ATKIĆ KIĆ H US E F AT
V J E R O VAT N O Ć A I S TAT I S T I K A
P R V I D I O
TEORIJA VJEROVATNOĆE
SARAJEVO, 2008. 1
Huse Fatkić: VJEROVATNOĆA I STATISTIKA, I. DIO ______________________________________ __________________ ________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________ ____________ TEORIJA VJEROVATNOĆE, VJEROVATNOĆE, 1. SVEZAK
Huse Fatkić: VJEROVATNOĆA I STATISTIKA, I. DIO ______________________________________ __________________ ________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________ ____________ TEORIJA VJEROVATNOĆE, VJEROVATNOĆE, 1. SVEZAK
Huse F AT ATKIĆ KIĆ
VJEROVATNOĆA I STATISTIKA PRVI DIO
TEORIJA TEORI JA VJEROVA VJEROVATNOĆE TNOĆE PRVI SVEZAK 1
1
O!a O!a" #a$ "e %&'& %&'&() ()ut ut &$ st#a st#a)e )e Plana za podršku istraživanja *Resea#+ *Resea#+ Su%%&#t Su%%&#t S+e'eS+e'ee)t e)t#a #a/) /)&e &e!# !#&% &%sk sk&( &( u)i! u)i!e# e#0i 0ite teta ta,, SORO SOROS S &)$ &)$a+ a+i" i"e2 e2FO FOND ND OTVO OTVORE RENO NO DR34TV DR34TVO O 5&s) 5&s)aa i ,,Savremeni problem: problem: matemaičkkih matemaičkkih nauka* *&$(&!&#)i He#+e( He#+e(&!i &!i)a, )a, P&t%#&"e P&t%#&"ekat kat 6#u%)&( 6#u%)&( %#&"ekt %#&"ektaa ,,Savremeni ist#a0i!a7 %#&. $#. 8ua#e' A!$is%aić-, A!$is%aić-, 9#. RSS2:;<=>, &$ ;1.1?.1==>. ;1 .1?.1==>.
;
SADRŽAJ/CONTENTS Strana/Page
1. 3VOD 3 TEORIJ3 TEORI J3 VJEROV VJER OVA ATNOĆE
1.1.P&"a', %#e$'et, %&7e+i i 0)a7a" te&#i"e !"e#&!at)&će................................................................ ..........1 1.. Sta)&!i@ta u te&#i"i !"e#&!at)&će. P#&sta !"e#&!at)&ća i sku%)e !"e#&!at)&će.................................. ; 1.;. S/u7a")i $&(aa"i. P#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a $& (aa"a ............................................. ................................................................ ............................ ......... 1.. K/asi7)a $ei)i+i"a a%#i&#)e !"e#&!at)&će............................................................................... ..........B 1.C. K/asi7)a $ei)i+i"a !"e#&!at)&će a %&ste#i&#i *statisti7ka $ei)i+i"a !"e#&!at)&će-............... !"e#&!at)&će-............... ........1? 1.>. J&@ & %#&st&#u e/e'e)ta#)i $&(aa"a *O %#!&' %&(/e$u )a te&#i"u !"e#&!at)&će, "e$)ak& '&(ući $&(aa"i, %#&st&# u0&#aka i !"e#&!at)&ća $&(aa"a-...................... $&(aa"a-.......................................... ................................. ............. 1; 1.B. Neke &s)&!)e te&#e'e k/asi7)e te&#i"e !"e#&!at)&će....................................................................... 1 1.. Ne0a!is)i $&(aa"i. 8u/ti%/ikati!)a te&#e'a u s/u7a"u ka$ su $&(aa"i )e0a!is)i................... 1B 1.=. 3s/&!)a *#e/ati!)a- !"e#&!at)&ća. 8u/ti%/ikati!)a te&#e'a u s/u7a"u ka$ su $&(aa"i 0a!is)i..? 1.1?. F&#'u/a t&ta/)e *%&t%u)e*%& t%u)e- !"e#&!at)&će !"e#&! at)&će .................................................... ...................................................................... ................................ .............. 1.11. 5aes&!a &#'u/a.......................................................................................................................... ; 1.1. 6e&'et#i"ska $ei)i+i"a !"e#&!at)&će........................................................................................... C . OPSTA TEORIJA VJEROVA VJ EROVATNOĆE TNOĆE .1.Aksi&'atska $ei)i+i"a !"e#&!at)&će...................,.....................................................,...................... .. Neke &s)&!)e te&#e'e &%@te te&#i"e !"e#&!at)&će.............................................................. !"e#&!at)&će........................................................................... ............. ;? .;. Disk#et)i !"e#&!at)&s)i %#&st&# .......................................................................................................;C .. 3s/&!)a !"e#&!at)&ća i )e0a!is)&st $&(aa"a u &%@te' %#&st&#u !"e#&!at)&će ...........................;> ;. S3GAJNE VEIGINE ;.1. P&"a' s/u7a")e !e/i7i)e ....................................................................:.............................................. ;.. S/u7a")e !e/i7i)e )a k&)a7)&' %#&st&#u !"e#&!at)&će *3!&$)i %&"'&!i, u)k+i"a !"e#&!at)&će, !"e#&!at)&ć e, &7eki!a)"e i !a#i"a)sa-... !a#i"a)sa-............... .......................... ........................... .......................... ........................... .......................... ...................... ..........
;.;.Fu)k+i"e$ist#i9u+i"e........................... ;.;.Fu)k+i"e$ist#i9u+i"e................. ...................... ....................... ...................... ...................... ..................... ...................... ....................... ...................... ..................C1 .......C1 ;.. K/asiika+i"a s/u7a")i !e/i7i)a.......... !e/i7i)a.................... ...................... ...................... .................... ...................... ....................... ....................... ....................... ................ ..... CB ;.C. Va)i"e k/ase $ist#i9u+i"a.................................................................................................................C= ;.>. J&@ & 9i)&')&" $ist#i9u+i"i. 5e#)&u//i"e!i %&ku@a"i *5e#)&u//i"e!a @e'a-........... @e'a-...................... ...................... .............. ... > ITERAT3RA *ZA 6AVE 12;-... 12;-............... ........................... ........................... ......................... .......................... .......................... ........................... ..................B ....B . VJEROVA VJ EROVATNOSNI TNOSNI 3NITA 3NI TARNI RNI PROSTORI .1. 3!&$ *u te&#i"u !"e#&!at)&s)i !"e#&!at)&s)i 'et#i7ki 'et#i7ki %#&st&#a i !"e#&!at)&s) !"e#&!at)&s)i i u)ita#)i %#&st&#a-..... %#&st&#a-..........BC .....BC .. V"e#&!at)& V"e#&!at)&s)i s)i u)ita#)i %#&st&#i ............ ......................... ........................... .......................... .......................... .......................... .......................... .........................B= ...........B=
.;. Re/a+i"e i0'eu k&)!eks)i !"e#&!at)&s)i !"e# &!at)&s)i 'et#i7ki %#&st&#a (e)e#isa)i $ist#i9u+i"&' $ist#i9u +i"&' i !"e#&!at) !"e#&!at)&s)i &s)i u)ita#)i %#&st&#a....................................................................... ITERAT3RA *ZA 6AV3 - ..........................................................................................................
1. UVOD U TEORIJU VJEROVATNOĆE 1.1. Pojam, predmet, počeci i značaj teorije jeroatno!e
3 )&!i"e !#i"e'e te&#i"a !"e#&!at)&će *te&#i"a !"e#&!at)&sti- "e$)& "e &$ )a"!a)i"i i )a"sa$#a")i"i %&$#u7"a sa!#e'e)e 'ate'atike, k&"e se ')&(& %#i'"e)"u"e i u $#u(i' 'ate'ati7ki' $is+i%/i)a'a, %&se9)& u *'ate'ati7k&" statisti+i, ka& i u #a0)i' %&$#u7"i'a i0ika/)i i 9i&/&@ki )auka, te)ike *e/ekt#&te)ike, sa&9#aća"a i $#.-, (e)etike, u i0u7a!a)"u #a0/i7iti s/u7a")i %&"a!a, )"i&!i 0ak&)it&sti, )"i&!e %#i#&$e i u7i)ka, i $#u($"e. Te&#i"a !"e#&!at)&će, a i te&#i"e k&"e se 0as)i!a"u )a %&"'&!i'a !"e#&!at)&će &$)&s)&, k&"e +#%e &s)&!)e i$e"e i0 te&#i"e !"e#&!at)&će, !#/& su 0)a7a")e (#a)e 'ate'atike i i'a"u %#i'"e)u u @i#&k&' %&$#u7"u sa!#e'e)i $"e/at)&sti. 8a)"e "e %&0) %&0)at ataa 7i)" 7i)"e) e)i+ i+aa $a se %&"' %&"'&!i &!i !"e# !"e#&! &!at at)& )&će će s!e s!e !i@e !i@e k&#i k&#ist stee i u $#u@ $#u@t! t!e) e)i' i' )auk )auka' a'a. a. St& St&as asti ti7k 7kee 'et&$e, )%#., %#i'"e)"u"u %si&/&0i u ist#ai!a)"u %#&+esa u7e)"a. Statistićk&' te&#i"&' se k&#iste ek&)&' ek& )&'ist istii u is%it is%iti!a i!a)"u )"u )as/" )as/"e$) e$)i i #i0ika #i0ika u #a0)i' #a0)i' %&s/&! %&s/&!)i' )i' %/a)i# %/a)i#a)" a)"i'a i'a.. Te&#i"a &#i"a i(a#a. i(a#a. !"e#&!a'&ća i statistika su !#/& 0)a7a")e i u !&")i' $is+i%/i)a'a. S%isak s!i &9/asti u k&"i'a te&#i"a !"e#&!at)&će i statisti7ka a)a/i0a se %#i'"e)"u"u "e su!i@e $u( $a 9is'& (a %&ku@a!a/i i0/&0iti. D&!&/")& "e sa'& istaći $a su te&#i"a !"e#&!at)&će, )"e)i %&"'&!i, i$e"e i 'et&$e $a)as !#/& @i#&k& #as%#&st#a)"e)i $a se %#&+"e)"u"e $a +e )"i&! uti+a" u 9u$uć)&sti 9iti "&@ $a/ek& !eći.. P&0)at& )a' "e $a su i$ea/)e /i)i"e i t#&u(/&!i, u (e&'et#i"i #a!)i, 'ate'ati7ki %#e$sta!)i+i i/i ,,'ate'ati7ki ,,'ate'ati7ki '&$e/i, &$(&!a#a"ući i0i7ki &9"ekata u st!a#)&' s!i"etu. Na isti )a7i) '&e'&, (&!&#iti & 'ate'ati7ki' '&$e/i'a %#&9/e'a i0 te&#i"e !"e#&!at)&će i '&e'& i0u7a!ati te '&$e/e s/i7)& ka& st& $&ka0u"e'& te&#e'e u (e&'et#i"i )a &s)&!u Euk/i$&!i aksi&'a. Te&#i"a !"e#&!at)&će "e 'ate'ati7ka $is+i%/i)a k&"a se 9a!i 0ak&)it&sti'a u s/u7a")i' %&"a!a'a, &$)&s)& te&#i"a . !"e#&!at)&će "e 0as)&!a)a )a '&$e/i'a k&"i &$#a0a!a"u %ita)"a i %&"a!e st!a#)&(a s!i"eta, )a &s)&!u &$#ei!a)"a 0ak&)it&sti i %#e$!ia)"a $&(aa"a. Za%#a!& '&e'& #eći $a "e statistika )auka saku%/"a)"a i a)a/i0i#a)"a %&$ataka, a te&#i"a !"e#&!at)&će2'ate'ati7ka !"e#&!at)&će2'ate'ati7ka st#uktu#a )a k&"&" su 0as)&!a)e statisti7ke 'et&$e. Te&#i"a !"e#&!at)&će s%a$a u #e$ )a"'/ai (#a)a 'ate'atike. 3 sta#&' !i"eku a)ti7ki )a#&$i )isu %&0) %&0)a! a!a/ a/ii te& te&#i #i"u "u !"e# !"e#&! &!at at)& )&će će.. Ka& Ka& i u ')&(i )&(i' ' $#u( $#u(i' i' $is+ $is+i% i%/i /i)a )a'a 'a i !"e# !"e#&! &!at at)& )&ća ća "e )ast )asta/ a/aa i0 '&ti! &ti!aa k&"i )isu 9i/i !e0a)i 0a )auku, )iti su i'a/i ikak!e !e0e sa )"&'. Tak&e %&st&"i !e/ik& @a#e)i/& 'eu (/e$i@ti'a 'ate'ati7a#a & .%ita)"u k& i ka$a "e %#!i 0a%&7e& %#&u7a!a)"e %#&9/e'a !"e#&!at)&će )a siste'ati7a) )a7i). 3 ')&(i' $&stu%)i' i0!&#i'a *u$9e)i+i, #a$&!i i $#.- )a!&$i se $a "e 1>C. (&$i)e (&$ i)e %&7 %&7e& e& #a0!&" #a0!&" te&#i" te&#i"ee !"e#&! !"e#&!at) at)&+e &+e.. O!a O!a"" $atu' $atu' 0a%#a! 0a%#a!&& &0) &0)a7 a7a!a a!a %&7 %&7eta etakk !#/& !#/& &%se)e &%se)e k&#es%&)$e)+ k&#es%&)$e)+i"e i"e i0'eu $!&"i+e $!&"i+e !e/iki !e/iki #a)+uski #a)+uski 'ate'ati7a#a 'ate'ati7a#a 5/e"0a Paska/a (Blaise Pascal Pascal,, 'ate'ati7a#, i0i7a# i ast#&)&', 1>;21>>.- i P"e#a Fe#'e (Pierre cle ermat! %& 0a) 0a)i' i'a) a)""u %#a! %#a!)ik )ik,, 'ate'atik&' se 9a!i& i0 &9i"a, 1>?121>>C-, 1>?121>>C -, u k&"&" su #a0'"e)"i!a/i 'i@/"e)"a & )eki' %#&9/e' %#&9/e'i'a i'a k&+ka)"a k&"e "e Pas+a/u %&sta!i& %a#i@ki (#aa)i) Se!a/ie
.Na%&'e)i'& $a "e "e$a) &$ %#!i %#&9/e'a u teoriji vjerovatno&e *k&"e( "e 1>C. (&$i)e <4t& se )a"7e@će u0i'a 0a %&7etak te&#i"e te&#i"e !"e#&! !"e#&!at) at)&ć &će< e< De 8e#e 8e#e %&sta! %&sta!i& i& Pas+a/uPas+a/u- 9i&:,,Da /i "e %#e%&# %#e%&#u7/"i!& u7/"i!& k/a$iti k/a$iti se $a će u u0ast&%)a 9a+a)"a %a#a i(#aći k&+aka 9a# "e$)&' %asti $!&st#uka 4esti+aL
C
)e '&#a"u $&(&$iti. Tak!i $&(aa"i )a0i!a"u se slučajnim, 0a #a0/iku &$ &)i $&(aa"a 7i"i se t&k 09i!a)"a '&0e ta7)& %#e$!i$"eti *t0!. $ete#'i)isti7ki $&(aa"a &$)&s)& $ete#'i)isti7ki %&"a!a- "e# se &!i %&k&#a!a"u &$#ee)i' 0ak&)i'a u0#&7)e %&!e0a)&sti u $#u(&' &9/iku sa )eki' $#u(i' $&(aa"i'a i/i akt&#i'a. Raa)"e te&#i"e !"e#&!at)&će u MVII !i"eku, &si' 0a Pas+a/a i Fe#'ata, !e0a)& "e i 0a i'e &/a)$sk&( 'ate'ati7a#a Ha"(e)sa ('u)hens, 1>C21>=C-. N&, %#!i 0)a7a")i"i #e0u/tati u te&#i"i !"e#&!at)&+e %&sti()uti su u MVIII !i"eku i %&+etk&' MIM !i"eka, a !e0a)i su 0a i'e)a Jak&9a 5e#)&u//i"a *4!a"+a#ski 'ate'ati7a# &/a)$sk&( %&#i"ek/a, 1>C21B?C-, e #oivrea *#a)+uski 'ate'ati7a#, 1>>B21BC-, Pierre!Simon de +aplacea *1B=21B, #a)+uski 'ate'ati7a#, ast#&)&' i i0i7a#-, P&as&)a (S% % Poisson, 1B121?, #a)+uski i0i7a# i 'ate'ati7a#- i $#. 8e$u %#!i' )"e'a7ki 'ate'ati7a# "arl riedrich auss *1BBB21CC- $&%#i)i& "e ')&(& u %#akti7)&" %#i'"e)i te&#i"e !"e#&!at)&će. Ruski 'ate'ati7a#i P%+% "ebiSev *11 21=-, -% -% #arkov *1C>21=- i #% +japunov *1CB21=1- $a/i su k#u%)e $&%#i)&se u #a0!&"u k/asi7)e te&#i"e !"e#&!at)&će. S&!"etski 'ate'ati7a#i -%.%/o0mo)orov, Ser)ej .atanovi& Bernstajn *1?21=>-, 'incini nedenko $a/i su 0)a7a")e $&%#i)&se u sa!#e'e)&' #a0!&"u te&#i"e !"e#&!at)&će. Za)i'/"i!a "e 7i)"e)i+a $a se teorija vjerovatno&e (&t&!& t#i !i"eka #a0!i"a/a 9e0 st#&(& ut!#e)i aksi&'a. Veći)a )eus%"e/i %&ku@a"a st#&(&( 0as)i!a)"a te&#i"e !"e#&!at)&će sast&"a/a se u t&'e $a se %&"a' !"e#&!at)&će $ei)i@e %&'&ću i)tuiti!)& 9/isk&( %&"'a relativne 1rekvencije% O%@te%#i!aće)u aksi&'atiku u!e& "e u te&#i"u !"e#&!at)&će (&$i)e 1=;;. !e/iki #uski 'ate'ati7a# -ndrej .ikolajev& /olmo)orov% N"e(&!a aksi&'atika &9u!ata/a "e s!e $&ta$a@)"e #e0u/tate i0 teorije vjerovatno&e, a tak&e se %&ka0a/& $a &)a a$ek!at)& #e%#e0e)ti#a )a@e %#i#&$)e i$e"e, &$)&s)& i)tuiti!)e %#e$&$9e & !"e#&!at)&ći, t". $a %&st&"i !e0a i0'eu vjerovatno&e i relativne 1rekvencije% Osi' t&(a K&/'&(&#&!/"e!a aksi&'atika "e $&9#a &s)&!a 0a #a0!&" )&!i sa$#a"a te&#i"e !"e#&!at)&će. P&s/i"e u!&e)"a &!e aksi&'atike, teorija vjerovatno&e "e $&i!"e/a i0u0eta) #a0!&" i $a)as "e "e$)a &$ !&$eći 'ate'ati7ki $is+i%/i)a. Vjerovatnoća i statistika %&sta/e su !#/& &%@i#)e 'ate'ati7ke $is+i%/i)e i $i"e/e se )a !ise #a0)i &9/asti, &$)&s)& )&!i (#a)a, ka& @t& su: -Klasina i o!"ta teorija vjerovatnoće -#ra$tina teorija vjerovatnoće -%ate&ati$a statisti$a -Statisti$o &o'eliranje -Teorija &asovni( o!sl)*ivanja -Teorija !o)+'anosti -Sto(asti$i !ro,esi -Teorija inor&a,ija -Statisti$a $ontrola i 'r.
