TABLA A.1 VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCIONES EN APOYOS Pb L Pa L
RA
M
Pab L
RB
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS
1
P a ª b L a º 2 » « 3L EI ¬ 3 ¼
3
1
3
ª b L a º 2 » ; f « 3 ¼ ¬
a b ; XB
ª a L b º 2 P b ª a L b º 2 » » ; f « « 3 3L EI ¬ 3 ¼ ¼ ¬ P a b L b P a b L a ; TB 6 L EI 6 L EI
a!b ; XA
TA
M
RA
PL 4
RB
P 2
XA
L 2
XB
TA
M
RA
Pa
RB
P XA
L 2
XB
M
RA
PL 2
RB
3P 2
XA
TA
n
L a
n
2k
;
M
n
2k 1 ;
M
n PL 8 2 n 1 PL 8n
RA
RB
n 1 P 2 XA
19 P 3 L 384 EI
f
;
5 P L2 32 EI
TB
n
2k ;
n
2k 1 ; f
f
5 n 2 4 P L3 384 n EI
5 n 1 n 1 P L 2
TA TB
n
L a
n
2k
;
M
n
2k 1 ;
M
n PL 8 2 n 1 PL 8n
RA
RB
n P 2 XA
XB
2
384 n 3
3
EI
n 2 1 P L2 24 n EI
n 4 6n 3 2n 2 4n 4 P L3 EI 384 n 2
n
2k ; f
n
2k 1 ; f
L 2
TA TB
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
P a L a 2 EI
L 2
XB
Pa 3L2 4a 2 24 EI
f
;
L 2
XB
P L2 16 EI
TB
T A TB
P L3 48 EI
f
;
5n 4 2n 2 1 P L3 EI 384 n 3
2 n 2 1 P L2 48 n EI
TABLA A.2 VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO 1 2 qL 8
M
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCIONES EN APOYOS qL R A RB 2
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS
XA
L 2
XB
TA
RA a L b
XD
2L
;M
q a 2 L b 2 8 L2
RB
q a L b 2L qa
2
2L
q c L c 2
RA
RB
l/2
ª 2 L2 a 2 º qa2 « » ;f 6 6 »¼ ¬« 58,575 L 8,575 a ; a ! 0,4531 L ; X B 100 4 qL § · a ¨¨13,5734 0,5526 ¸¸ f L 10 3 EI © ¹ q a2 L § a· ¨ 2 ¸¸ L¹ 24 EI ¨©
XA
L
XB
M
2ac ; L § b c ac · 2 ¸¸ 2 q a c¨¨ L ¹ © L ac
M
q L2 12
RA RB
2 q c L a L 2 q c L b L
TA
RA
RB
q b c L §¨ b2 c2 · 1 2 2 ¸ ; TB 3 EI ¨© L L ¸¹
qL 4 XA
L 2
XB
;
TB
3/ 2
q c L3 ª c 2 § c ·º «1 ¨ 2 ¸¸» 24 EI «¬ L2 ¨© L ¹»¼
q c L2 §¨ c2 34 2 24 EI ¨© L
TA
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
; TB
f
;
2
ª 2 L2 a 2 º « » 6 »¼ ¬«
q a 2 L §¨ a2 · 2 2 ¸ 24 EI ¨© L ¸¹
2
qc
T A TB
XD
q L3 24 EI
TB
a 0,4531 L ; X B
TA
M
5 q L4 384 EI
f
;
· ¸ ¸ ¹
q a c L §¨ a2 c2 · 1 2 2 ¸ 3 EI ¨© L L ¸¹
f
5 q L3 196 EI
q L4 120 EI
TABLA A.3. VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCIONES EN APOYOS
1/ 2
XD
§ 3L 2a · ¸ a¨ ¨ 3L ¸ © ¹
M
q a2 § 3L 2a · ¨ ¸ 3 ¨© 3 L ¸¹
; 3/ 2
