Vibraciones Mecánicas 5ta Edicion Singiresu S. Rao Esp

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Q U I N T A

E D I C I Ó N

VIBRACIONES MECÁNICAS S I N G I R E S U

S.

RAO

http://librosysolucionarios.net ALWAYS LEARNING

PEARSON

M a s a s e q u iv a le n te s , r e s o r te s y a m o r tig u a d o r e s M asas equivalentes M .'X M IM IM

<

=

M asa (M ) fija en e l extrem o d e un resorte d e m asa m

-

Viga e n voladizo d e m asa m c o n una carga

D •

t

M e n su extrem o libre

= M + j

m ,v = M + 0.23 m

> i

Viga sim plem ente apoyada d e m asa m con una c a rg a M a la mitad

m ,q = M + 0 . 5 m

M asas translacionalcs y rotacionales

R' Jrq = Jq + m R 7

m, m2 "!l □ ______□ _______ □ ■*- / | -*1

M asas sobre u n a ba rra co nectada a la bisagra

m«*i = mi +

V arilla som etida a una carga axial
*

R esortes equivalentes

V arilla ahusada som etida a u n a carga axial (D , d = diám etros extrem os)

TtE D d Al

Resorte helicoidal som etido a una carga M M IM U

a x ia l (d = diám etro d e l alam bre. D = diám etro d e esp ira m edio, n = cantidad de v ueltas activas)

Viga d o blem ente em p o trad a con u n a carga a la m itad

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QUINTA EDICIÓN Sing iresu S . Rao U n iv e rsity o f M ia m i

TRA D U CCIÓ N

R o d o lfo N a v a r r o S a la s In g e n ie ro M ecánico U niversidad N a c io n a l A u tó n o m a d e M éxico

R E V ISIÓ N TÉCN ICA

D a v id S e p ú lv e d a G a rc ía E scuela S u p e rio r de Ingeniería M ecánica y E léctrica U nidad P ro fesio n a l A zcapotzalco In s titu to P olitécn ico N a c io n a l

R ic a rd o R o d r íg u e z F ig u e r o a D e p arta m e n to d e In g e n ie ría M ecatrónica In stitu to T ecnológico d e Coacalco

G a b r ie la d e l V alle D ía z M u ñ o z D e p arta m e n to d e C iencias B ásicas U niversidad A u tó n o m a M etropolitana U nidad A zc a p o tza lc o

PEARSON http://librosysolucionarios.net

Dalos de catalogación bibliográfica R A O , S I N G I R i S l ) S. V ib ra cio n es m ec án ic as Q uinta edición PE A R S O N ED U C A C IÓ N . M éxico. 2012 ISBN: 978-607-32-0952-6 Área: Ingeniería fo rm ato 20 x 25.5 cm

fó g in as: 776

A uthorized translation fro m tlie E nglish language edition en titled M echanical V ibralions. 501 Edition. by Singiresu S. R ao. published by fo a rso n E ducation, Inc., publishing a s Prcnticc H all. C opyright O 2011. All rights rcscrvcd. IS B N 9780132128193

T raducción autorizada d e la edición e n idiom a ingles titulada M echanical V ibralions, 5* edición, p o r Singiresu S. R ao, publicada por fo a rso n E ducation. Inc., publicada com o Prentice Hall. C opyright © 2 0 1 1. T odos los derech o s reservados.

E sta edición e n esp añ o l e s la ú nica autorizada. D irección general: D irección d e E ducación Superior:

L aura K ocstinger M ario C ontreras

E d ito r

L uis M iguel C ruz Castillo c-m ail: luis.cruz@ pearson.com B em ardino G utiérrez H ernández Juan Jo sé G arcía G uzm án

E ditor d e desarrollo: S upervisor d e producción: G erencia editorial E ducación S u p e rio r Latinoam érica: M arisa d e Anta Q U IN TA E D IC IÓ N . 2012

D .R . © 2 0 1 2 por fo a rso n Educación d e M éxico, S.A . d e C.V. A üacom ulco 500. 5o. piso C ol. Industrial Atoto, C.P. 53519 N aucalpan d e Ju árez, Estado d e M éxico C ám ara N acional d e la Industria Editorial M exicana. Rcg. N úm . 1031 R e se n a d o s todos los derech o s. Ni la totalidad ni parte d e esta p u blicación pueden reproducirse, registrarse o transm itirse, por un sistema de recuperación d e inform ación, e n ninguna form a ni p o r ningún m edio, sea electrónico, m ecánico, fotoquím ico, m agnético o clcctroóptico. por fotocopia, grabación o cu alq u ier otro, sin perm iso previo p o r escrito d e l editor. E l préstam o, a lq u ile r o cualquier o tra form a d e cesión d e u so d e e s te ejem plar requerirá tam bién la autorización d e l e d ito r o d e sus re presentantes. IS B N VERSIÓN IM PRESA : 978-607-32-0952-6 IS B N V ERSIÓ N E-B O O K : 978-607-32-0953-3 IS B N E -C H A PTE R : 978-607-32-0954-0 Im preso e n M éxico. Prinied in M éxico.

PEARSON

w w w .p e a rso n e d u ca cio n .n e t


A Lord Sri Venkatesuiara


CONTENIDO P r e f a c io

L IO

x iii

R e c o n o c im ie n to s L ista d e s ím b o lo s

M o v im ien to a rm ó n ic o

51

1.10.1

R epresentación vectorial d e l m ovim iento

1.10.2

R epresentación p o r medio

arm ónico

xviii

52

de núm eros com plejos

xviii

del m ovim iento arm ónico CAPÍTULO 1______________________________________________

F u n d a m e n t o s d e v ib r a c ió n

2

1.1

C o m e n ta rio s p re lim in a re s

3

12

B rev e h isto ria d e l e stu d io d e la v ib ra c ió n

13 1.4

13

1.11 4

1.2.1

O rígenes d e l estudio d e la vibración

1.2.2

D e G alilco a R aylcigh

1.2.3

C ontribuciones recien tes

4

6

V ibración

13

1.4.2

P artes elem entales

1.4.3

de sistem as vibratorios 13 C antidad d e grados d e lib ertad

14

1.4.4

Sistem as discreto s y con tin u o s

15

1.5.2

V ibración no am ortiguada

1.5.3

y am ortiguada 16 V ibración lineal y no lineal

1.5.4

V ibración dctcrm inística y aleatoria

E lem en to s d e r e s o r te 1.7.2

L aicalización d e un resorte no lineal

1.7.3

C onstante d e resorte

1.7.4

de elem en to s elásticos C om binación d e resortes

1.7.5

C onstante d e resorte asociada

Funciones p a r e im par

1.11.6

Expansiones d e m edio rango

1.11.7

C álculo num érico d e coeficientes

61

65 65 67

1.13

L ite r a tu r a a c e rc a d e la v ib ra c ió n

16 17

68 72

75

76 78

81 111

CAPÍTULO 2________________________________________________

V ib r a c ió n lib r e d e s is te m a s

22 23

In tro d u c c ió n

23

V ib ra ció n lib re d e u n siste m a tra s la c io n a l n o a m o rtig u a d o

25 28

producida p o r la g ravedad

114

2.1

116 118

2.2.1

Ecuación de m ovim iento basada e n la segunda

2.2.2

Ecuación d e m ovim iento utilizando otros

2.2.3

Ecuación d e l m ovim iento d e un sistem a

ley del m ovim iento d e N ew ton

con la fuerza d e restauración

1.9.3

1.11.5

d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d

R esortes no lineales

m éto d o s

36 37

2.2.4 Z 2 .5 2J

43 49 49

123

M ovim iento arm ónico

124

V ib ra ció n lib re d e u n siste m a to rsio n a l no a m o rtig u a d o

Iin ca liz ac ió n d e un am ortiguador C om binación d e am ortiguadores

Solución

Z 3 .1 Z 3 .2

135

Ecuación d e m ovim iento S o lu ció n 136


118

120

de resorte-m asa en posición v ertical

38 42

C onstrucción d e am ortiguadores

no lineal

Serie d e F o u rie r co m pleja 63 E spectro d e frecuencia 64 R epresentaciones en e l d om inio

R e su m e n d e l c a p ítu lo R e fe re n c ia s 76

21

1.7.1

1.9.2

1.11.2 1.11.3 1.11.4

16

1.7

visco so s

Expansión d e la serie d e F o u ric r

P ro y e c to s d e d ise ñ o

P ro c e d im ien to d e l a n álisis d e la v ib ra c ió n

1.9 .1

61

1.11.1

P ro b le m a s

55

58

E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T L A B

16

1.6

1.8.1 C om binación d e m asas E lem en to s d e a m o rtig u a m ie n to

A nálisis a rm ó n ic o

P re g u n ta s d e r e p a s o

V ibración libre y forzada

1.9

D efiniciones y term inología

L12

16

1.5.1

E lem en to s d e m a s a o in e rc ia

1.10.5

del tiem po y la frecuencia 10

1.4.1

13

Á lgebra co m pleja 55 O peraciones c o n funciones arm ónicas

9

Im p o rta n c ia d e l e s tu d io d e la v ib ra c ió n C o n c ep to s básicos d e la v ib ra c ió n 13

C lasificació n d e la v ib ra c ió n

53

1.10.3 1.10.4

136

121

C o n te n id o 2.4

R e sp u e sta d e siste m a s d e p r im e r o rd e n y c o n s ta n te d e tie m p o

2 .5 2.6

16.5 2 .7

R e sp u e sta d e u n siste m a a m o rtig u a d o

146

Solución

257

som etido a l m o v im ie n to a rm ó n ic o d e l a b a s e 3.6.1 3.6.2

147

F u erza transm itida M ovim iento relativo

3 .7

R esp u esta d e u n siste m a a m o rtig u a d o som etido

a i am ortiguam iento viscoso

3 .8

V ib ra ció n fo rz a d a c o n a m o rtig u a m ie n to

Sistem as torsionalcs con am ortiguam iento viscoso

3 .9

de C o u lo m b 269 V ib ra c ió n fo rz a d a c o n a m o rtig u a m ie n to

3.10

M o v im ien to fo rn id o c o n o t r o s tip o s

3.11

de a m o rtig u a m ie n to 275 A u to ex citació n y a n á lisis d e e sta b ilid a d

a d e s b a la n c e ro ta to rio

R e p re s e n ta c ió n g rá fic a d e ra íc e s c a ra c te rís tic a s

de h isté re sis 162

163

3 .1 1. 1 3 .11.2

V a riacio n es d e p a r á m e tr o s y re p re se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tric o d e la s ra íc e s

164

1 8 .1

Interpretaciones d e w ,, en e l plano r 164

1 8 .2

L u g ar g eom étrico d e las raíces y variaciones d e parám etro 167

1 9 .2

Solución

1 9 .3

S istem as torsionalcs con am ortiguam iento d e C oulom b

111

h isteré tic o 179 E sta b ilid a d d e siste m a s

112

E je m p lo s re su e lto s u tiliza n d o M A T I.A B R esu m en d e l c a p ítu lo R e fere n cia s 196 P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s 201 P ro y e c te s d e d ise ñ o

d e L ap lac e

288

general T ( s ) y la función d e transferencia 3 .14 .2 177

de frecuencia H ito) 293 Representación de la s características d e respuesta d e frecuencia

3.15

185 189

195

294

E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T L A B R esu m en d e l c a p ítu lo

297

302

R e fere n cia s 302 P re g u n ta s d e re p a s o P ro b le m a s 307

303


328

196 CAPÍTULO 4________________________________________________

237

CAPÍTU LO 3______________________________________________

V ib ra c ió n a r m ó n i c a m e n t e e x c ita d a

4.1 4.2

240

3.1


32

E cu ació n d e m o v im ien to

242

3J

R e sp u e sta d e u n s iste m a n o a m o rtig u a d o som etido

242 243

3.3.1

R espuesta total

247

3.3.2

Fenóm eno de b atido


331

R e sp u e sta b a jo u n a fu e rz a p e rió d ic a g e n e ra l 4.2.1

Sistem as d e prim er o rd e n

4.2.2

Sistem as d e segundo o rd e n

de fo r m a ir r e g u la r 345 R esp u esta b a jo u n a fu e rz a no p e rió d ic a

4 .5

In te g ra l d e c o n v o lu c ió n

254

Factor d e calid ad y a n ch o d e b an d a

255

4 .6

R espuesta a un im pulso

4.5.2

R espuesta a u n a condición forzada

4.5.3

R espuesta a excitación d e la b a se

E sp e ctro d e re s p u e s ta


347

347

4 .5 .1

general

3.4.2

339

4 .4

250

R espuesta total

332

333

R e sp u e sta b a jo u n a fu e rz a p e rió d ic a

247

3 .4 .1

330

4 .3

R e sp u e sta d e u n siste m a a m o rtig u a d o so m e tid o a u n a f u e r z a a rm ó n ic a

291

R elación entre la función d e transferencia

V ib ra c ió n e n c o n d ic io n e s f o rz a d a s

a ú n a fu e rz a a r m ó n ic a

279

F unciones d e tra n s fe r e n c ia d e fre c u e n c ia

175

V ib ra ció n lib re con a m o rtig u a m ie n to

276

3.14

174

110

276

A nálisis d e estabilidad d inám ica Inestabilidad d inám ica provocada

M é to d o d e la fu n c ió n d e tra n s f e re n c ia 285 S olu cio n es o b te n id a s u tiliza n d o tra n s fo rm a d a s

173

E cuación d e m ovim iento

273

3.12 3.13

3 .1 4 .1

1 9 .1

265

por e l flujo de un fluido

í y r

V ib ra ció n libre con a m o rtig u a m ie n to de C o u lo m b

3 .4

259

261 262

D ecrcm ento logarítm ico Energía disipada

y soluciones correspondientes

2 .9

3 .6


y solu cio n es c o rre s p o n d ie n te s 162 2.7.1 R aíces d e la ecuación característica 1 7 .2 R epresentación gráfica d e raíces 2 .8

R e sp u e sta d e u n siste m a a m o rtig u a d o so m e tid o a F (l) = / V - *

M é to d o d e la e n e rg ía d e R a y le ig h 141 V ib ra ció n lib re c o n a m o rtig u a m ie n to viscoso

16.1 16.2 16.3 16.4

3.5

139

v ii

348

351 359

352

v iii

C o n te n id o 4.6.1

E spectro d e respuesta p ara excitación der la base

4 .7

Espectros d e respuesta a sism os

4.6.3

Diserto b a jo un am biente d e c h o q u e

T ra n s fo rm a d a d e L ap lac e R espuestas transitoria y de estado e stab le

4.7.2

Respuesta d e sistem as de prim er o rd e n

4 .8 4 .9

368

P ro y e c to s d e diseño

Respuesta a una f u e r a g radual

4.7.5

A nálisis d e la respuesta escalo n ad a

4.7.6

D escripción de u n a respuesta

M étodos d e R unge-K utta


6 .2

M od elad o d e siste m a s c o n tin u o s

510

63

Uso d e la s e g u n d a ley d e N e w to n p a r a d e r iv a r

6 .4

C o e fic ien tes d e in fluencia

c o m o sistem as d e v a rio s g ra d o s d e lib e rta d 385

e c u a cio n e s d e m o v im ien to

393

511

C oeficientes d e influencia d e rigidez C oeficientes d e influencia

6.4.3

C oeficientes d e influencia d e in ercia

d e flexibilidad 396

u tiliza n d o M A T L A B

400 403

E x p resio n e s d e e n e rg ía p o ten c ial

6 .6

y cin é tic a e n fo rm a m a tric ia l C o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s

6 .7

Uso d e las e c u a c io n e s d e L a g ra n g e

6 .8

E cu acio n es d e m o v im ie n to d e siste m a s

6 .9

P ro b le m a de v a lo r eigen

6 .1 0

S o lu ció n d e l p ro b le m a d e v a lo r e ig e n 537

y f u e r z a s g e n e r a liz a d a s

404

529

n o a m o rtig u a d o s e n fo rm a m a tric ia l

428

CAPÍTULO 5

S is te m a s d e d o s g r a d o s d e l i b e r t a d

430

Solución d e la ecuación

E cu acio n es d e m o vim iento

6.10.2

O itogonalidad

p a ra v ib ra c ió n fo r z a d a 435 A nálisis d e v ib ra c ió n lib re d e u n siste m a

6.10.3


5.2 53

no a m o rtig u a d o

534

537

característica (p olinom ial)

431

436 444

542 545

T e o re m a d e e x p an sió n S iste m a s no re s trin g id o s V ib ra ció n lib re

5.4

S iste m a to rsio n a l

5.5

A coplam iento d e c o o rd e n a d a s

6.13

5 .6 5 .7

y c o o rd e n a d a s p rin c ip a le s 449 A nálisis d e v ib ra c ió n fo rz a d a 455 S iste m a s sem id efin id o s 458

6 .1 4

5 .8

A u to ex citació n y a n álisis

6.15

5 .9

d e e sta b ilid a d 461 M étodo d e l a fu n ció n d e tra n s fe re n c ia

5.10

S olu cio n es o b te n id a s a p lic a n d o la tra n s fo rm a d a d e t a p l a c e

de los m odos norm ales V alores eigen repetidos

6.11 6 .1 2

m ed ia n te a n álisis m o d a l 561

6 .1 6

A utoexcitación y a n á lisis d e e s ta b ilid a d

6.17

E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T L A B R e su m e n d e l c a p ítu lo

S olu cio n es o b te n id a s u tiliz a n d o funciones

R e fe re n c ia s


5.12

d e tra n s fe re n c ia d e fre c u e n c ia 472 E je m p lo s re su e llo s u tiliz a n d o M A T L A B 481

475

554

V ib ra ció n fo rz a d a d e sistem as v isc o sa m e n te a m o rtig u a d a s

464

551

V ib ra ció n fo rz a d a d e sistem as n o a m o rtig u a d o s

5.11

R e su m e n d e l c a p ítu lo

547 547

d e siste m a s n o a m o rtig u a d o s

462

530

535

6.10.1

5.1

525

527

p a ra d e riv a r ecu acio n es d e m o v im ien to

404 P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s 407

517

521

6J

E je m p lo s re su e lto s

510

516

6 .4 .1 6.4.2

R esp u esta a c o n d icio n es

R e su m e n d e l c a p itu lo

508

6 .1 379

386 392


507

S is te m a s d e v a rio s g r a d o s d e lib e r ta d

Respuesta d e sistem as de segundo orden 374

R e fe re n c ia s

482

484

CAPÍTULO 6

372

f o rra d a s irre g u la re s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é ric a s 4.10

P ro b le m a s

371

4.7.4

4.8.1

365

371

4.7.1

transitoria M é to d o s n u m é ric o s

481

P re g u n ta s d e re p a so

4.6.2

4.7.3

R e fe re n c ia s

361

P ro b le m a s

576 577

581



576

601

566 568

C o n te n id o CAPÍTULO 7______________________________________________

8.6.2

D e te r m in a c ió n d e f r e c u e n c ia s y m o d o s n a t u r a l e s 602

8.6.3

7.1


603

F ó rm u la d e D u n k e rle y

604

13

M é to d o d e R a y le ig h 606 7.3.1 Propiedades d e l cociente

7 .4

C o n tro l d e v ib ra c ió n

8 .8 8 .9

C ó n tro l d e fre c u e n c ia s n a tu r a le s In tro d u c c ió n a l a m o r tig u a m ie n to

8.10

A islam ien to d e la v ib ra c ió n

7.3.3

Frecuencia fundam ental d e vigas

7 .5

Sistem as torsionalcs

8 .10 .2

Sistem a d e aislam iento d e vibración con m ovim iento d e la base 685

8 .10 .3

Sistem a d e aislam iento de vibración

7 .7

7 .8

616 617

C onvergencia a la frecuencia

7.5.2

C álculo d e frecuencias naturales

interm edias M é to d o d e J a c o b !

8.11

619

6 19 624 626

7.7.1

D escom posición cfc C holcski

7.7.2

O tros m étodos d e solución

8.12 627

P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s

632

C o n tr o l d e la v ib r a c ió n

A bsorbedor d e vibración dinám ico no am ortiguado 703

8.11.2

A bsorbedor d e vibración dinám ico 708


712

718 720 735 736

744

L o s c a p ítu lo s 9 a l 12 y a p é n d ic e s s e e n c u e n t r a n ( e n e s p a ñ o l) e n e l s i t i o w e b d e e s t e lib ro .

644 CAPÍTULO 9_________________________________________________

S is te m a s c o n t i n u o s

646

R e d u cc ió n d e la v ib ra c ió n e n la fu e n te B alan ceo d e m á q u in a s ro ta to ria s 8.4.1 B alanceo en un p lan o

8 .6

698

643

8 .4

8 .5

693

702

8 .1 1.1

Ín d ic e

83

8.4.2

C ontrol d e vibración activo

R e sp u e sta s a p ro b le m a s se lec cio n a d o s

In tro d u c c ió n 646 N o m ó g rafo d e v ib ra c ió n y c rite rio s d e v ib ra c ió n

8.10.6

A b so rb e d o re s de v ib ra c ió n

P ro y e c to d e d ise ñ o 633

CAPÍTU LO 8______________________________________________

8.1 8 .2

c o n cim iento parcialm ente flexible A islam iento contra ch o q u es 694

R e fere n cia s 718 P re g u n ta s d e re p a s o P ro b le m a s 722

629

636


8.10.5

R esu m en d e l c a p ítu lo

629

F je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T I.A R

692

Sistem a d e aislam iento d e vibración

am ortiguado

(Y oblem a d e v a lo r eigen e s tá n d a r

R esu m en d e l c a p ítu lo R e fere n cia s 632

676

8 .10 .4 613

7.5.1

natural m á s a lta

7 .6

673

Sistem a d e aislam iento d e vibración

c o n cim iento flex ib le

7.4.2 Sistem as d e resorte-m asa M é to d o d e ite ra c ió n m a tric ia !

671 672

8 .1 0 .1

609

y flechas 610 M é to d o d e H o b e r 613

669

671

con cim iento rígido

C álculo d e la frecuencia natural

7.4.1

667

B alanceo d e m otores reciprocantes

8 .7

de R aylcigh 607 7.3.2

fundam ental

F u e r a s dcshalanccadas debido a inercia d e las p artes m óviles

7 .2

ix

9 .1 93

650 651

9.2.1

E cuación d e m o vim iento

654

9.2.2

C ondiciones iniciales y lím ite

659

9.2.3

V ibración libre cfc una cuerda uniform e

9.2.4

V ibración libre d e una cuerda c o n dos extrem os fijos 9-6

9.2.5

Solución d e la o n d a viajera

651

B alanceo en d o s planos

R em o lin eo d e flechas r o ta to r ia s 8.5.1

E cuaciones d e m ovim iento

8.5.2

V elocidades críticas

8.5.3

R espuesta d e l sistem a

8.5.4

A nálisis d e estabilidad

9-1

In tro d u c c ió n 9-3 V ib ra c ió n tra n s v e rs a l d e u n a c u e r d a o c a b le

659

661 661 93

663

B alan ceo d e m o to re s re c ip ro c a n te s 665 8 .6 .1 F u c r/a s dcshalanccadas debido a fluctuaciones en la presión d e gas

9-5

9.3.1


9.3.2

O rtogonalidad d e funciones n orm ales


9-6

9-10

V ib ra c ió n lo n g itu d in a l d e u n a b a r r a o v a rilla y solución

665

9-3

9-3

9-11

9-11 9-13

x

C o n te n id o

9 .4

V ib ra ció n to rsio n a l de u n a (lec h a o v a rilla

9.5

V ib ra ció n la te ra l d e vigas

9 .6

9 .9

Ecuación d e m ovim iento

9.5.2

C bndiciones iniciales

9.5.3 9.5.4

V ibración libre 9-23 G andiciones lím ite 9-24

9.5.5

O rtogonalidad d e funciones norm ales

9.5.6

V ibración forzada

9.5.7

Efecto d e una fuerza a x ia l

9.5.8

E fectos d e inercia rotatoria y deform ación p o r cortante

9.5.9

O tros efectos

9-21 9-23

10.8

10.7.2

Uso d e u n a prueba m odal

9-26

10.8.3

9 -3 1

10.8.5

9-34

10.8.6

9-38 10.8.7 9-38

10.9 9-40


Procesam iento d e señ ales dig itales A nálisis de señ ales aleatorias

Determ inación de datos m odales a partir de picos observados 10-35 Determ inación d e los datos m odales M edición d e m o d o s

9-50

10-42

10.9.3

T écnicas d e m onitoreo d e la condición de m áquinas 10-44

10.9.4 10.9.5

9-65

10.9.6

T écnicas d e m onitoreo d e vibración Selección d e l parám etro d e m onitoreo

M e d ic ió n d e v ib r a c ió n y a p lic a c io n e s

P re g u n ta s d e r e p a s o P ro b le m a s

10-2 10-4

T ransductores d e resistencia variab le 10-4 T ransductores piezoeléct ricos 10-7 T ransductores electrodinám icos 10-8

10.2.4

T ransductor d e transform ador diferencial variable lineal

10J

V ibróm ctro

10.3.2 10.3.3

A cclcróm ctro V clóm ctro

10.3.4

D istorsión d e fase

10-11 10-13 10-15

10.5

E x citad o re s d e v ib ra c ió n

10.6

A n á lisis d e señ ales

10-19


112

M é to d o d e d ife re n c ia fin ita

11J

M é to d o d e d ife re n c ia c e n tr a l p a r a siste m a s

11.4

11-2

10-21 10-22

A nalizadores d e esp ectro s

10.6.2 10.6.3

Filtro p asabanda 10-25 A nalizadores de a n ch o d e banda

11.6.1 11.7

P ru e b a d in á m ic a d e m á q u in a s y e s tru c tu ra s

10-28

11.8

11 -8

11-12

V ibración longitudinal de barras

11.6.2 V ibración transversal d e v ig as M é to d o d e R u n g e -K u tta p a r a sistem as d e v a r io s g ra d o s d e lib e r ta d

10-27

11-7

M é to d o d e d ife re n c ia fin ita p a r a sistem as c o n tin u o s

10-24

11-4

M é to d o d e d ife re n c ia c e n tr a l p a r a siste m a s d e v a r io s g ra d o s d e lib e r ta d

11.6

10-24

11-3

M é to d o d e R u n g e -K u tta p a r a sistem as d e u n so lo g r a d o d e lib e rta d

11J

de porcentaje constante y d e a n ch o d e banda 10.7

11.1

10-21

10.6.1

constante

11-1

d e u n solo g r a d o d e lib e rta d

In stru m e n to s d e m ed ic ió n d e fre c u e n c ia E xcitadores m ecánicos A gitador electrodinám ico

10-64

CAPÍTULO 11____________________________________________

10-17

10.4

10.5.1 10.5.2

10-55

e n e l a n á lis is d e v ib r a c ió n

10-10

10.3.1

10-54

M é to d o s d e in te g r a c ió n n u m é r ic a

10-9

D e tec to re s d e v ib ra c ió n

10-50 10-51

10-58

P ro y e c to s de d ise ñ o

10.2.1 10.2.2 10.2.3

10-45

10-50

E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T L A B R e su m e n d e l c a p ítu lo R e fe re n c ia s 10-54

In tro d u c c ió n T ra n s d u c to re s

10-42

10-42

Sistem as d e instrum entación

CAPÍTULO 10_______________________________________________

10-1

10-38 10-39

C riterios d e sev eridad d e vibración T écnicas d e m antenim iento de m áquinas

9-53

10-31

10-33

10.9.1 10.9.2 9-46

10.10

10.1 10.2

10-29 10-29

M o n ito reo y d iag n ó stic o d e la c o n d ició n d e u n a

9-49

P ro y ecto d e d ise ñ o

L a idea b ásica E quipo necesario

m á q u in a

9-48


10-28

con la g íáfica de N yquist

9-38

Ecuación d e m ovim iento


10-28

A nálisis m o d a l e x p e rim e n ta l 10-29

10.8.4

9.6.2 C ondiciones iniciales y lím ite M é to d o d e R a y le ig h 9-41 M étodo d e R ay leig h -R itz 9-43

P ro b le m a s

Uso d e las m ediciones operacionalcs

10.8.1 10.8.2

9-29

V ib ra ció n d e m e m b ra n a s

R e fe re n c ia s

10.7.1

de deflexión

9.5.1

9 .6 .1 9 .7 9 .8

9-18

9-21

M é to d o d e H o u b o lt


11-22

11-20

11-12 11-16

C o n te n id o 11.9

M é to d o d e W üson

11.10

M é to d o d e N e w m a rk

11.11

E je m p lo s re su e lto s u tiliza n d o M A T L A B R e su m e n d e l c a p itu lo R e fe re n c ia s 11-37 P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s

11-25

A PÉN D ICE A

11-28

R e la c io n e s m a te m á tic a s y p r o p ie d a d e s d e m a te r ia le s

11-37

Al

11-38 A PÉN D ICE B

11-40

D e fle x ió n d e v ig a s y p la c a s

A4

CAPÍTU LO 1 2 ______________________________________________

M é to d o d e lo s e l e m e n t o s f i n i to s

12-1

A PÉN D ICE C

M a tr ic e s

12.1


12.2

E cu acio n es d e m o v im ie n to d e u n e le m en to

12-2

12J

M a triz d e m a s a , m a triz d e rig id e z y v e c to r de f u e r z a 12-5 12.3.1

Elemento d e una ba rra

12.3.2

Elemento d e torsión

12.3.3

Elemento d e una v ig a

A PÉN D ICE 0

12-5

T r a n s f o r m a d a d e L a p la c e

12-7

T ra n s fo rm a c ió n d e m a tric e s y v e cto res

12.5

de u n e le m e n to 12-11 E c u a cio n e s d e m o v im ie n to d e l sistem a co m p leto

12.6 12.7

12.7.1

M atriz d e m asa co ncentrada p ara un elem ento

12.7.3

de una viga 12-24 M atrices d e m asa concentrada en com paración

E je m p lo s re su e lto s u tiliz a n d o M A T1.A B R e fere n cia s 12-30 P re g u n ta s d e re p a so P ro b le m a s 12-33

I n tr o d u c c ió n a M A TLA B

A 24

12-24

12.7.2

R esu m en d e l c a p ítu lo

A 21

APÉNDICE P

12-24

con m atrices d e m asa consistente 12.8

U n id a d e s

12-15

M atriz d e m asa concentrada p ara un elem ento de una barra

A PÉN D ICE E

12-13

In c o rp o ra c ió n d e c o n d ic io n e s lim ite M a tric e s d e m a s a c o n siste n te y d e m a s a c o n c e n tra d a

A 13

12-8

12.4

de e le m e n to s fin ito s

A6

12-3

12-25 12-27

M a te ria l e n in g lé s e n s itio w e b CAPÍTU LO 13_________________________

N o n lin e a r V ib r a tio n

13-1

12-30 12-31

CAPÍTU LO 14____________________

R a n d o m V ib ra tio n


14-1

xi


PREFACIO C a m b io s e n e s ta e d ic ió n E ste lib ro p r e s e n ta el te rn a d e in g e n ie ría d e v ib ra c io n e s a n iv e l d e lic e n c ia tu ra . L a s re a c c io n e s fa v o ra b le s d e p r o f e s o re s y e s tu d ia n te s a l a c u a r ta e d ic ió n m e m o lí v a ró n a p r e p a r a r e s t a q u in ta e d ic ió n . C o n s e rv é e l e s tilo d e la s e d ic io n e s a n te r io re s e n la p r e s e n ta c ió n d e la te o r í a , lo s a s p e c to s d e c á lc u lo y la a p lic a c ió n d e l a v ib ra c ió n d e la m a n e ra m á s s e n c illa p o s ib le , c o n e s p e c ia l é n f a s is e n la s té c n ic a s d e a n á lis is p o r c o m p u ta d o ra . S e o f r e c e n a m p lia s e x p lic a c io n e s d e lo s fu n d a m e n to s e n la s q u e se r e c a lc a la im p o r ta n c ia y l a in te rp re ta c ió n físic a q u e a c re c ie n ta n l a s e x p e r ie n c ia s a d q u ir id a s e n c u r s o s p r e v io s d e m e c á n ic a y s e u tiliz a n n u m e r o s o s e je m p lo s y p ro b le m a s p a ra ilu s tr a r p rin c ip io s y c o n c e p to s . E n e s t a e d ic ió n s e m o d ific a ro n a lg u n o s te m a s y s e v o lv ie ro n a e s c rib ir o tr o s , s e a g re g a ro n m u c h o s m á s y s e in tr o d u je ro n n u e v a s c a ra c te rís tic a s . L a m a y o r ía d e e s a s a d ic io n e s y m o d if ic a c io n e s fu e ro n a s u g e re n c ia d e lo s u s u a r io s y re v is o r e s d e l te x to . E n tre l o s c a m b io s im p o rta n te s d e s ta c a n l o s s ig u ie n te s : 1.

A l p r in c ip io d e c a d a c a p ítu lo s e p r e s e n ta u n e s q u e m a y lo s o b je tiv o s d e a p re n d iz a je .

2.

A l fin a l d e c a d a c a p ítu lo se o f r e c e u n r e s u m e n d e re p a s o .

3.

L a p re s e n ta c ió n d e a lg u n o s te m a s s e h a m o d ific a d o p a r a o f re c e r u n a m a y o r c o b e r tu r a y m e jo r c la r id a d . E s to s te m a s in c lu y e n lo s c o m p o n e n te s b á s ic o s d e l a v ib ra c ió n : e le m e n to s d e r e s o r t e , e le m e n to s d e a m o r tig u a c ió n y e le m e n to s d e m a s a o i n e r c ia , a s í c o m o a is la m ie n to y c o n tr o l a c t i v o d e l a v ib ra c ió n .

4 . M u c h o s te m a s n u e v o s s e p r e s e n ta n c o n d e ta lle s y e je m p lo s ilu s tr a tiv o s , e n tr e e llo s la re s p u e s ta d e s is te m a s d e p rim e r o r d e n y l a c o n s ta n te d e tie m p o ; re p re s e n ta c ió n g r á fic a d e l a s r a íc e s y s o lu c io n e s c a r a c te rís tic a s ; v a ria c io n e s d e p a rá m e tr o s y l a re p re s e n ta c ió n d e l l u g a r g e o m é tric o d e la s ra íc e s ; l a e s ta b ilid a d d e los s is te m a s ; e l m é to d o d e fu n c ió n d e tr a n s f e r e n c ia p a r a p ro b le m a s d e v ib ra c ió n fo r z a d a ; e l m é to d o d e la tra n s fo rm a d a d e L a p la c e p a r a s o l u c io n a r p r o b le m a s d e v ib r a c ió n lib re y fo r z a d a ; e l m é to d o d e l a f u n c ió n d e tra n s fe r e n c ia d e fre c u e n c ia ; e l d ia g ra m a d e B o d e p a r a s is te m a s d e un s o lo g r a d o d e lib e r ta d ; l a re s p u e s ta g ra d u a l y l a d e s c rip c ió n d e la re s p u e s ta tra n s ito ria , y lo s im p a c to s e lá s tic o s y n o e lá s tic o s . 5.

S e a g re g a ro n 128 e je m p lo s . 160 p r o b le m a s , 7 0 p r e g u n ta s d e re p a s o y 1 0 7 ilu s tra c io n e s .

6.

S e e lim in a r o n lo s e je m p lo s y p ro b le m a s b a s a d o s e n lo s p r o g r a m a s C + + y F o r tr a n , q u e e n l a e d ic ió n a n te r io r se p re s e n ta b a n a l fin a l d e c a d a c a p ítu lo .

C a ra c t e r ís tic a s s o b re s a lie n te s d e l libro •

C a d a t e m a d e e s te lib ro e s in d e p e n d ie n te ; to d o s lo s c o n c e p to s s e e x p lic a n p e r fe c ta m e n te y l a s d e r iv a c io n e s s e p re s e n ta n c o n t o d o s s u s d e ta lle s .

•

A lo la r g o d e l te x to se r e c a lc a n lo s a s p e c to s d e c á lc u lo a s is tid o s p o r c o m p u ta d o ra . E n l a ú ltim a se c ció n d e c a d a c a p ítu lo e n c o n tra rá e je m p lo s b a s a d o s e n M A T L A B , a s í c o m o v a rio s p ro g ra m a s M A T L A B d e u s o g e n era l c o n e je m p lo s ilu s tra tiv o s .

•

A lg u n o s te m a s s e p r e s e n ta n d e u n a fo rm a u n ta n to n o c o n v e n c io n a l; e n p a r tic u la r e n l o s c a p ítu lo s 8 . 1 0 y 11. L a m a y o r ía d e lo s lib ro s d e te x to a b o rd a n lo s p u n to s d e lo s a is la d o r e s , l o s a b s o rb e d o re s y e l b a la n c e o e n c a p ítu lo s d ife re n te s . S in e m b a rg o , d a d o q u e u n o d e l o s o b je tiv o s p rin c ip a le s d e l e s t u d io d e l a s v ib ra c io n e s e s c o n tr o la r la re s p u e s ta a é s ta s , to d o s lo s te m a s re la c io n a d o s c o n e l c o n tro l d e l a v ib ra c ió n se p r e s e n ta n e n e l c a p ítu lo 8. L o s in s tr u m e n to s d e m e d ic ió n d e v ib ra c ió n , j u n t o c o n lo s e x c ita d o r e s d e v ib ra c ió n , e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is m o d a l e x p e r im e n ta l y e l m o n ito rc o d e la c o n d ic ió n d e m á q u in a s , e s tá n j u n t o s e n e l c a p ítu lo 10 ( e n e l s itio w e b ) . A s im is m o , t o d o s l o s m é to d o s d e in te g ra c ió n n u m é ric a a p lic a b le s a s is te m a s d e u n o y v a r io s g r a d o s d e lib e rta d , a l ig u a l q u e lo s s is te m a s c o n tin u o s , s e e n c u e n tra n e n e l c a p ítu lo 11 ( e n e l s itio w e b ).


xiv

P refa cio

O tra s c a ra c te rís tic a s s o b re s a lie n te s s o n la s s ig u ie n te s : •

M á s d e 2 4 0 e je m p lo s ilu s tra tiv o s p a r a c o m p le m e n ta r l a m a y o r ía d e l o s te m a s .

•

M á s d e 9 8 0 p r e g u n ta s d e re p a s o p a r a q u e l o s e s tu d ia n te s rev is e n y p r u e b e n s u c o m p re n s ió n d e l te x to . E s ta s p r e g u n ta s s o n d e d ife re n te s tip o s : d e o p c ió n m ú ltip le , c o n r e s p u e s ta s b re v e s , d e v e r d a d e ro o fa ls o ; d e c o r re s p o n d e n c ia d e d e s c rip c io n e s , y d e c o m p le ta r e s p a c io s e n b la n c o .

•

C a d a c a p ítu lo o f r e c e u n e x te n s o c o n ju n to d e p ro b le m a s (m á s d e 1150 e n to d o e l lib ro ) q u e re s a lta n v a ria s a p lic a c io n e s d e l m a te ria l e x p lic a d o e n e l te x to . ( L a s r e s p u e s ta s s e p ro p o r c io n a n e n e l d e s o lu c io n e s p a r a e l p ro fe s o r) .

•

A l final d e a lg u n o s c a p ítu lo s s e p re s e n ta n p ro b le m a s d e l tip o p r o y e c to d e d is e ñ o (m á s d e 3 0 a lo la r g o d e l te x to ) ,

•

M á s d e 2 5 p r o g r a m a s M A T L A B p a ra a y u d a r a l o s e s tu d ia n te s e n la im p le m c n ta c ió n n u m é ric a d e los m é to d o s e s t u

•

In f o r m a c ió n b io g r á fic a ( a l in ic io d e c a d a c a p ítu lo y e n lo s a p é n d ic e s ) d e a lr e d e d o r d e 2 0 c ie n tíf ic o s e in g e n ie r o s q u e c o n trib u y e ro n a l d e s a rro llo d e la te o r ía d e v ib ra c io n e s .

m u c h o s s i n s o lu c ió n ú n ic a . d ia d o s e n e l te x to .

L o s p r o g r a m a s M A T L A B y l a s re s p u e s ta s a lo s p r o b le m a s y a la s p r e g u n ta s d e re p a s o q u e s e p r e s e n ta n e n e l te x to se e n c u e n tra n d is p o n ib le s p a r a lo s p r o f e s o re s e n e l s itio w e b d e e s t e l ib r o e n w v v w .p e a r s o n c d u c a c io n .n c t/r a o . El M a n u a l d e s o lu c io n e s d e to d o s lo s p r o b le m a s y s u g e r e n c ia s p a r a d i s e ñ a r p r o y e c to s e s tá d is p o n ib le p a r a lo s p r o f e s o re s q u e a d o p te n e s t e l ib r o c o m o t e x t o e n su s c u r s o s . C o n s u lte a s u re p re s e n ta n te d e P c a rs o n .

U n id a d e s y n o ta c ió n E n los e je m p lo s y p r o b le m a s d e e s t e l ib r o h e m o s u tiliz a d o ta n to u n id a d e s d e l S is te m a In te rn a c io n a l ( S I ) c o rn o d e l S is te m a I n g lé s . D e s p u é s d e l o s R e c o n o c im ie n to s a p a r e c e u n a lis ta d e s ím b o lo s j u n to c o n l a s u n id a d e s a s o c ia d a s e n e s t o s s i s t e m as. E n e l A p é n d ic e E s e a n a liz a b r e v e m e n te l a a p lic a c ió n d e la s u n id a d e s S I e n e l c a m p o d e la s v ib ra c io n e s . H e m o s u ti liz a d o f le c h a s s o b re lo s s ím b o lo s p a r a in d ic a r lo s v e c to r e s d e c o lu m n a y p a r é n te s is r e c ta n g u la r e s (c o rc h e te s ) p a r a in d ic a r la s m a tric e s.

O r g a n iz a c ió n d e l m a te ria l E s te l ib r o e s t á o rg a n iz a d o e n 8 c a p ítu lo s . A d ic io n a lm e n te e n e l s i t i o w e b e n c o n tr a rá m a te ria l e n e sp a ñ o l s o b r e te m a s a v a n z a d o s d e v ib ra c io n e s m e c á n ic a s (c a p ítu lo s 9 a 12) y a p é n d ic e s ( ta m b ié n e n e sp a ñ o l), a s í c o m o u n p a r d e c a p ítu lo s e n in g lés (1 3 y 14 ). S e a s u m e q u e e l le c to r tie n e c o n o c im ie n to s b á sic o s s o b re e s tá tic a , d in á m ic a , r e s is te n c ia d e m a te ria le s y e c u a c io n e s d ife re n c ia le s . A u n c u a n d o e s d e s e a b le u n c ie r to c o n o c im ie n to d e l a te o ría d e m a tric e s y l a tra n s fo rm a d a d e L a p la c c , e n los a p é n d ic e s C y D (e n e l s itio w e b ) s e h a c e u n re p a so g e n e ra l d e e s to s te m a s. H c a p ítu lo 1 in ic ia c o n u n a b re v e s e m b la n z a d e l a h is to r ia e im p o rta n c ia d e l a s v ib r a c io n e s , y a b o r d a e l m o d e la d o d e s is te m a s p r á c tic o s p a r a e l a n á lis is d e l a v ib ra c ió n j u n t o c o n l o s d iv e r s o s p a s o s im p lic a d o s . S e d e s c rib e n la s p a ite s e le m e n ta le s d e un s is te m a s o m e tid o a v ib r a c ió n , c o m o s o n r i g id e z , a m o rtig u a m ie n to y m a s a ( in e r c ia ) . S e p re s e n ta n l o s c o n c e p to s b á s ic o s y la te r m in o lo g ía q u e s e u tiliz a e n e l a n á lis is d e v ib r a c io n e s . E l c a p ítu lo 2 a b o rd a l a v ib ra c ió n lib r e d e s is te m a s d e un s o lo g r a d o d e lib e r ta d s o m e tid o s a tra s la c ió n y to rs ió n v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o s y n o a m o rtig u a d o s . S e a n a liz a , a d e m á s , la re p re s e n ta c ió n g r á fic a d e la s r a íc e s c a ra c te rís tic a s y l a s s o lu c io n e s c o r re s p o n d ie n te s , la s v a ria c io n e s d e p a rá m e tro y las re p re s e n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tric o d e la s r a íc e s . A u n c u a n d o e l m é to d o d e l lu g a r g e o m é tric o d e l a s r a íc e s s e u tiliz a e n s is te m a s d e c o n tr o l, s u u s o e n l a v ib ra c ió n s e i lu s tr a e n e s te c a p ítu lo . T a m b ié n s e c o n s id e r a l a r e s p u e s ta b a jo a m o r tig u a c ió n h is te r é tic a y d e C o u lo m b . E n e l c a p ítu lo 3 s e e s tu d ia n la s r e s p u e s ta s a m o r tig u a d a y n o a m o r tig u a d a d e s is te m a s d e u n so lo g ra d o d e lib e rta d a e x c ita c io n e s a r m ó n ic a s . S e d e lin e a n lo s c o n c e p to s d e fu e rz a y tra n s m is ib ilid a d e s d e d e s p la z a m ie n to y su a p lic a c ió n e n s is te m a s p rá c tic o s . T a m b i é n s e p r e s e n ta e l m é to d o d e f u n c ió n d e tr a n s f e r e n c ia , la s o lu c ió n m e d ia n te la tra n s f o rm a d a d e L a p la c c d e p r o b le m a s d e v ib ra c ió n f o r z a d a , la r e s p u e s ta d e fre c u e n c ia y e l d ia g r a m a d e B o d e . El c a p ítu lo 4 s e o c u p a d e l a r e s p u e s ta d e u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d b a jo u n a fu n c ió n f o r z a d a g e n e ra l. L o s ro le s d e l a e x p a n s ió n d e l a s e r ie d e F o u r ie r d e u n a fu n c ió n p e rió d ic a , l a in te g ra l d e c o n v o lu c ió n . l a tra n s f o rm a d a d e L a p la c c y lo s m é to d o s n u m é r ic o s s e d e s c rib e n c o n e je m p lo s ilu s tra tiv o s . T a m b ié n s e a n a liz a l a e s p e c if ic a c ió n d e l a r e s p u e s ta d e un


P refacio

xv

s is te m a s u b a m o r tig u a d o e n f u n c ió n d e tie m p o p ic o , tie m p o d e e le v a c i ó n y tie m p o d e a s e n ta m ie n to . E n e l c a p ítu lo 5 se c o n s id e ra l a v ib ra c ió n lib re y fo rz a d a d e s is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib e rta d . S e a n a liz a l a v ib ra c ió n a u lo c x c ita d a y la e s t a b i lid a d d e l s is te m a . E l m é to d o d e l a f u n c ió n d e tra n s f e re n c ia y la s o lu c ió n p o r m e d io d e l a tra n s f o rm a d a d e L a p la c c ta m b ié n s e p r e s e n ta n c o n e je m p lo s ilu s tr a tiv o s . E n d c a p ítu lo 6 v e r e m o s l a v ib ra c ió n d e s is te m a s d e v a r io s g ra d o s d e lib e rta d y lo s m é to d o s d e a n á lis is m a t r í d a l e s q u e s e u tiliz a n p a ra p r e s e n ta r la te o ría . E n e s t e m is m o c a p ítu lo s e d e s c rib e e l p ro c e d im ie n to d e a n á lis is m o d a l p a r a la s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e v ib ra c ió n fo rz a d a . L o s d iv e r s o s m é to d o s p a ra d e te r m in a r fre c u e n c ia s n a tu ra le s y f o r m a s d e m o d o d e s is te m a s d is c r e to s se d e lin e a n e n e l c a p ítu lo 7 . L o s m é to d o s d e D u n k e r ie y . R a y le ig h , H o lz e r, J a c o b i e ite r a c io n e s m a t r í d a l e s s e e x p lic a n a p o r ta n d o e je m p lo s n u m é ric o s . E l c a p ítu lo 8 a b o r d a lo s d iv e r s o s a s p e c to s d e c o n tro l d e v ib r a c ió n , e n tre e l l o s l o s p ro b le m a s d e e li m in a d ó n . a is la m ie n to y a b s o rc ió n . El n o m ó g r a fo d e v i b r a d ó n y lo s c r ite r io s d e v i b r a d ó n . lo s c u a l e s in d ic a n los n iv e le s a c e p ta b le s d e v ib r a c ió n , ta m b ié n s e p r e s e n ta n a q u í. El b a la n c e o d e m á q u in a s ro ta to ria s y r e c ip ro c a n te s y la fo r m a c ió n d e re m o lin o s d e f le c h a s s e c o n s id e r a n . T a m b ié n s e d e s c rib e n l a s té c n ic a s d e c o n tro l a c tiv a s p a r a c o n tr o la r l a re s p u e s ta d e s is te m a s v ib ra to rio s. M a te ria l en e s p a ñ o l e n el s itio w eb M ie n tra s q u e l a s e c u a d o n e s d e m o v im ie n to d e s is te m a s d is c r e to s a p a re c e n e n l a f o r m a d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d i n a ria s . l a s d e lo s s is te m a s c o n tin u o s y d is tr ib u id o s a p a r e c e n e n la fo rm a d e e c u a c io n e s d i f e r e n d a l e s p a r d a l e s . E l a n á lis is d e l a v ib ra c ió n d e s is te m a s c o n tin u o s , c o m o c u e r d a s , b a r ra s , fle c h a s , v ig a s y m e m b ra n a s , s e p r e s e n ta e n e l c a p ítu lo 9 . F.I m é to d o d e s e p a ra c ió n d e v a r ia b le s s e p r e s e n ta p a r a l a s o l u d ó n d e e c u a c io n e s d i f e r e n d a l e s p a r d a l e s a s o c ia d a s c o n s is te m a s c o n tin u o s . L o s m é to d o s d e R a y le ig h y R a y le ig h -R itz p a ra e n c o n tr a r l a s fre c u e n c ia s n a tu ra le s a p r o x im a d a s ta m b ié n se d e s c r ib e n c o n e je m p lo s . L o s m é to d o s e x p e r im e n ta le s q u e s e u tiliz a n p a r a m e d ir l a re s p u e s ta d e l a v ib ra c ió n s e c o n s id e r a n e n e l c a p ítu lo 10, y s e d e s c rib e n té c n ic a s d e a n á lis is d e s e ñ a le s y e l e q u ip o d e m e d i d ó n d e v i b r a d ó n . T a m b ié n s e p re s e n ta n té c n ic a s d e m o n ito rc o y d ia g n ó s tic o d e l a c o n d ic ió n d e m á q u in a s. E l c a p ítu lo 11 p re s e n ta v a r ia s té c n ic a s d e in te g r a c ió n n u m é ric a s p a r a d e te r m in a r l a re s p u e s ta d in á m ic a d e s is te m a s d is c r e to s y c o n tin u o s . S e a n a liz a n e ilu s tr a n lo s m é to d o s d e d if e r e n c ia c e n tr a l, l o s d e R u n g c - K u tta . H o u b o lt. W ils o n y N e w m a rk . E l a n á lis is d e d e m e n t o s fin ito s , c o n a p lic a c io n e s q u e im p lic a n e le m e n to s u n id im e n s io n a le s , s e a b o r d a e n e l c a p ítu lo 12 . S e u tiliz a n e le m e n to s d e b a r r a , v a rilla y v ig a p a r a e l a n á lis is e s tá tic o y d in á m ic o d e a r m a d u r a s , v a rilla s s o m e tid a s a to rs ió n y v ig a s . E n e s te c a p ítu lo ta m b ié n s e a b o r d a e l u s o d e m a tric e s d e m a s a c o n c e n tr a d a y d e m a s a c o n s is te n te e n e l a n á lis is d e v ib ra c ió n . L o s p ro b le m a s d e v ib ra c ió n n o lin e a l re g id o s p o r e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s n o lin e a le s p re s e n ta n fe n ó m e n o s q u e n o a p a r e c e n e n lo s p ro b le m a s lin e a liz a d o s c o rre s p o n d ie n te s . l-o s a p é n d ic e s A y B s e e n f o c a n e n l a s re la c io n e s m a te m á tic a s y e n l a d e f le x ió n d e v ig a s y p la c a s . L o s fu n d a m e n to s d e l a te o r ía d e m a tr ic e s , la tra n s fo rm a d a d e I .a p la c e y l a s u n id a d e s S I s e tr a ta n e n lo s a p é n d ic e s C , D y E . P o r ú ltim o , el a p é n d ic e F o f r e c e u n a in tro d u c c ió n a l a p ro g r a m a c ió n c o n M A T I.A B . M a t e r i a l e n in g lé s e n e l s itio w e b E n e l c a p ítu lo 13 s e p ro p o r c io n a u n tr a ta m ie n to in tro d u c to r io d e v ib ra c ió n n o lin e a l, c o n u n a n á lis is d e o s c ila c io n e s s u b a rm ó n ic a s y s u p e r a n n ó n ic a s . c ic lo s lím ite , s is te m a s c o n c o e f ic ie n te s d e p e n d ie n te s d e l tie m p o y c a o s . L a v ib ra c ió n a le a to r ia d e s is te m a s d e v ib ra c ió n lin e a l s e c o n s id e ra e n e l c a p ítu lo 14. E n e s te c a p ítu lo ta m b ié n s e a p lic a n lo s c o n c e p to s d e p ro c e s o a le a to r io , p r o c e s o e s ta c io n a r io , d e n s id a d e sp e c tra l d e p o te n c ia , a s í c o m o a u to c o rre la c ió n y p r o c e s o s d e b a n d a a n c h a y a n g o s ta , s i n d e ja r d e c o n s id e r a r l a re s p u e s ta d e v ib ra c ió n a le a to ria d e s is te m a s d e u n o y v a r io s g r a d o s d e lib e rta d .

T e m a r i o típ ic o El l ib r o p r o p o r c io n a o p c io n e s f le x ib le s p a ra d if e r e n te s tip o s d e c u r s o s s o b re v ib ra c ió n . L o s c a p ítu lo s I a 5 , e l c a p ítu lo 8 . y p a rte s d e l 6 . c o n s titu y e n u n c u r s o b á s ic o d e v ib ra c ió n m e c á n ic a . P u e d e d a r s e d if e r e n te é n f a s is y o r ie n ta c ió n a l c u r o s i se h a c e u n a c o b e r tu r a a d ic io n a l d e d if e r e n te s c a p ítu lo s c o m o s e i n d ic a a c o n tin u a c ió n : •

El c a p ítu lo 9 p a r a s is te m a s c o n tin u o s o d is trib u id o s .

•

L os c a p ítu lo s 7 y 11 p a r a s o lu c io n e s n u m é ric a s .

•

El c a p ítu lo 12 p a ra a n á lis is d e e le m e n to s fin ito s.


xv'i

P refa cio

Q u é e s p e r a r d e e s te c u rs o B m a te ria l q u e s e p re s e n ta e n e l te x to a y u d a a lo g ra r a lg u n o s d e lo s re s u lta d o s e s p e c ific a d o s p o r la A B E T ( A c c rc d ita tio n B o a rd fo r E n g in c c r in g a n d T e c h n o lo g y ): •

C a p a c id a d d e a p lic a r e l c o n o c im ie n to d e m a te m á tic a s , c ie n c ia e in g e n ie ría : E l t e m a d e v ib ra c ió n , tal c o m o s e p re s e n ta e n e l lib ro , a p lic a c o n o c im ie n to s d e m a te m á tic a s (e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s , á lg e b ra m a t r i d a l , m é to d o s v e c to r ia le s y n ú m e ro s c o m p le jo s ) y c i e n

•

c ia ( e s tá tic a y d in á m ic a ) p a r a r e s o lv e r p ro b le m a s d e v ib ra c ió n d e in g e n ie ría . C a p a c id a d d e id e n tific a r , fo r m u la r y re s o lv e r p ro b le m a s d e in g e n ie ría : N u m e r o s o s p r o b le m a s ilu s tr a tiv o s , p ro b le m a s d e p rá c tic a y p r o y e c to s d e d is e ñ o a y u d a n a l e s t u d ia n te a id e n tif ic a r v a r io s tip o s d e p ro b le m a s d e v ib ra c ió n p r á c tic o s y a d e s a rro lla r , a n a liz a r y re s o lv e r m o d e lo s m a te m á tic o s p a r a h a lla r l a re s p u e s ta c in te r p r e ta r lo s re s u lta d o s .

•

C a p a c id a d d e u tiliz a r la s té c n ic a s , h a b ilid a d e s y h e rra m ie n ta s m o d e rn a s n e c e s a ria s p a ra l a p r á c

•

L a ú ltim a s e c c ió n d e c a d a c a p ítu lo ilu s tr a l a a p lic a c ió n d e l m o d e r n o s o f tw a r e . M A T L A B . p a r a

tic a d e in g e n ie ría . la s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e v ib ra c ió n . L o s fu n d a m e n to s d e p ro g ra m a c ió n M A T L A B s e r e s u m e n e n e l a p é n d ic e F . •

B u s o d e la m o d e r n a té c n ic a d e a n á lis is , e l m é to d o d e l e le m e n to f in ito , p a r a l a s o lu c ió n d e p r o b le m a s d e v i b r a c ió n s e a b o r d a e n u n c a p ítu lo a p a rte ( c a p ítu lo 12). B m é to d o d e l o s e le m e n to s f in ito s e s u n a té c n ic a d e a m p lio u s o e n la in d u s tria d e l m o d e la d o , a n á lis is y s o lu c ió n d e s is te m a s v ib ra to r io s c o m p le jo s .

•

C a p a c id a d d e d is e ñ a r y re a liz a r e x p e r im e n to s , a s í c o m o d e a n a liz a r e in te r p r e ta r d a to s : L os m é to d o s e x p e r im e n ta le s y e l a n á lis is d e d a to s re la c io n a d o s c o n la v ib ra c ió n se p re s e n ta n en e l c a p ítu lo 10. T a m b ié n se a n a liz a e l e q u ip o q u e s e u tiliz a e n l a re a liz a c ió n d e e x p e rim e n to s (fc v ib ra c ió n , y s e a b o r d a e l a n á lis is d e s e ñ a le s e id e n tific a c ió n d e lo s p a r á m e tro s d e l s is te m a a p a r tir d e lo s d a to s .


RECONOCIMIENTOS Q u is ie ra e x p r e s a r m i a g r a d e c im ie n lo a lo s m u c h o s e s tu d ia n te s , in v e s tig a d o re s y p ro fe s o r e s c u y o s c o n té n t a n o s m e h a n a y u d a d o a m e jo ra r e l lib ro . M e s ie n to s u m a m e n te a g r a d e c id o c o n la s s ig u ie n te s p e r s o n a s p o r s u s c o n té n t a n o s , s u g e re n c ia s e id e a s: A ra A r a b y a n . U n iv e rs ity o f A tiz o n a ; D a n ie l G ra n g e r , P o ly te c h n ic S c h o o l o f M o n tre a l. C a n a d á ; K .M . R a o . V .R .S . R n g in e e rin g C o lle g e V ija y a w a d a . In d ia ; K. S . S h iv a k u m a r A r a d h y a . G a s T u r b in e R e s e a rc h R s ta b lis h n te n t, B a n g a k tre . I n d ia ; D o n a ld G . G r a n t, U n iv e r s ity o f M a in e ; T o m T h o m t o n . A n a lis ta d e E s f u e rz o : A le ja n d ro J . R iv a s , A tiz o n a S ta te U n iv e rs ity : Q i n g G u o . U n iv e r s ity o f W a s h in g to n ; J a m e s M . W id m a n n . C a lifo r n ia D jly te c h n ic S ta te U n iv e rs ity ; G . Q . C a i, F lo rid a A tla n tic U n iv e r s ity ; R ic h a rd A le x a n d e r. T e x a s A & M U n iv e rs ity ; C . W . B c r t, U n iv e rs ity o f O k la h o m a ; R a y m o n d M . B r a c h . U n iv e rs ity o f N o tr c D a m e ; A lfo n s o D ia z -J im e n e z . U n iv e rs id a d D is trita l " F r a n c is c o J o s é d e C a ld a s " , C o lo m b ia ; G e o rg c D o y le , U n iv e rs ity o f D a y to n ; H a m id H a m id z a d e h . S o u th D a k o ta S ta te U n iv e rs ity ; H . N . H a s h c m i. N o r th c a s tc m U n iv e rs ity ; Z h ik u n H o u . W o r c h e s tc r P o ly te c h n ic I n s titu te ; J. R ic h a r d H o u g h to n . T c n n c s s e e T c c h n o lo g ic a l U n iv e rsity ; F a ry a r J a b b a r i , U n iv e rs ity o f C a lif o r n ia . I r v in c : R o b c rt J c f f c r s . U n iv e rs ity o f C o n n e c tic u t; R ic h a rd K c ltic . N o r th C a ro lin a S ta te U n iv e rsity ; J. S . L a m a n c u s a . P c n n s y lv a n ia S ta te U n iv e rs ity ; H a rry L a w . C lc m s o n U n iv e rs ity ; R o b c rt L c o n a r d . V i r g in ia P o ly te c h n ic In s titu te a n d S ta te U n iv e rs ity ; J a m e s L i. C o lu m b ia U n iv e rs ity ; S a m c c r M a d a n s h c tty . B o s to n U n iv e rsity ; M a s o u d M o jta h c d . P u r d u c U n iv e r s ity . C a lu m e t; F a is s a l A . M o s lc h y , U n iv e rs ity o f C e n tra l R o n d a ; M . G . P ra s a d . S tc v c n s In s titu te o f T e c h n o lo g y ; M o h á n D . R a o . M ic h ig a n T e c h ; A m ir G . R e z a e i. C a lif o rn ia S ta te P o ly te c h n ic U n iv e r s ity ; F . P . J. R im ro tt, U n iv e rs ity o f T o ro n to ; S u b h a s h S in h a , A u b u m U n iv e rsity ; D a n ie l S tu lts . U n iv e rs ity o f M is s o u ri-R o lla ; M a s s o u d T a v a k o li, G e o rg ia In stitu te o f T e c h n o lo g y ; T h e o d o re T e rry . L e h ig h U n iv e rsity ; D a v id F . T h o m p s o n , U n iv e rsity o f C in c in n a ti; C h u n g T s u i. U n iv e rs ity o f M a r y la n d . C o lle g e P a r k ; A le x a n d e r V a k a k is . U n iv e rs ity o f I llin o is . U r b a n a . C h a m p a ig n ; C h u c k V a n K a rs e n . M ic h ig a n T e c h n o lo g ic a l U n iv e rs ity ; A le k s a n d r a V in o g r a d o v . M o n ta n a S t a te U n iv e rs ity ; K . W . W a n g . P e n n s y lv a n ia S ta te U n iv e rs ity ; G lo r ia J. W ie n s . U n iv e rs ity o f R o n d a , y W illia m W e b s te r . G M I E n g in e e rin g a n d M a n a g e m e n t In s titu te . Q u ie ro d a r l a s g ra c ia s a l a U n iv e rs id a d d e P u rd u e p o r p e rm itirm e u tiliz a r e l B o ilc r m a k e r S p e c ia l e n e l p ro b le m a 2 .1 0 4 . M is s in c e ra s g ra c ia s a l D r. Q in g L iu p o r a y u d a n n e a e s c r ib ir a lg u n o s d e lo s p r o g r a m a s M A T L A B . P o r ú ltim o , d e s e o d a rle la s g ra c ia s a m i e s p o s a , K a m a la . s in c u y a p a c ie n c ia , m o tiv a c ió n y a p o y o e s t a e d ic ió n n u n c a s e h u b ie r a p o d id o te r m in a r.

S 1 N G IR E S U S . R A O s ra o @ m ia m i.e d u


LISTA DE SÍMBOLOS

Sím bolo a , do*ai

Significado .

a'J [a] A A . í 4 o , í 4 |, . . .

S iste m a inglés

S iste m a In tern acio n al

constantes, longitudes coeficiente d e flexibilidad m atriz d e flexibilidad

pulg/lb

á re a

pulg2

m/N tn/N

constantes

b ,b \,b 2, . . .

constantes, longitudes

B

constantes peso de balan ceo

Ib

N

coeficiente d e am ortiguación viscosa

Ib-s/pulg

N -s/m

c,C c . co. c i , c j , . . .

constantes

c

velocidad de o n d a

pulg/s

m/s

Cc

constante d e am ortiguación viscosa c ritic a constante d e am ortiguación del am ortiguador r-ósimo

Ib-s/pulg Ib-s/pulg

N -s/m

CU [c]

coeficiente d e am ortiguación

Ib-s/pulg

N - s /m N - s /m

m atriz d e am ortiguación

Ib-s/pulg

N - s /m

c , c „ c 2.c i , c i

constantes diám etro , dim ensión

pulg

m

diám etro

pulg

m

m atriz dinám ica

s2

sJ

excentricidad vectores unitarios paralelos a las d irec cio n e sx y y

pulg

m

E

M ódulo d e Y o u n g

b /p u lg 2

Pa

E[x)

valor esperado d e x

f

frecuencia lineal

Hz

Hz

f

fuerza por unidad d e longitud

b /p u lg

N/m

/ ./

im pulso unitario fuerza

Ib-s Ib

N -s N

am plitud d e fuerza F (i)

Ib

N

d D [D]

base d e logaritm os naturales


Lista d e s ím b o lo s

Sím bolo

Significado

Sistem a inglés

Sistem a Internacional

Fu Ft F, F

fuerza transm itida

Ib

N

d i e r a q u e actúa en la m asa i-ésim a

Ib

N

vector d e fuerza

F .F

impulso aceleración d ebida a la gravedad

Ib Ib-s

N N -s

fulg/s*

m /s 2

8 8 (0 G h

túnción d e resp u esta a l impulso Ib/pulg-

N /m 2

Ib/pulg

N/m

pxilg*

m4

m om ento p o lar d e inercia

[Xllg«

m4

m om ento d e inercia d e masa

b -p u lg /s2

k g -m 2

M *,

constante d e resorte constante d e resorte d e l reso rte ¿-¿simo

Ib/pulg Ib/pulg

N/m N/m

*,

constante d e resorte torsional coeficiente d e rigidez

b -p u lg /ra d Ib/pulg

N-m /rad

m atriz d e rigidez

Ib/pulg

N/m

Ui ftx, /n

longitud masa

F*ilg lb-s2/pulg

m

m,

masa /-¿sim a

Ib -sty u lg

kg kg

m ij |m ]

coeficiente d e masa m atriz d e masa

lb-s74>ulg lb-s24>ulg

kg

M

masa

Ib -sty u lg

M

m om ento d e flexión

b -p u lg

kg kg N • ni

M ¡, M jj, M , ; , . . .

par d e torsión

b -p u lg

N Mil

am plitud d e M ,(l)

b -p u lg

N •m

H (to ) i / 11) Im() j J

*/> 1*1

« ,0 n n

módulo d e cortante constante d e am ortiguación d e histéresis función d e respuesta d e frecuencia V h m om ento d e inercia d e área m atriz identidad parte im aginaria d e 0 entero

un entero o í m ero d e grados d e libertad

N

tuerza norm al

Ib

N

total d e escalones de tiem po presión

Ib/pulg2

P p (x ) P (x )

N /m 2

túnción d e distribución d e probabilidad d e x túerza. tensión

Qj

coordenada generalizada / ¿ s im a

r

N

túnción d e densidad d e probabilidad d e x

P q -i q Q,4 r

N/m

Ib

N

vector d e desplazam ientos generalizados vector d e velocidades generalizadas f u e r a generalizaday'-csim a relación d e frecuencia = io/tun vector radio

F«lg


m

xix

xx

L ista d e sím b o lo s

Símbolo

Significado

Sistem a inglés

Sistem a Internacional

* () R (r)

parte real d e ( )

R R

resistencia eléctrica función d e disipación d e R ayleigh

ohm lb-pulg/s

N -m /s

R

l/s 2

l/s 2

s s „ s d, s F

cociente d e R ayleigh raíz d e ecu ació n , variable d e Laplace aceleración, desplazam iento, espectro d e velocidad

S J as)

espectro d e x

I

tiem po

s

s

h T

estación d e tiem po /-ésim o

s

s

por d e torsión

Ib-pulg

N-m

T

energía cinética

pulg-lb

J

T,

energía cinética d e la m asa i-ésim a

pulg-lb

J

Td.T f

desplazam iento, transm isibilidad d e fuerza un elem ento d e m atriz [U] desplazam iento axial

pulg

m

energía potencial

pulg-lb Ib

J N

[U]

peso dcsbalanccado m atriz triangular superior

V , V0

velocidad lineal

pulg/s

V

fuerza co rtan te

Ib

m/s N

V

energía potencial

pulg-lb

J

Vi w , w „ w J,o)i

energía potencial d e l resorte i-ósim o

pulg-lb

deflexiones transversales

pulg

J m

**0

valor d e w cu an d o r = 0

pulg

”0

valor d e w cuando i = 0

pulg/s

w» IV

tro d o enésim o d e vibración

U¡J U .U i u u

función d e autocorrelación

m m/s

peso d e una m asa energía total

Ib pulg-lb

N

deflexión transversal

pulg

m

W; W(x)

valor d e W c u a n d o i = /,

pulg

m

x ,y > z *0. * ( 0 )

coordenadas cartesianas, desplazam ientos valor d e x cu an d o / ■ 0

pulg pulg

•to. ¿ ( 0 )

valor d e x cu an d o / ■ 0

pulg/s

XJ

desplazam iento d e la m asa j-é s im a

pulg

m/s m

XJ xí U

valor d e x cu an d o i = valor d e x cu an d o i = ij

pulg pulg/s

m/s

porte hom ogénea d e x (i)

pulg

xj x

porte p articular d e x ( i)

pulg

v ector de desplazam ientos

pulg

m

valor d e

pulg

m

pulg/s pulg/s3

m/s

IV IV

II %

J

una función d e x

cu an d o / =

valor d e * cu an d o t = /, valor d e x cu an d o i = it


m /s 2

Lista d e s ím b o lo s

«Símbolo

Significado

S iste m a inglés

S iste m a In tern acio n al

m odo i-csim o X

am plitud d e *(/) am plitud d e x / í)

Hg F*>'g

m ni

\c c to r m odal /-¿sim o

pu'g

m

com ponente /-¿sim o de m odo /'-¿sim o m atriz m odal

pulg PU'g

m in

desplazam iento d e base

F u 'g

m

am plitud d e >
Fulg

m

z

desplazam iento relativo, x - y

F«lg

z

am plitud d e z(r)

m m

Z ( to ) a

F«'g Ib/pulg

N/m

ángulo, constante

p * o específico

lh/pulg?

N /m 3

(te re m e n tó logarítm ico deflexiones

P“ lg

ni

pulg

m

Ib

N

P*
s

desplazam iento angular /-¿sim o

rad

rad

0c u a n d o / = 0 0c u a n d o 1 = 0 am plitud d e 0 (í)

rad rad/s

rad

XJ jf ( 0 x¡» [X] x. y Y

P P y s 5 |,

«V A

aproxim ación r-ésim a a un m odo

im pedancia m ecánica ángulo, constante constante d e am ortiguam iento de histercsis

deflexión estática delta K ronecker

AF

determ inante increm ento d e F

A.r

increm ento d e x

Aí AH'

increm ento d e l tiem po t

p e

crerg ía d isipada en un ciclo deform ación iclación d e am ortiguam iento

0

constante, desplazam iento angular

Oo ¿0v

o e, A fA] n u• Mi

J

u ta pequeña cantidad

i 0,

m

\a lo r d e valor d e

am plitud d e 0,(t) valor c ig e a ■ I/tu2

rad rad

rad/s rad

s2

rad y s-

lb-s/pulg2

k g /m -s

Ib-styulg*

k g /m 3

Ib/pulg2 s

s

m atriz d e transform ación viscosidad d e un fluido coeficiente d e fricción \a lo r esperado d e x

P V

e tn sid a d d e masa tactor de pérdida

ax (T

d e v ia c ió n e stán d a r de x esfuerzo

T

periodo d e oscilación, tiem po, constante d e tiempo


N /m 2

xxi

x x ii

L ista d e sím b o lo s

Sím bolo

Significado

Sistem a in glés

Sistem as Internacional

lb/pulg2

N /m

ángulo de fase e n e l m odo /-¿sim o

rad rad

rad

(O

frecuencia d e oscilación

rad/s

rad/s

0),

frecuencia natural /-¿sim a

rad/s

frecuencia natural frecuencia d e vibración am ortiguada

rad/s rad/s

rad/s rad/s

r

esfuerzo cortante ángulo, ángulo d e fase

S u b í n d ic e s Sím bolo en

Significado va lo r crítico

eq

valor equivalente

1 L

v a lo r /-¿sim o

máx n

va lo r m áxim o correspondiente a la frecuencia natural

R

plano d erecho

0

valor específico o d e referencia torsional

plano izquierdo

1

O p e r a c io n e s Sím bolo

Significado d i)

O

di d 2( )

0

d ,2

_* (

)

vector colum na < )

[]

m atriz

i r '

inversa d e ( J

[ f

transpuesta d e l )

A ()

increm ento d e ( )

*< )

transform ada d e L aplacc d e ( )

! T '( )

transform ada in v ersa d e L aplacc < )


rad

rad/s


CAPÍTULO I F u n d a m e n to s d e v ib ra c ió n

E s te a s tró n o m o ita lia n o , filó s o fo y p r o f e s o r d e m a te m á tic a s e n la s u n iv e rs id a d e s d e R s a y P a d u a , fu e , e n 1 6 0 9 , e l p r im e r h o m b re q u e a p u n tó u n te le s c o p io h a c ia e l c ie lo . E n 1 5 9 0 . e s c rib ió e l p r im e r tra ta d o d e d in á m ic a m o d e rn a . S u s o b r a s re s p e c to a la s (B c ila c io n c s d e un p é n d u lo s im p le y l a v i b r a c ió n d e l a s c u e r d a s s o n d e im p o r ta n c ia fu n d a m e n ta l e n l a te o rfa d e l a s v ib ra c io n e s . (C o rte s ía d e D irk J. S tr u ik , A C o n c is e H is to r y o f M a l h e m a l ¡e s ( 2 a . e d . r e v .) , D o v e r P u b lic a tio n s , I n c ., N u e v a Y o r k . 1948].

Galileo Cali leí (1564-1642)

E s q u e m a d e l c a p ítu lo

2

O bjetiv o s d e aprendizaje 3

1.10

M ovim iento arm ónico 51

l .l

C o m en ta rio s prelim inares 3

l .l 1

Anáfisis arm ónico 61

1.2

Breve h istoria d e l estu d io d e b vibración 4

1.12

Ejem plos re su e lto s utilizando MATLAB 72

1.3

Im portancia del estu d io d e b vfcración 10

1.13

L iteratura a cerca d e b vfcración 75

1.4

C o n c ep to s básicos d e b vibración 13

15

C b slfk a ció n d e b vibración 16

Referencias 76

1.6

Procedim iento d e l análisis d e b vfcración 17

P re g u n tas d e re p aso 78

1.7

E lem entos d e r e s o r te 21

P ro b lem as 81

1.8

Elem entos d e m asa o inercia 37

P ro y e c to s d e diserto 111

1.9

Elem entos d e am ortiguam iento 42

R esum en del capitulo 76


1.1

C o m e n ta r io s p r e lim in a r e s

3

E s te c a p ítu lo p r e s e n ta e l t e m a d e l a s v ib ra c io n e s e n u n a fo rm a r e la tiv a m e n te s e n c illa . E m p ie z a c o n u n a b r e v e h is to r ia d e l t e m a y lu e g o p re s e n ta u n e x a m e n d e l a im p o rta n c ia d e la v ib ra c ió n . L o s c o n c e p to s b á s ic o s d e g r a d a s d e lib e r ta d y d e s is te m a s c o n tin u o s y d is c r e to s s e o fr e c e n j u n to c o n u n a d e s c rip c ió n d e la s p a r te s e le m e n ta le s d e l o s s is te m a s v ib ra to rio s . S e in d ic a n l a s d iv e r s a s c la s if ic a c io n e s d e v ib r a c ió n , a s a b e r v i b r a c ió n lib re y fo rz a d a ; v ib ra c ió n n o a m o r tig u a d a y a m o r ti g u a d a ; v ib ra c ió n lin e a l y n o lin e a l, y v ib ra c ió n d e te r m in ís tic a y a le a to r ia . S e d e lin e a n y p re s e n ta n a s im is m o la s d e fin ic io n e s y l o s c o n c e p to s e s e n c ia le s d e v ib ra c ió n . S e d e s c r ib e e l c o n c e p to d e m o v im ie n to a rm ó n ic o y s u re p re s e n ta c ió n p o r m e d io d e v e c to r e s y n ú m e ro s c o m p le jo s . S e a p o rta n l a s d e f in ic io n e s y te r m in o lo g ía b á s ic a s c o m o c i c l o , a m p litu d , p e r io d o . fre c u e n c ia , á n g u lo d e f a s e y fre c u e n c ia n a tu ra l, re la c io n a d a s c o n e l m o v im ie n to a r m ó n ic o . A l fin a l s e d e s c rib e e l a n á lis is a r m ó n ic o , q u e t ie n e q u e v e r c o n la re p re s e n ta c ió n d e c u a lq u ie r fu n c ió n p e rió d ic a e n té rm in o s d e fu n c io n e s a rm ó n ic a s , u tiliz a n d o l a s e r ie d e F o u r ie r . A s im is m o , s e a n a l i z a n e n d e ta lle lo s c o n c e p to s d e e s p e c tr o d e fre c u e n c ia , re p re s e n ta c io n e s e n e l d o m in io d e l tie m p o y fr e c u e n c ia d e fu n c io n e s p e rió d ic a s , a s í c o m o la s e x p a n s io n e s d e m e d ia n o in te r v a lo y e l c á lc u lo n u m é ric o d e c o e fic ie n te s d e F o u rie r.

O b je tiv o s d e a p re n d iza je A l te r m in a r e s t e c a p ítu lo , u s te d d e b e r á s e r c a p a z d e re a liz a r l o s ig u ie n te :

1.1

•

D e s c rib ir b re v e m e n te l a h is to ria d e l a v ib ra c ió n .

•

In d ic a r la im p o r ta n c ia d e l e s tu d io d e la v ib r a c ió n .

•

P ro p o rc io n a r v a ria s c la s ific a c io n e s d e l a v ib ra c ió n .

•

E n u n c ia r lo s p a s o s im p lic a d o s e n e l a n á lis is d e l a v ib r a c ió n .

•

C a lc u la r lo s v a lo r e s d e c o n s ta n te s d e r e s o r t e , m a s a s y c o n s ta n te s d e a m o rtig u a m ie n to .

•

D e fin ir e l m o v im ie n to a rm ó n ic o y d ife re n te s p o sib le s re p re se n ta c io n e s d e m o v im ie n to a rm ó n ico .

•

S u m a r y r e s t a r m o v im ie n to s a r m ó n ic o s .

•

R e a liz a r l a e x p a n s ió n d e l a s e rie d e F o u r ie r d e fu n c io n e s p e rió d ic a s d a d a s .

•

D e te rm in a r lo s c o e f ic ie n te s d e F o u r ie r n u m é r ic a m e n te , a p lic a n d o e l p r o g r a m a M A T L A B .

C o m e n t a r io s p r e lim in a r e s El te m a d e l a v ib ra c ió n s e p re s e n ta a q u í e n u n a fo rm a re la tiv a m e n te se n c illa . E l c a p ítu lo e m p ie z a c o n u n a b re v e h is to ria d e l a v ib ra c ió n y c o n tin ú a c o n u n e x a m e n d e s u im p o rta n c ia . S e p e rfila n lo s d iv e rs o s p a so s q u e in te rv ie n e n e n e l a n á lisis d e l a v ib ra c ió n d e un s is te m a d e in g e n ie ría y s e p re se n ta n la s d e fin ic io n e s y c o n c e p to s e s e n c ia le s d e l a v ib ra c ió n . A q u í a p re n d e m o s q u e to d o s lo s s is te m a s m e c á n ic o s y e stru c tu ra le s s e p u e d e n m o d e la r c o m o s is te m a s d e m a s a -re so rte -a m o rtig u a d o r. E n a lg u n o s siste m a s, c o m o e n un a u to m ó v il, l a m asa, e l r e s o n é y e l a m o rtig u a d o r s e p u e d e n id e n tific a r c o m o c o m p o n e n te s s e p a ra d o s ( la m a s a e n l a fo rm a d e l c u e rp o , e l re s o rte e n la s u s p e n s ió n y e l a m o rtig u a d o r e n l a fo rm a d e lo s a m o rtig u a d o re s). E n a lg u n o s c a s o s , l a m a s a , e l r e s o r te y el a m o rtig u a d o r no a p a r e c e n c o m o c o m p o n e n te s d is tin to s , p u e s s o n in h e re n te s c in te g ra le s a l s iste m a . P o r e je m p lo , e n e l a la d e u n a v ió n , l a m a s a e s t á d is trib u id a e n to d a e l a l a In c lu s o , d e b id o a s u e la s tic id a d , e l a la e x p e rim e n ta u n a n o ta b le d e fo rm a c ió n d u r a n te e l v u e lo , d e m o d o q u e p u e d e m o d e la rse c o m o u n re so rte . A d e m á s , la d e fle x ió n d e l a la in tro d u c e u n e f e c to d e a m o rtig u a m ie n to p ro d u c id o p o r e l m o v im ie n to re la tiv o e n tre c o m p o n e n te s c o m o j u n ta s , c o n e x io n e s y s o p o rte s , al ig u a l q u e la fric c ió n in te rn a p ro d u c id a p o r d e fe c to s m ic ro e s tru c tu ra le s d e l m a te ria l. E n el c a p ítu lo s e d e s c rib e e l m o d e la d o d e e le m e n to s d e re so rte .


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C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n m a s a y a m o rtig u a m ie n to , s u s c a ra c te rís tic a s y la c o m b in a c ió n d e v a rio s r e s o rte s , m a s a s o e le m e n to s (fc a m o r tig u a m ie n to q u e a p a r e c e n e n un s is te m a . D e a l l í s e d e r iv a u n a p re s e n ta c ió n d e l c o n c e p to d e a n á lisis a r m ó n ic o , e l c u a l p u e d e u tiliz a r s e p a r a e l a n á lis is d e m o v im ie n to s p e r ió d ic o s g e n e ra le s . E n este c a p ítu lo n o s e p re te n d e a g o ta r lo s te m a s ; lo s c a p ítu lo s s ig u ie n te s d e s a rr o lla r á n c o n m á s d e ta lle m u c h a s d e la s id e a s.

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B r e v e h isto ria d e l e s tu d io d e la v ib ra c ió n H in te r é s e n l a v ib ra c ió n s u r g e c u a n d o s e c r e a n lo s p r im e r o s in s tru m e n to s m u s ic a le s , p r o b a b le m e n te s ilb a to s o ta m b o r e s . D e s d e e n to n c e s , ta n to m ú s ic o s c o m o filó s o f o s h a n b u s c a d o l a s r e g la s y

O r íg e n e s del e s tu d io d e la v ib r a c ió n

fas le y e s d e l a p ro d u c c ió n d e l s o n i d o , la s h a n u tiliz a d o p a r a m e jo r a r lo s in s tr u m e n to s m u s ic a le s , y la s h a n p a s a d o d e g e n e r a c ió n e n g e n e r a c ió n . Y a e n e l a ñ o 4 0 0 0 a .C . [ I . I ] . l a m ú s ic a h a b ía a lc a n ¿ ad o u n a lto n iv e l d e d e s a rro llo y e r a m u y a p r e c ia d a p o r c h in o s , h in d ú e s , j a p o n e s e s y . q u iz á , los e g ip c io s . E s to s p u e b lo s a n tig u o s o b s e rv a ro n c ie r ta s r e g la s d e f in id a s q u e d e a lg u n a m a n e ra e s ta b a n re la c io n a d a s c o n e l a rte d e l a m ú s ic a , a u n q u e su c o n o c im ie n to n o lle g ó a n iv e l d e c ie n c ia . f e p ro b a b le q u e lo s in s tr u m e n to s m u s ic a le s d e c u e r d a s e h a y a n o r ig in a d o e n e l a r c o d e l c a z a d o r , a rm a f a v o re c id a p o r lo s e jé r c ito s d e l a n tig u o E g ip to . U n o d e lo s in s tr u m e n to s d e c u e r d a m á s p r im i tiv o s . l a n t m x a , s e p a r e c e a u n a i p a d e tr e s o c u a t r o c u e r d a s .y c a d a c u e r d a p ro d u c e s ó lo u n a n o ta ; e n d M u s e o B ritá n ic o s e e n c u e n tr a u n e je m p la r q u e d a ta d e 1 5 0 0 a ñ o s a .C . A h í m is m o s e e x h ib e un a rp a d e 1 1 c u e r d a s , d e c o r a d a e n o r o y c o n c a j a d e re s o n a n c ia e n f o r m a d e c a b e z a d e t o r o , la c u a l se e n c o n tr ó e n U r e n u n a tu m b a re a l q u e d a t a d e a p r o x im a d a m e n te 2 6 0 0 a ñ o s a .C . E n lo s m u ro s tu m b a s e g ip c ia s c o n u n a a n tig ü e d a d d e 3 0 0 0 a ñ o s a .C . s e h a lla ro n p in tu r a s d e in s tru m e n to s d e c u e rd a s e m e ja n te s a a rp a s . N u e stro s is te m a m u s ic a l a c tu a l tie n e s u s b a s e s e n l a c iv iliz a c ió n g r ie g a a n tig u a . S e c o n s id e ra q u e e l filó s o f o y m a te m á tic o g r ie g o P itá g o r a s ( 5 8 2 -5 0 7 a .C .) fiie l a p r im e r a p e r s o n a q u e in v e s tig ó d s o n id o m u s ic a l c o n u n a b a s e c ie n tíf ic a (fig u ra 1.1). E n tre o tr a s c o s a s . P itá g o r a s re a liz ó e x p e r i m e n to s c o n u n a s o l a c u e r d a p o r m e d io d e u n a p a ra to s e n c illo lla m a d o m o n o c o rd io . E n e l e je m p lo q j e s e m u e s tra e n la fig u ra 1 .2 . lo s p u e n te s d e m a d e ra 1 y 3 e s t á n fijo s . E l p u e n te 2 e s m o v ib le e n t in t o q u e l a te n s ió n e n la c u e r d a s e m a n tie n e c o n s ta n te m e d ia n te e l p e s o c o lg a n te . P itá g o r a s o b s e r vó q u e s i s e s o m e te n a la m is m a te n s ió n d o s c u e r d a s s im ila re s d e d ife re n te s lo n g itu d e s , l a m á s c o r ta e m ite u n a n o ta m á s a lta ; a d e m á s , s i l a c u e r d a m á s c o r ta e s d e l a m ita d d e l a lo n g itu d d e l a m á s la rg a , la m á s c o r ta e m itirá u n a n o ta u n a o c ta v a a r r i b a d e la o tr a . P itá g o r a s n o d e jó n in g ú n d o c u m e n to d e su

F ig u ra 1.1 Pitágoras. (R eim preso c o n p e rm iso d e l.E. Navia, Pitágoras: A n A n m t a t e d B ib lio g ra p h y, G arlan d P u b lish in g , Inc., N ueva York. 1990).


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C u erd a

B reve h is to r ia d e l e s tu d io d e la v ib r a c ió n

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\ A \P c s o

F ig u ra 1.2 M onocordio.

tra b a jo ( f ig u r a 1.3 ), p e r o h a s id o d e s c r ito p o r o tr o s . A u n q u e e n e l tie m p o d e P itá g o r a s s e d e s a rro lló e l c o n c e p to d e to n o . l a r e la c ió n e n tre e l t o n o y l a fre c u e n c ia n o s e e n te n d ió s in o h a s ta e l tie m p o d e G a lile o . e n e l s ig lo x v i . H a c ia 3 5 0 a .C . A r is tó te le s e s c rib ió tr a ta d o s s o b r e m ú s ic a y s o n id o c h iz o o b s e r v a c io n e s c o m o “L a v o z e s m á s d u lc e q u e e l s o n id o d e l o s in s tru m e n to s ” , y “E l s o n id o d e l a f la u ta e s m á s d u lc e q u e e l d e la lira ” . E n 3 2 0 a . C . A ris tó g e n e s . a lu m n o d e A r is tó te le s y m ú s ic o , e s c rib ió u n a o b r a e n tre s v o lú m e n e s titu la d a E le m e n to s d e a r m o n ía . E s to s lib ro s s o n q u iz á lo s m á s a n tig u o s d e q u e se d is p o n g a s o b re l a m ú s ic a y e s c rito s p o r l o s in v e s tig a d o re s m is m o s . A lre d e d o r d e 3 0 0 a . C . e n un lib ro l la m a d o In tr o d u c c ió n a la a r m o n ía , F .u c lid e s e s c r ib ió b re v e m e n te s o b r e l a m ú s ic a p e r o s in h a c e r r e fe r e n c ia a lg u n a a la n a tu ra le z a físic a d e l s o n id o . L o s g r ie g o s n o lo g ra ro n m á s a v a n c e s e n e l c o n o c im ie n to c ie n tíf ic o d e l s o n id o . P a re c e q u e los ro m a n o s re c ib ie ro n to d o su c o n o c im ie n to m u sic a l p o r p a r te d é l o s g r ie g o s , e x c e p to V itm v io , fa m o s o a rq u ite c to r o m a n o q u e e s c rib ió a lre d e d o r d e l a ñ o 2 0 a .C . s o b re la s p ro p ie d a d e s a c ú s tic a s d e l o s t e a tr o s . S u tr a ta d o D e A r c h ite c tu r a L ib r i D e c e m (D ie z lib r o s s o b r e a r q u ite c tu r a ), e stu v o p e rd id o d u ra n te m u c h o s a ñ o s , y s e h a b ría d e r e d e s c u b rir s ó lo h a sta e l s ig lo x v . A l p a re c e r, d u ra n te c a s i 16 s ig lo s n o h u b o d e s p u é s d e l tra b a jo d e V itr u v io n in g ú n d e s a rro llo e n la s te o ría s d e l so n id o y la v ib ra c ió n .

F ig u ra 1.3 Pitágoras c o m o m ú sico . (R eim preso c o n p e rm iso d e D.E. S rrith , H h to r y o íM a th e m a tícs.W o l. I. Dover P u b lica tio n s, Inc., Nueva York. 1958).


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C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n E n la a n tig ü e d a d . C h in a e x p e rim e n ta b a m u c h o s s is m o s . Z h a n g H c n g . q u e s e d e s e m p e ñ ó c o m o h is to ria d o r y a s tró n o m o e n e l s ig lo ü , p e r c ib ió l a n e c e s id a d d e d e s a r r o lla r un in s tru m e n to p a ra m e d ir b s s is m o s c o n p re c is ió n . E n e l a ñ o 132 in v e n tó e l p r im e r s is m ó g ra f o d e l m u n d o [ 1. 3 . 1.41, e l c u a l e s ta b a h e c h o d e l in o b ro n c e fu n d id o , c o n u n d iá m e tr o d e o c h o c h i ( u n c h i e q u iv a le a 0 .2 3 7 m e tro s) y t e n ía l a fo r m a d e u n a j a r r a d e v in o ( f ig u r a 1.4 ). D e n tro d e l a j a r r a h a b ía u n m e c a n is m o q u e c o n e s t í a e n un p é n d u lo ro d e a d o p o r u n g r u p o d e o c h o p a la n c a s q u e a p u n ta b a n e n o c h o d ir e c c io n e s . E n b p a r te e x te rn a d e l s is m ó g ra f o h a b ía o c h o fig u r a s d e d r a g ó n , c a d a u n a c o n u n a b o la d e b ro n c e en la s f a u c e s . D e h a jo d e c a d a d r a g ó n h a b ía u n a r a n a c o n l a b o c a a b ie rta h a d a a r rib a . U n s is m o fu e rte e n c u a lq u ie r d ir e c c ió n in c lin a ría d p é n d u lo e n e s a d i r e c d ó n y a c tiv a r ía l a p a la n c a e n la c a b e z a d d d r a g ó n . E s to a b r ía l a b o c a d e l d ra g ó n y l a b o la d e b ro n c e s e s o lta b a y c a í a e n l a b o c a d e la ra n a c o n u n s o n id o m e tá lic o . A s í, e l s is m ó g ra f o p e r m itía a l p e r s o n a l d e v ig ila n c ia s a b e r ta n to e l tie m p o c o m o l a d ire c c ió n d e l a o c u r re n c ia d e l s is m o .

F ig u ra M H p rim e r sism ógrafo d e l m u n d o in v en tad o e n C hina e n el a ñ o 132 de n u e s tra e ra. (R eim preso con perm iso d e R. T a to n (ed.), M s lo r y o f S c ie n c e , Basic Books, Inc.. N ueva York, 1957).

1 . 2 . 2 ________

S e c o n s id e ra q u e G a lilc o G a l i l d ( 1 5 6 4 - I 6 4 2 ) e s e l fu n d a d o r d e l a c i e n d a e x p e rim e n ta l m o d e rn a .

D e G a lile o a R a y le ig h

(fc l a filo s o fía y la c i e n d a m o d e rn a s s e s e n ta ro n d u r a n te e s c p e rio d o . L o q u e m o tiv ó a G a lile o a e s -

De h e c h o , a m e n u d o a l s ig lo x v il se le c o n s id e ra c o m o e l " s ig l o d d g e n io " p u e s to q u e l o s c im ie n to s tu d ia r e l c o m p o rta m ie n to d e u n p é n d u lo s im p le f u e l a o b s e rv a c ió n d e lo s m o v im ie n to s d e v a iv é n d e u n a lá m p a ra e n u n a ig le s ia d e P is a . U n d í a , m ie n tra s s e a b u r ría d u ra n te u n s e r m ó n , G a lile o m ira b a h a d a e l te c h o d e la ig le sia . U n a lá m p a ra o s c ila n te c a p tó s u a te n c ió n . C o m e n z ó a m e d ir e l p e rio d o cfc lo s m o v im ie n to s d e p é n d u lo d e la lá m p a ra c o n s u p u ls o , y p a ra s u s o rp re s a s e d io c u e n ta d e q u e el tie m p o e ra in d e p e n d ie n te d e la a m p litu d d e la s o s c i la d o n e s . E s to lo lle v ó a r e a liz a r m á s e x p e rim e n to s c o n e l p é n d u lo s im p le . E n s u o b r a D isc o rs i e d i m o s t m z io n e n u a e m a iic h e in to r n o a d u e n u o v e s c i e n z e { D iá lo g o s s o b r e d o s n u e v a s c ie n c ia s ) , p u b lic a d a e n 1 6 3 8 , G a lile o a n a liz ó lo s c u e rp o s v ib ra to rio s. D e s c rib ió la d e p e n d e n c ia d e la fre c u e n c ia d e la v i b r a d ó n e n l a lo n g itu d d e u n p é n d u b s im p le , j u n to c o n e l fe n ó m e n o d e v ib ra c io n e s s im p á tic a s (re s o n a n c ia ). L o s e s c rito s d e G a lile o tu n b ié n in d ic a n q u e e n te n d ía c o n c la rid a d l a r e la c ió n e n tre la fr e c u e n c ia , la lo n g itu d , l a te n s ió n y b d e n s id a d d e u n a c u e r d a v ib ra to ria te n s a | L 5 J. S in e m b a rg o , e l p r im e r i n f o r m e c o r re c to p u b lic a d o ifc la v ib ra c ió n d e c u e rd a s lo p r o p o r d o n ó e l m a te m á tic o y te ó lo g o fra n c é s M a rio M c r s c n n c ( I5 8 8 I 6 4 8 ) c n su l ib r o H a rm o rtie u n iv e r s e lle

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c ré d ito l e p e rte n e c e a G a lilc o . p u e sto q u e e s c rib ió l a s le y e s m u c h o s a ñ o s a tr a s y s u p u b lic a c ió n fue p ro h ib id a p o r ó r d e n e s d e l In q u is id o r d e R o m a h a s ta 1638. In s p ir a d a e n e l tra b a jo d e G a lilc o , e n 1 6 5 7 s e fu n d ó l a A c a d e m ia d e l C im e n to e n F lo re n c ia ; a é sta le s ig u ie ro n l a s fo rm a c io n e s d e l a R o y a l S o c ic ty o f L o n d o n e n 1 6 6 2 . y l a P a rís A c a d e m ie d e s S c ie n c e s e n 1 6 6 6 . M á s ta r d e . R o b e rt H o o k e (1 6 3 5 -1 7 0 3 ) ta m b ié n re a liz ó e x p e r im e n to s p a ra d e te r m in a r u n a r e la c ió n e n tre e l to n o y l a fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n d e u n a c u e rd a . S in e m b a rg o . J o s e p h S a u v e u r (1 6 5 3 -1 7 1 6 ) i n v e s tig ó a fo n d o e s to s e x p e r im e n to s y a c u ñ ó la p a la b ra " a c ú s tic a " p a ra l a c ie n c ia d e l s o n id o 11.61. S a u v e u r e n F r a n c ia y J o h n W a llis ( 1 6 1 6 - 1 7 0 3 ) e n I n g la te rra o b s e r v a r o n , d e m a n e ra in d e p e n d ie n te , e l fe n ó m e n o d e la s fo rm a s d e m o d o , y e n c o n tr a ro n q u e u n a c u e r d a te n s a q u e v ib r a p u e d e n o t e n e r m o v im ie n to e n c ie r to s p u n to s , y u n m o v im ie n to v io le n to e n p u n to s in te rm e d io s . S a u v e u r lla m ó n o d o s a l o s p rim e r o s p u n to s y b u c le s a l o s s e g u n d o s . S e e n c o n tr ó q u e ta le s v ib r a c io n e s t e n í a n fr e c u e n c ia s m á s a lt a s q u e l a a s o c ia d a c o n l a v ib r a c ió n s im p le d e l a c u e r d a s in n o d o s . D e h e c h o , s e e n c o n tr ó q u e l a s a lt a s fr e c u e n c ia s s o n m ú ltip lo s in te g ra le s d e l a fr e c u e n c ia d e v ib ra c ió n s im p le , y S a u v e u r lla m ó a r m ó n ic o s a l a s a lta s fre c u e n c ia s y fre c u e n c ia fu n d a m e n ta l a la f r e c u e n c ia d e u n a v ib ra c ió n s im p le . S a u v e u r ta m b ié n e n c o n tr ó q u e u n a c u e r d a p u e d e v ib ra r s in v a rio s d e su s a r m ó n ic o s p r e s e n te s a l m is m o tie m p o . A d e m á s , o b s e r v ó e l fe n ó m e n o d e l p u ls o c u a n d o d o s tu b o s d e ó rg a n o d e to n o s le v e n re n te d if e r e n te s s e h a c e n s o n a r ju n to s . F ji 1 7 0 0 , S a u v e u r c a lc u ló , m e d ia n te un m é to d o un t a n t o d u d o s o , l a fre c u e n c ia d e u n a c u e r d a te n s a d a a p a r tir d e la c o m b a m e d id a d e s u p u n to m e d io . S i r Isa a c N e w to n (1 6 4 2 -1 7 2 7 ) p u b lic ó e n 1 6 8 6 s u o b r a m o n u m e n ta l P h ilo s o p h ia e N a tu ra U s P r in c ip io M a th e m a tic a ( P r in c ip io s m a te m á tic o s d e f il o s o f í a n a tu r a l) , q u e d e s c rib e la le y d e la g ra v ita c ió n u n iv e r s a l, a s í c o m o la s t r e s le y e s d e l m o v im ie n to y o t r o s d e s c u b rim ie n to s . l a s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n e s u n lu g a r c o m ú n e n lib r o s s o b r e v ib ra c io n e s p a ra d e r iv a r la s e c u a c io n e s d e m ov im ie n to d e u n c u e rp o q u e v ib ra . B ro o k T a y lo r ( 1 6 8 5 - 1 7 3 1 ) . m a te m á tic o in g lé s , h a lló e n 1713 l a s o lu c ió n te ó r ic a ( d in á m ic a ) d e l p ro b le m a d e l a c u e r d a v ib ra to ria , y a s u v e z p r e s e n tó e l fa m o s o t e o r e m a d e T a y lo r s o b r e u n a s e rie in fin ita . L a fre c u e n c ia n a tu ra l d e la v i b r a c ió n o b te n id a c o n la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e r iv a d a p o r T a y l o r c o n c u e r d a c o n lo s v a lo r e s e x p e rim e n ta le s o b se rv a d o s p o r G a lilc o y M c r s e n n c . E l p ro c e d im ie n to a d o p ta d o p o r T a y l o r fu e p e r fe c c io n a d o c o n la in tro d u c c ió n d e d e riv a d a s p a rc ia le s e n la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to p o r D a n ie l B e m o u lli ( 1 7 0 0 17 8 2 ) , J c a n D 'A lc m b e r t ( 17 1 7 - 1 7 8 3 ) y L c o n a rd E u lc r ( 1 7 0 7 - 1 7 8 3 ) . L a p o s ib ilid a d d e q u e u n a c u e r d a v ib r e c o n v a rio s d e s u s a r m ó n ic o s p r e s e n te s a l m is m o tie m p o (s i e l d e s p la z a m ie n to d e c u a lq u ie r p u n to e n c u a lq u ie r in s ta n te e s ig u a l a la s u m a a lg e b r a ic a d e lo s d e s p la z a m ie n to s d e c a d a a r m ó n ic o ) s e c o m p ro b ó c o n l a s e c u a c io n e s d in á m ic a s d e D a n ie l B e m o u lli e n s u s m e m o ria s , p u b lic a d a s p o r la A c a d e m ia B e rlin e s a e n 17 5 5 11.7], E s ta c a r a c te rís tic a s e c o n o c e c o m o e l p rin c ip io d e l a c o e x is te n c ia d e p e q u e ñ a s o s c ila c io n e s lo c u a l , e n te rm in o lo g ía a c tu a l, e s e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n . S e c o m p ro b ó q u e e s t e p r in c ip io e s m á s v a lio s o e n e l d e s a r r o llo d e la te o ría d e v ib ra c io n e s y c o n d u jo a l a p o s ib ilid a d d e e x p r e s a r c u a lq u ie r f u n c ió n a rb itra ria (e s d e c ir, c u a lq u ie r fo rm a in ic ia l d e la c u e r d a ) u tiliz a n d o u n a s e r ie in fin ita d e s e n o s y c o s e n o s . D e b id o a e s ta im p lic a c ió n . D 'A le m b e r l y E u le r d u d a r o n d e l a v a lid e z d e e s te p rin c ip io . S i n e m b a r g o . J . B. J. F b u rie r < 17 6 8 -1 8 3 0 ) e n s u o b r a A n a ly tic a l T h e o r y o f H e a t c n 1822 c o m p ro b ó la v a lid e z d e e s t e tip o d e e x p a n s ió n . J o s e p h L a g r a n g e (1 7 3 6 -1 8 1 3 ) p r e s e n tó l a s o lu c ió n a n a lític a d e l a c u e r d a v ib ra to r ia e n s u s m e m o ria s p u b lic a d a s p o r la A c a d e m ia d e T u rín e n 1 7 5 9 . E n su e s tu d io . L a g r a n g e s u p u s o q u e la c u e r d a se c o m p o n ía d e u n a in f in id a d d e p a r tíc u la s d e m a s a id é n tic a e q u id is ta n te s , y e s ta b le c ió l a e x is te n c ia d e v a r ia s fre c u e n c ia s in d e p e n d ie n te s ig u a le s a la c a n tid a d d e p a rtíc u la s d e m a s a . C u a n d o s e p e r m itió q u e la c a n tid a d d e p a rtíc u la s f u e ra in f in ita s e e n c o n tr ó q u e l a s fre c u e n c ia s r e s u lta n te s e r a n la s m is m a s q u e l a s fr e c u e n c ia s a r m ó n ic a s d e l a c u e r d a te n s a . E l m é to d o d e e s ta b le c e r l a e c u a c ió n d ife re n c ia l d e l m o v im ie n to d e u n a c u e r d a (lla m a d a e c u a c ió n d e o n d a ) , p re s e n ta d o e n l a m a y o ría d e lo s lib r o s a c tu a le s s o b r e te o r ía d e la v ib r a c ió n , lo d e s a rro lló p o r p rim e ra v e z D ’A lc m b e rt e n su s m e m o ria s p u b lic a d a s p o r la A c a d e m ia d e B e rlín e n 1750. L a v ib r a c ió n d e v ig a s d e lg a d a s a p o y a d a s


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C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n y s u je ta s d e d ife re n te s m a n e r a s f u e u n e s tu d io h e c h o p o r p r im e r a v e z p o r E u lc r e n 1 7 4 4 y D a n ie l B e m o u lli e n 1 7 5 1 . S u m é to d o s e c o n o c e c o m o t e o r í a d e v ig a s d e lg a d a s o d e E u le r -B e m o u lli. C h a r le s C o u lo m b r e a l iz ó e s tu d io s t a n t o te ó ric o s c o m o e x p e r im e n ta le s e n 1784 s o b r e l a s o s c ila c io n e s to rs io n a le s d e u n c ilin d r o d e m e ta l s u s p e n d id o d e u n c a b le ( f ig u r a 1.5). A l s u p o n e r q u e e l p a r (fc to r s ió n r e s is te n te d e l a la m b re to rc id o e s p ro p o rc io n a l a l á n g u lo d e to r s ió n , d e d u jo la e c u a c ió n d e m o v im ie n to p a ra la v i b r a c ió n to rs io n a l d e l c ilin d r o s u s p e n d id o . In te g ra n d o la e c u a c ió n d e m o v im ie n to , e n c o n tr ó q u e e l p e r io d o d e o s c ila c ió n e s in d e p e n d ie n te d e l á n g u lo d e to rs ió n . H a y u n in te r e s a n te re la to e n c u a n to a l d e s a rr o llo d e la te o r ía d e v ib ra c ió n d e p la c a s ( 1 .8 |. E n 1802, e l c ie n tífic o a le m á n E . F . F . C h la d n i (1 7 5 6 -1 8 2 4 ) d e s a rro lló e l m é to d o d e c o lo c a r a r e n a s o b re u n a p la c a v ib ra to ria p a r a h a lla r s u s fo rm a s d e m o d o y o b s e r v ó l a b e lle z a y c o m p le jid a d d e los p o tro n e s m o d a le s d e l a s p l a c a s v ib ra to ria s . E n 1 8 0 9 l a A c a d e m ia F r a n c e s a in v itó a C h la d n i a q u e h ic ie ra u n a d e m o s tr a c ió n d e e s to s e x p e r im e n to s . N a p o le ó n B o n a p a r te . q u i e n a s is tió a l a re u n ió n , se im p re s io n ó m u c h ís im o y d o n ó 3 0 0 0 fra n c o s a l a a c a d e m ia p a r a q u e se o to r g a r a n a la p r im e r a p e rso n a q u e e la b o r a r a u n a te o r ía m a te m á tic a sa tis fa c to ria d e l a v ib ra c ió n d e p la c a s . C e rc a d e l a fe c h a lím ite d e la c o m p e te n c ia , e n o c tu b re d e 1811. s ó lo u n c a n d id a to . S o p h ic G e rm a in , h a b ía e n tra d o a l c o n c u rs o . P e ro L a g ra n g e , q u e e ra u n o d e l o s j u e c e s , d e s c u b rió u n e r r o r e n l a d e r iv a c ió n d e s u e c u a ció n d ife re n c ia l d e m o v im ie n to . L a a c a d e m ia a b r ió d e n u e v o l a c o m p e te n c ia , c o n u n a n u e v a fe c h a lím ite p a ra o c tu b re d e 1813. S o p h ic G e rm a in e n tr ó d e n u e v o a l c o n c u rs o y p re s e n tó l a fo r m a c o rre c ta d e l a e c u a c ió n d ife re n c ia l. S in e m b a rg o , la a c a d e m ia n o le o to rg ó e l p re m io p o r q u e e l j u e z cfcseaba u n a ju s tif ic a c ió n fís ic a d e l a s s u p o s ic io n e s h e c h a s e n su d e riv a c ió n . l a c o m p e te n c ia s e a b rió u n a v e z m á s . E n 1 8 1 5 , e n s u te r c e r in te n to . S o p h ie G e rm a in o b tu v o p o r fin e l p re m io a u n c u a n d o b s j u e c e s n o s e sin tie ra n d e l t o d o sa tis fe c h o s c o n su te o r ía . D e h e c h o , m á s ta r d e s e e n c o n tró q u e la e c u a c ió n d ife re n c ia l e ra c o rre c ta p e ro la s c o n d ic io n e s lím ite e r a n e rró n e a s . E n 1 8 5 0 , G . R . K ir c h h o ff (1 8 2 4 -1 8 8 7 ) d io la s c o n d ic io n e s lím ite c o rre c ta s p a r a l a v ib ra c ió n d e l a s p la c a s . M ie n tra s ta n to , e l p ro b le m a d e v ib ra c ió n d e u n a m e m b ra n a fle x ib le re c ta n g u la r, lo c u a l e s im p á rta n te p a r a e n te n d e r e l so n id o e m itid o p o r ta m b o r e s , fu e r e s u e lto p o r p rim e ra v e z p o r S im e ó n f b i s s o n (1 7 8 1 -1 8 4 0 ). L a v ib ra c ió n d e u n a m e m b ra n a c ir c u la r fu e e s tu d ia d a e n 1862 p o r R . F . A. Q e b s c h (1 8 3 3 - 1 8 7 2 ) . D e s p u é s d e e s to , s e re a liz a ro n e s tu d io s d e v i b r a c ió n e n v a r io s s is te m a s

Figura 1.5 Dispositivo de Coulom b para p ru e b as d e v ib ra ció n torsional. (R eim preso c o n p erm iso de S.P. T lm oshenko, fS s to r y o fS tr e n g th o fM a te ria ls, McGraw-Hfll Book Com pany, Inc., N ueva York, 1953).


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m e c á n ic o s y e s tru c tu ra le s p r á c tic o s . E n 1877 L o r d B a r ó n R a y le ig h p u b lic ó s u lib ro s o b re la te o r ía d e l so n id o 11.91, o b ra c o n s id e r a d a u n c lá s ic o e n m a te ria d e s o n id o y v ib ra c ió n in c lu s o e n l a a c t u a lid a d . N o ta b le e n tr e la s m u c h a s c o n trib u c io n e s d e R a y le ig h es e l m é to d o d e e n c o n tr a r la fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n fu n d a m e n ta l d e u n s is te m a c o n s e rv a d o r a l a p lic a r e l p rin c ip io d e c o n s e rv a c ió n d e la e n e r g í a , a h o ra c o n o c id o c o m o m é to d o d e R a y le ig h . E s te m é to d o re s u ltó s e r u n a té c n ic a ú til p a ra la s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e v ib ra c ió n d i f íc i le s . U n a e x te n s ió n d e l m é to d o , l a c u a l p u e d e u tiliz a rs e p a ra d e s c u b r ir m ú ltip le s f r e c u e n c ia s n a tu r a le s , s e c o n o c e c o m o m é to d o d e R a y le ig h -R itz .

E n 1 9 0 2 , F r a h m in v e s tig ó l a im p o r ta n c ia d e l e s t u d io d e l a v ib ra c ió n to r s io n a l e n e l d is e ñ o d e flec h a s d e h é lic e d e b u q u e s d e v a p o r . E l a b s o r b e d o r d e v i b r a c ió n d in á m ic a , e l c u a l im p lic a l a a d ic ió n

C o n trib u c io n e s re c ie n te s

d e u n s i s t e m a d e r e s o r te y m a s a s e c u n d a r io p a r a e lim in a r l a s v ib ra c io n e s d e u n s is te m a p rin c ip a l, ta m b ié n fu e p r o p u e s to p o r F ra h m e n 1909. E n tr e lo s c o n tr ib u y e n te s m o d e r n o s a l a te o r ía d e v i b ra c io n e s . lo s n o m b re s d e S to d o la , D e L a v a l, T im o s h e n k o y M in d lin s o n n o ta b le s . A u re l S to d o la (1 8 5 9 - 1 9 4 3 ) c o n tr ib u y ó a l e s t u d io d e v i b r a c ió n d e v ig a s , p la c a s y m e m b ra n a s . D e s a rr o lló u n m é to d o p a ra a n a liz a r v ig a s v ib r a to r ia s q u e ta m b ié n e s a p lic a b le a a s p a s d e tu rb in a . D á n d o s e c u e n ta d e q u e to d o s los p ro p u ls o re s p r in c ip a le s p r o d u c e n p ro b le m a s d e v ib r a c ió n . C . G . P . D e L av a l ( 1 8 4 5 1 9 1 3 ) p r e s e n tó u n a s o lu c ió n p r á c tic a a l p r o b le m a d e l a v ib ra c ió n d e u n d is c o r o ta to r io d c s b a la n c c a d o . D e s p u é s d e o b s e r v a r la s fa lla s d e la s fle c h a s d e a c e r o e n tu rb in a s d e a l t a v e lo c id a d u tiliz ó u n a c a ñ a d e p e s c a r d e b a m b ú c o m o fle c h a p a r a m o n ta r e l r o to r . O b s e rv ó q u e e s t e s is te m a n o s ó lo e lim in a b a l a v ib ra c ió n d e l r o to r d e s b a la n c e a d o s in o q u e ta m b ié n s o b r e v iv ía a v e lo c id a d e s h a s ta d e 1 0 0 0 0 0 r p m [ 1. 10J. S te p h e n T im o s h e n k o (1 8 7 8 - 1 9 7 2 ) , a l c o n s id e r a r lo s e fe c to s d e la d e fo rm a c ió n p ro d u c id a p o r in e rc ia y c o r ta n te r o ta to r io s , p r e s e n tó u n a t e o r í a m e jo ra d a d e v ib r a c ió n d e v ig a s , la c u a l s e c o n o c e c o m o te o r ía d e T im o s h e n k o . o d e v ig a s g r u e s a s . R . D. M in d lin p re s e n tó u n a t e o r í a p a re c id a p a ra a n a liz a r l a v ib ra c ió n d e p la c a s g r u e s a s , in c lu id o s l o s e fe c to s d e d e fo rm a c ió n p o r in e rc ia y c o rta n te r o ta to rio s . S e s a b e d e s d e h a c e m u c h o tie m p o q u e los p ro b le m a s b á s ic o s d e m e c á n ic a , e n tre e llo s lo s d e l a s v ib ra c io n e s , s o n n o lin e a le s . A u n c u a n d o lo s tr a ta m ie n to s lin e a le s a d o p ta d o s s o n b a s ta n te s a tis fa c to rio s e n l a m a y o ría d e lo s c a s o s , n o s o n a d e c u a d o s e n to d o s . E n s is te m a s n o lin e a le s p u e d e n o c u r r ir f e n ó m e n o s q u e s o n te ó ric a m e n te im p o s ib le s e n s is te m a s lin e a le s . L a te o r ía m a te m á tic a d e v ib ra c io n e s n o lin e a le s c o m e n z ó a d e s a rr o lla rs e e n l o s tra b a jo s d e P o in c a ré y L y a p u n o v a fin e s d e l s ig lo x t x . P o in c a r é d e s a rr o lló e l m é to d o d e p e r tu rb a c ió n e n 1892 e n r e la c ió n c o n l a s o lu c ió n a p r o x im a d a d e p ro b le m a s d e m e c á n ic a c e le s tia l n o lin e a le s . E n 1 8 9 2 . L y a p u n o v s e n tó l o s c im ie n to s d e la te o r ía d e e s ta b ilid a d m o d e rn a , la c u a l e s a p lic a b le a t o d o s l o s tip o s d e s is te m a s d in á m ic o s . D e s p u é s d e 1 9 2 0 , l o s e s tu d io s e m p re n d id o s p o r D u ffin g y v a n d e r P o l p re s e n ta r o n la s p r im e r a s so lu c io n e s d e f in id a s a l a te o ría d e v ib ra c io n e s n o lin e a le s y s e ñ a la r o n su im p o rta n c ia e n e l c a m p o d e l a in g e n ie ría . E n los ú ltim o s 4 0 a ñ o s , a u to r e s c o m o M in o rs k y y S lo k c r s e h a n e s fo rz a d o p o r re u n ir e n m o n o g ra fía s lo s r e s u lta d o s m á s im p o rta n te s e n r e la c ió n c o n la s v ib ra c io n e s n o lin e a le s . L a m a y o ría d e la s a p lic a c io n e s p r á c tic a s d e la v ib ra c ió n n o lin e a l im p lic a b a n e l u s o d e a lg ú n tip o d e m é to d o d e te o ría d e l a p e rtu rb a c ió n . N a y fe h in v e s tig ó los m é to d o s m o d e r n o s d e l a t e o r í a d e la p e rtu rb a c ió n [ 1. 1 1 ], E n d iv e rs o s fe n ó m e n o s c o m o sis m o s , v ie n to s, tra n s p o r te d e m e rc a n c ía s s o b r e v e h íc u lo s d e r u e d a s y e l ru id o p ro d u c id o p o r c o h e te s y m o to re s d e re a c c ió n , s e p re s e n ta n c a ra c te rís tic a s a le a to ria s . S e h iz o n e c e s a rio id e a r c o n c e p to s y m é to d o s d e a n á lisis d e v ib ra c ió n d e e sto s e fe c to s a le a to rio s. A u n q u e e n 1905 E in s lc in c o n s id e ró e l m o v im ie n to b ro w n ia n o , u n t ip o p a rtic u la r d e v ib ra c ió n a le a to ria , n in g u n a a p lic a c ió n s e in v e s tig ó s i n o h a s ta 1930. L a in tro d u c c ió n d e l a f u n d ó n d e c o r re la d ó n p o r T a y lo r e n 1920. y la d e n s id a d e sp e c tra l p o r W ie n e r y K h in c h in a p r in d p io s d e la d é c a d a d e 1 9 3 0 , p e rm i tie ro n e l a v a n c e d e e s ta t e o r í a A rtíc u lo s d e I J n y R ic e , p u b lic a d o s e n tre 1943 y 1945, a lla n a ro n el


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C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n

F ig u ra 1 .6 Idealización d e l e le m en to finito de la c arro c ería de u n a u to b ú s . (Reim presa c o n p e rm iso de © 1974 S ociety o í A utom otive E ngineers, Inc.).

c a m in o p ara la a p lic a c ió n d e v ib ra c io n e s a le a to ria s a p ro b le m a s p rá c tic o s d e in g e n ie ría . L a s m o r o g r a f ía s d e C ra n d a ll y M a r k , a s í c o m o d e R o b s o n . sis te m a tiz a ro n e l c o n o c im ie n to e x is te n te d e la te o ría d e v ib ra c io n e s a le a to ria s [ 1 .1 2 .1 .1 3 ) . H a sta h a c e a p ro x im a d a m e n te 4 0 a ñ o s , lo s e s tu d io s d e v ib ra c ió n , in c lu s o lo s q u e tie n e n q u e v e r c o n s is te m a s d e in g e n ie ría c o m p le jo s , s e re a liz a ro n u tiliz a n d o m o d e lo s b r u to s , c o n s ó lo u n o s c u a n to s g ra d o s d e lib e rta d . S in e m b a rg o , e l a d v e n im ie n to d e c o m p u ta d o ra s d e a lta v e lo c id a d e n la d é c a d a d e 1950 h ic ie ro n p o s ib le tra ta r s is te m a s m o d e ra d a m e n te c o m p le jo s y g e n e r a r s o lu c io n e s a p ro x im a d a s a i fo rm a s e m id e f in id a . c o n m é to d o s d e s o lu c ió n c lá s ic o s y la e v a lu a c ió n n u m é ric a d e c ie rto s té r m in o s q u e p u e d e n e x p re s a rs e e n fo r m a c e rra d a . E l d e s a rro llo s im u ltá n e o d e l m é to d o d e l e le m e n to fin ito p e rm itió a l o s in g e n ie ro s u tiliz a r c o m p u ta d o ra s d ig ita le s p a ra re a liz a r e l a n á lis is d e v ib ra c ió n n u m é ric a m e n te d e ta lla d o d e s is te m a s m e c á n ic o s , v e h ic u la re s y e s tru c tu ra le s q u e d e s p lie g a n m ile s (fe g ra d o s d e lib e rta d [1 .1 4 ). A u n c u a n d o e l m é to d o d e l e le m e n to fin ito n o f u e n o m b ra d o a s í h a sta h ace p o c o , e l c o n c e p to s e h a u tiliz a d o d e s d e h a c e sig lo s . P a r e je m p lo , lo s m a te m á tic o s a n tig u o s e n c o n tra ro n l a c ir c u n f e r e n c ia d e un c ír c u lo a p ro x im á n d o lo c o m o u n p o líg o n o , d o n d e c a d a l a d o d e é»te, e n n o ta c ió n a c tu a l, p u e d e lla m a rs e e le m e n to f in ito . E l m é to d o d e l e le m e n to fin ito tal c o m o se k c o n o c e e n l a a c tu a lid a d fu e p re s e n ta d o p o r T u m e r . G o u g h , M a rtin y T o p p e n c o n e x ió n c o n e l a n á lisis d e e s tr u c tu r a s d e a v ió n [ 1 .1 5 ) . L a f ig u r a 1.6 m u e s tr a la id e a liz a c ió n d e l e le m e n to f in ito d e h c a rro c e ría d e u n a u to b ú s [ 1. 16].

1.3

Im p o r t a n c ia d e l e s t u d io d e la v ib ra c ió n L a m a y o ría d e la s a c tiv id a d e s h u m a n a s im p lic a n v ib ra c ió n e n u n a u o t r a fo rm a . P o r e je m p lo , o ím o s p o rq u e n u e stro s tím p a n o s v ib r a n y v e m o s p o rq u e l a s o n d a s lu m in o sa s v ib ra n . L a re s p ira c ió n e s t á a so c ia d a c o n l a v ib ra c ió n d e lo s p u lm o n e s y e l c a m in a r im p lic a e l m o v im ie n to o s c ila to rio (p e rió d ic o ) cfc p ie r n a s y m a n o s . E l h a b la h u m a n a re q u ie re e l m o v im ie n to o s c ila to rio d e l a la r in g e ( y l a len g u a ) [1 .1 7 ). L o s e r u d ito s a n tig u o s e n e l c a m p o d e l a v ib ra c ió n c o n c e n tra ro n su s e s f u e r z o s e n l a c o m p r e n sión d e los fe n ó m e n o s n a tu ra le s y e l d e s a rro llo d e l a s te o r ía s m a te m á tic a s p a r a d e s c rib ir l a v ib ra c ió n cfc s is te m a s tís ic o s . E n a ñ o s re c ie n te s , m u c h a s a p lic a c io n e s d e l a v ib ra c ió n e n e l c a m p o d e l a in g e n ie ría h a n m o tiv a d o a lo s in v e s tig a d o r e s , e n tre e lla s e l d is e ñ o d e m á q u in a s , c im ie n to s , e stru c tu ra s . iiD to rc s. tu rb in a s y s is te m a s d e c o n tro l.


13

Im p o rta n cia d e l e s tu d io d e la v ib r a ció n

11

L a m a y o r ía d e lo s p ro p u ls o re s p rin c ip a le s e x p e rim e n ta n p r o b le m a s v ib r a to rio s d e b id o a l d e s e q u ilib rio in h e re n te e n lo s m o to re s . E l d e s e q u ilib r io p u e d e d e b e r s e al d is e ñ o d e f e c tu o s o o a u n a fa b ric a c ió n d e f ic ie n te . E l d e s e q u ilib r io e n m o to re s d ie s e l, p o r e je m p lo , p u e d e p r o v o c a r o n d a s t e rre s tre s s u fic ie n te m e n te p o d e r o s a s c o m o p a ra p r o v o c a r m o le s tia s e n á r e a s u rb a n a s . L a s ru e d a s d e a lg u n a s lo c o m o to ra s p u e d e n a lz a r s e m á s d e un c e n tím e tr o d e la v ía a a lt a s v e lo c id a d e s d e b id o al d e s e q u ilib rio . E n t u r b in a s , l a s v ib ra c io n e s p ro v o c a n fa lla s m e c á n ic a s e s p e c ta c u la r e s . L o s in g e n ie ro s a ú n no h a n s id o c a p a c e s d e e v it a r la s f a lla s a c o n s e c u e n c ia d e la s v ib ra c io n e s d e a s p a s y d is c o s e n t u r b in a s . N a tu ra lm e n te , l a s e s tr u c tu r a s d is e ñ a d a s p a r a s o p o r ta r m á q u in a s c e n trífu g a s p e s a d a s c o m o m o to re s y t u r b in a s , o m á q u in a s r e c ip ro c a n te s c o m o m o to re s d e v a p o r y d e g a s o lin a , ta m b ié n se v e n s o m e tid a s a v ib ra c ió n . E n to d a s e s ta s s itu a c io n e s , e l c o m p o n e n te d e l a e s tru c tu ra o m á q u in a so m e tid o a v i b r a c ió n p u e d e f a lla r d e b id o a f a tig a d e l m a te ria l p r o d u c id a p o r l a v a r ia c ió n c íc lic a d e l e s f u e r z o in d u c id o . A d e m á s , l a v ib r a c ió n p r o v o c a u n d e s g a s te m á s r á p id o d e l a s p a rte s d e la m á q u in a c o m o c o jin e te s y e n g ra n e s c in c lu s o p r o d u c e m id o e x c e s iv o . E n m á q u in a s , l a v ib ra c ió n p u e d e a f lo ja r lo s s u je ta d o re s , c o m o l a s tu e rc a s . E n p ro c e s o s d e c o r te d e m e ta l, l a v ib ra c ió n p u e d e p r o v o c a r r e c h in id o s , l o c u a l c o n d u c e a u n a c a b a d o d e fic ie n te d e l a s u p e rfic ie . S ie m p r e q u e l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e la v ib ra c ió n d e u n a m á q u in a o d e u n a e s tr u c tu r a c o in c id e c o n l a fr e c u e n c ia d e l a e x c ita c ió n e x te r n a s e p r e s e n ta u n f e n ó m e n o c o n o c id o c o m o r e s o n a n c ia , e l c u a l c o n d u c e a d e f le x io n e s y fa lla s e x c e s iv a s . L a lite ra tu ra a b u n d a e n r e la to s d e fa lla s d e s is te m a s p ro v o c a d a s p o r r e s o n a n c ia y v ib ra c ió n e x c e s iv a d e lo s c o m p o n e n te s y s is te m a s (v e a la fig u ra 1.7). D e b id o a los d e v a s ta d o re s e fe c to s q u e la s v ib ra c io n e s p u e d e n t e n e r e n m á q u in a s y e s tr u c tu r a s , la s p ru e b a s d e v ib r a c ió n [ 1. 18] s e v o lv ie ro n u n p ro c e d im ie n to e s t á n d a r e n e l d is e ñ o y d e s a re o llo d e la m a y o ría d e lo s s is te m a s d e in g e n ie ría ( v e a l a f ig u r a 1.8). E n m u c h o s s is te m a s d e in g e n ie ría , u n s e r h u m a n o a c tú a c o m o u n a p a r te in te g ra l d e l s i s t e m a . Iâ tr a n s m is ió n d e v ib r a c io n e s a lo s s e r e s h u m a n o s p r o v o c a m o le s tia s y p é r d id a d e e fic ie n c ia .

F ig u ra 1 .7 El p u e n te T acom a N arrow s d u ra n te la vibración in d u cid a p o r e l v ie n to . El p u e n te se in a u g u ró el 1 d e ju lio de 1940 y colapsó e l 7 de n o v iem b re d e l m is m o año. (Fotografía d e F a rq u h a rso n , d e la H istó rica! P h o to g rap h y C ollection, U niversity o í W ashington L ibraries).


12

C a p ítu lo 1


F ig u ra 1 .8 P ru e b a d e vibración d e l tran sb o rd ad o r espacial E nterprise. (Cortesía d e la NASA).

L a v i b r a c ió n y e l r u id o g e n e ra d o s p o r m o to re s m o le s ta n a l a s p e rs o n a s , y e n o c a s io n e s p r o d u c e n d a r o s a la s p r o p ie d a d e s . L a v ib ra c ió n d e l o s ta b le ro s d e in s tr u m e n to s p u e d e p r o v o c a r s u m a l fu n c io n a m ie n to o d ific u lta d p a ra le e r lo s m e d id o r e s [ I . I 9 J . P o r lo ta n to , u n o d e l o s p r o p ó s ito s im p o rta n te s d e l e s tu d io d e l a v ib ra c ió n e s re d u c ir la m e d ia n te e l d is e ñ o a p ro p ia d o d e m á q u in a s y s u s m o n ta je s . E n e s t e s e n tid o , e l in g e n ie ro m e c á n ic o tra ta d e d is e ñ a r e l m o to r o m á q u in a d e m o d o q u e s e r e d u z c a d d e s e q u ilib r io , m ie n tra s q u e e l in g e n ie ro e s tr u c tu r a l t r a t a d e d i s e ñ a r la e s tr u c tu r a d e s o p o r te d e m o d o q u e e l e f e c to d e l d e s e q u ilib r io no s e a d a ñ in o 11.20]. A p e s a r d e lo s e fe c to s p e rju d ic ia le s , la v ib ra c ió n p u e d e u tiliz a r s e c o n p r o v e c h o e n v arias a p li c a c io n e s in d u stria le s y c o m e rc ia le s . D e h e c h o , la s a p lic a c io n e s d e e q u ip o v ib ra to rio s e h a n in c re m e n ta d o c o n s id e ra b le m e n te e n a ñ o s re c ie n te s f 1.21 j. P o r e je m p lo , l a v ib ra c ió n s e p o n e a tr a b a ja r en tra n s p o rta d o ra s v ib ra to ria s , to lv a s , ta m ic e s , c o m p a c ta d o ra s , la v a d o r a s , c e p illo s d e d ie n te s e lé c tric o s , ta la d ro s d e d e n tis ta , re lo je s y u n id a d e s d e m a s a je e lé c tric a s. 1.a v ib ra c ió n ta m b ié n s e u tiliz a e n el h in c a d o d e p ilo te s, p ru e b a s v ib ra to ria s d e m a te ria le s , p ro c e s o d e a c a b a d o v ib ra to rio y c irc u ito s e le c tró n ic o s p a ra filtra r la s fre c u e n c ia s in d e s e a b le s ( v e a l a f ig u r a 1.9). S e h a v is to q u e l a v ib ra c ió n m e jo ra la e fic ie n c ia d e c ie rto s p ro c e so s d e m a q u in a d o , fu n d ic ió n , f o r ja y s o ld a d u ra . S e e m p le a p a ra s im u la r s s m o s e n l a in v e s tig a c ió n g e o ló g ic a y ta m b ié n p a ra e s tu d ia r e l d is e ñ o d e re a c to re s n u c le a re s.

F ig u ra 1.9 P roceso de acabado v ib rato rio . (R eim preso p o r co rte sía de M an u factu rin g E ngineers. © 1964 The Tool a n d M an u factu rin g E ngineer).


1.4

1.4

C o n c e p to s b á s ic o s d e l a v i b r a c ió n

13

c o n c e p t o s b á s ic o s d e la v ib ra c ió n

1 .4 .1

C u a lq u ie r m o v im ie n to q u e s e r e p it e d e s p u é s d e u n in te r v a lo d e tie m p o s e lla m a l i b r a c i ó n u o s c i¡a c ió n . E l v a iv é n d e u n p é n d u lo y e l m o v im ie n to d e u n a c u e r d a p u ls a d a s o n e je m p lo s c o m u n e s d e

V ib r a c ió n

v ib ra c ió n . 1.a te o r ía d e la v ib ra c ió n t ie n e q u e v e r c o n e l e s tu d io d e lo s m o v im ie n to s o s c ila to r io s d e lo s c u e r p o s y la s f u e rz a s a s o c ia d a s c o n e llo s.

Po t lo c o m ú n u n s is te m a v ib r a to r io in c lu y e u n m e d io p a r a a lm a c e n a r e n e r g ía p o te n c ia l (r e s o r te o e la s tic id a d ), u n m e d io p a ra c o n s e rv a r e n e r g ía c in é tic a ( m a s a o in e rc ia ) y u n m e d io p o r e l c u a l la

P a rte s e le m e n t a le s d e s is te m a s v ib ra to rio s

e n e rg ía s e p ie rd e g ra d u a lm e n te (a m o rtig u a d o r). L a v ib ra c ió n d e u n s is te m a im p lic a l a tr a n s f o rm a c ió n d e su e n e rg ía p o te n c ia l e n e n e r g ía c i n é tic a y d e é s t a e n e n e r g ía p o te n c ia l, d e m a n e r a a lt e r n a . S i e l s is te m a s e a m o r tig u a , u n a p a rte d e su e n e rg ía s e d is ip a e n c a d a c ic lo d e v ib r a c ió n y s e l e d e b e r e e m p la z a r p o r u n a fu e n te e x te m a p a r a q u e se m a n te n g a u n e s ta d o d e v ib r a c ió n e s ta b le . C o m o u n e je m p lo , c o n s id e re m o s l a v ib ra c ió n d e l p é n d u lo s im p le q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 1.10. S o lte m o s l a le n te ja d e m a s a m d e s p u é s d e d e s p la z a r la u n á n g u lo 0. E n l a p o s ic ió n I la v e lo c i d a d d e l a le n te ja y p o r c o n s ig u ie n te s u e n e rg ía c in é tic a e s c e ro . f\a-o tie n e u n a e n e rg ía p o te n c ia l d e m a g n itu d m g l ( I - e o s 0 ) c o n re s p e c to a la p o s ic ió n d e re fe re n c ia 2 . C o m o l a fu e rz a d e l a g ra v e d a d m g in d u c e u n p a r d e to r s ió n m g l s e n 0 c o n re s p e c to a l p u n to O , la le n te ja c o m ie n z a a o s c ila r h a c ia la iz q u ie rd a d e l a p o s ic ió n 1. E sto im p a rte a la l e n t q a u n a c ie r ta a c e le r a c ió n a n g u la r e n e l s e n tid o d e la s m a n e c illa s d e l re lo j y e n e l m o m e n to e n q u e lle g a a l a p o s ic ió n 2 to d a s u e n e rg ía p o te n c ia l se c o n v ie rte e n e n e r g ía c i n é t i c a D e a h í q u e l a le n te ja n o s e d e te n g a e n l a p o s ic ió n 2 sin o q u e c o n tin u a rá o s c ila n d o a la p o s ic ió n 3 . S in e m b a rg o , a l p a s a r p o r l a p o s ic ió n m e d ia 2 , u n p a r d e to r s ió n e n s e n tid o c o n tra rio al d e la s m a n e c illa s d e l re lo j d e b id o a l a g ra v e d a d q u e a c t ú a e n la le n te ja la d e s a c e le r a . La v e lo c id a d d e la le n te ja s e r e d u c e a c e r o e n la p o s ic ió n e x tr e m a iz q u ie rd a . E n e s t e m o m e n to , to d a la e n e r g ía c in é tic a d e la le n te ja s e c o n v ie r te e n e n e rg ía p o te n c ia l. D e n u e v a c u e n ta , d e b id o a l p a r d e to rs ió n p ro d u c id o p o r la g ra v e d a d , l a le n te ja a d q u ie re v e lo c id a d e n s e n tid o c o n tra r io a l d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j. P o r c o n s ig u ie n te , la le n te ja c o m ie n z a a o s c ila r d e re g re s o c o n u n a v e lo c id a d p r o g re s iv a m e n te c r e c ie n te y d e n u e v o p a s a p o r l a p o s ic ió n m e d ia . E s te p ro c e s o c o n tin ú a re p itié n d o s e , e l p é n d u lo te n d r á m o v im ie n to o s c ila to rio . S in e m b a rg o , e n l a p rá c tic a , la m a g n itu d d e la o s c ila c ió n (0 ) s e re d u c e g ra d u a lm e n te y p o r fin e l p é n d u lo s e d e tie n e d e b id o a l a r e s is te n c ia (a m o rtig u a m ie n to ) o fre c id a p o r e l m e d io c irc u n d a n te (a ire ). E s to q u ie r e d e c i r q u e u n a p a r te d e l a e n e r g ía s e d is ip a e n c a d a c ic lo d e v ib ra c ió n d e b id o a l a a c c ió n d e a m o rtig u a m ie n to d e l a ire .

P o s ic ió n d e r e f e r e n c i a ___

- c o s í» )

Figura 1.10 Un péndulo simple.


14

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n B m ín im o d e c o o r d e n a d a s in d e p e n d ie n te s re q u e r id o p a ra d e te r m in a r p o r c o m p le to to d a s la s p a rte s de u n s is te m a e n c u a lq u ie r in s ta n te d e tie m p o d e f in e l a c a n tid a d d e g ra d o s d e lib e r ta d d e l s i s t e

C a n tid a d d e g ra d o s d e lib e rta d

m a. E l p é n d u lo s i m p le q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 1 .1 0 . a s í c o m o c a d a u n o d e lo s s is te m a s d e h f ig u r a 1 .1 1 . r e p re s e n ta u n s is te m a d e u n s o lo g ra d o d e lib e rta d . P o r e je m p lo , e l m o v im ie n to ifcl p é n d u lo s im p le ( f ig u r a 1. 10) se p u e d e fo r m u la r o e n fu n c ió n d e l á n g u lo « o e n f u n c ió n d e las c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s x y y . S i se u tiliz a n la s c o o r d e n a d a s x y y p a ra d e s c rib ir e l m o v im ie n to , ifcbe r e c o n o c e r s e q u e e s ta s c o o r d e n a d a s n o s o n in d e p e n d ie n te s . E s tá n re la c io n a d a s e n tr e s í m e l l a n t e l a r e la c ió n x 2 + y 2 = / 2, d o n d e / e s la lo n g itu d c o n s ta n te d e l p é n d u lo . P o r lo ta n to c u a lq u ie r c o o rd e n a d a p u e d e d e s c rib ir e l m o v im ie n to d e l p é n d u lo . E n e s t e c a s o v e m o s q u e la s e le c c ió n d e 0 c o m o c o o r d e n a d a in d e p e n d ie n te s e ra m á s c o n v e n ie n te q u e l a s e le c c ió n d e x o d e y . P a r a l a c o r re d e ra q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1.11 ( a ) p u e d e u s a rs e ta n to l a c o o r d e n a d a a n g u la r © c o rn o l a c o o r d e n a d a x p a ra d e s c r ib ir e l m o v im ie n to . E n la f ig u r a 1.1 l ( b ) s e p u e d e u s a r l a c o o r d e n a d a lin e a l x p a ra e s p e c ific a r e l m o v im ie n to . P a ra e l s is te m a to rs io n a l (b a rra la r g a c o n u n p e s a d o d is c o e n e l e x tre m o ) q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1.11 ( c ) . se p u e d e u tiliz a r l a c o o r d e n a d a 0 p a ra d e s c r ib ir e l m o v im ie n to . A lg u n o s e je m p lo s d e s is te m a s d e d o s y tr e s g r a d o s d e lib e r ta d s e m u e s tra n e n la f ig u ra s 1.12 y 1 .1 3 . re s p e e li \iim c n tc . L a fig u ra l . I 2 ( a ) m u e s tra u n s is te m a d e d o s m a s a s y d o s re s o rte s d e s c rito p o r l a s d o s c o o r d e n a d a s lin e a le s x¡ y x 2. L a f ig u ra 1.12 ( b ) in d ic a u n s is te m a d e d o s r o to re s c u y o m o v im ie n to p u e d e e s p e c if ic a r s e e n fu n c ió n d e 0 , y 0 2. E l m o v im ie n to d e l s is te m a q u e s e m u e s tra t n la fig u ra 1.12 ( c ) p u e d e d e s c rib ir s e p o r c o m p le to c o n X o 0. o c o n x , y y X . E n el s e g u n d o c a s o . x y y e s t á n r e s trin g id a s c o m o x 2 + y 2 = I2 d o n d e l e s u n a c o n s ta n te . Para lo s s is te m a s q u e s e m u e s tra n e n la s fig u ra s 1.13 ( a ) y 1.13 (c ), s e p u e d e n u tiliz a r la s c o o r d in a d a s x ,{ i = 1 , 2 , 3 ) y 0¡ (/ ■ 1 . 2 , 3 ) . re s p e c tiv a m e n te , p a ra d e s c r ib ir e l m o v im ie n to . E n e l c a s o d e l s is te m a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 1.13 ( b ) . 0 ( i = 1 , 2 . 3 ) e s p e c if ic a la s p o s ic io n e s d e la s m a s a s

corrediza y resorte F ig u ra 1.11 S istem as d e u n g ra d o de libertad.


1.4

C o n c e p to s b á s ic o s d e la v ib r a ció n

15

-'7YYYYVV

(a)

•1

■p

<*2 -fh

h

'l (c)

F ig u ra 1 .1 3 .Sistema d e tre s grados de libertad.

m ¡ ( i = 1 , 2 . 3 ). U n m é to d o a lte r n o d e d e s c rib ir e s t e s is te m a e s e n f u n c ió n d e x , y y ¡ ( ¡ = 1. 2 . 3 ) ; p e ro e n e s t e c a s o s e tie n e n q u e c o n s id e r a r la s re s tric c io n e s x j + y j = / ? ( i ■ 1, 2 . 3 ) . I.a s c o o r d e n a d a s n e c e s a ria s p a ra d e s c rib ir e l m o v im ie n to d e u n s is te m a c o n s titu y e n u n c o n j u n to d e c o o r d e n a d a s g e n e r a liz a d a s . É stas s e s u e le n in d ic a r c o m o q x,

y p u e d e n r e p re s e n ta rs e

c o m o c o o rd e n a d a s c a r te s ia n a s y /o n o c a rte s ia n a s .

1 . 4 . 4 ________

P ° r m e d io d e u n a c a n tid a d fin ita d e g r a d o s d e lib e r ta d s e p u e d e d e s c r ib ir u n b u e n n ú m e r o d e s is -

S is te m a s

te m a s p r á c tic o s , c o m o l o s s is te m a s s im p le s q u e s e m u e s tra n e n la s f ig u r a s 1.10 a 1 .1 3 . A lg u n o s s is te m a s , s o b re to d o lo s q u e im p lic a n m ie m b ro s e lá s tic o s c o n tin u o s , tie n e n u n a in f in itu d d e g r a d o s d e

d iS C re tO S

lib e rta d . C o m o u n e je m p lo s im p le , c o n s id e r e m o s la v ig a e n v o la d iz o d e la f ig u ra 1 .1 4 . C o m o la

y C O n tin U O S

'i g 3 tie n e u n a in fin itu d d e p u n t o s d e m a s a , n e c e s ita m o s u n a in fin itu d d e c o o r d e n a d a s p a r a e s p e c i fic a r su c o n f ig u r a c ió n d e d e fle x ió n . L a in fin itu d d e c o o rd e n a d a s d e fin e l a c u rv a d e d e f le x ió n . A sí e n to n c e s , l a v ig a e n v o la d iz o tie n e u n a in fin itu d d e g r a d o s d e lib e rta d . L a m a y o r ía d e lo s s is te m a s d e e s tr u c tu r a s y m á q u in a s tie n e n m ie m b ro s d c f o r tn a b le s ( e lá s tic o s ) y p o r c o n s ig u ie n te tie n e n u n a in fin itu d d e g r a d o s d e lib e rta d . L o s s is te m a s c o n u n a c a n tid a d fin ita d e g r a d o s d e lib e r ta d s e c o n o c e n c o m o s is te m a s d is c r e to s o d e p a r á m e tr o c o n c e n tr a d o , y lo s q u e c u e n ta n c o n u n a in fin itu d d e g r a d o s d e lib e r ta d s e c o n o c e n c o m o s is te m a s c o n tin u o s o á s t r i b u i d o s . l a m a y o r p a r te d e l tie m p o , l o s s is te m a s c o n tin u o s s e re p re s e n ta n d e fo r m a a p r o x im a d a c o m o s is te m a s d i s c r e t o s y l a s s o lu c io n e s s e o b tie n e n d e u n a m a n e ra s im p le . A u n c u a n d o e l tra ta m ie n to d e

xi etc.

F ig u ra 1.14 Una viga e n voladizo (siste m a de u n a infinitud de grados de libertad).


16

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n im s is te m a c o m o c o n tin u o d a r e s u lta d o s e x a c to s , e l m é to d o a n a lític o d is p o n ib le p a ra o c u p a r s e d e b s s is te m a s c o n tin u o s s e lim ita a u n a e s c a s a s e le c c ió n d e p ro b le m a s c o m o v ig a s u n ifo r m e s , v a ria b le s e s b e lta s y p la c a s d e lg a d a s . D e a h í q u e l a m a y o r ía d e lo s s is te m a s p r á c tic o s s e e s tu d ia n tra tá n d o lo s c o m o m a s a s c o n c e n tr a d a s fin ita s , re s o rte s y a m o r tig u a d o r e s . P o r lo c o m ú n s e o b tie n e n re s u lta d o s m á s p r e c is o s a u m e n ta n d o l a c a n tid a d d e m a s a s , r e s o r te s y a m o r tig u a d o r e s , e s d e c ir , a u m e n ta n d o la c a n tid a d d e g r a d o s d e lib e rta d .

1.5

C la sific a c ió n d e la v ib ra c ió n L a v ib ra c ió n s e p u e d e c la s ific a r d e v a r ia s m a n e r a s . A lg u n a s d e la s c la s if ic a c io n e s im p o r ta n te s so n h s s ig u ie n te s . V i b r a c i ó n l i b r e . S i s e d e j a q u e u n s is te m a v ib r e p o r s í m is m o d e s p u é s d e u n a p e rtu rb a c ió n in ic ia l, h v ib ra c ió n re s u lta n te se c o n o c e c o m o \ib r u c io n lib r e . N in g u n a f u e rz a e x te r n a a c tú a e n e l s is te m a ,

v ib r a c ió n lib re y fo rz a d a

l a o s c ila c ió n d e un p é n d u lo s im p le e s un e je m p lo d e v ib ra c ió n lib re . V i b r a c i ó n f o r z a d a . Si u n s is te m a s e s o m e te a u n a fu e rz a e x te r n a ( a m e n u d o , u n a fu e rz a re p e titiv a ), h v ib ra c ió n re s u lta n te s e c o n o c e c o m o v ib r a c ió n f o r z a d a . L a o s c ila c ió n q u e a p a re c e e n m á q u in a s c o m o m o to re s d ie s e l e s u n e je m p lo d e v ib ra c ió n fo rz a d a . Si l a f r e c u e n c ia d e l a f u e r z a e x te r n a c o in c id e c o n u n a d e la s fre c u e n c ia s n a tu r a le s d e l s is te m a , o c u rre u n a c o n d ic ió n c o n o c id a c o m o r e s o n a n c ia , y e l s is te m a s u fre o s c ila c io n e s p e lig ro s a m e n te g ra n d e s . L a s fa lla s d e e s tru c tu ra s c o m o e d if i c i o s , p u e n te s , tu rb in a s y a la s d e a v ió n s e h a n a s o c ia d o a l a o c u r re n c ia d e re s o n a n c ia .

Si n o s e p ie r d e o d is ip a e n e r g ía p o r fric c ió n u o t r a re s is te n c ia d u r a n te l a o s c ila c ió n , la v ib ra c ió n se c o n o c e c o m o v ib r a c ió n n o a m o r tig u a d a . S i n e m b a rg o , s i s e p ie r d e e n e r g ía s e lla m a lib r a c ió n

V ib r a c ió n n o a m o r t ig u a d a y a m o r t ig u a d a

a m o r tig u a d a . E n m u c h o s s is te m a s f í s i c o s , la c a n tid a d d e a m o rtig u a m ie n to e s ta n p e q u e ñ a q u e p u e efe s e r ig n o r a d a e n l a m a y o r ía d e la s a p lic a c io n e s d e in g e n ie ría . S in e m b a r g o , la c o n s id e r a c ió n d e l a m o rtig u a m ie n to s e v u e lv e e x tre m a d a m e n te im p o rta n te a l a n a l i z a r s is te m a s v ib r a to rio s p ró x im o s a l a re s o n a n c ia .

S i to d o s lo s c o m p o n e n te s b á s ic o s d e u n s is te m a v ib ra to r io , e l r e s o r t e , l a m a s a y e l a m o r tig u a d o r , se

V ib r a c ió n lin e a l y n o lin e a l

c o m p o rta n lin c a lm c n tc . la v ib ra c ió n re s u lta n te se c o n o c e c o m o v ib r a c ió n lin e a l. P e r o si c u a lq u ie r a ifc lo s c o m p o n e n te s b á s ic o s se c o m p o rta d e m a n e ra n o lin e a l, l a v ib ra c ió n s e c o n o c e c o m o \ib r a ó ó n n o lin e a l. L a s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s q u e r ig e n e l c o m p o rta m ie n to d e s is te m a s v ib ra to r io s E n ca le s o n o lin e a le s s o n a s im is m o lin e a le s o n o lin e a le s , re s p e c tiv a m e n te . S i la v ib ra c ió n e s lin e a l d p rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n e s v á lid o y la s t é c n ic a s m a te m á tic a s d e a n á lis is e s tá n b i e n d e s a rr o lla das. P a ra v ib ra c ió n no lin e a l, e l p rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n n o e s v á lid o y la s té c n ic a s d e a n á lis is ro n m e n o s c o n o c id a s . C o m o l o s s is te m a s v ib r a to rio s tie n d e n a c o m p o rta rs e n o lin e a lm e n te c o n a m p litu d d e o s c ila c ió n c r e c ie n te , e s d e s e a b le u n c o n o c im ie n to d e l a v i b r a c ió n n o lin e a l c u a n d o s e tra te c o n s is te m a s v ib ra to rio s .

S i e l v a lo r o m a g n itu d d e l a e x c ita c ió n ( f u e r z a o m o v im ie n to ) q u e a c tú a e n u n s is te m a v ib r a to rio se c o n o c e e n c u a lq u ie r tie m p o d a d o , l a e x c ita c ió n s e lla m a d e te r m in ís tic a . L a v ib ra c ió n r e s u lta n te

V ib ra c ió n d e t e r m in ís tic a y a le a to ria

se c o n o c e c o r n o \ ib r a c ió n d e te r m in ís tic a . E n a lg u n o s c a s o s la e x c ita c ió n e s n o d e te r m in ís tic a o a lea to ria ', e l v a lo r d e l a e x c ita c ió n e n un m o m e n to d a d o n o s e p u e d e p ro n o stic a r. E n e s to s c a s o s , u n a re c o p ila c ió n d e re g is tro s d e l a e x c ita c ió n p u e d e p re se n ta r c ie rta re g u la rid a d e sta d ístic a . Fs p o s ib le e s t im a r p ro m e d io s c o m o lo s v a lo re s


1.6

Fuerza

P r o c e d im ie n to d e l a n á lis is d e la v ib r a ció n

17

Fuerza

V A A A A X !,

T iem po

V

(a ) Excitación determ inlstica (periódica)

Tiempo (b) Excitación aleatoria

F ig u ra 1.15 E xcitaciones d e te rm in ístic a y aleatoria.

m e d io s o m e d io s a l c u a d r a d o d e l a e x c ita c ió n . E je m p lo s d e e x c ita c io n e s a le a to ria s s o n l a v e lo c id a d d e l v ie n to , l a a s p e re z a d e l c a m in o y e l m o v im ie n to d e tie r r a d u r a n te s is m o s . S i la e x c ita c ió n e s a le a to r ia , l a v ib ra c ió n r e s u lta n te se l la m a v ib r a c ió n a le a to r ia . E n e s t e c a s o l a re s p u e s ta v ib ra to ria d e l s is te m a ta m b ié n e s a le a to ria ; s e p u e d e d e s c r ib ir s ó lo e n f u n c ió n d e c a n tid a d e s e s ta d ís tic a s . 1.a fig u ra 1 .1 5 m u e s tra e je m p lo s d e e x c ita c io n e s d e te r m in ís tic a s y a le a to ria s .

1.6

P r o c e d im i e n t o del a n á lis is d e la v ib ra c ió n U n s is te m a v ib ra to rio e s d in á m ic o s i v a ria b le s c o m o l a s e x c ita c io n e s ( e n tr a d a s ) y re s p u e s ta s ( s a l i d a s ) d e p e n d e n d e l tie m p o . L a re s p u e s ta d e u n s is te m a v ib r a to rio s u e le d e p e n d e r ta n to d e l a s c o n d i c io n e s in ic ia le s c o m o d e l a s e x c ita c io n e s e x te r n a s . L a m a y o ría d e lo s s is te m a s v ib r a to rio s p r á c tic o s s o n m u y c o m p le jo s , y es im p o s ib le c o n s id e r a r to d o s lo s d e ta lle s p a r a u n a n á lis is m a te m á tic o . E n e l a n á lisis s ó lo s e c o n s id e r a n l o s d e ta lle s m á s im p o r ta n te s p a r a p re d e c ir e l c o m p o r ta m ie n to d e l s i s t e m a e n c o n d ic io n e s d e e n tr a d a e s p e c íf ic a s . A m e n u d o s e p u e d e d e te r m in a r e l c o m p o r ta m ie n to to ta l d e l s is te m a p o r m e d io d e u n m o d e lo s im p le d e l s is te m a fís ic o c o m p le jo . P o r lo q u e e l a n á lis is d e un s iste m a v ib ra to rio s u e le im p lic a r e l m o d e la d o m a te m á tic o , l a d e r iv a c ió n d e la s e c u a c io n e s re c to ra s , la s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s y l a in te r p r e ta c ió n d e lo s re s u lta d o s . P a s o 1 ; M o d e l a d o m a t e m á t i c o . E l p r o p ó s ito d e l m o d e la d o m a te m á tic o e s r e p re s e n ta r to d o s lo s d e ta lle s im p o r ta n te s d e l s is te m a c o n e l o b je to d e d e r iv a r la s e c u a c io n e s m a te m á tic a s ( o a n a lític a s ) q u e rig e n e l c o m p o rta m ie n to d e l s is te m a . E l m o d e lo m a te m á tic o p u e d e s e r lin e a l o n o lin e a l, s e g ú n e l c o m p o r ta m ie n to d e lo s c o m p o n e n te s d e l s is te m a . L o s m o d e lo s lin e a le s p e rm ite n s o lu c io n e s rá p id a s y s o n s e n c illo s d e m a n e ja r, s in e m b a r g o , lo s m o d e lo s n o lin e a le s a v e c e s r e v e la n c ie r ta s c a ra c te rís tic a s d e l s is te m a q u e n o p u e d e n s e r p r o n o s tic a d a s s ig u ie n d o m o d e lo s lin e a le s . P o r lo ta n to s e re q u ie re u n g ra n c r ite r io d e in g e n ie ría p a r a p r o d u c ir u n m o d e lo m a te m á tic o a d e c u a d o d e u n s is te m a v ib ra to rio . A v e c e s e l m o d e lo m a te m á tic o s e m e jo ra g r a d u a lm e n te p a r a o b te n e r re s u lta d o s m ás p re c is o s . E n e s te m é to d o p rim e ro s e u tiliz a u n m o d e lo m u y r ú s tic o o e le m e n ta l p a ra t e n e r u n a id e a d e l c o m p o rta m ie n to to ta l d e l s is te m a . L u e g o s e r e fin a e l m o d e lo c o n l a in c lu s ió n d e m á s c o m p o n e n te s o d e ta lle s , d e m o d o q u e s e p u e d a o b s e r v a r m á s d e c e r c a el c o m p o r ta m ie n to d e l s is te m a . P a r a ilu s tra r e l p r o c e d im ie n to d e r e fin a m ie n to u tiliz a d o e n e l m o d e la d o m a te m á tic o , c o n s id e re m o s e l m a rtillo d e f o r ja d e l a fig u ra 1,1 6 (a ). S e c o m p o n e d e u n m a r c o , u n p e s o q u e c a e , c o n o c id o c o m o m a z o , un y u n q u e y u n b lo q u e d e c im e n ta c ió n . E l y u n q u e e s un b l o q u e d e a c e ro m a c iz o s o b r e e l c u a l s e fo rja e l m a te ria l a l a f o r m a d e s e a d a p o r m e d io d e lo s r e p e tid o s g o lp e s d e l m a z o . P o r lo c o m ú n e l y u n q u e s e m o n ta s o b r e u n a a lm o h a d illa c lá s tic a p a ra r e d u c ir l a tra n s m is ió n d e l a v i b r a c ió n al b lo q u e d e c im e n ta c ió n y m a r c o [1 .2 2 ]. P a r a u n a p rim e ra a p r o x im a c ió n , e l m a rc o , e l y u n q u e , l a a lm o h a d i lla e lá s tic a , e l b lo q u e d e c im e n ta c ió n y e l s u e lo , s e m o d e la n c o m o un s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u r a L 1 6 ( b ) . P a r a u n a a p ro x im a c ió n r e fin a d a , lo s p e s o s d e l


C a p ítu lo 1


marco, y u n q u e y b lo q u e d e c im e n ta c ió n s e re p re s e n ta n p o r s e p a ra d o c o n u n m o d e lo d e d o s g ra d o s de lib e rta d , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 1. 1 6 (c ). E l m o d e lo s e p u e d e r e fin a r a ú n m á s c o n s id e ra n d o b s im p a c to s e x c é n tr ic o s d e l m a z o , lo s c u a le s h a c e n q u e c a d a u n a d e l a s

masas q u e s e p r e s e n ta n e n

h fig u ra 1.1 6(c) a s u m a n m o v im ie n to s t a n t o v e rtic a le s c o n » d e b a m b o le o ( ro ta c io n e s ) e n e l p la n o (fcl p a p e l.

Mazo

Marco

Yúnque Almohadilla elástica Bloque d e cim entación

Suelo

■H

Mazo

Ytinque y bloque d e cim entación A m ortiguam iento del suelo

R igidez d e l suelo

(b) Mazo

(c) Figura 1.16 Modelado de u n m artillo d e forja.


1.6

P r o c e d im ie n to d e l a n á lis is d e la v ib r a ció n

19

P a s o 2 : D e r iv a c ió n d e l a s e c u a c io n e s r e c t o r a s . U n a v e z q u e e l m o d e lo m a te m á tic o e s t á d is p o n ib le . u tiliz a m o s e l p rin c ip io d e d in á m ic a y o b te n e m o s la s e c u a c io n e s q u e d e s c rib e n l a v ib ra c ió n d e l s is te m a . L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to s e p u e d e n d e r iv a r d e u n a fo r m a a d e c u a d a tr a z a n d o lo s d ia g r a m a s d e c u e rp o lib re d e to d a s la s m a s a s q u e in te rv ie n e n . El d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n a m a s a s e o b tie n e a is lá n d o la e in d ic a n d o to d a s l a s fu e rz a s e x te rn a m e n te a p lic a d a s , l a s fu e rz a s r e a c tiv a s y la s fu e rz a s d e in e r c ia . L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e un s is te m a v ib ra to rio s u e le n s e r u n c o n ju n to d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s c o m u n e s p a ra u n s is te m a d is c re to y d e e c u a c io n e s d i fe re n c ia le s p a rc ia le s p a ra u n s is te m a c o n tin u o . l.a s e c u a c io n e s p u e d e n s e r lin e a le s o n o lin e a le s s e g ú n el c o m p o rta m ie n to d e lo s c o m p o n e n te s d e l s is te m a . P o r lo c o m ú n s e u tiliz a n v a r io s m é to d o s p a ra d e r iv a r l a s e c u a c io n e s r e c to ra s . E n tre e llo s e s tá n la s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n . e l p rin c ip io d e D ’ A le m b e r t y e l p rin c ip io d e c o n s e rv a c ió n d e l a e n e r g ía . P a s o 3 : S o l u c ió n d e l a s e c u a c i o n e s r e c t o r a s . L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e b e n r e s o lv e rs e p a ra h a ll a r l a re s p u e s ta d e l s is te m a v ib r a to rio . D e p e n d ie n d o d e la n a tu r a le z a d e l p r o b le m a , p o d e m o s u tiliz a r u n a d e l a s s ig u ie n te s té c n ic a s p a r a d e te r m in a r l a s o lu c ió n : m é to d o s e s tá n d a r d e s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s , m é to d o s d e tr a n s fo rm a d a d e L a p la c c . m é to d o s m a tr ic ia lc s 1 y m é to d o s n u m é ric o s . S i la s e c u a c io n e s r e c to r a s s o n n o lin e a le s , ra ra v e z p u e d e n re s o lv e rs e e n f o r m a c e rc a d a . A d e m á s , l a s o lu c ió n d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s p a rc ia le s e s m u c h o m á s c o m p lic a d a q u e l a d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d in a r ia s . S e p u e d e n u tiliz a r m é to d o s n u m é ric o s q u e im p lic a n c o m p u ta d o ra s p a ra r e s o lv e r la s e c u a c io n e s . S i n e m b a r g o , e s d if íc il s a c a r c o n c lu s io n e s g e n e r a le s so b re e l c o m p o r ta m ie n to d e l s is te m a c o n re s u lta d o s o b te n id o s c o n c o m p u ta d o ra . P a s o 4 : I n t e r p r e t a c i ó n d e l o s r e s u l t a d o s . La s o lu c ió n d e l a s e c u a c io n e s r e c to r a s p r o p o rc io n a lo s d e s p la z a m ie n to s , v e lo c id a d e s y a c e le r a c io n e s d e la s d iv e r s a s m a s a s d e l s is te m a . E s to s r e s u lta d o s d e b e n in te r p re ta r s e c o n u n a c la r a v is ió n d e l o b je tiv o d e l a n á lis is y d e la s p o s ib le s im p lic a c io n e s d e d is e ñ o d e lo s re s u lta d o s .

E je m p lo 1.1

M o d e lo m a te m á tic o d e u n a m o to c ic le ta l a figura l .I7 (a ) m uestra una m otocicleta c o n un m otociclista. D esarrolle una secuencia d e tres m odelos m ate m áticos del sistema para investigar la vibración en la dirección vertical. C onsidere la elasticidad d e la s llantas y e l am ortiguam iento de k s am ortiguadores (e n dirección vertical), las m asas d e las ruedas y la elasticidad, am ortiguam iento y m asa d e l m otociclista. S o lu c ió n : C om enzam os c o n e l m odelo nufe sim ple y lo re tin am o s gradualm ente. C uando se utilizan los v a lo res e quivalentes d e la m asa, rigidez y am ortiguam iento d e l sistem a, o btenem os un m odelo d e un solo g ra d o de libertad d e la m otocicleta con un m otociclista com o se indica en la figura I .l7 ( b ) . E n este m odelo, la rigidez equivalente
1 Las definiciones y operaciones básicas de la teoría de matrices puede encottrarlas en los apéndices de este libro, en el sitio web.


C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n Observe que los m odelos de la s figuras 1.17(b) a (d) no so n únicos. P o r ejem plo, si se com binan las cons tantes d e resorte d e a m b as llantas, las m asas d e las d o s ruedas y las c onstantes d e reso rte y am ortiguam iento ( b los d o s am ortiguadores com o can tid ad es ú n icas, s e o b tie n e e l m odelo q u e s e m uestra e n la figura 1. 17(e) a i lu g ar del d e la figura 1.17(c).

(b)

(c)

(d )

(e)

F igura 1 .1 7 M otocicleta c o n m otociclista, lo c u a l c o m p ren d e u n sistem a físico y u n m odelo m atem ático.


1 .7

E le m e n to s d e resorte

21

E le m e n t o s d e re s o rte U n re s o rte e s u n tip o d e e s la b ó n m e c á n ic o , e l c u a l e n l a m a y o r ía d e la s a p lic a c io n e s s e s u p o n e q u e tie n e m a s a y a m o rtig u a m ie n to in s ig n if ic a n te s . E l t ip o d e r e s o rte m á s c o m ú n e s e l r e s o r te h e lic o id a l u tiliz a d o e n la p ic e r o s y p lu m a s re tr á c tile s , e n g r a p a d o r a s y s u s p e n s io n e s d e c a m io n e s d e c a r g a y o tr o s v e h íc u lo s . S e p u e d e n id e n tif ic a r v a r io s o t r o s tip o s e n a p lic a c io n e s d e in g e n ie ría . D e h e c h o , c u a lq u ie r c u e r p o o m ie m b r o d e f o rm a b le , c a b l e , b a r r a , v ig a , fle c h a o p l a c a , p u e d e c o n s id e r a r s e c o m o u n re s o r te . U n r e s o r t e s e s u e le re p re s e n ta r c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 1.18 (a ). S i l a l o n g itu d d e l r e s o r te , s i n q u e a c tú e n in g u n a f u e r z a , s e i n d ic a c o n /. c u a n d o s e a p lic a u n a fu e rz a a x ia l c a m b i a la lo n g itu d . P ó r e je m p lo , c u a n d o s e a p lic a u n a f u e r z a d e t e n s ió n F e n s u e x tr e m o lib r e 2. e l re s o rte e x p e r im e n ta u n a la r g a m ie n to x c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u r a 1. 1 8 (b ). m ie n tra s q u e u n a fu e rz a d e c o m p r e s ió n F a p lic a d a e n e l e x tr e m o lib r e 2 r e d u c e l a lo n g itu d x c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 .1 8 (c ). S e d ic e q u e u n r e s o r te e s lin e a l s i e l a la r g a m ie n to o a c o rta m ie n to d e lo n g itu d x e s t á re la c io n a d o c o n l a f u e rz a a p lic a d a c o m o

F = kx

(1 .1 )

d o n d e k e s u n a c o n s ta n te , c o n o c id a c o n to l a c o n s ta n te d e r e s o r te , r ig id e z d e r e s o r te o u is a d e r e s o r te . 1.a c o n s ta n te d e r e s o r te k s ie m p r e e s p o s i t iv a e in d ic a la f u e rz a ( p o s itiv a o n e g a tiv a ) r e q u e rid a p a r a p r o d u c ir u n a d e f le x ió n u n ita ria ( a la r g a m ie n to o r e d u c c ió n d e l a lo n g itu d ) e n e l re s o rte . C u a n d o e l r e s o r te s e a la rg a ( o c o m p r im e ) c o n u n a f u e r z a d e te n s ió n ( o c o m p r e s ió n ) , d e a c u e r d o c o n l a te r c e r a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n , s e d e s a r r o lla u n a f u e rz a d e r e s ta u r a c ió n d e m a g n itu d F ( o + F ) o p u e s ta a la f u e rz a a p lic a d a . E s ta fu e rz a d e r e s ta u r a c ió n t r a t a d e r e g r e s a r e l r e s o r te a la rg a d o ( o c o m p rim id o ) a s u lo n g itu d o rig in a l n o a la r g a d a o l ib r e c o m o s e m u e s tr a e n l a f ig u ra 1.18 (b ) ( o 1. 1 8 (c )). S i tr a z a m o s l a g rá fic a e n tr e F y x . e l r e s u lta d o e s u n a l ín e a r e c ta d e a c u e rd o c o n la e c u a c ió n (1 .1 ) . E l tr a b a jo r e a liz a d o (£ /) a l d e f o r m a r u n r e s o r te s e a lm a c e n a c o m o d e f o r m a c ió n o e n e r g ía p o te n c ia l e n e l r e s o r t e , y e s t á d a d o p o r

V =


( 1 .2 )

22 1

C a p ítu lo 1 7 .1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n L»* m a y o r ía d e lo s re s o rte s q u e s e u tiliz a n e n s is te m a s p r á c tic o s p r e s e n ta n u n a r e la c ió n f u e rz a cfcflcxión n o lin e a l, e n p a rtic u la r c u a n d o la s d e f le x io n e s s o n g ra n d e s . S i u n re s o rte n o lin e a l c x -

R e S O rte S n o lin e a le s

p e rim e n ta d e f le x io n e s p e q u e ñ a s p u e d e s e r re e m p la z a d o p o r u n re s o rte lin e a l c o n e l p r o c e d im ie n to e x p lic a d o e n l a s e c c ió n 1 .7 .2 . E n e l a n á lis is d e v ib ra c ió n , c o m ú n m e n te se u tiliz a n re s o rte s no lin e a te s c u y a s re la c io n e s d e fu e ry a -d e fle x ió n e s t á n d a d a s p o r F = ax + b x \

a> 0

( 1 .3 )

E n l a e c u a c ió n ( 1 .3 ) . a in d ic a l a c o n s ta n te a s o c ia d a c o n l a p a r te lin e a l y b in d ic a l a c o n s ta n te a s o c ia d a c o n la d e n o lin e a lid a d ( c ú b ic a ) . S e d ic e q u e e l r e s o r te e s d u r o s i b > 0 . lin e a l s i b = 0 . y s u a v e s i b < 0 . E n la f ig u ra 1.19 s e m u e s tra n la s re la c io n e s d e f u e rz a -d e fle x ió n c o n e s p o n d ic n te s a \ a r i o s v a lo r e s d e b.

Fuer7a ( f )

*1

*7 w

M

M (a)


1 .7


23

A lg u n o s s is te m a s , c o n d o s o m á s re s o rte s , p u e d e n p re s e n ta r u n a re la c ió n fu e rz a -d e s p la z a m ie n to n o lin eal a u n q u e lo s re s o rte s in d iv id u a le s s e a n lin e a le s . A lg u n o s e je m p lo s d e d ic h o s s is te m a s se m u e s tra n e n l a s fig u ra s 1.20 y 1.21. E n la f ig u ra 1 .2 0 (a ) .c l p e s o ( o fu e rz a ) W s c d e s p la z a lib r e m e n te a tra v é s d e lo s e s p a c io s lib re s C| y c 2d d s is te m a . U n a v e z q u e e l p e s o s e p o n e e n c o n ta c to c o n u n r e s o r te p a rtic u la r d e s p u é s d e p a s a r p o r e l e s p a c io lib re c o rre s p o n d ie n te , la f u e rz a d e re s o rte s e in c re m e n ta e n p r o p o rc ió n a l a c o n s ta n te d e l r e s o rte p a rtic u la r ( v e a l a f ig u ra 1 .2 0 (b )). S e p u e d e v e r q u e l a r e la c ió n re su lta n te d e tu e rz a -d e s p la z a m ie n to , a u n q u e e s lin e a l p a rte p o r p a rte , in d ic a u n a r e la c ió n n o lin eal. E n l a fig u ra 1.21 ( a ) , l o s d o s r e s o rte s , rig id e c e s * | y *2, tie n e n d ife re n te s lo n g itu d e s . O b s e rv e q u e . p o r s e n c ille z , el r e s o r te c o n rig id e z se m u e s tra e n l a fo r m a d e d o s re s o rte s p a r a le lo s , c a d a u n o c o n u n a r ig id e z d e * |/ 2 . L o s m o d e lo s d e s is te m a s d e re s o rte s d e e s t e tip o s e p u e d e n u tiliz a r e n e l a n á lisis d e v ib ra c ió n d e p a q u e te s y s u s p e n s io n e s q u e s e u tiliz a n e n l o s tre n e s d e a te rr iz a je d e a v io n e s . C u an d o el re s o rte se d e f o r m a e n u n a c a n t i d a d x = c . e l s e g u n d o r e s o rte e n tra e n a c c ió n y p ro p o r c io n a r ig id e z a d ic io n a l ¿ 2 a l s is te m a . L a r e la c ió n f u e rz a -d e s p la z a m ie n to n o lin e a l s e m u e s tra e n l a f ig u ra 1.2 l( b ) .

F

B arra rígida sin peso

r

Fuerza d e resorte (F)

t *1

*1

2

2

V//r////////7777777777777//////T///// x = 0 corresponde a la posición de la barra sin f u e ra (a)

(b)

F ig u ra IJ¿ 1 R elación fuerza-desplazam iento d e u n reso rte n o lineal.

!x»s re s o rte s re a le s s o n n o lin e a le s y o b e d e c e n la e c u a c ió n ( 1. 1) s ó lo h a sta d e te r m in a d a d e f o r m a c ió n . M á s a llá d e un c ie r to v a lo r d e d e f o rm a c ió n ( d e s p u é s d e l p u n to A e n la fig u ra 1 .2 2 ), e l e s f u e r z o

U n e a liz a c ió n d e u n re s o rte n o lin e a l

e x c e d e el p u n to c e d e n te o d e d e f o rm a c ió n d e l m a te ria l y l a r e la c ió n e n tre fu e rz a y d e f o rm a c ió n se h a c e n o lin e a l [1 .2 3 , 1 .2 4 J. E n m u c h a s a p lic a c io n e s p r á c tic a s s u p o n e m o s q u e la s d e fle x io n e s s o n p e q u e ñ a s y u tiliz a m o s l a re la c ió n lin e a l d e la e c u a c ió n ( 1 .1 ) . In c lu s iv e , s i la r e la c ió n d e fu e rz a d e fle x ió n d e u n re s o rte e s n o lin e a l, c o m o s e m u e s tr a e n la fig u r a 1.23. a m e n u d o l a a p r o x im a m o s c o m o lin e a l p o r m e d io d e u n p ro c e s o d e lin e a liz a c ió n [ 1 .2 4 , 1.251.

ilu s tr a r e l p r o c e s o d e li-

n c a liz a c ió n . s e a F l a c a rg a e s tá tic a q u e a c t ú a e n e l re s o rte y q u e p r o v o c a u n a d e f le x ió n d e x * . S i se a g r e g a u n a f u e rz a in c re m e n ta ! AF a F . e l re s o rte s e d e fo rm a e n u n a c a n tid a d a d ic io n a l A r . L a n u e v a fu e rz a d e re s o rte F + & F s e e x p r e s a m e d ia n te la e x p a n s ió n d e l a s e r i e d e T a y l o r c o n re s p e c to a la p o s ic ió n d e e q u ilib r io e s tá tic o x * c o m o F + A F = F (x * + A *)

“ '< * * >

+fx


(A ,)J +

...

(1.41

C a p ítu lo 1


*7

Esfuerzo o

W X = X, -

o Xj

F ig u ra 1.22 lim ite de n o linealidad m á s allá del lím ite de proporcionalidad.

Fuerza (F )

F ig u ra 1.23 fro c e s o d e linealización.

P a r a v a lo re s p e q u e ñ o s d e A x . la s d e r iv a d a s d e m a y o r o r d e n se ig n o ra n p a ra o b te n e r

F + A F = F (x* ) + ~ dx

(Ax)

(1 .5 )

D a d o q u e F = F (x * ) , p o d e m o s e x p r e s a r A F c o m o A F = kAx

(

1. 6 )

d o n d e k e s la c o n s ta n te d e r e s o n é lin e a liz a d o e n x * d a d a p o r

,

dF

k = dT x

( 1 .7 )

P o d e m o s u tiliz a r l a e c u a c ió n ( 1 .6 ) p o r s im p lic id a d , p e ro e n o c a s io n e s e l e r r o r im p lic a d o e n la a p ro x im a c ió n p u e d e s e r m u y g r a n d e .


1 .7

E je m p lo 1.2


25

C o n s ta n te d e re s o rt e lln ea liza do e q u iv a le n te A u n a fresadora que p e sa 1000 !b la soporta un apoyo d e m ontaje de caucho. l a relación fuerza-deflexión del apoyo d e m ontaje d e caucho está d ad a por F = 2000x + 200x3

(E .I)

donde la fuerza (Z7) y la deflexión (x )están m edidas e n libras y pulgadas, respectivam ente. (X;termine la c o n s tante d e resorte lineali/ado equivalente d e l apoyo de m ontaje d e caucho e n su posición » + 2000x* - 1000 - 0

(E.2)

L as raíces d e la ecu ació n c ú b ic a (E 2> se pueden hallar (p o r ejem p lo , utilizando las raíces d e función en M A T lA B jc o m o x* - 0.4884.

- 0 .2 4 4 2 + 3.1904/

- 0 .2 4 4 2 - 3 .1 9 0 4 /

L a raíz d e la ecu ació n (E .2 ) x* = 0.4884 pulg proporciona la posición d e equilibrio estático d e l a p o y o de m ontaje d e caucho, l a constante d e resorte lineal equivalente d e l apoyo d e m ontaje d e caucho e n su posición d e equilibrio estático se determ ina aplicando la ecuación (1.7): 2000 + 6 0 0 (x * )2 - 2000 + 600(0.4884: ) = 2143.1207 ItVpuIg.

N ota. L a constante d e resorte lineal equivalente, k^ = 2143.1207 Ib/pulg, predice la deflexión estática d e la fresadora com o 1000 2143.1207

= 0 4 6 6 6 pulg.

lo cual e s alg o diferente d e l v a lo r verdadero d e 0.4884 pulg. El e rro r se d eb e a l truncam iento d e las derivadas d e m ayor o rd e n e n la ecuación (1.4).

C o m o y a a n te s s e e x p r e s ó , c u a lq u ie r m ie m b r o ( o e le m e n t o ) e lá s tic o o d c f o rm a b le p u e d e c o n s i d e ra rs e c o m o u n re s o rte . L a s c o n s ta n te s d e re s o rte s e q u iv a le n te s d e m ie m b ro s e lá s tic o s s im p le s

C o n s t a n t e de re s o rt e d e e le m e n t o s e lá s tic o s

c o m o v a r illa s , v ig a s y f le c h a s h u e c a s s e e n c u e n tra n e n l a p a r te in te rn a d e l a p o r ta d a d e l lib ro . E l

E je m p lo 1.3

C o n s ta n te d e re s o rte d e u n a varilla

p ro c e d im ie n to d e d e te r m in a r l a c o n s ta n te d e r e s o rte e q u iv a le n te d e m ie m b ro s c lá s tic o s s e ilu s tra c o n l o s s ig u ie n te s e je m p lo s .

Encuentre la constante de resorte equivalente de una varilla uniform e de longitud /. área d e sección transversal A y m ódulo d e Y oung E sujeto a una fuerza d e tensión (o com presión) axial F c o m o s e m uestra en la figura l.24

26

C a p ítu lo 1


x

:;j

-+ -H (a)

(b)

F igura 1 .2 4 G in sta n te d e re so rte de u n a varilla.

S olución: E l alargam iento (o acortam iento) 5 de la varilla som etida a u n a fuerza d e tensión (o com presión) axial F puede expresarse com o

< E .l)

................_ . fu e r z a F ........... . . cam bio d e lo n g itu d 6 donde e - —------;— -— — — — - - e s la deform ación unitaria y a = — = — e s e l esfuerzo inducido lo n g itu d o r ig in a l I área A en la varilla. Siguiendo la definición de la constante d e resorte k . a p artir d e la ecuación (E . I ) obtenem os: f u e r z a a p lic a d a

F

AE

deflexión resultante

Ó

/

La im portancia de la constante de resorte e q u iv alen te d e la varilla se m uestra e n la figura l ,24
E je m p lo 1.4

C o n s ta n te d e re s o rte d e u n a vig a e n v o la d iz o Encuentre la constante d e resorte equivalente d e una viga en voladizo som etida a u n a c a rg a co ncentrada F e n su extrem o c o m o se m uestra en la figura l .25(a).

S olución: Suponem os, p o r sim plicidad, q u e el peso (o m asa) d e la v ig a e s insignificante y q u e la c a rg a c o n centrada F s e tfcbe a l peso
3E l

(E .1)

cbndc F. es e l m ódulo d e Y o u n g c / e s e l m om ento d e inercia d e la sección transversal d e la viga con respecto al eje d e flexión o j ( e s decir, e l e je p erpendicular a la página). P ar consiguiente, la constante d e resorte de la viga es (fig u ra l.25(b)): w

3e;

s

i3


(E .2)

1 .7

(a ) Viga e n voladizo con una fuerza aplicada e n e l extrem o


27

(b) R esorte equivalente

F ig u ra 1.25 C o n sta n te d e re so rte de u n a v i # e n voladizo.

N otas: 1.

E s posible que u n a viga e n voladizo s e som eta a c arg as concentradas e n d o s direccio n es e n su extrem o, una e n la dirección y (Fy\ y la otra en la dirección z (F.X com o se m uestra e n la figura 1.2ó(a). C uando se ap lica la c a rg a a lo largo d e la dirección y , la viga se flexiona c o n respecto al eje z (figura 1.26(b)> y por consiguiente Inconstante d e resorte equivalente será igual a

£ Z

Tí

a , Fy

(b)

(a)

1

■ / / / / / /. <«>

F ig u ra 1.26 C bn stan tes d e re so rte de u n a viga en direcciones.


28

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n C uando la c a ig a se ap lica a lo largo de la dirección z. la viga se üexiona c o n respecto a l e je y (figura 1.26(c)) y p o r consiguiente la constante de resorte equivalente será igual a lE L k = - f -

2

(E .4 ,

L as constantes d e resorte d e v ig a con condiciones diferentes en su extrem o se pueden e n co n trar d e la m isma m anera, utilizando los resultados obtenidos a p artir d e la resistencia d e m ateriales. L as fórm ulas representa tivas d a d as en e l apóndicc B (en e l sitio w eb) se pueden usar para hallar la s c onstantes d e resorte d e las v ig as y placas indicadas. P o r ejem plo, p ara encontrar la constante d e resorte d e u n a v ig a fija som etida a ú n a fuerza co ncentrada P e n x = a (C aso 5 en e l apóndicc B). prim ero expresam os la deflexión d e la v ig a en e l punto donde se ap lica la carga (x = a \ utilizando b = / — a . com o P (1 - a ) V ,=

- 3.

Pa2( l - a ) \ a l - a 2) — ----

- « J -

y lu eg o determ inam os la constante d e resorte (*)com o P

iE II*

* " 7 " a2{¡ - a )V - o2)

(E6>

donde / = /a . 3.

B efecto d e l peso e n s í (o m asa) d e la viga tam bién p u ed e incluirse a l hallar la constante d e resorte d e la viga (v ea el ejem plo 2.9 e n e l cap ítu lo 2).

E n m u c h a s a p lic a c io n e s p rá c tic a s se u tiliz a n v a rio s re s o rte s lin e a le s c o m b in a d o s . E s to s re s o rte s p u e d e n c o m b in a rs e e n un s o lo re s o rte e q u iv a le n te c o m o s e in d ic a a c o n tin u a c ió n .

C o m b in a c ió n d e re s o rte s

R e s o r t e s e n p a r a l e l o . P a ra d e r iv a r u n a e x p re s ió n p a r a l a c o n s ta n te e q u iv a le n te d e los re so rte s c o n e c ta d o s e n p a r a le lo , c o n s id e re lo s d o s re so rte s q u e s e m u e s tra n e n l a fig u ra 1 .2 7 (a ). c o m o s e m u e s tra C u a n d o s e a p lic a u n a c a r g a W . e l s is te m a e x p e r im e n ta u n a d e f le x ió n e s tá tic a en l a f ig u r a 1,2 7 (b ). E n to n c e s e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , m o s tra d o e n l a fig u ra 1 ,2 7 (c ), p r o p o r c io n a l a e c u a c ió n d e e q u ilib rio W = k \S a +

( 1 .8 )

Figura 1 .2 7 Resortes en paralelo.


1 .7


29

S i k ^ in d ic a l a c o n s ta n te d e r e s o r te e q u iv a le n te d e l a c o m b in a c ió n d e lo s d o s r e s o r te s , e n to n c e s p a ra la m is m a d e f le x ió n e s tá tic a 8 U. te n e m o s W = kcq8 „

(1 .9 )

L a s e c u a c io n e s ( 1 .8 ) y ( 1 .9 ) p ro d u c e n (1 .1 0 )

*eq « * . + *2

P o r lo c o m ú n , s i te n e m o s n re s o rte s e n p a r a le lo c o n c o n s t a n t e s

k2, . .. . k„. e n to n c e s l a c o n s ta n te

d e r e s o rte e q u iv a le n te kt q s e o b tie n e c o m o

kt q = k \ + k 2 + - ' + k n

( 1.11)

C a s o 2 : R e s o r te s e n s e r i e . A c o n tin u a c ió n d e r iv a m o s u n a e x p r e s ió n p a r a l a c o n s ta n te e q u iv a le n te d e r e s o r te s c o n e c ta d o s e n s e r i e c o n s id e r a n d o lo s d o s re s o rte s m o s tr a d o s e n la fig u r a 1.2 8 (a ). B a jo la a c c ió n d e u n a c a r g a W . l o s r e s o r te s I y 2 e x p e r im e n ta n l o s a la r g a m ie n to s 6 , y f¡2, r e s p e c tiv a m e n te , c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u r a 1,28
— Sj + 6 2

es

( 1. 1 2 )

C o m o a m b o s r e s o r te s e s tá n s o m e tid o s a la m is m a f u e r / a W. te n e m o s e l e q u ilib r io q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 1.2 8
= * ,a ,

W = *263

( 1 .1 3 )

S i k ^ in d ic a la c o n s ta n te d e r e s o r t e e q u iv a le n te , e n to n c e s p a r a l a m is m a d e fle x ió n e s tá tic a .

(1 .1 4 )

w W -kjth

w (C)

Figura 1 .2 8 Resortes e n serie.


30

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n L a s e c u a c io n e s ( i . 13) y ( 1. 14 ) d a n p o r re s u lta d o

M i = *2^2 = *c
o b ie n

"

T

’

‘

-

T

S u s titu y e n d o e s to s v a lo r e s d e Ó! y S 2c n l a e c u a c ió n ( 1 .1 2 ) , o b te n e m o s

—:— + —:— — es d e c i r .

5 - 5 * 5 l a e c u a c ió n ( 1. 16) s e p u e d e g e n e ra liz a r a l c a s o d e n r e s o r te s e n s e r ie :

¿*eq - f*1 + ¿*2 + - + *»i f

F n c ie rta s a p lic a c io n e s s e c o n e c ta n r e s o r te s a c o m p o n e n te s r íg id o s c o m o p o l e a s , p a la n c a s y e n g r a r e s . E s e s o s c a s o s se p u e d e h a ll a r u n a c o n s ta n te d e r e s o r te e q u iv a le n te u tiliz a n d o u n a e q u iv a le n c ia efe e n e r g ía , c o m o s e ilu s tra e n l o s e je m p lo s 1.8 y 1.9.

E je m p lo 1 .5

k e q u iv a le n te d e u n s is te m a

d e s u s p e n s ió n

La figura I.29 m uestra e l sistem a de suspensión d e un carro d e ferro carril de carga c o n un sistema d e resortes o í paralelo. Encuentre la constante d e resorte equivalente de la suspensión si los tres resortes helicoidales son de acero c o n un m ódulo d e co rtan te G = 80 X l(P N /m ? y cuenta c o n cinco vueltas efectivas, diám etro m edio de h espiral D = 20 cm y diám etro del alam bre d = 2 cm. S olución: La rigidez d e cada resorte helicoidal resulta de

d *G (0 .0 2 )4(80 X 109) k = — — = --------------- ; ----------- = 40,000.0 N/m 8D n 8 (0 .2 )J (5)

(Vea la fórm ula e n la p arte interna de la portada d e este libro). Y a q u e los tres resortes son idénticos y paralelos, la constante d e resorte equivalente d e l sistem a d e su s pensión es k ^ =

3* = 3(40.000.0) = 120,000.0 N/m


1 .7


31

F ig u ra 1.29 Sistem a de re so rtes e n paralelo e n u n c a rro d e ferro carril d e carga. (C ortesía de Buckeye S teel C astings C om pany).

E je m p lo 1.6

C o n s ta n te d e re s o rte to rs io n a l d e u n a fle c h a d e hélice Delerm ine la consiante de resorte torsional d e la flecha d e h élice d e acero que se m uestra e n la figura 1.30.

F igura L 3 0 H echa d e hélice. S o lu c ió n : T enem os q u e c o n sid era r los segm entos 12 y 23 d e la flecha c o m o resortes e n com binación. De acuerdo c o n la figura l .30. e l p a r de torsión inducido e n cu alq u ier sección transversal d e la flecha (com o AA o R R ) puede verse q u e e s igual al p a r d e torsión T aplicado e n la hélice. ft>r consiguiente, las elasticidades (resortes) correspondientes a los d o s segm entos 12 y 23 se tienen que considerar com o resortes e n serie. L as constantes d e resorte de los segm ente» 12 y 23 d e la flecha (*,(J y k ^ ) resultan de G J i7 kui=

/ .I

C rr(/J? 2 ~ J*n ) =

321,2

(80 x 1 0 V ( 0 .3 * - 0.24) "

32(2)

= 25.5255 X 106 N -m /rad G J ;3 * * '

%

G n ( D ^ - < & ) = (8 0 X IQ f y r flU S 4 - 0 .I5 4) 32%

"

= 8.9 0 1 2 X I0 6 N -m /rad


32(3)

32

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n Chino los resortes están e n serie, la ecuación (1.16) d a p o r resultado

* 'A > > *il7 + *rn

E je m p lo 1.7

k e q u iv a le n te d e u n

_

(25.5255 X 106)(8 .9 0 I2 X 106)

= 6 5 9 9 1 X K ^ N -m /ra d

(25.5255 X I06 + a9 0 l2 X 105)

p o lip a s to

U n polipasto, q u e funciona con un c ab le d e acero, está m ontado e n e l extrem o d e u n a viga en voladizo como se m uestra e n la fig u ra l.3 i< a). Determ ine la constante d e resorte equivalente d e l sistem a cuando la longitud suspendida d e l cable e s /, S uponga q u e e l diám etro d e la sección transversal n eta d e l c ab le es d y q u e e l m ódulo de Y oung d e la viga y el cable es E . S olución: La constante d e resorte d e la viga en voladizo está d a d a por 3E l * * =

t

3F .í l

E a l3

,\

=

■

*

( e i >

La rigidez del c ab le som etido a una carga axial es

Com o tanto e l c ab le c o m o la viga e n voladizo experim entan la m ism a carga VV, com o se m uestra e n la figura 1.3 l(b ). se m odelan c o m o resortes e n serie, c o m o s e ve e n la figura 1.31(c). La constante d e resorte equivafcnte está dada por I

I

*eq

**

|

1

4Ó3 | E al*

4/ v d 2E

o bien

i — a

W Figura 1.31 Polipasto.


1 .7


33

w

Viga

Cable

IV
(c)

F ig u ra 1 3 1 Polipasto (c o n tin u ació n ).

E je m p lo 1.8

k e q u iv a le n te d e

u n a grú a

L a p lum a A B d e la g rú a q u e se m uestra e n la figura 1.32(a) e s una b a n a d e acero uniform e d e 10 m d e longitud y 2 ,5 0 0 m m ? d c sección transversal. U n peso IVcucIga m ientras la grúa está estacionaria. El c ab le CDF.BF es d e acero y su sección transversal e s d e 100 m m ?. Ignore e l efecto del cable C D E B y encuentre la constante de resorte equivalente en la dirección vertical. S o lu c ió n : La constante d e resorte equivalente s e determ ina p o r m edio d e la equivalencia d e energías p o ten c ia le s d e los d o s sistem as. C om o la base d e la g rú a e s rígida, se considera q u e e l cable y la plum a están fijos en los puntos F y A , respectivam ente. A dem ás, e l efecto d e l c ab le C D E B e s insignificante; p o r consiguiente, se puede suponer q u e e l peso IVactúa a través del punto B c o m o se m uestra en la figura 1.32(b). Un desplazam iento vertical d e l punto B h ará q u e e l resorte (plum a) y e l resorte (c ab le) s e d eform en una c ierta cantidad. La longitud d e l cable F B . / ,. está d a d a por la figura 1,32(b):

/? = 32 + 102 - 2 (3 )( 10) e o s 135° = 151.426,

/, = 12.3055 m

El án g u lo 0 satisface la relación

/? + 32 - 2 ( /,) ( 3 ) e o s 0 = 10J ,

eos 0 = 0.8184.

0 = 35.0736°

l a energía potencial total (f/) alm acenada e n los resortes k \ y k j s c ex p resa utilizando la ecuación (1 .2 ) como

U = -[ k ¡ [ x e o s (9 0 ° - 0 ) ] 2 + l- k 2 [ x eos (9 0 ° - 4 5 °)]J


(E.1)

C a p ítu lo 1


w

(c) F ig u ra 1.32 G rúa izando u n a carga. cbndc A ,£ ,

(1 0 0 X 10~6)(2 0 7 X 109) = 1.6822 X 106 N/m

12.3055

A ¡E 7

(2500 X 10*6 )(2 0 7 X 109)

/2

10

k2 =

= 5.1750 X 107 N/m

Cbm o e l resorte equivalente en la direcció n vertical experim enta u n a deform ación x , la en erg ía p o tencial del resorte equivalente ( í /^ J c s t á d ad a por

- S Si se establece U =

(E .2)

obtenem os la constante de resorte equivalente del sistem a com o

= *, se n 20 +

sen2 45° = *, sen335.0736° +

k7sen3 4 5 °


= 26.4304 X 106 N/m

1 .7

E je m p lo 1.9

k e q u iv a le n te d e


35

u n a b a rra rígida c o n e c ta d a p o r re s o rte s

U na ba rra rígida d e longitud / acoplada a u n a b isag ra está co nectada por d o s resortes d e rigideces k , y b y som etida a u n a f u e r a F c o m o s e m uestra e n la figura l.3 3 (a). Suponiendo q u e el desplazam iento angular d e la b a rra (0) sea pequeño, en cu en tre la constante d e resorte equivalente d e l sistem a q u e relaciona la f u e r a aplicada F c o n e l desplazam iento resultante x.

(a)

(b)

F ig u ra 1 .3 3 B arra rígida co nectada p o r resortes.

S o lu c ió n : Para un desplazam iento angular pequeño d e la barra rígida ( 0 \ los puntos d e fijación de los resortes k , y (A y B ) y el punto de aplicación (C )d c la f u e r a F experim entan los desplazam ientos lineales u horizontales /i sen 0 . U sen 0 y / sen 0. respectivam ente. C om o 0 e s pequeño, los desplazam ientos to rizontales d e los punto s A B y C se pueden aproxim ar com o x , = ¡x0, x 2 = UO y x = 10. respectivam ente. L as reacciones de los resortes, i y ta r i, serán las indicadas e n la figura 1.33(b). l a constante d e resorte equivalente del sistem a (A^,) referida al punto d e aplicación d e la f u e r a F se determ ina considerando e l equilibrio d e momentos de las fuerzas con (especio a l punto co n ecta!o a la b isag ra O:

k\x

+ W

4 ) = n n

' - ‘■(t M t ) Al ex p resar F com o k ^ , la ecuación (E . I ) se escribe como

f = v U tilizando i | = 1,0,

= * ,(í r ) + ‘ i ( í f )

= l70 y x = 10, la ecuación (112) da e l resultado deseado;


(E2>

36

C a p ítu lo 1


Notas: L

S i la f i le n a F se ap lica e n otro punto D d e la b a ñ a rígida c o m o s e m uestra e n la figura 1.33(c), se puede encontrar la constante d e resorte equivalente referida a l punto D com o

2.

l a constante d e resorte equivalente, k ^ . d e l sistem a tam bién s e puede d eterm inar p o r m edio de la relación:

Trabajo realizado por la fuerza ap licada F - Energía d e deform ación alm acenada e n los re so rtes k , y k 2 ( E .5)

Para e l sistem a q u e se m uestra e n la figura l.33(a), la ecuación (E .5) d a p o r resultado

a p artir de la cual e s fácil o b ten e r la ecuación (E.3). 3.

A unque lo s d o s resortes parecen e star c o n ectad o s a la ba rra ríg id a e n paralelo , n o se p u ed e seguir la fórm ula d e lo s re so rtes e n paralelo (ecuación 1.12) debido a q u e lo s desplazam ientos d e lo s resortes no son lo s m ism os.

B i a lg u n a s a p lic a c io n e s s e d e s a rr o lla u n a fu e rz a o m o m e n to d e re s ta u ra c ió n p r o d u c id o p o r l a g r a s e d a d c u a n d o u n a m a s a e x p e rim e n ta u n d e s p la z a m ie n to . E n e s o s c a s o s s e p u e d e a s o c ia r u n a c o n s

C o n s ta n te d e re s o rte a s o c ia d a c o n la f u e r z a d e re s ta u ra c ió n p r o d u c id a p o r la g r a v e d a d

o m é d e re s o rte e q u iv a le n te c o n l a fu e rz a o m o m e n to d e re s ta u ra c ió n d e l a g ra v e d a d . E l s ig u ie n te

E je m p lo 1 .1 0

C o n s ta n te d e re s o rte a s o c ia d a con u n a fu e rz a d e re s ta u ra c ió n p ro d u c id a p o r la g ra v e d a d

q e m p k ) ilu s tr a e l p r o c e d im ie n to .

L a figura 1.34 m uestra un pén d u lo sim ple d e longitud / con u n a lenteja d e m asa m . C onsiderando un des plazam iento a n g u la r 9 d e l péndulo, d eterm ine la constante d e resorte asociada c o n la fuerza (o m om ento) de restauración. S olución: Cuando e l péndulo se som ete a un desplazam iento angular 0, l a m asa m se m ueve a u n a distancia I sen 0 a lo largo d e la dirección horizontal (x). El m om ento o par d e restauración (71 creado p o r e l peso de la m asa (m g )c o n respecto al p ivote O está dado por T “ m g ( lsen 0)


( E l)

1.8 E le m e n to s d e m a sa

o in e rc ia

37

Para desplazam ientos angulares pequeños 0. sen 0 se puede aproxim ar c o m o s e n 8 ^ 6 y la ecuación (E . 1) se escribe com o r - m gV

T - k fi

(E 3 )

Si expresam os la ecu ació n ( E 2 ) com o

la constante d e resorte torsional equivalente d eseada k, se p u ed e identificar como k ,= m g l

y

m

[•— /s e n 0—

1.8

< E 4)

F igura 1 .3 4 P é n d u lo sim ple.

E le m e n t o s d e m a s a o in e rcia S e s u p o n e q u e e l e le m e n to d e m a s a o in e r c ia e s u n c u e rp o r íg id o q u e p u e d e g a n a r o p e r d e r e n e r g ía c in é tic a s ie m p r e q u e c a m b ia s u v e lo c id a d . D e a c u e r d o c o n l a s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n , e l p ro d u c to d e l a m a s a y s u a c e le r a c ió n s o n ig u a le s a la fu e rz a a p lic a d a a la m a s a . E l t r a b a jo e s ig u a l a l a f u e rz a m u ltip lic a d a p o r e l d e s p la z a m ie n to e n l a d ir e c c ió n d e la fu e rz a , y e l tra b a jo re a liz a d o e n u n a m a s a s e a lm a c e n a c o m o e n e r g ía c in é tic a . E n l a m a y o r ía d e lo s c a s o s s e tie n e q u e u tiliz a r u n m o d e lo m a te m á tic o p a r a r e p re s e n ta r e l s i s te m a v ib ra to r io r e a l, y a m e n u d o h a y v a r io s m o d e lo s p o s ib le s . E l p r o p ó s ito d e l a n á lis is s u e le d e te r m in a r c u á l m o d e lo m a te m á tic o e s e l a d e c u a d o . U n a v e z s e le c c io n a d o e l m o d e lo , l o s e le m e n to s d e m a s a o in e r c ia d e l s is te m a s o n fá c ile s d e id e n tific a r. P o r e je m p lo , c o n s id e r e m o s d e n u e v o l a v ig a e n v o la d iz o c o n u n a m a s a e n e l e x tr e m o d e la f ig u ra l .2 5 ( a ) . P a r a un r á p id o y r a z o n a b le m e n te p re c is o a n á lis is , s e d e s e c h a n l a m a s a y e l a m o rtig u a m ie n to d e l a v ig a ; e l s is te m a s e p u e d e m o d e la r c o m o un siste m a d e r e s o r te y m a s a , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra l .2 5 (b ) . L a m a s a m r e p re s e n ta e l e le m e n to d e m a s a , y l a e la s tic id a d d e la v ig a in d ic a l a r ig id e z d e l r e s o r t e . I z ie g o c o n s id e r a m o s u n e d if ic io d e v a rio s p is o s s o m e tid o a u n s is m o . S u p o n ie n d o q u e la m a s a d e l a e s tru c tu ra e s in s ig n ific a n te c o m p a r a d a c o n la s d e l a s m a s a s d e lo s p is o s , e l e d if ic io s e m o d e la c o m o u n s is te m a d e v a r io s g r a d o s d e lib e rta d , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra I .3 5 . L a s m a s a s e n lo s d iv e r s o s p is o s r e p re s e n ta n l o s e le m e n to s d e m a s a , y l a s e la s tic id a d e s d e lo s m ie m b ro s v e rtic a le s in d ic a n lo s e le m e n to s d e r e s o r te .


38

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n E n m u c h a s a p lic a c io n e s p r á c tic a s a p a r e c e n v a ria s m a s a s e n c o m b i n a c i ó a P a r a u n a n á lis is s im p le p o d e m o s re e m p la z a rla s p o r u n a s o l a m a s a e q u iv a le n te , c o m o se i n d ic a a c o n tin u a c ió n [1.2 7 ] .

C o m b in a c ió n de m asas

C a s o 1. M a s a s t r a s l a d o n a l e s c o n e c t a d a s p o r u n a b a r r a r í g i d a . C o n s id e re m o s l a s m a s a s fija s en u n a b a r r a r íg id a p iv o ta d a e n u n e x tr e m o , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 1.36 ,) , su p o n ie n d o p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n to s a n g u la re s d e la b a r r a , c o m o

*2 = 7 * 1 . /|

*3 = 7 * 1 /l

(1 .1 8 )

( 1 .1 9 )

•eq

Ig u a la n d o la e n e r g ía c in é tic a d e l s is te m a d e t r e s m a s a s c o n l a d e l s is te m a d e

e q u iv a le n te

o b te n e m o s ^ " M * i + ^"*2*5 + ^ "» 3 * Í =

(

1. 2 0 )

F ig u ra 1 .3 5 Idealización d e u n edificio d e v a rio s pisos c o m o u n sistem a de v a rio s g ra d o s d e lib ertad .

Pivote

f

1.8

E le m e n to s d e m a sa o in e rc ia

39

E s ta e c u a c ió n d a p o r r e s u lta d o , c o n s id e ra n d o l a s e c u a c io n e s ( 1 .1 8 ) y ( 1 .1 9 ) :

(

1.2 1 )

S e v e q u e la m a s a e q u iv a le n te d e u n s is te m a c o m p u e s to d e v a ria s m a s a s ( c a d a u n a m o v ié n d o s e a u n a d if e r e n te v e lo c id a d ) p u e d e c o n s id e r a r s e c o m o la m a s a im a g in a ria . l a c u a l , c u a n d o s e m u e v a a u n a v e lo c id a d e s p e c ífic a v, te n d r á l a m is m a e n e r g ía c in é t ic a q u e la d e l s is te m a . C a s o 2 : M a s a s t r a s l a c i o n a l e s y r o t a c i o n a l e s a c o p l a d a s . S e a u n a m a s a m q u e r o t a a u n a v c lo c id a d x a c o p la d a a o t r a m a s a ( d e m o m e n to d e in e r c ia d e m a s a . J,j) q u e r o t a a u n a v e lo c id a d 0 . c o m o e n e l s is te m a d e c r e m a lle r a y p iñ ó n q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1.37. E s ta s d o s m a s a s s e p u e d e n c o m b i n a r p a r a o b te n e r o (1 ) u n a s o l a m a s a tra s la c io n a l e q u iv a le n te m ^ , o (2 ) u n a s o l a m a s a ro ta c io n a l e q u iv a le n te J ^ c o m o s e m u e s tra a c o n tin u a c ió n . 1.

M a s a tr a s la c io n a l e q u i m l e n t e . 1.a e n e r g ía c in é tic a d e la s d o s m a s a s e s t á d a d a p o r T = \ m x 2 + '- J q O2

( 1.2 2 )

y l a e n e r g ía c in é tic a d e l a m a s a e q u iv a le n te s e e x p r e s a c o m o 7

_ I

-2

(1 -2 3 )

D a d o q u e ¿ f(| = x y 6 = x / R . l a e q u iv a le n c ia d e T y 7 ^ d a

e s d e c ir. m cq -

2.

, Jo * ^2

(1 -2 4 )

M a s a r o ta c io n a l e q u iv a le n te . E n e s t e c a s o 0cq = 0 y x = 0 R , y l a e q u iv a le n c ia d e T y 7 ^ c o n duce a ^ q » 3 =

+ i.* ,# 3

o (1 .2 5 )

Piftón. m om ento d e inercia d e m asa. J0

F ig u ra 1 .3 7 M asas traslacionales y ro tac io n a les e n u n siste m a de crem allera y piñón.


40

C a p ítu lo 1

E je m p lo 1 . 1 1


M a s a e q u iv a le n te d e u n siste m a Encuentre la m asa equivalente d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 1.38. donde e l eslabón rígido I está fijo a i la p olca y gira c o n ella.

I\»lca. m om ento de inercia de masa. Jp

E l e s la b ó n ríg id o 1 (m a s a m , ). g ira c o n U la p o le a a lre d e d o r d e l p u n toi

O

E s la b ó n ríg id o 2 ( m a sa m * )

7 7 7 /S /////

*2(0

1

h

F igura 1.38 S istem a co n sid era d o p ara e n c o n tra r u n a m asa equivalente.

S olución: Suponiendo desplazam ientos pequeños, la m asa equivalente ( r n ^ j s c determ ina utilizando la e q u i valencia d e las energías cinéticas d e los d o s sistem as. C u a n d o la m asa m s e desplaza u n a distan cia x , la polea y el eslabón rígido I giran en u n án g u lo 0p — 6 t - x ¡ r p Esto h ace que e l eslab ó n rígido 2 y e l cilindro se desplacen una distan cia x 2 = = x l x¡ r p. C om o e l cilin d ro ru ed a sin deslizarse, gira e n un ángulo 0e = x 2/ r f — x l t ¡rprr La en erg ía cinética d e l sistem a (7 ) se expresa (pora desplazam ientos pequeños) com o:

(E -D

d in d e Jp. J x y J c indican los m p m a jto s d e inercia d e m asa d e las p o leas, e l eslabón 1 (c o n respecto a 0 \ y el cilindro, respectivam ente, 0p, y 0,. indican las velocidades angulares de la polca, e l vínculo I (con respecto a O ), y el cilindro, respectivam ente, y x y x 2 representan las velocidades lineales d e la m asa m y el eslabón 2, respectivam ente. O bservando q u e / . = m j ] / 2 y J , = la ecuación (E . I ) s e v uelve a escribir com o

T = 2 " i

(E.2)

Si igualam os la ecuación (E.2) a la energía cinética d e l sistem a equivalente


1.8

E le m e n to s d e m a sa o in e rc ia

41

o btenem os la m asa equivalente d e l sistem a com o

(E.4)

E je m p lo 1 . 1 2

M e c a n is m o s e g u id o r d e leva Un mecanismo seguidor de leva (figura 13 9 ) s e utiliza para convertir e l m ovim iento rotatorio d e un cigüeñal en e l movimiento oscilan te o reciprocante d e una válvula. H sistem a seguidor s e com pone d e una varilla de em puje de m asa mp, un balancín d e m asa m r un m om ento d e inercia d e m asa 7r con respecto a su C .G ., una válvula de masa y un resorte d e válvula d e m asa insignificante Il.2 8 -l.3 0 J. Encuentre la masa equivalente (m ^ ) d e este sistema seguidor d e leva suponiendo la ubicación d e m ^ c o m o (i) punto A e ( ii) punto C. S o lu c ió n : La m asa equivalente d e l sistem a seguidor de leva se determ ina p o r m edio d e la equivalencia d e las energías cinéticas d e Ice d o s sistem as. D ebido a un desplazam iento vertical x d e la varilla de em puje, e l b alan c ín g ira un án g u lo dr = x / l , alre d ed o rd e l pivote, la válvula desciende u n a distancia x , = 0 ,lj = x l^ /lx y el C .G . del balancín desciende una distan cia x , - OJ3 - x / j / / (. La en erg ía cinética d e l sistem a
(E l)

1 ,'p

I * 0, • /

Balancín (momento de inercia de masa, J,) / R

F igura 1.39 M ecanism o se g u id o r de leva.

^Si la masa del resoné de la válvula es m r entonces su masa equivalente será \ m , (vea el ejemplo 2.8). Por lo tanto, su energía cinética será j (j m . J i i


42

C a p ítu lo 1


x ,, ¿ .s o n la s velocidades lineales d e la varilla de em puje, e l C .G . del balancín y la válvula, respec

tivam ente, y fl.e s la velocidad angular d e l balancín. ( 0 S i m^ indica la m asa equivalente co lo cad a e n e l punto A. c o n ¿ ^ = ¿ . la en erg ía cinética d e l sistem a ¿b m asa equivalente

es 7*

Igualando T y

(E .2)

y o b s e n a n d o que

x„ = * ,

¿*2 xr = — ,

x, =

■ x y fl, = -

i/3

obtenem os m «i = m P +

+

+

( ú ) A sim ism o, si la m asa equivalente se lo c a liz a e n e l punto C , ¿ ^ = x , y 1 ,2 _ 1 -2 7eq - X m «t*cq - , "««i*;

Igualando (E .4) y (E . 1) se obtiene

m.

1.9

E le m e n t o s d e a m o r t i g u a m ie n t o E n m u c h o s s is te m a s p r á c tic o s , l a e n e r g ía v ib ra to ria se c o n v ie r te g r a d u a lm e n te e n c a l o r o s o n id o . D e b id o a l a re d u c c ió n d e e n e r g ía , la r e s p u e s ta , c o m o e l d e s p la z a m ie n to d e l s is te m a , s e re d u c e g ra d u a lm e n te . E l m e c a n is m o m e d ia n te e l c u a l l a e n e r g ía v ib ra to ria se c o n v ie r te g r a d u a lm e n te e n c a lo r o s o n id o s e c o n o c e c o m o a m o n ix iu im ie n r o . A u n c u a n d o la c a n tid a d d e e n e r g ía c o n v e r tid a en c a l o r o e n s o n i d o e s re la tiv a m e n te p e q u e ñ a , l a c o n s id e r a c ió n d e l a m o r tig u a m ie n to lle g a a s e r im p o rta n te p a r a p r e d e c ir c o n e x a c titu d l a re s p u e s ta a l a v ib ra c ió n d e un s is te m a . S e s u p o n e q u e un a m o rtig u a d o r n o tie n e m a s a n i e la s tic id a d , y q u e la f u e r z a d e a m o r tig u a m ie n to e x is te s ó lo s i h a y u n a v e lo c id a d re la tiv a e n tre l o s d o s e x tr e m o s d e l a m o r tig u a d o r. E s d if íc il d e te r m in a r la s c a u s a s d e l a m o rtig u a m ie n to e n s is te m a s p r á c tic o s . P o r c o n s ig u ie n te , e l a m o r tig u a m ie n to s e m o d e la c o m o u n o m á s d e lo s s ig u ie n te s tip o s . A m o r t i g u a m i e n t o v i s c o s o . El a m o r tig u a m ie n to v is c o s o e s e l m e c a n is m o d e a m o r tig u a m ie n to d e m a y o r u so e n e l a n á lis is d e v ib r a c ió n . C u a n d o un s is te m a m e c á n ic o v ib ra e n u n m e d io f lu id o c o m o á r e . g a s . a g u a o a c e ite , la re s is te n c ia o f r e c id a p o r e l f lu id o e n e l c u e rp o e n m o v im ie n to h a c e q u e se d isip e la e n e r g ía . E n e s t e c a s o , l a c a n tid a d d e e n e r g ía d is ip a d a d e p e n d e d e m u c h o s fa c to r e s , c o m o e l ta m a ñ o y f o r m a d e l c u e r p o v ib ra to r io , l a v is c o s id a d d e l flu id o , l a fre c u e n c ia d e v i b r a c ió n c in c lu s o b v e lo c id a d d e l c u e rp o v ib ra to rio . E n d a m o r tig u a m ie n to v is c o s o , l a f u e r z a d e a m o r tig u a m ie n to es p ro p o rc io n a l a la v e lo c id a d d e l c u e r p o v ib ra to rio . E n tre los e je m p lo s típ ic o s d e a m o rtig u a m ie n to


1.9

E le m e n to s d e a m o r tig u a m ie n to

43

v isc o so e s tá n : ( 1 ) l a p e líc u la d e f lu id o e n tre s u p e r fic ie s d e s liz a n te s : ( 2 ) e l f lu jo d e f lu id o a lr e d e d o r d e u n p istó n e n un c ilin d r o : ( 3 ) e l f lu jo d e f lu id o a tr a v é s d e u n o r if ic io , y (4 ) la p e líc u la d e f lu id o a lr e d e d o r d e u n m u ñ ó n e n u n a c h u m a c e ra .

Amortiguamiento de Coulomb o de fricción en seco. A q u í la f u e r z a d e a m o r tig u a m ie n to e s d e m a g n itu d c o n s ta n te p e ro d e d ir e c c ió n o p u e s ta a l a d e l m o v im ie n to d e l c u e r p o v ib r a to rio . E s r e s u l ta d o d e l a fric c ió n e n tr e s u p e rf ic ie s q u e a l fro ta rs e e s tá n s e c a s o n o tie n e n u n a lu b r ic a c ió n s u fic ie n te .

Amortiguamiento debido a un material o sólido o histerético. O t a n d o u n m a te ria l s e d e f o r m a , a b s o r b e o d is ip a e n e r g ía [1 .3 1 1 . E l e f e c to s e d e b e a l a f r ic c ió n e n tre lo s p la n o s i n te r n o s . lo s c u a le s s e r e s b a la n o d e s liz a n a m e d id a q u e o c u r re n l a s d e f o rm a c io n e s . C u a n d o u n c u e r p o q u e e x p e r im e n ta a m o r tig u a m ie n to p ro d u c id o p o r e l m a te ria l s e s o m e te a v ib r a c ió n , e l d ia g r a m a d e e s f u e r z o - d e fo r m a c ió n m u e s tr a u n b u c le d e h is té r e s is c o m o s e in d ic a e n l a fig u ra 1 .4 0 (a ). E l á r e a d e e s t e b u c le i n d ic a la p é rd id a d e e n e r g ía p o r u n id a d d e v o lu m e n d e l c u e r p o p o r c ic lo d e b id o a l a m o rtig u a m ie n to .3

L o s a m o r tig u a d o r e s v is c o s o s s e c o n s tru y e n d e v a r ia s m a n e ra s . P o r e je m p lo , c u a n d o u n a p la c a se m u e v e c o n r e s p e c to a o tra p la c a p a ra le la c o n u n f lu id o v is c o s o e n tr e e lla s , s e o b tie n e u n a m o r tig u a

C o n s t r u c c ió n d e a m o r t ig u a d o r e s v is c o s o s

m ie n to v is c o s o . L o s e je m p lo s s ig u ie n te s ilu s tra n l o s v a r io s m é to d o s d e c o n s tr u ir a m o rtig u a d o r e s v is c o s o s u tiliz a d o s e n d ife re n te s a p lic a c io n e s .

E n e rg ía c o n s u m id a ( A B D ) D e scarg a E n e rg ía re c ib id a ( B C D ) D e fo rm a c ió n

► D e fo rm a c ió n

(«)

(d e s p la z a m ie n to )

(a )

Figura 1.40

B u c le d e h is té re s is p a r a m a te r ia le s e lá stic o s .

’Q t a n d o l a c a r g a a p lic a d a a u n c u e r p o e lá s tic o s e in c r e m e n ta , e l e s f u e r z o ( a ) y l a d e f o r m a c ió n ( e ) e n e l c u e r p o ta m b ié n in c re m e n ta n . D

á r e a b a jo l a c u r v a < r-« , d a d a p o r

-

Ja

iIb

in d ic a la e n e r g í a c o n s u m id a ( tr a b a j o r e a liz a d o ) p e r u n id a d d e v o lu m e n d e l c u e r p o . C u a n d o l a c a r g a q u e a c tú a e n e l c u e r p o s e re d u c e , la e n e rg ía s e re c u p e ra . C u a n d o la tra y e c to ria d e d e s c a rg a e s d ife r e n te a la d e la c a rg a , e l á r e a A B C e n la fig u ra I .4 0 ( b ) . e s d e c i r , e l á r e a d e l b u c l e d e h i s té r e s i s e n l a f i g u r a 1 .4 0 ( a ) . i n d i c a l a e n e r g í a p e r d id a p e r u n i d a d d e v o l u m e n d e l c u e rp o .


44

C a p ítu lo 1

E je m p lo 1 . 1 3


c o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to d e p la ca s parale las se pa rad a s p o r un flu id o v is c o s o Cbnsidere d o s placas paralelas sep arad as una distancia A. c o n un Huido d e viscosidad / i entre ellas. Derive una expresión pura la constante d e am ortiguam iento cu an d o una p lac a se m ueve c o n una velocidad v con respecto a la otra c o m o s e m uestra e n la figura 1. 4 1. S olución: Sean u n a placa fija y la o tra m óvil con una velocidad v e n su propio plano. L as c ap as de Huido en contacto c o n la p lac a m óvil se m ueven c o n una velocidad v, e n tanto q u e las que e stán en contacto c o n la placa fija no se m ueven. S e supone q u e las velocidades d e las c a p a s d e Huido interm edias varían lincalm cntc entre O y v. c o m o se m uestra e n la figura 1.41. D e acuerdo con la ley d e flujo viscoso d e N ew ton. e l esfu erzo cortante ( t) desarrollado e n la capa d e Huick) a una distancia y d e la placa fija está dado por

«• > d m d e d u / d y = v /h e s e l gradiente d e velocidad. La fuerza co rtan te o resistente (F ) desarrollada e n la su p e r ficie inferior d e la placa m óvil es iiA v

F = 7A = h

(E2>

d m d e A e s e l área d e la p lac a m óvil. E xpresando F com o F = cv

(E .3)

b c o n stan te c d e am ortiguam iento se encuentra com o _fiA

Á rea d e la placa - A —

-W Fluido v iv n ^ n —

-— T1~

y

W

►" -J t

F i (fuerza de am ortiguam iento)

■ - ?

i

y777777777777Z?7 7777777777777777777777). Figura M I ñ a c a s paralelas c o n u n fluida viscoso e n tre ellas.

E je m p lo 1 .1 4

H o lg u ra e n un c o jin e te U n cojinete, e l cual s e puede representar d e form a aproxim ada c o m o d o s placas separadas por u n a delgada película d e lubricante (figura 1.42). o frece u n a resistencia d e 4 0 0 N cuando se utiliza aceite SA E 3 0 com o lubricante y la velocidad relativa entre las placas e s d e 10 m/s. S i e l área de las placas e s d e 0 .1 m 2. determ ine b holgura entre las placas. S uponga q u e la viscosidad absoluta del aceite S A E 3 0 e s 5 0 ¿xieyn o 0.3445 Pa-s.


1.9


45

Figura 1.42 l i a cas planas sep arad as p o r u n a delgada película de lubricante.

S o lu c ió n : C om o la fuerza resistente s e ex p resa c o m o F — ev. d o n d e c e s la constante d e am ortiguam iento y v e s la velocidad, tenem os

c

= £

= Í2 2 = 4 o N -s /m

v

(E l)

10

S i e l cojinete se m odela com o un am ortiguador d e placas planas, la ecu ació n ( E 4 ) d e l ejem plo 1.13 d a la constante d e am ortiguam iento:

' " T

* 2>

U tilizando los datos, la ecuación (E.2) d a p o r resultado

(0 .3 4 4 5 )(0 .l) c = 4 0 — ---------

E je m p lo 1. 15

or

h = 086125 mm

(E.3)

C o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to d e u n a c h u m a c e ra Se utiliza una ch um acera com o soporte lateral d e u n a flecha rotatoria c o m o se m uestra e n la figura l .43. S i el radio d e la flecha e s R. su velocidad a n g u la r e s o*, la ho lg u ra radial entre la flecha y e l co jinete es d, la visco sidad d e l fluido (lubricante) e s n , y la longitud d e l cojinete es /, o btenga una expresión p ara la constante de am ortiguam iento rotacional d e la chum acera. S uponga q u e la fuga d e fluido es insignificante. S o lu c ió n : La constante d e am ortiguam iento
. .

vr

rR at


C a p ítu lo 1


d_ R R d~~

F igura 1 4 3 C hum acera.

0 producto d e l gradiente d e velocidad radial y la viscosidad d e l lubricante proporcionan e l esfu erzo cortante ( t ) e n e l lubricante: dv

u R úí

(E 2 > l a fuerza requerida para cortar la película de fluido e s igual a l esfuerzo p o r el área. H p a r de torsión en la flecha ( f ) e s igual a la fuerza por e l brazo d e palanca, d e m odo que

T = ( r A )R

(E .3)

r b n d c A = 2 ttR I c s e l área d e la flecha expuesta a l lubricante. P o r lo tanto la ecuación (F„3) s e rccscribc como

2 w fiR 3lta (2 ir R I)R =

H t acuerdo con la definición d e la constante de am ortiguam iento rotacional del co jinete (c,):


(E .4)

1.9 E le m e n to s d e a m o r tig u a m ie n to

47

o btenem os la expresión d eseada p ara la constante d e am ortiguam iento rotacional com o 2 ir n R ¡l c‘ =

d

« >

No¡a. l a ecu ació n (E .4) se conoce c o m o ley de P e tro ff y originalm ente s e publicó e n 1883.Esta ecuación se utiliza am pliam ente e n e l d ise ñ o de chum aceras 11.43).

E je m p lo 1. 16

A m o rt ig u a d o r h id rá u lico d e p is tó n -c ilin d ro D esarrolle una ex p resió n p ara la constante d e am ortiguam iento d e l am ortiguador hidráulico d e la figura 1.44(0). S o lu c ió n : La constante d e am ortiguam iento d e l cilindro se d eterm ina aplicando la ecu ació n d e l esfuerzo cortante d e un fluido viscoso y la ecuación d e velocidad d e flujo d e l fluido. C om o se m uestra e n la figura 1.44
F =

ttP Í

d r = w D I -j - d y dy

(E .I)

P tro e l esfuerzo cortante está dado por dv T " ~^dy

Figura 1 .4 4 Amortiguador hidráulico.


(E.2)

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n donde e l signo negativo e s consistente c o n un gradiente d e velocidad decreciente 11.33]. U tilizando la e c u a ción ( R 2 ) e n la ecuación ( E 1). o btenem os F = - v D i d y /i — r

(E .3)

<¡y2 La fuerza en e l pistón produce u n a d iferencia d e presión en los extrem os del elem ento, d ad a por P

4P

Ror lo tanto, la presión en e l extrem o d e l elem ento es p (ir D d y ) = ^ d y

(E .5)

donde (7 r/) d y ) indica e l área a n u la r entre y y (y + dy). S i suponem os una velocidad m edia u niform e e n la dirección d e l m ovim iento d e l fluido, la fuerza d ad a en las ecu acio n es ( E 3 ) y (E .5) d eb e s e r igual. P o r lo tanto, obtenem os 4P d 2v — <¡y = - c U d y y . —

4P S v = ______ dy2

(E .6)

irD 2l p

Integrando esta ecuación d o s veces y utilizando las condiciones lím ite v = - v 0 e n y = 0 y v = 0 e n y = d, obtenem os (F..7)
La velocidad d e flujo a trav és d e la holgura se obtiene integrando la velocidad d e flujo a trav és d e u n elem ento entre los lím ites y = 0 y y = d

vttD

- r

d y = ir ü

2P d 3 _6 ttD 21h

(E .8)

-

H

□ volum en d e l líquido que fluye a través d e la holgura por segundo d e b e s e r igual al v olum en p o r segundo d rsp la /a d o p o r e l pistón. P o r consiguiente su velocidad se rá igual a esta velocidad de flujo dividida entre el área del pistón. Esto da


1.9


49

L as ecuaciones (E .9 ) y (E .8) condu cen a

- «

' H

-

P =

(R IO )

E scribiendo la fuerza P = cv0 la constante d e am ortiguam iento c se determ ina com o

(H. I I )

1 .9 .2

S i la r e la c ió n f u e rz a ( F > v e lo c id a d ( v ) d e u n a m o r tig u a d o r e s n o lin e a l:

fF == fF ((vv))

L in e a liz a c ió n d e un

( i . 26>

a m o rtig u a d o r

“ P u c t*c u l il ' z a r u n p r o c e s o d e lin e a liz a c ió n a lr e d e d o r d e l a v e lo c id a d d e o p e r a c ió n (v * ) c o m o e n

0 0 lin e a l

^ caso

u n rc s o rlc 110 h n e a l. E l p r o c e s o d e lin e a liz a c ió n p r o p o rc io n a la c o n s ta n te d e a m o r tig u a m ie n to e q u iv a le n te c o m o dF (1 .2 7 )

dv

E n a lg u n o s s is te m a s d in á m ic o s s e u tiliz a n v a rio s a m o r tig u a d o r e s . E n e s o s c a s o s , to d o s l o s a m o r ti g u a d o re s s e r e e m p la z a n c o n un a m o r tig u a d o r ú n ic o e q u iv a le n te . C u a n d o lo s a m o r tig u a d o re s a p a r e

C o m b in a c ió n d e a m o r t ig u a d o re s

c e n c o m b in a d o s , p o d e m o s u tiliz a r p r o c e d im ie n to s s e m e ja n te s a l o s q u e u tiliz a m o s p a r a d e te r m in a r la c o n s ta n te d e r e s o r te e q u iv a le n te d e v a rio s re s o rte s c o n e l o b je tiv o d e d e te r m in a r u n a m o r tig u a d o r ú n i c o e q u iv a le n te . P o r e je m p lo , c u a n d o d o s a m o rtig u a d o re s tr a s la c io n a le s , c o n c o n s ta n te s d e a m o rtig u a m ie n to C| y a p a re c e n c o m b in a d o s , l a c o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to e q u iv a le n te (c^,) s e p u e d e h a ll a r c o m o ( v e a e l p r o b le m a 1 .5 5 ): ci + c2

(1 .2 8 )

1 1 1 — = — + — C« Cl C2

(1 .2 9 )

A m o rtig u a d o re s e n p a ra le lo :

A m o rtig u a d o re s e n s e rie :

E je m p lo 1. 17

eq

C o n s ta n te s d e re s o rte y a m o rtig u a m ie n to e q u iv a le n te s d e u n s o p o rte d e m á q u in a h e rra m ie n ta U na m áquina fresadora d e precisión está m ontada sobre cuatro so p o rte s antivibratorios, c o m o se m uestra e n la figura 1.45(a). l a elasticidad y am ortiguam iento de cada soporte antivibratorio s e m odela c o m o un resorte y un am ortiguador viscoso, com o se m uestra e n la figura 1.45(b). E ncuentre la constante d e resorte equivalente, k ^ , y la constante d e am ortiguam iento equivalente, del soporte de la m áquina herram ienta e n función de las constantes de resorte (*,) y la s c onstantes d e am ortiguam iento (c() d e los soportes d e m ontaje.


C a p ítu lo 1


/

/ Q ibrebrazo y Husilloa --------- \

f •6 r >

-------------Cortadora

M esa

Codo

S o p o rte s d e m o n ta je

(en las cuatro esquinas)

(b) G

F ig u ra 1.45

fr e s a d o r a h o riz o n ta l.

S olución: E n la figura 1.45(c) s e m uestran lo s diagram as cb cuerpo libre d e los cuatro resortes y los cuatro am ortiguadores. Suponiendo que e l centro d e m asa, G , este localizado sim étricam ente c o n respecto a los cuatro resortes y am ortiguadores, observam os q u e los resortes experim entarán e l m ism o desplazam iento, x , y que los am ortiguadores tendrán la m ism a velocidad relativa i . d o n d e x y x indican e l desplazam iento y la


1 .1 0

M o v im ien to a r m ó n ico

51

velocidad, respectivam ente, d e l centro d e m asa. G . P b r consiguiente, la s fuerzas que actúan e n los resortes ( F J y los am ortiguadores (F é ) se ex p resan com o F„ = kpx\

i = 1. 2 ,3 , 4

F * = c¡r,

¡ = 1 . 2 ,3 , 4

( E ,)

Sean F, y Fd las fu erzas totales q u e actúan e n todos los resortes y to d o s los am ortiguadores, respectivam ente (vea la figura 1.45(d)). P o r lo tanto, las ecuaciones de equilibrio d e fuerzas se expresan com o

F, = F „ + Fi2 + Ft¡ + F j = F j , + Fj2 + F „ + Fm

(E 2)

d o n d e F, + Fd = IV, c o n IV que indica la fuerza vertical total (incluida la fuerza d e inercia) que actúa en la fresadora. D e acuerdo con la ecuación 1.45(d). tenem os F, = W F* =

(E.3)

La ecuación (E .2). ju n to c o n la s ecuaciones ( E l ) y (E .3) d a por resultado k^

= * , + *2 + *3 +

Ceq

= C\ + c2 + c3 + c4 = 4 c

(E 4 )

d o n d e k , = k y c ¡ = c p ara i = 1, 2, 3 , 4 . Nora; S i e l centro d e m asa G no está sim étricam ente localizado c o n respecto a los cuatro resortes y am orti guadores, e l resorte iésim o experim enta un desplazam iento d e x¡ y e l am ortiguador iésim o experim enta una velocidad d e i , , d o n d e x , y x , pueden relacionarse con e l desplazam iento x y la velocidad x d e l centro d e masa G d e la fresadora. E n e sc c aso , las ecu acio n es ( E 1) y ( E 4 ) tienen q u e m odificarse d e una m anera apropiada.

1. 10

M o v im ie n to a rm ó n ic o H m o v im ie n to o s c ila to r io p u e d e r e p e tirs e c o n r e g u la r id a d , c o m o e n e l c a s o d e u n p é n d u lo s im p le , o d e s p le g a r u n a irre g u la r id a d c o n s id e r a b le , c o m o e n e l c a s o d e l m o v im ie n to d e la tie r r a e n u n s i s m o . S i e l m o v im ie n to s e r e p ite d e s p u é s d e in te rv a lo s d e tie m p o ig u a le s , s e lla m a m o v im ie n to p e r ió d ic o . E l t ip o m á s s im p le d e m o v im ie n to p e r ió d ic o e s e l m o v im ie n to a r m ó n ic o . E l m o v im ie n to im p a rtid o a l a m a s a m p o r e l m e c a n is m o d e y u g o e s c o c é s q u e s e m u e s tr a e n l a f ig u ra 1 .4 6 e s un e je m p lo d e m o v im ie n to a rm ó n ic o s im p le [ 1.24. 1.3 4 , 1.3 5 J. E n e s t e s is te m a , u n a m a n iv e la d e ra d io A g i r a a lr e d e d o r d e l p u n t o O . E l o tr o e x tr e m o d e l a m a n iv e la , P , s e d e s liz a e n u n a b a r ra r a n u ra d a , la c u a l s e m u e v e c o n u n m o v im ie n to d e v a iv é n e n l a g u ía v e r tic a l R. C u a n d o la m a n iv e la g i r a a u n a v e lo c id a d a n g u la r
x = A s e n Q = A s e n io t

(1 .3 0 )

E s te m o v im ie n to s e m u e s tr a p o r m e d io d e l a c u r v a s e n o id a l e n l a fig u ra 1.46. L a v e lo c id a d d e la m a s a m e n e l in s ta n te t la d a dx


52

C a p ítu lo 1


y F ig u ra U 6 M ecanism o de yugo escocés.

y l a a c e le ra c ió n =

- o ? A s e n o ií = - o ? x

( 1 .3 2 )

di S e v e q u e l a a c e le ra c ió n e s d ire c ta m e n te p ro p o rc io n a l al d e sp la z a m ie n to . U na v ib ra c ió n c o m o e sa . c o n l a a c e le ra c ió n p ro p o rc io n a l a l d e s p la z a m ie n to y d irig id a h a c ia la p o s ic ió n m e d ia , s e c o n o c e c o m o m c n im ie n io a r m ó n ic o s im p le . El m o v im ie n to d a d o p o r x = A e o s un es o tro e je m p lo d e m o v im ie n to a rm ó n ic o s im p le , l a f ig u r a 1.46 m u estra c o n c la rid a d l a s e m e ja n z a e n tre e l m o v im ie n to (a rm ó n ic o ) c íc lic o y e l m o v im ie n to se n o id a l.

E l m o v im ie n to a rm ó n ic o s e p u e d e r e p re s e n ta r d e u n a m a n e r a m á s p iá c tic a p o r m e d io d e u n v e c to r O P d e m a g n itu d A q u e g ira a u n a v e lo c id a d a n g u la r c o n s ta n te io. E n l a fig u ra 1.47. l a p ro y e c c ió n

R e p r e s e n ta c ió n v e c to ria l d e l m o v i m ie n t o a rm ó n ic o

efe l a p u n ta d e l v e c to r X

= O P s o b r e e l e je v e r tic a l e s t á d a d a p o r

A s e n toi


(1 .3 3 )

1 .1 0


53

y s u p ro y e c c ió n s o b re e l e je h o riz o n ta l p o r x = A c o s ta r

(1 .3 4 )

C o m o se v io a n t e s , e l m é to d o v e c to ria l d e re p re s e n ta r e l m o v im ie n to a r m ó n ic o re q u ie re l a d e s c rip c ió n d e lo s c o m p o n e n te s h o riz o n ta le s y d e lo s v e r tic a le s . E s m á s p r á c tic o re p re s e n ta r e l m o v im ie n to a r

R e p re s e n ta c ió n p o r m e d io d e n ú m e ro s c o m p le jo s del m o v im ie n to a rm ó n ic o

m ó n ic o p o r m e d io d e n ú m e r o s c o m p le jo s . C u a lq u ie r v e c t o r X e n e l p l a n o x y s e p u e d e re p re s e n ta r c o m o u n n ú m e r o c o m p le jo : X = a + ib

(1-35)

d o n d e i = V - \ . y a y b in d ic a n lo s c o m p o n e n te s x y y d e X , re s p e c tiv a m e n te ( v e a l a f ig u ra 1.48). L o s c o m p o n e n te s a y b ta m b ié n s e c o n o c e n c o m o p a r te s r e a l e im a g in a r ia d e l v e c t o r X. S i A in d ic a e l m ó d u lo o v a lo r a b s o lu to d e l v e c to r X , y 6 re p re s e n ta e l a r g u m e n to o á n g u lo e n tre e l v e c to r y el e je x , e n to n c e s X t a m b ié n p u e d e e x p r e s a r s e c o n »


C a p ítu lo 1


X = A e o s 0 + ¡A s e n 6

(1 .3 6 )

A = ( a 2 + b 2) 1 / 2

(1 .3 7 )

con

tan - \ h a

(1 .3 8 )

O b s e rv a n d o q u e i 2 = - 1. P = —i , f4 = 1 ,.... e o s 0 c / s e n 0 s e p u e d e n e x p a n d ir e n u n a s e r ie c o m o

O2

/ sen w = i

0*

(i 0 ) 2

(¡ 0 )Á

(1 .3 9 )

•5 + ü _ . . . . l 3!