Na")&!i"e &9/asti TEORIJE VJEROVATNOĆE su TEORIJA VJEROVATNOSNIH 8ETRIGKIH PROSTORA i TEORIJA DISTRI53IONO6 HAOSA. *3 7et!#t&' %&(/a!/"u $&)ek/e će'& #a0'at#ati sa'& )eke s%e+i"a/)e k/ase !"e#&!at)&s)i 'et#i7ki %#&st&#a2t0!. !"e#&!at)&s)e u)ita#)e %#&st&#e-. Ka& te&#i"a i ka& %#akti7)a 'ate'ati7ka )auka, u %&s/"e$)"e !#i"e'e, te&#i"a !"e#&!at)&će %&stie u9#0a)i #a0!&" i s!e !eće %#i'"e)e u !eći)i )auka *kak& %)#&$)i tak& i te)i7ki, 9i&te)i7ki i $#u@t!e)i )auka-. Na 7e'u se 0as)i!a te&#i"ski i %#akti7a) 0)a7a" !"e#&!at)&ćeL P#i a)a/i0i#a)"u, &%aa)"u i eks%e#i'e)tu u!i"ek se t#ai u0#&7)a !e0a i0'eu k&'%/eks)i us/&!a, #e+i'& us/&!a a, i $&(aa"a *D- u + i/" u &$#ei!a)"a 'ate'ati7ki 0ak&)a k&"i !ae 0a $&(aa" >
D. 3 !eći)i s/u7a"e!a )e '&e'& us%&sta!iti si(u#)u !e0u i0'eu k&'%/eks)i *s/&e)i- us/&!a a i $&(aa"a *D-. Nai'e, %&st&"i "&@ u!i"ek i us/&!i, #e+i'& *;, k&"e 'i )e 0)a'&, a &$ k&"i tak&e 0a!isi )asta"a)"e $&(aa"a *D-. Te&#i"a !"e#&!at)&će "e, $ak/e, i 'ate'ati7ki a%a#at 0a %#&u7a!a)"e 'as&!)i %&"a!a s )e%&0)ati' k&'%/eks)i' u0#&k&'. Tak!e %&"a!e 0&!u se stohastičke pojave% Ri"e7 stohastičan "e (#7k&( %&#i"ek/a a 0)a7i ,,k&"i se )as/uću"e, %a se ta #i"e7 u%&t#e9/"a!a u'"est& #i"e7i ,,!"e#&!at)&ća. 6&t&!& u s!i' 'as&!)i' %&"a!a'a u'i"e7a) "e st&asti7ki e/e'e)at i ti'e se &9"a@)"a!a %#i)+i%i"e/)a '&(uć)&st te&#i"e !"e#!at)&će 0a te&#i"u %#&u7a!a)"a st&asti7ki %&"a!a. V"e#&!at)&ća "e u st!a#i $&9i/a s!&"e '"est& u 'ate'ati+i i u )au+i u&%@te ka$a "e %&7e/a )"e)a 'ate'ati7ka &9#a$a, ka$a "e )a t&" &s)&!i i0(#a$e)& )au7)& sa0)a)"e $a se ')&(e %&"a!e i %#&+esi, k&"i su st&asti7k&( ka#akte#a, '&(u )au7)& ist#a0i!ati 9e0 k#uti 'ate'ati7ki &#'u/a. Tak!e %&"a!e )auka procjenjuje, k&#isteći %#i t&'e s!e sa!#@e)i"e 'et&$e $a te %#&+"e)e 9u$u @t& %#i9/i)i"e, st& ta7)i"e. 6#e@ke k&"e se %#i t&'e "a!/"a!"u i/i )asta"u u 'a)"&" i/i !eć&" '"e#i, %& %#i#&$i st!a#i, )isu !i@e )e%&0)ate i )eu!at/"i!e 0a )auku. 3 s!ak&' ist#ai!a)"u '&e'& u)a%#i"e$ $a se &%#e$i"e/i'& 0a &$#ee) ste%e) t&( &$stu%a)"a i/i (#e@ke, 0a!is)& &$ +i/"a ist#ai!a)"a i &$ ste%e)a )au7)&sti k&"e( %#i ist#ai!a)"u e/i'& $a %&sti()e'&. P&"a' i #a7u) !"e#&!at)&će u@a& "e i u )a@ s!ak&$)e!)i i!&t. Te#'i)i ka& @t& su: vjerovatno, nevjerovatno, ,,možda2, si)urno itd%% )isu )i@ta $#u(& )e(& )a@a %#&+"e)a &7eki!a)"a $&(aa"a sa !i@e i/i 'a)"e &s)&!a i sa0)a)"a. A/i $a 9i se %#a!i/)& s/ui/i ti' te#'i)i'a, %&t#e9)& "e $a 0)a'& @ta &)i 0)a7e, ka$a se '&(u u%&t#i"e9iti i kak& i t#e9a k&#istiti $a 9is'& !"e#)& i0#a0i/i i/i sa&%@ti/i &)& st& 0e/i'&, a $a %#i t&#) )e 9i u%a/i u (#e@ku. 1.". #tanoi$ta % teoriji jeroatno!e. Pro&ta jeroatno!a i &'%pne jeroatno!e
P& %ita)"u k&"u !#stu %#&9/e'a #"e@a!a te&#i"a !"e#&!at)&će, u&9i7a"e)a su $!a sta)&!i@ta: ,,&9"ekti!)& i ,,/i7)&. 6/e$a)& sa &9"ekti!)&( sta)&!i@ta, k&"e "e %&%u/a#)i"e &$ /i7)&(, te&#i"a !"e&!at)&će se '&e %#i'"e)"i!ati sa'& )a &)e %&"a!e i $&(aa"e k&"i se '&(u %&)a!/"ati !i@e %uta %#i isti' us/&!i'a. P#e'a t&#) sta)&!i@tu '&e se (&!&#iti & !"e#&!at)&ći u %#&9/e'i'a ka& @t& su bacanje novči&a i/i kocke% O)i k&"i 0astu%a"u &!& (/e$i@te )e 0e/e %#i%isi!ati )eku !"e#&!at)&ću %&"a!a'a k&"e se $&(aa"u sa'& "e$a)%ut. *)%#. &)i &$9i"a"u $a (&!&#e & !"e#&!at)&ći udaje njihove sestre za mladi&a po imenu #ahmud$% Zastu%)i+i t0!. ,,i7)&( (/e$i@ta s'at#a"u $a "e !"e#&!at)&ća i0#a0 /i7)&( u!"e#e)"a u &$#ee)&" %#&%&0i+i"i i !"e#&!at)&ću %#i'"e)"u"u )a s!e %#&9/e'e k&"e &9u!ata &9"ekti!)& (/e$i@te, a/i i )a !e/iku k/asu $#u(i %#&9/e'a k&"i se sa %#!&( sta)&!i@ta )e u0i'a"u u &90i#. *N%#., te&#etski (/e$a)&, 0astu%)i+i /i+)&( (/e$i@ta s'at#a"u $a se '&e (&!&#iti & !"e#&!at)&ći udaje njihove sestre za mladi&a po imenu #ahrnud%$% Ra0/i7iti aut&#i $a"u #a0)e %&$"e/e !"e#&!at)&će. Na""e$)&sta!)i"a %&$"e/a !"e#&!at)&će, s &90i#&' )a )a'"e)u i '"est& vjerovatno&e u statistici, "e %&$"e/a )a prostu vjerovatno&u i skupne vjerovatno&e% Prostu vjerovatno&u i'a'& u s/u7a"e!i'a ka$ se #a$i & 'asi prostih do)a3aja, t". &)i $&(aa"a k&"i )e 0a!ise i )isu us/&!/"e)i )eki' $#u(i' $&(aa"i'a. Taka! s/u7a" i'a'& ka$ se #a$i & 'asi $&(a$a"a, 'e$u k&"i' i'a &$#ee) 9#&" &)i 0a k&"e kae'& $a su povoljni (očekivani$, a 0ati' 9#&" &)i 0a k&"e kae'& $a su nepovoljni *)e e/i'& )"i&!& $e@a!a)"e-. Skupne vjerovatno&e su !"e#&!at)&će u s!i' &)i' s/u7a"e!i'a ka$a se %&'&ću računa vjerovatno&e *&$)&s)& &#'u/a i %#a!i/a teorije vjerovatno&e$ i0)a/a0e #a0u/tati &$)&sa $!i"e i/i !i@e B
(#u%a *e/e'e)ta#)i- $&(aa"a, 9i/& $a su ti $&(aa"i 'eus&9)& zavisni i/i nezavisni, 9i/& $a su uslovljeni jedni $#u(i' i/i )e.
3 kate(&#i"u sku%)i !"e#&!at)&ća s%a$a"u: parcijalna !"e#&!at)&ća, totalna !"e#&!at)&ća, složena !"e#&!at)&ća, uslovna !"e#&!at)&ća, relativna !"e#&!at)&ća, vjerovatno&a uzor1ca, vjerovatnoca ponovljenih pokuSaja (bino1na4navjerovatnocsi$, vjerovatnoca skupa 5 vjerovatno&a izbora u uzorak% Parcijalna vjerovatno&a i0#a7u)a!a se u &)i' s/u7a"e!i'a ka$a i'a'& !i@e $&(aa"a a/i se s!aki &$ )"i '&e %&se9)& %&s'at#ati, &$)&s)& ka$a se 0a s!aku !#stu ti $&(aa"a '&(u i0#a7u)ati &$!&"e)& vjerovatno&e nastajanja i/i nenastajanja% 6otalna vjerovatno&a %#e$sta!/"a &9/ik !"e#&!at)&će k&$ k&(a se $e@a!a)"e )ek&( $&(aa"a, #e+i'& A, %&!e0u"e sa $e@a!a)"e' $#u(a $!a $&(aa"a, #e+i'& 5 i . O$ &9/ika 'eus&9)e !e0e i us/&!/"e)&sti &!i $&(aa"a 0a!isi i 'et&$ i0#a7u)a!a)"a *k&"i '&e 9iti u0 %#i'"e)u teoreme množenja <'u/ti%/ikati!)e te&#e'e< i/i u0 %#i'"e)u teoreme sabiranja
II !#ste i III !#ste. K&/ika "e !"e#&!at)&ća $a +e se %#i "e$)&' i0!/a7e)"u $&9iti k&'a$ II !#ste %#i"e k&'a$a I i/i III !#steL Rje"enje. I'a'&
*Vi$i, u t.1.., a%/a+e&!u k/asi7)u $ei)i+i"u !"e#&!at)&će1.(. #)%čajni do*a+aji. Pro&tor e)ementarni do*a+aja
S!aka )auka %&/a0i &$ )ek&( sku%a &s)&!)i %&"'&!a i )a &s)&!u )"i $a/"e se #a0!i"a *)%#., u e/e'e)ta#)&" *euk/i$sk&"- (e&'et#i"i se %&/a0i &$ &s)&!)i %&"'&!a 2 ta7ka, %#a!a, #a!a)-. S/i7)& i u te&#i"i !"e#&!at)&će se %&/a0i &$ )eki &s)&!)i %&"'&!a: pojava% 3 te&#i"i !"e#&!at)&će i0u7a!a'& slučajne pojave i t& i0u7a!aa)"e "e !e0a)& 0a )eki eks%e#i'e)t. 3 t0!. #a7u)u !"e&#!at)&će *t". u e/e'e)ta#)&' %#i/a0u %&"'&!i'a !"e#&!at)&će-, 7est& se kae $a se %&"'&!i pokus *&%it, eks%e#i'e)t, &(/e$- i $&(aa" )e $ei)i@u. Kae se $a se s!aki &%it 0a!#@a!a )eki' ishodom i/i do)a3ajem% P&$ s/u7a")i' %&kus&' i/i s/u7a")i' eks%e#i'e)t&' %&$#a0u'i"e!a se taka! %&kus 7i"i ishodi, t". rezultati )isu "e$)&0)a7)& &$#ee)i us/&!i'a u k&"i'a i0!&$i'& %&kus. Te&#i"a
!"e#&!at)&će "e 'ate'ati7ka $is+i%/i)a 7i"i "e 0a$atak &#'i#a)"e i %#&u7a!a)"e 'ate'ati7k&( '&$e/a s/u7a"' %&kusa. K&$ s!ak&( %&kusa &s)&!)& "e $a se usta)&!i &$)&s i0'eu u0#&ka i %&s/"e$i+e. Sa'& %&0)a!a)"e t&( &$)&sa &'&(uću"e $ei)isa)"e uslova pokusa i %#e$!ia)"e is&$a %#i s!ak&' #ea/i0i#a)"u ti us/&!a. Ve0a)& 0a t&, %&kuse $i"e/i'& u $!i"e &s)&!)e (#u%e: determinističke i slučajne pokuse% K&$ $ete#'i)isti7ki %&kusa is&$ "e "e$)&0)a7)& &$#ee) us/&!i'a %&kusa. P#i'"e#
$ete#'i)isti7ki %&kusa "e 0a(#i"a!a)"e !&$e %&$ )&#'a/)i' at'&se#ski' %#itisk&' )a te'%e#atu#u !i@u &$ 1?? *#e0u/tat "e %#&'"e)a a(#e(at)&( sta)"a !&$e-. P#i %#&u7a!a)"u s/u7a")i %&kusa u te&#i"i !"e#&!at)&će !a)& "e %#et%&sta!iti $a "e k&'%/eks us/&!a u k&"i'a se %&kus i0!&$i ta7)& &$#ee) u s'is/u $a s!aka #ea/i0a+i"a t&( k&'%/eksa us/&!a &'&(uću"e $a se %&kus '&e ponoviti tako $a "e %&)&!/"e)i %&kus i$e)ti7a) $at&' %&kusu. Dak/e, $&%u@ta'& '&(uć)&st ponavljanja $at&( s/u7a")&( %&kusa %#&i0!&/")& k&)a7)& ')&(& %uta. P#i/ik&' #a0'at#a)"a %&"e$i)&( s/u7a")&( %&kusa %&t#e9)& "e )a %&7etku $&(&!&#iti se & t&'e @ta se s'at#a mo)u&im ishodom t&( %&kusa. S!aki s/u7a")i %&kus 0a!#@a!a se )eki' ishodom ili do)a3ajem% Re0u/tati s/u7a")i %&kusa 0&!u se slučajni do)a3aji *i/i k#aće do)a3aji$% Dak/e, s/u7a")i $&(aa" "e s!aka 7i)"e)i+a k&"a se ka& #e0u/tat i0!&e)"a )ek&( %&kusa $esi *$&(&$i- i/i $a se )e $esi *)e $&(&$i-. D&(aa"i se )a"7e@će &0)a7a!a"u sa !e/iki' s/&!i'a *sa i/i 9e0 i)$eksa- /ati)i+e *)%#., A, 5, ... A, , A ,...-. #ri&jer . P&kus se sast&"i u 9a+a)"u )&!7ića u!is i0)a$ #a!)e %/&e. Na%&'e)i'& $a se %&$ )&!7iće' u te&#i"i !"e#&!at)&će %&$#a0u'i"e!a i$ea/a) &'&(e) )&!7ić tak& $a ka$ se 9a+i '&(u $a se #ea/i0u"u "e$i)a $!a '&(uća $&(aa"a *$a %a$)e )a )rb ili pismo t", )ak&) @t& "e )&!7ić %a& )a %/&u, )a )"e(&!&" (&)"&" st#a)i "e (#9 *6- i/i %is'&*P-, "e#, )a &s)&!u iskust!a, #a0u')& "e %#et%&sta!iti $a $#u(e '&(uć)&sti )e $&/a0e u &90i# *)%#., $a %a$)e )a #u9-. #ri&jer 2. Neka se %&kus sast&"i u 9a+a)"u i(#aće k&+ke. I &!$"e k&+ku 0a'i@/"a'& $a "e i$ea/)& )a%#a!/"e)a i sa i$ea/)i' st#a)a'a *1,, ...,> 2 9#&" ta7aka-. 8&e se $esiti "e$a) &$ > s/u7a"e!a. P#i t&'e )e '&e'& %#e$!i$"eti k&"i će t& s/u7a" 9iti. Ra0/ik&!aće'& složene (razložive$ do)a3aje i elementarne (nerazložive$ do)a3aje% Nai'e, u &%@te' s/u7a"u ka$ i0!&$i'& eks%e#i'e)t &)$a ka& #e0u/tat t&( eks%e#i'e)ta '&e $a se $esi "e$a) i sa'& "e$a) $&(aa", &$ !i@e )"i e!e)tua/)&, a %#i t&'e s!aki &$ ti $&(aa"a i'a istu @a)su $a se %&"a!i. 3%#a!& te $&(aa"e 0&!e'& e/e'e)ta#)i' $&(a$a"i'a. P#&i0!&/")i e/e'e)ta#)i $&(aa" &0)a7a!at će'& 7est& sa ω *i/i sa Q ω, u sku%&!)&" te#'i)&/&(i"i-, a sku% s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a sa , t0!. %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a. Dak/e, %#&st&# "e sku% s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i se '&(u $&(&$iti %#i i0!&e)"u )ek&( %&kusa. Tak&, )%#., 9a+a)"e )&!7ića *u %#i'"e#u 1 .- "e %&kus k&$ k&"e( će s!aki is&$ 9iti e/e'e)t $!&7/a)&( sku%a QP,6, a/i u)a%#i"e$ )e 0)a'& k&"i će t& e/e'e)t 9iti. E/e'e)ta#)i $&(aa"i se, $ak/e, )e '&(u $&(&$iti ist&!#e'e)&, t". &)i se isključuju *$is"u)kt)i su-, $&k se s/&e)i $&(aa"i '&(u $&(&$iti ist&$&9)& t". '&(u $a se u0a"a')& ne isključuju *)%#., %#i s/u7a")&' %&kusu 9a+a)"a $!i"u i(#aći k&+ki, ak& ka& is&$ $&9i"e'& *;,;-, ta$a se $&(&$i& i $&(aa" ,,su'a 9#&"e!a )a &9"e k&+ke "e > i $&(aa" ,,)a &9"e k&+ke %a& "e isti 9#&"-. S!aki s/&e)i $&(aa" '&e'& #a0/&iti )a e/e'e)ta#)e $&(aa"e. Sa$a će'& u!esti %&"'&!e k&"i će )a' t#e9ati u ,,konstrukciji matematičke teorije vjerovatno&te% Os)&!)i %&/a0)i &9"ekat u te&#i"i !"e#&!at)&će "e )e%#a0a) sku% k&"i 0&!e'& prostor elementarnih do)a3aja i k&"i #e%#e0e)ti#a sku% s!i is&$a s/u7a")&( %&kusa. Sku% i )"e(&!e e/e'e)te *k&"e će'& 0!ati i ta7ka'a sku%a - )a$a/"e će'& s'at#ati $a su $ati, t". &)i su &s)&!)i i )e$ei)isa)i %&"'&!i u te&#i"i !"e#&!at)&će. =
Ta7ke ω *&$)&s)&, "e$)&7/a)e sku%&!e Qω- +e'& 0!ati elementarni do)a3aji% P#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a s/ui '&$e/u i$ea/i0i#a)"a s/u7a")&( %&ku@a u s'is/u $a %& $ei)i+i"i s!ak& #"e@e)"e %&kusa '&#a $ati is&$ k&"i &$(&!a#a "e$)&' i sa'& "e$)&' e/e'e)ta#)&' $&(aa"u, t". "e$)&" i sa'& "e$)&" ta7ki u . Dak/e, "e "e$)&sta!)& sku% ta7aka *0a sa$a )e'a 'ate'ati7ki us/&!a 0a
%$#ri&jer /. Ak& )&!7ić 9a+a'& "e$)&', '&e'& u0eti QP,6. Ak& )&!7i+ 9a+a'& $!a%ut t&
"e $#u(i %&kus, %a t#e9a $#u(i , #e+i'& QPP,P6,6P,66. P#i'i"eti'& $a ist&'e s/u7a")&' %&kusu '&e'& %#i$#uiti #a0)e %#&st&#e e/e'e)ta#)i $&(aa"a. N%#., ak& "e$)&' 9a+a'& i(#aću k&+ku &)$a "e %#i#&$)& u0eti Q1,,...,>. A/i, &!&' %&kusu '&e'& %#i$#uiti $#u(i %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i i'a sa'& $!a e/e'e)ta: ,,) "e %a#a) i ,,) "e )e%a#a), ($"e "e ) 9#&" k&"i %a$)e )a k&+ki. 8euti', ak& )as %#i $at&' #"e@e)"u &!&( %&kusa 0a)i'a $a /i "e ) U , &!a" $#u(i %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a )eće 9iti &$ k&#isti. P#e'a t&'e %#i#&$a k&)k#et)&( %#&9/e'a k&"i )as 0a)i'a u $at&' t#e)utku &$#eu"e k&"i' će'& se %#&st&#&' e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&#istiti. P#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&e 9iti konačan, t". '&e i'ati &9/ik Q1,,...,), '&e 9iti beskonačan a/i prebrojiv, t". Q1,,..., ) ,..., a/i '&0e 9iti beskonačan i neprebrojiv *,,)e%#eki$a)J-, Q WP*-. S!aka ta7ka *e/e'e)ta#)i $&(aa"- k&"a %#i%a$a $&(aa"u A 0&!e se povoljna 0a A. D&(aa" A $&(&$it će se u $at&' !#@e)"u %&kusa ak& is&$u %&kusa &$(&!a#a "e$)a &$ ta7aka i0 A, t". ta7ka %&!&/")a 0a A. Dak/e, )a sku%u e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&He'& $ei)isati i $#u(e s/&He)i"e $&(aa"e. N%#., %#i &%itu 9a+a)"a k&+ke )eka se $&(aa" A $esi ka$ %a$)e %a#a) 9#&", a $&(aa" 5 se $esi ka$ %a$)e 9#&" 'a)"i &$ C. Ta$a"e AQ,,>, 5Q 1,,;,. 3 sku%u e/e'e)ta#)i $&(aa"a %&se9)& se i0$!a"a"u &!a $!a $&(aa"a: 1- Si)uran i/i pouzdan $&(aa". i"e/i %#&st&# 0&!e se si(u#a) i/i %&u0$a) $&(aa" i &) se #ea/i0u"e ka$a se #ea/i0u"e 9i/& k&"i &$ e/e'e)ta#)i $&(aa"a, t". &) se '&#a $&(&$iti u s!ak&' !#@e)"u &%ita. Dak/e, ak& )eki &%it a %#i&#i i0a0i!a %&"a!u $&(aa"a A, &)$a se ta" $&(aa" 0&!e %&u0$a). O9i7)& i &0)a7a!a'& sa 3. - .emo)u& do)a3aj% P#a0a) sku% X 0&!e'& )e'&(uć $&(aa". O) se )ika$a )e $esi. N"e(a )e #ea/i0u"e )i "e$a) e/e'e)ta#)i $&(aa". Dak/e, ak& se $&(aa" A si(u#)& )e $esi $ati' &%it&' &)$a se &) 0&!e )e'&(uć $&(aa". S!e )e'&(uće $&(aa"e &0)a7a!a'& sa X i/i V. D&(aa" se, $ak/e, 0&!e s/u7a"a) ak& se &) '&He, a )e '&#a, %&"a!iti ka& #e0u/tat )ek&( &%ita. D&(aa"e '&He'& &ka#akte#i0i#ati )a $!a )a7i)a: i/i tak& $a )a!e$e'& s!e )"i&!e ta7ke i/i tak& $a &%i@e'& us/&!e u0 k&"e će se &)i $&(&$iti. Tak& )a (&#)"e' %#i'"e#u i'a'& A Q,,> i/i AQ)a k&+ki %a& %a#a) 9#&". Dei)i@i'& sa$a &%e#a+i"e sa $&(aa"i'a %&'&ću k&"i se &$ $ati $&(aa"a $&9i!a"u s!i $&(aa"i. Za s!e $&(aa"e s'at#a'& $a su %&$sku%&!i ist&( %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a , %a "e %#i#&$)& &%e#a+i"e )a$ $&(aa"i'a $ei)isati %&'&ću &%e#a+i"a )a$ &$(&!a#a"ući' sku%&!i'a.
Za $&(aa" A kae'& $a povlači (implicira, ili - je specijalan slučaj od B$ $&(aa" 5 ak& "e A5. Ak& A 5 i 5 A &)$a kae'& $a su $&(aa"i A i 5 ek!i!a/e)t)i i %i@e'& A5. 1?
Za $&(aa"e A sta!i'& A+ YA, t". A+ "e komplement &$ A. D&(aa" A+ se 0&!e suprotan *k&'%/e'e)ta#a)- $&(aa" &$ A. D&(aa" A + se &0)a7a!a 7est& i sa A i/i i &) se $&(&$i u $at&' !#@e)"u %&kusa ak& i sa'& ak& se A )e $&(&$i. Za $&(aa"e A, 5 sku% A 3 5 *i/i A[5- 0&!e se unija *i/i 09i#- $&(aa"a A i 5, t". $&(aa" Au5 "e $&(aa" k&"i se $&(&$i sk& i sa'& ak& se $&(&$i 9a# "e$a) &$ $&(aa"a A i 5. A)a/&()& se $ei)i@e i u)i"a i/i 09i# k&)a7)& ')&(& $&(aa"a A1,...,A) ka&
i/i
&$)&s)& &$
%#e9#&"i!& ')&(& $&(aa"a *A), ) N - ka&
7
Za $&(aa"e A, 5 sku% A 5 *i/i A 5- 0&!e'& presjek *i/i %#&i0!&$- do)a3aja A i 5, t". $&(aa" A 5 "e $&(aa" k&"i se sast&"i u t&'e $a se A i 5 %&"a!/"u"u sku%a *$&(aa" A 5 $&(&$i se ak& i sa'& ak& se $&(&$e &9a $&(aa"a A i 5-. A)a/&()& se $ei)i@e %#es"ek &$ k&)a7)& i/i %#e9#&"i!& ')&(& $&(aa"a. Za $&(aa"e A i 5 kae'& $a se uzajamno isključuju *$is"u)kt)i, )es%&"i!i- ak& "e A 5? *A 5V-. 3 t&#) s/u7a"u A i 5 )e '&(u se ist&!#e'e)& $&(&$iti. Za k&)a7)& i/i %#e9#&"i!& ')&(& $&(aa"a *A)- kae'& $a se uzajamno isključuju ak& "e Ai
"
0a i ".
