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INGENIERÍA GEOGRÁFICA
GEODESIA POSICIONAMIENTO POSICIONAMI ENTO GEODESICO GRUPO 2011 - I
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA EAP DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA.
GEODESIA I.
Tema Métodos de Posicionamiento Geodésico Profesor de Cátedra Ing. Ricardo R. Santos Rodríguez. Elaborado por: GONZALES TORRES, DEYVI HUINCHO SARMIENTO ALICIA DEYVIS TANTAS VALENCIA GUILLÉN LEONARDO DÍAZ RUIZ SINDI SONIA VALLEJOS JAVIER
Ciclo: 2011 – I. I.
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INDICE I. II. III.
IV.
Pág.
INTRODUCCION OBJETIVOS MARCO CONCEPTUAL 3.1 Redes Geodesia.
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3.2 Datum Geodésica.
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3.3 Control Horizontal
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3.4 Teoría de errores
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3.5 Compensación de ángulos por mínimos cuadrados
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3.6 Resistencia de figura
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3.7 compensación de ángulos
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CARACTERISTICAS GENERALES DEL LUGAR. 4.1 Geografía.
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4.2 Geología. 4.3 Clima y Geomorfología. 4.4 Vías y accesibilidad. 4.5 Sismicidad. V. VI. VII. VIII. IX.
PROCEDIMIETO DEL TRABAJO DE CAMPO. PROCEDIMIENTO DEL TRABAJO DE GABINTE. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. BIBLIOGRAFIA. ANEXOS.
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I. INTRODUCCIÓN La presente red geodésica está constituida por una serie de triángulos, cuyos vértices son puntos convenientemente elegidos sobre terreno, unidos entre sí por las visuales que la enlazan mutuamente. Está determinada por la medición directa de la longitud de un lado de estos triángulos, llamado base de la red, y la medida de los valores de sus ángulos, con todo esto pueden calcularse los demás elementos de los triángulos que forman la red. En este cálculo se parte de valores obtenidos por observación, que están por tanto afectados por errores; los valores obtenidos para los distintos lados no serán exactos, por eso se hace necesario tener mucho cuidado en hacer las mediciones de campo ya que estas definen la precisión de la red. Luego se calculan los demás elementos de la red. Por último se efectúa las respectivas conversiones de las coordenadas geográficas a las UTM, para luego pasar hacer el control vertical y así determinar las coordenadas geodésicas de los Vértices.
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II.
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OBJETIVOS
Permitir establecer la posición de puntos, a través de la red geodésica y que a su vez esto sirvan como base para conocer la posición de otros puntos, principalmente para lugares lejanos a la urbe, donde no se encuentra ningún punto de apoyo para cualquier proyecto de desarrollo urbano. Saber desarrollar y plantear un trabajo de triangulación geodésica dependiendo de la precisión que se desarrolle el trabajo. Conocer y componer las labores necesarias para hallar coordenadas de puntos de interés, con bastante precisión Aplicar todos los pasos necesarios para hacer el ajuste de la triangulación geodésica y obtener una buena precisión. Ser capaces de realizar una triangulación geodésica para poder aplicarlo.
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MARCO CONCEPTUAL
3.1 REDES GEODESICAS El establecimiento de redes geodésica es uno de los objetivos principales que se persiguen con la geodesia, pues en ellas se basaran una gran cantidad de estudios y trabajos posteriores (levantamientos topográficos). Las redes geodésicas consisten básicamente en una serie de puntos distribuidos por toda la superficie de un país, formando una malla de triángulos, en los cuales, tras un proceso de complejos cálculos, se conocen todos sus elementos, incluyendo las coordenadas de todos sus vértices a los que denominaremos vértices geodésicos. Para determinar las coordenadas de los vértices geodésicos se parte de las del Punto Astronómico Fundamenta, que se determina por métodos exclusivamente astronómicos, como ya hemos dicho anteriormente. Posteriormente, se irán determinando el resto de puntos mediante visuales que formen una malla triangulada. Es necesario medir, con la máxima precisión, de los tres ángulos de cada triangulo (triangulación), además de una línea determinada por dos vértices que suele tomarse hacia el centro del país, denominándose base que como su propio nombre indica, es la base de toda red geodésica, razón por la cual es imprescindible establecerla con absoluta precisión, muy por encima de las que estamos acostumbrados a obtener en los topográficos convencionales. A partir de la base, que constituye el lado de uno de los triángulos, y de la medición de los ángulos, se van determinando el resto de coordenadas, teniendo en cuenta que estos triángulos están sobre el elipsoide y sus lados serán líneas geodésicas (lo que complica los cálculos enormemente), y apoyándose unos triángulos es otros. La geodesia también necesita conocer la orientación, y se determina, en cada punto geodésico, la dirección Norte – Sur, que es la intersección del plano horizontal, tangente al elipsoide en ese punto y el plano del meridiano que pasa por el mismo punto, esta línea se llama meridiana. El ángulo que forma la meridiana con una dirección dada del terreno se llama acimut de dicha dirección. Por evitar en lo posible la lógica acumulación de errores que supone el cálculo de unos triángulos apoyados en los anteriores, se establecen redes geodésicas de distinta precisión u orden. Generalmente se disponen redes de orden 0, orden A, orden B y orden C, con precisiones progresivamente decrecientes. En las órdenes 0, A, B, se aplican básicamente las técnicas diferenciales del Sistema de Posicionamiento Global y el orden C está vigente para los levantamientos geodésicos convencionales con métodos tradicionales, siendo posible la aplicación de técnicas diferenciales del Sistema de Posicionamiento Global en este orden.
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3.1.1. ORDEN 0 Los levantamientos geodésicos horizontales que se hagan dentro de este orden estarán destinados a estudios sobre deformación regional y global de la corteza terrestre y de efectos geodinámicas y en general cualquier trabajo que requiera una precisión de una parte en 100'000,000. 3.1.2. ORDEN A Deberá aplicarse para aquellos trabajos encaminados a establecer el sistema geodésico de referencia continental básico, a levantamientos sobre estudios de deformación local de la corteza terrestre, así como cualquier levantamiento que requiera una precisión de 1:10'000,000. La red geodésica de primer orden está formada por triángulos de 30 a 80 km de lado, pudiendo llegar en casos excepcionales a más de 200 km. 3.1.3. ORDEN B Se destinarán a levantamientos de densificación del sistema geodésico de referencia nacional, conectados necesariamente a la red básica; trabajos de ingeniería de alta precisión, así como de geodinámica. Los trabajos que se hagan dentro de esta clasificación deberán integrarse a la red geodésica básica nacional y ajustarse junto con ella, dando como resultado una precisión no menor a 1:1, 000,000. La red de segundo orden se basa en la anterior y tiene triángulos de 10 a 30 km de lado. 3.1.4. ORDEN C Los levantamientos geodésicos que se hagan dentro de este orden deberán destinarse al establecimiento de control suplementario en áreas metropolitanas, al apoyo para el desarrollo de proyectos importantes de ingeniería, con fines de investigación científica, y en general a cualquier trabajo que requiera una precisión no menor a 1:100,000, y debiéndose ligar a la red geodésica básica o a su densificación. La red de tercer orden se apoya en la de segundo y tiene triángulos con lados de 5 a 10 km
3.2 LOS DATUMS GEODESICOS Para poder definir el Datum, debemos antes definir el geoide y el elipsoide. 3.2.1. EL GEOIDE. Se define como al “geoide” a la superficie teórica de la tierra que une todos los puntos que
tiene igual gravedad. La forma así creada supone la continuación por debajo de la superficie de los continentes, con la superficie de los océanos y mares suponiendo la ausencia de mareas, con la superficie de los océanos en calma y sin ninguna perturbación anterior. como perturbaciones exteriores se encuentran la atracción de la luna, (mareas) y las interacciones de todo el sistema solar.
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Lejos de lo que se podría imaginar, esta superficie no es uniforme sino que presenta una serie de irregularidades, causadas por la distinta composición mineral del interior de la tierra y de sus distintas densidades, lo que implica que para cada punto de la superficie terrestre exista una distancia distinta desde el centro de la tierra al punto del geoide. Grafico 1. Geoide – Superficie Terrestre.
Fuente: EL DATUM Universidad de Valladolid, Ignacio Alonso Fernabdes – Coppel. 3.2.2. EL ELIPSOIDE. Como sabemos la tierra no es redon da, y su figura se asemeja a la naranja una “esfera achatada por los polos”, y no existe figura geométrica alguna que la represente, debido fundamentalmente a las irregularidades existentes. Estas irregularidades de la tierra son detectables y no extrapolables a todos los puntos, simétricos, de la tierra, ya que no existe un único modelo matemático que represente todo la superficie terrestre, para lo que cada continente, nación, etc. Y de hecho emplean un modelo matemático distinto, de forma que se adapte mejor a la forma de la tierra en la zona a cartografiar. Este elemento de representación de la tierra se le denomina elipsoide. Este elipsoide es el resultado de revolucionar una elipse sobre su eje. Grafico 2. Elipsoide – Superficie Terrestre.
Fuente: EL DATUM Universidad de Valladolid, Ignacio Alonso Fernabdes – Coppel.
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Este elipsoide se define matemáticamente en función a los siguientes parámetros:
Radio mayor (a) y radio menor (b) del elipsoide. Aplastamiento del elipsoide (1/f = 1 – (b/a)). El aplastamiento (1/f) suele tomar valores enteros, 296.297 etc.
3.2.3. COMPARACIÓN ELIPSOIDE CON EL GEOIDE. La desigual distribución de la gravedad de la superficie, y de lo local de las perturbaciones, causa que existan zonas de la tierra por encima del geoide y por debajo de este. Grafico 3. Áreas Según su Posición.
Fuente: EL DATUM Universidad de Valladolid, Ignacio Alonso Fernabdes – Coppel. Estas diferencias gravitatorias son causadas por la composición terrestre y la presencia de una gran masa de agua en los océanos, que causa una menor atracción, y hace que, por lo general, el geoide quede por encima del elipsoide en la zona continental y por debajo de la zona oceánica: Grafico 4. Elipsoide – Geoide. Anomalías Gravitatorias.
Fuente: EL DATUM Universidad de Valladolid, Ignacio Alonso Fernabdes – Coppel.
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3.2.4. EL DATUM. Se le define datum al punto tangente al elipsoide y al geoide donde ambos son coincidentes. Cada Datum está compuesto por: a) Un elipsoide, definido por a, b y aplastamiento. b) Un punto llamado “fundamental” en el que el elipsoide y la tierra son tangentes. Este punto fundamental se le define por sus coordenadas geográficas longitud y latitud, además del acimut de una dirección con origen en el punto “fundamental”. Esta
desviación se denomina: Eta ->>. Desviación en la vertical. Xi ->>. Desviación en el meridiano.
Grafico 5. Elipsoide – definiciones – Datum.
Fuente: EL DATUM Universidad de Valladolid, Ignacio Alonso Fernabdes – Coppel. En el punto fundamental coincide el elipsoide con la superficie real de la tierra así como en este punto las coordenadas astronómicas (las del elipsoide) y las geodésicas (las de la tierra). Estas dos desviaciones definidas vienen dadas al no coincidir la vertical perpendicular al geoide, trazada por el punto fundamental, con la vertical perpendicular al elipsoide. Que dando el sistema definido al estar definidos estos ángulos en el Datum. 3.2.4.1. DESVIACIÓN DE LOS ÁNGULOS FUNDAMENTALES DEL DATUM. Definido el Datum, ya se puede elaborar la cartografía de cada lugar, pues se tiene unos parámetros de referencias que relacionan el punto origen del geoide y del elipsoide con su localización geográfica, así como la dirección del sistema.
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Desviación de la vertical (ETA).
Esta desviación viene dada al no coincidir la vertical en el geoide con la vertical en el elipsoide, no pasando la perpendicular al elipsoide por el centro de la elipse de revolución que me genera al elipsoide. Grafico 6. Elipsoide – Desviación de la Vertical.
Fuente: EL DATUM Universidad de Valladolid, Ignacio Alonso Fernabdes – Coppel. Vista sobre la medición de un punto: Grafico 7. Elipsoide de Referencia.
Fuente: EL DATUM Universidad de Valladolid, Ignacio Alonso Fernabdes – Coppel.
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Medición sobre el meridiano (Xi).