3!

5!

(1 .4 0 )

5!

L a s e c u a c io n e s ( 1.3 9 ) y ( 1.4 0 ) d a n p o r re s u lta d o (i0 )2 (e o s 0 + i s e n 0 ) -

( e o s 0 - ¡ s e n 0) = 1

1 + ¡0 +

-

w

(tf)3 + ~~y~ +

!

"

(* )3 + • • • = e ,e 3!

¡0 + -1—^------ -1- p 2!

(1 .4 1 )

0 .4 2 )

R j r lo ta n to , l a e c u a c ió n ( 1 .3 6 ) s e e x p r e s a c o m o

X = A ( c o s e + i s e n f l ) = A e i0

y

(1 .4 3 )

(im a g in a rio )

x (real)

F igura 1 .4 8 R epresentación d e u n n ú m e ro com plejo.


1 .1 0


55

A v e c e s lo s n ú m e r o s c o m p le jo s s e re p re s e n ta n s in u tiliz a r a lg u n a n o ta c ió n v e c to r ia l c o m o Z = a + ib

Á lg e b ra c o m p le ja

(1 .4 4 )

d o n d e a y b s im b o liz a n l a s p a r te s re a l c im a g in a ria d e z . L a s u m a , r e s t a , m u ltip lic a c ió n y d iv is ió n d e n ú m e ro s c o m p le jo s se r e a liz a n s ig u ie n d o l a s r e g la s u s u a le s d e l á lg e b r a . S e a n

+ ib i = V * '

Z|

=

Z2

= a 2 + i b 2 = a 2e * 1

(1 -4 5 ) ( 1 .4 6 )

donde A ¡ = V a ¡ + b j;

6 j = t a n - 'l — ]; a)J

¡ - 1 ,2

jm

( 1 .4 7 )

1 ,2

(1 .4 8 )

L a s u m a y d if e r e n c ia d e z¡ y z 2s c p u e d e n e n c o n t r a r c o m o

Zl +

Z2 =

Z, -

Z2 =

A

+ A ie*0' =

(fl| +

= ( a . + a 2 ) + i ( b , + Ó2) -

A i e 1®2 = ( a , + 16, ) -

= ( * t “ o 2) + i(b i ~ fh )

ib \)

+

(a 2 (1 -4 9 )

( a 2 + //» ,) (1 .5 0 )

U tiliz a n d o l a re p re s e n ta c ió n d e n ú m e ro c o m p le jo , e l v e c t o r r o ta to r io X d e la fig u ra 1.4 7 s e e s c rib e con»

O p e r a c io n e s c o n f u n c io n e s a rm ó n ic a s

X = A e*

(1 .5 1 )

d o n d e a» in d ic a la fre c u e n c ia c ir c u la r (ra d /s ) d e ro ta c ió n d e l v e c to r X e n s e n tid o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c illa s d e l re lo j. L a d if e r e n c ia c ió n d e l m o v im ie n to a r m ó n ic o d a d o p o r la e c u a c ió n ( 1 .5 1 ) c o n r e s p e c to a l tie m p o re s u lta


+i

56

C a p ítu lo 1


R>r lo ta n to , e l d e sp la z a m ie n to , la v e lo c id a d y la a c eler a c ió n s e e x p r esa n c o m o 4 = A co so » /

d e s p la z a m ie n to = R e [A e “ "] v e lo c id a d = R eJitu A e1" ]

( 1 .5 4 )

= -o » A s e n o»/ = o»A e o s (o ir + 9 0 ° )

a c e le ra c ió n = R e[ - a r A e 1*

( 1 .5 5 )

= -o » 2A e o s o»/ = o*'A e o s (o»/ + 180°)

( 1 .5 6 )

d a n d o R e in d ic a la p a ite re a l. E s ta s c a n tid a d e s s e m u e s tra n c o m o v e c to re s ro ta to rio s e n l a fig u ra 1.49. S e v e q u e e l v e c to r d e a c e le r a c ió n se a d e la n ta 9 0 ° a l v e c to r d e v e lo c id a d , y q u e é s t e s e a d e lan ta 9 0 ° a l v e c to r d e d e s p la z a m ie n to . L as fu n c io n e s a r m ó n ic a s s c j t u c d e n s u m a r v e c to ria l m e n te , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 1.50. S i R e ( X |) = A | e o s o ti y R e ( X 2) — A2 c o s (o H + 6 ) , e n to n c e s l a m a g n itu d d e l v e c to r X r e s u l ta n te es A = V (A , + A2

co s0

) 2 + (A 2 se n 0 ):

(1 .5 7 )

y e l á n g u lo o e s o = tan - i

(

Ál xne

^

(1 .5 8 )

\ A t + A2 c o s d )

Im

►u*

«Si e l d e s p la z a m ie n to a r m ó n ic o s e d a o rig in a lm e n te c o m o

x{t) - A

s e n a * , e n to n c e s te n e m o s

d e sp la z a m ie n to -

I m ’ó e ' " ’] -

A sen a*

v e lo c id a d

-

In riW ]

-

a c e le ra c ió n

-

o¡A s e n (a *

+ 90°)

A se n (o *

d o n d e Im in d ic a la


♦

18 0 ° )

1 .1 0


57

y Im

x Re

A c*)s(
F igura 1 .5 0 S u m a vectorial de fu n cio n es a rm ó n icas.

C o m o l a s fu n c io n e s o r ig in a le s s e d a n c o m o c o m p o n e n te s re a le s , l a s u m a X i + AS se e x p r e s a c o m o R c ( X ) = A ca>(
E je m p lo 1.8

S u m a d e m o v im ie n to s a rm ó n ic o s Encuentre la sum a d e lo s d o s m ovim ientos a rm ónicos X| (t) = IO e o s w /y x j(í) = 15 e o s (cor + 2). S o lu c ió n : M étodo I . Utilizando relaciones trigonom étricas: C om o la frecuencia circu lar e s la m isma tanto para x ,(r) c o m o p ara * ,( / ) ex p resam o s la su m a com o

x(r) - Acos(a>l +

a )

- x,(l) + *,(/)

(E .I )

Es decir. A(co& att eos a - sen un sen «) ■ 10 eos tul + 15 cos(
= 10 eostwr + 15(costu l eos2 - seno*r « n 2)

(E.2)

O bien. e o s
(E.3)

Igualando los coeficientes correspondientes d e e o s o tty sen ¡oten a m b o s lados, obtenem os A e o s a = 10 + 15 e o s 2 A s e n a = 15scn2 A = V ( 1 0 + 15 c o s 2 ) 2 + (15 s e n 2 ) 2 = 14.1477

(E.4)

y (E.5)


58

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n M étodo 2: U tilizando vectores: C on un valor arbitrario d e
< E 6)

M étodo 3: Utilizando la representación d e n ú m ero com plejo: L os d o s m ovim ientos arm ónicos se señalan en •unción de núm eros com plejos com o: * , ( / ) = R e [A xeT*\ - R e [ I O e - ] x j ( 0 = R c[

- R c [IV < “ **2>]

(E 7 )

La su m a d e x ^ l ) y x 2(t) se ex p resa como x ( l ) = R e[A eiít0 *a}]

< E 8)

cbndc 4 y a se d eterm inan utilizando la s ecuaciones (1.47) y (1.48) c o m o A = 14.1477 y a = 74.5963°.

F igura 1 .5 1 S u m a de m ovim ientos arm ónicos.

1 .1 Q .5

L a s s ig u ie n te s d e fin ic io n e s y te r m in o lo g ía s o n ú tile s c u a n d o t r a ta m o s c o n m o v im ie n to s a rm ó n ic o s y o tr a s fu n c io n e s p e r ió d ic a s .

D e fin ic io n e s y t e r m in o lo g ía

G c l o . Al m o v im ie n to d e u n c u e rp o v ib r a to rio d e s d e s u p o s ic ió n n o p e rtu rb a d a o d e e q u ilib r io h a s ta s u p o s ic ió n e n u n a d i r e c c i ó n , y lu e g o d e v u e lta a la p o s ic ió n d e e q u ilib rio , y lu e g o a s u p o s ic ió n e x tre m a e n l a o t r a d ir e c c ió n , y d e v u d t a a la p o s ic ió n d e e q u ilib r io s e l e l la m a c ic lo d e v ib r a c ió n . l i n a r e v o lu c ió n ( e s d e c i r , u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r d e 2 t t ra d ia n e s ) d e l p a s a d o r P e n l a f ig u r a 1.46 o u n a r e v o lu c ió n d e l v e c to r O P e n la f ig u r a 1.47 c o n s titu y e n u n c ic lo . A m p l it u d . A l d e s p la z a m ie n to m á x im o d e un c u e r p o v ib r a to r io a p a rtir d e s u p o s ic ió n d e e q u ilib r io se le lla m a a m p litu d d e v ib ra c ió n . E n la s f ig u ra s 1 .4 6 y 1.47 la a m p litu d d e v ib ra c ió n e s ig u a l a A . ft* r i o d o d e o s c i la c i ó n . H tie m p o re q u e r id o p a ra c o m p le ta r u n c ic lo d e m o v im ie n to s e c o n o c e c o m o p e r io d o d e o s c ila c ió n o p e r io d o d e t ie m p o y e s t á s im b o liz a d o p o r r . E s ig u a l a l tie m p o r e q u e rid o p a r a q u e e l v e c t o r O P d e la f ig u r a 1.47 g ire e n u n á n g u lo d e 2 i r y p o r c o n s ig u ie n te

r - f t b n d e

05»

1 .1 0


59

F r e c u e n c i a d e o s c i la c i ó n . La c a n tid a d d e c ic lo s p o r u n id a d d e tie m p o se l la m a fr e c u e n c iti d e o s c ila c ió n o s im p le m e n te f r e c u e n c i a y e s t á in d ic a d a p o r / . P ü r l o ta n to

A q u í a
(L 6 1 )

x 2 = A 2 s e n ()

(L 6 2 )

L o s d o s m o v im ie n to s a r m ó n ic o s d a d o s p o r la s e c u a c io n e s ( 1 .6 1 ) y ( 1 .6 2 ) s e lla m a n s in c r ó n ic o s p o rq u e tie n e n l a m is m a fr e c u e n c ia o v e lo c id a d a n g u la r , to. N o e s n e c e s a r io q u e d o s o s c ila c io n e s s in c ró n ic a s te n g a n l a m is m a a m p litu d , ni q u e a lc a n c e n s u s v a lo r e s m á x im o s a l m is m o tie m p o . L o s m o v im ie n to s d a d o s p o r l a s e c u a c io n e s ( 1.6 1 ) y ( 1.6 2 ) s e re p re s e n ta n g rá fic a m e n te c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1 .5 2 . E n e s t a f ig u r a , e l s e g u n d o v e c t o r O P 2 s e a d e la n ta u n á n g u lo ó . c o n o c i d o c o m o á n g u lo d e f a s e , a l p rim e r o O P {. E s to s ig n if ic a q u e e l m á x im o d e l s e g u n d o v e c to r o c u r r ir ía ra d ia n e s a n te s q u e e l p r im e ro . O b s e r v e m o s q u e e n l u g a r d e los m á x im o s , p u e d e n c o n s id e r a r s e c u a le s q u ie r o tr o s p u n to s p a r a h a ll a r e ! á n g u lo d e fa s e . E n la s e c u a c io n e s (1 .6 1 ) y (1 .6 2 ) o e n l a f ig u r a 1 .5 2 . se d ic e q u e l o s d o s v e c to re s tie n e n u n a d ife r e n c ia d e f a s e d e
* l ( 0 = * COS (OI *2 Í0 =

X

eos(t o +

F ig u ra 1 .5 2 D iferencia d e fase e n tr e d o s vectores.


6 )/

(1 .6 4 )

60

C a p ítu lo 1


c b n d e f ie s u n a c a n tid a d p e q u e ñ a , la s u m a d e e s t o s m o v im ie n to s re s u lta * ( / ) = * | ( f ) + x 2( t ) = X [ c o s cot +

co s(ü > + ó ) r ]

(1 .6 5 )

U tiliz a n d o la re la c ió n

e o s A + eos R = 2 co sí

.

( W

) co sí A

B I

(1 .6 6 )

b e c u a c ió n ( 1 .6 5 ) se r e c s c r ib e c o m o

x (/) = 2 X eos y K o s

ai + ^ )/

(1 6 7 )

E s ta e c u a c ió n se m u e s tr a g rá fic a m e n te e n l a f ig u r a 1.5 3 . S e v e q u e e l m o v im ie n to r e s u lta n te , x (/), re p re s e n ta u n a o n d a c o s e n o c o n fre c u e n c ia ai + ¿5/2, l a c u a l e s a p ro x im a d a m e n te i g u a l a a>. c o n u n a a m p litu d v a ria b le d e 2 X e o s 8 t / Z S ie m p r e q u e l a a m p litu d a lc a n z a un m á x im o , s e l la m a p u l sa c ió n . L a fre c u e n c ia (ó ) a la c u a l la a m p litu d d e in c re m e n ta y r e d u c e e n tr e 0 y 2 X s e c o n o c e c o m o fre c u e n c ia d e p u ls a c ió n . EJ fe n ó m e n o d e p u ls a c ió n s e o b s e r v a a m e n u d o e n m á q u in a s , e s tr u c tu r a s y p ia n ta s e lé c tr ic a s . P o r e je m p lo , e n m á q u in a s y e s tru c tu ra s , e l fe n ó m e n o d e p u ls a c ió n o c u r r e c u a n d o h fre c u e n c ia f o r r a d a s e a c e r c a a la f r e c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a ( v e a la s e c c ió n 3 .3 .2 ) . O c t a v a . C u a n d o e l v a lo r m á x im o d e u n ra n g o d e fre c u e n c ia e s d o s v e c e s s u v a lo r m ín im o , s e c o r o c e c o m o b a n d a d e o c ta v a . P b r e je m p lo , c a d a u n o d e lo s ra n g o s 7 5 -1 5 0 H z . 1 5 0 -3 0 0 H z y 3 0 0 - 6 0 0 H z p u e d e n lla m a rs e b a n d a d e o c ta v a . E n c a d a c a s o se d ic e q u e lo s v a lo r e s m á x im o y m ín im o d e fre c u e n c ia , lo s c u a l e s tie n e n u n a r e la c ió n d e 2 : 1 . d if ie r e n p o r u n a o c ta v a .

D e d b e l . L a s d iv e r s a s c a n tid a d e s e n c o n tr a d a s e n e l c a m p o d e l a v ib ra c ió n y e l s o n id o ( d e s p l a z a m ie n to . v e lo c id a d , a c e le r a c ió n , p r e s ió n y p o te n c ia ) s u e le n re p re s e n ta rs e u tiliz a n d o la n o ta c ió n d e d c c ib e l. U n d c c ib c l < d B ) s e d e fin e o r ig in a lm e n te c o m o u n a r e la c ió n d e p o te n c ia s e lé c tric a s :

d B = 10 lo g ^ “ )


(1 .6 8 )

1.11

A n á lis is a r m ó n ico

61

d o n d e P q CS a lg ú n v a lo r d e p o te n c ia d e r e fe r e n c ia . D a d o q u e l a p o te n c ia e lé c tric a e s p r o p o r c io n a l a l c u a d r a d o d e l v o lta je (X ). e l d c d b c l ta m b ié n s e e x p r e s a c o m o

Ü B = 10

-

20 k > g ^ Q

( 1 .6 9 )

d o n d e Af0 c s u n v o lta je d e r e f e r e n c ia e s p e c if ic a d o . E n la p r a c tic a , l a e c u a c ió n (1 .6 9 ) ta m b ié n se u tiliz a p a r a e x p r e s a r la s re la c io n e s d e o tra s c a n tid a d e s c o m o d e s p la z a m ie n to s , v e lo c id a d e s , a c e l e r a c io n e s y p re s io n e s . L o s v a lo re s d e r e fe r e n c ia d e X0 e n la e c u a c ió n ( 1 .6 ) s u e le n c o n s id e r a r s e c o m o 2 X 1 0 - 5 N /m 2 p a r a p r e s ió n , y I /zg = 9 . 8 1 X 10 ' 6 m /s 2 p a r a a c e le r a c ió n .

1.11

A n á lis is a r m ó n i c o 5 A u n q u e e l m o v im ie n to a r m ó n ic o e s m á s s im p le d e m a n e ja r , e l m o v im ie n to d e m u c h o s s is te m a s v ib ra to r io s es no a r m ó n ic o . S i n e m b a rg o , e n m u c h o s c a s o s l a s v ib ra c io n e s s o n p e rió d ic a s , p o r e je m p lo e l t ip o q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a l .5 4 ( a ) . P o r s u e r te , c u a lq u ie r f u n c ió n d e tie m p o p e rió d ic a p u e d e s e r r e p re s e n ta d a p o r l a s e r ie d e F o u r ie r c o m o u n a s u m a in fin ita d e té r m in o s s e n o y c o se n o [ l .36].

1 .1 1 .1

E x p a n s ió n d e la s e r ie d e F o u rie r

S i x(r) e s u n a fu n c ió n p e rió d ic a c o n p e r io d o t .

x (r) = ~ +

s u

re p re s e n ta c ió n c o m o s e r ie d e F o u r ie r e s t á d a d a p o r

a,costo/

•* a,cos 2
•

+ b \ s e n un -f ó ? s e n 2 tur + oo

d o n d e
b x, b 2. ... s o n c o e f ic ie n te s c o n s t a n

te s. P a ra d e te r m in a r lo s c o e f ic ie n te s a„ y b a, m u ltip lic a m o s l a e c u a c ió n ( l .7 0 ) p o r e o s m o r y s e n m o r. re s p e c tiv a m e n te , e in te g r a m o s a l o la rg o d e u n p e r io d o

t

■

2

7r/to , p o r e je m p lo , d e

A p r o x im a c ió n d e u n té rm in o

F ig u ra 1J»4 Una fu n ció n periódica.

’ H a n á lis is a r m ó n ic o c o n s titu y e la b a s e d e la s e c c ió n 4 2 .


0

a

2

ir /t o .

62

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n E n to n c e s n o ta m o s q u e to d o s lo s té r m in o s e x c e p to u n o e n e l la d o d e r e c h o d e la e c u a c ió n s e r á n c e r o , y o b te n e m o s 2

üí

/ ’

x ( ,) d t =

tu a. = — * Jo

2 f T x ( / ) e o s n t o td t = - I x ( f ) e o s n t ü id t T Jo

t

J

X

(1 .7 1 )

a° = ñ J (l

to f 2* ,m 2 bn = — J x ( t ) s e n n t o td t =

d t

r - j

x ( ts)e n n t o td t

(1 .7 2 )

(1 .7 3 )

La in te r p r e ta c ió n fís ic a d e l a e c u a c i ó n ( 1 .7 0 ) e s q u e c u a lq u ie r fu n c ió n p e r ió d ic a p u e d e r e p re s e n ta rs e c o m o u n a s u m a d e fu n c io n e s a rm ó n ic a s . A u n q u e l a s e r ie e n l a e c u a c ió n ( 1 .7 0 ) e s u n a s u m a in fin ita , p o d e m o s a p r o x im a r l a m a y o ría d e la s fu n c io n e s p e r ió d ic a s c o n l a a y u d a d e s ó lo a lg u n a s Ju n c io n e s a rm ó n ic a s . P o r e je m p lo , l a o n d a tr ia n g u la r d e l a f ig u ra l .5 4 ( a ) s e r e p r e s e n ta a d e ta l le c o n s51o a g re g a r tr e s fu n c io n e s a rm ó n ic a s , c o n » s e m u e s tra e n l a fig u ra 1 .5 4 (b ). l a s e r ie d e F o u r ie r ta m b ié n p u e d e re p re s e n ta rs e p o r m e d io d e l a s u m a d e s ó lo té r m in o s s e n o o c o se n o . P o r e je m p lo , l a s e r ie d e s ó l o té r m in o s c o s e n o s e e x p r e s a c o m o * ( f ) = d ü + d \ c o s ( to t - 4>| ) + d 2 c o s ( 2 tü t - 2) +

(1 .7 4 )

(fonde (1 .7 5 )

d 0 = a 0/ 2 dn = t á

(1 .7 6 )

+

« . « ta n -

-

(1 .7 7 )

F e n ó m e n o d e G i b b s . O r a n d o u n a f u n c ió n p e rió d ic a s e r e p re s e n ta c o n u n a s e r ie d e F o u r ie r s e o b se rv a un c o m p o r ta m ie n to a n ó m a lo . R j r e je m p lo , la fig u ra 1 .5 5 m u e s tra u n a o n d a t r ia n g u la r y su r e p re s e n ta c ió n d e s e r ie d e F o u r ie r c o n un n ú m e r o d if e r e n te d e té r m in o s . A l a u m e n ta r los té r m in o s (n )


1.11


63

se ve q u e l a a p ro x im a c ió n m e jo ra e n o irá s p a rle s e x c e p to c e r c a d e la d is c o n tin u id a d ( p u n to P e n la f ig u r a 1 .5 5 ). A q u í l a d e s v ia c ió n c o n re s p e c to a l a f o r m a d e o n d a v e rd a d e r a s e re d u c e p e r o s i n q u e su a m p litu d s e a m á s p e q u e ñ a . S e h a o b s e r v a d o q u e e l e r r o r e n l a a m p litu d p e rm a n e c e a a p r o x im a d a m e n te 9 p o r d e n l o a u n c u a n d o k —* o o . E s te c o m p o r ta m ie n to s e c o n o c e c o m o fe n ó m e n o d e G ib b s , e n h o n o r a s u d e s c u b rid o r.

1 .1 1 .2

L a s e r ie d e F o u r ie r ta m b ié n p u e d e e x p r e s a r s e e n f u n d ó n d e n ú m e ro s c o m p le jo s . O b s e r v a n d o , p o r la s e c u a c io n e s (1 .4 1 ) y ( 1 .4 2 ) . q u e

S e rie d e F o u rie r c o m p le ja

e la* = e o s iú t + i s e n tu l

(1 7 8 )

e ~ ia* = e o s to t -

( 1 .7 9 )

i sen u n

e o s tur y s e n tu i s e e x p r e s a n c o m o

eos un =

e * " + e -4" 1 ---------

s e n tur = --------

2¡

( 1.8 0 )

( 1.8 1 )

P o r lo ta n to , l a c c u a d ó n ( 1 .7 0 ) s e e s c rib e c o m o

d o n d e bQ = 0 . S i d e f in im o s lo s c o e fic ie n te s d e l a s e r ie d e F o u r ie r c o m p le ja c a y c _ n c o m o a„ -

ib„

(1 .8 3 )

L a e c u a c ió n ( 1 .8 2 ) s e e x p r e s a c o m o

*(<> =

Í n = -o o


0 85)

64

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n L o s c o e fic ie n te s d e F o u r ic r c„ s e d e te rm in a n a p lic a n d o l a s e c u a c io n e s ( 1 .7 1 ) a ( 1 .7 5 ) , c o m o T c» =

" = 1 /

* ( / ) [ c o s n o n - i s e n n u ¡t)d t

o T

= 1 1 x(t)t*~dt

(

1 .8 6 )

1.11.3

l a s f u n c io n e s a r m ó n ic a s a„ e o s m u / o b n s e n m u / e n l a e c u a c ió n ( 1 .7 0 ) s e lla m a n a r m ó n ic o s de c rd e n n d e la f u n c ió n p e r ió d ic a x ( t \ E l a r m ó n ic o d e o r d e n n tie n e u n p e r io d o r / n . E sto s a n n ó n ic o s

E s p e c tro d e f re c u e n c ia

* tra z a n c o m o lín e a s v e rtic a le s e n u n d ia g r a m a d e a m p litu d (a„ y b „ o d n y
d„

O. 2a. 3 « 4 u3 So. 7o»

9a. F recuencia (no.)

2|o» 3o.4o.5jo.6o.7o. 8*u 9o. F re cu en cia
Figura 1.56 E spectro de frecuencia d e u n a función d e tie m p o perió d ica típica.

«<»> A

(b) a . (coeficiente» de lo» términos coseno en la ecuación (1.70))

«i *(')

I ’

1-

i**

«*•«

b„ (coeficientes d e los terminas seno en U caución (1.70)) t I 6»

(c)

1

A

u

\b>

\ b-

wl ' (d )

F ig u ra 1.57 R epresentación de u n a fu n c ió n e n los d o m in io s d e l tie m p o y la frecuencia.


1

.

1.11

1 .1 1 .4 R e p re s e n ta c io n e s e n el d o m in io del t ie m p o y la f re c u e n c ia

A n á lis is a r m ó n ic o

65

La expansión de la serie de Fouricr permite describir cualquier función periódica utilizando tanto una representación en el dominio del tiempo como una representación en el dominio de la frecuen cia. Por ejemplo, una fundón armónica dada porx(/) = A sen o»/en el dominio del tiempo (vea la figura 1.57(a)) puede ser representada por la amplitud y la frecuencia „correspondientes a las frecuencias a>„ pueden utilizarse en lugar de las amplitudes a n y b a para la representadón en el dominio de la frecuenda. Utilizar una integral de Fourier (vea la sección 14.9, en inglés, en el sitio Web) permite representar incluso funciones no periódicas o en un dominio d d tiempo o un dominio de la frecuencia. La figura 1.57 muestra que la representación en d dominio de la frecuencia no proporciona las condiciones iniciales. Sin embargo, en muchas aplicaciones practicas a menudo se consideran innecesarias y sólo las condiciones de estado estable son de interés primordial.

Una función par satisface la relación

F u n c io n e s p a r e im p a r

x ( ~ t ) = x(/)

(1.87)

En este caso, la expansión de la serie de Fouricr de x (l) contiene sólo términos coseno: a 00 x ( t ) = -~ + ^ a „ c o s nuM 2

( 1 .8 8 )

«= i

donde las ecuadones (1 .7 1) y (1.72) dan a0 y a„, respectivamente. Una fundón impar satisface la relación x (-/ ) = - x ( l )

(1.89)

En este caso, la expansión de la serie de Fouricr de x (í) contiene sólo términos seno: 00

* (* ) ■

*= i

* n "a*

O *9 0 *

donde la ecuación (1.73) da b„. En algunos casos, una función dada puede considerarse como par o impar dependiendo de la ubicación de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, d desplazamiento del eje vertical de (a) a (b) o (c ) en la figura 1.58(i) producirá una función impar o par. Esto significa que sólo tenemos que calcular los coeficientes bn o an. Asimismo, un desplazamiento en el eje del tiempo de (d ) a (e ) equivale a agregar una constante igual a la cantidad de desplazamiento. En el caso de la figura 1.58(ii), cuando se considera que la función es función impar, la expansión de la serie de Fourier se vuelve (vea el problema 1.107): 4A “

- M

1

2 n (2 n

- T S p r n j - —

- 1)/

—

( , -9l)

En cambio, si la función se considera una función par, como se muestra en la figura 1.50(iii), su expansión de la serie de Fourier se vuelve (vea el problema 1.107):


C a p ítu lo 1


*(')

* i(0

A

(ii) Función impar *Á t)

i F igura 1.58 Funciones par e impar.

(iii) Función par

Cbmo las funciones x,(/) y at2<0 representan la misma onda, excepto por la ubicación del origen, existe también una relación entre su expansión de la serie de Fourier. Si observamos que

x\

(1.93)

* 2 (0

cfc la ecuación (1.91) encontramos que

(.

T

. r \

+ 4

AA *

J= v

4A

2 n (2 n -l)(

1

n? , s m

F 360 —

1

r

- v

A

+ 4

Í27r(2n-I)/

J

2 n (2 n -

1)

+

(1.94)

Utilizando la relación sen(A + R ) = sen A eos B + eos A sen R , la ecuación (1.94) se expresa como

2 ir { 2 n -

1 )/

I)

eos X |V

* )

í r „ ? , | ( 2 n - l ) SCn 2 ir(2 n -

l)r

2 ír(2 n -

+ eos----------------------- sen -


(1 9 5 )

1.11


67

Como eos [ 2 ^ 2 n - l>/4] - 0 para n - 1 .2 ,3 ..... y sen[27r(2/i - l)/4] - ( - 1y * ' para n - 1.2. 3.......la ecuación <1.95) se reduce a

( . A 4* » (-ir1 H

'+

=

2 ir ( 2 n -

—

;—

\), <>•*>

la cual puede identificarse como la ecuación (1.92).

E x p a n s io n e s

d e m e d io ra n g o

En algunas aplicaciones prácticas, la fundón 4 0 se define sólo en el intervalo de 0 a t como se muestra en la figura 1.59(a). En tal caso no hay condición alguna de periodicidad de la función, ya que la función no está definida fuera del interv alo 0 a t . Sin embargo, podemos ampliar arbitrariamente la función para incluir el intervalo - TaOcomose muestra en la figura l.59(b)oen la figura l.59(c). La extensión de la fundón indicada en la figura 1.59(b) produce una fundón impar *,(0. mientras que la extensión de la función que se muestra en la figura 1.59(c) produce una función par. *2(0. Por lo tanto, la expansión de la serie de Fourier de * ,(0 produce sólo términos seno y la de *2 (/) implica sólo términos coseno. Estas expansiones de la serie de Fourier de * j(0 y *2(0 se conocen como expansiones de medio rango [ 1,371. Cualquiera de estas expansiones de medio rango puede utilizarse para determinar *(/) en d interv alo de 0 a t.

i

(0

^ (a)

. .

Función original

i,( 0

. ' W

(b)

0

1

E xtensión como función impar

12(0

(c) Extensión como función par F ig u ra 1.59 E xtensión d e u n a fu n ció n p ara expan sio n es de m edio ra n g o .


68

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n f ó r a f o r m a s m u y s im p le s d e la f u n c ió n x ( t) . la s in te g ra le s d e la s e c u a c io n e s ( 1 .7 1 ) a ( 1 .7 3 ) s o n f i e i l e s d e e v a l u a r . S in e m b a rg o , l a in te g ra c ió n s e c o m p lic a s i x (r) n o t ie n e u n a fo r m a s im p le . E n

C á lc u lo n u m é r ic o d e c o e fic ie n te s

a lg u n a s a p lic a c io n e s p r á c tic a s , c o m o e n e l c a s o d e l a d e te r m in a c ió n e x p e r im e n ta l d e l a a m p litu d (fc v ib ra c ió n m e d ia n te u n tra n s d u c to r d e v ib ra c ió n , l a f u n c ió n x ( /) n o e s tá d is p o n ib le e n l a f o r m a d e u n a e x p r e s ió n m a te m á tic a ; ú n ic a m e n te lo s v a lo r e s d e x ( f ) e n v a r io s p u n to s f | , i2

r ^ e s t á n d is p o

n ib le s . c o m o s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 1.60. E n e s t o s c a s o s , lo s c o e f ic ie n te s a n y bn d e la s e c u a c ió n e s (1 .7 1 ) a ( 1 .7 3 ) s e p u e d e n e v a lu a r p o r m e d io d e u n p ro c e d im ie n to d e in te g r a c ió n n u m é ric a c o m o la re g la tra p e z o id a l o d e S im p s o n [ 1.381. S u p o n g a m o s q u e r¡, l2 f ^ s o n u n n ú m e r o p a r d e p u n to s e q u id is ta n te s a l o la r g o d e l p e rio d o t 1 N = p a r ) c o n los v a lo re s c o r re s p o n d ie n te s d e x ( f ) d a d a s p o r x , = x < f|) ,x 2 ■ x O }), . . . , x N = x ( iN), re s p e c tiv a m e n te ; e n to n c e s l a a p lic a c ió n d e l a re g la tra p e z o id a l d a p o r re s u lta d o lo s c o e f ic ie n te s a n y b„ ( a l e s ta b le c e r t = N A i) c o m o :6 N

(1 .9 7 )

ao= —

2 AN On = — 2 j * i «>s N i= I N

2n n t i T

(1 .9 8 )

2nirl¡ (1 .9 9 )

E je m p lo 1. 19

E x p a n s ió n d e la se rle d e F o u rie r C tte n n in e la e x p a n s ió n d e la s e r ie d e F o u r ie r d e l m o v im ie n to d e la v á lv u la e n e l s is te m a d e le v a y s e g u id o r , ir o s tr a c k e n la f ig u ra l . 6 l .

'P a r a l a r e g l a d e S im p s o n , N t i e n e q u e s e r u n n ú m e r o p a r p e r o n o p a r a l a r e g la t r a p e z o i d a l . L a s e c u a c io n e s ( 1 .9 7 ) a ( 1 .9 9 ) s ip o n e n q u e la c o n d ic ió n d e p e r io d ic id a d , j „ = x H s e m a n tie n e c ie rta .


1.11 S olución:


69

S i > < /) i n d i c a e l m o v i m i e n t o v e r ti c a l d e l a v a r i l l a d e e m p u j e , e l m o v i m i e n t o d e la v á l v u l a . x ( / ) , s e

p u e d e d e te r m in a r c o n la r e la c ió n :

>(’ ) ta n 0 =

* ( ')

—

=

•\ °

h

/, * < 0 -

j j

(0

(E .D

d onde y (t )

y e l p e r io d o e s tá d a d o p o r r

=

—

=

Y~",

0 * 1

A -j

O

*

r

( E .2 )

s

t

(F ..3 )

. D e fin ie n d o

í( f ) s e p u ed e ex p resar co m o

x (i)

L a e c u a c ió n

(E .3 ) s e

m u e s tra e n

=

s

i

la fig u ra l.5 4 ( a ) . P a ra c a lc u la r lo s c o e fic ie n te s a „ y

b H, u t i l i z a m o s d e l a s

e c u a c io n e s <1 . 7 1 ) a l a < 1 .7 3 ):

f 2 w ,“

« "« I

tu

* )d‘ = ñ t

tu r 2* ^ On -

—

I

ir Jo

i

Ar d,

a>

—

I

ir J o

( r

\ 2 , /“

^

i

tu /*2w/“ v ( í ) e o s rU O l - d i =

a

=ñ r( l) o

A -

e o s nü Jl • d i

i

Figura 1.61 Sistem a de leva y seguidor.


70

C a p ítu lo 1


0,

n = 1 .2 . . . .

(E .5)

o, f 7' 1" , x ( l ) sen n o n - d i = — I A — sen ntot • J i vJo r

h, = — I W o

Atu f 2w,m A f sen n w t ujI e o s n w t | n
t

nn

,

n -

1 .2 , . . .

(E .6)

R>r consiguiente, la expansión d e la serie d e F ourier d e x (t) es , * A x (t) = — 2.

A A sen o»/ - — sen 2
...

— — |s e n ati + ^ s e n 2w t * ^ sen ! W + . . , } ]

(E .7)

L os prim eros tre s térm inos d e la serie se m uestran e n la figura l.5 4 (b ). S e v e q u e la aproxim ación adopta la form a d e d ien te d e sierra incluso c o n u n a pequeña cantidad de térm inos.

E je m p lo 1 .2 0

A n á lis is d e F o u rie r n u m é ric o l a s fluctuaciones d e la presión d e l a g u a e n una tubería, m edidas a intervalos d e 0 .0 1 seg u n d o s, se d a n e n la o b la 1.1. E stas fluctuaciones so n d e naturaleza repetitiva. R ealice un análisis arm ónico de las fluctuaciones de presión y determ ine los prim eros tres arm ónicos d e la expansión d e la serie d e Fourier. S olución: Com o la s fluctuaciones d e presión dadas se repiten cada 0.12 s. el periodo e s

t

= 0.12 s y

b frecuencia circu lar d e l p rim er arm ónico e s 2 tt radianes por 0 .1 2 s,u o > = 27t/ 0.12 = 5 2 .3 6 rad/s. C uando la cantidad d e valores observados en cada o n d a (AOcs 12, d e la ecuación (1.97) obtenem os

*0 = ^

¿ J)

Pi

=- 68166.7

(E .I)

Los c o eficien tes o , y bHse determ inan a partir d e la s ecuaciones (1.98) y ( 1 .99): 2 ¿L = 7¡ N

¡- i

2nirt, T

I *2, = I

O

In irti U .li

(E .2)

Los cálcu lo s im plicados e n las ecu acio n es ( E 2 ) y (E .3) se m uestran e n la tabla 1.2. C on estos cálculos se o b tiene la expansión de la serie d e F o u rie r d e las fluctuaciones d e presión p (t) (v ea la ecuación 1.70): p ( l ) = 34083.3 - 35996.0 eos 52.36/ + 8307.7 sen 52.36/ + 1416.7 eos 104.72/ + 3608.3 sen 104.72/ - 5833.3 eos 157.08/ - 2333.3sen 157.08/ + •••

N/m2


1.11


71

T a b l a 1.1 E stac ió n d e tie m p o , i

T ie m p o
0

P re sió n (kN /m *>,/>,

0

0

1

0.01

20

2

0.02

34

3

0.03

42

4

0.04

49

5

0.05

53

6

0.06

70

7

0.07

60

8

0.08

36

9

0.09

22

10

0.10

16

II

0.11

7

12

0.12

0

T a b la 1 2 n = 2

n = 1

n = 3

lis 1

(m ti

1

0.01

20000

17320

10000

10000

17320

0

20000

2

0.02

34000

17000

29444

-1 7 0 0 0

29444

-3 4 0 0 0

0

3

0.03

42000

0

4 2000

-4 2 0 0 0

0

0

-4 2 0 0 0

4

0.04

49000

-2 4 5 0 0

42434

-2 4 5 0 0

-4 2 4 3 4

49000

0

5

0.05

53000

-4 5 8 9 8

35500

26500

-4 5 8 9 8

0

53000

6

0.06

70000

-7 0 0 0 0

0

70000

0

-7 0 0 0 0

0

7

0.07

60000

-5 1 9 6 0

-3 0 0 0 0

30000

51960

0

-6 0 0 0 0

8

0.08

36000

-1 8 0 0 0

-3 1 1 7 6

-1 8 0 0 0

-3 1 1 7 6

36000

0

9

0.09

22000

0

-2 2 0 0 0

-2 2 0 0 0

0

0

22000

10

0 .1 0

16000

8000

-1 3 8 5 6

-8 0 0 0

-1 3 8 5 6

-1 6 0 0 0

0

11

0.11

7000

6062

-3 5 0 0

3500

-6 0 6 2

0

-7 0 0 0

12

0.12

0

0

0

0

0

0

0

409000

-1 6 1 9 7 6

49846

8500

21650

-3 5 0 0 0

14000

68166.7

-3 5 9 9 6 .0

8307.7

1416.7

3608.3

- 5 8 3 3 .3

- 2 3 3 3 .3

2 tt¡¡ Pi

" “ * 0 .1 2

llT ti 0.12

4 n t¡ PlCO%M

SI

i

6 n t¡ **“

<Ü2

12

S o

¡” 1 1

n


72

C a p ítu lo 1

1.12

E je m p lo 1. 12


E je m p lo s re s u e lt o s u tiliz a n d o M A T L A B

R e p re se n ta ció n g rá fic a d e la se rie d e F o u rle r u tiliz a n d o M A T L A B Trace la función periódica

x (l) = A - ,

0

£ /£

T

(E .1 )

y su representación d e la serie de F o u rie r c o i c u a tro térm inos

x (l) = ~

pora 0 ^

“

^scnwr

^ r c o n A = 1, o> = w , y r = —

+ ^ * n 2tü/ + ^ sen 3n*r

)}

= 2

U n té rm in o

D o s té rm in o s

t

r

r

T te s té rm in o s

C uatro térm inos

F iu a cio n c s ( E l ) y ( E 2 ) con diferentes núm eros d e térm inos.


(E .2 )

1 .1 2

E je m p lo s r e s u e l t o s u t il i z a n d o M A T L A B

73

S olución: Se escribe un program a M A TL A B para trazar la s ecu acio n es ( E 1) y ( E 2 ) c o n diferentes can tid a des d e térm inos, c o m o s e m uestra a continuación.

Sm xl 2 1 . n Vda

tr a io (d a )

A

1,

.

la

fu n ció n

x(t>

a

A

•

t

/

tau

aln(w *t(i))

/

p i ;

/

pi

-

A

•

ain (2 *W t ( i ) )

/

(2*pi>;

/

pi

-

A •

ain(2*w *t(i))

/

(2*pi)

* - p ij tau fo r

-

i

2 -

¡ l i

t(i) x(l)

101 -

tau

•

-

A •

t(i)

(1 - 1 ) /1001

/

tau,

and aubplot(231) ;

p lo t( t.x ) ; y l a b a l ( * x ( t ) •) i x l a b a l ( 't ') ; t l t l a ( ax ( t ) ■

for

i

a

A * t / t a u 1) ¡

10 1

l i

x l (1)

.

A /

2,

and aubplot(232) ;

p lo t(t,x l); x la b a l( 't ') r t l t l a fo r

1

( ‘ Un a

tó rm in o *)i

li

x2(i)

101

.

A/2

-

A •

and aubplot(233) ;

p l o t (t , x 2 ) , xlabal C f ) ;

t l t l a fo r

I ’ Do í

t ó r a l n o a ')*

i - li 101 x 3 (1 ) - A/2

-

A

•

a l n ( v * t ( l) )

and aubplot(234)i

p lo t(t.x l) , y l a b a l J * x ( t ) ■); x l a b a l (■t * ) j

t l t l a fo r

('T ra a

1 - l i t ( l ) a

x«(l) -

A

té r a ln o a ') ;

101 tau

a

•

A/2

•

( 1 - 1 1 /1 0 0 ;

-

A •

aln(w *t«l)»

a in (3 « W t(i)J

/

13*pi)i

and a u b p lo t (23 S ) ;

p lo t(t,x 4 ) , xlabal C f ) ; t i t l a

E je m p lo 1.12

('C u a tr o

t ó r a ln o a ') ;

R e p re s e n ta c ió n g rá fica d e p u ls a c io n e s S e som ete u n a m asa a d o s m ovim ientos a rm ónicos d a d o s p o rX |(/) ■ X e o s un y x 2(t) *- X e o s (o» + 8)1 con X = I c m , w = 2 0 rad/s. y 5 = I rad/s. T race e l m ovim iento resultante d e la m asa con M A TL A B c identifique la frecuencia de pulsación. S o lu c ió n : El m ovim iento resultante d e la m asa. M i) está d a d o por

j ( f ) = x,(f) + x 2(l) = X eos ou + X cos(ü> + 8 )t = 2 X eos — c o s| (■»+• — )/

!)


(E l)

74

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n Se ve q u e e l m ovim iento presenta e l fenóm eno d e pulsación c o n u n a frecuencia wb = (ai + 8) — (at) = 5 = 1 rad/s. La ecuación ( E I ) se traza c o n M A TLAB com o se m uestra a continuación. % • ■ 1 2 2 .0 % T razar a l A - li « . JO; d a lta -

fo r

t(l) x (i)

p u l s a d ana»

1/

- li

1

fan&aano d o

• -

10 0 1

1S • (1 -1 1 /1 0 0 0 ; a • A • c o a ( d a l t a * e (1) / 2)

•

coa

( (w *

d a lta /2 )

• t( l) ) i

and plot

(t . x) ;

xlab al ylab al C ltla

( 't ') i ( 'x ( t ) ') l ( ‘F ondaoco

d a p u l a a c i o n a a ’ )»

Fenóm eno d e pulsaciones

—

f

E je m p lo 1 .2 3

A n á lis is d e F o u rie r n u m é ric o re a liz a d o u tiliz a n d o M A T L A B Realice un análisis arm ónico d e las fluctuaciones de presión d a d as e n la tabla l . I d e la p á g ira 7 1 y determ ine b s prim eros cinco arm ónicos d e la expansión de la serie d e Fourier. Solución: Para hallar los prim eros cinco arm ónicos d e las fluctuaciones de presión (es decir. Oo- o t......ay b ,....... t 5X se desarrolla un program a M A TL A B d e uso general para e l análisis arm ónico d e una función j ( / ) utilizando tas e cu a c io n e s(l.9 7 ) a (1.99). H program a, denom inado P rogram l.m , requiere los siguientes datos de entrada: n = can tid ad d e puntos equidistantes e n los cuales se conocen los valores d e x (i) m - cantidad

1 .1 3

L iteratu ra a c er ca d e la v ib r a ció n

75

tiem po ■ periodo d e tiem po de la función x (t) x = conjunto d e d im ensiones n .q u c contiene los v alo res con o cid o s d e x(f); x{¡) = M 0 i — conjunto d e d im ensiones n, que contiene los valores conocidos d e /; 1(0 - i, El program a g enera los siguientes resultados: a cero = o0 de la ecuación ( 1.97)

i.a(¡)M¡y.¡m 1.2

m

d o n d e d j ) y b(¡) indican los valores calcu lad o s d e o, y b, dados por la s ecuaciones (1.98) y (1.99). respecti*

vamcntc. »

progr«B l ■l ó n

da

la

« arla

da F o u rla r da

la

fu n ció n

x (t)

D atoai C a n tid a d

da p u n tea

C a n tid a d

da c o a fic la n taa da

Periodo

da

Estación

tiaopo

aa

-

un c ic lo

a

12

F o u rla r

re q u e rid o #

1 . 200000s -0 0 1

T isap o e n

la

aatación

1 :

t(i)

x (l)

a t

t «i»

1 2

1 .000000e-002 2 .0 00000a-002

2 . 0 0 0 0 0 0 a .004 3 . 4 0 0 0 0 0 a .004

3 4 5

3.000000e-002 4 .000000e-002 S .000000e -0 0 2

4 -2 0 0 0 0 0 a .004 4 . 9 0 0 0 0 0 a .004 5 .3 0 0 0 0 0 a .004

6 7 8

6 . 000000e-002 7 .0 00000e-00 2 8.0 00000e-00 2

7 . 0 0 0 0 0 0 a .004 6 . 0 0 0 0 0 0 a .004 3 . 6 0 0 0 0 0 a .004

9 10

9 . 000000e-002 1.000000e-001

2 . 2 0 0 0 0 0 a .004 1 .6 0 0 0 0 0 a .004

11

1 .1 0 0 0 0 0 e-0 0 1

12

1.200000e-001

7 .0 0 0 0 0 0 a .003 0 . 000000a . 000

R a a u lta d o a d a l a n í l l a l a

da

F o u rlar:

a c a r o x í . 8 1 6 6 6 7 a . 004 v a lo ra a

1. 13

d a l

b ( l)

a (i) - 2 . 6 9 9 6 3 0 a .001 1 .4 1 6 6 3 2 a .003

8 .3 0 7 S 8 2 a .0 0 3 3 . 6 0 8 4 9 la.O O 3

- 5 .8 3 3 2 4 8 a .0 0 3 - 5 .8 3 4 0 2 6 a * 002 -2 .1 7 0 2 8 4 a .0 0 3

- 2 .3 3 3 4 3 4 a .0 0 3 2 .1 6 5 0 6 la«003 - 6 .4 1 1 7 0 8 a .0 0 2

L ite ra tu ra a c e rc a d e la v ib ra c ió n l a lite ra tu r a s o b r e v ib r a c io n e s e s a b u n d a n te y d iv e r s a . S e c u e n ta c o n v a r io s lib ro s d e t e x t o J 1.391 y se p u b lic a n d o c e n a s d e p e rió d ic o s té c n ic o s c o n re g u la rid a d e n r e la c ió n c o n la s v ib ra c io n e s . E s to se d e b e p rin c ip a lm e n te a q u e l a v i b r a c ió n a f e c ta a m u c h a s d is c ip lin a s , d e s d e la c ie n c ia d e lo s m a te ria le s h a s ta e l a n á lis is d e m a q u in a ria y e s tr u c tu ra s e s p a c ia le s . L o s in v e s tig a d o r e s e n m u c h o s c a m p o s d e b e n e s ta r a te n to s a la in v e s tig a c ió n d e l a v ib r a c ió n . L o s d ia rio s d e m a y o r c irc u la c ió n q u e p u b lic a n a rtíc u lo s s o b r e v ib ra c io n e s s o n A S M E J o u r n a l o fV ib r a r io n a n d A c o u s tic s : A S M E J o u r n a l o f A p p li e d M e c h a n te s : J o u r n a l o f S o u n d a n d V ib r a lio n : A IA A J o u r n a l: A S C E J o u r n a l o f E n g in e e r in g M e c h a n ic s ; E a r th q u a k e E n g in e e r in g a n d S tr u c tu r a l D y n a m ic s ; B u lle lin o f th e J a p a n S o c ie t y o f M e c h a n ic a l E n g in e e r s ; In te r n a tio n a l J o u r n a l o f S o • lid s a n d S tr u c m r e s ; In te r n a tio n a l J o u r n a l f o r N u m é r ic a ! M e th o d s in E n g in e e r in g : J o u r n a l o f th e A c o u s tic a l S o c ie t y o f A m e r ic a ; S o u n d a n d V ib r a lio n ; V ib r a tio n s . M e c h a n ic a l S y s te m s a n d S ig n a l P r o c e s s in g ; In te r n a tio n a l J o u r n a l o f A n a ly t ic a l a n d E x p e r im e n ta l M o d a l A n a ly s is ; J S M E In te r n a t io n a l J o u r n a l S e r ie s II I— V ib r a lio n C o n tr o l E n g in e e r in g . y V e h ic le S y s te m D y n a m ic s . F ji la s re fe re n c ia s d e l c a p ítu lo s e c ita n m u c h o s d e e s t o s d ia r io s .


76

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n A d e m á s . S h o c k a n d V ib r a tio n D ig e s t, A p p li e d M e c h a n te s R e v ie w s y N o is e a n d V ib r a tio n W o r ld w id e so n d ia rio s re s u m id o s m e n s u a lin c n tc q u e c o n tie n e n c o m e n ta r io s b re v e s d e c a s i to d o a rtíc u lo p u b lic a d o s o b r e v ib r a c ió n . L a s fó rm u la s y s o lu c io n e s e n in g e n ie ría d e v ib ra c ió n s o n f á c ile s de e n c o n tr a r e n la s r e fe r e n c ia s [ 1.4 0 -1 .42J.

Resumen del capítulo R t este capítulo presentam os los conceptos fundam entales de vibración ju n to c o n una breve descripción de b historia e im portancia d e l estu d io de vibraciones. Presentam os los conceptos d e g ra d o d e libertad, sistem as discretos y continuos y las diferentes c lases de vibración. D escribim os los pasos básicos im plicados e n e l an á lisis d e vibración de un sistem a. Presentam os e l tipo fundam ental d e vibración, conocido c o m o m ovim iento arm ónico, ju n to c o n la term inología asociada. P resen tam o s e l a n álisis y la representación d e la serie d e F ourier de funciones periódicas a sí com o la determ inación num érica d e los coeficientes de F ourier c o n ejem plos. A estas alturas, e l lector d eb e s e r capaz d e alcanzar los objetivos establecidos a l principio d e l capítulo. Para ayudar al lector, se dan preguntas cfc repaso e n form a d e preguntas q u e requieren respuestas breves, en u n cia das falsos o verdaderos, llenar espacios e n blanco, op cio n es m últiples, y coincidencia d e enunciados para una aitocvaluación c o n la s respuestas disponibles e n e l sitio w eb a fín . Tam bién se proponen varios problem as que implican diferentes niveles d e dificultad a l ap licar los conceptos básicos presentados en el capítulo. L a s respues tas a problem as seleccionados aparecen al final d e l libro.

Referencias 1.1

D. C . M iller. A necd o ia l H istory o f the S cien ce o f S o u n d . M acinillan. N ueva York. 1935.

\2

N. F . R iegcr. 'T h e q u e st for V k /m : N otes on th e d evelopm cnt o f v ibration analysis. P arte 1. genius aw akcning". V ibralions. Vol. 3. N úm . 3/4, diciem bre d e 1987. págs. 3-10.

1J

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C a p ítu lo 1

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Preguntas de repaso 1.1

R esponda brevem ente lo siguiente: 1 . Proporcione d o s ejem plos cada uno d e los efectos malos y buenos d e la vibración. 2 . ¿C uáles so n las tres partes elem entales d e un sistem a vibratorio? 3 . Defina la can tid ad d e g r a to s d e libertad d e un sistem a vibratorio. 4 . ¿C uál e s la d iferencia entre u n sistem a d iscreto y uno continuo? ¿ E s posible reso lv er cualquier problem a d e vibración c o m o si fuera discreto? 5 . B r e l análisis d e vibración, ¿puede d esecharse siem pre el am ortiguam iento? 6 . ¿Puede identificarse un problem a d e vibración con sólo observar su ecu ació n diferencial? 7 . ¿C uál e s la diferencia entre vibración determ inística y aleatoria? P roporcione d o s ejem plos d e cada una. 8 . ¿Q ue m étodos hay disponibles para resolver las ecuaciones rectoras de un problem a d e vibración? 9 . ¿Cóm o co n ecta varios resortes para increm entar la rigidez total?

1.2

10. 11. 12. 13. 14. 15.

Defina la constante d e rigidez y am ortiguam iento d e un resorte. ¿C uáles so n los tipos co m u n es d e am ortiguam iento? M encione tres form as diferentes d e ex p resar una función periódica e n fu n ció n d e su s arm ónicos. Defina e sto s térm inos: ciclo, am plitud, ángulo d e fase, frecuencia lineal, periodo y frecuencia natural. ¿C óm o s e relacionan r . o t y f entre sí? ¿Cóm o podem os o btener frecuencia, fase y am plitud d e un m ovim iento arm ónico a partir d e l v e c

16. 17. 18. 19. 2 0.

to r rotatorio correspondiente? ¿C óm o sum a d o s m ovim ientos a rm ónicos si tiene frecuencias diferentes? ¿Q ué so n la s pulsaciones? D efina los térm inos decib el y octava. B ip liq u e e l fenóm eno de Gibbs. ¿Q ué so n la s expansiones de m edio rango?

indique si cada uno de los siguientes e nunciados es v erdadero o falso: 1 . S i se pierde en erg ía e n cu alq u ier form a d urante la vibración, s e considera q u e el sistem a es a m o r tiguado. 2 . El principio d e superposición e s válido p ara sistem as lineales y no lineales. 3 . l a frecuencia c o n la cual vibra un sistem a inicialm cntc perturbado p o r s í m ism o s e conoce com o frecuencia natural. 4 . C ualquier función periódica puede expandirse a u n a serie de Fourier. 5 . Un m ovim iento arm ónico es un m ovim iento periódico. 6 . La m asa equivalente d e varias m asas e n diferentes lugares se encuentra utilizando la equivalencia de energía cinética. 7 . L as coordenadas generalizadas no necesariam ente so n coordenadas cartesianas.


Preguntas de repaso 8.

79

Los sistem as discreto s so n los m ism os q u e los sistem as d e parám etro concentrado.

C bnsidcrc la sum a d e m ovim ientos arm ónicos. x ( l) = x ,(r) + x ¿ l ) = A eos(an + o ) con x ,(f) = 15 eos roí y xÔ ) - 2 0 cos(an + 1). La am plitud A la da 30.8088. 10. C onsidere la sum a d e m ovim ientos a rm ó n ico sx (l) = x ,(/) + x2(r) = A cos(a>r + o ) c o n x ,(/) = 15 eos un y x2(/) = 2 0 eos (an + I ). El ángulo d e fase o e s de 1.57 rad. 9.

13

Llene e l espacio e n blanco con la palabra co necta: 1. Los sistem as experim entan peligrosam ente grandes oscilaciones e n _________ . 2. l o vibración no am ortiguada se caracterizada p o r no tener pérdida d e ____________ . 3. Un sistem a vibratorio se com pone d e un resorte, am ortiguador y . 4.

Si un m ovim iento se repite después d e intervalos d e tiem po iguales, se llam a m ovim iento

5. Q ia n d o la aceleración es proporcional al desplazam iento y dirigida b a cía la posición m edia, el m ovim iento s e llama a rm ó n ic o _________ . 6 . El tiem po requerido para co m pletar un ciclo d e m ovim iento se llam a_________ d e vibración. 7. La cantidad d e ciclos por u n id ad d e tiem po s e llam a d e vibración. 8. Se d ice que d o s m ovim ientos a rm ónicos que tienen la m ism a frecuencia s o n ________ . 9. La diferencia angular entre la ocurrencia de puntos sem ejantes d e d o s m ovim ientos a rm ónicos se lla m a ________. 10. Se puede considerar q u e los sistem as continuos o distribuidos tie n e n ________ grados d e libertad. 11. Los sistem as c o n u n a can tid ad finita de grados d e libertad se conocen c o m o s is te m a s _________ . 12. La cantidad de grados d e libertad d e un sistem a indica e l m ínim o d e ___________ independientes recesarías para describir las posiciones d e todas las partes d e l sistem a en cu alq u ier instante. 13. Si un sistem a v ib ra debido sólo a u n a perturbación inicial, s e llam a v ib ra c ió n ________. 14. Si un sistem a vibra debido a una excitación ex tem a se llam a v ib rac ió n ________. 15. l a re so n an cia indica la coincidencia d e la frecuencia d e la excitación ex tem a con una frecuencia _________ d e l sistem a. 16. Una fu n c ió n /(í) se denom ina función im par s i ___________________. 17. l a s e x p a n s io n a d e ________ intervalo se pueden u sa r p ara representar funciones d efinidas sólo en d intervalo 0 a t . 18. El a n á lisis_________ se ocupa d e la representación d e serie d e F o u rie r d e funciones periódicas. 19. l a velocidad d e rotación d e 1 000 rpm (revoluciones por m in u to )c o rrc sp o n d c a ________ radianes/s. 20. O ra n d o la velocidad d e una turbina es d e 6 0 0 0 rpm . s e re q u ie re n ________se g u n d o s p ara q u e la turbina co m plete u n a revolución. 1.4

Seleccione la respuesta m ás apropiada d e entre la s op cio n es m últiples dadas a continuación: 1. El prim er sism ógrafo d e l m undo s e inventó en (a ) Japón (b ) C hina (c ) Egipto 2. Los prim eros experim entos c o n p é n d u lo s sim ples fueron realizados por (a )G alile o (b ) P itág o ras (c ) A ristóteles 3. l a o b ra P hilosophiae N atu ralis P rincipia M athem arica fue publicada por (a )G alile o (b )P itá g o ra s (c )N ew to n 4 . Las form as de m o d j d e placas, colocando arena sobre placas vibratorias, fueron observados po r prim era v e z por (a ) G ilad n i (b ) D 'A lem bcrt (c )G alile o 5. l a teoría d e vigas gruesas fue presentada por prim era v e z por (a ) Mindlin (b ) Einstein (c ) Tim oshenko 6 . l a cantidad d e grados d e libertad de un pén d u lo sim ple es: (a ) 0 (b ) I (c )2 7 . La vibración p u ed e clasificarse de (a ) u ta aranera ( b ) d o s m aneras (c ) varias m aneras 8. n fenóm eno d e G ibbs indica un com portam iento anóm alo en la representación de la serie d e fo u rier efe una (a ) función arm ónica ( b ) función periódica ( c ) función aleatoria


80

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n 9 . L a representación gráfica d e la s am plitudes y án g u lo s de fase d e varios com ponentes d e frecuencia de u n a función periódica se conoce como (a ) diagram a espectral (b) diagram a d e frecuencia (c ) diagram a arm ónico 10. O rando un sistem a vibra en un m edio fluido, e l am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C o u lo m b (c) sólido 11. O rando partes d e un sistem a vibratorio se deslizan sobre una superficie seca, el am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C oulom b (c) sólido 12. O ta n d o la cu rv a d e esfuerzo-deform ación d e l m aterial d e un sistem a vibratorio presenta un bucle de histércsis. el am ortiguam iento es (a ) viscoso (b ) C oulom b (c) sólido 1 3. La constante equivalente d e d o s resortes en paralelo c o n rigideces A, y Aj es (a ) A, + k2

l 1 *1

(c)r +r

I +

*1

*2

*2

14. La constante d e resorte equivalente de d o s resortes e n serie c o n rigideces Ai y A2 es ( a ) A, + k2

(b>

l

(C> fA, + fk 2

1 1 — + — A,

Aj

15. La constante d e resorte d e u n a viga en voladizo c o n una m asa m en e l extrem o es

(,) T

w r

16. S i/ ( - / ) = /( r X se d ice q u e la fu n ció n es (b ) im par ( a l par L 5.

(O

3E l

3E l

(c) continua

C orrelacione lo siguiente: 1. Pitágoras (582-507 a .C )

a . publicó un libro so b re la teoría del sonido

2 . E uclides <300 a .C )

b . prim era persona q u e investigó los so n id o s m u si cales c o n base científica

1.6

1.7

3 . Z hang H cng (132)

c . escribió un tratado llam ado Introduction to H ar m o n ía

4 . G alilco (1564-1642)

d . fundador d e la ciencia experim ental m oderna

5 . R a y lc ig h (l8 7 7 )

e.

inventó e l prim er sism ógrafo del m undo

1. B desequilibrio e n m otores diesel

a.

puede provocar la falla ( t tu rb in as y m otores de avión

2 . La vibración e n m áquinas herram ienta

b. provoca incom odidad e n la actividad hum ana du rante e l corte d e metal

3 . l a vibración d e hojas y discos

c.

4 . La vibración inducida p o r e l viento

d . puede provocar la c aíd a d e puentes

5 . La transm isión de la vibración

e.

Correlacione lo siguiente:

puede h acer q u e las ruedas d e locom otoras s e le vanten de la vía

puede provocar traqueteo

Considere cuatro resortes c o n las constantes d e resorte: A, = 2 0 Ib/pulg, Aj = 5 0 Ib/pulg. A, = 100 Ib/pulg. k4 = 2 0 0 Ib/pulg


P r o b le m a s

81

Correlacione las constantes d e resorte equivalentes: 1. 4 i, 42. * j y *4 e stán e n paralelo 2.

u.

18.9189 Ib/pulg

b.

370.0 Ib/pulg

3.

y A jestán en paralelo (4 ^ = 4)2)

c.

11.7647 Ib/pulg

4.

4* y *4 e stán e n paralelo <*^ = 4 34)

d.

300.0 Ib/pulg

5. * i , *2 y *} e stán e n paralelo (4 ^ - 4 |2J)

e.

7 ).0 Ib/pulg

<>. 4123 está e n serie con k4

f.

170.0 Ib/pulg

7.

*2, *3 y *4 están e n paralelo ( 4 , , = *234)

8-

350.0 Ib/pulg

8.

4, y kV 4 e stán e n serie

h. 91.8919 Ib/pulg

4 ,. 42. *j y *4 e stán e n serie

problemas secció n 1.4 c o n c e p to s b ásico s d e la vibración, y S e c c i ó n 1 .6 P r o c e d i m i e n t o d e a n á l i s i s d e la v i b r a c i ó n 1. 1*

R estudio de la respuesta d e un cuerpo hum ano su jeto a vibración y /o choque es im portante e n m uchas aplicaciones. Estando d e p ie. las m asas d e la cabeza, e l torso, las caderas, las piernas, la elasticidad y/o am ortiguam iento d e l cuello, la c o lu m n a vertebral, e l a b d o m e n y las piernas, influyen en las característi cas d e la respuesta. D esarrolle una secuencia de tres aproxim aciones m ejoradas pora m odelar e l cuerpo lum ano.

L2*

l a figura 1.62 m uestra un cu erp o hum ano y un sistem a d e restricción (seguridad) e n e l m om ento en q je un autom óvil choca 11.47). Sugiera un m odelo m atem ático sim ple considerando la elasticidad, m asa y am ortiguam iento d e l asiento, el cu erp o hum ano, y la s restricciones, para an alizar la vibración del sistema.

•H asterisco índica un problema de diserto o un problema sin respuesta única.


82

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n U*

U n m o to r reciprocante está m ontado sobre u n a cim entación c o m o se m uestra e n la figura 1.63. L as fuerzas y m om entos dcsbalanccados d e s a rro lla o s en e l m o to r se transm iten al m arco y la cim entación. P ara reducir la transm isión d e la vibración se coloca una alm ohadilla elástica entre e l m otor y e l bloque óe cim entación. D esarrolle d o s m odelos m atem áticos d e l sistem a siguiendo un refinam iento gradual del proceso d e m odelado.

Marco M o to r

reciprocante

Pem os A lm o h a d illa e lá stic a B lo q u e

de cim entación Figura 1 .6 3 t h m o to r recipro cante sobre c im entación.

L4*

U n autom óvil q u e viaja por un cam ino escabroso «figura 1.64) s e puede m odelar considerando (a) el peso d e su carrocería, los pasajeros, los asientos, las ruedas delanteras y las ruedas traseras; (b ) l a elasti cidad d e las llantas (suspensión), los resortes principales y los asientos, y (c ) e l am ortiguam iento d e los asientos, los am ortiguadores y las llantas. D esarrolle tres m odelos m atem áticos del sistem a m ediante un refinam iento gradual e n e l proceso d e m odelado.

777777y7?77^7777777Z777Z77^^ L 5*

F ig u ra 1.64 A utom óvil viajando p o r u n cam in o escabroso.

Las consecuencias d e l choque de frente d e das autom óviles se pueden estudiar considerando e l im pacto tfcl autom óvil contra la barrera, com o se m uestra e n la figura 1.65. C onstruya un m odelo m atem ático considerando la s m asas d e la carrocería d e l autom óvil, e l m otor, la transm isión y la suspensión, a sí como h elasticidad d e los am ortiguadores, el radiador, la carrocería d e m etal, e l tren motriz, y los soportes de tie n ta je d e l motor.

F igura 1 .6 5 A utom óvil en ch o q u e con u n a b a rre ra .


P r o b le m a s 1.6*

83

D esarrolle un m odelo m atem ático p ara e l tractor y e l a rad o d e la fig u ra 1.66 considerando la m asa, elasticidad y am ortiguam iento d e las llantas, los a m ortiguad)res y el a rad o (las hojas).

Sección 1.7 Elementos de resorte 1.7

Determ ine la constante d e resorte e q u iv alen te del sistem a d e la figura 1.67.

F ig u ra 1 .6 7 R esorte e n serie-paralelo.

1.8

Considere un sistem a d e d o s resortes c o n rigideces 4 , y 4 j. dispuestos e n paralelo c o m o se m uestra en la figura 1.68. La barra rígida a la cual están conectados los resortes perm anece horizontal cuando la fuerza F e s c ero . D eterm ine la constante de resorte equivalente d e l sistem a (4 ,) que relaciona la fuerza aplicada (F )c o n el desplazam iento resultante (x ) com o

F = k fX S u g e re n cia : Com o las c onstantes d e los d o s resortes so n diferentes y las distancias /, y / , no so n las mismas, la ba rra rígida no perm anecerá horizontal cuando se aplique la fuerza F.



F igura 1.68 R esortes e n paralelo so m etid o s a u n a 77777777777777777777777777777?.■777777

1.9

carga.

En la figura 1.69 encuentre la constante de resorte equivalente d e l sistem a e n la dirección de 6.

1.10

B K u en tre la constante d e reso rte torsional equivalente d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 1.70. Suponga q u e ** y *4 so n to rsio n ak s y q u e ks y i* so n c onstantes d e resorte lineales.

1.11

Una m áquina d e m asa m = 500 kg está m ontada e n una v ig a de acero sólo apoyada d e longitud / = 2 que tiene una sección transversal (de profu n d id ad = 0.1 y a n ch o = 1.2 m ) y m ódulo de Y oung £ = 2 .

S a

F igura 1.69

X 10' i N /m 2. Para reducir la deflexión vertical d e la v ig a, s e fija un resorte d e rigidez * a la m itad de d a ro . c o m o se m uestra e n la figura 1. 7 1. FVtcmiinc e l v a lo r d e k re ce sa d o para reducir la deflexión

8-S

C a p ítu lo 1

h viga en a . 25 p o r ciento d e su v a lo r original. b . 5 0 p o r ciento d e su v a lo r original. c . 75 p o r ciento d e su v a lo r original. Suponga que la m asa de la viga es insignificante.


P r o b le m a s

85

F ig u ra 1.70

1.12

Una barra de longitud L y un m ódulo d e Y oung E s e sam etcn a una fu e r/a axial. Com pare las constantes cfc resorte de las b a rra s con secciones transversales en la form a d e un circulo sólido (de diám etro d \ un cuadrada (d e lado d ) y un círculo hueco (d e diám etro m edio d y espesor d e pared i - O .ld). Determ ine cuál d e estas secciones conduce a un diseño económ ico para un valor especificado de rigidez axial de la ta n a .

1.13

Una viga e n voladizo d e longitud L y m ódulo de Y oung E s e som ete a una fuerza d e flexión e n su e x trem o libre. C om pare las c onstantes d e resorte d e vigas con secciones transversales e n la form a d e un circulo (d e diám etro d \ un cuadrado (de lado d ) y un círculo hueco (de diám etro m edio d y espesor de pared f a 0.1 d). D etennine cuál d e estas secciones transversales conduce a un diseño económ ico p ara u i v a lo r especificada d e rigidez d e la flexión d e la viga.

1.14

U n instrum ento electrónico, q u e pesa 200 Ib, está soportado p>or un apoyo d e m ontaje d e c au c h o c u y a relación fuerza-deflexión está d ad a p o r F \x) - 80Qr + 40x3. donde la fuerza ( F ) y la deflexión (x) están a i libras y pulgadas, respectivam ente. D eterm ine lo siguiente: a. l a constante de resorte lineal equivalente d e l apoyo d e m ontaje e n su posición d e equilibrio estático. b. La deflexión d e l apoyo de m ontaje correspondiente a la constante de resorte lineal equivalente.

1.15

La relación fu e ra -d e fie x ió n d e un resorte helicoidal d e acero utilizado a i un m o to r se encuentra experim entalm cntc c o m o F (x) = 20Qr + 50x? + 1Or*. d o n d e la fuerza (F ) y la deflexión (x) s e m iden e n libras y pulgadas, respectivam ente. S i el resorte experim enta u n a deflexión perm anente d e 0.5 pulg durante la operación del m otor, determ ine la constante de resorte lineal equivalente d e l resorte a su deflexión perm anente.


C a p ítu lo 1


C uatro barras rígidas idénticas, c a d a una d e longitud a .s e co n ectan a un reso rte d e rigidez * para form ar una estructura som etida a una carga vertical P, com o se m uestra en las figuras 1.7 2 (a ) y (b). D eterm ine b constante d e resorte equivalente d e l sistem a pora cada caso, pasando p o r alto las m asas de las h a n as y la fricción e n las uniones.

00

F ig u ra 1.72

1.17

R trípode m ostrado e n la figura 1.73 s e u tiliza para m ontar u n instrum ento electrónico q u e encuentra b distancia entre d o s puntos e n e l espacio. L as patas d e l trípode se u bican sim étricam ente c o n respecto al e je vertical m edio, y c a d a pata form a un án g u lo a c o n la vertical. S i cada p ata tiene d e longitud I y rigidez a x ia l A. en cu en tre la rigidez d e resorte equivalente d e l trípode en la dirección vertical.

F ig u ra 1.73

1.18

Fji la figura 1.74 se m uestra la posición d e equ ilib rio estático d e una barra rígida sin m asa, aco p lad a a una b isag ra e n e l punto O y co nectada con los resortes A, y A2. Suponiendo q u e e l desplazam iento (x) producido por la fuerza F ap licada e n e l punto A es pequeño, encuentre la constante d e resorte equiva lente d e l sistem a, A,, q u e relaciona la fuerza ap licada F con e l desplazam iento x com o F = A,x.


P r o b le m a s

87

Figura 1.74 B arra rígida c o n ec ta d a por re so rtes.

1.19

L a figura 1.75 m uestra un sistem a e n e l cual la m asa m está directam ente co nectada a los resortes con rigideces k¡ y k2 e n tanto q u e e l resorte c o n rigidez *3 o kt e n tra en contacto c o n la m asa b asad a e n el valor d e su desplazam iento. D eterm ine la variación d e la fuerza ejercida p o r el resorte sobre la m asa a medida q u e el desplazam iento (x )d e esta varía.

F igura 1.75 Masa co nectada p o r resortes.

1.20

La figura 1.76 m uestra una barra rígida uniform e d e m asa m pivotada en e l punto O y conectada por resor tes d e rigideces k, y k2. C onsiderando un pequeño desplazam iento angular fld e la barra rígida con respecto ú punto O. determ ine la constante de resorte equivalente asociada con e l m om ento d e restauración.

—

rw &

—

¡5

mg

H o

J l F ig u ra 1.76 B arra rígida conectada p o r resortes.

L 21

l a figura 1.77 m uestra un m anóm etro d e tubo e n form a d e U abierto por am bos extrem os q u e contiene una colum na d e m ercurio líquido d e longitud I y peso específico y . C onsiderando un pequeño d esp la zam iento x d e l m enisco d e l m anóm etro a p artir d e su posición d e equilibrio (o nivel d e referencia), determ ine la constante d e resorte equivalente asociada con la fuerza d e restauración.


88

C a p ítu lo 1


F ig u ra 1.77 M anóm etro d e tu b o e n U.

1.22

U n b arril d e petróleo d e diám etro d y m asa m flota e n u n baflo d e agua d e m ar d e den sid ad pw c o m o se n u e s tra e n la figura 1.78. C onsiderando un peq u d lo desplazam iento x d e l b arril a partir d e su posición de equilibrio, determ ine la constante de resorte e q u iv alen te asociada con la f u e r a d e restauración.

Posición _ — _ _ de equilibrio

- estático

I ,

F ig u ra 1.78 B arril de p e tró leo flotando e n a g u a d e m ar.

L23

Encuentre la constante d e resorte equivalente y la m asa equivalente d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 1.79 c o n referencias a 0 . S uponga q u e la s b a rra s A O B y CD so n rígidas c o n m asa insignificante.

1.24

Encuentre la longitud d e la flecha hueca uniform e equivalente d e diám etro interno d y e sp e so r / cuya constante de resorte axial e s igual a la d e la flecha c ó n ic a sólida q u e s e m uestra e n la figura 1.8 0 .

1-25

L a figura 1.81 m uestra una barra d e tres escalones em potrada p o r uno d e su s extrem os y som etida a u n a fuerza axial F ap licada en e l otro extrem o. 1.a longitud d e l escalón i e s /, y su área d e sección trans versal e s A i. i = 1 .2 . 3. T o d o s los escalones so n d e l m ism o m aterial c o n m ódulo

P ro b lem a s

F ig u ra 1.80

F ig u ra 1.81 B arra escalo n ad a so m e tid a a u n a fuerza axial.

1.2 6

Determ ine la constante d e resorte equivalente d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 1.82.

r - / 03H 5v - i -

w

-

— k

k

Figura 1.82 Resortes conectados en serie-paralelo.


90

C a p ítu lo 1


La figura 1.83 m uestra u n a flecha d e tres escalones em potrada por u n extrem o y som etida a un m om ento de torsión T en e l o tro extrem o. L a longitud d e l escalón e s /, y su diám etro e s Dt, i = 1, 2 . 3. T odos los escalones so n d e l m ism o m aterial con m ódulo de cortante G¡ “ G , i = 1 .2 .3 . a . Encuentre la constante d e resorte torsional (o rigidez) d e l escalón i (i “ 1. 2. 3). b. E ncuentre la constante d e reso rte torsional equivalente (o rigidez) d e la flecha escalonada, k,^, de modo q u e T = k , 0. c . Indique si los escalones se com portan c o m o resortes torsionales e n serie o e n paralelo.

1 D 2— -

— D ,-

J ___

F ig u ra 1.83 Flecha escalo n ad a so m e tid a a un m o m e n to d e torsión.

1.28

F = 500,t + 2r-' d escribe la característica d e fuerza-deflexión de u n resorte, donde b fuerza (F ) está en N cw tons y la deflexión (x) está e n m ilím etros. Encuentre (a) la constante d e resorte lin c a li/ad a en x = 10 m m y (b ) la s fu erzas ejercidas por e l resorte e n x = 9 m m y x = 11 m m utilizando la constante de resorte linealizada. Encuentre tam bién e l e rro r e n las fuerzas ejercidas p o r el resorte e n (b).

1-29

La figura 1.84 m uestra un resorte neum ático. Este tip o de resorte se su ele utilizar para o btener frccucnd a s naturales m uy ba ja s a l m ism o tiem po que m antiene una deflexión cero som etida a c arg as estáticas. E ncuentre la constante d e resorte d e este resorte neum ático, suponiendo q u e la presión p y e l volum en v cam bian adiabáticam ente cuando se desplaza la m asa m.

A ire Presión «■ p \b lu m e n = r F ig u ra 1.84

Á rea d e sección transversal = A

S u g e re n cia : />»•> = constante en un proceso adiabático, d o n d e y e s la relación d e calores específicos. Para aire, y = 1.4. 1.30

F ncuentre la constante d e resorte equivalente d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 1.85 en la d irecd ó n d e la carga/*.

1.31

Derive la expresión para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza ap licada F c o n el desplazam iento resultante x d e l sistem a q u e se m uestra e n la fig u ra 1.86. S uponga q u e el desplazam ien to d e l eslabón es pequeño.

13 2

La constante d e resorte d e un resorte helicoidal som etido a u n a carga axial está d ad a por k

Cid* 8N D y


P r o b le m a s

91

F igura 1.85

- / TO 35V- | k , = 2k

A

A, = 3A

F

x

F igura 1.86 B arra rígida c o n ec ta d a p o r resortes.

d o n d e G e s e l m ódulo d e co rtan te, d e s e l diám etro del alam bre. D e s e l diám etro d e la esp ira y .V e s la cantidad d e vueltas. E n cu en tre la constante d e resorte y el peso d e u n resorte helicoidal d e acero para tos siguientes datos: D - 0 .2 m , d = 0.005 m . N = 10. 133

D os resortes helicoidales, uno d e acero y e l o tro d e alum inio, tienen v alo res idénticos d e d y D. (a) Si la cantidad de v u e lta s en e l resorte de acero e s d e 10. d eterm ine la cantidad d e v ueltas requerida en d resorte d e alum inio c u y o peso será igual a l d e l resorte d e a c e ro , (b). E ncuentre las c onstantes d e los d o s resortes.

134

La figura 1.87 m uestra tres resortes, uno con rigidez A, = k y cada uno d e los otros itos c o n rigidez A¡ = k. El resorte c o n rigidez A( tiene una longitud / y cada uno d e los resortes c o n rigidez Aj tiene una longitud I - a . E ncuentre la característica d e deflexión d e l sistem a.

135* Diseñe un resorte neum ático c o n un recipiente cilindrico y u n pistón para lo g rar una constante d e resorte d : 75 Ib/pulg. Suponga q u e la presión d e l aire disponible es de 2 0 0 Ib/pulg?.


C a p ítu lo 1


X■

T

k, = k

kj~ k '

r7 7 7 ~ 7 7 7 ?

J r

XL

7 7 7 7 7 7 7 7 7 -7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 P 7 7 7 T 7 7 7 7 7

Figura 1 .8 7 C om p o rtam ien to n o lineal de re so rte s lineales.

1J 6* l a relación fuerza-deflexión ( x) d e un resorte no lineal está ctada por F = a x + ¿>x3 donde a y ¿>son constantes. E ncuentre la constante d e resorte lineal equivalente cu an d o l a deflexión sea dcO.Ol m con a = 2 0 0 0 0 N /m y b = 4 0 X 10* N/m* L 37

D os resortes no lineales, S , y S2 están conectados e n d o s form as diferentes com o se indica en la figura 1.88. l a fuerza, Fr e n e l resorte Sje s tá relacionada c o n su deflexión {x,)com o

F¡ = a¡Xi + b¡xf,

i - 1 .2

d o n d e a¡ y b¡ so n constantes. S i IF = k ^ , d o n d e x es la deflexión total d e l sistem a, d efine una constante de resorte lineal equivalente k ^ encuentre una expresión p ara i ^ e n cada caso.

W

(b)

F ig u ra 1.88

L38* Diseñe un resorte helicoidal de acero som etida a com presión pura satisfacer los siguientes requerimientos: Rigidez del resorte (A) 2 8000 N/m m F recuencia de vibración natural fundam ental f ) ^ 0.4 Hz. ín d ic e d e resorte

P r o b le m a s

93

d o n d e G - m ódulo d e cortante, d » diám etro d e l alam bre. D ■ diám etro de la esp ira, W - peso del resorte, y g = aceleración d ebida a la gravedad, 1-39

fiicucntre la constante d e resorte d e la barra bim etálica q u e se m uestra en la figura 1.89 en m ovim iento axial.

2 ero

Acero. E = 207 x 109 Pa

os Aluminio. £ - 83 X 109 Pa

0.5 m

F ig u ra 1.89

1.40

Considere u n resorte d e rigidez, k alargado una distancia »o a p artir d e su longitud libre. U n extrem o del resorte está fijo e n e l p u n to O y e l otro está conectado a un rodillo c o m o se m uestra e n la figura 1.90. F1 rodillo está restringido a m overse en la dirección horizontal sin fricción. E n cu en tre la relación fuerza (F>-desplazam iento (x) d e l resorte, cu an d o e l rodillo se m ueve una distancia horizontal x a la posición B. A nalice la relación fuerza-desplazam iento resultante e identifique la constante de rigidez * a lo largo d : la dirección d e x.

O

F igura 1.90 U n ex tre m o del reso rte c o n m o v im ien to lateral.

1.41

Un extrem o d e l resorte helicoidal está fijo y el otro está som etido a cinco fuerzas cfc ten sió n diferentes. Las longitudes d e l resorte m edidas con varios valores d e las fuerzas d e tensión se d a n a continuación.

Fuerza d e ten sió n F(W) lo n g itu d total del resorte (m m)

0

100

250

330

480

570

150

163

183

194

214

226

D eterm ine la relación fuerza-deflexión d e l resorte helicoidal. 1.42

Rn la figura 1.91 s e m uestra una flecha ahusada de hélice de acero sólido. D eterm ine la constante de resorte torsión al d e la flecha.


94

C a p ítu lo 1


F ig u ra 1.91

1.43

En la tigura 1.92 s e m uestra una (lecha d e hélice com puesta, h echa d e acero y alum inio. a . D eterm ine la constante d e resorte torsional de la flecha. b . D eterm ine la constante de resorte torsional de la flecha com puesta cuando el diám etro interno del tubo d e alum inio e s d e 5 c m e n lugar d e 10 cm .

Aluminio Sección A A

F ig u ra 1.92

1.44

Cbnsidcrc d o s resortes helicoidales c o n las siguientes características: R esorte I: m aterial, acero; can tid ad d e vueltas, 10; diám etro m edio, 12 p u lg ; diám etro del alam bre, 2 p u lg ; longitud libre. 15 p u lg ; m ódulo de cortante. 12 X 10* Ib/pulg7. R esorte 2: m aterial, alum inio; cantidad d e vueltas. 10; diám etro m edio d e la espira. 10 p u lg ; diám etro del alam bre, I pulg; longitud libre. 15 p u lg ; m ódulo d e cortante, 4 X 10* lb/pulg7. Determ ine la constante d e resorte equivalente cu an d o (a ) e l reso rte 2 se c o lo c a d en tro d e l resorte 1, y (b) si e l resorte 2 se c o lo c a sobre e l resorte 1.

1.45

Resuelva e l problem a 1.44 sup oniendo que los diám etros d e los resortes 1 y 2 so n d e 1.0 pulg y 0.5 pulg. en v e z de 2.0 pulg y 1.0 pulg. respectivam ente.

1.46

n brazo d e la excavadora q u e s e m uestra e n la figura 1.93 se p u ed e representar d e form a aproxim ada com o un tubo d e acero d e 10 pulg d e diám etro externo. 9 .5 pulg d e diám etro interno y 100 pulg d e lon gitud, con un coeficiente d e am ortiguam iento viscoso d e 0 .4 . □ brazo D E s e p u ed e representar d e form a aproxim ada com o un tu b o d e acero d e 7 pulg d e diám etro externo. 6.5 pulg d e diám etro interno, y 75 pulg d e longitud, c o n un coeficiente d e am ortiguam iento viscoso d e 0.3. Estim e la constante d e resorte equivalente y e l coeficiente d e am ortiguam iento equivalente d e la excavadora suponiendo q u e la base A C esté fija.


P r o b le m a s

95

F ig u ra 1.93 Excavadora.

1.47

Un intercam biador d e calor se com pone d e seis tubos d e acero inoxidable idénticos c o n ectad o s en paralelo c o m o s e m uestra en la figura 1.94. S i cada tubo tiene un diám etro externo de 0 .3 0 pulg, un diám etro interno de 0 .2 9 pulg y 50 pulg, determ ine la rigidez axial y la rigidez torsional c o n respecto al g e longitudinal d e l intercam biador d e calor.

F ig u ra 1.94 Intercam b iad o r d e calor.

Sección 1.8 Elementos de masa o Inercia 1.48

Dos engranes, colocados e n los extrem os d e los eslabones 1 y 2. s e engranan entre s í y g iran alrededor de O , y 0 2,c o m o se m uestra e n la figura 1.95. S i los eslabones 1 y 2 e stán conectados a los resortes. k , a *4 y *,i y k n c o m o se m uestra, encuentre la rigidez d e resorte torsional equivalente y el m om ento de inercia

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n eslabón 1 (in clu id ) e l engrane) con respecto a O , es 7 , y q u e e l d e l eslab ó n 2 (incluido e l engrane) con respecto a 0 2 es 7 j, y (b ) que los án g u lo s 0 , y d2 so n pequeños.

1.49

En la figura 1.96 encuentre la m asa equivalente del ensam ble de balancín con respecto a la coordenada x.

1.50

R icu en tre e l m om ento d e inercia d e m asa equivalente d e l tren de engranes q u e s e m uestra en la figura 1.97 c o n respecto a la flecha m otriz. En la figura 1.97. Jt y n, indican e l m om ento d e in ercia d e m asa y h can tid ad d e dientes, rcspcctiram cntc, d e l engrane i, i <= 1 ,2 .......2N.

1.51

D os m asas, con m om entos d e inercia d e m asa 7, y 72 s e co lo c an e n flechas rotatorias rígidas conectadas por m edio de engranes, c a n o se m uestra e n la figura 1.98. S i la can tid ad de d ientes en los engranes 1 y 2 son n , y n¡, respectivam ente, en cu en tre e l m om ento de inercia d e m asa equivalente correspon diente a 0 |.


P r o b le m a s

97

Flecha A/ F ngrane 2N 1 J 2 f/-V n 2N- 1

Flccha N + 1

Carga. JauM

Fngrane 2A' / **JN F ig u ra 1.97

F ig u ra 1.98 Masas ro tac io n a les e n flechas conec tadas por en g ran es.

132

E n la figura 1.99 s e m uestra u n m odelo sim plificado de una bom ba d e petróleo, d o n d e e l m ovim iento rotatorio d e l a m anivela se convierte en e l m ovim iento reciprocante del pistón. Determ ine la m asa e q u i valente d e l sistem a e n e l lu g ar A.

Viga oscilante (m om ento de inercia de m asa. Jb) Cabezal (m asa. rnA)

'/ '} '/ // / ''7 7 '/ // / /? / / // 7 7 7 7 , M anivela (m om ento d e inercia de m asa. Jc, y radio rc)


C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n 1-53

Encuentre la m asa equivalente d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 1.100.

F ig u ra 1.100

1.54

Ij> figura 1.101 m uestra un m ecanism o d e m anivela corrediza d e desvío c o n u n a longitud d e m anivela r. que co n ecta una biela d e longitud / y desvio 5. S i la m anivela tiene una m asa y m om ento d e inercia de m , y Jr, respectivam ente, en su centro d e m asa A , la b iela de conexión tiene una m asa y m om ento ( t inercia d e m ( y J( , respectivam ente, e n su c e n tro de m asa C . y e l pistón tiene una m asa mp, determ ine b inercia rotacional equivalente d e l sistem a con respecto a l centro de rotación cb la m anivela, punto O.

F ig u ra 1.101 M ecanism o de m anivela corrediza.

Sección 1.9 Elementos de amortiguamiento 1.55

fiic u cn tre una constante d e am ortiguam iento equivalente única para los siguientes casos: a . Cuando tres am ortiguadores están e n paralelo. b. Cuando tres am ortiguadores están e n serie.


P r o b le m a s

99

c. C uando lie s am ortiguadores están conectadas a una b aira rígida (fig u ra 1.102) y e l am ortiguador equivalente se encuentra e n e l sitio C \ . d . C uando se m ontan tre s am ortiguadores torskm ales e n (lechas engranadas (figura 1.103) y e l am orti g u a d a equivalente se en cu en tra e n ch. S u g e re n cia : La energía d isipada p o r un am ortiguador viscoso e n un ciclo d urante m ovim iento a rm ó nico está d ad a p o r i tcojX 1, donde c es la c o n stan te d e am ortiguam iento, o» e s la frecuencia, y X e s la am plitud d e la oscilación.

--------------------------- h — .• » 'i ----------- / , ----------- H

J 1

1

0

Pivote j i.c 2

vV ,

V7,

F ig u ra 1.102 A m ortiguadores c o n ectad o s a u n a b a rra rígida.

1.56

Cbnsidere un sistem a d e d o s am ortiguadores, c o n c onstantes d e am ortiguam iento C| y c > dispuestos en paralelo c o m o se m uestra e n la figura 1.104. l a barra rígida a la cual están c o n ectad o s los d o s am orti& iadores perm anece horizontal c u a n d ) la fuerza F e s c ero . D eterm ine la constante d e am ortiguam iento equivalente del sistem a ( c ,) q u c relaciona la fuerza ap licada ( F ) c o n la velo cid ad resultante (v) com o F = c,v. Sugerencia: Gam o las constantes cfc am ortiguam iento d e los d o s a irorti girad ores son diferentes y las d sta n cias /, y l2 no son iguales, la ba rra rígida no perm anecerá horizontal cuando se aplique la fuerza F.

1.57* Diseñe un am ortiguador viscoso d e tipo pistón-cilindro p ara o btener una constante de am ortiguam iento de I Ib-s/pulg. c o n un (luido con viscosidad d e 4 /xrcyn (1 reyn = 1 lb-s/pulg?). 1.58* Diseñe un am ortiguador (de pistón-cilindro tip o cilindro hidráulico) p ara o btener u n a constante de am ortiguam iento d e 105 Ib-s/pulg utilizando aceite S A E 3 0 a 7 0 F . H diám etro d e l pistón tiene q u e ser m enor q u e 2.5 pulg.


100

C a p ítu lo 1


'/ // / // / // / / // 7 / / / / // / // 'S / // / 7 // / ~ .

1.59

F ig u ra 1.104 A m ortiguadores en paralelo so m etid o s a u n a carga.

D e sa n o lle una e x p re sió n para la c o n stan te d e am o rtiguam iento d e l a m o rtig u ad o r rotacional que se m uestra e n la figura 1.105 e n fu n ció n d e D , d, /, h ,ta y p , d o n d e cu indica la velocidad a n g u la r cons tante d e l cilindro interno, y d y h representan la s holguras radial y axial entre los cilindros interno y externo.

F ig u ra 1.105

1.60

Considere d o s am ortiguadores no lineales c o n la m ism a relación fuerza-velocidad d ad a por F = 1000» + 400o2 + 2 0 » ' c o n F e n new tons y v e n m etros/segundo. Encuentre la constante d e am ortiguam iento linealizada d e los am ortiguadores a una velocidad de o p e rac ió n d e 10 in/s.

1.61

Si los am ortiguadores lincalizados d e l problem a 1.60 se conectan e n paralelo, determ ine la constante de am ortiguam iento equivalente resultante.

1.62

Si los am ortiguadores lincalizados d e l problem a 1.60 e stán conectados e n serie, determ ine la constante de am ortiguam iento equivalente resultante.

1.63

La relación fuerza-velocidad d e un am ortiguador no lineal está d ad a p o r F = 5 0 0 » + 100o2 + 5 0 » ',donde F c s tá e n new tons y v está en m etros/segundo. Encuentre la constante d e am ortiguam iento linealizada del am ortiguador a u n a velocidad d e operación de 5 m/s. S i se utiliza la constante d e am ortiguam iento linealizada resultante a u n a velocidad d e operación de 10 m/s, determ ine e l e rro r implicado.

1.64

La determ inación d e la fuerza de am ortiguam iento correspondiente a varios valores de la velocidad del am ortiguador arro jó los siguientes resultados:


P r o b le m a s

F u e rz a d e a m o rtig u a m ie n to (N e w to n s)

Velocidad d e l am ortig u ad o r (m etros/segundo)

0.025

101

150

250

350

500

600

0.045

0.075

0 .1 1 0

0.155

0.185

D eterm ine la constante d e am ortiguam iento del am ortiguador. 1.65

Una p lac a p lana de 0.25 m J de área s e m ueve sobre una superficie plana paralela c o n u n a película de lubricantc d e 1.5 m m de esp esor entre las dos superficies paralelas. S i la viscosidad d e l lubricante es
1.66

Encuentre la constante d e am ortiguam iento torsional d e una ch um acera con los siguientes datos: Visco sidad del lubricante (/*): 0 .3 5 P a-s: D iám etro d e la flecha (2 R): 0 .0 5 m : L ongitud d e l co jinete (/): 0.075 m: Holgura del cojinete (d): 0.005m . S i la flecha g ira a una velocidad d e 3 0 0 0 rpm , determ ine el por d e torsión d e am ortiguam iento desarrollado.

1.67

Si c a d a uno d e los parám etros { j i , R , l . d y N ) d e la ch um acera descrita en e l problem a 1.66 s e som ete a un ± 5% de variación c o n respecto al v a lo r correspondiente dado, d eterm ine la fluctuación de p o rcen taje e n los valores d e la constante d e am ortiguam iento torsional y e l por de torsión d e am ortiguam iento desarrollado. S o la : L as variaciones d e los parám etros pueden tener v arias causas, com o un e rro r d e m edición, tole rancias e n las dim ensiones d e fabricación, y fluctuaciones e n la tem peratura de operación d e l cojinete.

1.68

G m sid crc un pistón c o n un orificio e n un cilindro lleno de un fluido d e viscosidad ¿i c o m o s e m uestra en la figura 1.106. C uando e l pistón se m ueve en e l cilindro, e l fluido fluye a través d e l orificio y produm over el pistón con una velocidad v e indique e l tipo d e am ortiguam iento implicado. Su g e re n cia : l a velocidad d e flujo d e m asa d e l fluido (9 ) q u e pasa a través d e un orificio está d ad a por q = a V A p . d o n d e a e s una constante pora un área d e fluido d ad a de sección transversal del cilindro (o área d e l pistón) y área del orificio 11.52j. R stón con orificio

Fluido viscoso

Q lindro (fijo)

F ig u ra L 1 0 6 P istón y cilin d ro c o n flu jo a trav és de u n orificio.

1.69

l a relación fuerza (f> v e lo c id a d ( ¿ ) d e un am ortiguador no lineal está d ad a por F = a x + bx~ d o n d e a y b so n constantes. E ncuentre la constante d e resorte linealizada equivalente cu an d o la veloci dad relativa es de 5 m /s con a = 5 N -s/m y b = 0 .2 N -sJ/m 2.


102

C a p ítu lo 1

F u n d a m e n to s d e vib ra ció n L70

La constante d e am ortiguam iento ( c ) p roducida por la resistencia por fricción d e una placa rectangular que s e m ueve e n un fluido d e viscosidad m está d ad a por (v ea la flgura 1.107): c = 100i t l 2d D iseñe un am ortiguador tipo p lac a (m ostrado e n la figura 1.42) q u e p roduzca una constante d e am orti guam iento idéntica p o r el m ism o fluido.

F ig u ra 1.107

1.71

l a constante d e am ortiguam iento (c ) d e l am ortiguador hidráulico q u e se m uestra en la figura 1.108 está dada p o r 11.27):

Determ ine la constante d e am ortiguam iento d e l am ortiguador hidráulico p o r los siguientes datos: ¡ i “ 0.3445 P a-s, I = 10 c m . h - 0 . 1 c m . a ■ 2 cm , r ■ 0.5 cm.

J

-

1 + ---------- i--------------

-------- 1 ------- 0'

V 2z U -/-J

1.72

F ig u ra 1.108

D i el problem a 1.71. tom ando los datos d a d o s c o m o referencia, d eterm ine la variación d e la constante
a. r cam b ia d e 0.5 c m a 1.0 cm . b. h cam bia de 0 .0 5 c m a 0 .10 cm. c . a cam bia de 2 c m a 4 cm . 1.73

Una barra sin m asa d e 1 m d e longitud y pivoteada e n un extrem o s e som ete a u n a fuerza F aplicada en d otro extrem o. D os am ortiguadores traslacionales. c o n c onstantes d e am ortiguam iento c t = 10 N -s/m y c2 = 15 N -s/m están c o n ectad o s a la ba rra c o m o s e m uestra e n la figura 1.109. D eterm ine la constante de am ortiguam iento equivalente, d e l sistem a d e m odo que la fuerza F a p lic a d a en e l punto A pueda expresarse com o F = c ^ v ,d o n d e v e s la velocidad lineal d e l punto A .


P r o b le m a s

103

c , - IO N -s/m

F igura 1.109 B arra rígida c o n ec ta d a p o r am o rtig u ad o re s.

1.74

Encuentre u n a expresión para la constante d e am ortiguam iento traslacional equivalente del sistem a mostrado e n la figura 1.110 de m odo q u e la fuerza F pueda expresarse com o F = c ^ v , d o n d e v e s la velocidad de la ba rra rígida A.

F ig u ra 1 .1 1 0 A m ortiguadores c o n ectad o s e n serie-paralelo.

Sección 1.10 Movimiento armónico 1.75

B ip rese e l núm ero com plejo 5 + 21 en la form a exponencial Ae*.

1.76

Sume los d o s núm eros com plejos (1 + 2 í ) y <3 - 4i ) y exprese el resultado e n la form a A e*.

1.77

Reste e l núm ero com plejo ( I + 2/) d e ( 3 - 41) y ex p rese el resultado e n la form a Ae*.


104

C a p ítu lo 1


Encuentre e l producto d e los núm eros com plejos z( = (1 + 2 i) y z2 - (3 — 4r’) y ex p rese los resultados

en la form a A e*. 1.79

fiic u c n trc e l cociente, z ¡ / z j . d c los n ú m ero s com plejos z , = (I + 2 r)y z2 = (3 - 4 j) y ex p rese c lrc su lQdo e n la fo rm a A e 10.

1.80

La cim entación de un m o to r reciprocante se som ete a m ovim ientos a rm ónicos e n la s direcciones.c y y: x ( t ) = X e o s OJl y ( i ) = Y cos(ci»r + * ) d o n d e X y Kson la s am plitudes, üj es la velocidad a n g u la r y e s la diferencia d e fase, a.

V erifique si la resultante d e los d o s m ovim ientos satisface la ecu ació n d e la elipse d ad a p o r (v ea la figura I .I I I ) :

b . A nalice la naturaleza del m ovim iento dado por la ecu ació n (E .I) para lo s c a s o s especiales de

= o.

4> =

y* y

4» ** v .

Ñ o la : La fig u ra elíptica representada p o r la ecuación ( E .I ) s e conoce c o m o figura d e L issajous y es útil p ara interpretar ciertos tipos d e resu ltad o s experim entales (m ovim ientos) desp leg ad o s p o r osciloscopios.

F ig u ra 1.111 F igura de Lisajous.

1.81

L a cim entación d e un com presor neum ático s e som ete a m ovim ientos a rm ónicos (con la m ism a fre cuencia) e n d o s direcciones perpendiculares. El m ovim iento resultante, desplegado en un osciloscopio, aparece c o m o se m uestra en la figura 1. 112. Encuentre las am plitudes d e vibración e n las d o s direcciones y la d iferencia de fase entre ellas.

L82

Una m áquina se som ete a l m ovim iento x (i) = A cos<50r + a ) m m . L as c o n d icio n es iniciales e stán dadas porx< 0) — 3 m m y ¿ ( 0 ) - 1.0 m/s. a . E ncuentre la s c onstantes A y a . h. Exprese e l m ovim iento en la form a x(l) = A , e o s a>í + A 2 sen o»r,c identifique las constantes A, y A7.


P r o b le m a s

105

y (m m)

Figura 1.112

1.83

D cm ucstíc q u e cualquier com binación lineal d e sen wr y e o s o h de m odo q u e .*l|.i4’ - constantes) representa un m ovim iento arm ónico sim ple.

1.84

Encuentre la su m a d e los d o s m ovim ientos a rm ónicos *,
o h

+

a . R elaciones trigonom étricas. b . Sum a vectorial. c . R epresentación de núm eros com plejos. 1.85

Si uno d e los com ponentes del m ovim iento arm ónico x (l) - 10 sen (aH - 6
1.86

C bnsidere los d o s m ovim ientos a rm ónicos x ¡(í) = i e o s ¡ t y x2( 0 = s e n in m ovim iento periódico? De s e r así. ¿ cu á l e s su periodo?

1.87

Considere d o s m ovim ientos a rm ónicos d e diferentes frecuencias: Xi(l) - 2 e o s 2/ y x 2(l) - eos 3/. ¿E s la sum a x t(i) + x ¿ t ) un m ovim iento arm ó n ico ? De s e r así. ¿ cu á l e s su periodo?

1.88

Cbnsidere los d o s m ovim ientos a rm ónicos x ((/) - ¿ e o s j í y x 4 t ) = e o s = i , ( / ) - x 2(l) u n m ovim iento arm ó n ico ? D e s e r así,‘¿cuál es su periodo?

1.89

Encuentre las am plitudes m áxim a y m ínim a d e l m ovim iento com binado x (t) = *,
1.90

Una m áquina s e som ete a d o s m ovim ientos arm ónicos, y el m ovim iento resultante, tal c o m o se dcsplieg» e n un osciloscopio, se m uestra e n la figura 1.113. E ncuentre las am plitudes y frecuencias d e los dos movim ientos.

1.91

Un m ovim iento arm ónico tiene una am plitud d e 0.05 m y una frecuencia de 10 Hz. E ncuentre su p e riot b . velocidad m áxim a y aceleración m áxim a.


tti.

¿ E s la su m a * ((t) + x 2(l)

t t i.

¿ E s l a diferencia *(/)

106

C a p ítu lo 1


x(í). mm

/. ms

F ig u r a 1 .1 1 3

L 92

U n aceleró m e 1ro m ontado e n la estructura d e un edificio indica q u e ésta vibra arm ónicam ente a 15 cps con una aceleración m áxim a d e 0.5g. D eterm ine la am plitud y la velocidad m áxim a d e la estructura del edificio.

1.93

Se encontró que la am plitud m áxim a y la aceleración m áxim a d e la cim entación de una bo m b a c en trí fuga so n = 0 .2 5 m m y = 0.4g. Encuentre la velocidad d e operación de la bom ba.

1.94

Una función exponencial s e expresa c o m o x (i) = Ae al con los valores d e x (i) con o cid o s e n í = 1 y / “ 2 c o m o j ( 1) ■ 0.752985 y x (2 ) - 0.226795. D eterm ine los valores d e A y a .

1.95

G ranito e l desplazam iento * d c una m áquina está dado p o r x ( f ) = 18 eos 8 /,d o n d e x está e n m ilím etros y i en segundos, en cu en tre (a ) el periodo d e la m áquina e n segundos, y (b) la frecuencia d e oscilación de la m áquina e n rad/s a sí com o tam bién en Hz.

1.96

Si el m ovim iento d e una m áquina se d escribe com o 8 scn<5r + I ) = A sen 5 / + f le o s 51, determ ine los valores d e A y B.

1.97

Exprese la vibración d e u n a m áquina d ad a p o r x (l) - — 3 .0 sen 5 / — 2.0 eos 5r e n la form a x(r) - A cos(5r + 4>).

1.98

S i el desplazam iento de una m áquina está d a d o p o r x(r) = 0 .2 scn(5f + 3). d o n d e x está e n m etro s y i en segundos, encuentre la s variaciones d e la velocidad y aceleración d e la m áquina. E ncuentre tam bién las am plitudes d e l desplazam iento, velocidad y aceleración d e la m áquina.

1.99

Si e l desplazam iento ifc una m áquina s e describe c o m o x ( i) = 0.15 sen 4 ; + 2.0 e o s 4 r. donde x está a i pu lg ad as y i e n segundos, encuentre las expresiones para la velocidad y aceleración d e la m áquina. R icu cn tre tam bién las am plitudes del desplazam iento, velocidad y aceleración d e la m áquina.

L 100 El desplazam iento de una m áquina se expresa com o x { l) = 0.05 sen(6r + \ itondc x está e n m etros y i e n segundos. S i se sabe q u e e l desplazam iento d e la m áquina e n e l instante / = 0 se sabe q u e e s de 0.04 m . d eterm ine e l valor d e l án g u lo de fase «f>. L101 El desplazam iento d e una m áquina se ex p resa c o m o x (i) = A scn(6r + <¡t\ d o n d e x está en m etros y t e n segundos. S i se sa b e q u e e l desplazam iento y la velocidad d e la m áquina e n e l instante / - 0 son de 0 .0 5 m y 0.005 m/s. determ ine e l v a lo r d e A y .


P r o b le m a s

107

1.102 Una m áquina v ib ra c o n m ovim iento arm ónico sim ple a una frecuencia d e 2 0 H z y u n a aceleración de <15g. D eterm ine el desplazam iento y velocidad d e la m áquina. U se e l v a lo r d e g c o m o 9.81 m /s2. 1.103 Se sabe q u e e l desplazam iento y aceleración d e una tu ib in a desbalanceada so n d e 0 .5 m m y 0 .5 g . res pectivam ente. Encuentre la velocidad d e l rotor aplicando el v a lo r d e g com o 9.81 m/s*. 1.104 F2 v a lo r d e la raíz, cuadrada d e la m edia de los cuadrados (rm s) d e una función. x ( i\ se d efine c o m o la raíz cuadrada del prom edio d e l v a lo r al cuadrado d e z (r) durante un período r d e tiempo:

A plicando esta definición, d eterm ine e l v a lo r rm s d e la función

* ( / ) = X sen

= X sen —

úji

1.105 Aplicando la definición dada en e l problem a 1.104, determ ine el v a lo r rm s d e la función m ostrada e n la figura 1,54„) so n cero para funciones par. es decir, cu an d o x ( - i ) = M 0- Tam bién dem uestre q u e los com ponentes F o u rie r coseno (oo y cjn) so n cero para fu n cio n es impar, es decir, cu an d o * ( - / ) = - M 01.107 B icu en tre la s expansiones d e la serie d e Fourier d e las funciones m ostradas e n la figura 1.58(ii) e (iii). Encuentre, tam bién, su s expan sio n es d e serie de F ourier cu an d o e l eje d e tiem po se desplaza u n a d istan d a A. 1.108 l a fuerza d e im pacto c rea d a p o r un m artillo d e forja se m odela c o m o se m uestra en la figura 1.114. Determ ine la expansión d e la serie d e Fourier d e la fuerza d e im pacto.

x (0

*

T

*

2T

*

'

F igura U 1 4

1.109 fiicucntrc la expansión d e la serie de F ourier d e la función periódica d e la figura l . l 15. T am bién trace d espectro d e frecuencia correspondiente. 1.110 Encuentre la expansión d e la serie de F o u rie r d e la función periódica d e la figura 1.116. T am bién trace d espectro d e frecuencia correspondiente. 1.111 B icuentre la expansión d e la serie d e Fourier de la función periódica d e la figura 1.117. T am bién trace el espectro d e frecuencia correspondiente.


108

C a p ítu lo 1


Figura 1.115

F igura 1.116

F igura 1.117

L 1 12 l a serie d e R juricr d e una función periódica. x(fX e s u n a serie infinita d ad a por 00

(a « c o s non + bH sen mor)

* (/) = — + X a- 1

d in de

ü0=nf^d‘

(E .2)

a„ = ^ J x ( l ) eos nuH d i

o -ís

o _ír b„ = ^

J x (l)

non d i

(E .4)

0 utes la frecuencia circu lar y 2 t r /« c s el periodo. E n lugar
x (l)

« *(/) =

^ *

É (°*COSnu>l +

b „ s e n n u l)

(E .5)

d e m odo que e l error, e ( l \ s e convierte en « , ) = x ( ') - x ( t)


P r o b le m a s

109

D eterm ine los c o eficien tes 2o- 2 „ , y />„, los cuales m inim izan e l cuadrado d e l e rro r a k» largo de un periodo:

j

(E 7 )

- i

C om pare las exp resio n es d e 2 0. a„, y ciones.

con tas ecu acio n es < E 2) a ( E 4 ) c indique su o su s o b se rv a

1.113 Realice un análisis arm ónico, incluidos los prim eros tre s arm ónicos, d e la función d a d a a continuación.

002

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

9

13

17

29

43

59

63

57

49

'I

Q20

0.22

0.24

026

0.28

0.30

0.32

•»!

35

35

41

47

41

13

7

'l

1.114 Fn un ventilador centrífugo (figura 1. 118(a)). e l aire e n cualquier punto se som ete a un im pulso cada \e z q u e un a sp a pasa p o r e l punto, c o m o se m uestra en la figura 1. 118{b). La frecuencia d e estos im pulsos está determ inada por la velocidad d e rotación del propulsor n y la cantidad de aspas. N , en d propulsor. Para n = 100 rpm y N = 4 , determ ine los prim eros tres arm ónicos de la fluctuación d e la presión m ostrada e n la figura 1. 118(b).

Presión (IlVpulgr)

F ig u ra 1 .1 1 8

1.115 Resuelva e l problem a 1.114 c o n lo s v alo res d e n y N c o m o 2 0 0 rpm e n lu g ar d e 100 rpm y 4. respecti vamente. 1.116 La variación d e l par d e torsión (A /,)con e l tiem po, d e un m o to r d e com bustión interna, s e d a en la tabla 1.3. Realice un análisis arm ónico d e l por d e torsión. Determ ine la s am plitudes d e los prim eros tres arm ónicos.


110

C a p ítu lo 1


T a b la 1 3 t(s )

A fK N -m )

M

A ft(N -m )

m

M f(N -m )

0.00050

770

0.00450

1890

0.00850

1050

0.00100

810

0.00500

1750

0.00900

990

0.00150

850

0.00550

1630

0.00950

930

0.00200

910

0.00600

1510

0.01000

890

0.00250

1010

0.00650

1390

0.01050

850

0.00300

1170

0.00700

1290

0.01100

810

0.00350

1370

0.00750

1190

0.01150

770

0.00400

1610

0.00800

1110

0.01200

750

L 1 17 Realice un análisis arm ónico d e la función q u e s e m uestra e n la figura 1. 119 incluidas los prim eros tros armónicos.

S e c c i ó n 1 .1 2 E je m p lo s r e s u e l t o s u t i l i z a n d o M ATLAB L 118 Trace la exp an sió n d e la serie d e F o u ric r d e la fu n ció n x d ad a e n e l problem a l . l 13 utilizando M A TLAB. L119 U tilice M A TLAB para traz ar la variación d e la fuerza con e l tiem po aplicando la expansión d e la serie = 3 sen 3 0 / y x3(í) = 3 sen 29/. Trace d m ovim iento resultante d e la m asa utilizando M A T IA B c identifique la frecuencia y e l periodo de pulsaciones.


P ro y e cto s d e d ise ñ o

111

Proyectos de diseño 1.123* En la figura 1.120 se m uestra un m ecanism o de m anivela corrediza. D eduzca una expresión p ara el m o vimiento d e l pistón P e n función d e la longitud d e la m anivela r. la longitud d e la b iela / y la velocidad angular constante w d e la m anivela. a . A nalice la factibilidad de u tilizar e l m ecanism o pora g e n era r m ovim iento arm ónico. b. Encuentre e l v a lo r d e Ur para e l cual la am plitud de c a d a arm ónico de m ay o r orden es m ás pequeño que e l prim er arm ónico p o r un factor d e al m enos 25. 1.124* l a mesa vibratoria que se m uestra en la figura 1.121 s e utiliza p ara p ro b a r ciertos com ponentes electró nicos e n situaciones d e vibración. S e com pone
F ig u ra L 1 2 0

1.125*13 m ecanism o q u e se m uestra e n la figura 1.122 se utiliza para regular e l peso d e l m aterial alim entado tfcsde una tolva h asta u n a banda transportadora (1.44). La m anivela im parte un m ovim iento recipro cante a la biela por m edio d e la cuña. La am plitud d e l m ovim iento im partida a la biela s e puede variar ha jan d o o subiendo la c u ñ a. C om o la transportadora g ira alrededor d e l punto O, cu alq u ier sobrecarga en b transportadora h ace q u e la palanca O A s e incline hacia abajo y la cuña suba. E sto reduce la am plitud de la biela y por consiguiente la velocidad d e alim entación. D iseñe un sistem a regulador d e peso para m antener e l peso a 10 £ 0.1 Ib por m inuto.


112

C a p ítu lo 1


1.126* La figura 1.123 m uestra una com pactadora vibratoria. S e com pone d e u n a leva c o n tres lóbulos paraletos y un rodillo seguidor oscilante. Al g irar la leva, e l rodillo sube y baja. Asim ism o, el peso fijo e n el extrem o d e l seguidor sube y baja. 0 resorte m antiene e l contacto e n tre e l rodillo y la leva. D iseñe una com pactadora vibratoria que pueda ap licar una fuerza de 2 0 0 Ib a una frecuencia de 50 Hz.

1.127aLos cucharones alim entadores vibratorios tienen un am plio u so en procesos autom áticos con un alto volum en de p a ite s idénticas q u e se tienen q u e orientar y sum inistrar a una velocidad constante p ara un trabajado adicional [ 1.45. 1.46J. Básicam ente, un cucharón alim entador vibratorio está separado d e la base p o r un conjunto d e m iem bros elásticos inclinados (resortes), c o m o se m uestra e n la figura 1.124. Una bobina electrom agnética m ontada entre e l cucharón y la b a se proporciona la fuerza motriz, a l c u ch aró n . El m ovim iento vibratorio d e l cucharón h ace q u e los com ponentes se m uevan a lo larg o d e l c o n ducto d e sum inistro espiral localizado e n e l interior d e l cucharón c o n un m ovim iento & sacudida. L as herram ientas especiales se fijan e n posiciones adecuadas a lo largo d e l conducto espiral p ara rechazar h s piezas defectuosas o q u e e stán fuera de tolerancia, o aquellas q u e tienen una orientación incorrecta. ¿Qué factores d eb en considerarse a i e l diseño d e tales cucharones alim entadores vibratorios?


P ro y e cto s d e d iseñ o

113

1.128*El inlcrcam hiador tubular d e calor q u e s e m uestra e n la figura I.1 2 5 (a ) se puede m odelar c o m o se m uestra e n la figura 1.125(b ) para un análisis d e vibración sim plificado. E ncuentre e l área d e sección transversal de los tubos d e m odo q u e l a rigidez total d e l intercam biador d e c a lo r ex ce d a un v a lo r de 200 X 106 N /m e n la dirección axial y d e 20 X I06 N -in /ra d e n la dirección tangencial. S uponga que tos tubos tienen la m ism a longitud y sección transversal, y que e stán equidistantes.


CAPÍTULO 2 V ib ra c ió n lib re de sistem as de u n solo g ra d o d e lib e rta d

F iló so fo n a tu r a lis ta in g lé s , p r o f e s o r d e m a te m á tic a s e n l a U n iv e rs id a d d e C a m b r id g e y p r e s id e n te d e l a R o y a l S o c ie ty . S u o b r a P r in c ip io M a th e m a iic a ( P r in c ip io s d e m a te m á tic a s , 1 6 8 7 ), l a c u a l tra ta s o b r e l a s le y e s y c o n d ic io n e s d e l m o v im ie n to , se c o n s id e r a c o m o e l tr a b a jo c ie n tífic o m á s g r a n d e q u e a lg u n a v e z s e h a y a p ro d u c id o . L a s d e fin ic io n e s d e fu e rz a , m a s a y m o m e n to , a s í c o m o s u s tr e s le y e s d e l m o v im ie n to s u r g e n c o n tin u a m e n te e n l a d in á m ic a . D e m a n e ra m u y a p r o p ia d a , l a u n id a d d e f u e rz a lla m a d a “ n c w to n " e n u n id a d e s S I r e s u lta s e r e l p e s o a p ro x im a d o d e u n a m a n z a n a p r o m e d io , e l o b je to q u e a l c a e r le in d u jo a e s tu d ia r la s le y e s d e l a g ra v e d a d , ( I lu s tr a c ió n d e D a v id E u g e n e S m ith , H i s t o r y o f M a th e m a tic s , V o l. I , G e n e r a l S u r v e y o f th e H is to r y o f E le m e n ta r y M a th e m a tic s , D o v e r P u b lic a tio n s , I n c ., N u e v a Y o r k . 1 9 5 8 ). S r Isaac N'ewton (1642-1727)

E s q u e m a d e l c a p ítu lo O bjetiv o s d e aprendizaje 115

y re p resen tacio n es d d lugar g e o m é tric o d e tas raíces 164

Introducción 116

2.2

V ibración Itore d e un sistem a traslacional no am ortig u ad o 118

2.9

2.3

V ibración libre d e un sistem a torskonal no am ortig u ad o 135

Vfcración libre c o n am ortiguam iento de C o u lo m b 173

2.10

24

R espuesta d e sistem as d e p rim e r o rd e n y c o n sta n te d e tiem po 139

Vfcracíón libre c o n am ortiguam iento h isteré tic o 179

2.11

E stablidad d e sistem as 185

2.12

Ejem plos re su e lto s utilizando MATLAB f

25

M étodo d e la energía d e Rayleigh 141

2.6

V ibración libre con am ortiguam iento viscoso 146

2.7

114

2.8

21

R epresentación gráfica d e raíces características y soluciones c o rre sp o n d ie n te s 162

R esum en d d capítulo 195 Referencias 196 P re g u n tas d e re p aso 196 P ro b lem as 201 P ro y e c to s d e diserto 237


O b je tiv o s d e a p r e n d iz a je

115

E s te c a p ítu lo e m p ie z a c o n u n a c o n s id e ra c ió n d e l a v i b r a c ió n lib re d e u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d n o a m o rtig u a d o (r e s o r te y m a s a ) . V ib ra c ió n lib re s ig n if ic a q u e l a m a s a s e p o n e e n m o v im ie n to d e b id o a u n a p e rtu rb a c ió n in ic ia l s i n n in g u n a fu e rz a a p lic a d a e x te r n a m e n te q u e la fu e rz a d e l r e s o r t e , l a fu e rz a d e l a m o r tig u a d o r o l a f u e rz a d e l a g r a v e d a d . P a r a e s t u d ia r la re s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re d e l a m a s a te n e m o s q u e d e riv a r l a e c u a c ió n re g e n te , c o n o c id a c o m o e c u a c ió n d e m o v im ie n to . L a e c u a c ió n d e l m o v im ie n to d e l s is te m a tra s la c io n a l s e o b tie n e s ig u ie n d o c u a t r o m é to d o s . S e d e f in e l a fr e c u e n c ia n a tu ra l d e v ib r a c ió n d e l s is te m a , y s e p r e s e n ta l a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d e m o v im ie n to u tiliz a n d o l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s a p ro p ia d a s . S e m u e s tra la s o lu c ió n p a ra re p re s e n ta r e l m o v im ie n to a r m ó n ic o . S e p r e s e n ta la e c u a c ió n d e m o v im ie n to y la s o lu c ió n c o r r e s p o n d ie n te d e la v ib r a c ió n lib re d e u n s is te m a to rs io n a l n o a m o rtig u a d o . S e c o n s id e ra n l a re s p u e s ta d e s is te m a s d e p r im e r o rd e n y l a c o n s ta n te d e tie m p o . E l m é to d o d e R a y le ig h , b a s a d o e n e l p rin c ip io d e c o n s e rv a c ió n d e la e n e r g í a . S e p r e s e n ta c o n e je m p lo s ilu s tra tiv o s . L u e g o s e c o n s id e ra l a d e r iv a c ió n d e la e c u a c ió n p a r a la v ib ra c ió n lib re d e u n s is te m a d e un so lo g ra d o d e lib e r ta d v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o y su s o lu c ió n . S e p re s e n ta n lo s c o n c e p to s d e c o n s ta n te d e a m o r tig u a m ie n to c r ític o , r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to y fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n a m o r tig u a d a . S e e x p lic a n la s d ife re n c ia s e n tr e s is te m a s s u b a m o r tig u a d o s . c r ític a m e n te a m o r tig u a d o s y s o b r e a m o rtig u a d o s . S e e s tu d ia n l a e n e r g ía d is ip a d a e n e l a m o rtig u a m ie n to v is c o s o y l o s c o n c e p to s d e a m o rtig u a m ie n to e s p e c íf ic o y c o e fic ie n te d e p é rd id a . L o s s is te m a s to r s io n a le s v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o s ta m b ié n s e c o n s id e r a n a n á lo g o s c o n lo s s is te m a s tra s la c io n a le s v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o s c o n a p lic a c io n e s . S e c o n s id e r a n la re p re s e n ta c ió n g r á f ic a d e l a s r a íc e s c a ra c te rís tic a s y la s s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te s , a s í c o m o e l c o n c e p to d e v a r ia c io n e s d e p a r á m e tro y g r á fic a s d e l l u g a r g e o m é tric o d e l a s ra íc e s . S e p re s e n ta n la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to y s u s s o lu c io n e s d e s is te m a s d e u n s o l o g r a d o d e lib e r ta d c o n a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b e h is te r é tic o . T a m b ié n s e p r e s e n ta el c o n c e p to d e r ig id e z c o m p le ja . L a id e a d e e s ta b ilid a d y s u im p o r ta n c ia s e e x p lic a n j u n to c o n un e je m p lo . L a d e te r m in a c ió n d e l a s re s p u e s ta s d e s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d u tiliz a n d o M A T L A B s e ilu s tra c o n e je m p lo s .

O b je tiv o s d e a p re n d iza je A l te r m in a r e s te c a p ítu lo , u s te d d e b e r á s e r c a p a z d e r e a liz a r l o s ig u ie n te : •

O b te n e r l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e u n s is te m a d e u n s o l o g r a d o d e lib e r ta d p o r m e d io d e t é c n ic a s a d e c u a d a s c o m o l a s e g u n d a l e y d e l m o v im ie n to d e N e w io n , e l p rin c ip io d e D ’A le m b e rt, e l p rin c ip io d e d e s p la z a m ie n to s v irtu a le s y el p rin c ip io d e c o n s e rv a c ió n d e l a e n e rg ía .

• •

L in e a l i z a r l a e c u a c ió n n o lin e a l d e m o v im ie n to . R e s o lv e r u n s is te m a d e re s o r te - m a s a - a m o r tig u a d o r p a ra d if e r e n te s tip o s d e re s p u e s ta d e v i b r a c ió n lib re s e g ú n la c a n tid a d d e a m o rtig u a m ie n to .

•

C a lc u la r la fr e c u e n c ia n a tu r a l. l a fr e c u e n c ia a m o r tig u a d a , e l d e c r c m e n to lo g a r ítm ic o y l a c o n s ta n te d e tie m p o .

•

D e te rm in a r s i u n s is te m a e s o n o e s ta b le .

•

E n c o n tr a r l a s re s p u e s ta s d e s is te m a s c o n a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b e h is te ré tic o .

•

E n c o n tra r l a re s p u e s ta d e v ib ra c ió n u tiliz a n d o M A T L A B .


C a p ítu lo 2

2.1

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d

introducción S e d i c e q u e u n s is te m a e x p e r im e n ta v ib ra c ió n lib re c u a n d o o s c ila s ó lo d e b id o a u n a p e rtu rb a c ió n in ic ia l s in q u e m á s a d e la n te a c tú e n fu e rz a s e x te r n a s . A lg u n o s e je m p lo s s o n la s o s c ila c io n e s d e l p é n d u lo d e l re lo j d e l a b u e lo , e l m o v im ie n to o s c ila to r io v e rtic a l p e r c ib id o p o r u n c ic lis ta d e s p u é s (fc p a s a r p o r u n to p e y e l m o v im ie n to d e u n n iñ o e n u n c o lu m p io d e s p u é s d e u n e m p u jó n in ic ia l. La fig u ra 2.1 ( a ) m u e s tra u n s is te m a d e r e s o r te y m a s a q u e r e p re s e n ta e l s is te m a v ib r a to rio m á s s i m p le p o s ib le . S e lla m a s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d , y a q u e u n a c o o rd e n a d a ( x ) es s u fic ie n te p a ra e s p e c if ic a r l a p o s ic ió n d e l a m a s a e n c u a lq u ie r m ó n te n lo . N o e x is te n in g u n a f u e r / a e x te rn a a p lic a d a a la m a s a , d e a h í q u e e l m o v im ie n to re s u lta n te d e u n a p e rtu rb a c ió n in ic ia l s e r á u n a v ib ra c ió n libre.

+ X .X .X

| Longitud libre j +x m \v (a)

\

t j

w -----

U— lo n g itu d Alargada —►! (b)

F ig u ra 2.1 S istem a d e re so rte y m asa e n po sició n h o riz o n ta l.

F ig u ra 2 .2 S istem a efe re so rte y m asa o iu iv alen te d e l sisteitb d e leva y se g u id o r de la figura 1.32.


/ / / / / / }* //s & 7 7 7 ,

(c)

2.1

In tr o d u c c ió n

117

Como no hay elemento alguno que disipe energía durante el movimiento de la masa. la amplitud del movimiento permanece constante con el tiempo; es un sistema n o a m o rtig u a d o . En la práctica, excepto en el vacío, la amplitud de vibración libre se reduce gradualmente al paso del tiempo por la resistencia ofrecida por el medio circundante (digamos el aire). Se dice que tales vibraciones son a m o rtig u a d a s. El estudio de la v ibración libre de sistemas de un solo grado de libertad no amorti guados y amortiguados es fundamental para entender lemas de vibración más avanzados. Varios sistemas mecánicos y estructurales se pueden idealizar como sistemas de un solo grado de libertad. En muchos sistemas prácticos, la masa está distribuida, pero para un análisis simple se puede considerar como una sola masa puntual. Asimismo, la elasticidad del sistema, la cual puede estar distribuida por todo el sistema, también se puede idealizar como un solo resorte. Por ejemplo, para el sistema de seguidor y leva que se muestra en el ejemplo 1.39, una masa equivalente (meil) reemplazó a las varias masas en el ejemplo 1.7. Los elementos del sistema seguidor (varilla de empuje, balancín, válvula y resorte de válvula) son elásticos pero pueden reducirse a un resorte equivalente único de rigidez k ^ . Para un análisis simple, el sistema leva-seguidor puede idealizarse por lo tanto como un sistema de resorte-masa de un solo grado de libertad, como se muestra en la figura 2 .2 . Del mismo modo, la estructura que se muestra en la figura 2.3 puede considerarse como una viga en voladizo empotrada en el suelo. Para estudiar la vibración transversal, la masa de la parte superior se puede considerar como una masa puntual y la estructura de soporte (viga) se puede representar como un resorte para obtener el modelo de un solo grado de libertad que se ve en la figura 2.4. La estructura del edificio de la figura 2.5(a) también puede idealizarse como un sistema de resorte-masa, como se muestra en la figura 2.5(b). En este caso, como la constante de resorte k es simplemente la relación de fúeiza a deflexión, se puede determinar a partir de las propiedades geométricas y materiales de las columnas. L a masa del sistema idealizado es igual a la del piso si suponemos que la masa de las columnas es insignificante.


118

C a p ítu lo 2


|—

x (o — H

-1 0 —

w

m

-

(b) Sistema de resorte-masa equivalente

(a ) Id e a liz a c ió n d e bt e s tru c tu ra a lta

Figura 2 A Modeladode una estructura alta como un sistema de resorte-masa.

P is o ríg id o

x (l)

—

w

-

m

(b) Sistema de resortei equivalente Figura 2 3 Idealización de la estructura de un edificio.

2 .2

V ib ra c ió n lib re d e u n s is te m a tra s la c io n a l no a m o rtig u a d o Utilizando la segunda ley del movimiento de Newton. en esta sección consideraremos la derivación de la ecuación de movimiento. El procedimiento que utilizaremos se resume entonces como sigue:

E c u a c ió n d e m o v im ie n t o basada en la s e g u n d a le y d e l m o v im ie n t o d e N e w to n

1. Seleccione una coordenada adecuada para describir la posición de la masa o el cuerpo rígido en d sistema. Utilice una coordenada lineal para describir el movimiento lineal de una masa pun tual o el ceniroide de un cuerpo rígido, y una coordenada angular para describir el movimiento angular de un cuerpo rígido. 2 . ntiermine la configuración de equilibrio estático del sistema y mida el desplazamiento de la

masa o el cuerpo rígido con respecto a su posición de equilibrio estático.


22

V ib ración lib re d e u n siste m a traslacion aJ n o a m o r tig u a d o

119

3 . T ra c e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l a m a s a o e l c u e r p o r íg id o c u a n d o s e le im p a rte n u n d e s p l a z a m ie n to y v e lo c id a d p o s itiv o s . In d iq u e to d a s la s fu e rz a s a c tiv a s y re a c tiv a s q u e a c tú a n s o b r e la m a s a o c u e r p o ríg id o . 4 . NA plique l a s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n a l a m a s a o c u e r p o r íg id o q u e p r e s e n t a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . L a s e g u n d a ley d e l m ov im ie n to d e N e w to n s e p u e d e fo rm u la r c o m o sig u e : l a v e lo c id a d d e c a m b io d e l a c a n tid a d d e m o v im ie n to ( m o m e n to ) d e u n a m a s a e s i g u a l a la f u e r z a q u e a c tú a e n e lla . P o r l o ta n to , si u n a m a s a m s e d e s p la z a u n a d is ta n c ia x ( t ) c u a n d o u n a f u e rz a r e s u lta n te F ( f ) a c tú a e n e lla e n l a m is m a d ire c c ió n , la s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n d a

S i l a m a s a m e s c o n s ta n te , e s t a e c u a c ió n s e r e d u c e a

F (t) = m

d 2x (t) ^ = mx

(2 .1 )

donde

«fr e s l a a c e le ra c ió n d e l a m a s a . L a e c u a c ió n ( 2 .1 ) s e p u e d e e x p r e s a r e n u n a fra s e : L a fu e rz a re s u lta n te q u e a c tú a s o b r e l a m a s a

=

m asa

X

a c e le ra c ió n

P a ra u n c u e rp o ríg id o s o m e tid o a m o v im ie n to d e r o ta c ió n , l a l e y d e N e w to n d a

A f ( / ) = JO

(2 .2 )

d o n d e M e s e l m o m e n to r e s u lta n te q u e a c tú a e n e l c u e r p o y

0 y 0 = d 2d ( t ) / d r s o n e l d e s p la z a

m ie n to a n g u la r r e s u lta n te y la a c e le r a c ió n a n g u la r re s u lta n te s , r e s p e c tiv a m e n te . 1.a e c u a c ió n ( 2 . 1 ) o l a ( 2 .2 ) re p re s e n ta n l a e c u a c ió n d e l m o v im ie n to d e l s is te m a v ib ra to rio . E l p r o c e d im ie n to s e a p lic a a h o ra a l s is te m a d e u n que se

s o lo g r a d o

m u e s tra e n la fig u r a 2 .1 (a ). A q u í l a m a s a e s t á a p o y a d a

d e lib e rta d

n o a m o rtig u a d o

s o b re r o d illo s l ib r e s

d e f r ic c ió n y p u e d e tra s la d a rs e e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l. C u a n d o l a m a s a d e d e s p la z a u n a d is ta n c ia + x a p a rtir d e s u p o s ic ió n d e e q u ilib r io , l a f u e rz a e n e l r e s o r te e s k x . y e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re s e re p re s e n ta c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 . l ( c ) . L a a p lic a c ió n d e l a e c u a c ió n ( 2 .1 ) a l a m a s a m d a l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to F (t) = - k x = m x o

mx

+

kx =

0


120

C a p ítu lo 2

E c u a c ió n d e m o v im ie n t o u t iliz a n d o o tro s m é to d o s


Cbmo se manifestó en la sección 1.6. las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio se pueden derivar mediante varios métodos. En esta sección se consideran las aplicaciones del prin cipio de D ’Alcmbcrt. el principio de desplazamientos virtuales y el principio de conservación de b energía. P r i n c i p i o d e D ' A l c m b c r t . Las ecuaciones de movimiento, ( 2 .1 ) y (2 .2 ). se pueden volver a escri

bir como F(t) -

m? = 0

(2.4a)

M ( t ) - JO = 0

(2.4b)

Estas ecuaciones pueden considerarse c o n » ecuaciones de equilibrio siempre que m x y - J d se traten como una fuerza y un momento. Esta fuerza ficticia (o momento) se conoce comofuerza de inercia (o momento de inercia) y el estado artificial de equilibrio implicad) por la ecuación (2.4a) o la (2.4b) se conoce como equilibrio dinámico. Este principio, implicado en la ecuación (2.4a) o b (2.4b), se conoce como principio de D ’Alembert Aplicándolo al sistema de la figura 2.1(c) se obtiene la ecuación de movimiento: —k x - m x = 0 o m 'x + k x = 0

(2 3 )

P r i n c i p i o d e d e s p l a z a m i e n t o s v i r t u a l e s . El principio de desplazamientos virtuales establece que

**i un sistema que está en equilibrio por la acción de un conjunto de tuerzas se somete a un des plazamiento virtual, entonces el trabajo virtual total realizado por la fuerza será cero". En este caso d desplazamiento virtual se define como un desplazamiento infinitesimal imaginario instantáneo. Debe ser un desplazamiento físicamente posible compatible con las restricciones del sistema. El trabajo virtual se define como el realizado por todas las tuerzas, incluidas las de inercia en un pro blema dinámico, producidas por un desplazamiento virtual. Cbnsidercmos un sistema de resoilc-masa en una posición desplazada c o n » se muestra en la figura 2.6(a). donde ¿simboliza el desplazamiento de la masa. La figura 2.6(b) muestra el diagrama cuerpo libre de la masa con las tuerzas reactiva y de inercia indicadas. Cuando la masa experi menta un desplazamiento virtual Ó¿, como se muestra en la figura 2.6(b). el trabajo virtual realizado por cada tuerza se calcula como sigue: Trabajo virtual realizado por la fuerza del resorte = ÓW, = ~ (k x )5 x Trabajo virtual realizado por la fuerza de inercia = ÓW' =

bx I

—

W

-

+ X . X . X

kx

—mx

(fuerza

(fuerza de inercia)

reactiva) (a)

►

Masa sometida a

(b)

Diagrama de cuerpo libre

un desplazamiento x F ig u ra 2.6 Masa sometida a un desplazamiento virtual.


22


121

C u a n d o e l tra b a jo v irtu a l to ta l re a liz a d o p o r to d a s l a s f u e rz a s s e h a c e ig u a l a c e r o , o b te n e r n o s -m x S x -

kx8x = 0

(2 .5 )

C o rn o e l d e s p la z a m ie n to v irtu a l p u e d e te n e r u n v a lo r a r b itr a r io , 8 x = 0 , l a e c u a c ió n ( 2 .5 ) d a la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s is te m a d e r e s o r te - m a s a c o m o m x + kx = 0

(2 .3 )

P r i n c i p i o d e c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g í a . S e d ic e q u e u n s is te m a e s c o n s e rv a d o r si n o s e p ie rd e e n e rg ía d e b id o a fric c ió n o a m ie m b ro s n o e lá s tic o s q u e d is ip a n e n e rg ía . S i o tr a s íú e r c a s e x te r n a s n o re a liz a n tr a b a jo e n u n s is te m a c o n s e rv a d o r (a p a r te d e l a g ra v e d a d u o tra s fu e rz a s p o te n c ia le s ), e n to n c e s l a e n e r g ía to ta l d e l s is te m a p e r m a n e c e c o n s ta n te . C o m o l a e n e r g ía d e u n s is te m a v i b r a to rio e s p a rc ia lm e n te p o te n c ia l y p a rc ia lm e n te c in é tic a , la s u m a d e e s ta s d o s e n e r g ía s p e rm a n e c e c o n s ta n te . L a e n e r g ía c in é t ic a T s e a lm a c e n a e n l a m a s a p o r e f e c to d e su v e lo c id a d y l a e n e r g ía p o te n c ia l U s e a lm a c e n a e n e l re s o rte a c a u s a d e s u d e f o rm a c ió n c lá s tic a . P o r l o ta n to e l p rin c ip io d e c o n s e rv a c ió n d e e n e r g ía se e x p r e s a c o m o : T + U = c o n s ta n te

- ( T

+ U ) = 0

(2 .6 )

L a s e n e r g ía s c in é t ic a y p o te n c ia l r e s u lta n d e T = \m x 2

(2 .7 )

U = ¡kx2

(2 .8 )

y

L a s u s titu c ió n d e l a s e c u a c io n e s ( 2 .7 ) y ( 2 .8 ) e n l a e c u a c ió n ( 2 .6 ) d a p o r r e s u lta d o la e c u a c ió n d e se a d a m x + kx = 0

(2 .3 )

C o n s id e r e m o s la c o n f ig u r a c ió n d e l s is te m a d e r e s o r te - m a s a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 2 .7 (a ). L a

E c u a c ió n d e l m o v im ie n to d e u n s is te m a d e r e s o r t e -m a s a e n p o s ic ió n v e r t ic a l

m a s a c u e lg a e n e l e x tr e m o in fe rio r d e l r e s o r te , e l c u a l a su v e z e s t á f ijo p o r s u e x tr e m o s u p e r io r a un s o p o rte r í g id o . E n r e p o s o , l a m a s a c o lg a r á e n u n a p o s ic ió n lla m a d a p o s ic ió n d e e q u ilib r io e s tá tic o , e n l a c u a l l a fu e rz a d e l r e s o r t e d ir ig id a h a d a a rrib a b a la n c e a c o n e x a c titu d la f u e rz a d e g r a v e d a d d irig id a h a d a a b a jo q u e a c tú a e n l a m a s a . E n e s t a p o s i d ó n l a lo n g itu d d d r e s o rte e s /0 + 6 ^ ,. d o n d e fio , e s l a d e f le x ió n e s tá tic a , e l a la rg a m ie n to p ro d u c id o p o r e l p e s o d e l a m a s a m . E n l a f ig u ra 2 .7 (a ) , v e m o s q u e , p a ra e q u ilib r io e s tá tic o .

W = mg = kficst


(2 .9 )

122

C a p ítu lo 2


fcsición de equilibrio estático

(b) F u e r a d e l resorte

(c )

(d)

F ig u ra 2 .7 U n siste m a d e re so rte-m asa e n po sició n vertical.

c b n d e g e s la a c e le r a c ió n d e l a g r a v e d a d . S i l a m a s a s e d e fle x io n a u n a d is ta n c ia + x c o n r e s p e c to a su p o s ic ió n d e e q u ilib r io e s tá tic o , e n to n c e s l a f u e r z a d e l r e s o r te e s —k ( x + S ,^ ) , c o m o s e m u e s tra e n h fig u ra 2 .7 (c ). L a a p lic a c ió n d e l a s e g u n d a l e y d e l m o v im ie n to d e N e w to n a la m a s a m d a m i = ~ k { x + 5 eU) + W

y c o m o k 8 efA = W , o b te n e m o s m 'x + k x = 0

(2 . 10)

V e m o s q u e la s e c u a c io n e s ( 2 .3 ) y ( 2 .1 0 ) s o n id é n tic a s . E s to in d ic a q u e c u a n d o u n a m a s a s e m u e v e en d ire c c ió n v e rtic a l, p o d e m o s ig n o r a r s u p e s o , s ie m p r e q u e m id a m o s x a p a r tir d e s u p o s ic ió n efe e q u ilib r io e s tá tic o . A'oía: L a e c u a c ió n (2 .1 0 ). l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s is te m a q u e s e m u e s tr a e n l a ñ g u r a 2 .7 . ta m b ié n p u e d e d e riv a r s e a p lic a n d o e l p rin c ip io d e D ’A l e m b e r t.e l p rin c ip io d e d e s p la z a m ie n to s v irtu a le s , o b ie n e l p rin c ip io d e c o n s e rv a c ió n d e l a e n e r g ía . S i u tiliz a m o s e l ú ltim o , p o r e je m p lo , r u ta m o s q u e l a e x p r e s ió n p a r a la e n e r g ía c in é tic a . T, p e rm a n e c e ig u a l q u e l a e c u a c ió n (2 .7 ) . S in e m b a rg o , l a e x p r e s ió n p a r a l a e n e r g ía p o te n c ia l. U , s e tie n e q u e d e r iv a r al c o n s id e r a r e l p e s o d e b m a s a . P ü r e s o o b s e rv a rn o s q u e l a f u e r z a d e l re s o rte e n l a p o s ic ió n d e e q u ilib r io e s tá tic o (x = 0) es m g . C u a n d o e l r e s o r te s e d e f o r m a u n a c a n tid a d x , s u e n e r g ía p o te n c ia l e s ( v e a la fig u ra 2 .7 (d )):


22


123

Además, la energía potencial del sistema debido al cambio de elevación de la masa (observemos que + x está dirigida hacia abajo) es - m g x . Por lo tanto la energía potencial neta del sistema res pecto de la posición de equilibrio estático es U = energía potencial del resorte

+ cambio de la energía potencial debido al cambio de elevación de la masa m m gx + ^ k x 2 - m gx = ~ k x 2

Como las expresiones de T y V no cambian, la aplicación del principio de conservación de la ener gía da la misma ecuación de movimiento, ecuación (2.3).

1.a solución de la ecuación (2.3) se obtiene suponiendo que x ( t ) = C e ‘fí

(2.11)

donde C y s son constantes que deben determinarse. La sustitución de la ecuación (2.11) en la ecuación (2.3) da por resultado C (m s2 + *) = 0

Puesto que C no puede ser cero, tenemos m s2 + k = 0

(2.12)

y por consiguiente 1 /2

= ±¡a>„

(2.13)

donde i ■ ( - ! ) ' « y = I-

) ,/2

(2.14)

fe )' La ecuación (2.12) se conoce como ecuación a u x ilia r o c a ra cte rístic a correspondiente a la ecuación diferencial (2.3). Ix s dos valores de s dados por la ecuación (2.13) son las raíces de la ecuación ca racterística. también conocidas como »wlo r e s e ig e n o \a lo re s c a ra c te rís tic o s del problema. Como ambos valores de s satisfacen la ecuación (2.12). la solución general de la ecuación (2.3) puede expresarse como x { t ) = C xe im¿ + Cye-1" '1

(2.15)

donde C , y C2son constantes. Utilizando identidades e*»at = eos a t ± i x n a t

La ecuación (2 .15) se puede volver a escribir como

x(t) =

A , eos

to„t +

A 2 sen«ü„r


(2 .1 6 )

124

C a p ítu lo 2


(bndc A, y A 2 son constantes nuevas. Las constantes C¡ y C2 o A , y A2 se determinan a partir de hs condiciones iniciales del sistema. Se tienen que especificar dos condiciones para evaluar estas constantes de forma única. Observemos que el número de condiciones que se tiene que especificar es igual al orden de ecuación diferencial regente. En este caso, si los valores de desplazamiento x(/)y velocidad i ( / ) = (dx/dr)(t) se especifican como xq y .r0 en t = 0. tenemos, de acuerdo con k» ecuación (2.16), x { l = 0) = A , = x 0 x ( l = 0 ) = (onA 2 = X q

(2.17)

R )r consiguiente. A, = x Q y A2 = Xq/ üí„. Por lo tanto la solución de la ecuación (2.3) sujeta a las condiciones iniciales de la ecuación (2.17) está dada por Xn

x l i ) = xq e o s aint + —

2 2

5

M o v im ie n t o a r m ó n ic o

senu)Hi

(2.18)

âs ecuaciones (2.15). (2.16) y (2.18) son funciones de tiempo armónicas. El movimiento es simftrico con respecto a la posición de equilibrio de la masa m. La velocidad es un máximo y la aceleración es cero cada vez que la masa pasa por esta posición. En los desplazamientos extremos, 13 velocidad es cero y la aceleración es un máximo. Como esto representa movimiento armónico ampie (vea la sección 1.10). el sistema de resorte-masa se conoce como o sc ila d o r a rm ó n ic o . La cantidad con dada por la ecuación (2.14) representa la frecuencia natural de vibración del sistema. La ecuación (2.16) se puede expresar en una forma diferente si introducimos la notación A | = A eos A 2 = Ascntf>

(2.19)

(bndc A y «£son las constantes nuevas, las cuales se pueden expresar en función de A , y A 2 como

A = (A* + A ¡ ) ' ' 2 = |^Xo +

= tan

J

= amplitud

= lanH( ^ - ) = ^S o 'o dcfa se

(2.20)

Si introducimos la ecuación (2.19) en la ecuación (2.16), la solución puede escribirse como x (f ) = A eos (u>nt - >f>)

(2.21)

Utilizando las relaciones A | = A o sen < ¿o

A 2 = A q eos d>a

(2.22)

La ecuación (2.16) también puede expresarse como * (/ ) = A0 sen(cun/ + o)


(2.23)

22


125

donde 1/2

M i ) ’]

(2 .2 4 )

tan

(2 .2 5 )

L a n a tu ra le z a d e l a o s c ila c ió n a r m ó n ic a se p u e d e r e p re s e n ta r g rá fic a m e n te c o m o e n l a fig u ra 2 .8 (a ). S i A im p lic a u n v e c to r d e m a g n itu d A , e l c u a l f o r m a u n á n g u lo a > j - c o n r e s p e c to a l e je v e rtic a l (x ). e n to n c e s se v e q u e la s o lu c ió n , la e c u a c ió n (2.21 ) .e s la p ro y e c c ió n d e l v e c to r A s o b re e l e j e x . L a s c o n s ta n te s A , y A2 d e la e c u a c ió n ( 2 . 16 ) , d a d a s p o r l a e c u a c ió n ( 2 .19 ) , s o n s im p le m e n te los c o m p o n e n te s re c ta n g u la r e s d e A a lo la r g o d e d o s e je s o r to g o n a le s q u e fo rm a n lo s á n g u lo s

y - ( f - <¿)

c o n r e s p e c to a l v e c t o r A . C o m o e l á n g u lo to„t - ó e s u n a fu n c ió n lin e a l d e tie m p o , s e in c r e m e n ta l i n e a lm e n te c o n e l tie m p o ; p o r l o t a n t o to d o e l d ia g r a m a g i r a e n s e n tid o c o n tr a r io a l d e l a s m a n e c illa s d e l r e lo j a u n a v e lo c id a d a n g u la r ion. A m e d id a q u e g i r a e l d ia g r a m a ( f ig u r a 2 .8 a ) , l a p ro y e c c ió n d e A

x(t)

m F ig u ra 2 .8 R epresentación gráfica d e l m o vim iento de u n o scilador a rm ó n ico .


126

C a p ítu lo 2


sobre el eje x varía armónicamente de modo que el movimiento se repite cada ve/, que el vector A describe un ángulo de 27r. la proyección de A , es decir x(f), se muestra en la figura 2.8(b) como una función de « y , y como una fundón de t en la figura 18(c). El ángulo de fase 4> también puede inter pretarse como el ángulo entre el origen y el primer pico. Cb servemos los siguientes aspectos del sistema de resorte-masa. 1.

Si el sistema de resorte-masa está en una posirión vertical, como se muestra en la figura 2.7(a), la frecucnda circular natural puede expresarse como '/ 2

(2.26)

-fe )

La constante de resorte k puede expresarse en función de la masa m de acuerdo con la ecuación (2.9) como W

mg

* =

0 .2 7 ,

La sustitución de la ecuación (2.27) en la ecuación (2.14) da

=

(Ü

(2-28)

De aquí que la frecuencia natural en dclos por segundo y el periodo natural los den

(229) t'/2

- i - » ®

(2.30)

'

R>r lo tanto, cuando la masa vibra en una direcdón vertical, podemos calcular la frecucnda na tural y d periodo de vibración con sólo medir la deflexión estática 6^,. No tenemos que conocer la rigidez k del resorte ni la masa m. 2. Según la ecuación (2.21) la velocidad i ( r ) y la aceleración x (/) de la masa m en el instante / puede obtenerse como

¿ (0 “ ^ ( 0

"

sen ( a y -) = a y 4 c o s ^ a y - J> + |

x ( t ) = ~ y ( 0 = ~<°lA eos (o)„t -< í> ) = u>2nA e o s ( + i t )

(2.31)

La ecuadón (2.31) muestra que la vdoddad se adelanta un ángulo tt/ I al desplazamiento y que la aceleración se adelanta un ángulo tt al desplazamiento. 3. Si d desplazamiento inicial (x ^cs cero, la ecuación (2.21) se vudve , ^

*o

(

* (0 = — ce*I

*

l

¿o

“ Y J = ^ n xn< 0nl


(2.32)

22


127

S in e m b a rg o , si l a v e lo c id a d in ic ia l ( xq) e s c e r o . la s o lu c ió n e s

x ( 0 = xo costo*/ 4.

(2.33)

La respuesta de un sistema de un solo grado de libertad se puede representar en el plano de desplazamiento (x>velocidad. conocido como espacio de estado o plano de fase. Para esto consideramos el desplazamiento dado por la ecuación (2.21) y la velocidad correspondiente: x(/) = A eos ( o j j - ) o < o s(a y

- < t> ) =

^

x(/) =

-A ta ,

sen (tu,/ - )

( 2 34)

“

(2.35)

o s e n K / ~ 4>) =

) + s e n 2(to„r - d») = 1 o X2

y2

+

<2

3

6

>

La gráfica de la ecuación (2.36) en el plano (x. y ) es un círculo, como se muestra en la figura Z9a, y constituye la representación en el plano de fase o espacio de estado del sistema no amor tiguado. El radio del círculo. A. se determina a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Observemos que la gráfica de la ecuación (2.36) en el plano (x. x ) seráuna elipse, como se muestra en la figura 2.9(b).

(a)

(b)

F ig u ra 2 .9 Representación del plano de fase de un sistema no amortiguado.


128

C a p ítu lo 2

E je m p lo 2.1


R e sp ue sta a rm ó n ic a d e u n t a n q u e d e a g u a La colum na d e l tanque
La frecuencia natural y e l periodo natural d e la vibración transversal del tanque de agua. 1.a respuesta de vibración del tanque d e a g u a debido a un desplazam iento transversal inicial de 10 pulg. L os valores m áxim os d e la velocidad y aceleración experim entadas p o r e l tanque d e agua.

S olución: Suponiendo q u e e l tanque d e a g u a e s una m asa puntual, q u e la colum na tiene u m sección tra n s versal uniform e, y que la m asa de la colum na es insignificante, e l sistem a puede m odelarse c o m o u n a viga en voladizo con u n a c a rg a concentrada (peso) e n e l extrem o libre c o m o se m uestra en la figura 2 .10(b). a

La deflexión transversal d e la v ig a, Ó, producida por una carga P está d ad a por d o n d e / es la longitud, £ c s e l m ódulo de Y oung, e / e s e l m om ento d e inercia d e l área de la sección transversal d e la viga. La rigidez d e la v ig a (colum na d e l tanque) está d ad a por

x(í)

/ / < i i

I i

' / / / / ' / / (a)

(b)

F ig u ra 2 .1 0 T b n q u e e le v a d a (F o to g ra fía c o r te s ía d e W e s t I a f a y e tte W a te r C o m p a n y ).


22


129

En este c aso . / • 3600 pulg. £ - 4 X 10»- Ib/pulg( 4 - d f ) = £ ( I 2 0 4 - 964) = 600.9554 X I04 pulg4 64 y por consiguiente 3 (4 X 106)(600.9554 X I 0 4)

la frecuencia natural d e l tanque de agua e n la dirección transversal está d ad a por 1545.6672 x 386.4
= 0 9 9 7 7 rad/s

6 X 105

El periodo natural d e la vibración transveisal del tanque está dado por

Utilizando e l desplazam iento inicial d e x0 = 10 pulg y la velocidad in icial d e l tanque d e a g u a (¿ 0) com o cero, la respuesta arm ónica del tanque de agua puede ex p resarse, u tiliza n to la ecuación (2.23). como * ( / ) = ¿ 0 * n (* « V + ¿ o ) donde la am plitud d e l desplazam iento transversal (z t^ e s tá d a d o por

y e l ángulo d e fase («fcj) por

l\>r lo tanto

* ( / ) = 10 sen ^0.9 9 7 7 r + *

= 10 e o s 0.9977f pulg

(E l)

La velocidad d e l tanque d e a g u a s e determ ina diferenciando la ecuación ( E .l ) com o

(E.2)

y por consiguiente = * 0 " * = 10(0.9977) = 9.977 pulg/s La aceleración d e l tanque de a g u a se d eterm ina diferenciando la ecuación (E .2) com o


130

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d y p o r consiguiente e l v a lo r m áxim o de la aceleración está d a d o por a * * o K ) 2 = I0(0.9977)2 = 9.9540 p u lg /s2

E je m p lo 2 .2

R e sp ue sta d e v ib ra c ió n lib re d e b id o a Im p a c to Una v ig a e n voladizo soporta u n a m asa M e n el extrem o libre c o m o se m uestra en la figura 2.1 l(a ). Una masa m c a e desde una a ltu ra h sobre la m asa M y s e adhiere a ella sin rebotar. Determ ine la vibración transversal resultante d e la viga. S olución: Cuando la m asa m caig a d e sd e u n a a ltu ra h , chocará con la m asa M a una velocidad d e vm = V l g h , tb n d c ? e s la aceleración por la gravedad. C om o la m asa m se adhiere a M sin rebotar, la velocidad d e la m asa com binada ( M + m ) inm ediatam ente después d e l im pacto ( ¿ 0) se puede hallar aplicando e l principio d e c o n servación d e m om ento: mv~ = (W + m )¿ 0

Jo

l a posición d e equilibrio estático de la v ig a c o n la nueva m asa (M + m ) se encuentra a u r a distancia d e ? cfcbajo d e la posición d e equilibrio estático de la m asa original (Af)com o se m uestra en la figura 2.1 l(c). A quí Ad e n o ta la rigidez d e la v ig a en voladizo, d ad a por

H

—

—

[

íü J

Módulo d e Young. E M om ento d e inercia, I

L

M

y M

_______ i

yM

u

t'J

______ , _____ f

x(i) k -

y

Z -------

3E l

\ 'Zgfi

y Y Z

M

x(l)

r/r/rr/> (a)

Figura 2.11 Ite s p u e s ta p o r im p a c to .


(C)

22


131

C om o la vibración d e la viga c o n la n u ev a m asa (Af + m ) o cu rre e n to m o a su pro p ia posición d e equilibrio estático, la s c o n d icio n es iniciales d e l problem a se pueden form ular como (E.2) Por k> tanto, la vibración transversal libre resultante de la v ig a s e puede ex p resar c o m o (vea la ecuación (2 .2 1)): ,r( /) = A c o s K / - 4>) donde

*

=

-

-

f

e

)

f— ¡—

V Af + m

f

3E l

V l\M + m)

c o n Xq y io d a d a s por la ecu ació n (E.2).

E je m p lo 2 .3

M ó d u lo d e Y o u n g o b te n id o c o n u n a m e d ició n d e la fre c u e n c ia n a tu ra l Se encontró q u e la frecuencia natural d e vibración transversal de una viga d e sección transversal c u ad ra d a de S m m X S m m y longitud de I m . sim plem ente apoyada que so p o ita u n a m asa de 2.3 kg en su p a ite m edia, es de 3 0 rad/s. D eterm ine e l móduk* de Y oung d e elasticidad d e la viga. S o lu c ió n : Ignorando el peso propio d e la viga, la frecuencia natural d e vibración transversal d e la viga se ex p resa com o (E .I) V m

donde u

. S

f .

d o n d e /Tes e l m ódulo d e Y oung, le s la longitud, c l e s e l m om ento d e inercia d e área d e la viga: / = ^ ( 5 X IO"3) ( 5 X 10-3)3 = 0.5208 X IO~l o m4 Com o m = 2.3 kg, / = 1.0 m y
m o#3 E =

192/

=

2.3 30.0 z 1.0 ) 3 0 , ÜT = 207.0132 X I09 N/mJ 192(0.5208 x 10_,°)

Esto indica q u e probablem ente e l m aterial d e la viga e s acero a l carbón.


132

C a p ítu lo 2

E je m p lo 2 .4


F re c u e n c ia n a tu ra l del c u b o d e u n c a m ió n d e b o m b e ro s n c u b o d e un cam ión d e bom beros s e en cu en tra en e l extrem o de una p lum a telescópica, com o se m uestra en la ñ g u ra 2.12(a). El c u b o , ju n to con e l bo m b ero , pesa 2 0 0 0 N. E ncuentre la frecuencia natural d e vibración del cubo en la dirección vertical. f a l o s : M ódulo d e Y oung d e l m aterial: E = 2 . 1 X 1 0 " N /m : ; longitudes: /, = / , = / , = 3 m ; área s d e sección transversal: 4 , = 20 cm 2, A 2 = 10 c m 2; A ; = 5 cm 2. S olución: Para d eterm inar la frecuencia natural de vibración d e l sistem a, encontram os la rigidez equivalente de la p lum a e n la dirección vertical y utilizam os una idealización d e un sistem a d e un solo grado d e libertad. Para esto asu m im o s q u e la m asa d e la p lum a telescópica e s insignificante y q u e la p lum a se deform a sólo m la dirección axial (sin deform arse). C om o la fuerza inducida e n cu alq u ier sección transversal 0 , 0 2c s igual a la carga axial aplicada e n e l extrem o d e la plum a, c o m o se m uestra en la figura 2 .l2 (b ), la rigidez axial de b plum a (kb)e stá d ad a por

cbndc

sim boliza la rigidez axial d e l resim o segm ento de la pluma:

(E .2)

Cbn los datos con o cid o s ( / | ■ l2 = / j = 3 m . A ¡ = 2 0 c m 2, A2 m 10 c m 2. A* ■ 5 c m 2, E t “ £3 = £ , = 2.1 X I 0 " N/m2), ( 2 0 X I0~4) ( 2 .l X 1 0 " ) = 14 X 107 N/m

(1 0 X I0~4) ( 2 .l X 10M) = 7 x 107 N/m ( 5 X 10"4)(2 .1 X I 0 11) = 1 5 X I07 N/m

3 R»r lo tanto, la ecuación (E . 1) da I

I

1I

I1

I

*6

14 X 107

7 X 107

3.5 X 107

2 X 107

o

kb = 2 X 107 N/m La rigidez, fc d e la p lum a telescópica e n la dirección vertical es

* =

k „ eo s3 45°

= I0 7 N /m


22


(b )

133

F ig u ra 2 .1 2 R u m a telescópica de u n cam ión d e bom beros.

l a frecuencia d e la vibración natural del cubo en la dirección vertical está d ad a por

E je m p lo 2 .5

F re c u e n c ia n a tu ra l d e un s is te m a d e p o le a s Determ ine la frecuencia natural d e l sistem a q u e s e m uestra en la figura 2.13(a). Suponga q u e las p o leas no tienen fricción y que su m asa e s insignificante. S o lu c ió n : Para d eterm inar la frecuencia natural encontram os la rigidez equivalente d e l sistem a y lo resolve m os com o un problem a d e un solo grado d e libertad. Com o no h a y fricción en las poleas y su m asa es insigni ficante. la tensión en la cuerda e s constante y e s igual a l peso IV de la m asa m . P o r e l equilibrio estático d e las polcas y la m asa (v ea la figura 2 . 13(b)>. se p u ed e v e r q u e la fuerza dirigida hacia arriba q u e actúa en la polea 1 e s 2W y q u e la fuerza dirigida hacia abajo q u e a ctú a en la p olea 2 es 2 W. El centro d e la polea 1 (punto A ) sube una distancia 2IV/*, y e l centro d e la p olea 2 (p u n to fi)b a ja una distan cia 21V/**. P o r lo tanto, e l m ovim iento total d e la m asa m (p u n to O ) es

cuando la c u e rd a a a m b o s lad o s de la p olca perm ite que la m asa baje. Si *^ d enota la constante d e resorte equivalente d e l sistem a. f t s o d e la m asa — ------------- ------------------- :— ------- = D esplazam iento n e to d e la masa C onstante de resorte equivalente


134

C a p ítu lo 2


Polea 2

P olca 1

* 2 * 2 -2 W

OIV = m g T

m

x = 2 (x, + * 2 )

A ,* ,- 2 W r

(b)

(a)

F ig u ra 2 .1 3 Sistem a d e polcas.

I\

f =

- M*,

4W(*, +

*2

*2

*,* 1*2

*1 * 2

(E.1)

4(*i + * 2 ) Si la m asa m se desplaza u n a distan cia * de la posición d e equilibrio b m asa se escribe como

mx +

ico. la ecu ació n d e m ovim iento de

- 0

(E .2)

y por consiguiente, la frecuencia natural está d ad a por

(E.3)

*1*2 y"

2jt

4ir

I 1'

m(*i +*2)J


d c lo s ,'s

(E.4)

22

2 .3

V ib r a c ió n lib re d e un s is te m a torsion aJ n o a m o r tig u a d o

135

V ib r a c ió n libre d e u n s is te m a to rs io n a l no a m o rtig u a d o Si un cuerpo rígido oscila con respecto a un eje de referencia específico, el movimiento resultante se conoce como vibración to rsio n a l. En este caso, el desplazamiento del cuerpo se mide en función de una coordenada angular. En un problema de vibración torsional. el momento de restauración puede ser d resultado de la torsión de un miembro clástico o dd momento desbalanceado de una fuerza o par. La figura 2.14 muestra un disco, el cual tiene un momento polar de inercia de masa J 0, monta do en un extremo de una flecha circular sólida, el otro extremo del cual está fijo. Sea 0 la rotación angular dd disco alrededor de la flecha; «también representa el ángulo de torsión de la flecha. Por la teoría de torsión de flechas circulares [2.1 J. tenemos la relación (2.37) donde M x es el par de torsión que produce la torsión 0. G es el módulo de cortante. /es la longitud de la flecha. /0es el momento polar de inercia de la sección transversal de la flecha, dado por TTd4

(2.38)

32

y des d diámetro de la flecha. Si el disco se desplaza un ángulo 0a partir de su posición de equi librio. la flecha produce un par de torsión de restauradón de magnitud M r Por lo tanto, la flecha actúa como un resorte torsional con una constante de resorte torsional M,

■

e

G Iq

“

TtG d*

/ "

(2.39)

32/

Disco

(a) Figura 2 .1 4 Vibración torsional d e un disco.


(b)

136

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d L a e c u a c ió n d e l m o v im ie n to a n g u la r d e l d is c o a lre d e d o r d e s u e je s e d e r iv a a p lic a n d o l a s e g u n d a ley d e N c w to n o c u a lq u ie r a d e lo s m é to d o s m e n c io n a d o s e n la s e c c ió n 2 .2 .2 . C o n s id e ra n d o e l

E c u a c ió n d e

d ia g r a m a d e c u e rp o lib r e d e l d is c o ( fig u ra 2 .1 4 b ). p o d e m o s d e r iv a r l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to si

m o v im ie n to

a p lic a m o s la s e g u n d a l e y d e l m o v im ie n to d e N c w to n : JQ0

+ k fi = 0

( 2 .4 0 )

h c u a l e s id é n tic a a la e c u a c ió n ( 2 .3 ) si e l m o m e n to p o l a r d e in e r c ia d e m a s a J q, e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r 0 y la c o n s ta n te d e r e s o r te to r s io n a l k ,, s e r e e m p la z a n c o n l a m a s a m . e l d e s p la z a m ie n to x y l a c o n s ta n te d e re s o rte l in e a l k , re s p e c tiv a m e n te . Ftor l o ta n to , la fr e c u e n c ia c ir c u la r n a tu ra l d e l s is te m a to rs io n a l e s

*,Y/2

( 2 .4 ! )

Jo . y e l p e r io d o y fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n e n c ic lo s p o r s e g u n d o s o n

t '/ 2 (2 .4 2 )

, *

- _L i 27r Jo

1/2

(2 .4 3 )

O b s e rv e m o s l o s s ig u ie n te s a s p e c to s d e e s te s is te m a : 1 . S i l a s e c c ió n tra n s v e rs a l d e la H ech a q u e s o p o r ta e l d is c o no e s c irc u la r, s e t ie n e q u e u tiliz a r u n a c o n s ta n te d e r e s o rte to r s io n a l a d e c u a d a ( 2 . 4 . 2 .5 J. 2 . 0 m o m e n to p o l a r d e in e r c ia d e m a s a d e u n d is c o e s t á d a d o p o r

_ p h -n D * _ XVD* 0 "

32

" 8 *

d o n d e p es l a d e n s id a d d e m a s a , h e s e l e s p e s o r . D e s e l d iá m e tr o y W e s e l p e s o d e l d is c o . 3 . 0 s is te m a to r s io n a l d e re s o r te - in e r c ia m o s tra d o e n l a fig u ra 2 .1 4 s e c o n o c e c o m o p é n d u lo t o r s io n a l. U na d e l a s a p lic a c io n e s m á s im p o r ta n te s d e u n p é n d u lo to rsio n a l es u n r e lo j m e c á n ic o , d o n d e u n a r u e d a d e tr in q u e te c o n v ie r te la o s c ila c ió n r e g u la r d e u n p e q u e ñ o p é n d u lo to rsio n a l e n l o s m o v im ie n to s d e l a s m a n e c illa s .

L a s o lu c ió n g e n e r a l d e l a e c u a c ió n (2 .4 0 ) s e o b tie n e , c o m o e n e l c a s o d e la e c u a c ió n ( 2 .3 ) :

S o lu c ió n

0 ( / ) = A ] e o s iont + -42 s e n o V

(2 .4 4 )

ito n d e l a e c u a c ió n (2 .4 1 ) d a ion y A , y A 2 s e d e te r m in a n a p a rtir d e l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s . S i

* ( , = O ) = 0o

y

0 ( / = O) = ^ ( /


= O) = 0 O

(2 .4 5 )

2 .3 Las c o n sta n te s A , y

V ib r a c ió n lib re d e un s is t e m a to r s io n a l n o a m o r tig u a d o

A2se d eterm in an

137

c o m o sig u e : A \ = #o A 2 = é 0 /
(2 .4 6 )

S e v e q u e la e c u a c ió n ( 2 .4 4 ) ta m b ié n re p re s e n ta u n m o v im ie n to a r m ó n ic o s im p le .

Eje m p lo 2 .6

F re c u e n c ia n a tu ra l d e u n p é n d u lo c o m p u e s to C ualquier cuerpo rígido c o n su p ivote en un punto q u e no e s su centro oscilará alrededor d e l p ivote p o r su pro pia fuerza d e gravedad. T a l sistem a se conoce c o m o péndulo com puesto (figura 2.15). D eterm ine la frecuencia natural d e l sistem a. S olución: Sean O e l punto d e susp en sió n y G e l centro d e m asa d e l péndulo com puesto c o m o se m uestra en la figura Z 15. D eje q u e e l cu erp o rígida o scile e n e l p lan o x y de m odo q u e se pueda usar la coordenada 0 para d escribir su m ovim iento. S e a d la distancia e n tre O y G y JQe l m om ento d e inercia d e m asa d e l cu erp o c o n res pecto a l eje z (p erpendicular tanto a * com o a y). C on un desplazam iento 0. e l p a r de torsión d e restauración (debido a l peso d e l cuerpo W ) e s (W d sen 0) y la ecuación d e m o vim iento es J00 + W d s c n 0 = 0

(E.1)

Cfcserve q u e la ecuación ( E l ) es una ecuación diferencial ordinaria no lineal d e segundo grado. A unque es posible d eterm inar una solución exacta d e esta ecuación (v ea la sección 1 3 3 . e n inglés, en e l sitio W eb), las soluciones exactas no se pueden encontrar c o n la m ayoría d e la s ecuaciones diferenciales no lineales. Una solución aproxim ada d e la ecuación ( E .l) se puede encontrar p o r uno d e d o s m étodos. S e puede u tilizar un procedim iento num érico p ara integrar la ecuación ( E 1). P o r o tra parte, la ecuación ( E l ) puede s e r aproxim a da p o r u n a ecuación lineal c u y a solución e x acta e s fácil d e determ inar. Para u tilizar el últim o procedim iento, suponem os desplazam ientos angulares pequeños d e m odo q u e 0 sea pequeño y sen 0 & 0 . P o r consiguiente, la ecuación ( E 1) se puede representar d e form a aproxim ada p o r la ecuación lineal: J0 'Ó + W d 0 = 0

y

Figura 2 .1 5 Péndulo com puesto.


(E 2 )

138

C a p ítu lo 2

V ib ra c ió n l ib r e d e s i s t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d Esta ecuación d a la frecuencia natural d e l péndulo com puesto: r V /2 .

C om parando la ecuación ( E 3 ) c o n la frecuencia natural d e un péndulo sim ple. 2 6 1 ). podem os d eterm inar la longitud del péndulo sim ple equivalente:

'

■

md

=

(E .3)

= (g /í)in (v ea e l problem a

4 >

Si m k l reem plaza a Jo, d o n d e *„ es el radio de giro d e l cuerpo alrededor d e 0 . las ecu acio n es ( E .3) y ( E 4 ) se escriben com o

a

(S)

* - i * r

'=

<“ >

Si *c indica e l radio de giro d e l cuerpo alrededor d e G, tenem os *5 = 4

+ d2

< E 7)

y la ecuación ( E 6 ) s e escribe com o

-OH

I =

+ d 1

(E .8)

Si la lín e a 0 G s e extiende hasta e l punto A d e m odo que

GA = - j a

(E .9)

/ = G A + d = OA

(E IO )

l a ecuación ( E 8 ) se vuelve

Etar consiguiente, d e acuerdo c o n la ecuación ( E 5 ) . a», está d a d a por

Esta ecuación dem uestra q u e no im porta si e l cu erp o gira a lre d ed o r de 0 o A. su frecuencia natural es l a misma. 0 punto A se conoce com o centro d e percusión.

C e n t r o d e p e r c u s i ó n . L o s c o n c e p to s d e p é n d u lo c o m p u e s to y c e n tro d e p e r c u s ió n s e p u e d e n u ti liz a r e n m u c h a s a p lic a c io n e s p rá c tic a s : 1.

S e le p u e d e d a r fo rm a a u n m a r tillo d e m o d o q u e e l c e n tro d e p e r c u s ió n q u e d e e n la c a b e z a y e l c e n tro d e r o ta c ió n e n e l m a n g o . E n e s t e c a s o , la f u e r z a d e im p a c to e n l a c a b e z a d e l m a rtillo no p ro v o c a rá n in g u n a r e a c c ió n n o rm a l e n e l m a n g o ( f i g u r a 2 . 16( a )) .


2 .4

R e sp u e sta d e s iste m a s d e p r im er o r d e n y c o n s ta n te d e tie m p o

139

F ig u ra 2 .1 6 A plicaciones del c e n tro de percu sió n .

2 . B i un b a te d e b é is b o l, s i p o r u n l a d o s e h a c e q u e l a p e lo ta c h o q u e e n e l c e n tr o d e p e rc u s ió n m ie n tra s q u e e l c e n tr o d e r o ta c ió n e s t á e n l a s m a n o s , e l b a te a d o r n o e x p e r im e n ta r á n in g u n a re a c c ió n p e r p e n d ic u la r a l b a te ( f ig u r a 2 .1 6 (b ) ) . P e r o s i p o r o tr o l a d o la p e lo ta c h o c a c o n e l b a t c e r c a d e l e x tr e m o o c e r c a d e l a s m a n o s , e l b a te a d o r e x p e r im e n ta r á d o lo r e n l a s m a n o s d e b id o a la r e a c c ió n p e rp e n d ic u la r a l b a te . 3 . B i l a p ru e b a Iz o d ( im p a c to ) d e m a te ria le s , e l e s p é c im e n s e in s e r ta e n u n t o m i l lo d e b a n c o fijo e n la b a s e d e l a m á q u in a ( v e a l a fig u ra 2 .1 6 (c )). S e l ib e r a u n p é n d u lo d e s d e u n a a ltu r a e s tá n d a r , y e l p é n d u lo a l p a s a r p o r su p o s ic ió n m á s b a ja g o lp e a e l e x tr e m o lib re d e l e s p é c im e n . L a d e f o r m a c ió n y f le x ió n d e l p é n d u lo s e p u e d e n r e d u c ir si e l c e n tr o d e p e rc u s ió n se lo c a liz a c e r c a d e l b o r d e d e g o lp e o . E n e s t e c a s o , el p iv o te s e lib e r a d e c u a lq u ie r re a c c ió n im p u ls iv a . 4 . B i u n a u to m ó v il ( m o s tr a d o e n l a fig u ra 2 .1 6 (d ) ) . s i la s ru e d a s d e la n te r a s g o lp e a n un to p e , los p a s a je r o s n o s e n tir á n n in g u n a r e a c c ió n si e l c e n tr o d e p e rc u s ió n d e l v e h íc u lo s e lo c a liz a c e r c a d e l e je tr a s e r o . A s im is m o , s i la s ru e d a s tr a s e r a s g o lp e a n u n to p e e n e l p u n to A , n o se s e n t ir á n in g u n a re a c c ió n e n e l e je d e la n te r o ( p u n to O ) s i e l c e n tr o d e p e r c u s ió n s e lo c a liz a c e r c a d e l e je d e la n te ro . L o d e s e a b le , p o r c o n s ig u ie n te , e s t e n e r e l c e n tr o d e o s c ila c ió n d e l v e h íc u lo e n un e je y e l c e n tro d e p e r c u s ió n e n e l o t r o e je [2 .2 ).

2 .4

R e s p u e s ta d e s is te m a s d e p r i m e r o r d e n y c o n sta n te de tie m p o C o n s id e r e m o s un r o to r d e tu r b in a m o n ta d o s o b r e c o jin e te s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 .1 7 ( a ) . F.I flu id o v is c o s o ( lu b ric a n te ) e n lo s c o jin e te s p ro d u c e u n p a r d e to rs ió n d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o d u ra n te l a ro ta c ió n d e l ro to r d e l a tu rb in a . S u p o n ie n d o q u e e l m o m e n to d e i n e r c ia d e m a s a d e l r o to r c o n r e s p e c to a l e je d e ro ta c ió n c o m o J y l a c o n s ta n te d e a m o r tig u a m ie n to ro ta c io n a l d e lo s c o jin e te s c o m o c r l a a p lic a c ió n d e la s e g u n d a le y d e m o v im ie n to d e N e w to n d a la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l r o to r c o m o

J io

+

Cfio

= 0


( 2 .4 7 )

C a p ítu lo 2


d io

cfondc
10 = —

e s l a v e lo c id a d d e c a m b io d e l a v e lo c id a d a n dt g u ia r, y s e s u p o n e q u e e l p a r d e to r s ió n e x te rn o a p lic a d o a l s is te m a e s c e ro . S u p o n e m o s l a v e lo c id a d a n g u la r in ic ia l.
0 ) = u¡Qc o m o l a e n tra d a y l a v e lo c id a d a n g u la r d e l

r o to r c o m o l a s a lid a d e l

s iste m a . O b s e rv e m o s q u e s e c o n s id e r a l a v e lo c id a d a n g u la r, e n lu g a r d e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r , c o m o l a s a lid a p a r a o b te n e r l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to c o m o u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l d e p r im e r g ra d o . L a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l r o to r , l a e c u a c i ó n ( 2 .4 7 ) . s e e n c u e n tr a a l c o n s id e r a r la s s o lu c ió n d e p r u e b a c o m o o> (í) = A e f «

( 2 .4 8 )

i b n d c A y s s o n c o n s ta n te s d e s c o n o c id a s . U tiliz a n d o l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s . u j(t = 0 ) = tu,,, la e c u a c ió n ( 2 .4 8 ) s e e s c rib e c o m o
R otor e n los cojinetes (a)

(b)

Figura 2.17


( 2 .4 9 )

25

M étod o d e la e n e r g ía d e R a y le ig h

141

S i su stitu im o s la e c u a c ió n ( 2 .4 9 ) en la e c u a c ió n ( 2 .4 7 ) . o b te n e m o s

+ o) - 0

(2.50)

Como ioQ ■ 0 no hace que se “ mueva" el rotor, suponemos que to0 # 0 y la ecuación se satisface sólo si J s + c, = 0

(2.51)

La ecuación (2 .5 1) se conoce como ecuación característica de la cual reulta s ■ - y . Por lo tanto la solución, ecuación (2.49), se escribe como t o ( t ) = ox0e ~ ' 1

(252)

La variación de la velocidad angular, dada por la ecuación (2.52), con eltiempo se muestra en la figura 2.17(b).l a curva se inicia en tu,,, mengua y tiende a cero a medida que t se incrementa sin límite. Cuando se manejan respuestas exponencial mente menguantes, como las dadas por la ecuación (2.52), es conveniente describir la respuesta en función de una cantidad conocida como c o n sta n te de tie m p o (r ). La constante de tiempo se define como el valor de tiempo que hace el exponente en la ecuación (2.52) igual a -1 . Cómo se sabe que el exponente de la ecuación (2.52) es - — r,la constante de tiempo será igual a r = j

(2.53)

(t

de modo que, para / = r . la ecuación (2.52) da,
(2.54)

Por lo tanto, la respuesta se reduce a 0.368 veces su valor inicial en un tiempo igual a la constante de tiempo del sistema.

2.5

M é t o d o d e la e n e r g ía d e R ayle ig h Para un sistema de un solo grado de libertad, la ecuación de movimiento se derivó con el método de energía de la sección 2.2.2. En esta sección lo utilizaremos para determinar las frecuencias na turales de sistemas de un solo grado de libertad. El principio de conservación de la energía, en el contexto de un sistema vibratorio no amortiguado, se puede volver a formular como 7j + í/, = T2 + U2

(2.55)

donde los subíndices 1y 2 implican dos instantes de tiempo diferentes.Específicamente, utiliza mos el subíndice 1para indicare! tiempo en que la masa pasapor su posición de equilibrio estático y elegimos U t = 0 como referencia para la energía potencial. Si el subíndice 2 indica el tiempo co rrespondiente al desplazamiento máximo de la masa, tenemos T2 = 0. Por consiguiente, la ecuación (2.55) se escribe como

Ti

+ 0 -

0 +

lh


(2 .5 6 )

142

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d S i e l s is te m a e s t á e x p e rim e n ta n d o m o v im ie n to a r m ó n ic o , e n to n c e s T y y U 2 in d ic a n l o s v a lo re s m á x im o s d e T y ( / .r e s p e c t i v a m e n t e , y l a e c u a c ió n s e v u e lv e Tinix = Um U

(2 .5 7 )

L a a p lic a c ió n d e l a e c u a c ió n ( 2 .5 7 ) . c o n o c id a ta m b ié n c o m o m é to d o d e e n e r g ía d e R a y le ig h . d a la fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a d ire c ta m e n te , c o m o s e ilu s tra e n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s .

E je m p lo 2 .7

M a n ó m e tro d e m o t o r diesel El e sc a p e d e un m o to r d iesel d e cuatro tiem pos d e u n cilindro se tiene que c o n e c ta r a un silenciador, y la presión en e sc lugar se tiene q u e m edir c o n un m anóm etro d e tu b o e n U sim ple (v ea la figura 2.18). C alcule b longitud m ínim a d e l tubo d e l m anóm etro d e m odo que la frecuencia natural ( b oscilación d e la colum na cfc m ercurio se a 3.5 veces m ás lenta q u e las frecuencias d e las fluctuaciones d e presión e n e l silenciador a in a velocidad d e l m o to r de 6 0 0 rpm . L a frecuencia de fluctuación de la presión e n e l silenciador es igual a C antidad de c ilin d ro s X Velocidad d e l m otor 2

Solución: 1. F recuencia natural d e oscilación d e ¡a colum na d e líquido: C onsidere e l n ivel d e referencia m ostrado en la figura 2.18 c o m o la posición d e equilibrio de! líquido. S i x d enota e l desplazam iento d e la colum na de líquida a p artir d e la posición d e equilibrio, e l cam bio d e la energía p o tencial es U = energía p o tencial de la c o lu m n a de líquido expandido + en erg ía potencial de la c o lu m n a d e líquido contraído = (peso del m ercurio ex p an d id o X desplazam iento d e l C .G . d e l segm ento) + (peso d e l m ercurio contraído X desplazam iento d e l C .G . del segm ento) = ( A x y ) ¿ + ( A x y ) | = A yx2

(E.1)

N iv e l d e r e f e r e n c ia

Figura 2 .1 8 M a n ó m e tro d e tu b o e n U.


25


143

donde A e s e l área d e sección transversal de la colum na de m ercurio y -y e s e l peso específico d e l m ercurio. F l cam bio d e la energía cinótica está d a d o por T = ^ ( m a s a d e m ercurioX velocidad)2

“

donde l e s la longitud d e la colum na d e m ercurio. Suponiendo m ovim iento arm ónico, podem os escribir x (l) = X c o s to j

(E 3 )

d o n d e X e s e l desplazam iento m áxim o y o»(1e s la frecuencia natural. S i sustituim os la ecu ació n ( E 3 ) e n las ecuaciones ( E 1) y < E 2). obtenem os U = */m í, c o s : < v

(E 4 )

T = 7m4x s e n 'o v

(E 5 )

" m i, = A y X 2

(E 6 )

donde

=

(E 7 ,

Igualando Umít a ^ . . o b t e n e m o s la frecuencia natural:

«. = I=r r

= (¥ )'

2.

(E-8)

Ijm g itu d d e la colum na d e m ercurio: La frecuencia d e las fluctuaciones de la presión e n el silenciador 1 x 600 2

= 300 rpm = ^

= 10n rad/s

(E 9 )

00

P o r lo tanto, la frecuencia d e la s oscilaciones d e la c o lu m n a d e líquido en e l m anóm etro e s 10jr/3.5 = 9.0 rad/s. A plicando la ecuación ( E 8 ) . obtenem os


144

C a p ítu lo 2

E je m p lo 2 .8


E fe c to d e la m a s a e n

ton d e u n

re s o rte

Efctermine e l efecto d e la m asa d e l resorte en la frecuencia nalural d e l sistem a resorte-m asa que s e m uestra en b figura 2.19. S olución: Rira determ inar e l efecto cfc la m asa del resorte e n la frecuencia natural d e l sistem a resorte-m asa, surram o s la energía cinética d e l sistem a a la d e la m asa ad ju n ta y utilizam os e l m étodo d e en erg ía p ara determ inar la frecuencia natural. S e a I la longitud total d e l resorte. S i x indica e l desplazam iento del extrem o inferior del resorte (o m asa m ), e l desplazam iento a la distan cia y d e l soporte es ){ d í) . A sim ism o, si i denota la velocidad de la m asa m . la velocidad d e un elem ento d e resorte situado a u n a distancia y d e l soporte e s y ( ¿ / / ) . l a energía cinética d e l elem ento de resorte d e longitud d y es

( F -l)

cbndc m , c s la m asa d e l resorte. La energía cin é tic a total del sistem a se expresa com o T = energía cinética d e la m asa (Tm) + energía cinética d e l resorte {T¿¡

(E .2)

La energía potencial total d e l sistem a está d a d a por U = \k ¿

(E .3)

x ( t ) = X eos

(E .4)

Suponiendo un m ovim iento arm ónico

cbndc X c s el desplazam iento m áxim o d e la m asa y c o .c s l a frecuencia natural, las energías cinética y potencial se ex p resan com o (E .5)

(E .6)

x i)

F ig u ra 2 .1 9 M asa e q u iv a le n te d e u n re so rte .


25 Igualando


145

y í / ^ , o btenem os la expresión para la frecuencia natural:

(

* (E.7)

A sí s e con tien e e l efecto de la m asa d e l resorte a l agregar un tercio de su m asa a la m asa principal |2.3J.

E je m p lo 2 .9

E fe cto d e la m a sa d e la c o lu m n a s o b re la fre c u e n c ia n a tu ra l del t a n q u e d e a g u a E ncuentre la frecuencia de vibración transversal d e l tanque d e agua considerada e n e l ejem plo 2.1 y la figura 2.10 c o n la m asa d e la colum na incluida. S o lu c ió n : Para incluir la m asa d e la colum na, determ inam os la m asa equivalente de la c o lu m n a e n e l extrem o libre m ediante la equivalencia de energía cinética y utilizam os un m odelo d e un solo g ra d o d e libertad para hallar la frecuencia natural de vibración. La colum na del tanque se considera c o m o una viga e n voladizo con un extrem o em potrado (suelo) y una m asa A /(tanquc d e a g u a ) e n e l otro extrem o, l a deflexión estática d e una viga en voladizo producida por una carga con cen trad ! e s (v ea la figura 2 .2 0 ):

M

= g | < s - x) = * ¿ ( a i - x) = ^ ( 1 , - 1 - , J)

(E l)

La energía cinética m áxim a de la viga ( T ^ ) es

í / y w x » 1'

(e .2)

d o n d e m e s la m asa total y (m //) e s la m asa por u n id ad d e longitud d e la viga. S e puede u tiliz a r la ecu ació n (E. I ) pora expresar la variación de la velocidad y (x ) . com o

í(x ) = ^ ( 3 x !í -

y por consiguiente la ecu ació n (E .2 ) se escribe como


(E3)

146

C a p ítu lo 2


-------------F ig u ra 2 .2 0 Masa e q u iv alen te d e la c o lu m n a.

Si m^ indica la m asa e q u i\a le n ic de la viga e n voladizo (tanque de a g u a) e n e l extrem o libre, su en erg ía ciné tica m áxim a s e ex p resa com o

T’má. =

t 'w

(E .5)

L.

Si igualam os las ecuaciones (E .4) y (E .5). obtenem os 33

(E 6 )

R ir lo tanto, la m asa efectiva total que actúa en e l extrem o d e la v ig a e n voladizo es

* W = M + wto,

(E .7 )

d in d e M es la m asa d e l tanque de a g u a. La frecuencia natural de vibración transversal d e l tanque d e a g u a es

“ ■= V

2 .6

E =

1—

—33 k

"

+ ¡4 o "

V ib ra c ió n lib re c o n a m o r t i g u a m i e n t o v is c o s o C b rn o s e m a n if e s tó e n l a s e c c ió n 1.9. l a fu e rz a d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o F e s p ro p o r c io n a l a la v e lo c id a d x o v y s e e x p r e s a c o m o

E c u a c ió n de m o v im ie n t o

F = -e x

( 2 .5 8 )

d i n d e c e s l a c o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to o c o e fic ie n te d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o y e l sig n o in d ic a q u e la f u e r z a d e a m o r tig u a m ie n to s e o p o n e a la d ire c c ió n d e la v e lo c id a d . E n l a fig u ra 2.21 x

m u e s tra un s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d c o n un a m o r tig u a d o r v is c o s o . S i x s e m id e a

p a rtir d e l a p o s ic ió n d e e q u ilib r io d e l a m a s a m . la a p lic a c ió n d e l a le y d e N c w to n d a p o r re s u lta d o h e c u a c ió n d e m o v im ie n to : mx = -e x - kx

o

nix + ex

+

kx =


0

(2 .5 9 )

2 .6

kx

V ib r a c ió n lib re c o n a m o r tig u a m ie n to v isc o so

147

ex

m

m

+x +* S is te m a

Diagrama d e cuerpo libre

(a)

(b )

^

, S istem a ^ u n ^

^

dfi

libertad con a m o rtig u a d o r viscoso.

P a ra r e s o lv e r l a e c u a c ió n ( 2 .5 9 ) , s u p o n e m o s u n a s o lu c ió n e n la fo rm a *(/) = Ce*

(2 .6 0 )

d o n d e C y s s o n c o n s t a n t e s in d e te rm in a d a s . L a in s e r c ió n d e e s t a f u n c ió n e n l a e c u a c ió n ( 2 .5 9 ) n o s lle v a a l a e c u a c ió n c a ra c te rís tic a m s~ + e s 4- * = 0

(2 .6 1 )

c u y a s ra íc e s s o n

- c

i V

J

4mk

__£_4 2m

2m

i f \ \2 r r i)

.

í m

(2 .6 2 )

E s ta s r a íc e s d a n d o s s o lu c io n e s a l a e c u a c ió n (2 .5 9 ): * i(0

= C ,* "

y

x2( r ) = C 2e »

(2 .6 3 )

P o r lo ta n to , l a s o lu c ió n g e n e ra l d e l a e c u a c ió n ( 2 .5 9 ) e s u n a c o m b in a c ió n d e la s d o s s o lu c io n e s * , ( / ) y * 2( 0 :

x ( t ) = C,**' + C2e*'

(2 .6 4 ) d o n d e C ( y C 2 s o n c o n s ta n te s a r b itra r ía s q u e s e tie n e n q u e d e te r m in a r a p a r t i r d e l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s d e l s is te m a . C o n s t a n t e d e a m o r t i g u a m i e n t o c r ít i c o y l a r e l a c i ó n d e a m o r t i g u a m i e n t o . E l a m o rtig u a m ie n to c r ític o c c s e d e fin e c o m o e l v a lo r d e l a c o n s ta n te d e a m o r tig u a m ie n to c c o n la c u a l e l ra d ic a l e n la e c u a c ió n ( 2 .6 2 ) s e v u e lv e c e ro :

fe )’ http://librosysolucionarios.net

148

C a p ítu lo 2


:c = 2 m y j ^ = 2 \ Z k m

(2 .6 5 )

= 2 /n u in

Rrra cualquier sistema amortiguado, la relación de amortiguamiento £ se define como la relación de h constante de amortiguamiento a la constante de amortiguamiento crítico: (2.66)

( = c/cc

Utilizando las ecuaciones (2.66) y (2.65). podemos escribir

<267) y por consiguiente ! ,j -

(-{

± V i1 -

1 )» .

( 2 .6 8 )

Así. la solución, ecuación (2.64). se escribe como

x ( t ) = C Ie < " * + v 'F T W +

(2.69)

la naturaleza de las raíces s, y s 2 y por consiguiente el comportamiento de la solución, ecuación (2 .6 9 ), dependen de la magnitud del amortiguamiento. Se ve que el caso f ■ 0 conduce a las vibra ciones no amortiguadas que se analizan en la sección 2 .2 . ft>r consiguiente, suponemos que £ * 0 y ponemos a consideración los tres casos siguientes. Caso 1. S istem a n o a m o rtig u a d o (f < 1 o c < c f o c!2m < ' Z k ¡ m ). En esta condición (£2 — 1) es negativa y las raíces j| y s3se expresan como

n - ( - í + í V i - i 3K j a = ( - f - . V i

- í 2k

y la solución, la ecuación (2.69). se puede escribir de diferentes formas: * (/) = c j r l + f i f c f r * + c , e ( - í - .V T ? w

C xe

=

^

^

+

|

= e"<0V| ( C , + C2) c o s V l - f t ú j + i(C , - C2)scn V i - ¿ w

=

e~

|

C \ eos V

i

- { 2i o j + C 2 senV i - £2w „ / 1


j

2 .6

V i b r a d ó n lib re c o n a m o r t i g u a m ie n t o v isc o so

=

- í V

149

+

= x r 1- - ' eos ^ VV i - f( 2Woj„i - < ■t>t'j|

(2.70)

d o n d e ( C j , C'2 ) , (X,) y ( X 0 ,4>o) s o n c o a s ta n te s a r b itra r ia s q u e s e tie n e n q u e d e te r m in a r a p a rtir d e la s c o n d i d o n e s in ic ia le s . E n l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s * ( / = 0 ) = x 0 y x ( t = 0 ) =

xq , C

\ y C 2. s e d e te r m in a n c o m o

sig u e:

c i— y p o r c o n s ig u ie n te la s o lu c ió n es

* ( , ) = e - ( ^ { XQc o s V i -

+

? a > nt

sen V i V i -

( 2 üj„i |

(2.72)

£*„

L a s c o n s ta n te s (X . tfi) y (X0,
X = * 0 = V ( C |) « + ( C ; ) ; =

( 2 .7 3 )

‘(S — & ? £ ) El m o v im ie n to d e s c rito p o r la e c u a d ó n ( 2 .7 2 ) e s u n m o v im ie n to a r m ó n ic o a m o r tig u a d o d e f r e c u e n d a a n g u l a r V i - f 2 <*V p e ro p o r q u e d e l f a c to r e ~^“ J l a a m p l i t u d d is m in u y e e x p o n e n c ia l m e n te c o n e l tie m p o , c o m o s e m u e s tra e n l a f i g u r a 2 .2 2 . Ira c a n tid a d « J - V l

- F io n

(2 .7 6 )

se c o n o c e c o m o f r e c u e n c i a d e v ib r a c ió n a m o r tig u a d a . -Se v e q u e l a f r e c u e n d a d e v ib ra c ió n a m o r tig u a d a tod s i e m p r e e s m e n o r q u e l a f r e c u e n d a n a tu ra l no a m o r tig u a d a ioa. Ira d is m in u c ió n e n la fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n a m o r tig u a d a c o n la c a n tid a d c r e c ie n te d e a m o r tig u a m ie n to , d a d a p o r la e c u a c ió n ( 2 .7 6 ) , s e m u e s tra g r á fic a m e n te e n l a f ig u ra 2 .2 3 . E l c a s o s u h a m o r tig u a d o e s m u y im p o rta n te e n e l e s tu d io d e v i b r a d o n e s m e c á n ic a s , y a q u e e s e l ú n ic o c a s o q u e c o n d u c e a u n m o v im ie n to o s c ila to r io (2 . 101.


C a p ítu lo 2


x(i)

" (

F igura 2 .2 3 V ariación de wrfc o n a m o rtig u a m ie n to .

C a s o 2 . S is te m a c r ític a m e n te a m o r tig u a d o ( £ = 1 , c c o c /2 m = ra íc e s j | y

V t / m ) . E n e s te c a s o la s d o s

l a e c u a c ió n ( 2 .6 8 ) s o n ig u a le s :

p -7 7 ) R>r la s r a íc e s r e p e tid a s , la e c u a c ió n ( 2 .6 ) 1d a la s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 2 .5 9 ) c o m o sig u e : x { t ) = (C , +

( 2 .7 8 )

■ T a m b ié n s e p u e d e o b c e n e r l a e c u a c i ó n ( 2 . 7 8 ) s i s e h a c e q u e £ r i e n d a a l a u n i d a d e n e l l i m i t e e n l a e c u a c i ó n ( 2 . 7 2 ) . A m e d i d a q u e £ - • 1 .« . - * 0 ;, d e ah í q u e e o s

- * I y s e n c u ,/ - * c u ,/. P o r l o t a n t o , la e c u a c ió n ( 2 .7 2 ) d a p o r r e s u lta d o

* < /) = e - * ( C {

+ C

M

= (C , +

t t o n d e C | -■ C ¡ y C : = C '^ o j s o n c o n s t a n t e s n u e v a s .


'

2 .6


151

x(l) S o b rc a m o itig u a d o ( ¿ > /

1)

N o a m o rtig u a d o ( ¿ =

C ín ic a m e n te

0)

S u b a m o rtig u a d o < ¿ <

1

r ------------------- « i ---------------------- 1 F ig u ra 2 .2 4 C om paración d e l m o v im ien to c o n d ifere n te s tipos d e a m o rtig u am ie n to .

l a a p lic a c ió n d e l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s x ( t = 0 ) = x 0 y x ( t = 0 ) = j 0 e n e s te c a s o re s u lta Ci = x0 C2 = xo +

u í „x o

( 2 .7 9 )

y l a s o lu c ió n es

x ( t ) = [x0 + (-¿o + <0*xo

( 2 .8 0 )

S e v e q u e e l m o v im ie n to r e p re s e n ta d o p o r l a e c u a c ió n ( 2 .8 0 ) e s ( p e r i ó d ic o { e s d e c ir , n o p e rió d ic o ). C o m o e~ u,J —* 0 a m e d id a q u e / —* < » , e1 m o v im ie n to fin a lm e n te s e r e d u c e a c e r o , c o m o s e in d ic a e n la f ig u r a 2 .2 4 . C a s o 3 . S is te m a s o b r e a m o r iig u a d o ( £ > I o c > ce o c í l m y / k j m ) . C u a n d o y / i 2 — 1 > 0 . la e c u a c ió n (2 .6 8 ) m u e s tra q u e l a s r a íc e s y s 2 s o n r e a le s y d is tin ta s y e s tá n d a d a s p o r

- < - í +

y /i2 -

*2 =

con s2

V ? ^ T k < o i k

< o

s ,. E n e s t e c a s o , l a s o lu c ió n , e c u a c ió n ( 2 .6 9 ) . s e e x p r e s a c o m o

x ( / ) = C xe (- ^ ^ - x )n J + C 2e , ~í " V
( 2 .8 1 )

E n l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s x (r = 0 ) = Xq y x { t = 0 ) = ¿ 0. l a s c o n s ta n te s C , y C 3* o b tie n e n c o m o sig u e : „

c ' =

W

í

+ V i2 -

J ..V

i ) + io

P 3 Í


152

C a p ítu lo 2


-

„ 2t oK v ^ — í

L a e c u a c i ó n ( 2 .8 1 ) m u e s tra q u e e l m ov im ie n to e s a p e rió d ic o in d e p e n d ie n te m e n te d e la s c o n d ic io r t s in ic ia le s im p u e s ta s e n e l s is te m a . C o m o la s r a íc e s j , y S j s o n n e g a tiv a s , e l m o v im ie n to s e re d u c e e x p o n e n c ia lm e n te c o n e l tie m p o , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 .2 4 . O b s e rv e lo s s ig u ie n te s a s p e c to s d e e s to s s is te m a s : 1. 1.a re p re s e n ta c ió n g rá fic a d e lo s d if e r e n te s tip o s d e r a íc e s c a r a c te rís tic a s r , y s 2, a s í c o m o las r e s p u e s ta s c o r re s p o n d ie n te s ( s o lu c io n e s ) d e l s is te m a s e p re s e n ta n e n l a s e c c ió n 2 .7 . L a r e p re s e n ta c ió n d e l a s r a íc e s r , y s 2c o n v a lo re s v a ria b le s d e lo s p a rá m e tro s d e l s is te m a c . k y m e n e l p la n o c o m p le jo ( c o n o c id a s c o m o g r á fic a s d e l lu g a r g e o m é tric o d e la s ra íc e s ) s e c o n s id e r a e n la s e c c ió n 2 .8 . 2 . l i n s is te m a c r ític a m e n te a m o rtig u a d o te n d r á e l a m o r tig u a m ie n to m ín im o re q u e rid o p a ra m o v i m ie n to a p e r ió d ic o : p o r c o n s ig u ie n te l a m a s a r e g r e s a a l a p o s ic ió n d e re p o s o e n e l tie m p o m ás c o rto p o s ib le s i n s o b re p a s o . L a p r o p ie d a d d e a m o rtig u a m ie n to c rític o s e u tiliz a e n m u c h a s a p l i c a c io n e s p r á c tic a s . f\> r e je m p lo , l a s a rm a s d e fu e g o g r a n d e s t ie n e n a m o r tig u a d o re s h id rá u lic o s c o n v a lo r d e a m o r tig u a m ie n to c r ític o , d e m o d o q u e r e g re s e n a s u p o s ic ió n o r ig in a l d e s p u é s d e re c u la r e n u n tie m p o m ín im o s in v ib ra r. S i e l a m o rtig u a m ie n to f u e ra m a y o r q u e e l v a lo r c r ític o , se p re s e n ta ría u n a d e m o r a a n te s d e l s ig u ie n te d is p a r o . 3 . l a re s p u e s ta d e u n s is te m a lib re a m o rtig u a d o d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d s e p u e d e re p re s e n ta r e n e l p la n o d e fa se o e s p a c io d e e s ta d o c o m o s e in d ic a e n la fig u r a 2 .2 5 .

2.

R d e c r e m e n to lo g a rítm ic o r e p re s e n ta l a v e lo c id a d a l a cual s e re d u c e l a a m p litu d d e u n a v ib ra c ió n lib re a m o rtig u a d a . S e d e f in e c o m o el lo g a r itm o n a tu ra l d e la r e la c ió n d e c u a lq u ie r a d e l a s d o s

D e c re m e n to lo g a rítm ic o

a m p litu d e s s u c e s iv a s . S e a n / , y h lo s tie m p o s c o r re s p o n d ie n te s a d o s a m p litu d e s s u c e s iv a s ( d e s p la z a m ie n to s ) . m e d id a s u n c ic lo a p a rte p a r a u n s is te m a s u b a m o r tig u a d o , c o m o e n l a fig u r a 2 .2 2 . U tiliz a n d o la e c u a c ió n ( 2 .7 0 ) , p o d e m o s fo rm a r l a r e la c ió n X\ _

X p e ío* ' e o s ( w j t j ~ «fo)

*2

Xbe"ía*ÍJcos(
(2 .8 3 )

C r itic a m e n te a m o r tig u a d o

(«O ¿o) X —Sobream oriiguado

1----------------- » x (t)

S u b a m o rtig u a d o

F igura 2-25 M ano de fase d e u n sistem a a m ortiguado.


2 .6


153

P e ro l 2 = T j + r d, d o n d e td = 2ir/di2 -

4>q) — c o s ( 2 t t + (tídt , -

<£0) = c o s f i u ^ i - d»0) . y l a e c u a c ió n ( 2 .8 3 ) s e e s c rib e c o m o

(2 .8 4 ) x2

EJ d e c r e m e n to lo g a rítm ic o S s e o b tie n e p o r l a e c u a c ió n ( 2 .8 4 ) :

a - in£L. x2

gaj„Td=

=

-^ L = V

=

T ^ 3

(2.85) « rf

2m

P a ra a m o rtig u a m ie n to p e q u e ñ o , l a e c u a c ió n ( 2 .8 5 ) s e p u e d e e s c rib ir c o m o 8 =* 2 i r £

si

£ «

1

(

2 . 86 )

L a f i g u r a 2 .2 6 m u e s tra l a v a r ia c ió n d e l d e c r e m e n to lo g a rítm ic o 5 c o n l a £ d a d a p o r l a s e c u a c io n e s (2 .8 5 ) y ( 2 .8 6 ) . S e o b s e r v a q u e c o n v a lo r e s h a s ta £ = 0 .3 . l a s d o s c u r v a s s o n d if íc ile s d e d is tin g u ir. E l d e c r c m e n to lo g a r ítm ic o no tie n e u n id a d e s y e n r e a lid a d e s o t r a fo r m a d e l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to £ s in u n id a d e s . U n a v e z c o n o c id a 8 . £ s e d e te rm in a re s o lv ie n d o l a e c u a c ió n ( 2 .8 5 ):

(2 .8 7 ) V ( 2 ir )2 + 8 2

S i u tiliz a m o s l a e c u a c ió n ( 2 .8 6 ) e n lu g a r d e l a e c u a c ió n ( 2 .8 5 ) . te n e m o s

(

2 .8 8 )

F igura 2 .2 6 Variación del d e c re m e n to lo g arítm ico con a m o rtig u am ie n to .


154

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d S i n o s e c o n o c e e l a m o r tig u a m ie n to e n e l s is te m a d a d o , p o d e m o s d e te rm in a rlo e x p e r im e n ta l m e n te m id ie n d o c u a lq u ie r a d e lo s d o s d e s p la z a m ie n to s c o n s e c u tiv o s x¡ y x 2. T o m a n d o e l lo g a r itm o n a tu ra l d e l a r e la c ió n d e x , y x 2. o b te n e m o s S. S i u tiliz a m o s l a e c u a c ió n ( 2 .8 7 ) , p o d e m o s c a lc u la r l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to £ . D e h e d i ó , l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to ta m b ié n s e p u e d e d e te r m i n a r m id ie n d o d o s d e s p la z a m ie n to s s e p a ra d o s p o r c u a lq u ie r n ú m e ro d e c i d o s c o m p le to s . S i x ¡ y x n , ¡ in d ic a n l a s a m p litu d e s c o r re s p o n d ie n te s a lo s t ie m p o s r, y t m4., = t , + m r^ , d o n d e m e s un a l t e r o , o b te n e m o s (2 .8 9 , •* « * •1

* 2

X ) XÁ

X m + \

C b m o c u a lq u ie ra d e l o s d o s d e s p la z a m ie n to s s u c e s iv o s s e p a ra d o s p o r u n c i d o s a tis f a c e n la e c u a c ió n — = x j +1

( 2 .9 0 )

L a e c u a d ó n (2 .8 9 ) s e v u e lv e (2 .9 1 ) x m+i L a s e c u a c io n e s (2 .9 1 ) y ( 2 .8 5 ) d a n p o r re s u lta d o

(2 .9 2 )

m

\xm+\/

la s c u a le s s e p u e d e n s u s titu ir e n l a e c u a c ió n ( 2 .8 7 ) o e n la ( 2 .8 8 ) p a r a o b te n e r l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o £.

? . 6 . 4 ________

E n un s is te m a v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o , l a v e lo c id a d d e c a m b io d e e n e r g ía c o n e l tie m p o (d W /d t) es

E n e rg ía d is ip a d a e n a m o r t ig u a m ie n t o VISCOSO

dw = dt

—

( dxy I \ dl >

f u e r z a X v e lo c id a d = F v = - c v ~ = - e l —

(2 .9 3 )

f i z a n d o la e c u a c ió n (2 .5 8 ). H s ig n o n e g a tiv o e n l a e c u a d ó n (2 .9 3 ) d e n o ta q u e la e n e r g ía s e d isip a c o n d tie m p o . S u p o n g a q u e u n m o v im ie n to a rm ó n ic o s im p le c o m o x ( l) = X s e n
r( 2 » /* ¿ ) A \V = j f

/ \ 2 cí — 1 dt =

fl*

J

c X 2a t j e o s 2t ú j t ' d ( t ú j l )

T T cto jX 1

(2 .9 4 )

: E n e l c a s o d e u n s i s t e m a a m o r t i g u a d o , e l m o v i m i e n t o a r m ó n i c o s i m p l e .» < /) = X e o s t o j e s p o s i b l e s ó l o c u a n d o s e c o n s i d e r a h

r e s p u e s t a d e e s t a d o e s t a b l e b a j o u n a f u e r z a a r m ó n i c a d e f r e c u e n c i a « ¿ ( v e a l a s e c c i ó n 3 . 4 ) . L a p é r d i d a d e e n e r g í a p o r el

a m o r t i g u a d o r e s e l r e s u l t a d o d e l a e x c i t a c i ó n b a j o u n a v i b r a c i ó n f o r z a d a d e e s t a d o e s t a b l e ( 2 . 7 J.


2 .6


155

Esto demuestra que la energía disipada es proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento. Observe que no es una constante para valores dados de amortiguamiento y amplitud, puesto que AlV también es una función de la frecuencia u>¿. La ecuación (2.94) es válida aun cuando haya un resorte de rigidez k paralelo al amortiguador viscoso. Para ver esto, considere el sistema de la figura 2.27. I-a fuerza total que resiste el movi miento se expresa como F = - k x - cv = - k x - e x

(2.95)

Si suponemos movimiento armónico simple x (/ ) = X sentúd t

(2.96)

como antes, la ecuación (2.95) se escribe como F = - k X sen (o jt - ctodX eos u>d t

(2.97)

La energía disipada en un ciclo completo será

AW -

Fvdt

/

Ji-0 2«r/“ v

k X 2atd senoij/ •eos mdt •d(utdt) 19/m*

Í

C(údx 2 eos2 ü ijt ■d { ú ) ¿ ) = TTCtodX 2

(2.98)

la cual es idéntica a la ecuación (2.94). Este resultado es de esperarse, puesto que la fuerza de resor te no realizará ningún trabajo neto en un ciclo completo o en cualquier número integral de ciclos. Rjdemos calcular la fracción de la energía total del sistema vibratorio que se disipa en cada ciclo de movimiento (AW/W) como sigue. La energía total W del sistema se puede expresar tan to como la energía potencial máxima = £mX2« § ) , o como la energía cinética máxima ( \ k X 2), las cuales son aproximadamente iguales con valores pequeños de amortiguamiento. Por k) tanto

^ ■p S =2 (5 )(¿ )=28 “4,rí=a,ns,an,e '/ / / / / / / / / / / / z

l± jc

F ig u ra 2 .2 7 R e so rte y a m o r tig u a d o r e n p a ra le lo .


{2-99)

156

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d u tiliz a n d o l a s e c u a c io n e s ( 2 .8 5 ) y ( 2 .8 8 ) . L a c a n t i d a d A H '/W 'se l la m a c a n tid a d d e a m o r tig u a m ie n to e s p e c ífic a y e s út i l a l c o m p a r a r l a c a p a c id a d d e a m o rtig u a m ie n to d e m a te ria le s d e in g e n ie ría . T a m b ié n s e u t il i z a o t r a c a n tid a d c o n o c id a c o m o c o e fic ie n te d e p é r d i d a p a r a c o m p a r a r la c a p a c id a d d e a m o rtig u a m ie n to d e m a te ria le s d e in g e n ie ría . E l c o e f ic ie n te d e p é rd id a s e d e fin e c o m o l a re la c ió n (fc l a e n e r g ía d is ip a d a p o r ra d iá n y l a e n e r g ía d e d e f o rm a c ió n to ta l: ( A W /2 ir ) AH' c o e fic ie n te d e p é r d id a = ------— -------- = - — **

2

t t

(2 . I 0 0 )

W

L o s m é to d o s p re s e n ta d o s e n la s s e c c io n e s 2 .6 .1 a 2 .6 .4 p a ra v ib ra c io n e s lin e a le s c o n a m o r tig u a m ie n to v is c o s o s e p u e d e n e x te n d e r d ir e c ta m e n te a v ib ra c io n e s to r s io n a le s (a n g u la r e s ) v is c o s a m e n

S is te m a s to rs io n a le s c o n a m o r t ig u a m ie n t o v is c o s o

te a m o r tig u a d a s .

P a r a e s to ,

c o n s id e re u n

a m o rtig u a d o r v is c o s o , c o m o r is c o s o e s ( f ig u r a 2 .2 8 (b ):

s is te m a to r s io n a l d e un

s o lo g ra d o d e lib e rta d c o n un

s e m u e s tra e n la f ig u r a 2 .2 8 (a ). E l p a r d e to r s ió n d e a m o r tig u a m ie n to

T = - c ,0

(2 .1 0 1 )

c b n d e c , e s la c o n s ta n te d e a m o r tig u a m ie n to to rs io n a l v is c o s o . B = d B / d t e s l a v e lo c id a d a n g u la r cfel d i s c o , y e l s ig n o n e g a tiv o d e n o ta q u e e l p a r d e to r s ió n d e a m o r tig u a m ie n to s e o p o n e a l a d i r e c c ió n d e l a v e lo c id a d a n g u la r . L a e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e d e r iv a c o m o Jo'Ó + c ,B + k ,B = 0

(2 .1 0 2 )

c b n d e J 0 = m o m e n to d e in e rc ia d e m a s a d e l d i s c o , k , ■ c o n s ta n te d e r e s o r te d e l s is te m a (p a r d e fc rs ió n d e r e s ta u r a c ió n p o r u n id a d d e d e s p la z a m ie n to a n g u la r ) , y B = d e s p la z a m ie n to a n g u la r d e l

Z'> ° Flecha, k , ----- ►

Hui do, c ,----

Disco. J0

(a)

Jo

F ig u ra 2 .2 8 A m o rtig u a d o r v is c o s o to rs io n a l.


2 .6


157

disco. La solución de la ecuación (2.102) se determina con exactitud como en el caso de vibración lineal. Por ejemplo, en el caso subamortiguado, la frecuencia de vibración amortiguada es o>d = V l - S 2 <ü„

(2.103)

donde (2 1 0 4 )

{ = —

c,f

= T j— 2 J

= — j =

üj „

(2.105)

2V V o

donde cr es la constante de amortiguamiento torsional crítica.

E je m p lo 2 .1 0

R e sp u e sta d e l y u n q u e d e u n m a rtillo d e forja El yunque d e un m artillo d e foija pesa 5 0 0 0 N y está m ontado sobre una b a se c o n u n a rigidez d e 5 X 106 N /m y constante d e am ortiguam iento viscoso d e 10,000 N-s/m . D urante una operación d e fo rja particular, s e h ace que e l m azo (es decir, e l peso q u e c a e o e l m artillo), cuyo peso e s d e 10 0 0 N , c aig a d e sd e una a ltu ra d e 2 m sobre el yunque (figura 2 .2 9 (a » . S i el yunque está e n reposo antes d e l im pacto d e l m azo, determ ine la respuesta del yunque d e sp u é s d e l im pacto. S uponga q u e e l coeficiente d e restitución entre e l y u n q u e y e l m azo e s d e 0.4. S o lu c ió n : Primero ap licam o s e l principio de conservación d e la can tid ad d e m ovim iento y la definición del coeficiente d e restitución p ara encontrar la velocidad inicial d e l yunque. S e a n v(l y Vg, respectivam ente, las velocidades del m azo ju sto an te s y después d e l im pacto. A sim ism o, sean vu, y v¿¡ la s velocidades d e l yunque ju sto an te s y d e sp u é s d e l im pacto, respectivam ente (figura 2.29(b)). O bserve q u e e l desplazam iento d e l yun que se m ide a p artir d e su posición d e equilibrio estático y q u e to d as las velocidades s e consideran positivas cuando actúan e n d e sc en so . El principio d e conservación de la cantidad de m ovim iento (m om ento) da

W(vo2 ~ vfll) = m (v „ - vc )

*11 •V2 M

1

1

1

1 ►«2

(b)


Figura 2 .2 9 Martillo d e forja.

(E.1)

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d cbnde vfll =* 0 (el yunque está e n reposo an te s d e l im pacto) y v,, se determ ina igualando su energía cinética justo antes d e l im pacto a su energía potencial an te s d e que c aig a d e sd e una altura h = 2 m: i m v j = m gh

»7 l

(E .2)

= V 2 g h = V 2 X 9.81 X 2 = 6.26099 m /s

R ir lo tanto, la ecuación ( E 1) s e h ace

es decir, 510.204082

= 638.87653 - 102 .0 4 0 8 l3 v ,,

(E .3)

La definición del coeficiente d e restitución (r ) produce

( vo2

~

(E .4)

vai - v , i )

es decir. 0 4

.

-|

'l

6.26099 /

b q u e im plica. >-2 = v(2 + 2.504396

(E 5 )

La solución d e las ecu acio n es (E .3) y ( E 5 ) d a p o r resultado

vc = -1 .0 4 3 4 9 8 m/s

= 1.460898 m /s;

Fbr lo tanto, las condiciones iniciales d e l yunque están d a d as por

*o = 0 ;

¿ o = 1.460898 m/s

□ coeficiente d e am ortiguam iento e s igual a

£ = — j =

= — =

! =

=

=

= 0.0989949

,v 5 Las frecuencias naturales no am ortiguadas y am ortiguadas d e l y u n q u e son


2 .6


159

5 » o < £ = 9 8 'W 4 9 4 ,n ,d /' ~9M

)

•»d = ^ V l - C2 = * 9 9 4 9 4 9 \ / l - 0.0989949* = 96.024799 rad/s

La ecuación (2.72) da la respuesta del desplazamiento resultante del yunque:

* (/) =

=

E je m p lo 2 .1 1

j^ s e n < v j

{001490335 sen 98.024799 í} m

A m o rt ig u a d o r p a ra u n a m o to c ic le ta Se h a d e d iseñ ar u n am ortiguadar subam ortiguado p ara una m otocicleta d e 2 0 0 kg d e m asa (figura 2.30(a)). C u a n d o e l am ortiguador se som ete a una velocidad inicial debida a un bache, la c u n a d e desplazam ientotiem po resultante d eb e ser c o m o la que se m uestra e n la figura 2.30(b). E ncuentre las c onstantes d e rigidez y am ortiguam iento necesarias d e l am ortiguador si e l periodo de vibración am ortiguada es de 2 s y se ha de reducir la am plitud x t a un cuarto en un m edio ciclo (es decir, x u — * i/4 ). E ncuentre tam bién la velocidad inicial m ínim a q u e produce u n desplazam iento m áxim o d e 250 min. P ro c e d im ie n to : U tilizam os la ecu ació n para e l d ecrcm ento logarítm ico e n función d e la relación d e am orti guam iento. la ecu ació n p ara e l periodo de vibración am ortiguada, e l tiem po correspondiente a l desplazam iento m áxim o p ara un sistem a subam ortiguado y la envolvente q u e pasa por los puntos m áxim os d e un sistem a subam ortiguado.

*(r)

Figura 2.30 Amortiguador d e una m otocicleta.


160

C a p ítu lo 2


S olución: C om o jrL5 = x j / 4 , x j = x j .j / 4 = x ,/ 1 6 . P b r consiguiente e l decrcm ento logarítm ico es

5 = In

= ln ( I 6 ) = 2 7 7 2 6 =

(E .!)

a p artir d e l cual se en cu en tra e l v a lo r d e f c o m o ( = 0.4037. El periodo d e vibración am ortiguada es de 2 R ir consiguiente

2v

2 ir

2- J d ~ w„ = — . 2n 2 \ / l - (0.4037)

= 3 4 3 3 8 rad/s

l a constante d e am ortiguam iento crítico s e obtiene com o: cf = 2mo», = 2 (2 0 0 )(3 .4 3 3 8 ) = 1373.54 N -s/m R>r tanto, la constante d e am ortiguam iento resulta de: c = ( c e = (0 .4 0 3 7 )( 1373.54) = 554.4981 N-s/m y la rigidez por k = m u i = (2 0 0 )(3 .4 3 3 8 )’ = 2358.2652 N/m 0 desplazam iento d e la m asa alcanzará su valor m áxim o e n e l instante r e d a d o por

se n o tjt, = V I - i 2 (Vea e l problem a 2.99). Esto da sen ajji¡ = sen 7rí, = V i - (0 .4 0 3 7 )J = 0.9149

sen ■,(0.9149) /] =

= 0.3678 seg

La envolvente q u e p a sa por los puntos m áxim os (vea e l problem a 2.99) está dado por

x =

Vi -

Cbm o x = 250 m m . la ecuación ( E 2 ) d a e n e l instante /, 0.25 =

V i - (0.4037)2 X e ^ ^ > < i45*><03678>


(E.2)

2 .6


161

o X = (14550 m

La velocidad d e la m asa se obtiene diferenciando el desplazam iento

x ( t ) = X e ^ ' sen (úji

como x (t) = X e

sen w ¿t + o ij eos
(E .3)

O ra n d o / = 0. la ecuación (E .3) da ¿ ( / = 0 ) = ¿o =

= Xa>nV l -

= (0.4550)(3.4338) V T - (0 .4 0 3 7 )J

= 1.4294 m /s

E je m p lo 2 .1 2

A n á lis is d e u n c a ñ ó n E n la figura 2 .3 1 [2.8] se m uestra el diagram a de un cañ ó n . C uando s e dispara, gases a alta presión en e l in terior d e l c añ ó n aceleran e l proyectil a una velocidad m uy alta. La fuerza d e reacción em p u ja e l c añ ó n e n la dirección op u esta a la d e l proyectil. C om o k> deseable es q u e el c añ ó n esté e n reposo e n e l m ás c o rto tiem po posible sin q u e oscile, se hace q u e retroceda hacia un sistem a de resorte y am ortiguador críticam ente am orti guado llam ado m ecanism o d e retroceso. E n un c a so particular, e l cañón y e l m ecanism o d e retroceso tienen una m asa d e 500 kg con un resorte d e retroceso d e 10 .0 0 0 N/m d e rigidez. El cañón retrocede 0 .4 m cuando se dispara. Encuentre ( I ) e l coeficiente d e am ortiguam iento crítico d e l am ortiguador. (2) la velocidad de retroceso inicial d e l cañón, y (3) e l tiem po q u e requiere e l cañón p ara re g re sa ra 0 . 1 m de su posición inicial. Solución: 1. La frecuencia natural no am ortiguada del sistem a es

ftoyectil


162

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d y e l coeficiente de am ortiguam iento crítico (ecuación Z 6 5 ) d e l am ortig u ad o r es cc = 2main = 2 (5 0 0 )(4 .4 7 2 l) = 4472.1 N-s/m

2.

La ecu ació n (Z 7 8 ) da la respuesta d e un sistem a críticam ente am ortiguado:

*<0 = (C, +

C 2' ) e - * '

(E .1 )

d o n d e C , = *0 y C , = ¿ 0 + < iv 0. El tiem po í ( en q u e x (l) alcanza un v a lo r m áxim o se obtiene haciendo ¿ ( r ) = 0. La diferenciación d e la ecu ació n ( E I ) da

¿ (0 =

- (oH(C \ + C „ ) e - + ‘

P o r consiguiente, ¿ ( / ) = 0 da p o r resultado

t\ =

(E .2)

fe -a )

E n este c aso . xü - C , -^ 0 ; por c onsiguiente, la ecu ació n ( E 2 ) c o n d u ce a / , ~ 1 /a»^ C om o e l v a lo r m áxim o d e x{t) o la distan cia d e retroceso d eb en s e r = 0 .4 m , tenem os

¿ o = - W » . * = (0 .4 )(4 4 7 2 1 )(2 .7 1 8 3 ) = 4.8626 m/s

3.

S i t2 indica cuánto tiem po requiere e l c a ñ ó n para reg resar a 0.1 m d e su posición inicial, tenem os a i = C 2t2e ~•*'* = 4.8626r2e - 44721,1

(E .3)

La solución d e la ecu ació n ( E 3 ) da i2 = 0.8258 s.

R e p r e s e n ta c ió n g rá fic a d e ra íc e s c a ra c te rís tic a s y s o lu c io n e s c o r re s p o n d ie n t e s * l a e c u a c i ó n ( 2 .5 9 ) r i g e l a v ib ra c ió n lib re d e u n s is te m a d e re s o rte - m a s a -a m o r tig u a d o r v is c o s o d e m s o lo g r a d o d e lib e r ta d q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 .2 1 : R a íc e s d e la e c u a c ió n

m x + ex + kx = 0

c a r a c t e r ís t ic a

'Si es necesario, se pueden pasar por alto las secciones 2.7 y 2.8 sin que se pierda la continuidad.


( 2 .1 0 6 )

2 .7

R e p r e s e n ta c ió n g r á fic a d e r a íc e s c a r a c t e r í s ti c a s y s o l u c io n e s c o r r e s p o n d i e n te s

163

c u y a e c u a c ió n c a ra c te rís tic a s e e x p r e s a c o m o ( e c u a c ió n (2 .6 1 )): m s2 +

cs

+

k

= 0

( 2 .1 0 7 )

o s 2 + 2 ( ú)hs + to l = 0

L a s r a íc e s d e e s t a e c u a c ió n c a r a c te rís tic a , lla m a d a s

(2 . 1 0 8 )

ra íc e s c a ra c te rís tic a s ,

o s im p le m e n te

ra íc e s ,

n o s a y u d a n a e n te n d e r e l c o m p o r ta m ie n to d e l s is te m a . L a s e c u a c io n e s ( 2 .6 2 ) y ( 2 .6 8 ) d a n l a s r a íc e s d e la s e c u a c io n e s ( 2 .1 0 7 ) o (2 .1 0 8 ): - c

±

Ve2 -

s t , s 2 = -------------— l ni

s u s2

-t
4mk

-

?

(2 .1 0 9 )

a i 10)

l a s r a íc e s d a d a s p o r l a e c u a c ió n (2 .1 1 0 ) s e p u e d e n tr a z a r e n un p la n o c o m p le jo , ta m b ié n c o n o c id o R e p re s e n ta

c o m o p la n o s , in d ic a n d o l a p a rte re a l a lo la r g o d e l e je h o riz o n ta l, y l a p a rte im a g in a ria a lo la r g o del e je v e r tic a l. E s p r e c is o o b s e r v a r q u e l a re s p u e s ta d e l s is te m a e s t á d a d a p o r

c ió n g r á fic a x { t ) = C le ’ 1' + C 2e s'-‘

d e r a íc e s y

( 2 .1 1 1 )

s o lu c io n e s c o rre s p o n d ie n te s

d o n d e C , y C 2 s o n c o n s ta n te s : si e x a m in a m o s l a s e c u a c io n e s ( 2 .1 1 0 ) y (2 .1 1 1 ) s e p u e d e n h a c e r la s sig u ie n te s o b s e rv a c io n e s : 1. C o m o e l e x p o n e n te d e u n n ú m e r o n e g a tiv o re a l m a y o r ( c o m o e ~ 2t) d e c a e m á s rá p id o q u e e l e x p o n e n te d e u n n ú m e r o n e g a tiv o re a l m e n o r ( c o m o

e ~ ’),

la s r a íc e s q u e q u e d a n m á s a l a iz q u ie rd a

e n e l p l a n o s in d ic a n q u e l a s r e s p u e s ta s c o r re s p o n d ie n te s d e c a e n m á s r á p id o q u e la s a s o c ia d a s c o n r a íc e s m á s c e rc a n a s a l e je im a g in a rio . 2 . S i l a s r a íc e s tie n e n v a lo re s re a le s p o s itiv o s d e ch a d e l p la n o

s,

s, e s

d e c ir , l a s r a íc e s q u e d a n e n l a m ita d d e r e

la re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te c r e c e e x p o n e n c ia l m e n te y p o r c o n s ig u ie n te s e ra

in esta b le. 3 . S i la s ra íc e s q u e d a n e n e l e je im a g in a rio (c o n v a lo r r e a l c e r o ) , la re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te s e r á n a tu ra lm e n te e s ta b le . 4 . S i l a p a r te im a g in a ria d e l a s r a íc e s e s c e r o , l a re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te n o o s c ila rá . 5 . L a re s p u e s ta d e l s is te m a p re s e n ta rá u n c o m p o rta m ie n to o s c ila to rio s ó lo c u a n d o l a s p a rte s im a g in a r ia s d e l a s ra íc e s s e a n n o c e r o . 6 . C u a n to m á s a la iz q u ie rd a q u e d e n la s ra íc e s e n e l p la n o s , m á s rá p id o d e c r e c e r á l a re s p u e s ta c o rre s p o n d ie n te . 7 . C u a n to m a y o r s e a l a p a rte im a g in a ria d e la s ra íc e s , m á s a lta s e r á l a fr e c u e n c ia d e o s c ila c ió n d e la re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te d e l s is te m a . L a fig u r a 2 .3 2 m u e s tr a a lg u n a s lo c a liz a c io n e s r e p re s e n ta tiv a s d e la s ra íc e s c a r a c te rís tic a s e n e l p la n o

s

y l a s re s p u e s ta s c o r re s p o n d ie n te s [2.151. L a s c a r a c te rís tic a s q u e d e s c rib e n e l c o m p o r

ta m ie n to d e la re s p u e s ta d e u n s is te m a in c lu y e n l a n a tu r a le z a o s c ila to r ia , la fr e c u e n c ia d e o s c ila c ió n y e l tie m p o d e re s p u e s ta . E s ta s c a ra c te rís tic a s s o n in h e r e n te s a l s i s t e m a ( d e p e n d e d e lo s v a lo r e s d e m , c y k ) y e s t á n d e te r m in a d a s p o r l a s ra íc e s c a r a c te rís tic a s d e l s is te m a p e ro n o p o r la s c o n d ic io n e s in ic ia le s . L a s c o n d ic io n e s in ic ia le s d e te r m in a n s ó lo l a s a m p litu d e s y á n g u lo s d e fa se .


164

C a p ítu lo 2


E ST A B L E (S E M IP L A N O I Z Q .)

IN E S T A B L E ,m

(J >

(S E M IP L A N O D E R .)

R ed)

O

F ig u ra 2 .3 2 L bicaciones d e raíces c ara cte rística s ( • ) y la re sp u esta co rre sp o n d ie n te d e l sistem a.

2.8

V ariacio nes de p arám etros y representaciones del lugar geom étrico de las ra íce s________________ A u n q u e l a s r a íc e s j , y

a p a r e c e n c o m o c o n ju g a d o s c o m p l e jo s , s ó lo c o n s id e ra m o s la s r a íc e s e n la

m ita d s u p e rio r d e l p la n o s. L a r a í z s t a p a r e c e c o m o e l p u n to A c o n e l v a lo r re a l c o m o £ío„ y e l v a lo r

in t e r p r e t a c io n e s d e y T e n el p la n o s

o>d>{

ÍOn,

c o m p le jo (on V 1 — £ ' , d c m o d o q u e la lo n g itu d O A e s n) d c l s is te m a (P A Q s ig n if ic a u n c u a r to d d c írc u lo ). P o r lo ta n to , l o s c ír c u lo s c o n c é n tric o s d if e r e n te s re p re s e n ta n a s t e n i a s c o n fre c u e n c ia s n a tu ra le s d if e r e n te s , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 .3 4 . L a lín e a h o r iz o n ta l q u e p a s a p o r e l p u n to A c o rre s p o n d e a la f r c c u c n d a n a tu ra l a m o r tig u a d a ,

= u>n V i - £ 2. A s í

p u e s, l a s lín e a s p a r a l d a s a l e je re a l in d ic a n s is te m a s c o n fre c u e n c ia s n a tu ra le s a m o r tig u a d a s d i f e re n te s . c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 2 .3 5 . Se p u e d e v e r , p o r l a fig u ra 2 .3 3 , q u e e l á n g u lo f o rm a d o p o r l a l ín e a O A c o n e l e je im a g in a r io bda se n fl = — = £ wn

= sen"1 £

(2 . 1 1 2 )

(2 .1 1 3 )

R>r lo ta n to , l a s lín e a s r a d ia le s q u e p a s a n p o r e l o r ig e n c o r re s p o n d e n a re la c io n e s d e a m o r ti g u a m ie n to d if e r e n te s , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 .3 6 . P o r c o n s ig u ie n te , c u a n d o £ * 0 , no h a y a m o r tig u a m ie n to ( 6 = 0 ) y la f r e c u e n c ia n a tu ra l a m o r tig u a d a s e r e d u d r á a la fre c u e n c ia n a tu ra l


2 .8

V a r ia cio n e s d e p a r á m e tr o s y r e p r e se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tr ic o d e las r a íc e s Im

------------------ ►Re

tud y

Figura 2 .3 3 Interpretación»» d e

Im

Figura 2 .3 4 t*>„ e n e l p la n o

s.


V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d Im

“A =

'

1-

“A “ “.V I - i 22

O

F igura 2 .3 5 tod en e l plano s.

Im t

r o a m o r tig u a d a . A s im is m o , c u a n d o £ = 1. te n e m o s a m o r tig u a m ie n to c r ít i c o y l a lín e a ra d ia l q u e d a a l o la r g o d e l e je re a l n e g a tiv o . l a c o n s ta n te d e t ie m p o . T .d e l s is te m a , s e d e f in e c o m o r = j -

y . p o r c o n s ig u ie n te , l a d is ta n c ia D O o A B re p re s e n ta e l re c íp ro c o d e l a c o n s ta n te d e tie m p o

(2 ,1 1 4 )

=

P ü r c o n sig u ie n te , lín e a s d ife re n te s p a ra le la s a l e je im a g in a rio in d ic a n lo s re c íp ro c o s d e c o n s ta n te tie m p o d ife re n te s ( f ig u r a 2.37).


fr*\l

C a p ítu lo 2

2 .8

V a r ia cio n e s d e p a r á m e tr o s y r e p r e se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m é tr ic o d e las r a íc e s

167

Im

Figura 2 .3 7 r e n e l p la n o s .