Za $&(aa"e A, 5 sku% A5 0&!e'& razlika do)a3aja A i 5. Jas)&, A5 A 5+, %a &tu$a s/i"e$i $a se $&(aa" A5 $&(&$i ak& i sa'& ak& se A $&(&$i i 5 )e $&(&$i, t". #a0/ika $!a $&(aa"a A i 5 se 0&!e $&(aa" k&(a #ea/i0u"u e/e'e)ta#)i $&(aa"i k&"i %#i%a$a"u A a )e %#i%a$a"u 5. Kak& su &%e#a+i"e )a$ $&(aa"i'a $ei)isa)e %&'&ću &%e#a+i"a )a$ &$(&!a#a"ući' %&$sku%&!i'a %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a, t& 0a )"i !#i"e$e s!a *&$(&!a#a"uća- %#a!i/a i0 teorije skupova% N%#., 0a )i0 $&(aa"a *A), ) N- !#i"e$e $e 8&#(a)&!e &#'u/e *0ak&)i-: + , *\A)-+ )- \ %a &tu$a !#i"e$i Ai*\ -+. #ri&jer . Neka "e YR [ Q]W]^? i QA): )eN )i0 $&(a$a"a u Y, $at sa A)_?,12 `, *)1,,...1a$o se vi'i 'a je
i
2 30,4,
2506.
i
. -. )a&ična de/inicija apriorne jeroatno!e
P#i"e )e(& @t& %#e+i0i#a'& i)tuiti!)a, )e&#'a/)a #a0'at#a)"a u!&$)i %&"'&!a te&#i"e !"e#&!at)&će, )a(/asi'& $a "e %#i %#&u7a!a)"u s/u7a")i eks%e#i'e)ata u te&#i"i !"e#&!at)&će )u)& )a %&7etku $&(&!&#iti se & t&'e k&"i su e/e'e)ta#)i *)e#a0/&i!i- $&(aa"i '&(ući is&$i $at&( s/u7a")&( eks%e#i'e)ta. S!i $&(aa"i !e0a)i u0 ta" eks%e#i'e)t '&(u se &%isati %&'&ću e/e'e)ta#)i $&(aa"a. Ak& se %&e 7ist& &$ iskust!a &)$a "e "as)& $a se $&(aa"i '&(u u%&#ei!ati %& ste%e)u )"i&!e '&(uć)&sti %&"a!/"i!a)"a. N%#., "as)& "e $a %#i (aa)"u )ek&( +i/"a, +i/" će se %#i"e %&(&$iti )a 11
'a)"e' #ast&"a)"u, )e(& sa $ue(. I/i ak& )a )ek&" /ut#i"i i'a'& C? te/e!i0&#a, C '&t&+ik/a, ? aut&'&9i/a, &)$a "e !eća @a)sa $a će se $&9iti te/e!i0&# a 'a)"a '&t&+ik/. Ak& 9a+a'& )&!7ić @a)se $a se %&"a!i (#9 i/i %is'& su %&t%u)& "e$)ake. P&sta!/"a se %ita)"e $a /i %&st&"i )eka )u'e#i7ka !#i"e$)&st k&"a se '&e $a %#i%i@e s!ak&' $&(aa"u i k&"a 9i )a' s/ui/a ka& &9"ekti!)a '"e#a #ea/i0a+i"e )ek&( $&(aa"a %#i i0!&e)"u )ek&( s/u7a")&( %&kusa. Tak!a 9#&")a !#i"e$)&st %&st&"i i &)a se 0&!e vjerovatno&a do)a3aja% Da 9i $ei)isa/i %&"a' !"e#&!at)&će sa k/asi7)&(, e/e'e)ta#)&( as%ekta, t#e9a %#et%&sta!iti s/"e$eće: Ka$a i0!&$i'& &(/e$ s!aki %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a "e k&)a7a) i ta" %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(a$a"a '&e'& &$#e$iti. i u t&#) s'is/u %#et%&sta!i'& $a i'a'& )eki s/u7a")i &%it i $a su $&(&!&#)& usta)&!/"e)i s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"i *t". '&(ući )e#a0/&i!i is&$i- t&( &%ita. Neka "e %#&i0!&/"a) $&(aa" !e0a) u0 ta" s/u7a")i &%it. Kae se $a "e )eki e/e'e)ta#)i $&(aa" povoljan 0a $&(aa" - ak& %&"a!/"i!a)"e t&( e/e'e)ta#)&( $&(aa"a ka& is&$a &%ita %&!/a7i i #ea/i0a+i"u $&(aa"a - *$a se $&(&$i& $&(aa" -$% 8
;jerovatno&a ,,a priori< . i/i apriorna vjerovatno&a *%&)eka$ se 0&!e i matematička vjerovatno&a$ teorijska vjerovatno&a k"a (&!&#i "e0ik&' &$#ee)i 'ate'ati7ki +ia#a & t&'e kak!a "e '&(uć)&st
"e )asta"a)"a &7eki!a)&( $&(aa"a s &90i#&' )a u)a%#i"e$ %&0)ate %&$atke & uku%)&' 9#&"u s!i mo)u&ih do)a3aja i & 9#&"u povoljnih, očekivanih do)a3aja k&"i u t&' uku%)&' 9#&"u '&(u )astu%iti. Z9&( t&(a se &!a !"e#&!at)&ća 0&!e te&#i"ska, "e# u %#aksi se )e '&#a &st!a#iti &)a" #e0u/tat k&"e(a )a' "e u)a%#i"e$ $a!a/a a%#i&#)a !"e#&!at)&ća. Tak&, )%#., ak& 9a+i'& )&!7ić a%#i&#)a !"e#&!at)&ća )a' (&!&#i $a "e C?b '&(uć)&sti $a %a$)e (/a!a i/i %is'& "e# su t& $!i"e '&(uć)&sti &$ k&"i "e$)a '&#a $a se &st!a#i. 8euti', u !i@e %&)a!/"a)"a 9a+a)"a )e '&#a $a se &st!a#i taka! &$)&s, )e(& će tek u !e&'a !e/ik&' 9#&"u 9a+a)"a $a se 0a%a0i %#i9/ia!a)"e &$)&sa C?b : C?b. S/i7a) "e s/u7a" k&$ i(#a)"a /ut#i"e, i0!/a7e)"a ka#ata, 9a+a)"a k&+ke it$. Je$)a &$ '&(ući !e#0i"a klasične (+aplaceove$ de1inicije vjerovatno&e a priori (/asi: Neka "e $at s/u7a")i &%it s k&)a7)& ')&(& e/e'e)ta#)i $&(aa"a i )eka su s!i ti e/e'e)ta#)i $&(aa"i jednako mo)u&i% Ta$a se !"e#&!at)&ća %#&i0!&/")&( $&(aa"a !e0a)&( u0 ta" &%it $ei)i@e ka& k&/i7)ik 9#&"a s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a %&!&/")i 0a ta" $&(aa" i 9#&"a s!i '&(ući *uku%)&( 9#&"a- e/e'e)ta#)i $&(aa"a *k&"i '&(u )astu%iti %#i t&' %&kusu-. P#i'i"eti'& &$'a s/a9&sti &!e k/asi7)e $ei)i+i"e !"e#&!at)&će *k&"u "e u te&#i"u !"e#&!at)&će u!e& Pierre!Simon de +aplace=% O)a "e %#i"e s!e(a #est#ikti!)a u s'is/u $a se &$)&si sa'& )a eks%e#i'e)te s k&)a7)& ')&(& e/e'e)ta#)i $&(aa"a. S $#u(e st#a)e, a%/a+e&!a $ei)i+i"a !"e#&!at)&će "e k#u)a "e# &)a u se9i sa$#i %&"a' "e$)ak& '&(uć, k&"i 0a%#a!& 0)a7i jednako vjerovatan% Otu$a &!a $ei)i+i"a )i"e $&9#a ka& 9a0a aksi&'atske te&#i"e !"e#&!at)&će. Na%&'e)i'& $a "e !#/& i)te#esa)t)a 7i)"e)i+a $a "e &$ %&7etka te&#i"a !"e#&!at)&će *0a ta" %&7etak se u0i'a 1>C. (&$i)a- %a $& u!&e)"a aksi&'atike u tu te&#i"u *k&"u "e u!e& !e/iki #uski 'ate'ati7a# A N D R E J N I K O A J E V I Ć KO8O6OROV 1=;;. (&$i)e u s!&' u)$a'e)ta/)&' #a$u: rundbe)ri11e der >ahrscheinlichkeitsrechnun), 5e#/i), 1=;;.- 9i/& %&t#e9)& $a %#&u (&t&!& t#i st&/"eća. #ri&jer .. 3 %&su$i se )a/a0i > 9i"e/i i +#)e ku(/i+e. Ak& se s/u7a")& i0!u7e "e$)a ku(/i+a, )aći !"e#&!at)&ću $a i0!u7e)a ku(/i+a 9u$e 9i"e/e 9&"e. Rjesenje7 Neka "e - $&(aa" $a "e ku(/i+a 9i"e/e 9&"e. Ta$a "e, %#e'a k/asi7)&" $ei)i+i"i !"e#&!at)&će a %#i&#i, !"e#&!at)&ća P(-$ $&(aa"a - $ata sa ,;
*c-
($"e "e ' 9#&" s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a %&!&/")i 0a - *t". k&"i #ea/i0u"u $&(aa" -$, a n uku%a) 9#&" s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a *'&(ući $&(aa"a 0a %&s'at#a)i %&kus-. ;
O!$"e * a i )a$a/"e- P*A- 0)a7i d!"e#&!at)&ća *#a)+uski d%#&9a9i/ite &$)&s)& e)(/eski d%#&9a9i/it- $&(aa"a A.
1
Kak&"e, &7i(/e$)&, '>, )1?, t& "e P*A- *>?bI0 k/asi7)e $ei)i+i"e !"e#&!at)&će a %#i&#i, &$)&s)& i0 &#'u/e *c-, &$'a s/i"e$e &!e &s)&!)e &s&9i)e !"e#&!at)&će: *iV"e#&!at)&ća "e )e)e(ati!)a, t". P(-$ ? ?, *0a s!aki $&(aa" -$, *ii- V"e#&!at)&ća )i"e !eća &$ 1 , t". P(-$ @ 1 , "e# "e m @ n% Otu$a *0a s!aki $&(aa" -$ ? *ccAk& se #a$i & si(u#)&' $&(aa"u, &)$a s!aki e/e'e)ta#)i $&(aa" #ea/i0u"e ta" $&(aa", t". mAn, %a "e )"e(&!a !"e#&!at)&ća "e$)aka 1 . V"e#&!at)&ća )e'&(uće( $&(aa"a "e ? *"e# "e sa$a '?, 9u$ući $a )e'&(uć $&(aa" )e #ea/i0u"e )i "e$a) e/e'e)ta#)i $&(aa"-.
= Ak& "e !"e#&!at)&ća 'a)"a &$ 1 , &)$a se 0a ta" $&(aa" kaHe $a nije vjerovatan *i/i $a "e
)e!"e#&!ata)-, ak& "e P*A- , kae se $a "e A )ei0!esta) i/i su'/"i! $&(aa", a ak& "e P*Akae se $a "e - vjerovatan $&(aa" *ka& @t& "e $&(aa" - u %#i'"e#u 1-. 3 %#et&$)&" ta7ki s'& u!e/i %&"'&!e k&"i t#e9a"u u ,,k&)st#uk+i"i 'ate'ati7ke te&#i"e !"e#&!at)&će. P#i t&'e s'& uka0a/i )a 7i)"e)i+u $a "e &s)&!)i %&/a0)i &9"ekt u te&#i"i !"e#&!at)&će )e%#a0a) sku%, k&"e( s'& &0)a7i/i sa Y i )a0!a/i %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a, a k&"i #e%#e0e)ti#a sku% s!i is&$a s/u7a")&( %&kusa. Sku% Y i )"e(&!e e/e'e)te s'at#a'& ka& $ate, &)i su &s)&!)i i )e$ei)isa)i %&"'&!i u te&#i"i !"e#&!at)&će. E/e'e)te +& *7est& će'& e/e'e)te sku%a 0!ati i ta7ka'a- 0&!e'& elementarni do)a3aji% P#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a s/ui '&$e/u i$ea/i0i#a)&( s/u7a")&( &(/e$a u s'is/u $a %& $ei)i+i"i s!ak& !#@e)"e &(/e$a '&#a $ati is&$ k&"i &$(&!a#a "e$)&' "e$i)&' e/e'e)ta#)&' $&(aa"u, t". "e$)&" i sa'& "e$)&" ta7ki i0 Y. P#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a )i"e u!i"ek k&)a7a). 30'i'&, )%#., $a se &(/e$ sast&"i u #e(ist#i#a)"u 9#&"a #a0(&!&#a k&"e u t&ku "e$)&( $a)a &9a!i "e$)a aut&'atska te/e&)ska +e)t#a/a. Ta$a"e 0a %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a %#i#&$)& u0eti sku% Y ?O!a" sku% "e *&7i(/e$)&- %#e9#&"i!. O!$"e "e 0a Y u0et 9esk&)a7a) sku%, iak& se 0)a $a će 9#&" #a0(&!&#a 9iti k&)a7a), $a 9i se i09"e(/a %ita)"a u !e0i s ti' k&"i "e %#i#&$a) 9#&" '&(uć ka& is&$ &(/e$a, a k&"i )i"e. N&, %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&e 9iti i )e%#e9#&"i!. Nai'e, u0'i'& $a se &(/e$ sast&"i &$ '"e#e)"a te'%e#atu#e 0#aka t&k&' "e$)&( $a)a. Ta$a se #a$i & '"e#e)"u u)k+i"e )e%#eki$)&( %a#a'et#a *!#e'e)a-. Ka& %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&e'& u0eti sku% Y s!i '&(ući #e0u/tu"ući u)k+i"a, a/i i @i#i sku%, #e+i'& sku% s!i #ea/)i u)k+i"a )a $at&' !#e'e)sk&' i)te#!a/u i/i sku%u s!i #ea/)i )e%#eki$)i u)k+i"a. 3 &!&' s/u7a"u s'& Y s!"es)& %&!eća/i, "e# 0)a'& $a 'e$u s!i' #ea/)i' u)k+i"a'a )a $at&' i)te#!a/u si(u#)& i'a tak!i u)k+i"a k&"e )e '&(u %#e$sta!/"ati k#eta)"e te'%e#atu#e ka& u)k+i"e !#e'e)a t&k&' "e$)&( $a)a. N&, u s/u7a"u "e$)&sta!)i &(/e$a s k&)a7)& ')&(& is&$a i09"e(a!a se $&$a!a)"e su!i@)i e/e'e)ata. O $&(aa"u - !e0a)&' u0 )eki &%it '&e'& (&!&#iti sa'& u s/u7a"u $a "e 0a s!aki '&(ući is&$ &%ita %&0)at& $a /i se - $&(&$i/& i/i )i"e, t". s!aki $&(aa" - !e0a) u0 )eki s/u7a")i &%it 1;
&$(&!a#a %ita)"u u !e0i s ti' &%it&' k&"i i'a &$(&!&# ,,DA i/i ,,NE, i t& u s'is/u $a %&s/i"e s!ak&( !#@e)"a &%ita )a %ita)"e ,,$a /i se - $&(&$i& '&e &$(&!&#iti sa ,,da2 i/i d)e. Ak& "e %#i t&'e Y %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a t&( s/u7a")&( &%ita, &)$a sku% ta7aka k&"i #e%#e0e)tu"e s!e is&$e &%ita 0a k&"e "e &$(&!&# ,,da2 u %&t%u)&sti &%isu"e $&(aa" -% O9#at)&, %#&i0!&/"a) %&$sku% - %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y '&e'& t#eti#ati ka& $&(aa" *k&"i se $&(&$i i/i )e $&(&$i &!is)& & t&'e $a /i is&$ &%ita #e%#e0e)ti#a ta7ku k&"a "e u - i/i k&"a )i"e u -$% Zat& u $a/")"e' )eće'& #a0/ik&!ati $&(aa" - !e0a) u0 s/u7a")i %&kus i &$(&!a#a"ući %&$sku% sku%a e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y k&"i se sast&"i &$ s!i ta7aka i0 Y k&"e #e%#e0e)tu"u &)e is&$e %&kusa 7i"e %&"a!/"i!a)"e !&$i )a %&"a!/"i!a)"e $&(aa"a -% Dak/e, do)a3aj %&$sku% %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y. i"e/i %#&st&# Y 0&!e'& si)uran (pouzdan$ do)a3aj *&) se '&#a $&(&$iti u s!ak&' !#@e)"u &%ita-, a %#a0a) sku% X, 0&!e'& nemo)u& do)a3aj *&) se )ika$ )eće $&(&$iti-. Za s!e $&(aa"e s'at#a'& $a su %&$sku%&!i ist&( %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y, %a se %#i#&$)& &%e#a+i"e )a$ $&(aa"i'a $ei)i#a"u %&'&ću &%e#a+i"a )a$ &$(&!a#a"ući' sku%&!i'a, t& 0a )"i !#i"e$e s!a %#a!i/a i0 te&#i"e sku%&!a, t". s!a %#a!i/a i0 a/(e9#e sku%&!a !#i"e$e i u a/(e9#i $&(aa"a *)%#., !#i"e$e e#or)anovi zakoni$% Aksi&'atsku $ei)i+i"u !"e#&!at)&će )a %#&st&#u e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y &9#a$iće'& u t#eće' %&(/a!/"u *uka0u"ući )a 7i)"e)i+u $a )i"e u!i"ek '&(uće s!e %&$sku%&!e &$ Y u0eti 0a $&(aa"e, "e# se '&e $&(&$iti $a 0a )eki %&$sku% - &$ Y )e '&e'& $e+i$)& &$(&!&#iti )a %ita)"e: -=% ,,Da /i "e
1? Se' k/asi7)ie a%/a+e&!e $ei)i+i"e !"e#&!at)&će a %#i&#i i aksi&'atske $ei)i+i"e !"e#&!at)&će u!&$i se "&@ i k/asi7)a $ei)i+i"a !"e#&!at)&će a %&ste#i&#i *statisti7ka $ei)i+i"a !"e#&!at)&će-, @t& će'& &9#a$iti u )a#e$)&" ta7ki, te (e&'et#i"ska $ei)i+i"a !"e#&!at)&će k&"u će'& tak&e &9#a$iti u &k!i#u &!&( *$#u(&(- %&(/a!/"a. 1.0. )a&ična de/inicija jeroatno!e a po&teriori &tati&tič'a de/inicija jeroatno!e2
S &90i#&' )a t& $a /i se !"e#&!at)&ća, i0#ae)a u 'ate'ati7k&' &9/iku, i0#a7u)a!a )a 9a0i %&s'at#a)"a #e0u/tata )ek&( !eće( 9#&"a eks%e#i'e)ata *&%ita, %&kusa, &(/e$a i/i $&(aa"a- i/i se t& u)a%#i"e$ &$#eu"e )a 9a0i $ati i %&0)ati st#uktu#a u &k!i#u )eke 'ase $&(aa"a, #a0/iku"e'& ,,!"e#&!at)&ću a %&ste#i&#i i ,,!"e#&!at)&ću a %#i&#i. V"e#&!at)&ću a %#i&#i s'& #a0'at#a/i #a)i"e, a sa$a će'& &9#a$iti a%&ste#i&#)u !"e#&!at)&ću. ;jerovatno&a ,,a posteriori2 i/i a%&ste#i&#)a !"e#&!at)&ća "e &)a k&"a se i0#aa!a )a 9a0i iskust!a, %&kusa, %#akse *)a te'e/"u i0!#@e)i %&kusa i/i %#iku%/"e)i statisti7ki %&$ataka-. O!a !"e#&!at)&ća se )a"7e@će k&#isti u )au7)&2ist#ai!a7k&'a #a$u, )a 9a0i %&$ataka & #ek!e)+i"i $e@a!a)"a i/i )e$e@a!a)"a &7eki!a)&( $&(aa"a. Z9&( t&(a "e &!a !"e#&!at)&ća $&9i/a )a0i! statistička i/i empirijska vjerovatno&a% O7i(/e$)& "e $a se a%&ste#i&#)a !"e#&!at)&ća #a0/iku"e &$ a%#i&#)e, 0a!is)& &$ %#i#&$e i !#ste $&(aa"a i %&"a!a k&"e se %&s'at#a"u. 8euti', t#e9a 0a%a'titi $a se a%&ste#i&#)a !"e#&!at)&ća u!i"ek s!e !i@e %#i9/ia!a a%#i&#)&", ak& 9#&" %&kusa i/i %&s'at#a)"a %&!eća!a'&. Ta" 0ak/"u7ak (/asi: ;jerovatno&a a posteriori teži ka vjerovatno&i a priori ako se broj pokusa pove&ava ka beskonačnosti(što je &#'u/isa& JAKO5 5ERN3I ka& 7akon velikih brojeva=% Z)a7a" a%&ste#i&#)e !"e#&!at)&će "e u t&'e @t& %&'&ću )"e %#i9/i)& ta7)& '&e'& i0#a7u)ati i a%#i&#)u V"e#&!at)&ću k&"u #a)i"e )is'& %&0)a!a/i. Zati', %&'&ću a%&ste#i&#)e !"e#&!at)&će, sa 'a/&' (#e@k&' '&e'& $a &$#e$i'& st#uktu#u %&"a!e k&"u #a)i"e )is'& %&0)a!a/i. S!e se &!& $&ka0u"e ak& "e 9#&" &%ita !e/iki. P#e'a t&'e, %#i !e/ik&' 9#&"u &%ita i/i %&s'at#a)"a
JAKO5 5ERNO3I
*1>C21B?C-2@!a"+a#ski 'ate'ati7a# &/a)$sk&( %&#i"ek/a.
1
usta)&!/"a!a'& 0ak&)it&st k&"a !/a$a u st#uktu#i %&"a!e, %a "e u &!&'e &s)&! teorije i/i zakona velikih brojeva% P#i'"e)a a%&ste#i&#)e !"e#&!at)&će )a#&7it& "e 0)a7a")a u &9/asti &si(u#a)"a, u ek&)&'i"i, a ist& tak& i u s!i' &9/i+i'a )au7)&( ist#ai!a)"a u !e0i sa 'as&!)i' %&"a!a'a s )e%&0)ati' k&'%/eks&' u0#&ka (stohastičkih pojavaC #i"e7 ,,stohastičan2 "e (#7k&( %&#i"ek/a a 0)a7i ,,k&"i se )as/uću"e, %a se ta #i"e7 u%&t#e9/"a!a i u'"est& #i"e7i d!"e#&!at)&ća (&t&!& u s!e 'as&!)e %&"a!e u'i"e@a) "e stohastičan element i ti'e se &9"a@)"a!a %#i)+i%i"e/)a !a)&st teorije vjerovatno&e ka& teorije %#&u7a!a)"a stohastičkih pojava=% Neka "e - %#&i0!&/"a) $&(a" !e0a) 0a )eki s/u7a")i &%it, t". '&(uć #e0u/tat t&( s/u7a")&( &%ita. P#et%&sta!i'& $a s'& ta" %&kus %&)&!i/i *%&$ isti' &k&/)&sti'a- n %uta, $a se u ti ) %&)a!/"a)"a $&(aa" - %&"a!i& ta7)& n - %uta. Ta$a 9#&" n - 0&!e'& *a%su/ut)a- 1rekvendja *u7esta)&st- $&(aa"a A, a 9#&"
relativna 1rekvencija $&(aa"a - *u $ati n %&)a!/"a)"a &%ita-.