La desviación sobre la vertical hace que la latitud, al realizar su medición angular, no pase por el centro (0, 0, 0), originando un punto f icticio “S”, que puede no estar situado en el eje “Polo
Norte – Polo Sur”. Si este punto está situado sobre el eje “Polo Norte – Polo Sur” la desviación sobre el meridiano es 0°. Hay que recordar que tanto la desviación sobre el meridiano como la desviación de la vertical, únicamente es evaluada para el punto fundamental y no para la totalidad de las posiciones geográficas del sistema, sistema para el que independientemente en su desviación toma su origen de meridianos en Greenwich, Inglaterra 0°. 3.2.4.2. DATUMS DE EMPLEO USUAL. Existen un gran número de Datums. Se detallan a continuación los más empleados, su zona de ampliación, punto fundamental, elipsoides y las desviaciones. Cuadro 1. Datums más Usados a Nivel Mundial
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3.3 POSICIONAMIENTO GEODÉSICO. Consiste en determinar las coordenadas geodésicas ( , y h) de puntos situados sobre la superficie terrestre o cerca de ella. Se clasifican en:
Control horizontal: Determinación de la latitud y longitud ( ,). Control vertical: Determinación de la altura ortométrica (h). 3.3.1. CONTROL HORIZONTAL
Cuando tenemos los ángulos corregidos y calculados, la longitud de los lados de la red y/o canevás, se inicia el proceso de transporte de coordenadas geodésicas desde un punto geodésico conocido. Aquí se presentan dos casos y para ambos se requiere conocer el tipo de elipsoide de revolución que más se acerca al geoide de la zona de estudio. a). Método Directo. Consiste en determinar las coordenadas de un punto final y su acimut inverso, dadas las coordenadas de un punto inicial, dirección y distancia al otro punto. Como se muestra en la figura 9.17.
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Se sabe que:
Aplicando ley de senos al triangulo esferoidal, pero referido a un redio de curvatura en el meridiano (1) y por lo tanto aplicando la corrección, se tiene:
………… (I)
En la que:
Con el cual se determina ’m. Para calcular la longitud (), el ∆ esferoidal se proyecta a una esfera de radio (R) es igual al radio de curvatura en el vertical primo ( 2.): R = 2.
Aplicando ley de senos tenemos las siguientes formulas:
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…………. (II).
Pero:
………………. (III).
Apoyando en las ecuaciones I, II y III, se efectúa el transporte de coordenadas de un vértice a otro; para ello se debe conocer el elipsoide de revolución que mas acerque al geoide. Las formulas anteriores pueden aplicarse hasta una longitud de 100 km. b). Método Inverso. Dadas las coordenadas de dos puntos, el método inverso permite determinar las distancias que los separa, así como la orientación directa e inversa del acimut ver figura 9.21).
Formando el triangulo elipsoidal con los datos de los vértices y siendo: ∆ =2 - 1
12 acimut directo < 180° 21 =12 + 180° + ∆ Proyectando el triangulo elipsoidal sobre una esfera cuyo radio es “ ”, se tiene para la latitud
media (m).
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Para resolver el triangulo por el método, se deba acatar las hipótesis siguientes:
Distancias iguales: SAB = SA1B1. Ángulos iguales: en el elipsoide y el esferoide.
Acimut directo es cuándo: 12 < 180° (medido a partir del norte).
De acuerdo a lo indicado anteriormente, tenemos:
Aplicando una de las analogías de Neper, tenemos:
……………………. (IV).
Utilizando el triangulo esferoidal:
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Aplicando en ella la siguiente analogía:
Tenemos:
…………………. (V). Para determinar la distancia (“S”), se considera al triangulo esferoidal.
Aplicando una de las analogías de Delambre:
Reemplazando tenemos la siguiente fórmula:
…………………….. (VI).
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Mediante las ecuaciones (IV), (V), (VI), se determinan el acimut directo e inverso y la distancia geodésica. 3.3.2.1. MÉTODOS DE LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS HORIZONTALES. Para levantamientos geodésicos se podrán utilizar los métodos que se mencionan a continuación o sus combinaciones. La selección de cualquiera de ellos cuando sea posible optar entre dos o más, deberá estar ligada a las consideraciones económicas y a su capacidad relativa para producir los resultados esperados, los que deben formar parte de los criterios contemplados en el planeamiento del proyecto. a) Método Astronómico.
Consiste en la observación de la posición angular de objetos relativamente fijos sobre la esfera celeste cuyas coordenadas se conocen en el tiempo. El método se aplica para la determinación de coordenadas astronómicas puntuales y mayormente para el control en dirección de otros métodos de levantamiento. b) Triangulación.
La Triangulación Geodésica es un método preciso y eficiente de establecer puntos de control sobre áreas extensas de la superficie terrestre. Forma la Red de control horizontal básico ó fundamental en la mayor parte de los continentes. La Triangulación utiliza puntos terrestres ínter visible conectado por líneas de visual para formar triángulos, cadenas de triángulos y figuras geométricas compuestas por triángulos, los ángulos de cada triángulo se miden con teodolitos de alta precisión. Las longitudes de los lados se calculan por la ley de los Senos; los cálculos deben empezar con la longitud conocida de uno de los lados, la cual se obtiene por medición terrestre directa o de cálculos de otra red de triangulación compensada. El azimut de la línea de partida debe conocerse y un azimut debe llevarse por todo el sistema de figuras, a intervalos, según la precisión del trabajo debe realizarse una determinación del azimut Laplace para corregir los errores acumulados causados por pequeñas imperfecciones en la medición de los ángulos y errores sistemáticos que causan un cambio en la orientación de la red. Semejantemente, las longitudes calculadas en la red de triangulación deben compensarse a intervalos de otra línea base o lado previamente establecido de una red compensada. En conjunción con la determinación angular horizontal, los ángulos verticales se miden entre cada punto o estación, estos ángulos surten el cálculo de diferencias de elevación entre todos los vértices. Los vértices en la red se conectan por nivelación diferencial o por distancias cenitales a las marcas de cota fija sobre un plano de referencia conocida, cada tercer o cuarta figura si fuera posible, de esto se calcula la corrección a la elevación de cada vértice. La utilidad de una red de triangulación depende de la precisión de los levantamientos de campo y de los cálculos de la permanencia de las marcas, de la autenticidad de los croquis y de las descripciones monográficas que han de utilizarse en su reocupación.
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Existe diversos métodos con lo cual se puede realizar la triangulación aquí presentamos algunos de ellos. b.1. Observaciones angulares.
Método de vuelta de horizonte.
Cuando las observaciones angulares se efectúan según este método, se estaciona el instrumento en el vértice, por ejemplo en A y en posición de C.D. se observan todas las direcciones. De ellas se elige la que mejor definida esté, por ejemplo F, y se anotan las lecturas a cada una de las restantes B, C,..., para volver a mirar a la visual de origen F, y comprobar si su lectura, llamada de “cierre”, es la misma que al comienzo. Ello permitirá comprobar que el instrumento no ha sufrido ningún tipo de movimiento durante la observación. De ser así se procederá a situar el equipo en posición de C.I. y se repetirán las observaciones, girando en sentido contrario al anterior y comprobando igualmente el cierre de F. Si es correcto se dice que se ha observado “ una serie o vuelta de horizonte ” ver figura 1.
Cuando se pretende alcanzar ciertas precisiones, se hace necesario observar más de una serie y si es “ n” el número de ellas, el ángulo de reiteración α, viene dado por el cociente: 360° =
Que será el valor que habrá que incrementar la lectura origen de cada serie para conocer la de la siguiente. En Topografía no es frecuente observar más de dos series Se ha dicho anteriormente que las lecturas de cierre deben ser coincidentes con las iníciales, pero se comprende que esta coincidencia no puede ser total, ya que estarán afectadas de errores de puntería y lectura por lo que la mayor diferencia admisible para el cierre de una vuelta de horizonte, será:
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Método de pares sobre una referencia.
Este método consiste en elegir una dirección de referencia R, que esté bien definida, y que puede ser o no alguna de las direcciones a observar. Se hacen las lecturas correspondientes sobre R y B como si se tratase de una vuelta de horizonte compuesta nada más que por dicho par de direcciones. A continuación se visan de igual modo a R y C, que constituirán el segundo par, y así, sucesivamente hasta haber combinado con R todas las direcciones. Como la observación de cada par se hace en muy poco tiempo se evitan posibles movimientos del equipo.
Método mixto.
Si el número de direcciones es grande, es lógico que se tarde bastante en la observación de las direcciones, por lo que para abreviar se utiliza el método mixto que consiste en dividir las direcciones totales en varias de tal manera que se vise a la referencia y a unas direcciones y luego se vuelta a visar a la referencia y al resto de las direcciones y se refunden las vueltas de horizonte en una sola. b.2. medida de las bases. Para el desarrollo de la triangulación es necesario conocer la longitud de uno de los lados. Este lado se llama base de la triangulación. Puede obtenerse mediante medición directa o puede calcularse indirectamente su longitud, por reducción de la de un lado geodésico o por ampliación de otra base más pequeña. La base debe ocupar un lugar lo más centrado posible respecto de la triangulación. Es evidente que así serán necesarios menos encadenamientos de triángulos para enlazar desde ella los límites de la zona. En cuanto a la precisión de la medida de la base será aquella que requiera la escala del plano que se pretende obtener y la mayor o menor superficie a representar, o dependerá de la precisión con la que se deseen las coordenadas de los vértices. La medida de la base se suele llevar a cabo con distanció metros electrónicos. Anteriormente se realizaba mediante una estadía invar, y fraccionando la distancia en tramos no mayores a 50 metros. Se conseguían de este modo precisiones del orden de 1/50.000. Las longitudes medidas han de experimentar diversas correcciones, siendo la primera la correspondiente a su reducción al horizonte, si es que el sistema empleado para obtenerla no da directamente este tipo de distancias. A su vez, si no es pequeña la altitud de la base puede llegar a tener cierta importancia la corrección denominada reducción al nivel de mar ya que los vert icales de sus extremos A’ y B’ no son paralelos sino convergentes en O, centro de la Tierra. Así, si es H aquella altitud de la semejanza de triángulos OAB y OA’B’ se deduce:
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Si se desea efectuar el cálculo de la triangulación en coordenadas rectangulares de un determinado sistema de proyección, debe tenerse en cuenta que las longitudes a representar en el plano pueden no ser iguales a las correspondientes en el terreno, dadas las deformaciones que se producen en las proyecciones cartográficas, teniendo que tener en cuenta la denominada anamorfosis lineal, que representa la relación que existe entre aquellas longitudes. El valor de k, de la anamorfosis es variable de unas proyecciones a otras y es función de las coordenadas del lugar, así pues la longitud de la base a considerar en el plano (AB), viene dada por la expresión:
Figura 2. Triangulación.
Fuente: Triangulación y Trilateración. M Farjas.
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c) Poligonación.
Las poligonales pueden considerarse semejantes a la navegación a estima, en la que se miden distancias y direcciones; en una Poligonación se parte de alguna posición y azimut conocido hacia algún otro punto, después se mide los ángulos y las distancias a lo largo de una línea de puntos de levantamiento, si la poligonal regresa a su punto de partida se le llama poligonal cerrada, cuando esto último no sucede se dice que la poligonal es abierta. Desde que se dispone de equipo electrónico para la medición de distancias la precisión de los levantamientos por Poligonación ha aumentado significativamente; con las medidas angulares puede calcularse la dirección de cada lado de la poligonal y con las medidas de longitud de las líneas se podrá calcular la posición geográfica de cada uno de los puntos de poligonal. El control horizontal por medio de poligonales con propósitos geodésicos también necesita de observaciones astronómicas para el control de los azimuts; las poligonales establecidas según estas normas deben comenzar y cerrarse sobre estaciones fundamentales existentes de triangulación o poligonales. Figura 3. Diferentes tipos de poligonales
Fuente: Universidad Autónoma de Chihuahua. Manual de Prácticas de Geodesia I. d) Trilateración.
