. 4 horas. e. 3 horas e 50 minutos. Velocidade (km/h)↑

Tempo (em horas)↓

80 5 100 x Percebemos que, ao aumentar a velocidade do automóvel, o tempo de percurso diminui na mesma proporção; portanto, essa relação é inversamente proporcional. Então:

10) Com 3 copos de suco concentrado de um determinado sabor, é possível fazer, diluindo-os em água, 12 copos de refresco conforme instruções no rótulo. Com isso, quantos copos de refresco podem ser feitos com 5 copos de suco concentrado, seguindo as instruções do rótulo? Número de copos de suco concentrado

Número de copos de refresco

3

12

5

x

As grandezas apresentadas são diretamente proporcionais, logo: 3 5

=

12 x

3 · x = 5 · 12 3x = 60 x = 20 Será possível fazer 20 copos de refresco.

2 1 5 1 P 9 F E

93


11) Um motorista estava testando um veículo em uma pista de testes. Na primeira volta, ele manteve uma velocidade constante de 25 km/h e, com isso, percorreu toda a pista em 12 minutos. Na segunda volta, aumentou sua velocidade para 75 km/h. Assim, qual deverá ser o tempo gasto para completar a segunda volta? Velocidade (km/h)

Tempo em cada volta (minutos)

25

12

75 x Se triplicarmos a velocidade, o tempo em cada volta será reduzido à terça parte, portanto, trata-se de grandezas inversamente proporcionais. 25 75

=

x 12

⋅ x = 25 ⋅ 12 75x = 300 x = 4 75

O tempo será de 4 minutos.

12) Um trem de alta velocidade faz uma viagem de 400 km em 2 horas, mantendo uma velocidade constante. Se outro trem fizer a mesma viagem com uma velocidade de 250 km/h, quantas horas e minutos durarão a viagem? Se o primeiro trem percorreu 400 km em 2 horas, significa que sua velocidade média era de 200 km/h. Assim, podemos montar a seguinte tabela: Velocidade (km/h)

Tempo (h)

200

2

250 x Como as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais, temos: 200 250

=

x 2

⋅ x = 2 ⋅ 200 250x = 400 x = 1, 6 250

1,6 h = 1 h + 0,6 h = 1 h + 0,6·60 min = 1h 36 min A viagem durará 1 h 36 min.

Avidades 8, 9 e 10 • Porcentagem Exercícios de Aplicação 01) Escreva cada porcentagem a seguir em forma de fração decimal e de número decimal.

e. 173,5% 173, 5 100

e 1,735

a. 12% 12 100

e 0,12

b. 8% 8 100

e 0,08

c. 3,5% 3, 5 2 1 5 1 P 9 F E

100

e 0,035

02) Um televisor foi anunciado por 1.200 reais. Para a compra à vista, o vendedor informou que o preço seria de 1.080 reais. Com isso, qual será o percentual de desconto? Desconto (R$) = 1.200 – 1.080 = 120 1.200 120

→ →

100% x% 1.200 120

=

100 x

= 120 ⋅ 100 1.200x = 12.000 x = 10 1.200x

d. 156% 156 100

e 1,56

O desconto será de 10%.

94 O exercício 05 traz uma breve reflexão sobre consumo. É interessante promover um rápido debate em que os alunos possam expor suas respostas dadas ao item C. Assim, poderão refletir sobre práticas de consumo de maneira mais consciente.


03) Complete as tabelas abaixo com o fator multiplicativo. a. Acréscimo de


5%

1,05

17%

1,17

89%

1,89

23,5%

1,235

150%

2,50

b. Fator multiplicativo Desconto de para obter o valor final

No exercício 05, chamar a atenção dos alunos para a maneira como geralmente são anunciados parcelamentos, em que o destaque é dado ao valor da prestação, e não à entrada ou número de parcelas. Outro item que não é comum aparecer em anúncios, mas que é muito importante, é a taxa de juros aplicada no financiamento.

9%

0,91

21%

0,79

5,5%

0,945

3%

0,97

86%

0,14

04) Fábio percebeu que o preço do salgado, vendido na cantina da escola, tinha passado de R$ 1,20 para R$ 1,80. Para descobrir a porcentagem de aumento, ele pensou no fator multiplicativo. Para isso, aplicou a operação inversa e efetuou o seguinte cálculo: preço final preço inicial

=

1, 80 1,20

= 1, 50

O quociente obtido (1,50) é o fator multiplicativo. Com base nesse valor, qual foi a porcentagem de aumento? 1,50 – 1 = 0,50 = 50% O aumento foi de 50%.

05) Gabriela acabou de receber sua carteira de habilitação e, embora seu pai já tenha um veículo que ela pode utilizar, está ansiosa para comprar um carro novo que seja só seu. No entanto, não

tem dinheiro para fazer a compra à vista, possui apenas 2.500 reais. Foi a uma loja e verificou que poderia comprar um carro financiado pagando em parcelas “que cabiam em seu bolso”. Assim, um veículo que custava, à vista, 23.000 reais poderia ser comprado pagando-se 2.500 reais de entrada, mais 60 parcelas mensais fixas de 529 reais. Com isso, responda: O FE R T

A !

! !

s e u T o d o n a s : p e p o r a 9, 0 0 * 2 6 0 x 5

K C O T S R E T T U H S / E K A H S L E A H C I M

* R$ 2.500,00 de entrada

a. Se Gabriela optar pelo financiamento, ao término dos 60 meses de financiamento, qual o valor, em reais, que Gabriela terá desembolsado para a compra do veículo? 2.500 + 60 · 529 = 34.240 Gabriela terá desembolsado R$ 34.240,00.

b. Quanto Gabriela pagará a mais que o preço à vista, caso faça o financiamento? Quanto este valor representa, em porcentagem, aproximadamente, do preço à vista? 34.240 – 23.000 = 11.240 preço final preço inicial

=

34.240 23.000

≅ 1, 49

1,49 – 1 = 0,49 = 49% Gabriela pagará R$ 11.240,00 a mais, o que representa aproximadamente 49% do preço à vista.

2 1 5 1 P 9 F E

95


c. Embora a prestação de 529 reais seja compatível com o ganho de Gabriela (“caiba em seu bolso”), caso não seja urgente a compra do veículo, é um negócio vanta joso? Dê sua opinião escrevendo um breve texto que a justifique. Resposta pessoal

do mercadorias e atualizando coleções. Para o consumidor, o período é favorável para encontrar melhores oportunidades e para realizar as compras que foram adiadas no Natal. Uma mercadoria que custava R$ 150,00 teve, com o “saldão de Natal”, desconto de 30% e, em seguida, outro desconto de 20%. Esta mercadoria passou a valer, então: a. R$ 120,00. b. R$ 105,00. c. R$ 100,00. d. R$ 95,00. R.: E e. R$ 84,00. 1º desconto: 0,70 · 150 = 105 2º desconto: 0,80 · 105 = 84

06) O período logo após o Natal e as festas de final de ano é muito usado por lojistas para renovação de estoques, liquidan-

Exercícios Propostos 07) Determine o valor equivalente a: a. 12% de 350 0,12 · 350 = 42

b. 7% de 1.200 0,07 · 1.200 = 84

c. 120% de 500 1,20 · 500 = 600

08) Determinado tipo de café sofreu dois reajustes em seu preço. K C O T S R E T T U H S / N I H 2 S 1 - A 5 Y 1 L - P P I 9 T F Y E L O T A N A

Em razão da alta demanda do mercado interno, a saca de café subiu 8%. Em seguida, decorrente de geadas no exterior, a saca de café foi reajustada em mais 15%. Antes dos dois reajustes, o preço da saca de café era de R$ 100,00. Após os dois reajustes, o preço da saca do café passou a ser de: a. R$ 108,00 b. R$ 115 ,00 c. R$ 123,00 R.: D d. R$ 124,20 e. R$ 125,42 Em virtude do primeiro Em virtude do reajuste ajuste de 8%, temos: de 15%, temos: v1

= 100 + 8% de 100

v1

= 100 +

v1

= 100 + 8 = 108 reais

v1

8 100

⋅ 100

v2

= 108 + 15% de108

v2

= 108 +

v2

= 108 + 16, 2 = 124,20 reais

v2

15 100

⋅ 108

96 Aproveitar o exercício 11 para reforçar a vantagem de se trabalhar informações em forma de porcentagem quando se deseja fazer comparativos.