I0 &!e $ei)i+i"e #e/ati!)e #ek!e)+i"e s/i"e$i $a "e *c-
Ka$a 9#&" %&kusa #aste &)$a #e/ati!)a #ek!e)+i"a tei ka !"e#&!at)&ći $&(aa"a A, t".
*cc-
11 Z)ak /i' se &!$"e )e s'i"e s!atiti u k/asi7)&' s'is /u (#a)i7)e !#i"e$)&sti, "e# )a' a)a/iti7ki )i"e %&0)ata !e0a i0'eu n - i n, )iti &)a %&st&"i. Nai'e ak& %&!eća'& 9#&" %&kusa %#i'"eću"e'& $a &'"e# st!a#)& tei ka "e$)&" (#a)i+i. St&(a se u %#aksi i0!e$e &$#ee)i 9#&" %&kusa i tak& &$#e$i !"e#&!at)&ća $&(aa"a, "e # 'i )e '&e'& i0!esti 9esk&)a7)& ')&(& %&kusa. P&ist&!"eći!a)"e #e/ati!)e #ek!e)+i"e i !"e#&!at)&će $&(aa"a 9a0i#a se )a %&'e)ut&' Zak&)u !e/iki 9#&"e!a k&"i !ai u %#i#&$i a s'isa& 'u "e &!a": Ka$a 9#&" &%ita #aste &)$a a%su/ut)a #a0/ika i0'eu #e/ati!)e #ek!e)+i"e i !"e#&!at)&će u(/a!)&' &%a$a. O!a" 0ak&) kae $a &)& @t& %&"e$i)a7)& '&#a'& s'at#ati s/u7a")i' u !e/ik&" 'asi (u9i ka#akte# s/u7a")&sti i %&)a@a se ka& )e@t& u0#&7)&, 0ak&)it&. Na%&'e)i'&, $a )i"e i0)i'ka $a )e '&e'& $a &$#e$i'& 9#&" %&!&/")i is&$a )ek&( %&kusa, !eć $a "e t& u %#akti7)&' %&(/e$u !#/& 7est& s/u7a" 9e0 &90i#a @t& "e ta" 9#&" k&)a7a).C Da 9i %#&!"e#i/i Zak&) !e/iki 9#&"e!a /"u$i su i0!#@i/i !e/iki 9#&" eks%e#i'e)ata. #ri&jer . Neka "e s/u7a")i %&kus 9a+a)"e %a#a i(#ać k&+aka i %ita'& se: K&/ika "e !"e#&!at)&ća $&(aa"a -% 9#&"e!i k&"i su %a/i 'eus&9)& su #a0/i7itiL 5a+a)"e %a#a k&+aka "e %&kus k&$ k&"e( će s!aki is&$ 9iti "e$a) &$ e/e'e)ata sku%a YQ*i, "-: i, " 1,..., >, k&"i i'a uku%)& ;>, a/i 09&( %#et%&sta!/"e)e si'et#i"e u)a%#i"e$ )e '&e'& #eći k&"i će t& e/e'e)at 9iti. P&!&/")i $&(aa"a i'a ;? *s!i &si' *1,1-, *,-, *;,;-, *,-, *C,C-, *>,>--. P#e'a t&'e !"e#&!at)&ća a %#i&#i "e:
C
3 tak!i' s/u7a"e!i'a !"e#&!at)&ću &$#eu"e'& eks%e#i'e)ta/)&, t". u'i"est& a%#i&#)e &$#eu"e'& a%&ste#i&#)u !"e#&!at)&ću.
1C
Da t& %&t!#$i i u %#aksi @!a"+a#ski ast#&)&' R . fOF %&)a!/"a& "e 1C?. (&$i)e &!a" %&kus i 9i/"ei& "e #e/ati!)e #ek!e)+i"e u& e)&( $&(aa"a. D&9i& "e s/"e$eće #e0u/tate: roj n !o$)sa7
00
000
0000
00000
Relativna re$ven,ija
0,88
0,8/9
0,8/:
0,8/://
Vi$i se $a #e/ati!)a #ek!e)+i"a 1(-$A
s!e !i@e tei ka !"e#&!at)&ći P(-
%$Te&#i"a !"e#&!at)&će %#&u7a!a sa'& &)e s/u7a")e &%ite k&"i i'a"u s!&"st!& t0!. statisti7ke sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a. 3 +i/"u &9"a@)"e)"a &!&( %&"'a, %&s'at#a"'& %#&i0!&/"a) $&(aa" A !e0a) u0 )eki s/u7a")i %&kus. S!&"st!& statisti7ke sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a sast&"i se u t&'e $a se %#i/ik&' %&)a!/"a)"a %&kusa !e/iki 9#&" *)- %uta #e/ati!)e #ek!e)+i"e $&(aa"a A (#u%i#a"u &k& )ek&( iks)&( *7!#st&(- 9#&"a. P#et%&sta!i'& $a/"e $a !#@i'& )ek&/ik& se#i"a &%ita. Neka "e, %#i t&'e, ) i, uku%a) 9#&" &%ita u i2t&" se#i"i, a ) A *i- 9#&" %&"a!/"i!a)"a $&(aa"a A u i2t&" se#i"i. S!&"st!& sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a 0at"e!a tak&e $a su #e/ati!)e #ek!e)+i"e
$&(aa"a A u i g t&"
se#i"i &%ita 'eus&9)& $&!&/")& 9/i0u 0a #a0)e !#i"e$)&sti i, t". 0a #a0)e se#i"e, ak& su s!i 9#&"e!i ) i, $&!&/")& !e/iki.
K/asi7)a $ei)i+i"a !"e#&!at)&će a %&ste#i&#i *statisti7ka, st&&sti7ka $ei)i+i"a !"e#&!at)&će-: Ak& s/u7a")i &%it 0a$&!&/"a!a us/&! statisti7ke sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a &)$a se vjerovatno&a a posteriori %#&i0!&/")&( $&(aa"a - !e0a)&( u0 ta" &%it $ei)i@e ka& #ea/a) 9#&" P(-$, ? U P(-$ D 1, &k& k&"e( se (#u%i#a"u &$)&s)& k&"e'u tee #e/ati!)e #ek!e)+i"e t&( $&(aa"a. I &!a k/asi7)a $ei)i+i"a !"e#&!at)&će )i"e 'ate'ati7ki %#e+i0)a. Nai'e, %&sta!/"a se %ita)"e *%#&9/e'- kak& 0a k&)k#eta) s/u7a")i &%it %#&!"e#iti i%&te0u & statisti7k&" sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a. N%#., 0a s/u7a")i %&kus 9a+a)"a )&!7ića &7eku"e se $a
*($"e "e ) A a%&s&/ut)a #ek!e)+i"a $&(aa"a A: $a
%a$)e %is'&-, )& s!at/"i! #e0u/tat %&)a!/"a)"a t&( &%ita "e $a )&!7ić
1 sta/)& %a$a )a %is'&, t". $a $a Q
S/i7)& '&e'& &7eki!ati $a
, i/i
u&%@te )e k&)!e#(i#a.
8euti', "&@ "e s/&e)i"i %#&9/e' statisti7ke sta9i/)&sti u se#i"a'a &%ita. T& "e &s)&!)i %#&9/e' u t&'e kak& )a7i)iti te se#i"e. Je$)a &$ '&(uć)&sti "e $a se &$"e$)&' )a7i)i !#/& !e/iki 9#&" &%ita %a $a se &)$a #e0u/tati #a09i"u )a se#i"e. N&, ak& u &90i# t#e9a u0eti s!e '&(uće se#i"e, &)$a se '&#a #a0'&t#iti i tak!a %&$"e/a k&$ k&"e u %#!u se#i"u u/a0e &)i &%iti k&$ k&"i se $&(aa" - $&(&$i&, a u $#u(u se#i"u &)i k&$ k&"i se - )i"e $&(&$i&. 3 t&' s/u7a"u, u %#!&" se#i"i #e/ati!)a #ek!e)+i"a "e 1, a u $#u(&" ?, %a )e'a (&!&#a & sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a. N&, u)at&7 'ate'ati7ke )e%#e+i0)&sti u &!&" $ei)i+i"i *"e#&!at)&će a %&ste#i&#i- 'ate'ati7a#i su us%"e/i %&'&ću )"e $&9iti )i0 !#i"e$)i i k&#is)i #e0u/tata. O!a $ei)i+i"a se k&#isti i $a/"e *kak& u statisti+i, &$)&s)& u 'ate'ati7ki' $is+i%/i)a'a k&"e k&#iste te&#i"u !"e#&!at)&će i statistiku, tak& i u ')&(i' %#i#&$)i', $#u@t!e)i' i te)i7ki' )auka'a- u s/u7a"e!i'a ka$a se )e '&e u%&t#i"e9iti vjerovatno&a a priori% 3 )a!e$e)&' %#i'"e#u 1. %#&!"e#e)a "e statisti7ka sta9i/)&st #e/ati!)i #ek!e)+i"a.
1>
#ri&jer 2. Nak&): N1>??, N>???, N;>???? i N 1???? 9a+a)"a, k&+ka "e %&ka0a/a 9#&">: 1 , =CB, ;=B i 1==;> %uta. Statisti7ke !"e#&!at)&će
(iAE,%%%,F$ $a"u !#i"e$)&sti
pEAG,EF, pHAG,EIJI G,EK, pL G,EKFEEKKKK G,EKF i pFAG,EKKELLLLL G,EKK
k&"e teHe 'ate'ati7k&" !"e#&!at)&ći
.
#ri&jer /. 9ulet (a$ "e &k#u(/a %&su$a k&"a "e sa u)ut#a@)"e st#a)e #a0$i"e/"e)a )a ;B %&/"a )u'e#isa)i &$ ? •
$& ;> &$ k&"i "e 1 %&/"a &9&"e)& +#!e)&, a 1 +#)& i "e$)& %&/"e )i"e &9&"e)&.c V"e#&!at)&ća a%#i&#i *'ate'ati7ka !"e#&!at)&ća- $a ku(/i+a %a$)e u +#!e)& %&/"e i0)&si 1<;B?,>=, $a %a$)e )a +#)& %&/"e i0)&si 1<;B?,>=, a )a )u/u 1<;B?,?B?;. 3 'a#tu 1=C;. (&$i)e u #onte "arlu ku(/i+a "e %a/a )a +#)& %&/"e ;=> %uta, )a +#!e)& %&/"e ;>? %uta, a )a )u/u, k&"a "e 9e09&")a, 1; %uta. I0#a7u)a"'& statisti7ku !"e#&!at)&ću.
O';ovor7 5#&" s!i '&(ući s/u7a"e!a i0)&si: );>?[;=>[ 1;=. V"e#&!at)&ća a %&ste#i&#i 0a +#)&, &$)&s)& +#!e)& i 9e09&")& %&/"e, i0)&si *#es%ekti!)&-:
Vi$i'& $a se #e0u/tati %#i/i7)& %&k/a%a"u sa &7eki!a)i' i ka$ 9is'& #e(ist#&!a/i !i@e i(a#a ti 9i se #e0u/tati "&@ !ise %#i9/ia!a/i. Na!o&ena7 K&$ 'a/&( 9#&"a &(/e$a '&(u se !"e#&!at)&će a %&ste#i&#i i a %#i&#i 0)at)& #a0/ik&!ati, %a "e ;an der >aerden $a& %&(&$)i"u &#'u/u 0a statisti7ku !"e#&!at)&ću p:
EL )dje je broj pojavljivanja jedno) do)a3aja A vezano) uz neki pokus, a . ukupan broj ponavljanja to)a pokusa% K&$ 'a)"e( 9#&"a %&kusa N &!a &#'u/a "e %&(&$)i"a )e(& %#!&9it)a *
-, "e# $a"e !#i"e$)&sti
9/ie /&(i7k&" !"e#&!at)&ći, a 0a !e/ike 9#&"e!e N s!&$i se )a ist&. 1.6. Još o prostoru elementarnih događaja (O prvom pogledu na teoriju vjerovatnoće, jednako mogući događaji, prostor uzoraka i vjerovatnoće događaja)
9ulet ima ;> 9#&"e!a, 0at i'
)u /u, a %&)eka$ i $!&st#uku )u/ u. Za s!aku 'a#ku sta!/"e)u )a 9#&" k&"i $&9i"a, i(#a7 $&9i"e ;C 'a#aka. 8euti', k#a")"e u%&#a) i(#a7 '&e sa'& $a i0(u9i )&!a+, "e # i'a ;C %#e'a ;B i/ i %#e'a ; @a)si $a $&9i"e. *Je$i)i si(u#)i $&9it)ik "e kasa <&#(a)i0at&# i(#e<, "e# &)a, )a $ui #&k, %#iku%/"a %#akti7)& C,Cb s!i u/&(a.-
1B
8 ovoj tački, a i nadalje u ovom po)lavlju, posmatra&emo stvarne ill zamišljene eksperimente i mo)u&e ishode tih eksperimenata (pokusa, o)leda, opita$% Svaki pokus koji &emo promatrati imat &e konacno mno)o ishoda, za koje &emo pretpostaviti da su svi jednako mo)u&i% 8 tački E%L% smo uveli pojam %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a, (koji se još zove, ponekad, i %#&st&# u0&#aka- i to opisno (intuitivno$ a i 1ormalno% .o, primijetimo da se prostor uzoraka, u matematičkoj terminolo)iji, može i ovako de1inisati: P#&st&# u0&#aka jedno) pokusa je skup M sa osobinom da postoji bijektivno preslikavanje skupa svih ishoda na skup M% Bilo koji podskup E prostora uzoraka M zove se $&(aa". 0ednočlani podskupovi skupa M zovu se e/e'e)ta'i $&(aa". Sada se i ranije uvedeni pojam vjerovatno&e do)a3aja može de1inisati na ovaj način: -ko je M prostor uzoraka (prostor elementarnih do)a3aja$ neko) pokusa koji ima konačno mno)o Je$)ak& '&(ući ishoda, onda je !"e#&!at)&ća *!"e#&!at)&st, !"e#&"at)&st- do)a3aja E, tj% podskupa N od M, simbolično P*E-, de1inisana sa
odnosno,
.
#ri&jer . .eka su bačene tri kocke% /olika je vjerovatnost daje broj koji se pojavi na svakoj od
tri kocke ! neparan broj Rje"enje7 7a prostor uzoraka Y. u ovom pokusu se može uzeti skup svih ure3enih trojki *i,",k,- prirodnih brojeva i,j,k O E,H,L,F,I, K=% tuda Y. ima K LAHEK elemenata% o)a3aj E, da broj koji se pojavi na svakoj od tri kocke bude neparan, sastoji se od svih trojki *i,",k- prirodnih brojeva izme3u E i K, takvih da su i,",k, svi neparni% tuda N ima LLAHQ elemenata, pa je #ri&jer 2. *P#&9/e' #&e)$a)a-: O$a9e#i'& # /"u$i i 0a9i/"ei'& )"i&!e $a)e #&e)"a,
9e0 %&$ataka & (&$i)i #&e)"a. O0)a7i'& $a)e u (&$i)i 9#&"e!i'a 1,,..., ;>C, )e u0i'a"ući u &90i# /"u$e #&e)e =. e9#ua#a %#estu%)e (&$i)e. Ta$a "e %#&st&# u0&#aka &!&( %&kusa: SQ *]1, ],..., ]# - :]1 Q E, H, %%%, LKI= za i E, H, %%%, r$,
koji ima LKIr elemenata% +ako se pokazuje daje vjerovatno&a do)a3aja N da najmanje dvoje od r odabranih ljudi ima ro3endan isto) dana, data sa
1 K&#isteći se /&(a#ita'ski' ta9/i+a'a i/i $e%)i' #a7u)a#i'a, /ak& se %#&!"e#i $a "e 0a #; u &!&' %#i'"e#u P(N$AG,IE% Na!o&ena. Neki $&(aa"i su ')&(& !"e#&!at)i"i )e(& @t& 9i se '&(/& !"e#&!ati. Ka$a se &ku%i C &s&9a, %&st&"i "e$)a @a)sa %#e'a $!i"e $a su $!i"e &$ )"i #&e)e ist&( $a)a u (&$i)i. O!& %&$u$a#a)"e "e sk&#& i0!"es)& ka$a se )a &ku%u )a/a0i >? &s&9a. *N%#., 0a ? /a)&!a rancuske akademije (nauka$, 0a9i/"ee)a su s/i"e$eća t#i %&$u$a#a)"a. Paster ;aleri!9ado i Pol #oran #&e)i su 1;. 'a"a, 9ene R) i Pjer Nmanuel #&e)i su ;. 'a"a, #arse l-šar i #arse l-rlan i'a"u ist& /i7)& i'e i #&e)i su ta7)& ist&( $a)a: C. "u/a 1==. (&$i)e.1
.<. Ne$e osnovne teore&e $lasine teorije vjerovatnoće
Teore&a . ;jerovatno&a zbira dva do)a3aja koji se me3usobno isključuju jednaka je zbiru
vjerovatno&a ovih do)a3aja, tj%
*1 P(-B$AP(-$P(B$ =o$a+. P&@t& se $&(aa"i - i B 'eus&9)& isk/"u7u"u t& )e'a e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i 9i ist&!#e'e)& #ea/i0&!a/i i $&(aa" - i $&(aa" B% Z9&( t&(a, ak& "e n uku%a) 9#&" s!i *'&(ućie/e'e)ta#)i $&(aa"a 0a )eki %&kus, m 9#&" e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i #ea/i0u"u $&(aa" - i % 9#&" e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i #ea/i0u"u $&(aa" B, &)$a "e 9#&" e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i #ea/i0u"u 09i# - B *u)i"u -!jB$ "e$)ak m p% Otu$a "e t#ae)a !"e#&!at)&ća "e$)aka
Na!o&ena7 3 &%@te' s/u7a"u ak& se -E , -H ,%%%, -n 'eus&9)& isk/"u7u"u, t". ak& !#i"e$i -i %%%
- " * a #a$i se & k&)a7)&' %#&st&#u e/e'e)ta#)i $&(aa"a, &)$a "e !"e#&!at)&ća &$ 09i#a *u)i"e- &!i $&(aa"a "e$)aka *Teore&a 2. Za $&(aa"e A i 5 *u k&)a7)&' %#&st&#u u0&#aka- !#i"e$i
*;D&ka0. Kak& "e *s/. 1.-
Teore&a /. -ko su - i B dva proizvoljna do)a3aja (u konačnom prostoru uzoraka$ onda je vjerovatno&a razlike tih do)a3aja data sa
P(-5B$AP(-$!P(- B$% =o$a+. O7i(/e$)& "e *s/. -:
1=
-A(-5B$ u (- B$, (-5B$ n (-!B$A A?P(-5B$AP(-$!P(- B$AP(-5B$AP(-$!P(- B$,š%t%d%
#oslje'i,a. Ak& "e
"e SI. .
1C =o$a+. Jas)& "e $a !#i"e$i *si. ;-:
B - A? BA- B, (BA- B$ h*- P (-5B$AP(-$ ! P(B$% Teore&a . -ko su - i B dva proizvoljna do)a3aja (u konačnom prostoru elementarnih do)a3aja$, ondaje vjerovatno&a zbira tih do)a3aja data sa
P(-B$AP(-$P(B$!P(- B$% =o$a+. Kak& "e *s/.:- -BA-(
-$,- (
-$A ,
t& )a &s)&!u Te&#e'e
1. s/i"e$i
P(- B$ AP(-$ P(B -$ A P(-$ P(B$ !P(- B$% Dei)i+i"a. Za sku% $&(aa"a -E , -H ,%%%, -n kae'& $a 7i)i potpun sistem do)a3aja (potpunu )rupu do)a3aja$ ak& se ti $&(aa"i 'eus&9)& isk/"u7u"u i ak& "e )"i&! 09i# "e$)ak si(u#)&' $&(aa"u, t".
SI. ;.
-!B
S/.:. *7est& se u0i'a $a su s!i -, #a0/i7iti &$ ?Teore&a :. -ko do)a3aji -E , -H ,%%%, -n čine potpun sistem do)a3aja, onda vrijedi
B5-
=o$a+. 5u$ući $a -,,%%%, -n 7i)e %&t%u) siste' $&(aa"a, t& "e )"i&! 09i# si(u#a) $&(aa" %a i'a'& $a "e
?
N&, kak& se $&(aa"i -,,%%%, -n 'eus&9)& isk/"u7u"u t& "e SI. C.
Dei)i+i"a. Za $!a $&(aa"a kae'& $a su su%#&t)i ak& &)i 7i)e %&t%u) siste' $&(aa"a. Su%#&ta) $&(aa" $&(aa"u - &0)a7a!at će'& sa i/i -< i/i )&) - i/i -c i/i +*A- i s/. *ka& @t& s'& i #a)i"e #ek/i-. N%#., ak& - &0)a7a!a %&(&$ak u 'etu &)$a &0)a7a!a %#&'a@a" *s/. C-. N&, su%#&ta) $&(aa" se '&e $ei)isati u s'is/u kak& s'& t& i #a)i"e u7i)i/i *t". suprotan do)a3aj do)a3aju - je do)a3aj u oznaci , koji se realizuje ako se ne desi $&(aa" A, &$)&s)& suprotan do)a3aj je do)a3aj koje) realizuju elementarni do)a3aji koji ne realizuju do)a3aj -$% Teore&a 9. V"e#&!at)&će su%#&t)&( $&(aa"a "e$)aka "e P * -12P*A-. =o$a+. O!& "e )e%&s#e$)a %&s/"e$i+a te&#e'e C. Nai'e, $ei)i+i"a $&(aa"a - i 7i)e %&t%u) siste' $&(aa"a, %a "e P (-$P( $AE%
#ri&jer. K#u)a 'eta %&$i"e/"e)a "e u t#i 0&)e: I, II, i III. P#i "e$)&'
(aa)"u !"e#&!at)&ća %&(&tka u %#!u 'etu *0&)u- "e ?,1C, a u $#u(u ?,; i u t#eću ?,1B. K&/ika "e !"e#&!at)&ća $a se 'eta )e %&(&$iL Rje"enje. O0)a7i'& sa - $&(aa" $a se 'eta %&(&$i, a sa $a se %#&'a@i. Neka "e Ai *i 1,,;- $&(aa" $a se %&(&$i i2ta 0&)a *s/.>-. Kak& se S/.>. $&(aa"i -E , -H , i -L isk/"u7u"u 'eus&9)&, t& "e -A-E-H-L , -i T - jA
1> *i "-, &$ak/e "e P(-$AP(-E $P(-H $P(-L $AG,EIG,HLG,EQAG,II%% Otu$a "e P* - /2P*A- 12 ?,CC?,C, *Cb-.
