Zeta di Riemann – trascendenza parte immaginaria zeri non banali Rosario Turco
Sommario Il presente articolo mostra delle evidenze numeriche, attraverso le frazioni continue, circa gli zeri non banali della zeta di Riemann ξ(z), che risultano avere la parte immaginaria irrazionale di tipo trascendente.
Introduzione Sulla zeta di Riemann sono noti moltissimi notevoli studi scientifici, concentrati per lo più in un solo arco temporale di cento anni. Lo stesso autore ha scritto diversi articoli divulgativi sul tema (vedi Riferimenti [1][2][3][4][8][9]). La congettura più famosa, la RH (Riemann Hypothesis), tuttora non del tutto dimostrata rigorosamente, è che “ Tutti gli zeri non banali della zeta di Riemann sono sulla retta critica s=1/2 ”. Una congettura minore è che “Gli zeri non banali sono zeri semplici ”. ”. D’altra parte ci sono molte evidenze che gli zeri non banali sono zeri semplici: sia perché la derivata prima
negli zeri è diversa da zero (è stato anche verificato computazionalmente d all’autore e da altri), sia perché in molte espressioni funzionali tale derivata prima negli zeri è al denominatore e il rapporto non tende all’infinito. L’ ipotesi di Riemann , inoltre, ha anche molte leggi equivalenti o RH-equivalenti; mentre la ricerca degli zeri
non banali della zeta di Riemann è possibile con una tecnica Newton-Raphson o Metodo delle tangenti ([5]). tangenti ([5]). Un altro modo affascinante di studiare la zeta di Riemann è pervenire ad uno sviluppo in serie già noto, che si avvicina alle frazioni continue (vedi [8]):
( s)
m
Con n
lim m
k 1
n
ln k k
ln m
1 s
n
1 n n 0
s 1
n
n!
n 1
n 1
Dove sono le costanti di Stieltjes, Stieltjes , e per n=0 abbiamo la famosa costante di Eulero-Mascheroni : n
0 = .5772156649015328606065120900824024310421 Richiami teorici sui numeri irrazionali Ritornando agli zeri non banali, spesso quello che si osserva è che la parte immaginaria è sicuramente irrazionale, visto che non si osservano periodicità, né numeri finiti; anzi aumentando la precisione si tende ad avere sempre più cifre decimali dopo la virgola. Ma è la parte immaginaria e irrazionale algebrica o trascendente? Sappiamo che i numeri sono principalmente classificabili in: 1
Insieme
(numeri naturali, che non contengono i negativi)
insieme
(numeri interi, contenente anche i negativi)
insieme
(numeri razionali, che permettono esprime un numero come rapporto di interi)
insieme
(numeri reali, contenenti i razionali e gli irrazionali)
insieme
(numeri complessi)
In realtà
,
,
sono equipotenti, ovvero con lo stesso numero infinito di elementi, cardinalità
0
(aleph zero), corrispondente anche a quello dei numeri Pari o dei numeri Dispari. I numeri reali
(razionali e irrazionali) hanno, invece, numero infinito di elementi, cardinalità 1 (aleph
uno) maggiore, a causa degli irrazionali, come da dimostrazione dovuta a Cantor . In altri termini non si riesce a metterli in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali e quindi non sono un insieme numerabile. E’ lo stesso problema dei punti su una retta , che sono infiniti. O forse il problema è che non è ancora noto un algoritmo che permetta di padroneggiare sull’Infinito in atto.
Gli irrazionali, poi, si suddividono in numeri algebrici e numeri trascendenti . Un numero irrazionale algebrico è un numero che è soluzione o radice di un polinomio di grado n a coefficienti razionali. Ad esempio se consideriamo l’equazione associata ad un polinomio di secondo grado del tipo: x
di cui il numero irrazionale
2
2 0,
2 è una sua soluzione, allora tale radice è un numero irrazionale algebrico.
