es un documento que realizamo y que ahora me gustaria compartirlo con vosotrosDescripción completa
Descripción completa
Exposición de vibraciones mecanicasDescripción completa
vibración libre con amortiguación viscosa
Descripción completa
es un documento que realizamo y que ahora me gustaria compartirlo con vosotros
Descripción: Vibraciones Mecanicas
es un documento que realizamo y que ahora me gustaria compartirlo con vosotrosFull description
Descripción: Trata sobre el tema de vibraciones mecanicas, trae algunos ejercicios resueltos
excitación armonicaDescripción completa
Este es un texto muy clásico en el estudio de las vibraciones mecanic
Descripción completa
Informe sobre vibracionesDescripción completa
Las vibraciones mecánicas se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema mecánico alrededor de su posición de equilibrioDescripción completa
vibraciones mecanicasDescripción completa
Q U I N T A
E D I C I Ó N
VIBRACIONES MECÁNICAS S I N G I R E S U
ALWAYS LEARNING
www.FreeLibros.me
S.
RAO
PEARSON
M a s a s e q u iv a le n te s , r e s o r te s y a m o r tig u a d o r e s M asas equivalentes M .'X M IM IM
<
=
M asa (M ) fija en e l extrem o d e un resorte d e m asa m
-
Viga e n voladizo d e m asa m c o n una carga
D •
t
M e n su extrem o libre
= M + j
m ,v = M + 0.23 m
> i
Viga sim plem ente apoyada d e m asa m con una c a rg a M a la mitad
m ,q = M + 0 . 5 m
M asas translacionalcs y rotacionales
R' Jrq = Jq + m R 7
m, m2 "!l □ ______□ _______ □ ■*- / | -*1
M asas sobre u n a ba rra co nectada a la bisagra
m«*i = mi +
V arilla som etida a una carga axial
*
R esortes equivalentes
V arilla ahusada som etida a u n a carga axial (D , d = diám etros extrem os)
TtE D d Al
Resorte helicoidal som etido a una carga M M IM U
a x ia l (d = diám etro d e l alam bre. D = diám etro d e esp ira m edio, n = cantidad de v ueltas activas)
Viga d o blem ente em p o trad a con u n a carga a la m itad
www.FreeLibros.me
G d* U ní)'
19 2 E /
( t ) ’- + (
■=“ lw-
^
www.FreeLibros.me
www.FreeLibros.me
QUINTA EDICIÓN Sing iresu S . Rao U n iv e rsity o f M ia m i
TRA D U CCIÓ N
R o d o lfo N a v a r r o S a la s In g e n ie ro M ecánico U niversidad N a c io n a l A u tó n o m a d e M éxico
R E V ISIÓ N TÉCN ICA
D a v id S e p ú lv e d a G a rc ía E scuela S u p e rio r de Ingeniería M ecánica y E léctrica U nidad P ro fesio n a l A zcapotzalco In s titu to P olitécn ico N a c io n a l
R ic a rd o R o d r íg u e z F ig u e r o a D e p arta m e n to d e In g e n ie ría M ecatrónica In stitu to T ecnológico d e Coacalco
G a b r ie la d e l V alle D ía z M u ñ o z D e p arta m e n to d e C iencias B ásicas U niversidad A u tó n o m a M etropolitana U nidad A zc a p o tza lc o
PEARSON
www.FreeLibros.me
Dalos de catalogación bibliográfica R A O , S I N G I R i S l ) S. V ib ra cio n es m ec án ic as Q uinta edición PE A R S O N ED U C A C IÓ N . M éxico. 2012 ISBN: 978-607-32-0952-6 Área: Ingeniería fo rm ato 20 x 25.5 cm
fó g in as: 776
A uthorized translation fro m tlie E nglish language edition en titled M echanical V ibralions. 501 Edition. by Singiresu S. R ao. published by fo a rso n E ducation, Inc., publishing a s Prcnticc H all. C opyright O 2011. All rights rcscrvcd. IS B N 9780132128193
E sta edición e n esp añ o l e s la ú nica autorizada. D irección general: D irección d e E ducación Superior:
L aura K ocstinger M ario C ontreras
E d ito r
L uis M iguel C ruz Castillo c-m ail: luis.cruz@ pearson.com B em ardino G utiérrez H ernández Juan Jo sé G arcía G uzm án
E ditor d e desarrollo: S upervisor d e producción: G erencia editorial E ducación S u p e rio r Latinoam érica: M arisa d e Anta Q U IN TA E D IC IÓ N . 2012
V ib ra ció n lib re d e u n siste m a tra s la c io n a l n o a m o rtig u a d o
25 28
producida p o r la g ravedad
114
2.1
116 118
2.2.1
Ecuación de m ovim iento basada e n la segunda
2.2.2
Ecuación d e m ovim iento utilizando otros
2.2.3
Ecuación d e l m ovim iento d e un sistem a
ley del m ovim iento d e N ew ton
con la fuerza d e restauración
1.9.3
1.11.5
d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d
R esortes no lineales
m éto d o s
36 37
2.2.4 Z 2 .5 2J
43 49 49
123
M ovim iento arm ónico
124
V ib ra ció n lib re d e u n siste m a to rsio n a l no a m o rtig u a d o
Iin ca liz ac ió n d e un am ortiguador C om binación d e am ortiguadores
Solución
Z 3 .1 Z 3 .2
www.FreeLibros.me
118
120
de resorte-m asa en posición v ertical
38 42
C onstrucción d e am ortiguadores
no lineal
Serie d e F o u rie r co m pleja 63 E spectro d e frecuencia 64 R epresentaciones en e l d om inio
R e su m e n d e l c a p ítu lo R e fe re n c ia s 76
17
1.7.1
1.9.2
1.11.2 1.11.3 1.11.4
16
1.7
visco so s
Expansión d e la serie d e F o u ric r
P ro y e c to s d e d ise ñ o
P ro c e d im ien to d e l a n álisis d e la v ib ra c ió n
1.9 .1
61
1.11.1
P ro b le m a s
55
58
E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T L A B
16
1.6
1.8.1 C om binación d e m asas E lem en to s d e a m o rtig u a m ie n to
A nálisis a rm ó n ic o
P re g u n ta s d e r e p a s o
V ibración libre y forzada
1.9
D efiniciones y term inología
L12
16
1.5.1
E lem en to s d e m a s a o in e rc ia
1.10.5
del tiem po y la frecuencia 10
1.4.1
13
Á lgebra co m pleja 55 O peraciones c o n funciones arm ónicas
9
Im p o rta n c ia d e l e s tu d io d e la v ib ra c ió n C o n c ep to s básicos d e la v ib ra c ió n 13
C lasificació n d e la v ib ra c ió n
53
1.10.3 1.10.4
135
Ecuación d e m ovim iento S o lu ció n 136
136
121
C o n te n id o 2.4
R e sp u e sta d e siste m a s d e p r im e r o rd e n y c o n s ta n te d e tie m p o
2 .5 2.6
16.5 2 .7
R e sp u e sta d e u n siste m a a m o rtig u a d o
146
Solución
257
som etido a l m o v im ie n to a rm ó n ic o d e l a b a s e 3.6.1 3.6.2
147
F u erza transm itida M ovim iento relativo
3 .7
R esp u esta d e u n siste m a a m o rtig u a d o som etido
a i am ortiguam iento viscoso
3 .8
V ib ra ció n fo rz a d a c o n a m o rtig u a m ie n to
Sistem as torsionalcs con am ortiguam iento viscoso
3 .9
de C o u lo m b 269 V ib ra c ió n fo rz a d a c o n a m o rtig u a m ie n to
3.10
M o v im ien to fo rn id o c o n o t r o s tip o s
3.11
de a m o rtig u a m ie n to 275 A u to ex citació n y a n á lisis d e e sta b ilid a d
a d e s b a la n c e ro ta to rio
R e p re s e n ta c ió n g rá fic a d e ra íc e s c a ra c te rís tic a s
de h isté re sis 162
163
3 .1 1. 1 3 .11.2
V a riacio n es d e p a r á m e tr o s y re p re se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tric o d e la s ra íc e s
164
1 8 .1
Interpretaciones d e w ,, en e l plano r 164
1 8 .2
L u g ar g eom étrico d e las raíces y variaciones d e parám etro 167
1 9 .2
Solución
1 9 .3
S istem as torsionalcs con am ortiguam iento d e C oulom b
111
h isteré tic o 179 E sta b ilid a d d e siste m a s
112
E je m p lo s re su e lto s u tiliza n d o M A T I.A B R esu m en d e l c a p ítu lo R e fere n cia s 196 P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s 201 P ro y e c te s d e d ise ñ o
d e L ap lac e
288
general T ( s ) y la función d e transferencia 3 .14 .2 177
de frecuencia H ito) 293 Representación de la s características d e respuesta d e frecuencia
3.15
185 189
195
294
E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T L A B R esu m en d e l c a p ítu lo
297
302
R e fere n cia s 302 P re g u n ta s d e re p a s o P ro b le m a s 307
C riterios d e sev eridad d e vibración T écnicas d e m antenim iento de m áquinas
9-53
10-31
10-33
10.9.1 10.9.2 9-46
10.10
10.1 10.2
10-29 10-29
M o n ito reo y d iag n ó stic o d e la c o n d ició n d e u n a
9-49
P ro y ecto d e d ise ñ o
L a idea b ásica E quipo necesario
m á q u in a
9-48
P re g u n ta s d e r e p a s o
10-28
con la g íáfica de N yquist
9-38
Ecuación d e m ovim iento
R e su m e n d e l c a p ítu lo
10-28
A nálisis m o d a l e x p e rim e n ta l 10-29
10.8.4
9.6.2 C ondiciones iniciales y lím ite M é to d o d e R a y le ig h 9-41 M étodo d e R ay leig h -R itz 9-43
P ro b le m a s
Uso d e las m ediciones operacionalcs
10.8.1 10.8.2
9-29
V ib ra ció n d e m e m b ra n a s
R e fe re n c ia s
10.7.1
de deflexión
9.5.1
9 .6 .1 9 .7 9 .8
9-18
9-21
M é to d o d e H o u b o lt
www.FreeLibros.me
11-22
11-20
11-12 11-16
C o n te n id o 11.9
M é to d o d e W üson
11.10
M é to d o d e N e w m a rk
11.11
E je m p lo s re su e lto s u tiliza n d o M A T L A B R e su m e n d e l c a p itu lo R e fe re n c ia s 11-37 P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s
11-25
A PÉN D ICE A
11-28
R e la c io n e s m a te m á tic a s y p r o p ie d a d e s d e m a te r ia le s
11-37
Al
11-38 A PÉN D ICE B
11-40
D e fle x ió n d e v ig a s y p la c a s
A4
CAPÍTU LO 1 2 ______________________________________________
M é to d o d e lo s e l e m e n t o s f i n i to s
12-1
A PÉN D ICE C
M a tr ic e s
12.1
In tro d u c c ió n
12.2
E cu acio n es d e m o v im ie n to d e u n e le m en to
12-2
12J
M a triz d e m a s a , m a triz d e rig id e z y v e c to r de f u e r z a 12-5 12.3.1
Elemento d e una ba rra
12.3.2
Elemento d e torsión
12.3.3
Elemento d e una v ig a
A PÉN D ICE 0
12-5
T r a n s f o r m a d a d e L a p la c e
12-7
T ra n s fo rm a c ió n d e m a tric e s y v e cto res
12.5
de u n e le m e n to 12-11 E c u a cio n e s d e m o v im ie n to d e l sistem a co m p leto
12.6 12.7
12.7.1
M atriz d e m asa co ncentrada p ara un elem ento
12.7.3
de una viga 12-24 M atrices d e m asa concentrada en com paración
E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T1.A B R e fere n cia s 12-30 P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s 12-33
I n tr o d u c c ió n a M A TLA B
A 24
12-24
12.7.2
R esu m en d e l c a p ítu lo
A 21
APÉNDICE P
12-24
con m atrices d e m asa consistente 12.8
U n id a d e s
12-15
M atriz d e m asa concentrada p ara un elem ento de una barra
A PÉN D ICE E
12-13
In c o rp o ra c ió n d e c o n d ic io n e s lim ite M a tric e s d e m a s a c o n siste n te y d e m a s a c o n c e n tra d a
A 13
12-8
12.4
de e le m e n to s fin ito s
A6
12-3
12-25 12-27
M a te ria l e n in g lé s e n s itio w e b CAPÍTU LO 13_________________________
N o n lin e a r V ib r a tio n
13-1
12-30 12-31
CAPÍTU LO 14____________________
R a n d o m V ib ra tio n
www.FreeLibros.me
14-1
xi
www.FreeLibros.me
PREFACIO C a m b io s e n e s ta e d ic ió n E ste lib ro p r e s e n ta el te rn a d e in g e n ie ría d e v ib ra c io n e s a n iv e l d e lic e n c ia tu ra . L a s re a c c io n e s fa v o ra b le s d e p r o f e s o re s y e s tu d ia n te s a l a c u a r ta e d ic ió n m e m o lí v a ró n a p r e p a r a r e s t a q u in ta e d ic ió n . C o n s e rv é e l e s tilo d e la s e d ic io n e s a n te r io re s e n la p r e s e n ta c ió n d e la te o r í a , lo s a s p e c to s d e c á lc u lo y la a p lic a c ió n d e l a v ib ra c ió n d e la m a n e ra m á s s e n c illa p o s ib le , c o n e s p e c ia l é n f a s is e n la s té c n ic a s d e a n á lis is p o r c o m p u ta d o ra . S e o f r e c e n a m p lia s e x p lic a c io n e s d e lo s fu n d a m e n to s e n la s q u e se r e c a lc a la im p o r ta n c ia y l a in te rp re ta c ió n físic a q u e a c re c ie n ta n l a s e x p e r ie n c ia s a d q u ir id a s e n c u r s o s p r e v io s d e m e c á n ic a y s e u tiliz a n n u m e r o s o s e je m p lo s y p ro b le m a s p a ra ilu s tr a r p rin c ip io s y c o n c e p to s . E n e s t a e d ic ió n s e m o d ific a ro n a lg u n o s te m a s y s e v o lv ie ro n a e s c rib ir o tr o s , s e a g re g a ro n m u c h o s m á s y s e in tr o d u je ro n n u e v a s c a ra c te rís tic a s . L a m a y o r ía d e e s a s a d ic io n e s y m o d if ic a c io n e s fu e ro n a s u g e re n c ia d e lo s u s u a r io s y re v is o r e s d e l te x to . E n tre l o s c a m b io s im p o rta n te s d e s ta c a n l o s s ig u ie n te s : 1.
A l p r in c ip io d e c a d a c a p ítu lo s e p r e s e n ta u n e s q u e m a y lo s o b je tiv o s d e a p re n d iz a je .
2.
A l fin a l d e c a d a c a p ítu lo se o f r e c e u n r e s u m e n d e re p a s o .
3.
L a p re s e n ta c ió n d e a lg u n o s te m a s s e h a m o d ific a d o p a r a o f re c e r u n a m a y o r c o b e r tu r a y m e jo r c la r id a d . E s to s te m a s in c lu y e n lo s c o m p o n e n te s b á s ic o s d e l a v ib ra c ió n : e le m e n to s d e r e s o r t e , e le m e n to s d e a m o r tig u a c ió n y e le m e n to s d e m a s a o i n e r c ia , a s í c o m o a is la m ie n to y c o n tr o l a c t i v o d e l a v ib ra c ió n .
4 . M u c h o s te m a s n u e v o s s e p r e s e n ta n c o n d e ta lle s y e je m p lo s ilu s tr a tiv o s , e n tr e e llo s la re s p u e s ta d e s is te m a s d e p rim e r o r d e n y l a c o n s ta n te d e tie m p o ; re p re s e n ta c ió n g r á fic a d e l a s r a íc e s y s o lu c io n e s c a r a c te rís tic a s ; v a ria c io n e s d e p a rá m e tr o s y l a re p re s e n ta c ió n d e l l u g a r g e o m é tric o d e la s ra íc e s ; l a e s ta b ilid a d d e los s is te m a s ; e l m é to d o d e fu n c ió n d e tr a n s f e r e n c ia p a r a p ro b le m a s d e v ib ra c ió n fo r z a d a ; e l m é to d o d e la tra n s fo rm a d a d e L a p la c e p a r a s o l u c io n a r p r o b le m a s d e v ib r a c ió n lib re y fo r z a d a ; e l m é to d o d e l a f u n c ió n d e tra n s fe r e n c ia d e fre c u e n c ia ; e l d ia g ra m a d e B o d e p a r a s is te m a s d e un s o lo g r a d o d e lib e r ta d ; l a re s p u e s ta g ra d u a l y l a d e s c rip c ió n d e la re s p u e s ta tra n s ito ria , y lo s im p a c to s e lá s tic o s y n o e lá s tic o s . 5.
S e a g re g a ro n 128 e je m p lo s . 160 p r o b le m a s , 7 0 p r e g u n ta s d e re p a s o y 1 0 7 ilu s tra c io n e s .
6.
S e e lim in a r o n lo s e je m p lo s y p ro b le m a s b a s a d o s e n lo s p r o g r a m a s C + + y F o r tr a n , q u e e n l a e d ic ió n a n te r io r se p re s e n ta b a n a l fin a l d e c a d a c a p ítu lo .
C a ra c t e r ís tic a s s o b re s a lie n te s d e l libro •
C a d a t e m a d e e s te lib ro e s in d e p e n d ie n te ; to d o s lo s c o n c e p to s s e e x p lic a n p e r fe c ta m e n te y l a s d e r iv a c io n e s s e p re s e n ta n c o n t o d o s s u s d e ta lle s .
•
A lo la r g o d e l te x to se r e c a lc a n lo s a s p e c to s d e c á lc u lo a s is tid o s p o r c o m p u ta d o ra . E n l a ú ltim a se c ció n d e c a d a c a p ítu lo e n c o n tra rá e je m p lo s b a s a d o s e n M A T L A B , a s í c o m o v a rio s p ro g ra m a s M A T L A B d e u s o g e n era l c o n e je m p lo s ilu s tra tiv o s .
•
A lg u n o s te m a s s e p r e s e n ta n d e u n a fo rm a u n ta n to n o c o n v e n c io n a l; e n p a r tic u la r e n l o s c a p ítu lo s 8 . 1 0 y 11. L a m a y o r ía d e lo s lib ro s d e te x to a b o rd a n lo s p u n to s d e lo s a is la d o r e s , l o s a b s o rb e d o re s y e l b a la n c e o e n c a p ítu lo s d ife re n te s . S in e m b a rg o , d a d o q u e u n o d e l o s o b je tiv o s p rin c ip a le s d e l e s t u d io d e l a s v ib ra c io n e s e s c o n tr o la r la re s p u e s ta a é s ta s , to d o s lo s te m a s re la c io n a d o s c o n e l c o n tro l d e l a v ib ra c ió n se p r e s e n ta n e n e l c a p ítu lo 8. L o s in s tr u m e n to s d e m e d ic ió n d e v ib ra c ió n , j u n t o c o n lo s e x c ita d o r e s d e v ib ra c ió n , e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is m o d a l e x p e r im e n ta l y e l m o n ito rc o d e la c o n d ic ió n d e m á q u in a s , e s tá n j u n t o s e n e l c a p ítu lo 10 ( e n e l s itio w e b ) . A s im is m o , t o d o s l o s m é to d o s d e in te g ra c ió n n u m é ric a a p lic a b le s a s is te m a s d e u n o y v a r io s g r a d o s d e lib e rta d , a l ig u a l q u e lo s s is te m a s c o n tin u o s , s e e n c u e n tra n e n e l c a p ítu lo 11 ( e n e l s itio w e b ).
www.FreeLibros.me
xiv
P refa cio
O tra s c a ra c te rís tic a s s o b re s a lie n te s s o n la s s ig u ie n te s : •
M á s d e 2 4 0 e je m p lo s ilu s tra tiv o s p a r a c o m p le m e n ta r l a m a y o r ía d e l o s te m a s .
•
M á s d e 9 8 0 p r e g u n ta s d e re p a s o p a r a q u e l o s e s tu d ia n te s rev is e n y p r u e b e n s u c o m p re n s ió n d e l te x to . E s ta s p r e g u n ta s s o n d e d ife re n te s tip o s : d e o p c ió n m ú ltip le , c o n r e s p u e s ta s b re v e s , d e v e r d a d e ro o fa ls o ; d e c o r re s p o n d e n c ia d e d e s c rip c io n e s , y d e c o m p le ta r e s p a c io s e n b la n c o .
•
C a d a c a p ítu lo o f r e c e u n e x te n s o c o n ju n to d e p ro b le m a s (m á s d e 1150 e n to d o e l lib ro ) q u e re s a lta n v a ria s a p lic a c io n e s d e l m a te ria l e x p lic a d o e n e l te x to . ( L a s r e s p u e s ta s s e p ro p o r c io n a n e n e l d e s o lu c io n e s p a r a e l p ro fe s o r) .
•
A l final d e a lg u n o s c a p ítu lo s s e p re s e n ta n p ro b le m a s d e l tip o p r o y e c to d e d is e ñ o (m á s d e 3 0 a lo la r g o d e l te x to ) ,
•
M á s d e 2 5 p r o g r a m a s M A T L A B p a ra a y u d a r a l o s e s tu d ia n te s e n la im p le m c n ta c ió n n u m é ric a d e los m é to d o s e s t u
•
In f o r m a c ió n b io g r á fic a ( a l in ic io d e c a d a c a p ítu lo y e n lo s a p é n d ic e s ) d e a lr e d e d o r d e 2 0 c ie n tíf ic o s e in g e n ie r o s q u e c o n trib u y e ro n a l d e s a rro llo d e la te o r ía d e v ib ra c io n e s .
m u c h o s s i n s o lu c ió n ú n ic a . d ia d o s e n e l te x to .
L o s p r o g r a m a s M A T L A B y l a s re s p u e s ta s a lo s p r o b le m a s y a la s p r e g u n ta s d e re p a s o q u e s e p r e s e n ta n e n e l te x to se e n c u e n tra n d is p o n ib le s p a r a lo s p r o f e s o re s e n e l s itio w e b d e e s t e l ib r o e n w v v w .p e a r s o n c d u c a c io n .n c t/r a o . El M a n u a l d e s o lu c io n e s d e to d o s lo s p r o b le m a s y s u g e r e n c ia s p a r a d i s e ñ a r p r o y e c to s e s tá d is p o n ib le p a r a lo s p r o f e s o re s q u e a d o p te n e s t e l ib r o c o m o t e x t o e n su s c u r s o s . C o n s u lte a s u re p re s e n ta n te d e P c a rs o n .
U n id a d e s y n o ta c ió n E n los e je m p lo s y p r o b le m a s d e e s t e l ib r o h e m o s u tiliz a d o ta n to u n id a d e s d e l S is te m a In te rn a c io n a l ( S I ) c o rn o d e l S is te m a I n g lé s . D e s p u é s d e l o s R e c o n o c im ie n to s a p a r e c e u n a lis ta d e s ím b o lo s j u n to c o n l a s u n id a d e s a s o c ia d a s e n e s t o s s i s t e m as. E n e l A p é n d ic e E s e a n a liz a b r e v e m e n te l a a p lic a c ió n d e la s u n id a d e s S I e n e l c a m p o d e la s v ib ra c io n e s . H e m o s u ti liz a d o f le c h a s s o b re lo s s ím b o lo s p a r a in d ic a r lo s v e c to r e s d e c o lu m n a y p a r é n te s is r e c ta n g u la r e s (c o rc h e te s ) p a r a in d ic a r la s m a tric e s.
O r g a n iz a c ió n d e l m a te ria l E s te l ib r o e s t á o rg a n iz a d o e n 8 c a p ítu lo s . A d ic io n a lm e n te e n e l s i t i o w e b e n c o n tr a rá m a te ria l e n e sp a ñ o l s o b r e te m a s a v a n z a d o s d e v ib ra c io n e s m e c á n ic a s (c a p ítu lo s 9 a 12) y a p é n d ic e s ( ta m b ié n e n e sp a ñ o l), a s í c o m o u n p a r d e c a p ítu lo s e n in g lés (1 3 y 14 ). S e a s u m e q u e e l le c to r tie n e c o n o c im ie n to s b á sic o s s o b re e s tá tic a , d in á m ic a , r e s is te n c ia d e m a te ria le s y e c u a c io n e s d ife re n c ia le s . A u n c u a n d o e s d e s e a b le u n c ie r to c o n o c im ie n to d e l a te o ría d e m a tric e s y l a tra n s fo rm a d a d e L a p la c c , e n los a p é n d ic e s C y D (e n e l s itio w e b ) s e h a c e u n re p a so g e n e ra l d e e s to s te m a s. H c a p ítu lo 1 in ic ia c o n u n a b re v e s e m b la n z a d e l a h is to r ia e im p o rta n c ia d e l a s v ib r a c io n e s , y a b o r d a e l m o d e la d o d e s is te m a s p r á c tic o s p a r a e l a n á lis is d e l a v ib ra c ió n j u n t o c o n l o s d iv e r s o s p a s o s im p lic a d o s . S e d e s c rib e n la s p a ite s e le m e n ta le s d e un s is te m a s o m e tid o a v ib r a c ió n , c o m o s o n r i g id e z , a m o rtig u a m ie n to y m a s a ( in e r c ia ) . S e p re s e n ta n l o s c o n c e p to s b á s ic o s y la te r m in o lo g ía q u e s e u tiliz a e n e l a n á lis is d e v ib r a c io n e s . E l c a p ítu lo 2 a b o rd a l a v ib ra c ió n lib r e d e s is te m a s d e un s o lo g r a d o d e lib e r ta d s o m e tid o s a tra s la c ió n y to rs ió n v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o s y n o a m o rtig u a d o s . S e a n a liz a , a d e m á s , la re p re s e n ta c ió n g r á fic a d e la s r a íc e s c a ra c te rís tic a s y l a s s o lu c io n e s c o r re s p o n d ie n te s , la s v a ria c io n e s d e p a rá m e tro y las re p re s e n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tric o d e la s r a íc e s . A u n c u a n d o e l m é to d o d e l lu g a r g e o m é tric o d e l a s r a íc e s s e u tiliz a e n s is te m a s d e c o n tr o l, s u u s o e n l a v ib ra c ió n s e i lu s tr a e n e s te c a p ítu lo . T a m b ié n s e c o n s id e r a l a r e s p u e s ta b a jo a m o r tig u a c ió n h is te r é tic a y d e C o u lo m b . E n e l c a p ítu lo 3 s e e s tu d ia n la s r e s p u e s ta s a m o r tig u a d a y n o a m o r tig u a d a d e s is te m a s d e u n so lo g ra d o d e lib e rta d a e x c ita c io n e s a r m ó n ic a s . S e d e lin e a n lo s c o n c e p to s d e fu e rz a y tra n s m is ib ilid a d e s d e d e s p la z a m ie n to y su a p lic a c ió n e n s is te m a s p rá c tic o s . T a m b i é n s e p r e s e n ta e l m é to d o d e f u n c ió n d e tr a n s f e r e n c ia , la s o lu c ió n m e d ia n te la tra n s f o rm a d a d e L a p la c c d e p r o b le m a s d e v ib ra c ió n f o r z a d a , la r e s p u e s ta d e fre c u e n c ia y e l d ia g r a m a d e B o d e . El c a p ítu lo 4 s e o c u p a d e l a r e s p u e s ta d e u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d b a jo u n a fu n c ió n f o r z a d a g e n e ra l. L o s ro le s d e l a e x p a n s ió n d e l a s e r ie d e F o u r ie r d e u n a fu n c ió n p e rió d ic a , l a in te g ra l d e c o n v o lu c ió n . l a tra n s f o rm a d a d e L a p la c c y lo s m é to d o s n u m é r ic o s s e d e s c rib e n c o n e je m p lo s ilu s tra tiv o s . T a m b ié n s e a n a liz a l a e s p e c if ic a c ió n d e l a r e s p u e s ta d e un
www.FreeLibros.me
P refacio
xv
s is te m a s u b a m o r tig u a d o e n f u n c ió n d e tie m p o p ic o , tie m p o d e e le v a c i ó n y tie m p o d e a s e n ta m ie n to . E n e l c a p ítu lo 5 se c o n s id e ra l a v ib ra c ió n lib re y fo rz a d a d e s is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib e rta d . S e a n a liz a l a v ib ra c ió n a u lo c x c ita d a y la e s t a b i lid a d d e l s is te m a . E l m é to d o d e l a f u n c ió n d e tra n s f e re n c ia y la s o lu c ió n p o r m e d io d e l a tra n s f o rm a d a d e L a p la c c ta m b ié n s e p r e s e n ta n c o n e je m p lo s ilu s tr a tiv o s . E n d c a p ítu lo 6 v e r e m o s l a v ib ra c ió n d e s is te m a s d e v a r io s g ra d o s d e lib e rta d y lo s m é to d o s d e a n á lis is m a t r í d a l e s q u e s e u tiliz a n p a ra p r e s e n ta r la te o ría . E n e s t e m is m o c a p ítu lo s e d e s c rib e e l p ro c e d im ie n to d e a n á lis is m o d a l p a r a la s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e v ib ra c ió n fo rz a d a . L o s d iv e r s o s m é to d o s p a ra d e te r m in a r fre c u e n c ia s n a tu ra le s y f o r m a s d e m o d o d e s is te m a s d is c r e to s se d e lin e a n e n e l c a p ítu lo 7 . L o s m é to d o s d e D u n k e r ie y . R a y le ig h , H o lz e r, J a c o b i e ite r a c io n e s m a t r í d a l e s s e e x p lic a n a p o r ta n d o e je m p lo s n u m é ric o s . E l c a p ítu lo 8 a b o r d a lo s d iv e r s o s a s p e c to s d e c o n tro l d e v ib r a c ió n , e n tre e l l o s l o s p ro b le m a s d e e li m in a d ó n . a is la m ie n to y a b s o rc ió n . El n o m ó g r a fo d e v i b r a d ó n y lo s c r ite r io s d e v i b r a d ó n . lo s c u a l e s in d ic a n los n iv e le s a c e p ta b le s d e v ib r a c ió n , ta m b ié n s e p r e s e n ta n a q u í. El b a la n c e o d e m á q u in a s ro ta to ria s y r e c ip ro c a n te s y la fo r m a c ió n d e re m o lin o s d e f le c h a s s e c o n s id e r a n . T a m b ié n s e d e s c rib e n l a s té c n ic a s d e c o n tro l a c tiv a s p a r a c o n tr o la r l a re s p u e s ta d e s is te m a s v ib ra to rio s. M a te ria l en e s p a ñ o l e n el s itio w eb M ie n tra s q u e l a s e c u a d o n e s d e m o v im ie n to d e s is te m a s d is c r e to s a p a re c e n e n l a f o r m a d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d i n a ria s . l a s d e lo s s is te m a s c o n tin u o s y d is tr ib u id o s a p a r e c e n e n la fo rm a d e e c u a c io n e s d i f e r e n d a l e s p a r d a l e s . E l a n á lis is d e l a v ib ra c ió n d e s is te m a s c o n tin u o s , c o m o c u e r d a s , b a r ra s , fle c h a s , v ig a s y m e m b ra n a s , s e p r e s e n ta e n e l c a p ítu lo 9 . F.I m é to d o d e s e p a ra c ió n d e v a r ia b le s s e p r e s e n ta p a r a l a s o l u d ó n d e e c u a c io n e s d i f e r e n d a l e s p a r d a l e s a s o c ia d a s c o n s is te m a s c o n tin u o s . L o s m é to d o s d e R a y le ig h y R a y le ig h -R itz p a ra e n c o n tr a r l a s fre c u e n c ia s n a tu ra le s a p r o x im a d a s ta m b ié n se d e s c r ib e n c o n e je m p lo s . L o s m é to d o s e x p e r im e n ta le s q u e s e u tiliz a n p a r a m e d ir l a re s p u e s ta d e l a v ib ra c ió n s e c o n s id e r a n e n e l c a p ítu lo 10, y s e d e s c rib e n té c n ic a s d e a n á lis is d e s e ñ a le s y e l e q u ip o d e m e d i d ó n d e v i b r a d ó n . T a m b ié n s e p re s e n ta n té c n ic a s d e m o n ito rc o y d ia g n ó s tic o d e l a c o n d ic ió n d e m á q u in a s. E l c a p ítu lo 11 p re s e n ta v a r ia s té c n ic a s d e in te g r a c ió n n u m é ric a s p a r a d e te r m in a r l a re s p u e s ta d in á m ic a d e s is te m a s d is c r e to s y c o n tin u o s . S e a n a liz a n e ilu s tr a n lo s m é to d o s d e d if e r e n c ia c e n tr a l, l o s d e R u n g c - K u tta . H o u b o lt. W ils o n y N e w m a rk . E l a n á lis is d e d e m e n t o s fin ito s , c o n a p lic a c io n e s q u e im p lic a n e le m e n to s u n id im e n s io n a le s , s e a b o r d a e n e l c a p ítu lo 12 . S e u tiliz a n e le m e n to s d e b a r r a , v a rilla y v ig a p a r a e l a n á lis is e s tá tic o y d in á m ic o d e a r m a d u r a s , v a rilla s s o m e tid a s a to rs ió n y v ig a s . E n e s te c a p ítu lo ta m b ié n s e a b o r d a e l u s o d e m a tric e s d e m a s a c o n c e n tr a d a y d e m a s a c o n s is te n te e n e l a n á lis is d e v ib ra c ió n . L o s p ro b le m a s d e v ib ra c ió n n o lin e a l re g id o s p o r e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s n o lin e a le s p re s e n ta n fe n ó m e n o s q u e n o a p a r e c e n e n lo s p ro b le m a s lin e a liz a d o s c o rre s p o n d ie n te s . l-o s a p é n d ic e s A y B s e e n f o c a n e n l a s re la c io n e s m a te m á tic a s y e n l a d e f le x ió n d e v ig a s y p la c a s . L o s fu n d a m e n to s d e l a te o r ía d e m a tr ic e s , la tra n s fo rm a d a d e I .a p la c e y l a s u n id a d e s S I s e tr a ta n e n lo s a p é n d ic e s C , D y E . P o r ú ltim o , el a p é n d ic e F o f r e c e u n a in tro d u c c ió n a l a p ro g r a m a c ió n c o n M A T I.A B . M a t e r i a l e n in g lé s e n e l s itio w e b E n e l c a p ítu lo 13 s e p ro p o r c io n a u n tr a ta m ie n to in tro d u c to r io d e v ib ra c ió n n o lin e a l, c o n u n a n á lis is d e o s c ila c io n e s s u b a rm ó n ic a s y s u p e r a n n ó n ic a s . c ic lo s lím ite , s is te m a s c o n c o e f ic ie n te s d e p e n d ie n te s d e l tie m p o y c a o s . L a v ib ra c ió n a le a to r ia d e s is te m a s d e v ib ra c ió n lin e a l s e c o n s id e ra e n e l c a p ítu lo 14. E n e s te c a p ítu lo ta m b ié n s e a p lic a n lo s c o n c e p to s d e p ro c e s o a le a to r io , p r o c e s o e s ta c io n a r io , d e n s id a d e sp e c tra l d e p o te n c ia , a s í c o m o a u to c o rre la c ió n y p r o c e s o s d e b a n d a a n c h a y a n g o s ta , s i n d e ja r d e c o n s id e r a r l a re s p u e s ta d e v ib ra c ió n a le a to ria d e s is te m a s d e u n o y v a r io s g r a d o s d e lib e rta d .
