sinyaller VE SİSTEMLER

STAR * COPY

Sinyaller ve Sistemler

STAR * COPY

http://www.aligangal.com/sinyaller.asp Kısım 1, s 1

Sinyal Türleri ve Tanımlar

Sinyaller ve Sistemler; Ali Gangal; KTÜ Elektrik-Elektronik Müh. Böl.

2

Sinyaller ve Sistemler 1. Sinyal Türleri ve Tanımlar 2. Doğrusal Zamanla Değişmeyen (DZD) Sürekli Sistemlerin Zaman Domeni Modelleri 3. DZD Sürekli Sistemlerin Frekans Domeni Modelleri 4. DZD Sürekli Sistemlerin s Domeni Modelleri 5. Ayrık Sistemler, Ayrık Fourier Dönüşümü, z Dönüşümü 6. Rastlantı Girişli DZD Sistemler

Kısım:1 Sinyal Türleri ve Tanımlar

Sinyaller ve Sistemler; Ali GANGAL; KTÜ Elektrik-Elektronik Müh. bölümü

3

1. Sinyal Türleri ve Tanımlar Sinyal (işaret): Bir fiziksel olayda mevcut olan bağımsız değişkenler ile bunların arasındaki ilişkinin matematiksel olarak biçimlendirilmiş şeklidir.

Bir elektrik devresindeki bir elemanın uçlarındaki gerilim şiddetinin zamana göre değişimi Ses şiddetinin herhangi bir bağımsız değişken (veya değişkenlere) göre değişimi Sıcaklığın herhangi bir bağımsız değişken (veya değişkenlere) göre değişimi



4

Sinyal Türleri

Sürekli (analog) sinyaller – ayrık sinyaller Periyodik (dönemli) sinyaller – periyodik olmayan (dönemsiz) sinyaller Enerji sinyalleri – güç sinyalleri Rastlantı sinyalleri- deterministik sinyaller



5



6

Sürekli genlikli sinyaller

Ayrık genlikli sinyaller

x(t)

x(t)

t


t


7



8

Periyodik davranış gösteren birçok sinyal, sistem testi ve incelemesi amacıyla sıkça kullanılırlar. Örnek: sinüzoidal sinyaller bir sistemin frekans tepkesinin belirlenmesinde, dikdörtgen biçimli periyodik vuruş sinyalleri radarlarda, testere dişi sinyaller ise osiloskoplarda tetikleme amacıyla kullanılır. Pek çok biyolojik ve fiziksel sinyal periyodik olmayan bir yapıya sahiptir. Örnek: Elektrokardiyografi (EKG) ve ses sinyalleri.

Yaklaşık Periyodik sinyaller: Bu tür sinyallerle bazı haberleşme sistemlerinin analizinde karşılaşılmaktadır. Örnek: f (t ) = Sin(t ) + Sin 2t



9

Enerji Sinyalleri Sürekli ∞

E=

∫

Ayrık

2

E=

f (t ) dt

∞

∑

f [ n] 2

n = −∞

−∞

E<∞



10

Güç Sinyalleri

Sürekli

Ayrık

1 P = lim T →∞ T

T /2

∫

f (t ) 2 dt

−T / 2

Periyodik Güç Sinyalleri T /2 1 2

P=

T

∫

1 P = lim N →∞ 2N + 1

N

∑

f [ n]

2

−N

0
f (t ) dt

−T / 2


1 P= 2N + 1

N

∑

f [ n]

2

−N


11

Bazı sinyaller ne güç sinyali ne de enerji sinyali sınıfına girerler. Bunların enerjileri ve ortalama güçleri sonsuz olabilir. Örnek: −t

x(t ) = e

-∞ < t < ∞

3 2.5

f(t)

2 1.5 1 0.5 0 -1

0

1

2 t


3

4

5


12



13

Rastlantı sinyalinin herhangi bir anda aldığı değer kesin olarak bilinmez. Ancak bu sinyalin herhangi bir anda alabileceği değerlerin olasılık dağılımı biliniyorsa bu sinyal, olasılık yoğunluk fonksiyonu ile tanımlanır:

olasilik {x < f (t ) < x + ∆x} ∆x ∆x → 0

P f ( x, t ) = lim

Eğer rastlantı sinyalinin istatistiksel özellikleri zamanla değişmiyorsa, olasılık yoğunluk fonksiyonu zamandan bağımsızdır.

P f ( x, t ) = P f ( x )



14



15

a

a

∫ f (t )dt =2∫ f (t )dt

−a

f (t ) çift fonksiyon

0

a pozitif bir sabit

a

∫ f (t )dt =0

f (t ) tek fonksiyon

−a

(çift fonksiyon) x (çift fonksiyon)=çift fonksiyon (çift fonksiyon) x (tek fonksiyon)=tek fonksiyon (tek fonksiyon) x (tek fonksiyon)=çift fonksiyon



16

Bir Sinyalin tek ve çift bileşenlerinin elde edilmesi: f (t ) = f e (t ) + f o (t ) f (−t ) = f e (t ) − f o (t ) f (t ) + f (−t ) f e (t ) = 2 f (t ) − f (−t ) f o (t ) = 2



17



18

Örnek:

x[n] 2

2 1 0 1

-1

n 2 -1

x0 [n]

xe [n] 1.5

2

0.5

1.5

0.5 n

n -1 -0.5

2

0 1

-0.5


-2

-1

0

1

2

-0.5 -0.5


19



20



21



22



Örnek (MATLAB uygulaması):


23


24

1 0.5 0 -0.5 -4

-2

0

2

4

-2

0

2

4

1 0.5 0 -0.5 -4



25

Sinyallerin Tekil Fonksiyonlarla Temsili



26

Yüksek Frekanslı Vuruş Sinyali

x(t ) = (u (t + τ) − u (t − τ) )Cosωt



27

Üçgen Vuruş sinyali

f (t ) = r (t + 1) − 2r (t ) + r (t − 1)



28

Periyodik Sinyaller



29

Karışık Sinyaller

f (t ) = − r (t ) + u (t ) + 2r (t − 1) − u (t − 1) − r (t − 2) + + 0.5u (t − 2) + 0.5u (t − 3) − u (t − 4)



30



31



32

şeklinde yazılabilir.



33



34



MATLAB ÖRNEĞİ:


35


36

Program çıktısı



37



38

Örnekleme için MATLAB örneği:



39



40

MATLAB Örneği:



41 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

10

20


30

40

50

60

70


42

Ayrık zamanlı periyodik sinüzoidal sinyallerin özellikleri:

• Periyodik ve sürekli zamanlı bir sinyalin örneklenmesiyle oluşan ayrık zamanlı bir dizinin periyodik olabilmesi için (ve aynı zamanda sürekli ve ayrık sinyallerin periyotlarının eşit olabilmesi için) Tö örnekleme aralığı olmak üzere, NTö nün sürekli zamanlı sinyalin periyodunun tam katı olması gerekir: NTö = T



43

Bir ayrık sinyalin periyodik olabilmesi için bütün n değerleri için x[ n] = x[n + N ] eşitliğinin sağlanması gerekir. Örneğin, f frekanslı bir sinüzoidal sinyalin peryodik olması için, cos(ω( N + n) + θ ) = cos(ωn + θ ) olmalıdır.

Bu eşitlik sadece ωN nin 2π nin tamsayı katı olduğunda sağlanır. Yani sinüzoidal sinyalin periyodikliği için k bir tamsayı olmak üzere ωN = 2πk veya ω = k şartı gerekmektedir. N ve k birer tamsayı 2π

N

olduğundan cos ωn sadece

ω 2π

nin rasyonel bir sayı olduğu

durumlarda periyodik olmaktadır.



44

Yukardaki şartlar karmaşık üstel sinyaller için de geçerlidir. Periyodik karmaşık üstel sinyal için e jω(n + N ) = e jωn olmalıdır. x[n] = e jωn sinyali için 2π tam sayı olursa x[n] nin periyodu vardır ve

N = 2π dir.