La Trilateración es un método de levantamiento según el cual se miden las longitudes de los lados. La disponibilidad de equipo electrónico para medir distancias ha hecho que este procedimiento resulte práctico y económico. La Trilateración aumenta la flexibilidad de los métodos de control básico, manteniendo al mismo tiempo resultados satisfactorios, pese a que no es dable esperar que la Trilateración se use frecuentemente, ya que es ventajosa solamente en circunstancias especiales. La Trilateración deberá comenzar y terminar en estaciones de Triangulación o Poligonal fundamentales ya existentes; debe comprender observaciones de control de azimut, proporcionando los cierres correspondientes. La figura básica de la Trilateración debe ser un hexágono regular o un doble cuadrilátero con todos sus lados y diagonales medidos. Se puede usar a veces un pentágono regular pero nunca en serie. Método Inercial El método se fundamenta en la medida de variaciones de aceleración referidas a tres ejes que se estabilizan mediante giroscopios, conjunto montado sobre una plataforma móvil. Las
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variaciones se traducen en desplazamientos que referidos a una cierta posición de origen, producen las coordenadas geodésicas requeridas. El método ofrece las ventajas de poder determinar además otros parámetros geodésicos, utilización en todo tiempo y ser de alto rendimiento, pero habrá que considerar su costo inicial y capacidad real para producir resultados exactos. Debido a esto último y a que el método está todavía en la etapa introductoria, no se darán por ahora normas y especificaciones en este documento, debiendo observarse las indicadas por los fabricantes de los instrumentos. e) Técnicas diferenciales del Sistema de Posicionamiento Global
Este método consiste en recibir la señal electromagnética emitida por los satélites de la constelación que conforman el Sistema de Posicionamiento Global para determinar la posición relativa de puntos sobre la superficie terrestre. Dada la complejidad, el tamaño y dinámica de cambio de las normas para este tipo de levantamientos se tratarán a detalle en un documento por separado, dándose en éste los lineamientos mínimos. 3.3.2. CONTROL VERTICAL. Consiste en determinar las alturas ortométrica de los vértices, utilizando la nivelación geodésica geométrica y nivelación geodésica trigonométrica. Por las características de nuestro territorio patrio, la nivelación geodésica trigonométrica reciproca es la más importante y nos proporciona mayor precisión. a). Nivelación Geodésica trigonométrica Reciproca.
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La solución de esta se efectúa mediante un proceso iterativo hasta que: |hm – hm-1| 0.001 m.
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b). Nivelación Geodésica Trigonométrica no Reciproca. Es tipo de nivelación no se efectúa en dos visuales y se realiza el visado en una sola estación (ver figura 9.32). La deducción de la formula requiere reemplazar en la ecuación (V), lo concerniente a: 2 = 180° + - 2 – 2r; determinando la siguiente expresión.
…………. (VI).
3.4. TEORÍA DE ERRORES. Todas las operaciones geodésicas que realizamos se reducen, en último extremo, a la medida de distancias y ángulos. El ojo humano tiene un límite de percepción del cual no se puede pasar. Por lo pronto, las medidas que hagamos auxiliándonos de la vista no serán nada más que aproximaciones. Como conclusión, podemos afirmar que el valor real de una magnitud no podemos conocerlo. Todos los valores que conozcamos de la misma, serán solo aproximados, sin saber con qué grado de aproximación nos hallamos respecto a su verdadero valor. 3.4.1. Clasificación de los errores Se denomina “error” a la distancia entre el valor obtenido y el real y llamaremos error
propiamente dichos a los que sean inevitables y no a las equivocaciones, consecuencias éstas de descuido, las cuales suelen encajarse como errores groseros. Los errores los podemos clasificar en:
Errores sistemáticos:
Que aparecen al realizar una mediada y proceden de una causa permanente que obliga a cometerlo, siempre según una ley determinada. Por ejemplo, es la medida de una longitud, realizada con una cinta o rodete corto.
Errores accidentales:
Que son debidos a causas fortuitas que ocasionan errores, unas veces en un sentido y otras en otro, pero no obedecen a ninguna ley conocida.
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En la teoría de errores se admiten dos postulados: o o
Los errores son más probables cuantos más pequeños son. Si tenemos una medida realizada un número grande de veces, los errores de un cierto signo aparecen en igual número de veces que los del mismo valor y signo contrario. Dicho de otra forma, y esta propiedad lo aplicaremos después, podríamos decir que la suma de sus productos binarios es despreciable.
3.4.2. Tipos de errores Cuando disponemos de una serie de medidas hechas de un magnitud, es frecuente emplear diferentes tipos de error, que suelen indistintamente utilizarse. Definimos como:
Error probable (e p):
Aquel que tiene tantos errores mayores que él, como más pequeños. Es decir, supongamos que hemos obtenido una serie de valores de una magnitud y con ellos hemos obtenido una serie de errores que hemos ordenado por orden de magnitud, presidiendo del signo. Llamaremos error probable al situado en el centro.
Error medio aritmético (e a):
Es la medida aritmética de todos los errores conocidos, prescindiendo del signo.
Error máximo (em):
Este error, nos marca una barrera en las medidas realizadas, que usaremos para desechar los valores superiores a la misma y considerándolas como errores groseros. Este error se llama también “tolerancia”. Suele adoptar se que:
em = 2.5*ec. Siendo ec. el error que vamos a definir a continuación.
Error medio cuadrático (ec):
Si consideramos una serie de errores reales respecto del valor real o exacto de la magnitud que medimos (y que nunca conocemos) se define como error medio cuadrático a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los residuos dividido por el numero de éstos.
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3.5. COMPENSACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS; (ECUACIONES DE CONDICIÓN). El estudio de la compensación por mínimo cuadrados, utilizando el método denominado de “Ecuaciones de Condición”, está relacionado entre sí los valores obtenidos directamente de
campo, al aplicar en ellos las condiciones impuestas por el modelo matemático que nos proporciona dichas ecuaciones de condición. Así, en una red de triángulos planos que hemos observado en campo, tienen que satisfacer los ángulos el que la suma de los tres de cada triangulo sea 180°, y la suma de los ángulos en cada vértice 360°. En cada caso se trata de buscar las correcciones que hemos de aplicar a los ángulos observados para obtener una red que sea perfectamente homogénea y geométrica. Existirán, en general, infinitos sistemas de correcciones posibles a aplicar a los angulos, y de entre todos ellos se elige aquel sistema particular tal, que la suma de los cuadrados sea mínimo. Cuyos valores son desconocidos, y supongamos que entre estas “n” cantidades existen “r”
ecuaciones de condición (r < n), que admitiremos son lineales e independientes de la forma.
………………… (a).
Los valores xi no son conocido, ya que la observación da unos valores próximos a ellos, obteniendo para cada valor un residuo
El cual vamos tratar de hallar las condiciones dadas. Sustituyendo en el sistema anterior los valores respectivos de x i.
…………… (b).
Restando (a) y (b) miembro a miembro tendremos el sistema denominado de condiciones condicionales.
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Tendremos por tanto, “r” ecuaciones, con “n” incógnitas (r < n), luego habrá infinitas soluciones. Para buscar la solución más conveniente, como dijimos anteriormente, imponemos la condición siguiente de mínimo.
Para resolver el sistema de ecuaciones totales Lagrange, en lugar de considerar el mínimo de la función U, considera otra función F, que (para el caso de las tres ecuaciones) es de la forma.
Donde los valores de 1, 2 y 3 son indeterminados. Este es el método denominado de multiplicadores de Lagrange. Esta función F se reduce a la U para aquellos valores de las incógnitas que satisfagan a las ecuaciones de condición.
En efecto, aquel sistema de soluciones que satisfaga a estas tres condiciones de condición, si además hace mínima la función F, hará mínimo U, luego este será el sistema de soluciones que buscamos. Pues bien, la condición se hace F mínimo impone que se anulen las primeras derivadas parciales respecto a cada una de las incógnitas
Hallar las derivadas parciales:
Una vez obtenidos el sistema de ecuaciones normales, su resolución se puede hacer por cualquier procedimiento de resolución de ecuaciones
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3.6. RESISTENCIA DE FIGURA (R). La determinación del mejor camino para el cálculo de la longitud de los lados se conoce con el nombre de “Resistencia de Figura”, a la cual es una expresión del error comparativo determinado o basado en la teoría de las probabilidades. La ruta que tenga menor valor “R” es la que nos conducirá a determinar el lado deseado con
mayor precisión, que los otros caminos; es decir con esta ruta trabajamos con los mejores ángulos de campo. Para una sola figura es deseable que R 25 y entre dos bases su valor no debe exceder de 125. La expresión a usarse en el cálculo de la resistencia de figura es:
La resistencia de figura de puede determinar analíticamente o utilizando el nomograma siempre y cuando la diferencia entre ángulos opuestos se mayor de 2°. Ver anexo.
3.7. COMPENSACIÓN DE ÁNGULOS. Una vez obtenidos los valores finales del levantamiento geodésico en el elipsoide, se pasa a la resolución de triángulos ya que se conoce un lado base y los ángulos de cada triangulo obtenidos con la estación total. Como no es posible desarrollar a este nivel no se pueden efectuar las correcciones; por lo tanto esta red debe proyectarse en un plano bajo ciertas hipótesis y en ellas efectuarse las correcciones, de tal manera que las figuras cumplan con las condiciones geométricas y trigonométricas. 3.7.1. Excentricidad. Razón de distancia desde el centro de una elipse hasta su foco por el semieje mayor.
(1)
En (1) “a” el semieje mayor del elipsoide que se toma como referencia para la figura de la Tierra, y “N” la gran normal en el punto de latitud , que define el paralelo en cuestión, y que se calcula según:
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(2)
donde:
(3)
En la que e es el valor de la primera excentricidad del elipsoide y f es el aplanamiento del elipsoide. Para llegar a esta conclusión y las consideraciones que siguen a continuación, se ha tomado y se tomará como superficie de referencia de la Tierra, la del elipsoide de revolución, de manera que las formulas que se exponen sean de aplicación directa para cualquier datum geodésico de referencia que se adopte.
3.7.2. Radio de curvatura en el vertical primo ( ). Es la división entre el semieje mayor del elipsoide y la diferencia de la unidad menos el producto de la primera excentricidad por seno cuadrado de la latitud elevado a la un medio.
3.7.3. Achatamiento (). Es la división entre la diferencia de semieje mayor del elipsoide menos el semieje menor del elipsoide y al semieje mayor del elipsoide.
3.7.4. Radio de curvatura en el meridiano ( ).
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3.7.5. Radio Gaussiano (R). Este radio se define como el valor integral medio de R tomado sobre el acimut de 0° a 360°:
Finalmente tenemos que el Radio de Curvatura Medio Gaussiano está dado por:
….. (1).
En función del radio de curvatura en el vertical primo ( )y el radio de curvatura en el meridiano () tenemos:
………. (2)
3.7.6. Exceso Esférico Mediante el teorema de Legendre se determina el exceso esférico, con el cual el triangulo esférico se proyecta en un plano. Ver figura.
Aplicando ley de cosenos a los triángulos esféricos y aplicando también ley de cosenos en el triángulo plano tenemos la siguiente fórmula:
Donde: S: área del triangulo. R: radio Gaussiano. 0’’: exceso esférico.
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IV.
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CARACTERÍSTICAS GENERALES DEL LUGAR Trabajo : Zona : Ubicación: Distrito : Provincia :
Poligonal Geodésica Huarangal Lomas de Carabayllo Carabayllo Lima
4.1 GEOGRAFÍA. Geográficamente la zona en estudio se encuentra ubicada entre las coordenadas UTM norte 8’689,000 – 8’695,000 y 272,000 – 280,000 de coordenadas Este, referidas al Sistema Geodésico Mundial WSG 84. El área en estudio se desarrolla entre las cotas absolutas 200m y 400m. Lomas de Carabayllo, se encuentra al norte de Lima, a la altura del Ovalo de Zapallal, a la derecha, se sigue la única vía que existe. Hasta 3 Km. aprox. de ruta está vía es jurisdicción de Puente Piedra. Las Lomas de Carabayllo está clasificado como: Orográfico (Montañas) está constituido por cerros medianos no escarpados, los mismos que según los entendidos, contienen materiales considerados minerales no metálicos, contienen materiales para la construcción. Se ubica entre los 200 y 300 msnm, lo cual lo hace estar a más altura que el centro de Lima.
IMAGEN 1. ZONA DE ESTUDIO LAS LOMAS DE CARABAYLLO.
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IMAGEN 2. UBICACIÓN DE LA ZONA DE LEVANTAMIENTO.
IMAGEN 3. VISTA GENERAL DE LA ZONA DE ESTUDIO.
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FOTO 1. ENTRADA A LA ZONA DE LEVANTAMIENTO.
FOTO 2. ZONA OROGRÁFICA.
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FOTO 3. ZONA DE COLINAS. 4.2 GEOLOGÍA GENERAL Y LOCAL. La zona de estudio se ubica al norte de la ciudad de Lima. De acuerdo a las cartas geológicas presentado por INGEMMET, el área de estudio se encuentra en el cuadrángulo de Chancay (hoja 24-i) y por la extensión que abarca el proyecto, presenta una geología variada que a continuación detallamos: Las habilitaciones que conforman la ampliación se encuentran ubicadas en el valle del Chillón en Carabayllo, identificándose en los sectores altos un grupo litológico principal constituido por las formaciones, Pamplona (Ki-Pa), Atocongo (Ki-at), y Marcavilca (Ki-m) conformados por rocas sedimentarias y la formación Huarangal (Kim-h) conformados por rocas volcánicas. La parte baja del área de estudio está constituida por depósitos aluviales cuya edad geológica pertenece al cuaternario pleistoceno (Qp-al). La estratigrafía de esta zona está conformada por suelos de granulometría gruesas conformadas por gravas sub-angulosas con matriz de arenas y arcillas de compacidad firme a muy firme.
