NÚMEROS COMPLEXOS COMPLEXOS I – OPERAÇÕES OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 1. Seja o conjunto dos números reais. Considerando o produto cartesiano 2
Isto quer dizer que,
2
x, y
x
2
:
e y
é o conjunto dos pares ordenados x y em que ,
x
e
y
são
números reais. Vamos tomar dois elementos, (a, b) e (c, d ) para dar três importantes definições: a) Igualdade: dois pares ordenados são iguais, se e somente se, apresentarem primeiros termos iguais iguais e segundos segundos termos iguais. (a, b) (c, d )
a
c
e
b
d
b) Adição: Chama-se coma de dois pares ordenados a um novo par ordenado cujos primeiro e segundo segundo termos são, respectivamente, respectivamente, a soma dos primeiros primeiros e a soma dos segundos termos dos pares dados. (a, b ) (c, d )
(a c,
b d )
c) Multiplicação: Chama-se produto de dois pares ordenados a um novo par ordenado cujo primeiro termo é a diferença entre o produto dos primeiros termos e o produto dos segundos termos dos pares dados e cujo segundo termo é a soma dos produtos do primeiro primeiro termo de cada par dado pelo segundo segundo termo do outro. (a, b) (c, d )
(ac bd bd ,
ad
bc
)
2. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS. Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por
, o conjunto
dos pares ordenados de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação conforme o 1 (item anterior). É usual representar-se cada elemento ( x, y) com o símbolo z
z
( x, y), sendo x , y
3. APLICAÇÕES – EXEMPLOS EXEMPLOS 1) Dados
z
1
(2,1) e
z 2
(3,0) , calcular
z1 z 2 , z1 z 2
z
1
2
.
z
; portanto:
2) Dados
z
3) Dados
z
1
1
(1, 2) e
(1, 1) e
2
z
(3,4) , calcular
2
z
z
(2,3) , calcular
, tal que
z
tal que
1 z z 2
z
z
1
z
z
2
.
.
4. PROPRIEDADES DA ADIÇÃO Teorema:
A propriedade da adição em
verifica as seguintes propriedades:
A.1) Propriedade associativa A.2) Propriedade comutativa A.3) Existência de elemento neutro A.4) Existência de elemento simétrico Demonstração:
Considere z1 a, b , z2 c, d e z3 e, f .
A.1) ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 );
z1, z 2 , z 3
( z1 z2 ) z3 a, b c, d e, f a c , b d e, f
= a c e b d f a c e b d f ,
,
a b c e d f a b c d e f ,
z1
,
,
,
,
( z2 z 3 )
5. SUBTRAÇÃO Decorre do teorema anterior que, dados os números complexos , existe um único
z
, tal que
z1
z
z 2 ,
pois:
z1
(a, b) e
z2
(c, d )
6. PROPRIEDADES DA MULTIPLIAÇÃO
