Integración Múltiple Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por eje mplo, una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse como sigue:
Al numerador se le llama integral doble. Las técnicas estudiadas en este capítulo capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función sobre un área rectangular. Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales iteradas.
Primero se evalúa la integral integral en una de las dimensiones dimensiones y el resultado de esta primera integración se incorpora en la segunda integración. Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples , a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la segunda dimensión. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO Planteamiento del problema: suponga que la temperatura en una placa rectangular se describe mediante la siguiente función:
Si la placa tiene 8m de largo (dimensión x) y 6m de ancho (dimensión y), calcule la temperatura promedio.
SOLUCION: primero se usara la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensión.
Las temperaturas en los valores x y y necesarios se representan en la figura 21.17. Observe que un promedio simple de estos valores es 47.33. La función también se evalúa analíticamente, cuyo resultado seria 58.66667. Para realizar numéricamente la misma evaluación se emplea primero la regla del trapecio a lo largo de la dimensión x con cada uno de los valores de y. Estos valores se integran después a lo largo de la dimensión y para dar como resultado final 2688. Dividiendo este entre el área se obtiene la temperatura promedio:2668/(6×8)=56. También podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo segmento. Esta integral da como resultado de 2816 y un promedio de 58.66667, que es exacto. ¿Por qué pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfectos con polinomios cúbicos. Como el término del grado mayor en la función es de segundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto. Para funciones algebraicas de grado superior, así como funciones trascendentes, será necesario emplear segmentos múltiples para obtener estimaciones exactas de la integral. Además el capítulo 22 presenta técnicas más eficientes que las fórmulas de Newton-Cotes, para la evaluación de integrales de funciones dadas. Estas con frecuencia proporcionan mejores recursos para la integración numérica de integrales múltiples.
Integración múltiple Para evaluar integrales múltiples en regiones rectangulares, podemos aplicar los métodos de las secciones previas de una manera similar a la composición de funciones. Por ejemplo para el caso bidimensional tenemos:
Donde R = {(x, y)|a<= x <=b, c<= y <=d}, para ciertas valores a, b, c, d E R. Para este caso, un método de solución es aplicar primero la regla compuesta de Simpson para aproximar:
Donde asumimos xi como constante. Subdividiendo [c, d] en un número par m de subintervalos, con k = (d − c)/m, entonces y j = c + jk para 0<= j <=m, y podemos escribir: Donde:
Podemos ahora escribir nuestra integral doble como:
Ahora aplicamos de nuevo la regla compuesta de Simpson, a cada una de las integrales del lado derecho, donde cada una de ellas tiene la forma siguiente y se aplican para yj con 0<= j <=m.
Donde:
Donde xi = a + ih para 0<= i <=n.
Fórmulas de Newton –Cotes En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será el resultado. Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
Para la integración numérica de subdivide el intervalo
en
utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se intervalos iguales. Así se obtienen
puntos donde
se evaluará la función:
Si
y
se denominan
fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya
que
los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes . Para el calculo se utilizará la siguiente función:
donde:
es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que
Esta función se expresa de la siguiente forma
Donde los "pesos" w i están definidos por
Fórmulas cerradas de Newton-Cotes Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. La notación
es una abreviatura de
,
y
, con
el grado.
Regla del trapecio
La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.
Y el error es:
Siendo
un número entre a y b.
Regla de Simpson
La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado. Regla de Simpson 1/3 La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.
Y el error es:
siendo
un número entre a y b.
Regla de Simpson 3/8 La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.
. Y el error es:
Siendo
un número entre a y b.
Regla de Boole
La regla de Boole (llamada así debido a George Boole) utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.
Y el error es:
Siendo
un número entre a y b.
Regla de quinto orden
La regla de quinto orden utiliza seis puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de quinto grado.
Regla de Sexto orden
La regla de sexto orden utiliza siete puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de sexto grado.
Fórmulas abiertas de Newton-Cotes Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Regla del punto medio - integración de Riemann
En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.
Y el error es:
Siendo
un número entre a y b.
Reglas compuestas Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precisión si se aumenta el número de intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada vez más pequeños. Como el intervalo
generalmente es grande hay métodos
que subdividen este intervalo en subintervalos más pequeños y a estos se les aplica las Fórmulas de Newton-Cotes, a la suma de estos subintervalos se le conoce como reglas compuestas. Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de aumentar la eficiencia
del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo. Regla del trapecio compuesta
Donde tal que
siendo:
son los subintervalos, y
la distancia entre los subintervalos.
Referencias
Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica, Fórmulas de Newton-Cotes, Fórmulas de Gauss. Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López. Marzo de 2007. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM
