Vektorska algebra Linearna (ne)zavisnost vektora: 1. Ispitajte linearnu (ne)zavisnost (ne)zavisnost vektora:
k , !b = 2 ! k i ! k . i + ! j + ! i ! j + 3! i 5! j + 3! ! a = ! c = ! b . !c = 3! a + 2! Rješenje: Vektori su linearno zavisni. k kao linearnu kombinaciju vektora: i 2! j + 5! !a = ! 2. Napišite vektor vektor k , ! k i ! i + ! j + ! i + 2! j + 3! ! ! ! ! u = ! v = ! w = 2 i j + k . !a = 6! u + 3! v + 2! w . Rješenje: k , !b = 2! k , !c = ! k i + 2! j + ! i + ! j + ! j + 2! !a = ! 3. Zadani Zadani su vektori vektori ! ! b i !c linearno nezavisni, a ! Pokaµzite !a ; ! i d = 2 i + j . Pok zite da su vektori ! prikaµzite vektor d prikaµ zite kao njihovu linearnu kombinaciju. ! b + 3 !c : a + 2! Rješenje: d = 2! Okomiti (normalni) vektori i kut me†u vektorima:
! !
k ! 3!
4. Odredite vrijednost vrijednost parametra za koju su vektori u = i + j i v =2 i 5 j + 4 k okomiti.
! ! ! Rješenje: = 2. !
! ! ! ! ! ! ! ! !
5. Odredite vrijednost vrijednost parametra parametra za koju su vektori u + v i w okomiti k i w = 2 i + 3 j + 5 k . ako je zadano u = 6 i + j + k , v = 3 j
!
! ! ! !
Rješenje: = 1.
6. Dane su toµ to µcke cke A (5; 2; 1) ; B (1; 3; 4); C ( 2; 1; 3) i 3) i D (2; 6; 2): Odredite kut izme†u vektora AC i BD:
! ! !
! !
! !
!
7. Koji kut zatvaraju zatvaraju jediniµ jediniµcni cni vektori m i n ako su vektori p = m + 2 n i q = 5 m 4 n me†usobno okomiti. okomiti.
!
! !
Rješenje: =
3
.
!
!
! ! !
8. Dani su su vektori vektori a (2; 1; 1 ), b ( 1; 3; 0) i 0) i c (5 ; 1; 8). 8). Odredite tako da vektor a zatvara jednake kutove sa vektorima b i c .
!
Rješenje: = 41 . Primjena na dijagonale paralelograma:
1
!
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
p
p
w, b = 3 u + v w ; gdje su u , v i 9. Dani su vektori a = 2 u + v w jediniµ cni vektori koji zatvaraju kutove: ]( u ; v ) = 6 , ]( v ; w ) = 56 i ]( u ; w ) = 6 . Izraµcunajte duljine dijagonala paralelograma konstruiranog nad tim vektorima.
!
! !
Rješenje: d1 =
9 + 4 3, d 2 = 5.
!
10. Na†ite duljine i kut izme†u dijagonala paralelograma nad vektorima a = 2 m + n i b = m 2 n gdje su m i n jediniµcni vektori koji zatvaraju kut od 3 . p Rješenje: d1 = 7, d 2 = 13, cos(d1 ; d2 ) = 4 9191 .
! ! ! ! ! p p
! ! ! !
Skalarna projekcija (duljina ortogonalne projekcije) vektora:
! ! ! ! !
! ! !
11. Ako su a = (2 ; 0; 3) i b = ( 3; 5; 2) odredite skalarne prijekcije vektora a na b i vektora b na a : p p a = 619 38 ; proj! a b = 1213 13 . Rješenje: proj! b
!
! !
12. Izraµcunajte duljinu ortogonalne projekcije vektora a = 2 p 3 q na vektor b = p + q ako je zadano p = 2, q = 3 i kut izme†u vektora p i q je 3 . p a = 22 19 . Rješenje: proj!
! ! ! ! ! ! b
j!j
j!j
19
Vektorski umnoµ zak vektora: 13. Na†ite vektor okomit na ravninu odre†enu toµckama P (1; 3; 2),Q(4; 1; 1) i R (3; 0; 2).
! ! ! ! ! ! P R = 3 i 2 j k . !a (!b !c ) preko vektora !b i !c ako je !a (2; 0; 1), 14. Prikaµzite vektor !b (1; 1; 0) i !c (1; 1; 1). !a (!b !c ) = 3 !b 2!c . Rješenje: !a (1; 3; 2), !b (2; 3; 4) i !c (3; 12; 6) kompla15. Pokaµzite da su vektori Rješenje: n = P Q
narni i na†ite njihovu linearnu zavisnost.
! (!b !c ) = 0; !c = 5 !a + !b .
Rješenje: a
2
! ! (!b !c ) na vektor !b ako je !a (0; 1; 2),
16. Na†ite projekciju vektora d = a
!b (2; 1; 1) i !c (2; 1; 1). ! d = Rješenje: proj!
p
11
b
6
3
.
Primjena vektorskog umnoška na površinu i obujam: 17. Zadane su toµcke A( 2; 4; 3), B ( 3; 2; 1) i C (2; 1; 0). Na†ite površinu trokuta AB C . p P = 112 2 . Rješenje:
18. Na†i površinu i visinu BD trokuta ABC ako je A(1; 2; 8), B (0; 0; 4) i C (6; 2; 0). p Rješenje: P = 7 5, B D = 2 321 :
p
!
!a ; !b ) = ! !a i 3 !a + 2!b . nad vektorima 2 b p Rješenje: P = 100 2. j!j
19. Neka je a = 5, b = 5 i
](
4
. Na†ite površinu paralelograma
! ! !
! ! ! ! ! !
q 20. Zadani su vektori p , q i r . Ako je poznato da vektori a = 2 p i b = p + q razapinju kvadrat površine P 1 , a vektori c = 4 p + r i d = p r kvadrat površine P 2 , izraµ cunajte omjer površina tih dvaju kvadrata.
! ! ! ! ! ! Rješenje:
P 1 P 2
=
9 25
.
21. Ispitati da li toµcke A( 1; 0; 1); B (2; 1; 4); C ( 1; 1; 1) i D (6; 2; 10) pripadaju istoj ravnini. Ako ne pripadaju istoj ravnini izra µcunati:
(a) Površinu piramide ABCD. (b) Obujam piramide ABCD. (c) Visinu piramide ABCD iz to µcke D.
3