Se un numero irrazionale non è soluzione di una di un polinomio allora è un numero trascendente come il numero di Liouville, Liouville, e la base Neperiana dei logaritmi, il pi il pi greco etc. Oggi si possono ordinare gli infiniti grazie al Teorema di Cantor ed Cantor ed il concetto dei numeri trasfiniti . Tuttavia molti numeri non sono stati ancora dimostrati come trascendenti ed è da dimostrare anche l’affascinante ipotesi del continuo di Cantor . Le frazioni continue (vedi [5]) sono legate alle fattorizzazioni, alla funzione zeta di Riemann, ai frattali, all’equazione di Pell, alle equazioni diofantee etc.
Un irrazionale è esprimibile, in pratica, con una frazione continua infinita unica, o frazione continua illimitata; viceversa una frazione continua illimitata è un numero irrazionale. Ci sono però anche dei casi particolari, ad esempio Lagrange mostrò che nel caso degli irrazionali quadratici , ricavabili da un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali, si può avere una frazione continua periodica (Vedi [10]). In generale, dato un numero r sviluppabile in frazione continua:
r a0 ( r ); a1 ( r ); a2 ( r ); a3 ( r ); ... a0 ( r )
1 a1 ( r )
1 a2 ( r )
1 a3 ( r ) ...
dove a0 ( r ) è un intero, e ak ( r ) per k 1 sono interi positivi, un numero irrazionale, in generale, si può vedere anche come limite di una successione di frazioni continue troncate, ovvero come limite della successione delle sue ridotte ai. 2
Per un numero reale, in generale vale la costante di Khinchin: Khinchin:
1 Kl ( r ) lim a1 ( r ) a2 ( r )...an ( r ) n 1 n m 1 m m 2
1
log2 m
2.685452001 K0
(1)
La (1) è la media geometrica dei primi n termini della frazione continua e converge alla costante di Khinchin; Khinchin ; è, quindi, un indicatore di irrazionalità del numero. In generale la media geometrica dei quozienti parziali di un numero reale, tranne eccezioni, tende a tale costante. Le eccezioni note sono: razionali, irrazionali quadratici, le misure di Lesbegue nulle, la e di Nepero, che ha limite infinito.
pn
Inoltre, se il rapporto razionale
qn
a0 ; a1; a2 ; a3 ; ...
è la n-esima parte convergente di una frazione
continua, allora è possibile definire la costante di Khinchin-Levy : 2 12ln2
1
L0 lim qn ( r) n e n
3.275822918721811...
(2)
Anche per questa costante valgono le stesse eccezioni, della precedente. Inoltre esiste il Teorema di Liouville: Liouville: Se α è un numero algebrico di grado n allora esiste una costante C tale che, per ogni p e q è: è: (4) |
p q
|
C q
n
La conseguenza del Teorema è che se troviamo un numero reale β tale che per ogni n esistono p e q>1 con la proprietà che |
p q
|
1 q
n
allora β non è algebrico. Una cosa del genere è facile costruirla con le
frazioni continue. Basta fissare a0 e costruire gli altri tale che ak 1
qk k 1 .
Un altro teorema interessante è il Teorema di Lagrange: Lagrange: Lo sviluppo in frazioni continue di un numero reale è periodico se e solo se il numero è algebrico su
di grado 2 .