ω

ω

Eğer 2π rasyonel bir sayı ise periyot N = k 2π , k > 1 olarak verilir. ω

ω

Bu eşitliği sağlayan en küçük N değeri Temel Periyot olarak adlandırılır ( ω ≠ 0 olmak koşuluyla N ve k hiçbir ortak çarpana sahip olmayacak, ortak çarpan varsa sadeleştirme yapılır yani ortak çarpana bölünürler). Kısım:1 Sinyal Türleri ve Tanımlar


45

Örnek:

( ) 6 x[n] = e ,

N = 12 ,

( ) 31 x[n] = e ,

N = 31

jπn

j 8π n

( ) 6 x[n] = e

j1n

periyodik değildir.

(11 )

x[ n] = cos π n ,

N = 22

x[n] = cos( π4 n) + cos( π5 n) , N = 40



46

Örnek: f (t ) = 3Cos100πt sinyali veriliyor. a)Örtüşmeye neden olmayacak minimum örnekleme frekansını bulunuz. b) f ö =200 Hz ise ayrık sinyali bulunuz. c) f ö =75 Hz ise ayrık sinyali bulunuz. Çözüm: a) f ö =100 Hz.

100π n = 3Cos π n b) f ö =200 Hz ise f [n] = 3Cos 2 200 100π n = 3Cos 4π n = 3Cos 2π − 2π n = 3Cos 2π n c) f [ n] = 3Cos 3 3 3 75

(


)


47

Sinyallerde Dikgenlik (ortogonallik) Şartı: Herhangi bir karmaşık fonksiyon seti φ k (t ), k = 0,±1,±2,... nin herhangi bir − ∞ ≤ a < b ≤ ∞ aralığında dikgen set olması için bu setin b

∫

φ k (t )φ*i (t )dt

a

⎧Ek , k = i = E k δ( k − i ) = ⎨ ⎩0, k ≠ i

şartını sağlanması gerekir.

δ(k − i ) Kronocker delta fonksiyonu olarak dalandırılır ve şöyle tanımlanır:

⎧1, k = i δ( k − i ) = ⎨ ⎩0, k ≠ i Ek ilgili aralıkta φ k (t ) sinyalinin enerjisi olup, yukardaki tanıma göre b

Ek =

∫

φ k (t ) 2 dt

şeklinde hesaplanır.

a



48

Dikgenlik şartını sağlayan sinyaller aynı zamanda ilgili aralıkta birim enerjiye sahipseler bu sinyaller aynı zamanda normalize dikgendirler (ortonormal). Normalize dikgen olmayan bir set φ k (t ) sinyallerinin E k ye bölünmesiyle normalize edilir. Herhangi bir karmaşık ayrık fonksiyon setinin herhangi bir setin nb

∑

φ k [n], k = 0,±1,±2,...

− ∞ ≤ na < nb ≤ ∞ aralığında dikgen set olabilmesi için bu

φ k [n]φ*i [n]

⎧Ek , k = i = E k δ[k − i ] = ⎨ ⎩0, k ≠ i

na şartını sağlaması gerekir. nb φ k [ n] 2 Enerji: E k =

∑ na



49

Örnek:

φ k (t ) = sin kt , k = 1,2,3,...

sinyal

setinin

−π < t < π

aralığında dikgen olup olmadığı araştırılsın:

π

∫

−π

φ k (t )φ*i (t )dt =

π

∫

π

(sin kt )(sin it )dt = 1

−π

2

∫

−π

π

cos(k − i )t dt − 1

2

∫ cos(k + i)t dt

−π

⎧π, k = i =⎨ ⎩0, k ≠ i



50

Örnek: φ k (t ) = e j ( 2πkt ) / T , k = 0,±1,±2,... sinyal setinin 0 ≤ t ≤ T aralığında dikgen olup olmadığı araştırılsın:

T

∫ 0

T ⎛⎜ j ( 2 πk t ) ⎞⎟ ⎛⎜ − j ( 2 πi t ) ⎞⎟ ⎧T , k = i * T T ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ e dt = ⎨ φ k (t )φ i (t )dt = e

