II. C. 3A}TATOB
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P. S. ZAKATOV
CURSO DE GtrODESIA SUPERIOR
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lo
Ii ll: EDITORIAL MIR I43AATEJITCTBO «HE,[PA»
[i
a
r
,
esféricas del punto
1l1:
AMt:
de donde
P,
coordena.da ,porrorón F**, del ","orruYuJ;; nunto M sobre r"
dubzÍ
_-L-
az y' Comparand.o las expresiones $'2) V (4'3) obtenemos d.x
determinan exacramenre
ra glda¡ las cooráenarrar g.oJ¿.i"i. ."Jrríi"i"-á;i-;ñ;;;d., ,; son cdno_ rivT't." otras que sean equivalentes) dol ortsen A de las ;J;;iá;l; Ér".irr"-, á"-.rrrá""rlr¿ as (p, q) tlcne mucho en común .iriá*u ñctangurar de coordenadas en "oo ¡l plano.
bxlgten además.otros s-istemas de co_ordenadas curvilíneas esfe_ roldales que depende" ¿" ir-áü"éi"" a"i.j;-a;;r;;á"ou¿u, v ¿"r o¡don de cuenta de las coordenades , .
B:# +
(4.4')
La ecuación $.a) ex¡iresa Ia latitud
geodésica en función de las.
tg
¿§BBr,acro[
s
srsrEuagn
rgcodáriica
b
¡
)
n or I a. e I i p se m e r i rt i a n ;; aouación de esta eirpse
B
A
b
wq.fu";I .purtto qw,
n
ñT;ffi
sc
*- ü;iñiíififfi To_
u
"1. íí# iw' fflí ff.Tffi ñ ;:f i;
7
¡ t b2 "az -Lu'-L'
¡ I
Es sabido oue la tangente del formado por la tangente r la curva ,ro punto Ard; y ;I ángulo, !"ñi":. positivo de las #:t:;:: "r, u la primera derivad a d," esta manera
) )
fl;
Expresemos la primera derivada
tcotangulares
)
I
I Errb*--
r e y.
-cts B.
s0
(4.2)
en función de ras coo¡deiadas Diferenciando'i4.1) obtenemos
ff
$=ffi:0.
) )
-
*:tr(90"+ B)\
)
I
(4.1')
N M
ffMt
E
+B
--X
Pt
Fig. eA
ewrd¿nad,as
-=\ 0
"io;""aT
¡
P
l:-"
auperficie del elipsoiaó ;;;;'il es, a leprolentar parres de rá superficie de la ü;rfffi;"ünI';?sto phna de_acuerdo a. una déterminaáu l"y.rilrra so¡i;;;; Iuperficie Aotualmente en la uRSs h; rid;;;"piada ra proyección d.e Gaussl,rd,scr o ststema d. ;;;;dr;;;;;"r;;;tr ptánas reetangutares en ta
§
r e Y'
coordenadas rectangulates
G.-¡ovwfe6&L(,respL{,na,§,,Én]a'prácticaesindisperr¡¡blo conocer las coord."ría"r áá íár ñ"tos de la red geodésica situado¡ en un sistema de coordenadus cártesianas para que puedan utilhrr¡e fácilmenre t". d;;;r s.;;:r"ilü llevar a iabó diferentes -ur üfpor de.trabajos de proveccié", a. ,.gtr*."tr?i¿" áli"rogi-"., a" thrr¡, etc. Esto conileroá I, ,".e.]¿uá a. i"t"lJ*ii"prJir.".io.r* de *
lii!,::3',\#":'#:'{:-vr:::,#f '#T,-:',1¿l","ll:k*ffi
(4.3).
-
8
Para encontrar Ia dependenoia inversa, es decir, para expresar r eD. función de Ia latitud geodésica B, recordemos Ia ecuación (2.7). ' Partiendo de Ia expresión (4) podemos escribir Y (4.5\ tg
B:a#ry
1.-ez
z'
a:x(l-e2)tgB.
(4.6\
Volvamos a escribir (4.1), sustituyendo y de acuerdo con la ecua-
ción (4.6)
obtenemos
Í2 , t2 (L-ez)z lgz fi
Af
r
t.
a
arT-;T-:
Resolviendo esta ecuación con respecto a e, encontramos: -2
;U+(.-ez¡tgz
B| --1,
Í, {{r+ @'B)-r,ffi):o,, *
-
a sen-B
{T=;rfeT5E
'
(4.7) 31
Para encon1.rar y.reemplazamos en .la ecuación (4.6) eI valor conrrado para
, "" r¿.ii.iri";i#;";;
obrenemos
1
,rJt=poniendo el
en_
-1,:{.l'l_4l!9la 7-ezsenzB
.
De la fig. 8 se desprende que Ia abscisa del punto .4/
i'rl.ii ffi,:Jr'f]h;"u:l \ 2::'f
D
till'"",,"'
El
que pasa a través der punro 1r{
awe ,ld: iattfud,§aod,6s gegüsica B y I a latilud gcocéntrí.ca i; ii*]l;'gti" e. H-#ffi fi?fs?#uro,i e Ia exbres.ión para_ " bc_&6b
rs
"{l\
o
@:+.
., Jasándonos (4.5) obtenemos
X
en la
U " B: ¡ (t-ez¡,
geodésicas
y
geocéntricas R
fórmula
pu1!-
(B
-
:
O)
= ez'sen B
cas.[B
_
srr zB
(,8
- 4fu
¿a.
'
:
(D) tiene sen 48
moS escribir:
r6úidt,f'&9,ffi radio-victárU
nemos:
se puede
.
(B
_
de donde:
ri..1'"
@)]. 3
-0
;,.k¡cgs2 Y ^2, ;il[b.
(D
sen
(
6a-
(4.14)
fig. g,
(D
(D)
¡a (1.'.-e2cosz(D): {,
;-_ 'F'- fr=74;¡;5'" ^L
o a, p:
(1 --ea) +senz
:
1, :.r,.)
aV [-cz
r'n,
(
(
¿:pcos (D; u:psen(D. (4.15) la elipse-aeridiana (4.{) obte-
Resolvemos esta ecuación cqn ¡espec!
I
{
ndonos en la
Os
I
la siguiente forma:
P2 cosz (D , sens ---;t-:a-n7=q: l.
