Problemas de Unidad 1
Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
PROBLEMAS (IMPARES (IMPARES 1!1" El es#$di 1!1" es#$dio o de la res%$ res%$es# es#a a de $n &$er%o &$er%o '$mano '$mano s$e#o s$e#o a vibra& vibra&i)n i)n *+o &'o,$e es im%or#an#e en m$&'as a%li&a&iones! Es#ando de %ie- las masas de la &abeza- el #orso- las &aderas- las %iernas- la elas#i&idad *+o amor#i.$amien#o del &$ello&$ello- la &ol$mn &ol$mna a ver#eb ver#ebral ral-- el abdome abdomen n * las %iernas %iernas-- in/$*e in/$*en n en las &ara &ara&# &#er ers s#i #i&a &as s de la res% es%$es# $es#a a! esa esarrrolle lle $na $na se& se&$en& $en&ia ia de #res #res a%roima&iones a%roima&iones meoradas %ara modelar el &$er%o '$mano!
1!3 Un mo#or mo#or re&i% re&i%ro ro&a &an#e n#e es# es# mon#ad mon#ado o sobre sobre $na &imen# &imen#a& a&i)n i)n &omo &omo se m$es m$es#r #ra a en la 5.$r 5.$ra a 1!63 1!63!! Las Las $er $erza zas s * mome momen# n#os os desb desbal alan an&e &ead ados os desarrollados desarrollados en el mo#or se #ransmi#en al mar&o * la &imen#a&i)n! Para red$&ir la #ransmisi)n de la vibra&i)n se &olo&a $na almo'adilla els#i&a en#r en#re e el mo# mo#or * el blo, lo,$e de &ime &imen# n#a& a&i) i)n! n! esar esarrrolle lle dos dos mod modelo elos ma#em#i&os del sis#ema si.$iendo $n re5namien#o .rad$al del %ro&eso de modelado
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
1!8 Las &onse&$en& &onse&$en&ias ias del &'o,$e &'o,$e de ren#e ren#e de dos a$#om)vil a$#om)viles es se %$eden es#$diar es#$diar &onsiderando &onsiderando el im%a&#o im%a&#o del a$#om)vil a$#om)vil &on#ra &on#ra la barrerabarrera- &omo se m$es#ra en la 5.$ra 1!68! 9ons#r$*a $n modelo ma#em#i&o &onsiderando las masas de la &arro&era del a$#om)vil- el mo#or- la #ransmisi)n * la s$s%ensi)nas &omo la elas#i&idad de los amor#i.$adores- el radiador- la &arro&era de me#al- el #ren mo#riz * los so%or#es de mon#ae del mo#or!
E%li&a&i)n: $ran#e $ran#e el im%a&#o im%a&#o del a$#om)vil a$#om)vil &on la barrera barrera la elas#i&id elas#i&idad ad del radiadorradiador%ara&'o,$es- &arro&era de me#al- los so%or#es de mon#ae del mo#or * el #ren mo#riz se &onsideran del ve'&$lo es#;n en &on#a&#o &on la barrera! $ran#e el im%a&#o im%a&#o el %ara&'o,$es %ara&'o,$es-- radiador radiador * la &arro&era &arro&era de me#al del ve'&$lo ve'&$lo 'a&en &on#a&#o &on la barrera! 9omo es#os &om%onen#es &om%onen#es 'a&en &on#a&#o dire&#o dire&#o &on la barrera se &onsideran amor#i.$adores!
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7 de marzo de 2014
1!7 e#ermine la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e del sis#ema de la 5.$ra 1!67!
1 +2>1? 1 +>2 ? 1+2> @ (>2>?2>1>3?>1>2 +2>1>2>3 ?>4 @>2>3?2>1>3?>1>2?( >2>3 2>1 >3? >1>2 ?>4 + 2>1 > 2>3 @ 2>1>2>3 + ( >1>3 ? 2>1>3 ? >1>2 ? (>2 >3 ?2>1>3?>1>2 ?>4 ? 1 + >8 @ 2>1 2>1>2> >2>3>8 3>8?>2 ?>2>3? >3?2>1 2>1>3? >3?>1> >1>2?( 2?(>2> >2>3?2 3?2>1> >1>3?> 3?>1>2 1>2(> (>4 4 + (>2>3 (>2>3 ? 2>1>3?>1>2(>8 ?(>2>3?2>1>3?>1>2(>4(>8 ?(>2>3?2>1>3?>1>2(>4(>8 1! En la 5.$ra 1!6 en&$en#re la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e del sis#ema en la dire&&i)n dire&&i)n de !