∫ 0


⎩0, k ≠ i


51



52

Sinyallerin Dikgen Fonksiyonlarla Temsili

φ k (t ) , a < t < b aralığında dikgen bir sinyal seti olsun. f (t ) bu aralıkta sonlu enerjili bir sinyal olsun. f (t ) sinyali bu dikgen set cinsinden yakınsak bir seriyle gösterilebilir: ∞ , Fk katsayıları yukarıdaki ifadenin her iki f (t ) = Fk φ k (t )

∑

k = −∞

* tarafının φ k (t ) ile çarpıldıktan sonra ilgili aralıkta integrallerinin alınmasıyla aşağıdaki gibi hesaplanır: b f (t )φ*k (t )dt b 1 , k = 0,±1,±2,.. Fk = f (t )φ*k (t )dt = a b Ek a φ k (t ) 2 dt a

∫

∫


∫


53

Ayrık sinyaller için yukardaki ifadelerin karşılığı:

f [ n] =

∞

∑ F ( k )φ k [ n]

k = −∞

F (k ) =

1 Ek

nb

∑

nb

∑

f [n]φ*k [n]

n f [n]φ*k [n] = a

na

nb

∑

,

k = 0,±1,±2,..

φ k [ n] 2

na



54

Örnek:

a) Yanda grafikleri verilen fonksiyonların 0 < t < 1 aralığında dikgen bir set oluşturduğunu gösteriniz. b) Aşağıda grafiği verilen f (t ) sinyalini bu dikgen set cinsinden yazınız. c) Hata fonksiyonunu çiziniz. d) Hatanın enerjisini hesaplayınız.



55

Çözüm a)

1

∫ φ1 (t )φ 2 (t )dt = 0

0 (Dikgendirler) 1

1

,

1

∫ φ1 (t )φ3 (t )dt = 0 ,

∫ φ 2 (t )φ3 (t )dt = 0

0

1

0

1

∫ φ1 (t )φ1 (t )dt = 1 , ∫ φ 2 (t )φ 2 (t )dt = 1 , ∫ φ3 (t )φ3 (t )dt = 1

0 0 (normalize dikgendirler) 1 k ⎧1, * Sonuç: φ k (t )φ i (t )dt = ⎨ 0, k ⎩ 0 olduğundan normalize dikgendirler.

∫


0

=i ≠i


56

~ b) f (t ) ≈ f (t ) = F1φ1 (t ) + F2 φ 2 (t ) + F3 φ 3 (t ) 1

F1 = F2 = F3 =

1/ 4

1

∫ f (t )φ1 (t )dt = 2 ∫ 1.dt + 2 ∫ 0 1

0 1/ 4

0 1

0 1/ 4

⎛1 1⎞ 3 1.dt = 2⎜ + ⎟ = ⎝ 4 2⎠ 2

1/ 2 1

∫ f (t )φ 2 (t )dt = 2 ∫ 1.dt − 2 ∫

1 1.dt = − 2

1/ 2 3/4

1

∫ f (t )φ3 (t )dt = 2 ∫ 1.dt + 2 ∫ 1.dt − 2 ∫ 0

Buradan

~ f (t ) =

1 1.dt = 2

0 1/ 2 3/4 3 φ1 (t ) − 1 φ 2 (t ) + 1 φ 3 (t ) bulunur. 2 2 2



57



58

Ödev-1) f(t) sinyali aşağıdaki gibi olduğuna göre, a) f(t) sinyalini MATLAB ortamında çizdiriniz. b) a,b,c,d,e,f ve g sinyallerinin grafiklerini ölçekli olarak çiziniz.

a) b) c) d) e) f) g)


f(0.5t) f(2t) f(t-2) f(t+1) f(-t-1) f(-t+2) f(2t-3)


Ödev-2)

a)

f [n] = (0.8) n (u[n] − u[n − 6]) ayrık sinyalini MATLAB

59

ortamında çizdiriniz.

b)

f [n − 2] , f [n + 1], f [−n + 3], f [−n − 1], f [2n − 1], f [0.5n + 1]

sinyallerinin grafiklerini ölçekli olarak çiziniz.