(4.12)
I
*" (a 1ra*iiá"al, t _ 6¡r fl,Af-'*"
Sustituyendo esta expresión en
*H#i,"?;i,":1,:",_"^*:rg:1¡1,*;; mos a escribir. I a expresió q+.lii iel;:;s;il#;o#i:i": ;"i:i-
L*
p:lti@.
e2 sen.B cos (D.
"
p,
Designandó el
:,t
sen (B
- @)" :
GúürdÉ-
i I y ar I a en e n lá r á práctica prácrica el sen i"" (B" 1" co) ifl :THlt Hfl :"':i*: I 1:' i]. I:1ia u,ruf,ulzarra se;;;;;i;rf"" lo:gru y,@. B si" a cáusa de la-pesueña j rlifo¡an tiq tp *l {" _^-:.",rwrq n# _-y/,j : ra I í,', cual,-como más i ;i Tá",1'r,?. veiemos adelante, no ::s l": "i::;lp t¿r fl ; ji"" ""m¡rrgá, *?3Hi; r" "i " por el cos B en J:I:li" I:^118 ' ,podemos el cos @ 'eu.órurr; "r Lx,.."j,:l'.3;,"":l.l;:Ilt,rj'"r,iül3i!:*',x#uT'¿:ír;8r:"t3 jl";:rJ#ilr1i11|"r.f
va
I
(4.13)
'Ef!8rJo¡n;*a*a,,Je
(B_ O)
O)
sen2l.
+TÉry
asea;ti -ettgB, sen (.8
ez
En eite caso (B-_ ó),
una rormula más exacta para =_45":, 127, pág. 24)
t
tgB-rg(D* eztgB, sen
(8-@):#
ha sido cometido un error do orden apreciar fácilmente que se obtiene ,i-"ul-*
Fncontremos la expresión oa_ _ ra_ la d,iferencia d" ií. i;;;;;t;, @. De la iórmula &.ltiiá;;;r,
-
"r(B
donde nuevamente
(4.11) 9
_ {D) sen Bl,_ @) senz.B.
(B-@) :{p,ezsen2B,
tg@:tgB(l-er).
Fig.
,;r;f
segundo término del. segundo miembro en
«.to)
por lo tanto, I
¿.
Descomponiendo, sen (B O) en una serie y limitándola al primer término, obtenemos ;la fOrmula aproximada
'1'
tE
-
sen
la Iatitud áeoc6n. funcjón d" i;; ;;;;;;: 11,:1..1 oasrectangularesrey.
M
- *r, en una .."i.
la expresión obte. nida es una pequeña magnirud de orden ;' d;ü_"rtí¿ iA _ O), de acuerdo a Ia fórmuli (4.r2), resurta una pequeña magnitud. de ordet ez). por esto' si en el segundo miembro de ra ecuac ión (4.12) reemprazamos el cos (D por el cgs B, enronces á;rpüñ;l=ií Érminos de orden ea. Con este grado ae exactitrra -'-----*r" '*
MC
(4.e)
P
-,
(D) : e2 sen B lcos B + (B (D) : e2senB cos B + sen (A ._ sen (B
(4.8)
V
fi : eMt:
cos La
obtenemos:
(4.16)
14A8
80n'
,
( ( ( ( ( ( (
Baiánilonos en (4.15) tenemos
,:ffi,r:-lfug ".1/T=Acos
@
Y 't-ez
rrdem¡minil;;;;,'ii,?¡,.;i,r,(n"riiiiti.i,il"l ,H;ffi:'f1#,t,p*; Án J^l -- ,.
COS2
(4.17)
@ '
i,,,i' iñ|ffi;*,
,
,f,1?ri3:"ff"liJ*ación
y basándonos en (4.21) * :
_,":',::
!:
pero como
mrnosq,..;,;;,,JilXi*1?:?,llt*i*?,ii1:[&1ff ,I,?,1,':*ÍTd::li*,1,,:t,r?l1,Tx:Ti;mndorosrér_ :*H,1Lr.,:f,"I nemos en
* ir"-",:6
iío#::
ll
^i.
tat¡tuüs
;; ;tff ;?';Ytr; IX
;:*:i1:"*:"""é' ;;ñ;i;i' *H',9ai,,1,7 #
jñ;d;il
en consecuencia,
esrabtecemos ra Ios puntos Il;:,:l*"le abscisa. li:rl,x-r,,'i,"11:*r':Iru."r",,,1?lx?j,l*,H:ii:""'j:"tjfi:ffs# pr qxe ,1"#H,xTXt,}¿{?"11i# -posean-ro, .1.-"
01t4r¡z
c
a
¡1i"", i,1;#:i 3,::::,f tr :iii¡::!i% ¿:,*ü'f ", :I " \vtvt z)' , (t[zMyz 9#+@ff)1_r, ¿2 -r- ----ñ'---
(4.Le)
jl',',ll i:* lltr:: :iii:: -.",r,,, AXj :..H#
," *r;l::;?,:":rnos
(4.26)
l:"
y
de donde
b¡¡----
e2\- t
;§l.,=-:1+ -l1-¿2) !s'u "os
'B:-{?l}
tot
t
,
*rn, ',u,?':iiXXX:i.il(a'gr,. . *rrf;m,,.. ¡,: ...
t
tg2B:€L 'l' * t'
(4.20)
MrMr*,
r;::!
Deft.27)escribim9¡§oIlZZ-Hc.ión(2.7)y«.8.)¡esuIta
I
gü(l
serán
(4.28)
@20) se obtiene IVITMT: iwr,M$,
IVIMz:,y ¿
G'24) (4.25)
(oMr)z+(jwrtry#:or. Comparando las expresiones (4.1g)
^.
--'*-5ü
;ii1"1ffi H*,0,,,,0u _ tg u:llT-Vruu. *{{f";lí*#idhjffi::::#r n* n.s
j
or.
(4'23)
o^-
de donde rinarmente
o..rr",r. ;" -: (Mrnrry
* En vista de que el nunrn n/r ^^_-
oo¡d en a d a,
tr¡
:::'-v**/ r(4.5)
Pero basándon^' ros en ^^
x,?iT'11: Pu"q' ¡eauCidi f,t1n, $,".,z.
,X{.trü:;,,{,:);:ñHTf:f oer trienÁ ;1;"ó ir,,íi:Í,,. '*;:itul7trWo'ú:),;,'
sal
,df,ü|;;ñ:;;
""",iff"Jí1,í;r s.'ii*.* :*g:ri"ÉH!1F'r,t Édii1,lu,!i
Fig. to
ct,
;,l,{,rfif ,}:,?i;i;i:'"+ffi *: *rro:l/T::&w u,
«rB)
entre ra.s .