e#erminamos la ener.a %o#en&ial #o#al del sis#ema: e#erminamos la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e $sando: I.$alando es#as dos e&$a&iones- #enemos:
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7 de marzo de 2014
1!11 Una m,$ina de masa m @800 . es# mon#ada en $na vi.a de a&ero s)lo a%o*ada de lon.i#$d l @2 m ,$e #iene $na se&&i)n #ransversal (de %ro$ndidad @ 0!1 * an&'o @ 1!2 m * m)d$lo de Co$n. E@2!06 D1011 +m2! Para red$&ir la de/ei)n ver#i&al de la vi.a- se 5a $n resor#e de ri.idez k a la mi#ad de s$ &laro- &omo se m$es#ra en la 5.$ra 1!71! e#ermine el valor de k ne&esario %ara red$&ir la de/ei)n de la vi.a en a! 28 %or &ien#o de s$ valor ori.inal! b! 80 %or &ien#o de s$ valor ori.inal! &! 78 %or &ien#o de s$ valor ori.inal! S$%on.a ,$e la masa de la vi.a es insi.ni5&an#e!
1!23610 F 100G 1!23610 H 100G 3!0
H
28G
!27
H 78G
b
1!23610 H 100G 6!1
& H
80G
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7 de marzo de 2014
1!13 Una vi.a en voladizo de lon.i#$d L * m)d$lo de Co$n. E se some#e a $na $erza de /ei)n en s$ e#remo libre! 9om%are las &ons#an#es de resor#e de vi.as &on se&&iones #ransversales en la orma de $n &ir&$lo (de dime#ro d $n &$adrado (de lado d * $n &r&$lo '$e&o (de dime#ro medio d * es%esor de %ared # @ 0!1d! e#ermine &$l de es#as se&&iones #ransversales &ond$&e a $n diseJo e&on)mi&o %ara $n valor es%e&i5&ado de ri.idez de la /ei)n de la vi.a!
@
Momen#o de Iner&ia
@
En &$es#i)n de /ei)n- la > (9ons#an#e de resor#e de $n 9r&$lo '$e&o- no so%or#ara m$&'a &ar.a a &om%ara&i)n de lo ,$e es la > de $n rea &$adrada * o#ra &ir&$lar! La &ons#an#e de la vi.a &$adrada en &$es#i)n de es$erzos- me resis#ir ms ,$e las o#ras dos- as ,$e en diseJo me sera ms e&on)mi&o!
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7 de marzo de 2014
1!18 La rela&i)n $erzaHde/ei)n de $n resor#e 'eli&oidal de a&ero $#ilizado en $n mo#or se en&$en#ra e%erimen#almen#e &omo F ( x @ 200 x ? 80 x 2? 10 x 3donde la $erza ( F * la de/ei)n ( x se miden en libras * %$l.adasres%e&#ivamen#e! Si el resor#e e%erimen#a $na de/ei)n %ermanen#e de 0!8 %$l. d$ran#e la o%era&i)n del mo#or- de#ermine la &ons#an#e de resor#e lineal e,$ivalen#e del resor#e a s$ de/ei)n %ermanen#e! Sol$&i)n: = 113.75lb @ Eval$amos el res$l#ado en @0!8 @ 278!8 1!17 El #r%ode mos#rado en la 5.$ra 1!73 se $#iliza %ara mon#ar $n ins#r$men#o ele&#r)ni&o ,$e en&$en#ra la dis#an&ia en#re dos %$n#os en el es%a&io! Las %a#as del #r%ode se $bi&an sim;#ri&amen#e &on res%e&#o al ee ver#i&al medio- * &ada %a#a orma $n n.$lo &on la ver#i&al! Si &ada %a#a #iene de lon.i#$d l * ri.idez aial k - en&$en#re la ri.idez de resor#e e,$ivalen#e del #r%ode en la dire&&i)n ver#i&al!
Podemos re%resen#arlo &omo:
e la ener.a %o#en&ial- #enemos:
Keome#ri&amen#e:
es%eando de la e&$a&ion (1:
Usando la rela&ion
en la e&$a&ion (2-
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Omar Alvarez
As$miendo ,$e el valor de ser %e,$eJo- * ,$e &om%ara&i)n &on
7 de marzo de 2014 es %e,$eJo en
- #enemos ,$e:
S$s#i#$*endo (4 en la %rimera )rm$la- #enemos ,$e la ri.idez de resor#e e,$ivalen#e del #r%ode en la dire&&i)n ver#i&al seria en#on&es:
1!1 La 5.$ra 1!78 m$es#ra $n sis#ema en el &$al la masa m es# dire&#amen#e &one&#ada a los resor#es &on ri.ide&es k 1 * k 2 en #an#o ,$e el resor#e &on ri.idez k 3 o k 4 en#ra en &on#a&#o &on la masa basada en el valor de s$ des%lazamien#o! e#ermine la varia&i)n de la $erza eer&ida %or el resor#e sobre la masa a medida ,$e el des%lazamien#o ( x de ;s#a vara!