Na!o&ena. Ra0'&t#i'& )a!e$e)e #e0u/tate *u &!&" ta7ki- sa sku%&!)&2te&#etsk&( as%ekta. 3 t&' s'is/u %#et%&sta!i'& $a "e Y k&)a7a) sku% i $a "e 0a s!aki %&$sku% N &$ Y, t". 0a s!aki
, ($"e "e *Y-
%a#titi!)i sku% sku%a Y, !"e#&!at)&ća &$ N si'9&/i7)& P(N$ $ei)isa)a &#'u/&'
($"e su
k*E- i k*Y- 9#&"e!i e/e'e)ata sku%&!a E i Y, #es%ekti!)&.
Ta$a !#i"e$e s/i"e$eće $!i"e te&#e'e.
!
Teorema A.
P E% (normalnost, normiranost$: P(M$AE% PH%(nene)ativnost$:P(N$ G za svaki N (M$% PL% (aditivnost$:P(N $AP(N$P($ ako su N i isključivi podskupovi od M% =o$a+. PE je &7it&, 9u$ući $a "e P*Y-
1
P "e tak&e# &7it&, "e# "e
s!aki E i0
Ak& su N i isk/"u7i!i %&$sku%&!i &$ Y, &)$a "e "as)& k(N $Ak(N$k($, %a "e
Ti'e "e te&#e'a A $&ka0a)a. Teore&a 8.
a-P*
?.
9-Ak& su E,F +- Za s!ak& N $- Za s!ak& E
*Y? P*E- /. , P* -1 2 P*E-, ($"e "e
YE *k&'%k'e)t &$E-.
e$ 7a svaki N
,P(N $AP(N$P($ !P(N $
1$ 7a svaki N
, P(N $AP(N$P(
%$(- Za s!aki ) sku%&!a E1,E,...,E) k&"i %#i%a$a"u a'i/i"i =o$a+. S!e &s&9i)e a- 2 (- '&(u se $&ka0ati sa'& )a &s)&!u &s&9i)a P E!PL% I0 te&#e'e -
*a, )a#a!)&, '&(u se $&ka0ati i $i#ekt)& )a &s)&!u $ei)i+i"e !"e#&!at)&će )eke &$ ti &s&9i)a s'& !eć $&ka0a/i i u %#et&$)i' te&#e'a'a-. Dak/e, u)k+i"a P : *R2sku% s!i #ea/)i 9#&"e!a-, $ei)isa)a (&#e is%#e$ te&#e'e A, i'a )e sa'& &s&9i)e PE ! P L% !eć i &s&9i)e )a!e$e)e u te&#e'i 5. A &tu$a s!aka u)k+i"a : k&"a i'a &s&9i)e P 1. 2 P ;. tak&e# 0a$&!&/"a!a i &s&9i)e a-2(- u te&#e'i 5. a- Neka "e NA i A % O)$a su N i Fisk/"u7i!i "e# "e N A % Zat& i0 P L% s/i"e$i $a "e . Otu$a P( $AHP( $ %a kak& P(N $AP(N$P($, t". P( $AP( $P( $, "e# "e "e P #ea/)a u)k+i"a, t& '&e !#i"e$iti sa'& ak& "e P( $AG% 9- S/i"e$i i0 P i P., "e# "e E F,
a E i F E isk/"u7i!i.
+- Za s!aki N "e . I0 &s&9i)e 9- s/i"e$i %#e'a P1, P(M$ A E i %#e'a $&ka0a)&" &s&9i)i a-, P( $AG, t& i'a'& ? P(N$ 1.
% Kak& "e
1B Otu$a i0 PL s/i"e$i $a "e PM$AP(N
$AP(N$P( $, %a i0 P1i'a'&
EAP(N$SP( $,tj%P( $AE!P(N
%$
e- Neka su E,F *Y-. )$a "e N A N (5N$, ($"e su N i N $is"u)kt)i *s/. B-. P#e'a P L "e P(N (5N$$ AP(N$ P( N$, t".
P(N $AP(N$P(5N
%$*c-
S $#u(e st#a)e, kak& "e &7i(/e$)& *a @t& se /ak& i $&kae A( N$ (N $ i A(5N$ (N $, t& P; %&!/a7i
*ccI0 *c- i *cc- s/i"e$i P(N $ AP(N$ P($ ! P(N $% @.t.$. SI. B. - O!a &s&9i)a s/i"e$i &$'a i0 $&ka0a)e &s&9i)e e- ak& se isk&#isti $a "e P(N $ ? %#e'a P($AP( N$P(N
%$ PL%
(- O!a &s&9i)a $&ka0u"e se 'et&$&' 'ate'ati7ke i)$uk+i"e, k&#isteći $a "e &s&9i)a ta7)a 0a ) %#e'a -. Nai'e, i0 %#et%&sta!ke $a "e t!#$)"a ta7)a 0a s!aki k sku%&!a N E , N H ,%%%, N k , *Y-, &)$a, )a &s)&!u -, 0a s!aki k 1 sku%&!a i0 *Y- : N lC N H ,%%%,N k !#i"e$i
Na &s)&!u %#i)+i%a 'ate'ati7ke i)$uk+i"e, 0ak/"u7u"e'& $a (- !#i"e$i 0a s!e ) *)eN-. 1.3. Nezai&ni do*a+aji. 4%)tip)i'atina teorema % &)%čaj% 'ad &% do*a+aji nezai&ni
Za $!a $&(aa"a - i B, k&"i )astu%a"u "e$)&!#e'e)& *i/i "e$a) i0a $#u(&(- ka0at će'& $a su nezavisni ak& )astu%a)"e $&(aa"a - )e 0a!isi &$ t&(a $a /i se &$i(#a& $&(aa" B i &9#at)&, )astu%a)"e B )e 0a!isi &$ t&(a $a /i se &$i(#a& $&(aa" -% P&/a0eći &$ &!e &%is)e *i)tuiti!)e$ei)i+i"e )e0a!is)i $&(aa"a /ak& se $&ka0u"e s/i"e$eća te&#e'a: Teore&a . ;jerovatno&a do)a3aja koji se sastoji u zajedničkom nastupanju dva me3usobno nezavisna do)a3aja jednaka je proizvodu vjerovatno&a svako) do)a3aja posebno% =o$a+. P#et%&sta!i'& $a su - i 5 )e0a!is)i $&(aa"i *u0'i'& )%#. !"e#&!at)&ću a %#i&#i-. 3 kate(&#i"i &(/e$a *%&kusa, &%ita, eks%e#i'e)ta- 'eu 7i"i' #e0u/tati'a se %&"a!/"u"e $&(aa" A )eka i'a s!e(a m '&(uć)&sti *'&(ući s/u7a"e!a- &$ k&"i k %&!&/")i 0a - i u kate(&#i"i &(/e$a 'eu 7i"i' #e0u/tati'a $&/a0i $&(aa" B )eka i'a s!e(a ) '&(ući s/u7a"e!a &$ k&"i l %&!&/")i 0a 5. P#i i0!&e)"u %#!e i $#u(e kate(&#i"e &(/e$a s!aki '&(ući s/u7a" %#!e kate(&#i"e '&He $a )astu%i sa s!aki' '&(ući' s/u7a"e' $#u(e kate(&#i"e. Dak/e, u &(/e$i'a 'eu 7i"i' #e0u/tati'a $&/a0i $&(aa" -UB *$&(aa" - B, &$)&s)& u sku%&!)&" )&ta+i"i, - B$ i'a s!e(a m n '&(ući s/u7a"e!a. Kak& s!aki s/u7a" %&!&/"a) 0a - sa s!aki' s/u7a"e' %&!&/")i' 0a B $a"e s/u7a" 0a %&!&/"a) - B% P#e'a t&'e "e *0a t0!. $&(aa" *di2iJ-:
;
EV Na!o&ena. 6eorema E% se može proširiti na do)a3aj koji se sastoji u simultanom nastupanju više nezavisnih do)a3aja (za konačno mno)o$:
*D&ka0u"e se a)a/&()&-.
/ao što smo ranije rekli, do)a3aji kad nastupaju istovremeno ili sukcesivno dva ili više prostih do)a3aja zove se s/&He)i $&(aa". Posljedica% Neka su !"e#&!at)&će )e0a!is)i $&(aa"a A i 5 : % i , #es%ekti!)&. Ta$a"e !"e#&!at)&ća:
a- $a se&9a $&(aa"a $ese si'u/ta)&. ................................................ %2 9- $a se )e $esi )i "e$a) $&(aa"......................................................... *12%- *12- +- $a će se $esiti A a )eće 5... ............................................................... % */2-
$- $a će se $esiti 5 a )eće A..... .......................................................... ... */2%- e- $a se 9a# "e$a) &$ )"i )eće $esiti. .................................................. 12% - $a će se 9a# "e$a) &$ )"i $esiti. ...... ................................................. /2*/2%- *12- (- $a $&(aa" A)astu%i s!aki %ut u k u0astu%)i &(/e$a .................. % k - $ a u k u0ast&%)i &(/e$a $&(aa" A )e )astu%i )i "e$)&' .......... % k */2%-k i- $a $&(aa" u k %&kusa )astu%i 9a# "e$a)%ut......... .......................... 12*12%- k (ona je suprotna vjerovatno&i da do)a3aj A ne nastupi nijednom
%$#ri&jer. E% /oliko puta moramo baciti kocku da možemo sa vjerovatno&om H4L očekivati da &e se bar jednom pojaviti brojI
Rje"enje . 8&He'& ka0ati $a "e %&t#e9)& > %uta 9a+iti k&+ku $a 9is'& s !"e#&!at)&ć&' <; &7eki!a/i $a 9a# "e$)&' $&9i"e'& 9#&" C.
#ri&jer 2. ;jerovatno&a neko) do)a3aja je %. /oliko puta treba ponoviti o)led pa da vjerovatno&a da taj do)adaj nastupi bude jednaka L Rje"enje.
3'"est& )a!e$e)&( i)tuiti!)&( %#istu%a %&"'u )e0a!is)i $&(aa"a *ka& $&(aa"a k&"i u )e&#'a/)&', s!ak&$)e!)&' "e0iku- &0)a7a!a"u $&(aa"e k&"i "e$a) sa $#u(i' )e'a"u )i@ta 0a"e$)i7k&, &$)&s)& $&(aa"a k&$ k&"i %&"a!a "e$)&( &$ )"i )e 'i"e)"a !"e#&!at)&ću %&"a!e &)&( $#u(&(-, i'a'& i &!a" *&#'a/)i- %#istu%: =eini,ija. /ažemo da su dva do)a3aja A i 5 )e0a!is)i ako vrijedi
P*A 5-P*A- P*5-.
Rz ove de1inicije slijedi da ako je , )dje je Mkonačan (ili prebrojiv$ prostor elementarnih do)a3aja, takav da je P *A-?, onda su A i B nezavisni do)a3aji za svako 5 Y. 6akoder, M i Bsu nezavisni do)a3aji za svako B % Teore&a 2. Ak& su A i 5 )e0a!is)i $&(aa"i, &)$a su s/i"e$eći %a#&!i $&(aa"a takee#
)e0a!is)i.
1= i-A i 5
ii-A i 5 iii- A i 5 =o$a+. 1 D&(aa"i - B i - B< *s/. - su isk/"u7i!i *"e# W - B i'%/i+i#a W B tak& $a W B< i &tu$a W - B<$% P&kai'& $a "e (- B$ (- B<$ A -% Da 9is'& &!& u&7i/i, %#et%&sta!i'& $a "e W -% O)$a "e W B i/i W B< tak& $a "e W - B i/i W A 5 %a "e, )a#a!)& W *A *A -. Dak/e, 0a s!ak& W - 0ak/"u7u"e'& $a "e W (- B$ (- B<$, t". - + *Ajij- u *A!l?. O9#at)&, ak& "e W e *Aj u *A2j? &)$a "e "as)& W A Dak/e, *A !L-
*A 5i &tu$a A (- B *A 5-. Ski+i#a"'& &$(&!a#a"uću s/iku * ;enovK dija)ram$X I0 &s&9i)e a$iti!)&sti *&$)&s)&, i0 P ;- i'a'& P(-$AP(- B$P(- B<$, B
&$ak/e, 9u$ući $a su - i 5 )e0a!is)i, P *A- P*A- P*5- [ P*A 5- i/i P*A 5- P*A- *12P*5-- P*A- P*5-, t". $&(aa"i - i B
JOHN VENN *1 ;21 =;- 2 e)(/eski /&(i7a#. A363ST3S DE 8OR6AN *1 O>21 B 1 - 2 e)(/eski 'ate'ati7a# i /&(i7a#.
C
s/i"e$i: P(- B$AP(-$ P(B$% Tak&e#, i0"a!a iii- se '&e i )e%&s#e$)& $&ka0ati k&#isteći t0!. de #or)anoveH zakone 0a $&(aa"e: *A 5- *A 5- *i/i m -, *A 5- *A 5- *i/i [ -, k&"i se /ak& $&ka0u"u *ka& i 0a sku%&!e, a '&(u se s'at#ati i %&0)ati' u sk/a$u sa #a)i"e #e7e)&' & a)a/&(i"i i0'eu a/(e9#e $&(aa"a i a/(e9#e sku%&!a-. Teore&a /. -ko su do)a3aji - i B nezavisni, P(-$?G i P(B$?G, onda se oni me3usobno ne isključuju% =o$a+. P#et%&sta!i'& su%#&t)&, t". %#et%&sta!i'& $a se $&(aa"i - i B isk/"u7u"u. Ta$a "e )"i&! %#&i0!&$ *%#es"ek- "e$)ak )e'&(uće' $&(aa"u: - BA , %a i'a'& P (- B$AG% N&, 9u$ući $a su - i B )e0a!is)i $&(aa"i t& i'a'& $a "e P(- B$AP(-$ P(B$, %a 9i $&9i/i $a "e P(-$ P(B$AG, t". P(-$AG i/i P(B$AG, a &!& "e su%#&t)& %#et%&sta!+i te&#e'e.
#ri&jer. Ra7u)a#ska 'a@i)a sast&"i se i0 )29/&k&!a %&u0$a)&sti, t". !"e#&!at)&ća #a$a 9e0 k!a#a u t&ku #a$a, pE pH ,%%%, pn% 5/&k&!i se k!a#e )e0a!is)& "e$a) &$ $#u(&(. Ak& se %&k!a#i 9i/& k&"i 9/&k %&k!a#i se i +i"e/a 'a@i)a. Naći !"e#&!at)&ću $a se 'a@i)a %&k!a#i u t&ku !#e'e)a t. Rje"enje. Neka Ai, &0)a7a!a $&(aa" $a 9/&k i #a$i u t&ku !#'e)a t *i 1,,...,)-. Ta$a "e m * i 1,,...,)-. D&(aa" - $a 'a@i)a #a$i u t&ku !#e'e)a t "e : -A-l !-H!%%%!-n% N"e(&!a P(- $Ap, i
? !"e#&!at)&ća "e
P*A-P*A1- P*A-.....P*A)-
%a "e t#ae)a !"e#&!at)&ća $ata sa P( $A E!P(-$A 3 &!&' s'& %#i'"e#u %#i'i"e)i/i *)a%&'e)u %&s/i"e te&#e'e 1.- &#'u/u 0a !"e#&!at)&ću %#&i0!&$a *%#es"eka- k&)a7)& ')&(& )e0a!is)i $&(aa"a k&"a se '&e $&ka0ati %&/a0eći &$ i)tuiti!)e $ei)i+i"e )e0a!is)&sti !i@e $&(aa"a. N&, 'i će'& u%#a!& tu &#'u/u isk&#istiti 0a &#'a/)u $ei)i+i"u )e0a!is)&sti !i@e $&(aa"a, t". $a"e'& s/i"e$eću $ei)i+i"u: =eini,ija. Kae'& $a su $&(aa"i -E , , -H ,%%%, -n (n - nezavisni *$a "e a'i/i"a (- ,! i : iAE%H,%%%,n$ 1amilija nezavisnih do)a3aja$, ak& ,,pravilo množenja2 !#i"e$i 0a s!e k&'9i)a+i"e &$ $!a i/i !i@e $&(aa"a, t". ak& "e
0a s!aki %&$sku% #a0/i7iti i)$eksa iE , iH ,%%%, ik Q/, , %%%, n=, ($"e"e k H% *3'"est&: ,,#a0/i7iti i)$eksa , i1,i,...,i) '&e se #eći ,,i)$eksi S/"e$eći %#i'"e# %&ka0u"e $a "e$)a a'i/i"a $&(aa"a )e '&#a 9iti )e0a!is)a, 7ak iak& "e s!aki %a# $&(aa"a u a'i/i"i )e0a!isa). #ri&jer. Neka"e YQ1, , ;, %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a *"e$)ak& '&(ući- A 1 Q1, AQ,iA;Q;,.Ta$a "e
t". A1, i -H su )e0a!is)i $&(aa"i. S/i7)& se %&ka0u"e $a "e i s!aki &$ %a#&!a A 1 i A;, -H i -L )e0a!isa). 8euti', kak& "e t& a'i/i"a $&(aa"a A 1,A i A; )i"e )e0a!is)a. >
1.5. U&)ona re)atina2 jeroatno!a. 4%)tip)i'atina teorema % &)%čaj% 'ada &% do*a+aji zai&ni
Gest& u %#akti7)i' 0a$a+i'a $&/a0i'& u situa+i"u $a t#ai'& !"e#&!at)&ću )ek&( $&(aa"a 0)a"u7i i/i %#et%&sta!/"a"ući $a se $esi& $&(aa" B% Dak/e, !"e#&!at)&ća )astu%a)"a $&(a$a"a A '&e $a 0a!isi &$ t&(a $a /i se $esi& i/i )i"e $&(aa" B, ka& i &9#at)&, !"e#&!at)&ća &$ B '&e $a 0a!isi &$ #ea/i0a+i"e $&(aa"a -% V"e#&!at)&ću $&(aa)"a - k&"u #aću)a'& %&$ us/&!&' $a se $esi& $&(aa" B )a0i!a'& uslovnom i/i relativnom (kondicionalnom, &!e $& sa$a su 9i/e apsolutne i/i neuslovne !"e#&!at)&će- vjerovatno&om i &0)a7a!a'& )a"7e@će sa P (- 5 B$ i/i P B (-$% *K&$ us/&!)e !"e#&!at)&će P B (-$ $&(aa" B '&#a %#e$&$iti $a )asta)e $&(aa" -, a/i '&e $a 9u$e )e0a!isa).- Sa P(B5-$ &$)&s)& P -(B$ &0)a7a!a'& us/&!)u !"e#&!at)&ću $&(aa"a B u &$)&su )a $&(aa" -% P&/a0eći &$ )a!e$e)e &%is)e $ei)i+i"e *u k/asi7)&" !"e#&!at)&ći- %&"'a us/&!)e !"e#&!at)&će, $&ka0u"e se $a 0a us/&!)u !"e#&!at)&ću !#i"e$i #e/a+i"a $ata s/"e$eć&' te&#e'&': Teore&a . ;jerovatno&a da se jednovremeno dese dva zavisna do)a3aja jednaka je proizvodu vjerovatno&e jedno) do)a3aja i vjerovatno&e dru)o) do)a3aja u odnosu na prvi:
1 P(-B$AP(-$ P(B5-$AP(-5B$ P(B$,
(E$
odnosno ,
(P(-$?G,P(B$?G$,()dje(-B$A(-UB$A(i - i B$A(- B$ označava nastajanje do)a3aja - i do)a3aja B pošto se desio - ili obratno$% =o$a+. Neka se u n &(/e$a $&(aa" - #ea/i0u"e k %uta. Ta$a "e P(-$ A k4n i )eka se u k
&!i s/u7a"e!a i $&(aa" 5 $esi # %uta *&!$"e $&(aa" - i(#a u/&(u si(u#)&( $&(aa"a-. Otu$a "e P(B5-$ A r4k% 8euti', !"e#&!at)&ća $a se $esi - i 5 "e P (- B$ A r4k , %&@t& se - i B &$i(#a!a"u u n &(/e$a s!e(a # %uta. Kak& "e
, t& i'a'& P(-B$AP(-$ P(B5-$% A)a/&()& se $&kae $a "e
i P(-B$ A P(B$ P(- 5 B$% Ti'e "e te&#e'a 1. i $&ka0a)a. O!a te&#e'a, &$)&s)& #e/a+i"a *1- "e %&0)ata %&$ i'e)&' teorema o proizvodu dva do)a3aja *&$)&s)&, multiplikaciona teorema u slučaju kad su do)a3aji zavisni$ % #ri&je'>a . P#a!i/& *1- se '&e %#&@i#iti )a $&(aa" -B" ili u&%@te -E , -H %%% -k , Nai'e, !"e#&!at)&ća $a će se ist&!#e'e)& $esiti $&(aa" (-B$ i ("$ 9iće P(-B"$ A P(-B$ P("5 -B$ A P(-$ P(B 5 -$ P("5 -B$% #ri&je'>a 2. Rz P(-B$AP(-$P(B$!P(-B$ i
*1- $&9i"a'a& )e%&s#e$)& &%@ti &9#a0a+ 0a t&ta/)u !"e#&!at)&ću 0a $&(aa"e k&"i )isu )e0a!is)i:
B
P(- B$ A P(-$ P(B$ ! P(-$ P(B5 -$ A P(- ili 4 i B$, &$)&s)& P(- B$ P(-$ P(B$ ! P (B$ P (- B$ A P (- ili 4 i B$% #ri&jer. 5a+a"u se k&+ke. K&/ika "e !"e#&!at)&ća $a će i/i 09i# 9iti > i// %#&i0!&$ L Rje"enje. R način% P&!&/")i s/u7a"e!i 0a 09i# > *$&(aa"a -$ su: 1,C , ;,; , C,1, a 0a $&(aa" B, $a će %#&i0!&$ 9iti , su: , ,. Zat& "e P(-$ A C<;>, P*5- <;>, P(B5 -$ A
t#ae)a !"e#&!at)&ća RR način% P#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a "e YQ*i,"- : i," Q/, ..., >,a &$(&!a#a"ući $&(aa", u &0)a+i N, "e NA Q*1,C-, *,-, *;,;-, *,-, *C,1- %a i'a'& P(N$ A C<;>. A)a/&()&, ka& i u s/u7a"u )e0a!is)i $&(aa"a, %&"a' us/&!)e !"e#&!at)&će u!&$i se i &#'a/)& *u &%@t&" te&#i"i !"e#&!at)&će- i t& u%#a!& tak& @t& se #e/a+i"a *1- u te&#e'i 1. u0i'a %& $ei)i+i"i t". i'a'&: =eini,ija. Neka "e Y %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a i A Y taka! $a "e P(-$?M% 5#&" P(B5-$, $at sa P(B5-$AP(-B$4P(-$ 0&!e'& uslovna (uvjetna$ vjerovatno&a (vjerojatnost$ &$ 5 u0 uslov (uvjet$ da se - do)odio ili kra&e, (uslovna$ vjerovatno&a od B uz uslov -% P#i'i"eti'& $a "e P(-5-$AE, P(B5-$AG ak& - BA , P(BE5-$AP(BH5-$ ak& "e - BEA BH% Teore&a 2. .eka su - i B do)a3aji pozitivnih vjerovatno&a, tj% P(-$?G i P(B$?G% 6ada su do)a3aji - i B nezavisni ako i samo ako je P(- 5 B$ A P(-$ i P(B5 -$ A P(B$% =o$a+. 1 P#et%&sta!i'& $a su $&(aa"i - i 5 )e0a!is)i. Ta$a "e P(- B$ A P(-$ P(B$, %a &tu$a
O9#at)&, %#et%&sta!i'& $a "e P(- 5 B$ ! P(-$% Ta$a "e
t", P(- B$ A P(-$ P(B$, &$ak/e s/i"e$i $a su $&(aa"i - i 5 )e0a!is)i, 7i'e "e te&#e'a . $&ka0a)a. I0 te&#e'e . s/i"e$i $a se )e0a!is)&st $&(aa"a '&e $ei)isati i tak& $a se kae $a su $!a $&(aa"a - i B )e0a!is)a ak& !#i"e$i P(B5-$AP(B$iP(-5B$AP(-$,
t". ak& su a%s&/ut)e !"e#&!at)&+e "e$)ake )"i&!i' us/&!)i' !"e#&!at)&ća'a. Ak& "e P(B5 -$ P(B$, &)$a kae'& $a i0'eu - i 5 %&st&"i st&asti7ka 0a!is)&st. #ri&jer. Naći !"e#&!at)&ću $a %a$)e 9#&" C %#i/ik&' 9a+a)"a k&+ke, ak& se 0)a $a "e %a& )e%a#)i 9#&". Rje"enje. Neka "e - $&(aa" $a %a$)e 9#&" C, t". - A QC, a 5 $&(aa" $a "e %a& )e%a#a) 9#&", t". B A O R , ;, C . Ta$a "e us/&!)a !"e#&!at)&ća P(- 5 5- "e$)aka:
P(-5B$A
.