09) Tarcísio vende picolés. Em um determinado dia, saiu com 100 unidades no carrinho. Pela manhã, vendeu 70% dos picolés e, à tarde, vendeu 20% da quantidade que foi vendida de manhã.

d. custava 640 reais e sofreu um desconto de 38%. 0,62 · 640 = 396,80 reais

11) Fernando resolveu duas provas em forma de teste em que cada questão vale 1 ponto. Na prova de Matemática, Felipe acertou 15 de um total de 20 questões. Já na prova de Ciências, ele acertou 19 questões de um total de 25. Com isso, responda: a. Qual foi a porcentagem de acertos na prova de Matemática? total de acertos

Assim, Tarcísio: a. ficou com 10 picolés no carrinho, após todas as vendas. R.: B b. ficou com 16 picolés no carrinho, após todas as vendas. c. vendeu 14 picolés durante a manhã. d. vendeu 70 picolés durante a tarde. e. vendeu todos os picolés do carrinho. 70

Pela manhã, Tarcísio vendeu

100

picolés (alternativa C incorreta) Durante a tarde, Tarcísio No exercício 12, é importante verificar se os alunos escreveram algo como “400% a mais”. Mostrar que isto é um erro, pois a pergunta refere-se a qual porcentagem do valor inicial, e não quanto a mais.

20 100

⋅ 100 = 70

15 20

= 0, 75

0,75 = 75% Felipe acertou 75% das questões.

b. Qual foi a porcentagem de acertos na prova de Ciências? total de acertos total de questões

=

19 25

= 0, 76

0,76 = 76% Felipe acertou 76% das questões.

c. Em qual prova Felipe obteve melhor desempenho? Na prova de Ciências.

vendeu

⋅ 70 = 14 picolés (alternativa D incorreta)

Assim, Tarcísio vendeu 84 picolés, sobrando 16 picolés no carrinho.

10) Determine o valor final de um produto que: a. custava 45 reais e sofreu um aumento de 20%. 1,20 · 45 = 54 reais

b. custava 120 reais e sofreu um desconto de 16%. 0,84 · 120 = 100,80 reais

c. custava 12.000 reais e sofreu um aumento de 7% 1,07 · 12.000 = 12.840 reais

total de questões

=

12) Um produto custava 150 reais. No mês de janeiro, foi reajustado em 100%. Já no mês de julho, sofreu outro reajuste de 100%. Com isso, qual será o preço do produto após o reajuste de julho? Esse preço corresponderá a qual porcentagem do valor inicial de 150 reais? 1º reajuste: (100% + 100%) de 150 = 2 · 150 = 300 2º reajuste: (100% + 100%) de 300 = 2 · 300 = 600 600 : 150 = 4 = 400% Portanto, o preço após o reajuste no mês de julho será de 600 reais, e esse valor corresponde a 400% do preço inicial de 150 reais.

2 1 5 1 P 9 F E

Razão e proporção: representação gráfica Proporção direta

Vimos que duas grandezas podem ser direta ou inversamente proporcionais, sendo que muitas situações de nosso cotidiano podem ser explicadas utilizando proporção direta. Vamos, neste momento, estudar com mais detalhes este tipo de proporção para entender o que é constante de proporcionalidade. Veja uma primeira situação.

quociente entre a massa (m), em gramas, e o respectivo volume (v), em centímetros cúbicos, dos três casos apresentados. m v m v

Situação 1 A tabela a seguir mostra a massa de certa quantidade de ferro fundido e o respectivo volume que ocupa. Massa (g)

Volume (cm³)

15

2

30

4

45

6

K C O T S R E T T U H S / G N E F I D U H Z

m v

= = =

15

= 7,5 g/cm3

2 30

= 7,5 g/cm3

4 45 6

= 7, 5 g/cm3

O quociente obtido, é sempre o mesmo (7,5 g/cm³). Esse quociente é denominado de constante de proporcionalidade (k). No exemplo dado, o valor 7,5 g/cm³ indica a densidade do ferro fundido. De forma geral, para as grandezas massa (m) e volume (v), existe uma constante k de proporcionalidade tal que: m v

=k

ou ainda,

m=k·v Situação 2 A tabela a seguir apresenta a distância percorrida por um automóvel e o respectivo consumo de combustível.

1 1 5 1 P 9 F E

Repare que, ao dobrar a massa, o respectivo volume duplica. Ao triplicar a massa, o volume triplica. As grandezas envolvidas, massa e volume, são diretamente proporcionais. Também dizemos que elas têm proporção direta. Observando a variação das grandezas, podemos chegar ao que chamamos de constante de proporcionalidade.

A constante de proporcionalidade De acordo com os dados apresentados na tabela anterior, vamos determinar o

Combustível consumido (L) Distância (km) 1

12

2

24

3

36

É possível observar que as grandezas combustível consumido e distância são diretamente proporcionais. Assim, a constante de proporcionalidade pode ser obtida pela divisão de uma das medidas de uma das grandeza pela respectiva medida

Capítulo

2


98

Na situação 2, sugerimos mostrar as outras razões (24:2 e 36:3), apenas para reforçar o conceito de constante.

Capítulo 2 – Razão e proporção: representação gráfica \ Grupo 1

correspondente da outra grandeza. Usando a ordem “distância, em km, por combustível consumido em litros”, temos: 12 km 1L

km/L = 12

Assim, a constante de proporcionalidade, neste caso, é 12 km/L (k = 12 km/L).

Representação gráfica

de proporção direta Ainda falando sobre a proporção direta, podemos verificar graficamente a variação entre as grandezas envolvidas. Desta forma, será possível observar que existe um padrão de construção de gráficos para grandezas diretamente proporcionais. Não obstante, devemos, antes, comentar sobre um dos mais notáveis filósofos e matemáticos dos últimos séculos: René Descartes (1596-1650).