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Geodesia
FUENTE: MAPA GEOLOGICO DEL CUADARANGULO DE CHANCAY Y LIMA, ZONA DE ESTUDIO “LAS LOMAS DE CARABAYLLO”.
GEOLOGÍA DE LAS LOMAS DE CARABAYLLO.
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Geodesia
FOTO 4. MOSTRANDO LA GEOLOGÍA DE LA ZONA DE LEVANTAMIENTO.
4.3 CLIMA Y GEOMORFOLOGÍA. 5.3.1 GEMORFOLOGÍA. La geomorfología del área de estudio corresponde al valle del chillón el cual presenta colinas, valles y cerros de regular pendiente, la zona baja, está formado por depósitos aluviales en su mayoría suelos de granulometría fina y gruesas conformado por arenas gravosas ó gravas arenosas, gravas arcillosas, limos, arenas y arcillas, mientras que los cerros son producto de procesos tectónicos y plutónicos, dando lugar a la formación de mantos rocosos, sobre impuestos por los procesos de geodinámica interna y externa que han modelado la geología en esta zona.
FOTO 5. GEOMORFOLOGÍA DE COLINAS, VALLES Y CERROS DE REGULAR PENDIENTE.
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FOTO 6. DEPÓSITOS ALUVIALES CON SUELOS DE GRANULOMETRÍA FINA Y GRUESAS.
5.3.2 CLIMA. Su temperatura media es de 22 grados, con un mínimo de 14 en invierno y un máximo de 30 en verano. Su humedad promedio del año es de casi 86%, aunque en invierno llega hasta el 95% producto de la presencia de las neblinas.
FOTO 7. AL MOMENTO DE REALIZAR EL TRABAJO, LA ZONA DE LEVANTAMIENTO SE ENCONTRABA EN PLENA PRESENCIA DE NEBLINAS.
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4.4 VÍAS Y ACCESIBILIDAD. Uno de las vías de acceso es por la Panamericana Norte a la altura km. 34 en el Óvalo de Zapallal, ingresando por una carretera a medio asfaltar de aproximadamente 3.5 km. la cual recorre toda la zona de las Lomas de Carabayllo y en su tramo final se ubica el lugar trabajado. Otro acceso es por el ovalo de Puente Piedra desviándose hacia a la Av. San Juan siguiendo un tramo de aproximadamente 4 km. Recorriendo las zonas de San Pedro de Carabayllo y Santa María, llegando a empalmar con la Av. Huarangal donde también en su tramo final se encuentra la zona trabajada.
IMAGEN 4. ACCESIBILIDAD.
FOTO7.TIPO DE ACCESIBILIDAD DE LA ZONA A TRABAJAR.
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4.5 SISMICIDAD. De acuerdo al Nuevo Mapa de Zonificación Sísmica del Perú, según la nueva Norma Sismo Resistente (NTE E-030) y del Mapa de Distribución de Máximas Intensidades Sísmicas observadas en el Perú, presentado por Alva Hurtado (1984), el cual se basó en isosistas de sismos peruanos y datos de intensidades puntuales de sismos históricos y sismos recientes; se concluye que el área en estudio se encuentra dentro de la Zona de alta sismicidad (Zona 3), existiendo la posibilidad de que ocurran sismos de intensidades tan considerables como VIII y IX en la escala Mercalli Modificada. De acuerdo con la nueva Norma Técnica NTE E-30 y el predominio del suelo bajo la cimentación, se recomienda adoptar en los Diseños SismoResistentes para las obras no lineales como son reservorios, y obras menores, los siguientes parámetros, según la siguiente tabla: TIPO DE SUELO
Z
S
T p(S)
ARENAS CON GRAVAS o GRAVAS ARENOSAS
0.4
1.4
0.9
0.4
1.00
0.40
ROCA VOLCANICA ROCA SEDIMENTARIA
Donde: (Z) Factor de zona. (S) Factor de amplificación del suelo. (Tp) Periodo que define la Plataforma del espectro.
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Geodesia Mapa de zonificación sísmica del Perú.
Fuente: Atlas de peligros naturales del Perú – INDECI.
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Mapa de distribución de máximas intensidades sísmicas observado en el Perú.
Fuente: Jorge E. Alva Hurtado et – al.
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V. PROCEDIMIENTO DE TRABAJO DE CAMPO. El trabajo se desarrollo en el Departamento de Lima, Distrito de Carabayllo; con dirección Av. Huarangal S/N “Villa Club”. Para poder establecer los puntos se hizo un reconocimiento pre vio
de los posibles lugares, así llegado el momento se pudo trabajar con mayor tranquilidad y con los permisos del lugar.
IMAGEN 5. UBICACIÓN DEL CANEVÁS EQUIPOS Y MATERIALES UTILIZADOS
En el trabajo de campo se utilizaron los siguientes equipos y materiales de escritorio: a.- Brigada de Trabajo: - Alicia Huincho Sarmiento - Deyvi Gonzales Torres - Deyvis Tantas - Sindy Sonia Díaz Ruiz - Javier Vallejos - Leonardo Valencia Guillen
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b.- Equipos de medición: - 1 Estación Total TOPCON 7505. (ver anexo)
$ 30/día
- 4 Prismas.
$2/día/un
- 4 Radios.
$2/día/un
- 1 Trípode. - Cámara Fotográfica.
c.- Equipos de oficina: - Libreta de Campo. - Útiles de escritorio. - 1 Computadora Pentium IV. - 1 Laptop. - 1 Ploter HP5550. - Calculadora programable Casio.
FOTO 8. EQUIPO DE TRABAJO
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Geodesia METODOLOGÍA Y PROCEDIMIENTO DE TRABAJO
a. Material Documentario: - Planos de la zona de trabajo. - Bibliografía de diferentes autores para la planeación del trabajo. b. Reconocimiento del terreno: Para realizar el reconocimiento se debe: - Seleccionar en el terreno los sitios adecuados para el establecimiento de las marcas permanentes. - Comprobar las condiciones de observación en cada sitio. - Establecer donde estarán ubicadas las marcas permanentes. - Elaborar croquis, descripciones e itinerarios preliminares de los puntos. - Concretar el proyecto definitivo para el levantamiento de campo. c. Materialización de vértices de la poligonal: Luego del reconocimiento de terreno en que se va a efectuar el trabajo, se procedió a la materialización de los vértices, siguiendo los siguientes pasos: - Selección del sitio Se eligió la ubicación de los puntos, teniendo en consideración la accesibilidad, la visibilidad de los mismos. Estos puntos no deben estar muy retirados uno del otro y debe existir ínter visibilidad entre ellos; y el ángulo formado entre las estaciones no debe ser menor a 30º y mayor a 120°. - Materialización del punto. Se pintaron los puntos en el suelo que estaban cimentados (punto base) y además colocando estacas de madera para el resto de puntos.
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UNMSM VI.
Geodesia
PROCEDIMIENTO DE TRABAJO DE GABINETE.
DATOS DE CAMPO Para el desarrollo del proceso de gabinete se tomara como datos de referencia del Elipsoide Geodésico adquirida de las especificaciones técnicas para la producción de cartografía básico del Instituto Geográfico Nacional (IGN). Para efectos prácticos como elipsoide puede ser utilizado el World Geodesic System 1984 (WGS84), con los siguientes parámetros.
Elipsoide: WGS84 (World Geodesic System 1984) Datum: Geocéntrico Semi Eje Mayor: 6 378 137 metros Semi Eje Menor: 6 356 752,31424 metros Achatamiento: 1/298,257223563 Clave: WGS84
Los datos de ángulos horizontales se tomaron tomando en cuenta el error máximo que son de 10’’ según las normas de Instituto Geográfico Nacional, ya que nuestros puntos bases son de orden C. se uso el método de vuelta al horizonte con 4 series directa e inversa y error de cierre máximo de 10’’. Se promedio los valores y se obtuvo los siguientes valores ya corregidos. (Ver cuadro). Cuadro 2. ÁNGULOS HORIZONTALES DE CAMPO
∆
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
CAB ABC CBD DBG DCG GCB BCA EDF FDG GDB BDC FEG GED DFG EFD BGC CGD DGE EGF
grado 53 74 44 51 30 29 51 53 40 43 75 34 53 64 38 53 30 32 42
ANGULOS OBSERVADOS min seg 39' 37.0'' = 44' 35.0'' = 33' 11.0'' = 55' 07.0'' = 04' 26.5'' = 47' 14.0'' = 35' 56.0'' = 33' 01.0'' = 14' 03.0'' = 23' 53.0'' = 35' 14.5'' = 05' 40.0'' = 21' 44.0'' = 21' 23.5'' = 59' 36.8'' = 44' 37.0'' = 56' 17.0'' = 51' 22.0'' = 33' 12.0'' =
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Sexagesimales 53.6603° 74.7431° 44.5531° 51.9186° 30.0740° 29.7872° 51.5989° 53.5503° 40.2342° 43.3981° 75.5874° 34.0944° 53.3622° 64.3565° 38.9935° 53.7436° 30.9381° 32.8561° 42.5533°
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PAMPA COLINA 1 LOMA POSO MONTICULO LADERA COLINA 2
=A =B =C =D =E =F =G DATOS DE LAS BASES CONOCIDAS
Los siguientes datos fueron proporcionados por la empresa de inmuebles VILLA CLUB perteneciente al GRUPO ROMERO. Puntos de orden C que son usadas para el levantamiento de los predios de la zona de estudio. Cuadro 3. Datos que sirven como base para el desarrollo del trabajo.
A B E F
N 8692096.591 8692282.027 8692994.678 8692680.288
COORDENADAS CONOCIDAS E 277792.61 11° 49' 26.42'' S 278363.039 11° 49' 20.53'' S 278709.427 11° 48' 57.42'' S 278916.349 11° 49' 7.7'' S Canevás levantados
49
77° 49' 22.30'' W 77° 02' 3.41'' W 77° 01' 51.8'' W 77° 01' 45.04'' W
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PROCEDIMIENTO ECUACIONES DE CONDICIÓN Se debe formular las ecuaciones de condición para que de esta manera se pueda aplicar las correcciones a los ángulos de la red o canevás. Y así proseguir a partir de ellas con el posicionamiento geodésico. RESISTENCIA DE FIGURAS Se determina la resistencia de figura para los dos cuadriláteros que hay en la red o canevás y así determinar al mejor camino del lado deseado con mayor precisión. RADIO GAUSSIANO Calculamos el radio Gaussiano para determinar junto con el área el exceso esférico de cada uno de los triángulos de la red o canevás, y así pasar los triángulos elipsoidales a triángulos planos y corregirlos. CÁLCULO DE LADOS PROVISIONALES POR LEY DE SENOS Se calculo los lados provisionales para determinar el área de los triangulo, y así poder hallar el exceso esférico y pasarlos a triángulos planos. CÁLCULO DEL EXCESO ESFÉRICO El cálculo nos sirve para pasar los triángulos esféricos a triángulos planos donde podremos analizar y corregir nuestros ángulos. COMPENSACIÓN DE ÁNGULOS Una vez que se determino los errores de cada ángulos se pasa a corregirlos en el triangulo plano, y después sumando el exceso esférico pasarlo a triangulo elipsoidales. Calcular los lados provisionales y comparar con el anterior, si no cumple la condición |L n – Ln-1| 10-3 Segunda iteración, Tercera iteración, Cuarte iteración, Quinta iteración, Sexta iteración CONTROL HORIZONTAL Una vez que tenemos los ángulos corregidos teniendo en cuenta la condición |L n – L n-1| 103. Pasamos a calcular las coordenadas geodésicas (, ) de cada vértice. CONTROL VERTICAL Después de desarrollar el control horizontal determinando las coordenadas geodésicas de los vértices calculamos las alturas ortométrica de los vértices.