T e m a r i o típ ic o El l ib r o p r o p o r c io n a o p c io n e s f le x ib le s p a ra d if e r e n te s tip o s d e c u r s o s s o b re v ib ra c ió n . L o s c a p ítu lo s I a 5 , e l c a p ítu lo 8 . y p a rte s d e l 6 . c o n s titu y e n u n c u r s o b á s ic o d e v ib ra c ió n m e c á n ic a . P u e d e d a r s e d if e r e n te é n f a s is y o r ie n ta c ió n a l c u r o s i se h a c e u n a c o b e r tu r a a d ic io n a l d e d if e r e n te s c a p ítu lo s c o m o s e i n d ic a a c o n tin u a c ió n : •
El c a p ítu lo 9 p a r a s is te m a s c o n tin u o s o d is trib u id o s .
•
L os c a p ítu lo s 7 y 11 p a r a s o lu c io n e s n u m é ric a s .
•
El c a p ítu lo 12 p a ra a n á lis is d e e le m e n to s fin ito s.
www.FreeLibros.me
xv'i
P refa cio
Q u é e s p e r a r d e e s te c u rs o B m a te ria l q u e s e p re s e n ta e n e l te x to a y u d a a lo g ra r a lg u n o s d e lo s re s u lta d o s e s p e c ific a d o s p o r la A B E T ( A c c rc d ita tio n B o a rd fo r E n g in c c r in g a n d T e c h n o lo g y ): •
C a p a c id a d d e a p lic a r e l c o n o c im ie n to d e m a te m á tic a s , c ie n c ia e in g e n ie ría : E l t e m a d e v ib ra c ió n , tal c o m o s e p re s e n ta e n e l lib ro , a p lic a c o n o c im ie n to s d e m a te m á tic a s (e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s , á lg e b ra m a t r i d a l , m é to d o s v e c to r ia le s y n ú m e ro s c o m p le jo s ) y c i e n
•
c ia ( e s tá tic a y d in á m ic a ) p a r a r e s o lv e r p ro b le m a s d e v ib ra c ió n d e in g e n ie ría . C a p a c id a d d e id e n tific a r , fo r m u la r y re s o lv e r p ro b le m a s d e in g e n ie ría : N u m e r o s o s p r o b le m a s ilu s tr a tiv o s , p ro b le m a s d e p rá c tic a y p r o y e c to s d e d is e ñ o a y u d a n a l e s t u d ia n te a id e n tif ic a r v a r io s tip o s d e p ro b le m a s d e v ib ra c ió n p r á c tic o s y a d e s a rro lla r , a n a liz a r y re s o lv e r m o d e lo s m a te m á tic o s p a r a h a lla r l a re s p u e s ta c in te r p r e ta r lo s re s u lta d o s .
•
C a p a c id a d d e u tiliz a r la s té c n ic a s , h a b ilid a d e s y h e rra m ie n ta s m o d e rn a s n e c e s a ria s p a ra l a p r á c
•
L a ú ltim a s e c c ió n d e c a d a c a p ítu lo ilu s tr a l a a p lic a c ió n d e l m o d e r n o s o f tw a r e . M A T L A B . p a r a
tic a d e in g e n ie ría . la s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e v ib ra c ió n . L o s fu n d a m e n to s d e p ro g ra m a c ió n M A T L A B s e r e s u m e n e n e l a p é n d ic e F . •
B u s o d e la m o d e r n a té c n ic a d e a n á lis is , e l m é to d o d e l e le m e n to f in ito , p a r a l a s o lu c ió n d e p r o b le m a s d e v i b r a c ió n s e a b o r d a e n u n c a p ítu lo a p a rte ( c a p ítu lo 12). B m é to d o d e l o s e le m e n to s f in ito s e s u n a té c n ic a d e a m p lio u s o e n la in d u s tria d e l m o d e la d o , a n á lis is y s o lu c ió n d e s is te m a s v ib ra to r io s c o m p le jo s .
•
C a p a c id a d d e d is e ñ a r y re a liz a r e x p e r im e n to s , a s í c o m o d e a n a liz a r e in te r p r e ta r d a to s : L os m é to d o s e x p e r im e n ta le s y e l a n á lis is d e d a to s re la c io n a d o s c o n la v ib ra c ió n se p re s e n ta n en e l c a p ítu lo 10. T a m b ié n se a n a liz a e l e q u ip o q u e s e u tiliz a e n l a re a liz a c ió n d e e x p e rim e n to s (fc v ib ra c ió n , y s e a b o r d a e l a n á lis is d e s e ñ a le s e id e n tific a c ió n d e lo s p a r á m e tro s d e l s is te m a a p a r tir d e lo s d a to s .
www.FreeLibros.me
RECONOCIMIENTOS Q u is ie ra e x p r e s a r m i a g r a d e c im ie n lo a lo s m u c h o s e s tu d ia n te s , in v e s tig a d o re s y p ro fe s o r e s c u y o s c o n té n t a n o s m e h a n a y u d a d o a m e jo ra r e l lib ro . M e s ie n to s u m a m e n te a g r a d e c id o c o n la s s ig u ie n te s p e r s o n a s p o r s u s c o n té n t a n o s , s u g e re n c ia s e id e a s: A ra A r a b y a n . U n iv e rs ity o f A tiz o n a ; D a n ie l G ra n g e r , P o ly te c h n ic S c h o o l o f M o n tre a l. C a n a d á ; K .M . R a o . V .R .S . R n g in e e rin g C o lle g e V ija y a w a d a . In d ia ; K. S . S h iv a k u m a r A r a d h y a . G a s T u r b in e R e s e a rc h R s ta b lis h n te n t, B a n g a k tre . I n d ia ; D o n a ld G . G r a n t, U n iv e r s ity o f M a in e ; T o m T h o m t o n . A n a lis ta d e E s f u e rz o : A le ja n d ro J . R iv a s , A tiz o n a S ta te U n iv e rs ity : Q i n g G u o . U n iv e r s ity o f W a s h in g to n ; J a m e s M . W id m a n n . C a lifo r n ia D jly te c h n ic S ta te U n iv e rs ity ; G . Q . C a i, F lo rid a A tla n tic U n iv e r s ity ; R ic h a rd A le x a n d e r. T e x a s A & M U n iv e rs ity ; C . W . B c r t, U n iv e rs ity o f O k la h o m a ; R a y m o n d M . B r a c h . U n iv e rs ity o f N o tr c D a m e ; A lfo n s o D ia z -J im e n e z . U n iv e rs id a d D is trita l " F r a n c is c o J o s é d e C a ld a s " , C o lo m b ia ; G e o rg c D o y le , U n iv e rs ity o f D a y to n ; H a m id H a m id z a d e h . S o u th D a k o ta S ta te U n iv e rs ity ; H . N . H a s h c m i. N o r th c a s tc m U n iv e rs ity ; Z h ik u n H o u . W o r c h e s tc r P o ly te c h n ic I n s titu te ; J. R ic h a r d H o u g h to n . T c n n c s s e e T c c h n o lo g ic a l U n iv e rsity ; F a ry a r J a b b a r i , U n iv e rs ity o f C a lif o r n ia . I r v in c : R o b c rt J c f f c r s . U n iv e rs ity o f C o n n e c tic u t; R ic h a rd K c ltic . N o r th C a ro lin a S ta te U n iv e rsity ; J. S . L a m a n c u s a . P c n n s y lv a n ia S ta te U n iv e rs ity ; H a rry L a w . C lc m s o n U n iv e rs ity ; R o b c rt L c o n a r d . V i r g in ia P o ly te c h n ic In s titu te a n d S ta te U n iv e rs ity ; J a m e s L i. C o lu m b ia U n iv e rs ity ; S a m c c r M a d a n s h c tty . B o s to n U n iv e rsity ; M a s o u d M o jta h c d . P u r d u c U n iv e r s ity . C a lu m e t; F a is s a l A . M o s lc h y , U n iv e rs ity o f C e n tra l R o n d a ; M . G . P ra s a d . S tc v c n s In s titu te o f T e c h n o lo g y ; M o h á n D . R a o . M ic h ig a n T e c h ; A m ir G . R e z a e i. C a lif o rn ia S ta te P o ly te c h n ic U n iv e r s ity ; F . P . J. R im ro tt, U n iv e rs ity o f T o ro n to ; S u b h a s h S in h a , A u b u m U n iv e rsity ; D a n ie l S tu lts . U n iv e rs ity o f M is s o u ri-R o lla ; M a s s o u d T a v a k o li, G e o rg ia In stitu te o f T e c h n o lo g y ; T h e o d o re T e rry . L e h ig h U n iv e rsity ; D a v id F . T h o m p s o n , U n iv e rsity o f C in c in n a ti; C h u n g T s u i. U n iv e rs ity o f M a r y la n d . C o lle g e P a r k ; A le x a n d e r V a k a k is . U n iv e rs ity o f I llin o is . U r b a n a . C h a m p a ig n ; C h u c k V a n K a rs e n . M ic h ig a n T e c h n o lo g ic a l U n iv e rs ity ; A le k s a n d r a V in o g r a d o v . M o n ta n a S t a te U n iv e rs ity ; K . W . W a n g . P e n n s y lv a n ia S ta te U n iv e rs ity ; G lo r ia J. W ie n s . U n iv e rs ity o f R o n d a , y W illia m W e b s te r . G M I E n g in e e rin g a n d M a n a g e m e n t In s titu te . Q u ie ro d a r l a s g ra c ia s a l a U n iv e rs id a d d e P u rd u e p o r p e rm itirm e u tiliz a r e l B o ilc r m a k e r S p e c ia l e n e l p ro b le m a 2 .1 0 4 . M is s in c e ra s g ra c ia s a l D r. Q in g L iu p o r a y u d a n n e a e s c r ib ir a lg u n o s d e lo s p r o g r a m a s M A T L A B . P o r ú ltim o , d e s e o d a rle la s g ra c ia s a m i e s p o s a , K a m a la . s in c u y a p a c ie n c ia , m o tiv a c ió n y a p o y o e s t a e d ic ió n n u n c a s e h u b ie r a p o d id o te r m in a r.
S 1 N G IR E S U S . R A O s ra o @ m ia m i.e d u
www.FreeLibros.me
LISTA DE SÍMBOLOS
Sím bolo a , do*ai
Significado .
a'J [a] A A . í 4 o , í 4 |, . . .
S iste m a inglés
S iste m a In tern acio n al
constantes, longitudes coeficiente d e flexibilidad m atriz d e flexibilidad
pulg/lb
á re a
pulg2
m/N tn/N
constantes
b ,b \,b 2, . . .
constantes, longitudes
B
constantes peso de balan ceo
Ib
N
coeficiente d e am ortiguación viscosa
Ib-s/pulg
N -s/m
c,C c . co. c i , c j , . . .
constantes
c
velocidad de o n d a
pulg/s
m/s
Cc
constante d e am ortiguación viscosa c ritic a constante d e am ortiguación del am ortiguador r-ósimo
Ib-s/pulg Ib-s/pulg
N -s/m
CU [c]
coeficiente d e am ortiguación
Ib-s/pulg
N - s /m N - s /m
m atriz d e am ortiguación
Ib-s/pulg
N - s /m
c , c „ c 2.c i , c i
constantes diám etro , dim ensión
pulg
m
diám etro
pulg
m
m atriz dinám ica
s2
sJ
excentricidad vectores unitarios paralelos a las d irec cio n e sx y y
pulg
m
E
M ódulo d e Y o u n g
b /p u lg 2
Pa
E[x)
valor esperado d e x
f
frecuencia lineal
Hz
Hz
f
fuerza por unidad d e longitud
b /p u lg
N/m
/ ./
im pulso unitario fuerza
Ib-s Ib
N -s N
am plitud d e fuerza F (i)
Ib
N
d D [D]
base d e logaritm os naturales
www.FreeLibros.me
Lista d e s ím b o lo s
Sím bolo
Significado
Sistem a inglés
Sistem a Internacional
Fu Ft F, F
fuerza transm itida
Ib
N
d i e r a q u e actúa en la m asa i-ésim a
Ib
N
vector d e fuerza
F .F
impulso aceleración d ebida a la gravedad
Ib Ib-s
N N -s
fulg/s*
m /s 2
8 8 (0 G h
túnción d e resp u esta a l impulso Ib/pulg-
N /m 2
Ib/pulg
N/m
pxilg*
m4
m om ento p o lar d e inercia
[Xllg«
m4
m om ento d e inercia d e masa
b -p u lg /s2
k g -m 2
M *,
constante d e resorte constante d e resorte d e l reso rte ¿-¿simo
Ib/pulg Ib/pulg
N/m N/m
*,
constante d e resorte torsional coeficiente d e rigidez
b -p u lg /ra d Ib/pulg
N-m /rad
m atriz d e rigidez
Ib/pulg
N/m
Ui ftx, /n
longitud masa
F*ilg lb-s2/pulg
m
m,
masa /-¿sim a
Ib -sty u lg
kg kg
m ij |m ]
coeficiente d e masa m atriz d e masa
lb-s74>ulg lb-s24>ulg
kg
M
masa
Ib -sty u lg
M
m om ento d e flexión
b -p u lg
kg kg N • ni
M ¡, M jj, M , ; , . . .
par d e torsión
b -p u lg
N Mil
am plitud d e M ,(l)
b -p u lg
N •m
H (to ) i / 11) Im() j J
*/> 1*1
« ,0 n n
módulo d e cortante constante d e am ortiguación d e histéresis función d e respuesta d e frecuencia V h m om ento d e inercia d e área m atriz identidad parte im aginaria d e 0 entero
un entero o í m ero d e grados d e libertad
N
tuerza norm al
Ib
N
total d e escalones de tiem po presión
Ib/pulg2
P p (x ) P (x )
N /m 2
túnción d e distribución d e probabilidad d e x túerza. tensión
Qj
coordenada generalizada / ¿ s im a
r
N
túnción d e densidad d e probabilidad d e x
P q -i q Q,4 r
N/m
Ib
N
vector d e desplazam ientos generalizados vector d e velocidades generalizadas f u e r a generalizaday'-csim a relación d e frecuencia = io/tun vector radio
F«lg
www.FreeLibros.me
m
xix
xx
L ista d e sím b o lo s
Símbolo
Significado
Sistem a inglés
Sistem a Internacional
* () R (r)
parte real d e ( )
R R
resistencia eléctrica función d e disipación d e R ayleigh
ohm lb-pulg/s
N -m /s
R
l/s 2
l/s 2
s s „ s d, s F
cociente d e R ayleigh raíz d e ecu ació n , variable d e Laplace aceleración, desplazam iento, espectro d e velocidad
S J as)
espectro d e x
I
tiem po
s
s
h T
estación d e tiem po /-ésim o
s
s
por d e torsión
Ib-pulg
N-m
T
energía cinética
pulg-lb
J
T,
energía cinética d e la m asa i-ésim a
pulg-lb
J
Td.T f
desplazam iento, transm isibilidad d e fuerza un elem ento d e m atriz [U] desplazam iento axial
pulg
m
energía potencial
pulg-lb Ib
J N
[U]
peso dcsbalanccado m atriz triangular superior
V , V0
velocidad lineal
pulg/s
V
fuerza co rtan te
Ib
m/s N
V
energía potencial
pulg-lb
J
Vi w , w „ w J,o)i
energía potencial d e l resorte i-ósim o
pulg-lb
deflexiones transversales
pulg
J m
**0
valor d e w cu an d o r = 0
pulg
”0
valor d e w cuando i = 0
pulg/s
w» IV
tro d o enésim o d e vibración
U¡J U .U i u u
función d e autocorrelación
m m/s
peso d e una m asa energía total
Ib pulg-lb
N
deflexión transversal
pulg
m
W; W(x)
valor d e W c u a n d o i = /,
pulg
m
x ,y > z *0. * ( 0 )
coordenadas cartesianas, desplazam ientos valor d e x cu an d o / ■ 0
pulg pulg
•to. ¿ ( 0 )
valor d e x cu an d o / ■ 0
pulg/s
XJ
desplazam iento d e la m asa j-é s im a
pulg
m/s m
XJ xí U
valor d e x cu an d o i = valor d e x cu an d o i = ij
pulg pulg/s
m/s
porte hom ogénea d e x (i)
pulg
xj x
porte p articular d e x ( i)
pulg
v ector de desplazam ientos
pulg
m
valor d e
pulg
m
pulg/s pulg/s3
m/s
IV IV
II %
J
una función d e x
cu an d o / =
valor d e * cu an d o t = /, valor d e x cu an d o i = it
www.FreeLibros.me
m /s 2
Lista d e s ím b o lo s
«Símbolo
Significado
S iste m a inglés
S iste m a In tern acio n al
m odo i-csim o X
am plitud d e *(/) am plitud d e x / í)
Hg F*>'g
m ni
\c c to r m odal /-¿sim o
pu'g
m
com ponente /-¿sim o de m odo /'-¿sim o m atriz m odal
pulg PU'g
m in
desplazam iento d e base
F u 'g
m
am plitud d e >)
Fulg
m
z
desplazam iento relativo, x - y
F«lg
z
am plitud d e z(r)
m m
Z ( to ) a
F«'g Ib/pulg
N/m
ángulo, constante
p * o específico
lh/pulg?
N /m 3
(te re m e n tó logarítm ico deflexiones
P“ lg
ni
pulg
m
Ib
N
P*
s
desplazam iento angular /-¿sim o
rad
rad
0c u a n d o / = 0 0c u a n d o 1 = 0 am plitud d e 0 (í)
rad rad/s
rad
XJ jf ( 0 x¡» [X] x. y Y
P P y s 5 |,
«V A
aproxim ación r-ésim a a un m odo
im pedancia m ecánica ángulo, constante constante d e am ortiguam iento de histercsis
deflexión estática delta K ronecker
AF
determ inante increm ento d e F
A.r
increm ento d e x
Aí AH'
increm ento d e l tiem po t
p e
crerg ía d isipada en un ciclo deform ación iclación d e am ortiguam iento
0
constante, desplazam iento angular
Oo ¿0v
o e, A fA] n u• Mi
J
u ta pequeña cantidad
i 0,
m
\a lo r d e valor d e
rad rad
am plitud d e 0,(t) valor c ig e a ■ I/tu2
rad/s rad
s2
rad y s-
lb-s/pulg2
k g /m -s
Ib-styulg*
k g /m 3
Ib/pulg2 s
s
m atriz d e transform ación viscosidad d e un fluido coeficiente d e fricción \a lo r esperado d e x
P V
e tn sid a d d e masa tactor de pérdida
ax (T
d e v ia c ió n e stán d a r de x esfuerzo
T
periodo d e oscilación, tiem po, constante d e tiempo
www.FreeLibros.me
N /m 2
xxi
x x ii
L ista d e sím b o lo s
Sím bolo
Significado
Sistem a in glés
Sistem as Internacional
lb/pulg2
N /m
ángulo de fase e n e l m odo /-¿sim o
rad rad
rad
(O
frecuencia d e oscilación
rad/s
rad/s
0),
frecuencia natural /-¿sim a
rad/s
frecuencia natural frecuencia d e vibración am ortiguada
rad/s rad/s
rad/s rad/s
r
esfuerzo cortante ángulo, ángulo d e fase
>
S u b í n d ic e s Sím bolo en
Significado va lo r crítico
eq
valor equivalente
1 L
v a lo r /-¿sim o
máx n
va lo r m áxim o correspondiente a la frecuencia natural
R
plano d erecho
0
valor específico o d e referencia torsional
plano izquierdo
1
O p e r a c io n e s Sím bolo
Significado d i)
O
di d 2( )
0
d ,2
_* (
)
vector colum na < )
[]
m atriz
i r '
inversa d e ( J
[ f
transpuesta d e l )
A ()
increm ento d e ( )
*< )
transform ada d e L aplacc d e ( )
! T '( )
transform ada in v ersa d e L aplacc < )
www.FreeLibros.me
rad
rad/s
www.FreeLibros.me
CAPÍTULO I F u n d a m e n to s d e v ib ra c ió n
E s te a s tró n o m o ita lia n o , filó s o fo y p r o f e s o r d e m a te m á tic a s e n la s u n iv e rs id a d e s d e R s a y P a d u a , fu e , e n 1 6 0 9 , e l p r im e r h o m b re q u e a p u n tó u n te le s c o p io h a c ia e l c ie lo . E n 1 5 9 0 . e s c rib ió e l p r im e r tra ta d o d e d in á m ic a m o d e rn a . S u s o b r a s re s p e c to a la s (B c ila c io n c s d e un p é n d u lo s im p le y l a v i b r a c ió n d e l a s c u e r d a s s o n d e im p o r ta n c ia fu n d a m e n ta l e n l a te o rfa d e l a s v ib ra c io n e s . (C o rte s ía d e D irk J. S tr u ik , A C o n c is e H is to r y o f M a l h e m a l ¡e s ( 2 a . e d . r e v .) , D o v e r P u b lic a tio n s , I n c ., N u e v a Y o r k . 1948].
Galileo Cali leí (1564-1642)
E s q u e m a d e l c a p ítu lo O bjetiv o s d e aprendizaje 3
1.10
M ovim iento arm ónico 51
l .l
C o m en ta rio s prelim inares 3
l .l 1
Anáfisis arm ónico 61
1.2
Breve h istoria d e l estu d io d e b vibración 4
1.12
Ejem plos re su e lto s utilizando MATLAB 72
1.3
Im portancia del estu d io d e b vfcración 10
1.13
L iteratura a cerca d e b vfcración 75
1.4
C o n c ep to s básicos d e b vibración 13
15
C b slfk a ció n d e b vibración 16
Referencias 76
1.6
Procedim iento d e l análisis d e b vfcración 17
P re g u n tas d e re p aso 78
1.7
E lem entos d e r e s o r te 21
P ro b lem as 81
1.8
Elem entos d e m asa o inercia 37
P ro y e c to s d e diserto 111
1.9
Elem entos d e am ortiguam iento 42
2
www.FreeLibros.me
R esum en del capitulo 76
1.1
C o m e n ta r io s p r e lim in a r e s
3
E s te c a p ítu lo p r e s e n ta e l t e m a d e l a s v ib ra c io n e s e n u n a fo rm a r e la tiv a m e n te s e n c illa . E m p ie z a c o n u n a b r e v e h is to r ia d e l t e m a y lu e g o p re s e n ta u n e x a m e n d e l a im p o rta n c ia d e la v ib ra c ió n . L o s c o n c e p to s b á s ic o s d e g r a d a s d e lib e r ta d y d e s is te m a s c o n tin u o s y d is c r e to s s e o fr e c e n j u n to c o n u n a d e s c rip c ió n d e la s p a r te s e le m e n ta le s d e l o s s is te m a s v ib ra to rio s . S e in d ic a n l a s d iv e r s a s c la s if ic a c io n e s d e v ib r a c ió n , a s a b e r v i b r a c ió n lib re y fo rz a d a ; v ib ra c ió n n o a m o r tig u a d a y a m o r ti g u a d a ; v ib ra c ió n lin e a l y n o lin e a l, y v ib ra c ió n d e te r m in ís tic a y a le a to r ia . S e d e lin e a n y p re s e n ta n a s im is m o la s d e fin ic io n e s y l o s c o n c e p to s e s e n c ia le s d e v ib ra c ió n . S e d e s c r ib e e l c o n c e p to d e m o v im ie n to a rm ó n ic o y s u re p re s e n ta c ió n p o r m e d io d e v e c to r e s y n ú m e ro s c o m p le jo s . S e a p o rta n l a s d e f in ic io n e s y te r m in o lo g ía b á s ic a s c o m o c i c l o , a m p litu d , p e r io d o . fre c u e n c ia , á n g u lo d e f a s e y fre c u e n c ia n a tu ra l, re la c io n a d a s c o n e l m o v im ie n to a r m ó n ic o . A l fin a l s e d e s c rib e e l a n á lis is a r m ó n ic o , q u e t ie n e q u e v e r c o n la re p re s e n ta c ió n d e c u a lq u ie r fu n c ió n p e rió d ic a e n té rm in o s d e fu n c io n e s a rm ó n ic a s , u tiliz a n d o l a s e r ie d e F o u r ie r . A s im is m o , s e a n a l i z a n e n d e ta lle lo s c o n c e p to s d e e s p e c tr o d e fre c u e n c ia , re p re s e n ta c io n e s e n e l d o m in io d e l tie m p o y fr e c u e n c ia d e fu n c io n e s p e rió d ic a s , a s í c o m o la s e x p a n s io n e s d e m e d ia n o in te r v a lo y e l c á lc u lo n u m é ric o d e c o e fic ie n te s d e F o u rie r.
O b je tiv o s d e a p re n d iza je A l te r m in a r e s t e c a p ítu lo , u s te d d e b e r á s e r c a p a z d e re a liz a r l o s ig u ie n te :
1.1
•
D e s c rib ir b re v e m e n te l a h is to ria d e l a v ib ra c ió n .
•
In d ic a r la im p o r ta n c ia d e l e s tu d io d e la v ib r a c ió n .
•
P ro p o rc io n a r v a ria s c la s ific a c io n e s d e l a v ib ra c ió n .
•
E n u n c ia r lo s p a s o s im p lic a d o s e n e l a n á lis is d e l a v ib r a c ió n .
•
C a lc u la r lo s v a lo r e s d e c o n s ta n te s d e r e s o r t e , m a s a s y c o n s ta n te s d e a m o rtig u a m ie n to .
•
D e fin ir e l m o v im ie n to a rm ó n ic o y d ife re n te s p o sib le s re p re se n ta c io n e s d e m o v im ie n to a rm ó n ico .
•
S u m a r y r e s t a r m o v im ie n to s a r m ó n ic o s .
•
R e a liz a r l a e x p a n s ió n d e l a s e rie d e F o u r ie r d e fu n c io n e s p e rió d ic a s d a d a s .
•
D e te rm in a r lo s c o e f ic ie n te s d e F o u r ie r n u m é r ic a m e n te , a p lic a n d o e l p r o g r a m a M A T L A B .
C o m e n t a r io s p r e lim in a r e s El te m a d e l a v ib ra c ió n s e p re s e n ta a q u í e n u n a fo rm a re la tiv a m e n te se n c illa . E l c a p ítu lo e m p ie z a c o n u n a b re v e h is to ria d e l a v ib ra c ió n y c o n tin ú a c o n u n e x a m e n d e s u im p o rta n c ia . S e p e rfila n lo s d iv e rs o s p a so s q u e in te rv ie n e n e n e l a n á lisis d e l a v ib ra c ió n d e un s is te m a d e in g e n ie ría y s e p re se n ta n la s d e fin ic io n e s y c o n c e p to s e s e n c ia le s d e l a v ib ra c ió n . A q u í a p re n d e m o s q u e to d o s lo s s is te m a s m e c á n ic o s y e stru c tu ra le s s e p u e d e n m o d e la r c o m o s is te m a s d e m a s a -re so rte -a m o rtig u a d o r. E n a lg u n o s siste m a s, c o m o e n un a u to m ó v il, l a m asa, e l r e s o n é y e l a m o rtig u a d o r s e p u e d e n id e n tific a r c o m o c o m p o n e n te s s e p a ra d o s ( la m a s a e n l a fo rm a d e l c u e rp o , e l re s o rte e n la s u s p e n s ió n y e l a m o rtig u a d o r e n l a fo rm a d e lo s a m o rtig u a d o re s). E n a lg u n o s c a s o s , l a m a s a , e l r e s o r te y el a m o rtig u a d o r no a p a r e c e n c o m o c o m p o n e n te s d is tin to s , p u e s s o n in h e re n te s c in te g ra le s a l s iste m a . P o r e je m p lo , e n e l a la d e u n a v ió n , l a m a s a e s t á d is trib u id a e n to d a e l a l a In c lu s o , d e b id o a s u e la s tic id a d , e l a la e x p e rim e n ta u n a n o ta b le d e fo rm a c ió n d u r a n te e l v u e lo , d e m o d o q u e p u e d e m o d e la rse c o m o u n re so rte . A d e m á s , la d e fle x ió n d e l a la in tro d u c e u n e f e c to d e a m o rtig u a m ie n to p ro d u c id o p o r e l m o v im ie n to re la tiv o e n tre c o m p o n e n te s c o m o j u n ta s , c o n e x io n e s y s o p o rte s , al ig u a l q u e la fric c ió n in te rn a p ro d u c id a p o r d e fe c to s m ic ro e s tru c tu ra le s d e l m a te ria l. E n el c a p ítu lo s e d e s c rib e e l m o d e la d o d e e le m e n to s d e re so rte .
www.FreeLibros.me
4
C a p ítu lo 1
F u n d a m e n to s d e vib ra ció n m a s a y a m o rtig u a m ie n to , s u s c a ra c te rís tic a s y la c o m b in a c ió n d e v a rio s r e s o rte s , m a s a s o e le m e n to s (fc a m o r tig u a m ie n to q u e a p a r e c e n e n un s is te m a . D e a l l í s e d e r iv a u n a p re s e n ta c ió n d e l c o n c e p to d e a n á lisis a r m ó n ic o , e l c u a l p u e d e u tiliz a r s e p a r a e l a n á lis is d e m o v im ie n to s p e r ió d ic o s g e n e ra le s . E n este c a p ítu lo n o s e p re te n d e a g o ta r lo s te m a s ; lo s c a p ítu lo s s ig u ie n te s d e s a rr o lla r á n c o n m á s d e ta lle m u c h a s d e la s id e a s.
