Ejercicios de Cálculo de Volumen Los enunciados han sido extraídos del libro “Cálculo – Trascendentes Tempranas” 6º Edición de James Stewart De la Sección 6.2 49) Calcule el volumen del sólido descrito S. Un cono circular recto cuya altura es h y y el radio de la base es r . 63) (a) Plantee una integral para el volumen de un sólido toro (el sólido en forma de dona mostrado en la figura) de radio r y y R . (b) Por la interpretación de la integral como un área, calcule el volumen del toro.
68) Un cuenco tiene la forma de un hemisferio con diámetro igual a 30cm. Una pelota de 10cm de diámetro se coloca dentro del recipiente, y se vierte agua en éste hasta que alcanza una altura de h centímetros. Calcule el volumen de agua que hay en el recipiente. 70) Un agujero de radio r se taladra en el centro de una esfera de radio R >r . Calcule el volumen de la parte restante de la esfera.
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RESOLUCIÓN 49) Como primera medida, debemos determinar cuál será la región a rotar y cuál el eje de rotación, de manera tal que al proceder a realizar la rotación se genere el cono pedido. Entonces, intersecando el cono con un plano perpendicular a su base que pase por su vértice notamos que se determina un triángulo isósceles. Ubicando los ejes coordenados convenientemente, nos quedará el eje y como eje de simetría, y por lo tanto será el que nos servirá como eje de rotación. La región a rotar será el triángulo rectángulo determinado en la figura por los puntos O, B y V. Utilizaremos el método de discos.
Por ello, vemos que las secciones serán discos (perpendiculares al eje de rotación, con centro en dicho eje). El radio de cada disco ubicado a una distancia y de la base, entonces, será la longitud desde el eje y al segmento VB. El mismo está contenido en una recta de ecuación:
Notemos que este radio va a variar según cambie la altura del disco, conforme a esto nos queda que:
Luego, procedemos a calcular el volumen:
63) (a) Nuevamente, como primera medida reconoceremos la región a rotar y el eje de rotación.
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En este caso trabajaremos por el método de arandelas. Notemos que, según la figura, las mismas se generan por segmentos horizontales (perpendiculares al eje y, eje de rotación) contenidos en la región. Con lo que nos quedan determinados los siguientes valores para los radios externos e internos de cada arandela: y Luego:
(b) Observemos que:
Con lo que si reescribimos lo de (a): Podemos interpretar la integral como el área de una semicircunferencia de radio r , es decir que:
Por lo que, el volumen del toro será 68) Tendremos que analizar dos casos: Caso 1: 0 ≤ h ≤ 10 Caso 2: 10 < h ≤ 15
Caso 1: Previo a todo, como siempre, realizamos el esquema de la derecha. El cuenco lo generamos rotando un cuarto de la circunferencia x 2 + ( y − 15 ) 2 = 225 alrededor del eje y, en tanto que la pelota se generará al rotar sobre el mismo eje, la mitad derecha de la circunferencia x 2 + ( y − 5 ) 2 = 25 Para encontrar el volumen de agua en el recipiente, rotaremos segmentos, perpendiculares al eje y, como el que se muestra en línea de puntos. A partir de esto notaremos que las secciones son arandelas, de radios:
Luego, sólo nos resta calcular el volumen:
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Caso 2: Aquí podemos, directamente, proceder realizando la diferencia entre el volumen de la parte del cuenco lleno (sin pensar en la pelota) y el volumen de la pelota.
Para el volumen de la pelota simplemente podemos utilizar la formula
Luego, el volumen de agua será:
70) Al esquematizar la situación podemos ver que una forma de resolver este ejercicio será encontrando el volumen del sólido generado al rotar la región rayada en la figura sobre el eje x. Para esto tomaremos segmentos perpendiculares al eje x. Con su rotación se determinarán arandelas. Luego, el punto más lejano al eje x en la figura es V, y el más cercano W… Esto nos ayudara a analizar cuáles serán los radios.
Calculemos, ahora, las abcisas de los puntos de intersección de la semicircunferencia con la recta y= r
Con lo que ya estamos en condiciones de calcular el volumen:
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