Instituto Tecnológico de Chihuahua Asignatura: Mecánica de Materiales Docente: Ing. Adrián Eduardo Lui Chavira Semestre 2!"#!
'I(AS )I*E+ESTA )I*E+ESTAT TICAS
Chihuahua$ Chihuahua.$ % &unio del 2!".
RESUMEN
Se halara acerca de todas / de cada una de ellas$ haciendo mención de las ecuaciones 0ue se necesitan 1ara llegar determinar cuál de ellas usar$ en el momento / ediicación 1recisa. *or medio de la investigación se llegara a anali3ar como act4an las vigas hi1erestáticas$ de1endiendo de la condición 0ue 1resente5 con esto 1odremos dierenciar 0ue m6todo de a1licación es el corres1ondiente /a sea su1er1osición$ dole integración o 1or medio de áreas de momento. )aciendo )aciendo mención de las ecuaciones ecuaciones 0ue se necesitan necesitan 1ara llegar determinar determinar cuál de ellas usar$ en el momento / ediicación 1recisa. *ara as7 1oder saer cómo actuara$ actuara$ como está traa&ando traa&ando / en casos como 1uede llegar llegar a allar allar res1ect res1ectoo a sus esuer3o esuer3oss / deormac deormacion iones es a 1artir 1artir de las ecuacio ecuaciones nes consti constitut tutiva ivass de1endiendo del material.
INTRODUCCION
Se halara acerca de todas / de cada una de ellas$ haciendo mención de las ecuaciones 0ue se necesitan 1ara llegar determinar cuál de ellas usar$ en el momento / ediicación 1recisa. *or medio de la investigación se llegara a anali3ar como act4an las vigas hi1erestáticas$ de1endiendo de la condición 0ue 1resente5 con esto 1odremos dierenciar 0ue m6todo de a1licación es el corres1ondiente /a sea su1er1osición$ dole integración o 1or medio de áreas de momento. )aciendo )aciendo mención de las ecuaciones ecuaciones 0ue se necesitan necesitan 1ara llegar determinar determinar cuál de ellas usar$ en el momento / ediicación 1recisa. *ara as7 1oder saer cómo actuara$ actuara$ como está traa&ando traa&ando / en casos como 1uede llegar llegar a allar allar res1ect res1ectoo a sus esuer3o esuer3oss / deormac deormacion iones es a 1artir 1artir de las ecuacio ecuaciones nes consti constitut tutiva ivass de1endiendo del material.
INTRODUCCION
Em1e3aremos Em1e3aremos con conocer$ conocer$ anali3ar / determinar determinar esuer3os / deormaciones deormaciones de elementos elementos de naturale3a mecánica su&etos a cargas de tensión$ com1resión / le8ión$ además del estudio / a1licación de la teor7a de vigas.
Las vigas 1ermanecen r7gidas$ estáticas$ 1ero 1ara llegar a colocarlas es necesario haer reali3ado antes$ un análisis o estudio de cada caso. Los 1rocedimientos de análisis / de estudi estudioo se denom denomin inan an de cuant cuantii iica caci ción ón$$ es deci decirr 0u 0uee midi midien endo do el e0ui e0uili liri rio$ o$ de la distriución del actor trans1orte / 1eso$ / es un 1rocedimiento 0ue inali3a cuando el momento de la uer3a sea tan 1e0ue9o 0ue no aecte de ning4n modo el momento de uer3a inal de la viga. *ara ello se llevan a cao mediciones 1ara cada arra$ con las órmulas es1ec7icas$ / se calculan los actores de distriución 1or nodo$ 0ue es cuando se mide la rigide3 de las arras o vigas. En toda ediicación con estructuras 0ue reciirán 1esos / le8iones se necesitan colocar elementos constructivos 0ue son es1ec7icamente dise9ados 1ara ello. *ara conocer a las vigas hi1erestáticas$ es necesario saer 0u6 es / cómo deinir una viga. Las vigas son undamentales en las construcciones de oras$ es un elemento constructivo lineal$ 0ue hace el traa&o de le8ión$ / en las vigas la longitud 1redomina sore las otras dos dimensiones. Son las 0ue se encargan de so1ortar todo el 1eso de un techo$ o cual0uier otro ti1o de carga$ / de1ende del tama9o del ediicio de la cantidad$ del 1eso / de la longitud de las vigas$ en la construcción de viviendas se usan vigas de dos ti1os las vigas de concreto 1ara ases estructurales de dos más 1isos$ / las vigas de madera.
