) V 2 ( p a ra c u a lq u ie r c a n tid a d d e a m o r tig u a m ie n to f ) .t e s l a m is m a q u e se m u e s tr a p a r a en la fig u r a 3.1 l ( b ) .„) se v e m a rc a d a m e n te a f e c ta d a p o r e l a m o r tig u a m ie n to . P o r lo ta n to , s i la m á q u in a tie n e q u e fu n c io n a r c e r c a d e l a re s o n a n c ia , d e b e r á in tr o d u c ir s e a m o r tig u a m ie n to a p r o p ó s ito p a r a e v ita r a m p litu d e s p e lig ro s a s . 2 . A v e lo c id a d e s m u y a l t a s (a> g ra n d e ). M X /m e e s c a s i u n ita r ia , y e l e f e c to d e l a m o rtig u a m ie n to es in s ig n ific a n te .que aparece en la ecuación (3.89) se calcula utilizando la ecuación (3.52):) ] d i) d t =e n l a e c u a c ió n ( 3 .9 9 ) . s e h a c e q u e l a c u r v a d e l a e n e r g ía a lim e n ta d a e n la fig u ra 3 .2 3 c o in c id a c o n l a c u r v a d e l a e n e r g ía d is ip a d a , a s í q u e l a a m p litu d s e lim ita . P o r lo ta n to , se v e q u e l a fa se d e l m o v im ie n to « ^ lim ita la a m p litu d d e m o v im ie n to . L a re s p u e s ta p e r ió d ic a d e u n s is te m a d e r e s o r te - m a s a c o n a m o r tig u a m ie n to d e C o u lo m b s o m e tid o a e x c ita c ió n d e l a b a s e s e d a e n la s re fe re n c ia s [ 3 .1 0 . 3 .1 1 J.)t ie n e u n v a lo r d e ta n - 1( f i ) a o> = 0 e n e l c a s o d e a m o r tig u a m ie n to d e h is té re s i s . e n ta n to tie n e u n v a lo r d e c e r o e n ot = 0 e n e l c a s o d e a m o rtig u a m ie n to v is c o s o . E s t o in d ic a q u e la re s p u e s ta n u n c a p u e d e e s t a r e n f a s e c o n l a f u n c ió n fo rz a d a e n e l c a s o d e a m o r tig u a m ie n to d e h is té re s is .s de la ecuación (E .1). obtenem os) in d ic a n l o s á n g u lo s d e f a s e , r e s p e c tiv a m e n te , d e las s in u s o id e s . E n l a e c u a c ió n (3 .1 2 0 ) se v e q u e l a f u n d ó n d e l s is te m a , A/,(a>)e*w " > ,e s tá d e f in id a p o r su m a g n itu d M MoM - M = - 9 0 ° in d e pendientem ente del valor d e puesto quet con los siguientes datos: m = I 200 kg. k = 4 x 105 N/m . i = 0 .5 . Y = 0.05 m . tu - 29.0887 rad/s. ^ = 0. i 0 = 0.1 m/s. S o lu c ió n : La ecuación d e m ovim iento, ecu ació n (3.64): n x + ex + kx; se determ inan procediendo c o m o en e l c a so de la solución d e la ecu ació n ( E 3 ) com o B Yj = T 7 =j -¿)
0)„7) = - t e o s)
)2a las fre c u e n c ia s n a tu ra le s del sistema.2/ + ¿ 2)2: * ,(/ = 0 ) = x ,(0 ).2 ¿2(0) = -t u ir iX p 's e n ^ i - «u2/2x P ) sentfc2. La soludón de la ecuación (5.17) se expresa como m l y tf>2sc o btiervn p o r la ecu ació n (5,18), aplicando r , " 1 y r2 m —1: 1/2,) - 5X}2' e o s (2.4495/ +, y «fo.son constantes q u e s e tienen q u e d eterm inar a p artir d e las c o n d icio n es iniciales. Utilizando las condiciones iniciales d a d as en las ecuaciones (E.6) y (E .7), obtenem os X| , J ) C O S l ¿ 22\),)F2o ~ /p e * ‘2 se considera com o 0 (w ) e n las ecuaciones ( E 16) y ( E 17). Ñola: Por la s ecu acio n es ( E 16) y ( E l 7 ) se v e q u e la respuesta de vibración libre (o solución) se com pone de un térm ino constante (traslación) y un térm ino arm ónico (vibración).s grados d e libertad reg id o por las ecuaciones de m ovim iento: = 0.