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULOS DE GIRO EXTREMOS
RA
q a 3 L 2 a 6L
a 0,4607 L; X B
RB
q a2 3L
a ! 0,4607 L ;
XE
M
qb 6L q b 3 L b 6L 2
RA RB
f
TA
5 q L2 48
12 a
RA
RB
45 a L 40 L2 q a 2
2
360 EI L
b 0,4396 L ;
f
M
q b 2 ª 10 L2 3 b 2 « 18 EI L «¬ 30
a!b ; M
mb L ma L
RA
RB
10 L
2
3b 2 q b 2
· ¸ ¸ ¹
b a; XB
§ L2 3 b 2 L¨ ¨ 3 ©
· ¸ ¸ ¹
6 EI L
90 EI L
l/2
;
2
f
15 b L 3 b 2 q b 2 360 EI L
61q L4 5,760 EI
q L3 30 EI
TB
§ L2 3 a 2 L¨ ¨ 3 ©
m L2 3 b 2
20 L
;
a b; XA
TA
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
; TB
L 2
XB
º » »¼
3a 2 q a 2
2
§ b· ¨¨1,2527 0,7334 L ¸¸ L ; © ¹
XA
360 EI L
XA
3/ 2
3/ 2
q L4 § · b ¨¨ 8,267 L 1,745 ¸¸ 10 3 EI © ¹
qL 3
m L
º » »¼
5 L
; TB
ª 10 L2 3 b 2 « 30 «¬
XA
TA
a b ; M
qa 2 ª 5L2 3a 2 º « » 9 LEI ¬« 15 ¼»
;f
§ · a ¨¨1,593 1,0737 ¸¸ L ; L © ¹
Xa
b ! 0,4396 L ;
Carga parabólica
l/2
q L4 § a· ¨¨ 4,117 2,405 L ¸¸ 10 3 EI © ¹
f
TA
§ b ·¸ ; b¨¨1 ¨ 3 L ¸¸ ¹ © 3/ 2 ª § b · º» qb2 « a ¸ 2¨¨ ¸ » 6 «L 3 L ¹ ¼» © ¬«
ª 5L2 3a 2 º « » 15 ¬« ¼»
1/ 2
;f
m §¨ L2 3 a 2 3 EI L ¨© 3
· ¸ ¸ ¹
;f
m 3 EI L
§ L2 3 b 2 ¨ ¨ 3 ©
· ¸ ¸ ¹
1/ 2
; TB
m L2 3 a 2 6 EI L
3/ 2
3/ 2
TABLA A.4 VIGA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto SOLICITACION
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
REACCIONES EN LOS APOYOS
P ab2
M AE
L
2
M BE
P a2 b
L2
M AE
PL 8
M BE
PL 8
M AE
P a L a L
M BE
RA
p
b2 § b· ¨¨ 3 2 ¸¸ L¹ L2 ©
RB
p
a2 § a· ¨¨ 3 2 ¸¸ L¹ L2 ©
RA
P 2
RB
P 2
RA
P
RB
P
P a L a L
M AE
5P L 16
M BE
5P L 16
RA
3P 2
RB
3P 2
n° de fuerzas = n-1
M BE
P L n2 1 12 n
M AE
P L n2 1 12 n
RA
n 1 P 2
RB
n 1 P 2
n° de fuerzas = n-1 M AE
M BE
M AE
M BE M AE
M BE
P L 2n2 1 24 n
P L 2n2 1 24 n
q L2 12
q L2 12
q a2 ª a§ a ·º «6 ¨¨ 8 3 ¸¸» 12 ¬« L© L ¹¼»
q a3 § a· ¨ 4 3 ¸¸ 12 L ¨© L¹
RA
n P 2
RB
n P 2
RA
qL 2
RB
qL 2
RA
qa ª a2 § a ·º «2 2 ¨¨ 2 ¸¸» L ¹»¼ 2 ¬« L ©
RB
q a3 § a· ¨¨ 2 ¸¸ L¹ 2 L2 ©
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
TABLA A.5 VIGA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto SOLICITACION
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
M AE
qc 3 L2 4 c 2 12 L
M BE
qc 3 L2 4 c 2 12 L