E,$ivalen#e de la ener.ia &ine#i&a en#re.ada e,(N2 @ 1(N2 ? 2(N2?1+2 m (2?1+2m(2 ieren&ia e, @ 1? 2 ( %1+%22 ? m1r12?m2r22(%1+%22 E,$ivalen#e de ener.ia %o#en&ial en#re.ada e, N2 @ 12*2? 1+234*2?1+2#1 N2?1+2#2 N2 9on 12@1?234@34+(3?4 >e,@(1?2(l1?l22?(34+3?4 %12 l22+%2 ? #1 ? #2 %12+%22
1!21 La 5.$ra 1!77 m$es#ra $n man)me#ro de #$bo en orma de U abier#o %or ambos e#remos ,$e &on#iene $na &ol$mna de mer&$rio l,$ido de lon.i#$d l * %eso es%e&5&o ! 9onsiderando $n %e,$eJo des%lazamien#o x del menis&o del man)me#ro a %ar#ir de s$ %osi&i)n de e,$ilibrio (o nivel de reeren&iade#ermine la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e aso&iada &on la $erza de res#a$ra&i)n!
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7 de marzo de 2014
9ons#an#e de resor#e: @( (@P(A A@ 2 (@ @ )nde: @&ons#an#e de resor#e- A@rea del embolo- D@des%lazamien#o de resor#e- '@&ambio de %ro$ndidad- @densidad * [email protected]! Para la ener.a %o#en&ial de la &ol$mna de l,$ido e%andido?ener.a %o#en&ial de la &ol$mna de l,$ido &on#rado! Es#o es i.$al al %eso del mer&$rio e%andido D des%lazamien#o de 9K del se.men#o- ms el %eso del mer&$rio &on#rado D des%lazamien#o de 9K del se.men#o <@
Q2!
onde < es la ener.a ∈#i&a 1!23 En&$en#re la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e * la masa e,$ivalen#e del sis#ema ,$e se m$es#ra en la 5.$ra 1!7 &on reeren&ias a ! S$%on.a ,$e las barras AOB * CD son r.idas &on masa insi.ni5&an#e!
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e la ener.a ∈#i&a: e la ener.a %o#en&ial:
1!28 La 5.$ra 1!1 m$es#ra $na barra de #res es&alones em%o#rada %or $no de s$s e#remos * some#ida a $na $erza aial F a%li&ada en el o#ro e#remo! La lon.i#$d del es&al)n i es li * s$ rea de se&&i)n #ransversal es Ai- i @ 1- 2- 3!
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Para &al&$lar
Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
#enemos ,$e #omar en&$en#a ,$e
onde es la $erza- Li la lon.i#$d- Ai el rea de la se&&i)n * E es el mod$lo de Co$n. Si
es dada %or la orm$la
s$s#i#$llendo
en la
#endremos ,$e :
Para &al&$lar la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e
!!(e&! 1 De, es el #o#al de la e#ensi)n de las
barras es#a dada %or la orm$la
* s$s#i#$*endo es#o en la
orm$la de >e,
Si #omamos ,$e
#endramos ,$e de la orm$la
,$e donde 1 ser la &ons#an#e del resor#e del resor#e 1 * as mismo 2 %ara el 2 * 3 %ara el 3!
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del es&al)n es li * s$ dime#ro es Di- i @ 1- 2- 3!
@ @ Resor#es #orsionales en serie
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7 de marzo de 2014
1!2 La 5.$ra 1!4 m$es#ra $n resor#e ne$m#i&o! Es#e #i%o de resor#e se s$ele $#ilizar %ara ob#ener re&$en&ias na#$rales m$* baas al mismo #iem%o ,$e man#iene $na de/ei)n &ero some#ida a &ar.as es##i&as! En&$en#re la &ons#an#e de resor#e de es#e resor#e ne$m#i&o- s$%oniendo ,$e la %resi)n p * el vol$men v &ambian adiab#i&amen#e &$ando se des%laza la masa m!
Sugereni!" pv @&ons#an#e en $n %ro&eso adiab#i&o- donde de &alores es%e&5&os! Para aire- @1!4!
es la rela&i)n
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
1!31 erive la e%resi)n %ara la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e ,$e rela&iona la $erza a%li&ada F &on el des%lazamien#o res$l#an#e x del sis#ema ,$e se m$es#ra en la 5.$ra 1!6! S$%on.a ,$e el des%lazamien#o del eslab)n es %e,$eJo!