IWllVIr-1,
," J,"r-,'f:; Ty*'-expresiones "(nrq;;;.2,3)
-F$ senza-$ro".n¿B_ Í;, *r!:, oi,y :.u y i""
(4.22)
a:asetu4:bsenu.
senza_¡
_- ')
y tageodésica
a cos u,
lL[rM, :
obtenemos que:
rorml-áiitirfi,::
p: (t " -f
enrre ra rarirud reducida u
8a
|:acé5¿r:''"
(4'2s)
rsmo escribir para eI
Deduzcamos la fórmula aproximada para Ia diferencia (B la cual resulta cómoda para efectuar los cálculos
-
u),
Basándonos en (4.32), (4.7)
tgB-tgu:tgB-1fGtgA, :isBlt-1:--e\ttzl.
Y-:n^§r.]
l/
-
-u)' = $
n
p'ez
Si sustituimos en obtenemos
-$'."8^a+...], 5. Rebión
anÚc
(4.35)
DtsenB
si
hacemos
VFñEWB:p.
(4.36)
Las fórmulas (4.35) se ¡eesoribirán de
,
o
1,
-
a2cosBcostr p
atcosBsenL P ó¿ son
(4.371
I
i
P
I
§ f. Pnsfq* T EH UI{
I
(4.32)
X:aCO'S¿¿COSZ
?e
1
x- {@¿;gtrEl'z L
ry&ry,
L
i Z:bsenq:ay l-ez
al-bo a2
1/ at cosz B{bzsenz B
A continuación, basándonos et (4.32), (4.22) y (4,23) obtenemos: Y :aCOs
)
setz B
a'cos B ser. L
(4.3I)
X:xcosL r.S1n
I
1/ L-ez
(4.34)
(4.34)
¡rd¿nadns coilafriilí"; bü courihnndac otre srrú€rrti¿§, Enlafig. ll PRrPtResüna elipse foeiitliana en cuyo plano se halla'el punto G, a partir del cual se cuentan las longitudes yr por lo talto en este plano se ubica ql eje-de-coordenadas Oy; PETPiE es una elipse meridiana en Ia cual se hallan ubicados el punto M y los ejes coordenado s Or y Oy. El ángulo entre Io! dangs de-estas elipses meridianas es igual a Ia longitud geodésica .L. En la fig. 11 tenemos
Y:
I
a(!-e')setB
o
cl Mru
X,Y, Z y
-
I
'-{@B
a-b le B-ls. u '"- a+b:- tgBftgu'
lt
I
az cos B cos
donde
Fig.
r
B
acosB
sen2B. (4.30)
R¡ (B-u)":P'lusen2B- f t"" 4^B + $sen 68-
B
acosB t-ezsenz
^ oa--
Una fórmula más precisa para (B - u) tiene la siguiente forma
x+.
(4.8) escribimos
Y:¡ffisenL['
Descomponiendo en serie (L - ez)uz y reemplazando cos u por oos B (admitiendo, por tanto un error de un infinitésimo del orden en), obtonemos Ia expresi6n final z para (B z)
(B
y
¿ Sen
senu
l
-
r,,
,
(4:33)
(
Por Ia normal a Ia superficie del elipsoide se p¡ede trazar un conjunto innumerable de planos. Los mismos, perpendiculares aI piano tangente a la superficie del elipsoide en un p_unto dado, se -denominañ
planos normáles. Las curvas, formadas por laintersecoión planós los normales, trazados en el punto dado, con Ia superfioie de det elipsoide, se denomínan secciows normnles. Fn cada punto sxistendos seóciones normales recíprocamente perpendiculares, la curvatú¡d de las cuales posee valores máximo y mínimo; estas secciones normales se llaman secciones normales principales
st
(
I
I
"
I
(
(
I
I
I Como se sabe
de la geometría diferencial, en algún punto M de revolución las princip"ales'secciones norriiales son: *f) sección meridiana. Ia cual pasa'por el-puntolkió='M y ambos polos del eiipsoide P y P1 (en la fig. 12 la sección meridiala del punto M es la elipse _ PMEQTE): t,* laSrimeraver.F- 2J @¡de
Diferenciando
dela superficie del elipsolde P
0
d,r:a { -- sen B (L .
curva WME, {Iue también
P,
una elipse.
Fig. t2
es
Designamos por M y N alos radios de curvatura del meridiano y de-Ia prifera vertical, respectivamente. Hallemos la expresión para los radios de curvatura de las principales secciones norm-ales en función de Ia latitud geodésica B. Ei radio de curvatura de la curva pla4-a gxpresada mediante Ia ecuación del tipo A : f (r), se define por la fórmula
{'* (#)'}'''
(el signo menos se toma porq
*: d,Í
"u
nn (t*ctg¡ ,rr:@. Finalmente,
¡4:
-cts
Considerando B como una función de
ff a: $:¿ Y{
empleamos
r, diferenciamos la fórmula
-¿¿
sen¿.8
la fórmuta cos
B (7-szser'B)-112.
(5.3)
r
t(1,-e2) :-L (t-es)lt2 * llé:
\ M:"(F;\.
Introduzoamos además
Como de acuerdo con (2.5)
y
.2
e'!:fui
i
(5.4)
(5.5) (5.6)
Ia función
V:1t[¡;'zso-g B.
(5.2) (4.7)
a(l-ez) -.- ez setz fi)a '
o
'
y obtenemos d,a_ I dB drz sen¡ B d,x '
de nuevo con respecto a z
(l
B)slz asensB(l-a2)
\ c: --7+:*:olfW. V l-r' Designando . \W:1[l_e\ñ8. podemos escribir
B
$'1),
Tomando en cuenta (2.7.) V (2.5), obtenemos
(5.1)
tenemos
fll ffiet
De la expresión (5.3) es evidente que M aumenta aI cambiar B a 90o. . desde - -Al 0" radio de curvatura de la elipse de meridiano en los polos (para B : 90") Io designamos oon Ia letra c, entonces
t. --
0). De (4.2)
coszb (L
hallamos que:
"
#<
B
Reemplazando las expresiones obtenid.as puru
Utilizando esta fórmula para Ia elipse meridiana obtenemos
38
sen
dzA (,1,-ez seú B)3tz -lF: -;ñET=4-
¿l2v
i,, {'* (#\'}''' ,,,__-.=#-.