2
B r e v e h isto ria d e l e s tu d io d e la v ib ra c ió n H in te r é s e n l a v ib ra c ió n s u r g e c u a n d o s e c r e a n lo s p r im e r o s in s tru m e n to s m u s ic a le s , p r o b a b le m e n te s ilb a to s o ta m b o r e s . D e s d e e n to n c e s , ta n to m ú s ic o s c o m o filó s o f o s h a n b u s c a d o l a s r e g la s y
O r íg e n e s del e s tu d io d e la v ib r a c ió n
fas le y e s d e l a p ro d u c c ió n d e l s o n i d o , la s h a n u tiliz a d o p a r a m e jo r a r lo s in s tr u m e n to s m u s ic a le s , y la s h a n p a s a d o d e g e n e r a c ió n e n g e n e r a c ió n . Y a e n e l a ñ o 4 0 0 0 a .C . [ I . I ] . l a m ú s ic a h a b ía a lc a n ¿ ad o u n a lto n iv e l d e d e s a rro llo y e r a m u y a p r e c ia d a p o r c h in o s , h in d ú e s , j a p o n e s e s y . q u iz á , los e g ip c io s . E s to s p u e b lo s a n tig u o s o b s e rv a ro n c ie r ta s r e g la s d e f in id a s q u e d e a lg u n a m a n e ra e s ta b a n re la c io n a d a s c o n e l a rte d e l a m ú s ic a , a u n q u e su c o n o c im ie n to n o lle g ó a n iv e l d e c ie n c ia . f e p ro b a b le q u e lo s in s tr u m e n to s m u s ic a le s d e c u e r d a s e h a y a n o r ig in a d o e n e l a r c o d e l c a z a d o r , a rm a f a v o re c id a p o r lo s e jé r c ito s d e l a n tig u o E g ip to . U n o d e lo s in s tr u m e n to s d e c u e r d a m á s p r im i tiv o s . l a n t m x a , s e p a r e c e a u n a i p a d e tr e s o c u a t r o c u e r d a s .y c a d a c u e r d a p ro d u c e s ó lo u n a n o ta ; e n d M u s e o B ritá n ic o s e e n c u e n tr a u n e je m p la r q u e d a ta d e 1 5 0 0 a ñ o s a .C . A h í m is m o s e e x h ib e un a rp a d e 1 1 c u e r d a s , d e c o r a d a e n o r o y c o n c a j a d e re s o n a n c ia e n f o r m a d e c a b e z a d e t o r o , la c u a l se e n c o n tr ó e n U r e n u n a tu m b a re a l q u e d a t a d e a p r o x im a d a m e n te 2 6 0 0 a ñ o s a .C . E n lo s m u ro s tu m b a s e g ip c ia s c o n u n a a n tig ü e d a d d e 3 0 0 0 a ñ o s a .C . s e h a lla ro n p in tu r a s d e in s tru m e n to s d e c u e rd a s e m e ja n te s a a rp a s . N u e stro s is te m a m u s ic a l a c tu a l tie n e s u s b a s e s e n l a c iv iliz a c ió n g r ie g a a n tig u a . S e c o n s id e ra q u e e l filó s o f o y m a te m á tic o g r ie g o P itá g o r a s ( 5 8 2 -5 0 7 a .C .) fiie l a p r im e r a p e r s o n a q u e in v e s tig ó d s o n id o m u s ic a l c o n u n a b a s e c ie n tíf ic a (fig u ra 1.1). E n tre o tr a s c o s a s . P itá g o r a s re a liz ó e x p e r i m e n to s c o n u n a s o l a c u e r d a p o r m e d io d e u n a p a ra to s e n c illo lla m a d o m o n o c o rd io . E n e l e je m p lo q j e s e m u e s tra e n la fig u ra 1 .2 . lo s p u e n te s d e m a d e ra 1 y 3 e s t á n fijo s . E l p u e n te 2 e s m o v ib le e n t in t o q u e l a te n s ió n e n la c u e r d a s e m a n tie n e c o n s ta n te m e d ia n te e l p e s o c o lg a n te . P itá g o r a s o b s e r vó q u e s i s e s o m e te n a la m is m a te n s ió n d o s c u e r d a s s im ila re s d e d ife re n te s lo n g itu d e s , l a m á s c o r ta e m ite u n a n o ta m á s a lta ; a d e m á s , s i l a c u e r d a m á s c o r ta e s d e l a m ita d d e l a lo n g itu d d e l a m á s la rg a , la m á s c o r ta e m itirá u n a n o ta u n a o c ta v a a r r i b a d e la o tr a . P itá g o r a s n o d e jó n in g ú n d o c u m e n to d e su
F ig u ra 1.1 Pitágoras. (R eim preso c o n p e rm iso d e l.E. Navia, Pitágoras: A n A n m t a t e d B ib lio g ra p h y, G arlan d P u b lish in g , Inc., N ueva York. 1990).
www.FreeLibros.me
12
C u erd a
B reve h is to r ia d e l e s tu d io d e la v ib r a c ió n
5
\ A \P c s o
F ig u ra 1.2 M onocordio.
tra b a jo ( f ig u r a 1.3 ), p e r o h a s id o d e s c r ito p o r o tr o s . A u n q u e e n e l tie m p o d e P itá g o r a s s e d e s a rro lló e l c o n c e p to d e to n o . l a r e la c ió n e n tre e l t o n o y l a fre c u e n c ia n o s e e n te n d ió s in o h a s ta e l tie m p o d e G a lile o . e n e l s ig lo x v i . H a c ia 3 5 0 a .C . A r is tó te le s e s c rib ió tr a ta d o s s o b r e m ú s ic a y s o n id o c h iz o o b s e r v a c io n e s c o m o “L a v o z e s m á s d u lc e q u e e l s o n id o d e l o s in s tru m e n to s ” , y “E l s o n id o d e l a f la u ta e s m á s d u lc e q u e e l d e la lira ” . E n 3 2 0 a . C . A ris tó g e n e s . a lu m n o d e A r is tó te le s y m ú s ic o , e s c rib ió u n a o b r a e n tre s v o lú m e n e s titu la d a E le m e n to s d e a r m o n ía . E s to s lib ro s s o n q u iz á lo s m á s a n tig u o s d e q u e se d is p o n g a s o b re l a m ú s ic a y e s c rito s p o r l o s in v e s tig a d o re s m is m o s . A lre d e d o r d e 3 0 0 a . C . e n un lib ro l la m a d o In tr o d u c c ió n a la a r m o n ía , F .u c lid e s e s c r ib ió b re v e m e n te s o b r e l a m ú s ic a p e r o s in h a c e r r e fe r e n c ia a lg u n a a la n a tu ra le z a físic a d e l s o n id o . L o s g r ie g o s n o lo g ra ro n m á s a v a n c e s e n e l c o n o c im ie n to c ie n tíf ic o d e l s o n id o . P a re c e q u e los ro m a n o s re c ib ie ro n to d o su c o n o c im ie n to m u sic a l p o r p a r te d é l o s g r ie g o s , e x c e p to V itm v io , fa m o s o a rq u ite c to r o m a n o q u e e s c rib ió a lre d e d o r d e l a ñ o 2 0 a .C . s o b re la s p ro p ie d a d e s a c ú s tic a s d e l o s t e a tr o s . S u tr a ta d o D e A r c h ite c tu r a L ib r i D e c e m (D ie z lib r o s s o b r e a r q u ite c tu r a ), e stu v o p e rd id o d u ra n te m u c h o s a ñ o s , y s e h a b ría d e r e d e s c u b rir s ó lo h a sta e l s ig lo x v . A l p a re c e r, d u ra n te c a s i 16 s ig lo s n o h u b o d e s p u é s d e l tra b a jo d e V itr u v io n in g ú n d e s a rro llo e n la s te o ría s d e l so n id o y la v ib ra c ió n .
F ig u ra 1.3 Pitágoras c o m o m ú sico . (R eim preso c o n p e rm iso d e D.E. S rrith , H h to r y o íM a th e m a tícs.W o l. I. Dover P u b lica tio n s, Inc., Nueva York. 1958).
www.FreeLibros.me
6
C a p ítu lo 1
F u n d a m e n to s d e vib ra ció n E n la a n tig ü e d a d . C h in a e x p e rim e n ta b a m u c h o s s is m o s . Z h a n g H c n g . q u e s e d e s e m p e ñ ó c o m o h is to ria d o r y a s tró n o m o e n e l s ig lo ü , p e r c ib ió l a n e c e s id a d d e d e s a r r o lla r un in s tru m e n to p a ra m e d ir b s s is m o s c o n p re c is ió n . E n e l a ñ o 132 in v e n tó e l p r im e r s is m ó g ra f o d e l m u n d o [ 1. 3 . 1.41, e l c u a l e s ta b a h e c h o d e l in o b ro n c e fu n d id o , c o n u n d iá m e tr o d e o c h o c h i ( u n c h i e q u iv a le a 0 .2 3 7 m e tro s) y t e n ía l a fo r m a d e u n a j a r r a d e v in o ( f ig u r a 1.4 ). D e n tro d e l a j a r r a h a b ía u n m e c a n is m o q u e c o n e s t í a e n un p é n d u lo ro d e a d o p o r u n g r u p o d e o c h o p a la n c a s q u e a p u n ta b a n e n o c h o d ir e c c io n e s . E n b p a r te e x te rn a d e l s is m ó g ra f o h a b ía o c h o fig u r a s d e d r a g ó n , c a d a u n a c o n u n a b o la d e b ro n c e en la s f a u c e s . D e h a jo d e c a d a d r a g ó n h a b ía u n a r a n a c o n l a b o c a a b ie rta h a d a a r rib a . U n s is m o fu e rte e n c u a lq u ie r d ir e c c ió n in c lin a ría d p é n d u lo e n e s a d i r e c d ó n y a c tiv a r ía l a p a la n c a e n la c a b e z a d d d r a g ó n . E s to a b r ía l a b o c a d e l d ra g ó n y l a b o la d e b ro n c e s e s o lta b a y c a í a e n l a b o c a d e la ra n a c o n u n s o n id o m e tá lic o . A s í, e l s is m ó g ra f o p e r m itía a l p e r s o n a l d e v ig ila n c ia s a b e r ta n to e l tie m p o c o m o l a d ire c c ió n d e l a o c u r re n c ia d e l s is m o .
F ig u ra M H p rim e r sism ógrafo d e l m u n d o in v en tad o e n C hina e n el a ñ o 132 de n u e s tra e ra. (R eim preso con perm iso d e R. T a to n (ed.), M s lo r y o f S c ie n c e , Basic Books, Inc.. N ueva York, 1957).
1 . 2 . 2 ________
S e c o n s id e ra q u e G a lilc o G a l i l d ( 1 5 6 4 - I 6 4 2 ) e s e l fu n d a d o r d e l a c i e n d a e x p e rim e n ta l m o d e rn a .
D e G a lile o a R a y le ig h
(fc l a filo s o fía y la c i e n d a m o d e rn a s s e s e n ta ro n d u r a n te e s c p e rio d o . L o q u e m o tiv ó a G a lile o a e s -
De h e c h o , a m e n u d o a l s ig lo x v il se le c o n s id e ra c o m o e l " s ig l o d d g e n io " p u e s to q u e l o s c im ie n to s tu d ia r e l c o m p o rta m ie n to d e u n p é n d u lo s im p le f u e l a o b s e rv a c ió n d e lo s m o v im ie n to s d e v a iv é n d e u n a lá m p a ra e n u n a ig le s ia d e P is a . U n d í a , m ie n tra s s e a b u r ría d u ra n te u n s e r m ó n , G a lile o m ira b a h a d a e l te c h o d e la ig le sia . U n a lá m p a ra o s c ila n te c a p tó s u a te n c ió n . C o m e n z ó a m e d ir e l p e rio d o cfc lo s m o v im ie n to s d e p é n d u lo d e la lá m p a ra c o n s u p u ls o , y p a ra s u s o rp re s a s e d io c u e n ta d e q u e el tie m p o e ra in d e p e n d ie n te d e la a m p litu d d e la s o s c i la d o n e s . E s to lo lle v ó a r e a liz a r m á s e x p e rim e n to s c o n e l p é n d u lo s im p le . E n s u o b r a D isc o rs i e d i m o s t m z io n e n u a e m a iic h e in to r n o a d u e n u o v e s c i e n z e { D iá lo g o s s o b r e d o s n u e v a s c ie n c ia s ) , p u b lic a d a e n 1 6 3 8 , G a lile o a n a liz ó lo s c u e rp o s v ib ra to rio s. D e s c rib ió la d e p e n d e n c ia d e la fre c u e n c ia d e la v i b r a d ó n e n l a lo n g itu d d e u n p é n d u b s im p le , j u n to c o n e l fe n ó m e n o d e v ib ra c io n e s s im p á tic a s (re s o n a n c ia ). L o s e s c rito s d e G a lile o tu n b ié n in d ic a n q u e e n te n d ía c o n c la rid a d l a r e la c ió n e n tre la fr e c u e n c ia , la lo n g itu d , l a te n s ió n y b d e n s id a d d e u n a c u e r d a v ib ra to ria te n s a | L 5 J. S in e m b a rg o , e l p r im e r i n f o r m e c o r re c to p u b lic a d o ifc la v ib ra c ió n d e c u e rd a s lo p r o p o r d o n ó e l m a te m á tic o y te ó lo g o fra n c é s M a rio M c r s c n n c ( I5 8 8 I 6 4 8 ) c n su l ib r o H a rm o rtie u n iv e r s e lle
www.FreeLibros.me
la cual representa la respuesta de un sistema subamortiguado de un solo grado de libertad a la cxdtación arbitraria F (t). Observe que la ecuación (4.31) no considera el efecto de las condiciones iniciales del sistema, porque se supone que la masa está en reposo antes de la aplicación del impul» , como lo implican las ecuaciones (4.25) y (4.28). La integral en la ecuación (4.30) o ecuación (4.31) se conoce como in te g ra l d e c o n v o lu c ió n o d e D u h a m e l. En muchos casos la fundón F (t) tiene una forma que permite una ¡ntegradón explídta de la ecuación (4.31). Si tal integradón no es posible, podemos evaluada numéricamente sin mucha dificultad, como se ilustra en la sección 4.9 en el capítulo 11. En la referencia [4.6] se da una discusión elemental de la integral de Duhamel en d análisis de vibración.
R e s p u e s ta a e x c ita c ió n d e la b a s e
Si un sistema de resorte-masa-amortiguador se somete a una exdtadón de la base arbitraria descrita por su desplazamiento, veloddad o aceleradón, la ecuadón de movimiento se expresa en función del desplazamiento relativo de la masa z = x r-yco m o sigue (vea la sección 3.6.2):
mz + cz + kz =
(4-32)
Ésta es semejante a la ecuación m x + ex + k x = F
(4.33)
con la variable z reemplazando a x y el término —m y reemplazando la fundón forzada F . Por con siguiente todos los resultados derivados para d sistema excitado por una fuerza son aplicables al sistema excitado por la base también para z cuando — m y reemplaza al término F . Para un sistema
www.FreeLibros.me
4 .5
In teg r a l d e c o n v o lu c ió n
353
n o a m o rtig u a d o s o m e tid o a e x c ita c ió n d e la b a s e , e l d e s p la z a m ie n to r e la tiv o s e d e te r m in a c o n la e c u a c ió n (4 .3 1 ):
(4 .3 4 )
E je m p lo 4 .9
F u e rz a g ra d u a l s o b re u n a m á q u in a c o m p a c ta d o ra En l a f ig u ra 4 .IO (a ) s e m u e s tra u n a m á q u in a c o m p a c ta d o r a . m o d e la d a c o m o u n s is te m a d e u n s o lo g ra d o d e lib e r ta d . L a fu e rz a q u e a c tú a e n la m a s a m (m in c lu y e l a s m a s a s d e l p is tó n , l a p la ta fo r m a y e l m a te ria l q u e s e e s t á c o m p a c ta n d o ) d e b id o a u n a a p lic a c ió n r e p e n tin a d e la p r e s ió n s e p u e d e id e a liz a r c o m o u n a fu e rz a g r a d u a l, c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 .IO (b ) . D e te rm in e la re s p u e s ta del s is te m a .
no
— i
(b) x(D
M aterial q u e se está com pactando
-*(0
J— R atatorm a
Figura 4 .1 0 F u erzi gradual aplicada a un a m áquina compactadora.
www.FreeLibros.me
354
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as S olución: D ado q u e la m áquina coi»pactadora se m odela c o m o un sistem a d e m asa-resoilc-am oitiguador, el problem a e s encontrar la respuesta d e un sistem a am ortiguado d e un sok» grado d e libertad som etido a una tuerza gradual. O bservando q u e F (t) = F& podem os escribir la ecuación 14.31] com o
x (i) = — i e -* " * ( ,- r ) scna>d( r - r ) d r m io jJ o scno> j(í - r ) + a>d cos iúd( t (te )2 + M
2
- } L ( E l)
e ^ 'c o s í t i í j í -
I V T ^ p cbnde
= tan
■ f e )
Esta respuesta se m uestra en la figura 4 . 10(c). S i e l sistem a e s no am ortiguado (¿ = 0, t*4 = a>J, la ecuación (E.1) s e re d u c e a
La ecu ació n ( E 3 ) s e m uestra gráficam ente e n la figura 4 .10(d). S e ve q u e si b carga s e a p lic a d e form a inso n tá n c a a un sistem a no am ortiguado, s e obtendrá un d c sp b z am ie n to m áxim o d e d o s veces e l desplazam iento estático, e s decir, = 2 F0/k .
E je m p lo 4 .1 0
F u e rz a g ra d u a l a p licad a c o n d e m o ra Encuentre b respuesta d e la m áquina com pactadora que se m uestra en la figura 4.IO (a) cuando se som ete a la fuerza m ostrada e n b figura 4 . 11. S o lu c ió n : Etado que la función forzada s e in ic b en i = /0 en lu g ar d e e n i = 0, la respuesta se obtiene c o n la ecuación ( E l ) d e l ejem plo 4 .9 reem plazando / p o r i - i0. Esto da
* (/)
V i -
k V r r p
? -
c o s f
10) -
(E .1)
S i el sistem a es no am ortiguado, la ecuación ( E l ) se reduce a * ( 0
=
j D
“
c o s íü
„ (/
-
r0 ) ]
(E .2)
F 0)
O
■* l Figura 4 .1 1 E ierza gradual aplicada con un a demora.
www.FreeLibros.me
4 .5
E je m p lo 4 .1 1
In teg r a l d e c o n v o lu c ió n
355
c a r g a p u ls a n t e r e c t a n g u la r Si la m áquina com pactadora de la figura 4 .l0 (a ) se som ete a una fuerza constante sólo d urante e l tiem po O
t < r0 (figura 4 . 12a), d eterm ine la respuesta d e la m áquina.
m Fo
(a) F*)
Fx(t)
— i
(c) Figura 4 .1 2 Respuesta ocasionada por un a car£i pulsante.
www.FreeLibros.me
356
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as S olución: L a función fo r/a d a d ad a. F \ i \ se puede c o n sid era r com o la sum a d e u n a función escalonada F,(r) cfc m agnitud + F „ q u e se inicia e n i = 0 y u n a segunda función escalonada F j(/)d c m agnitud —F 0q u e se inicia en e l tiem po / ■ r0 com o s e m uestra e n la figura 4.12(b), R>r lo ta n to , l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e o b tie n e r e s ta n d o la e c u a c i ó n ( E . I ) d e l e je m p lo 4 .1 0 d e h e c u a c ió n ( E . l ) d e l e je m p lo 4 .9 . E s t o d a
,(/) =
Fot
-e o s(tt> dí - 4>) +
(E.l)
con
(E .2)
i v
h
)
R ú a ver gráficam ente la resp u esta d e vibración, consideram os e l sistem a com o no am ortiguado, d e m odo que h ecuación (E. I ) s e reduce a
x ( t) =
COS
tü „ (l -
Iq ) -
COS
IO J
(E .3)
La respuesta se m uestra e n la figura 4 . 12(c) p ara d o s a n ch o s d e pulso diferentes d e r0 p ara los siguientes datos (problem a 4 .9 0 ): m = 100 k g , c = 5 0 N -s/m . k = 1200 N/m y F 0 = 100 N. Las respuestas serán diferentes en b s d o s c a s o s i0 < r J 2 y i0 > t „ / Z d o n d e r„ e s e l periodo natural no am ortiguado d e l sistem a. S i r0 > t „ / 2 . el pico será m ayor y o currirá d urante la e ra d e vibración forzada (es decir, durante 0 a r0) m ientras q u e e l pico será m en o r y o c u rrirá e n la e ra d e vibración residual (e s decir, después d e r0) si í„ > r , / 2 . E n la figura 4 . 12(c), t „ = 1.8138 s y e l p ico c o rrespondiente a f0 = 1.5 s es ap roxim adam ente seis v eces m ay o r q u e e l d e r0 = 0.1 s.
E je m p lo 4 .1 2
M á q u in a c o m p a c ta d o ra s o m e tid a a u n a ca rg a lineal D eterm ine la respuesta d e m áquina com pactadora q u e se m uestra e n la figura 4 .l3 (a ) cuando se ap lica una l u c r a lineal variable (m ostrada en la figura 4 .13(b) a l m ovim iento d e la leva. S o lu c ió n : La f u e r a lineal variable q u e se m uestra e n la figura 4 . 13(b) se conoce c o m o la función ram pa. Esta (unción forzada se p u ed e representar com o F ( r ) - S F • r , donde S F indica la tasa d e increm ento d e la fuerza F p o r unidad d e tiempo. Sustituyendo ésta en la ecu ació n (4.31), obtenem os SF
C'
x ( i ) = ------- / T e - * - -(' - r ) «
= -
/
mojd J 0
e n
- r ) dr
( , - T ) e - ^ < ' - T>scn
- — í * - * • .( '- » ) s c a c o J i - r ) ( - d r ) mtod J 0 E stas integrales s e ev alú an y la respuesta se ex p resa c o m o sigue:
(E.1)
www.FreeLibros.me
4 .5
M ovim iento d e la leva
In teg r a l d e c o n v o lu c ió n
357
Leva
Seguidor
F(t)
M aterial que se está com pactando Plataforma
m
(b)
Figura 4 .1 3 M áquina co m p actad o ra so m e tid a a u n a fu e rz a lineal.
(c)
(V e a e l problem a 4.28). ftira u n a ad aptación del sistem a, la ecu ació n ( E l ) se reduce a SI• * ( ') = ¡ ¿ ¿ 1 " " ' ■ * n<ü', ' ,
(E 2 )
La figura 4 . 13(c) m uestra la respuesta dada p o r la ecu ació n (F.2).
E je m p lo 4 .1 3
C a rg a e x p lo s iv a e n la e s tru c tu ra d e u n e d ificio Una estructura d e edificio se m odela c o m o un sistem a no am ortiguado de un solo g ra d o d e libertad (figura 4 .14(a)). Encuentre la respuesta d e la estructura s i se som ete a u n a carga explosiva representada p o r e l pulso triangular m ostrado en la figura 4 .l4 (b ). S o lu c ió n : La función forzada está d ad a por
Hr) F (r)
I
= 0
www.FreeLibros.me
para 0
r > lo
(E .I) (F..2)
358
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
m
m
<*>
Figura 4 .1 4 E stru c tu ra de u n edificio so m e tid a a u n a c a rg a explosiva.
(b )
La ecuación (4 3 1 ) d a . p ara un sistem a no am ortiguado.
m U ,M J1 O
*( í ) =
(E .3)
F {7 ) s c n ' ü',(r ” r ) d r
Respuesta durante O S | S ( 0: U tilizando la ecuación (E . I ) para F \r ) e n la ecu ació n (E .3) da
x( t ) = — í ( I - — ] Ise n < oj e o s m ca iJo \ t0 J
= ? jx n u ij f
-
y
c
o
s
^1
o
v
^
-
^
-
u i „t
eos
s e n a v ] d(
a > s t o n T - d ( t u nT )
~
(E .4)
s c n < ü nT - ( / ( t ü , r )
O bservando q u e la integración por partes da
/
d(tünr )
t
eos
t
sen„7) = - t e o s
a»„T •
=
T se n a > „T
+
— e o s io„r
(E .5)
+ — scno> ,r
(E .6 )
y
/
< u „t
La ecuación ( E 4 ) se escribe com o
, v Fo I í x l t j = — s sena»-/ s e n t u , ; * l L
'
*
I c o sa* -/ + — "'-'o «.
s e n a )../
’O
- e o s u t j + I + —eo s a v
- eos
*0
L
— sena»„/
“Jo
i
(E .7)
J J
Sim plificando esta expresión, obtenem os
44 - ?
1
I
lo
eos w j +
www.FreeLibros.me
1
“ Jo
«na>J
J
(E .8)
4 .6
E sp ec tr o d e r esp u e sta
359
Respuesta d u ra n te t > t0: E n este caso tam bién ú til i/a m o s la ecu ació n ( E 1) p ara FXr). pero e l límite superior de integración e n la ecuación ( E 3 ) se rá i * d a d o q u e F( t ) = 0 d urante r > P o r lo tam o, la respuesta s e en cu en tra a p a rtir d e la ecuación ( E 7 ) estableciendo t = t0 dentro d e los p aréntesis rectangulares. I>c esto resulta
x (t)
4.6
(1 -
eos (wn/0 ) s e n w „ / -
((■>„/<> -
senaV o) c o s u ij
(E.9)
E s p e c tro d e re s p u e s ta L a g r á fic a q u e m u e s tra l a v a r ia c ió n d e l a re s p u e s ta m á x im a ( d e s p la z a m ie n to , v e lo c id a d , a c e le r a c ió n o c u a lq u ie r o t r a c a n tid a d m á x im a ) c o n la fr e c u e n c ia n a tu r a l ( o p e rio d o n a tu ra l) d e u n s is te m a d e u n s o lo g ra d o d e lib e r ta d a u n a f u n c ió n fo rz a d a e s p e c if ic a d a s e c o n o c e c o m o e s p e c tr o d e r e s p u e s ta . D a d o q u e l a re s p u e s ta m á x im a s e t r a z a c o n tr a la fre c u e n c ia n a tu ra l ( o p e r io d o n a tu r a l) , el e s p e c tr o d e r e s p u e s ta d a l a re s p u e s ta m á x im a d e t o d o s lo s p o s ib le s s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d . El e s p e c t r o d e fre c u e n c ia s e u tiliz a a m p lia m e n te e n e l d is e ñ o d e in g e n ie ría s ís m ic a |4 .2 , 4 .5 J . U n re p a s o d e lite ra tu ra re c ie n te s o b re e s p e c tro s d e re s p u e s ta d e c h o q u e y s ís m ic a s e d a e n la re fe re n c ia [4.7). U na v e z d is p o n ib le e l e s p e c tro d e re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te a u n a fu n c ió n fo rz a d a e s p e c i f ic a d a . s im p le m e n te te n e m o s q u e c o n o c e r l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a p a r a d e te r m in a r s u r e s p u e s ta m á x im a . E l e je m p lo 4 .1 4 ilu s tr a la c o n s tr u c c ió n d e u n e s p e c tr o d e re s p u e s ta .
E je m p lo 4 .1 4
E s p e c tro d e re s p u e s ta d e un p u lso se n oid al Encuentre el espectro d e respuesta no am ortiguada para la fuerza pulsante senoidal m ostrada e n la figura 4 . 15(a) utilizando las c o n d icio n es in ic iales*(0) - ¿ (0 ) - 0.
«L
F ig u ra 4 .1 5 E s p e c tr o d e r e s p u e s ta d e b id o a u n p u ls o s e n o id a l.
www.FreeLibros.me
360
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Solución: M étodo: E ncuentre la respuesta y ex p rese su v a lo r m áxim o e n función d e su periodo natural. La ecuación de m ovim iento d e u n sistem a no am o rtig u ad ) s e expresa com o
m x + k x = F ( t) = i A"
(a
(E .I )
t >t0
(bndc
-5 La solución d e la ecu ació n
+ x„(t)
(E3 )
F* decir, * ( ') = A e o s b t j + B a c n a i j + ( —
- ) señor
(E .4)
(b n d c A y B son c onstantes y o „ e s la frecuencia natural d e l sistema: 2ir
(E .5)
m
Aprovecharxlo las c o n d icio n es iniciales x (0 ) - i ( 0 ) - 0 e n la ecuación (E.4). podem os d e te rm in a r las cons o m é s A y B como
Fbr lo tanto, la solución es
* (f) = ,
{ 8 c n tü í " “
w n w ", J '
0 £ , £ |o
« " 7 ^ ~ ¿ L scn ~ } '
0 - f - 'o
(E .8 )
b cual se rccscribc com o *
r-j
—
—
_
( l í \
'
°
°
*
dm de 5„, = J
(E .9 )
l a solución d ad a por la ecuación (E .8) e s válida sólo d urante e l perio d o d e aplicación d e la f u e r a . 0 < t < r0. Dado q u e no hay ninguna f u e r a ap licada d urante / > r(> la solución se ex p resa c o m o una solución d e vibración libre:
x ( l) = A ' e o s (>ij¡
+ fl’ s e n o y ,
www.FreeLibros.me
t >
to
(E .1 0 )
4 .6
E sp ec tr o d e r esp u e sta
361
d o n d e las c o n s t a n t e s y B ' se encuentran utilizando los valores de x{i = ¡o )y i(> “ *o)< d a d o s p o r la ecuación < E 8). c o m o condiciones iniciales d urante la duración i > T„
2 lT I0 ~\
— — sen 2A> ¡ ir <
i ( ' = ‘o) =
a Ul 'o
n "
'o
Esto da
t,
J
I - A ' eos ü>Jo + B 's e n a v o
(E .11 )
2 jt/0 1 eos ------- > r„ J
= - t o aA ' ten tó J + iunI f eos
(E.12)
donde
(E.13 )
'-(a)' L as ecuaciones ( E l 1) y (E .12) se pueden resolver para encontrar A ' y f í com o Q7T
"V o
B' = - - “
s e n w jo .
[ l + c o sw .(d ]
(E.14 )
L as ecuaciones (E .14 ) se p u ed en su stitu ir en la ecu ació n (E.10) para obtener
[ Kn2„fA- _ra2.-L r l• 1 -
*>_ 2{ , -
irj^f
(E.15)
"I
l a s ecu acio n es ( E 8 ) y ( E 1 5 ) d a n la respuesta d e l sistem a e n form a no dim ensional; es decir, x / S ^ s e expresa e n función de i ¡ r K P o r lo tanto, p ara cu alq u ier valor especificado d e / q / t , . se p u ed e d eterm inar e l v a lo r m áxi m o de x / 8 ^ , . C u a n d o e s te valor m áxim o d e x/8a , s e traza contra / „ / t„ . d a el espectro d e resp u esta m ostrado en la figura 4,15(b). S e observa q u e e l v a lo r m áxim o d e ( x S ^ W , 011.75 o cu rre e n un v a lo r d e Iq/ t h 0.75.
E n e l e je m p lo 4 .1 4 , l a f u e r z a d e e n tr a d a e s s im p le y p o r c o n s ig u ie n te s e o b tu v o u n a s o lu c ió n d e fo rm a c e r r a d a p a r a e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta . S in e m b a r g o , s i l a f u e rz a d e e n tr a d a e s a r b itr a r ia , p o d e m o s d e te r m in a r e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta s ó lo n u m é ric a m e n te . E n e se c a s o , s e u t il i z a la e c u a c ió n (4 .3 1 ) p a ra e x p r e s a r la re s p u e s ta p ic o d e u n s is te m a n o a m o rtig u a d o d e u n s o l o g r a d o d e lib e rta d p ro d u c id a p o r u n a f u e rz a d e e n tr a d a a rb itr a ria f t y ) c o m o
x(l) m ix
— m úi*
[ JO
F ( t ) senn> „(r
-
t
) J
(4 .3 5 )
t
E n e l d is e ñ o d e m a q u in a ria o e s tr u c tu r a s s o m e tid a s a u n s a c u d im ie n to d e l s u e l o .c o m o e l p r o v o c a d o p o r u n s is m o , e s ú til e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te a l a e x c ita c ió n d e l a b a s e . S i l a b a s e
E s p e c tro de r e s p u e s t a p a ra e x c it a c ió n de la b a s e
d e u n s is te m a a m o rtig u a d o d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d s e s o m e te a u n a a c e le r a c ió n y (/), l a e c u a c ió n ( 4 .3 2 ) d a la e c u a c ió n d e m o v im ie n to e n fu n c ió n d e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o z
■
x - y , y la
e c u a c ió n ( 4 .3 4 ) d a la re s p u e s ta z ( t \ E n e l c a s o d e u n s a c u d im ie n to d e l s u e lo , s e s u e le u tiliz a r e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta d e v e lo c id a d . L o s e s p e c tr o s d e d e s p la z a m ie n to y a c e le r a c ió n s e e x p r e s a n
www.FreeLibros.me
362
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as a ito n c c s e n fu n c ió n d e i e s p e c tr o d e v e lo c id a d . P a r a u n o s c ila d o r a rm ó n ic o (u n s is te m a n o a m o r ti g u a d o s o b re la v ib ra c ió n U bre), n o s p e rc a ta m o s q u e x \ n ú x = - “ 'iU ln ú *
( 4 .3 6 )
X \n * x = ” mX I™ .