Lugar g e o m é tr ic o d e la s ra íc e s y v a r ia c io n e s de p a rá m e tro

Una gráfica que muestra cómo los cambios en uno de los parámetros del sistema modificarán las raíces de la ecuación característica del sistema se conoce como gráfica del lugar geométrico de las raíces. E l método del lugar geométrico de las raíces es un poderoso método de análisis y diseño para determinar la estabilidad y respuesta transitoria de un sistema, ftira un sistema vibratorio, el lugar geométrico de las raíces se puede usar para describir cualitativamente el desempeño del sistema a medida que cambian varios parámetros, como la masa, la constante de amortiguamiento o la constante de resorte. En el método del lugar geométrico de las raíces, la trayectoria o el lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica se traza sin encontrar en realidad las raíces mismas. Esto se logra con un conjunto de reglas que conducen a una gráfica razonablemente pre cisa en un tiempo relativamente corto [2.8J. Estudiamos el comportamiento del sistema variando un parámetro, entre la relación de amortiguamiento, la constante de resorte y la masa, a la vez en lunción de las ubicaciones de sus raíces características en el plano s. V a ria ció n d e la r e la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to : Variamos la constante de amortiguamiento desde cero hasta infinito y estudiamos la migración de las raíces características en el plano s . Para esto, utilizamos la ecuación (2.109). Observamos que no es necesario considerar los valores negativos de la constante de amortiguamiento (c < 0), porque producen raíces situadas en el semiplano real positivo que corresponden a un sistema inestable. Por lo tanto, iniciamos con c ■ 0 para obtener, a partir de la ecuación (2.109),

V - 4 mk *1,2

±ÍO)„

2m

(2 .1 1 5 )

Por lo tanto, las ubicaciones de las raíces características se inician en el eje imaginario. Como las raíces aparecen en pares conjugados complejos, nos concentramos en el semiplano imaginario superior y luego localizamos las raíces en el semiplano imaginario inferior como imágenes de es pejo. Manteniendo constante la frecuencia natural no amortiguada (tu„), variamos la constante de amortiguamiento c. Se nota que las partes real e imaginaria de las raíces de la ecuación (2.109) se pueden expresar como -

V W a

~

2m =

- c2

2m


<»nv

T ^ 7

(2 .1 1 6 )

168

C a p ítu lo 2


pura 0 < £ < 1, encontramos que a2 +

(2 .1 1 7 )

■Ü

Como o/„ se mantiene fija, la ecuación (2.117) representa la ecuación de un círculo con radio r = (ü„c n e l plano
sen 0 = —

eos 0

„ U)n

(2.118)

,

(2.119)

con a =

V i -

(2 . 1 2 0 )

R>r lo tanto, las dos raíces describen lugares geométricos o trayectorias en la forma de arcos circuhres a medida que la relación de amortiguamiento se incrementa desde cero hasta la unidad, como se muestra en la figura 2.38. La raí/, con parte imaginaria positiva se mueve en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, mientras que la raíz con parte imaginaria negativa se mueve en b dirección de las manecillas del reloj. Cuando la relación de amortiguamiento ( f )es igual a 1. los cbs lugares geométricos coinciden, lo que indica que las dos raíces coinciden, es decir, la ecuación característica tiene raíces repetidas. A medida que incrementamos la relación de amortiguamiento más allá de la unidad, el sistema se vuelve sobreamortiguado y, como se vio en la sección 2 .6 , las

E je im a g in a rio

F ig u ra 2 .3 8 G rá fic a d e l lu g a r g e o m é tric o d e la s ra fe e s c o n v a ria c ió n d e la re la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to


2 .8


169

d o s r a íc e s s e v u e lv e n re a le s . P o r l a s p r o p ie d a d e s d e u n a e c u a c ió n c u a d r á tic a v e m o s q u e e l p r o d u c to d e d o s r a íc e s e s ig u a l a l c o e f ic ie n te d e la m e n o r p o te n c ia d e s ( l a c u a l e s t o \ e n l a e c u a c ió n (2 .1 0 8 )). C o m o e l v a lo r d e io„ se m a n tie n e c o n s ta n te e n e s t e e s tu d io , e l p r o d u c to d e l a s d o s r a íc e s e s u n a c o n s ta n te . C o n v a lo re s c re c ie n te s d e l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to ( £ ) u n a r a íz s e in c r e m e n ta rá y la o t r a s e r e d u c ir á , c o n e l l u g a r g e o m é tric o d e c a d a r a íz e n e l e je re a l n e g a tiv o . P o r l o ta n to , u n a ra íz te n d e r á a

s o y l a o t r a te n d e r á a c e r o . L o s d o s lu g a re s g e o m é tric o s s e u n ir á n o c o in c id ir á n

e n u n p u n to , c o n o c id o c o m o p u m o d e e s c a p e e n e l e j e re a l n e g a tiv o . l a s d o s p a rte s d e l o s lu g a re s g e o m é tric o s q u e q u e d a n e n e l e je re a l n e g a tiv o , u n a d e s d e e l p u n to P h a s ta - o o y la o tra d e s d e e l p u n to P h a sta e l o r ig e n s e c o n o c e n c o m o s e g m e n to s .

E je m p lo 2 .1 3

E s tu d io d e las ra íce s c o n va ria c ió n d e c T race e l d iag ram a d e l lugar geom étrico d e las raíces d e l sistem a regido por la ecuación 3j 2 +

cx

+ 27 = 0

(E l)

variando e l v a lo r d e c > 0. S o lu c ió n : Las rafees d e la ecuación ( E 1) resultan de - c ± V e 2 - 324 s \ a = -------------

(E.2)

Iniciam os con un v a lo r d e c = 0. E n c = 0, las raíces s o n j )>2 = ± 3 i. E stas raíces se m uestran c o m o puntos en d eje im aginario de la figura 2.39. Al u tilizar una secuencia creciente d e valores de c . la ecuación ( E 2 ) d a las raíces c o m o se indica e n la tabla 2. 1.

lm

F ig u ra 2 .3 9 Gráfica d e l lu ¿£ r g eom étrico de las raíces c o n variación de la c o n stan te de a m o rtig u am ie n to (c).


170

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d Se v e q u e las raíces perm anecen com o conjugadas com plejos a m edida q u e c se increm enta h asta u n vab r d e c = 18. F n c = 18. las des raíces se vuelven reales c idénticas con un v a lo r d e -3 .0 . A m edida q u e c se increm enta m ás allá d e un valor de 18. las raíces perm anecen distintas con valores reales negativos. U na raíz ye vuelve m á s y m ás negativa y la o tra s e vuelve m enos y m ero s negativa. P o r lo tanto, a m edida q u e c - * oo, una raíz tiende a - o o c n tanto q u e la otra tiende a 0 . E stas tendencias d e la s raíces s e m uestran en la figura 2.39.

T a b l a 2.1 V a lo r d e e

V a lo r d e s 2

V a lo r d e s ,

0

+ 3i

-3 /

2

- 0 .3 3 3 3 + 2 .9 8 14¿

- 0 .3 3 3 - 2 .9 8 1 4 /

4

- 0 .6 6 6 7 + 2.9721/

- 0 .6 6 6 7 - 2.9721/

6

- 1 .0 0 0 0 + 2.8284/

- 1 .0 0 0 0 - 2.8284/

8

- 1 .3 3 3 3 + Z 6874/

- 1 .3 3 3 3 - 2.6874/

10

- 1 .6 6 6 7 + 2.4944/

- 1 .6 6 6 7 - 2 .4 9 4 4 /

12

- 2 .0 0 0 0 + 2.2361/

-ZOOOO - 2.2361/

14

- Z 3 3 3 3 + 1.8856/

- Z 3 3 3 3 - 1.8856/

16

- Z 6 6 6 7 + 1.3744/

—Z 6 6 6 7 - 1.3744/

18

- 3 .0 0 0 0

- 3 .0 0 0 0

20

-1 .8 8 0 3

- 4 .7 8 6 3

30

-1 .0 0 0 0

- 9 .0 0 0 0

40

-0 .7 1 3 1

- 1 2 .6 2 0 2

50

-5 5 8 7

- 1 6 .1 0 7 9

100

-0 .2 7 2 2

-3 3 .0 6 1 1

1000

- 0 .0 2 7

-3 3 3 .3 0 6 3

V a r i a c ió n d e l a c o n s t a n t e d e r e s o r t e : C b m o la c o n s ta n te d e r e s o r te no a p a r e c e e x p líc ita m e n te e n la e c u a c ió n ( 2 .1 0 8 ) , c o n s id e r a m o s u n a f o r m a e s p e c í f ic a d e l a e c u a c ió n c a ra c te rís tic a ( 1 1 0 7 ) c o m o : s 2 + 16* + * -

0

(2 . 1 2 1 )

L a s ra íc e s d e l a e c u a c ió n ( 2 .1 2 1 ) s o n -1 6 ± V 256 SU

4*

= -8 ± V ó4 -

k

(2 .1 2 2 )

C b m o la rig id e z d e re s o rte n o p u e d e s e r n e g a tiv a p a ra s is te m a s v ib r a to r io s re a le s , c o n s id e ra m o s la v a ria c ió n d e lo s v a lo re s d e k d e s d e c e r o h a s ta in fin ito . I-a e c u a c ió n ( 2 .1 2 2 ) m u e s tra q u e p a r a


2 .8 0 s


k

< 6 4 . l a s d o s r a íc e s s o n r e a le s e id é n tic a s . A m e d id a q u e

k

171

s e h a c e m a y o r q u e 6 4 . la s ra íc e s

se v u e lv e n c o n ju g a d o s c o m p le jo s . L a s r a íc e s c o r re s p o n d ie n te s a v a lo re s d if e r e n te s d e A se m u e s tra n e n la t a b la 2 .2 . L a s v a r ia c io n e s d e l a s d o s r a íc e s s e t r a / a n ( c o m o p u n to s ) c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 2 .4 0 .

V a r i a c ió n d e l a m a s a : P a ra h a lla r la m ig ra c ió n d e la s ra íc e s c o n u n a v a ria c ió n d e l a m a s a / « . c o n s id e ra m o s u n a f o r m a e s p e c íf ic a d e l a e c u a c ió n c a ra c te rís tic a . l a e c u a c ió n ( 2 .1 0 7 ) , c o m o

m s 2 + 1 4 s + 20 = 0

(2 .1 2 3 )

c u y a s ra íc e s s o n -1 4 ± V l9 6 -

80m

=

<2124)

C o m o n o e s n e c e s a r io c o n s id e r a r lo s v a lo r e s n e g a tiv o s n i e l v a lo r c e r o d e l a m a s a p a ra s is te m a s tís ic o s , v a r ia m o s e l v a lo r d e m e n e l ra n g o I s m < w , A lg u n o s v a lo r e s d e m y l a s ra íc e s c o r r e s p o n d ie n te s d a d a s p o r l a e c u a c ió n (2 .1 2 4 ) s e m u e s tra n e n la t a b la 2 .3 . S e v e q u e a m b a s ra íc e s s o n n e g a tiv a s c o n v a lo re s ( - 1 . 6 1 4 8 . - 1 2 . 3 8 5 2 ) p a r a m = I y ( - 2 , - 5 ) p a ra m ■ 2 . S e o b s e r v a q u e l a r a íz m a y o r s e m u e v e h a c ia l a iz q u ie rd a y q u e la m e n o r s e m u e v e h a c ia l a d e r e c h a , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 .4 1 . S e h a lla q u e la s r a íc e s m a y o r y m e n o r c o n v e rg e n h a c ia e l v a lo r 2 .8 5 7 1 a m e d id a q u e m s e in c re m e n ta a u n v a lo r d e 2 .4 5 . M á s a l l á d e e s t e v a lo r d e m ■ 2 .4 5 , l a s r a íc e s s e v u e lv e n c o n ju g a d o s c o m p le jo s . A m e d id a q u e e l v a lo r d e m s e in c re m e n ta d e s d e 2 .4 5 h a s t a u n v a lo r g r a n d e ( —* o o ) , l o s lu g a r e s g e o m é tric o s d e lo s d o s c o n ju g a d o s c o m p le jo s (ra íc e s ) s e m u e s tra n p o r m e d io d e l a c u rv a ( c ír c u lo ) q u e s e m u e s tr a e n l a f ig u ra 2 .4 1 . P a r a m —* oo, a m b a s r a íc e s c o n ju g a d a s c o m p le ja s c o n v e rg e n a c e r o ( s , . s , —* 0 ).

T a b la 2 2 V a lo r d e * 0

V a lo r d e s , 0

V a lo r d e s 2 -1 6

16

- 1 .0 7 1 8

-1 4 .9 2 8 2

32

-2 3 4 3 1

- 1 3 .6 5 6 9

48

-4

-1 2

64

-8

-8

80

-8 + 4 /

-8 -4 /

%

- 8 + 5 .6 5 6 9 /

- 8 - 5 .6 5 6 9 /

112

- 8 + 6.9282/

- 8 - 6 .9 2 8 2 /

128

- 8 + 8/

- 8 - 8/


C a p ítu lo 2


* = 128 * -8 0

/ *1

-8 * -6 4 4 /

* -4 8 I

u

* -4 8

/

-1 6

-1 2

-8

*2

*2

*1.*2

/ 5 ,-4

*2 ^ * -8 0 *2

0=5,

- -4

--8 \ * -1 2 8

F ig u ra 2 .4 0 Gráfica d d lu g a r g e o m é tric o d e las raíces c o n variació n de la c o n sta n te d e re so rte (*).

T a b la 2 3 V a lo r d e m

V a lo r d e s 2

V a lo r d e 5,

1

- 1 .6 1 4 8

- IZ 3852

2

- 2 .0

- 5 .0

2.1

-Z 0 7 3 4

- 4 .5 9 3 2

Z4

- 2 .5

- 3 .3 3 3 3

245

-Z 8 7 I

-2 .8 7 1

Z5

- 2 . 8 + 0.4000/

- Z .8 + 0.4000/

3

- 2 .3 3 3 3 + 1.1055/

- Z 3 3 3 3 - 1.1055/

5

- 1 . 4 + 1.4283/

- 1 . 4 - 1.4283/

8

-0 .8 7 5 0 + 1.3169/

- 0 .8 7 5 0 - 1.3169/

10

-0 .7 0 0 0 + 1.2288/

- 0 .7 0 0 0 - 1.2288/

14

-0 .5 0 0 0 + 1.0856/

- 0 5 0 0 0 - 1.0856/

20

-0 .3 5 0 0 + 09367/

- 0 3 5 0 0 - 09367/

30

-0 .2 3 3 3 + 0.7824/

- 0 .2 3 3 3 - 0.7824/

40

-0 .1 7 5 0 + 06851/

- 0 .1 7 5 0 - 0 6 8 5 1 /

50

- 0 .1 4 0 0 + 0.6167/

- 0 .1 4 0 0 - 0 . 6 1 6 7 /

100

-0 .0 7 0 0 + 0.4417/

- 0 . 0 7 0 0 - 0.4417/

1000

- 0 .0 0 7 0 + 0.1412/

- 0 .0 0 7 0 - 0.1412/


2 .9

2.9

V ib ración lib r e c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b

173

V ib r a c ió n lib re c o n a m o r t i g u a m i e n t o d e c o u l o m b En muchos sistemas mecánicos se utilizan amortiguadores de C o u lo m b o de fr ic c ió n s e c a por su sencillez y comodidad mecánica [2.9J. Inclusive, en estructuras vibratorias, siempre que los com ponentes se deslizan entre sí, el amortiguamiento de fricción seca aparece internamente. Como se manifestó en la sección 1.9, el amortiguamiento de Coulomb surge cuando los cuerpos se deslizan sobre superficies secas. La ley de Coulomb de fricción seca establece que. cuando dos cuerpos es tán en contacto, la fuerza requerida para producir deslizamiento es proporcional a la tuerza normal que actúa en el plano de contacto. Por lo tanto, la fuerza de fricción F se expresa c o n » F = fiN = n W

= ¡ im g

(2 .1 2 5 )

donde N c s la fuerza normal, igual al peso de la masa (W = m g ) y n es el coeficiente de desli zamiento o fricción cinética. El valor del coeficiente de fricción (¿t) depende de los materiales en contacto y de la condición de las superficies en contacto. Por ejemplo, n — 0.1 para metal sobre metal (lubricado), 0.3 para metal sobre metal (no lubricado), casi 1.0 para caucho sobre metal. I-a fuerza de fricción actúa en una dirección opuesta a la dirección de la velocidad. En ocasiones al amortiguamiento de Coulomb se le conoce como a m o rtig u a m ie n to c o n sta n te , puesto que la fuerza de amortiguamiento es independiente del amortiguamiento del desplazamiento y la velocidad; de pende sólo de la fuerza normal Nentre las superficies deslizantes.


174

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d C b n sitlc rc u n s is te m a d e u n s o lo g ra d o d e lib e r ta d c o n fric c ió n s e c a c o m o se m u e s tr a e n l a fig u ra 2 4 2 ( a ) . C o m o l a fu e rz a d e fric c ió n v a r ía c o n l a d ir e c c ió n d e l a v e lo c id a d , te n e m o s q u e c o n s id e r a r

E c u a c ió n d e m o v im ie n t o

i b s c a s o s , c o m o s e in d ic a e n la s fig u r a s 2 .4 2 ( b ) y ( c ) . C a s o 1 . G i a n d o x y d x / d i s o n p o s i t iv a s o c u a n d o x e s n e g a tiv a y d x ¡ d i e s p o s itiv a ( e s d e c ir , e n e l se m ic ic lo d u ra n te e l c u a l l a m a s a s e m u e v e d e iz q u ie rd a a d e r e c h a ) , l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to se c b tie n e a p lic a n d o l a s e g u n d a l e y d e l m o v im ie n to d e N e w to n (v e a l a fig u ra 2 .4 2 (b )): m 'x = - k x ~ i i N

o

m 'x + k x = - f i N

(2 .1 2 6 )

É s ta e s u n a e c u a c ió n d ife re n c ia l no h o m o g é n e a d e s e g u n d o g ra d o . L a s o lu c ió n se v e rific a s u s titu y e n d o l a e c u a c ió n (2 .1 2 7 ) e n l a e c u a c ió n (2 .1 2 6 );

x ( l ) = A i c o s o )„ t + A 2 s e n a » , /

uN —

(2 .1 2 7 )

c b n d e o¡„ = V * / m e s l a fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n y A , y A2 s o n c o n s ta n te s c u y o s v a lo re s d e p e n d e n cfc l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s d e e s te s e m ic ic lo . C a s o 2 . C u a n d o x e s p o s itiv a y d x / d i e s n e g a tiv a o c u a n d o x es n e g a tiv a y d x / d i e s n e g a tiv a (e s cfecir, e n e l s e m ic ic lo d u r a n te e l c u a l l a m a s a s e m u e v e d e d e r e c h a a iz q u ie rd a ), l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e d e r iv a d e s d e la e c u a c ió n 2 .4 2 ( c ) c o m o - k x + ¡ i N = m 'x

o

m 'x + k x = f i N

(2 . 1 2 8 )

L a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 2 .1 2 8 ) e s uN

x ( l ) = A j c o s & v + A4 s e n t o j + - j -

cbnde

(2 .1 2 9 )

y A 4 s o n c o n s ta n te s q u e s e tie n e n q u e h a lla r a p a r tir d e la s c o n d ic io n e s in ic ia le s d e e s te

s e m ic ic lo . EJ té r m in o p N / k q u e a p a r e c e e n l a s e c u a c io n e s (2 .1 2 7 ) y (2 .1 2 9 ) e s u n a c o n s ta n te q u e r e p r e s e n t a d d e s p la z a m ie n to v irtu a l d e l r e s o r t e s o m e tid o a la fu e rz a /¿ N , a p lic a d a c o m o u n a fu e rz a e stá tic a . L a s e c u a c io n e s (2 .1 2 7 ) y ( 2 .1 2 9 ) in d ic a n q u e e n c a d a s e m ic ic lo e l m o v im ie n to e s a r m ó n i c o , c o n l a p o s ic ió n d e e q u ilib r io c a m b ia n d o d e ^ i N / k a - ( / a N / k ) c a d a m e d io c i d o . c o m o s e m u e s tra en la fig u ra 2 .4 3 .

w

(a )

w

N

N

(b)

(c)

Figura 2 .4 2 Sistem a de resorte y m asa con am ortiguam iento d e Coulom b.


2 .9


175

Las ecuaciones (2.126) y (2.128) se pueden expresar como una sola ecuación (aplicando N = m g ): m 'x + n m g sgn(.x) + k x = 0

(2.130)

donde sgn(y) se conoce como función signum (o signo), cuyo valor se define como 1 para y > 0 , - I para y < 0, y 0 para y - 0. Se ve que la ecuación (2.130) es una ecuación diferencial no lineal para la cual noexiste una solución analítica simple. Se pueden utilizar métodos numéricos para resolver la ecuación (2.130) de manera cómoda (vea el ejemplo 2.21). Sin embargo, la ecuación (2.130) se puede resolver analíticamente si dividimos el eje de tiempo en segmentos separados por i = 0 (es decir, intervalos de tiempo con diferentes direcciones de movimiento). Para hallar la solución siguiendo este procedimiento, supongamos las condiciones iniciales como x ( l = 0 ) = xq x ( t = 0) = 0

(2.131)

Esto es. el sistema se inicia con velocidad y desplazamiento cero x0 en el instante t = 0. Como x ■ Xo en el instante t ■ 0. el movimiento se inicia de derecha a izquierda. Sean x<>, x lt j ? . ... las amplitudes del movimiento en semiciclos sucesivos. Si utilizamos las ecuaciones (2.129) y (2.131), podemos evaluar las constantes A 3 y A 4: tiN * ) = x0 -

—

A4 = 0

,

Por lo tanto, la ecuación (2 .129) se escribe como

* ( 0 “ I -«ó “

) cos

*(«)


+ *T"

(2.132)

176

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d E s ta s o lu c ió n e s v á lid a s ó l o p a ra e l s e m ic ic lo d a d o , e s d e c ir p a r a O s / s 7r/
C b m o e l m o v im ie n to s e in ic ió c o n u n d e s p la z a m ie n to d e x = x 0 y , e n un s e m ic ic lo , e l v a lo r d e x se v o lv ió - [¿ o ~ ( T f i N / k ) ] , l a r e d u c c ió n d e l a m a g n itu d d e x e n el tie m p o

tt/ üj„ e s

2 fiN /k .

E n el s e g u n d o s e m ic ic lo , l a m a s a se m u e v e d e iz q u ie rd a a d e re c h a , a s í q u e s e t ie n e q u e u tiliz a r h e c u a c ió n (2 .1 2 7 ). l ^ s c o n d ic io n e s in ic ia le s e n e s t e s e m ic ic lo s o n 7T x ( t = 0 ) = v a lo r d e x e n e l in s ta n te t — — e n la e c u a c ió n ( 2 .1 3 2 ) = — C>n v

° - —

)

x ( t = 0 ) = v a lo r d e ¿ e n e l in s ta n te t = — en la e c u a c ió n . (2 .1 3 2 ) U)„ I , ( ( v a l o r d e - t u j x0

llN \ — J sen

ü

>„i

17 1 en i = — > = 0

R i r lo ta n to , l a s c o n s ta n te s e n l a e c u a c ió n (2 .1 2 7 ) s o n 3 ¡iN

~Ai “

- Jo + —

a2 =

,

(fe m o d o q u e la e c u a c ió n (2 .1 2 7 ) s e e s c rib e c o m o

* (f) "

^xo - ^ p ^ c o s a v

-

(2 .1 3 3 )

E s ta e c u a c ió n e s v á lid a s ó lo p a ra e l s e g u n d o s e m ic ic lo , e s d e c i r , p a r a Tr/u¡n S i s 2 i r /&>„. A l fin a l efe e s t e s e m ic ic lo e l v a lo r d e x { t) e s

x2 = x[ t = —

y

í

J en l a e c u a c ió n ( 2 .1 3 3 ) = x Q

4 llN —

v\

x \ i = — J e n l a e c u a c i ó n ( 2 .1 3 3 ) = 0

É stas s e c o n v ie rte n e n l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s p a ra e l t e r c e r s e m ic ic lo , y e l p r o c e d im ie n to c o n tin ú a h a s ta q u e e l m o v im ie n to s e d e tie n e . E l m o v im ie n to c e s a c u a n d o x n s p N / k , p u e sto q u e la tu e r z a d e r e s ta u r a c ió n e je r c id a p o r e l r e s o r te ( k x ) s c r á e n to n c e s m e n o r q u e l a f u e rz a d e f r ic c ió n fiN . R>r lo t a n t o , e l n ú m e ro d e s e m ic ic lo s ( r ) q u e tr a n s c u r r e n a n te s d e q u e e l m o v im ie n to c e s e e s 2n N * o - ' —

^

fiN T


2 .9


177

es d e c ir. UN r *

X° ~

T

(2 .1 3 4 )

k O b s e rv e la s s ig u ie n te s c a r a c te rís tic a s d e u n s is te m a c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b : 1. l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to e s n o lin e a l c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b , e n t a n t o q u e e s lin e a l c o n a m o r tig u a m ie n to v isc o so . 2 . l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a n o s e a lt e r a s i se a g r e g a e l a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b , m ie n tra s se r e d u c e c o n la a d ic ió n d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o . 3 . H m o v im ie n to e s p e r ió d ic o c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b , m ie n tra s q u e p u e d e s e r no p e rió d ic o e n u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o (s o b re a m o rtig u a d o ). 4 . El s is te m a e n tr a e n r e p o s o d e s p u é s d e u n c ie rto tie m p o c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b , m ie n tra s q u e e l m o v im ie n to te ó r ic a m e n te c o n tin ú a p o r s ie m p r e ( t a l v e z c o n u n a a m p litu d in fin ite s im a !m e n te p e q u e ñ a ) c o n a m o rtig u a m ie n to v is c o s o y d e h is té rc s is . 5 . La a m p litu d s e re d u c e lin c a lm c n tc c o n a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b , m ie n tra s q u e s e re d u c e e x p o n e n c ia l m e n te c o n a m o r tig u a m ie n to v isc o so . 6 . B i c a d a c ic lo s u c e s iv o , la a m p litu d d e l m o v im ie n to s e r e d u c e e n l a c a n tid a d 4 p N / k , d e m o d o q u e l a s a m p litu d e s al fin a l d e c u a lq u ie ra d e l o s d o s c ic lo s c o n s e c u tiv o s e s tá n re la c io n a d a s :

x m = Xm - \

4fiN JT

(2 .1 3 5 )

A m e d id a q u e la a m p litu d s e r e d u c e e n u n a c a n t i d a d 4 / z N /* e n u n c ic lo (e s d e c i r , e n e l tie m p o 2 ? r/td ,,), l a p e n d ie n te d e l a s lín e a s r e c ta s e n v o lv e n te s ( p u n te a d a s ) e n la fig u ra 2 .4 3 e s

P b r l o c o m ú n , la p o s ic ió n f in a l d e l a m a s a se d e s p l a z a d e s u p o s ic ió n d e e q u ilib r io ( x = 0 ) y re p re s e n ta un d e s p la z a m ie n to p e rm a n e n te e n e l c u a l l a f u e r z a d e fric c ió n e s tá e n la z a d o . U n le v e g o lp e te o h a rá q u e l a m a s a l le g u e a su p o s ic ió n d e e q u ilib rio .

Si u n p a r d e to rs ió n d e fric c ió n c o n s ta n te a c tú a e n u n s is te m a to r s io n a l. la e c u a c ió n q u e r i g e la s o s

S is te m a s to rs io n a le s c o n a m o r t i g u a m ie n t o d e C o u lo m b

c ila c io n e s a n g u la re s d e l s is te m a s e d e r iv a d e u n a m a n e r a s im ila r a la s e c u a c io n e s (2 . 126) y (2 . 128), com o Jq B + k , 9 -

-T

(2 .1 3 6 )

t

( 2 .1 3 7 )

y j 0 e + k ,e =

c b n d e f i n d i c a e l p a r d e to rs ió n d e a m o rtig u a m ie n to c o n s ta n te (s im ila r a / z a p a r a v ib ra c io n e s l in e a le s). L a s s o lu c io n e s d e la s e c u a c io n e s ( 2 .1 3 6 ) y ( 2 .1 3 7 ) s o n s im ila re s a la s d e l a s v ib ra c io n e s lin e a le s . En p a r tic u la r , l a f re c u e n c ia d e v ib ra c ió n es (2 .1 3 8 )


178

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d y l a a m p litu d d e l m o v im ie n to a l fin a l d e l s e m ic ic lo r - é s im o (0 ,) e s

f c b n d e 0 O es e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r in ic ia l e n

t

= 0 (c o n

a

Q

=

139)

0 e n / = 0 ) . E l m o v im ie n to c e s a

cuando

r Z

(2 .1 4 0 )

2T k,

E je m p lo 2 .1 4

C o e fic ie n te d e fricció n a p a rtir d e p o s ic io n e s m e d id a s d e la m a sa U n bloque d e m etal, colocado sobre una superficie rugosa, s e une a un resorte y se le im parte u n desplazam ien to inicial d e 10 cm a p artir d e su posición d e equilibrio. D espués de cinco ciclos de oscilación e n 2 s. se v e que b posición final d e l bloque está a l c m d e su posición d e equilibrio. E ncuentre e l coeficiente d e fricción entre la superficie y e l blo q u e d e metal. S olución: Cóm o se o b sc r\ó que e n 2 s ocurrieron cinco ciclos de oscilaciones, e l periodo ( r B) c s 2 / 5 = 0.4 s, y p o r c onsiguiente la frecuencia d e oscilación e s
4/xm g ~

k

a i cada ciclo, la reducción d e am plitud e n cinco ciclos es

J 4 ¡ung \

^

0094 = 0.09ü>; 20m g

E je m p lo 2 .1 5

= 0.10 - 0.01 = 0.09 m

20g

0.09Q5.708)2 20(9.81)

P o lea s o m e tid a a a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b U na flecha d e acero d e l m d e largo y 5 0 m m d e diám etro tiene un extrem o fijo y e n o tro tiene u n a p olea de rrom ento de inercia d e m asa d e 25 kg-m*. U n freno de m ano e jerce u n p a r d e torsión d e fricción constante

2 .1 0

V ib ración lib re c o n a m o r tig u a m ie n to h iste r é tic o

179

Solución: 1.

La ecuación ( 2 .l4 0 ) d a la cantidad d e sem iciclos q u e transcurren antes d e q u e el m ovim iento angular d e la polea cese: T_

"

*,

(E l)

27 k¡

d o n d e 80 = desplazam iento angular inicial = 6o = 0.10472 rad. k , =■ constante d e resorte torsional d e la flecha d ad a por

= 49.087.5 N-m/rad

‘- = T

y T - p a r d e torsión de fricción constante aplicado a la p o le a ■ 4 0 0 N-m . L a ecuación ( E 1) da

- (¿ib)

= 5.926

f e ) 2.

P o r lo tanto, e l m ovim iento c esa d e sp u é s d e seis sem iciclos. La ecuación <2.120) d a e l desplazam iento angular después de seis sem iciclos: 400

0 = 0.10472 - 6 X 2

\ _ = 0.006935 ra d = 039734“

49.087.5)

Por lo tanto, la p olca se d e tia ic a 0.39734° d e sd e la posición d e equilibrio e n e l m ism o lado d rl despla zamiento inicial.

2 .1 0

V ib r a c ió n libre c o n a m o r t i g u a m ie n t o h is te ré tic o C o n s id e re e l s is te m a d e re s o rte y a m o r tig u a d o r v is c o s o d e l a fig u ra 2 .4 4 (a ). P a r a e s t e s i s t e m a , la f u e rz a F n e c e s a r ia p a r a im p a rtir u n d e s p la z a m ie n to x (f) e s t á d a d a p o r (2 -1 4 1 )

F = k x + ex P a ra u n m o v im ie n to a r m ó n ic o d e fre c u e n c ia
(2 .1 4 2 )

L a s e c u a c io n e s ( 2 .1 4 1) y ( 2 .1 4 2 ) d a n p o r re s u lta d o F ( t ) = k X s e n m i + c X i o e o s oit

=

kx ±

c io V x2 -

=

kx i

c u V x 2 - x2

(X s e n


wt)* ( 2 .1 4 3 )

180

C a p ítu lo 2


F ig u ra 2 ^ 4 S istem a d e re so rte y a m o rtig u a d o r viscoso.

Q ia n d o s e t r a z a F c o n t r a * . l a e c u a c ió n (2 .1 4 3 ) re p re s e n ta u n la z o c e r r a d o , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 2 .4 4 (b ) . H á r e a d e l la z o in d ic a l a e n e rg ía d is ip a d a p o r e l a m o r tig u a d o r e n u n c ic lo d e m o v i m ie n to y s e e x p r e s a c o m o

AW =

j>F d x = J

>2v/é> { k X s e n tur

+cXu> e o s
= TTOtcX2

(2 .1 4 4 )

L a e c u a c ió n (2 .1 4 4 ) t a m b ié n s e d e r iv ó e n l a s e c c ió n 2 .6 .4 ( v e a la e c u a c ió n (2 .9 8 )). C b m o s e e n u n c ió e n la s e c c ió n 1.9 . e l a m o rtig u a m ie n to o r ig in a d o p o r l a f r ic c ió n e n tre lo s p i a r o s in te r n o s q u e d e s liz a n o r e s b a la n a m e d id a q u e e l m a te ria l se d e f o r m a , s e l la m a a m o r tig u a m ie n to cfc h is té r e s is ( o s ó lid o o e s tr u c tu r a l) . É s te h a c e q u e s e fo r m e u n la z o d e h is té r e s is e n l a c u r v a d e e s fu e rz o -d e fo rm a c ió n o fu e rz a -d e s p la z a m ie n to ( v e a l a f ig u r a 2 .4 5 (a )) . L a p é r d id a d e e n e r g ía e n un c ic lo d e c a r g a y d e s c a rg a e s ig u a l a l á r e a e n c e r r a d a p o r e l la z o d e h is té r e s is [2 .1 1 -2 .1 3 ] . L a s e m e ja n z a e n tre l a s fig u r a s 2 .4 4 (b ) y 2 .4 5 (a ) s e p u e d e u s a r p a ra d e f in ir u n a c o n s ta n te d e a m o r ti g u a m ie n to d e h is té re s is . S e e n c o n tr ó e x p e rim e n ia l m e n te q u e l a p é rd id a d e e n e r g ía p o r c ic lo a c a u s a cfc la fric c ió n in te rn a e s in d e p e n d ie n te d e l a fre c u e n c ia p e ro a p r o x im a d a m e n te p ro p o rc io n a l al c u a d ra d o d e l a a m p litu d . P a ra lo g r a r e s te c o m p o r ta m ie n to o b s e r v a d o a p a r tir d e l a e c u a c ió n ( 2 .1 4 4 ) , se s u p o n e q u e e l c o e f ic ie n te d e a m o r tig u a m ie n to c e s in v e r s a m e n te p r o p o r c io n a l a l a fre c u e n c ia c o m o

o)

(2 .1 4 5 )

c b n d e h s e c o n o c e c o m o c o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to d e h is té re s is . L a s e c u a c io n e s ( 2 .1 4 4 ) y ( 2 .14 5 ) d a n p o r r e s u lta d o AW =

ttHX~

(2 .1 4 6 )

R ig id e z c o m p l e j a . E n la f ig u ra 2 .4 4 ( a ) , e l r e s o rte y el a m o r tig u a d o r e s tá n c o n e c ta d o s e n p a ra le lo , y p a r a u n m o v im ie n to a r m ó n ic o g e n e r a l, x = X e » * ,\a f u e r z a e s F = k X e io* + c w i X e = ( * + i to c ) x


(2 .1 4 7 )

2 .1 0

V ib ración lib re c o n a m o r tig u a m ie n to h iste r é tic o

(a )

181

(b)

F ig u ra 2 .4 5 Lazo de histéresis.

A s im is m o , s i u n r e s o r te y u n a m o r tig u a d o r d e h is té re s is s e c o n e c ta n e n p a r a le lo , c o m o s e m u e s tra e n l a ñ g u r a 2 .4 5 { b ), l a re la c ió n f u e rz a - d e s p la z a m ie n to s e e x p r e s a c o m o F = (* + ¡h )x

( 2 .1 4 8 )

k + ih = * ^ 1 + i j j = k ( 1 + i p )

a . 149)

donde

se c o n o c e c o m o r i g id e z c o m p le ja d e l s is te m a y p = h / k e s u n a c o n s ta n te q u e in d ic a u n a m e d id a d e a m o rtig u a m ie n to s i n u n id a d e s . R e s p u e s t a d e l s i s t e m a . E n f u n c ió n d e p , l a p é rd id a d e e n e r g ía p o r c ic lo s e e x p r e s a c o m o A W = ir k p X 2

( 2 .1 5 0 )

C o n a m o rtig u a m ie n to d e h is té r e s is s e p u e d e c o n s id e r a r q u e e l m o v im ie n to e s c a s i a r m ó n ic o (p u e s to q u e A W e s p e q u e ñ o ), y l a r e d u c c ió n d e l a a m p litu d p o r c i c l o s e d e te r m in a u tiliz a n d o u n b a la n c e d e e n e rg ía . P o r e je m p lo , l a s e n e r g ía s e n lo s p u n to s P y ( ) ( s e p a ra d a s p o r un s e m ic ic lo ) e n l a f ig u r a 2 .4 6 e s tá n re la c io n a d a s c o m o

kX~¡

o

r r k p X 'j

xj X j+ o s

ir k p X j+ Q ¿

pr+iFe

V2-

rrp


k X j+ fá

(2 .1 5 1 )

182

C a p ítu lo 2


*(/)

A s im is m o , la s e n e r g ía s e n lo s p u n to s Q y R re su lta n X j+ O S

¡ T

+

TT&

Xj+1

v 2 -

«P

(2 .1 5 2 )

L a m u ltip lic a c ió n d e l a s e c u a c io n e s (2 .1 5 1 ) y ( 2 .1 5 2 ) d a

2 4 -tr p

X j

* /+ ,

2 -

2 -

TTp

n p + IttP 1 +

TTp

2 -

ttP

= c o n s ta n te

(2 .1 5 3 )

B d e c r c m e n to lo g a r ítm ic o h is tc r é tic o s e d e f in e c o m o

8 =

*

In

ln (1

+ v p ) =* i r p

(2 .1 5 4 )

C ó m o s e s u p o n e q u e e l m o v im ie n to e s a p ro x im a d a m e n te a r m ó n ic o , la fre c u e n c ia c o rre s p o n d ie n te e s tá d e f in id a p o r [2 . 10]:

(2 .1 5 5 )

m L a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te

s e d e te rm in a ig u a la n d o l a r e la c ió n d e l

cfccrem cnto lo g a r ítm ic o 6: ir h =*TTP = ~

Ó =* 2

-

f

= ¿

(2 .1 5 6 ,

ft» r l o ta n to , l a c o n s ta n te d e a m o r tig u a m ie n to e q u iv a le n te ce q e s tá d a d a p o r

Ceq = C r - í e q = i V ü t k ' ^

= p V ^C

= ^

= £

(2 .1 5 7 )

O b s e r v e q u e e l m é to d o d e e n c o n tra r u n c o e fic ie n te d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te p a ra u n s is te m a e s tr u c tu r a lm e n te a m o r tig u a d o es v á lid o s ó lo p a r a e x c ita c ió n a rm ó n ic a . E l a n á lis is a n te rio r s u p o n e q u e la re s p u e s ta d e l s is te m a e s a p ro x im a d a m e n te a r m ó n ic a a la f r e c u e n c ia to .


2 .1 0

E je m p lo 2 .1 6

V ib ración lib re c o n a m o r tig u a m ie n to h is te r é tic o

183

E s tim a c ió n d e la c o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to h is te ré tic o L as m ediciones experim entales e n una estructura arrojaron los d a to s d e fuerza-deflexión m ostrados e n la figura 2.47. A partir d e estos datos, calcule la constante d e am ortiguam iento h isterético f i y el decrcm ento logarítm ico 5. S o lu c ió n : M étodo: Igualam os la en erg ía d isipada e n un ciclo (área encerrada p o r e l lazo d e histéresis) a A W d e la e c u a ció n (2.146).

Fuerza (N ) 500 400 300

H i

200 100

0

/

-1 0 0

-2 0 0

-5 0 0

o

z

Y

Z

D eflexión (m m)

7

/

-3 0 0 -4 0 0

z

/

Á

-1 0 - 8

-6

-4

-2

0

2

4

6

10

(b)


F igura 2 .4 7 C urva d e fuerzadeflexión.

184

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d B área en cerrad a por la cu rv a d e histeresis p roporciona la energía d isipada en c a d a ciclo d e carga com pleto. C ada cu ad ro d e la figura 2.47 indica 100 X 2 = 200 N-m m . E l área encerrada p o r e l lazo se p u ed e h a lla r com o área A C B + á re a A B D E + área D F £ = » { (AS) (C G ) + (A B K A E ) + { (D E * F H ) = { (1 .2 5 X 1 .8 ) + (1.25X 8) + { (1.25X 1.8) = 12.25 unidades cuadradas. Esta área representa u n a energía d e 12.25 X 200(1000 = 2.5 N-m. A p artir d e la ecuación (2.146), tenem os b W = ir h X 2 = 2 5 N -m

(E l)

Cóm o la deflexión m áxim a X e s d e 0.008 m y la pendiente de la c u n a fuerza-deflexión (d ad a aproxim adam en te por la pendiente d e la línea O F ) c s k 4 0 0 /8 ° 50 N/m m “ 50.000 N/m . la constante d e am ortiguam iento hi sufre tico h es

4 = S

“

= ,2 '4 3 3 9 5

y por consiguiente

'

'

h

12.433.95

I '

1 5 5 » - - 0 248679

0 decrcm ento logarítm ico s e p u ed e h a lla r como

5 = n p = ir(0 .2 4 8 6 7 9 ) = 0.78125

E je m p lo 2 .1 7

(E .3)

R e sp u e sta d e u n a e s tru c tu ra d e p u e n te h ls te ré tlc a m e n te a m o rtig u a d a L a estructura d e un puente se m odela com o un sistem a d e un solo grado d e libertad con una m asa equivalente de 5 X 105 kg y u n a rigidez equivalente d e 25 X l O6 N/m. D urante una pru eb a d e vibración libre, se encontró que la relación de am plitudes sucesivas e ra de 1.04. C alcule la constante de am ortiguam iento d e l a estructura ( /J )y la respuesta de vibración libre d e l puente. S o lu c ió n : U tilizando la relación d e am plitudes sucesivas, la ecu ació n (2 .154) produce e l d ecrcm ento logarít m ico d e h istéresis (5) com o

ó = In ( —— ) = ln( l .04) = l n ( l + n p )

-(A)

+ n p = 1.04

o

0.04 p = — = 0.0127

□ coeficiente d e am ortiguam iento viscoso equivalente (c ^ se d eterm ina a p artir de la ecuación (2.157) como


2.11

E stab ilid ad d e s is t e m a s

185

Aprovechando los valores con o cid o s d e la rigidez equivalente <*) y la m asa equivalente
Cett = (0 .0 1 2 7 ) V ( 2 5 X 10é ) ( 5 X 10*) = 44.9013 X I 0 3 N-s/m

La constante d e am ortiguam iento crítico equivalente del puente se calcula aplicando la ecuación (2.65) com o

cc = 2 \ Z k m = 2 \ / ( 2 5 X I06) ( 5 X I05) = 7071.0678 X 103 N -s/m

C o m o f „ , < Cf, e l p uente está subam ortiguado y por consiguiente la ecuación <2.72) da su respuesta d e v ib ra ció n libre com o *o +

* (/) =

v 'w

sin

(UHt

5.

donde f g . . 4 0 ,9 0 .3

^

7071.0678 X I 0 3

y x 0 y x0 indican e l desplazam iento y la velocidad iniciales al com enzar la vibración libre.

2.11

E s ta b ilid a d d e s is te m a s 1.a e s ta b ilid a d e s u n a d e l a s c a ra c te rís tic a s m á s im p o rta n te s d e c u a lq u ie r s is te m a v ib ra to rio . A u n c u a n d o e l t é r m i n o e s ta b ilid a d se p u e d e d e f in i r d e m u c h a s m a n e r a s s e g ú n l a c la s e d e s is te m a o e l p u n to d e v is ta , c o n s id e r a m o s la d e f in ic ió n d e s is te m a s lin e a le s c in v a ria b le s c o n e l tie m p o (e s d e d r , s is te m a s c u y o s p a r á m e tro s m , c y * n o c a m b ia n c o n e l tie m p o ). U n s is te m a s e d e f in e c o m o a s in tó tic a m e n te e s ta b le ( lla m a d o e s ta b le e n lite r a tu ra d e c o n tro le s ) s i s u r e s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re t ie n d e a c e r o a m e d id a q u e e l tie m p o tie n d e a in f in ito . U n s is te m a s e c o n s id e r a in e s ta b le si su re s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re c r e c e ilim ita d a m e n te (tie n d e a in f in ito ) a m e d id a q u e e l tie m p o tie n d e a in fin ito . P o r ú ltim o , s e d ic e q u e un s is te m a e s e s ta b le ( lla m a d o m a r g in a lm e n te e s ta b le e n lite ra tu ra d e c o n tr o le s ) si s u re s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re n i d e c a e ni c r e c e , s in o q u e p e r m a n e c e c o n s ta n te u o s c ila a m e d id a q u e e l tie m p o t ie n d e a in fin ito . E s e v id e n te q u e u n s is te m a in e s ta b le c u y a re s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re c r e c e s in lím ite s p u e d e d a ñ a r e l s is te m a , la s p r o p ie d a d e s a d y a c e n te s y l a v id a h u m a n a . U s u a lm e n te , lo s s is te m a s d in á m ic o s s e d is e ñ a n c o n lím ite s p a ra im p e d ir q u e la s r e s p u e s ta s c r e z c a n s i n lím ite . C o m o s e v e rá e n lo s c a p ítu lo s 3 y 4 . l a re s p u e s ta to ta l d e u n s is te m a v ib ra to r io , s o m e tid o a fu e rz a s y /o e x c ita c io n e s e x te r n a s , s e c o m p o n e d e d o s p a r te s : l a re s p u e s ta fo rz a d a y la re s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib r e . P a ra ta le s s is te m a s , la s d e f in ic io n e s d e s is te m a s a s in tó tic a m e n te e s ta b le s , in e s ta b le s y e s ta b le s a n te s d a d a s s ig u e n s ie n d o v á lid a s . E s to im p lic a q u e . p a r a s is te m a s e s ta b le s , ú n ic a m e n te la re s p u e s ta f o r z a d a p e r m a n e c e a m e d id a q u e l a re s p u e s ta d e v i b r a c ió n s e a c e r c a a c e r o a l t e n d e r e l tie m p o a in f in ito .


186

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d La e s ta b ilid a d se p u e d e in te r p r e ta r e n fu n c ió n d e la s ra íc e s c a r a c te rís tic a s d e l s is te m a . C o m o se v io e n l a s e c c ió n 2 .7 la s ra íc e s s itu a d a s e n e l s e m ip la n o i z q u ie rd o d a n o u n d e c a im ie n to e x p o n e n c ia l p i r o o re s p u e s ta s d e v ib ra c ió n lib re s in u s o id a le s a m o r tig u a d a s . E s ta s re s p u e s ta s d e c a e n a c e r o a n e d i d a q u e e l tie m p o t ie n d e a in f in ito . P o r lo ta n to , lo s s is te m a s c u y a s ra íc e s c a r a c te rís tic a s q u e d a n en la m ita d iz q u ie rd a d e l p la n o ¿ ( c o n u n a p a r te n e g a tiv a re a l) s e r á n a s in tó tic a m e n te e s ta b le s . l a s ra íc e s q u e q u e d a n e n la m ita d d e r e c h a d e l s e m ip la n o d a n p o r re s u lta d o o re s p u e s ta s d e v ib ra c ió n li b re p u ra s e x p o n e n c ia lm e n te c re c ie n te s , o re s p u e s ta s d e v ib ra c ió n lib re se n o id a le s e x p o n e n c ia l m e n te c re c ie n te s . E s ta s re s p u e s ta s d e v ib ra c ió n tie n d e n a in fin ito e n c u a n to e l tie m p o s e a c e rc a a in fin ito . R>r lo ta n to , l o s s is te m a s c u y a s ra íc e s c a r a c te rís tic a s q u e d a n e n l a m ita d d e r e c h a d e l p la n o ¿ ( c o n u n a p a r te re a l p o s itiv a ) s e r á n in e s ta b le s . F in a lm e n te , l a s ra íc e s q u e q u e d a n e n e l e je im a g in a rio d e l p ia n o ¿ p ro d u c e n o s c ila c io n e s e n o id a le s p u ra s c o m o re s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re . L a a m p litu d d e e sta s re s p u e s ta s n i s e in c re m e n ta n i d is m in u y e a m e d id a q u e e l tie m p o se in c re m e n ta . P o r lo ta n to , b s s is te m a s c u y a s ra íc e s c a r a c te rís tic a s q u e d a n e n e l e je im a g in a rio d e l p l a n o ¿ ( c o n p a r te re a l c e r o ) se rán e s ta b le s .3 Ñ o la s: 1. E s e v id e n te , p o r l a d e f in ic ió n d a d a , q u e lo s s ig n o s d e lo s c o e f ic ie n te s d e l a e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a , e c u a c ió n ( 2 .1 0 7 ) . d e te r m in a n e l c o m p o r ta m ie n to d e e s ta b ilid a d d e un s is te m a . S i h a y c u a l q u ie r c a n tid a d d e té r m in o s n e g a tiv o s o s i f a lt a c u a lq u ie r t é r m i n o e n e l p o lin o m io e n s , e n to n c e s u n a d e l a s r a íc e s s e r á p o s itiv a , lo q u e p ro d u c ir á u n c o m p o rta m ie n to in e s ta b le d e l s is te m a , p o r e je m p lo . E s te a s p e c to s e c o n s id e r a m á s a fo n d o e n l a s se c c io n e s 3 .1 1 y 5 .8 e n la f o r m a d e l c r i te rio d e e s ta b ilid a d d e R o u th -H u rw itz . 2 . E n u n s is te m a in e s ta b le , l a re s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re p u e d e c r e c e r s in lím ite , s in o s c ila c io n e s o s in l ím ite c o n o s c ila c io n e s . E l p r i m e r c o m p o rta m ie n to s e d e n o m in a in e s ta b ilid a d d iv e r g e n te y a l s e g u n d o s e le l la m a in e s ta b ilid a d d e v ib r a c ió n . E s to s c a s o s ta m b ié n s e c o n o c e n c o m o v i b r a c ió n a u to e x c ita d a (v e a l a s e c c ió n 3 .1 1 ). 3 . S i u n m o d e lo lin e a l es a s in tó tic a m e n te e s ta b le , e n e s c c a s o n o e s p o s ib le e n c o n tra r u n c o n ju n to d e c o n d ic io n e s in ic ia le s c o n la s c u a le s la re s p u e s ta tie n d a a in fin ito . P o r o t r a p a r te , s i e l m o d elo lin e a l d e l s is te m a e s in e s ta b le , e s p o s i b l e q u e c ie rta s c o n d ic io n e s in ic ia le s p u d ie ra n h a c e r q u e la re s p u e s ta t ie n d a a c e r o a m e d id a q u e se in c re m e n ta e l tie m p o . C o m o u n e je m p lo , c o n s id e re u n s is te m a r e g id o p o r la e c u a c ió n d e m o v im ie n to x — x - 0 c o n ra íc e s c a r a c te rís tic a s d a d a s p o r ¿ ¡>2 = T I . P ó r lo ta n to , l a r e s p u e s ta e s t á d a d a p o r x ( / ) = C | e - ' + C¿e', d o n d e C ( y C 2 so n c o n sta n te s . S i la s c o n d ic io n e s in ic ia le s s e e s p e c if ic a n c o m o x ( 0 ) = 1 y ¿ ( 0 ) = - 1 , v e m o s q u e C \ = I y C 2 = O y p o r c o n s ig u ie n te la re s p u e s ta e s x ( f ) = e ~ ’, l a c u a l tie n d e a c e r o a m e d id a q u e el tie m p o tie n d e a in fin ito .

4.

E n la s f ig u r a s 2 . 4 8 ( a ) - (d) s e m u e s tra n re s p u e s ta s c o m u n e s c o r re s p o n d ie n te s a d ife re n te s tip o s d e e s ta b ilid a d .

5 . L a e s ta b ilid a d d e u n s is te m a t a m b ié n s e p u e d e e x p lic a r re sp e c to d e s u e n e r g ía . S e g ú n su e s q u e m a . s e c o n s id e r a q u e u n s is te m a e s a s in tó tic a m e n te e s t a b l e , e s ta b le , o in e s ta b le s i s u e n e r g ía se r e d u c e , s e m a n tie n e c o n s ta n te o s e in c re m e n ta c o n e l tie m p o . E s ta ¡d e a c o n s titu y e la b a s e d e l c rite rio d e e s ta b ilid a d d e L y a p u n o v | 2 . 1 4 . 2 .1 5 J 6 . L a e s ta b ilid a d d e u n s is te m a ta m b ié n s e p u e d e in v e s tig a r c o n b a s e e n q u é ta n s e n s ib le s e a la re s p u e s ta o m o v im ie n to a p e q u e ñ a s p e rtu r b a c io n e s ( o v a ria c io n e s ) e n lo s p a r á m e tr o s (m , c y k ) y /o a p e q u e ñ a s p e rtu r b a c io n e s e n l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s .

'F n r i g o r , e l e n u n c i a d o e s v e r d a d e r o « S o s i l a s r a le e s q u e q u e d a n e n e l e j e i m a g i n a r i o a p a r e c e n c o n m u l tip lic id a d u n o . S i r a le s r a f e e s a p a re c e n c o n m u ltip lic id a d n

>

i . e l s is te m a s e r á in e s ta b le p o r q u e l a r e s p u e s ta d e v ib r a c ió n lib r e d e ta le s s is te

m a s s e r á d e la f o r m a C r" s e n (o * + 4 ) .


2.11

E stab ilid ad d e s is t e m a s

187

Sistem a estable (a) *
0»

Sistema inestable (con inestabilidad d e divergente) (c)

Sistema inestable (con inestabilidad de vibración) /j)

E je m p lo 2 .1 8

F ig u ra 2 ^ 8 D iferentes tip o s d e estabilidad.

E s ta b ilid a d d e u n siste m a C onsidere una barra rigida uniform e, d e m asa m y largo /.c o n un extrem o pivotado y el otro con ectad o sim é tricam ente por d o s resortes, c o m o se m uestra en la figura 2.49. Suponiendo q u e los resortes no e stán alargados cuando la barra e s vertical, o btenga la ecu ació n d e m ovim iento d e l sistem a p ara desplazam ientos angulares p equeños (0 )d e la barra alrededor del pivote, e investigue e l com portam iento d e estabilidad del sistem a. S o lu c ió n : O rando la ba rra se desplaza un án g u lo 0, la fuerza e n cada resorte e s k l s e n 0, la fuerza total es 2*/ s e n 0. L a fuerza d e la g ravedad W = m g a ctú a verticalm ente hacia abajo a trav és d e l centro d e gravedad. G. 0 m om ento e n to m o a l punto d e rotación O debido a la aceleració n a n g u la r 6 es JQ0 - ( m i * / i) 0 . P o r lo tanto la ecu ació n de m ovim iento de rotación d e la barra, alrededor d e l punto O , s e escribe com o

0

+ (2 k l se n

0)1 e o s 0 - l V ^ s e n 0


= O

( E .I )

188

C a p ítu lo 2


vK o (a) F ig u ra 2 .4 9 Estabilidad d e u n a b a rra rígida.

R ú a oscilaciones pequeñas, la ecu ació n ( E l ) se reduce a

mi a ~ ó

2ki2o

+

Wl

- f e

=

0

d + < ¿0 = 0

(E .2)

cbnde

( llkl2

2

-

3W l \

(E .4)

l a ecuación característica está d ad a por ^

«

' = 0

(E .5)

y por tanto la solución d e la ecuación ( E 2 ) d epende d e l signo d e á 2 com o se indica a continuación. C aso 1. Q ia n d o <12k l2 - S W D flm P > 0 . la solución de la ecuación < E 2) representa un sistem a estable con oscilaciones estables y se expresa como

0( 1 ) = cbnde

eos <•>„/ + A j s e n o>„r

(E .6)

a y -4, so n c onstantes y / (i2*/~ - s w i \ ' n <•>- = \

w

2

)


(E.7)

2 .1 2

E je m p lo s r e s u e lto s u tiliz a n d o M ATLAB

189

C a so 2. Cuando ( 12 k P - 3 W I)/2 m P = 0 . la ecu ació n se reduce a 0 = 0 y la solución d e oblicnc directam ente a l integrar d o s v eces com o 0(1) = C ,/ + C ¡

(E 8 )

Para las condiciones iniciales 0(f = 0 ) = 60 y ó ( t = 0 ) = Ó0- la solución es

0(1) = é o l + 0o

(E.9)

La ecuación (E .9) m uestra q u e e l sistem a es inestable c o n e l desplazam iento a n g u la r increm entándose linealm ente a una velocidad constante 0O. S in em bargo, si 0o = 0 . la ecu ació n (E .9 ) indica una posición estable o de equilibrio estático c o n 0 = Oq, e s decir, e l póndulo perm anece e n su posición original, d e fin id a p o r 0 = 0O. C aso 3. Cuando ( l2 k P - 3 W f)/2 m P < 0 . la solución d e la ecu ació n ( E 2 ) s e expresa como

0 ( / ) = B iem + B & *

(E 1 0 )

d o n d e B , y fl. son constantes. P a ra las condiciones iniciales 0(í ■ 0 ) - Oq. 0 ( t = 0 ) = 00. la ecuación ( E 10) se escribe como

0(1) = ¿ [ ( a 0 o + 0oy * + (o 0 o - Ó0) e - « ]

(Eli)

La ecu ació n ( E l i ) m uestra q u e 0 (/) s e increm enta exponencialm ente c o n el tiem po, p o r c onsiguiente el m ovi m iento e s inestable. La razó n física de esto e s q u e e l m om ento d e restauración producido por e l reso rte (2 k P 0 ), d cual trata d e regresar el sistem a a la posición d e equilibrio, e s m en o r que e l m om ento d e no restauración debido a la g ravedad ( —W (l/ 2 ) 0 J. e l cual trata d e alejar la m asa d e la posición d e equilibrio.

2.12

E je m p lo 2 .1 9

E je m p lo s re s u e lto s u t iliz a n d o M A T L A B

v a r ia c io n e s d e la f r e c u e n c ia n a tu ra l y el p e r io d o c o n d e f le x ió n e s tá tic a T rac e las variaciones d e la frecuencia natural y e l periodo d e tiem po c o n deflexión estática d e un sistem a no am ortiguado utilizando M A TI.A B. S o lu c ió n : L as ecuaciones (2 .2 8 ) y (2 .3 0 ) proporcionan la frecuencia natural (a>J y el periodo ( r ñ):


190

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d S i se aplica g = 9.81 m /s2. w , y t „ se trazan e n e l rango d e 6 „ - 0 a 0.5 utilizando e l program a M A TL A B

% Ex2_19.* g - 9.81, fo t 1 • li

101

tu» . o.oi . *
.

u o ( i) «M I p lo t(t,w ),

(o. 5-o.oi) • ( i - a ) /i o o ,

< g / t(l))*0.5,

-

2 • pl •

< t < l ) / g ) “ 0. S ,

g t * x t ('« _ « '),

bo ld

oo;

p lo t(t,

t* o > ,

g c*x t(*T _n '> , « l a b a l (< D a l e a

e le l*

a

( ’l j a a p l o

t *) ,

2 .1 7 ') ,

Fjem plo 2.19

V ariaciones d e la frecuencia n a tu ra l y el periodo.

E je m p lo 2 .2 0

R e sp u e sta d e v ib ra c ió n lib re d e u n sis te m a d e re s o rte -m a s a Un sistem a de resorte-m asa c o n una m asa de 20 lb-s2 y rigidez d e 500 lb /p u lg , s e som ete a un desplazam iento inicial de «i, = 3 .0 pulg y una velocidad inicial de .r0 = 4 .0 pulg/s. T rac e las variaciones d e tiem po d e l d e sp la zam iento d e la m asa, la velocidad y la aceleración utilizando M A TLAB.


2 .1 2


191

S olución: H desplazam iento d e u n sistem a no am ortiguado se expresa com o (v ea la ecu ació n (2.23)): x { l) = A 0 s e n f a j + ¿ o )

(E.1)

ttande

“■= ^ ' \ ^

*

=

b

+

(

s

)

'

T

=

[

( 3 -o > i

= 5rad/!

*

(

*

0

T

=

3 1 0 4 8

h

e

= l a n - ' ^ ^ j = ^ ~ l ( | 3 °4>(()3 0 1 ) = 75.0686° = 1.3102 rad

I*»r lo tanto, la ecu ació n (E. I ) da p o r resultado

x ( l ) = 3l1048 sen (5 / + 1.3102) pulg

(E.2)

i ( í ) = 15.524 c o s(5 1 + 1.3102) pulg/s

(E.3)

x ( l) = - 7 7 .6 2 s c n (5 í + 1.3102) p u lg /s 2

(E.4)

Ejemplo 2.20

Ftespuesta d e u n siste m a no a m o rtig u ad o .


192

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d L a s e c u a c io n e s ( E .2 ) y ( E .4 ) s e t r a z a n u tiliz a n d o M A T L A B e n e l r a n g o i = 0 a 6 sc g .

%KxJ 30.B fo r

i . 1 . t i l ) x (i) *1 (1 ) *2 (1 )

101 í • (l-U / 1 0 0 , 3.1048 • a lo (S . -

15.524 -77.<2

• coa(S • alt>(5

•

t(i) • •

*

t ( l ) t ( l )

1.3102)» . .

1.3102), 1.3102),

and a u b p l o t ( 311) , plot

( t .* ) ,

ylabal ( * * ( t ) * ) í c ic la ('Bxanpla 2 . 18* ),

a u b p lo t ( 312) , plot

(t .x l),

y labal C * aubplot (3 p lo t (t.* 2 « la b a l ( ' t y labal

E je m p lo 2 .2 1

A. ( t ) ' ) « 13), ), ’ )l

( • * * . ' . (t) •),

R e sp ue sta d e v ib ra c ió n lib re d e u n sis te m a con a m o rtig u a m ie n to de C o u lo m b E ncuentre la respuesta d e vibración libre d e un sistem a d e resorte-m asa sujeto a am ortiguam iento d e C oulom b para las siguientes c o n d icio n es iniciales: * ( 0 ) = 0.5 m . ¿ ( 0 ) = 0. D atos: m = 10 kg, k = 2 0 0 N/m . n = 0.5 S o lu c ió n : L a ecu ació n d e m ovim iento se ex p resa como " i r +■ n m g sg n (.t) + k x = 0

(E .1 )

R ira reso lv er la ecuación diferencial de segundo o rd e n , ecu ació n ( E l ) , p o r e l métock) de R unge-K utta (vea e l apéndice F ), recscribim os la ecuación ( E l ) c o m o un conjunto de ecuaciones diferenciales d e prim er orden com o sigue:

x \ = x, i, =

X2 =

x2 = ¿ i = x - / i ( * i , x2)

“ MS sg n (* 2 ) “

(E .2)

- f i ( x u x i)

(E 3 )

L as ecu acio n es (E .2) y ( E 3 ) se expresan e n notación m atricial com o

X

= f(X)

(E .4)

dande

{;«}•

r -tS E S )


« - - t ó

l

2 .1 2


193

E je m p lo 221

Solución de la e c u a c ió n (E4):

S e u tiliza e l program a M A TL A B o d e 2 3 para encontrar la solución d e la ecuación (E .4 ) com o s e m uestra a continuación. % I J 2 .2 1 .B % la t a tapan « 0

.

(t.

prograaa -

(Oí

[ 5 . 0 ,

x]

-

t l t l a

d fu n e l.»

0) ¡

0 . 0 J ,

oda23

p lo t (t, x (i , x lab al ( ' t ' ) l ylabal

u tiliz a r á

0.0S>

('d fu n e l'.

tapan,

xO ),

1)) ,

(« x (l) ') j

(*IJa a p lo

2 . 1 9 'J »

% d fu n e l.b fu n etio n f ■ d fu n el f - a a r o a (2 . 1) , f(l)

- x < 2>,

f (2)

-

-0 .S

•

9.11

< t,

•

x)

eign
-

200

• x (l)


/

10»

194

C a p ítu lo 2

E je m p lo 2 .2 2


R e sp ue sta d e v ib ra c ió n lib re d e un sis te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o u tiliz a n d o M A T L A B D esarrolle un program a M A TI.A B de u so general, llam ado P ro g ra m 2 .m pora determ inar la respuesta de vibración libre efe un sistem a viscosam ente am ortiguada. U se e l program a p ara d eterm inar la respuesta d e un sistema con los siguientes datos; m = 450.0.

* = 26519.2,

c = 1000.0,

= 0.539657,

xq

¿ o = 1.0

S olución: Se desarrolla e l program a P ro g ra m 2 .n i para q u e acepte los siguientes datos d e entrada: m * masa k = rigidez d e l resorte c » constante d e am ortiguam iento xo = desplazam iento inicial xdo = velocidad inicial n « can tid ad de pasos d e tiem po a l cual s e tienen que determ inar los v alo res d e x{i) dclt = intervalo entre p aso s d e tiempo consecutivos (A/) □ program a arroja los siguientes resultados; cantidad de p aso s i. tiem po (/), z (i), x(¡), 'x(i) R p rogram a tam bién traza las variaciones d e x , x y x c o n el tiem po.

»

programa}

A nálíeia

da

vibración

lib r a

da

un

aiatana

da

un

so lo

grado da

lib ertad

Datoai 4.50000000e.002 2 .6 5 1 9 2 0 00a « 004

ka Ca xOa «dO.

1 . 0 0 0 0 0 0 O Oa .O 03

na delta

100

al

5.396S7000a-001 1 . 0 0 0 0 0 0 O Oa .O 00 2.500 0 0 0 0 0 a -002

alaterna a a U

aubaaortlguado

Raaultadoai tlanpo(l)

xd(l)

x(i)

xdd(i)

1 2

2.500000a

002

5 .000000a

002

5.5409 92a-001 S . 4 7 9 6 9 6 a - 0 01

-6.410S45a-001

1 . 5961S9e-001 -3.086B13a.001

3 4 S

7.500000a 1 .000000a 1.250000a

002 001 001

5.2259 89e-001 4 .799331a-001 4 . 2 2 4 3 0 7 a - 0 01

- 1 . 37SS59a.OOO -2.021239a.000 -2 . 55983la.000

- 2 . 7 7 4 0 7 7 a .001 •2 . 3 7 9 1 5 6 e . 0 0 1 - 1 .9 2 0 5 9 9 a .001

6

1.500000a

001

3.S29474a-001

-2.977885e.000

- 1 .4 1 8 2 2 2 a . 001

94

2 . 4 0 0 0 0 0 a . 000

2 .203271o-002

2.313895a-001

- 1 . 8 1 2 4 2 1 a . 000

97 98 99

2 . 4 2 S OOOa . OOO 2 . 4 5 0 0 0 0 a . 000 2 . 4 7 S OOOa . OOO

2 . 7 2 2 8 0 9 e - 0 02 3 . 1 1 7 0 I B a - 0 02 3 .378590B-002

1. 8

34092 a - 001 1 . 3 1 4707a-001 7.764312e-002

-2.012170a.000 - 2 . 1 2 9 0 6 4 a . 000 -2.163S96a.000

100

2 . SOOOOOa . OOO

3 . SOS 3 5 0 a - 002

2.395118a-002

-2.118982a.000



195

V ariaciones d e x , x y x .

Resumen del capitulo C o n sid rram o s las ecuaciones d e m ovim iento y su s solu cio n es p ara la vibración libre d e sistem as d e un solo grado d e libertad no amortiguactos y subam ortiguados. ftira o btener la ecuación d e m ovim iento d e sistem as subaniortiguaitos se presentaron cuatro m éto d o s diferentes, a saber, la segunda ley d e l m ovim iento d e Newton, e l principio d e D 'A icm bcrt. e l principio de desplazam ientos virtuales y e l principio d e conservación d e la energía. S e consideraron los sistem as traslacionales y torsionales. S e presentaron la s solu cio n es d e vibración libre para sistem as no am ortiguados. Se consideró la ecuación d e m ovim iento e n la form a de una ecuación diferencial d e p rim er orden para un sistem a de m asa-am ortiguador (sin resorte), a s í c o m o la idea de constante d e tiempo. S e presentó la solución d e vibración libre d e sistem as viscosam ente am ortiguados ju n to c o n los concep tos d e sistem as subam ortiguados, sobream ortiguados y críticam ente am ortiguados. T am bién se consideraron las soluciones d e vibración libre d e sistem as c o n am ortiguam iento d e C oulom b e histerético. S e explicaron las representaciones gráficas d e raíces características e n e l p lan o com plejo y las soluciones correspondientes. T am bién se consideraron los efectos d e la variación de los parám etros m , c y * e n las raíces características y su s representaciones utilizando gráficas del lu g ir geom étrico de las raíces. La identificación d e l e stad o de estabilidad d e un sistem a tam bién se explicó. A hora q u e y a ha term inado este capítulo, usted d eberá ser capaz de re sp o n d er las preguntas d e repaso y resolver los p roblem as que se d arán a continuación.


196

C a p ítu lo 2


Referencias 2.1

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Preguntas d e repaso 2 .1

Responda brevem ente lo siguiente; 1 . Sugiera un m étodo para determ inar la constante d e am ortiguam iento d e un sistem a vibratorio su m am ente am ortiguado c o n am ortiguam iento viscoso. 2 . ¿Puede a p lic a r los resultados d e la sección 2.2 e n los q u e la fuerza d e restauración no e s proporcio nal al desplazam iento, es decir, d o n d e * no e s una constante? 3 . Kfencione los parám etros correspondientes a m . c . k y x para un sistem a torsional. 4. 5. 6. 7. 8.

¿Qué efecto tiene la reducción d e la m asa e n la frecuencia d e un sistem a? ¿Qué efecto tiene la reducción d e la rigidez, d e l sistem a e n el perio d o natural? ¿Por q u é la am plitud d e vibración libre se reduce gradualm ente e n sistem as prácticos? ¿ f o r q u é e s im portante d eterm inar la frecuencia natural d e un sistem a vibratorio? ¿C uántas c onstantes arbitrarias d eb e tener u n a solución de una ecuación diferencial d e segundo crden? ¿C óm o se determ inan estas constantes?

9 . ¿Puede usarse e l m étodo d e energía para hallar la ecu ació n diferencial de m ovim iento d e todos los sistem as d e u n solo grado d e libertad? 10. ¿Qué su p o sicio n es se h acen a l determ inar la frecuencia natural d e un sistem a de u n solo grado de libertad cuando se utiliza e l m étodo d e energía? 11. ¿La frecuencia d e una vibración libre am ortiguada es m enor o m ay o r q u e la frecuencia natural del sistem a?


P re g u n ta s d e rep aso

197

12. ¿Cuál e s e l uso d e l decrcm ento logarítm ico? 13. ¿Hs e l am ortiguam iento histcrctico u n a función del esfu erzo m áxim o? 14. ¿Qué es e l am ortiguam iento crítico, y c u á l e s su im portancia? 15. ¿Qué le su ced e a la energía disipada p o r e l am ortiguam iento? 16. ¿Qué e s el am ortiguam iento viscosos equivalente? ¿ E s e l factor d e am ortiguam iento viscoso e q u i valente u n a constante? 17. ¿C uál es la razón 4 : estudiar la vibración de un sistem a d e un solo grado d e libertad? 18. ¿Cóm o puede determ inar la frecuencia natural d e un sistem a m idiendo su deflexión estática? 19. Dé d o s aplicaciones prácticas d e un péndulo torsional. 20. D efina estos térm inos: relación d e am ortiguam iento, decrcm ento logarítm ico, coeficiente d e pér dida y capacidad d e am ortiguam iento específico. 21. ¿En q u é form as e s la respuesta d e un sistem a con am ortiguam iento d e Coulom b diferente d e los sistem as c o n o tro s tipos d e am ortiguam iento? 22. ¿Q ué es la rig k k z com pleja? 23. 24. 25. 26. 27. 28.

Efcfina la constante de am ortiguam iento d e histércsis. í>f tre s aplicaciones prácticas d e l concepto d e centro d e percusión. ¿Cuál e s el o rd e n tfc la ecuación d e m ovim iento d ad a p o r mi< + c v = 0 ? Defina la constante d e tiempo. ¿Qué e s una gráfica del lugar geom étrico d e las raíces? ¿C uál e s la im portancia d e c < 0 ?

29. ¿Qué es un sistem a invariable c o n e l tiem po? Indique si c a d a uno d e los siguientes enunciados es verdadero o falso: 1. La am plitud d e un sistem a no am ortiguado no cam biará c o n e l tiempo. 2. Un sistem a vibratorio e n aire se puede considerar un sistem a am ortiguado. 3. l a ecu ació n d e m ovim iento de un sistem a d e un solo grado de libertad perm anecerá sin cam bio ya sea q u e la m asa se m ueva e n un plano horizontal o e n un plana inclinado. 4 . O ra n d o u n a m asa v ib ra e n u n a dirección vertical, su peso siem pre p u ed e s e r ignorado a l o b ten e r la ecuación d e m ovim iento. 5. El principio d e conservación d e la en erg ía se p u ed e usar p ara d e riv a r la ecu ació n d e m ovim iento de sistem as am ortiguados y no am ortiguados. 6 . R i algunos casos la frecuencia am ortiguada p u ed e s e r m ayor q u e la frecuencia natural no am ortip ia d a d e l sistem a. 7 . l a frecuencia natural puede ser cero en algunos casos. 8. La frecuencia natural d e vibración d e un sistem a torsional está d ad a p o r yi donde k y m indican b constante d e resorte torsional y e l m om ento p o lar d e inercia d e m asa, respectivam ente. 9. R m étodo d e Rayleigh está basado e n el principio de conservación d e la energía. 10. La posición final de la m asa siem pre e s la posición d e equilibrio e n e l caso d e am ortiguam iento de Cbulom b. 11. l a frecuencia natural no am ortiguada d e un sistem a resulta d e V ^ / S * , d o n d e 5 „ e s la deflexión estática d e la masa. 12. Para un sistem a no am ortiguado, la velocidad adelanta a l desplazam iento e n tt/Z 13. P ira un sistem a no am ortiguado la velocidad adelanta a la aceleración e n » r/Z 14. El am ortiguam iento d e Coulom b se conoce com o am ortiguam iento constante. 15. 16. 17. 18. 19.

El coeficiente d e p erdida indica la energía disipada por radián por energía d e deform ación unitaria. f l m ovim iento d ism inuye a cero e n casos d e subam ortiguado y sobream ortiguado. H decrem ento logarítm ico s e puede utilizar para determ inar la relación d e am ortiguam iento. El lazo d e histércsis d e la curva-csfucrzo-deform ación d e un m aterial provoca am ortiguam iento. La rigidez co m pleja se puede utilizar para determ inar la fuerza d e am ortiguam iento e n un sistem a con am ortiguam iento d e histércsis. 20. H m ovim iento e n e l caso d e am ortiguam iento d e histércsis se puede considerar arm ónico. 21. E n el plano j . el lugar geom étrico correspondiente a la frecuencia natural constante se rá un círculo. 22. La ecuación característica d e un sistem a de u n solo grado d e libertad puede tener una raíz real y i r a raíz com pleja.


198

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d 2J

Llene los espacios e n blanco c o n las palabras correctas: 1. L a vibración libre d e un sistem a no am ortiguado representa un intercam bio d e energías de

-------------- y 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

■

Un sislenta som etido a m ovim iento arm ónico sim ple se conoce c o m o o s c i la d o r ________ . 0 reloj m ecánico representa un p é n d u lo _______. 0 centro d e _________se p u ed e utilizar ventajosam ente e n un b ate d e béisbol. Con am ortiguam iento viscoso y d e histéresis. e n teoría e l m o v im ien to _________por siem pre. La fuerza d e am ortiguam iento e n am ortiguam iento d e C oulom b está d ad a p o r _________ . 0 coeficiente d e _________ se puede utilizar para com parar la capacidad de am ortiguam iento de diferentes materiales d e ingeniería. O curre vibración torsional cuando un c u e rp o ________ oscila alrededor d e un eje. La propiedad d e am ortiguam iento d e __________ se utiliza en m uchas aplicaciones prácticas, com o en cañones grandes.

10. 0 decrcm ento logarítm ico d eterm ina la velocidad a la cual l a __________d e u n a vibración libre am ortiguada dism inuye. 11. 0 m étodo d e R aylcigh se p u ed e u tilizar para determ inar la fre c u e n c ia ________d e un sistem a de form a directa. 12. Dos desplazam ientos sucesivos d e l sistem a, se p a ra d o s por un ciclo, se p u ed en utilizar p ara d e te r m inar e l d ecrc m e n to _________ . 13. l a frecuencia natural am ortiguada (o>¿) se puede e x p re s a re n función d e la frecuencia natural no am ortiguada ( o / J c o m o . 14. La constante d e tiem po indica e l tiem po en e l cual la resp u esta inicial se reduce e n u n por ciento. 15. 0 térm ino d ism in u y e ________ q u e e l térm ino e ~ ' a m edida que e l tiem po se increm enta. 16. En e l plano j , las líneas paralelas a l eje real indican sistem as d e frec u e n cias________ diferentes. 2.4

Seleccione la respuesta m ás apropiada de entre las opciones m últiples dadas: I.

l a frecuencia natural d e un sistem a c o n m asa m y rigidez k es:

2 . En am ortiguam iento d e C oulom b, la am plitud de m ovim iento s e reduce e n cada ciclo en: Ií N

2f i N

*■t

*■ —

A ¡iN

—

3 . L a am plitud d e un sistem a no am ortiguado sujeto a un desplazam iento inicial de cero y velocidad inicial ¿o « r á d ad a por: .

a x0

.

b. xoo>„

i o c. —

4 . 0 efecto d e la m asa d e l resorte se puede te n e r e n cuenta agregando la siguiente fracción d e su m asa a la m asa vibratoria:

5 . Rira un am ortiguador viscoso con constante de am ortiguam iento c . la fuerza de am ortiguam iento es: a ex

b. e x

c. ex

6 . 0 deslizam iento relativo de los com ponentes e n un sistem a m ecánico ocasiona: a . am ortiguam iento d e fricción seca

b.am ortiguam iento viscoso


c.am ortiguam iento de histé resis


199

7 . En vibración torsional. e l desplazam iento se mide e n función de: a . coordenada lineal

b . coordenada a n g u la r

c . coordenada d e fuerza

8. La relación d e am ortiguam iento, en función d e la c o n stan te d e am ortiguam iento c y la constante de am ortiguam iento crítico (cf ). es: Cc a. — i

. c b. —

9. l a am plitud d e un sistem a subam ortiguado sujeto a un desplazam iento inicial x0 y una velocidad inicial 0 está d a la por: a. x0

b. 2*o

c . xtfo„

10. H ángulo d e fase d e un sistem a subam ortiguado sujeto a un desplazam iento inicial * „ y a una vcb e id a d inicial 0 está dado p o r a.

b. 2*0

xq

c. 0

11. l a energía d isipada d ebida a am ortiguam iento viscoso es proporcional a la siguiente potencia de b am plitud de m ovim iento: a. 1

b. 2

c. 3

12. R ú a un sistem a críticam ente am ortiguado, e l m ovim iento será: a . periódico

b . aperiódico

c . arm ónico

13. l a en erg ía d isipada p o r ciclo en am ortiguam iento viscoso con constante d e am ortiguam iento c {bram e el m ovim iento arm ónico sim ple *
b. n u i j X '

c. v c to jX

14. Rira u n sistem a vibratorio c o n una en erg ía total W y u n a en erg ía d isipada p o r c ic lo A W. la capacicbd d e am ortiguam iento específica es: W

.

AW H T

*

15. Si las raíces características tienen v alo res positivos, la respuesta d e l sistem a será: a . estable

b . inestab le

c . asintóticam ente estable

16. La frecuencia de oscilación d e la respuesta d e un sistem a se rá m ás alta s i la parte im aginaria d e las raíces es: a . m en o r

b . cero

c . m ay o r

17. Si las raíces características tienen una parte im aginaria c ero , la respuesta d e l sistem a será: a . oscilatoria

b . r o oscilatoria

c . estable

18. l a form a del lugar geom étrico d e la s raíces d e un sistem a de un solo grado de libertad para 0 < £ < I es: a.

circu lar

b. linca horizontal

c . línea radial

19. La form a d e l lu g ar geom étrico d e las raíces d e un sistem a d e un solo g ra d o d e libertad a medida que k v aría es: a , líneas verticales y horizo n tales

b. arco circu lar


c . líneas radiales

200

C a p ítu lo 2


L5

C orrelacione lo siguiente pora un sistem a d e un solo grado de libertad c o n m - 1, A “ 2 y c “ 0.5: 1.

1.3919

2 . F recuencia lin c a !,/,

b. 2 8 2 8 4

3. IVriodo d e tiem po natural. t „

c.

4.

2.6

a.

Frecuencia natural. o».

22571

d . 0.2251

Frecuencia am ortiguada. u>d

5 . C bnstante d e am ortiguam iento crítico. cc

e.

01768

6.

Relación d e am ortiguam iento, ¿

f.

4.4429

7.

Decrcm ento logarítm ico, &

g.

1.4142

Correlacione lo siguiente p ara u n a m asa m = 5 kg q u e s e m ueve a una velocidad *• = 10 m/s:

Fuerza de

Tipo de amortiguamiento

■ n ortigifW B lo L

20 N

a.

A m ortiguam iento d e C oulom b c o n coeficiente de fricción d e 0.3

2.

1.5 N

b.

A m ortiguam iento viscoso con un coeficiente d e am ortiguam iento d e 1 N -s/m

3.

30 N

c.

A m ortiguam iento viscoso con un coeficiente d e am ortiguam iento de 2 N -s/m

4.

25 N

d. A m ortiguam iento viscoso con coeficiente d e am ortiguam iento histéretico de 12 N/m a una frecuencia d e 4 rad/s

5.

ION

e.

2.7

A m ortiguam iento cu adrático (fuerza = a v 2) c o n constante d e am ortigua m iento a = 0.25 N -sV m 2

Correlacione la s siguientes características d e l plano s:

Largar geométrico 1.

Importancia

C írculos concéntricos

a. V alores diferentes ifc frecuencia natural am ortiguada

2. L íneas paralelas a l eje real

b. Valores diferentes de recíprocos de constante d e tiempo

3.

lin c a s paralelas al eje im aginario

c . V alores diferentes d e relación d e am ortiguam iento

4.

L íneas radiales a través d e l o rig en

d. Valores diferentes de frecuencia natural

2.8

E m pale lo s siguientes térm inos relacionados c o n la estabilidad d e sistem as:

Tipo de sistema 1.

Asintóticam ente estable

Naturaleza de la respuesta de vibración libre a medida que é tiempo tiende a infinito a. Ni decae n i crece

2. Inestable

b. Crece con oscilaciones

3.

Estable

c.

4.

Inestabilidad divergente

d. T iende a cero

5.

Inestabilidad d e vibración

e.

Crece sin oscilaciones

C rece sin lím ite


P r o b le m a s

201

Problem as Sección 2.2 Vibración libre de un sistema traslacional no amortiguado 2.1

Una p re n sa industrial se en cu en tra m ontada sobre una base d e c au c h o para aislarla d e su cim entación. Si la base d e caucho s e com prim e 5 m m por e l peso m ism o de la prensa, encuentre la frecuencia natural del sistem a.

22

B periodo natural d e un sistem a d e resorte-m asa es d e 0.21 seg. ¿C uál será e l nuevo perio d o si la c o n s tante de resorte
23

l a frecuencia natural d e un sistem a d e resorte-m asa es d e 10 Hz. C uando la constante de resorte se reduce e n 800 N /in. la frecuencia se m odifica en 45 p a r ciento. Encuentre la constante d e resorte del sistem a original.

2.4

O rando el extrem o de un resorte helicoidal se fija y otro s e carga, se requiere una fuerza d e 100 N para alargarlo 10 m m . Los extrem os del resorte ah o ra están rígidam ente fijos, un extrem o verticalm ente s jb rc e l otro, y a la m itad d e su longitud se fija una m asa d e 10 kg. D eterm ine e l tiempo requerido para com pletar un ciclo d e vibración cuando s e h ace q u e la m asa vibre e n la dirección vertical.

2.5

Una u n id ad d e aire acondicionado que pesa 2 0 0 0 Ib tiene q u e e star sop o rtad a por cuatro resortes n e u m áticos (figura 2.50). D iseñe lo s resortes neum áticos d e m odo q u e la frecuencia natural d e vibración de la unidad resulte entre 5 raJ/s y 10 rad/s.

F igura 2 .5 0 (C ortesía de S o u n d a n d V ibration).

2 .6

La velocidad m áxim a alcanzada p o r la m asa de un o scilador arm ónico sim ple es d e 10 cm /s. y e l perio do d e oscilación e s d e 2 seg. S i la m asa se suelta con un desplazam iento inicial d e 2 c m d eterm ine (a) la am plitud; (b ) la velocidad inicial; (c) la aceleración m áxim a, y (d) e l ángulo d e fase.

2 .7.

T res resortes y u n a m asa s e fijan a una barra P Q rígida sin peso c o m o se m uestra en la figura 2 .5 1. D eterm ine la frecuencia natural d e vibración d e l sistem a.


202

C a p ítu lo 2


2J1

U n autom óvil d e 2000 kg de m asa (fcforma su s resortes d e suspensión 0.02 m e n condiciones estáticas. Determ ine la frecuencia natural d e l autom óvil en la dirección vertical suponiendo q u e e l am o rtig u a m iento e s insignificante.

2.9

H alle la frecuencia natural d e vibración de un sistem a de resorte-m asa colocado so b re un plano inclina da. c o m o se m uestra en la figura 2.52.

F igura 2.52

2 .1 0

A un c arro d e m ina cargado, q u e pesa 5000 Ib. s e le está a l/a n d o p o r m edio d e u n a p olea libre d e fric ción y un cable, com o se m uestra en la figura 2.53. H alle la frecuencia natural d e vibración d e l carro en una posición dada.

2.11

U n chasis electrónico q u e pesa 500 N se aísla m ontándolo sobre cuatro re so rtes helicoidales, c o m o se m uestra en la figura 2.54. Diseñe los resortes d e m odo que la unidad p u ed a usarse e n un am biente en el que la frecuencia vibratoria o scile de 0 a 50 Hz.


P r o b le m a s

203

F ig u ra 2J> 4 Chasis e le c tró n ic o m o n ta d o so b re aisladores de v ib rac ió n . (C ortesía d e T itá n SESCO).

2.12. Encuentre la frecuencia natural d e l sistem a que se m uestra en la figura 2,55 c o n y sin los resortes k t y *2 a la m itad d e la viga clástica. 2 .13. Encuentre la frecuencia natural del sistem a d e p o lcas q u e se m uestra e n la figura 2.56 ignorando la fricción y las m asas d e las poleas. 2 1 4 . T res polcas sin fricción y sin m asa, y un resorte de rigidez k soportan un peso IV, com o s e m uestra e n la figura 2.57. Encuentre la frecuencia natural d e vibración del peso VVp ara oscilaciones pequeñas.

2 .1 5

Un blo q u e rígido d e m asa M está m ontado sobre cuatro soportes elásticos, c o m o se m uestra e n la figura 2 5 8 . Una m asa m cae desde una altura / y se adhiere a l blo q u e rígido sin rebotar. S i la constante de resorte d e c a d a so p o rte elástico e s k, d eterm ine la frecuencia natural d e vibración d e l sistem a (a ) sin la m asa m .y (b) c o n la m asa m . T am bién d eterm ine e l m ovim iento resultante d e l sistem a e n e l caso (b).

2.16

U n m azo golpea un yunque c o n una velocidad d e 50 pics/s (figura 2.59). El m azo y e l yunque pesan 12 Ib y 100 Ib. respectivam ente. El y u n q u e está m ontado so b re cuatro resortes, cada uno d e rigidez k - 100 Ib/pulg. D eterm ine e l m ovim iento resultante d e l yunque (a) s i e l m azo perm anece e n contacto con e l yunque y (b ) si e l m azo no perm anece e n contacto con e l yunque después d e l im pacto inicial.

2.17

Derive la expresión p ara la frecuencia natural del sistem a m ostrado e n la figura 2 6 0 . O bserve q u e la carga W está ap licada e n e l extrem o de la viga 1 y a la m itad d e la v ig a 2 .


204

C a p ítu lo 2


F ig u ra £ 5 7

2.18

Una m áquina que pesa 9 .8 1 0 N se está bajando c o n un m alacate a una velocidad uniform e de 2 m/s. 0 diám etro d e l c ab le de acero q u e soporta la m áquina es de 0.01 m . 0 m alacate se detien e d e repente cuando la longitud d e l c ab le de acero es d e 2 0 m . Encuentre e l periodo y la am plitud de la vibración resultante d e la m áquina.


P r o b le m a s

205

Figura 2.60

2.19

La frecuencia natural d e un sistem a d e resorte-m asa es d e 2 H z. Cuando se agrega una m asa adicional cfc 1 kg a la m asa original m . la frecuencia natural se reduce a I Hz. Encuentre la constante d e resorte k y la m asa m.

2.20

Una g rú a soporta un m ecanism o d e control eléctrico por m edio d e un cable de acero d e 4 m d e largo y 0.01 m de diám etro (figura 2 .6 1 ). S i e l perio d ) natural d e vibración axial d e l m ecanism o de control es cfc 0.1 s. determ ine la m asa d e l m ecanism o.

2 J1

G iatro eslab o n es rígidos y un resorte sin peso e stán dispuestos para q u e soporten un peso W d e dos m aneras diferentes, c o m o se m uestra e n la fig u ra 2.62. D eterm ine las frecuencias naturales de vibración cfc la s d o s disposiciones.

F igura 2 .6 1 Fotografía co rte sía de la In stitu tio n of Electrical E ngineers (In stitu ció n d e In g e n ie ro s E lectricistas).


206

C a p ítu lo 2


(a)

122

(b)

F ig u ra 2.62

Se utiliza un gato d e tijera p ara levantar una carga IF. L os eslabones del gato so n rígidos y los collares pueden deslizarse librem ente sobre la flecha contra los resortes d e rigideces k t y *2(v ea la figura 2.63). E ncuentre la frecuencia natural d e vibración de la c a rg a e n la dirección vertical.

F igura 2.63

123

Ftay un peso suspendido p o r seis eslab o n es rígidos y d o s re so rtes d e d o s diferentes m aneras, c o m o se m uestra en la figura 2.64. E ncuentre las frecuencias naturales d e vibración sobre lo s d o s conjuntos.

(b)

F igura 2 .6 4


P r o b le m a s

207

2.24

L a figura 2.65 m uestra u n a pequeña m asa m sujetada p o r c u a tro resortes elá stico s linealm ente, cada u ro de los cuales tiene una longitud no alarg ad a / y un án g u lo d e orientación d e 45° con respecto a l eje x. D eterm ine la ecu ació n d e m ovim iento correspondiente a pequeños desplazam ientos d e la m asa e n la dirección x.

2J!5

Una m asa m está sostenida por d o s conjuntos d e resortes orientadas a 30° y 120" con respecto a l eje x. com o se m uestra en la figura 2.66. U n terc er par de resortes, cada uno c o n rigidez k3. se tiene que d iseñ ar para q u e e l sistem a tenga u n a frecuencia natural constante, m ientras vibra en c u a lq u ie r dirección x. D eterm ine la rigidez necesaria k3 y la orientación d e los resortes c o n respecto al eje X.

F ig u ra 2 .6 5

Y

Figura 2 .6 6

226

Una m asa m se sujeta a una c u e rd a som etida a u n a tensión T c o m o s e m uestra e n la figura 2.67. Supo niendo q u e T no cam bia cuando la m asa se desplaza norm al a la cuerda (a ) escriba la ecu ació n d ife rencial d e m ovim iento para vibraciones transversales pequeñas y (b) encuentre la frecuencia natural de vibración.

221

U n saltador con un peso d e 160 Ib sujeta un extrem o d e una cuerda clástica d e 200 pies d e largo con rigi d e z d e 10 lb/pulg a un puente y e l o tro extrem o a s í m ism o y salta d e l puente (fig u ra 2.68). Suponiendo q u e e l p uente es rígido, d eterm ine e l m ovim iento vibratorio d e l saltador c o n respecto a su posición de equilibrio estático.


208

C a p ítu lo 2


F ig u ra 2 .6 7

Figura 2 .6 8

2-28

U n acróbata que p e a 120 Ib cam ina sobre una cuerda tensa, com o se m uestra en la figura Z 6 9 . Si la fre cuencia natural d e vibración e n la posición dada, e n dirección vertical, e s d e 10 rad/s, determ ine la tensión en la cuerda.

2¿9

F n la fig u ra 2.70 se m uestra e l diagram a d e un gobernador centrifugo, l a longitud de c a d a varilla es /, la n a s a de cada b o la es m , y la longitud libre d e l resorte e s h. S i la velocidad d e la flecha e s w . determ ine b posición d e equilibrio y la frecuencia con pequeñas oscilaciones con respecto a esta posición.

2J0

En e l gob ern ad o r de H artnell que se m uestra e n la figura 2.71. la rigidez d e l resorte es de 1O* N /m y el peso d e cada b o la es d e 25 N. El largo d e l brazo d e b o la e s d e 20 c m . y e l d e brazo de m anga e s d e 12 cm. l a distancia entre e l e je d e rotación y e l p ivote d e la palanca acodada es de 16 cm . □ resorte se c o m p ri m e 1 c m cuando e l brazo d e bola está en posición vertical. Encuentre (a) la velocidad d e l gob ern ad o r a h cual e l brazo d e bola perm anece vertical y (b) la frecuencia natural d e vibración con desplazam ientos pequeñes con respecto a la posición vertical de los brazos d e bola.


P r o b le m a s

209

Figura 2.70

2J1

Una plataform a c u ad ra d a P Q R S y e l au to q u e está sosten ien d o tienen una m asa com binada d e M . La plataform a cuelga de cuatro cables elásticos d e sd e un punto fijo O , c o m o se indica en la figura 2.72. La distancia vertical e n tre e l punto d e suspensión O y la posición d e equilibrio horizontal d e la platafor m a es A. S i e l lad o d e la plataform a e s a y la rigidez d e cada cable e s k , d eterm ine e l periodo d e vibración vertical d e la plataform a.

132

□ m anóm etro inclinada que s e m uestra e n la figura 2.73 se utiliza p ara m edir presión. S i la longitud total d e l m ercurio e n e l tubo es L , encuentre u n a expresión para la frecuencia natural d e oscilación del m ercurio.

Figura 2 .7 1 G o b e rn a d o r d e H a rtn e ll.


210

C a p ítu lo 2


Figura 2.72

2J3

El em balaje de 250 kg de m asa q u e cuelga d e un helicóptero (figura Z74(a)> s e puede m odelar c o m o se n u e s tra en la figura 2.74
(a)

Figura 2.74


P r o b le m a s 134

211

H cabezal d e un recipiente de presión está suspendida p o r un conjunto de cables d e 2 in d e larg o com o se m uestra e n la figura 2.75. El periodo d e vibración axial
2 J5

Un volante está m ontado e n una flecha vertical, com o se m uestra e n la figura 2.76. El diám etro d e la flecha e s d y su largo e s / y está fija p o r a m b o s extrem os. E l peso d e l volante e s W y su radio d e g iro e s r. Encuentre la frecuencia natural de las vibraciones longitudinal, transversal y torsional d e l sistem a.

F ig u ra 2 .7 5 Fotografía co rte sía de CB1 In d u strie s Inc.

Vblante

F ig u ra 2 .7 6


212

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d 2J6

U na to n e d e a n te n a d e T V está a se g u ra d a p o r cuatro cables, com o se m uestra en la figura 2.77. C ada cable está som etido a tensión y e s d e acero con área de sección transversal d e 0 .5 pulgJ. l a to rre de antena se p u ed e m odelar com o una viga d e acero d e sección cuadrada d e 1 pulg d e lado, para estim ar su masa y rigidez. E ncuentre la frecuencia natural d e flexión d e la torre con respecto a l eje y .

2 J7

l a fig u ra 2.78(a) m uestra u n a señal d e tránsito d e acero, d e ¿ pulg d e espesor, fija a u n poste d e acero. I-a altura d e l poste e s d e 7 2 pulg. su sección transversal es de 2 pulg X V* pulg. y es c ap a z d e resistir v i bración torsional (c o n respecto a l e je z) o vibración d e flexión (ya sea en e l plano zx o en e l plano yz). Determ ine e l m odo de vibración del poste e n u n a torm enta d urante la cual la velocidad d e l viento tiene tn com ponente d e frecuencia d e 1.25 Hz. Sugeren cia s: 1. Ignore e l peso d e l poste cuando encuentre las frecuencias naturales d e vibración. 2. L a rigidez torsional d e u n a flecha d e sección rectangular (v ea la figura 2.78(b)) es

£ )] d o n d e G es e l m ó d u lo d e cortante.


P r o b le m a s

213

3. H m om ento d e inercia d e m asa d e un bloque rectangular c o n respecto a l eje O O (v ea la figura 2.78(c)) está dado por 'o o - J &

+

donde p e s la densidad d e l bloque. 138

Una estructura d e edificio se m odela p o r m edio de cuatro colum nas d e acero idénticas, cada u n a d e peso w ,y un piso rígido d e peso IR c o m o se m uestra en la figura 2.79. Las colum nas e stán fijas en e l suelo y tienen u n a rigidez a la flexión de £ /c a d a una. D eterm ine la frecuencia natural de vibración horizontal de la estructura suponiendo q u e la conexión e n tre el piso y la s colum nas e s (a) d e p ivote com o s e m ues tra e n la figura 2.79(a) y (b) fija contra rotación c o m o se m uestra en la figura 2.79(b). Incluya e l efecto d : los pesos d e las colum nas.

(b) F ig u ra 2 .7 9


214

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d 2J9

B brazo d e un ro b o t d e selección y colocación, q u e se m uestra en la figura 2 .8 0 , sujeta un o bjeto que pesa 10 Ib. Encuentre la frecuencia natural del b razo d e l robot en la dirección axial p ara los siguientes datos: /, = 12 pulg. ^ = 10 pulg. /3 - 8 p u lg ; £ , = £ , = £ , = 107 lb/pulg2; D , = 2 pulg. D 2 = 1.5 pulg, D j = 1 p u lg ; d , = 1.75 pulg. d 2 = 1.25 p u lg .t/j = 0.75 pulg.

i

1 i

1

:----------* r -------h --------- H B

\A •

n

V-U .....i UU 1/1

£, |B

O

!Kc F 1ñ ic LLJ

©

- t f -

A

d7

Sección A A

Sección BB

Sección CC

2 .40. U n resorte helicoidal d e rig id e z k se corta a la mitad y s e co n ecta u n a m asa m a las d o s m itades, com o se m uestra e n la figura 2.81 (a). E l periodo natural d e este sistem a e s d e 0 .5 s. S i s e c o ita un resorte kléntico de m odo que una parte se a d e un cuarto y la o tra d e tres cu arto s de la longitud original, y la m asa m s e co n ecta a las d o s partes c o m o se m uestra e n la figura 2.8 l(b ), ¿cuál seria el periodo natural (fcl sistem a?

m

(a)

(b)

F igura 2.81

2.41* La figura 2.82 m uestra un bloque d e m etal m ontado sobre d o s rodillos cilindricos idénticos q u e giran «ai direcciones opuestas a la m ism a velocidad angular. C uando e n principio el centro d e g ravedad del N oque se desplaza una distancia x e l bloque asum irá un m ovim iento arm ónico sim p le S i la frecuencia
’H

a s te ris c o in d ic a u n p ro b le m a d e d is e ñ o , o u n p ro b le m a s in re s p u e s ta ú n ic a .


P r o b le m a s

215

F ig u ra 2 .8 3

143

Un electroim án que pesa 3000 Ib está e n reposo m ientras sostiene un autom óvil d e 2 0 0 0 Ib d e peso en m dep ó sito d e c h a ta n a . La corriente eléctrica se interrum pe, y e l autom óvil cae. Suponiendo q u e la grúa y el cable de soporte tienen una constante d e resorte equivalente d e 10.000 Ib/pulg. encuentre lo siguiente; (a ) la frecuencia natural d e vibración d e l electroim án; (b ) e l m ovim iento resultante d e l elec troim án. y (c) la tensión m áxim a desarrollada e n el cable d urante e l m ovim iento.

144

4

Derive la ecuación d e m ovim iento d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 2.84. c o n los siguientes m é todos: (a ) la segunda ley d e l m ovim iento d e N cw lo n ;(b ) e l principio d e D 'A lcm bcrt; (c ) e l principio de trabajo virtual, y (c ) e l principio de conservación d e la energía.

*i

i—

______

-77 77 ^77 777 77 7 ^ ^ ^

1 4 5 -2 .4 6

*2

,1— 7777777 777 777

k

^

F igura 2 .8 4

T rac e el diagram a d e cu erp o libre y d erive la ecu ació n d e m ovim iento aplicando la segunda ley del m ovim iento d e N ew ton p ara cada uno d e los sistem as que se m uestran e n las figuras 2.85 y 2.86.


C a p ítu lo 2


F igura 2 .8 5

x(i)

f / / / . /¿ tis // / / . / / / / ; / / / ,

5*:

.

2r

7 7 7 7

2* U

* r) F ig u ra 2.86

1 4 7 -2 .4 8

Derive la ecuación de m ovim iento aplicando e l principio d e conservación de la energía p ara cada uno d e los sistem as q u e s e m uestran e n las figuras 2.85 y 2.86.

149

Una v ig a d e acero d e I m d e largo so p o rta una m asa d e 5 0 kg e n su extrem o libre, c o m o se m ues tra e n la figura 2.87. F.ncucntrc la frecuencia natural de vibración transversal d e la m asa m odclánctola com o un sistem a de un solo g ra d o d e libertad.

Sección transversal. 5 cm X 5 cm

z -------------- 0 8 m

2^0

M asa. 50 kg J

m

4*— 0.2 m — *1

F igura 2 .8 7

Una viga d e acero d e 1 m d e largo so p o n a una m asa d e 5 0 kg e n su extrem o libre, c o m o se m uestra en la figura 2.88. Encuentre la frecuencia natural d e vibración transversal del sistem a trodelándolo com o un sistem a de un solo grado d e libertad.


P r o b le m a s M

217

is a . 5 0 k g

S e c c ió n tra n s v e rs a l. 5 c m X 5 c m

[É

z _______________ y}} / /

0 .8 i

02 m —

A

Figura 2.88

2^1

Determ ine el desplazam iento, la velocidad y la aceleración de la m asa d e un sistem a d e resorte-m asa con k = 5 0 0 N /m , m - 2 kg. x0 = 0.1 m y jr0 = 5 m/s.

152

D elennine e l desplazam iento (x% velocidad ( i ) y aceleración ( ¿ ) d e un sistem a d e resorte-m asa con = 10 rad/s c o n las c o n d icio n es iniciales .t0 = 0.05 m y ¿ 0 = I m/s. T race x (i), x (t), y *
2^3

Se observa q u e la respuesta de vibración libre d e un sistem a d e resorte-m asa tiene u n a frecuencia de 2 rad/s, una am plitud d e 10 m m y un desplazam iento d e fase d e I rad a p artir d e r = 0 . D eterm ine las condiciones iniciales q u e iniciaron la vibración libre. Suponga la relación de am ortiguam iento d e l sis tem a com o 0. 1.

154 S e determ ina q u e la frecuencia natural d e un autom óvil e s d e 2 0 rad/s sin pasajeros y d e 17.32 ra d /sc o n pasajeros d e 5 0 0 kg de m asa. E ncuentre la m asa y rigidez d e l autom óvil tratándolas com o un sistem a de n i solo grado d e libertad. 2^5

lln sistem a d e resorte-m asa con m asa d e 2 kg y rigidez de 3200 N /m tiene un desplazam iento inicial de x0 = 0. ¿C uál e s la velocidad inicial m áxim a q u e se puede im partir a la m asa sin q u e la am plitud de vibración libre exceda un valor d e 0.1 m ?

156

Un resorte helicoidal, hecho d e alam b re m usical d e diám etro d . tie n e un diám etro d e espira m edio (/>)
'-y ? d o n d e W e s e l peso d e l resorte helicoidal y g e s la aceleración d e la gravedad. 2^7

Resuelva e l problem a 2.56 si el m aterial d e l resorte helicoidal se cam b ia d e alam bre m usical a alum inio con G - 4 X 106 Ib/pulg2 y p - 0.1 lb/pulg3.

158 S e utiliza u n a viga de acero e n voladizo para soportar u n a m áquina e n su extrem o libre. Para ahorrar peso, se propone reem plazar la v ig a de acero por una d e alum inio d e dim ensiones idénticas. Determ ine d cam bio esperada d e la frecuencia natural d e l sistem a viga-m áquina. 2^9

Un barril d e petróleo d e 1 m d e diám etro y m asa d e 500 kg flota en un baño de agua salada d e densidad pM = 1050 kg/m 3, C onsiderando desplazam ientos pequeños d e l barril en la dirección vertical ( x ) d eter mine la frecuencia natural d e vibración d e l sistem a.

160

La ecuación d e m ovim iento d e un sistem a d e resorte-m asa e s (unidades: sistem a SI)

« s+ioH ^ ) J = ° http://librosysolucionarios.net

218

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d a. Determ ine la po sició n d e equilibrio estático d e l sistem a. b . Derive la ecuación linealizada d e m ovim iento p ara desplazam ientos p e q u eñ o s ( k) cod respecto a la posición d e equilibrio estático. c . Encuentre la frecuencia natural d e vibración d e l sistem a pora desplazam ientos pequeños. d . R icu en tre la frecuencia natural de vibración del sistem a para desplazam ientos pequeños cuando la masa e s d e 6 0 0 (en lugar d e 500). 2.61

Qianck) se aplican los frenos a un vehículo q u e viaja a una velocidad d e 100 km /hora s e produce una desaceleración de 10 ra/s2. D eterm ine e l tiem po requerido y la distan cia recorrida an te s d e q u e el vehículo se detenga p o r com pleto.

2.62

U n poste cilindrico hueco s e su eld a a u n a señ al d e tránsito rectangular d e acero com o se m uestra en la figura 2.89 con los siguientes datos: D im ensiones: / * 2 m . r0 ■ 0 .0 5 0 in . r ( * 0 .0 4 5 m . b = 0.75 m . d = 0.40 in . i - 0 .0 0 5 m ; propiedades del m aterial: p l p c s o esp ecífico ) = 76.50 k N / m \ £ = 207 G P a, G = 79.3 G Pa E n cu en tre las frecuencias naturales del sistem a en vibración transversal e n los planos yz y x z co n sid e rando las m asas del poste y la señal. S u g e re n cia : C onsidere e l poste c o m o una v ig a e n voladizo sujeta a vibración transversal en e l plano apropiado,

2.63

Resuelva e l problem a 1 6 2 con un cam bio d e m aterial d e acero a bro n ce tanto p ara e l poste c o m o para h señal. Propiedades d e l b ronce: p (peso esp ecífico ) *■ 8 0 .1 kN /m 5, £ - 111.0 G P a. G c 4 1 .4 G Pa.

Sección 2.3 vibración libre de un sistema torsional no amortiguado 164

U n p é n d u lo sim ple s e h ace o sc ila r a p a rtir d e su posición de reposo al im partirle u n a velo cid ad anguh r d e 1 rad/s. O scila c o n una am plitud d e 0.5 rad. D eterm ine la frecuencia natural y la longitud del péndulo.


P r o b le m a s 2.65

219

Una p olea d e 2 5 0 m m d e diáinclro im pulsa una segunda p olea ifc 1000 m m d e diám etro p o r m edio de in b an d a (vea la figura 2.90). FJ m om ento d e inercia d e la polca im pulsada e s de 0 .2 kg-m 2. l a banda
166

Derive una expresión para la frecuencia natural del péndulo sim ple q u e se m uestra e n la figura 1.10. ÍX:term ine e l periodo de oscilación d e un péndulo sim ple d e m asa m ■ 5 k g y longitud / - 0 .5 m.

167

Una m asa m s e fija e n e l extrem o d e u n a ba rra d e m asa insignificante y se h ace q u e vibre e n tres d ife rentes configuraciones, c o m o se indica en la figura 2.91. D eterm ine la configuración correspondiente a la frecuencia natural m ás alta.

168

La figura 2.92 m uestra una n av e espacial c o n cuatro paneles solares. C ad a p anel e s d e 5 pies X 3 pies X I p ie c o n densidad d e peso d e 0.1 Ib /pulg' y está conectado al cuerpo d e la nave por m edio d e barras de alum inio d e 12 pulg d e longitud y 1 pulg de diám etro. Suponiendo q u e el cuerpo d e la nave es m uy grande (rígido), determ ine la frecuencia natural d e vibración d e c a d a p anel c o n respecto a l eje de la barra d e alum inio d e conexión.

169

Se q uita u n a d e las a sp a s d e un ventilador eléctrico (com o se m uestra m ediante líneas p unteadas e n la figura 2.93). La flecha d e acero, sobre la cual están m ontadas las aspas, equ iv ale a u n a flecha uniform e de 1 pulg d e diám etro y 6 pulg d e largo. C ad a a sp a se p u ed e m odelar c o m o u n a varilla delgada uni form e de 2 Ib d e peso y 12 pulg d e largo. D eterm ine la frecuencia de vibración de las tres aspas restantes con respecto al eje y.

Figura 2 .9 0 (Foto cortesía d e Reliance Electric Company).


220

C a p ítu lo 2


/ // '/

T

\

\

L¥ B arra sin masa

© (a)

(b)

(c)


F ig u ra 2-91


221

En e l extrem o d e una flecha h u e c a d e d o s c ap as d e 2 m d e largo (figura 2 .9 4 ) se fija un pesado anillo cfc m om ento d e inercia d e 1.0 kg-m ?. S i las d o s c ap as d e la flecha son d e acero y latón, determ ine el periodo d e vibración torsional d e l anillo.

F ig u ra 2 .9 4

2.71

E ncuentre la frecuencia natural del péndulo m ostrado e n la figura Z 9 5 cu an d o la m asa d e la barra de conexión no e s insignificante com parada con la m asa d e la lenteja d e l péndulo.

F igura 2 .9 5

2.72

U na flecha de acero d e 0 .0 5 m d e diám etro y 2 m de largo se fija p o r un extrem o y e n e l o tro lle v a un disco d e acero d e I m d e diám etro y 0 . 1 m d e espesor, com o s e m uestra e n la figura 2.14. Encuentre la frecuencia natural d e l sistem a d e vibración torsional.

2.73

Una ba rra uniform e de m asa m y longitud /e s tá c o n s t a d a a la b isag ra e n e l punto A y a cuatro teso n es lineales y a un resorte torsional, c o m o se m uestra en la figura 2.96. D eterm ine la frecuencia natural del sistem a si * = 2 0 0 0 N /m . A , = 1000 N -m /rad. m = 10 k g , y / = 5 m.

2.74

U n cilindro d e m asa m y m om ento d e inercia d e m asa Jo ru ed a librem ente sin deslizarse pero está res tringido p o r d o s resortes d e rigideces *i y A j.co m o s e m uestra e n la figura Z 9 7 . Encuentre su frecuencia natural d e vibración, a sí c o m o e l v a lo r d e a q u e m axim iza la frecuencia natural d e vibración.


222

C a p ítu lo 2


|— w

-

- w

- f

• >

2/

|—

w

-

- w

*1

m ./0

—

i

_ L

F ig u r a 2 .9 6

'T535v

° F ig u r a 2 .9 7

2.75

2.76

Si e l péndulo d e l problem a 2.66 se c o lo c a e n un cohete q u e se m ueve veiticalm cnte c o n u n a aceleración de 5 m /sJ ,¿c u ál será su periodo d e oscilación? B rcucntre la ecu ació n de m ovim iento d e la ba rra rígida uniform e OA d e longitud / y m asa m d e l a figura 2.98. E ncuentre tam bién su frecuencia natural.

F ig u r a 2 .9 8

2.77

U n d isc o circu lar uniform e gira alrededor del punto O .c o m o s e m uestra e n la figura 2.99. E n cu en tre la frecuencia natural d e l sistem a, a sí c o m o su frecuencia m áxim a al v ariar e l valor d e b.



223

Derive la ecuación d e m ovim iento d e l sistem a m ostrado en la figura 2. i 00. con los siguientes m étodos: (a ) la segunda ley d e l m ovim iento d e N ew ton; (b) e l principio d e D ’A lem bert. y (c ) e l principio de trabajo virtual.

F ig u r a 2 .1 0 0

179

Encuentre la frecuencia natural d e l sistem a d e señal d e tránsito d escrito e n e l problem a 2.62 en vibra ción torsional c o n respecto a l eje z considerando las m asas tanto d e l poste c o m o d e la señal. Su g e re n cia : l a rigidez de resorte d e l poste a i vibración torsional con respecto a l e je z está d ad a por k , - - ~ ( r Q — r* ). El m om ento d e inercia d e m asa d e la señ al con respecto a l eje z está d a d o por

A» = j ^ m o

+ b ') .d o n d e m,, es la m asa d e la señal.

180

Resuelva e l p ro b la n a 2 .7 9 cam biando e l m aterial d e acero a bronce tanto para e l poste com o para la señal. Propiedades d e l bronce: p «peso específico) = 8 0 .1 lcN /m \ E = II 1.0 G Pa. G = 4 1 .4 GPa.

181

U na m asa m l se fija e n un extrem o de una ba rra uniform e d e m asa /n2c u y o otro extrem o gira alrededor del p u n to O c o m o se m uestra en la figura 1 1 0 1 . D eterm ine la frecuencia natural de vibración d e l p é n dulo resultante para pequeños desplazam ientos angulares.

182

E n la figura 2 .1 0 2 s e m uestra e l m ovim iento a n g u la r d e l antebrazo d e una m ano h um ana q u e sostiene una m asa m0. D urante e l m ovim iento s e puede considerar q u e e l antebrazo g ira a lre d ed o r d e la articu lación (pivote) O con las fuerzas m usculares m odeladas e n la form a d e una fuerza generada por el tríceps ( c j i ) y una fuerza generada por e l bíceps ( - c j 0 ) d o n d c c , y c2so n c onstantes y ¿ e s la veloci dad c o n la cual el tríceps se a la rg a (o contrae). R epresentando e l an teb razo c o m o u n a ba rra uniform e de m asa m y largo /. derive la ecuación de m ovim iento d e l antebrazo pora pequeños desplazam ientos angulares 0. Encuentre tam bién la frecuencia natural d e l antebrazo.

Figura 1 1 0 1


224

C a p ítu lo 2


Figura 2 .1 0 2 M ovim iento del brazo.

Sección 2.4 Respuesta de sistemas de primer orden y constante de tiempo 183

B icu en trc la respuesta de vibración libre y la constante d e tiem po en los casos en que sea aplicable, de sistem as re g id o s p o r las siguientes ecu acio n es d e m ovim iento: 100¿ + 20i>

=

0,

b. 100¿ + 20»

=

10, i-(O) = i>(r = 0) = 10

a

c. I00Í- - 20.=
K O ) = * • ( ' = 0 ) = 10

0, .-(O) = v ( l = 0 ) = 10 ü>(0) = u t(i = 0 ) = 0.5

S u g e re n cia : La constante d e tiem po tam bién s e d efine c o m o e l v a lo r d e tiem po a l cual la respuesta p a d u a l de un sistem a se eleva a 63.2% (100.0% - 36.8% ) de su v a lo r final.

184

U n am ortiguador viscoso, c o n constante d e am ortiguación c . y un resorte, c o n rigidez k . se conectan a u n a barra sin m asa A B com o s e m uestra e n la figura 2.103. L a ba rra A B se d e sp laz a u n a distan cia de * = 0 . 1 m cuando se ap lica una fuerza constante F = 5 0 0 N. L a fuerza ap licada F s e libera entonces i m p ía m e n te d e su posición desplazada. S i e l desplazam iento d e la ba rra A B se reduce c o n respecto a su v a lo r inicial d e 0.1 m en e l instante i = 0 a 0.01 m en e l instante i = 10. en cu en tre los v alo res de cy*.

185

La ecu ació n d e m ovim iento de un cohete, d e m asa m , q u e s e eleva verticalm cnte bajo un em puje F y resistencia o arrastre del a ire D es m i’ = F — D — m g


P ro b le m a s

225

F —500 N

F igura 2 .1 0 3

S i m = 1000 kg. F = 50.000 N , D = 2000 v y g = 9 .8 1 m /s2. en cu en tre la variación con e l tiem po de d x (l) la velo cid ad d e l co h ete. *•(/) = —-— . utilizando las condiciones iniciales jt(0 ) —0 y K 0 ) = 0 . donde di x ( t) c s la distancia recorrida por e l cohete e n e l tiem po t.

Sección 2.5 Método de la energía de Rayleigh 2.86

D eterm ine e l efecto d e l propio peso e n la frecuencia natural
M

Viga uniforme, rigidez flexional “ El, peso total - mg.

z.

H F igura 2.104

2.87

Siga

2J18

Siga e l m étodo d e R ayleigh pora reso lv er el problem a 2.13.

2^9

Encuentre la frecuencia natural d e l sistem a que se m uestra e n la figura 2.54.

2.90

Siga

elm étodo d e R ayleigh para reso lv er el problem a 2.26.

2.91

Siga

e l m étodo d e R ayleigh para reso lv er e l problem a 2.73.

192

Siga

elm étodo d e R ayleigh para reso lv er e l problem a 2.76.

193

e l m étodo d e R ayleigh pora reso lv er el problem a 2.7.

E n principio, un prism a rectangular d e m adera d e den sid ad p a . altura h y sección transversal a X b s e sum erge e n una tina d e a c e ite y s e h ace q u e v ib re librem ente e n la direcció n vertical (v e a la figura 2.105). S iga el m étodo d e R ayleigh p ara d eterm inar la frecuencia natural d e vibración d e l prism a. S uponga que la densidad d e l a c e ite e s Pq. S i e l prism a rectangular e s reem plazado por un cilindro circu lar uniform e d e radio r . a ltu ra h y den sid ad p ^ ¿cam biará la frecuencia natural?

194

U se e l m étodo d e energía p ara d eterm inar la frecuencia natural del sistem a m ostrado en la figura 2.97.

195

U se e l m étodo d e en erg ía p ara d eterm inar la frecuencia natural del sistem a m ostrado e n la figura 2.85.


226

C a p ítu lo 2


Figura 2 .1 0 5

2.96

U n cilindro d e m asa m y m om ento d e inercia d e m asa J está conectado a un resorte d e rigidez k y rueda sobre una superficie á sp era c o m o s e m uestra en la figura 2.106. S i el desplazam ientos traslacional y angular d e l cilindro so n x y 0 con respecto a su posición d e equilibrio, determ ine lo siguiente: a . La ecuación d e m ovim iento d e l sistem a p ara pequeños desplazam ientos en fu n ció n d e x p o r medio d e l m étodo d e energía. b . La ecuación d e m ovim iento d e l sistem a para pequeños desplazam ientos en función d e 0 p o r m edio d e l m étodo d e energía. c . Encuentre las frecuencias naturales d e l sistem a por m edio d e b ecu ació n de m ovim iento derivada en las partes (a) y (b). ¿S on iguales las frecuencias naturales resultantes?

F ig u ra 2 .1 0 6

Sección 2.6 vibración libre con amortiguamiento viscoso 2.97

U n péndulo sim ple v ib ra a una frecuencia d e 0.5 H z en e l vacío y a 0.45 H z e n un fluido viscoso. D e term ine la constante d e am ortiguam iento, suponiendo q u e la m asa d e la lenteja d e l péndulo e s de 1 kg.

2.98

La relación d e am plitudes sucesivas d e un sistem a d e u n solo grado d e libertad viscosam ente a m o rti guado es d e 18:1. D eterm ine b rc b c ió n d e am p litu d es sucesivas si b can tid ad d e am ortiguam iento se (a ) duplica, y (b) se reduce a b mitad.

2.99

Suponiendo q u e el án g u lo d e fase e s c ero , dem uestre q u e la respuesta z ( í) d c un sistem a d e un solo grado d e libertad subam ortiguado alcanza un v a lo r m áxim o cuando sen to jt - V i - £J y u n v a lo r m ínim o cuando sen

t o ji =

- V i

-


P r o b le m a s

227

D em uestre tam bién q u e las ecu acio n es d e las c u n a s q u e pasan por los valores m áxim o y m ínim o d e x(l) son. respectivam ente

x

= V i ~

f X e ’ **1

y

X = - V i - fxe-**' 2.100 Derive una ex p resió n para e l tiem po e n q u e la respuesta d e un sistem a criticam ente am ortiguado alcance su valor m áxim o. T am bién d eterm ine la expresión p ara la respuesta m áxima. 2 1 0 1 Se va a d iseñ ar un am ortiguador para lim itar su alargam iento d e m ás a 15% de su desplazam iento inicial cuando s e d e ja libre. E ncuentre la relación d e am ortiguam iento £0 requerida. ¿C uál se rá e l alargam iento de m ás si £ se liace igual a (a ) | ¿ 0 y *£0? 2.102 Las respuestas d e vibración libre de un m otor eléctrico de 5 0 0 N d e peso m ontado en cim entaciones diferentes s e m uestran en las figuras Z I 0 7 ( a ) y (b). Identifique lo siguiente a i cada caso ; (i) la n a tu raleza d e l am ortiguam iento provisto p o r la cim entación, (ii) la constante d e resorte y e l coeficien te de am ortiguam iento d e la cim entación, e (iii) las frecuencias naturales no am ortiguada y am ortiguada del m otor eléctrico.

* ( 0 ..

r.s e g

Figura 2 .1 0 7

2.103 fttra un sistem a d e rcsortc-m asa-am ortiguador, m = 5 0 k g y k = 5 0 0 0 N/m . Encuentre lo siguiente: (a) constante d e am ortiguam iento critico. cr: (b) frecuencia natural am ortiguada, cu an d o c “ cr / Z y (c) decrcm ento logarítm ico. 1 1 0 4 Un carro d e ferrocarril d e 2000 kg d e m asa q u e viaja a una velocidad v = 10 m /s e s detenido a l final d e l carril p o r un sistem a de resorte-am o rtig u atb r. c o m o s e m uestra e n la figura 1 1 0 8 . S i la rigidez del resorte e s * = 80 N/m m y la constante d e am ortiguam iento es c = 2 0 N -s/m m , determ ine (a ) e l d esp la zam iento m áxim o d e l carro después d e que choca con los resortes y e l am ortiguador, y (b ) e l tiem po requerido p ara que alcance un desplazam iento m áxim o.


228

C a p ítu lo 2


1 1 0 5 U n péndulo torsional tiene u n a frecuencia natural d e 2 0 0 ciclos/m in cu an d o vibra e n e l vacío. F1 m o m ento de inercia d e m asa ifcl disco es d e 0.2 kg-m 2. L uego se sum erge e n aceite y se ve q u e su fre cuencia natural es d e 180 ciclos/m in. D eterm ine la c o n stan te d e am ortiguam iento. S i cu an d o e l d isc o se coloca e n aceite, se h ace que s e desplace 2°. encuentre su desplazam iento a l final d e l p rim er ciclo. 1 1 0 6 U n chico m ontado e n una bicicleta se p u ed e m odelar com o un sistem a d e resorte-m asa-am oitiguador con un peso, rigidez y constante de am ortiguam iento e quivalentes d e 800 N. 50,000 N/m y 1000 N -s/m . respectivam ente. l a colocación diferencial d e los bloques d e concreto e n la carretera hace q u e el nivel de la superficie se reduzca d e repente, c o m o se indica e n la fig u ra 2.109. S i la velocidad de la bicicleta es d e 5 m /s ( 18 km /h), d eterm ine el desplazam iento d e l chico e n la dirección vertical. Suponga q u e la bicicleta no vibra e n la dirección v ertical an te s d e encontrarse c o n e l d esnivel e n e l desplazam iento vertical. 1 1 0 7 U n prism a rectangular de m adera d e 2 0 Ib d e peso, 3 pies d e altura y sección transversal d e I p ie X 2 pies flota y perm anece vertical e n una tina de aceite. S e puede suponer q u e la resistencia fricciona! del aceite equ iv ale a u n coeficiente d e am ortiguam iento viscoso £ . C uando e l prism a se sum erge una d istan d a d e 6 pulg c o n respecto a su posición d e equilibrio y se suelta, s e \ c q u e llega a una profundidad de 5.5 pulg al final d e su p rim er ciclo d e oscilación, fc te rm in c e l v a lo r del coeficien te de am ortiguam iento del aceite.

1 1 0 8 U n cu erp o vibratorio c o n am ortiguam iento viscoso realiza cinco oscilaciones com pletas por segundo y e n 5 0 ciclos su am plitud dism inuye a 10 por ciento. D eterm ine e l decrcm ento logarítm ico y la relación cfc am ortiguam iento. ¿En q u é proporción se reducirá e l periodo de vibración si s e suprim e e l am orti guam iento?


P r o b le m a s

229

2.109 La distancia d e retroceso m áxim a perm isible
NXVXNV

\ \ \

1 1 1 5 -2 .1 1 7 U tilizando e l principio d e trabajo virtual, d erive la ecuación de m ovim iento d e cada uno d e los sistem as que s e m uestran en las figuras 2.110 a 2.112.

/ / / / . / / / - y / / / / / / '/ / /

S / / / / S / 7 X S / / / / / / / / /

R o d a m i e n t o p u ro

F ig u ra 2 .1 1 0

F igura 2.111


230

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d 2.118 U n prism a rectangular d e m adera d e sección transversal d e 4 0 cm X 6 0 cm . altura d e 120 c m y m asa d e 4 0 kg. flota en u n fluido c o m o s e m uestra e n la fig u ra 2.105. C u a n d o s e le perturba, se observa que v ib ra librem ente con un período natural de 0.5 s. Determ ine la den sid ad d e l fluido. 2.119 0 sistem a que se m uestra en la fig u ra 2.113 tiene una frecuencia natural d e 5 Hz. con los sig u ien te s datos: m =- 10 k g . J0 - 5 kg-m% r , = 10 cm . r 2 =- 25 c m . Cuando e l sistem a experim enta un desplazam iento inicial, la am plitud d e vibración libre se reduce e n 80 p o r ciento e n 10 ciclos. Determ ine los valores de * y c.

m ím en lo de inercia d e m asa, J0

F ig u ra 2 .1 1 3

2.120 H rotor d e un indicador d e carátula está conectado a un resorte torsional y a un am ortiguador torsional viscoso p ara fo rm ar un sistem a torsional d e un solo grado de libertad. La escala está g raduada e n d iv i siones iguales, y la posición d e equilibrio del ro to r corresponde a cero e n la escala. C uando s e ap lica un par d e torsión de 2 X 10~J N-m . e l desplazam iento angular d e l ro to r es d e 50“ y la aguja señala 80 d iv i siones e n la escala. C uando s e libera el ro to r e n esta posició n , la aguja o scila prim ero a - 2 0 divisiones o í un segundo y luego a 5 divisiones e n otro segundo. Encuentre (a ) e l m om ento d e inercia d e m asa del rotor; ( b ) e l periodo natural no am ortiguado d e l ro to r, (c ) la constante d e am ortiguam iento torsional. y (d) la rigidez d e resorte torsional. 1 1 2 1 r ttc rm in c los valores d e ( d e iúd p ara los siguientes sistem as viscosam ente am ortiguados: a m =

lO k g .c =

150 N -s /m ,*

= 1000 N/m

b. " i =

10 kg. c =

200 N -s/m . *

= 1000 N/m

c. m =

10 kg, c =

250 N -s/m . *

= 1000 N/m

1 1 2 2 D eterm ine la respuesta d e vibración Ubre d e los sistem as viscosam ente am ortiguados descritos e n el problem a 2 .1 2 1 cuando x 0 = 0.1 m y x0 = 10 m /s. 1 1 1 3 r ttc rm in c la respuesta d e vibración libre durante u n ciclo de m ovim iento arm ónico sim ple d a d o por x(0 —0 .2 sen iuifi m por un sistem a de un solo grado de libertad viscosam ente am ortiguado con los siguientes parám etros: a m = lO k g .c = 5 0 N -s /m .* = 1000 N/m h. m = 10 kg, c -

150 N -s/m . * = 1000 N/m

1 1 2 4 l a ecuación d e m ovim iento de un sistem a d e resortc-m asa-amortiguactor, con un resorte endurecido, está d ad a por (en unidades S I) 1 0 0 r + 5 0 0 ¿ + 10Q 00* + 4 0 0 r 3 = 0


P r o b le m a s

231

a. D eterm ine la posición ifc equ ilib rio estático d e l sistem a. b . Derive la ecu ació n de m ovim iento linealizada para desplazam ientos pequeños (* )c o n respecto a la posición d e equilibrio estático. c . B icuento; la frecuencia natural d e vibración d e l sistem a para em p lazam ientos pequeños. 2.125 La ecuación d e m ovim iento d e un sistem a d e rcsorte-m asa-am ortiguador. c o n un resorte b la n d í, e s (en unidades SI) 100* + 5 0 0 i + 10,000* - 400* 5 = 0

a. Determ ine la posición cfc equ ilib rio d e l sistem a estático d e l sistem a. b . D erive la ecu ació n de m ovim iento lincalizada pora desplazam ientos pequeños ( * )c o n respecto a la posición de equilibrio estático. c . D eterm ine la frecuencia natural de vibración d e l sistem a pora desplazam ientos pequeños. 2.126 El indicador d e a g u ja d e un instrum ento electrónico está conectado a un am ortig u ad o r torsional visco sa y a un resorte torsional. S i la inercia rotacional del indicador d e aguja con respecto a su p ivote es 25 k g -m 2 y la c o n stan te d e l resorte torsional es d e 100 N -m /rad. determ ine la constante d e am ortigua m iento d e l am ortig u ad o r torsional p ara q u e e l instrum ento este críticam ente am ortiguado. 2.127 Encuentre la s respuestas d e lo s sistem as regidos p o r las siguientes ecuaciones d e m ovim iento c o n las condiciones iniciales *(0) - 0 . ¿ ( 0 ) = 1: a . l x + 8* + 16* = 0 h. 3* + 12* + 9 * = 0 c.

2* + 8* + 8* = 0

2.128 Encuentre las respuestas d e los sistem as regidos por las siguientes ecuaciones d e m ovim iento c o n las condiciones iniciales *(0) ■= 0 . * ( 0 ) = 0: a . 2* + 8* + 16* = 0 b. 3* + 12* + 9 * = 0 c . 2* + 8* + 8* = 0 2.129 Encuentre la s respuestas d e los sistem as regidos por las siguientes ecuaciones d e m ovim iento c o n las condiciones iniciales *(0) a 1. * ( 0 ) = - 1: a . 2* + 8* + 16* = 0 b. 3* + 12* + 9 * = 0

c. 2 * + 8 * + 8 * = 0

2.130 U n sistema d e resorte-m asa v ib ra con una frecuencia de 120 ciclos p o r m inuto en aire y con una fre cuencia d e 100 ciclos p o r m inuto e n un líquido. Encuentre la c o n stan te d e resorte k. la constante de am ortiguam iento c y la relación d e am ortiguam iento i cuando vibra en e l líquido. C onsidere m = 10 kg. 2.131 E ncuentre la frecuencia d e oscilación y la constante d e tiem po p ara los sistem as regidos por las sig u ien tes ecuaciones: a. * + 2* + 9* = 0 b. * + 8* + 9* = 0 c. * + 6* + 9* = 0


232

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d 1 1 3 2 B m om ento d e inercia d e m asa de un cu erp o de revolución d e form a no hom ogénea y/o co m pleja con respecto a l eje d e rotación s e determ ina, si se en cu en tra an te s su frecuencia natural de vibración torsional c o n respecto a su eje d e rotación. E n e l sistem a torsional m ostrado e n la figura 1 1 1 4 , e l cu erp o de revolución (o ro to r) d e inercia rotatoria J , está soportado p o r d o s cojinetes libres de fricción y conectado a u n resorte torsional d e rigidez kr S i s e som ete a una torsión inicial (desplazam iento a n g u la r) d e fl0 y luego se d e ja libre, e l periotk» d e la vibración resultante se m ide com o r . a. Encuentre una expresión pora e l m om ento de inercia d e m asa d e l rotor ( / ) e n función d e

t

y

b. Determ ine e valor d e J s i r = 0.5 s y *, = 5 0 0 0 N -m /rad.

(I)

torsional (k¡)

F igura 2 .1 1 4

Sección 2.7 Representación gráfica de ralees características y soluciones correspondientes 1 1 3 3 L as ra íc e s características d e un sistem a d e un solo grado d e libertad se dan a continuación. D eterm ine » d a s las características a plicables del sistem a d e entre la ecuación característica, la constante d e tie m po. la frecuencia natural no am ortiguada, la frecuencia am ortiguada y la relación d e am ortiguam iento. a . s,f2 = - 4 ± Si b. = 4 ± 5r c*

= - 4 ,- 5

d* *1.2 = - 4 . - 4 1 1 3 4 M uestre las raíces características indicadas e n el problem a 2.133 (a M d ) e n e l plano s y describa la na turaleza i b la respuesta d e l sistem a e n c a d a caso. 1 1 3 5 l a ecuación característica de u n sistem a d e un solo grado de libertad, dado por la ecuación, se puede volver a escribir com o s l + a.r + b = 0

(E .1)

c b n d e a = d m y b = kJm se consideran c o m o los parám etro d e l sistem a. Identifique regiones q u e re presenten u n sistem a estable, inestable y m arginalm cntc estable e n el p lan o de parám etros, e s decir, el plano e n e l cual a y b e stén denotados a lo largo d e lo s e je s vertical y horizontal, respectivam ente.

sección 2 . 8 variaciones de parámetrosy representaciones del lugar geométrico de las raíces 1 1 3 6 Considere la ecu ació n característica l i 3 + c 20.

cj

+ 18 = 0. T race e l lu g ar geom étrico d e las raíces para

1 1 3 7 Considere la ecu ació n característica 2j 3 + 12j + * = 0 . T race e l lu g ar geom étrico d e las raíces para * 2 0 .


P r o b le m a s 1 1 3 8 Considere la ecu ació n característica m s2 + 12* + 4 m >0.

233

0. T race el lu g ar geom étrico de las raíces para

Secdón 2.9 vibración libre con amortiguamiento de Coulomb 1 1 3 9 Un sistem a d e un solo grado d e libertad se com pone d e u n a m asa d e 2 0 kg y un resorte d e 4000 N/m de rigidez, l a s am plitudes d e ciclos sucesivos so n d e 5 0 . 45, 40, 3 5 ,... mm. D eterm ine la naturaleza y m agnitud d e la fu e r/a d e am ortiguam iento y la frecuencia de la vibración am ortiguada. 1 1 4 0 Una m asa de 20 kg se desliza con un m ovim iento d e v aivén sobre u n a superficie seca d eb id o a la acción de un resorte d e 10 N/m m d e rigidez. D espués d e c u a tro ciclos com pletos se v e q u e la am plitud es de 100 m m . ¿C uál es e l coeficiente d e fricción p rom edio entre las d o s superficies si la am plitud original era d e 150 m m ? ¿C uánto tiem po transcurrió d urante los cuatro ciclos? 1 1 4 1 Una m asa de 10 kg se conecta a un resorte de 3000 N/m d e rigidez, y se d eja libre después d e q u e se desplaza 100 m m . Suponiendo que la m asa se m ueve sobre una superficie horizontal, com o s e m uestra en la fig u ra 142< a). d eterm ine la posición e n la cual la m asa se detiene. Suponga q u e e l coeficien te de fricción entre la m asa y la superficies de 0 . 12. 1 1 4 2 Un peso de 25 N c u elg a d e un resorte c o n rigidez d e 1000 N /m . E l peso vibra e n la dirección vertical por la acción de una fuerza d e am ortiguam iento constante. C u a n d o inicialincntc e l peso es tirado hacia ib a jo una distancia d e 10 c m d e su posición d e equilibrio estático y s e d eja libre, se detiene después de com pletar ex actam ente d o s ciclos com pletos. E ncuentre la m agnitud d e la fuerza d e am ortiguam iento. 1 1 4 3 Una m asa d e 20 k g cuelga d e u n resorte d e 10,000 N/m d e rigidez. E l m ovim iento v ertical d e la masa k som ete a u n a fricción de C oulom b de 5 0 N de m agnitud. S i e n principio e l resorte se desplaza 5 cm Incia d ebajo d e su posición «fe equ ilib rio estático, determ ine (a ) e l núm ero d e m edios ciclos transcurri das an te s de que la m asa s e detenga; (b ) e l tiem po transcurrido antes d e q u e la m asa s e detenga, y (c ) la extensión final del resorte. 1 1 4 4 La prueba de impacto d e Charpy e s una prueba dinám ica en la cual se g jlp e a una m uestra c o n un péndulo (o m artillo) y se m ide la energía ahsorbida a l rom perla. Los valores m edidos sirv e n para com parar las resistencias a l impocto d e diferentes m ateriales. C om o se m uestra e n la figura 2.115. el péndulo cuelga Cb una flecha, se suelta desde una posición p articular y s e perm ite que caiga y rom pa la m uestra. S i se lu c e q u e e l péndulo oscile librem ente (sin m uestra), encuentre (a) una expresión para la dism inución del ángulo d e oscilación por cada ciclo a causa d e la fricción; (b) la solución para 0(i) si e l péndulo se suelta cbsde un án g u lo 0 ^ y (c ) la cantidad de ciclos después d e los cuales c esa e l m ovim iento. Suponga que la masa del péndulo e s m y que e l coeficiente de fricción entre la flecha y e l cojinete d e l péndulo e s p , 1 1 4 5 Encuentre la constante de am ortiguam iento viscoso p ara am ortiguam iento de C oulom b d e vibración sinusoidal. 1 1 4 6 U n sistem a d e un solo grado d e libertad s e com pone d e u n a m asa, un resorte y un am ortig u ad o r e n el cual tanto la fricción seca c o m o e l am ortiguam iento viscoso actúan sim ultáneam ente. La am plitud de vibración se reduce en I p o r ciento por ciclo cu an d o la am plitud es d e 2 0 m m y 2 p o r ciento p o r ciclo cuando la am plitud es d e 10 mm. Encuentre e l v a lo r d e ( t iN / k ) d e l com ponente d e fricción seca del am ortiguam iento. 2.147 Un bloque d e m etal, c o lo c ad o sobre una su p erficie áspera, se co n ecta a un resorte, c inicialm enle se desplaza 10 c m d e su posición d e equilib rio . El periodo natural d e m ovim iento e s d e 1.0 s y la am plitud se reduce 0.5 cm en cada ciclo. E ncuentre (a ) e l coeficien te d e fricción cin é tic a entre el bloque de m etal y la superficie, y (b ) la can tid ad d e c ic lo s d e m ovim iento ejecu tad o s p o r e l bloque antes d e detenerse.


234

C a p ítu lo 2


C b jin e te d e l p é n d u lo

F ig u ra 2 .1 1 5

2 1 4 8 La m asa de un sistem a d e resorte-m asa con k - 10,000 N /m y m - 5 kg se pone a v ib rar sobre una superficie áspera. S i la fuerza d e fricción e s F = 20 N y la am plitud de la m asa se reduce 50 m m e n 10 ciclos, determ ine el tiem po requerido para co m pletar 10 ciclos. 2 1 4 9 La m asa d e l sistem a d e resorte-m asa v ib ra sobre una superficie inclinada a 30" con respeto a la horizon tal c o m o se m uestra en la figura 2 1 1 6 . a. Derive la ecuación d e m ovim iento. b . Encuentre la respuesta d e l sistem a con los datos siguientes:

m = 20 kg,

* = 1000 N /m .

¡ i - 0.1,

x0 = 0.1 m .

i 0 = 5 m/s.

2 1 5 0 La m asa de un sistem a de resorte-m asa se desplaza inicialm ente 10 c m de su posición libre d e esfuerzo por la aplicación d e una fuerza de 25 N. la cual e s igual a cinco v eces e l peso d e la m asa. Si la m asa se suelta d e esta posición, ¿cu á n to tiem po v ibrará la m asa y a q u é distancia se detendrá d e la posición libre
Sección 2 .1 0 vibración libre con amortiguamiento histerético 2 1 5 1 l a c u n a de fuerza-deflexión cxpcrim cntalm cntc observada d e u n a estructura com puesta s e m uestra en la figura 2.117. D eterm ine la constante d e am ortiguam iento d e histéresis, e l decrem ento logarítm ico y la relación de am ortiguam iento viscoso correspondiente a esta curva.


P r o b le m a s

235

F ig u ra 2 .1 1 6

-8

-6

-4

-2 0 2 Deflexión (m m)

4

6

8 F ig u ra 2 .1 1 7

2.152 Se observa que un p anel hecho d e inaierial co m p u e sto c o n refuerzo de fibra s e com porta com o un sistem a d e un solo grado d e libertad d e 1 kg d e m ás y 2 N/m d e rigidez. La relación d e am plitudes su cesivas e s d e 1.1. D eterm ine e l valor d e la constante d e am ortiguam iento histenítico ¡i, la constante de am ortiguam iento viscoso. c ^ O y la p érdida d e energía p o r ciclo con una am p litu d d e 10 mm. 2.153 Una v ig a e n voladizo cuya rigidez a flexión e s de 2 0 0 N /m soporta u n a m asa d e 2 k g e n su extrem o libre. La m asa se desplaza inicialm ente 30 m m y s e suelta. S i la am plitud es de 2 0 m m después d e 100 d c lo s d e m ovim iento, estim e la constante d e am ortiguam iento d e histércsis 0 de la viga. 1 1 5 4 Se fija u n a masa d e 5 kg e n e l extrem o su p e rio r d e un resorte helicoidal y el sistem a se pone a v ib rar al im partirle a l a m asa u n a deflexión inicial d e 25 m m . La am plitud d e la m asa s e reduce a 10 m m después de 10 ciclos d e vibración. Suponiendo una lasa d e resorte de 2 0 0 N /m para e l resorte helicoidal, d eter mine e l valor d e l coeficiente d e am ortiguam iento histenítico (/i) d e l resorte.


236

C a p ítu lo 2


Sección 2.11 Estabilidad de sistemas 2 1 5 5 Considere la ecuación de m ovim iento d e un péndulo sim ple: ¿ + y sen 0 = 0

(E .1)

a

Linealice la ecu ació n (E . 1) c o n respecto a un desplazam iento angular arbitrario 0od e l péndulo.

b.

Investigue la estabilidad d e l péndulo c o n respecto a 0O = 0 y 0O = n p o r m edio d e la ecuación de m ovim iento linealizada.

2 1 5 6 l a figura 2 .1 1 8 m uestra u n a ba rra rígida uniform e d e m asa m y longitud /. pivotada e n un extrem o (punto O ) y c o n un disco circular d e m asa M y m om ento d e inercia d e m asa J (con respecto a su e je de rotación) e n e l o tro extrem o (punto P ). El disco circular está con ectad o a un resorte d e rigidez k y una constante de am ortiguam iento d e am ortiguador viscoso c c o m o se indica. a . D erive la ecuación d e m ovim iento del sistem a p ara pequeños desplazam ientos angulares d e la barra rígida con respecto al p ivote O y exprésela e n la form a: mo 0 +

+ *00 = 0

b. D erive la s condiciones correspondientes a l com portam iento estable, inestable y m arginalm cnte es table d e l sistem a.

F ig u ra 2 .1 1 8

Sección 2.12 Ejemplos resueltos utilizando m a tl a b 2 1 5 7 Encuentre la respuesta d e vibración libre d e un sistem a d e resorte-m asa su jeto a am ortiguam iento de Coulom b p o r m edio d e M ATI A B c o n los siguientes datos: m = 5 kg.

* = 100 N /rn.

p. = 0.5,

x0 = 0 .4 m .

¿0 = 0.

2 1 5 8 T race la respuesta de un sistem a críticam ente am ortiguado (ecu ació n 2.80) c o n los siguientes datos por m edio d e M A TLA B : a. «0 = 10 m m , 50 m m . 100 m m ; ¿0 = 0 . 6>„ = 10 rad/s. b. x0 = O ¿ 0 = 10 m m /s, 50 m m /s. 100 m m /s; üj„ = 10 rad/s.



237

2.159 T race ia ecuación (2.81) y tam bién c a d a uno d e los d o s térm inos d e la ecu ació n (2 .8 1 ) c o m o una función d e / p o r m edio d e M A TL A B c o n los siguientes dalos: ui„ = 10 rad/s.

£ = 2.0,

«o = 20 m m ,

i 0 = 5 0 m m/s

2.160-2.163. A plicando P rogram 2.m d e M A T L A B . trace la respuesta d e vibración libre d e un sistem a visco sam ente am ortiguado c o n m = 4 kg. * = 2500 N /m ..«« = 100 m m . r0 = - 10 m /s. A i = 0.01 s, n = 50 c o n los siguientes valores de la constante d e am ortiguam iento: a. b. c. d.

c c c c

= = = =

0 100 N-s/m 2 0 0 N-s/m 400 N -s/m

1 1 6 4 Encuentre la respuesta d e l sistem a d escrito en e l problem a 1 1 4 9 por m edio d e M A TLAB.

Proyectos de diseño L 165" lin a tu rb in a d o agua d e lOOO kgdc m asa y 500 kg-m ?d c m om ento d e inercia d e m asa está m on tada e n u n a flecha, c o m o se m uestra e n la figura 2.119. La velocidad d e operación d e la turbina es de 2400 rpm . Suponiendo q u e los extrem os d e la flecha e stán fijos, encuentre los valores d e /, a y d . d e m odo q u e la frecuencia natural d e vibración de la tuibina en c a d a una d e las direcciones axial, transversal y circunferencial sea m ayor q u e la velocidad de operación d e la turbina.

1 166* D iserte la s colum nas para c a d a una d e las e structuras d e ed ificio q u e se m uestran en las figuras 1 7 9 (a ) y (b ) p ara un peso m ínim o d e m odo q u e la frecuencia natural d e vibración sea m ay o r que 50 Hz. El peso d e l piso (IV )es d e 4 0 0 0 Ib y la longitud d e las colum nas (O e s d e 96 pulg. Suponga que las colum nas son d e acero y de sección transversal tubular con diám etro externo d y espesor d e pared r.


238

C a p ítu lo 2

V ib r a c ió n lib r e d e s is t e m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib erta d 2.167* U n extrem o de una barra rígida u niform e de m asa m está con ectad o a un m uro p o r m edio de una ju n ta co nectada a la bisagra O . y el o tro soporta una carga co ncentrada M , c o m o s e m uestra en la figura 2 .1 2 0 . La ba rra g ira alrededor del punto conectado a la bisagra O contra un resor te torsional y u n am ortiguador torsional. S e propone u tilizar este m ecanism o, junto c o n un contador nK cánico, para controlar la en tra d a a un porque d e diversiones. D eterm ine la s m asas m y M , y la rigidez del resorte torsional (k t) y la fuerza d e am ortiguam iento (Fd) necesarias p ara satisfacer las siguientes especificaciones: (1). S e puede u tilizar un am ortiguador viscoso o un am ortiguador de C bulom b. (2) L a barra tiene que regresar a m ás o m enos 5o d e suposición de c ie rre en m enos de 2 seg u n d o s cu an d o s e d e ja libre a partir d e una po sició n inicial d e u 5 75°.

Parque d e diversiones

] / = 4 5 '----------------J

E" ,rada

F igura 2 .1 2 0

2.168* R m ódulo de exploración lu n ar se m odela c o m o u n a m asa soportada por cuatro potas sim étricam ente colocadas, cada una d e las cuales puede representarse d e form a apro x im ad a c o m o un sistem a d e resorteam ortiguador con m asa insignificante (v ea la figura 2.121). D iseñe los resortes y am ortiguadores del sistema para tener un p»criodo am o rtig u ad ) d e vibración entre I s y 2 s.

F ig u ra 2.121

2.169*Considere la plum a telescópica y canastilla del cam ión de bom beros q u e se m uestran e n la figura 2 12r un tirante Q T , com o s e m uestra en h figura 2.122. D eterm ine la sección transversal d e l tirante 07*de m odo q u e e l pwriodo natural d e vibra ció n d e la canastilla con e l bom b ero en e lla se a igual a I s con los siguientes datos. Suponga q u e cada segm ento d e la plum a telescópica y e l tirante e s una sección transversal hueca. S uponga, adem ás, que d tirante actúa com o un resorte q u e se d eform a sólo en la direcció n axial.


P ro y e cto s d e d ise ñ o Datos: Longitudes d e los segm entos: P Q =■ 12 pies. QR = 10 pies. R S - 8 pies, T P - 3 pies M ódulo de Y oung de! b razo telescópico y tirante = 3 X 106 Ib/pulgD iám ctros externos d e las secciones: P Q = 2.0 pulg, Q R = 1.5 p u lg , R S = 1.0 pulg D iám etros internos d e las secciones: P Q = 1.75 pulg. QR - 1 1 5 pulg. R S •= 0.75 pulg fVso d e la canastilla = 100 Ib Peso d e l bom bero = 200 Ib

F ig u ra 2.122


239

CAPITULO 3 V ib ra c ió n a r m ó n ic a m e n t e e x c ita d a

In g e n ie ro m ilila r y fís ic o f ra n c é s . E n su e s tu p e n d a o b r a M é m o ir e s s u r T é l e d r i c i t é e l le I m a g n é tis m e (1 7 8 4 -1 8 0 6 ), p re s e n tó su p r im e r tr a b a jo {T h e T h e o r y o f S im p le M a c h in e s ) I so b re e s tá tic a y m e c á n ic a e n 1 7 7 9 , e l c u a l d e s c rib e e l e f e c to d e la re s is te n c ia y l a l l a m a d a 'l e y d e la p ro p o r c io n a lid a d d e C o u lo m b ” e n tr e l a f r ic c ió n y l a p r e s ió n n o r m a l. E n 1784 o b tu v o la s o lu c ió n c o rre c ta a l p ro b le m a d e o s c ila c io n e s p e q u e ñ a s d e u n c u e r p o tr o s tá tic a s s o m e tid o a to rs ió n . E s b ie n c o n o c id o p o r s u s le y e s d e f u e r / a p a r a c a rg a s e le c tro y m a g n é tic a s . A la u n id a d d e c a r g a e lé c tr ic a s e le d i o su n o m b r e . (C o rte s ía d e A p p lie d

M e c h a m o s R e v ie w s ).

C h arles A uguslin d e Coulom b (1736-1806)

E s q u e m a d e l c a p ítu lo O bjetiv o s d e aprendizaje 2 4 1

Vfcración forzada c o n am ortiguam iento d e h is té re s is 273

3.1

Introducción 242

3.2

Ecuación d e m ovim iento 242

3.10

3.3

R espuesta d e un sistem a n o a m o r ta ja d o so m e tid o a fuerza arm ónica 243

M ovim iento fo rzad o con o t r o s tipos de am o rtiguam iento 275

3 .11

A utoexcitación y análisis d e estabilidad 276

3.12

M é to d o d e ka función d e transferencia 285

3.13

Soluciones o btenidas utilizando transform adas d e Laplace 288

3.14

R jnciones d e transferencia de frecuencia 291

3.4

R espuesta d e un sistem a am ortiguado so m e tid o a fuerza arm ónica 250

35

R espuesta d e un sistem a am ortiguado so m e tid o a F(t) = F0e“- 257

3.6

R espuesta d e un sistem a am ortiguado so m e tid o al m ovim iento a rm ó n ico d e b base 259

3.15

Ejem plos re su e lto s utilizando MATLAB 297 R esum en del capitulo 302

3.7

R espuesta d e un sistem a am ortiguado so m e tid o a desbalance ro ta to rio 265

Referencias 302 P re g u n tas d e re p aso 303

3.8

Vibración forzada c o n am ortiguam iento

P ro b lem as 307 P ro y e c to s d e diseño 328

d e C o u b m b 269

240

3.9


. I


241

Este capítulo se ocupa de la respuesta de sistemas de un solo grado de libertad sometidos a ex citaciones armónicas. En primer lugar presenta la derivación de la ecuación de movimiento y su solución cuando un sistema de un solo grado de libertad se somete a excitación armónica. Se con sideran tanto sistemas amortiguados como no amortiguados. Luego, el factor de amplificación y los fenómenos de resonancia y batido se presentan en el contexto de un sistema de resorte-masa no amortiguado. Se presenta asimismo la solución total de la ecuación diferencial de segundo orden no homogénea rectora como una suma de la ecuación homogénea (solución de vibración libre) y la integral particular (solución de vibración forzada). Para evaluar las constantes en la solución total se utilizan las condiciones iniciales conocidas del sistema. A continuación se presentan en detalle las importantes características del factor de amplificación y el ángulo de fase de un sistema viscosa mente amortiguado. Se definen el factor de calidad, el ancho de banda y el punto de mediana poten cia. y se describe el uso del factor de calidad para estimar el factor de amortiguamiento viscoso en un sistema mecánico. Enseguida se expone la respuesta del sistema de resorte-masa-amortiguador junto con la función forzada armónica en forma compleja, así como el concepto de respuesta de frecuencia compleja. Luego se presentan la respuesta de un sistema amortiguado sometido al mo vimiento armónico de la base y las ideas de transmisibilidad de desplazamiento y de fuerza. Las aplicaciones de este problema incluyen la vibración de los aviones provocada por las asperezas de la pista durante el rodamiento y el aterrizaje; la vibración de vehículos terrestres debido a la irregularidad y baches en carreteras, y la vibración de los edificios provocada por el movimiento del suelo durante sismos. También se analiza la respuesta de un sistema amortiguado por desba lance rotatorio; las aplicaciones de este problema comprenden varias máquinas con desbalance en los rotores. Avanzado el capítulo, se presenta la vibración forzada de un sistema de resorte-masa sometido a amortiguamiento de Coulomb, histéresis y otros tipos de amortiguamiento. La autoex citación y el análisis de estabilidad dinámica de un sistema de un solo grado de libertad se analizan junto con aplicaciones. Se describen asimismo el método general de la función de transferencia, el método de la transformada de Laplace y el método de función de transferencia armónica para la solución de sistemas armónicamente excitados. Por último se ofrece la solución de diferentes tipos de problemas de vibración no amortiguada y amortiguada armónicamente excitada, la cual se obtiene utilizando M A T L A B .

O b je tiv o s d e a p re n d iza je Al terminar este capítulo, usted deberá ser capaz de realizar lo siguiente: •

Encontrar las respuestas de sistemas de un solo grado de libertad no amortiguados y viscosa mente amortiguados sometidos a diferentes tipos de fuerza armónica, como excitación de base y desbalance rotatorio.

•

Distinguir entre soluciones transitorias, de estado estable y totales.

•

Entender las variaciones del factor de amplificación y ángulos de fase con la frecuencia de excitación y los fenómenos de resonancia y batidos.

•

Encontrar la respuesta de sistemas que implican amortiguamiento de Coulomb, histerético. y otros tipos de amortiguamiento.

•

Identificar problemas autoexcitados e investigar sus aspectos de estabilidad.

•

Derivar funciones de transferencia de sistemas regidos por ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

•

Resolver problemas de vibración de un solo grado de libertad armónicamente excitada utili zando transformadas de Laplace.


242

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a •

O b te n e r fu n c io n e s d e tr a n s f e r e n c ia d e f r e c u e n c ia a p a rtir d e l a f u n c ió n g e n e ra l d e tr a n s fe re n c ia y re p re s e n ta r l a s c a ra c te rís tic a s d e re s p u e s ta d e f r e c u e n c ia u tiliz a n d o d ia g r a m a s d e B o d e .

•

E

R e so lv e r l a re s p u e s ta d e v ib ra c ió n a rm ó n ic a m e n te e x c ita d a u tiliz a n d o M A T L A B .

introducción S e d ic e q u e u n s is te m a m e c á n ic o o e s tru c tu ra l e x p e r im e n ta v i b r a c ió n f o r z a d a s ie m p r e q u e s e s u m i n istra e n e r g ía e x te r n a a l s is te m a d u ra n te l a v ib ra c ió n . L a e n e r g ía e x te rn a s e p u e d e s u m in is tr a r y a se a m e d ia n te u n a tu e r z a a p li c a d a o p o r u n a e x c ita c ió n d e d e s p la z a m ie n to im p u e s ta . L a f u e r z a a p l i c a d a o l a e x c ita c ió n d e d e s p la z a m ie n to p u e d e n s e r a rm ó n ic a , n o a r m ó n ic a p e r o p e r ió d ic a , n o p e r ió d ic a . o a le a to ria . L a re s p u e s ta d e u n s is te m a a u n a e x c ita c ió n a r m ó n ic a s e l la m a re sp u e sta a r m ó n i c a . L a e x c ita c ió n n o p e r ió d ic a p u e d e s e r d e la rg a o d e c o r ta d u ra c ió n . L a re s p u e s ta d e u n s is te m a d in á m ic o a e x c ita c io n e s n o p e r ió d ic a s r e p e n tin a m e n te a p lic a d a s se l la m a re s p u e s ta tr a n s ito r ia . E n e s t e c a p ítu lo c o n s id e ra r e m o s la re s p u e s ta d in á m ic a d e u n s is te m a d e un s o lo g r a d o d e lib e r a d s u je to a e x c ita c io n e s a r m ó n ic a s d e la fo r m a F (t) = F ^ 0* *

o F (r) = F0 e o s (tur + «/>) o F (t)

= F0 s e n (ou + ), d o n d e F0 e s la a m p litu d , tu e s l a f r e c u e n c ia y d* e s e l á n g u lo d e f a s e d e la e x c i ta c ió n a rm ó n ic a . E l v a lo r d e
3 .2

Ecuación de m ovim iento Si u n a f u e r z a a c t ú a e n u n s is te m a d e re s o r te - m a s a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o c o m o s e m u e s tra en la fig u ra 3 .1 , l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to se p u e d e o b te n e r a p lic a n d o l a s e g u n d a l e y d e N e w to n : m x + e x + k x = F (t)

( 3 .1 )

C b in o e s t a e c u a c ió n e s n o h o m o g é n e a , la s u m a d e la s o lu c ió n h o m o g é n e a x ^ (/) y l a s o lu c ió n p a r tic u la r . xp(f ) p ro p o rc io n a s u s o lu c ió n g e n e r a l. L a s o lu c ió n h o m o g é n e a , l a c u a l e s l a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n h o m o g é n e a m x 4- e x + k x = 0

( 3 .2 )

re p re se n ta l a v ib ra c ió n lib re d e l s is te m a y se a b o r d ó e n e l c a p ítu lo 2 . C o m o se v io e n l a se c c ió n 2 .6 .2 , esta v ib ra c ió n lib re se re d u c e c o n e l tie m p o e n c a d a u n a d e la s tr e s p o s ib le s c o n d ic io n e s d e a m o r ti g u a m ie n to (s u b a in o rtig u a m ic n to . a m o rtig u a m ie n to c rític o y so b rc a m o rtig u a m ic n to ) y e n to d a s las p o sib le s c o n d ic io n e s ¡ n id a le s . R s r lo ta n to , l a s o l u d ó n g e n e ra l d e la e c u a d ó n (3 .1 ) s e re d u c e e n ú l tim o té rm in o a l a s o l u d ó n p a rtic u la r xp( t) , la c u a l re p re s e n ta la v ib ra c ió n d e e s ta d o e sta b le . E l m o v i m ie n to d e e s ta d o e s ta b le e s tá p re s e n te m ie n tra s la f u n d ó n fo rz a d a e s t á p re s e n te . L a s v a ria c io n e s c o n


3 .3

R e sp u e sta de un siste m a n o a m o r tig u a d o s o m e tid o a u n a fu erza a r m ó n ica

kx

243

ci

FR

m

1

+x

\x F(t)

„,

(a)

.

...

( b ) D ia g ra m a d e c u e rp o lib r e

fig u r a 3.1 S istem a d e reso rte-m asa-am o rtig

^

r .

d tie m p o d e la s s o lu c io n e s h o m o g é n e a , p a r tic u la r y g e n e ra l e n u n c a s o típ ic o s e m u e s tra n e n la fi g u ra 3 . 2 S e v e q u e * * (/) s e r e d u c e y q u e *
»*(0

X p «)

O

*<') = y o + y o o

3 .3

V \A A

F ig u ra 3 .2 Soluciones h o m o g én ea, p a rticu la r y g e n era l de la e c u a d ó n (3.1) en el c a so n o a m ortiguado.

R e s p u e s ta d e u n s is te m a n o a m o rtig u a d o s o m e tid o a u n a fu e rz a a rm ó n ic a P o r s e n c ille z , a n te s d e e s tu d ia r la r e s p u e s ta d e u n s is te m a a m o r tig u a d o c o n s id e r a m o s u n s is te m a no a m o rtig u a d o s o m e tid o a u n a f u e rz a a rm ó n ic a . S i u n a f u e rz a F ( t) * F 0 c o s o ti a c tú a e n l a m a s a m d e u n s is te m a n o a m o r tig u a d o , l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to , e c u a c ió n ( 3 . 1). se r e d u c e a m x + k x = Fq e o s o ji

(3 .3 )

l a s o lu c ió n h o m o g é n e a d e e s t a e c u a c ió n e s t á d a d a p o r

xh{l)

= C , e o s (d j +

C2s e n toj


(3 .4 )

244

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a

cbnde utn - (*/m),/2es la frecuencia naiural del sistema. Como la fuer/a de excitación F {t) es ar mónica. la solución particular x A t) también es armónica, y tiene la misma frecuencia 10. ft>r lo tanto suponemos una solución en la torma xp(t) - X c o s iüi

(3.5)

cbndc X e s una constante que indica la amplitud máxima de xp{t). Sustituyendo la ecuación (3.5) en h ecuación (3.3) y resolviendo X . obtenemos

(3.6)

cbndc ófSI = F0/*indica la desviación de la masa bajo la fuerza F 0y en ocasiones se conoce como d eflexió n e s/ó tic a porque F fíe s una fuerza constante (estática). I\>r lo tanto, la solución total de la ecuación (3.3) es

(3.7)

Utilizando las condiciones iniciales x (r = 0) =

xq

y x ( t = 0) = Xq, vemos que

(3.8) y por consiguiente Fq X°

k - m

+ (^ )

¿

senü>„í

(3.9)

La amplitud máxima X en la ecuación (3.6) se expresa como X

1

(3.10)

La cantidad X / S eit representa la relación de la amplitud de movimiento dinámica con la amplitud de movimiento estática y se conoce comofa c to r d e a m p lifica c ió n o rela ció n d e a m p litu d , l a variación efe la relación de amplitud. X / 8 eti, con la relación de frecuencia r = ¡ü/ üjh (ecuación 3.10) se muestra en la figura 3.3. Según esta figura, se puede identificar la respuesta del sistema como de tres tipos. C a s o 1 . Cuando 0 < a>/(on < 1. el denominador en la ecuación (3.10) es positivo y la ecuación (3.5)

da la respuesta sin cambios. Se dice que la respuesta armónica del sistema x p( t ) está en fase con la (berza externa como se muestra en la figura 3.4.


3 .3


245

F ig u ra 3 .3 F acto r de am plificación de u n sistem a n o a m o rtig u ad o , ecuación (3.10).

F[i) - F0cos
xp(¡) = X eos cuf

F ig u ra 3 .4 R espuesta a rm ó n ic a c u a n d o 0 <

oj/ íü„

< 1.

C a s o 2 . C u a n d o o j/w a > 1, el d e n o m in a d o r e n l a e c u a c ió n ( 3 .1 0 ) e s n e g a tiv o , y la s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le s e e x p r e s a c o m o X p (t) = - X c o s lü t


(3 .1 1 )

246

C a p ítu lo 3


Xp ( l )

“

- X

C O S Olí

Figura 3.5 Ifespuesta armónica cuando 1. cbnde la amplitud de movimiento X se vuelve a definir como una cantidad positiva como sigue (3.12)

f e ) ’ - ■

Las variaciones de F (t) y xp{t) con el tiempo se muestran en la figura 3.5. Como x p{f) y F (t) tienen signos opuestos, se dice que la respuesta está desfasada 180° con respecto a la fuerza externa. Ade más, a medida que tolio a —* oo, X — * 0. Por lo tanto, la respuesta del sistema a una fuerza armónica cfc muy alta frecuencia se aproxima a cero. Caso 3. Cuando to/oja ■ 1, la amplitud X dada por la ecuación (3.10) o (3.12) se vuelve infinita. Esta condición, en la cual la frecuencia forzada a>es igual a la frecuencia natural del sistema ain se llama reso n a n cia . Pira encontrar la respuesta a está condición, rccscribimos la ecuación (3.9) como

x (l)

= xncos u

tj

+ —

ü)n

sen a

y

+

cosa»/ - eos(o„t

ó.

1 -

(3.13)

—

(íJ

Cbmo el último término de esta ecuación toma una forma indefinida para a¡ = ton, aplicamos la regla de L ’Hospital (3.11 para evaluar el límite de este término:

COS

COS

ü)„l

rt

lím

üH -

—á (, e o —

lím im i

s

tü t

i

± (

1

^

i

d< o\

=

lím

-

COS

to n i )

a to

■-S) J

i sen ioi

U rt =

>5 http://librosysolucionarios.net

—

sen t ú j

(3 .1 4 )

3 .3


247

F ig u ra 3 .6 Ftespuesta c u a n d o
Por lo tanto, la respuesta del sistema en resonancia es * (/ ) =

xQ

eos ü> j + ^ s e n & v +

(3.15)

s e n tú d

En la ecuación (3.15) se ve que en resonancia. *(/) se incrementa indefinidamente. El último térmi no de la ecuación (3.15) se muestra en la Figura 3.6, donde se ve que la amplitud de la respuesta se incrementa linealmente con el tiempo.

La respuesta total del sistema, ecuación (3.7) o ecuación (3.9), también se expresa como

R e s p u e s ta to ta l

x { l ) = A eos ( üint - ) +

e o s ai/;

ai

para—

 1

(3.17)

fe) ü)

x ( l ) = A eos (tont - ) -

^ eos un: para — - I

+

( 5) —

donde A y se determinan como en el caso de la ecuación (2.21). Por lo tanto, el movimiento completo se expresa como la suma de dos curvas coseno de diferentes frecuencias. En la ecuación (3.16), la frecuencia forzada o>es menor que la frecuencia natural, y la respuesta total se muestra en la figura 3.7(a). En la ecuación (3.17), la frecuencia forzada es mayor que la frecuencia natural, y la respuesta total aparece como se muestra en la Figura 3.7(b).

3 . 3 . 2 _______

Fenóm eno d e b a tid o

Si la frecuenda forzada se aproxima a, pero no es igual a, la frecuencia natural del sistema, puede ocurrir un fenómeno conoddo como b a lid o . En esta clase de vibración, la amplitud se incrementa y luego disminuye de una forma regular (vea la sección 1.10.5). El fenómeno de batido se explica con siderando la solución que aporta la ecuadón (3.9). Si las condidones iniciales se consideran como Xq = Xq ■ 0, la ecuación (3.9) se reduce a ( F0 / m )

X ( t ) = ü)?-

-

2 (eos o>t - eos oi„r)

( Fo / m )

tú

2 sen —

+ o>„

- — i- 1 se n


tú

(3 .1 8 )

C a p ítu lo 3


F ig u ra 3 .7 R espuesta total.

S e a l a fre c u e n c ia f o r z a d a
oj

=

2e

( 3 .1 9 )

c b n d e e e s u n a p e q u e ñ a c a n tid a d p o s itiv a . E n to n c e s tú +
(3 .2 0 )

L a m u ltip lic a c ió n d e la s e c u a c io n e s (3 .1 9 ) y ( 3 .2 0 ) d a « 2 + o> 2»4e«

(3 .2 1 )

El u s o d e la s e c u a c io n e s ( 3 .1 9 ) a ( 3 .2 1 ) e n l a e c u a c ió n ( 3 .1 8 ) d a

x(t) =

s e n e /a s e n to /

( 3 .2 2 )

C o m o e e s p e q u e ñ a . la fu n c ió n s e n e l v a ría le n ta m e n te ; su p e r io d o , ig u a l a 2 i r / e , c s g r a n d e . P o r lo B n to , s e v e q u e la e c u a c ió n ( 3 .2 2 ) r e p re s e n ta v ib ra c ió n c o n p e rio d o 2-,t / io y d e a m p litu d v a ria b le ig u a l a


3 .3


249

*
*■ t F jm 2e
T F ig u ra 3 .8 F en ó m en o d e batidos. T a m b ié n s e o b s e r v a q u e l a c u r v a s e n

oii p a s a rá

p o r v a r io s c ic lo s , e n t a n t o q u e l a o n d a s e n e i p a s a p o r

u n s o lo c ic l o , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 .8 . P o r l o ta n to , la a m p litu d s e in c re m e n ta y d is m in u y e d e f o r m a c o n tin u a . H tie m p o e n tr e lo s p u n to s d e a m p litu d c e r o o lo s p u n to s d e a m p litu d m á x im a se lla m a p e r io d o d e b a lid o ( r ft) y se e x p r e s a c o m o

2e

023)

OI- - OI

c o n l a fre c u e n c ia d e b a tid o d e f in id a c o m o 2e

E je m p lo 3.1

P laca q u e s o p o rta u n a b o m b a Una bo m b a q u e pesa 150 Ib está m ontada a la m itad d e una placa d e acero de 0.5 pulg d e espesor. 20 pulg de ancho, y 10 0 pulg d e largo, sujeta a lo largo de d o s bordes com o se m uestra e n la figura 3.9. D urante la o p era ción d e la bom ba, la placa se som ete a una fuerza arm ónica. F {t) — 50 eos 6 2 .8 3 2 // b . E ncuentre la am plitud d e vibración d e la placa. S o lu c ió n : La placa se p u ed e m odelar con una v ig a em p o trad a com o un m ódulo d e Y oung (E ) = 3 0 X 10* I b / pulg2. longitud (/) = 100 pulg, y m om ento d e inercia d e área ( / ) = ¡^(20X 0.5)* = 0.2083 pulg4. L a rigidez a flexión d e la viga está d ad a por 192E l * =

192(30 X I06)(0.2083) ^ --------- = 1200.0 Ib/pulg = -------

(E .I)

( 1 0 0 )»

F igura 3 .9 Placa q u e so p o rta u n a b am ba desbalanceada.


250

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a La ecuación (3.6) d a la am plitud d e respuesta arm ónica con F0 - 50 Ib. rn « 1 5 0 /3 8 6 .4 lb-s?/p u lg (sin tener a i cuenta el peso d e la p lac a d e acero), k = 1 2 0 0 .0 Ib /p u lg y
X = k - m u?

- 0 .1 5 0 4 pulg

(E .2)

El signo negativo indica que la re sp u esta *
E je m p lo 3.2

D e te rm in a c ió n d e la m a s a a p a rtir d e u n a re s p u e s ta a rm ó n ic a c o n o c id a U n sistem a d e resorte-m asa c o n un resorte d e rigidez d e 5 0 0 0 N /m . s e som ete a u n a f u e r a arm ónica d e 3 0 N ib m agnitud y frecuencia d e 20 Hz. S e ve que la m asa vibra c o n una am plitud de 0.2 m. S u p o n ie n te q u e la vibración se inicia desde e l reposo ( ^ =

= 0 ), determ ine la m asa d e l sistema.

S olución: La respuesta de vibración d e l sistem a s e p u ed e hallar a p artir d e la ecuación (3.9) c o n x0 = xo = 0: (e o s
-

COS

Ul„ l)

( E .l)

b cual s e puede v o lv er a escribir com o 2 F0 x (

>

=

¡ T - ñ

+ u

í » *

oñ - u

2

(E .2)

í

Cbm o se sabe q u e la am plitud de vibración e s d e 0.2 m , la ecu ació n (E .2) resulta < E 3) k - m u/' Con los valores con o cid o s de F0 = 3 0 N , ai = 2 0 Hz = 125.665 rad/s y k = 5 0 0 0 N/m , la ecu ació n (E .3) resulta 2(30) = 0.2

(E .4)

5000 - m (125.664)2 Se resuelve la ecu ació n (E .4 ) pora e n c o n tra r m — 0.2976 kg.

3 .4

R e s p u e s ta d e u n s is te m a a m o rtig u a d o s o m e tid o a u n a fu e rz a a rm ó n ic a S i l a f u n c ió n fo rz a d a e s F ( t) = F 0 c o s &>/, l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e v u e lv e m x + e x + k x = F q e o s
(3 .2 4 )

T a m b ié n s e e s p e r a q u e la s o lu c ió n p a rtic u la r d e l a e c u a c ió n ( 3 .2 4 ) s e a a r m ó n ic a ; la su p o n e rn o s e n h fo rm a 1 xp(i) = X e o s {)

(3 .2 5 )

1Como alternativa, podemos suponer que xp(t) tiene la form ax M ) - C¡ eos ott * C: sen o«, la cual también implica dos consranies C , y C2. Pero el resultado final será el mismo en ambos casos.


3 .4

R e sp u e sta d e un s is te m a a m o r tig u a d o s o m e tid o a u n a fu erza a r m ó n ica

d o n d e X y <¿ s o n c o n s ta n te s q u e s e tie n e n q u e d e te rm in a r . X y

251

in d ic a n la a m p litu d y e l á n g u lo

d e fa se d e l a r e s p u e s ta , re s p e c tiv a m e n te . S u s titu y e n d o l a e c u a c ió n ( 3 .2 5 ) e n l a e c u a c ió n ( 3 .2 4 ) , lle g a m o s a X [ ( k ~ r r n r ) e o s (m i - ó ) — cm s e n (a >t -

)\ =

F0 e o s m i

( 3 .2 6 )

U tiliz a n d o l a s re la c io n e s trig o n o m é tr ic a s e o s (tu l —
ó

s e n ( m i - ) = s e n m i e o s <¿ - e o s m i s e n

e n la e c u a c ió n ( 3 .2 6 ) e ig u a la n d o lo s c o e fic ie n te s d e e o s m i y s e n m t e n a m b o s la d o s d e l a e c u a c ió n re s u lta n te , o b te n e m o s X [ (k - m m 2) e o s

4- c m s e n <¿] - F 0

X[(A - m m 2) s e n «¿ - c m e o s ] = 0

(3 .2 7 )

l a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n (3 .2 7 ) d a

(3 2 8 ) [(* -

m m 2) 2 + « V ] ' / *

«¿ = t a n " 1 \k -

r mm' )

(3 2 9 )

S i in s e rta m o s la s e x p r e s io n e s d e X y « ¿ d e s d e la s e c u a c io n e s ( 3 .2 8 ) y (3 .2 9 ) e n la e c u a c ió n ( 3 .2 5 ) , o b te n e m o s la s o lu c ió n p a rtic u la r d e la e c u a c ió n ( 3 .2 4 ) . l a fig u ra 3 . 1 0 (a ) m u e s tra g rá fic a s típ ic a s d e la ( u n c ió n fo rz a d a y r e s p u e s ta ( d e e s ta d o e s ta b le ). L o s d iv e r s o s té rm in o s d e l a e c u a c ió n ( 3 .2 6 ) se m u e s tra n v e c to r ia lm e n te e n I a f i g u r a 3 .1 0 ( b ) . D iv id ie n d o ta n to e l n u m e r a d o r c o m o e l d e n o m in a d o r d e l a e c u a c ió n (3 .2 8 ) e n tr e k y h a c ie n d o l a s s ig u ie n te s s u s titu c io n e s

— = fre c u e n c ia n a tu ra l n o a m o rtig u a d a ffl

{ ' 7

' m ú r n ~

m ■ 2 í" ~

= d e fle x ió n b a jo la f u e r z a e s tá tic a F0, y

ó,*, = *

ÜJ r = — = re la c ió n d e fre c u e n c ia

o b te n e m o s X

/r. M*T.r„-Tl,/í http://librosysolucionarios.net

V ( 1 - r 2 )2 +

(2

( r f

(3 3 0 )

252

C a p ítu lo 3


F l g u n 3 .1 0 R epresentación de u n a fu n c ió n forzada y resp u esta.

ó = tan

-i

tan -i i

-

i

^

(3 3 1 )

(A )

C o m o s e m a n ife s tó e n l a s e c c ió n 3 3 , l a c a n tid a d M = X / ó ^ se c o n o c e c o m o f a c t o r d e a m p lifi c a c ió n o r e la c ió n d e a m p litu d . L a s v a ria c io n e s d e X / 8 esl y <6 c o n l a r e la c ió n d e f r e c u e n c ia r y la re la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to £ s e m u e s tra n e n la fig u ra 3 .1 1 . L a s s ig u ie n te s c a ra c te rís tic a s d e l f a c to r d e a m p lific a c ió n (A f) s e d e r iv a n d e l a e c u a c ió n ( 3 .3 0 ) y l a fig u ra 3.11 (a ): 1.

P a ra u n s is te m a no a m o r tig u a d o ( £ = 0 ) , l a e c u a c ió n ( 3 .3 0 ) s e r e d u c e a la e c u a c ió n ( 3 .1 0 ) , y Ai —* oo a m e d id a q u e r —* 1.

f -

0 .2 5

' 1

3 15 O

0.4

0.8 T 1 2 10

1.6

2.0

Relación de frecuencia: r -

2.4 OI

2.8

32

1.5

2.0

Relación d e frecuencia: r =

(a) F ig u ra 3 .1 1 Variación ú t X y

(b)

2.5

3 .4


253

2 . C u a lq u ie r c a n tid a d d e a m o rtig u a m ie n to ( £ > 0 ) . r e d u c e e l f a c to r d e a m p lific a c ió n (A /)c o n to d o s lo s v a lo r e s d e l a fre c u e n c ia fo rz a d a . 3.

P a ra c u a lq u ie r v a lo r e s p e c if ic a d o d e r , u n v a lo r m a y o r d e a m o rtig u a m ie n to r e d u c e e l v a lo r d e U.

4.

E n d c a s o d e g e n e ra d o d e u n a fu e rz a c o n s ta n te ( c u a n d o r = 0 ) , e l v a lo r d e M = I .

5.

L a r e d u c d ó n e n M a l h a b e r a m o rtig u a m ie n to e s m u y s ig n ific a tiv a e n o c e r c a d e l a re s o n a n c ia .

6.

L a a m p litu d d e v i b r a c ió n fo r z a d a s e r e d u c e c o n v a lo re s c r e c ie n te s d e l a fre c u e n c ia fo r z a d a (e s d e c ir , M —* 0 a m e d id a q u e r —* oo).

7.

d v a lo r m á x im o d e M o c u rre c u a n d o ( v e a e l p ro b le m a 3 .3 2 )

P a ra 0 < £ <

r =

V i - 2£ 2

o

tu =

2£ 2

(3 3 2 )

e l c u a l e s m e n o r q u e l a f r e c u e n d a n a tu ra l n o a m o r tig u a d a ioa y la fre c u e n c ia n a tu ra l a m o r tig u a da

=

(o„V\ -

£ J.

8 . E l v a lo r m á x im o d e X ( c u a n d o r = V i — 2 £ ~ ) e s tá d a d o p o r

( a » ) " * . ~ 2í V T ^ í 5

(333)

y e l v a lo r d e X e n io ■ utn es ' X W

L-á —

(3 3 4 )

S e p u e d e u tf liz a r l a e c u a c ió n (3 .3 3 ) p a ra l a d c t c m i i n a d ó n e x p e r im e n ta l d e l a m e d id a d e a m o r tig u a m ie n to p re s e n te e n e l s is te m a . E n u n a p ru e b a d e v ib r a c ió n , si s e m id e l a a m p litu d m á x im a d e l a re s p u e s ta ( X ) ,,^ , la r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to d e l s is te m a s e p u e d e e n c o n tr a r u tiliz a n d o la e c u a c ió n ( 3 .3 3 ) . P o r e l c o n tr a r io , si s e c o n o c e l a c a n tid a d d e a m o rtig u a m ie n to , p o d e m o s e s tim a r la a m p litu d d e v ib ra c ió n m á x im a . 9.

P ara £ — ^ = , ^

= 0 c u a n d o r = 0. C a í £ >

l a g r á f ic a d e M d e c r e c e m o n o tó n ic a m c n tc

c o n v a lo re s c r e c ie n te s d e r. l a s s ig u ie n te s c a r a c te rís tic a s d e l á n g u lo d e f a s e s e o b s e r v a n p o r l a e c u a c ió n ( 3 .3 1 ) y la fig u r a

3.1 l(b): 1.

P a ra u n s is te m a n o a m o r tig u a d o ( £ = 0 ) , l a e c u a c ió n ( 3 .3 1 ) m u e s tra q u e e l á n g u lo d e f a s e e s 0 c o n 0 < r 1. E s to im p lic a q u e la e x c ita c ió n y re s p u e s ta e stá n e n f a s e c o n 0 < r 1 c u a n d o £ = 0.

2 . P a r a £ > 0 y 0 < r < l . e l á n g u lo d e f a s e e s 0 < < 9 0 ° , lo q u e im p lic a q u e la r e s p u e s ta se re tra sa c o n r e s p e c to a l a e x c ita c ió n . 3.

P a r a £ > 0 y r > 1, el á n g u lo d e f a s e es d e 9 0 ° < 4» < 18 0 ° , lo q u e im p lic a q u e l a r e s p u e s ta se a d e la n ta a l a e x c ita c ió n .

4. 5.

P a ra £ > 0 y r = I . e l á n g u lo d e fa se e s = 9 0 ° , lo q u e im p lic a q u e la d if e r e n c ia d e f a s e e n tre la e x c ita c ió n y l a re s p u e s ta e s d e 9 0 ° . P a ra £ > 0 . y g r a n d e s v a lo r e s d e r . e l á n g u lo d e f a s e s e a p r o x im a a 1 8 0 °. l o q u e im p lic a q u e la re s p u e s ta y l a e x c ita c ió n e s tá n d e s fa s a d a s .


254

C a p ítu lo 3


L a s o lu c ió n c o m p le ta l a d a n .*(/) ■ x ¿ (l) + xp( / ) d o n d e xh( t ) e s t á d a d a p o r l a e c u a c ió n (2 .7 0 ). P o r lo a n t o , p a ra un s is te m a s u b a m o r tig u a d o , te n e m o s

R e s p u e s ta to ta l

x ( í ) = X0c~ íw * l c o s ( u t j i ~ 4>0) + X cos(o> r -

ó)

(3 3 5 )

= V i - ( 2a,„ L a s e c u a c io n e s ( 3 3 0 ) y ( 3 .3 1 ) d a n X y , r e s p e c tiv a m e n te , y X Q y

(d if e r e n te s d e lo s v a lo re s o b

te n id o s c o n l a e c u a c ió n ( 2 .7 0 ) ] s e p u e d e n d e te r m in a r a p a rtir d e la s c o n d ic io n e s in ic ia le s . P a ra las c o n d ic io n e s i n ic ia le s , x ( í = 0 ) = x 0 y x ( r = 0 ) = ¿ 0, l a e c u a c ió n ( 3 .3 5 ) d a p o r r e s u lta d o Xq = X 0 c o s ó 0 + X c o s ó * o m - í ^ o c o s 0 + todX 0 s c n

(3 .3 6 )

+
L a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 3 .3 6 ) d a X0 y ó 0 c o rn o

X q = [ ( , ~ X e o s <ó)? + ^ 2 (fw „ .ro + X q - £(onX e o s - a X s e n «¿)2J £< d „ x

q

(3 3 7 )

+ i p ~ £<»nX e o s 4» ~ t ü X s e n

ta n «>d(xo ~ X e o s 4>)

E je m p lo 3.3

R e sp ue sta to ta l d e u n sis te m a Encuentre la respuesta total de un sistem a d e un solo grado d e libertad c o n m - 10 kg, c a 2 0 N -s/m . k - 4 0 0 0 N /m , x0 = 0.01 m , y ¿ 0 = 0 e n las siguientes condiciones: a . Una fuerza externa F (i) = FQe o s to i actúa e n e l sistem a c o n F0 = 100 N y
Con los d a to s d a d o s, obtenem os

« „ , = ~ = T ~ = 0.025 m * 4000 í = £- = ^ ^ 2 V km

V i -

£~o)„

20

= 0.05

2 V (4 0 0 0 )(I0 ) = V i -

(0 .0 5 )?( 2 0 ) = 19.974984 rad/s

0.025

X =

V ( 1 - r 2) 2 + ( 2

( r ) 2

- 0.03326 m

(E .I)

[(1 - 0.052)2 + (2 • 0 .5 - 0 3 ) 2] 1' 2 (E.2)


3 .4


255

U tilizando las condiciones iniciales, xq = 0.01 y i 0 = 0 . la ecuación (3.36) d a por resultado 0.01 = X„ cos0 + (0.03326X 0.997785) o AT0 c o s ^ 0 - - 0 .0 2 3 1 8 6

(E.3)

0 = - (0.05X 20) X0 e o s t o + X ¿ 19.974984) sen <*>„ + (0.03326X 10) sen (3 .814075°)

(E.4)

Sustituyendo e l valor d e A^, e o s <£0d e la ecuación ( E 3 ) e n ( E 4 ) . obtenem os Af0 sen t 0 = - 0 .0 0 2 2 6 8

(E 5 )

La solución d e las ecu acio n es ( E 3 ) y ( E 5 ) d a p o r resultado X0 = ((XqCOS t o ? +
(E 6 )

y tan

X n sen A ) -------- — = 0.0978176 Xq e o s t o

=

(F..7)

t o = 5.586776° b.

Para vibración libre, la respuesta total la da eos (o j j -

V

(E.8)

U tilizando las condiciones iniciales x<0) = x 0 = 0.01 y ¿(0) = x = 0. X0 y « ^ d c la ecuación (E .8) se d eter m inan c o m o (v ea las ecu acio n es 2.73 y 2.75):

(E.9)

X0 =

0 .0 5 -2 0 \ V

"t co/j *x oo

//

\V

1, 99 '.9 7 4 9 8 4 /

= -2 3 6 5 9 8 4 °

(E 1 0 )

O bserve q u e las c onstantes X 0 y ^ 0e n los casos (a ) y ( b ) so n m uy diferentes.

C o n v a lo r e s p e q u e ñ o s d e a m o r tig u a tn ic n lo ( f < 0 .0 5 ) . p o d e m o s c o n s id e r a r

F a c to r de c a lid a d y a n c h o de banda

(3 38 )

s

L

- é

L

- é

(338)

-

H valor de la relación de amplitud en resonancia también se conoce como fa c to r Q o fiic to r de c a lid a d del sistema, en analogía con algunas aplicaciones de ingeniería eléctrica, como el circuito de sintonización de un radio, donde el interés radica en una amplitud en resonancia que sea lo más grande posible [3.21. Los puntos R t y /?2, donde el factor de amplificación se reduce a 0 / V 2, se llaman p u n to s d e m ed ia n a p o te n c ia porque la potencia absorbida (A W ) por el amortiguador (o por el resistor en un circuito eléctrico), que responde armónicamente a una frecuencia dada, es propor cional al cuadrado de la amplitud (vea la ecuación (2.94)): AtV =

ir c tú X -


039)

C a p ítu lo 3


que muestra los puntos de mediana poten cia y el ancho de banda.

P untos de m ediana potencia

La diferencia entre las frecuencias asociadas con los puntos de mediana potencia /?, y R 2 se llama ancho de banda del sistema (vea la figura 3.12). Para encontrar los valores de R { y /?,, establecemos X / 8 ^ = Q / V 3 en la ecuación (3.30) de modo que 1

1

V ( 1 - r 2) 2 + (2 £ r)2

V i

r 4 ~ r2( 2 ~ 4 ( 2) + {1 -

8f2) = 0

(3.40)

La solución de la ecuación (3.40) da r? = 1 — 2¿2 -

2¿V l

+ i 2,

r\ = 1 -

2 ? + 2^ V i + £2

(3.41)

Pata valores pequeños de ( , la ecuación (3.41) se puede aproximar como

1 + 2C

fe )

(3.42)

2)’

cbnde cu, = tul*, y tu, = tu |*}. De acuerdo con la ecuación (3.42), o ¿ — cu? = (tu2 + cu,)(cu2 -

cu,) ■

(R ¡ -

R})ü*2 -

4 £ tu ;

(3.43)

Utilizando la relación, cu? + cu, = 2cun

(3.44)

en la ecuación (3.43), vemos que el ancho de banda Atucs A cu = CU2 — tu, =* 2£tu„ Cbmbinando las ecuaciones (3.38) y (3.45), obtenemos


(3.45)

35

R e sp u e sta d e u n s is t e m a a m o r tig u a d o so m e tid o a /^(/) =

F ^

257

V e m o s q u e p o d e m o s u tiliz a r e l f a c to r d e c a lid a d p a r a e s tim a r e l a m o rtig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te e n un s is te m a m e c á n ic o .2

3. 5

R e s p u e s ta d e u n s is te m a a m o rtig u a d o s o m e tid o a F ( t ) = Foe"-t R e p re s e n te m o s l a f u n c ió n f o r z a d a a r m ó n ic a e n f o r m a c o m p le ja c o m o e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e e s c r ib a c o m o

F (t) = F ê* "de

m x + ex + kx =

m o d o q u e la

( 3 .4 7 )

C o m o l a p a ite r e a l d e F (i) d a l a e x c ita c ió n re a l, l a p a r te re a l d e * ( / ) ta m b ié n d a r á s ó lo l a r e s p u e s ta , d o n d e x ( /) e s u n a c a n tid a d c o m p le ja q u e s a tis f a c e l a e c u a c ió n d ife re n c ia l ( 3 .4 7 ) . F0 e n l a e c u a c ió n ( 3 .4 7 ) e s , e n g e n e r a l, u n n ú m e r o c o m p le jo . S u p o n ie n d o la s o lu c ió n p a r t i c u l a r * ^ / )

xp(l) = X e *

(3 .4 8 )

o b te n e m o s , a l s u s titu ir l a e c u a c ió n ( 3 .4 8 ) e n la e c u a c ió n (3 .4 7 ).-' Fo (k -

(3 .4 9 )

m ui2 ) + iCI O )

M u ltip lic a n d o e l n u m e r a d o r y e l d e n o m in a d o r d e l la d o d e r e c h o d e la e c u a c ió n ( 3 .4 9 ) p o r [ (* - m ío2) ~

ia o ]

y s e p a ra n d o la s p a r te s re a l c i m a g in a r ia , o b te n e m o s

X = F0 _ (* -

k

~

m

‘0 ,

m o)2) 2 + c V

- í t t (*

£

r

- ^

l

+ c v ]

OJO)

U tiliz a n d o la r e la c ió n x + i y ■ A e ‘* , t b n d e A = V x 2 + y 2 y ta n «^ = y / x , y l a e c u a c ió n (3 .5 0 )

se e x p resa com o f i )

-

(3 5 1 )

[ ( * - m u ,2)2 + c V ] 1/ 2 donde

* =

( r ^ h )

(3J2)

P o r l o ta n to , l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s t a b l e , e c u a c ió n ( 3 .4 8 ) , s e e s c rib e c o m o

xM ) =

(3 5 3 ) [ ( * - m o ,2 )2 + < « .) * ] > *

R e s p u e s t a d e f r e c u e n c i a . L a e c u a c ió n (3 .4 9 ) s e rc e s c rib e c o m o kX

TF =11 q

1 r

+ i2 (r

=

H {iü > )

(3-54)

2 La determinación de los parámetros del sislema (m. c y k) basada en punios de mediana potencia y otras características de respuesta del sistema se considera en la sección 10,8 en el sitio web. 1 La ecuación (3.49) se puede escribir como ZJi'o»)* - F& donde W m ) - -m o r + ¿cur + * es la denominada impedancia mecánica del siacma I3.8J.


258

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a i b n d e H(ia>) s e c o n o c e c o m o l a re s p u e s ta d e fr e c u e n c ia c o m p le ja d e l s is te m a . H v a lo r a b s o lu to d e //(«*>) e s t á d a d a p o r

(3 3 5 ) [(1 -

r 2) 2 + ( 2 ¿ r ) 2] ' / 2

in d ic a e l f a c to r d e a m p lific a c ió n d e f in id o e n l a e c u a c ió n ( 3 .3 0 ) . R e c o rd a n d o q u e é * = e o s
= \H { ¡ io )\e -»

(3 3 6 )

c b n d e 4> lo d a l a e c u a c ió n ( 3 .5 2 ) , l a c u a l ta m b ié n s e p u e d e e x p r e s a r c o m o

= t a n ' 1

( 3 -5 7 )

R j r lo ta n to , l a e c u a c ió n ( 3 .5 3 ) se e x p r e s a c o m o

*,(') - j l W t H k " " '* 1 S e v e q u e l a f u n d ó n d e re s p u e s ta d e fre c u e n c ia c o m p l e ja ,

0-S8) c o n tie n e ta n to l a m a g n itu d c o m o

la fa se d e l a re s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le . El u s o d e e s t a f u n c ió n e n la d e t e m i i n a d ó n e x p e rim e n ta l d e b s p a rá m e tro s d e l s is te m a (m . c y k ) s e a b o r d a e n l a s c c d ó n 1 0 .8 . S i F ( t) = F 0 e o s cfc la e c u a c ió n ( 3 .5 3 ) p ro p o rc io n a l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le c o rre s p o n d ie n te :

= R e £ j//(m > )e “ 'J

= R e ^ i / / ( i ü > ) k i(“ ' " * ) J

io i .

l a p a r te re a l

039)

h c u a l e s ig u a l a la c c u a d ó n ( 3 .2 5 ) . A s im is m o , s i F (i) = F0 s e n io i, l a p a rte im a g in a ria d e l a c c u a d ó n ( 3 ,5 3 ) d a l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le c o r re s p o n d ie n te :

= Im

(3 .6 0 )

R e p r e s e n t a d ó n d e l m o v im ie n to a r m ó n i c o c o m o u n v e c t o r c o m p l e j o . L a e x c ita c ió n a r m ó n ic a y la re s p u e s ta d e l s is te m a a m o rtig u a d o a d ic h a e x d l a d ó n s e p u e d e n re p re s e n ia r g r á fic a m e n te e n d p l a n o c o m p le jo , y a l d ia g r a m a re s u lta n te s e le p u e d e d a r u n a in te re s a n te in te r p r e ta c ió n . P rim e ro d ife re n c ia m o s l a e c u a d ó n ( 3 3 8 ) c o n re s p e c to a l tie m p o p a ra o b te n e r

V e lo c id a d -

A c e le r a c ió n

x p ( l ) => r a > y | / / ( i f t > ) | ^ * - = i u x p( t )

= x p( t ) = (¡to)2 j \ H ( i a > ) \ e ^ ' ' ♦ > =


~a>2x p ( t )

( 3 .6 1 )

3 .6

R e sp u e sta d e u n s is t e m a a m o r tig u a d o s o m e tid o a l m o v im ie n to a r m ó n ic o de la b a se

259

P o rq u e i se e x p resa co m o i = eos y

+ / sen y

= e '*

( 3 .6 2 )

p o d e m o s c o n c lu ir q u e la v e lo c id a d s e a d e la m a a l d e s p la z a m ie n to p o r el á n g u lo d e f a s e

tt /

2 y que

e s t á m u ltip lic a d a p o r tu. A s im is m o , - 1 s e p u e d e e s c rib ir c o m o -1

= e o s w + / sen

tt

-

(3 .6 3 )

P o r c o n s ig u ie n te , l a a c e le r a c ió n s e a d e la n ta a l d e s p la z a m ie n to e n e l á n g u lo d e f a s e

tt ,

y e s tá m u l

tip lic a d a p o r to1. D e e s e m o d o , lo s d iv e r s o s té rm in o s d e la e c u a c ió n d e m o v im ie n to ( 3 .4 7 ) se p u e d e n re p re s e n ta r e n e l p la n o c o m p le jo , c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 3 .1 3 . L a in te r p r e ta c ió n d e e s t a f ig u r a e s q u e la s u m a d e l o s v e c to re s c o m p le jo s m x ( i ) . c x { i ) . y k x ( t) b a la n c e a F \t) , q u e e s p re c is a m e n te lo q u e se re q u ie re p a r a s a tis f a c e r l a e c u a c ió n ( 3 .4 7 ) . T a m b i é n e s d e n o ta r s e q u e e l d ia g r a m a c o m p le to g ira c o n u n a v e lo c id a d a n g u la r tu e n e l p la n o c o m p le jo . S i s ó lo s e t ie n e q u e c o n s id e r a r l a p a rte re a l d e la re s p u e s ta , e n to n c e s e l d ia g r a m a c o m p le to d e b e p ro y e c ta rs e s o b r e e l e je r e a l. A s im is m o , s i s ó lo se t ie n e q u e c o n s id e r a r l a p a rte im a g in a ria d e la r e s p u e s ta , e n to n c e s e l d ia g r a m a d e b e p ro y e c ta rs e so b re e l e j e im a g in a rio . E n la fig u ra 3 .1 3 . o b s e r v e q u e l a f u e rz a F {i) = F ^ " * a p a r e c e re p re se n ta d a c o m o u n v e c to r lo c a liz a d o a u n á n g u lo tur c o n r e s p e c to al e je re a l. E s to im p lic a q u e F 0 e s re a l. S i F 0 ta m b ié n e s c o m p le ja , e n to n c e s e l v e c to r fu e rz a F (t) e s ta rá lo c a liz a d o a u n á n g u lo d e (tu + i/» )d o n d e i¡i e s a lg ú n á n g u lo d e fa se in tr o d u c id o p o r F 0. E n e s e c a s o , to d o s lo s d e m á s v e c to r e s , e s d e c i r , m x , e x , y k x . s e d e s p la z a rá n e l m is m o á n g u lo t\i. E s to e q u iv a le a m u ltip lic a r a m b o s la d o s d e la e c u a c ió n (3 .4 7 ) p o r e ‘*.

F igura 3 .1 3 R epresentación de la ecu ació n (3.47) e n un plano com plejo.

3.6

R e s p u e s ta d e u n s is te m a a m o rtig u a d o s o m e tid o ai m o v im ie n to a r m ó n ic o d e la b a s e E n o c a s io n e s l a b a s e o s o p o r te d e u n s is te m a d e re s o rte -m a s a -a m o rtig u a d o r e x p e r im e n ta m o v i m ie n to a rm ó n ic o , c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u ra 3 .1 4 (a ) . S e a >•(/) e l d e s p la z a m ie n to d e l a b a s e y * ( /) e l d e s p la z a m ie n to d e l a m a s a c o n re s p e c to a su p o s ic ió n d e e q u ilib r io e s tá tic o e n e l tie m p o /. y , y l a v e lo c id a d r e la tiv a e n tre lo s d o s e x tre m o s d e l E n to n c e s e l a la rg a m ie n to n e to d e l r e s o rte e s x a m o r tig u a d o r e s x - y . D el d ia g r a m a d e c u e rp o lib re q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 3 . 1 4 (b ), o b te n e m o s la e c u a c ió n d e m o v im ie n to :

mx

+ c (x

-y)

+

k(x - y)


= 0

(3 .6 4 )

260

C a p ítu lo 3


+í

+x

+x

J

m

* í3

+y * y (l)= y s c n i

Lt J C

J

m

k {x - y )

c(x - y )

K (a)

(b)

F ig u ra 3 .1 4 E xcitación de la base.

S i y ( /) = Y s e n to t. l a e c u a c ió n ( 3 .6 4 ) s e e s c rib e c o m o m x + e x + k x = k y + c y = k Y s e n u>t + c a tY e o s t + a )

( 3 .6 5 )

ito n d e A = Y V k 2 + ( c u ,) 2 y cr = tan 1 [ ~ t ] - Es*0 d e m u e s tr a q u e e x c ita r l a b a s e e q u iv a le a a p lic a r u n a f u e r z a a r m ó n ic a d e m a g n itu d A a l a m a s a . U tiliz a n d o l a s o lu c ió n in d ic a d a p o r la e c u a c ió n ( 3 .6 0 ) , la re s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le d e l a m a s a . x p(r), s e p u e d e e x p r e s a r c o m o Y V k 2 + (cu>)2 (3 .6 6 )

s e n (« tí - <¿i - a )

x p (t)

cbnde

tan

U tiliz a n d o id e n tid a d e s trig o n o m é tr ic a s , l a e c u a c ió n (3 .6 6 ) s e rc e s c rib e e n u n a f o r m a m á s c o n v e n ie n te c o m o x f i ) = X s e n (tur + )

(3 .6 7 )

c b n d e X y 4>s e e x p r e s a n c o m o X

k 2 + ( c m )2

Y

_ ( k - mu>2 ) 2 + ( c m ) 2

~|»/2 _ i

J

1 -f ( 2 £ r ) 2

1 1 /2

Lo- r1)1+Wrf\

m ea?

tan -1 _ k (k -

m u ? ) + (m c )2 _

t a n - 'T ^ L> + < « * -

(3 .6 8 )

(3 .6 9 ) \)r 2]

L a r e la c ió n d e la a m p litu d d e l a re s p u e s ta x p(t) a la d e l m o v im ie n to d e l a b a s e >*(/), y . s e l la m a tra n sr i s i b i l i d a d d e l d e s p la z a m ie n to .4 L a s v a ria c io n e s d e y = Td y 4> d a d a s p o r l a s e c u a c io n e s ( 3 .6 8 ) y ( 3 .6 9 ) s e m u e s tra n e n la s fig u ra s 3 . l 5 ( a ) y ( b ) . re s p e c tiv a m e n te , p a ra d ife re n te s v a lo re s d e r y f .

4l a expresión para la trunsmisibilidad del desplazamiento también se puede obtener siguiendo el método de función de transferencia que se describe en la sección 3.14.


3 .6


261

ii

i

(b)

(-) F ig u ra 3 .1 5 V ariaciones d e 7rfy ¿ c o n r.

O b s e rv e q u e si l a e x c ita c ió n a r m ó n ic a d e la b a s e s e e x p r e s a e n f o r m a c o m p le ja c o m o >’(/) R c ( Y é * ) . l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e e x p r e s a , b a s a d a e n e l a n á lis is d e l a s e c c ió n 3 . 5 . c o m o

(3 .7 0 )

y l a tra n s m is ib ilid a d d e d e s p la z a m ie n to c o m o

j

= Td = [ l + ( « r j ’ p l H t t o ) !

d o n d e la e c u a c ió n ( 3 .5 5 ) d a p o r re s u lta d o \H (ia> ) |. L o s s ig u ie n te s a s p e c to s d e l a tr a n s m is ib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to , Td =

(3 .7 1 )

se o b s e rv a n e n la

f ig u r a 3 .1 5 (a ): 1.

E l v a lo r d e T d c s u n ita r io e n r = 0 y s e a p r o x im a a l a u n id a d c o n v a lo r e s p e q u e ñ o s d e r.

2.

P a ra u n s is te m a n o a m o r tig u a d o ( £ = 0 ) , Td - * oo e n r e s o n a n c ia ( r - 1).

3.

El v a lo r d e T d c s m e n o r q u e la u n id a d V 2 ( p a ra c u a lq u ie r c a n tid a d d e a m o r tig u a m ie n to f ) .

4. 5.

El v a lo r d e Td c s u n ita rio p a r a t o d o s lo s v a lo r e s d e £ y c o n r = V i . P a r a r < > / 2 . l a s re la c io n e s d e a m o rtig u a m ie n to p e q u e ñ a s c o n d u c e n a v a lo re s g r a n d e s d e Td ftw o t r a p a r te , p a r a r > y / 2 , lo s v a lo re s p e q u e ñ o s d e la r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to c o n d u c e n a v a lo re s p e q u e ñ o s d e T+

6.

L a tra n s m is ib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to . T d. a lc a n z a u n v a lo r m á x im o c o n 0 < f < 1 a l a r e l a c ió n d e fre c u e n c ia r = r m < 1 d a d a p o r (v e a e l p ro b le m a 3 .6 0 ): 1/2

V i + 8£2 - 1

rm

-* [ 1 . 1

E n la f ig u r a 3 .1 4 . u n a fu e rz a . F , s e tra n s m ite a la b a s e o s o p o rte d e b id o a l a s re a c c io n e s d e l re s o rte y e l a m o r tig u a d o r h id rá u lic o . E s ta f u e r z a s e d e te r m in a c o m o

F u e rza tr a n s m it id a

F = k(x - y)

+

c(x - y) = - mx


(3 .7 2 )

262

C a p ítu lo 3


I 3 ■s

*íí í F ig u ra 3 .1 6 T ransm isibilidad d e fuerza.

S e g ú n l a e c u a c ió n ( 3 .6 7 ) , l a e c u a c ió n (3 .7 2 ) s e p u e d e e s c rib ir c o m o ( 3 .7 3 )

F - m tit2 X s e n (tur - é ) a F r s e n (tu / - é ) tto n d e Fr c s l a a m p litu d o v a lo r m á x im o d e l a f u e rz a tr a n s m itid a a l a b a s e d a d a p o r

— = r2 kY

» + (2 fr)2

l*/2 1

( 3 .7 4 )

L(1 - r2)2+ (2£r)2J

L a r e la c ió n (F T/ k Y ) s e c o n o c e c o m o tr a n s m is ib ilid a d d e f u e r z a ,5 O b s e rv e q u e l a f u e r z a tr a n s m itid a e s tá e n f a s e c o n e l m o v im ie n to d e l a m a s a x (f). L a v a r ia c ió n d e l a fu e rz a tra n s m itid a a l a b a s e c o n h r e la c ió n d e fre c u e n c ia r s c m u e s tra e n la f ig u r a 3 .1 6 p a r a v a lo r e s d if e r e n te s d e £.

.2

S i z ■ x - y in d ic a e l m o v im ie n to d e l a m a s a c o n re s p e c to a l a b a s e , l a e c u a c ió n ( 3 .6 4 ) d e m o v i m ie n to s e p u e d e v o lv e r a e s c r ib ir c o m o

M o v im ie n t o re la tiv o

m 'z + c z + k z = - m y = m to 'Y s e n tu/

( 3 .7 5 )

l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le d e l a e c u a c ió n ( 3 .7 5 ) es m o r Y s e n (tu / -

) = Z se n (tu / -

2 (0 "

[(* -

<¿|)

( 3 .7 6 )

+ ( „ , ) > ] '/ >

c b n d e Z. la a m p litu d d e z (/). s e e x p r e s a c o m o m to 2Y V (A -

50

mtu2) 2 + (c tu )2

( 3 .7 7 ) V ( l - r 2 )2 + ( 2 ¿ r ) 2

u s o d e l c o n c e p to d e tr a n s m is ib ilid a d e n e l d is e rto d e s is te m a s a is la n te s d e l a v ib r a c ió n s e a b o r d a e n e l c a p ítu lo 8 . L a

o p r e s i ó n p a r a l a t r a n s m i s i b i l i d a d t a m b i é n s e p u e d e o b t e n e r p o r m e d i o d e l m é to tk > d e f u n c ió n d e t r a n s f e r e n c i a q u e s e d e s c r ib e e n l a s e c c i ó n 3 .1 4 .


3 .6


263

F ig u ra 3 .1 7 Variación d e IZ/Y) o IMX/me) con relació n d e frec u e n cia r = (tu/aiü.

y «A, p o r

L a r e la c ió n ZJX s e m u e s tra g r á fic a m e n te e n la f ig u r a 3 .1 7 . L a v a r ia c ió n d e t e s l a m is m a q u e se m u e s tr a p a r a en la fig u r a 3.1 l ( b ) .

E je m p lo 3 .4

V eh ícu lo q u e v ia ja s o b re u n a c a rre te ra d esig ua l La figura 3.18 m uestra un m odelo sim ple d e un autom otor q u e v ib ra e n la dirección vertical a l viajar p o r una carretera desigual. H vehículo tiene una m asa d e 1200 kg. 13 sistem a d e suspensión tiene u n a constante de resoitc d e 4 0 0 kN/m y una relación d e am ortiguam iento d e £ = 0.5. Si la velocidad d e l vehículo es d e 20 km /h, determ ine la am plitud d e desplazam iento d e l vehículo. L a superficie d e la carretera varía senoidalm ente con una am plitud de Y = 0.05 m y longitud d e o n d a d e 6 m. S o lu c ió n : La frecuencia a» d e la excitación de la base s e determ ina dividiendo la velocidad d e l vehículo, v k m /h . entre la longitud d e un ciclo de asp e re z a de ondulación de la carretera: to =

2i r f = 2 i r ( V \

J6

3600

= Q290889v rad/s

P ara v = 20 km /h. a t= 5.81778 rad/s. l a frecuencia natural d e l vehículo es IT

( 400 x 10*

- V; “r i » - ; y p o r consiguiente la relación d e frecuencia r e s <ü

581778 18.2574

- 0.318653

La relación d e am plitud s e puede d e riv a r d e la ecuación (3.68): X ^

í

I + (2 ¿ r)2

) ,/2

~ 1 (1 - r 2)2 + ( 2 £ / f j

í 1 (1 -

I + (2

X

0.5

0.318653)2 + (2

= 1.100964


0.318653)2

X X

0 .5

X

V '2

0.3I8653)2 j

264

C a p ítu lo 3


*(')

v(í) = y sen tu# F igura 3 .1 8 Vehículo q u e viaja por u n a c a rre te ra desigual.

(b)

R»r lo tanto. la am plitud de desplazam iento d e l vehículo es X = 1 .1 0 0 9 6 4 )'= 1.100964(0.05) =* 0.055048 m Fsto indica q u e un desnivel d e 5 c m en la carretera se transm ite com o un desnivel d e 5.5 c m al c h asis y a los pasajeros e n e l autom óvil. P o r lo tanto, e n este caso los pasajeros sienten un m ovim iento am plificado (v ea el problem a 3.107 p ara o tra s situaciones).

E je m p lo 3.5

M á q u in a s o b re u n a b a s e e lástica Una m áquina que pesa 3000 N está m ontada e n una base elástica. La deflexión estática de la base d ebida al peso d e la m áquina e s d e 7.5 cm . S e o b se rv a q u e la m áquina vibra c o n u n a am plitud d e I c m cu an d o la base se som ete a oscilaciones arm ónicas a la frecuencia natural no am ortiguada d e l sistem a c o n una am plitud de Q 25 c m . Encuentre a. t i constante d e am ortiguam iento d e la base. b. la am plitud d e fuerza dinám ica sobre la base, y c. la am plitud d e l desplazam iento de la m áquina c o n respecto a la base. Solución: a.

La rigidez de la base s e determ ina a p artir d e la deflexión estática: * = peso de la m á q u in a /6 ,* = 3 0 0 0 /Q 0 7 5 - 4 0 .0 0 0 N/m E n resonancia («o = u>„ o r = I) . la ecuación (3.68) d a px>r resultado

X

0.010

y

0.0025

n l/2 "»+ (2 p n _

(2 í)2


]

(H.1)

3 .7

R e sp u e sta d e u n s is te m a a m o r tig u a d o s o m e tid o a d e sb a la n c e r o ta to r io

265

La solución de la ecuación (E .1) resulta s e r f ■ 0.1291. La constante d e am ortiguam iento es c = i - c f = ( 2 \/k m

= 0.1291 X 2 X V 4 0 .0 0 0 X (3 0 0 0 /9 .8 1 ) = 903.0512 N -s/m

(E 2 )

b . La am plitud d e fu e r/a d inám ica sobre la b a se e n r — 1 se puede d e riv a r d e la ecuación (3.74):

Ft = Yk c.

I + 4 ¿ 2'

1/2 = k X = 4 0 .0 0 0 X 0.01 = 400 N

(E J)

l a am plitud d e l desplazam iento relativo d e la m áquina en r = I s e obtiene d e la ecuación (3.77): 7.

Y 0.0025 = — = = 0.00968 m 2( 2 X 0.1291

(E.4)

Se observa que X * 0.01 m . Y - 0 .0 0 2 5 m . y Z - 0.00968 m ; p o r c onsiguiente. Z

X - Y. E sto s e debe

a la s diferencias d e fase entre x , y y z.

R e s p u e s ta d e u n s is te m a a m o rtig u a d o s o m e tid o a d e s b a la n c e ro ta to rio H d e s b a la n c e e n u n a m a q u in a ria r o ta to r ia e s u n a d e l a s c a u s a s p r in c ip a le s d e v ib ra c ió n . E n la fig u ra 3 .1 9 s e m u e s tr a u n m o d e lo s im p lif ic a d o d e u n a m á q u in a c o m o e s a . L a m a s a to ta l d e l a m á q u in a e s M , y tie n e d o s m a s a s e x c é n tr ic a s m / 2 q u e g ir a n e n d ir e c c io n e s o p u e s ta s c o n u n a v e lo c id a d a n g u la r o , c o n s ta n te . L a f u e r a c e n tr íf u g a (m e to 1) / 2 p ro d u c id a p o r c a d a m a s a e x c ita r á l a m a s a M . C o n s i d e ra m o s d o s m a s a s ig u a le s m / 2 q u e g i r a n e n d ir e c c io n e s o p u e s ta s d e m o d o q u e lo s c o m p o n e n te s h o riz o n ta le s d e la fu e rz a d e e x c ita c ió n d e l a s d o s m a s a s s e e lim in a n e n tre s í . S i n e m b a r g o , lo s c o m p o n e n te s v e rtic a le s d e e x c ita c ió n s e s u m a n a l o la r g o d e l e j e d e s im e tr ía A -A e n l a f ig u ra 3 .1 9 . S i l a p o s ic ió n a n g u la r d e l a s m a s a s s e m id e c o n r e s p e c to a l a p o s ic ió n h o r iz o n ta l, e l c o m p o n e n te v e rtic a l t o ta l d e l a e x c ita c ió n s ie m p r e e s F ( i) = m e to - s e n oti. L a e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e d e riv a p o r m e d io d e l p ro c e d im ie n to u su a l: M x + e x + k x = m e o ? s e n oti

i

(3 .7 8 )

ii'

c

f 1 1 ^ « ¿ C O S

2

Otf

Y

y .y y -

0,1 Mx f^ s e n

^ tu r

(a)

sen

(b)

Figura 3 .1 9 Masas desbalanceadas rotatorias.


om

e o s O lí

266

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a L a s o lu c ió n d e e s t a e c u a c ió n s e r a id é n tic a a l a e c u a c ió n ( 3 .6 0 ) si r e e m p la z a m o s m y F 0 p o r M y m e to 2, r e s p e c tiv a m e n te . E s ta s o lu c ió n t a m b ié n se p u e d e e x p r e s a r c o m o

(3 .8 0 )

* = Al d e f in i r f = c / c r y c f = 2 Mton, la s e c u a c io n e s ( 3 .8 0 ) s e re e s c ib r e n c o m o

(3-81)

L a v a r ia c ió n d e M X /m e c o n r p a r a d if e r e n te s v a lo re s d e £ s e m u e s tr a e n la f ig u ra 3 . 17 . P o r o t r o la d o , h g r á fic a d e d» c o n tr a r p e r m a n e c e c o m o la fig u ra 3.11 ( b ) . I-a s s ig u ie n te s o b s e rv a c io n e s s e p u e d e n h a c e r a p a r tir d e l a e c u a c ió n ( 3 . 8 1) y la fig u ra 3 .1 7 : 1. T o d a s l a s c u r v a s s e in ic ia n c o n u n a a m p litu d c e ro . L a a m p litu d c e r c a d e la r e s o n a n c ia („) se v e m a rc a d a m e n te a f e c ta d a p o r e l a m o r tig u a m ie n to . P o r lo ta n to , s i la m á q u in a tie n e q u e fu n c io n a r c e r c a d e l a re s o n a n c ia , d e b e r á in tr o d u c ir s e a m o r tig u a m ie n to a p r o p ó s ito p a r a e v ita r a m p litu d e s p e lig ro s a s . 2 . A v e lo c id a d e s m u y a l t a s (a> g ra n d e ). M X /m e e s c a s i u n ita r ia , y e l e f e c to d e l a m o rtig u a m ie n to es in s ig n ific a n te .

3 . P a ra 0 < f <

M X | - . - . e l v a lo r m á x im o d e o c u rre c u a n d o

yfi

(3 -8 2 ) l a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 3 .8 2 ) d a

r =

>

I

V T ^ 2 ?

(3-83)


3 .7

R e sp u e sta d e u n s is te m a a m o r tig u a d o s o m e tid o a d e sb a la n c e r o ta to r io

267

Por lo tanto, los valores máximos ocurren a la derecha del valor de resonancia de r ■ I . MX

4. Para / > _ y /i

n o a le a n /a u n m á x im o . Su v a lo r c re c e d e s d e 0 e n r = 0 h asta 1 e n r - * oo.

me

5. la tuerza transmitida a la base producida por la fuer/a desbalanceada rotatoria (F ) es F (t) k x (t) + c x (t). La magnitud (o valor máximo) de F se deriva (vea el problema 3.73) como: \F \

(3-84)

" - " [ d

E je m p lo 3 .6

D e fle x ió n d e u n m o to r e lé c tric o d e b id o a d e s b a la n c e ro ta to rio U n m o to r eléctrico de m asa M . m ontado sobre un cim iento elástico, vibra c o n una deflexión de 0.15 m en resonancia (figura 3.20). S e sa b e q u e la m asa dcsbalanceada d e l m otor e s un 8% d e la m asa del rotor debido a la s tolerancias d e fabricación utilizadas, y la relación d e am ortiguam iento d e l cim iento e s f = 0 .0 2 5 . D eter m ine lo siguiente: a . La excentricidad de la ubicación radial d e la m asa dcsbalanceada (e). b . La deflexión pico d e l m otor cuando la relación d e frecuencia v aría desde la resonancia. c . La m asa adicional q u e se a g reg a rá d e m anera uniform e al m o to r si la deflexión del m otor e n resonancia se tiene que reducir a 0 . 1 m. Suponga q u e la m asa excéntrica no cam b ia cuando se agrega la m asa ad icional a l m otor. a.

D e acuerdo con la ecuación (3.81). la deflexión e n resonancia ( r = I ) es MX

1

I

me

2£

2 (0.025)

=

20

C on la c u a l la excentricidad s e determ ina como e — b.

MX

" ( 0 .1 5 )

20m

2 0 (0 .0 8 M )

= 0.09375 m

La ecuación (3 .8 3 ) d a la deflexión m áxim a d e l m o to r com o: 1 V ™ / mix

2¿V l - r

I 2 (0 .0 2 5 ) V i - 0.0251


= 20.0063

268

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a a partir d e la cual la deflexión m áxim a s e d eterm ina com o 20.0063m e 20.0063(0.08M )(0.09375) = ------------------= 0-150047 m = ---c

Si la m asa adicional agregada al m o to r se indica c o m o Afu, la ecuación (3 .8 1) d a la deflexión correspon diente: (M -f A/u)(0 .1 ) 20

=

(0 .0 8 M ) (0.09375) la cual d a M a = 0.5M . P o r lo tanto. la m asa d e l m otor se tiene q u e increm entar e n 50% p ara re d u c ir la deflexión en resonancia d e 0.15 m a 0 .10 m.

E je m p lo 3.7

T u r b in a h id rá u lic a F ra n c is La figura 3.21 e s un diagram a de una turbina hidráulica Francis, e n la cual el agua fluye d e A a la s aspas y hacia e l c an a l d e descarga. El rotor tiene una m asa d e 250 kg y un desb alan cc (m e) d e 5 kg-m m . L a holgura radial entre el rotor y el estator e s d e 5 m m . La turbina opera e n e l rango d e velocidad d e 600 a 6 0 0 0 rpm . Se supone q u e la fk c h a de acero donde está m ontado e l rotor está sujeta e n los cojinetes. D eterm ine e l diám etro dr la flecha d e m odo q u e e l ro to r siem pre libre e l estator a todas las velocidades d e operación d e la turbina. Suponga que e l am ortiguam iento e s insignificante. S olución: La am plitud m áxim a d e la Hecha (rotor) producida por e l desb alan ce rotatorio se obtiene c o n la ecuación (3.80) c o n c =» 0 com o X ,

■ = - ü ü í ( * - M u 2) *(1 - r )

(B .1)

tb n d e m e = 5 kg-m m . M = 250 kg y e l v a lo r lím ite d e X = 5 m m . El v a lo r d e w v aría de 600 rpm = 6 0 0 X

60

= 20rr rad/s

co im et

Rotor

C a n a l d e descarga


F ig u ra 3J21 T lirbina h idráulica Francis.

3 .8

V ib r a c ió n forzad a c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b

6000 rpm = 6 0 0 0 X ~

269

= 2 0 0 tt rad/s

m ientras que la frecuencia natural d e l sistem a se calcula com o X =

(E.2) (* - J f o 2)

*(1 - r 2)

si k está en N/m . P a ra at = 2 (b r rad/s. la ecu ació n (E . I ) d a p o r resultado (5.0 X I0“3) X (2 0 rr)2

2i r 2

0.005 = I -

( 2 0 * ) 2]

k - 10V

0.004 * J

* = 10.04 X 10V

N/m

(E 3 )

P ara ut = 2 0 0 rr rad/s, la ecu ació n ( E 1) da (5.0 X 10 3) X (200 tt)2 0.005 = r

poo ^

I

2007T~ * -

10V

0.004* J * - 10.04 X 106 v 3 N /m

(E.4)

A p a rtir d e la figura 3.17 s e ve q u e la am plitud d e vibración d e la flecha rotatoria s e puede m inim izar haciendo r = ai/ota m uy gran d e. Esto significa q u e
3 £ / ^ \

/3

l > \ 64 )

(E 3 )

e l diám etro d e la viga (flecha) se p u ed e hallar com o

i*

64*/*

( 6 4 ) ( I 0 .0 4 X 1 0 V ) ( 2 3)

3t t E

3 ir(2 .0 7 X 1 0 " )

= 2.6005 X 10 J m*

-

d = 0.1270 m = 127 mm

3.8

(E.6)

V ib ra c ió n fo rz a d a c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b P a ra u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d c o n a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b o d e fric c ió n s e c a , s o m e tid o a u n a fu e rz a a r m ó n ic a F (t) = F 0s e n ior c o m o e n l a fig u ra 3 .2 2 , l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to e s m x F k x ± n N = F (t) = F 0 s e n u it d o n d e e l s ig n o d e l a fu e rz a d e fric c ió n

( 3 .8 5 )

= n m g ) c s p o s itiv o (n e g a tiv o ) c u a n d o l a m a s a s e m u e v e

d e iz q u ie rd a a d e r e c h a ( d e re c h a a iz q u ie rd a ). L a s o lu c ió n e x a c ta d e l a e c u a c ió n (3 .8 5 ) e s b a s ta n te


270

C a p ítu lo 3


D e s p la z a d a

D e s p la z a d a

a la iz q u ie rd a ( t < 0 )

a la d e r e c h a (X > 0 )

+x

F (t) -

F 0 se n «a

m s // / //// / / / / /y// ;/ ? / 7 /7 ///> / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / //////// v / s / y / / / / / / / // /, (a)

F 0 ic n «M

► F 0 s e n mí

kx

kx

m g

►mí

m i

UN

— -V

/íi V

N

(b) F ig u ra 3 .2 2 S istem a d e un so lo g ra d o d e libertad c o n a m o rtig u a m ie n to de Coulom b.

c o m p lic a d a . S in e m b a rg o , p o d e m o s e s p e ra r q u e s i l a fu e rz a d e a m o rtig u a m ie n to d e fric c ió n s e c a es g r a n d e , e l m o v im ie n to d e l a m a s a s e rá d is c o n tin u o . P o r o tra p a rte , si l a f u e r z a d e fric c ió n s e c a es p e q u e ñ a c o m p a ra d a c o n l a a m p litu d d e la fu e rz a a p lic a d a F q, se e s p e ra q u e la s o lu c ió n d e e s ta d o e sta b le s e a c asi a rm ó n ic a . E n e s t e c a s o , p o d e m o s d e te r m in a r u n a s o lu c ió n a p r o x im a d a d e la e c u a ció n ( 3 .8 5 ) p o r m e d io d e u n a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te . K ira d e te rm in a r tal re la c ió n , ig u a la m o s la e n e rg ía d is ip a d a p o r la fric c ió n s e c a a l a e n e r g ía d is ip a d a p o r u n a m o rtig u a d o r v isc o so e q u iv a le n te d u ra n te un c ic lo d e m o v im ie n to c o m p le to . S i X d e n o ta l a a m p litu d d e m o v im ie n to . l a e n e r g ía d is ip a d a p o r l a f u e r z a d e f r ic c ió n / x N e n u n c u a r to d e c ic lo e s /¿AW. P ü r c o n s ig u ie n te , e n un c ic lo c o m p le to l a e n e rg ía d is ip a d a p o r e l a m o r tig u a m ie n to d e f r ic c ió n s e c a e s t á d a d a p o r A W = 4fiN X

(3 .8 6 )

S i la c o n s ta n te d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te s e in d ic a c o m o ccq. la e n e r g ía d is ip a d a d u ra n te u n c ic lo c o m p le to ( v e a l a e c u a c ió n ( 2 .9 4 ) ) s e rá A W = n Cf¿ o ) a

(3 .8 7 )

Ig u a la n d o l a s e c u a c io n e s ( 3 .8 6 ) y ( 3 .8 7 ) , o b te n e m o s

-

- s

F b r l o ta n to , l a r e s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le e s t á d a d a p o r xp( t ) ~ X s e n ( < * - * )

(3 .8 9 )

c b n d c l a a m p litu d X s e p u e d e h a ll a r a p a r tir d e l a e c u a c ió n (3 .6 0 ): ^0

(V * ) 1 /2

<3 *9 0 >

con

r*** = £3 = _Í3 _ = Cc 2 nuon

= . 2 m to nTTiúX


y*"

tt nuotonX

, 3.9I)

3 .8

V ib r a c ió n forzad a c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b

271

La sustitución de la ecuación (3.91) en la ecuación (3.90) da W * )

(3.92)

1/2

:h

h

s

)i

La solución de esta ecuación da la amplitud X como 1/2

7tFq ) (3.93)

- Í J Como ya antes se dijo, se puede utilizar la ecuación (3.93) sólo si la fuerza de fricción es pequeña comparada con F0. De hecho, el valor límite de la fuerza de fricción ¡xN se determina con la ecua ción (3.93). Para evitar valores imaginarios de X . necesitamos tener

1 -

A > UN

( s ) !>

i TT

Si no se satisface esta condición se debe utilizar el análisis exacto, dado en la referencia [3.3]. F.l ángulo de fase que aparece en la ecuación (3.89) se calcula utilizando la ecuación (3.52):

tan- i ( \

^

^ /

ta n -'

2í“C .-i

4 — tan

TTkX

(3.94)

-S .

Sustituyendo la ecuación (3.93) en la ecuación (3.94) para X , obtenemos

A fi N

4» = tan- i

ttF q

(3.95)

{- (s )r La ecuación (3.94) muestra que tan e s una constante para un valor dado de F J u N . ó e s discon tinuo en to /o )„ = 1 (resonancia), puesto que adquiere un valor positivo para (o/a>n 1. Por lo tanto, la ecuación 3.95 también se puede expresar como 4 ti N = tan 1

ttFq

(3.96)

La ecuación (3.93) muestra que la fricción sirve para limitar la amplitud de vibración forzada para o)/o¡n 1. Sin embargo, en resonancia (tü/u>n * 1). la amplitud se vuelve infinita. Fsto se


272

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a p u e d e e x p lic a r c o m o s i g u e . L a e n e r g ía d irig id a h a c ia e l s is te m a d u r a n te u n c ic lo c u a n d o e s e x c ita d o a rm ó n ic a m e n te e n re s o n a n c ia es

AW

F -d x =

- i

■L

F —

/

Fq s e n a it • [ iü X e o s ( o n

) ] d i

(3 .9 7 )

C o m o l a e c u a c ió n (3 .9 4 ) d a ó = 9 0 ° e n re s o n a n c ia , l a e c u a c ió n ( 3 .9 7 ) s e e s c rib e c o m o • 2w /u A W " = FqX oj

í.

senz un d i =

ttF qX

(3 .9 8 ) > 4 /x N X p a r a q u e X te n g a

L a e c u a c ió n ( 3 .8 6 ) d a l a e n e r g ía d is ip a d a p o r e l s is te m a . C o m o

un v a lo r r e a l , A W ’ > A W e n r e s o n a n c ia (v e a l a f ig u ra 3 .2 3 ). P a r lo ta n to , m á s e n e r g ía s e d ir ig e al á s t e m a p o r c ic lo q u e la q u e s e d is ip a p o r c ic lo . E s ta e n e r g ía e x tr a s e u tiliz a p a ra in c re m e n ta r la a m p íitu d d e v ib ra c ió n . P a r a la c o n d ic ió n no re s o n a n te (io/u>n

1 ). la e n e r g ía a lim e n ta d a s e d e te r m in a

c o n la e c u a c ió n (3 .9 7 ):

A W ’ = <ü F0X

i

s e n o n c o s ( o ti — ) d t =

ttF qX

señó

(3 .9 9 )

R>r la p r e s e n c ia d e s e n e n l a e c u a c ió n ( 3 .9 9 ) . s e h a c e q u e l a c u r v a d e l a e n e r g ía a lim e n ta d a e n la fig u ra 3 .2 3 c o in c id a c o n l a c u r v a d e l a e n e r g ía d is ip a d a , a s í q u e l a a m p litu d s e lim ita . P o r lo ta n to , se v e q u e l a fa se d e l m o v im ie n to « ^ lim ita la a m p litu d d e m o v im ie n to . L a re s p u e s ta p e r ió d ic a d e u n s is te m a d e r e s o r te - m a s a c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b s o m e tid o a e x c ita c ió n d e l a b a s e s e d a e n la s re fe re n c ia s [ 3 .1 0 . 3 .1 1 J.

MV

F igura 3 .2 3 E n erg ía a lim en tad a y e n e rg ía disipada con a m o rtig u am ie n to de C oulom b.

E je m p lo 3.8

S is te m a d e re s o rte -m a s a con a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b U n sistem a d e resorte d e 4 0 0 0 N /m rigidez y m asa d e 10 kg v ib ra sobre una superficie horizontal. B co eficien te d e fricción e s d e 0 . 12. Cuando se som ete a u n a fuerza arm ó n ica d e 2 Hz d e frecuencia, la m asa vibra c o n una am plitud d e 4 0 mm. D eterm ine la am plitud de la fuerza arm ónica ap licada a la masa. S olución: La fuerza vertical (peso) de la m asa e s JV = m g = 10 X 9.81 = 9.81 N. L a frecuencia natural es

a m - f ; = f

= 20 rad /s

10


3 .9

V ib ración fo r za d a c o n a m o r tig u a m ie n to d e h is t é r e s is

273

y la re la c ió n d e fre c u e n c ia e s

oí

2 X 2 jt 20

= 0.6283

La ecuación (3.93) d a la am plitud d e vibración X : 1/2

-fe )’ H s)í _ [ 4 < 0 .I2 )(9 8 .I)| 0 .0 4 =

4000

1 /2

(1 - 0 6 2 8 3 2)3

La solución d e esta ecu ació n es Fn = 97.9874 N.

3.9

v ib r a c ió n fo rz a d a c o n a m o rtig u a m ie n to d e h is té re s is Considere un sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento de histéresis sometido a una fuerza armónica F(/) = F0sen «/.como se indica en la figura 3.24. l a ecuación de movimiento de la masa se deriva con la ecuación (2.157). como m x + ^— x + k x = F n s e n o ii O)

( 3 .1 0 0 )

d o n d e ( p k / o i ) x = ( h / o i ) x in d ic a l a f u e r z a d e a m o r tig u a m ie n to .6 A u n c u a n d o l a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n 3 100 e s b a s ta n te c o m p lic a d a e n e l c a s o d e u n a f u n c ió n fo rz a d a g e n e r a l F ( t) , n o s in te re s a e n c o n tr a r la re s p u e s ta b a jo u n a fu e rz a a rm ó n ic a .

F ig u ra 3J24 S istem a c o n a m o rtig u a m ie n to de histéresis.

6 Fn contraste con el amortiguamiento viscoso, la fuerza de amortiguamiento en este caso se puede considerar que es una función de la frecuencia forzada (vea la sección 2.10).


C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a La s o lu c ió n d e e s ta d o e sta b le d e la e cu a c ió n (3 .1 0 0 ) s e puede su p o n e r c o m o : xp(t) = X s e n (tor - )

(3 .1 0 1 )

Sustituyendo la ecuación (3.101) en la ecuación (3.100), obtenemos F0

X =

(3.102) 1 /2

.M M P

= tan 1

-s)

(3.103)

Las gráficas de las ecuaciones (3.102) y (3.103) se muestran en la figura 3.25 para varios valores de p . Una comparación de la figura 3.25 con la figura 3.11 para amortiguamiento riscoso revela b siguiente: 1.

La relación de amplitud

(F0 / k )

0

1

2

3

(¿ r) — ♦

4

5 F ig u ra 3 .2 5 Respuesta de e sta d o estable.


3 .1 0

M o v im ie n to fo r za d o c o n o tr o s t ip o s d e a m o r tig u a m ie n to

a lc a n z a s u v a lo r m á x im o d e Fo/ k 0 a l a fre c u e n c ia (a¡ =

oj„)

275

e n e l c a s o d e a m o rtig u a m ie n to d e

h is té re s is . e n t a n t o q u e o c u r r e a u n a f r e c u e n d a p o r d e b a jo d e l a d e re s o n a n c ia (
uí 0)

e n el

c a s o d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o . 2.

El á n g u lo d e f a s e t ie n e u n v a lo r d e ta n - 1( f i ) a o> = 0 e n e l c a s o d e a m o r tig u a m ie n to d e h is té re s i s . e n ta n to tie n e u n v a lo r d e c e r o e n ot = 0 e n e l c a s o d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o . E s t o in d ic a q u e la re s p u e s ta n u n c a p u e d e e s t a r e n f a s e c o n l a f u n c ió n fo rz a d a e n e l c a s o d e a m o r tig u a m ie n to d e h is té re s is .

O b s e rv e q u e s i s u p o n e q u e l a e x c ita c ió n a r m ó n ic a e s F (t) = F ê** e n l a f ig u r a 3 .2 4 . l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e e s c rib e e n to n c e s c o m o m x + — x + k x = F o t* lü

( 3 .1 0 4 )

E n e s te c a s o , l a re s p u e s ta x ( t ) ta m b ié n e s u n a fu n c ió n a r m ó n ic a q u e im p lic a e l f a c to r e m l. P o r c o n s ig u ie n te . iü¡x(t) d a p o r re s u lta d o x ( t ) , y la e c u a c ió n ( 3 .1 0 4 ) s e e s c rib e c o m o m x + k { \ + i p ) x = Focio*

(3 .1 0 5 )

d o n d e la c a n tid a d * ( I + 10) s e c o n o c e c o m o rig id e z c o m p le ja o a m o r tig u a m ie n to c o m p le jo 1 3 .7 |. L a p a rte re a l d e l a s ig u ie n te e c u a c ió n p ro p o r c io n a l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le d e l a e c u a c ió n ( 3 .1 0 5 ) F0e * ' (3 .1 0 6 )

x (0 =

.]