Bl-'l' +
Por lo tanto,
a
Para calcuiur,
e2
M perpendicularmente a
Iá sección meridiana del punto M. La sección de la primera vertical está representada en la fig. 12 por la
e?'sen'z
'
- r' seú B)-.312t- d'8, etz (t ez senz B) + e'cosz B}, $ : osen B (t - ez se¡,z B)- { - ( #: ¿ sen B (l- ez senz B'¡-srz -e'). *
"tÉql, lac@o
n
la úItima fórmula, encontramos
(5.7)
(2.6), ot2 €=:úrT,
entonces
\ t-
ezsenz
B:L-#-sen¿B:Wéy 39
l
.,
..ir
..
.
.*-..
I i
v
de donde a(1.{e'\l12 tt Jyt :--n6-.
o de acuerdo con (5.4),
(5.e)
W y V se llaman, respectivamente, primera y segunda funciones fundamentales de la latitud geodésica; ellas tienen gran impoltancia esferoidal. en - Ia teoría de Ia geodesia Sustituyendo eñ (5.3) Ia primera exce¡trioidad por-su expres_ión dada en fünción del'seáieje y empleando (4.36), 1a fórmula (5.3) paru
M
adquiere la forma
M:+.
(5.9',)
t6
"
i,¡u I ¡¡tada e s Isu
WW:
s-il-ii,
al
at'
B
(5.10) '
(4'16) obtenemos o, tomando en cuenta la expresión
N:+.
De la
fig. {2
(5.10',)
se desPrende, que
Mn:#:N,
es decir, la longitud á-e cu¡vatura d1
del segmento
de-
la primera vertical.
Para determinar eI radio ll de la primera vertical notemos, que si ta secciOltúa primera vertical WME (fig. 12) es la sección normal, á"io"""r el paraláIo MQS es una seccióIr-inclinada, por. cuanto Ia normal no yice en el pláno de esta sección. Las dos secciones señaIadas poseen una tanfente común en el punto M. Pata demostrar lo antérior trazamos p"or el punto M una-tangente aI p-aralelo Mf; esta tangente, yacent'e en ei plano-MQSC, perpendicular al-plano meridaná MEri'rEP, es perpendicular a la recta MC, forma{1-Pot t"liotám".ción de estos pla-nos. De esta forma- Ia tan§ente MT es eI plano de ;;r;;di;tar ar prá"o aér -é"iai"ro PMEtPr, porestó a la Ia normal Mn es si MT; la recta il-;"ilil verticál contendrá TMn el ángulo entonces punto M, el en elipsoide ."f..firi. del seia ig""t a g0o, for lo tanto, MT seú,. también tangente a'la curva EMW. Teniendo esto en cuenta, aprovecharemos el siguiente teorema: *;,ttrrtrt§'rLá ff,tnti§-fu;llm"ñ¡nwl¡at¿ sr0;lffl§odd§ do§'réPof§rlt8' Eho g1!s de run un Puntglh&g6X",*o fu¡ ya enfr' cr. Gb.'t).ttoov uuYUt'yv :'T--i*&crtrto que. irrcLÍnura, §wfuu) oTa urcLlflapa, nñnat vv.offa ndlm"4a t&gqntc efrntÍ*, ctzÉoni§-t7 *ccionei tic¡¿ñ simuká¡Womente.'una -t¿rr¡
;áií d"r;;;ú ; e- k
l/62
jv:#:1,
o
M:#.
&
N:
(5.8)
(5.1 t
),
Ia normal Mn es igual al radio
De (5.3) Y (5.{0) tenemos
jL:7-e.2s?l28
Mt-
=yw:l+
#.
6.t2).
De aquí se Puede aPreciar que
l¿1>
rur'i Durante los cáIculos se utilizan las magnitudes
{* t *,
depen-
por los símbolos diendo delicaso; estas cantidades los designaremos
(t)
y (2), así
ffitis,-
nor"et mvntd*l trtgut'ü Ínmado ooi
loi J." "t "udio d"I paralelo r- se_determina m.ediante eI radio de cur+rt"r, de la primefa vertical I{ utilizando la fórmula
r.:N cosB:MC.
Tomando en cuenta la expresión'para eI radlo del paralelo de (4.9)n cbtenemos acosB
---=l-r, V 40
senz
=-!c^"8 B
tes. vergenres.
'Descomponiendo en 'DpscomPonrenc -1t una serie bonomial los denominadores ,' senz B¡-ttz, en ias expres-iones (5;3) (l - ,'senz F")-elz v transfármaciones y de substituir los' y (5.10), desPués de "'Inrom -l& de
valores numéricos de
elementos del elipsoide de'referencia
§(rasovsky en mettos, obtenemos:
'M
+ +
:6
+
-32
072,9605 eos28
*
67,g723cos4B- 0,14{9 cos 6.8 +0,0002cos
:
6 335 552,7 1.70+ 63 609,7883 senz B
532,2089 sen4B
-ly':
+
367 558,4969
en donde,
L3,5077 cos
-
sens
B
* cos 6^8+''' -
:
I
I
(s.t¿)
A
ouenta la importanciá de las fórmulas obtenidas, así como también consideraciónes'metódicas, damos a continuación la deducción .d.e las fórmulas para M y trf empleando otro procedimiento para su "obtención. Utilizando Ia conocida descomposición de Euler para las tunciones exponenciales en una serie de fracciones
(5.16)
usando conocidos métodos de cálculo para las fracciones, omitiendo detalles de los cómputos matemáticos que :siguen, para la expresión (5.10) podemos escribir que
¡t.42
o.-c
w v'
Entonoes Ias fórmulas (5.18)
'(5.17)
¡¡tI, . (5.r8) (5:1.e)
cosz
(5.24)
B
(5.25)
v
(5.19) qdquieren eI siguiente as-
ffi+:,ffi#, N:a-;iilWWZ:c
pecto
(7-e')
L-O,Z1ez serz B
(5.{5)
A continuación,
ltf-#:#,
(5.23)
l*'!'.25e'z
M --a
La descomposición de (5.15) converge' corno es conocido, en todo ,oI plano complejo de la variable y, cortado por el eje-real desdq y-: :'-t hasta y : -oo. En eI oaso de que y sea positiva real, la descomposición (S.fS) es aplicable para cuáIquier valor del argumenlo y. Pará esto es suficíente tomar la cantidatl necesaria de términos de la .serie de fracciones (5.15). timitándonos a dos de ellos, tenemos:
Aplicando la fórmula (5.!7) para calcular las cantidades ¡podemos indicar a éstas de la siguiente forma:
B l*0.75e'z v:TT6W;ñT' l-7.25e'sefi B w":TñA#;ñ¡, ' r _- L-4.25e'2coszB' ' a!ó
+#*
(r+a)n,,ffi
(5.20)
(5.22)
-
cos'|
.ü
(1*y)'*+ff+ff.
