L’equazione funzionale nella zeta di Riemann ing. Rosario Turco
Introduzione
Un tema affascinante nel campo complesso è certamente la zeta di Riemann; chiunque che ha affrontato per la prima volta lo studio di tale argomento si sarà posto almeno un paio di domande come: “da dove nasce l’equazione funzionale?” oppure “perché i numeri primi sono legati agli zeri della zeta di Riemann?”. Nel 1986 Titchmarsh col suo libro (vedi [1]), mostrò ben sette tecniche per dimostrare l’equazione l’equazione funzionale. Nel seguito seguito l’autore dell’articolo mostra una tecnica analitica, ritenuta valida tra le varie dimostrazioni (anche in [1]), che mette in evidenza la “natura frazionaria” (vedi [8]) insita nella zeta di Riemann, il suo legame con i numeri primi e rappresenta essa stessa una ulteriore strada in cui emerge la stessa zeta. Formula di Eulero (s reale) e Zeta di Riemann (s complesso)
Premettiamo (vedi [1][2][5]), che è valida la relazione:
(s) n s p n 1
p-s
La relazione è nota come zeta di Eulero se s è considerata in campo reale e mostra il legame con i numeri primi. Se s è considerata complessa abbiamo a che fare con la zeta di Riemann e con la famosa congettura sugli zeri sulla retta critica (vedi [3][4][5]). Nel seguito mostreremo il seguente: Teorema dell’equazione funzionale della zeta di Riemann:
La funzione (s) è regolare per tutti i valori di s eccetto s=1 dove vi è un polo semplice e residuo 1. Essa soddisfa l’equazione:
( s) 2s s 1 sin
1 2
s
(1 s) (1 s)
Per poter dimostrare il Teorema dobbiamo introdurre il concetto della formula di sommazione di Eulero (vedi [6]). Inizialmente immaginiamo una funzione f positiva e strettamente decrescente in un intervallo [1,n), come nella figura successiva. 1
Per calcolare solo le aree tratteggiate sopra la curva, potremmo introdurre una sequenza di numeri {dn} tale che: n 1
dn
n
f (k ) f ( x)dx, k 1
n 2, 3, ...
(1)
1
Se poi generalizziamo ulteriormente (vedi [6]) senza richiedere per forza che la funzione f sia positiva e decrescente, in generale la differenza in (1) può essere riscritta come: n 1
dn
I (k )
(2)
k 1
Dove, considerando la figura successiva:
k 1
I( k)
f ( k) f ( x) dx
(3)
k
Nella (3) la funzione integranda è del tipo u dv con u = f(k)-f(x) e v=x+c. Scegliamo c=-(k+1) e integrando per parti, assumendo che f sia continuamente derivabile, I(k) diventa: k 1
I( k)
x k 1 f '( x) dx
(4)
k
2
Nella (4) la x fa da segnaposto e varia tra k e k+1 e si può sostituire con [x] cioè il più grande valore non maggiore di x (ovvero minore uguale). Tenendo conto di ciò e sostituendo quindi nella (2) si ott iene:
dn
n 1
n 1 k 1
n
k 1
k 1 k
1
n
I (k ) x [ x] 1 f '( x)dx x [ x] f '( x) dx
f '( x) dx
1
n
x [ x] f '( x) dx f (1) f ( n) 1
Per cui in generale vale il Teorema sulla formula di sommazione di Eulero di prima forma derivativa: Per ogni funzione f con derivata continua nell’intervallo [1,n] n
n
n
f ( k) f ( x) dx x [ x] f '( x) dx f ( 1) k 1
1
(5)
1
Gli ultimi due termini sulla destra rappresentano l’errore che si commette nel valutare la sommatoria solo col primo integrale.