= —l.2468xj3)7‘[* ]X < í >,t), ( i = 1, 2 , . . . . n).¡ + 0.4450,42 eos 2 2 4 7 0 4 , eos
? ^ 1.34 V k J ¡ n .
= 2m y mj = 3mcorrespondiente a las condiciones iniciales>s o n la s fre c u e n c ia s n a tu r a le s y u , y « 2 s o n la s fo rm a s d e m o d o d e l sis te m a o b te n id a s a p artir t o la e c u a c ió n c a ra c te rístic a| -2 2 5 rad/s. cu,-6 6 0 rad/sy o>5 1100 rad/s. Si el fuselaje de un avión se somete a un movimiento vertical conocido x ¿ t \ derive las ecuacionesdesacopladas para determinar la respuesta dinámica del ala representándola como una com binación lineal de los primeros tres modos normales. Sugerencia: La ecuación de movimiento del ala del avión se escribe de modo parecida a la ecuación (3.64) como, es más preciso si el vector de prueba ( X ) seleccionado se parece mucho al modo natural verdadero X (l). F,l método de Rayleigh se compara con el método de Dunkerley u otros métodos en las referencias (7.7-7.91. - - i re n e l r o to r y la a m p litu d d e v ib ra c ió n A .* * p r o v o c a d a p o r e l d e s b a la n c e c o m b in a d o d e l r o to r y e l p e so d e p ru e b a ( v e a l a fig u r a 8 .5 ( c ) ) .'e s 0* s e g ú n l a e c u a c ió n ( 8 .4 0 ) p a ra v a lo re s p e q u e ñ o s d e tu. A m e d id a q u e io se in c re m e n ta , l a a m p litu d d e l a r e s p u e s ta a lc a n z a u n p ic o , p u e s to q u e l a r e s o n a n c ia o c u r re c o n k - m m 1 - 0 . A lr e d e d o r d e la r e s o n a n c ia , e n e s e n c ia e l té rm in o d e a m o r tig u a m ie n to l im ita la re s p u e s ta . E l re tra s o d e f a s e e s d e 9 0 ’ e n re s o n a n c ia . A m e d id a q u e l a v e lo c id a d io s e in c r e m e n ta m á s a l l á d e ion. e l té r m in o d e m a s a m 2^/* e n l a e c u a c ió n ( 8 .3 9 ) d o m in a la r e s p u e s ta . P u e s to q u e e s te té r m in o e s t á d e s f a s a d o 180" c o n r e s p e c to a la fu e rz a d c s b a la n c e a d a . l a fle c h a g i r a e n d ir e c c ió n o p u e s ta a la d e la f u e r z a d e s b a la n c e a d a , d e a h í q u e su re s p u e s ta e s ta rá lim ita d a .e n l a d ir e c c ió n h o riz o n ta l. R>r lo ta n to , l a s f u e rz a s tra n s m itid a s a l a s p a r te s e s ta c io n a ria s d e l m o to r s o n l a s s ig u ie n te s : 1 . L a f u e rz a F q u e a c tú a h a c ia a r rib a e n l a c a b e z a d e c ilin d ro s 2 . L a f u e r z a F t a n if>q u e a c tú a h a c ia l a d e r e c h a e n l a c a b e z a d e c ilin d ro s 3 . L a f u e r z a F q u c a c tú a h a c ia a b a jo e n e l r o d a m ie n to d e l c ig ü e ñ a l Q 4 . L a f u e r z a F t a n <¿>q u e a c tú a h a c ia l a iz q u ie rd a e n e l r o d a m ie n to d e l c ig ü e ñ a l. E stas fu e rz a s s e m u e s tra n e n l a fig u ra 8 .1 4 (c ) . A u n c u a n d o l a fu e rz a re s u lta n te to ta l e s c e r o , h a y un p a r d e to re ió n re s u lta n te M Q = F h tan ó q u e a c tú a e n e l c u e r p o d e l m o to r, d o n d e