SOLU9IO: es%lazamien#o 'orizon#al
@ Rea&&iones de los resor#es
Por #an#o:
S$s#i#$*endo el des%lazamien#o 'orizon#al
Sim%li5&amos
S$s#i#$*endo los valores de la 5.$ra
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Omar Alvarez
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1!33 os resor#es 'eli&oidales- $no de a&ero * el o#ro de al$minio- #ienen valores id;n#i&os de # * D! (a Si la &an#idad de v$el#as en el resor#e de a&ero es de 10- de#ermine la &an#idad de v$el#as re,$erida en el resor#e de al$minio &$*o %eso ser i.$al al del resor#e de a&ero- (b! En&$en#re las &ons#an#es de los dos resor#es! Resor#e 'eli&oidal some#ido a $na &ar.a aial d @ dime#ro del alambre @ dime#ro de es%ira medio n @ &an#idad de v$el#as a&#ivas K@ mod$lo &or#an#e Sol$&i)n: Mod$lo &or#an#e (K del resor#e de a&ero:
Mod$lo &or#an#e del resor#e de al$minio: La ri.idez del resor#e de a&ero ser:
9omo los valores de # * D son id;n#i&os %odemos sim%li5&ar:
La ri.idez del resor#e de al$minio ser:
9omo los valores de # * D son id;n#i&os %odemos sim%li5&ar:
9omo los dos resor#es es#n some#idos al mismo %eso %odemos ded$&ir:
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
ed$&imos:
Por &onsi.$ien#e:
es%eamos %ara en&on#rar nT en el al$minio:
Las &ons#an#es de los dos resor#es
1!38" iseJe $n resor#e ne$m#i&o &on $n re&i%ien#e &ilndri&o * $n %is#)n %ara lo.rar $na &ons#an#e de resor#e de 78 lb+%$l.! S$%on.a ,$e la %resi)n del aire dis%onible es de 200 lb+%$l. 2!
S'irle*
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
1!37 os resor#es no lineales- S1 * S2 es#n &one&#ados en dos ormas dieren#es &omo se indi&a en la 5.$ra 1!! La $erza- Fi- en el resor#e Si es# rela&ionada &on s$ de/ei)n ( xi &omo i @ ai i ? bi i ? bi i 3 - i @ 1- 2 onde !i * bi son &ons#an#es! Si $ @ k e, x - donde x es la de/ei)n #o#al del sis#ema- de5ne $na &ons#an#e de resor#e lineal e,$ivalen#e k e,- en&$en#re $na e%resi)n %ara k e, en &ada &aso!
1!3 En&$en#re la &ons#an#e de resor#e de la barra bime#li&a ,$e se m$es#ra en la 5.$ra 1! en movimien#o aial!
onde: A: rea E: mod$lo de Co$n. L: lon.i#$d
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
1!41 Un e#remo del resor#e 'eli&oidal es# 5o * el o#ro es# some#ido a &in&o $erzas de #ensi)n dieren#es! Las lon.i#$des del resor#e medidas &on varios valores de las $erzas de #ensi)n se dan a &on#in$a&i)n!
e#ermine la rela&i)n $erzaHde/ei)n del resor#e 'eli&oidal! e/ei)n del resor#e 'eli&oidal! Si es i.$al a la n$eva lon.i#$d menos l en#on&es Si es la rela&i)n $erza de/ei)n ,$e es# dada %or En#on&es %ara los valores an#eriores #endramos ,$e la rela&i)n $erza de/ei)n seria
1!43 En la 5.$ra 1!2 se m$es#ra $na /e&'a de ';li&e &om%$es#a- 'e&'a de a&ero * al$minio! a! e#ermine la &ons#an#e de resor#e #orsional de la /e&'a! b! e#ermine la &ons#an#e de resor#e #orsional de la /e&'a &om%$es#a &$ando el dime#ro in#erno del #$bo de al$minio es de 8 &m en l$.ar de 10 &m!
Sol$&i)n a
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
KA9ERO @ 010 Pa la&ero@8 m a&ero @ !28m da&ero@!18m > #1 @
(010 (!28m4H(!18m4V + (32(8m @ 8!34072 10 6 !m+rad
KALUMIIO@2610 la&ero@8 m a&ero @ !18m da&ero@!10m > #2 @
(2610 (!18m 4H(!1m4V + (32(8m @!20738 10 6 !m+rad
9omo los resor#es es#n en %aralelo #e, es i.$al a la s$ma de los 2 #e,@ > #1? > #2@ @ 8!34072 10 6 !m+rad ? !20738 10 6 !m+rad @ 8!8411 10 6 !m+rad sol$&i)n b
KALUMIIO@2610 Pa la&ero@8 m a&ero @ !18m da&ero@!08m > #2 @
(2610 (!18m 4H(!08m4V + (32(8m@!288288 10 6 !m+rad
#e,@ > # 1? > #2@ @ 8!34072 10 6 !m+rad ? !288288 10 6 !m+rad @8!8878 106 !m+rad 1!48 Res$elva el %roblema 1!44 s$%oniendo ,$e los dime#ros de los resor#es 1 * 2 son de 1!0 %$l. * 0!8 %$l.- en vez de 2!0 %$l. * 1!0 %$l.- res%e&#ivamen#e! %e&'r(e 1: ma#erial- a&eroW &an#idad de v$el#as- 10W dime#ro medio- 12 %$l.W dime#ro del alambre2 %$l.W lon.i#$d libre- 18 %$l.W m)d$lo de &or#an#e- 12 3 106 lb+%$l.2! %e&'r(e ): ma#erial- al$minioW &an#idad de v$el#as- 10W dime#ro medio de la es%ira- 10 %$l.W dime#ro del alambre- 1 %$l.W lon.i#$d libre- 18 %$l.W m)d$lo de &or#an#e- 4106 lb+%$l. 2! e#ermine la &ons#an#e de resor#e e,$ivalen#e &$ando (a el resor#e 2 se &olo&a den#ro del resor#e 1- * (b si el resor#e 2 se &olo&a sobre el resor#e 1!
