VECTORES Y SU APLICACIÓN EN INGENIERIA CIVIL. El análisis vectorial pe!e est!iarse en "or#a $eo#%trica o anal&tica. Si el est est!i !io o es $eo# $eo#%t %tri rico co'' pri# pri#er ero o se !e(ne n se$#ento rectil&neo !iri$i!o co#o n se$#ento !e recta )e parte !es!e el pnto P * lle$a +asta el pnto , * se !enota por P,. Un vector se !enota se !enota por na sola letra en tipo ne$ro tal co#o A o si#ple#ente la letra con na -ec+a arria. En este traa/o !escriire#os 0)% es n vector1' 0c2#o se aplican1' entre otras cosas.
I.
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RES UME N GEN ERA L DE VEC TOR ES
3E4INIC IÓN 3E VECTOR ES.. ES 5AGNIT U3ES ESCALA RES.. RES 5AGNIT U3ES VECTOR
VECTORES 3 efnición Un vector es to!o se$#ento !e recta !iri$i!o en el espacio. Ca!a vector posee nas caracter&sticas )e son6 Origen
Ta#i%n !eno#ina!o Punto de aplicación. Es el pnto e7acto sore el )e act8a el vector. Módulo
Es la lon$it! o ta#a9o !el vector. Para +allarla es preciso conocer el ori$en * el e7tre#o !el vector' pes para saer cál es el #2!lo !el vector' !ee#os #e!ir !es!e s ori$en +asta s e7tre#o. Dirección
Viene !a!a por la orientaci2n en el espacio !e la recta )e lo contiene. Sentido
Se in!ica #e!iante na pnta !e -ec+a sita!a en el e7tre#o !el vector' in!ican!o +acia )% la!o !e la l&nea !e acci2n se !iri$e el vector. :a* )e tener #* en centa el siste#a !e re"erencia !e los vectores' )e estará "or#a!o por n ori$en * tres e/es perpen!iclares. Este siste#a !e re"erencia per#ite (/ar la posici2n !e n pnto cal)iera con e7actit!. El siste#a !e re"erencia )e sare#os' co#o nor#a $eneral' es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para po!er representar ca!a vector en este siste#a !e coor!ena!as cartesianas' +are#os so !e tres vectores unitarios. Estos vectores nitarios' son ni!i#ensionales' esto es' tienen #2!lo ;' son perpen!iclares entre s& * correspon!erán a ca!a no !e los e/es !el siste#a !e re"erencia. Vectores corresondientes ! c!d! e"e
MAGNITUDES Tios de #!gnitudes • •
Escalares Vectoriales
M!gnitudes Esc!l!res 3eno#ina#os Magnitudes Escalares a a)ellas en las )e las •
#e!i!as )e!an correcta#ente e7presa!as por #e!io !e n n8#ero * la correspon!iente ni!a!. E/e#plo !e ello son las si$ientes #a$nit!es' entre otras6 5asa Te#peratra Presi2n 3ensi!a! •
M!gnitudes $ectori!les
Las #a$nit!es vectoriales son #a$nit!es )e para estar !eter#ina!as precisan !e n valor n#%rico' na !irecci2n' n senti!o * n pnto !e aplicaci2n. Vector
Un vector es la e7presi2n )e proporciona la #e!i!a !e cal)ier #a$nit! vectorial. Po!e#os consi!erarlo co#o n se$#ento orienta!o' en el )e cae !istin$ir6 Un ori$en o pnto !e aplicaci2n6 A. Un e7tre#o6 <. Una !irecci2n6 la !e la recta )e lo contiene. Un senti!o6 in!ica!o por la pnta !e -ec+a en <. Un #2!lo' in!icativo !e la lon$it! !el se$#ento A<. • • • • •
Vectores igu!les
3os vectores son i$ales can!o tienen el #is#o #2!lo * la #is#a !irecci2n. Vector li%re
Un vector lire )e!a caracteri=a!o por s #2!lo' !irecci2n * senti!o. El vector lire es in!epen!iente !el l$ar en el )e se encentra.
DESCOM&ONIENDO EN UN E'E DE SISTEMAS CARTESIANOS a>?@a7i>a*/> a=B>@7i>*/> =B?@a7>7Bi>@a* >*B/> @a=>=B
&roied!des
Con#tativa6 a>?>a Asociativa6 @a>B>c?a>@>cB Ele#ento Netro6 a>?a Ele#ento Si#%trico6 a>@DaB?aDa?