senz R)r/2''
L- O,l1ezsens B 1;:6p572;;¡t§,
w
Anteriormente han sido obtenidas las fórmulas para los prin-
znt, +W+....
ez
-e2
,cioales radios de curvatura, Ia deducción de ellas se basó en el enfo.qüe clásico aI resolver problemas-de geodesia esferoidal. Teniendo
+9*+...+@
-
(5.21) ({ + e'2 cosz B)'t' ' v.alores de Ia'variablo U' ProEn las fórmulas (5'20) y (5'21) Ios iguales a: amente toii li I ""d;;;;"- 1s : "ttpé'tiv senz B e tJ : e'2 cosz B,
:1/[¡TadszÉ=
:
(1*y)':t+++
(L
v eI valor d,e'¡ : ll2. " ' P;e;;;por Io tanto escribir:
6378 245,0000 +21'346,74t6senzB* 107, {586 sena B + 0,5982 seno B + 0,0033 sens B
(r-!)u
:
:1|TQÑB
Y
I
10 726,9320 cos 2.B
48-0,0189
1y
I
f
-¡ 4,1558ien6 B + 0,0317
6 388 958,4431
8.B-''' 5 l
de
-
7{0,25e'2
ooss B
G1JW@'
(5.26)
(5.27)
aproPodemos demostrar que eI error -absoluto de la expresión lasfracciones entre la diferencia de *i*ráa (5-iO¡ igual at=;Odulo po4Ia siguiente consecutivas de",un *lráo-tipo y puedo ser caloulado
fórmuIa
a,(y)(á[ffi*r¡,
(5.28)
con donde eI símbolo A, indioa que eI error es-ta en corres.qondencia (5.16). (5.16 .16). la r^^ r^+Á-*i¡no,lo Io oa.io do?rqncinnosesdecir. conlafórmula co-n es decir, de iracciones, lá serie de iZ"*i"os ["r*Jot -""á;;;;;,
en las ;ñ;";i;;s (5.20j v (5'21) las cantidades del Ia excent"iáia"a e2 (ó'e'2) iguai a 0;0067, para cualquier c1e "r"¿*rdó valor de Ia latitud B obtenemos:
.
az
ty)
<*
Z##f"r-<
o,e'to-8.
De esta manera, las fórmulas (5.22)-(5.27) garantizan eI cálculo decir' de ñ ;ü"tñd;;''W,-V, M y N'con'suficiente exactitud, es de hasta 1.10-8. Ñ;1;;;.,-;o. Irt fórquias obterlitlas (5.26) (!'zZ¡ d'e M v uoo .á, cómoáas y seircillas para efectuar los cáIculos en computadoras, que las fórmulas (5.14).
I
"!
O
§ O. N.¡,PTO MEDIO
DE
De esta manera hallamos que
CURYATURA:
n:* ,-
'
Se llama radio medio de curvátura en un punto dado de la supsr' fi§ie, al Ueit6do.la media aritmética de'los radios'de eurvaturas $§ nor-ri"ii áo**rao áttt-Áfo: a"'¿rto¡,tiends' ü :lnlinÍt$T
iáláái"*J
Sea que en Ia fig. 13 Ia sección meridiana en eI punto M está represenfada por la 1ínea PMPr y Ia sección de-Ia primera vertical pór WMO. Iistas dos son las -secciones normales prinoipales, las óuales poseen respectivamente Ia máxima y mínima curvatura. Supóngamos qüe Ia curva MA rcpresenta una sección normal cualquiera en"el punfo M de la superficle del elipsoide, dada por el azimut r4., es decir, Ia sección qué forma un án§ulo Acor, respecto a la sección meridiana. Basándonos en Ia $órmula de Euler, que estableoe Ia dependenoia entre eI radio de curvatura p¿ de una sección normal cualquiera y el radio de curvatura de Ias secciones normales princiPales, tenemos:
' I
,
13
ffistffi
a @ñq
sent;4-
Á:0
a*
l5.a6
M
rrl2
R:2ln rs I del signo de
Saquemos
"o#n tg¡á
la
integral I/M-Ñ
-tr
R:+{ñ I {*
seut.4
,
tg .r{ por medio de ú, obtenemos
R:3-vñ "- n n
.6
--
Integrando' se halla '
:
dA
T;of/'-
0
Designando
oo.
l*f
fl2
Supongamos, que.á toma sucesivamente los valores:0, A,A, 2LA,3LA ,..2n -2LA,2n- A^á,donde A-.4 es-una magnitud pequeña. EI número de estos valores de .á será igual a ffi. Calculemos la media afitmética de los radios de curvatura de todas estas secciones normales, trazadas desde eI punto M a través del intervalo de magnitud LÁ, y designemos dicña media aritmética por .R1' Obtendremos A:zrL-^A A:Zn-AA MNLA §r ¡MN
lJ
MN
Dividiendo en la fun-oión^que está-bajo Ia integral el numerador y ,I- droo*inador por .l/ cosz .Á, resulta que
E:a-T-T-' de donde MN P.{ : :F6FZft señq- . (6.1)
p
Fig.
cossá
nl2
4 I
o
F
)l
| -d! tatr'
"l 0 6
R:+V MN I arctet. --
I
0
Sustituyendo los límites tenemos
R:+{Mñ +
y, finalmente,
,T-"-
§
(6.2)
o
Así. áe (6.2) se a.iro" qT. eI radio -.lio de curvaturu pu"" IiIl blipsoide de revolución es igual a la med.ia geométrica I I ountos'del M I he los radios de curvatura'de las secciones normales principales, las medio del radio la determinación secoiones meridiana y de la primera vertical, trazadas por este mismo De esta forma de acuerdo con { ' -> I de curvatura fi1 tenemos t¿'nunto. La expresión para .R puede-ser dada en función de ias magnitudes R : lím "Rr cuando Aá +0' WyVasíz t^ : 'ri ri ''f.O: "{#;*" ' ': (6:a) 1,.- ,, de.Rl la expresión en caso el slgno enesté Como es evidente, » y =#:# tdebe ser reemplazado por eI signo de integración AA por dA' ,'
Rt:
.lt:O
2n
_
I
f
,:
¡l I
I
,.