K C O T S R E T T U H S / S A D I L L O K S O I G R O E G

na caracterização do problema do método como uma forma de se obter a verdade. De maneira geral, o autor pretendia chegar a um modelo quase matemático para conduzir o pensamento humano, pois acreditava que a Matemática tem como uma de suas principais características a certeza, ou a ausência de dúvida. Com isso, segundo Descartes, o melhor caminho para a resolução de um problema consiste na ordem e clareza com que processamos nossas reflexões. Assim, um problema será melhor compreendido se for dividido em vários problemas menores, sendo estes analisados isoladamente. No estudo da geometria, René Descartes avançou para um caminho conhecido como geometria analítica. Por meio desse estudo, aritmética, álgebra e geometria estão inseridas em um mesmo problema ou resolução. Desta forma, problemas de natureza algébrica podem ser traduzidos em linguagem geométrica. Ainda segundo o autor, essa forma de tradução do problema possibilita que se tenha uma forma organizada e clara de resolução de problemas de natureza algébrica ou geométrica. Surge então o plano cartesiano, já apresentado em séries anteriores e que retomaremos neste ponto para a interpretação geométrica de problemas relacionados a grandezas diretamente proporcionais. Mais adiante, aplicaremos esse conceito em outros tipos de proporção. Acompanhe a próxima situação, já apresentada anteriormente, que mostra a relação entre a massa e o respectivo volume do ferro fundido (densidade). Situação 1

René Descartes (1596-1650)

Este francês escreveu, ao longo de sua vida, diversos livros sobre Filosofia e Matemática. Um desses livros, intitulado Discurso sobre o método, expõe a crença de René

Volume (cm3)

Massa(g)

2

15

4

30

6

45

Veja como podemos, partindo dos dados da tabela, plotar (construir) o gráfico que traduz geometricamente essas informações.

1 1 5 1 P 9 F E

99


Primeiramente, traçamos duas retas perpendiculares entre si. Sobre a reta horizontal, por exemplo, representamos o eixo que contém os volumes e, sobre a reta vertical, o eixo que contém as massas. Depois, determinamos a escala apropriada, isto é, escolhemos um comprimento que representará a unidade da grandeza. Na sequência, inserimos os pares ordenados no gráfico. Como exemplo, temos o ponto (2, 15) obtido na segunda linha da tabela. Depois de marcar os pontos dados pela tabela, percebemos que eles estarão alinhados. Assim, poderemos uni-los por meio de uma reta que tem origem no ponto (0, 0). Afinal, quando a massa é zero, o volume também é zero.

a. Duplicando-se o tempo, a distância também duplicou? Resposta: Sim. b. Triplicando-se o tempo, a distância também triplicou? Resposta: Sim. c. As grandezas envolvidas, tempo e distância, são diretamente proporcionais? Resposta: Sim. d. Qual é a constante de proporcionalidade? Resposta:

80

km/h = 80

1

e. Observando o gráfico que traduz a variação das grandezas que são diretamente proporcionais, como ele é chamado?

Massa (g) 45

Distância (km) 320

30

240 15 160 0

2

4

6

3 8 Volume (cm )

O gráfico que representa a variação de uma grandeza, que varia em proporção direta com outra, é uma reta que passa pela origem. Situação 2 Um trem desenvolve uma velocidade constante durante toda sua viagem, que tem uma distância total de 320 km. Observe a tabela que mostra o deslocamento em função do tempo.

1 1 5 1 P 9 F E

Tempo (h)

Distância (km)

1

80

2

160

3

240

4

320

Considerando os dados dessa tabela, responda:

80 0

1

2

3

4 Tempo (h)

Resposta: O gráfico é um segmento de reta com origem no ponto (0, 0) e, neste exemplo, com extremidade no ponto (4, 320), sendo este o ponto representativo das condições em que o trem concluiu seu deslocamento.

Taxa de variação No estudo de grandezas que se relacionam por meio de uma proporção direta, chegou-se à conclusão de que existe uma constante de proporcionalidade. Da mesma forma, ao representarmos graficamente esta relação, o gráfico obtido é retilíneo. Veremos agora a relação existente entre a constante de proporcionalidade e a taxa de variação. Para isso, vamos retomar o exemplo mostrado sobre a densidade do ferro fundido. Observe novamente o gráfico:

100


Assim, a taxa de variação da reta é dada por 7,5 g/cm³. Observe que este valor é idêntico ao encontrado no cálculo da constante de proporcionalidade, sendo esta a densidade do ferro fundido.

Massa (g) 45 30 15

0

Variação linear 2

4

3

Volume (cm )

6

Vamos representar esse mesmo gráfico em uma malha retangular e observar algumas variações de medidas: Massa (g)

45 30

Δm

15

0

Até o momento, quando analisamos a taxa de variação, utilizamos exemplos de grandezas que se relacionam em uma proporção direta. Com isso, o gráfico passa sempre pela origem. No entanto, podemos encontrar gráficos que sejam retilíneos sem que passem, contudo, pela origem. Vamos observar a situação a seguir, que exemplifica esse modelo de gráfico. Um taxista tem o seguinte critério de cobrança: 5 reais fixos, acrescidos de 3 reais por quilômetro rodado. I V A K O L E V A / S H U T T E R S T O C K

Δv

2

4

6

3 8 Volume (cm )

Escolhendo aleatoriamente dois pontos do segmento de reta, como (2, 15) e (6, 45), podemos observar as seguintes variações, indicadas pela letra do alfabeto grego Δ (delta): Δm = variação da massa = (mf – mi) Δv = variação do volume = (vf – vi)

Assim, dizemos que a taxa de variação é definida como: Variação da massa Variação do volume

=

∆m ∆v

Tomando como base os valores do gráfico e os pontos considerados, temos:

Com isso, se chamarmos de x a distância percorrida em quilômetros pelo taxista, e de y o preço que deve ser pago pela corrida, podemos traduzir algebricamente a situação por meio da seguinte igualdade: y=5+3·x Tomando como base essa igualdade, vamos preencher a tabela a seguir com alguns valores de x. x

5+3·x

y

Δm = mf – mi = 45 – 15 = 30 g

0

5+3·0

5

Δv = vf – vi = 6 – 2 = 4 cm³

1

5+3·1

8

2

5+3·2

11

3

5+3·3

14

∆m = ∆v

30 g 4 cm3

= 7,5 g/cm3

1 1 5 1 P 9 F E

101


Com base nos valores da tabela, veja como fica o esboço do respectivo gráfico que mostra a relação entre distância (km) e preço (R$):

da variação da medida de seu lado. Assim, observe a tabela, que mostra algumas medidas para o lado de um quadrado e sua respectiva área. Lado (m)

Área (m²)

0

0² = 0

12

1

1² = 1

10

2

2² = 4

8

3

3² = 9

4

4² = 16

R$ 15 14

6 4 2 1

2

3

km

É possível observar que a reta não passa pela origem. Isso se explica pelo fato de que existe o valor fixo de 5 reais, independente da distância percorrida. Observamos também que os valores mostrados na tabela não são diretamente proporcionais. Afinal, duplicando-se a distância, o valor pago não é duplicado. De maneira geral, quando duas grandezas x e y estiverem relacionadas de tal modo que seu gráfico seja uma reta, dizemos que: I. y varia linearmente com x; II. a relação matemática entre x e y é dada por y = ax + b; III. o coeficiente a é dado pela taxa de variação, enquanto o coeficiente b representa o valor de y quando x = 0, ou seja, o ponto onde a reta cruza o eixo vertical y.

É possível observar que, entre a medida da área e a do respectivo lado, não há uma proporção direta, uma vez que a área está crescendo numa proporção que não é a mesma para o crescimento das respectivas medidas dos lados. Se duplicarmos a medida do lado, a medida da área não duplicará. Por outro lado, também é possível perceber que, quando L é multiplicado por 2, a área é multiplicada por 2². Da mesma forma, quando L é multiplicado por 3, a área é multiplicada por 3², e assim por diante. Assim, dizemos que a área A de um quadrado é proporcional ao quadrado de seu lado. Esse modelo de variação ocorre também, de maneira geral, para o cálculo da área de outras figuras planas. No caso do círculo, por exemplo, a área A é dada por A = π·r²

Assim, a medida A será proporcional ao quadrado do raio (r²), onde π é a constante

Variação com o quadrado 1 1 5 1 P 9 F E

Além da variação linear, há outros tipos de variação que não são lineares, descrevendo assim outros tipos de gráficos. Falemos agora sobre a variação com o quadrado. Uma das melhores maneiras de se verificar o que ocorre na chamada variação do quadrado é analisar justamente a variação da área de um quadrado, em função

de proporcionalidade (cujo valor é aproximadamente 3,14).