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CÁLCULO DE ECUACIONES DE CONDICIÓN CALCULO DEL NÚMERO Y TIPO DE LAS ECUACIONES DE CONDICIÓN Se desarrollan las ecuaciones de condición: Para determinar el número de ecuaciones de condición, tenemos: r d 2v 3
Donde: r Número total de ecuaciones de condición
Numero de ángulos d
Numero de base
v Numero de vértices
Reemplazando, de acuerdo a nuestros datos tenemos: r = 19+2-2(7)+3 r = 10 A su vez estas ecuaciones (r) están conformadas por ecuaciones de lado ( ) y ecuaciones angulares ( ), expresándose así: r Para determinar se utilizara la siguiente fórmula: Cu Cs
Para determinar se utilizara la siguiente fórmula:
L L'V C 1 C
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Donde:
Cu C Cu Numero ecuaciones con un punto central
Cs Numero ecuaciones de base a base l = Numero de ecuaciones de lado
L Numero de lados L' Numero de lados medidos en un solo sentido
Numero ecuaciones formando figuras geométricas
c = Numero de vértices en el que se midió todos los ángulos alrededor de ella (0º a 360º)
Reemplazando datos se obtiene: Q=q+v
→
26
Q = 2L - L' + C
→
26
r = q + d -2v + 3
→
10
u = L + d - 2v + 2
→
3
α = L - L' - v + C + 1
→
7
α = (Q - 3v + 4) - (L - 2v + 3)
→
7
Cδ = d - 1
→
1
l = L - 2v + 3 – Cu
→
2
∆ = L - L' - v + 1
→
7 C 1
3
Cu 0
l2
r = 10
7 C
52
0
7
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Geodesia
Finalmente obtenemos: Numero de ecuaciones de condición
: 10
Numero de ecuaciones angulares
:7
Numero de ecuaciones de lado
:3
RESISTENCIA DE FIGURAS CALCULO DE RESISTENCIAS DE FIGURAS Cuadrilátero BCDG
Ruta
Lado Común
D BCG
1
BG BDG BCD
2
BD BGD CDB
3
CD CDG CBG
4
CG CDG
Ángulos opuestos
53º 29º 43º 51º 75º 59º 84º 51º 75º 44º 30º 30º 53º 96º 118º 30º
44' 47' 23' 55' 35' 51' 40' 55' 35' 33' 56' 04' 44' 28' 59' 04'
37.0'' 14.0'' 53.0'' 07.0'' 14.5'' 40.5'' 54.0'' 07.0'' 14.5'' 11.0'' 17.0'' 26.5'' 37.0'' 18.0'' 07.5'' 26.5''
Vab 53.744° 29.787° 43.398° 51.919° 75.587° 59.861° 84.682° 51.919° 75.587° 44.553° 30.938° 30.074° 53.744° 96.472° 118.985° 30.074°
S Vab
Prioridad
21.5951 32.9488 21.9659
III
5.5324
3.6883
I
44.3568 29.5712
IV
12.4129 8.2753
II
11.3538 2.4486 3.0838 6.0238 38.3330 2.0728 10.3401
De donde se obtiene que el mejor camino para Del cuadrilátero BCDG es BD.
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R
UNMSM
Geodesia
Cuadrilátero BCFE
Ruta
Lado Común
D GDF
1
GF GEF GDE
2
GE GEF DEG
3
DE DEF DEF
4
DF DFG
Ángulos opuestos 64º 40º 34º 43º 53º 93º 103º 34º 53º 32º 38º 53º 87º 53º 64º 75º
21' 14' 05' 33' 21' 47' 21' 05' 21' 51' 59' 33' 27' 33' 21' 24'
23.5'' 03.0'' 40.0'' 12.0'' 44.0'' 04.0'' 0.3'' 40.0'' 44.0'' 26.5'' 36.8'' 01.0'' 24.0'' 01.0'' 23.5'' 34.0''
Vab 64.357° 40.234° 34.094° 43.553° 53.362° 93.784° 103.350° 34.094° 53.362° 32.857° 38.994° 53.550° 87.457° 53.550° 64.357° 75.409°
S Vab
Prioridad
9.7299 31.1983 20.7989
III
10.6239
7.0826
II
31.4107 20.9405
IV
4.4487
I
21.4685 2.2532 8.3707 18.1840 13.2267 2.5727 1.8760
De donde se obtiene que el mejor camino para del cuadrilátero DEFG es FD.
54
R
2.9658
UNMSM
Geodesia MEJOR CAMINO DE LA RED GEODÉSICA.
Mejor camino
55
UNMSM
Geodesia
CÁLCULO DEL RADIO GAUSSIANO CÁLCULO DEL RADIO GAUSSIANO PARA LA LATITUD MEDIA ENTRE DOS PUNTOS BASE Hallando la Excentricidad (e): e2
=
2 f - f 2
Se sabe que:
f 1 / 298.257223563
Calculando:
e2 e
2
21 / 298.257223563 1 / 298.257223563
2
0.006694378
e 0.08181917 Para nuestra poligonal usamos los datos del esferoide WGS84. Hallamos el Radio de Curvatura en el meridiano (ρ): ρ=
a ×(1 e2 ) (1 e 2 × sen2φ)3 / 2
Tenemos
m 1149'11.9' '
Calculando: ρ
Hallamos el Radio
6378137 (1 (1
2
0.006694378 sen 11149'11.9' ' )
6338108.567
υ
0.006694378)
de Curvatura en el Vertical Primo:
a (1 e 2 sen 2 ) 3 / 2
6378137 (1 0.006694378 sen 2 1149'11.9' ' ) 3 / 2
6380824.229 Finalmente hallamos el Radio Gaussiano (R): R =
3/ 2
ρ × υ
R 6338108.567 6380824.229 R 6359430.533
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UNMSM
Geodesia
CÁLCULO DE LADOS PROVISIONALES CÁLCULO DE LADOS PROVISIONALES POR LEY DE SENOS Haciendo uso de la ley de senos, obtenemos los lados provisionales:
Ley de senos:
BC:
CD:
BG:
ED:
FG:
DG:
1
3
6
=
7
=
11
=
15
12
13
16
=
=
=
8
19
18
=> BC = 616.5259944
=> CD = 446.5907703
=> BG = 379.8191333
=> ED = 294.4366333
=> FG = 311.9880452
=> DG = 617.6741
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UNMSM
Geodesia LADOS PROVICIONALES Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional 616.5259944 446.5907703 379.8191333 435.1408139
376.3925 294.4366333 311.9880452 435.4829768
CÁLCULO DEL EXCESO ESFÉRICO Para hallar el exceso esférico se tendrá en cuenta lo siguiente: Formulas:
Sabiendo que S es el área del triangulo, definiéndose su área como: S
axb
Donde: a
Y
b
: lados compensados
: Ángulo comprendido entre
a
y
b
R: radio Gaussiano
58
2
UNMSM
Lado
Base
AB
599.813
Geodesia
Lado Provisional
∆
Ángulo Comprendido
Área
i
Exceso
i/3
ABC 74º 44' 35.0'' 74.743° 178383.4279
E1
0.00091'' 0.00030''
BC
616.5259944 BCD 59º 51' 40.5'' 59.861° 119056.4336
E2
0.00061'' 0.00020''
CD
446.5907703 CDG 118º 59' 07.5'' 118.985°
74188.5870
E3
0.00038'' 0.00013''
BG
379.8191333 DGB 84º 40' 54.0'' 84.682°
82281.6569
E4
0.00042'' 0.00014''
GD
435.1408139 GBC 96º 28' 18.0'' 96.472° 116338.0906
E5
0.00059'' 0.00020''
FED 87º 27' 24.0'' 87.457°
55357.2866
E6
0.00028'' 0.00009''
ED
294.4366333 EFG 103º 21' 0.2'' 103.350°
57128.3526
E7
0.00029'' 0.00010''
FG
311.9880452 FGD 75º 24' 34.0'' 75.409°
65741.9585
E8
0.00034'' 0.00011''
DG
435.4829768 EDG 93º 47' 04.0'' 93.784°
63971.2718
E9
0.00033'' 0.00011''
EF
376.3925
Verificación
E2+E4+E6+E8 = E3+E5+E7+E9 0.0016 = 0.0016
*No se toma el E1 por pertenecer al triangulo ABC Luego el valor de E/3 será corregido en determinados ángulos que conforman cada triangulo que se forme en la red geodésica, quedando como sigue: Numero de Triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ei/3 0.00030'' 0.00020'' 0.00013'' 0.00014'' 0.00020'' 0.00009'' 0.00010'' 0.00011'' 0.00011''
Número correspondiente al ángulo interno a corregir 1, 2, 7 3, 11 5, 17 10, 4 6, 16 8, 15 12, 19 9, 14 13, 18
59
UNMSM
Geodesia
COMPENSACIÓN DE ÁNGULOS Finalmente con los valores obtenidos anteriormente, compensamos cada ángulo. Ángulo
PL'
Ei''/3
PLANO = PL' - Ei''/3
1
53º
39'
37.0'' 0.00030
53º
39'
35.91 53.6600°
2
74º
44'
35.0'' 0.00030
74º
44'
33.91 74.7428°
3
44º
33'
11.0'' 0.00020
44º
33'
10.27 44.5529°
4
51º
55'
07.0'' 0.00014
51º
55'
6.50
5
30º
04'
26.5'' 0.00013
30º
04'
26.05 30.0739°
6
29º
47'
14.0'' 0.00020
29º
47'
13.29 29.7870°
7
51º
35'
56.0'' 0.00030
51º
35'
54.91 51.5986°
8
53º
33'
01.0'' 0.00009
53º
33'
0.66
53.5502°
9
40º
14'
03.0'' 0.00011
40º
14'
2.60
40.2341°
10
43º
23'
53.0'' 0.00014
43º
23'
52.50 43.3979°
11
75º
35'
14.5'' 0.00020
75º
35'
13.77 75.5872°
12
34º
05'
40.0'' 0.00010
34º
05'
39.65 34.0943°
13
53º
21'
44.0'' 0.00011
53º
21'
43.61 53.3621°
14
64º
21'
23.5'' 0.00011
64º
21'
23.10 64.3564°
15
38º
59'
36.7'' 0.00009
38º
59'
36.41 38.9934°
16
53º
44'
37.0'' 0.00020
53º
44'
36.29 53.7434°
17
30º
56'
17.0'' 0.00013
30º
56'
16.55 30.9379°
18
32º
51'
22.0'' 0.00011
32º
51'
21.61 32.8560°
19
42º
33'
12.0'' 0.00010'' 42º comprobación 899.0
33' 59
11.65 42.5532° 59.2 900.000°
60
51.9185°
UNMSM
Geodesia
ECUACIONES DE CONDICIÓN ELABORACIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONDICIÓN CONDICIONES ANGULARES Formación de las ecuaciones de condición para el cuadrilátero BCDG, DEFG y el triangulo ABC.
Se sabe que:
61
UNMSM
Geodesia CONDICIONES ÁNGULARES 1 = ^1+1 2 = ^2+2 3 = ^3+3 4 = ^4+4 5 = ^5+5 6 = ^6+6 7 = ^7+7 8 = ^8+8 9 = ^9+9 10 = ^10+10 11 = ^11+11 12 = ^12+12 13 = ^13+13 14 = ^14+14 15 = ^15+15 16 = ^16+16 17 = ^17+17 18 = ^18+18 19 = ^19+19
EN CONCLUSIÓN TENEMOS LAS SIGUIENTES ECUACIONES. TRIANGULOS ABC BCD CDG DGB GBC FED EFG FGD EDG
ECUACIONES 1+2+7 3+6+5+11 5+11+10+17 10+17+16+4 6+16+3+4 8+13+12+15 12+15+14+19 9+14+18+19 13+8+9+18
= = = = = = = = =
.* Se elimina por presentar mayor error.
62
EN SEG. -04.725'' -03.377'' 11.140'' 08.173'' -06.344'' -0.331'' 09.190'' 01.046'' -08.476''
*Se Elimina
*Se Elimina
UNMSM
Geodesia
CONDICIONES DE LADO. PRIMER CUADRILÁTERO CDGB TENIENDO COMO POLO EL PUNTO D.
DG DB DC DB DC DG
1
Aplicando Ley de Senos: sen(4) sen(5 6) sen(17) sen(16 17) sen(3) sen(5)
1
Hallando la diferencia tabular seni sen(i vi ) log . seni log seni d i vi di {log sen(i 1' ' ) log sen(i)} 106 Hallando para todos los ángulos comprendidos en (a): # ángulos ángulo log(seno(i)) Dif. Tabular 4 51.9185 -0.1040 1.6498 5+6 59.8609 -0.0631 1.2224 17 30.9379 -0.2889 3.5128 16+17 84.6813 -0.0019 0.1960 3 44.5529 -0.1539 2.1386 5 30.0739 -0.3001 3.6360
-2.13863 + 1.64984 - 2.41365 + 1.22246 - 0.196016 + 3.316817 = -0.00011’’
63
UNMSM
Geodesia
SEGUNDO CUADRILÁTERO DEFG TENIENDO COMO POLO EL PUNTO D.