( 4 .3 7 )
P > r lo ta n to , lo s e s p e c tr o s d e a c e le r a c ió n y d e s p la z a m ie n to Sü y S d s e o b tie n e n e n fu n c ió n d e l e s p e c tro d e v e lo c id a d (S,.):
Sd = ~
= *>„S,
( 4 .3 8 )
f ó r a c o n s id e r a r a m o r tig u a m ie n to e n e l s is te m a , s i s u p o n e m o s q u e e l d e s p la z a m ie n to
m á x im o
re la tiv o o c u r r e d e s p u é s d e q u e h a p a s a d o e l p u ls o d e s a c u d im ie n to o c h o q u e , e l m o v im ie n to s u b s ig u ie n te d e b e s e r a r m ó n ic o . E n e se c a s o p o d e m o s u tiliz a r l a e c u a c ió n ( 4 .3 8 ) , L a v e lo c id a d f i c t i c ia a s o c ia d a c o n e s t e m o v im ie n to a r m ó n i c o a p a r e n te s e lla m a p s e u d o w l o c i d a d y su e s p e c t r o d e r e s p u e s ta . S v, s e lla m a p s e u d o e s p e c lr o . L o s e s p e c tr o s d e v e lo c id a d s e u tiliz a n e x te n s a m e n te e n a n á lisis d e sis m o s . P a ra e n c o n t r a r e l e s p e c t r o d e v e lo c id a d r e la ti v a , d if e r e n c ia m o s l a e c u a c i ó n ( 4 .3 4 ) y o b t e nem os2
f
¿ (0 = “ 77 y (r)e~ M °>d Jo +
iü¿
e o s u>d ( t -
~ r ) [ - ( ( o n sen a d ( t -
t
t)J d r
)
( 4 .3 9 )
La ecuación (4 3 9 ) se reescribe com o
Z (t) = - ^ =
=
, V F T
q
1 s e n (u>dt -
)
( 4 .4 0 )
dande P =
J
y ( r ) e l0 ,J e o s
dr
(4 .4 1 )
Q =
lo
^ T )í< “ *í s e n t u ‘/ T á T
(4 4 2 )
(ú d T
= ton
l (í’í - e V i - ( ! ) I
J L a s ig u ie n te r e la c ió n s e u tiliz a p a r a d e r iv a r l a e c u a c ió n ( 4 3 9 ) a p a r ti r d e l a e c u a c ió n ( 4 3 4 ) :
¿ j f / ( ' * T ) r f r - j T ^ ( / . r ) 4 r + / ( / , T ) |T. (
www.FreeLibros.me
4 .6
E sp ec tr o d e r esp u esta
363
El e sp e c tr o d e r esp u esta d e v e lo c id a d . S , . s c o b tie n e d e la e c u a c ió n (4 .4 0 ):
(4 .4 4 ) na»
P o r lo ta n to , l o s e s p e c tro s d e p s e u d o rrc s p u c s ta e s tá n d a d o s p o r
Id máx
E je m p lo 4 .1 5
Sv ~
1^1 náxi
Sa
(4 .4 5 )
T a n q u e d e a g u a s o m e tid o a a ce le ra ció n d e la base El tanque d e a g u a m ostrado e n la figura 4 .l6 (a ) se som ete a u n a aceleración d e l suelo linealm ente variable com o se m uestra en la figura 4 . 16(b) d eb id o a un sism o. La m asa d e l tanque e s m , la rigidez, d e la colum na e s k y e l am ortiguam iento e s insignificante. Halle e l espectro d e respuesta correspondiente a l desplazam iento relativo z - x - y , d e l tanque d e agua. S o lu ció n M étodo: M o d ele e l tanque ifc a g u a c o m o un sistem a no am ortiguado d e un solo grado d e libertad. Determ ine el desplazam iento m áxim o relativo d e l tanque y expréselo c o m o u n a función d e toH. La aceleración de la base se puede ex p resar como
—J
m
=
m
= o
“
d urante
0 £ t « 2r0
(E .D
durante
í > 2/0
(E-2)
( - o
x(r)
I -
Tanque de agua
Columna, k
(a)
Figura 4 .1 6 Tanque de agua som etido a m ovim iento de la base.
www.FreeLibros.me
364
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Respuesta d u ra n te O s i í 2/qI Sustituyendo la ecu ació n (E.1) e n la ecu ació n (4.34), la respuesta s e expresa, p ira un sistem a no am ortiguado, com o
(sena»,/ e o s i u
„t
-
eos a»„r s e n a v ) t«t/r /T J
(E .3)
Esta ecuación es la m ism a que la ecuación (F..4) del ejem plo 4.13 excepto q u e aparece e n lu g ar de F0/ m . R>r c onsiguiente. z{t) s e escribe, utilizan te la ecu ació n (E.8) d e l ejem plo 4.13. com o
e o s t o j + ------- senoi^r
1 - — -
z (t) =
oí‘ L
‘o
°Vo
(E .4)
J
Para e n co n trar la resp u esta m áxim a z ^ . establecem os
- 1 + to jn s e n + c o s to ,/ I = 0
(E 5 )
* » ~ 3 Esta ecuación d a e l tiem po /„ , a l cual o cu rre z ^ , :
(E .6)
Sustitu>endo la ecuación ( E 6 ) en la ecu ació n ( E 4 ) se puede encontrar la respuesta m áxim a d e l tanque:
*mé«
.Hnd» —'
I
tm
e o s
»o
I
s c n « jj_
(E .7)
Respuesta d u ra n te t > 210: D ado que no hay excitación d u ra n te este tiem po, podem os u tilizar la solución del problem a de vibración libre (ecuación 2 .18)
z ( t) = Zocos a v
+ ^ jjs e n a v
(E 8 )
s ie m p re q u e c o n s id e r e m o s e l d e s p la z a m ie n t o in ic ia l y l a v e lo c id a d in ic ia l c o m o
zo = z ( t = 2 t 0)
y
¿o = z ( r = 210)
(E 9 )
utilizando la ecu ació n (E 7 ). El v a lo r m áxim o d e z(l) dado por la ecu ació n ( E 8 ) s e identifica com o
Zmi, - I Z¿ + I ~
cbnde Zq y ¿o ** calculan c o m o s e indica e n la ecuación ( E 9 ) .
www.FreeLibros.me
I I
(E .1 0 )
4 .6
E sp ec tr o d e r esp u e sta
365
L a d e s c r ip c ió n m á s d ir e c ta d e u n m o v im ie n to s ís m ic o e n e l d o m in io d e l tie m p o e s l a p r o p o rc io n a d a
E s p e c t r o s de re s p u e s ta a s is m o s
p o r a c c lc r o g r a m a s q u e s o n r e g is tra d o s p o r in s tr u m e n to s lla m a d o s a c e le r ó g r a fo s d e m o v im ie n to fite r te . E s to s in s tru m e n to s re g is tr a n tr e s c o m p o n e n te s o r to g o n a le s d e a c e le r a c ió n d e l s u e lo e n un lu g a r d e te r m in a d o . E n la f ig u ra 4 .1 7 s e m u e s tra u n a c c le ro g r a m a típ ic o . P o r l o c o m ú n lo s a c e le r o g ra m a s s e r e g is tr a n e n p a p e l o p e líc u la f o to g r á fic a y s e d ig it a li / a n p a r a a p lic a c io n e s d e in g e n ie ría . L a a c e le r a c ió n m á x im a d e l s u e l o , la d u r a c ió n y e l c o n te n id o d e fre c u e n c ia d e l s is m o s e p u e d e n
500
-5 0 0
0
5
10
15
20
25
i— 30
Tiem po (s)
F ig u ra 4 .1 7 L h a c e le ro g ra m a típico.
P e rio d o n d t u r a l (s )
F ig u ra 4 .1 8 E spectro d e resp u esta de u n sism o típ ic o (4 .1 2 |. (S ism o d e Valle Im perial, d e l 18 de m ay o de 1940; £ = 0 .0 .2 ,0 .0 5 ,0 .1 0 y 0.20.) (R eim preso c o n p erm iso de T h e S h o c k V ibra/ion D ig e st).
www.FreeLibros.me
366
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as c b tc n c r d e s d e u n a c c lc r o g r a m a . S e p u e d e in te g r a r u n a c e le r o g ra in a p a r a o b te n e r la s v a r ia c io n e s d e tie m p o d e la v e lo c id a d d e l s u d o y d e l d e s p la z a m ie n to d e l s u e lo . U n e s p e c tr o d e re s p u e s ta s e u tiliz a p a r a p r o p o rc io n a r l a re p re s e n ta c ió n m á s d e s c rip tiv a d e b i n f lu e n c ia d e u n s is m o d a d o s o b r e u n a e s tr u c tu r a o m á q u in a . E s p o s ib le tr a z a r l a g rá fic a d e la re s p u e s ta m á x im a d e u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d e n fu n c ió n d e l a a c e le r a c ió n , l a p se u c b v e lo c id a d re la tiv a y e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o u tiliz a n d o e s c a la s lo g a rítm ic a s . E n l a fig u ra 4 .1 8 se m u e s tra u n e s p e c tr o d e re s p u e s ta típ ic o , tra z a d o e n p a p e l lo g a r ítm ic o d e c u a tr o c ic l o s . E n e s t a fig u ra , e l e j e v e rtic a l in d ic a l a v e lo c id a d e s p e c tr a l, e l e je h o riz o n ta l r e p re s e n ta d p e r io d o n a tu ra l, d e je in c lin a d o a 4 5 ° in d ic a e l d e s p la z a m ie n to e s p e c tr a l, y e l e je in c lin a d o a 13 5 ° m u e s tra l a a c e k r a c i ó n e s p e c tra l. E n l a f ig u r a 4 .1 8 s e v e q u e e l e s p e c tr o d e r e s p u e s ta d e u n a e d e r o g r a m a p a rtic u la r ( s is m o ) p r e se n ta c o n s id e ra b le s irre g u la rid a d e s e n e l d o m in io d e fr e c u e n c ia . S in e m b a rg o , lo s e s p e c tro s c o r r e s p o n d ie n te s a u n c o n ju n to d e a c e lc r o g r a m a s p ro d u c id o s p o r s a c u d im ie n to s d e l s u e lo d e s itio s c o n c a ra c te rís tic a s g e o ló g ic a s y s is m o ló g ic a s s im ila re s s o n f u n c io n e s u n if o rm e s d e tie m p o y p r o p o r c io n a n te n d e n c ia s e s ta d ís tic a s q u e la s c a r a c te r iz a n c o le c tiv a m e n te . E s ta id e a c o n d u jo a l d e s a rro llo d e l c o n c e p to d e u n e s p e c tr o d e d is e ñ o , u n o d e lo s c u a le s s e m u e s tra e n la fig u ra 4 .1 9 , p a ra s u u s o e n d d is e ñ o d e e s tru c tu ra s y m á q u in a s re s is te n te s a sis m o s . L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e l u s o y d ise ñ o d e lo s e s p e c tro s d e re s p u e s ta a s is m o s .
F ig u ra 4 .1 9 E spectro de d ise ñ o (4.121. (R eim preso c o n p e rm iso de T h e S h o c k a n d V ibration D igest).
www.FreeLibros.me
4 .6
E je m p lo 4 .1 6
E sp ec tr o d e r esp u e sta
367
R e sp u e sta d e la e s tru c tu ra d e u n edificio a u n sism o L a estructura d e un edificio pesa 15,000 Ib y tiene d o s colum nas c o n rigidez total *,co m o se indica e n la figura 4.20. T iene una relación d e am ortiguam iento d e 0 .0 5 y u n periodo natural d e 1.0 s. Para e l sism o caracterizado en la figura 4.18. determ ine lo siguiente: a . D esplazam iento m áxim o relativo d e la m asa, x ^ , b . Fuerza cortante m áxim a en la s colum nas c . Esfuerzo d e flexión m áxim o e n las colum nas S o lu ció n M étodo: Encuentre e l desplazam iento espectral, la velocidad espectral y la aceleración espectral correspon -
a . D esplazam iento relativo m áxim o d e la m asa, x ^ , = b . Fuerza co rtan te m áxim a a i a m b as colum nas:
=
m i m ix =
~
= 4 .2 pulg.
S a
R>r lo tanto, la fuerza cortante m áxim a e n cada colum na está d ad a por F ^ = 6 ,3 0 0 /2 = 3,1501b
c.
M om ento d e flexión m áxim o «31 cada colum na ■ M ^ = esfuerzo d e flexión m áxim o
O ’m íx
P o r lo tanto, la fórm ula d e v ig a d a el
/
donde / e s e l m om ento d e inercia de área y c e s la distancia d e la fibra externa desde e l eje neutro d e la sección d e colum na.
b * H
y iO
Figura 4 .2 0 Estructura de un edificio som etida a m ovim iento d e la base.
www.FreeLibros.me
368
C a p ítu lo 4
E je m p lo 4 .1 7
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
D e s c a rrila m ie n to d e u n a ca rre tilla d e u n a grú a d u ra n te u n sism o L a carretilla d e una g rú a viajera elev ad a eléctrica s e d e sp laz a horízontalm ente so b re la v ig a c o m o se indica en b figura 4 .2 1. C onsiderando la carretilla c o m o una m asa puntual, la g rú a s e puede m odelar c o m o un sistem a ck un solo grado d e libertad c o n periodo d e 2 s y relación d e am ortiguam iento d e 2% . D eterm ine si la carretilla se d escarrila a co nsecuencia d e u n a excitación sísm ica vertical cuyo espectro de d ise ñ o s e d a e n la figura 4.19. Solución M étodo: D eterm ine si la aceleración espectral d e la carretilla (m asa) excede un v a lo r d e Ig. Para t „ = 2 s y ¿ = 0.02, la figura 4.19 da la aceleración espectral c o m o Sa = 0.25g y p o r consiguiente b carretilla no se descarrilará.
F ig u ra 4 .2 1 G rúa so m e tid a a u n a excitación sísm ica.
sísmica
C u a n d o s e a p lic a u n a fu e rz a d e c o rta d u ra c ió n , p o r lo c o m ú n d u r a n te u n p e rio d o m e n o r q u e e l p e rio d o n a tu ra l, s e l la m a c a r g a d e c h o q u e . U n c h o q u e in c re m e n ta s ig n ific a tiv a m e n te e l d e s p la z a m ie n to , l a v e
D is e ñ o b a jo un a m b ie n t e d e choque
lo c id a d . la a c e le ra c ió n , o e l e s fu e r z o e n un s is te m a m e c á n ic o . A u n c u a n d o l a f a tig a e s u n a im p o rta n te c a u s a d e fa lla b a jo fu e rz a s a rm ó n ic a s , s u e le no s e r m u y im p o rta n te b a jo c a rg a s d e c h o q u e . U n c h o q u e s e p u e d e d e s c rib ir c o m o u n c h o q u e p u ls a n te , u n c h o q u e d e v e lo c id a d o u n e s p e c tr o d e re sp u e s ta d e c h o q u e . L o s c h o q u e s p u lsa n te s s e p ro d u c e n p o r la a p lic a c ió n r e p e n tin a d e fu e rz a s o d e sp la z a m ie n to s e n l a fo rm a d e u n a o n d a c u a d ra d a , sc m is c n o id a l, tr ia n g u la r o d e u n a fo rm a s im ila r ( v e a l a f ig u ra 4 .2 2 ), U n c h o q u e d e v e lo c id a d e s p ro v o c a d o p o r c a m b io s re p e n tin o s d e v e lo c id a d c o m o lo s p ro v o c a d o s c u a n d o s e d e ja n c a e r p a q u e te s d e s d e u n a a ltu ra . R e s p e c tr o d e re sp u e s ta d e c h o q u e d e s c rib e la fo rm a e n la c u a l u n a m á q u in a o e s tru c tu ra re s p o n d e a un c h o q u e e s p e c ífic o e n lu g a r d e d e s c rib ir e l c h o q u e en s í. S e u tiliz a n d ife re n te s tip o s d e p u ls o s d e c h o q u e p a r a c a lific a r la m a y o ría d e lo s p ro d u c to s c o m e r c ia le s. in d u stria le s y m ilita re s . M u c h a s e s p e c ific a c io n e s m ilita re s e s ta d o u n id e n s e s c o m o M IL -E -5 4 0 0 y M IL -S T D -8 1 0 d e fin e n d ife re n te s tip o s d e p u lso s d e c h o q u e y m é to d o s d e ta lla d o s d e p ru e b a c o n e s to s p u lso s. H s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a e l m é to d o d e lim ita r e s fu e rz o s d in á m ic o s e n s is te m a s m e c á n ic o s s o m e tid o s a u n a m b ie n te d e c h o q u e .
www.FreeLibros.me
4 .6
( a ) P u ls o s c m is c n o id a l
( b ) P u ls o l i ia n g u l a r
E sp ec tr o d e r esp u e sta
369
( c ) P u ls o r e c t a n g u l a r
F ig u ra 4 J Í 2 D ilso s de c h o q u e típicos.
E je m p lo 4 .1 8
D is e ñ o d e u n a re p isa p a ra ca rg a s d e c h o q u e
e n la figura 4.23(a). L a tarjeta d e circuito im preso se coloca en un recipiente q u e s e v a a d e ja r c a e r d e sd e un helicóptero que vuela a b aja altura sobre la repisa. El ch o q u e resultante se puede representar de form a ap ro x i m ada com o un pulso scm iscnoidal, c o m o se m uestra e n la figura 4.23(b). D iseñe la repisa p ara que soporte un n ivel d e aceleración d e I00 g bajo e l pulso sem isenoidal q u e se m uestra en la figura 4.23(b). C onsidere un p eso específico d e 0.1 Ib/pulg’, un m ódulo d e Y oung d e 107 lb/pulg2 y un esfu erzo perm isible d e 2 6 .0 0 0 Ib/ pulg7 para alum inio. S o lu c ió n : El peso propio d e la viga (w )e s resultado de
y se considera q u e e l peso total. IP .es una carga c o rc e n tra d a e n el extrem o libre de la viga, d a d o por W = fc so de la viga + f t s o d e l circuito im preso = 0 .5 4 + 0.4 El m om ento d e inercia d e á re a ) de la sección transversal d e la viga es
12
2
\ n deflexión estática d e la v ig a som etida a la carga W e n su extrem o, W l3 _
(0-54 + 0 .4 ) ( I 0 3)
_ (0.54 + 0 .4 )
Sc%'~ i E I ~ 3 x 107(0 .0 4 I6 7 4 3) ~
P e s o d e l a t a r j e t a d e c i r c u i t o i m p r e s o 0 .4 Ib
4*
A c e le ra c ió n
/0 = 0 . 1 s
(b)
www.FreeLibros.me
se calcula como
7.9994 X 10 4
370
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Etodo q u e e l factor d e am plificación d e choque (la ordenada e n la figura 4 .1 5 (b )) no se puede d eterm inar a m enos q u e s e c o n o zc a e l v a lo r d e r n, adoptam os e l procedim iento d e prueba y e rro r para d eterm inar el v a lo r ( b T „ y p or consiguiente e l d e i0/ t „ . S i d s e considera com o d e ¿ pulg.
« « ,=
( °' 5 X
q
^
0
4
) 7 " 9 7
X
I0 "4
=
4 1 .5 9 6 9
X
1 0 ^ p u lg .
La ecuación (2.30) da
* ^
= « > 0 2 0 6 ,5 .
R tr consiguiente ío
0.1
r.
0 .0 2 0 6 ,5 = 4 8 5 0 8
El factor d e am plificación d e ch o q u e ( A J se d e te n n in a d e sd e la figura 4 . 15(b) c o m o 1.1. L a carga dinám ica {P j) que a ctú a sobre e l voladizo es
P j = AaM a , = ( l . l ) —
I ( l 0 0 g ) = 71.5 Ib
d tn d c a , es la aceleración correspondiente a l ch o q u e, M es la m asa e n e l extrem o d e la viga, y M a, es la fu e r za d e inercia q u e actúa e n la viga. O bservando q u e / = 0 .0 4 167d’ = 0.005209 pulg*. el esfuerzo d e flexión n tíx im o en la raíz d e la rep isa e n voladizo se calcula como
(7 1 5 X 1 0 ) y ~
f
-
0.005200
-
343' 5 '6076
Com o este esfuerzo ex ce d e e l valor perm isible, consideram os el siguiente v a lo r d e prueba d e d c o m o 0.6 pulg. Éste da
óc« = ( °~ X q * t ' ° ^
7-9994 X 10-* = 25.9240 X lO ^ p u lg .
8 ¡o = r.
0.1
6.1445
0.01627
Efc acuerdo c o n la figura 4.15(b), e l factor d e am plificación d e ch o q u e s e encuentra c o m o A a consiguiente la carga d inám ica que actúa e n la viga se deten n in a com o
^
= (1 .1 )
—
(lO O g ) = 7 7 .0 Ib
www.FreeLibros.me
1.1, y por
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
371
Puesto q u e d m 0.6 pulg d a com o tesultado / « 0.04167*/* ■ 0.009001 pulg4. e l esfuerzo d e flexión m áxim o en la raíz de la repisa será (77.0 X 10) o*. =
MbC
(?)
0.009001
= 25663.8151 lb/pulg1
E n vista d e q u e este esfuerzo está d e n tro d e l lím ite perm isible, se p u ed e considerar el espesor d e la repisa c o m o d = 0 .6 pulg.
4.7
Transformada de Laplace C o m o y a a n ie s s e e x p lic ó , s e p u e d e u tiliz a r e l m é to d o d e la t r a n s f o rm a d a d e l a p l a c e p a ra h a lla r la r e s p u e s ta d e un s is te m a s o m e tid o a c u a lq u ie r tip o d e e x c ita c ió n , in c lu id o e l tip o a r m ó n ic o y p e rió d ic o . U n a im p o r ta n te v e n ta ja d e l m é to d o e s q u e to m a e n c u e n ta d e m a n e r a a u to m á tic a la s c o n d ic io n e s in ic ia le s . E n e l a p é n d i c e D e n e l s itio w e b d e e s t e l ib r o e n c o n tr a r á u n a in tro d u c c ió n d e l a tra n s fo rm a d a d e I .a p ia c e ju n to c o n u n a t a b la d e p a re s d e tr a n s fo rm a d a s d e 1-a p la c e . L a a p li c a c ió n d e l m é to d o d e la tra n s fo rm a d a d e L a p la c c p a r a e n c o n tra r l a re s p u e s ta d e u n s is te m a im p lic a b á s ic a m e n te lo s s ig u ie n te s p a s o s : 1.
E sc rib a l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s iste m a .
2 . T r a n s fo rm e c a d a té r m in o d e l a e c u a c ió n , u tiliz a n d o la s c o n d ic io n e s in ic ia le s c o n o c id a s .
1 . 7 . 1 ________
3.
R e s u e lv a la r e s p u e s ta tra n s f o rm a d a d e l s is te m a .
4.
O b te n g a l a s o lu c ió n d e s e a d a (r e s p u e s ta ) m e d ia n te u n a tra n s fo rm a c ió n in v e r s a d e L a p la c e .
I - i re s p u e s ta tra n s ito ria in d ic a l a p a r te d e la s o lu c ió n p ro v o c a d a p o r la s c o n d ic io n e s in ic ia le s y q u e d e c a e c o n e l tie m p o . L a r e s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le r e p re s e n ta l a p a rte d e l a s o lu c ió n p ro v o c a d a p o r
R e s p u e s ta s tra n s ito ria y d e e s ta d o
e s ta b le
la fu e rz a a p lic a d a o e x c ita c ió n y tie n d e a l a c o n d ic ió n e n la q u e p re v a le c e e l e q u ilib r io , V a lo r in ic ia l d e la r e s p u e s ta : S i s e c o n o c e la re s p u e s ta o s o lu c ió n d e u n s is te m a e n e l d o m in io d e l tie m p o , e l v a lo r in ic ia l d e l a r e s p u e s t a .x ( t = 0 ) . s e d e te rm in a c o n / = 0 . S i la re s p u e s ta d e l s is te m a s e d a e n e l d o m in io d e L a p la c c . e l v a lo r in ic ia l s e p u e d e e n c o n tra r c o m o s ig u e :
x (,
0 ) K m [sX (s))
(4 .4 6 )
J —* 0 0
L a e c u a c ió n ( 4 .4 6 ) s e c o n o c e c o m o te o r e m a d e l v a lo r in ic ia l. V a lo r e s ta b le d e l a r e s p u e s ta : S i s e c o n o c e l a r e s p u e s ta d e u n s is te m a e n e l d o m in io d e l tie m p o , e l v a lo r d e e s ta d o e s ta b le d e l a r e s p u e s ta . xe t, s e d e te r m in a lo m a n d o e l l ím ite a m e d id a q u e e l t i e m p o tie n d e a in fin ito . S i la re s p u e s ta d e l s is te m a s e d a e n e l d o m in io d e L a p la c e . e l v a lo r d e e s ta d o e s ta b le s e p u e d e e n c o n tr a r to m a n d o e l lím ite , a m e d id a q u e s tie n d e a c e r o , d e s p o r la re s p u e s ta e n e l d o m in io d e L a p la c c : lím »-*
(4 .4 7 )
L a e c u a c ió n ( 4 .4 7 ) s e c o n o c e c o m o te o r e m a d e l v a lo r f i n a l . A c o n tin u a c ió n s e c o n s id e ra la a p lic a c ió n d e l a tra n s fo rm a d a d e L a p la c e p a r a c a l c u l a r l a r e s p u e s ta d e s is te m a s d e p r im e ro y s e g u n d o o r d e n b a jo fu n c io n e s f o r z a d a s d ife re n te s .
www.FreeLibros.me
372
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
C o n s id e re u n s is te m a d e re s o r te - a m o r tig u a d o r s o m e tid o a u n a f u n c ió n f o r z a d a F ( f ) c o n l a e c u a c ió n efe m o v im ie n to ( f ig u r a 4 . l ( b ) ) :
R e s p u e s ta d e s is te m a s d e p r im e r o r d e n
cx+
k x = F (/)
(4 .4 8 )
x + a x = F (l)
(4 .4 9 )
La ecuación (4.48) s e rcescribc com o
cbnde o -
-c ,
F ( ,) = P F ( |) ,
F = i
(4 .5 0 )
l a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 4 .4 9 ) b a jo d if e r e n te s fu n c io n e s f o r z a d a s F ( r ) s e ilu s tr a e n lo s s i g u i e n te s e je m p lo s .
E je m p lo 4 .1 9
R e sp ue sta d e Im p u ls o u n ita rio d e u n sis te m a d e p r im e r o rd e n Encuentre la solución d e la ecuación (4.49) cuando la función forzada e s un im pulso unitario e n i ■ 0 y d e te r m ine los v alo res inicial y d e e stad o estable d e la respuesta. S olución: l a ecu ació n d e m ovim iento, la ecuación (4.49), e n este caso es x + a x = F 6 (i)
( E l)
cbnde F = l / c . S i tom am os la transform ada d e L aplace de la ecu ació n ( E 1) obtenem os íAT(s) - x ( 0 ) + a X ( s ) = F
(E 2 )
Suponiendo q u e las condiciones iniciales son c ero . x(0) = 0. la ecu ació n ( E 2 ) se ex p resa com o
x <*> = 7 T 7 ' F ( 7 T l )
< «)
La transform ada inversa d e L aplacc de la ecu ació n
(E 4 )
El v a lo r inicial d e la respuesta s e puede encontrar a p artir d e la resp u esta d e tiem po, ecuación (E .4). a l esta blecer / = 0 . Esto da x (l - 0 + ) = F
(E .5)
Según la solución en e l dom inio d e la p la c c , el teorem a del v a lo r inicial d a e l v a lo r inicial d e la respuesta:
,(, = 0 +) =
lím f j X ( í ) ] = lím F ( — ) = OO1 /J ,-^ 0 \ j + a )
www.FreeLibros.me
lím E f l— r ) = F i — » \1 + (fl/j)/
(E .6)
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
373
A sim ism o, d e la resp u esta e n e l d om inio del tiem po, ecuación < E 4), e l v a lo r d e e stad o estable s e puede e n co n trar tom ando el límite a m edida q u e i - » oo. P o r lo tanto, la ecuación (E .4 ) da p o r resultado
=
lím Fe~“' = 0
(E.7)
E l valor d e estado estable d e la respuesta s e d eterm ina a p a rtir de la ecu ació n (E .3 ) aplicando el teo rem a del v a lo r final como
■ J S lG r í) - 0
E je m p lo 4 .2 0
(E.8)
R e sp u e sta d e u n sis te m a d e p rim e r o rd e n d e b id o a u n a fu n c ió n ra m p a E ncuentre la solución d e la ecuación (4.49) cuando la f u e r a aplicada es una función rampa. S o lu c ió n : l a ecuación d e m ovim iento, ecu ació n (4.49), en este c a so s e escribe com o x + ax = Fbl = d i
(E. 1)
d o n d e d = F b , F = 1/ c , y b indica la pen d ien te d e la ram pa (figura 4.24). T om ando la transform ada d e l a place de la ecu ació n (E .1) obtenem os sX (s) - x (0 ) + a X (j) =
(E.2)
Suponiendo q u e la s condiciones iniciales so n cero, x (0 ) = 0 . la ecuación ( E 2 ) s e expresa como
(E.3) * W = ‘' U
, +
La transform ada inversa de L aplace d e la ecuación ( E 3 ) d a la respuesta d e e stafo estable d e l sistem a como
(E.4)
m
Figura 4.24 FU nción ra m p a .
www.FreeLibros.me
374
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
C b n s id e re u n s i s t e m a d e re s o rte - m a s a -a m o r tig u a d o r s o m e tid o a u n a fu n c ió n f o r z a d a F f f ) c o n la e c u a c ió n d e m o v im ie n to (fig u ra 4 .2 (a ) ) :
R e s p u e s ta d e s is te m a s d e s e g u n d o o rd e n
« « + «* + * . - ? ( » )
<4 .si)
l a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n (4 .5 1 ) b a jo fu n c io n e s f o rz a d a s d if e r e n te s F ( / ) se ilu s tr a e n lo s e je m p lo s sig u ie n te s.
E je m p lo 4 .2 1
R e sp ue sta d e Im p u ls o u n ita rio d e u n s is te m a d e s e g u n d o o rd e n r ttc r m in c la respuesta d e un sistem a no am ortiguado d e un solo grada d e libertad a un im pulso unitario. S olución: La ecu ació n de m ovim iento está dada por n ix + e x + k x = 8 ( l )
(E .1)
Tom ando la transform ada d e L aplace d e am bos lados d e la ecuación ( E I ) obtenem os [m (x? - sx o - ¿ o ) + ? ( s “ *o) + * ] * ( * ) = • o ( m j 2 + e s + k ) X ( s ) = m x 0 + (m s + c ) x 0 + I
(E .2)
Suponiendo u n a condición inicial c ero . x0 = ¿ 0 = 0. la ecuación (E .2) se expresa com o (m r2 + es + k ) X ( s ) = I
XM
+ 2 ¡ „ ., + *¿)
Ib d c m o s ex p resar e l lado derecho d e la ecuación < E 3) en fracciones parciales com o
(E4> d>nde s, y s 2 s o n las raíces d e la ecuación polinom ial: s 2 + 2 ¿ to .s + to2 = 0
(E 5 )
las cuales e stán d a d as por *i =
+ iu>d<
*7 = -£ * > , “ i u j
(E .6)
d in d e O Jj
=
« ,V l -
www.FreeLibros.me
i2
(E 7 )
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
375
es la frecuencia am ortiguada d e l sistem a. L a sustitución d e la ecuación ( E 6 ) e n la ecuación (E .4) d a p o r re sultado C ,( j ~ s2 ) + C 2( s - í i ) = ^ m
(Ci + C 2) s -
- ia ij) + C 2( - ( ( ü H + Itüj)} = ( 0 ) j + — ftl
(E.8)
Igualando los coeficientes e n am bos lados d e la ecuación (E .8). obtenem os
C, + Cj = 0
o
C, = - C 2
- ¡uá ) + C2( - i r u n + ¡tod ) = - -
C2((U „ +
- &>n + 'Wrf) =
(E .9)
(E l° )
l a s ecuaciones ( E 9 ) y ( E 10) dan
c’ “
= " C|
Utilizando la ecuación ( E 11) en la ecuación ( E 4 ) , X (s) se expresa com o
X ( s ) = r r 1— f - 1-------------- — ) 2 J-5 2 /
(E I2 )
T om ando la transform ada inversa d e la p la c c d e la ecuación ( E l 2) obtenem os
- **> “ £ ? ■
'< '> -
* * *
~
2im tü j = — e - * - 1 sin ^ maid
r.