Osservazioni sugli sugli zeri non banali della zeta z eta di Riemann Per le nostre verifiche abbiamo usato PARI/GP e le funzionalità in [10]. La precisione \p influenza i risultati che si ottengono. Nel seguito useremo più valori di /p per mostrare questo effetto. Dopi vari tentativi si è vede che \p 2000 è tra quelle più indicate, ottenendo circa 2000 cifre dopo la virgola nella parte immaginaria degli zeri e uno sviluppo in frazione continua con moltissimi termini. Una precisione maggiore richiede, necessariamente, un tempo di elaborazione della GetCriticalZero maggiore. Con GetCriticalZero(10) otteniamo che i primi 10 zeri non banali della zeta di Riemann, che hanno la seguente parte immaginaria: 3
14.134725141734693790457251983562470270784 14.1347251417346937 904572519835624702707842571156992431756855 2571156992431756855674601499634298092567649 6746014996342980925676494901039317156101 4901039317156101 21.022039638771554992628479593896902777334 21.0220396387715549 926284795938969027773343405249027817546295 3405249027817546295204035875985860688907997 2040358759858606889079971365851418015142 1365851418015142 25.010857580145688763213790992562821818659 25.010857580145688763 2137909925628218186595496725579966724965420 54967255799667249654200674509209844164427784 0674509209844164427784023822455806244 023822455806244 30.424876125859513210311897530584091320181 30.4248761258595132 103118975305840913201815600237154401809621 5600237154401809621460369933293893332779202 4603699332938933327792029058429390208911 9058429390208911 32.935061587739189690662368964074903488812 32.9350615877391896 90662368964074903488812715603517039009280003440 71560351703900928000344078481560863055100593 78481560863055100593884849613534872 884849613534872 37.586178158825671257217763480705332821405 37.5861781588256712 572177634807053328214055973508307932183330 5973508307932183330011136221490896185372647 0111362214908961853726473032910494582380 3032910494582380 40.918719012147495187398126914633254395726 40.9187190121474951 873981269146332543957261659627772795361613 1659627772795361613036672532805287200712829 0366725328052872007128299600371988954688 9600371988954688 43.327073280914999519496122165406805782645 43.327073280914999519 496122165406805782645668371836871446878893 66837183687144687889368552108832230505362645 68552108832230505362645634937106319093 634937106319093 48.005150881167159727942472749427516041686 48.0051508811671597 279424727494275160416868440011444251177753 8440011444251177753125198140902164163082813 1251981409021641630828133033537230540100 3033537230540100 49.773832477672302181916784678563724057723 49.7738324776723021 81916784678563724057723178299676662100781955750 17829967666210078195575043351161151573927873 43351161151573927873270750740093133 270750740093133
Dall’analisi visuale degli zeri già è evidente l’assenza di periodi; inoltre aumentando la precisione con GetCriticalZero, aumentano le cifre di essi. E’ impossibile, quindi, che si tratta di numeri razionali , e sicuramente per il Teorema di Lagrange non può essere nemmeno algebrico su di grado 2.
Nel seguito definiamo anche la quantità:
Sk K l ( r ) K 0
(5)
che rappresenta la differenza rispetto alla costante di Khinchin. Prendiamo il primo valore della parte immaginaria degli zeri non banali disponibile sopra, ovvero: N1=14.13472514173469379045725198356247027078425711569924317568556746014996342980925676 494901039317156101 Di esso ci interessa la frazione la frazione generatrice del numero irrazionale. irrazionale . Se eseguiamo da PARI/GP otteniamo che: (09:11) gp > a = contfrac(N1) %34 = [14, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 12, 23] Il che vuol dire che: 1
N 1 14
1
7
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1 1
1 12
1 23
Difatti se usiamo il piccolo algoritmo in PARI/GP, RealFromContfrac(a) in APPENDICE, riotteniamo il valore dello zero non banale, dove a è il risultato della contfrac precedente. La miglior approssimazione di questo numero reale N1 con \p 100 è ottenibile con bestappr(N1,10^100). Difatti è: (09:45) gp > z=GetCriticalZero(1) %401 = [14.13472514173469379045725198356247 [14.1347251417346937904572519835624702707842571156992431756 02707842571156992431756855674601499634298092 855674601499634298092567649490103931715610 5676494901039317156101] 1] (09:46) gp > bestappr(z[1],10^100) bestappr(z[1],10^100) %402