VECTORES UNITARIOS ( COM&ONENTES DE UN VECTOR Cal)ier vector pe!e ser consi!era!o co#o reslta!o !e la s#a !e tres vectores' ca!a no !e ellos en la !irecci2n !e no !e los e/es coor!ena!os. E'EM&LO
SUMA ( RESTA DE VECTORES La s#a !e !os vectores lires es otro vector lire )e se !eter#ina !e la si$iente "or#a6 Se sit8a el pnto !e aplicaci2n !e no !e ellos sore el e7tre#o !el otro el vector s#a es el vector )e tiene s ori$en en el ori$en !el pri#ero * s e7tre#o en el e7tre#o !el se$n!o. •
Por tanto' el vector s#a !e !os vectores coinci!e con na !e las !ia$onales' la FsalienteF' !el paralelo$ra#o )e pe!e "or#arse con los vectores )e se s#an la otra !ia$onal representa la resta !e !ic+os vectores.
Para e"ectar s#as o restas !e tres o #ás vectores' el proceso es i!%ntico.
&rocedi#iento Gr)fco
Para s#ar !os vectores !e #anera $rá(ca tili=are#os la !eno#ina!a Re$la !el paralelo$ra#o' consistente en trasla!ar paralela#ente los vectores +asta nirlos por el ori$en' * le$o
tra=ar n paralelo$ra#o' !el )e oten!re#os el reslta!o !e la s#a' co#o consecencia !e !i/ar la !ia$onal !e ese paralelo$ra#o' co#o po!e#os ver en el si$iente !i/o6
Otra #anera !e e7presar la s#a !e #anera $rá(ca es trasla!ar el se$n!o vector a s#ar !e tal #anera )e el ori$en !e %ste' coinci!a con el e7tre#o !el pri#er vector' * la s#a la oten!re#os !i/an!o n vector )e va*a !es!e el ori$en !el pri#er vector +asta el e7tre#o !el se$n!o' !e la si$iente #anera6
:a* )e tener #* presente lo si$iente6 vectores en la #is#a !irecci2n se s#an @tal * co#o *a +e#os visto en la secci2n !e la s#a !e vectoresB' pero vectores con senti!os opestos se restan @tal * co#o se pe!e ver en el aparta!o correspon!iente a la resta !e vectoresB. A continaci2n tene#os n e/e#plo !e s#a * resta !e vectores.
METODO ALGE*RAICO &ARA LA SUMA DE VECTORES D!dos tres $ectores
La e7presi2n correspon!iente al vector s#a es6 o ien
sien!o' por tanto'
La s#a !e vectores $o=a !e las si$ientes propie!a!es6 Con#tativa a>?>a •
Asociativa @a > B > c ? a > @ > cB •
Ele#ento netro o vector a>?>a?a •
Ele#ento si#%trico opesto a a > a ? a > a ? a ? Da •
&RODUCTO DE UN VECTOR &OR UN ESCALAR El reslta!o !e #ltiplicar n escalar + por n vector $' e7presa!o anal&tica#ente por +$' es otro vector con las si$ientes caracter&sticas6 ;.D Tiene la #is#a !irecci2n )e $. H.D S senti!o coinci!e con el !e $' si + es n n8#ero positivo' * es el opesto' si + es n n8#ero ne$ativo. .D El #2!lo es + veces la lon$it! )e representa el #2!lo !e $. @ Si + es el reslta!o es el vector nloB.