/ fc 0
(E I3 )
Notas: 1. La respuesta .») = 0 d u ra n te í < 0 (p o rq u e e l im pulso unitario se aplica e n i = 0). 2. La ecuación ( E l 3) e s la m ism a que la función d e respuesta d e im pulso unitario derivada con el n e to d o tradicional, la ecuación (4.25). L os d o s ejem plos siguientes ilustran la aplicación d e cálcu lo s d e respuesta de im pulso en e l c o n te x to d e im pactos no clásticos y elásticos.
www.FreeLibros.me
376
C a p ítu lo 4
E je m p lo 4 .2 2
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
R e sp ue sta a un im p a c to n o elástico Una m asa m, que se m ueve con una velocidad v,. choca c o n la m asa M de un sistem a am ortiguatki d e un solo grado d e libcitad c o m o s e m uestra en la figura 4.25(a ) y se adhiere a la m asa M después del impacto, c o m o se m uestra e n la ñ g u ra 4.25(b). E ncuentre la respuesta del desplazam iento resultante d e l sistem a. M étodo: U se la relación: C am bio de cantidad d e m ovim iento = im pulso & decir.
m v , - m v, = j f f { r ) d r
( E l)
(b n d e m e s la m asa q u e choca, v? e s la velocidad final (d e sp u és d e l im pacto); v, es la velocidad in icial (antes del im pacto); f ( t ) e s la fuerza aplicada d urante la corta d uración d e 0 a t. y la integral indica el im pulso (e l m ism o que e l úrea b a jo la cu rv a d e fuerza-tiem po). S olución: Com o la m asa m se adhiere a la m asa M despulís del im pacto, éste se puede considerar p erfecta m ente plástico o no elástico. E l sistem a com binado (c o n la s d o s m asas ju n tas com o se m uestra e n la figura 4 2 5 (b )) se puede considerar q u e está som etido a un im pulso con cam bios e n las velocidades de la s m asas. La fuerza de im p a c to ,/(/X es interna a l sistem a y s e puede suponer que es a r o . P o r lo tanto, la ecuación ( R 1) se « e sc rib e com o (m + M )V t - {m v, + M ( 0 )} = 0
(E .2)
cbndc Vt e s la velocidad d e l sistem a com binado (m + Af) después d e l im pacto, l a ecu ació n ( E 2 ) d a la v e lo cidad d e l sistem a inm ediatam ente después del im pacto como
l a ecuación de m ovim iento para e l sistem a com binado está d ad a por (m + M ) x + e x + k x = 0
H " ! »V ,
(a) A ntes del impacto
(b ) Después del impacto
Figura 4 .2 5 Impacto n o elástico.
www.FreeLibros.me
(E 4 )
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
377
Dado q u e el im pacto cam bia la velocidad, pero no e l desplazam iento, d e l sistem a ju sto inm ediatam ente dcsm vi pues d e l im pacto, la condición inicial se puede considerar com o ,r(í = 0 ) = 0 y x ( r = 0 ) = V, .L a U respuesta d e vibración libre d e l sistem a (solución d e la ecuación (E .4)) s e puede o b ten e r a p artir d e la ecuación (4.18) com o
x (r) =
E je m p lo 4 .2 3
=
m vi
s e n ttj
(m + M )w d
(F..5)
R e sp u e sta a u n Im p a c to p e rfe c ta m e n te elástico U na m asa m , que se m ueve con u n a velocidad v ,, choca con la m asa M d e u n sistem a am ortiguado de u n solo grado d e libertad c o m o se m uestra e n la figura 4.26(a). El im pacto es p erfectam ente elástico d e m odo q u e d e s pués d e l im pacto la m asa m rebota con una velocidad v ,. Encuentre la respuesta d e l desplazam iento resultante d e la m asa M. M étodo: CXiando d o s m asas m y M se m ueven inicialm ente c o n la s velocidades v, y V, c h o c a n entre s í y a lc an z an las velocidades v2 y V, inm ediatam ente después del im pacto, respectivam ente (figura 4 .2 6 (b )); e l principio de can se n a c ió n d e la cantidad d e m ovim iento da por resultado m vj + M V i = m v ; +
m ( v , ~ V2 ) =
-A /( V , -
(E.1)
V i)
Efcbido a q u e e l im pacto es p erfectam ente elástico, es aplicable e l principio d e conservación d e energía ciné tica, d e motto que = |m v ? + -[ M V ]
^ m (v ? - v}) =
-
V \)
m
(a ) A ntes d e l im pacto
(b ) D espués d e l im pacto
www.FreeLibros.me
4 2 6 Im p ac to elástico.
378
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as h cual se rcescribe e n la form a
^ m ( v , + v2) ( v , - V j) = —^ M (V i + V2)(V , - V2)
(E .2)
UiilÍ7ando la ecuación ( E .l ) e n la ecuación (E .2), vem os que V, + v2 = V, + V2
(«^ - V¡) = - ( v 2 - V2)
(E .3)
La ecuación (E .3) indica que la m agnitud d e la velocidad relativa de las m asas perm anece c o n stan te y sólo cam bia e l signo durante un im pacto perfectam ente clástico. S olución: Puesto q u e las velocidades d e las m asas m y M son v, y V, = 0 an te s d e l im pacto, su s velocidades inm ediatam ente después d e l im pacto se determ inan desde la s ecuaciones (E .1) y (E 3 ):
m (v , - v j ) = - M ( 0 - V2) = MV2
v, = !F " S V3
(v i - 0 ) = v, = - (
(E-4>
- V 2) = V2 - v 2
ví
(E 5 )
l a solución d e las ecu acio n es (F..4) y ( R 5 ) d a p o r resultado m - M 15 = ^ T T
m
.. 1'1'
2m
v’ ■
m
V|
H cam bio en la can tid ad d e m ovim iento de la m asa m está d a d o por
-
é
r
2- ' ) * ' - ( £ ? ) '
ft»r lo tanto, e l im pulso aplicado a la m asa m d urante e l im pacto lo da
=
(E8>
Efc acuerdo con la tercera ley d e l m ovim iento d e N ew ton. e l im pulso aplicado a la m asa M d urante e l impacto será el m ism o q u e . pero de signo opuesto, e l im pulso aplicado a la m asa m. D ebido a l im pulso aplicad o , la ecuación de m ovim iento de la m asa M s e expresa como
Í
2m M F ( r ) d r = F = -------- — V |5(r) m + Af
www.FreeLibros.me
(E . 9 )
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
379
U tilizando las condiciones iniciales d e M c o m o « (/ & 0 ) ■ i 0 a 0 y j ( / - 0 ) a ¿0 & 0. la solución de ecuación (E .8) s e ex p resa, utilizando la ecu ació n (4.26), com o
sen turf
I (,) = - s í 7 sc" “j' =
(E IO )
R e s p u e s ta a u n a f u e rz a g ra d u a l
E je m p lo 4 .2 4
R e sp u e sta e s c a lo n a d a d e u n sis te m a s u b a m o rtig u a d o Encuentre b respuesta d e un sistem a subam ortiguado d e un solo g ra d o d e libertad a una función escalonada unitaria. S o lu c ió n : La ecuación d e m ovim iento está d ad a por m x + ex + k x = f ( t ) = I
(F..I)
T om ando la tran sfó rm a la d e L aplace d e am bos b d a s d e la ecu ació n (E. I ) y suponiendo condiciones iniciales cero (xo = x o = 0). obtenem os (E.2)
(m i2 + ex + k ) X ( s ) - ÍCÍ1] = b cual se reescribe como I
X (s) =
(E.3)
m s ( ? + 2 £ « v + a»í) M e m o s ex p resar el lado derecho de la ecu ació n (E .3) en fracciones parciales com o i
x(s)
m s (s2 + 2 ¿ « irf + u 2) donde j (,
C' - + ^ x “ *i x “
+
« s -
(E.4)
y í , so n las raíces d e b ecuación polinom ial s f s 2 + 2¿
(E.5)
las cuales están dadas por s, = 0 .
j 2 = -£ tu „ + ia ij,
s 3 = -& u„ - iioj
(E 6 )
L as c onstantes C ,, C , y C , e n b ecu ació n ( E 4 ) s e determ inan c o m o sigue. S u stitu ir los valores d e í , , s 2 y í j dados p o r b ecuación (E .6 ) e n la ecuación (E .4 ) y reordenar los térm inos n o s lleva a
— = C ,( j 2 + 2£(ü„.f + o»2) + C ^ j 2 + s((co„ + ío jj)] + C { s 2 + j(£o». - ííüj)] m
www.FreeLibros.me
(E 7 )
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s fo rz a d a s La ecuación ( E 7 ) se recscribe com o Í ( C , + C 2 + C 3) +
l[(2 £ ü ,)C ,
+
(¿ tf ,
+
to rfJC j
+ (¿ a i.
-
¡
= (0 )s 2 + ( 0 ) i + I
(E .8)
Igualando los coeficientes d e los térm inos correspondientes en a m b o s lados d e la ecuación (E .8). obtenem os C , + C2 + C , = 0
(E .9)
Ci(2£o>„) + C2(-i< o„ + to rf) +
~ ¡» i) = 0
(E. 10)
CW, = fft
(E .I I)
La solución d e las ecu acio n es ( E 9 M E 11) n o s da <4 ■ — r mea;
(E I2 )
02 ~ 2im
C j “ 2imtod ({o» + »«*)
( E ,4 >
Utilizando la s ecu acio n es ( E I 2 H E I 4 ) en la ecu ació n (E 3 ), X (i)se puede ex p resar com o
m w„ J I______________ I_________________ I______________I
I
+io>d s -
(-(to ,
+i ü t j )
- f u , - Ítod s -
"1
- iiüd
J
(E
T om ando la transform ada inversa d e la p la c c d e la ecu ació n < E 1 5 ) y utilizando los resultadas d a d o s e n el ¡péndice D. en e l sitio web d e esle libro, obtenem os
(l) = _ L + «**"' ( mail
«***_______________^
2imotd \ -(ta„ + ¡ajd
- { oj„ - itod J
- (-i» . +
- ^ j { i + ^
1
= *[’ "
1 seno*rfr + ü>¿ eos iüdl]>
cos(" j ' - ■*>]
Linde
www.FreeLibros.me
(EI4)
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
381
Se ve q u e la ecuación ( E 16) es la m ism a q u e la respuesta escalonada un itaria (c o n F 0 - 0 ) derivada por medio d e l m étodo tradicional, ecu ació n ( E l ) d e l ejem plo 4 .9 . L a respuesta d ad a p o r la ecuación ( E l 6) s e m uestra en la figura 4.27.
V a lo r d e e s ta d o e s ta b le =
1
F ig u ra 4 .2 7 Itespucsta de u n sistem a sub am o rtig u ad o so m e tid o a u n a f u e r a gradual.
E je m p lo 4 .2 5
V a lo re s final e Inicial d e re s p u e s ta e s c a lo n a d a d e u n sis te m a s u b a m o rtig u a d o E ncuentre los valores inicial y d e estada estable d e la respuesta escalonada unitaria d e un sistem a subam ortiguado a partir d e la s respuestas indicadas p o r las ecu acio n es (E 1 6 ) y ( E 3 ) d e l ejem plo 4.24. S o lu c ió n : La respuesta del sistem a e n el dom inio d e l tiem po, ecuación ( E l 6 ) d e l ejem plo 4.24, se escribe com o 1 í 1 x ( t ) = - < I ------------ [¿id* x n i o j t + to j eos cuy] >
(E .l)
C on i = 0 e n la ecuación ( E 1). hallam os e l valor inicial c o m o 0. T om ando e l límite a m edida q u e t - * o o , el térm ino e {">ml —* 0 y por consiguiente el \ak> r d e estado estable d e x (t) está dado p o r 1 /k. l a respuesta d e l sis tem a e n e l dom inio d e L aplace se obtiene c o n la ecuación ( E 3 ) d e l ejem plo 4 2 4 . Utilizando e l teorem a d e l valor inicial, encontram os d v a lo r inicial com o
x (l = 0 + ) =
lím [ r X ( j ) l *-•00
lím oc _ m (s 2 4 2 f » ms
x „ = l í m [ j * ( j ) ] = Lím _ m ( r + 2&ons + cu;
E je m p lo 4 .2 6
m iol
R e sp u e sta d e u n a m á q u in a c o m p a c ta d o ra E ncuentre la respuesta d e la m áquina com pactadora d e l ejem plo 4.9 suponiendo q u e el sistem a es subam orti guado (e s d e c ir. ¿ < 1). M étodo: Use un m odelo d e resorte-m asa-am ortiguador de la m áquina com pactadora y la técnica d e la trans form ada d e Laplace.
www.FreeLibros.me
382
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as S olución: La función forzada está d ad a por
n o
F0
durante
0 £ i < r0
0
durante
/ > /0
(H.1)
Tom ando la transform ada d e Laplace d e la ecu ació n diferencial rectora, ecuación (4.51). y utilizando e l apéncfice D , q u e se en cu en tra e n e l sitio web de este libro, obtenem os la siguiente ecuación: F (s)
X (S ) = m (s2 +
2 {< o¿ + cu2)
z2 + 2 C * V + o>l
•*o
1
(E .2)
í 2 + 2¿
e -~ ) (E .3)
F (s) = itF (l)
R tr lo tanto, la ecuación ( E 2 ) s e escribe com o F0( I -
e '* * )
X (s) m s (s 2 + 2£<*v + oj2)
s 2 + 2£a»„ + col 7o
+ 2¿ « v + cu
■r0 -"'o*
I
Vo>; -*0
r
—
«.
£_______ +
“■ ( i i * «£ + ,)
1________
^
)
^ f 4 W m
(E .4)
+ « i +1) <•>«
J
La transform ada in v ersa de la ecu ació n ( E 4 ) se ex p resa utilizando los resultados dados e n el ap én d ice D (vea d sitio w eb d e este libro) como
* (/) =
Fo mcu2
' ™
■
j [ " 7 = 7 K ” ^ ' / r T í 3<' - '» ) + * > ]
í [ ^
S
se" , “ - v n r 7 ' ‘ *‘ |] (E .5)
www.FreeLibros.me
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
383
donde *1 = e o s '( £ )
(E 6 )
F\>r lo tanto, la respuesta d e la m áquina com pactadora s e ex p resa como
- ¡ ..( .- ..i
( / - - „ ) + * ,!]
^ = f - ^ s e n K
V l - í ’ < - * ,)
(E 7 ) • » ,v l - ( '
Aun cu an d o s e e sp era q u e la prim era parte d e la ecu ació n ( E 7 ) se a la m ism a q u e la ecuación ( E 1) del ejem plo 4.11, e s difícil v e r la equivalencia e n la presente form a d e la ecu ació n (E.7). Sin em bargo, para e l sistem a no am ortiguado, la ecu ació n (E .7) se reduce a
* ( ') =
|^ - s c n ^ +
( - x 0 sen I iu„f - -
=
—
[eos
t0 ) -
+ sen |
íü, ( /
- r0) +
*0 I + — sen t o j
eos W ] +
*
,0COSO.,/ +
—
sen <*J
a».
S e v e q u e la prim era parte, o p a rte d e e stad o estable d e la ecuación (E .8), e s idéntica a la ecu ació n (E .3 ) del ejem plo 4.11.
E je m p lo 4 .2 7
S is te m a s o b re a m o rtlg u a d o s o m e tid o a u n a fu e rz a gra d u a l Determ ine la respuesta d e un sistem a sobream ortiguado d e un solo gratki d e libertad som etido a una fuerza gradual con la ecuación de m ovim iento 2 x + 8 ¿ + 6 * = 5 u ,(r )
(E l)
Suponga la condición inicial c o m o x Q = 1 y ¿ 0 - 2. S olución: T om ando la transform ada d e L aplacc de a m b o s lados d e la ecu ació n ( E 1). obtenem os [ 2 { j j X ( j ) - s x 0 - ¿o} + 8{s X ( s ) - *(,} + 6 X (x )] = *
U tilizan d o lo s v a lo re s in ic ia le s. x 0 = 1 y ¿ 0 = 2 . la e c u a c ió n (E .2 ) s e e x p r e s a com o
s ( 2 r + 8J + 6 ) X ( s ) = 2s~ + 12j + 5
s 7 + 6 s + 2.5
2 j 2 + 12í + 5 * < * )-
2 í (í 3 + 4 j + 3 )
+ • )( * + 3)
O bservando q u e la s raíces d e l polinom io e n e l denom inador d e l lado (fcrecho d e la ecuación (E .3) so n s t = 0. j j = - 1 y s 3 = - 3 . X ( s ) s c ex p resa, utilizando fracciones parciales, com o
£L _ + _£L
X (s) = s -
Si
¡ -
S2
s -
< E 4) Sj
(b n d e las c onstantes se pueden hallar, utilizando la ecuación (D .l). como A ( ,) Ct =
k = I. 2 . 3
B '( s )
(E .5)
d m d e > \(j)e s e l n um erador y B (s )e s el denom inador d e la expresión m edia e n la ecu ació n (E .3 ) y u n a prim a indica la derivada con respecto a .t. La expresión m edia e n la ecuación (E .3) d a p o r resultado 4 ( i ) = s 2 + 6 s + 2.5 B ’( s )
+ 8»
3
3
6
(E .6)
Las ecuaciones (E .5) y ( E 6 ) dan M s) C, =
B '(x ) A (s)
- 2 .5 = 5
B '( s )
-2
1
A (s) C, =
B '( s )
4
- 6 .5
|3
< E 7)
12
í= « 3 = -3
C onsiderando las ecuaciones ( E 7 ) . la ecuación ( E 4 ) se escribe com o 5 1 ( ,)
5
1
6 s ~ 4 j + 1
13
I
12 j + 3
(E .8)
Tom ando la transfonnada inversa d e L aplacc de la ecu ació n ( E 8 ) . obtenem os la respuesta d e l sistem a com o
(E .9 )
La respuesta d ad a p o r la ecu ació n ( E 9 ) se m uestra gráficam ente e n la figura 4.28.
www.FreeLibros.me
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
385
i F ig u ra 4 .2 8
4 . 7 . 5 _______
A n á Ü S iS d e la r e s p u e s t a e s c a lo n a d a
La respuesta de un sistema amortiguado de un solo grado de libertad sometido a una fuerza gradual, dada por las ecuaciones (E .l) y (E.2) del ejemplo 4.9 y las ecuaciones (E.16) y (E .I7 ) del ejemplo 4-24, se pueden expresar en la forma
kx/,\ — ^ Fo
, = I -
---------- e - ^ - ' c o s K ; - ó ) v i - r
(4.52)
donde
tan"1 I - 7=
v i
=
h )
|
(4.53)
Las variaciones de la respuesta no dimensional k x (t)/F Q, con el tiempo no dimensional, a y , se muestran gráficamente en la figura 4.29 para varios valores de la relación de amortiguamiento f. Se ve que para un sistema no amortiguado (£ * 0 ), la respuesta presenta oscilaciones que nunca cesan. Para un sistema subamortiguado (£ < 1), la respuesta sobrepasa y oscila en tomo al valor final o de estado estable. Además, cuanto más pequeño es el valor de la relación de amortiguamiento más grande será el sobrepaso, de modo que las oscilaciones tardan más en cesar, ftira un sistema críti camente amortiguado (£ = 1), la respuesta alcanza el valor final o de estado estable más rápido sin oscilación. Para un sistema sobreamoitiguado (£ > 1), la respuesta alcanza el valor de estado esta ble lentamente sin sobrepaso.
www.FreeLibros.me
386
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
k x jt) Fo
F igura 4 .2 9 Respuesta de u n siste m a su b a m o rtig u a d o debido a u n a fuerza g ra d u al u n ita ria .
4 .7 .6
D e s c r ip c ió n d e u n a re s p u e s ta tra n s ito ria
H d e s e m p e ñ o y c o m p o r ta m ie n to d e u n s is te m a v ib r a to r io p a r a re s p u e s ta tra n s ito r ia s e d e s c rib e e n fu n c ió n d e p a r á m e tro s c o m o s o b r e p a s o m á x im o , tie m p o p ic o , tie m p o d e s u b id a , tie m p o d e re ta rd o y tie m p o d e a s e n ta m ie n to . E s to s p a rá m e tro s s e m u e s tra n e n l a f ig u r a 4 .3 0 . la c u a l in d ic a u n a r e s p u e s ta e s c a lo n a d a típ ic a d e un s is te m a s u b a m o r tig u a d o . S e a n a liz a n a c o n tin u a c ió n . 1. T ie m p o p i c o (lp\ ’ El tie m p o p ic o e s e l tie m p o r e q u e r id o p a r a q u e l a re s p u e s ta a lc a n c e e l p r im e r p ic o d e s o b re p a s o . L a c a n tid a d m á x im a d e lo s s o b re p a s o s d e r e s p u e s ta . o c u rre c u a n d o l a d e r iv a d a d e x (l) es c e r o . L a e c u a c ió n (E . 16) d e l e je m p lo 4 .2 4 d a l a v a ria c ió n d e tie m p o d e l a re s p u e s ta e s c a lo n a d a u n ita ria d e un s is te m a s u b a m o r tig u a d o :
k x (l) = 1 - e
( —
s e n iú ¿ \ + e o s to A
(4 .5 4 )
\
d o n d e iod -
iü „
V 1 - £2 . L a e c u a c ió n ( 4 .5 4 ) ta m b ié n s e p u e d e e x p r e s a r e n fo r m a c o m p a c ta
com o
* ,(« ) -
I -
V 1 + ( ¿ j J
-
“ )
( 4 .5 5 )
tb n d e
a = tan"
( t<»n
www.FreeLibros.me
(4 .5 6 )
( 4 .5 6 )
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
387
*(/)
L a d e r iv a d a d e x (r) s e r á c e r o c u a n d o x (f) a lc a n c e s u m á x im o , d e m o d o q u e
k x(r) =
|
^
s e n u>dt + e o s oidt
j
- e ~ í * "' {£
Í ( M 2s e n t ü j l +
e i
= 0
r u a s e n io jt
I
(4 .5 7 )
L a e c u a c ió n (4 .5 7 ) s e sa tis fa c e c u a n d o s e n u> j = 0 d e m o d o q u e u jtp = 0
(4 .5 8 )
P o r lo ta n to , e l tie m p o p ic o e s t á d a d o p o r
'P = 2.
(4 .5 9 )
T ie m p o d e s u b id a (lt \: E3 tie m p o d e s u b id a e s e l tie m p o n e c e s a r io p a r a q u e l a re s p u e s ta s u b a d e 10% a 9 0 % d e l v a lo r f in a l o d e e s ta d o e s ta b le p a ra s is te m a s s o b r e a m o r tig u a d o s . P b r l o c o m ú n , p ara s is te m a s s u b a m o r tig u a d o s e l tie m p o d e s u b id a s e c o n s id e r a c o m o e l tie m p o re q u e rid o p a ra q u e la re s p u e s ta s u b a d e 0 % a 1 0 0 % d e l v a lo r fin a l o d e e s ta d o e s ta b le . S u p o n ie n d o q u e e l tie m p o d e s u b id a e s ig u a l a l tie m p o r e q u e r id o p a ra q u e la re s p u e s ta s u b a d e 0 % a 1 0 0 % . p o d e m o s d e te r m in a r e l tie m p o d e s u b id a ig u a la n d o e l v a lo r d e x ( /) d a d o p o r la e c u a c ió n (4 .5 4 ) e n e l in s ta n te / , a uno:
www.FreeLibros.me
388
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
■*('*) -
O b s e rv a m o s q u e
1 “ é
I -
+
(4 .6 0 )
'• * 0 , la e c u a c ió n ( 4 .6 0 ) d a p o r re s u lta d o
=
se n w j/, + eo s
0
o
í1
V i t a n (ü ¿ t = ---------
(4 .6 1 )
f e t a d a e l tie m p o d e s u b id a t, c o m o
J
I
,í= ^
V i -
,an { —
—
C2\
77 - a
J = ^
(4 -62)
r
c b n d e l a e c u a c ió n ( 4 .5 6 ) d a a . L a m is m a e c u a c ió n in d ic a q u e e l tie m p o d e s u b id a ts s e p u e d e r e d u c ir in c re m e n ta n d o e l v a lo r d e tod o £. 3.
S o b r e p a s o m á x i m o (M p) : E s e l v a lo r p ic o m á x im o d e l a re s p u e s ta c o m p a ra d o c o n e l v a lo r fin a l o d e e s ta d o e s ta b le (x(oo) o x „ ) e x p re s a d o c o m o u n p o r c e n ta je d e l v a lo r d e e s ta d o e s ta b le . S e p u e d e c a lc u la r c o m o x ( tp ) — x r(o c) S o p r e p a s o = ------- — -------
(4>63j
S u s titu y e n d o la e c u a c ió n ( 4 .5 9 ) e n l a e x p r e s ió n x ( r \ e c u a c ió n ( 4 .5 4 ) . o b te n e m o s
\
C túm
x (tp ) = 1 + Mp = 1 -
*
—
s e n 77 + e o s i r J = 1 + e
£ w
(4 .6 4 )
R >r lo ta n to , e l s o b re p a s o e s tá d a d o p o r
Mp = e~ -
— X* = e v 'T ?
(4 .6 5 )
R s o b r e p a s o e n p o r c e n ta je s e o b t ie n e c o m o % M P = lO O e ' v S ?
(4 .6 6 )
Si in v e r tim o s l a re la c ió n e n l a e c u a c ió n ( 4 .6 6 ) , p o d e m o s e n c o n t r a r la r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to ( ( ) p a r a un p o r c e n ta je d e s o b r e p a s o d a d o c o m o ln ( % A f p /1 0 0 ) )
{
V i r 2 + ln * ( % ' i y T b o )
www.FreeLibros.me
( 4 ,6 7 )
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
389
E l s o b r e p a s o d a d o p o r l a e c u a c ió n ( 4 .6 5 ) , s e m u e s tra g rá fic a m e n te e n la f ig u r a 4 .3 1 . T ie m p o d e a s e n la m ie n ío : E>te tie m p o , p o r d e f in ic ió n , e s a q u e l d u r a n te e l c u a l * ( /) e n l a e c u a c ió n (4 .5 5 ) l le g a y s e m a n tie n e d e n tr o d e ± 2 % d e l v a lo r d e e s ta d o e s t a b l e , S u p o n ie n d o q u e e l té rm in o c o s e n o e n l a e c u a c ió n ( 4 .5 5 ) e s a p r o x im a d a m e n te ig u a l a u n o , e l tie m p o re q u e rid o p a r a q u e e l f a c to r d e m u ltip lic a c ió n d e l té r m in o c o s e n o a lc a n c e un v a lo r d e 0 .0 2 d a e l tie m p o d e a s e n ta m ie n to :
e ~ t
“ " '«
y
j
1
+
( ^
) 2
1 =
,
*
- I n ( 0 .0 2 V I -----------------------
í 2)
-
=
0 .0 2
la c u a l n o s d a
(4 -6 8 )
A m e d id a q u e £ v a r ía d e 0 a 0 .9 , e l n u m e r a d o r e n l a e c u a c ió n ( 4 .6 8 ) v a r ía d e 3.01 a 4 .7 4 . P o r lo ta n to , e l tie m p o d e a s e n ta m ie n to , v á lid o a p r o x im a d a m e n te p a ra t o d o s lo s v a lo r e s d e £ , se p u e d e c o n s id e r a r c o m o
( 4 .6 9 )
5.
T ie m p o d e d e m o r a (/¿X1 É s te e s e l tie m p o re q u e rid o p a r a q u e l a re s p u e s ta a lc a n c e e l 5 0 % d e l v a lo r f in a l o d e e s ta d o e s ta b le p o r p r im e r a v e z .
R e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to . £
Figura O I Variación de sobrepaso e n porcentaje con la relación d e am ortiguam iento.
www.FreeLibros.me
390
C a p ítu lo 4
E je m p lo 4 .2 8
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
C a ra c te rís tic a s d e re s p u e s ta d e riv a d a s d e la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia Encuentre e l tiem po pico (fpX porcentaje d e sobrepaso <% A /p, tiem po d e asentam iento (íM) y tiem po d e subida (/,)c o n la función de transferencia d e l sistem a d ad a por X (s)
225
T (,)
TTThTñs
(R I)
S olución: 1.a frecuencia natural del sistem a se p u ed e h a lla r a p artir del últim o term ino e n el den o m in ad o r de h ecu ació n ( E l) : cu, = V 2 2 5 = 15 rad/s
(E .2)
La relación d e am ortiguam iento s e determ ina desde e l térm ino m edio en e l denom inador d e la ecuación ( E l ) com o
(EJ> La sustitución d e les v alo res de cu, y £ e n la s ecuaciones (4.59), (4.66), (4.69) y (4.62) d a por resultado ir ir T iem po p ico = t„ = — = ------, P «4 c^V l -
ir a = -------,■ - = 0.2418 s 15V i - 0.5
R»rcentaje de sobrepaso = % M p = lO O c -í^ T = l O O e ^ í S ) = 100(0.1231) = 12.31
T iem po d e asentam iento = i, =
¿cu,
= ■ ■* - = 0.5333 s 0.5(15)
ir -
(E .5)
(E .6)
t a n '1
f
a
T iem po d e subida = i r =
(E .4)
e
<°d ir
-
ta n
f
e
)
= 0 .2 0 1 5 8
(E .7)
15 V i - 0.52 Este ejem plo dem uestra que las características d e respuesta, tiem po p ico , porcentaje d e sobrepaso, tiempo de asentam iento y tiem po d e subida, se d eterm inan sin la tediosa tarca d e b u sc a r la respuesta en función del tiem po m ediante u n a transform ada inversa d e Laplacc. trazando la respuesta en función del tiem po y tom ando n e d id a s d e la curva en función d e l tiem po resultante.