h s e p u e d e e n c o n tra r a p a rtir d e l a g e o m e tría d e l sis te m a :cr consiguiente, utilizam os la relación (v ea la ecuación (2.28)):d =sorbedor d e vibración dinám ico, es u n d is p o s itiv o m e c á n ic o q u e s e u tiliz a p a r a r e d u c ir o e li m in a r l a v i b r a c ió n in d e s e a b le . S e c o m p o n e d e o t r a m a s a y rig id e z, a n e x a d a s a la m a s a p r in c ip a l ( o rig in a l) q u e tie n e q u e s e r p r o te g id a c o n tr a v ib ra c ió n . P o r b t a n t o , l a m a s a p r in c ip a l y l a m a s a d e l a b s o rb e d o r a n e x a d a c o n s titu y e n u n s is te m a d e d o s g ra d o s cfc lib e rta d , d e a h í q u e e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n t e n g a d o s fre c u e n c ia s n a tu ra le s . E l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n s e u tiliz a c o m ú n m e n te e n m a q u in a ria q u e o p e ra a v e lo c id a d c o n s ta n te , p o r q u e e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n s e s in to n iz a a u n a fre c u e n c ia p a rtic u la r y e s e f e c tiv o s ó lo d e n tr o d e u n a b a n d a a n g o s ta d e fr e c u e n c ia s . A lg u n a s a p lic a c io n e s c o m u n e s d e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n c o m p r e n d e n tc r r a m ic n la s re c ip r o c a n te s c o m o rija d o ra s , s ie r ra s y c o m p a c ta d o r a s . a s í c o m o g r a n d e s m o to re s d e c o m b u s tió n in te rn a r e c ip ro c a n te s lo s c u a l e s fu n c io n a n a v e lo c id a d c o n s ta n te ( p a ra u n c o n s u m o m í n im o d e c o m b u s tib le ) . E n e s t o s s is te m a s , e l a b s o r b e d o r d e v ib ra c ió n a y u d a a b a la n c e a r la s fu e rz a s re c ip ro c a n te s . S in u n a b s o rb e d o r d e v ib r a c ió n , la s f u e rz a s re c ip r o c a n te s d e s b a la n c e a d a s p o d ría n h a c e r q u e e l d is p o s itiv o f u e ra im p o s ib le d e m a n te n e r o c o n tr o la r. L o s a b s o rb e d o r e s d e v ib ra c ió n ta m b ié n s e u tiliz a n e n lín e a s d e tra n s m is ió n d e a lto v o lta je . E n e s t e c a s o , lo s a b s o rb e d o r e s d e v i to-ación d in á m ic o s , e n l a f o r m a d e d is p o s itiv o s t ip o m a n c u e rn a ( f ig u r a 8 .3 2 ), s e s u s p e n d e n d e las lín e a s d e tra n s m is ió n p a r a m itig a r l o s e f e c to s d e f a tig a d e l a s v ib ra c io n e s in d u c id a s p o r e l v ie n to . U n a m á q u in a o s is te m a p u e d e e x p e r im e n ta r v ib ra c ió n e x c e s iv a s i e n e lla a c tú a u n a fu e rz a c u y a fre c u e n c ia d e e x c ita c ió n c a s i c o in c id a c o n u n a fre c u e n c ia n a tu ra l d e la m á q u in a o s is te m a . E n ta le s c a s o s , l a v ib ra c ió n d e la m á q u in a o s is te m a s e p u e d e r e d u c ir p o r m e d io d e u n neulralizador de via21.*2)
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