45
Rz:MN:+:#.
f-
(6.5)
I * pt radio medio'de
cu¡vatura se emplea aI representar partes de los exeesos esfélh U r"p"rficiL d=el etipsoide'Sobré.eT'Élofa; ¡iI oalcular y ó{s6s.* o'tibi en' Ios triánsu-Ios l, ri¿os'ile' a llir'soiae de K-rasovskv por eI' fSléÁCrti V C*t"grrtía y el"Departam-ento Central de cáIculo,.,se á*o uo los intervaio a" tátitod dé un minuto los logaritmos de ({), f2)*). ,R v también el valor de la funciít V' t-¿ .«xnqn*, : ñEsi6n; '-ü6ñBet ¿e
o
d':aJffi6="$*'{2-aa'
puntos que poseen de meridiano entre los arco tlel lougitud La siguiente:
htit"d^r;'
H*'ñ;i;""il;ffi'"iffi"irá;t-p^* Éi.|. Li."¡*.*L.udir
{e B-.
"de
r*"¡t-e¡ut rs fe!§ul& 1O.t¡. Al rea-niii¿l-p"d"#praóti"o.. "-pf"*i,utilizando transformaciones senoillas, '---a uaruuruD i;;-i";Io§ tífá"t* llzar
A}].uji¿"["üs o
.'
PrqvvrvvD'
se $ueden representar más fácilmente de otro modo'
§ea JV
'donde.
PA- l+Iscossá
rl:
(6.6)
t
Gco¡,B'
,*"T;;'"erLrli
t'
*"noE sxastosr !gq...9lror'os e4 los t'6rnoines 4e (6.1) Ia fórmula Puede ser (6.7) cosz B cos 2á) R (t p
tranffi
¿.:
-;-E-*** .. i#;lit'Jlulñ"'i3"i:"il,t","'i
f,, fOr-"fulL7)
---
-*
se
utiliza, por ejemplo, al calcula;-la correaiañ
'
\
resfecto a Ia superficie del elipsoide de referenoia.
i
B,
nitamente pequeña ds d.el Punto el punto ./.1, que Posee una A, D '1 latituil B * d,B; de ta1 manera' Ia diferencia de las longitudes de Fig. 14 A y Ar, correspondiente al' arco; eI árco elemental ds como eI dB. Considerando de meridiano ds será arco de una circunferencia de radio M, obtenemos
ds: la cudl le resuelve con a'yuda de lás 46
en Ia fórmula (5.13)'
(''t)'
reduce' D'i meridiano so rco de Tnerrqrarru
,, *iil,,:J ;i'ix'i"hll,Tüf,"lt* J
$t't1'ü
¡=;*'"aztm- ) w"
mediante funciones
no-se.Pyede-tr"'olver "f" Ia cual, eomo-es sabido' integral señalada táii"i^elementales' Para-
descompongamos
[i]ftTi*Hx1?"hftii.i-.+l*t"'***'ttw'"nunaseriede B ++ eLsena B * : -L-:ft-ez sel* B)-'tz | ++ezsenz ws (7'2> i*eosenoB* ffie'senaBf W "osenroB+'" la cómputos limitaremos -;t' futuros cón exponentes pares' con el fin de simplificar ros Los senos to. *iu#¡|"*';;
serie hasta los reemIa t"l::ui """,*1'^"1 qne se incluyen *t o.r"o*poner múItiples'áe acüerdo con las igualplazamos por los oosenos á" """o'
fr.'"
dades:
senzB:+-lcos2B, sena
B:'+-f
oo,
28++cos48'
el siguiente aspecto Ahora la fórmula (7'2) adquiere
#:t #t :
31
\+-i|cos2B* ++*(+-4 **(*-*coslB)++f-*" (*+$"o' 4BI+ . ", L' eL cos2B * 45 ,. 9 3 ar e'-al I t++r'-t" I e, cos2& + #
+#eacos48*
urrr+ff"&+
+r:+(r+{"+A
Md'B
*l N. d,et ?. Las expresiones-(1) v-(2) souutilizaSas táblas mencionadas
Ia
s:\o#ffidn:a$_.")T,# Bt
*SFGÍrfg¡P DE LA II)I{GIflI-q
. lE ;.ur,_r"acp,DB IEHD}ffT Sea .4 un punto de la eliPse meridiana con latitud B (líg. fíl Tomemos, a una distancia inli-
i'
+
.
'
'
...)- (+*"'+# *to+...)cos2Blr (**+..')
cos48
"
'
(7.3) 4T
-o""*'""''
::_,.-i::E:..
\
"",-l--"."r;fiil::',";::3;
*",,"
' "-,n-rr'J,, -'Bao62l+cco¿48-"')dB'
(?4,
*,*$:{i;gfr#$};ü*tü;"I,$j[ffi
(?5)',******;****t***,,**"":t*** (7'6) lj#iir'*"""t"*7lf;?Íi ffi»ida
hanasos , -oti- ul {otur-e1¡-$ 1*"za'-sen2at:)+ +f {""o air-""oatr¡- ., .\, lt.tl
e
rntsgrando térmitro a r6.ñitro,
}raseúos
"0,",u*.*,
oon ra
eiacüitu.
:c1l-a¡ {(ll+ }'a'¡l ,'-i1-
-{ s6s
e'¿sen
(B¡-B)
oos
mu.rÚ
@u",."-
c¡:a1t-e1{a1-$sea21+|sea4t-"'}, {r'a) .,,-
r" r.rihrd B nuealo
-'-':
a(7-e'\(n'-u{t + i*-}e'cos'28-¡ ¡[-"'1Br- nr¡'oos 2e*\ '
:
I
:
fi*ffimffi,tffiffil,=-lffi:" dE 6s¡a
!