VIGAS HIPERESTATICAS
DEI-ICI;,na viga hi1erestática es a0uella 0ue tiene más condiciones de contorno$ es decir$ movimientos im1edidos$ de los 0ue son estrictamente necesarios 1ara su estailidad. *or ello su cálculo no se reali3a con las ecuaciones de e0uilirio$ sino recurriendo a los esuer3os / deormaciones a 1artir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción como /a se mencionó$ su uso es el más e8tendido.
APOYOS REDUNDANTES
En orma es1ec7ica$ un miemro de cual0uier ti1o se clasiica como estáticamente indeterminado si la cantidad de reacciones incógnitas es ma/or 0ue la cantidad dis1onile de ecuaciones de e0uilirio. Las reacciones adiciones en los a1o/os sore la viga o e&e no se necesitan 1ara mantenerlas en e0uilirio estale$ / se llaman redundantes. La cantidad de redundantes se llama grado de indeterminación. Al hacer el análisis deen calcularse los esuer3os actuantes má8imos < σ max / τ max = / la deormación má8ima δ max . Estos valores deen ser menores 0ue los esuer3os / la deormación admisile 1ara 0ue sea segura / uncione correctamente. Sin emargo 1uede suceder 0ue sean ma/ores
ig.!.?
>ig.!? En este caso el dise9ador dee enrentar varias alternativas$ como camiar el material 1or uno más resistente o más r7gido seg4n sea el caso5 o aumentar la sección transversal de la viga 1ara incrementar su resistencia / rigide3. Sin emargo en muchas ocasiones no es 1osile camiar el material o las dimensiones$ teniendo as7 como 4nica alternativa 1ara aumentar la seguridad de la viga / su rigide3 será colocando un a1o/o adicional indeterminado C. >ig. 2?
>ig.2?
Los a1o/os redundantes garanti3an la estailidad en caso de allas. En general$ mientras más a1o/os redundantes tengan una viga o una estructura$ más segura será. Lógicamente tami6n tendrá un ma/or grado de indeterminación / 1or consiguiente el análisis será más largo$ 1uesto 0ue involucrará más ecuaciones. ;servemos como se otiene la ecuación adicional 0ue nos resuelve la indeterminación$ como se muestra en la >ig.%?
>ig.%?
>ig.%?
*ara determinar las reacciones sore una viga
MÉTODOS DE APLICACION
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
El m6todo de su1er1osición es una t6cnica 1ráctica de uso com4n 1ara otener dele8iones / ángulos de rotación de vigas. El conce1to su/acente es mu/ sim1le / se 1uede enunciar as7: En condiciones adecuadas$ la dele8ión de una viga 1roducida 1or varias cargas dierentes 0ue act4an de manera simultánea se 1uede determinar su1er1oniendo las dele8iones 1roducidas 1or las mismas cargas al actuar 1or se1arado Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distriuidas$ a menudo es conveniente calcular de manera se1arada la 1endiente / la dele8ión causadas 1or cada carga. La 1endiente / la dele8ión totales se otienen a1licando el 1rinci1io de su1er1osición / sumando los valores de la 1endiente o la dele8ión corres1ondiente a las diversas cargas. El m6todo de su1er1osición es de im1ortancia undamental en el análisis de arras$ armaduras$ vigas$ marcos / muchos otros ti1os de estructuras estáticamente indeterminadas. a hemos em1leado el m6todo de su1er1osición 1ara anali3ar estructuras estáticamente indeterminadas com1uestas de arras en tensión / com1resión / e&es en torsión. En esta sección a1licaremos el m6todo a vigas. Iniciaremos el análisis oservando el grado de indeterminación estática / seleccionando las reacciones redundantes. Luego$ al haer identiicado las redundantes$ 1odemos escriir ecuaciones de e0uilirio 0ue relacionen las otras reacciones desconocidas con las redundantes / las cargas. A continuación su1onemos 0ue tanto las cargas originales como las reacciones redundantes act4an sore la estructura lierada / encontramos las dele8iones su1er1oniendo las dele8iones se1aradas deidas a las cargas / a las redundantes. La suma de estas dele8iones dee ser igual a las dele8iones en la viga original. Sin emargo$ las dele8iones en la viga original
Los 1asos descritos en t6rminos generales en los 1árraos anteriores se aclaran considerando un caso 1articular$ el de una viga en voladi3o a1untalada 0ue so1orta una carga uniorme <igura a=. Eectuaremos dos Análisis$ el 1rimero con la uer3a de reacción RB seleccionada como la redundante / el segundo con el momento de reacción MA como el redundante.
