YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

Yapı Sistemleri: •İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını denge denklemleri yardımıyla hesaplayabiliyorsak sistem izostatiktir.

Yapı Sistemleri: İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler :

Yapı Sistemleri: •Hiperstatik (Statikçe Belirsiz) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonları denge denklemleri yardımıyla hesaplanamıyorsa sistem hiperstatiktir.

Yapı Sistemleri: •Hiperstatik Sistemlerin Çözümü için : * Denge Denklemleri * Geometrik uygunluk şartları * Bünye Denklemleri (Gerilmeler ve Deformasyonlar arasındaki ilişkiler)

Hiperstatik Sistemlerde Kesit tesiri oluşturan etkiler * Dış yükler * Mesnet çökmesi * Sıcaklık değişimi

Hiperstatik Sistemlerde Çözüm Yöntemleri Kuvvet Metodu Deplasman Metodu Deplasman Metodları Açı Metodu Cross (Moment Dağıtma) Metodu Rijitlik Matrisi Metodu

Hiperstatik Sistemler : Dolu gövdeli sistemlerin hiperstatiklik derecesi iki gruba ayrılır. 1)

Dıştan hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan mesnet

reaksiyonu sayısına eşittir. Mesnet reaksiyon sayısı (r) ise

r-3 (dıştan hiperstatiklik derecesi)

8t

2 t/m

5 t/m 20 t

I

I

12 m

I

I

12 m

8m

15 m

I

18 m 15 m

I

I

12 m

2) İçten Hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan iç kuvvet sayısı ile ilglidir. Dolu gövdeli sistemlerde

n = 3*m + r - 3j denklemiyle bulunur. n: Hiperstatiklik derecesi m: Eleman Sayısı r : Mesnet reaksiyonları sayısı j : Düğüm noktası sayısı

Düğüm noktası sayısı (j): 6 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 3 Eleman sayısı (m): 6 Hiperstatiklik derecesi n : 3*m+r-3j n : 3*6 + 3 – 3*6 = 30 hiperstatik

Sistem dıştan izostatik ancak içten hiperstatiktir. Yani sistemin tüm mesnet reaksiyonları hesaplanabilir ancak tüm çubuk kuvvetleri bulunamaz.

Düğüm noktası sayısı (j) : 9 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 6 Eleman sayısı (m) : 10 Hiperstatiklik derecesi n : 3*m+r-3j n : 3*10 + 6 – 3*9 = 90 hiperstatik

Sistem 90 hiperstatiktir. Mesnet reaksiyonları incelendiğinde sistemin Dıştan 30 hiperstatik olduğu görülür. Yani sistem İçten 60 hiperstatiktir

Mafsal olması durumunda Eğer mafsal eleman üzerinde ise hiperstatiklik derecesi 1 azaltılır.

Eğer mafsal düğümde ise düğümde birleşen eleman sayısının 1 eksiği kadar hiperstatiklik derecesi azaltılır. Düğümde 3 eleman birleşiyor 3-1=2 derece azaltılır.

KUVVET METODU

Düzlem Hiperstatik sistemlerin sabit yükler,sıcaklık değişimi ve mesnet çökmesi gibi dış etkilerlerden dolayı oluşan kesit tesirleri ve yer değiştirmelerini bulmaya yarayan virtuel iş ilkesine dayalı çözüm yöntemidir. Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken yapılacak ilk iş izostatik esas sistemin seçilmesidir. İzostatik esas sistem, hiperstatik sistemde hiperstatiklik derecesi kadar bilinmeyenin belirlenmesi ile elde edilir. Hiperstatik sistemde hangi bilinmeyenlerin hesaplanacağı belirlenerek sistem izostatik hale getirilir.

İzostatik Esas Sistem: Hiperstatik sistem izostatik hale getirilir. Bunu yaparken

ya

sisteme

mafsal

yerleştirilir

yada

mesnetlerdeki

serbestlikler arttırılır. İzostatik esas sitem seçilirken hangi sistemi daha kolay çözebileceğimizi düşünüyorsak o sistemi seçebiliriz. Bir hiperstatik sistemin pek çok izostatik esas sistemi vardır. Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır. Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.

1. Dereceden hiperstatik sistem

İzostatik Esas Sistem X1 X1

X1

İzostatik esas sistem belirlenirken mesnetlenme durumu izostatik hale getirilir bu arada serbest bırakılan her mesnet reaksiyonu için bir bilinmeyen yazılır veya sisteme mafsal yerleştirilerek mafsalın olduğu yerde bilinmeyen olarak moment yazılır.