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
X1 @ (3H4i- X2 @ (1 ? 2i X @ X1 H X2 @ (3 H 4I H (1?2i @ 2H6i @ A onde A @ *
@
@ 6!3246 @
(H3 @ H1!240 rad
1!81 os masas- &on momen#os de iner&ia de masa *1 * *2 se &olo&an en /e&'as ro#a#orias r.idas &one&#adas %or medio de en.ranes- &omo se m$es#ra en la 5.$ra 1!! Si la &an#idad de dien#es en los en.ranes 1 * 2 son n1 * n2- res%e&#ivamen#e- en&$en#re el momen#o de iner&ia de masa e,$ivalen#e &orres%ondien#e a 1!
(# @ A1 &os Y# ? A2 sen Y# @ H A1 Y sen Y# ? A2 Y &os Y# -
@H
(# donde
%or lo #an#o (# es $n sim%le movimien#o arm)ni&o 1!83 En&$en#re la masa e,$ivalen#e del sis#ema ,$e se m$es#ra en la 5.$ra 1!100!
9$ando la masa m se des%laza %or - la %alan&a de leva a&odada .ira %or el n.$lo 0b@ +l1! Es#o 'a&e ,$e la esera &en#ral des%lazamien#o 3@ 0b l2 ! esde la esera .ira &on deslizamien#o 'a&ia $era! Z$e .ira en $n n.$lo!
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
la ener.a ∈#i&a del sis#ema se %$ede e%resar &omo: ?
0[?
? (
*a ,$e %ara $na esera-
1!88 En&$en#re $na &ons#an#e de amor#i.$amien#o e,$ivalen#e =ni&a %ara los si.$ien#es &asos: a! 9$ando #res amor#i.$adores es#n en %aralelo! b! 9$ando #res amor#i.$adores es#n en serie! &! 9$ando #res amor#i.$adores es#n &one&#ados a $na barra r.ida (5.$ra 1!102 * el amor#i.$ador e,$ivalen#e se en&$en#ra en el si#io 1! d! 9$ando se mon#an #res amor#i.$adores #orsionales en /e&'as en.ranadas (5.$ra 1!103 * el amor#i.$ador e,$ivalen#e se en&$en#ra en Sugereni!" La ener.a disi%ada %or $n amor#i.$ador vis&oso en $n &i&lo d$ran#e movimien#o arm)ni&o es# dada %or + 2- donde es la &ons#an#e de amor#i.$amien#o-
es la re&$en&ia- * + es la am%li#$d de la os&ila&i)n!
Sol$&i)n a
1 amor#i.$a 9i@ 9i (D2H1W i @ 1- 2- 3 e,@9e,(D2HD1
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Omar Alvarez
7 de marzo de 2014
@1?2?3 Por lo #an#o 9 e, @ 91?92?93 Sol$&i)n b
1 @ 91(D2HD1 2@92(D3HD2 3@93(D4HD3 D4HD1@D4HD3?D3HD2?D2HD1 e,+9e, @ 3+93?2+92?1+91 e,@1@2@3 W 1+9e,@1+91?1+92?1+93 Sol$&ion & 9 e, Y D21 @ 91 \ D21 ? 92 \ D22 ? onde D1@ ] l1 - D2 @] l2 * D3@]l3 Por lo #an#o : 9 e, @ 91 ? 92(l2+l12 ?93(l2+l12 Sol$&i)n d 9#e, \ ]21 @ 9#1 \ ]21 ? 9#2 \ ]22 ? onde \ ]2 @ ]1 (n1+n2 * ]3 @ ]1 (n1+n3
93 \ D23
9#3 \ ]23
Por lo #an#o 9 #e, @ 9#1 ?9#2(n1+n22 ?9#3(n1+n32 1!87" iseJe $n amor#i.$ador vis&oso de #i%o %is#)nH&ilindro %ara ob#ener $na &ons#an#e de amor#i.$amien#o de l lbHs+%$l.- &on $n /$ido &on vis&osidad de 4 re*n (1 re*n @ l lbHs+%$l.2! Si la &ons#an#e de amor#i.$amien#o & es# dada %or
C si
* si s$%onemos ,$e * En#on&es la orm$la de &ons#an#e de amor#i.$amien#o ,$edara
Problemas de Unidad 1
Omar Alvarez
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U#ilizando $n m;#odo de %r$eba * error se ob#$vo ,$e * si a le o#or.amos el valor de 10 %$l. en#on&es !