E je m p lo 4 .2 9
P a rá m e tro s d e sis te m a o b te n id o s a p a rtir d e la s ca ra cte rístic a s d e re s p u e sta c o n o c id a s D eterm ine los v alo res d e l m om ento d e inercia d e m asa y la constante de am ortiguam iento d e un sistem a torsiom l. m ostrado en la figura 4 .3 2 . p ara alcanzar 25% d e sobrepaso y un tiem po d e asentam iento d e 2.5 s durante un par d e torsión escalonado d e entrada Tq( i ). La rigidez torsional d e l sistem a e s d e 10 N -m /rad.
www.FreeLibros.me
4 .7
T r a n sfo r m a d a d e L aplace
391
F ig u ra 4-32
Tiempo
S o lu c ió n : La función d e transferencia del sistem a se expresa com o
e (x )
( i/ o
7 (0
(E.1) r ° ( ,)
J
J
A p artir d e l últim o term ino e n e l denom inador d e la ecuación < E I ). obtenem os
(O*
(E 2 )
f i
E l térm ino m edio e n e l denom inador d e la ecuación (E . 1) da
(E 3 )
C o m o e l tiempo d e asentam iento es d e 2.5 s. tenem os (p o r la ecuación 4.69):
f .= —
= 2.5
o
— 1-6
(E.4)
L as ecuaciones ( E 3 ) y (E .4) dan 2 {a>„ = 1 2 =
Cj
(E 5 )
l.a s ecuaciones ( E 2 ) y ( E 4 ) dan p o r resultado
(E.6)
www.FreeLibros.me
392
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Utilizando e l porcentaje de sobrepaso conocido, la relación d e am ortiguam iento s e d eterm ina p o r la ecuación (4.67) com o ln (* M ,/!0 0 ) In (2 5 /1 0 0 ) = = £ = = = = ----- = = = = = = = = = 0.4037 V n 2 + ln2 ( f t M / 1 0 0 ) V i r 2 + ln} (2 5 /1 0 0 )
i = ----- =
(E .7)
La ecu ació n ( E 4 ) da
“■ “ 7
= 5 ^
= 39633 ^
(E'S»
l a ecuación ( R 2 ) d a por resultado
La constante d e am ortiguam iento torsional c , se en cu en tra a p artir d e la ecu ació n (E .5) com o
= 3.2 J = 3.2(0.6366) = 2.0372 N -m -s/rad
4 .8
(E .I0 )
M é to d o s n u m é ric o s L a d e te r m in a c ió n d e l a re s p u e s ta d e u n s is te m a s o m e tid o a f u n c io n e s f o rz a d a s a rb itra ria s m e d ia n te m é to d o s n u m é ric o s s e l la m a s im u la c ió n n u m é ric a . L o s m é to d o s a n a lític a s c o m e n ta d o s h a s ta a h o ra D cgan a s e r te d io s o s y e n o c a s io n e s in c lu s o im p o s ib le s d e u tiliz a r p a ra h a lla r l a re s p u e s ta d e un á s t e m a s i l a fu n c ió n fo rz a d a o e x c ita c ió n n o s e p u e d e d e s c rib ir e n u n a fo r m a a n a lític a s im p le o si x tie n e n q u e u tiliz a r d a to s d e f u e r z a c x p c r iin e n ta lm e n lc d e te r m in a d o s ( c o m o l a re s e ñ a d e l a a c e le ra c ió n d e l s u e lo m e d id a d u ra n te u n s ism o ). S e p u e d e n u tiliz a r m é to d o s n u m é r ic o s p a ra v e rif ic a r la e x a c titu d d e la s s o lu c io n e s a n a lític a s , s o b r e to d o s i e l s is te m a e s c o m p le jo . D e l m is m o m o d o , l a s s o lu c io n e s n u m é ric a s s e tie n e n q u e v e r if ic a r p o r m e d io d e m é to d o s a n a lític o s sie m p re q u e se a p o s i b le. E n e s t a s e c c ió n s e c o n s id e r a n lo s m é to d o s n u m é ric o s d e r e s o lv e r s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d s o m e tid o s a fu n c io n e s fo rz a d a s a rb itra r ia s , l a s s o lu c io n e s a n a lític a s s o n s u m a m e n te ú tile s p a r a c o m p r e n d e r e l c o m p o r ta m ie n to d e un s iste m a c o n re s p e c to a c a m b io s e n s u s p a r á m e tr o s . l a s s o lu c io n e s a n a lític a s c o n s titu y e n u n a a y u d a d ire c ta a l d i s e ñ a r s is te m a s q u e s a tis fa g a n c u a lq u ie r c a ra c te rís tic a d e re s p u e s ta e s p e c ific a d a c o n la se le c c ió n a p r o p ia d a d e v a lo re s d e p a r á m e tr o s . S i la s o lu c ió n a n a lític a se d if ic u lta , l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e p u e d e h a lla r p o r m e d io d e u n p r o c e d im ie n to d e in te g ra c ió n n u m é ric a . S e c u e n ta c o n v a rio s m é to d o s p a r a l a in te g ra c ió n n u m é ric a d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d in a ria s . L o s m é to d o s d e R u n g c -K u tta s o n u n lu g a r c o m ú n p a r a l a s o lu c ió n n u m é ric a d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s . C b n s id c rc la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e un s is te m a a m o r tig u a d o d e u n so lo g r a d o d e lib e rta d 33m e tid o a u n a fu e rz a a r b itr a r ia / ( / ) :
m i{ t) + c ¿ (/) + k x ( t) = f ( t )
( 4 .7 0 )
c o n la s c o n d ic io n e s in ic ia le s x ( l = 0 ) = x 0 y x ( t = 0 ) = X q. L a m a y o ría d e l o s m é to d o s n u m é ric o s a s u m e n q u e l a e c u a c ió n d ife r e n c ia l a p a r e c e e n l a f o r m a d e u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l d e p r im e r o rd e n
www.FreeLibros.me
4 .8
M éto d o s n u m é r ic o s
393
(o u n c o n ju n to d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n ). C o m o t a l . te n e m o s q u e c o n v e r tir la e c u a c ió n d ife re n c ia l d e s e g u n d o o r d e n , e c u a c ió n ( 4 .7 0 ) . e n u n c o n ju n to e q u iv a le n te d e d o s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e p r i m e r o rd e n . P a r a e s to , in tro d u c im o s l a s f u n c io n e s d e s c o n o c id a s
* ,( f ) = x ( i ) ,
x 2( t ) = x ( r ) =
= ¿ ,( i)
(4.71)
y rcescribim os la ecuación (4 .7 0 ) com o
m x (l) = - c x ( r ) - k x ( r ) + / (/ )
(4.72)
o, considerando las funcionesx,(i) y x?(f) introducidas en la ecuación (4.71), m x 2 = ~ c x 2( t ) -
k x }( t ) + / ( / )
(4 .7 3 )
La ecuación (4.73) ju n to c o n la segunda relación d a d a e n la ecuación (4.71) s e puede ex p resar com o
X t(t) = x 2 ( t )
(4.74)
¿ 2 (0 = ¿ * ( 0 " £ * i < l ) + ¿ / ( / )
(4.75)
l a s ecuaciones (4 .7 4 ) y (4.75) representan d o s ecuaciones diferenciales de p rim er orden y juntas indican la ecuación (4.70). L as ecuaciones (4.74) y (4.75) se pueden e x p re sa re n form a vectorial com o
X(t) -
F(X,t)
(4.76)
donde
*<■> -
f e »
)
*■> -
{ « '. ! } •
En la mayoría de los métodos numéricos se obtienen soluciones mejoradas con la presente solución (comenzando con un valor inicial conocido en el tiempo cero) de acuetdo con la fórmula
M é to d o s de R u n g e -K u t t a
•*j+i = x ¡ + ^ x ¡
(4 -7 8 >
donde xl+ , es el valor d e xe n i = i(+l,x( esel valor dexen/ = t ,,y Axesel mejoramiento i ncremental agregado a x¡. Si la solución. x(l), se va a determinar durante el intervalo O s / S T.el tiempo total se divide en n partes iguales con A l =» 77n.de modo que r0 “ O .i, ■ Ar,r2 ■ 2 A/.... t , - i A i. ...,i„ = n Ai-7.
www.FreeLibros.me
394
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as B i lo s m é to d o s d e R u n g c - K u tta s e h a c e q u e l a f ó r m u la a p r o x im a d a u tiliz a d a p a r a o b te n e r la s o lu c ió n Xj* | a p a r tir d e x , c o in c id a c o n l a e x p a n s ió n e n s e r i e d e T a y l o r d c . r e n x <+, h a s t a té r m in o s cfc o r d e n (A /)4, d o n d e k s ig n if ic a e l o rd e n d e l m é to d o d e R u n g c -K u tta . L a e x p a n s ió n e n s e rie d e T a y lo r d e x ( t) e n i + A / e s t á d a d a p o r
x (t + A0
(A /)2 = x (i) + x A r + j r ~ 7 - +
(A /)3 +
"*
(4 /7 9 )
E n c o n tr a s te c o n l a e c u a c i ó n ( 4 .7 9 ) , la c u a l re q u ie r e d e r iv a d a s d e a lto o r d e n , lo s m é to d o s d e R u n g e K u tta n o n e c e s ita n d e riv a d a s e x p líc ita m e n te m á s a l l á d e l p r i m e r o rd e n . E n e l m é to d o d e R u n g e -K u tta d e c u a rto o rd e n , e l c u a l e s e l m á s c o m ú n m e n te u tiliz a d o , s e u s a h s ig u ie n te fó rm u la d e re c u rre n c ia p a ra e n c o n tra r lo s v a lo re s d e X ( r ) e n d ife re n te s e s ta c io n e s d e tie m p o t, c o m e n z a n d o a p a r tir d e l v e c to r in ic ia l c o n o c id o . X n =
XM
=
x¡
+
o
\ 1 = I X° [ : U ( ' = 0 )J [ x q ¡
+ 2 * 2 + 2 ^ 3 + * 4]
(4 .8 0 )
cbnde K , = k F ( X b tt)
(4 .8 1 )
K2 = h F ^ + '- K u t i + '- h j
( 4 .8 2 )
'¡ +
K4
^
h F y x i ^ - K 2, , l + - h j
( 4 .8 3 )
= h F ( X , + K b tM )
( 4 .8 4 )
B m é to d o e s e s ta b le y d e in ic io a u to m á tic o , e s d e c ir , s ó lo s e re q u ie r e e l v a lo r d e la fu n c ió n v e c to r F e n u n a e s ta c ió n d e tie m p o p r e v ia ú n ic a p a r a d e te r m in a r la f u n c ió n e n la e s ta c ió n d e tie m p o a c tu a l. E l s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a e l p r o c e d im ie n to .
E je m p lo 4 .3 0
R e sp ue sta o b te n id a co n el m é to d o d e R u n g e -K u tta B icucntrc la respuesta d e un sistem a de un solo grado d e libertad som etido a u n a f u e r a con la ecu ació n de m ovim iento SOOx + 200* + 750* = F ( t ) = 2 0 0 0
(E .1)
de m odo q u e m = 500. c = 200, k = 7 5 0 y F (t) = F0 = 2000. Utilice el m étodo d e R unge-K utta d e cuarto a d e n . A sum a las condiciones iniciales com o *(r = 0 ) = *0 = 0 y * ( / = 0 ) = * 0 = 0. S olución: La ecu ació n d e m ovim iento d ad a p o r la ecu ació n ( E 1) se ex p resa c o m o un sistem a d e d o s ecuaciore s diferenciales d e p rim er orden c o m o se m uestra e n la ecuación (4.76) con
www.FreeLibros.me
4 .8
M éto d o s n u m é r ic o s
395
* i(0 '
-tó S -L
' Í5 o < ^ 0 0 0 “ 2 0 0 ^2 -
750*))
*o =
La respuesta se calcula d urante e l tiem po (0 . 7 ) L a función d e tiem po d e 7 = 2 0 s s e d ivide en 400 etapas iguales d e m odo que
4' “ * = «3¡ = 5
x> =
003‘
P o r lo tanto, f0 = 0 , / , = 0.05, t r = 0.10, / , = 0 .1 5 ...... r**, = 20.0. S e aplica e l m éto d j d e R unge-K utta para hallar la respuesta d e l sistem a C*i>). E n la tabla 4 . 1 se m uestran vectores d e solución típicos X ¡ p ara i = 1 .2 , 3 , 4 0 0 . La respuesta d e l sistem a s e m uestra trazad a e n la ligura 4.32.
T a b l a 4.1 I
x , ( 0 = x(íi )
x j i ) = x ítj)
1
0 .0 0 0 0 0 0 c+ 0 0 0
O.OOOOOOc+OOO
2
4.96527 l e —003
l .9 7 8 8 9 5 e - 0 0 l
3
1.97113óe- 0 0 2
3.91126 I e - 0 0 1
4
4 .3 9 8 9 8 7 c—002
5 .7 9 0 8 4 6 e -0 0 l
5
7 .7 5 2 192e- 0 2 2
7 .6 1 172ÍV-O OI
6
1.199998 e -0 0 1
9 .3 6 8 2 8 6 e —001
:7
I.7 l0 8 8 8 c - 0 0 l
1 .1 0 5 5 3 0 e+ 0 0 0
8
2 .3 0 4 2 8 7 e-0 0 1
l.2 6 6 7 8 7 e + 0 0 0
9
2 .9 7 6 3 5 9 e-0 0 1
1 .4 2 0 1 5 0 c+ 0 0 0
10
3 .7 2 3 0 5 2 e -0 0 l
1.565205c-*-000
391
2 .6 7 5 6 0 2 e+ 0 0 0
—6.700943c - 0 0 2
392
Z 6 7227Q *+ 000
- 6 .6 2 2 ! 6 7 e -0 0 2
393
2 .6 6 8 9 8 3 c-*-000
—6.520372c—002
394
2 .6 6 5 7 5 3 e+ 0 0 0
- 6 .3 % 3 9 1 c - 0 0 2
395
2.66259
- 6 .2 5 1 1 2 5 c - 0 0 2
396
Z 659505c+ 000
-6 .0 8 5 5 3 3 c - 0 0 2
397
2.656508c-*-000
- 5 .9 0 0 6 3 4 c - 0 0 2
398
2.653608c-*-000
—5 .6 9 7 4 9 5 c- 0 0 2
399
2 .6 5 0 8 14c-*-000
- 5 .4 7 7 2 3 l e - 0 0 2
400
2 .6 4 8 133c-*-000
—5 .2 4 1 0 0 0 c—002
www.FreeLibros.me
396
C a p ítu lo 4
4 .9
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
R e s p u e s ta a c o n d ic io n e s fo rz a d a s irre g u la re s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é ric o s B i e l m é to d o d e in te g ra c ió n n u m é ric a d ire c ta d e l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to ( s o lu c ió n n u m é ric a de e c u a c io n e s d ife re n c ia le s ) p re s e n ta d o e n l a s e c c ió n 4 .8 se s u p u s o q u e la s fu n c io n e s f o rz a d a s F( t ) e stá n tS sp o n ib lc s c o m o fu n c io n e s d e tie m p o d e u n a m a n e ra e x p líc ita . E n m u c h o s p ro b le m a s p rá c tic o s , sin e m b a rg o , la s fu n c io n e s fo rz a d a s F \ i ) no e s t á n d is p o n ib le s c o m o e x p re s io n e s a n a lític a s . C u a n d o u n a fu n ció n fo rz a d a s e d e te rm in a e x p e rim e n ta lm e n te . F (t) s e p u e d e d e n o m in a r c o m o u n a c u r v a irr e g u la r . E n o c a s io n e s s ó lo s e p u e d e d is p o n e r d e los v a lo re s d e F {t) = F , e n u n a s e r ie d e p u n to s i = l¡ e n la fo rm a d e un d ia g ra m a o u n a ta b la . E n e s o s c a s o s p o d e m o s a ju s ta r p o lin o m io s o a lg u n a s c u r v a s c o m o esas a lo s d a to s y u tiliz a rla s e n la in te g ra l d e D u h a m e l, e c u a c ió n (4 .3 1 ), p a ra h a lla r l a re s p u e s ta d e l s iste m a . O t r o m é to d o m á s c o m ú n d e d e te r m in a r la re s p u e s ta im p lic a d iv id ir el e je d e l tie m p o e n v a rio s p u n to s d is c r e to s y u tiliz a r u n a v a ria c ió n s im p le d e F( t ) d u ra n te c a d a e ta p a . P re s e n ta re m o s e s te m é to d o n u m é ric o e n e s ta s e c c ió n , u tiliz a n d o u n a fu n c ió n d e in te rp o la c ió n lin e a l p ara F (i) [4 .8 ], f t r m i t a q u e l a f u n c ió n v a ríe c o n e l tie m p o d e u n a m a n e r a a r b itra ria , c o m o s e i n d ic a e n l a f ig u ra 4 .3 3 . E s ta f u n c ió n fo rz a d a s e r e p re s e n ta d e fo r m a a p r o x im a d a c o n u n a fu n c ió n lin e a l p o r p a ite s . E n h in te rp o la c ió n lin e a l p o r p a r te s s e s u p o n e q u e l a v a ria c ió n d e F ( t) e n c u a lq u ie r in te r v a lo es lin e a l, c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4 .3 4 . E n e s t e c a s o , la re s p u e s ta d e l s i s t e m a e n e l in te r v a lo tj- , ^
s
se p u e d e e n c o n tr a r a g re g a n d o l a r e s p u e s ta p r o d u c id a p o r l a fu n c ió n (r a m p a ) lin e a l a p lic a d a d u ra n te d in te r v a lo a c tu a l a l a re s p u e s ta e x is te n te e n t = r; _ , ( c o n d ic ió n in ic ia l). D e a q u í r e s u lta
■
£ £ ■ [' -
í
' i - ' -
+
><{ j j —
- o-*) +^
+“/¡r[I” X
j c o s 0>d ( t -
tj-y)
+
* -
-
/ ,.,)}]
xn<ü^ “
x j - 1 + £
lj-i) \
(4 .8 5 )
■]
- i F igura 4 . 3 3 F unción forzada a rb itraria .
www.FreeLibros.me
4 .9
R e sp u e sta a c o n d ic io n e s fo r za d a s ir r e g u la r e s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é r ic o s
397
F ig u ra 4ÚÍ4 Aproxim ación d e u n a fu n ció n forzada c o m o u n a fu n ció n lin eal definida p o r partes.
donde A F ¡ - F j + F j_ v Al establecer / = /; en la ecuación (4.85). obtenemos la respuesta al final del intervalo A ty. A F y A /y
Xj
k
* '1 - ~
A /y
*
- e
eos iod A/; + X j-
+
e- ^ >
1 +
xnwd A ^|J £o>nx ¡ - \
_i eos tod A ij + ------------—
seno>rf A/y I
(4.86)
D if e re n c ia n d o l a e c u a c ió n ( 4 .8 5 ) c o n re s p e c to a l y s u s titu y e n d o / = /; . o b te n e m o s la v e lo c id a d a l fin a l d e l in te rv a lo :
k> “
+ ^ s e n ^ A ,,} ]
+
X
sen^ A /y + ^OJn ( .
X j - t eos tod A/y - I ¿y_i
U)n
+ —
X j-\
\ J s e n a ij A/y I
(4.87)
la s ecuaciones (4.86) y (4.87) sonlasrelaciones derecun-encia para determinar la respuesta del sistema al final de lay'-ésima etapa.
www.FreeLibros.me
398
C a p ítu lo 4
E je m p lo 4 .3 1
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
R e sp ue sta a m o rtig u a d a o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é ric o s Encuentre la respuesta d e un sistem a d e rcsortc-m asa-am oitiguador som etido a la función forzada
F (f) = # J l - • » ; £ )
( E l)
e n e l intervalo 0 £ / < í0, aplicanck» u n procedim iento num érico. S uponga F0 = 1 . 4 = l . m = I , £ = 0 . l y
'o = t , / 2 d o n d e r „ indica el periodo d e vibración natural dado por
2 ir r, = — =
2 jr 77: = 2 ( t / m ) '*
77
(E 2 )
Los valores d e x y x e n e l instante i = 0 so n cero. S olución: L a figura 4.35 m uestra la función forzada d e la ecu ació n ( E l ) . Para los cálculos num éricos, el intervalo d e 0 a r0s e d ivide en 10 escalones iguales con
, = 2' 3
Figura 4 .3 5 Función forzada.
www.FreeLibros.me
"
(E3>
4 .9
R e sp u e sta a c o n d ic io n e s fo r za d a s ir r e g u la r e s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é r ic o s
399
\ F ¡ - F , - F , ~ 08436 - 1.0000
0
í
Ü
S
S
S
S
Í
S
Í
i
•
000000
F ig u ra 4 .3 6 A proxim ación lineal p o r p artes.
T a b l a 4 .2 R e s p u e s ta d e l s is te m a t¡
i
x(fj) O b te n id a d e a c u e rd o c o n la fig u ra 4 .3 6 (Id e a liz a c ió n 4)
1
0
0.00000
2
0 .1 7T
0.04541
3
0.2w
0.16377
4
0.3 tt
0.32499
5
0.4 tt
0.49746
6
0.5 jt
0.65151
7
O.ÓTT
0.76238
8
0 .7 ÍT
0.81255
9
0 .8 tt
0.79323
10
0 .9 jt
0.70482
11
IT
0.55647
E n l a fig u r a 4 .3 6 s e u tiliz a n im p u ls o s lin e a le s p o r p a rte s ( tr a p e z o id a le s ) p a ra a p r o x im a r la fu n c ió n fo r z a d a F {t). Ix»s re s u lta d o s n u m é ric o s s e d a n e n l a t a b la 4 . 1 . 1-os re s u lta d o s s e p u e d e n m e jo ra r p o r m e d io d e u n p o lin o m io d e m a y o r g r a d o p a r a in te rp o la c ió n e n lu g a r d e l a f u n c ió n lin e a l.
www.FreeLibros.me
400
C a p ítu lo 4
4 .1 0 E je m p lo 4 .3 2
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
E je m p lo s re s u e lt o s u t iliz a n d o m a t l a b R e sp ue sta to ta l d e un s is te m a s o m e tid o a e xcita ció n d e la base U tilizando M A TL A B . trac e la resp u esta total d e l sistem a viscosam ente am ortiguado som etido a excitación arm ónica d e la base q u e se considera e n e l ejem p lo 4.5. S olución: La ecu ació n (E .8 ) d e l ejem plo 4.5 d a la respuesta total d e l sistema: x ( l ) = 0.4 8 8 6 9 5 c " 'c o s ( l9.9751 -
1.529683)
+ O.OOI333 c o s(5 r - 0 .0 2 6 6 6 ) + 0.053314 s e n (5 í - 0 0 2 6 6 6 )
A continuación se proporciona e l program a M A T L A B p ara traz ar esta ecuación % Rx4
3 2 .n
f o r i - l i 1001 t ( l ) - (1 - 11*10/1000, x ( l ) . 0 . 4 8 8 6 9 5 • a x p ( - t ( i » ) • c o a ( 1 9 .9 7 5 * e ( l ) - l. 529*83) . . . . 0.001333*c o a ( S * e ( i ) - 0 .02666) « 0.053314 • e in ( 5 * t ( i ) - 0 .0 2 6 6 6 ), p lo t(t.x ), x la b a l(’ t * ), y l a b a l ( 'x < t ) ' ) ,
www.FreeLibros.me
4.10
E je m p lo 4 .3 3
Ejemplos resueltos utilizando M A TLA B
401
R e s p u e s ta a u n Im p u ls o d e u n a e s tr u c tu r a Utilizando M A TL A B . trace la resp u esta a un im pulso de la estructura de un solo grado d e libertad d eb id o a (a) un im pacto sim ple y (b) un im pacto d o b le, que se considera en los ejem plos 4.7 y 4.8. S o lu c ió n : Las ecuaciones (E .I ) y (E.3) d e los ejem plos 4.7 y 4.8. respectivam ente, d a n las respuestas de la estructura a un im pulso d eb id o a im pactos sencillo y doble: x (/)
=
(E.1)
0 . 2 0 0 2 5 e ” ' s e n 1 9 .9 7 5 /
í0 .2 0 0 2 5 c ’ ' s e n 19.975f; 0 < / S 0 2 X (,}
(E.2)
\ 0 .2 0 0 2 5 e - ' s e n 19.975/ + 0.10012 5 e -< '‘ a íJ sen 19.975(f - 0 .2 ); / a 0.2
0.2
Q15
0.1
Ü05
0
k
-0 0 5
-
0.1
-0 1 5
OS
° 20
I
1.5
2
25 I
3
35
4
A co ntinuación s e d a e l p rogram a M A TLAB para trazar las ecu acio n es (E .1) y (E.2). % Rx4 33.o f o r 1 ■ l i 1001 t (1) - (1 -1)*5/1000; x l ( i ) - 0.20025 • a x p l - t ( i ) ) • a ln (1 9 .9 7 S * tC l)), i f t ( l ) > 0.2 • - 0.100125) •Is a • and
.,
■0 0
x 2 (1) - 0.20025 • a x p ( - t ( l ) ) • a l n (1 9 .9 7 S * t( i) ) « . . . • • o x p ( - ( t ( i ) - 0 .2 ) ) • a i n (19.975*( t ( 1 ) - 0 .2 ) ) ,
and p lo t( t.x l) , g t a x t l 'B q . ( 8 .1 ) i a o l l d l i n a ’ )j h o ld oni p l o e ( t , x 2, • - • ) , g t a x t l ’Bq. (B.2) i d a ah U n a ’ ) i x la b a l(’ t ' ) ,
www.FreeLibros.me
4.5
5
402
C a p ítu lo 4
E je m p lo 4 .3 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
R e s p u e s ta b a jo u n a f u e r z a p e rió d ic a Ltesarrolle un program a M A TL A B de uso general, llam ado P r o g r a m 4 .m . p ara hallar la respuesta d e estado estable d e un sistem a viscosam ente am ortiguado d e un solo grado de libertad bajo u n a fuerza periódica. Use el program a p ara encontrar la respuesta d e un sistem a som etido a la fu e r/a q u e se m uestra e n la figura adjunta con los siguientes datos: m = 100 kg. * = 105 N /m . ( = 0.1.
Solución: E l p rogram a
P r o g r a m 4 . m se desarrolla para q u e acepte los v alo res d e valores discretos d e tiem po. L os cbtos d e entrada d e l program a so n los siguientes:
la fuerza periódica a n
n n = m asa d e l sistem a x k = rigidez, d e l sistema x a i - relación d e am ortiguam iento (£) n = núm ero d e puntos equidistantes en los c u a le s se conocen los v alo res d e la fuerza F\¡) m - núm ero de coeficientes d e F ourier que se considerarán en la solución tiem po = d uración de la fu n ció n F(r) / = m atriz de dim ensión n q u e contiene lo s valores conocidos d e F \i)-,f{i) = F[t¡), i = 1, 2 , . . . . n i = m atriz de dim ensión n q u e contiene los valores discretos con o cid o s d e tiem po r, i< í)= i,, i = 1 .2
n
El p rogram a proporciona los siguientes d a to s d e salida: n ú m e ro d e e s c a lo n e s / , / ( i ) . / ( / ) , * ( i )
ib n d e x (i) = x ( i = t¡) e s la respuesta e n e l escalón d e tiem po i. H program a tam bión traza la variación d e x con e l tiempo.
F(D Program 4.m: x(t)
0.6
120.000
96.000
72.000
48.000
24.000
0
l 0.025
0.05
0.075
0.100
0.120
0 0
0.05
0.1
x
www.FreeLibros.me
0 .1 5
02
R e su m e n d e l c a p ítu lo
E je m p lo 4 .3 5
403
R e s p u e s ta b a jo u n a f u n c ió n f o r z a d a a r b itr a ria D esarrolle un program a M A TLAB de u so general, llam ado P r o g r a m S .m . para d eterm inar la respuesta de un sistem a de resorte-m asa viscosam ente am ortiguado som etido a u n a función forzada arbitraria m ediante los m étodos tfc la sección 4.9. U se e l program a para determ inar la solución d e l ejem plo 4 .3 1. S olución: El program a P r o g r a m S . m se desarrolla para q u e a cep te los v alo res d e la fuerza ap licada a n v a lores discretos d e tiem po. El program a requiere los siguientes datos de entrada: n = núm ero d e estaciones d e tiem po e n las c u a le s se conocen los v alo res d e la función forzada / - m atriz d e tam a ñ o o q u e contiene los v alo res d e l tiem po e n los cuales s e conoce la función forzada / = m atriz d e tam año n q u e con tien e los valores de la función forzada e n varias estaciones de tiem po de acuerdo c o n la idealización d e la fig u ra 4.34 (figura 4.36 pura e l ejem plo 4 .3 1) f f - m atriz d e tam año n q u e con tien e los valores d e la función forzada e n varias estac io n e s de tiem po de ¿cuerdo c o n la idealización d e la figura 4 .3 4 (figura 4.36 para e l ejem plo 4.31) x a i = factor d e am ortiguam iento (£) om n ■ frecuencia natural no am ortiguada d e l sistem a deU = tiem po incrcm cntal entre estaciones d e tiem po consecutivas x k — rigidez d e resorte El program a d i los valores d e x (i) obtenidos por e l m étoda num érico en las diversas estaciones d e tiem po i. EJ program a tam bién traza las variaciones d e * c o n e l tiempo.
Resumen del capítulo C onsideram os la vibración forzada d e sistem as d e un solo grado d e libertad som etidos a fu erzas periódicas generales m ediante la serie d e Fouricr. P a ra sistem as som etidas a funciones fo rza Ja s arbitrarias, analizam os los m étodos d e integral de convolución y la transform ada d e Laplace para h a lla r la resp u esta d e sistem as no am ortiguados y am ortiguados. E studiam os e l concepto d e espectros de resp u esta y su uso p ara d eterm inar la respuesta d e sistem as so m etid o s a excitaciones sísm icas. P o r últim o, consideram os m étodos num éricos, com o e l d e R unge-K utta d e cuarto orden, piara encontrar la respuesta d e sistem as som etidos a fuerzas arbitrarias, incluidas los num éricam ente descritos. A hora que y a term inó este capítulo, usted deberé ser capaz d e responder las preguntas
www.FreeLibros.me
404
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as
Referencias 4 .1
S. S . R ao. A pplied N um érica! M e th o d s fo r E n g in eers a n d Scienlists. Prcnticc H all. U ppcr Saddle River. NJ. 2002.
4.2
M . Paz, S tru c tu ral D ynam ics: T heory a n d C om putation (2a. e d .). Van N ostrand R cinhold. N ueva York. 1985.
4J
E .K reyszig. A dvanced E ngineering M athem atics (7a. ed.), W iley. N ueva Y ork. 1993.
4 .4
F. O berhettinger y L. Badii. Tables o f L aplace T runsform x. S pringer V eriag. N ueva Y ork. 1973.
4 .5
G. M . H ieber y colaboradores. "U nderstanding a n d m easuring the shock responsc spectram . Part I". Sound a n d Vibra ñon, V o l 8 m arzo d e 1974, págs. 42-49.
4 .6
R. E. D. Bishop. A. G . P arkinson y J. W . Pcndcrcd, “ L inear analysis o f transicnt vibration”. Jo u rn a l o f Sound a n d V ibration, Vol. 9. 1969. págs. 313-337.
4 .7
Y. M atsuzaki y S . Kibc. "S hock a n d seism ic response sp e c u a in design problem s” . Shock u n d Vibration D igest. Vol. 15. o ctubre de 1983. págs. 3-10.
4 .8
S. T im oshenko. D. H. Y oung y W . W cavcr, Jr., Vibration P roblem s in E ngineering (4a. cd.), W iley, Nueva Y ork. 1974.
4 .9
R. A. Spinelli, "N um erical inversión o f a L aplace transform ", SIAA1 J o u rn a l o f N um erical Analysis. VoL 3 .1 9 6 6 . págs. 636-649.
4.10
R. Be IIm an, R . E K alaba y J. A. L o ck ctl. N um erical Inversión o f th e la p la c e Transform . Am erican E b ev ier, N ueva Y ork, 1966.
4.11
S. G. Kelly. F undam entáis o f M ech a n ica l Vibrations, M cG raw -H ill, N ueva York. 1993.
412
P-T. D. Sponos. "D igital synthesis o f response-clesign spcctrum com patible eaithquake re co rd s for dynam ic an aly scs”. S to c k a n d Vibration Digest, Vol. 15. Núm. 3 . m arzo d e 1983. págs. 21-30.
413
C . M . Ck>sc, D. K. Frcdcrick y J. C . New ell. M odeling a n d A n a lysis o f D ynam ic System s <3a. cd.), W iley. N ueva Y ork, 2002.
414
G. F. Franklin. J. D. Pow ell y A. E m am i-N aeini, Feedback C o n tro l o f D ynam ic System s (5a. e d .). P earson Prentice H all. U pper Saddle River. N J. 2006.
415
N S. N isc. C ontrol System s E ngineering (3a. c d .). W iley. N ueva York. 2000.
416
K. O gata. System D ynam ics (4a. cd.), P carson Prcnticc H all. U ppcr Saddle River, N J. 2004.
Preguntas d e repaso 41
R esponda brevem ente lo siguiente: 1 . ¿C uál e s la base para ex p resar l a respuesta d e un sistem a b a jo excitación periódica c o m o u n a sum a de varias respuestas arm ónicas? 2 . Indique algunos m éto d o s p ara hallar la respuesta d e un sistem a som etido a fuerzas no periódicas. 3 . ¿Q ué e s la integral d e D uham el? ¿C uál es su uso? 4 . ¿Cóm o s e determ inan las condiciones iniciales para un sistem a d e un solo grado d e libertad som e tido a un im pulso en e l instante t = 0 ? 5 . Derive la ecuación d e m ovim iento d e un sistem a som etida a excitación d e la base. 6 . ¿Q ué e s un espectro d e respuesta? 7 . ¿C uáles so n la s ventajas d e l m étodo d e la transform ada d e Laplace? 8 . ¿C uál e s e l uso d e un pscudoespcctro? 9 . ¿Cóm o s e d efine la transform ada de la p la c e d e u n a función x(r)? 10. Defina los térm inos im pedancia genera liza d a y adm itancia d e un sistema. 11. M encione los m odelos d e interpolación q u e s e pueden utilizar p ara a p ro x im ar una función forzada arbitraria. 12. ¿C uántas condiciones resonantes existen cu an d o la fuerza externa no e s arm ónica?
www.FreeLibros.me
P re g u n ta s d e rep aso
405
13. ¿C óm o calcula la frecuencia d e l p rim er arm ónico de una fuerza periódica? 14. ¿Cuál e s la relación entre las frecuencias d e los arm ónicos d e m ay o r g ra d o y la frecuencia del primer arm ónico d urante una excitación periódica? 15. ¿C uál e s la diferencia entre respuestas transitoria y d e estado estable? 16. ¿Qué e s un sistem a de p rim er orden? 17. ¿Qué e s un im pulso? 18. ¿C uáles son las propiedades d e la función d e lta D irac 5(í)? 42
Indique si c a d a uno d e los siguientes enunciados es verdadero o falso. 1. B cam bio e n la can tid ad de m ovim iento s e conoce c o m o im pulso. 2. La respuesta de un sistema som etido a una f u e r a arbitraria s e puede encontrar sum ando las res puestas producidas por varios im pulsos elem entales. 3. B espectro d e respuesta correspondiente a una excitación d e la base es útil e n e l d ise ñ o d e m aqui naria som etida a sism os. 4 . Algunas funciones periódicas no pueden s e r reem plazadas p o r u n a su m a de funciones arm ónicas. 5. Las am plitudes
s
4 .3
Llene cada uno d e los siguientes esp acio s e n b lanco con la palabra correcta: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
La respuesta d e un sistem a lineal som etido a una f u e r a periódica s e encuentra respuestas arm ónicas apropiadas. C ualquier función periódica s e p u ed e representar por m edio de u n a integral d e _________ . Una fuerza d e im pulso e s d e gran m agnitud y actúa d urante un periodo m u y . l a respuesta d e un sistem a d e un solo grado d e libertad a u n unitario se conoce com o fun d ó n d e respuesta a im pulso. La integral d e D uliam el tam bién se conoce com o integral d e ________ . l a variación d e la respuesta m áxim a c o n la frecuencia natural d e un sistem a d e un solo g ra d o de libertad s e conoce c o m o espectro d e ________. La respuesta transitoria d e un sistem a se puede liallar p o r m edio d e la integral d e ________ . l a solución co m pleta de un problem a d e vibración se com pone de las soluciones d e e s ta d o _______ y transitoria. El m étodo d e la transform ada d e L aplace transform a u n a ecuación diferencial e n una ecuación
10. La función d e transferencia e s l a _________d e la im pedancia generalizada. 11. U n im pulso se puede m edir si s e encuentra el cam bio a i ________del sistem a. 12. La integral d e Duham el está basada en la función d e resp u esta__________ d e l sistem a. 13. la integral d e D uham el se puede uli lizar paraencontrar la respuestade sistem as___________________ tfc un solo g ra d o d e libertad som etidos a excitaciones arbitrarias. 14. El espectro d e respuesta d e velocidad, determ inado a p artir del espectro d e aceleración se conoce como espectro d e _________ . 15. Q ia lq u ic r función forzada periódica se p u ed e expandir e n u n a serie d e _________ . 16. En el dom inio d e L aplace Jim [ j X ( j ) ] d a el v a lo r ________ d e la respuesta. 17. Un cam bio e n la cantidad d e m ovim iento d e un sistem a d a e l ________ .
www.FreeLibros.me
406
C a p ítu lo 4
V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as 18. La respuesta total d e un sistema se com pone de v alo res transitorio y d e __________ . 19. l a transform ada d e la p la c e d e x (i) se indica c o m o _________ . 20. F (í) indica la transform ada inversa d e L aplace d e _________ . 2 1. La ecuación d e m ovim iento m x + e x + k x = f ( r ) corresponde a un sistem a d e _________ orden. 2 2. L a transform ada d e L aplace d e S(r) e s _________ . 4.4
Seleccione la respuesta m ás apropiada de entre las opciones dadas: 1. L a p an e transitoria de la solución surge de a . una función forzada
b. condiciones iniciales
C. condiciones lím ite
2 . Si un sistem a se som ete a una fuerza no periódica aplicada repentinam ente, la respuesta será
a. periódica
b . transitoria
c . estable
3 . L as condiciones iniciales se d eb en aplicar a una
a. solución d e estado estable
b . so lu ció n transitoria
c. solución total
4 . □ espectro d e aceleración ( S J se p u ed e e x p re sa r en función d e l espectro de desplazam iento (Sd) como a . S . = - fo lS j
b . Sa = a>„Sd
c . Sa = a>lSj
5 . H pscudocspcctro está asociado con a . la pscudoaceleración
b. la pseudovelocidad
c . e l pscudodesplazam iento
6 . Los coeficientes d e F o u rie r se tienen que d eterm inar num éricam ente cuando los v alo res d e la fun ció n / ( / ) están disponibles
a. en form a analítica b. en valores discreto s d e / c . en la form a d e u n a ecuación com pleja 7 . L a respuesta d e u n sistem a d e un solo grado d e libertad som etido a excitación d e la base. y(/>, se puede d eterm inar utilizando la fuerza ex te rn a com o
a. - « y 8.
b . m y c. m y + c y + ky
□ espectro d e respuesta s e utiliza am pliam ente en
a. e l diserto de edificios som etidos a grandes c arg as vivas b . e l diserto sísm ico c . e l diserto de m aquinaria som etida a fatiga 9 . l a ecuación d e m ovim iento d e un sistem a som etido a excitación d e la base. y ( t \ está dado por a. m x + ex + kx =
-m y
b . m'z + c z + k z = - m y ; z = x c mx + ex *
kx =
y
-m 'z ; Z
= x - y
10. La función e utilizada en la transform ada d e L aplace se conoce com o
a. núcleo
b. integrando c . tírm ino subsidiario
11. L a transform ada d e L apla:c está definida por
*-~X (s) = l b. x (s) =
J
e ~ '" x ( l ) d l
c. x (s ) = j f 12. En e l d om inio de L aplace. e l l í m [ j X ( j ) ] da:
a. e l v a lo r in icial
b. e l v a lo r transitorio
www.FreeLibros.me
c . e l v a lo r d e e stad o estable
P r o b le m a s
407
13. F \l) ■ a l corresponde a
a. un im pulso 14.
b. f u e r a g radual
c . f u e r a ram pa
/ ( / ) = fHi — t ) corresponde a u n a f u e r a ap licada en
a. / - r = 0
b. r —r < 0
c. / - r > 0
15. Fu una colisión elástica perfecta d e d o s m asas m , y m : , la cantidad conservada es: a . energía
b. cantidad d e m ovim iento
c . velocidad
16. l a respuesta escalonada d e un sistem a so bream oitiguado presenta a . nada d e oscilaciones 17.
b. oscilaciones
c . sobre paso
-El— es llama:
□ m étodo utilizado p ara e x p re s a r--- + 4----------c o m o - C l - + (í + 1 )(j + 2) s + I
a. separación
b . fracciones parciales
j
+ 2
c.descom posición
18. La m ayoría d e los m étodos num éricos d e resolver ecu acio n es diferenciales suponen q u e e l orden
a. 4.5
uno
c . arbitrario
Cbrrelacione los elem entos e n las d o s colum nas siguientes:
1. x ( l ) =
4.6
b .d o s
m a tj
e~ c,a' 1 s e n iodi
a. Transform ada inversa d e la p la c c d e í ( j )
2.
x (l) =I F (r )g (i - r ) d r Jo
b . R inción d e im pedaiK ia generalizada
3.
x ( t ) = ¡£~ l Y { s ) T ( s )
c . R inción d e respuesta a un im pulso unitario
4.