=
112662239325844908350691374494572419596764 112662239325844908350 69137449457241959676447704635622297494834605 47704635622297494834605580723227773198790615 5807232277731987906150647564969303373 0647564969303373/7970599937114755 818559867972595159142935025407861178860396 818559867972595159142 93502540786117886039637822552180819518771299 378225521808195187712993922314421583691681 3922314421583691681 (09:46) gp > bestappr(z[1],10^100)*1. %403 = 14.1347251417346937904572519835624702707 14.1347251417346937904572519835624702707842571156992431756855 8425711569924317568556746014996342980925676 6746014996342980925676494901039317156101 494901039317156101
4
Ora possiamo calcolare con GetK la media geometrica, con la parte a sinistra della (1). Iniziamo col primo zero: \p 100 GetK(1) L’input 1 significa che vogliamo il primo zero tra i 10 di default della GetCriticalZero; mentre se volessimo l’undicesimo zero, dovremmo cambiargli anche il default (perché considera solo i primi 10 zeri) e scrivere
GetK(11,11), cioè di prelevare l’11simo zero però calcolando 11 zeri con la GetCriticalZero. Per il primo zero, contfrac ci ha dato una espansione in frazione continua di lunghezza 11 e K= 2.8055361610746516701918727251091143981736 2.80553616107465167 019187272510911439817361771312416965785666 1771312416965785666980798036940995769647108 980798036940995769647108529321540985589 529321540985589
K come si vede è vicino alla costante di Khinchin. In parti colare è: S= 0.120090960974651670191872725109114398173617713124169657856669807980369409957 6964710856293215409855888 Se aumentassimo la precisione \p 500 che succede? contfrac dà una espansione in frazione continua di lunghezza 474 e K= 2.7739949342057332313551434825395654485323 2.77399493420573323 135514348253956544853239590943583538673070 9590943583538673070903552695385815197955125 903552695385815197955125938984152916839084027 9389841529168390840273373239437582 3373239437582 539548313807832306152755094585113484098677 539548313807832306152 75509458511348409867711672199808816835718311 11672199808816835718311882847073380615954994 882847073380615954994957232119011748660457 95723211901174866045756144160281 56144160281 3839346210412760583198411876505750808688577 383934621041276058319 8411876505750808688577853692325306697652115591 8536923253066976521155910783646118190384599 078364611819038459930082067227478019495380 30082067227478019495380255183598 255183598 355688214761444300766002020337959725863653 355688214761444300766 00202033795972586365394387785326751614325370 94387785326751614325370472675647666585973699 472675647666585973699407120255286732103184 40712025528673210318407270879758 07270879758 4514174451678987731562540002
Cioè più aumentiamo la precisione, più lo sviluppo in frazione continua aumenta. Il che è indicativo che non è possibile esprimerlo come un razionale ma solo come limite di una successione. Per cui sicuramente si tratta di numero irrazionale. Con \p 500 S=0.08854973410573323135514348253956544853239590943583538673070903552695385815197955125 93898415291683908402733732394375825395483138078323061527550945851134840986771167219980 88168357183118828470733806159549949572321190117486604575614416028138393462104127605831 98411876505750808688577853692325306697652115591078364611819038459930082067227478019495 38025518359835568821476144430076600202033795972586365394387785326751614325370472675647 66658597369940712025528673210318407270879758451417445167898773156254000231 Con \p 2000 contfrac da una lunghezza di espansione in frazione continua di 1922 ed un K= 2.7397056617946992168847795991806395333879 2.73970566179469921 688477959918063953338797064204672731585059 7064204672731585059548799670155252522983989 548799670155252522983989612246115335674408796 6122461153356744087965784895036123 5784895036123 643547930225352739293742312954325367760210 643547930225352739293 7423129543253677602107971363999970747749581203 797136399997074774958120336418200962614896279 