3. 10

M o v im ie n to f o rz a d o c o n o tro s tip o s d e a m o r tig u a m ie n to El a m o rtig u a m ie n to v is c o s o e s la fo rm a m á s s im p le d e a m o rtig u a m ie n to u tiliz a d o e n la p r á c tic a , y a q u e c o n d u c e a e c u a c io n e s lin e a le s d e m o v im ie n to . E n lo s c a s o s d e a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b e h is te r é tic o . d e f in im o s c o e f ic ie n te s d e a m o r tig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te s p a ra s im p lif ic a r e l a n á lisis. I n c lu s o , p a ra u n a f o r m a m á s c o m p le ja d e a m o r tig u a m ie n to d e fin im o s u n c o e f ic ie n te d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o e q u iv a le n te , c o m o s e ilu s tra e n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s . E l u s o p ra c tic o d e a m o rtig u a m ie n to e q u iv a le n te s e a n a liz a e n la r e fe r e n c ia [3 .1 2 ].

E je m p lo 3.9

A m o rtig u a m ie n to c u a d rá tic o D eterm ine e l coeficiente d e am ortiguam iento viscoso correspondiente a am ortiguam iento cuadrático o de w lo c id a d a l cuadrado que se presenta cuando un cuerpo se m ueve e n un flujo d e fluido turbulento. S o lu c ió n : Se supone q u e la fuerza d e am ortiguam iento es Fé =

( E .l )

d o n d e a e s una c o n stan te, x es la velocidad relativa a trav és del am ortiguador, y cu an d o x e s positiva (negati va) se d eb e u tilizar e l signo negativo (positivo) e n la ecu ació n ( E I ). L a energía disipada p o r ciclo d urante el m ovim iento arm ónico x (l) = X sen u t está dada por

8

/2

ato1 eos3 a* d (ta t) = - a¡2a X i 3


(E.2)

276

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a S i ig u a la m o s e s ta e n e rg ía a la e n e rg ía d isip a d a e n u n a m o r tig u a d o r v isc o so e q u iv a le n te ( v e a la e c u a c ió n 2 .9 4 »

AVV = ffCjqtuX7

(E .3 )

(titcnem os e l coeficiente d e am ortiguam iento viscoso equivalente (c,^) Ce, =

(E .4)

Se observa q u e c^, no es una constante sino que v aría c o n w y X. La am plitud d e la respuesta d e e stad o estable se determ ina con la ecuación (3.30): I

(E 3 )

\ / ( l - r 2)2 + ( H ^ r ) 2 dande r = to/at y Cf«

^

t

“ ss;

Utilizando la s ecuaciones ( E 4 ) y (E 6 ). se puede reso lv er la ecu ació n ( E 5 ) p ú a o btener

X =

3rrm Sor

3. 11

A u to e x c ita c ió n y a n á lis is d e e s ta b ilid a d L a fu e rz a q u e a c t ú a e n u n s is te m a v ib r a to r io s u e le s e r e x te r n a a l s is te m a e in d e p e n d ie n te d e l m o v im ie n to . S in e m b a rg o , h a y s is te m a s p a r a lo s c u a l e s l a fu e rz a d e e x c ita c ió n e s u n a fu n c ió n d e los p ir á m e tr o s d e m o v im ie n to d e l s is te m a , d ig a m o s d e s p la z a m ie n to , v e lo c id a d o a c e le r a c ió n . T a le s á s t e m a s s e c o n o c e n c o m o s is te m a s v ib r a to rio s a u to e x e ila d o s . p u e s to q u e e l m o v im ie n to e n s í p r o d u ce la fu e rz a d e e x c ita c ió n ( v e a e l p ro b le m a 3 .9 2 ). L a in e s ta b ilid a d d e la s f le c h a s r o ta to r ia s , la a g ita c ió n d e la s a s p a s d e t u r b in a , l a v ib ra c ió n d e tu b o s in d u c id a p o r e l flu jo , y l a tre p id a c ió n d e b s ru e d a s d e un a u to m ó v il y e l m o v im ie n to a e r o d in á m ic a m e n te in d u c id o d e p u e n te s s o n e je m p lo s típ ic o s d e v ib ra c io n e s a u to e x c ita d a s .

3 . 11.1

U n s is te m a e s d in á m ic a m e n te e s ta b le s i e l m o v im ie n to ( o d e s p la z a m ie n to ) c o n v e rg e o p e r m a n e c e

A n á lis is d e e s ta b ilid a d d in á m ic a

m e n te (d iv e rg e ) c o n e l tie m p o , s e d ic e q u e e s d in á m ic a m e n te in e s ta b le . E l m o v im ie n to d iv e r g e y e l

e sta b le c o n e l tie m p o . P o r o t r a p a r le , s i la a m p litu d d e l d e s p la z a m ie n to s e in c re m e n ta c o n tin u a s is te m a s e v u e lv e in e s ta b le s i la a u to e x c ita c ió n p ro p o rc io n a e n e r g ía a l s is te m a . P a ra v e r la s c irc u n s o n d a s q u e c o n d u c e n a la in e s ta b ilid a d , c o n s id e r a m o s l a e c u a r i ó n d e m o v im ie n to d e un s is te m a d e un s o lo g r a d o d e lib e r ta d : mx + ex + kx = 0 S i s e s u p o n e u n a s o l u d ó n d e l a f o r m a x(r)

(3 .1 0 7 )

C e en. d o n d e C e s u n a c o n s ta n te , l a e c u a c ió n ( 3 .1 0 7 )

t o s l le v a a l a e c u a d ó n c a r a c te rís tic a

+ - s m

+ - m

0


(3 .1 0 8 )

3 .1 1

A u to e x c ita c ió n y a n á l i s i s d e e sta b ilid a d

277

Las r a íc e s d e e sta e cu a c ió n so n

s\2 C o m o s e s u p o n e q u e la s o lu c ió n e s x ( t) = C e a l , e l m o v im ie n to s e r á d iv e r g e n te y a p e rió d ic o s i la s r a íc e s í | y s 2 s o ° r e a le s y p o s itiv a s . E s ta s itu a c ió n s e p u e d e e v it a r s i c /m y kJm s o n p o s itiv a s . E l m o v im ie n to ta m b ié n d iv e rg ir á s i la s r a íc e s j ( y s 2 s o n c o n ju g a d a s c o m p le ja s c o n p a r te s re a le s p o s i tiv a s. P a r a a n a liz a r e s ta s itu a c ió n , e x p r é s e n s e la s ra íc e s s { y s 2 d e la e c u a c ió n ( 3 .1 0 8 ) c o m o s { = p + iq ,

s2 = p - ¡ q

(3 .1 1 0 )

d o n d e p y q s o n n ú m e ro s re a le s , d e m o d o q u e (s -

j , ) ( í - s 2) = s 2 -

( i , + ¡2 ) s + s¡s2 = s 2 +

m

^

Fn

= 0

(3.111)

L a s e c u a c io n e s ( 3 . 1 11) y ( 3 . 1 10) d a n ~ = ~ ( s \ + s 2) m

= -2 p,

i ni

= S & = p 2 + q2

(3 .1 1 2 )

L a s e c u a c io n e s ( 3 . 112) m u e s tra n q u e p a r a p n e g a t i v o , c /m d e b e s e r p o s itiv a y p a ra p 2 +
E je m p lo 3 .1 0

in e s ta b ilid a d d e u n a m a s a s o p o rta d a p o r u n re s o rte s o b re u n a b a n d a m ó vil C onsidere una m asa soportada por un resorte sobre una banda m óvil, c o m o s e m uestra e n la figura 3.26(a). F.l coeficiente d e fricción cinética entre la m asa y la b an d a varía con u n a velocidad (de frotación) relativa, com o se m uestra e n la figura 3.26(b). A m edida q u e la velocidad d e frotación s e increm enta, el coeficiente d e fricción prim ero se reduce a p artir d e su v a lo r estático linealm ente, y lu eg o co m ienza a increm entarse. Suponiendo q u e la velocidad d e frotación, v .c s m en o r que e l v a lo r d e transición v0, e l coeficiente d e fricción se expresa com o a

d o n d e a e s una constante y W = m g es e l peso d e la m asa. D eterm ine l a naturaleza d e la vibración libre con respecto a la posición d e equilibrio d e la masa.

Velocidad relativa (*) (a)

(b)

F ig u ra 3 . 2 6 M ovimiento d e un a m asa soportada por u n resorte debido a la fricción de la banda.


278

C a p ítu lo 3


Solución: S e a la posición d e equilibrio d e la m asa m la correspondiente a u n a extensión d e x0 d e l resorte. Entonces t iW = k x 0 o pW

W

aV

xo = ~ r = ~ ¡

T

donde V e s la velocidad d e la b an d a. S i la m asa s e desplaza u n a distancia x de su posición de equilibrio (x0). b velocidad d e frotación v está dada por v = V -x La ecu ació n d e m ovim iento d e vibración libre se escribe, aplican d o la segunda ley del m ovim iento de Newton. rom o (vea la figura 3.26
n ü = -k (x 0 + x) +

=- k ( x o 4 x ) 4

- ± ( y - ¿ )^

es decir, m x — a x + kx = 0

( E l)

Cóm o el coeficiente d e x es negativo, e l m ovim iento dada p o r la ecu ació n ( E l ) se rá inestable. L a solución de b ecu ació n ( E I ) resulta de x (r) =

4 C **}

(E .2)

cbnde C¡ y C ?son c onstantes y

- ■

m

- í í ) T

í b r la ecu ació n ( E 2 ) s e ve q u e e l v a lo r d e x se increm enta c o n e l tiem po. S e increm enta hasta q u e V - x = 0 o V 4 ¿ = vq. D espués d e esto, e l coeficiente n tiene u ro pendiente positiva, y por c onsiguiente la naturaleza d ;l m ovim iento se rá diferente (3.131. Nota: E n los frenos de absorción d e banda y p olca se observa u n m ovim iento parecido, a sí com o en m esas deslizantes d e m áquinas herram ienta [3.14]. E n m áquinas herram ienta, por ejem plo, u n a m esa d e trabajo se n u n ta sobre guías ajustadas y se utiliza un tom illo de avance p ara im partirle m ovim iento, c o m o se m uestra en

T om illo d e avance

F ig u ra 3 ^ 7 M ovim iento de u n a m esa d e trab a jo m ed ia n te u n to m illo d e avance e n u n a m áquina h erram ien ta.


3 .1 1

A u to e x c ita c ió n y a n á lis is d e e sta b ilid a d

279

la figura 3.27. E n algunos casos, la m esa de trabajo puede deslizarse a trom picones incluso cu an d o e l tom illo d e av an c e tenga un m ovim iento uniform e. T al m ovim iento se conoce c o m o m ovim iento trom picado. Este m ovim iento s e puede an alizar d e un m odo sencillo m odelando la m esa d e trabajo c o m o u n a m asa (m ) y la c o nexión entre la m esa de trabajo y el tom illo d e avance (la cual n u n ca e s perfectam ente rígida) com o un resorte ( A ) y un am ortig u ad o r viscoso (c ). H coeficien te de fricción entre la m asa y la superficie deslizante v a ría com o una función de la velocidad d e deslizam iento, com o se indica e n la fig u ra 3.26(b). L a ecu ació n d e m ovim iento d e la m asa (m esa d e trabajo) s e p u ed e o btener igual que e n e l caso de la ecuación (E . 1) d e l ejem p lo 3.8 como

m x + e x + k x = f jW = W

e s decir,

m x + ( c — a )x + kx = 0 Podem os v e r q u e la inestabilidad d inám ica o cu rre si c < a.

l a v ib ra c ió n p r o v o c a d a p o r un f lu id o q u e flu y e a lr e d e d o r d e u n c u e r p o s e c o n o c e c o m o v ib ra c ió n in d u c id a p o r f lu jo (3 .4 ) . P o r e je m p lo , l a s c h im e n e a s a lta s , lo s p e ris c o p io s d e s u b m a r in o s , l a s lín e a s

in e s ta b ilid a d d in á m ic a p ro v o c a d a p o r el flu jo d e un flu id o

d e tra n s m is ió n e lé c tr ic a y la s b a r ra s d e c o m b u s tib le n u c le a r v ib r a n v io le n ta m e n te e n c ie rta s c o n d ic io n e s d e f lu jo d e flu id o a lr e d e d o r d e e ll o s . A s im is m o , la s tu b e r ía s d e a g u a y p e tró le o , a s í c o m o lo s tu b o s e n c o m p re s o re s d e aire e x p e rim e n ta n v ib ra c ió n s e v e ra e n c ie rta s c o n d ic io n e s d e flu jo d e f lu id o a tr a v é s d e e llo s. E n t o d o s e s t o s e je m p lo s , l a v ib r a c ió n d e l s is te m a e x tra e e n e r g ía d e fo rm a c o n tin u a d e la f u e n te , l o q u e c o n d u c e a m p litu d e s d e v ib ra c ió n c a d a v e z m á s g r a n d e s . L a v ib ra c ió n i n d u c id a p o r flu jo p u e d e s e r p r o v o c a d a p o r v a rio s fe n ó m e n o s . P j r e je m p lo , e n lín e a s d e tra n s m is ió n e lé c tr ic a c u b ie r ta s d e h ie lo , la v ib r a c ió n d e b a ja fr e c u e n c ia (1 a 2 H z ) c o n o c i d a c o m o g a lo p e o c u tT e a c o n s e c u e n c ia d e l a s f u e rz a s d e le v a n ta m ie n to y re s is te n c ia d e s a rro lla d a s p o r d a ir e q u e f lu y e a lr e d e d o r d e la s lín e a s . L a v i b r a c ió n in e s ta b le c o n o c id a c o m o a g ita c ió n , d e s e c c io n e s d e s u p e rfic ie s a e r o d in á m ic a s t a m b ié n s e d e b e a la s fu e rz a s d e le v a n ta m ie n to y re s is te n c ia d e s a rro lla d a s p o r e l a ir e q u e flu y e a lr e d e d o r d e la s u p e rfic ie a e r o d in á m ic a . A d e m á s , u n a v ib ra c ió n c o n o c id a c o m o a i n tu r r e o d e lín e a s d e tr a n s m is ió n o c u r re a c o n s e c u e n c ia d e l fe n ó m e n o d e f o r m a c ió n d e t o r b d li n o s . P a ra v e r e l fe n ó m e n o d e g a lo p e , c o n s id e r e u n a s e c c ió n c ilin d r ic a c o n ir a la q u e e l v ie n to c h o c a a u n a v e lo c id a d U . c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 3 .2 8 (a ) (3.31. P o r l a s im e tría d e l a s e c c i ó n , la d ir e c c ió n d e l a f u e rz a p ro d u c id a p o r e l v i e n t o s e r á l a m is m a q u e l a d e l v ie n to . S i s e le im p a rte u n a p e q u e ñ a v e lo c id a d d e s c e n d e n te u a l c ilin d ro , e l v ie n to te n d r á u n c o m p o n e n te a s c e n d e n te d e v e lo c i d a d u (c o n r e s p e c to al c ilin d ro ) j u n to c o n e l c o m p o n e n te h o riz o n ta l U . P b r l o ta n to , la d ir e c c ió n d e la f u e rz a re s u lta n te d e b id o a l v ie n to c o n tr a e l c ilin d r o s e r a a s c e n d e n te , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 3 .2 8 (b ). C o m o e s t a f u e rz a (a s c e n d e n te ) s e o p o n e a l a d ir e c c ió n d e l m o v im ie n to d e l c ilin d r o ( d e s c e n d e n te ) . e l m o v im ie n to d e l c ilin d r o s e a m o r tig u a r á . P o r e l c o n tr a r io , s i s e c o n s id e r a u n a s e c c ió n n o c ir c u la r c o m o u n a la m b re c ilin d ric o c u b ie r to d e h ie lo , q u iz á l a f u e rz a d e l v ie n to r e s u lta n te no s ie m p r e s e o p o n g a a l m o v im ie n to d e l a la m b re , c o m o s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 3 .2 8 (c ). E n e s c c a s o , e l m ov im ie n to d e l a la m b re e s a y u d a d o p o r l a s f u e r z a s d e l v ie n to , lo q u e im p lic a u n a m o rtig u a m ie n to n e g ativ o e n e l s is te m a . P a ra v is u a liz a r e l fe n ó m e n o d d c a n t o n e o d e a la m b r e s , c o n s id e r e un f lu id o a l p a s a r s o b r e u n c i l in d ro liso . E n d e te r m in a d a s c o n d i d o n e s s e fo r m a n t o r b d l i n o s a lt e m o s d e s c e n d e n te s e n u n p a tró n r e g u la r, c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 3 .2 9 . É s to s s e c o n o c e n c o m o t o r b d l i n o s d e K a rm a n e n h o n o r a l p r o m in e n te m e c á n ic o d e f lu id o s , T h e o d o r v o n K a rm a n , q u ie n p r e d ije r a e n 1 9 1 1 la s e p a ra c ió n e s ta b le d e l o s to r b e llin o s s o b r e s u d o s te ó r ic o s . L o s to r b e llin o s d e K a rm a n s e a lte rn a n e n d s e n tid o d e la s m a n e c illa s d e l re lo j y e n d s e n t id o c o n tr a r io y a s í p r o v o c a n f u e r z a s d e le v a n ta m ie n to v a r ia b le s


280

C a p ítu lo 3


Alambre Velocidad ifcl vienlo, U

Fuerza d e l viento resultante

Alambre Velocidad ib l viento. U

F u er/a d e l viento resultante

Velocidad u del viento (velocidad resultante vertical (velocidad vertical d e l viento del viento con respecto respecto al alam bre) al alam bre) (b) Q ib ierta de hielo Alam bre Fuerza d e l viento original Fuerza d e l viento resultante Velocidad del viento resultante debido a la no simetría

u (velocidad del viento) (c)

Figura 3 .2 8 Galope de u n alam bre.

a rm ó n ic a m e n te s o b re e l c ilin d ro , p e rp e n d ic u la r e s a la v e lo c id a d d e l f l u id o . D a lo s e x p e rim e n ta le s m u e s tra n q u e l a fo r m a c ió n d e to r b e llin o s re g u la re s o c u r re n fu e rte m e n te e n e l ra n g o d e l n ú m e r o d e R e y n o ld s ( R e ) d e s d e a lr e d e d o r d e 6 0 h a sta 5 0 0 0 . E n e s t e c a s o Re

pVd

(3 .1 1 3 )

ito n d e d e s e l d iá m e tr o d e l c i l i n d r o , p e s l a d e n s id a d . V e s la v e lo c id a d y n e s la v is c o s id a d a b s o lu ta cfcl flu id o . P a r a R e > 1 0 0 0 . l a fre c u e n c ia s i n u n id a d e s d e l a fo r m a c ió n d e t o r b e llin o s , e x p r e s a d a c o m o u n n ú m e ro d e S tro u h a l (S t) . e s a p ro x im a d a m e n te ig u a l a 0 .2 1 [3 .1 5 ] 0.21

F ig u ra 3 .2 9 F lu jo d e u n flu id o s o b re u n cilin d ro .


(3 .1 1 4 )

3 .1 1


281

d o n d e / e s la fre c u e n c ia d e fo r m a c ió n d e to rb e llin o s . L a f u e r z a d e le v a n ta m ie n to a rm ó n ic a m e n te v a ria b le ( F ) e s tá d a d a p o r

* ■ (') = \ c p V ~ A s e n u>t

d o n d e c e s u n a c o n s ta n te (c

(3 .1 1 5 )

1 p a ra un c ilin d r o ) . A e s e l á r e a p ro y e c ta d a d e l c ilin d r o p e rp e n d ic u la r

a l a d ire c c ió n d e V , a> e s l a fre c u e n c ia c ir c u la r (tu = 2 i r f ) , y / e s e l tie m p o . E l m e c a n is m o d e f o r m a c ió n d e to r b e llin o s e n u n c ilin d r o s e p u e d e c o n s id e r a r a u to e x c ita d o . p u e sto q u e e l flu jo d e f lu id o (V ) n o t ie n e n in g ú n c o m p o n e n te a lte rn o . D e sd e e l p u n to d e v is ta d e d is e ñ o , te n e m o s q u e a s e g u ra m o s d e lo s ig u ie n te : 1.

L a m a g n itu d d e l a f u e r z a e je r c id a s o b re e l c ilin d r o , d a d a p o r l a e c u a c ió n ( 3 . 1 i 5 ). e s m e n o r q u e

2.

la c a r g a d e fa lla e s tá tic a . In c lu s o s i l a m a g n itu d d e la f u e rz a F e s p e q u e ñ a , l a fre c u e n c ia d e o s c ila c ió n ( / ) n o d e b e r á p r o v o c a r fa lla s p o r f a tig a d u r a n te l a d u r a c ió n e s p e ra d a d e l a e s tru c tu r a ( o c ilin d ro ).

3.

L a fre c u e n c ia d e l a f o r m a c ió n d e to r b e llin o s ( f ) n o c o in c id e c o n l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e la e s tr u c tu ra o c ilin d r o p a ra e v ita r la re s o n a n c ia .

Reducción de la vibración inducida por flujo. S e p u e d e n u tiliz a r v a rio s m é to d o s p a r a r e d u c ir la s f a lla s p r o v o c a d a s p o r v ib r a c ió n in d u c id a p o r flu jo . 1.

P a ra r e d u c i r é ! c a n tu rre o d e lín e a s d e tra n s m is ió n p ro v o c a d o p o r la f o n n a d 0 n d e t o r b e l l i n o s . s e p u e d e u tiliz a r u n a m o r tig u a d o r c o n o d d o c o m o a m o r tig u a d o r d e S to c k b rid g e . E s te a m o r tig u a d o r se c o m p o n e d e un c a b le d e a c e ro c o r to c o n d o s m a s a s e n s u s e x tre m o s . E s te a m o r tig u a d o r se fija e n l a l ín e a d e tra n s m is ió n , c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 3 .3 0 (a ) . E l d is p o s itiv o a c tú a p o r lo ta n to c o m o un s is te m a d e r e s o r te - m a s a e l c u a l s e p u e d e s in to n iz a r a la f r e c u e n c ia d e v ib ra c ió n i n d u d d a p o r f lu jo a ju s ta n d o s u lo n g itu d ( la lo n g itu d d e l c a b l e ) o d v a lo r d e l a s m a s a s . E l a m o r tig u a d o r d e S to c k b rid g e s e s u je ta a la lín e a d e tr a n s m is ió n e n u n p u n to d o n d e s e p r e v é q u e la v ib ra c ió n s e a g ra n d e .

2.

P a ra c h im e n e a s a lta s d e a c e r o , e l e f e c to d e v ib r a c ió n in d u c id a p o r flu jo p u e d e m in im iz a rs e p o r m e d io d e a m o rtig u a d o r e s d e v ib ra c ió n m e d ia n te tira n te s e n tre l a p a rte s u p e r io r d e l a c h im e n e a y e l s u e l o , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 3 .3 0 ( b ) .

3.

E n c h im e n e a s a lta s , s e p u e d e n u tiliz a r d e fle c to r e s h e lic o id a le s o tr a c a s a lre d e d o r d e l a c h i m e n e a . c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 3 .3 1 . Ix>s d e fle c to re s h e lic o id a le s ro m p e n e l p a tró n d e l to rb e llin o d e m o d o q u e s e a p liq u e u n a e x c ita c ió n n o b ie n d e f in id a a la p a re d d e la c h im e n e a .

4.

P a ra a u to m ó v ile s d e a lta v e lo c id a d ( d e c a r r e r a s ), l a s f u e rz a s d e le v a n ta m ie n to in d u c id a s p o r flu jo p u e d e n a lig e ra r l a c a r g a s o b r e la s lla n ta s , l o q u e p r o v o c a p ro b le m a s d e m a n io b r a b ilid a d y e s ta b ilid a d d e l v e h íc u lo . A u n c u a n d o la s fu e rz a s d e le v a n ta m ie n to s e p u e d e n c o n tra rre s ta r

Figura IL30 Amortiguador de Stockbridge.


282

C a p ítu lo 3


(•)

F ig u ra 3 - í l D eflectores helicoidales. (F oto co rte sía de B e th le h em S teel C orporation).

e n p a rte p o r m e d io d e d e f le c to r e s . l a fu e rz a d e r e s is te n c ia a l a v a n c e s e in c re m e n ta r á . E n a ñ o s r e c ie n te s s e h a n e s ta d o u tiliz a n d o s u p e rfic ie s a e r o d in á m ic a s in v e rtid a s m ó v ile s p a r a d e s a rr o lla r u n a fu e rz a a e ro d in á m ic a d ir ig id a h a c ia a b a jo p a r a m e jo r a r l a e s ta b ilid a d ( v e a la f ig u ra 3 .3 2 ).

Figura 3.32 A uto de c arre ras c o n tem p o rán eo c o n c ara cte rística s aero d in ám icas p ara u n a b aja resistencia a l av an c e y a lta estabilidad. (F o to cortesía de G oodyear T ire & R ubber Co. Inc.).

E je m p lo 3.11

In e s ta b ilid a d d in á m ic a d e u n a s u p e rfic ie a e ro d in á m ic a Encuentre el v a lo r d e la velocidad de co rrien te libre n a la cual la sección d e la superficie aerodinám ica (sisteim de un solo grada d e libertad) m ostrada e n la figura 3.33 se v uelve inestable.

Solución: M étodo: Encuentre la fuerza vertical que actúa en la superficie aerodinám ica (o m asa m ) y o btenga la c o n d i ción que conduce a am ortiguam iento cero. La fuerza vertical q u e a ctú a e n la superficie aerodinám ica (o m asa m ) producida p o r un paso d e fluido se puede ex p resar c o m o [3.4|

I


3 .1 1

Rigidez y amortiguam iento de la superficie aerodinám ica


283

j

V7#77/7>77, (a )

(b)

F igura ¡L 33 M odelado de u n a superficie a ero d in ám ica c o m o u n siste m a d e u n solo grado de libertad.

d o n d e p = den sid ad d e l fluido, u = velocidad d e c o m e n te libre. D - a n ch o d e la sección transversal norm al a la dirección d e l paso d e l fluido, y C , = coeficiente d e fuerza vertical, e l cual se [xicde expresar com o M2 C , = —r (C ¿ eos a + CD sen cr) u2

(E.2)

d o n d e ^ e s la velocidad relativa del fluido y CL e s e l coeficien te d e levantam iento. CD e s e l coeficiente de resistencia al avance, y a e s e l ángulo d e ataque (v ea la figura 3.33);

(H J )

Para ángulos d e ataque pequeños.

x

a

----u

(E.4)

y C ,s c p u ed e representar d e form a a p roxim ada, m ediante una expansión d e serie d e T aylor, aproxim adam ente a = 0 . com o C ,= * c ,

(& 5) a -0

donde, p ara valores pequeños d e a .

dO

a-

0

= u y la ecuación (E .2) se escribe com o C , = C ¿ e o s a + C D sen a

(E.6)

La ecu ació n (E .5) s e rescribe, m ediante las ecu acio n es ( E 6 ) y (E .4) com o

Q = (C ¿ eos a + C/> s e n o )

sc L —

da

= CL

eos

+ a

-

C , sen

L

dca

a + — — ¡en a + C „ e o s o da ■11— Lo

dC ,

da

= CL a-o

a

“ 1

L-t

da

+ C„ a -0

(E.7) a«0l


284

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a l a sustitución d e b ecu ació n (E.7> en b ecu ació n < E I ) da I - ~puD — o=0 2 d a o=0

F = - pu2D CL

(E . 8 )

La ecuación d e m ovim iento d e la superficie aerodinám ica (o m asa) es m i + e x + k x = /•' = -p i? D C ¡

(E .9) o -0

B pri m cr térm ino d e l lado d erecho d e la ecuación (E .9) produce un desplazam iento estático y p o r consiguiente sólo e l se g u n d o térm ino p u ed e desestabilizar e l sistem a. L a ecuación d e m ovim iento, considerando sólo el segundo térm ino del lad o derecho, es

t

mx + ex + kx ■ m x +

„ acx

m

o-0.

x + kx = O

(E.10)

O bserve q u e m incluye la m asa d e l Huido atrapado. En la ecuación (E . 10) se v e q u e e l desplazam iento d e la su perficie aerodinám ica (o m asa m ) crecerá ilim itadam ente (es decir, e l sistem a s e v uelve inestable) si c es n eg a tivo. P o r consiguiente, la velocidad m ínim a d e l fluido p ara q u e s e in icien las oscilaciones inestables e s c = O, o í

2c

{

dCs

(E .l 1) a -0

B valor

dC , d a o=0

- - 1 7 para una sección cuadrada e n un flujo estable |3.4J.

N o ta : U n a n á lis is s im ila r a l d e l e je m p lo 3 . 1 1 s e p u e d e a p li c a r a o tr a s e s tru c tu r a s v i b r a to r ia s , c o m o ü n q u e s d e a g u a ( v e a l a fig u ra 3 .3 4 a ) y lín e a s d e p o te n c ia c u b ie rta s d e h ie lo g a lo p a n te s ( f ig u r a 3 .3 4 b ) b a jo l a a c c ió n d e c a r g a s d e v ie n to .

E je m p lo 3 .1 2

V ib r a c i ó n d e u n a c h im e n e a I n d u c id a p o r f lu jo Una ch im enea de acero tiene una altura d e 2 m , un diám etro intcnw d e 0.75 m y un diám etro externo d e 0 .8 0 m. D eterm ine la velocidad del viento q u e fluye alrededor d e b ch im enea q u e hará q u e ésta v ib re transversalm ente »si b dirección d e l flujo d e aire.

x{t)

_l

Rigidez y amortiguam iento d e l cable

Rigidez y am ortiguam iento de la colum na

(a)

Figura 3-34 Inestabilidad de e s tru c tu ra s v ib rato rias típicas.


3 .1 2

M éto d o d e la fu n c ió n de tr a n sfe r e n c ia

285

Solución M éto d o : M odele la ch im enea com o una viga e n voladizo e iguale la frecuencia natural d e la vibración trans versal de la chim enea a la frecuencia d e la form ación de torbellinos. R ira hallar la frecuencia natural d e la vibración transversal d e la chim enea se puede utilizar el m étodo de R ayleigh. suponiendo una deflexión transversal adecuada de la v ig r en voladizo (v ea la sección 8.7). Sin em bar go. e n este caso, usarem os 1» frecuencias naturales d e la viga en voladizo d ad a en la figura 8.15. L a figura 8.15 da la frecuencia natural fundamental d e vibración transversal (tu,) d e una v ig a en voladizo (cm potrada-librc) com o "> = 0 , 0 ’ ^

(E.1)

donde / 3 , / = 1.875104

(E.2)

Para la chim enea. E = 207 X 10^ P a, pg = peso unitario = 76.5 X 10» N/m», / = 2 0 m , d = 0.75 m . D = 0 .8 0 m. A = ~ ( D 2 - d 2) = - ( 0 . 8 0 2 - 0.752) = 0.0608685 n r

/ = 7 7 ( 0 * “ d 4) = 7 7 (0.804 - 0.754) = 0.004574648 m 4 64 64 Pbr lo tanto. 1/2

(207 X 109X 0.004574648) w, = (1.875104)2

(^ ^

t ' 0' ) 10060868511201'

= 12.415417 ra d /s = 1.975970 Hz El núm ero d e Strouhal d a la frecuencia d e form ación d e torbellinos ( /) :

U tilizando d = 0 .8 0 m y f = f x = 1.975970 H z, la velocidad del v iento (V ) q u e provoca resonancia s e puede d eterm inar com o

0 .2 1

3. 12

1.975970(0.80) = — ----- = 7 5 2 7 5 0 5 m/s -

f,d V = -7 7

0 .2 1

M é t o d o d e la f u n c ió n d e tr a n s fe r e n c ia H m é to d o d e f u n c ió n d e tra n s f e r e n c ia , b a s a d o e n tra n s f o rm a d a s d e L a p la c e , s e u tiliz a c o m ú n m e n te p a ra f o rm u la r y r e s o lv e r p ro b le m a s d in á m ic o s e n l a lite r a tu ra d e c o n tro le s . T a m b ié n s e p u e d e u t i liz a r p a r a r e s o lv e r p r o b le m a s d e v i b r a c ió n fo rz a d a . L a fu n c ió n d e tra n s fe r e n c ia r e la c io n a l a s a lid a d e u n s i s t e m a c o n s u e n tr a d a . E s ta f u n c ió n p e r m ite s e p a ra r la e n tr a d a , e l s is te m a y l a s a lid a e n tr e s p a rte s s e p a ra d a s y d is tin ta s ( a d ife re n c ia d e l a e c u a c ió n d i f e r e n c ia l, e n l a c u a l lo s tr e s a s p e c to s no s o n f á c ile s d e s e p a ra r ).


286

C a p ítu lo 3


D efin ició n : La función de transferencia de una ecuación diferencial lineal invariable con el tiempo

se define corno la relación de la transformada de Laplacc de la salida o función de respuesta con la transformada de Laplacc de la entrada o función forzada, suponiendo condiciones iniciales cero. B procedimiento general utilizado para determinar la función de transferencia de una ecua ción diferencial lineal implica tomar las transformadas de 1 -aplace de ambos lados, suponiendo condiciones iniciales cero, y resolviendo para la relación de la transformada de Laplacc de la salida a la transformada de Iaplace de la entrada. Como la ecuación diferencial lineal se compone de b variable y sus derivadas, la transformada de I-aplace la transforma en una ecuación polinomial ai la variable de I-aplace s . l a expresión dada en el apéndice D para las transformadas de Iaplace efe las derivadas se pueden utilizar al derivar la función de transferencia.

E je m p lo 3 .1 3

F u n c ió n d e tra n s fe re n c ia c o rre s p o n d ie n te a u n a e c u a c ió n d ifere ncia l Cbnsiderc la siguiente ecuación diferencial lineal invariable con el tiempo de orden enésimo que rige el com portamiento de un sistema dinámico: d * x (t)

d ^ _ x (l)

+ a*-i

.-i

d i"

d nm

+ .

+ ao*(0 d m~ 'f { t ) d tm

(b n d e x (i) e s la salida, f i i ) e s la entrada, i e s e l tiem po y la s a, y b, so n constantes. D eterm ine la fu n ció n de transferencia d e l sistem a y m uestre la entrada, el sistem a y la salida e n un diagram a d e bloques. S olución: Tom ando la transform ada de L aplace s de la ecuación (E .1). obtenem os

awsñX (s ) + o(l_ |j " _ l X ( j ) + . . . + ü o X ( j) + co n d icio n es iniciales q u e c o n lle v a n x ( l) = bms ” F ( s ) + bm^ - ' F ( s ) + . . . + boF (s) + co n d ic io n e s in icia les q u e c o n lle v a n / ( / )

(E .2)

Se ve q u e la ecuación (E .2) es una expresión puram ente algebraica. S i s e supone que todas la s condiciones iniciales so n c ero , la ecuación ( E 2 ) se reduce a la form a siguiente:

[ a y + a . - . s " - 1 + . . . + a 0} * ( í ) = {bmsn + bm. xsm X+

. . . + } F (s)

(E 3 )

Resolviendo la ecu ació n (E .3) la función d e transferencia d e l sistem a evaluado e n condiciones iniciales cero. T \s \ se determ ina com o la relación d e la transform ada d e salida, X ( s \ y la transform ada d e entrada. F{s): = m

F (s )

ss ( ¿ - T - +

w

- 1 * ... + óq)

(a*s* + am-\É*~x + . . . + fl0)

Se ve que la función d e transferencia identifica la entrada. F{x). la salida, X (s). y e l sistem a (definidos por la « p re s ió n d e l laJo derecho d e la ecuación < E 4)) com o e n tid a d es aparte. S egún la ecuación (E .4). la salida del sistema se d eterm ina com o X {s) = n s ) l \ s )

(E .2)

Tom ando la transform ada d e L aplace inversa d e la ecuación (E 5 ), p o d e m o s d eterm inar la salida d e l sistem a «31 e l dom inio d e l tiem po p ara cu alq u ier entrada conocida. l a función d e transferencia se puede representar c o m o un diagram a d e bloques c o m o se m uestra e n la figura 3.35, donde la entrada y salida se m uestran e n los lados izquierdo y derecho, respectivam ente, d e l blotfje con la función d e transferencia m ostrada d en tro d e l bloque. O bserve q u e e l denom inaikir d e la función de transferencia e s idéntico a la polinom ial característica d e ta ecu ació n diferencial.


3 .1 2

E n tra d a , F (r)

Sistem a, 7 (j)

E je m p lo 3 .1 4

Salida. X (s) *


287

F ig u ra 3 -3 5 R epresentación c o m o d iag ram a de bloques d e la e n tra d a , e l siste m a y la salida.

F u n c ió n d e tra n s fe re n c ia d e u n sis te m a d e un solo g ra d o d e libe rta d a m o rtig u a d o O btenga la función d e transferencia d e un sistem a d e u n solo g ra d o d e libertad viscosam ente am ortiguado som etido a una fuerza e x te r n a / r ) com o se m uestra en la figura 3 .1. S o lu c ió n : La ecuación d e m ovim iento d e l sistem a está d ad a por m x + ex + k x = / ( / )

(E .l)

Si tom am os las transform adas d e L aplace d e a m b o s lados d e la ecuación ( E l ) , o btenem os m < £ [x(t)] + c 2 [ ¿ ( / ) ] + k < £ [x (')) = 2 I / ( / ) ]

(E.2)

m ( r x ( , ) - « ( 0 ) - ¿ (0 )} + {sX (s) - x ( 0 ) ) + k X ( s ) = F ( s )

(E 3 )

o

La ecuación ( E 2 ) s e reescribe com o (m r? + e s + *) X ( j ) - {m .tx(0) + m ¿ (0 ) + s x ( 0 ) } = F ( s )

(E.4)

d o n d e X (s) = ¿£(x(/)] y F (s) = ¿ £ |/(/)J. La función d e transferencia d e l sistema se o b tie n e a partir d e la e c u a ció n (E .4), fijando x(0) —i ( 0 ) — 0. com o ^ [s a lid a ] T (S ) =

X (s ) = ñ T ) ~

i + es+ k

W

N otas: 1. La función d e transferencia e s u n a p ropiedad d e l sistem a y no s e relaciona con la en tra d a o la función forrada. 2 . La función d e transferencia no proporciona nin g u n a inform ación sobre la estructura física d e l sistem a. De hecho, las funciones d e transferencia d e m u ch o s sistem as físicam ente diferentes p u ed en ser idénticas. 3 . La representación d e un sistem a dinám ico m ediante la función d e transferencia es m uy útil en l a teoría de control a sí com o e n pruebas d e vibración para m edir la respuesta d inám ica y para identificar sistem as. Por ejem plo, e n e l caso d e un sistem a cuyos parám etros com o m asa ( m \ constante de am ortiguam iento (c ) y rigidez de resorte no so n conocidos, la función d e transferencia se determ ina experim entalm ente m idiendo la respuesta o salida ante una en tra d a conocida. U na vez determ inada la función d e transferencia, describe p or com pleto las características dinám icas d e l sistem a. E n pruebas d e vibración, la respuesta d e vibración medida (p o r u n a entrada o fu n ció n forzada c o n o cida) po d ría s e r e l desplazam iento, la velocidad o, m á s com únm ente, la aceleración. La función d e transfetcncia correspondiente se d efine c o m o la relación

s 2x ( s ) F ^ ’>d o n d e F (s )c s la transform ada d e L aplace d e la

entrada y s 2 X (s) e s la transform ada d e Laplace d e la aceleración. 4 . S i se conoce la función d e transferencia d e un sistem a, la salida o respuesta d e l sistem a s e p u ed e determ inar para cu alq u ier tipo d e entrada.


288

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a 5. La variable s e n la transform ada d e L aplacc e s u n núm ero co m p lejo y p o r consiguiente la función de transferencia es una cantidad com pleja. l a variable s es sim ilar a la raí/, característica s utilizada para «.■presentar la solución d e una ecuación diferencial [vea la ecuación (2.61)]. S e indica la variable s e n la transform ada d e Laplacc e n form a com pleja como s

=
+

(3.116)

d o n d e a y o>4 representan la s partes real e im aginaria, rcspcctixam cnte, d e i ; e l análisis com pleto co n sid e rado en la sección 2.8 tam bién es válida para la variab le s d e la transform ada d e lap la cc . 6. E n la ecuación (3 .1 ) se v e q u e la ecuación d e m ovim iento d e un sistem a vibratorio está e n e l dom inio del tiem po. A unque la salida o respuesta del sistem a d e l sistem a se puede d eterm in aren e l d om inio d e l tiempo de form a directa c o m o se indica e n la sección 3.4, e n ocasio n es e s m á s fácil determ inar la respuesta con e l m étodo d e la transform ada d e L aplace. L a transform ada d e L aplace convierte una ecu ació n diferencial lineal en una expresión algebraica, la cual e s m á s fácil de m anipular. T ransform a las funciones definidas en función d e la variable independiente (co m o el tiem po) en fu n cio n es en térm inos d e la cantidad co m pleja s com o la variable independiente. Para u tilizar la transform ada de L aplace. prim ero tenem os que determ inar h función d e transferencia d e l sistem a. 7. A u n cu an d o la función d e transferencia se d eriva form alm ente m ediante la aplicación d e la transform ada d e L aplace. se p u ed e o btener d e m anera inform al d e un m odo m u y sim ple. Para esto, considere la ecuación

m x + c x (i) + k x ( t) = / ( / )

(3.117)

La función d e transferencia asociada c o n esta ecu ació n s e d eriva reem plazando x (i) por X (s)eett y f i i ) por F (s)e'a. L as derivadas c o n respecto a l tiem po s e obtienen diferenciando X ( j > " ' c o n respecto a l tiempo com o X (0

X{s) se** y * ( /) = X (j) s V * . P o r lo tanto, la ecuación (3.117) s e puede volver a escribir como m s2X { t ) S " + c s X ( s ) e n ' + k X ( s ) e ^ = F ( s ) e r,‘

(3.118)

l a ecu ació n (3 .118) se puede resolver p ara la relación X {s)/F(s) y o b ten e r la función de transferencia T{s), como T (s)

X (s)

I

H *)

m s2 + e s + k

(3 .H 9 )

E sta ecuación e s idéntica a la ecuación (E .5) d e l ejem plo 3.14.

3.13

so lu cio n e s obtenidas utilizando transfo rm ad as de Laplace H c á lc u lo d e re s p u e s ta s d e s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d o b te n id o u tiliz a n d o tra n s fo rm a d a s ifc L a p la c e s e ilu s tr a m e d ia n te l o s s ig u ie n te s e je m p lo s .

E je m p lo 3.15

R e sp ue sta d e u n s is te m a a m o rtig u a d o o b te n id a c o n tra n s fo rm a d a s d e Laplace O btenga u n a expresión para la resp u esta com pleta d e un sistem a de un solo grado d e libertad am ortiguado sujeto a una fuerza g e n era l,/(f) com o se m uestra e n la figura 3 .1 por m edio de transform adas d e la p la c c . S olución: L a transform ada de la p la c c de la ecuación ( 3 .I ) conduce a la relación (vea la ecuación (F.4) del ejem plo 3.14).

X(s)

Hs) m(s2 +

2

( a i„ s

j + +

to2)

s

2+

2

2 (u)„

(taj + *£


1

x(0) x2 + 2

i ( 0)

(E.1)

3 .1 3

S o lu c io n e s o b t e n i d a s u t il i z a n d o t r a n s f o r m a d a s d e L a p la c e

289

La respuesta co m pleta d e l sistem a s e p u ed e d eterm inar tom ando las transform adas d e L aplace d e c a d a uno de los term ines d e l lado d erecho d e la ecuación ( R l) . P o r com odidad, definim os las siguientes funciones donde los sub ín d ices i y s indican la entrada y el sistem a, respectivam ente:

F,
(E.2)

R s)

FM = « ( Z +

O bservam os q u e la transform ada inversa d e la p la c e d e F,
(E.4)

y la transform ada inversa d e L aplace d e F / x J e s (vea e l apéndice D)

f ,( t ) = - í —f ~ i m

J

sen
(R 5 )

donde

ojj

= V i ~ i 2 iun

(E.6)

La transform ada inversa d e L aplace d e l p rim er term ino d e l lado d erecho de la ecu ació n ( E I ) se puede expresar com o (vea el ap én d ice D): i X - 'F M F M =

y

i «

( I

" O *

= “

»en w / , - r ) i ,

/

O

(E.7)

0

La transform ada inversa de L aplace d e l coeficiente d e x<0) e n la ecuación ( E 1) da

í r ‘

i = to j x 7 + 2 ¿ u v +
~ * )

(E-8 )

donde 4>\ = ta n " 1

= t a n '1 ~ t¿ = V i - (2

(E .9)

(E.9)

La transform ada inversa d e L aplace d e l coeficiente d e x (0) s e puede o b ten e r m ultiplicando /,( r ) p o r m de m odo que

r = — sen w j i

<£-'

(E.IO)

(x2 + 2 f o t + u - ) R>r lo tanto, la respuesta com pleta del sistem a, utilizando las respuestas d a d as e n los lados derechos d e las ecuaciones ( E 7 ) . ( E 8 ) y ( E 10), s e p u ed en ex p resar com o i x( i ) = —

í

x n a>é ( i - r ) d r

n to tj J

-o +

—

e

{“ - ' c o s { o ) d i -

<#>, ) +


—

sen u /jl

(E .l 1)

290

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a (fcservando que la transform ada inversa de Laplace de la fu n ció n pro d u cto e n la ecu ació n (E.7> tam bién se Hiede ex p resar com o t

t

JMi-

< r 'F ,i s ) F ¿ j ) =

r )f(r ) d r = ^

f

r-0

f ( t - r ) * " ^ - 1 sen o

dr

(E.12)

r -0

b respuesta co m pleta d e l sistem a tam bién se puede ex p resar com o i x ( l ) = —— í f ( l ~ r ) e ' 1"*7 sen t t ¿ r d r imod J T= 0

cos(6, j l - d»,) + — €’ * " '• s e n a t jt OJj

+ — OJd

E je m p lo 3 .1 6

(£.13)

R e sp ue sta d e e s ta d o e s ta b le o b te n id a con la tra n s fo rm a d a d e La pla ce D eterm ine la respuesta d e e stad o estable d e un sistem a de un solo grado d e libertad am ortiguado ante una fuerza a rm ó n ic a /(r) = F0 e o s
+

l a transform ada de la p la c e de la entrada f ( i ) = F 0 c o s w /c s F ( s ) = ( E .l ) s e escribe c o m o

x<,) = tb n d c las relaciones ion = . ! —

— í+ "

s

™771? 7 7 !¿ T 5

y { = — -7=

ecuación

(EJ2)

se utilizaron para expresar la ecuación (E.2). Expresando el

2 V rn fc

V m

fado derecho d e la ecuación (E .2) com o

F ( .) = m \ r2 +

,

u,2

s

«■ + « + 2itú^s +

\

to2„J

(U ,

fas c onstantes o ,, flj. o , y aÁ s e identifican c o m o (v ea e l problem a 3.99)

=

a,l -

(E .4)

(2 ¿ < ü .)V + ( a i - a ,2)3 71,0!¿oí2 ° 2 = ( 2 { » . ) V + ( • ; - « = )’

< E J)

<4 - a>2

' " ( W ^ + t á - » 2)2


3 .1 4 Pbr lo lamo,

F u n c io n e s d e tr a n sfe r e n c ia d e fr e c u e n c ia

291

X(¡)&c puede expresar como

X (s) =

F0

1

m < 2 ¿ * , ) V + (< £ -

- « -

- ^ (T r é r ^ J

Utilizando las relaciones 14. 15, 27 y 28 d e l apéndice D. la respuesta d e l sistem a se p u ed e e x p re sa r com o

x(0 =

+

" a'?)COSÜ" + V i -

{

2 I

-

“*

)

v 7 ^ 7

v r r ?

í ^ 's e n K V l

- í 2 r)]

(E.9)

donde

= ta n ‘

—

-

(E.10)

Se observa q u e a m edida q u e f - * oo, los térm inos q u e im plican í ^ c n la ecuación (F..9) tienden a cero. Por lo tanto, la respuesta de estado estable d e l sistem a se ex p resa com o

x (l) = ~

(2^

¡h "

l{w2

((“ n -

+ 2 ¿ a v o sen <*]

(F..I I)

la cual se sim plifica com o

Esta solución e s c o m o la determ inada e n la sección 3.4 (ecuaciones (3.25). (3 .2 8 ) y (3.29)1.

3. 14

F u n c io n e s d e tr a n s f e r e n c ia d e fre c u e n c ia C o m o s e v io a n te s , p o r e je m p lo e n l a s e c c ió n 3 .4 . l a re s p u e s ta d e e s ta d o e s t a b l e d e u n s is te m a l i neal s o m e tid o a u n a e n tr a d a se n o id a l ( o a rm ó n ic a ) ta m b ié n s e r á s e n o id a l ( o a rm ó n ic a ) d e la m ism a fre c u e n c ia . A u n c u a n d o la r e s p u e s ta e s t á a l a m is m a fre c u e n c ia q u e la e n tr a d a , d if ie r e e n a m p litu d y á n g u lo d e fa se d e la e n tr a d a . E s ta s d ife r e n c ia s s o n f u n c io n e s d e la fre c u e n c ia (v e a l a f ig u ra 3 .1 1 ). A d e m á s , c o m o s e in d ic a e n l a s e c c ió n 1. 10 . 2 . c u a lq u ie r s in u s o id e s e p u e d e r e p r e s e n ta r c o m o u n n ú m e ro c o m p le jo ( lla m a d o fiis o r ) . L a m a g n itu d d e l n ú m e r o c o m p le jo e s l a a m p litu d d e la s in u s o id e , y e l á n g u lo d e l n ú m e ro c o m p le jo e s e l á n g u lo d e fo se d e l a s in u s o id e . P o r l o ta n to , e l fa s o r d e e n tra d a M , s e n (o tf + <£,), s e in d ic a e n fo rm a p o la r c o m o e s t á im p líc ita .


d o n d e s e c o n s id e r a q u e la f re c u e n c ia ,
292

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a C b m o u n s is te m a h a c e q u e t a n t o l a a m p litu d c o m o e l á n g u lo d e f a s e d e l a e n tr a d a c a m b ie n ( v e a p o r e je m p lo , l a s e c c ió n 3 .4 ) , p o d e m o s p e n s a r e n re p re s e n ta r e l s is te m a c o m o u n n ú m e ro c o m p le jo o f u n c ió n d e f in id a d e m o d o q u e e l p r o d u c to d e la f u n c ió n d e l s is te m a p o r e l f a s o r d e e n tr a d a d é d fa so r d e s a lid a . P o r e je m p lo , p a ra e l s is te m a d e rc s o rte - m a s a -a m o r tig u a d o r d e l a fig u ra 3 .3 6 (a ) , b r e la c ió n d e e n tr a d a - s a lid a s e p u e d e m o s tr a r e n l a fo r m a d e u n d ia g r a m a d e b lo q u e s c o n » e n la fig u ra 3 .3 6 (b ) . P o r l o ta n to , l a s a lid a o s in u s o id e d e r e s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le d e l s is te m a s e in d ic a com o = M , ( « ) A # ,(a > y

(3 .1 2 0 )

c b n d c la s M in d ic a n la s a m p litu d e s y l a s in d ic a n l o s á n g u lo s d e f a s e , r e s p e c tiv a m e n te , d e las s in u s o id e s . E n l a e c u a c ió n (3 .1 2 0 ) se v e q u e l a f u n d ó n d e l s is te m a , A/,(a>)e*w " > ,e s tá d e f in id a p o r su m a g n itu d M M

M 0( w ) = -T 7 T T M M

( 3 .1 2 D

y la fase p o r

•$>M = oM - M

(3 .1 2 2 )

l a f u n c ió n d e l s i s t e m a , M .( to y * * " * , s e lla m a f u n c ió n d e r e s p u e s ta d e f r e c u e n c i a y 4 > M c o n M t (tú) D a n tad a re s p u e s ta d e f r e c u e n c i a d e a m p l i tu d o m a g n itu d . l a m a g n itu d d e re s p u e s ta d e f r e c u c n d a la d a l a r d a c i ó n e n tr e l a m a g n itu d d e la s in u s o id e d e s a lid a c o n l a m a g n itu d d e l a s in u o s id e d e e n tr a d a . L a d if e r e n c ia d e lo s á n g u lo s d e f a s e e n tre las s in u s o id e s d e s a lid a y e n tra d a d a la re s p u e s ta d e fa s e . C a d a u n a d e e s ta s re s p u e s ta s e s u n a f u n d ó n d e fre c u e n c ia y s e a p lic a rá s ó lo a la s re s p u e s ta s s e n o id a le s d e e s ta d o e s ta b le d e l s is te m a . P o r

Ffl. m

I r x (t) - M 0 eos («Oí + <¡>c ) -

->

/W - M, eos {wt + * ,) = Af,(«)«*.<“ > ( a ) S is te m a fís ic o

(b ) D iagram a d e b lo q u e s


F ig u ra 3 3 6

3 .1 4


293

c o n v e n ie n c ia d e n o ta c ió n , e n o c a s io n e s la fu n c ió n d e re s p u e s ta d e fre c u e n c ia s e lla m a f u n d ó n d e tra n s f e re n c ia d e f re c u e n c ia , i n d ic a d a c o m o 7\¡
( 3 .1 2 3 )

L a f u n d ó n d e tra n s f e re n c ia d e fre c u e n c ia . 7 \¡< o \ s e p u e d e o b te n e r s u s titu y e n d o s = ¡to e n l a fu n c ió n d e tra n s f e re n c ia g e n e r a l T (s ). E l s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a n o s ó lo l a g e n c r a d ó n d e l a f u n c ió n d e

R e la c ió n e n tr e la fu n c ió n d e tra n sfe re n c ia g e n e r a l T(s) y la fu n c ió n d e tra n sfe re n c ia d e fre c u e n cia

tra n s f e re n c ia d e f r e c u e n d a a p a r tir d e la f u n c ió n d e tra n s f e re n c ia g e n e r a l, s in o in c lu s o l a id e n tif i c a c ió n d e l a e n tr a d a , e l s is te m a y la s s in u s o id e s d e s a lid a .

T(Í íü ) E je m p lo 3 .1 7

G e n e ra c ió n d e u n a fu n c ió n d e tr a n s f e r e n c ia d e f r e c u e n c ia a p a rtir d e la fu n c ió n d e tr a n s f e r e n c i a g e n e r a l C on sid ere la función d e transferencia de frecuencia derivada d e la función d e transferencia general para e l sistem a de resorte-m asa-am ortiguador considerado e n el ejem plo 3 .I4 e identifique la entrada, e l siste m a y las sinusoides de salida. S o lu c ió n : ftira el sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador considerado en e l ejem plo 3.14. la función d e trans ferencia general está d a d a por I

H s)

(E.1)

m s~ +• e s + k U tilizando s = ito, la función d e transferencia d e frecuencia d e l sistem a se g enera com o T(¡a>) = ----------- \ ---------* - m a r + to e

(E -2 )

E sta función de transferencia d e frecuencia se puede v o lv er a escribir com o

(E 3 )

donde Al(
H(*>) =

(E.4)

4>0( u ) = O

/— L r - - y V (* - n u J y + (u c y

5 ) \ k - mto )

(E.5)

S e ve q u e la am plitud o m agnitud d e T\io))esiá d ad a por M ,( s ) = | r ( i » ) | =

(E.6) [ ( * - m*T)3 + (ruc)3]j


294

C a p ítu lo 3


y e l á n g u lo d e fa s e p o r

(E -7> Se observa q u e la ecu ació n (E 5 ) e s idéntica a las ecu acio n es (3.30) y (3 .3 1). P o r lo tanto, la función d e trans ferencia d e frecuencia d e l sistem a. 1 \Uo), se p u ed e determ inar a p artir d e la función d e transferencia general, 1\s), sustituyendo iu> en lu g ar d e s. A u n cu an d o esta o bservación se h ace sólo p ara un sistem a d e un solo grado de libertad (ecuación diferencial d e segundo o rd e n ), se puede com probar para cu alq u ier ecu ació n diferencial lineal invariable c o n el tiem po d e o rd e n enésim o.

■ l a re s p u e s ta d e f r e c u e n c ia d e u n s is te m a d e s e g u n d o g ra d o , c o m o e l s is te m a d e re s o rte -m a s a a m o r tig u a d o r, i n d ic a la re s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le d e l s is te m a a u n a e n tr a d a s e n o id a l p a r a p o s i-

R e p re se n ta ció n d e la s c a ra c te r ís tic a s d e re s p u e s ta d e f re c u e n c ia

N e s fre c u e n c ia s d ife re n te s d e la e n tr a d a s e n o id a l. S e p u e d e d e m o s tr a r g rá fic a m e n te d e d ife re n te s m a n e ra s . E n l a s e c c ió n 3 .4 , la s v a ria c io n e s d e la r e la c ió n d e m a g n itu d o a m p litu d (M ) y e l á n g u lo efe f a s e (< £ )c o n la fre c u e n c ia (to ) s e tra z a ro n c o m o d o s g rá fic a s d is tin ta s . P a ra a lg u n o s s i s t e m a s , la fre c u e n c ia ot v a ria rá d e n tro d e u n ra n g o c o n s id e ra b le m e n te g ra n d e . E n e s o s c a s o s e s c o n v e n ie n te u tiliz a r e s c a la s lo g a r ítm ic a s p a ra a c o m o d a r e l ra n g o c o m p le to d e u> e n g rá fic a s tr a z a d a s e n p a p e l efe ta m a ñ o e stá n d a r. D i a g r a m a s d e B o d e . U n d ia g r a m a d e B o d e s e c o m p o n e d e d o s g r á f ic a s , u n a g r á fic a d d lo g a ritm o efe la m a g n itu d d e la f u n d ó n d e tr a n s f e r e n c ia d e f r e c u e n c ia (A f)c o n tra e l lo g a ritm o d e l a fre c u e n c ia (eu) y u n a g r á f i c a d e l á n g u lo d e f a s e (<£) c o n tr a e l lo g a ritm o d e la fre c u e n c ia (eu). L o s d ia g r a m a s d e B o d e t a m b ié n s e c o n o c e n c o m o g r á fic a s lo g a r ítm ic a s d e l a r e s p u e s ta d e fr e c u e n c ia . C o m o re p re s e n ta c ió n e s t á n d a r d e la m a g n itu d lo g a rítm ic a d e T \ íoj\ s e u tiliz a u n a u n id a d lo g a rítm ic a c o n o c id a c o m o d e c ib e l, a b r e v ia d a d B . L a r e l a d ó n d e m a g n itu d e n d e c ib e le s . m , se d e fin e com o = 1 0 l o g , 0 ( M 2) -

2 0 lo g lo A/

dB

(3 .1 2 4 )

l i n e a d e c o n v e rs ió n d e n ú m e r o a d e d b e l . l a e c u a c ió n (3 .1 2 4 ) s e v e q u e p a r a c u a lq u ie r n ú m e ro N , s u v a lo r e n d e d b e l e s e s 2 0 lo g I0Af. P a ra a lg u n o s v a lo re s re p re s e n ta tiv o s d e N , l a s c q u iv a f e n d a s e n d e c ib e le s s e m u e s tra n a c o n tin u a c ió n :

V alor de N

0.001

0.01

0.1

0 .5

J _

1

\/2

2

10

100

1000

0

3

6

20

40

60

VS Valor e n dB

-6 0

- 40

- 20

-6

-2

L a s v e n ta ja s p r i n d p a l e s d e re p re s e n ta r l a s c a r a c te rís tic a s d e r e s p u e s ta d e f r c c u e n d a e n l a f o r m a d e un d ia g r a m a d e B o d e s o n l a s s ig u ie n te s : 1. L a f t i n d ó n d e tr a n s f e r e n d a d e u n s is te m a s e p u e d e id e n tif ic a r (e s d e c ir , e x p c rim e n ta lm c n te d e te rm in a d a ) c o n d d ia g r a m a d e B o d e . 2 . L a s c u r v a s d e re s p u e s ta d e fre c u e n c ia se p u e d e n t r a z a r d e n tr o d e u n a m p lio ra n g o d e l a frc c u c n d a . (o. 3 . E n a lg u n a s a p lic a c io n e s te n e m o s q u e m u ltip lic a r la s m a g n itu d e s d e l a re s p u e s ta d e f r e c u e n d a . E n e s o s c a s o s , e l r e s u lta d o s e o b tie n e m e d ia n te u n a a d ic ió n s im p le e n l o s d ia g r a m a s d e B o d e .


3 .1 4

E je m p lo 3 .1 8


295

D ia g ra m a s d e B o d e d e un sis te m a a m o rtig u a d o d e u n solo g ra d o d e lib e rta d T rac e los diagram as d e B ode correspondientes a un sistem a de segundo grado am ortiguado (rcsortc-m asaam ortiguador) e n form a e stán d a r con la función d e transferencia

T (s) = V '

----------------------r ?

+

2 ( ü i„s

(E .l)

+

S o lu c ió n : ( a función d e transferencia d e frecuencia, T\to) s e obtiene sustituyendo ¡toen lu g ar d e i com o

T{UO) ” (to f + Uton{m) + tol

d o n d e r = o /to H. l a m agnitud, M , d e 7\to ) está d ad a por

M = |T(«o»| =

(F..4) I - r 2 + i2f»

V ( 1 - r 2)2 + (2( r ) 2

d e m odo que 201og lo M = - 2 0 log1 0 V ( l - r 2)2 + ( 2¿ r ) 2

Ctoscrvc que a ba ja s frecuencias c o n to «

ton o r «

(E S )

I . la ecuación ( E 5 ) s e reduce a

—20 logl0 I = 0 dB fttra frecuencias m uy altas c o n a»»

ton o r »

I . la ecuación (E .5) s e escribe com o

—20 lo g ,0 r2 ™ —4 0 lo g )0r dB El ángulo d e fase d a d o por la ecu ació n < E 3) es

=

1

r- r2 +Í2( r

= “ t a n 1— — \

- r2

(E.6)

La ecuación < E 6) m uestra que 4>es u n a función de to y £. En to = 0. t¡> = 0 . C uando to = = - 9 0 ° in d e pendientem ente del valor d e puesto que

t¡> = - t a n -1 ^ ^ 0

= - t a n 1 oo = - 9 0 °

E n to = oo, e l ángulo d e fase es - 180°. El ángulo d e fase será antisim étrico c o n respecto a l punto d e inflexión, d p u n to d o n d e t¡> = - 9 0 ° . L os diagram as d e B ode d e la s ecu acio n es (E .5) y ( E 6 ) s e m uestran e n las figuras 3.37(a) y

296

C a p ítu lo 3


(ap)/V°'3o|
( a ) M a g n itu d

( b ) Fase

Figura 3-37 Diagramas de Bode.


3 .1 5

3. 15

E je m p lo 3 .1 9


E je m p lo s re s u e lto s u t iliz a n d o

297

m a tlab

R e sp u e sta to ta l d e u n sis te m a n o a m o rtig u a d o U tilizando M A TL A B . trac e la respuesta d e un sistem a d e resorte-m asa som etido a u n a fuerza arm ónica para los siguientes datos: m = 5kg,

* = 2 0 0 0 N /m .

F {i) = I0 0 e o s 3 0 / ,V.

i 0 = 0 .ln i,

i 0 = 0. l rn/s

S olución: l a ecuación (3 .9 ) d a la respuesta d e l sistem a, la cual se p u ed e v o lv er a escribir com o

* ( 0 = — sena»*/ + ( * o

"«

V

\ V QS ^

- «V

+

d o n d e / 0 = — = -7 - = 20. oj„ = = 2 0 rad/s. y tú = 30 rad/s. m 5 Vm

E jem plo 3.19 0 2 I------------ 1------------ 1------------ 1------------ 1------------ 1------------ 1------------ T


i c

o

s

298

C a p ítu lo 3


L a e c u a c ió n (E . 1 ) s e tr a z a u tiliz a n d o e l s ig u ie n te p r o g r a m a M A T L A B :

% Ex3

1 9 .a

ro . loo, «n . 20, a

.

5,

« . 30, xO - 0 . 1 , xO_dot - 0 .1 , f _ 0 . FO/a, fo r i . l i 101

t( i|

.

x (1)

■ xO

2 •

(1 -1 )/1 0 0 , d o e * a í n ( w a * t ( 1 ) ) /ar a •

* f _ 0/

(w n * e (i)) . .

(xO

-

f

0 / ( n íin d ;2 -w f c a n d ,2) ) «coa

( « r o * 2- w * 2 ) " c o a ( w * t ( i ) l ,

•nd p lo t

(t,

x),

xlab al ( 't ') i ylab al (< > (t| •), c í e l a C B x 3 .ll')

E je m p lo 3 .2 0

R e sp ue sta fo rz a d a d e u n sis te m a c o n a m o rtig u a m ie n to d e C o u lo m b U tilizando M A T IA B , trace la respuesta forzada d e un sistem a d e resorte-m asa c o n am ortiguam iento de Coulomb p ara los siguientes datos: m — 5 k g . * = 2000 N /m . p —0 .5 . F (t) —100 sen 30f N. x 0= 0.1 m. x 0 = 0.1 m/s.

S olución: L a ecu ació n de m ovim iento d e l sistem a se expresa como m x + k x + ¿ v n g s g n ( x ) = F0 scnaM

(E .1)

la cual s e p u ed e v o lv er a escribir c o m o un sistem a d e d o s ecu acio n es diferenciales d e prim er orden (utilizando x , - « y i . - i ) com o

¿i = x2 x 2 = — sen un - — x , - p g sg n (x 2) Fft m

(E .2)

con las condiciones iniciales x , (0) «• 0.1 y x j(0 ) ™0 . 1. A co ntinuación se da la solución de la ecuación (E.2). cbtenida c o n M A T L A B utilizando o d « 2 3 . % Kx3

20 .a

% Este

programa

% a a Car tapan xO [ t , x]

an

C

dlap p lo t

( [ t (t.

g ta x t t l t l a

u tllla a r á

a laaa

la

12',

t x l), X (l,

función

dfunc3_20.m ,

daban

carpata

[Oí O . O l i 4 ) , [0 .1 , 0.11, ■ oda23 ('d fu nc3

diap

xlabal

la

x (t)

tapan.

xO ),

x d ( t ) ' ) ,

1 )),

(*t'> , ( ' x ( t ) •) , ( 'Ex3.1 2 '),

% dfunc3 íunctloo

12.a f - dfunc3_12

f . aaroa (2. 1), f«l> - x (2) , f (2) - 1 0 0 * a i n ( 3 0 * t ) / 5


(t .

-

x)

9 .81«0.S-aig n(x< 2))

-

(2000/51 • * ( ! ) ,

3 .1 5 »

Uc3


299

12

e

x(t) 0.1000 0.0991

xd(t) 0.1000 -0.2427

0.0200

0.0954

-0.4968

0.0300 0.0400 0.0500

0.0B94 0.0819 0.0735

-0.6818 -0.8028 -0.8704

3.9500

0.0196 0.0095

-0.9302 -1.0726

0 0 0 0

-1.1226 -1.0709 -0.9171

0 0.0100

3.9600 3.9700 3.9800 3.9900

-

4.0000

. . . .

0 0 0 0

0 1 2 3

1 2 2 0

6 6 6 7

-0.6704

Fjem plo 320 1---------------1---------------1---------------T

_ n i l _________ I__________ I__________ 1__________ I__________ I__________ 1___________ I_________

' 0

E je m p lo 3.21

05

I

2 t

15

25

3

35

4

R e sp u e sta d e u n sis te m a s o m e tid o a e x c ita c ió n d e base U tilizando M A TL A B . encuentre y trace la respuesta de un sistem a d e resorte-m asa viscosam ente am ortiguado som etido a la excitación d e b a se >t con los siguientes datos: m = I 200 kg. k = 4 x 105 N/m . i = 0 .5 . Y = 0.05 m . tu - 29.0887 rad/s. ^ = 0. i 0 = 0.1 m/s. S o lu c ió n : La ecuación d e m ovim iento, ecu ació n (3.64): n x + ex + kx

= ky

+ cy

(E .I )

s e puede ex p resar c o m o un sistem a d e d o s ecu acio n es diferenciales o rd in arias d e p rim er orden (utilizando X| = x y Xj = x ) como

¿i =

x2


300

C a p ítu lo 3


con c = ( c c = 2i V f r n = 2(0.5)V < 4 X i(^ K 1200), y = 0 .5 w n 29.0887/. y >• = (29.0887X 0.05) eos 29.0887/. A continuación s e da la solución de la ecu ació n (E .2 )o b ten id a utilizando o d a 2 3 . % B ata programa u t i l l i a r l % a n l a mioma c a r p e t a tapan . [Oí O . O l i 2 ) ,

la

(unción dfunc!

2 1 . m,

daban aparacar

>0 . (0 , 0.11, tt.

xl

diap dlap p lo t xlaba gtaxt t i t í a

■ oda23

( 'dfun el

(• t (tt x l), (t. x 1 )), l t 't * ) » ('x (t )* ) , ( 'C x3.1 3 * ) I

% dfunel

xO),

xd(t) '),

(t .

x)

- x(2 ), ■ 400000*0.05*aln(29.0887*t)/ 1200 . . . . a q r t (4 0 0 0 0 0 *1 2 0 0 )*2 9 .0 8 8 7 *0 -0 5 *co a (2 9 .08B7*t) /1200 -

»

tapan,

2 0 .m

fu n ctio n f - dfunc3_20 f . raro s (2, 1 ), f t l ) f (2)

13•, x(t)

a q r t (400000*1200)*x (2) /1200

BxJ t

13 x (t)

xd(t>

0

0

0 .1 0 0 0

0 .0 1 0 0

0 .0 0 2 2

0 .3 4 2 2

0 .0 2 0 0

0 .0 0 6 7

0 .5 5 5 3

0 .0 3 0 0

0 .0 1 3 1

0 .7 1 3 8

0 .0 4 0 0 o .o so o

0 .0 2 0 8

0.7984

0 .0 2 8 8

0 .7 9 7 6

1 .9 5 0 0

- 0 .0 3 8 8

0 .4 9 9 7

1 .9 4 0 0

- 0 .0 3 2 2

0 .8 0 2 6

1 .9 7 0 0

- 0 .0 2 3 0

1 .0 3 8 0

1 .9 8 0 0

- 0 .0 1 1 8

1 .1 8 6 2

1 .9 9 0 0

0 .0 0 0 4

1 .2 3 4 8

2 .0 0 0 0

0 .0 1 2 4

1 .1 7 9 6


-

(400000/1200)* x (l) ,

. . .

3 .1 5

E je m p lo 3 .2 2

R e sp u e sta d e e s ta d o e s ta b le d e u n sis te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o D esarrolle un program a M A T L A B d e u so general, llam ado P r o g r a m 3 . m para e n co n trar la respuesta d e esta d o estable d e u n sistem a d e un solo g ra d o de libertad viscosam ente am ortiguado som etido a la fuerza arm ónica F 0c o s wr o F „scn un. U se e l program a para h a lla r y graficar la respuesta d e un sistem a con los siguientes datos: m - 5 kg.

c «- 2 0 N -s/m .

F0 - 2 5 0 N .

A = 5 0 0 N /m .

n - 40.

o> = 4 0 rad/s.

ic - 0

.Solución: Se desarrolla P r o g r a m 3 .m pora q u e a cep te los siguientes datos de entrada: xm = masa i c - constante de am ortiguam iento x k “ constante d e resorte / o »- am plitud d e la función forzada o m = frecuencia forzada n = cantidad de pasos en un ciclo e n e l cual s e va a calcular la respuesta ic = 1 para función fo rrad a tip o co sen o ; 0 para función forzada tipo seno El program a da los siguientes resultados: cantidad d e p aso s r '. i ( i ) . i ( i ) . i ( i ) El program a tam bién traza las variaciones d e i . i , y i c o n el tiem po.

»> program a R aap u asta d a da

lib a rta d

a lta d o no

a a ta b la

am o rtig u ad o

d a

un

a ia ta m a

so m atId o

a

una

da

un

fu a ria

a o lo

grado

arm ó n ica

D a to » d a d o s XI» ■ S .0 0 0 0 0 0 0 0 a , 000 xc a 2 .00000000a , 001 xk

a

5 .00 0 00000a, 002

10

■

2 . S0000000a«002

om

a a

4 .0 0 0 0 0 0 0 0 e ,0 0 1 0

■

20

le n

R a a p u a ita i i

x (i>

x d (i>

x d d (l)

1 .3 5 2 8 2 0 2 4 a -0 0 2

1 .2 1 0 3 5 4 7 2 0 ,0 0 0 9 .8 3 8 9 7 3 1 5 0 -0 0 1

-3 .5 5 4 6 5 7 2 1 0 ,0 0 1

3

2 .2 2 1 6 6 0 7 5 0 -0 0 2 2 .B 7 3 0 2 8 6 3 a-0 0 2

4

3 .2 4 3 1 6 3 1 4 a -0 0 2

6 .6 1 1 2 8 7 3 8 0 -0 0 1 2 .7 3 6 4 3 9 7 2 a-0 0 1

-4 .5 9 6 8 4 5 8 1 0 ,0 0 1 -5 .1 8 9 0 6 1 0 2 0 ,0 0 1

s 6

3.29583277a-002 3 .0 2 5 8 8 1 8 4 0 -0 0 2

-1 .4 0 6 2 7 0 9 6 0 -0 0 1 - 5 . 4113 254 00-0 0 1

-5 .2 7 3 3 3 2 4 4 0 ,0 0 1 -4 .8 4 1 4 1 0 9 4 0 ,0 0 1

7

2 .4 5 9 7 3 5 1 3 0 -0 0 2

-8 .8 8 6 6 7 9 1 6 0 -0 0 1

- 3 .9 3 5S762 0 a ,0 01

8 10

1 .6 5 2 8 1 1 2 9 0 -0 0 2 6 .8 4 0 9 8 0 1 8 0 -0 0 3 -3 .5 1 5 7 9 8 4 6 0 -0 0 3

-2 .6 4 4 4 9 8 0 6 0 ,0 0 1 -1 .0 9 4 5 5 6 8 3 0 ,0 0 1 5 .6 2 5 2 7 7 5 4 0 ,0 0 0

11 13

-1 .3 5 2 8 4 2 4 7 0 -0 0 2 -2 .2 2 1 6 7 8 8 2 0 -0 0 2

-l.1 4 9 2 1 3 8 8 a .0 0 0 -1 .2 9 7 2 6 6 2 6 0 ,0 0 0 -1 .3 1 8 3 3 2 5 9 0 ,0 0 0 -1 .2 1 0 3 5 0 7 5 0 ,0 0 0

13 14 1S

-6 .6 1 1 2 0 2 9 5 0 -0 0 1 -2 .7 3 6 3 4 4 4 2 0 -0 0 1 1 .4 0 6 3 6 7 8 1 0 -0 0 1

4 .5 9 6 8 6 5 2 3 0 ,0 0 1 5 .1 8 9 0 6 9 0 7 0 ,0 0 1

-3 .2 9 5 8 3 0 1 9 0 -0 0 2

16 17

-3 .0 2 5 8 7 1 9 0 0 -0 0 2 -2 .4 5 9 7 1 8 8 1 0 -0 0 2

5 .4 1 1 4 1 4 3 2 0 -0 0 1 8 .8 8 6 7 5 1 4 4 0 -0 0 1

4 .8 4 1 3 9 5 0 4 0 ,0 0 1 3 .9 3 5 5 5 0 0 9 0 ,0 0 1

18 19

-1 .6 5 2 7 9 0 1 8 0 -0 0 2 -6 .8 4 0 7 4 1 9 2 0 -0 0 3 3 .5 1 6 0 4 0 5 9 0 -0 0 3

1 .1 4 9 2 1 8 7 4 0 ,0 0 0 1 .2 9 7 2 6 8 2 7 0 ,0 0 0 1 .3 1 8 3 3 1 5 6 0 ,0 0 0

2 .6 4 4 4 6 4 2 9 0 ,0 0 1 1 .0 9 4 5 1 8 7 1 0 ,0 0 1

1 2

9

20

-2 .8 7 3 0 4 0 7 7 0 -0 0 2 -3 .2 4 3 1 6 8 1 7 0 -0 0 2

-9 .8 3 8 9 0 7 8 7 0 -0 0 1


-2 .1 6 4 5 1 2 3 8 0 ,0 0 1

2 .1 6 4 5 4 7 9 4 0 ,0 0 1 3 .5 5 4 6 8 6 1 2 0 ,0 0 1

5 .2 7 3 3 2 8 3 1 0 ,0 0 1

-5 .6 2 5 6 6 4 9 4 0 ,0 0 0

302

C a p ítu lo 3


? l_________ I_________ I__________I__________!__________I__________I_________ !__________ 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 016

Resumen del capítulo Consideram os las respuestas d e vibración fo rra d a d e sistem as no am ortiguados y viscosam ente am ortiguados to jo excitaciones arm ónicas. L as excitaciones arm ónicas lo so n en la form a d e fuerza aplicada a la m asa, m o vim iento d e la base y fuerza ejercida e n la m asa d e l sistem a por una m asa dcsbalanceada rotatoria. Tam bién analizam os los aspectos d e resonancia, batidos, relación d e am plificación o am plitud, ángulo d e fase, vibración transitoria y vibración d e e stad o estable. F inalm ente, estudiam os la aplicación d e l m étodo d e función d e trans ferencia. las transform adas d e L aplace y la función d e transferencia d e frecuencia p ara d eterm inar la respuesta de sistem as arm ónicam ente excitados. A hora q u e y a h a term inado este capítulo, d eberá s e r c ap a z d e responder las preguntas d e repaso y resolver b s p roblem as que se d a n a continuación.

Referencias 3.1

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Preguntas derepaso 3.1

Responda brevem ente lo siguiente: 1. ¿C óm o se relacionan la am plitud, frecuencia y fase d e u n a vibración de estado estable c o n la s de b fuerza arm ónica aplicada p a ta un sistem a no am ortiguado? 2. E xplique p o rq u é u n a fuerza constante que a ctú a en la m asa vibratoria no tie n e ningún efecto e n la vibración d e estado estable. 3 . Defina e l térm in o (actor d e am plificación. ¿C óm o se relaciona e l factor d e am plificación c o n la relación d e frecuencia? 4 . ¿Cuál será la frecuencia d e la fuerza aplicada c o n respecto a la frecuencia natural d e l sistem a si el factor d e am plificación es m enor q u e la unidad? 5. ¿C uáles so n la am plitud y e l án g u lo d e fase d r la respuesta tfc un sistem a viscosam ente aitioitiguatb vecino a la resonancia? 6 . ¿ E s e l ángulo de fase correspondiente a la am plitud pico d e un sistem a viscosam ente am ortiguado siem pre m ayor q u e 9 0 “? 7. ¿por qué en la m ayoría de los casos e l am ortiguam iento se considera sólo vecina de la resonancia? 8 . M uestre los diversos térm inos e n la ecuación d e m ovim iento forzado de un sistem a viscosam ente am ortiguado en u n diagram a vectorial. 9 . ¿Qué le su ced e a la respuesta de un sistem a no am ortiguado en resonancia? 10. n tf in a los siguientes térm inos: ba tid o , fa c to r d e calidad, trunsm isibilidad. rigidez com pleja, am ortiguam iento cuadrático. 11. D i u n a explicación física d e por qué e l factor d e am plificación e s c asi ig u a la 1 p ara valores p eq u e ños d e r y es pequeño p ara valores grandes d e r.


304

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a 12. ¿Se reducirá la fu e r/a transm itida a la base d e una m áquina m ontada sobre resortes c o n la adición de am ortiguam iento? 13. ¿C óm o cam b ia la f u e r a transm itida a la b a se a m edida q u e se increm enta la velocidad d e la m á quina? 14. S i un vehículo v ib ra fuertem ente m ientras se desplaza p o r un cam ino lleno d e baches, ¿m ejorará la condición un cam bio de velocidad? 15. ¿E s posible encontrar la am plitud m áxim a d e u n a vibración forzada am ortiguada con cu alq u ier valor de r igualando la energía disipada por e l am ortiguam iento a l trabajo realizado p o r la f u e r a externa? 16. ¿Q ué suposiciones s e h a c e n sobre e l m ovim iento d e u n a vibración forzada c o n am ortiguam iento no viscoso a l liallar la am plitud? 17. ¿E s posible e n c o n tra r e l valor aproxim ado d e la am plitud de una vibración forzada am ortiguada sin considerar e l am ortiguam iento p ara n ada? D e s e r a sí, ¿ en quó circunstancias? 18. ¿E s efectiva la fricción seca p ara lim itar la am plitud resonante? 19. ¿C óm o en cu en tra la respuesta d e un sistem a viscosam ente am ortiguado e n situación d e desbalance rotatorio? 20. ¿C uál es la frecuencia d e la respuesta d e un sistem a viscosam ente am ortiguado cuando la fuerza externa e s F() s e n <üí? ¿ E s arm ónica esta respuesta? 21. ¿C uál e s la d iferencia entre la am plitud pico y la am plitud resonante? 22. ¿P or q u é s e utiliza e l am ortiguam iento viscoso e n la m ayoría d e los casos en lu g ar d e o tro s tipos de am ortiguam iento? 23. ¿Q ué e s vibración autoexcitada? 24. ¿Cóm o s e d efine la función d e transferencia? 25. ¿Cóm o podem os g enerar la función de transferencia d e frecuencia a p artir d e la función d e tra n s ferencia general? 26. ¿Q ué e s un diagram a d e B ode? 27. ¿C óm o s e d efine d e c ib ffí 3.2

Indique si cada uno de los siguientes e nunciados es verdadero o falso: 1. El factor d e am plificación es la relación d e am plitud m áxim a y deflexión estática. 2. La respuesta se rá arm ó n ica si la excitación e s arm ónica. 3 . El án g u lo de fase d e la respuesta depende d e los parám etros d e l sistem a, m , c , k y c ü , 4. El án g u lo de fase d e la respuesta depende d e la am plitud d e la función forzada. 5.

D urante e l batido, la am plitud d e la respuesta s e increm enta y luego s e reduce en un patrón regular.

6. Se p u ed e u tiliz a r e l factor Q para estim ar el am ortiguam iento e n un sistema. 7 . Los puntos efe m edia poten cia indican los valores d e relación d e frecuencia donde e l factor de am plificación s e reduce a Q / Z l ,d o n d e ( í e s e l factor Q. 8. L a relación d e am plitud alcanza su valor m áxim o e n resonancia e n e l c a so d e am ortiguam iento viscoso. 9.

l a respuesta siem pre está e n fase con la función forzada arm ónica e n e l caso d e am ortiguam iento de histéresis.

10. El am ortiguam iento reduce la am plitud con todos los valores d e la frecuencia forzada. 11. El desbalance e n una m áquina rotatoria o casiona vibración. 12. Se puede su p o n e r q u e la solución d e estado estable sea arm ónica para valores pequeños d e f u e r a de fricción seca. 13. E n un sistem a con desb alan cc rotatorio, e l efecto d e am ortiguam iento se v uelve insignificantem en te pequeño a altas velocidades. 14. La función d e transferencia e s una propiedad d e l sistem a y no s e relaciona c o n la entrada.



305

15. Las funciones de transferencia d e varios sistem as diferentes pueden ser las mismas. 16. Si se conoce la función d e transferencia d e un sistem a, s e p u ed e e n co n trar para todos lo s tipos de entrada. 3J

Escriba e n los siguientes esp acio s en b lanco la palabra correcta: 1. l a excitación puede s e r _________. periódica, no periódica o de naturaleza aleatoria. 2. La respuesta d e un sistem a a una excitación arm ónica se llam a re sp u esta _________ . 3. La respuesta d e un sistem a a u n a excitación no periódica repentinam ente ap licada se llam a res p u esta _________ . 4 . O ta n d o la frecuencia d e excitación coin cid e con la frecuencia natural d e l sistem a, la condición se conoce c o m o _________ . 5. B factor d e am plificación tam bién s e conoce com o factor d e _________ . 6 . B fenóm eno d e

puede ocurrir cu an d o la frecuencia forzada se aproxim a a la frecuencia

natural d e l sistem a. 7 . O tando la base de un sistem a se som ete a m ovim iento arm ónico c o n am p litu d Y y se pro d u ce una am plitud de resp u esta X. la relación * s e lla m a
.

15. ü i sistem as autocxcitados, e l ________ m ism o produce la fuerza d e excitación. 16. l a trepidación d e las a sp a s d e una turbina e s un ejem plo d e v ib ra c ió n _________ . 17. B m o v im ien to __________ y e l sistem a s e vuelven inestables d urante la autoexcitación. 18. B m étodo de la función d e transferencia está basado en la transform ada d e _________ . 19. _________identifica la entrada, e l sistem a y la salida c o n claridad. 20. La transform ada d e L aplace de / \ i ) s e indica c o m o ________. 21. La transform ada d e L aplace convierte una ecu ació n diferencial lineal en una ex p resió n __________ . 3 .4

Seleccione la respuesta co rrecta d e entre las op cio n es dadas: 1.

La respuesta d e un sistem a no am ortiguado e n resonancia será a . m u y gran d e

2.

b. infinita

c . cero

La reducción d e la relación d e am plitud en presencia d e am ortiguam iento e s m u y significativa a . casi io = iün b. casi o» = 0 c . casi o» = oo

3 . l a frecuencia d e batido es a. u), — ai

b. tt>,

c . ai

4 . l a energía d isipada en un ciclo p o r am ortiguam iento d e fricción seca está dada por a . A fiN X b. 4 /iN c 5. La respuesta d e frecuencia com pleja, //(««>X se d efine com o kX “* F0

c.

*x Fq


306

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a 6

.

La energía disipada en la siguiente duración s e considera para hallar la constante d e am o rtig u a m iento viscoso equivalente de un sistem a c o n am ortiguam iento d e C oulom b:

a. un m edio ciclo

b. un ciclo com pleto

c . un segundo

7. La fuerza d e am ortiguam iento d epende de la frecuencia de la fuerza aplicada e n e l caso de

a. am ortiguam iento viscoso

b. am ortiguam iento de Coulom b

c . am ortiguam iento d e histéresis

8. 0 sistem a regido p o r la ecu ació n m x + e x + k x = 0 e s dinám icam ente estable si

a. k es p ositiva 9.

b. c y * son po sitiv as

c . r e s positiva

l a rigidez com pleja o am ortiguam iento com plejo se d efine en e l c a so de

a. am ortiguam iento d e histéresis

b. am ortiguam iento d e Coulom b

cu am ortiguam iento viscoso 10. l a ecu ació n d e m ovim iento cfc u n a m áquina (q u e gira a una frecuencia ui) d e m asa M , con una m asa desbalanceada m . e n e l radio e. está d ad a por

a. mx + e x + k x

= m e a r sen u>i c . M x + e x + k x = M e a r sen an

II.

3J

b. M x + ex + k x

=

m e a r sen

L a transm isibilidad d e fuerza d e un sistem a, som etido a excitación d e base (con am p litu d 13 que produce una fuerza transm itida F r s e d efine como

U tilizando la notación: oj

r - relación de frecuencia = — «"-i ai = frecuencia forzada atH = frecuencia natural ( = relación d e am ortiguam iento <ü,. tu , = frecuencias correspondientes a puntos d e m ediana potencia correlacione los elem entos e n las d o s colum nas siguientes: 1. Factor de am plificación d e un sistem a no am ortiguado

2 Tt

u)„ - a»

2. f tr io d o d e batido

1 + (2( r f _ (1 - r 2 )J + (2 £ r ) 2 _

3 . Factor de am plificación d e un sistema am ortiguado 4.

ax

Frecuencia am ortiguada

o>2 - O», 1 1 - r 2

5 . Factor d e calidad

«o*V i - ?

6 . T ransm isibilidad de desplazam iento

I _(l -


] l/2

r 2 )2 + ( 2 £ r ) 2 J

P r o b le m a s 3 .6

307

C o rre la c io n e la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s d e m o v im ien to :

1.

ni¿ + c'z + k z = —m y

a Sistem a c o n am ortiguam iento de Coulom b

2.

M x ■*• e x + k x = m e o r sen w/

b. Sistem a c o n am ortiguam iento viscoso

3.

m x + k x ± ¡iN = F ( l )

c . Sistem a som etido a excitación d e base

4.

m x + *(1 + ¡ P )x = / q sentu/

d. Sistem a c o n am ortiguam iento de histéresis

5.

m x + e x + k x = Fq s e n uti

f . Sistem a con desbalance rotatorio

Problemas Sección 3.3 Respuesta de un sistema no amortiguado sometido a fuerza armónica 3.1

Se cuelga un peso d e 5 0 N d e un resorte d e 4 0 0 0 N /m d e rigidez y s e som ete a una fuerza arm ónica de ffl N d e am plitud y 6 Hz d e frecuencia. Encuentre (a ) la extensión del resorte cfcbido a l peso suspendi do; (b) e l desplazam iento estático d e l resorte d eb id o a la fuerza m áxim a aplicada, y (c ) la am plitud del m ovim iento fo rrad o del peso.

3 .2

Un sistem a d e resorte-m asa s e som ete a u n a f u e r a arm ónica c u y a frecuencia se a cerca a la frecuencia natural d e l sistem a. S i la frecuencia forzada es de 39.8 H z y la frecuencia natural es de 40.0 Hz. d eter mine e l periodo d e batido.

33

Considere un sistem a d e resorte-m asa, c o n k = 4 0 0 0 N /m y m ■= 10 kg. sujeto a u n a f u e r a arm ónica F \t) = 4 0 0 eos 10/ N. E ncuentre y trace la respuesta total d e l sistem a e n las siguientes condiciones iniciales: a . *0 = 0.1 m , xq = 0 b. ,r0 = 0 , ¿ o = 10 m /s c . .»o = 0.1 m , «o = 10 m/s

3.4

Considere un sistem a d e resorte-m asa, c o n k = 4 0 0 0 N/m y rn = 10 kg, su jeto a una f u e r a arm ónica F [i) = 4 0 0 eos 2 0 / N. E ncuentre y trace la respuesta total d e l sistem a e n la s siguientes condiciones iniciales: a x0 = 0.1 m . i 0 = 0 h . x q = 0 , i 0 = 10 m/s c. * ) = 0 .1 m , ¿o = 10 m /s

3.5

Cbnsidere un sistem a d e resorte-m asa, c o n k ■ 4 0 0 0 N/m y m = 10 k g . su jeto a u n a f u e r a arm ónica F [i) = 400 eos 2 0 .1 / N. Encuentre y trace la respuesta total d e l sistem a e n las siguientes condiciones iniciales: a . «o = 0.1 m . ¿o = 0 b. x q = 0 , ¿ q = 10 m/s c. xq = 0.1 m , ¿ o = 10 m /s

3.6

C bnsidcre un sistem a d e resorte-m asa, c o n * = 4 0 0 0 N/m y m = 10 k g , su jeto a una f u e r a arm ónica F{i) = 4 0 0 eos 3 0 / N. D eterm ine y trace la respuesta total del sistem a e n las siguientes condiciones iniciales: a . x0 - 0.1 m . ¿o = 0 b. xq = 0 , xQ = 10 m/s c. x q = 0.1 m , i 0 = 10 m /s


308

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a 3.7

U n sistem a de resorte-m asa s e com pone d e una m asa q u e pesa 100 N y un resorte con una rigidez de 2 0 0 0 N/m . La m asa se som ete a resonancia p o r la acción d e una fuerza arm ó n ica F \i) = 25 eos tos N. ftic u cn trc la am plitud d e l m ovim iento forzado al final d e (a ) J ciclo ; (b ) 2 j ciclos, y (c ) 5 ¿ ciclos.

3 JI

Se c u elg a una m asa m d e un resorte d e 4 0 0 0 N/m d e rigidez y se som ete a u n a fuerza arm ónica d e 100 N (fc am plitud y frecuencia d e 5 Hz. S e observa q u e la am plitud d e l m ovim iento forzado es d e 20 mm. LX^crmine e l valor d e m i . U n sistem a de resorte-m asa c o n m - 10 kg y * = 5 0 0 0 N /m se som ete a una fuerza arm ó n ica de 2 5 0 N de am plitud y frecuencia
3.9

3.10 En la figura 3.1 (a), s e aplica una fuerza periódica F (i) * F0 e o s un e n un punto d e l resorte ubicado a una distan cia de 25 p o r ciento d e su longitud con respecto a l apoyo fijo. Suponiendo q u e c = 0. halle la respuesta d e e stad o estable d e la m asa m i . 3.11

U n sistem a de resorte-m asa, q u e descansa sobre un plano inclinado, se som ete a una fuerza arm ónica com o se m uestra e n la figura 3.38. E ncuentre la respuesta del sistem a suponiendo c o n d icio n es iniciales cero.

3.12

La frecuencia natural de vibración de una persona e s d e 5 .2 H z m ientras s e encuentra parada sobre una superficie horizontal. Suponiendo q u e e l am ortiguam iento se a insignificante, determ ine lo siguiente; a

Si e l peso de la persona e s d e 70 kg*. determ ine la rigidez equivalente d e su cuerpo e n la dirección vertical.

b . Si el piso se som ete a u n a vibración arm ónica vertical de 5.3 H z de frecuencia y 0 .1 m de am plitud
Trace la respuesta d e vibración forzada d e un sistem a d e resorte-m asa d ad a por la ecuación (3 .1 3 ) con b s siguientes conjuntos de datos:

3.14

a. b.

O )n ju n to 1: C onjunto 2:

= 0.1, = 3, u»n = 6, Xq = 0-*> ¿o = 0.5 = O I , a> = 6 .1 .w , = 6 .x 0 = 0.1. i 0 = 0.5

c.

C onjunto 3:

= 0.1, u» = 5.9. w , = 6 ,x q = 0.1,

i o = 0.5

S e p o n e a vibrar un sistem a d e resorte-m asa d e sd e condiciones iniciales cero b a jo una fuerza arm ónica. Se encuentra q u e la respuesta presenta e l fenóm eno d e batidos c o n el periodo de b atid o s igual a 0 .5 s y el

Figura 3 .3 8


P r o b le m a s

309

periodo tfc oscilación igual a 0.05 s. Encuentre la frecuencia natural d e l sistem a y la frecuencia d e la f ile n a arm ónica. 3.15

3.16

Un sistem a d e resorte-m asa con m = 100 kg y * = 4 0 0 N /m , se som ete a una f u e r a arm ónica f { i ) = F0 eos üjí c o n F0 = 10 N. Encuentre la respuesta d e l sistem a cu an d o iu e s igual a (a ) 2 rad/s; (b) 0 .2 rad/s. y ( c ) 20 rad/s. A nalice los resultados. U n m o to r d e a v ió n tiene una m asa desbalanceada rotatoria m en e l radio r. S i e l ala se m odela com o una \ig a e n voladizo d e sección transversal uniform e a X c o m o s e m uestra e n la figura 3.39
F igura 3 .3 9

3.17

Una turbina d e v iento d e tre s a sp a s (figura 3 .4 0 (a )) tiene u n a pequeña m asa dcsbalanceada m en un radio r e n e l plano d e las aspas. L as aspas se encuentran a una distan cia R d e l e je (y) v ertical central y giran a una velocidad angular d e o». S i la arm a d u ra d e soporte se m odela c o m o u n a flecha d e acero hueca de 0.1 m de diám etro extem o y 0.08 m d e diám etro interno, determ ine el e s fu e n o m áxim o desarrollado m la b a se d e l soporte (p u n to A ). El m om ento de inercia de la m asa d e l sistema de turbina con respecto al e je vertical (y) e s J0. Suponga R = 0.5 m , m = 0.1 kg, r = 0 . 1 m , / 0 = 100 kg-m ?. h = 8 m y o* = 31.416 rad/s.

3.18

En la figura 3.41 s e m uestra u n a m áquina de prueba d e fatiga electrom agnética e n la cual se aplica una l u c r a alterna a la m uestra haciendo p a sa r una corriente alterna d e f re c u e n c ia /a través de la arm adura. Si e l peso d e la arm adura e s de 4 0 Ib. la rigidez del resorte ( * ,) c s de 10.217.0296 Ib/pulg y la rigidez de


310

C a p ítu lo 3


(a)

(b)

F igura 3 .4 0 T lirbina de v ie n to de tr e s aspas. (F oto c o rte sía d e P ower T ra n sm issio n D esign).

la m uestra d e acero e s de 75 X 104 Ib/pulg, d eterm ine la frecuencia de la co rrien te alterna q u e induce un esfuerzo en la m uestra q u e es e l d o b le d e la cantidad generada por los im anes. 3.19

F l actuador d e resorte que s e ve e n la figura 3.42 o p era utilizanda la presión d e aire sum inistrada por un controlador neum ático

P r o b le m a s

311

E ntrada (aire a presión, p )

l

A ire d e salida (presión controlada por e l movimiento de la válvula) F igura 3 .4 2 A g u a d o r de reso rte.

respuesta d e la válvula bajo una presión d e l aire de entrada arm ónicam ente llu ctu an te p(f) = po sen u>t para los siguientes datos: /\) = 10 Ib/pulg2; (o = 8 rad/s; A = 100 pulg2; k = 4 0 0 lb/pulg; peso d e l reso rte = 15 Ib, y peso d e la válvula y varilla d e válvula *- 2 0 Ib. 3 .2 0

En e l sistem a d e leva y seguidor q u e se m uestra e n la figura 3.43. la rotación d e la leva im parte un m ovim iento vertical al seguidor. L a varilla d e em puje, la cual actúa c o m o un resorte, s e com prim e una

A '/ / / / / y

* — constante d e resorte - k - A E I


C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a cantidad x 0 an te s d e l e n sa m b le. D eterm ine lo siguiente: (a ) la ecuación d e m ovim iento d e l seguidor, incluida la fuerza d e gravedad; (b) la fuerza ejercida e n e l se g u id o r p o r la l o a y (c) las c o n d icio n es en b s cuales e l seguidor pierde contacto c o n la lesa.

1 2 1 * D iserte una flecha d e acero só lid a soportada p o r cojinetes la cual lleva e l ro to r d e u n a turbina a la mitad. El rotor pesa 500 Ib y sum inistra una potencia d e 2 0 0 h p a 3000 rpm . Para m antener e l esfuerzo produ cido p o r e l desbalancc e n e l ro to r a un valor m ínim o, la velo cid ad critica d e la flecha tiene q u e ser de un quinto d e la velocidad d e operación del rotor. La longitud d e la flecha tiene que s e r igual a l m enos a 30 veces su diám etro.

3J2

Una flecha de acero hueca d e 100 pulg d e longitud. 4 pulg de diám etro e x te rro y 3.5 pulg de diám etro iitc m o . lleva e l rotor d e una turbina, q u e pesa 500 Ib. a la m itad y está apoyada por su s extrem os en cojinetes. I-t holgura entre el ro to r y e l estator es d e 0 .5 pulg. H ro to r tiene un excentricidad equivalente a un peso d e 0 .5 Ib e n un radio d e 2 pulg. S e instala un interruptor p ara d e te n er el rotor siem pre que éste toca e l estator. S i e l ro to r o p era e n resonancia, ¿cuánto tiem po le tom ará para activar e l interruptor? Suponga que e l desplazam iento y velocidad iniciales d e l rotor perpendiculares a la flecha so n cero.

3J3

Una viga de acero e n voladizo, q u e sostiene un peso d e 0 . 1 Ib e n e l extrem o libre, se utiliza com o m e didor d e frecuencia.7 La v ig a tiene una longitud de 10 pulg, un ancho de 0 ,2 pulg y un espesor de 0.05 pulg. L a fricción interna equivale a una relación d e am ortiguam iento de 0.01. C uando e l extrem o fijo de la v ig a s e som ete a un desplazam iento arm ónico >
324

O btenga la ecuación d e m ovim iento rotatorio y encuentre la respuesta d e estada estable d e l sistem a que se m uestra e n la figura 3 .4 4 e n tom o a la bisagra O para los siguientes datos: * | = A? = 5 000 N /m . a = 0.25 m . b = 0 .5 m , I = I m . M = 5 0 kg. m = 10 kg, F0 = 5 0 0 N, a> = 1000 rpm .

325

O btenga la ecuación d e m ovim iento y en cu en tre la solución de e stad o estable d e l sistem a q u e se m ues tra en la fig u ra 3.45 para m ovim iento rotatorio en to m o a la bisagra O p a ra los d a to s siguientes: * = 5 0 0 0 N/m . / - 1 in . m - 10 kg. A/0 - 100 N-m . o* - 1 0 0 0 rpm .

* El asterisco indica un problema de tipo diserto, o un problema sin respuesta única. 7El uso de vigas en voladizo como medidores de frecuencia se analiza en detalle en la sección 10.4 en el sitio web.


P r o b le m a s

313

S e c c ió n 3 . 4 R e s p u e s t a d e u n s i s t e m a a m o r t ig u a d o s o m e t i d o a f u e r z a a r m ó n ic a 3.26

Considere un sislcm a de rcsottc-m asa-am ortiguador c o n k = 4 0 0 0 N /m , m = 10 kg y c = 4 0 N-s/m . D eterm ine las respuestas de e stad o estable y total d e l sistem a som etido a la fuerza arm ónica F (i) - 200 eos 10/ N y la s condiciones iniciales x0 = 0. i m y ¿ 0 = 0.

3.27

Considere un sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador c o n k — 4 0 0 0 N /m . m - 10 kg y c - 4 0 N-s/m . D eterm ine las respuestas de e stad o estable y total d e l sistem a som etida a la fuerza arm ó n ica F (i) = 200 eos 10/ N y la s condiciones iniciales -r0 = 0 y i 0 = 10 m/s.

3.2X

Considere un sistem a d e resoitc-m asa-am ortiguador c o n * = 4 0 0 0 N /m , m = 10 kg y <• = 40 N-s/m . Determ ine las respuestas de e stad o estable y total d e l sistem a som etida a la fuerza arm ó n ica F (i) = 200 eos 20/ N y la s condiciones iniciales x 0 - 0.1 m y j 0 c 0.

3.29

C onsidere un sistem a d e resoite-m asa-am oitiguador c o n k - 4 0 0 0 N /m . m - 10 kg y c = 4 0 N-s/m . Encuentre las respuestas d e estado estable y total d e l sistem a som etido a la fuerza arm ónica F {i) = 200 eos 2 0 / N y la s condiciones iniciales r 0 = 0 y x 0 = 10 m/s.

3J0

U n m otor d e autom óvil d e c u a tro cilindros se tiene q u e m ontar so b re tres am ortiguadores, c o m o se indica e n la figura 3.46. R ensam ble d e m otor-bloque p e sa 500 Ib. Si la fuerza dcsbalanccada generada por e l m o to r resulta de 2 0 0 s e n 100 jr /. d iseñ e los tre s am ortiguadores (cada uno d e rig id e z* y constante de am ortiguam iento viscoso c ) de m odo q u e la am plitud d e vibración se a m en o r q u e 0.1 pulg.

3 J1

La hélice d e un b arco , d e 10* N d e peso y m om ento d e inercia d e m asa p o lar d e 10000 kg-m 2. está conectada a l m otor m ediante u n a llecha d e acero escalonada hueca, com o se m uestra e n la figura 3.47. Suponiendo q u e e l a g u a proporciona u n a relación d e am ortiguam iento viscoso de 0.1. determ ine la ros-


C a p ítu lo 3


a (a) A gua (p ro p o rc io n a a m o rtig u a m ie n to )

H é lic e

F le c h a h u e c a

f t r t u r b a c t ó n v ib ra to r ia

(ÍO 'N )

e s c a lo n a d a

d e l m o to r

d e la h é lic e

(re c o sa * )

(b>

Figura 3 ^ 7 Hélice de u n barco.

puesta d e vibración torsional tfc la hélice cuando el m o to r induce un desplazam iento a n g u la r arm ónico de 0 .0 5 sen 314.16r ra d e n la b a se (punto A) d e la flecha d e la hélice. 3J2

E ncuentre la relación d e frecuencia r = a la c u a l la am p litu d d e un sistem a am ortiguado d e un solo grado d e libertad alcanza su valor m áxim o. Encuentre tam bién e l valor d e la am plitud m áxim a.

3J3

La figura 3.48 m uestra un am perím etro de bobina m óvil d e im án perm anente. Cuantk» flu y e co m en te (/) a través de la bo b in a enrollada en e l núcleo, éste gira en un ángulo proporcional a la m agnitud de la co m en te indicada p o r la aguja e n la escala. El núcleo, ju n to c o n la bobina, tiene un m om ento d e inercia

Figura 3 .4 8 U i im án perm anente acciona e l am perím etro d e bobina m óvil.


P r o b le m a s

315

de m asa la constante d e resorte torsional e s k, y e l am ortiguador torsional tiene una c o n stan te d e a m o r tiguam iento d e c r l a escala d e l am perím etro está calibrada d e m odo q u e cuando se hace q u e pase una corriente directa d e I am pere a través d e la bobina, la aguja indica una corriente d e I am pere. El m edidor a : tiene q u e v o lv erá calib rar p ara m edi r la m agnitud d e la c o m e n te alterna. D eterm ine e l valor d e estado estable d e la corriente indicada por la aguja cuando s e hace p a sa r u n a corriente alterna d e 5 am peres y 50 Hz a través d e la bobina. S uponga J0 - 0.001 N -m 2. k, - 62.5 N -m /rad y c , = 0 .5 N-m-s/rad. 334

U n sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador s e som ete a una fuerza arm ónica, l a am plitud es d e 2 0 m m a i resonancia y d e 10 m m a u n a frecuencia 0 .7 5 veces la frecuencia resonante. Encuentre la relación de am ortiguam iento d e l sistem a.

335

Rira e l sistem a que s e m uestra e n la figura 3 .4 9 . x y y indican. respectivam ente. el desplazam iento absoluto d e la m asa m y e l extrem o Q d e l am ortiguador hidráulico c ,. (a ) O b ten g a la ecuación d e m o vimiento d e la m asa m . ( b ) el desplazam iento d e e stad o estable d e la m asa m , y (c ) e n cu e n tre la fuerza transm itida a l soporte e n P , cu an d o e l extrem o Q se som ete a l m ovim iento arm ónico y (i) — Y e o s
/ / ✓

Ci

r

-

>■(/) = V eos

* (* ) C|

P

m »íl

Í

/ / /

336

r r

777777777777777777777,

F ig u ra 3 .4 9

La ecuación d e m ovim iento d e un sistem a d e resorte-m asa som etido a una fuerza arm ónica se expresa como x + 2{tomx + aij, = / o e o s oír

(E.1)

donde / o =

i. Encuentre la respuesta de estado estable d e l sistem a e n la form a x j j ) = C , eos
= * * (/) + x p( t ) = A e o s t o j i + B sen lú jt + C , e o s utt +

C ? sen tu l

(E .2)

Suponga tas condiciones iniciales d e l sistem a c o m o x l l = 0 ) = x0 y x ( l = Q) = x 0. 337

Una cám ara d e video d e 2.0 kg d e m asa está m ontada e n la azotea d e un b an co p ara vigilancia. L a cám a ra está fija e n e l extrem o d e una barra d e alum inio tubular y el otro extrem o está fijo e n e l edificio com o « m uestra e n la figura 3.50. L a fuerza inducida por e l viento q u e a ctú a e n la cám ara./T í), e s arm ónica con J[t) - 25 eos 7 5 .3 9 8 4 /N. D eterm ine las dim ensiones d e sección transversal d e l tubo d e alum inio si la am plitud de vibración m áxim a d e la cám ara se tiene q u e lim itar a 0 .0 0 5 m.

338

U n rotor d e turbina está m ontado e n una ficcha escalonada fija p o r los d o s extrem os c o m o se m uestra o t la figura 3.51. L a rigidez torsional de los d o s segm entos d e la flecha la d a n = 3 0 0 0 N -m /rad y k, , = 4 000 N -m rad. L a turbina g enera un par de torsión arm ónico que le d a MU) - M0 eos m i respecto del eje d e flecha con A/0 = 200 N -m y w = 500 rad/s. El m om ento de inercia de m asa d e l ro to r respecto del eje d e flecha e s J0 = 0.05 kg-m 2. Suponiendo la constante d e am ortiguación torsional equivalente del sistem a c o m o c , = 2 .5 N -m -s/rad. determ ine la respuesta d e estado estable d e l rotor. 0( 1 ).

339

Se necesita el diseAo d e un sistem a electrom ecánico p ara lograr una frecuencia natural d e 1000 H z y un lác to r Q de 1200. Determ ine e l factor d e am ortiguam iento y e l ancho de b an d a d e l sistem a.


316

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a Cámara d e video

Figura 3 .5 0

3.40

D em uestre que. para valores pequeños d e am ortiguam iento, la relación d e am ortiguam iento £ s e ex p re sa como

= °>i ~ “ i <■>2 + <*>] d o n d e w , y a*jSon las frecuencias que corresponden a los puntos d e m ediana potencia. 3.41

U n sistem a torsional co n sta de un disco d e m om ento de in ercia d e m asa JQ = 10 leg-m-, un am orti guador torsional de constante d e am ortiguam iento c, = 300 N -m -s/rad, y u n a flecha d e acero d e 4 cm d e diám etro y I m d e larg o (fija a un extrem o y unida al disco e n e l o tro extrem o). S e observa una oscilación a n g u la r estable d e am plitud de 2" cuando se aplica a l disco un par d e torsión arm ónico de m agnitud 1000 N-m . (a ) Encuentre la frecuencia d e l par d e torsión aplicad o , y ( b ) encuentre el p a r de torsión m áxim o transm itido al soporte.

3.42

R ita un sistem a vibratorio, m = 10 kg. * = 2 5 0 0 N/m , y c = 45 N -s/m . U na f u e r a arm ónica d e a m p li tud de 180 N y frecuencia de 3.5 H z actúa sobre la m a s a S i e l desplazam iento inicial y la velocidad de b m asa so n 15 m m y 5m /s, encuentre la solución total que represente e l m ovim iento d e la m asa.

3.43

Se observa q u e la am plitud pico d e un sistem a d e un solo g ra d o d e libertad, bajo u n a excitación a rm ó nica, d e b e s e r d e 0 .2 pulg. Si la frecuencia natural no am ortiguada del sistem a e s 5 Hz, y la deflexión estática d e la m asa su je ta a una fuerza m áxim a es 0 . 1 pulg: (a ) e stim e la relación d e am ortiguam iento del sistem a, y (b) encuentre la s frecuencias q u e correspondan a las am plitudes d e m ediana potencia.



317

El tren d e aterrizaje d e un a v ió n se puede idealizar c o m o e l sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador que s : m uestra e n la figura 3.52. S i y(r) = y 0 eos un d escribe la superficie d e la pista, d eterm ine los valores de * y c q u e lim itan to am plitud d e vibración d e l avión (x) a 0.1 m . S uponga m = 2 000 kg. y 0 = 0 .2 m yo» - 157.08 rad/s.

Com partim iento con puntal y amortiguam iento viscoso

Masa del avión, m

Rueda

'7 7 / 7 7 7 7 7 7 7 7

*(t)

F ig u ra 3 .5 2 M odelado de u n tre n de aterrizaje.

3.45

Una afiladora d e precisión (figura 3 .5 3 ) está m ontada sobre un aislador q u e tiene u n a rigidez d e 1 M N/ni y una constante d e am ortiguam iento viscoso de I kN -s/tn. H suelo sobre e l cual está m ontada la m áq jin a se som ete a una perturbación arm ónica debido a to operación d e un m otor desbatonceado vecino a to afiladora. E ncuentre 1a am plitud d e desplazam iento m áxim o aceptable d e l piso si to am plitud de vibración resultante d e la afiladora se tiene q u e lim itar a I 0 -6 m . S uponga q u e la afiladora y la rueda son un cu erp o rígido d e 5 0 0 0 N tfc peso.

3.46

O b ten g a to ecu ació n de m ovim iento y d eterm ine 1a respuesta d e e stad o estable d e l sistem a q u e s e m ues tra en 1a figura 3 .5 4 para m ovim iento rotatorio a lre d ed o r d e l g o zn e O c o n los siguientes d ato s: k = 5 000 N /m . / - 1 m , c - 1 0 0 0 N -s/m . m = 10 kg. M0 ■= 100 N-m . a i - 1000 rpm .

3.47

U n co m p reso r d e aire d e 100 kg de m asa está m ontado sobre un cim iento elástico. S e h a observado que o ra n d o se ap lica una fuerza arm ó n ica d e 100 N d e am plitud a l com presor, e l desplazam iento d e estado estable m áxim o de 5 m m ocurre a u n a frecuencia d e 3 0 0 rpm . D eterm ine to rigidez equivalente y la a m sta n te d e am ortiguam iento d e l cim iento.

3.48

Encuentre 1a respuesta d e e stad o estable d e l sistem a que se m uestra e n 1a figura 3.55 para los siguientes datos: * , = 1000 N /m . * , « - 5 0 0 N /m . c - 5 0 0 N -s/m . m - 10 kg. r - 5 c m . JQ - 1 kg-m 2, F0 - 50 N. a i = 2 0 rad/s.


318

C a p ítu lo 3


Polca, m om ento d e inercia d e masa, J0

3.49

U na barra delgada uniform e d e m asa m puede ser soportada en una d e d o s m aneras c o m o se m uestra en b figura 3.56. D eterm ine el arreglo q u e reduce la respuesta de estado estable d e la ba rra som etida a una fuerza arm ó n ica F0 s e n u>t ap licada a la m itad d e la b arra, com o se m uestra en la figura.

Figura 3 .5 6


P r o b le m a s

319

Sección 3.5 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a H t) - F0e'*'f 330

O btenga la expresión para la respuesta d e frecuencia com pleja d e un sistem a torsional n o am ortiguado.

3.51

U n sistem a de un solo grado d e libertad am ortiguado, c o n parám etros m = 150 kg, * = 25 kN /m y c = 2 0 0 0 N-s/m . se som ete a la fuerza a r m ó n i c a / /) = 100 e o s 2 0 /N. E ncuentre la am plitud y el án g u lo de fese de la resp u esta d e e stad o estable d e l sistem a m ediante un m étodo gráfico.

Sección 3.6 Respuesta de un sistema amortiguado sometido al movimiento armónico de la base 3 .5 2

La estructura d e un edificio de un piso se som ete a una aceleración arm ónica d e l su e lo com o s e m uestra o í la figura 3.57. Encuentre e l m ovim iento d e estado estable d e l suelo (m asa m i ) .

3 .5 3

Encuentre e l desplazam iento horizontal del piso (m asa m i ) d e la estructura d e l edificio q u e s e m uestra en la figura 3.57 cuando la aceleración d e l suelo la d a Sg “ 100 sen un mm/s: suponga q u e m i ■ 2 0 0 0 kg. * = 0.1 M N /m , w = 25 rad/s y xf (/ = 0) = xf (/ = 0 ) = x
3.54

S i e l suelo e n la figura 3 .5 7 se som ete a un desplazam iento horizontal arm ónico c o n frecuencia tú = 200 rad/s y am p litu d Xg = 15 m m . en cu en tre la am plitud d e vibración d e l piso (m asa m i ) . S uponga la masa del piso com o 2 0 0 0 kg y la rigidez d e la colum na c o m o 0 .5 M N /m .

\

\ \\ \ X ¿¡) = AcOSaX

Figura 3J>7

X55

Un autom óvil se m odela c o m o un sistem a d e un solo grado d e libertad q u e v ib ra e n la dirección vertical. Se conduce a lo larg o d e una carretera c u y a elevación varía scnoidalm cntc. l a distancia d e u n a eleva ción a u n a dep resió n e s d e 0.2 m y la distan cia a lo largo d e la carretera e n tre las elevaciones e s d e 35 m. Si la frecuencia d e l auto m ó v il e s d e 2 H z y la relación d e am ortiguam iento d e los am ortiguadores es de (115, determ ine la am plitud de vibración d e l autom óvil a una velocidad d e 60 km /hora. S i se varía la velocidad d e l autom óvil, encuentre la velocidad m ás desfavorable para los pasajeros.

3.56 Derive la ecuación (3.74). X51

La estructura cfc un edificio d e un piso s e m odela c o m o un piso rígido de m asa m i y las colum nas d e rigi d e z L .com o se m uestra e n la figura 3 5 8 . S e propone q u e e l am ortig u ad o r m ostrado e n la figura s e utilice pira absorber las vibraciones producidas por e l m ovim iento horizontal d e l suelo y
3.58 Una ba rra uniform e d e m asa m g ira a lre d ed o r del punto O con su s extrem os apoyados e n d o s resortes, com o se m uestra e n la figura 3.59. El extrem o P d e l resorte P Q s e som ete a un desplazam iento ho rizo n tal x (t) = sen oti. Encuentre e l desplazam iento a n g u la r d e e stad o estable d e la barra cu an d o / = 1 m, * = 1 0 0 0 N/m . m i = 10 k g ,x 0 = 1 c m , a i - 1 0 rad/s.


320

C a p ítu lo 3


Ov V ^ V V \W .V \V \ \ \ \ \ \ \ \ \ v(f) - Veos a* F ig u ra 3 .5 8

x{l) = ZflScn tul

3.59

U na ba rra uniform e d e m asa m g ira a lre d ed o r d e l punto O c o n su s extrem os apoyados e n d o s resortes com o se m uestra en la figura 3.60. 0 extrem o P d e l resorte PQ se som ete a un desplazam iento senoidal x (i) = .»<,s e n oti. E ncuentre e l desplazam iento angular d e estado estable d e la barra cu an d o / = I m . * = 1000 N/m . c - 5 0 0 N -s/m , m — 10 kg. z,, - 1 c m y u» - 10 rad/s.

x(r) = x0x n
F igura 3.60

3.60

fiic u en trc la relación de frecuencia, r = rma la cual la transm isibilidad del desplazam iento d ad a por la ecuación (3.68) alcanza un valor m áxim o.

3.61

U n autom óvil q u e pesa 1 0 0 0 Ib vacío y 3 0 0 0 totalm ente cargado, vibra e n dirección v ertical m ientras viaja a 55 m ph por una carretera c o n baches d e form a senoidal y am plitud d e Y pies y periodo d e 12 pies. S uponiendo q u e e l autom óvil s e puede m odelar com o un sistem a de un solo g ra tb d e libertad con rigidez, d e 3 0 0 0 0 lb/pic y relación d e am ortiguam iento ( = 0.2, d eterm ine la am plitud d e vibración del autom óvil cuando está (a) vacío y

P r o b le m a s

321

3.62 La base d e un sistem a d e resorte-m asa, c o n m = 25 k g y k = 2 5 0 0 N/m se som ete a una excitación a r m ónica sil) = Y0cos (oí. La am plitud d e la in asa e s d e 0.05 m cu an d o la b a se es ex citada a la frecuencia natural d e l sistem a c o n Y0 = 0.01 m. D eterm ine la constante d e am ortiguam iento del sistem a.

Sección 3.7 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a desbalance rotatorio 3.63

Un co m p reso r d e aire d e un cilindro d e 100 k g d e m asa está m ontado sobre so p o rte s de m ontaje d e caud io , c o m o se m uestra e n la figura 3 .6 1. L a rigidez y c onstantes d e am ortiguam iento d e los soportes de m ontaje so n d e 106 N/m y 2 0 0 0 N -s/m . respectivam ente. S i e l cfcsbalancc d e l com presor equivale a una m asa de 0 . 1 kg colocada en e l extrem o d e la m anivela (punto A ) determ ine la respuesta d e l com presor a ú n a velocidad d e la m anivela d e 3 0 0 0 rpm . C onsidere r ■ 10 c m y / ■ 4 0 cm.

3.64

Una d e las aspas d e l rotor de cola d e un helicóptero tiene una m asa desbalanceada d e m = 0 .5 k g a una distancia d e e ■ 0.15 m del eje d e rotación, com o se m uestra e n la figura 3.62. La sección de cola tiene una longitud d e 4 m , una m asa d e 240 kg, u n a rigidez flexional ( £ / ) de 2.5 M N -m 5, y una relación de am ortiguam iento de 0.15. La m asa d e las aspas d e l rotor d e cola, incluido su sistem a d e propulsión, es d : 2 0 kg. D eterm ine la respuesta forzada d e la sección de cola cuando las aspas giran a 1500 rpm .

Figura 3.61

Aspas d e l ro to r d e cola


322

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a 3.65

Q ia n d o un ven tilad o r d e escape d e 3 8 0 k g d e m asa está ap o y ad o so b re resortes c o n am ortiguam iento insignificante, la deflexión estática resultante e s d e 45 m m . S i e l ven tilad o r tiene un desb alan cc rotatorio d e 0 .1 5 kg-m . encuentre (a ) la am plitud d e vibración a 1750 rpm . y (b) la fuerza transm itida a l suelo a esta velocidad.

3.66

Una viga de acero c o n a m b o s extrem os em potrados d e 5 m de longitud, 0.5 m d e ancho y 0.1 m de espesor, sostiene un m o to r eléctrico d e 75 k g d e m asa y 1 200 rpm d e velocidad a m edia distancia, com o se m uestra e n la figura 3.63. S e desarrolla una fuerza rotatoria F0 = 5 000 N debido a l desbalancc e n el rotor d e l m otor. E ncuentre la am plitud d e las vibraciones de estado estable sin tener e n c u en ta la m asa de la viga. ¿C uál se rá la am plitud si se considera la m asa d e la viga?

F ig u ra 3 .6 3

3.67

Si e l m o to r eléctrico d e l problem a 3.66 se m onta e n e l extrem o libre d e una v ig a d e acero e n \oladizo tte 5 m de longitud (fig u ra 3.64). y la am plitud d e vibración s e tiene q u e lim itar a 0.5 c m . en cu en tre las dim ensiones d e sección transversal necesarias d e la viga. Incluya e l peso d e la viga e n los cálculos.

Figura 3 .6 4

3.68

Una bo m b a centrífuga q u e p e sa 6 0 0 N y o p e ra a 1000 rpm . está m ontada sobre s e is resortes d e 6 0 0 0 N/m d e rigidez cada uno. E ncuentre e l desbalancc m áxim o perm isible, para lim itar la deflexión d e es tado estable a 5 m m pico a pico.

3.69* Se s a a m ontar un co m p reso r d e aire, que p e sa I 0 0 0 Ib y o p era a I 5 0 0 rpm , sobre u n aislador adecuado. H ty un resorte helicoidal con rigidez d e 4 5 0 0 01b/pulg. otro resorte helicoidal c o n rigidez d e 15000 Ib/ pulg. y un am ortiguador c o n relación d e am ortiguam iento d e 0.15. disponibles p ara usarse. Seleccione el m ejor sistem a d e aislam iento posible p ara e l com presor. 3.70

U n m o to r eléctrico de velocidad variable, que tiene un desbalancc. está m ontado sobre un aislador. A m edida q u e la velocidad d e l m o to r se increm enta d e sd e c ero , las am plitudes d e vibración d e l m o to r son de 0 .5 5 pulg e n resonancia y de 0.15 pulg a l su p e rar la resonancia. Encuentre la relación de am ortigua m iento d e l aislador.

3.71

U n m otor eléctrico q u e pesa 7 5 0 Ib y funciona a 1 800 rp m está m ontado sobre cuatro resortes helicoidales de acero, cada uno con ocho espiras activas y un alam bre d e 0.25 pulg d e diám etro y 3 pulg de diám etro de espira. El rotor pesa 100 Ib con su centro (te m asa ubicada a u n a distancia d e 0.01 pulg d e l eje de rotación. Encuentre la am plitud d e vibraeión d e l m otor y la fuerza transm itida a la b a se a tn o é s de los resortes.

3.72

U n pequeño ventilador extractor, q u e gira a 1 5 0 0 rpm . está m ontado e n una flecha de acero d e 0.2 pulg. El rotor d e l ventilador pesa 3 0 Ib y tiene una excentricidad d e 0.01 pulg con respecto al eje d e rotación.


P r o b le m a s

323

Encuentre (a ) la fuerza m áxim a transm itida a los cojinetes, y (b) los caballos de fuerza necesarios para im pulsar la flecha. 3.73 3.74

O btenga la ecuación (3.84) para la fuerza transm itida a l cim iento debido a l desbalance rotatorio. Una placa rígida, q u e pesa 100 Ib. está co nectada a la bisagra a k> largo d e l b o rd e (P ) y e s tá m ontada sobre un am ortig u ad o r hidráulico c o n c = 1 Ib-s/pulg. e n e l b o rd e o p u e sto ( 0 ) , c o m o se m uestra e n la figura 3.65. U n pequeño ventilador que pesa 5 0 Ib y gira a 750 rpm está m ontado en la placa por medio d : u n resorte con k = 200 lb/pulg. S i e l centro de gravedad d e l ventilador se encuentra a 0.1 pulg d e su eje de rotación, encuentre e l m ovim iento d e estado estable del borde y la fuerza transm itida a l punto S.

F ig u ra

3.65

3.75

U n m o to r eléctrico está m ontada e n e l extrem o d e u n a viga e n voladizo. S e observa q u e la viga se desvía 0 2 m cuando e l m o to r funciona a una velocidad d e 1500 rpm . Ignorando la m asa y e l am ortiguam iento de la viga, determ ine la velocidad d e l m o to r d e m odo q u e la am plificación d inám ica sea m en o r q u e 10% con respecto a l valor d e equilibrio estático.

3.76

Un co m p reso r d e aire de 50 kg d e masa está m ontado sobre un soporte clástico y opera a una velocidad
3.77 Un rotor d e turbina d e 200 kg d e m asa tiene una m asa dcsbalanceada de 15 kg. Está apoyado en un cim iento el c u a l tiene u n a rigidez equivalente d e 5 0 0 0 N/m y una relación d e am ortiguam iento de ¿ = 0 .0 5 . S i e l ro to r vibra con una deflexión de 0.1 m e n resonancia, determ ine (a ) la ubicación radial (excentricidad) d e la m asa desbalanceada, (b) la m asa adicional q u e se d eb e a g reg a r (uniform em ente) al rotor p ara q u e la deflexión d e este se reduzca a 0.05 m . y (c ) la deflexión p ico de la turbina cuando la relación d e frecuencia (r ) varía.

sección 3.8 vibración forrada con amortiguamiento de Coulomb 3.78

O btenga la ecuación (3.99).

3.79

O btenga la ecuación de m ovim iento d e la m asa m q u e se m uestra e n la figura 3.66 cu an d o la presión en d cilindro fluctúa scnoidalm entc. L os d o s resortes c o n rigideces *, s e encuentran e n inicio som etidos a una tensión T0 y e l coeficiente d e fricción entre la m asa y la s superficies d e contacto e s ¡i.

3.80 l a m asa de un sistem a de resorte-m asa, con m = 15 kg y * = 25 kN /m . v ib ra sobre una superficie ho rizontal b a jo una fuerza arm ónica d e 200 N y frecuencia de 2 0 H z. E ncuentre la am plitud d e vibración de estado estable. Suponga q u e e l coeficiente d e fricción entre la m asa y la superficie horizontal es de 0.25.


324

C a p ítu lo 3


F ig u ra 3 .6 6

3.81

U n sistem a d e resorte-m asa c o n m - ‘ 2 5 k g y * - I O kN/m vibra sobre una superficie horizontal con coeficiente d e fricción /x = 0.3. S om etida a una fuerza arm ónica d e 8 H z de frecuencia, la vibración de estado estable d e la m asa e s d e 0.2 m . D eterm ine la constante d e am ortiguam iento viscoso equivalente del sistem a.

3.82

U n sistem a d e resorte-m asa se som ete a am ortiguam iento d e Coulom b. C uando s e ap lica u n a fuerza arm ónica d e 120 N y frecuencia d e 2.5173268. e l sistem a oscila c o n u n a am plitud d e 75 m m . D eterm ine d coeficiente d e fricción seca s i / n = 2 k g y * = 2lOO N/m.

Sección 3.9 vibración forzada con amortiguamiento de histéresis 3JJ3

Una carga d e 5 0 0 0 N produjo un desplazam iento estático d e 0.05 m e n u n a estructura com puesta. S e ve que una fuerza arm ó n ica d e 1 0 0 0 N pro v o ca u n a am plitud resonante d e 0.1 m . E ncuentre (a ) la co n stan te d e am ortiguam iento d e histéresis d e la estructura; (b) la energía d isipada p o r ciclo e n reso n an cia; (c) ki am plitud t o e stad o estable a un cuarto d e la frecuencia resonante, y (d) la am plitud d e estado estable a tres veces la frecuencia resonante.

¿84

La energía d isipada en am ortiguam iento d e histéresis p o r c ic lo b a jo excitación arm ónica se p u ed e e x presar en la form a general

AW = jr/ttX r

(El)

to n d e y es un exponento (se consideró y = 2 en la ecuación ( 2 .15 0 » , y 0 c s u n coeficiente d e dim ensión (m etros)2'»’. U n sistem a d e resorte-m asa con k = 6 0 kN/m vibra bajo am ortiguam iento d e histéresis. C h an to se ex cita arm ónicam ente e n resonancia, la am plitud d e e stad o estable e s d e 4 0 m m c o n una entrada de energía d e 3 .8 N-m. C uando la entrada d e en erg ía resonante se increm enta a 9 .5 N-m , la am plitud e s de 6 0 m m . D eterm ine los valores d e y y e n la ecu ació n ( E 1).

Sección 3.10 Movimiento forzado con otros tipos de amortiguamiento 3.85

C h an to un sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador se som ete a una fuerza arm ó n ica F (l) “ 5 e o s 3 ni Ib. el desplazam iento resu ltan te e s x { i) = 0 .5 eos ( 3 n i - w /3 )p u lg . E ncuentre e l trabajo realizado (a) durante e l p rim er segundo y (b) d urante los prim eros 4 segundos.

3.86

Determ ine el coeficiente d e am ortiguam iento viscoso equivalente de un am ortiguam iento q u e ofrezca una fuerza d e am ortiguam iento d e Fd = cOr)". d o n d e c y n so n c onstantes y i es la velocidad relativa a travos d e l am ortiguador. Incluso, determ ine la am plitud d e vibración.

3Ji7

D em uestre q u e p ara un sistem a tanto c o n am ortiguam iento viscoso c o m o d e C oulom b e l valor ap ro x i m ado d e la am plitud t o e stad o estable es resultado de

X 2 [ k 2{I

-

r 2 )2 +

cV ] +


= 0


325

La ecuación d e m ovim iento d e un sistem a d e resorte-m asa lo d a m x ± i¿ N + c i 3 + k x = F0 c o s w í O btenga expresiones para (a) la constante d e am ortiguam iento viscoso equivalente; (b ) la am p litu d de estado estable, y (c ) la relación d e am plitud e n resonancia.

Sección 3.89

3.11

Autoexcitación y análisis de estabilidad

Ifn fluido c o n den sid ad p . flu y e por un tubo d e acero en voladizo d e longitud / y área d e sección trans versal A (figura 3.67). D eterm ine la velocidad (v) d e l fluido a la cual o cu rre la inestabilidad. Suponga q rc la m asa total y la rigidez a la flexión del tu b o so n m y

El. respectivam ente.

F igura 3 .6 7

3.90

Las prim eras d o s frecuencias naturales d e la a n te n a telescópica d e un autom óvil q u e se m uestran en la figura 3.68 so n d e 3 .0 Hz y 7 .0 Hz. D eterm ine si la form ación d e torbellinos a lre d ed o r de la antena provoca inestabilidad d en tro del rango d e velocidad de 5 0 a 7 5 m ph del autom óvil.

3 .9 1 H poste d e un anuncio d e un restaurante d e co m id a rápida se com pone d e un cilindro de acero h u eco de id tura h, diám etro interno d y diám etro externo D, fijo e n e l suelo, y sostiene u n a m asa co ncentrada M en su extrem o superior. S e puede m odelar com o un sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador d e un solo grado
Figura 3 .6 8


326

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a rísticas d e vibración transversal bajo la excitación d e l viento. D eterm ine lo siguiente: (a ) la frecuencia natural d e vibración transversal del p o ste; (b) la velocidad d e l viento a la cual el poste experim enta un desplazam iento d e estado estable m áxim o, y (c ) el desplazam iento d e estado estable m áxim o inducido por e l viento d e l poste. D atos: h = 10 m , D = 25 c m , d = 20 c m . SI - 2 0 0 kg.

3.92

Cbnsiderc la ecuación de m ovim iento de un sistem a d e un solo g ra d o d e libertad: m i’ + e x + k x = F f k r iv e la condición q u e cond uce a oscilaciones divergentes en cada uno d e los siguientes casos: (a) cuando la función forzada e s proporcional al desplazam iento. FU) = (b) cu an d o la función for zada e s proporcional a la velocidad, F ( i ) = Fqx ( i ). y (c ) cuando la función forzada es proporcional a b aceleración. F ( r ) =

sección 3.12 Método de la función de transferencia 3.93

O btenga la función d e transferencia d e un sistem a viscosam ente am ortiguado sujeto a m ovim iento arm ónico d e la base con la ecuación d e m ovim iento: m 'x + c ( ¿ - y ) + k ( x - y ) =

0

d an d e >
O btenga la función de transferencia de un sistem a viscosam ente am ortiguada sujeto a dcsb alan ce rota torio. con la ecuación d e m ovim iento: A fx + e x + k x = mea r sen an

Sección 3.13 Soluciones obtenidas utilizando transformadas de Laplace 3.95

fiic u c n trc la respuesta d e estado estable d e un sistem a am ortiguado d e u n solo grado d e libertad su je to a m ovim iento arm ónico d e la base, considerado e n la sección 3.6. utilizando una transform ada de Laplacc.

3.96

Encuentre la respuesta de estado estable d e un sistem a am ortiguado d e un solo grado de libertad sujeto a dcsbalance rotatorio arm ónico d e la base, considerado e n la sección 3.7, utilizando u n a transform ada cfc Laplace.

3.97

Encuentre la respuesta de estado estable d e un sistem a am ortiguado d e un solo grado d e libertad sujeto a una fuerza arm ónica, considerada e n la sección 3.3. utilizando una transform ada d e Laplace.

3.98

U n resorte y un am ortiguador viscoso, conectados a una barra rígida sin m asa, se som eten a u n a fuerza a rm ó n ic a /(r) c o m o se m uestra e n la figura 3.69. D eterm ine la respuesta de estado e stab le d e l sistem a por m edio d e u n a transform ada d e Laplace.

3.99

O btenga las ecu acio n es ( E .4 H E 7 ) e n e l ejem plo 3.16.

3 1 0 0 Se realiza un experim ento p ara e n co n trar la s características de resp u esta d inám ica d e un sistem a de ensam ble de rueda cfc un autom óvil. Para esto. la rueda se conecta a una flecha m ediante un tirante y se som ete a u n a fuerza a rm ó n ic a /(/)c o m o s e m uestra e n la figura 3.70. L a flecha o frece una rigidez to rsio nal d e A, e n tanto que la rueda experim enta vibración torsional alrededor d e l eje d e la flecha. E ncuentre la respuesta d e l sistem a. 6( 1 ), utilizando una transform ada d e Laplace. S uponga q u e la s condiciones iniciales s o n cero.


P r o b le m a s

F = 200 N

x{l)

-t i

327

,1 l± J.

/ / V 7 / 7 / / / / 7 *77777.

F ig u ra 3 .6 9

F ig u ra 3 .7 0

Sección 3.14 Funciones de transferencia de frecuencia 3.101 G enere la función d e transferencia d e frecuencia a p artir de la función d e transferencia general para t u sistem a viscosam ente am ortiguado sujeto a un m ovim iento arm ónico d e la b a se considerado en el problem a 3.93 e identifique la entrada, e l sistem a y las sinusoides de salida.

3.102 G enere la fu n ció n d e transferencia d e frecuencia a p artir d e la función d e transferencia general para un sistem a viscosam ente am ortiguado su jeto a desbalance rotatorio considerado e n el problem a 3.94 e identifique la en tra d a, e l sistem a y las sinusoides d e salida.


328

C a p ítu lo 3

V ib r a c ió n a r m ó n ic a m e n te e x c ita d a S e c c i ó n 3 .1 5 E je m p lo s r e s u e l t o s u t i l i z a n d o MATLAB A 103 T race la respuesta forzada de u n sistem a d e resonc-m asa no am ortiguado e n las siguientes condiciones: M A TLAB: m - 10 kg. * - 4 0 0 0 N /m . F (t) = 200 eos 10/ N. x0 = 0.1 m . i 0 = 10 m/s. 3.104 T race la respuesta forzada d e un sistem a d e resorte-m asa sujeto a am ortiguam iento d e C oulom b utiSzando MATLAB. Suponga lo s siguientes datos: m = 10 kg. 4 = 4 0 0 0 N /m . F \i) = 200 s e n 10/ N, m = 0 .3 , x0 = 0 . 1 m . x„ = 10 m/s. A 105 T race la respuesta d e un sistem a viscosam ente am ortiguado sujeto a excitación arm ónica d e la base, y (l) “ Y sen an m , utilizando M A TL A B p ara los siguientes datos: m - 100 kg. * - 4 X 10* N /m . Í = 0 .2 5 , Y = 0 .0 5 m , cu = 10 rad/s, x0 = I m , x 0 = °A 106 T race la respuesta d e estado estable d e un sistem a viscosam ente am ortiguada sujeto a la fuerza arm óni c a F{i) = F0 = e o s u n utilizando MATLAB. S uponga los siguientes datos: m = 10 kg. * = 10 0 0 N/m , £ « 0 .1 . F0 = 100 N. oj - 20 rad/s. A 107 Cbnsidere un autom óvil q u e viaja p o r u n a carretera c o n b ach es a u n a velocidad d e v km /h. El sistem a de susp en sió n tiene una constante d e reso rte d e 4 0 kN /m y u n a relación d e am ortiguam iento d e ( = 0 . 1. La superficie d e la carretera varía senoidalm entc c o n u n a am plitud d e Y = 0.05 m y u n a longitud de onda d e 6 m . Escriba un p rogram a M A TL A B p ara hallar la am plitud d e desplazam iento del autom óvil pora las siguientes condiciones: (a ) m asa d e l autom óvil = 6 0 0 kg (vacío), 10 0 0 kg (cargado) y (b) v e locidad d e l autom óvil (v) = 10 km /h. 5 0 k m /h . 100 km /h. A 108 E scriba un program a d e com putadora para e n co n trar la respuesta total d e un siste m a d e resorte-m asaam ortiguador viscoso som etido a excitación d e la base. U se este program a para hallar la solución d e un problem a con m = 2 kg. c = 10 N -s/m . k = 100 N /m , >contra r p ara un sistem a am ortiguado sujeto a dcsbalancc ro ta torio (ecuaciones (3.81)) para las relaciones d e am ortiguam iento ( - 0 ,0 .2 .0 .4 .0 .6 ,0 .8 y I utilizando M A TIA B . X A 110 T race la s gráficas de — c o n tra r y * contra r para un sistem a am ortiguada som etido a excitación de b b a se (ecuaciones (3.68) y 3.69)) p ara las relaciones d e am ortiguam iento ( = 0 . 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1 utilizando MATLAB.

Proyectos de diseño A l 11 El sistem a q u e s e m uestra e n la figura 3.71 se com pone de d o s m asas excéntricas que g iran e n d ire c ciones o p u e stas a la m ism a velocidad a». S e va a utilizar c o m o agitador m ecánico d e n tro d e l rango de frecuencia d e 2 0 a 3 0 Hz. D eterm ine los valores d e o j , e . M , m . k y c p ara satisfacer los siguientes req u e rim ientos: (a ) la salida d e potencia m edia d e l agitador d eberá ser a l m enos d e I h p d en tro d e l rango de frecuencia especificado, (b) L a am p litu d d e vibración d e las m asas d eberá ser d e entre 0.1 y 0 .2 pulg. (c) L a m asa d e l a g ita d o r (Ai) d e b e rá s e r al m enos 5 0 v eces la d e la m asa excéntrica (m).

A l 12 D iseñe una colum na ( k acero circular hueca de peso m ínim o p ara e l tanque d e agua q u e se m uestra en b figura 3.72. S peso d e l tanque (H O es d e 100000 Ib y la a ltu ra e s d e 50 pies. E] esfuerzo inducido en la colum na no d eberá exceder la resistencia d e fluencia d e l m aterial, la cual e s d e 3 0 0 0 0 Ib/pulg2,



329

a ia n d o s e som ete a aceleración d e l suelo arm ónica (debido a un sism o) d e 0 .5 g d e am plitud y 15 H z de frecuencia. A dem ás, la frecuencia natural d e l tanque d e agua no d eberá s e r m ay o r que 15 Hz. Suponga ro a relación d e am ortiguam iento d e 0. 15 para la colum na.

*(0

XO F ig u ra 3.71

F ig u ra 3 .7 2


CAPÍTULO 4 V ib ra c ió n en co nd icio n e s fo rza d a s

Matemático francés y profesor de la Ecole Polytechnique en París. Sus trabajos sobre flujo de calor, publicados en 1822 y acerca de series trigonométricas son muy cono• cidos. La expansión de una fundón periódica en cuanto a las funciones armónicas fue nombrada en su honor como “serie de Fourier". (Reproduddo con permiso de A p p lie d M ech a n ics R e v ie w s)

Jean Raptiite Fourier (1768-1830)

E s q u e m a d e l c a p itu lo O bjetiv o s d e aprendizaje 331

48

M étodos n u m érico s 392

4.1

Introducción 331

4.9

4.2

Respuesta bajo u n a fuerza periódica

R espuesta a condiciones forzadas irregulares o b ten id a aplicando m éto d o s num éricos 396

4.10


general 332

330

4.3

Respuesta bajo u n a fuerza periódica d e fo rm a irregular 345

4.4

Respuesta bajo una fuerza no periódica 347

R eferencias 404

45

Integral d e convolución 347

P reguntas d e re p aso 404

4.6

E spectro d e resp u esta 359

P ro b lem as 407

4.7

T ransform ada d e Laplace 371

P ro y e c to s d e diserto 428

R esum en del capitulo 403


4.1


331

E s te c a p ítu lo se o c u p a d e la r e s p u e s ta v ib ra to ria d e u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d s o m e tid o a c o n d ic io n e s f o r z a d a s a rb itr a ria s . L a re s p u e s ta d e l s is te m a s o m e tid o a fu e rz a s p e r ió d ic a s g e n e ra le s s e p re s e n ta e x p a n d ie n d o p r im e r o l a fu e rz a p e r ió d ic a a i u n a s e r ie d e fu e rz a s a r m ó n ic a s m e d ia n te la s e r ie d e F o u r ic r y lu e g o s u p e r p o n ie n d o l a s re s p u e s ta s d e r iv a d a s d e la s fu e rz a s a r m ó n i c a s in d iv id u a le s . L a re s p u e s ta d e l s is te m a s o m e tid o a u n a fu e rz a n o p e r ió d ic a s e p r e s e n ta s ig u ie n d o d o s m é to d o s , e l d e l a in te g ra l d e c o n v o lu c ió n y e l d e l a tra n s fo rm a d a d e L a p la c e . H m é to d o d e la in te g ra l d e c o n v o lu c ió n . o d e D u h a m e l, u tiliz a l a fu n c ió n d e r e s p u e s ta a l im p u ls o d e l s is te m a . E l m é to d o ta m b ié n se u tiliz a p a ra d e te r m in a r la re s p u e s ta a e x c ita c ió n d e b a s e y s e p r e s e n ta n v a r io s e je m p lo s p a ra ilu s tr a r su u s o . T a m b ié n s e d e lin e a e l c o n c e p to d e e s p e c tro s d e re s p u e s ta c o r r e s p o n d ie n te a fu n c io n e s f o rz a d a s e s p e c íf ic a s y s u u s o e n la d e te r m in a c ió n d e l a re s p u e s ta m á x im a d e l s is te m a . A s im is m o , s e c o n s id e r a e l e s p e c tr o d e r e s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te a l a e x c ita c ió n d e b a s e , c o m o l a c a u s a d a p o r u n s is m o . S e ilu s tr a n l o s e s p e c tr o s d e re s p u e s ta típ ic o s a u n s is m o y s u u s o e n l a b ú s q u e d a d e l a s re s p u e s ta s d e e s tr u c tu r a s d e e d ific io s . T a m b ié n s e d e f in e n l o s c o n c e p to s d e p s e u d o v e lo c id a d y d e e s p e c tr o p s e u d o a s o c ia d o . E l d is e ñ o d e s is te m a s b a jo un a m b ie n te d e c h o q u e se a n a liz a ju n to c o n u n e je m p lo ilu s tra tiv o . S e p r e s e n ta la tra n s f o rm a d a d e L a p la c c y su u s o p a ra d e te r m in a r la re s p u e s ta t a n t o d e s is te m a s d e p r im e r o rd e n c o m o d e s e g u n d o o r d e n . S e c o n s id e r a n la s r e s p u e s ta s b a jo f u n c io n e s d e im p u ls o , e s c a lo n a d a s y d e r a m p a . S e c o n s id e r a n p ro b le m a s d e c o l i sió n n o e lá s tic a y e lá s tic a c o m o a p lic a c io n e s d e c á lc u lo d e re s p u e s ta d e im p u ls o . T ie n e n su e s p a c io d e e s tu d io e l a n á lis is d e r e s p u e s ta e s c a lo n a d a y la d e s c rip c ió n d e re s p u e s ta tra n s ito ria e n fu n c ió n d e tie m p o p i c o , tie m p o d e s u b id a , s o b re p a s o m á x im o , tie m p o d e a s e n ta m ie n to y tie m p o d e d e m o r a . L a re s p u e s ta d e s is te m a s e n c o n d ic io n e s f o r z a d a s irre g u la re s m e d ia n te m é to d o s n u m é r ic o s , in c lu id o e l m é to d o d e R u n g e -K u tta d e c u a r to o r d e n , s e p re s e n ta j u n to c o n e je m p lo s ilu s tra tiv o s . P o r ú ltim o , e l u s o d e p r o g r a m a s M A T L A B p a ra d e te r m in a r la re s p u e s ta d e u n s is te m a s o m e tid o a fu n c io n e s fo rz a d a s a rb itr a ria s s e ilu s tra c o n e je m p lo s .

O b je tiv o s d e a p re n d iza je Al te r m in a r e s t e c a p í t u lo , u s te d d e b e r á s e r c a p a z d e r e a liz a r l o s ig u ie n te : • •

E n c o n tra r l a s r e s p u e s ta s d e s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d s o m e tid o s a fu e rz a s p e r ió d i c a s g e n e r a le s m e d ia n te l a s e r ie d e F o u ric r. U tiliz a r e l m é to d o d e c o n v o lu c ió n o in te g ra l d e D u h a m e l p a ra r e s o lv e r p r o b le m a s d e v i b r a c ió n d e s is te m a s s o m e tid o s a fu e rz a s a rb itra r ia s .

•

E n c o n tr a r l a re s p u e s ta d e s is te m a s s o m e tid o s a s is m o s u tiliz a n d o e s p e c tr o s d e re s p u e s ta .

•

R e s o lv e r s is te m a s n o a m o r tig u a d o s y a m o r tig u a d o s s o m e tid o s a f u e rz a s a r b itr a r ia s , e n tre e lla s fu e rz a s d e im p u ls o , e s c a lo n a d a s y d e r a m p a , m e d ia n te l a tra n s fo rm a d a d e L a p la c e .

•

E m e n d a l a s c a r a c te rís tic a s d e re s p u e s ta t r a n s ito r ia , c o m o e l tie m p o p i c o , e l s o b r e p a s o , el tie m p o d e a s e n ta m ie n to , e l tie m p o d e s u b id a y e l tie m p o d e d e m o r a , a s í c o m o p ro c e d im ie n to s

•

A p lic a r m é to d o s n u m é ric o s p a r a r e s o l v a p r o b le m a s d e v ib r a c ió n d e s is te m a s s o m e tid o s a

•

R e s o l v a p r o b le m a s d e v ib r a c ió n fo rz a d a u tiliz a n d o M A T L A B .

p a ra s u e s tim a c ió n . fu e rz a s q u e s e d e s c rib e n n u m é r ic a m e n te .

4.1

in t ro d u c c ió n E n el c a p ítu lo 3 c o n s id e r a m o s l a re s p u e s ta d e u n s is te m a d e u n so lo g r a d o d e lib e rta d s o m e tid o a e x c ita c ió n a rm ó n ic a . S in e m b a r g o , m u c h o s s is te m a s p r á c tic o s s e s o m e te n a v a rio s tip o s d e c o n d ic io n e s fo rz a d a s q u e n o s o n a r m ó n ic a s . L a f u n c ió n fo r z a d a g e n e ra l p u e d e s e r p e r ió d ic a (n o a rm ó n ic a )


332

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as o no p e rió d ic a . L a s fu e rz a s n o p e r ió d ic a s in c lu y e n f u e rz a s c o m o u n a fu e rz a c o n s ta n te a p lic a d a cfc re p e n te (lla m a d a f u e r z a g r a d u a l ), u n a fu e rz a q u e c r e c e lin e a im e n te ( lla m a d a f u e rz a r a m p a ) y u n a fu e rz a q u e v a r ia e x p o n c n c ia lm c n lc . U n a f u n c ió n fo rz a d a n o p e r ió d ic a p u e d e a c tu a r c o n u n a d u ra c ió n c o r ta , la r g a o i n f in ita . U n a fu n c ió n fo rz a d a o e x c ita c ió n d e c o r ta d u r a c ió n c o m p a r a d a c o n d p e r io d o n a tu ra l d e l s is te m a s e lla m a c h o q u e . E je m p lo s d e fu n c io n e s fo rz a d a s g e n e r a le s s o n e l m o v im ie n to im p a rtid o p o r u n a le v a al s e g u id o r , l a v ib ra c ió n p e rc ib id a p o r u n in s tru m e n to c u a n d o su e m p a q u e s e d e ja c a e r d e s d e u n a a ltu ra , l a fu e rz a a p lic a d a a la c im e n ta c ió n d e u n a p r e n s a d e f o r ja , d m o v im ie n to d e u n a u to m ó v il c u a n d o p a s a p o r u n b a c h e y la v ib ra c ió n d e l s u e lo d e u n a e s tr u c tu r a cfc e d if ic io d u ra n te u n s is m o . Si la f u n c ió n fo rz a d a e s p e rió d ic a p e ro n o a rm ó n ic a , p u e d e s e r re e m p la z a d a p o r la s u m a de fu n c io n e s a r m ó n ic a s p o r m e d io d e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is a rm ó n ic o e s tu d ia d o e n la s e c c ió n 1.11. U tiliz a n d o e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n , l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e p u e d e d e te r m in a r s u p e r p o n ie n d o la s re s p u e s ta s p r o d u c id a s p o r la s f u n c io n e s f o rz a d a s a r m ó n ic a s in d iv id u a le s . R t r lo c o m ú n , l a r e s p u e s ta d e un s is te m a s o m e tid o a c u a lq u ie r tip o d e f u e rz a n o p e r ió d ic a se ( k te rm in a m e d ia n te l o s s ig u ie n te s m é to d o s : 1. I n te g ra l d e c o n v o lu c ió n , 2 . T r a n s fo r m a d a s d e L a p la c c . 3 . M é to d o s n u m é ric o s . L o s d o s p rim e ro s s o n a n a lític o s , e n lo s c u a le s l a re s p u e s ta o s o lu c ió n s e e x p r e s a e n u n a fo r m a q u e a y u d a al e s tu d io d e l c o m p o r ta m ie n to d e l s is te m a b a jo l a fu e rz a a p lic a d a c o n re s p e c to a v a rio s p w á m c tro s y a l d is e ñ a r e l s is te m a . ft> r s u p a r te , e l t e r c e r m é to d o s e p u e d e u tiliz a r p a ra h a lla r la re s p u e s ta d e u n s is te m a s o m e tid o a c u a lq u ie r fu e rz a a r b itr a r ia p a ra e l c u a l u n a s o lu c ió n a n a lític a es d if íc il o im p o s ib le d e e n c o n tra r. S in e m b a r g o , la s o lu c ió n h a lla d a e s a p lic a b le s ó lo p a r a e l c o n ju n to p a r tic u la r d e v a lo r e s d e p a rá m e tro u tiliz a d o s e n la b ú s q u e d a d e l a s o lu c ió n . E s to h a c e d ifíc il e s tu d ia r e l c o m p o r ta m ie n to d e l s is te m a c u a n d o l o s p a rá m e tro s c a m b ia n . E s te c a p ítu lo p r e s e n ta los tre s m é to d o s d e so lu c ió n .

4 .2

R e s p u e s ta b a jo u n a fu e r z a p e r ió d ic a g e n e ra l O t a n d o l a fu e rz a e x te r n a F (t) e s p e r ió d ic a r ■ 2 tt/ oj, s e p u e d e e x p a n d ir e n u n a s e rie d e F o u r ie r (v e a la s e c c ió n 1 .1 1 ):

F (l) = y

+

a¡ eos jio t + ¿

b jx n jtü i

(4 .1 )

J = 0,1,2,...

(4 .2 )

cbnde aj = *

bj =

F (/) eos jío id r ,

F (l) sen jio td t,

j = 1,2, . ..

(4 .3 )

l a re s p u e s ta d e s is te m a s s o m e tid o s a fu e rz a s g e n e r a le s p e r ió d ic a s s e c o n s id e ra e n e s t a s e c c ió n p a r a s is te m a s d e p rim e ro y s e g u n d o o rd e n . L o s s is te m a s d e p r im e r o r d e n s o n a q u e llo s p a r a los c u a l e s la


4 .2

B arra rígida (« n m asa)

R e sp u e sta bajo u n a fu erza p e r ió d ic a g e n e r a l

333

,— — ____ J m

7

B arra rígida (sin masa)

4o

*>

» -

B arra r íg id a _ ^ t_____ (s n m a s a )

J =

i

A Ie

-»(')

:

777777777777777 c t+ k x - M

ex + k x = ky(l) (a )

Cb> A m ortiguador (c,)

(c) F ig u ra 4 .1 E jem plos de sistem as de p rim e r o rd e n .

e c u a c ió n d e m o v im ie n to e s u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l d e p r im e r o rd e n . A s im is m o , lo s s is te m a s d e s e g u n d o o n l c n s o n a q u e llo s p a r a lo s c u a l e s la e c u a c ió n d e m o v im ie n to e s u n a e c u a c ió n d if e re n c ia l d e s e g u n d o o rd e n . E n la s fig u r a s 4 .1 y 4 .2 s e m u e s tra n e je m p lo s típ ic o s d e s is te m a s d e p rim e ro y s e g u n d o o r d e n , re s p e c tiv a m e n te .

C o n s id e re u n s is te m a d e re s o rte -a m o rtig u a d o r s o m e tid o a u n a e x c ita c ió n p e rió d ic a c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 4.1 ( a ). L a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s is te m a e s

S is te m a s de p r im e r o rd e n

ex + k (x donde y (í)

y) = 0

(4 .4 )

e s u n m o v im ie n to p e r ió d ic o ( o e x c ita c ió n ) im p a rtid o a l s is te m a e n e l p u n t o A ( p o r

e je m p lo , p o r u n a

le v a ). S i e l d e s p la z a m ie n to p e r ió d ic o d e l p u n to A , y ( 0 . s e e x p r e s a e n l a s e r ie d e

F o u rie r c o m o l o in d ic a e l la d o d e r e c h o d e l a e c u a c ió n (4 .1 ). l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s is te m a se e x p r e s a c o m o OO

x + a x = a y = Ao +

00

^ A j s e n lú jt + ^ B j e o s i o jt 7=1 7=1

(4 .5 )

donde a «

A0 =

A j = a ü j,

B j = a h j,


u>, = j u i.

j = 1,2,3,...

(4 .6 )

334

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as B arra rígida (sin masa) “

1 >i»

i X(l) lile

Y 77777-777777. mX + cX + k x = f{i)

'/ / / / / / / / / , m x + ex + k x = *>(;)

(a)

(b)

JÓ + e f i + Icfi = T ( l )

(C) F ig u ra 4 .2 E jem plos de siste m a s de se g u n d o o rd e n . L a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 4 .5 ) s e p re s e n ta e n e l e je m p lo 4 .1 .

E je m p lo 4.1

R e sp ue sta d e u n siste m a d e p rim e r o rd e n s o m e tid o a u n a fu e rza p eriódica Encuentre la respuesta d e l sistem a de rcsorte-am ortigua& ir q u e s e m uestra e n la figura 4. l ( a ) som etido a una b e r z a periódica con la ecuación d e m ovim iento d ad a p o r la ecuación (4.5). S olución: S e v e q u e e l lado (fcrecho de la ecu ació n d e m ovim iento, la ecu ació n (4.5). e s una constante más m a sum a lineal d e funciones arm ónicas (seno y coseno). U tilizando e l principio d e superposición, la solución de e stad o estable de la ecuación (4 .5 ) se determ ina sum ando la s soluciones d e e stad o estable correspondientes a lo s térm inos forzados en e l lado (fcrecho cfc la ecuación (4.5). La ecuación d e m ovim iento correspondiente a la fuerza constante 4*, s e expresa, con Xq e n lu g ar d e x , como (E .1) La solución d e la ecuación (E . I ) e s (se puede verificar sustituyendo e n la ecuación (E . 1):

(E .2)

* o (0 = La ecuación
xj

+

axj

=

A j sen a y


(E.3)

4

2


335

en la c u a l la so lu c ió n d e e s ta d ) e s ta b le d e la e c u a c ió n ( E 3 ) s e s u p o n e c o m o

x j ( l ) = X j se n (¡)

(E 4 )

donde la m agnitud X; y el án g u lo de fase 4>j indican las constantes desconocidas que se van a determ inar. 1.a solución e n la ecuación ( E 4 ) se ex p resa c o m o la p arte im aginaria de la siguiente solución en form a com pleja: x j(i) =

\ = X ¡ é mte - * > = Uje*»1

(E.5)

d a n d e Uj indica el núm ero com plejo: U j = X jf-* * !

(E 6 )

O bservando q u e la derivada d e * / / ) con respecto a l tiem po es i/o

= U ü jU ^ S

(E.7)

l a ecuación ( E 3 ) se puede ex p resar con e l térm ino forzado e n form a com pleja (en el entendido d e q u e sólo nos interesa la p arte im aginaria d e la solución):

Xj + a x j = Á j e = A j(coso> jt + i s e n a tjt)

(E.8)

S i insertam os las ecu acio n es ( E 5 ) y ( E 7 ) e n la ecuación ( E 8 ) . obtenem os ¡ a tjU je ^ f + aaUje*'4 = A

C om o

^ 4

(E.9)

* 0 . la ecuación ( E 9 ) se reduce a

iajjUj + aUj = A j

(E10)

¡— = ----------' a + latj

(Eli)

Aj Uj = Xjé*+> = — — ‘ ‘ a + iaij

( E l 2)

j

L as ecuaciones < E 6 ) y (E .l I) d a n p o r resultado

E xpresando

a -

“ :

im j

com o

a a

+

(a +

iu t j

mJ

¡o > j)(a

-

io tj)

V a 7

' ‘V Z T Z jl

1R' 3)

La ecuación ( E l 3) s e reescribe como

( E l 4)

^

=

- lmm*A =


336

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as cbnde 0; = t a n - ' ^

(E.15)

Utilizando la ecuación (E . 14) e n la ecu ació n ( E 12). vem os que

XJ " T~7 T "

v

♦ / - “ ““* ( ? )

R>r lo tanto, la ecuación ( E 4 ) d a la solución de la ecuación (E .3) c o n Xf y <¡>t dados por la ecuación ( E 16). La ecuación de m ovim iento bajo la tuerza B/ eos a y se ex p resa como i j

+ a xj =

B,

eos a j j l

(E.I7)

Suponiendo la solución d e estado estable d e la ecu ació n ( E 17) e n la form a X j ( t ) = Y jC O *(*jt - 4>,)

h s c onstantes Y/ y ; se determ inan procediendo c o m o en e l c a so de la solución d e la ecu ació n ( E 3 ) com o B Yj = T 7 =

.

* j = t a n - '( ^ )

(E ..9 )

La solución d e estada estable co m pleta ( o particular) d e la ecu ació n (4.5) se expresa com o

« " í ' h

&

r b

*

- -" (v )}

- “ “" ( ? ) }

(E 2o>

cbnde la ecu ació n (4.6) á a .a .A Q, A r Bl y oy N o ta : L a sum a d e las soluciones de e stad o estable hom ogénea y particular d a la solución total d e la ecuación (4.5): * ( 0 = * * ( 0 + * > (0

(E.21)

cbnde la ecuación (E 2 0 ) d a la so lu ció n p articular y la so lu ció n h om opfnca de la ecu ació n (4 .5 ) s e expresa como x „ ( t) = C e * -

(E.22)

donde C e s una constante desconocida que se tiene q u e d eterm inar utilizando la condición inicial d e l sistem a, l a solución total s e ex p resa como A * (0 = &

" + ~

00

00 +

“ (* » / "


* ^ Y j eos (a>jt - 4>j)

(E 2 3 )

4

2


337

C uando se utiliza la c o n d ició n inicial x (i c 0 ) ** *0 en la ecuación (E .23). o btenem os

*0 = C + ^

-

| j X ya e n * y + f j l j eos 4>j

(E.24)

la cual da C = x0 -

sen j -

Yj eos

(E.25)

ft»r lo tanto, la so lu ció n total d e la ecuación (4.5) es

• * ( ') = ["*0 “ “ T

+ — + ^ X j s e n ^ j t - 4>j) + ^ Y j f x a ( w dl - ¿)

(E.26)

l a s características d e la respuesta d e l sistem a se pueden estudiar si co nsideram os u n tip o m ás sim ple d e fun d ó n fo rrad a m ediante e l ejem plo siguiente.

E je m p lo 4 .2

R e sp u e sta d e un sis te m a d e p rim e r o rd e n Determ ine la respuesta d e un sistem a resorte-am ortiguador, sem ejante al q u e se m uestra e n la fig u ra 4.1 (a ) con t i ecuación d e m ovim iento: i + 1.5* = 7.5 + 4.5 eos i + 3 sen 5/ Suponga la solución inicial c o m o x ( i m 0) — 0.

Solución: La ecuación d e m ovim iento d e l sistem a está d ad a por x + 1.5* = 7.5 + 4.5 c o s í + 3 s e n 5 í

( E l)

Prim ero hallam os la solución d e la ecu ació n diferencial considerando u n térm ino fo rrad o a la v e r d a d o en d lado derecho d e la ecuación (E. 1) y luego sum am os las soluciones ja r a d eterm inar la solución total d e la ecuación ( R 1). Para el térm ino constante, la ecuación a resolver es * + 1.5* = 7.5

(E 2 )

La solución d e la ecu ació n ( E 2 ) es * ( /) = 7 .5 /1 .5 — 5. P a ra e l térm ino c o se n o , la ecuación a resolver está d ad a por * + 1.5* = 4 .5 eos /

(E 3 )

Utilizando la so lu ció n d e e stad o estable indicada e n la ecuación ( E 2 1 ) d e l ejem plo 4.1. ex p resam o s la solución de la ecuación ( E 3 ) com o * (/) =

Y e o s (l ~ 4>)


(E .4 )

338

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as cbnde Y =

4.5

4.5

V (l.5 )2 + (O 2

VÁ25

d» = tan ' ^

= 2.4961

(E .5)

| = 0.5880 rad

(E .6)

Asim ism o. para e l térm ino seno, la ecuación a resolver es (E .7)

x + 1.5x = 3 s e n 5 í

A p lica n te la solución de e stad o estable indicada e n la ecuación (E .4) d e l ejem plo 4.1. expresam os la solución de la ecuación ( E 7 ) com o x ( í ) = X s e n ( 5 / - 4>)

(E .8)

dm de X =

= 0.5747 V ( l.5 ) 2 + (5 )2

(E .9)

V?h25

2 793 rad

(E 1 0 )

* “ “ “ ( i l ) = 1:

P b r lo tanto, la su m a d e las soluciones d e las ecu acio n es (E 2 ). ( E 3 ) y ( E 7 ) d a la so lu ció n particular total de b ecu ació n ( R I ): * ( / ) = 5 + 2.4961 c o » (f - 0.5880) + Ü 5747 s c n ( 5 / - 1.2793)

Figura 4-3


(E li)

4

2


339

La fu n ció n fo rza d a d ad a p o r la ex p resió n d e l lado d erecho e n la ecu ació n ( E l ) y la respuesia de e stad o estable d e l sistem a d a d o por la ecuación (R 1 1 ) s e m uestran gráficam ente e n la figura 4.3. Ix»s d o s prim eros térm inos de la respuesta (dados p a r los prim eros d o s térm inos d e l lado derecho de la ecuación ( E l i ) tam bién s e m uestran en la figura 4.3. S e v e q u e e l sistem a no filtra e l térm ino constante. S in em bargo, s í filtra la frecuencia baja (térm ino co se n o ) hasta cierto grado y la alta frecuencia (térm ino seno) a un grado m ayor.

4 . 2 .2 ____________

S o m é ta s e u n s is te m a d e

r e s o rte -m a s a -a m o r tig u a d o r, fig u ra 4 .2 ( a ) , a u n a fu e rz a p e rió d ic a . É s te es un

siste m a d e s e g u n d o o r d e n p o iq u e l a e c u a c ió n r e c to r a e s u n a e c u a c ió n d ife re n c ia l d e s e g u n d o o rd e n :

S is te m a s de se gu n d o o rd e n

mi

+ ci +

kx = / ( O

<4 7 >

Si l a fu n c ió n fo rz a d a / ( / ) e s p e rió d ic a , s e p u e d e e x p r e s a r e n l a fo rm a d e s e rie d e F o u r ie r d e m o d o q u e l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e c o n v ie r ta e n

n m x

+ e x + k x = F (t)

=— 2

00

00

+ ^ a j eos ja * + ^ b j sen ja * j =i

(4 .8 )

L a d e te r m in a c ió n d e l a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 4 .8 ) s e ilu s tra e n e l e je m p lo 4 .3 ,

E je m p lo 4 .3

R e sp ue sta d e un sis te m a d e s e g u n d o o rd e n s o m e tid o a u n a fu e rz a p e rió d ic a D eterm ine la respuesta d e un sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador sujeto a una fuerza periódica c o n la e c u a ción d e m ovim iento d ad a p o r la ecu ació n (4.8). Suponga las c o n d icio n es iniciales c o m o cero.

.Solución: F] lado d erecho d e la ecuación (4.8) e s una constante m á s una sum a d e fu n cio n es arm ónicas. U tilizando e l principio d e superposición, l a solución d e e stad o estable d e la ecu ació n (4.4) e s l a su m a d e las soluciones d e e stad o estable d e las siguientes ecuaciones:

mx + ex +

kx=

y

(E l)

m x + ex +

kx=

a , eos jta t

(E 2 )

mx + ex +

kx=

b j sen j a i

(E 3 )

O bservando que la so lu ció n d e la ecuación ( E I ) está d ad a por

* ,< » = f t

(M I

y . utilizando los resultados d e la sección 3.4. las solu cio n es d e las ecu acio n es (E .2) y ( E 3 ) se ex p resan , res pectivam ente. com o { a j/k )


340

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as cbndc

=

(E7>

r = i

(E .8 )

R>r lo tanto, la solución d e estado estable co m pleta de la ecuación (4 .8 ) e s resultado de a V ,) = n

(a v /i) + %

v ( , - f . ' - f + ( n , r ? c" (jM I ‘ * *

*I

v (. -

t w » ” (> " - *J>

Se v e p o r la solución d e la ecuación (E.9). q u e la am plitud y desplazam iento de fase correspondientes al term ino y-csim o dependen de y. S i ja» = io„, para c u a lq u ie r;, la am plitud del arm ónico correspondiente será arm parativam ente grande. Fsto será particularm ente cierto c o n valores pequeños d e j y £ . A dem ás, a m edida que j crece, la am plitud se reduce y los térm inos correspondientes tienden a cero. R )r lo tanto, los prim eros térm inos breves suelen s e r suficientes para o b ten e r la respuesta con una razonable exactitud. La solución d ad a por la ecuación (E .9) indica la respuesta de estado estable d e l sistem a. La p arte tran sitoria d e la solución que surge d e las c o n d icio n es iniciales tam bién se puede incluir p ara hallar la solución com pleta. P a ra esto tenem os q u e e v alu ar las c onstantes arbitrarias fijando el v a lo r d e la solución c o m p le ta y sus derivadas a los valores especificados d e desplazam iento inicial x<0) y la velocidad inicial ¿ (0 ). El resultado a u n a expresión com plicada p ara la p arte transitoria d e la solución total.

E je m p lo 4 .4

v ib r a c ió n p e rió d ica d e u n a v á lv u la h id rá u lic a E n e l estudio d e las vibraciones d e v álvulas u tilizadas en sistem as d e control hidráulico, la válvula y su vástago elástico se m odelan c o m o un sistem a am ortiguado de resorte-m asa, com o s e m uestra e n la figura 4.4
Solución: l a válvula se puede considerar c o m o una m asa conectada a un resorte y u n am ortiguador p o r un lado y som etida a una función forzada F [i) por e l o tro . La función forzada s e expresa como

F ( l ) = A p ( ,)

( E l)

dando A es e l área d e sección transversal de la cám ara, dada por "(5 0 )2 A = — - — = 6 2 5 tt mm* = 0.00 0 6 2 5 w m 1


(E .2)

4 .2


341

(a )

F ig u ra 4 .4 Vibración periódica d e u n a válvula h id ráu lica .

y p ( t ) e s la presión q u e actúa sobre la válvula e n cu alq u ier instante /. C óm o p (i) e s periódica c o n periodo t = 2 segundos y 4 es una constante. F (i) tam bién es u n a función periódica d e perio d o t 2 segundos. La frecuen cia d e la función forzada c s w = (2 w /r) = rr rad/s. F (l) s e expresa en la form a d e u n a serie d e F o u ric r com o F ( i) = ^

+ 0 \ e o s o íí + a 2 eos 2u>i + + fe, s e n a»!+ ¿>2 sen 2
(E 3 )

donde las ecuaciones (4.2) y (4.3) d a n a¡ y b¡. C om o la función F \l) está d ad a por ( 50,000 A i

d urante O í f «

F (,) = < ( 5 0 ,0 0 0 4 (2 - / )

^ (E 4 )

d urante -

^ r

y b js e calculan con ay u d a de las ecuaciones (4.2) y (4.3):

los coeficientes d e F ourier

*o =

í

í

a¡ =

' ~

^

50,000 A i d i + jí" 5 0 ,0 0 0 4 (2 - / ) d / J

j

5 0 ,0 0 0 4 / eos ir id i +

* 0 .0 0 0 4 (2

-

= 50,0004

(E.5)

/ ) c o s t t / < / / J

2 X 10*4

(E.6)

tt2

=

?r * ^ J 5 0 ,0 0 0 4 /sen w /í/f +

=

C /

5 0 '0 0 0 '4 ,C O s 2 w ,J ,

.*0,0004(2 - / ) s c n í r / d / j = 0

+/

SO’OOOA( 2 “ 0 C O S 2 W /J /J


=0

(E.8)

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as

=

50,000/1/ s e n 2 ir td ¡ + j

50.000/4(2 - / ) s e n 2 i r / d / J = 0

/ 50,000/4/ eos yi nn !t dd ii + +

5 0 ,0 0 0 .4 ( 2

“i = U

5 0 ,0 0 0 /4 /

(E .9)

- /) eos b r id l

2 X I 0 5*

(E .I0 )

9n~

|J^J

frj = = | [ 50.000/4/ sen Trntát Im td t +

jf / ¡50.000/4(2 - / ) s e n 3 ir /d i

I = 0

(E l!)

r t l m ism o m o d o , o btenem os aA = a* = ■■■ = bt = b$ = b¿ = ... = 0. C onsiderando sólo los prim eros tres arm ónicos, la función forzada se p u ed e escribir d e form a aproxim ada com o:

(E l 2,

l a respuesta d e e stad o estable d e la válvula a la función forzada de la ecu ació n ( R 12) se expresa com o , .

( 2 X lti* A /{ k v * ) )

25,000/4 =

*

V (1

~

- r* )1 + (2 fr)}

V (1 - ür2)2 + (6¿r)3 La frecuencia natural d e la válvula está d a d a por tj

12500

m

V 0.25

= 100 rad/s

(E . 14)

y la frecuencia forzada la da o» =

^

= i r ra d /s

(E . 15)

R>r lo tanto, la relación de frecuencia s e obtiene: r = — = ~ = 0.031416 o>„ 100

(R 1 6 )

y la relación d e am ortiguam iento: r = — = = -------- — -------Cc 2mu>n * 2 (0 .2 5 )(I0 0 ) Los ángulos d e fase
4>\ = tan ’

1A)


0.2

(R 1 7 ) ’

4

2


343

(irb ) \

1 - 9 (0.031416)

/

r t acuerdo c o n las ecu acio n es ( E 2 ) y ( E 14) a ( E 19), la solución se escribe com o xp( i ) =

O í)

19635 - 0.015930 c o s (

ttí

- 0.0125664)

- 0.0017828 c o s(3 irr - 0.0380483) m

E je m p lo 4 .5

(E.20)

R e s p u e s t a t o t a l b a jo e x c it a c ió n a r m ó n ic a d e la b a s e E ncuentre la respuesta total de un sistem a viscosam ente am ortiguado d e un solo grado de libertad som etido a excitación arm ónica d e la base c o n los siguientes datos: m = 10 k g , c = 2 0 N -s/m , k = 4 0 0 N/m , >
ex

+ k x = k y + c y = k Y s e n túl + ciuY eos w r

(E l)

Cb servando q u e la ecu ació n (E. 1) e s sem ejante a la ( 4 / ) con a 0 = 0 . a , = cojY. b , = k Y . y a, = b, «* 0 ; ¡ = 2. 3 ,.... la respuesta d e estado estable d e l sistem a se expresa, utilizando la ecu ació n (E .9) d e l ejem plo 4 .3 . com o

x'w

~~ V ( 1 -

+ (2 M »

h

(E.2) c o ,( “ ' ■

+ T

- «

P ara los datos d aJo s. encontram os

Y = 0.05 m . r= “

tú = 5 ra d /s.

tú„ =

= ; l = a25, 20

= 20 rad/s , 20 = 0.05 2 V (4 0 0 0 )(1 0 )

iV k m

*

tod = V i - (T2 a», = 19.975 rad/s q = ctúY = ( 2 0 ) ( 5 ) (0 .0 5 ) = 5,

=

= V l-rV

V(1

-

r 2 )2

+ (2£ r ) 2 =

b¡ = k Y = (4 0 0 0 ) (0 .0 5 ) = 200

V(1

= 0.02666 rad \

I — (0.25)

/

- 0 .2 5 2)2 + <2 ( 0 .0 5 ) ( 0 .2 5 ) ) J = 0.937833.


344

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as E nseguida s e d a la solución de la ecuación hom ogénea (vea la ecuación 2.70)): -<*(') = X o e ' ^ ' c o s ^ r - 4>o) = X o t~ ' e o s (19.975/ - 0)

(E .3)

d m d c X0 y ifo so n c onstantes desconocidas. La so lu ció n total s e puede ex p resar c o m o la superposición de * * ('> y

xp(i)c o m o

x (l) = X oe-‘ cos(19.975/ - <*>) +

‘ 7 7 ^ i c o s ( 5' “
- « ]

= A ^ je ~ 'c o s(l9 .9 7 5 / - ¿ o ) + 0.001333c o s (5 í - 0.02666) + 0.053314 s e n (5 í - 0.02666)

(E 4 )

(b n d c las incógnitas *<, y f a s e pueden hallar a partir d e las condiciones iniciales. La velocidad d e la m asa se ex p resa con la ecu ació n ( E 4 ) com o

¿ (0 = “

( 0 = -X o e

'

e o s (19.975/ - f a ) -

19.975X„e ' sen (1 9 .9 7 5 í - * 0)

- 0.006665 s e n (5 r - Q 02 6 6 6 ) + 0 2 6 6 5 7 2 e o s ( 5 / - 0.02666)

(E .5)

Utilizando la s ecuaciones ( E 4 ) y (E 5 ). encontram os *0 = x ( l = 0 ) = 0.02 = X q eos tf»Q + 0.001333 c o s(0 .0 2 6 6 6 ) - 0.053314 scn(0.02666)

X q eos f a = 0.020088

(E .6)

y ¿ o = x ( l = 0 ) = 10 = -X q C O S ô + 19.975 X0 sen f a + 0.006665 sen (0 .0 2 6 6 6 ) + 0 2 6 6 5 7 2 e o s (0 .0 2 6 6 6 )

o - Xq e o s f a + 19.975 s c a f a = 9.733345

(E .7)

l a solución d e la s ecu acio n es ( R 6 ) y ( E 7 ) d a p o r resultado X0 = 0.488695 y f a = 1.529683 rad. P o r lo tanto, b respuesta total d e m asa som etida a excitación d e la b a se , e n m etros, está d ad a por x ( r ) = 0.488695*"' e o s (19.975/ - 1.529683) + 0.001333 e o s ( 5 r - 0.02666) + 0.053314 s e n ( 5 / - 0.02666)

Nota: l a ecuación ( E 8 ) s e traza e n e l ejem plo 4.32.


(E 8 )

4 .3

4 .3

R e sp u e sta b a jo u n a fu e r z a p e r ió d ic a d e form a irr eg u la r

345

R e sp u e s ta b a jo u n a fu e rz a p e rió d ic a de fo rm a irre g u la r En algunos casos, la fuerza que actúa en un sistema puede ser bastante irregular y se puede determi nar sólo experimentalmente. Ejemplos de tales fuerzas incluyen las fuerzas inducidas por el viento y los sismos. En esos casos, las fuerzas estarán disponibles en forma gráfica y no se puede encontrar ninguna expresión analítica para describir F(t). En ocasiones, el valor de F \i) puede estar disponible sólo en algunos puntos discretos /,. / i..... /*. En todos los casos es posible encontrar los coeficientes de Fouricr por medio de un procedimiento de integración numérica, como se describe en la sección 1.11. Si F ,. F 2 F n indica los valores de F (t) en r , . / j,.... /^respectivamente, donde M inplica un número par de puntos equidistantes en un periodo t ( t = A'A/). como se muestra en la figura 4.5. la aplicación de la regla trapezoidal [4.1] da por resultado

=

<4 «

" i= i

= l " i= I

T

j -

* -2 - -

(4 1 0 >

1 .2 ....

(4-11)

Una vez conocidos los coeficientes de Fouricr Oq, a¡ y la respuesta de estado estable del sistema se determina utilizando la ecuación (4.9) con

'= (£ )

E je m p lo 4 .6

(4,2>

V ib ra c ió n d e e s ta d o e s ta b le d e u n a v á lv u la h id rá u lic a E ncuentre la respuesta d e estado e stab le d e la válvula d e l ejem p lo 4 .4 si las fluctuaciones d e presión en la cám ara son periódicas. A continuación se dan los valores de presión m ed id o s a intervalos d e 0.01 segundos en un ciclo.


C a p ítu lo 4


T iem po. /, 0 (segundos) P , = P i‘,) (k N /m 2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0.11

0.12

20

34

42

49

53

70

60

36

22

16

7

0

S olución: C om o las fluctuaciones d e presión sobre la válvula so n periódicas, e l análisis d e F ourier d e los d ito s d e presión d a d as e n un ciclo da p ( l ) = 34083.3 - 26996.0 eos 52.36/ + 8307.7 s e n 52.36/ + 1416.7 eos 104.72/ + 3608.3 sen 104.72/ - S 3 3 .3 e o s 157.08/ - 2333.3 * n i 57.08/ + . . . N/m?

(E .I )

(Vea e l ejem plo 1.20). O tras cantidades necesarias para el cálculo son ot = — r

=

0.12

= 5 2 3 6 rad/s

= 100 rad/s r = — = 0.5236 £ = 0.2 A - 0.000625/r m J 0.2 x 0.5236 \ *

-

(ir ^ ) -

'

-1 d 2 = tan 1

f

4£r

( 2I

- 0^36*

/

. / 4 X 0 2 X 0.5236 \ = ta n 1 ------------------------VI — 4 r / V i - 4 X 0.52362 J r

\

= 16.1*

= - 77.011

6 ( r \ = tan „ - | Í‘ 6 -----------------X f t 2 X ( 0.5236 V = -2 3 .1 8 ° d , = tan - 1\ ( ---------V i - 9r 2 V I - 9 X 0. -52361 J l a respuesta d e e stad o estable d e la válvula se expresa, utilirando la ecu ació n (E.9) d e l ejem plo 4 3 , com o 34083.3-4

(26996.0A / k )

*

V ( l - r 2)2 + (2 £ r)2

r„(/> =

c o s(5 2 .3 6 / - d i )

(8309.7-4/*) n(52.36/ - d i ) V ( l - r 2)2 + (2 £ r )2 +

(1416.7-4/*) 7 c o s(l0 4 .7 2 / - d ? ) V ( 1 - 4 r ) + (4 (r-y-

(3608.3-4/*) + ■ ■: ..........■■■:................. = se n ( 104.72/ - d j ) V (l- 4 r > ) * + ( 4 {r? (5833.3A / k ) i(157.08/ - d , ) V ( 1 - 9 r 2) + < 6 £ r)2 (2333.3A / k ) s c n ( l 5 7 .0 8 / - d i ) V ( l - 9 r 2) 2 + ( 6 £ r ) !


4 .5

4.4

In teg r a l d e c o n v o lu c ió n

347

Respuesta bajo una fu e rza no periódica Hemos visto que las fuerzas periódicas de cualquier forma de onda general se pueden representar me diante series de Fourier como una superposición de componentes armónicos de varias frecuencias. La respuesta de un sistema lineal se encuentra superponiendo la respuesta armónica a cada una de las fuerzas de excitación. Cuando la fuerza de excitación F(/) es no periódica, como la producida por la onda expansiva de una explosión, se requiere un método diferente de calcular la respuesta. Se pueden utilizar varios métodos para hallar la respuesta del sistema a una excitación arbitraria. A l gunos de estos métodos son los siguientes: 1. 2. 3. 4.

Representar la excitación por medio de una integral de Fourier. Utilizar el método de integral de convolución. Utilizar el método de transformadas de Laplace Integrar numéricamente las ecuaciones de movimiento (solución numérica de ecuaciones dife renciales).

En las siguientes secciones expondremos los métodos 2.3 y 4. (Los métodos numéricos también se consideran en el capítulo 11 en el sitio web de este libro).

4.5

Integral de convolución Pbr lo común, la magnitud de una fuerza de excitación no periódica varía con el tiempo; actúa durante un periodo especificado y luego cesa. La forma más simple es la fuerza impulsiva, la cual es de una gran magnitud F y actúa durante un tiempo muy corto A /. Por la dinámica sabemos que el impulso se puede medir si se encuentra el cambio de momento (o cantidad de movimiento) del sistema que provoca [4.2]. Si j , y indican las velocidades de la masa m antes y después de la aplicación del impulso, tenemos Impulso = F A f = m x j “

(4.12)

Designando la magnitud del impulso F A / como F . podemos escribir, en general.

F = J

í 1* *

Fdt

(4.13)

Un impulso unitario que actúa en t = 0 (/ ) se define como Al* Al

/ =

lím

/

A /-0 J ,

Fdt = Fdt = I

(4.14)

Se ve que para que F d t tenga un valor finito. F tiende a infinito (puesto que d t tiende a cero). El impulso unitario. / = 1. que actúa en t = 0. también se indica por medio de la función delta Dirae como / = / « ( ' ) = « ( ')


(4.15)

348

C a p ítu lo 4


y e l im p u ls o d e m a g n itu d F . q u e a c tú a e n i ■ 0 , s e in d ic a c o n » 1 F = F S (i)

( 4 .1 6 )

R i m e r o c o n s i d e r a m o s l a r e s p u e s t a d e u n s i s t e m a d e u n s o l o g r a d o d e l i b e r ta d a u n a e x c i t a c i ó n d e im p u ls o ; e s t e c a s o e s im p o rta n te a l e s tu d ia r la r e s p u e s ta a n te e x c ita c io n e s m á s g e n e ra le s . C o n s id e re

R 6 S p U 6 S td 3 Ufl jm p u lS O

1,0s i s t e m a d e r e s o r t e - m a s a v i s c o s a m e n t e

a m o r t ig u a d o s o m e t i d o a u n i m p u l s o u n i t a r i o e n

r o m o s e m u e s t r a e n l a s f i g u r a s 4 .6 ( a ) y ( b ) . P a r a u n s i s t e m a n o

/ = 0,

a m o r t i g u a d o , l a s o l u c i ó n d e la

e c u a c ió n d e m o v im ie n to m 'x + e x + k x = 0

( 4 .1 7 )

h d a l a e c u a c ió n ( 2 .7 2 ) c o m o

x (í) =

e ~ {tuJ I x q e o s
£ —2 Í 9 s e n G > ¿ f i

( 4 .1 8 )

dm de

* " ú r.

(4,9)

a * =
-

I T Í: I

( 4 .2 0 )

( 4 .2 1 )

no

X(0 - * 0 )

F

F to - 1

o -A i

(b)

(c )

F ig u ra 4 .6 Un s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d s o m e tid o a u n im p u lso . 'B im pulso u n ita rio ./, que actúa en i - 0 . tam bién se indica por medio d e la función delta Dirac. &(i). Las propiedades de la función d elta D irac e n el tiem po l = r . indicada com o 8(t — son 8 (i -

t)

■

0

£8(1 - r) di = 1.

para i * r ;

j f *(» " r) F ( t ) d t = F ( t )

donde 0 < t < oo. P o r lo tanto, un im pulso d e m agnitud F . q u e actúa en r - r se puede indicar com o F(l) = F6(i - r).


4.5

Integral de convolución

349

S i l a m a s a e s tá e n re p o s o a n te s d e q u e s e a p liq u e e l im p u ls o u n i ta r i o ( x ■ x * 0 p a r a i < 0 o e n i ■ O- ), o b te n e m o s , d e la r e la c ió n d e im p u ls o - c a n tid a d d e m o v im ie n to . I m p u ls o = /

= 1

= m x (i = 0 ) -

m x ( t = O- ) = m x 0

( 4 .2 2 )

P o r lo ta n to , l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s e s t á n d a d a s p o r x { t = 0 ) = *o = 0

( 4 .2 3 )

x { t = 0 ) = ¿o = ¿

( 4 .2 4 )

tu

D e a c u e rd o c o n la s e c u a c io n e s ( 4 .1 3 ) y ( 4 .2 4 ) , l a e c u a c ió n ( 4 .1 8 ) s e r e d u c e a

* (0 “ * (0

=

mü>j

s e n üjd r

( 4 .2 5 )

L a e c u a c ió n ( 4 .2 5 ) d a la r e s p u e s ta d e u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d a u n im p u ls o u n ita rio , la c u a l ta m b ié n se c o n o c e c o m o J u n c ió n d e r e s p u e s ta d e i m p u ls o , s im b o liz a d a p o r g ( / ) . L a fu n c ió n g ( r ) , e c u a c ió n ( 4 .2 5 ) . s e m u e s tra e n l a f ig u r a 4 .6 (c ). S i l a m a g n itu d d e l im p u ls o e s F e n lu g a r d e l a u n i d a d , la v e lo c id a d in ic ia l ¿ 0 c s F / m y l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e c o n v ie r te e n F e ~ lm J x (t) =

m o tj

sen w ¿/ = F g (t)

(4 .2 6 )

S i e l im p u ls o F s e a p lic a e n un tie m p o a r b itr a r io r = T .c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u ra 4 .7 ( a ) , m o d if i c a r á l a v e lo c id a d c u a n d o t =

t

p o r u n a c a n tid a d F / m . S u p o n ie n d o q u e x = 0 h a s ta q u e s e a p lic a e l

im p u ls o . l a e c u a c ió n ( 4 .2 6 ) d a el d e s p la z a m ie n to x e n c u a lq u ie r tie m p o s u b s ig u ie n te t , p ro v o c a d o

P (0

Figura 4 .7 Respuesta de im pulso.


350

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as p o r u n c a m b io d e la v e lo c id a d e n e l tie m p o T .c o n /r e e m p l a z a d o p o r e l tie m p o tra n s c u rr id o d e s p u é s (fc la a p lic a c ió n d e l im p u ls o ; e s d e c i r . / - r . P o r lo ta n to , o b te n e m o s

x ( t ) = Fg{, - r )

( 4 .2 7 )

E s to s e m u e s tr a e n l a fig u ra 4 .7 (b ).

E je m p lo 4 .7

R e sp ue sta d e u n a e s tru c tu ra s o m e tid a a Im p a cto En la pru eb a d e vibración d e una estructura se utiliza un m artillo d e im pacto c o n u n a celda d e c a rg a para m edir la fuerza d e l im pacto, c o m o s e m uestra e n la figura 4.8(a). Suponiendo q u e m = 5 k g . k -= 2 0 0 0 N /m . c = 10 N-s/m y P = 2 0 N -s, encuentre la respuesta del sistem a. S o lu c ió n : Cbn los datos con o cid o s podem os calcular

{ =

cod =

V i -

(2<ün =

t =

w l h r

° '05

19.975 rad/s

Suponiendo que se d a e l im pacto en e l instante / = 0 . o btenem os (c o n la ecuación (4 .2 6 )) la respuesta del sistem a como

* l(/) = F

s e n to jt

(5 ) (19.975)

r 005<í0)' sen 19.975/ = 0 .2 0 0 2 5 * -' s e n 19.975/ m

( E .l)

Ñ ola. La gráfica de la ecu ació n ( E 1) se m uestra en e l ejem plo 4.33.

(a)

i / + T (b)


F igura 4 .8 Prueba e stru c tu ra l em p lean d o u n m artillo de im pacto.

4 .5

E je m p lo 4.8


351

R e sp u e sta d e u n a e s tru c tu ra s o m e tid a a un d o b le im p a c to E n m uchos c a so s, im partir sólo un im pacto a la estructura c o n un m artillo d e im pacto e s difícil. E n ocasiones o cu rre e n un segundo im pacto después d e l prim ero, c o m o se m uestra e n la figura 4.8(b), y la fuerza aplicada. F ( i \ se e x p re sa com o F (/) = F ,6 ( / ) + F 2 Ó ( / -

t)

d o n d e 8 (i) es la función delta D irac y t indica e l tiem po entre d o s im pactos d e m agnitudes F , y P2. Para una estructura con m = 5 kg. * = 2000 N /m , c = 10 N -s/m y F (i) = 208(¡) + I 08(t - 0 .2 ) N . en cu en tre la respuesta d e la estructura. S o lu c ió n : Con los d a to s conocidos, hallam os q u e aiK = 2 0 rad/s (v ea la solución d e l ejem plo 4 .7 ), £ = 0 .0 5 y u)d = 19.975 rad/s. La ecuación ( E 1) d e l ejem p lo 4.7 d a la respuesta producida p o r e l im pulso F t 8(i), m ientras q u e la respuesta producida p o r e l im pacto F 2 8 (i - 0.2) s e d eterm ina con las ecuaciones (4.27) y (4.26) com o

= F2 — — — m ojj

( E. l )

P ara r ■ O.Z la ecuación ( E 1) se escribe com o

= (5 ) (1 9 9 7 3 )

sc n I9 .9 7 5 (r - 0.2)

= O.IOOI25c_ ,,' a2) sc n l9 .9 7 5 (r - 0 .2 );

/ > 0.2

(E.2)

Utilizando la superposición d e las d o s respuestas x ,( l) y x 2(r \ la respuesta a consecuencia d e d o s im pactos, en m etros, s e ex p resa com o í 0 . 2 0 0 2 5 sen 19.975/; 0 £ / s

0.2

1

( 0 .2 0 0 2 5 * ''s e n 19.975/ + 0.100125*_<'_02> sc n !9 .9 7 5 (/ - 0.2); i > 0 .2 ¡

Nota, l a gráfica de la ecuación (E 3 ) s e m uestra e n e l ejem plo 4.33.

R e s p u e s ta a u n a c o n d ic ió n fo rza d a g e n e ra l

Ahora consideramos la respuesta del sistema sometido a una fuerza externa arbitraria F (t), mostra da en la figura 4.9. Se puede suponer que esta fuerza se compone de una serie de impulsos de Mag nitud variable. Suponiendo que en el tiempo t , la fuerza F ( t ) actúa en el sistema durante un corto periodo de tiempo A r, el impulso que actúa en el tiempo / = r es F ( t ) A t. En cualquier tiempo /, el tiempo transcurrido a partir del impulso es t - r . de modo que la ecuación (4.27) da la respuesta del sistema en el tiempo /debido a este impulso solo con F - F \ t ) A r: A * (/) = F ( r ) A r g ( t -

r)

(4 .2 8 )

La respuesta total en el tiempo t se encuentra sumando todas las respuestas producidas por los im pulsos elementales que actúan en todos los tiempos t :

*(0 “ 2 F ( T)s(' - T ) At


(4.29)

352

C a p ítu lo 4


Figura 4 .9 F u n c ió n fó rz a th a rb itra ria (n o periódica).

S i A t —►0 y r e e m p la z a m o s la s u m a p o r l a in te g ra c ió n , o b te n e m o s

*(/) = Jo

" T) dT

(4,30)

Sustituyendo la ecuación (4.25) en la ecuación (4.30), obtenemos

x (t) = — — f

m ío d J o

F ( r ) e - Í " ^ ' _T) x n o > j ( t -

t

)

(4.31)

la cual representa la respuesta de un sistema subamortiguado de un solo grado de libertad a la cxdtación arbitraria F (t). Observe que la ecuación (4.31) no considera el efecto de las condiciones iniciales del sistema, porque se supone que la masa está en reposo antes de la aplicación del impul» , como lo implican las ecuaciones (4.25) y (4.28). La integral en la ecuación (4.30) o ecuación (4.31) se conoce como in te g ra l d e c o n v o lu c ió n o d e D u h a m e l. En muchos casos la fundón F (t) tiene una forma que permite una ¡ntegradón explídta de la ecuación (4.31). Si tal integradón no es posible, podemos evaluada numéricamente sin mucha dificultad, como se ilustra en la sección 4.9 en el capítulo 11. En la referencia [4.6] se da una discusión elemental de la integral de Duhamel en d análisis de vibración.

R e s p u e s ta a e x c ita c ió n d e la b a s e

Si un sistema de resorte-masa-amortiguador se somete a una exdtadón de la base arbitraria descrita por su desplazamiento, veloddad o aceleradón, la ecuadón de movimiento se expresa en función del desplazamiento relativo de la masa z = x r-yco m o sigue (vea la sección 3.6.2):

mz + cz + kz =

(4-32)

Ésta es semejante a la ecuación m x + ex + k x = F

(4.33)

con la variable z reemplazando a x y el término —m y reemplazando la fundón forzada F . Por con siguiente todos los resultados derivados para d sistema excitado por una fuerza son aplicables al sistema excitado por la base también para z cuando — m y reemplaza al término F . Para un sistema


4 .5


353

n o a m o rtig u a d o s o m e tid o a e x c ita c ió n d e la b a s e , e l d e s p la z a m ie n to r e la tiv o s e d e te r m in a c o n la e c u a c ió n (4 .3 1 ):

(4 .3 4 )

E je m p lo 4 .9

F u e rz a g ra d u a l s o b re u n a m á q u in a c o m p a c ta d o ra En l a f ig u ra 4 .IO (a ) s e m u e s tra u n a m á q u in a c o m p a c ta d o r a . m o d e la d a c o m o u n s is te m a d e u n s o lo g ra d o d e lib e r ta d . L a fu e rz a q u e a c tú a e n la m a s a m (m in c lu y e l a s m a s a s d e l p is tó n , l a p la ta fo r m a y e l m a te ria l q u e s e e s t á c o m p a c ta n d o ) d e b id o a u n a a p lic a c ió n r e p e n tin a d e la p r e s ió n s e p u e d e id e a liz a r c o m o u n a fu e rz a g r a d u a l, c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 .IO (b ) . D e te rm in e la re s p u e s ta del s is te m a .

no

— i

(b) x(D

M aterial q u e se está com pactando

-*(0

J— R atatorm a

Figura 4 .1 0 F u erzi gradual aplicada a un a m áquina compactadora.


354

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as S olución: D ado q u e la m áquina coi»pactadora se m odela c o m o un sistem a d e m asa-resoilc-am oitiguador, el problem a e s encontrar la respuesta d e un sistem a am ortiguado d e un sok» grado d e libertad som etido a una tuerza gradual. O bservando q u e F (t) = F& podem os escribir la ecuación 14.31] com o

x (i) = — i e -* " * ( ,- r ) scna>d( r - r ) d r m io jJ o scno> j(í - r ) + a>d cos iúd( t (te )2 + M

2

- } L ( E l)

e ^ 'c o s í t i í j í -

I V T ^ p cbnde

= tan

■ f e )

Esta respuesta se m uestra en la figura 4 . 10(c). S i e l sistem a e s no am ortiguado (¿ = 0, t*4 = a>J, la ecuación (E.1) s e re d u c e a
La ecu ació n ( E 3 ) s e m uestra gráficam ente e n la figura 4 .10(d). S e ve q u e si b carga s e a p lic a d e form a inso n tá n c a a un sistem a no am ortiguado, s e obtendrá un d c sp b z am ie n to m áxim o d e d o s veces e l desplazam iento estático, e s decir, = 2 F0/k .

E je m p lo 4 .1 0

F u e rz a g ra d u a l a p licad a c o n d e m o ra Encuentre b respuesta d e la m áquina com pactadora que se m uestra en la figura 4.IO (a) cuando se som ete a la fuerza m ostrada e n b figura 4 . 11. S o lu c ió n : Etado que la función forzada s e in ic b en i = /0 en lu g ar d e e n i = 0, la respuesta se obtiene c o n la ecuación ( E l ) d e l ejem plo 4 .9 reem plazando / p o r i - i0. Esto da

* (/)

V i -

k V r r p

? -

c o s f
10) -

(E .1)

S i el sistem a es no am ortiguado, la ecuación ( E l ) se reduce a * ( 0

=

j D

“

c o s íü

„ (/

-

r0 ) ]

(E .2)

F 0)

O

■* l Figura 4 .1 1 E ierza gradual aplicada con un a demora.


4 .5

E je m p lo 4 .1 1


355

c a r g a p u ls a n t e r e c t a n g u la r Si la m áquina com pactadora de la figura 4 .l0 (a ) se som ete a una fuerza constante sólo d urante e l tiem po O

t < r0 (figura 4 . 12a), d eterm ine la respuesta d e la m áquina.

m Fo

(a) F*)

Fx(t)

— i

(c) Figura 4 .1 2 Respuesta ocasionada por un a car£i pulsante.


356

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as S olución: L a función fo r/a d a d ad a. F \ i \ se puede c o n sid era r com o la sum a d e u n a función escalonada F,(r) cfc m agnitud + F „ q u e se inicia e n i = 0 y u n a segunda función escalonada F j(/)d c m agnitud —F 0q u e se inicia en e l tiem po / ■ r0 com o s e m uestra e n la figura 4.12(b), R>r lo ta n to , l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e o b tie n e r e s ta n d o la e c u a c i ó n ( E . I ) d e l e je m p lo 4 .1 0 d e h e c u a c ió n ( E . l ) d e l e je m p lo 4 .9 . E s t o d a

,(/) =

Fot

-e o s(tt> dí - 4>) +

(E.l)

con

(E .2)

i v

h

)

R ú a ver gráficam ente la resp u esta d e vibración, consideram os e l sistem a com o no am ortiguado, d e m odo que h ecuación (E. I ) s e reduce a

x ( t) =

COS

tü „ (l -

Iq ) -

COS

IO J

(E .3)

La respuesta se m uestra e n la figura 4 . 12(c) p ara d o s a n ch o s d e pulso diferentes d e r0 p ara los siguientes datos (problem a 4 .9 0 ): m = 100 k g , c = 5 0 N -s/m . k = 1200 N/m y F 0 = 100 N. Las respuestas serán diferentes en b s d o s c a s o s i0 < r J 2 y i0 > t „ / Z d o n d e r„ e s e l periodo natural no am ortiguado d e l sistem a. S i r0 > t „ / 2 . el pico será m ayor y o currirá d urante la e ra d e vibración forzada (es decir, durante 0 a r0) m ientras q u e e l pico será m en o r y o c u rrirá e n la e ra d e vibración residual (e s decir, después d e r0) si í„ > r , / 2 . E n la figura 4 . 12(c), t „ = 1.8138 s y e l p ico c o rrespondiente a f0 = 1.5 s es ap roxim adam ente seis v eces m ay o r q u e e l d e r0 = 0.1 s.

E je m p lo 4 .1 2

M á q u in a c o m p a c ta d o ra s o m e tid a a u n a ca rg a lineal D eterm ine la respuesta d e m áquina com pactadora q u e se m uestra e n la figura 4 .l3 (a ) cuando se ap lica una l u c r a lineal variable (m ostrada en la figura 4 .13(b) a l m ovim iento d e la leva. S o lu c ió n : La f u e r a lineal variable q u e se m uestra e n la figura 4 . 13(b) se conoce c o m o la función ram pa. Esta (unción forzada se p u ed e representar com o F ( r ) - S F • r , donde S F indica la tasa d e increm ento d e la fuerza F p o r unidad d e tiempo. Sustituyendo ésta en la ecu ació n (4.31), obtenem os SF

C'

x ( i ) = ------- / T e - * - -(' - r ) «

= -

/

mojd J 0

e n

- r ) dr

( , - T ) e - ^ < ' - T>scn
- — í * - * • .( '- » ) s c a c o J i - r ) ( - d r ) mtod J 0 E stas integrales s e ev alú an y la respuesta se ex p resa c o m o sigue:

(E.1)


4 .5

M ovim iento d e la leva


357

Leva

Seguidor

F(t)

M aterial que se está com pactando Plataforma

m

(b)

Figura 4 .1 3 M áquina co m p actad o ra so m e tid a a u n a fu e rz a lineal.

(c)

(V e a e l problem a 4.28). ftira u n a ad aptación del sistem a, la ecu ació n ( E l ) se reduce a SI• * ( ') = ¡ ¿ ¿ 1 " " ' ■ * n<ü', ' ,

(E 2 )

La figura 4 . 13(c) m uestra la respuesta dada p o r la ecu ació n (F.2).

E je m p lo 4 .1 3

C a rg a e x p lo s iv a e n la e s tru c tu ra d e u n e d ificio Una estructura d e edificio se m odela c o m o un sistem a no am ortiguado de un solo g ra d o d e libertad (figura 4 .14(a)). Encuentre la respuesta d e la estructura s i se som ete a u n a carga explosiva representada p o r e l pulso triangular m ostrado en la figura 4 .l4 (b ). S o lu c ió n : La función forzada está d ad a por

Hr) F (r)

I

para 0

= 0


r > lo

(E .I) (F..2)

358

C a p ítu lo 4


m

m

<*>

Figura 4 .1 4 E stru c tu ra de u n edificio so m e tid a a u n a c a rg a explosiva.

(b )

La ecuación (4 3 1 ) d a . p ara un sistem a no am ortiguado.

m U ,M J1 O

*( í ) =

(E .3)

F {7 ) s c n ' ü',(r ” r ) d r

Respuesta durante O S | S ( 0: U tilizando la ecuación (E . I ) para F \r ) e n la ecu ació n (E .3) da

x( t ) = — í ( I - — ] Ise n < oj e o s m ca iJo \ t0 J

= ? jx n u ij f

-

y

c

o

s

^1

o

v

^

-

^

-

u i „t

eos

s e n a v ] d(
a > s t o n T - d ( t u nT )

~

(E .4)

s c n < ü nT - ( / ( t ü , r )

O bservando q u e la integración por partes da

/

d(tünr )

t

eos

t

sen„7) = - t e o s

a»„T •

=

T se n a > „T

+

— e o s io„r

(E .5)

+ — scno> ,r

(E .6 )

y

/

< u „t

La ecuación ( E 4 ) se escribe com o

, v Fo I í x l t j = — s sena»-/ s e n t u , ; * l L

'

*

I c o sa* -/ + — "'-'o «.

s e n a )../

’O

- e o s u t j + I + —eo s a v

- eos

*0

L

— sena»„/

“Jo

i

(E .7)

J J

Sim plificando esta expresión, obtenem os

44 - ?

1

I

lo

eos w j +

1

“ Jo


«na>J

J

(E .8)

4 .6

E sp ec tr o d e r esp u e sta

359

Respuesta d u ra n te t > t0: E n este caso tam bién ú til i/a m o s la ecu ació n ( E 1) p ara FXr). pero e l límite superior de integración e n la ecuación ( E 3 ) se rá i * d a d o q u e F( t ) = 0 d urante r > P o r lo tam o, la respuesta s e en cu en tra a p a rtir d e la ecuación ( E 7 ) estableciendo t = t0 dentro d e los p aréntesis rectangulares. I>c esto resulta

x (t)

4.6

(1 -

eos (wn/0 ) s e n w „ / -

((■>„/<> -

senaV o) c o s u ij

(E.9)

E s p e c tro d e re s p u e s ta L a g r á fic a q u e m u e s tra l a v a r ia c ió n d e l a re s p u e s ta m á x im a ( d e s p la z a m ie n to , v e lo c id a d , a c e le r a c ió n o c u a lq u ie r o t r a c a n tid a d m á x im a ) c o n la fr e c u e n c ia n a tu r a l ( o p e rio d o n a tu ra l) d e u n s is te m a d e u n s o lo g ra d o d e lib e r ta d a u n a f u n c ió n fo rz a d a e s p e c if ic a d a s e c o n o c e c o m o e s p e c tr o d e r e s p u e s ta . D a d o q u e l a re s p u e s ta m á x im a s e t r a z a c o n tr a la fre c u e n c ia n a tu ra l ( o p e r io d o n a tu r a l) , el e s p e c tr o d e r e s p u e s ta d a l a re s p u e s ta m á x im a d e t o d o s lo s p o s ib le s s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d . El e s p e c t r o d e fre c u e n c ia s e u tiliz a a m p lia m e n te e n e l d is e ñ o d e in g e n ie ría s ís m ic a |4 .2 , 4 .5 J . U n re p a s o d e lite ra tu ra re c ie n te s o b re e s p e c tro s d e re s p u e s ta d e c h o q u e y s ís m ic a s e d a e n la re fe re n c ia [4.7). U na v e z d is p o n ib le e l e s p e c tro d e re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te a u n a fu n c ió n fo rz a d a e s p e c i f ic a d a . s im p le m e n te te n e m o s q u e c o n o c e r l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a p a r a d e te r m in a r s u r e s p u e s ta m á x im a . E l e je m p lo 4 .1 4 ilu s tr a la c o n s tr u c c ió n d e u n e s p e c tr o d e re s p u e s ta .

E je m p lo 4 .1 4

E s p e c tro d e re s p u e s ta d e un p u lso se n oid al Encuentre el espectro d e respuesta no am ortiguada para la fuerza pulsante senoidal m ostrada e n la figura 4 . 15(a) utilizando las c o n d icio n es in ic iales*(0) - ¿ (0 ) - 0.

«L

F ig u ra 4 .1 5 E s p e c tr o d e r e s p u e s ta d e b id o a u n p u ls o s e n o id a l.


360

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Solución: M étodo: E ncuentre la respuesta y ex p rese su v a lo r m áxim o e n función d e su periodo natural. La ecuación de m ovim iento d e u n sistem a no am o rtig u ad ) s e expresa com o

m x + k x = F ( t) = i A"

(a

(E .I )

t >t0

(bndc

-5 La solución d e la ecu ació n
+ x„(t)

(E3 )

F* decir, * ( ') = A e o s b t j + B a c n a i j + ( —

- ) señor

(E .4)

(b n d c A y B son c onstantes y o „ e s la frecuencia natural d e l sistema: 2ir

(E .5)

m

Aprovecharxlo las c o n d icio n es iniciales x (0 ) - i ( 0 ) - 0 e n la ecuación (E.4). podem os d e te rm in a r las cons o m é s A y B como

Fbr lo tanto, la solución es

* (f) = ,

{ 8 c n tü í " “

w n w ", J '

0 £ , £ |o

« " 7 ^ ~ ¿ L scn ~ } '

0 - f - 'o

(E .8 )

b cual se rccscribc com o *
r-j

—

—

_

( l í \

'

°

°

*

dm de 5„, = J

(E .9 )

l a solución d ad a por la ecuación (E .8) e s válida sólo d urante e l perio d o d e aplicación d e la f u e r a . 0 < t < r0. Dado q u e no hay ninguna f u e r a ap licada d urante / > r(> la solución se ex p resa c o m o una solución d e vibración libre:

x ( l) = A ' e o s (>ij¡

+ fl’ s e n o y ,


t >

to

(E .1 0 )

4 .6


361

d o n d e las c o n s t a n t e s y B ' se encuentran utilizando los valores de x{i = ¡o )y i(> “ *o)< d a d o s p o r la ecuación < E 8). c o m o condiciones iniciales d urante la duración i > T„

2 lT I0 ~\

— — sen 2A> ¡ ir Jo + B 's e n a v o

(E .11 )

2 jt/0 1 eos ------- > r„ J

= - t o aA ' ten tó J + iunI f eos
(E.12)

donde

(E.13 )

'-(a)' L as ecuaciones ( E l 1) y (E .12) se pueden resolver para encontrar A ' y f í com o Q7T

"V o

B' = - - “

s e n w jo .

[ l + c o sw .(d ]

(E.14 )

L as ecuaciones (E .14 ) se p u ed en su stitu ir en la ecu ació n (E.10) para obtener

[ Kn2„fA- _ra2.-L r l• 1 -

*>_ 2{ , -

irj^f

(E.15)

"I

l a s ecu acio n es ( E 8 ) y ( E 1 5 ) d a n la respuesta d e l sistem a e n form a no dim ensional; es decir, x / S ^ s e expresa e n función de i ¡ r K P o r lo tanto, p ara cu alq u ier valor especificado d e / q / t , . se p u ed e d eterm inar e l v a lo r m áxi m o de x / 8 ^ , . C u a n d o e s te valor m áxim o d e x/8a , s e traza contra / „ / t„ . d a el espectro d e resp u esta m ostrado en la figura 4,15(b). S e observa q u e e l v a lo r m áxim o d e ( x S ^ W , 011.75 o cu rre e n un v a lo r d e Iq/ t h 0.75.

E n e l e je m p lo 4 .1 4 , l a f u e r z a d e e n tr a d a e s s im p le y p o r c o n s ig u ie n te s e o b tu v o u n a s o lu c ió n d e fo rm a c e r r a d a p a r a e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta . S in e m b a r g o , s i l a f u e rz a d e e n tr a d a e s a r b itr a r ia , p o d e m o s d e te r m in a r e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta s ó lo n u m é ric a m e n te . E n e se c a s o , s e u t il i z a la e c u a c ió n (4 .3 1 ) p a ra e x p r e s a r la re s p u e s ta p ic o d e u n s is te m a n o a m o rtig u a d o d e u n s o l o g r a d o d e lib e rta d p ro d u c id a p o r u n a f u e rz a d e e n tr a d a a rb itr a ria f t y ) c o m o

x(l) m ix

— m úi*

[ JO

F ( t ) senn> „(r

-

t

) J

(4 .3 5 )

t

E n e l d is e ñ o d e m a q u in a ria o e s tr u c tu r a s s o m e tid a s a u n s a c u d im ie n to d e l s u e l o .c o m o e l p r o v o c a d o p o r u n s is m o , e s ú til e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta c o r re s p o n d ie n te a l a e x c ita c ió n d e l a b a s e . S i l a b a s e

E s p e c tro de r e s p u e s t a p a ra e x c it a c ió n de la b a s e

d e u n s is te m a a m o rtig u a d o d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d s e s o m e te a u n a a c e le r a c ió n y (/), l a e c u a c ió n ( 4 .3 2 ) d a la e c u a c ió n d e m o v im ie n to e n fu n c ió n d e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o z

■

x - y , y la

e c u a c ió n ( 4 .3 4 ) d a la re s p u e s ta z ( t \ E n e l c a s o d e u n s a c u d im ie n to d e l s u e lo , s e s u e le u tiliz a r e l e s p e c tr o d e re s p u e s ta d e v e lo c id a d . L o s e s p e c tr o s d e d e s p la z a m ie n to y a c e le r a c ió n s e e x p r e s a n


362

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as a ito n c c s e n fu n c ió n d e i e s p e c tr o d e v e lo c id a d . P a r a u n o s c ila d o r a rm ó n ic o (u n s is te m a n o a m o r ti g u a d o s o b re la v ib ra c ió n U bre), n o s p e rc a ta m o s q u e x \ n ú x = - “ 'iU ln ú *

( 4 .3 6 )

X \n * x = ” mX I™ .

( 4 .3 7 )

P > r lo ta n to , lo s e s p e c tr o s d e a c e le r a c ió n y d e s p la z a m ie n to Sü y S d s e o b tie n e n e n fu n c ió n d e l e s p e c tro d e v e lo c id a d (S,.):

Sd = ~

= *>„S,

( 4 .3 8 )

f ó r a c o n s id e r a r a m o r tig u a m ie n to e n e l s is te m a , s i s u p o n e m o s q u e e l d e s p la z a m ie n to

m á x im o

re la tiv o o c u r r e d e s p u é s d e q u e h a p a s a d o e l p u ls o d e s a c u d im ie n to o c h o q u e , e l m o v im ie n to s u b s ig u ie n te d e b e s e r a r m ó n ic o . E n e se c a s o p o d e m o s u tiliz a r l a e c u a c ió n ( 4 .3 8 ) , L a v e lo c id a d f i c t i c ia a s o c ia d a c o n e s t e m o v im ie n to a r m ó n i c o a p a r e n te s e lla m a p s e u d o w l o c i d a d y su e s p e c t r o d e r e s p u e s ta . S v, s e lla m a p s e u d o e s p e c lr o . L o s e s p e c tr o s d e v e lo c id a d s e u tiliz a n e x te n s a m e n te e n a n á lisis d e sis m o s . P a ra e n c o n t r a r e l e s p e c t r o d e v e lo c id a d r e la ti v a , d if e r e n c ia m o s l a e c u a c i ó n ( 4 .3 4 ) y o b t e nem os2

f

¿ (0 = “ 77 y (r)e~ M °>d Jo +

iü¿

e o s u>d ( t -

~ r ) [ - ( ( o n sen a d ( t -

t

t)J d r

)

( 4 .3 9 )

La ecuación (4 3 9 ) se reescribe com o

Z (t) = - ^ =

=

, V F T

q

1 s e n (u>dt -

)

( 4 .4 0 )

dande P =

J

y ( r ) e l0 ,J e o s

dr

(4 .4 1 )

Q =

lo

^ T )í< “ *í s e n t u ‘/ T á T

(4 4 2 )

(ú d T

= ton

l (í’í - e V i - ( ! ) I

J L a s ig u ie n te r e la c ió n s e u tiliz a p a r a d e r iv a r l a e c u a c ió n ( 4 3 9 ) a p a r ti r d e l a e c u a c ió n ( 4 3 4 ) :

¿ j f / ( ' * T ) r f r - j T ^ ( / . r ) 4 r + / ( / , T ) |T. (


4 .6

E sp ec tr o d e r esp u esta

363

El e sp e c tr o d e r esp u esta d e v e lo c id a d . S , . s c o b tie n e d e la e c u a c ió n (4 .4 0 ):

(4 .4 4 ) na»

P o r lo ta n to , l o s e s p e c tro s d e p s e u d o rrc s p u c s ta e s tá n d a d o s p o r

Id máx

E je m p lo 4 .1 5

Sv ~

1^1 náxi

Sa

(4 .4 5 )

T a n q u e d e a g u a s o m e tid o a a ce le ra ció n d e la base El tanque d e a g u a m ostrado e n la figura 4 .l6 (a ) se som ete a u n a aceleración d e l suelo linealm ente variable com o se m uestra en la figura 4 . 16(b) d eb id o a un sism o. La m asa d e l tanque e s m , la rigidez, d e la colum na e s k y e l am ortiguam iento e s insignificante. Halle e l espectro d e respuesta correspondiente a l desplazam iento relativo z - x - y , d e l tanque d e agua. S o lu ció n M étodo: M o d ele e l tanque ifc a g u a c o m o un sistem a no am ortiguado d e un solo grado d e libertad. Determ ine el desplazam iento m áxim o relativo d e l tanque y expréselo c o m o u n a función d e toH. La aceleración de la base se puede ex p resar como

—J

m

=

m

= o

“

d urante

0 £ t « 2r0

(E .D

durante

í > 2/0

(E-2)

( - o

x(r)

I -

Tanque de agua

Columna, k

(a)

Figura 4 .1 6 Tanque de agua som etido a m ovim iento de la base.


364

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Respuesta d u ra n te O s i í 2/qI Sustituyendo la ecu ació n (E.1) e n la ecu ació n (4.34), la respuesta s e expresa, p ira un sistem a no am ortiguado, com o

(sena»,/ e o s i u

„t

-

eos a»„r s e n a v ) t«t/r /T J

(E .3)

Esta ecuación es la m ism a que la ecuación (F..4) del ejem plo 4.13 excepto q u e aparece e n lu g ar de F0/ m . R>r c onsiguiente. z{t) s e escribe, utilizan te la ecu ació n (E.8) d e l ejem plo 4.13. com o

e o s t o j + ------- senoi^r

1 - — -

z (t) =

oí‘ L

‘o

°Vo

(E .4)

J

Para e n co n trar la resp u esta m áxim a z ^ . establecem os

- 1 + to jn s e n + c o s to ,/ I = 0

(E 5 )

* » ~ 3 Esta ecuación d a e l tiem po /„ , a l cual o cu rre z ^ , :

(E .6)

Sustitu>endo la ecuación ( E 6 ) en la ecu ació n ( E 4 ) se puede encontrar la respuesta m áxim a d e l tanque:

*mé«

.Hnd» —'

I

tm

e o s
»o

I

s c n « jj_

(E .7)

Respuesta d u ra n te t > 210: D ado que no hay excitación d u ra n te este tiem po, podem os u tilizar la solución del problem a de vibración libre (ecuación 2 .18)

z ( t) = Zocos a v

+ ^ jjs e n a v

(E 8 )

s ie m p re q u e c o n s id e r e m o s e l d e s p la z a m ie n t o in ic ia l y l a v e lo c id a d in ic ia l c o m o

zo = z ( t = 2 t 0)

y

¿o = z ( r = 210)

(E 9 )

utilizando la ecu ació n (E 7 ). El v a lo r m áxim o d e z(l) dado por la ecu ació n ( E 8 ) s e identifica com o

Zmi, - I Z¿ + I ~

I I

cbnde Zq y ¿o ** calculan c o m o s e indica e n la ecuación ( E 9 ) .


(E .1 0 )

4 .6


365

L a d e s c r ip c ió n m á s d ir e c ta d e u n m o v im ie n to s ís m ic o e n e l d o m in io d e l tie m p o e s l a p r o p o rc io n a d a

E s p e c t r o s de re s p u e s ta a s is m o s

p o r a c c lc r o g r a m a s q u e s o n r e g is tra d o s p o r in s tr u m e n to s lla m a d o s a c e le r ó g r a fo s d e m o v im ie n to fite r te . E s to s in s tru m e n to s re g is tr a n tr e s c o m p o n e n te s o r to g o n a le s d e a c e le r a c ió n d e l s u e lo e n un lu g a r d e te r m in a d o . E n la f ig u ra 4 .1 7 s e m u e s tra u n a c c le ro g r a m a típ ic o . P o r l o c o m ú n lo s a c e le r o g ra m a s s e r e g is tr a n e n p a p e l o p e líc u la f o to g r á fic a y s e d ig it a li / a n p a r a a p lic a c io n e s d e in g e n ie ría . L a a c e le r a c ió n m á x im a d e l s u e l o , la d u r a c ió n y e l c o n te n id o d e fre c u e n c ia d e l s is m o s e p u e d e n

500

-5 0 0

0

5

10

15

20

25

i— 30

Tiem po (s)

F ig u ra 4 .1 7 L h a c e le ro g ra m a típico.

P e rio d o n d t u r a l (s )

F ig u ra 4 .1 8 E spectro d e resp u esta de u n sism o típ ic o (4 .1 2 |. (S ism o d e Valle Im perial, d e l 18 de m ay o de 1940; £ = 0 .0 .2 ,0 .0 5 ,0 .1 0 y 0.20.) (R eim preso c o n p erm iso de T h e S h o c k V ibra/ion D ig e st).


366

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as c b tc n c r d e s d e u n a c c lc r o g r a m a . S e p u e d e in te g r a r u n a c e le r o g ra in a p a r a o b te n e r la s v a r ia c io n e s d e tie m p o d e la v e lo c id a d d e l s u d o y d e l d e s p la z a m ie n to d e l s u e lo . U n e s p e c tr o d e re s p u e s ta s e u tiliz a p a r a p r o p o rc io n a r l a re p re s e n ta c ió n m á s d e s c rip tiv a d e b i n f lu e n c ia d e u n s is m o d a d o s o b r e u n a e s tr u c tu r a o m á q u in a . E s p o s ib le tr a z a r l a g rá fic a d e la re s p u e s ta m á x im a d e u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d e n fu n c ió n d e l a a c e le r a c ió n , l a p se u c b v e lo c id a d re la tiv a y e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o u tiliz a n d o e s c a la s lo g a rítm ic a s . E n l a fig u ra 4 .1 8 se m u e s tra u n e s p e c tr o d e re s p u e s ta típ ic o , tra z a d o e n p a p e l lo g a r ítm ic o d e c u a tr o c ic l o s . E n e s t a fig u ra , e l e j e v e rtic a l in d ic a l a v e lo c id a d e s p e c tr a l, e l e je h o riz o n ta l r e p re s e n ta d p e r io d o n a tu ra l, d e je in c lin a d o a 4 5 ° in d ic a e l d e s p la z a m ie n to e s p e c tr a l, y e l e je in c lin a d o a 13 5 ° m u e s tra l a a c e k r a c i ó n e s p e c tra l. E n l a f ig u r a 4 .1 8 s e v e q u e e l e s p e c tr o d e r e s p u e s ta d e u n a e d e r o g r a m a p a rtic u la r ( s is m o ) p r e se n ta c o n s id e ra b le s irre g u la rid a d e s e n e l d o m in io d e fr e c u e n c ia . S in e m b a rg o , lo s e s p e c tro s c o r r e s p o n d ie n te s a u n c o n ju n to d e a c e lc r o g r a m a s p ro d u c id o s p o r s a c u d im ie n to s d e l s u e lo d e s itio s c o n c a ra c te rís tic a s g e o ló g ic a s y s is m o ló g ic a s s im ila re s s o n f u n c io n e s u n if o rm e s d e tie m p o y p r o p o r c io n a n te n d e n c ia s e s ta d ís tic a s q u e la s c a r a c te r iz a n c o le c tiv a m e n te . E s ta id e a c o n d u jo a l d e s a rro llo d e l c o n c e p to d e u n e s p e c tr o d e d is e ñ o , u n o d e lo s c u a le s s e m u e s tra e n la fig u ra 4 .1 9 , p a ra s u u s o e n d d is e ñ o d e e s tru c tu ra s y m á q u in a s re s is te n te s a sis m o s . L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e l u s o y d ise ñ o d e lo s e s p e c tro s d e re s p u e s ta a s is m o s .

F ig u ra 4 .1 9 E spectro de d ise ñ o (4.121. (R eim preso c o n p e rm iso de T h e S h o c k a n d V ibration D igest).


4 .6

E je m p lo 4 .1 6


367

R e sp u e sta d e la e s tru c tu ra d e u n edificio a u n sism o L a estructura d e un edificio pesa 15,000 Ib y tiene d o s colum nas c o n rigidez total *,co m o se indica e n la figura 4.20. T iene una relación d e am ortiguam iento d e 0 .0 5 y u n periodo natural d e 1.0 s. Para e l sism o caracterizado en la figura 4.18. determ ine lo siguiente: a . D esplazam iento m áxim o relativo d e la m asa, x ^ , b . Fuerza cortante m áxim a en la s colum nas c . Esfuerzo d e flexión m áxim o e n las colum nas S o lu ció n M étodo: Encuentre e l desplazam iento espectral, la velocidad espectral y la aceleración espectral correspon-

a . D esplazam iento relativo m áxim o d e la m asa, x ^ , = b . Fuerza co rtan te m áxim a a i a m b as colum nas:

=

m i m ix =

~

= 4 .2 pulg.

S a

R>r lo tanto, la fuerza cortante m áxim a e n cada colum na está d ad a por F ^ = 6 ,3 0 0 /2 = 3,1501b

c.

M om ento d e flexión m áxim o «31 cada colum na ■ M ^ = esfuerzo d e flexión m áxim o

O ’m íx

P o r lo tanto, la fórm ula d e v ig a d a el

/

donde / e s e l m om ento d e inercia de área y c e s la distancia d e la fibra externa desde e l eje neutro d e la sección d e colum na.

b * H

y iO

Figura 4 .2 0 Estructura de un edificio som etida a m ovim iento d e la base.


368

C a p ítu lo 4

E je m p lo 4 .1 7


D e s c a rrila m ie n to d e u n a ca rre tilla d e u n a grú a d u ra n te u n sism o L a carretilla d e una g rú a viajera elev ad a eléctrica s e d e sp laz a horízontalm ente so b re la v ig a c o m o se indica en b figura 4 .2 1. C onsiderando la carretilla c o m o una m asa puntual, la g rú a s e puede m odelar c o m o un sistem a ck un solo grado d e libertad c o n periodo d e 2 s y relación d e am ortiguam iento d e 2% . D eterm ine si la carretilla se d escarrila a co nsecuencia d e u n a excitación sísm ica vertical cuyo espectro de d ise ñ o s e d a e n la figura 4.19. Solución M étodo: D eterm ine si la aceleración espectral d e la carretilla (m asa) excede un v a lo r d e Ig. Para t „ = 2 s y ¿ = 0.02, la figura 4.19 da la aceleración espectral c o m o Sa = 0.25g y p o r consiguiente b carretilla no se descarrilará.

sísmica

F ig u ra 4 .2 1 G rúa so m e tid a a u n a excitación sísm ica.

C u a n d o s e a p lic a u n a fu e rz a d e c o rta d u ra c ió n , p o r lo c o m ú n d u r a n te u n p e rio d o m e n o r q u e e l p e rio d o n a tu ra l, s e l la m a c a r g a d e c h o q u e . U n c h o q u e in c re m e n ta s ig n ific a tiv a m e n te e l d e s p la z a m ie n to , l a v e

D is e ñ o b a jo un a m b ie n t e d e choque

lo c id a d . la a c e le ra c ió n , o e l e s fu e r z o e n un s is te m a m e c á n ic o . A u n c u a n d o l a f a tig a e s u n a im p o rta n te c a u s a d e fa lla b a jo fu e rz a s a rm ó n ic a s , s u e le no s e r m u y im p o rta n te b a jo c a rg a s d e c h o q u e . U n c h o q u e s e p u e d e d e s c rib ir c o m o u n c h o q u e p u ls a n te , u n c h o q u e d e v e lo c id a d o u n e s p e c tr o d e re sp u e s ta d e c h o q u e . L o s c h o q u e s p u lsa n te s s e p ro d u c e n p o r la a p lic a c ió n r e p e n tin a d e fu e rz a s o d e sp la z a m ie n to s e n l a fo rm a d e u n a o n d a c u a d ra d a , sc m is c n o id a l, tr ia n g u la r o d e u n a fo rm a s im ila r ( v e a l a f ig u ra 4 .2 2 ), U n c h o q u e d e v e lo c id a d e s p ro v o c a d o p o r c a m b io s re p e n tin o s d e v e lo c id a d c o m o lo s p ro v o c a d o s c u a n d o s e d e ja n c a e r p a q u e te s d e s d e u n a a ltu ra . R e s p e c tr o d e re sp u e s ta d e c h o q u e d e s c rib e la fo rm a e n la c u a l u n a m á q u in a o e s tru c tu ra re s p o n d e a un c h o q u e e s p e c ífic o e n lu g a r d e d e s c rib ir e l c h o q u e en s í. S e u tiliz a n d ife re n te s tip o s d e p u ls o s d e c h o q u e p a r a c a lific a r la m a y o ría d e lo s p ro d u c to s c o m e r c ia le s. in d u stria le s y m ilita re s . M u c h a s e s p e c ific a c io n e s m ilita re s e s ta d o u n id e n s e s c o m o M IL -E -5 4 0 0 y M IL -S T D -8 1 0 d e fin e n d ife re n te s tip o s d e p u lso s d e c h o q u e y m é to d o s d e ta lla d o s d e p ru e b a c o n e s to s p u lso s. H s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a e l m é to d o d e lim ita r e s fu e rz o s d in á m ic o s e n s is te m a s m e c á n ic o s s o m e tid o s a u n a m b ie n te d e c h o q u e .


4 .6

( a ) P u ls o s c m is c n o id a l

( b ) P u ls o l i ia n g u l a r


369

( c ) P u ls o r e c t a n g u l a r

F ig u ra 4 J Í 2 D ilso s de c h o q u e típicos.

E je m p lo 4 .1 8

D is e ñ o d e u n a re p isa p a ra ca rg a s d e c h o q u e

e n la figura 4.23(a). L a tarjeta d e circuito im preso se coloca en un recipiente q u e s e v a a d e ja r c a e r d e sd e un helicóptero que vuela a b aja altura sobre la repisa. El ch o q u e resultante se puede representar de form a ap ro x i m ada com o un pulso scm iscnoidal, c o m o se m uestra e n la figura 4.23(b). D iseñe la repisa p ara que soporte un n ivel d e aceleración d e I00 g bajo e l pulso sem isenoidal q u e se m uestra en la figura 4.23(b). C onsidere un p eso específico d e 0.1 Ib/pulg’, un m ódulo d e Y oung d e 107 lb/pulg2 y un esfu erzo perm isible d e 2 6 .0 0 0 Ib/ pulg7 para alum inio. S o lu c ió n : El peso propio d e la viga (w )e s resultado de

y se considera q u e e l peso total. IP .es una carga c o rc e n tra d a e n el extrem o libre de la viga, d a d o por W = fc so de la viga + f t s o d e l circuito im preso = 0 .5 4 + 0.4 El m om ento d e inercia d e á re a
12

2

\ n deflexión estática d e la v ig a som etida a la carga W e n su extrem o, W l3 _

(0-54 + 0 .4 ) ( I 0 3)

_ (0.54 + 0 .4 )

Sc%'~ i E I ~ 3 x 107(0 .0 4 I6 7 4 3) ~

P e s o d e l a t a r j e t a d e c i r c u i t o i m p r e s o 0 .4 Ib

4*

A c e le ra c ió n

/0 = 0 . 1 s

(b)


se calcula como

7.9994 X 10 4

370

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Etodo q u e e l factor d e am plificación d e choque (la ordenada e n la figura 4 .1 5 (b )) no se puede d eterm inar a m enos q u e s e c o n o zc a e l v a lo r d e r n, adoptam os e l procedim iento d e prueba y e rro r para d eterm inar el v a lo r ( b T „ y p or consiguiente e l d e i0/ t „ . S i d s e considera com o d e ¿ pulg.

« « ,=

( °' 5 X

q

^

0

4

) 7 " 9 7

X

I0 "4

=

4 1 .5 9 6 9

X

1 0 ^ p u lg .

La ecuación (2.30) da

* ^

= « > 0 2 0 6 ,5 .

R tr consiguiente ío

0.1

r.

0 .0 2 0 6 ,5 = 4 8 5 0 8

El factor d e am plificación d e ch o q u e ( A J se d e te n n in a d e sd e la figura 4 . 15(b) c o m o 1.1. L a carga dinám ica {P j) que a ctú a sobre e l voladizo es

P j = AaM a , = ( l . l ) —

I ( l 0 0 g ) = 71.5 Ib

d tn d c a , es la aceleración correspondiente a l ch o q u e, M es la m asa e n e l extrem o d e la viga, y M a, es la fu e r za d e inercia q u e actúa e n la viga. O bservando q u e / = 0 .0 4 167d’ = 0.005209 pulg*. el esfuerzo d e flexión n tíx im o en la raíz d e la rep isa e n voladizo se calcula como

(7 1 5 X 1 0 ) y ~

f

-

0.005200

-

343' 5 '6076

Com o este esfuerzo ex ce d e e l valor perm isible, consideram os el siguiente v a lo r d e prueba d e d c o m o 0.6 pulg. Éste da

óc« = ( °~ X q * t ' ° ^

7-9994 X 10-* = 25.9240 X lO ^ p u lg .

8 ¡o = r.

0.1

6.1445

0.01627

Efc acuerdo c o n la figura 4.15(b), e l factor d e am plificación d e ch o q u e s e encuentra c o m o A a consiguiente la carga d inám ica que actúa e n la viga se deten n in a com o

^

= (1 .1 )

—

(lO O g ) = 7 7 .0 Ib


1.1, y por

4 .7

T r a n sfo r m a d a d e L aplace

371

Puesto q u e d m 0.6 pulg d a com o tesultado / « 0.04167*/* ■ 0.009001 pulg4. e l esfuerzo d e flexión m áxim o en la raíz de la repisa será (77.0 X 10) o*. =

MbC

(?)

0.009001

= 25663.8151 lb/pulg1

E n vista d e q u e este esfuerzo está d e n tro d e l lím ite perm isible, se p u ed e considerar el espesor d e la repisa c o m o d = 0 .6 pulg.