Representação gráfica Tomando como referência os valores mostrados na última tabela, que associa a medida do lado de um quadrado com sua respectiva área, vamos verificar como é o traçado do gráfico que representa essa relação:

Falaremos sobre a área do círculo em capítulo específico sobre áreas. No entanto, apresentamos aqui a fórmula desta área no intuito de relacionar o conceito de constante de proporcionalidade ao tema.

102


aresta (m) Volume (m3) 22

0

0³ = 0

18

1

1³ = 1

16

2

2³ = 8

14

3

3³ = 27

20

Embora não se tenha definido ainda função polinomial de 2º grau, é possível comentar que a curva (concavidade) pode ser virada para cima, no exemplo da área do quadrado, ou virada para baixo, nos exemplos mostrados sobre o arremesso de objetos, ainda que não se fale sobre concavidade.

) 2

12 10

m ( a e r Á

Faremos um estudo pormenorizado sobre a parábola no capítulo próprio, sobre função polinomial do 2º grau.

8 6 4 2 0 1

2 Lado (m)

3

4

É natural, observando o gráfico, que a curva traçada passe pela origem, uma vez que, quando L = 0, A = 0. Ainda observando o gráfico, vemos que seu traçado não é uma linha reta, mas sim, uma linha curva. Esta linha é parte de uma curva chamada de parábola. Esse tipo de curva é facilmente observável no lançamento de um objeto, como a cobrança de uma falta que deve encobrir uma barreira, o arremesso de uma bola em uma cesta de basquete, o lançamento de um dardo, dentre tantas outras situações.

4³ = 64 4 Veja que, quando relacionamos as medidas da aresta e do volume, não encontramos uma proporção direta, uma vez que o volume está crescendo numa proporção que não é a mesma para o crescimento observado das arestas. Se duplicarmos a medida da aresta, o volume não duplicará. Por outro lado, também é possível perceber que, quando a é multiplicado por 2, o volume é multiplicado por 2³. Da mesma forma, quando a é multiplicado por 3, o volume é multiplicado por 3³, e assim por diante. Assim, dizemos que o volume de um cubo é proporcional ao cubo de sua aresta.

Representação gráfica

Vamos tomar como referência os valores mostrados na última tabela, que associa a medida da aresta de um cubo com seu respectivo volume. De posse dessas medidas, vamos verificar como é o traçado do gráfico que representa essa relação: 70 60 ) 3

50

m ( e40 m u30 l o V20

10 0

Pode-se escolher um objeto, como um simples giz, e arremessá-lo de um lado ao outro da sala a fim de que os alunos possam observar a trajetória parabólica desse objeto em seu lançamento.

Variação com o cubo

Da mesma forma como ocorre a variação com o quadrado, há também a variação do cubo. Vejamos, inicialmente, um exemplo que mostra justamente a variação do volume de um cubo em função da variação da medida de sua aresta. Para isso, observe a tabela, que apresenta alguns valores:

1

2 Aresta (m)

3

4

Pode-se observar que a curva traçada passa pela origem, uma vez que, se a = 0, V = 0. Vale ressaltar que, apesar de se parecer com uma parábola, não se trata de uma parábola. Quando se estuda, por exemplo, o volume da esfera, temos a seguinte fórmula,

1 1 5 1 P 9 F E

103


que relaciona o volume V com a medida do raio r: V

=

4 3

πr

respectivo valor de tempo, em horas para percorrer 180 km.

3

Velocidade (km/h)

Tempo (h)

15

12

30

6

60

3

90

2

180

1

Observe que, assim como ocorre na variação do volume de um cubo, aqui também temos uma variação do cubo, uma vez que o raio está elevado ao cubo e o produto

4 3

·

π indica uma razão de

proporcionalidade entre o volume (V) e o cubo do raio (r³).

Proporção inversa No estudo da proporção direta, vimos que o gráfico que traduz a relação entre as duas grandezas envolvidas tem o traçado de uma reta. E o que será que ocorre com o gráfico de uma proporção inversa? Vamos analisar esta situação por meio de um exemplo. Vimos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma, a outra diminui na mesma proporção. Isso ocorre, por exemplo, na relação entre velocidade e tempo. Para uma mesma distância, quanto mais aumentamos a velocidade, menor é o tempo necessário para percorrê-la. Considere que um veículo tenha que percorrer um trecho de 180 km.

K C O T S R E T T U H S / L I A H K I M V E R A D U D 1 1 5 1 P 9 F E

Tomando como base esses valores, veja como fica o esboço do gráfico:

16 14 12 10 ) h ( T

8 6 4 2 0 20

40

60

80 100 120 140 160 180 200 V (Km/h)

Chamando de x a velocidade, em km/h, e de y o tempo, em horas, podemos perceber, pelos valores da tabela, que: – duplicando x, y é dividido por 2; – triplicando x, y é dividido por 3; – quadruplicando x, y é dividido por 4, e assim por diante. De maneira geral, quando isso ocorre, dizemos que y é inversamente proporcional a x, ou y

A tabela nos mostra alguns possíveis valores para a velocidade, em km/h, e seu

Embora o estudo sobre volume da esfera não seja objeto de estudo neste momento, apresentamos a fórmula para que o aluno possa relacionar o conceito de constante de proporcionalidade ao tema.

1

= ⋅ a , em que a é a constanx

te de proporcionalidade entre y e x. O nome dado à curva formada pela construção do gráfico de grandezas inversamente proporcionais é hipérbole.

Aproveitar para comentar, de maneira bem sutil, a ideia de limite. Mostrar que, quanto mais próximo de x = 0, mais o tempo tende para cima (y tende ao infinito), embora nunca toque ou cruze o eixo. Da mesma forma, quanto maior é o valor de x (tende ao infinito), mais próximo de zero fica o tempo, sem, no entanto, tocar o eixo ou cruzá-lo.

104


Variação com o inverso do quadrado

Vimos que existe a variação do quadrado e do inverso. Vejamos agora que existe ainda a variação com o inverso do quadrado. Apresentaremos algumas situações que são estudadas no ramo da Física e que recaem em relações entre uma grandeza e o inverso do quadrado de outra grandeza. Observe duas situações. Situação 1

Apresentamos a variação com o inverso do quadrado utilizando exemplo relacionado à Física. Não pretendemos, neste momento, aprofundar o aspecto físico dos problemas apresentados como exemplos, mas, sim, contextualizar o conceito matemático envolvido. Nas atividades, procuramos abordar o assunto de maneira mais algébrica. Na disciplina de Ciências, os alunos poderão ter oportunidade de estudar conceitos como o de Força no grupo 3 da referida disciplina. Assim, acreditamos ser possível um trabalho interdisciplinar com o(a) professor(a) da área, a fim de esclarecer eventuais dúvidas relacionadas ao conteúdo.