60

Ödev-3) a)Şekilde verilen periyodik sinyali MATLAB otamında çizdiriniz. b)Bu sinyalin matematiksel ifadesini tekil fonksiyonlar cinsinden yazınız. c)Bu sinyalin ortalama gücünü MATLAB ortamında ve ayrıca teorik yoldan hesaplayınız. d)Bu sinyalin 10 Hz de örneklenmiş ayrık biçimini MATLAB ortamında çizdiriniz. −t e − (t −1)

e



Kısım 2, s 1

DZD Sistemlerin Zaman Domeni Modelleri


Kısım 2, s 2



Kısım 2, s 3



Kısım 2, s 4



Kısım 2, s 5



Kısım 2, s 6



Kısım 2, s 7



Kısım 2, s 8



Kısım 2, s 9



Kısım 2, s 10



Kısım 2, s 11



Kısım 2, s 12



Kısım 2, s 13



Kısım 2, s 14



Kısım 2, s 15



Kısım 2, s 16



Kısım 2, s 17



Kısım 2, s 18



Kısım 2, s 19



Kısım 2, s 20



Kısım 2, s 21



Kısım 2, s 22



Kısım 2, s 23



Kısım 2, s 24



Kısım 2, s 25



Kısım 2, s 26



Kısım 2, s 27



Kısım 2, s 28



Kısım 2, s 29



Kısım 2, s 30



Kısım 2, s 31



Kısım 2, s 32



Kısım 2, s 33



Kısım 2, s 34



Kısım 2, s 35



Kısım 2, s 36



Kısım 2, s 37



Kısım 2, s 38



Kısım 2, s 39



Kısım 2, s 40



Kısım 2, s 41



Kısım 2, s 42



Kısım 2, s 43



Kısım 2, s 44



Kısım 2, s 45



Kısım 2, s 46



Kısım 2, s 47



Kısım 2, s 48



Kısım 2, s 49



Kısım 2, s 50



Kısım 2, s 51



Kısım 2, s 52



Kısım 2, s 53



Kısım 2, s 54



Kısım 2, s 55



Kısım 2, s 56



Kısım 2, s 57



Kısım 2, s 58



Kısım 2, s 59



Kısım 2, s 60



Kısım 2, s 61



Kısım 2, s 62



Kısım 2, s 63



Kısım 2, s 64



Kısım 2, s 65



Kısım 2, s 66



Kısım 2, s 67



Kısım 2, s 68



Chapter:3; pp:1

DZD Sistemlerin Frekans Domeni Modelleri


Chapter:3; pp:2



Chapter:3; pp:3



Chapter:3; pp:4



Chapter:3; pp:5



Chapter:3; pp:6



Chapter:3; pp:7



Chapter:3; pp:8



Chapter:3; pp:9



Chapter:3; pp:10



Chapter:3; pp:11



Chapter:3; pp:12



Chapter:3; pp:13



Chapter:3; pp:14



Chapter:3; pp:15



Chapter:3; pp:16



Chapter:3; pp:17



Chapter:3; pp:18



Chapter:3; pp:19



Chapter:3; pp:20



Chapter:3; pp:21



Chapter:3; pp:22



Chapter:3; pp:23



Chapter:3; pp:24



Chapter:3; pp:25



Chapter:3; pp:26



Chapter:3; pp:27



Chapter:3; pp:28



Chapter:3; pp:29



Chapter:3; pp:30



Chapter:3; pp:31



Chapter:3; pp:32



Chapter:3; pp:33



Chapter:3; pp:34



Chapter:3; pp:35



Chapter:3; pp:36



Chapter:3; pp:37



Chapter:3; pp:38



Chapter:3; pp:39



Chapter:3; pp:40



Chapter:3; pp:41



Chapter:3; pp:42



Chapter:3; pp:43



Chapter:3; pp:44



Chapter:3; pp:45



Chapter:3; pp:46



Chapter:3; pp:47



Chapter:3; pp:48



Chapter:3; pp:49



Chapter:3; pp:50



Chapter:3; pp:51



Chapter:3; pp:52



Chapter:3; pp:53