I
+'J}' (s._r,F
(B'
(8,_BJ:(a¡_BJ_
i
(7'9)
t un arco menor de 45 km' En oonsecuencia, para.las tonsllu{Trde con un ángulo óeritial e-sférico' como mirmo i1^,emos oonsrderar dI de los nuntos extremos' v con nn latitüdes de #l;fl;il-ditér.ncia que correspánde a la latitud media dei ñdio a, ]a sección meridiana o
S.Demosunafórmu}amássenci}Iaycómodaparalos.cálculos a" iá.lriurgulaciones cuando ios lados son de poca importancia y rara vez trf.ruo los 40 ó 50 km, para esto designamos
y M*: B-= B'!B' 2 uln
0
-
Introduzcamos el valor auxiliar
: ru* %n- : a (L -
sr
r')
¿r 5sñz
B*It¡z
D\2, (B,7il1 ID
'
o'?,0, coeficientes A, B, C' obtenidos antes durante la deducción tienen et siguiente valor ,ie ia fórmula para;i;¿'-áe +eridiano' ' pl"á'JrtiPsoiáe de KrasovskY:r
4
h,
el oue. es evidente, representa Ia longitud del arco de circunferencia mgridiano en un punto coo ;;"=;hü ie"ur- ui';,udío de curva ull-de 'escribimos (7.5) en Basándonos p"áia, tatitud
r,.,l-r:o (7-e')-+#-(A-BcoslB*lC
D :0,000 00002081'
cos4B*)'
las lonsitudes de a¡cos En Ia tabla 2, Para su con§'119' se dau d^e.Krasovskv frra ,igunas latitudes a. il.tiáir";-;;tf elipsoide ,, ¡: m' u'l de hasta de con una exactitud
Sustituimoslosva}orestleloscoeficientes'o:u,, tt: a (7 si¡ @a:Bt)' (, * * r:'+ # -
-
{
'n)
- (* ,r+ +* eo) cos za*¡ fi';i "o, +a,,) .
Comparando (7.'!2)-:pp:,. (7,1Q gbtenem.o§
s.=q.
+*ffi
'
-
-
obtene:qoP s
. :.,i 1{0 576,3 1.70854,4
e2cos2,B*(B,
:
Después de transf ormaciones elemóntales r-a tó1mqia' g:'?[Jlt*¡ mi'ep'bros'Qug.garan: , r." á"iiioo losuritÁlco. El qúmero retenid-o ds es '", , ,: : ,;¡,.. longitud de 400 kmS hasta arco ün eI báiculo-de iizan
: 4! ^-t8';P'I-+ gou za* $ii. :*r' il"'.: ffiff pllll'- .' t:§:
'áalcuto de las trihngütaciones tiene la, La fórmula'firr"I pai^ el siguiente forqA. . ,.,. L (z.ra) + Tpara distaícias del orden de 400 km "',,i,u fór-ota (7.18) es úti1 (para s
lLl4'1.4,7 111695,8
t'_...,
,:u*9ff1t
,;sff"""2i^f.'
4OOkm admitiendo un error máxim9 d9l orden 9a ft*@, se obtiene'un erioi de áprximá¿aménté igual-d I mm en el
nr)rs -valpr de s); ''*-b-rr,
45.:
'
,,
_
68¡
§.:.,M l, t,i(-;
log
ft1rog$$
e2,73,9315-ro'
En base a Ia fórmula ti-.t+l se pq9d9 resolver el probleqa:"í:ti;; de los puntos extremo artl*iü, 1a diferencia'de'longiiud ,r.ár, á"áiante la lopgitud del-- arc,3 v su latifud media
.:,
i;;;"ñ",F
Ii)r:-\
(7.{5}
togr:togl&G)# *k(Br-Br)'2cos2B*,
donde
-el
váJor"dól mie¡bro .de -correción t"^t" *:T9I km en (7'f 3) pueden l,* 9"ñ;nt".I'e1.q" correcci-Qnes' de los qieqb11:*.I' a" d-e I -á.. pi. eto las |es miembros [T.jJLPI?É'" tÓrnrula _ ,. , siguiente a dálculo!'n'ós'c'dndücen .lg. dbsucliaisó';y.lós
s'k
..
Tabla 2
Longitud,del arco de nerldli|n9 en:m
(7.''2'l
.:Br)'r. Suponiendo que en eI ,térTr\inoxgrregido de la últimt f:11"'* (Aa;ez) : M^,o seadespreciandolóstérminosdelo¡den {rel a.(l Br)'s,
.
,
..,....
:
(Br-Brl."*fr0':s(1)-: '
,
,,(''16)
En ia pnáctica con frecu'encia se resuelvé el siguiénte pioblemat §1."í;üa;,i.iá, f, f"¡eitúá á" "¡ primer,punto-_Ai, !rlrdistancia iler ineril;ffip; iliá;;á; ;;iidi^h" s, hasta un''sesundo-plntó ;;;;;; áát"".i",rr {a¡'lqtitud de uir segundo punto B''
[rirá,'3." L.
5!
donde
Bz- Bt* (Br-
Paradeterminar(Br-Br)empleamoslafórTula(7'16);.sin [a-difereniia' buscadá - (9¡-- 81) no puede so,r: .calculada Ia lati".¡urgo directamente por esta fórmula ddbido u -qU. es desconocida
ser calculádo eI radio M* o tomdda üii;;;;ááiá"i. ia cual debeConsideremos la solución de este protablas. las ¿. i;;"-"iih"d iijr eI método de aproximaciones sucesivas. bt.*; - E; ;¡Idaláo (8, -Br), utilizanrlo la'primera "pt*i.*l.ipn.se.oaloula punto, y se obtiene primer del latitutl la (1) o""r-1" cletérminación de es decir, Br), (8, cte áf *l;t aproximado (Br-BJr:§(1)r; luego (Br)r: Bt*(Br-BJr'
latitutl delsegundo punto se caloula la latitud utilizando Ia latitutl media me¿ia aproximada (B-)r: ry; anroximada gue hemos hallado (B-)r' hallamos la diferencia de (B^)r-en la segunda aproiffiiffir iB,-- Br), y la latitud média la cuarta, etc., aprola tércera, calculan se .iá*i6".'Aialogarminte no resulten contiguas aproximaciones dos tanto hasia *i-uáio".r, además serán éstas dada; infr;i;;ñit" l" Ios iímites de ia exactitucl Con este valorde la
L,B,:(Br_Bt),.
Para las distancias s de hasta 1000 km la fórmula (7.19) garantiza de la longitud del arco de meridiano con un error del orden cálculo el
dela2cm.