>ig. ?
En este 1rimer e&em1lo seleccionamos la reacción RB en el a1o/o sim1le <igura a = como la redundante. Entonces$ las ecuaciones de equilibrio 0ue e81resan las otras reacciones desconocidas en t6rminos de la redundante son las siguientes:
Estas ecuaciones se otienen de ecuaciones de e0uilirio 0ue se a1lican a toda la viga considerada como un cuer1o lire <igura a= El 1aso siguiente es eliminar la restricción corres1ondiente a la redundante
Las relaciones fuerza-des1la3amiento 0ue dan las dele8iones
Al sustituir estas relaciones uer3aBdes1la3amiento en la ecuación de com1atiilidad da:
de donde se 1uede des1e&ar la reacción redundante:
Las reacciones restantes < RA / MA= se 1ueden encontrar con ecuaciones de e0uilirio. Conocidas todas las reacciones$ ahora 1odemos otener las uer3as cortantes / los momentos le8ionantes en toda la viga / tra3ar los diagramas corres1ondientes. Tami6n 1odemos determinar las deflexiones y pendientes de la viga original mediante el 1rinci1io de su1er1osición. El 1rocedimiento consiste en su1er1oner las dele8iones de la estructura lierada cuando se somete a las cargas 0ue se muestran en las iguras c / d. Tami6n 1odemos anali3ar la misma viga en voladi3o a1untalada seleccionando la reacción de momento MA como la redundante como se muestra en la imagen <igura =.
>ig. ?
El m6todo de su1er1osición descrito en esta sección tami6n se denomina método de la le8iilidad o m6todo de la uer3a. Este 4ltimo nomre se origina del uso de las cantidades de uer3a <uer3as / momentos= como las redundantes. Dado 0ue el m6todo de su1er1osición com1rende la su1er1osición de dele8iones$ solo es a1licale a estructuras linealmente elásticas.
EEM*L;: Calcular 1or el m6todo de su1er1osición las reacciones / el momento de em1otramiento de la viga continua de la igura. <ig. F=
Solución
[fg.
G δA1 + δA2 + δA3 + δA4 = 0
Situación de carga > ! ? a H !.m H .m c H %m + c H 0Jc H J% H !2t Mc H B0JcJ H BJ%J. H B!!tJm Ecuación de la elástica en el tramo AA!
l H !!m
/AA! H
q 24 EI
[(
/8H H
q 24 EI
[(
/8H H
x − a +
c 2
0 −1.5 +
)
(
4
3 2
+ 4∗ c∗( a − c )∗ 3∗b +
)
4
2
(
EI
Ecuación de la elástica en el tramo A!C /A!c H
/8H" H
2
( l − x ) ∗( 2∗b− a + x )
4∗3
2
Situación de carga > 2 ?
+c H * H t Mc H B*J H BJ2 H B!tJm Ecuación de la elástica en el tramo AK! 2
/AK! H
/8H H
1175
( 11− 6 ) ∗( 2∗9.5−1.5 + 6 )= EI 6 EI J
P b 6 EI 5∗2
2
6 EI
2
4
)
3
+ 8∗ b ∗ c
2
)
]
3 + 4∗3∗( 1.5−0 )∗ 3∗9.5 2+ +8∗9.53∗3
4248.5
q∗c 6 EI J
c
[ 3∗(l − x )−b ] [ 3∗(11−0 )−2 ]= 620 6 EI
4
]
2
5∗2
/8H " H
6 EI
[ 3∗(11−6 )−2 ]= 6260 EI
Situación de carga > % ?