4.7

Transformada de Laplace C o m o y a a n ie s s e e x p lic ó , s e p u e d e u tiliz a r e l m é to d o d e la t r a n s f o rm a d a d e l a p l a c e p a ra h a lla r la r e s p u e s ta d e un s is te m a s o m e tid o a c u a lq u ie r tip o d e e x c ita c ió n , in c lu id o e l tip o a r m ó n ic o y p e rió d ic o . U n a im p o r ta n te v e n ta ja d e l m é to d o e s q u e to m a e n c u e n ta d e m a n e r a a u to m á tic a la s c o n d ic io n e s in ic ia le s . E n e l a p é n d i c e D e n e l s itio w e b d e e s t e l ib r o e n c o n tr a r á u n a in tro d u c c ió n d e l a tra n s fo rm a d a d e I .a p ia c e ju n to c o n u n a t a b la d e p a re s d e tr a n s fo rm a d a s d e 1-a p la c e . L a a p li c a c ió n d e l m é to d o d e la tra n s fo rm a d a d e L a p la c c p a r a e n c o n tra r l a re s p u e s ta d e u n s is te m a im p lic a b á s ic a m e n te lo s s ig u ie n te s p a s o s : 1.

E sc rib a l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s iste m a .

2 . T r a n s fo rm e c a d a té r m in o d e l a e c u a c ió n , u tiliz a n d o la s c o n d ic io n e s in ic ia le s c o n o c id a s .

1 . 7 . 1 ________

3.

R e s u e lv a la r e s p u e s ta tra n s f o rm a d a d e l s is te m a .

4.

O b te n g a l a s o lu c ió n d e s e a d a (r e s p u e s ta ) m e d ia n te u n a tra n s fo rm a c ió n in v e r s a d e L a p la c e .

I - i re s p u e s ta tra n s ito ria in d ic a l a p a r te d e la s o lu c ió n p ro v o c a d a p o r la s c o n d ic io n e s in ic ia le s y q u e d e c a e c o n e l tie m p o . L a r e s p u e s ta d e e s ta d o e s ta b le r e p re s e n ta l a p a rte d e l a s o lu c ió n p ro v o c a d a p o r

R e s p u e s ta s tra n s ito ria y d e e s ta d o

e s ta b le

la fu e rz a a p lic a d a o e x c ita c ió n y tie n d e a l a c o n d ic ió n e n la q u e p re v a le c e e l e q u ilib r io , V a lo r in ic ia l d e la r e s p u e s ta : S i s e c o n o c e la re s p u e s ta o s o lu c ió n d e u n s is te m a e n e l d o m in io d e l tie m p o , e l v a lo r in ic ia l d e l a r e s p u e s t a .x ( t = 0 ) . s e d e te rm in a c o n / = 0 . S i la re s p u e s ta d e l s is te m a s e d a e n e l d o m in io d e L a p la c c . e l v a lo r in ic ia l s e p u e d e e n c o n tra r c o m o s ig u e :

x (,

0 ) K m [sX (s))

(4 .4 6 )

J —* 0 0

L a e c u a c ió n ( 4 .4 6 ) s e c o n o c e c o m o te o r e m a d e l v a lo r in ic ia l. V a lo r e s ta b le d e l a r e s p u e s ta : S i s e c o n o c e l a r e s p u e s ta d e u n s is te m a e n e l d o m in io d e l tie m p o , e l v a lo r d e e s ta d o e s ta b le d e l a r e s p u e s ta . xe t, s e d e te r m in a lo m a n d o e l l ím ite a m e d id a q u e e l t i e m p o tie n d e a in fin ito . S i la re s p u e s ta d e l s is te m a s e d a e n e l d o m in io d e L a p la c e . e l v a lo r d e e s ta d o e s ta b le s e p u e d e e n c o n tr a r to m a n d o e l lím ite , a m e d id a q u e s tie n d e a c e r o , d e s p o r la re s p u e s ta e n e l d o m in io d e L a p la c c : lím »-*

(4 .4 7 )

L a e c u a c ió n ( 4 .4 7 ) s e c o n o c e c o m o te o r e m a d e l v a lo r f i n a l . A c o n tin u a c ió n s e c o n s id e ra la a p lic a c ió n d e l a tra n s fo rm a d a d e L a p la c e p a r a c a l c u l a r l a r e s p u e s ta d e s is te m a s d e p r im e ro y s e g u n d o o r d e n b a jo fu n c io n e s f o r z a d a s d ife re n te s .


372

C a p ítu lo 4


C o n s id e re u n s is te m a d e re s o r te - a m o r tig u a d o r s o m e tid o a u n a f u n c ió n f o r z a d a F ( f ) c o n l a e c u a c ió n efe m o v im ie n to ( f ig u r a 4 . l ( b ) ) :

R e s p u e s ta d e s is te m a s d e p r im e r o r d e n

cx+

k x = F (/)

(4 .4 8 )

x + a x = F (l)

(4 .4 9 )

La ecuación (4.48) s e rcescribc com o

cbnde o -

-c ,

F ( ,) = P F ( |) ,

F = i

(4 .5 0 )

l a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 4 .4 9 ) b a jo d if e r e n te s fu n c io n e s f o r z a d a s F ( r ) s e ilu s tr a e n lo s s i g u i e n te s e je m p lo s .

E je m p lo 4 .1 9

R e sp ue sta d e Im p u ls o u n ita rio d e u n sis te m a d e p r im e r o rd e n Encuentre la solución d e la ecuación (4.49) cuando la función forzada e s un im pulso unitario e n i ■ 0 y d e te r m ine los v alo res inicial y d e e stad o estable d e la respuesta. S olución: l a ecu ació n d e m ovim iento, la ecuación (4.49), e n este caso es x + a x = F 6 (i)

( E l)

cbnde F = l / c . S i tom am os la transform ada d e L aplace de la ecu ació n ( E 1) obtenem os íAT(s) - x ( 0 ) + a X ( s ) = F

(E 2 )

Suponiendo q u e las condiciones iniciales son c ero . x(0) = 0. la ecu ació n ( E 2 ) se ex p resa com o

x <*> = 7 T 7 ' F ( 7 T l )

< «)

La transform ada inversa d e L aplacc de la ecu ació n
(E 4 )

El v a lo r inicial d e la respuesta s e puede encontrar a p artir d e la resp u esta d e tiem po, ecuación (E .4). a l esta blecer / = 0 . Esto da x (l - 0 + ) = F

(E .5)

Según la solución en e l dom inio d e la p la c c , el teorem a del v a lo r inicial d a e l v a lo r inicial d e la respuesta:

,(, = 0 +) =

lím f j X ( í ) ] = lím F ( — ) = OO1 /J ,-^ 0 \ j + a )


lím E f l— r ) = F i — » \1 + (fl/j)/

(E .6)

4 .7


373

A sim ism o, d e la resp u esta e n e l d om inio del tiem po, ecuación < E 4), e l v a lo r d e e stad o estable s e puede e n co n trar tom ando el límite a m edida q u e i - » oo. P o r lo tanto, la ecuación (E .4 ) da p o r resultado

=

lím Fe~“' = 0

(E.7)

E l valor d e estado estable d e la respuesta s e d eterm ina a p a rtir de la ecu ació n (E .3 ) aplicando el teo rem a del v a lo r final como

■ J S lG r í) - 0

E je m p lo 4 .2 0

(E.8)

R e sp u e sta d e u n sis te m a d e p rim e r o rd e n d e b id o a u n a fu n c ió n ra m p a E ncuentre la solución d e la ecuación (4.49) cuando la f u e r a aplicada es una función rampa. S o lu c ió n : l a ecuación d e m ovim iento, ecu ació n (4.49), en este c a so s e escribe com o x + ax = Fbl = d i

(E. 1)

d o n d e d = F b , F = 1/ c , y b indica la pen d ien te d e la ram pa (figura 4.24). T om ando la transform ada d e l a place de la ecu ació n (E .1) obtenem os sX (s) - x (0 ) + a X (j) =

(E.2)

Suponiendo q u e la s condiciones iniciales so n cero, x (0 ) = 0 . la ecuación ( E 2 ) s e expresa como

(E.3) * W = ‘' U

, +

La transform ada inversa de L aplace d e la ecuación ( E 3 ) d a la respuesta d e e stafo estable d e l sistem a como

(E.4)

m

Figura 4.24 FU nción ra m p a .


374

C a p ítu lo 4


C b n s id e re u n s i s t e m a d e re s o rte - m a s a -a m o r tig u a d o r s o m e tid o a u n a fu n c ió n f o r z a d a F f f ) c o n la e c u a c ió n d e m o v im ie n to (fig u ra 4 .2 (a ) ) :

R e s p u e s ta d e s is te m a s d e s e g u n d o o rd e n

« « + «* + * . - ? ( » )

<4 .si)

l a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n (4 .5 1 ) b a jo fu n c io n e s f o rz a d a s d if e r e n te s F ( / ) se ilu s tr a e n lo s e je m p lo s sig u ie n te s.

E je m p lo 4 .2 1

R e sp ue sta d e Im p u ls o u n ita rio d e u n s is te m a d e s e g u n d o o rd e n r ttc r m in c la respuesta d e un sistem a no am ortiguado d e un solo grada d e libertad a un im pulso unitario. S olución: La ecu ació n de m ovim iento está dada por n ix + e x + k x = 8 ( l )

(E .1)

Tom ando la transform ada d e L aplace d e am bos lados d e la ecuación ( E I ) obtenem os [m (x? - sx o - ¿ o ) + ? ( s “ *o) + * ] * ( * ) = • o ( m j 2 + e s + k ) X ( s ) = m x 0 + (m s + c ) x 0 + I

(E .2)

Suponiendo u n a condición inicial c ero . x0 = ¿ 0 = 0. la ecuación (E .2) se expresa com o (m r2 + es + k ) X ( s ) = I

XM

+ 2 ¡ „ ., + *¿)

Ib d c m o s ex p resar e l lado derecho d e la ecuación < E 3) en fracciones parciales com o

(E4> d>nde s, y s 2 s o n las raíces d e la ecuación polinom ial: s 2 + 2 ¿ to .s + to2 = 0

(E 5 )

las cuales e stán d a d as por *i =

+ iu>d<

*7 = -£ * > , “ i u j

(E .6)

d in d e O Jj

=

« ,V l -

i2


(E 7 )

4 .7


375

es la frecuencia am ortiguada d e l sistem a. L a sustitución d e la ecuación ( E 6 ) e n la ecuación (E .4) d a p o r re sultado C ,( j ~ s2 ) + C 2( s - í i ) = ^ m

(Ci + C 2) s -

- ia ij) + C 2( - ( ( ü H + Itüj)} = ( 0 ) j + — ftl

(E.8)

Igualando los coeficientes e n am bos lados d e la ecuación (E .8). obtenem os

C, + Cj = 0

o

C, = - C 2

- ¡uá ) + C2( - i r u n + ¡tod ) = - -

C2((U „ +

- &>n + 'Wrf) =

(E .9)

(E l° )

l a s ecuaciones ( E 9 ) y ( E 10) dan

c’ “

= " C|

Utilizando la ecuación ( E 11) en la ecuación ( E 4 ) , X (s) se expresa com o

X ( s ) = r r 1— f - 1-------------- — ) 2 J-5 2 /

(E I2 )

T om ando la transform ada inversa d e la p la c c d e la ecuación ( E l 2) obtenem os

- **> “ £ ? ■

'< '> -

* * *

~

2im tü j = — e - * - 1 sin ^ maid

r.

/ fc 0

(E I3 )

Notas: 1. La respuesta .»

376

C a p ítu lo 4

E je m p lo 4 .2 2


R e sp ue sta a un im p a c to n o elástico Una m asa m, que se m ueve con una velocidad v,. choca c o n la m asa M de un sistem a am ortiguatki d e un solo grado d e libcitad c o m o s e m uestra en la figura 4.25(a ) y se adhiere a la m asa M después del impacto, c o m o se m uestra e n la ñ g u ra 4.25(b). E ncuentre la respuesta del desplazam iento resultante d e l sistem a. M étodo: U se la relación: C am bio de cantidad d e m ovim iento = im pulso & decir.

m v , - m v, = j f f { r ) d r

( E l)

(b n d e m e s la m asa q u e choca, v? e s la velocidad final (d e sp u és d e l im pacto); v, es la velocidad in icial (antes del im pacto); f ( t ) e s la fuerza aplicada d urante la corta d uración d e 0 a t. y la integral indica el im pulso (e l m ism o que e l úrea b a jo la cu rv a d e fuerza-tiem po). S olución: Com o la m asa m se adhiere a la m asa M despulís del im pacto, éste se puede considerar p erfecta m ente plástico o no elástico. E l sistem a com binado (c o n la s d o s m asas ju n tas com o se m uestra e n la figura 4 2 5 (b )) se puede considerar q u e está som etido a un im pulso con cam bios e n las velocidades de la s m asas. La fuerza de im p a c to ,/(/X es interna a l sistem a y s e puede suponer que es a r o . P o r lo tanto, la ecuación ( R 1) se « e sc rib e com o (m + M )V t - {m v, + M ( 0 )} = 0

(E .2)

cbndc Vt e s la velocidad d e l sistem a com binado (m + Af) después d e l im pacto, l a ecu ació n ( E 2 ) d a la v e lo cidad d e l sistem a inm ediatam ente después del im pacto como

l a ecuación de m ovim iento para e l sistem a com binado está d ad a por (m + M ) x + e x + k x = 0

H " ! »V ,

(a) A ntes del impacto

(b ) Después del impacto

Figura 4 .2 5 Impacto n o elástico.


(E 4 )

4 .7


377

Dado q u e el im pacto cam bia la velocidad, pero no e l desplazam iento, d e l sistem a ju sto inm ediatam ente dcsm vi pues d e l im pacto, la condición inicial se puede considerar com o ,r(í = 0 ) = 0 y x ( r = 0 ) = V, .L a U respuesta d e vibración libre d e l sistem a (solución d e la ecuación (E .4)) s e puede o b ten e r a p artir d e la ecuación (4.18) com o

x (r) =

E je m p lo 4 .2 3

=

m vi

s e n ttj

(m + M )w d

(F..5)

R e sp u e sta a u n Im p a c to p e rfe c ta m e n te elástico U na m asa m , que se m ueve con u n a velocidad v ,, choca con la m asa M d e u n sistem a am ortiguado de u n solo grado d e libertad c o m o se m uestra e n la figura 4.26(a). El im pacto es p erfectam ente elástico d e m odo q u e d e s pués d e l im pacto la m asa m rebota con una velocidad v ,. Encuentre la respuesta d e l desplazam iento resultante d e la m asa M. M étodo: CXiando d o s m asas m y M se m ueven inicialm ente c o n la s velocidades v, y V, c h o c a n entre s í y a lc an z an las velocidades v2 y V, inm ediatam ente después del im pacto, respectivam ente (figura 4 .2 6 (b )); e l principio de can se n a c ió n d e la cantidad d e m ovim iento da por resultado m vj + M V i = m v ; +

m ( v , ~ V2 ) =

-A /( V , -

(E.1)

V i)

Efcbido a q u e e l im pacto es p erfectam ente elástico, es aplicable e l principio d e conservación d e energía ciné tica, d e motto que = |m v ? + -[ M V ]

^ m (v ? - v}) =

-

V \)

m

(a ) A ntes d e l im pacto

(b ) D espués d e l im pacto


4 2 6 Im p ac to elástico.

378

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as h cual se rcescribe e n la form a

^ m ( v , + v2) ( v , - V j) = —^ M (V i + V2)(V , - V2)

(E .2)

UiilÍ7ando la ecuación ( E .l ) e n la ecuación (E .2), vem os que V, + v2 = V, + V2

(«^ - V¡) = - ( v 2 - V2)

(E .3)

La ecuación (E .3) indica que la m agnitud d e la velocidad relativa de las m asas perm anece c o n stan te y sólo cam bia e l signo durante un im pacto perfectam ente clástico. S olución: Puesto q u e las velocidades d e las m asas m y M son v, y V, = 0 an te s d e l im pacto, su s velocidades inm ediatam ente después d e l im pacto se determ inan desde la s ecuaciones (E .1) y (E 3 ):

m (v , - v j ) = - M ( 0 - V2) = MV2

v, = !F " S V3

(v i - 0 ) = v, = - (

ví

(E-4>

- V 2) = V2 - v 2

(E 5 )

l a solución d e las ecu acio n es (F..4) y ( R 5 ) d a p o r resultado m - M 15 = ^ T T

m

.. 1'1'

2m

v’ ■

m

V|

H cam bio en la can tid ad d e m ovim iento de la m asa m está d a d o por

-

é

r

2- ' ) * ' - ( £ ? ) '

ft»r lo tanto, e l im pulso aplicado a la m asa m d urante e l im pacto lo da

=

(E8>

Efc acuerdo con la tercera ley d e l m ovim iento d e N ew ton. e l im pulso aplicado a la m asa M d urante e l impacto será el m ism o q u e . pero de signo opuesto, e l im pulso aplicado a la m asa m. D ebido a l im pulso aplicad o , la ecuación de m ovim iento de la m asa M s e expresa como

Í

2m M F ( r ) d r = F = -------- — V |5(r) m + Af


(E . 9 )

4 .7


379

U tilizando las condiciones iniciales d e M c o m o « (/ & 0 ) ■ i 0 a 0 y j ( / - 0 ) a ¿0 & 0. la solución de ecuación (E .8) s e ex p resa, utilizando la ecu ació n (4.26), com o

sen turf

I (,) = - s í 7 sc" “j' =

(E IO )

R e s p u e s ta a u n a f u e rz a g ra d u a l

E je m p lo 4 .2 4

R e sp u e sta e s c a lo n a d a d e u n sis te m a s u b a m o rtig u a d o Encuentre b respuesta d e un sistem a subam ortiguado d e un solo g ra d o d e libertad a una función escalonada unitaria. S o lu c ió n : La ecuación d e m ovim iento está d ad a por m x + ex + k x = f ( t ) = I

(F..I)

T om ando la tran sfó rm a la d e L aplace d e am bos b d a s d e la ecu ació n (E. I ) y suponiendo condiciones iniciales cero (xo = x o = 0). obtenem os (E.2)

(m i2 + ex + k ) X ( s ) - ÍCÍ1] = b cual se reescribe como I

X (s) =

(E.3)

m s ( ? + 2 £ « v + a»í) M e m o s ex p resar el lado derecho de la ecu ació n (E .3) en fracciones parciales com o i

x(s)

m s (s2 + 2 ¿ « irf + u 2) donde j (,

C' - + ^ x “ *i x “

+

« s -

(E.4)

y í , so n las raíces d e b ecuación polinom ial s f s 2 + 2¿
(E.5)

las cuales están dadas por s, = 0 .

j 2 = -£ tu „ + ia ij,

s 3 = -& u„ - iioj

(E 6 )

L as c onstantes C ,, C , y C , e n b ecu ació n ( E 4 ) s e determ inan c o m o sigue. S u stitu ir los valores d e í , , s 2 y í j dados p o r b ecuación (E .6 ) e n la ecuación (E .4 ) y reordenar los térm inos n o s lleva a

— = C ,( j 2 + 2£(ü„.f + o»2) + C ^ j 2 + s((co„ + ío jj)] + C { s 2 + j(£o». - ííüj)] m


(E 7 )

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s fo rz a d a s La ecuación ( E 7 ) se recscribe com o Í ( C , + C 2 + C 3) +

l[(2 £ ü ,)C ,

+

(¿ tf ,

+

to rfJC j

+ (¿ a i.

-

¡
= (0 )s 2 + ( 0 ) i + I

(E .8)

Igualando los coeficientes d e los térm inos correspondientes en a m b o s lados d e la ecuación (E .8). obtenem os C , + C2 + C , = 0

(E .9)

Ci(2£o>„) + C2(-i< o„ + to rf) +

~ ¡» i) = 0

(E. 10)

CW, = fft

(E .I I)

La solución d e las ecu acio n es ( E 9 M E 11) n o s da <4 ■ — r mea;

(E I2 )

02 ~ 2im
C j “ 2imtod ({o» + »«*)

( E ,4 >

Utilizando la s ecu acio n es ( E I 2 H E I 4 ) en la ecu ació n (E 3 ), X (i)se puede ex p resar com o

m w„ J I______________ I_________________ I______________I

I

+io>d s -

(-(to ,

+i ü t j )

- f u , - Ítod s -

"1

- iiüd

J

(E

T om ando la transform ada inversa d e la p la c c d e la ecu ació n < E 1 5 ) y utilizando los resultadas d a d o s e n el ¡péndice D. en e l sitio web d e esle libro, obtenem os

(l) = _ L + «**"' ( mail

«***_______________^

2imotd \ -(ta„ + ¡ajd

- { oj„ - itod J

- (-i» . +

- ^ j { i + ^

1

= *[’ "

1 seno*rfr + ü>¿ eos iüdl]>

cos(" j ' - ■*>]

Linde


(EI4)

4 .7


381

Se ve q u e la ecuación ( E 16) es la m ism a q u e la respuesta escalonada un itaria (c o n F 0 - 0 ) derivada por medio d e l m étodo tradicional, ecu ació n ( E l ) d e l ejem plo 4 .9 . L a respuesta d ad a p o r la ecuación ( E l 6) s e m uestra en la figura 4.27.

V a lo r d e e s ta d o e s ta b le =

1

F ig u ra 4 .2 7 Itespucsta de u n sistem a sub am o rtig u ad o so m e tid o a u n a f u e r a gradual.

E je m p lo 4 .2 5

V a lo re s final e Inicial d e re s p u e s ta e s c a lo n a d a d e u n sis te m a s u b a m o rtig u a d o E ncuentre los valores inicial y d e estada estable d e la respuesta escalonada unitaria d e un sistem a subam ortiguado a partir d e la s respuestas indicadas p o r las ecu acio n es (E 1 6 ) y ( E 3 ) d e l ejem plo 4.24. S o lu c ió n : La respuesta del sistem a e n el dom inio d e l tiem po, ecuación ( E l 6 ) d e l ejem plo 4.24, se escribe com o 1 í 1 x ( t ) = - 

(E .l)

C on i = 0 e n la ecuación ( E 1). hallam os e l valor inicial c o m o 0. T om ando e l límite a m edida q u e t - * o o , el térm ino e {">ml —* 0 y por consiguiente el \ak> r d e estado estable d e x (t) está dado p o r 1 /k. l a respuesta d e l sis tem a e n e l dom inio d e L aplace se obtiene c o n la ecuación ( E 3 ) d e l ejem plo 4 2 4 . Utilizando e l teorem a d e l valor inicial, encontram os d v a lo r inicial com o

x (l = 0 + ) =

lím [ r X ( j ) l *-•00

lím oc _ m (s 2 4 2 f » ms

x „ = l í m [ j * ( j ) ] = Lím _ m ( r + 2&ons + cu;

E je m p lo 4 .2 6

m iol

R e sp u e sta d e u n a m á q u in a c o m p a c ta d o ra E ncuentre la respuesta d e la m áquina com pactadora d e l ejem plo 4.9 suponiendo q u e el sistem a es subam orti guado (e s d e c ir. ¿ < 1). M étodo: Use un m odelo d e resorte-m asa-am ortiguador de la m áquina com pactadora y la técnica d e la trans form ada d e Laplace.


382

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as S olución: La función forzada está d ad a por

n o

F0

durante

0 £ i < r0

0

durante

/ > /0

(H.1)

Tom ando la transform ada d e Laplace d e la ecu ació n diferencial rectora, ecuación (4.51). y utilizando e l apéncfice D , q u e se en cu en tra e n e l sitio web de este libro, obtenem os la siguiente ecuación: F (s)

X (S ) = m (s2 +

2 {< o¿ + cu2)

z2 + 2 C * V + o>l

•*o

1

(E .2)

í 2 + 2¿
e -~ ) (E .3)

F (s) = itF (l)

R tr lo tanto, la ecuación ( E 2 ) s e escribe com o F0( I -

e '* * )

X (s) m s (s 2 + 2£<*v + oj2)

s 2 + 2£a»„ + col 7o

+ 2¿ « v + cu

■r0 -"'o*

I

Vo>; -*0

r

—

«.

£_______ +

“■ ( i i * «£ + ,)

1________

^

)

^ f 4 W m

(E .4)

+ « i +1) <•>«

J

La transform ada in v ersa de la ecu ació n ( E 4 ) se ex p resa utilizando los resultados dados e n el ap én d ice D (vea d sitio w eb d e este libro) como

* (/) =

Fo mcu2

' ™

■

j [ " 7 = 7 K ” ^ ' / r T í 3<' - '» ) + * > ]

í [ ^

S

se" , “ - v n r 7 ' ‘ *‘ |] (E .5)


4 .7


383

donde *1 = e o s '( £ )

(E 6 )

F\>r lo tanto, la respuesta d e la m áquina com pactadora s e ex p resa como

- ¡ ..( .- ..i

( / - - „ ) + * ,!]

^ = f - ^ s e n K

V l - í ’ < - * ,)

(E 7 ) • » ,v l - ( '

Aun cu an d o s e e sp era q u e la prim era parte d e la ecu ació n ( E 7 ) se a la m ism a q u e la ecuación ( E 1) del ejem plo 4.11, e s difícil v e r la equivalencia e n la presente form a d e la ecu ació n (E.7). Sin em bargo, para e l sistem a no am ortiguado, la ecu ació n (E .7) se reduce a

* ( ') =

|^ - s c n ^ +

( - x 0 sen I iu„f - -

=

—

[eos

t0 ) -

+ sen |

íü, ( /

- r0) +

*0 I + — sen t o j

eos W ] +

*

,0COSO.,/ +

—

sen <*J

a».

S e v e q u e la prim era parte, o p a rte d e e stad o estable d e la ecuación (E .8), e s idéntica a la ecu ació n (E .3 ) del ejem plo 4.11.

E je m p lo 4 .2 7

S is te m a s o b re a m o rtlg u a d o s o m e tid o a u n a fu e rz a gra d u a l Determ ine la respuesta d e un sistem a sobream ortiguado d e un solo gratki d e libertad som etido a una fuerza gradual con la ecuación de m ovim iento 2 x + 8 ¿ + 6 * = 5 u ,(r )

(E l)

Suponga la condición inicial c o m o x Q = 1 y ¿ 0 - 2. S olución: T om ando la transform ada d e L aplacc de a m b o s lados d e la ecu ació n ( E 1). obtenem os [ 2 { j j X ( j ) - s x 0 - ¿o} + 8{s X ( s ) - *(,} + 6 X (x )] = *

i{2s~ + &r + 6 ) X ( a ) = 5 + 2 j ( « 0 + ¿0) + &,*<>


(E .2)

C a p ítu lo 4


U tilizan d o lo s v a lo re s in ic ia le s. x 0 = 1 y ¿ 0 = 2 . la e c u a c ió n (E .2 ) s e e x p r e s a com o

s ( 2 r + 8J + 6 ) X ( s ) = 2s~ + 12j + 5

s 7 + 6 s + 2.5

2 j 2 + 12í + 5 * < * )-

2 í (í 3 + 4 j + 3 )

+ • )( * + 3)

O bservando q u e la s raíces d e l polinom io e n e l denom inador d e l lado (fcrecho d e la ecuación (E .3) so n s t = 0. j j = - 1 y s 3 = - 3 . X ( s ) s c ex p resa, utilizando fracciones parciales, com o

£L _ + _£L

X (s) = s -

Si

¡ -

S2

s -

< E 4) Sj

(b n d e las c onstantes se pueden hallar, utilizando la ecuación (D .l). como A ( ,) Ct =

k = I. 2 . 3

B '( s )

(E .5)

d m d e > \(j)e s e l n um erador y B (s )e s el denom inador d e la expresión m edia e n la ecu ació n (E .3 ) y u n a prim a indica la derivada con respecto a .t. La expresión m edia e n la ecuación (E .3) d a p o r resultado 4 ( i ) = s 2 + 6 s + 2.5 B ’( s )

+ 8»

3

3

6

(E .6)

Las ecuaciones (E .5) y ( E 6 ) dan M s) C, =

B '(x ) A (s)

- 2 .5 = 5

B '( s )

-2

1

A (s) C, =

B '( s )

4

- 6 .5

|3

< E 7)

12

í= « 3 = -3

C onsiderando las ecuaciones ( E 7 ) . la ecuación ( E 4 ) se escribe com o 5 1 ( ,)

5

1

6 s ~ 4 j + 1

13

I

12 j + 3

(E .8)

Tom ando la transfonnada inversa d e L aplacc de la ecu ació n ( E 8 ) . obtenem os la respuesta d e l sistem a com o

(E .9 )

La respuesta d ad a p o r la ecu ació n ( E 9 ) se m uestra gráficam ente e n la figura 4.28.


4 .7


385

i F ig u ra 4 .2 8

4 . 7 . 5 _______

A n á Ü S iS d e la r e s p u e s t a e s c a lo n a d a

La respuesta de un sistema amortiguado de un solo grado de libertad sometido a una fuerza gradual, dada por las ecuaciones (E .l) y (E.2) del ejemplo 4.9 y las ecuaciones (E.16) y (E .I7 ) del ejemplo 4-24, se pueden expresar en la forma

kx/,\ — ^ Fo

, = I -

---------- e - ^ - ' c o s K ; - ó ) v i - r

(4.52)

donde

tan"1 I - 7=

v i

=

h )

|

(4.53)

Las variaciones de la respuesta no dimensional k x (t)/F Q, con el tiempo no dimensional, a y , se muestran gráficamente en la figura 4.29 para varios valores de la relación de amortiguamiento f. Se ve que para un sistema no amortiguado (£ * 0 ), la respuesta presenta oscilaciones que nunca cesan. Para un sistema subamortiguado (£ < 1), la respuesta sobrepasa y oscila en tomo al valor final o de estado estable. Además, cuanto más pequeño es el valor de la relación de amortiguamiento más grande será el sobrepaso, de modo que las oscilaciones tardan más en cesar, ftira un sistema críti camente amortiguado (£ = 1), la respuesta alcanza el valor final o de estado estable más rápido sin oscilación. Para un sistema sobreamoitiguado (£ > 1), la respuesta alcanza el valor de estado esta ble lentamente sin sobrepaso.


386

C a p ítu lo 4


k x jt) Fo

F igura 4 .2 9 Respuesta de u n siste m a su b a m o rtig u a d o debido a u n a fuerza g ra d u al u n ita ria .

4 .7 .6

D e s c r ip c ió n d e u n a re s p u e s ta tra n s ito ria

H d e s e m p e ñ o y c o m p o r ta m ie n to d e u n s is te m a v ib r a to r io p a r a re s p u e s ta tra n s ito r ia s e d e s c rib e e n fu n c ió n d e p a r á m e tro s c o m o s o b r e p a s o m á x im o , tie m p o p ic o , tie m p o d e s u b id a , tie m p o d e re ta rd o y tie m p o d e a s e n ta m ie n to . E s to s p a rá m e tro s s e m u e s tra n e n l a f ig u r a 4 .3 0 . la c u a l in d ic a u n a r e s p u e s ta e s c a lo n a d a típ ic a d e un s is te m a s u b a m o r tig u a d o . S e a n a liz a n a c o n tin u a c ió n . 1. T ie m p o p i c o (lp\ ’ El tie m p o p ic o e s e l tie m p o r e q u e r id o p a r a q u e l a re s p u e s ta a lc a n c e e l p r im e r p ic o d e s o b re p a s o . L a c a n tid a d m á x im a d e lo s s o b re p a s o s d e r e s p u e s ta . o c u rre c u a n d o l a d e r iv a d a d e x (l) es c e r o . L a e c u a c ió n (E . 16) d e l e je m p lo 4 .2 4 d a l a v a ria c ió n d e tie m p o d e l a re s p u e s ta e s c a lo n a d a u n ita ria d e un s is te m a s u b a m o r tig u a d o :

k x (l) = 1 - e

( —

s e n iú ¿ \ + e o s to A

(4 .5 4 )

\

d o n d e iod -

iü „

V 1 - £2 . L a e c u a c ió n ( 4 .5 4 ) ta m b ié n s e p u e d e e x p r e s a r e n fo r m a c o m p a c ta

com o

* ,(« ) -

I -

V 1 + ( ¿ j J

-

“ )

( 4 .5 5 )

tb n d e

a = tan"

( t<»n


(4 .5 6 )

( 4 .5 6 )

4 .7


387

*(/)

L a d e r iv a d a d e x (r) s e r á c e r o c u a n d o x (f) a lc a n c e s u m á x im o , d e m o d o q u e

k x(r) =

|

^

s e n u>dt + e o s oidt

j

- e ~ í * "' {£
Í ( M 2s e n t ü j l +

e i
= 0

r u a s e n io jt

I

(4 .5 7 )

L a e c u a c ió n (4 .5 7 ) s e sa tis fa c e c u a n d o s e n u> j = 0 d e m o d o q u e u jtp = 0

(4 .5 8 )

P o r lo ta n to , e l tie m p o p ic o e s t á d a d o p o r

'P = 2.

(4 .5 9 )

T ie m p o d e s u b id a (lt \: E3 tie m p o d e s u b id a e s e l tie m p o n e c e s a r io p a r a q u e l a re s p u e s ta s u b a d e 10% a 9 0 % d e l v a lo r f in a l o d e e s ta d o e s ta b le p a ra s is te m a s s o b r e a m o r tig u a d o s . P b r l o c o m ú n , p ara s is te m a s s u b a m o r tig u a d o s e l tie m p o d e s u b id a s e c o n s id e r a c o m o e l tie m p o re q u e rid o p a ra q u e la re s p u e s ta s u b a d e 0 % a 1 0 0 % d e l v a lo r fin a l o d e e s ta d o e s ta b le . S u p o n ie n d o q u e e l tie m p o d e s u b id a e s ig u a l a l tie m p o r e q u e r id o p a ra q u e la re s p u e s ta s u b a d e 0 % a 1 0 0 % . p o d e m o s d e te r m in a r e l tie m p o d e s u b id a ig u a la n d o e l v a lo r d e x ( /) d a d o p o r la e c u a c ió n (4 .5 4 ) e n e l in s ta n te / , a uno:


388

C a p ítu lo 4


■*('*) -

O b s e rv a m o s q u e

1 “ é

I -

+

(4 .6 0 )

'• * 0 , la e c u a c ió n ( 4 .6 0 ) d a p o r re s u lta d o

=

se n w j/, + eo s

0

o

í1

V i t a n (ü ¿ t = ---------

(4 .6 1 )

f e t a d a e l tie m p o d e s u b id a t, c o m o

J

I

,í= ^

V i -

,an { —

—

C2\

77 - a

J = ^

(4 -62)

r

c b n d e l a e c u a c ió n ( 4 .5 6 ) d a a . L a m is m a e c u a c ió n in d ic a q u e e l tie m p o d e s u b id a ts s e p u e d e r e d u c ir in c re m e n ta n d o e l v a lo r d e tod o £. 3.

S o b r e p a s o m á x i m o (M p) : E s e l v a lo r p ic o m á x im o d e l a re s p u e s ta c o m p a ra d o c o n e l v a lo r fin a l o d e e s ta d o e s ta b le (x(oo) o x „ ) e x p re s a d o c o m o u n p o r c e n ta je d e l v a lo r d e e s ta d o e s ta b le . S e p u e d e c a lc u la r c o m o x ( tp ) — x r(o c) S o p r e p a s o = ------- — -------

(4>63j

S u s titu y e n d o la e c u a c ió n ( 4 .5 9 ) e n l a e x p r e s ió n x ( r \ e c u a c ió n ( 4 .5 4 ) . o b te n e m o s

\

C túm

x (tp ) = 1 + Mp = 1 -

*

—

s e n 77 + e o s i r J = 1 + e

£ w

(4 .6 4 )

R >r lo ta n to , e l s o b re p a s o e s tá d a d o p o r

Mp = e~ -

— X* = e v 'T ?

(4 .6 5 )

R s o b r e p a s o e n p o r c e n ta je s e o b t ie n e c o m o % M P = lO O e ' v S ?

(4 .6 6 )

Si in v e r tim o s l a re la c ió n e n l a e c u a c ió n ( 4 .6 6 ) , p o d e m o s e n c o n t r a r la r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to ( ( ) p a r a un p o r c e n ta je d e s o b r e p a s o d a d o c o m o ln ( % A f p /1 0 0 ) )

{

V i r 2 + ln * ( % ' i y T b o )


( 4 ,6 7 )

4 .7


389

E l s o b r e p a s o d a d o p o r l a e c u a c ió n ( 4 .6 5 ) , s e m u e s tra g rá fic a m e n te e n la f ig u r a 4 .3 1 . T ie m p o d e a s e n la m ie n ío : E>te tie m p o , p o r d e f in ic ió n , e s a q u e l d u r a n te e l c u a l * ( /) e n l a e c u a c ió n (4 .5 5 ) l le g a y s e m a n tie n e d e n tr o d e ± 2 % d e l v a lo r d e e s ta d o e s t a b l e , S u p o n ie n d o q u e e l té rm in o c o s e n o e n l a e c u a c ió n ( 4 .5 5 ) e s a p r o x im a d a m e n te ig u a l a u n o , e l tie m p o re q u e rid o p a r a q u e e l f a c to r d e m u ltip lic a c ió n d e l té r m in o c o s e n o a lc a n c e un v a lo r d e 0 .0 2 d a e l tie m p o d e a s e n ta m ie n to :

e ~ t

“ " '«

y

j

1

+

( ^

) 2

1 =

,

*

- I n ( 0 .0 2 V I -----------------------

í 2)

-

=

0 .0 2

la c u a l n o s d a

(4 -6 8 )

A m e d id a q u e £ v a r ía d e 0 a 0 .9 , e l n u m e r a d o r e n l a e c u a c ió n ( 4 .6 8 ) v a r ía d e 3.01 a 4 .7 4 . P o r lo ta n to , e l tie m p o d e a s e n ta m ie n to , v á lid o a p r o x im a d a m e n te p a ra t o d o s lo s v a lo r e s d e £ , se p u e d e c o n s id e r a r c o m o

( 4 .6 9 )

5.

T ie m p o d e d e m o r a (/¿X1 É s te e s e l tie m p o re q u e rid o p a r a q u e l a re s p u e s ta a lc a n c e e l 5 0 % d e l v a lo r f in a l o d e e s ta d o e s ta b le p o r p r im e r a v e z .

R e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to . £

Figura O I Variación de sobrepaso e n porcentaje con la relación d e am ortiguam iento.


390

C a p ítu lo 4

E je m p lo 4 .2 8


C a ra c te rís tic a s d e re s p u e s ta d e riv a d a s d e la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia Encuentre e l tiem po pico (fpX porcentaje d e sobrepaso <% A /p, tiem po d e asentam iento (íM) y tiem po d e subida (/,)c o n la función de transferencia d e l sistem a d ad a por X (s)

225

T (,)

TTThTñs

(R I)

S olución: 1.a frecuencia natural del sistem a se p u ed e h a lla r a p artir del últim o term ino e n el den o m in ad o r de h ecu ació n ( E l) : cu, = V 2 2 5 = 15 rad/s

(E .2)

La relación d e am ortiguam iento s e determ ina desde e l térm ino m edio en e l denom inador d e la ecuación ( E l ) com o

(EJ> La sustitución d e les v alo res de cu, y £ e n la s ecuaciones (4.59), (4.66), (4.69) y (4.62) d a por resultado ir ir T iem po p ico = t„ = — = ------, P «4 c^V l -

ir a = -------,■ - = 0.2418 s 15V i - 0.5

R»rcentaje de sobrepaso = % M p = lO O c -í^ T = l O O e ^ í S ) = 100(0.1231) = 12.31

T iem po d e asentam iento = i, =

¿cu,

= ■ ■* - = 0.5333 s 0.5(15)

ir -

(E .5)

(E .6)

t a n '1

f

a

T iem po d e subida = i r =

(E .4)

e

<°d ir

-

ta n

f

e

)

= 0 .2 0 1 5 8

(E .7)

15 V i - 0.52 Este ejem plo dem uestra que las características d e respuesta, tiem po p ico , porcentaje d e sobrepaso, tiempo de asentam iento y tiem po d e subida, se d eterm inan sin la tediosa tarca d e b u sc a r la respuesta en función del tiem po m ediante u n a transform ada inversa d e Laplacc. trazando la respuesta en función del tiem po y tom ando n e d id a s d e la curva en función d e l tiem po resultante.

E je m p lo 4 .2 9

P a rá m e tro s d e sis te m a o b te n id o s a p a rtir d e la s ca ra cte rístic a s d e re s p u e sta c o n o c id a s D eterm ine los v alo res d e l m om ento d e inercia d e m asa y la constante de am ortiguam iento d e un sistem a torsiom l. m ostrado en la figura 4 .3 2 . p ara alcanzar 25% d e sobrepaso y un tiem po d e asentam iento d e 2.5 s durante un par d e torsión escalonado d e entrada Tq( i ). La rigidez torsional d e l sistem a e s d e 10 N -m /rad.


4 .7


391

F ig u ra 4-32

Tiempo

S o lu c ió n : La función d e transferencia del sistem a se expresa com o

e (x )

( i/ o

7 (0

(E.1) r ° ( ,)

J

J

A p artir d e l últim o term ino e n e l denom inador d e la ecuación < E I ). obtenem os

(O*

(E 2 )

f i

E l térm ino m edio e n e l denom inador d e la ecuación (E . 1) da

(E 3 )

C o m o e l tiempo d e asentam iento es d e 2.5 s. tenem os (p o r la ecuación 4.69):

f .= —

= 2.5

o

— 1-6

(E.4)

L as ecuaciones ( E 3 ) y (E .4) dan 2 {a>„ = 1 2 =

Cj

(E 5 )

l.a s ecuaciones ( E 2 ) y ( E 4 ) dan p o r resultado

(E.6)


392

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as Utilizando e l porcentaje de sobrepaso conocido, la relación d e am ortiguam iento s e d eterm ina p o r la ecuación (4.67) com o ln (* M ,/!0 0 ) In (2 5 /1 0 0 ) = = £ = = = = ----- = = = = = = = = = 0.4037 V n 2 + ln2 ( f t M / 1 0 0 ) V i r 2 + ln} (2 5 /1 0 0 )

i = ----- =

(E .7)

La ecu ació n ( E 4 ) da

“■ “ 7

= 5 ^

= 39633 ^

(E'S»

l a ecuación ( R 2 ) d a por resultado

La constante d e am ortiguam iento torsional c , se en cu en tra a p artir d e la ecu ació n (E .5) com o

= 3.2 J = 3.2(0.6366) = 2.0372 N -m -s/rad

4 .8

(E .I0 )

M é to d o s n u m é ric o s L a d e te r m in a c ió n d e l a re s p u e s ta d e u n s is te m a s o m e tid o a f u n c io n e s f o rz a d a s a rb itra ria s m e d ia n te m é to d o s n u m é ric o s s e l la m a s im u la c ió n n u m é ric a . L o s m é to d o s a n a lític a s c o m e n ta d o s h a s ta a h o ra D cgan a s e r te d io s o s y e n o c a s io n e s in c lu s o im p o s ib le s d e u tiliz a r p a ra h a lla r l a re s p u e s ta d e un á s t e m a s i l a fu n c ió n fo rz a d a o e x c ita c ió n n o s e p u e d e d e s c rib ir e n u n a fo r m a a n a lític a s im p le o si x tie n e n q u e u tiliz a r d a to s d e f u e r z a c x p c r iin e n ta lm e n lc d e te r m in a d o s ( c o m o l a re s e ñ a d e l a a c e le ra c ió n d e l s u e lo m e d id a d u ra n te u n s ism o ). S e p u e d e n u tiliz a r m é to d o s n u m é r ic o s p a ra v e rif ic a r la e x a c titu d d e la s s o lu c io n e s a n a lític a s , s o b r e to d o s i e l s is te m a e s c o m p le jo . D e l m is m o m o d o , l a s s o lu c io n e s n u m é ric a s s e tie n e n q u e v e r if ic a r p o r m e d io d e m é to d o s a n a lític o s sie m p re q u e se a p o s i b le. E n e s t a s e c c ió n s e c o n s id e r a n lo s m é to d o s n u m é ric o s d e r e s o lv e r s is te m a s d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d s o m e tid o s a fu n c io n e s fo rz a d a s a rb itra r ia s , l a s s o lu c io n e s a n a lític a s s o n s u m a m e n te ú tile s p a r a c o m p r e n d e r e l c o m p o r ta m ie n to d e un s iste m a c o n re s p e c to a c a m b io s e n s u s p a r á m e tr o s . l a s s o lu c io n e s a n a lític a s c o n s titu y e n u n a a y u d a d ire c ta a l d i s e ñ a r s is te m a s q u e s a tis fa g a n c u a lq u ie r c a ra c te rís tic a d e re s p u e s ta e s p e c ific a d a c o n la se le c c ió n a p r o p ia d a d e v a lo re s d e p a r á m e tr o s . S i la s o lu c ió n a n a lític a se d if ic u lta , l a re s p u e s ta d e l s is te m a s e p u e d e h a lla r p o r m e d io d e u n p r o c e d im ie n to d e in te g ra c ió n n u m é ric a . S e c u e n ta c o n v a rio s m é to d o s p a r a l a in te g ra c ió n n u m é ric a d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s o r d in a ria s . L o s m é to d o s d e R u n g c -K u tta s o n u n lu g a r c o m ú n p a r a l a s o lu c ió n n u m é ric a d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s . C b n s id c rc la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e un s is te m a a m o r tig u a d o d e u n so lo g r a d o d e lib e rta d 33m e tid o a u n a fu e rz a a r b itr a r ia / ( / ) :

m i{ t) + c ¿ (/) + k x ( t) = f ( t )

( 4 .7 0 )

c o n la s c o n d ic io n e s in ic ia le s x ( l = 0 ) = x 0 y x ( t = 0 ) = X q. L a m a y o ría d e l o s m é to d o s n u m é ric o s a s u m e n q u e l a e c u a c ió n d ife r e n c ia l a p a r e c e e n l a f o r m a d e u n a e c u a c ió n d ife r e n c ia l d e p r im e r o rd e n


4 .8

M éto d o s n u m é r ic o s

393

(o u n c o n ju n to d e e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n ). C o m o t a l . te n e m o s q u e c o n v e r tir la e c u a c ió n d ife re n c ia l d e s e g u n d o o r d e n , e c u a c ió n ( 4 .7 0 ) . e n u n c o n ju n to e q u iv a le n te d e d o s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e p r i m e r o rd e n . P a r a e s to , in tro d u c im o s l a s f u n c io n e s d e s c o n o c id a s

* ,( f ) = x ( i ) ,

x 2( t ) = x ( r ) =

= ¿ ,( i)

(4.71)

y rcescribim os la ecuación (4 .7 0 ) com o

m x (l) = - c x ( r ) - k x ( r ) + / (/ )

(4.72)

o, considerando las funcionesx,(i) y x?(f) introducidas en la ecuación (4.71), m x 2 = ~ c x 2( t ) -

k x }( t ) + / ( / )

(4 .7 3 )

La ecuación (4.73) ju n to c o n la segunda relación d a d a e n la ecuación (4.71) s e puede ex p resar com o

X t(t) = x 2 ( t )

(4.74)

¿ 2 (0 = ¿ * ( 0 " £ * i < l ) + ¿ / ( / )

(4.75)

l a s ecuaciones (4 .7 4 ) y (4.75) representan d o s ecuaciones diferenciales de p rim er orden y juntas indican la ecuación (4.70). L as ecuaciones (4.74) y (4.75) se pueden e x p re sa re n form a vectorial com o

X(t) -

F(X,t)

(4.76)

donde

*<■> -

f e »

)

*■> -

{ « '. ! } •

En la mayoría de los métodos numéricos se obtienen soluciones mejoradas con la presente solución (comenzando con un valor inicial conocido en el tiempo cero) de acuetdo con la fórmula

M é to d o s de R u n g e -K u t t a

•*j+i = x ¡ + ^ x ¡

(4 -7 8 >

donde xl+ , es el valor d e xe n i = i(+l,x( esel valor dexen/ = t ,,y Axesel mejoramiento i ncremental agregado a x¡. Si la solución. x(l), se va a determinar durante el intervalo O s / S T.el tiempo total se divide en n partes iguales con A l =» 77n.de modo que r0 “ O .i, ■ Ar,r2 ■ 2 A/.... t , - i A i. ...,i„ = n Ai-7.


394

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as B i lo s m é to d o s d e R u n g c - K u tta s e h a c e q u e l a f ó r m u la a p r o x im a d a u tiliz a d a p a r a o b te n e r la s o lu c ió n Xj* | a p a r tir d e x , c o in c id a c o n l a e x p a n s ió n e n s e r i e d e T a y l o r d c . r e n x <+, h a s t a té r m in o s cfc o r d e n (A /)4, d o n d e k s ig n if ic a e l o rd e n d e l m é to d o d e R u n g c -K u tta . L a e x p a n s ió n e n s e rie d e T a y lo r d e x ( t) e n i + A / e s t á d a d a p o r

x (t + A0

(A /)2 = x (i) + x A r + j r ~ 7 - +

(A /)3 +

"*

(4 /7 9 )

E n c o n tr a s te c o n l a e c u a c i ó n ( 4 .7 9 ) , la c u a l re q u ie r e d e r iv a d a s d e a lto o r d e n , lo s m é to d o s d e R u n g e K u tta n o n e c e s ita n d e riv a d a s e x p líc ita m e n te m á s a l l á d e l p r i m e r o rd e n . E n e l m é to d o d e R u n g e -K u tta d e c u a rto o rd e n , e l c u a l e s e l m á s c o m ú n m e n te u tiliz a d o , s e u s a h s ig u ie n te fó rm u la d e re c u rre n c ia p a ra e n c o n tra r lo s v a lo re s d e X ( r ) e n d ife re n te s e s ta c io n e s d e tie m p o t, c o m e n z a n d o a p a r tir d e l v e c to r in ic ia l c o n o c id o . X n =

XM

=

x¡

+

o

\ 1 = I X° [ : U ( ' = 0 )J [ x q ¡

+ 2 * 2 + 2 ^ 3 + * 4]

(4 .8 0 )

cbnde K , = k F ( X b tt)

(4 .8 1 )

K2 = h F ^ + '- K u t i + '- h j

( 4 .8 2 )

'¡ +

K4

^

h F y x i ^ - K 2, , l + - h j

( 4 .8 3 )

= h F ( X , + K b tM )

( 4 .8 4 )

B m é to d o e s e s ta b le y d e in ic io a u to m á tic o , e s d e c ir , s ó lo s e re q u ie r e e l v a lo r d e la fu n c ió n v e c to r F e n u n a e s ta c ió n d e tie m p o p r e v ia ú n ic a p a r a d e te r m in a r la f u n c ió n e n la e s ta c ió n d e tie m p o a c tu a l. E l s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a e l p r o c e d im ie n to .

E je m p lo 4 .3 0

R e sp ue sta o b te n id a co n el m é to d o d e R u n g e -K u tta B icucntrc la respuesta d e un sistem a de un solo grado d e libertad som etido a u n a f u e r a con la ecu ació n de m ovim iento SOOx + 200* + 750* = F ( t ) = 2 0 0 0

(E .1)

de m odo q u e m = 500. c = 200, k = 7 5 0 y F (t) = F0 = 2000. Utilice el m étodo d e R unge-K utta d e cuarto a d e n . A sum a las condiciones iniciales com o *(r = 0 ) = *0 = 0 y * ( / = 0 ) = * 0 = 0. S olución: La ecu ació n d e m ovim iento d ad a p o r la ecu ació n ( E 1) se ex p resa c o m o un sistem a d e d o s ecuaciore s diferenciales d e p rim er orden c o m o se m uestra e n la ecuación (4.76) con


4 .8

M éto d o s n u m é r ic o s

395

* i(0 '

-tó S -L

' Í5 o < ^ 0 0 0 “ 2 0 0 ^2 -

750*))

*o =

La respuesta se calcula d urante e l tiem po (0 . 7 ) L a función d e tiem po d e 7 = 2 0 s s e d ivide en 400 etapas iguales d e m odo que

4' “ * = «3¡ = 5

x> =

003‘

P o r lo tanto, f0 = 0 , / , = 0.05, t r = 0.10, / , = 0 .1 5 ...... r**, = 20.0. S e aplica e l m éto d j d e R unge-K utta para hallar la respuesta d e l sistem a C*i). E n la tabla 4 . 1 se m uestran vectores d e solución típicos X ¡ p ara i = 1 .2 , 3 , 4 0 0 . La respuesta d e l sistem a s e m uestra trazad a e n la ligura 4.32.

T a b l a 4.1 I

x , ( 0 = x(íi )

x j i ) = x ítj)

1

0 .0 0 0 0 0 0 c+ 0 0 0

O.OOOOOOc+OOO

2

4.96527 l e —003

l .9 7 8 8 9 5 e - 0 0 l

3

1.97113óe- 0 0 2

3.91126 I e - 0 0 1

4

4 .3 9 8 9 8 7 c—002

5 .7 9 0 8 4 6 e -0 0 l

5

7 .7 5 2 192e- 0 2 2

7 .6 1 172ÍV-O OI

6

1.199998 e -0 0 1

9 .3 6 8 2 8 6 e —001

:7

I.7 l0 8 8 8 c - 0 0 l

1 .1 0 5 5 3 0 e+ 0 0 0

8

2 .3 0 4 2 8 7 e-0 0 1

l.2 6 6 7 8 7 e + 0 0 0

9

2 .9 7 6 3 5 9 e-0 0 1

1 .4 2 0 1 5 0 c+ 0 0 0

10

3 .7 2 3 0 5 2 e -0 0 l

1.565205c-*-000

391

2 .6 7 5 6 0 2 e+ 0 0 0

—6.700943c - 0 0 2

392

Z 6 7227Q *+ 000

- 6 .6 2 2 ! 6 7 e -0 0 2

393

2 .6 6 8 9 8 3 c-*-000

—6.520372c—002

394

2 .6 6 5 7 5 3 e+ 0 0 0

- 6 .3 % 3 9 1 c - 0 0 2

395

2.66259
- 6 .2 5 1 1 2 5 c - 0 0 2

396

Z 659505c+ 000

-6 .0 8 5 5 3 3 c - 0 0 2

397

2.656508c-*-000

- 5 .9 0 0 6 3 4 c - 0 0 2

398

2.653608c-*-000

—5 .6 9 7 4 9 5 c- 0 0 2

399

2 .6 5 0 8 14c-*-000

- 5 .4 7 7 2 3 l e - 0 0 2

400

2 .6 4 8 133c-*-000

—5 .2 4 1 0 0 0 c—002


396

C a p ítu lo 4

4 .9


R e s p u e s ta a c o n d ic io n e s fo rz a d a s irre g u la re s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é ric o s B i e l m é to d o d e in te g ra c ió n n u m é ric a d ire c ta d e l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to ( s o lu c ió n n u m é ric a de e c u a c io n e s d ife re n c ia le s ) p re s e n ta d o e n l a s e c c ió n 4 .8 se s u p u s o q u e la s fu n c io n e s f o rz a d a s F( t ) e stá n tS sp o n ib lc s c o m o fu n c io n e s d e tie m p o d e u n a m a n e ra e x p líc ita . E n m u c h o s p ro b le m a s p rá c tic o s , sin e m b a rg o , la s fu n c io n e s fo rz a d a s F \ i ) no e s t á n d is p o n ib le s c o m o e x p re s io n e s a n a lític a s . C u a n d o u n a fu n ció n fo rz a d a s e d e te rm in a e x p e rim e n ta lm e n te . F (t) s e p u e d e d e n o m in a r c o m o u n a c u r v a irr e g u la r . E n o c a s io n e s s ó lo s e p u e d e d is p o n e r d e los v a lo re s d e F {t) = F , e n u n a s e r ie d e p u n to s i = l¡ e n la fo rm a d e un d ia g ra m a o u n a ta b la . E n e s o s c a s o s p o d e m o s a ju s ta r p o lin o m io s o a lg u n a s c u r v a s c o m o esas a lo s d a to s y u tiliz a rla s e n la in te g ra l d e D u h a m e l, e c u a c ió n (4 .3 1 ), p a ra h a lla r l a re s p u e s ta d e l s iste m a . O t r o m é to d o m á s c o m ú n d e d e te r m in a r la re s p u e s ta im p lic a d iv id ir el e je d e l tie m p o e n v a rio s p u n to s d is c r e to s y u tiliz a r u n a v a ria c ió n s im p le d e F( t ) d u ra n te c a d a e ta p a . P re s e n ta re m o s e s te m é to d o n u m é ric o e n e s ta s e c c ió n , u tiliz a n d o u n a fu n c ió n d e in te rp o la c ió n lin e a l p ara F (i) [4 .8 ], f t r m i t a q u e l a f u n c ió n v a ríe c o n e l tie m p o d e u n a m a n e r a a r b itra ria , c o m o s e i n d ic a e n l a f ig u ra 4 .3 3 . E s ta f u n c ió n fo rz a d a s e r e p re s e n ta d e fo r m a a p r o x im a d a c o n u n a fu n c ió n lin e a l p o r p a ite s . E n h in te rp o la c ió n lin e a l p o r p a r te s s e s u p o n e q u e l a v a ria c ió n d e F ( t) e n c u a lq u ie r in te r v a lo es lin e a l, c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 4 .3 4 . E n e s t e c a s o , la re s p u e s ta d e l s i s t e m a e n e l in te r v a lo tj- , ^

s

se p u e d e e n c o n tr a r a g re g a n d o l a r e s p u e s ta p r o d u c id a p o r l a fu n c ió n (r a m p a ) lin e a l a p lic a d a d u ra n te d in te r v a lo a c tu a l a l a re s p u e s ta e x is te n te e n t = r; _ , ( c o n d ic ió n in ic ia l). D e a q u í r e s u lta

■

£ £ ■ [' -

í

' i - ' -

+

><{ j j —

- o-*) +^

+“/¡r[I” X

j c o s 0>d ( t -

tj-y)

+

* -

-

/ ,.,)}]

xn<ü^ “

x j - 1 + £
lj-i) \

(4 .8 5 )

■]

- i F igura 4 . 3 3 F unción forzada a rb itraria .


4 .9

R e sp u e sta a c o n d ic io n e s fo r za d a s ir r e g u la r e s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é r ic o s

397

F ig u ra 4ÚÍ4 Aproxim ación d e u n a fu n ció n forzada c o m o u n a fu n ció n lin eal definida p o r partes.

donde A F ¡ - F j + F j_ v Al establecer / = /; en la ecuación (4.85). obtenemos la respuesta al final del intervalo A ty. A F y A /y

Xj

k

* '1 - ~

A /y

*

- e

eos iod A/; + X j-

+

e- ^ >

1 +

xnwd A ^|J £o>nx ¡ - \

_i eos tod A ij + ------------—

seno>rf A/y I

(4.86)

D if e re n c ia n d o l a e c u a c ió n ( 4 .8 5 ) c o n re s p e c to a l y s u s titu y e n d o / = /; . o b te n e m o s la v e lo c id a d a l fin a l d e l in te rv a lo :

k> “

+ ^ s e n ^ A ,,} ]

+

X

sen^ A /y + ÔJn ( .

X j - t eos tod A/y - I ¿y_i

U)n

+ —

X j-\

\ J s e n a ij A/y I

(4.87)

la s ecuaciones (4.86) y (4.87) sonlasrelaciones derecun-encia para determinar la respuesta del sistema al final de lay'-ésima etapa.


398

C a p ítu lo 4

E je m p lo 4 .3 1


R e sp ue sta a m o rtig u a d a o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é ric o s Encuentre la respuesta d e un sistem a d e rcsortc-m asa-am oitiguador som etido a la función forzada

F (f) = # J l - • » ; £ )

( E l)

e n e l intervalo 0 £ / < í0, aplicanck» u n procedim iento num érico. S uponga F0 = 1 . 4 = l . m = I , £ = 0 . l y

'o = t , / 2 d o n d e r „ indica el periodo d e vibración natural dado por

2 ir r, = — =

2 jr 77: = 2 ( t / m ) '*

77

(E 2 )

Los valores d e x y x e n e l instante i = 0 so n cero. S olución: L a figura 4.35 m uestra la función forzada d e la ecu ació n ( E l ) . Para los cálculos num éricos, el intervalo d e 0 a r0s e d ivide en 10 escalones iguales con

, = 2' 3

Figura 4 .3 5 Función forzada.


"

(E3>

4 .9

R e sp u e sta a c o n d ic io n e s fo r za d a s ir r e g u la r e s o b te n id a a p lic a n d o m é to d o s n u m é r ic o s

399

\ F ¡ - F , - F , ~ 08436 - 1.0000

0

í

Ü

S

S

S

S

Í

S

Í

i

•

000000

F ig u ra 4 .3 6 A proxim ación lineal p o r p artes.

T a b l a 4 .2 R e s p u e s ta d e l s is te m a t¡

i

x(fj) O b te n id a d e a c u e rd o c o n la fig u ra 4 .3 6 (Id e a liz a c ió n 4)

1

0

0.00000

2

0 .1 7T

0.04541

3

0.2w

0.16377

4

0.3 tt

0.32499

5

0.4 tt

0.49746

6

0.5 jt

0.65151

7

O.ÓTT

0.76238

8

0 .7 ÍT

0.81255

9

0 .8 tt

0.79323

10

0 .9 jt

0.70482

11

IT

0.55647

E n l a fig u r a 4 .3 6 s e u tiliz a n im p u ls o s lin e a le s p o r p a rte s ( tr a p e z o id a le s ) p a ra a p r o x im a r la fu n c ió n fo r z a d a F {t). Ix»s re s u lta d o s n u m é ric o s s e d a n e n l a t a b la 4 . 1 . 1-os re s u lta d o s s e p u e d e n m e jo ra r p o r m e d io d e u n p o lin o m io d e m a y o r g r a d o p a r a in te rp o la c ió n e n lu g a r d e l a f u n c ió n lin e a l.


400

C a p ítu lo 4

4 .1 0 E je m p lo 4 .3 2


E je m p lo s re s u e lt o s u t iliz a n d o m a t l a b R e sp ue sta to ta l d e un s is te m a s o m e tid o a e xcita ció n d e la base U tilizando M A TL A B . trac e la resp u esta total d e l sistem a viscosam ente am ortiguado som etido a excitación arm ónica d e la base q u e se considera e n e l ejem p lo 4.5. S olución: La ecu ació n (E .8 ) d e l ejem plo 4.5 d a la respuesta total d e l sistema: x ( l ) = 0.4 8 8 6 9 5 c " 'c o s ( l9.9751 -

1.529683)

+ O.OOI333 c o s(5 r - 0 .0 2 6 6 6 ) + 0.053314 s e n (5 í - 0 0 2 6 6 6 )

A continuación se proporciona e l program a M A T L A B p ara traz ar esta ecuación % Rx4

3 2 .n

f o r i - l i 1001 t ( l ) - (1 - 11*10/1000, x ( l ) . 0 . 4 8 8 6 9 5 • a x p ( - t ( i » ) • c o a ( 1 9 .9 7 5 * e ( l ) - l. 529*83) . . . . 0.001333*c o a ( S * e ( i ) - 0 .02666) « 0.053314 • e in ( 5 * t ( i ) - 0 .0 2 6 6 6 ), p lo t(t.x ), x la b a l(’ t * ), y l a b a l ( 'x < t ) ' ) ,


4.10

E je m p lo 4 .3 3

Ejemplos resueltos utilizando M A TLA B

401

R e s p u e s ta a u n Im p u ls o d e u n a e s tr u c tu r a Utilizando M A TL A B . trace la resp u esta a un im pulso de la estructura de un solo grado d e libertad d eb id o a (a) un im pacto sim ple y (b) un im pacto d o b le, que se considera en los ejem plos 4.7 y 4.8. S o lu c ió n : Las ecuaciones (E .I ) y (E.3) d e los ejem plos 4.7 y 4.8. respectivam ente, d a n las respuestas de la estructura a un im pulso d eb id o a im pactos sencillo y doble: x (/)

=

(E.1)

0 . 2 0 0 2 5 e ” ' s e n 1 9 .9 7 5 /

í0 .2 0 0 2 5 c ’ ' s e n 19.975f; 0 < / S 0 2 X (,}

(E.2)

\ 0 .2 0 0 2 5 e - ' s e n 19.975/ + 0.10012 5 e -< '‘ a íJ sen 19.975(f - 0 .2 ); / a 0.2

0.2

Q15

0.1

Ü05

0

k

-0 0 5

-

0.1

-0 1 5

OS

° 20

I

1.5

2

25 I

3

35

4

A co ntinuación s e d a e l p rogram a M A TLAB para trazar las ecu acio n es (E .1) y (E.2). % Rx4 33.o f o r 1 ■ l i 1001 t (1) - (1 -1)*5/1000; x l ( i ) - 0.20025 • a x p l - t ( i ) ) • a ln (1 9 .9 7 S * tC l)), i f t ( l ) > 0.2 • - 0.100125) •Is a • and

.,

■0 0

x 2 (1) - 0.20025 • a x p ( - t ( l ) ) • a l n (1 9 .9 7 S * t( i) ) « . . . • • o x p ( - ( t ( i ) - 0 .2 ) ) • a i n (19.975*( t ( 1 ) - 0 .2 ) ) ,

and p lo t( t.x l) , g t a x t l 'B q . ( 8 .1 ) i a o l l d l i n a ’ )j h o ld oni p l o e ( t , x 2, • - • ) , g t a x t l ’Bq. (B.2) i d a ah U n a ’ ) i x la b a l(’ t ' ) ,


4.5

5

402

C a p ítu lo 4

E je m p lo 4 .3 4


R e s p u e s ta b a jo u n a f u e r z a p e rió d ic a Ltesarrolle un program a M A TL A B de uso general, llam ado P r o g r a m 4 .m . p ara hallar la respuesta d e estado estable d e un sistem a viscosam ente am ortiguado d e un solo grado de libertad bajo u n a fuerza periódica. Use el program a p ara encontrar la respuesta d e un sistem a som etido a la fu e r/a q u e se m uestra e n la figura adjunta con los siguientes datos: m = 100 kg. * = 105 N /m . ( = 0.1.

Solución: E l p rogram a

P r o g r a m 4 . m se desarrolla para q u e acepte los v alo res d e valores discretos d e tiem po. L os cbtos d e entrada d e l program a so n los siguientes:

la fuerza periódica a n

n n = m asa d e l sistem a x k = rigidez, d e l sistema x a i - relación d e am ortiguam iento (£) n = núm ero d e puntos equidistantes en los c u a le s se conocen los v alo res d e la fuerza F\¡) m - núm ero de coeficientes d e F ourier que se considerarán en la solución tiem po = d uración de la fu n ció n F(r) / = m atriz de dim ensión n q u e contiene lo s valores conocidos d e F \i)-,f{i) = F[t¡), i = 1, 2 , . . . . n i = m atriz de dim ensión n q u e contiene los valores discretos con o cid o s d e tiem po r, i< í)= i,, i = 1 .2

n

El p rogram a proporciona los siguientes d a to s d e salida: n ú m e ro d e e s c a lo n e s / , / ( i ) . / ( / ) , * ( i )

ib n d e x (i) = x ( i = t¡) e s la respuesta e n e l escalón d e tiem po i. H program a tam bión traza la variación d e x con e l tiempo.

F(D Program 4.m: x(t)

0.6

120.000

96.000

72.000

48.000

24.000

0

l 0.025

0.05

0.075

0.100

0.120

0 0

0.05

0.1

x


0 .1 5

02


E je m p lo 4 .3 5

403

R e s p u e s ta b a jo u n a f u n c ió n f o r z a d a a r b itr a ria D esarrolle un program a M A TLAB de u so general, llam ado P r o g r a m S .m . para d eterm inar la respuesta de un sistem a de resorte-m asa viscosam ente am ortiguado som etido a u n a función forzada arbitraria m ediante los m étodos tfc la sección 4.9. U se e l program a para determ inar la solución d e l ejem plo 4 .3 1. S olución: El program a P r o g r a m S . m se desarrolla para q u e a cep te los v alo res d e la fuerza ap licada a n v a lores discretos d e tiem po. El program a requiere los siguientes datos de entrada: n = núm ero d e estaciones d e tiem po e n las c u a le s se conocen los v alo res d e la función forzada / - m atriz d e tam a ñ o o q u e contiene los v alo res d e l tiem po e n los cuales s e conoce la función forzada / = m atriz d e tam año n q u e con tien e los valores de la función forzada e n varias estaciones de tiem po de acuerdo c o n la idealización d e la fig u ra 4.34 (figura 4.36 pura e l ejem plo 4 .3 1) f f - m atriz d e tam año n q u e con tien e los valores d e la función forzada e n varias estac io n e s de tiem po de ¿cuerdo c o n la idealización d e la figura 4 .3 4 (figura 4.36 para e l ejem plo 4.31) x a i = factor d e am ortiguam iento (£) om n ■ frecuencia natural no am ortiguada d e l sistem a deU = tiem po incrcm cntal entre estaciones d e tiem po consecutivas x k — rigidez d e resorte El program a d i los valores d e x (i) obtenidos por e l m étoda num érico en las diversas estaciones d e tiem po i. EJ program a tam bién traza las variaciones d e * c o n e l tiempo.

Resumen del capítulo C onsideram os la vibración forzada d e sistem as d e un solo grado d e libertad som etidos a fu erzas periódicas generales m ediante la serie d e Fouricr. P a ra sistem as som etidas a funciones fo rza Ja s arbitrarias, analizam os los m étodos d e integral de convolución y la transform ada d e Laplace para h a lla r la resp u esta d e sistem as no am ortiguados y am ortiguados. E studiam os e l concepto d e espectros de resp u esta y su uso p ara d eterm inar la respuesta d e sistem as so m etid o s a excitaciones sísm icas. P o r últim o, consideram os m étodos num éricos, com o e l d e R unge-K utta d e cuarto orden, piara encontrar la respuesta d e sistem as som etidos a fuerzas arbitrarias, incluidas los num éricam ente descritos. A hora que y a term inó este capítulo, usted deberé ser capaz d e responder las preguntas

404

C a p ítu lo 4


Referencias 4 .1

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416

K. O gata. System D ynam ics (4a. cd.), P carson Prcnticc H all. U ppcr Saddle River, N J. 2004.

Preguntas d e repaso 41

R esponda brevem ente lo siguiente: 1 . ¿C uál e s la base para ex p resar l a respuesta d e un sistem a b a jo excitación periódica c o m o u n a sum a de varias respuestas arm ónicas? 2 . Indique algunos m éto d o s p ara hallar la respuesta d e un sistem a som etido a fuerzas no periódicas. 3 . ¿Q ué e s la integral d e D uham el? ¿C uál es su uso? 4 . ¿Cóm o s e determ inan las condiciones iniciales para un sistem a d e un solo grado d e libertad som e tido a un im pulso en e l instante t = 0 ? 5 . Derive la ecuación d e m ovim iento d e un sistem a som etida a excitación d e la base. 6 . ¿Q ué e s un espectro d e respuesta? 7 . ¿C uáles so n la s ventajas d e l m étodo d e la transform ada d e Laplace? 8 . ¿C uál e s e l uso d e un pscudoespcctro? 9 . ¿Cóm o s e d efine la transform ada de la p la c e d e u n a función x(r)? 10. Defina los térm inos im pedancia genera liza d a y adm itancia d e un sistema. 11. M encione los m odelos d e interpolación q u e s e pueden utilizar p ara a p ro x im ar una función forzada arbitraria. 12. ¿C uántas condiciones resonantes existen cu an d o la fuerza externa no e s arm ónica?



405

13. ¿C óm o calcula la frecuencia d e l p rim er arm ónico de una fuerza periódica? 14. ¿Cuál e s la relación en tre las frecuencias d e los arm ónicos d e m ay o r g ra d o y la frecuencia del primer arm ónico d urante una excitación periódica? 15. ¿C uál e s la diferencia entre respuestas transitoria y d e estado estable? 16. ¿Qué e s un sistem a de p rim er orden? 17. ¿Qué e s un im pulso? 18. ¿C uáles son las propiedades d e la función d e lta D irac 5(í)? 42

Indique si c a d a uno d e los siguientes enunciados es verdadero o falso. 1. B cam bio e n la can tid ad de m ovim iento s e conoce c o m o im pulso. 2. La respuesta de un sistema som etido a una f u e r a arbitraria s e puede encontrar sum ando las res puestas producidas por varios im pulsos elem entales. 3. B espectro d e respuesta correspondiente a una excitación d e la base es útil e n e l d ise ñ o d e m aqui naria som etida a sism os. 4 . Algunas funciones periódicas no pueden s e r reem plazadas p o r u n a su m a de funciones arm ónicas. 5. Las am plitudes
s

4 .3

Llene cada uno d e los siguientes esp acio s e n b lanco con la palabra correcta: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

La respuesta d e un sistem a lineal som etido a una f u e r a periódica s e encuentra respuestas arm ónicas apropiadas. C ualquier función periódica s e p u ed e representar por m edio de u n a integral d e _________ . Una fuerza d e im pulso e s d e gran m agnitud y actúa d urante un periodo m u y . l a respuesta d e un sistem a d e un solo grado d e libertad a u n unitario se conoce com o fun d ó n d e respuesta a im pulso. La integral d e D uliam el tam bién se conoce com o integral d e ________ . l a variación d e la respuesta m áxim a c o n la frecuencia natural d e un sistem a d e un solo g ra d o de libertad s e conoce c o m o espectro d e ________. La respuesta transitoria d e un sistem a se puede liallar p o r m edio d e la integral d e ________ . l a solución co m pleta de un problem a d e vibración se com pone de las soluciones d e e s ta d o _______ y transitoria. El m étodo d e la transform ada d e L aplace transform a u n a ecuación diferencial e n una ecuación

10. La función d e transferencia e s l a _________d e la im pedancia generalizada. 11. U n im pulso se puede m edir si s e encuentra el cam bio a i ________del sistem a. 12. La integral d e Duham el está basada en la función d e resp u esta__________ d e l sistem a. 13. la integral d e D uham el se puede uli lizar paraencontrar la respuestade sistem as___________________ tfc un solo g ra d o d e libertad som etidos a excitaciones arbitrarias. 14. El espectro d e respuesta d e velocidad, determ inado a p artir del espectro d e aceleración se conoce como espectro d e _________ . 15. Q ia lq u ic r función forzada periódica se p u ed e expandir e n u n a serie d e _________ . 16. En el dom inio d e L aplace Jim [ j X ( j ) ] d a el v a lo r ________ d e la respuesta. 17. Un cam bio e n la cantidad d e m ovim iento d e un sistem a d a e l ________ .


406

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as 18. La respuesta total d e un sistema se com pone de v alo res transitorio y d e __________ . 19. l a transform ada d e la p la c e d e x (i) se indica c o m o _________ . 20. F (í) indica la transform ada inversa d e L aplace d e _________ . 2 1. La ecuación d e m ovim iento m x + e x + k x = f ( r ) corresponde a un sistem a d e _________ orden. 2 2. L a transform ada d e L aplace d e S(r) e s _________ . 4.4

Seleccione la respuesta m ás apropiada de entre las opciones dadas: 1. L a p an e transitoria de la solución surge de a . una función forzada

b. condiciones iniciales

C. condiciones lím ite

2 . Si un sistem a se som ete a una fuerza no periódica aplicada repentinam ente, la respuesta será

a. periódica

b . transitoria

c . estable

3 . L as condiciones iniciales se d eb en aplicar a una

a. solución d e estado estable

b . so lu ció n transitoria

c. solución total

4 . □ espectro d e aceleración ( S J se p u ed e e x p re sa r en función d e l espectro de desplazam iento (Sd) como a . S . = - fo lS j

b . Sa = a>„Sd

c . Sa = a>lSj

5 . H pscudocspcctro está asociado con a . la pscudoaceleración

b. la pseudovelocidad

c . e l pscudodesplazam iento

6 . Los coeficientes d e F o u rie r se tienen que d eterm inar num éricam ente cuando los v alo res d e la fun ció n / ( / ) están disponibles

a. en form a analítica b. en valores discreto s d e / c . en la form a d e u n a ecuación com pleja 7 . L a respuesta d e u n sistem a d e un solo grado d e libertad som etido a excitación d e la base. y(/>, se puede d eterm inar utilizando la fuerza ex te rn a com o

a. - « y 8.

b . m y c. m y + c y + ky

□ espectro d e respuesta s e utiliza am pliam ente en

a. e l diserto de edificios som etidos a grandes c arg as vivas b . e l diserto sísm ico c . e l diserto de m aquinaria som etida a fatiga 9 . l a ecuación d e m ovim iento d e un sistem a som etido a excitación d e la base. y ( t \ está dado por a. m x + ex + kx =

-m y

b . m'z + c z + k z = - m y ; z = x c mx + ex *

kx =

y

-m 'z ; Z

= x - y

10. La función e utilizada en la transform ada d e L aplace se conoce com o

a. núcleo

b. integrando c . tírm ino subsidiario

11. L a transform ada d e L apla:c está definida por

*-~X (s) = l b. x (s) =

J

e ~ '" x ( l ) d l

c. x (s ) = j f 12. En e l d om inio de L aplace. e l l í m [ j X ( j ) ] da:

a. e l v a lo r in icial

b. e l v a lo r transitorio


c . e l v a lo r d e e stad o estable

P r o b le m a s

407

13. F \l) ■ a l corresponde a

a. un im pulso 14.

b. f u e r a g radual

c . f u e r a ram pa

/ ( / ) = fHi — t ) corresponde a u n a f u e r a ap licada en

a. / - r = 0

b. r —r < 0

c. / - r > 0

15. Fu una colisión elástica perfecta d e d o s m asas m , y m : , la cantidad conservada es: a . energía

b. cantidad d e m ovim iento

c . velocidad

16. l a respuesta escalonada d e un sistem a so bream oitiguado presenta a . nada d e oscilaciones 17.

b. oscilaciones

c . sobre paso

-El— es llama:

□ m étodo utilizado p ara e x p re s a r--- + 4----------c o m o - C l - + (í + 1 )(j + 2) s + I

a. separación

b . fracciones parciales

j

+ 2

c.descom posición

18. La m ayoría d e los m étodos num éricos d e resolver ecu acio n es diferenciales suponen q u e e l orden
a. 4.5

uno

c . arbitrario

Cbrrelacione los elem entos e n las d o s colum nas siguientes:

1. x ( l ) =

4.6

b .d o s

m a tj

e~ c,a' 1 s e n iodi

a. Transform ada inversa d e la p la c c d e í ( j )

2.

x (l) =I F (r )g (i - r ) d r Jo

b . R inción d e im pedaiK ia generalizada

3.

x ( t ) = ¡£~ l Y { s ) T ( s )

c . R inción d e respuesta a un im pulso unitario

4.

Y ( s ) = ---------------- — : m .r + e s + *

d . T ransform ada d e la p la c c

5.

z (j) = m s1 + es + *

e . Integral de convolución

6.

5 (s) =

f

e n ,x ( l ) d l

f.

R inción de adm itancia

Correlacione las siguientes características d e respuesta transitoria: a . T iem po pico

1. Valor p ico m áxim o

b. T iem po de subida

2 . T iem po p ara alcanzar e l v a lo r m áxim o

c Sobrepaso m áx im o

3 . T iem po para alcanzar un v a lo r dentro d e ± 2 % d e l v a lo r de estado estable

d. T iem po de asentam iento

4. T iem po p ara alcanzar 50% del valor d e e stad o estable 5. T iem po p ara increm entar e l v a lo r de estado estable d e

e. T iem po d e retardo

10%

a 90%

problemas Sección 4.2 Respuesta bajo una fuerza periódica general 41-4.4

B icucntrc la respuesta de estado estable d e la válvula d e control hidráulica q u e s e m uestra en la figura 4.4
4.5

Fncucntrc la respuesta d e estado estable de un sistem a viscosam ente am ortiguado a la función for zada obtenida reem plazando .i(i) y A con F(j) y F 0 respectivam ente, e n la fig u ra 1.54

408

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as 4.6

L as vibraciones m isionales d e un engrane im pulsado m ontado e n una flecha (v ea la figura 4 .3 7 ) en condiciones estables están regidas p o r la ecuación J(fi + k f i = M, donde *,cs la rigidez torsional de la flecha im pulsada. A /,cs el par d e torsión transm itido. J 0es e l m om ento efe inercia d e n o sa , y 0 es e l desplazam iento angular del engrane impulsado. Si uno d e los 16 dientes del engrane im pulsor s e rom pe, determ ine la v ib ra d ó n torsional resultante d e l engrane impulsado para los siguientes datos: E ngrane im pulsado: J0 = 0.1 N-m-s7, velocidad = 1000 rpm . m aterial d e la flecha im pulsada: acero, sólido, d e sección circular con diám etro de 5 c m y longitud d e 1 m . M, q = 1000 N-m.

4.7

Se utiliza u n m ecanism o de cigüeñal corredizo para im p artir m ovim iento a la base d e un sistem a de resorte-m asa-am ortiguador. c o m o s e m uestra e n la figura 4.38. Representando d e form a apro x im ad a el m ovim iento d e la b a se y
48

La base d e un sistema d e rcsortc-m asa-am ortiguactor se som ete al desplazam iento periódico q u e se m uestra en la figura 4.39. D eterm ine la respuesta d e la m asa aplicando e l principio d e superposición.

49

La base d e un sistem a d e resorte-m asa, c o n am ortiguam iento d e C ou lo m b , está c o n ec ta d a a l m ecanis mo d e cigüeñal corredizo q u e s e m uestra e n la figura 4.40. D eterm ine la respuesta d e l sistem a p ara un coeficiente d e fricción p entre la m asa y la superficie representando el m ovim iento y (t) c o m o una serie

P r o b le m a s

409

x(i)

F igura 4.39

*(0 k — vflXEQ/—

m F ig u ra 4 .4 0

4.10

S e utiliza u n a leva d e rodillo para im partir un m ovim iento periódico a la base d e l sistem a d e resorte-m asa q je s e m uestra e n la figura 4.41. S i el coeficiente d e fricción entre la m asa y la superficie e s determ ine la respuesta d e l sistem a por m edio d e l principio d e superposición. Discuta la validez d e l resultado.

x{i) v Q Í f íyz

.

.

.

.

.

•> ,'/> > ;/7 .> . '7 / 9 , 7 7 T r ~ '7 >

4.11

F ig u ra 4.41

E n c u e n tre l a re s p u e s ta to ta l d e u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o d e un 90I0 g r a d o d e lib e rta d s o m e tid o a u n a e x c ita c ió n a r m ó n ic a d e la b a s e c o n lo s s ig u ie n te s d a to s : m = 10 k g . c ■* 2 0 N - s /m . k * 4 0 0 0 N /m . y<0 ■ 0 0 5 e o s 5 r. x0 “ 0 . 1 m y i 0 -


I m /s.

410

C a p ítu lo 4


B s is te m a d e s u s p e n s ió n d e u n a u to m ó v il q u e v ia ja p o r u n a c a r r e te r a ir re g u la r t ie n e u n a rig ii k z d c * = 5 X 106 N /m y l a m a s a e f e c tiv a d e l a u to m ó v il s o b r e l a s u s p e n s ió n e s m = 7 5 0 k g . L a s irr e g u la rid a d e s d e l a c a r r e te r a s e p u e d e n c o n s id e r a r c o m o o n d a s s c m is c n o id a le s c o m o se in d ic a e n la f ig u r a 4 .4 2 . D e te rm in e la r e s p u e s ta d e d e s p la z a m ie n to d e l a u to m ó v il. S u p o n g a q u e e l a m o rtig u a m ie n to d e l s is te m a e s in s ig n ific a n te . S u g e re n cia : La representación com o u n a serie d e F ourier d e la carretera irregular, >(/), está d a d a por 1

1

„

2 i c o s 477/

COS8íT/

COSI27TÍ

Figura 4.42

Sección 4.3 Respuesta bajo una fuerza periódica de forma irregular 4.13

Determ ine la respuesta d e un sistem a am ortiguado c o n m = I kg, * = 15 kN /m y £ = 0 .1 bajo la acción t k una fu n ció n forzada periódica, c o m o se m uestra e n la fig u ra 1.119.

414

D eterm ine la respuesta de un sistem a viscosam ente am ortiguado som etido a la fuerza periódica cuyos valores se d a n e n el problem a 1.116. Suponga q u e M , indica e l v a lo r d e la tu e rz a e n new ions e n el ins tan te /, segundos. U se m - 0.5 k g . k » 8 0 0 0 N /m . y £ - 0.06.

415

Encuentre e l desplazam iento del tanque d e agua d e la figura 4 .4 3 (a ) som etida a la fuerza periódica m ostrada e n la figura 4 .4 3 (b ) tratándolo c o m o un sistem a no am ortiguado
F |r).k N =

1 0 M g

* = 5 M N/m

(a)

(b)


Figura 4 .4 3

P r o b le m a s

411

S e c c i ó n 4 . 5 i n t e g r a l d e c o n v o lu c i ó n 4 .1 6

La lim pieza p o r chorro de arena e s un proceso e n e l cual un m aterial abrasivo, atrapado en u n c h o rro de aire e s dirigido sobre la superficie d e u n a pieza fundida p ara lim piar su superficie. E n un m ontaje par ticular d e lim pieza por chorro d e a ra ia , la pieza fundida d e m asa n se coloca sobre un soporte flexible de rigidez k c o m o se m uestra e n la figura 4.44
B o q u illa

O io rro de m aterial abrasivo

Soporte flexible!, k

(b)

F ig u ra 4.44

417

Encuentre e l desplazam iento de un sistem a am ortiguado d e un solo grado d e libertad som etido a la función forzada F (t) = Fae-* ',d o n d e o e s u n a constante.

418

U n cilindro d e aire com p rim id o está conectado a l sistem a de resorte-m asa que se m uestra e n la figura 4 4 5 (a ). D ebido a una pequefla fuga e n la válvula, la presión sobre e l pistón. p{t) s e increm enta com o se indica e n la figura 4 .4 5 (b ). Encuentre la respuesta d e l pistón c o n los d a to s siguientes: m = 10 kg, * = 1000 N /m y d = 0.1 m.

i

(b)


F ig u ra 4 4 5

C a p ítu lo 4

V ib r a c ió n e n c o n d ic io n e s forzad as 419

E ncuentre la resp u esta transitoria de un sistem a d e resorte-m asa no am ortiguado d urante I > ir/a> cuando la m asa se som ete a u n a f u e r a

y (l F (l)F0

eos

10I )

durante 0 s t s ^ durante l > — to

"

Suponga q u e e l desplazam iento y velocidad d e la m asa son cero e n el instante l = 0. 4 2 0 -4 .2 2

Siga e l m étodo de la integral d e Duham el para o btener la expresión p ara la respuesta d e un sistem a no am ortiguado som etido a las funciones forzadas que s e m uestran e n las figuras 4 .4 6 (a ) a (c).

(a )

(b)

(c)

F ig u ra 4 .4 6

423

La figura 4 .4 7 m uestra un m odelo d e un solo grado d e libertad d e un vehículo d e m otor que viaja e n dirección horizontal. D eterm ine e l desplazam iento relativo d e l vehículo cuando viaja por una carretera con b ach es d e la form a y (s) — Y sen irs/S .

F ig u ra 4 .4 7

424

Un vehículo q u e viaja a una velocidad constante v e n direcció n horizontal se encuentra c o n un tope triangular, c o m o se m uestra e n la figura 4.48. T ratando e l vehículo com o un sistem a no am ortiguado d e resorte-m asa, determ ine la respuesta d e l vehículo e n direcció n vertical.


P r o b le m a s

413

-'WT'SJSTOTrsj F igura 4 .4 8

4.25

Un autom óvil de 1000 kg d e m asa viaja p o r una carretera con topes d e la form a que se m uestra e n a figura 4.49. La velocidad d e l autom óvil es d e 5 0 km /h. S i e l periodo natural no am ortiguado d e vibra ción e n dirección v ertical e s d e 10 se g . d eterm ine la respuesta d e l autom óvil considerándolo c o m o un sistema no am ortiguado de un solo grado d e libertad que vibra e n dirección vertical.

A ltura d e l to p e(m )

F ig u ra 4 .4 9

4 .2 6

Una videocám ara d e m asa m se em p aca e n una caja h echa d e un m aterial flexible. La rigidez y constante de am ortiguam iento d e l m aterial d e em paque so n k y c, respectivam ente, y la m asa d e la caja e s insigni ficante. S i la c a ja de d eja caer p o r accidente d e sd e u n a a ltu ra h sobre un piso rígido (v ea la figura 4.50). halle e l m ovim iento d e la videocám ara.

F ig u ra 4 5 0


414

C a p ítu lo 4


A l ro d a r p o r la p ista de aterrizaje un a v ió n se encuentra un tope. C om o resultado, la raíz d e l a la s e so n e to a un desplazam iento que se puede ex p resar com o vf/1 = Í ^ ' V ' S ) .

'

0 S í = i,0 r > Í0

\o .

E ncuentre la respuesta d e la m asa ubicada e n la punta d e l a la si la rigidez d e é s ta e s A(v ea la fig u ra 4 ,5 1).

Figura 4.51

428

Derive la ecuación (E . I ) d e l ejem plo 4 . 12.

429

f ii u n a prueba d e encendido estática, un cohete se ancla a un m uro rígido p o r m edio d e un sistem a de resorte-am ortiguador, c o m o se m uestra e n la figura 4.52(a). E l em puje q u e actúa en e l cohete alcanza su valor m áx im o F c n un tiem po m uy c o rto y perm anece constante hasta el tiem po del q uem ado total del com bustible r0. c o m o se indica en la figura 4.52(b), E l em p u je q u e actúa e n el c o h ete e s F = m,,»-. donde /rioes la tasa constante a la cual s e q uem a e l com busuble y ves la velocidad d e l chorro. La m asa inicial del c o h ete e s A/, de m odo q u e su m asa e n cu alq u ier tiem po tes m = M — m rf, 0 < / < r0. ( I ) Derive h ecuación de m ovim iento d e l co h ete, y (2) encuentre e l desplazam iento m áxim o d e e stad o estable del cohete, suponiendo u n a m asa prom edio (constante) d e (M - jm o fo ). si los d a to s son k = 7.5 X 10* N/m , c = 0.1 X K K 'N -s/m .m o = 10 k g /s. v = 2000 m /s. A / = 2 0 0 0 k g . y r0 = 100 s.

F ig u ra 4.52

4J0

D em uestre q u e la respuesta a u n a función escalo n ad a un itaria = 1 e n la figura 4 .1 0 (b )) está relacionad! c o n la función de respuesta a un im pulso g ( t \ ecuación (4.25). c o m o sigue: d h { i)

8 (0 =

di



415

Dem uestre q u e la integral de convolución, ecu ació n (4.31). tam bién se puede ex p resar en fu n ció n d e la respuesta a u r a función escalonada unitaria /i(r)c o m o f 'd F ( r ) * ( / ) = F (0 )A (f) + j f - / . ( / - r ) d T

432

Encuentre la respuesta de la ba rra rígida q u e s e m uestra en la figura 4.53 p o r m edio d e la integral d e conw lu ció n c o n los datos siguientes: A, = k , = 5 0 0 0 N /m . a = 0.25 m . b = 0.5 m , / = 1.0 m . M = 50 kg, m = 10 kg. F0 = 5 0 0 N.

F ig u ra 4 .5 3

433

fiicucntre la respuesta d e la barra rígida que se m uestra e n la figura 4.54 por m edio de la integral de « involución c o n los d a to s siguientes: A **5000 N /m . / « I m , m ■ 10 k g . M 0 ■ 100 N-m.

F ig u ra 4 J> 4

434

R icucntrc la respuesta d e la ba rra ríg id i que s e m uestra e n la figura 4.55 p o r m edio d e la integral de «involución cu an d o e l extrem o P d e l resorte P Q s e som ete a l desplazam iento x (t) D atos: A = 5 0 0 0 N /m . / = 1 m , m = 10 k g . xo = 1 cm .

1

Figura 4.55


416

C a p ítu lo 4


Encuentre la respuesta d e la m asa q u e se m uestra e n la figura 4.56 som etida a la fuerza F (f) = F qc • m ediante la integral d e convolución. D atos: A, = 10 0 0 N /m . A, = 500 N /m . r = 5 c m . m = 10 k g . JQ = 1 kg-m ?. F0 = 5 0 N.

x(i)

F igura 4 .5 6

436

B icu e n to : las funciones d e respuesta a im pulso de u n sistem a d e resorte-m asa viscosam ente am ortigua do e n los siguientes casos: a . N o am ortiguado (c = 0 )

c . Críticam ente am ortiguado (c = cf )

b. Subam ortiguado (c < cr )

d.

S obrcam ortiguado (c > cr )

4J7

E ncuentre la respuesta d e un sistem a d e un solo grado d e libertad som etido a un im pulso F c o n los siguientes datos: m = 2 kg, c = 4 N -s/m . A = 3 2 N/m . F = 4 fi(r). Xq = 0.01 m . i 0 = 1 m/s.

4J8

El ala d e un a v ió n d e com bate, que lleva un misil en su punta, com o se m uestra e n la figura 4 .5 7 . se puede representar com o una viga e n voladizo equivalente c o n E l = 15 X 1CP N -m 3 con respecto a l eje vertical y longitud I = 10 m . S i la m asa equivalente d e l a la es m = 2 5 0 0 k g . determ ine la respuesta de vibración d e l a la (de m ) d eb id o al lanzam iento del m isil. S uponga q u e la fuerza e n m provocada por d lanzam iento d e l m isil se puede representar com o una función d e im pulso d e m agnitud F = 50 N-s.

(a ) S istem a real F ig u ra 4 .5 7


P r o b le m a s

417

— - ___

T x(l)

( b ) M odelo d e viga

(c) M odelo d e vibradón F ig u ra 4 .5 7 (C o ntinuación)

4J9

0 m arco, e l yunque y la base d e l m artillo d e forja q u e se m uestran e n la figura 4 .5 8 (a ) tienen una masa total d e m . L a alm ohadilla d e so p o rte elástica tiene u n a rigidez d e *. S i la fuerza ap licada p o r e l m artillo se d a en la figura 4.58(b), determ ine la respuesta d e l yunque.

— Martillo

no no

— Marco Yunque I

m

Almohadilla elástica, k

(a)

(b)

F ig u ra 4 .5 8

440

La en tra d a a la válvula d e un m otor d e com bustión interna e s u n a fuerza d e F = 15000 N aplicada A ra n te un period» d e 0.001 s p o r u n a leva c o m o se m uestra en la figura 4.59 (vea la figura 1.39 para la disposición d e la válvula). L a válvula tiene una m asa de 15 kg. una rigidez de 1 0 0 0 0 N/m y una c o n s tante d e am ortiguam iento d e 20 N-s/m . L a leva aplica la fuerza F cada 0.5 s. (a ) Encuentre la respuesta del desplazam iento A la válvula a p artir d e su posición d e reposo cuando la leva ap lica la fuerza F p o r primera vez. ( b ) D eterm ine e l desplazam iento de la válvula a partir d e su posición d e reposo cuando la leva ap lica la fuerza F p o r segunda vez.


C a p ítu lo 4


m

O

4.41

0.05

F igura 4 .5 9

F1 ch o q u e d e un pájaro contra e l m otor de un a v ió n se puede considerar com o un im pulso (figura 4.60(a)). S i la rigidez y el coeficiente d e am ortiguam iento d e l so p o rte d e l m otor so n k - 5 0 0 0 0 N /m y 1000 N -s/m . y la m asa d e l m o to r e s m = 500 kg, obtenga la respuesta d e l m otor. Suponga la m asa del pájaro c o m o 4 k g y la velocidad d e l avión c o m o 250 km /h.

F (impulso) (b) Modelo F ig u ra 4.60

4.42

E l c arro de ferrocarril q u e se m uestra e n la figura 4.61 está inicialm ente e n reposo y u n im pulso 56(r) lo p o n e e n m ovim iento, (a) D eterm ine e l m ovim iento d e l carro . x(f). (b) S i se d esea detener e l carro aplicando otro im pulso, determ ine e l im pulso que s e tiene q u e ap licar a l carro.

' y / / / / / / / / / / / / / Figura 4.61



419

U n sistem a d e resorte-am ortiguador está conectado a una p alan ca rígida sin m asa c o m o se m uestra en la figura 4.62. S i se aplica una fuerza gradual de m agnitud F0 e n e l instante i = 0. determ ine el d esp la zam iento. x ( r \ del p u n to A d e la palanca.

n o - f0 t

h F ig u ra 4 .6 2

4.44

En e l transbordador espacial hay un paquete experim ental espacial de m asa m soportado por una sus pensión elástica d e rigidez k. D urante e l lanzam iento, e l transbordador espacial (base d e l paquete e lá s ticam ente soportado) experim enta u n a aceleración 'y(t) = « . d o n d e a es una constante. Encuentre la variación d e l tiem po d e l desplazam iento, x(i), y e l desplazam iento relativo, x {t) — >
4.45

Una persona q u e c a rg a un instrum ento d e precisión d e m asa m . v iaja d e p ie en e l elevador de un edificio (figura 4.63). F.l e le v ad o r, m ientras s e m ueve a una velocidad v0 en e l instante I = 0 , d csacclcra a una \elocidad cero (se detien e) en e l instante r . d e m odo q u e la variación d e su velocidad se jxiede expresar como

0

<

t S

T

I > T suponiendo que la rigidez de la persona q u e está d e pie es *, determ ine la variación d e l desplazam iento del instrum ento d e precisión, x(t).


420

C a p ítu lo 4


0 tanque d e a g u a que se m ucslra e n la figura 4.43(a) s e som ete a una fuerza huracanada repentina la cual cam bia con e l tiempo com o se m uestra en la figura 4.64. C onsiderando condiciones iniciales cero, determ ine la respuesta d e desplazam iento. x(i), d e l tanque d e agua.

M

O

\

F ig u ra 4.64

T

Sección 4.6 Espectro de respuesta 4.47

D erive e l espectro d e respuesta d e un sistem a no am ortiguado c o n el pulso rectangular q u e se m uestra en la figura 4 .46(a). T rac e (x/6a ,)ni¿ ,c o n respecto a (»o/rB).

4.48

E ncuentre e l espectro d e respuesta d e desplazam iento d e un sistem a no am ortiguado c o n e l pulso q u e se m uestra e n la figura 4.46(c).

4.49

l a base de un sistem a d e resoitc-m asa no am ortiguado s e som ete a u n a excitación d e aceleración dada por o0[ 1 - se n (w í/2 f0]. E ncuentre el desplazam iento relativo de la m asa z.

4^0

Encuentre el espectro d e respuesta d e l sistem a considerado en e l ejem p lo 4 .1 3 . T rac e
contra

4 5 1 * La estructura d e un edificio s e som ete a una carga explosiva, y la idealización d e la estructura y la carga se m uestran e n la figura 4.14. S i m = 5 0 0 0 kg. F0 = 4 M N y / „ = 0 .4 s, en cu en tre la rigidez m ínim a requerida para lim itar e l desplazam iento a 10 mm. 4^2

Considere la tarjeta d e circuito im preso (T C I) m ontada sobre una repisa de alum inio q u e se m uestra en kt figura 4.23
F a c to r d e a m p lific a c ió n

I

A c e le ra c ió n

2

3

4

5

6


F ig u ra 4 .6 5


421

Considere ia tarjeta d e circuito im preso (TC1) m ontada so b re u n a repisa d e alum inio en voladizo que íc m uestra e n la fig u ra 4.23(a). D iseñe la repisa pora q u e so p o rte una aceleración d e 100 g som etida al pulso triangular q u e se m uestra e n la figura 4.66. C onsidere la s p ropiedades d e m aterial d a d as e n el problem a 4.52.

F a c to r d e a m p lific a c ió n

d e choque

Aceleración

f(s)

fo T"

4^4

F igura 4 .6 6

Una c a ja electrónica, q u e pesa I Ib. se som ete a una prueba d e choque p o r m edio d e un pulso sem isenoidal d e 100 g con una base d e tiempo d e 0.1 segundo para una prueba d e calificación. La caja d e coloca a la m itad d e u n a viga doblem ente em potrada com o se m uestra e n la figura 4.67. La v ig a, ju n to c o n la caja, s e c o lo c a e n un recipiente y s e so m e te a la prueba d e ch o q u e. D iseñe la v ig a para q u e soporte el pulso d e choque m encionado. C onsidere las propiedades d e m aterial d a d as e n e l problem a 4.52.

C ija electrónica

Ü 16*

F ig u ra 4 .6 7

4 5 5 * □ tanque d e a g u a q u e se m uestra e n la figura 4.68 s e som ete a un sism o cuyo espectro d e respuesta se indica e n la figura 4 . 18. F3 peso d e l tanque con a g u a e s de 100000 Ib. D iseñe una colum na circu lar hueca d í acero d e 5 0 p ie s d e altura de m odo que e l e sfu e ra ) t b flexión m áxim o no exceda e l esfuerzo d e fluen cia d e l m aterial. C onsidere una relación de am ortiguam iento d e 0 .0 5 y un factor d e seguridad d e 2.


422

C a p ítu lo 4


456

C onsidere la grúa viajera elev ad a q u e se m uestra en la figura 4.21. Suponiendo e l peso d e la carretilla com o 5 0 0 0 Ib y la relación de am ortiguam iento total c o m o 2% . determ ine la rigidez total d e l sistem a necesario para q u e la carretilla no se descarrile cu an d o experim ente una excitación sísm ica vertical cuyo espectro d e d ise ñ o aparece e n la figura 4.19.

4^7

Un p o ste eléctrico d e sección transversal circular con una rigidez a flexión k = 5 0 0 0 N/m y u n a relación de am ortiguam iento ( ■» 0.05. soporta un transform ador d e m asa m - 2 5 0 k g c o m o se m uestra e n la figura 4.69. Se som ete a un sism o caracterizado por u n espectro d e respuesta d a d o e n la figura 4.18. fiicu cn trc: (a ) e l desplazam iento m áxim o del transform ador, ( b ) la fuerza cortante m áxim a en e l poste, y (c ) e l m om ento d e flexión m áxim o e n e l poste.

Sección 4.7 Transformada de Laplace 4^8

R icu cn trc la respuesta d e estado estable d e un sistem a no am ortiguado de un solo g ra d o d e libertad som etido a la fuerza F (/) = Fge** siguiendo el m étodo d e transform ada d e Laplace.

4^9

Encuentre la respuesta d e un sistem a d e resorte-m asa am ortiguado som etido a una fu n ció n escalonada de m agnitud F0 con e l m étodo d e transform ada d e Laplacc.

460

E ncuentre la respuesta d e un sistem a no am ortiguado som etido a un pulso cuadrado F {i) = F0 e n e l ran go 0 s i rs /0 d u ra n te i > i0 aplicando e l m étodo d e transform ada d e L aplace. C onsidere las condiciones iniciales c o m o cero.

461

D erive la expresión para la transform ada d e (.aplace d e la respuesta d e un sistem a am ortiguado d e un solo grado d e libertad so m e tite a los siguientes tipos de fu n cio n es forzadas: a . / ( / ) = A seno»/ h. f ( i ) = A eos

c . / ( / ) = Ae f ( i ) = A 8 ( i - i0)

d.

462

Derive u n a ex p resió n p ara la función d e respuesta a un im pulso d e un sistem a críticam ente am ortiguado (fe un solo grado de libertad.

463

Encuentre la respuesta de u n sistem a c o n la siguiente ecu ació n de m ovim iento: 2 x + 8 x + 16* = 5 8 ( i) a p lic a n te la s condiciones iniciales x ( i = 0 ) = x0 = 0.05 m y *(r = 0 ) = i 0 = 0 . T race la respuesta del sistema.



423

Una b o la d e bro n ce d e m asa s e d eja caer sobre la m asa d e un sistem a d e un solo g ra d o d e libertad cfcsdc u n a altura h c o m o se m uestra en la ñgura 4.70. S i se atrapa la bola después de su p rim er rebote, de term ine la respuesta d e desplazam iento resultante de la m asa m . Suponga q u e la colisión es perfecta m ente clástica y q u e e l sistem a está inicialm entc en reposo. D atos: m = 2 kg. m 0 = 0.1 kg. k = 100 N/m . c = 5 N -s/m . y h = 2 m.

h

1 M 40 LH e

7777777Z r7777

4.65

F ig u ra 4 .7 0

Considere la ecu ació n d e m ovim iento de un sistem a d e p rim er orden: + 4* = / ( / ) d o n d e la función f o r z a d a // ) c s periódica. S i la representación com o una serie de F ouricr d c f { 0 es / ( / ) = 4 sen 2 í + 2 s e n 4 / + sen 6 í + 0.5 sen 8 / + . . . a . ¿cuál e s e l ancho de b an d a del sistem a? b. encuentre la respuesta d e estado estable d e l sistem a considerando únicam ente los com ponentes de J 1 0 q u e q u ed en d en tro d e l ancho d e banda d e l sistem a.

466

Encuentre la respuesta escalonada d : un sistem a c o n la ecuación d e m ovim iento form ulada:

a. b.

2 x + I0.V 2 'i + lO i

+ 12.5 = I0m,(í) + 8 = 10«,(/)

c.

2 * + lO i

+ 18 = I0 « ,(r)

467

Derive la transform ada d e L aplace d e la función ram pa F ( 0 = b t. i & 0 , com enzando a p artir d e la transform ada d e Laplace.

468

Encuentre la transform ada inversa d e L aplace de -j + 3

F (S ) =

469

( s + 1) ( j + 2 )

Encuentre la tran sfó rm a la inversa d e L aplace de 3j + 8

F (S )

( s + 2 ) 2( , + 5) 470

Encuentre la respuesta d e un sistem a d e resorte-am ortiguador (d e p rim er o rd e n ) que se m uestra en la figura 4.1 (a) c o n la ecu ació n d e m ovim iento

ex + kx a

/•’(/)


424

C a p ítu lo 4


d o n d e la función forzada F (i) e s una función escalonada unitaria. T am bién determ ine los valores inicial y d e e stad o estable d e la respuesta a p artir de las solu cio n es e n el d om inio d e la p la c e y d e tiem po. 4.71

f>:tennine los valores inicial y d e estado estable d e la respuesta ram pa d e l sistem a d e p rim er orden que se considera e n e l ejem plo 4.20, a p artir d e las soluciones en e l d om inio d e Laplace y d e tiempo.

4.72

fiic u cn trc los v alo res inicial y d e estado estable tfc la respuesta d e im pulso del sistem a subam ortiguado que se considera en e l ejem plo 4 .9 utilizando las soluciones e n e l ctominio d e L aplace y d e tiem po.

4.73

Encuentre la respuesta de un sistem a críticam ente am ortiguado d e un solo grado d e libertad som etido a una fuerza gradual con la ecu ació n d e m ovim iento 23r + 8 i + 8.« = 5 C onsidere las condiciones iniciales c o m o x 0 “ 1 y x0 a 2.

474

475

Encuentre la respuesta d e estado estable d e un sistem a subam ortiguado d e un solo g ra d o d e libertad som etido a una entrada ram pa F
■ ¿o 476

Para el sistem a am ortiguado d e segundo grado c o n la función d e transferencia d ad a a continuación, determ ine los valores d e £, tr tr, ip y porcentaje d e sobrepaso:

. = fC O =

477

121 s 2 + 17.6j + 121

*'(*)

Ftara e l sistem a am ortiguado d e segundo grado c o n la función d e transferencia d ad a a continuación, determ ine los valores d e £. o»,. /„, lr , l py porcentaje de sobrepaso: .

* (* )

3.24 x IQ6

F {s)

¿ + 27005 + 3.24 X i t f

478

Para e l sistem a traslacional de segunda g ra d o q u e se m uestra en la figura 4 .2 (a ) c o n m = 6 k g , c = 30 N -s/m y k = 45 N /m , determ ine los v alo res d e £ . atK. ta , i,, ip y porcentaje de sobrepaso parax
479

Para e l sistem a torsional d e segundo orden q u e se m uestraen la figura 4 .2 (c ) c o n J * 2 kg-m 2. c , ■ 2 N -m -s/rad y k , = 2 N -m /rad, determ ine los v alo res d e £ .
480

fttra el sistem a traslacional q u e se m uestra a i la figura 4 .2 (a ) c o n * = 1 y / ( f ) = función escalonada unitaria, determ ine los valores d e m y i para alcanzar 40% d e sobrepaso y un tiem po d e asentam iento de 5 s.

Sección 4.8 Métodos numéricos 481

Encuentre la respuesta d e un sistem a am ortiguado de u n solo grado d e libertad con la ecu ació n d e m o vimiento

mx + ex

+

kx = F(t)


P r o b le m a s

425

siguiendo el m étodo de R unge-K utta. S uponga q u e m “ 5 k g , c “ 2 0 0 N -s/m . k - 7 5 0 N /m y £ » !.

w -

“>\

05,5,1

'

F0\

I * l\

c o n F0 - 2 0 0 0 N y / , *- 6 s.

4.82

Resuelva el problem a 4.81 (con e l m étodo de R ungc-K utta) con la función forzada

F (/) = r

¿ ie n V

0 S í S ''

[O ,

l * t •\ \

c o n F0 m 2000 N y /, “ 6 s.

4.83

Resuelva e l problem a 4.81 (con e l m étodo de R unge-K utta) p ara la función forzada 0 s i £ t¡

F ( ') =

s t7

/, ^

- t e )

I & l2

c o n F0 = 2 0 0 0 N. í , = 3 s y r2 = 6 s.

sección 4.9 Respuesta a condiciones forzadas Irregulares obtenida aplicando métodos numéricos 4JW

Derive las exp resio n es p ara x , y ¿ j de acuerdo con la función d e interpolación lineal, considerada e n la sección 4 .9 p ara e l c a so no am ortiguado. Utilizando e sta s expresiones, encuentre la so lu ció n d e l ejem plo 4.31 suponiendo que e l am ortiguam iento e s cero.

4^5

Encuentre la respuesta de un sistem a am ortiguado d e un solo grado d e libertad con la ecuación de m ovim iento m x + e x + k x = F ( l) utilizando e l m étodo num érico d e la sección 4.9. C onsidere m = 5 k g . c = 200 N -s/m . k = 750 N /m y los valores d e la función forzada F (i) e n tiem pos discreto s com o se indica a continuación:

f

0

F (l)

0

4.86

1

2

400

3 800

4 1200

5 1 600

6

7

2 000

2 000

8 2000

9 2 000

10 2 000

2 000

R tcuentre la respuesta de un sistem a am ortiguado de un solo g ra d o d e libertad con la ecuación de m ovim iento m x + e x + k x = F {t) utilizando e l m étodo num érico d e la sección 4 .9 . C onsidere m = 5 kg. c = 2 0 0 N -s/m . k = 7 5 0 N /m y los valores d e la función forzada F(r) e n tiem pos discretos com o se indica a continuación:


426

C a p ítu lo 4


t

0

FU)

0

487

1

2

1 000

3 1 732

4 2000

5 1732

6 1 000

7

8

0

10

9

0

0

0

0

Encuentre la respuesta d e un sistem a am ortiguado d e un solo grado d e libertad c o n la ecu ació n de m ovim iento m x + e x + k x = F (¡) utilizando el m étodo num érico d e la sección 4 .9 . C onsidere m = 5 kg. c = 2 0 0 N -s/m . k ==7 5 0 N /m y b s valores de la función forzada F \i) e n tiem pos discretos c o m o se indica a continuación:

1

0

FU)

0

1 666.7

2

3

4

5

6

13333

2000

1333.3

6 6 6 .7

0

7

8 0

9 0

10 0

0

Sección 4.10 Ejemplos resueltos utilizando m a tla b 4.88

Una m áquina recibe u n a fuerza d e ch o q u e d e un m onillo d e im pacto. S i la m áquina s e puede m odelar com o un sistem a de un solo g ra d o d e libertad c o n m = 10 k g ,* = 4 0 0 0 N /m y c = 4 0 N -s/m y la m ag nitud del im pacto e s F = 100 N -s. determ ine la respuesta d e la m áquina. T am bién trace la respuesta utilizando M A TL A B .

4.89

Si la m áquina descrita en e l problem a 4.88 recibe un doble ch o q u e im partido por e l m artillo d e im pacto, tfcterminc la respuesta d e la m áquina. C onsidere la fuerza d e im pacto. F [ i\ c o m o F \l) = 100 S (i) + 5 0 8(1 - 0 .5 ) N . donde. S(/) e s la función d e lta D irac. T race tam bién la respuesta d e la m áquina a p li cando M A TL A B .

4.90

U tilizando M A T L A B , trace la respuesta d e un sistem a viscosam ente am ortiguado d e resorte-m asa son e tid o a l pulso rectangular q u e se m uestra e n la figura 4 . 12
4.91

Siguiendo P r o g r a m 4 .m . encuentre la respuesta d e e sta jo estable d e u n sistem a viscosam ente am orti guado con m “ I k g . k “ 4 0 0 N /m y c - 5 N -s/m som etido a la fuerza periódica q u e s e m uestra en la figura 4 .7 !.

F ( 0 .N

Figura 4.71


P r o b le m a s

427

4.92

Siguiendo P r o g r a m 4 .m . encuentre la respuesta de un sistem a viscosam ente am ortiguado con m = 100 kg, le = I 0 5 N y 7. = 0 . 1 som etido a la fuerza f \ t ) = 1 000< I - e o s n i ) N.

4.93

U n sistem a am ortiguado d e un solo grado d e libertad tiene u n a m asa m = 2. un resorte d e rig id e z k = 50 y un am ortiguador c o n c = 2. Una función forzada F { l\ cuya m agnitud se indica e n la tabla siguiente, actúa en la m asa d u ra n te I segundo. E ncuentre la respuesta d e l sistema por m edio d e l m étodo d e inter polación por partes q u e se describe e n la sección 4 .9 utilizando P r o g r a m S . m .

Tiempo (fj)

494

0.0

- 8 .0

0.1

- 1 2 .0

0.2

- 1 5 .0

0.3

- 1 3 .0

0.4

- 1 1 .0

0.5

- 2 7 .0

0.6

- 2 4 .0

0.7

3.0

0.8

10.0

0.9

15.0

1.0

18.0

La ecu ació n de m ovim iento de un sistem a no am ortiguado está d ad a p o r 2'x + 1500.« = F ( t ) , donde la cu rv a q u e s e m uestra e n la figura 4.72 d efine la función forzada. E ncuentre la respuesta d e l sistem a raim éricam cntc en e l rango 0 < / < 0.5. C onsidere las condiciones iniciales c o m o xq = ¿ o = 0 y el a m a fio d e l escalón d e tiem po c o m o As — 0.01. U se el p rogram a M A TL A B o d a 2 3 .

, Seg

495

F(/¿)

F igura 4.72

Resuelva e l problem a 4.94 sig u ie n te e l p rogram a M A T L A B o d a 2 3 si e l sistem a está viscosam ente am ortiguado d e m odo q u e la ecuación d e m ovim iento sea 2 x + 10* + 1500* = F (i)

496

E scriba un program a M A TL A B pora h a lla r la respuesta de estado estable de un sistem a d e un solo grado de libertad som etido a una fuerza arbitraria, e v a lu a n te num éricam ente la integral de D uham cl. Utilizando este program a, resuelva e l ejem plo 4.31.


428

C a p ítu lo 4


Encuentre e l desplazam iento relativo d e l tanque d e a g u a que s e m uestra e n la figura 4.43
498

La ecuación diferencial d e m ovim iento de un sistem a no am ortiguado está dado por 2 x + 150.r = /• (/) con las c o n d icio n es iniciales x0 = x 0 = 0. S i F(t) e s com o s e m uestra en la figura 4 .7 3 . halle la respuesta del problem a siguiendo e l program a d e l problem a 4.96.

F(t) 100

-

------

60 --------30 -

----------

0

(105

0.10

0.15

'

F igura 4.73

Proyectos de diseño 499

Diserte un sism óm etro d e l tipo q u e se m uestra e n la figura 4.74
y<*).cm Jaula ( «significante)

B añ a rígida (masa insignificante) x(D k fl

><0

\k n

b - 3a (a)

(b)

F igura 4.74

4 1 0 0 Las fuerzas de corte desarrolladas durante «tos operaciones de m aquinada diferentes se m uestran e n las figuras 4 .7 5 (a ) y (b). L a s im precisiones (en la dirección vertical) e n la superficie d e acabado en dos casos fueron d e 0.1 m m y 0.05. respectivam ente. Encuentre la m asa y rigidez e quivalentes de la cabeza de corte (figura 4.76). considerándola com o un sistem a no am ortiguado de un solo grado d e libertad.

F fl).N

H 0.N

(b)


Figura 4 .7 5


429

4 1 0 1 Una fresadora m ontada a la m itad de un eje se u tiliza p ara q uitar m etal d e una p iez a de trabajo (figura 4 7 7 ). S e desarrolla un p a r de torsión d e 500 N -m e n la fresa e n condiciones de fresado d e estado e s table. U no de los 16 d ientes d e la fresa se rom pe durante la operación d e corte. D eterm ine la sección transversal d e l eje p ara lim itar la am plitud d e l desplazam iento angular d e la fresa a I o. Suponga q u e el eje se p u e d : m odelar c o m o una flecha d e acero h u eco fija p o r am bos extrem os. D alos: L ongitud d e l eje - 0.5 m , m om ento d e inercia d e m asa d e la fresa = 0.1 N -m 2. velocidad d e la fresa = 1 0 0 0 rpm.

F ig u ra 4 .7 7


CAPITULO 5 Sistemas d e dos g ra d o s d e lib e rta d

M ie m b ro d e u n a f a m ilia d e m a te m á tic o s y c ie n tíf ic o s s u iz o s , re c ib ió s u d o c to ra d o e n m e d ic in a p o r su te s is s o b re l a a c c ió n d e l o s p u lm o n e s . F u e p r o f e s o r d e m a te m á tic a s e n S a n P c tc r s b u r g o e n 1725. M á s a d e la n te d io c la s e s d e a n a to m ía y b o tá n ic a e n B a se l. D e sa rro lló la te o ría d e la h id ro s tá tic a y l a h id ro d in á m ic a ; e l “ t e o r e m a d e B e m o u lli" e s m u y c o n o c id o e n tr e lo s in g e n ie ro s . D e riv ó la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to p a r a la v ib ra c ió n d e v ig a s ( te o r ía d e E u lc r - B c m o u lli) y e s tu d ió l o s p ro b le m a s d e la s c u e r d a s v ib ra to ria s . B e m o u lli fu e e l p r im e ro e n p ro p o n e r e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n d e a r m ó n ic o s e n v ib ra c ió n lib r e . (F o to g ra fía d e u n r e tr a to , c o r te s í a d e D a v id E u g e n c S m ith e n H is to r y o f M a th erm n uaatic icss,, ■ V o lu m e n 1. G e n e r a l S u r v e y o f ih e H is to r y o f E l e m e n t a n M a th e m a tic s , D o v etr P u b lili- I c a tio n s , N u e v a Y o r k . 1958). D a n ie l R e m o u lH (1 7 0 0 -1 7 8 2 )

E s q u e m a d e l c a p ítu lo O b je tiv o s d e a p re n d iz a je 431

5.9

M é to d o d e b fu n c ió n d e t r a n s f e r e n c b 4 6 2

5.1

In tro d u c c ió n 431

5 .1 0

5.2

E cu acio n es d e m o v im ie n to p a r a v ib ració n fo rz a d a 4 3 5

S o lu cio n es o b te n id a s ap lican d o b tra n s fo rm a d a d e L aplace 4 6 4

5.11

5 .3

A nálisis d e v ib ra c ió n lib re d e u n sis te m a n o a m o rtig u a d o 4 3 6

5 .4

S istem a to r s io n a l 4 4 4

R e su m e n d el c a p itu lo 481

A c o p la m ie n to d e c o o r d e n a d a s

R e fe r e n c a s 481

5 .5

5 .1 2

E je m p lo s r e s u e lto s u tilizan d o MATLAB 4 7 5

y c o o r d e n a d a s p rin cip ales 4 4 9

P re g u n ta s d e r e p a s o 4 8 2

A nálisis d e v ib ració n fo rz a d a 4 5 5

P ro b le m a s 4 8 4

5.7

S iste m a s se m id e fm id o s 4 5 8

P r o y e c to s d e d ise ñ o 5 0 7

5.8

A u to e x c ita c ió n y an álisis d e estab ilid ad 461

5 .6

430

S o lu cio n es o b te n id a s u tilizando fu n c io n e s d e tra n s fe re n c b d e fre c u e n c b 472


5.1


431

E n e s te c a p ítu lo s e t r a t a d e l o s s is te m a s d e d o s g r a d o s d e lib e rta d , lo s c u a le s r e q u ie re n d o s c o o r d e n a d a s in d e p e n d ie n te s p a ra d e s c rib ir s u m o v im ie n to . L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to a c o p la d a s d e l siste m a s e d e riv a n a p lic a n d o l a s e g u n d a ley d e l m o v im ie n to d e N c w to n . A l e x p r e s a r e s ta s e c u a c io n e s e n fo rm a m a t r i d a l s e id e n tif ic a n la s m a tr ic e s d e m a s a , a m o r tig u a m ie n to y r ig id e z d e l s iste m a . A s u m ie n d o e l m o v im ie n to a r m ó n i c o d e la s d o s m a s a s , s e e n c u e n tra n l o s v a lo re s d e e ig e n o f r e c u e n c ia s n a tu ra le s d e v ib ra c ió n , l o s v e c to re s m o d a le s y l a s o lu c ió n d e v ib ra c ió n lib re d e l s is te m a n o a m o r tig u a d o . T a m b ié n se d e s c rib e e l m é to d o d e in c o rp o r a c ió n d e l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s . S e c o n s id e ra n d e m a n e ra a n á lo g a l o s s is te m a s to r s io n a le s d e d o s g r a d o s d e lib e rta d . L o s c o n c e p to s d e a c o p la m ie n to d e c o o r d e n a d a s , c o o rd e n a d a s g e n e r a liz a d a s y c o o r d e n a d a s p r in c ip a le s s e p re s e n ta n c o n e je m p lo s . S e h a c e u n a in tro d u c c ió n al a n á lis is d e v i b r a c ió n fo rz a d a d e l s is te m a s o m e tid o a u n a fo rm a c o m p le ja d e f u e r z a a r m ó n ic a y s e id e n tific a l a m a triz d e im p c d a n c ia . S e p re s e n ta n lo s s is te m a s s e m id e f in id o s , n o re s tr in g id o s o d e g e n e ra d o s j u n t o c o n un m é to d o p a r a e n c o n tr a r su s fr e c u e n c ia s n a tu ra le s d e v ib ra c ió n . L a a u to e x c ita c ió n y e l a n á lis is d e e s ta b ilid a d d e s is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib e r ta d s e c o n s id e r a n j u n to c o n u n a d e r iv a c ió n d e la s c o n d ic io n e s d e e s ta b ilid a d . T a m b ié n s e p r e s e n ta e l c r ite r io d e R o u th -H u rw itz . e l c u a l s e p u e d e u tiliz a r p a r a d e r iv a r la s c o n d ic io n e s d e e s ta b ilid a d d e c u a lq u ie r s is te m a d e n g r a d o s d e lib e rta d . A s im is m o , e l m é to d o d e l a fu n c ió n d e tra n s f e r e n c ia , e l c á lc u lo d e la r e s p u e s ta d e s is te m a s d e d o s g r a d o s a p lic a n d o l a tra n s fo rm a d a d e L a p la c e y l a s s o lu c io n e s o b te n id a s c o n f u n c io n e s d e t r a n s f e r e n c ia d e f r e c u e n c ia tie n e n a q u í su p re s e n ta c ió n . P ü r ú ltim o , s e ilu s tra n c o n e je m p lo s l a s s o lu c io n e s d e v ib ra c ió n lib r e y fo r z a d a d e un siste m a d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d q u e s e o b tie n e n u tiliz a n d o M A T L A B .

O b je tiv o s d e a p re n d iza je A l te r m in a r e s t e c a p ítu lo , u s te d d e b e r á s e r c a p a z d e r e a liz a r l o s ig u ie n te : •

F o r m u la r la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e s is te m a s d e d o s g r a d o s d e lib e rta d .

•

I d e n tif ic a r l a s m a tric e s d e m a s a , a m o r tig u a m ie n to y r ig id e z a p a r tir d e la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to .

•

C a lc u la r lo s v a lo r e s d e e ig e n o f r e c u e n c ia s n a tu ra le s d e v ib r a c ió n , y lo s v e c to r e s m o d a le s .

•

D e te r m in a r l a s o lu c ió n d e v ib ra c ió n lib re u tiliz a n d o l a s c o n d ic io n e s in ic ia le s c o n o c id a s .

•

C o m p re n d e r lo s c o n c e p to s d e a c o p la m ie n to d e c o o r d e n a d a s y c o o rd e n a d a s p rin c ip a le s .

•

D e te r m in a r la s s o lu c io n e s d e v ib ra c ió n fo r z a d a b a jo fu e rz a s a rm ó n ic a s .

•

C o m p r e n d e r lo s c o n c e p to s d e a u to e x c ita c ió n y e s ta b ilid a d d e l s is te m a .

•

U tiliz a r e l m é to d o d e la tra n s fo rm a d a d e L a p la c e p a r a s o lu c io n a r s is te m a s d e d o s g ra d o s

•

R e s o lv e r p ro b le m a s d e v ib ra c ió n lib re y fo r z a d a d e d o s g ra d o s d e lib e r ta d u tiliz a n d o

d e lib e rta d . M ATLAB.

in t r o d u c c ió n L o s s is te m a s q u e r e q u ie r e n d o s c o o rd e n a d a s in d e p e n d ie n te s p a ra d e s c r ib ir s u m o v im ie n to s e l l a m a n s is te m a s d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d . A lg u n o s e je m p lo s d e s is te m a s d e d o s g r a d o s d e lib e rta d se m o s tra r o n e n l a f ig u ra 1 .1 2 . E n e s t e c a p ítu lo c o n s id e ra re m o s s ó lo s is te m a s d e d o s g r a d o s d e lib e rta d , p a r a p ro p o rc io n a r u n a in tro d u c c ió n s i m p le a l c o m p o r ta m ie n to d e s is te m a s c o n un n ú m e ro a rb itr a r ia m e n te g ra n d e d e g r a d o s d e lib e rta d , l o c u a l e s e l l e m a d e l c a p ítu lo 6.


C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d

Pum a C a b e z a l G jo

g ira to r ia

P u n ta fija

C a b e z a l m ó v il

Figura 5.1 Tomo.

Considere un modelo simplificado de un tomo que se muestra en la figura 5.1 (a), en el cual su bancada, representada como una viga clástica, está apoyada sobre dos cortas columnas clásticas con su cabe/al fijo y el cabezal móvil indicados como masas concentradas fijas en la viga (5.1 -5.3J. Rira un análisis de vibración simplificado, el tomo se puede tratar como un cuerpo rígido de masa total m y momento de inercia de masa J 0 con respecto a su centro de gravedad (C .G .). apoyado en resortes de rigidez k¡ y como se muestra en la figura 5.1(b). H desplazamiento del sistema en cualquier momento puede ser especificado por una coordenada lineal x (t), que indica el despla zamiento vertical del C.G. de la masa, y una coordenada angular 8 (t), que indica la rotación de la masa m con respecto a su C .G . En lugar de .x

5.1


433

f — (a)

F igura 5 2 A utom óvil.

(b)

se r e p ré s e n la d e fo rm a a p ro x im a d a p o r u n r e s o rte lin e a l d e r ig id e z k y u n re s o rte to rs io n a l d e rig id e z k r E l d e s p la z a m ie n to d e l e d if ic io e n c u a lq u ie r m o m e n to p u e d e s e r e s p e c ific a d o p o r e l m o v im ie n to h o riz o n ta l d e l a b a s e x { t) y e l m o v im ie n to a n g u la r 0 (r) a lr e d e d o r d e l p u n to O. I \ ) r ú ltim o , c o n s id e re e l s is te m a d e la f ig u r a 5.4< a), e l c u a l ilu s tra e l e m b a la je d e u n in s tr u m e n to d e m a s a m . S u p o n ie n d o q u e e l m o v im ie n to d e l in s tru m e n to s e l im ita al p la n o x y , e l s is te m a s e p u e d e m o d e la r c o m o u n a m a s a m s o p o r ta d a p o r r e s o r te s e n la s d i r e c c io n e s x y y , c o m o s e in d ic a e n la fig u ra 5 .4 (b ) . D e m o d o q u e e l s is te m a t ie n e u n a m a s a p u n tu a l m y d o s g ra d o s d e lib e r ta d , p o rq u e l a m a s a t ie n e d o s p o s ib le s tip o s d e m o v im ie n to ( tr a s la c ió n a lo la rg o d e la s d i r e c c io n e s x y y ). L a re g la g e n e ra l p a r a c a lc u la r e l n ú m e r o d e g r a d o s d e lib e r ta d s e p u e d e fo r m u la r c o m o s ig u e : N ú m e ro de g ra d o s d e lib e rta d del siste m a

N ú m e ro d e m asas en e l siste m a =

X c a n tid a d d e p o sib le s tip o s d e m o v im ie n to s d e c a d a m asa

H a y d o s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to p a ra u n s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d , u n a p a ra c a d a m a s a (m á s p r e c is a m e n te , p a r a c a d a g r a d o d e lib e rta d ) . P o r lo g e n e ra l s o n d e l a fo rm a d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s a c o p la d a s , e s d e c ir , c a d a e c u a c ió n im p lic a to d a s la s c o o r d e n a d a s . S i s e s u p o n e u n a s o lu c ió n a r m ó n ic a p a r a c a d a c o o rd e n a d a , la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to c o n d u c e n a u n a e c u a c ió n d e fre c u e n c ia q u e d a d o s fre c u e n c ia s n a tu ra le s p a r a e l s is te m a . S i l e im p a r tim o s u n a e x c ita c ió n in ic ia l, e l s is te m a v ib r a a u n a d e e s ta s fr e c u e n c ia s n a tu r a le s . D u ra n te la v ib r a c ió n lib re e n u n a d e la s fr e c u e n c ia s n a tu r a le s , l a s a m p litu d e s d e lo s d o s g r a d o s d e lib e r ta d ( c o o rd e n a d a s ) s e re la c io n a n d e u n a m a n e ra e s p e c íf ic a y l a c o n f ig u r a c ió n s e c o n o c e c o m o m o d o n o r m a l, m o d o p r i n c ip a l o m o d o n a tu r a l t k v ib ra c ió n . P o r l o ta n to , u n s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d tie n e d o s m o d o s n o r m a le s d e v ib ra c ió n c o r re s p o n d ie n te s a l a s d o s fre c u e n c ia s n a tu r a le s .


C a p ítu lo 5


F ig u ra 5 .3 Edificio d e varios pisos so m e tid o a u n sism o.

Si l e im p a r tim o s u n a e x c ita c ió n in ic ia l a l s is te m a , l a v i b r a c ió n re s u lta n te s e r á u n a s u p e r p o s i c ió n d e lo s d o s m o d o s n o rm a le s d e v ib ra c ió n . S i n e m b a rg o , s i e l s is te m a v ib r a p o r l a a c c ió n d e u n a lú c rz a a r m ó n ic a e x te r n a , l a v ib ra c ió n a r m ó n ic a fo r z a d a r e s u lta n te o c u r re e n la fre c u e n c ia ck l a fu e rz a a p lic a d a . B a jo e x c ita c ió n a r m ó n ic a , o c u re e la re s o n a n c ia ( e s d e c ir , la s a m p litu d e s d e h s d o s c o o r d e n a d a s s e r á n m á x im a s ) c u a n d o l a fre c u e n c ia fo rz a d a s e a ig u a l a u n a d e la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s d e l s is te m a . C ó m o es e v id e n t e p o r lo s s is te m a s q u e s e m u e s tra n e n la s f ig u ra s 5 .1 -5 .4 , l a c o n f ig u r a c ió n cfc u n s is te m a s e p u e d e e s p e c if ic a r p o r m e d io d e u n c o n ju n to d e c o o r d e n a d a s in d e p e n d ie n te s c o n » lo n g itu d , á n g u lo o a lg ú n o tr o p a rá m e tr o f ís ic o . A to d o c o n ju n to d e c o o r d e n a d a s c o m o e se se le lla m a c o o r d e n a d a s g e n e r a li y t d a s . A u n c u a n d o l a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n s is te m a efe d o s g r a d o s d e lib e r ta d s u e le n e s t a r a c o p la d a s d e m o d o q u e c a d a e c u a c ió n im p liq u e to d a s las

vM

| 7TTV' s

/

Instrum ento

' 'iü'-

(m asa m )

/. , yQBv

Embalaje (m aterial de acojinam iento)

-Pm1

*i m

1

•TO' / tUJV- £

////////////////y //////////// (a)

F ig u ra 5 .4 Finbalaje d e un instrum ento.


(b)

52

E c u a c io n e s d e m o v im ie n to para v ib r a c ió n forzad a

435

c o o r d e n a d a s , s ie m p r e e s p o s ib le d e te r m in a r u n c o n ju n to p a r tic u la r d e c o o r d e n a d a s d e m o d o q u e c a d a e c u a c ió n d e m o v im ie n to c o n te n g a s ó lo u n a c o o r d e n a d a . E n to n c e s la s e c u a c io n e s s e d e s a c o p l a n y se p u e d e n re s o lv e r in d e p e n d ie n te m e n te d e c a d a u n a . T a l c o n ju n to d e c o o r d e n a d a s , e l c u a l c o n d u c e a u n s is te m a d e s a c o p la d o d e e c u a c io n e s , s e c o n o c e c o m o c o o r d e n a d a s p r in c ip a le s .

5.2

E c u a c io n e s d e m o v i m i e n t o p a ra v ib r a c ió n f o r z a d a C o n s id e re un s is te m a d e r e s o r te - m a s a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o d e d o s g r a d o s d e lib e rta d , c o m o e l q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 5 .5 (a ). I~as c o o r d e n a d a s * , ( 0 y x 2( i ) d e s c rib e n to ta lm e n te e l m o v i m ie n to d e l s is te m a , l a s c u a le s d e f in e n la s p o s ic io n e s d e l a s m a s a s m , y m 2e n c u a lq u ie r m o m e n to / c o n r e s p e c to a la s p o s ic io n e s d e e q u ilib rio r e s p e c tiv a s . L a s fu e rz a s e x te r n a s F , ( / ) y F 2( i ) a c tú a n e n la s m a s a s m | y m 2. r e s p e c tiv a m e n te . L o s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e l a s m a s a s m , y m 2 s e m u e s tran e n la f ig u ra 5 .5 (b ) . L a a p lic a c ió n d e l a s e g u n d a ley d e l m o v im ie n to d e N e w to n a c a d a u n a d e la s m a s a s p ro p o r c io n a la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to :

m , x , + ( c , + c2) x , ~ c 2 x 2 + ( * i + *2) * i “ * 2*2 = f

(5 .1 )

*2*1 + (*2 + *3>*2 = h

(5 2 )

« 2 * 2 ~ c2 * l + («2 + C3)* 2 -

S e v e q u e l a e c u a c ió n ( 5 .1 ) c o n tie n e té r m in o s q u e im p lic a n x 2 (e s d e c ir . ~ c 2x 2 y - K * 2) , e n ta n to q u e la e c u a c ió n ( 5 .2 ) c o n tie n e té r m in o s q u e im p lic a n x , (e s d e c i r , - c 2x¡ y - A y ,) . P o r c o n sig u ie n te re p re s e n ta n un s is te m a d e d o s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s a c o p la d a s d e s e g u n d o o rd e n . D e e s te m o d o , s e p u e d e e s p e r a r q u e e l m o v im ie n to d e l a m a s a rn¡ in flu y a e n e l m o v im ie n to d e l a m a s a m 2 y v ic e v e r s a . L a s e c u a c io n e s ( 5 .1 ) y ( 5 .2 ) s e p u e d e n e s c rib ir e n f o r m a m a tr ic ia l c o m o

[m] x(/) + [c] x ( t )

+ [k]

7 (0 -7 (0

(a)

* i*

i

—

ci*i Resorte sometido a tensión d u ra n te r *.«,

R esorte k 2 sometido a tensión d u ra n te ♦ (x¡ - x¡)

Resorte k ¡ som etido a com presión durante

(b) Figura 5 .5 Sistem a de resorte-m asa-am ortiguador de dos grados de libertad.


(5-3)

C a p ítu lo 5


cbnde [m ], [c ] y [A] se conocen como m a tric e s de m a sa , a m o rtig u a m ie n to y rig id e z, respectiva rante. y se expresan como

■ -> -[: [“ -V

ü «t J

M■[“-V ,A ] y x ( r ) y / (/) son los vecto res de d e sp la za m ie n to y fu e r z a , respectivamente, y se expresan como

« " -t e !} Se ve que [m ], [c ] y (A] son matrices de 2 X 2 cuyos elementos son las masas, coeficientes de amortiguamiento y rigideces conocidos del sistema, respectivamente. Además, se ve que estas ma trices son simétricas, de modo que

[ » f - [« ].

[ c f - [e],

[ t f = [*]

cbnde el superíndice T indica la transpuesta de la matriz. Observe que las ecuaciones de movimiento (5.1) y (5.2) se desacoplan (se vuelven indepen díenles una de otra) sólo cuando c2 = Ai = 0 . lo que implica que las dos masas y m-< no están fisicamcnte conectadas. En ese caso, las matrices [m ], [c ] y [A] se vuelven diagonales. La solución cfc las ecuaciones de movimiento (5.1) y (5.2) con cualesquiera fuerzas arbitrarias/((/) y f j i f ) es cSfícil de obtener, sobe todo por al acoplamiento de las variables x¡(/) y x 2
5 3

A n á lis is d e v ib r a c ió n lib re d e u n s is te m a n o a m o rtig u a d o Para el análisis de vibración libre del sistema que se muestra en la figura 5.5(a), establecemos f ( t ) " / 2(/) - 0. Además, si se omite el amortiguamiento. C| = c2 = c3 = 0. las ecuaciones de mo

vimiento (5.1) y (5.2) se reducen a m i x i ( í ) + (A , + A2) x i { / ) - A2x 2( / ) = 0

( 5 .4 )

m2x2{t) ~

(5 .5 )

* 2 x 1 ( 0 + (A2 +

ky)x2(t)


= 0

53

A n á lisis d e v ib r a ció n lib r e d e un siste m a n o a m o r tig u a d o

437

Nos interesa saber si m, y m 2 pueden oscilar armónicamente con la misma frecuencia y ángulo de fase pero con diferentes amplitudes. Suponiendo que sea posible tener movimiento armónico de m, y m3 a la misma frecuencia co y al mismo ángulo de fase d>, consideramos las soluciones de las ecuaciones (5.4) y (5.5) como *i(/) = X \ eos (cu/ + <¡>) x 2(/ ) ■ X 2 cos(cot + )

(5.6)

donde X t y X j son constantes que indican las amplitudes máximas de.t|(/) y x ^ t ) y <¿cs el ángulo de fase. Sustituyendo la ecuación (5.6) en las ecuaciones (5.4) y (5.5), obtenemos [ { - m ic o 2 + ( * , + * 2) } X , “ *2* 2]c o s (c o / + <£) = 0

[“ *2*1 + { - " » 2W2 + (*2 + * j ) } * 2]cos(cu/ + 4 ) = 0

(5.7)

Dado que la ecuación (5.7) debe satisfacerse para todos los valores del tiempo /, los términos entre paréntesis rectangulares deben ser cero. Esto resulta en { —m ico2 + ( * , + * 2) } X | ~ * 2 * 2 = 0

- * 2X , + { - m 2co2 + (*2 + k , ) } X 2 = 0

(5.8)

las cuales representan dos ecuaciones algebraicas hontogéneas simultáneas en las incógnitas X , y X 2. Se ve que la solución trivial X, = X 2 = 0 satisface la ecuación 5.8, lo que implica que no hay vibradón. Para una solución no trivial de X, y X 3, el determinante de los coefidentes de X, y X2 debe ser cero + {*, + * , »

L

-*2

( m im 2 )co* -

-* j

i

{— m2co2+(*2+*3)}J

{(*| + k 2 ) m 2 + (* 2 + A3)mi}cu2

+ { ( * , + *2)(*2 + *3 ) ~

=0

(5.9)

La ecuadón (5.9) se conoce como e c tuición d e fr e c u e n c ia o ca ra cterística porque su soludón produce las frccucndas o los valores característicos dd sistema. Las raíces de la ecuadón (5.9) están dadas por

h ) " n + (*2 +

2

m im 2

F¿to demuestra que es posible que el sistema tenga una solución armónica no trivial de la forma de la ecuación (5.6) cuando to es igual a io t y andadas por la ecuadón (5.10). Llamamos w, y 2a las fre c u e n c ia s n a tu ra le s del sistema.


438

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d L o s v a lo r e s d e X , y X2 a ú n no s e h a n d e te r m in a d o . E s to s v a lo re s d e p e n d e n d e la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s

y a h . In d ic a re m o s lo s v a lo r e s d e X , Y X 2 c o r re s p o n d ie n te s a
y lo s c o r re s p o n d ie n te s a o n c o in o x / 2* y X 2*2*. A d e m á s , d a d o q u e l a e c u a c ió n ( 5 .8 ) e s h o m o g é n e a . = { x 4 2) / X p * } . P a r a
s5 lo s e p u e d e n d e te r m in a r l a s r e la c io n e s r | = { x l ' t y x / 1*} y y a 2 = m i . l a e c u a c ió n ( 5 .8 ) in d ic a m r'

m -m M X P

- m i r i + ( * 2 + *3)

*2 = " W i t t j + ( * , + k 2)

_ ^

+ ( * t + *2) m __________ *2 _________

XP>

- m 2a t + ( * 2 + *3)

*2

O b s e r v e q u e la s d o s re la c io n e s p a ra c a d a

__________*2__________

r¡ ( i = 1 , 2 ) e n l a e c u a c ió n ( 5 .1 1 ) s o n id é n tic a s . L o s m o

d a s n o r m a le s d e v i b r a c ió n c o r re s p o n d ie n te s a 10} y a ¿ s e p u e d e n e x p re s a r, r e s p e c tiv a m e n te , c o m o

L o s v e c to re s X 1'* y X ,2>. lo s c u a le s in d ic a n lo s m o d o s n o r m a le s d e v ib ra c ió n , s e c o n o c e n c o m o v e c to r e s m o d a le s d e l s is te m a . L a s o lu c ió n d e v i b r a c ió n lib re o e l m o v im ie n to e n e l tie m p o s e p u e d e e x p re s a r, u tiliz a n d o la e c u a c ió n ( 5 .6 ) . c o m o

* " « -

$ : !

-

-

c b n d e la s c o n d ic io n e s in ic ia le s d e te r m in a n l a s c o n s ta n te s

xf' K

-

-

-

X ,( ? ) .<6, y d>2.

C o n d ic io n e s i n ic i a l e s . C o m o s e m e n c io n ó a n te s , c a d a u n a d e la s d o s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to , e c u a c io n e s ( 5 . 1) y ( 5 .2 ) , im p lic a d e r iv a d a s d e s e g u n d o o r d e n ; p o r c o n s ig u ie n te , s e re q u ie re e s p e c i fic a r d o s c o n d ic io n e s in ic ia le s p a r a c a s a m a s a . C o m o s e e s ta b le c ió e n l a s e c c ió n 5 .1 . s e p u e d e h a c e r q u e e l s is te m a v ib re e n s u m o d o n o rm a l ié s im o ( i = 1,2 ) s o m e tié n d o lo a la s c o n d ic io n e s in ic ia le s e sp e c ífic a s * i ( ' = 0 ) = x f ^ = a lg u n a c o n s t a n t e « (1 = 0 ) = r ¡ x f í

. t |( f = 0 ) = 0 . ¿ 2( f = 0 ) = 0

S in e m b a r g o , p a ra c u a le s q u ie r o tr a s c o n d ic io n e s ¡ n i d a l e s , a m b o s m o d o s s e e x r it a r a n . E l m o v i m ie n to re s u lta n te , d a d o p o r la s o lu c ió n g e n e ra l d e la s e c u a c io n e s ( 5 .4 ) y ( 5 .5 ) . s e o b tie n e m e d ia n te u n a s u p e r p o s i d ó n lin e a l d e lo s d o s m o d o s n o rm a le s , e c u a d ó n (5 .1 3 ): 7 (/) =

+

c2 7


(2> ( 0

(5 .1 4 )

5 .3

A n á lisis d e v ib r a ció n lib r e d e u n siste m a n o a m o r tig u a d o

439

donde c x y c2son constantes. Dado que * *''(/) y x ,2>( l ) ya implican las constantes desconocidas X / 1) y x/2) (vea la ecuación (5.13)). podemos escoger c x = c2 = I , sin pérdida de generali dad. Por tanto, los componentes del vector ?(/) se expresan, utilizando la ecuación(5.14) con C! = c2 = 1 y la ecuación (5.13), como *,(/) =

+ x ¡2 \ t ) = X ¡ ^ c o s(tü xt + 2/ + ¿ 2)

x2(t) = x i ' \ t ) + x ? H » = r xX ( l ) cos(
(5-15)

donde las condiciones ¡nidales pueden determinar las constantes incógnitas x / 1) . X p > , «¿, y 2: * ,(/ = 0 ) = x ,(0 ).

*,(/ = 0) = ¿ ,(0 ).

x i ( t = 0 ) = x2(0 ),

¿2(/ = 0 ) = ¿2(0 )

(5.16)

La sustitudón de la ecuadón (5.16) en la ecuación (5.15) conduce a x i ( 0 ) = x /^c o s < î + x / 2' eos «fe ¿ ,( 0 ) = - « j X p * s e n ^ , -

t ^ X p 1s e n ^

x2(0 ) = ^ x / 1' eos «ó, + r2x j 2 ) cos2 ¿2(0) = -t u ir iX p 's e n ^ i - «u2/2x P ) sentfc

(5.17)

la ecuación (5.17) se puede considerar como cuatro ecuaciones algebraicas en las incógnitas X p ) eos <¿,. X p *eos «fc. X ( 1*sen t/>, y X / 2) sen 2. La soludón de la ecuación (5.17) se expresa como m

ÍV | (0 )-« (0 )1

,

X f )e 0 ,+ y ll)

= 1

.

^

- r,

í - r , X | ( 0 ) + x 2( 0 ) l X l >C° S ^

/•

í “ r 2 ¿ l( 0 ) + ¿ 2 ( 0 ) 1

Xf

= i

^

- 0

)

p.

}'

---------- ]

= \ ----------^

í n ¿ l ( 0 ) - ¿ 2 (0 )1

*' C

>

- „ )

■ 1

a p a r tir d e l a s c u a le s o b te n e m o s l a s o lu c ió n d e s e a d a :

*,<'> = [ { ^ " c o s * , } 2 + ) X f , W l (n * i(o ) -

l } 2] 1/2

,m .2 . *2( 0 ) } 2 + —

( r ¡ - >1 )

+ « ( 0 ) } 2 1 I/2 •?

- [ { * ) » c o . * 1} » + { X f « « M I )*]V»

( r2 — r l ) L = tlu . - J * í l > s c n M

1

\x P > c o s < M í X,<2>scn¿2 1 lx P > c o s * J

' =

« i f

- r ? ¿ i ( 0 ) + ¿ 2 (0 ) 1

l w ^ i ( 0 ) - -»2(0)]J ,í

ri¿,(0 ) - ¿2(0)

1

l « 2 [ - n * i ( 0 ) + x2(0 )]J


}

440

C a p ítu lo 5

E j e m p l o 5 .1


F r e c u e n c ia s d e u n s is te m a d e r e s o r t e -m a s a Encuentre las frecuencias naturales y form as d e m odo d e un sistem a d e resorte-m asa que se m uestra e n la figura 5 .6 , e l c u a l está restringido p ara m overse sólo e n la dirección vertical. C onsidere n = I. S olución: S i m edim os x , y respecto a las posicio n es d e equ ilib rio estático d e la s m asas m l y m j, respecti vam ente. las ecuaciones d e m ovim iento y la solución obtenida p ara e l sistem a d e la figura 5 .5 (a ) tam bién son aplicables a este caso si sustituim os m , = 42 = 4 , “ 4. P o r lo tanto, la s ecuaciones d e m o v i m iento. ecuaciones (5 .4 ) y (5.5). son resultado de m i ) + 2k x \ ~ k x ¡ = 0

m x 2 - kx i + 24*2 = 0

( E l)

•*i(0 = *iC os(a»f + « » ; / = 1 .2

(E .2)

Suponiendo u n a solución arm ónica com o

h ecuación tfc frecuencia se o b tie n e sustituyendo la ecu ació n (E 2 ) e n la ecu ació n ( E 1): < - m a ,? + 2 4 ) (“ *)

(-4 ) ( - m a , J + 24)

o m V - 4 4 m o r + 34^ = 0

(E .3)

La solución d e la ecuación (E .3 ) proporciona las frecuencias naturales Í4 4 m - [164V

-

-

= { ------------------- £ ? ------------------- }

¡T

= V=

T * t( 0

T xAO

4,-4 m

m

Figura 5 .6 Sistem a d e dos grados d e libertad.


(E 4 )

5 .3


441

!>: acuerdo c o n la ecu ació n (5.11) las relaciones d e am plitud resultan de -n u o } + 2k

_ r'

*

*

x fl}

*

-itia>? + 2 *

X ?>

-m a A + 2k

k

x p

*

= 1

(E.6)

= - 1

(E.7)

m a ¿ + 2k

L os m o d o s naturales resultan d e la ecuación (5.13):

Prim er m odo

= x1' 1 ( l ) =

(E.8)

X 1(2)C0S(

+ ti

Segundo m odo = x(2) ( / ) =

■)

(E.9)

E n la ecuación (E .8 ) se ve que cuando el sistem a v ib ra e n su prim er m odo, las am plitudes d e las d o s m asas no cam b ian . Esto im plica que la longitud d e resorte m edio perm anezca constante. P o r lo tanto, los m ovim ientos d e m , y m , e stán en fase (vea la figura 5.7(a)). Cuando e l sistema vibra e n su segundo m odo, la ecuación (E 9 ) m uestra q u e los desplazam ientos de la s d o s m asas tienen la m isma m agnitud con signos opuestos. P o r lo tan to. los m ovim ientos d e m , y m 3 e stán desfasados 180° (v ea la figura 5.7(b)). E n este caso e l p u n to m edio del resorte m edio perm anece estacionario todo e l tiem po t. Tal punto se d e n o m in a nado. Utilizando la ecuación (5.15) e l m ovim iento (solución g e n era l) del sistem a se expresa com o

*J(0 =

+

x 2( l ) = X / ' J e o s ^ ^ / + ^

+ * ^ >C08( V n i r + -

x \ 2' c o s ( ^ ^ i +

F ig u ra 5 . 7 Modo d e vibración.


(E .I0 )

442

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d Nota: S e ve que e l cálculo d e las frecuencias naturales y form as de m odo e s laborioso y tedioso. S e pueden utilizar program as de com p u tad o ra d e form a co nveniente para e l cálculo num érico d e las frecuencias naturales y form as de m odo d e sistem as de varios grados d e libertad ( v e a la sección 5.12).

E je m p lo 5.2

C o n d ic io n e s inicia le s p a ra e x c ita r un m o d o e sp e cífico B icuentrc las condiciones iniciales q u e necesitan aplicarse al sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5 .6 para que vibre (a ) e n e l p rim er m odo, y (b ) e n e l segundo m odo. Solución: M étodo; E specifique la solución q u e se o btendrá p ara e l prim er o segunda m odo a p artir d e la solución general cu c o n d icio n es iniciales arbitrarias y resuelva las ecuaciones resultantes. Rira c o n d icio n es iniciales arbitrarias, la ecuación (5.15) d escribe e l m ovim iento d e las m asas. E n este caso, r , ~ l , r 2 “ - 1 d e m odo q u e la ecu ació n (5 .1 5 ) se reduce a la ecu ació n ( E 10) d e l ejem plo 5.1:

* l(0 =

+

* 2 (0 = X ^ c o s ^ * / +

+

X|!2lcos( V ? í + *2)

-

X, <2) c

o

s

+ *2^

(E l)

Suponiendo las condiciones iniciales c o m o en la ecuación (5.16), la s c onstantes X t l y tf>2sc o btiervn p o r la ecu ació n (5,18), aplicando r , " 1 y r2 m —1: 1/2

*> < ”

=

+

* 2 <0 ) ] 3

+

=

[ i, ( 0 )

+

«

( 0 ) 1=1

x,<2> = - j { [ - x , ( o ) + « ( o » 1 + = i « ( o ) - i ^ o i r - } 1' ’ u 1 ^

= “

a.

, f - y ^ [ « ( 0 ) + « (0 )1 1 1

V » ( ,,( 0 ) + « (0 )1

I

t

V ^ [ i.( 0 ) - « ( 0 ) 1

|

(E .2)

(E 3 )

(E .4)

< E 5)

I V 3 k [-« (0 ) + « (0 )1 /

La ecu ació n ( E 8 ) d e l ejem plo 5 . 1 d a el prim er m odo norm al d e l sistema

(E.6)

-" > (« ) =

La com paración d e las ecu acio n es (E. 1) y ( E 6 ) m uestra q u e e l m ovim iento d e l sistem a es idéntico a l del prin t r m odo norm al sólo si X / 2* = 0 . Esto requiere q u e (a partir d e la ecuación E 3 )

* j( 0) = * 2(0)

y

¿ i( 0) = ¿ 2( 0)


5 .3 b.


443

La ecuación ( E 9 ) d c l ejem plo 5.1 proporciona el segundo m odo norm al d e l sistem a:

(E .8 )

l a com paración d e las ecu acio n es (F . I ) y (E .8) m uestra que el m ovim iento d e l sistem a coincide con e l segun do m odo norm al sólo si X / 1* = 0 . Esto im plica q u e (a partir d e la ecuación E 2 ) * » (0 ) = - * 2(0 )

E je m p lo 5.3

(E.9)

i . ( 0 ) = “ ¿ 2 (0 )

R e sp u e sta d e v ib ra c ió n lib re d e u n sis te m a d e d o s g ra d o s d e libe rta d E ncuentre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 5 .5 (a ) c o n A, = 3 0 . k 2 = 5. A, » 0. m i » 10. m 2 = 1 y C| - c2 » c j “ 0 pora las condiciones iniciales *i(0 ) - 1. ¿ | (0 ) ■ * ^ 0 ) « ¿ 2(0) - 0. S olución: Para los d a to s d a te s , el problem a d e v a lo r eigen. ecuación (5.8). s e vuelve

—m\a>' + A| + A2

— A2

“ A?

- m 2io

Si hacem os q u e e l detenninante d e la m atriz d e coeficientes e n la ecuación (E . I ) se a igual a c ero , obtenem os la ecu ació n d e frecuencia (v ea la ecuación (5.9)): Kku4 - 85*¿ + 150 = 0

(R 2 )

a p artir d e la cual se pueden e n co n trar las frecuencias naturales como «*? = 1 5 ,

a>| = 1.5811.

= 6.0

a>2 = 2.4495

La sustitución d e o ? = tof = 2 .5 e n la e c u a c ió n ( E .l) c o « iu c c a X2(l) = 2 * i(! ).m ien tra s q u e ai2 =

(E 3 )

= 6.0

en la ecu ació n ( E l ) resulta X ¿ 21 = - 5 X | <3,.P o r lo tanto, los m odos norm ales (o vectores cigcn) se expresan com o


444

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d Las respuestas d e vibración libre d e las m asas m , y m : e stán d a d as por (v ea la ecuación (5.15)): x , ( / ) = x / ' ) c o s ( 1.5811/ + <*>,) + X

eos (2 .4 4 9 5 / +
* 2 ( 0 = 2 X f ‘) c o s ( I .5811/ + ,) - 5X}2' e o s (2.4495/ +

(E 6 ) (E .7)

d in d e X,{l), X,(2*, , y «fo.son constantes q u e s e tienen q u e d eterm inar a p artir d e las c o n d icio n es iniciales. Utilizando las condiciones iniciales d a d as en las ecuaciones (E.6) y (E .7), obtenem os X| , J ) C O S l ¿ 2

(E .8)

*’ ( / = 0 ) = 0 = 2 X (, ) cos
(E .9)

X ,(/ =

0 )

=

1

=

x ,(/ = 0 ) = 0 =

X ( ' ' COS 0 i

+

-1 .5 8 1 l x / ‘> s e n 0 , - 1 4 4 9 5 X /2» s e n ^

i 2( / = 0 ) = - 3 .l 6 2 2 X f ‘> + l2 .2 4 7 5 X |2>sen2

(E.10) (E.11)

l a solución d e las ecu acio n es (E .8) y < E 9) produce

X / *^ eos 4*i= zj,

x / 2^ e o s 4>!

= zj

( E l 2)

=0

( E l 3)

o í tanto la so lu ció n d e las ecuaciones (E . 10) y ( E 1 1) conduce a X,*1^scn<¿; = 0 ,

x / 2 )« n « fc

Las ecuaciones (E . 12) y ( E 1 3) proporcionan

X Í» = £

x { 2^ = zj,

<¡>¡ = 0,

« fc = 0

(E I4 )

Fbr lo tanto, las respuestas d e vibración libre d e m , y m2 e stán dadas por

* i ( 0 = | c o s 1.5811/ + zj e o s 2 .4 4 9 5 /

* 2 ( 0 = ~ e o s 1.5811/ - y

e o s 2 .4 4 9 5 /

(E I5 )

(E .I6 )

La representación gráfica d e las ecu acio n es ( E 15) y ( E l 6 ) se considera e n el ejem plo 5.17.

El

S is te m a to rs io n a l C b n s id e re u n s is te m a to rs io n a l c o m p u e s to d e d o s d is c o s m o n ta d o s e n u n a fle c h a , c o m o s e m u e s tra a i l a fig u ra 5 .8 . L o s tre s s e g m e n to s d e la fle c h a tie n e n c o n s ta n te s d e r e s o r te ro ta c io n a le s k t l . k a y kf^, c o m o s e in d ic a e n la f ig u r a . T a m b ié n s e m u e s tra n lo s d is c o s y m o m e n to s d e in e rc ia d e m a s a 7 , y 72, l o s p a re s d e t o ts ió n a p lic a d o s M tX y M ,2 y lo s g r a d o s d e lib e r ta d r o ta c io n a le s 0 , y 02. L a s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e m o v im ie n to ro ta c io n a l p a ra lo s d is c o s 7, y 7 , s e d e r iv a n c o m o 7 , 0 , = - * „ 0 , 4- *,2( 0 2 - 0 , ) + M n h * l = - k l2 (e 2 -

0 , ) - k ,30 2 + M ñ


5.4

S is t e m a to r s io n a l

445

q u e d e s p u é s d e rc o rd c n a r la s s e e s c r ib e n c o m o J \Ó \ + (A ,| + * ,2 )0 | - A,202 = 4 f,| k l2e t + ( k * + *,3)02 -

7202 -

Ma

(5 .1 9 )

P a r a e l a n á lis is d e v ib r a c ió n l ib r e d e l s is te m a , l a e c u a c ió n ( 5 .1 9 ) s e r e d u c e a

J fi\

+ (* /i +

J7 B 2 -

kn )e x - kl 2d 2 = o

k l2e , + (A ,2 + Ai3) 0 2 -

0

( 5 .2 0 )

O b s e rv e q u e l a e c u a c ió n (5 .2 0 ) e s s e m e ja n te a la s e c u a c io n e s (5 .4 ) y (5 .5 ). D e h e c h o , l a e c u a c ió n (5 .2 0 ) s e p u e d e o b ten e r su s titu y e n d o 0 , , 02. J x, J 2. A ,,. A¿, y A,3 e n lu g a r d e x x, x 2, m ,. m 2. A ,. A2 y A3. re s p e c tiv a m e n te . P o r l o ta n to , e l a n á lis is p re s e n ta d o e n l a s e c c ió n 5 .3 ta m b ié n e s a p lic a b le a s is te m a s to rs io n a le s c o n su s titu c io n e s a p ro p ia d a s . L o s d o s e je m p lo s sig u ie n te s ilu s tra n e l p ro c e d im ie n to .

w,((0) ( ® V ! F ig u ra 5 .8 S istem a to rsio n al con discos m o n ta d o s en u n a flecha.

(b )

E je m p lo 5 .4

F re c u e n c ia s n a tu ra le s d e un sis te m a to rs io n a l E ncuentre las frecuencias naturales y form as d e m odo p ara e l sistem a torsional q u e se m uestra en la figura 5.9 p ara J x = 7> J2 ■ 2J0 y *,1 - kn = kr S o lu c ió n : La ecu ació n diferencial d e m ovim iento, ecu ació n (5.20). se reduce a (con k ¿ - 0. J , = J i)y J 2 = 2 J 0 ).

■ Af, ■- kr

V . + 2*/>, - k fi2 = 0 2J0é 2 - k fi , + A A = 0

(E l)

R eordenando y sustituyendo la solución arm ónica 0 ,(0 = 0 , c o s H

+ ¿ );

,=

1 .2

(E.2)

re su lta la ecu a c ió n d e fre c u e n c ia 2 a> *Jl

- 5 a rJo k,

+ A? = 0


(E 3 )

446

C a p ítu lo 5


F ig u ra 5 .9 S iste m a torsional.

La solución d e la ecuación (E .3 ) proporciona las frecuencias naturales

" i = N/ ^ ( 5 - V '¡ 7 )

y

«, - ^

( * +

V T 7)

Las relaciones d e am plitud son

'■

_ e í» _

( 5 - V i? )

e ," i

<

— —

(s + V n )

«e5>

Las ecuaciones (E .4) y (E .5) tam bién s e pueden o b ten e r sustituyendo * | = ktl - k,. k2 - k,¡ — kr m t = J , = J0. m , - 7 , 2J0 y *3 - 0 e n las ecuaciones (5.10) y (5.11).

N o ta : P a ra u n s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e rta d , l a s d o s f r e c u e n c ia s

y

n o s o n ig u a le s a c u a l

q u ie ra d e la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s d e lo s s is te m a s d e d o s g r a d o s d e lib e rta d c o n s tru id o s c o n los m is m o s c o m p o n e n te s . E n e l e je m p lo 5 .4 lo s s is te m a s d e u n s o lo g ra d o d e lib e r ta d

y 7,

y *-2y h

x c o m b in a n p a r a o b te n e r e l s is te m a q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 5 .9 . S e v e q u e io t y o>2 s o n d if e r e n fcs d e ¿i] y <¿2 ■

E je m p lo 5.5

F re c u e n c ia s n a tu ra le s d e la hélice d e u n m o t o r m a rin o E n la figura 5 .10(a) se m uestra el d iag ram a d e un m otor m arino conectado a u n a hélice por m edio d e engranes. L os m om entos d e inercia d e m asa del volante, m otor, engrane I . engrane 2 y la hélice (en kg-m 2)s o n 9 0 0 0 , 1000, 250, 150 y 2 0 0 0 , respectivam ente. Encuentre las frecuencias naturales y form as d e m odo del sistem a som etido a vibración torsional.


5.4

S is t e m a to r s io n a l

447

Solución iM étodo: Encuentre los m om entos de inercia d e m asa equivalentes d e todos los rotores con respecto a un rotor y u tilice un m odelo d e d o s grados d e libertad. Supuestos: 1. S e puede considerar q u e e l volante está estacionario (fijo), puesto que su m om ento d e inercia d e m asa es m uy grande com parado c o n e l d e los d em ás rotores. 2.EI m otor y los engranes pueden ser reem plazados por un solo ro to r equivalente. E bdo que los en g ran es I y 2 tienen 4 0 y 20 dientes, la fleclia g ira a d o s veces la velocidad de la fled ia I . Por b tanto, los m om entos d e inercia de m asa d e l engrane 2 y la hc'licc, con respecto al m otor, son (J 02U = ( 2 )2(1 * > )

= O 0 k g -* n 2

(■M «, = ( 2 ) 2(2 0 0 0 ) = 8 0 0 0 k g V Ya q u e la distancia entre e l m otar y la unidad tfc engranes es pequeña, e l m otor y los d o s engranes pueden ser reem plazados p o r un solo rotor con un m om ento d e inercia d e m asa de = JE + JG1 + {Jc2)cq = 1000 + 250 + 600 =

1850 kg-m ?

Suponiendo un m ódulo de cortante d e 8 0 X 109 N/m: para acero, la rigidez torsional d e las flechas I y 2 se determ ina com o

M o to r

Engrane 1,40 dientes H é lic e

Flecha de acero 2 de 0.15 m de diám etro

7^1 :

-Ü

M

-

M M • 1 .0 m -

V b la n te

Engranc 2,20 d ientes

(a)

(b) Figura 5 .1 0 S iste m a d e h é lic e d e m o t o r m a r in o .


'

C a p ítu lo 5


C / 01 *-■ = —

G Ív d \\

(80 x lC P )(ir)(0 .1 0 )4 --------- ( 5 5 ) ( 5 ) ------------- 981.750.0 N -m /rad

G l02

G ( T T d \\

(80 X 109)(w )(0 .1 5 )4

* - = I T

= ---------- (T 5 h 5 ) -------- -= l w

=

, 7 i “

Ltodo q u e la longitud d e la flecha 2 no es insignificante, se supone que la hc'licc es un rotor conectado a l extrem o tfc la flecha 2. P o r lo tanto, e l sistem a s e puede representar c o m o un sistem a torsional d e (tos grados d e liber tad. c o m o se indica e n la figura 5 . 10
,

,

1 í (* n + * a ) h + k a A \

[ í( * .i + k c ) h + k n A \ 2

ni

í(* n + * * )k a - t í l l ' / »

)" i

JJ

'i*

( (* « !+ * » ) 1

27,

2 7 ,/

R icslo que (* n + k g ) 27,

kn

(98.1750 + 397.6087) x IQ4

397.6087 X 10*

2 x 1850

2 X 8000

+ 27,

~ +

= 1588.46

A„A,2 7

7

(98.1750 X IO4) (397.6087 X I04) ------------------ (1 (9 0 ) (8 0 0 0 )

26-375° X ' 0

La ecu ació n (E . 1) resulta «iÍ.oi? = 1588.46 ± ((1588.46)2 - 26.3750 X 104] 1' 2 = 1588.46 ± 1503.1483 P o r lo tanto o>t = 85.3117

o

w , = 9.2364 rad/s

a>l = 3091.6083

o

a>, = 55.6022 rad/s


= 7 , en la

5 .5

A c o p la m ie n to d e c o o r d e n a d a s y c o o r d e n a d a s p r in c ip a le s

k 2 = ka , * , - 0 . m¡ = 7, y m 2 “ A e n la ecuación ( 5 .1 1)

Para la s form as d e m odo, se establece q u e *, = para o btener - 7 , cu? +

(* „

+

449

* ,2 )

H = -----*f2 - ( 1 8 5 0 ) (85.3117) + (495.7837 X 104) = 1.2072 397.6087

X 104

+ ( * , i + * ,2 )

5 ------------ ( 1 8 5 0 ) (3091.6083) + (495.7837 X I 0 4) =

= - 0 .1 9 1 6 397.6087

X 104

Por lo tanto, las form as d e mock) s e determ inan a p artir de una ecu ació n sem ejante a la ecuación (5 .1 2 ) com o

( — V o - { - 1 = - L l« !j

(0 2 Í

5.5

W

1.2072

\n í

-0 .1 9 1 6

A c o p l a m ie n t o d e c o o r d e n a d a s y c o o r d e n a d a s p rin c ip a le s C o m o p r e v ia m e n te s e m e n c io n ó , un s is te m a d e n g ra d o s d e lib e r ta d r e q u ie r e n c o o r d e n a d a s i n d e p e n d ie n te s p a r a d e s c r ib ir s u c o n f ig u r a c ió n . P b r lo c o m ú n , e s ta s c o o rd e n a d a s s o n c a n tid a d e s g e o m é tr ic a s in d e p e n d ie n te s m e d id a s c o n r e s p e c to a la p o s ic ió n d e e q u ilib r io d e l c u e r p o v ib ra to rio . S in e m b a r g o , e s p o s i b l e s e le c c io n a r a lg ú n o tr o c o n ju n to d e n c o o rd e n a d a s p a ra d e s c rib ir l a c o n f ig u r a c ió n d e l s is te m a . E l s e g u n d o c o n ju n to p u e d e s e r , p o r e je m p lo , d if e r e n te d e l p rim e ro e n q u e l a s c o o rd e n a d a s p u e d e n t e n e r s u o r ig e n a le ja d o d e l a p o s ic ió n d e e q u ilib rio d e l c u e r p o . P ó d r ia h a b e r o tro s c o n ju n to s d e c o o r d e n a d a s p a ra d e s c rib ir l a c o n f ig u r a c ió n d e l s is te m a . C a d a u n o d e e s t o s c o n ju n to s d e n c o o r d e n a d a s s e c o n o c e c o m o c o o r d e n a d a s n e n e m l i z a d a s . C o m o u n e je m p lo , c o n s id e r e e l to m o q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 5.11 ( a ) . P o r s e n c ille z , e l t o r no p u e d e s e r r e e m p la z a d o p o r u n a v ig a e lá s tic a s o p o r ta d a p o r c o lu m n a s e lá s tic a s c o i l a s , y t a n t o e l c a b e z a l f i jo c o m o e l m ó v il p u e d e n s e r re e m p la z a d o s p o r d o s m a s a s c o n c e n tra d a s c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 5.11 ( b ) . E l m o d e la d o d e l to m o c o m o u n s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d s e in d ic ó e n la s e c c ió n 5 .1 . C o m o s e m u e s tra e n l a s f ig u ra s 5 .1 2 (a ) y ( b ) , c u a lq u ie r a d e l o s s ig u ie n te s c o n ju n to s d e c o o r d e n a d a s s e p u e d e u tiliz a r p a r a d e s c rib ir e l m o v im ie n to d e e s t e s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e rta d :


C a p ítu lo 5


C abezal

P u n ta

F ig u ra 5 .1 1 T o m o . (F otografía co rte sía d e S o u th Betxl L athe Corp.).

1. D e f le x io n e s * |( / ) y x ¿ t ) d e los d o s e x ir e m o s d e l t o r n o A fí. 2 . D e fle x ió n x ( t) d e l C .G . y r o ta c ió n ff(r). 3 . D e fle x ió n x ,( / ) d e l e x tr e m o A y ro ta c ió n 0(r). 4 . D e fle x ió n y( / ) d e l p u n to P lo c a liz a d o a u n a d is ta n c ia c a l a iz q u ie rd a d e l C .G . y ro ta c ió n 0{i). ft> r lo ta n to , c u a lq u ie r c o n ju n to d e c o o r d e n a d a s c o m o ( x , , x2) . (* . 0 ) . ( * i. ®) y (y . # ) r e p re s e n ta las c o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s d e l s is te m a . A h o r a d e riv a r e m o s la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e l to m o p o r m e d io d e d o s c o n ju n to s d e c o o id c n a d a s d if e r e n te s p a r a ilu s tr a r e l c o n c e p to d e a c o p la m ie n to d e c o o rd e n a d a s .

(a) A


B

5 .5


451

E cu a cio n es d e m o vim ien to utilizando>x ( t ) y 0 (t). De acuerdo con el diagrama que se muestra en la figura 5.12(a). con los valores positivos de las variables de movimiento indicados, la ecuación de equilibrio de fuer/as en la dirección vertical se escribe como

(5.21)

m x = - * i ( * “ W ) ~ ki( * + h e )

y la ecuación de momento con respecto al C .G . se expresa como

V

= k t( x - /,«)/, -

k 2( x + M ) l 2

(5.22)

Las ecuaciones (5.21) y (5.22) se reordenan y escriben en forma matricial como - * 2/2 ) 1 M

+M§)J \*J (5.23)

Se ve que cada una de estas ecuaciones contiene x y 6 . Si el termino de acoplamiento (*|/, k 2l2) e s igual acero, es decir, si A|/, = k 2l 2,se vuelven independientes entre sí. Si *,/, # k 2l 2,el movi miento resultante del tomo A B es tanto traslacional como rotacional cuando se aplica o un desplazamientoo un par de torsión a través del C.G.dclcucrpocomocondicióninicial. En otras palabras.el tomo gira en el plano vertical y también tiene movimiento vertical a menos que k {lx = k 2l2. Esto se conoce como a c o p la m ien to e lá s tic o o está tico . E cu a cio n es de m o v im ie n to u tiliza n d o y{¡) y 0 (t). De acuerdo con la figura 5.l2(b), donde y(f) y 0{t)

se utilizan como las coordenadas generalizadas del sistema, las ecuaciones de movimiento para traslación y rotación se escriben como my = - * , ( > - l[ 6 ) - k 2( y + /tf) - m e é

JP'Ó =

* t(> -

l\e )l\

- *2(y +

IW i ~

m y

(5.24)

Estas ecuaciones se reordenan y escriben en forma matricial co n »

r *

« e ] M

\m e

Jp ] [ Ó ¡

. r

(*. + *2 )

L (-M ; + M 2)

fo" .0

(* ¿ 2

- mí) 1 w

(M i2 + M 22) J W

(5.25)

Las dos ecuaciones de movimiento representadas por la ecuación (5.25) contienen y y 0. de modo que son ecuaciones acopladas. Contienen términos de acoplamiento tanto estáticos (o elásticos) como dinámicos (o masa). Si k ¡ l\ = k ^ 2,c \ sistema tendrá a co p la m ie n to d in á m ic o o de inercia únicamente. En este caso, si el tomo se sube y baja en la dirección y . la fuerza de inercia m y ,1a cual actúa a través del centro de gravedad del cuerpo, induce un movimiento en la dirección 0 , gracias al momento m 'y e . Asimismo, un movimiento en la dirección 0 induce un movimiento en el tomo en la dirección y debido a la fuerza m eO . Observe las siguientes características de estos sistemas:


452

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d 1 . E n l a m a y o ría d e lo s c a s o s , u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o d e d o s g r a d o s d e lib e rta d tie n e e c u a c io n e s d e m o v im ie n to e n l a s ig u ie n te fo rm a :

« u

« 12

«12

«22

{y *f c . } {y *[i: d {y ■w •»

E s ta e c u a c ió n re v e la e l t ip o d e a c o p la m ie n to a c tu a l. S i l a m a tr iz d e r ig id e z n o e s d ia g o n a l, e l siste m a tie n e a c o p la m ie n to c lá s tic o o e s tá tic o . S i l a m a triz d e a m o rtig u a m ie n to n o es d ia g o n a l e l s is te m a tie n e a c o p la m ie n to d e a m o rtig u a m ie n to o d e v e lo c id a d . F in a lm e n te , si l a m a triz d e m a s a n o e s d ia g o n a l, e l s is te m a tie n e a c o p la m ie n to d e m a s a o in c r c ia l. T a n to e l a c o p la m ie n to d e v e lo c id a d c o m o d e m a s a q u e d a n b a jo e l e n c a b e z a d o d e a c o p la m ie n to d in á m ic o . 2 . E l s is te m a v ib r a d e fo rm a n a tu ra l in d e p e n d ie n te m e n te d e l a s c o o r d e n a d a s q u e s e u tilic e n . L a s e le c c ió n d e l a s c o o rd e n a d a s e s u n a m e ra c o n v e n ie n c ia . 3 . D e a c u e r d o c o n l a s e c u a c io n e s ( 5 .2 3 ) y ( 5 .2 5 ) . e s t á c la r o q u e la n a tu r a le z a d e l a c o p la m ie n to d e p e n d e d e l a s c o o r d e n a d a s u tiliz a d a s y n o e s u n a p ro p ie d a d in h e r e n te d e l s is te m a . E s p o s ib le s e le c c io n a r un s is te m a d e c o o r d e n a d a s
E je m p lo 5.6

C o o rd e n a d a s p rin c ip a le s d e u n sis te m a d e re s o rte -m a s a E xterm ine las coordenadas principales d e l sistem a d e resorte-m asa que se m uestra e n la figura 5.6. Solución M étodo: Defina d o s soluciones independientes com o coordenadas principales y expréselas en función d e las soluciones x ,(r) y Xj(í). La ecu ació n (E. 10) d e l ejem plo 5.1 proporciona e l m ovim iento general d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 5.6:

* , ( f ) = B , c o s ^ ^ / + «fcj +

* 2 ( 0 = B\ cos( ^

ib n d c fl, = x / ' \ B j = X ,(2). <*>, y <£(/) d e m oda que

, +

^

+ * 2)

son constantes. D efinim os u n nuevo sistem a d e coordenadas q ,(t) y

<

7

q 2( r) =

,

(

c

0

=

*

o


(

E

.

2

)

5 .5


453

Puesto q u e
]
= 0

(E.3)

Estas ecuaciones representan un sistem a de dos grados d e libertad cuyas frecuencias naturales so n w , = Z k / m y = y / i k / m . C om o no hay ni acoplam iento estático ni acoplam iento dinám ico en las ecuaciones d e m ovi m iento.
(E.4)

La solución d e la s ecu acio n es ( E 4 ) resulta en las coordenadas principales: «7.(0 = j [ * . ( 0 + *2(01 «72(0 = ^ [ * i ( 0 - * 2 (0 1

(E.5)

■ E je m p lo 5 .7

F re c u e n c ia s y m o d o s d e un a u to m ó v il Determ ine las frecuencias d e cabeceo (m ovim iento angular) y rebote (m ovim iento lineal hacia arriba y hacia abajo) y la ubicación d e los cen tro s de oscilación (nodos) d e un autom óvil por los siguientes d a to s (vea la figura 5.13): M a sa
Rebote

Referencia F ig u ra 5 .1 3 M ovim ientos de cabeceo y rebote de u n autom óvil.

'O bserve que

q

+

a>'q — 0

proporciona la ecuación d e m ovimiento correspondiente a la solución q =


B cosíaif + \

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d S olución: S i x y 0 se utilizan com o coordenadas independientes, la ecuación <5.23) p roporciona las e c u a d o re s d e m ovim iento c o n * , = kp k¿ = k , y J0 = m r Para la vibración libre suponem os una so lu d ó n arm ónica: x ( i ) = X e o s (w i + ),

B ( / ) = 0 cos(ü»f + 4>)

( E l)

A plican te las ecu acio n es ( E l ) y (5.23), obtenem os

I ( - n u o 2 + kf + *,) [

( - k f /| + k,¡2 )

l-kfh + krh )

=

( - J o to 7 + k f í \ + k r í { ) J | 0 j

{F 2 ) \0 )

ft)r los d a to s cono cid o s, la ecu ació n (E 2 ) s e escribe com o f~ ( —1000o»? + 4 0 ,0 0 0 ) 15.000

15.000

1J*1 = M

(-810o*2 + 67.500) J \ 0 j

|0 j

a partir d e la cual se puede d e riv a r la ecu ació n d e frecuencia: 8 .1 a / - 999w - + 24.750 = 0

(E 4 )

l a s frecuencias naturales se pueden encontrar según la ecuación (F.4): o», = 5.8593 rad/s.

= 9.4341 ra d /s

(E 5 )

Con estos valores, la relación d e am plitudes se puede e n c o n tra r utilizando la ecuación (E 3 ): X<‘>

x w

p

r

03061

(E 6 )

Los n o d o s se localizan observando que la tangente d e un án g u lo pequeflo e s aproxim adam ente igual a l á n gulo m ism o. P o r lo tanto, d e acuerdo c o n la fig u ra 5.14. vem os q u e la distancia e n tre e l C .G . y el nodo e s de - 2 6 4 6 1 m p ara w , y d e 0.3061 m p ara o*j. L a s form as d e m odo se indican por m edio d e líneas d e ra y as en b fig u ra 5 .14.

03061

Figura 5 .1 4 Formas de m odo de un autom óvil.


5 .6

5.6

A n á lis is d e v ib r a c ió n forzad a

455

A n á lis is d e v ib ra c ió n f o rz a d a Las ecuaciones de movimiento de un sistema general de dos grados de libertad sometido a fuerzas externas se escriben como

m

n

m,2

m

12

M * fe z M

m 22

(5.27)

Se ve que las ecuaciones (5.1) y (5.2) son casos especiales de la ecuación (5.27). con mn y m ,, = 0. Consideremos que las fuerzas externas sean armónicas:

m ,.

m 22 =

F j ( t ) = F jo e* * ,

>=1.2

(5.28)

donde
1 .2

x j(t) = X / ~ ,

donde X x y X 2 son. por lo general, cantidades complejas que dependen de tu y los parámetros del sistema. La sustitución de las ecuaciones (5.28) y (5.29) en la ecuación (5.27) conduce a ( —o r m , , + iütcu + * „ ) ( - w 2m ,

2+¡ lo e n +* 12)

( - ú ) 2m n + i « r , 2 + * l2) 1

íx ,l

+io>c22 +*22) J l**/

(-< ^ « 22

(5.30)

■ te l Como en la sección 3.5. definimos la impedancia mecánica Z M (mu) como z s Á ito ) =

+ * * ,.

r , s = 1 ,2

(5.31)

Y escribimos la ecuación (5.30) como

[Z(Uo)]X = ? 0 donde

Matriz de impedancia


(5.32)

456

C a p ítu lo 5


La ecuación (5.32) se puede resolver para obtener X = [Z ( ,• » ) ] - ' ? „

(5 .3 3 )

tfonde la inversa de la matriz de impedanciaestá dada por

r

z a < o \r' =

l-

____________ ____________ [” z » ( » « )

-z e M ]

Z \ l ( iü>)Z 22(ito ) - Z i 2 ( í w ) L “ Z | 2(l
534

Z n ( ic tí) J

las ecuaciones (5.33) y (5.34) conducen a la solución Z 2 2 (ia t)F l0 Z „

MZnito)

Z l2(i)F2o ~

A iM

— Z , 2(¿ft>)F|o + Z ,i(i< o )F 2o

2

Zn(ia»)Z22(jid) - Z ¡ 2(¡a>)

Si sustituimos la ecuación (5.35) en la ecuación (5.29) podemos hallar la solución completa, x,(/) y x 2(r).

H análisis de un sistema de dos grados de libertad utilizado como amortiguador de vibración se ha proporcionado en la sección 8.11. La referencia [5.4] se ocupa de la respuesta de impacto de un sistema de dos grados de libertad, mientras que la referencia [5.5] considera la respuesta de estado estable bajo excitación armónica.

E je m p lo 5.8

R e sp ue sta d e e s ta d o e s ta b le d e u n s is te m a d e re s o rte -m a s a Encuentre la respuesta de e stad o estable d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 5.15 cu an d o la m asa m , es excitada por la fuerza F ,( l) - Fl0 eos o*. A dem ás, trace su c u n a d e respuesta d e frecuencia. S olución: L as ecuaciones d e m ovim iento d e l sistem a se pueden ex p resar com o

;

:]{£ }* [”

i ‘]f e }■ {" ■ " " }

La com paración d e la ecu ació n (E .1) c o n la ecuación (5 2 7 > m uestra que m n = m 22 = m< *11 = *32 = 2*.

m \2 = 0. *12 = - * .

c u = C|2 = e a = 0, *i = Fio eos «oí,

*2 = 0

Suponem os que la so lu ció n e s c o m o sigue2 X j ( 0 = X j e o s «oí,

J = 1 ,2

•Dado que F |0 eos tu! = Re ( F ^ e ^ X su pendiónos que la solución también esx¡ = R verificar que las Xj sean reales para un «Sem a no amortiguado.


(E .2)

= Xjcos rul.j = 1,2. Se puede

5 .6

A n á lis is d e v ib r a c ió n forzad a

457

f ( t ) = f i o eos ari * i(0 P

m

Figura 5.15 Sistem a d e dos m asas som etido a u n a fu e rz a a rm ó n ica .

La ecuación ( 5 .3 1) resulta + 2*. Z n (to ) = - *

Z „(r consiguiente, la ecuación (5.35) p roporciona X, y X2:

(~ u ? m

(-o J m

+ 2 * ) f ’io

X[{0}) " ( - a i 2m +

2 k )2

y

~

kT "

(-m e o 2 +

+

2 k )F \o

3 k )(-n u o 2 + * )

________ - ____________ t f »>___________ H

j

(-m e o 2 + 2 * )^ -

’

( - W

+

3 4 )(-m ^ + *)

/p e * ‘

’

D efiniendo w¡ = k / m y u¿ = 2 k / m . las ecuaciones ( E 4 ) y (E .5) s e expresan como

X'( “ ) =

r /

v,

H á l7

7 Tr

,

v ,-.

(F-6 )

L as respuestas X | y X2 s e m uestran e n la figura 5.16 en función de los parám etros «u/or, sin unidades. En este parám etro, w, se seleccionó arbitrariam ente; pudim os h ab er seleccionado ui2 c o n la m ism a facilidad. S e ve q u e las am p litu d es X, y X2 se h acen infinitas cuando o r = eo¡ u oí2 = w? . P o r lo tanto, hay dos condicio nes d e resonancia p ara e l sistem a: u n a e n w , y o tra e n íu2. En to d o s los d em ás v alo res d e o», las am plitudes


458

C a p ítu lo 5


X yk

*2*

Figura 5.16 Curvas de respuesta de frecuencia del ejemplo 5.8. cfc vibración so n finitas. E n la figura 5.16 se observa que h a y un v a lo r particular d e la frecuencia ot a l cual la vibración d e la prim era m asa m (. al q u e s e a p lic ó la fuerza f ( t \ se reduce a c ero . Esta característica fo rm a la base d e l am ortiguador d e vibración d inám ica analizado e n e l cap ítu lo 8.

S is te m a s s e m id e f in id o s Los sistem a s se m id e fin id o s también se conocen como sistem a s n o restrin g id o s o d eg en era d o s. En h figura 5.17 se muestran dos ejemplos de tales sistemas. Se puede considerar que la configuración que aparece en la figura 5.17(a) representa dos carros de ferrocarril de masas m , y m 2con un resorte efeacoplamiento k. Supongamos que la configuración que aparece en la figura 5.17(c) representa dos rotores de momentos de inercia de masa 7, y J 2 conectados por una flecha de rigidez torsional kr En un ferrocarril, los carros se pueden modelar como masas concentradas y el acoplamiento entre los carros como resortes. Un tren que rueda por la vía se puede considerar como un sistema que tiene un cuerpo rígido, con movimiento traslacional no restringido. A l mismo tiempo, los ca rros pueden vibrar uno con respecto del otro. L a presencia de un grado de libertad no restringido en

xjk t)

*i< 0

k mi

— /T C 0 T '—

m'

(a) *i(f) m,

X2 ( 0

k(Xj ~ X,)

■+-

m;

Rotor 2 (turbina)

(b) Figura 5 .1 7 Sistem as sem idefinidos.


R otor 1 (ventilador) (c)

5 .7

S is t e m a s s e m id e fin id o s

459

la ecuación de movimiento cambia el análisis. La matriz de rigidez de un sistema no restringido será singular. Una de las frecuencias naturales de un sistema de dos grados de libertad no restringido será cero. Para un sistema como esc. el movimiento se compone de traslación y vibración. El análisis de sistemas no restringidos se presenta considerando el sistema que se muestra en la figura 5.17(a). La ecuación de movimiento del sistema se escribe como (figura 5.17b):

m,jri

+ k ( x -

= 0

x 2)

m 2*2 + *(*2 —

= 0

(5.36)

Para vibración libre, suponemos que el movimiento es armónico: j -

x j ( t ) = X j c o s (
1,2

(5.37)

La sustitución de la ecuación (5.37) en la ecuación (5.36) resulta en

(-m,tu2 +

k)X¡ -

kX2 =

0

- k X i + { - m 2u>2 + k ) X 2 = 0

(5.38)

Igualando el determinante de los coeficientes de X , y X 2 a cero, obtenemos la ecuación de frecuen cia como (o2[ n t\m 2a r — k ( m \ + « 12) ] = 0

(5.39)

A partir de la cual se obtienen las frecuencias naturales tu, = 0

y

a>, =

/ * (" » ! + \

—

W |W ;

(5.40)

Como se estableció antes, la ecuación (5.40) muestra que una de las frecuencias naturales del sistema es cero, lo que significa que el sistema no está oscilando. En otras palabras, el sistema se mueve como un todo sin movimiento relativo entre las dos masas (traslación de cuerpo rígido). Este tipo de sistemas, los cuales tienen una de las frecuencias naturales igual a cero, se llaman sisten u is sem id efin id o s. Podemos verificar, sustituyendo a* en la ecuación (5.38). que x f 2) y x 4 2* están opuestos en fase. Pbr lo tanto, habría un nodo a la mitad del resorte. La solución de vibración libre de un sistema no restringido se ilustra mediante el siguiente ejemplo:

E je m p lo 5.9

V ib ra c ió n libre d e un sis te m a n o re s trin g id o Encuentre la solución de vibración libre del sistema no restringido que se muestra en la figura 5.17(a) para los siguientes datos: m, = 1 kg. m ¡ = 2 kg. * = 200 N/m. *,(0) = 0.1 m. y xj(0) = ¿,(0) = x2(0) = 0. S o lu c ió n : Las frecuencias naturales del sistema se calculan, para los datos conocidos, a partir de la ecuación

(5.40) como

o>, = 0,

f 200(1 + 2 ) ^ o>2 = < ----- — ------ } = 173205 rad/S


(E.1)

460

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d f e r a c a lc u la r la s fo rm a s d e m o d o , la e c u a c ió n (5 .3 8 ) s e e s c rib e e n fo rm a n ta tric ia l c o m o

Para
-2 0 0

-2 0 0

200

(E.3)

K K )

La so lu ció n d e la ecuación ( E 3 ) proporciona e l p rim er m oda o vector m odal com o

( E .4 )

dande a , es u n a constante. Para o*2 ■ 17.3205. con los datos conocidos, la ecu ació n (E .2) se escribe como [-1 0 0

-

[-2 0 0

- 4 0 0 j \ x 2J

20o ]ÍX

,l = ío l

(E .5)

\0 J

l a solución d e la ecuación (E .5 ) proporciona e l segundo m odo o v ector m odal com o

f e r —

u *}

(e-6>

dande u ; es una constante. La solución d e vibración e n cada m odo se ex p resa com o

¿ ( , , (x) =

+ d i) = a, j i j e o s d i

=

5 1 2 ,(0 = { * £ > } = { i } ' )c ° S(a>2/ +

= 02 { - 0 5 } COS( ,7 -3205/

(E .7)

+ «M

(E .8)

La solución d e vibración Ubre en cualesquiera c o n d icio n es iniciales se expresa com o una com binación lineal dr las form as d e m odo, c o m o sigue

x ( i ) = j * ‘¡ ° j = ¿ ,X (,)( 0 + / w <2,(r)

=

C,

j | } co sd , +

Cj

j _ Q 5 j cos( 17.3205/ + < h)

(E .9)

dande c , = a,¿>, y c , = a¡b2 son constantes (desconocidas). L as velo cid ad es d e las m asas s e determ inan diferenciando la ecuación (E .9) com o

(17.3205) sen (17.3205/ + d ? )

(E.10)

Utilizando la s condiciones iniciales d a d as. las ecu acio n es (E .9 ) y (E .10) resultan x \ ( 0 ) = c , e o s d i + C2 e o s d ; = 0.1

(E .1 I)

* 2 ( 0 ) = c , c o s d i + 0.5c2c o s d 2 = 0

(E .I2)


5 .8


461

¿ i ( 0 ) = -17.3205c2 sen f c = 0

(E .13)

*2( 0 ) = -8 6 6 0 2 5 C 2 sen 4>2 = 0

La solución d e la s ecu acio n es
c2 = ± 0.0 6 6 6 6 .

= 0 o 7T.

c\ eos d», = 0.03333

U tilizando la ecuación ( E 15), la solución d e vibración libre d ad a por la ecuación ( E 9 ) se

(E I5 ) como

* , ( ; ) = 0.03333 ± 0.06666 c o s( 17.3205; + < k)

(E .I6 )

x 2( i ) = 0.03333 =F 0.03333 c o s( 17.3205; *
(E.I7)

donde s e tiene q u e utilizar m ás (m enos) cu an d o 2 se considera com o 0 (w ) e n las ecuaciones ( E 16) y ( E 17). Ñola: Por la s ecu acio n es ( E 16) y ( E l 7 ) se v e q u e la respuesta de vibración libre (o solución) se com pone de un térm ino constante (traslación) y un térm ino arm ónico (vibración).

A u t o e x c it a c ió n y a n á lis is d e e s ta b ilid a d En la sección 3.11. las condiciones de estabilidad de un sistema de un solo grado de libertad se ex presaron en función de las constantes físicas del sistema. El procedimiento se amplió a un sistema de dos grados de libertad en estasección. Cuando el sistema se somete a fuerzas de autoexcitación, los términos de fuerza se combinan con los términos de amortiguamiento/rigidez, y las ecuaciones de movimiento resultantes se expresan en forma matricial como "«11

«12 1 1 * 11

cu

c 12

"«21

"»22J \ j f 2 J

c jx

c22

*1!

*12

*2.

*22

[

]fé} ]{:} ■{:}

(5.41)

1 ,2

(5.42)

Sustituyendo la solución * j(t) °

X je e a ,

j -

en la ecuación (5.41) e igualando el determinante de la matriz de coeficientes a cero, obtenemos la ecuación característica de la forma + flií' +

Q 2S '

+

ays

+

= 0

(5.43)

Los coeficientes a0, a , a 2, a3 y a4 son números reales, puesto que resultan de los parámetros físicos indican las raíces de la ecuación (5.43), tenemos del sistema. Si j ,, s 2, J3 y (s -

j,) ( j -

s 2) ( s -

53) ( j -


54) = 0

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d o s4 -

( j, + S2 + j 3 + í 4) s 3

+ (*,*2 4- S}Sy + J,S4 + ¿2*3 + *2*4 + *3*4 )*~

~ (*1*2*3 + *1*2*4 + *1*3*4 + *2*3*4)* + ( * 1*2*3*4) = 0

(5.44)

Una comparación de las ecuaciones (5.43) y (5.44) produce ao =

*

0| =

- ( * 1 + *2 + *3 + *4)

02 =

*1*2 + *1*3 + *1*4 + J2*3 + *2*4 4-SyS*

ay =

- ( * 1*2*3 + *1*2*4 + *1*3*4 + *2*3*4)

a4 =

*1*2*3*4

(5 .4 5 )

H criterio para estabilidad es que las partes reales de s , (1 - 1 ,2 ,3 .4 ) deben ser negativas para que ro se incrementen los exponenciales en la ecuación (5.42). Utilizando las propiedades de la ecua ción cuártica. se concluye que una condición suficiente y necesaria para estabilidad es que todos los coeficientes de la ecuación (riQ. a ¡, 02, ay y a4) sean positivos y que la condición

fllfl2a 3 > flo°3 * fl4flf

(5.46)

s: satisfaga [5.8.5.91. Una técnica más general, la cual se puede utilizar para investigar la estabili dad de un sistema de n grados de libertad, se conoce como criterio de Routh-Hurwitz [5.10], Para el ástema considerado, ecuación (5.43). el criterio de Routh-Hurwitz manifiesta que el sistema será es table si todos los coeficientes üq, a t a4 son positivos y los determinantes definidos a continua ción son positivos: 7*. = 10 |l > 0

t

2 =

Ty =

(5 .4 7 )

<*\

03

«0

02

01

03

0

«0

02

04

0

01

03

= a ,a 2 -

a Qa y > 0

= f l |0 2 0 3 “ 0 J 0 4 -

(5 .4 8 )

O oal > 0

(5 .4 9 )

La ecuación (5.47) sólo expresa que el coeficiente a¡ debe ser positivo, en tanto que la satisfacción ifc la ecuación (5.49). acoplada con la satisfacción de las condiciones Oj > 0 y a4 > 0. implica la satisfacción de la ecuación (5.48). Par lo tanto, la condición necesaria y suficiente para la estabili dad del sistema es que lodos los coeficientes Oq, a , . a 7. a y y a4 sean positivos y que se satisfaga la desigualdad establecida en la ecuación (5.46).

E

M é t o d o d e la f u n c ió n d e tr a n s f e r e n c ia Gamo seexpresó en la sección 3.12. la fundón de transferencia de una ecuación diferencial indica la relación de la transformada de Laplace de la fundón de respuesta (salida) a la transformada de Laplace de la fundón forzada (entrada), suponiendo condiciones inidales cero. Para el sistema efe dos grados de libertad que se muestra en la figura 5.5. las ecuadones de movimiento son las [ecuadoncs(5.l)y (5.2)1:


5 .9

m { x \ + (C i + C2 ) * | -


(5 .5 0 )

0 * 2 + ( * i + * 2) * ! ~ *2*2 = f i

m 2X2 + ( c 2 + C3) * 2 - O * 1 + (*2 + *3)* 2 “

463

(5 .5 1 )

*2*1 = f l

C o n s id e r a n d o la s tr a n s fo rm a d a s d e l a p l a c e d e l a s e c u a c io n e s (5 .5 0 ) y ( 5 .5 1 ) . y s u p o n ie n d o c o n d i c io n e s in ic ia le s c e r o , o b te n e m o s m | j 2X |( j ) + ( c i + c 2) j * i ( j ) - C2s X 2( s ) + (* . + k2 )X l ( s ) / n 2r X 2( í ) + (c 2 +

c 3) j

k 2X 2 ( s ) = F i ( s )

X2( j ) -

+ (* 2 + k y ) X 2( s ) -

c 2j

(5 .5 2 )

X ,( j )

*2* i ( i ) = F2( s )

( 5 .5 3 )

L a s e c u a c io n e s ( 5 .5 2 ) y ( 5 .5 3 ) s e rc o rd e n a n p a ra o b te n e r ( m , j 2 + ( c i + c 2) s + ( * , + k 2) ] X i ( s ) -

(C 2 S + k 2) X 2( s ) = f , ( s )

( 5 .5 4 )

[m 2s 2 + (c 2 + c y ) s + ( * 2 + *3) ]X 2 ( i ) -

(c 2s + k 2) X ¡ ( s )

(5 .5 5 )

L a s e c u a c io n e s ( 5 .5 4 ) y (5 .5 5 ) in d ic a n d o s e c u a c io n e s a lg e b r a ic a s lin e a le s

= F2( s )

s im u ltá n e a s e n X , ( j ) y

X 2( s ). É s ta s s e p u e d e n re s o lv e r c o n la re g la d e C r a m e r | 5 . 111 c o m o O M

* ,(,)

( 5 .5 6 )

O (i)

O i(s )

X2( s )

( 5 .5 7 )

D (s) donde F M F2( s )

0, ( 1)

- ( c j i + *2) m 2s 2 + (c 2 + C y)s + ( * 2 + *3)

" ["«2Í2 + ( O + C y)s + ( * 2 + *3) ] F , ( j ) + ( c * + * j ) F 2( l ) m , i 2 + ( c , + c 2) í + ( * , + *2 )

Ft ( s )

- ( c 2J + *2)

F2( í )

(5 .5 8 )

D 2( i ) =

=

[m ií2 +

m ,* 2 + O (i)

(c i + c2) í +

( c , + c 2) s +

( * 1

~ ( c 2s + * 2)

(* I + * j) ] * 2 ( * ) +

+ *2)

(C 2 S +

* 2) F ,( j)

(5 .5 9 )

“ ( c j i + *2 )

m 2í 2 + ( c 2 + c3) i + ( * 2 + *3)

= m ,m 254 + [ m 2( c , + c2) + m , ( c 2 + c 3) ] * 3 +

[m 2(* , + *2 ) +

+

l ( * l + * 2 > (C 2 + O )

+

(* i* 2 +

*2*3 +

" » l(* 2 + * 3 ) +

C tC 2

+ 0*2 + 0*3 “

* 3 * 1)


+

C2C y

0*2 +

+

C jC \

0 *3>

Jj 2 (5 .6 0 )

464

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d AIotas: 1 . E3 d e n o m in a d o r, D (s ), e n la s e x p r e s io n e s X ,( j) y X t ( j ) d a d o p o r la e c u a c ió n 5 .6 0 , e s u n p o l i n o m io d e c u a r to g r a d o e n r e i n d ic a e l p o lin o m io c a r a c te rís tic o d e l s is te m a . D e b id o a q u e e l p o lin o m io c a r a c te rís tic o e s d e c u a r to g ra d o , s e d ic e q u e e l m o d e lo ( o s is te m a ) e s u n m o d elo (o s is te m a ) d e c u a r to g ra d o ( u o r d e n ). 2 . L a s e c u a c io n e s ( 5 .5 6 ) y (5 ,5 7 ) n o s p e r m ite n a p li c a r la s tr a n s fo rm a d a s in v e rs a s d e L a p la c e p a r a o b te n e r l a s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s d e c u a r to g r a d o p a r a x (( / ) y x £ t \ re s p e c tiv a m e n te ( p r o b l e m a 5 .7 9 ). 3 . S e p u e d e n u tiliz a r la s e c u a c io n e s ( 5 .5 6 ) y (5 .5 7 ) p a r a d e r iv a r l a s fu n c io n e s d e tr a n s fe re n c ia d e x ¡ (f ) y x ¡ (f ) c o r re s p o n d ie n te s a c u a lq u ie r fu n c ió n fo rz a d a e s p e c if ic a d a .

5. 10

s o lu c io n e s o b t e n id a s a p lic a n d o la t r a n s f o r m a d a d e La p la ce B c á lc u lo d e re s p u e s ta s d e s is te m a s d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d c o n l a t r a n s f o rm a d a d e L a p la c e se ilu s tra c o n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s .

E je m p lo 5 .1 0

R e s p u e s ta d e v ib ra c ió n lib re d e u n s is te m a n o a m o r t ig u a d o D ícucntrc la respuesta d e vibración libre del sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5.5(a) aplicando e l m étodo de b transform ada d e L aplace p ara los siguientes d ato s: m , = 2 , m 2 = 4 , k , = 8. *2 = 4, Aj = 0 , Cj = 0 . c 2 — 0. Cj * 0. Suponga q u e las condiciones iniciales so n X |(0) ■ 0 . j j ( 0 ) ■ 1 y i , (0) “ i 2(0) - 0. S olución: P o r los d a to s dados, p ara vibración libre c o n /,(») = fj(r ) = 0, las ecuaciones d e m ovim iento del sistem a, ecuaciones (5.1) y (5.2), adoptan la form a 2x1 + 12x, - 4x2 = 0

(E .1)

4x2 “ 4 x i + 4x2 = 0

(E .2)

Tom ando la transform ada d e la p la c e d e las ecuaciones (E. I ) y < R 2), obtenem os 2 [ i J X ,( i)

-

s x i ( 0 ) - i , ( 0 ) ] + I2X ,(x ) - 4 X2( s ) =0

(E .3)

4[s 2X2( s )

-

sx2(0 ) - x2( 0 ) ] - 4 X ,( i) + 4 X2(1) = 0

(E .4)

R tra la s condiciones iniciales conocidas. x ((0 ) = 0 . x2(0 ) = I. y x |( 0 ) — x ¿ 0 ) — 0 . la s ecu acio n es (E .3) y (E.4) s e escriben com o

( 2 i J +

1 2 )X ,(i)

-

4 X 2( 1 )

=

0

( 4 i2 + 4)X 2( i ) - 4 X ,(i) = 4 i


( E 5 )

(E.6)

5 .1 0

S o lu c io n e s o b te n id a s a p lic a n d o la tra n sfo r m a d a d e L aplace

465

S i in tro d u c im o s

=

D 2( s )

0

-4

4j

4 j2 + 4

2 s 2 + 12

0

-4

4r

=

D (s ) =

= 16 r

2s

+ 12

(E.8)

= Zs3 + 48,.

-4

-4

(E.7)

4j 2 + 4

= 8 j 4 + 5 6 r + 32

(E.9)

la solución d e las ecu acio n es ( E 5 ) y (E .6) para X ,(j) y X2( s \ basada e n la regla d e C ram cr, se expresa com o

X ¡(S)

D (s)

- ¿»

* * (* )

8r3 + 4 8 j

O (x )

g , 4 + 56 j 2 + 32

: 8r4 + 5 6 ,2 + 32

, 4 + 7*2 + 4

j3 j4

< E ,° >

+ 6j

+ 7j2 + 4

E n las ecu acio n es (E . 10) y ( E 11) s e observ a que e l denom inador e s cu adrálico e n s 2 (cierto para todos los sis tem as no am ortiguados d e d o s g ra d o s d e libertad). D ado q u e las raíces d e l denom inador, j 4 + l s 3 + 4 = 0, son

s 2 = -0 .6 2 7 7 ( o -0 .7 9 2 3 2) . - 6 3 7 2 3 ( o - 2 .5 2 4 3 2)

(E 1 2 )

X ,( j) y X j< r)sc ex p resan e n form a f a d o rizada com o

( E l 3)

X ,( s ) = — -------------------( j 2 + 0 .6 2 7 7 )( j + 6 3 7 2 3 )

(E .I4 )

-

X ,( j ) = - = — - r (s~ + Q 6 2 7 7 )(j + 6.3723)

Utilizando fracciones parciales. X ,(j) y X , (s) s e escriben com o 0.7923C, . C ji 2.5243C , C* A |(5 ) — — + —: ---------------- + —---------------- + -—-------------j 2 + 0.6277 j 2 + 0.6277 j 2 + 63723 r 2 + 63723 0.7923C ,

Cfej

2 .5 2 4 3 0 ,

(E.15)

C»i (E .16 )

’

” j 2 + 0.6277 ~ r

+ 06277 + r2 + 63723 * r

+ 63723

P ira d eterm inar Xj( í X igualam os ( E 1 5 ) y (E.13 ) para o btener (d e los num eradores) 0 .7 9 2 3 C ,(í2 + 6 3 7 2 3 ) + C2j ( r 2 + 6 3 7 2 3 ) + 2.5243C3( j j + 0.6277) + C ^ s 2 + 0.6277) = 2í


C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d o s

3(C2 + C 4) + j 2(0.7923C , + 2.5243C 3) + j(6 3 7 2 3 C 2 + Q .6277Q ) + (5.0488C , + 3 4 6 7 6 C ,) = 2 s

(E.17)

Igualando los térm inos correspondientes e n am bos lad o s d e la ecuación ( E 17) obtenem os C 2 + C4 - 0 . 0.7923C) + 1 5 2 4 3 C j - 0,6.3723C 2 + 0 6 2 7 7 C 4 = 2. 5.0488Ci + 1.5845C j = 0

(E.18)

La so lu ció n d e las ecu acio n es ( E l 8) resulta e n C | - 0 , C< = 0 .3 4 8 1 , C j = 0 .C 4 - - 0 .3 4 8 1 y p o r consiguien te X t{s) d e la ecu ació n (E . 15) s e escribe com o

X , ( í ) = 0.3481 - ----- ------------- 0.3481 - ----- --------,»2 + 0 6 2 7 7 s 2 + 6.3723

(E.19)

La transform ada inversa d e L aplacc d e la ecu ació n ( E 19) resulta * , ( / ) = 0.3481 e o s 0.79231 - 0.3481 eos 2.5243/

(E.20)

Para d e te rm in a r* ^ /), igualam os ( E I 6 ) y (E .I4 ) para o btener (de los num eradores) 07923C 5( j 2 + 6.3723) + C # { r + 6.3723) + 2.5243C , ( s - + 0 6 2 7 7 ) + Q j ( j 2 + 0.6277) = s 3 + 6s o s 3 (C 6 + Cs ) + j 2 (0.7923C } + 15243C 7) + j<63723C 6 + 0.6277Cg) + (5.0488C , + I.5845C ,) = s 3 + 6f

(E 2 1 )

Si igualam os los térm inos correspondientes e n a m b o s lados d e la ecuación ( E 2 1 ) obtenem os C6 + Cg = 1 .0 .7 9 2 3 Q + 2.5243C , = 0,6.3723C 6 + 06277C g = 6. 5.0488C5 + l.5845C7 = 0

(E.22)

l a solución d e las ecuaciones (E 2 2 ) produce C 5 = 0. C6 = 0.9352. C 7 = 0. C* = 0.0648, y p o r consiguiente X2(s )d e la ecu ació n ( E 16) se ex p resa com o X j f í ) = 0.9352—------ --------- + 0.0648 - — *-------j 2 + 6.3723 ' r + 0.6277

(E 2 3 )

La transform ada im e rsa d e L aplacc d e la ecu ació n (E 2 3 ) resulta

x j ( / ) = 0.9352 eos 0.7923i + 0.0648 eos 2.5243/

(E 2 4 )

La respuesta d e vibración libre d e l sistem a, X |(/) y x ^ i ) , d ad a por la s ecu acio n es (E 2 0 ) y (E 2 4 ) , se m uestra gráficam ente e n la fig u ra 5.18.


5 .1 0


467

F ig u ra 5 .1 8

E je m p lo 5 .1 1

R e s p u e s ta d e v ib r a c ió n lib r e d e u n s is te m a a m o r t ig u a d o Fncucntrc la respuesta d e vibración libre d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura S .5(a) aplicando e l m étodo de la transform ada d e L aplace c o n los d a to s siguientes: rn¡ = 2. m 2 = 4 . = 8. k2 = 4 . *3 = 0 , C| - 0 . c2 = 2. c3 - 0 . C onsidere las c o n d icio n es iniciales c o m o x,<0) = 0 ,x 2(0 ) = I , y ¿ , ( 0 ) = i 2( 0 ) = 0. S olución: P o r lo s d a lo s dados, para vibración libre c o n / , ( / ) - f4 .t) = 0 . las ecuaciones d e m ovim iento del sistem a (5.1) y (5.2), adoptan la form a 2V| + 2 x \ - 2 i 2 + I2 .t| - 4*2 = 0

(E.1)

4 * , - 2 i , + 2*2 - 4 * , + 4*2 = 0

(E .2 )


468

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d T o m a n d o la tra n sfo rm a d a d e L a p la c e d e la s e c u a c io n e s ( E I ) y (E .2 ). o b te n e m o s

2[ , %

($ )

- « , ( 0 ) - ¿,(0 )] +

2 [sX ¿ s)

- x,(0)] -

2 [ s X 2( s )

- xj(0)]

+ I 2 X ,( i) - 4X 7( s ) = 0 -

4 [s 2X 2( s )

s x 2( 0 )

-

(E .3 )

¿2(0)] - 2 [ í X ,( í ) - x,(0)]

+ 2[sX2( j ) - x 2( 0 ) ] - 4 X j ( j ) + 4 X j( s ) = 0

(E-4)

Para la s condiciones iniciales conocidas. 5 ,(0 ) - 0. x ^ O ) = 1. y i i ( 0 ) = ¿ 2( 0 ) = 0 . la s ecu acio n es (E .3 ) y (E.4) s e escriben com o 25 +

(2 s 2 +

(4 jj

+

2 i

+

1 2

) X ,( s ) -

4 ) X ; ( j )

-

( 2 j

(2 5

+

+

4 )X j (x )

4 )X ,(5 )

=

=

(E-5)

- 2

4 5

+

(E-6)

2

Introduciendo

D ,(s ) =

D 2 ( s )

=

-2 25 - 4 45 + 2 452 + 2j + 4 2s2 + 25+12 -25 - 4 2 s2 + 25 + 12 -2 5 - 4

D (s) =

-2 45 + 2

= I6s

(E.7)

(E.8)

= 85' + I252 + 485 + 1 6

-25 - 4 45 + 2 r +

4

=

854

+ 12s3 +

+ +

5Ó52

I65

+ 32

(E.9)

b solución d e las ecuaciones (E .5) y (E .6 ) p ara X ,(s) y X2(iX basada e n la regla d e C ram cr, s e ex p resa com o

Di(s)

*.(*) =

D (s)

X2(s) =

16 5 2x 5 + I2s3 + 5652 + I6 5 + 32 54 + IS ? + 1? + 25 + 4

(RIO)

8 4

Qt(J ) = 853 + 125? + 485 + 16 = 0 (5 ) 8 r4 + 1253 + 5 6 52 + I6 5 + 32

54

53 + I.S5 2 + 65 + 2 + 1.5? + 7f 2 + 2 i + 4

(E li)

I b r las ecuaciones ( E 10) y ( E 11) se ve que e l d e n o m in a d a no e s una cuadrática e n s 3 (cierto p ara todos los sistem as am ortiguadas de d o s grados de libertad). L as raíces d e l den o m in ad o r (raíces características d e l siste m a), 54 + ISs3 + 75* + 2 i + 4 = 0 , s e pueden hallar (p o r ejem p lo , utilizando M A TL A B ), como 51.2

= -0 .6 5 6 7 ± 2.3807/ - a ± bi (E .I2 )

5W = - 0 .0 9 3 3 ± 0 .8 0 4 4 / • c ± d i

S e v e q u e la s raíces so n co m p lejas (cierto para todos los sistem as am ortiguados) en lu g ar d e valores sim plem ente im aginarios (c ie rto p ara sistem as no am ortiguados). C onsiderando las raíces características e n la ecuación ( E 12), X ,(s)d e la ecu ació n ( E 10) se ex p resa com o 2j * .( * ) =

C xb +

C 2(s + a )

C yJ + C 4( s + c ) ( E l 3)

[ ( S * «,)’ + * » ] [ ( , * c )> * S ) = [ ( , + a ? * (.=) *


[(, + c f * d '1

5 .1 0


469

d o n d e a - 0 .6 5 6 7 . b = 2 3 8 0 7 . c = 0 .0 9 3 3 . d = 0.8044. y C,, i = 1. 2 . 3. 4. so n constantes desconocidas. E scribiendo la expresión d e l lado derecho de la ecuación (E . 13) com o f C ,» 4 C 2( s + « ) ] [ ( , + c ) 2 + d 2] | [Ci d + C4( , + ( ( s + a ) 2 + b2]

c ) ] [ ( f + a ) 2 + b 2)

[ ( i + c )2 + ¿ 2]

e igualando e l n um erador d e la ecu ació n (E . 14) a l n um erador de la expresión interm edia d e la ecu ació n ( E 13). obtenem os

( C ,b + C2s + C 2a ) ( j 2 +

2 í c

+ c2 + d 2) + (C yd + C4j + C ^ c )(s 2 + 2 r a + a 1 + ¿>2) = 2r

o ^ ( C j + C 4) + ¿ ( 2 cC 2 + bC , + a C j + 2a C , + dC 3 + cC 4) + j [ ( c 2 + d 2)C 2 2c(b C \ + o C j) + ( a 2 + / r ) C 4 + 2o ( J C 3 + cC 4) ] + [ ( 6C , + aC 2) ( c 2 + rf2) + ( J C , + cC 4) ( a 2 + b2) = 2 s

( E l 5)

Igualando los coeficientes de los térm inos correspondientes e n am bos lados de la ecuación ( E 15). obtenem os C 2 + C4 = 0 bC, + ( 2 c + a ) C 2 + dC 3 + ( 2 a + c )C 4 = 0 2cftC , + (2a c + c 2 + d 2)C2 + 2a«/C3 + ( 2a c

+ 2a 2 + fe2)C4 = 0

(b e 2 + b d 2)C \ + ( a c 2 + a d 2)C2 + («/a2 + d b 2)C3 + ( c a 2 + cb2)C 4 = 0

(E 1 6 )

donde los valores d e a . b . c y d s e d efinen e n la ecuación ( E l 2). La solución d e la s ecu acio n es (E .I6 ). por ejem plo, con M A T L A B . d a C , = - Q 0 9 4 5 . C , = - 0 .3 7 1 3 . C3 - 0 .0 1 % . C4 - 0.3713. P o r lo tanto. X ,(j) en la ecu ació n ( E 13) se ex p resa com o

X ,(j) =

r - 0 .0 9 4 5 7r r - 0.3713------ ^ ( s + a ) 2 + ¿>2 ( r + a )2 + 62 + 0.0196

-y + 0.3713-------------------- ; ( i + c)2 + d 2 ( s + c ) 2 +
( E l 7)

T om ando la transform ada inversa d e Laplace d e la ecuación ( E 17). o btenem os

jri(r) = * ~ °* * 7,(0.0945 s e n 2 3 8 0 7 / - 0.3713 eos 2 3 8 0 7 /) + í -o.09J3i (0.0196 sen 0.8044/ + 0.3713 e o s 0 .8 0 4 4 /)

(E 1 8 )

A sim ism o, b asad a e n las raíces características dadas e n la ecu ació n ( E l 2), X2(s) de la ecu ació n ( E l 1) se expresa com o j 3 + Í.S s2 + 65 + 2

_ C*b

* M} = [ ( . * O)2 + b 2] [ ( , + c ) 2 + ¿ 2] =

+ C6(s + a )

[ ( , * a )2 ♦ 62]


C jd + C g( j + c ) [ ( , + c ) 2 +
“

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d tb n d c a - 0.6567. fe = 2.3807. c = 0.0933. d = 0 .8 0 4 4 y Cr i - 5 . 6. 7. 8 so n constantes desconocidas. E s cribiendo la expresión d e l lado d erecho d e la ecuación
[Cs b + Cb( s + a ) ] [ s + c ) 2 + d 2] ¡ (s + a )2 + fe2]

[C ?d + C t ( i + c ) ) [ s + a ) 2 f fe2}

^

[ { s + c )2 + d 2)

+

c igualando el n um erador de la ecuación (E 2 0 ) a l n um erador d e la ex p resió n interm edia d e la ecuación ( E 19). obtenem os

(Cjfe + C „ j + C é fljfi2 +

2 j c

+ c 2 + d ' ) + ( C-jd +

+ C gc)(x2 + 2x a + o2 + fe2)

= j 3 + l.5 i2 + 6x + 2

3(C 6 + Cg + í 2(2cC 6 + feC5 + a C 6 + 2aC g + t/C 7 + cCg) + j [ ( c 2 + d 2)Cb + 2c(feCs + aC b) + (o2 + 62)C , + 2 a (d C , + cC g)] + [(feC, + a C 6) ( c 2 + d 2) + dC 7 + íC g ) ( a 2 + fe2) = x3 + 1.5*2 + 61 + 2

(E.21)

Igualando los coeficientes d e los térm inos correspondientes e n a m b o s lados d e la ecu ació n ( E 2 I X obtenem os C b + Cg = I feC, + ( 2 c + fl)c 6 +

tic , + (2a + c)C g = 1.5

2cfeCj + (2ac + c2 + t/2)C6 + 2adC7 + (2ac + a2 + fe2)Cg = 6 (fec2 + fe*/2)C5 + ( a e 2 + a«/2)C 6 + ( d a 2 + dfe2)C 7 + ( c a 2 + cfe2)Cg = 2

(E 2 2 )

cbnde los valores d e a . fe. c y d se definen en la ecuación ( E 12). L a so lu ció n d e las ecuaciones (E 2 2 ) . por ejem plo, c o n M A T L A B , resulta C , = - 0 .0 4 1 8 , Cb= 0 .0 9 7 0 , C 7 = 0.3077, C8 = 0.9030. P o r lo tanto, la aruación ( E 19) se escribe com o

X 2( x )

=

~

0 . 0 4 1 8 - ------------------^

---------------r

+

0 .0 9 7 0 '

( s + a ) 2 + fe2

'

+

“

(x + a ) 2 + fe2

+ 0.3077--------- 1 ------ 3 + 0.9030— - í ^ T — j (3 + c )2 + d 2 (3 + c ) 2 + d ‘

(E.23)

Tom ando la transform ada inversa d e la p la c e de la ecu ació n (E 2 3 ). obtenem os x2( / ) = e~Q6,67,( - 0 .0 4 1 8 sen 2.3807/ + 0.0970 eos 1 3 8 0 7 /) + e OO9a,(0 3 0 7 7 sen 0.8044/ + 0 9 0 3 0 e o s 0 .8 0 4 4 /)

(E.24)

La respuesta d e vibración libre d e l sistem a. X |(/) y x ^ /) . d ad a por las ecu acio n es ( E 1 8) y (E 2 4 ) . se m uestra gráficam ente e n la figura 5.18.


5 .1 0

E je m p lo 5.12


471

R e sp u e sta b a jo u n Im p u lso o b te n id a a p lic a n d o el m é to d o d e la tra n s fo rm a d a d e La pla ce Dos c a rro s d e ferrocarril, de m asas m ( = M y m 2 = m , e stán conectados por m edio de un resorte d e rigidez *, c o m o s e m uestra en la figura 5.17(a). S i e l cario d e m asa M s e som ete a un im pulso F & i ) , d eterm ine las respuestas d e respuesta d e los c a rro s aplicando e l m étodo d e la transform ada d e lap la ce . S olución: L as respuestas d e los carros s e determ inan c o n cualquiera d e los siguientes m étodos: a . C on sid ere e l sistem a q u e experim entará vibración forzada debido a la velocidad inicial producida por el im pulso ap licad o a l c a n o M. b . C on sid ere e l sistem a q u e experim entará vibración debido a la fu e rz a /(r) = FqS( i) ap licada a l c a n o M (con los desplazam ientos y velocidades d e los c a rro s M y m consid erad o s cero inicialm cnte). A plicando e l segundo m étodo, la s ecuaciones d e m ovim iento d e los c a rro s se expresan com o A/.Í, + k { x x - x 2) = F0 8 ( l)

(E D

m i* + *(-*2 ~ -ti) = 0

(E.2)

A plicando las transfom iadas d e L aplace. las ecu acio n es (E. I ) y ( E 2 ) se escriben como

( M s 2 + k )X x( s ) - kX 2( s ) = F0 - k X x( s ) + (m s2 + k ) X 2( s ) = 0

(E.3) (E.4)

l a s ecuaciones (E .3 ) y (E .4) se resuelven para X ¡(s) y X2(s) com o

^ ^

¿ { M m * 2 + k ( M + m )}

*

s 2 {M m s2 + k { M + m )}

(E.5)

(E.6)

U tilizando fracciones parciales, las ecuaciones (E .5) y (E .6 ) s e recscribcn como

(E.7)

(E.8)

donde


472

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d L as transform adas inversas d e las ecu acio n es (E .7) y (E.8). utilizando los resultados del ap én d ice D (e n e l sitio w eb), d a n la s respuestas e n función d e l tiem po de los carros como

IlW = ¡ Í T ^ ( ' + S

' 3('> = J

(E I0 >

7

T

^

(

'

<*" >

Nota: L as ecuaciones ( E 10) y (E . 11) s e trazan e n e l ejem plo 5.18.

5. 11

S o lu c io n e s o b t e n id a s u t iliz a n d o f u n c io n e s d e tr a n s f e r e n c ia d e fre c u e n c ia l a fu n c ió n d e tr a n s f e r e n c ia d e fre c u e n c ia s e o b tie n e s u s titu y e n d o iio e n l u g a r d e s e n l a fu n c ió n (fc tr a n s fe re n c ia g e n e ra l d e l s is te m a . 1.a g e n e r a c ió n d e la f u n c ió n d e tr a n s fe re n c ia d e fre c u e n c ia y d m é to d o d e b ú s q u e d a d e la re s p u e s ta d e u n s is te m a p o r m e d io d e e s t a f u n c ió n s e ilu s tra c o n los á g u ie n t e s e je m p lo s .

E je m p lo 5 .1 3

D e r iv a c ió n d e f u n c io n e s d e t r a n s f e r e n c ia d e f r e c u e n c ia Derive las funciones d e transferencia d e frecuencia * ,(/) y x ¿ t ) p ara e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 5 .l9 (a). S olución: D e acuerdo c o n los diagram as d e cuerpo libre d e la s m asas m , y m> q u e s e m uestran e n la figura 5 .l9 (b ). la s ecuaciones d e m ovim iento d e l sistem a s e obtienen com o *2) + *2(* i - *2) = pi = P0 s e n w /

m,3íi + c i ¿ , + * 1*1 + c2(* i -

«2*2 + c2(x2 - * 1) + *2(*2 “ * 1) = P¡ = 0

_L_L

*2< * 2 ~ * i)

C 2 < * 2 -i.)

«?

1 ♦ m jX j (a)

(b)

F ig u ra 5 .1 9


(E .1) (E .2)

5 .1 1

S o lu c io n e s o b te n id a s u tiliz a n d o fu n c io n e s d e tr a n sfe r e n c ia d e fr e c u e n c ia

473

Se observa q u e las ecu acio n es < E I ) y (E .2) se pueden o btener a partir d e las ecuaciones (5.50) y (5 .5 1 ) esta bleciendo * , = Cj = O .f id ) = p ,(r) y / 2(r) = 0. S i tom am os las transform adas d e la p la c c d e la s ecuaciones ( E l ) y (E .2 )y suponem os condiciones iniciales c ero , obtenem os m , r 2X , ( j ) + Ci j X i ( j ) +

+ c 2í [ X | ( j ) -

X2( x ) ]

+ *2[ X ,( j ) - X2(x )J = P , ( j )

(E.3)

m 2¿ X 2( s ) + c 2íÍX 2( í ) - * ,( * ) ] + *2[X’ ( í ) - X ,( x ) ] = 0

(E 4 )

L as exp resio n es X ((a) y X2(a) s e pueden e n co n trar a p artir de la solución d e las ecuaciones ( E 3 ) y (E .4) [esta bleciendo A, = c , = 0 . F ,( j ) = P ,( j ) , y F2{s) = 0 en las ecuaciones (5.56) a (5.60)):

• M

-

<*«>

donde D ,( s ) = ( m 2s 2 + c j s + k 2)P ,( s )

(E.7)

D i ( s ) = ( c j j + k2)P \( s )

(E.8)

D ( s ) = (m ]m 2).t4 + fm ic2 + m 2ci + m 2C5]i3 + [m i* 2 + m 2k i + m 2A2 + c jc jJ í2 + [cjA2 + C2Ai)í + ( * 1*2)

(E 9 )

E n vista d e la s ecu acio n es (E .7 ) a (E .9 ). la función general de transferencia d c * |( /) y x ¿ l ) se determ ina a partir d e la s ecuaciones ( E 5 ) y (E .6) com o X ¿ s)

m 2s 2 + c2s + A2

P Á s)

D (s)

W

^

l0 )

o # ± ki

P i(s )

D (s)

(E II>

donde la ecuación < E 9 ) d a D ( s \ C o n s - Uu en las ecuaciones ( E 10). (E . 11) y (E 9 ), la s funciones d e transfe rencia d e frecuencia d e *,
x,(to )

- m ¡ J * foc, t k2

/ > ,( » )

/■ ,(/»)

o ( .„ )

(E ' I2 )

D (fa )

( E ' 3’

ttonde D (ia t) = iti*(m \m 2)ai* ~ ito3[m i c 2 + m 2 Cj + m 2 c 2] - o»2 [m |* 2 + m 2k \ + m 2k2 + cic2] + ior[c|A2 + cjAi) + (A|A2)


(E I4 )

474

C a p ítu lo 5

E je m p lo 5 .1 4


R e sp ue sta d e e s ta d o e s ta b le d e u n sis te m a Encuentre la respuesta d e estado estable d e l sistem a considerado en e l ejem p lo 5 .1 3 sin am ortiguam iento. S olución: C on C| = Cj = 0 en la s ecu acio n es (E .12) y (E .13) del ejem plo 5.13, o btenem os la s fu n cio n es de transferencia X¡(¡tu)

— m u ;'

P \(uo)

m im yu* - (m i* j + m 2t | +

+ * i* i

k2

X j(k ü ) m|m;
P \(ito )

(m ¡k2

+

+

m 2k ¡

m 2k 2 )t>f

+

k ¡k 2

y por consiguiente X,(¡
k2

x i ('<•»)

k 2 - m 2u r

(E .3)

La solución d e estado estable x t( i ) se obtiene de la ecu ació n (E. I ) utilizando /*i(/a>) — P0 sen tul. c o m o sigue (by - m 7tu1)Pll

x\(‘) = l*,(to)|*en«r =

4

,

1

3

A

+ *>> (E4)

[m .m W * - (m ,* 2 + m j* , + m 2k2)tu2 + *,*2]

tb n d e X \ ( i tu)

* ' = í ü m = 0<”

(E51

A partir d e las ecuaciones (E ,3) y (E .4), la solución d e e stad o estable x ¿ l) se d eterm ina com o

*2 ( 0 = |X s ( M l « n (tul +
x ,M

|X i(/tt>)| sen (o»; + f c )

(*2 “ ">2(üJ ) / ,o

*j

sen (tul + «fc)

(Aj — m 2tu2)[ m \m 2iul — (n i\k 2 + m 2k \ + m 2k2)tu~ + k \k 2] kiPo [m ¡m 2tu* ~ (m ,* 2 +

sen(
(E.6)

+ m 2k 2)tu2 + * ,* 2]

(bnde X ^ itu )

Xj(lVu) X i( te )

= H(fa.) ‘ *,(/«) fi(to) " 0<”

(

l

Se ve q u e «f», y t¡>2 so n o 0 o ir. P o r consiguiente, las m asas rn, y m 2 se m ueven o e n fase (tf> = 0 ) o desfasadas («f> = ir ) con la fuerza aplicada P|(k«>). P o r lo tanto, las m asas wi| y m 2 se m overán e n la m ism a dirección si


5 .1 2

ü> < y j ~ ^ y en la dirección op u esta si


> y j ~ ^ . S i a» - \ f ~

475

• *a m asa m i no x m ‘>yc rá e n tanto q u e la

m asa m2 tendrá m ovim iento senoidal.

5. 12

E je m p lo 5 .1 5

E je m p lo s re s u e lt o s u t iliz a n d o M A T L A B

s o lu c ió n d e l p ro b le m a d e v a lo r e lge n Utilizando M AT1.AB determ ine las frecuencias naturales y form as < t m o d o del siguiente problem a:

- ai3m

I

0

(E .I)

0

S o lu c ió n : El problem a d e valor e ig e n . ecuación ( E I ). s e reescribe com o

(E.2)

- ; M í !]

d o n d e A = m a A /k e s el v a lo r eigen. a» e s la frecuencia natural y X e s e l se c to r eigen o form a d e m odo. La solución tfe la ecuación (E .2) s e d eterm ina utilizando M A TLAB c o m o sigue: »

A - (2 - i »

-1

2]

-1

2

-1 »

IV.

2 Dj

-

alg(A)

-0.7071 0.7071 D

-0.7071 -0.7071

-

0 1.0000

3.0000

0

í\) r lo tanto, los valores eigen so n A, = 1.0 y A2 *» 3.0. y los vectores eigen correspondientes son í —0.70711 1

E je m p lo 5.16

{ - 0 .7 0 7 1 /

/ - 0 .7 0 7 1 1 y

2

{

Raíces d e u n a e c u a c ió n c u á rtic a Utilizando M A TL A B . encuentre las rafees d e la ecuación cuártica

f(x) = x* -

8* +

12


=

0

0.7071 J

476

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d S o lu c ió n : S e u tiliz a e l c o m a n d o M A T L A B r o o t s p a r a o b te n e r la s ra íc e s d el p o lin o m io d e c u a rto g ra d o c o m o

= - L 3 7 0 9 I ± 1.82709/ = 1.37091 ± 0.648457/ »

r o e n

ana

([1

0

0

-■

13])

■

-1.3709 -1.3709 1.3709 1.3709

• 1.83711 -

1.83711

• 0.845-1 - 0.845-1

»

E je m p lo 5 .1 7

T r a z o d e u n a re s p u e s ta d e v ib ra c ió n libre U tilizando M A TL A B trace la respuesta cfc vibración libre d e las m asas m , y /n ; d e l ejem plo 5.3. S olución: L as ecuaciones (F.. 15) y ( R 16) proporcionan las respuestas en función del tiem po d e la s m asas m , y m2 d e l ejem plo 5.3. El program a M A TL A B para traz ar las icspuestas se presenta a continuación. %

3 .a

K -

fo r

1

-

l i

501

t< l) . 30 • (1-11/500, x l( l) > (5/7) • c o a ( l . S B l l * t ( l ) ) x 3 (1)

.

(10/7)

• c o » (1 .5 B ll* t(l) )

•

(3/7) -

• co a (3 .4 4 9 S « t(l)),

(10/7)

and

oubploc(311)| p lo ttt, x l), x l a b a l ( 't ') • y l a b a l C x l ( t ) •), aubplot(313), p lot(C , x 3 ), x l a b a l ( 't ') , y l a b a l ( ' x 3 ( t ) •),

I


• c o a (3.449 5 « t(i)),

5 .1 2

E je m p lo 5.18


477

R e sp u e sta e n fu n c ió n del tie m p o d e lo s ca rro s d e fe rro ca rril U tilizando M A TL A B trace las respuestas e n función d e l tiem po de los d o s c a rro s d e ferrocarril considerados en e l ejem plo 5.12 pera los datos siguientes: F0 = 1500 N. M = 5 0 0 0 kg, m = 2 5 0 0 kg, k = lí^ M /m . S olución: C o n los datos dados, las respuestas d e los c a rro s d e ferrocarril se expresan c o m o (según las e c u a c io n es ( E 10 ) y (E . 11) d e l ejem plo 5 . 12): * , ( / ) = Q .2(/ + 0.204124 sen 1 4 4 9 4 9 /)

(E.1)

*2( / ) = 0 .2 (r - 0.408248 s e n 1 4 4 9 4 9 /)

(E.2)

donde

= l0 ‘ ¿ 5

* ¿ o

0

" = 2-4 4 9 4 9 ra d /s

El program a M A TL A B p ara traz ar las ecu acio n es ( E I ) y (E .2) se d a a continuación % B x 5 _ 1 8 .a f o r

1-1

■

10 1

e (l)

- 6 *

xl(t)

.

0.2»

( i

-

(t(l)

l)

/

.

lOOr

0.204124*aln(2.44949*t(l)))r

x 2 (l)

-

0 .2 *

( e d )

-

0.408248*aln (2. 44949*C(1)) ) j

2(t

i

and p lo t

( t .

x la b o l y la b a l

x l ) j

f t ' l j

C x l( t) .

x

)M

h o l d oo; p lo t g ta x t g ta x t

(t .

X2.