M AE
§ b 2 c 2 3b L · ¸ 2qc¨a 2 2 ¨ L 3 ¸¹ L ©
M BE
§ a 2 c2 3a L · ¸ 2 q c ¨ b 2 2 ¨ L 3 ¸¹ L ©
M AE
5 q L2 96
M BE
RA RB
q L2 30
M BE
RA
qc
RB
qc
ª a2 c2 a § a2 c2 2 q c «1 3 2 2 2 ¨ 2 2 « L ¨© L L L L ¬ 2 2 ·º ª a2 c2 § a a c 2 q c «3 2 2 2 ¨ 2 2 ¸» « L L ¨© L L L ¸¹»¼ ¬
5 q L2 96
M AE
q L2 20
RA
qL 4
RB
qL 4
RA
3 qL 20
RB
7 qL 20
RA
qa ª a2 § a ·º «10 2 ¨¨15 8 ¸¸» L ¹»¼ 20 «¬ L ©
q a3 § a· ¨ 5 4 ¸¸ L¹ 20 L ¨©
RB
q a3 § a· ¨¨15 8 ¸¸ L¹ 20 L2 ©
M AE
q b3 § b· ¨ 5 3 ¸¸ 60 L ¨© L¹
RA
q b3 § b· ¨¨ 5 2 L ¸¸ 20 L2 © ¹
M BE
RB
qb ª b2 § b ·º «10 2 ¨¨ 5 2 ¸¸» L ¹»¼ 20 «¬ L ©
M AE
q a2 30
M BE
ª a§ a ·º «10 ¨¨15 6 ¸¸» L© L ¹»¼ «¬
qb2 60
§ b2 a· ¨3 10 ¸ ¨ L2 L ¸¹ ©
Carga parabólica M AE
q L2 15
M BE
q L2 15
RA
qL 3
RB
qL 3
M AE
m
b§ b· ¨ 2 3 ¸¸ L ¨© L¹
RA
m
M BE
m
a§ a· ¨ 2 3 ¸¸ L ¨© L¹
RB
m
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
REACCIONES EN LOS APOYOS
6ab L3 6ab L3
·º ¸» ¸» ¹¼
TABLA A.6 VIGA APOYADA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA
P, q y segmentos en valor absoluto SOLICITACION
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
REACCIONES EN LOS APOYOS
P a b L b
ME
RA
P b §¨ b2 · 3 2 ¸ 2 L ¨© L ¸¹
RB
P a2 § a· ¨¨ 3 ¸¸ L¹ 2 L2 ©
2 L2
RA
11 P 16
RB
5 P 16
3 PL 16
ME
3 P a L a 2L
ME
RA
Pª a§ a ·º «2 3 ¨¨1 ¸¸» L© L ¹»¼ 2 ¬«
RB
P 2
ª a§ a ·º «2 3 ¨¨1 ¸¸» L© L ¹»¼ «¬ RA
63 P 32
RB
33 P 32
15 PL 32
ME
n° de fuerzas = n-1 RA
n 1 5 n 1 P
RB
n 1 3 n 1 P
8n
n2 1 PL 8n
ME
8n
n° de fuerzas = n-1 10 n 2 1 P 16 n
RB
6n2 1 P 16 n
2n 1 PL 16 n
ME
ME
ME
RA 2
RA
5 qL 8
RB
3 qL 8
1 2 qL 8
q a 2 L b
RA
q a §¨ b2 ·§ b· 5 2 ¸ ¨¨1 ¸¸ 8 ¨© L¹ L ¸¹ ©
RB
q a3 § a· ¨¨ 4 ¸¸ L¹ 8 L2 ©
2
8 L2
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
TABLA A.7 VIGA APOYADA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
RA
q b §¨ b · 6 2 ¸ 8 L ¨© L ¸¹
RB
qb ª b§ b 2 ·¸º «8 ¨ 6 » 8 « L ¨© L2 ¸¹»¼ ¬
2
qb
ME
2 L
2
2
8 L2
b2
qc 3 L2 4 c 2 8L
ME
qbc
ME
L2
M
RA RB
q c §¨ c2 · 11 4 2 ¸ 8 ¨© L ¸¹
RB
q c §¨ c2 54 2 8 ¨© L
RA
21 qL 64
RB
11 qL 64
RA
9 qL 40
RB
11 qL 40
RA
2 qL 5
7 q L2 120
q L2 25 RB
ME
qa 120
2
ME
2 § ¨5 3 b 2 ¨ L ©
10