+ c H B+ A MC H B+ AJl HB!!+ A Ecuación de la elástica en el tramo AC /Ac H
/8H H
P 6 EI
− R A 6 EI
− R A
/8H" H
6 EI
( l− x )2∗( 2∗l + x )
( 11− 0 )2∗( 2∗11+0 ) H ( 11− 6 )2∗( 2∗11+6 ) H
Situación de carga > ?
+ c H B+ K Mc H B+ KJl H BJ+ K Ecuación de la elástica en el tramo AK 2
/AK H
P b 6 EI
[ 3∗(l − x )−b ]
−2662 6 EI
−700 6 EI
∗ R A
∗ R A
/AK H
− R B 5 2
[ 3∗(11−0 )−5 ]
6 EI
H
−700 6 EI
∗ R B
Ecuación de la elástica en el tramo KC /KC H
P 6 EI
( l− x )2∗( 2∗b− a + x )
− Rb
2 /8H" H 6 EI J ( 11− 6 ) ∗( 2∗5−6 + 6 ) H
−250 6 EI
∗ R B
;KTE-CI- DE LA +EACCI;-ES: *ara ello$ tenemos en cuenta 0ue la deormación resultante de las Situaciones de carga en los a1o/os dee ser nula.
25491 6 EI 7050 6 EI
+
+
620
−
6 EI
260
−
6 EI
2662
700
6 EI
6 EI
700
∗ R A−
∗ R A −
6 EI
250
∗ RB =0
∗ R B= 0
6 EI
*or tanto: 2!"2 H 2"!!! H 2""2 J + A F J + K
F2" H F%! H FJ + A 2 J + K +A H N.%N t +K H ".F%2 t + C H !2B+ AB+ K H 2.2%t El momento en el em1otramiento será el momento resultante de las situaciones de carga:
MC H B!! B! NN.2 %%."" H B!.2 tJ m
EEM*L; 2 *ara la viga en voladi3o / la carga 0ue se muestran en la igura N$ determine la 1endiente / 6 dele8ión en el e8tremo C . ,se E H 2 O 10 1si.
[fg. Solucion 1
CH
2
d
H
1
( 44 ) H 22in 2
IH
π 4
c
4
H
6 −12 EI H ( 200 X 10 ) ( 183984 X 10 ) H %".N KNm
2
Caso ! de a1endice D * H .P- L H !m
π
(22 )4 H !N%N mm4 4
3
−( .5 ) (1 ) = =−4.529 X 10− m 3 EI 3 ( 36.8 ) 3
( yc )
− P L !
H
( θc )
3
2
−( .5 ) ( 1 ) = =−6.793 X 10− 2 EI 2 ( 36.8 ) 2
− P L
3
Tratar la 1orcion AK como una viga en voladi3o caso II Q H 2.P-#m L H .Fm
( y b ) 2 H
−( 2.6 ) ( .75 )4 =−2.794 X 10−3 m H 8 EI 8 ( 36.8 )
−w L 4
( θb ) 2 H
3 −w L3 −( 2.5 ) ( .75 ) = =−4.968 X 10−3 m 6 EI 6 ( 36.8 )
1orción KC mantiene recta 1ara la carga II LKC H .2m
( yc ) 2 H ( y b )
2
LKC ( θb )
2
H B.%"O
−3
10
m
( θc ) 2 H ( θb ) 2 H
−4.968 X 10−3 m *endiente en el e8tremo C
1or su1er1osicion$ θc =( θ c ) ! ( θc )
2
1or su1er1osicion$ y c =( y c ) ! ( y c )
2
−3
θc =−11.761 X 10 rad
Dele8ion en el e8trmo C −3
y c =−8.565 X 10 m
!
H
DOBLE INTEGRACION 2 El m6todo de integración re0uiere dos integraciones de la ecuación dierencial d v
dx
2
#
$ una ve3 en el momento interno M de la viga esta e81resado como unción de la
1osición 8. Sin emargo la viga es estáticamente indeterminada$ M tami6n se 1uede e81resar en unción de las redundantes desconocidas. Des1u6s de integrar dos veces esta ecuación$ hará 1ara determinar dos constantes de integración / sus redundantes. Aun0ue
este sea el caso$ siem1re se 1ueden determinar esas incógnitas a 1artir de condiciones de rontera /#o continuidad 1ara el 1rolema. *or e&em1lo en la viga de la >ig. ig. <=?. ,na ve3 elegida se 1uede e81resar el momento interno M en unción de la redundante$ / al integrar la relación entre el momento / el des1la3amiento$ se 1uede determinar entonces las dos constantes de integración$ / la redundante$ a 1artir de las tres condiciones de rontera vH en 8H$ dv#d8 H en 8H / vH en 8HL Se 1uede e81resar el momento M en unción de esa redundante.
