1. DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS 2. Objetivo: Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares. 3. Materiais Utilizados: • • •
Régua milimetrada; Paquímetro; Folhas de papel.
4. Fundamentação Teórica: Nesse experimento travaremos contato com a constante d, que poderá assumir valores inteiros e/ou fracionários. Para formas geométricas elementares d tem um valor inteiro e é interpretado como a dimensão do objeto. Assim se trabalharmos com esferas de aço maciças de densidade uniforme, teremos 3
π 3 D M = ρ ⋅ V = ρ ⋅ π = ρ D 3 2 6 4
(1)
onde M é a massa, ρ a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o diâmetro.
A equação (1) pode ser escrita da seguinte forma: 1/d D = KM
(2-a)
onde, 6 K = πρ
1/d
ed=3
(2-a)
A versão bidimensional das equações (1) e (2) será: 2
D M = σA = σπ 2 1/d D = KM
(2-c)
onde, 1/d
4 K = e d = 2. πσ
Já na forma unidimensional temos: M=
D 2
λ ⋅ L = 2ππ
(2-d)
1/d
1 K = e d = 1. πλ
5. Procedimentos experimentais: a) Construa sete bolas de papel amassado, dividindo cada folha como indicado na figura 1. Atribua a menor fração da folha massa 1 e as seguintes massas 2, 4, 8, ... Assim a enésima fração, em ordem crescente de tamanho, terá massa relativa 2 n.
Figura 1
b) Para cada uma das bolas de papel faça sete ou mais medidas do diâmetro em pontos diferentes, determinado o diâmetro médio para cada uma delas. Preencha a tabela abaixo calculando a incerteza estimada ΔD associada ao tamanho de cada bola. M D
1
2
4
8
16
32
64
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D
ΔD
Tabela 1
c) Utilizando a tabela 1, construa o gráfico log-log do diâmetro versus a massa (M). Assumindo que
1/d
D = KM
, encontre as constantes K e d estimando a incerteza Δd. (Para
construção do gráfico, usar papel em anexo)
5. Questões: a) Que valor você esperaria de d para uma esfera tridimensional de densidade uniforme? E para uma “esfera” bidimensional – um objeto circular, como uma moeda, de densidade uniforme? E para uma esfera unidimensional? b) Qual a expressão de K para os três tipos de objetos a que se refere à pergunta (a)? c) Baseando-se nos valores de d e Δd encontrados e na resposta do item (a), como você interpreta o valor de d obtido?
Observação; Dos resultados obtidos neste experimento somos forçados ou tentados a tratar de um d não inteiro como uma espécie de dimensão fracionária. Você pode se convencer que o d fracionário
encontrado nesta experiência não é produto de erro! Observe bem seu gráfico log-log de D versus M. Os pontos “caem” regularmente sobre uma mesma reta? Pensando um pouco, você pode sentir que existem certos expedientes para gerar bolas de papel onde d aproxima-se de três, como na situação descrita pelas equações (1) e (2). Comparando os resultados de d obtidos por seus colegas, você notará uma forte tendência desta constante ficar entre 2 e 3. É natural que seja assim, pois três é a dimensão do espaço que vivemos e, evidentemente, da mesma forma como não podemos colocar uma esfera dentro de um plano (o termo técnico é “embeber”) cuja dimensão é dois, não podemos embeber um objeto de dimensão maior que três em nosso espaço euclidiano tridimensional habitual. Por outro lado é razoável que d seja maior que dois, que é a dimensão de partida de nossas bolas de papel – lembre-se que a matéria prima das bolas em nossa experiência foi folha de papel que é um objeto bidimensional. Essa dimensão dois da folha de papel é o que os matemáticos chamam de dimensão topológica. Abaixo daremos uma definição operacional deste conceito formulado pelo matemático francês Henri Poincaré no início do século 20. Veja que essa dimensão dT = 2 é uma característica bem marcante desse sistema na medida que podemos desdobrar com o devido cuidado as bolas de papel de forma a obtermos a superfície bidimensional de origem. Matematicamente você pode afirmar que a dimensão topológica (d T = 2, no caso) é invariante sob operação de amassamento. Desde que encontramos experimentalmente que os valores de d obtidos por vocês e seus colegas satisfazem 2 < d ≤ 3 , como identificamos o “2” com a dimensão do espaço onde a bola de papel está imersa ou embebida, não seria mal sermos arrojados e lançar a seguinte hipótese: “Em certas estruturas de geometria complexa onde aparece uma quantidade d fracionária, como uma espécie de extensão natural do conceito de dimensão devemos ter: d < d ≤ d , onde d T é a dimensão topológica do objeto e d E a dimensão do espaço euclidiano onde o sistema está embebido: d T e dE são, evidentemente inteiros.” Vamos aproveitar a ocasião para batizar esses d fracionários de “dimensão fractal” e aos objetos possuindo d fracionário de “fractais” . T
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