Anal&tica#ente' tene#os )e #ltiplicar el escalar por ca!a na !e las coor!ena!as !el vector. E"e#lo,
3a!o el vector $ !e co#ponentes6 $-i el pro!cto · $ 1 $-i $/" $0+. ·
·
$/"
$0+'
·
La representaci2n $rá(ca !el pro!cto es i$al a s#ar el vector tantas veces co#o in!ica el escalar. E"e#lo, &roied!des
El pro!cto !e n vector por n
propie!a!es6
escalar
c#ple
las
si$ientes
&RODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
El pro!cto escalar !e !os vectores' e7presa!o anal&tica#ente co#o r $' se otiene !e la s#a !e los pro!ctos "or#a!os por las co#ponentes !e no * otro vector. Es !ecir' !a!os !os vectores r * $' e7presa!os en n #is#o siste#a !e coor!ena!as6 r ? r-i r/" r0+ $ ? $-i $/" $0+ tenien!o en centa )e el pro!cto escalar !e los vectores 6 i · i ? " · " ? + · + ?; i · " ? i · + ? " · + ? el reslta!o !e #ltiplicar escalar#ente r por $ es6 r · $ ? r- $- r/ $/ r0 $0 ·
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Esta operaci2n no solo nos per#ite el cálclo !e la lon$it! !e los se$#entos orienta!os )e representan @ss #2!losB' sino ta#i%n calclar el án$lo )e +a* entre ellos. Esto es posile' *a )e el pro!cto escalar ta#i%n se pe!e +allar en "nci2n !e ss #2!los * !el coseno !el án$lo )e "or#an #e!iante la "2r#la6 r · $ 1 2r2 · 2$2 cos @ r' $B ·
&roied!des
Con#tativa 6 r $ ? $ r 3istritiva 6 r · @ $ > u B ? r $ r u Asociativa6 @ rB · $ ? + @r $B 1 r @ $B sien!o + escalar. ·
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Ade#)s, ;.D r r ? si' * s2lo s& r ? . H.D Si r * $ JK * r $ ? ' esto i#plica )e los vectores son ·
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perpen!iclares' @cos M ? B. .D El pro!cto escalar !e !os vectores es e)ivalente a #ltiplicar escalar#ente no !e ellos por el vector pro*ecci2n !el otro sore %l. E"e#lo, Proyección ortogonal 3r$B !e r sore $
r$? r cos @r' vB DK r $ ? 2$2 r$ ·
·
&roducto $ectori!l El pro!cto vectorial !e los vectores ! * %'
se !e(ne co#o n vector' !on!e s !irecci2n es perpen!iclar al plano !e ! * %' en el senti!o !el #ovi#iento !e n tornillo )e $ira +acia la !erec+a por el ca#ino #ás corto !e ! a %4
!on!e n es n vector nitario perpen!iclar al plano !e ! * % en el senti!o !el #ovi#iento !e n tornillo )e $ira +acia la !erec+a !e ! a %. Propie!a!es6
MODULO DE UN VECTOR Un vector no solo nos !a na !irecci2n * n senti!o' sino ta#i%n na #a$nit!' a esa #a$nit! se le !eno#ina módulo. Gráfcamente, es la !istancia )e e7iste entre s ori$en * s
e7tre#o' * se representa por6
En #c+as ocasiones es conveniente to#ar las co#ponentes sore tres !irecciones #ta#ente perpen!iclares O' OY * O )e "or#an n siste#a cartesiano tri!i#ensional. Coordenadas
cartesianas,
Si to#a#os tres vectores nitarios' i sore O' " sore OY * + sore O' entonces po!e#os encontrar pntos a7' a*' a= sore O' OY' O' respectiva#ente' tales )e6
* aplican!o el teore#a !e Pitá$oras nos encontra#os con )e el #2!lo !e ! es6
TI&OS DE VECTORES VECTORES E5UI&OLENTES.
Can!o !os vectores tienen el #is#o #2!lo' !irecci2n * senti!o se !ice )e son e)ipolentes. 0,% )iere !ecir1 ,e #i!en i$al' se encentran en l&neas paralelas * apntan +acia el #is#o la!o.
El con/nto !e los vectores e)ipolentes recie el no#re !e vectores lires. Es !ecir' )e n vector lire es el $rpo !e vectores )e centan con el #is#o #o!lo' !irecci2n * senti!o. VECTORES
LI*RES6
vector (/o es el representante !e n vector lire. Es !ecir )e estos serán i$ales s2lo si tienen i$al #2!lo' !irecci2n' senti!o * si centan con el #is#o pnto inicial. VECTORES
6I'OS6 n
VECTORES LIGADOS6 son a)ellos vectores
e)ipolentes )e se encentran en la #is#a recta. As&' esta clase !e vectores ten!rán la i$al !irecci2n' #2!lo' senti!o * a!e#ás "or#arán parte !e la #is#a recta.
VECTORES O&UESTOS6 can!o !os vectores
tienen la #is#a !irecci2n' el #is#o #2!lo pero !istinto senti!o recien el no#re !e vectores opestos.
son vectores !e #2!lo no. Si se )iere otener n vector nitario con la #is#a !irecci2n * senti!o' a partir !el vector !a!o' se !ee !ivi!ir a este 8lti#o por s #2!lo. VECTORES
UNITARIOS6
VECTORES CONCURRENTES6 si !os vectores tienen el
#is#o ori$en se los !eno#ina vectores concrrentes.
VECTORES DESLI7ANTES6 Pe!en trasla!ar el ori$en a lo lar$o
!e s recta soporte o l&nea !e acci2n sin )e por ello pe!an ser consi!era!os vectores !i"erentes. Por e/e#plo' la "er=a )e se e/erce sore n s2li!o r&$i!o.