>ig.
EEM*L; ! La viga mostrada >ig. !? está su&eta a la carga distriuida 0ue se muestra. Determinar las reacciones en A. EI es constante.
>ig. !?
A-ALISIS
D.C.L >ig. !? 3
x w0 ¿ L
6
M = A y x − 3
x w0 ¿ L 2 1 d v EI 2 = A y x − ¿ dx 6
24 w x
¿
0
4
L
+ c 1
dv 1 1 2 EI = A y x − ¿ dx 2 120 w x
¿
0
5
L 1
+ c 1 x + c 2 3
EI v = A y x − 6
1
¿
1
¿
Las tres incógnitas A y ,C 1 ,C 2 se determinan a 1artir de las condiciones de rontera: x =0, v = 0 ;x = L,
dy =0 y x = L, v =0 . dx
0 =0− 0 + 0 + c 2
x =0, v = 0 ;
24
x = L ,
¿ 1 1 0 = A y L − ¿ 2
dv =0 5 dx
120
¿
3
w0 L + c1 2
4
w0 L + c 1 L+ c 2 1
3
x = L , v =0 ; 0 = A y L − 6
1
¿
Se des1e&an. A y =
C 1 =
1 10
w0 L
−1 120
C 2 =0
w 0 L
3
R!" #
TEOREMA DE MOMENTOS DE AREA
E8iste un uen n4mero de m6todos dierentes 1ara determinar las 1endientes / las dele8iones de las vigas. El m6todo del área de momentos 0ue se 1resenta en esta sección es uno de los 0ue se usa más am1liamente usa las 1ro1iedades geom6tricas de la curva elástica / la relación con la variación del M entre EI a lo largo de la viga. ,na de las venta&as de este m6todo es 0ue es mucho más ácil de usar cuando las cargas son com1le&as. Sin emargo$ cada con&unto de cálculos 1roduce un valor num6rico 1ara la 1endiente o la dele8ión en un solo lugar$ en ve3 de una ecuación 1ara la 1endiente o la dele8ión de un segmento continuo de viga. La acilidad de los cálculos / lo 1ráctico de su uso son las ra3ones 1rinci1ales de 1o1ularidad del m6todo de área de momentos 1ara calcular dele8iones en vigas.
EL PRIMER TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS
*ara ilustrar el 1rinci1io del 1rimer teorema del área de momentos consideremos una viga recta. +om1emos la viga en los 1untos K$ C / D$ / soldamos los segmentos r7gidamente$ los tramos de la viga donde se hicieron las ru1turas son rectos$ 1ero se han introducido 1e0ue9os ángulos en las &untas. A 1artir de la igura vemos 0ue el camio en la 1endiente entre dos 1untos cuales0uiera es la suma de los camios angulares entre estos 1untos. *or e&em1lo$ el camio en la 1endiente entre el segmento DE / el segmento AK es igual a R K R C R D. ,na viga cargada es seme&ante a la ig. F.!! e8ce1to 0ue su curva elástica camia continuamente. El cambio en pendiente entre dos puntos cualesquiera de una via carada es también la suma de los cambios anulares entre las dos secciones .
>ig. !!?