Kak& "e P*A- , t& su - i B 0a!is)i $&(aa"i.
1.16. 7orm%)a tota)ne potp%ne2 jeroatno!e Teore&a . ;jerovatno&a do)a3aja B koji može nastupiti samo pod uslovom pojave
potpuno) sistema do)a3aja -E , -H , %%%, -n , jednakaje sumi proizvoda vjerovatno&a svako) do)a3aja -i uslovnih vjerovatno&a do)a3aja B, tj%
=o$a+. P#et%&sta!i'& $a su %#i/ik&' i0!&e)"a )ek&( &%ita $&(aa"i -E -H %%%, -n 7i)e
%&t%u) siste' $&(aa"a *u k&)a7)&' %#&st&#u u0&#aka-, t". %#et%&sta!i'& $a '&(u )astu%iti $&(aa"i -E , -H , %%%, A) "e$a) 0a $#u(i', k&"i se 'eus&9)& isk/"u7u"u i 7i"a "e su'a !"e#&!at)&ća
P&s'at#a"'& %#&i0!&/")i $&(aa" k&"i se '&e $esiti %#i/ik&' &%ita *i/i, 'ate'ati7ki #e7e)&, $&(aa" k&"i se &$i(#a )a ist&' %#&st&#u e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y-.
Kak& $&(aa"i -E , -H , %%%, -n 7i)e %&t%u) siste' $&(aa"a, t& se $ *s/. =.- '&e $&(&$iti u k&'9i)a+i"i $&(aa"a (-i B$, t". $&(aa" B(B
Kak& se $&(aa"i -i (i A 1, , ..., n$ 'eus&9)& isk/"u7u"u, i k&'9i)&!a)i $&(aa"i -i !B 'eus&9)& se isk/"u7u"u, te '&e'& %#i'i"e)iti a$i+i&)u te&#e'u 0a $&(aa"e k&"i se 'eus&9)& isk/"u7u"u *te&#e'u & 09i#u !"e#&!at)&ća-:
;
&$ak/e, )a &s)&!u te&#e'e & %#&i0!&$u !"e#&!at)&ća *'u/ti%/ika+i&)e te&#e'e 0a 0a!is)e $&(aa"e-, i'a'& $a "e =
O!a &#'u/a %&0)ata "e %&$ i'e)&' 1ormula totalne ili potpune *i/i pune- vjerovatno&e i %#i'"e)"u"e se
A/
!#/& 7est&.
Na!o&ena . V"e#&!at)&će P(-$ &9i7)& su %&0)ate u)a%#i"e$ *%#i"e i0!&e)"a &%ita-, %a se
09&( t&(a )a0i!a"u a%#i&#)i' !"e#&!at)&ća'a a sa'i $&(aa"i -, *k&"i se 7est& &0)a7a!a"u sa '$ &9i7)& )a0i!a"u se nhipoteze2 % Hi%&te0e se u0a"a')& isk/"u7u"u a "e$)a 'eu )"i'a '&#a se $&(&$iti. #ri&jer . P&st&"e ; )ai0(/e$ %&t%u)& iste kuti"e. 3 %#!&" kuti"i se )a/a0e 9i"e/e i 1 +#)a ku(/i+a, u $#u(&" se )a/a0e ; 9i"e/e i 1 +#)a $&k u t#eć&" se )a/a0e 9i"e/e i +#)e ku(/i+e. Ak& se )a s#eću i0a9e#e "e$)a kuti"a i i0 )"e se i0u7e "e$)a ku(/i+a, )aći !"e#&!at)&ću $a se i0!u7e 9i"e/a ku(/i+a. Rje"enje. Neka "e A $&(aa" $a i0!u7e)a ku(/i+a 9u$e 9i"e/e 9&"e, a ' i (i ! 1,,;- $&(aa" $a "e i0a9#a)a i ! ta kuti"a. O!i $&(aa"i ' E , ' H ' L se 'eus&9)& isk/"u7u"u i )"i&!e *a%#i&#)e!"e#&!at)&će su: P(' E ,$ A P(' H $ A P(' L $ A 1<;. R način% 3s/&!)e !"e#&!at)&će $&(aa"a A su us/&! $a se $esi& $&(aa" ' i (i A 1 ,,;- su: P(- 5 ' E $ A <;, P*A H- ;<, P(- 5 ' L $ A < 1<.
P#i'"e)&' &#'u/e %&t%u)e !"e#&!at)&će, $&9i"a'&
P(-$ A P(' E $ P(- W ' E $ P(' H $ P(- W ' H $ P(' L $ P(- WH;- RR način% O!a" 0a$atak '&e'& #i"e@iti i )a $#u(i )a+i): k&#isteći kombinatoriku, &$)&s)& k&#isteći "e$a) &$ )"e)i '&$e#)i %#a!a+a ist#ai!a)"a: teoriju )ra1ova%
Nai'e, u &!&' s/u7a"u '&e'& )a+#tati )ra1 do)a3aja ka& )a s/i. 1?. Nas i)te#esu"e $&(aa" - ka$a "e i0!u7e)a 9i"e/a ku(/i+a, %a sa (#aa i'a'& P
;?
S1.1?. .. 8a?esova or&)la
I0 &#'u/e %&t%u)e !"e#&!at)&će i te&#e'e ')&e)"a !"e#&!at)&ća, $&9i"e se "e$a) te&#e' & us/&!)&" !"e#&!at)&ći %&0)at %&$ i'e)&' Beesovo pravilo i/i Beesov teorem, a k&"e( "e $&ka0a& THO8AS 5AnES u MVIII!i"eku *1B>. (&$i)e-. Teore&a . *5aes&!a &#'u/a-. .eka je (' ,i i AE,H,%%%,n$ potpun sistem do)a3aja (u konačnom prostoru uzoraka M$ i takav da je P(-$?G% 6ada za svako i vrijedi
=o$a+. P#et%&sta!i'& $a "e - )eki $&(aa" k&"i )astu%a ak& )astu%i 9i/& k&"i &$ $&(aa"a
H1, H ..., H) *%&0iti!)i "e#&!at)&ća- k&"i se %& $!a 'eus&9)& isk/"u7u"u i 7i"i "e 09i#
Na &s)&!u te&#e'e ')&e)"a i'a'&. &$ak/e $&9i"e'& L
*
Ak& i0#a0i'& P(-$ &#'u/&' %&t%u)e !"e#&!at)&će $&9i"e'& Ti'e "e te&#e'a 1 $&ka0a)a. Na!o&ena . 5aes&!a &#'u/a i'a !e/iku !a)&st, "e# &)a $a"e !"e#&!at)&ću i%&te0e *i%&te0e ', se "&@ 0&!u i uzroci do)a3aja -$, ak& 0)a'& $a se $&(&$i& )eki $&(aa", t". )"e)&' %#i'"e)&' '&e'& is%iti!ati k&"u !"e#&!at)&ću '&e'& %#i%isati i%&te0i & sta)&!it&' u0#&ku. O)a se 7est& i)te#%#eti#a )a s/"e$eći )aći): P#et%&sta!i'& $a se !#@i )eki naučni opit i $a )a %&7etku i'a'& ) i%&te0u ' E , ' H %%%, ' n & ka#akte#u %&"a!e k&"u %#&u7a!a'&, %#i 7e'u i%&te0a'a ', %#i$#uu"e'& !"e#&!at)&st P(' $i *i 1,,. ..,)-. P&s/i"e i0!#@e)&( &%ita 2 ak& se ka& )"e(&! #e0u/tat $&(&$i& $&(aa" A 2 'i 'i"e)"a'& s!&"e u!"e#e)"a & is%#a!)&sti i%&te0a i %#i$#uu"e'& i' !"e#&!at)&će P('!5-$ (jA 1,,..., n$% Sa$a %&)a!/"a'& &%it $&t/e $&k 0a "e$a) #e0u/tat 5 i 0a )ek& i? )e $&9i"e'& P( 5B$AE i/i P( 5B$ E% Ta$a i%&te0u ', '&e'& s'at#ati is%#a!)&'.
O!a i)te#%#eta+i"a 5aes&!e &#'u/e i'a s/a9&sti u t&'e @t& )e $a"e )a7i) kak& $a se &$#e$e %&7et)e !"e#&!at)&će i%&te0a P('$% N&, &)a se i%ak u )eki' s/u7a"e!i'a '&e !#/& k&#is)& %#i'i"e)iti *ka& )%#., u 'e$i+i)sk&" $i"a()&sti+i-. Ni"e te@k& )a!esti %#i'"e#e k&"i i/ust#i#a"u te@k&će *9e0 &90i#a @t& )e'a &#'a/)e s'et)"e 0a %#i'"e)u- %#i %#akti7)&" %#i'"e)i Baesove 1ormule, t". ($"e )i"e '&(uće $i#ekt)& %#i'i"e)iti tu &#'u/u, !eć su, ka& i %#i/ik&' $i#ekt)e %#i'"e)e )eki $#u(i !"e#&!at)&s)i 'et&$a 0a $&9i"a)"e k&#is)i #e0u/tata, %&t#e9)e ')&(e $&$at)e )et#i!i"a/)e %#et%&sta!ke. #ri&jer . Neka se )a )ek&" k/i)i+i /i"e7e 9&/es)i+i &$ k&"i s!aki '&e i'ati "e$)u &$ 9&/esti ' E ,' H , %%%, ' n% 3&7i'& "e$)&( 9&/es)ika i )eka "e k&$ )"e(a, %&s/i"e %#e(/e$a usta)&!/"e) sku% ;1
si'%t&'a. P#et%&sta!i'& $a su )a k/i)i+i t&k&' )"e)a #a$a 9i/"ee)i statisti7ki %&$a+i & 9#&"u 9&/es)ika &$ 9&/esti ' i (i A E,H,%%%,n$ tak& $a i0 ti %&$ataka '&e'& i0#a7u)ati *k&#isteći k/asi7)u $ei)i+i"u !"e#&!at)&će a %&ste&#i 2 statisti7ku $ei)i+i"u !"e#&!at)&će- P(' $i i P(- 5' $% i P#i t&'e "e P(' $i #e/ati!)a #ek!e)+i"a 9&/esti ' ,i 'eu s!i' 9&/es)i+i'a /i"e7e)i' )a k/i)i+i, a P(- 5' $i "e #e/ati!)a #ek!e)+i"a usta)&!/"a!a)"a sku%a si'%t&'a - 'eu &)i' 9&/es)i+i'a k&"i su i'a/i 9&/est 'j% O!$"e sa$a )e'a'& &#'a/)e s'et)"e 0a %#i'"e)u 5aese!e &#'u/e, a/i i'a'& te@k&+a %#i )"e)&" %#akti7)&" %#i'"e)i. Nai'e, %#et%&sta!i'& $a )a k/i)i+i 0a s!aku 9&/est ' i (i A E,H,%%%,n$ %&st&"e statisti7ki %&$a+i 0a 1? ??? 9&/es)ika. O$#e$i'& 9#&" '&(ući sku%&!a si'%t&'a. Ak& se %#e(/e$ sast&"i &$, #e+i'&, C? #a0)i '"e#e)"a i ak& "e #e0u/tat s!ak&( '"e#e)"a ,,$a /i "e si'%t&' %#isuta) i/i )i"e, &)$a i'a'& C? 1?1C '&(ući sku%&!a si'%t&'a i )a s!aki sku% si'%t&'a %#&s"e7)& $&/a0i %#&'at#a)"a, t". %#akti7)& ? *)u/a- %#&'at#a)"a. N&, ta$a "a P(- 5' $i A ? * ?0a s!e i , a t& )a' "e 9esk&#ista) #e0u/tat. O!a" %#i'"e# i/ust#u"e %#i'"e$9e $ate u
C %#e$&$)&" )a%&'e)i 1. Zat& "e u &!&' %#i'"e#u %&t#e9)& i'ati )eke $&$at)e )et#i!i"a/)e %#et%&sta!ke. #ri&jer 2. 3 %#i'"e#u 1, u &k!i#u ta7ke ,,F&#'u/a t&ta/)e !"e#&!at)&će, i0!u7e)a ku(/i+a "e 9i"e/e 9&"e. Naći !"e#&!at)&ću $a "e &)a i0!u7e)a i0 %#!e kuti"e.
#ri&jer /. 3 )ek&" a9#i+i ;?b %#&i0!&$a &t%a$a )a 'a@i)u I, Cb )a 'a@i)u II i &sta/& )a
'a@i)u III. 8a@i)a I #a$i sa 1b @ka#ta, 'a@i)a II sa 1, b @ka#ta i 'a@i)a III sa b @ka#ta. K&/ika "e !"e#&!at)&ća $a će s/u7a")& i0a9#a)i %#&i0!&$ 9iti @ka#tL Ak& "e i0a9#a)i %#&i0!&$ @ka#t, k&/ika "e !"e#&!at)&ća $a "e &) %#&i0!e$e) )a I 'a@i)i, &$)&s)& )a II, &$)&s)& )a III L Rje"enje. O0)a7i'& sa - $&(a$a" $a i0a9#a)i %#&i0!&$ 9u$e @ka#t, a sa 'i *< 1,,;&0)a7i'& $&(aa" $a "e i0a9#a)i %#&i0!&$ )a%#a!/"e) )a i2 t&" 'a@i)i. Ta$a "e P(' E ,$ A ?,;, P(' H $ A ?,C, P(' L $A ?,C, P(- 5' E $ ?,?1 , P(- 5' H $ ?,?1, P(- 5' L $ A ?,?, &$ak/e "e, %#e'a 5aes&!&" &#'u/i,
P#i'i"eti'& $a "e 09i# !"e#&!at)&ća:
*Za@t&L-
Na!o&ena 2. 5aes&!a &#'u/a i(#a !e/iku u/&(u u 0a$a+i'a, %&se9)& ka$ se #a$i &
0a$a+i'a !ea)i' 0a k&)t#&/u %#&i0!&$a. Nai'e, ka$ se !#@i k&)t#&/a %#&i0!&$a i )ae @ka#t, &)$a "e &$ i)te#esa %#&+"e)a k& %#a!i @ka#t *k& !"e#&!at)& %#a!i @ka#t-. 1.1". 8eometrij&'a de/inicija jeroatno!e
8)&(i e/e'e)ta#)i %#&9/e'i i0 te&#i"e !"e#&!at)&će )e '&(u se #i"e@iti )e%&s#e$)&' %#i'"e)&' k/asi@)e a%/a+e&!e *i/i %ak statisti7ke- $ei)i+i"e !"e#&!at)&će *"e# )isu 0a$&!&/"e)i us/&!i 0a ;
)"e)u %#i'"e)u-, a/i '&(u %#i'"e)&' t0!. )eometrijskih vjerovatnosti% 3 t&' s'is/u )a!est će'& $ei)i+i"u (e&'et#i"ske !"e#&!at)&će k&"a )eće 9iti sas!i' 'ate'ati7ki %#e+i0)a *"e# se k&#iste %&"'&!i YizmjerivZ i ,,mjera2, a t#e9a/& 9i ,,+ebes)ue ! izmjeriv i Y +ebes)ueva mjera2, a/i "e %&(&$)a 0a %#i'"e)u. Nai'e, %&"a' !"e#&!at)&će, u!e$e) k/asi7)&' a%/a+e&!&' $ei)i+i"&' !"e#&!at)&će &#'u/&' *1-
%#&si#iće'& )a s/"e$eći )a7i) *)a s/u7a" ka$a "e 9#&" e/e'e)ta#)i $&(aa"a 9esk&)a7a), %#i i0!&e)"u )ek&( %&kusa-: Neka se, )%#., u )ek&" &9/asti 6 sa$#i $#u(a &9/ast ( i
"#
k&/ika "e !"e#&!at)&ća $a se ta7ka i0a9e#e u &9/asti DL 30 %#et%&sta!ku $a "e !"e#&!at)&ća i09&#a ta7ka u )ek&' $i"e/u &9/asti 6 %#&%&#+i&)a/)a mjeri m t&( $i"e/a (dužini, površini, zapremini$ $&9i"e se !"e#&!at)&ća $a s/u7a")& i0a9#a)a ta7ka &9/asti 6 %#i%a$a i &9/asti * *D $: *1($"e "e m(*$ mjera od *, a m($ mjera od *&0)aka , %&ti7e &tu$a @t& )a e)(/esk&' #i"e7 ,,measure2 0)a7i mjera, a u'"est&, ,,' k&#isti se i &0)aka Zmes2 mes ! mjera oblasti
%$O!&' &#'u/&' "e $ata )eometrijska de1inicija vjerovatno&e *&$)&s)&, de1inicija )eometrijske vjerovatno&e$% N&, 'a/& &#'a/)i"e se $ei)i+i"a (e&'et#i"ske !"e#&!at)&će &!ak& '&e u!esti: Neka "e M% &(#a)i7e) %&$sku% &$ R (n 1 ,,;- i )eka "e Y izmjeriv u s'is/u $a %&st&"i )"e(&!a mjera '*Y-o *%#i 7e'u "e m dužina 0a n 1, površina 0a n A , zapremina 0a n A ; &$)&s)& mjerni brojevi dužine, površine i zapremine, #es%ekti!)&-. =e-iniija. Kae se $a se i'a %#&9/e' )eometrijske vjerovatno&e ak& "e %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a M% &(#a)i7e) i0'"e#i! %&$sku% &$ R *) 1 ,,;- i ak& "e !"e#&!at)&ća %#&i0!&/")&( i0'"e#i!&( %&$sku%a - &$ Y $ata &#'u/&' *;-
Neka se &%it sast&"i u 9i#a)"u ta7ke u)uta# sku%a Y i )eka "e *0a s!aki i0'"e#i!i %&$sku% A &$ Y. Ta$a se kae $a se ta7ka 9i#a na sredu unutar skupa Y. I0 &#'u/e *- s/i"e$i $a "e !"e#&!at)&ća $a ta7ka 9u$e i0a9#a)a u)uta# sku%a A %#&%&#+i&)a/)a '"e#i t&( sku%a. K&#isteći (e&'et#i"ske i)te#%#eta+i"e odre3eno) (9iemannovo)$ inte)rala 1unkcije jedne promjenljive, dvojno) inte)rala *Rie'a))&!&(, za 1unkcije dvije promjenljive$ , i trojno) inte)rala *Rie'a))&!&(, za 1unkcije tri promjenljive$ , i'a'& s/"e$eće &#'u/e
;;
i- V"e#&!at)&ća $a s/u7a")& i0a9#a)a ta7ka $ui -B *si. 11.- %#i%a$a $ui " A5"e *C-
O!a" %#i'"e# i/ust#u"e i )a""e$)&sta!)i"i s/u7a" (e&'et#i"ske !"e#&!at)&će.
ii- V"e#&!at)&ća $a +e "e$)a ta7ka, k&"a se )a/a0i u)uta# &9/asti 6 u #a!)i *s/. 1- %asti u)uta# &9/asti ( "e: &(#a)i7e) i i0'"e#i!-. *>-
S1.1.
iii- V"e#&!at)&ća $a će "e$)a ta7ka, k&"a se )a/a0i u)uta# &9/asti V*s/. 1;- u %#&st&#u * ; &(#a)i7e) i0'"e#i! sku%, t". i'a k&)a7)u 0a%#e'i)u-, %asti u)uta# &9/asti ; E (; E ;$ je :
B
;
92 #ri&jer . Na k#u0&' ek#a)u #a$a#a, 7i"i "e %&/u%#e7)ik 9, %&st&"i ta7kasta
s/ika &9"ekta 8 k&"a 0au0i'a s/u7a")i %&/&a" )a ek#a)u. Naći !"e#&!at)&ću $a ta7ka 8 %a$)e u &9/ast ek#a)a 7i"i "e %&/u%#e7)ik &$ +e)t#a 'a)"i &$ 94H L Rje"enje. I'a'& *s/. 1-
($"e "e mes($ %&!#@i)a k#u(a #a$i"usa 94H, a mes($ %&!#@i)a k#u(a #a$i"usa 9% #ri&jer 2. K&/ika "e !"e#&!at)&ća $a su'a $!a"u %&0iti!)i s/u@a")& u0eti 9#&"e!a tak& $a s!aki &$ )"i )e 9u$e !eći &$ 1, )i"e !eća &$ 1, a )"i&! ! %#&i0!&$ )i"e !eći &$ <= L t Rje"enje. I0 %#et%&sta!ke, ak& sa W i &0)a7i'& s/u7a")& u0ete 9#&"e!e, i'a'&
6#aik u)k+i"e 1(W$ $ate sa W 1 "e %#a!a a (#aik u)k+i"e A ) (W$, $ate sa W AH4J "e i%e#9&/a *s/. 1C- *u %#a!&u(/&' Deka#t&!&'B k&&#$. siste'u W $: Sa s/ike "e &7(/e$)&:
S1.1;.
S1.1. :;<=1>?6
S.:.