DE DF DG DF DG DE
1
Aplicando Ley de Senos: sen(15) sen(18 19) sen(13) sen(113 12) sen(14) sen(18)
1
Hallando la diferencia tabular seni sen(i vi ) log . seni log seni d i vi di {log sen(i 1' ' ) log sen(i)} 106 Hallando para todos los ángulos comprendidos en (a): # ángulos ángulo log(seno(i)) Dif. Tabular 15 38.9934 -0.2012 2.6007 18+19 75.4092 -0.0142 0.5481 13 53.3621 -0.0956 1.5658 13+12 87.4565 -0.0004 0.0935 14 64.3564 -0.0450 1.0108 18 32.8560 -0.2656 3.2601
-0.093512 + 1.472313 - 1.010814 + 2.600715 - 2.712018 + 0.548119 = 0.000014’’
64
UNMSM
Geodesia
CONDICION DE BASE A BASE. Para hallar la ecuación de base a base se tomo la ruta que se muestra a continuación partiendo de una base conocida.
BCxBDxDGxD FxFE DFxDGxDBxBCxBA
1
Aplicando Ley de Senos: sen(1) sen(5 6) sen(4) xsen(18 19) xsen(8) sen(7) sen(11) sen(16 17) xsen(14) xsen(13 12)
1
Hallando la diferencia tabular seni sen(i vi ) log . seni log seni d i vi di {log sen(i 1' ' ) log sen(i)} 106 Hallando para todos los ángulos comprendidos en (a):
65
UNMSM
Geodesia
# ángulos 1 5+6 4 18+19 8 7 11 16+17 14 13+12
ángulo 53.6600 59.8609 51.9185 75.4092 53.5502 51.5986 75.5872 84.6813 64.3564 87.4565
log(seno(i)) -0.0939 -0.0631 -0.1040 -0.0142 -0.0945 -0.1059 -0.0139 -0.0019 -0.0450 -0.0004
Dif. Tabular 1.5489 1.2224 1.6498 0.5481 1.5551 1.6689 0.5411 0.1960 1.0108 0.0935
1.5491 + 1.6504 + 1.2225 + 1.2226 - 1.6697 + 1.5558 - 0.54111 - 0.09412 - 0.09413 1.01114 - 0.19616 - 0.19617 + 0.54818 + 0.54819 = -0.203’’ RESUMEN DE ECUACIONES: 1+2+7 = -4.725’’
(Ec. Ángular).
3+6+5+11 = -3.377’’
(Ec. Ángular).
10+17+16+4 = 8.173’’
(Ec. Ángular).
6+16+3+4 = -6.344’’
(Ec. Ángular).
8+13+12+15 = -0.331’’
(Ec. Ángular).
9+14+18+19 = 1.046’’
(Ec. Ángular).
13+8+9+18 = -8.476
(Ec. Ángular).
-2.13863 + 1.64984 - 2.41365 + 1.22246 - 0.196016 + 3.316817 = -0.00011’’ (Ec. Lado). -0.093512 + 1.472313 - 1.010814 + 2.600715 - 2.712018 + 0.548119 = 0.000014’’ (Ec. Lado). 1.5491 + 1.6504 + 1.2225 + 1.2226 - 1.6697 + 1.5558 - 0.54111 - 0.09412 - 0.09413 1.01114 - 0.19616 - 0.19617 + 0.54818 + 0.54819 = -0.203’’ (Ec. Lado).
66
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MEDIANTE MATRICES UTILIZACION DE MATRICES PARA LA RESOLUCION DE 10 ECUACIONES CON 19 INCOGNITAS (DESARROLLADO EN EXCEL) MATRIZ BASE DE LAS ECUACIONES DE CONDICION PRIMER PASO
x1 x2 x3
v1 1 0 0
v2 1 0 0
v3 0 1 0
v4 0 0 1
v5 0 1 0
v6 0 1 0
v7 1 0 0
v8 0 0 0
v9 v10 0 0 0 0 0 1
x4 x5
0 0
0 0
1 0
1 0
0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
x6 x7
0 0
0 0
0 0
0 1
x8
0
0
0
x9
0
0
0
0
0
0
x10 1.5489
0 0 0 0 0 0 0 0 1.6498 1.2224 2.1386 2.4136 0
0
0
1.6498 1.2224 1.2224
v11 0 1 0
v12 0 0 0
v13 0 0 0
v14 0 0 0
v15 0 0 0
v16 0 0 1
v17 0 0 1
v18 0 0 0
v19 0 0 0
t -4.7247 -3.3766 8.1732
0 0
0 0
0 1
0 1
0 0
0 1
1 0
0 0
0 0
0 0
-6.3437 -0.3312
1 1
0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
0 0
1 1
1 0
1.0459 -8.4758
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0001
0
0
0
0
0
1.5551 1.6689
0 0 0 0 3.3168 0.1960
1.4723 2.6007 0 0 0.5481 0.0000 0.0935 1.0108 2.7120 0 0.5481 0.5481 0.2026 0.5411 0.0935 0.0935 1.0108 0.1960 0.1960 0
UNMSM
Geodesia
TRANSPUESTA 0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16 v17 v18 v19
x1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x2 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
x3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0
x4 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
x5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0
68
x6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1
x7 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
x8 0 0 -2.139 1.650 -2.414 1.222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.196 3.317 0 0
x9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.094 1.472 -1.011 2.601 0 0 -2.712 0.548
x10 1.549 0 0 1.650 1.222 1.222 -1.669 1.555 0 0 -0.541 -0.094 -0.094 -1.011 0 -0.196 -0.196 0.548 0.548
UNMSM
Geodesia
1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
Multiplicando la columna x1 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
69
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.5489 0 0 0 0 0 -1.6689 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.12
UNMSM
Geodesia
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Multiplicando la columna x2 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
70
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -2.138616472 0 -2.41356527 1.222423131 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.329758612
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1.2224 1.2224 0 0 0 0 -0.5411 0 0 0 0 0 0 0 0 1.9038
UNMSM
Geodesia
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Multiplicando la columna x3 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
71
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1.649825463 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.195997486 3.316752296 0 0 4.770580273
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1.6498 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.196 -0.196 0 0 1.2578
UNMSM
Geodesia
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Multiplicando la columna x4 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
72
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 -2.138616472 1.649825463 0 1.222423131 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.195997486 0 0 0 0.537634636
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1.6498 0 1.2224 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.196 0 0 0 2.6763
UNMSM
Geodesia
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Multiplicando la columna x5 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
73
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.093519346 1.472324207 0 2.600685956 0 0 0 0 3.979490817
0 0 0 0 0 0 0 1.5551 0 0 0 -0.0935 -0.0935 0 0 0 0 0 0 1.3681
UNMSM
Geodesia
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Multiplicando la columna x6 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 4
74
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.010754391 0 0 0 -2.712022037 0.548070587 -3.174705842
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0108 0 0 0 0.5481 0.5481 0.0854
UNMSM
Geodesia
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Multiplicando la columna x7 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2
75
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.472324207 0 0 0 0 -2.712022037 0 -1.23969783
0 0 0 0 0 0 0 1.5551 0 0 0 0 -0.0935 0 0 0 0 0.5481 0 2.0097
UNMSM
Geodesia
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Multiplicando la columna x8 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 -2.138616472 0 -2.13861647 0 1.649825463 1.64982546 -2.41356527 0 0 1.222423131 0 1.22242313 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.195997486 -0.19599749 0 3.316752296 0 0 0 0 0 0 0 -3.329758612 4.770580273 0.53763464
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
76
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 4.573680415 2.721924058 5.825297312 1.49431831 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.038415014 11.00084579 0 0 25.6544809
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 2.7219 -2.9504 1.4943 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0384 -0.6501 0 0 0.6541
UNMSM
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Geodesia
Multiplicando la columna x9 por las demás columnas: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.09351935 0 0 0 1.47232421 0 0 0 0 0 0 0 2.60068596 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.97949082
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.010754391 0 0 0 -2.712022037 0.548070587 -3.174705842
77
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.4723242 0 0 0 0 -2.712022 0 -1.239698
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.008745868 2.167738572 1.02162444 6.763567441 0 0 7.35506353 0.300381368 17.61712122
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0087 -0.1377 1.0216 0 0 0 -1.4864 0.3004 -0.2933
UNMSM
Multiplicando la columna x10 por las demás columnas: 1.548915354 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.64983376 1.64983376 0 0 1.222439046 0 0 0 0 1.222439046 0 1.22243905 0 0 0 0 0 1.668890165 0 0 0 0 1.55514219 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.541103004 0 0 0 0 -0.09352693 0 0 0 0 -0.09352693 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.196009492 0 0.19600949 0 0 -0.196009492 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.903775088 1.257814776 2.67626331 1.36808834 0.119974811
Geodesia
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 2.721937746 -2.950436426 1.494337765
0 0 0 0 0 0
2.3991 0 0 2.722 1.4944 1.4944
0
0
0
0
2.7852
0 0 0
1.5551422 0 0
0 0 0
0 0 0
2.4185 0 0
0
0
0
0
0.2928
0 0 -1.010759445 0
0 -0.093527 0 0
0 0 0 0
0.008746577 -0.137701958 1.021629548 0
0.0087 0.0087 1.0216 0
0
0
0.038417368
0
0.0384
0 0.548078665 0.548078665
0 -0.650114933 0.5480787 0 0 0
0 -1.486401419 0.300385796
0.0384 0.3004 0.3004
0.085397886
2.0096939 0.654141521
-0.293341456
15.323
Todo lo anterior es un proceso matemático realizado con el software Excel.