C x l i ( ' x2 :

So l i d ll n a ') l D o tta d lin a * ) ¡


® -3 >

478

Capítulo 5

E je m p lo 5.19

Sistemas de dos grados de libertad

T ra z o d e la re s p u e s ta d e fre c u e n c ia d e u n s is te m a d e d o s g ra d o s d e libe rta d U tilizando M A TL A B . trace las funciones d e respuesta d e frecuencia d e l sistem a considerado e n el ejem plo 5.8 S olución: l a s funciones d e respuesta d e frecuencia X,(a>) y X2( oí\ dadas por las ecu acio n es ( E 6 ) y ( E 7 ) del ejem plo 5.8, son X lM *

_

(2 - A2)

F»

(A i - A2) ( l - A2)

X2( « ) *

,

(E.1)

(E .2) io

(A i - A2) ( l - A2)

ib n d e A =
to r 1 > l i 101 w_wl (1) - S • (1 . 1) / 100, M c o S x l (i) . x2 (i) .

( 2 -w _w l ( i ) \ * 2 ) / t ( l- w _ w l ( 1 ) \ * 2 ) • ( l- w _ w l ( i ) \ A2 ) ) , 1 / ( (3-w _w l (1 ) \ " 2 ) • ( l- w _ w l (1 ) \ ' 2 J ) ,

ood •ubplot (211), p lo t I» » l, x l ) ,


5 .1 2

xlab«l

{


479

i

y l a b a l ( ’ X _ l * K / r _ l _ 0 •) » g r i d on¡ ■ u b p l o C (2 1 2 ) i plot

(W_Wl.

xlabal ylabel

g rld

E je m p lo 5 .2 0

x 2)i

('«/ W .l'll ( ' « ¡ ' I / f l

O •) ,

an

R e sp u e sta fo rz a d a d e u n sis te m a d e d o s g r a d o s d e lib e rta d D clcim inc y trac e la respuesta e n función d e l tiem po de un sistem a d e d o s grados de libertad c o n ecuaciones de m ovim iento I

0

0

2

i]{*}

Ifc B H

«

con las condiciones iniciales * , ( 0 ) = 0 .2 ,

¿ ,( 0 ) = 1.0,

*2( 0 ) = 0 ,

¿ 2 (0 ) = 0

(E.2)

S o lu c ió n : Para utilizar e l program a M A T L A B o d « 2 3 . las d o s ecuaciones diferenciales acopladas d r se g u n do o rd e n se tienen que expresar c o m o un sistem a d e ecuaciones diferenciales acopladas d e prim er o rd e n . Para e sto , introducim os nuevas variables c o m o y (. y2- ^3 y y* com o yi = * i .

y* = x 2.

>5 = ¿ i .

y 4 = ¿2

y expresam os la ecu ació n ( E I ) como ¿ i + 4 ¿ i - ¿2 + 5 * i - 2*2 = eos 31

y, = eo s 3 / -

4y¡

+ y4 - Syj + 2 y ,

2 *2 - * j + 2*2 - 2 * , + 3*2 = 2 eos 3/

y4 = a » 3 f + ^

- y* + y, - | y ,

f t j r lo tanto, la ecu ació n (E . 1) se vuelve a ex p resar com o


(E 3 )

(E 4 )

(E 5 )

(E.6)

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d ron las c o n d icio n es iniciales

y(°) =

»(0)

(0.2

M0)

J 'O lo o (o.o

» ( 0) *<<>)

H program a M ATI-AB para reso lv er las ecuaciones (E .7 ) con las condiciones iniciales d e la ecuación (E .8) se d a a continuación. % KxS 2 0

.a

tapan . (0 . 0 . 0 1 . 20], yf i [0 . 2 ; 1 . 0 ; 0 . 0 ; 0 . 0 ); ( t . y ) - o«S«23 C d f u n c S l S ' f aubp lot (2 1 1 ) plot

(t.y

(i,

tapan.

yO);

y(4J

5 -y (l)

*

2*y(3),

.

-

1 .5*y (3),

1 )) ;

x la b a l ('t')i y labal f x l ( t » •) ; aubplot (212) plot (t.y (., x la b a l ( ' t ' ) i y labal

(»x2

3 ));

( t ) ' ) ,

%dfuno5_15.m function f a f - aacoa (4.

dfuncS_15 1 );

(t.y)

ft l) f(2)

.

y (2 ) ; coa(3«t>

-

4 * y (2)

f (1) f(4)

-

y(4> l co a(3*t)

.

0 . 5 * y (2)

.

-

-

y<4>


y (l)

R e fe r e n c ia s

E je m p lo 5.21

481

P ro g ra m a p a ra d e te rm in a r las ra íce s d e u n a e c u a c ió n cu á rtica D esarrolle un program a general, llam ado P r o g r a m é .m para d eterm inar las rafees d e una ecuación cuártica. Use e l program a para d eterm inar las raíces de la ecuación / ( * ) « x* - 8* + 12 = 0 S o lu c ió n : H program a P r o g r a m é .m se desarrolló para resolver la ecuación a l* ( x M ) + a 2 * (x A3) + a 3 * (x A2) + a 4 * x + a5 * 0 c o n a 1, a2, a 3 . a 4 , y aS c o m o d a to s d e entrada. E l program a p resenta los co eficien tes d e l polinom io y tam bién la s raíces d e la ecuación c o m o resultados. Solut ion

of

a

qu artic

aquatloo

Dat a i a (1) a(2)

.

a (3)

-

a (4)

=

a (5)

a

1 . 000000a . 000 0 . OOOOOOa . OOO 0 . OOOOOOa . OOO - 8 . 000000a.0 0 0

1 . 2 0 0 0 0 0 a .001

Roocai Root

No.

Raal

pare

Imaginary

pare

1

-1.37 0 9 0 7 a .000

1 .8 2 7 0 9 4 a .000

2 3 4

- 1 . 370907a.000 1 . 370907a.000 1 . 370907a.000

-l.827094a.000 6.484572a-001 -6 .4 8 4 572a-001

R esum en del capítulo C onsideram os la determ inación de las ecu acio n es de m ovim iento acopladas d e sistem as de d o s g ra d o s de libertad. D eterm inam os los v alo res eigen o frecuencias naturales d e vibración, los vectores m odales y las soluciones d e vibración libre. Presentam os los conceptos d e acoplam iento d e coordenadas, coordenadas g en e ralizadas y coordenadas principales. Estudiam os e l análisis d e vibración forrada del sistem a som etido a una fuerza arm ónica. C onsideram os e l m étodo d e la función d e transferencia, la so lu ció n siguiendo e l m étodo d e la transform ada de L aplace y e l m étodo d e la función d e transferencia d e frecuencia. P o r últim o, presentam os las soluciones d e vibración libre y fo rra d a .d e sistem as d e d o s grados d e libertad obtenidas utilizando M A TL A B . A hora q u e ya term inó este cap ítu lo , d eberá s e r capaz d e responder las preguntas de repaso y reso lv er los pro blem as q u e se presentan a continuación

Referencias 5.1

H Sato. Y. K uroda y M . Sagara, "D cvclopm ent o f th e finite elcm ent m ethod for vibration analysis o f machine tool stnicture and its appl ¡catión". P roceedings o f th e F ourieenth /m e m ín im a I M achine Tool D esign a n d R esearch C onference. M acm illan. L ondres. 1974. págs. 545-552.

5.2

F. K ocnigsbcrger y J. T lusty, M achine T o o l Slruciures. fcrgam on Press. O xford. 1970.

5J

C P . R cddy y S . S. R ao, “A utom atcd optim um design o f m achine tool structurcs for sta tic rigidity, natural frequcncies a n d regeneran ve ch atter stability". Journal o f E ngineering f o r Industry, Vol. 100. 1978. págs. 137-146.

5.4

M S. H unda!. “E ffect o f d am ping o n im pact responso o f a tw o d egree o f frcedom system ". Journal o f Sound a n d V ibration. V ol. 68. 1980, págs. 407-412.

5.5

J. A. L innctt. "T h e effect o f rotation o n th e steady-statc rcsponsc o f a spring-m ass system u n d e r harm o nio excitation", Journal o f S o u n d a n d V ibration. VoL 35. 1974. págs. 1-11.


482

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d 5 .6

A. H urw itz. “O n th e conditions u n d e r w h id i an cquation has o n ly roots with ncgaiive real parís", en S elected P apers on M athem atical T rends in C ontrol T heory, D over P ublicatkm s. N ueva Y ork, 1964, plgs. 70-82.

5.7

R. C . D orf. M o d e m C ontrol System s (6a. e d .). A ddison-W esley. R eading. M A . 1992.

5 .8

J. P. Den H artog. M echanical Vibrations (4a. e d .). M cG raw -H ill. N ueva Y ork, 1956.

5 .9

R H. S canlan y R . R oscnbaum , bitroduction to th e S lu d y o f A ircraft Vibration a n d F lulter, M acinillan. N ueva Y ork, 1951,

5.10

L A . P ipes y L. R. H arvill, A pplied M athem atics f o r Engineers a n d P hvsicists (3a. ed.). M cG raw -H ill, N ueva Y ork. 1970.

5.11

S. S . R ao. A pplied N um érica! M eth o d s f o r E ngineers a n d Scienlists, Preniice H all. U ppcr Saddle River, NJ, 2002.

Preguntas d e repaso 5.1

Proporcione respuestas breves a lo siguiente: 1.¿CÓmo se determ inan los grados d e libertad d e un sistem a de m asa concentrada? 2 . Defina e sto s térm inos: acoplam iento d e masa: acoplam iento d e velocidad, acoplam iento elástico. 3 .¿E s la naturaleza d e l acoplam iento dependiente d e la s coordenadas utilizadas? 4 .¿C uántos grados d e libertad tiene un a v ió n e n vuelo si s e trata c o m o (a) un cu erp o rígido, y (b) un cuerpo clástico? 5 .¿Qué so n las coordenadas principales? ¿C óm o se utilizan? 6.R »r q u é la s m atrices de m asa, am ortiguam iento y rigidez so n sim étricas? 7.¿Q ué es un nodo? 8 .¿Qué querem os d ecir p o r acoplam iento estático y dinám ico? ¿C ó m o s e puede elim inar e l aco-plamicnto d e las ecuaciones d e mov im iento? 9 . Defina la m atriz d e im pcdancia. 10.¿CÓmo puede h acer q u e un sistem a vibre e n uno de su s m odos naturales? 11.¿Qué es un sistem a degenerado? Proporcione d o s e je m p lo s d e sistem as físicos degenerados. 12.¿C uántos m odos degenerados puede tener un sistem a vibratorio? 13.¿C uál es la diferencia entre u n a función d e transferencia general y u n a función d e transferencia de frecuencia? 14.¿C uántas frecuencias naturales pueden s e r cero para un sistem a d e d o s grados d e libertad no restrin gido?

5.2

Indique si cada uno de los siguientes e nunciados e s v erdadero o falso: 1 .L os m odos n orm ales tam bién se conocen com o m odos principales. 2 . Las coordenadas generalizadas so n lincalm entc dependientes. 3 . l a s coordenadas principales se pueden considerar com o coordenadas generalizadas. 4 . La vibración de un sistem a depende d e l sistem a d e coordenadas. 5 . La naturaleza d e l acoplam iento d epende del sistem a d e coordenadas. 6 . l a s coordenadas principales evitan tanto el acoplam iento estático c o m o e l dinám ico. 7 . B uso de co o rd in a d as principóles ayuda a d eterm inar la resp u esta d e l sistem a. 8 . Las m atrices d e m asa, rigidez y am ortiguam iento d e un sistem a d e dos grados d e libertad so n sim é tricas. 9 . Las características d e un sistem a d e dos grados d e libertad se utilizan en e l diserto de un am ortigua dor d e vibración dinám ica. 10. Los sistem as sem idefinidos tam bién se conocen c o m o sistem as degenerados. 11. U n sistem a sem idefinido no puede te n e r frecuencias naturales no cero. 12. l a s coordenadas generalizadas siem pre se m iden con respecto a la posición d e equilibrio del cuerpo.



483

U.LX irantc la vibración libre, los diferentes grados d e libertad o scilan c o n ángulos d e fase diferentes. 14.r> irantc la vibración libre, los diferentes grados de libertad o scilan a diferentes frecuencias. 15.C orante la vibración libre, los diferentes grados de libertad oscilan c o n am plitudes diferentes. 16.Las am plitudes relativas de grados d e libertad diferentes e n un sistem a de d o s grados d e libertad dependen d e la frecuencia natural. 1 7.Los vectores m odales d e un sistem a indican los m odos n orm ales d e vibración. 18.EI polinom io característico d e un sistem a am ortiguado de d o s grados d e libertad se rá c u ad iático en J 2. 19. El polinom io característico d e un sistem a de das grados d e libertad puede s e r cuadrático e n A 20. l a s ecuaciones de m ovim iento d e un sistem a d e d o s grados d e libertad pueden expresarse e n función del desplazam iento d e cualquiera d e las d o s masas. 5J

Escriba e n los siguientes esp acio s que aparecen e n b lanco la palabra correcta: 1.La vibración libre d e un sistem a de d o s grados d e libertad som etido a u n a excitación inicial arbitraria se puede d eterm inar superponiendo los d o s m o d o s ________ d e vibración. 2.E3 m ovim iento d e un sistem a d e d o s grados de libertad se d escribe por m edio d e d o s coordenadas 3.C uando la frecuencia forrada e s igual a u n a de las frecuencias naturales d e l sistem a, ocurre un fenó m eno conocido c o m o _________ . 4. Las am plitudes y ángulos de fase s e determ inan a p artir d e las c o n d icio n es__________del sistem a. 5 .P a ra un sistem a to rsio n al_________y __________so n an álo g o s a las m asas y resortes lineales, resp ec tivam ente. de un sistem a d e m asa-resorte. 6 . El u so d e coordenadas generalizadas conduce a diferentes tip o s d e _________________________. 7 .U n sistem a sem idefinido tiene a l m enos un m ovim iento de c u e rp o ______________________. 8.EJ acoplam iento elástico tam bién se conoce com o a co p lam ien to . 9.F3 acoplam iento inercial tam bién s e conoce c o m o a co p lam ien to __________________ . 10. El acoplam iento de am ortiguam iento tam bién se conoce com o acoplam ien to ____________________. 11.L a s ecuaciones d e m ovim iento d e un sistem a s e r á n _________cuando se utilicen coordenadas prin cipales. 12.EI criterio d e Routh-H urw itz s e p u ed e utilizar p ara investigar l a ___________________tte un sistem a. 13.Las ecuaciones d e m ovim iento de un sistem a d e d o s grados d e libertad e stán desacopladas sólo cuando las m asas no e s t á n _____________________ conectadas. 14.L a vibración d e un sistem a sólo e n condiciones iniciales se llam a v ib rac ió n __________ . 15.La vibración d e un sistem a som etido a fuerzas externas s e llam a v ib ra c ió n _________. 16.EI orden d e un sistem a es e l m ism o que e l o rd e n del polinom io _____________ d e l sistem a. 17.L a respuesta d e un sistem a no restringido se com pone d e un m ovim iento d e cuerpo rígido y m ovi m iento _________ .

5 .4

Seleccione la respuesta m ás adecuada de entre las opciones dadas: 1. C uando un sistem a d e ctos gradas de libertad s e som ete a u n a fuerza arm ónica, el sistem a vibra a a.

la frecuencia d e la fuerza aplicada

b.

a una frecuencia natural m enor

c.

a una frecuencia natural m ayor

2. L os grados d e libertad de u n sistem a vibratorio dependen a.

de la cantidad d e m asas

b.

de la cantidad d e m asas y los grados d e libertad t k c a d a masa

c.

de la cantidad d e coordenadas utilizada p ara d escribir la posición d e cada masa

3. U n sistem a d e dos grados d e libertad tiene a.

un m odo norm al

b.

d o s m odos norm ales

c.

m uchos m odos norm ales


484

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d 4. Las ecuaciones de m ovim iento de un sistem a d e d o s grados d e libertad su elen ser a . acopladas b . desacopladas c . lineales 5 . l a im pcdancia m ecánica 7 n (ia>) es a . [m r, ) x + [ c „ ] x + [ * „ ]x b . ( K { iü l) ) c . -Cü:m „ + UúCff + * „ 6. La m atriz d e im pcdancia, q u e e s [Hita)], se p u ed e utilizar p ara d eterm inar la so lu ció n com o a . X = [ Z ( ir u ) ] - 1 7 0

b.

X = [Z(¡u)]F0

c . X = [Z (io » )]X 0 7 . La configuración de un sistem a que vibra a una de su s frecuencias naturales se llama a.

m odo natural

b. frecuencia natural

c . solución

8. L as ecuaciones de m ovim iento d e un sistem a d e d o s grados d e libertad su elen aparecer com o a . ecuaciones algebraicas acopladas b. ecuaciones diferenciales acopladas c . ecuaciones desacopladas &5

Cbrrclacionc los elem entos e n la s dos colum nas siguientes: 1.

5.6

A coplam iento estático.

a.

b. L as m atrices d e m asa y am ortiguam iento so n no diagonales

2.

A coplam iento inercial

3.

A coplam iento d e velocidad

4.

A coplam iento dinám ico

Sólo la m atriz de m asa e s no diagonal

c. Sólo la m atriz d e rigidez e s no diagonal d.

Sólo la m atriz d e am ortiguam iento e s no diagonal

Correlacione lo s d a to s de la colum na izquierda con las ecuaciones d e frecuencia d e la colum na derecha pora un sistem a d e s grados d e libertad reg id o por las ecuaciones de m ovim iento:

1 . J0 = l . k , = 2 2. JQ = 2, k , = 3. 4. 5.

J0 J0 J0

= X k ,= = I. *, = = 4 . *, =

W : - 2 k fi\

-

k,02 =

2J

+

k ,0 ¡

02

-

k fi,

0

= 0

I

a . 32o»4 - 20o»2 + 1 = 0 b. a»4 — 5o»2 + 2 = 0

2 4 I

c . o»4 - 10o»2 + 8 = 0 «L 8o»4 - 10o»2 + 1 = 0 e . 2o»4 - 5o»2 + 1 = O

problem as Sección 5.2 Ecuaciones de movimiento para vibración forrada 5.1

Derive las ecuaciones d e m ovim iento d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5.20.

5J

Derive las ecuaciones de m ovim iento del sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5 .2 1.


P r o b le m a s

485

*iW

>
F ig u ra 5 ¿ 0

F ig u ra 5J21

5J

r b s m asas m , y m2. cada una en lazada por d o s resortes d e rigidez *, e stán conectadas por u n a barra horizontal rígida sin m asa d e longitud /c o m o se m uestra en la figura 5.22. (a ) rXrrivc las ecu acio n es de m ovim iento d e l sistem a e n función d e l desplazam iento vertical d e l C .G . d e l sistem a, 4 0 . y la rotación alrededor d e l C .G . d e l sistem a, 0 (0 . (b ) H alle las frecuencias naturales de vibración d e l sistem a para m , = 5 0 kg, m ¡ = 2 0 0 k g y í = 1000 N/m .

/ / / /

5 .4

/ / / / / / / / y

'////

F igura 5 .2 2

lln sistem a de d o s m asas s e com pone d e un pistón de m asa m ,, conectado por d o s resortes clásticos, q j e se m ueven d en tro de un tu b o c o m o se m uestra e n la figura 5.23. U n pén d u lo d e longitud / y masa n u e n e l extrem o s e co n ecta a l pistón c o m o s e m uestra e n la figura 5.23. (a ) Derive las ecuaciones de


486

C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d m ovim iento d e l sistem a e n fu n ció n < lex|(í) y 0(i). (b ) D erive las ecuaciones d e m ovim iento d e l sistem a cu fu n ció n d e x ,( l) y x 2(r). (c ) Encuentre las frecuencias naturales d e vibración d e l sistema.

Sección 5.3 Análisis de vibración libre de un sistema no amortiguado 5.5

B tcu en tre la s frecuencias n a tu ra le s d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5.24, c o n m , = m ,m 2 = 2m, k , = k , y k2 = 2k. D eterm ine la respuesta d e l sistem a cu an d o k = 1000 N/m . m = 20 kg. y los valores iniciales d e los desplazam ientos d e las m asas m , y m 2so n 1 y — 1. respectivam ente.

F i g ó n 5 .2 3

F ig u ra 5.24

5.6

fo rm u le la s ecuaciones diferenciales d e m ovim iento p ara el d able péndulo d e la figura 5.25. utilizando coordenadas x t y x ¡ y suponiendo am plitutfcs pequeñas. Encuentre las frecuencias naturales, las rela ciones d e am plitudes y las ubicaciones de los nodos para los d o s m odos d e vibración cu an d o m t “ m 2 = m y t , = l2 = l.

5.7

Determ ine los m odos naturales d e l sistema q u e se m uestra e n la figura 5.26 cuando k¡ — k2 — ky — L

5.8

U na m áquina herram ienta d e m asa m = 1000 kg y m om ento d e inercia d e m asa J0 = 3 0 0 k g -m : está m ontada sobre d o s soportes elásticos, c o m o se m uestra en la figura 5.27. S i las rigideces d e los soportes kis proporcionan k t B 3000 N /m m y k 2 ■ 2000 N /m m . y los soportes están localizados en /, «* 0.5 m y l2 = 0 .8 m . encuentre la s frecuencias naturales y form as de m o d a d e la m áquina herram ienta.


P r o b le m a s

487

Figura 5.25

Figura 5.26

Figura 5.27

5 -8 -H

En la figura 5.28 s e m uestra una g rú a viajera eléctrica elevada, com puesta d e una v ig a, una carretilla y un cable. La viga tiene una rigidez flexional (E l) d e 6 X 1011 lb-pulg3 y un claro ( ¿ ) d e 3 0 pies, cable e s d e acero y su longitud (I) e s d e 20 pies, l o s p eso s d e la carretilla y la carga levantada son 8 000 Ib y 2 0 0 0 Ib. respectivam ente. Encuentre el área de sección transversal d e l c ab le de m odo que Secuencia natural fundam ental se a m ayor q u e 20 Hz.


C a p ítu lo 5


(a )

(b)

F igura 5 4 8

5 .1 0 Una grúa viajera elev ad a se m odela c o m o se indica e n la figura 5.28. Suponiendo q u e la viga tiene un d a ro de 4 0 m . un m om ento de inercia d e área ( / ) d e 0.02 m 4. y un m ódulo d e elasticidad (E ) efe 2.06 x 1 0 " N /m 2. l a carretilla tiene u n a m asa (m ,) d e 1000 k g . la m asa d e la c a rg a q u e se v a a levantar (m2) es de 5 0 0 0 kg y e l cable con el cual s e levanta la m asa (m: ) tiene una rigidez. (A) d e 3 .0 X 105 N /m , determ ine las frecuencias naturales y las form as de m odo d e l sistem a. 5.11

l a m áquina p ara talad rar que s e m uestra e n la figura 5.29< a)sc p u ed e m odelar c o m o un sistem a d e dos g ra to s de libertad com o s e indica en la figura 5.29(b). D ado que una fuerza transversal ap licada a la m asa m , o m asa m 2 la c e que a m b as m asas s e deform en, e l sistem a presenta acoplam iento elástico. L as rigideces a flexión d e las colum nas están dadas (consulte la sección 6.4 pora la definición de co eficien tes d e influencia d e rigidez) por 768 E l =

—

y

.

240 E l *12

=

*21

=

-

—

-jj-.

96 E l * 2

2

- y - j j -

Determ ine las frecuencias naturales d e la m áquina para taladrar.

(a)

F ig u ra 5 4 9 (Fotografía co rte sía de la división A tlas-Clausing).



489

E n la figura 5.30 se m uestran u n a d e las ru e d as y las m uelles d e un autom óvil que viaja p o r u n a carre tera c o n b ach es. Para sim plificar, s e su p o n e q u e todas las n ic d a s so n id én ticas y q u e e l sistem a puede idealizarse c o m o se m uestra e n la figura 5.31. El autom óvil tiene una m asa m ( — 1000 kg y la s m uelles tienen u n a rigidez total d e *, = 4 0 0 kN /m . L as ru e d as y lo s e je s tienen u n a m asa d e m , = 3 0 0 k g y las llantas tienen una rigidez d e k j = 500 kN /m . S i la superficie d e la carretera varía scnoidalm cntc con una am plitud d e Y = 0 .1 m y un periodo d e I = 6 m . encuentre las velocidades críticas d e l autom óvil.

F igura & 3 0

5 .1 3

Derive la ecu ació n de m ovim iento d e l péndulo d o b le d e la figura 5.25 utilizando las coordenadas 0, y 8¡. H alle tam bién la s frecuencias naturales y las form as de m odo del sistem a p ara m , = m2 = m e l¡ =

5 .1 4

Encuentre las frecuencias naturales y las form as de m odo d e l sistem a de la figura 5.24 p ara m , = m y * i = *2 = * .

5 .1 5

Los m odos n orm ales d e un sistem a d e d o s grados d e libertad son o rtogonales si

=

= 0.

D em uestre que las form as d e m odo del sistem a que se m uestra e n la figura 5 .5 (a ) son ortogonales. 5 .1 6

Encuentre la s frecuencias n a tu ra le s d e l sistem a d e la figura 5.6 p ara k¡ = 300 N/m . * , - 500 N/m . A, 200 N/m . m , = 2 k g , y m , = l kg.

5 .1 7

Encuentre la s frecuencias naturales y las form as d e m odo d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5.24 p ara m , - m , « 1 kg. A, - 2 0 0 0 N/m y *2 “ 6 0 0 0 N/m.

m , (Autom óvil)

Figura 5 ^ 1


C a p ítu lo 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s d e lib erta d 5 .1 8 Derive expresiones para los desplazam ientos d e la s m asas q u e aparecen en la figura 5.6 cu an d o m, ■ 25 Ib-s'/p u lg , i = 1. 2. y *, = 5 0 0 0 0 Ih-pulg. i = I , 2. 3. 5 .1 9 Para e l sistem a que se m uestra e n la figura 5.6, m , = 1 k g , m , = 2 kg, *, = 2 0 0 0 N /m , Aj = 1000 N /m . k j — 3 0 0 0 N/m . y a la m asa m , se le im parte una velocidad inicial
L a estructura d e un ed ificio d e d o s pisos s e m odela c o m o s e m uestra e n la figura 5.32. S e supone que las vigas so n rígidas y q u e las colum nas tienen rigideces flexionales E l\ y E h c o n m asas insigni ficantes. L a rigidez d e cada colum na se calcula com o 2 4 E l, T

'

, = 1' 2

Para m , = 2m , m2 = m , h t = h ¡ = h , y E l, = FJ; = E l, d eterm ine las frecuencias naturales y form as de m odo d e la estructura.

mj E}(0

1 El

FÁD

i i • 1 1

E l,

'■T 1i \\\\ 1 £/, / *t1 El,

m>

T^T

5 .2 2

*T

1

F ig u ra 5.32

1.a figura 5.33 m uestra un sistem a tfc d o s m asas sujetas a una cuerda firm em ente estirada, fija p o r a m bos extrem os. D eterm ine las frecuencias naturales y form as de m odo d e l sistem a para m , = m , = m y

F ig u ra 5 .3 3


P r o b le m a s

491

5 .2 3

Encuentre los m odos norm ales d e l edificio de d o s pisos q u e se m uestra e n la figura 5.32 cuando m , = 3 m , m , = ro, A, = 3*, y A, = *, donde *, y k 2 representan la s rigideces equivalentes de la s colum rn s superior c inferior, respectivam ente.

5.24

Un polipasto, q u e tiene un peso IV,. está m ontado e n e l extrem o de una viga d e acero en v o la d i/o de espesor i. a n ch o a y longitud b . c o m o se m uestra en la figura 5 .3 4 . El cable e s d e acero y tiene un d iá m etro d y una longitud suspendida d e /. S i la carga que pende d e l extrem o del c ab le es IV,, d erive las expresiones para las frecuencias naturales d e l sistem a.

IV, (b)

F ig u ra 5 .3 4

5 2 5 . D eterm ine las condiciones iniciales d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5.24 por las c u a le s e l sistem a vibra sólo a su frecuencia natural m ás b aja para los datos siguientes: *, = k ,k 2 = 2Á .m , = m ,m ¡ = 2m. 5 .2 6 Al principio, e l sistem a q u e se m uestra en la figura 5.24 se altera a l m antener estacionaria la m asa m , y desplaza 0 .1 m hacia abajo a la m asa A nalice la naturaleza d e l m ovim iento resultante d e l sistem a. 52 7

D iseñe la viga e n voladizo q u e soporta e l polipasto y e l cable que soporta la carga e n e l problem a 5.24 para te n e r las frecuencias naturales d e l sistem a m ay o res d e 1 0 H z cu an d o IV, = 1 0 0 0 lb y IV, = 5001b, b = 30 pulg y / = 6 0 pulg.

5 .2 8

Encuentre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a d e d o s g ra d o s d e libertad q u e s e m uestra en la figura 5.6 c o n n = I , * = 8. y m = 2 para las condiciones iniciales x ,(0 ) = I , y x2(0 ) = x ,(0 ) = 0 y ¿ / O ) = 1.

5 .2 9

Encuentre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a d e d o s grados de libertad que se m uestra e n la figura 5.6 c o n n = I . * = 8 y m = 2 e n las condiciones iniciales x ,(0 ) = 1 y x ^ O ) = x ,(0) = x / O ) = 0.

5J O

U tilizando los resultados d e l ejem plo 5.1. com pruebe que las form as d e m odo satisfacen las siguientes relaciones c onocidas c o m o relaciones d e ortogonalidad: * < '> ' x M = o .

X = 0.

X<,,'[ m ] X (,) = e , = constante

X (3)r[m ]X <21 = c j = constante X<')T[* ]X » ) = c - f c

X<2>T[*]X<2> = cjai}

5 J 1 Dos péndulos idénticos, c a d a uno con m asa m y longitud /. e stán conectados p o r un resorte d e rigidez * a u n a distan cia d d e l extrem o fijo, com o se m uestra e n la figura 5.35. a . Derive las ecuaciones d e m ovim iento d e las d o s masas. b . Encuentre la s frecuencias naturales y la s form as de m odo d e l sistem a. C. Encuentre la respuesta d e vibración libre del sistem a en las condiciones iniciales 0 ,(0 ) = a . 0j(O ) = 0 . 8 ,(0) = 0 y 0 j(O) = 0, d . D eterm ine las c o n d icio n es < j)c n las cuales e l sistema p resenta un fenóm eno d e pulsación.


492

C a p ítu lo 5


Figura

532

535

0 sistem a m otor-bom ba d e la figura 5.36
F ig u ra 5 .3 6 S istem a de m o to r-b o m b a so b re resortes.

5 .3 3

E n la figura 5.37 se m uestra un a v ió n estacionado e n la pista d e aterrizaje. E l a v ió n tiene u n a m asa m = 2 0 0 0 0 kg y un m om ento d e inercia de m asa 70 = 50 X I06 kg-m*. S i los valores d e rigidez y cons tante de am ortiguam iento so n k i = 10 kN /m y c i = 2 kN -s'm para e l tren d e aterrizaje principal y - 5 kN/m y c? - 5 kN -s/m p ara e l tren d e aterrizaje d e n ariz o delantero (a ) d e riv e la s ecu acio n es de m ovim iento d e l av ió n , y (b) en cu en tre las frecuencias naturales no am ortiguadas d e l sistem a.

Figura 5 .3 7


P r o b le m a s 5-34

493

L a s m atrices d e m asa y rigidez, y las form as d e m odo d e un sistem a d e d o s grados de libertad están d id a s por

M

Si la prim era frecuencia natural la p roporciona o», ■ 1.7000. deten n in e los coeficientes d e rigidez k¡2 y ¿22 y >a segunda frecuencia natural d e vibración, cu,. 53 5

l a s m atrices d e m asa y rigidez y las form as de m odo d e u n sistem a d e d o s g ra d o s d e libertad son

[m] =

m|

0

0

m?

S i la prim era frecuencia natural la p roporciona w , = 1.4142, d eterm ine las m asas m , y m2y la segunda Secuencia natural d e l sistem a. S e c c i ó n 5 .4 s i s t e m a t o r s i o n a l 5 -3 6

D etennine las frecuencias naturales y los m odos n orm ales d e l sistem a torsional que s e m uestra en la figura 5.38 p ara ka = 2*,, y J 2 = 27,.

F igura 5 .3 8

5 .3 7

D eterm ine la s frecu en cias naturales d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 5.39 suponiendo que cuerda que p a sa sobre e l cilindro no se resbala.

Figura 5Ú19


494

C a p ítu lo 5


5-38

B icu en tre las frecuencias naturales y las form as d e m odo d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 5.8(a) suponiendo q u e i , = J0, A = 2/0 y

5.39

= kt l = kÍ S = k r

Determ ine los m odos norm ales d e l sistem a torsional q u e se m uestra e n la figura 5.9 cu an d o kn = kr ^ = 5*r 7, = J 0 y J 2 = SJ0.

Sección 5.5 Acoplamiento de coordenadas y coordenadas principales 5.40

U n m odelo sim plificado d e l vehículo m ilitar d e la figura 5.40(a) s e m uestra e n la figura 5.40
Masa amortiguada (carnicería d e l vehículo)

X

»

Resortes Resortes J d e suspensión

f

o

M asa no am ortiguada (tren rodante)

« ' a / 1 A m ortiguadores

(a ) Vehículo m ilitar

(b) M odelo simplificado

F igura 5.40

5.41

Fncucntre las frecuencias naturales y las relaciones d e am plitud d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 5.41.

5.42

U n cuerpo rígido d e m asa insignificante y longitud 21 gira alrededor d e l punto m edio y está restringido pora m overse en e l plano vertical p o r resortes y m asas, c o m o se m uestra e n la figura 5.42. E ncuentre las frecuencias naturales y las form as de m odo d e l sistem a.

5.43

U n perfil aerodinám ico d e m asa m pende d e un resorte lineal d e rigidez. A y u n resorte torsional d e rig i dez * ,e n un túnel de viento, com o se m uestra en la figura 5.43. El C .G . se en cu en tra a una distancia de e a partir del punto O. El m om ento de inercia de m asa d e l perfil aerodinám ico con respecto a un eje que pasa por e l punto OcsJ<> Encuentre las frecuencias naturales d e l perfil aerodinám ico.


P r o b le m a s

495

F i g ó n 5 .4 2

F igura 5 .4 3

5 .4 4

L a s ju m a s d e expansión d e u n a c airele ra d e concreto, las cuales s e u bican a intervalos d e 15 m , generan una serie de im pulsos que afectan a los autom óviles q u e viajan a una velocidad constante. Determ ine las velocidades a la s cuales es m ás probable q u e se presenten un m ovim iento d e rebote y un m ovim iento de cabeceo pora e l autom óvil d e l ejem plo 5.7.

5 .4 5 C on sid ere la g rú a viajera elevada descrita e n e l problem a 5.9 (figura 5.28). S i los rieles a a m b o s lados d e la v ig a tienen una superficie senoidalm ente variable en la dirección z (perpendicular a la página), co m o se m uestra e n la figura 5.44. form ule las ecu acio n es y las c o n d icio n es iniciales para d eterm inar la respuesta d e vibración d e la carga levantada (m) e n la dirección vertical. S uponga q u e la velocidad de la g rú a e s de 30 pics/m in e n la dirección z.

Figura 5 .4 4

5 .4 6 S e m odela un autom óvil con u n a capacidad d e m ovim ientos d e cab eceo y rebote, com o se m uestra e n la fig u ra 5.45. V ia ja p o r una c a rre te ra c o n b ach es c u y a superficie varía scnoidalm ente con una am p litu d d e 0.05 m y u n a longitud d e o n d a d e 10 m . D erive las ecu acio n es d e m ovim iento del au to m óvil para los sig u ien te s datos: m asa - 1000 kg. radio d e giro - 0 .9 m ./ , — 1.0 m . I2 = 1.5 m . k¡ = 18 kN /m , k , = 22 k N /m . velo cid ad - 5 0 km /h.


496

C a p ítu lo 5


R cbolc

F igura 5 .4 5

5 .4 7

Una flecha de acero, d e 2 pulg d e diám etro, está soportada p o r d o s cojinetes y p o rta u n a p olea y un iro to r, corno se m uestra e n la figura 5.46. L os pesos d e la p olca y el m o to r so n d e 2 0 0 Ib y 500 Ib, respectivam ente. Una carga transversal aplicada en cu alq u ier punto a lo largo d e la flecha pro d u ce la deform ación d e lodos los p u n to s en la flecha, p o r consiguiente e l sistem a p resenta acoplam iento e lá s tico. Los coeficientes d e rigidez, son (v ea la sección 6 .4 p ara la definición d e coeficientes d e influencia de rigidez) 1296 E l * » - — 7 .

.

, =

324 E l = — y .

, 216 E l * « - T 7

D eterm ine las frecuencias naturales d e l sistem a som etido a vibración d e flexión p ara / “ 9 0 pulgadas.

M ea

I*

M otor

3 --------+ ---------3 ---------- + ----------- 3 -----------H

F ig u ra 5 ^ 6

5 .4 8 E n la figura 5.47 se m uestra u n m odelo sim plificado d e u n a bicicleta d e m ontaña ju n to con el ciclista. Plantee m éto d o s p ara hallar la respuesta vibratoria d e la bicicleta d eb id o a la s irregularidades d e l terreno aplicando un m odelo de d o s grados d e libertad. 5 .4 9 U na ba rra rígida uniform e de longitud I y m asa m está soportada por d o s resortes y som etida a una fuerza F (t) — F0 sen utl, c o m o se m uestra e n la figura 5.48(a). Derive las ecuaciones d e m ovim iento de b ba rra pora desplazam ientos pequeños, ( b ) A nalice la naturaleza d e l acoplam iento e n e l sistem a.


P r o b le m a s

j f ( > ) = Fosen K

B a n a rígida

O

R*

f S 2*

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 .\

5 .5 0

497

F ig u ra 5 .4 8

Un rem olque de m asa M . conectado a un m uro por m edio de un resorte d e rigidez * y un am ortiguador cfc coeficiente d e am ortiguam iento c , se desliza sobre una superficie libre d e fricción, c o m o s e m uestra o í la figura 5.49. Una barra rígida, conectada por m edio d e un pasador al rem olque, puede o scilar en lo m o a l p ivote O. D erive las ecuaciones de m ovim iento d e l sistem a som etido a las fuerzas aplicadas F \i) y M ,(t) indicadas e n la figura 5.49.

F ig u ra 5 .4 9


498

C a p ítu lo 5


5 .5 1

U n rem olque d e m asa M conectado a un m uro por m edio d e un resorte de rigidez p u ed e m overse sobre u n a superficie horizontal libre d e fricción, c o m o se m uestra e n la figura 5.50. U n cilindro uniforn * d e m asa m . conectado a la pared d e l rem olque por m edio de un resorte d e rigidez k2. puede rodar sobre e l piso d e l rem olque sin resbalarse. D erive la s ecuaciones d e m ovim iento del sistem a y analice la naturaleza d e l acoplam iento presente e n e l sistem a.

S e c c i ó n 5 .6 A n á lis is d e v i b r a c i ó n f o r z a d a 5 .5 2 Los p eso s d e l m azo, m arco, y u n q u e (junto c o n la pieza de trabajo) y bloque d e cim entación e n una prensa d e forja (figura 5 3 1 ) so n 5 0 0 0 Ib, 4 0 0 0 0 Ib. 6 0 0 0 0 Ib y 140000 Ib. respectivam ente.

V ?77 / r / / ;

F igura 5 .5 0

F ig u ra 5.51

L as rigideces d e la base elástica co lo cad a entre e l yunque y e l blo q u e d e cim entación y e l aislam iento colocado d ebajo d e la cim entación (incluida la elasticidad d e l suelo) c o n 6 X 106 lb/pulg y 3 X 10-' Ib/pulg, respectivam ente. S i la velocidad d e l mazo an te s d e q u e g olpee e l yunque e s de 15 pics/scg. encuentre (a ) la s frecuencias naturales d e l sistem a, y (b ) la s m agnitudes d e l desplazam iento d e l yunque y el blo q u e d e cim entación. C onsidere e l coeficiente de restitución c o m o 0 .5 y e l am ortiguam iento insignificante e n e l sistema.


P r o b le m a s 5 .5 3

499

Encuentre (a ) las frecuencias naturales d e l sistem a, y (b ) la s respuestas d e l yunque y d e l blo q u e d e c im e n tación d e l m artillo d e forja d e la figura 5.51 cuando e l cronogram a d e la fuerza ap licada a l yunque es como se m uestra e n la figura 5.52. Suponga los siguientes datos: M asa d e l yunque y e l m arco = 200 Mg M asa d e l bloque d e cim entación = 250 Mg R igidez de la base elástica 150 M N/m R igidez del suelo = 75 M N/m F0 = 10» N y T = 0.5 s

F{t)

5 .5 4

D eríve las ecu acio n es d e m ovim iento p ara la vibración libre d e l sistem a que se m uestra e n la figura 5 5 3 . S uponiendo la solución com o x f,i) = C¡e*", i = 1 ,2 , ex p rese la ecu ació n característica e n la form a ü(,i '

+ a (j 3 + a

+ a ¡s + 04 = 0

A nalice la naturaleza d e las posibles soluciones. * ,(/) y *,(/).


500

C a p ítu lo 5


5.55

E ncu én trelo s desplazam ientos .i|( /) y x?( 0 e n la figura 5.53 p a ra /ri| *■ 1 k g .m 2 - 2 k g .* , = *2 ”

“

10000 N /m , y c , = c2 = Cj = 2 0 0 0 Ñ -s/m utilizando la s condiciones iniciales * ,(0 ) = 0 .2 m , x2(0) = 0.1 m , y j , ( 0 ) = ¿ 2(0) = 0.

5.56

Una bo m b a centrifuga, q u e tiene un desbalance d e m e, está apoyada e n una cim entación rígida d e masa m2 m ediante resortes aisladores d e rigidez * ,,c o m o s e m uestra e n la figura 5 3 4 . S i la rigidez d e l suelo y e l am ortiguam iento so n *2 y Cj, en cu en tre los desplazam ientos de la bo m b a y la cim entación c o n los siguientes datos: m g = 0.5 Ib. e = 6 pulg. = 800 Ib .* , = 2000lb/pulg.m 3¿> = 2 0 0 0 1 b , *, - I 000 Ib/pulg, Cj - 2 0 0 lb-s/pulg y velocidad d e la bo m b a = 1200 rpm .

(rigidez. *;. am ortiguam iento, c ,)

5 .5 7

F ig u ra 5.54

U n m o to r reciprocante d e m asa m , está m ontado sobre un viga doblem ente em potrada d e longitud /. ancho a ,e s p e s o r / y m ódulo d e Y o u n g £ ,c o m o se m uestra e n la figura 5.55. U n sistem a d e resorte-m asa (*> m 2) está suspendido d e la v ig a com o se indica e n la figura. E ncuentre la relación e n tre m 2 y *2 que conduzca a una vibración d e e stad o no estable d e la v ig a cu an d o s e d esarro lla una fuerza arm ónica F t(t) = F0 c o s «u/en e l m otor durante su operación,4

5.58 Encuentre la respuesta d e estado estable d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 5.24 por m edio del m é todo d e im p td an cia m ecánica, cuando la m asa m , se som ete a la fuerza F (i) = F0 sen toi e n la dirección < fc* i< 0 .

5 .5 9 Encuentre la respuesta d e estado estable d e l sistem a que s e m uestra e n la figura 5.24 cuando la b a se se som ete a un desplazam iento y (i) — Y0 e o s wi. 5 .6 0

La m asa m i d e l sistem a d e d o s grados
5 .6 1

Determ ine la vibración de e stad o estable d e l sistem a que s e m uestra e n la figura 5.5
5.62 E n el sistem a d e la figura 5 .2 4 , a la m asa m , la excita u n a fuerza arm ónica que tiene un v a lo r m áxim o 50 N y una frecuencia d e 2 Hz. E ncuentre la am plitud forzada de cada m asa p ara m , = 10 kg. «12 = 5 kg, k¡ = 8 0 0 0 N /m y * , = 2 0 0 0 N/m .

-*El sistema de resorte-masa (kj, mj)agregado para que la amplitud de la primera masa sea cero se conoce como “absorbedor de vibración”. En la sección 8.11, se analizan en detalle los absorbedores de vibración.


P r o b le m a s

501

m,

Figura 5 .5 5

5 .6 3

5 .6 4

E ncuentre la respuesta d e la s d o s m asas d e la estructura del edificio d e d o s p iso s q u e se m uestra e n la figura 5.32 p o r el desplazam iento del su e lo y(r) = 0 .2 sen ir t m. S uponga q u e las rigideces equivalentes d ; la s colum nas inferior y su p e rio r so n d e 8 0 0 N /m y 6 0 0 N/m . respectivam ente, y m , = m ; = 5 0 kg. Encuentre la respuesta d e vibración forzada d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 5.15 cu an d o F ,(i) e» u n a fuerza escalonada d e 5 N utilizando e l m étodo d e la transform ada de L aplace. S uponga que i,< 0 ) = i , ( 0 ) = xjíO ) = i 3(0) = 0 ,m = 1 k g y * = 100 N/m .

Sección 5.7 sistemas semldeflnldos 5 .6 5

Determ ine las ecuaciones d e m ovim iento y las frecuencias naturales d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 5.56.

5 .6 6

Dos cilindros circulares idénticos d e ra d io r y m asa m c a d a uno e stán conectados p o r un resorte, com o se m uestra e n la figura 5.57. D eterm ine las frecuencias naturales d e oscilación d e l sistem a.

5 .6 7

Las ecuaciones diferenciales de m ovim iento p ara un sistema d e (tos grados d e libertad e stán dadas por a i i 'i + b\X\ + c |*2 = 0 f l j x j + b j x 1 + C&2 = 0 D erive la condición q u e d eberá satisfacerse p ara q u e e l sistem a sea degenerado.

Figura 5 5 6


C a p ítu lo 5


‘Ñ

\

\

\

\

\

%\ \ \ \ \ '< V \ \ \ N \

F ig u ra 5-57

5 .6 8 Encuentre los desplazam ientos angulares fl,(í) y 02(í) d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 5.58 para b s condiciones iniciales 0 ,(/ = 0 ) = 0 ,(0 ), 02(t = 0) = 0?(O) y Ó, (i = 0 ) = 02 (i = 0 ) = 0.

F ig u ra 5 .5 8

5 .6 9 D eterm ine los m odos n orm ales d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 5.9 para k ,, = 0. D em uestre que e l sistem a c o n kt¡ = 0 se puede tratar c o m o un sistem a d e un solo grado d e libertad si se u tiliza la coordenada a = Q, — 02. 5 .7 0 U na turbina está co nectada a un g e n era d o r eléctrico p o r m edio d e en g ran es, c o m o se m uestra e n la figura 5.59. Los m om entos de inercia d e m asa d e la turbina, generador, engrane 1 y engrane 2 so n . res pectivam ente. 3 0 0 0 , 2 0 0 0 , 5 0 0 y 10 0 0 kg-m 2. L as flechas 1 y 2 so n d e acero c o n diám etros d e 3 0 cm y 10 c m y longitudes de 2 c m y 1.0. respectivam ente. E ncuentre las frecuencias naturales d e l sistem a. 5 .7 1

U n globo d e aire caliente de m asa m se u tiliza p ara levantar una carga, M g, p o r m edio d e 12 cuerdas clásticas equidistantes, cada u n a d e rigidez * < v e a la figura 5.60). E n cu en tre las frecuencias naturales de vibración del globo e n la dirección vertical. M encione las suposiciones hechas e n su solución y an alice su validez.

5 .7 2 Una turbina d e m om ento d e inercia d e m asa d e 4 Ib-pulg-seg2 está co nectada a un g enerador d e m om en to de inercia d e m asa d e lb-pulg-scg2 por m edio de u n a flecha d e acero h ueca d e I pulg de diám etro in terno, 2 pulg d e diám etro ex te m o y 15 pulg d e longitud (sem ejante a l sistem a que se m uestra e n la figura 5 .17(c». S i la turbina se detien e d e repente m ientras sum inistra 10 caballos d e fuerza a una velocidad de 6 0 0 0 rpm . e l p a r d e torsión transm itido s e reduce a cero. Encuentre los desplazam ientos angulares resultantes d e la turbina y e l gencrattor. S uponga q u e e l am ortiguam iento e s insignificante en e l sistem a.

Engrane 1,20 dientes

TUrbina

E n g ran e 2 .3 0 d ie n te s


F ig u ra 5 .5 9

P r o b le m a s

5 .7 3

503

La figura 5.61 m uestra un autom óvil d e 3 0 0 0 Ib acoplado a un rem olque por m edio d e un enganche flexible c o n rigidez d e 1000 Ib'pulg. Suponiendo q u e tanto e l autom óvil com o e l rem olque pueden m o verse librem ente e n la carretera, determ ine las frecuencias naturales y las form as d e m odo d e vibración d e l sistem a.

5 .7 4

Encuentre la respuesta d e l sistem a autom óvil-rem olque descrito e n e l problem a 5.73 si los valores de desplazam iento y velocidad iniciales so n 6 pulg y 0 pulg/seg p ara e l autom óvil y d e - 3 pulg y 0 pulg/ seg para e l rem olque.

F ig u ra 5.61

5 .7 5

Dos p o lcas so n propulsadas p o r una b an d a c o m o se m uestra e n la fig u ra 5 .6 2 . S i lo s radios d e las polcas son r , y r 2 y su s m om entos de inercia de m asa so n / , y J 2. respectivam ente, determ ine las frecuencias naturales d e l sistem a de propulsión d e las poleas. S uponga la rigidez d e la banda e n cada lado com o Ac o m o s e indica e n la figura 5.62.

Banda


504

C a p ítu lo 5


Sección 5.8 Autoexcitación y análisis de estabilidad 5 .7 6

Las vibraciones transitorias d e la línea d e transm isión desarrolladas d urante la aplicación de un em bra gue cónico (d e fricción) producen un ruido desagradable. Para reducir e l ruido se co n ecta un volante con m om ento d e inercia d e m asa / 2 “ 'a línea d e transm isión p o r m edio d e un resorte torsional k # y un am ortiguador viscoso torsional e s c o m o s e m uestra e n la figura 5.63. S i e l m om ento d e in ercia d e masa del e m b rag u e cónico e s 7, y la rigidez y constante de am ortiguam iento d e la línea d e transm isión los proporcionan klt y crt. respectivam ente, derive la s relaciones q u e d eb en satisfacerse p ara la operación estable d e l sistem a.

F ig u ra 5 .6 3

5.77

l)n a barra rígida uniform e d e m asa m está conectada a la pared d e un rem olque por m edio d e un resorte d e rigidez k (v ea la figura 5.64). El rem olque tiene u n a m asa d e 5 m y está conectado a un re so n é de rigidez 2*. y se m ueve sobre una superficie libre de fricción. Derive las condiciones necesarias p ara la estabilidad d e l sistema.

F ig u ra 5 .6 4

5 .7 8

U n sistem a de d o s grados d e libertad se com pone d e las m asas m x y m : conectadas a u n am ortiguador y a un resorte c o m o se m uestra e n la figura 5.65. S i la m asa m , se som ete a una fuerza proporcional a su velocidad. f t(t) = tii|( r ) , determ ine la s condiciones p ara la estabilidad d e l sistem a.

/.(o m, 7777777?

^///s

w )

— / 0tXXXX5v -—

*r

m

- o

m?

777777777777777777% 7777^7777


Figura 5 .6 5

P r o b le m a s

505

S e c c ió n 5 .9 M é t o d o d e la f u n c ió n d e t r a n s f e r e n c ia 5 .7 9

Derive las ecuaciones diferenciales d e m ovim iento tfc cuarto orden d e l sistem a d e d o s g ra d o s d e liber tad d e la figura 5.7 (a ) en función de x , (/) o x2( l ) p o r separado. S ugerencia: Tom e las transform adas inversas d e L aplacc de las ecuaciones (5.56) y (5.57).

5710 a . S u g iera un m étodo d e reso lv er las ecu acio n es diferenciales de cuarto o rd e n derivadas e n e l problem a 5.79 (e n función d e x ,(f) y xj(l)). b . ¿C óm o podem os ap licar la s condiciones iniciales c o n o c id a s x , ( 0 ) ,x 2(0). ¿ ,( 0 ) y x2(0) m ientras se resuelve la ecu ació n diferencial d e cuarto orden en función d e x ,(/)? 5711

Derive exp resio n es para la transform ada d e L aplace d e X |(í) y x2(/) para el sistem a que s e m uestra e n la figura 5.5
5712

D rrivc exp resio n es para la transform ad! d e L aplacc d e x,(r) y x2(/) para e l sistem a que s e m uestra e n la figura 5.5(a) para los d a to s siguientes: " i | = 1, m 2 = 2, A| = 4, *2 = 2, k3 = 0, C| = 1. c¡ = 2, c j = 0. f i ( 0 - 0 . / j (/) = F quV ) =- función escalonada. S uponga las c o n d icio n es iniciales d e x ,(/) y x2(í) com o cero.

Sección 5.10 soluciones obtenidas aplicando la transformada de Laplace 5 .8 3

Encuentre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a d e la figura 5 .5 (a ) siguiendo e l m étodo d e la trans form ada d e L aplace para lo sd a to s siguientes: m , - 2 ,m ; - 4 . A, = 8. k 2 “ 4 . Aj = O .c, = 0 . e* - 0. c 3 - 0. Suponga las condiciones iniciales com o x ,(0 ) = l . x2(0 ) = 0. i , ( 0 ) = ¿j<0 ) = 0 . T race las respuestas x ,(r)y x j(r).

5 J I4

Encuentre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a de la figura 5.5(a) siguiendo e l m étodo d e la transform ada d e L aplacc para los datos siguientes: m , = 2 . m 2 = 4. A, * 8, k 2 = 4 . A, - 0 . c , - 0. c2 = 2 . c , = 0 . S uponga las c o n d icio n es iniciales c o m o x ,(0 ) = l , x 2(0 ) = 0 . ¿ ,( 0 ) = ¿ j( 0 ) = 0 . Trace las respuestas X |(r) y x ¿ t) .

5715

Encuentre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a d e la figura 5 .5 (a ) siguiendo e l m étodo d e la trans form ada d e L aplacc para los d a to s siguientes: m , = 2, m 2 = 8, A, = 8. A: = 4 , A, = 0 . c , = 0 . c2 = 0. c3 = 0. S uponga las condiciones iniciales c o m o x ((0 ) = I . x2(0 ) = 0, y ¿ i( 0 ) = xÔ ) = 0. T race las respuestas x ,(/) y x j(/).

5716 Encuentre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a d e la figura 5 3 ( a ) con e l m étodo d e la transform ad» d e la p la c c con los d a to s siguientes: m , = 2 . m 2 = 8. A, = 8. k , = 4 . A, = 0, c , = 0 , c 2 = 0, c , = 0. Suponga la s condiciones iniciales com o x ,(0 ) = 1. x2(0 ) — 0. ¿ |( 0 ) — xÔ ) - 0 . T race las respuestas x ,( / ) y x 2(/). 5717

Encuentre la respuesta d e l sistem a que se m uestra e n la figura 5.66 c o n m , = 2, m 2 = 1. A, = 40 y A2 = 2 0 p ara la s siguientes condiciones iniciales por m edio d e la transform ada d e Laplace: i.

x , ( 0 ) = 0.05. x2(0 ) = 0.10, x ,( 0 ) = 0. x2(0 ) = 0

ü . x , ( 0 ) - 0.10. x , ( 0 ) = - 0 .0 5 . x ,( 0 ) = 0 . x , ( 0 ) = 0


506

C a p ítu lo 5


F ig u ra 5 .6 6

Sección 5.11 Soluciones obtenidas utilizando funciones de transferencia de frecuencia 5 .8 8 Encuentre la respuesta d e e stad o estable d e l sistem a considerado en e l ejem plo 5 .13 suponiendo />,(/) y p ¿ t ) = P0 sen tur y pasando por alto e l am ortiguam iento. 5 .8 9 Encuentre la resp u esta cfc estado estable d e l sistem a considerado e n e l ejem plo 5.13 suponiendo que P \(t) = Pot sen tu re y p ,( l ) = /*02 sen tur y pasando p o r alto e l am ortiguam iento.

Sección 5.12 Ejemplos resueltos utilizando m a tla b 5 .9 0 B icuentre la respuesta del sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5.5(a) por m edio d e un procedim iento nutrérico cuando k , = * . * ? - 2*. ky => A. m , ^ 2 m . m , = m , F¡(t) ~ 0 . y F i(/)c s un pulso rectangular de 500 N de m agnitud y 0.5 seg de d u ra c ió a Suponga q u e m = 10 kg. ct = c7 = cy = 0, y * = 2 0 0 0 N/m y c o n d icio n es iniciales cero. 5.91

(a) Determ ine las raíces d e la ecuación d e frecuencia d e l sistem a que s e m uestra e n la figura 5.5 con los siguientes datos: m , a m 2 m 0 .2 Ib-s?/pulg, k , “ Aj m 18 Ib/pulg. k j a 0 . c¡ a c 2 “ c3 ■ 0. (b ) Si b s condiciones iniciales s o n x ,( 0 ) = x j( 0 ) = 2 pulg, ¿ ,( 0) = i 2(0) = 0, determ ine los desplazam ientos * ((/) y x j( r ) d e la s m asas.

5 .9 2 Isc rib a un program a d e computad»™ pora hallar la respuesta de estado estable de un sistem a d e d o s g n i etos d e libertad sometkk» a la excitación arm ónica Fj(i) = F ¡y e ^ y j = 1, 2 por m edio d ‘ la s ecuaciones (5.29) y (5.35). U se este program a para determ inar la respuesta d e un sistem a c o n m M - 0.1 lb-s-/ P«lg. m u = 0, c , | = 1.0 Ib-s/pulg, c ,2 = c22 = 0 . A„ = 4 0 Ib/pulg, Aj2 = - 2 0 Ib/pulg, A,2 = 2 0 Ib/pulg, F 10 = 1 Ib. F 20= 2 Ib y u = 5 rad/s. 5 .9 3

Encuentre y trace las respuestas de vibración libre d e l sistem a que s e m uestra e n la figura 5 .2 4 para los siguientes datos: A| = 10 0 0 N/m , Aj = 500 N/m , m , = 2 k g , m ¡ = 1 kg. * |( 0 ) = 1, x ¿ 0 ) = 0. ¿ 2(0) = 0.

5 .9 4 Encuentre y trace las respuestas de vibración libre del sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5 .2 4 para los siguientes datos: A, = 1 0 0 0 N /m . k 7 = 500 N /m . m , = 2 k g . m2 = 1 k g . x ,(0 ) = l . x 2(0) = 2. .¿,(0 ) = 1. ¿ 2( 0 ) ■ —2. 5 .9 5

5 .9 6

Resuelva e l siguiente problem a d e v a lo r eigen utilizando M A TLAB: 2 5 x I0 6

- 5 X 106 1

- 5 x I0 6

5 X I0 6

U 1

2f 10000

0 I fxA

Ju;=". o soooJUJ

Im c u c n trc y trace la re sp u e s ta d e l s ig u ie n te sis te m a d e d o s g ra d o s d e lib e rta d u tiliz a n d o M A T L A B :

[;

ílfc H r»} http://librosysolucionarios.net


507

L a s c o n d ic io n e s in ic ia le s s o n jtg(0) = I , i ((0> = 0 . X j(0 ) = — I y ¿ ?( 0 ) = 0.

5 .9 7

Resuelva e l problem a 5 .9 0 utilizando M A TL A B . U se la función siepfun d e M A TL A B para e l pulso rectangular.

5 .9 8

Resuelva e l problem a 5.91 (a) utilizando MATLAB.

5 .9 9

Resuelva e l problem a 5.92 utilizando M A TL A B . T race las respuestas d e e stad o estable d e las masas m il y « 22-

5 .1 0 0 U tilizando M A TLAB. encuentre las raíces d e la ecu ació n x* - 32*3 + 244x* - 2Q r - 1200 = 0.

Proyectos de diseño 5 .1 0 1

S e u tiliza una p olea cónica escalo n ad a con p ropulsiónde b an d a (figura 5 .6 7 ) para cam b iar la s velocida des d e corte e n un tom o. La velocidad d e la flecha m otriz e s d e 350 ip m y las velocidades de la flecha de salida son 150. 250, 4 5 0 y 750 rpm . L os diám etros d e la s poleas propulsora y propulsada, corres pondientes a una velocidad d e salida de 150 rpm e s d e 250 m m y 1 0 0 0 m m . respectivam ente. La distancia centro a centro entre las flechas es d e 5 m . Los m om entos d e inercia d e m asa d e los conos escalonadas propulsor y propulsado so n d e 0.2 kg-m 7. respectivam ente. Encuentre e l área d e sección transversal de la banda para e v ita r resonancia a cu alquiera de las velocidades d e entrada/salida del sistem a. Suponga e l m ódulo d e Y oung d e l m aterial d e la handa c o m o 1010 N /m 7.

Figura 5 .6 7

5 .1 0 2

l a s m asas d e l m azo, m arco (junto con el yunque y la pieza d e trabajo) y e l bloque d e concreto en la prensa d e forja q u e se m uestran e n la figura 5.51 so n de 1000 kg. 5 0 0 0 kg y 25 0 0 0 k g . respectivam ente. □ m azo c a e sobre la pieza d e trabajo d e sd e una a ltu ra d e 2 m . D iseñe resortes adecuados * | y k; p ara las siguientes condiciones: (a ) El im pacto e s no elástico, es decir, e l m azo no rebota después d e g o lp ea r la pieza d e trabajo, (b ) L as frecuencias naturales d e vibración d e la p re n sa d e forja no deben s e r m ayores q jc 5 Hz. (c ) l o s esfuerzos e n los resortes d eb en s e r m enores q u e el esfuerzo d e ccdcncia d e l material con un factor d e seguridad d e a l m en o s 1.5. Suponga q u e la elasticidad d e l suelo e s insignificante.


CAPITULO 6 Sistemas d e varios g ra d o s d e lib e rta d

M a ic m á lic o ita lia n o d e o r ig e n f ra n c é s , fa m o s o p o r su tr a b a jo s o b re m e c á n ic a te ó ric a . F u e n o m b ra d o p r o f e s o r d e m a te m á tic a s e n 1955 e n l a E s c u e la d e A rtille ría d e T u rín . S u I ctora m a e s tr a M é c a n iq u e a n a ly tiq u e c o n tie n e lo q u e h o y s e c o n o c e c o m o “e c u a c io n e s de L a g ra n g c " . la s c u a le s s o n m u y ú tile s e n e l e s tu d io d e la s v ib ra c io n e s . S u tra b a jo flcxxió ió nn so b re e la s tic id a d y re s is te n c ia d e m a te ria le s , d o n d e c o n s id e r ó l a re s is te n c ia y d eefle

I

Istory óc lo s p u n ta le s , e s m e n o s c o n o c id o . ( C o r te s ía d e D irk J . S tr u ik . A C o n c is e H is to r y o f I M a th e m a iic s ,2 a . c d .. D o v e r P u b lic a tio n s , N u e v a Y o r k . 1948).

J o s e p h L ouis L agrange (1735-1813)

Esquem a de l capítulo

Solución d e l problem a d e v a lo r eigen 537

6.11

T eo rem a d e expansión 547

O bjetiv o s d e aprendizaje 509

6.12

Sistem as n o restringidos 547

6.1

Introducción 510

6.13

6.2

M odelado d e sistem as c o n tin u o s c o m o

Vibración libre d e sistem as no am ortiguados 5 5 1

sistem as d e varios g ra d o s d e libertad 510

6.14

U so d e h segunda ley d e N ew ton para d erivar ecuaciones d e m ovim iento 5 11

Vibración forzada d e sistem as no am ortiguados m ediante análisis m odal 554

6.15

Vibración forzada d e sistem as viscosam ente am ortiguados 5 6 1

6.16

A utoexcitación y análisis d e estabilidad 566

6.17


6.3 6.4

C oeficientes d e influencia 5 16

6.5

E xpresiones d e energía potencial y cinética e n fo rm a m atrica l 527

6.6

C o o rd e n ad a s generalizadas y fuerzas generalizadas 529

508

6.10

6.7

U so d e las ecu acio n es d e Lagrange para d erivar ecuaciones d e m ovim iento 530

6.8

Ecuaciones d e m ovim iento d e sistem as no am ortiguados en fo rm a m atricial 534

6.9

Problem a d e v a lo r eigen 535

R esum en del capítulo 576 R eferencias 576 P reguntas d e re p aso 577 P roblem as 581 P ro y e c to d e diserto 6 0 1


O b je tiv o s d e ap ren d izaje

509

El tema de cslc capítulo son los sistemas de varios grados de libertad. El modelado de sistemas continuos se presenta como sistemas de varios grados de libertad y se derivan las ecuaciones de un sistema general de n grados de libertad por medio de la segunda ley del movimiento de Newton. Debido a que la solución de las ecuaciones de movimiento en forma escalar implica manejos al gebraicos complicados, utilizamos la representación matricial para sistemas de varios grados de libertad. Al expresar el sistema acoplado de n ecuaciones en forma matricial. se identifican las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez. También se presenta la derivación de ecuaciones por medio de coeficientes de influencia. L a rigidez, la flexibilidad y los coeficientes de influencia ineráal se presentan a partir de los primeros principios. Se inicia el estudio de las expresiones para las energías potencial y cinética y su uso al derivar las ecuaciones de movimiento basado en ecuaciones de Lagrange. Asimismo, se presentan los conceptos generalizados de coordenadas generalizadas y fuerzas generalizadas. Después de expresar las ecuaciones de vibración libre en forma matricial, se deriva el problema de valor cigen en forma matricial. Se describe la solución del problema eigen por medio de la solución de la ecuación característica (polinomial) para determinar las frecuencias naturales y formas de modo (o modos normales) del sistema. Se introducen los conceptos de ortogonalidad de modos normales, matriz modal y ortonormalización de las matrices de masa y rigidez. También se presentan el teorema de expansión y los sistemas no restringidos o semidefinidos. Se considera la vibración libre de sistemas no amortiguados por medio de vectores nodales y la vibra ción forzada de sistemas no amortiguados por medio de análisis modal junto con ejemplos ilustrati vos. Se analizan las ecuaciones de movimiento para la vibración forzada de sistemas viscosamente amortiguados mediante la introducción de la función de disipación de Rayieigh. Se desacoplan las ecuaciones de movimiento para sistemas proporcionalmente amortiguados y se describe la solución de cada una de las ecuaciones desacopladas aplicando la integral de Duhamel. Punto importante es la autoexcitación y el análisis de estabilidad de sistemas de varios grados de libertad siguiendo el criterio de Routh-Hurwitz. Por último, se presentan las soluciones obtenidas utilizando M A T L A B para la vibración libre y forzada de sistemas de varios grados de libertad.

Al terminar este capítulo, usted deberá ser capaz de realizar lo siguiente: •

Formular las ecuaciones de movimiento de sistemas de varios grados de libertad mediante la segunda ley de Newton. coeficientes de influencia o ecuaciones de Lagrange.

•

Expresar la ecuación de movimiento en forma matricial.

•

Encontrar las frecuencias naturales de vibración y los vectores modales con la solución del problema de valor eigen.

•

Determinar la respuesta de vibración libre y forzada de sistemas no amortiguados mediante el análisis modal.

•

Utilizar amortiguamiento proporcional para hallar la respuesta de sistemas amortiguados.

•

Analizar las características de estabilidad de sistemas de varios grados de libertad con el crite rio de Routh-Hurwitz.

•

Resolver problemas de vibración libre y forzada utilizando M A T L A B .

Como se mencionó en el capítulo I , la mayoría de los sistemas de ingeniería son continuos y tic-


510

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad

in t r o d u c c ió n rcn una infinidad de grados de libertad. E l análisis de vibración de sistemas continuos requiere la rolución de ecuaciones diferenciales parciales, la cual es bastante difícil. Fîra muchas ecuaciones dfercncialcs parciales, de hecho, no existen soluciones analíticas. Por otra parte, el análisis de un sistema de varios grados de libertad, requiere la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, la cual es relativamente simple. Pbr consiguiente, por sencillez del análisis, a menudo k»s sistemas continuos se representan como sistemas de varios grados de libertad. Todos los conceptos presentados en el capítulo anterior se pueden extender directamente al a so de sistemas de varios grados de libertad. Por ejemplo, hay una ecuación de movimiento por cada grado de libertad; si se utilizan coordenadas generalizadas, hay una coordenada generalizaib por cada grado de libertad. Las ecuaciones de movimiento se obtienen por la segunda ley del movimiento de Newton o aplicando los coeficientes de influencia definidos en la sección 6.4. Sin embargo, con frecuencia es más conveniente derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema efe varios grados de libertad por medio de ecuaciones de Lagrangc. Hay n frecuencias naturales, cada una asociada con su propia forma de modo, para un sistema de n grados de libertad. E l método de determinar las frecuencias naturales con la ecuación caracteristica obtenida igualando el determinante a cero también se aplica a estos sistemas. Sin embargo, a medida que crece la cantidad de grados de libertad, la solución de la ecuación característica se hace más compleja. Las formas de modo presentan una propiedad conocida como orio g o n a lid a d . h cual puede utilizarse para solucionar problemas de vibración forzada no amortiguada con un procedimiento conocido como análisis modal. La solución de problemas de vibración forzada asodados con sistemas viscosamente amortiguados también se determina de manera conveniente con un concepto llamado a m o rtig u a m ie n to p ro p o rcio n a l. Se pueden usar diferentes métodos para representar un sistema continuo como un sistema de varios

6

2

M o d e la d o d e s is te m a s c o n t in u o s c o m o s is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e rta d grados de libertad. Un método sencillo implica reemplazar la masa distribuida o inercia del sistema par un número finito de masas concentradas o cuerpos rígidos. Se supone que las masas concen tradas están conectadas por miembros amortiguadores elásticos sin masa. Se utilizan coordenadas lineales (o angulares) para describir el movimiento de las masas concentradas (o cuerpos rígidos). Tales modelos se conocen como sistemas de p a rá m etro c o n c e n tra d o o de m a sa c o n c e n tra d a o de m asa d is c r e ta . El mínimo de coordenadas necesario para describir el movimiento de las masas concentradas y cuerpos rígidos define la cantidad de grados de libertad del sistema. Naturalmente, cuanto mayor sea la cantidad de masas concentradas utilizadas en el modelo, mayor será la preci sión del análisis resultante. Algunos problemas indican automáticamente el tipo de modelo de parámetro concentrado que x va a utilizar. Por ejemplo, el edificio de tres pisos que se muestra en la figura 6.1 (a) sugiere al instante el uso de un modelo de tres masas concentradas, como se indica en la figura 6 .1(b). En este modelo, se supone que la inercia del sistema está concentrada como tres masas puntuales situadas ai los pisos, y las elasticidades de las columnas son reemplazadas por los resortes. Asimismo, la máquina de perforación radial que se muestra en la figura 6.2(a) se puede modelar con cuatro masas concentradas y cuatro elementos elásticos (vigas elásticas), como se muestra en la figura 6.2(b).


6 .3

U so d e la s e g u n d a ley d e N e w to n p ara d erivar e c u a c io n e s d e m o v im ie n to

(b)

511

F ig u ra 6 .1 E dificio d e tre s pisos.

Cabezal

W 77 /m/ '/ //

Columna

tm i's ¿£áu

Viga elástica

7777 77T,

(a )

(b)

F ig u ra 6 .2 M áquina d e p erfo ració n radial. (Fotografía co rte sía de S o u th B end L ath e Corp.). O tr o m é to d o p o p u la r d e re p re s e n ta r u n s is te m a c o n tin u o c o m o u n s is te m a d e v a r io s g r a d o s d e lib e rta d im p lic a re e m p la z a r la g e o m e tr ía d e l s is te m a p o r u n a g r a n c a n tid a d d e e le m e n to s p e q u e ñ o s . S u p o n ie n d o u n a s o lu c ió n s im p le d e n tr o d e c a d a e le m e n to , s e u tiliz a n lo s p r in c ip io s d e c o m p a t ib i lid a d y e q u ilib r io p a r a d e te r m in a r u n a s o lu c ió n a p ro x im a d a p a ra e l s is te m a o rig in a l. ( E s te m é to d o , c o n o c id o c o m o m é to d o d e l e le m e n to f i n i t o , p u e d e r e v is a rlo c o n d e ta lle e n e l c a p ítu lo 12 , e n e l s itio w e b d e e s t e lib r o ) .

6.3

U s o d e la s e g u n d a le y d e N e w t o n p a r a d e riv a r e c u a c io n e s d e m o v i m i e n t o Se puede adoptar el siguiente procedimiento para derivar las ecuaciones de movimiento de un sis tema de varios grados de libertad aplicando la segunda ley del movimiento de Newton: 1. Establezca coordenadas adecuadas para describir las posiciones de las varias masas puntuales y cuerpos rígidos en el sistema. Suponga direcciones positivas adecuadas para los desplazamien tos, velocidades y aceleraciones de las masas y cuerpos rígidos.


512

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad 2 . D e te rm in e l a c o n f ig u r a c ió n d e e q u ilib r io e s tá tic o d e l s is te m a y m id a lo s d e s p la z a m ie n to s d e las m a s a s y c u e rp o s r íg id o s c o n r e s p e c to a s u s p o s ic io n e s d e e q u ilib r io e s tá tic o r e s p e c tiv a s . 3 . T r a c e e l d ia g ra m a d e c u e r p o lib re d e c a d a m a s a o c u e r p o ríg id o . In d iq u e l a s fu e rz a s d e re s o r te , a m o rtig u a m ie n to y

e x te rn a s q u e a c tú a n e n c a d a m a s a o c u e r p o r íg id o c u a n d o s e im p a rte un

d e s p la z a m ie n to y v e lo c id a d p o s itiv a s a d i c h a m a s a o c u e r p o ríg id o . 4 . A p liq u e la s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n a c a d a m a s a o c u e r p o r íg id o q u e m u e s tr a e l d ia g r a m a d e fre c u e n c ia d e c u e r p o c o m o sig u e

■

FU (P0™ m a s a m ¡)

2 i

( 6 .1 )

o JÁ

donde £ ,

=

X M ¡J (P a ra c u e r p o r íg id o d e in e r c ia J¡) J

( 6 .2 )

in d ic a la s u m a d e to d a s la s f u e r z a s q u e a c tú a n e n l a m a s a m , y

in d ic a l a s u m a

d e m o m e n to s d e to d a s l a s fu e rz a s (c o n r e s p e c to a u n e je a d e c u a d o ) q u e a c tú a n e n e l c u e rp o r íg id o d e l m o m e n to d e in e rc ia d e m a s a J f B p r o c e d im ie n to s e ilu s tr a e n l o s e je m p lo s s ig u ie n te s .

E je m p lo 6.1

E cu a cio n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a d e re s o rte -m a s a D erive las ecuaciones d e m ovim iento d e l sistem a d e rcsortc-m asa-am ortiguador q u e se m uestra e n la figura 6.3(8). Solución: M étodo: Trace diagram as d e cu erp o libre d e las m asas y ap liq u e la s segunda ley d e l m ovim iento d e Newton. Las coordenadas q u e d escriben las posicio n es d e las m asas, x,{t), s e m iden d e sd e su s respectivas posiciones de equilibrio estático, com o se indica e n la figura 6 .3 (a ). Fl diagram a d e cu erp o libre d e una m asa interior típica m, se m uestra en la figura 6.3
X¡)

- 0 ,( i ¡

-

ij- |)

i = 2 ,3 , . . . , n - I

o m¡x¡ - c j i j - i + (c , + ci+ i ) ¿ / - c j+ iit+ i “ k¡x¡-1 +

(*¿ + * i + t )x ¡ -

* i + i * i + i = F i '.

f = 2 , 3 ....... n -

1

( E .1 )

l a s ecuaciones de m ovim iento d e la s m asas m , y m , s e d erivan de la ecu ació n < E I) a l establecer q u e i = I junto con¿fe = 0 e i = « ju n to c o n x„ , t = 0 , respectivam ente:

m **« -

+ ( r í + c2) i \ - c2x 2 + (*1 + k2)x¡ - k 2x 2 = Fy

i )x m - A ,r „ - j + (*» + * , » i ) x , = F„

(E J)

+ (c „ +


6 .3


y fro v — y m mi ti Wj f tin to

1

* h O L h W -

■ W i

-

P u n to 2 4 ^ * - P u n to <

j —►

*.

513

k iH-1

P u n to n

P u n to )

(a) + * * +**. +#, i — f ’íO *,(.*, - x , - i ) C<(V

- - * 1 . 1( x ,.i - x¡)

r

1

—

1—

‘

- « i..

(b) F ig u ra 6 .3 S istem a de rc so rte-m asa-a m o rtig u ad o r.

Notas: 1.

l a s ecuaciones d e m ovim iento. (E .1) a (F..3), d e l ejem p lo 6.1 se expresan e n form a m atricial com o

[m ]7 + [c]x + [ k ] 7 = F

(6 3 )

d o n d e (m), | c | y [k\ so n la s m atrices de m asa, am ortiguam iento y rigidez, respectivam ente, y se expresan com o sigue

[ m ]

m|

0

0

0

0

0

m3

0

0

0

0

0

m3

0

0

0

0

0

0

=

(C |

+

C 2)

- C j

(c 2

m „_

0

- c 2

0

(6.4)

+

c3)

- C j

—c3 (es

+

c 4 )

•

0

0

•

0

0

•

0

0

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

0

0

0

*

- C

(* , + k 2)

-* ?

0

( * í + *3)

"* 3

[c]

0

-* 3

(*3 +

„

(c «

(6 3 )

+

c . + i ) .

*4)

(6.6)

[* ] =

0

0

•••

(*„ + * „ . , ) ]

y x . x . x . y F so n los vectores d e desplazam iento, velocidad, aceleración y fuerza, d a d o s por


C a p ítu lo 6


*> (0

¿«(0

* 2 (0

* 2 (0

•

•

x =

* = •

•

•

•

* ■ (0

* « (0

* i(0

> .( 0

* 2 (0

*2<0

—

■

•

x

F =

(6.7)

•

•

•

.

* » (0 2.

w

P a ra un sistem a i » am ortiguada (con todas las c, — 0 , i •* 1 ,2 reducen a

n + 1 ). la s ecuaciones d e m ovim iento se

[m ]x + [ * ] 7 = F 3.

(

6 . 8)

E l sistem a d e resorte-m asa-am ortiguador a n ib a considerado e s un c a so particular de un sistem a d e resortem asa-am ortiguador d e n g ra d o s d e libertad. En su form a m á s general, las m atrices d e m asa, am ortigua m iento y rigidez se escriben como

mn

"*12

"* 1 2

"* 2 2

"*13 m 2i

•••

m ln

■ '*

m 7n

[m]

(6.9)

-m ll

m 2«

«*3»

r il

*12 C13

C |2

e¡2

"«i,

c 23

6 10)

fc] =

( .

C2,

C*.

*11

*12

*13

*1-

*12

*22

*23

*2» (6.11)

[* ] =

_*U

*2»

*3

C om o se estableció e n la sección 5.5, si la m atriz d e m asa no e s diagonal, se d ice que e l sistem a d e b e c o n tar con acoplam iento d e am ortiguam iento o velocidad. F inalm ente, si la m atriz de rigidez no es diagonal, se d ice q u e e l sistem a d eb e tener acoplam iento elástico o estático. E l acoplam iento tanto d e m asa c o m o de am ortiguam iento tam bién s e conoce com o acoplam iento dinám ico.


6 .3 4.


515

S e ve q u e la s ecu acio n es diferenciales del sistem a de resorte-m asa considerado e n e l ejem plo 6 . 1 (figura 6 .3 (a » e stán acopladas; cada ecu ació n implica m ás d e una coordenada. E sto significa que la s ecuaciones no s e pueden reso lv er de m anera individual u n a a la v e z. sólo pueden resolverse sim ultáneam ente. A de m ás, se v e q u e e l sistem a está estáticam ente acoplado, puesto q u e su s rigideces están acopladas, es decir, la m atriz d e rigidez tiene al m enos un term ino diagonal fuera d e la diagonal. P o r otra parte, si la m atriz de m asa tiene al m en o s un térm ino no cero fuera de la diagonal, se d ice q u e e l sistem a está dinám icam ente acoplado. A dem ás, s i las m atrices tanto d e rigidez c o m o d e m asa tienen térm inos no cero fuera d e la d ia gonal, se d ice q u e e l sistem a está tanto estática com o dinám icam ente acoplado.

E je m p lo 6 .2

E c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a d e re m o lq u e y p é n d u lo c o m p u e s to D erive la s ecu acio n es d e m ovim iento d e l sistem a d e rem olque y péndulo com puesto q u e se m uestra e n la figura 6.4(a). S o lu c ió n : M étodo: T race los diagram as d e cu erp o libre y aplique la segunda ley del m ovim iento d e Newton. L as coordenadas x { t ) y O ( t ) u : utilizan p ara describir, respectivam ente, e l desplazam iento lineal d e l rem ol q u e y e l desplazam iento angular d e l péndulo com puesto d e sd e su s correspondientes posicio n es d e equilibrio estático. Cuando s e suponen valores positivos p ara los desplazam ientos x (t)y « (/), velocidad i ( / ) y 0 ( t ) , así c o m o la s aceleraciones x ( r ) y 0( t ) , las fuerzas ex te m as q u e a ctú an e n e l rem olque serán la fuerza aplicada F ( t\ las fuerzas de resorte k f x y k y x y las fuerzas d e am ortiguam iento C \ i y c ji ,c o m o s e m uestra e n la figura 6.4
- k t x - k jx - C |i -

Cix

+ F ( t)

(E .I)

A sim ism o, la aplicación d e la segunda ley de N ew ton p ara m ovim iento d e rotación alrededor d e O produce

( " í á) í + ( 47^) } 0

+ ( m : ¿ ) |c o s 0 = - ( m g ) ^ s e n 0 + M ¿ t )

(E.2 )

Notas: 1.

S e >e q u e las ecuaciones d e m ovim iento, ecu acio n es (E . I ) y (E .2) so n no lineales por la presencia d e los térm inos q u e im plican sen 0, e o s 0, y (0 ) 7 sen 0 .

2.

l a s ecuaciones (E .I) y (E .2) se pueden lincalizar si s e supone q u e e l térm ino q u e im plica (0 ): v n 0 c s insignificantem ente pequeño y que los desplazam ientos so n pequeños de m odo q u e e o s 0 « 1 y sen 0 «o 0. L as ecu acio n es lincalizadas s e d erivan como

(A / + m ) x +

+ (<1 +

+ (* | + k j) x C i)x = F{t)


516

C a p ítu lo 6


R e m o lq u e , m a s a M

(Ondulo com puesto, masa m , longitud /

/y + x ( t \ F ( , ) O

—

MM

*2 - W

—

{& —

'

S

7 7 r/7 r/7 r-rr7 r* rsrr-r7 7 7 J v // //// -/ / 7 7 -rrr/ ~ rrrrrrrt (a) + x ,i ,S . F ( t )

kjX C\X

C2*

(b) F ig u ra 6 .4 S istem a de pén d u lo co m p u e sto y re m o lq u e.

(E-4)

C o e f ic ie n t e s d e in flu e n c ia L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n s is te m a d e v a r io s g ra d o s d e lib e r ta d t a m b ié n s e p u e d e n e s c r i b ir e n f u n c ió n d e c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia , lo s c u a le s s e u tiliz a n e x te n s a m e n te e n in g e n ie ría e s tru c tu r a l. B á s ic a m e n te , s e p u e d e a s o c ia r u n c o n ju n to d e c o e f ic ie n te s d e i n f lu e n c ia c o n c a d a u n a d e h s m a tric e s im p lic a d a s e n la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to . L o s c o e f ic ie n te s d e in flu e n c ia a s o c ia d o s c o n l a s m a tric e s d e r ig id e z y m a s a , s e c o n o c e n , re s p e c tiv a m e n te , c o m o c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia ifc r ig id e z e in e rc ia . E n a lg u n o s c a s o s , e s m á s c o n v e n ie n te rc c s c rib ir la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to u tiliz a n d o l a in v e r s a d e l a m a triz d e rig id e z (c o n o c id a c o m o m a triz d e f le x ib ilid a d ) o la i n v e r s a d e la m a tr iz d e m a s a . L o s c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia c o r re s p o n d ie n te s a la m a triz d e r ig id e z in v e rs a se c o n o c e n c o m o c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e f l e x i b i l i d a d y lo s c o r re s p o n d ie n te s a la m a triz d e m a s a in v e rs a s e c o n o c e n c o m o c o e fic ie n te s d e in e r c ia in v e rs o s.


6 .4

C o e fic ie n te s d e in flu e n c ia

517

E n u n re s o rte lin e a l s im p le , la f u e rz a n e c e s a ria p a r a p r o d u c ir un a la rg a m ie n to u n ita rio s e c o n o c e c o m o r ig id e z d e l re s o rte . E n s is te m a s m á s c o m p le jo s p o d e m o s e x p re s a r la re la c ió n e n tre el d e s

C o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e r ig id e z

p la z a m ie n to e n u n p u n to y l a s f u e r / a s q u e a c tú a n e n v a r io s o t r o s p u n to s d d s is te m a p o r m e d io d e c o e f ic ie n te s d e in flu e n c ia d e rig id e z . El c o e f ic ie n te d e in flu e n c ia d e r i g id e z , d e n o ta d o c o m o k,r se d e f in e c o m o l a fu e rz a e n e l p u n t o i a c o n s e c u e n c ia d e u n d e s p la z a m ie n to u n ita r io e n e l p u n to j c u a n d o to d o s lo s p u n to s a p a r t e d d p u n to j e s tá n f ijo s . U tiliz a n d o e s t a d e f i n i d ó n , p a r a e l s is te m a d e re s o rte -m a s a q u e s e m u e s tra e n la f ig u ra 6 .5 , l a fu e rz a to ta l e n e l p u n to i, F ¡, s e d e te r m i n a s u m a n d o la s fu e rz a s p r o d u c id a s p o r to d o s lo s d e s p la z a m ie n to s x ¿ ( j -

F, = 'Z b j x j ,

1 ,2

n) com o

i = 1 ,2 , . . . , n

( 6 .1 2 )

L a e c u a c ió n ( 6 .1 2 ) s e p u e d e e x p r e s a r e n f o r m a m a tric ia l c o m o

(6 .1 3 )

[* ] *

d o n d e x y F s o n l o s v e c to r e s d e d e s p la z a m ie n to y f u e r z a d e f in id o s e n l a e c u a d ó n ( 6 .7 ) y [AJ e s la m a triz d e rig id e z d a d a p o r

[* ]

A .t

*12

• • •

*1»

*2 .

*2 2

' ‘ •

*2 »

_*»>

*n 2

• “

K n .

(6 .1 4 )

=

S o n d e h a c e r s e n o ta r lo s s ig u ie n te s a s p e c to s d e lo s c o e fic ie n te s d e ¡ n f l u e n d a d e r ig id e z : 1.

D a d o q u e la fu e rz a r e q u e r id a e n e l p u n to i p a ra p r o d u c ir u n a d e f le x ió n u n ita r ia e n e l p u n to j y u n a d e fle x ió n c e r o e n t o d o s l o s d e m á s p u n to s e s l a m is m a q u e l a f u e rz a re q u e rid a e n e l p u n to j p a r a p r o d u c ir u n a d e fle x ió n u n ita ria e n d p u n to / y u n a d e f le x ió n c e r o e n to d o s lo s d e m á s p u n to s ( te o r e m a d e r c d p r o c i d a d d e M a x w e ll, [6 .1 1 ), t e n e m o s k¡¡ = kj¡.

2.

L os c o e fic ie n te s d e i n f lu e n c ia d e r i g id e z s e p u e d e n c a lc u la r a p lic a n d o lo s p r i n d p i o s d e e s tá tic a y m e c á n ic a d e s ó lid o s .

f,( o

|

w

Q

Punto 1 ►

m

w

F,(t)

F ,(»

FA»

[

Punto 2

♦ Punto i

► Punto j (a )

+xh + S, F,(» m.

kf +f a + i - x , )

(b) F ig u ra 6 . 5 Sistem a de resorte-m asa de varios grados de libertad.


Punto n

518

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad 3.

L o s c o e f ic ie n te s tic i n f lu e n c ia d e r ig id e z p a r a s is te m a s to r s io n a lc s se p u e d e n d e f in ir e n fu n c ió n d e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r u n ita rio y e l p a r d e to rs ió n q u e p ro d u c e e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r . P o r e je m p lo , u n s is te m a to rs io n a l d e v a rio s r o to r e s , k (¡ s e p u e d e d e f in i r c o m o e l p a r d e to rsió n e n e l p u n to i ( r o t o r i) d e b id o a u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r u n ita r io e n e l p u n to j y u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r c e r o e n t o d o s lo s d e m á s p u n to s.

L o s c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e r ig id e z d e u n s is te m a d e v a rio s g r a d o s d e lib e r ta d s e p u e d e n d e te r m in a r c o m o s ig u e : ( j = I p a r a c o m e n z a r ) y u n v a lo r d e c e ro

1. S u p o n g a u n v a lo r d e u n o p a ra e l d e s p la z a m ie n to

x ¡ - \ ,X j+ ) t .... x„ . P o r d e fin ic ió n , e l c o n ju n to d e

p a ra to d o s lo s d e m á s d e s p la z a m ie n to s x j . x 2 fu e rz a s

(i = 1. 2

n ) m a n te n d rá e l s is te m a e n l a c o n f ig u r a c ió n s u p u e s ta (x; — I . x ¡ — x ¡ —

••• = x; _ , = Xj+i ••• = x„ = 0 ). E n to n c e s l a s e c u a c io n e s d e e q u ilib rio e s tá tic o s e e s c r ib e n p a r a c a d a m a s a y e l c o n ju n to d e n e c u a c io n e s r e s u lta n te s e r e s u e lv e p a r a h a ll a r l o s n c o e f ic ie n te s d e in f lu e n c ia , k ¡ j( i = 1 . 2 ........ n). 2 . D e s p u é s d e c o m p le ta r e l p a s o I p a r a j = I . e l p ro c e d im ie n to s e r e p ite c o n j = 2 . 3 . . . . . n. L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e l p ro c e d im ie n to .

E je m p lo 6.3

C o e fic ie n te s d e in flu e n cia d e rig id ez Encuentre los coeficientes d e influencia d e rigidez d e l sistem a que se m uestra en la figura 6 .6(a). Solución: M étodo: U se la definición d e y las ecu acio n es de equ ilib rio estático. S ean x x, % y x, los desplazam ientos d e las m asas m t, m : y m ( , respectivam ente. I-os coeficientes d e in fluencia d e rigidez Jt^del sistem a se pueden determ inar e n función d e las rigideces d e resorte k¡. k2 y k3 com o sigue. Prim ero, hacem os e l desplazam iento d e m , igual a uno (x, = 1) y los desplazam ientos de m2 y m 3 ¡gua tes a cero (x2 = x 3 = 0 ). c o m o se m uestra e n la figura 6.6
i: *1 =

~ k j

+ *„

(E.I)

M asa m 2'. k 2\ = - k2 M asa my.

k 3\

(E .2)

= 0

(E .3)

l a solución d e las ecuaciones (E. I ) a ( E 3 ) d a p o r resultado * u = * . + *>

*2. = - * 2.

*31 = 0

(E A)

A continuación, los desplazam ientos d e las m asas s e consideran c o m o = 0 , x2 = 1 y x? = 0. c o m o se m uestra e n la figura 6.6(d). Puesto que se supone q u e las fuerzas *l2 (i = 1. 2. 3 ) m antienen e l sistem a e n esta atnfiguración, los diagram as d e cu erp o libre d e las m asas s e desarrollan com o s e indica e n la figura 6.6(c). L as ecuaciones d e equilibrio d e fuerzas d e la s m asas son: M asa m x\ * u + k j = 0

(E .5)

M a s a m j: *22 “ *3 = *2

(E .6 )

M asa « 3: A jj = - *3

(E .7)


6 .4

k

■

/T K 5 V

m<

•


519

*

l - W

- l

">2

— / EKTV

« j

(a) |—

|— ^ * 2 - 0

* .-1

m 2

-

h — *3 - 0

w

—

*21

*31

(b )

kyX, m .

= *i * 3 . '

*21 (C)

K

,

1

-

*1 - /O TV-

K *3

m,

-

*12

m .

- /W

^

m 3

-

*22

*32

(d)

* 1*1 =

m,

M *2

0

■ ] " »

^

.

í

? H

m > *32

*22 (C )

(—► «2 = o

[—*-*j = 1 *3

m.

m2

¡V -

13

m, 33

*23

(0

* 1*1 =

"I * 2 < *2 “

*l)

I

I

*3< *3 - - * 2 )

[

0 *23

(g) F ig u ra 6 . 6 D eterm inación de los coeficientes d e influencia de rigidez.

l a solución d e las ecuaciones ( E 5 ) a ( E 7 ) produce *12 = - * 2 .

*22 = *2 + * >


*32 = ” *3

(E.8)

520

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad último, se supone q u e el conjunto d e fu e r/a s kl3 ( / ■ 1, 2. 3 ) m antiene e l sistem a c o n x x — 0. x 2 = 0 y x , = 1 «figura 6 .6 (0 ). L os diagram as de cuerpo libre e n esta configuración se m uestran e n la figura 6.6(g) y las ecuaciones d e equilibrio de fuerzas conducen a (B 9 )

M asa m i: *13 = 0 M a sa m ?:

+ *3 = 0

(E.10)

M a sa m j: A33 = k3

(E .I 1)

La solución d e las ecuaciones (E .9) a ( E 11) produce *13 =

0.

*23 =

~ *3 -

*33 =

(E .12)

*3

R»r lo tanto, la m atriz d e rigidez d e l sistem a es

r*] =

E je m p lo 6 .4

( * , + * 2)

“ *2

- * :

(*2 +

0

- * 3

o * 3)

(E .13)

- * 3 *3

_

M a t r iz d e r ig id e z d e u n m a r c o E xterm ine l a m atriz d e rigidez d e l m arco q u e se m uestra en la figura 6.7(a). Ignore e l efecto d e la rigidez axial de los m iem bros A B y B C . S olución: D ado que los segm entos A B y B C d e l m arco se pueden considerar com o vigas, se pueden utilizar las fórm ulas d e deflexión d e vigas para g enerar la m atriz de rigidez del m arco. Las fuerzas necesarias para produ cir un desplazam iento a lo largo d e una coordenada a l m ism o tiem po q u e se m antienen desplazam ientos cero a l o largo de o tra s coordenadas d e una v ig a s e indican en la figura 6.7(b). [6 .1 .6 .8 ], En la figura 6 .7 (a), los extrem os A y C están fijos y p o r consiguiente la ju n ta B tendrá tre s posibles desplazam ientos: x, y , y 0 c o m o se indica. L as fuerzas necesarias pora m antener un desplazam iento unitario a lo largo de la dirección x y d esp la zam iento cero a lo largo tfc la s direcciones y y ó en la ju n ta B están dadas por (d e acuerdo c o n la fig u ra 6.7(b)) / 126/ \ = {

/3

)

_ 36/ b c

~

í 6E l \

Fy = 0.

\

2 /3 ’

= 36/

/’ J bc

21'

Asim ism o, cu an d o o cu rre u n desplazam iento unitario a lo largo d e la dirección y e n la junta B con d esp la zam ientos cero a lo largo de las direccio n es x y 0, las fuerzas requeridas para m antener la configuración se determinan e n la figura 6.7(b) com o - (

f , = o.

667 \

= 246/

* -(

B*

/2

)

126/ 12

ba

Finalm ente, las fu erzas necesarias p ara m an ten er un desplazam iento unitario a lo largo d e la dirección 6 y desplazam ientos cero e n las direcciones x y y e n la ju n ta B, se ven d e acuerdo con la figura 6.7(b). como Í6 E ¿ \ ,

= { l '

_ “

36/ )

b c

( 4 6 /\ \

I

J

^

126/ y =

2

/4 6 /\ _ 26/ bc

\

I

)

ba

~ { l '

)

8 6 /_ 106/ I


I

I

ba

= ~ 13

6 .4


Fx

Fl

t

;] E M \ >4

521

t

. B

E ,l,2 1

C •777.

(a) F ig u ra 6 . 7 M atriz de rigidez de u n m arco.

R>r lo tanto, la m atriz de rigidez, [*J, está d ad a por F = [ k ]x donde

0 /•’ =

24 -

12/

3/ 2

-1 2 i 10/2

C o m o s e v io e n lo s e je m p lo s 6 .3 y 6 .4 , e l c á lc u lo d e l o s c o e f ic ie n te s d e in flu e n c ia d e r ig id e z r e q u ie

C o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e fle x ib ilid a d

re la a p lic a c ió n d e l o s p rin c ip io s d e e s tá tic a y a lg ú n m a n e jo a lg e b r a ic o . D e h e c h o , l a g e n e ra c ió n d e n c o e f ic ie n te s d e in flu e n c ia d e r i g id e z k XJ, k j , .... k ^ c o n c u a lq u ie r j e s p e c íf ic a r e q u ie r e la s o lu c ió n d e n e c u a c io n e s s im u ltá n e a s . ft> r lo ta n to , se tie n e n q u e r e s o lv e r n c o n ju n to s d e e c u a c io n e s lin e a le s (« e c u a c io n e s e n c a d a c o n ju n to ) p a r a g e n e r a r lo s c o e f ic ie n te s d e in flu e n c ia d e r ig id e z d e u n s is te m a d e n g r a d o s d e lib e rta d . E s to im p lic a u n im p o rta n te e s fu e r z o c o m p u ta c io n a l c o n g ra n d e s v a lo re s d e n . L a g e n e r a c ió n d e lo s c o e fic ie n te s d e i n f lu e n c ia d e f le x ib ilid a d , p o r o t r a p a rte , e s m á s s e n c illa y c ó m o d a . P a ra ilu s tr a r e l c o n c e p to , c o n s id e re u n a v e z m á s e l s is te m a d e re s o r te - m a s a q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 6 .5 . S i s ó lo u n a f u e r z a F¿ a c tú a e n d s i s t e m a , y si e l d e s p la z a m ie n to e n e l p u n to i ( e s d e c i r l a m a s a m ¡) s e d e b e a l a f u e rz a F¡ ,d e b e s e r x¡j. F l c o e fic ie n te d e in flu e n c ia d e f le x ib ilid a d , in d ic a d o p o r «,y, se d e fin e c o m o l a d e f le x ió n e n e l p u n to i p ro d u c id a p o r u n a c a r g a u n ita r ia e n e l p u n t o j . E n v is ta d e q u e l a d e f le x ió n s e in c re m e n ta p r o p o r c io n a l m e n te c o n l a c a r g a e n un s is te m a lin e a l, te n e m o s

x>) * a¡JFJ


( 6 .1 5 )

522

C a p ítu lo 6


Si varias fuer/as F ¿ ( j m 1,2, .... o)actúan en diferentes puntos del sistema, la deflexión total en cualquier punto i se determina sumando las contribuciones de todas las fuerzas F¿

xl =

...........n

1 =

=

<6 -16)

Las ecuaciones (6,16) se expresan en forma matricial como

7 = [a] F

(6.17)

cbnde 7 y F son los vectores de desplazamiento y fuerza definidos en la ecuación (6.7) y [a] es la matriz, de flexibilidad dada por an

«12

” •

« ln

«21

022

•••

a in

_a„i

<*nl

•••

a HH_

[a j

(6 .1 8 )

Se observan las siguientes características de los coeficientes de influencia de flexibilidad: 1. Un examen de las ecuaciones ( 6 .1 7 ) y ( 6 .1 3 ) indica que las matrices de flexibilidad y rigidez están relacionadas. Si sustituimos la ecuación ( 6 .1 3 ) en la ecuación ( 6 .1 7 ) , obtenemos 7

= [a ] F = [a ][k )7

(6 .I9)

con la cual podemos obtener la relación

[a][*J = [/]

(620)

donde [/| indica la matriz, unitaria. La ecuación ( 6 .2 0 ) es equivalente a

[*] = [«]"’.

[«]

=

[*]**

(621)

Es decir, las matrices de rigidez y flexibilidad son la inversa una de la otra. El uso de coefi cientes de influencia de rigidez dinámica en la vibración de vigas no uniformes se analiza en la referencia [6 . 10 ]. 2. Dado que la deflexión en el punto i producida por una carga unitaria en el punto j es la misma que la deflexión en el punto j producida por una carga unitaria en el punto i en un sistema lineal (teorema de reciprocidad de Maxwell), tenemos at¡ ■» a p 3. Los coeficientes de influencia de flexibilidad de un sistema torsional se pueden definir en fun ción de un par de torsión unitario y la deflexión angular que provoca. Por ejemplo, en un sistema torsional de varios rotores, a¡¡ se define como la deflexión angular del punto i (rotor i) producida por un par de torsión unitario en el punto./ ( rotorj) . Los coeficientes de influencia de flexibilidad de un sistema de varios grados de libertad se determinan como sigue: 1.

Suponga una carga unitaria en el punto j ( j ■ 1 para comenzar). Par definición, los despla zamientos de los diversos puntos i (/ “ 1. 2 n ) resultantes de esta carga proporcionan los coeficientes de influencia de flexibilidad, a i = 1,2.,..., n . Por lo tanto, los coeficientes a ^ se determinan aplicando los sencillos principios de estática y mecánica de sólidos.


6 .4


523

2. Después de completar el paso 1 con j - 1, el procedimiento se repite con j - 2 ,3 ,.... n. 3. En lugar de aplicar los pasos 1 y 2, la matriz de flexibilidad, [o), se determina con la inversa de la matriz de rigidez. [Al. si la matriz de rigidez está disponible. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento.

I—

x3

(a) Xj = flj.

( - * - * ! = «11 * 1

*2

*3

m, F , =

l

F3 = 0

F2 = 0

(b)

1

1

~

"3V -3 1

m . 3

“ ¿11 -

f

^ 2 = 0

3 =

o

(c) (-► *1 ® «i2

|- * - x ,- a a

*2

(— * - * 3 ~ « 3 2 *3

*|«12 ♦ ]

«I

*2(«22 - «12) * j

F ,- 0

"»2

[ • » *3<«32 - «22) — |

F? - 1

™3 F , - 0

(e )

|—►Xj - a» *3

=«13 *2 í — / IE 0 V —

mi

— /7XXT'—

F .-O

m2

— /W

I—►Xj = a „ ----^ -

/n,

F ,-l

Fj ® 0 (0

*1«13

*2<«23 -

« .3 )

m 2

|—

*3 < « 3 3 ~ « 23>

F2 = 0

F , = 0

m, F 3 =

( 8) Figura 6 .8 Determinación de los coeficientes d e influencia d e flexibilidad.


1

524

C a p ítu lo 6

E je m p lo 6.5


c o e fic ie n te s d e in flu e n cia d e fle x ib ilid a d B ic u c n tr e los c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e flex ib ilid ad d e l sis te m a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra

6

. 8 (a ).

S olución: S e a n

x , y x , lo s d e s p la z a m ie n to s d e la s m asas m „ m 3 y m , . re sp e c tiv a m e n te . L o s c o e fic ie n te s d e in flu e n cia d e fle x ib ilid a d ay d el s is te m a s e d e te rm in a n e n fu n c ió n d e la rig id e z d el r e s o n é k t, k ¡ y * j c o m o sig u e . A p liq u e u n a fu e rz a u n ita r ia e n la m a s a m , y n in g u n a fu e rz a e n la s o tr a s m asas { F x - I . F 2 - Fy “ 0 ). o im o s e m u e s tra e n la fig u ra 6 . 8 ( b ). L a s d e fle x io n e s re su lta n te s d e l a s m a s a s m , . m 2 y m , ( x ,. x ? y X3 ) s o n . p o r d e fin ic ió n , o , a2, y o , , . r e s p e c tis á m e n te ( v e a la fig u ra 6 . 8 b ). L o s d ia g ra m a s d e c u e r p o lib re d e l a s m a s a s s e m u estran e n la fig u ra 6 . 8 ( c ). B e q u ilib rio d e fu e rz a s e n la d ire c c ió n h o riz o n ta l p a ra la s m a s a s re su lta e n lo siguiente: M a s a m ,: * , a „ =

* ,(* 2 1

“ «») + I

M a s a m 2: * 2 ( o 2 ,

- «n) = *

M a sa m y * 3 ( 0 3 1

-

3

( E .l)

( 0 3 ,- a21)

(E .2)

a ¡ \) = 0

(E J)

l a so lu c ió n d e la s e c u a c io n e s (F.. I ) a < R 3 ) p ro d u c e

a\ 1 = 7 -, *,

an

= T-* *,

a« = T *,

A c o n tin u a c ió n a p lic a m o s u n a fu e rz a u n ita ria e n la m a s a m ? y n in g u n a e n la s m a s a s m , y m}.c o m o s e m u e s tra a i la fig u ra 6 .8 ( d ). E s ta s fu e rz a s h a c e n q u e l a s m a s a s y / ^ e x p e r i m e n t e n la s d e f le x io n e s x x = a x2, x 2 = y - * 3 = 0 3 7 . re s p e c tiv a m e n te (p o r d e fin ic ió n d e o ^ c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 6 . 8 (b ). L o s d ia g ra m a s d e c u e rp o lib re d e la s m a s a s q u e s e m u e s tra n e n la fig u ra 6 . 8 ( c ) , p ro d u c e n la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s d e e q u ilib rio :

M asa m j: * 1( 0 12 ) = * 2 (0 2 2 “ 0 12 )

(E .5)

M a sa m 2: *2 (0 2 2 - 0 |2) = * 3(032 “ 0 2 2 ) + >

(E- 6 )

M asa m y * 3(032 ~ 0 2 2 ) = O

(E .7)

La solución d e las ecuaciones (E .5) a ( E 7 ) proporciona

0 1 2

1

- 7".

022

*1

1. 1

- 7* + 7 ". *1

*2

032

1 . 1

- — + — *1

*2

(E .8 )

f t i r ú ltim o , c u a n d j a p lic a m o s u n a fu e rz a u n ita ria a la m a s a m j y n in g u n a a la s m a s a s m , y m 2. la s m asas e x p e rim e n ta n la s d e fle x io n e s x , = 0 ,3 . x 2 = y x , = 0 , 3 . c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 6 .8 ( 0 . L o s d ia g ra m a s d e a ic r p o lib re d e la s m a s a s (fig u ra 6 . 8 { g » p ro d u c e n la s sig u ie n te s e c u a c io n e s d e e q u ilib rio : M a sa m i :

* ^ 1 3

= * 2 ( 0 2 3 “ <*ij)

M a s a m ?: * 2 ( 0 7 3 -

013

) - * 3 (0 3 3 -

M a s a m 3¡ * 3 (0 3 3 -

0 2 3

) = 1

(E -9 ) 033

)

(E .IO ) (E .1 1 )

l a s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s ( R 9 ) a ( E l i ) p ro p o rc io n a lo s c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e fle x ib ilid a d 0 , 3 c o m o

■"’ = ?

^ =i +i

+¿ + ¿

(E-I2)

S e p u e d e v e r ific a r q u e la m atriz d e rig id e z d e l sis te m a , re su lta d o d e la e c u a c ió n ( E 1 3 ) y d el e je m p lo 6 .3 , tam b ién s e p u e d e h a lla r a p artir d e la re la c ió n (*] = l o ] " 1.


6 .4

E je m p lo 6.6


525

M a triz d e fle x ib ilid a d d e u n a vig a D erive la m atriz d e flexibilidad d e la v ig a sin peso q u e se m uestra e n la figura 6.9(a). La v ig a sólo está apoyada por am bos extrem os, y las tres m asas s e colocan a intervalos iguales. Suponga que la v ig a e s uniform e con rigidez. F.l. S o lu c ió n : Sean x ,, x2y x3 las deflexiones transversales totales de la s m asas m x, m 2 y m3. respectivam ente. De acuerdo con la fórm ula para la deflexión d e una v ig a d o blem ente articulada |6 .2 |. los coeficientes d e influencia a ij (/ “ 1 .2 . 3 ) s e p u ed en hallar aplicando una carga unitaria e n la ubicación de m , y una carga cero e n las ubicaciones d c m 3 y m , (v ea la figura 6.9(b)): a || = J L i L 768 E l '

a 12 =

I L l . 768 E l'

a ,3 =

_7_ 1_

(H .l)

768 E l

A sim ism o, a l aplicar una c a rg a unitaria e n las ubicaciones d e m ; y m , por sep arad o (con carga cero e n las d em ás ubicaciones), obtenem os 1LJL 768 E l'

7 OJI

022 ~

/3

013 ~ m T i '

l

L

n _ jl

ii

(E.2)

02í = 768 E l

48 E l '

9

/3

/3

(E J)

032 “ 023 = m T í

l\>r lo tanto, la m atriz de flexibilidad d e l sistem a está dada por

, ,

\a\ =

/3 768E l

9

II

7

II

16

II

7

II

9

(E.4)

n ♦ m.

m2

♦

m,

/

«a

n W >

W '> *

' —

(■)

J
F ig u ra 6 .9 D eflexiones d e u n a viga.

».4.

Ix )s e le m e n t o s d e l a m a t r i z d e m a s a , m

s e c o n o c e n c o m o c o e f ic ie n te s d e i n f lu e n c ia d e in e rc ia .

A u n q u e e s m á s c o n v e n ie n te d e r iv a r lo s c o e f ic ie n te s d e i n f lu e n c ia d e in e r c ia d e s d e l a e x p r e s ió n

c o e fic ie n t e s de in flu e n c ia de in e rc ia

p a r a e n e r g í a c in é t ic a d e l s i s t e m a ( v e a l a s e c c ió n 6 .5 ) , l o s c o e f i c i e n te s

s e p u e d e n c a lc u la r p o r

m e d io d e re la c io n e s d e im p u ls o - c a n tid a d d e m o v im ie n to . L o s c o e f ic ie n te s d e i n f lu e n c i a d e i n e r c ia n t¡ j, m 2í„ ...m n) s e d e f in e n c o m o e l c o n ju n to d e im p u ls o s a p lic a d o s e n l o s p u n t o s 1, 2 , . .. , n .


526

C a p ítu lo 6


respectivamente, para producir una velocidad unitaria en el punto j y una velocidad cero en cualquier otro punto (es decir. x ¡ = I , i , = ¿ 2 = ‘ ' ' = * J - 1 - JCy+i = i H = 0 )- Por b tanto, para sistemas de varios grados de libertad, d impulso total en el punto i , F¡. se determina sumando los impulsos que producen las velocidades x j ( j = 1,2,. . . . n ) como n

F - j Z

(6 22 )

” *!]*)

La ecuación (6 2 2 ) se puede expresar en forma matricial como (6 23 )

F = [m ]x

dmde 7 y F son los vectores de vcloddad e impulso dados por *1

Fx

XI

f2

-*

X =

F =

• • Xn

•

(6 24 )

V

y [m ] es la matriz de masa dada por "Mi

ml2

"»2I

m 22

m tn

•*

m 2n

m

(625) • ."Mil

m n2

Se puede verificar con facilidad que los coefitientes de influencia de inercia son simétricos para un sistema lineal, es decir, m(/ = m;i. Se puede utilizar el siguiente procedimiento para derivar los coeficientes de influencia de inercia de un sistema de varios grados de libertad. 1. Suponga que se aplica un conjunto de impulsos/,, en varios puntos/(/ = 1 .2..... ñipara producir una velocidad unitaria en el punto j (x ¡ = 1 con j = 1 para comenzar) y una velocidad cero en los demás puntos ( « i = x 2 "•••¿y- 1 = xj+x = ••• = i , = 0 ). Por definición, el conjunto de impulsosf¡¡ (i = 1, 2 n ) indican los coeficientes de influencia de inercia m ^ ( i = 1, 2 ....... n). 2 . Después de completar el paso I durante j “ 1. el procedimiento se repite para j = 2 .3 ....... n.

Observe que si xj indica una coordenada angular, entonces x ¡ representa una velocidad angular y F / indica un impulso angular. El siguiente ejemplo iluSra el procedimiento de generar m lf

E je m p lo 6.7

C o e fic ie n te s d e In flue n cia d e inercia Ricucntrc los coeficientes de influenciade inercia del sistema que se muestra en la figura 6.4(a). Solución:

Método: Use la definición de mvjunto con relaciones de impulso-cantidad de movimiento. Sean x{t) y 0(i) las coordenadas para definir las posiciones lineales y angulares del remolque (M) y el

péndulo compuesto (m). Para derivar loscoeficientesde influencia de inercia, se aplican impulsosde magnitud


6 .5

E x p r e sio n e s d e e n e r g ía p o te n c ia l y c in é tic a e n fo r m a m a tricia l

527

m M y m2i a '° lar8 ° d e la s direcciones x (i) y 0(í) para producir las velocidades i = I y 0 = 0. E ntonces la ecuación d e im pulso y cantidad de m ovim iento lineal resulta m „ = (M + m )(l)

(E.1)

y la ecuación de im pulso angular y cantidad de m ovim iento angular (con respecto a O ) produce (E.2)

m 2i = « » (1 )¿

Luego se aplican im pulsos de m agnitudes rnl2 y m j? a lo largo d e la s direcciones x<0 y 0(0 p ara o b ten e r las velocidades i = 0 y 0 = 1. P o r lo tanto, la relación d e im pulso lineal y can tid ad d e m ovim iento lineal pro porciona

m ,2 =

(E 3 )

" » (l)(0

y la ecuación d e im pulso a n g u la r y cantidad de m ovim iento angular (con respecto a O) resulta

"* = ( t ) (1)

(E.4)

l\>r lo tanto, la m atriz d e m asa o inercia d e l sistem a está d ad a por

W

6.5

«

mt

mF

2

3

(E 5 )

E x p r e s io n e s d e e n e r g ía p o te n c ia l y c in é tic a en f o r m a m a tric ia l S e a x t e \ d e s p la z a m ie n to d e la m a s a m t y F (l a fu e rz a a p lic a d a e n l a d ir e c c ió n d e x t e n l a m a s a m , e n u n s is te m a d e n g ra d o s d e lib e r ta d s e m e ja n te a l q u e s e m u e s tra e n l a f ig u r a 6 .5 . 1.a e n e r g ía p o te n c ia l e lá s tic a i-é s im o e s t á d a d a p o r

( ta m b ié n c o n o c id a c o m o e n e r g ía d e d e fo r m a c ió n ) d e l re s o rte

^ = ^ F ,x ,

(6 .2 6 )

V = 2 v , - i ¿F,*,-

(6.27)

L a e n e r g ía p o te n c ia l to ta l s e e x p r e s a c o m o

í-l

Z « -l

P u e s to q u e

F, -

2 V J mI

j


(6 .2 8 )

C a p ítu lo 6


La ecuación (6.27) se escribe como

(6 2 9 )

La ecuación (6.29) también se escribe en forma matricial como1 (6 30 ) cbnde la ecuación (6.7) proporciona el vector de desplazamiento y la matriz de rigidez se escribe como '*11

*12

*21

*22

[k) =

-

*1*2»

*"2

*”

(6 31 )

*„

La energía cinética asociada con la masa m¡ es, por definición, igual a (6 32 )

Ti -

La energía cinética total del sistema se expresa como (6 33 )

T - ± T , - \ ± m r f ¿ 1=1

(=1

h cual se escribe en fonna matricial como

7 -

(6 34 )

cbnde el vector de velocidad x está dado por

x =

y la matriz de masa (m 1es una matriz diagonal resultado de m,

0 m 2

m 0

(6 35 ) m«_

Si se utilizan coordenadas generalizadas (
7 = \ ~ Z T [m \ q 1 D id o que los índices i y j se pueden intercam biar en la ecuación ( 6 2 9 ). tenemos la relación k,j =


kp.

6 .6

C o o r d e n a d a s g e n e r a liz a d a s y fu e r za s g e n e r a liz a d a s

529

d o n d e q c s e l v e c to r d e v e lo c id a d e s g e n e r a liz a d a s , d a d o p o r

(6 .3 7 )

y [m i s e c o n o c e c o m o m a tr iz d e m a s a g e n e r a liz a d a , d a d a p o r

" 'l l

[ m ]

=

m ,

2

m 21

m 22

_"»n l

m n2

”

*

« i .

m 2it

•"

(6 .3 8 )

" '- n

c o n m¿i = m ¿ . L a m a triz d e m a s a g e n e r a liz a d a p ro p o rc io n a d a p o r l a e c u a c ió n ( 6 .3 8 ) e s tá lle n a , e n c o n tra s te c o n la m a tr iz d e m a s a d ia g o n a l d e l a e c u a c ió n (6 .3 5 ). S e v e q u e la e n e r g ía p o te n c ia l es u n a f u n d ó n c u a d r á tic a d e l o s d e s p la z a m ie n to s , y q u e l a e n e r g ía c in é tic a e s u n a f u n d ó n c u a d r á tic a d e la s v e lo c id a d e s . P o r c o n s ig u ie n te , s e d ic e q u e e s t á n e n fo rm a c u a d r á tic a . C o m o la e n e r g ía d n é t i c a . p o r d e f in ic ió n , n o p u e d e s e r n e g a tiv a y s e d e s v a n e c e só lo c u a n d o to d a s la s v e lo c id a d e s s e d e s v a n e c e n , la s e c u a c io n e s ( 6 .3 4 ) y ( 6 .3 6 ) s e lla m a n f o r m a s c u a d r á tic a s d e fin id a s p o s i t iv a s y l a m a triz d e m a s a [m i s e lla m a m a tr iz d e fin id a p o s itiv a . P o r o tra p a rte , l a e x p r e s ió n d e l a e n e r g ía p o te n c ia l, e c u a d ó n (6 .3 0 ) e s u n a fo rm a c u a d r á tic a d e f in id a p o s i t i v a . p e ro la m a triz [k ] s e d e fin e p o s itiv a s ó lo s i e l s is te m a es e s ta b le . E x is te n s is te m a s p a r a lo s c u a le s la e n e r g ía p o te n c ia l e s c e r o s in q u e l o s d e s p la z a m ie n to s o c o o rd e n a d a s X \ , x 2. .... x„ s e a n c e r o . E n e s to s c a s o s l a e n e rg ía p o te n c ia l s e r á u n a fu n c ió n c u a d r á tic a p o s itiv a e n l u g a r d e d e f in id a p o s itiv a ; e n c o n s e c u e n d a . s e d ic e q u e l a m a tr iz [jfc| e s p o s itiv a . U n s is te m a p a r a e l c u a l [k] e s p o s itiv a y fm l se d e f in e p o s itiv a , s e c o n o c e c o m o s is te m a s e m id e fm id o ( v e a la s e c c ió n 6 . 12).

6.6

Coordenadas g eneralizadas y fu e rza s generalizadas L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n s is te m a v ib ra to rio s e p u e d e n f o r m u la r e n v a r io s s is te m a s d e c o o rd e n a d a s . C o m o s e e x p lic ó a n te s , s e r e q u ie r e n n c o o id e n a d a s in d e p e n d ie n te s p a r a d e s c r ib ir e l m o v im ie n to d e u n s is te m a d e n g r a d o s d e lib e rta d . C u a lq u ie r s is te m a d e n c o o rd e n a d a s in d e p e n d ie n te s s e c o n o c e c o m o c o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s , u s u a lm e n te d e s ig n a d a s p o r q t, q 2. .... q H, I-as c o o r d e n a d a s g e n e ra liz a d a s p u e d e n s e r lo n g itu d e s , á n g u lo s o c u a lq u ie r o t r o c o n ju n to d e n ú m e ro s q u e d e fin a n la c o n f ig u r a c ió n d e l s is te m a e n c u a lq u ie r m o m e n to d e fo rm a ú n ic a . T a m b ié n s o n i n d e p e n d ie n te s d e la s c o n d ic io n e s d e re s tric c ió n . P a ra ilu s tr a r e l c o n c e p to d e c o o r d e n a d a s g e n e r a liz a d a s , c o n s id e re e l p é n d u lo tr ip le q u e s e m u e s tr a e n l a fig u r a 6 .1 0 . L a c o n f ig u r a c ió n d e l s is te m a p u e d e s e r e s p e c if ic a d a p o r l a s s e is c o o r d e n a d a s (x;, y ¡ \ j -

1. 2 . 3 . S i n e m b a rg o , e s ta s c o o r d e n a d a s n o s o n in d e p e n d ie n te s s in o q u e e s tá n

re s trin g id a s p o r l a s re la c io n e s : x? +

y ? = /?

-

* i)2 +

{y i -

y .)2 =

l\

(X3 -

X 2) 2 +

(>*3 -

y 2 )2 =

l\

(x2


(6 . 3 9 )

530

C a p ítu lo 6


Figura 6.10 RSndulo triple.

Cbmo las coordenadas = 1.2. 3 no son independíenles, no pueden llamarse coordenadas Mineralizadas. Sin las restricciones de la ecuación (6.39) cada una de las masas m ¡, m 2 y podrá ocupar cualquier posición en el plano x -y . Las restricciones eliminan tres grados de libertad de las seiscoordenadas (dos por cada masa), y por lo tanto el sistema tiene sólo tres grados de libertad. Si se utilizan desplazamientos angulares 0¿ ( j = 1, 2. 3) para especificar las ubicaciones de las masas n t j ] - 1 ,2 ,3 ) en cualquier momento, no habrá restricciones en 0j. Por lo tanto, forman un sistema de coordenadas generalizadas indicadas como qf = O j,j = 1,2,3. Cuando en el sistema actúan fuerzas externas, su configuración cambia. La nueva configu ración del sistema se obtiene cambiando las coordenadas generalizadas q¡ por Sq) t j = 1 , 2 , .... n , dinde n indica la cantidad de coordenadas generalizadas (o grados de libertad) del sistema. Si Uj significa el trabajo realizado al cambiar las coordenadas generalizadas q¡ en la cantidad 8qJf la fucra generalizada correspondiente Q) se define como

Ui

Q j~Sq/

J m 1 , 2 .......... "

(6.40)

cbnde Qt será una fuerza (momento) cuando qt sea un desplazamiento lineal (angular).

u s o d e las e c u a c io n e s d e L a g ra n g e p a r a d e riv a r e c u a c io n e s d e m o v i m i e n t o Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio a menudo se pueden derivar de una forma rencilla en función de coordenadas generalizadas mediante lasecuaciones de Lagrange [6.3]. Éstas se formulan para un sistema de n grados de libertad como


6 .7

U so d e las e c u a c io n e s d e L agran ge p ara d erivar e c u a c io n e s d e m o v im ie n to

531

.......... donde q , =

q j / t e s l a v e lo c id a d g e n e r a liz a d a y Q \n) e s l a f u e r z a g e n e r a liz a d a no c o n s e rv a d o ra

c o r re s p o n d ie n te a l a c o o r d e n a d a g e n e r a liz a d a q¡. L a s f u e rz a s r e p re s e n ta d a s p o r (?}"' p u e d e n s e r fu e rz a s d is ip a tiv a s ( d e a m o r tig u a m ie n to ) u o tr a s f u e rz a s e x te r n a s q u e n o s o n d c r iv a b lc s d e u n a f u n c ió n p o te n c ia l. P o r q e m p l o . s i Ftk , F * y F ^ , re p re s e n ta n la s fu e rz a s e x te r n a s q u e a c tú a n e n l a m a s a it-^ sim a d e l s is te m a e n l a s d ir e c c io n e s x . y y z , re s p e c tiv a m e n te , e n e s e c a s o l a f u e r z a g e n e ra liz a d a (? jn) s e c a lc u la c o m o s ig u e :

(6-42> d o n d e x k, y k y z k s o n lo s d e s p la z a m ie n to s d e l a m a s a ¿t-ésim a e n l a s d i r e c c io n e s x . y y z . r e s p e c tiv a m e n te . O b s e r v e q u e p a ra un s is te m a to rs io n a l. l a f u e rz a F ¿ , p o r e je m p lo , tie n e q u e s e r re e m p la z a d a p o r e l m o m e n to q u e a c tú a c o n r e s p e c to a l e je x

y e l d e s p la z a m ie n to x k p o r el d e s p la z a m ie n to

a n g u la r c o n r e s p e c to a l e je x (6 ^ .) e n l a e c u a c ió n (6 .4 2 ). P a ra u n s is te m a c o n s e r v a d o r . Q

= 0 . de

m o d o q u e l a e c u a c ió n a d o p ta la fo rm a

d íd T \ t H di \d q jJ

dT dV — + — = ó q j dq¡

j ~

#i

(6 .4 3 )

L a s e c u a c io n e s ( 6 .4 1 ) o ( 6 .4 3 ) re p re s e n ta n un s is te m a d e n e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s , u n a p o r c a d a u n a d e l a s n c o o r d e n a d a s g e n e ra liz a d a s . P o r lo ta n to , la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e l s is te m a v ib ra to r io s e p u e d e n d e r iv a r , s ie m p re q u e l a s e x p r e s io n e s d e e n e r g ía e s té n d is p o n ib le s .

E je m p lo 6 .8

E c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a to rs io n a l E n la figura 6.11 s e m uestra la instalación d e l co m p reso r, turbina y g enerador d e una planta term oeléctrica. Dicha instalación s e puede considerar c o m o un sistem a torsional d o n d e J, indica los m om entos d e inercia d e los tres com ponentes (com presor, turbina y generador), Af0 so n los m om entos externos que a ctú an e n lo s com ponentes, y kHso n las constantes d e resorte lorsionales cfc la flecha e n tre los com ponentes, c o m o s e indica e n la figura 6.11. D erive las ecuaciones d e m ovim iento d e l sistem a por m edio d e la s ecu acio n es d e L agrange considerando los desplazam ientos angulares d e los com ponentes 0,c o m o coordenadas generalizadas. S olución: En este c a so q, = 8 t , q7 = 0 , y q^ = 0 , .y la energía cinética d e l sistem a resulta d e

T=

+ \J

+ \J&

^ A)

Para la flecha, la en erg ía potencial e s igual al trabajo realizado p o r la flecha a m edida q u e regresa d e la co n fi guración d inám ica a la posición d e equ ilib rio d e referencia. P o r lo tanto, si 0 indica el desplazam iento angular, pura u n a flecha c o n constante d e resorte torsional k r la energía potencial es igual al trabajo realizado para producir un desplazam iento a n g u la r 0 d e la flecha:


532

C a p ítu lo 6


C om presor (7|)

G enerador (7,)

T urbina (J j)

F igura 6.11 S istem a torsional.

f b r k> tanto, la energía p o tencial total del sistem a s e ex p resa com o

V = í* 11*' + \ ka{Bl " 0,)I + \ ko{By " °z)2

< E 3)

Hay m om entos externos aplicados a los com ponentes, a sí que la ecuación (6.42) resulta dOk

3

dOk

3

(E .4) de la cual obtenem os

« j* ,.

* * 2

*

-« "

Mi

ao,

«f4-

..

* " «i? + * -g - H.

aa,

C ?> =

as-

ae,

* J f a - *

= M, r3

(E 3 )

Sustituyendo la s ecuaciones (E .1). (E .3) y (E 3 ) e n las ecuaciones de L agrange, ecuación (6.41). obtenem os pora j — 1. 2. 3 las ecuaciones d e m ovim iento 7 ,0 , + ( * „ + A ,,* , - k a 02 = M,\ J Á

+ (*,2 + k ü )02 - *f3a , - *,3®3 = J A

+

*r3»3

m

,,

- *r*>2 = Mt i

(E .6)

h s cuales s e expresan en form a m atricial como J\

0

o"

0

h 0

h .

_0

E je m p lo 6.9

0

(*rl +

ÍM +

" * r 2

“ *í2 (*,2

+ *.3>

o

0 (E .7)

- * ,3 *r3

.

E cu a cio n e s d e L a g ra n g e Derive la s ecuaciones d e m ovim iento d e l sistem a d e rcm olquc-pcndulo com puesto q u e se m uestra en la figura 6.4(a). S olución: l a s coordenadas M D y

6 .7

U so d e las e c u a c io n e s d e L agran ge p ara d erivar e c u a c io n e s d e m o v im ie n to

533

S i s e introduce una coordenada y . por conveniencia, c o m o se m uestra e n la figura 6.4
X

+ - sen 0

(E.1)

yc = ^ eos 0

(E.2)

L a diferenciación d e las ecu acio n es (E . I ) y ( E 2 ) c o n respecto a l tiem po proporciona las velocidades d e l punto C com o x c = x + l- Q c o s 0

(E 3 )

y e = - l- ¿ t e n 8

(E.4)

La en erg ía cinética d e l sistem a T , se ex p resa com o

T = \ M¿1 + í m(Í^ + ^c ) + \ J<^

(E5>

d o n d e Jc - j ^ m l 2. Utilizando las ecu acio n es (E 3 ) y ( E 4 ) . la ecu ació n ( E 3 ) se reescribe com o

T= =

+

‘~ T + *

+ *»)*2 +

“

•) -

+ ^ ( " * / c o s 0 ) jc¿

(E 6 )

La en erg ía potencial d e l sistem a V. d eb id o a la energía de deform ación d e los resortes y e l potencial gravitad o n a l. se expresa como V =

+ m g ^ (I - eos 0 )

(E.7)

d o n d e la posición m ás b a ja d e l punto C se considera c o m o e l n ivel de referencia. D ado q u e e n e l sistem a actúan tuerzas no c o n se n a d o ra s, s e tienen que calcular las fuerzas generalizadas correspondientes a x ( l) y 0(1). La fuerza. X ( t \ q u e actúa e n la dirección d e x (l) se determ ina c o n la ecu ació n (6 .4 2 ) como X ( l ) = Q \m) = F ( i ) - c , i ( / ) - c2x ( l )

(E.8)

d m d e e l signo negativo de los térm inos C |¿ y indica que las fuerzas de am ortiguam iento se oponen al m ovim iento. A sim ism o, la fuerza 0 ( f ) q u c actúa en la direcció n d e 0(1) s e puede d eterm inar como

0 (0 = Q[*] =

M ,{ t)

(E.9)

d o n d e q¡ “ x y tf¡ - 0. D iferenciando las exp resio n es de T y V com o lo requiere la ecuación (6.41) y su s tituyendo las expresiones resultantes, ju n to con las ecu acio n es (E .8) y (E .9), o btenem os las ecu acio n es de m ovim iento d e l sistem a com o

( M + m ) x + ~ ( m l e o s 0 )0 - - m i sen 0(P + k ¡x + k 2x = F ( l ) - c \ i - Ciic

+í

(m i eos 0 ) x ~ ~ m i sen

+

00x + ^ m / sen 00.r

¿mgl se n 0 = M , ( l)


(E.10)

(R U )

534

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad Se ve q u e las ecu acio n es (E. 10) y (E . 11) s o n id én ticas a las o btenidas c o n la se g u n d a ley d e l m ovim iento de Ncwton (ecuaciones (E . 1) y (F .2 ) en e l ejem plo 6.2).

6.8

E c u a c io n e s d e m o v i m i e n t o d e s is te m a s no a m o r t i g u a d o s e n f o r m a m a tric ia l f b d e m o s d e riv a r la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e un s is te m a d e v a r io s g ra d o s d e lib e r ta d e n fo r m a m a tric ia l c o n l a s e c u a c io n e s d e L a g ra n g e .2

1, 2 , —

(6 .4 4 )

d t\d x t c b n d e F , e s la f u e r z a g e n e r a liz a d a n o c o n s e rv a d o ra c o r re s p o n d ie n te a l a /-é s im a c o o r d e n a d a g e n e ra liz a d a x , y x¡ e s la d e r iv a d a c o n re s p e c to a l tie m p o d e x ¡ ( v e lo c id a d g e n e r a liz a d a ) . L a s e n e rg ía s d n é ti c a y p o te n c ia l d e u n s is te m a d e v a r io s g ra d o s d e lib e rta d s e e x p r e s a n e n fo r m a m a tr ic ia l c o m o se in d ic a e n la s e c c ió n 6 ,5 :

T = ^

(6 .4 5 )

T[m ]x

(6 .4 6 ) c b n d e x e s e l v e c to r c o lu m n a d e l a s c o o r d e n a d a s g e n e ra liz a d a s xi *2 x =

(6 .4 7 )

A p a r tir d e l a te o r ía d e m a tr ic e s , o b te n e m o s , c o n s id e r a n d o l a s im e tr ía d e |m ],

^

■ \ s r [ m } ! + ^ 7 r [m]S = ST[m]x = m, x,

i -

1 ,2

(6 .4 8 )

n

c b n d e 6j¡ e s l a d e lta K io n e c k c r (Sj¡ = 1 s i j “ / e “ 0 s i j * i ) , 8 e s e l v e c to r c o lu m n a d e d e lta s K ro n c c k c r c u y o s e le m e n to s e n la s fila s p a r a l a s c u a le s j * i s o n ig u a le s a c e r o y c u y o s e le m e n to s e n m f e s u n v e c to r fila e l c u a l e s id é n tic o a l a f i la i-é s im a d e l a m a triz

h f i la i = j s o n ig u a le s a 1. y

Im j. T o d a s l a s re la c io n e s r e p re s e n ta d a s p o r l a e c u a c ió n ( 6 .4 8 ) s e e x p r e s a n c o m o ar

(6 .4 9 )

d i, ! En la ecuación (6.44) las coordenadas generalizadas se indican como x¡ en lugar de lugar de (>/«>


y las fuerzas generalizadas F¡ en

6 .9

P ro b le m a d e v a lo r e ig e n

535

L a d if e r e n c ia c ió n d e l a e c u a c ió n ( 6 .4 9 ) c o n r e s p e c to a l tie m p o r e s u lta

- í - 'l

—T m¡ x .

d i \d x ,J

i = 1 , 2 ............ «

(6 .5 0 )

p u e s to q u e l a m a tr iz d e m a s a n o e s u n a f u n c ió n d e tie m p o . A d e m á s , l a e n e r g ía c in é tic a e s u n a f u n c ió n d e s ó lo la s v e lo c id a d e s x . , y p o r ta n to

f

dx,

(6 .5 1 )

-o ,

A s im is m o , p o d e m o s d if e r e n c ia r l a e c u a c ió n ( 6 .4 6 ) , c o n s id e r a n d o la s im e tr ía d e [k],

g

= | * W

+ ^

T [* ]8 = « " [ * ] ?

n k f x ,

i ■ 1 ,2 , . . . , n

(6 .5 2 )

d o n d e k ; e s un v e c to r fila id é n tic o a l a f i la í-é s im a d e la m a triz [Aj. S u s titu y e n d o la s e c u a c io n e s ( 6 .5 0 ) a (6 .5 2 ) e n l a e c u a c ió n ( 6 .4 4 ) , o b te n e m o s la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e s e a d a s e n fo rm a m al ric ia l [m )x + [ * ] ? = F

(6 .5 3 )

donde

(6 .5 4 )

Fn O b s e rv e q u e si e l s is te m a e s c o n s e rv a d o r , n o h a y fu e rz a s n o c o n s e rv a d o r a s F , , a s í q u e la e c u a c ió n d e m o v im ie n to s e e s c rib e c o m o

[ m ] x 4- [k ]~ x - 0

(6 .5 5 )

O b s e rv e t a m b ié n q u e s i la s c o o r d e n a d a s g e n e r a liz a d a s x. s o n la s m is m a s q u e l o s d e s p la z a m ie n to s (fís ic o s ) r e a l e s , l a m a tr iz d e m a s a (m j e s u n a m a triz d ia g o n a l.

6.9

P r o b le m a d e v a lo r e ig e n L a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 6 .5 5 ) c o rre s p o n d e a l a v ib ra c ió n lib re n o a m o r tig u a d a d d s is te m a . E n e ste c a s o , s i e l s is te m a r e c i b e a lg o d e e n e r g ía e n l a f o r m a d e d e s p la z a m ie n to s in ic ia le s o v e lo c id a d e s in ic ia le s , o a m b o s , v ib r a d u r a n te u n tie m p o in d e fin id o p o rq u e l a e n e r g ía n o s e d is ip a . P o d e m o s d e te rm in a r l a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 6 .5 5 ) s u p o n ie n d o u n a s o lu c ió n d e l a fo rm a

x¡(t) = X¡T(t),

i=

1 ,2


n

(6 3 6 )

536

C a p ítu lo 6


tbndc X ¡e s una constante y 7*cs una función de tiempo /. La ecuación (6.56) muestra que la relación (fc amplitud de dos coordenadas

Í5SÚ] W o J es independiente del tiempo. Físicamente, esto significa que todas las coordenadas tienen movi mientos sincrónicos. La configuración del sistema no cambia de forma durante el movimiento, pero ai amplitud sí lo hace. La configuración del sistema, dada por el vector

*2

X =

x conoce como la fo r m a d e m o d o del sistema. Sustituyendo la ecuación (6.56) en la ecuación

(6.55), obtenemos (6 37 )

[ m ] X r ( / ) + [ * ]A T (f ) = 0 La ecuación (6.57) se puede escribir en forma escalar como n ecuaciones distintas

‘ = 1.2

+ ( ¿ v o ) 7/ ' ) =

n

(6 38 )

tfc las cuales obtenemos las relaciones

(á w )

m

T{t)

i = 1 .2

n

(6 39 )

Ricsto que el lado izquierdo de la ecuación (6.59) es independiente del índice i, y el lado derecho es independiente de r, ambos lados deben ser iguales a una constante. Suponiendo esta constante1 como id1, podemos escribir la ecuación (6.59) como 7 { l) +
^ ( k ,j -

[(*] -

(6.60)

i = l,2 ,...,n

o?[m)]x =

0

(6.61)

*Se supone que la conaamc es un númeio positivo, a r, para obtener una solución armónica de la ecuación (6.60). De lo Conrado, la solución de TU) y por consiguiente la de x(i) se hacen exponenciales, lo que viola las limitaciones físicas de la energía finita toral.


6 .1 0

S o lu c ió n d e l p ro b lem a d e v a lo r e ig e n

537

La solución de la ecuación (6.60) se expresa corno T ( / ) = C|Cos(
(6.62)

donde C , y ó son constantes, conocidas como amplitud y ángulo de fase, respectivamente. La ecuación (6.62) muestra que todas las coordenadas pueden realizar un movimiento armónico con las mismas frecuencias a¡ y el mismo ángulo de fase 4>. Sin embargo, la frecuencia io no puede to mar cualquier valor arbitrario; tiene que satisfacer la ecuación (6.61). Dado que la ecuación (6 .6 1) representa un conjunto de n ecuaciones homogéneas en las incógnitas X t( i - 1. 2 , • •. n). la solución trivial e s X , = X 2 “ •••= X„ = 0 . Para una solución no trivial de la ecuación (6.61) el determinante A de la matriz de coeficientes debe ser cero. Es decir. A = \k¡j - t ¿ m u \ = |[*] - a ? [ m ] \ = 0

(6.63)

La ecuación (6.61) representa lo que se conoce como problema de \u lo r e ig e n o va lo r c a ra c te rís ti c o , y to sa conoce como la fr e c u e n c ia n a tu r a l del sistema.

l a expansión de la ecuación (6.63) conduce a una ecuación polinomial de orden enésimo en (o 2. la solución (raíces) de esta ecuación polinomial o característica da n valores de &>2. Se puede demostrar que todas las n raíces son reales y positivas cuando las matrices 1*1 y |m| son simétricas y positivas definidas [6.41. como en este caso. Si tú], a>\, indican las n raíces en orden de magnitud ascendente, sus raíces cuadradas positivas dan las n frecuencias naturales del sistema io, s a>2 s •••s ü>a. E l valor mínimo de (tu,) se conoce como prim era fr e c u e n c ia n a tu r a l o fiin d a m en ta l. Por lo común, todas las frecuencias naturales {(¿¿son distintas, aun cuando en algunos casos

dos frecuencias naturales podrían tener el mismo valor.

6.10

s o lu c i ó n d e l p r o b l e m a d e v a lo r e ig e n Hay varios métodos para resolver un problema de valor eigen. En esta sección consideraremos un método elemental.

.1 0 .1

S o lu c ió n d e la e c u a c ió n c a ra c te r ís tic a (p o lin o m ia l)

la ecuación (6 .6 !) también se puede expresar como

[ A(* l - [ " ' ] ] * = o

(6.64)

dondc . A = ^

(6.65)

Premultiplicando la ecuación (6.64) por \ k] ~l, obtenemos [A [/ ] -

[D j]í = 0

o

A[ l ] X = [ D ] X

(6.66)

[D ] = [ * ] - '[ » . ]

(6.67)

donde L/J es la matriz identidad y


538

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad x c o n o c e c o m o m a tr iz d in á m ic a . E l p r o b le m a d e v a lo r r i g e n d e l a e c u a c ió n ( 6 .6 6 ) s e c o n o c e c o m o p r o b le m a d e v a lo r e ig e n e s tá n d a r . P a ra u n a s o lu c ió n n o triv ia l d e X . e l d e te r m in a n te c a r a c te rís tic o tfcbc s e r c e r o , e s d e c ir,4 A =

|A [ / ] -

[D ]| = 0

(

6 .68 )

Al e x p a n d irla , la e c u a c ió n ( 6 .6 8 ) r e s u l ta e n u n p o lin o m io d e g r a d o e n é s im o e n A, c o n o c id o c o m o e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a o d e f r e c u e n c i a . S i d g r a d o d e lib e rta d d e l s is te m a (n ) e s g r a n d e , la s o l u c ió n d e e s ta e c u a c ió n p o lin o m ia l s e h a c e te d io s a . D e b e m o s u t i l i / a r a lg ú n m é to d o n u m é r ic o , v a rio s (fe lo s c u a l e s e s t á n d is p o n ib le s p a ra d e te r m in a r la s r a íc e s d e u n a e c u a c ió n p o lin o m ia l [6 .5 ].

E je m p lo 6 .1 0

E cu a cio n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a d e tre s g ra d o s d e lib e rta d form ule las ecuaciones d e m ovim iento d e vibración libre d e l sistem a que s e m uestra en la figura 6.I 2. S olución: C o n n = 3 ju n to c o n A , . , = O y Cj = O p a r a / = 1 .2 n , n + 1 e n la figura 6.3(a). las ecuaciones de m ovim iento d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 6 . 12 p ara vibración fo rrad a se obtienen c o n la ecuación (6.3) com o [m ]5 + [ k ] x = F

(E .1)

(bndc

[m ] =

m,

0

0 '

0

m2

0

_ o

0

■*1 + *2 .

-* 2 *2 +

[* ) = 0

m 3_

-* 3

0 ' ” *3

í m \ F = < F j{ t) >

(E .2)

( m i

*3.

fo rm u la n d o F = 0 . las ecuaciones d e vibración libre se obtienen como [m ]5 + [ * ] x = Ó

P ito

*1

kx, m , — 'W P — ' *2

FAO

kx,

(E 3 )

FA O

1— *3

m2

SxVVAVv-Q F igura 6 .1 2 Un siste m a de re so rte-m asa de tr e s g ra d o s de libertad.

E je m p lo 6.11

F re c u e n c ia s n a tu ra le s d e u n s is te m a d e t r e s g r a d o s d e lib e rta d B tcu en tre las frecuencias naturales y form as de m odo d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 6 . 12 para k t = kn m Aj y wi| jt¡2 ™íHj — m. S olución: l a m atriz d inám ica está d ad a por [/> ] = [ * ] - » [ « ] - [a][m ]

‘ Prcmulóplicando la ecuación (6.61) por (m) - M - 'W l - O .

(E . 1 )

la ecuación determinante característica se puede expresar como A - |aP[/l


6 .1 0


539

d o n d e los elem entos d e la m atriz d e flexibilidad se o b tie n e n a l form ular A¡ ** A, / « 1 . 2. 3 e n las ecuaciones (E .8) y (E . 12) d e l ejem plo 6 .5 , y la m atriz d e m asa se obtiene a l form ular m) = m , i = 1, 2 , 3 e n la (m) com o se m uestra e n la ecuación (E .2) d e l ejem plo 6 .1 0 de m odo que:

m

= i* r! = ¿

i

i

i

I

2

2

I

2

3

I

0

0

[m ] = w 0

I

o

0

0

1

(E.2)

P o r lo tanto

m

I

I

I

1

2

2

I

2

3

(E.4)

Igualando e l determ inante característico a c ero , o btenem os la ecuación de frecuencia

A = |A [ /] - [ D ] | =

A

0

0

I

I

I

0

A

0

1

2

2

0

0

A

I

2

3

= 0

(E A )

donde

(E.6)

D ividiéndola entre A, la ecuación (E .5) da

a

I -

—a -

a

-a

-a

I - 2a

-2a

-2 a

1 -

= a3 - 5 a ' + 6 a -

I = 0

(E.7)

3a

donde m

m ar

(E.8)

° ” kX ~ ~ T L as raíces de la ecuación cúbica ( E 7 ) están d a d as por

mu>\

a, = — k

= 0.19806.

a ; = —— = 1.5553. k a3 = - p

= 3.2 4 9 0 ,

a>, = 0.44504

a>2 = 1.2471

o, =


1 .8 0 2 5

\ fn

Vm

(E.9)

(E.10)

(E .1 1 )

540

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad Una vez q u e se conocen las frecuencias naturales, los m odos o vectores eigen se calculan u tilizando la e c u a ción (6.66):

[* [/ ] - [ o j j x w = 5.

(E .I2 )

« = 1 .2 .3

donde

indica el m odo i-ésim o. A continuación se describe e l procedim iento. P rim er m odo: Sustituyendo el valor d e <■>, (A| = 5.0489

5.0489-

1

0

0

0

I

0

0

0

I

3

e n la ecu ació n ( E l 2). obtenem os

iiE M

B decir. 4.0489

- 1 .0

- 1 .0

- 1 .0

3.0489

- 1 .0

-2 .0

<

Í0 '

-1 0

<

x[l) >

=

2.0489J [ X j 1* J

0

(E.13)

[o.

La ecu ació n (E .13) indica un sistem a d e tres ecuaciones lineales hom ogéneas e n la s tres incógnitas ATi11. x V \ y X j1*. C ualquiera d e e sta s dos incógnitas se puede expresar en función d e la incógnita restante. S seleccionam os, arbitrariam ente, ex p resar X Í '’ y X^l¡ en función d e x j 1’, c o n la s prim eras d o s filas d e la ecuación ( E 13) obtenem os x S '1 * X $ " = 4 .0 4 S 9 X '” 1 0 4 8 9 x 1 ' > - 1 0 XS" = X l11

(E .14)

Una v e z q u e se satisfacen las ecu acio n es ( E l 4), la tercera fila d e la ecu ació n ( E l 3 ) se satisface auto m ática m ente. La solución d e las ecu acio n es ( E 14) se obtiene como X ^* = 1.8019x1'*

XS” = 2.2470x1'

(E .I5 )

R tr lo tanto, la prim era form a de m odo está d ad a por

X (') =

x |l)(

1

1.8019

(E.I6)

[ 12470 J cbndc el v a lo r d e

x j11se p u ed e o btener arbitrariam ente.

Segundo m odo: l a sustitución d e l valor ot2 ( a 2 = 0.6430 " ) e n la ecuación ( E 1 2 ) conduce a “ 'i 0.6430 y k

0 _o

0

o'

1 0

0 1.

m L K

”l

l

l"

l

2

2

.1

2

3_


íx U

i *

6 .1 0


541

e s d e c ir.

-0 .3 5 7 0

- 1 .0

- 1 .0

- 1 .0 - 1 .0

-1.3570 -2 0

-2 0 |{ -2 3 5 7 0

} = \0 }

(E.17)

Como antes, se pueden utilizar las primeras dos filas de la ecuación (E. 17) para obtener - x f > - X ?) = 0.3570XP> - I.3570 x J2) - 2-OXp1 = x j2>

(E.I8)

l a solución de la ecuación ( E 18) conduce a Xj2> = 0.4450XS2)

yx j2) = -0.8020xj2)

(E.I9)

E>r lo tanto, la segunda forma de modo se expresa como

J(2 ) _

í

J.J2) J

10 1 0445Q l

(E J0 )

[-0.802 0 J

donde el valor de XÍ ?: se puede elegir arbitrariamente. T ercer m odo:

Para encontrar el tercer modo, sustituimos el valor de a>j( A3 = 0.3078 ") en la ecuación (E12)

y obtenemos 1

0

0

1

1

0.3078- 0

1

0

2

2

0

0

1

2

3

es decir. -0 .6 9 2 2 -1 .0

- 1 .0 -1.6922

- 1 .0 -2 0

-1 .0

-2 .0

-2 6 9 2 2 J l x ^ .

K X?3) \ =

(E21)

Las dos primeras filas de la ecuación (E 2 I ) se escriben como -X ? > - X ? ' = 0 .6 9 2 2 x |3> -1.6922X Í3) - 2 0 X P } = x | 3>

(EJ22)

la s ecuaciones = —l.2468xj3)

y

x j3) = 0.5544XÍ31

(E.23)

l\»r consiguiente, la tercera forma de modo se escribe como

X<3> = X«3>


(E 2 4 )

542

C a p ítu lo 6


P rim e r m o d o

F ig u ra 6 .1 3 Formas de modo de un sistema de tres grados de libertad.

donde el valor de x j 3) es arbitrario. Los valores de x i '!. x |J), y x j ’1se suelen formas de modo se muestran en la figura 6 . 13.

O r t o g o n a l id a d d e lo s m o d o s n o rm a le s

c o n s id e ra r c o m o

I, y

la s

En la sección anterior consideramos un método de determinar las n frecuencias naturales
Si consideramos otra frecuencia natural facen la ecuación (6 .6 1 ) de modo que

y el vector modal correspondiente

(6 .7 0 )

to ) [ m ] x W = [ k ] J tW

5 S e d i c e q u e d o s v e c t o r e s X <( * y

, también satis

s o n o rto g o n a le s (p e rp e n d ic u la re s e n tr e s í c u a n d o lo s v e c to re s e s tá n d e f in id o s e n u n

e s p a c io d e d o s o t r e s d im e n s io n e s ) s i s e s a tis f a c e l a s ig u ie n te r e la c ió n :

x W 'S U i . o S e d i c e q u e u n s e c t o r X < '* e s n o r m a l s i s u m a g n i t u d e s u n i t a r i a , e s d e c i r ,

l 5 W |* .j w r y w .i F*>r l o t a n t o , s e d i c e q u e l o s v e c t o r e s x 1

y

X

so n a i o g o n a le s s i s a tis fa c e n la s re la c io n e s d e o rto g o n a lid a d y n o r m a li

dad:

7 ( 0 ' *u> , o ,

|7<0|» =

x « y

x ( 0

= 1,

\x 'J > \*


=

x < t f

50) = i

6 .1 0


543

Prcmultiplicando las ecuaciones (6.69) y (6.70) por X iJ)r y X ^ ) T . respectivamente, obtenemos, considerando la simetría de las matrices 1*1 y [mj. a> ¡X < »T [ m ] x M = x W [ k ]X<‘) = X ^ T [ k ] X ^

(6.71)

< o ¿ xW [m ]xM

(6.72)

= t f x W [ m ] x « ) = x W [k]xU )

Restando la ecuación (6.72) de la ecuación (6.71) obtenemos (6.73)

(a>} ~ t d f ) x l M T[ m ] X ^ = 0

En general, oí} *
i * i

(6.74)

De las ecuaciones (6.71) y (6.72) obtenemos, en vista de la ecuación (6.74), x O )T [k ] x « ) =

i # j

0,

(6.75)

Las ecuaciones (6.74) y (6.75) indican que los vectores modales X*'* y X ^ son ortogonales con respecto tanto a la matriz de masa como a la matriz de rigidez. Cuando i - 7 , los lados izquierdos de las ecuaciones (6.74) y (6.75) no son iguales a cero, pero proporcionan los coeficientes de masa y rigidez generalizados del modo í-ésimo. M ü = X<'>r ( m ] * (/). K ü = 3f7‘[* ]X < í >,

/ = L 2 .............. n í -

1 ,2

n

(6.76) (6.77)

Las ecuaciones (6.76) y (6.77) se escriben en forma matricial como Mu

0 M n

= [X]T [m)[X]

(6.78)

M„

M

'2 2

[X)r[k][X ]

(6.79)

donde (X] es la llamada m a triz m o d a l, e n la cual la columna /-ésima corresponde al vector modal i-ésimo: [ X ] = [X">X<2> — JfW ]

6 En

el

c a s o d e v a l o r e s e i g e n r e p e t i d o s ,
(6.80)

o i¡, l o s v e c t o r e s m o d a l e s a s o c i a d o s s o n o r t o g o n a l e s a t o d o s l o s v e c t o r e s m o d a l e s

r e s ta n te s p e r o n o s u e le n s e r o r t o g o n a l e s e n t r e s í.


544

C a p ítu lo 6


E n m u c h o s c a s o s n o rm a liz a m o s l o s v e c to r e s m o d a le s 5fWT[ « ] 3 ? w = 1 ,

d e ta l m o d o q u e / = 1 , 2 ........... n

” l ^ ] , e s d e c ir, ( 6 .8 1 )

E n e s t e c a s o l a m a triz [ S A \ ] s e r e d u c e a

o»?

M

( 6 .8 2 )

- [v .] 0

N o ta : S i u n v e c to r e ig e n X ^ s a tis fa c e l a e c u a c ió n ( 6 .8 1 ) , s e d i c e q u e e s o rto n o rm a l c o n r e s p e c to a l a m a tr iz d e m a s a |m ].

E je m p lo 6 .1 2

O rto n o rm a llz a c ió n d e v e c to re s e ig en Q nonom ialicc los vectores eigen del ejem plo 6. 11 c o n respecto a la m atriz d e m asa. Solución: M étodo: M ultiplique cada vector eigen por una constante y en cu en tre su valor a p artir d e la relación [ m jx M = 1 , 1 = 1 .2 .3 . Los vectores eigen d e l ejem plo 6 . 11 e stán dados por

X ") = X \" {

l

I.0 8019 l> 2.2470 2470 J

0 .44501 -0 .8 0 2 0 J

x< 3> = x | 3) { - 1 .2 4 * 8 J

{ 0.5544 J La m atriz d e m asa está d a d a por

Se d ice que e l v ector eigen

I

0

0

[m ] = m 0

1

o

0

0

I

e s |m j-ortonorm al si s e satisface la siguiente condición: X ® T[m ] X « = I

R»r lo tanto, para i = 1. la ecuación (E. I ) conduce a m (X Í1>)2(1.02 + 1.80I92 + 2.24702) = I


(E .I)

6 .1 0


545

0.3280 jrf)Vm

V m (9 .2 9 5 9 ) A sim ism o, p ara i = 2 c / = 3. la ecu ació n (E .1) resulta « ( x P ^ l . O 2 + 0.44502 + { - 0 .8 0 2 0 } 3) = I

x \ 2) =

o

0-7370 Vm

« ( X p V í l . O 2 + { - I .2 4 6 8 } 2 + 0.55442) = 1

x \ 3) =

o

Vm

C u a n d o l a e c u a c ió n c a ra c te rís tic a o o s e e ra íc e s r e p e tid a s , lo s m o d o s c o r re s p o n d ie n te s n o s o n ú n ie o s. P a r a v e r e s to , s e a n X ( l ) y X ' 2 ' l a s fo rm a s d e m o d o c o r re s p o n d ie n te s a l v a lo r e ig e n re p e tid o

V a lo re s e ig e n r e p e t id o s

A, = A2 = A y s e a X {y) l a fo r m a d e m o d o c o r re s p o n d ie n te a u n v a lo r e ig e n d i f e r e n te A j. L a e c u a c ió n (6 .6 6 ) s e e s c r ib e c o m o

[D]X(I> =

0)

(6.83)

[Z>]3?<2> = AX(2)

(6.84)

[D]X<3> = AjX(3>

(6.85)

\X

M u ltip lic a n d o l a e c u a c ió n (6 .8 3 ) p o r u n a c o n s ta n te p y s u m á n d o la a l a e c u a c ió n ( 6 .8 4 ) , o b te n e m o s [ D ] ( p X (l> + X<2>) = A( p X < ‘> + X<2>)

(6 .8 6 )

E sto d e m u e s tr a q u e l a n u e v a fo rm a d e m o d o ( p X { 11 + X ' * ') , l a c u a l e s u n a c o m b in a c ió n lin e a l d e lo s p rim e r o s d o s , ta m b ié n s a tis fa c e la e c u a c ió n ( 6 .6 6 ) , a s í q u e l a f o r m a j e m o d o c o r re s p o n d ie n te a A no e s ú n ic a . C u a lq u ie r X c o r re s p o n d ie n te a A d e b e s e r o rto g o n a l a X 13) p a ra q u e s e a u n m o d o n o rm a l. S i l o s tr e s m o d o s s o n o r to g o n a le s , s e r á n lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s y s e p u e d e n u tiliz a r p a ra d e s c r ib ir l a v i b r a c ió n lib re re s u lta n te d e c u a le s q u ie r a c o n d ic io n e s in ic ia le s . M a h a lin g a m y B is h o p [ 6 .1 6 | p r e s e n ta ro n l a re s p u e s ta d e u n s is te m a d e v a rio s g r a d o s d e l ib e r ta d c o n v a ria s fr e c u e n c ia s n a tu r a le s re p e tid a s a u n a e x c ita c ió n d e fu e rz a y d e s p la z a m ie n to .

E je m p lo 6 .1 3

V a lo re s e ig e n re p e tid o s D eterm ine los valores y vectores eigen d e un sistem a vibratorio p ara e l cual

m) =

"l 0 0

0 2 0

o' 0

y

[k] =

1.

r L

■ -2 «

-2

r

4

-2

"2

>.

S olución: Si la ecuación d e v a lo r eigen [[A ] - A [m ]]X = 0 se p u ed e escribir como

(1 - A)

-2

-2 1

2 (2 - A) -2


(E.1)

546

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad (b n d e A a oP. La ecu ació n característica resulla | [ k ] - A H I = A2(A - 4 ) = 0 así que A, = 0.

A, = a

A} = 4

(E .2)

Vector eigen p a r a A3 = 4. Utilizando A3 = 4 . la ecu ació n ( E 1) resulta

- 3 X ! 3) - 2X53) + XÍ3) = 0 -2 X < 3> - 4XP> - 2XS3> = 0 X¡3) - 2 X j 3) - 3X 33> = 0

(E 3 )

Si x j 3) se hace igual a 1. las ecuaciones (E 3 ) proporcionan e l v ector eigen X (,) .

X<3) = | - l |

(E .4)

Vector eigen p a r a Át “ A; = 0. El valor A, * 0 o A2 = 0 indica q u e el sistem a es degenerado (v ea la sección 6 1 2 ). A plicando A, = O cn la ecuación ( E l)o b te n e m o s X j ° - 2X<'> + X ? = 0 - 2 X S 0 + 4X<'> - 2X <') = 0

x !° - 2x5° + xJ1* = 0

(E.5)

Todas estas ecu acio n es so n d e la form a X<3) ■i -= 2 X j

- xS°

ft>r lo tanto, e l v a lo r cigcn correspondiente a A| = A2se escribe com o Í2 X

- X ‘

x‘ “ > = <

XV'

}

(E.6)

{ í Si esco g em o s x j l} = I y X $ ° = I . obtenem os

* 0) = M

u

(E .7)

I

Si elegim os X j1, = 1 y X 3' ' = - 1 , la ecuación ( E 6 ) proporciona

X »> =

{

I 1


(E.8)

6 .1 2

S is t e m a s n o r e s tr in g id o s

547

C om o se m ostró an te s e n la ecu ació n (6 .8 6 ) X (l) y X t2] no son únicos. C ualquier com binación lineal de * ( ’> y 7 * 2*_también satisfará la ecuación ( E l ) original. O bserve q u e X ( : | dado por la ecu ació n (E .6) es ortogonal a X,3) d e la ecuación ( E 4 ) con todos los v alo res d e x V 1 y J ^ 1!. puesto que I

X<3)rW x<» = (|

6. 11

1}

0 0

0

2 0

0

0 I

= 0

T e o r e m a d e e x p a n s ió n L o s v e c to re s e ig e n . d e b id o a su p ro p ie d a d d e o r to g o n a iid a d . s o n lin c a lin c n tc in d e p e n d ie n te s .7 P o r c o n s ig u ie n te , c o n s titu y e n l a b a s e e n e l e s p a c io d e n d im e n s io n e s .8 E s to sig n ific a q u e c u a lq u ie r v e c to r e n e l e s p a c io d e n d im e n s io n e s s e p u e d e e x p r e s a r m e d ia n te u n a c o m b in a c ió n lin e a l d e lo s n v e c to r e s lin e a lm e n te in d e p e n d ie n te s . S i 7 e s u n v e c to r a r b itr a r io e n u n e s p a c io d e n d im e n s io n e s . se p u e d e e x p r e s a r c o m o

7

= 2 c , x (0 í= l

(6 .8 7 )

d o n d e c , s o n c o n s ta n te s . P r c m u ltip lic a n d o l a e c u a c ió n ( 6 .8 7 ) p o r X | , ) r [ / n ] , e l v a lo r d e la c o n s ta n te c . s e d e te r m i n a c o m o

xW[m) 7

xW[m] 7

<■< = = 7 X W [ m ]X * '>

Mu

1 .2

n

(6 .8 8 )

'

d o n d e M u e s l a m a s a g e n e r a liz a d a e n e l i-é s im o m o d o n o r m a l. S i lo s v e c to r e s m o d a le s X ^ ' h c n o r m a liz a n d e a c u e r d o c o n la e c u a c ió n ( 6 . 8 1) . c , e s t á d a d o p o r C, -

xW[m]7,

1 = 1 ,2

n

(6 .8 9 )

L a e c u a c ió n ( 6 .8 9 ) r e p re s e n ta lo q u e s e c o n o c e c o m o te o r e m a d e e x p a n s ió n [6 .6 ] . E s m u y ú til p a ra d e te rm in a r la re s p u e s ta d e s is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e r ta d s o m e tid o s a c o n d ic io n e s f o rz a d a s a rb itra ria s d e a c u e r d o c o n u n p ro c e d im ie n to l la m a d o a n á lis is m o d a l.

6. 12

S is te m a s n o r e s t r in g id o s C o m o s e e x p r e s ó e n la s e c c ió n 5 .7 . u n s is te m a n o re s trin g id o e s a q u e l q u e no t ie n e re s tric c io n e s o so p o rte s y q u e p u e d e m o v e rs e c o m o u n c u e r p o ríg id o . N o e s c o m ú n v e r . e n l a p r á c tic a , s is te m a s q u e n o e sté n c o n e c ta d o s a c u a lq u ie r m a rc o e s ta c io n a r io . U n e je m p lo c o m ú n e s e l m o v im ie n to d e d o s c a r r o s d e fe rro c a rril c o n m a s a s m , y m 2 y u n re s o rte d e a c o p la m ie n to L T a le s s is te m a s s o n

1 Un conjunto de vectores es lincalmentc independiente si ningún vector en el conjunto se puede obtener mediante una combinación lineal de los restantes. *Qialquier conjunto de n vectores lincalmentc independientes en un espacio de n dimensiones se conoce como base en dicho espacio.


548

C a p ítu lo 6


capaces de moverse como cuerpos rígidos, los cuales se pueden considerar como modos de oscila ción con frecuencia cero. Para un sistema conservador, las ecuaciones (6.34) y (6.30) dan las ener gías cinéticay potencial, respectivamente. Por definición, la energía cinética siemprees positiva, así que lamatriz de masa [m] es una matriz definida positiva. Sin embargo, lamatriz de rigidez [AJ es una matriz semidefinida: V es cero sin que el vector de desplazamiento ~x sea cero para sistemas ru restringidos. Para ver esto, considere la ecuación de movimiento para vibración libre en coor denadas normales: ¿7(0 + * ¿ 7 (0 = 0

(6.90)

fóra a i = 0, la solución de la ecuación (6.90) se expresa como <7(0 = a + p t

(6.91)

cbnde a y 0 son constantes. La ecuación (6.91) representa una traslación de cuerpo rígido. Sea X el vector modal de un sistema de varios grados de libertad correspondiente al modo de cuerpo rígido. E l problema de valor eigen. ecuación (6.64), se expresa como o>2[m]X<°> = [*]X<°>

(6.92)

Con ¡o ■ 0, la ecuación (6.92) resulta [A]X<°> = 0 Es decir.

* „ * ¡ 01 +

+ -

* 2 lx | 0 | + * a x f

+

í ,ix f > +

+ * ,» * ? > -

0

+ *& X Í» ) = 0

+ ••■ + k m X ^ > = 0

(6.93)

Si el sistema experimenta traslación de cuerpo rígido, no lodos los componentes X ¡ ° \ ¡ - 1.2...... n , son cero, es decir, el vector X 10' no es igual a 0. Por consiguiente, para satisfacer la ecuación (6.93), el determinante de [Al debe ser cero. Por lo tanto, la matriz de rigidez de un sistema no res tringido (con frecuencia natural cero) es singular. Si [Al es singular, la energía potencial está dada par

V = ^X<°>r [A]X<0>

(6.94)

en virtud de la ecuación (6.93). El modo Af10' se llama m odo c e r o o m o d o d e c u erp o r íg id o . Si sustituimos cualquier vector X además de y 0 en lugar de 7 en la ecuación (6.30), la energía potencial Vse vuelve una cantidad positiva. La matriz [A] es entonces una matriz semidefinida po sitiva. Por eso un sistema no restringido también se conoce como sistem a sem id efin id o .


6 .1 2

S is t e m a s n o r e s tr in g id o s

549

O b s e rv e q u e un s is te m a d e v a r io s g ra d o s d e lib e rta d p u e d e t e n e r c u a n d o m u c h o s e is m o d o s d e c u e r p o r íg id o c o n l a s fre c u e n c ia s c o r re s p o n d ie n te s ig u a le s a c e r o . P u e d e h a b e r tr e s m o d o s d e tra s la c ió n d e c u e r p o r í g id o , u n o d e tr a s la c ió n a l o la r g o d e c a d a u n a d e l a s tre s c o o rd e n a d a s c a r t e s ia n a s y tr e s m o d o s d e ro ta c ió n d e c u e rp o ríg id o , u n o p o r ro ta c ió n a lre d e d o r d e l a s tr e s c o o rd e n a d a s c a rte s ia n a s . P o d e m o s d e te r m in a r l o s m o d o s y fre c u e n c ia s n a tu ra le s d e u n s is te m a s e m id e fin id o m e d ia n te lo s p ro c e d im ie n to s d e s c rito s e n la s e c c ió n 6 .1 0 .

E je m p lo 6 .1 4

F re c u e n c ia s n a tu ra le s d e un sis te m a libre H ay tre s carros d e carga enganchados p o r d o s resortes, c o m o se m uestra e n la figura 6.14. Encuentre las fre cuencias naturales y form as d e m odo d e l sistem a para m , - B i 2 = m , - r a y t | = í 2 = t , S olución: l a energía cinética del sistem a se puede escribir com o (E.l)

T = donde

fm ] =

mi

0

0

m2

0

0

m 3.

_o

0 "

L os alargam ientos de los resortes kx y k2 so n ( x , - J | ) y t* j

(E 2 )

respectivam ente, a s í que la energía potencial

del sistem a está d ad a por y = r{ * i(* 2 - * t)2 +

- *2)2} = t * 1! * ] *

donde

!* ] =

*.

-*i

“ *» 0

*. + *2 -k 2

o ~*2 k2 _

(E.4)

Se puede com probar q u e la matriz, d e rigidez (A| e s singular. A dem ás, si co nsideram os que todos los co m p o nentes (fc desplazam iento so n - x 2 “ c (m ovim iento d e cuerpo rígido), se v e q u e la en erg ía potencial V e s cero. Para d eterm inar la s frecuencias naturales y los m odos d e l sistem a, expresam os el problem a d e v a lo r eigen com o

ll*] "

*?[m ]jx

= 0

*2 m ,

^ 2

Y f ■

« 3

Figura 6 .1 4 S is te m a se m id e fin id o .


(ES)

550

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad Ctado que |* | e s singular, no podem os encontrar su inversa |* | 1 y la m atriz dinám ica ( 0 | “ |* | i|m ]. Por consiguiente, podem os establecer e l determ inante de la m atriz de coeficientes d e X e n la ecu ació n < E 5 ) igual a c e ro . Para k t = k2 = k y m , = m 2 = ; n , = m , esto produce

(k - a>2m )

-k

0

-*

(2* - oTm)

-k

0

~k

(k - w2m )

(E.6)

= 0

La expansión del determ inante e n la ecuación ( E 6 ) conduce a m 3tt>6 - Anrk
(E.7)

A = fcT

(E.8)

Si establecem os

h ecuación ( E 7 ) s e rccscribc com o

(E.9) Ltoib q u e m / 0 . las raíces de la ecuación ( E 9 ) son

A, =

=0

k_ A? = ^ = i m

Aj =

=

ik

(E I0 )

m

Se observa q u e la prim era frecuencia natural oj, e s cero en la ecuación (E 1 0 ). E ira h a lla r las form as d e m odo sustituim os los valores d e o»|. o h y a»3 e n la ecuación ( E 5 ) y resolvem os x '1*, x*J\ y X(J\ respectivam ente. Para io{ = 0 , la ecuación ( E 5 ) proporciona

kX|!> - *xf >= 0 - « l 'U

a x P - t t f i - o

-A x J 0 + w j l) = 0

(E.11)

Si fijam os e l valor d e un com ponente d e X ( 1 por ejem plo, X j " com o 1. la ecu ació n ( E 11) se p u ed e resolver pora o btener

xg} =

= i

y

x?' = xV> = i

Así, e l prim er m odo (d e cuerpo ríg id o ) X
O bserve q u e e l m odo X*11 rep resen ta la traslación d e cu erp o rígido d e l sistem a (to d as las m asas experim entan d m ism o desplazam iento). Aunqrn: la frecuencia natural w , (o e l valor eigen rorrespondientc (o v ector eigen) X 11’ no e s cero.


) e s c ero , la form a d e m odo

6 .1 3 P a ra

i» ,

V ib r a c ió n lib re d e s is t e m a s n o a m o r tig u a d o s

551

“ (* /m )W . la e c u a c ió n ( E 5 ) p ro d u c e

- * X Í 3> = 0 - * X Í 2) + *X Í2 ) - A X « 2) = 0 - * x ‘2) = o

(E .I3 )

S i fijam os e l v a lo r d e un com ponente d e X,2). p o r ejem plo. x [ * 'c o m o 1, se p u ed e resolver la ecu ació n ( E 13) para o btener * ‘2> = 0

X ? = - X ¡ 2) = - I

y

A sí que e l segundo m odo X (2: correspondiente a i u , - {kJm)in es

X<2> = - AX<3> = 0

- * X < 3) - 2* X ?> = 0

(E.15)

S i fijam os e l v a lo r d e un com ponente d e X IJ), p o r ejem plo, x j 3), se p u ed e resolver la ecu ació n (E . 15) para o btener y

4 ” =

= l

A sí que e l terc er m odo X*31 c o rrespondiente a o>, = (3fc/m)w está dado por

X<3> = l - 2

6. 13

(E . 16)

V ib ra c ió n lib r e d e s is te m a s n o a m o r t ig u a d o s L a e c u a d ó n d e m o v im ie n to p a r a la v ib r a c ió n lib re d e u n s is te m a n o a m o r tig u a d o s e p u e d e e x p r e s a r d e f o r m a m a tric ia l c o m o

im]* +

[k ] 7 =

0

(6.95)

La solución más común de la ecuación (6.95) se expresa como una combinadón lineal de todas las posibles soludones dadas por las ecuadones (6.56) y (6.62) como

7(/) = ¿ X ,0t,cos(íd,/ + ¿-1


t)

(6 .9 6 )

552

C a p ítu lo 6


t b n d c X ^ 1' e s e l v e c t o r m o d a l /-¿ s im o y «u, e s l a fr e c u e n c ia n a tu r a l c o r re s p o n d ie n te . A i y ó , so n c o n sta n te s . L a s c o n s ta n te s A ¡ y
n ) s e e v a lú a n a p a r tir d e la s c o n d ic io n e s in ic ia le s

e sp e c ific a d a s d e l s i s t e m a . S i

*i(°) x2(0) • •

7 (0 )

¿.(o) ¿2(0) • 1 •

7 (o ) =

y

*„(o)

(6 .9 7 )

¿„(0).

in d ic a n lo s d e s p la z a m ie n to s y v e lo c id a d e s in ic ia le s im p a rtid o s a l s is te m a , l a s e c u a c io n e s ( 6 .9 6 ) d a n

* ( 0 ) = 2 j X (0¿ ¿ c o s < f c

(6 .9 8 )

* (0 ) = - ¿ X < V > , s e n ¿ ,

(6 .9 9 )

l a s e c u a c io n e s (6 .9 8 ) y ( 6 .9 9 ) r e p re s e n ta n , e n fo r m a e s c a l a r . 2 n e c u a c io n e s s im u ltá n e a s l a s c u a le s x p u e d e n re s o lv e r p a r a d e te r m in a r l o s n v a lo r e s d e A¡ (i “ 1 , 2 , . . . , n ) y l o s n v a lo r e s d e , ( i = 1, 2 , . . . . n).

E je m p lo 6 .1 5

A n á lis is d e v ib ra c ió n d e u n s is te m a d e re s o rte -m a s a B icu en tre la respuesta d e vibración libre d e l sistem a d e resorte-m asa que s e m uestra e n la (igura 6.I 2 c o rre s pondiente a las c o n d icio n es iniciales .i¡ ( 0 ) *= 0 ( i = 1 ,2 . 3 ) .x , = (0) -= jr,0.x 2(0) = x3<0) = 0. S uponga que k¡ = k y m¡ = m para i = 1. 2 . 3. Solución: M étodo: Suponga la respuesta d e vibración libre com o una sum a d e m odos naturales. Las frecuencias naturales y m odos del sistem a so n (se a e l ejem plo 6 .1 1):

o., = 0.44504 y í ,

7<‘> =

f 10

1

[ 22470

J

l 1.8019 >,

o>2 = 1.2471

X<3>

o>3 = 1 . 8 0 2 5 ^

í 10 1 = < 0.4450 >. [ - 0 .8 0 2 0 J

X<3>

=

í 10 ) l - 1 .2 4 6 8 > (

0.5544 ]

(b n d e el p rim er com ponente d e cada form a de m odo s e supone c o m o unitario p o r sim plicidad, l a aplicación cfc las c o n d icio n es iniciales, ecuaciones (6.98) y (6.99). conduce a 4 , e o s 4>\ + A i c o s f o + 4 3cos< to = X|0 1.8019-4) e o s ¡ + 0.4450,42 eos 2 2 4 7 0 4 , eos

4>, ~

0 .8 0 2 0 4 : e o s

-

1.246843c o s ¿ 3 = 0

+ 0 .5 5 4 4 4 3 c o s ¿ 3 = 0


(E .1) (E .2)

6 .1 3

-

-

sen 0 ,

0 .4 4 5 0 4

0 8 0 1 9 2 y j~ ó \

-

-

sen 0 , -

1 .0 ^

,

V ib r a c ió n lib re d e s is t e m a s n o a m o r tig u a d o s

1 .2 4 7 1 ^

0 .5 5 4 9 6 ^

sen

+

1 .0

2 se n < fc

¿

A

-

1 .8 0 2 5 ^

A

3 sen0 3 =

0

( E .4 )

2 sen 0 ; +

2 .2 4 7 4 ^

A

3 sen 0 3 = 0

( E .5 )

\J

~

a

2

sen 0 2

L a s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s ( E l ) a (F „6 ) e s tá d a d a p o r9 A , = 0 , =

0. 0 ? =

553

-

1 .0 ^ ^ A

0 . 1 0 7 6 x 10, A 2 =

3 sen 0 3 =

0

0 .5 4 3 1 * ,* -4 , =

( E .6 )

0 .3 4 9 3 x ,0,

0 y 0 3 = 0 . A s í q u e l a s o lu c ió n d e v ib r a c ió n lib r e d e l s is te m a s e e x p r e s a c o m o

* t(0

=

*10

0 .1 0 7 6 c o s ^ 0 .4 4 5 0 4

y j~ ^

0 .5 4 3 1 e o s

0 .3 4 9 3 c o s í

x 2( 0

=

X j0

1 .8 0 2 5 J

—

I )

■ * )]

a i9 3 9 c o s ^ 0 .4 4 5 0 4 ^

|

( E .7 )

r j

0 .2 4 1 7 e o s

-

• '3 ( 0 = *¡

0 .4 3 5 5 c o s ^ 1 .8 0 2 5 J

-

X )

|

sfiO]

( E .8 ;

0 .2 4 1 8 c o s ^ O .4 4 5 0 4 ^

-

0 .4 3 5 6 .

+

0 .1 9 3 7 e o s

1 .8 0 2 5 .

-

/

('■8025^ ' ) ]

(E .9 ;

9 O b s e r v e q u e la s e c u a c io n e s ( E l l a ( E J ) s e p u e d e n c o n s id e r a r c o m o u n s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s e n la s in c ó g n i ta s A , co s

A , c o s
e c u a c io n e s lin e a le s e n la s in c ó g n ita s


554

C a p ítu lo 6

6. 14


v ib r a c ió n f o r z a d a d e s is te m a s n o a m o r t ig u a d o s m e d ia n t e a n á lis is m o d a l Cuando en un sistema de varios grados de libertad actúan fuerzas externas, el sistema experimenta vibración forzada. Pira un sistema con rt coordenadas o grados de libertad, las ecuaciones que rigen d movimiento son un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de segundo orden. La solución de estas ecuaciones se complica cuando el grado de libertad (n) del sistema es grande >/o cuando las funciones forzadas son no periódicas.10 En tales casos, se puede utilizar un método más conveniente conocido como a n á lisis moda/para resolver el problema. En este método se utiliza d teorema de expansión, y los desplazamientos de las masas se expresan c o n » combinaciones lineales de los modos normales del sistema. Esta transformación lineal desacopla las ecuaciones de nüvimiento de modo que obtenemos un sistema de n ecuaciones diferenciales desacopladas cfcsegundo orden. La solución de estas ecuaciones, la cual equivale a la solución de las ecuaciones de n sistemas de un solo grado de libertad, es fácil de obtener. A continuación consideraremos el pro cedimiento de análisis modal. A n á lis is m o d a l . Las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad some

tido a fuerzas externas está dado por [m ]x + [* ]7 = F

(6 .1 0 0 )

cbnde F es el vector de fuerzas externas arbitrarias. Para resolver la ecuación (6.100) mediante diálisis modal primero se tiene que resolver el problema de valor eigen. (6.101)

u)2[ m ] X = [ k ) X

êncontrar las_frccuencias naturales cu,, tu,, , a>„ y los modos normales correspondientes X ; 1\ X 1?). . . . . X De acuerdo con el teorema de expansión, el vector de solución de la ecuación (6.100) se expresa como una combinación lineal de los modos normales

7 ( » = „ ( 0 * " > + 42<0*(J) +

- + 4 .( 0 * ° ,)

(6.102)

cbnde ••• *<">]

(6.103)

la ecuación (6 . 1 02) se puede reescribir como x ( l ) = [X] q (t )

(6.104)

donde <7i(0

4 (0 -

(6.105)

d n (O

10 E n l a r e f e r e n c i a ( 6 . 1 5 ] s e c o n s i d e r a l a r e s p u e s t a d i n á m i c a d e s i s t e m a s d e v a r i o s g r a d o s d e l i b e r t a d c o n p r o p i e d a d e s c s a d ts tic a s .


6.14

Vibración forzada de sistemas no amortiguados mediante análisis modal

555

D a d o q u e [XJ n o e s u n a f u n d ó n d e l tie m p o , d e l a e c u a c ió n (6 .1 0 4 ) o b te n e m o s

* (* ) = [ * ] 7 ( 0

( 6 .1 0 6 )

U tiliz a n d o l a s e c u a c io n e s ( 6 .1 0 4 ) y ( 6 .1 0 6 ) , la e c u a c ió n ( 6 .1 0 0 ) s e e s c rib e c o m o [m ][X ]7 + [k )[X ]q = F

( 6 .1 0 7 )

P rc m u ltip lic a n d o l a e c u a c ió n ( 6 .1 0 7 ) p o r [XJr o b te n e m o s

W

V P l í + [x f [t ][X ]í =

Ix fF

( 6 . 108 )

S i lo s m o d o s n o rm a le s s e n o rm a liz a n d e a c u e r d o c o n la s e c u a d o n e s (6 .7 4 ) y ( 6 .7 5 ) , te n e m o s

[* f[m ][* ] = M

(6 .1 0 9 )

[ x f [ * ] ( x ] = [V u N ]

( 6 .1 1 0 )

g e n e r a liz a d a s Q ( t ) a s o d a d o c o n l a s c o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s

S i d e f in im o s e l v e c t o r d e f u e r z a s ^ (í)c o m o

G (/) = [X ]r F ( t)

( 6 .1 1 1 )

L a e c u a c ió n ( 6 .1 0 8 ) se e x p r e s a , u tiliz a n d o l a s e c u a d o n e s ( 6 .1 0 9 ) y ( 6 .1 1 0 ) . c o m o

q ( l) + [« -» N j7 (í) = Q (l) L a e c u a c ió n

(6 .1 1 2 )

d e n o ta u n

(6.112)

s is te m a d e e c u a c io n e s d i f e r e n d a l e s d e s a c o p la d a s d e s e g u n d o

o r d e n '1 ¡ft(0 + « ? « í( 0 = & ( ') .

i = 1 .2

n

( 6 .1 1 3 )

11 Se puede representar el vector de solución J ( f ) con sólo los r primeros ( r < n) vectores modales (en lugar de n vectores como en la ecuación (6.102)):

donde « (» )

1 - 1 . 2 ........../•

en lugar de n ecuaciones. La solución resultante * (/) será una sdución aproximada. Este procedimiento se llama método de deiplauuniento de modo. En el problema 6.92 se indica un métod» alterno, el método de acelerución de modo, para deter minar soluciones aproximadas.


C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad S e v e q u e l a fo r m a d e l a s e c u a c io n e s ( 6 . 113 ) e s p re c is a m e n te l a d e l a e c u a c ió n d ife re n c ia l q u e d e s c rib e e l m o v im ie n to d e u n s is te m a n o a m o rtig u a d o d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d . L a s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s (6 .1 1 3 ) s e e x p r e s a ( v e a l a e c u a c ió n ( 4 .3 1)) c o m o

(q( 0) \

q ( í) = 0.(0 ) e o s w . i + I

se n tó /

V +

O t(T ) x n

i=

( ' “ T) d r '

1 . 2 ................ *

(6 .1 1 4 )

L o s d e s p la z a m ie n to s g e n e r a liz a d o s in ic ia le s
5(0) = W M Í ( O )

(6 .1 1 5 )

5(0) = [X]T[m]j(0)

(6 .1 1 6 )

cbnde

«7.(0)

7 (0 )

«72(0)

«7,(0 ) «7.(0)

«7(0)

«72(0)

«7,(0) * i(0 )

7(0)

* 2 (0 )

* n (0 )

¿ .( 0 ) x (0 )

X2(0) xjo)

l)n a v e z q u e s e d e te r m in a n lo s d e s p la z a m ie n to s g e n e r a liz a d o s q ^ t ) , c o n l a s e c u a c io n e s (6 . 1 1 4 ) a (6 .1 1 6 ), s e d e te r m in a n lo s d e s p la z a m ie n to s f ís ic o s x ,(r) c o n l a a y u d a d e l a e c u a c ió n ( 6 .1 0 4 ) .


6 .1 4

E je m p lo 6 .1 6

V ib r a c ió n forzad a d e s is te m a s n o a m o r tig u a d o s m e d ia n te a n á lis is m od al

557

R e sp u e sta d e v ib ra c ió n o b te n id a p o r m e d io d e un a ná lisis m o d a l U tilizando e l análisis m odal, en cu en tre la respuesta d e vibración libre d e un sistem a d e d o s grados d e libertad c u y as ecuaciones d e m ovim iento son

r ¡ J H - v - ;*«]{;}■-'-{!} Suponga los datos siguientes: m , = 10. m 2 = I . A( = 30. Aj = 5. A? = 0. y

S o lu c ió n : L as frecuencias naturales y m odos norm ales d e l sistem a so n (vea e l ejem plo 5.3)

o», = 1.58II.

^

= 2.4495,

J t » = | j _ 5 | X |2>

d o n d e x \ ' 1y X ¡ '’ son c onstantes arbitrarias. O rtogonalizando los m odos norm ales con respecto a la m atriz de masa, podem os hallar los valores d e Xj1’ y x j 2) com o

X ( l) ,[m )X ( l> = 1 = > ( x j 1>) 2 { I

2}

10

= I

0

o x \ }) = 0 2 6 7 3

x W T[ m ] x M =

-5 }

o X \2) = 0.1690 A si q u e la m atriz m odal s e escribe como

m

-[i»

J »]-[S S

-S ¡]

U tilizando 7 ( 0 = [X ]? (0

(E.4)

La ecuación (E . 1) se ex p resa com o (v ea la ecuación (6.112)): 7 ( 0 + [ \ a ¿ \ ] 7 ( 0 = Q [ t) = 0

(E S )

d o n d e Q ( l ) = [X ]T F = 0 . L a ecuación (E .5 ) se escribe en form a e sc alar como 9 , ( 0 + " ? « ( / ) = 0.


i = 1.2

(E.6)

558

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad La solución d e la ecuación ( E 6 ) está dada p o r (vea la ecuación 2.18):

1 Á t) =

40 e o s to f + — sen
(E .7)

to n d e q n y q,x¡ indican los valores iniciales d e q ,(t) y q ,(t) , respectivam ente. U tilizando las condiciones iniciales d e la ecuación (E.2). podem os d eterm inar ((v ea las ecuaciones ( 6 .115) y ( 6 .116)J:

_ f~0 2 6 7 3

0 .5 3 4 6 1 r 10 o l í l 1 = Í2 6 7 3 1

[_0.1690 -0.8450J[ 0 1J\oJ \l690j

« (o )= t e ) =[xf(" i?(o) - {o}

(e-9»

l a s ecuaciones (E .7) y (E .9 ) conducen a = 2.673 eos 1.5811/

(E.10)

q 2( l ) = 1.690 e o s 2.44951

( E .l l )

Utilizando las ecuaciones ( E 4 ) o btenem os los desplazam ientos d e las m asas m ¡ y m ; com o

7(0

0.2673 0.5346

—

0 .1 6 9 0 l í 2.673 eos 1.581 Ir 1 - 0 .8 4 5 0

J I' 1.690 eos 2 .4 4 9 5 í *I

0.7145 e o s 1.581 I r + 0.2856 eos 2.4495x1

tó H

1.4280 eos 1.581 l f -

1.4280 e o s 2 .4 4 9 5 /(

(E .12)

Se ve q u e esta solución e s idéntica a la obtenida e n e l ejem plo 5.3 y trazad a en e l ejem plo 5.17.

E je m p lo 6 .1 7

R e sp ue sta d e v ib ra c ió n fo rza d a d e u n m a rtillo d e fo rja La fuerza que actüa e n la pieza de trabajo d e l m artillo d e forja que se m uestra en la figura 5 .5 1 p roducida por d im pacto d e l m artillo se puede representar com o un pulso rectangular, como a su v e z ap arece e n la figura 6 l5 ( a ) . E ncuentre la vibración resultante d e l sistem a p o r los siguientes datos: m asa d e la pieza d e trabajo, yunque y m arco ( m |) = 2 0 0 M g . m asa del blo q u e d e cim entación (m 2) = 250 M g . rigidez d e la base elástica ( i , ) - 150 M N /m y rigidez d e l suelo (*1) —75 M N /m . Suponga que los desplazam ientos iniciales y las velo cidades iniciales d e las m asas so n cero. S olución: E l m artillo d e forja se puede m odelar c o m o un sistem a d e d o s g ra to s d e libertad, aspecto q u e se ¡precia e n la figura 6 .15(b). L as ecuaciones de m ovim iento d e l sistem a se expresan com o


6 .1 4

V ib r a c ió n forzad a d e s is te m a s n o a m o r tig u a d o s m e d ia n te a n á lisis m od al

559

*j(0.N m,

T (')

25.000 m7

T xAO t.s

0

0.1 ' 7 /// /

(b)

(a) F ig u ra

6.15 Impacto provocado por un martillo forja.

donde

[m ] =

[* ) =

n,

0 ] = r 20 0

0

)

* 2J

250J

Lo

-A , ] = [ 150 A, + A:J [-1 5 0

*> -* l

1

*

-1 5 0 ] MN/m 225 J

* - { * } F r e c u e n c ia s n a tu r a le s y fo r m a s d e m o d o :

Las frecuencias naturales del sistema se pueden hallar resolviendo

la ecuación de frecuencia

tú

-2

O l

0

2.5 J

I0 5 +

150 -150

-150 I06 = 0 225

(E.2)

como <ü, = 122474 rad/s y íü, = 38.7298 rad/s Las formas de modo se pueden encontrar como

» O r to n o r m a liz a c ió n d e la s fo r m a s d e m o d o :

5,11 =

Las formas de modo se suponen como

donde a y b son constantes. Las constantes a y b se determinan normalizando los vectores [X f [ n ,] m

= [/]


y X|J *como
560

C a p ítu lo 6


cbnde [X] - [ ?
[ X ] = [X <1,X,2Í ] =

16667

1.49071

1.3334

- 1 .4 9 0 7 J

X 10 -3

Respuesta e n fu n ció n d e coordenadas generalizadas: D ado q u e las d o s m asas m , y

están en reposo e n el

instante r = 0. la s condiciones iniciales so n x i ( 0 ) = x 2( 0 ) = .ri(0 ) = ¿ 2(0 ) = 0 . p o r consiguiente las ecua ciones (6.115) y (6 .1 1 6 ) proporcionan
1 •JÁO = — / Q M sen <*¡(i - t ) d r . i = 1 .2

(E .4)

°>í J o

cbnde

m

= [* ]r ? < o

(E ^ )

o

Í C i ( 0 l = r 16667

1.3334

( C M ') /

—1.4907_J

L 1-4 9 0 7

" L ^ tíO l (0

J

í 1.6667 X 10~3F i(f)1 (1 .4 9 0 7 X 10-3F , ( / ) J

con F ,( /) = 2 5 0 0 0 N d urante e l rango O f i t s O . I s y O p ara / > 0.1 s. L os desplazam ientos d e las m asas se pueden hallar a p artir d e la ecuación (6.104) com o

- fv l U

) /

" W

f W -

J 16667^ ' ) + l-4 9 °7 .3334*,(0 - 1.4907t/2( 0 J

3 m

^

cbnde

<7i(/) = 3.4021 / * n 12.2474 ( í - r ) d r = 0 .2 7 7 8 (1 -

q2( t ) = 0.9622 J

sen 38.7298 ( í - r ) d r = 0.02484 (1 -

e o s 12.2474 1 )

eos 38.7298 r )

(E .8)

C fescnc q u e la so lu ció n proporcionada por las ecuaciones ( E 8 ) e s válida d urante 0 «í 0.1 s. Para / > 0 .1 s. no hay fuerza alguna aplicada, de a h í q u e la so lu ció n d e vibración libre d e un sistem a no am ortiguado d e un solo g a d o de libertad (ecuación 2. 18) d a la respuesta para <71( f ) y q i ( t ) c o n

6 .1 5

6 . 15

V ib r a c ió n forzad a d e s iste m a s v isc o sa m e n te a m o r tig u a d o s

561

v ib r a c ió n f o r z a d a d e s is te m a s v is c o s a m e n t e a m o r t ig u a d o s El análisis modal, tal como se presentó en la sección 6.14. es válido sólo para sistemas no amor tiguados. En muchos casos, la influencia del amortiguamiento en la respuesta de un sistema v i bratorio es mínima y se puede omitir. Sin embargo, debe considerarse si la respuesta del sistema se requiere durante un lapso de tiempo relativamente largo comparado con los periodos naturales del sistema. Además, si la frecuencia de excitación (en el caso de fuerza periódica) es igual o se acerca a las frecuencias naturales del sistema, el amortiguamiento es de primordial importancia y debe ser tomado en cuenta. En general, dado que los efectos no se conocen con anticipación, el amortiguamiento debe considerarse en el análisis de vibración de cualquier sistema. En esta sección analizaremos las ecuaciones de movimiento de un sistema amortiguado de varios grados de libertad y su solución utilizando las ecuaciones de lagrange. Si el sistema tiene amortiguamiento riscoso, su movimiento sera resistido por una fuerza cuya magnitud es proporcional a la de la velocidad pero en la dirección opuesta. Es conveniente introducir una función R , conocida como función de disipación de Rayleigh, al derivar las ecuaciones de movimiento por medio de las ecuaciones de lagrange (6.7). Esta función se define como

R = ^ 7 r [c ]x

(6.117)

donde la matriz [cj se llama m a triz d e a m o rtig u a m ien to y se define positiva, como las matrices de masa y rigidez. Las ecuaciones de Lagrange, en este caso [6.8], se escriben como

-d ,í \ -d x' jl -

i = l ’2

-

<6n8)

donde F , es la fuerza aplicada a la masa m ,. Sustituyendo las ecuaciones (6.30), (6.34) y (6.117) en la ecuación (6. 1 1 8 ), obtenemos las ecuaciones de movimiento de un sistema amortiguado de varios grados de libertad en forma matricial: [/«J7 + [c]3c + [A jx = F

(6.119)

Por sencillez, veremos un sistema especial para el cual la matrizde amortiguamiento se expresa como una combinación lineal de las matrices de masa y rigidez: [c j = a [m ]

+ P [k)

( 6 .1 2 0 )

donde a y f i son constantes. Esto se conoce como a m o rtig u a m ien to p ro p o r c io n a l porque [cj es proporcional a una combinación lineal de [m Jy [Aj. Sustituyendo la ecuación (6.120) en la ecuación (6.119). obtenemos [m jx + [a [m j + 0 [* J ]¿ + [ k ) x = F

(6.121)

Expresando d vector de solución x como una combinación lineal de los modos naturales d d siste ma no amortiguado, como en el caso de la ecuación (6.104),

m

=

mm


(6 .1 2 2 )

562

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad L a e c u a c ió n (6 .1 2 1 ) s e re e s c rib c c o m o [ m )[ x m

+ M m ] + p [ k ] ] [ X )7 ¡ (t)

+

m xm

no

=

(6.123)

L a p r e m u ltip lic a c ió n d e l a e c u a c ió n (6 .1 2 3 ) p o r |X Jr c o n d u c e a [ X ) T [ m ) [ X ) ¿ 4- [ a [ X ) T[ m ) [ X ] + P [ X ] r [ k ) [ X ) ] Í + W

T[ k ] [ X ] q = [ x f F

(6 .1 2 4 )

Si lo s v e c to r e s e ig e n X (^ s e n o rm a liz a n d e a c u e r d o c o n la s e c u a c io n e s (6 .7 4 ) y ( 6 .7 5 ) , l a e c u a c ió n (6 .1 2 4 ) s e r e d u c e a [ / ] " ? ( ') + [ « [ ' ] + 0 [ n * > 2'* ] ] 7 ( O + [ W n . J í í O

= Q(i)

es d e c ir , q t ( t ) + ( a + w ¿ P ) q ,{ t ) + a # q , ( t ) = < 2 ,(0 , i = 1 . 2 ............/.

(6 .1 2 5 )

cfonde ta¡ e s la fre c u e n c ia n a tu r a l i-é s im a d e l s is te m a no a m o r tig u a d o y Q{t) = [X]T F{t)

(6 .1 2 6 )

cx + a>}p = 2 £ f in

(6 .1 2 7 )

E s c rib ie n d o

ifo n d e

s e c o n o c e c o m o r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to m o d a l p a r a e l m o d o n o rm a l i-é s im o . lâs

e c u a c io n e s (6 .1 2 5 ) s e re s c rib e n c o m o ? < /) + U

M

m

+ • > ? « , ( ! ) = < 2 .(0 .

i - 1 .2 :

"

<6128)

S e v e q u e c a d a u n a d e l a s n e c u a c io n e s r e p re s e n ta d a s p o r e s t a e x p re s ió n e s t á d e s a c o p la d a d e to d a s la s d e m á s . P o r c o n s ig u ie n te , p o d e m o s d e te r m in a r la re s p u e s ta d e l m o d o i-é s im o d e l a m is m a m a n e ra q u e la d e u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o r tig u a d o d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d . L a s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s ( 6 . 128) , c u a n d o £ ¡ < l , s e e x p r e s a c o m o

<¿t ) =

+ —j= = =

s e n <■><#/ j $ ( 0 )

+ | ¿ tf“{^/sena,4//|4o(0)

+

f UOd,jiJ o

i=

1 ,2 ,

Q ,(

s e n
... ,n


r) d r,

(6 .1 2 9 )

6 .1 5


563

donde iodl = < ü ¡ V l - ( J

(6 .1 3 0 )

O b s e rv e lo s s ig u ie n te s a s p e c to s d e e s to s s is te m a s : 1.

L a id e n tific a c ió n d e l o s o r íg e n e s y m a g n itu d d e l a m o r tig u a m ie n to e s d if íc il e n l a m a y o ría d e lo s p r o b le m a s p rá c tic o s . E n e l s is te m a p u e d e h a b e r m á s d e u n t ip o d e a m o r tig u a m ie n to , d e C o u lo m b , v is c o s o e h is te ré tic o . A d e m á s , no s e c o n o c e l a n a tu ra le z a e x a c ta d e l a m o r tig u a m ie n t o , c o m o lin e a l, c u a d rá tic a , c ú b ic a u o tr o tip o d e v a ria c ió n . A u n c u a n d o e l o rig e n y n a tu ra le z a d e l a m o r tig u a m ie n to s e c o n o z c a n , o b te n e r la m a g n itu d p r e c is a e s m u y d if íc il. P a ra a lg u n o s s is te m a s p r á c tic o s , p u e d e n h a b e r d is p o n ib le s v a lo r e s d e a m o r tig u a m ie n to e x p e rim e n ta lm e n te d e te r m in a d o s p a ra u so e n u n a n á lis is d e v ib ra c ió n . H a y a lg ú n tip o d e a m o r tig u a m ie n to , e n f o r m a d e a m o rtig u a m ie n to e s tr u c tu r a l, e n e s tr u c tu r a s a u to m o tr ic e s , a e ro e s p a c ía le s y d e m á q u in a s. El a m o rtig u a m ie n to s e in tr o d u c e d e lib e ra d a m e n te e n c ie r ta s a p lic a c io n e s p rá c tic a s c o m o lo s s is te m a s d e s u s p e n s ió n d e v e h íc u lo s , e l t r e n d e a te r r iz a je d e a v io n e s y e n s is te m a s a is la n te s d e m á q u in a s . D e b id o a q u e e l a n á lis is d e s is te m a s a m o n ig u a d o s im p lic a t e d io s a s m a n ip u la c io n e s m a te m á tic a s , e n m u c h o s e s tu d io s d e v ib ra c ió n e l a m o r tig u a m ie n to s e o m ite o s e c o n s id e ra a lg o p ro p o rc io n a l.

2 . C a u g h e y |6 . 9 j d e m o s tr ó q u e l a c o n d ic ió n d a d a p o r l a e c u a c ió n (6 .1 2 0 ) e s s u fic ie n te rita s no n e c e sa ria p a ra la e x is te n c ia d e m o d o s n o rm a le s e n s is te m a s a m o rtig u a d o s . L a c o n d ic ió n n e c e s a r ia e s q u e l a tra n s fo rm a c ió n q u e d ia g o n a liz a l a m a triz d e a m o r tig u a m ie n to ta m b ié n d e s a c o p le la s e c u a d o n e s d e m o v im ie n to a c o p la d a s . E s ta c o n d id ó n e s m e n o s r e s tr ic tiv a q u e l a e c u a c ió n (6 . 120) y a b a rc a m u c h a s p o sib ilid a d e s . 3.

E n e l c a s o g e n e ra l d e a m o r tig u a m ie n to , l a m a triz d e a m o rtig u a m ie n to n o s e p u e d e d ia g o n a liz a r a l m is m o tie m p o q u e l a s m a tric e s d e m a s a y r ig id e z . E n e s t e c a s o , lo s v a lo re s e ig e n d e l s is te m a s o n re a le s y n e g a tiv o s o c o m p le jo s c o n p a r te s re a le s n e g a tiv a s . L o s v a lo r e s e ig e n c o m p le jo s e x is te n c o m o p a re s c o n ju g a d o s : lo s v e c to re s r i g e n a s o n a d o s ta m b ié n s e c o m p o n e n d e p a r e s c o n ju g a d o s c o m p le jo s . U n p r o c e d im ie n to c o m ú n p a ra d e te r m in a r l a s o lu c ió n d e l p r o b le m a d e v a lo r e ig e n d e u n s is te m a a m o rtig u a d o im p lic a l a tr a n s f o r m a d ó n d e l a s n e c u a c io n e s d e m o v i m ie n to a c o p la d a s d e s e g u n d o o r d e n e n 2n e c u a c io n e s d e s a c o p la d a s d e p r im e r o r d e n 16.6].

4. L os lím ite s d e e r r o r y l o s m é to d o s n u m é ric o s e n e l a n á lis is m o d a l d e s is te m a s d in á m ic o s se a b o rd a n e n l a s r e f e r e n d a s ( 6 .1 1 ,6 .1 2 ] ,

E je m p lo 6 .1 8

E c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n s is te m a d in á m ico D erive las e c u a d o r e s de m ovim iento d e l sistem a que se m uestra e n la figura 6.16. S olución: M étodo: A plique las ecu acio n es d e l-agrangc ju n to con la fu n ció n d e disipación d e Raylcigh. L a energía cinética d e l sistem a es

La energía potencial tiene la form a

V=

+ *2Í*2 - * l ) 2 +


“ *2)J]

(E.2)

564

C a p ítu lo 6


F ig u ra 6 .1 6 S istem a d in á m ic o de tr e s g ra d o s d e libertad.

*3 m

y la fu n c ió n d e d is ip a c ió n d e R a y le ig h e s

* = j f a * ? + c 2 (jc2 “ * t ) 2 + C j( ¿ 3 -

x 2) J + c < x l

+ c 5(jc 3 - i , ) J ]

(E 3 )

Las ecuaciones d e la g ra n g e se escriben com o d_ ( 0 7 \ _ 3T + dR + ^ d

i \ d

i i )

* x ,

d i,

=

d x,

Sustituyendo las ecuaciones (E .I ) a (E .3) en la ecuación (E.4), obtenem os las ecuaciones diferenciales de m ovim iento (E .5)

[m ) J + M * + (*1* = F d>nde

[m ] = _

m|

0

0

m2

0

0

0 0

(E .6)

m 3 _

c, + c * + c ,

[c ) =

- c

2

- C

j

r * , + *2 (* ] =

—*2

L

o

-C J C2

- c 3

-k2

o

*2 + *3

-* 3

-* 3

= < *2 (0

\

l *3 (0 J

“ C3

CJ +

(E .7)

C j_

(F..8)

*3 .

í* .< 0 ]

x

-c 5

+ C } + C 4

[ * ,( /) ] y

F

= <

m

U (o J


>

(E.9)

6 .1 5

E je m p lo 6 .1 9


565

R e sp u e sta d e e s ta d o e s ta b le d e u n sis te m a fo rz a d o E ncuentre la respuesta d e e stad o estable d e l siste m a q u e se m uestra e n la figura 6.16 cu an d o las m asas se som eten a las fuerzas arm ónicas sim p les Ft = = F , = F0 eos a»r, donde o> = 1.75Z k / m . Suponga que rn, — m 2 - my — rn. k , = A, = = fc ct = c5 = 0. y la relación d e am ortiguam iento e n cada m odo no m u í está d ad a p o r ^ = 0 .0 1 , / = 1 .2 .3 . S o lu c ió n : l a s frecuencias naturales (no am ortiguadas) d e l sistem a (vea el ejem plo 6 .1 1) son

cu, = 0 . 4 4 5 0 4 . / m

a * = 1.2471 x/ —

(E .l)

o». = 1 .8 0 2 5 ./— V y los m odos (m ]-ortonom taks correspondientes ( v e a e l ejem plo 6. 12) so n

I 12470

A <3 ) =

(E.2)

l\>r lo tanto, e l v ector m odal s e ex p resa com o

i

[X ] = [ x " ) x < 2)x<3)] =

03280

0.7370

0.5911

0.5911 0.7370

0.3280

- 0.7370

-0 .5 9 1 1

0.3280

(E J)

El v ector de fuerza generalizado

q (')

= [x )t h *)=

0.3280

0.5911

0.7370

0.3280

0.5911

- 0 .7 3 7 0

[

COS

0.7370" - 0.5911

0.3280. (E.4)

0)1

se puede o btener donde

Q \o = 16561 ~ ^ = . Vm

Q20 = 0.4739

Q n = 0.1821

Jo_

(E.5)

V m

Si las coordenadas generalizadas o los factores de participación m odal correspondientes a los tres m odos prin cipales s e indican c o m o «/,(»), q 2(i) y q ^ i \ la s ecuaciones de m ovim iento s e expresan como ¿7,(0 + 2 t e i ( f ) + a

= 0 ,(1 ).


i = 1 .2 .3

566

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad La solución d e estada estable d e la ecuación ( E 6 ) se escribe com o íK O = fc o co s(íu r - <*>),

(E .7 )

i = 1, 2, 3

cbnde e .0

(E .8) 1 /2

(E .9)

-f e )3 Sustituyendo los v alo res dados e n las ecuaciones (E .5) y ( E I ) en las ecu acio n es (E .8) y ( E 9 ) obtenem os

<710 = 0.57815

f0V « k

'

F0V m
o = 0.92493

k

'

F0 \ / m

= tan -1 (-0 .0 0 5 4 4 )

(E I0 )

fin alm en te, la respuesta de estado estable s e d eterm ina utilizando la ecuación (6 .122).

6. 16

A u t o e x c i t a c i ó n y a n á lis is d e e s ta b ilid a d E n v a rio s s is te m a s a m o r tig u a d o s , l a fric c ió n p ro d u c e a m o r tig u a m ie n to n e g a tiv o e n lu g a r d e a m o r tig u a m ie n to p o s itiv o . E s to c o n d u c e a l a in e s ta b ilid a d ( o v ib ra c ió n a u to e x c ita d a ) d e l s is te m a . P o r k) c o m ú n , p a r a u n s is te m a d e n g r a d o s d e lib e r ta d q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 6 .1 7 . la s e c u a c io n e s cfc m o v im ie n to s e r á n u n s is te m a d e n e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s lin e a le s d e s e g u n d o o rd e n (c o m o las c b d a s p o r l a s e c u a c io n e s (6 .1 1 9 ) o (6 .1 2 8 )): (m ]J + ( c jr + [k)x = F

(6 .1 3 1 )

E l n v fto d o p r e s e n ta d o e n l a s e c c ió n 5 .8 s e p u e d e a m p lia r p a ra e s tu d ia r l a e s ta b ilid a d d e l s is te m a re g id o p o r l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 1 ) . P o r c o n s ig u ie n te , s u p o n e m o s u n a s o lu c ió n d e l a fo rm a

X j ( 0 m C Jeu ,

j = 1,2, . . . , n

x{t) = Ce"


( 6 .1 3 2 )

6 .1 6


567

F ig u ra 6 .1 7 S istem a de v arias g ra d o s d e libertad.

d o n d e j e s u n n ú m e r o c o m p le jo q u e s e t ie n e q u e d e te rm in a r . C ¿ c s l a a m p litu d d e x¿ y C ,‘

l a p a rte re a l d e s d e te r m in a el a m o r tig u a m ie n to y su p a r te im a g in a r ia p ro p o rc io n a la fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a . l a s u s titu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 2 ) e n l a s e c u a c io n e s d e v ib r a c ió n lib r e ( o b te n id a s c o n F = 0 e n l a e c u a c ió n (6 .1 3 1 )) c o n d u c e a ([ m )s 2 + [c)s + lk ] ) C e " = 0

( 6 .1 3 3 )

P a ra u n a s o lu c ió n n o triv ia l d e C ^ c l d e te rm in a n te d e l o s c o e f ic ie n te s d e C¿ s e e s ta b le c e ig u a l a c e r o , lo q u e c o n d u c e a l a “ e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a " , s e m e ja n te a l a e c u a c ió n (6 .6 3 ): D (s ) = \[ m ] ¿ + [c ]s + [k]\ = 0

(6 .1 3 4 )

l a e x p a n s ió n d e l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 4 ) c o n d u c e a u n p o lin o m io e n s d e l o r d e n m = 2 n . el c u a l se p u e d e e x p r e s a r e n la fo rm a D ( j ) = a o ím + a ts m 1 +

- 22

+ • • • + a m- i J + a

( 6 .1 3 5 )

L a e s ta b ilid a d o in e s ta b ilid a d d e l s is te m a d e p e n d e d e la s ra fe e s d e l a e c u a c ió n p o lin o m ia l. f X s ) ■ 0 . In d íq u e n s e l a s r a íc e s d e la e c u a c ió n ( 6 .1 3 5 ) c o m o JO), SJ = bJ + '

1 ,2 .

rrt

(6 .1 3 6 )

S i l a s p a rte s r e a le s d e l a s r a íc e s b¡ s o n n ú m e ro s n e g a tiv o s , h a b rá fu n c io n e s d e tie m p o d e c a d e n te s , e*? , e n l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 2 ) . p o r c o n s ig u ie n te l a s o lu c ió n (s is te m a ) s e r a e s ta b le . P o r o t r a p a r te , si u n a o m á s r a íc e s Sj tie n e n u n a p a r te re a l p o s itiv a , e n to n c e s l a s o lu c ió n d e la e c u a c ió n ( 6 . 13 2 ) c o n te n d rá u n a o m á s fu n c io n e s d e tie m p o c x p o n c n c ia lm e n tc c r e c ie n te s e V . d e a h í q u e la s o lu c ió n (s is te m a ) se rá in e s ta b le . S i h a y u n a r a í z p u r a m e n te im a g in a ria d e la fo rm a = iu>j,c o n d u c ir á a u n a s o lu c ió n o s c ila to r ia é 0# , l a c u a l r e p re s e n ta un c a s o lím ite e n tr e e s ta b ilid a d c in e s ta b ilid a d . S i sJ e s u n a ra íz m ú ltip le , l a c o n c lu s ió n a n te r io r p r e v a le c e a m e n o s q u e s e a u n n ú m e ro p u ro im a g in a rio , c o m o j; = iatj. E n e s te c a s o , l a s o lu c ió n c o n tie n e fu n c io n e s d e l t ip o é * * , t e * * , f V * * ',. . . . la s c u a le s s e i n c r e m e n ta n c o n e l tie m p o . A s í q u e la s r a íc e s m ú ltip le s c o n v a lo r e s p u ra m e n te im a g in a rio s in d ic a n la in e s ta b ilid a d d e l s is te m a . P o r lo ta n to , p a ra q u e u n s is te m a lin e a l r e g id o p o r la e c u a c ió n ( 6 .1 3 1 ) se a e s ta b le , e s n e c e s a rio y s u f ic ie n te q u e la s r a íc e s d e l a e c u a c ió n ( 6 .1 3 5 ) te n g a n p a r te s r e a le s n o p o s itiv a s , y q u e . s i h a y a lg u n a r a íz p u ra m e n te im a g in a ria , n o d e b e a p a r e c e r c o m o u n a r a íz m ú ltip le .


568

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad D id o q u e la b ú s q u e d a d e la s r a íc e s d e l a e c u a c ió n p o lin o in ia l (6 .1 3 5 ) es u n p r o c e d im ie n to h r g o y te d io s o , s e p u e d e u tiliz a r u n o s im p lific a d o , c o n o c id o c o m o c r it e r i o d e e s ta b ilid a d d e R o u th H u rw itz 16.13, 6 .1 4 ] p a r a in v e s tig a r l a e s ta b ilid a d d e l s is te m a . P a r a a p lic a r e s t e p r o c e d im ie n to , se tfcfin c e l s ig u ie n te d e te r m in a n te d e o r d e n m -é s im o Tm c n f u n c ió n d e lo s c o e fic ie n te s d e l a e c u a c ió n

polinom ial (6 .1 3 5 ) c o m o

o í

a*

ai

a7

ao

02

O

0 6

•"

02*1-2

0

a\

ai

«5

” •

a ^m -i

0

ao

02

a

0

0

ai

a3

•

•

•

*

4

02»i—l

4

02*1—4

a„

E n to n c e s lo s s ig u ie n te s s u b d e te r m in a n te s , in d ic a d o s p o r la s lín e a s d e r a y a s e n la e c u a c ió n ( 6 .1 3 7 ) , x d e fin e n :

r ,

=

7*2

=

(6.138)

a ,

0

03

|

T i =

(6.139)

02

Oo

Ol

03

05

OO

02

a i

0

01

03

(6.140)

A l c o n s t r u ir e s to s s u b d e te r m in a n te s , to d o s l o s c o e f ic ie n te s a¡ c o n / > m o i < 0 t ie n e n q u e s e r re e m p la z a d o s p o r c e r o s . D e a c u e r d o c o n e l c r ite r io d e R o u th -H u rw itz , u n a c o n d ic ió n n e c e s a r ia y am d e b e n s e r p o s itiv o s s u fic ie n te p a r a la e s ta b ilid a d d e u n s is te m a e s q u e los c o e f ic ie n te s üq. a t y ta m b ié n t o d o s lo s d e te r m in a n te s T ^ T 2. . . . , T m d e b e n s e r p o s itiv o s .

6. 17 E je m p lo 6 .2 0

E je m p lo s re s u e lt o s u tiliz a n d o M A T L A B S o lu c ió n d e un p ro b le m a d e v a lo r e ig en Encuentre los valores eigen y los vectores eigen d e la m atriz (v ea e l ejem plo 6. 11):

[4 ] =

1

I

1

2

1 2

1

2

3


6 .1 7


569

Solución:

\ E x 6 .2 0 » A (1

1

1 ,

1

3

2 ,

1

2

3)

A -

1 1 1 >> tv . DI

1 1 2 2 - *ig(A)

2 1

0 .5 9 1 0 -0 .7 3 7 0

0 .7 3 7 0 0 .3 2 8 0

0 .3 2 8 0 0 .5 9 1 0

0 .3 2 8 0

-0 .5 9 1 0

0 .7 3 7 0

0 .3 0 8 0 0

0 0 .6 4 3 1

0 0

0

0

5 .0 4 8 9

D -

E je m p lo 6.21

R e sp u e sta d e v ib ra c ió n lib re d e u n sis te m a d e v a rio s g ra d o s d e libe rta d T race la respuesta de vibración libre, x ,(/). x ,(/) y x 5(/) del sistem a considerado e n e l ejem plo 6.15 para los siguientes datos: x,0 = 1.0, k = 4 0 0 0 y m - 10. S o lu c ió n : L as ecu acio n es ( E 7 ) a ( E 9 ) d e l ejem plo 6.15 d a n la resp u esta d e vibración libre d e las m asas, x,(í). *2(0 y ¿ i (0.

% Kx6 X10 k a

. -

fo r

2 1 .m 1 .0 ,

4000, 10, i - 1 . t (l) x l (i)

1001 5* (1-1) / 1000, • x lO • ( 0 .1 0 7 6

• co i

(0 .4 4 5 0 4

0 .5 4 3 1 • coa ( 1 . 2 4 7 1 * a q r t ( k /m ) * c o a ( 1 .8 0 2 5 - a q r t (k / a) • t ( l l ) ),

eq tc .

(k / a)

•

0 .3 4 9 3

•

t ( D )

♦

(k / a) • t ( l ) ) 0 .4 3 5 5 •

*

x2

(1 ) ■ x lO • ( 0 .1 9 3 9 * c o a (0 .4 4 5 0 4 • a q r t 0 . 2 4 1 7 • c o a ( 1 . 2 4 7 1 * a q r t ( k / a ) * t( i) > c o a ( 1 .8 0 2 S - a q r e (k / a) • t ( l l ) ),

x3

(i) - x lO • ( 0 .2 4 1 8 • c o a (0 .4 4 5 0 4 • a q r t(k / a ) • t ( l ) ) 0 .4 3 5 6 • c o a ( 1 .2 4 7 1 * a q r t (k / a) » t ( l ) ) • 0 .1 9 3 7 • coa

(1 .8 0 2 5 -a q rt

(k / a)

- t ( l) )

) ,

•Bd au b p lo t p lo t

•

t(i))

( t .

(311), x l) ,

y la b . 1 ('x l (t) a u b p lo t (3 1 2 ),

■),

p l o t ( t . x2 ) , y la b a l C x2 (t) a u b p lo t (3 1 3 ),

■),

p l o t ( t . x 3 ), y la b o l C x3 (t) x la b a l C t* )i

•»!


-

570

C a p ítu lo 6


i

E je m p lo 6 .2 2

R e sp ue sta d e vib ra ció n fo rza d a d e un sis te m a d e v a rio s g ra d o s d e libe rta d Encuentre y trace la respuesta tfc vibración forzada d e l m artillo d e forja considerado e n e l ejem plo 6.17 re so l viendo las ecu acio n es diferenciales regentes. Suponga que las condiciones iniciales so n cero. S olución: L as ecuaciones regentes e stán dadas por [ m ] ? ( l ) + [A j? (í) = F ( , )

(E.1)

con

f m ] = I05

ú]

[A] = I06

150 -1 5 0

-1 5 0 225

].

* > -{* » }

donde F ,( / ) c s una función escalonada d e m agnitud 2 5 0 0 0 N y d uración 0 < / < 0 . l s. Las ecuaciones ( E 1) se pueden ex p resar c o m o un conjunto d e cuatro ecuaciones diferenciales d e prim er crden acopladas com o


6 .1 7

d o n d e

=

X ,.y j =

x 2, y 4 =

¿1, » =

i 2. m , =

2


X 1 0 \ m 2 = 2 .5 X

U tiliz a n d o lo s v a lo r e s in ic ia le s d e t o d a s la s y ¡ -

% Ex 6 2 2 .■ % B iC o p rogram a

u tllla a r l

10\ k ¡ =

la

fu n ció n

d fu n cfi

2 1 .m,

% • • C a r a n l a m lam a c a r p a c a ca p a n ■ (O í O .O O li 1 0 ] , yO . ( 0 ; 0| 0 , (C . y ] • od a2 3 a u b p lo C ( 2 1 1 ) i p lo c

( t .

y (« .

0|j (■ d f u n c 6

2 1 *.

Capan,

y O ),

1 > ),

x la b a l ('C ')l y la b a l ( '* 1 (t) • ), au b p lo t ( 212) , p lo c (c . y ( i , J ) ) , x la b a l

(• C *)*

y la b a l

(< x2

(t)

• ),

% d f u n c 6 _ 2 1 .m f une clo n f ■ d fu n c6

r - ••roa ( 4 , mi m 2*laS; m2

.

2.S*laS|

kl k2

■

150 225

F l

-

• •

25000

21

(C ,

y)

1 ),

la 6 , la t, •

f(l) f(2)

■ y (2 ) 1 rn P l / m l

f(3) f< 4)

-

y (4 ),

.

-k 2

(a ca p fu n .

k l

• y (S)

(t,

• y (3) /«2

0)

-

acap fu n

/mi

-

k l

♦ k l

150 X

I0 6 y

k2 = 2 2 5 X

0 . s e o b tie n e n lo s s ig u ie n te s re s u lta d o s :

•

(t.

• y (1)

y l l 1 /mi,

I x 10*4

i


0 .1 ) ) ,

/al,

deber4 n

571

106.

572

C a p ítu lo 6

E je m p lo 6 .2 3


Raíces d e u n a e c u a c ió n p o lin o m ia l U tilizando M A TLAB, encuentre la s raíces d e l polinom io f ( x ) = x i - 6x> + 11* - 6 = 0 Solución: »

ro o ta

((I

-«

11 -«11

1.0000 2.0000 1.0000

R e sp ue sta d e v ib ra c ió n fo rza d a d e u n s is te m a a m o rtig u a d o Encuentre la respuesta d e vibración forzada d e un sistem a am ortiguado d e varios grados d e libertad c o n e c u a ciones d e m ovim iento ( E .l)

M í + [c jr + [* ]í = / con

f = \

0

0 “

0

10

0

0

0

10.

' 4 - 2 .

[ c] = 100

-2

0“ 4

-2

“ ,

[k ] = 1000

K> 1

"100

0

m) =

i

E je m p lo 6 .2 4

8 - 4 -4

O' 8

0 - 4

-4 4.

I jo c o s a *

con F0 = 5 0 y ta = 50. Suponga c o n d icio n es iniciales cero. S olución: L as ecu acio n es ( E l ) se pueden volver a escribir c o m o un sistem a d e seis ecuaciones diferenciales (fe prim er orden y \ = yx

Fq 400 . 200 8000 . 4000 f t = TICOSA* - — * + — * - — V, + — * 10

10

h = y4 200 F0 y4 = - c o s < * + 1Q

400

, 200

, 4000

i ó *

+ i ó *

+ i ó " » ~ i ó " »

ys = y 20 0 20 0 4000 4000 Fq y6 = - c o s a * + — y4 - — * -t- — y, - — y,

donde y, =

= i„ y , =

x 2,y 4 =

¿ 2. y 5 =

x 3. y

y6 =

xy


8000

, 4000 + “¡ r ;

6 .1 7


573

U tiliz a n d o lo s v a lo r e s in ic ia le s c e r o d e t o d a s la s y ,, l a s o lu c ió n s e p u e d e lia lla r c o m o s ig u e . % K»6 2 4

.»

% B a ca p rog raau u e ilim a r * Xa fu n ció n % a a t a r an l a a i a x a c a r p a e a c a p a n ■ [O í O .O li 1 0 ] , yO 1 0 , 0 , Oí IC , y ] • o d a 2 3 au b p lo C ( 3 1 1 ) , p lo c

(t.

x la b a l y la b a l

y (« .

O j 0 , O lí (• d f u n c 6 _ 2 3 * ,

Capan,

d fu n c6

2) . n.

dabarón

yO ),

1) ) ,

C 'C ’ ) * ( 'x l ( t ) ') ,

au b p lo C ( 3 1 2 ) , p lo c (C . y ( i , x la b a l ( ' O ,

3 )),

y la b a l ( 'x 2 ( C ) ') , au b p lo C ( 3 1 3 ) , p lo c (t. y ( i , x la b a l ( ' O , y la b a l

(«x 3

% d fu n c6

S ) ),

( C ) ') ,

2 3 .m

fu n ecio n f . d fu n cS _23 f ■ rocoa (6 , 1 ), P0 - 5 0 . 0 , «

■

( t .

5 0 .0 ,

f(D

• y (2 ) i

t

■

F 0 « c o a (w *C ) / 1 0 0 . 4000*y (3)/ 100,

fO J f(4 )

-

Í(S)

-

y (« ), F 0*co aO fC )/ 10 . 4 0 0 0 « y (l)/ 1 0 y (• ),

f (6)

.

(2)

y)

. -

P 0«coa(w *C )/ 10 . - 4000*y (S)/ 10,

40 0 * y (21/ 100 .

200-y (4)/ 100

-

8000»yU>/100

200*y (2) /10 - 40 0 *y (4 )/ 1 0 . 200«y (6)/ 10 B 000«y (3)/ 10 « 4 0 0 0 * y (5 ) /10, 200*y (4)/ 10


-

200*y («)/ 10

.

4Q 00*y(3> / 10

574

C a p ítu lo 6

E je m p lo 6 .2 5


P ro g ra m a p a ra g e n e ra r el p o lin o m io ca ra cte rís tic o D csanoU c u n p rogram a d e com putadora general llam ado P c o g r a m 7 . m para g e n era r e l polinom io c ara c te rístico correspondiente a una matriz, cuadrada dada. U se e l program a para g enerar e l polinom io característico atrrespondiente a la m atriz

-1

2

-1 2

0

-1

0 -1 2

S olución: 0 program a P r o g r a m 7 .m s c desarrolla p ara que acepte los siguientes datos d e entrada: n = o rd e n de la m atriz [A | (aj = m atriz d ad a [A | B program a g enera los siguientes resultados: p c f = v ector de coeficientes d e l polinom io com enzando a partir d e l term ino constante >> prograa7 • « p u ild n d atoai

p o lin o m ia l da

d a tarn in an ea

2.000000a *

a cu a ció n

an

to m a

da

d a ta n ln a n ta

Ai

000

- 1 . 000000a. 000

0 . 0 0 0 000a . 000

- 1 . 000 0 00a . 000

2 . 000000a.0 0 0

- 1 . 0 0 0 0 0 0 a . 000

0-0 0 0 0 0 0 a .000 ra a u lC a d o i

- 1 . OOOOOOa.OOO

co a flcia n ta a

p c f(n p )• < x *n ).p c f( n - 4 . OOOOO Oa.OO O

E je m p lo 6 .2 6

una

)•

2 . 0 0 0 0 0 0 a . 000

p o lin cn ia la s

(x * ( n - 1 )

) * . .

an

. . p c f (2 >. p c f ( 1 ) . 0

l.O O O O O O a.O O l

-4 .0 0 0 0 0 0 a .0 0 0

1 . OOOOOOa.OOO

P ro g ra m a p a ra a ná lisis m o d a l d e siste m a s d e v a rio s g ra d o s d e libe rta d D esarrolle un program a M A TL A B . llam ado P r o g r a m 8 .to p a ra determ inar la respuesta d e un sistem a d e va rios grados d e libertad m ediante un análisis m odal. U se e l p rogram a p ara e n co n trar la solución d e un sistem a to n los siguientes datos: M atriz d e masa: 1 Im

=

0 0

0 1 0

0 o 1

M atriz m odal (con los m odos c o m o colum nas; los m odas no se h acen m -ortogonales):

M

=

1.0000

1.0000

1.0000

1.8019

0 .4 4 5 0

-1 .2 4 6 8

2.2470

- 0 .8 0 2 0

0.5544


6 .1 7


Frecuencias naturales = ait = 0.89008. oh = 1.4942. utj = 3.6050 Relaciones d e am ortiguam iento m odal - ( ¡ - 0 .0 1 . i = 1 , 2 , 3 V ector d e fucr7as aplicadas a las diferentes m asas:

ÍM

F ( l ) = < F0 > e o s ojr,

F0 = 1 0 .

a> = 3.5

C ondiciones iniciales: ? ( 0 ) = 0 , ? ( 0 ) = 0 S o lu c ió n : S e desarrolla el p rogram a P r o g r a m 8 .m p a ra q u e acepte los siguientes datos d e entrada: n - grados d e libertad del sistem a n v ec - cantidad de m odos q u e se utilizarán e n e l análisis modal x m — m atriz d e m asa d e tam año n x n cv = m atriz m odal d e tam año n X n vec Z = v ector d e tam año n vec = v ector d e relaciones d e am ortiguam iento modal om = v ector d e tam año n vec = v ector d e frecuencias naturales f = v e c to r d e fu erzas aplicadas a m asas, d e tam año n x 0 = desplazam ientos iniciales d e m asas, v ector d e tam año n x d 0 = velo cid ad es iniciales de m asas, vector d e tam año n n stc p = cantidad d e estaciones d e tiem po o puntos d e integración 1 1. f2. . . . fmlcp d elt = intervalo entre estaciones d e tiem po consecutivas i = m atriz de tam año nstcp que contiene tiem pos i ¡ , i 2


rmup

575

576

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib ertad □ p r o g r a m a a r r o j a l o s s i g u i e n t e s re s u lta d o s :

x — m a triz d e ta m a ñ o n X n s t e p = d e s p l a z a m i e n t o s d e la s m a s a s m t . m y , . , . , m „ e n v a r ía s e s ta c io n e s d e t i e m p o - . . . / Qarp »

p ro g ra a B

R o ip u « » t• d a u n a i a e a n a o b t a ñ i d a n a d i a n t a a n í l l a l a n o d a l C o o rd a n a d a 1 1 .2 1 9 2 0 * - 0 0 2 4 . 6 2 4 3 1 a - 0 0 2 9 .S 7 « 2 9 a - 0 0 2 1 .5 2 1 5 1 a -0 0 1 2 .0 S 7 3 2 a - 0 0 1 2 . 4 7 0 3 2 a - 0 0 1 2 .6 B 0 2 8 a - 0 0 1 2 . 6 3 2 1 4 a -0 0 1 2 .3 0 3 3 9 a -0 0 1 1 .7 0 7 2 7 a - 0 0 1 8 . 9 1 4 3 2 a -0 0 2 - 6 .7 9 4 3 9 # - 0 0 3 - 1 . 0 7 5 6 2 a - 0 0 1 - 2 . 0 2 9 2 8 a - 0 01 - 2 .8 3 2 3 7 a - 0 0 1 - 3 . 4 0 S 3 0 a - 0 0 1 - 3 . 7 0 02 3 a - 0 0 1 - 3 . 6 9 7 4 S a - 0 0 1 - 3 . 4 1 7 2 5 a - 0 01 - 2 . 9 1 2 3 1 a -0 0 1 C o o rd a n a d a 2 l .« 7 9 B 5 a - 0 0 2 í . 4 0 1 3 S a - 0 0 2 1 . 3 3 6 1 1 a - 0 0 1 2 .1 4 7 4 2 a -0 0 1 2 .9 4 9 9 6 a - 0 0 1 3 . £ 1 8 4 4 a - 0 0 1 4 .0 4 0 9 S o - 0 0 1 4 . 1 3 2 1 2 a - 0 0 1 3 .8 4 3 2 ía -0 0 1 3 .1 « 8 4 3 a - 0 0 1 2 .1 4 S Í S a - 0 0 1 8 . 5 3 0 5 1 a -0 0 2 - S .9 9 4 7 S a - 0 0 2 - 2 . 0 8 2 4 2 a -0 0 1 - 3 . 4 « 1 0 9 a -0 0 1 - 4 .6 1 0 7 1 O - 0 0 1 - 5 .4 3 0 6 1 a - 0 0 1 - S .8 5 S f i« a - 0 0 1 - 5 . 8 6 3 8 1 a -0 0 1 - 5 .4 7 8 7 1 a - 0 0 1 C o o rd a n a d a 3 1 . 9 9 1 S 8 a -0 0 2 7 .S 7 2 7 3 a - 0 0 2 l.S 7 4 B 5 a - 0 0 1 4 .1 7 5 5 2 a -0 0 1 4 .6 0 9 7 6 a -0 0 1 4 .6 4 4 1 6 a -0 0 1 2 .1 C 6 9 9 a - 0 0 1 6 . 8 1 3 6 1 a - 0 0 2 - 9 . 2 9 0 9 1 a - 0 0 2 - 4 . 9 8 4 7 4 e -0 0 1 - 5 . 6 5 9 5 7 « - 0 0 1 - 5 . 8 8 4 9 0 a - 0 0 1

2 .5 1 7 9 4 a - 0 0 1 3 .4 3 4 9 1 a - 0 0 1 4 .2 3 3 5 8 a -0 0 1 3 .3 8 7 0 9 a - 0 0 1 - 2 . 5 0 B 2 3 n -0 0 1 - 3 .9 0 3 5 5 a - 0 0 1 - 5 . Í7 1 7 3 a -0 0 1 -5 .0 8 3 4 6 a -0 0 1

Resumen del capitulo □ a n á l i s i s d e s is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e r ta d r e q u ie r e m a n ip u la c i o n e s a l g e b r a i c a s te d io s a s . P a r a s i m p lif ic a r la s m a n ip u la c i o n e s s e p u e d e u t i l i z a r la r e p r e s e n ta c ió n m a tríc ia l. D e riv a m o s la s e c u a c io n e s d e m o v i m ie n to p o r m e d io d e tr e s m é to d o s d if e r e n te s : l a s e g u n d a le y d e l m o v im ie n to d e N e w to n . lo s c o e f i c i e n t e s d e in f lu e n c ia y la s e c u a c i o n e s d e L a g r a n g c . P r e s e n ta m o s e l c á l c u lo d e la s f r e c u e n c i a s n a tu r a le s c o n l a s o lu c i ó n d e l p r o b le m a d e v a lo r e i g e n . U tiliz a m o s e l p r o c e d im ie n to d e a n á l i s i s m o d a l p a r a la v i b r a c ió n lib r e y f o r z a d a d e s is te m a s n o a m o r tig u a d o s y s is te m a s p r o p j r c i o n a l m e n t e a m o r tig u a d o s . P o r ú ltim o , p r e s e n ta m o s la s o lu c ió n < t v i b r a c ió n li b r e y f o r z a d a d e p r o b le m a s d e v a r io s g r a d o s d e l ib e r ta d u tiliz a n d o M A T L A B . A h o ra q u e y a te rm in ó e s t e c a p í tu lo , u s te d d e b e r á s e r c a p a z d e r e s p o n d e r la s p r e g u n ta s d e r e p a s o y r e s o l v e r lo s p r o b le m a s q u e s e p r e s e n ta n a c o n tin u a c ió n .

Referencias 6 .1

F. W . B e a u f a it. Basic Concepto o f Slruclural/V nalysis, P r e n ti c e H a ll. E n g l e w o o d G i f f s . N J . 1 9 7 7 .

6 .2

R. J . R o a r k y W . C . Y o u n g , fo rm u la s f o r Stress a n d Strain ( 5 a . c d .) . M c G r a w - H ill . N u e v a Y o rk . 19 7 5 .

6 J

D . A . W e lls . Theory and P roblem s o f la g ru n g ia n D ynam ics, S c h a u m ’s O u tlin e S e r ie s . M c G r a w - H ill. N u e v a Y o rk . 1 9 6 7 .

6 .4

J . 11. W ilk in s o n , The A lgebraic E ig em a lu e Problem , G a r e n c k in P r e s s . O x f o r d . 1 9 6 5 .

6 .5

A . R a l s to n . A F irst C ourse in N um erical Anatysis, M c G r a w - H ill. N u e v a Y o rk . 1 9 6 5 .

6 .6

I . M e i r o v itc h . A n a lytica l M eth o d s in Vibralions, M a c m illa n , N u e v a Y o rk , 1 9 6 7 .