qa ª a2 § a ·º «20 2 ¨¨15 4 ¸¸» L ¹»¼ 20 ¬« L ©
RB
q a3 § a· ¨¨15 4 L ¸¸ 40 L2 © ¹ 2 · § ¨5 b ¸ 2 ¸ ¨ L © ¹
RA
q b2 10 L
RB
qb ª b§ b 2 ·¸º «5 ¨ 5 » 10 « L ¨© L2 ¸¹»¼ ¬
· ¸ ¸ ¹
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
qL
RA
ª a§ a ·º «40 3 ¨¨15 4 ¸¸» L© L ¹»¼ «¬
qb2 30
· ¸ ¸ ¹
ª a2 c2 a § a2 c2 q c «2 3 2 2 ¨ 2 2 « L ¨© L L L L ¬ 2 2 ª a2 c2 a§a c ·º q c «3 2 2 ¨ 2 2 ¸» « L L ¨© L L L ¸¹»¼ ¬
5 q L2 64
ME
2
RA
2
E
ME
>a L b c @
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
REACCIONES EN LOS APOYOS
·º ¸» ¸» ¹¼
TABLA A.8 VIGA APOYADA EMPOTRADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
qb2 120
ME
ME
2 § ¨10 3 b 2 ¨ L ©
REACCIONES EN LOS APOYOS
RA
q b 2 §¨ b2 · 10 2 ¸ 40 L ¨© L ¸¹
RB
qb ª b§ b 2 ·¸º » «20 ¨10 40 « L ¨© L2 ¸¹»¼ ¬
RA
qa ª a2 § a ·º «20 2 ¨¨ 5 ¸¸» L ¹»¼ 40 ¬« L ©
RB
q a3 § a· ¨¨ 5 L ¸¸ 40 L2 © ¹
· ¸ ¸ ¹
qa ª a§ a ·º «20 3 ¨¨ 5 ¸¸» 120 ¬« L© L ¹»¼ 2
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
Carga parabólica
ME
M
E
m §¨ b2 1 3 2 2 ¨© L
M
RA
13 qL 30
RB
7 qL 30
q L2 10
E
· ¸ ¸ ¹
RA
a· 3 ma § ¨ 2 ¸¸ L¹ 2 L2 ¨©
RB
m 2
a· 3 ma § ¨ 2 ¸¸ L¹ 2 L2 ¨©
RA
3 m 2 L
RB
3 m 2 L
CALCULO DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO DE UNA VIGA APOYADA-EMPOTRADA EN FUNCIÓN DE LOS MOMENTOS DE EMPO TRAMIENTO PERFECTO.
ME
M AE E B M BE
ME
M AE
FUENTE: Jiménez Montoya – García Meseguer – Morán Cabre
1 E MB 2
TABLA A.9 VIGA EN VOLADIZO DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA P, q y segmentos en valor absoluto
SOLICITACION
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES MOMENTO MAXIMO M
M
M
M
M
M
M
M
DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES REACCION EN APOYO
Pa
R
PL
1 2 qL 2
1 q a2 2
2qca
1 2 qL 6
1 2 qL 6
m2
R
R
R
R
FLECHAS MAXIMAS ÁNGULO DE GIRO EXTREMO
P
f
Pa2
T
P a2 2 EI
P
qa
1 qL 2
R
P L3 3 EI
T
P L2 2 EI
f
q L4 8 EI
T
q L3 6 EI
f
q a3
T
q a3 6 EI
0
4L a 24 EI
f
§ q c a 2 ª §¨ c 2 ·¸ c 2 ·º «L 3 a ¨1 2 ¸ » ¨ 3 EI « ¨© a 2 ¸¹ a ¸¹»¼ © ¬
T
q a 3 15 c 3 3 a c a c 6 EI
>
@
1 qL 2
R
f
qL
2qc
R
3L a 6 EI
f
q L4 30 EI
T
q L3 24 EI
f
q a3 5 L a 120 EI
T
q a3 24 EI
f
ma 2 L a 2 EI
T
ma EI