Suprimimos a informação sobre as unidades de medida utilizadas para o cálculo da força de atração, pois pretendemos que o aluno tenha sua atenção voltada para o aspecto matemático envolvido (variação com o inverso do quadrado),

K C O T S R E T T U H S / U K C I N

m1 e m2 = massas dos corpos; d = distância entre os corpos; F = força de atração. Independentemente de qual seja o valor atribuído à constante gravitacional e às massas envolvidas, vamos analisar o seguinte aspecto matemático: o que ocorre com o valor da força F se duplicarmos a distância entre os corpos? E se triplicarmos? Para responder a essas perguntas, vamos considerar, inicialmente, uma distância de 1 unidade (1 u). Assim, temos: F

=

G

⋅m ⋅m 1

2

12

=

G

⋅m ⋅m 1

= G⋅m ⋅m

2

1

1

2

– Duplicando a distância (d = 2 u): F

=

⋅ ⋅

G m1 m2 22

=

⋅ ⋅

G m1 m2 4

A força gravitacional fica dividida por 4. – Triplicando a distância (d = 3 u): F

Isaac Newton, um dos mais famosos cientistas da História, viveu na Inglaterra entre os séculos XVII e XVIII, contribuindo com seus estudos nas áreas da Física, Matemática e Astronomia. Em um de seus famosos estudos astronômicos e físicos, formulou a chamada teoria da gravitação universal. Segundo essa teoria, “a força de atração de um planeta sobre outro planeta é proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles”. De acordo com essa teoria, temos a seguinte fórmula: F

=

⋅

G m1

⋅m

2

d2

em que: G = constante da gravitação universal;

=

⋅ ⋅m

G m

1

2

32

=

⋅ ⋅m

G m

1

2

9

A força gravitacional fica dividida por 9. De maneira geral, observe a seguinte relação entre as grandezas x e y com uma constante a: y=

a x2

Com base nessa relação, temos que: – duplicando x, y fica dividido por 4, ou y

seja,

4

;

– triplicando x, y fica dividido por 9, isto é,

y 9

;

– quadruplicando x, y fica dividido por 16, ou seja,

y 16

.

1 1 5 1 P 9 F E

105


Situação 2

d = distância de onde se mede a intensidade relativa ao ponto de origem da onda (como um alto-falante), em metros (m);

K C O T S R E T T U H S / H C S O G F L A R

I = Intensidade da onda em W/m². Assim, considerando um alto-falante com 1.000 W de potência e adotando π = 3, determine a intensidade da onda medida a uma distância de: a. 1 metro. I =

Outra situação na qual temos a presença de uma variação com o inverso do quadrado diz respeito à intensidade de uma onda sonora emitida, por exemplo, por um alto-falante. Neste caso, temos a seguinte fórmula: I

=

P 4

⋅ π ⋅d

2

Em que: P = potência em watts (W);

1 1 5 1 P 9 F E

1.000 4 ⋅ 3 ⋅1

2

=

1.000 12

≈ 83,33 W/m2

b. 10 metros. I =

1.000 4 ⋅3 ⋅10

2

=

1.000 1.200

sendo a fórmula apenas ilustrativa. Caso considere pertinente, comentar que G é dada em N·m²/ kg², m é dada em kg, d é dada em metros e F é dada em newtons (N).

≈ 0,8333 W/m2

Observe que, ao multiplicarmos a distância (d) por 10, a intensidade ficou reduzida a um centésimo, ou seja, foi dividida por 100 (83,33 : 100 = 0,8333). Assim, temos que a intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância.

Se julgar pertinente, comentar que a expressão dada no denominador é relativa ao cálculo da área da superfície de uma esfera de raio d. Comente que a onda sonora é emitida em todas as direções, criando um movimento em forma de esfera. Daí a origem dessa expressão na fórmula.

106


Mapa conceitual Razão

Proporção direta

Variação linear

Regra de três

Proporção

Variação do quadrado

Variação do cubo

Porcentagem (%)

Proporção inversa

Variação com o inverso do quadrado

Proporção e gráficos

1 1 5 1 P 9 F E

Razão e proporção: representação gráfica Avidade 11 • Proporção direta Exercícios de Aplicação 01) Patrícia começou a trabalhar em uma cozinha industrial e está auxiliando no preparo de pães. Em uma determinada semana, ela estava auxiliando no preparo de pão caseiro. Dentre os ingredientes necessários, faz-se uso de fermento biológico. A tabela que vamos apresentar mostra a quantidade desse tipo de fermento e o rendimento possível.

Com isso, responda ao que se pede. a. Sobre os valores da tabela, se duplicarmos a quantidade de fermento, além, é claro, dos demais ingredientes, o que ocorrerá com a quantidade de porções? Também duplicará.

b. Que tipo de proporção existe entre as grandezas envolvidas na tabela? K C O T S R E T T U H S / A I D E M K A E R B E V A W

2


Proporção direta.

02) Um arquiteto está planejando a construção de uma casa. A escala que ele escolheu para a representação da planta baixa é 1:200. Com base nessa escala, responda: a. Qual é o significado dessa escala? Cada unidade do desenho representa 200 unidades reais.

b. A proporção utilizada nessa escala é direta? Explique. Sim, a proporção é direta. Quando duplicamos a medida real, a medida no desenho também é duplicada, e assim por diante.

Para agilizar seu trabalho, Patrícia pretende completar a tabela para outras porções possíveis. 2 1 5 1 P 9 F E

Capítulo

c. Caso o piso da sala tenha um formato retangular, com lados medindo 4 m por 5 m, quais deverão ser as medidas, em centímetros, no desenho?

Fermento (g)

Rendimento (porções)

50

5

Largura: 4 m = 400 cm → 400 : 200 = 2 Comprimento: 5 m = 500 cm → 500 : 200 = 2,5

100

10

150

15

O retângulo que representará a sala na planta baixa terá 2 cm por 2,5 cm.

200

20

No exercício 02, item A, verificar se os alunos estão escrevendo centímetros ao invés de unidades. Caso isso ocorra, comentar que a escala mostra unidades genéricas, não necessariamente o centímetro.

108 Em situações como a apresentada no exercício 03, p ode-se utilizar, como uma variação do exercício, dados reais e atualizados, provenientes de panfletos promocionais.


03) Observe a tabela, que mostra o preço de dois modelos de pacote de fraldas de uma mesma marca. K C O T S R E T T U H S / N A L B O R

Considerando os dados da tabela, responda: a. Qual é o preço de cada fralda no pacote de 36 unidades? 19,90 ÷ 36 ≈ 0,55 Aproximadamente, R$ 0,55.

Pacote com 36 unidades

b. Qual é o preço de cada fralda no pacote de 52 unidades? 26,90 ÷ 52 ≈ 0,52 Aproximadamente, R$ 0,52.

Pacote com 52 unidades

Unidades

Preço (R$)

36

19,90

52

26,90

c. Existe proporção direta nos dados apresentados na tabela? Não.

d. Em qual pacote o preço de cada fralda é mais baixo? O pacote com 52 unidades.

Exercícios Propostos 04) Uma torneira ficou parcialmente aberta e deixou escorrer 11,5 litros de água por minuto. Para ter uma ideia da dimensão do desperdício, complete a tabela e, depois, responda ao que se pede: No exercício 05, caso algum aluno questione o fato de não haver proporção direta, comentar sobre a aceleração da gravidade. Se necessário, combinar com o(a) professor(a) de Ciências para que ele(a) faça uma breve explicação sobre o tema. No capítulo 4, sobre o estudo da radiciação, apresentaremos a fórmula que relaciona o tempo de queda de um corpo com a altura em que foi abandonado. Com isso, será possível retomar essa discussão e calcular os valores apresentados aqui.