78
UNMSM
Geodesia
SIMPLIFICADO EL SISTEMA, SE PROCEDE A CONSTRUIR UNA MATRIZ SIMÉTRICA AHORA DE 10x10 Matriz simétrica (A)
Incógnitas (X)
Valor (t)
3
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.1200
x1
-4.7247
0
4
0
2
0
0
0
-3.3298
0
1.9038
x2
-3.3766
0
0
4
2
2
0
0
4.7706
0
1.2578
x3
8.1732
0
2
2
4
0
0
0
0.5376
0
2.6763
x4
-6.3437
0
0
0
0
4
2
0
0
3.9795
1.3681
0
0
0
0
2
4
2
0
2.0445
-0.5562
x6
1.0459
0
0
0
0
0
2
4
0
-3.1747
0.0854
x7
-8.4758
0
-3.3298
4.7706
0.5376
0
0
0
25.6545
0
0.6542
x8
0.0001
0
0
0
0
3.9795
2.0445
-3.1747
0
17.6171
-0.2933
x9
0.0000
-0.1200
1.9038
1.2578
2.6763
1.3681
-0.5562
0.0854
0.6542
-0.2933
15.3227
x10
0.2026
PARA RESOLVER ESTE SISTEMA DE INCÓGNITAS HAREMOS LO SIGUIENTE: A.X = t A'.A.X = A'.t X = A't
79
X
x5
=
-0.3312
UNMSM
Geodesia
HALLAMOS LA MATRIZ INVERSA DE (A) Y MULTIPLICAMOS A'.A.X = A'.t Inversa de A (A') 0.333 0.000 0.002 -0.003 -0.002 0.002 -0.001 0.000 0.000 0.003
-0.001 0.414 0.055 -0.228 0.014 -0.012 0.006 0.049 -0.001 -0.020
0.000 0.068 0.465 -0.258 -0.001 0.001 0.000 -0.072 0.000 0.002
-0.002 -0.239 -0.287 0.542 0.032 -0.027 0.013 0.012 -0.003 -0.046
-0.002 -0.047 -0.420 0.264 0.451 -0.236 0.069 0.068 -0.063 -0.059
0.002 0.020 0.220 -0.149 -0.236 0.599 -0.365 -0.036 -0.081 0.050
80
-0.001 -0.004 -0.065 0.048 0.069 -0.365 0.530 0.011 0.122 -0.023
0.000 0.046 -0.075 0.009 0.003 -0.002 0.001 0.059 0.000 -0.004
0.000 0.007 0.059 -0.035 -0.063 -0.081 0.122 -0.009 0.102 0.005
0.003 -0.012 0.055 -0.076 -0.058 0.050 -0.023 -0.012 0.005 0.083
A'. t -1.549 0.745 6.358 -5.434 -1.242 4.020 -4.996 -0.988 -1.076 0.642
UNMSM
Geodesia
Hallados los valores de x1 .... x10, procedemos a reemplazar estos valores en la matriz base, multiplicándolos por los valores ya existentes. ANGULO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
53.660 74.743 44.553 51.918 30.074 29.787 51.599 53.550 40.234 43.398 75.587 34.094 53.362 64.356 38.993 53.743 30.938 32.856 42.553 900.000
= = = = = = = = = = = = = = = = = = =
PLANO 53º 74º 44º 51º 30º 29º 51º 53º 40º 43º 75º 34º 53º 64º 38º 53º 30º 32º 42º 899º
39' 44' 33' 55' 04' 47' 35' 33' 14' 23' 35' 05' 21' 21' 59' 44' 56' 51' 33' 59'
Vi -0''.55 -01''.55 -02''.58 0''.35 03''.91 -05''.11 -02''.62 -05''.24 -0''.98 06''.36 0''.40 -01''.20 -07''.88 04''.46 -04''.04 0''.99 02''.95 02''.29 03''.78 -6.251
35''.91 33''.91 10''.27 06''.50 26''.05 13''.29 54''.91 0''.66 02''.60 52''.50 13''.77 39''.65 43''.61 23''.10 36''.41 36''.29 16''.55 21''.61 11''.65 59''.21
81
Angulo Plano Corregido(Ai)=PLANO+Vi 53.660 = 53º 39' 35''.35 74.742 = 74º 44' 32''.36 44.552 = 44º 33' 07''.70 51.919 = 51º 55' 06''.85 30.075 = 30º 04' 29''.96 29.786 = 29º 47' 08''.18 51.598 = 51º 35' 52''.29 53.549 = 53º 32' 55''.42 40.234 = 40º 14' 01''.62 43.400 = 43º 23' 58''.85 75.587 = 75º 35' 14''.17 34.094 = 34º 05' 38''.45 53.360 = 53º 21' 35''.73 64.358 = 64º 21' 27''.56 38.992 = 38º 59' 32''.37 53.744 = 53º 44' 37''.28 30.939 = 30º 56' 19''.50 32.857 = 32º 51' 23''.90 42.554 = 42º 33' 15''.43 899.998 899º 59' 52''.96
UNMSM
Geodesia
CONVERSION DEL ANGULO PLANO CORREGIDO EN ANGULO ESFERICO AJUSTADO(Aj + Ei"/3):
# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
° 53º 74º 44º 51º 30º 29º 51º 53º 40º 43º 75º 34º 53º 64º 38º 53º 30º 32º 42º 899º
39' 44' 33' 55' 04' 47' 35' 32' 14' 23' 35' 05' 21' 21' 59' 44' 56' 51' 33' 59'
Angulo Corregido(Ai)=PLANO+Vi ' " 35.35 32.36 7.70 6.85 29.96 8.18 52.29 55.42 1.62 58.85 14.17 38.45 35.73 27.56 32.37 37.28 19.50 23.90 15.43 52.96
GRADOS 53.6598 74.7423 44.5521 51.9186 30.0750 29.7856 51.5979 53.5487 40.2338 43.3997 75.5873 34.0940 53.3599 64.3577 38.9923 53.7437 30.9388 32.8566 42.5543 899.99805°
82
Ei/3 0.0003033 0.0003033 0.0002024 0.0001399 0.0001261 0.0001978 0.0003033 0.0000941 0.0001118 0.0001399 0.0002024 0.0000971 0.0001088 0.0001118 0.0000941 0.0001978 0.0001261 0.0001088 0.0000971
GRADOS 53.6601 74.7426 44.5523 51.9187 30.0751 29.7858 51.5982 53.5488 40.2339 43.3998 75.5875 34.0941 53.3600 64.3578 38.9924 53.7439 30.9389 32.8567 42.5544 900.00111°
ESFERICO CORREGIDO ° ' 53º 39' 74º 44' 44º 33' 51º 55' 30º 04' 29º 47' 51º 35' 53º 32' 40º 14' 43º 23' 75º 35' 34º 05' 53º 21' 64º 21' 38º 59' 53º 44' 30º 56' 32º 51' 42º 33' 900º 0'
" 36''.45 33''.45 08''.42 07''.35 30''.41 08''.89 53''.38 55''.76 02''.02 59''.36 14''.90 38''.80 36''.12 27''.96 32''.71 37''.99 19''.95 24''.29 15''.78 04''.00
UNMSM
Geodesia
CALCULO DE LOS LADOS PROVICIONALES Y COMPROBACION DE LA CONDICION. DIFERENCIA Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional
|L(n) – L(n-1)| = 10-3.
616.5309833 446.5884976 379.8044207 435.1103582
0.0050 -0.0023 -0.0147 -0.0305
294.435036 311.9791292 435.4607457
-0.0016 -0.0089 -0.0222
376.3925
Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional 616.5259944 446.5907703 379.8191333 435.1408139
376.3925 294.4366333 311.9880452 435.4829768
Como todavía no cumpla con la condición necesaria se ha iterado 5 veces para que recién cumpla la condición, a continuación de mostrara un resumen de las 5 iteraciones mas.
83
UNMSM
Geodesia
SEGUNDA ITERACIÓN. DIFERENCIA Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional
|L(n) – L(n-1)| = 10-3.
616.5246719 446.5862677 379.8135707 435.1305444
-0.0063 -0.0022 0.0091 0.0202
294.4429557 311.99504 435.4984174
0.0079 0.0159 0.0377
376.3925
Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional 616.5309833 446.5884976 379.8044207 435.1103582
376.3925 294.435036 311.9791292 435.4607457
TERCERA ITERACIÓN. DIFERENCIA Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional
|L(n) – L(n-1)| = 10-3.
616.5265608 446.5859678 379.8006589 435.1052404
0.0019 -0.0003 -0.0129 -0.0253
294.4407133 311.9902555 435.4855385
-0.0022 -0.0048 -0.0129
376.3925
84
Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional 616.5246719 446.5862677 379.8135707 435.1305444
376.3925 294.4429557 311.99504 435.4984174
UNMSM
Geodesia
CUARTA ITERACIÓN. DIFERENCIA Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional
|L(n) – L(n-1)| = 10-3.
616.5260546 446.5860129 379.8037487 435.1113202
-0.0005 0.0000 0.0031 0.0061
294.4414729 311.9920345 435.4906619
0.0008 0.0018 0.0051
376.3925
Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional 616.5265608 446.5859678 379.8006589 435.1052404
376.3925 294.4407133 311.9902555 435.4855385
QUINTA ITERACIÓN. DIFERENCIA Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional
|L(n) – L(n-1)| = 10-3.
616.5264501 446.5861265 379.8029003 435.1095344
0.0004 0.0001 -0.0008 -0.0018
294.4410895 311.9911316 435.4878641
-0.0004 -0.0009 -0.0028
376.3925
85
Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional 616.5260546 446.5860129 379.8037487 435.1113202
376.3925 294.4414729 311.9920345 435.4906619
UNMSM
Geodesia
SEXTA ITERACIÓN. DIFERENCIA Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional
|L(n) – L(n-1)| = 10-3.
616.5263963 446.5861473 379.8033977 435.1105006
-0.0001 0.0000 0.0005 0.0010
294.4412784 311.9916449 435.489463
0.0002 0.0005 0.0016
376.3925
86
Lado
Base
AB BC CD BG GD EF ED FG DG
599.813
Lado Provisional 616.5264501 446.5861265 379.8029003 435.1095344
376.3925 294.4410895 311.9911316 435.4878641
UNMSM
Geodesia
ÁNGULOS ESFERICOS CORREGIDOS FINALES. Para ello requerimos de los valores de las correcciones: Para cada uno de los ángulos: # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
º 53º 74º 44º 51º 30º 29º 51º 53º 40º 43º 75º 34º 53º 64º 38º 53º 30º 32º 42º
Angulo Corregido(Ai)=PLANO+Vi ' " GRADOS 39' 34.36 53.6595 44' 32.33 74.7423 33' 8.22 44.5523 55' 5.97 51.9183 04' 28.63 30.0746 47' 8.68 29.7857 35' 53.30 51.5981 32' 58.81 53.5497 13' 59.94 40.2333 23' 57.61 43.3993 35' 14.48 75.5874 05' 42.64 34.0952 21' 40.92 53.3614 21' 25.79 64.3572 59' 37.94 38.9939 44' 37.14 53.7437 56' 19.12 30.9386 51' 20.44 32.8557 33' 13.53 42.5538
87
Ei/3 0.0003033 0.0003033 0.0002024 0.0001399 0.0001261 0.0001978 0.0003033 0.0000941 0.0001118 0.0001399 0.0002024 0.0000971 0.0001088 0.0001118 0.0000941 0.0001978 0.0001261 0.0001088 0.0000971
ESFERICO CORREGIDO GRADOS º ' 53.6598 53º 39' 74.7426 74º 44' 44.5525 44º 33' 51.9185 51º 55' 30.0747 30º 04' 29.7859 29º 47' 51.5984 51º 35' 53.5498 53º 32' 40.2334 40º 14' 43.3995 43º 23' 75.5876 75º 35' 34.0953 34º 05' 53.3615 53º 21' 64.3573 64º 21' 38.9940 38º 59' 53.7438 53º 44' 30.9388 30º 56' 32.8558 32º 51' 42.5539 42º 33'
" 35''.45 33''.43 08''.94 06''.47 29''.09 09''.39 54''.40 59''.15 0''.34 58''.12 15''.20 42''.99 41''.31 26''.20 38''.28 37''.85 19''.57 20''.83 13''.88
CUADRO RESUMEN DE ANGULOS Y DISTANCIAS CORREGICAS. ÁNGULOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
ÁNGULOS ESFERICO CORREGIDO GRADOS º ' " 53.6598 53º 39' 35''.45 74.7426 74º 44' 33''.43 44.5525 44º 33' 08''.94 51.9185 51º 55' 06''.47 30.0747 30º 04' 29''.09 29.7859 29º 47' 09''.39 51.5984 51º 35' 54''.40 53.5498 53º 32' 59''.15 40.2334 40º 14' 0''.34 43.3995 43º 23' 58''.12 75.5876 75º 35' 15''.20 34.0953 34º 05' 42''.99 53.3615 53º 21' 41''.31 64.3573 64º 21' 26''.20 38.9940 38º 59' 38''.28 53.7438 53º 44' 37''.85 30.9388 30º 56' 19''.57 32.8558 32º 51' 20''.83 42.5539 42º 33' 13''.88
DISTANCIAS CORREGICAS AB BC CD BG EF ED FG DG AC CG BD DF GE
599.8130 616.5264 446.5861 379.8034 376.3925 294.4413 311.9916 435.4895 738.4062 759.6887 550.5012 467.4718 541.5184
CALCULO DE LOS AZIMUT DE TODOS LOS VÉRTICES Se parte del acimut AB conocido, se introdujo como dato a la estación total TOPCON 7075 dando como resultados los siguientes acimuts de los lados de la red Geodésica. Llegando a los acimut de los lados EF. AZIMUT AB AC BC BD BG CD CG CB CA DE DF DG DB DC EF EG ED FG FD FE GE GF GB GC GD
G 71 18 326 11 63 86 116 146 198 54 107 147 191 266 146 180 234 223 287 326 0 43 243 296 327
M 59 19 44 17 12 51 56 44 19 6 39 54 17 51 38 45 6 19 39 38 45 19 12 56 54
S 30 17 1 49 56 45 36 1 17 51 49 0 49 45 54 14 51 45 49 54 14 3 56 36 0
SEX 71.992 18.321 326.734 11.297 63.216 86.863 116.943 146.734 198.321 54.114 107.664 147.900 191.297 266.863 146.648 180.754 234.114 223.329 287.664 326.648 0.754 43.318 243.216 296.943 327.900
UNMSM
Geodesia ACIMUTS ENCONTRADOS CON LA ESTACIÓN TOTAL.
89
CONTROL HORIZONTAL Como solamente conocemos las coordenadas de partida y llegada tenemos que usar el transporte de coordenadas para hallar las coordenadas geodésicas y UTM de los vértices C, D y G. Hallando primero las coordenadas del vértice POZO (D) que contiene al mejor camino de la red geodésica.
