002 El sistema coordenado tridimensional
El sistema coordenado tridimensional
Habilidades
1. Describir Describir el sistema sistema coordenado coordenado tridime tridimension nsional. al. 2. Localizar Localizar un punto en el espacio espacio cartesia cartesiano. no. 3. Identifica Identifica y grafica planos planos parale paralelos los a los planos coordenados y a los ejes coordenados 4. Deducir la fórmula fórm ula para hallar la distancia entre dos puntos del espacio. 5. Determinar el punto medio entre dos puntos del espacio. 6. Describir las características características y grafica la ecuación de un plano (interceptos, trazas trazas y gráficas). gr áficas).
INTRODUCCIÓN
o
¿ Cómo podemos representar mediante un sistema de coordenadas la ubicación del cañón de proyección respecto a la esquina O ?
Introducción El concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural ± con solo ligeros cambios ± a vectores en el espacio. En el espacio, los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y que para poder trabajar la tercera componente introducimos el sistema de coordenadas tridimensional.
EL ESPACIO TR IDIMENSIONAL
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada ( x ; y ; z ) se denomina punto del espacio tridimensional. z
(0; 0; z ) ( x ; 0; z)
(0; y ; z )
P = ( x ; y ; z ) (0; y ; 0)
y (x; 0; 0)
x
( x ; y ; 0)
EL sistema de coordenadas tridimensional plano xz: y=0 z
origen (0;0;0) x
y
plano xy: z=0
plano yz: x=0
IR 3 Z
EJE Z EJE Y Y
X
EJE X
VECTOR
EN EL ESPACIO
z v3 V=
(v1; v2; v3)
v v2
y v1
x
Ahora grafiquemos los siguientes puntos P(2,3,7) y Q(5,1,10) z 10 7 P(2,3,7) Q(5,1,10)
1
3 y
2
5 x
Observamos
que la unión de estos puntos genera un vector
z 10 7 T
Q(5,1,10)
Q 1
P(2,3,7)
Este
vector viaja en la dirección de Q a P. Esto es:
3 y
2
T
QP ! Q ! P Q 5 x
En
coordenadas este vector toma la forma
z 10 7 T
Q(5,1,10)
Q
P(2,3,7)
T
1
QP ! Q ! P Q
3 y
2
! ( 2,3,7) (5,1,10) T
5 x
Q ! (3,2,3)
Distancia y punto medio entre dos puntos de R3 z
( z
P = ( x 1; y 1; z 1) Q = ( x 2; y 2; z 2)
Q M
P ( x x 1
y 1
y 2
x 2
( y
x
La distancia d (P ,Q) entre los puntos P y Q es: d ( P , Q ) !
( x
2
2 2 2 x 1 ) ( y 2 y 1 ) ( z 2 z 1 )
El punto medio M del segmento de recta PQ es: ¨ x x 2 M ! © 1 2 ª
;
y 1 y 2 z 1 z 2 ¸ ; ¹ 2 2 º
y
Vectores
unitarios conónicos i, j , k
Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x , y y z respectivamente. z
k j
y
i
x Todo vector v = (v1; v2; v3 ) se puede escribir en la forma: v = (v1; v2; v3 ) = v1 i + v2 j + v3 k Se dice que el vector v está expresado como una combinación lineal de los vectores unitarios i , j, k.
Propiedades de los vectores
en el espacio
P ara los v ectores v ! v1 ; v2 ; v3 y w ! w1 ; w2 ; w3 ,
se tiene : y Igualdad : v ! y Adición
w si y sólo si v1 ! w1 , v2 ! w2 y v3 ! w3
: v w ! v1 w1 ; v2 w2 ; v3 w3
y Sustracció n : y Magnitud : y Pr oducto
v w ! v1 w1 ; v2 w2 ; v3 w3 v ! v 12 v22 v32
pun to : v w ! v1 w1 v2 w2 v3 w3
yVector unitario
:u!
v v
,v { 0
Ángulo entre dos vectores
Del producto escalar se tiene:
cos U
!
u v uv
De donde:
¨ ¸ . u v 1 ¹ U ! cos © © u v ¹ ª º
Producto Vectorial Dados los vectores u ! (u1 ; u 2 ; u3 ) y v ! (v1; v2 ; v3 ) Se define al Producto Vectorial uxv como: v v ! ( u2v 3 u3v 2 )i (u3v 1 u1v 3 ) j (u1v 2 u2v 1)k
Sin ser un determinante el producto vectorial, este puede desarrollarse como tal. i
j
k
u v v ! u1
u2
u3
v1
v2
v3
El producto vectorial
Teorema: El vector a x b es ortogonal a a y b. axb
a
U
b
Teorema: Si U es el ángulo entre a y b, entonces: a v b ! a b sen U
, 0 e U e T
Interpretación geométrica
b
U
h ! b sen U
a
A !
a v b
Área del Paralelogramo
P RODUCTO DE VECTORES Observaciones
Cuando dos vectores son paralelos? Producto Geométricamente: erán paralelos // cuando tengan la calar es misma ( Q .v ) dirección. T T
S
Analíticamente: dos vectores serán paralelos cuando el producto vectorial es el vector nulo. E jemplo u x v ! SeaFísicamente: v (1,6paralelos ,8) Q ( 2,3,5) yserán cuando uno de ellos es igual al otro multiplicado por un escalar. u ! E .v hallar Q x v T
T
T
T
Producto cuando serán ortogonales(perpendiculares)? Q x v ve ctorial ( )
T
T
T
T
T
Y
Q x v ! 2 3 5 ! (54,21,9) Geométricamente:Serán perpendiculares cuando formen B 1 6 8de 90°. un ángulo Analíticamente: dos vectores serán perpendiculares cuando el producto escalar es 0. E jemplo T
T
u x v ! 0 T
T
T
Producto
escalar
Triple
Dados los vectores a ! ( a1 ; a 2 ; a3 )
,
b ! (b1 ; b2 ; b3 ) y c ! ( c1 ; c 2 ; c3 ) Se define al producto escalar triple como:
(
v
)!
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c 1
c 2
c 3
Interpretación Geométrica
a v b b
c
h
a v b
U
a V Volumen
!
a
( b v c)
del paralelepípedo
Proy e ccion es...
T T
T
Q (1,7,3)
Pr y u
T
T
v
!
u .v
2
T
v
T
v (7,9,2) T T
Pr y u
T
T
v
!
u .v
2
T
v
T
.v
!
7 63 6 49 81 4
Pr y u !
76
T
T
v
134
7,9,2
.
2
7,9,2
.
T
.v
Observación El
producto vectorial siempre va a generar otro vector y éste va hacer siempre perpendicular al plano...... Á r e a d e l p aral e logramo
Q x v T
Q x v T
T
T
T
Q ( 2,1,3)
Á rea ! (2,1,3) x (5,1,2) Á rea ! (5,19,3)
Á rea ! 25 361 9 ! 395u 2 T
v (5,1,2)