İzostatik esas sistem belirlenirken aynı zamanda hesap edilecek bilinmeyenlerde seçilmiş olmaktadır. Bu yüzden izostatik esas sistem belirlenirken hesaplarda kolaylık sağlayacak sistemlerin seçilmesine çalışılır. Yani izostatik esas sistem ve bilinmeyenlerin birim yüklemeleri için yapılacak hesapların daha kolay yapılabileceği sistemler izostatik sistem olarak seçilmeye çalışılır.

Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır. X1 X2 X2 X1

Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.

X1

X2

2. Dereceden hiperstatik sistem İzostatik esas sistem

2. Dereceden hiperstatik sistem için izostatik esas sistemler

X2 X1

X1

X2

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler, İzostatik esas sistemdeki etkiler ile X1, X2,……,Xn bilinmeyen kuvvetlerin oluşturduğu etkilerin uygun şekilde birleştirilmesiyle bulunur. X1, X2,……,Xn bilinmeyenlerinin bulunması hiperstatik sistemdeki etkilerin bulunması için şarttır. Bilinmeyen sayısı sistemin hiperstatiklik derecesi kadardır.

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler hesaplanırken, hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem seçildikten sonra sistem uygunluk denklemi yazılır.

δ1 = δ1w + δ1t + δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 + ............. + δ1n X n δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ............ + δ 2 n X n δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + ............. + δ 3n X n M

δ n = δ nw + δ nt + δ n 0 + δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + ............. + δ nn X n

Uygunluk denklemi hiperstatiklik derecesi kadar yazılır. Sistem 1 dereceden hiperstatik ise denklem 1 tanedir

δ1 = δ1w + δ1t + δ10 + δ11 X 1 Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır

δ1 = δ1w + δ1t + δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır

δ1 = δ1w + δ1t + δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3

Sistemde sıcaklı değişimi ve mesnet çökmesi yok ise sadece dış yük etkisi var ise denklem şu hale gelir:

δ1 = δ1w + δ1t + δ10 + δ11 X 1 Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır

δ1 = δ1w + δ1t + δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır

δ1 = δ1w + δ1t + δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3

Uygunluk denkleminde görülen deplasman ifadelerinin altındaki ilk indis yeri, ikinci indis ise sebebi göstermektedir.

δi δ iw δ it δi0 δ i1 δi2

i yönündeki deplasman i yönünde mesnet çökmesinden dolayı oluşan deplasman değeri i yönünde sıcaklık değişiminden dolayı oluşan deplasman değeri i yönünde dış yükten oluşan deplasman değeri i yönünde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri i yönünde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri

M

δ in

i yönünde n nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri.

P1

P2 X1 X2 2. dereceden hiperstatik sistem

İzostatik esas sistem

Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem belirlendikten sonra uygunluk

denklemleri

yazılır.

Bundan

sonra

uygunluk

denklemindeki değerleri bulmak sırasıyla yüklemeler yapılır.

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır X1

δ1 = δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

X2 P1

P2

δ 20 δ10

δ 21 X1

δ11

P1 X0 Yüklemesi P2

İzostatik esas sisteme dış yük yüklenerek sistemde oluşan M0 N0 T0 değişim diyagramları çizilir.

• X0 Yüklemesi İzostatik esas sistemde sadece dış yük etkisinde M, N, T kesit tesirleri diyagramları çizilir. M0 : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan moment N0 : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan normal kuvvet To : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan kesme kuvveti.

•Birim Yüklemeler İzostatik esas sistemde, sırasıyla seçilen her bir bilinmeyen için birim yüklemeler yapılır. X1=1 , X2 =1 , X3 =1 ,………., X n =1 Bu durumda her bir birim yükleme için sistem kesit tesirleri (M, N, T) çizilir. Bu kesit tesirleri hesaplanırken sistemde dış yük yoktur.

X1

X1 Yüklemesi İzostatik esas sistemde sadece 1 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M1 : İzostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N1 : İzostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T1 : İzostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.


X2 X2 Yüklemesi İzostatik esas sistemde sadece 2 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M2 : İzostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N2 : İzostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T2 : İzostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.

Uygunluk denklemindeki deplasman ifadelerinin bulunması için mukavemette görülen virtuel iş teoremi kullanılır. Dolu gövdeli sistemler için bu ifade şu şekildedir:

ds ds ds δ ij = ∫ M i M j + ∫ Ni N j + ∫ TiT j EI EF GF ′ Bu denklemde görülen EI= Eğilme Rijitliği EF= Uzama Rijitliği GF’= Kayma Rijitliği

, ifadeleridir.