Y ( s ) = ---------------- — : m .r + e s + *
d . T ransform ada d e la p la c c
5.
z (j) = m s1 + es + *
e . Integral de convolución
6.
5 (s) =
f
e n ,x ( l ) d l
f.
R inción de adm itancia
Correlacione las siguientes características d e respuesta transitoria: a . T iem po pico
1. Valor p ico m áxim o
b. T iem po de subida
2 . T iem po p ara alcanzar e l v a lo r m áxim o
c Sobrepaso m áx im o
3 . T iem po para alcanzar un v a lo r dentro d e ± 2 % d e l v a lo r de estado estable
d. T iem po de asentam iento
4. T iem po p ara alcanzar 50% del valor d e e stad o estable 5. T iem po p ara increm entar e l v a lo r de estado estable d e
e. T iem po d e retardo
10%
a 90%
problemas Sección 4.2 Respuesta bajo una fuerza periódica general 41-4.4
B icucntrc la respuesta de estado estable d e la válvula d e control hidráulica q u e s e m uestra en la figura 4.4
4.5
í 1.6667 X 10~3F i(f)1 (1 .4 9 0 7 X 10-3F , ( / ) J
con F ,( /) = 2 5 0 0 0 N d urante e l rango O f i t s O . I s y O p ara / > 0.1 s. L os desplazam ientos d e las m asas se pueden hallar a p artir d e la ecuación (6.104) com o
<7i(/) = 3.4021 / * n 12.2474 ( í - r ) d r = 0 .2 7 7 8 (1 -
q2( t ) = 0.9622 J
sen 38.7298 ( í - r ) d r = 0.02484 (1 -
e o s 12.2474 1 )
eos 38.7298 r )
(E .8)
C fescnc q u e la so lu ció n proporcionada por las ecuaciones ( E 8 ) e s válida d urante 0 «í 0.1 s. Para / > 0 .1 s. no hay fuerza alguna aplicada, de a h í q u e la so lu ció n d e vibración libre d e un sistem a no am ortiguado d e un solo g a d o de libertad (ecuación 2. 18) d a la respuesta para <71( f ) y q i ( t ) c o n
www.FreeLibros.me
6 .1 5
6 . 15
V ib r a c ió n forzad a d e s iste m a s v isc o sa m e n te a m o r tig u a d o s
561
v ib r a c ió n f o r z a d a d e s is te m a s v is c o s a m e n t e a m o r t ig u a d o s El análisis modal, tal como se presentó en la sección 6.14. es válido sólo para sistemas no amor tiguados. En muchos casos, la influencia del amortiguamiento en la respuesta de un sistema v i bratorio es mínima y se puede omitir. Sin embargo, debe considerarse si la respuesta del sistema se requiere durante un lapso de tiempo relativamente largo comparado con los periodos naturales del sistema. Además, si la frecuencia de excitación (en el caso de fuerza periódica) es igual o se acerca a las frecuencias naturales del sistema, el amortiguamiento es de primordial importancia y debe ser tomado en cuenta. En general, dado que los efectos no se conocen con anticipación, el amortiguamiento debe considerarse en el análisis de vibración de cualquier sistema. En esta sección analizaremos las ecuaciones de movimiento de un sistema amortiguado de varios grados de libertad y su solución utilizando las ecuaciones de lagrange. Si el sistema tiene amortiguamiento riscoso, su movimiento sera resistido por una fuerza cuya magnitud es proporcional a la de la velocidad pero en la dirección opuesta. Es conveniente introducir una función R , conocida como función de disipación de Rayleigh, al derivar las ecuaciones de movimiento por medio de las ecuaciones de lagrange (6.7). Esta función se define como
R = ^ 7 r [c ]x
(6.117)
donde la matriz [cj se llama m a triz d e a m o rtig u a m ien to y se define positiva, como las matrices de masa y rigidez. Las ecuaciones de Lagrange, en este caso [6.8], se escriben como
-d ,í \ -d x' jl -
i = l ’2
-
<6n8)
donde F , es la fuerza aplicada a la masa m ,. Sustituyendo las ecuaciones (6.30), (6.34) y (6.117) en la ecuación (6. 1 1 8 ), obtenemos las ecuaciones de movimiento de un sistema amortiguado de varios grados de libertad en forma matricial: [/«J7 + [c]3c + [A jx = F
(6.119)
Por sencillez, veremos un sistema especial para el cual la matrizde amortiguamiento se expresa como una combinación lineal de las matrices de masa y rigidez: [c j = a [m ]
+ P [k)
( 6 .1 2 0 )
donde a y f i son constantes. Esto se conoce como a m o rtig u a m ien to p ro p o r c io n a l porque [cj es proporcional a una combinación lineal de [m Jy [Aj. Sustituyendo la ecuación (6.120) en la ecuación (6.119). obtenemos [m jx + [a [m j + 0 [* J ]¿ + [ k ) x = F
(6.121)
Expresando d vector de solución x como una combinación lineal de los modos naturales d d siste ma no amortiguado, como en el caso de la ecuación (6.104),
m
=
mm
www.FreeLibros.me
(6 .1 2 2 )
562
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad L a e c u a c ió n (6 .1 2 1 ) s e re e s c rib c c o m o [ m )[ x m
+ M m ] + p [ k ] ] [ X )7 ¡ (t)
+
m xm
no
=
(6.123)
L a p r e m u ltip lic a c ió n d e l a e c u a c ió n (6 .1 2 3 ) p o r |X Jr c o n d u c e a [ X ) T [ m ) [ X ) ¿ 4- [ a [ X ) T[ m ) [ X ] + P [ X ] r [ k ) [ X ) ] Í + W
T[ k ] [ X ] q = [ x f F
(6 .1 2 4 )
Si lo s v e c to r e s e ig e n X (^ s e n o rm a liz a n d e a c u e r d o c o n la s e c u a c io n e s (6 .7 4 ) y ( 6 .7 5 ) , l a e c u a c ió n (6 .1 2 4 ) s e r e d u c e a [ / ] " ? ( ') + [ « [ ' ] + 0 [ n * > 2'* ] ] 7 ( O + [ W n . J í í O
= Q(i)
es d e c ir , q t ( t ) + ( a + w ¿ P ) q ,{ t ) + a # q , ( t ) = < 2 ,(0 , i = 1 . 2 ............/.
(6 .1 2 5 )
cfonde ta¡ e s la fre c u e n c ia n a tu r a l i-é s im a d e l s is te m a no a m o r tig u a d o y Q{t) = [X]T F{t)
(6 .1 2 6 )
cx + a>}p = 2 £ f in
(6 .1 2 7 )
E s c rib ie n d o
ifo n d e
s e c o n o c e c o m o r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to m o d a l p a r a e l m o d o n o rm a l i-é s im o . l^as
e c u a c io n e s (6 .1 2 5 ) s e re s c rib e n c o m o ? < /) + U
M
m
+ • > ? « , ( ! ) = < 2 .(0 .
i - 1 .2 :
"
<6128)
S e v e q u e c a d a u n a d e l a s n e c u a c io n e s r e p re s e n ta d a s p o r e s t a e x p re s ió n e s t á d e s a c o p la d a d e to d a s la s d e m á s . P o r c o n s ig u ie n te , p o d e m o s d e te r m in a r la re s p u e s ta d e l m o d o i-é s im o d e l a m is m a m a n e ra q u e la d e u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d . L a s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s ( 6 . 128) , c u a n d o £ ¡ < l , s e e x p r e s a c o m o
<¿t ) =
+ —j= = =
s e n <■><#/ j $ ( 0 )
+ | ¿ tf“{^/sena,4//|4o(0)
+
f UOd,jiJ o
i=
1 ,2 ,
Q ,(
... ,n
www.FreeLibros.me
s e n
r) d r,
(6 .1 2 9 )
6 .1 5
V ib r a c ió n forzad a d e s iste m a s v isc o sa m e n te a m o r tig u a d o s
563
donde iodl = < ü ¡ V l - ( J
(6 .1 3 0 )
O b s e rv e lo s s ig u ie n te s a s p e c to s d e e s to s s is te m a s : 1.
L a id e n tific a c ió n d e l o s o r íg e n e s y m a g n itu d d e l a m o r tig u a m ie n to e s d if íc il e n l a m a y o ría d e lo s p r o b le m a s p rá c tic o s . E n e l s is te m a p u e d e h a b e r m á s d e u n t ip o d e a m o r tig u a m ie n to , d e C o u lo m b , v is c o s o e h is te ré tic o . A d e m á s , no s e c o n o c e l a n a tu ra le z a e x a c ta d e l a m o r tig u a m ie n t o , c o m o lin e a l, c u a d rá tic a , c ú b ic a u o tr o tip o d e v a ria c ió n . A u n c u a n d o e l o rig e n y n a tu ra le z a d e l a m o r tig u a m ie n to s e c o n o z c a n , o b te n e r la m a g n itu d p r e c is a e s m u y d if íc il. P a ra a lg u n o s s is te m a s p r á c tic o s , p u e d e n h a b e r d is p o n ib le s v a lo r e s d e a m o r tig u a m ie n to e x p e rim e n ta lm e n te d e te r m in a d o s p a ra u so e n u n a n á lis is d e v ib ra c ió n . H a y a lg ú n tip o d e a m o r tig u a m ie n to , e n f o r m a d e a m o rtig u a m ie n to e s tr u c tu r a l, e n e s tr u c tu r a s a u to m o tr ic e s , a e ro e s p a c ía le s y d e m á q u in a s. El a m o rtig u a m ie n to s e in tr o d u c e d e lib e ra d a m e n te e n c ie r ta s a p lic a c io n e s p rá c tic a s c o m o lo s s is te m a s d e s u s p e n s ió n d e v e h íc u lo s , e l t r e n d e a te r r iz a je d e a v io n e s y e n s is te m a s a is la n te s d e m á q u in a s . D e b id o a q u e e l a n á lis is d e s is te m a s a m o n ig u a d o s im p lic a t e d io s a s m a n ip u la c io n e s m a te m á tic a s , e n m u c h o s e s tu d io s d e v ib ra c ió n e l a m o r tig u a m ie n to s e o m ite o s e c o n s id e ra a lg o p ro p o rc io n a l.
2 . C a u g h e y |6 . 9 j d e m o s tr ó q u e l a c o n d ic ió n d a d a p o r l a e c u a c ió n (6 .1 2 0 ) e s s u fic ie n te rita s no n e c e sa ria p a ra la e x is te n c ia d e m o d o s n o rm a le s e n s is te m a s a m o rtig u a d o s . L a c o n d ic ió n n e c e s a r ia e s q u e l a tra n s fo rm a c ió n q u e d ia g o n a liz a l a m a triz d e a m o r tig u a m ie n to ta m b ié n d e s a c o p le la s e c u a d o n e s d e m o v im ie n to a c o p la d a s . E s ta c o n d id ó n e s m e n o s r e s tr ic tiv a q u e l a e c u a c ió n (6 . 120) y a b a rc a m u c h a s p o sib ilid a d e s . 3.
E n e l c a s o g e n e ra l d e a m o r tig u a m ie n to , l a m a triz d e a m o rtig u a m ie n to n o s e p u e d e d ia g o n a liz a r a l m is m o tie m p o q u e l a s m a tric e s d e m a s a y r ig id e z . E n e s t e c a s o , lo s v a lo re s e ig e n d e l s is te m a s o n re a le s y n e g a tiv o s o c o m p le jo s c o n p a r te s re a le s n e g a tiv a s . L o s v a lo r e s e ig e n c o m p le jo s e x is te n c o m o p a re s c o n ju g a d o s : lo s v e c to re s r i g e n a s o n a d o s ta m b ié n s e c o m p o n e n d e p a r e s c o n ju g a d o s c o m p le jo s . U n p r o c e d im ie n to c o m ú n p a ra d e te r m in a r l a s o lu c ió n d e l p r o b le m a d e v a lo r e ig e n d e u n s is te m a a m o rtig u a d o im p lic a l a tr a n s f o r m a d ó n d e l a s n e c u a c io n e s d e m o v i m ie n to a c o p la d a s d e s e g u n d o o r d e n e n 2n e c u a c io n e s d e s a c o p la d a s d e p r im e r o r d e n 16.6].
4. L os lím ite s d e e r r o r y l o s m é to d o s n u m é ric o s e n e l a n á lis is m o d a l d e s is te m a s d in á m ic o s se a b o rd a n e n l a s r e f e r e n d a s ( 6 .1 1 ,6 .1 2 ] ,
E je m p lo 6 .1 8
E c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n s is te m a d in á m ico D erive las e c u a d o r e s de m ovim iento d e l sistem a que se m uestra e n la figura 6.16. S olución: M étodo: A plique las ecu acio n es d e l-agrangc ju n to con la fu n ció n d e disipación d e Raylcigh. L a energía cinética d e l sistem a es
La energía potencial tiene la form a
V=
+ *2Í*2 - * l ) 2 +
www.FreeLibros.me
“ *2)J]
(E.2)
564
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad
F ig u ra 6 .1 6 S istem a d in á m ic o de tr e s g ra d o s d e libertad.
*3> m
y la fu n c ió n d e d is ip a c ió n d e R a y le ig h e s
* = j f a * ? + c 2 (jc2 “ * t ) 2 + C j( ¿ 3 -
x 2) J + c < x l
+ c 5(jc 3 - i , ) J ]
(E 3 )
Las ecuaciones d e la g ra n g e se escriben com o d_ ( 0 7 \ _ 3T + dR + ^ d
i \ d
i i )
* x ,
d i,
=
d x,
Sustituyendo las ecuaciones (E .I ) a (E .3) en la ecuación (E.4), obtenem os las ecuaciones diferenciales de m ovim iento (E .5)
[m ) J + M * + (*1* = F d>nde
[m ] = _
m|
0
0
m2
0
0
0 0
(E .6)
m 3 _
c, + c * + c ,
[c ) =
- c
2
- C
j
r * , + *2 (* ] =
—*2
L
o
-C J C2
- c 3
-k2
o
*2 + *3
-* 3
-* 3
= < *2 (0
\
“ C3
CJ +
(E .7)
C j_
(F..8)
*3 .
í* .< 0 ]
x
-c 5
+ C } + C 4
[ * ,( /) ] y
F
l *3 (0 J
www.FreeLibros.me
= <
m
U (o J
>
(E.9)
6 .1 5
E je m p lo 6 .1 9
V ib r a c ió n forzad a d e s iste m a s v isc o sa m e n te a m o r tig u a d o s
565
R e sp u e sta d e e s ta d o e s ta b le d e u n sis te m a fo rz a d o E ncuentre la respuesta d e e stad o estable d e l siste m a q u e se m uestra e n la figura 6.16 cu an d o las m asas se som eten a las fuerzas arm ónicas sim p les Ft = = F , = F0 eos a»r, donde o> = 1.75Z k / m . Suponga que rn, — m 2 - my — rn. k , = A, = = fc ct = c5 = 0. y la relación d e am ortiguam iento e n cada m odo no m u í está d ad a p o r ^ = 0 .0 1 , / = 1 .2 .3 . S o lu c ió n : l a s frecuencias naturales (no am ortiguadas) d e l sistem a (vea el ejem plo 6 .1 1) son
cu, = 0 . 4 4 5 0 4 . / m
a * = 1.2471 x/ —
(E .l)
o». = 1 .8 0 2 5 ./— V y los m odos (m ]-ortonom taks correspondientes ( v e a e l ejem plo 6. 12) so n
I 12470
A <3 ) =
(E.2)
l\>r lo tanto, e l v ector m odal s e ex p resa com o
i
[X ] = [ x " ) x < 2)x<3)] =
03280
0.7370
0.5911
0.5911 0.7370
0.3280
- 0.7370
-0 .5 9 1 1
0.3280
(E J)
El v ector de fuerza generalizado
q (')
= [x )t h *)=
0.3280
0.5911
0.7370
0.3280
0.5911
- 0 .7 3 7 0
[
COS
0.7370" - 0.5911
0.3280. (E.4)
0)1
se puede o btener donde
Q \o = 16561 ~ ^ = . Vm
Q20 = 0.4739
Q n = 0.1821
Jo_
(E.5)
V m
Si las coordenadas generalizadas o los factores de participación m odal correspondientes a los tres m odos prin cipales s e indican c o m o «/,(»), q 2(i) y q ^ i \ la s ecuaciones de m ovim iento s e expresan como ¿7,(0 + 2 t e i ( f ) + a
www.FreeLibros.me
= 0 ,(1 ).
i = 1 .2 .3
566
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad La solución d e estada estable d e la ecuación ( E 6 ) se escribe com o íK O = fc o co s(íu r - <*>),
(E .7 )
i = 1, 2, 3
cbnde e .0
(E .8) 1 /2
(E .9)
-f e )3 Sustituyendo los v alo res dados e n las ecuaciones (E .5) y ( E I ) en las ecu acio n es (E .8) y ( E 9 ) obtenem os
<710 = 0.57815
f0V « k F0V m
o = 0.92493
k
= tan -1 (-0 .0 0 5 4 4 )
'
'
F0 \ / m
(E I0 )
fin alm en te, la respuesta de estado estable s e d eterm ina utilizando la ecuación (6 .122).
6. 16
A u t o e x c i t a c i ó n y a n á lis is d e e s ta b ilid a d E n v a rio s s is te m a s a m o r tig u a d o s , l a fric c ió n p ro d u c e a m o r tig u a m ie n to n e g a tiv o e n lu g a r d e a m o r tig u a m ie n to p o s itiv o . E s to c o n d u c e a l a in e s ta b ilid a d ( o v ib ra c ió n a u to e x c ita d a ) d e l s is te m a . P o r k) c o m ú n , p a r a u n s is te m a d e n g r a d o s d e lib e r ta d q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 6 .1 7 . la s e c u a c io n e s cfc m o v im ie n to s e r á n u n s is te m a d e n e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s lin e a le s d e s e g u n d o o rd e n (c o m o las c b d a s p o r l a s e c u a c io n e s (6 .1 1 9 ) o (6 .1 2 8 )): (m ]J + ( c jr + [k)x = F
(6 .1 3 1 )
E l n v fto d o p r e s e n ta d o e n l a s e c c ió n 5 .8 s e p u e d e a m p lia r p a ra e s tu d ia r l a e s ta b ilid a d d e l s is te m a re g id o p o r l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 1 ) . P o r c o n s ig u ie n te , s u p o n e m o s u n a s o lu c ió n d e l a fo rm a
X j ( 0 m C Jeu ,
j = 1,2, . . . , n
x{t) = Ce"
www.FreeLibros.me
( 6 .1 3 2 )
6 .1 6
A u to e x c ita c ió n y a n á lis is d e e sta b ilid a d
567
F ig u ra 6 .1 7 S istem a de v arias g ra d o s d e libertad.
d o n d e j e s u n n ú m e r o c o m p le jo q u e s e t ie n e q u e d e te rm in a r . C ¿ c s l a a m p litu d d e x¿ y C ,‘
l a p a rte re a l d e s d e te r m in a el a m o r tig u a m ie n to y su p a r te im a g in a r ia p ro p o rc io n a la fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a . l a s u s titu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 2 ) e n l a s e c u a c io n e s d e v ib r a c ió n lib r e ( o b te n id a s c o n F = 0 e n l a e c u a c ió n (6 .1 3 1 )) c o n d u c e a ([ m )s 2 + [c)s + lk ] ) C e " = 0
( 6 .1 3 3 )
P a ra u n a s o lu c ió n n o triv ia l d e C ^ c l d e te rm in a n te d e l o s c o e f ic ie n te s d e C¿ s e e s ta b le c e ig u a l a c e r o , lo q u e c o n d u c e a l a “ e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a " , s e m e ja n te a l a e c u a c ió n (6 .6 3 ): D (s ) = \[ m ] ¿ + [c ]s + [k]\ = 0
(6 .1 3 4 )
l a e x p a n s ió n d e l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 4 ) c o n d u c e a u n p o lin o m io e n s d e l o r d e n m = 2 n . el c u a l se p u e d e e x p r e s a r e n la fo rm a D ( j ) = a o ím + a ts m 1 +
- 22
+ • • • + a m- i J + a
( 6 .1 3 5 )
L a e s ta b ilid a d o in e s ta b ilid a d d e l s is te m a d e p e n d e d e la s ra fe e s d e l a e c u a c ió n p o lin o m ia l. f X s ) ■ 0. In d íq u e n s e l a s r a íc e s d e la e c u a c ió n ( 6 .1 3 5 ) c o m o JO), SJ = bJ + '
1 ,2 .
rrt
(6 .1 3 6 )
S i l a s p a rte s r e a le s d e l a s r a íc e s b¡ s o n n ú m e ro s n e g a tiv o s , h a b rá fu n c io n e s d e tie m p o d e c a d e n te s , e*? , e n l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 2 ) . p o r c o n s ig u ie n te l a s o lu c ió n (s is te m a ) s e r a e s ta b le . P o r o t r a p a r te , si u n a o m á s r a íc e s Sj tie n e n u n a p a r te re a l p o s itiv a , e n to n c e s l a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 6 . 13 2 ) c o n te n d rá u n a o m á s fu n c io n e s d e tie m p o c x p o n c n c ia lm e n tc c r e c ie n te s e V . d e a h í q u e la s o lu c ió n (s is te m a ) se rá in e s ta b le . S i h a y u n a r a í z p u r a m e n te im a g in a ria d e la fo rm a = iu>j,c o n d u c ir á a u n a s o lu c ió n o s c ila to r ia é 0# , l a c u a l r e p re s e n ta un c a s o lím ite e n tr e e s ta b ilid a d c in e s ta b ilid a d . S i sJ e s u n a ra íz m ú ltip le , l a c o n c lu s ió n a n te r io r p r e v a le c e a m e n o s q u e s e a u n n ú m e ro p u ro im a g in a rio , c o m o j; = iatj. E n e s te c a s o , l a s o lu c ió n c o n tie n e fu n c io n e s d e l t ip o é * * , t e * * , f V * * ',. . . . la s c u a le s s e i n c r e m e n ta n c o n e l tie m p o . A s í q u e la s r a íc e s m ú ltip le s c o n v a lo r e s p u ra m e n te im a g in a rio s in d ic a n la in e s ta b ilid a d d e l s is te m a . P o r lo ta n to , p a ra q u e u n s is te m a lin e a l r e g id o p o r la e c u a c ió n ( 6 .1 3 1 ) se a e s ta b le , e s n e c e s a rio y s u f ic ie n te q u e la s r a íc e s d e l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 5 ) te n g a n p a r te s r e a le s n o p o s itiv a s , y q u e . s i h a y a lg u n a r a íz p u ra m e n te im a g in a ria , n o d e b e a p a r e c e r c o m o u n a r a íz m ú ltip le .
www.FreeLibros.me
568
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad D id o q u e la b ú s q u e d a d e la s r a íc e s d e l a e c u a c ió n p o lin o in ia l (6 .1 3 5 ) es u n p r o c e d im ie n to h r g o y te d io s o , s e p u e d e u tiliz a r u n o s im p lific a d o , c o n o c id o c o m o c r it e r i o d e e s ta b ilid a d d e R o u th H u rw itz 16.13, 6 .1 4 ] p a r a in v e s tig a r l a e s ta b ilid a d d e l s is te m a . P a r a a p lic a r e s t e p r o c e d im ie n to , se tfcfin c e l s ig u ie n te d e te r m in a n te d e o r d e n m -é s im o Tm c n f u n c ió n d e lo s c o e fic ie n te s d e l a e c u a c ió n
polinom ial (6 .1 3 5 ) c o m o
o í
a*
ai
a7
ao
02
O
0 6
•"
02*1-2
0
a\
ai
«5
” •
a ^m -i
0
ao
02
a
0
0
ai
a3
•
•
•
*
4
02»i—l
4
02*1—4
a„
E n to n c e s lo s s ig u ie n te s s u b d e te r m in a n te s , in d ic a d o s p o r la s lín e a s d e r a y a s e n la e c u a c ió n ( 6 .1 3 7 ) , x d e fin e n :
r ,
=
7*2
=
(6.138)
a ,
0
03
|
T i =
(6.139)
02
Oo
Ol
03
05
OO
02
a i
0
01
03
(6.140)
A l c o n s t r u ir e s to s s u b d e te r m in a n te s , to d o s l o s c o e f ic ie n te s a¡ c o n / > m o i < 0 t ie n e n q u e s e r re e m p la z a d o s p o r c e r o s . D e a c u e r d o c o n e l c r ite r io d e R o u th -H u rw itz , u n a c o n d ic ió n n e c e s a r ia y am d e b e n s e r p o s itiv o s s u fic ie n te p a r a la e s ta b ilid a d d e u n s is te m a e s q u e los c o e f ic ie n te s üq. a t y ta m b ié n t o d o s lo s d e te r m in a n te s T ^ T 2. . . . , T m d e b e n s e r p o s itiv o s .
6. 17 E je m p lo 6 .2 0
E je m p lo s re s u e lt o s u tiliz a n d o M A T L A B S o lu c ió n d e un p ro b le m a d e v a lo r e ig en Encuentre los valores eigen y los vectores eigen d e la m atriz (v ea e l ejem plo 6. 11):
[4 ] =
1
I
1
2
2
1
2
3
www.FreeLibros.me
1
6 .1 7
E je m p lo s r e s u e lto s u tiliz a n d o M ATLAB
569
Solución:
\ E x 6 .2 0 » A (1
1
1 ,
1
3
2 ,
1
2
3)
A -
1 1 1 >> tv . DI
1 1 2 2 - *ig(A)
2 1
0 .5 9 1 0 -0 .7 3 7 0
0 .7 3 7 0 0 .3 2 8 0
0 .3 2 8 0 0 .5 9 1 0
0 .3 2 8 0
-0 .5 9 1 0
0 .7 3 7 0
0 .3 0 8 0 0
0 0 .6 4 3 1
0 0
0
0
5 .0 4 8 9
D -
E je m p lo 6.21
R e sp u e sta d e v ib ra c ió n lib re d e u n sis te m a d e v a rio s g ra d o s d e libe rta d T race la respuesta de vibración libre, x ,(/). x ,(/) y x 5(/) del sistem a considerado e n e l ejem plo 6.15 para los siguientes datos: x,0 = 1.0, k = 4 0 0 0 y m - 10. S o lu c ió n : L as ecu acio n es ( E 7 ) a ( E 9 ) d e l ejem plo 6.15 d a n la resp u esta d e vibración libre d e las m asas, x,(í). *2(0 y ¿ i (0.
% Kx6 X10 k a
. -
fo r
2 1 .m 1 .0 ,
4000, 10, i - 1 . t (l) x l (i)
1001 5* (1-1) / 1000, • x lO • ( 0 .1 0 7 6
• co i
(0 .4 4 5 0 4
0 .5 4 3 1 • coa ( 1 . 2 4 7 1 * a q r t ( k /m ) * c o a ( 1 .8 0 2 5 - a q r t (k / a) • t ( l l ) ),
eq tc .
(k / a)
•
0 .3 4 9 3
•
t ( D )
♦
(k / a) • t ( l ) ) 0 .4 3 5 5 •
*
x2
(1 ) ■ x lO • ( 0 .1 9 3 9 * c o a (0 .4 4 5 0 4 • a q r t 0 . 2 4 1 7 • c o a ( 1 . 2 4 7 1 * a q r t ( k / a ) * t( i) > c o a ( 1 .8 0 2 S - a q r e (k / a) • t ( l l ) ),
x3
(i) - x lO • ( 0 .2 4 1 8 • c o a (0 .4 4 5 0 4 • a q r t(k / a ) • t ( l ) ) 0 .4 3 5 6 • c o a ( 1 .2 4 7 1 * a q r t (k / a) » t ( l ) ) • 0 .1 9 3 7 • coa
(1 .8 0 2 5 -a q rt
(k / a)
- t ( l) )
•Bd au b p lo t p lo t
•
t(i))
( t .
(311), x l) ,
y la b . 1 ('x l (t) a u b p lo t (3 1 2 ),
■),
p l o t ( t . x2 ) , y la b a l C x2 (t) a u b p lo t (3 1 3 ),
■),
p l o t ( t . x 3 ), y la b o l C x3 (t) x la b a l C t* )i
•»!
www.FreeLibros.me
) ,
-
570
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad
i
E je m p lo 6 .2 2
R e sp ue sta d e vib ra ció n fo rza d a d e un sis te m a d e v a rio s g ra d o s d e libe rta d Encuentre y trace la respuesta tfc vibración forzada d e l m artillo d e forja considerado e n e l ejem plo 6.17 re so l viendo las ecu acio n es diferenciales regentes. Suponga que las condiciones iniciales so n cero. S olución: L as ecuaciones regentes e stán dadas por [ m ] ? ( l ) + [A j? (í) = F ( , )
(E.1)
con
f m ] = I05
ú]
[A] = I06
150 -1 5 0
-1 5 0 225
].