Son a)ellos vectores a los )e se les pe!e asi$nar na !irecci2n * n senti!o !e #anera clara. No están li$a!os a nin$8n e"ecto !e rotaci2n o !e $iro. Por e/e#plo la VECTORES
"er=a o la veloci!a!.
&OLARES6
VECTORES A8IALES6 Están li$a!os a e"ectos
!e $iros * nor#al#ente se !e(nen #e!iante el pro!cto vectorial. S #2!lo representa el valor n#%rico !e la #a$nit!' la !irecci2n se9ala el e/e !e rotaci2n * el senti!o !el vector se +ace correspon!er con el senti!o !e $iro a trav%s !el convenio !e la #ano !erec+a. VECTORES EN DI6ERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS. •
Siste#! rect!ngul!r
Se e7plica respecto !e tres e/es perpen!iclares entre s& @'Y'B )e se cortan "or#an!o n trie!ro * sore los )e están !e(ni!os tres vectores nitarios principales ' )e se to#an !e #o!o )e el trie!ro reslte a !erec+as' lo )e se !e!ce !e la re$la . La posici2n !e n pnto P ' viene !eter#ina!a por tres coor!ena!as (x, y, z), es !ecir #e!iante tres !istancias al pnto O. El vector !e posici2n !e n pnto P viene !eter#ina!o por •
Siste#! de coorden!d!s cil9ndric!s
La posici2n !e n pnto respecto !el siste#a !e e/es viene !eter#ina!a por !os !istancias * n án$lo (r,q, z) * los vectores nitarios son6 ' ' .
El vector nitario ' se aplica en el pnto P * es paralelo al e/e . El vector nitario se aplica en P * es paralelo al vector !i/a!o en el plano @'YB' estan!o !eter#ina!o por la pro*ecci2n !e P sore el cita!o plano. El vector nitario se aplica en P * es perpen!iclar a los otros !os veri(can!o El vector !e posici2n !e n pnto P viene !eter#ina!o por no )e!an!o n&voca#ente !eter#ina!o. •
Siste#! de coorden!d!s es:;ric!s
La posici2n !e n pnto P respecto !el siste#a !e e/es' viene !eter#ina!a por na !istancia * !os án$los (r, q, j)) * los vectores nitarios son6 . El vector nitario !irecci2n El vector nitario en el )e j crece. El vector nitario veri(can!o
es perpen!iclar a
está en la
* s senti!o es a)el
es perpen!iclar a los !os anteriores
Un pnto cal)iera co#o P, tiene n vector !e posici2n )e se encentra en la !irecci2n OP. En coor!ena!as es"%ricas se e7presa6 In!ica 8nica#ente )e P está a na !istancia r !el ori$en' pero no !eter#ina n&voca#ente s posici2n.
IM&O RTAN CIA
CALCULO VECTORIAL El cálclo vectorial es n ca#po !e las #ate#áticas re"eri!as al análisis real #ltiDvariale !e vectores en H o #ás !i#ensiones. Alic!ciones de c!#os $ectori!les en l! Ingenier9! Ci$il
Los ca#pos vectoriales asocian n vector a ca!a pnto en el espacio' * los ca#pos escalares' asocian n escalar a ca!a pnto en el espacio. E'EM&LO • • • •
4er=a * !irecci2n !el viento. Corriente !e 4li!os Tra*ectoria !e #ovi#iento !e o/etos * c+o)es entre ellos E)ilirio !e Pentes * e!i(cios.