Deplasman ifadelerinin simetri özelliği vardır.

δ ij = δ ji

Mesela 12 deplasmanı ile 21 deplasmanı birbirine eşittir ve şu denklemle bulunur:

δ12 = δ 21

ds ds ds + ∫ N1 N 2 + ∫ T1T2 δ12 = ∫ M 1M 2 EI EF GF ′ Bu deplasmanların bulunması sırasında genellikle N ve T kesme ifadeleri ihmal edilir. Moment ifadeleri de matematiksel olarak yazılır ve uzunluk boyunca integral alınır.

X1

Deplasman ifadeleri hesaplandıktan sonra aşağıdaki uygunluk denkleminde yerine konarak denklem takımı çözülür ve bilinmeyenler olarak seçilen X1 ve X2 reaksiyon kuvvetleri bulunur.

X2

δ1 = δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

X1 X2

P2

P1 X1

Bundan sonra hesaplanan X değerleri kullanılarak hiperstatik sistemde oluşacak kesit tesirleri bulunabilir. Bunun için hesaplanan X değerleri dış yükler ile sisteme etki ettirilir.

X2 Yada süperpozisyon denklemleri yazılarak daha önce çizilen M,N,T diyagramları kullanılarak hiperstatik sistemin kesit tesirleri hesaplanır. Sistemde herhangi bir noktadaki kesit tesirlerini hesaplamak için M=M0+ M1 X1 + M2 X2 + M3 X3 +……..+Mn Xn T = T0 + T1 X1 + T2 X2 + ………..+Tn Xn N = N0 + N1 X1 + N2 X2 +………...+NnXn Süperpozisyon denklemleri kullanılabilir. Bu denklemler yardımıyla sistemde istenilen noktadaki kesit tesirleri hesaplanabilir.

20 kN 2m

Hiperstatik sistem (1. dereceden)

2m 20 kN

İzostatik esas sistem X1 20 kN X1


X1

20 kN İzostatik esas sistem

20 kN 2m A

B

2m

C


20 kN İzostatik esas sistem X1

1. Dereceden hiperstatik olduğu için uygunluk denklemi

δ1 = δ10 + δ11 X 1

20 kN 2m

40 kN.m

20 kN

2m

X0 Yüklemesi

20 kN ΣFy = 0 Ay=20 ΣMA = 0 MA= 20*2 = 40 kN.m

40

2m

M0 Diyagramı

X1 Yüklemesi

4m

X1=1

4 kN.m ΣFy = 0 Ay=1 1 kN

X1=1

2m

4

2m 2

ΣMA = 0 MA= 1*4 = 4 kN.m

M1 Diyagramı

δ1 = δ10 + δ11 X 1 40 M0 Diyagramı

2m 2m

2m

M1 Diyagramı

2

4

ds δ10 = ∫ M 1M 0 + ihmal EI 2

EI δ10 = ∫ (2 + x).(−20 x)dx 0

EI δ10 = −133.333

ds δ11 = ∫ M 1M 1 + ihmal EI 4

EI δ11 = ∫ ( x).( x)dx 0

EI δ11 = 64 \ 3 = 21.333

δ1 = δ10 + δ11 X 1

i=40

2m

2m

2m M0 Diyagramı

δ10 = ∫ M 1M 0

k2=4

ds + ihmal EI

1 EI δ10 = L i (k1 + 2k 2 ) 6 1 EI δ10 = * 2 * (−40) * (2 + 2 * 4) = −133.333 6

k1=2 M1 Diyagramı

δ1 = δ10 + δ11 X 1 2m

k2=4

2m k1=2

M1 Diyagramı

ds δ11 = ∫ M 1M 1 + ihmal EI 1 1 EI δ11 = L i k = * 4 * 4 * 4 = 64 / 3 = 21.333 3 3

δ1 = δ10 + δ11 X 1

δ1 = 0 = −133.333 + 21.333 X 1 X1 =6.25

20 kN 2m

20 kN

2m X1=6.25

20 kN

B

A

13.75

C X1=6.75

+

-

T 6.25

15

-

+ 13.5

M

i=40

A

2m

A

C

B

4

M0 Diyagramı

MB= M0B+M1B*X1= (0)+ 2*(6.25) = 13.5 MC= M0C+M1C*X1= (0)+ 2*(0) = 0 15

A

2m

2 M1 Diyagramı

MA= M0A+M1A*X1= (-40)+ 4*(6.25) = - 15

-

B

2m

B

C

+ 13.5

C

20 kN 2m

2m


Aynı sistemi çözmek için izostatik esas sistemi farklı seçelim.