36418200962614896279883085771968293524686687 8830857719682935246866878249 8249 899481839931173507117510191765866132209604 899481839931173507117 51019176586613220960448378977095023454833263 48378977095023454833263322091183697747725140 322091183697747725140393656718021009938072 39365671802100993807275618884883 75618884883 956169105153807077782652290080790036892533 956169105153807077782 65229008079003689253373644926762483507833566 73644926762483507833566977741897505861436254617 9777418975058614362546177757338059386799409188 77573380593867994091884521043 4521043 678035513180052662249190091716931210453092 678035513180052662249 19009171693121045309213235401154936880512203 13235401154936880512203401127014177550709282 401127014177550709282625070289399818075157 62507028939981807515779147812050 79147812050 450400698229409827606531763825038839144364 450400698229409827606 53176382503883914436484208468069670519708027 84208468069670519708027391920742309744491038 3919207423097444910384727254388129736329072003 47272543881297363290720036374030 6374030 893653257406062415382165919459367427180185 893653257406062415382 16591945936742718018538478904998810701866002 38478904998810701866002392995984803494034286 392995984803494034286247898624160684792841 24789862416068479284199515917161 99515917161 299067830949880021904225351003195370805136 299067830949880021904 22535100319537080513675159298091490704660268 75159298091490704660268263853680058403165578 263853680058403165578951539681885879132376 95153968188587913237611636456745 11636456745 145494809664629275679123290607955667444368 145494809664629275679 12329060795566744436811427611870011663470605 11427611870011663470605075129698362770622194 075129698362770622194391490119069548273359 39149011906954827335997785919613 97785919613 868859904301377444542020781444669384996119 868859904301377444542 02078144466938499611927711265155193326610008 27711265155193326610008347895646541448293115 347895646541448293115466068230566615100370 46606823056661510037071350462827 71350462827 0655972661917374066454375885654878115110204 065597266191737406645 4375885654878115110204893587907607135027486202 8935879076071350274862020476412851127125805 047641285112712580582482509525811615337206 82482509525811615337206968976960 968976960
5
098738255683619058760919239395085039741545 098738255683619058760 91923939508503974154580867357124776926801108 80867357124776926801108707448009750841210782 707448009750841210782504828678947848565172 50482867894784856517208381593054 08381593054 4041200357511497671299189859252212128617289340 404120035751149767129 9189859252212128617289340610039186339922876679 61003918633992287667979883499849226993096 79883499849226993096721147580077741646773888 7211475800777416467738882457599 2457599 352261003499754860803520140345556498422306 352261003499754860803 52014034555649842230656225812877279540783660 56225812877279540783660306193619153756949115 306193619153756949115687659889771359783631 68765988977135978363151226682620 51226682620 106033283611102367349610962131262451413363 106033283611102367349 6109621312624514133638290193552434658403765555 829019355243465840376555512113129304313907491 12113129304313907491613548943592224109973269 6135489435922241099732694780722 4780722 272408978500679767146469994778880984891932 272408978500679767146 46999477888098489193238201883948372469386039 38201883948372469386039251009860394346136032 251009860394346136032738157286115761824289 73815728611576182428994964888523 94964888523 535939415642421136356246301352486614796380 535939415642421136356 24630135248661479638012583433925510979366054 12583433925510979366054475092027628371161833586 4750920276283711618335867669518007815522736134 76695180078155227361345465 5465
Verifica con Liouville Proviamo a guardare il primo sviluppo di 11 termini, attraverso la lente del Teorema di Liouville, Liouville , per stabilire se è un irrazionale algebrico. Il Teorema deve essere vero per ogni p e q. La costante deve essere C>0 e possiamo riformulare il Teorema (4) nella forma:
q | n
p q
| C , con C>0 (6)
