Document créé le 29 octobre 2015
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Chapitre 16 Calcul matriciel 16.1 16.1
Produ Produit it matr matric icie iell
Exercice 16.1.1 () 1. Trouver toutes les matrices A de
M2 (R) telles
2. Trouver toutes les matrices B de
M2 (R) qui
que A2 = I .
vérifient B 2 = B .
Exercice 16.1.2 () Soit E ij position ( i, j ) qui vaut 1. ij ∈ Mn (K) dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui en position ( i,, j, k,l de {1, . . . , n}, calculer E ij Pour tous indices i ij E kl kl . Exercice 16.1.3 () Quelles sont les matrices qui commutent avec J =
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
?
Exercice 16.1.4 () Donner une base de M2 (R) qui soit formée de matrices inversibles.
16.2 16.2
Famil amille less de mat matri rice cess carr carrée éess
Exercice 16.2.1 () Soient a, b deux réels, et E l’ensemble l’ensemble des matrices M (λ, µ) =
λ
µ
−µb λ + µa
, (λ, µ ∈
Montrer que E est est une sous-algèbre commutative de M2 (R). A quelle condition sur a, b est est-ce -ce un corps corps ?
Exercice 16.2.2 () On considè considère re l’ense l’ensembl mblee E =
M (a,b,c ) =
a 3c 3b
b a − 3 c −3b + 3c
c b a − 3 c
, avec a a,, b, c réels .
Montrer que E est est une sous-algèbre de M3 (R). En donner la dimension et une base.
R).
16.3 Inverse de matrices carrées
Exercice 16.2.3 (
Chapitre Chapitre 16 : Calcul matriciel
)
1+
Pour tout réel t, on pose A(t) = 1. alculer A(s)A(t).
t2
−
2
t2
t2
1 −
2
t
2
t2
t
2
−t
t
1
2. Calculer (A(t) − I )3 . 3. Trouve rouverr (αn ), (β n), (γ n ) telles que : ∀ n ∈
16.3 16.3
N,
A(t)n = α n A(t)2 + β n A(t) + γ n I .
Inv In verse erse de matr matric ices es ca carr rrée éess
Exercice 16.3.1 () On considère A =
1
1
1
1
1
−1 −1
1
1
1
−1 −1 . Calculer A2 , A3. Montrer que A est inversible, calculer A−1 . 1 −1 −1 −1
Exercice 16.3.2 ()
Calculer l’inverse de la matrice A =
1
−a
0
0
0
1
−a
0
0
0
1
−a
0
0
0
1
.
Exercice 16.3.3 () 2 iπ On pose ω = exp , où n est un entier positif. n
Soient A, B dans Mn(C), de termes généraux aij = ω (i−1)( j −1) et bij = ω −(i−1)( j−1) . Calculer les produits A2 , B 2 , AB et BA . Calculer A−1 .
Exercice 16.3.4 ()
Préciser si la matrice A =
a
b
b
..
...
b
.
..
.
:
.
b
:
..
.
..
b
.. .
b
a
de
Mn (K) est
inversiblee ; calculer alors A−1 . inversibl
Exercice 16.3.5 ()
Calculer l’inverse de A =
1
2
..
0
1
2
:
..
:
.
0
0 . ..
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.. ..
.
.
. . ..
n − 1 .. . .. .
n − 1 .. .
1
2
0
1
n
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16.4 Puissances de matrices carrées
Exercice 16.3.6
− −
+ 2it = 1 ax + iy + z + ix
Résoudre le système (S)
16.4 16.4
Chapitre Chapitre 16 : Calcul matriciel
− t = i ay + 2 iz −
2iy − az + + it = 1 2ix + y − iz − − at = − i x
(où a est un paramètre complexe.)
Puis Puissa sanc nces es de de mat matri rice cess car carré rées es
Exercice 16.4.1 (
)
Calculer A100 , avec A =
5 4
−4 . −3
Exercice 16.4.2 () Calculer An , avec A =
0
1
− sin θ
−1 − sin θ
0
cos θ
cos θ
0
.
Exercice 16.4.3 ( ) a,, b, c trois réels tels que a2 + b2 + c2 = 1. Soit M = Soient a Pour tout entier n 1, calculer M n .
a2 − 1
ab
ac
ab
b2 − 1
bc
ac
bc
c2 − 1
.
Exercice 16.4.4 () Soit A =
ch x
sh x
sh x
ch x
. Calculer An .
Exercice 16.4.5 () On considère la matrice M =
1
2
−2 −3
−1
2
0
2
2
. Vérifier que (M − I )( )(M + 3I ) = 0. En déduire M n.
Exercice 16.4.6 () Soit A une matrice carrée. On suppose qu’il existe deux matrices U, V telles que An = λ n(U + nV ) pour n = 1, 2, 3. Montrer que l’égalité An = λ n (U + nV ) est vraie pour tout n de N∗ .
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16.5 Trace d’une matrice carrée
16.5 16.5
Chapitre Chapitre 16 : Calcul matriciel
Tra race ce d’un d’une e mat matri rice ce ca carr rrée ée
Exercice 16.5.1 ( ) BA A = I est impossible dans Montrer que l’égalité AB − B
Mn (K).
Exercice 16.5.2 ( ) Soient A et B deux matrices de Mn (K). On suppose que pour tout M de Mn (K), on a t a tr( r(AM ) = tr(BM ). Montrer que les matrices A et B sont égales. Exercice 16.5.3 ( ) Soit f une forme linéaire sur Mn (K). Montrer qu’il existe une matrice unique A de pour toute matrice X de Mn(K), f (X ) = tr(AX ).
16.6 16.6
Mn (K) telle
que,
Inv In versibi ersibilit lité é (poin (point de vue théori théorique que))
Exercice 16.6.1 () Soit H un hyperplan de Mn (K). Montrer que H contient au moins une matrice inversible. Indications : On interprétera H comme le noyau d’une forme linéaire non nulle ϕ. On considérera les matrices E ij ij de la base canonique de
Mn (K).
Exercice 16.6.2 (, Théorème de Hadamard) Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K de terme général aij . |aij |. On dit que A est à diagonale strictement dominante si, pour tout j , |a jj | >
i= j
Montrer que dans ce cas la matrice A est inversible.
Exercice 16.6.3 () Soit n un entier strictement positif. Soit A une matrice de Mn (K). 1. Montrer que M commute avec toutes les matrices de Mn (K) si et seulement si M est de la forme λIn , où λ est un scalaire quelconque. 2. Montrer que M commute avec toutes les matrices inversibles de Mn (K) si et seulement si M est de la forme λIn , où λ est un scalaire quelconque. Indication : utiliser les matrices E ij ij de la base canonique de
Exercice 16.6.4 () Soit D l’ensemble des A = (aij ) de 1. Montrer que
D
∀ ∀
(i, j ), aij
Mn (R) qui
vérifient le système
est stable pour le produit des matrices.
2. Déterminer les matrices A d dee
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Mn (K).
D,
0
n
i,
aij = 1
j =1
inversibles et telles que A−1 ∈ D.
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