20 kN X1


20 kN X1

İzostatik esas sistem 20 kN

10 kN

10 kN

M0

+ 20 kN.m

20 kN X1


1 kN.m 4m 0.25 kN

0.25 kN

1 kN.m

-

0.5

M1

δ1 = δ10 + δ11 X 1 1 kN.m +

-

0.5

20 kN.m M0 Diyagramı

δ10 = ∫ M 1M 0

M1 Diyagramı

ds + ihmal EI

1 1 EI δ10 = L i k + L i (2k1 + k 2 ) 3 6 1 1 EI δ10 = * 2 * (20) * (−0.5) + * 2 * (20) * (2 * (−0.5) + (−1)) = −20 3 6

δ1 = δ10 + δ11 X 1

1 kN.m

-

0.5

M1 Diyagramı

ds 1 1 δ11 = ∫ M 1M 1 = L i k = 4.(−1).(−1) = 1.333 EI 3 3 EI δ11 = 1.333

δ1 = δ10 + δ11 X 1

δ1 = 0 = −20 + 1.333 X 1 X1 =15

20 kN 2m

2m

20 kN X1=15

20 kN X1=15

13.75

+

-

T 6.25

15

-

+ 13.5

M

2 t/m Hiperstatik sistem (2. dereceden) 4m

(2I)

3m

3m

(I)

(I)

4m

δ1 = δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 İzostatik esas sistem

(2I)

3m

3m

(I)

(I)

X2 X1

2 t/m

4m 3m

3m

(I)

(I) 16

16 tm

(-)

16

(2o)

8t (-)

0

(2I)

M0

4

(-)

4m (-)

3m

M1

0 X1=1t

4 tm 1t

3

3m

M2 X2=1

1 0 0

3 (+)

(+)

4m

(+)

δ1 = δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

16

(-)

M0

3

(+)

3 (+)

(-)

4

(+)

(-)

16

(2o)

M2

(-)

M1

16

(-)

16

ds δ10 = ∫ M 1M 0 EI

M0

4

(-)

(-)

(2o)

M1

1 1 EI δ10 = * ( L i k ) + L i k 2 4

1 1 EI δ10 = * ( * 4 * (−4) * (−16)) + 3 * −4 * −16 2 4

EIδ10 = 224

(-)

16

EI δ 20

M2

M0

ds EI

EI δ 20 =

1 1 1 *( L i k) + ( L i k) 2 3 2

1 1 1 = * ( * 4 * −16 * 3) + ( * 3 * −16 * 3) 2 3 2

EIδ 20 = −104

(+)

3 (+)

(-)

δ 20 = ∫ M 2 M 0

3 (+)

(-)

16

(2o)

3

(-)

(+)

M2

M1

ds δ12 = δ 21 = ∫ M 1M 2 EI

1 1 1 EI δ12 = * ( L i k ) + ( L i k ) 2 2 2

1 1 1 EI δ12 = * ( * 4 * 3 * −4) + ( * 3 * 3 * −4) 2 2 2

EIδ12 = EIδ 21 = −30

3 (+)

(-)

(+)

4

(-)

(-)

4

δ11 = ∫ M 1M 1

M1

ds EI

1 1 EI δ11 = * ( L i k ) + ( L i k ) 2 3

1 1 EI δ11 = * ( * 4 * −4 * −4) + (3 * −4 * −4) 2 3

EIδ11 = 58.667

3

EI δ 22

EI δ 22

1 1 1 = ( L i k ) + * (L i k ) + ( L i k ) 3 2 3

1 1 1 = ( * 3 * 3 * 3) + * ( 4 * 3 * 3) + ( * 3 * 3 * 3) 3 2 3

EIδ 22 = 36

3

M2

M2

ds δ 22 = ∫ M 2 M 2 EI

(+)

(+)

3

(+)

(+)

(+)

(+)

3

EIδ10 = 224

δ1 = δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

EIδ11 = 58.667

EIδ 20 = −104 EIδ12 = EIδ 21 = −30 EIδ 22 = 36

δ1 = 224 + 58.667 X 1 − 30 X 2 = 0 δ 2 = −104 − 30 X 1 + 36 X 2 = 0

X 1 = −4.079 X 2 = −0.51

2 t/m

4m

2 t/m (2I)

3m

3m

(I)

(I)

4m

X2

(2I)

3m

3m

(I)

(I)

X2=0.51

X1 X1= 4.079

2 t/m

0.51

(2I) 3m

(I)

(I)

N

X2=0.51 3.921

0.316

(-)