Para controlar los cáicuios dei arco de meridiano s, éste se debe obtener como diferencia entre las longitudes de los arcos de meridiano X, y X, desde el ecuador hasta los puntos con latitudes 82 ! Bt, es decir,
s: Xz- Xr Los valores de las cantidades Xr l X,
se toman de las «Tablas oara el cálculo de las coordenadas planas conformadas de Gauss, hentro de ]os iímites de latitudes desde 30" hasta 80o». Ejernplo. El cálculo de las longitudes de los arcos de meridiano medianté la fórmula (7.19) entre los puntos cuyas latitudes son B, : :49o29' 58,938" Y Bt: 45"30'17,221", resulta
B, B, B;
lis
aproximaciones definitivas' Anteriormente se dio la solución universalmente admitida para de un arco cle meridian-o, basada d"d";;il11r*"t" ile la longitutt en serió con arreglo. aI binomjo de Newton de ;-ñ;;".fori.iO, iifi-ü6i i7i i) qo" se halla bajo la integral, y su posterior integración miembro a miembro. -*D;;; l"mti¿o de manera diferente Y, Por supuesto, aproxi' mala,-otra solución de la integral inicial
;
r:\uaa. 'Bi
iil
tfi Itl B
li
47
30 30
17 ,221.
08,080
ZurZ, o{u',3{n
6 372 5ll,4$ 3 3í3 333:?31" 38 221 727,817 30,884 0275 ,.4 38r,717
t*44 165,M3 m
s:444165,345 m
|'' S. G{,LC[}úO. ,PE,,L4+
(7.18)
'En la fórmula (Z.lS) el radio de curvatura IVI se determina el -íreridiano buscado,, en el comieoiglla -tl'.d ,t; tr"Jp:""["r;"1;il B-1, Brt .B*.: !12.(B] * B,)' laq-latilr1tt¡s. a ar¡eslo íái*"i' -n ial exfresión (7.18)' adquiere la siguiente forma . i,.h",á.iinitiva:sr (7,f e) ;t i,i, ¿ k»LB',
i\i
4dozg' 58,938'
45
Control mediante la tabla: paral latitud. Bz . . . X2:5485298,588 m paratra latitud B; . . . X¡:5041 [fi,243 m
(7.t7)
Aoliquémosle a la expresión (7.17) la fórmula de simpson (forp"*elotr¡, divldiendo óon esto el intervalo de integración -"i;"á;h en dos partes; entonces se puede escrrbrr que:
gvlt+4Mn*Mr).
t',
M;
» ¡r.) ' ¡fr s
B2
,:+
r:#:8080 2pl.ls-nn 2: Mr*4M^* M,
Br).
.-ITONSIIUD
DE UN ARCO DE PARAI.BI¡
¿
EI paralelo en un elipsoide de rev-oiución es una circunferencia,
por estó eI cálculo de un arco de paralelo se reduce a la de-terminación
de un arco de circulferencia en base =a su ángulo'central, el cual es igual a la diferencia de longitudes de los puntos extremos del arco. 53
t,-
'52
El radio del paralelo r se determina mediante la fórmula (4.g), quo ¡losee Ia siguiente forma: ,
Esquema de resolución:
q
r:
y'f
cos.B- -
a cos
B
acos B
-frffi-:_-W--
I
(8.1)
"il
s': f;
lY cos B
s,. sec
l" /p"
".
B
30 40
50 60 70
"r"o
dá
:179 798,002 lsp: bt.lo : 17 ,979 8002.2 b'
(8,3)
"riiloiii
piit.lo
en
{1
mm.!
de
E
I
96 4t)9, 85 395,3 71 696.9 55 800;e
33 t97,2
§4
!oo, ¿ : g:4sj6,88?" y a :lt.eí, $lli[]."' vorrrrcar la solución mediante la fórmula ge control so : bll,, utilizando las «Tabras p"r, .r o?trrü
-:
;" ros pranos de cooidenadas pñ; J iü""i,"ir-ae latltudes desde 30. hasta
$r,tÁr.¡cúro DE teB*&tm IOS TRApECTO§ Dnor¡iÁNtfütlfifrtf m6ii É'slco
-ElcáIculo del área del trapeoio de un levanta.misnto o de la superficje del qap? se hace det_erminando partes de la superficie del eiipsoide, liaitadas por las líneas de los meridianos y de los paralelos. Tomemos en ol elipsoide D (fig. f5) un trapecio infinitampnte pequeíio ABCD. Los lados del
mism.o son elementos de arcos de y paralelo, y serán
merldi¿as iguales a:
AB:CD:MdB, AD:BC:NcosBdt.
t-
§fi#1-rars
-
746,882
49 888,889 ml§
Divergenoi, s$"1.-scont.-
¿" x,"-
EJempto, Calcular. la longitud je pa"ateto entre puntos, situados en dicho pr"-rt.lo, del árco los sila.citaaa difd;;; ie rongitudes entre esüos punroi y ta i^tit"a á;I-ü;i;ñ"_T
de Gauss,
m
Control en base a las tablas: para B:54"32'19,354'
a una
En la tabla 3 se"pued.en observar las_longitudes de los arcos para latitu¿ó" ¿.'á"-áó; illr# z¿;-.""""i
Llngitud de¡
49 388,390
(8.2)
scont.
3#3i"r,:
32746,882
484,8L37.L0-L¿ 3 708 600,002 0,0133 1726
.,§p
i,iit"l ál-;ir;ff
(2)
0.5801 5280
''iNcosB UP'
De esta oxnresión obtenemos fácirmente ra diferencia de ras -a" -i" ronp""to" p*áréüil" -
l, :
66o392'453,954'
cos B ..lil
;;
*f-: {tr¿
i:l#,¡.,9,*
54032'lg',354
N
La longitud del arco de paralelo s,,_que posee latitud B y difesus' Ñ ; ;; i at' o'" ; ;; ; e v íd e nte, ; ::il'll " l"#if fr"'#tre 7
0"/+5' 46.882'
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El área del trapeoio elemental ABCD designaáa por df, se expresa por la fórmula d.T : MN cos B dB dt.' (9.I)
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tiene, si en la fórmula de d,T, el valor,dl se süstituté por 2o::o se .:.d,2 - Zn MN cos B dB : 2nR2 cos B d,B;
o:
d,z:2nbzffi.
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(s.2) 55