Estos camios angulares 1ueden calcularse usando dR H M d8 entre EI. *or e&em1lo en la ig. F.!2 se indica la curva elástica de una viga. El camio en 1endiente entre dos lugares cuales0uiera$ tales como los 1untos A / K 1uede otenerse calculando dR H M d8 entre EI entre estos dos 1untos. Esto se convierte en d θ=¿ θB
∫¿
xB
M dx ∫ EI xA
θA
xB
RK RAH
M dx ∫ EI xA
El camio n 1endiente entre dos 1untos de una viga$ RK RA es igual al valor de la integral. La integral re1resenta el área a&o el diagrama de momentos entre los 1untos A / K dividida entre EI. El 1rimer teorema del área de momentos se enuncia como sigue: El cambio en pendiente de la curva el!stica de una via entre dos secciones cualesquiera es iual al !rea ba"o el diarama M #E$ entre dic%as secciones&
>ig. !2? EJEMPLO: Determinar
el camio en 1endiente entre los 1untos K / C de la viga en
voladi3o indicada dar la res1uesta en unción de EI. SOLUCION
A 1artir del 1rimer teorema del área de momentos$ la dierencia de
1endientes entre K / C es igual al área a&o el diagrama M #EI$ com1rendida entre esos 1untos. As7:
−24 1 RC RK ¿ 2 < EI =<"= −72 1 RC RK ¿ 2 < EI =rad. El signo negativo
RC ¿− EI 288
RC ¿− EI rad#
SEGUNDO TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS
Consid6rese la viga discutida en la sección anterior$ 1ero con la nomenclatura adicional. *or geometr7a su1oniendo 0ue los ángulos son mu/ 1e0ue9os$ 1odemos determinar la desviación del 1unto * con res1ecto a la tangente tra3ada 1or K
P P2 = P P¿
P P2 =θB X 1+ θB X 2 .
Esta e81resión matemática dice 0ue la desviación de cual0uier 1unto * con res1ecto a la tangente tra3ada 1or otro cual0uiera K$ es igual al momento estático de cada una de las variaciones angulares com1rendidas entre esos 1untos$ con res1ecto al 1unto *. Este es el 1rinci1io del segundo teorema del área de momentos$ 0ue se estalecerá a continuación en orma más 4til. ,na viga cargada es seme&ante a la de la ig. F.!%$ e8ce1to 0ue su curva elástica camia M dx
continuamente. La variación angular entre dos secciones cuales0uiera es dR ¿ EI
>ig. !%?
La desviación de cual0uier 1unto situado sore una viga cargada con res1ecto a la tangente tra3ada 1or cual0uier otro 1unto$ se 1uede e81resar$ entonces$
Como:
dx dθx =¿ M x, EI P / B =¿ ¿ $ ¿
Donde:
P / B =¿ desviación de cual0uier 1unto * medida a 1artir de la tangente tra3ada $ ¿
∫
∫
en K$ dx x , =¿ ∫ M EI
Momento estático del área a&o el diagrama M ¿ EI com1rendida entre
* / K$ con res1ecto a *. As7$ un enunciado más 4til del segundo teorema del área de momentos es: La desviación tangencial de cualquier punto P situado sobre la elástica de una viga con respecto a la tangente trazada por cualquier otro punto de la elástica, es igual al momento estático, con respecto a P, del área bajo el diagrama M entre esos puntos.
¿ EI comprendida
EEM*L; Determinar la desviación del e8tremo C con res1ecto a la tangente tra3ada en el 1unto K$ de la ig F.! la viga indicada dar la res1uesta en unción de EI.
>ig. !?
SOLUCION
A 1artir del segundo teorema del área de momentos$
C / B=¿ Momento del área a&o el diagrama M ¿ EI entre C / K con res1ecto a K. $ ¿ C / B=¿ ! ¿ 2< $ ¿
−24 / EI
@rea C / B=−¿
=<"= 8 2 ¿ %<"=
Kra3o de 1alanca
288
EI
$ ¿
El signo menos signiica 0ue el 1unto C esta en dirección negativa
TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS APLICADOS A VIGAS EN VOLADIZO.
Los teoremas del área de momentos son 1articularmente 4tiles 1ara calcular 1endientes / dele8iones de vigas en voladi3o. Los e&em1los siguientes se escogieron 1ara ilustrar el uso del teorema / 1ara indicar algunos de los as1ectos 0ue causan recuentemente alguna diicultad. EJEMPLO.- Calcular
la dele8ión en el e8tremo lire de la viga mostrada en la ig. ! dar
una res1uesta en t6rminos de EI de la viga.
>ig. !?