1!8 esarrolle $na e%resi)n %ara la &ons#an#e de amor#i.$amien#o del amor#i.$ador ro#a&ional ,$e se m$es#ra en la 5.$ra 1!108 en $n&i)n de D- #l- ,- * m- donde indi&a la velo&idad an.$lar &ons#an#e del &ilindro in#erno- * # * , re%resen#an las 'ol.$ras radial * aial en#re los &ilindros in#erno * e#erno!
Sol$&i)n Sabiendo
,$e
la
velo&idad
#an.en&ial
del
&ilindro
in#erior
es
Para la 'ol.$ra de en#re el %is#)n * la %ared del &ilindro - la medida del &ambio de velo&idad del /$ido es
El es$erzo &or#an#e es#a dado %or
C la $erza de &or#e es
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onde $erza de &or#e Es$erzo &or#an#e Area
onde Es$erzo de #orsi)n desarrollado Para
se de5ne &omo
El es$erzo &or#an#e es
La $erza en el rea es El es$erzo de #orsi)n en#re las s$%er5&ies de los &ilindros es onde
El es$erzo de #orsi)n #o#al es
E%resando
*
1!61 Si los amor#i.$adores linealizados del %roblema 1!60 se &one&#an en %aralelo- de#ermine la &ons#an#e de amor#i.$amien#o e,$ivalen#e res$l#an#e! Amor#i.$adores no lineales &on la misma rela&i)n $erzaHvelo&idad dada %or F @ 1000 ? 400v2 ? 20v3 &on F en neY#ons * v en me#ros+se.$ndo!
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1!68 Una %la&a %lana de 0!28 m2 de rea se m$eve sobre $na s$%er5&ie %lana %aralela &on $na %el&$la de l$bri&an#e de 1!8 mm de es%esor en#re las dos s$%er5&ies %aralelas! Si la vis&osidad del l$bri&an#e es de 0!8 PaHs- de#ermine lo si.$ien#e: a! 9ons#an#e de amor#i.$amien#o! b! $erza de amor#i.$amien#o desarrollada &$ando la %la&a se m$eve a $na velo&idad de 2 m+s!
1!67 Si &ada $no de los %arme#ros ( - %- l- # * - de la &'$ma&era des&ri#a en el %roblema 1!66 se some#e a $n 8G de varia&i)n &on res%e&#o al valor &orres%ondien#e dado- de#ermine la /$&#$a&i)n de %or&en#ae en los valores de la &ons#an#e de amor#i.$amien#o #orsional * el %ar de #orsi)n de amor#i.$amien#o desarrollado! -'(!" Las varia&iones de los %arme#ros %$eden #ener varias &a$sas- &omo $n error de medi&i)n- #oleran&ias en las dimensiones de abri&a&i)n- * /$&#$a&iones en la #em%era#$ra de o%era&i)n del &oine#e!
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1!6 La rela&i)n $erza ( F Hvelo&idad ( de $n amor#i.$ador no lineal es# dada %or @a ?b 2
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onde ! * b son &ons#an#es! En&$en#re la &ons#an#e de resor#e linealizada e,$ivalen#e &$ando la velo&idad rela#iva es de 8 m+s &on ! 8 @ Hs+m * b @ 0!2 Hs2+m2! Sol$&ion:
e:
Por lo #an#o: Por lo #an#o la &ons#an#e de amor#i.$a&i)n linealizado se da %or:
1!71 La &ons#an#e de amor#i.$amien#o ( del amor#i.$ador 'idr$li&o ,$e se m$es#ra en la 5.$ra 1!10 es# dada %or 1!27V: La &ons#an#e de amor#i.$amien#o (& del amor#i.$ador 'idr$li&o ,$e se m$es#ra en la 5.$ra 1!10 es# dada %or 1!27:
e#ermine la &ons#an#e de amor#i.$amien#o del amor#i.$ador 'idr$li&o %or los si.$ien#es da#os: U: 0!3448 PaHs- l@10 &m- '@0!1 &m- a@2 &m- r@0!8 &m
onde:
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9@
1!73 Una barra sin masa de 1 m de lon.i#$d * %ivo#eada en $n e#remo se some#e a $na $erza F a%li&ada en el o#ro e#remo! os amor#i.$adores #rasla&ionales- &on &ons#an#es de amor#i.$amien#o 1 @ 10 Fs+m * 2 @ 18 F s+m es#n &one&#ados a la barra &omo se m$es#ra en la 5.$ra 1!10! e#ermine la &ons#an#e de amor#i.$amien#o e,$ivalen#e- e,- del sis#ema de modo ,$e la $erza F a%li&ada en el %$n#o A %$eda e%resarse &omo F 8 e,v donde v es la velo&idad lineal del %$n#o A
Amor#i.$adores en %aralelo:
$erza: D@0!8
1!78 E%rese el n=mero &om%leo 8 ? 2 i en la orma e%onen&ial A A@ ^@
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1!77 Res#e el n=mero &om%leo (1 ? 2 i de (3 H 4 i * e%rese el res$l#ado en la orma A (1?2i F (3H4i @ (1H3 ? 2?4V i @ (H2 ? 6i A@ (H22V? 62V1+2 @ 6!32 _@ #anH1 (6+H2 @ H71!86 En la orma Ae i_ A@ 6!32 _@H71!86 6!32 eHi71!86 1!7 En&$en#re el &o&ien#e- 1+ 2- de los n=meros &om%leos 1 @(1 ?2i * 2 @ (3 H 4i * e%rese el res$l#ado en la orma A
1!1 La &imen#a&i)n de $n &om%resor ne$m#i&o se some#e a movimien#os arm)ni&os (&on la misma re&$en&ia en dos dire&&iones %er%endi&$lares! El movimien#o res$l#an#e- des%le.ado en $n os&ilos&o%io- a%are&e &omo se m$es#ra en la 5.$ra 1!112! En&$en#re las am%li#$des de vibra&i)n en las dos dire&&iones * la dieren&ia de ase en#re ellas!