P6*'es*6-- 1,
&$ak/e "e t#ae)a !"e#&!at)ća: P ?,= * = b-. #ri&jer /. D!a /i+a A i 5 $&(&!&#e se $a se sus#et)u )a &$#ee)&' '"estu, %#i 7e'u s!aki &$ )"i %#&/a0i tu$a )e0a!is)& &$ $#u(&(a i0'e$u 1 i 1;sati$&(&$iL Rje"enje. Neka "e ] '&'e)t *t#e)utak- $&/aska /i+a A )a $&(&!&#e)& '"est&, 1ojo1;, <'&'e)t $&/aska /i+a 5, 1 ; *s/. 1>-. Ka& %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a &!&( s/u7a")&( $&(aa"a %#i#&$)& "e u0eti sku% YQ*],-: 1 ] 1;, 1 o1; R. i+a A i 5 će se sus#esti ak& i sa'& ak& "e
Sta!i'& D Q*],-
B
Y:
R E N E DESARTES *Re)atus a#tesius2/ati)sk& i'e i %#e0i'e Deka#ta-
*1C=>21>C?-2#a)+uski i/&0&, 'ate'ati7a# i
i0i7a#
;C
Ta$a "e Y1, 'esD12P112
, %a "e
.
". OP@TA TEORIJA VJEROVATNOĆE ".1. A'&iomat&'a de/inicija jeroatno!e
3 $&sa$a@)"e' i0/a(a)"u %&s'at#a/i s'&, u(/a!)&', %#i'"e#e %&kusa )a k&"e s'& '&(/i %#i'i"e)iti k/asi7)u $ei)i+i"u *a%/a+e&!u- !"e#&!at)&će *!"e#&!at)&će a %#i&#i- i/i statisti7ku $ei)i+i"u !"e#&!at)&će. Ka& @t& s'& #ek/i, &!a k/asi7)a $ei)i+i"a "e &$i(#a/a !e/iku u/&(u u #a0!&"u te&#i"e !"e#&!at)&će. 8euti', &!a $ei)i+i"a i'a i %#i)+i%i"e/)e i %#akti7)e %#i#&$e )e$&statke. P#i)+i%i"e/)i )e$&statak *a t& "e i &09i/")i )e$&statak (/e$a)& sa 'ate'atske st#a)e- sast&"i se u t&'e @t& "e u t&" $ei)i+i"i %&"a' d vjerovatno&e $ei)isa) %#ek& %&"'a d vjerovatan2 *%#e+i0)i"e, %#ek& %&"'a 0ednako mo)u&2 a/i t& "e ist& @t& i jednako vjerovatan2$% 8euti', %#akti7)i )e$&statak $ei)i+i"e k/asi+)e !"e#&!at)&će "e ta" @t& se 0ati"e!a $a 1 9#&" e/e'e)ta#)i $&(aa"a, k&"i se $esi %#i i0!&e)"u )ek&( %&kusa, 9u$e k&)a7a) i $a se '&(u &$#e$iti ti e/'e)ta#)i $&(aa"i. N&, u %#aksi 7ak "e$)&sta!)i %#i'"e#i %&ka0u"u $a su )a#u@e)i i "e$a) i $#u(i %#i)+i%. Ka$a )is'& '&(/i &$#e$iti 9#&" %&!&/")i is&$a k&$ )ek&( %&kusa, &)$a s'& k&#isti/i k/asi7)u $ei)i+i"u !"e#&!at)&će a %&ste#i&#i *statisti7ku $ei)i+i"u-, a k&#isti/i s'& i %&"a' (e&'et#i"ske !"e#&!at)&će ka& %&&%@te)"e *%#&@i#e)"e- %&"'a !"e#&!a#!&će )a s/u7a" ka$a se %#i i0!&e)"u )ek&( %&kusa '&e $a "a!i 9esk&)a7)& ')&(& e/e'e)ta#)i $&(aa"a. Ni"e te@k& s'is/iti %#i'"e# %&kusa sa k&)a7)& ')&(& is&$a k&"i )isu "e$)ak& '&(ući. S/"e$eći %#i'"e# &%isu"e taka! %&kus. #ri&jer . Neka "e $at k#u(, 7i"i "e '"e#)i 9#&" %&!#@i)e "e$)ak 1, sa t"e'e)&' u ta7ki *s/. 1B-. P#et%&sta!i'& $a "e u)ut#a@)"&st k#u(a %&$i"e/"e)a )a n is"e7aka, 'e@us&9)& isk/"u7i!i i tak!i $a "e )"i&!a u)i"a u%#a!& +i"e/a u)ut#a@)"&st k#u(a. O9i/"ei'& i, ka& )a $at&" s/i+i, sa -E ,-H ,%%%,-n% Za'is/i'& $a "e "e$)a 9esk&)a7)a ta)ka i(/a i "e$)i' k#a"e !e0a)a u +e)t#u " i 0a!#ti'& "e &k& "% T#e9a &$#e$iti !"e#&!at)&ću $a će se i(/a 0austa!iti u%#a!& u &9/asti -k (kAE,H%%%,n$% Neka pk &0)a7a!a %&!#@i)u te &9/asti -k *0a kAE,H, %%%, n$% P#i'"eti'& $a "e pE ,pH%%% pnAE% Jas)&, $a "e #a0u')& &7eki!ati $a "e !"e#&!at)&ća 0austa!/"a)"a u -k u%#a!& pk %&!#@i)a is"e7ka -k % Za %#&st&# u0&#aka *%#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i )isu s!i "e$)ak& '&(ući- '&e'& u0eti sku% YQ -,, -H ,%%%, -n =, ($"e -k &0)a7a!a is&$ eks%e#i'e)ta $a se i(/a i 0austa!i )a is"e7ku -k Ta$a i'a'&P*QAk -%k 0a k1,,...,). S/. 1B.
Da 9i u)k+i"a P 9i/a $ei)isa)a )a +i"e/&' %a#titi!)&' sku%u
, $ei)i@e'& ;>
0a s!aki sku% +i"e/i 9#&"e!a i1, i,..., ik tak!i $a "e A-%1[%[%.
. N%#., P*QA1, A,
O!ak& %#&@i#e)"e u)k+i"e P *!"e#&!at)&će- i0(/e$a sas!i' %#i#&$)&, "e# su sku%&!i -E , -H , %%%, -n 'eus&9)& isk/"u7i!i, a )"i&!a u)i"a "e +i"e/a u)ut#a@)"&st k#u(a %&!#@i)e 1. = ak& se u!"e#a!a'& $a &!ak& $ei)isa)a u)k+i"a !"e#&!at)&će P: *Y- R, 0a (&#e $ati %#&st&# u0&#aka Y, 7i"i e/e'e)ti )isu "e$)ak& '&(ući, i'a &s&9i)e *k&"e su #a)i"e $&ka0a)e 0a s/u7a" %#&st&#a u0&#aka k&"i &$(&!a#a"u %&kusi'a 7i"i su is&$i "e$)aki '&(ućiP1. P*Y-1, P. P*A- 0a
P; . Ak& su N,
(n$ , tak!i $a "e
A &)$a "e P(N $ AP(N$ P(
%$O!ak!i %#i'"e#i k&)a7)i %#&st&#a u0&#aka k&"i &$(&!a#a"u %&kusi'a 7i"i is&$i )isu )u)& "e$)ak& '&(ući, )a!&$e )a &!u $ei)i+i"u: =e-iniija . /onačan %#&st&# !"e#&!at)&će "e %a# ([%,P$ ($"e "e k&)a7a) sku% i P u)k+i"a P: *R sku% #ea/)i 9#&"e!a- k&"i 0a$&!&/a"!a"u &s&9i)e P1, P. i P;. u *c-. Ka& i #a)i"e, sku% i 0&!e'& prostor uzoraka *i/i %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a-, %&$ sku%&!e &$ Y do)a3ajima i "e$)&7/a)e %&$sku%&!e &$ Y )a0i!a'&: ekmentarnim do)a3ajima% O$'a se !i$i $a !#i"e$i te&#e'a B, )a!e$e)a u &k!i#u ta7ke : ,,.eke osnovne teoreme teorije vjerovatno&e za konačan prostor uzoraka2 , i sa$a 0a &%@ti k&)a7a) %#&st&# !"e#&!at)&će. P&"a' )e0a!is)i $&(a"a i %&"a' us/&!)e !"e#&!at)&će, u &%@te' k&)a7)&' %#&st&#u !"e#&!at)&će, $ei)i@e se )a %&t%u)& isti )a7i) ka& @t& su $ate &#'a/)e $ei)i+i"e &!i %&"'&!a 0a s/u7a" k&)a7)&( %#&st&#a u0&#aka k&"i "e &$(&!a#a& %&kusu 7i"i su is&$i 9i/i "e$)ak& '&(ući: Tak&e !ae i &$(&!a#a"uće te&#e'e 0a )e0a!is)e $&(aa"e &$)&s)& 0a us/&!)u !"e#&!at)&ću *uk/"u7u"ući i &#'u/u %&t%u)e !"e#&!at)&će i 5aes&!u &#'u/u- . 8euti', #a0!&" te&#i"e !"e#&!at)&će 0ati"e!a& "e $a se te&#i"a !"e#&!at)&će %#&@i#i i )a s/u7a"e!e ka$a %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a )i"e &9a!e0)& k&)a7a) sku%. Na!e$e)a aksi&'atska $ei)i+i"a !"e#&!at)&će *$e./-, k&"a se &$)&si )a k&)a7a) %#&st&# u0&#aka k&"i &$(&!a#a"u %&kusi'a 7i"i is&$i )isu )u)& "e$)ak& '&(ući, "e s%e+i"a/a) s/u7a" &%@te aksi&'atske $ei)i+i"e !"e#&!at)&će, *k&"a se &$)&si )a %#&i0!&/"a) %#&st&# u0&#aka- k&"u "e %#e$/&i& A . N . KO8O6OROV 1=;;. (&$i)e. O) "e %#e$/&i& aksi&'atiku k&"a "e &9u!ata/a s!e $&ta$a@)"e #e0u/tate i0 te&#i"e !"e#&!at)&će, a tak&e# se %&ka0a/& $a &)a a$ek!at)& #e%#e0e)ti#a )a@e %#i#&$)e i$e"e, &$)&s)& i)tuiti!)e %#e$&$9e & !"e#&!at)&ći, t". $a %&sta"e !e0a i0'eu !"e#&!at)&će i #e/ati!)e #ek!e)+i"e. Osi' t&(a, &!a aksi&'atika $a/a "e $&9#u &s)&!u 0a #a0!&" )&!i %&$#u7"a te&#i"e !"e#&!at)&će. Ti'e "e k&)a7)& &st!a#e) 0at"e! $a se te&#i"a !"e#&!at)&će 0as)u"e )a aksi&'atski )a7i), s/i7)& ka& @t& su 0as)&!a)e $#u(e 'ate'ati7ke $is+i%/i)e. I$e"a Ka/'&(&#&!a se sast&"a/a u t&'e $a se %&s'at#a %#&i0!&/")i )e%#a0)i sku% Y i t& "e sku% 9i/& kak!i e/e'e)ata. E/e'e)te sku%a Y 0&!e'& ekmentarni do)a3aji% Na t&' sku%u se %&s'at#a AO9 pe i 0ati"e!a se $a &!a k&/ek+i"a 9u$e 9&(ata, ta7)i"e $a &)a 7i)i a2 k&/ek+i"a al)ebru *q 2 polje$, t". $a &)a 0a$&!&/"a!a s/i"e$eće us/&!e: F1. F. F;.
A)$#e" Nik&/a"e!ić K&/'&(&#&! *C. IV 1=?;2?.M 1=B-2 !e/iki #uski 'ate'ati7a#
;B
O$'a se !i$i $a ak& "e u&$)&su )a %#e9#&"i!e %#es"eke i sku%&!)e #a0/ike. Ak& se u'"est& us/&!a L% 0ati"e!a s/a9i"i us/&!:
, $a "e Y
, te $a "e 0at&!&#e)a
30
A;. A1,A,...,A) onda se zove a/(#e9#a sku%&!a *%&/"e sku%&!a-. tuda je (prema E% i F;.- svaka \ ! al)ebra istovremeno i al)ebra% Definicija 2. .eka je
\ ! al)ebra na skupu M% 8re3en par (M,
Definicija 3. .eka je
(M, $ izmjeriv prostor% unkcija P: na Y.- ako vrijedi:
!"e#&!at)&s)a '"e#a- (na PE% P*A-
?, A
$ zove se i0'"e#i! %#&st&#. 9 zove se !"e#&!at)&ća (ili
, *)e)e(ati!)&st !"e#&!at)&će-
PH% P*Y- 1, *)&#'i#a)&st !"e#&!at)&će- \PL%
me3usobno disjunktni$ 4 e. i
, *%#e9#&"i!a i/i q2 a$i$!)&st !"e#&!at)&ćeiAl
iAl
, P-, )dje jeUa!al)ebra na M, P vjerovatnost )a , zove se %#&st&# !"e#&!at)&će *i/i !"e#&!at)&s)i %#&st&#-. Nlemente \!al)ebre zovemo $&(aa"i, a broj P*A-, A 0&!e se !"e#&!at)&ća $&(aa"a A (ako je A , a (M,U , P$ %#&st&# !"e#&!at)&će, za skup - se kaže da je P2i0'"e#i! sku% ili da je - i0'"e#i! i odnosu na P2'"e#u-. Primjedba: Pri davanju aksiomatske de1inicije vjerovatno&e na prostoru elementarnih do)a3aja M treba primijetiti prvo (kao što je rečeno i ranije u tački H%F%$ da nije uvijek mo)u&e sve podskupove od M uzeti za do)a3aje% 8 tome smislu označimo, npr%, o)led koji se sastoji od bacanja novči&a deset puta ali da možemo provjeriti rezultate samo za prvih šest bacanja% -ko je -A Opalo je barem sedam pisama=, onda iz ovo) što znamo o ] - ne možemo od)ovoriti na pitanje da li je ] ili ] % 7ato smo de1inisali neku 1amiliju podskupova od M koja je predstavljala 1amiliju do)a3aja (koja je mo)la biti i uža od Definicija 4. 8re3ena trojka (M,
.. !eke osnovne teoreme vjerovatnosnog prostora
Prije ne)o što se detaljnije ne rasvijetle problemi vezani za konstrukciju vjerovatnosno) prostora, tj% vjerovatnosne mjere na skupu (prostoru elementarnih do)a3aja$, naveš&e se osnovne teoreme koje neposredno slijede iz de1inicije opšte) prostora vjerovatno&e% Teorema 1. Neka"e * , , P- %#&st&# !"e#&!at)&će. Ta$a !#i"e$i:
*a- P* -?. *9- Ak& "e E1 E i E1, E !"e#&!at)&će*+-
, &)$a"e P*E1- P*E-, *s!&"st!& '&)&t&)&sti
;
*$- Ak& su A1 ,..., A) 'eus&9)& $is"u)kt)i, &)$a "e
,
*s!&"st!& k&)a7)e a&/iti!)&sti !"e#&!at)&će-.
*e-
Ak& "e E)
*) N-,
..., &)$a"e
,
*)e%#eki$)&st !"e#&!at)&će u &$)&su )a )e&%a$a"ući )i0 $&(aa"a-.
;1 *- Ak& "e E)
, *) N-,
&)$a "e
*)e%#eki$)&st vjerovatno&e u odnosu na nerastu&i niz do)a3aja
%$()$
-ko je N E
( iAl, H, %%%$, onda je
, (prebrojiva
ili \! poluaditivnost vjerovatno&e$% (h$ -ko su N E i N H iz , onda je P(N E N H $AP(N E $P(N H $!P(N l N H $% (k$ -ko je N ,onda je P( $AE!P(N$, ( AM N$,(vjerovatno&a suprotno) do)a3aja
%$=o$a+. 1 P#i'i"eti'& $a s!e &s&9i)e, i0u0e! *e-2*(- u &!&" te&#e'i *k&"a se &$)&si )a %#&i0!&/"a), k&)a7a) i/i 9esk&)a7a) %#&st&# !"e#&!at)&će %#i 7e'u e/e'e)ta#)i $&(aa"i )isu )uH)& "e$)ak& '&(ući- i'a"u isti &9/ik ka& u s/u7a"u k/asi7)e !"e#&!at)&će *0a k&)a7a) %#&st&# e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i su "e$)ak& '&(ući-, t". i u &%@te' s/u7a"u %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a, u!e$e)&( aksi&'atski *t0!. aksi&'a'a K&/'&(&#&!a 0a %#&st&# !"e#&!at)&će: *F/- 2*qF;- i *PI- 2*qP;- !#i"e$i te&#e'a 5, )a!e$e)a u &k!i#u ta7ke: ,,Neke &s)&!)e te&#e'e k/asi7)e te&#i"e !"e#&!at)&ćeJ, s ti' @t& se u &%@te' %#&st&#u *k&"i )i"e )uH)& %#e9#&"i!- u0i'a"u e/e'e)ti *$&(aa"i- i0 q 2 a/(e9#e * *Y-- a )e 9i/& k&"i e/e'e)ti i0 *Y-. O!ak!u %#i'"e$9u s'& )a!e/i i u %#et&$)&" ta7ki ka$a s'& (&!&#i/i & aksi&'atski u!e$e)&' &%@te' k&)a7)&' %#&st&#u !"e#&!at)&e. Tak&e, 9u$ući $a "e $&ka0 %&'e)ut&( te&#e'a 5, ka& s%e+i"a/)&( s/u7a"a &!&( te&#e'a 1 0a k&)a7a) %#&st&# u0&#aka 7i"i su e/e'e)ta#)i $&(aa"i "e$)ak& '&(ući, 0as)&!a) "e$i)& )a &s&9i)a'a P1, P i P; *k&"e %#e$sta!/"a"u te&#e'u A, u k/asi7)&" !"e#&!at)&ći, $&k su t& aksi&'e u &%@t&", aksi&'atsk&" te&#i"i !"e#&!at)&će 0a k&)a7a) %#&st&# !"e#&!at)&će-, %&t%u)& su isti $&ka0i s!i i0"a!a *a- 2 *+-, *- i *k- &!$"e, 0a s/u7a" k&)a7)&( %#&st&#a !"e#&!at)&će ka& a)a/&()i i0"a!a u %&'e)ut&" te&#e'i 5. I0"a!a *$-, u s/u7a"u k&)a7)&( %#&st&#a !"e#&!at)&sti se /ak& $&kaHe 'et&$&' 'ate'ati7ke i)$uk+i"e, ak& se %&e &$ aksi&'a P1, P i P; 0a k&)a7a) %#&st&# !"e#&!at)&će *t". ($"e "e P;: P*E 1uE-P*E 1-[P*E- ak& su E1 i E isk/"u7i!i $&(aa"i-. 3 s/u7a"u %#&i0!&/")&( *k&)a7)&(, %#e9#&"i!&( i/i )e%#e9#&"i!&(- %#&st&#a !"e#&!at)&će, %&/a0eći &$ aksi&'a *F/- 2*qF;- i *P I- 2*qP;- $&ka0 &s&9i)a *9-, *+-, *- i *k- se '&He i0!esti %&0i!a"ući se )a *$-, )a isti )a7i) ka& i $&ka0 &$(&!a#a"ući &s&9i)a 0a k&)a7a) %#&st&# !"e#&!at)će *%&/a0eći &$ aksi&'a*P/-2*P;-- &$)&s)& ka& i u te&#e'i 5 *0a k/asi7a) s/u7a"-.
;=
8euti', u s/u7a"u &%@te( %#&i0!&/")&( %#&st&#a !"e#&!at)&će, u k&'e se u0i'a aksi&' *qP;u'"est& *P;- $&ka0 &s&9i)a *a- i *$- '&He se i0!esti )a &!a" )a7i): *a- 3 aksi&'i *aP;- u0'i'& A"?, 0 a i /, , ...
Ta$a "e
. A/i
%#e'a *qP;-, %a "e, $ak/e, P* -?. *Ak& "e P* -h?, &)$a )e'&(uće 09&( *P1-.-
"e k&)!e#(e)ta) #e$ $i!e#(i#a, a P* -o? "e
*$- 3 aksi&'i * P;- sta!i'& Ai , 0a ih) i k&#isti'& se &s&9i)&' *a-. ; Os&9i)e *e-2*(- )e'a"u s'is/a *u k/asi7)&" !"e#&!at)&ći- a )i u &%@t&" te&#i"i !"e#&!at)&će 0a k&)a7a) %#&st&# u0&#aka *Za@t&L-: *e- Sta!i'& F 1 E1, F)E)E)21, 0a ) . Ta$a "e F
, *) N- i F i F " 0a i ".
Kak& "e "&@
; t& i'a'& *)a &s)&!u $ei)i+i"e k&)!e#(e)t)&( #e$a-.
*-Sta!i'&F )E1E) 0a ) N. Ta$a "e F )
, F) F)[1 *) N- i E1
. Otu$a
"e P*F )-P*E1-2P*E)-, %a i0 *e- s/i"e$i
t".!#i"e$i
.
Na%&'e)i'& $a se i0"a!a *e- '&e $&ka0ati )a &s)&!u *- %&/a0e+i &$ E 1 E ... *Nai'e, ta$a "e $ak/e 12
i &s&9i)a *k- * u &!&" te&#e'i 1-
i'%/i+i#a"u $a "e
*(-Neka "e F1E1, F)E) Ta$a "e
)i0 $is"u)kti!)i $&(aa"a sa &s&9i)&' F) E) *) N- i
. Zat& "e ?
O!a" #e0u/tat 0&!e se i Booleova )e"e$)ak&st. Ti'e "e te&#e'a 1 . $&ka0a)a. Teore&a 2. Sistem aksioma (El, H, \L, PE, PH, \PL$ i sistem aksioma (E, H, \L, PR,
PH, PL* PF$ su ekvivalentni (tj% trojka (M, ,P$ zadovoljava prvi sistem aksioma akko zadovoljava dru)i sistem aksioma$, )dje je PL*:-koje N E za iAE, H, %%, n i N i N jA , , onda je
*t". P;c"e aksi&' k&)a7)e a$iti!)&sti i &s&9i)a *$- u te&#e'i 1-.
PF:-koje N E
za iAE, H, %%, i N E N H %%, ondaje
=o$a+. 1 Ak& *Y,
, P- 0a$&!&/"a!a *F/, F, qF;, PI, P, qP;- &)$a *Y, , P0a$&!&/"a!a *F/, F, F;, P1, P, P;c, P- %& te&#e'i 1. *$- i *-. P#et%&sta!i'& $a *Y, , P- 0a$&!&/"a!a *F/, F, qF;, P1, P, P;c, P-. Neka "e N t 0a s!e i/, , .., tak& $a "e Ei E " , i ", &)$a 0a s!aki %#i#&$)i 9#&" ), i'a'&
;; %#e'a F/, F, qF; i F;. Da/"e "e
i &tu$a, %#e'a, P,
*O!$"e "e %&t#e9)& $&ka0ati $a"e P* -? u siste'u aksi&'a *F/, F, qF;, P1, P, P;c, P-, a/i t& se /ak& i0!&$i, "e# "e %a "e P* -P* -[P* - %#e'a P;c i/i P* -?. Ka& @t& s'& !i$"e/i, u'"est& u aksi&'i F/ '&He se u0eti M , @t& se 7ak 7e@će i #a$i, %a ak& se tak& %&stu%i, &)$a "e, i u &!&' siste'u aksi&'a, , "e#"e Y -. Otu$a "e
%& $ei)i+i"i k&)!e#(e)+i"e #e$a.