* > -{* » }
donde F ,( / ) c s una función escalonada d e m agnitud 2 5 0 0 0 N y d uración 0 < / < 0 . l s. Las ecuaciones ( E 1) se pueden ex p resar c o m o un conjunto d e cuatro ecuaciones diferenciales d e prim er crden acopladas com o
www.FreeLibros.me
6 .1 7
d o n d e
=
X ,.y j =
x 2, y 4 =
¿1, » =
i 2. m , =
2
E je m p lo s r e s u e lto s u tiliz a n d o M ATLAB
X 1 0 \ m 2 = 2 .5 X
U tiliz a n d o lo s v a lo r e s in ic ia le s d e t o d a s la s y ¡ -
% Ex 6 2 2 .■ % B iC o p rogram a
u tllla a r l
10\ k ¡ =
la
fu n ció n
d fu n cfi
2 1 .m,
% • • C a r a n l a m lam a c a r p a c a ca p a n ■ (O í O .O O li 1 0 ] , yO . ( 0 ; 0| 0 , (C . y ] • od a2 3 a u b p lo C ( 2 1 1 ) i p lo c
( t .
y (« .
0|j (■ d f u n c 6
2 1 *.
Capan,
y O ),
1 > ),
x la b a l ('C ')l y la b a l ( '* 1 (t) • ), au b p lo t ( 212) , p lo c (c . y ( i , J ) ) , x la b a l
(• C *)*
y la b a l
(< x2
(t)
• ),
% d f u n c 6 _ 2 1 .m f une clo n f ■ d fu n c6
r - ••roa ( 4 , mi m 2*laS; m2
.
2.S*laS|
kl k2
■
150 225
F l
-
• •
25000
21
(C ,
y)
1 ),
la 6 , la t, •
f(l) f(2)
■ y (2 ) 1 rn P l / m l
f(3) f< 4)
-
y (4 ),
.
-k 2
(a ca p fu n .
k l
• y (S)
(t,
• y (3) /«2
0)
-
acap fu n
/mi
-
k l
♦ k l
150 X
I0 6 y
k2 = 2 2 5 X
0 . s e o b tie n e n lo s s ig u ie n te s re s u lta d o s :
•
• y (1)
y l l 1 /mi,
I x 10*4
i
www.FreeLibros.me
(t.
0 .1 ) ) ,
/al,
deber4 n
571
106.
572
C a p ítu lo 6
E je m p lo 6 .2 3
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad
Raíces d e u n a e c u a c ió n p o lin o m ia l U tilizando M A TLAB, encuentre la s raíces d e l polinom io f ( x ) = x i - 6x> + 11* - 6 = 0 Solución: »
ro o ta
((I
-«
11 -«11
1.0000 2.0000 1.0000
R e sp ue sta d e v ib ra c ió n fo rza d a d e u n s is te m a a m o rtig u a d o Encuentre la respuesta d e vibración forzada d e un sistem a am ortiguado d e varios grados d e libertad c o n e c u a ciones d e m ovim iento ( E .l)
M í + [c jr + [* ]í = / con
f = \
0 “
0
10
0
0
0
10.
' 4 - 2 .
[ c] = 100
-2
0“ 4
-2
“ ,
[k ] = 1000
K> 1
0
0
m) =
"100
i
E je m p lo 6 .2 4
8 - 4 -4
O' 8
0 - 4
-4 4.
I jo c o s a *
con F0 = 5 0 y ta = 50. Suponga c o n d icio n es iniciales cero. S olución: L as ecu acio n es ( E l ) se pueden volver a escribir c o m o un sistem a d e seis ecuaciones diferenciales (fe prim er orden y \ = yx
ys = y 20 0 20 0 4000 4000 Fq y6 = - c o s a * + — y4 - — * -t- — y, - — y,
donde y, =
= i„ y , =
x 2,y 4 =
¿ 2. y 5 =
x 3. y
y6 =
www.FreeLibros.me
xy
8000
, 4000 + “¡ r ;
6 .1 7
E je m p lo s r e s u e lto s u tiliz a n d o M ATLAB
573
U tiliz a n d o lo s v a lo r e s in ic ia le s c e r o d e t o d a s la s y ,, l a s o lu c ió n s e p u e d e lia lla r c o m o s ig u e . % K»6 2 4
.»
% B a ca p rog raau u e ilim a r * Xa fu n ció n % a a t a r an l a a i a x a c a r p a e a c a p a n ■ [O í O .O li 1 0 ] , yO 1 0 , 0 , Oí IC , y ] • o d a 2 3 au b p lo C ( 3 1 1 ) , p lo c
(t.
x la b a l y la b a l
y (« .
O j 0 , O lí (• d f u n c 6 _ 2 3 * ,
Capan,
d fu n c6
2) . n.
dabarón
yO ),
1) ) ,
C 'C ’ ) * ( 'x l ( t ) ') ,
au b p lo C ( 3 1 2 ) , p lo c (C . y ( i , x la b a l ( ' O ,
3 )),
y la b a l ( 'x 2 ( C ) ') , au b p lo C ( 3 1 3 ) , p lo c (t. y ( i , x la b a l ( ' O , y la b a l
(«x 3
% d fu n c6
S ) ),
( C ) ') ,
2 3 .m
fu n ecio n f . d fu n cS _23 f ■ rocoa (6 , 1 ), P0 - 5 0 . 0 , «
■
( t .
5 0 .0 ,
f(D
• y (2 ) i
t
■
F 0 « c o a (w *C ) / 1 0 0 . 4000*y (3)/ 100,
fO J f(4 )
-
Í(S)
-
y (« ), F 0*co aO fC )/ 10 . 4 0 0 0 « y (l)/ 1 0 y (• ),
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad
P ro g ra m a p a ra g e n e ra r el p o lin o m io ca ra cte rís tic o D csanoU c u n p rogram a d e com putadora general llam ado P c o g r a m 7 . m para g e n era r e l polinom io c ara c te rístico correspondiente a una matriz, cuadrada dada. U se e l program a para g enerar e l polinom io característico atrrespondiente a la m atriz
-1
2
-1 2
0
-1
0 -1 2
S olución: 0 program a P r o g r a m 7 .m s c desarrolla p ara que acepte los siguientes datos d e entrada: n = o rd e n de la m atriz [A | (aj = m atriz d ad a [A | B program a g enera los siguientes resultados: p c f = v ector de coeficientes d e l polinom io com enzando a partir d e l term ino constante >> prograa7 • « p u ild n d atoai
p o lin o m ia l da
d a tarn in an ea
2.000000a *
a cu a ció n
an
to m a
da
d a ta n ln a n ta
Ai
000
- 1 . 000000a. 000
0 . 0 0 0 000a . 000
- 1 . 000 0 00a . 000
2 . 000000a.0 0 0
- 1 . 0 0 0 0 0 0 a . 000
0-0 0 0 0 0 0 a .000 ra a u lC a d o i
- 1 . OOOOOOa.OOO
co a flcia n ta a
p c f(n p )• < x *n ).p c f( n - 4 . OOOOO Oa.OO O
E je m p lo 6 .2 6
una
)•
2 . 0 0 0 0 0 0 a . 000
p o lin cn ia la s
(x * ( n - 1 )
) * . .
an
. . p c f (2 >. p c f ( 1 ) . 0
l.O O O O O O a.O O l
-4 .0 0 0 0 0 0 a .0 0 0
1 . OOOOOOa.OOO
P ro g ra m a p a ra a ná lisis m o d a l d e siste m a s d e v a rio s g ra d o s d e libe rta d D esarrolle un program a M A TL A B . llam ado P r o g r a m 8 .to p a ra determ inar la respuesta d e un sistem a d e va rios grados d e libertad m ediante un análisis m odal. U se e l p rogram a p ara e n co n trar la solución d e un sistem a to n los siguientes datos: M atriz d e masa: 1 Im
=
0
0
1
0
0
0 o 1
M atriz m odal (con los m odos c o m o colum nas; los m odas no se h acen m -ortogonales):
M
=
1.0000
1.0000
1.0000
1.8019
0 .4 4 5 0
-1 .2 4 6 8
2.2470
- 0 .8 0 2 0
0.5544
www.FreeLibros.me
6 .1 7
E je m p lo s r e s u e lto s u tiliz a n d o M ATLAB
Frecuencias naturales = ait = 0.89008. oh = 1.4942. utj = 3.6050 Relaciones d e am ortiguam iento m odal - ( ¡ - 0 .0 1 . i = 1 , 2 , 3 V ector d e fucr7as aplicadas a las diferentes m asas:
ÍM
F ( l ) = < F0 > e o s ojr,
F0 = 1 0 .
a> = 3.5
C ondiciones iniciales: ? ( 0 ) = 0 , ? ( 0 ) = 0 S o lu c ió n : S e desarrolla el p rogram a P r o g r a m 8 .m p a ra q u e acepte los siguientes datos d e entrada: n - grados d e libertad del sistem a n v ec - cantidad de m odos q u e se utilizarán e n e l análisis modal x m — m atriz d e m asa d e tam año n x n cv = m atriz m odal d e tam año n X n vec Z = v ector d e tam año n vec = v ector d e relaciones d e am ortiguam iento modal om = v ector d e tam año n vec = v ector d e frecuencias naturales f = v e c to r d e fu erzas aplicadas a m asas, d e tam año n x 0 = desplazam ientos iniciales d e m asas, v ector d e tam año n x d 0 = velo cid ad es iniciales de m asas, vector d e tam año n n stc p = cantidad d e estaciones d e tiem po o puntos d e integración 1 1. f2. . . . fmlcp d elt = intervalo entre estaciones d e tiem po consecutivas i = m atriz de tam año nstcp que contiene tiem pos i ¡ , i 2
www.FreeLibros.me
rmup
575
576
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad □ p r o g r a m a a r r o j a l o s s i g u i e n t e s re s u lta d o s :
x — m a triz d e ta m a ñ o n X n s t e p = d e s p l a z a m i e n t o s d e la s m a s a s m t . m y , . , . , m „ e n v a r ía s e s ta c io n e s d e t i e m p o - . . . / Qarp »
p ro g ra a B
R o ip u « » t• d a u n a i a e a n a o b t a ñ i d a n a d i a n t a a n í l l a l a n o d a l C o o rd a n a d a 1 1 .2 1 9 2 0 * - 0 0 2 4 . 6 2 4 3 1 a - 0 0 2 9 .S 7 « 2 9 a - 0 0 2 1 .5 2 1 5 1 a -0 0 1 2 .0 S 7 3 2 a - 0 0 1 2 . 4 7 0 3 2 a - 0 0 1 2 .6 B 0 2 8 a - 0 0 1 2 . 6 3 2 1 4 a -0 0 1 2 .3 0 3 3 9 a -0 0 1 1 .7 0 7 2 7 a - 0 0 1 8 . 9 1 4 3 2 a -0 0 2 - 6 .7 9 4 3 9 # - 0 0 3 - 1 . 0 7 5 6 2 a - 0 0 1 - 2 . 0 2 9 2 8 a - 0 01 - 2 .8 3 2 3 7 a - 0 0 1 - 3 . 4 0 S 3 0 a - 0 0 1 - 3 . 7 0 02 3 a - 0 0 1 - 3 . 6 9 7 4 S a - 0 0 1 - 3 . 4 1 7 2 5 a - 0 01 - 2 . 9 1 2 3 1 a -0 0 1 C o o rd a n a d a 2 l .« 7 9 B 5 a - 0 0 2 í . 4 0 1 3 S a - 0 0 2 1 . 3 3 6 1 1 a - 0 0 1 2 .1 4 7 4 2 a -0 0 1 2 .9 4 9 9 6 a - 0 0 1 3 . £ 1 8 4 4 a - 0 0 1 4 .0 4 0 9 S o - 0 0 1 4 . 1 3 2 1 2 a - 0 0 1 3 .8 4 3 2 ía -0 0 1 3 .1 « 8 4 3 a - 0 0 1 2 .1 4 S Í S a - 0 0 1 8 . 5 3 0 5 1 a -0 0 2 - S .9 9 4 7 S a - 0 0 2 - 2 . 0 8 2 4 2 a -0 0 1 - 3 . 4 « 1 0 9 a -0 0 1 - 4 .6 1 0 7 1 O - 0 0 1 - 5 .4 3 0 6 1 a - 0 0 1 - S .8 5 S f i« a - 0 0 1 - 5 . 8 6 3 8 1 a -0 0 1 - 5 .4 7 8 7 1 a - 0 0 1 C o o rd a n a d a 3 1 . 9 9 1 S 8 a -0 0 2 7 .S 7 2 7 3 a - 0 0 2 l.S 7 4 B 5 a - 0 0 1 4 .1 7 5 5 2 a -0 0 1 4 .6 0 9 7 6 a -0 0 1 4 .6 4 4 1 6 a -0 0 1 2 .1 C 6 9 9 a - 0 0 1 6 . 8 1 3 6 1 a - 0 0 2 - 9 . 2 9 0 9 1 a - 0 0 2 - 4 . 9 8 4 7 4 e -0 0 1 - 5 . 6 5 9 5 7 « - 0 0 1 - 5 . 8 8 4 9 0 a - 0 0 1
2 .5 1 7 9 4 a - 0 0 1 3 .4 3 4 9 1 a - 0 0 1 4 .2 3 3 5 8 a -0 0 1 3 .3 8 7 0 9 a - 0 0 1 - 2 . 5 0 B 2 3 n -0 0 1 - 3 .9 0 3 5 5 a - 0 0 1 - 5 . Í7 1 7 3 a -0 0 1 -5 .0 8 3 4 6 a -0 0 1
Resumen del capitulo □ a n á l i s i s d e s is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e r ta d r e q u ie r e m a n ip u la c i o n e s a l g e b r a i c a s te d io s a s . P a r a s i m p lif ic a r la s m a n ip u la c i o n e s s e p u e d e u t i l i z a r la r e p r e s e n ta c ió n m a tríc ia l. D e riv a m o s la s e c u a c io n e s d e m o v i m ie n to p o r m e d io d e tr e s m é to d o s d if e r e n te s : l a s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n . lo s c o e f i c i e n t e s d e in f lu e n c ia y la s e c u a c i o n e s d e L a g r a n g c . P r e s e n ta m o s e l c á l c u lo d e la s f r e c u e n c i a s n a tu r a le s c o n l a s o lu c i ó n d e l p r o b le m a d e v a lo r e i g e n . U tiliz a m o s e l p r o c e d im ie n to d e a n á l i s i s m o d a l p a r a la v i b r a c ió n lib r e y f o r z a d a d e s is te m a s n o a m o r tig u a d o s y s is te m a s p r o p j r c i o n a l m e n t e a m o r tig u a d o s . P o r ú ltim o , p r e s e n ta m o s la s o lu c ió n < t v i b r a c ió n li b r e y f o r z a d a d e p r o b le m a s d e v a r io s g r a d o s d e l ib e r ta d u tiliz a n d o M A T L A B . A h o ra q u e y a te rm in ó e s t e c a p í tu lo , u s te d d e b e r á s e r c a p a z d e r e s p o n d e r la s p r e g u n ta s d e r e p a s o y r e s o l v e r lo s p r o b le m a s q u e s e p r e s e n ta n a c o n tin u a c ió n .
Referencias 6 .1
F. W . B e a u f a it. Basic Concepto o f Slruclural/V nalysis, P r e n ti c e H a ll. E n g l e w o o d G i f f s . N J . 1 9 7 7 .
6 .2
R. J . R o a r k y W . C . Y o u n g , fo rm u la s f o r Stress a n d Strain ( 5 a . c d .) . M c G r a w - H ill . N u e v a Y o rk . 19 7 5 .
6 J
D . A . W e lls . Theory and P roblem s o f la g ru n g ia n D ynam ics, S c h a u m ’s O u tlin e S e r ie s . M c G r a w - H ill. N u e v a Y o rk . 1 9 6 7 .
6 .4
J . 11. W ilk in s o n , The A lgebraic E ig em a lu e Problem , G a r e n c k in P r e s s . O x f o r d . 1 9 6 5 .
6 .5
A . R a l s to n . A F irst C ourse in N um erical Anatysis, M c G r a w - H ill. N u e v a Y o rk . 1 9 6 5 .
6 .6
I . M e i r o v itc h . A n a lytica l M eth o d s in Vibralions, M a c m illa n , N u e v a Y o rk , 1 9 6 7 .
6 .7
J . W . S tr u tt, L o r d R a y l c ig h , The Theory o fS o u n d . M a c m illa n , L o n d r e s . 1 8 7 7 ( r e im p r e s o p o r D o v e r P u b lic a tio n s . N u c v a Y o r k . c n 1 9 4 5 ).
6 .8
W . C . H u r ly y M . F . R u b in s te in , D ynam ics o f Structures, P r e n ti c e H a l l . E n g l e w o o d G i f f s . N J . 1 9 6 4 .
6 .9
T . K . C a u g h e y . ‘G a s s i c a l n o r m a l m o d e s in d a m p e d l in e a r d y n a m i c S y s te m s " . Journal o f A p p lie d M e
chantes, V b l. 2 7 . 1 9 6 0 . p á g s . 2 6 9 - 2 7 1 .
www.FreeLibros.me
P re g u n ta s d e re p a so
577
6 .1 0 A Avakian y D. E Bcskos, *'Usc of dynamic stiffncss influence cocfficicnts in vibrations of non-uni-
form bcams", documento para el editor. Journal o fS o u n d and Vibra ñon. \fol. 4 7 .1976, págs. 292-295. 6.11 L Gladwell y P. M. Hanson, “Some error bounds and nuinerical experiments in modal melhods for dynatnics of systcms". Earthquake Fngineering and Struc tu ra l Dynamics. V o l 12. 1984. págs. 9-36. 6.12 R. Bajan, A. R. Kukrcti y C. C. Feng. “Method for improving incomplctc modal coupling", Journal o f Fjigineering Mechanics, Ybl. 109. 1983. págs. 937-949. 6.13 E J. Routh, Advanced Rigid Dynamics, Macmillan. Nueva York. 1905. 6 .1 4 D. W. Nicholson y D. J. In m a n , “Stable response of damped linear systems". Shock and Vibration Di-
g e s t.V s l 15. noviembre de 1983. págs. 19-25. 6.15 R C. Chen y W. W. Soroka. "Multidegree dynamic response of a system wiüi statistical properties".
Journal o fS o u n d and Vibration. V o l 37, 1974. págs. 547-556. 6 .1 6 S. Mahalingam y R. E D. Bishop. "The response ofa syslem with repeated natural frequencies to forcé
and displacement cxcitation”. Journal o fS o u n d and Vibration, Vfol. 36. 1974, págs. 285-295. 6.17 S. G. Kelly. Fundamentáis o f Mechanica! Vibrations. McGraw-Hill. Nueva York. 1993.
6.18 S. S. Rao. Applied Numerical Methods fo r Engineers a n d Scientists, Prcnticc Hall. Upper Saddlc Rivcr. NJ. 2002.
Preguntas derepaso 6 .1
R esp o n d a b re v e m e n te lo sig u ien te: 1.
Etefina los c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e flex ib ilid ad y rigidez. ¿ C u á l e s la relació n e n tr e e llo s?
2.
E sc rib a la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d e n f o rm a m atrid a l u tilizando a . la m atriz d e fle x ib ilid a d y
b. 3.
la m a triz d e rig id e z
f a p r e s e la s e n e r g ía s p o ten cial y c in é tic a d e u n sis te m a d e n g ra d o s d e lib erta d , m e d ia n te n o tació n m atricial.
4 . ¿Q ue e s u n a m atriz d e m a s a g e n e ra liz a d a ? 5 . ¿ f o r q u é la m a triz d e m a s a [ m | e s sie m p re d e f in id a p o sitiv a? ¿ L a m atriz d e rig id e z [ * | e s sie m p re p o sitiv a d e f in id a ? ¿ P o r q u e ?
6
7. ¿ C u á l e s la d ife re n c ia e n tre c o o r d e n a d a s g e n e ra liz a d a s y c o o rd e n a d a s c a rte sia n a s? 8
.
E stab lezca la s e c u a c io n e s d e la g r a n g e .
9 . ¿Q ué e s u n p ro b le m a d e v a lo r e ig e n ? 10
.
¿Q ué e s u n a fo rm a d e m o d o ? ¿ C ó m o s e c a lc u la ?
11. ¿ C u á n ta s fre c u e n c ia s n a tu ra le s d istin ta s p u e d e n e x is tir p a r a u n sis te m a d e n g ra d o s d e lib e rta d ? 12
.
¿Q ué e s u n a m atriz d in á m ic a ? ¿ C u á l e s s u u so ?
13. ¿ C ó m o s e d e riv a la e c u a c ió n d e fre c u e n c ia p a ra u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d ?
14. ¿ Q u é s ig n ific a o rto g o n a lid a d d e m o d o s n o rm a le s ? ¿ Q u é so n lo s v e c to re s m o d ales o rto n o rm a le s ? 15. ¿Q ué e s u n a b a s e e n u n e s p a c io d e n d im e n sio n e s ? 16. ¿Q ué e s el te o re m a d e e x p a n s ió n ? ¿ C u á l e s s u im p o rta n c ia ? 17. E x p liq u e e l p ro c e d im ie n to d e a n á lis is m o d al. 18. ¿Q u e e s u n m o d o d e c u e rp o ríg id o ? ¿ C ó m o s e d e te rm in a ?
19. ¿Q ué e s u n sis te m a d e g e n e ra d o ?
20. ¿ C ó m o p o d e m o s h a lla r la re sp u e sta d e u n sis te m a d e v ario s g r a d o s d e lib erta d u lili/a n d a s o la m e n te lo s p rim e ro s m o d o s?
www.FreeLibros.me
578
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e r ta d
2 1
.
2 2.
D efin a la fu n ció n d e d isip a c ió n d e R a y lc ig h . D efin a e s lo s té rm in o s : a m o r tig u a m ie n to p r o p o r c io n a l, re la ció n d e a m o r tig u a m ie n to m o d a l, f a c t o r
de p a rtic ip a c ió n
6 2
m o d a l.
2 3.
¿ C u á n d o o b te n e m o s v a lo re s c ig c n c o m p le jo s?
2 4.
¿ C ó m o s e u s a e l c rite rio d e R o u th -H u rw itz ?
In d iq u e s i c a d a u n o d e lo s s ig u ie n te s e n u n c ia d o s e s v e rd a d e ro o falso: 1.
R ira u n s is te m a d e v ario s g ra d o s d e libertad, s e p u e d e e s c rib ir u n a e c u a c ió n d e m o v im ie n to por caifa g r a d o d e libertad.
2. L a e c u a c ió n d e Lagrangc n o s e p u e d e u tiliz a r p a r a d e riv a r la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e un sistem a d e v ario s g r a d o s d e libertad. 3.
L a s m atric e s d e m a s a , rig id e z y a m o rtig u a m ie n to d e u n sistem a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d s ie m p re s o n sim é tric a s.
4.
0 p ro d u c to d e la s m atric e s d e rig id e z y fle x ib ilid a d d e u n sis te m a s ie m p re e s u n a m a triz d e id e n tid a d .
5.
0 a n á lis is m o d a l d e u n sis te m a d e n g ra d o s d e lib erta d s e p u e d e re a liz a r p o r m e d io d e r m o d o s c o n r
6.
R ú a un sis te m a a m o rtig u a d o d e v ario s g ra d o s d e lib erta d , to d o s lo s v alo res e ig e n p u e d e n s e r c o m plejo s.
7. 8
.
9. 10
.
l a relació n d e a m o rtig u a m ie n to m o d a l in d ic a a m o rtig u a m ie n to e n un m o d o n o rm a l particu lar. U n s is te m a d e v a rio s g r a d o s d e lib erta d p u e d e te n e r s e is d e la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s ig u a le s a cero. L a s c o o r d e n a d a s g e n e ra liz a d a s sie m p re te n d rá n la lo n g itu d u n itaria . L a s c o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s so n in d e p e n d ie n te s d e la s c o n d ic io n e s d e re stric c ió n d e l sistem a.
11. L a m a triz ifc m a s a g e n e ra liz a d a d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib e rta d s ie m p re e s d ia g o n a l. 12. L a s e n e r g ía s p o te n c ia l y c in é tic a d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib e r ta d sie m p re s o n c a n tid a d e s cuad ráticas. 13. L a m a triz d e m a s a d e u n sis te m a s ie m p re e s sim é tric a y d e fin id a positiva. 14. l a m a triz d e rig id e z d e u n sis te m a sie m p re e s sim étrica y d e fin id a p o sitiv a. 15. 0 m o d o d e c u e r p o ríg id o ta m b ié n s e lla m a m o d o c e ro . 16. U n sis te m a n o re strin g id o ta m b ié n s e c o n o c e c o m o sis te m a se m id e fin id o . 17. L a s e g u n d a ley d el m o v im ie n to d e N ew to n sie m p re s e p u e d e u tiliz a r p a ra d e riv a r la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a v ib rato rio . 6J
E scrib a e n c a d a u n o d e lo s s ig u ie n te s e s p a c io s e n b la n c o la p a la b ra co rre c ta . 1
.
l a c o n s ta n te d e re so rte in d ic a l a _________ n e c e sa ria p a r a p ro d u c ir u n a la rg a m ie n to u n ita rio .
2
.
0 c o e fic ie n te d e in flu e n cia d e fle x ib ilid a d in d ica la d e fle x ió n e n el p u n t o una c a rg a u n ita ria a p lic a d a e n el p u n t o ___________ .
3.
d e b id o a
L a fu e rz a e n el p u n to i p ro d u c id a p o r u n d e s p la z a m ie n to u n ita rio e n e l p u n to j , c u a n d o to d o s los p u n to s a d e m á s d e l p u n to j e s tá n fijo s, s e c o n o c e c o m o c o e fic ie n te d e in flu e n cia d e ____________ .
4.
l a s fo rm a s d e m o d o d e u n sis te m a d e v ario s g ra d a s d e lib e rta d s o n __________ .
5.
l a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d s e p u ed en e x p r e s a r e n (u n ció n d e lo s co e fic ie n te s d e __________ .
6.
L a s e c u a c io n e s d e L a g ra n g c s e e x p re sa n e n fu n ció n d e c o o rd e n a d a s
7. 8
.
9.
0 v a lo r d e la d e lta d e K ro n e c k e r (S g) e s 1 p a r a to d a s la s i = j y
. _para to d a s la s í ¿ j .
L a m atriz d e rig id e z d e u n s is te m a se m id e fin id o e s _________. Un sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib e rta d p u e d e te n e r a lo s u m o
www.FreeLibros.me
d e c u e rp o ríg id o .
P re g u n ta s d e re p a so
10.
579
Orando el vector de solución se indica como una combinación lineal de los modos normales como " —.... 7 (f) = 2 q ¡(l)X ^‘ J las coordenadas generalizadas ,) tambiéni se conocen como coeficientes de participación de_________ .
1 1 . Gralquicr conjunto de n vectores lincalmcntc independientes en un espacio de n dimensiones se
Dama 12. La representación de un vector de n dimensiones arbitrario como una combinación lineal de n rectores lincalmcntc independientes se conoce como teoremade_________ . 13. FJ análisis________ está basado en el teorema de expansión. 14. El análisis modal básicamente_____
las ecuaciones de movimiento.
15. Los valores eigen de un sistema de varios grados de libertad forman un _ de n dimensiones.
. en el espacio
16. La aplicaciónde las ecuaciones de Lagrange requiere la disponibilidad de
expresiones.
17. La ecuación en forma de determinante ||*| - cir|»n]| = 0. se conoce como ecuación_________ . 18. La simetría de las matrices de rigidez y flexibilidad se debe al teoremade reciprocidad_________ . 19. El teorema de reciprocidad de Maxwell establece que los coeficientes de influencia son_______ . 20. La matri7.de rigidez es positiva definida sólo si el sistema es________ . 21. Durante la vibración libre de un sistema no amortiguado, todas las coordenadas tendrán movi miento ________ . 22. En amortiguamiento proporcional, se supone que la matriz de amortiguamiento es una combina ción lineal de las matricesde y ________ . Seleccione la respuesta más apropiada de entre lasopciones dadas: 1. La cantidad de frecuencias naturales distintas para un sistema de n gradas de libertad puede ser a. I b.oo c. n 2. La matriz dinámica |DJ estádada por M * J -T " ] b.(m j-'(*] 3. La ortogonalidad de los modos implica a.
= 0 únicamente
b. xW)r[ft]xW = 0 únicamente c . X (,)r[m ]X U) = 0 y X (^ [ t ] X ° > = 0
4. La matriz modal. [X). está dada por a.
[X ] =
X<2>
X<»>
* (» r
b. [X ] =
X<*)r x«-)r
C. [X ] = [k]-'[m ) 5.
la función de disipación de Rayleigh se utiliza para generar una matriz de rigidez matriz de amortiguamiento c matriz de masa a.
b.
www.FreeLibros.me
C a p ítu lo 6
S i s t e m a s d e v a r i o s g r a d o s d e l i b e r ta d
6. La ecuación característica cfc un sistema de n grados de libertad es a. una ecuación trascendental b. un polinomio de grado n c. una ecuación diferencial de orden n 7. La frecuencia natural fundamental de un sistema es a . el valor máximo b. el valor mínimo c . cualquier valor 8. □ amortiguamiento negativo conduce a a. inestabilidad b. convergencia rápida c . oscilaciones 9. B criterio de Routh-Hurwitzse puede utilizar para investigar a . la convergencia de un sistema b . las oscilaciones de un sistema
c. la estabilidad de un sistema 10. Las matricesde rigidez y flexibilidad están relacionadas como a. |* | = |o| b. |* | = |a|~' c . I*J = [a]T 11. Un sistema para el cual [*| es positiva y (m| es positiva definida se llama a. sistema semidefinido b. sistema positivo definido c . sistema indefinido 12. (mj-ortogonalidad de vectores modales implica a. x M [ m ] x W = 0
b.
= 0
c . [ X ] T [ m ) [ X ] = [*?]
13. Se puede utilizar el análisis modal de manera conveniente para determinar la respuesta de letna de varios grados de libertad a. sometido a condiciones forzadas arbitrarias
b. sometido a condición de vibración libre c. implicando varios modos (L5
Correlacione los elementos de las doscolumnas siguientes:
a. igual a cero produce los valores característicos
L \ * T[m )X 2 \ x T[m ]X
b. igual a [wf ] cuando los modos son normalizados
3. x t f [ m ] x W
c. alergia cinética del sistema
4 x V T lm ] x to
d. igual a cero cuando los modos son ortogonales
5. [X ]T[k][X ]
e. igual a la matriz dinámica (/>)
6. ("»)* + f*]7
f. energía de deformación del sistema
7.
g. igual al vector cfc fuerza aplicada F
&
m]| w
'm
h. sigual a uno cuando los modos son ortogonales
www.FreeLibros.me
P ro b le m a s
581
Problemas Sección 6.3 uso de la segunda ley de Newton para derivar ecuaciones de movimiento 6.1-6.5
ÍX’rivc las ecuacionesde movimiento por medio de la segunda ley del movimiento de Newton, para cada uno de los sistemas que se muestran en las figuras 6.18 a 6.22 .
Ft(l)
*j<0
5k f
ccco m
/? n m v
m,
'
m2
'33Ü0ÍP
mi
k
k
f-*- * A 0 *
*i0 )
F ig u ra 6.18
4
r
%V
------------
-c
*)
‘
.J _ . W|(
2k\
2m
*
Baña rigida, masa- 2m
T
*,(0
4o
T
*2(0
I F ig u ra 6 .1 9
F ig u ra 6 J Í 0
www.FreeLibros.me
582
C a p ítu lo 6
S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e r ta d
”4 é
C antidad d e d ie n te s e n e l e n g ra n e
í
G, = n , ( i
-
= la
6
)
Momento de inercia de masa del engrane G, * /( (/ = 1 a 6)
6.6
Figura 6.22
Un automóvil se modela como se muestra en la Figura 6.23. Derive las ecuaciones de movimiento por nedio de la segunda ley del movimiento de Ncwton.
Masa = Af, momento de inercia de
Figura 6.23 6.7
las ecuaciones de movimiento derivadas utilizando los desplazamientos de las masas*i, x 2 y *3 como grados de liberta! en la figura 6 .12 (ejemplo 6. 10 ) conducen a matrices de masa y rigidez simétricas en la ecuación (E.3) del ejemplo 6, 10 . Exprese las ecuaciones de movimiento, (F,3) del ejemplo 6 .10, utilizando x2 - *1 y x 3 - *3 como grados de libertad en la forma: [m ]j' + [k]y = Ó donde
y =
Demuestre que las matrices de masa y rigidez resultantes [m] y [*] son no simétricas. 6.8
Un análisis de vibración simplificado de unavión considera los movimientos de rebote y cabeceo (figu ra6.24
www.FreeLibros.me