A questo punto l’errore si può scrivere come segue: n
n
1
1
1
1
n
x [ x] f '( x) dx x [ x] 2 f '( x) dx 2 f '( x) dx 1
L’ultimo termine corrisponde a 1/2{f(n)-f(1)}. 1/2{f(n)-f(1)}. Per cui la (5) diventa: n
k 1
n
f ( k)
n
f ( x) dx
1
1 x x [ ] 1 2
f '( x) dx
1 2
f ( n)
f (1 (1 ) (6)
Per cui il Teorema precedente generalizzandolo diventa: Sia (x) una funzione continua e derivabile in [a,b], allora se [x] è il più grande intero non eccedente x, b
b
(n) ( x)dx x [x] 1/ 2 '( x)dx (a [a] 12 ) (a) (b [b] 12 ) (b) (7)
a n b
a
a
La (7) è importante per la nostra trattazione dell’equazione funzionale della zeta ze ta di Riemann. 3
Essa è additiva rispetto all’intervallo ( a,b]. Inoltre si suppone che n<= a < b <=n+1. <=n+1 . Quindi abbiamo che: b
1
1
b
x n1/ 2 '('( x) dx ( b n 2 ) ( b) ( a n 2 ) ( a) ( x) dx a
a
Per cui la parte destra della (7) si ri duce a (b-[n])(b) e per b=n+1 vale solo (n+1). -s
Se adesso (n) = n con s 1 allora la (7) diventa: b
1
n
n a 1
s
s
a1 s b x [ x] 1 / 2 1 s s d x -s (b a ) s 1 x 1 s 2 a
b1
(8)
Se s = + ib, per >1, a=1 e b-> la (8) diventa:
( s )
1 s 1
+s
[ x] x 1 / 2 x
1
s 1
dx
1
(9)
2
Poiché [x]-x+1/2 è limitato l’ l ’integrale è convergente per >1 e uniformemente convergente in qualche regione a destra di =0. E’ E’ quindi una funzione analitica di s, regolare per >0, per cui il lato destro della (9) è la continuazione analitica di zeta di Riemann con polo a s=1 e residuo 1. Se si considera che per 0 < < 1 è: 1
0
[ ]x
1
1
x s 1 s d x x d x , s 1 x s1 2 0 0
dx 1 s 1
x
2
(10)
Da qui la (9) si riscrive come:
( s) s
0
[ x] x x
s 1
dx per 0 < < 1
(11)
Poiché l’ l’integrale è convergente per > -1 (si rimanda a [6] per l’ l ’approfondimento) possiamo arrivare a scrivere che:
( s) s
[ x]
0
x x
s 1
1 2 dx
(12)
Con lo sviluppo in serie di Fourier è:
4
[ x] x
1 2
sin 2n x
(13)
n
n 1
Sostituendo e integrando si ottiene che:
( s)
s
1 sin 2n x
n n 1
0
x
s 1
dx
s
n 1
2n
s
sin y
y
n
dy s 1
0
s
2
s
sin
1 2
s (1 s)( ( s))
Arrivando, quindi, all’ all’equazione funzionale:
( s) 2s s 1 sin
1 2
s
(1 s) (1 s)
Riferimenti [1] The Theory of the Riemann-Zeta function – E. C. Titchmarsh [2] Riemann’s Zeta Function – Function – H.M. Edwards – Edwards – Dover [3] Proposta di dimostrazione alle Ipotesi di Riemann e Congettura molteplicità degli zeri – zeri – Rosario Turco,
Maria Colonnese [4] Aggirandosi tra i plot della zeta di Riemann - Tecniche per la ricerca degli zeri non banali - Rosario Turco,
Maria Colonnese [5] Sulle spalle dei giganti giganti – – Rosario Turco, Maria Colonnese et al. [6] An elementary view of Euler’s summation Formula - Tom M. Apostol -The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 5. (May, 1999), pp. 409-418. [7] La Zeta di Fibonacci in campo reale – reale – Rosario Turco [8] La Zeta di Keith e i numeri di Keith – Keith – Rosario Turco [9] Frazioni continue e zeta di Riemann, connessioni con la teoria delle stringhe – stringhe – Rosario Turco, Maria
Colonnese, Michele Nardelli [10] On the Riemann Hypothesis. Formulas explained - ψ(x) as equivalent RH. Mathematical connections with “Aurea” section and some sectors of String Theory – Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli [11] The Riemann Hypothesis in a Nutshell http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html#RH [12] Analisi numeriche e simulazioni – simulazioni – Rosario Turco [13] http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html
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Per segnalazione di propri sorgenti grafici in PARI/GP o suggerimenti, scrivere a:
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Note: The sources zeta.txt and lambert.txt are in the section section Software of www.gruppoeratostene.com of www.gruppoeratostene.com site.
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