Ti'e "e te&#e'a H $&ka0a)a. Na!o&ena. Gest& se %#i'"e)"u"e s%e+i"a/a) s/u7a" te&#e'e. Neka "e *Y, - i0'"e#i! %#&st&# i P: k&)a7)& a$it!)a u)k+i"a, P*Y- 1. Ta$a "e P !"e#&!at)&ća ak& i sa'& ak& 0a oo
%#&i0!&/"a) )i0 QA)1 u j0a k&"i "e A ) A )[,*)eN- i PWA ) ? !#i"e$i /i'P*A )- ?. n -*-'-**
$%$
1
)/
Neka "e t&( )i0a sa
)i0 $&(aa"a u %#&st&#u !"e#&!at)&će *Y, , P-. Dei)i@i'& limes superior
i limes in1eriorto) )i0a sa
I0 &!e $ei)i+i"e s/i"e$i
,
i !#i"e$i:
Q Y: A) 0a 9esk&)a7)& ')&(& ), Q Y: A) 0a s!e ) &si' e!e)tua/)& k&)a7)& ')&(& )"i,
ak& se !i$i $a !#i"e$i: #ro!o+iija . 7a proizvoljan niz do)a3anja
u prostoru vjerovatno&e (M,
, P$
vrijedi:
LF
Propozicija 2. *a- *P#i)+i% i)k/u0i"e 2 eksk/u0i"e-:
Neka su A1 A,..., A) %&$sku%&!i k&)a7)&( sku%a Y. Neka l*5- &0)a7a!a 9#&" e/e'e)ata sku%a 5. Ta$a "e l
*9- *S/!este#&!a te&#e'a- Neka"e *),j, P- %#&st&# !"e#&!at)&će i A isr# *i/,,...,)-. Ta$a !#i"e$i
Dokaz. a$ sobina (a$ se lako dokaze metodom matemati"ke indukcije, a može se dokazati i primjenom
pojma tzv% karakteristične 1unkcije skupa% unkcija 1 ,i data sa 0&!e se ka#akte#isti7)a u)k+i"a sku%a A, *i &9i7)& se &0)a7a!a sa
-. Sa$a se /ak& !i$i $a "e
ka#akte#isti7)a u)k+i"a &$ Sada se primjeti da je ^
*9- S/!este#&!a te&#e'a se /ak& $&ka0u"e 'et&$&' 'ate'ati7ke i)$uk+i"e *k&#isteći $a t!#$)"a !#i"e$i 0a ) )a &s)&!u te&#e'e 1. *-.-. Definicija. Prostor vjerovatno&e (M,
, P$ jest %&t%u) ili k&'%/eta) (ili P se zove %&t%u)a ili
k&'%/et)a mjera na $ ako vrijedi tj% ako je svaki podskup do)a3aja čija je vjerovatno&a G i sam do)a3aj% _esto se u samoj de1iniciji prostora vjerovatno&e uzima da je on potpun% .o, to nije bitno o)raničenje jer se svaki prostor vjerovatno&e može upotpuniti, tj% preciznije vrijedi sljede&a teorema: Teorema 3. Neka "e *Y,
"e sa$#a)& u "e
c
c i $ei)i@i'& u)k+i"u Pc:
q2a/(e9#a i *Y,
t". t".
c _?, 1` tak& $a sta!i'& Pc*A -P*A-. Ta$a
c, Pc- %&t%u) %#&st&# !"e#&!at)&će. Osi' t&(a !#i"e$i $a"e PcP i * c-c
=o$a+7 I0
Ai
, P- %#&st&# !"e#&!at)&će i
, i 5 i, 5 i
c. Neka "e Di , P*5i-?, %a "e
* s/i"e$i , Y
c
;C c *i /, ,...-. Ta$a "e DiAi i,
c &$)&s)& c "e 0at!&#e)a u &$)&su )a %#e9#&"i!e u)i"e. Kak& "e "&@, 0a A
*
0a A j , 5, 5 , P*5-?, *A -+A+ +*A+ 5+- A+ *5c, "e# A+ *5- 5, t& "e q 2 a/(e9#a. % Ta$a 09&( D&ka0i'& $a "e u)k+i"a Pc $&9#& $ei)isa)a: Neka "e A 1 1 A + A1 A !#i"e$i ;
P*A1-P*A1 A-[P*A1 A+-P*A1 A- P*A-. Kak& "e 09&( si'et#i"e P*A - P*A1-, t& "e P*A- P*A1- t". *Pc )e 0a!isi &$ %#e$sta!)ika- Pc "e $&9#& $ei)isa)a u)k+i"a )a c. ak& se !i$i $a Pc 0a$&!&/"a!a aksi&'e & )e)e(ati!)&sti, )&#'i#a)&sti i %#e9#&"i!&" a$iti!)&sti, %a "e Pc !"e#&!at)&ća )a . Osi' t&(a "e &7i(/e$)&, Pc P. D&kai'& "&@ $a"e (M%, , Pc- %&t%u) %#&st&# !"e#&!at)&će. P#et%&sta!i'& $a"e D A ,P*A-?, 5, 5 , P*5-?. Ta$a "e D A 5, A 5 i P*A 5-?, %a "e D , c , A t". *Y, , Pc- "e %&t%u). O7it& "e c-c c. Ti'e "e te&#e'a ;. $&ka0a)a. ".(. Di&'retni jeroatno&ni pro&tor
P&"a' !"e#&!at)&s)&( %#&st&#a *%#&st&#a !"e#&!at)&će- "e aksi&'atski u!e$e) *aksi&'a'a K&/'&(&#&!a-, i t& %#!& s'& u!e/i %&"a' k&)a7)&( %#&st&#a !"e#&!at)&će, a &)$a i %&"a' %#&i0!&/")&( *&%@te(- %#&st&#a !"e#&!at)&će. T& "e &s)&!)i &9"ekt u te&#i"i !"e#&!at)&će u s'is/u $a se ka& matematički Neka "e sa$a YQ) : ) N. %#e9#&"i! sku%. Ka& i u s/u7a"u k&)a7)&( sku%a $&!&/")& "e %&s'at#ati !"e#&!at)&će k&"e su $ei)isa)e )a 7ita!&' %a#titi!)&' sku%u *Y. Za%#a!&, '&e se $&ka0ati $a %#&i0!&/")u !"e#&!at)&ću $ei)isa)u )a a2a/(e9#i *Y- '&e'& %#&@i#iti $& !"e#&!at)&će )a P* -, t". '&e se $&ka0ati $a !#i"e$i s/"e$eća te&#e'a: Teore&a 2. .eka je M prebrojiv skup i (M,
vjerovatno&a P<: P(M$ `G, E takva daje P<5 Primijetimo da je \ al)ebra
, P$ prostor vjerovatno&e% 6ada postoji
AP%
op&enito neprebrojiva, da je (M$ primjer neprebrojive \!al)ebre na M%
Ak& "e Y %#e9#&"i!, &)$a se %#&st&# !"e#&!at)&će *Y, *Y-,P- 0&!e prebrojiv diskretni prostor vjerovatno&e%
Gest& se 0a"e$)i7ki t#eti#a s/u7a" ka$a "e Y i/i k&)a7a) i/i %#e9#&"i!. 3 t&' s/u7a"u se k&#isti 0a 0a"e$)i7ki te#'i' diskretni slučaj i/i diskretni prostor vjerovatno&e% 3 s/u7a"u k&)a7)&( i/i %#e9#&"i!&( sku%a Y ta7ke i0 Y 0!at će'& elementami do)a3aji *u sk/a$u sa #a)i"e #e7e)i'-. I$e"e !e0a)e 0a %&s'at#a)"e k&)a7)i i %#e9#&"i!i sku%&!a H, %&&%@ta!a"u se )a s/u7a" %#&i0!&/")&( sku%a Y i t& u s'is/u $a se $&9i"e t0!. koncentrisana '"e#a !"e#&!at)&će, t". tak!a '"e#a k&"a "e "e$)aka )u/i i0!a) )ek&( k&)a7)&( i/i %#e9#&"i!&( %&$sku%a &$ Y. Nai'e, )eka "e Y %#&i0!&/"a) sku% i Q) : ) N %#e9#&"i! %&$sku% &$ Y Sta!i'& Y-, i )eka "e )i0 #ea/)i 9#&"e!a taka! $a"e % ) ? *) N- i 1 . Dei)i@i'& P : (M$ `G,E &#'u/&'
Ta$a se '&e $&ka0ati *s/i7)& ka& i te&#e'a - $a "e *Y, *Y- ,P- %#&st&# !"e#&!at)&će i P "e k&)+e)t#isa)a )a sku%u Q): ) N. K&)st#uk+i"a &%@ti %#&st&#a !"e#&!at)&će, &$)&s)& k&)st#uk+i"a !"e#&!at)&s)i '"e#a )a )e%#e9#&"i!&' sku%u Y "e ')&(& k&'%/i+i#a)i"e, i ')&(e $eta/"e & t&'e #a0'&t#iće'& kas)i"e *!. )%#., i u _Nik&/a Sa#a%a, Te&#i"a !"e#&!at)&sti, 4k&/ska k)"i(a, Za(#e9, 1=B`-. 3&7i'&, u &k!i#u &!e ta7ke, "&@ &!& s!&"st!& !"e#&!at)&s)&( %#&st&#a: !"e#&!at)&ća P ,,i!i )a )a"!i@e %#e9#&"i!& ')&(& ta7aka. Nai'e, )eka "e Y )e%#e9#&"i! sku% i *Y, P- %#&st&# !"e#&!at)&će taka! $a"e , Sta!i'&: AQ Y:P*Q-h?. Ta$a "e sku% A )a"!i@e %#e9#&"i!, "e# 0a
i'a'& $a"e
i sku%&!i Ai 'eus&9)& su $is"u)kt)i. Kak& "e P*Y- 1, t& "e s!aki &$
sku%&!a A) k&)a7a) *($"e "e k*A )-o)[/-, t". A "e )a"!i@e %#e9#&"i!. ".-. U&)ona jeroatno!a i nezai&no&t do*a+aja za op$ti pro&tor jeroatno!e2 Neka "e *Y, u)k+i"u PA )a sa
, P- %#&i0!&/"a) %#&st&# !"e#&!at)&će i A
PA*5-P*5A
taka! $ a " e P*A-h?. Dei)i@i'&
, *5
(R$
;B Ta$a "e PA !"e#&!at)&ća )a , t". *Y, , P A- "e %#&st&# !"e#&!at)&će. Zaista,
0a$&!&/"a!a
us/&!e *aksi&'e q2a/(e9#e- F/, F, qF;. Aksi&' P1. "e 0a$&!&/"e) "e# "e P A*5- Aksi&' P "e 0a$&!&/"e) "e# "e C
Ak&"e
)i0 'eus&9)& isk/"u7i!i $&(aa"a i s!aki Ei
, &)$a "e
tak& $a "e 0a$&!&/"e) i aksi&' P;. Fu)k+i"a PA, $ei)isa)a sa *1-, 0&!e se uslovna vjerovatno&a u0 us/&! A. 5#&" P*5A- 0&!e se vjerovatno&a od B uz uslov da se - do)odi ili k#aće, vjerovatno&a od B uz uslov -% Kak& "e PA !"e#&!at)&ća , t& i0 te&#e'e 1. i0 ta7ke: ,,Neke &s)&!)e te&#e'e &%@te( !"e#&!at)&s)&( %#&st&#a, s/i"e$i: #ro!o+i,ija . .eka je (M, P(-$?G% 6ada vrijedi:
, P$ (proizvoljan, opšti$ prostor vjerovatno&e i-eUtakav da je
(a$P( 5-$AG% (b$P(Bc5-$AE!P(B5-$,B (c$N E ,N H
P(N E N H5-$AP(N,5-$P(N H5-$!P(N E N H5-
%$(d$ N E ,N H
NE NH
P(N E 5-$ P(N H 5-
%$*e-E1,E,...
V#i"e$e /i a)a/&(&)i &sta/i i0"a!a u %&'e)ut&" te&#e'i 1. 0a s/u7a" us/&!)e !"e#&!at)&će P AL-. #ri&jer . Neka "e YQ 9 ..., ) i )eka"e P !"e#&!at)&ća )a P*Y- tak!a $a su e/e'e)ta#)i $&(aa"i "e$)ak& !"e#&!at)i. Ta$a i0 P*Y- 1 s/i"e$i )P*Qi- /, t". P*Q i- /<) 0a i/,,...,). Neka "e sa$a E
Ta$a i0 k&)a7)e a$iti!)&sti &$ P s/i"e$i
, @t&
%#e$sta!/"a #a)i"e )a!e$e)u &#'u/u u k/asi7)&". !"e#&!at)&ći. Tak& s'& $&9i/i %#i'"e# *k&)st#uk+i"e %#&st&#a !"e#&!at)&će *Y,P*Y-,P-, t". )2$i'e)0i&)a/)i $isk#eta) %#&st&# !"e#&!at)&će 7i"i su s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"i "e$)ak& !"e#&!at)i. Neka "e, u t&' %#&st&#u, k*A-', k*A 5-#, t". O)$a i0 $ei)i+i"e us/&!)e !"e#&!at)&će, t". i0 &#'u/e *1- s/i"e$i $a "e
Otu$a s/i"e$i $a !"e#&!at)&ću &$ 5 u0 us/&! A $&9i"a'& %#e9#&"a!a)"e'e/e'e)ta#)i $&(aa"a ,,%&!&/")i 0a A i &)i 'eu )"i'a k&"i su ist&!#e'e)& %&!&/")i i 0a 5. T& 0)a7i $a %#i #a7u)a)"u us/&!)e !"e#&!at)&će u0 us/&! A u/&(u %#&st&#a e/e'e)ta#)i $&(aa"a %#eu0i'a $&(aa" A, a t& &%#a!$a!a te#'i) us/&!)a !"e#&!at)&ća u0 us/&! A. kae se $a su $&(aa"i A i 5 =e-iniija . Neka "e *Y, P- %#&st&# !"e#&!at)&će i E, F nezavisni ako !#i"e$i P*A 5- P*A- P*5-.
*-
Dak/e, %&"'&!e us/&!)e !"e#&!at)&će i )e0a!is)&sti $&(aa"a s'& i &!$"e, u s/u7a"u &%@ti *%a i )e%#e9#&"i!i- %#&st&#a !"e#&!at)&će, $ei)isa/i )a isti )a7i) ka& i u s/u7a"u k/asi7)e !"e#&!at)&će
>
38
(preciznije, pri 1ormalnom de1inisanju ovih pojmova, polaze&i sa skupovno!teoretsko) aspekta, za razliku od opisno) de1inisanja ovih pojmova, a što je, jasno, istorijski predhodilo davanju 1ormalnih de1inicija$% .a isti način se de1iniše i pojam 1amilije (sada proizvoljne$ nezavisnih do)a3aja Ai i i R ()dje je R proizvoljan, pa i neprebrojiv skup indeksa$, te pojam potpuno) sistema do)a3aja (' ,i iAl,H,%%%$ (konačno ili prebrojivo mno)o$% 6ako3er se na isti način dokazuju: Pravilo množenja, teorema (1ormula$ totalne ili potpune vjerovatno&e i Baesova 1ormula, a vaze i ostale osobine i teoreme o uslovnoj vjerovatno&i i nezavisnim do)a3ajima (koje smo imali ranije u slučaju klasične vjerovatno&e$% (-ko proširimo de1iniciju uslovne vjerovatno&e uz uslov - ($ na slučaj kad je P(-$AG, stavljaju&i P(B -$AP(B$ ako je P(-$AG i B , onda odavde i iz (E$ slijedi
P(- B$AP(-$ P(B-$AP(B$ P(-B$,-,B
.o, ova relacija, a i njeno poopštenje dato u sljede&oj propoziciji H, vrijedi neovisno o tome kako de1inišemo P(B5-$ u slučaju P(-$AG, jer iz P(-$AG ili P(B$AG slijedi P(- B$AG%$ Propozicija 2. *P#a!i/& ')&e)"a- Za s!aki )[1 $&(aa"a A ? ,A1, ..., A) *($"e su $&(aa"i e/e'e)ti &$ - !#i"e$i
P*A? A1 ... A)-P*A?- P*A/A?- P*AA? A/-:.. P*A)A? A/ ... A)- *;(/ako je -G to je navedenih n uslovnih vjerovatno&a de1inisanoC ovo je potrebno konstatovati ako bi koristili 1ormulu (E$ za uslovnu vjerovatno&u, bez proširenja na slučaj P(-$AG%$ *okaz &emo dati metodom matematičke indukcije (koriste&i asocijativnost skupovne operacije presjeka$% Dokaz.
ormula (L$ virijedi za nAl, jer je P(-G -E $AP(-G $ P(-E -G $% Pretpostavimo da 1ormula vrijedi nAk pa dokažimo da vrijedi za nAk E % 7aista, po de1iniciji uslovne vjerovatno&e imamo P(-o -E %%% -k -kE ,$A P(-o -E
-k $ TP(- kE - G -E %%% -k $% Po
induktivnoj pretpostavci imamo P(-o -E %%% -k $ AP(-o $!P(-E - $ %%% P(-k R -[ -, n%%%n -k %,$% /onbiniraju&i posljednje dvije jednakosti dobijamo: -,n%%%n -kE $AP(-o$!P(-, -o$ !%%%!P(-kE
-E %%% -k
%$(*okaz pravila množenja u slučaju kada su do)a3aji -G , -E , -H , %%%, -n zavisni, nismo izvodili u klasičnoj teoriji vjerovatno&e, ve& smo naznačili da ono vrijedi i naveli )a u slučaju nAH, tj% za tri do)a3aja%$
*F&#'u/a %&t%u)e !"e#&!at)&će.- Neka "e *N k&)a7a) i/i [ - %&t%u) siste' $&(aa"a u %#&st&#u !"e#&!at)&će *Y, , P- *$isk#et)&' i/i )e%#e9#&"i!&'-. Ta$a 0a %#&i0!&/")& A !#i"e$i Teorema 1.
(F$ Propozicija 3. Neka "e
!"e#&!at)&će *Y,
, *N k&)a7a) i/i [ - %&t%u) siste' $&(aa"a u %#&st&#u ,P-. Ta$a 0a s!e A,5 i0 !#i"e$i (I$
B
;= =o$a+. Za P*A-? Re/a+i"a *C- %#e/a0i u P*5-
. Za P*A-h? i'a'& i/
$a "e PA !"e#&!at)&ća )a
%a i0 &#'u/e %&t%u)e !"e#&!at)&će *- s/i"e$i
8euti', 0a &)e Hi 0a k&"e "e PA*Hi- h? !#i"e$i Otu$a s/i"e$i *C-, %a "e %#&%&0i+i"a ; $&ka0a)a. Teore&a 2. *5aes&!a &#'u/a-. Neka "e
, *N k&)a7a) i/i [ - %&t%u) siste'
$&(aa"a u *%#&i0!&/")&' iksi#a)&'- %#&st&#u !"e#&!at)&će *Y, 0a s!ak&" !#i"e$i
, P- i A
taka! $a "e P*A-h?. Ta$a
*>-
=eini,ija 2. Neka "e T
i )eka "e 0a s!ak& t T, -E ($"e "e *Y, , P- iksi#a) %#&st&# !"e#&!at)&će. Kae se $a "e a'i/i"a * t : t T nezavisna ak& 0a s!aki k&)a7a) )e%#a0a) %&$sku% 3 T !#i"e$i *B-
i t& 0a %#&i0!&/"a) i09&# $&(aa"a At tak& $a "e At
t
, 0a s!e t 8%
#ro!o+i,ija . -ko
je proizvoljna 1amilija nezavisnih do)a3aja i ako za svaki do)a3aj iz neko) poskupa od zamijenimo nje)ovim komplementom, onda je rezultuju&a (tj% ova nova$ 1amilija tako3er 1amilija nezavisnih do)a3aja% *O!& "e %&&%@te)"e &$(&!a#a"uće te&#e'e u k/asi7)&" !"e#&!at)&ći.-
=o$a+. Neka "e A1 ..., A), 51..., 5' %#&i0!&/")i '[) $&(aa"a i0 %#i 7e'u su ' i ) %#&i0!&/")i. T#e9a $&ka0ati $a !#i"e$i P*A1 ... A) 51 ... 5'-P*A1-...P*A)-P*5+1-...P*5+'-.
*-
F&#'u/a *- se /ak& $&ka0e 'et&$&' 'ate'ati7ke i)$uk+i"e %& ' 0a s!e ). Nai'e, 0a ' 1, i'a'& P*A1 ...
A) 5+1-P**A/ ... A)-*A1 ...
A) 51--
P*A1 ... A)-2P*A1 ... A) 51- _/2P*5 1-` P*A1- ... P*A)-P*A1- ... P*A)- P*51-, t". &#'u/a *- !#i"e$i 0 a ' / P#et%&sta!i'& sa$a $a *1- !#i"e$i 0a )ek& *iks)&- ' * 1- i s!e ). Ta$a i'a'& *k&#isteći a)a/&(a) %#ika0 %#es"eka, ka& u $&ka0u 0a ' 1, (&#e-:
O$ak/e s/i"e$i $&ka0 %#&%&0i+i"e . #ri&jer 2. Neka su A1,..., A) )e0a!is)i $&(aa"i 6AOE, H, %%%, n= i Ta$a "e, %#e'a *-, ( - )e0a!is)a a'i/i"a.
t
O-t ,-ct , , M= (t 6
%$&'
Teore&a /. *e'e 5&#e/2a)te//ia-
E$ .ekaje
,
niz do)a3aja u prostoru vjerovatno&e (M, , P$% -koje )/
onda je
H$ .eka je
.
niz nezavisnih do)a3aja u prostoru vjerovatno&e (M, , P$% -ko je , &)$a "e
=o$a+. 1- 3 sk/a$u sa #a)i"e #e7e)i', i'a'& $a "e
$&(aa" *i0
t&, %#e'a &s&9i)i )e%#eki$)&sti !"e#&!at)&će u &$)&su )a )e#astući )i0 $&(aa"a, i'a'&
P#e'a 5&&/e&!&" )e"e$)ak&sti "e
s/i"e$i
,a i0 k&)!e#(e)+i"e #e$a
?, tak& $a "e
, @.t.$.
- Za s!aki %a# %&0iti!)i +i"e/i 9#&"e!a ) i k i'a'&
Otu$a "e P&s/"e$)a )e"e$)ak&st !#i"e$i "e# "e /&( *12]!i$i i sa s/"e$eće s/ike *s/. 1-.
2], ]
1, @t& "e $&9#& %&0)ata #e/a+i"a, a @t& se
=
Otu$a "e
2 , 0a +!e ) i0 N, "e# #e$ $i!e#(i#a. Dak/e,
0a s!e ), tak& $a "e
0a s!e ) i0
N. S1.1D.
1
Kak&"e
t& &tu$a i'a'& %#e'a &s&9i)i )e%#eki$)&sti !"e#&!at)&će u &$)&su )a )e&%a$a"ući )i0 $&(aa"a. O!$"e "e
%a "e &tu$a C?