3m

0.51 (-)

4m

4.079

X1= 4.079

3.921

1.21 (+)

0.51

T

4.079

0.51

+

(-)

(-)

(-)

-

(-)

1.21

M 0.316

1.53 (-)

3.921

X2 4m İzostatik esas sistem

3m

2 t/m

X1 X0 Yüklemesi

0

4m

2 t/m

4 4

0

4m 3m

0

3m 4 0 4

2 t/m 0

4m

4 4

0

+

+ 0

4

M0

3m 4 0 4

4m

4m

3m

3m

X1=1

X1=1 0 4m

0.25

0.25

0.25 -1

0 0

X1=1

I

3m

0.25

0 0.25

M1

X2=1

X2=1 4m

4m

X2=1 0.333

0

0.333 0

1 +

+

3m

0

1 1

0 0.333

3m

0

0.333

M2

+

δ1 = δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 -1 +

+ 4

I

M0 ds δ10 = ∫ M 1M 0 EI

1 1 EI δ10 = * ( L i k ) 2 3

1 1 EI δ10 = * ( * 4 * 4 * (−1)) 2 3

EIδ10 = −2.667

M1

1 +

+ 4

+

1 +

M2

M0 ds δ 20 = ∫ M 2 M 0 EI

EI δ 20

1 2 = * ( * 4 * 4 *1) 2 3

EIδ 20 = 5.333

1

EI δ 20

+

1 2 = *( L i k) 2 3

-1

I

δ11 = ∫ M 1M 1

M1

ds EI

1 1 EI δ11 = * ( L i k ) + ( L i k ) 2 3

1 1 EI δ11 = * ( *1*1* 4) + (1*1* 3) 2 3

EIδ11 = 3.667

1

1 +

1 +

M2

ds δ 22 = ∫ M 2 M 2 EI

EI δ 22

+

EI δ 22

1 1 1 = ( L i k ) + * (L i k ) + ( L i k ) 3 2 3

1 1 1 = ( * 3 *1*1) + * ( 4 *1*1) + ( * 3 *1*1) 3 2 3

EIδ 22 = 4

-1

1 +

1 I

M1

ds δ12 = δ 21 = ∫ M 1M 2 EI

+

M2

+

1 1 1 EI δ12 = * ( L i k ) + ( L i k ) 2 2 2

1 1 1 EI δ12 = * ( * 4 * −1*1) + ( * 3 * −1* +1) 2 2 2

EIδ12 = EIδ 21 = −2.5

1

EIδ10 = −2.667

δ1 = δ10 + δ11 X 1 + δ12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

EIδ11 = 3.667

EIδ 20 = 5.333 EIδ12 = EIδ 21 = −2.5 EIδ 22 = 4

δ1 = − 2.667 + 3.667 X 1 − 2.5 X 2 = 0 δ 2 = 5.333 − 2.5 X 1 + 4 X 2 = 0

X 1 = 0.316 X 2 = −1.53

X2= -1.53 4m 3m

X1=0.316

1.846 -

-

(-)

+

M 0.316

1.53 (-)

1.846

ÖRNEK 2 N/m

Yandaki hiperstatik sistemin moment ve kesme kuvveti değişim grafiklerini çiziniz.

3m

3m

δ1 = δ10 + δ11 X 1

1. Dereceden hiperstatik İzostatik esas sistem

X1 X1

ÖRNEK X0 Yüklemesi 2 N/m 3m

3m 3N

3N + M0 =2.25

M0 Moment diyagramı

ÖRNEK X1 Yüklemesi 3m

3m

+

+ 3 N.m

X1 = 1 N


ÖRNEK

+ M0 =2.25 M0 Moment diyagramı

+

+ 3 N.m


δ1 = δ10 + δ11 X 1 ds EI ds δ11 = ∫ M 1M 1 EI

δ10 = ∫ M 1M 0

1 1 EI δ10 = ( L i k ) = * 3 * 3 * 2.25 = 6.75 3 3

1 1 1 1 EI δ11 = ( L i k ) + ( L i k ) = * 3 * 3 * 3 + * 3 * 3 * 3 = 18 3 3 3 3

ÖRNEK

δ1 = δ10 + δ11 X 1 = 0 6.75+18 X1=0

X1= -0.375

2 N/m

3m

3m

X1 = 0.375

ÖRNEK 2 N/m

3m

3m 2.625

X1 = 0.375

3.75

2.625

0.375

0.375

+

+

T

3.375 -1.125 +

M

YAPI STATİĞİ II (Hiperstatik Sistemler

Recommend Documents