9$ando son obe#o los &om%resores de aire arm)ni&os el movimien#o res$l#an#e se re%resen#a &omo $na %arbola &$*a e&$a&i)n es la si.$ien#e:
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!(1 Para la an#erior e&$a&i)n &$ando la dis#an&ia
en#on&es
se &onvier#e en
en#on&es la e&$a&i)n se red$&e a !(2 Para la e&$a&i)n $no &$ando la dis#an&ia
en#on&es
se &onvier#e en
en#on&es la e&$a&i)n se red$&e a !(3 9on las dimensiones de la dis#an&ias en la 5.$ra OR #enemos ,$e @ 7!6 !(4 ividimos las e&$a&iones 2 * 3 %ara ob#ener @
@ 3!20
@ !02 mm
A'ora $#ilizaremos la e&$a&i)n n$mero 3 %ara &al&$lar la am%li#$d en C @
@ !41 mm
1!3 em$es#re ,$e &$al,$ier &ombina&i)n lineal de sen
( * &os
( de modo
,$e x (( @ A1 &os ( ? A1 sen ( ( A1- A2 @ &ons#an#es re%resen#a $n movimien#o arm)ni&o sim%le! 9ombina&i)n lineal Un ve&#or se di&e ,$e es &ombina&i)n lineal de $n &on$n#o de ve&#ores
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si se %$ede e%resar &omo s$ma de los ve&#ores de m$l#i%li&ados &ada $no de ellos %or $n &oe5&ien#e es&alar - es de&ir:
! As- es &ombina&i)n lineal de ve&#ores de si %odemos e%resar &omo $na s$ma de %rod$&#os %or es&alar de $na &an#idad 5ni#a de elemen#os de ! Un movimien#o arm)ni&o sim%le se da &$ando la a&elera&i)n es %ro%or&ional al des%lazamien#o del elemen#o (P.ina 82 del libro! En#on&esW D(#@ A1 &os Y#? A2 sen # DQ(#@ HA1 Y sen Y# ? A 2 Y &os Y# DQQ(#@ HA1 Y2 &os Y# F A 2 Y2 sen Y# 9on es#o se observa ,$e la a&elera&i)n es %ro%or&ional al des%lazamien#o del elemen#o! C se %odra &om%robar $#ilizando valores &omo &ons#an#es! C %or,$e a$n,$e sea &ero el #iem%o- siem%re 'abr $na &om%onen#e *a sea seno o &oseno! 1!8 Si $no de los &om%onen#es del movimien#o arm)ni&o x (( @ 10 sen ( ( ? 60` es x 1(( @ 8 sen( ( ? 30`- en&$en#re el o#ro &om%onen#e! )nde:
*
10( 10 10 A@
1!7 9onsidere dos movimien#os arm)ni&os de dieren#es re&$en&ias: x 1(( @ 2 &os 2( * x 2(( @ &os 3 ( ! Es la s$ma x 1(( ? x 2(( $n movimien#o arm)ni&o e ser as- &$l es s$ %eriodo si el %rimer movimien#o D(# es arm)ni&o- #ambi;n DQQ(#@ HY[ (#- #eniendo la s$ma de ambas nos da &omo res$l#ado lo si.$ien#e: (#@ 2 &os 2# ? &os3# Por lo #an#o QQ(# @ H &os 2# F &os 3#
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Es#o es dieren#e a las &ons#an#es de #iem%o de (# - * a s$ ves (# no es $na seJal 'arm)ni&a %or lo ,$e no &$en#a &on movimien#o %eriodi&o 1! En&$en#re las am%li#$des mima * mnima del movimien#o &ombinado x (( @ x 1(( ? x 2(( &$ando x 1(( @ 3 sen 30 ( * x 2(( @ 3 sen 2 ( ! En&$en#re #ambi;n la re&$en&ia de %$lsa&ion &orres%ondien#e a x (( !