6 .7

J . W . S tr u tt, L o r d R a y l c ig h , The Theory o fS o u n d . M a c m illa n , L o n d r e s . 1 8 7 7 ( r e im p r e s o p o r D o v e r P u b lic a tio n s . N u c v a Y o r k . c n 1 9 4 5 ).

6 .8

W . C . H u r ly y M . F . R u b in s te in , D ynam ics o f Structures, P r e n ti c e H a l l . E n g l e w o o d G i f f s . N J . 1 9 6 4 .

6 .9

T . K . C a u g h e y . ‘G a s s i c a l n o r m a l m o d e s in d a m p e d l in e a r d y n a m i c S y s te m s " . Journal o f A p p lie d M e

chantes, V b l. 2 7 . 1 9 6 0 . p á g s . 2 6 9 - 2 7 1 .



577

6 .1 0 A Avakian y D. E Bcskos, *'Usc of dynamic stiffncss influence cocfficicnts in vibrations of non-uni-

form bcams", documento para el editor. Journal o fS o u n d and Vibra ñon. \fol. 4 7 .1976, págs. 292-295. 6.11 L Gladwell y P. M. Hanson, “Some error bounds and nuinerical experiments in modal melhods for dynatnics of systcms". Earthquake Fngineering and Struc tu ra l Dynamics. V o l 12. 1984. págs. 9-36. 6.12 R. Bajan, A. R. Kukrcti y C. C. Feng. “Method for improving incomplctc modal coupling", Journal o f Fjigineering Mechanics, Ybl. 109. 1983. págs. 937-949. 6.13 E J. Routh, Advanced Rigid Dynamics, Macmillan. Nueva York. 1905. 6 .1 4 D. W. Nicholson y D. J. In m a n , “Stable response of damped linear systems". Shock and Vibration Di-

g e s t.V s l 15. noviembre de 1983. págs. 19-25. 6.15 R C. Chen y W. W. Soroka. "Multidegree dynamic response of a system wiüi statistical properties".

Journal o fS o u n d and Vibration. V o l 37, 1974. págs. 547-556. 6 .1 6 S. Mahalingam y R. E D. Bishop. "The response ofa syslem with repeated natural frequencies to forcé

and displacement cxcitation”. Journal o fS o u n d and Vibration, Vfol. 36. 1974, págs. 285-295. 6.17 S. G. Kelly. Fundamentáis o f Mechanica! Vibrations. McGraw-Hill. Nueva York. 1993.

6.18 S. S. Rao. Applied Numerical Methods fo r Engineers a n d Scientists, Prcnticc Hall. Upper Saddlc Rivcr. NJ. 2002.

Preguntas derepaso 6 .1

R esp o n d a b re v e m e n te lo sig u ien te: 1.

Etefina los c o e fic ie n te s d e in flu e n c ia d e flex ib ilid ad y rigidez. ¿ C u á l e s la relació n e n tr e e llo s?

2.

E sc rib a la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d e n f o rm a m atrid a l u tilizando a . la m atriz d e fle x ib ilid a d y

b. 3.

la m a triz d e rig id e z

f a p r e s e la s e n e r g ía s p o ten cial y c in é tic a d e u n sis te m a d e n g ra d o s d e lib erta d , m e d ia n te n o tació n m atricial.

4 . ¿Q ue e s u n a m atriz d e m a s a g e n e ra liz a d a ? 5 . ¿ f o r q u é la m a triz d e m a s a [ m | e s sie m p re d e f in id a p o sitiv a? ¿ L a m atriz d e rig id e z [ * | e s sie m p re p o sitiv a d e f in id a ? ¿ P o r q u e ?

6

7. ¿ C u á l e s la d ife re n c ia e n tre c o o r d e n a d a s g e n e ra liz a d a s y c o o rd e n a d a s c a rte sia n a s? 8

.

E stab lezca la s e c u a c io n e s d e la g r a n g e .

9 . ¿Q ué e s u n p ro b le m a d e v a lo r e ig e n ? 10

.

¿Q ué e s u n a fo rm a d e m o d o ? ¿ C ó m o s e c a lc u la ?

11. ¿ C u á n ta s fre c u e n c ia s n a tu ra le s d istin ta s p u e d e n e x is tir p a r a u n sis te m a d e n g ra d o s d e lib e rta d ? 12

.

¿Q ué e s u n a m atriz d in á m ic a ? ¿ C u á l e s s u u so ?

13. ¿ C ó m o s e d e riv a la e c u a c ió n d e fre c u e n c ia p a ra u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d ?

14. ¿ Q u é s ig n ific a o rto g o n a lid a d d e m o d o s n o rm a le s ? ¿ Q u é so n lo s v e c to re s m o d ales o rto n o rm a le s ? 15. ¿Q ué e s u n a b a s e e n u n e s p a c io d e n d im e n sio n e s ? 16. ¿Q ué e s el te o re m a d e e x p a n s ió n ? ¿ C u á l e s s u im p o rta n c ia ? 17. E x p liq u e e l p ro c e d im ie n to d e a n á lis is m o d al. 18. ¿Q u e e s u n m o d o d e c u e rp o ríg id o ? ¿ C ó m o s e d e te rm in a ?

19. ¿Q ué e s u n sis te m a d e g e n e ra d o ?

20. ¿ C ó m o p o d e m o s h a lla r la re sp u e sta d e u n sis te m a d e v ario s g r a d o s d e lib erta d u lili/a n d a s o la m e n te lo s p rim e ro s m o d o s?


578

C a p ítu lo 6

S is te m a s d e v a r io s g r a d o s d e lib e r ta d

2 1

.

2 2.

D efin a la fu n ció n d e d isip a c ió n d e R a y lc ig h . D efin a e s lo s té rm in o s : a m o r tig u a m ie n to p r o p o r c io n a l, re la ció n d e a m o r tig u a m ie n to m o d a l, f a c t o r

de p a rtic ip a c ió n

6 2

m o d a l.

2 3.

¿ C u á n d o o b te n e m o s v a lo re s c ig c n c o m p le jo s?

2 4.

¿ C ó m o s e u s a e l c rite rio d e R o u th -H u rw itz ?

In d iq u e s i c a d a u n o d e lo s s ig u ie n te s e n u n c ia d o s e s v e rd a d e ro o falso: 1.

R ira u n s is te m a d e v ario s g ra d o s d e libertad, s e p u e d e e s c rib ir u n a e c u a c ió n d e m o v im ie n to por caifa g r a d o d e libertad.

2. L a e c u a c ió n d e Lagrangc n o s e p u e d e u tiliz a r p a r a d e riv a r la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e un sistem a d e v ario s g r a d o s d e libertad. 3.

L a s m atric e s d e m a s a , rig id e z y a m o rtig u a m ie n to d e u n sistem a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d s ie m p re s o n sim é tric a s.

4.

0 p ro d u c to d e la s m atric e s d e rig id e z y fle x ib ilid a d d e u n sis te m a s ie m p re e s u n a m a triz d e id e n tid a d .

5.

0 a n á lis is m o d a l d e u n sis te m a d e n g ra d o s d e lib erta d s e p u e d e re a liz a r p o r m e d io d e r m o d o s c o n r
6.

R ú a un sis te m a a m o rtig u a d o d e v ario s g ra d o s d e lib erta d , to d o s lo s v alo res e ig e n p u e d e n s e r c o m plejo s.

7. 8

.

9. 10

.

l a relació n d e a m o rtig u a m ie n to m o d a l in d ic a a m o rtig u a m ie n to e n un m o d o n o rm a l particu lar. U n s is te m a d e v a rio s g r a d o s d e lib erta d p u e d e te n e r s e is d e la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s ig u a le s a cero. L a s c o o r d e n a d a s g e n e ra liz a d a s sie m p re te n d rá n la lo n g itu d u n itaria . L a s c o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s so n in d e p e n d ie n te s d e la s c o n d ic io n e s d e re stric c ió n d e l sistem a.

11. L a m a triz ifc m a s a g e n e ra liz a d a d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib e rta d s ie m p re e s d ia g o n a l. 12. L a s e n e r g ía s p o te n c ia l y c in é tic a d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib e r ta d sie m p re s o n c a n tid a d e s cuad ráticas. 13. L a m a triz d e m a s a d e u n sis te m a s ie m p re e s sim é tric a y d e fin id a positiva. 14. l a m a triz d e rig id e z d e u n sis te m a sie m p re e s sim étrica y d e fin id a p o sitiv a. 15. 0 m o d o d e c u e r p o ríg id o ta m b ié n s e lla m a m o d o c e ro . 16. U n sis te m a n o re strin g id o ta m b ié n s e c o n o c e c o m o sis te m a se m id e fin id o . 17. L a s e g u n d a ley d el m o v im ie n to d e N ew to n sie m p re s e p u e d e u tiliz a r p a ra d e riv a r la s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a v ib rato rio . 6J

E scrib a e n c a d a u n o d e lo s s ig u ie n te s e s p a c io s e n b la n c o la p a la b ra co rre c ta . 1

.

l a c o n s ta n te d e re so rte in d ic a l a _________ n e c e sa ria p a r a p ro d u c ir u n a la rg a m ie n to u n ita rio .

2

.

0 c o e fic ie n te d e in flu e n cia d e fle x ib ilid a d in d ica la d e fle x ió n e n el p u n t o una c a rg a u n ita ria a p lic a d a e n el p u n t o ___________ .

3.

d e b id o a

L a fu e rz a e n el p u n to i p ro d u c id a p o r u n d e s p la z a m ie n to u n ita rio e n e l p u n to j , c u a n d o to d o s los p u n to s a d e m á s d e l p u n to j e s tá n fijo s, s e c o n o c e c o m o c o e fic ie n te d e in flu e n cia d e ____________ .

4.

l a s fo rm a s d e m o d o d e u n sis te m a d e v ario s g ra d a s d e lib e rta d s o n __________ .

5.

l a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e u n sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib erta d s e p u ed en e x p r e s a r e n (u n ció n d e lo s co e fic ie n te s d e __________ .

6.

L a s e c u a c io n e s d e L a g ra n g c s e e x p re sa n e n fu n ció n d e c o o rd e n a d a s

7. 8

.

9.

0 v a lo r d e la d e lta d e K ro n e c k e r (S g) e s 1 p a r a to d a s la s i = j y

. _para to d a s la s í ¿ j .

L a m atriz d e rig id e z d e u n s is te m a se m id e fin id o e s _________. Un sis te m a d e v ario s g ra d o s d e lib e rta d p u e d e te n e r a lo s u m o


d e c u e rp o ríg id o .


10.

579

Orando el vector de solución se indica como una combinación lineal de los modos normales como " —.... 7 (f) = 2 q ¡(l)X ^‘ J las coordenadas generalizadas
1 1 . Gralquicr conjunto de n vectores lincalmcntc independientes en un espacio de n dimensiones se

Dama 12. La representación de un vector de n dimensiones arbitrario como una combinación lineal de n rectores lincalmcntc independientes se conoce como teoremade_________ . 13. FJ análisis________ está basado en el teorema de expansión. 14. El análisis modal básicamente_____

las ecuaciones de movimiento.

15. Los valores eigen de un sistema de varios grados de libertad forman un _ de n dimensiones.

. en el espacio

16. La aplicaciónde las ecuaciones de Lagrange requiere la disponibilidad de

expresiones.

17. La ecuación en forma de determinante ||*| - cir|»n]| = 0. se conoce como ecuación_________ . 18. La simetría de las matrices de rigidez y flexibilidad se debe al teoremade reciprocidad_________ . 19. El teorema de reciprocidad de Maxwell establece que los coeficientes de influencia son_______ . 20. La matri7.de rigidez es positiva definida sólo si el sistema es________ . 21. Durante la vibración libre de un sistema no amortiguado, todas las coordenadas tendrán movi miento ________ . 22. En amortiguamiento proporcional, se supone que la matriz de amortiguamiento es una combina ción lineal de las matricesde y ________ . Seleccione la respuesta más apropiada de entre lasopciones dadas: 1. La cantidad de frecuencias naturales distintas para un sistema de n gradas de libertad puede ser a. I b.oo c. n 2. La matriz dinámica |DJ estádada por M * J -T " ] b.(m j-'(*] 3. La ortogonalidad de los modos implica a.

= 0 únicamente

b. xW)r[ft]xW = 0 únicamente c . X (,)r[m ]X U) = 0 y X (^ [ t ] X ° > = 0

4. La matriz modal. [X). está dada por a.

[X ] =

X<2>

X<»>

* (» r

b. [X ] =

X<*)r x«-)r

C. [X ] = [k]-'[m ) 5.

la función de disipación de Rayleigh se utiliza para generar una matriz de rigidez matriz de amortiguamiento c matriz de masa a.

b.


C a p ítu lo 6

S i s t e m a s d e v a r i o s g r a d o s d e l i b e r ta d

6. La ecuación característica cfc un sistema de n grados de libertad es a. una ecuación trascendental b. un polinomio de grado n c. una ecuación diferencial de orden n 7. La frecuencia natural fundamental de un sistema es a . el valor máximo b. el valor mínimo c . cualquier valor 8. □ amortiguamiento negativo conduce a a. inestabilidad b. convergencia rápida c . oscilaciones 9. B criterio de Routh-Hurwitzse puede utilizar para investigar a . la convergencia de un sistema b . las oscilaciones de un sistema

c. la estabilidad de un sistema 10. Las matricesde rigidez y flexibilidad están relacionadas como a. |* | = |o| b. |* | = |a|~' c . I*J = [a]T 11. Un sistema para el cual [*| es positiva y (m| es positiva definida se llama a. sistema semidefinido b. sistema positivo definido c . sistema indefinido 12. (mj-ortogonalidad de vectores modales implica a. x M [ m ] x W = 0

b.

= 0

c . [ X ] T [ m ) [ X ] = [*?]

13. Se puede utilizar el análisis modal de manera conveniente para determinar la respuesta de letna de varios grados de libertad a. sometido a condiciones forzadas arbitrarias

b. sometido a condición de vibración libre c. implicando varios modos (L5

Correlacione los elementos de las doscolumnas siguientes:

a. igual a cero produce los valores característicos

L \ * T[m )X 2 \ x T[m ]X

b. igual a [wf ] cuando los modos son normalizados

3. x t f [ m ] x W

c. alergia cinética del sistema

4 x V T lm ] x to

d. igual a cero cuando los modos son ortogonales

5. [X ]T[k][X ]

e. igual a la matriz dinámica (/>)

6. ("»)* + f*]7

f. energía de deformación del sistema

7.

g. igual al vector cfc fuerza aplicada F

&

m]| w

'm

h. sigual a uno cuando los modos son ortogonales


P ro b le m a s

581

Problemas Sección 6.3 uso de la segunda ley de Newton para derivar ecuaciones de movimiento 6.1-6.5

ÍX’rivc las ecuacionesde movimiento por medio de la segunda ley del movimiento de Newton, para cada uno de los sistemas que se muestran en las figuras 6.18 a 6.22 .

Ft(l)

*j<0

5k f

ccco m

/? n m v

m,

k

'

m2

'33Ü0ÍP

mi

k

f-*- * A 0 *

*

*i0 )

F ig u ra 6.18

4

r

%V

------------

-c

*)

‘

.J _ . W|(

2k\

2m

Baña rigida, masa- 2m

T

*,(0

4o

T

*2(0

I F ig u ra 6 .1 9

F ig u ra 6 J Í 0


582

C a p ítu lo 6


”4 é

C antidad d e d ie n te s e n e l e n g ra n e

í

G, = n , ( i

-

= la

6

)

Momento de inercia de masa del engrane G, * /( (/ = 1 a 6)

6.6

Figura 6.22

Un automóvil se modela como se muestra en la Figura 6.23. Derive las ecuaciones de movimiento por nedio de la segunda ley del movimiento de Ncwton.

Masa = Af, momento de inercia de

Figura 6.23 6.7

las ecuaciones de movimiento derivadas utilizando los desplazamientos de las masas*i, x 2 y *3 como grados de liberta! en la figura 6 .12 (ejemplo 6. 10 ) conducen a matrices de masa y rigidez simétricas en la ecuación (E.3) del ejemplo 6, 10 . Exprese las ecuaciones de movimiento, (F,3) del ejemplo 6 .10, utilizando x2 - *1 y x 3 - *3 como grados de libertad en la forma: [m ]j' + [k]y = Ó donde

y =

Demuestre que las matrices de masa y rigidez resultantes [m] y [*] son no simétricas. 6.8

Un análisis de vibración simplificado de unavión considera los movimientos de rebote y cabeceo (figu ra6.24

P ro b le m a s

583

(c)

(e) Figura 624

6.9

Considere el sistema de dos grados de libertad que se muestra en la figura 6.25 con m, = m2 = I y ¿i = *2 = 4. Las masas rn¡ yra¡sc mueven sobre una superficie irregular para la cual las constantes de amortiguamiento viscoso se pueden suponer como c¡ = c ¡ — 2.

a. Derive lasecuaciones de movimiento del sistema. b. Encuentre las frecuencias y las formas de modo del sistema no amortiguado.


C a p ítu lo 6


6.10

Rira un análisis simplificado de la vibración de un avión en la dirección vertical, se puede utilizar un nudelo de tres grados de libertad, como se muestra en la figura6.26. Las tres masas indican las masas dr las dos alas
b. Utilizando las ecuaciones de movimiento derivadas en el inciso ( a \ encuentre las frecuencias y modos naturales del avión. Interprete los resultados.

<1

r

• 11

/ '

(a)

(b)

(c) Figura 6.26

6.11 fii la figura 627 se muestra un modelo simplificado del tren de aterrizaje principal de un pequeño avión, con m , — 100 kg. m 2 = 5000 kg. k t = I04 N/m y k 2 = 106 N/m. a. Encuentre las ecuaciones de movimiento del sistema. b. Encuentre las frecuencias y formas de modo del sistema.


P ro b le m a s

585

m2

M asa d e l avión

Rigidezdel _ _ tren de aterrizaje f;

*2

Masa de la llanta Rigidez de la llanta T 7 7 7 P T J7 .

Pista de aterrizaje Figura 637

Sección 6.4 Coeficientes de influencia 6.12-6.17

Cfcrive la matriz de rigidez de cada uno de los sistemas que se muestran en las figuras 6.18 a 6.23 utilizando las coordenadas indicadas.

6.18

Ikrivc lamatriz de flexibilidad del sistema que se muestraen la figura 5.39.

6.19

Efcrive la matriz de rigidez del sistema que se muestra en la figura 5.39.

630

Derive lamatriz de flexibilidad del sistemaque se muestraen la figura 5.42,

631

rfcrivc lamatriz de rigidez del sistema que se muestra en la figura 5.42.

632

Derive la matriz de masa del sistema que se muestra en la figura 5.42

633

Bicuentre los coeficientes de influencia de flexibilidad y rigidez del sistema torsional que se muestra en la figura 638. También escriba las ecuaciones de movimiento del sistema.

\ -------------------( GJ),

2

(GJ),

— —

r L

h =

\

z S ' ( GJu %

- / . ------ ---------------- /,----------------- - 1 - -------------/,---------------- ------------' l --------Compresor Turbina Generador í*ío) Mo> Figura 6.28

634

Encuentre los coeficientes de influencia de flexibilidad y rigidez del sistemaque se muestra en la figura 6.29. También derive las ecuaciones de movimiento del sistema.


586

C a p ítu lo 6


Finura 6.29

6.25 El ala de un avión, figura 630
tt>) Fisura 630

636 Determine la matriz de flexibilidad de la baria uniforme que se muestra en la figura 6.31. Ignore la masa de la viga comparada con las masasconcentradas colocadas sobre la viga y supongaque todas lasl¡ = I.

|

m ,

m ,

*3

£ ¡1

1

- 'T f Y Y Y ? '

1

m 2 Y /

_

_

________ _ > "»

H

»

—

*

Figura 631

—

—

'3 —

K

w

f c v

k 7

js * ,

s

s

^

r , V

,

Figura 632

637 Derive las matricesde flexibilidad y rigidez del sistemade resorte-masa que se muestra en la figura 6.32 suponiendoque todas las superficies que están en contacto están libres de fricción. 636 Derive las ecuaciones de movimiento de la cuerda estirada que lleva tres masas, como se muestra en la figura 6.33. Suponga que los extremos de la cuerda están fijos. 6.29

D eriv e las e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e l s is te m a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 .3 4 .


P ro b le m a s

587

W -W W -.W W .Y *1 m

2m

2k

Figura £33

3k

m

Figura 6.34

£30

Cuatro resortes idénticos, cada uno con una rigidez k, están dispuestos simétricamente a 90° uno de otro, como se muestra en la figura 2.65. Encuentre el coeficiente de influencia del punto de unión en una dirección arbitraria.

£31

ntrnucstrc que la matriz de rigidez del sistema de resorte-masa que se muestra en la figura 6.3(a) es una matriz de banda a lo largo de la diagonal.

£32-6.36

Derive la matriz de masa de cada uno de los sistemas que se muestran en las figuras 6.18a 6.22 utilizando las coordenadas indicadas.

£37

0 coeficiente de influencia de masa inverso bt) se definecomo la velocidad inducida en el punto i par un impulso unitario aplicado en el puntoj . A partir de esta definición derive la matriz de masa inversa del sistema que se muestra en la figura 6.4
S e c c ió n 6 .6 C o o r d e n a d a s g e n e r a liz a d a s y fu e r z a s g e n e r a liz a d a s

£38

Rúa el edificio de cuatro pisos sometido a cortante que se muestra en la figura 6.35. no hay rota ción de la sección horizontal al nivel de los pisos. Suponiendo que los pisos son rígidos y que la masa total está concentrada en los niveles de los pisos, derive las ecuaciones de mo'imiento del edificio utilizando (a) la segunda ley del movimiento de Newton y (b) lasecuaciones de Lagrange.

S e c c ió n 6 .7 u s o d e la s e c u a c io n e s d e L agran ge para d erivar e c u a c io n e s d e m o v im ie n to

635

Derive las ecuaciones de movimiento del sistema que se muestra en la figura 6.36 utilizando las ecuaciones de Lagrange con * y 8 como coordenadas generalizadas.

£40

Derive las ecuaciones de movimiento del sistema que se muestra en la figura 5.12
£41

Derive las ecuaciones de movimiento del sistema que se muestra en la figura 6.29 utilizando las ecuaciones de Lagrange.


C a p ítu lo 6


m

Figura 6-36

6.42

Derive las ecuaciones de movimiento del péndulo triple que se muestra en la figura 6.10 utilizando lasecuaciones de Lagrange.

6.43

Orando un avión (vea la figura 6.37(a)) experimenta vibraciones simétricas, el fuselaje se puede idealizar como una masa central concentrada M 0 y las alas se pueden modelar como barras rígidas con masas M ea sus extremos, como se muestra en la figura 6.37(b). La flexibilidad entre las alas y el fuselaje se puede representar por medio de dos resortes torsionalcs de rigidez k, cada uno. (a) Derive las ecuaciones de movimiento del avión, utilizando las ecuaciones de Lagrange con x y 6 como coordenadas generalizadas, (b) Encuentre las frecuencias y modos naturales del avión, (c) Encuentre la constante de resorte torsional pora que tenga la frecuencia natural de vibración, en nvido torsional, mayor que 2 Hz cuando M„ = 1000 kg. M = 500 kg y / = 6 m.

644-6.48

Use las ecuaciones de Lagrange para derivar las ecuaciones de movimiento de cada uno de los sistemasque se muestran en las figuras 6. 1 8 a 6.22.


P ro b le m a s

589

S e c c ió n 6 .9 P rob lem a d e v a lo r e ig e n

6.49 formule el problema de valor eigen del ejemplo 6.11 en función de lascoordenadasq x = q 2 = x2 - x , y«/j= x3- X y y solucioneel problema resultante. Compare los resultadosobtenidoscon los del ejemplo 611 y saqueconclusiones. 6J0

Derive la ecuación de frecuencia del sistema que se muestra en la figura 6.29.

S e c d ó n 6 .1 0 S o lu c ió n d e l p ro b lem a d e v a lo r e ig e n

651

Encuentre las frecuencias y formas de modo del sistema que se muestra en la figura 6.6(a) cuando k, = k, k 2 = 2k, ky = 3*. m , = m , m¡ = 2m, y m3 = 3m . Trace las formas de modo.

6^2

formule la ecuación matricial y determine los tres modos principales de vibración para el sistema que se muestra en la figura 6.6(a) con A, = 3 A, A; = A, = A, m , = 3m y m2 = m, = m. Verifique la ortogonalidad de los modos determinados.

6^3

Encuentre las frecuencias naturales del sistema que se muestra en la figura 6.10 con /( — 20 cm. I2 30 cm, /, = 40 cm. m, = l kg, = 2 kg y m , = 3 kg.

654* (a) Encuentre las frecuencias naturales del sistema que se muestra en la figura 6.31 con m, = m ; = m, = m y /| = l2 = 1} = U = W . (b) Encuentre las frecuencias naturales de la viga cuando m = 10 kg, / = 05 m, la sección trasversal es uro sección circular sólida con diámetro de 2.5 cm y el material es acero, (c) Considere utilizar una sección transversal rectangular hueca, rectangular sólida, o circular hueca para la viga, para lograr las mismas frecuencias naturales que en (b). Identifique la sección transversal correspondiente al peso mínimo de la viga. 655

la ecuación de frecuencia de un sistema de tres grados de libertad está dada por A-

5

-

-

3

3A - 6 1 - 2

- 2

- 4 = 0 A- 6

Encuentre las raíces de esta ecuación. 656

Determine los valores eigen y vectores eigen del sistema que se muestra en la figura 6.29. con A, = A2 = *3 = kÁ = k y m, = m 2 = m, = m.

6^7

Encuentre las frecuencias y formas de modo del sistema que se muestra en la figura 6.29 para k¡ “ k2 = A3 = *4 = A, m, = 2m ,m 2 = 3m y = 2m.

6J 8

focucntrc las frecuencias naturales y modos principales del póndulo triple que se muestra en la figura - /ym , - m. - m( - m.

6 1 0 . suponiendo que l¡ -

659

focucntrc las frecuencias y modos naturales del sistema considerado en el problema 6.27 con m, = m, n u = 2m . « j = m. *| — k2 — k y

660

— 2k.

Drmuestre que las frecuencias naturales del sistema que se muestra en la figura 6.6(a) con A, = 3*. k2 “ A3 = A, m , “ 4m. m: “ 2/n y m? = m . son ? ^ 1.34 V k J ¡ n .

focucntrc los vectores eigen del sistema.

El asterisco indica un problem a sin respuesta única.


C a p ítu lo 6


6.61 Encuentre las frecuencias naturalesdd sistema considerado en el problema6.28 con m¡ - 2m .m 2 - m. mj = 3m y /, = /2 = ly = /4 = /. 6.62 fiicucntre las frecuencias naturales y modos principalesdel sistema torsional que se muestra en la figu ra 628 para (GJ), = GJ. I = 1.2,3.4. Jdi = = Ja = J0 y /, = í , = /3 = lA = /. 6.63 La matriz de masa [m| y la matriz de rigidez |*|de una barra uniforme son

pM

4

’l 0 .0

0

o"

2 0

0

y

2AE m ,

1.

I -1 0

-1 2 -1

°1

_l 'J

donde p es la densidad. A es el área de sección transversal. £ es el módulo de Young y /es la longitud de la barra. Encuentre las frecuencias naturales del sistema al buscar las rafees de la ecuación caracte rística. Incluso encuentre los modos principales. 6.64 La matriz de masa cfc un sistema vibrador

y los vectores eigen por

Encuentre ki matriz modal |m|-oitonormal del sistema. 6.65 Para el sistema que se muestra en la figura 6.38. (a) determine el polinomio característico A
Figura 6 .3 8


Problemas 6.66

591

1

0.27549461

06916979 )

0.3994672 > 0.4490562 J

0-2974301 > -0.3389320 J

Compruebe que éstos son ortogonales con respecto a la matriz de masa 1

M =

0 0

0

2 0

0

0 3

Encuentre el vector eigen [m|-oitogonal restante, (b) Si la matriz de rigidez del sistema está dada por 6 -4 -4 10 0

0

0 0 6.

determine todas las frecuencias naturales del sistema, utilizando los vectores eigen del inciso (a). 667

Encuentre las frecuencias naturalesdel sistema que se muestra en la figura 16.18 param, = m. i = 1.2.3.

6.68 Bicuentre las frecuencias naturales del sistemaque se muestra en la figura 6.19 con m = I kg. I = 1 m, í - 1000 N/m y t ° 100 N-s/m. 6.69

Considereel problema de valor eigen :[*] - « í

m

i

?® = o

donde

2 -■

-l 2

L o

-1

r

o" -1 1_

y

’1 [m] = m 0 _0

0 1 0

o' 0 1.

Encuentre las frecuencias naturales buscando las raíces de la ecuación característica l(m]-'[* ] - » 5[/]l = 0 Compare sus resultados con los obtenidas en el ejemplo 6.11. 670

Encuentre los valores eigen y los vectores eigen de la siguiente matriz:

Stgerencia: □ problema de valor eigen asociado con la matriz (4J se define como

[[ü ]-A [/ ]jx -o donde A es el valor eigen y X es el vector eigen.


592

C a p ítu lo 6


6.71

Cbnsidcrc el problema de valor eigen

donde

w - [ ; :] ■ « - [ i

■;]

Encuentre las frecuencias y las formas de modo del sistema:

a. resolviendo la ecuación ( [» ]-'[* ] -

- 0

b. resolviendo la ecuación [ - « f y j- 'M + M I* = o Compare bs dos conjuntos de resultados y explique sus observaciones. 6.72

Cbnsidcrc el problema de valor eigen

ru2

a. Bicuentre las frecuencias naturales y las formasde modo del sistema. b. Gunbie las coordenadas en la ecuación
Cbmparc los rcsultacbs encontrados en los incisos (a) y (b) y proponga sus observaciones.

Cbnsidcrc el problema de valor eigen A[m ]X = [A]X

(E.1)

donde

: :}

« e fe

i )

>

La ecuación ( E l ) se puede expresar como [D ]X = XX

cbnde [D ] = ( [ „ ] * )


'

P ro b le m a s

593

se llama matriz d e rigidez normalizada. Detennine la matriz de rigidez normalizada de masa y úsela pora hallar los vectores eigen ortonormalcs del problema formulado en la ecuación ( R I ). Sugerencia: La raíz cuadrada de una matriz diagonal [m]de orden n , está dada por

V ü ¡¡

o

0* =

6.74

Una matriz definida positiva simétrica, como la matriz de masa de un sistema de varios grados de libertad [mj. se puede expresar como el producto de una matriz triangular inferior. 1¿ ) y una matriz triangular superior |/.)r, como [m] = [L )[L )T

(E-l)

utilizando un procedimiento conocido como método de Choleski (6.18|. Para una matriz de orden 3 X 3. la ecuación ( E 1) se escribe como mu

m l2

m ,j

m l2

m 22 m¡3

m 2S

_ m 13

=

Ln M \

0

0

'-2 2

0

L}

2

'

¿33.

'

.

lu

L2|

h \'

0

¿ 2 2

Ln

0

0

(E.2)

¿33.

Multiplicando bs matrices del lado derecho de la ecuación (R 2 )c igualando cada uno de los elementos de la matriz 3 x 3 resultanteal elemento correspondiente de la matriz del lado izquierdo de la ecuación
[m ]=

4 2 26

1 2

_1 2

8

en la forma |LJl¿)r. s e c c ió n 6 . 1 2 s i s t e m a s n o r e str in g id o s

6.75 Encuentre las frecuencias naturales y las formas de modo del sistema que se muestra en la figura 6.14 con m , = m, m-¡ = 2m, m» = 3m y A| = k ¡ = k. 6.76 Encuentre la matriz modal para el sistemasemidefinido que se muestraen la figura6.39 para J¡ = J 2 = J3 - J , > k ñ , - k r y k a - 2 k r

F ig u ra R 3 9


594

C a p ítu lo 6


S e c c ió n 6 .1 3 V ib ración libre d e s i s t e m a s n o a m o r tig u a d o s

6.77 Encuentre la respuesta de vibración libre del sistema de resorte-masa que se muestra en la figura 6.29 pora k | = * (i = l . 2.3 ,4 ). m , = 2m , m - = 3m y m, = 2m para las condiciones iniciales X|<0) = x(0 y *2(0 ) = *3(0 ) = ¿,(0) = 4 ,(0 ) = ¿,(0) = 0. 6.78 Encuentre la respuesta de vibración libre del póndulo triple que se muestra en la figura 6.I0 pora /, “ / (i * l, 2. 3) y m, ■ m (i ■ I. 2 ,3 ) para las condiciones iniciales 0((O) “ 0^(0) “ 0. 03(0) = 030,0,(0) = 0 ( i = 1.2,3). 6.79 Encuentre la respuesta de vibración libre de la cuerda tensada que se muestra en la figura 6.33 para m , = 2m , m : = m , m, = 3m y I, = I (i = 1. 2. 3. 4). Suponga las condiciones iniciales como x t(0 ) = *3(0) - 0 . *2( 0 ) = -rjo. ¿i< 0) = 0 ( / = 1 .2 ,3 ) .

6.80 Encuentre la respuesta de vibración libre del sistema de resorte-masa que se muestra en la figura 6.6 = 2m y mj = 3mcorrespondiente a las condiciones iniciales

¿.(0) = *io- *i(0) = 0 (i = 1,2,3). y ¿2(0 ) = 43(0 ) = 0. 6J11 Ricucntrc la respuesta de vibración libre del sistema de resorte-masa que se muestra en la figura 6.32 pora m¡ - m,m. - 2my m ¡ - 3m. 4| = 4, = k y k3 = 2k correspondiente a las condiciones iniciales ¿3(0) = ¿30 y *i(0) = x2(0) = *3(0 ) = 4,(0) = 4,(0 ) = 0. 6.82 En el sistemade carrosde carga que se muestra en la figura 6.14, el primer carro adquiere una velocidad ¿o debido a un impacto. Encuentre la vibración libre resultante del sistema. Suponga m , = m ( i = 1.2,3) y*, = 4, = 4. 6J13 Encuentre la respuesta de vibración librede un sistema de tresgrados de libertad regido por la ecuación "l 10 0 0

0 1 0

" 2 - 1 o" 2 0 J ( f ) + 100 - 1 1 0 -1

o" -1 1

Suponga las condiciones iniciales como x¡(0) - 0.1 y 4^(0) - 0; i = 1,2.3. Nala: En los ejemplos 6.11 y 6.12 se dan las frecuencias naturales y formas de modo del sistema. 6.84

Utilizando el análisis modal, determine la respuesta de vibración libre de un sistema de dos grados de libertad con las siguientes ecuaciones de movimiento

con las condiciones iniciales

n o ,=

6 .8 5

y.

m

-

y

C b n s id e rc la s e c u a c io n e s d e v ib ra c ió n lib re d e u n s is te m a n o a m o rtig u a d o d e d o s g r a d o s d e libertad:

[ m] x + [4 ]x = 0


P ro b le m a s

595

con

m

-[; : ] r w - [ j 1]

a. F n c u e n tre lo s v e c to re s e ig e n o rto n o rm a lc s por m e d io d e la m atriz d e rig id e z d e m a s a n o rm aliz ad a. b. D eterm in e la s c o o r d e n a d a s p rin c ip a le s d e l sis te m a y o b te n g a la s e c u a c io n e s m o d ales. 6 .8 6

R ira e l sis te m a d e d o s g ra d o s d e lib erta d c o n s id e ra d o e n e l p ro b le m a 6 .8 5 . e n c u e n tr e la re sp u e s ta d e vib ració n lib re * |( í ) y x 2(í). p o r m e d io d e la e c u a c ió n m o d a l d e riv a d a e n el p ro b le m a 6 .8 5 p a r a l a s s i m ie n te s c o n d ic io n e s in ic ia le s: x , ( 0 ) = 2 , x 2( 0 ) = 3 , ¿ | ( 0 ) = x2( 0 ) = 0 .

6.87 E n c u e n tre la re sp u e s ta d e v ib ra c ió n lib re d e l m o d e lo d e a v ió n d e tre s g ra d o s d e lib erta d c o n s id e ra d o e n d p ro b le m a 6 .1 0 p a ra lo s s ig u ie n te s d a to s : m = 5 0 0 0 k g . / = 5 m . E = 7 G p a . / = 8 X I0~6 m 4. S u p o n g a q u e la s c o n d ic io n e s in ic ia le s c o rre s p o n d e n a las d e u n a rá fa g a d e v ie n to , lo q u e d a p o r resu ltad o *,< 0) = 6

J 18

0

, * 2( 0 ) = 0.1 m , x 3( 0 ) = 0 . ¿ , ( 0 ) = ¿ i ( 0 ) = i , = 0.

l a so lu c ió n d e v ib ra c ió n lib re d e u n sis te m a d e d o s g r a to s d e lib e rta d s e d e te n n in a re s o lv ie n d o la ecu a c ió n

[ m] H + [ k ) x = 0

; (' - o ) - * - { ; » !

y

*

(E .1 )

" o )“ í o = f e ) '

Si ru | y >s o n la s fre c u e n c ia s n a tu r a le s y u , y « 2 s o n la s fo rm a s d e m o d o d e l sis te m a o b te n id a s a p artir t o la e c u a c ió n c a ra c te rístic a

[ M » J + [ * ]p = o

(B 3 )

c o n s - ± to , . ± o » 2 ( ra le e s c a ra c te rístic a s ), la so lu c ió n d e la e c u a c ió n ( E l ) . x ( / ) , s e p u e d e h a lla r c o m o u t a c o m b in a c ió n lineal d e d ife re n te s so lu c io n e s c o m o : í(r): d o n d e C(. / =

1

Q u , ^ ' + C 2 Z,« * * '•' + C

y

(

E

3

)

. 2 . 3 . 4 . c o n c o n s ta n te s. D e m u e s tre q u e la s o lu c ió n s e p u e d e ex p re sa r, e n fo rm a e q u iv a

len te. c o m o

x ( l ) = A i s e n ( w ,f + «fo)u, + A 2 s e n (a H / + + 2)113

(E .4 )

d o n d e A t. A y +1 y
S e c c ió n 6 .1 4 v ib r a c ió n fo r za d a d e s i s t e m a s n o a m o r tig u a d o s m e d ia n te a n á lis is m o d a l

689

D e te rm in e l a s a m p litu d e s d e m o v im ie n to d e la s tr e s m a s a s d e la fig u ra 6 .4 0 c u a n d o s e a p lic a u n a fuerza a rm ó n ic a F (i) — F 0 s e n a» /a la m a s a in fe rio r iz q u ie rd a c o n m = I k g . k = 1 0 0 0 N /m . F 0 = 5 N y o> = 1 0 ra d /s u tilizando e l m é to d o d e su p e rp o s ic ió n d e m o d o .


596

C a p ítu lo 6


m

Figura (UO

6.90 (a) Determine las frecuencias naturalesy las formasde modo del sistema torsional que se muestran en la figura 6.11 para k,¡= k ^ = kü “ k, y J x “ J 2 “ J} m J0.
Con los resultados de los problemas 6.24 y 6.56. determine la matriz modal |AT| del sistema que se muestra en la figura 6.29 y derive las ecuacionesde movimiento desacopladas.

6.92 Se puecfc obtener una solución aproximada de un sistema de varios grados de liberlad siguiendo el mé

todo de aceleraciónde modo. De acuerdocon este método, lasecuacionesde movimiento de un sistema no amortiguado, por ejemplo, se expresan como 5 = [ * ]-'( ? " í«P f)

y x se representa con los primeros r modos ( r < n) como *

«X ]

Puesto que ([* ] -

= I* ] 9

n X r rX I

(E.2)

= 0. La ecuación (E.1) se escribe como

Bicuentre h respuesta aproximada del sistema descrito en el ejemplo 6.19 (sin amortiguamiento), uti lizando el método de aceleración cfc modo con r - 1 . 6.93 Determine la respuestadel sistema en el problema 6.51 a las condiciones inicialesx,(0) = I, ¿,(0) = 0. x2(0) = 2, ¿j(0) = l.xj(O ) = l.y ¿3(0 ) = - I . Suponga k /m = 1.


P ro b le m a s

6.9 4

597

D em u estre q u e la s c o n d ic io n e s in iciales d e la s c o o rd e n a d a s g e n e ra liz a d a s q f,t) s e p u e d e n e x p r e s a r e n •unción d e la s c o rre sp o n d ie n te s d e la s c o o rd e n a d a s físic a s r t( i ) e n e l a n á lis is m o d a l com o

m 6 .9 5

- [x n « ]* (0 ),

¿ «o = [ x Y w m

En la fig u ra 6 .4 1 s e m u e s tra u n m o d e lo sim p lific a d o d e una b ic ic le ta c o n s u c ic lista . E n c u e n tre e l m o vim iento v e rtic a l d e l c ic lis ta c u a n d o la b ic ic le ta p a s a p o r u n d e s n iv e l e n la c a rre te ra , c o m o s e m u e s tra e n la figura.

Figura 6.41

6 .9 6

B ic u e n tre la r e s p u e s ta d e l p é n d u lo trip le q u e s e m u e s tra e n la fig u ra

6 .1 0

p a r a /, - 0 .5 ra ( i = 1 . 2 . 3 )

y m , = 1 k g ( i = 1 . 2 , 3 ) c u a n d o s e a p lic a u n m o m e n to e n la f o rm a d e u n p u lso re c ta n g u la r d e 0 . 1 N -m cb m a g n itu d y 0 . 1 s d e d u ra c ió n a lo la rg o d e la d ire c c ió n d e 0 V S u p o n g a q u e e l p é n d u lo e stá e n re p o so e n el in sta n te / - 0 .

6 .9 7

E n cu en tre la re sp u e s ta d e l sis te m a d e re so rte -m a sa q u e s e m u e s tra en la fig u ra 6 .6
6 .9 8

1 0 0 0

N d e m a g n itu d y 0 .2 5 s d e d u ra c ió n a la m a s a ; n , e n la

C o n sid e re u n sis te m a d e d o s g ra d o s d e lib e rta d c o n la e c u a c ió n d e m o v im ie n to [m ] * + [ * ] x = / ( í ) con

a. D eriv e la s e c u a c io n e s m o d a le s p a r a la re sp u e sta d e v ib ra c ió n fo rz a d a d e l sistem a. b . D eterm in e la s c o n d ic io n e s q u e d e b e n s a tis fa c c r/ , ( / ) y / , ( / ) p a r a q u e p u e d a n in flu ir e n a m b o s m o d o s.

S e c d ó n 6 .1 5 v ib r a ció n fo r ra d a d e s i s t e m a s v is c o s a m e n t e a m o r tig u a d o s 6 .9 9

R ic u c n tr c la re sp u e s ta d e e s ta d o e s ta b le d e l s is te m a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 .1 7 c o n k , = k 2 = ki = k* = 1 0 0 N /m . c , = c 2 = C3 = c 4 = 1 N -s/m . m , = m 2 = = I k g , F ,( r ) = F0 e o s <01 , F0 = 1 0 N y 1o - 1 rad /s. S u p o n g a q u e e l re so rte *4y e l a m o rtig u a d o rc ., e s tá n c o n e c ta d o s a u n m u ro r íg id o p o r e l e x tre m o d r re c h o . U se e l m é to d o d e im p e d a n c ia m e c á n ic a d e s c rito e n la s e c c ió n 5.6 p a r a o b te n e r la so lu c ió n .


C a p ítu lo 6


6,100

El ala de un avión, figura 6.42(a), se modela como un sistema de masa concentrada de doce grados de libertad como se muestra en la figura 6.42(b).Los primeros tres modos naturales, obtenidos experimenBÜmente, se dan a continuación.

Grados de libertad Forma de modo

0

1

*<»

0.0

0.126

0.249

0.369

x ‘2>

0.0 -0.375 -0.697

-0.922

X<3)

0.0

0.618

2

3

1.000

1.000

4

5

0.483

6

0.589

-1.017 -0.969 0.618

7

0686

8

9

10

11

12

0.772

0.846

0.907 0.953 0.984 1.000

-0.785 -0.491

-0.127

0.254 0699 0.860 1.000

0.000 -0.618 -1.000 - 1.000 -0.618 0D00 0.618 1.000

<*>

m n
tas frecuenciasnaturalcscorrespondicntcsalostresmodosson| -2 2 5 rad/s. cu,-6 6 0 rad/sy o>5 1100 rad/s. Si el fuselaje de un avión se somete a un movimiento vertical conocido x ¿ t \ derive las ecuacionesdesacopladas para determinar la respuesta dinámica del ala representándola como una com binación lineal de los primeros tres modos normales. Sugerencia: La ecuación de movimiento del ala del avión se escribe de modo parecida a la ecuación (3.64) como

[m ]7

+ [c](?

-

x q u ,)

+ [ k ] ( x - x(f i l ) = 0

o [m]7 + fe]? + [* ]? = donde

u ,

=

{ 1, 0 , 0 ..........0 } T e s u n v e c to r u n itario .


P ro b le m a s

599

S e c c ió n 6 .1 7 E je m p lo s r e s u e lt o s u tiliza n d o MATLAB

6.101 Utilizando M ATIAB, encuentre los \alorcs y vectores eigen con matrices de masa y rigidez dadas en d ejemplo 6.13. 6.102 Utilizando M ATIAB, encuentre y trace la respuesta de vibración libre del sistema descrito en el proble ma 6.79 con los siguientes datos: íjo = 0.5, P = 100. / = 5. m = 2. 6.103 Utilizando la función od«23 de M A TIA B , encuentre y trace la respuesta de vibración forzada del sistema descrito en el problema 6.89. 6.104 Utilizando la función ro o ta de M A TIA B , encuentre las raíces de la siguiente ecuación; /Cr) = x12 - 2 = 0 6.105 fiicucntrc la respuesta de vibración forzada de un sistema viscosamente amortiguado de tres grados de libertad con ecuaciones de movimiento:

" 3 - 1

0'

-3

' o cr 1

4 0 !(/ ) + 5 -1 3. . 0 - 3

1

o'

2 0

. 0 - 2

2.

f*V Vt

0

r- ro 1 1__

[l

)i 0 Lo

x ( i ) + 20

3.

5 eos 2i

!

:

Suponga condiciones iniciales cero. 6.106 Utilizando la función od«23 de M ATLAB. resuelva el problema 6.99 y trace

x 2(i) y x £ t).

6.107 Utilizando el programa Program7 .m, genere el polinomio característico correspondiente a la matriz

w

-

5 3

3 2 6 4

I

2

6

6.108 Utilizando el programa Programa .m. encuentre la respuesta de estado estable de un sistema de tres grados de libertadcon los siguientes datos:

o>, = 25076 rad/s. i i = 0.001,

m ]=

[4 .-4 0 L 0

!

F,
= 53578 rad/s.

a>, = 110.9)7 rad/s

/ = L 2.3 0 38.8 0

0 0 25.88.

f 5000 eos 5/

'l I H = 1.303 .1.947 |

*?(')> = < 10000 eos 1 0 / > F¿t )J l 20000 eos 20 /]


1.0 0.860 -1.685

1.0 -1.000 0.183.

600

C a p ítu lo 6


6 ,1 0 9 E n c u e n tre y tr a c e la r e s p u e s ta x ,( r ) y

x jl) .

d e u n s is te m a c o n la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s d e m o v i

m ien to :

utilizando las condiciones iniciales:

m/s

x (, = 0) =

Resuelva numéricamente las ecuaciones diferenciales (E .l), utilizando una función M ATLAB ade cuada. &110 Escriba un programa de computadora para determinar los vectores eigen mediante los valores eigen conocidos en la ecuación (6.61). Encuentre las formas de modo del problema 6.57 aplicando este pro grama. d i 11 Escriba un programa de computadora para generar la matriz |mJ-modal ortogonal [XJ. El programa ctberá aceptar la cantidad de grados de libertad, los modosnormales y la matriz de masa como datos de entrada. Resuelva el problema 6.64 aplicando este programa. 6,112 Las ecuaciones de movimiento de un sistema no amortiguado en unidades SI están dadas por

2 0

0 2

0

0

0 0 7 + 2

16 -8

-8 16

0

-8

10 sen ioi

0

-8 x = < 0 16 0

Aplicando la subrutina M O D A L encuentre la respuesta de estado estable del sistema cuando « = 5 rad/s. 6113 Fhcucntrc la respuesta del sistema en el problema 6.112 al variar io entre I y 10rad/s en incrementos de I rad/s. Trace las gráficas que muestren las variaciones de las magnitudesde los primeros picos de x¿t). i = 1.2.3 con respecto a tu. 6.114 Encuentre las frecuencias naturales de vibración y los modos de forma correspondientes de la viga que se muestra en la figura 6.9 utilizando la matriz de masa

[m ] =

m,

0

0

m2 0

0

0 ' 0 m3.

■

’ l

0

o'

0

1

0

_0

0

1.

m

y la m atriz d e fle x ib ilid a d d a d a p o r la e c u a c ió n (E .4 ) d e l e jem p lo 6.6 .


Proyecto de diseño

601

Proyecto dediseño 6.115 Una pesada máquina herramienta instalada en el primer piso de un edificio, figura 6.43(a), se ha mo delado como un sistema de tres grados de libertad como se indica en la figura 6.43
i— r

Y

Cabezal de la máquina herramienta - (masa equivalente. mk ) F ( / ) , fu e rz a d e c o rte

M uro

Base de la máquina herramienta (masa equivalente,

Montaje

Y //v y /////s

1 P iso

(masa equivalente. m¡) (a ) m

f

* í(0

mh

Cabezal de la máquina herramienta

c3 mb

•y nuntaje

*2 9

L d c2

X2« )

_L * i(0

m,

Piso

(b ) F ig u ra 6 .4 3


CAPÍTULO 7 D e te rm in a c ió n d e frecuencias y m o d o s n a tu ra le s

Físico inglés, se desempeñó como profesor de física experimental en la Universidad de Cambridge, fue profesor de filosofía natural en la Royal Institution de Londres, presidente de la Royal Society y rector de la Universidad de Cambridge. Sus tra bajos en óptica y acústica son muy conocidos, y su obra T heory o f S o u n d (1877) se considera una referencia obligada aun en la actualidad. Al método de comparar frecuencias naturales de vibración aproximadas de cuerpos vibratorios aplicando un método de energía se le conoce como “Método de Raylcigh". (Cortesía de A p p lie d M ech a n ics R eview ).

John Wlltam StraU. Lord Rayleijíh (1842-1919)

E s q u e m a d e l c a p ítu lo Objetivos de aprendizaje 603 7.1 Introducción 603 72 Fórmula de Dunkerley 604 7.3 7.4

Método de Rayleigh 606 Método de Hober 613

75

Método de iteración matricial 617 Método dejacobi 624

7.6

602

7.7

Problema de valor eigen estándar 626

7A

Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 629 Resumen del capítulo 632 Referencias 632 Preguntas de repaso 633 Problemas 636 Proyectos de diseño 643



603

En este capítulo se describen varios métodos de determinar las frecuencias naturales y modos natu rales de sistemas de varios grados de libertad. Espccincamente.se presentan la fórmula de Dunkerley. el método de Rayleigh. el método de Holzer. el método de iteración matricial y el método de Jacobi. La derivación de la fórmula de Dunkerley se basa en que las altas frecuencias naturales de la mayoría de los sistemas son grandes comparadas con sus frecuencias fundamentales. Proporciona un valor, siempre menor que el valor exacto, de la frecuencia fundamental. E l método de Rayleigh. cuyo origen es el principio de Rayleigh. también da un valor aproximado de la frecuencia natural fundamental, el cual siempre es mayor que el valor exacto. Se hace una comprobación del cociente de Rayleigh y su permanencia en la proximidad de un valor eigen. También se demuestra que el cociente de Rayleigh nunca es menor que el primer valor eigen y nunca mayor que el valor eigen más alto. Se presenta el uso de la curva de deflexión estática para estimar las frecuencias naturales fundamentales de vigas y flechas siguiendo el método de Rayleigh. E l método de Holzer. basado en un esquema de prueba y eiror. se presenta para encontrar las frecuencias naturales de sistemas no amortiguados, amortiguados, scinidcfinidos o sistemas torsionalcs y traslacionalcs ramificados. Se estudia el método de iteración matricial y sus extensiones para hallar las frecuencias naturales mínimas, máximas c intermedias. Se proporciona una comprobación de la convergencia del método a la frecuencia mínima. Se describe el método de Jacobi. el cual encuentra todos los valores eigen y vectores eigen de matrices simétricas reales. Se define d problema de valor eigen estándar y se presenta el método de derivarlo a partir del problema de valor eigen general, basado en d método de descomposición de Choleski. Por último, se ilustra el uso de M A T L A B para hallar los valores rigen y vectores eigen de sistemas de varios grados de libertad con varios ejemplos numéricos.

O b je tiv o s d e a p re n d iza je Al terminar este capítulo, usted deberá ser capaz de realizar lo siguiente: •

Encontrar la frecuencia fundamental aproximada de un sistema compuesto en función de las frecuencias naturales de las partes componentes aplicando la fórmula de Dunkerley.

•

Entender d principio de Rayleigh y las propiedades del cociente de Rayleigh. así como calcular la frecuencia natural fundamental de un sistema aplicando el método de Rayleigh.

•

Encontrar las frecuencias naturales aproximadas de vibración y los vectores modales según d método de Holzer.

•

Determinar las frecuencias mínima, intermedia y máxima de un sistema por medio del método de iteración matricial y sus extensiones (utilizando d procedimiento de deflación matricial).

•

Encontrar todos los valores eigen y los vectores eigen de un sistema de varios grados de libertad utilizando el método de Jacobi.

•

Convertir un problema de valor rigen general en un problema de valor rigen estándar basado en el método de descomposición de Choleski.

•

Resolver problemas de valor eigen utilizando M A T L A B .

introducción En el capítulo anterior, las frecuencias naturales (valores eigen) y los modos naturales (vectores cigen) de un sistema de varios grados de libertad se hallaron al establecer el determinante caracterís tico igual a cero. Aunque éste es un método exacto, la expansión del determinante característico y


604

C a p ítu lo 7

D e te rm in a c ió n d e fre c u e n c ia s y m o d o s n a tu ra le s

b solución de la ecuación polinomial de grado e n é sim o resultante para obtener las frecuencias naturales pueden volverse bastante tediosas para grandes valores de n . Se han desarrollado varios inftodos analíticos y numéricos para calcular las frecuencias y modos naturales de sistemas de va rios grados de libertad. En este capítulo analizaremos la fórmula de Dunkerlcy, el método de Rayleigh, el método de Holzer, el método de iteración matricial y el método de Jacobi. La fórmula de I>inkerley y el método de Rayleigh son útiles sólo para estimar la frecuencia natural fundamental. R método de Holzer es en esencia un método tabular que se puede utilizar para hallar soluciones parciales o totales de problemas de valor eigen. E l método matricial encuentra una frecuencia na tural a la vez, por lo general comenzando desde el valor más bajo. Por tanto, el método se puede terminar después de hallar el número requerido de frecuencias naturales y modos naturales. Cuando se requieran todas las frecuencias y modos naturales, se puede utilizar el método de Jacobi, el cual encuentra todos los valores eigen y vectores eigen de manera simultánea.

7.2

Fórm ula de D unkerley La fórmula de Dunkerlcy provee el valor aproximado de la frecuencia fundamental de un sistema compuesto en función de las frecuencias naturales de sus partes componentes. Se deriva aprove chando que las altas frecuencias naturales de la mayoría de los sistemas vibratorios son grandes comparadas con sus frecuencias fundamentales [7.1-7.3). Para derivar la fórmulade Dunkerley, con sidere un sistema general de n grados de libertad cuyos valores eigen se pueden determinar resol viendo la ecuación de frecuencia (6.63): | - [ * ] + ^ [m jl = 0

(7.1)

Rtra un sistema de masa concentrada con una matriz de masa diagonal, la ecuación (7.1) se escribe como

1

0

<*ii

<*12

0

I

<*21

<*22

0

o

<*n\

a \n

m,

0

. . .

o

0

m2

. . .

o

0

0

•”

mn

ÜJ am

es decir.

<*12"*2 <*2I"*I

<*l-."»n a 2nm i

o

a n \m i

an2m 2


(12)

72

F ó rm u la d e D u n k e rle y

605

L a e x p a n s i ó n d e l a e c u a c i ó n ( 7 .2 ) c o n d u c e a

(w5) ”

+022/"2 +

+ am,m^ ( ¿ )

+ { a \ \ a 22 ' n \ m 2 +

-

-

a n a i\m \m 2 ~

+

•••

*•* + a n - \ j , - \ a n j n „ - \ m n

\ I( —1 VI " 2

~

••• = 0

(7.3)

Ésta es una ecuación polinomial de grado e n é sim o en (1 /tú -). Si las raíces de la ecuación (7.3) se indican como I / o i \ , 1/i ¡ ¿ ,. . . . I ¡u?„. Por lo tanto

- ( y - (*♦*♦•■■♦¿ x ¿ r - -

-

Igualando el coeficiente de ( l/or)”" 1en las ecuaciones (7.4) y (7.3) se obtiene

¿ +¿ +

+i ?

=

+fl22m2 +

+ÍWn"

^

En la mayoría de los casos, las frecuencias altas tu2, a>j , .... oj„son considerablemente más grandes que la frecuencia fundamental cu,, y por lo tanto I

,,

i m 2 ,3 , . . . , n

Por lo tanto, la ecuación (7.5) se puede escribir aproximadamente como

- K =* flnm , + 0 2 2 ^ 2 + o>\

+ a nnm n

(7.6)

Esta ecuación se conoce como fó r m u la d e D u n kerley. La frecuencia fundamental proporcionada por la ecuación (7.6) siempre será menor que el valor exacto. En algunos casos convendrá más volver a escribir la ecuación (7.6) como 1 ^ 1 , 1

+ -

+ -J -

(7.7)

donde ioin = (1/fl^/fij)1/2 = (A^/m,)1/- indica la frecuencia natural de un sistema de un solo grado de libertad compuesto de la masa m , y el resorte de rigidez k u, i = 1 ,2 n. E l uso de la fórmula de Dunkerley para determinar la frecuencia mínima de sistemas clásticos se presenta en las refe rencias [7.4,7.51.


606

C a p ítu lo 7

E j e m p l o 7 .1


F r e c u e n c i a f u n d a m e n t a l d e u n a v ig a Gilculc la frecuencia natural fundamental de una viga simplemente apoyada que carga tres masas idénticas equidistantes, como se muestra en la figura 7.1. Solución: Los coeficientes de influencia de flexibilidad(vea el ejemplo 6.6) requeridos para la aplicación de la fórmula de Dunkerlcy están dados por 3

/3

1 /* i7

= Utilizando m,

m, *- m,-* m. la ecuación (7.6) resulta

L „ (-L + i.+ - 2 - W u? y 256 48 256) E l

. 004427

mP El

475375V5 El

Rtc valor se compara con el valor exacto de la frecuencia fundamental 4.9326 J —

mi

(vea el problema 6.54)

Figura 7.1 Viga que carga masas.

7.3

Método de Rayleigh El método de Rayleigh se presentó en la sección 2.5 para hallar las frecuencias naturales de siste mas de un solo grado de libertad. El método se puede ampliar para encontrar el valor aproximado de la frecuencia natural fundamental de un sistema discreto.1F.1 método está basado en el p rin cip io de R a y le ig h ,el cual se puede enunciar como sigue |7.6J: la frecuencia de vibración de un sistema co n sen a d o r vibratorio respecto a una posición d e equilibrio tiene en valor estacionario de iti m odo natural Este valor estacionaria de hecho, es un valor mínimo en la proximidad del m odo naturalfundamental.

Ahora derivaremos una expresión para el valor apropiado de la primera frecuencia natural de un sistema de varios grados de libertad de acuerdo con el método de Rayleigh.

'B mótodo de Rayleigh pora sistemascontinuos sepresenta en la sección 9.7del sitio webdeeste libro.


73

M é to d o d e R a y le ig h

607

Las energías cinética y potencial de un sistema discreto de n grados de libertad se expresan como

7 - = i i r[m ]Í

( 7.8)

V = Í 7 T[* ]7

( 7.9)

Para encontrar las frecuencias naturales, suponga que el movimiento armónico es ? = X c o s (út

(7.10)

donde X indica el vector de amplitudes (modo de forma) y tu representalafrecuencia natural de vibración. Si el sistema es conserv ador, la energía cinética máxima es igual ala energía potencial máxima: (7 .H )

Ta>ix = Vm ix

Sustituyendo la ecuación (7.10) en las ecuaciones (7.8) y (7.9). encontramos (7.12)

Tmix = ^ X T[ m ) X o ?

W Igualando

_1_ - í X r [* ]X

(7.13)

2

= Vnúx, obtenemos2

, •o2 =

X T [k ] X

_

(7.14)

X T[ m ] X

El lado derecho de la ecuación se conoce como co cie n te d e R a yleig h y se indica como r ( x ).

P ro p ie d a d e s del c o c ie n te d e R a y le ig h

Como ya antes se expresó. R ( X ) tiene un valor estacionario cuando el vector arbitrario x se acerca a cualquier vector eigen X
(7.15)

Entonces X T [ k ] X = c \ x M r [ k ] x M + c ¡X < » r [*]X<2>

+ c j x W ’ [ k ] X & +•••

' L a e c u a c i ó n ( 7 .1 4 ) t a m b i é n s e p u e d e o b t e n e r a p a n i r d e l a r e l a c i ó n [ * ] X X 7 y r e s o lv ie n d o l a e c u a c ió n r e s u lta n te s e o b t ie n e l a e c u a c ió n ( 7 .1 4 ) ,


(7.16)

= a»: ' m ] X . P r e m u l d p l i c a n d o e s t a e c u a c i ó n p o r

608

C a p ítu lo 7


~Xr [ m ] X = cfXr[ « ] X < » + c \ x ^ [ m ) X ^

+ c5X (3),[m ]X (3) + •••

(7.17)

como los términos cruzados de b forma c f i x ' , ',T[ k ] X [j) y c f p c ^ ' [ m ) X ^ \ i t J , son cero de acuercb con la propiedad de ortogonalidad. Utilizando las ecuaciones (7.16) y (7.17) y la relación X ^ [ k ] X ^ =
(7.18)

d cociente de Rayleigh de b ecuación (7.14) se expresa como

Si los modos normales se nonnalizan, esta ecuación se escribe como

-■ - * «

- ' ' ü

f t : -

Si X difiere poco del vector eigen X*r*. el coeficiente c , será mucho mayor que los coeficientes restantes c, ( i * r ) y b ecuación (7.20) se escribe como

c t e + cl

2 Í -Y < u , 2 i<■1.2.... - 1,2... \ C' J

t f (X ) =

T -T T C2r + 4

2 1-1,2...

f e )’

i* r

Cbdo que \ c j c r\ jroporciona

=

e,

(7-21)

«C 1. donde e , es un número pequeño para todas las i r. la ecuación (7.21 )

R(X) - » ? { 1 + 0 ( ¿ ) }

(722)

cbnde 0(e2) representa una expresión en e del segundo orden o mayor. La ecuación (7.22) indica quesi el vector arbitrario X difiere del vector eigen X ( , 'en una pequeña cantidad del primer orden. fl(X ) difiere del valor eigen a»; en una pequeña cantidad del segundo orden. Esto significa que el cociente de Rayleigh tiene un valor estacionario en la proximidad de un vector eigen. B valor estacionario es en realidad un valor mínimo cerca del modo fundamental X 11*. Para ver esto, sea r = 1 en b ecuación (7.21) y escribimos

toj +

R(X)

fe)‘) http://librosysolucionarios.net

7 .3

44 - 4 “ oti +

5

...


609

«?

(723)

(«? "

Puesto que. por lo general, tof > a i con i = 2 .3 ..... la ecuación (7.23) conduce a R(X)

= «o?

(724)

la cual muestra que el cociente de Rayleigh nunca es menor que el primer valor eigen. Procediendo de la misma manera, podemos mostrar que

(725)

R(X) S a i

lo que significa que el cociente de Rayleigh nunca es más alto que el valor eigen más alto. Así que el cociente de Rayleigh constituye un límite superior para to] y un límite inferior para a i .

Se puede utilizar la ecuación (7.14) para determinar un valor aproximado de la primera frecuencia

C álcu lo d e la fre c u e n cia n a tu ra l fu n d a m e n ta l

E j e m p l o 7 .2

natural (, es más preciso si el vector de prueba ( X ) seleccionado se parece mucho al modo natural verdadero X (l). F,l método de Rayleigh se compara con el método de Dunkerley u otros métodos en las referencias (7.7-7.91.

F re c u e n c ia f u n d a m e n ta l d e u n s is te m a d e t r e s g r a d o s d e lib e rta d Estime la frecuencia fundamental de vibración del sistemaque se muestra enla figura 7.2. Suponga que m, nij = m, = m, k t = k 2 = k¡ = k. y la forma de modo es

X = <2

Solución: las matrices de masa y rigidez del sistema son 2 [*] = * - 1 0

| m] =

m

"l 0

-1 2 -1 o 1

. o o

0 -1

(E.1)

1 o' 0 i.


(E 2 )

610

C a p ítu lo 7


*i(0

xÁO

xM)

Figura 7.2 Sistema de resorte-masa de tres grados de libertad.

Sustituyendo la forma de moda supuesta en la expresión para el cociente de Raylcigh, obtenemos

,

X T[*lX

R ( X ) = oP =

= X T[m]X

o>, = 0.4629 J V

(E.4)

171

Fstc valor es 4.0225 por ciento mayor que el valor exacto de 0.4450 V*/m . l a forma de modo fundamental «acto (vea el ejemplo 6.10 ) en este caso es

{

1.00001

*<» =

F re c u e n c ia fu n d a m e n ta l d e v ig a s y fle c h a s

1.8019 > 2.2470 J

Aunque el procedimiento antes descrito es aplicable a lodos los sistemas discretos, se puede deri\ar una ecuación más simple para la frecuencia fundamental de la vibración lateral de una flecha o una viga que cargue varias masas como poleas, engranes o volantes. En estos casos, la curva de (fcflexión estática se utiliza como una aproximación de la curva de deflexión dinámica. Cbnsidere una flecha que carga varias masas, como se muestra en la figura 7.3. Se supone que h flecha tiene una masa insignificante, l a energía potencial del sistema es la energía de deforma ción de la flecha deformada, la cual es igual al trabajo realizado por las cargas estáticas. Así pues Mnáx - \ ("MS” , +


+

-O

(7 26)

7 .3

mi '

■

.__¡i i __ — — * •

u

I

*

u

-

■

‘3

^

T

U*— --1

1

611

m,

rn l

l ,


*

(4

Í l 'i

Figura 73 Flecha con masas.

donde m ¡ g es la carga estática producida por la masa m, y wj es la deflexión estática total de la masa m,debido a todas las masas. Püra oscilación armónica (vibración libre), la energía cinética máxima producida por las masas es

T m ix

=

( m ,H ?

+

m

2w 2

+

(7.27)

•■ •)

donde in c s la frecuencia de oscilación. Igualando V a ix y T m ix .obtenemos

+ m2W2 +-••)]1/2

(7.28)

ut =

}'

m2w j + 3

E j e m p l o 7 .3

F re c u e n c ia f u n d a m e n ta l d e u n a flech a c o n r o to r e s F.stimc la frecuencia fundamental de la vibración lateral de una (lecha que cuenta con tres rotores (masas) como se muestra en la figura 7.3, con m , = 20 kg, m ¡ = 50 kg, m 3 = 40 kg. /, = 1 m1/j = 3 m , l , - 4 m y lA “ 2 tn. La flecha es de acero con una sección transversal sólida de 10 cm de diámetro. Solución: Según la resistenciade materiales, la deflexión de la viga que se muestra en la figura 7.4 producida por una carga estática £|7.10] está dada por Pbx

*•(*) =

(i2

6 EII P a (l - x) 6E li

- b2 - x 2):

(E.1)

o S X S fl

[a2 + x 2 - 2/xj;

a s x S /

(E .2 )

Deflexión producida p o r el peso de m,: En la ubicación de la masa rn¡ (con x - 1ni. 6 =- 9 m y / - 10 ni en

la ecuación (E.1)):

6£/(10)

'

'

(E .3 )

£/

En la ubicación de m 2 (con a = 1. x - 4 m y I = 10 ni en la ecuación (E2)): (2 0 X 9 8 1 )(t)(6 )[i +

_ 2 ( I o ) ( 4 ) ] — ,2 3 6 -0 6

6 £ /(1 0 )


El

(E 4 )

C a p ítu lo 7


A.

Figura 7.4 Viga sometida a una carga estática.

-------- /—

En la ubicación de m, (con a = I m , i = H m y / = lOmcn la ecuación (E.2)): (20 X 9.81)(1)(2) —

m

^

621.3 [' * 64 - 2 (l0 )(8 )1 = s -

Deflexión producida p o r elp eso de m> En la ubicación de

® 5>

(con x - 1 I m. b - 6 m y / - 10 m en la ecuación

(E l)):

En la ubicación de

(con x = 4 m. b - 6 m y I - lOmenla ecuación (E. 1)). (50 X 951 )(6 )(4 ) -

«

k

,0 )

9417.6 (l0 ° - 36 -

—

En la ubicación de m, (con o = 4 m , x = 8 m y / = lOmenla ecuación (E.2)):

b J i 'n ,l“ *«4-a(10)W]-ag

(50 X 9.81)(4 )(2 )

5232.0

(U>

Deflexión producida p o r e l peso de my En la ubicación de m, (con* - I m.ó - 2 my / - lOmen la ecuación

(E.I)):

fii la ubicación de m, (con « = 4 m ,6 = 2 m y / = 10 m en la ecuación (E. I )): (40 X 9.81)(2 )(4 ) "» ■

6 £f(IO )

4185.6 - - i r

En la ubicación de m ¡ (con t « 8 m , 6 a 2 m y / ^ 10 in en la ecuación (E. 1)):

las deflexiones totales de las masas m ,. m} y m, son H| = M’J + W* + H>" =

4862.49


El

7 .4

M é to d o d e H o l z e r

613

S u stitu y en d o e n la ecu a c ió n (7 .2 8 ), d e te rm in a m o s la fre c u e n c ia n a tu ra l fu n d am en tal:

í 9.81(20 X 4862.49 + 50 X 14839.26 + 40 X 9201.78)£7 1 '/* " ~ (2 0 X (4862.49)3 + 50 X (I4839.26)2 + 40 X (9201.78)= J = 0.028222V i l

(E. 12)

Para la flecha, E = 2.07 X 10" N/m* c / = tt<0. I >«/64 = 4.90875 X 10~* m4 y por consiguiente la ecuación (E.12) resulta u , = 28.4482 rad/s

m

Método de Holzer H método de Holzer es en esencia un esquema de prueba y error para determinar las frecuencias naiurales de sistemas subamortiguados. amortiguados, semidefinidos, fijos, o sistemas vibratorios ramificados que implican desplazamientos lineales y angulares (7.11.7.12j. E l método también se puede programar para aplicaciones de computadora. Primero se supone una frecuencia de prueba del sistema, y se determina una solución donde la frecuencia supuesta satisface las restricciones del sistema. Esto por lo común requiere varias pruebas. Dependiendo de la frecuencia de prueba utili zada. se puede determinar la frecuencia fundamental y también las altas frecuencias del sistema. El método también proporciona los modos. Considere el sistema semidefinido torsional no amortiguado que se muestra en la figura 7.5. Las ecuaciones de movimiento de los discos se derivan como sigue:

S iste m a s to rsio n a le s

4 0 , + *„(*, - 02) - 0 4 0 2

+

* « |( 0 2

-

0 |)

+

M

» 2

-

0 3)

=

0

y30 j + k a {6 3 - 02) = 0

(7.29) (7.30) (7.31)

Como el movimiento es armónico en un modo natural de vibración, suponemos que 6, — 0 ( eos(cu/ + ó ) en las ecuaciones (7.29) a (7.31) y obtenemos (o2J \ ® i = k , i ( 0 i -

0 2)

(7.32)

ü ? J 2& 2 m k, , ( 0 2 -

0 | ) + *,2 ( 6 2 - ©3)

(7.33)

u l j i& 3 “ k a ( 9 3 -

0 2)

(7.34)

Sumando estas ecuaciones obtenemos (7.35)

La ecuación (7.35) expresa que la suma de los momentos de torsión de inercia del sistema semide finido debe ser cero. Esta ecuación se puede tratar como otra forma de la ecuación de frecuencia y la frecuencia de prueba debe satisfacer este requerimiento.


614

C a p ítu lo 7


Figura 7.5 Sistema torsional semidefinido.

En el método de Holzer se supone una frecuencia de prueba cu, y 8 , se escoge arbitrariamente como unitaria. Luego se calcula 0 2 a partir de la ecuación (7.32) y en seguida se encuentra 0 3 a partir de la ecuación (7.33). Así que obtenemos

0, = 1

(736) at2J \ 0 1

02-

0 | ----------

(737)

«3 =

0 2 - 7“ M ® I +-'2®2> *í2

0 3 8)

i

Estos valores se sustituyen en la ecuación (7.35) para verificar si la restricción se satisface. Si no se satisface la ecuación (7.35), se supone un nuevo valor de prueba de cuy el proceso se repite. Las ecuaciones (7.35), (7.37) y (7.38) se pueden generalizar para un sistema de n discos como sigue:

¿

0/ =

0 / -i

c fy e , = 0

-

(739)

«' = 2 , 3 ,

-,n

(7.40)

Cte esta forma, el método utiliza las ecuaciones (7.39) y (7.40) repetidamente para diferentes fre cuencias de prueba. Si la frecuencia de prueba supuesta no es una frecuencia natural del sistema, b ecuación (7.39) no se satisface. El móntenlo de torsión resultante en la ecuación (7.39) repre senta un par de torsión aplicado al último disco. Este par de torsión M t se traza entonces para la cu escogida. Cuando el cálculo se repite con otros valores de cu, la gráfica resultante aparece como se muestra en la figura 7.6. Desde esta gráfica, las frecuencias naturales del sistema se identifican

M, = M,y

F ig u ra 7 .6 R ir d e t o r s i ó n r e s u lt a n te c o n t r a fre c u e n c ia .


7 .4

M é to d o d e H o l z e r

615

corno los valores de tacón los cuales M , = 0. Las amplitudes 0 , (i = 1.2 n ) correspondientes a las frecuencias naturales son los modos del sistema. H método de Holzer también se puede aplicar a sistemas con extremos fijos. En un extremo fijo, la amplitud de vibración debe ser cero. En este caso, las frecuencias naturales se determinan trazando la amplitud resultante (en lugar del par de torsión resultante) contra las frecuencias su puestas. Para un sistema con un extremo libre y el otro fijo, se puede utilizar la ecuación (7.40) para verificar la amplitud en el extremo fijo. En las referencias (7.13,7.14] se presenta una mejora del método de Holzer.

E je m p lo 7 .4

F re c u e n c ia s n a tu ra le s d e un sis te m a to rsio n a l En la figura 7.7 se muestra la disposición del compresor, turbina y generador en una planta termoeléctrica. Encuentre las frecuencias y modos naturales del sistema.

Rigidez, k,-, = 2MN-m/rad

Compresor 8k g -m 2)

( J2

(/, =

Turbina = 6k g -m 2)

Generador (Jy = 4 k g - m 2)

Figura 7.7 Sistema torsional con ambos extremos libres.

Tabla 7.1 Parámetros del sistema

Prueba 1

2

3

71

72

0

10

20

700

710

tu2

0

100

400

J, - 8

e,

1.0

Ü , = 4 X 10*

M,, = 0^7,0,

0

0 - 1 - ^ 1 e !~' 4. Mn = + *AA0:

1.0

A, - A 0 0 2 - —M' 2 *«2 M,y = A/,, + <¿Jy
1.0

Cantidad

490000

504100

Estación 1: 1.0 800

1.0 3200

1.0

i.O

0.392£7

0.403£7

Estación 2: j2= 6 ka - 2 X 10*

0

0.9998 1400

0.9992 5598

0.0200 0.398E7

-0.0082 0.401£7

Estación 3: ■ '3 -4 A„ = 0

0

0.9991 1800

0.9964 7192


-1.9690 0.119/%

-Z0120 —0.494/3

616

C a p ítu lo 7


Figura 7.8 Primeros dos modos flexibles. Solución: Este sistema representa un sistema torsional no restringido o con ambos extremos libres. La tabla 7.1 muestra sus parámetros y la secuencia de loscálculos. Los cálculos para las frecuencias de prueba o» = 0. 10,30,700 y 710 se muestran en esta tabla. La cantidad Ma indicael par de torsión a la derecha de la estación 3 (generador), la cual debe ser cero a las frecuencias naturales. La figura 7.6 muestra la gráfica de M a com parada con cu. Se utilizan valores de prueba muy cercanos en la proximidad de Ma » 0 para obtener valores precisos de los primeros dos modos flexibles, que se muestran en la figura 7.8. Observe que el valor to = 0 corresponde a la rotación
7 . 4 . 2 _______

S iste m a s d e re so rte -m a sa

Aunque elmétodo deHolzer se ha aplicado en gran medida a sistemas torsionales, el procedí miene es igualmente aplicable al análisis de vibración de sistemas de resoite-masa. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de resorte-masa (vea la figura 7.9) se expresan como m \'x i + * ,(* , -

x2 ) = 0

(7.41)

m2*2 + *l(*2 - * l) + M * 2 - *3) = 0 (7.42) Para movimiento armónico,*,{/) = X , eos tur. donde X,es la amplitud de la nasa m , y las ecuaciones (7.41) y (7.42) se escriben como o r m xX x = * ,(* , -

X 2)

(7.43)

t u W 2 = k t ( X 2 - X x) + *2(*2 - X 3) = - < ¿ m xX x + *2(X 2 - X3) (7.44)

*1

____

*2

|— ►A', = l|— * X 2

______________

|— ►X,

* n -l

|— I* X M

F ig u ra 7 .9 S iste m a d e r e s o r te m a s a c o n a m b o s e x tr e m o s lib re s.


7 .5

M é to d o d e i t e r a c i ó n m a t r i c i a l

617

H procedímiento para el método de Holzer se inicia con una frecuencia deprueba u t y la amplitud déla masa m¡ como X¡ = I . Las ecuaciones (7.43) y (7.44) se pueden utilizar entonces para obtener las amplitudes de las masas m 2, m3, ••. m *2 - X , ~ ^

(7-45)

a>2

X 3 = X 2 - — (m ,X , + m 2X 2)

(7.46)

*2 X l- 1

- 7“

Z "'*** •

'

m

2’ 3....... n

í7-47)

Como en el caso de sistemas torsionales, la fuerza resultante aplicada a la última masa (enésim a) se calcula como sigue: F = ¿

< ¿ m ,X ,

(7.48)

i= i

Los cálculos se repiten con otras frecuencias más de prueba u>. Las frecuencias naturales se iden tifican como aquellos valores de ot que proporcionan F = 0 para un sistema con ambos extremos libres. Para ello, es conveniente trazar una gráfica entre F y to, utilizando el mismo procedimiento para sistemas de resorte-masa que para sistemas torsionales.

5

Método de iteración m atricial El método de iteración matricial asume que las frecuencias naturales son distintas y también sepa radas de modo que o>, 2 < < a>n. La iteración se inicia seleccionando un vector de prueba X i . el que luego se premultiplica por la matriz dinámica [D \. El vector columna resultante luego se normaliza, por lo común haciendo que uno de sus componentes sea igual a la unidad. El vector columna normalizado se premulliplica por [ADJ para obtener un tercer vector columna el cual se normaliza del mismo modo que antes y se convierte en otro vector columna de prueba. El proceso se repite hasta que los vectores columna normalizados sucesivos convergen a un vector común: el vector eigen fundamental. E l factor de normalización presenta el valor máximo de A = I/tu2, es decir, el valor mínimo de la frecuencia natural fundamental (7 .15J. 1.a convergencia del proceso se explica como sigue: De acuerdo con el teorema de expansión, cualquier vector arbitrario de n dimensiones A, se puede expresar como una combinación lineal de nvectores eigen ortogonales del sistema a '", i ■ I , 2 ,.... n: X , = c,X<*> +

c 2X<2> +

— + cnX<">

(7.49)

donde C p C j,.... c„ son constantes. En el método de iteración, el vector de prueba X , se selecciona arbitrariamente y es por consiguiente un vector conocido. Los vectores modales ?<'>, aunque des conocidos. son vectores constantes porque dependen de las propiedades del sistema. Las constantes c,son números desconocidos que se tienen que determinar. De acuerdo con el método de iteración, preinulliplicamos por la matriz [D ]. Considerando la ecuación (7.49). esto proporciona [Z > ]X , =

c,[ D

]7 (i> +

c2[ D

] X (2> + • • • + cn [ D ] X ( , )


( 7 .5 0 )

618

C a p ítu lo 7


Ahora, de acuerdo con la ecuación (6.66) tenemos

[ d ] * w = * [ / p f (,) =

1 = ' - 2 .........."

í7 -5 ' )

La sustitución de la ecuación (7.51) en la ecuación (7.50) produce (D ]X , = X 2

- 4 5 ? ( |) + 4 5 p ) +
+ f i3 r (->
(7.52)

cbnde X 2 es el segundo vector de prueba. Ahora repetimos el proceso y premultiplicamos X 2 por JD] para obtener las ecuaciones (7.49) y (6.66), [D)X2 = X 3

4 ? ( , > + 4 ? (2) + cuf
+ f 7 * í" ) cuj

(7.53)

Repitiendo el proceso obtenemos, después de la e n ésim a iteración, [ D ] X r = X r+i

(7.54)

- - % ? ( ' > + - % X < 2> + cuf

Cbmo se supone que las frecuencias naturales son
<7-551 Así, el primer término del lado derecho de la ecuación (7.54) llega a ser el único significativo. Por consiguiente tenemos

b cual significa que el vector de prueba ( r + I ) r-ésiino llega a ser idéntico al vector modal funda mental dentro de una constante multiplicativa. Como

*

-

^

3

(7.37,

»

b frecuencia natural fundamental cu, se encuentra considerando la relación de dos componentes cualesquiera que corresponden en los vectores X , y X , t l :

(of “ — -------

para todo i = 1,2

n

X ¡.r+ l

cbnde X u y X u +¡ son los elementos i-6 simos de los vectores X , y Xf+), respectivamente.


(7.58)

7 .5


619

Debate 1.

2.

3.

4.

5.

En la comprobación anterior no se dijo nada sobre la normalización de los vectores de prueba sucesivos X ¡ . En realidad, no es necesario comprobar la convergencia del método. La norma lización equivale a reajustar las constantes. c t, c 2 c„ en cada iteración. Aunque es teóricamente necesario que r —* oo para la convergencia del método, en la práctica sólo basta un número finito de iteraciones para obtener una estimación razonablemente buena de a>|. La cantidad real de iteraciones que se requiere para encontrar el valor de oj, dentro de un grado de precisión deseado depende de cuánto se parezca el vector de prueba arbitrario x¡ al modo fundamental X (l)y de qué tan bien estén separadas
Para obtener la frecuenda natural más alta oin y el modo correspondiente o vector eigen X4"* por medio del método de iteración matricial. primero reescribimos la ecuación (6.66) como

C o n v e rg e n c ia a la f r e c u e n c i a n a tu ra l m á s alta

[0 ]" ' X = ar[l]X = u r X

(7.59)

donde |/J]_I es la inversa de la matriz dinámica [ 0 ) dada por (D J -1 = [ m f í k )

(7.60)

Ahora seleccionamos cualquier vector de prueba arbitrario X , y lo prcmultiplicamos por [ O ) ' 1 para obtener un vector deprueba mejorado X ? . La secuencia de vectores de prueba X (+, ( i = 1. 2....) obtenidaprcmultiplicandopor |DJ-1 converge al modo normal más alto X<">. Seve que el procedimiento es parecido al que ya se describió. La constante de proporcionalidad en este caso es w 2en lugar de l/tu2.

C á lc u lo d e fre c u e n c ia s n a tu ra le s in te rm e d ia s

Una vezque se determinan la primera frecuencia natural
A [/]| = 0


( 7 .6 1 )

620

C a p ítu lo 7


fóracstc propósito se puede utilizar un procedimiento conocido corno d efla ció n nuil ric ia l [7.16], Para hallar el vector eigen x w por este procedimiento, el vector eigen anterior X<,_1) se normaliza con respecto a la matriz de masa de modo que

= 1

(7.62)

la matriz deflacionada [D J se construye entonces como

[D,] = [ D , - | ] - A 1- I * ' ‘- " F - " TW .

1 = 2 , 3 , . . . .11

(7.63)

cbnde (0,1 = [OJ. Una vez construida [D J e l esquema iterativo X r+I = [D ,]X r

(7.64)

x utiliza, donde X ¡ es un vector eigen de prueba arbitrario.

E j e m p l o 7 .5

F re c u e n c ia s n a tu ra le s d e u n s is te m a d e t r e s g r a d o s d e lib e rta d Encuentre las frecuencias y modos naturales del sistema que se muestra en la figura 7.2 para k , = k j = k t = k y m , = m2 = m 3 = m por medio del método de iteración. Solución: Las matrices de masa y rigidez del sistemase danen el ejemplo 7.2. La matriz de flexibilidad es 1

I

1

2

2

1

2

3

W = [* ]-‘ = T

I

(E -l)

y por tanto la matriz dinámica es i

i

i

I

2

2

1

2

3

(E.2)

0 problema de valor eigen se expresa como

[D }X = AX

(E.3)

donde [ D] =

I

I

1

I

2

2

I

2

3

m

oj-


(E.4)

(E .5 )

75


621

Primera frecuencia natural: Suponiendo que el primer vector eigeno rnod) de prueba es

*1 = \ 1 }

(E.6)

Se puede o btener e l segundo v ector eigen d e prueba

X 2 = [D ]X , = < 5 }

={1} Haciendo ci primer elemento igual a la unidad, obtenemos

Í

1.0000 ] 1.6667 >

(F-8)

2.0000 J y el valor eigen correspondiente está dado por

Aj “ 3.0

o

tu, = 05773 J Vm

(E.9)

El subsiguiente vector eigen de pnieba se puede obtener a partir de la relación X¡+, = [D)X¡

(R IO )

y los valores ciprn correspondientes los proporciona A, = XU+1

(E li)

donde X ,^ ., es elprimer componente del vector X ¡ , , antes de normalizarlo. Los diversosvectores eigen y valores eigen de prueba obtenidos con lasecuaciones ( E 10) y (E11) semuestran en latabla de la página siguiente. Se ve que la forma de modo y la frecuencia natural convergieron (a la cuarta cifra decimal) en ocho iteracio nes. Por tanto, el primer valor eigen y la frecuencia natural así como la forma de modo correspondientes están dados por

A, = 5.04892.

ru, = 0.44504

£

.00000j í " x "> = { 1.80194 i u I U 1.24698 :

( E l 2)

Secunda frecuencia natural: Para calcular el segundo valor eigen y el segundo vector eigen, primerodebemos

producir una matriz dcflacionada: [D 2) = [ D , ) - A 1X<, >X<1>r [m]


( E l 3)

622

C a p ítu lo 7


*/con X j., = 1

A j.i = [D]Aj

1.00000

3.0

0.5773

4.66667

0 .4 6 2 9 ,/ -

5.00000

0.4472

5.04891

0.44504

5.04892

0 .4 4 5 0 4 ./ -

£

4.66667 )

1.66667

8.33333 >

2.00000

10.33333 I

1.0000

5.00000’

1.7857

9.00000¡

2.2143

11.2143

1.00000 )

[

5.04891

1.80193 |

<

9.09781

{

1.00000)

[ 11.34478. í 5 .0 4 8 9 2 )

1.80194

<

224697 J

1

Lí+l

\

2 .2 4 6 9 8 I

9.09783 >

m

£

m

{11.34481 J

Esa ecuación, sin embargo, requiere un vector normalizado X(l' que satisfaga X(l>r [m]X (l) = 1. Sea el vector normalizado indicado como f 1.00000 X » ) = a l 1.80194 1 124698

)

ibndc a es una constante cuyo valor debe ser tal que I.0 0 0 0 0 )T l 1.80194 0

0 1

o"lf 1.00000) 0 1.80194 >

224698 J= LO = 0^(929591) I

0

lj[

Í

124698 1 ( E l 4)

cfc la cual obtenemos a = 0.3279m~ w . R>r consiguiente, el primer vector eigen normalizado es

X<>) =

í 032799) 0.59102 > 1 0.73699 J


(E . 15)

7 .5


623

L u eg o u tiliz a m o s la e c u a c ió n ( E .I 3 ) y fo rm a m o s la p rim e ra m a triz d e fla c io n a d a :

1 [Ad-

1 .1

l 2

r 2

2

3_

0.45684 0.02127 -0.22048

í 0.32799] í 0.32799 ] T ’ l - 5.04892 < 059102 > < 0.59102 > 0 { 073699 0.02127 0.23641 - 019921

J [ 0.73699 J

_0

0

o'

1

0

0

1.

- 0.22048 -0.19921 0.25768.

(E16)

Como el vector de prueba se puede seleccionar arbitrariamente, de nueva cuenta consideramos

(E.I7)

Utilizando el esquema iterativo (E.I8) obtenemos X? X2 = \

0.25763 ] 0.05847 > = 025763 -0.16201 J

(H.I9)

r t ahi que Ajsc pueda encontrar a partir de la relación general *2 “ X1
(E20)

como 0.25763. La continuación de este procedimiento proporciona los resultados que se muestran en la tabla siguiente.

X¡ con A| j = I

A í =* X i u i

x l +1 "

025763] 0.05847 > -0.16201

J

1.000001 0.22695 > -0.62885 I

1.00000 ] 0.44479 > -080177 J

1.97016

060032

1.29065

0.64300

1.24708./-

0 .6 4 3 0 7

1.24701

-0.42773)

0.64300 0.28600 -0.51554

10

II

0.60032 ] 020020 >

025763

0.64307 ] 0.28614 > -0.51569 )


£

J -

624

C a p ítu lo 7


Así. el segundo valor eigen y el segundo vector eigen convergidos son A2 = 0.64307,

o* = 1.24701 ^

{

1.00000} 0.44496 >

(E.2I)

- 080192 J Tercera frecuencia natural: Para el tercer valor eigen y el tercer vector eigen utilizamos un procedimiento

pccido. Los cálculos detallados se dejan como ejercicio al lector. Observe que antes de calcular la matriz, deflacionada [D J, necesitamos normalizar X*2’ utilizando la ecuación (7.62). la cual proporciona í X<2> =

m

0.73700 032794 I -059102

(E.22)

Método de Jacobi B método de iteración matricial descrito en la sección anterior produce los valores y vectores eigen la matriz [D I a la vez. H método de Jacobi también es un método iterativo pero produce todos bs valores y vectores eigen de (D ) al mismo tiempo, donde [D I ■ [dtf)es una matriz simétrica real de orden n X n . 0 método está basado en un teorema de álgebra lineal que establece que una matriz gmétrica real [D ] tiene sólo valores eigen reales y que en ella existe una matriz ortogonal real |/?| cfc modo que J/?nD](/?l es diagonal (7.17). Los elementos diagonales son los valores eigen. y las columnas de la matriz [/?) son los vectores cigcn. De acuerdo con el método de Jacobi. la matriz l/?| se genera como un producto de varias matrices de rotación [7.18J de la forma columna r-ésima 1

0

0

1

columnaj-ésima

COS0

- sen

fila i-ésima

seni

COSi

fila j- é sima

[« ,] =

(7.65)

n Xn

1 cbnde todos los elementos aparte de los que aparecen en las columnas y filas i y j son idénticos a los de la matriz identidad [/]. Si las entradas seno y coseno aparecen en las posiciones (i. i), (/,/), j , i) y (/•/)•entonces los elementos correspondientes de [/?|PtD][/?,| se calculan como sigue: d B = d u eos2 0 + 2d ,j sen 0 cos 8 + d j j sen2 0

(7.66)

d ¡¡ = d ji = ( d j j - d¡¡ )sen fleos 0 + d¡j( eos2 fl - sen2 fl)

(7.67)

d j j = d u sen2 fl - 2d , j sen fl cos fl + d j j eos2 fl

(7.68)


7 .6

M é to d o d e J a c o b i

625

S i 0 s e e lig e c o m o

ta n

(

28

UiJ

U

(7.69)

- éa

entonces hace que d i j " d f 0. De este modo, cada paso del método de Jacobi reduce un par de elementos fuera de la diagonal a cero. Por desgracia, en el siguiente paso, al mismo tiempo que el método reduce un nuevo par de cero, introduce contribuciones no cero en posiciones que antes eran cero. Sin embargo, las matrices sucesivas de la forma M

W

M

K

i

P

j

].

[ * ,]r ( R

2 ] W

[ D

] [ R

, ] [ * 2 ] [ R

i ] . . . .

convergen a la forma diagonal requerida; la matriz final |/?J. cuyas columnas da los vectores eigen se escriben entonces como (7.70)

E jem p lo 7 .6

S o lu c ió n d e v a lo r e ig e n a p lic a n d o el m é t o d o d e Ja c o b i Encuentre los valores y vectores eigen de la matriz

[D]m

1

1

1

1

2

2

I

2

3

utilizandoel método de Jacobi. Solución: Iniciamos con el termino fuera de la diagonal más grande, reducirla a cero. Desde la ecuación (7.69).

81 - 5 “ - '

(* .] =

1.0 0.0 0.0

( í T ^ t ) =V

(íT j)

= 2, en la matriz (D| y tratamos de

- ' J798l878°

0.0 0.0 0.7882054 0.6154122 — Q6154I22 0.7882054 1.0 0.1727932 0.1727932 0.4384472

1.4036176 0.0

1.4036176 0.0

4.5615525

Luego traíamosde reducir a cero el término más grande fuera de la diagonal de |D'|. es decirefu - 1.4036176. La ecuación (7.69) resulta 2.8072352 ^

2“

2 0 .9 4 4 8 1 9 3

0 .0

0.0

1.0 0.0

-0 3 2 7 5 9 2 0

0 .0

\

\ l . 0 - 4.5615525/

03275920

0 .9 4 4 8 1 9 3


= - 19.122686°

626

C a p ítu lo 7


[D*] = [* 2f [ 0 '] [ * 2] =

0-5133313 a 1632584

0.1632584 0.0 0.4384472 0.0566057

0.0

0.0566057

5.0482211

El elemento más grande fuera de la diagonal en |D*| es
M

-

0.7821569

-0.6230815

0.0

0.6230815 0.0

0.7821569 0.0

0.0 1.0

0.6433861 0.0

0.0352699

0.0 0.3083924 0.0442745

= 38.541515°

0.0352699 0.0442745 5.048221:

Suponiendo que todos lostérminos fuerade la diagonal en ID"! se acercan a cero, podemos detener el proceso «ai este punto. Los elementos diagonales de (D"| dan los valores eigen (valores de l/cu2) como 0.6433861, 03083924 y 5.0482211. las columnas de la matriz \R 1dan los valores eigen correspondientes, donde

0.7389969 [*) = W

W W

=

03334301 -0.5854125

- 05886994

0.3275920

0.7421160 0.5814533 - 03204631 0.7447116

□ proceso iterativo se puede combinar para obtener una solución más precisa. Los valores eigen presentes se pueden comparar con los valores exactos: = 0.6431041,0.3079786 y 5.0489173.

Problem a de valo r eigen estánd ar En el capítulo anterior, el problema de valor eigen se formuló como [ * ]X = ti>2[ m ] X

(7.71)

d cual se puede reescribir en la forma de un problema de valor eigen estándar [7 .19J como [0 ] X = KX

(7.72)

[ D ] = [ * ] - '[ m ]

( 7 .7 3 )

cbnde

y A

- i

to¿


( 7 .7 4 )

7 .7

P ro b le m a d e v a lo r e ig e n e s tá n d a r

627

Por lo general, la matriz [D] es no simétrica, aunque las matrices [A] y [m] sí lo son. Como el méto do de Jacobi (descrito en la sección 7.6) se aplica sólo a matrices simétricas ID]. podemos adoptar el siguiente procedimiento [7 .18J para derivar un problema de valor eigen estándar con una matriz simétrica [D], Suponiendo que la matriz (*] es simétrica y positiva definida, podemos utilizar la descomposi ción de Choleski (vea la sección 7.7.1) y expresar [k] como [* ] = [ U]T [ U ]

(7.75)

donde [IJ] es una matriz triangular superior. Utilizando esta relación, el problema de valor eigen de la ecuación (7 .7 1) se puede expresar como (7.76)

A[U]T[ U ] X = [ m ] X

Premultiplicando esta ecuación por (lí/J7) - '.obtenemos A [l/ ]X =

< [ í / f ) - '[ m ] X = ( [ ( / f )-'[ m ] [ í / ] - '[ Í / ] X

(7.77)

Definiendo un nuevo vector Y como (7.78)

Y = [U]X

La ecuación (7.77) se puede escribir como un problema de valor eigen [D]Y = A?

(7.79)

donde [D ] = ( [ ( / f J - l m J l t '] "

<780)

Por lo tanto, para formular ( 0 ] de acuerdo con la ecuación (7.80), primero descomponemos la matriz, simétrica (*]comose muestra en la ecuación (7.75). hallamos [ U ] -1 y ([í/ ]7) -1 =
(7.81)

Cualquier matriz simétrica y positiva definida [A J de orden n X n se puede descomponer de forma única [7.20]:

D e sc o m p o si ció n d e C h o le sk i

(7.82)

[ A ] = [£ / f[t/ ]

donde [U ] es una matriz triangular superior proporcionada por U|1

U12

M|3

U\n

0 0

U22

*<23 U33

U2n

0

( 7 .8 3 )

Un n _


628

C a p ítu lo 7


oin u „

=

( f l „ ) ,/2

0X1 u\¡ = — , U

||

; = 2 , 3 ........... n

i = 2

(

< -l

3

y

j = i + 1, / + 2 ,

\l/2

% = U¡j = 0,

,

* = 2, 3

1

n

(7.84)

i > j

Inversa d e la m a tr iz [U ¡. Si la inversa de la matriz triangular superior [U ] se indica como [o^J, los elementos a ^ se determinan a partir de la siguiente relación

(7.85) h cual proporciona 1 Olí

a 'J

Uü

7” Í £

UU \k = i+ I

<*¡J = 0,

i< j

/

(7.86)

i > i

R>r lo tanto, la inversa de (f/J también es una matriz triangular superior.

E je m p lo 7 .7

D e sc o m p o sic ió n d e u n a m a triz sim étrica Descomponga la matriz

[4 ] =

5

I

0

I

3

2

0

2

8

ai la forma de la ecuación (7.82). Solución: La ecuación (7.84) proporciona «11 = V C = V $ = 22360680 «12 = <*i2/«n = 1/2-236068 = 0.4472136 «13 =

f ll3 /« ll

=

0

«22 = [022

- « 1 2 ]I/2 =

«3 »

-

=

[° 3 3

« T í

-

(3 -

0.44721363) 1/2 = 1.6733201

¿ s ] l/2


7 .8

E je m p lo s r e s u e lto s u tiliz a n d o M A T L A B

629

donde

~

(023

"Z J =

« ia * l3 )/« 2 2 =

(2

~

0.4472136 X 0)/!.6733201

=

1.1952286

«3a = (8 - O2 - L19522862) ,/2 = 23634799

P u e sto q u e « y = 0 p a ra I > j , tenen»os

[U ] =

o tro s m éto d o s d e so lu c ió n

7.8

E jem p lo 7 .8

22360680 0.4472136

0.0

QO 00

1.1952286 2.5634799

1.6733201 0.0

Se han desarrollado otros métodos diversos para encontrar la solución numérica de un problema de valor eigen (7.18.7.21J. Bathc y Wilson (7.221 realizaron un estudio comparativo de algunos de estos métodos. Recientemente se ha puesto énfasis en la solución económica de grandes proble mas de valor eigen 17.23,7.24J. F.l cálculo de frecuencias naturales por el uso de las secuencias de Sturm se presenta en las referencias [7.25] y [7.26J. En la referencia [7.27] se presenta una forma alternativa de resolver una clase de problemas de vibración mecánica concentrada por medio de métodos topológicos.

Ejem plos resu elto s utilizando

m a tla b

S o lu c ió n d e u n p r o b le m a d e v a lo r e ig e n U tiliz a n d o M A T L A B e n c u e n tre lo s v a lo re s y v e c to r e s e ig e n d e la m atriz

3 2

-1 4

0

-1

Solución: »

a-[s - i 0; -a « -a , o - i i ] 3

-

- 2

0

»

[V .

DI

.

-0 .3 6 4 5 0 .9 0 8 0 -0 .2 0 2 8

1

0

4

1

a lg

-3

1 (A )

-0 .8 3 0 5 -0 .4 5 8 4 0 .3 1 6 5

0 .3 3 6 2 0 .6 6 1 6 0 .7 1 4 9

5 .4 7 7 4

0

0

0

2 .4 4 8 1

0

0

0 0 . 0 7 4 6


0 -3 1

630

C a p ítu lo 7

E je m p lo 7 .9


U so d e u n p r o g r a m a p a ra re s o lv e r c o n el m é to d o d e Jaco b ! un p ro b le m a d e v a lo r eig e n r fc s a n o llc u n p ro g ram a g e n e ra l d e n o m in a d o P r o g r * » 9 . « p a ra im p lc m c n ta r el m é to d o d e J a c o b i y a s í h a lla r b s v a lo re s y v e c to r e s e ig e n d e u n a m a triz sim étrica. U se e l p ro g ra m a p a r a d e te rm in a r lo s v a lo re s y v e c to re s eigen d e la m atriz

[A ) =

S o lu c ió n :

0

p ro g ra m a P r o g r a m 9 . « s e d e sa rro lla p a r a q u e rc e p te lo s s ig u ie n te s d a to s : n “ orcfcn d e la m a triz d ■ m a triz d a d a d e o rd e n n X n

e p s = e sp e c ific a c ió n d e c o n v e rg e n c ia , u n a p e q u e ñ a c a n tid a d e n e l o rd e n d e

1 0 ~ 5

itm ax = m á x im o p e rm itid o d e ite ra c io n e s

n p ro g ra m a p ro p o rc io n a lo s v a lo re s y v e c to r e s e ig e n d e la m atriz
(te v a l o r a *

a lg a n

da Jacobi

1 . 00000000a . 000 2 . 00000000a . 000

1 . 00000 000a.0 0 0 2 . 00000000a . 000

1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 a .0 0 0

2 . 00000000a . 000

3 .0 0 0 0 0 0 0 0 a . 000

6 . 43104132a-001

3 -07978528a-001

Loa

v a lo ra a

alg an

5 .0 4 8 9 1 7 3 4 a . 000

Loa v a c to ra a

a lg a n

aon

P rim e ro

E je m p lo 7 .1 0

p o r a l m é to d o

K a trla dada 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 a .0 0 0 1 . 00000000a . 000

Sagundo

T arearo

3 .2 7 9 8 4 9 4 8 a-0 0 1 S . 9 1 0 0 9 4 SB a-0 01

- 7 . 36976229a-001 - 3 .2 7 9 8 S 278a-001

5 .9 1 0 0 9 2 3 1 a-0 0 1 -7 .3 6 9 7 S 9 0 0 a -0 0 1

7 .3 S 9 7 6 0 4 7 a -0 0 1

S . 91009048a-001

3 . 2798S 688a-001

P ro g ra m a p a r a u n a so lu c ió n d e v a lo r e ig e n a p lic a n d o el m é to d o d e ite ra c ió n m a tric ia l D e sa rro lle u n p ro g ra m a g e n e ra l d e c o m p u ta d o ra , llam ad o P r o g r a m i o . m, p a r a im p lc m c n ta r e l m éto d o d e ite ra c ió n m atricial. U se e l p r o g ra m a p a r a h a lla r lo s v a lo re s y v e c to re s e ig e n d e la m a triz |A ] q u e s e p ro p o rc io n a a i e l e je m p lo 7.9 . S o lu c ió n : 0 p ro g ra m a P r o g r a m i o . « s e d e s a rro lla pora q u e a c e p te lo s s ig u ie n te s d a to s d e e n trad a: n ■* o rd e n d e la m a tr iz d d = m a triz d a d a d e o r d e n n X n x s = v e c to r inicial su p u e sto d e o r d e n n n v e e = c a n tid a d d e v alo res y v e c to r e s eig e n q u e s e d e b e d e te rm in a r

xm = m a triz d e m a s a d e o r d e n n X n e p s = re q u e rim ie n to d e c o n v e rg e n c ia , u n a p eq u eñ a c a n tid a d e n e l o rd e n d e I 0


~ 5

7 .8


631

E l p ro g ram a o fre c e lo s s ig u ie n te s resu ltad o s: frc q = m a triz d e ta m a ñ o nvec. q u e c o n tie n e la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s calc u la d a s e ig = m atriz d e ta m a ñ o n X n v e c . q u e c o n tie n e lo s v e c to re s e ig e n c a lc u la d o s (c o lu m n a s)

»

p ro g raalO

S o lu c ió n da un p ro b la n a d a v a lo r m éto d o do I t o r a c i d n m a t r i c i a l

o ig an por

al

P r a c u a n c ia a n a tu r a la a : 4 .4 5 0 4 2 4 a-0 0 1

1 . 8 0 1 9 3 8 a .C

1 .2 4

M odo» ( a n f o r m a d a c o l u m n a » )

E j e m p l o 7 .1 1

1 . OOOOOOa.OOO

1 . OOOOOOa.OOO

1 .OOOOOOa.OOO

1 .8 0 1 9 3 7 a.0 0 0

4 .4 5 0 3200-001

-l.2 4 7 0 0 7 a .0 0 0

2 .2 4697 9 a .000

- 8 .0 1 9 3 2 7 a -0 0 1

5 .5 4 9 7 9 8 a -001

P ro g ra m a p a r a re so lv e r un p ro b le m a d e v a lo r e ig e n g e n e ra l D e sa rro lle un p ro g ra m a g e n e ra l, llam ad o P r o g r a a l l . a . p a ra re s o lv e r u n p ro b le m a d e v a lo r eig e n g e n e ra l. U se e l p r o g ra m a p a ra e n c o n tr a r la so lu c ió n d e l p ro b le m a d e v a lo r eig e n g e n e ra l

[ k ) X = « * [« ] X

donde

" 2 - 1 [*] =

-1

2

0‘ -1

0

-1

1.

M

=

■|

0

o'

0

1 0

0 l_

.0

Solución: P r o g r m n i i . n s e d e sa rro lla p a r a re s o lv e r e l p r o b le m a [ k ] X =

tra n sfo rm á n d o lo p rim e ro

en u n p ro b le m a d e v a lo r e ig e n e s p e c ia l [D) Y - ¿ [ / ] P , d o n d e | D | e s ig u al a ( | í / l r )- l M | t f l -1 y 1*1 = \ U \ T ( f / F 1 p ro g ra m a s e d e s a rro lla p a ra q u e a c e p te lo s s ig u ie n te s d a to s d e e n trad a: n d - ta m a ñ o d e l p ro b le m a (ta m a ñ o d e l a s m atric e s d e m a s a y rig id e z ) b k - m a triz d e r ig id e z d e ta m a ñ o n d X nd b m = m a triz d e m asa d e ta m a ñ o n d X n d E l p ro g ra m a d a la m a triz tria n g u la r s u p e rio r d e (&*], la in v e rsa d e la m a triz tr ia n g u la r s u p e rio r (n i), la m atriz (u/i]|¿> m ]|ur| d o n d e |u t f ] e s la tra n sp u e s ta d e |u / | y lo s v a lo re s y v e c to re s e ig e n d e l p ro b le m a .

»» p r o g r a a l l M a triz

tria n g u la r

au p ario r

1 . 4 1 4 2 1 4 a . 000 0 . OOOOOOa.OOO 0 . 0 0 0 0 0 0 a . 000

In v araa da l a a a tr i» 7 . 0 7 1 0 6 8 a -0 0 1

0 . 0 0 0 0 0 0 a . 000 0 . OOOOOOa.OOO

[D ]■

- 7 . 071068a-001 1 - 2 2 4 7 4 5 a .0 0 0 0 . OOOOOOa.OOO

0 . OOOOOOa.OOO -8 .1 6 4 9 6 6 8 -0 0 1 5 .7 7 3 5 0 3 a-0 0 1

tr ia n g u la r a u p a rio r 4 . 0 8 2 4 8 3 a - 0 01 8 . 164966e-001 0 . OOOOOOa.OOO


5 .7 7 3 5 0 3 a-0 0 1 1 .1 5 4 7 0 1 8 .0 0 0 1 .7 3 2 0 5 1 8 .0 0 0

632

C a p ítu lo 7


M acxim

[D IO ]

>

[O TI]

5 . OOOOOOa-OOX 2 . 8B 67 5 la-0 0 1 4 . 0B 2483«-001 V acC oraa

[D I] 1 4 .0 8 2 4 8 3 a-0 0 X

6.431 0 4 X a -O O X

3.0 7978Sa-O O X

X . 1 7 8 S lla »0 0 0

4 . 6 6 6 6 6 7 a . 000

sig a n i

5 . 0489X7a»000 V acto raa

[M]

2.8 8 S 7 S X a -0 0 X 8 .3 3 ]333a-00X X .X 785X X a.000

a tg a n

(an

7 . 369762a-001 1 . 3 2 7 9 8 5 a -. 000 1 . 6SS97XaaOOO

fo rm a d a

c o lu n m i

-5 .9 1 0 0 9 0 a - 001 -2 .6 3 0 2 3 7 a -0 0 X 4 .7 3 9S2Sa-00X

3 . 279 853a-00X -4 .0 8 9 9 1 0 a -0 0 1 X . 8 2 0 181a -001

Resumen del capítulo I a determinación de frecuencias naturales y modos (vectoreseigen) de sistemasde varios gradosde libertades un procedimiento tedioso. Debido a que la frecuencia natural (mínima) fundamental y el modo correspondien teson muy importantesen muchasaplicaciones, presentamos varios métodosde encontrar el valor aproximado (fc la frecuencia fundamental y el modo. Analizamos la fórmula de Dunkerley. el método de Rayleigh. el método de Holzer y el método de iteración matricial. También dimos una idea general de la extensión del método de iteración matricial para hallar la freaicncia intermedia al igual que la frecuencia natural más alta y los modos, ftira encontrar todos los valores y vectoreseigen al mismo tiempo, analizamosdel método de Jacobi. Como la nayoría de los métodos matemáticos requieren el problema de valor eigen en forma estándar, explicamos un nvftodo de convertir un problema de valor eigen general en uno de forma estándar. R>r último, presentamos la solución del problema de valor eigen de sistemas de varios grados de libertad utilizando M ATLAB. Ahora que ya terminó este capítulo, deberá ser capaz de responder las preguntas de repaso y resolver los pro blemas que se presentan a continuación.

Referencias______________ 7.1 S. Dunkerley. "On the whirling and vibration of shafts". Philosophical Trunsactions o /lh e Roya!Socie ty ofL o n d o n , 1894. Serie A. Vol. 185. Parte I. págs. 279-360. 72

B. Atzori, "Dunkerley*s formula for finding the lowcst frcqucncy of vibration of clastic systcms”. do cumento para el editor, Journal o f Sound and Vibration. 1974. Vol. 36. págs. 563-564.

13

H. H. Jeffcott. "Tire periodsof lateral vibration of loaded shafts- The rational derivation of Dunkerley's empírica! rule for determining whirling speeds”. Proceedings o f the RoyaI Society o f London. 1919. Se rie A. Vol. 95. Núm. A666, págs. 106-115.

7.4 M. Fado y O. Taniguchi. "An extensión of the Southwell-Dunkcrlcy methods forsynthcsizing frcquencies". Journal o f Sound a n d Vibration, 1976. "Part I: Principies". Vol. 49, 501-516. y "Part 11: Applica tions*’, Vol. 49, págs. 517-533. 13

A Rutcnbcrg. "A lowcr bound for Dunkerley’s formula in continuous clastic systcms*’. Journal o f Sound and Vibration. 1976. Vol. 45. págs. 249-252.

7.6 G. Temple y W. G. Bickley, Rayleigh ’s Principie and lis Applications lo Engineering. Dover, Nueva York. 1956. 7.7 N. G. Stcphcn, “Rayleigh’s, Dunkerley’s. and Southwcll’s methods”, International Journal o f Mechanica! Engineering Education, enero de 1983, Vol. 11. págs. 45-51. 7.8 A. Rutenberg. "Dunkerley's formula and altemative approximations", documento para el editor, Jour nal o f Sound and Vibration. 1975, Vol. 39. págs. 530-531. 7.9 R. Jones, "Approximatc expressions for the fundamental frcqucncy of vibration of scvcral dynamic systcms". Journal o f Sound and Vibration. 1976. Vol. 44. págs. 475-478. 7.10 R. W. Fitzgerald. Meehanics o f M aterials (2a. ed.). Addison-Wcsley. Reading. Mass.. 1982.



633

7.11 R Holzer. D ie Berechnung d er Drehuchwingungen, Julius Springer. Berlín. 1921. 7.12 H. E. Fcttis, "A modificalion of ihc Holzer mclhod for computing uncouplcd lorsion and bending modcs", Journal o f the Aeronáutica! Sciences, octubre de 1949, págs. 625-634; mayo de 1954, págs. 359-360. 7.13 S. H. Crandall y W. G. Sirang, "An improvement of the Holzer table based on a suggestíon of RayIcigh’s", Journal o f Applied M echanics, 1957, Vol. 24,pág. 228. 7.14

5» Mahalingam, ”An improvement of the Holzer method”. Journal o f Applied Mechanics, 1958, Vol. 25. pág. 618.

7.15 S. Mahalingam. “Iterative procedures for torsional vibration analysis and tlieir rclationships”. Journal o fS o un d and Vibration, 1980, Vol. 68, págs. 465-467. 7.16 L Mcirovitch, Computational Methods in Structural Dynamics, Sijthoff and Noordhoff. Países Bajos, 1980. 7.17 J. H. Wilkinson y G. Reinsch. Linear Algebra, Springer Vertag. Nueva York. 1971. 7.18 J. H. Wilkinson. The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford University Press. Londres. 1965. 7.19 R S. Martin y J. H. Wilkinson. "Rcduction of a symmetric eigenproblcm A x ■ XBx and rclated problcms to standard form", Numerical Mathematics, 1968, Vol. I I , pdgs. 99-110. 7.20 G. B. Haggcity. Elementary Numerical Analysis * ith Programming, Allyn and Bacon, Boston. 1972. 7.21 A. Jcnnings, "Figcnvaluc methods for vibration analysis". Shock and Vibration Digest, Parí I , febrero ± 1980. Vol. 12. págs. 3-16; Pan U. er*ro de 1984. Vol. 16. págs. 25-33. 7.22 K. Bathe y E L Wilson, "Solution methodsfor eigenvalue problems in structural mechanics". Internaáonal Journal fo r Numerical M ethods in Engineering, 1973, Vol. 6. pógs. 213-226. 7.23 F. Cohén y H. McCallion, “Economical methods for finding cigcnvalues and cigcnvcctors", Journal o f Soundand Vibration, 1967. Vol. 5. pdgs. 397-406. 7.24 A. J. Fricker, “A method for solving high-order real symmetric eigenvalue problems". Iniemational Journalfo r Numerical M ethods in Engineering, 1983, Vol. 19, págs. 1131-1138. 7.25 G. Longbottom y K. F. Gilí. ‘The cstimationof natural frcquerxrics by use of Sturm sequenccs", Inter national Journal o f M echanical Fngineering Fducation , 1976, Vol. 4, págs. 319-329. 7.26 K. K. Gupta. "Solution of eigenvalue problems by Sturm scqucncc method". International Journal fo r Numerical M ethods in Engineering. 1972. Vol. 4. pigs. 379-404. 7.27 W. K. G e n y F. Y. Chen. ‘Topological analysis of a class of lumped vibrational Systems'’, Journal o f Soundand Vibration, 1969, Vol. 10, págs. 198-207.

[preguntas de repaso 7.1

Responda brevemente lo siguiente: 1. Mencione algunos métodos para determinar la frecuencia natural fundamental de un sistema de varios grados de libertad. 2. ¿Cuál es la suposición básica hecha al derivar la fórmula de Dunkeriey? 3. ¿Qué es el principio de Rayleigh? 4. Vfcncionc si obtenemos un límite inferior o un límite superior a la frecuencia natural fundamental si utilizamos (a) la fórmula de Dunkeriey y (b) el método de Rayleigh. 5. ¿Qué es el cociente de Rayleigh? 6. ¿Cuál es el principio básico utilizado en el método de Holzer? 7. ¿Qué es el método de iteración matricial? 8. ¿podemos utilizar cualquier vector de prueba X en el método de iteración matricial para hallar la frecuencia natural máxima? 9. Utilizando el método de iteración matricial. ¿cómo encuentra las frecuencias naturales inter medias?


634

C a p ítu lo 7


10. 11. 12. 13.

¿Cuál es la diferencia entre el método de iteración matricial y el método de Jacobi? ¿Qué es una matriz de rotación? ¿Cuál es su propósito en el método de Jacobi? ¿Qué es un problema de valor eigen estándar? ¿Cuál es el rol de la descomposición de Choleski al derivar el problema de valor eigen estándar? 14. ¿Cómo encuentra la inversa de una matriz triangular superior? 72

Indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso: 1. La frecuencia fundamental dada por la fórmulade Dunkcriey siempre será mayor que el valor exacto. 2. la frecuencia fundamental proporcionada por el método de Rayleigh siempre será mayor que el \alor exacto. 3. [A]X = A [ f l ) X es un problema de valor eigen estándar. 4. [A]X ■ A(/)[fl]X es un problema de valor eigen estándar. 5. El método de Jacobi puede determinar los valores eigen de sólo matrices simétricas. 6. □ método de Jacobi utiliza matrices de rotación. 7. H método de iteración matricial requiere que las frecuencias naturales sean distintas y que estén bien separadas. 8. Iri el método de iteración matricial. cualquier error de cálculo no dará resultados incorrectos. 9. H método de iteración matricial nunca dejará de converger a frecuencias más altas. 10. Orando el método de Rayleigh se utiliza para una flecha con varios rotores, se puede utilizar la cuna de deflexión estática como la forma de modo apropiada. 11. Se puede considerar que el método de Rayleigh esel mismo que el de conservación de energía para un sistema vibratorio.

7.3

Escriba en cada uno de los espacios en blanco la palabra apropiada: 1. Cualquier matriz simétrica positiva definida [/IJ se puede descomponer como [rij = [í/ní/J. donde |¿/J es una masa triangular _. 2. El método de descomponer una matriz simétrica positiva definida [AJcomo |/tj = [U |r (Í/J se conoce como método__________ . 3. Grda poso del método de Jacobi reduce un par de elementos fuera de la diagonal a ________ . 4. El teorema de_________permite representar cualquier vector como una combinación lineal de vectores eigen del sistema. 5. Si el método de iteración matricial converge al valor eigen mínimo con [/))* ■ AX. el método converge al valor eigen_______ con |D] ~ 'x ■ #*X. para
respectivamente.

9. El método de Holzer es básicamente un método_________ . 10. □ métodi________se aplica más extensamente a sistemas torsionales, aunque el método es

igualmente aplicable a sistemas lineales. 11 . □ cálculo de altas frecuencias naturales, basado en el método de iteración matricial. implica un

proceso conocido como________ de matrices. 7.4

Seleccione la respuesta más apropiada de entre las opciones dadas:

1.

O ra n d o e l v e c to r d e p ru e b a



635

s e u tiliz a p a ra s o lu c io n a r e l p ro b le m a d e v a lo r e ig e n .

2.

I I 1 2

2 2 X = XX

1

3

2

Rira un sistema semidefinido. la ecuación final en el método de Holzer indica a. la amplitud en el extremo como cero b. ti suma de las fuerzas inerciales como cero C. la ecuación de movimiento

3.

La fórmula de Dunkerlcy está dada por a. cu? w a nrn, + a22m2 + •••+ a „ jn H b. — ^ fln "! + a 72m 1 + ••• + a HHm„ o>, T 05 * l l m l +

tof

4.

5.

k nmm„

B cociente de Rayleigh está dado por X r[k]X

X r fm]X

X T[k) X

“* X T[m) X

b- X T [k) X

X r [m) X

B cociente de Rayleigh satisface la siguiente relación: a. R ( X ) í

6.

+ ••• +

b. R ( X ) ?
Para un sistema vibratorio con [*] =

c . R ( X ) > új¡

y [m] =

^

^ J, la fonna de modo más próxi X T[k\X — =; está dada por

ma al modo fundamental, según el cociente de Rayleigh, R( X) *■ zzz X

[/w ] X

Correlacione los elementos en las dos columnas siguientes: 1. fórmula de Dunkerley

a.

2.

b. Fncucntra todas las frecuencias naturales utili zando vectoresde prueba y el procedimiento de dcfiación matricial.


Encuentra las frecuencias y modos naturales del sistema, uno a la vez. por medio de varios valores de prucia de cada frecuencia.


636

C a p ítu lo 7


3. Método de Holzcr 4.

c. Fncucnira iodos los valores y vectores eigen al mismo tiempo sin utilizar vectores de prueba.

Método de iteración matricial

d. Encuentra el valor aproximado de la frecuencia fundamental de un sistema compuesto.

5. Método de Jacobi

e. Encuentra el valor aproximado de la frecuen cia fundamental de un sistema que siempre es mayor que el valor verdadero.

Problemas S e c c ió n 7 .2 F órm ula d e D u n k erley 7.1

Gilcule la frecuencia fundamental de la viga que se muestra en la figura 6.9 aplicando la fórmula de Dunkerley para los siguientes datos: (a) m x = m, = 5m. m ; = m y (b) m, = m, = m, m 2 = 5m.

72

Encuentre la frecuencia fundamental del sistema torsional que se muestra en la figura 6.11. aplicando h fórmula de Dunkerley para los siguientes datos: (a) - 7, “ J2 ■ 7, “ J 0\ A,, B ka 1 ^ y (b) y, = J » J 2 = 2 y„y, = u Q. k lt = k r kc = 2a,.a* = 3Ar

7.3

Estime la frecuencia fundamental de la flecha que se muestra en la figura 7.3 utilizando la fórmula de Dunkerley para los siguientes datos: m , — m. m¡ — 2m, m* - 3m, l\ = /j = /j ■ U = U\.

7.4

la frecuencia natural de vibración a flexión de ala de un avión militar es de 20 Hz. Halle la nueva fre cuencia de vibración a flexión del ala cuando un arma, que pesa 2000 Ib, secoloca en la punta del ala. como se muestra en la figura 7.10. La rigidez de la punta del ala. en flexión, es de 50000 lb/pie.

7.5

En una grúa elevada (vea la figura 7.11) la carretilla pesa diez veces el peso de la viga. Con la fórmula de Dunkerley. calcule la frecuencia fundamental del sistema.

Carretilla

£

V iga

F ig u ra 7 .1 1


P ro b le m a s

637

7.6

A plicando la fórm ula de D unkerley. d eterm ine la frecuencia natural d e l sistem a q u e s e m uestra e n la figura 5.33 con = m: = m y / , = Ij = /* = /.

7.7*

Diseñe u n a sección tubular de peso m ínim o p ara la flecha q u e s e m uestra en la fig u ra 7.3 p ara lograr una frecuencia fundam ental de vibración d e 0 .5 Hz. S uponga m , = 2 0 kg, m , = 50 kg, m , = 4 0 kg, /, - 1 m ./ 2 = 3 m . / 3 = 4 m . / 4 = 2 m y £ = 2 . 0 7 x 1 0 " N/m?.

7 .8

Una v ig a uniform e sim plem ente apoyada c a rg a d o s m asas m , y m ; c o n m ; = 3 m , c o m o se m uestra en la figura 7.12. H alle la frecuencia natural fundam ental de la v ig a aplicando e l m étodo d e D unkerley.

m,

«i,

£

777 .1

1

3

7 .9

/ 3

3

Figura 7.12

lina viga uniform e doblem ente em potrada c a rg a d o s m asas m t y m : c o n m7 = m , c o m o se m uestra en la figura 7.13. D eterm ine la frecuencia natural d e la viga c o n e l m étodo d e Dunkerley.

mj m

i 3

M

1 3

/ 3

i

Figura 7.13

s e c c ió n 7 .3 M é to d o d e R ayleigh 7 .1 0

Siguiendo e l m étodo d e R ayleigh d eterm ine la prim era frecuencia natural de vibración d e l sistem a que * m uestra e n la figura 7.2. Suponga *, = *, = 2*. A, = 3* y m , = m, m 7 = 2 m , m , = 3m.

7 .1 1

A plicando el m étodo (fe R ayleigh determ ine la frecuencia natural fundam ental d e vibración d e l sistem a J-¡ ■ 27otorsional que se m uestra e n la figura 6 .1 1. S uponga J , • - 370 y *,i a k, j * = k,.

7.1 2

G>n e l m étodo d e Rayleigh resuelva e l problem a 7.6.

7.13

Siguiendo e l m étodo d e R ayleigh determ ine la frecuencia natural fundam ental d e l sistem a q u e s e m ues tra e n la figura 5 .3 3 cu an d o m , = m . m 2 = 5m . / , = /2 - / 3 = /.

7 .1 4

U n edificio d e d o s p iso s som etido a cortante se m uestra e n la figura 7 .1 4 e n e l cual se supone q u e los pisos so n rígidos. A plicando e l m étodo d e R ayleigh, calcule la prim era frecuencia natural d e l edificio para m , - 2m ,m ; — m ,h ¡ = h2 = h y k¡ = k 2 = 3 £ ///» J. S uponga que la configuración d e l prim er m odo

k7

es la m ism a q u e la form a d e equilibrio estático debido a c arg as proporcionales a los pesos d e los pisos. 7 .1 5

Com pruebe que e l cociente d e Rayleigh nunca es m ás alto q u e e l v a lo r eigen m ás alto.

7 .1 6

l a figura 7.15 m uestra una viga d e acero en voladizo escalonada. Los escalones tienen secciones transverstlc s cuadradas d e 4 pulg X 4 pulg y de 2 pulg X 2 pulg. cada uno con longitudes de 5 0 pulg. Suponiendo q j e e l m ódulo d e Y oung c o m o E = 3 0 X 106 Ib /p u lg 2 y e l peso unitario com o y = 0.283 lbf/pulg’ p ara el

* □ asterisco indica un problem a sin respuesta única.


638

C a p ítu lo 7

D e te r m in a c ió n d e f r e c u e n c i a s y m o d o s n a tu r a le s

-r r / r '/

777777T ,

Finura 7.14

material d e la viga, determ ine la frecuencia natural fundam ental de vibración a flexión de la viga aplicando d mótodo de Rayleigh. Suponga la deflexión d e la viga com o

d m d e C e s una constante.

!

/

Secdón transversal: 4 pulg X 4 pulg

---------- — f -

------------------

/

Sección transversal: 2 pulg x 2 pulg

/

.................................

------------ 5 = 50 p u l g ------------- <|*------------- £> 50 pulg

Figura 7.15

7.17 En la figura 7.16 s e m uestra una v ig a uniform e sim plem ente apoyada d e 100 pulg de longitud, c o n una sección rectangular hueca. Suponiendo una fo rm a deflacionada de nx y (x ) = C sc n y cncucntre la frecuencia natural de vibración transversal d e la viga. E l m aterial d e la viga tiene un m ó dulo d e Y oung d e E = 3 0 X 106 lb /p u lg 2 y un peso unitario de y = 0 .2 8 3 Ib ,/p u lg 3.

T

¡5 pulg

6 pulg * x

\

!

• T

*----- 4 pulg------ F ig u ra 7 .1 6


P ro b le m a s

7.18

639

Una viga u niform e dablem ente em potrada de longitud / c o n sección rectangular w X h s e m uestra e n la figura 7.17. Suponiendo el m ódulo d e Y oung c o m o E y e l peso unitario c o m o y p ara e l m aterial de la viga y la form a deflacionada com o * ,) - c ( l- c o .2 = )

D eterm ine la frecuencia natural d e la viga.

h— ^ — H Sección transversal F ig u ra 7.17

S e c c i ó n 7 . 4 M é t o d o d e H o lz e r 7.19

Utilizando e l m étodo d e H olzer d eterm ine las frecuencias naturales y m odos d e l sistem a q u e se m uestra en la figura 6.14, con m , = 100 kg. m: - 20 kg. m3 = 2 0 0 kg. A, = 8 0 0 0 N /m y k ; = 4 0 0 0 N/m.

7J O

L as m atrices d e rigidez y m asa d e un sistem a vibratorio están d a d as por 2 [*] = *

-1 0

-1 2 -1

o" -1

[m ] =

3_

m

’l

0

o'

0

1

0

.0

0

2.

A plicando el m étodo de H olzer determ ine todos los m odos principales y las frecuencias naturales. 7.21

R ú a e l sistem a torsional q u e s e m uestra e n la fig u ra 6 .1 1 determ ine un m odo principal y la frecuencia correspondiente por e l m étodo d e H olzer. Suponga q u e = * ,y 7 , = A = 7 , = J0.

7.22

Siguiendo e l m étodo de H o lzer determ ine las frecuencias naturales y m odos d e l edificio som etido a cortante que se m uestra e n la figura 7.14. Suponga q u e m , = 2m , m 2 = m , / i, = h 2 = h, k , = 2k , í . = k y k = 3 E I/h \

7.23

Cbn e l m étodo de H o lzer determ ine la s frecuencias naturales y m odos d e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 6.39. Suponga q u e 7 , = 10 k g -cm 2.y 2 = 5 kg-m 2, y , = 1 kg-m 2. y * , , = k a = I X K ^ N -m /ra d .

7.24

Una flecha uniform e lleva tres ro to res com o se m uestra e n la figura 7 .1 8 c o n m om entos d e inercia de masa J¡ = J 2 = 5 kg-m 2 y J 3 = 10 kg-m 2. l a s rigideces torsionales d e los segm entos entre los rotores están dadas por *(l = 2 0 0 0 0 N -m /rad y k/¡ = 10000 N -m /rad. D eterm ine las frecuencias naturales y m odos d e l sistem a siguiendo e l m étodo d e H olzer.

7.25

Una flecha uniform e lleva tres rotores com o se m uestra en la figura 7 . 18 c o n m om entos de inercia de masa J x = 5 kg-m 2 J 2 - 15 k g -m 2 y J3 - 25 kg-m 2. L as rigideces torsionales d e los segm entos entre los


D e te r m in a c ió n d e f r e c u e n c i a s y m o d o s n a tu r a le s

h

h Ka

*,l —

F ig u ra 7 .1 8

rotores so n = 2 0 0 0 0 N -m /rad y ka = 6 0 0 0 0 N -m /rad. D eterm ine las frecuencias naturales y m odos cfcl sistem a siguiendo e l m étodo d e Holzer. 7.26

L as m atrices d e m asa y rigidez d e un sistem a d e resorte-m asa d e tre s grados d e libertad e stán d a d as por “3

0

O'

0

2

0

0

0

1

m] =

2 - 1 y

[* ] =

o"

-1

2

0

-I

-1 1

D eterm ine las frecuencias naturales y m odos d e l sistem a aplicando e l m étodo d e Holzcr.

S e c c ió n 7 .5 M é to d o d e itera ció n m a tricia l 7.27

El valor eigen m áxim o d e la m atriz 2 . 5 - 1 -1

[O ]

0 5

0

-V i

-V i 10

está d a d o por A, = 10.38068. U tilizando e l m étodo d e iteración m atricial determ ine los d em ás valores eigen y todos los vectores eigen d e la m atriz. S uponga |m ] = (/J. Se sa b e q u e las m atrices d e m asa y rigidez d e un sistem a de resorte-m asa son 1 0 [ m] = m

0*

0

1

0

0

0

2

" 2 - 1 y

[* ]= *

-1

o" 3

-2 K>

7.28

o

C a p ítu lo 7

i

640

Utilizando e l m étodo de iteración m atricial d eterm ine las frecuencias naturales y m odos d e l sistem a. 729

U tilizando el m étodo d e iteración m atricial en cu en tre las frecuencias n a tu ra le s y m odos del sistem a que se m uestra en la figura 6 .6 c o n k¡ — k. k 2 - 2k . k 3 = 3A. y = m2 - m i = m.

730

U tilizando e l m étodo d e iteración m atricial en cu en tre las frecuencias naturales del sistem a q u e se m ues = J jy = J » l¡ = I y (C-0, = G J para i = 1 a 4. tra e n la figura 6.28. S uponga q u e J

731

U tilizando e l m étodo d e iteración m atricial resuelva el problem a 7.6.

7.32

L as m atrices d e rigidez y m asa d e un sistem a vibratorio están d a d a s por 4 -2 [* ]

-2 3

0 -1

0

-1

2

0

0

-1

o" 0 -1

y

j/n ] = m

1_


"3

0

0

o"

0

2

0

0

0

0

1

0

.0

0

0

1_

P ro b le m a s

641

Utilizando e l m étodo d e iteración m atricial en cu en tre la frecuencia fundam ental y la form a d e m odo del sistem a. 7.33

L as m atrices d e m asa y rigidez de un a v ió n e n vuelo, c o n un m odelo d e tre s grados d e libertad para m ovim iento vertical (sem ejante a la figura 6 .2 6 ) están d a d as por

*1

0

o'

0

4

0

0

0

1

w «

y

M «

3

-3

-3

6

-3

0'

0

-3

3

Determ ine la frecuencia natural más alta d e vibración del avión siguiendo el m étodo de iteración m atricial. 734

L a s m atrices d e m asa y flexibilidad de un sistem a d e tres g ra d o s d e libertad están d a d as por

"l o o' m] = 0 2 0 0 0 l_

i i r = 1 2 2 J 2 3

y [«] =

Encuentre la frecuencia natural de vibración m ás b aja d e l sistem a aplicando e l m étodo d e iteración m atricial. 735

P ira el sistem a considerado e n e l problem a 7.34 d e te rm in e la frecuencia natural m ás a lta d e vibración del sistem a aplicando e l m étodo de iteración m atricial.

736

Encuentre la frecuencia natural interm edia d e vibración d e l sistem a considerado en los problem as 7.34 y 7.35 aplicando e l m étodo d e iteración m atricial.

S e c c ió n 7 .6 M é to d o d e Jacob i 737

Utilizando e l m étodo d e Jacobi en cu en tre los v alo res y vectores eigen d e la m atriz

3 - 2 -2

[*>]

0 5

-3

0 - 3

738

Utilizando e l m étodo d e Jacobi en cu en tre los va lo res y vectores e ig e n d e la m atriz

[D ]

739

3

=

3

2

2

2

I 1

I

I

I

Utilizando e l m étodo d e Jacobi determ ine los valores eigen d e la m atriz (A) d a lo s por 4 - 2 -2

6

4

2 - 1

3

6

-1

22

13

4

3

13

46


642

Capítulo 7

Determinación de frecuencias y modos naturales S e c c ió n 7 .7 P ro b lem a d e v a lo r e ig e n e s tá n d a r 7.40

A plicando la técnica de descom posición d e C holeski descom ponga la m atriz dada en e l problem a 7.39.

7.41

U tilizando la descom posición [A | = [ U H í / 1 encuentre la inversa d e la matriz: 5

-I

-1

[A ) =

6

1 7.42

1

-4

-4

3

A plicando la descom posición d e C holeski determ ine la inversa d e la siguiente m atriz: 2 [A ]

5

8

5

16

28

8

28

54

7.43

C bnvicrta e l problem a 7 .3 2 e n un problem a d e v a lo r eigen estándar con u n a m atriz simétrica.

7.44

A plicando la técnica d e descom posición de C holeski ex p rese la siguiente m atriz c o m o e l producto de dos m atrices triangulares:

tr i

16

-2 0

-2 4

-2 0 -2 4

89

-5 0

-5 0

280

s e c c i ó n 7 .8 E je m p lo s r e s u e lt o s u tilizan d o MATLAB 7.45

U tilizando M A T IA B encuentre los v alo res y vectores eigen d e la siguiente m atriz: 3 - 2 [A ]

5

0 7.46

0

-2

-3

-1

I

U tilizando M A TL A B encuentre los valores y vectores eigen d e la siguiente m atriz:

[A ) =

-5

2

I

-9

2

-

1

1 -1 7

7.47

Utilizando P r o g r a m 9 .m encuentre los valores y vectores a g e n d e la m atriz [D | dada e n d problem a 7.27.

7.48

U tilizando P r o g r a m l O .m d eterm ine los v alo res y vectores eigen de la m atriz (D ) d ad a e n e l problem a 7.38.

7.49

U tilizando P r o g r a m l l .m encuentre la solución d e l problem a d e valor eigen general dado e n e l pro blem a 7.32 c o n k = m = I.

7J O

Encuentre los salo res y vectores eigen d e la siguiente m atriz utilizando M A TLAB: ~2

[A]= 2

2

2

2 5

5

5

12


P ro y e c to s d e d is e ñ o

7 .5 1

643

R e su elv a e l sig u ie n te p ro b le m a d e v a lo r e ig e n u tilizan d o M A T L A B .

r3 1 ° Lo

0

0'

2

0

0

1.

" 10 X =

-4

-4

6

0

-2

o' -2 2_

Proyectos dediseño 7.52

Un volante d e m asa m , = 100 kg y u n a p olea de m asa m 1 = 5 0 k g s e tienen que m ontar en u n a flecha de longitud I = 2 m . com o s e m uestra e n la figura 7.19. D eterm ine su s ubicaciones l t y l 2 p ara m axim izar la frecuencia fundam ental d e vibración d e l sistem a.

F igura 7 .1 9

753

En la figura 7 .2 0 s e m uestra un diagram a sim plificado d e una g rú a viajera elev ad a. L a v ig a, con sección transversal, y e l cable, c o n sección transversal circu lar so n d e acero. D isefie las v ig as y e l cable d e m odo q j e la s frecuencias naturales d e l sistem a se a n m ayores q u e la velocidad de operación, 15 0 0 rpnt, d e un m otor eléctrico situ ad o e n la carretilla.

30 pies — Carretilla (peso -4 0 0 0 0 1 b )

M uro (rígido

Cable

C arga alzada (10000 Ib) F ig u ra 7 .2 0


CAPÍTULO 8 C o n tr o l de la v ib ra c ió n

M a te m á tic o s u iz o . F u e m a te m á tic o d e la c o r te y m á s a d e la n te p r o f e s o r d e m a te m á tic a s e n S a n P c tc r s b u r g o , R u sia . E s c r ib ió m u c h a s o b r a s s o b re á lg e b ra y g e o m e tr ía y s e in tc •

re só e n l a fo rm a g e o m é tric a d e l a s c u rv a s d e d e f le x ió n e n l a r e s is te n c ia d e m a te ria le s. L a c a r g a d e p a n d e o d e c o lu m n a s d e E u le r e s m u y c o n o c id a p o r lo s in g e n ie ro s m e c á n ico s y c iv i l e s , a s í c o m o la c o n s ta n te d e E u le r y e l s is te m a d e c o o r d e n a d a s d e E u le r lo s o n p o r l o s m a te m á tic o s . D e riv ó l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to p a ra l a s v ib ra c io n e s p ro v o c a d a s p o r f le x ió n d e u n a v a rilla ( te o r ía d e E u le r -B e rn o u lli) y p re s e n tó u n a fo rm a d e s o lu c ió n e n s e r ie c in c lu s iv e e s tu d ió l a d in á m ic a d e un a n il l o v ib ra to rio r io . ( C o r te s ía d e I D irk J . S tr u ik , A C o n c h e H isto ry o f M a th e m a tic s , 2 a . e d .. D o v e r P u b lic a tio tio nn ss,. N u e v a Y o rk . 1 9 4 8 ).

Leonhard Euler (1707-1783)

Esquem a de l capítulo O bjetiv o s d e aprendizaje 645

8.9

ai

Introducción 646

8.10

Introducción a l am ortiguam iento 672 A islam iento d e la vibración 673

8.2

N om ógrafo d e vforación y c riterio s d e vibración 646

8.11

A b so rb e d o re s d e vibración 702

8 . 12

Ejemplos re su e lto s utilizando MATLAB 7 12

8.3

Reducción d e la vibración en la fu e n te 650

Resum en del capítulo 718

a4

B alanceo d e m áquinas ro ta to ria s 651

Referencias 718

8.5

R em olineo d e flechas ro ta to ria s 659

P reguntas d e re p aso 720

&6

B alanceo d e m o to re s reciprocantes 665

Problem as 722

R7

C o n tro l d e vibración 671

Pro y ecto d e diserto 735

8.8

C o n tro l d e frecuencias naturales 671


I


645

E n lo s c a p ítu lo s a n te rio re s e s tu d ia m o s to d o s lo s a s p e c to s d e l m o d e la d o y a n á lis is d e s is te m a s v i b ra to rio s . A h o ra c o n s id e r a r e m o s m é to d o s d e e lim in a r o r e d u c ir l a v ib r a c ió n in d e s e a b le . H a y q u e c o n o c e r lo s n iv e le s a c e p ta b le s d e v i b r a c ió n a n te s d e q u e p o d a m o s c u a n tific a r l o s n iv e le s q u e se d e b e rá n e lim in a r o r e d u c ir . A l p rin c ip io s e d e s c rib e n e l n o m ó g r a fo d e v ib ra c ió n y lo s c r ite r io s d e v ib ra c ió n , lo s c u a le s in d ic a n n iv e le s d e v ib ra c ió n a c e p ta b le s . L a v ib ra c ió n q u e s e v a a e l i m i n a r o a r e d u c ir p u e d e a p a r e c e r e n l a fo rm a d e u n a o m á s fo rm a s d e p e rtu rb a c ió n : d e s p la z a m ie n to , v e lo c i d a d . a c e le r a c ió n y fu e rz a tra n s m itid a . S e a n a liz a n los s ig u ie n te s m é to d o s p a ra e lim in a r /r e d u c ir la v ib r a c ió n e n l a fu e n te u o rig e n . •

B a la n c e o d e m á q u in a s r o ta to r ia s ; b a la n c e o e n u n o o d o s p la n o s .

•

C o n tro l d e l a r e s p u e s ta y e s ta b ilid a d d e f le c h a s ro ta to ria s.

•

B a la n c e o d e m o to re s re c ip ro c a n te s .

•

R e d u c c ió n d e l a v i b r a c ió n p r o v o c a d a p o r im p a c to s d e b id o s a h o lg u r a s e n l a s ju n ta s d e m á q u in a s y m e c a n is m o s ,

S e a n a liz a n lo s sig u ie n te s m é to d o s p a ra r e d u c ir l a tra n s m is ió n d e v ib ra c ió n p ro v e n ie n te d e l a fu e n te : •

C a m b io d e la fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a c u a n d o n o s e p u e d e m o d if ic a r la fre c u e n c ia

•

fo rz a d a . I n tr o d u c c ió n d e u n m e c a n is m o d is ip a d o r d e p o te n c ia c o n l a a d ic ió n d e a m o rtig u a d o re s h id rá u lic o s o m a te ria le s v is c o c lá s tic o s .

•

D e s ig n a c ió n d e u n a is la d o r q u e c a m b ie la rig id e z /a m o rtig u a m ie n to d e l s is te m a .

•

A p lic a c ió n d e u n a té c n ic a d e c o n tr o l a c tiv a .

•

D e s ig n a c ió n d e u n a b s o rb e d o r d e v ib ra c ió n c o n la a d ic ió n d e u n a m a s a a u x ilia r p a r a a b s o rb e r la e n e r g ía d e v ib ra c ió n d e la m a s a o rig in a l.

P o r ú ltim o , s e p r e s e n ta la s o lu c ió n d e v a rio s p r o b le m a s d e c o n tro l d e v ib ra c ió n u tiliz a n d o M A T L A B c o n e je m p lo s n u m é ric o s .

O bjetivos de aprendizaje A l t e r m in a r e s te c a p ít u lo , u s te d

•

U t iliz a r n o m ó g r a f o s v ib r a c ió n

q u e

s e

té c n ic a s

v a n

d e

v ib r a c ió n

a

c o n tr o la r o

b a la n c e o e n

y

c rite rio s

lo

d e

r e a liz a r

d e

v ib r a c ió n

s ig u ie n t e :

p a ra

d e t e rm in a r lo s

n iv e le s

d e

r e d u c ir.

A p lic a r

C o n t r o la r

•

R e d u c ir e l d e s b a la n c e e n m o to re s r e c ip ro c a n te s .

•

D is e ñ a r a is la m ie n to s d e v ib r a c ió n y c h o q u e p a ra s is te m a s c o n b a s e fija y ta m b ié n c o n b a s e

•

D is e ñ a r s is te m a s d e c o n tr o l d e v ib ra c ió n a c tiv o s .

•

D is e ñ a r a b s o rb e d o re s d e v ib ra c ió n n o a m o r tig u a d o s y a m o rtig u a d o s .

•

U tiliz a r M A T L A B p a ra r e s o lv e r p r o b le m a s d e c o n tr o l d e v ib ra c ió n .

v ib r a c ió n

u n o

y

• •

la

d e

d e b e rá s e r c a p a z

p ro v o c a d a

d o s

p la n o s

p a ra e lim

p o r e l d e s b a la n c e

e n

in a r

fle c h a s

la

v ib r a c ió n

v ib ra to ria .


(d e s b a la n c e ).

r o ta to ria s .

646

C a p ítu lo 8

C o n tr o l d e la v ib ra c ió n

8.1

In t r o d u c c ió n E n

u n

e n t o r n o

p ilo t e s

y

in d u s tria l

e x p lo s io n e s ;

e lé c t r ic o s ; v e h íc u lo s

d e

c tra s

la

c o s a s .

A

v e c e s

tra n s p o rte

p ro d u c e

c o n

b a s e

e lim in a c ió n

e n tre b

u n a

d e

c e rc a d e c fc l a

d e

la

e x c it a c ió n

la

[8 .1

q u e

s e J. E n

d e

t e ó r ic o .

p u e d e n

v ib r a c ió n

s a c u d im ie n to

y

p e q u e ñ a e n

in h e re n te p u e d e

s is te m a s

le v e m e n te

c o n s id e r a re m o s

e lim in a c ió n

o

la

d e

la

o

e l h in c a d o

d e

d e

f lu id o s

s e

p u e d e

d is e ñ a d o r d e b e r a z o n a b le . o

m u c h a s

fre c u e n te

y

a is la d o r e s

h u m a n o s

e lim in a r

im p lic a d o s

a lg u n o s

e s to s c a s o s la

d e

u n a

g ra n d e

m a g n itu d

a b s o rb e d o re s

c o n t r o l

c a s o s ,

v io , in c lu s o

in d e s e a b le m e n te

y

la e n

c o m p ro m e te rs e

E n

a n te s s e

a m o rtig u a d o s . E n

d e

y

o c u p a c io n a l d e

re s p u e s ta

té c n ic a s

d e

m o to re s

a b ra s ió n d e l a is la m ie n to

m a n u f a c tu ra

m á q u in a . C o m

y

c o jin e t e s , f o r m a c ió n

o c a s io n e s

c o s to s

u t iliz a n d o

v a r ia s

r e d u c c ió n

d e

y

1 .a e x p o s i c ió n

p r o v o c a r u n a

s ig n if ic a tiv a m e n te

e s te c a p ít u lo

s o ld a d a s

m a n u f a c tu ra

a

c o m

m e c á n ic a s , m a n te n im ie n to

re d u c id a . E n

d e

f lu jo

e x c e s iv o

e le v a d o s ; u n

c o s to

im p a c t o

a v io n e s ; e l

e m b a r g o , lo s

u n

e s

y

d e

m o to re s , c o m p re s o r e s

d e s g a s te

c o rto s .

e fic ie n c ia

s e r d e m a s ia d o

a c e p ta b le

r e d u c ir

la

c o m o

r u p t u r a d e ju n ta s

p r o v o c a

S in

a n á lis is

r e la t iv a m e n t e

im p lic a n

q u e

e l

p u e d e

p r o v o c a

p o r la

y

o

p ro c e s o s

c a m io n e s , tre n e s , y

v ib r a c ió n

e lé c t r ic o s , lo

re s o n a n c ia , s o b re t o d o

re s p u e s ta

m é to d o s

o

v ib r a c ió n :

r e c ip ro c a n te

s u je t a d o r e s , f a lla s e s t r u c t u r a le s

v ib r a c ió n

d e

e x c it a c ió n

a u x ilia r e s

c o m d e

o

d o lo r , in c o m o d id a d

e n

c a n tid a d

fu e rz a d e

liie r z a

8.2

c o n d u c to re s

v ib r a c ió n

v ib r a c ió n b

d e

fu e n te s d e

r o ta to ria

m á q u in a s , f a lla s e le c t r ó n ic a s

a lr e d e d o r d e a la

m u c h a s

p re s e n c ia

c fc g r i e t a s , a f l o j a m i e n t o c o s to s o d e

h a y

m a q u in a r ia

d e

v ib r a c ió n , e s

m a s a d e c ir ,

v ib r a c ió n .

N o m ó g r a f o d e v ib r a c ió n y c r it e r io s d e v ib ra c ió n L o s

n iv e le s

a c e p ta b le s

r »

a m o rt ig u a d o

e n

u n a

d e

u n

d e

g rá f ic a , lla m a d a

c fc d e s p l a z a m i e n t o , v im ie n t o

v ib r a c ió n

s o lo

g ra d o

n o m ó g r a f o

v e lo c id a d

y

s e

d e

s u e le n

lib e r t a d

d e

e s p e c if ic a r e n s u je to

a

f u n c ió n

v ib r a c ió n

v ib r a c ió n , la c u a l m u e s t r a

a c e le r a c ió n

c o n

re s p e c to

a

la

d e

la

re s p u e s ta

a rm ó n ic a . la s

L o s

v ib r a c io n e s

f r e c u e n c ia

d e

d e

lím ite s d e

la s

v ib r a c ió n .

u n se

s is te m a

m u e s tra n

a m p litu d e s P a ra

e l

x ( t ) = X s e n o)i

b

v e lo c id a d

y a c e le r a c io n e s

s e

p ro p o r c io n a n

v ( / )

a ( t )

c fo n d e

c u e s

la

f r e c u e n c ia

p la z a m ie n t o .

L a s

re la c io n a d a s

c o m o

=

=

¿ ( / )

x ( l )

c ir c u la r

a m p litu d e s

d e

=

=

-

(8 .1 )

c o m o

l ü X

c o s

io 2 X

(r a d / s ),f e s

(iM

=

l i r f X

x n a t í

=

- 4

la

f r e c u e n c ia

d e s p la z a m ie n to

( X ) ,

7

c o s

r 2f

(O I

2 X

lin e a l

v e lo c id a d

(8 .2 )

s e n io i

( H

z )

y

( » ’„ £ , ) y

X

(8 .3 )

e s

la

a m p litu d

a c e le r a c ió n

flmix = - 4 TT2f lo s

lo g a ritm o s d e

la s

e c u a c io n e s

(8 .4 ) y

In

=

I n

In v ^

=

- In

d e

(a „ d x )

v„u = 2ir/X

T o m a n d o

m o

a rm ó n ic o

d e s e s tá n

(8.4) 2X

= - 21T f V a ix

(8 .5 ), o b te n e m o s

(2 t t / )

+

a m ix -

l n

X

In ( 2 n


(8.5) la s

s ig u ie n t e s

re la c io n e s

lin e a le s :

(8 .6 )

f)

( 8 .7 )

82

N o m ó g ra fo d e v ib ra c ió n y c r ite rio s d e v ib ra c ió n

647

S e v e q u e c o n u n v a lo r c o n s ta n te d e la a m p litu d d e d e s p la z a m ie n to (X ). la e c u a c ió n ( 8 .6 ) m u e s tra q u e ln v ^ c o n In (2 7 7 # c o m o u n a lín e a r e c ta c o n p e n d ie n te + 1 . A s im is m o , p a ra u n v a lo r c o n s ta n te d e l a a m p litu d d e a c e le r a c ió n (
v a r ía c o n l n (27r / ) c o m o

u n a lín e a r e c ta c o n p e n d ie n te - 1 . E s ta s v a ria c io n e s s e m u e s tra n c o m o u n n o m ó g ra fo e n l a f ig u ra 8 . 1. P o r lo ta n to , c a d a p u n to e n e l n o m ó g ra f o in d ic a u n a v i b r a c ió n se n o id a l ( a rm ó n ic a ) e s p e c ífic a . C o m o l a v ib ra c ió n im p a r tid a a u n h u m a n o o a u n a m á q u in a s e c o m p o n e d e m u c h a s f r e c u e n c i a s . r a r a v e z d e s ó lo u n a . l o s v a lo r e s d e la r a íz c u a d r a d a d e la m e d ia d e l o s c u a d ra d o s d e x ( r ) , »
2* 71 m m /sN o permisible

• s ,

O

a

DaAos menores

10

No •atisíactorio Satisfactorio

Umbral

2 -■ S

•5

Comotbdad reducida por exposición d urante las 24 h

2

Um bral de ' ' ' percepción Q ,

Bueno

■8

0 .1 1 mm/s

I

X

Envolvente de vibración aceptable para laboratorios que m antienen estándares de referencia

0 .0 1

Velocidad (rcm> (mnv's)

aooi

10

100

Frecuencia (Hz) F ig u ra 8 .1 N o m ó g ra fo y c rite rio s d e v ib ra c ió n [8.21.


200

1000

648

C a p ítu lo 8


A c o n tin u a c ió n s e e n u n c ia n lo s r a n g o s u s u a le s d e v ib ra c ió n e n c o n tra d o s e n d if e r e n te s a p lic a c io n e s c ie n tíf ic a s y d e in g e n ie ría [8.2J: 1. V ib ra c io n e s a tó m ic a s : F r e c u e n c ia = 1 0 12 H z , a m p litu d d e d c s p l a a u n ie n t o = I 0 _ 8 a 1 0 - 6 m m . 2 . M ic ro s is m o s o te m b lo re s m e n o re s d e la c o r te z a te r r e s tr e : fre c u e n c ia = 0.1 a 1 H z . a m p litu d d e l d e s p la z a m ie n to = 10- 5 a 1 0 - 3 m m . E s ta v ib ra c ió n t a m b ié n in d ic a el u m b ra l d e p e rtu rb a c ió n d e e q u ip o ó p tic o , e le c tr ó n ic o y d e c ó m p u to . 3 . V ib ra c ió n d e m a q u in a ria y e d ific io s : f r e c u e n c ia - 10 a 100 H z . a m p litu d d e d e s p la z a m ie n to ■ 0.01 a I m m . E l u m b ra l d e p e rc e p c ió n h u m a n a c a e d e n tr o d e l r a n g o d e fre c u e n c ia d e 1 a 8 H z. 4 . O s c ila c ió n d e e d ific io s a lto s : ra n g o d e f r e c u e n c ia « 0.1 a 5 H z . a m p litu d d e d e s p la z a m ie n to = 10 a 1 0 0 0 m m . L a s e v e r i d a d d e v i b r a c ió n d e m a q u in a ría s e d e f in e e n f u n c ió n d e l v a lo r r c m d e l a v e lo c id a d d e v ib ra c ió n e n I S O 2 3 7 2 [8.31. L a d e f in ic ió n I S O i d e n t i f ic a 15 r a n g o s d e s e v e rid a d d e v i b r a c ió n e n d ra n g o d e v e lo c id a d d e 0 . 11-71 m m /s p a r a c u a tro c la s e s d e m á q u in a s : ( I ) p e q u e ñ a s . (2 ) m e d ia n a s . (3) g r a n d e s y ( 4 ) t u r b o m á q u in a s . L a s e v e rid a d d e v i b r a c ió n d e m á q u in a s c la s e 3 . c o m o l o s m o

n t u r a 8 2 Sensibilidad a la frecuencia de vibración de d ifere n te s partes del c u e rp o h u m a n o .


82

N o m ó g ra fo d e v ib ra c ió n y c r ite rio s d e v ib ra c ió n

649

lo re s p r i m a r i o s , s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 8 .1 . P a r a a p lic a r e s l o s c r it e r i o s , l a v i b r a c ió n s e t ie n e q u e m e d ir e n l a s s u p e r f ic ie s d e la m á q u in a c o m o s o n l a s t a p a s d e c o j i n e t e s e n e l ra n g o d e f r e c u e n c ia d e 1 0 - 1 0 0 0 H z. I S O D P 4 8 6 6 18.4] p ro p o rc io n a la s e v e rid a d d e v ib ra c ió n d e u n e d if ic io c o m p le to d e b id o a u n a e x p lo s ió n o v i b r a c ió n d e e s ta d o e s ta b le e n e l ra n g o d e fr e c u e n c ia d e 1 -1 0 0 H z . P a r a l a v ib ra c ió n p r o v o c a d a p o r u n a e x p lo s ió n , la v e lo c id a d s e tie n e q u e m e d ir e n lo s c im ie n to s d e l e d if ic io c e r c a d e d o n d e o c u r rió l a e x p lo s ió n , y p a r a l a v ib ra c ió n d e e s ta d o e s t a b l e , la v e lo c id a d p ic o s e tie n e q u e m e d ir e n e l ú ltim o p is o . L o s lím ite s d a d o s s o n d e 3 - 5 m m /s p a r a e l u m b ra l d e d a ñ o s y d e 5 - 3 0 m m /s p a ra d a ñ o s m e n o r e s . E n la fig u r a 8.1 ta m b ié n s e m u e s tra n los re s u lta d o s d e v ib ra c ió n re p o rta d o s p o r S te ffe n s [ 8 .5 ] s o b re d a ñ o s e s tm c tu r a le s . L o s lím ite s d e v ib ra c ió n r e c o m e n d a d o s e n I S O 2631 [8 .6 ] e n la s e n s ib ilid a d h u m a n a a l a v i b ra c ió n ta m b ié n s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 8 .1 . E n E s ta d o s U n id o s , u n e s tim a d o d e 8 m illo n e s d e t r a b a ja d o re s e s tá n e x p u e s to s o b ie n a u n a v ib ra c ió n d e t o d o e l c u e r p o , o a u n a v ib ra c ió n s e g m e n ta d a a p a rte s e s p e c ífic a s d e l c u e r p o . L a v ib r a c ió n d e to d o e l c u e r p o p u e d e d e b e r s e a la tr a n s m is ió n a tr a v é s d e u n a e s tr u c tu r a d e s o p o rte c o m o e l a s ie n to d e un h e lic ó p te r o , y l a v ib ra c ió n d e p a rte s d e l c u e rp o e s p e c íf ic a s p u e d e n d e b e r s e a p ro c e s o s d e tra b a jo c o m o o p e ra c io n e s d e c o m p a c ta c ió n . ta la d ra d o y c o r te c o n s ie rra s d e c a d e n a . S e h a e n c o n tra d o q u e la to le r a n c ia h u m a n a a v ib ra c ió n d e t o d o e l c u e r p o e s m ín im a e n e l ra n g o d e fre c u e n c ia d e 4 - 8 H z. A l tie m p o q u e la v ib ra c ió n s e g m e n ta d a p r o v o c a le s io n e s p o r e s f u e r z o u b ic a d o e n d if e r e n te s p a rte s d e l c u e rp o a d ife re n te s f re c u e n c ia s , c o m o se in d ic a e n la f ig u r a 8 .2 . A d e m á s , s e h a n o b s e r v a d o los s ig u ie n te s e fe c to s a d if e r e n te s fre c u e n c ia s (8 .7 ]: m a re o s (0 .1 -1 H z ) . v is ió n b o rro s a ( 2 - 2 0 H z ) . p e r tu rb a c ió n d e l h a b la ( 1 - 2 0 H z ) . in te rfe re n c ia c o n ta r e a s (0 .5 -2 0 H z ) y fa tig a p o s t e r io r (0 .2 -1 5 H z). L o s n iv e le s d e v ib ra c ió n a c e p ta b le s p a ra la b o ra to r io s q u e m a n tie n e n e s tá n d a r e s d e re fe r e n c ia ta m b ié n s e m u e s tra n e n la f ig u r a 8 . 1.

E je m p lo 8.1

R e d u c ció n d e la v ib ra c ió n del a s ie n to d e u n h e lic ó p te ro 0 asiento d e un helicóptero, ju n to c o n e l piloto, pesa 1000 N y se ve que experim enta una deflexión estática de 10 m m bajo su propio peso. La vibración del rotor se transm ite a la base d e l asiento c o m o m ovim iento arm ónico con 4 Hz d e frecuencia y 0 .2 m m d e am plitud.

a . ¿C uál es e l n ivel de vibración percibid) p o r e l piloto? b . ¿C óm o se puede v o lv er a diseñar e l asiento p ara reducir e l efecto d e vibración? .Solución: a . M odelando e l asiento com o un sistem a no am ortiguado d e un solo grado d e liberta!, podem os calcular lo siguiente: M asa = m = IOOO/9.8I = 101.9368 kg R ig id e z * = ^ =

^

■ l O ’ N/m

10 »

Frecuencia natural =<■>,= y —

R elación d e fre c u e n c ia =

r=

■ V 101.9368

31.3209 rad/s = 4 .9 8 4 9 Hz

tú

—

i S S - u i


650

C a p ítu lo 8


C om o d asiento se som ete a u n a excitación arm ónica d e La b a se . La ecu ació n (3.68) p roporciona la am plitud de vibración percibida p o r el p iloto (m asa d e l asiento) con ¿ = 0 : X = ± - ^ - z

(E .1)

d o n d e Y e s la am plitud d e desplazam iento d e la base. L a ecu ació n ( E 1) da 0.2

X = -----------------1 - 1.2462

= 0 .3 6 1 6 m m

L as am plitudes d e la velocidad y aceleración percibidas por e l p iloto so n otX = 2 n f X = 2(»r) = (5 K 0 .3 6 16) - 9.0887 m m /s y ui2X = (2 irf)2X = 228.4074 m m/s2 = 0 .2 2 8 4 m /s2. C orrespondiente a la frecuencia de 4 H z. la figura 8.1 m uestra q u e e s posible q u e la am plitud d e m ovim iento d e 0.3616 m m no provoque m ucha incom odidad. S in em bargo, los niveles d e velocidad y aceleración a la m ism a frecuencia (4 Hz.) no son arep tab les p ara un vuelo confortable. E rra reducir el nivel d e vibración a uno aceptable, tratem os d e reducir e l n ivel d e aceleración percibi da p o r e l piloto d e 0 .2 2 8 4 m/s2 a 0.01 m/s2. U tilizando a irix = 10 m m /s2 = - ( 2 ? rf)*X = - (S n 'p X . obtenem os X = 0 .0 1 5 8 3 m m . Esto conduce a X

0.01583

7 =~

ñ ~

I = ± —

'

0

, =

16923

Bate v a lo r presenta la nueva frecuencia natural d e l asiento com o o»

8n

3.6923

3.6923

= 6 8 0 6 8 rad/s

U tilizando la relación &>„ = V k / m c o n m = 101.9368 kg. la nueva rigidez e s k = 4722.9837 N/m . Esto im plica q u e l a rigidez d e l asiento se tiene q u e reducir d e 105 N /m a 4722.9837 N /m . Esto se p u ed e lograr utilizando un m aterial m ás b lan d o para el asiento, o utilizando un diseño d e resortes diferen te. O b ien , el nivel de aceleración deseado se puede lograr increm entando la m asa d e l asiento. S in em bargo, esta solu ción e n e s m uy aceptable, ya q u e au m en ta e l peso d e l helicóptero.

8.3

R e d u c c ió n d e la v ib r a c ió n e n la f u e n t e l o p r im e r o q u e h a y q u e e x p lo r a r p a ra c o n tr o l a r v ib ra c io n e s e s tr a ta r d e m o d ific a r l a f u e n te d e m o d o q u e p ro d u z c a m e n o s v ib ra c ió n . E s te m é to d o p u e d e n o s e r f a c tib le s ie m p r e . A lg u n o s e je m p lo s efe f u e n te s d e v ib ra c ió n q u e n o p u e d e n s e r m o d ific a d a s s o n la e x c ita c ió n p o r s is m o s , tu ib u lc n c ia a m o s f é r i c a , irre g u la rid a d e s e n l a c a rre te ra y c o m b u s tió n in e s ta b le e n m o to re s . P ó r o t r a p a r te , c i e r tas fu e n te s c o m o e l d e s b a la n c c e n m á q u in a s ro ta to ria s o re c ip r o c a n te s s e p u e d e n m o d if ic a r p a r a r e d u c ir la s v ib ra c io n e s . E s to s e p u e d e lo g ra r, p o r lo g e n e r a l, u tiliz a n d o ta n to u n b a la n c e o in te r n o o un in c r e m e n to e n l a p r e c is ió n d e lo s e le m e n to s d e la m á q u in a . E l u s o d e to le ra n c ia s m ín im a s y un n e j o r a c a b a d o s u p e rfic ia l d e la s p a r te s d e l a m á q u in a ( la s c u a l e s tie n e n m o v im ie n to re la tiv o u n a c o n re s p e c to a la o tr a ) h a c e n q u e l a m á q u in a se a m e n o s s u s c e p tib le a la v ib ra c ió n . P o r su p u e s to , p u e d e h a b e r re s tric c io n e s e c o n ó m ic a s y d e fa b ric a c ió n e n e l g r a d o d e b a la n c e o q u e s e p u e d e lo g ra r o l a p re c is ió n c o n la c u a l s e p u e d e n f a b r ic a r l a s p a rte s d e la m á q u in a . C o n s id e ra re m o s e l a n á lis is cfc m á q u in a s ro ta to ria s y r e c ip ro c a n te s c u a n d o h a y d e s b a la n c e e in c lu s o l a s fo rm a s d e c o n tr o la r las v ib ra c io n e s q u e re s u lta n d e la s fu e rz a s d e s b a la n c e a d a s .


8 .4

8.4

B a la n c e o d e m á q u in a s r o ta to r ia s

651

B a la n c e o d e m á q u in a s ro ta to ria s La presencia de una masa excéntrica o dcsbalanccada en un disco rotatorio provoca vibración, la cual puede ser aceptable hasta un cierto nivel. Si la vibración provocada por una masa dcsba lanccada no es aceptable, se puede eliminar ya sea quitando la masa excéntrica o agregando una masa igual en una posición tal que anule el efecto del dcsbalance. Para aplicar este procedimiento tenemos que determinar la cantidad y la ubicación de la masa excéntrica experimental mente. El desbalance en máquinas prácticas se puede atribuir a irregularidades como errores de maquinado y variaciones en los tamaños de pernos, tuercas, remaches y soldaduras. En esta sección considerare mos dos tipos de balanceo: b a la n c eo e n u n p la n o o e stá tic o y b a la n ceo en d o s p la n o s o d in á m ic o |8.9,8.10).

B a la n c e o e n u n p la n o

Considere un elemento de máquina en la forma de un disco circular delgado, digamos un ventila dor. volante, engrane o una rueda de amolar, montado en una flecha. Cuando el centro de masa se desplaza del eje de rotación debido a errores de manufactura, se dice que el elemento de máquina está estáticamente dcsbalanceado. Para determinar si un disco está o no balanceado, monte la fle cha sobre dos cojinetes de baja fricción, como se muestra en la figura 8.3(a). Gire el disco y déjelo que se detenga. Marque el punto más bajo con gis en la circunferencia del disco. Repita el proceso varias veces, marcando con gis cada vez el punto más bajo en el disco. Si el disco está balanceado, las marcas de gis aparecerán dispersas al azar por toda la circunferencia. Por otra parte, si el disco no está balanceado, todas las marcas de gis coincidirán.

Disco

Cojinete 2 (a )

F ig u ra & 3 B alan ceo e n u n p la n o d e u n d isc o .


652

C a p ítu lo 8


H d c s b a la n c e d e te c ta d o p o r e s te p r o c e d im ie n to s e c o n o c e c o m o d e s b a la n c e e s tá tic o . El d e s b a t a n te e s tá tic o s e p u e d e c o r re g ir q u ita n d o (p e rfo ra n d o ) m e ta l e n l a m a r c a d e g is o a g re g a n d o un p e so a 180" d e l a m a r c a d e g is . C o m o n o s e c o n o c e l a m a g n itu d d e l d e s b a la n c e , la c a n tid a d d e m a te ria l q u e h a y q u e q u ita r o a g r e g a r d e b e d e te rm in a rs e m e d ia n te p r u e b a y e r r o r . E s te p r o c e d im ie n to se c o n o c e c o m o " b a la n c e o e n un p la n o ” , y a q u e to d a la m a s a q u e d a p rá c tic a m e n te e n u n s o lo p la n o . L a c a n tid a d d e d e s b a la n c e se d e te rm in a g ir a n d o e l d is c o a u n a v e lo c id a d c o n o c id a o> y m id ie n d o tas re a c c io n e s e n l o s d o s c o jin e te s ( v e a l a fig u ra 8 .3 (b )). S i s e c o lo c a u n a m a s a d e s b a la n c e a d a m en u n r a d io r d e l d i s c o , l a fu e rz a c e n tr íf u g a s e r á m ru ? . P o r l o ta n to , l a s re a c c io n e s m e d id a s e n los c o jin e te s F , y F , d a n m y r.

F| = - j m ru?,

= -j- m r u ?

(8 .8 )

O tro p r o c e d im ie n to p a r a b a la n c e o e n u n p la n o , p o r m e d io d e u n a n a liz a d o r d e v ib ra c ió n , s e ilu s tr a en l a fig u ra 8 .4 . E n e s t e c a s o , s e m o n ta u n a ru e d a d e a m o la r (d is c o ) e n u n a fle c h a r o ta to r ia q u e tie n e im c o jin e te e n A y l a m u e v e u n m o to r e lé c tr ic o a u n a v e lo c id a d a n g u la r u¡. A n te s d e in ic ia r e l p r o c e d im ie n to s e c o lo c a n u n a s m a r c a s d e r e fe r e n c ia , ta m b ié n c o n o c id a s c o m o m a r c a s d e f a s e . t a n t o e n e l r o to r ( r u e d a ) c o m o e n e l e s ta to r, c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u r a e n h f ig u r a 8 .5 (a ). S e c o lo c a u n d e te c to r d e v ib ra c ió n e n c o n ta c to c o n e l c o jin e te , c o m o s e m u e s tra en la f ig u r a 8 .4 . y e l a n a liz a d o r d e v ib ra c ió n s e a ju s ta a u n a fre c u e n c ia c o r re s p o n d ie n te a l a v e lo c id a d a n g u la r d e la r u e d a d e a m o la r . L a s e ñ a l d e v ib ra c ió n ( l a a m p litu d d e d e s p la z a m ie n to ) p r o d u c id a p o r e l d e s b a la n c e s e Ic e e n e l m e d id o r d e l a n a liz a d o r d e v ib ra c ió n . E l a n a liz a d o r d e v ib ra c ió n e n c ie n d e u n a l u z e s tr o b o s c ó p ic a a l a fre c u e n c ia d e la r u e d a r o ta to r ia . C u a n d o e l r o to r g i r a a u n a v e lo c id a d u>. la m a re a d e f a s e e n e l r o to r a p a r e c e e s ta c io n a r ia b a jo l a lu z e s tr o b o s c ó p ic a p e r o u b i c a d a a u n á n g u lo $ d e l a m a rc a e n e l e s ta to r , c o m o s e m u e s tr a e n l a f ig u ra 8 .5 (b ) , d e b id o a l re tra s o efe fa se e n l a r e s p u e s ta . S e a n o ta n ta n to e l á n g u lo 0 c o m o la a m p l i tu d A u (le íd o s e n e l a n a liz a d o r d e v ib ra c ió n ) p ro v o c a d o s p o r e l d c s b a la n c e o rig in a l. L u e g o se d e tie n e e l r o to r , y s e c o lo c a a l r o to r un p e so W d e p r u e b a c o n o c id o , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 8 .5 (b ) . C u a n d o e l r o to r g i r a a l a v e lo c id a d to, s e a n o ta l a n u e v a p o s ic ió n a n g u la r d e la m a r c a d e f a s e e n e l r o to r y la a m p litu d d e v ib ra c ió n A .* * p r o v o c a d a p o r e l d e s b a la n c e c o m b in a d o d e l r o to r y e l p e so d e p ru e b a ( v e a l a fig u r a 8 .5 ( c ) ) .'

Figura 8 A B alanceo e n u n p la n o p o r m edio de u n an alizador de vibración.

1 O bserve que el peso d e prueba se coloca en una posición que desplace e l dcsbalance neto en la dirección d e las m anecillas del reloj, la posición estacionaria d e la m arca d e fase se desplazará exactamente e n la m ism a cantidad e n la dirección con traria a la s m anecillas del reloj, y viceversa.


8 .4


653

Dirección del

F ig u ra 8 .5 Ik o d e m a rc a s d e fase.

A h o ra c o n s tr u im o s u n d ia g r a m a v e c to r ia l p a r a d e te r m in a r la m a g n itu d y lo c a liz a c ió n d e l a m a s a d e c o r re c c ió n p a r a b a la n c e a r l a r u e d a . EJ v e c to r d e d e s b a la n c c o r ig in a l A u x t r a z a e n u n a d ire c c ió n a r b itra ria , c o n s u lo n g itu d ig u a l a A u, c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u ra 8 .6 . L u e g o se t r a z a e l v e c t o r d e d e s b a la n c c c o m b in a d o c o m o / t u + „ a un á n g u lo ó - 0 c o n r e s p e c to a l a d ire c c ió n d e A u c o n u n a lo n g itu d d e A„+m. E l v e c to r d e d if e r e n c ia A w = A u+W -

A u e n l a f ig u r a 8 .6 r e p re s e n ta e n to n c e s e l

v e c to r d e d e s b a la n c c d e b id o a l p e s o d e p r u e b a W. L a m a g n itu d d e A w s e c a lc u la a p lic a n d o l a ley d e lo s c o s e n o s :

= [ A i + A 2+w - 2 / t aA u.w C 0 s ( « ¿ -

e ) ) 1' 2

(8 .9 )

C o m o l a m a g n itu d d e l p e s o d e p r u e b a W y s u d ir e c c ió n c o n r e s p e c to a l d c s b a la n c e o r i g in a l ( o e n la fig u ra 8 .6 ) se c o n o c e n , e l d e s b a la n c c o r ig in a l p u e d e e s t a r a u n á n g u lo o d e l a p o s ic ió n d e l p e s o d e p ru e b a , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 8 .5 (d ). E l á n g u lo a s e o b tie n e a p a r tir d e l a le y d e l o s c o s e n o s :

eos

-,r

+

2 A„AV

A u*w

(

8 . 10)

L a m a g n itu d d e l d e s b a la n c e o rig in a l e s W0 - ( A J A J - W , lo c a liz a d o a l a m is m a d is ta n c ia r a d ia l d e l e je d e ro ta c ió n d e l ro to r q u e e l p e s o W. U n a v e z c o n o c id a s l a lo c a liz a c ió n y m a g n itu d d e l d e s b a la n c e o rig in a l, s e p u e d e a g r e g a r u n p e s o d e c o rre c c ió n p a r a b a la n c e a r a d e c u a d a m e n te la ru e d a .

D csb alan ce original (desconocido)

Dirección del peso d e balanceo

F ig u ra 8 . 6 Ü e s b alan ce d e b id o a l p e s o d e p r u e b a

W.


654

C a p ítu lo 8


B b a la n c e o e n un p l a n o se p u e d e u tiliz a r p a r a b a la n c e a r e n un p la n o , e s d e c ir , p a r a r o to r e s d e l tip o de d is c o ríg id o . S i e l ro to r e s u n c u e r p o r íg id o a la rg a d o , c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u r a 8 .7 . e l d e s -

B a la n c e o e n d o s p la n o s

b a la n c e p u e d e e s ta r e n c u a lq u ie r p a rte a l o la r g o d e l a e x te n s ió n d e l ro to r. E n e s t e c a s o e l r o to r se p u e d e b a la n c e a r a g re g a n d o p e s o s d e b a la n c e o e n d o s p la n o s c u a le s q u ie ra [ 8 .1 0 .8 .1 1 ] . P a ra fa c ilita r b o p e r a c ió n se s u e le e le g i r lo s d o s p la n o s e x tr e m o s d e l r o to r ( m o s tr a d o s p o r m e d io d e lín e a s d e ra y as e n l a fig u ra 8 .7 ). Para v e r q u e c u a lq u ie r m a s a d e s b a la n c e a d a e n e l r o to r p u e d e s e r re e m p la z a d a p o r d o s m a s a s c fesb a lan c ea d a s e q u iv a le n te s (d o s p la n o s c u a le s q u ie r a ) c o n s id e r e u n ro to r c o n u n a m a s a d e s b a la n c e a d a m a u n a d i s t a n c i a / / 3 d e l e x tre m o d e r e c h o , c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u r a 8 .8 (a ). C u a n d o e l ro to r g i r a a u n a v e lo c id a d d e
o

m = m¡ + m 2

(8 .1 1 )

I b r a la e q u iv a le n c ia d e m o m e n to s e n l o s d o s c a s o s , c o n s id e r a m o s lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l e x tre m o d e r e c h o , d e m o d o q u e

m a r R - = m xa r R I

Plano L

'!

m = 3 /n ,

(8 .1 2 )

R ano R , ' ' \ Cojinete

Cojinete A

&

o

R otor rigido ¡ ■ — ------------ r / I ' I

A

l

7T F ig u ra 8 .7 Ifalanceo e n dos p lan o s d e u n rotor.

F - nuú2R

t-H

(a)

F ig u ra 8 .8 R epresentación de u n a m asa «fcshalanceada c o m o d o s m asas desbalanceadas equivalentes.


8 .4


655

L a s e c u a c io n e s ( 8 .1 1) y ( 8 .1 2 ) re s u lta n m , = m / 3 y m , = 2 m / 3 . P o r k) t a n t o .c u a lq u i e r m a s a d e s b a la n c e a d a p u e d e s e r re e m p la z a d a p o r d o s m a s a s d e s b a la n c e a d a s e q u iv a le n te s e n l o s p la n o s e x tre m o s d e l r o to r. A h o r a c o n s id e r a m o s el p r o c e d im ie n to d e b a la n c e o e n d o s p la n o s p o r m e d io d e un a n a liz a d o r d e v ib r a c ió n . E n l a f ig u r a 8 .9 , e l d e s b a la n c e t o ta l e n e l r o to r e s re e m p la z a d o p o r d o s p e s o s d e s h a la n c e a d o s U L y U K e n lo s p la n o s i z q u ie rd o y d e r e c h o , re s p e c tiv a m e n te . A l a v e lo c id a d d e o p e r a c ió n tu d e l r o to r , l a f a s e y a m p litu d d e v ib ra c ió n d e b id o a l d e s b a la n c e o r ig in a l s e m id e n e n l o s d o s c o jin e te s A y B , y lo s re s u lta d o s s e re g is tr a n c o m o lo s v e c to r e s VA y VB. L a m a g n itu d d d v e c to r d e v ib ra c ió n se c o n s id e r a c o m o l a a m p litu d d e v ib r a c ió n , m ie n tra s q u e l a d ir e c c ió n d d v e c to r s e c o n s id e r a c o m o d v a lo r n e g a tiv o d e l á n g u lo o b s e rv a d o t e j o l a lu z c s tr o b o s c ó p ic a re sp e c to d e l a lín e a d e re fe r e n c ia d e l e s ta to r. L o s v e c to r e s m e d id o s VA y s e e x p resa n co m o

VÁ = A m U l + A A*U R

(8 .1 3 )

V b « A BJ j L + A BRUR

( 8 .1 4 )

d o n d e A ,, s e c o n s id e ra c o m o u n v e c to r q u e r e f le ja e l e f e c to d e l d e s b a la n c e e n e l p l a n o j ( j = R) e n l a v ib ra c ió n e n e l c o jin e te i ( i = A . B ). O b s e r v e q u e UL , VK y t o d o s lo s v e c to r e s A¡j s o n d e s c o n o c id o s e n la s e c u a d o n e s ( 8 .1 3 ) y (8 .1 4 ). C o m o e n e l c a s o d e b a la n c e o e n u n p la n o , a g re g a m o s p e s o s d e p r u e b a c o n o c id o s y to m a m o s m e d id a s p a r a o b te n e r ¡ n f o r m a d ó n s o b r e la s m a s a s d e s b a la n c e a d a s . P rim e ro a g r e g a m o s u n p e s o c o n o d d o WL e n e l p la n o i z q u ie r d o a u n a p o s i d ó n a n g u la r c o n o c id a y m e d im o s e l d e s p la z a m ie n to y f a s e d e v i b r a c ió n e n l o s d o s c o jin e te s , m ie n tra s e l r o to r g i r a a u n a v e lo c id a d tu. In d ic a m o s e s ta s v ib r a d o n e s m e d id a s c o m o v e c to re s q u e

Va ' = A J Í Í + WL ) + ÁA R ÚR

( 8 .1 5 )

V¿ = A B i (UL + WL) + A b r U r

(8 .1 6 )

R e s ta n d o l a s e c u a c io n e s ( 8 .1 3 ) y (8 .1 4 ) d e la s e c u a c io n e s (8 .1 5 ) y ( 8 .1 6 ) . re s p e c tiv a m e n te , y r e s o l v ie n d o . o b te n e m o s ' \

l

=

(8 -1 7 ) *

«• '«>

WL

- Se ve que la resta, división y m ultiplicación com plejas a m enudo se utilizan en el cálculo d e pesos de balanceo. Si

* - “¿ ± a

y

“ -

pedemos volver a escribir A y tí com o A - a, + ia 7 y t í - b\ 4 ib¡, donde a , - a eo s BA y a , - a sen 0A, b, - b eos b h y b 2 ~ b sen 0 „. Entonces las fórm ulas para r e s a . división y m ultiplicación com plejas son ( 8 . 1 2 ]:

A - B - < « , - * , ) + . ( « , - b j) ~A _ B

(a,fc|+ a jb 2) + i(a¡b, - a f a ) (b? ♦ b \)

"A-tí =■ (a,b, - oO h)

¡(a2b, * att»)


656

C a p ítu lo 8


u,

j¡ ' *H ano íp derecho

H a no izquierdo Figura 8 .9 Balanceo en dos planos.

Luego eliminamos WL y agregamos un peso conocido Wfc en el plano derecho en una posición angjlar conocida y medimos las vibraciones resultantes mientras el rotor gira a una velocidad to. Las vibraciones medidas se pueden indicar como vectores:

VA" = A a k (V r

+

% ) + *

a¿Jl

(8 1 9 )

vs =

+

* * ) + A B,U L

( 8 .2 0 )

Cbmo antes, restamos las ecuaciones (8.13)y (8.14) de las ecuaciones (8.19) y (8.20), respectiva mente, para encontrar

W

7

A

Una vez que se conocenJos vectores A vectores de dcshalance UL y UR \

¡¡

- v A

( 8 .2

(8 .2 2 )

rr

se resuelven las ecuaciones (8.13) y (8.14) para hallar los

ÜL =

(8.23) ArrA ^

-

1)

= J A

m b l

A

a r

A arA bl

-

a

m

~

Aa

l

(8 .2 4 )

A

rr

Ahora se puede balancear el rotor agregando pesos de balanceo iguales y opuestos en cada ¿ano. Los pesos de balanceo en los planos izquierdo y derecho se indican vectorial mente como = y b r = U r - Se ve que el procedimiento de balanceo en dos planos es una extensión cSrccta del procedimiento de balanceo en un plano. Aunque los rotores de alta velocidad se balan cean durante su fabricación, en general se hace necesario volverlos a balancearen el campo debido a desbalances leves presentados por ccdencia, operación a alta temperatura, etc. La figura 8.10 nuestra un ejemplo práctico de balanceo en dos planos.


8 .4


657

F ig u ra 8 .1 0 Balanceo e n das planos. (C ortesía d e B ruel a n d K jaer In stru m en ts, Inc.. M arlborough, MA.).

E je m p lo 8 .2

B a la n c e o e n d o s p la n o s d e u n r o to r d e tu rb in a E n e l balanceo e n d o s p lan o s d e un ro to r d e turbina, a co ntinuación se m uestran los datos obten id o s c o n la m e d ición d e l desbalance original, e l peso d e pru eb a e n e l plano d erecho y e l peso d e pru eb a e n e l plano izquierdo. L as am plitudes de desplazam iento s e expresan e n m ils ( l / l 000 pulg). D eterm ine e l tam año y la ubicación de los pesos requeridos.

A m p litu d d e v ib ra c ió n (desplazam iento)__________

Á n g u lo d e fa se

E n e l c o jin e te A

E n e l c o jin e te B

En e l c o jin e te A

En el c o jin e te B

D esbalancc original

8.5

6.5

60"

2 05"

W , = 10.0 07. agregadas a 2 70" d e la m arca

6.0

4.5

125°

230"

6.0

10.5

35°

160°

C ondición

de referencia W* = 12.0 oz agregadas a 180" d e la m arca de referencia


C a p ítu lo 8


S o lu c ió n : L o s d a lo s s e e x p re sa n e n n o ta c ió n v e c to ria l com o

VÁ = 8 .5 /6 0 ° = 4.2500 + /7.3612 VB = 6.5/ 2 0 5 °

=

- 5 .8 9 1 0 - «17470

v ; = 6.0 / 1 2 5 °

=

- 3 .4 4 1 5 + ¿4.9149

V¿ = 4.5/ 2 3 0 °

=

- 2 8 9 2 6 - Í3.4472

= 6 .0 /3 5 ° = 4.9149 + «3.4472 V ¿ = 10.5/ 1 6 0 ° = - 9 .8 6 6 8 + 0.5912 WL = 10.0/ 2 7 0 ° = 0 .0 0 0 0 - /10.0000 W„ = 12.0 / 1 8 0 ° = - 1 2 .0 0 0 0 + «0.0000 Las ecuaciones (8.17) y (8.18) proporcionan

* - ■

□ u so de la s ecuaciones ( 8 .2 1) y (8.22) conduce a

Los pesos d e desb alan cc se determ inan por las c cu a cio rc s (8.23) y (8.24): {5.2962 + (0.1941) - (1.2237 - «1.7721)

(4.0725 + «1.9661)

U‘ = ( - 0 .3 2 5 2 - jO.3840) - ( - 0 .1 0 1 8 + (0.0063) = ( - 0 .2 2 3 4 - '0 .3 9 0 3 ) = - 8 .2 9 3 0 + 5.6879 (- 1 .9 0 9 6 + 11.7898) - (3.5540 + £3.8590) Ur

(1.6443 - ¿2.0693)

( - 0 .1 0 1 8 + 0 .0 0 6 3 ) - ( - 0 3 2 5 2 - «0.3840) “ (0.2234 + 0 .3 9 0 3 ) = - 2 .1 7 7 3 - «5.4592

R>r lo tanto, los pesos de b alan ce requeridos e stán dados por -Ü L

(8 2 9 3 0 - £5.6879) = 10.0561/1 4 5 .5 5 4 8 °

Bl

=

h'h

= ~U K = (2.1773 + «5.4592) = 58774/2 4 8 .2 5 5 9 °

=

B t o m uestra que la adición de un peso d e 10.0561 o z en el plano izquierdo a 145.5548' y un peso de 5.8774 oz en e l plano d erecho a 248.2559" d e la posición d e referencia balanceará e l ro to r d e la turbina. S e infiere que b s pesos d e balanceo se colocan a la m ism a distancia radial q u e los pesos de prueba. S i un peso d e balanceo


8 .5

R e m o lin e o d e fle c h a s r o ta to r ia s

659

x lu v icia q u e colocar e n u n a posición radial diferente, e l peso tfc balanceo requerido tendría que m odificarse en proporción inversa a la distancia radial d e l e je d e rotación.

8 .5

R e m o lin e o d e fle c h a s r o ta to ria s E n la s e c c ió n a n te r io r s e s u p u s o q u e e l s is te m a d e ro to r: la fle c h a y e l c u e r p o r o ta to rio , e r a n r íg id o s . S in e m b a r g o , e n m u c h a s a p lic a c io n e s p ra c tic a s , c o m o t u r b in a s , c o m p r e s o r e s , m o to re s e lé c tr ic o s y b o m b a s , se m o n ta u n r o to r p e s a d o s o b r e u n a fle c h a fle x ib le l ig e r a q u e e s t á a p o y a d a e n ro d a m ie n to s . H a b r á d c s b a la n c c e n t o d o s lo s r o to re s d e b id o a e r ro re s d e f a b ric a c ió n . E s to s d e s b a la n c e s a s í c o m o o tr o s e f e c to s , c o m o l a rig id e z y a m o r tig u a m ie n to d e l a f le c h a , e fe c to s g iro s c ó p ic o s y f r ic c ió n d e flu id o e n ro d a m ie n to s , h a r á n q u e la fle c h a se fle x io n e d e u n a m a n e ra c o m p lic a d a a c ie rta s v e lo c i d a d e s d e ro ta c ió n , c o n o c i d a s c o m o v e lo c id a d e s d e re m o lin e o , la tig u e o o c rític a s . E l re m o lin e o se d e fin e c o m o la r o ta c ió n d e l p la n o f o rm a d o p o r l a lín e a d e c e n tr o s d e lo s r o d a m ie n to s y l a fle c h a fle x io n a d a . E n e s t a s e c c ió n e s tu d ia m o s lo s a s p e c to s d e m o d e la d o d e l s is te m a d e r o to r , la s v e lo c id a d e s c r ític a s , l a re s p u e s ta d d s is te m a , y l a e s ta b ilid a d (8 .1 3 -8 .1 4 ).

8 .5 .1

C b n s id e r e u n a f l e c h a a p o y a d a p o r d o s r o d a m ie n to s y c o n u n r o to r o d is c o d e m a s a m a l a m ita d ,

EC U dC ÍO ne S

d o e s ta b le c a u s a d a p o r u n d c s b a la n c e d e m a s a . L a s f u e rz a s q u e a c tú a n e n d r o to r s o n la ftic r z a d e

d e m o v im ie n to

in e rc ia d e b id o a l a a c e le r a c ió n d e l c e n tr o d e m a s a , l a fu e rz a d e r e s o rte d e b id o a l a d a s t i c i d a d d e la fle c h a , y l a s fu e rz a s d e a m o rtig u a m ie n to e x te r n a s c in te r n a s .3

c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u r a 8 .1 1 . S u p o n d re m o s q u e d ro to r e s t á s o m e tid o a u n a e x c ita c ió n cfc c s ta -

S e a O l a p o s ic ió n d e e q u ilib rio d e l a fle c h a c u a n d o e s t á p e rfe c ta m e n te b a la n c e a d a , c o m o se m u e s tra e n l a f ig u r a 8 .1 2 . S e s u p o n e q u e la fle c h a ( l í n e a C G ) g i r a a u n a v e lo c id a d a n g u la r c o n s ta n te (o. D u ra n te la ro ta c ió n , e l r o t o r s e f le x io n a ra d ia lm e n te a u n a d i s t a n c i a A = O C (e n e s ta d o e s ta b le ). S e s u p o n e q u e e l r o to r ( d is c o ) tie n e u n a e x c e n tr ic id a d a d e m o d o q u e s u c e n tr o d e m a s a ( c e n tr o d e g ra v e d a d ) G e s t á a u n a d i s t a n c i a « d e l c e n tr o g e o m é tric o . C . U tiliz a m o s un s is te m a d e c o o rd e n a d a s

F ig u ra 8 .1 1 H e c h a c o n u n ro to r.

-*Cualquier sistema rotatorio responde en dos formas diferentes a las fuerzas de amortiguamiento o fricción, dependiendo de si las fuerzas giran con la flecha o no. Cuando las posiciones en que actúan las fuerzas permanecen fijas en el espacio, con en el caso de fuerzas de amortiguamiento (las cuales prov ocan pérdidas de energía) en la estructura de soporte, el amor tiguamiento se conoce como anortiguamiento estacionario o externo. Por otra parte, si las posiciones en que actúan giran con la flecha en el espado, como en el caso de fricción iitem a del material de la flecha, el amortiguamiento se conoce como amortiguamiento rotatorio o interno.


660

C a p ítu lo 8


yí7)

F ig u ra 8 .1 2 R ito r c o n excentricidad.

fijo (x y y fijo a l a tie rra ) c o n O c o m o e l o r ig e n p a r a d e s c rib ir e l m o v im ie n to d e l s is te m a . L a v e lo c i d a d a n g u la r d e la l ín e a O C , 0 = d O /d t, s e c o n o c e c o m o v e lo c id a d d e re m o lin e o y n o s u e le s e r ig u a l a ui. L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e l r o to r ( m a s a m ) s e p u e d e n e s c rib ir c o m o

R ie r z a d e i n e r c i a ( F¡) = R ie r z a e lá s tic a { /£ ) + R ie r z a d e a m o r tig u a m ie n to in te r n o (Fj¡) + R i e r / a d e a m o r tig u a m ie n to e x te r n o ( Fde)

(8 .2 5 )

L a s d iv e rs a s fu e rz a s e n l a e c u a c ió n (8 .2 5 ) s e p u e d e n e x p r e s a r c o m o s ig u e :

F u e rz a d e in e rc ia : F, = m R

( 8 .2 6 )

c b n d e R in d ic a d v e c to r ra d io d e l c e n tr o d e m a s a G d a d o p o r

R = ( x + a c o s a r ) ? + ( y + a s e n < o t)j

( 8 .2 7 )

c b n d e x y y r e p re s e n ta n la s c o o rd e n a d a s d e l c e n tr o g e o m é tric o C e i y j in d ic a n lo s v e c to r e s u n ita rio s a lo la rg o d e la s c o o r d e n a d a s x y y , r e s p e c tiv a m e n te . L a s e c u a c io n e s ( 8 .2 6 ) y ( 8 .2 7 ) c o n d u c e n a

F¡ = » i [ ( x - a a 2 c o s o > r)i + ( y - a to 1 s e n < ot)j] F u e rz a e lá s tic a : F e = - k ( x ¡ + y j )

( 8 .2 8 ) (8 .2 9 )

c b n d e k e s la r ig id e z d e la fle c h a .

R ie rz a d e a m o r tig u a m ie n to in te rn o : F¿¡ = —c / [ ( i + to y )¡ +

(y + t o x ) j ]

(8 .3 0 )

c b n d e c , e s e l c o e f ic ie n te d e a m o r tig u a m ie n to in te rn o o ro ta to rio : —* ♦ R je r c a d e a m o r tig u a m ie n to e x te r n o : Fde = - c ( x i + y j )


( 8 .3 1 )

8 .5


661

donde c e s el coeficiente de amortiguamiento externo. Sustituyendo las ecuaciones (8.28) a (8.31) en la ecuación (8.25). obtenemos las ecuaciones de movimiento en forma escalar: mx +

(c¡ +

c)x

+

k x - c ,to y = m o r a c o s t o /

m y + ( c / + c )y + k y — c ¡to x = m ío2a sen to t

(8.32) (8.33)

Estas ecuaciones de movimiento, las cuales describen la vibración lateral del rotor, están acopladas y dependen de la velocidad de rotación de estado estable to, de la flecha. Definiendo una cantidad compleja w como w - x + iy

(8.34)

donde i = ( — 1)*^ y sumando la ecuación (8.32) a la ecuación (8.33) multiplicada por i. obtenemos una única ecuación de movimiento: m w + ( a + c )w + k w -

8 .5 .2

V e lo c id a d e s CTÍti C a s

ito c iw = m to 2a e la*

(8.35)

Se dice que una velocidad crítica existe cuando la frecuencia de rotación de una flecha es igual a una de sus frecuencias naturales. La frecuencia natural no amortiguada del sistema de rotor se obtiene resolviendo las ecuaciones (8.32). (8.33) u (8.35). reteniendo sólo la parte homogénea con Cj ■ c ■ 0. Esto da la frecuenda natural del sistema (o veloddad crítica del sistema no amortiguado): í k \ 1' 2

”■- Uj

(836)

Cuando la veloddad de rotación es igual a esta velocidad crítica, el rotor experimenta grandes deflexiones y la fuerza transmitida a los rodamientos puede provocar fallas en éstos. Se espera que una rápida transidón de la flecha rotatoria de una velocidad crítica limite las amplitudes de remo lineo. mientras que una transición lenta por la velocidad crítica promueva el desarrollo de grandes amplitudes. La referencia 18.15] investiga el comportamiento del rotor durante la aceleración y desaceleración a través de velocidades críticas. En la referencia [8.16] se presenta un programa de computadora F O R TR A N para calcular las velocidades críticas de flechas rotatorias.

R e s p u e s ta

del S is te m a

Para determinar la respuestadel rotor, suponemos que la cxdtadón es una fuerza armónica producida por el desbalancc del rotor. Además, suponemos que el amortiguamiento interno es insignificante (c, = 0). Entonces, podemos resolver las ecuaciones (8.32) y (8.33) (o de manera equivalente, la ecuación (8.35)) y determinar las amplitudes de remolineo dinámico del rotor originadas por el desbalance de la masa. Con c¡ = 0, la ecuación (8.35) se reduce a m

w

+

c w

+

k w

=

m

u r a e 1* *

( 8 .3 7 )

L a s o lu c ió n d e l a e c u a c ió n ( 8 .3 7 ) s e p u e d e e x p r e s a r c o m o

h - ( í) = C e " < a ,+ P > +

Ae


( 8 .3 8 )

C a p ítu lo 8


ibnde C . f i . A y <*>son constantes. Observe que el primer término en el lado derecho de la ecuación (8.38) contiene un término exponencial decadente que representa una solución transitoria y el se gundo término denota un movimiento circular de estado estable (remolineo). Sustituyendo la parte (fe estado estable de la ecuación (8.38) en la ecuación (8.37), podemos determinar la amplitud del movimiento circular (remolineo) como ar

m io2a [(k

-

m ar)2

+«V]1/2 [(1 - r2)2+ (2£r)2]'/2

(8.39)

y el ángulo de fase como

ó = tan- i

(8.40)

cbnde ai 2 V km '

Diferenciando b ecuación (8.39) con respecto a a t e iguabndo el resultado a cero, podemos hallar b velocidad de rotación
Vi -

2?

i I

<

(c) controla

F ig u ra 8 .1 3 G rá fic a s d e la s e c u a c io n e s (8.39) y (8 .4 0 ).


(8.41)

8 .5

d o n d e la e c u a c ió n ( 8 .3 6 ) r e s u l ta e n


663

S e v e q u e la v e lo c id a d c r ít i c a c o r r e s p o n d e e x a c ta m e n te a

la fr e c u e n c ia n a tu r a l o>n s ó l o c u a n d o e l a m o r tig u a m ie n to (c ) e s c e r o . A d e m á s , la e c u a c ió n ( 8 .4 1 ) m u e s tra q u e . p o r l o g e n e r a l, la p re s e n c ia d e a m o rtig u a m ie n to in c r e m e n ta e l v a lo r d e l a v e lo c id a d c r ític a c o m p a r a d a c o n toH. E n la fig u ra 8 .1 3 ( 8 .1 4 ) s e m u e s tra u n a g rá fic a d e l a s e c u a c io n e s ( 8 .3 9 ) y ( 8 .4 0 ) . C o m o la fu n c ió n fo rz a d a e s p r o p o r c io n a l a n o rm a lm e n te e s p e ra m o s q u e l a a m p litu d d e v ib ra c ió n s e in c re m e n te c o n l a v e lo c id a d to. S in e m b a rg o , la a m p litu d re a l a p a r e c e c o m o se m u e s tra e n la f ig u ra 8 .1 3 . P o r la e c u a c ió n ( 8 .3 9 ) s e o b s e r v a q u e l a c o n s ta n te d e r e s o r te k d e te r m in a la a m p litu d d e re m o lin e o c ir c u la r A a b a ja s v e lo c id a d e s , p u e s to q u e lo s o t r o s d o s té r m in o s , m ío2 y c 2**2 s o n p e q u e ñ o s . A d e m á s , s e v e q u e e l v a lo r d e l á n g u lo d e f a s e e s 0* s e g ú n l a e c u a c ió n ( 8 .4 0 ) p a ra v a lo re s p e q u e ñ o s d e tu. A m e d id a q u e io se in c re m e n ta , l a a m p litu d d e l a r e s p u e s ta a lc a n z a u n p ic o , p u e s to q u e l a r e s o n a n c ia o c u r re c o n k - m m 1 - 0 . A lr e d e d o r d e la r e s o n a n c ia , e n e s e n c ia e l té rm in o d e a m o r tig u a m ie n to l im ita la re s p u e s ta . E l re tra s o d e f a s e e s d e 9 0 ’ e n re s o n a n c ia . A m e d id a q u e l a v e lo c id a d io s e in c r e m e n ta m á s a l l á d e ion. e l té r m in o d e m a s a m 2^/* e n l a e c u a c ió n ( 8 .3 9 ) d o m in a la r e s p u e s ta . P u e s to q u e e s te té r m in o e s t á d e s f a s a d o 180" c o n r e s p e c to a la fu e rz a d c s b a la n c e a d a . l a fle c h a g i r a e n d ir e c c ió n o p u e s ta a la d e la f u e r z a d e s b a la n c e a d a , d e a h í q u e su re s p u e s ta e s ta rá lim ita d a .

N o ta s: 1.

L a e c u a c ió n (8 .3 8 ) a s u m e im p líc ita m e n te u n a c o n d ic ió n d e re m o lin e o s in c r ó n ic o d ir e c to b a jo e s ta d o e s ta b le ( e s d e c i r , 0 = o> ). C o m o u n c a s o g e n e r a l, s i l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le d e la l a s o lu c ió n s e o b tie n e c o m o y — ±< u, c o n

e c u a c ió n ( 8 .3 7 ) s e s u p o n e c o m o h '( /) =

y = + o ) re p re s e n ta n d o e l re m o lin e o s in c r ó n ic o d ir e c to y y =

- t o d e n o ta n d o u n re m o lin e o

s in c r ó n ic o in v e rs o . P a r a ro to r e s s im p le s , c o m o e l d e l a fig u ra 8 .1 1. s ó lo o c u rre re m o lin e o s i n c r ó n ic o d ir e c to e n l a p rá c tic a . 2.

P a ra d e te r m in a r la s re a c c io n e s e n lo s ro d a m ie n to s , p r im e ro e n c o n tr a m o s l a d e f le x ió n d e l c e n tro d e m a s a d e l d is c o c o n re s p e c to a l e je d e r o d a m ie n to . R e n l a fig u ra 8 . 1 2 . c o m o

R 2 = A2 + a 2 + 2 A a e o s

(8 .4 2 )

C o n s id e r a n d o l a s e c u a c io n e s ( 8 .3 9 ) y ( 8 .4 0 ) . l a e c u a c ió n ( 8 .4 2 ) se re e s c rib e c o m o

R = a

(1

I + (2i r ) 2 r*r -

r 2) 3 +

(2 f r )

Vn r

( 8 .4 3 ) J

L a s re a c c io n e s e n lo s r o d a m i e n t o s s e d e te r m in a n e n to n c e s p o r l a f u e r z a c e n t r íf u g a , m u ^ R . L a v ib ra c ió n y b a la n c e o d e r o to r e s f le x ib le s d e s b a la n c e a d o s s e p r e s e n ta n e n l a s r e f e r e n c i a s 1 8 .1 7 . 8 .1 8 ],

8 . 5 . 4 ________

L a in e s ta b ilid a d e n u n s is te m a d e r o to r fle x ib le p u e d e o c u r r i r d e b id o a v a rio s fa c to r e s c o m o fric c ió n

A n á lis is d e

e s ta b ilid a d d e l s is te m a s e p u e d e in v e s tig a r t e n ie n d o p re s e n te la e c u a c ió n q u e r i g e l a d in á m ic a d e l

e s ta b ilid a d

s iste m a . S u p o n ie n d o w (t) = e ett. l a e c u a c ió n c a r a c te rís tic a a l a p a r te h o m o g é n e a d e l a e c u a c ió n

in te rn a , e x c e n tr ic id a d d e l r o to r y e l la tig u e o d e a c e ite e n lo s ro d a m ie n to s . C o m o s e v io a n te s , la

( 8 .3 5 ) s e e s c rib e c o m o

m s 2 + ( q + c )s + k - itoc¡ = 0


(8 .4 4 )

664

C a p ítu lo 8


Cbn

s

■ / A j a e c u a c ió n ( 8 . 4 4 ) s e e s c r i b e c o m o

- m A2 + (c¡ + c ) i A + k -

¡toe, = 0

( 8 .4 5 )

E s ta e c u a c ió n e s u n c a s o p a rtic u la r d e l a e c u a c ió n m á s g e n e ra l

(8 .4 6 )

( p 2 + i q 2)X 2 + ( P t + '«7i)A + (P o + / ‘7o) * 0

U n a c o n d ic ió n n e c e s a ria y s u f ic ie n te p a ra q u e e l s is te m a re g id o p o r l a e c u a c ió n ( 8 .4 6 ) s e a e s ta b le , se g ú n e l c r ite r io d e R o u lh -H u rw itz . e s q u e s e s a tis fa g a n la s s ig u ie n te s d e s ig u a ld a d e s :

Pi

P\

«72

«7i

> 0

P2

Pl

Po

0

«72

*7t

«70

0

0

P2

Po

0

«72

P\ Q\

(8 .4 7 )

> 0

( 8 .4 8 )

«70

C b s e rv a n d o q u e p 2 = — m , q2 = O . p , = 0 . « / , = c , + c , p 0 = k y qQ =

- o > c ,,d c a c u e r d o c o n la

e c u a c ió n ( 8 .4 5 ) . l a a p lic a c ió n d e la s e c u a c io n e s ( 8 .4 7 ) y ( 8 .4 8 ) c o n d u c e a m (c ¡ + c ) > 0

(8 .4 9 )

k m ( c ¡ + c ) 2 - m 2((o2c j ) > 0

(8 3 0 )

L a e c u a c ió n ( 8 .4 9 ) s e s a tis f a c e a u to m á tic a m e n te , e n ta n to q u e la e c u a c ió n ( 8 .5 0 ) p ro d u c e la c o n d ic ió n

-

£ H )

- a >

0

(8 3 1 )

E s ta e c u a c ió n ta m b ié n m u e s tra q u e l a fric c ió n in te rn a y e x te r n a p u e d e p r o v o c a r in e s ta b ilid a d a v e lo c id a d e s d e ro ta c ió n p o r e n c im a d e la p r im e r a v e lo c id a d c r ít i c a d e to =

E je m p lo 8.3

I —. m

A m p lit u d d e re m o lin e o d e u n a flech a c o n u n r o to r d e s b a la n c e a d o Una flecha, c o n un rotor que p e sa 100 Ib y excentricidad d e 0.1 pulg.. g ira a 1200 rpm . D etennine (a) la am plitud d e rem olineo d e estado estable y (b) la am plitud d e rem olineo m áxim a durante las condiciones de arranque del sistem a. S uponga la rigidez d e la flecha c o m o 2 X 105 Ib/pulg y la relación d e am ortiguam iento externo com o 0 . 1.


8.6

Balanceo de motores reciprocantes

665

S olución: La frecuencia forzada d e l rotor (velocidad d e rotación d e la llech a) está ifada por 1200 X 2i

= 4 0 * = 125.6640 rad/s

60

La frecuencia natural d e l sistem a s e determ ina com o ík

I 2 .0 X 105

Vm ~ V

(1 0 0 /3 8 6 .4 )

= 87.9090 rad/s

y la relación d e frecuencia com o 125.6640 <0,

87.9090

= L4295

(a ) L a ecuación (8.39) proporciona la am plitud cfc e stad o estable:

A=

ar2

(E .l)

V C - ' Y + M 'f (0 .l)(l .4295)* = 0.18887 pulg.

(E.2)

\ / ( l - 1.42952)* + ( 2 X 0.1 X 1.4295)2

(b )

D urante la s condiciones d e arranque, la frecuencia (velocidad) d e l rotor, a», pasa p o r la frecuencia natural d e l sistem a. P o r lo tanto, c o n r = l e n la ecu ació n ( E I ). obtenem os la am plitud d e rem olineo com o

a

0 .1

A l , - i = — = ^TTTTT = 0-5 pulg. 2

8.6

i

2 ( 0 . 1)

B a la n c e o d e m o t o r e s r e c ip ro c a n te s Los elementos móviles esenciales de un motor reciprocante son el pistón, el cigüeñal y la biela, las vibraciones en motores reciprocantes se presentan debido a ( 1 ) la variación periódica de la pre sión de gas en el cilindro y (2) las fuerzas de inercia (periódicas) asociadas con las partes móviles. (8.19]. A continuación examinaremos un motor reciprocante y encontraremos las fuerzas dcsbalanceadas provocadas por estos factores.

F u e rz a s d e s b a la n c e a d a s d e b id o a f lu c tu a c io n e s e n la p re s ió n de g a s

La figura 8.14(a) es un diagrama esquemático de un cilindro de un motor reciprocante. El motor es propulsado por el gas que se expande en el cilindro. El gas ejerce una fuerza de presión Fe n el pistón, la cual se transmite al cigüeñal por conducto de la biela. La reacción a la fuerza F se puede descomponer en dos componentes: una de magnitud F/cos «6, que actúa a lo largo de la biela, y la otra de magnitud Ftan <£, que actúa en una dirección horizontal. La fuerza F/cos ó induce un par de torsión M ,, la cual tiende a hacer girar el cigüeñal. (En la figura 8.14(b), Af, actúa con respecto a un eje perpendicular al ¿ano de la página y pasa por el punto Q).

M '■te)

re o s#


( 9 .5 2 )

666

C a p ítu lo 8


F

*

F la n *

F la n * F

(c)

F igura 8 .1 4 F u e rz as e n un m o to r recip ro can te.

R ira e l e q u ilib r io d e f u e rz a s d e to d o e l s is te m a , la s f u e rz a s e n lo s ro d a m ie n to s d e l c ig ü e ñ a l s e r á n F en la d ire c c ió n v e r tic a l y F ta n e n l a d ir e c c ió n h o riz o n ta l. R>r lo ta n to , l a s f u e rz a s tra n s m itid a s a l a s p a r te s e s ta c io n a ria s d e l m o to r s o n l a s s ig u ie n te s : 1 . L a f u e rz a F q u e a c tú a h a c ia a r rib a e n l a c a b e z a d e c ilin d ro s 2 . L a f u e r z a F t a n if>q u e a c tú a h a c ia l a d e r e c h a e n l a c a b e z a d e c ilin d ro s 3 . L a f u e r z a F q u c a c tú a h a c ia a b a jo e n e l r o d a m ie n to d e l c ig ü e ñ a l Q 4 . L a f u e r z a F t a n <¿>q u e a c tú a h a c ia l a iz q u ie rd a e n e l r o d a m ie n to d e l c ig ü e ñ a l. E stas fu e rz a s s e m u e s tra n e n l a fig u ra 8 .1 4 (c ) . A u n c u a n d o l a fu e rz a re s u lta n te to ta l e s c e r o , h a y un p a r d e to re ió n re s u lta n te M Q = F h tan ó q u e a c tú a e n e l c u e r p o d e l m o to r, d o n d e h s e p u e d e e n c o n tra r a p a rtir d e l a g e o m e tría d e l sis te m a :

•

' COS" scn<ó

,8 3 3 )

R>r lo ta n to , e l p a r d e to r s ió n re s u lta n te e s

(tM) C b in o s e e s p e r a b a , s e v e q u e lo s p a r e s M , y M Q d a d o s p o r la s e c u a c io n e s ( 8 .5 2 ) y ( 8 .5 4 ) s o n i d é n tic o s. l o q u e in d ic a q u e e l p a r d e to r s ió n in d u c id o e n e l c ig ü e ñ a l d e b id o a l a p re s ió n d e g a s so b re d p is tó n s e p e rc ib e e n e l s o p o rte d e l m o to r. C o m o l a m a g n itu d d e l a f u e r z a d e l g a s F v a ría c o n e l tie m p o , e l p a r d e to r s ió n M Q ta m b ié n v a r ía c o n e l tie m p o . L a m a g n itu d d e l a f u e r z a F c a m b i a d e s d e un m á x im o h a s t a un m ín im o a u n a f r e c u e n c ia re g id a p o r e l n ú m e ro d e c ilin d r o s e n e l m o to r, e l tip o tfcl c ic lo d e o p e r a c ió n y l a v e lo c id a d d e ro ta c ió n d e l m o to r.


8 .6

B a la n c e o d e m o to r e s r e c ip r o c a n te s

667

A c e le r a c ió n d e l p i s t ó n . L a f ig u ra 8 .1 5 m u e s tra e l c ig ü e ñ a l ( d e lo n g itu d r ) . l a b ie la ( d e lo n g itu d I)

F u e rza s d e s b a la n c e a d a s d e b id o a in e rc ia d e la s p a rte s m ó v ile s

y e l p i s t ó n d e u n m o to r r e c ip r o c a n te . S e s u p o n e q u e e l c ig ü e ñ a l g i r a e n d ir e c c ió n c o n tr a r ia a la s m a n e c illa s d e l r e lo j a u n a v e lo c id a d a n g u la r c o n s ta n te , w .c o m o s e m u e s tra e n l a f ig u ra 8 .1 5 . S i c o n s id e ra m o s e l o r ig e n d e l e je x (O ) c o m o l a p o s ic ió n m á s a lta d e l p is tó n , e l d e s p la z a m ie n to d e l p is tó n P c o r re s p o n d ie n te a u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r d e l c ig ü e ñ a l d e (f = on s e p u e d e e x p r e s a r c o m o e n la fig u ra 8 .1 5 . E l d e s p la z a m ie n to d e l p is tó n P c o r re s p o n d ie n te a u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r d e l c ig ü e ñ a l

0 = io t d e s u p o s ic ió n m á s a l t a (o r ig e n O ) s e p u e d e e x p r e s a r c o m o xp = r + / -

r eos 6 -

= r + / -

r eos

ü ii

I eos - l \/ \

~ s e n 2

(8.55)

P e ro I s e n
(8.56)

y p o r c o n s ig u ie n te 1/2

eos ó

-

(l

(8 .5 7 )

-

S u s titu y e n d o la e c u a c ió n ( 8 .5 7 ) e n la e c u a c ió n ( 8 .5 5 ) . o b te n e m o s

x0 = r + I -

r e o s to l -

¡\11

r sen

(8 .5 8 )

F ig u ra 8 . 1 5 M o v im ie n to s d el c ig ü e ñ a l, b ie la y p is tó n .


668

C a p ítu lo 8


Lfcbido a l a p re s e n c ia d e l té r m in o q u e im p lic a l a ra íz c u a d r a d a , l a e c u a c ió n ( 8 .5 8 ) n o e s m u y c o n v e n ie n te p a ra m a y o re s c á lc u lo s . L a e c u a c ió n ( 8 .5 8 ) se p u e d e s im p lif ic a r o b s e r v a n d o q u e , p o r lo g e n e ra l, r / l < \ y u tiliz a n d o l a r e la c ió n d e e x p a n s ió n .

Vi

-

e

“ 1

-

^

(8 3 9 )

f t i r c o n s ig u ie n te , l a e c u a d ó n ( 8 .5 8 ) s e p u e d e a p r o x im a r c o m o

x p =« r ( l - e o s tor) + ^

o.

s e n 2io t

( 8 .6 0 )

d e fo rm a e q u iv a le n te ,

xp

-

=r^ l +

z^co s& v + ~ eos 2 u x ^

( 8 .6 1 )

L a e c u a c ió n ( 8 .6 1 ) s e p u e d e d if e r e n c ia r c o n re s p e c to a l tie m p o p a ra o b te n e r e x p r e s io n e s p a ra la v e lo c id a d y a c e le ra c ió n d e l p is tó n :

x p — r w ^ s e n í u r + — se n 2t o i J

(8 .6 2 )

x p = ra r^ c o s

(8 .6 3 )

io í

+• y e o s 2 toi^J

A c e le r a c ió n d e l m u ñ ó n d e l c ig ü e ñ a l. C o n re s p e c to a lo s e je s d e c o o r d e n a d a s x y m o s tra d o s e n la fig u ra 8 . 15 , l o s d e s p la z a m ie n to s v e rtic a le s y h o riz o n ta le s d e l m u ñ ó n d e l c ig ü e ñ a l C e s tá n d a d o s p o r Xc =

O A + A B = I + r ( 1 - e o s u>¡)

(8 .6 4 )

% =

C B = r s e n tor

(8 .6 5 )

L a d if e r e n c ia c ió n d e l a s e c u a c io n e s ( 8 .6 4 ) y (8 .6 5 ) c o n r e s p e c to al tie m p o p r o p o r c io n a lo s c o m p o n e n te s d e v e lo c id a d y a c d e r a c i ó n d e l m u ñ ó n d e l c ig ü e ñ a l c o m o

8 .66 )

x c = rto se n o n

(

y e = rto e o s w t

(8 .6 7 )

x c = r a í1 e o s a>t

(8 .6 8 )

y c = — rto2 s e n tm

( 8 .6 9 )

F u e r z a s d e in e r c ia . A u n q u e l a m a s a d e la b ie la e s t á d is tr ib u id a a lo la r g o d e to d a s u lo n g itu d , e n ¡s:ncral s e id e a liz a c o m o un e s la b ó n s i n m a s a e n la z a d o a d o s m a s a s c o n c e n tra d a s e n su s e x tr e m o s : el e x tr e m o d e l p i s t ó n y e l e x tr e m o d e l m u ñ ó n d e l c ig ü e ñ a l. S i mp y m t in d ic a n la m a s a to ta l d e l p istó n y d e l m u ñ ó n d e l c ig ü e ñ a l (in c lu id a l a m a s a c o n c e n tra d a d e l a b ie la ) re s p e c tiv a m e n te , e l c o m p o n e n te v e rtic a l d e l a f u e r z a d e in e r c ia ( F , ) p a r a u n c ilin d r o e s tá d a d o p o r F ,

—

m pXp

+

"tc X f


( 8 .7 0 )

8 .6

B a la n c e o d e m o to r e s r e c ip r o c a n te s

669

S u s titu y e n d o l a s e c u a c io n e s ( 8 .6 3 ) y ( 8 .6 8 ) p a r a la s a c e le ra c io n e s d e P y C . l a e c u a c ió n ( 8 .7 0 ) se e s c rib e c o m o

F ,

=

(m p

+

m c )ru>2 e o s

+

m p—

- —

e o s 2o>l

( 8 .7 1 )

S e p u e d e o b s e rv a r q u e e l c o m p o n e n te v e rtic a l d e la f u e r / a d e in e r c ia s e c o m p o n e d e d o s p a rte s. U n a , c o n o c id a c o m o p a r te p r i m a r i a , t ie n e u n a fre c u e n c ia ig u a l a l a f re c u e n c ia d e ro ta c ió n d e l c ig ü e ñ a l c

(8 -7 2 )

d o n d e la e c u a c ió n ( 8 .6 9 ) d a y p = 0 y y c . ft> r lo ta n to Fy = ~ m cr
(8 .7 3 )

S e o b s e r v a q u e e l c o m p o n e n te h o riz o n ta l d e la f u e rz a d e in e rc ia tie n e s ó lo u n a p a r te p rim a ria .

L a s e c u a c io n e s ( 8 .7 1) y ( 8 .7 3 ) p ro p o rc io n a n la s fu e rz a s d c s b a la n c c a d a s o d e in e rc ia e n un c ilin d ro . E n e s ta s e c u a c io n e s . mp y m , re p re s e n ta n m asas re c ip ro c a n te y r o ta to r ia e q u iv a le n te s , re sp e c tiv a m e n te .

B a la n c e o de m o t o r e s re c ip ro c a n te s

L a m a s a m p s ie m p r e e s p o sitiv a , p e r o m , p u e d e h a c e rse c e ro c o n tra p e s a n d o e l c ig ü e ñ a l. P o r l o q u e e s p o s ib le r e d u c ir la fu e rz a d e in e rc ia h o riz o n ta l F y a c e ro , p e ro l a fu e rz a d c s b a la n c c a d a v e rtica l s ie m p re e x is te . í\» r lo ta n to u n m o to r d e un c ilin d ro e s in h e re n te m e n te d c sb a la n c c a d o . E n u n m o to r d e v a r io s c ilin d r o s , e s p o s ib le b a la n c e a r a lg u n a s o to d a s la s fu e rz a s d e in e r c ia y p a re s d e to r s ió n m e d ia n te l a d is p o s ic ió n a p r o p ia d a d e lo s c ig ü e ñ a le s . L a f ig u ra 8 .1 6 (a ) m u e s tr a la d is p o s ic ió n g e n e ra l d e u n m o to r d e ^ c i l i n d r o s (s ó lo s e is c ilin d r o s . N = 6 , s e m u e s tra n e n l a fig u ra ). S e s u p o n e q u e l a s lo n g itu d e s d e t o d o s lo s c ig ü e ñ a le s y b ie la s s o n r y / , r e s p e c tiv a m e n te , y q u e la v e lo c id a d a n g u la r d e t o d o s lo s c ig ü e ñ a le s e s u n a c o n s ta n te , io. S e s u p o n e q u e e l d e s p la z a m ie n to a x ia l y l a o r ie n ta c ió n a n g u la r d e l c il i n d r o i-é s im o c o n re s p e c to a lo s d e l p r im e r c ilin d r o d e b e n s e r a , y lj, re s p e c tiv a m e n te ; i ■ 2 , 3 , . .. , N . P a r a e l b a la n c e d e f u e rz a s , l a f u e rz a d e in e rc ia to ta l e n la s d ire c c io n e s

xyy

d e b e s e r c e r o . P o r c o n s ig u ie n te

(8 .7 4 )

(8 .7 5 )

d o n d e ( F J t y (F y \ s o n lo s c o m p o n e n te s v e rtic a l y h o riz o n ta l d e l a f u e rz a d e in e r c ia d d c ilin d r o i p r o p o rc io n a d o s p o r ( v e a la s e c u a c io n e s ( 8 .7 1 ) y (8 .7 3 )):

( F x h = ( " ‘p + m c ),r
(8 .7 6 )

( F y ) ¡ = ~ { m c) ¡ r o r

( 8 .7 7 )

xxx

[ üh

+ a ¡)


670

C a p ítu lo 8


f ó r a s im p lif ic a r , s u p o n e m o s q u e la s m a s a s r e c ip ro c a n te s y ro ta to ria s d e c a d a c ilin d r o s o n la s m is m o s. e s d e c ir . = m p y (m ( )t = m ( c o n i = 1 . 2 . S in p é r d id a d e g e n e r a lid a d , la s e c u a c io n e s (8 .7 4 )

y ( 8 .7 5 ) s e p u e d e n a p lic a r e n e l tie m p o / = 0 . P o r lo ta n to , la s c o n d ic io n e s n e c e s a r ia s p a r a e l

b a la n c e d e fu e rz a to ta l e s tá n d a d a s p o r

N

N

eos o, = 0

y

eos

sen a , = 0

2a, = 0

(8 .7 8 )

(8 .7 9 )

L a s f u e r z a s d e i n e r c ia (F ,)¡ y ( F y)¡ d e l c il i n d r o i - é á m o i n d u c e n m o m e n to s e n c u a n t o a l o s e je s y y x , r e s p e c t iv a m e n t e , c o m o s e m u e s tr a e n l a f ig u ra 8 .1 6 (b ) . L o s m o m e n to s c o n r e s p e c to a los e je s z y x s o n

t f . - j j W

M ,=

M

2 ( r ,W

- 0

(8 -8 0 )

= o

(8 -8 1 )


8 .8

C o n t r o l d e f r e c u e n c ia s n a t u r a l e s

671

S u s titu y e n d o l a s e c u a c io n e s ( 8 .7 6 ) y ( 8 .7 7 ) e n l a s e c u a c io n e s ( 8 .8 0 ) y ( 8 .8 1 ) y s u p o n ie n d o / = 0 . o b te n e m o s l a s c o n d ic io n e s n e c e s a r ia s q u e d e b e r á n s a tis fa c e rc c p a ra el b a la n c e o d e m o m e n to s c o n re s p e c to a lo s e je s z y x c o m o N

^

N

/, e o s a , = 0

y

1=2

^

I, e o s 2 a , = 0

(8 .8 2 )

1=2

2

/,• s e n a , = 0

(8 .8 3 )

P o r lo t a n t o , p o d e m o s a c o m o d a r lo s c ilin d ro s d e u n m o to r re c ip r o c a n te d e v a r io s c ilin d r o s d e m a n e ra q u e s e s a tis fa g a n l a s e c u a c io n e s ( 8 .7 8 ) . ( 8 .7 9 ) . ( 8 .8 2 ) y ( 8 ,8 3 ) : q u e d a ra c o m p le ta m e n te b a la n c e a d o c o n tr a la s fu e rz a s d e i n e r c ia y m o m e n to s .

8 .7

C o n t r o l d e v ib ra c ió n E n m u c h a s s itu a c io n e s p r á c tic a s , e s p o s ib le r e d u c ir m a s n o e lim in a r l a s fu e rz a s d in á m ic a s q u e p r o v o c a n v ib r a c io n e s . S e p u e d e n u tiliz a r v a r io s m é to d o s p a r a c o n tr o la r v ib r a c io n e s . E n tre e llo s . lo s s ig u ie n te s s o n im p o rta n te s : 1. C o n tro la r l a s fre c u e n c ia s n a tu ra le s d e l s is te m a y e v it a r la re s o n a n c ia b a jo e x c ita c io n e s e x te rn a s . 2 . I m p e d ir l a re s p u e s ta e x c e s iv a d e l s is te m a , in c lu s o e n re s o n a n c ia , c o n la in tro d u c c ió n d e a m o r 3.

tig u a m ie n to o u n m e c a n is m o d is ip a d o r d e e n e rg ía . R e d u c ir la tr a n s m is ió n d e la s fu e rz a s d e e x c ita c ió n d e u n a p a rte d e l a m á q u in a a o t r a p o r m e d io d e a is la d o re s d e v ib ra c ió n .

4.

R e d u c ir l a re s p u e s ta d e l s is te m a c o n l a a d ic ió n d e u n n e u tra liz a d o r d e m a s a a u x ilia r o a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n . A c o n tin u a c ió n c o n s id e r a r e m o s lo s d e ta lle s d e e s t o s m é to d o s .

8.8

C o n t r o l d e f r e c u e n c ia s n a tu ra le s S e s a b e m u y b ie n q u e s ie m p r e q u e l a fre c u e n c ia d e e x c ita c ió n c o in c id e c o n u n a d e l a s f r e c u e n c ia s n a tu ra le s d e l s is te m a , o c u r r e r e s o n a n c ia . L a c a r a c te rís tic a m á s p ro m in e n te d e l a r e s o n a n c ia e s u n d e s p la z a m ie n to g r a n d e . E n l a m a y o ría d e lo s s is te m a s m e c á n ic o s y e s tr u c tu r a le s , l o s g r a n d e s d e s p la z a m ie n to s in d ic a n e s f u e r z o s y d e fo rm a c io n e s in d e s e a b le n te n te g ra n d e s , lo s c u a le s p u e d e n p ro v o c a r la f a ll a d e l s is te m a . D e a h í q u e e n c u a lq u ie r s is te m a s e d e b e n e v ita r l a s c o n d ic io n e s d e re s o n a n c ia . E n la m a y o ría d e lo s c a s o s , la fre c u e n c ia d e e x c ita c ió n se p u e d e c o n tr o la r , p o r q u e e s im p u e s ta p o r re q u e rim ie n to s fu n c io n a le s d e l s is te m a o m á q u in a . D e b e m o s c o n c e n tr a m o s e n c o n tro la r la s f r e c u e n c ia s n a tu ra le s d e l s is te m a p a r a e v ita r la re s o n a n c ia . C o m o in d ic a l a e c u a c ió n ( 2 .1 4 ) . l a f r e c u e n c ia n a tu ra l d e u n s is te m a s e p u e d e c a m b ia r v a r ia n d o y a s e a la m a s a m o la r ig id e z t 4 E n m u c h o s c a s o s p r á c tic o s , s i n e m b a r g o , l a m a s a no s e p u e d e

‘Aunque e s e enunciado se hace en relación con un sistema d e un solo grado d e libertad, por lo general es válida incluso para sisiemas d e varios grados d e libertad y continuos.


672

C a p ítu lo 8


c a m b ia r c o n fa c ilid a d , p u e s to q u e su v a lo r e s t á d e te r m in a d o p o r lo s r e q u e r im ie n to s fu n c io n a le s (fcl s is te m a . P ó r e je m p lo . l a m a s a d e u n v o la n te e n u n a fle c h a e s t á d e te r m in a d a p o r l a c a n tid a d d e e n e rg ía q u e d e b e a lm a c e n a r e n u n c ic lo . P o r c o n s ig u ie n te , l a r ig id e z d e l s is te m a e s e l (a c to r q u e c o n m á s fre c u e n c ia s e c a m b ia p a ra m o d if ic a r s u s f r e c u e n c ia s n a tu ra le s . P o r e je m p lo , l a rig id e z d e u n a flec h a r o ta to ria se p u e d e m o d ific a r v a r ia n d o u n o o m á s d e s u s p a rá m e tro s , c o m o l o s m a te ria le s o la c a n tid a d y u b ic a c ió n d e lo s p u n to s d e s o p o rte ( ro d a m ie n to s ).

8.9

in t r o d u c c ió n ai a m o r t i g u a m ie n t o A u n q u e e l a m o r tig u a m ie n to s e o m ite p a r a s im p lif ic a r e l a n á lis is , s o b re t o d o a l d e te r m in a r la s f r e c u e n c ia s n a tu r a le s , l a m a y o ría d e lo s s is te m a s p o s e e n a m o r tig u a m ie n to h a s ta un c ie r to g ra d o . L a p re s e n c ia d e a m o r tig u a m ie n to e s ú til e n m u c h o s c a s o s . E n s is te m a s c o m o a m o rtig u a d o re s d e a u t o m ó v ile s y m u c h o s in s tru m e n to s d e m e d ic ió n d e v ib r a c ió n , s e d e b e in tr o d u c ir a m o r tig u a m ie n to p a r a s a tis fa c e r los r e q u e r im ie n to s fu n c io n a le s (8 .2 0 -8 .2 1 j. Si e l s is te m a e x p e r im e n ta v ib ra c ió n f o r z a d a , su re s p u e s ta o a m p litu d d e v ib ra c ió n tie n d e a in c re m e n ta rs e c e r c a d e l a re s o n a n c ia s i n o h a y a m o r tig u a m ie n to . L a p re s e n c ia d e a m o r tig u a m ie n to á e m p r e lim ita la a m p litu d d e v ib ra c ió n . S i s e c o n o c e l a fre c u e n c ia f o r z a d a , p u e d e s e r p o s ib le e v ita r h re s o n a n c ia c a m b ia n d o l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a . S i n e m h a r g o , q u iz á s e re q u ie r a q u e e l á s t e m a o m á q u in a o p e r e d e n tr o d e v a r io s ra n g o s d e v e lo c id a d , c o m o e n e l c a s o d e u n m o to r e lé c tr i co d e v e lo c id a d v a ria b le o u n m o to r d e c o m b u s tió n in te rn a . T a l v e z n o se p u e d a e v i ta r l a re s o n a n c ia en to d a s l a s c o n d ic io n e s d e o p e r a c ió n . E n ta le s c a s o s , p o d e m o s in tr o d u c ir a m o r tig u a m ie n to e n e l a s t e m a p a r a c o n tro la r s u r e s p u e s ta , u tiliz a n d o m a te ria le s e s tr u c tu r a le s d e a lto a m o rtig u a m ie n to in te rn o , c o m o h ie rro c o la d o o m a te ria le s la m in a d o s o e m p a re d a d o s . B i a lg u n a s a p lic a c io n e s e s tr u c tu r a le s s e in tr o d u c e a m o r tig u a m ie n to p o r m e d io d e j u n ta s . P o r e je m p lo , la s j u n t a s e m p e r n a d a s y re m a c h a d a s , la s c u a le s p e r m ite n re s b a la m ie n to e n tr e la s s u p e r f i c ie s , d is ip a n m á s e n e r g ía q u e la s j u n t a s s o ld a d a s , la s c u a le s n o lo p e r m ite n . D e a h í q u e lo d e s e a b le p o ra in c r e m e n ta r e l a m o r tig u a m ie n to d e l a e s tr u c tu r a e s u n a j u n t a e m p e rn a d a o re m a c h a d a . S in e m b a r g o , e s t e t ip o d e j u n t a s r e d u c e n la r ig id e z d e la e s t r u c t u r a , p r o d u c e n d e s e c h o s d e b id o al re s b a la m ie n to d e l a s ju n ta s y p r o v o c a n c o r r o s i ó n p o r d e s g a s te . A p e s a r d e e s to , s i s e d e s e a u n a e s tr u c tu ra m u y a m o r tig u a d a , n o s e d e b e rá n p a s a r p o r a lto l a s ju n ta s e m p e r n a d a s o re m a c h a d a s . U so d e m a te r ia le s v is c o d ó s tic o s . l a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e un s is te m a d e u n s o lo g r a d o de lib e rta d c o n a m o rtig u a m ie n to in te rn o , s o m e tid o a e x c ita c ió n a r m ó n ic a F (t) - Fge»*, s e e x p r e s a c o m o (8 .8 4 )

m 'x + * (1 + r q ) x = f o e “ "

c b n d e r\ s e c o n o c e c o m o f a c t o r d e p é r d i d a ( o c o e fic ie n te d e p é r d i d a ) , e l c u a l s e d e f in e c o m o ( v e a la s e c c ió n 2 .6 .4 ) ( A W flT T )

/ E n e r g ía d is ip a d a d u r a n te 1 c ic lo d e d e s p la z a m ie n to a r m ó n ic o /r a d iá n E n e r g ía d e d e fo rm a c ió n m á x im a e n e l c ic lo ( 8 .8 5 )

L a a m p litu d d e l a re s p u e s ta d e l s is te m a e n re s o n a n c ia («u = to„) e s t á d a d a p o r fo k ij

m Jo_

( 8 .8 6 )

a E r¡

p u e s to q u e l a r i g i d e z e s p r o p o r c i o n a l a l m ó d u lo d e Y o u n g ( * =


aE ;a =

c o n s ta n te ).