05) Se abandonarmos um corpo de certa altura, como alguém que salta de paraquedas antes de acioná-lo, o tempo de queda e a respectiva distância percorrida serão de, aproximadamente: 5 m em 1 s

Tempo (min)

Volume (L)

20 m em 2 s

1

11,5

45 m em 3 s

2

23

10

115

30

345

Assim, a distância percorrida pelo corpo em queda livre é diretamente proporcional ao tempo? Explique.

60

690

a. Os valores apresentados na tabela são diretamente proporcionais. Qual é a constante de proporcionalidade?

S G H E U R T M T A E R N S S T K O Y C D K I V E R /

11,5

b. Em 1 dia, quantos litros de água serão desperdiçados? 1 dia = 24 × 60 min = 1.440 min 1.440 × 11,5 = 16.560 Serão desperdiçados 16.560 litros.

Não, pois não existe uma constante de proporcionalidade, ou seja, duplicando-se o tempo, o corpo não percorre o dobro da distância.

2 1 5 1 P 9 F E

109


06) Ricardo tem uma piscina, cuja capacidade é de 1.200 L. Como a piscina está totalmente vazia, ele decide enchê-la com uma mangueira cuja vazão é de 20 L por minuto. A tabela relaciona o tempo (em minutos) com a quantidade de água na piscina (em litros). Tempo Quantidade de água (minutos) na piscina (em litros)

Sendo x o tempo gasto para encher metade da piscina e y o tempo gasto para encher a piscina toda, o valor de x + y, em minutos, é igual a: a. 30 minutos. b. 60 minutos. R.: C c. 90 minutos. d. 100 minutos. e. 120 minutos.

0

0

1

20

x

2

40

1 min

3

60

.

.

.

.

.

.

x

600

.

.

.

.

.

.

y

1.200

1 min

y

= =

20 L 600 L

⇒x =

20 L 1.200 L

30 min

⇒ y = 60 m in

x + y = 30 + 60 = 90 min

Avidade 12 • Representação gráfica de proporção direta Exercícios de Aplicação 01) Uma costureira está desenvolvendo um novo modelo de vestido e foi a uma loja especializada para comprar o tecido.

2 1 5 1 P 9 F E

K C O T S R E T T U H S / A I D E M K A E R B E V A W

O tecido que pretende comprar tem um custo de R$ 45,00 por metro de comprimento, sendo a largura do rolo constante. Com isso, responda ao que se pede. a. Complete a tabela, que relaciona o comprimento (C) do tecido, em metros, com o respectivo preço (P), em reais. C (m)

P (R$)

1

45

2

90

3

135

4

180

110


b. Se duplicarmos a medida do tecido, o que ocorrerá com o preço? E se triplicarmos a medida? Se duplicarmos a medida, o preço também duplicará. Da mesma forma, se triplicarmos a medida do tecido, o preço também triplicará.

Com base nesses valores, construa o gráfico que relaciona o número de ovos com o rendimento em unidades. Rendimento (unidades) 240 180 120 60 0

4

8

12

16

Ovos

c. Nesta situação, que tipo de proporção existe entre as grandezas comprimento e preço? Proporção direta.

d. Trace o gráfico que relaciona as grandezas dadas na tabela. P (reais) 180 135 90

03) Considere uma máquina em uma indústria que sempre produz 15.000 peças a cada 5 horas de funcionamento. Com base nessa produtividade, complete a tabela, que relaciona as grandezas número de peças (p) e tempo (h). Depois, construa o gráfico que relaciona essas grandezas. No eixo horizontal, indique o tempo e, no eixo vertical, o número de peças produzidas pela máquina.

45

0

1

2

3

4

L (m)

02) Um cozinheiro está desenvolvendo uma nova receita de bolo. Na verdade, são mini-bolos (porções individuais) que são servidos em uma festa. Em uma receita que rende 60 unidades, ele utiliza, dentre outros ingredientes, 4 ovos. Dessa forma, ele montou uma tabela que relaciona o número de ovos com as unidades produzidas. Acompanhe: Ovos

Rendimento (unidades)

4

60

8

120

12

180

16

240

Tempo (h)

nº de peças (p)

5

15.000

10

30.000

15

45.000

Gráfico: p 45.000

30.000

15.000

5

10

15

h

2 1 5 1 P 9 F E

111


Exercícios Propostos 04) No estudo sobre a queda livre de um objeto, temos uma relação entre as grandezas envolvidas em que não se aplica a proporção direta. Veja, como exemplo, algumas relações entre altura e tempo de queda na tabela: Tempo (s)

Altura (m)

1

5

2

20

3

45

05) O gráfico mostra o fluxo de água, em litros por minuto, que um determinado purificador fornece ao consumidor. J O H N K A S A W A / S H U T T E R S T O C K V

f(L) 42

28

14

Vamos verificar se o gráfico esboçado por esses valores é uma reta. Para isso, faça um esboço do gráfico, tomando como base os valores apresentados na tabela e utilizando uma escala apropriada para cada um dos eixos. Para o esboço, utilize: Eixo vertical = distância Eixo horizontal = tempo

7

14

21

t(min)

A constante de proporcionalidade entre as grandezas fluxo por tempo é: a. 1 L/min. R.: B b. 2 L/min. c. 3 L/min. d. 2 L/s. e. 3 L/s.

d

Tomando um dos pontos do gráfico como referência, temos:

45

14 L 7 min

= 2 L/min

20

5 0

1

2

3

t

Não é uma reta.

Avidade 13 • Taxa de variação Exercícios de Aplicação 01) Observe a tabela que relaciona o preço de um combustível com o volume: 2 1 5 1 P 9 F E

Volume (L)

Preço (R$)

3

8,40

4

11,20

5

14,00

6

16,80

As grandezas apresentadas são diretamente proporcionais. Nesse caso, indique qual é a taxa de variação correspondente. ∆ (preço) = p f − pi = 11,20 − 8, 40 = 2 ,8 ∆ (litro) = L f − Li = 4 − 3 = 1 ∆ (preço) 2, 80 = = 2, 80 reais/LL i= ∆ (litro) 1

112


02) Em um restaurante, um auxiliar de cozinheiro ficou encarregado de preparar os sucos servidos na semana. Para manter um padrão de sabor, ele utiliza uma tabela que associa a porção de açúcar com o volume de suco. Acompanhe: Volume (L)

Açúcar (gramas)

1

120

2

240

3

360

4

480

Na construção de um gráfico relativo aos valores apresentados pela tabela, que re-

laciona grandezas diretamente proporcionais, qual deve ser sua taxa de variação. ∆ (gramas) = gf − gi = 240 − 120 = 120 ∆ (litros) = L f − Li = 2 − 1 = 1 ∆ (gramas) 120 i= = = 120 g/L ∆ (litros) 1 03) Muitas grandezas não se relacionam de forma direta. Por exemplo, na queda livre de um objeto, as grandezas altura e tempo não são diretamente proporcionais. Nessa situação, é possível determinarmos uma única taxa de variação? Explique. Na queda livre de um objeto, o gráfico que relaciona altura e tempo não determina uma reta, mas sim, uma curva. Com isso, não podemos determinar, para todo o gráfico, uma única taxa de variação.

Exercícios Propostos 04) Se chamarmos o lado de um quadrado de x, e seu perímetro de y, podemos escrever uma igualdade que mostra a seguinte relação entre lado e perímetro desta figura:

Gráfico: y 16

y = 4·x Sobre isso, responda: a. Se duplicarmos o valor de x (lado), o que ocorrerá com o perímetro (y)? O perímetro também duplicará.

b. Podemos afirmar que y é diretamente proporcional a x? Se sim, qual é a constante de proporcionalidade?