SOLUCION
La viga / su orma le8ionada se muestran a0u7 en dos diagramas se1arados$ aun0ue generalmente es más conveniente usar una sola igura. Tami6n$ como ilustración$ se tra3aron los diagramas de momentos / de M#EI en dos iguras se1aradas$ aun0ue solamente es necesario un diagrama en casos de EI constante. La tangente a la elástica está tra3ada en A. El 1unto A se eligió deido a 0ue se sae 0ue la tangente tra3ada en el 1unto es hori3ontal <*endiente cero=. En este caso$ la desviación
tangencial es la dele8ión real$ deido a 0ue la tangente en A / el e&e de la viga no le8ionada coinciden. A1licando el segundo teorema de área de momentos$ % B=¿ Momento del área a&o el diagrama M ¿ EI$ con res1ecto a K
¿
1 2
− PL < EI =
@rea
2 3 L
=
Kra3o De 1alanca
%B=
− PL3 3 EI
NOTA.- El signo menos indica que la desviación esta debajo de la tangente de reerencia.
EEM*L;
Determinar la 1endiente$ en radianes$ / la dele8ión$ en 1ulgadas$ del e8tremo lire de la 2 viga mostrada en la ig. F.!" la viga es una . ! O 2 con E ¿ % $ Pl ¿ "l&
>ig. !"? Se tra3a otra ve3 la tangente en el a1o/o em1otrado$ 1ues se sae 0ue la 1endiente ah7 es nula. En t6rminos generales es más ácil conservar el t6rmino EI hasta los cálculos inales$ 0ue usar los valores num6ricos desde las 1rimeras eta1as. El cálculo num6rico es menos di7cil si se hace esto. A1licando el segundo teorema de área de momentos$ % B=¿ Momento del área a&o el diagrama M ¿ EI entre A / C$ con res1ecto a C.
¿
− 48 < EI =<"=<%
1 2
%c =
2 3
x 6 =
−1800 EI
*ara hallar la dele8ión en 1ulgadas$ deemos eectuar un análisis dimensional 1ara determinar los actores de conversión adecuados. Calculamos 0ue 1
%B=
(−48 KLb # '$ ) ( 6 ($ ) (7 ($ ) 3 2 .000252 = ($ / "l& ( 30000 Klb / "l&2) (133.2 "l&4 ) 2
3 3 Multi1licando este valor 1or el acto de conversión !F2N "l& / ($
%c =¿ .22
3
($ / "l&
2
2 Si E se e81resa en Pl ¿ "l&
3
3
3
8 !F2N "l& / ($
% c =¿ .% 1lg
M en L .t deemos usar el actor de conversión !F2N
3
"l& / ($ 1ara otener la res1uesta en 1ulgadas.
*ara determinar la 1endiente$ dee usarse el 1rimer teorema de áreas de momento. Como la 1endiente en A es RA ¿ $ La variación de 1endiente entre A / C da la 1endiente real en C $ RC : RC RA ¿ área a&o el diagrama M ¿ EI com1rendida entre A / C. Cominando los cálculos / el análisis dimensional nos da: 1
RC ¿
(− 48 KLb # '$ ) ( 6 ($ ) =−.0000360 ($ 2 / "l&2 2 4 (30000 Klb / "l& ) (133.2 "l& ) 2
Como se 0uiere e81resar el resultado en radianes$ 0ue es una cantidad sin dimensiones$ 2 2 usamos el actor de de conversión ! ($ / "l& / otenemos:
2 2 2 2 RC ¿ .%" ($ / "l& O ! ($ / "l& $ RC ¿ .!N rad
El signo menos 0ue a1arece en los 1rimeros cálculos / 0ue se ha eliminado 1or conveniencia en la res1uesta inal$ sim1lemente indica 0ue la variación de la 1endiente es en el sentido negativo
METODO DEL AREA DE MOMENTOS APLICADO A VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS.
El m6todo del área de momentos tami6n 1uede a1licarse al cálculo de dele8iones / 1endientes de vigas sim1lemente a1o/adas. Sin emargo$ en este caso se necesitan más
consideraciones geom6tricas 0ue en el caso de vigas en voladi3o$ 1ues la tangente a la elástica no coincide con la 1osición no le8ionada de la viga. Los e&em1los de esta sección se ilustran algunas soluciones 1ara 1rolemas de este ti1o.
EJEMPLO
Calcule la dele8ión en el centro / la 1endiente en los e8tremos de la viga en t6rminos de EI. <ig. !F=
>ig. !F?