9onver#ir a orma %olar 9onver#ir a orma &ar#esiana S$mar la orma %olar * ,$eda:
As ,$e las am%li#$des mimas * minas ,$edan de 1!1 Un movimien#o arm)ni&o #iene $na am%li#$d de 0!08 m * $na re&$en&ia de 10 cz! En&$en#re s$ %eriodo- velo&idad mima * a&elera&i)n mima! A@ 0!08 m - \@ 10 cz @ 62!32 rad+se& Period @ < @ 2 +Y @ 2 +62!32 @ 0!1 se& Mima velo&idad @ A Y @ 0!08 62!32 @3!1416m+s Mima a&elera&i)n @ AY2 @ 0!08 (62!32 2 @ 17!33 m+s2 1!3 Se en&on#r) ,$e la am%li#$d mima * la a&elera&i)n mima de la &imen#a&i)n de $na bomba &en#r$.a son x m @ 0!28 mm * @ 0!4g! En&$en#re la velo&idad de o%era&i)n de la bomba! -
9$ando el des%lazamien#o x de $na m,$ina es# dado %or x (( @ 1 &os ( donde x es# en milme#ros * ( en se.$ndos- en&$en#re (a el %eriodo de la m,$ina en se.$ndos- * (b la re&$en&ia de os&ila&i)n de la m,$ina en rad+s as &omo #ambi;n en cz! D(#@ 1 &os # D(#@ A &os Y#
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\@2 ( D(#@ A &os 2 ( A @1!27 rad+s @ 0!638 cz B <@1+@ 1+ 0!638 <@1!87 1!7 E%rese la vibra&i)n de $na m,$ina dada %or x (( @ H 3!0 sen 8 ( H 2!0 &os 8( en la orma x (( 8=&os(8( ? ! Sol$&i)n (1!!
onde A es n$es#ra am%li#$d-
la re&$en&ia na#$ral *
el n.$lo de ase!
(2! La e&$a&i)n de la vibra&i)n de la m,$ina es: (3! 9om%arando la e&$a&i)n 1 * 3 lle.amos a la &on&l$si)n ,$e: (4! (8!
S$s#i#$imos el n.$lo en la e&$a&i)n 4
S$s#i#$imos el valor de A * de e&$a&i)n de la vibra&i)n!
en n$es#ra %rimera e&$a&i)n * ob#enemos la
1!101 El des%lazamien#o de $na m,$ina se e%resa &omo x (( @ A sen(6( ? donde x es# en me#ros * ( en se.$ndos! Si se sabe ,$e el des%lazamien#o * la velo&idad de la m,$ina en el ins#an#e ( @ 0 son de 0!08 m * 0!008 m+sde#ermine el valor de A * !
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1!111 En&$en#re la e%ansi)n de la serie de o$rier de la $n&i)n %eri)di&a de la 5.$ra 1!117!
La $n&i)n de la .r5&a es# de5nida &omo: onde /(0 es el %eriodo de #iem%o- * es# de5nido en la $n&i)n desde 0 'as#a
S$s#i#$*endo (# en la e&$a&i)n #enemos:
9omo A es &ons#an#e se s$s#rae de los &or&'e#es
C se res$elve la in#e.ral:
=A Al &al&$lar
en&on#ramos la si.$ien#e in#e.ral:
Al resolver di&'a in#e.ral ob#enemos: @ 0 Ense.$ida se b$s&a el &oe5&ien#e &ons#an#e de
Z$e al resolverse ob#enemos:
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7 de marzo de 2014
Por =l#imo- la e%ansi)n de la serie de o$rier es la si.$ien#e:
S$bs#i#$*endo los valores &orres%ondien#es a los &oe5&ien#es &ons#an#es
-
*
1!113 Reali&e $n anlisis arm)ni&o- in&l$idos los %rimeros #res arm)ni&os- de la $n&i)n dada a &on#in$a&i)n!
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7 de marzo de 2014
1!118 Res$elva el %roblema 1!114 &on los valores de n * - &omo 200 r%m en l$.ar de 100 r%m * 4- res%e&#ivamen#e! La re&$en&ia de es#os im%$lsos es# de#erminada %or la velo&idad de ro#a&i)n del %ro%$lsor n * la &an#idad de as%as- -- en el %ro%$lsor! Para n @ 100 r%m * @ 4-
En $n min$#o- $n %$n#o ser some#ido a la %resi)n mima- donde la
Por lo #an#o el %eriodo es @
Eval$ando de m@1
*
: m@2
m@3