Chapter:3; pp:54



Chapter:3; pp:55



Chapter:3; pp:56



Chapter:3; pp:57



Chapter:4; pp:1

DZD Sistemlerin s-Domeni Modelleri


Chapter:4; pp:2



Chapter:4; pp:3



Chapter:4; pp:4



Chapter:4; pp:5



Chapter:4; pp:6



Chapter:4; pp:7



Chapter:4; pp:8



Chapter:4; pp:9



Chapter:4; pp:10



Chapter:4; pp:11



Chapter:4; pp:12



Chapter:4; pp:13



Chapter:4; pp:14



Chapter:4; pp:15



Chapter:4; pp:16



Chapter:4; pp:17



Chapter:4; pp:18



Chapter:4; pp:19



Chapter:4; pp:20



Chapter:4; pp:21



Chapter:4; pp:22



Chapter:4; pp:23



Chapter:4; pp:24



Chapter:4; pp:25



Chapter:4; pp:26



Chapter:4; pp:27



Chapter:4; pp:28



Chapter:4; pp:29



Chapter:4; pp:30



Chapter:4; pp:31



Chapter:4; pp:32



Chapter:4; pp:33



Chapter:4; pp:34



Chapter:4; pp:35



Chapter:4; pp:36



Chapter:4; pp:37



Chapter:4; pp:38



Chapter:4; pp:39



Chapter:4; pp:40



Chapter:4; pp:41



Chapter:4; pp:42



Chapter:4; pp:43



Chapter:4; pp:44



Chapter:4; pp:45



Chapter:4; pp:46



Chapter:4; pp:47



Chapter:4; pp:48



Chapter:4; pp:49



Chapter:4; pp:50



Chapter:4; pp:51



Chapter:4; pp:52



Chapter:4; pp:53



Chapter:4; pp:54



Chapter:5_1; pp:1

DZD Ayrık Sistemlerin Frekans-Domeni Modelleri


Chapter:5_1; pp:2



Chapter:5_1; pp:3



Chapter:5_1; pp:4



Chapter:5_1; pp:5



Chapter:5_1; pp:6



Chapter:5_1; pp:7



Chapter:5_1; pp:8



Chapter:5_1; pp:9



Chapter:5_1; pp:10



Chapter:5_1; pp:11



Chapter:5_1; pp:12



Chapter:5_1; pp:13



Chapter:5_1; pp:14



Chapter:5_1; pp:15



Chapter:5_1; pp:16



Chapter:5_1; pp:17



Chapter:5_1; pp:18



Chapter:5_1; pp:19



Chapter:5_1; pp:20



Chapter:5_1; pp:21



Chapter:5_1; pp:22



Chapter:5_2; pp:1

DZD Ayrık Sistemlerin zDomeni Modelleri


Chapter:5_2; pp:2



Chapter:5_2; pp:3



Chapter:5_2; pp:4



Chapter:5_2; pp:5



Chapter:5_2; pp:6



Chapter:5_2; pp:7



Chapter:5_2; pp:8



Chapter:5_2; pp:9



Chapter:5_2; pp:10



Chapter:5_2; pp:11



Chapter:5_2; pp:12



Chapter:5_2; pp:13



Chapter:5_2; pp:14



Chapter:5_2; pp:15



Chapter:5_2; pp:16



Chapter:5_2; pp:17



Chapter:5_2; pp:18



Chapter:5_2; pp:19



Chapter:5_2; pp:20



Chapter:5_2; pp:21



Chapter:5_2; pp:22



Chapter:5_2; pp:23



Chapter:5_2; pp:24



Chapter:5_2; pp:25



Chapter:5_2; pp:26



Chapter:5_2; pp:27



Chapter:5_2; pp:28



Chapter:5_2; pp:29



Chapter:5_2; pp:30



Chapter:5_2; pp:31



Chapter:5_2; pp:32



Chapter:5_2; pp:33



Chapter:5_2; pp:34



Chapter:5_2; pp:35



Chapter:5_2; pp:36



Chapter:5_2; pp:37



sinyaller VE SİSTEMLER

Recommend Documents