CALCULO DE LAS COORDENADAS GEODESICAS DEL POZO (D). ZBD = e'2 = S= a=
DATOS DEL VERTICE COLINA 1 (B) 11.82236944 11 49 20.53 77.03428056 77 2 3.41 11.297 0.006739497 e² = 0.00669438 550.50117 6378136
CALCULO DE LA LONGITUD A= B= C= ∆
1.003067386 1.003201566 1.003341607 0.004960377 0.000989515
∆
77
‘
‘’
1
59.84774752
UNMSM
Geodesia
CALCULO DE LA LATITUD W= SEN(2D) = D= m= n= ∆
0.000496275 8.48975E-05 4.24488E-05 23.64479567 1.70955E-07 8.51693E-05
∆ 11.817
° 11
' 49
2.983390553
° 191
‘
‘’
17
49.82069529
‘’
CALCULO DEL AZIMUT tag(Z'DB) = 0.19976794 Z'DB = 0.197172415 ZDB =Z'21 ± 180 ZDB = 191.2971724
El mismo procedimiento se sigue para todos los vértices, a continuación mostraremos un resumen de con las coordenadas geodésicas y UTM, las coordenadas UTM fueron calculas por el Software GEOCAL introduciendo las coordenadas Geodésicas calculas. Para el cálculo de los vértices LOMA (C), y vértice COLINA 2 (G) se calculo a partir de los vértices COLINA 1 (B) y LADERA (F) respectivamente.
PERÚ ESFEROIDE WGS – 84 ZONA 18 VERTICE PAMPA (A) Coordenadas Geodésicas coordenadas UTM N = 8692096.591 11° 49’ 26.42’’ S E = 277792.61 77° 02’ 22.30’’ W VERTICE COLINA 1 (B) Coordenadas Geodésicas coordenadas UTM N = 8692282.027 11° 49’ 20.53’’ S E = 278363.039 77° 02’ 03.41’’ W VERTICE LOMA (C) Coordenadas Geodésicas coordenadas UTM N = 8692797.669 11° 49’ 03.67’’ S E = 278024.759 77° 02’ 14.46’’ W
91
UNMSM
Geodesia
VERTICE POSO (D) Coordenadas Geodésicas coordenadas UTM N = 8692822.126 11° 49’ 02.98’’ S E = 278470.931 77° 01’ 59.72’’ W VERTICE MONTICULO (E) Coordenadas Geodésicas coordenadas UTM N = 8692994.678 11° 48’ 57.42’’ S E = 278709.427 77° 01’ 51.8’’ W VERTICE LADERA (F) Coordenadas Geodésicas coordenadas UTM 7.7’’ S N = 8692680.288 11° 49’ E = 278916.349 77° 01’ 45.04’’ W VERTICE COLINA 2 (G) Coordenadas Geodésicas coordenadas UTM N = 8692453.286 11° 49’ 15.03’’ S E = 278702.303 77° 01’ 52.17’’ W
92
UNMSM
Geodesia
CONTROL VERTICAL Para este cálculo se utilizo el método de diferencias de alturas encontradas en campo por la estación total. Solo se considero los dos primeros cuadriláteros puesto que el vértice COLINA 1 (B) también tiene altura conocida. Primero hallamos numero de ecuaciones: # = #L - #V + #V acotados. Según nuestro canevás y considerando el mejor camino. (Ver grafico).
Según el grafico tenemos: #L = 9 #V = 6 # V acotados = 1 que es el vértice (B) # = 4
93
UNMSM
Geodesia
Datos: diferencias de alturas del campo. LADO BC BD BG CD GD DE DF GF EF
6 7 5 1 8 2 9 4 3
∆H
35.8875 22.99 8.965 12.905 12.28 15.80264 0.43 14.1975 15.055
Para que cumpla la condición la suma de fuerzas tiene que ser igual a cero F = 0. Ecuaciones: 1+7-6 = -0.0075 5+8-7 = 1.745 8+9-4 = 1.4875 3+9+2 = 0.3176
Resolución por matrices (Excel) MATRIZ PRINCIPAL . X1 X2 X3 X4
V1 1 0 0 0
V2 0 0 0 1
V3 0 0 0 1
V4 0 0 -1 0
V5 0 1 0 0
V6 -1 0 0 0
V7 1 -1 0 0
TRANSPUESTA . V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9
X1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0
X2 0 0 0 0 1 0 -1 1 0
94
X3 0 0 0 -1 0 0 0 1 1
X4 0 1 1 0 0 0 0 0 1
V8 0 1 1 0
V9 0 0 1 1
t -0.007 1.745 1.4875 0.3176
UNMSM
Geodesia MULTIPLICAR COLUMNA 1 POR TODAS LAS COLUMNAS
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MULTIPLICAR COLUMNA 2 POR TODAS LAS COLUMNAS
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1
0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MULTIPLICAR COLUMNA 3 POR TODAS LAS COLUMNAS
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
MULTIPLICAR COLUMNA 4 POR TODAS LAS COLUMNAS
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
95
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 3
UNMSM
Geodesia MATRIZ SIMÉTRICA DE 4x4 3 -1 -1 3 0 1 0 0
0 1 3 1
0 0 1 3
x
X X1 X2 X3 X4
=
t -0.007 1.745 1.4875 0.3176
Para resolver este sistema de incógnitas haremos lo siguiente: A.X = t A'.A.X = A'.t X = A't Hallados los valores de x1 .... x6, procedemos a reemplazar estos valores en la matriz base, multiplicandolos por los valores ya existentes
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9
X1 0.175593454 0 0 0 0 -0.175593454 0.175593454 0 0
X2 0 0 0 0 0.53428036 0 -0.5342804 0.53428036 0
X3 0 0 0 -0.3177524 0 0 0 0.31775237 0.31775237
VELORES DE ALTURAS CORREGIDOS
6 7 5 1 8 2 9 4 3
LADO BC BD BG CD GD DE DF GF EF
∆H
35.71191 22.63131 9.49928 13.08059 13.13203 15.80260 0.74771 13.87975 15.05496
96
X4 0 -3.7E-05 -3.7E-05 0 0 0 0 0 -3.7E-05
0.17559 -0.00004 -0.00004 -0.31775 0.53428 -0.17559 -0.35869 0.85203 0.31771
UNMSM
Geodesia
Ahora la suma de fuerzas es igual a cero. Posteriormente pasamos a calcular las alturas para cada vértice., ALTURAS ORTOMÉTRICAS. 267.949 295.591 331.303 318.222 334.025 318.970 305.090
VÉRTICES PAMPA (A) COLINA 1(B) LOMA C POZO (D) MONTICULO( E) LADERA (F) COLINA 2 (G)
RESUMEN GENARAL. COORDENADAS WGS - 84 A B C D E F G
N 8692096.591 8692282.027 8692797.669 8692822.126 8692994.678 8692680.288 8692453.286
E 277792.61 278363.039 278024.759 278470.931 278709.427 278916.349 278702.303
11° 49' 26.42'' 11° 49' 20.53''
77° 02' 22.30'' 77° 02' 3.41''
11° 49' 03.37'' 11° 49' 02.98'' 11° 48' 57.42'' 11° 49' 7.7'' 11° 49' 15.03''
77° 02' 14.46'' 77° 02' 59.72'' 77° 01' 51.8'' 77° 01' 45.04'' 77° 01' 52.17''
97
ALTURA 267.949 295.591 331.303 318.222 334.025 318.970 305.090
UNMSM
Geodesia
VII. CONCLUSIONES Es importante tener en cuenta los aspectos físicos como el clima, la geomorfología, entre otros para el desarrollo del trabajo en campo pues depende de estos en gran porcentaje tener un buen término. Muchas veces debido a este aspecto se retrasa el trabajo y se pierde tiempo y dinero, también aumentan los herrores por refracción. La organización, compromiso e interés del equipo de trabajo determina en cierto punto la calidad de los datos tomados en campo. Para este trabajo se reviso la bibliografía necesaria para el desarrollo en lo referente a la geodesia que abarcan los temas de resistencia de figura, exceso esférico, compensación angular, transporte de coordenadas, nivelación trigonométrica, etc. También se utilizaron imágenes satelitales que ayudo a identificar las posibles ubicaciones de los vértices de nuestros cuadriláteros en trabajo pre campo, permitiendo esto llegar a la zona de estudio con una clara idea de lo que se iba a hacer y la región en la que se iba a llevar a cabo el trabajo. Este trabajo pretende aportar el hecho conocido de que una buena planificación es el éxito de un buen trabajo en campo y más ahora en la actualidad en la que contamos con una cantidad grande de programas para procesar información los cuales aportan con la velocidad de realizar en menor tiempo. Es sumamente importante tener una buena coordinación de pre-campo y campo ya que será la base para la determinación de los datos a tomar.
RECOMENDACIONES
Se debe tener en cuenta, en la conformación del equipo de trabajo a un miembro que sea del área para que facilite con información más precisa sobre el área. En el equipo de trabajo debe existir más de una persona que sepa del funcionamiento y manipulación de la estación ante cualquier percance. Tener las consideraciones necesarias de la estación dependiendo de la geomorfología, topografía, la región en la que se ubica el área de trabajo, pues para cada uno de estos aspectos existe una estación determinada. Es importante tener en cuenta el armado de la triangulación y la posibilidad de visualizar los puntos entre sí porque esto puede obligar a repetir no solo las observaciones sino el reconocimiento mismo, que ocasionaría una pérdida de tiempo y de dinero. Tener en cuenta que el trabajo de campo de una triangulación significa una inversión de dinero, y que al pasar los días el costo aumenta, lo cual implica un factor importante para el éxito del trabajo geodésico a realizar.
98
UNMSM
Geodesia VIII.
BIBLIOGRAFIA.
Información Recopilada de las clases del Mags. Ricardo Santos Rodríguez. Ricardo Santos Rodríguez et - al. Astronomía y Geodesia. Iglesias Martín, M. Asunción. Trigonometría esférica. Breve introducción a la navegación. Univ. del País Vasco, Servicio Editorial, 1996. P. S. Zakatov (1981). Curso de Geodesia Superior. Editorial MIR. Moscú Rusia. Ruiz Morales. Manual de Geodesia y Topografía. Instituto Geográfico Nacional Gonzalo Masjuan (1988). Matrices y Vectores. Pontificia Universidad Católica de Chile. Facultad de Matemáticas. Torge, W. Geodesia. Editorial Diana. México 1983 Fernando Martín Asín (1983). Geodesia y Cartografía Matemática. Instituto Geográfico Nacional. Madrid España.
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UNMSM IX.
Geodesia
ANEXOS. CLASIFICACIÓN DE LOS LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS. ORDEN
CLASE
PRECISIÓN RELATIVA
0 A B C
única única única única
1:100 000 000 1:10 000 000 1:1 000 000 1:100 000
ESPECIFICACIÓN DE PRECISIÓN PARA MEDIDA DE BASES GEODÉSICAS.
ESPECIFICACIONES PARA OBSERVACIÓN DE DIRECCIONES HORIZONTALES EN TRIANGULACIÓN.
El análisis de errores, tomados en conjunto, requiere que para segundo orden clase I la especificación para observaciones angulares sea la misma que para primer orden.
ESPECIFICACIONES PARA CIERRES DE TRIÁNGULOS.
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Geodesia
ESPECIFICACIONES PARA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA EN TRIANGULACIÓN, TRILATERACIONES Y POLIGONALES.
ESPECIFICACIONES PARA MEDIDA DE DISTANCIA EN TRILATERACIÓN.
CLASIFICACIÓN DE LOS LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS VERTICALES.
En estas expresiones, K es la distancia de desarrollo de la nivelación en un solo sentido, entre puntos de elevación conocida, expresada en kilómetros.
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Geodesia CUADRO: FACTORES PARA DETERMINAR LA CONSISTENCIA DE FIGURA.
Fuente: Astronomía y geodesia, Ricardo Santos Rodríguez et – al.
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Geodesia
ESTACION TOTAL TOPCON GPT 7505
La nueva Serie de Estaciones Totales GPT-7500 son las más avanzadas y con mayor tecnología de los productos que se encuentran en el mercado para los profesionales de la Topografía. ¿Capacidad? Que le parece un procesador interno Intel 400Mhz con WIndows CE integrado, o por ejemplo algo sin precedentes; alcance de 2000 metros en medición sin prisma. Esto supone multiplicar por 4 el alcance conseguido por algunos de sus competidores. Además incluye integrado el software TopSURV on board, que gracias a su sencillez le permitirá realizar las diferentes aplicaciones topográficas de forma rápida y clara. CARACTERISTICAS TECNICAS MEDICION ANGULAR Precisión Angular
: 5”
Método
: Absoluto
Lectura Mínima
: 1”/5”
TELESCOPIO Aumento Óptico
: 30X
Distancia Mínima de Enfoque : 1.30 m. MEDICION DE DISTANCIAS Sin Prisma
: 2,000 mts.
Con Un Prisma
: 3,000 mts.
Con Tres Prismas
: 4,000 mts.
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