12

8

4

0

1

2

3

4

x

Sim. A constante de proporcionalidade é 4.

c. Complete a tabela a seguir e, depois, construa o gráfico que relaciona x, no eixo horizontal, com y, no eixo vertical. x

y

1

4

2

8

3

12

4

16

d. Qual é a taxa de variação? ∆y 16 − 4 12 = = =4 i= ∆x 4 − 1 3

05) Em uma indústria, duas máquinas, com mesma capacidade de produção, conseguem produzir, juntas, 48.000 peças em um dia. Instalando mais três máquinas, com mesma capacidade de produção que as outras duas, consegue-se fabricar

2 1 5 1 P 9 F E

113


um total de 120.000 peças por dia. Relacionando o número de máquinas e peças produzidas por dia para outros valores, pode-se construir um gráfico que representa a variação dessas grandezas diretamente proporcionais. Assim, qual deve ser a taxa de variação?

∆(peças) = pf − pi = 120.000 − 48.000 = 72. 000 ∆(máquina) = mf − mi = 5 − 2 = 3 ∆ (peças) 72.000 = = 24 i= .000 peças/máquina ∆ (máquina) 3

Avidade 14 • Variação linear Exercícios de Aplicação 01) Um vendedor de uma loja de calçados recebe um salário fixo de 850 reais. Além desse valor, a cada par de sapatos vendido, independentemente do valor dos sapatos, são acrescentados 2 reais ao salário. Com isso, responda: a. Escreva uma sentença matemática que relaciona o salário total (y) desse vendedor com o número de pares de sapatos (x) vendidos. y = 2·x + 850

Indica uma proporção direta.

b. y = 3x + 10 Não há proporção direta.

c. y = x

b. Complete a tabela a seguir para a quantidade de pares de sapatos indicadas. Pares de sapatos (x)

Salário (y)

0

850

10

870

20

890

c. Com base nos valores apresentados na tabela, construa o gráfico. y 900 890 880

Há proporção direta.

d. y = –2x –9 Não há proporção direta.

e. y = –5x Há proporção direta.

03) Considere a seguinte relação entre x e y: y = a·x + b Essa relação, conforme mostrado na teoria, apresenta um gráfico que varia de forma linear sem necessariamente passar pela origem. Ainda assim, é possível que o gráfico que representa este tipo de relação passe pela origem. Explique como isso é possível. Caso b = 0, a relação y = ax + b ficará assim: y = ax. Nessa situação, a reta que representa esta relação passará pela origem, pois teremos uma proporção direta entre y e x, com constante a. Da mesma forma, como b indica o ponto em que a reta cruza o eixo y, sendo ele igual a zero, a reta passará pela origem.

870 860 2 1 5 1 P 9 F E

02) Considere duas grandezas representadas pelas letras x e y. Identifique quais das relações a seguir indicam uma proporção direta entre x e y. a. y = 7·x

850 840

0

10

20

x

114


Exercícios Propostos 04) Considere que entre duas grandezas x e y exista a relação matemática y = 3x + 4. Nesse sentido, responda ao que se pede: a. Como se chama o tipo de variação entre x e y? Variação linear

b. Complete a tabela de acordo com a relação dada. x

y

0

4

1

7

2

10

3

13

4

16

c. Tomando como base os valores da tabela, construa um esboço do gráfico.

05) Um vendedor de uma loja recebe comissão, ou seja, uma porcentagem sobre o total faturado no mês com suas vendas. Além disso, recebe mensalmente uma ajuda de custo de 550 reais. Chamando de T o total recebido por esse vendedor em um determinado mês e de f o total faturado com as suas vendas, a igualdade que mostra uma relação entre T e f, sabendo-se que sua comissão representa 3% do faturamento, é: a. T = 3 + f b. T = 550 + 3f c. T = 550 + 0,3·f d. T = 550 + 30·f R.: E e. T = 550 + 0,03·f Total = 550 + 3% do faturamento Total = 550 + 0,03·faturamento T = 550 + 0,03·f

y 16 13 10 7 4 0

1

2

3

4

x

Avidade 15 • Variação do quadrado Exercícios de Aplicação 01) Considere duas grandezas, x e y, que se relacionam por meio da relação y = 10x². Com base nesta relação, complete a tabela. x

y

0

10·0² = 0

1

10·1² = 10

2

10·2² = 40

3

10·3² = 90

4

10·4² = 160

02) Considere um quadrado com lado de 1 unidade. O que ocorre com a medida da área dessa figura se: a. duplicarmos a medida do lado? Represente por meio de figuras essa variação. A medida da área é multiplicada por 4. Veja a figura: 1U

2U

2 1 5 1 P 9 F E

115


b. triplicarmos a medida do lado? Represente por meio de figuras essa variação. A medida da área é multiplicada por 9. Veja a figura: 1U

3U

a. O jato d´água formado na figura nos lembra uma curva muito estudada em variações do quadrado. Qual é o nome dado a esse tipo de curva? Parábola

b. Supondo que o raio de alcance da água desse sistema seja de 20 m, qual será a medida, em metros quadrados, da área irrigada? (Considere π = 3,14) 03) Observe o sistema de irrigação mostrado na imagem. K C O T S R E T T U H S / O R P G N O M

A = 3,14·20² A = 3,14·400 A = 1.256 m² A área será de 1.256 m².

c. Caso o sistema de irrigação tenha um alcance de 40 m, portanto o dobro do anterior, qual será a medida da área da região irrigada? Esta área corresponderá a quantas vezes a área anterior?

Supondo que o sistema gire em torno do próprio eixo irrigando uma área circular, responda ao que se pede.

A = 3,14·40² A = 3,14·1.600 A = 5.024 m² A área será de 5.024 m² (o quádruplo da área anterior).

No exercício 03, item C, verificar se os alunos estão considerando, de forma equivocada, a nova área como apenas o dobro da área antiga, em função de raio ter duplicado. Aproveite para reforçar a variação do quadrado por meio deste exemplo.

Exercícios Propostos 04) Considere que a relação de grandeza entre x e y seja dada por y = 3x². Sobre isso, responda: a. Existe proporção entre y e x? E entre y e x²? Qual é a constante de proporcionalidade envolvida?

tabela e, em uma folha separada, construa um esboço de seu respectivo gráfico.

Não existe proporção entre y e x, mas sim, entre y e x². Neste caso, a constante de proporcionalidade é 3.

x

y

0

2 · 0² = 0

1

2 · 1² = 2

2

2 · 2² = 8

3

2 · 3² = 18

Apresentamos aqui um esboço do gráfico. Solicitar aos alunos que façam a construção do gráfico mantendo-se uma mesma escala para os dois eixos, como 1 cm para cada unidade. Desta forma, poderão observar com mais clareza como é o traçado da curva.

Esboço do gráfico: y

2 1 5 1 P 9 F E

b. Se multiplicarmos o valor de x por 2, por quanto será multiplicado o valor de y? O valor de y será multiplicado por 4.