Per cui se troviamo un p e q per cui è violata la (6), allora il Teorema è violato ed il nostro zero non banale non è un valore irrazionale algebrico ma trascendente. Partiamo dallo zero e troviamo la miglior approssimazione di frazione parziale, cioè: ((13:14) gp > z=GetCriticalZero(1) %42 = [14.1347251417346937 [14.1347251417346937904572519835624702707 904572519835624702707842571156992431756855 84257115699243175685567460149963429809256764 6746014996342980925676494901039317156101] 94901039317156101] (13:14) gp > alpha=z[1] %43 = 14.1347251417346937 14.13472514173469379045725198356247027078 9045725198356247027078425711569924317568556 42571156992431756855674601499634298092567649 746014996342980925676494901039317156101 4901039317156101 (13:14) gp > c=bestappr(alpha,10^100) c=bestappr(alpha,10^100) %44 = 112662239325844908350691374494572419596764 112662239325844908350 69137449457241959676447704635622297494834605 47704635622297494834605580723227773198790615 5807232277731987906150647564969303373 0647564969303373/7970599937114755 818559867972595159142935025407861178860396 818559867972595159142 93502540786117886039637822552180819518771299 378225521808195187712993922314421583691681 3922314421583691681 Questo vuol dire che:
pn=112662239325844908350 11266223932584490835069137449457241959676447 69137449457241959676447704635622297494834605580 704635622297494834605580723227773198790615 7232277731987906150647564969303373 0647564969303373 qn=797059993711475581855 79705999371147558185598679725951591429350254 98679725951591429350254078611788603963782255218 078611788603963782255218081951877129939223 08195187712993922314421583691681 14421583691681 (13:14) gp > denominator(c) %45 = 797059993711475581855986 797059993711475581855986797259515914293502 797259515914293502540786117886039637822552 5407861178860396378225521808195187712993922 1808195187712993922314421583691681 314421583691681
Ora proviamo per vari n=2,…10
A questo punto proviamo a fare: n=1000; j=0; for(i=1,n, val=(alpha-c)*(denominator(c)^i); if(val>0.0, print(“OK”);
j++; ); ); print(“ j = “, j);
6
e troveremo sempre valori nulli, anche aumentando n. In pratica la differenza (alpha – c)*q^n è praticamente zero, mentre la costante C deve essere almeno 1. Per cui, come conclusione di evidenza evidenza numerica, lo zero non banale è sicuramente trascendente.
APPENDICE Per attivare il software: \p \r c:\pari\FrC.txt
Sorgente FrC.txt (richiama anche Zeta.txt) \r c:\pari\Zeta.txt c:\pari\Zeta.txt RealFromContfrac (c)=local();{ (c)=local();{ /* c è il risultato di una contfrac , x da il valore reale della frazione continua */ i=length(c); print("len = ", i); prec = c[i]; i--; while(i>=1, x = c[i] + 1/prec; prec = x; i--; ); print("p/q = ", x); x=x*1.; print("real = ", x); } GetK(j,nz=10)=local();{ pos=j; print("pos: ", pos); z = GetCriticalZero(nz); GetCriticalZero(nz); print("Zeroes: print("Zeroes: ", z); a = contfrac(z[pos]); print("confrac : ", a); print("length contfrac: ", length(a)); P=1; for(i=1,length(a),P=P*a[i]); K=P^(1/length(a)); Ka=2.6854452001; S=K-Ka; print("K: ", K); print("Ka: ", Ka); print("S: ", S); return (K); }
7
Riferimenti [1] Frazioni continue e zeta di Riemann, connessioni con la teoria delle stringhe – R. Turco, M. Colonnese , M. Nardelli [2] Sulle spalle dei giganti – R. Turco, M. Colonnese et al. [3] Proposta di dimostrazione alle Ipotesi di Riemann e Congettura molteplicità degli zeri - Rosario Turco, Maria Colonnese [5] Aggirandosi tra i plot della zeta di Riemann - Tecniche per la ricerca degli zeri non banali - Rosario Turco, Maria Colonnese [6] La Zeta di Fibonacci in campo r eale – Rosario Turco [7] La Zeta di Keith e i numeri di Keith – Rosario Turco [8] Frazioni continue e zeta di Riemann, connessioni con la teoria delle stringhe – Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli [9]On [9]On the Riemann Hypothesis. Formulas explained - ψ(x) as equivalent RH. Mathematical connections with “Aurea” section and some sectors of String Theory – Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli [10]Software [10]Software PARI/GP per la zeta di Riemann – Rosario Turco [11] http://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua [12] RH equivalente generale dei numeri naturali – Rosario Turco, Maria Colonnese
8