8 .1 0

A is la m ie n to d e la v ib ra c ió n

673

L o s m a te ria le s v is c o e lá s tic o s t ie n e n ta c to re s d e p é rd id a m á s g r a n d e s y p o r c o n s ig u ie n te se u tiliz a n p a r a p ro p o r c io n a r a m o rtig u a m ie n to in te r n o . C u a n d o s e u tiliz a n m a te ria le s v is c o e lá s tic o s p a ra c o n tr o la r l a v ib ra c ió n s e s o m e te n a d e fo rm a c ió n p o r c o rta n te o d ire c ta s . E n la c o n f ig u r a c ió n m á s s im p le , u n a c a p a d e m a te ria l v is c o e lá s tic o s e a d ju n ta a u n a c lá s tic a . E n o t r o a r r e g l o , u n a c a p a v is c o e lá s tic a s e c o lo c a e n tr e c a p a s e lá s tic a s . E s ta c o n f ig u r a c ió n s e c o n o c e c o m o a m o rtig u a m ie n to d e c a p a r e s tr in g id a .5 L a s c in ta s d e a m o r tig u a m ie n to , q u e c o n s is te n e n u n a d e lg a d a h o ja d e m e tal c u b ie rta c o n u n a d h e s iv o v is c o e lá s tic o se u tiliz a n e n e s tr u c tu r a s v ib ra to ria s e x is te n te s . U na d e s v e n ta ja d e lo s m a te ria le s v is c o e lá s tic o s e s q u e su s p ro p ie d a d e s c a m b ia n c o n la te m p e ra tu ra , f re c u e n c ia y te n s ió n . L a e c u a c ió n ( 8 .8 6 ) m u e s tra q u e u n m a te ria l c o n e l v a lo r m á s a lto d e (F.tj) p ro p o rc io n a l a a m p litu d re s o n a n te m ín im a . D a d o q u e la d e fo rm a c ió n es p ro p o rc io n a l a l d e s p la z a m ie n to x y e l e s fu e rz o e s p r o p o r c io n a l a E x , e l m a te ria l c o n e l v a lo r m á s g ra n d e d e l f a c to r d e p é r d id a s e s o m e te r á a l o s e s f u e r z o s m ín im o s . A c o n tin u a c ió n s e e n u n c ia n lo s v a lo re s d e l c o e f ic ie n te d e p é rd id a d e a lg u n o s m a te ria le s . M a te ria l

f a c t o r d e p é r d id a (ij)

Poticstircno

2.0

C aucho duro

LO

T apetes d e fibra con m atriz

0.I

Corcho

0.13-0.17

A lum inio H ierro y acero

l X 10* 2-6 x 10-*

L a s r e la c io n e s d e a m o r tig u a m ie n to o b te n ib le s c o n d ife re n te s tip o s d e c o n s tr u c c ió n /c o n f ig u r a c ió n s e in d ic a n a c o n tin u a c ió n : R elació n d e a m o rtig u a m ie n to T ip o de c o n stru cc ió n /c o n fig u ra ció n

viscoso e q u iv a le n te (% )

C b n s tru c c ió n s o ld a d a

1-4

C b n s tru c c ió n e m p e r n a d a

3-10

M a rc o d e a c e ro

5-6

C á p a v is c o e lá s tic a n o re s tr in g id a s o b r e u n a v ig a

4-5

de a c e r o y c o n c re to C a p a v is c o e lá s tic a re s trin g id a s o b re u n a v ig a d e a c e r o y c o n c re to

8. 10

5-4

A is la m ie n t o d e la v ib ra c ió n El a is la m ie n to d e l a v ib r a c ió n e s u n p ro c e d im ie n to m e d ia n te e l c u a l s e re d u c e n lo s e f e c to s in d e s e a b le s d e v ib ra c ió n [ 8 .2 2 -8 .2 4 ). B á s ic a m e n te , im p lic a l a in s e r c ió n d e u n m ie m b ro e lá s tic o ( o a is la d o r )

'P arece que el am ortiguamiento d e capa refrin g id a se utilizó, posiblem ente sin saberlo, desde tanto tiempo a trá s com o el a g io x v n , e n la fabricación de violinet (8.22]. Antonio Stradivari ( I644-1737). el rcrom brado fabricante italiano de viobnes. adquirúS desde Venecia la m adera necesaria para la fabricación d e violines. H barniz utilizado pora sellar la m adera x elaboró con una inercia d e resina y piedras preciosas m olidas. Este barniz, partículas d e piedra en una n u triz d e resina, aguaba com o una form a d e capa reuringkla (m ecanism o d e fricción) que generaba suficiente amortiguamiento para explicar por qué muchos d e sus violines tenían un espléndido y rico tono.


674

C a p ítu lo 8


a i t r e la m a s a v ib ra to r ia ( e q u ip o o c a r g a ú til) y l a fu e n te d e v ib ra c ió n d e m o d o q u e s e lo g r e u n a re d u c c ió n d e la re s p u e s ta d in á m ic a d e l s is te m a s o m e tid o a c o n d ic io n e s e s p e c íf ic a s d e e x c ita c ió n p o r v ib ra c ió n . S e d i c e q u e u n s is te m a d e a is la m ie n to e s a c tiv o o p a s iv o s e g ú n s i s e re q u ie re o no p o te n c ia e x te r n a p a ra q u e e l a is la d o r re a lic e s u fu n c ió n . U n a is la d o r p a s iv o s e c o m p o n e d e un m ie m b r o e lá s tic o ( r ig id e z ) y u n d is ip a d o r d e e n e r g í a (a m o r tig u a m ie n to ) . A lg u n o s e je m p lo s d e a is la d o re s p a s iv o s c o m p r e n d e n re s o rte s m e tá lic o s , c o r c h o , f ie ltr o , re s o rte s n e u m á tic o s y re s o rte s d a s t o m é r i c o s ( c a u c h o ) . L a fig u ra 8 .1 7 m u e s tra s o p o r te s d e r e s o r te y n e u m á tic o s típ ic o s q u e se p u e d e n u tiliz a r c o m o a is la d o r e s p a s iv o s y l a fig u ra 8 .1 8 ilu s tra e l u s o d e a is la d o re s p a s iv o s e n los so p o rte s d e s o p o rte d e u n a p re n sa p u n z o n a d o ra d e a lta v e lo c id a d [8 .2 5 J. l a sín te s is ó p tim a d e a is la e b re s d e v ib ra c ió n s e p r e s e n ta e n l a s r e f e r e n c ia s [8 .2 6 -8 .3 0 1 . U n a is la d o r a c tiv o s e c o m p o n e d e un s e r v o m e c a n is m o c o n un s e n s o r , un p r o c e s a d o r d e s e ñ a le s y u n a c tu a d o r. 0 a is la m ie n to d e v i b r a c ió n s e p u e d e u tiliz a r e n d o s tip o s d e s itu a c io n e s . E n e l p r i m e r tip o , d c im ie n to o b a se d e u n a m á q u in a v ib ra to ria s e p ro te g e c o n tra g ra n d e s fu e rz a s d e s b a l o n c e a d a s . E n e l se g u n d o t i p o , e l s is te m a s e p ro te g e c o n tr a e l m o v im ie n to d e s u a m i e n t o o b a s e . 0 p r im e r t ip o d e a is la m ie n to s e u tiliz a c u a n d o u n a m a s a ( o m á q u in a ) s e s o m e te a u n a fu e rz a o e x c ita c ió n . P ü r e je m p lo , e n p re n s a s d e fo ija y e s ta m p a d o , g r a n d e s fu e rz a s im p u ls o ra s a c tú a n e n d o b je to q u e s e e s t á f o r m a n d o o e s ta m p a n d o . E s to s im p a c to s s e tra n s m ite n a la b a s e o c im ie n to p e ro ta m b ié n a l a s e s tru c tu ra s o m á q u in a s c ir c u n d a n te s o c e r c a n a s . T a m b ié n p u e d e n p ro v o c a r in c o m o d id a d a lo s o p e r a r io s d e e s ta s m á q u in a s . A s im is m o , e n e l c a s o d e m á q u in a s r e c ip ro c a n te s

(c) F igura 8 .1 7 (a) S o p o rte de m o n ta je de re so rte n o a m o rtig u ad o ; (b( so p o rte de m o n ta je de re so rte am ortiguado; (c) so p o rte de m o n ta je de c a u c h o n e u m á tic o . (C ortesía de S o u n d a n d V ibration ).


8 .1 0


675

F ig u ra 8 .1 8 P rensa p u n z o n a d o ra d e a lta velocidad m o n ta d a so b re so p o rte s d e c au c h o n eum áticos. (C ortesía d e S n u n d a n d V ibration).

y ro ta to ria s , la s fu e rz a s d c s b a la n c e a d a s in h e r e n te s s e tra n s m ite n a l a b a s e o c im ie n to d e l a m á q u in a . E n ta le s c a s o s , la fu e rz a tr a n s m itid a a la b a s e . F f i ) v a r ía a r m ó n ic a m e n te , y lo s e s f u e r z o s re s u lta n te s e n lo s p e r n o s ta m b ié n v a ría n a rm ó n ic a m e n te , l o q u e p o d ría p r o v o c a r fa lla s p o r fa tig a . I n c lu s o si la fu e rz a n o e s a r m ó n ic a , su m a g n itu d s e t ie n e q u e lim ita r a v a lo re s p e r m is ib le s s e g u ro s . E n e s ta s a p lic a c io n e s p o d e m o s in s e rta r u n a is la d o r ( e n l a f o r m a d e r ig id e z y /o a m o rtig u a m ie n to ) e n tr e l a m a s a s o m e tid a a u n a fu e rz a o e x c ita c ió n y l a b a s e o c im ie n to p a ra r e d u c ir l a fu e rz a tr a n s m itid a a l a b a s e o c im ie n to . E s to s e l la m a a is la m ie n to d e f u e r z a . E n m u c h a s a p lic a c io n e s , e l a is la d o r ta m b ié n e s tá p r e v is to p a r a q u e r e d u z c a e l m o v im ie n to v ib ra to r io d e l a m a s a s o m e tid a a l a f u e rz a a p lic a d a (c o m o e n e l c a s o d e m á q u in a s d e fo rja y e s ta m p a d o ) . P o r c o n s ig u ie n te , l a s tra n s m is ib ilid a d e s t a n t o d e fu e rz a c o m o d e d e s p la z a m ie n to d e lo s a is la d o re s lle g a n a s e r im p o r ta n te s p a r a é s to s .

xiO

x{i) M áquina q u e vibra

B ase rígida so b re c im ie n to

m

1

vj

' / / y W 7 7 / 7 7 '/ ; 7 / W / ? / / (a)

In stru m e n to o m á q u in a —'

m

1

Base ( p a q u e te ) — c (b)


F i g u r a 8 . 1 9 A isla m ie n to d e la v ib ra c ió n .

676

C a p ítu lo 8


E s e g u n d o t ip o d e a is la m ie n to s e u tiliz a c u a n d o s e t ie n e q u e p ro te g e r u n a m a s a c o n tr a e l m o v im ie n to o e x c ita c ió n d e s u b a s e o c im ie n to . C u a n d o la b a s e s e s o m e te a v ib r a c ió n , l a m a s a m e x p e rim e n ta ra n o s ó lo u n d e s p la z a m ie n to x { l) s in o ta m b ié n u n a fu e rz a F ¿ t) . S e e s p e r a q u e e l d c s p ia /a m ie n to d e l a m a s a s e a m e n o r q u e e l d e s p la z a m ie n to d e l a b a s e >■(/). P ó r e je m p lo , u n in s tr u m e n to o e q u ip o d e lic a d o se t ie n e q u e p ro te g e r c o n tr a e l m o v im ie n to d e s u c o n te n e d o r o p a q u e te (c o m o c u a n d o e l v e h íc u lo q u e tra n s p o r ta e l p a q u e te e x p e r im e n ta v ib ra c ió n m ie n tra s tr a n s ita p o r u n c a m in o e s c a b ro so ). L a f u e r z a tr a n s m itid a a la m a s a ta m b ié n se t ie n e q u e re d u c ir. P o r e je m p lo , e l p a q u e te o c o n te n e d o r s e t ie n e q u e d i s e ñ a r a p r o p ia d a m e n te p a r a e v ita r l a tra n s m is ió n d e f u e rz a s g r a n d e s al (fclicad o in s tru m e n to e n e l in te r io r d e l p a q u e te p a r a q u e n o s e d a ñ e . 1.a fu e rz a e x p e rim e n ta d a p o r e l in stru m e n to o m a s a m ( l a m is m a q u e l a fu e rz a tr a n s m itid a a l a m a s a m ) e s F ,( t ) = m 'x ( t ) - * { * ( / ) -

y (f)} + c { k { ¡) -

y (/)}

(8 .8 7 )

i b n d e y i t ) e s e l d e s p la z a m ie n to d e la b a s e , x ( t ) - y ( t) e s e l d e s p la z a m ie n to r e la tiv o d e l r e s o r t e , y x (i)

y ( / ) e s l a v e lo c id a d re la tiv a d e l a m o r tig u a d o r. E n ta le s c a s o s , p o d e m o s in s e rta r u n a is la d o r

(q u e p ro p o rc io n e r ig id e z y /o a m o r tig u a m ie n to ) e n tre l a b a s e s o m e tid a a u n a f u e r z a o e x c ita c ió n y h m a s a , p a r a a m in o r a r e l m o v im ie n to y / o f u e r z a tr a n s m itid a a la m a s a . P o r c o n s ig u ie n te , t a n t o e l á s l a m i e n t o d e fu e rz a c o m o e l a is la m ie n to d e m o v im ie n to t a m b ié n lle g a n a s e r im p o rta n te s . Es im p o rta n te n o t a r q u e la e f ic a c ia d e u n a is la d o r d e p e n d e d e la n a tu r a le z a d e l a f u e r z a o e x c ita c ió n . P o r e je m p lo , u n a is la d o r d is e ñ a d o p a ra r e d u c ir l a f u e r z a tr a n s m itid a a l a b a s e o c im ie n to ifc b id o a fu e rz a s d e im p a c to d e f o i ja o e s ta m p a d o p u e d e n o s e r e f e c tiv o s i l a p e r tu rb a c ió n e s u n a fu e rz a d c s b a la n c c a d a a rm ó n ic a . A s im is m o , u n a is la d o r d is e ñ a d o p a r a m a n e ja r e x c ita c ió n a r m ó n ic a a u n a fre c u e n c ia p a r ti c u l a r p u e d e n o s e r e f e c tiv o p a ra o tr a s fre c u e n c ia s u o t r o s tip o s d e e x c ita c ió n c o m o e x c ita c ió n e s c a lo n a d a o g r a d u a l.

R e d u c c ió n d e l a f u e r z a t r a n s m i t i d a a l c i m i e n t o . C u a n d o u n a m á q u in a s e a to r n illa d ire c ta m e n te en un c im ie n to o p iso ríg id o , e l c im ie n to s e v e rá s o m e tid o a u n a c a r g a a r m ó n ic a d e b id o a l d e s

S is t e m a de a is la m ie n t o d e v ib r a c ió n c o n c im ie n t o r íg id o

b a la n c e e n la m á q u in a , a d e m á s d e la c a r g a e s tá tic a o r ig in a d a p o r e l p e s o d e l a m á q u in a . D e a h í q u e s e c o lo q u e u n m ie m b ro e lá s tic o e n tre la m á q u in a y el c im ie n to r íg id o p a r a r e d u c ir l a fu e rz a tra n s m itid a a l c im ie n to . E l s is te m a s e p u e d e id e a liz a r e n to n c e s c o m o u n s is te m a d e u n s o l o g ra d o efe lib e r ta d , c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 8 .2 0 (a ). S e s u p o n e q u e e l m ie m b ro e lá s tic o tie n e ta n to e la s tic id a d c o m o a m o r tig u a m ie n to y s e m o d e la c o m o un re s o rte A y u n a m o r tig u a d o r h id r á u lic o c, c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 8 .2 0 (b ). S e s u p o n e q u e l a o p e r a c ió n d e l a m á q u in a o r ig in a u n a fu e rz a a rm ó n ic a m e n te v a r ia b le F ( l) = F 0 e o s un. L a e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l a m á q u in a ( d e m a s a m) e s tá d a d a p o r m x + e x + k x = Fq e o s u n

(8 .8 8 )

MO F ( t) - f 0 COS
uina (m )

F{t) - /•’, eos ai/ i M áuum a(m ) ~

Miembro elástico

M iembro _ f clástico

r

t de

É * i

V 777777777777777777777.

C im iento o base

C im iento o base

(a)

(b )


F ig u ra 8 .2 0 M á q u in a y m ie m b ro e lá s tic o s o b re u n c im ie n to ríg id o .

8 .1 0


677

C o m o l a s o lu c ió n tra n s ito ria d e s a p a r e c e d e s p u é s d e u n c ie r to tie m p o , s ó lo l a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le p e rm a n e c e rá . L a s o lu c ió n d e e s ta d o e s ta b le d e la e c u a c ió n ( 8 .8 8 ) e s t á d a d a p o r ( v e a la e c u a c ió n (3 .2 5 ))

* (/) = X co s{(o t -

4>)

(8 .8 9 )

« V fn

<8 -9 0 »

donde

* ‘

[(t-

(8 .9 1 )

L a fu e rz a tr a n s m itid a a l c im ie n to a tr a v é s d e l r e s o r te y e l a m o r tig u a d o r . F ,( i ) = * x ( / ) + c x ( f ) = k X e o s (tu r -

L a m a g n itu d d e l a f u e rz a t o ta l tr a n s m itid a

«6) -

cojX

F¿t) es

s c n ( to t -

ó)

( 8 .9 2 )

(F r) e s

FT = [ ( * x ) 2 + ( c i ) 2] ' f2 =

F0{k2 +

X\/k2 +

íü

2c 2

(o2c 2) ' /2 (8 .9 3 )

"

[(* -

nuo2) 2 + J e * ? / *

1.a tr a n s m is ib ilid a d o r e la c ió n d e tr a n s m is ió n d e l a is la d o r ( T jt se d e f in e c o m o la r e la c ió n d e l a m a g n itu d d e la f u e r z a tra n s m itid a a la d e la f u e r z a d e e x c ita c ió n :

T , l i m [

’

F0

*k 1 + + are2

\1 ,/2

\(k - mti?)1 + < o V I 1 /2

I + W r)2

(8 .9 4 )

[ I - r ¡ ]! + ( 2 ( r f

donde

r = ^

e s l a re la c ió n d e f r e c u e n c ia L a v a ria c ió n d e

Tf

co n l a r e la c ió n d e f re c u e n c ia

r =

~ se

m u e s tra e n l a f ig u ra 8 .2 1 . P a r a lo g r a r e l a is la m ie n to , l a f u e rz a tr a n s m itid a a l c im ie n to t i e n e q u e s e r m e n o r q u e j a fu e rz a d e e x c ita c ió n . E n l a fig u ra 8.21 s e v e q u e l a f re c u e n c ia fo rz a d a t ie n e q u e s e r m a y o r q u e V 2 v e c e s l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a p a ra lo g ra r e l a is la m ie n to d e v ib rac ió n . P a ra v a lo re s p e q u e ñ o s d e l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to £ y l a r e la c ió n d e f re c u e n c ia tra n s m is ib ilid a d d e fu e rz a , d a d a p o r l a e c u a c ió n ( 8 .9 4 ) . s e p u e d e a p r o x im a r c o m o


r > 1 , la

678

C a p ítu lo 8


Región 1 de am p ifica d ó n

Región de aislam iento

F igura 8 .2 1 Variación d e la relació n de tran sm isió n (7/) c o n r.

N o ta s 1. L a m a g n itu d d e la f u e rz a tr a n s m itid a a l c im ie n to s e p u e d e a m i n o r a r r e d u c ie n d o l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a (

J a m á q u in a d e b e

p a s a r p o r la re s o n a n c ia d u r a n te e l a rra n q u e y d e te n c ió n . P b r c o n s ig u ie n te , s e re q u ie re a lg o d e a m o rtig u a m ie n to p a r a e v it a r la s a m p litu d e s in f in ita m e n te g r a n d e s e n re so n a n c ia . 3 . A u n q u e e l a m o r tig u a m ie n to r e d u c e la a m p litu d d e la m a s a (X ) a to d a s l a s fr e c u e n c ia s , re d u c e la f u e rz a m á x im a tr a n s m itid a a l c im ie n to ( F ,) s ó lo s i r < \ Z l . P o r e n c im a d e e s te v a lo r , la a d ic ió n d e a m o rtig u a m ie n to in c re m e n ta la f u e rz a tra n s m itid a . 4 . S i l a v e lo c id a d d e la m á q u in a (f r e c u e n c ia fo r z a d a ) v a r ía .d e b e m o s c o m p r o m e te m o s e n s e le c c io n a r la c a n tid a d d e a m o rtig u a m ie n to q u e m in im ic e l a f u e rz a tra n s m itid a . L a c a n tid a d d e a m o r tig u a m ie n to d e b e s e r s u fic ie n te p a r a lim ita r l a a m p litu d X y l a fu e rz a tr a n s m itid a F , m ie n tra s se p a s a p o r la re s o n a n c ia , p e r o n o ta n to c o m o p a r a in c r e m e n ta r in n e c e s a ria m e n te l a fu e rz a tra n s m itid a a l a v e lo c id a d d e o p e ra c ió n . R e d u c c ió n d e l m o v im ie n to v i b r a t o r i o d e l a m a s a . E n m u c h a s a p lic a c io n e s s e re q u ie re a is la m ie n to p a ra r e d u c ir e l m o v im ie n to d e la m a s a (m á q u in a ) b a jo l a fu e rz a a p lic ad a . L a a m p litu d d e d e s p la z a m ie n to d e l a m a s a m o r ig in a d a por l a f u e r z a F (f). d a d a p o r l a e c u a c ió n ( 8 .9 0 ) . s e e x p r e s a com o:

Td

X cbnde —

X

kX

8
F0

I V (1 -

r 2)2 + ( 2 ( r ) 2

<8% )

s e lla m a , e n e l p re s e n te c o n te x to , tr a n s m is ib ilid a d d e d e s p la z a m ie n to o r e la c ió n d e a m -

p i it u d c in d ic a l a r e la c ió n d e a m p litu d d e l a m a s a X . a l a d e f le x ió n e s tá tic a b a jo l a fu e rz a c o n s ta n te F0’ 8„ '= 7

. E n l a f ig u ra 8 .2 2 s e m u e s tra la v a r ia c ió n d e l a tra n s m is ib ilid a d d e d e s p la z a m ie n to c o n


8 .1 0


679

la relación de frecuencia r para varios valores de la relación de amortiguamiento f. A partir de la figura 8.22 se pueden hacer las siguientes observaciones: 1. La transmisibilidad del desplazamiento se incrementa a un valor máximo de (ecuación (3 .3 3 ) ) : r = V i - 2¿r

(8.97)

La ecuación (8.97) muestra que. con valores pequeños de la relación de amortiguamiento £, la transmisibilidad del desplazamiento (o la amplitud de la masa) será máxima en r «s 1 o (¡t =a ion . Por lo tanto, en la práctica se tiene que evitar el valor de r ^ 1. En la mayoría de los casos, la frecuencia de excitación rúes fija y por consiguiente podemos evitar que r » 1 mo dificando el valor de la frecuencia natural u>„ = ^ lo cual se puede lograr cambiando el valor ya sea de m y * o de ambos. 2. La amplitud de la masa. X . tiende a cero a medida que r se incrementa a un valor grande. La razón es que con valores grandes de r la fuerza aplicada F{t) varía muy rápido y la inercia de la masa evita que siga a la fuerza fluctuante.

E je m p lo 8.4

S o p o rte d e re s o rte d e u n v e n tila d o r Un ventilador extractor, q u e g ira a 10 0 0 rpm , tiene q u e e star soportado por cuatro resortes, c a d a uno d e rigidez K . S i só lo e l 10 por ciento d e la fu erza dcsbalanccada d e l ven tilad o r s e tiene q u e transm itir a la base, ¿cuál d eberá s e r e l v a lo r d e K1 Suponga que la m asa del ven tilad o r extractor e s d e 4 0 kg. S o lu c ió n : C om o la transm isibilidad tiene que s e r

(E .1 )

680

C a p ítu lo 8


d>nde la frecuencia forzada está d ad a por

(u = 1o o o p =|0472rad/s

(E2)

y la frecuencia natural d e l sistem a por

(I c V * _(4 K \'/* _ ""

\m /

1 40 J

VÍC 3.1623

(

>

Suponiendo q u e la relación d e am ortiguam iento es ( = 0. c o n la ecuación ( E 1) obtenem os.

O -' = T

*'

.................................................................................... (E . 4 )

V ic fó ra e v ita r valores im aginarios, tenem os que considerar el signo negativo e n e l lado derecho de la ecuación (E.4). E sto lleva a

= «166 V

k

o K = 9969.6365 N/m

E je m p lo 8.5

D is e ñ o d e u n a is la d o r n o a m o rtig u a d o Una in asa d e 5 0 k g s e som ete a la fuerza arm ó n ica F (i) - 1 0 0 0 e o s 120/ N. D iseñe un aislador no am ortiguado de m odo q u e la fuerza transm itida a la m asa del sistem a no exceda 59fr d e la fuerza aplicada. Incluso, h a lle la am plitud de desplazam iento d e la m asa d e l sistem a c o n aislam iento. Solución: Si hacem os e l valor de transm isibilidad d r fuerza igual a 0.05 y utilizando £ = 0 . la ecuación (8.95) da

Utilizando la definición d e r, ju n to con los valores d e m = 50 kg y w = 120 rad/s. la ecu ació n ( E l ) produce 2 _ o )' _ n»?m '

k = —r r

=

“

*

(1202)(5 0 ) - 7 - — - = 34.2857 X 10’ N /m 21


(E .2)

8 .1 0

.A is la m ie n to d e l a v i b r a c i ó n

681

La am plitud d e desplazam iento d e la m asa d e l sistema c o n aislam iento s e detennina c o n la ecuación (8.96), c o n ( = 0:

X = T* T( r^ -— I ) = -----1000X lO3 (21 - I ) = 1 4583 x i° ~ , | n 34.2857

(E J>

G r á fic a d e d is e ñ o p a r a a is la m ie n to : L a e c u a c i ó n ( 8 .9 4 ) p r o p o r c io n a l a f u e rz a tr a n s m itid a a l a b a s e o s u e l o p o r u n a f u e n te d e v i b r a c ió n ( m a s a v ib r a to ria ) y s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 8.21 c o m o u n a g r á f ic a e n t r e T ¡ = F T/ F 0 y r = C o m o y a a n te s s e s e ñ a ló , e l a is la m ie n to d e v ib r a c ió n , r e d u c c ió n d e l a f u e r z a tr a n s m i t id a a l s u e l o , se p u e d e lo g r a r c o n r > V 5 . E n la r e g ió n r > V 5 . s c d e s e a n v a lo r e s b a jo s d e a m o r t i g u a m ie n to p a r a u n a is la m ie n to m á s e f e c tiv o . C o n v a lo r e s g r a n d e s d e r y v a lo r e s b a jo s d e f e l té r m in o (2 £ r)2 s e v u e lv e m u y p e q u e ñ o y s e p u e d e o m i t i r e n la e c u a c ió n ( 8 .9 4 ) p a r a s i m p li f i c a r . P o r lo ta n to , l a e c u a c i ó n ( 8 .9 4 ) s e p u e d e e s c r i b i r c o m o s e m u e s tr a e n l a e c u a c ió n ( 8 .9 5 ) p a r a r > y £ pequeño.

V5

D e fin ie n d o l a fr e c u e n c ia n a tu ra l d e v ib r a c ió n d e l s is te m a n o a m o r tig u a d o c o m o

“ VE.

(898>

y l a fre c u e n c ia d e e x c ita c ió n a> co m o

2 ttN 60

(8 .9 9 )

d o n d e 6 ^ e s la d e f le x ió n e s tá tic a d e l r e s o r te y N e s la fr e c u e n c ia e n c ic lo s p o r m in u to o r e v o lu c io n e s p o r m in u to (r p m ) d e m á q u in a s ro ta to r ia s c o m o m o to re s e lé c tr ic o s y t u r b in a s , l a s e c u a c io n e s ( 8 .9 5 )

a (8 .9 9 ) s e p u e d e n c o m b in a r p a ra o b te n e r

donde R = 1 -

Tf s e u tiliz a p a r a in d ic a r la c a lid a d d d a is la d o r y d e n o ta d p o r c e n ta je d e re d u c c ió n

lo g ra d o d e l a f u e rz a tr a n s m itid a . L a e c u a c ió n (8 .1 0 0 ) s e r e e s c r ib e c o m o

( 8 -,0,) S e p u e d e u t il i z a r la e c u a c i ó n ( 8 .1 0 1 ) p a r a g e n e r a r l a g r á f i c a e n tr e lo g N y lo g 6 ^ c o m o u n a s e r ie d e l ín e a s r e c t a s c o r r e s p o n d ie n te s a d i f e r e n te s v a lo r e s d e R . c o m o s e m u e s tr a e n l a f ig u ra 8 .2 3 . E s ta g r á f i c a s ir v e c o m o g r á f i c a d e d i s e ñ o p a r a s d e c c i o n a r u n r e s o r t e a d e c u a d o p a r a e l a is la m ie n to .


682

C a p ítu lo 8


50,000

20,000

0.001

0.025

aoo2 0.051

o.oo5 0.127

o.oi 0254

om 0.508

0.05 12 7

ai 2.54

02 5.08

1.0 (pulgadas) 25.4 (m m)

Deflexión estática. F ig u ra 8 .2 3 Eficiencia de aislam iento.

E je m p lo 8.6

A is la d o r d e u n a to rn a m e s a e s te re o fó n ic a Una tornam esa estereofónica. d e 1 k g d e m asa, g enera una fuerza d e excitación a una frecuencia de 3 Hz. Si está apoyada en una base m ediante un soporte d e m ontaje d e hule, determ ine la rigidez d e l soporte de m ontaje p ira reducir 8 0 p o r ciento la vibración transm itida a la base. S olución: C on ,V = 3 X 6 0 = 180 c p m y R ■ 0.80, la ecuación (8.105) da

180 ■

ü )

o

S„ , = 0.1657 m

L a d e fle x ió n e stá tic a d e l s o p o rte d e m o n taje s e p u e d e e x p re sa r e n fu n ció n d e s u rig id e z ( * )c o m o


8 .1 0


683

la c u a l d a la rig id e z d el s o p o r te d e m o n ta je c o m o

1(9-81) 0.1657 = — — 1

o

k = 59.2179 N/m

A is la m ie n t o d e s i s t e m a s c o n d e s b a la n c e r o ta to r io : U n a fu e n te c o m ú n d e f u e rz a a r m ó n ic a fo r z a d a es e l d e s e q u ilib r io e n m á q u in a s r o ta to r ia s c o m o tu rtn n a s , b o m b a s c e n tríf u g a s y tu rb o g e n e r a d o re s . E l d e s e q u ilib r io e n u n a m á q u in a r o ta to r ia im p lic a q u e e l e je d e ro ta c ió n n o c o in c id a c o n e l c e n tr o d e m a s a d e t o d o e l s is te m a . I n c lu s o u n a e x c e n tr i c id a d m u y p e q u e ñ a p u e d e p r o v o c a r u n a g ra n f u e r z a d c s b a la n c c a d a e n m á q u in a s d e a lta v e lo c id a d c o m o s u c e d e e n la s tu r b in a s . E n l a fig u ra 8 .2 4 s e m u e s tra u n s is te m a ro ta to rio típ ic o d c s b a la n c c a d o . A q u í s e s u p o n e q u e l a m a s a to ta l d e l s is te m a e s M y s e c o n s id e ra q u e l a m a s a d c s b a la n c c a d a e s u n a m a s a p u n tu a l m lo c a liz a d a e n e l c e n t r o d e m a s a d e l s is te m a ( c o n u n a e x c e n tric id a d d e e r e s p e c to d e l c e n tr o d e ro ta c ió n ) c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 8 .2 4 . S i l a m a s a d e s b a la n c e a d a g ira a u n a v e lo c id a d a n g u la r to y e l s is te m a e s t á re s tr in g id o p a r a m o v e rs e e n la d ir e c c ió n v e r tic a l, la e c u a c ió n d e m o v im ie n to d e l s is te m a e s t á d a d a p o r M x + c ‘x + k x = F0 s e n tu r ■ m c w 2 s e n io!

( 8 .1 0 2 )

A p lic a n d o F0 = m e to 2, l a tra n s m is ib ilid a d d e fu e rz a d e l s i s t e m a s e p u e d e h a lla r p o r la e c u a c ió n (8 .8 8 ). S in e m b a rg o , la p re s e n c ia d e

e n F 0 d a c o m o re s u lta d o l a s ig u ie n te e c u a c ió n p a r a la tr a n s m i

sib ilid a d d e f u e rz a (7^) d e b id o a d c s h a la n c e ro ta to rio : F, Ti m TF0.

F,

A

F, m e to 2

m e r 2to l

1 + (2 i r ) 1

\i

F ig u ra 8 .2 4 S is te m a c o n d e s b a la n c e r o ta to rio .


684

C a p ítu lo 8

E je m p lo 8.7


B o m b a c e n trífu g a co n d e s b a la n c e -e s p a c io u h o lg u ra p ara tra q u e te o Una bo m b a centrífuga, c o n una m asa d e 50 kg y velocidad d e rotación d e 3000 rpm . está m ontada a la m itad de una viga sim plem ente apoyada t k 100 c m de longitud. 2 0 c m d e a n ch o y 0 .5 a n d e espesor. L a relación de am ortiguam iento d e l sistem a (v ig a) se puede su p o n e r c o m o £ = 0.05. La h élice (parte rotatoria) d e la bom ba tiene una m asa de 5 kg con u n a excentricidad d e I m m . Si la deflexión m áxim a de la v ig a está restringida para q u e se a m en o r q u e el espacio p ara traqueteo disponible de 3 m m .6 determ ine si e l sistem a d e soporte de la bo m b a e s e l adecuado. S olución: La rigidez a flexión o constante d e resorte d e la v ig a sim plem ente apoyada está d ad a por

*-T d in d e e l m om ento de inercia d e la sección transversal d e la v ig a s e puede calcular como 1 Y2

,=

.

(2 0 )(0 .0 5 3) ------- 12----------

0208333 c m

= 20.8333 X 1 0 '10 rn4

Cbn E = 207 X l( P P a , la constante de resorte d e la v ig a se determ ina com o

*

48(207 X 109)(20.8333 X lO"10) -------------------------- : ----------------------( I 0 3)

206.999.6688 N/m

C onsiderando la densidad d e l acero com o 7.85 gram os/cm ’, la m asa d e la v ig a (mb) se determ ina com o m b = 7 .8 5 (I0 0 )(2 0 )(0 .5 ) = 7850 g ram = 7.85 kg

U m asa total d e l sistem a (A/) es igual a la m asa d e la bo m b a m ás la m asa efectiva d e la v ig a e n su centro (igual a — jnb\ vea el problem a 2.8 6 ):

M = " -b o n * .*

= 50 + ^ (7.85) = 53.8128 kg

l a frecuencia natural d e l sistem a es /206999.6688 =

=

53.8128

' = 6 2 0 2 ,5 Qd/S

l a velocidad d e l im pulsor (rotor) d e 3 0 0 0 rpm d ad a ai = 2 w (3 0 0 0 )/6 0 = 314.16 rad/s. P o r lo tanto, la rela ción d e frecuencia ( r ) s e escribe com o

r = — = * = 5.0653; oin 62.0215

r 2 = 25.6577

* H espacio Ifcre disponible que perm ite que el sistema experim ente la deflexión inducida libremente durante vibración x llam a espac io para traqueteo u holgura. Si el espacio para traqueteo e s dem asiado pequeño com o para acom odar la dcfkxión del sistema, é s e experimentaid impactos (al golpear la superficie u objeto circundante o cercano) en cada ciclo de vibración.


8 .1 0

.A is la m ie n to d e l a v i b r a c i ó n

685

L a a m p litu d d e la fu n c ió n fo rz a d a es

meo,2 = 5 (I0 ~ 3)(3 I4 .1 6 2) = 493.4825 N C o n £ = 0 .0 5 . la am plitud d e e stad o estable d e la bom ba se determ ina con la ecu ació n (8 .% ) c o n meto2 para F0 como x = m ea? *

I

493.4825

V ( 1 - r 2)2 + ( 2 i r ) 2

493.4825

1

206999.6688 24.6629

I

206999.6688 V ( 1 - 25.6577)2 + < 2 (0 .0 5 )(5 0 6 5 3 ) }2

= 9.6662 X 10 5 m

La d e fle x ió n estática d e la v ig a bajo e l peso d e la bom ba se d eterm ina com o

*

206999.6688

l\»r lo tanto, la deflexión total d e l sistem a es = X + 5*™*» = 9.662 X I0~5 + 236.9569 X 10~5 = 246.6231 X l
E n a lg u n a s a p lic a c io n e s l a b a s e d e l s is te m a e s tá s u je ta a u n m o v im ie n to v ib ra to rio , f t i r e je m p lo , l a b a se o c im ie n to d e u n a m á q u in a c o m o u n a tu rb in a e n u n a p la n ta e lé c tric a p u e d e v e rse s o m e tid a a m o v im ie n

S is te m a d e a is la m ie n t o de v ib r a c ió n co n m o v im ie n t o de la b a s e

to d e l s u d o d u ra n te u n s is m o . S in u n s iste m a d e a is la m ie n to a d e c u a d a m e n te d is e ñ a d o , e l m o v im ie n to d e l a b a s e tra n s m itid o a la m a s a (tu rb in a ) p o d ría p ro v o c a r d a ñ o s y fa lla s d e c o rrie n te . A s im is m o , u n in s tru m e n to (m a s a ) d e lic a d o q u iz á te n g a q u e p ro te g e rse c o n tra u n a fu e rz a o c h o q u e c u a n d o d p a q u e te q u e c o n tie n e d in stru m e n to s e d e je c a e r a c c id e n ta lm e n te d e s d e a lg ú n p u n to a lto . A d e m á s, si e l in stru m e n to se t ie n e q u e tra n s p o rta r, d v e h íc u lo q u e lo tra n s p o rta p u e d e e x p e rim e n ta r v ib r a d ó n al tra n s ita r p o r u n a c a rre te ra c o n b a c h e s. E n e s te c aso , ta m b ié n , s e tie n e q u e u tiliz a r a is la m ie n to a p ro p ia d o p a ra p ro te g e r e l in stru m e n to c o n tra d e sp la z a m ie n to e x c e s iv o o fu e rz a tra n s m itid a p o r d m o v im ie n to d e l a base. P a r a un s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e rta d c o n e x d t a d ó n d e l a b a s e , c o m o e l q u e s e m u estra e n l a f ig u r a 8 .1 9 íb ). e l a n á lisis s e p re s e n tó e n l a s e c a ó n 3 .6 , C u a n d o l a b a s e d d s is te m a s e s o m e te a u n m o v im ie n to a r m ó n ic o ,y (t) “ Y s e ñ a n , l a e c u a c ió n (3 .7 5 ) p ro p o rc io n a l a e c u a d ó n d e m o v im ie n to : m i + cz + k z = - m y

( 8 .1 0 4 )

d o n d e z — x - y in d ic a d d e s p la z a m ie n to d e l a m a s a c o n re s p e c to a l a b a s e . S i d m o v im ie n to d e la b a s e e s a r m ó n ic o , e n to n c e s e l m o v im ie n to d e la m a s a ta m b ié n s e rá a rm ó n ic o . P o r c o n s ig u ie n te la tra n s m is ib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to , T¿ = —, l a d a la e c u a c i ó n (3 .6 8 ):


686

C a p ítu lo 8


t b n d c X y Y in d ic a n la s a m p litu d e s d e d e s p la z a m ie n to d e la m a s a y l a b a s e , r e s p e c tiv a m e n te , y la e x p re s ió n d e l la d o d e r e c h o e s l a m is m a q u e a p a r e c e e n l a e c u a c ió n ( 8 .9 4 ) . O b s e rv e q u e l a e c u a c ió n (8 .1 0 5 ) ta m b ié n e s ig u a l a la r e la c ió n d e l a a c e le ra c ió n e s ta d o e s ta b le m á x im a d e l a m a s a y l a b a s e . L a v a ria c ió n d e l a tra n s m is ib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to c o n la r e la c ió n d e f r e c u e n c ia ( r ) a d ife re n te s v a lo re s d e l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to (£ ) s e m u e s tra e n la fig u ra 8 .2 5 . S e p u e d e n h a c e r las s 'g u ie n te s o b s e rv a c io n e s c o n b a s e e n la fig u ra 8 .2 5 : 1. P a ra u n s i s t e m a n o a m o r tig u a d o , l a t r a n s m i s i b i li d a d d e l d e s p la z a m ie n to t ie n d e a in f in i t o e n r e s o n a n c ia ( r - 1). P o r lo t a n t o , e l a is la d o r n o a m o r t i g u a d o ( r ig id e z ) se t ie n e q u e d i s e ñ a r p a r a a s e g u r a r s e d e q u e l a f r e c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a (
Vi .

4 . L a a m p litu d d e d e s p la z a m ie n to e s m a y o r q u e 1 p a r a r <

V i y m enor que

1 p a ra r > V 2 . O b

Vi Vi. P o r l o t a n t o .s i e l a m o rtig u a m ie n to d e l s is te m a n o s e p u e d e m o d ific a r, se p u e d e c a m b ia r l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a ( r ig id e z ) p a r a lo g r a r u n v a lo r d e r > V i. se rv e q u e u n a r e la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to p e q u e ñ a c o rre s p o n d e a u n a T d m a y o r p a ra r < y T d m en o r p a ra r >

S i Ft in d ic a l a m a g n itu d d e l a fu e rz a tr a n s m itid a a la m a s a p o r e l r e s o r t e y d a m o r tig u a d o r , l a e c u a c ió n ( 3 .7 4 ) p ro d u c e l a tra n s m is ib ilid a d d e la f u e r z a (T¡) d e l sis te m a :

r /

* =r J ky

V

\ ( i _ r 2) 2 + ( 2 ¿ r ) 2 J

(8 .1 0 6 )

ito n d e k Y s e u tiliz a p a r a q u e l a tra n s m is ib ilid a d d e fu e rz a n o t e n g a u n id a d e s . O b s e rv e q u e u n a v e z q u e l a tra n s m is ib ilid a d d e d e s p la z a m ie n to . T j , o l a a m p litu d d e d e s p la z a m ie n to ( X ) d e la m a s a se

R elación d e frecu en cia ( r)


(con m o v im ie n to d e la b a s e ).

8 .1 0


687

► R d a c ió n d efre c u e n c ia ( r)

F ig u ra 8 .2 6 Variación d e 7>con r ( c o n m o v im ien to de la base).

c a lc u la a p lic a n d o l a e c u a c ió n ( 8 . 10 5 ) , la f u e r z a F , tra n s m itid a a l a m a s a s e d e te r m in a a p r o v e c h a n d o la r e la c ió n

A

= r2 Í

„

F¡ „ k r '- X

(8 .1 0 7 )

L a v a ria c ió n d e l a tra n s m is ib ilid a d d e fu e rz a c o n la r e la c ió n d e f r e c u e n c ia ( r ) p a r a d if e r e n te s v a lo re s d e la re la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to ( { ) se m u e s tra e n l a fig u ra 8 .2 6 . A p a r t i r d e e s t a fig u ra se p u e d e n h a c e r la s s ig u ie n te s o b s e r v a c io n e s : 1. 2.

L a tra n s m is ib ilid a d d e f u e rz a (Tf ) s e rá 2 a l a r e la c ió n d e fre c u e n c ia v a lo re s d e la r e la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to (£). P a ra r >

r =

p a ra to d o s lo s

V 5 . u n a r e la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to b a ja c o rre s p o n d e a un v a lo r b a jo d e tra n s m is i

b ilid a d d e fu e rz a . 3.

P a r a r > V 2 . p a r a c u a lq u ie r v a lo r e s p e c íf ic o d e l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to , la tr a n s m is i b ilid a d d e fu e rz a s e in c re m e n ta c o n r . E s te c o m p o r ta m ie n to s e o p o n e a l d e l a tra n s m is ib ilid a d

4.

d e d e s p la z a m ie n to . L a tra n s m is ib ilid a d d e f u e r z a s e a c e r c a a c e r o c o n v a lo re s p e q u e ñ o s d e la r e la c ió n d e fre c u e n c ia r y a lc a n z a u n m á x im o c o n v a lo r e s d e r c e r c a n o s a 1.

E je m p lo 8.8

A is la m ie n to c o n tra v ib ra c ió n d e la base H ay q u e aislar u n sistem a vibratorio d e su b a se vibratoria. E ncuentre la relación de am ortiguam iento requerida q u e el aislador d eb e alcanzar p ara lim itar la transm isibilidad d e desplazam iento a T¿ = 4 . S uponga que el sistem a tiene un solo grado d e libertad.


688

C a p ítu lo 8


S o lu c ió n : A l e s ta b le c e r a» “ «o*, la e c u a c ió n < 8.105) n o s d a

Ta =

x / iT p ñ 5 2í

(

=

J

= — 7 = * 01291

2 \A 3 ~ I

E je m p lo 8.9

2V ^

D is e ñ o d e a is la m ie n to p a ra u n a m á q u in a d e p re c is ió n c o n m o v im ie n to de la base Una m áquina d e precisión ut¡lirada pora fabricar circuitos integrados, de 50 kg d e m asa, se coloca sobre un to n co d e trabajo (co m o base). La vibración d e l suelo transm itida p o r un m otor de com bustión interna cercano la c e que la b a se (las cuatro esquinas del b an co ) vibre a una frecuencia d e 1800 rpm . R esortes helicoidales, con una relación d e am ortiguam iento £ = 0.01 y u n a relación d e carga bilincal (P ) a la deflexión (x ) d ad a por

f

50.000.r;

O s r s S X l O ' 3

[ I 0 5x - 4 X I 0 5;

8 X I 0 ' 3 < 1 < 13 X I0*3

(P e n new tons y x en m etros) e stán disponibles para usarse c o m o aisladores e n las cuatro esquinas d e la base. Si no s e d eb e tran sm itir m ás de 10% d e la vibración d e la base a la m áquina de precisión, d eterm ine un m étodo de lograr e l aislam iento. S olución: C om o se requiere q u e la transm isibilidad d e desplazam iento se a 0 .1 . la ecuación (8.105), p ara £ = 0 0 1 , da

r

* -

J '

Y ~

/

I + {2(ftO I)7T r ~

~ V f(1 l -- r r2)2 2)2 ++ {2(0.01 {2( 0.01 ) r } 2J

l a sim plificación d e la ecuación (E .2) proporciona una ecuación cuadrática e n n com o

r* ~ 2.039ór2 - 99 = 0 La solución d e la ecu ació n ( E 3 ) resulta

r 2 = 11.0218, -8 .9 8 2 2 b cual m uestra e l v a lo r positivo d e rc o m o 3.3199. U tilizando la frecuencia de excitación de

2rr(1800) = 188.496 rad/s 60


(E J)

8 .1 0


689

y la re la c ió n d e fre c u e n c ia r = 3 .3 1 9 9 . la fre c u e n c ia n a tu ra l r e q u e rid a d e l s is te m a s e p u e d e d e te rm in a r c o m o

o> 188.496 r = 3 3 1 9 9 = — = ----------o», <■>„

(E.4)

La ecuación (F„4) produce oim = 56.7776 rad/s. Suponem os que e n cada esquina d e la base se instala un resorte (e n las cuatro esquinas r consiguiente, utilizam os la relación (v ea la ecuación (2.28)):

“ ■■V E , ° 567776 - V 5

(e^

pora hallar la deflexión estática d e l sistem a (S „,) com o

5 « ,=

9 81 — t = 3.0431 X 10 ‘ m 56.7776

rtodo que los cuatro resortes experim entan 6 ^ , la carga estática q u e actúa e n cada resorte s e determ ina p o r la ecuación (E . 1) com o

P = 50000(3.0431 X ! 0 " 3) = 152.155 N

La carga total sobre los cuatro resortes e s 4 x 152.155 ■ 608.62 N. C om o e l peso d e la m áquina e s d e 50 kg = 5 0(9.81) = 490.5 N , p ara o btener la carga total de 608.62 N , tenem os que agregar un peso d e 6 0 9 .6 2 4 9 0 .5 0 = 118.12 N al sistem a. Este peso, en la form a d e u n a placa d e acero rectangular, s e fija en la parte inferior de la m áquina, d e m odo q u e la m asa total vibratoria sea de 62.0408 kg (c o n un peso d e 608.62 N ).

E je m p lo 8 .1 0

S is te m a d e a is la m ie n to p ara u n s is te m a c o n m o v im ie n to d e la base U na tarjeta d e circuito im preso (T C I) hecha d e un m aterial com puesto d e plástico con refuerzo de fibras se utiliza para controlar la com putatkira d e un m o to r de autom óvil. S e fija en e l c h asis ¿b la com putadara, el cual está fijo en el bastid o r d e l autom óvil, c o m o se m uestra e n la figura 8.27(a). E l bastid o r del autom óvil y el chasis d e la com putadora se som eten a vibración producida p o r el m o to r cuando éste funciona a 3 0 0 0 rpm . Si se requiere lo g rar u n a transm isibilidad d e desplazam iento d e no m ás d e 10% e n la tarjeta d e circuito im preso, diseñe un sistem a aislador adecuado entre el c h asis d e la com putadora y e l bastid o r del autom óvil. Suponga q u e e l chasis d e la com putadora e s rígido c o n una m asa de 0.25 kg. D ito s de la tarjeta d e circuito im preso: longitud (f> 25 cm , ancho ( h* 20 a n , espesor (r): 0.3 c m . m asa por unidad de superficie: 0.005 kg/cm *. m ódulo de Y oung (£ > ¡1 5 X 1 0 * N/m?, rd a ció n d e am ortiguam iento: 0.01. S o lu c ió n : Se supone q u e la tarjeta d e circu ito fijo e s tá fija e n el chasis de la com putadora c o m o u n a viga en voladizo. S u m asa ( m ^ e s d e 25 X 20 X 0.005 = 2 5 kg. L a m asa equivalente e n el extrem o libre d e la viga en voladizo es mb (vea e l ejem plo 2.9):

=

= ~ ( 2 . 3 ) = 0 .5 8 9 3 kg


690

C a p ítu lo 8


t

F ig u ra 8 .2 7

Utilizando e l m om ento d e inercia d e la sección transversal d e la T C I

¡ = ^ h « í 3 = ^ ( 0 . 2 0 ) ( 0 .0 0 3 ) 3 = 4 5 X I0-8 m 4

b rigidez d e la T C I c o m o viga e n voladizo se calcula com o

3E/

3(15 X 10*)(45 X I0 " B) . ^ = l.« 6 x , 0 « N , m

L a fre c u e n c ia n a tu ra l d e la T C I e s tá d a d a por

_

/

&

v mh

=

_

V

0.5893


148M 9 ^

8 .1 0


691

L a fre c u e n c ia d e v ib ra c ió n d e la b a s e (c h a s is d e la c o m p u ta d o r a ) es

2w (3000) tu = ----- — -------= 312.66 rad/s oO

312.66

r

*>„ “ 1482.99

= 0.2108

U tilizando la relación d e am ortiguam iento £ = 0 .0 1 . la transm isibilidad d e desplazam iento se determ ina con la ecu ació n (8.105): 1 + (2 £ r)2

r

(1 - r 2)2 4- (2 £ r )2 J

= 1.0465

( E .l)

E ste v a lo r de Td = 104.65% excede e l valor m áxim o perm isible d e 10% . De a h í q u e diseñ em o s un aislador (con rigidez * y constante d e am ortiguam iento <•) entre e l chasis de la com putadora y e l bastid o r d e l autom óvil c o m o se m uestra e n la figura 8.27(b). S i m odelam os la TC1 con rigidez kb y m asa mb c o m o antes, el u so del a is la d )r h ace d e l problem a un sistem a d e d o s grados d e libertad. P a ra sim plificar, m odelam os la v ig a en v o la d izo (TC1) c o m o u n a m asa rígida sin elasticidad. E sto c o n d u ce a l sistem a d e un solo grado d e libertad q u e se m uestra en la figura 8.27(c). d o n d e la masa equivalente m está dada por m — n ixci

mduo» - 2.5 + 0.25 — 2.75 kg

Suponiendo u n a relación d e am ortiguam iento d e 0 .0 1 . p ara la transm isibilidad de desplazam iento requerida de 10% , la relación d e frecuencia r se determ ina a p artir d e la relación

E levando a l cuadrado am bos lados d e la ecuación (E .2) y reordenando los térm inos, obtenem os r 4 - 2.0396r2 - 9 9 = 0

La raíz positiva de la ecuación (E .3) e s r2 = 11.0218 o r = 3.3199. L a rigidez del aislador está d a d a por ^ = ^

= (2 /^ X 3 1 2 ^ r2

11.0218

= 24,390.7309 N/m

l a constante d e am ortiguam iento d e l aislador se calcula com o c = 2 £ V m * = 2 (0.01 ) V ( 2 .7 5 ) ( 2 4 3 9 0 .7 3 0 9 ) = 5.1797 N -s /m


692

C a p ítu lo 8

S is t e m a de a is la m ie n to d e v ib r a c ió n c o n c im ie n t o fle x ib le


En muchas situaciones practicas, la estructura o cimiento al cual está conectado el aislador se mueve cuando la máquina montada sobre él funciona. Por ejemplo, en el caso de una turbina apoyada en el casco de un buque, o un motor montado en el ala de un avión, el área circundante al punto de soporte también se muevejumo conel aislador. En tales casos.el sistemase puede representar como uno de dos grados de libertad. En la figura 8.28. m t y m 2 indican las masas de la máquina y la estructura de soporte que se mueve junto con el aislador, respectivamente. Para simplificar, el resorte se representa con un resorte * y se omite el amortiguamiento, las ecuaciones de movimiento de las masas mj y m 2 son m {x\ + k ( x i -

x2) = Fq eos tur

* 2 * 2 + * (* 2 -

X l) » 0

(8.108)

Suponiendo una solución armónica de la forma X j = X j eos aw,

j = 1.2

tas ecuaciones ( 8. 1 0 8 ) resultan — nt\ai2) -

X2k — Fq

- X tk + X 2( k ~ m -jo?)

(8.109)

las raíces de la siguiente ecuación ofrecen las frecuencias naturales del sistema (* - m ito2 )

-k

-k

( k - m 2ü>2)

8 110 )

( .

las raíces de la ecuación ( 8 . 110 ) son ( m | + m 2)k *>T = 0 .

m \m 2

(8 . 1 1 1 )

El valor de io, ■ 0 corresponde a movimiento de cuerpo rígido, puesto que el sistema no está res tringido. En el estado estable, la ecuación (8.109) dicta las amplitudes de mi y m 2, cuya solución es ( k - m 2a r ) F 0

X,

X, =

[(* -

~ m 2uj2) - k 2)

___________ kjo___________ [(* -

F ( l) - F„ CO Satf

m iü r ) ( k

m \ü i2) ( k -

m 2a>2) - A2 ]

-T|(í)

F ig u ra 8.28 Máquina con aislador sobre un cimiento flexible.


(8 . 1 1 2 )

8 .1 0


693

L a a m p litu d d e m 2x 2 p ro p o r c io n a Ia f u e r / a ( F,) tra n s m itid a a l a e s tru c tu ra d e s o p o rte :

- m ik u rF a (8 .1 1 3 ) [ ( k - m ,tü 3 ) ( * - m y u 2) - k :

L a tra n s m is ib ilid a d d e l a is la d o r (7^) e s t á d a d a p o r

Tí

Fo m 2k< ¿ [(* -

" t \ < ¿ ) { k - m 2ü>2) -

k 2)

1

(mi

+ m2

m xüp- \

m2

**

/

1 (8 .1 1 4 ) ( m , + m 2) l 1 ~

d o n d e u * e s l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a d a d a p o r l a e c u a c ió n (8 .1 1 1 ). L a e c u a c ió n (8 .1 1 4 ) in d ic a , c o n » e n e l c a s o d e u n a is la d o r s o b r e u n a b a s e ríg id a , q u e la fu e rz a tr a n s m itid a a l c im ie n to se r e d u c e a m e d id a q u e la fre c u e n c ia n a tu ra l d e l s is te m a o>2s e re d u c e .

l a f ig u ra 8 .2 9 m u e s tr a u n a s itu a c ió n m á s re a l e n l a c u a l l a b a s e d e l a is la d o r , e n lu g a r d e s e r d e l to d o ríg id a o fle x ib le e s p a r c ia lm e n te fle x ib le 1 8 .3 4 ). P o d e m o s d e f in ir la i m p e d a n d a m e c á n ic a d e

S is te m a d e a is la m ie n to de v ib r a c ió n c o n c im ie n t o p a r c ia lm e n te fle x ib le

la e s tr u c tu r a d e l a b a s e . T ito ), c o m o l a f u e rz a a l a f r e c u e n c ia at r e q u e r id a p a r a p r o d u c ir u n d e s p l a z a m ie n to u n ita r io d e l a b a s e (c o m o e n l a s e c c ió n 3 .5 ):

R ic r z a a p lic a d a d e f r e c u e n c ia tu Z(< o)

n ccánica Z(ai)

D e s p la z a m ie n to

F ig u ra 8 .2 9 M áquina c o n aislador so b re u n a m ie n to p a rcialm en te flexible.


694

C a p ítu lo 8


L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to s o n 7 m ix i + k { x i -

x i) = Focos mí

(8 .1 1 5 )

k ( x 2 - x i ) = - x iZ { < o )

(8 .1 1 6 )

S u s titu y e n d o l a s o lu c ió n a r m ó n ic a x j{ t) = X j eos u n ,

> = 1 .2

(8 .1 1 7 )

en l a s e c u a c io n e s (8 .1 1 5 ) y ( 8 .1 1 6 ) . X , y X 2 s e o b tie n e n c o m o e n e l c a s o p re v io : [* + Z ( t o ) ) X 2

[ * + Z (to )] F 0 [ Z ( u > ) ( k - m,
k m x
kF 0 (8 .1 1 8 ) [Z (ü > )(L — m \to 2) — kn¡\<

l a a m p litu d d e l a fu e rz a tr a n s m itid a e s k Z { o j) F 0 F' = * « • >

=

<8n9)

y l a tr a n s m is ib ilid a d d e l a is la d o r es F,

T f~ F „ -

kZ(a> )

[Z (« )(H - * ,« » ) -

h n j]

(8 I2 0 )

R i l a p rá c tic a , la im p e d a n c ia m e c á n ic a Z (io ) d e p e n d e d e l a n a tu r a le z a d e l a e s tr u c tu r a d e la b a s e . S e p u e d e d e te r m in a r e x p e rim e n ta lm e n te m id ie n d o e l d e s p la z a m ie n to p ro d u c id o p o r u n v ib r a d o r q u e a p lic a u n a fu e rz a a r m ó n ic a a la b a s e . E n a lg u n o s c a s o s , p o r e je m p lo s i u n a is la d o r e s t á d e s c a n s a n d o so b re u n a p la ta fo rm a d e c o n c r e to , l a im p e d a n c ia m e c á n ic a a c u a lq u ie r f r e c u e n c ia a> s e d e te r m in a a i fu n c ió n d e l m o d e lo d e rc s o r tc - m a s a - a m o r tig u a d o r h id rá u lic o d e l s u e lo .

A is la m ie n t o c o n tra choques

C o m o y a s e m e n c io n ó , u n a c a rg a d e c h o q u e im p lic a l a a p lic a c ió n d e u n a fu e rz a d u ra n te u n a c o r ta d u ra c ió n , p o r lo c o m ú n d u r a n te u n p e r io d o m e n o r q u e u n p e r io d o n a tu ra l d e l s is te m a . L a s fu e rz a s im p lic a d a s e n m a r tillo s d e f o r ja , p re n s a s p u n z o n a d o ra s , o n d a s e x p a n s iv a s y e x p lo s io n e s s o n e je m p lo s d e c a rg a s d e c h o q u e . El a is la m ie n to c o n tr a c h o q u e s s e p u e d e d e f in i r c o m o u n p r o c e d im ie n to m e d ia n te e l c u a l lo s e fe c to s in d e s e a b le s d e u n c h o q u e s e re d u c e n . O b s e rv a m o s q u e e l a is la m ie n to c o n tra v ib ra c ió n p r o d u c id a p o r u n a p e rtu rb a c ió n a r m ó n ic a ( im p a c to ) o c u r r e c o n l a re la c ió n d e f r e c u e n c ia r > V 2 y u n v a lo r p e q u e ñ o d e l a r e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to ( £ ) q u e c o n d u c e a un m e jo r a is la m ie n to . P o r o tra p a rte , el a is la m ie n to c o n tr a c h o q u e d e b e o c u rrir d e n tr o d e i n a m p lio ra n g o d e fr e c u e n c ia s , e n g e n e ra l c o n v a lo re s g ra n d e s d e £. P o r lo t a n t o , u n b u e n d is e ñ o d e a is la m ie n to c o n tra

7Si la base es completamcrtc flexible con una masa no restringida m>. Tlat) ■ conducen a la ecuación (8.109).


y las ecuaciones (8.115) a (8.117)

8 .1 0


695

v ib ra c ió n r e s u lta s e r u n d is e ñ o d e a is la m ie n to c o n tr a c h o q u e d e f ic ie n te y v ic e v e rs a . A p e s a r d e la s d if e r e n c ia s , lo s p r in c ip io s b á s ic o s im p lic a d o s e n el a is la m ie n to c o n tr a c h o q u e s s o n s e m e ja n te s a lo s d e l a is la m ie n to c o n tr a v ib ra c ió n ; s in e m b a r g o , la s e c u a c io n e s s o n d ife re n te s d e b id o a l a n a tu ra le z a tra n s ito ria d e l c h o q u e . U na c a r g a d e c h o q u e d e c o r ta d u r a c ió n F (r) a p lic a d a d u r a n te u n p e rio d o T , s e p u e d e tr a ta r c o m o u n im p u ls o F : T F(t)dt

(8 .1 2 1 )

! C o m o e s t e im p u ls o a c tú a e n la m a s a m , s e p u e d e a p lic a r e l p rin c ip io d e im p u ls o -c a n tid a d d e m o v i m ie n to p a r a d e te r m in a r la v e lo c id a d im p a rtid a a la m a s a ( v ) c o m o

v = m

( 8 .1 2 2 )

É s ta in d ic a q u e la a p lic a c ió n d e u n a c a r g a d e c h o q u e d e c o rla d u r a c ió n s e p u e d e c o n s id e r a r e q u i v a le n te a im p a rtir u n a v e lo c id a d in ic ia l a l s is te m a . P o r lo ta n to , la re s p u e s ta d e l s is te m a s o m e tid o a u n a c a r g a d e c h o q u e s e p u e d e d e te r m in a r c o m o l a s o lu c ió n d e v ib r a c ió n lib re c o n u n a v e lo c id a d in ic ia l e s p e c if ic a d a . S u p o n ié n d o la s c o n d ic io n e s in ic ia le s c o m o x ( 0 ) =

xq

= 0 y x ( 0 ) = x 0 = v,

la s o lu c ió n d e v ib ra c ió n lib r e d e u n s is te m a v is c o s a m e n te a m o rtig u a d o d e u n s o lo g ra d o d e lib e rta d (d e s p la z a m ie n to d e l a m a s a m ) s e p u e d e h a lla r a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 2 .7 2 ) c o m o

x(r) =

ve~ (u J

s e n ojd i

(8 .1 2 3 )

d =

V i - £ - o¡„ e s l a fre c u e n c ia d e v ib ra c io n e s a m o r tig u a d a s . L a f u e r z a tr a n s m itid a a l

c im ie n to , F / r ) , d e b id a a l r e s o rte y e l a m o r tig u a d o r e s t á d a d a p o r F ,( l) = k x { t ) + c x ( t )

(8 .1 2 4 )

U tiliz a n d o l a e c u a c ió n ( 8 .1 2 3 ) , F / / ) s e e x p r e s a c o m o

F ,[ i) = ~ \ / ( *

s e n ( w rf/ + 4>)

" c í " - .) 2 + (c « rf)2

(8 .1 2 5 )

donde

t a n -1 I , ~

"

)

( 8 .1 2 6 )

S e p u e d e n u tiliz a r la s e c u a c io n e s (8 .1 2 5 ) y (8 .1 2 6 ) p a r a d e te r m in a r e l v a lo r m á x im o d e l a lu e rz a tra n s m itid a a l c im ie n to . P a ra c a rg a s d e c h o q u e d e la r g a d u r a c ió n , la fu e rz a m á x im a tr a n s m itid a p u e d e o c u r r i r m ie n tra s se e s t á a p lic a n d o e l c h o q u e . E n ta le s c a s o s s e p u e d e u tiliz a r e l e s p e c tr o d e l c h o q u e , a n a liz a d o e n la se c c ió n 4 .6 , p a r a d e te r m in a r l a f u e rz a m á x im a tr a n s m itid a a l c im ie n to . L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n d if e r e n te s m é to d o s q u e s e p u e d e n u tiliz a r p a r a e l d is e ñ o d e a is la d o re s d e c h o q u e .


696

C a p ítu lo 8

E je m p lo 8.11


A is la m ie n to e n s itu a c ió n d e c h o q u e U n instrumento electrónico d e 2 0 kg de m asa s e som ete a un choque en la form a de u n a velocidad gradual de 2 m/s. Si los >ak>rcs d e deflexión m áxim os perm isibles (debido a l lím ite d e holgura) y aceleración se especifican como 2 0 m m y 25 g. respectivam ente, determ ine la constante de resorte d e un aislador d e choque no am ortiguado. S olución: E l instrum ento electrónico soportado p o r e l resorte se puede considerar c o m o un sistem a n o am orti z a d o sujeto a m ovim iento d e la b a se (e n la form a d e velocidad gradual). L a m asa vibra a la frecuencia natural t e l sistem a con las m agnitudes d e la velocidad y aceleración d a d as por

>mái

=

(El )

Xo> „

-*máx =

(E.2)

te n d e X es la am plitud d e desplazam iento d e la m asa. C om o e l v a lo r m áxim o d e la velocidad (g rad u a l) se especifica c o m o 2 m /s y e l v a lo r perm isible m áxim o d e X e s de 0.02 m , la ecuación (E . 1) produce

X =

—

< 0 .0 2

o

a>„ > ^

(i)a

X

Asim ism o, c o n e l v a lo r especificado m áxim o d e

Xto2 £ 25 (9.81) = 245.25 m /s2

= 100 rad/s 0.02

(E 3 )

c o m o 25 g. la ecuación ( E 2 ) ofrece

= 110.7362 ra d /s

o

(E .4)

l a s ecu acio n es (E .3 )y (E .4) proporcionan 100 rad/s ■ < &» „ < ! 10.7362 rad/s. S e lec cio n a n te el valor d e toñ a h m itad d e l rango perm isible c o m o 1 0 5 3 6 8 1 , la rigidez d e l resorte (aislador) se p u ed e encontrar com o k =

E je m p lo 8 .1 2

m u> l= 20

(105.3681 ) J = 2.2205 X lO’ N /m

(E .5)

A is la m ie n to b a jo ca rg a g ra d u a l U n sensible instrum ento electrónico d e 100 kg de m asa está soportado por resortes y em p acad o p ara envío. D urante e l envfo, e l em paque s e d e ja c a e r d e sd e una altura q u e aplica u n a carga d e choque d e intensidad F0 al instrum ento, c o m o s e m uestra e n la figura 8.30(a). D eterm ine la rigidez d e l resorte utilizado e n e l em paque si se requiere q u e la deflexión m áxim a d e l instrum ento sea m enor que 2 m m . El espectro d e respuesta d e la carga t e ch o q u e se m uestra e n la figura 8 3 0 (b ) c o n F0 — 1000 N y i 0 = 0 .1 s. S olución: E l espectro d e respuesta, que indica la respuesta m áxim a d e un sistem a d e un solo grado d e libertad t e a m o rtig ú ate sujeto a l ch o q u e dado, está d efinido por

Fo

= I + ~ ~ V 2 ( ¡ - c o , 2 ^ 0) uJo

t e n d e a», e s la fre c u e n c ia n a tu ra l d e l sistem a:

/ ü r 0 ,v í http://librosysolucionarios.net

(E .1 )

8 .1 0


697

no

_L

7 -77777777,

o

1.0

2.0

3.0

4.0

m (b) Figura 8 .3 0 G irga de ch o q u e c o n tra u n in stru m e n to electrónico.

F0 = 1000 N . /0 = 0.1 s y A e s la rigidez d e l resorte utilizado e n e l em paque. C on los datos conocidos, la ecuación (E . I ) s e ex p resa como

= 1+

™

•co,2(0,ví) (a,)) s isó U ¡ ¡ )

<*»

U tilizando e l signo d e igualdad, la ecuación (F..3) s e recscribc com o

\ / 2 ( l ~ e o s 0 .0 2 V k ) - 2 X 10~*k + 1 = 0

(E.4)

L a raíz de la ecu ació n ( E 4 ) p roporciona e l valor d e rigidez d esead o c o m o k = 6 ,2 6 1 5 X I05 N/m . S e puede utilizar e l siguiente program a M A T L A B p ara d eterm inar la raíz de la ecu ació n (E.4):

» » »

x . 1000.1 .10000000, f . •( 1 0 0 / « q r t < x ) ) • • q r C ( 2 • ( 1 - c o a ( 0 . 0 2 * a q r t ( x ) ) ) ) - 0 . 0 0 0 0 0 2 « x . l ' | r o o t .f w r o lf , 100000»

root

■

6 .2 6 1 5 » .0 0 5


698

C a p ítu lo 8

C o n tro l de v i b r a c ió n a c t iv o


Un sistema de aislamiento de vibración se llama activo si utiliza potencia externa para realizar su fiinción. Se compone de un servomecanismo con un sensor, un procesador de señales y un actuador. como se muestra esquemáticamente en la figura 8.31 18.3I-8.33J. Este sistema mantiene una dis tancia constante (/) entre la masa vibratoria y el plano de referencia. A medida que varía la fuerza F (l) aplicada al sistema (masa), la distancia /tiende a variar. R] sensor detecta este cambio de /.y se produce una señal proporcional a la magnitud de la excitación (o respuesta) del cuerpo vibratorio. R procesador de señales envía una señal de comando al actuador basado en la señal enviada por el sensor. El actuador desarrolla un movimiento o fuerza proporcional a la señal de mando. El movi miento o fuerza del actuador controlará el desplazamiento de la base de modo que la distancia / se mantiene al valor constante deseado. Se cuenta con diferentes tipos de sensores para crear señales de retroalimentación basadas en el desplazamiento, velocidad, aceleración, sacudida, o fuerza. B procesador de señales puede constar de un mecanismo pasivo, como un enlace mecánico, o una red electrónica o fluídica activa ca paz de realizar funciones como adición, integración, diferenciación, atenuación o amplificación. El actuador puede ser un sistema mecánico, por ejemplo un mecanismo de cremallera o un mecanismo de articulación de rótula, un sistema fluídico o un sistema generador de fuerza piezoeléctrica o elec tromagnética. Según los tipos de sensor, procesador de señales y actuador utilizados, un sistema de control de vibración activo se conoce como elec tro m ecá n ico , e le c tro flu íd ic o , e lec tro m a g n ético , p ie zo e lé c tric o o flu íd ic o . A n á l is is : Considere un sistema de un solo grado de libertad donde la masa m se somete a una fuer

za aplicada/(/)como se muestra en la figura 8,31. Si utilizamos un sistema de control activo para controlar la vibración de la masa m .el actuador se diseñará para que ejerza una fuerza de control f ( t ) de modo que la ecuación de movimiento del sistema se escriba como m i + c k + k x = F { t ) = f ( t ) + / ,(/ )

(8.127)

R sensor (una computadora) mide el desplazamiento x y la velocidad i de la masa en tiempo real (de forma continua). La computadora calcula la fuerza de control f c(t) necesaria para controlar el movimiento y le ordena al actuador que ejerza la fuerza /t.(f) en la masa m. R>r lo común la computadora se programa para que genere la fuerza de control proporcional al desplazamiento x(f) y a la derivada del desplazamiento o velocidad x ( t ) de la masa de modo que fc { t ) = - g Px ~ g j i

Sistema d e control activo F ig u ra 8 .3 1 S is te m a d e a is la m ie n to d e v ib ra c ió n a c tiv o .


( 8 . 128 )

8 .1 0


699

donde g p y gd son constantes cuyos valores tienen que ser determinados y programados en la computadora por el diseñador. Las constantes gp y g dse conocen como ganancias de control, con gp denotando la ganancia proporcional y indicando la derivada o tasa de ganancia. E l algoritmo de control en este caso se conoce como control (P D ) proporcional y derivado. Sustituyendo la ecua ción (8.128) en la ecuación (8.127), obtenemos m x+

( c + gd ) k + (* + g p) x = / (/ )

(8.129)

la cual indica que #¿actúa como amortiguamiento adicional (o artificial) y g p COmo rigidez adicio nal (o artificial). La ecuación (8.129) conocida como ecuación de lazo cerrado, se puede resolver para determinar las características de respuesta del sistema. Por ejemplo, la nueva frecuencia (efec tiva) es

=

—

-

(8.130)

y la nueva relación de amortiguamiento (efectiva) es

t = 2

V m ( k + gp )

(8.131)

La nueva constante de tiempo (efectiva) del sistema, con f s l.cs Im

(8.132)

c + gd

Por lo tanto, el funcionamiento del sistema de control de vibración activo se describe como sigue: dados los valores de m, c y A:, calcule las ganancias de control gp y gd para lograr los valores desea dos de
E je m p lo 8 .1 3

C o n t r o l d e v ib r a c ió n d e u n s is t e m a e le c t ró n ic o d e p re c is ió n Se propone c o n tro lar la vibración d e un sistem a electrónico d e precisión soportado p o r una b a se clástica (sin am ortiguam iento) m ediante u n m ótodo pasivo o activo. La m asa d e l sistem a es de 15 kg y su frecuencia natural e s de 2 0 rad/s. S e estim a q u e e l sistem a requiere u n a relación d e am ortiguam iento d e f = 0.85 para c o n tro lar la vibración. Suponga q u e los am ortiguadores hidráulicos disponibles pueden proporcionar c onstantes d e a m o r tiguam iento sólo e n e l rango 0 s c ^ 4 0 0 N -s/m . S o lu c ió n : Prim ero, investigam os e l u so de un am ortiguador hidráulico d isponible para controlar la vibración (control pasivo). P o r las frecuencias naturales c onocidas d e l sistem a, p o d e m o s d e te rm in a r la rigidez d e la base elástica com o

cu, =

o

* = /m u ; = 1 5 (2 0 )2 = 6 0 0 0 N /m


(E .1 )

700

C a p ítu lo 8


L a re la c ió n d e a m o rtig u a m ie n to re q u e rid o d e l s is te m a d a la c o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to n e c e s a r ia ( c ) c o m o

( = — 7 = = 0.85 2 V tm

o

c = 2 ( V b n = 2 (0.85) VóOOOÍ 15) = 510 N -s/m

(E .2)

Com o los am ortiguadores hidráulicos pueden proporcionar valores c onstantes d e am ortiguam iento h asta de 400 N-s/m únicam ente, no podem os lo g rar e l control deseado aplican d o am ortiguam iento pasivo. R»r lo tanto, considerem os un sistem a d e control activo p ara crear la cantidad tfo am ortiguam iento reque rida e n e l sistem a. Sea la fuerza d e control d e la form a f c " —g¿x. de m odo que la relación d e am ortiguam iento, form a alterna d e la ecuación (8 .1 3 1), se pueda expresar c o m o (c o n = 0 ):

2{
(E 3 )

A gregando e l am ortiguam iento hidráulico disponible, con constante d e am ortiguam iento d e 400 N -s/m . la ecuación ( E 3 ) se rescribe como 4 0 0 + g J = 2m(iü„ = 2 ( I 5 ) (0 .8 5 )( 2 0 ) = 510 N -s/m

gd = 110 N -s/m Esto d a e l v a lo r d e la constante d e am ortiguam iento q u e d eb e p roporcionar e l control activo (tam bién conocido como ganancia d e riv a d a) com o — 110 N-s/m .

E je m p lo 8 .1 4

C o n t r o l a c t iv o d e u n s is t e m a c o n d e s b a la n c e r o t a t o r io U n sistem a d e un solo g ra d o d e libertad se com pone d e una m asa (m ) = 150 kg, c o n stan te d e am ortiguam iento (c ) = 4 0 0 0 N-s/m y rigidez, (k ) = 6 X 10a N /m . La m asa se som ete a una f u e r a desbalanceada rotatoria dada p o r /( í) - 100 sen 6 O 77/ N. Se pueden h a c e r las siguientes observaciones con base e n los d a to s proporcionados:

(i) La frecuencia natural d e l sistem a <■>„ = perturbación. <0 * 6077

-

1

= 200

x aproxim a a la frecuencia de la

88.4955 rad/s.

(¡i) La relación de am ortiguam iento es p e q u d la c o n un v a lo r de

,=

< = 2 V tm

< 0 ™ = 0.06667 2 \ / ( 6 ( l 0 )( I 6 0 ) ]

Se d esea cam b iar la frecuencia natural d e l sistem a a 100 ra d /s y la relación d e am ortiguam iento a 0 .5 . Como b s valores d e * y c d e l sistem a no se pueden m odificar, se propone u tilizar un sistem a d e control activo. D e term ine las ganancias d e control requeridas para lo g rar los valores d e se ad o s d e

8 .1 0


S olución: C uando se utiliza un sistem a d e control activo c o n ganancias d e c o n tro l gp y tural del sistem a se expresa com o

701

la frecuencia n a

gp = 150(10*) - 6 ( I 0 6) = - 4 . 5 0 0 6) N/m Este v a lo r im plica q u e la rigidez d e l sistem a s e tenga q u e reducir a 1.5 X 106 N/m . L a n u ev a relación de am ortiguam iento d e l sistem a es n t

c + g¿

4000 + g j

2 V k in

2 V ( I . 5 ( I 0 6) ] ( I 5 0 )

gd = 15000 - 4 0 0 0 = I I 0 0 0 N-s/m Este valor implica q u e s e tiene q u e increm entar e l am ortiguam iento del sistem a a 15000 N-s/m . L a ecuación de m ovim iento d e l sistem a activam ente controlado se puede escribir com o m i + e x + k x = f ( l ) = /o s e n cu/

(E .l)

la cual, en este c aso , adopta la form a I50x + 15000* + l.5 (lC f) * = / ( r ) = lO O senóO irr

(E.2)

De acuerdo c o n la ecuación ( E l ) . la función d e transferencia general d e l sistem a se ex p resa c o m o (v ea la sección 3.12)

X (s ) F (s)

I

m s* + „

+ *

(h,3)

La m agnitud d e la respuesta de e stad o estable d e l sistem a correspondiente a la ecu ació n (E .3) e s (v ea la sección 3.13)

[(* - m o T )2 + (co>)2 ) í En este c a s o ./o = 100 N .m = 150 kg. c = tanto, la ecu ació n ( E 4 ) da

1 5 0 0 0 N -s/m .* = 1.5 X 10* N -s/m y

^

= 188.4955 rad/s. P o r lo

• »-------------------------{ I.5(106) - 150(188.4955)2}3 + {15000(188.4955) }2 150 4 .7602(106) = 31.5113(10 6) N


}

I

702

C a p ítu lo 8


L a fu e rz a d el a c tu a d o r (c o n tro l),

Fr

e n e s ta d o e s ta b le s e o b tie n e a p a rtir d e la relació n

F,(s)

Fr(s) X ( s )

F(s) "

X (x )

F(s) “

k + ex (E .5 ) m x2 + e x + A

com o

F¿lu) =

|4 . 5 ( l t f ) - 11000fc»|X (/«)

= 14.5(10^) - H 000(188.4955)»|<31.51l3(l0_é) ) -

V { 4 .5 ( l ( f y } 2 + { II0 0 0 ( 188.4955)}2 (31.5113{10~*))

= 156.1289 N

8.11

A b s o r b e d o r e s d e v ib ra c ió n E l absorbedor d e vibración, ta m b ié n l la m a d o sorbedor d e vibración dinám ico, es u n d is p o s itiv o m e c á n ic o q u e s e u tiliz a p a r a r e d u c ir o e li m in a r l a v i b r a c ió n in d e s e a b le . S e c o m p o n e d e o t r a m a s a y rig id e z, a n e x a d a s a la m a s a p r in c ip a l ( o rig in a l) q u e tie n e q u e s e r p r o te g id a c o n tr a v ib ra c ió n . P o r b t a n t o , l a m a s a p r in c ip a l y l a m a s a d e l a b s o rb e d o r a n e x a d a c o n s titu y e n u n s is te m a d e d o s g ra d o s cfc lib e rta d , d e a h í q u e e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n t e n g a d o s fre c u e n c ia s n a tu ra le s . E l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n s e u tiliz a c o m ú n m e n te e n m a q u in a ria q u e o p e ra a v e lo c id a d c o n s ta n te , p o r q u e e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n s e s in to n iz a a u n a fre c u e n c ia p a rtic u la r y e s e f e c tiv o s ó lo d e n tr o d e u n a b a n d a a n g o s ta d e fr e c u e n c ia s . A lg u n a s a p lic a c io n e s c o m u n e s d e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n c o m p r e n d e n tc r r a m ic n la s re c ip r o c a n te s c o m o rija d o ra s , s ie r ra s y c o m p a c ta d o r a s . a s í c o m o g r a n d e s m o to re s d e c o m b u s tió n in te rn a r e c ip ro c a n te s lo s c u a l e s fu n c io n a n a v e lo c id a d c o n s ta n te ( p a ra u n c o n s u m o m í n im o d e c o m b u s tib le ) . E n e s t o s s is te m a s , e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n a y u d a a b a la n c e a r la s fu e rz a s re c ip ro c a n te s . S in u n a b s o rb e d o r d e v ib r a c ió n , la s f u e rz a s re c ip r o c a n te s d e s b a la n c e a d a s p o d ría n h a c e r q u e e l d is p o s itiv o f u e ra im p o s ib le d e m a n te n e r o c o n tr o la r. L o s a b s o rb e d o r e s d e v ib ra c ió n ta m b ié n s e u tiliz a n e n lín e a s d e tra n s m is ió n d e a lto v o lta je . E n e s t e c a s o , lo s a b s o rb e d o r e s d e v i to-ación d in á m ic o s , e n l a f o r m a d e d is p o s itiv o s t ip o m a n c u e rn a ( f ig u r a 8 .3 2 ), s e s u s p e n d e n d e las lín e a s d e tra n s m is ió n p a r a m itig a r l o s e f e c to s d e f a tig a d e l a s v ib ra c io n e s in d u c id a s p o r e l v ie n to . U n a m á q u in a o s is te m a p u e d e e x p e r im e n ta r v ib ra c ió n e x c e s iv a s i e n e lla a c tú a u n a fu e rz a c u y a fre c u e n c ia d e e x c ita c ió n c a s i c o in c id a c o n u n a fre c u e n c ia n a tu ra l d e la m á q u in a o s is te m a . E n ta le s c a s o s , l a v ib ra c ió n d e la m á q u in a o s is te m a s e p u e d e r e d u c ir p o r m e d io d e u n neulralizador de vi

bración o absorbedor d e vibración dinám ico, e l c u a l e s s im p le m e n te o tr o s is te m a d e re s o rte -m a s a . B a b s o r b e d o r d e v i b r a c ió n d in á m ic o s e d is e ñ a d e m o d o q u e la s fre c u e n c ia s n a tu ra le s d e l s is te m a

F ig u ra 8 .3 2


8 .1 1

A b s o rb e d o re s d e v ib ra c ió n

703

re s u lta n te s e a le je n d e l a fre c u e n c ia d e e x c ita c ió n . C o n s id e r a r e m o s e l a n á lis is d e u n a b s o r b e d o r d e v ib r a c ió n d in á m ic o id e a liz a n d o l a m á q u in a c o m o u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d .

F ija m o s u n a m a s a a u x il i a r m 2 e n u n a m á q u in a d e m , m e d ia n te u n r e s o r te d e r ig id e z k j . y e l s is te m a d e d o s g r a d o s d e lib e r ta d lu c ir á c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 8 .3 3 . L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to

A b s o rb e d o r d e v i b r a c ió n d in á m i c o n o a m o rtig u a d o

d e la s m a sa s m , y m 2 so n

m ¡'x | + k {x { + k 2[ x | -

x 2) = F0 x n iot

m 2X2 + k 2( x 2 - X |) ■ 0

( 8 .1 3 3 )

S u p o n ie n d o u n a s o lu c ió n a rm ó n ic a , X j ( t ) = X j s e n a¡t,

y = 1 .2

o b te n e m o s l a s a m p litu d e s d e e s ta d o e s ta b le d e la s m a s a s / n , y (k 2 -

(8 .1 3 4 )

com o

m ?to2 )F(>

* =

( * ,+ * ,- m ^ ) ( h

Xl '

( * l + *2 " "»|W 2) ( * 2 " " W ) “ *2

- m

r f - H

<8I35) ( 8 I36>

N o s in te r e s a so b re t o d o r e d u c ir l a a m p litu d d e l a m á q u in a (X ,). P a r a r e d u c ir a c e r o l a a m p l i tu d d e m | , e l n u m e r a d o r d e la e c u a c ió n (8 .1 3 5 ) d e b e h a c e rs e ig u a l a c e ro . E s to e n tre g a
Fn sen*üí

A b s o rb e d o r d e vibración dinám ico F ig u ra 8 . 3 3 A b s o rb e d o r d e v ib r a c ió n d in á m ic o n o a m o r tig u a d o .


(8 .1 3 7 )

704

C a p ítu lo 8


S i la m á q u in a , a n te s d e l a a d ic ió n d e l a b s o rb e d o r d e v ib ra c ió n d in á m ic o , o p e ra c e r c a d e su r e s o n a n c ia . (o1 “

10} = k \ f m \ . P o r l o ta n to , e l a b s o r b e d o r se d i s e ñ a d e m o d o q u e ¿

= i*

= h . ni\

(8 .1 3 8 )

h a m p litu d d e v ib ra c ió n d e la m á q u in a , m ie n tra s o p e r a a su fre c u e n c ia r e s o n a n te o rig in a l s e rá c e r o . D e fin ie n d o *. Y '2 “ ' “ t\ ' e" l ). '

1

c o m o l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l a m á q u in a o s is te m a p r in c ip a l, y

M ,/2

a>2

(8 .1 3 9 )

y a q u e l a fre c u e n c ia n a tu ra l d e l a b s o r b e d o r o s is te m a a u x ilia r , l a s e c u a c io n e s (8 .1 3 5 ) y (8 .1 3 6 ) se p u e d e n r e c s c r ib ir c o m o

1 -

1—

(;)•

(8 .1 4 0 ) h.

- í - ©

I ' - ©

’

*«

*2 (

(8 .1 4 1 )

■ ♦ i- m

-

1 -

—

a ' ]

I —

.

l a f ig u r a 8 .3 4 m u e s tra l a v a ria c ió n d e la a m p litu d d e v ib ra c ió n d e l a m á q u in a ( X , / ó o l ) c o n s u v e b e i d a d ( tu /tu ,) . Iôs d o s p ic o s c o r re s p o n d e n a la s d o s fre c u e n c ia s n a tu r a le s d e l s is te m a c o m p u e s to . C b m o s e v io a n te s . X, = 0 e n m =*&>,. A e s t a fr e c u e n c ia , l a e c u a c ió n (8 .1 4 1 ) r e s u lta

V

- _

2 ~

* «

*

-

. 6««-

*2

_ 3 >

(8 .1 4 2 )

.

*2

Sin absorbedor

F ig u ra 8 .3 4 Efecto de u n a b so rb ed o r de vibración n o a m o rtig u ad o e n la re sp u esta de la m áquina.


8 .1 1


705

E slo d e m u e s tr a q u e la fu e rz a e je rc id a p o r e l r e s o r te a u x ilia r e s o p u e s ta a la f u e rz a im p a rtid a (A:jX2 = - F o ) y la n e u tr a liz a , y p o r c o n s ig u ie n te X x s e r e d u c e a c e r o . E l ta m a ñ o d e l a b s o rb e d o r d e v ib ra c ió n d in á m ic o s e d e te r m i n a c o n l a s e c u a c io n e s (8 .1 4 2 ) y (8 .1 3 8 ) :

k 2X 2 — m 2
Fq

(8 .1 4 3 )

P o r ta n to , los v a lo re s d e k 2 y m 2 d e p e n d e n d e l v a lo r p e r m is ib le d e X 2. E n la fig u ra 8 .3 4 se v e q u e e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n d in á m ic o , a l m is m o tie m p o q u e e lim in a v ib ra c ió n a la fre c u e n c ia im p a rtid a c o n o c id a to. in tro d u c e d o s fre c u e n c ia s re s o n a n te s í l , y í l j . a la s c u a le s la a m p litu d d e la m á q u in a e s in fin ita . E n la p rá c tic a , l a fr e c u e n c ia d e o p e r a c ió n w d e b e m a n te n e rs e p o r c o n s ig u ie n te a le ja d a d e l a s fre c u e n c ia s f i , y í l , . l-o s v a lo r e s d e í l , y í l , s e d e te r m in a n ig u a la n d o e l d e n o m in a d o r d e l a e c u a c ió n ( 8 .1 3 4 ) a c e r o . O b s e rv a n d o q u e

1(2 ^

n i2

m ,

« 2 "«i

*1

_

m 2

(

«

j V

(8 .1 4 4 ) m , \< «> ,/

e ig u a la n d o e l d e n o m in a d o r d e l a e c u a c ió n ( 8 .1 4 0 ) a c e r o s e l l e g a a

(f)•(?)■■-(S)H' *5X2)1*-

(8 .1 4 5 )

L a s d o s r a íc e s d e e s ta e c u a c ió n s o n

ÍK '© (5)‘] ■{['*('©(S)T-(5)’n

© ©

( 8 .1 4 6 )

’

la s c u a le s s e v e q u e s o n fu n c io n e s d e ( m 2/ m , ) y ( g> ,/ íi >,).

N o ta s 1. ftw la e c u a c ió n (8 .1 4 6 ) s e v e q u e í l l e s m e n o r q u e , y q u e Í1 2 e s m a y o r q u e , la v e lo c id a d d e o p e r a c ió n (la c u a l e s ig u a l a la f r e c u e n c ia n a tu ra l, v i ) d e la m á q u in a . P b r lo ta n to , l a m á q u in a d e b e p a s a r p o r í l l d u r a n te e l a r ra n q u e y d e te n c ió n . E s to p ro d u c e g ra n d e s a m p litu d e s . 2 . C o m o e l a b s o r b e d o r d in á m ic o s e s in to n iz a a u n a fre c u e n c ia d e e x c ita c ió n (a>), l a a m p litu d d e e s ta d o e s ta b le d e l a m á q u in a es c e r o só lo a d ic h a fre c u e n c ia . S i l a m á q u in a o p e ra a o tr a s f r e c u e n c ia s o si l a fu e rz a q u e a c tú a e n l a m á q u in a tie n e v a ria s fr e c u e n c ia s , e n to n c e s l a a m p litu d d e v ib ra c ió n d e l a m á q u in a p u e d e lle g a r a s e r g ra n d e , 3.

L as v a ria c io n e s d e í l , / u ^ y í l 2/a>2 c o m o fu n c io n e s d e l a r e la c ió n d e m a s a m 2/ m { s e m u e s tra n e n la fig u ra 8 .3 5 p a r a tr e s v a lo r e s d if e r e n te s d e la re la c ió n d e fre c u e n c ia a ^ / t o ,. S e v e q u e la d ife r e n c ia e n t r e í l , y í ^ s e in c re m e n ta c o n v a lo re s c r e c ie n te s d e m j / m ,.


706

C a p ítu lo 8


2.6

^2

F ig u ra 8 3 5 V ariaciones d e Í 1 , y cbdas p o r la ecu ació n (8.146).

mi

E je m p lo 8 .1 5

A b s o r b e d o r d e v ib r a c ió n p a ra u n m o t o r d ie se l U n m o to r diesel, que pesa 3000 N . está soportado por un pedestal. Se ha o b sé rv a lo q u e e l m otor induce vibración en d área circundante a través d e su pedestal a una velocidad d e operación de 6000 rpm . Determ ine los p ará m etros d e l absorbedor d e vibración que reducirán la vibración cuando s e monte e l pedestal. L a m agnitud d e la fuerza d e excitación e s d e 250 N. y la am plitud de m ovim iento de la m asa auxiliar se tiene que lim itar a 2 mm. S olución: La frecuencia d e vibración d e la m áquina es

/

=

60

= 100 H z

o

cu = 628.32 rad/s

Cbm o e l m ovim iento d e l pedestal s e tiene que reducir a c ero , la am p litu d d e m ovim iento d e la m asa auxiliar cfcbe ser igual y op u esta a la d e la f u e r a d e excitación. P o r lo tanto, p o r la ecuación ( 8 .143), obtenem os |F 0 I = m 2o ? X z

l a sustitución de los datos dados resulta 250 = m 2 (628.32 )2( 0.002) R>r consiguiente, m ? = 0.31665. l a rigidez del reso rte k j se d eterm ina p o r la ecuación ( 8 .138):

m2 R>r consiguiente,

= (6 2 8 .32)^ (031665) = 125009 N/m .


(E .1 )

8 .1 1

E je m p lo 8 .1 6


707

A b s o r b e d o r p a ra u n c o n ju n t o d e m o t o r -g e n e r a d o r E l conjunto d e m otor-generador q u e s e m uestra en la figura 8.36 está diseñado p ara q u e o p ere e n el rango de velocidad d e 2 0 0 0 a 4 0 0 0 rpm. S in em bargo, s e ve q u e e l conjunto vibra violentam ente a u n a velocidad de 3000 rpm debido a un leve desbalance e n e l rotor. S e propone utilizar un sistem a absorbedor d e m asa concen trada m ontado e n voladizo p ara e lim in a r e l problem a. C uando s e fija un voladizo q u e lleva u n a m asa d e prueba d e 2 kg sintonizado a 3 0 0 0 rpm en e l conjunto, las frecuencias naturales resultantes d e l sistem a son 2 5 0 0 rpm y 3 5 0 0 rpm . D iseñe e l absorbedor (especificanck) su m asa y rigidez) de m odo q u e las frecuencias naturales queden fuera d e l rango de velocidad d e operación d e l conjunto de m otor-generador. S o lu c ió n : L as frecuencias n a tu ra le s o»| d e l conjunto m otor-generador y a ^ d c l absorbedor son

“ i = \/£ '

=

La ecuación (8.146) proporciona las frecuencias re so n an te s í l , y 11. d e l sistem a com binado. C om o e l ab so rb e d o r (m = 2 k g ) está sintonizado,

= e>j = 3 1 4 .1 6 rad/s (correspondiente a 3000 rpm ). U tilizando la notación m?

íí i

ri = — . "2

a = — . "*t

íl2

y

r2

= —°>2

La ecuación (8.146) s e escribe com o

r?.d = (< + f ) * \j(l + § )’ - 1

(El)

C om o se sabe q u e í l , y í l , so n 261.80 rad/s (o 2500 rpm ) y 366.52 rad/s (o 3500 rpm ). respectivam ente, encontram os que fti

^

^ H’

•» - ^

2 6 1 .8 0

= SXÍ6 = 0 8333 366.52

~ i ¡ 5¡ " 11667

R»r consiguiente

M otor

G enerador

/ A bsorbedor de vibración


F ig u ra 8 .3 6 C o n ju n to de m o tor-generador.

708

C a p ítu lo 8


Ctado q u e r , = 0.8333, la ecu ació n (E .3 ) entrega ¡ i = m j / / n |

0 .1 3 4 5 y

= m 2/Q 1 3 4 5 ■ 14.8699 kg. H

lím ite inferior especificado d e O , e s 2000 rpm o 209.44 rad/s. y así íli

209.44

'■ “ Í ■ JÜM - ^ Cbn este v a lo r de r , . la ecu ació n ( E 3 ) entrega ¡x — m dm ¡ — 0 .6 9 4 2 y m 2 = m |(0.6942) = 10.3227 kg. Con estos valores, la segunda frecuencia resonante s e puede hallar a p artir de

b cual arroja í l j 4499.4 rpm , m ay o r q u e e l límite su p e rio r especificado de 4 0 0 0 rpm . l a rigidez d e resorte del absorbedor está d ad a por *, = a ¿ m 2 = (3 1 4 .I6 )2( 10.3227) = 1.0188 X I ^ N / m

R a b s o rb e d o r d e v ib ra c ió n d in á m ic o d e sc rito e n l a se c c ió n a n te rio r e lim in a e l p ic o d e re s o n a n c ia

A b s o rb e d o r d e v i b r a c ió n d in á m i c o a m o rtig u a d o

o rig in a l e n l a c u r v a d e re s p u e s ta d e l a m á q u in a p e ro in tro d u c e d o s n u e v o s p ic o s . D e e s te m o d o , la m á q u in a e x p e rim e n ta g ra n d e s a m p litu d e s c u a n d o p a s a a tra v é s d e l p r im e r p ic o d u ra n te e l a rra n q u e y d e te n c ió n . L a a m p litu d d e la m á q u in a s e p u e d e r e d u c ir a g re g a n d o u n a b s o rb e d o r d e v ib ra c ió n a m o rti g u a d o . c o m o s e m u e s tra e n l a fig u ra 8 .3 7 . L a s e c u a c io n e s d e m o v im ie n to d e la s d o s m asas so n m iX | + * 1X1 + * 2 ( * i _ * 2) + C2( ¿ t ~ ¿ 2) = F q s e n w t m 2'x2 + M * 2 “ * l ) + < * (* 2 -

¿ 1) = 0

(8 .1 4 7 ) (8 .1 4 8 )

S u p o n ie n d o q u e l a s o lu c ió n e s

*;(< ) = V " .

J - t . 2

F0 sen ioi

A b s o rb e d o r d e v ib ració n dinám ico

d in á m ic o a m o r tig u a d o .


(8.149)

8 .1 1


709

s e o b í i c n c l a s o lu c ió n d e e s t a d o e s t a b l e d e la s e c u a c io n e s ( 8 . 1 4 7 ) y ( 8 .1 4 8 ) :

x

_

1

______________________________________ F q

[(k\

m\ut2)(k2 ~

-

(*2 ~

m 2 o>2 +

i c « ú ) _______________________________________

(8 .1 5 0 ) m?u>2) - m j t V ] + ¡toc2( k i - n t \ u r - m V )

X ,(* 2 + i« ? z ) X, =

(8 .1 5 1 ) (* 2 “

+ 'W j )

D e fin ie n d o H = m 2/ m | = R e la c ió n d e i n a s a = M a s a d e l a b s o r b e d o r /m a s a p rin c ip a l “ Fo / k i “ D e fle x ió n e s tá tic a d e l s is te m a - k 2/ m 2 = C u a d r a d o d e la fre c u e n c ia n a tu ra l d e l a b s o r b e d o r 01« = k f / m , = C u a d r a d o d e la f r e c u e n c ia n a tu ra l d e l a m a s a p r in c ip a l / = toa /tú n = R e la c ió n d e fre c u e n c ia s n a tu ra le s g =

íü / ( ü„

= R e la c ió n d e fre c u e n c ia fo rz a d a

cr = 2/n y d „ - C o n s ta n te d e a m o rtig u a m ie n to c r itic a £ = c 2/ c r = R e la c ió n d e a m o r tig u a m ie n to la s m a g n itu d e s . X x y X 2, s e e x p r e s a n c o m o 1/2

X,

(8 .1 5 2 ) -( 2 ¿ * ) V

-

I + M * 2) 2 +

t í * / 2* 2 -

(* ’ -

') ( * ' - / 2)} 2

1 /2

,2 \2

r2 \ 1 2

2 .2

(2f * J V - 1 + Mr)2 + W V - (s2 - Ws2 - r2)}

(8 .1 5 3 )

l a e c u a c ió n ( 8 .1 5 2 ) m u e s tra q u e la a m p litu d d e v ib ra c ió n d e la m a s a p r in c ip a l e s u n a fu n c ió n d e l- a g rá fic a d e

X,

c o n tra l a r e la c ió n d e f r e c u e n c ia fo r z a d a g =

s e m u e s tra e n l a fig u ra 8 .3 8 p a r a / = 1 y m = 1 / 2 0

p a ra a lg u n o s v a lo re s d if e r e n te s d e £. S i e l a m o r tig u a m ie n to e s c e r o (c2 = f = 0 ) e n to n c e s la re s o n a n c ia o c u r r e a l a s d o s fre c u e n c ia s re s o n a n te s n o a m o r tig u a d a s d e l s is te m a , u n re s u lta d o q u e y a s e in d ic ó e n l a f ig u ra 8 .3 4 . C u a n d o e l a m o r tig u a m ie n to s e h a c e in f in ito ( £ = o o ), l a s d o s m a s a s m , y m 2 v irtu a lm e n tc s e u n e n e n tre s í. y e l s is te m a s e c o m p o r ta e n e s e n c ia c o r n o u n s is te m a d e u n s o lo g r a d o d e lib e r ta d c o n m a s a d e (m , + m 2) = (2 1 / 2 0 ) m y r ig id e z d e k t . E n e s t e c a s o , ta m b ié n l a re s o n a n c ia o c u rre c o n X , —* c c e n Al g = — =

= 0 .9 7 5 9

VI +

m


710

C a p ítu lo 8


J_20 f

*21-

-

0.6

I\ 1V f \»; \\ l >k >¿-o \ // / 1 1

a

—

-i

J

0.7

-0----

e* 7

4 1

\

t

---

V

0.8

0.9

1.0

1.1

R>r lo la n to , e l p ic o X , e s in f in ito p a r a c ¡

12

vibración a m o rtig u ad o en la re sp u esta de h m áq u in a.

0 y t a m b ié n c o n c 2 = o c . E n a lg u n a p a rte e n tr e e s to s

lím ite s , e l p ic o d e X , s e rá m ín im o . A b s o r b e d o r d e v i b r a d ó n ó p t i m a m e n t e s i n t o n i z a d o . E n la fig u ra 8 .3 8 se v e q u e to d a s la s c u n as se c o r ta n e n lo s p u n t o s A y B in d e p e n d ie n te m e n te d e l v a lo r d e a m o rtig u a m ie n to . E s to s p u n to s se p u e d e n lo c a liz a r s u s titu y e n d o lo s c a s o s e x tr e m o s d e f = 0 y £ = o o c n l a e c u a d ó n (8 .1 5 2 ) e ig u a la n d o lo s d o s . E s to p ro d u c e 2/

(8 .1 5 4 )

2+M L a s d o s r a íc e s d e l a e c u a c ió n (8 .1 5 4 ) in d ic a n lo s v a lo re s d e l a r e la c ió n d e f r e c u e n c ia gA = u>A/a ) y g B = toB/ w . c o r re s p o n d ie n te s a l o s p u n t o s A y B . L a s o rd e n a d a s d e A y B s e d e te r m in a n s u s ti tu y e n d o lo s v a lo r e s d e gA y g r e s p e c tiv a m e n te , e n l a e c u a c ió n (8 .1 4 6 ). S e h a o b s e r v a d o q u e e l a b s o rb e d o r d e v i b r a c ió n m á s e f i d e n t e e s u n o p a r a e l c u a l l a s o r d e n a d a s d e l o s p u n to s A y B so n g u a l e s . E s ta c o n d ic ió n re q u ie r e q u e { 8 .3 5 J 1

(8 .1 5 5 )

F ig u ra 8 .3 9 Absorbedor de v ib ra d ó n sin to n izad o .


8 .1 1


711

Un absorbedor que satisface la ecuación (8.155) puede ser llamado correctamente a b so rb e d o r de vib ra c ió n sin to n iza d o . Aunque la ecuación (8.155) indica cómo sintonizar un absorbedor, no indica el valor óptimo de la relación de amortiguamiento £ y el valor correspondiente de X t/ S eM. El valor óptimo de £ se determina haciendo la curva de respuesta X y / 6 ^ lo más plana posible en los picos A y B . Esto se logra haciendo la curva horizontal ya sea en A o en B , como se muestra en la figura 8.39. Para esto, primero se sustituye la ecuación (8.155) en la ecuación (8.152) para que la ecuación resultante sea aplicable al caso de sintonización óptima. Entonces la ecuación modificada (8.152) se diferencia con respecto a g para encontrar la pendiente de la cun a de X J S ^ . Al igualar a cero en los puntos A y «.obtenemos

para el punto A

(8.156)

para el punto B

(8.157)

8 (1 + ^ ) 3

H g ? +

8 (1

Un valor promedio conveniente de diseño de modo que

dado por las ecuaciones (8.156) y (8.157) se utiliza en el

i

(8.158)

ú p im a

8(1 + M )5

El valor óptimo correspondiente de

(£

^ se escribe como

(8.159)

N otas:

1. Par la ecuación (8.153) se ve que la amplitud de la masa del absorbedor ( X2) siempre es mucho mayor que la de la masa principal (X ,). Por lo tanto, el diseño debe ser capaz de aceptar grandes amplitudes de la masa del absorbedor. 2 . Como se espera que las amplitudes de sean grandes, el resorte del absorbedor (k2) se tiene que diseñar desde un punto de vista de fatiga. 3. La mayoría de los absorbedores de vibración utilizados en aplicaciones prácticas son no amor tiguados. Si se agrega amortiguamiento, se frustra el propósito del absorbedor de vibración, el cual es eliminar la vibración indeseable. En un absorbedor de vibración amortiguado, la amplitud de vibración de la masa principal será no cero. Se tiene que agregar amortiguamiento sólo en situaciones en las que la banda de frecuencia en la cual el absorbedor sea efectivo es demasiado angosta para que opere. 4 . En las referencias [8.36-8.39] se encuentran obras adicionales sobre el diseño óptimo de absor bedores de vibración.


712

C a p ítu lo 8

8.12 E je m p lo 8 .1 7


Ejem plos resu elto s utilizando M ATLAB T r a z o d e la tr a n s m is ib ilid a d U tilizando M A TLAB. trace la variación d e transm isibilidad d e un sistem a d e un solo grado d e libertad con la relación d e frecuencia, dada por la ecuación (8.94), correspondiente a ( = 0 .0 .0 .1 ,0 .2 ,0 .3 ,0 .4 y 0.5. S olución: E l siguiente p rogram a M A TL A B traza la variación d e transm isibilidad com o u n a función d e la relación d e frecuencia con la ecuación (8.94): 9-17

p a ra J a 1 i 5 kaai - j • O .lj f o r i - 1 « 1001

V _«n(l) - 3 • (1 - D /1 0 0 0 , T CU - a q r t < ( 1 * ( 2 • k a s l * 2 • ✓ 2 ■ kaal

• w wn(i)

p lo t( w wn, hold

i(l)|

*2) ) »

T ),

on,

yr « y g g g g g

l a b a l (■ */*_■ ■ ), la b a l('T r ')¡ ta x t( 's a ta - 0 .1 ')i t a x t ( 's a ta - 0.2'» j t a x t d a t a - 0.3'), t a x t ( ’i a e a - 0 . 4 ') , ta x t( « ta ta a 0 .5 ') ;

t i t l a (•Kx9.2 ' ) i g rid

obi


*

2) / ( ( 1 - w wn ( 1 ) *

2

)

8 .1 2

E je m p lo 8 .1 8


713

A m p lit u d e s d e v ib r a c ió n d e la s m a s a s d e u n a b s o r b e d o r d e v ib r a c ió n Utilizando M A TL A B . trace las variaciones d e las am plitudes d e vibración d e las m asas principales y auxiliar d e un a b so rb ed o r d e vibración, ecu acio n es (8.140) y ( 8 .14I). c o m o u n a función d e la relación d e frecuencia. S o lu c ió n : l a s ecuaciones (8.140) y (8 .1 4 1) se trazan para los siguientes d ato s:/ = (oa/to n = l . ( = 0 . 1 y 0.5. H - m ?/m , = 0 .0 5 y O .l. f

-

i»

% ........................

sata BU

= O.lj 0.05;

a

g a

m a c a • 0 . 1 , m i a O . O S ........................................................................................................................../

0 .6

ts g 2

a

i

■

0 .0 0 1

1

. 3| tsg2

a

( 2 » s a t n a g ) A2

g 2_ f 2_2 ■ ( g . ' 2 - í . * 2 ) .*2 , \ g 2_ f 2 2 g 2 l a u g 2 _ 2 - < g . A2- l . u u . * g . * 2 ) . * 2 » s u f 2g 2 ■ n u . « f . A2 « g . ' 2 i

(2 . * s a t a .» g ) . * 2

a

( g A2 - f * 2 ) ' 2

g 2 _ l . g . A2 - l , g 2_ f 2 - g . * 2 - f . ‘ 2 x lr x 2r

i% ---

i

r a q t e ( ( t « g ? - g J f 2 _ 2 ) . / t t s g 2 . « g 2 l B u g 2 2 . I n u * 2 g 2 - g 2 _ l . * g 2 _ f 2 ) . A2 ) ) I . # q r t < ( t s g 2 « f . * 4 ) . / ( t s g 2 . - g 2 _ l a u g 2 _2 . ( ■ U f 2 g 2 - g 2 _ l . - g 2 _ f 2 ) . ‘ 2 ) ) i

p lo t(g , xlr) h o l d on p l o t t g , x 2r ) i h o l d on % ........................

sa ta a

0 . 1 ,

n u - 0 . 0 1 .............................................................................................. /

s a ta a O .l! a 0 .1 I O .O O lll.Sl g . 0.6 ¡ BU

ts g 2 ( 2 . - s a t a . - g ) . A2 t * g 2 - (2 - * a t a - g ) ' 2 g 2 f 2_2 . ( g . “ 2 - f . A2 ) . ' 2 ¡ y g 2 _ f 2 _ 2 ■ ( g A2 - f ' 2 ) ’ 2 g 2 l a u g 2 2 a ( g . * 2- 1 . b u . * g . A2 ) . * 2 | B u f 2 g 2 . B u . * f . A2 * g . A2 g 2 _ l . g . * 2 —1 i g 2 _ f 2 a g . A2 - f . “ 2 i (2

,

x lr

aaqrt(|tsg2«g2

x2 r

a a q r t ( ( t * g 2 * f . * 4 ) 7 / ( t s g 2 . •g2 _ li s u g 2 _ 2 » ( a u f 2 g2 - g 2 _ l . * g 2 _ f 2 ) . * 2 ) ) !

2 )./ (tsg2.*g2_lnu g2

2.
l.* g 2

f2 ) .* 2 ))l

p lo ttg ,x lr , '- . M i h o l d on p lo ttg ,x 2 r , ' - . ' } h o l d on %.................. sa ta

a

sa ta

,

.

0 .S ,

b u . 0 . 05

.......................................................................................................................................... ✓

0 . 5|

BU . 0 . 0 5 ! g a 0.6 I 0.001

I

l.J|

t s g 2 a ( 2 . « « a t a . * g ) . * 2 ¡ \ ---------- t s g 2 a 9 2_f2_2 . ( g . * 2 - f . * 2 ) .*2) gJ f2 2

.

(2 *sa ta « g ) ‘ 2
g 2 l a u g 2 _ 2 a < g . * 2- l . « s u . * g . * 2 ) . * 2 , B u f 2 g 2 . B u . - f . * 2 * g . “2i g 2_ l

-

g 2_ f 2 x lr x2 r p h p h

g . ‘ 2- l .

. a g r t ( |tsg2*g2 Í2 _ 2 ) ./ ttsg 2 .» g 2 _ ln u g 2 _ 2 *< B u f2 g 2 -g 2 _ l.*g 2 _ f2 ).*2 ))i a a q r t ( | ts g 2 * f . x4 ) . / t t s g 2 . * g 2_lisüg2 _ 2* l o u f 2g 2 - g 2 _ l . « g 2 _ f 2 ) . * 2 ) ) i

lo t t g ,x lr ,•-•)i o l d on l o t t g , x 2 r , • —• ) i o l d on

%-----------------

s a ta

a

0 .5 ,

■ 0 . 0 0 1

.

1 .3 j

s a ta

a

bu

0 .1 |

g

i

g . * 2 - f . A2 !

.

0 . 6

b u -0 .1

— ....................................................- ......................................................................

0 .5 |


/

714

C a p ítu lo 8


c*g 2 - (2 . g2 _f2 2 . (g .*2 - f . * 2 ).* 2 g 2_In u g 2_2 a u f 2g 2

.

-

g2

t « g 2 » ( 2 « * a t a « g ) A2 f2_2 . < g A2 - f A2 ) A2

( g . a2- 1.b u . * g . * 2 ) . * 2

,

,

a u . * f . * 2 * g . A2

g2_ i - g . * a - i » g 2_ f 2

x l r

.

g . A2 - f . * 2

- a q r t ( < t * g 2 .g 2

,

Í2

2 ) ./< t * g 2 .* g 2

x 2 r - a g r e ! ( t a g 2 * f . A4 ) . / ( t x g 2 . * g 2 p lo t( g ,x lr ,'« • ) j h o l d on

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2 . 0»uf2g2-g2

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í 2 ) . A2 ) ) j

p l o t ( g , x 2r , • i 1 ) j x l a b a l (•g 1) y l a b a l ( 'X l r and X2r') axla ((0.6 1.3 0 16))

E je m p lo 8 .1 9

F r e c u e n c ia s r e s o n a n t e s d e u n a b s o r b e d o r d e v ib r a c ió n U tilizando M A TL A B , trace las variaciones d e las relaciones d e frecuencia resonante proporcionadas por la ttu a c ió n (8 .14 6 ) con la relación d e m asa. m 2/ m ,. S olución: L as relaciones í l , / a y fU /a> j, resultada d e la ecuación (8.146), s e trazan p ara 2 0 e n e l rango d e m2/m ¡ - 0 a I. %

caaga2/ca»agala0 . 5

........................................................................................................................................../

caag a21- 0 .S ■21 X l l

. -

O i O . O O l i l .0 » q r t ( | ( 1 • ( 1 . B 2 1 J ■ c n a g a 2 1 . A2 )

• ( ( 1 . (1.

4 • * e « a g a 2 1 . A2 ) , A0 . 5 ) . . . / ( 2 . * c n a g * 2 1 . A2 ) ) p lo t(a 2 1 ,X ll,'l< ) • xla((0 hold on

1 .0

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2 . 6 ))


b

2 1 ) .*coag«21.*2) .*2 -✓

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8 .1 2

X12 . a q r t l ( (l» ( l*a 2 1 )*c « » a g » 2 1 . *2) 4.«om aga21.*2).*0.5) . . . / ( 2 . * c n a g a 2 1 . * 2 )) p l o t ( a 2 1 , X 1 2 . • « •) bold


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X21 . a q r t ( ( (1* (l * a 2 1) *co ag a2 1 . “2) 4.»o»aga21.*2> .*0 .5 ) . . . / ( 2 . * a a a g a 2 l . * 2 )) p lo t(b 2 1 .X 2 1 ,•-•) a x i a l (0

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*ta»aga21 . *2 ) . * 0 . S ) . . . / ( 2 . * c n a g a 2 1 . * 2 )) p b x y

lo t(b21.X 32.*-.• ) o l d on la b a l ( 'lar1 ) labal C O M I a n d 0 * 0 •)


715

716

C a p ítu lo 8

E je m p lo 8 .2 0


B a la n c e o e n d o s p la n o s rX ísanollc un program a M A T L A B general llam ado P r o g r a m l 3 .m p a ra el balanceo e n d o s planos de m áqui nas rotatorias. Ü selo p ara resolver e l ejem plo 8.2 , S olución: El program a P r o g r a m l 3 .m se desarrolla para que acepte los vectores VA, V„, VA , V / , V fi, W¡, y tty com o d a to s d e en tra d a e n la form a d e m atrices bidim ensionales VA, VB. VAP, VBP, VAPP. VBPP, WL, W R. B L y B R . respectivam ente. Q program a proporciona los vectores BL y /¿¿co m o resultados d e salida en la form a d e m atrices bidim ensionales B L y B R q u e indican la m agnitud y posición d e los p eso s d e balanceo e n los planos izquierda y derecho, respectivam ente. A continuación s e p resenta e l listado y resultadas del program a.

% \

Progranl3.ii on dos

% Balincoo

plinón

% % H Jo cu ta

'P r o g r o n l 3” o n l a

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d o MAT IAS ,

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y

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r u t a HATUB % a

anea carpota.

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B ren g lo n o e

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v a p . [6 w l « (1 0

n lg u le n C e o c o n tie n a n

lo a

d iC oa

d o p a n d io n to a

dol

p ro b lo n a

60),

125], 270],

v b - t í.5

205],

v b p .[4 .5 230], v a p p . (6 3 5 ], v b p p . [1 0 .5 IS O ), w r« (12 1 8 0 ] , % f i n a l d a l o a d a c o s d o p o n d lo n c a a d o l p ro b le m a [ b l . b r ] -b a la n (v a ,v b ,v a p ,v b p ,v a p p ,v b p p ,w l,w r), f p r i n c f (* R a a u lta d o a d o l b a la n c e o o n f p r ln tf ( 'P o n o da b a la n c e o e n a l p la n o lm q u lerd o fp rln tf f p r l n tf ('M a g n itu d e s. 6 f M agnituda% 8.6f fp rln tf fÁ n g u lo ea.S f ingulo.% 8.6f

doa plan o o \ n \ n ') , P eno da b a la n c e o a n a l \ n \ n ' , b l ( I I . b r (1)) ¡ \ n \ n ' . b l ( 2 > . b r (2>),

% \P u n e C lo n B a la n .m

% f unet Ion

[b l.b r ] > balan(va,vb,vap,vbp,vapp,vbpp,w l.w r ) ,

p l-180/ 3.1415926, v a (2 ) -v a (2 ) / p l, p (1 ) -v a (1) , p ( 2 ) = v a (2) , v a ( l ) . p ( l ) - c o a (p(2>), v a (2 )» p (l)« eln (p (2 )), v b (2)svb (2) / p l , p (l).v b (l) ,

P ( 2 ) .v b ( 2 ) , V b ( l ) - p d ) * c o a ( p (2 ) ) , v b (2 ).p (l)•a ln (p (2 )), v a p (2)svap(2)/pl, p d ) - v a p ( l) , p (2)*vap(2), v a p ( l ) o p ( l ) * c o a ( p ( 2 ) )» v a p (2)•p (l)* a ln (p (2 )|, v b p (2)avbp(2)/ p l, p d ) - v b p ( l) , p (2)«vbp(2), v b p (l)> p (l)* co a (p (2 )), vbp(2)-p(l)-# ln(p(2)), vapp(2)«vapp(2)/ p i, p (1 ) - v a p p ( l) , p(2).vapp(2],


p la n o d e re c h o ')

8 .1 2


v a p p (l).p (l) -c o i (p(2 ))j v ap p (2) . p ( l ) « a i n » p (2 )-w l<2 ), w l ( l ) . p ( l ) * c o a ( p ( 2 )) ; w l ( 2 ) >p (1 ) * a i n (p (2 )) ; w r ( 2 ) « r (2 ) / p l j p (X )» w r(X )i p ( 2 ) - w r ( 2 >, w r <11 . p ( 1 ) ‘ c o i ( p ( 2 ) ) i w r ( 2 ) >p ( 1 ) * a l n ( p ( 2 ) ) j

i

Ir] T M b l r t p , » » ) ( ( ( (

a a l].v d lv (r,w l), a ) - v » u b (v b p , v b ) j a b l].v d lv (a ,w l); p].vaub(vapp.va);

(aar].vdiv(p.w r)j l q ] . v a u b ( v b p p . v b )¡ (ab r].vdlv(q.w r), [a rX ]- a q r t (a a r ( X )‘2 . a a r ( 2 ) ‘2 ) , (a r 2 J . a t a n ( a a r ( 2) / a a r ( X ) ) * p l , [ a I X ] . a q r t ( a a l ( X) * 2 . a a l ( 2 ) * 2 ) , (a 12 ] - a t a n ( aaX( 2) / a a l ( X ) ) * p l , (r ] .vn u lt(abX .v a); (a] .vn u lt(aaX ,vb)i (vap].vaub(r.a) j [r]-v n u lt (aar. a b l) » [a] . v n u l t (a a X ,a b r ) ; (vbp].vaub(r.a) ¡ [ur]-vdlv(vap,vbp), (r].v n u lt(a b r,v a ); (a ].v n u lt(aar.v b )j (v ap].v aub(r.a)j [r].v n u lt(a b r.a a X ); [a ].v n u lt(a a r.a b l)j (vbp].vaub(r.a) , (u l).vdlv(vap,vbp)j b l < 1 ) . a q r t ( u l ( 1 ) ‘ 2 > u l (2 ) * 2 ) , a l . u l ( 2) / u l ( l ) i b l (2 ) . a t a n ( u l (2 ) / u l (X) ) ; b r (1 ) - a q r t( u r (1 ) * 2 . u r ( 2 ) * 2 ) j a 2 . u r ( 2) /ur (X ); b r (2 ) .a t a n ( u r ( 2)/ u r

(1 ) ) ,

b l( 2 ).b l( 2 )* p lj b r (2). b r (2)*pl, b l ( 2 ) . b l ( 2 ) >180 b r ( 2 ) . b r (2 ) > 1 8 0

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% %Punction vd iv.

% (unction

(c j.v d iv (a .b

)¡

c (X ).(a (l)> b (l)> a (2 )*b (2 ))/ (b (l)*2 .b (2 )’ 2 ); c ( 2 ) . ( a ( 2 ) * b ( X ) - a ( l ) * b ( 2 ) ) / ( b ( l ) * 2 . b ( 2 ) ‘ 2>»

% %Punction v n u lt.n

% function

( c ) . v n u l t (a . b ) ;

c (X ).a (l)* b (X )-a (2 )* b (2 ), c ( 2) . a (2 ) * b (1 ) > a ( l ) * b ( 2 ) ,

% %Punction vaub.r

%


717

718

C a p ítu lo 8


fu nctlao

(e)-vau b(».b )j

c ( l).« | l)-b (l> i c ( 2 ) .« ( 2 )-b t2 ) i

Roaultado» Paao

da balancao an

a l

dal

balancoo

plano

an Paao

dos

planoa

da balancao

an

a l

plano

daracbo

i a q u í ardo M agnitud

-

Ángulo

14.554799

-

10.056139

M agnitud

.

Ángulo

248.255931

.

5.877362

R esum en del capítulo A nalizam os e l uso d e nom ógrafos de vibración y los criterios d e vibración para d eterm inar los niveles a cep ta bles d e vibración. Presentam os varios m étodos, c o m o el d e balan ceo d e m áquinas rotatorias y reciprocantes, p ara elim inar o reducir la vibración e n la fuente. D escribim os m étodos d e cam b iar la m asa y/o rigidez, así com o la energía que s e d isip a por m edio d e la adición de am ortiguam iento. Estudiam os m étodos d e diserto de aisladores d e vibración, absorbedores d e vibración y sistem as de control d e vibración activos. Presentam os la solución a p roblem as de control d e vibración utilizando MAT1.AB. A hora q u e ya term inó este cap ítu lo , usted d eberá ser capaz d e responder la s preguntas d e repaso y resolver los problem as que se p ro p o ren a continuación.

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720

C a p ítu lo 8


Preguntas derepaso 8.1

R esponda b revem ente lo siguiente: 1. M encione algunas fuentes de vibración industrial. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

¿C uáles so n los diversos m étodos disponibles d e control d e vibración? ¿Q ué e s balan ceo en un solo p lano? In sc rib a el procedim iento d e balanceo e n d o s planos. ¿Q ué e s e l rem olineo? ¿C uál e s la d iferencia entre am ortiguam iento estacionario y am ortiguam iento rotatorio? ¿C óm o s e determ ina la velocidad crítica d e u n a llccha? ¿Q ué provoca la inestabilidad e n un sistem a d e rotor? ¿Q ué consideraciones se deben tom ar e n c u en ta p ara e l balanceo d e un m otor reciprocante? ¿C uál e s la función d e un aislador de vibración? ¿Q ué e s u n absorbedor de vibración? ¿C uál e s la diferencia entre un aislador de vibración y un a b s o rb e d » d e vibración?

13. ¿Un soporte d e m ontaje d e resorte reduce siem pre la vibración d e l cim iento d e una m áquina? 14. ¿E s m ejor utilizar u n resorte b lan d o e n so p o rte d e m ontaje flexible d e una m áquina? ¿ f tir q u é? 15. ¿E s la fuerza d e sacudim iento proporcional a l cuadrado d e la velocidad d e u n a m áquina'? ¿C on la velocidad d e la m áquina se increm enta la fuerza vibratoria transm itida a l cim iento? 16. ¿ P )r q u é e l balan ceo din ám ico im plica balan ceo estático? 17. E xplique por q u é n u n ca se puede lo g rar e l balanceo dinám ico c o n una sola prueba. 18. ¿f\>r q u é siem pre v ib ra u n a flecha rotatoria? ¿C uál e s la fuente d e la fuerza d e sacudim iento? 19. ¿Siem pre e s ventajoso incluir un am ortig u ad o r e n e l sistem a secundario d e un a b so rb ed o r d e vibra ción dinám ico? 2 0. ¿Q ué e s e l aislam iento de vibración activo? 2 1. E xplique la diferencia entre aislam iento pasivo y activo. 8.2

Indique si cada uno de los siguientes e nunciados es v erdadero o falso. 1. 2. 3. 4.

l a vibración p u ed e pro v o car fallas estructurales y m ecánicas. l a respuesta de un sistem a s e puede reducir p o r e l u so de aisladores y absorbedores. Control d e vibración significa la elim inación o reducción d e la vibración. La vibración provocada por un disco d esbalanccado rotatorio s e p u ed e elim inar agregando una m asa ad ecu ad a a l disco.

5 . Q ia lq u ic r m asa dcsbalanccada puede ser reem plazada por d o s m asas dcsbalanccadas equivalentes en los planos extrem os d e l rotor. 6 . El latigueo d e aceite e n los rodam ientos puede provocar inestabilidad a i un sistem a d e rotor. 7 . l a frecuencia natural d e un sistem a se puede cam b iar variando su am ortiguam iento. 8 . L a rigidez d e una flecha rotatoria se p u ed e m odificar cam biando la ubicación de su s rodam ientos. 9 . T odos los sistem as prácticos tienen am ortiguam iento. 10. 11. 12. 13. 14.

83

Un alto factor d e p érdida de un m aterial implica m enos am ortiguam iento. L os sistem as d e aislam iento pasivo requieren potencia ex tem a para funcionar. L a transm isibilidad tam bién s e llam a relación d e transm isión. L a f u e r a transm itida al cim iento rígido d e un aislador nunca p u ed e s e r infinita. L a fricción interna o externa puede pro v o car inestabilidad e n u n a flecha rotatoria a velocidades por encim a d e la prim era velocidad crítica.

Llene c a d a uno d e los siguientes espacios en blanco con la palabra apropiada: 1. Incluso u n a pequeña f u e r a de excitación puede pro v o car u n a respuesta indeseablem ente grande cerca d e ______________. 2 . El u so d e tolerancias estrechas y un m ejor acabado superficial de la s piezas de u n a m áquina tiende a hacer a la m áquina susceptible a vibración. 3 . La presencia d e una m asa dcsbalanccada e n un disco rotatorio p ro v o c a ___________ . 4 . O ta n d o la velocidad d e rotación de una flecha e s igual a u n a d e las frecuencias naturales d e la flecha se llam a velo cid ad ________ .



721

5. Los elem entos m óviles d e un m otor reciprocante son e l cigüeñal, la biela y e l ___________ . 6 . R com ponente v ertical d e la fuerza d e inercia d e un m o to r reciprocante tienes p artes prim arias y 7 . Las e structuras lam inadas tienen a m o rtig u am ien to _________. 8. l o s m ateriales con v a lo r grande d e factor de pérdida están sujetos a un e s fu e rz o __________ . 9. B aislam iento d e vibración im plica la inserción d e un m iem bro elástico e n tre la m asa vibratoria y l a ________d e vibración. 10. B corcho e s u n a is la d o r__________ . 11. U n aislador activo se com pone de un sensor, un pro cesad o r de señ ales y u n ____________. 12. FJ neutraiizador d e vibración tam bién s e conoce c o m o ________d e vibración dinám ico. 13. A unque un absorbedor de vibración no am ortiguado elim ina e l pico d e resonancia original de la respuesta, in tro d u c e nuevos picos. 14. H balanceo e n un solo plano tam bién se conoce c o m o b a la n c e o __________ . 15. L as m arcas d e fase se utilizan en el balanceo en . planos p o r m edio d e un an alizador de vibración. 16. l o s errores de m aquinado pueden p ro v o c a r_________ en m áquinas rotatorias. 17. L as inestabilidades de com bustión son la fuente d e ________e n m otores. 18. La deflexión d e u n a flecha rotatoria llega a s e r m u y grande a la v e lo c id a d ___________ . 19. R latigueo d e aceite en rodam ientos puede p ro v o c a r__________ e n un sistem a d e rotor flexible. Seleccione la respuesta m ás apropiada d e entre las op cio n es m últiples que se presentan. 1.

U n ejem plo d e una fuente de vibración q u e no s e puede m o d ificar es: a . turbulencia atm osférica

b . un g o lp e de m artillo c . la rigidez d e la llanta de u n autom óvil 2.

H balanceo e n d o s planos tam bién s e conoce com o: a . balanceo estático b . balanceo dinám ico c . balanceo apropiado

3.

La fuerza desbalanceada ocasionada por una m asa excéntrica m q u e gira a u n a velocidad angular üj localizada a una distancia r d e l eje d e rotación es a . mrâr

4.

a . hierro colado 5.

b. m goP

c.m rur

R siguiente m aterial tie n e un alto am ortiguam iento interno: b . co b re

c . latón

l a transm isibilidad e s la relación de a . fuerza transm itida y fuerza d e excitación b . fuerza ap licada y e l desplazam iento resultante c . desplaza miento d e entrada y desplazam iento d e salida

6.

l a im pcdancia m ecánica es la relación de a . fuerza transm itida y fuerza d e excitación b . fuerza aplicada y fuerza transm itida c . fuerza ap licada y desplazam iento

7.

l a vibración se p u ed e elim inar c o n base e n un análisis teórico a.

8.

en ocasio n es

b . siem pre

U n ro to r largo se puede balancear agregando p eso s en a . a i solo plano b .d a s planos cualesquiera c . d>s planos específicos


c . nunca

722

C a p ítu lo 8


9.

El am ortiguam iento provocado por las fuerzas internas d e l m aterial de una ílcch a s e llam a a . am ortiguam iento estacionario b . am ortiguam iento extem o c . am ortiguam iento rotatorio

10. El am ortiguam iento provocado por la estructura d e apoyo d e rodam iento d e una Hecha rotatoria se llama a . am ortiguam iento estacionario b . am ortiguam iento extem o c . am ortiguam iento rotatorio 11. Un absorbedor d e vibración no am ortiguado elim ina el p ico d e resonancia original pero introduce a. 85

un nuevo pico

b .d o s nuevos picos

c. varios p ico s nuevos

Correlacione los elem entos en las d o s c o lu m n a s siguientes. L F recuencia natural d e control

a. Introducir am ortiguam iento

2 . E vitar la respuesta excesiva en resonancia

b. U tilizar un aislador d e vibración

3 . R educir la transm isión d e una f u e r a d e excitación de una parte a otra

c. A gregar un absorbedor d e vibración

4 . R educir la respuesta d e l

d . Evitar la resonancia

sistem a

problem as Sección 8.2 Criterios de vibración 8.1

U n autom óvil q u e transita por una carretera escabrosa, cuya superficie es senoidal, se m odela com o un sistem a de resorte-m asa, com o s e m uestra en la figura 8.40. La superficie senoidal tiene u n a longitud de onda de 5 m y una am plitud d e Y = 1 m m . S i la m asa del autom óvil, incluidos los pasajeros, es
vkm /h

F ig u ra 8 .4 0


P ro b le m a s

8-2

B v a lo r d e la ra íz c u a d ra d a d e la m e d ia d e los c u a d r a d o s d e u n a seflal x (t),

723

s e d e fin e c o m o

Utilizando esta definición, encuentre los valoras d e la raíz cuadrada d e la m edia d e los cu ad rad o s del desplazam iento (* n in ). velocidad (-¿ron) y la aceleración (*rcm) correspondientes a x ( l ) = X c o s a*í.

Sección 8.4 Balanceo de máquinas rotatorias 8 J

Dos d isc o s idénticos s e co n ectan por m edio d e cuatro birlos d e diferentes tam aitos y se m ontan e n una flecha, com o j e m uestra en la figura 8.41. Las m asas y ubicación d e los tres birlos son com o sigue: m , = 35 gram os, r( 110 m m y 0 , ■ 4 0 '; m 2 “ 15 gram os, r2 ■ 9 0 m m y 0 , ■ 2 2 0 ’; y 03 - 25 gram os. r2 = 130 m m , 0 , = 2 8 0 \ Encuentre la m asa y ubicación d e l c u a rto birlo (mf . rc y 0r ), e l cual produce el balanceo estático d e los discos.

y

"M i

(

')////

, (■

—

q

.

(i (b)

F ig u ra 8.41

8 .4

Se perforan cuatro agujeros e n un disco uniform e en un radio d e 4 pulg y án g u lo s d e 0 ',6 0 o, 120’ y 180 ". B peso rem ovido e n los agujeros 1 y 2 es d e 4 o z cada uno y e l peso elim inado de lo s agujeros 3 y 4 es de 5 oz. cada uno. S i e l disco se tiene q u e b alancear estáticam ente perforando un quinto agujero e n un radio d e 5 pulg, d eterm ine e l peso q u e se tiene q u e elim inar y la localización a n g u la r d e l quinto agujero.

8 .5

Se colocan tres m asas, q u e pesan 0.5 Ib. 0 .7 Ib y 1.2 Ib alrededor d e un volante d e 3 0 p u lg d e diám etro a i las ubicaciones angulares 0 = 1 0 '. 100' y 190', respectivam ente. Encuentre el peso y la ubicación angular d e la cuarta m asa que s e co lo cará e n e l borde que conduce a l balanceo dinám ico d e l volante.

8 .6

La am plitud y ángulo de fase debido a l desbalance original e n una rueda de am olar q u e o p era a 1200 rpm es d e 10 m ils y 4 0 ' e n sentido contrario a l d e las m anecillas d e l reloj a partir de la m arca d e fase. Cuando x agrega un peso de prueba IV = 6 oz. a 65’ e n el sentida d e las m anecillas d e l reloj a partir d e la masa cfc fase y a una distancia radial d e 2 5 pulg d e l centro de rotación, s e observa q u e la am plitud y ángulo de fase son d e 19 mils y I50'1en sentido contrario a l de la s m anecillas del reloj. Encuentre la m agnitud y la posición angular del peso de balanceo si s e tiene q u e colocar a 2.5 pulg radialm ente d e l centro d e rotación.

8.7

Un volante desbalanceado m uestra u n a am plitud cfc 6 .5 m ils y un ángulo d e fase d e 15 ' a i e l sentido de las m anecillas d e l reloj a partir de la m arca d e fase. C uando s e agrega un peso de prueba de 2 oz. a 4 5 ’


724

C a p ítu lo 8


en sentido contrario a l de las m anecillas d e l reloj a partir de la m arca de fase, la am plitud y e l án g u lo de fose so n d e 8.8 m ils y 35" en sen tid o c o n tra rio al d e las m anecillas d e l reloj, respectivam ente. E ncuentre b m agnitud y posición angular d e l peso d e balanceo requerido. Suponga q u e los pesos se agregan e n el m ism o radio. 8.8

Fbra d eterm inar el desbalancc en una rueda d e am olar, que gira e n e l sentido de las m anecillas d e l reloj a 2 4 0 0 rpm . se utilera un an alizador d e vibración y se o b se rv a u n a am p litu d de 4 m ils y un ángulo de tase d e 4 5 ‘ con e l desbalancc original. C uando se agrega un peso d e pru eb a W = 4 o z a 20* e n e l sentido cfc las m anecillas d e l reloj a partir de la m arca d e fase, la am plitud se vuelve 8 m ils y e l ángulo d e fase 145’. S i los án g u lo s d e fase se m iden en sentido contrario a l d e la s m anecillas d e l reloj a partir d e la horizontal d e l lado derecho, calcule la m agnitud y ubicación d e l peso de balanceo necesario.

8.9

U n ro to r d e turbina funciona a la frecuencia natural d e l sistem a. U n estroboscopio indica que e l d e sp la zam iento m áxim o d e l ro to r o cu rre a un ángulo de 229’ e n la dirección cfc rotación. ¿En q u é posición angular se d eb e q u ita r la m asa d e l ro to r para m ejorar su b alanceo?

8.10

E n la figura 8.42 se m uestra u n rotor q u e tiene tre s m asas excéntricas e n planos diferentes. I.a s u bica ciones axial, radial y a n g u la r d e la m asa m , so n lr rt y 6|t respectivam ente, para i B 1. 2 . 3 . S i e l rotor tiene q u e s e r ba la n cé a lo dinám icam ente colocando d o s m asas mbl y m6? e n los ra d io s rbl y rb2
m b'fbi< Qb\ y e b2-

Figura 8.42

8.11

l i i

i i

H

(

i

1

* - ii.-

c ------

A

El rotor q u e se m uestra e n la fig u ra 8.43(a) s e b alancea tem poralm ente e n una m áquina d e balanceo con la adición d e los p eso s IV, = W2 = 0 .2 Ib e n e l p lan o A y IV, = WA = 0 .2 Ib e n e l plano l ) en u n radio de 3 pulg. c o m o s e m uestra e n la figura 8.43(b). S i e l ro to r q u ed a perm anentem ente balanceado perforando agujeros e n un radio de 4 pulg e n los p lan o s B y C , d eterm ine la posición y cantidad d e m aterial q u e se tiene que elim inar d e l rotor. Suponga q u e los p eso s ajustables IF, a IF4 se quitarán d e los planos A y D.

i i i©

-i-

<*>


F ig u ra 8 .4 3

P ro b le m a s

8.12

725

L os pesos d e 2 Ib. 4 Ib y 3 Ib s e ubican en radios d e 2 pulg, 3 pulg y I pulg en los p lan o s C . D y E , respectivam ente, e n una flecha soportada por los rodam ientos B y F .c o m o se m uestra e n la figura 8.44. E ncuentre los p eso s y ubicaciones a n g u la res de los d o s p eso s d e balanceo q u e se tienen q u e colocar en los planos e x tre m o s A y G de m odo q u e la carga dinám ica e n los rodam ientos se a cero.

1

" ' " c |) 2 Ib !r

40'V

/

/ y

r Q / ¡ o 3 Ib ' E

W 41b F ig u ra 8 .4 4

8.13

l o s datos obtenidos en un procedim iento d e balanceo e n dos pianos se proporcionan en la tabla siguiente. Determine la m agnitud y posición angular de los pesos d e balanceo, suponiendo q u e todos los ángulos se miden c o n respecto a una m arca ( k fase arbitraria y que todas los pesos s e agregan e n e l m ism o radio.

A m p litu d (n u b ) C ondición D esbalance original W , = 2 0 7 . agregado a 3 0 ' e n el plano izquierdo

= 2 o z agregado a 0* e n el piano derecho

8.14

Á n g u lo d e fase

R o d a m ie n to A

R o d a m ie n to R

R o d a m ie n to A

R o d a m ie n to B

5

4

100'

180*

6.5

4.5

120*

140*

6

7

90*

60*

L a figura 8.45 m uestra un sistem a rotatorio e n e l cual la flecha está soportada p o r los rodam ientos A y B. L as tre s m asas m ,. m2 y m , están conectadas a la flecha c o m o s e indica en la figura, (a ) Encuentre las reacciones de rodam iento e n A y « s i la velocidad d e la flecha es d e 1000 rpm . (b) D eterm ine las ubicaciones y m agnitudes de la s m asas d e balanceo q u e tfcben colocarse e n un radio de 0.25 m e n los planos L y R , los cuales s e supone q u e posan p o r los rodam ientos A y B.

Figura 8 .4 5


726

C a p ítu lo 8


S e c c ió n 8 .5 R e m o lin e o d e f l e c h a s r o t a t o r i a s

8.15

U n volante, d e 100 Ib d e peso y excentricidad 0 .5 pulg. está m ontado e n el centro d e una flecha d e acero de 1 pulg d e diám etro. S i la longitud d e la flecha entre los rodam ientos es de 3 0 pulg y la velocidad de rotación del volante es d e 1200 rpm . en cu en tre (a) la velocidad critica, (b) la am plitud d e vibración del rotor, y (c> la fuerza transm itida a los soportes de rodam iento.

8.16

D erive la expresión p ara e l esfuerzo inducido e n una flecha c o n una m asa concentrada desbalanceada que está a la m itad entre los d o s rodam ientos.

8.17

U na flecha d e acero d e 2 .5 c m d e diám etro y 1 m d e longitud está soportada p o r sus d o s e x tre m o s en rodam ientos. Lieva un disco de turbina, d e 20 kg d e masa y 0.005 m de excentricidad, a la m itad y fun ciona a 6000 rpm . R am ortiguam iento en e l sistem a equivale a am ortiguam iento viscoso c o n ¿ = 0 .0 !. Determ ine la am plitud d e rem olineo del disco a (a) la velocidad de operación, (b) la velocidad crítica y (c) 1.5 veces la velocidad critica.

8.18

Encuentre las reacciones e n los rodam ientos y e l esfuerzo d e flexión m áxim o inducido e n la flecha (a) a la velocidad d e operación, (b) a la velocidad crítica, y (c ) a 15 v eces la velocidad crítica d e l sistem a flecha-rotor descrito e n e l problem a 8.17.

8.19

R esuelva e l problem a 8.17 suponiendo q u e e l m aterial d e la flecha e s alum inio e n lu g ar d e acero.

8^0

Resuelva e l problem a 8.18 suponiendo q u e e l m aterial d e la flecha e s alum inio e n lu g ar de acero.

8.21

Una flecha, con rigidez d e 3.75 M N /m . g ira a 3600 rpm . U n rotor, de 6 0 kg d e m asa y excentricidad de 2000 m icrones. está m ontado e n la flecha. D eterm ine (a ) la am plitud d e rem olineo d e estado estable del rotor y
Sección 8.6 Balanceo de motores reciprocantes 8J2

L os cilindros d e un m otor e n línea d e cuatro cilindros e stán colocados a interv a lo s d e 12 pulg e n la d i rección axial. L os cig ü eñ ales tienen la m ism a longitud d e 4 pulg, y su s posiciones angulares so n 0 ', 180' y 0 \ S i la longitud d e la biela e s de 10 pulg y e l contrapeso reciprocante e s d e 2 Ib p ara c a d a cilindro, encuentre las fuerzas dcsbalanceadas y m om entos a una velocidad d e 3000 rpm . utilizando la línea de centros a trav és d e l cilindro 1 com o plano d e referencia.

8.23

1.a m asa reciprocante, e l radio d e l cig ü eñ al y la longitud d e cada uno d e los cilindros en un m o to r en ¥nea d e d o s cilindros so n m . r y / , respectivam ente. L os án g u lo s d e los cigüeñales d e los d o s cilindros están separados por 180'. D eterm ine las f u e r a s dcsbalanceadas y m om entos e n e l m otor.

8^4

U n m otor e n linca de cuatro cilindros tiene un peso reciprocante d e 3 Ib, una carrera d e 6 pulg y una b n g itu d d e biela de 10 pulg e n cada cilindro. L os cig ü eñ ales están se p a ra d o s por 4 pulg axialm ente y 90‘ radialm ente, com o se m uestra en la figura 8.46. E ncuentre las fu erzas prim aria y secundaria dcsbalanceadas y m om entos con respecto a l plano d e referencia q u e se m uestra en la figura 8.46 a una velocidad d e l m otor d e 15 0 0 rpm .

8.25

E n la figura 8.47 se m uestra la disposición cfc los cigüeñales e n un m otor de seis cilindros e n línea. Los c i lindros e stán separados por una distancia a e n la tfirección axial, y la s posiciones angulares de los cigüeñales son o , = o 6 = 0". o 2 = o 5 = 120‘ y a y = o 4 = 240". Si la longitud del cigüeñal, la longitud de la s bielas y la masa reciprocante de cada cilindro son r. / y m , respectivam ente, encuentre las fuerzas desbalanceadas primaria y secundaria y les momentos con respecto a l plano de referencia indicado e n la figura 8.47.


P ro b le m a s

727

R a n o d e refe re n c ia

F ig u ra 8 4 6

F igura 8 4 7

8.26

Un m o to r d e un cilindro tiene una m asa total de 150 kg. S u m asa reciprocante e s d e 5 kg. y la m asa ro tatoria es d e 2.5 kg. L a carrera ( 2 r ) es d e 15 c m . y la velocidad e s d e 6 0 0 rpm . (a) S i el m o to r está m o n tado sobre resortes m uy débiles, ¿cuál e s la am plitud de vibración vertical d e l m otor? (b) S i e l m otor está m ontado sólidam ente sobre un cim iento rígido, ¿cuál es la am plitud d e fuerza alterna transm itida? Suponga que la biela es d e longitud infinita.

Sección 8.10 Aislamiento de la vibración 827

Se tiene que aislar un instrum ento electrónico de un tablero q u e vibra a frecuencias que o scilan de 25 Hz a 35 Hz. S e estim a q u e a l m en o s s e d eb e lograr 80 p o r ciento del aislam iento d e vibración para q u e no se d iñ e e l instrum ento. S i e l instrum ento ¡tesa 85 N. determ ine la deflexión estática necesaria d e l aislador.

8.28* Un ventilador extractor, q u e tiene un pequeño desbalance, pesa 800 N y opera a u n a velocidad d e 600 rpm. S e d esea lim itar la resp u esta a una transm isibilidad d e 2.5 cu an d o el ventilador pasa p o r la resom neia durante e l arranque. A dem ás, se tiene q u e lograr un aislam iento d e 90 p o r ciento a la velocidad cfc operación d e l ventilador. D iseñe un aislador adecuado para e l ventilador. 8.29* Un co m p reso r d e aire d e 500 kg d e m asa tiene una excentricidad d e 50 kg-cm y funciona a una velo cidad d e 300 rpm . El co m p reso r se tiene q u e m ontar sobre u n o d e los siguientes so p o rte s d e montaje:
l a arm adura d e un m o to r eléctrico d e velocidad variable, de 2 0 0 kg d e m asa, tiene un desbalance d eb i do a errores d e fabricación. El m otor está m ontado sobre un aislador q u e tiene una rigidez d e 10 kN/m

■ El asterisco indica un problem a sin respuesta única.


728

C a p ítu lo 8


y un am ortiguam iento hidráulico con una relación d e am ortiguam iento d e 0 .1 5 . (a ) E ncuentre e l rango cfc velocidad dentro d e l cual la am plitud d e la fuerza fluctuantc transm itida al cim iento será m ay o r que b fuerza d e excitación, ( b ) Encuentre e l rango d e velocidad d en tro d e l cual la am plitud de la fuerza transm itida será m en o r que 10 p o r ciento, d e la am plitud d e la fuerza d e excitación. & 31

Una lavadora que pesa 150 Ib opera a 3 0 0 rpm . Encuentre la deflexión estática m ínim a de un aislador que po p o rc io n a 60 por ciento d e aislam iento. Suponga que e l am ortiguam iento en e l aislador es insignificante.

832

Una lavadora de 5 0 kg d e m asa o p era a 1200 rpm . Encuentre l a rigidez m áxim a d e un aislador que p o p o rc io n a un aislam iento de 75 por ciento. Suponga q u e la relación d e am ortiguam iento d e l aislador es cfc 7 por ciento.

8J3

U n ventilador extracto r de 80 kg d e m asa que o p era a i 0 0 0 rpm produce una fuerza repetitiva d e 1 0 0 0 0 N sobre su b a se ríg id a S i la fuerza m áxim a transm itida a la base se tiene q u e lim itar a 2 0 0 0 N utilizando un aislador no am ortiguado, determ ine (a ) la rigidez m áxim a perm isible d e l aislador q u e sirve p ara este propósito; ( b ) la am plitud de e stad o estable de un ventilador d e descarga c o n el aislador q u e tiene la rigidez m áxim a perm isible, y (c) la am plitud m áxim a del ven tilad o r extracto r c o n aislam iento durante d arranque.

8J4

Una p re n sa im presora d e 3 0 0 kg d e m asa que o p e ra a 3 0 0 0 rpm produce u n a fuerza repetitiva d e 3 0 0 0 0 N cuando s e instala en un cim iento rígido. E ncuentre un aislador viscosam ente am ortiguado adecuado pora satisfacer los siguientes requerim ientos; (a ) la dellexión estática d eb e ser lo m ás pequeña posible; (b) la am plitud d e estado estable d eb e ser m en o r que 2.5 m m ; (c ) la am plitud en condiciones d e arranque no d eb e ex ce d er d e 20 m m . y ( d ) la fuerza transm itida a l cim iento d eb e s e r m enor que 10000 N.

8J5

U n co m p reso r d e 120 kg d e m asa tiene un desb alan ce rotatorio de 0 .2 kg-m . S i se u tiliza un aislador con rigidez d e 0.5 M N /m y relación d e am ortiguam iento d e 0.06, en cu en tre e l rango d e las velo cid ad es de operación d e l com presor d en tro del cual la fuerza transm itida a l cim iento será m en o r q u e 2 5 0 0 N.

836

U n m otor d e com bustión interna tiene un desbalance rotatorio cfc 1.0 k g -m y opera entre 800 y 2 0 0 0 rpm . Cuando se co n ecta directam ente al piso, transm ite u n a fuerza d e 7018 N a 800 rpm y cfc 4 3 865 N a 2 0 0 0 rpm . Encuentre la rigidez d e l aislador necesaria p ara reducir la fuerza transm itida al piso a 6 000 N e n e l rango d e velocidad cfc operación d e l m otor. Suponga q u e la relación d e antoitiguam iento del aislador es d e 0.08 y que la m asa del m o to re s d e 200 kg.

837

Una pequeña m áquina herram ienta d e 100 kg d e m asa opera a 6 0 0 rpm . Encuentre la deflexión estática cfc un aislador no am ortiguado que proporcione 90% de aislam iento.

838

U n m otor d iesel d e 3 0 0 kg d e m asa que opera a 18 0 0 rpm tiene un dcsbalance rotatorio d e I kg-m . Se tiene q u e instalar en e l piso d e una planta industrial p ara q u e genere energía d e em ergencia. La fuerza m áxim a perm isible q u e s e p u ed e tran sm itir a l piso e s d e 8 0 0 0 N. pero e l único tipo d e aislador d is ponible tiene una rigidez d e I M N /m y la relación de am ortiguam iento e s d e 5 por ciento. Investigue posibles soluciones a l problem a.

8J9

La fuerza transm itida p o r u n m o to r de com bustión interna d e 500 kg de m asa, cuando s e c o lo c a d ire c tam ente sobre un piso rígido es F ,(t) = (1 8 0 0 0 eos 300r + 3 6 0 0 c o s 6 0 0 r)N D iseñe un aislador no am ortiguado d e m odo q u e la m agnitud m áxim a d e la fuerza transm itida al piso no exceda de 12000 N.

840

D iseñe la suspensión d e un autom óvil d e m odo q u e la aceleración vertical m áxim a percibida p o r e l c o n ductor se a m enor q u e 2g a todas las velocidades entre 4 0 y 80 m ph m ientras transita por una carretera


P ro b le m a s

729

cuya superficie varía senoidalm cntc c o m o >
Considere un sistem a de un solo grado d e libertad con am ortiguam iento d e C oulom b (e l cual ofrece una fuerza de fricción constante. Fe). D erive u n a ex p resió n p ara la transm isibilidad de fuerza, cu an d o la masa se som ete a una fuerza arm ónica. F \t) = F0 s e n o*.

8.42

Considere un sistem a de un solo grado d e libertad con am ortiguam iento d e C oulom b (e l cual ofrece m a fuerza de fricción constante. f £). Derive expresiones para las transm isibilidades d e desplazam iento absoluta y relativa cuando la base s e som ete a un desplazam iento arm ónico, y ir) = y sen tu/.

8.43

O ta n d o u n a lav a d )ra, d e 2 0 0 kg d e m asa y 0 .0 2 kg-m de desbalancc, se m onta sobre un aislador, éste se d eform a 5 m m b a jo la carga estática. Determ ine (a ) la am plitud de la lavadora, y (b ) la fuerza trans mitida al cim iento a la velocidad d e operación de 12 0 0 rpm .

844

Un m otor eléctrico d e 6 0 kg de m asa, 3 0 0 0 rpm d e velocidad nom inal y 0.002 kg-m d e desbalancc, se tiene (fie m ontar sobre un aislador para o btener una transm isibilidad de fuerza d e m enos de 0.25. Determ ine (a) la rigidez d e l aislador, (b) la am plitud dinám ica del m otor, y (c) la fuerza transm itida al cimiento.

8.45 Se m onta un m otor sobre un cim iento rígido p o r m edio d e c u a tro resortes. Al funcionar, e l m o to r pro duce una fuerza de excitación a una frecuencia de 3 0 0 0 rpm . S i el peso d e l m otor h ace q u e los resortes se d eform en 10 m m . determ ine la reducción d e la fuerza transm itida a l cim iento. 8.46

Un sistem a electrónico sensible, d e 30 kg
8.47

8.48

Una m áquina que pesa 2600 Ib está m ontada sobre resortes. U n pistón de peso w - 6 0 Ib b aja y sube en la m áquina a u n a velocidad d e 6 0 0 rpm c o n u n a carrera d e 15 pulg. C onsiderando q u e e l m ovim iento es arm ónico, d eterm ine la fuerza m áxim a transm itida al cim iento si (a ) k “ 10000 Ib/pulg y (b) A “ 2 5000 Ib/pulg. Una tarjeta d e circuito im preso d e I kg d e m asa está co nectada a la b a se por m edio d e un aislador no am ortiguado. D urante el en v ío , la base se som ete a u n a perturbación arm ónica (m ovim iento) con am plitud de 2 m m y frecuencia d e 2 Hz. Diserte e l aislador d e m odo q u e e l desplazam iento transm itido a la tarjeta d e circuito im preso se a d e no m ás d e 5 por ciento d e l m ovim iento d e la base.

8.49

Un instrum ento electrónico d e 10 kg de m asa se m onta so b re u n a b a se d e aislam iento. Si la base d e a is lam iento s e som ete a un choque en la form a d e una velocidad g radual cfc 10 m m/s. encuentre la rigidez de la b a se de aislam iento si los valores m áxim os perm isibles d e deflexión y aceleración d e l instrum ento re especifican c o m o 10 m m y 20g , respectivam ente.

H.50

Un tanque d e agua d e 10* k g d e m asa está m ontado sobre una colum na de concreto reforzado, com o re m uestra e n la figura 8.48
8-51

Un sistem a d e un solo grado d e libertad viscosam ente am ortiguado q u e pesa 60 Ib tiene una constante de resorte de 4 0 0 llVpulg. Su b a se s e som ete a vibración armónica, (a) C uando la base vibra c o n u n a am plitud

730

C a p ítu lo 8


F ig u ra 8 .4 8

am ortiguam iento del sistem a, (b) C uando la base vibra a una frecuencia d e 10 H z. la am plitud d e estado estable d e l cuerpo es d e 1 3 pulg. Encuentre la magnitud de la fuerza transm itida a la base. 832

Se utiliza un sistem a d e un solo grado d e libertad p ara representar un autom óvil, d e m asa m . constante de am ortiguam iento c y rigidez k , e l cual transita p o r una carretera cuya superficie e s senoidal con am plitud Y y longitud d e onda /. S i e l autom óvil viaja a u n a velocidad v, d erive una expresión p ara la transm isibilidad d e l m ovim iento vertical de la m asa d e l autom óvil (m).

833

U n instrum ento sen sib le d e 100 k g d e m asa se instala e n un lu g ar som etido a m ovim iento arm ónico con frecuencia d e 20 H z y aceleración d e 0.5 m /sJ. S i e l instrum ento está soportado por un aislador d e rig i dez * = 25 X 104 N /m y u n a relación d e am ortiguam iento £ = 0.05, determ ine la aceleración m áxim a experim entada p o r e l instrum ento.

834

U n instrum ento electrónico de 2 0 kg de m asa se tiene que aislar d e las vibraciones d e un m otor con frecuencias q u e v a n d e 1 0 0 0 rpm a 3 0 0 0 rpm . D eterm ine la rigidez d e l aislador no am ortiguado para obtener un 90% d e aislam iento.

835

Un delicada instrum ento q u e pesa 2 0 0 N pende de cuatro resortes idénticos, cada uno con rigidez de 5 0 0 0 0 N /m . en una caja rígida c o m o se m uestra e n la figura 8.49. L a c a ja e s transportada p o r un cam ión. Si el cam ión se som ete a un m ovim iento arm ónico vertical d a d o p o r >
836

U n sistem a torsional am ortiguado se com pone d e una flecha y un rotor (disco). La rigidez torsional y b constante cfc am ortiguam iento torsional d e la flecha so n k, = 6 0 0 0 N -m /rad y c , = 100 N -m -s/rad.


P ro b le m a s

731

* C a ja rígida

x (0 . m

J y ( t) = 0.02 sen 10 m

J F ig u ra 8 .4 9

fl m om ento de inercia d e m asa d e l rotor e s / „ = 5 kg-m J . H ro to r s e som ete a un par d e torsión arirónicam ente variable d e m agnitud M , ■ 5 0 0 N-m , e l cual produce un desplazam iento angular d e 5 ’. E ncucntrc la frecuencia d e l p a r d e torsión arm ónicam ente variable aplicado a l ro to r y e l par d e torsión máxim o transm itido a la base o soporte d e l sistem a. 8¿7

La ecuación (8.106) proporciona la transm isibilidad de fuerza d e un sistem a (kr un solo grado d e libertad am ortiguado con m ovim iento d e la base:

(b n d c F , es la m agnitud d e la fuerza transm itida a la m asa. D eterm ine las relaciones de frecuencia (r) con la s cuales la transm isibilidad d e fuerza alcanza valores m áxim os y m ínim os. A nalice su s resultados.

Y sistem a d e un solo grado d e libertad som etido a m ovim iento d e la basc.y
Se tiene que aislar un instrumento electrónico, d e 20 kg de m asa, para lograr una frecuencia natural de 15 racVs y una relación d e am ortiguam iento d e 0.95. Los am ortiguadores hidráulicos disponibles pueden producir una constante d e am ortiguam iento ( c )e n e l rango d e 10 N -s/m a 80 N -s/m . Determ ine si la rela ción de amortiguam iento deseada se puede lograr con un sistem a pasivo. Si no se puede utilizar un sistema pasivo, diserte un sistem a de control activo adecuado para o b te re r la relación de am ortiguam iento deseada.

8.61

Un sistem a d e un solo grado d e libertad tiene una m asa (m )d e 5 kg. una rigidez (k ) de 20 N /m y una constante d e am ortiguam iento ( c )d c 5 N-s/m . D iseñe un controlador activo p>ara lograr un tiempx» de asentam iento m en o r que 15 s para e l sistem a de lazo o circuito cerrado. Sugerencia: L as ecuaciones (4.68) y (4.69) d efinen e l tiem p j d e asentam iento.

8.62

Un sistem a d e un solo grado de libertad tiene una frecuencia natural n o am ortiguada d e 2 0 rad/s y una relación d e am ortiguam iento de 0.20. Diserte un sistem a d e control activo que lo g re u n a frecuencia


732

C a p ítu lo 8


natural no am ortiguada d e 100 ra d /s y u n a relación d e am ortiguam iento d e 0.8. Suponga que la m asa, rigidez y constante d e am ortiguam iento del sistem a original perm anecen e n su lugar.

Sección 8.11 Absorbedores de vibración 8.63

U n co m p reso r d e aire c o n m asa d e 200 kg y desbalance d e 0.01 kg-m experim enta una gran am plitud de vibración m ientras funciona a I200 rpm . D eterm ine la m asa y la constante d e resorte d e l absorbedor que se tiene q u e a g reg a r si las frecuencias naturales del sistema son d e a l m enos 2 0 p o r ciento d e la frecuencia im partida.

8.64

U n m o to r eléctrico, con dcsbalance d e 2 kg-cm . está m ontado en e l extrem o de una v ig a de acero en voladizo, c o m o s e o b se rv a e n la figura 8.50. S e o b se rv a q u e la v ig a vibra c o n grandes am plitudes a la velocidad d e operación d e 1500 rp m d e l m otor. S e propone agregar un absorbedor de vibración para reducir la vibración d e la viga. D eterm ine la relación de la m asa d e l absorbedor a la masa d e l m otor n e cesaria pora h acer que la frecuencia b aja del sistem a resultante se a igual a 75 por c ie n to de la velocidad de o p e rac ió n d e l m otor. S i la m asa del m o to r es de 300 kg. determ ine la rigidez y m asa d e l absorbedor. R icu en trc asim ism o la am plitud d e vibración d e la m asa d e l absorbedor.

&65* El tubo d e alim entación d e a g u a a una cald era en una planta term oeléctrica vibra violentam ente cuando la velocidad d e la bo m b a e s d e 8 0 0 rpm . Para re d u c ir la s vibraciones s e instala en e l tubo u n absorbedor com puesto d e un resorte de rigidez k2 y m asa d e pru eb a m ! d e l kg. Esta configuración pro d u ce las frecuencias naturales del sistem a d e 7 5 0 rpm y 1000 rpm . Se d esea m antener las frecuencias naturales del sistem a fu e ra d e l rango d e operación d e la bom ba, e l cual e s d e 7 0 0 rpm a 1040 rpm . D eterm ine los valores d e k 2 y m 2 q u e satisfagan este requerim iento. 8.66

S e instala u n m o to r reciprocante so b re e l piso d e un edificio, e l c u a l se puede m odelar com o u n a placa rectangular rígida apoyada sobre cuatro colum nas elásticas. El peso equivalente d e l m o to r y e l piso es de 2 0 0 0 Ib. A la velo cid ad nom inal d e l m otor, la cual e s d e 6 0 0 rpm . los o p c rac b rcs experim entan una gran vibración d e l piso. S e decidió reducir estas vibraciones suspendiendo un sistem a d e m asa-resorte de la superficie inferior d e l piso. S uponga q u e la rigidez d e resorte e d c k 2 = 5 0 0 0 Ib/pulg. (a ) E ncuentre d peso d e la m asa q u e s e d eb e anexar para ab so rb er las vibraciones, (b) ¿C uáles serán las frecuencias naturales d e l sistem a después de agregado el absorbedor?

Ü67* Encuentre los valores d e k 2 y m2 e n e l problem a 8.54 p ara a lejar las frecuencias naturales d e l sistem a al n e n a s a 30 p o r ciento de la frecuencia forzada. 8.68* Una flecha h ueca d e acero d e 2 pulg de diám etro externo. 1.5 pulg d e diám etro interno y 30 p u lg de b n g itu d lleva un disco d e 15 pulg de diám etro y 100 Ib

P ro b le m a s

733

F ig u ra 8.51

de longitud q u e lleva un disco sólido d e 6 p u lg d e diám etro y 2 0 Ib d e peso se conecta a l p rim er disco, como s e m uestra e n la figura 8 .5 1. Encuentre los diám etros interno y ex te m o d e la flecha, de m odo que d sistem a d e flecha-disco conectado actúe c o m o un absorbedor. 8.69* Un rotor, que tiene un m om ento d e inercia d e m asa J , = 15 k g -m 7. está m ontado e n e l extrem o d e una flecha d e acero q u e tiene u n a rigidez torsional d e 0.6 M N -m /rad. El ro to r vibra violentam ente cuando se som ete a un par d e torsión arm ónico d e 300 eos 2 0 0 / N-m . S e tiene q u e co n ectar un absorbedor sin tonizado, com puesto d e un resorte torsional y un m om ento d e inercia d e m asa (kn y J 2) a l prim er rotor [a ra q u e ab so rb a las vibraciones. E ncuentre los valores d e y J , de m odo q u e la s frecuencias naturales del sistem a se a lejen d e la frecuencia forzada en a l m enos 20 p o r ciento. 8.70

T rá c e la s gráficas d e (ft|/a > 2) contra (m2/ m , ) y ( í l j / r u j ) c o n tra (m2/ n i |) a m edida q u e (m2/ m |) v a ria de 0 a 1.0 cu an d o ü ^ /c ü , * 0.1 y 10.0 .

8.71

D eterm ine e l rango d e operación d e la relación d e frecuencia tu ,/tu , d e un ahsorbcdor d e vibración no am ortiguado para lim itar e l v a lo r d e I X i / f ic l a 0.5. S uponga q u e o», = o y ,y m2 = 0 .1 m ,.

8.72

O rando se agrega un absorbedor d e vibración no am ortiguado, que tiene una m asa i k 30 kg y una ri g idez k a un sistem a de resorte-m asa, c o n una m asa de 4 0 kg y rigidez de 0 . 1 M N/m , la m asa principal (m asa d e 4 0 k g ) tiene u n a am plitud cero d urante su operación d e e stad o estable sujeta a una fuerza arm ónica d e 3 0 0 N. D eterm ine la am plitud d e e sta d ) estable d e la m asa d e l absorbedor.

8.73

Un m o to r eléctrico, d e 20 kg de m asa y 1350 rpm d e velocidad d e operación, s e c o lo c a so b re u n a viga
F igura 8 .5 2

8.74

Un p uente v ib ra violentam ente cuando lo c raz a un vehículo q u e produce una carga arm ónica d e 6 0 0 N. htodelanck) e l (xicnte com o u n sistem a d e resorte-m asa c o n m asa de 15000 kg y rigidez de 2 M N/m . diseñe un absorbedor de vibración am ortiguado sintonizado adecuado. D eterm ine la m ejora o b ten id a en la am plitud d e l p uente c o n e l absorbedor.


734

C a p ítu lo 8


8.75

U n pequeño m otor, que pesa 100 Ib. tiene una frecuencia natural d e 100 rad/s. S e propone q u e se utilice un absorbedor d e vibración no am ortiguado que pesa 10 Ib para sup rim ir las vibraciones cuando el iro to r opera a 8 0 rad/s. D eterm ine la rigidez necesaria d e l absorbedor.

8.76

C on sid ere e l sistem a q u e se m uestra e n la figura 8.53 e n e l cual una fuerza arm ónica actúa en la m asa m. D erive la condición e n la cual el desplazam iento d e estado estable d e la m asa m será cero.

F ig u ra 8.53

Sección 8.12 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 8.77

U tilizando M A TI.A B , trace la ecu ació n (8 .9 4 ) p ara £ = 0 , 0.25. 0,5. 0.75 y I e n el rango 0 < r < 3 .

8.78

U tilizando M A TLAB. trace las ecuaciones (8.140) y ( 8 .1 4 l) p a r a / - l . f - 0 .2 ,0 .3 y 0 .4 . y n - 0 .2 y 0 3 e n e l rango 0 .6 <

8.79

U tilizando M A T I.A B , trace las relaciones f t | / a >2 y íh /° > ! d a d as p o r la ecuación ( 8 .I 4 6 ) p ara a*/a>i = 1 .5 .3 . 0 y 4 . 5 y m i / m i = 0 a 1.

8.80

Resuelva e l problem a 8.13 utilizando P r o g r a m l 3 . m .

8.81

F scriba un program a d e com putadora para encontrar e l desplazam iento de la m asa principal y la masa auxiliar de un a b so rb ed o r d e vibración dinám ico am ortiguado. U se este p rogram a para g enerar lo s re sultados d e la figura 8.38.


P ro y e c to d e d is e ñ o

735

P royecto de diseño 8.82

t a s vibraciones del suelo producidas por la operación d e una grúa, una prensa d e fo rja y u n com presor de aire se transm iten a una m áquina fresadora cercana y se percibe que n o perm iten alcanzar la s prceis o n e s especificadas d urante las operaciones de fresado. L as vibraciones d e l suelo e n las ubicaciones de la g rú a , la prensa d e fo rja y e l co m p reso r d e aire so n xf ( / ) = s e n tocl , x / ( t ) = A y . s e n o y , y x a( l ) = Aa sen < oj, respectivam ente, d o n d e Ar = 20 ¿un. Af = 3 0 ¿un. Au = 25 ¿ím . oj( = 10 Hz, a y = 15 H z. o>a = 20 Hz y £t = 0 .1 . L as vibraciones d e l su e lo viajan a la velocidad de o n d a cortante del suelo, la cual e s igual a 9 8 0 pics/seg. y las am plitudes s e atenúan d e acuerdo c o n la relación A , A ^ -o o o sr ,jonijc ^ c s |a am p litu d e n la fuente y A , e s la am plitud a u n a distancia d e 6 0 pies, 80 pies y 4 0 pies, respectivam ente, d e la m áquina fresadora. L a m asa, rigidez y relación d e am ortiguam iento equivalentes d e l cabezal de la m áquina herram ienta e n vibración vertical (e n e l lugar d e la fresa) s e d e term inan cxpcrim cntalm entc c o m o 500 kg, 4 8 0 kN/m y 0.15. respectivam ente, l a m asa equivalente de la b a se de la m áquina herram ienta es d e 1000 kg. S e propone que se utilice un aislador para la máquina herram ienta, c o m o se m uestra e n la figura 8.54. p a ra m ejorar las precisiones d e corte 18.21. D iseñe un aislador de vibración adecuado, com puesto d e una m asa, resorte y am ortiguador, c o m o se m uestra e n la figura 8.54{b), p ara la fresadora d e m odo q u e e l desplazam iento vertical m áxim o d e la fresa, c o n res pecto a la superficie horizontal q u e se está m aquinado, d eb id o a la vibración del suelo producida p o r las tres fuentes no exceda d e 5 ¿im d e pico a pico.

1

1

o»


Respuestas a p r o b le m a s seleccionados C a p ítu lo 1 ¡7

k

_________________________ 2*1 M « * S + M i * « * > + 2*1*2 M > ___________ (*2 k y

01

k4 + k ¡ kyky +

1.11

(•) * = 37.08 X I0

1.15

*«, = 253.75 Ib/pulg

1.24

4/ (d + l ) —

/„ =

7

2 t | kyk* +

2 t | k y k y + k \ k j A« + í I * j * 5 +

N/m. (b ) * = 1236 X

N/m. (c ) * = 4.12 X I0

= 3 * eos 2 a

1.17

129

107

pyA 1

k -

* = 77.4414 N/m

1.39

k ^ = y ( £ , 4 , + E a A ,)

1.45

(■ )* „, = 89.931 Ib/pulg ( b ) í« , = 3D 124Ib/pulg

1.49

mfq - M|

1.55

(a)

(b)

l

«I

C2

O

v iiD 7{l - h)

I-S2

c?(

c,

1.76

4 - 4.4721. 0 - -263651*

XM

¡ - 11.1803 a "

7"

1.90

X = 2 5 m m . u> = 5.9092 rad/seg. u» + &u = 6.6572 rad/seg

1.87

M r,

c - 4205.64 N-s/m

1.71

1

X - 9.8082 m m, Y - 9.4918 m m , < 6 - 39-2072°

1311

1.92 4 = 0 3 5 2 2 mm . »«*, = 5 2 0 4 mm/seg

I

+ 2

2

w

;= = f;

- ^ 2 .4 .6 . . . ( » r

-

...0

2 3 8 2 ,6 2

- 1 2 2 6 .6 , -

-0 .4 1

C a p ítu lo 2 22

(a ) 0.1715 seg.

ib ) 0 2 9 7 0 seg

26

(a) 4 = 003183 m (c) x ^ = 031415 m/s7. (b) ¿o - 007779 m/s. (d)d*o - 51.0724°

24

I

ir » = u ¿ ,...

[ a « « * " • “» * bm sen «muí] Ib/pulg- donde Oq = 5 0 .a , = 3l.8309.O i =

- 2 0 .1 6 ,a 2 - 3 .3 1 .a , - 3.77; 6 , -

M i,- 5

I )

, = 31.8309. 6 ¡ '= 3 1 8 3 0 9 .6 , = 10.6103

ao - 19.92,ai -

* N-m/rad

N ouim ónico

L IM w

10

(;M s J

* j{ i) “ 6.1966 sen (ow 4 83.7938°)

1.117

+ J,

c - 3 2 2 5 8 N-s/m

1.78

= 539597 X

1.47 = 16.681896 ib/pulg ; * DnUWl = 139.1652 Ib-pulg/rad

1.85

6

N-m/rad. (b)

F (x ) - (3 2 0 0 0 . - 80) N

T ) + c ,( ~ j .

(d) i'mi = c ,i + cu

------- — -------- + _ ^ ~

p ( t) = ^

136

nyilP

1.59

1.114

10 4

= «a» +

(c) c*, = e ¡ +

i l i — = — + — +

ceq

(a) k% » 534811 X

+ « 2 + yo Q j j

= d + ex + cy

c ,,

1.43

N/m

- 2yA

1.21

132

7

2 k\ 4 j ky)

00993 seg


0

. a¡ = -10.6103.

(-ljf« = = í rr

R e s p u e s ta s a p r o b le m a s s e le c c io n a d o s

28

a * = 22.1472rad/seg

<0^ - 4 8 1 4 8 rad/seg

2.10

«u. - [*/(4 m )],/2

2.13

[kg c o s e c ' 0

2.19

A - S16381 N /m .m = W k S

w

121

flg

< b)a* - ^J—

<■)»* - ^ ------ --------,

' '& ■

< b )“ - ‘

128

T = 16563147 1b

234

A ■ 0.9536 X 10” * ni2

(a) N = 81.914 rpm.

130

237

Torsión con respecto al eje z 144

239

- 359.6872 rad/seg

2.51

*0 - 0007864 m; ¿0 - -0 0 1 3 9 3 3 m/s

164

» „ - 2 rad/s. / = 2.4525 m

170

t„

176

\m l2'Ó + (k , + A.o2 + 4 ^ ) 6 = 0

191

45.1547 rad/seg

166

172

193

o,. - 2578.9157 rad/seg

-*+ < *.+ *3)»-0

155

Í q - 4 m/s

r . = 1.4185 seg

17.7902 rad/seg

186

n>. = . / —

174

* ,„ = 195

^

o.. - 13.4841 rad/seg f (*l

w

' '

l

188

1112

o», -

1120

(a ) J 0 - 1.9436 X 10 4 N-m-s2.

(c) c, - 53887 X 10 4 N.«n-*/rad,

( b ) r . - 18297seg,

(d)A, - 23917 X lO^N-m/rad

£ = 0.013847

+ c ¿ + 2Ax - 0

( = 0.75. « j = 66144 rad/s.

1121

(a)

(a) 608368 J.

1143

(a) 5

1150

1.7022 seg. 0004 m

1109

(b) 0.7025 seg

1139

(c) 1.9620 cm

1152

2.98

(b)

- 8.6603 rad/seg,

1118

(c) 3 - 36276

po - 2682.8816kg/m'

(c) ( = 135

Coulomb. 5N. 14.1421 rad/seg 4 uN 1145 ^ 1148

0 - 003032, c

(a) 14265.362. (b) 38296

m = 500 leg, k = 27066.403 N/m

(b) ( - 1.0. wd = 0.

(b) 124.6784 J

J

«u. =

(a ) c f - 1000 N-s/m.

0 = 0.09541°

1123

I3 m /T

o., = . l - l 6 < —

1105

1116

0

4 - Q1291 pul*. * - 2938

V ~ * + Jo 1103

1107

( - + £ ) « + 1 6*j =

147

237

168

V p-A 1100

2.39

= ^

132

* (/) - 0.1 eos 15.8114r ♦ 0.3162 sen 15.8114/ m

233

- 004693 seg

1141

58 mm

1.40497*

- 004288 N-s/m, AW - 19.05 X 1 0 * N-m

1154

h - 0383327 N/m

C a p ítu lo 3 3-2

5 seg

X4

(a ) *(») “ O 'c o s 2 0 r + rsen20r

36

(a) * (/) = 0.18eos 20/ - 0.08eos 30/.

(b) »

( b ) x ( / ) = 0.08eos20/ + 0 3 sen 20/ - 0.08eos30/,

(c) x (t) - 0.18 eos 20/ ♦ 0 3 sen 20/ - 0.08 eos 30/ 38

9 .1 1 8 9 k g

3 .1 6

X

m rpN 3

3 .1 8

o»

=

7 4 3 .7 4 4 2 H z

22.7973 Ebai - 0 3357 pabí* N 7


332

0 .6 7 6 seg

737

738


3.24

Of í i ) ^ 0 senotf con O - -8 5 7 1 8 x 10 4 rad y ,

3.26

x ,( í ) - 006610 cos( 10/ - 0.1325) m

104.72 rad/scg

* r a i ( 0 “ 0.0345r ^ eos < 19.8997/ + 0.0267) + 0.0661 eos (1 0 - 0.1325) m 3.28

* ,( / ) - 0.25 eos ( 20» -

m

••railO - 0.26l l e c o s (19.89971 + 1.1778) + 0.25cos(20» - | ) m 3.30

* - 6 6 6 7 3 X lO ^ h /p u lg . c = 2 5 9 8 3 lb -* g /p u ig

r = v / l - 2 ( \ XIBa, = ---------------------------3.3 4

352

(2 3A i

3.43

(a ) 64.16 rad/seg.

(b)

(a) ( - 0 2 5 .

(b)

3.57 c = (A - mu?)/»»

967.2 N-m

- 22.2145 rad/secg.a»? - 38.4766 rad/seg

3.47 * - 10070 X 10’ W m, c

- 633.4038 N-s/m

353

0.4145 X 10'* m. 1.0400 X 10-} m

3 82

¡i = 0.1

3.91

(a ) 1.0623 H z.

3.68

(a) 105027 I b / p u l g .

3.45

05339 sen 25 / mm

3.59 0(t) = 0.01311 sen (10» - 05779) rad

3.66

385

¿ = 0.1180

\A ~ (7

1.4195 N-m

1695294 X I0 6 m 355

X - 0.106 m. , - 246.73 km/hr

363 xf ( l ) = 110.9960 X 10"6 sen (314.16/ + Q07072) m ( - 0.1364

3.70

(b) 40.8108 Ib-pulg

3.74

F u e ra máxima - 26.68 Ib

358

------------------------------------(b) 1.2646 m /s. (c) 5557 X I0‘ 4 m

Í4 V Ü * + 4*

*N

3\

J

C a p ítu lo 4 - * - 7 * . - 1 , 3 V ( , - * ? f ♦ ( V .r f C“ <’”

4'2

con r » ■ ./» „ y

j

<íí ? i (,l8^ ' ” ,8905"«(392700.0 l

4 .6

4.13

- un"1

* ( » ) = 6.6389 X 10~4 - 13.7821 ♦ 15.7965

X

X

10966278/T)

J

»6

1 0 " 4c o s ( 10.472» - 0.0172)

1 0 "4s e n (1 0 4 7 2 / - 0 0 1 7 2 ) + . . . m

4 .1 6

, < „ . £ » { , ,

419

*<»> -

4.25

J< |) - 1.7689 sen 6.2832 ( l - 0.018) - 08845 sen 6.2832/

, f°

" *■’

, . [* - 4 ( ' -

) ] + J [1 - “

“ ■ ( ' - ; ) ] p m ' > »/«■

T - í ) - 0 8 8 4 5 sen 6.2832 (» - 0.036)m ; p a r a / > 0.036 seg

4.29

* ,(» ) = 0.002667 m

4.35

x ( t ) = 0 .0 4 0 4 8 * "' + 0.01266sen 3.198/ - 0.04048 eos 3.198/ m

4.50

xm -

°—f ( l

*«u,»o

452

fl(») - 0 5 0 9 4 * ' ♦ 0 .0 5 7 l7 sc n 5.4127» - 0.3 0 9 4 e o s 5.4127»rud

co so /^ o )2 + ( i ü j 0 - sen « ./ o ) 2]1' 2; para / > /„

457

x ( í) = 05164*“ ' sen 38729» m

4.53

d - 0 6 pulg


4.56

* - 12771.2870 Ib/pulg


C a p ítu lo 5 55

o , - 3.6603 rad 'seg. oh - 13.6603 rad/seg

5.7

5.10

o*, - 7-3892 rad/s. o» - 58.2701 rad/s

5.11

5.13

cu, - 0.7654

5.19

x,(») = 0.1046 sen 40.4225» + 0.2719 sen 58.0175».

1-8478 J y

u, =

»f.2 -

5.16

-

5.9

1 .1

pulg 1

[ ( « , + 8 ^ ) i \ / ( m , - 8m2)2 -f 25mxm,

7 mim 2 L

12.8817 rad/seg,

- 30.5624 rad/seg

x ¿ t ) - 0.1429 sen 40.42251 - 0.09952 sen 58.0175»

“

" ' ■ 17495V § ' “ , ‘ 90524^

325

x 2 (0 ) - r , x ,( 0 ) =

529

* ,( /) = 0 5 eo s 2 » + 0.5 eo s v T 2 r. * 2(») = 0 5 eo s 2 » - 0 3 eo s V Í 2 »

556

o., - 05176'V k , / J 0,w 2 - 1.9319 V k J 7 0

5.41

Ecuación de frecuencia: cu4 ( « ,

« 2

" *

?0>‘ { Ü

g»

} ' ? ( ! ) “ { - ' ,¿ r 2 g }

, . x 2(0 > - r , ¿ ,( 0 ) =

/? / |) - o , 2

« i - 0-38197’V k J ü «2 - 2-61803 V Í ^ j

^

¡ \ (IV, /, + */2) + « , /? (W j¡2 + * /§ )}

+ W . W j / j + w 2 /2 U ? ♦ I V , / , * / ? ) - 0

i

í (J°k * n k <) - V W

* m k<)7 - 4(j o - « ¿ h * * » 1

5/0 ^ ' 1 5.46

1000

1

* + 40000* + 150006 = 9 0 0 sen 8.7267» +

1100

sen ( 8 .7 2 6 7 /- 15708)

810 fl -f 15000* + 67500 fl = 1650 sen (87267» - 15708) - 900 sen 8.7267»

SM “ >[" °J{ í}*[” /6 í«%/ss]{í} - {rJio/j}40- 10'" - -rViay^C)
(a) « , - 12.2474 rad /seg . a * = 38.7298 rad/seg

556

,/» ) c o n * ’, » ( -4 0 .0 0 4 2 - 0-01919/) X X 2 = (0.9221 + 05948») X

557

*2 ■

558

1 0 "4

10

~4 pulg.

pulg

* » ( » ) ■ ( - --------- ; ------------- -- ---------- ; ------- --------; 1 seno* ♦

* i

♦

k i)(-m ;a / ~

550

* ,(» ) - (17-2915 *’qCOSo*» + 6.9444 f

5.62

x , (») - 0009 7 7 3 sen 4 jr» m .x 2(») “ 0.016148 sen 4ir» m

0

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* 2 J

se n a » )I0 4

* j ( / ) « (173165 f o c o s cu» + 6 9 6 8 4 F 0 sen
4

554

x 2(») -

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10

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6 .7 9

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f 0.03944(1 - eo s 18.3013/) + 0.01057 (I - c o s 6 8 3 0 l5 /) l 10.05387(1 - e o s 183013/) - 0.00387

(1

- cos683015»)J

* » (/) = 0.0256357 cos(
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7.12

El

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0.3015V k f i ü

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7.22

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730

737

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- 0.765366,2», - 1.414213.S , - 1.847759 con

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741

—

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[£/)-*

0.44721359 0

0.083045475 0.41522738

0

0

- 0.12379687 1.1760702 1.7950547

C a p ítu lo 8 8 .1

282843 m /seg

H6

(a) 0.1248 X 10*N,

8 .3

o>j = 9000 H*. am bas se incrementaron 9 5 4 %

(b)3.12xi0°N

V39H 8 .1 1

“(*•«)"

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8 .6 0

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831

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839

fo

8.46 ic ( x .x ) -

't e r

S030-59 rad/se*

20.2328 N-m

8.36

2

828

7 7 4 6 0

567280 ^

8 ,7 0

8.77

2 ,4 ,4 6

8 7 2

o,, = 3.142

" * « » 7 3 3 2 8 rad/aeg

« h = 10.12 ^

C a p ítu lo 9 9 .3 m f , - 3354.6361 g -m m .fl, - -2 5 3 5 2 5 *

9 .1

A lrededor d e 46.78 km /hora

9 .8

1.6762 0 7 , a - 75 6261° CW

9.5

m , - 0 .9 9 o z .fl 4 “ -3 5 *

9.11

Q iiia r 0 .1 3 3 6 lb a 108377" e n sentido contrario a las manecillas del reloj y 0.2063 Ib en el sentido d e las manecillas d el reloj en el planoC en lo s radios de 4 pulg

9 .1 4

(a) R a = —28.4021j - 33436 k . R„ - 13.7552 ] + 4 .7 7 4 9 Í .

9.17

(a)0 .0 0 5 1 2 4 m .

930

(a ) 03 4 9 7 X

9 .2 2

F ,p = 0 . F u = 3269.4495 Ib. M : f = M a = 0 930

(a) X = 11.4188

9 .4 9

49,752.86 N/m

966

(a ) 4 8 7 3 7 9 Ib

9.71

09 7 6 4 s ^

X

10

1 0

“J m

964

937

(c) 0.9012 X 935

10

* N/m 2

El m otor c a á com pletam ente balanceado en cuanto a fuerza y momento

276.7803 rpm 6 ^ = 0.02733 m

9.45

932

9.40

k = 152243.1865 N/m

* = 1332.6646 Ib/pie

98.996%

9.47

(a ) 2.775.66 Ib.

(b)

40.145.81 Ib

M - 0 J4 0 3 ; m , - 102.09 kg. k2 - 2.519 MN/m; X2 - - 0.1959 mm

(b ) í l , - 469.65 rpm. f l , - 766.47 rpm s 1.05125

0008457 m

* N/m 2

(a ) o» < 95.4927 rpm

9 .3 5 79.7808 rad/seg - 14196481 rad/seg 9 .4 3

(c)

(b) 6.4698 X

* N/m 2

10

9 .2 7 0.2385 m m

9.73

m; =

10

9.68

kg. k ¡ = 019986 M N/m

Para l ) / d - 4 / 3 . 4 - 0.5732 pulg. I) - 0.7643 pulg 9.75

165.6315 Ib/pulg

C a p ítu lo 10 1 0 .2

10.14 1 0 2 1

10.29

183777 H z

10.4

3 6 9 3 5 Hz

106

053%

* - 3362385 N 'm .c - 5 0 3 5 N -seg/m r * I 1 033 { - 0 .1 1 11 (83088 H z). Bola (1 9 3 3 1 Hz) 18

10.30

29630

1032

10.9

1(116

353635 H z

1 0 .1 2

73.16%

m - 19.41 g ,* - 7622.8 N/m 10.19

1 1 1 2 0

rad/seg - 2780.02 rad/seg

1 0 3 6 Jaula <51.93 H z), A nillo d e rolam iento interior (1078.97 H z). Anillo de rodam iento exterior ( = 02

C a p ítu lo 11

112 1 1.6 11.14

= —---- — 1 —" f d r \i (A;)* i |o *■ —0.0843078, x,5 = 0.00849639

1L4

x(x = 5) = - 1 con Ax = I y - 0.9733 con Ax = 03

11.9 x(x - 0.1) - 0.131173. x(x - 0.4) - - 0.0215287. x(x = 0.8) =

Cbn Ax - 0.07854, xi - x y xj - x,xi(í - 03356) - 01001 II. x2(/ - 0.2356) - 0.401132. x ,(l - 13708) - 1.040726. x2 - (l - 13708) - -0 3 7 8 0 6 6


-06676142


11-20

1123

1 0.25 1.25 225

*2

1.1860 -0 2 8 3 2 23370

<*, = 3.06147

1126

1138

*1

0.07813 23360 -0.6363

-

= 5 6 5 6 8 5 ^ ,^ 3 - 7 3 9 1 0 3 ^ / £/

/ £/

17.9274 y —

,o h - 3 9 .1 9 1 8 ^ —

/ £/

57.1193^/—

C oi A/ - 024216267. 1 0.2422 24216 4.1168

x, 0.01776 0.7330 0.1059

*2

0.1335 18020 08573

C a p ítu lo 12

12.2 [*]-^2(0632l)J_¡

J

12.3 12.15

0.05165 pulg. bajo carga

3.3392 x I0 7 N/m2

1218

Lfcflcxión - 0.002197— , p e n d ie n te - 0.008789 —

1219

tr*1' = - 2 5 0 5 6 lb/pulg 2 tr(2,= 2 6 9 3 6 Ib/pulg2

1221

F sfu erw s d e flexión m áxim os:- 3 7 2 1 8 Ib/pulg2, tanto e n la biela com o en la manivela, esfuerzos axiales máxim os: - 6 4 1 1 Ib/pulg 2 (en la b ie la ).- 5 6 4 9 Ib/pulg 2

1226

* , - 0 . 8 5 8 7 ^ ^ , ^ = 4 . 0 9 6 5 ^ ^ , ^ = 3 4 .9 2 1 0 ^ -^

1229

,

1232

» , - 20.4939

12.40

CU, = 6445 rad/seg. » . = 12451 rad/seg

p/>

p/}

t i

-

,

a

»

^

-

l

t i

W

2

l

g


743

ÍNDICE L as entradas en letra n e g rita indican títulos d e capítulo y secciones: las entradas en letra cursiva, indican títulos d e obras.

Absorbedor aislador. 703 base rígida. 703 de vibración dinám ico. 703 de vibración dinám ico am ertiguado. 709 de vibración dinám ico no am ortiguado. 703 de vibración para un m otor diesel, 706 m áquina. 703 para un conjunto d e motor-generador, 707 A b so rb ed o res d e v ib ració n , 7 0 2 .7 3 2 Aceleración d e la base. 363 Acoplamiento elástico (estático). 451 dinámico (d e inercia). 451 A coplam iento d e co o rd en ad as v coordenadas prin cip ales. 449.494 Acróbata. 208 Actuador d e resorte. 311 aire de salida. 311 diafragma, 311 resorte. 311 varilla d e válvula. 311 Acústica, 7 Afiladora de precisión. 3 1 7 .3 18 aislador. 318 to rra rígida. 318 polea. 318 rueda d e am olar. 318 Agitación. 279 A islador d e una tornam esa cstercofónica, 682 aislam iento d e sistem as con desbalance rotatorio. 683 Aislamiento bajo carga gradual. 696 contra choques, 694 contra vibración de la base, 687 de f u e r a (de vibración). 675 base ríg id a d e cem ento. 675 instrumento o m áquina delicados, 675 máquina, 675 pose (paquete). 675 A islam iento d e la v ib ració n , 6 7 3 .7 2 7 Á lgebra com pleja. 55 Amortiguador d e histéresis. 181 Amortiguadores conectados en serie-paralelo. 103 trem ad o s en flechas engranadas. 99 Amortiguamiento. 43 constante. 173 c e n sa n te de, por un fluido viscoso. 44 crítico, co n san tc d e , 147 cuadrático (o d e velocidad al cuadrado). 275

d e Coulomb (fricción e n seco). 43 factor (o coeficiente) d e pérdida, 672 hidráulico d e pisón-cilindro. 47 introducción. 672 por un m aterial sólido o h ise rético . 43 proporcional. 561 uso d e m ateriales viscoelásicos. 672 viscoso. 43 Amortiguamiento d e C oulom b, 43 polea som etida a . 178 « S e m a d e resorte*-masa. 272 siS cm as torsionales y . 177 Am ortiguamiento viscoso, 146 energía disipada en. 154 « s e m a s torsionales con. 156 torsional, 156 vibración libre con, 146-147 Am perím etro d e bobina móvil. 314 aguja. 314 am ortiguador torsional, 314 bobina. 314 escala,314 im án perm anente. 314 núcleo. 314 Am plitud. 58 de rem olineo d e una flecha con un rotor desbalanceado. 664 Análisis d e esab ilid a d , 664 de Fourier num érico, 70 d e la respuesta escalonada. 385 de vibración d e un siS em a d e resorte-m asa. 552 m odal, m étodo. 554 A nálisis arm ónico, 6 1 ,1 0 7 A nálisis d e vibración fo rza d a 4 5 5 ,4 9 8 A nálisis d e vibración lib re d e u n sistem a no am o rtig u ad o , 4 3 6 .4 8 6 Á ngulo d e fase. 59 Aperiódico. 151 A proxim ación lineal por partes. 399 Arco. 4 A risógenes, 5 A riSótelcs. 5 Armonía universal, M ario Marsenne. 6 Asintóticamente estable, sistema. 185 A utoexcitación y análisis d e e sta b ilid a d . 276, 32 5 .4 6 1 .5 0 4 .5 6 6 Automóvil en choque con barrera. 82 viajando por cam ino escabroso. 82 A vión. 414 ala, 414


d e com bate, eje d e flexión, 4 1 6 raíz d el ala. 414 B B alanceo d e m áquinas ro ta to ria s , 651,723 B alanceo d e m otores recip ro can tes, 665. 669. 726 Balanceo e n dos planos. 6 5 4 .6 5 6 de un rotor. 654 cojinete A . 654 cojinete B . 654 plano L .654 plano R . 654 rotor rígido. 654 de un rotor d e turbina. 657 piano derecho, 656 piano izquierdo. 656 Balanceo en un plano. 651 d e un disco. 6 5 1 par medio d e un analizador. 652 cojinete. 652 d e vibración. 652 detector de vibración. 652 estroboscopio. 652 rreto r. 652 rueda d e am olar (rotor), 652 Barra escalonada. 89 rígida, estabilidad de. 1 8 8 Base clástica, m áquina sobre. 264 Bernoulli. Daniel. 7 .4 3 0 Bom ba certrífuga. 500 cim entación. 500 resortes aisladores. 500 suelo. 500 Brazo, m ovimiento del, 224 antebrazo. 224 bíceps contraído. 224 pivote. 224 tríceps contraído. 224 B reve h isto ria del estu d io d e la v ib ració n . 4 Brook Taylor. 7 Bucles. 7 C Cálculo de frecuencias naturales interm edias. 619 fundamental de la frecuencia natural fundamental. 609 num érico d e coeficientes. 68 Cám ara d e video. 316 to rra tubular. 316 Cantidad de amortiguamiento específica. 156

fcid ice Canturreo de líneas d e transm isión. 279 Carga explosiva e n la estructura d e un edificio. 358.359 jxilsante rectangular. 355 Carretera desigual, vehículo que viaja por. 2 6 3 .2 6 4 C arro de m ina, 202 cable d e acero. 2 0 2 polea, 2 0 2 C entro d e percusión. 138.139 Ciclo. 58 G gücftal corredizo. 408 Cilindro, flu jo d e un fluido. 280 C lasifica ció n d e la v ib r a d ó n . 16 Clebsh, R.F.A. 8 Cociente d e Rayleigh. propiedades del. 607 de pérdida. 156 de restitución. 157 Coeficientes cálculo num érico. 68 d e inercia, 516 inversos. 516 de influencia d e flexibilidad. 5 1 6 ,5 2 1 ,5 2 4 determ inadón, 523 de influencia de inercia, 5 2 5 ,5 2 6 de in flu e n d a d e rigidez. 517,518 determ inadón. 519 C o e fld e n t tt d e I n flu e n d a . 5 1 6 . 586 C ojinete, holgura, 44 C om binadón de am ortiguadores. 49 .38 trasladonales conectadas por una b arra rígida. 38 trasladonales y rotacionales acopladas. 38 d e resortes. 2 8 a i paralelo. 2 8 en serie. 29 Com presor d e aire. 3 2 1 m anguera flexible, 321 pistón. 321 a>portes d e montaje, 321

deform adón (desplazamiento!, 43 energía consumida. 43 energía reribida. 43 esfuerzo. 43 Control activo d e un sistem a con desbalance rotatorio. 700 de v ibradón activo. 698 de v ib ra d ó n d e un sistem a electrónico de precisión. 699 C o n tro l d e la v ib r a d ó n , 644

C onvcrgenda a la frecuenda natural m ás alta. 619 Conversión d e núm ero a d ed b el, 294 Coordenadas generalizadas. 434,449 principales. 435 de un sistem a d e resorte-masa. 452 C o o rd en a d a s g en eralizad as v fu erzas (generalizadas, 529. 588

COulomb. C harles Augustin de, 8 . 173, 240 amortiguadores, 174 amortiguamiento. 174 173 dispositivo d e . 8 ley d e frie d ó n seca, 173 Cuerda pulsada. 13 COerpo hum ano, sensibilidad a la frecuenda de vib rad ó n . 648 brazo. 648 cabeza. 648 espina. 648 nuno. 648 im sa pélvica y g lú te a 648 pnred del pecho. 648 piernas, 648 COerpo rígido. 119 Curva de fuerza-deflexión. 183 Chasis electrónico. 203 China, 6 Chladni. E J \F .,8 Chorro d e arena, limpieza por. 4 1 1 Chum acera, constante d e amortiguamiento de u n a 45

C ó n c e p to s b á sic o s d e la v ib r a c ió n , 1 3 .8 1

D

C o ndidones in id ales para e x d ta r un modo especifico. 442 C onscrvadón d e la energía, prindpio 115. 120 Constante d e am ortiguamiento crítico. 147 en una chum acera. 45 Constante de resorte. 25 asociada con la fuerza d e restauración producida p o r la gravedad. 36 d e elem entos elásticos. 25 d e una varilla. 25 d e una viga en voladizo. 26.27 lincalizado equivalente. 25 torsional de una flecha de hélice. 3 1 v u riad ó n d e la. 170 Constante d e tiem po ( r). 141 C onstru cd ó n d e am ortiguam ientos viscosos. 43 bucle d e histéresis para materiales viscosos, 43 área. 43

D’Alem bert Jean,7 prindpio d e , 120 ftin icl Bemoulli. 7 .4 3 0 D e U v a l, C .G P , 9 Dccibcl, 69 D x rcm en to logarítm ico, 152 con am ortiguamiento. 153 Deflectores helicoidales. 2 8 1. 282 Deflexión estátic a 121. 244 f k lta K ronccker. 534 D erivadón d e fundones de transferencia de f re c u e n d a 472 Descarrilamiento de una carretilla d e una grúa durante un a s m o , 368 Descom posición d e Choleski. 627 de una m atriz sim étrica . 6 2 8 Descripción d e una respuesta tran sito ria 386 sobrepaso m áxim o, 388 tiempo d e asentam iento. 389 tiempo d e dem ora. 389


745

tiem po d e subida, 387 tiem po pico. 386 Desplazamientos virtuales. 115. 120 principio de. 1 2 0 D eterm inación d e frecu en cias y m od os n a tu r a les, 602

Diagramas de Bode, 294 d e un sistem a am ortiguado d e un solo grado. 295 D iálogos w b re d in nuevas ciencias, G alileo, 6 D iez libros sobre arquitectura. V itruvio. 5 Diseflo bajo un am biente de choque. 368 carga d e choque, 368 espectro d e respuesta d e choque. 368 choque d e veloddad. 368 Diseflo de un aislador n o am ortiguado. 680 cfid cn cia d e aislam iento. 6 8 1 a m p lific a d ó a 6 8 2 deflexión estátic a 6 8 2 frecuencia d e c x d ia d ó n . 682 porcentaje d e red u ed ó n . 682 resonancia con frecuencia natural. 6 8 2 g ráfica de diseflo para aislamiento. 6 8 1 Diseflo d e una repisa para cargas d e choque. 369 pulso scmiscnoidal. 369 tarjeta d e circuito im preso, 369 Dispositivo d e Coulom b para pruebas d e vibradón torsional. 8 Dominio d el tiem po y la frecuencia. representaciones en el. 65 rXinkcrley. fórmula de. 604 grúa elevada, 636 viga sim plem ente apoyada. 637 E

Ecuadón auxiliar (característica). 123.437 d e m ovim iento (regente). 115. 136 basada en la segunda ley de Newton. 118 raíces d e la. 1 6 2 Ecuación de m ovim iento. 242 Ecuaciones d e Lagrange. 508 diferendales acopladas. 433 rectoras derivadón. 19 so lu d ó n de, 19 E cuadones d e movim iento. 659.672 d e un sistem a d e resorte-m asa. 5 1 2 d e un sistem a de tres grados de libertad. 538 d e un sistem a torsional, 531,532 (rem olineo), 659 E cuadones d e m ovim iento de sistemas no am ortiguados en form a m atricial. 534 E cuadones d e m ovim iento d e un sistema dinám ico, 563 ecuaciones d e lag ran g e, 563 fun d ó n de disipadón d e R ay ld g h . 563 E cu aciones d e m ovim iento p a ra v ib r a d ó n forzada. 4 3 5 .4 8 4

746

ín d ic e

Eigen. valores, 123

Trazo d e una respuesta d e vibración libre. 476 Uso de un program a para resolver con el m étodo d e Jacobi un problem a de valores rig en . 630 Variaciones d e la frecuencia natural y el periodo con deflexión estática, 189

E jem p lo s resu eltos u tiliz a n d o M A T I.A R , 189. 2 9 7 , 3 2 8 ,4 0 0 .4 2 6 .4 7 5 , 506, 5 6 8 .5 9 9 .6 2 9 ,6 4 3 .7 1 2

Amplitudes d e vibración d e las masas d e un absorbedor d e vibración. 7 1 3 A nálisis de F ouricr num érico. 74 Balanceo en dos planos. 716 Frecuencias resonantes d e un absorbedor d e vibración, 714 Program a para análisis modal d e sistemas d e varios grados d e libertad. 574 Programa para determ inar las raíces de una ecuación cuártica. 481 Programa pora generar el polinom io característico, 574 Programa para resolver un problem a de valor eigen general. 6 3 1 Program a para una solución d e valor eigen aplicando el m étodo d e iteración nutricia!, 630 Raíces de una ecuación cuártica. 475 Raíces de una ecuación polinom ial. 572 Representación g ráfica de la serie de R jurier, 72 Representación g ráfica de pulsaciones. 73 Respuesta a un im pulso d e unu estructura. 401 Respuesta bajo una fuerza periódica. 402 Respuesta bajo una función forzada arbitraria, 403 R espuesta d e estado estable d e un sistema viscosamente am ortiguado. 301 R espuesta d e un sistema som etido a excitación de base. 299 Respuesta d e vibración forzada d e un sistema am ortiguado. 572 R espuesta d e vibración forzada d e un sistem a d e varios grados d e libertad. 570 Respuesta d e vibración libre d e un sistema con amortiguamiento d e C oulom b. 192 Respuesta d e vibración libre d e un sistema d e resorte-masa. 190 Respuesta d e vibración libre d e un sistema de varios grados d e libertad, 569 R espuesta d e vibración libre d e un sistema viscosamente am ortiguado. 194 R espuesta en función del tiem po de los carros d el ferrocarril, 477 Respuesta forzada d e un sistema con am ortiguamiento d e C oulom b. 298 Respuesta forzada d e un sistema d e dos grados de libertad, 479 Respuesta total d e un sistema no amortiguado, 297 R espuesta total d e un sistem a som etido a excitación de la base. 400 Solución de un problem a d e valor eigen, 568,629 Solución del problem a d e valor eigen. 475 T razo de la respuesta d e frecuencia d e un sistem a d e d o s grados de libertad. 478 T razo d e la transm isibilidad. 712

E lem en to s d e a m o r tig u a m ie n to , 4 2 .9 8

Elementos d e arm onio. A ristógencs. 5 E lem en to s d e m a sa o Inercia, 3 7 ,9 5 E lem en to s d e resorte, 2 1 , 83

Energía cinética. 13 de deform ación. 527 potencial. 13 potencial clástica, 527 Engrane im pulsado. 407 Ensamble d e balancín. 96 Enterprise, transbordador especial. 12 Equilibrio estático, 122 posición de, 1 2 1 Espectro d e diserto. 366 Espectro de frecuencia (diagram a espectral). 64 E sp ectro d e resp u esta. 3 5 9 ,4 2 0

d e un pulso senoidal, 359 p ira excitación de la base, 361 Espectros d e respuesta a sismos, 365,366 arelcrógrafos d e m ovim iento fuerte. 365 x elerogrom a. 365 velocidad espectral. 365 desplazam iento espectral. 365 periodo natural, 365 Estabilidad 185. 186 d e un sistema. 187 dinámica, análisis de, 276 tipos d e sisem os. 187 asintóticam ente e s a b le . 187 con inestabilidad d e divergente. 187 estable. 187 inestable (con inefabilidad de vibración). 187 E sta b ilid a d d e siste m a s, 1 8 5 ,2 3 6

Estable, sistem a, 185 E u d id e s. 5 Euler. Leonard, 7,644 Excavadora. 95 Excitación. 16 Expansión d e la serie d e Fouricr. 6 1 .6 8 en serie deT ay lor. 394 Expansiones d e medio rango. 67 F jip reslo n es d e en ergía p o ten cia l y cin ética en fo r m a m atricial. 527

F Factor de am plificación (o relación d e am pilud), 244, 252 d e calidad y ancho d e banda. 255 Q ( o factor d e calidad). 255 Fallas. 11 Fasor. núm ero com plejo. 2 9 1 Fenómeno d e batido. 2 4 7 .2 4 9 d e Gibbs. 62 Flecha


con un ro to r desbalanceado, amplitud de rem olineo, de, 664 d e hélice. 1 1 0 d e hélice compuesta. 94 escalonada, m om ento d e torsión. 90 Flechas engranadas, amortiguadores m ontados e n . 99 Fluctuaciones en presión d e gas. fuerzas desbalanceadas debido a. 665 Form as cuadráticas definitivas positivas. 529 F ó rm u la d e D u n k ertey. 6 0 4 ,6 3 6

R niricr. Jean Baptiste. 330 Frahm. 9 Frecuencia d e oscilación, 59 de vibración anw rtiguada, 149 fundamental de un sistem a d e tres grados d e libertad. 609 fundamental de una viga. 6 0 6 fundamental de vigas y flechas, 6 1 0 rotural. 59 Frecuencia fundam ental d e una flecha con rotores. 6 1 1 deflexión producida p o r e l peso de m , . 6 1 1 deflexión producida p o r e l peso d e m>. 6 1 2 deflexión producida p o r e l peso d r m y 612 Frecuencias d e un sistem a d e resorte-masa. 440 d e un sistem a torsional. 445.615 rotúrales d e la hélice d e un motor marino, 446 rotúrales d e un sistem a libre. 549 rotúrales d el sistema. 437 y modos d e un autom óvil. 453 Frecuencias naturales d e un sistem a d e tres grados de libertad. 538,620 primera frecuencia natural. 6 2 1 tegunda frecuencia natural. 6 2 1 tercera frecuencia natural, 624 Fresadora horizontal. 50 base, 50 codo, 50 cortadora. 50 cubrebrazo, 50 husillo. 50 « p o rte s d e m ontaje, 50 Fuerza. 332 de excitación no periódica. rrognitud. 347 ficticia (m om ento). 1 2 0 gradual. 332 gradual aplicada con dem ora. 354 (m omento) de inercia. 1 2 0 rampa. 332 robre una m áquina com pactadora. 353 transmitida. 2 6 1 , 2 6 2 Fuerzas desbalanceadas debido a fluctuaciones en la presión d e gas. 665 debido a inercia d e la s partes móviles. 665 aceleración del muflón del cigüeflal. 668 aceleración del pistón, 667 fuerzas d e inercia. 668 Fondón d e respuesta d e im pulso. 349 de transferencia, m étodo. 285, 286

f o d ic e

de transferencia d e frecuencia a partir d e la función de transferencia general. 293 forzada. 331.356 lam pa, respuesta d e un sistema d e primer orden. 373 Funciones am ó n icas, operaciones con. 55 per c im par. 65-66 d e fr e cu en cia . 2 9 1 , 327 F u n d am en to s d e v ib r a c ió n , 2

John W illiam Strutt, lo r d Rayleigh, 602 Joseph Louis Lagrange. 508

k equivalente d e un polipasto, 32 de un sistem a d e suspensión, 30 de una barra rígida conectada por resortes. 35 d e una grúa, 33 Kirchhoff. G .R.. 8

G G alilei, G alilco, 2 G alope de un alam bre. 279 cubierta d e hielo, 2 8 0 tuerza del viento. 2 8 0 velocidad del viento. 2 8 0 velocidad d el viento resultante, 2 8 0 velocidad v ertical del viento. 280 G ato d e tijera. 206 collar. 2 0 6 eslabón. 2 0 6 flecha, 2 0 6 G crm ain,S ophie,8 Gobernador d e H artn d l. 209 bo la. 209 resorte. 209 G rados de libertad, 14 cantidad, 14 d e d o s grados de libertad. 1 4 d e un grado d e libertad, 14 sistem as, 14 H

Hélice de barco. 314 ^ ju a (am ortiguam iento), 314 flecha hueca escalonada, 314 perturbación vibratoria d el m otor, 314 Histéresis. am ortiguam iento, 180 Holzer. m étodo. 613 Hooke. Robcrt. 7

1 Impedancia m ecánica. 455 Im p o rta n cia d e l estu d io d é la v ib r a c ió n . 10

Inercia d e las partes m óviles, desbalancc© de fuerzas debido a . 665 Inestabilidad de vibración, 1 8 6 dinámica, 279 divergente, 1 8 6 Inestable, sistem a. 185 Integral d e c o n v o lu d ó n . 3 4 7 ,4 1 1

deD u h am el.3 5 2 Inteicambiador de calor. % Introducción a la arm onía. Euclidcs, 5 Introducción al a m o rtig u a m ien to , 671

Isaac Newton, 7 Iteración matricial. m étodo de. 617

Jacobi, m étodo de, 624 Jcan Baptiste Rourier. 330

Lagrange. Joseph Louis. 7. 508 Lenteja. 13 Leonard Euler, 644 Leva y seguidor, sistema, 6 8 ,6 9 lim p ieza por chorro d e arena. 4 1 1 boquilla. 411 m aterial abrasivo. 4 1 1 pieza fundida. 4 11 reporte flexible, 4 1 1 Linea d e conversión d e núm ero a decibel. 294 Linealización d e un am ortiguador no lineal. 49 Lisajous. figura d e . 104 L itera tu ra a cerca d e la v ib ración . 7 5

lu g a r geom étrico de las raíces, 173 curva. 173 gráfica. 172 método. 167 Lyapunov. 9 M M anivela corrediza, m ecanism o. 98 Manóm etro d e m otor diesel. 142 d e tubo en U . 88, 142 Máquina de perforación radial. 5 11 base. 511 brazo. 511 cabezal. 511 columna, 511 Máquina de prueba d e fatiga. 310 M arcas d e fase. 652 uso de. 653 dirección del desbalancc original. 653 m arca d e referencia. 653 peso d e prueba, 653 rueda d e am olar (rotor). 653 M irgi nal m ente estable, sistema. 185 Marsennc. M ario. 6 M irtillo de f o r j a 18,157,558 frecuencias naturales. 559 inpacto provocado por un. 559 modos, 559 Masa de la colum na, efecto de. 145 equivalente. 146 h terio r. diagram a de cuerpo libre. 5 1 2 reportada por un resorte, inestabilidad d e una, 277 variación d e l a 171 M asa equivalente d e un sistem a 40 sistema pora encontrar una. 40 eslabón rígido 1 .4 0 eslabón rígido 2 ,4 0


747

no deslizam iento. 40 polca, 40 desbalanceadas rotatorias. 265 rotacionales. 96.97 Matriz d e am ortiguamiento, 561 d e rigidez de un m arco. 520 d e rigidez norm alizada 593 dinám ica. 538 modal. 543 Matriz d e flexibilidad de una v ig a 525 deflexiones de una v ig a 525 Matriz definida po sitiv a 529 m atriz de m asa. 529 M écaiique analvtique, Lagrange. 508 Mecanism o de retroceso. 161 Mecanism o seguidor d e le v a 41 balancín. 41 cigUefial. 41 leva. 41 resorte d e v álvula 41 rodillo seguidor. 41 válvula 41 varilla de em puje. 41 Medio rango, expansiones d a 67 Membrana flexible rectangular, problem a d a I M étod o d e llo lz e r . 6 1 3 .6 3 9 M étod o d e Iteración m atricial. 617.610 M étod o d e J a c o b i, 6 2 4 . 641 M étod o d e la en ergia d e R ayleigh , 141.225 M étod o d e la fu n d ó n d e tr a n s fe r e n c ia 2 8 5 . 326.462.505 M étod o d e R ayleigh , 606, 115.142.637

Métodos de Rungc-Kutta. 393.394 Método del elem ento finito. 5 1 1 M étod os n u m éricos. 3 9 2 . 424 M n d lin . R.D„ 9 M odelado d e sistem a s c o n tin u o s com o sistem a s d e varios grad os d e lib e r ta d , 510

Modelado m atem ático. 17 M odo d e cero, o d e cuerpo rígido. 548 M ódulo de Y oung. 2 6 .1 3 0 . 131 M omento (cantidad de m ovim iento), 157 M omento d e inercia d e m a s a 232 cojinete, 232 cuerpo d e revolución, 232 resorte torsional, 232 M onocordio. 5 M otor d e cuatro cilindros. 313 amortiguadores. 313 biela. 313 bloque del m otor. 313 chasis, 313 cigtlcflal. 313 contrapesos. 313 pistón. 313 M otor reciprocante. 666 balanceo. 669 fuerzas, 666 sobre cim entación. 82 M ovim iento a rm ón ico. 4 2 . 103,124 sim ple, 52 M ovim iento fo r r a d o c o n o tr o s tip os d e am ortig u a m ien to . 2 7 5 .3 2 4

748

ín d ic e

Movim iento relativo, 262 Movim ientos arm ónicos, suma de, 57 N Nanga. 4 Newton, S ir Isaac. 7 .1 1 4 segunda ley del m ovim iento. 119.139 tercera ley del movimiento. 21.378 N o d o (s).7 ,443 N o m ó g r a fo d e v l i ración y c rite rio s d e vib ra ció n . 6 4 6 , 722

Nom ógrafo y criterios de vibración. 647 aceleración, 647 dallo estructural. 647 dad o s m enores, 647 destructivo, 647 en m uros. 647 grietas. 647 sin daflo. 647 umbral. 647 envolvente. 647 frecuencia. 647 sensibilidad de la m áquina. 647 bueno. 647 no perm isible. 647 i b satisfactorio. 647 sensibilidad hum ana, 647 com odidad, 647 umbral d e percepción. 647 velocidad. 647

O Octava, 60 Operaciones con funciones arm ónicas, 55 Ortogonalidad, 542 de lo s m odos norm ales, 542 Ortonormalización de lo s m odos. 559 de vectores eigen. 544 Oscilación, 13 Oscilador arm ónico (sia e m a resorte-masa), 124

P ar c im par, funciones, 65-66 fcirtc transitoria, 243 Partes elem entales de sistem as vibratorios. 13 Péndulo compuesto. 137 frecuencia natural d e péndulo compuesto, 137 posición d e referencia, péndulo sim ple. 13 sim ple. 6 .1 3 torsional. 136 Periodo d e oscilación. 58 Hstón-cflindro, am ortiguam iento hidráulico. 47 Pitágoras. 4 Placas paralelas con un fluido viscoso entre ellas. 44 área d e la placa. 44 fluido viscoso, 44 f u e r a d e amortiguamiento. 44 Poincaré. 9 Poisson. Sim eón. 8 Poleas frecuencia natural. 133 sistema d e , 134

Posición de equilibrio estático. 121 Primera frecuencia natural (o fundam ental). 537 Principio d e D’Alcm bert. 120 Principios d e matemáticas, Isaac N ew ton. 114 Principios molemdlicos de filo so fía natural, Isaac Newton, 7 P rob lem a d e va lo r eig en , 5 3 5 . 589 P rob lem a d e v a lo r eigen e stá n d a r , 626.

538,642 P ro ced im ien to d e a n álisis d é la v ib r a c ió n . 1 7 , 81

Propiedades del cociente de Rayleigh, 607 P royectos d e d ise ñ o , 11 1 .2 3 7 ,3 2 9 ,4 2 8 ,5 0 7 . 6 01,643,735 Aislador pora m áquina herramienta. 735 Cabeza d e corte. 429 Colum na de acero circular hueca. 328,329 Compactadora vibratoria. 111 C órte d e torno. 429 Qicharón alim entador v ibratorio, 113 Frecuencia fundam ental de vibración del sistem a, 643 Fresadora, 429 Grúa viajera elevada. 643 Intercam biado tubular. 113 Máquina herramienta, 601 base. 6 0 1 bosc y m ontaje. 6 0 1 cabezal. 6 0 1 cabezal d e la m áquina herramienta. 6 0 1 fuerza de corte. 6 0 1 montaje. 6 0 1 m uro, 6 0 1 p s o .6 0 1 M esa vibratoria. 111 M ódulo d e exploración lunar. 238 fórque d e diversiones, 238 Plum a telescópica y canastilla, tirante. 239 Sismó m etro de jau la y barra rígida. 428 Sistema vibratorio regulador d e peso. 111 Prueba d e im pacto d e Charly. 233 borde d e golpeo. 234 cojinete d e péndulo, 234 flecha,234 localización de la muestra. 234 muestra d e prueba. 234 péndulo. 234 yunque. 234 Pseudoespectro. 362 Pseudovelocidad. 362 Pulsaciones, 59 Punto d e escape, 169 Puntos d e mediana potencio, 255 R

Raíces características. 163, 167 conjugados com plejos y . 170 d e la ecuación característica. 1 6 2 lugar geom étrico. 164 Rayleigh. Lord Barón, 9.602 m étodo de. 9 .6 0 6 m étodo d e la energía de. 14 1 principio de. 6 0 6 Reducción


d e la vibración del asiento d e un helicóptero, 649 d e la vibración inducida por flujo, 281 R ed u cción d e vtoración e n la fu en te , 6 5 0

Regla d e Cram cr, 463.468 Relación d e am ortiguamiento modal, 562 R e m o lin e o d e flech a s ro ta to ria s, 659. 726 Representación par medio d e núm eros com plejos del movimiento arm ónico, 53 vectorial del m ovim iento arm ónico. 52 R ep resen tación gráfica d e raíces c ara c te r ístic a s y solu cion es c o rresp o n d ien tes, 1 6 2 , 232

Representaciones en el dom inio d el tiempo y la frecuencia. 65 Respuesta d e catado estable d e un sistema. 474 R eson an cia. 16, 246 Resorte constante de, 2 1 deflexión. 22 deform ación, 2 1 duro. 2 2 no lineal. 2 2 rigidez de. 2 1 suave, 22 tasa de. 2 1 y am ortiguador en paralelo. 155 Resorte-masa, sistema. 118 Resortes lineales. 22 Resortes no lineales. 22 desplazam iento, 2 2 fuerza d e resorte. 2 2 Hnealización. 23 Respuesta a excitación d e la base. 352 a un im pacto perfectam ente clástico. 377 a un im pulso. 349 a una condición forzada general. 351 a una fuerza gradual, 379 numéricos, 398 bajo un im pulso obtenida aplicando el m ftodo d e la transform ada de la p la c e , 471 d e estado estable d e un sistem a d e resortem asa. 456 d e estado estable d e un sistema forzado. 565 de frecuencia d e amplitud o m agnitud. 257. 292 d e sistemas d e segundo orden. 374 d e un sistem a d e primer orden. 337.372 som etido a una f u e r a periódica, 334 d e un sistem a d e segundo orden, 339 som etido a una f u e r a periódica, 339 d e una estructura sometida a im pacto. 350 d e una estructura som etida a un doble impacto, 351 de una m áquina com pactadora, 381 de vibración forzada d e un m artillo d e forja. 558 de vibración libre d e un sistema am ortiguado, 467 de vibración lib re de un sistem a d e dos grados d e libertad. 443

f o d ic e

de vibración libre d e un sistem a no am ortiguado. 464 de vibración obtenida p or m edio d e un análisis m odal. 557 del sistema, 663 escalonada d e un sistem a subamortiguado. 379 valores final c inicial. 381 ocasionada p o r una carga pulsante. 355 total. 247. 248 bajo excitación arm ónica d e la base, 343 de un sistema. 254 R esp u esta a c o n d ic io n es fo r z a d a s irregu lares
diente roto. 407 engrane im pulsado. 407 engrane im pulsor. 407 flecha im pulsada, 407 Respuesta de im pulso unitario d e un sistema (fc prim er orden. 372 d e segundo orden, 374 Respuesta de la estructura d e un edificio a un sismo. 367 aceleración espectral. 367 desplazam iento espectral. 367 velocidad espectral. 367 R esp u esta d e sistem a s d e p rim er o rd en y (m ista n te d e tie m p o . 1 3 9 . 224 R esp u esta d e u n siste m a am ortigu ado so m etid o a d e sb a la n c e rotatorio, 265, 321 R esp u esta d e u n siste m a am ortigu ado so m etid o a F » ) = Fge^^.257 R esp u esta d e u n siste m a am ortigu ado so m etid o a fu e r z a a rm ó n ica . 2 5 0 , 307,

313 R esp u esta d e u n siste m a am ortigu ado so m etid o al m o v im ien to a r m ó n ic o d e la b a se . 2 5 9 . 319 R esp u esta d e u n siste m a n o a m o rtig u a d o « m e t id o a u n a fu er z a a rm ó n ica , 243

Respuestas transitoria y d e estado estable. 3 7 1 teorem a del valor final. 3 7 1 valor estable d e la respuesta. 3 7 1 valor inicial d e la respuesta. 3 7 1 Retroceso, m ecanism o de, 161 Rigidez com pleja. 180 Rotor d e turbina. 316 S

Sauvcur, Joscph. 7 Segm entos. 169 Segunda ley del m ovim iento d e Ncwton. 431 Seflal d e tránsito, poste cflíndrico hueco. 219 Serie de F ourier complejo. 63 Simeón Poisson. 8 Sir Isaac Newton. 114 Sism o. 365, 367.368 Sismógrafo. 6 Sistema amortiguado. 152

asintóticamente estable, 185 de aislam iento d e vibración con cim iento flexible. 692

749

sem kiefinidos, 459 torsionales con am ortiguam iento de Cbulom b. 177 S istem a s d e d o s g r a d o s d e lib er ta d . 430 S istem a s d e v a r io s g r a d o s d e lib er ta d . 508 S istem a s n o restrin gid os, 547,593 S iste m a s sem id efin id o s, 458,501

Sistemas torsionales. 613 con am bos extrem os libres. 615 sem idefinidos, 6 1 3 ,6 1 4 Sobrepaso máximo, 388 Solución d e la ecuación característica (pdinom ial). 537 ecuación característica (o d e frecuencia). 538 matriz dinám ica. 538 problema d e valor eigen estándar. 538 Solución d e valor eigen aplicando el m étodo de Jacobi. 625 estándar, 6 2 6 S olu ción d e l p roblem a d e v a lo r eig en , 537,

589 S olu cion es o b ten id a s a p lic a n d o la tran sform ad a d e L a p la c e . 4 6 4 . 505 S olu cion es o b ten id as u ll iz a n d o fruiciones d e tran sferen cia d e fr e cu en cia , 472,506 S olu cion es o b ten id as u lliz a n d o tra n sfo rm a d a s d e L ap lace, 288, 326

Sophic Germ ain. 8 Soporte, constantes d e resorte y amortiguamiento. 49 S ockcbridgc, am ortiguador d e , 281 am ortiguador d e vibración, 281 línea d e transm isión, 281 m asa anexa, 28 1 punto de sujeción. 281 tirante, 281 tram o d e cable d e acero trenzado. 2 8 1 Stodola. Aurel. 9 Superficie aerodinámica, inestabilidad de, 282 T

Tacom a Narrows. puente, 11 T arjeta de circuito im presa ( T O ). 420,421 Taylor. Brook. 7 T eorem a d e e x p a n sió n . 547

Teorema del valor final. 371 T eoría d el sonido. 9 T ercera ley del m ovim iento de Ncwton. 21.3 7 8 The T heory o f Sim ple M achines! Coulom b). 240 Theory o f Sound. L ord Rayleigh, 602 Tiempo d e asentamiento, 389 d e dem ora. 389 d e subida, 387 pico. 386 Timoshenko. Stcphcn. 9 Torno. 4 3 2 .4 5 0 bancada. 4 3 2 .4 5 0 cabezal fijo. 4 3 2 .4 5 0 cabezal m óvil. 432.450 punta fija, 4 3 2 ,4 5 0 punta giratoria. 4 3 2 ,4 5 0 Torre de antena d e TV . 212 Tractor y arado. 83 Transbordador espacial Enterprise. 12

750

ín d ic e

T ran sform a d a d e la p l a c e , 3 7 1 ,

37 4 ,3 7 5 ,4 2 2 Transform ada inversa d e lap lace. 37 4 .4 6 6 .4 6 8 Transmisibilidad d e fuerza. 262 del desplazam iento. 260 Traslación d e cuerpo rígido. 548 Tren de aterrizaje .317 compartimiento. 317 masa del avión. 317 rrodelado, 317 irodelo sim plificado, 585 r a s a de la llanta. 585 r a s a del avión, 585 pista d e aterrizaje, 585 rigidez d e la llanta, 585 rigidez del tren d e aterrizaje. 585 Trípode. 86 Turbina. 502 de viento. 309 engrane I. 502 engrane 2 .5 0 2 flecha 1 .5 0 2 flecha 2. 502 generador eléctrico, 502 hidráulica Francis. 268

U s o d e la seg u n d a le y d e N e w to n para derivur e cu a cio n es de m o v im ien to , 511 U s o d e la s e cu a cio n es d e I a g r a n g e para deriv a r e c u a c io n e s d e m ovim iento, 5 3 8 ,5 8 1 ,5 8 7 V

Valor estable d e la respuesta. 371 inicial d e la resp u esta 371 Valores rigen (característicos), del problem a. 123 rigen repetidos. 545 m odales, d el sistem a 438 Variación de la masa. 171

V ariación lib r e c o n a m o r tig u a m ie n to de C o u lo m b , 1 7 3 , 233 V ariación lib re c o n am ortigu am ien to h isterético , 179, 234 V a ria cio n es d e p arám etros y rep resen tacion es d e l lu g a r g e o m é tr ic o d e la s r a íc e s . 1 6 4 , 232

Vector X. p artes real e im aginaria. 53 Vectores ortogonales. 542. 543 Vehículo en carretera desigual. 263.264 Vehículo m ilitar, rebote y cabeceo. 494 amortiguadores. 494 m asa am ortiguada (carrocería del vehículo). 494 m asa no am ortiguada (tren rodante). 494 resortes de suspensión. 494 Velocidad angular, variación d e la, 141 Velocidades críticas. 661 Ventilador centrífugo. 109 propulsor. 109 Vibración aleatoria, 1 6 armónica vertical, 308 autoexcitada. 1 8 6 breve historia. 4 clasificación. 1 6 conceptos básicos. 13 determinística. 1 6 forzada. 1 6 importancia del estudio d e la. 1 0 libre. 1 6 lineal. 1 6 literatura. 75 m odo norm al. 433 m odo principal, 433 no am ortiguada. 16 n o lineal. 1 6 periódica de estado estable d e una válvula hidráulica. 3 4 5 .3 4 6 de una válvula hidráulica. 340-342 procedimiento de análisis d e la. 17 derivación d e la s ecuaciones rectoras. 19


interpretación de los resultados, 19 rrodelado m atem ático, 17 solución d e las ecuaciones rectoras. 19 torsional, 135 dispositivo de Coulom b, 8 V ibración a rm ó n ica m en te e x c ita d a , 240 V ibración e n co n d icio n es fo r z a d a s, 3 3 0 V ibración fo r z a d a c o n am ortigu am ien to d e C ou lo m b . 269, 323 V ibración fo r z a d a c o n am ortigu am ien to d e h istéresis, 273, 324 V ibración fo r z a d a d e sistem a s no am ortigu ad os m ed ian te a n álisis m o d a l. 5 5 4 , 596 V ibración forzad a d e sistem a s viscosam en te a m o rtig u a d o s 5 6 1 ,5 9 7 V ibración lib re c o n am ortigu am ien to viscoso, 146, 226 V ibración lib re d e sistem as d e u n so lo grad o d e lib ertad . 114 V ibración lib re d e sistem as n o am ortigu ados, 5 5 1 ,5 9 4 V ibración lib re d e u n sistem a to r sio n a l n o am ortigu ad o. 1 3 5 ,2 1 8 V ibración Ubre d e u n sistem a tr a d a c io n a l n o a m o r tig u a d o , 118,201

Vibraciones amortiguadas. 117 Vitruvio. Diez libros sobre arquitectura. 5 Voladizo som etido a un pulso d e aceleración. 369 Y

Y ugo escocés. 52 Yunque. 157.498 aislamiento, 498 Moque de cimentación (ccncreto), 498 marco. 498 r a z o (m artillo). 498 pieza de trabajo. 498 rigidez d e la base clásica. 498 Z

Zhang Ileng.6

T a b l a d e e q u iv a le n c ia s

Cantidad T rabajo o energía

Equivalencia en el sistema SI 1 pulg - Ib, = 0.11298484 J 1 p i e - lbf = 1 3 5 5 8 1 8 J 1 Btu = 1055.056 J 1 k W h ^ 3 6 X 10*1

Equivalencia en el sistema inglés 1 J = 8.850744 p u lg - Ib, 1 J = 0.737562 p i e - Ib, = 0.947817 X 10 3 Btu = 0.277778 kW h

R jtencia

1 pulg - lbf/s e g = 0.1129848 W 1 p ie - lb f/s e g = 1.355818 W = 0.0018182 hp 1 h p = 745.7 W

1 W = 8.850744 p u l g .- Ib ,/seg 1 W = 0.737562 p i e - Ib ,/seg = 1.34102 X 10~3 hp

M om ento d e área d e inercia o m om ento segundo d e área

1 p ul g 4 = 41.6231 X 10~8 m 4 1 p ie 4 = 86.3097 X 10 4 m4

1 m* = 240.251 X 104 pulg4 = 115.862 pie4

M om ento d e inercia d e masa

1 pulg - lbf - seg7 = 0.1129848 m 7 - kg

1 m 7 - kg = 8.850744 p u lg .- Ib, - seg7

C onstante d e resorte: transí atorio

1 N /m = 5.71017 X 1 0 '3 Ib,/p u lg .

torsional

1 lb ,/p u lg = 175.1268 N/m 1 lb f/p ie = 14.5939 N /m 1 pulg - Ib f/rad = 0.1129848 m *N /rad

C onstante d e am ortiguam iento: translatorio torsional

1 Ib, - scg /p u lg = 175.1268 N • s/m 1 pulg - Ib, - seg/rad = 0.1129848 m - N • s /ra d

1 N - s / m = 5.71017 X 10"3 Ib, - scg/pulg 1 m • N • s/rad = 8.850744 Ib, — pulg - seg/rad

Á ngulos

1 rad = 57.295754 g ra d o s; 1 grados = 0.0174533 rad; 1 rpm = 0.0166667 rev/seg = 0.104720 rad/scg; 1 rad/scg = 9.54909 rpm

= 68.5221 x 10" 3 Ib ,/p ie 1 m - N / r a d = 8 8 5 0 7 4 4 pu lg -lb ¿ ra d = 0.737562 Ib, - pie/rad



i

Viga en voladizo con u n a carga en su extrem o libre

Viga sim plem ente apoyada con una carga a la mitad

R esortes en serie

MAMAMA MAMAMA

R esortes e n paralelo

MAMAMA R e c h a h u e c a som etida a torsión ( / = longitud. D = diám etro externo. d = diám etro interno)

A m ortiguadores viscosos equivalen les

M ovim iento relativo entre superficies paralelas (A = área de la placa m ás pequeña) Fluido, viscosidad n

A m ortiguador hidráulico (m ovim iento axial d e un pistón en un cilindro)

A m ortiguador torsional

Fricción seca (am ortiguam iento de C oulom b) {/N = fuerza d e fricción. u) = frecuencia. X = am plitud d e vibración)


VIBRACIONES MECÁNICAS Este libro presenta la teoría, los aspectos de cálculo y la aplicación de la vibración de le manera más sencilla posible, con especial énfasis en las técnicas de análisis por computadora. B texto ofrece amplias explicaciones de los fundamentos de la ingeniería de ubraciones en las que se recalca la importancia de la interpretación física para comprender los principios y conceptos; para ello utiliza numerosos ejemplos y problemas. Entre las características sobresalientes de esta edición destacan las siguientes: •

Más de 240 ejemplos ilustrativos pare complementar la mayoría de los temas.

•

Mas de 980 preguntas de repaso para que los estudiantes revisen y prueben su comprensión del texto. Estas preguntas son de diferentes tipos: de opción múltiple, con respuestas breves, de falso o verdadero, de correspondencia de descripciones y de completar espacios en blanco.

•

Un extenso conjunto de problemas con aplicaciones del material explicado en texto.

•

P ro b le m a s d e l tip o p ro y e c to d e dise rto (m á s d e 3 0 a lo la r g o del te xto ), m u c h o s c o n v a ría s s o lu c io n e s

•

E je m p lo s y p ro b le m a s q u e utilizan ta n to u n id a d e s del S is t e m a In te rn a c io n a l (S I) c o m o del s is te m a Inglés. E s to c o n el fin d e q u e el e s tu d ia n te s e fa m ilia ríc e c o n a m b o s s is te m a s .

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