05) A relação entre duas grandezas x e y é dada por y = 2x². Com isso complete a

18

8

2 0

1

2

3

x

116


Avidade 16 • Variação do cubo Exercícios de Aplicação 01) Considere duas grandezas, x e y, que se relacionam por meio da relação y = 2x³. Com base nesta relação, complete a tabela.

b. triplicarmos a medida da aresta? Represente por meio de figuras. A medida do volume é multiplicada por 27. Veja a figura: 3U

No exercício 03, caso necessário, lembrar os alunos de que a fórmula foi apresentada na teoria.

x

y

0

2 · 0³ = 0

1

2 · 1³ = 2

2

2 · 2³ = 16

3

2 · 3³ = 54

4

2 · 4³ = 128

02) Considere um cubo com aresta medindo 1 unidade. O que ocorre com a medida do volume dessa figura se: a. duplicarmos a medida da aresta? Represente por meio de figuras. A medida do volume é multiplicada por 8. Veja figura: 2U 1U

1U

03) Considere uma esfera que tenha um raio de 1 cm. Sobre essa figura, responda ao que se pede: a. O que ocorre com a medida de seu volume se triplicarmos a medida de sua aresta? 4

Vi

=

Vf

=

Vf

= 27V

3 4 3

π ⋅1 = 3

4 3

π cm

 4 π⋅3 =  3 3

3

 π ⋅ 27 = ( V ) ⋅ 27 cm 

3

i

i

O volume será multiplicado por 27.

b. Para responder ao item anterior, é necessário que se conheça o valor numérico de π? Explique. Não é necessário conhecer o valor de π, pois trata-se de uma constante de proporcionalidade entre o volume V e o cubo do raio.

Exercícios Propostos 04) Considere duas grandezas, x e y, que se relacionam da seguinte forma: y = 0,1x³. Com base nessa relação, responda ao que se pede: a. Qual é a constante de proporcionalidade entre y e x³? 0,1

b. Se substituirmos o valor de x por 5, o que ocorrerá com o respectivo valor de y? y = 0,1·5³ = 0,1·125 = 12,5 O valor de y será multiplicado por 125. (12,5 : 0,1 = 125 ou 5³ = 125)

2 1 5 1 P 9 F E

117


05) Considerando o exercício anterior, complete a tabela e, em uma folha separada, construa um esboço do gráfico. x

y

0

0,1 · 0³ = 0

1

0,1 · 1³ = 0,1

2

0,1 · 2³ = 0,8

3

0,1 · 3³ = 2,7

Esboço do gráfico: y 2,7

0,8

0,1 0

1

2

3

x

Nesse globo, alguns países apresentam-se tão pequenos que é quase impossível visualizálos. Então, o professor Antônio pensou em comprar um globo cujo raio fosse o triplo do raio do globo terrestre que vinha usando. É correto afirmar que o volume do globo terrestre novo é equivalente a: a. 2 vezes o volume do globo terrestre antigo. b. 3 vezes o volume do globo terrestre antigo. c. 4 vezes o volume do globo terrestre antigo. d. 16 vezes o volume do globo terrestre antigo. R.: E e. 27 vezes o volume do globo terrestre antigo.

06) Antônio, professor de Geografia, utiliza, em sua aula, um globo terrestre em formato esférico que representa a Terra.

Se triplicarmos o raio, o volume antigo ficará multiplicado por 3³ = 27.

Avidade 17 • Proporção inversa Exercícios de Aplicação 01) Observe a seguinte relação entre duas grandezas, x e y:

Se

=

x

1 2

⇒

y

=2⋅

1 1

= 2⋅

2 1

=

2

y

=2⋅

1 Se x

x

Sobre essa relação, responda ao que se pede: a. Complete a tabela a seguir, que associa alguns valores de x com alguns valores de y. 2 1 5 1 P 9 F E

x

y

1 2

4

1

2

3 2

4 3

2

1

5 2

4 5

Se x

= 1⇒ y = 2⋅

=

3 2

⇒

y

=2⋅

1 1 1 3

= 2⋅1 = 2 = 2⋅

2 3

=

4

=

4

3

2 1

2

2

2

Se x

= 2 ⇒y =2⋅ =

Se x

=

5 2

⇒

y

=2⋅

1 5 2

=

1

= 2⋅

2 5

5

4

T I T O V D M I T R I Y / S H U T T E R S T O C K

Apresentamos aqui um esboço do gráfico. Solicitar aos alunos que façam a construção do gráfico mantendo-se uma mesma escala para os dois eixos, como 1 cm para cada unidade. Desta forma, poderão observar com mais clareza como é o traçado da curva.

118


b. As grandezas x e y são inversamente proporcionais. Qual é a constante de proporcionalidade entre y e o inverso de x? 2

c. Considerando os valores da tabela construa um esboço do gráfico. y

02) Observe a tabela e, depois, responda ao que se pede. x

y

1

120

2

60

3

40

4

30

5

24

a. Quando duplicamos o valor de x, o que ocorre com o respectivo valor de y?

4

Fica reduzido à metade (é dividido por 2). 3

b. Quando triplicamos o valor de x, o que ocorre com o respectivo valor de y?

2

Fica reduzido à terça parte (é dividido por 3).

1

c. Como podemos chamar a proporção existente entre os valores de x e de y?

0

1

2

3

x

Proporção inversa

Exercícios Propostos Em situações como a mostrada no exercício 04, item B, verificar se alguns alunos escrevem “dividido pela metade”. Mostrar que “dividir pela metade (: 0,5) não é o mesmo que dividir por 2 (: 2).

03) Considere a relação entre duas grandezas y e x dada por: y

=

c. Se triplicarmos o valor de x, por qual valor ficará dividido o respectivo valor de y?

144 x

y ficará dividido por 3.

Sobre essa relação, responda ao que se pede. a. Qual é a constante de proporcionalidade entre y e o inverso de x? 144

b. Se duplicarmos o valor de x, por qual valor ficará dividido o respectivo valor de y? y ficará dividido por 2.

d. Como podemos chamar a proporção existente entre os valores de x e de y? Proporção inversa

2 1 5 1 P 9 F E

119


04) Considerando a relação mostrada no

Esboço do gráfico:

 144  = , complete a x   

y

exercício anterior  y

144

tabela a seguir e construa, em uma folha separada, o esboço do respectivo gráfico.

72 48

x

y

1

144

2

72

3

48

0

1

2

3

x

Pelo fato de o eixo das ordenadas (y) apresentar valores muito altos, como 144, sugerir que façam um esboço adotando uma escala diferente para este eixo.

Avidade 18 • Variação com o inverso do quadrado Exercícios de Aplicação 01) Observe a tabela a seguir, que mostra uma relação entre as variáveis y e x. x

y

1

200

2

50

3

22,22...

4

12,5

5

02) Considere a relação matemática entre as grandezas y e x dada por: y

Será dividido por 4 (2²).

b. Se triplicarmos o valor de x, o que ocorrerá com o valor de y?

144 x2

Sobre essa relação, responda ao que se pede. a. Qual é o valor de y para x = 1? y =

8

Sobre os dados dessa tabela, responda ao que se pede. a. Se duplicarmos o valor de x, o que ocorrerá com o valor de y?

=

144 12

=

144 1

= 144

b. Qual é o valor de y para x = 2? y =

144 22

=

144 4

= 36

c. Quando duplicamos o valor de x, o que ocorreu com o respectivo valor de y? Ficou reduzido à quarta parte (foi dividido por 4).

Será dividido por 9 (3²). 2 1 5 1 P 9 F E

d. Na relação entre os valores de x e y, que tipo de proporção é verificada? c. Na relação entre os valores de x e y, que tipo de proporção é verificada? Variação com o inverso do quadrado.

Variação com o inverso do quadrado.

No exercício 01, sugerimos o uso de uma calculadora.

01 Razão e Proporção

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