SOLUCION
*or simetr7a$ se sae 0ue la tangente n K es hori3ontal. *or consiguiente$ se escoge K como el 1unto situado sore la curva elástica 1or el cual se tra3a la tangente. *odemos otener la desviación de A a 1artir de la tangente a la elástica tra3ada en K < $ A / B = A1licando el segundo teorema de área de momentos.
Considerando la geometr7a de la viga le8ionada$ la dele8ión 1edida $ A / B .
% B es igual a
As7: $ A / B =¿ Desviacion de A con res1ecto a la tangente tra3ada en K$ $ A / B =¿ Momento del área a&o el diagrama M ¿ EI com1rendida entre A / K$ con
res1ecto al área somreada. PL L 2 L )( )( X ) 2 4 EI 2 3 2 1
$ A / B = (
3
PL $ A / B = 48 EI
La res1uesta es 1ositiva /a 0ue el 1unto A 0ueda 1or encima de la tangente tra3ada en K. La dele8ión en el centro del claro es$ entonces$ % B=¿ * L /¿ NEI. 3
Se determina la 1endiente en A a1licando el 1rimer teorema del área de momentos entre A / K$ teniendo en cuenta 0ue RC ¿ . 1
RA RK ¿ 2 < 2
PL RA ¿ 16 EI
− PL 4 EI
L
=
2
¿
=
EJEMPLO
Calcule la dele8ión en el centro del claro de la viga mostrada en la igura.
>ig. !N? SOLUCION
Se desconoce la 1osición del lugar donde la 1endiente es cero$ de modo 0ue la dele8ión en el centro del claro$ %C . Dee determinarse indirectamente. La relación geom6trica 0ue se usara en este caso$ se e81resa matemáticamente como % c =¿ U −$ C / A . Deen calcularse tanto U como $ C / A . La cantidad U 1uede determinarse de la manera siguiente. Trácese la tangente en A / hállese
$ B / A A1licando el segundo teorema del área de
momentos K / A. A 1artir de los triángulos seme&antes AKKV / ACCV 1ueden hallarse 1or U 1or 1ro1orción sim1le como se indica en los cálculos siguientes: $ B / A =¿ Momento de todo el diagrama M ¿ EI$ con res1ecto a K
¿
1
¿
360
2
24
< EI =<"=<% 72
=
EI EI
1
24
x 6 = < 3 EI =<%=<
2 3
x 3 =
432
EI .
*or los triángulos seme&antes ACCV / AKKV 1 216 $ ¿ ¿ B A / U 2 t . U EI
Determ7nese
$ B / A .
A1licando el segundo teorema del área de momentos entre C / A
$ B / A =¿ momento del area somreada$ con res1ecto a C
¿
¿
( )
1 18 2
EI
( 4.5 ) ( 1 x 4.5) 3
60.75
EI
L a d6le8ion re0uerida % c =¿ U −$ c / A
¿
216
EI
−
60.75
EI
%c =
155.25
EI
.
VIGAS CONTINUAS
Los 1rinci1ios de la estática 1ermiten calcular todas las uer3as / momentos de reacción con las ecuaciones de e0uilirio clásicas 1or0ue ha/ dos incógnitas / dos ecuaciones inde1endientes dis1oniles con las cuales se 1ueden determinar las incógnitas. Las vigas como esas se llaman estáticamente determinadas. En contraste$ las vigas continuas tienen a1o/os adicionales$ 1or lo 0ue se re0uieren eno0ues dierentes cuando se trata de anali3ar las uer3as / momentos de reacción estas se llaman vigas estáticamente indeterminadas. La igura ! muestra un e&em1lo de una viga continua con tres a1o/os.
>ig. !?
CONCLUSIONES
;SCA+: Todos estos m6todos tienen como in resolver 1rolemas de vigas ha/ algunos 0ue tienen sus venta&as res1ecto a otros ha/$ otros 1ero de igual orma es necesario conocerlos 1ara 1oder resolver más com1le&os en los 0ue no 1uedas utili3ar solo un m6todo.
DIE(;: Estos m6todos tienen grandes a1licaciones deido a su eiciencia 1ara la resolución / el me&oramiento de 1rolemas en todo ti1o de estructuras / es un tema 0ue a1lica