Un ca#po vectorial representa la !istrici2n espacial !e na #a$nit! vectorial. Es na e7presi2n !e cálclo vectorial )e asocia n vector a ca!a pnto en el espacio ecli!iano. Tios de c!#os $ectori!les
Viento Electro#a$n%tico 4li!os Entre otros
Un oscila!or ar#2nico es can!o n siste#a cal)iera se !e/a en lierta!' "era !e s posici2n !e e)ilirio' velve +acia ella !escriien!o oscilaciones sinsoi!ales' o sinsoi!ales a#orti$a!as en torno a !ic+a posici2n estale. <&OR5UE LOS CUER&OS VI*RAN=
Los cerpos )e poseen #asa * elastici!a!' son capaces !e virar. Una viraci2n se pro!ce al !espla=ar n siste#a !es!e na posici2n !e e)ilirio estale a/o la acci2n !e "er=as !e restitci2n elásticas o $ravitacionales' )e lo +acen #overse !e n la!o a otro +asta alcan=ar s posici2n !e e)ilirio. TI&OS DE VI*RACIONES
Can!o la #ovi#iento es oscilatorio el siste#a es oli$a!o a virar a la "recencia !e e7citaci2n' si %sta coinci!e con na !e las "recencias natrales !el siste#a se pro!ce resonancia El cantante !e 2pera al !ar na nota a$!a' so#ete n vaso a na #in8scla viraci2n la cal coinci!e con s "recencia natral ' pero al inci!ir la on!a con el cerpo se $enera na viraci2n !e a#plit! enor#e )e pro!ce )e este se ro#pa. Por la #is#a ra=2n' los sol!a!os nnca pasan #arc+an!o sore pentes' al tener n rit#o tan #arca!o' estalecen na "er=a peri2!ica e7terna )e pe!e !a9ar la estrctra !el pente. La 4er=a !el viento Entro con na "recencia i$al a la "recencia natral !el pente crean!o na resonancia tan $ran!e )e no p!o soportarla * colapso. La aplicaci2n !e vectores en la in$enier&a en la vi!a coti!iana * en la in$enier&a !e los vectores )e a)& recien el no#re no !e vectores si no !e #atrices' nos a*!an * son tili=a!os' en el cálclo n#%rico' en la resolci2n !e siste#as !e ecaciones !i"erenciales' lineales * en las !eriva!as parciales. Para resolver este tipo !e prole#as )e se presentan en la in$enier&a !e civil se +ace so !e las #atrices por no#re !e los e#plea!os * los sel!os * se reali=a la s#a !e las #atrices o #* ien !e los vectores. Otra aplicaci2n )e estos tienen es )e los vectores a)& a*!an a resolver prole#as )e se presentan !e estática' co#posici2n !e "er=as' co#o las "er=as )e act8an sore n pente' las "er=as )e act8an sore na re!a' etc.
Ta#i%n a*!an en prole#as !e cine#ática' co#o en prole#as !e co#posici2n !e veloci!a!es' aceleraciones !e o/etos en #ovi#iento' est!io !e ca#pos el%ctricos' las "er=as )e estos $eneran * #ovi#ientos )e $eneran estas "er=as' la atracci2n * replsi2n !e estas "er=as' est!iar ta#i%n "er=as pro!ci!as en #á)inas co#o6 #otores' $enera!ores' trans"or#a!ores' corrientes tri"ásicas' etc. To!os estos prole#as son a*!a!os a resolver por #%to!os $rá(cos en los cales se encentran los vectores )e "acilitan los !ia$ra#as !e los prole#as. En la in$enier&a civil' na !e las principales aplicaciones !el cálclo vectorial se encentra en la ra#a !el !ise9o !e v&as * carreteras' #ás espec&(ca#ente' en la crvatra !e estas constrcciones. En pri#er l$ar +a* )e saer )e to!a carretera se co#pone !e tres tipos !e crvatras' estos son6 las rectas' las crvas !e transici2n * la crva co#o tal. En las rectas' la crvatra es i$al a cero en las crvas !e transici2n' la crvatra es variale * en la crva co#o tal' la crvatra es constante.
CONCLUSION El Cálclo Vectorial es astante a#plio * a la ve= tan especi(co co#o para tratar solo n te#a' en este caso nos en"oca#os en ca#pos vectoriales aplica!os en in$enier&a civil' los cales son !e $ran i#portancia en varias ra#as !e %sta' co#o por e/e#plo en el !ise9o !e crvatras !e las carreteras * en el área !e +i!ro!iná#ica. Consi!era#os los ca#pos vectoriales' )e asocian n vector a ca!a pnto en el espacio' * ca#pos escalares' )e asocian n escalar a ca!a pnto en el espacio. Por e/e#plo' la te#peratra !e na piscina es n ca#po escalar6 a ca!a pnto asocia#os n valor escalar !e te#peratra. El -/o !el a$a en la #is#a piscina es n ca#po vectorial6 a ca!a pnto asocia#os n vector !e veloci!a!.
Catro operaciones son i#portantes en el cálclo vectorial6 Gra!iente6 #i!e la tasa * la !irecci2n !el ca#io en n ca#po escalar el $ra!iente !e n ca#po escalar es n ca#po vectorial. •
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Rotor o rotacional6 #i!e la ten!encia !e n ca#po vectorial a rotar alre!e!or !e n pnto el rotor !e n ca#po vectorial es otro ca#po @se!oB vectorial. 3iver$encia6 #i!e la ten!encia !e n ca#po vectorial a ori$inarse en o a conver$er +acia ciertos pntos la !iver$encia !e n ca#po vectorial es n ca#po escalar. Laplaciano
La #a*or&a !e los reslta!os anal&ticos se entien!en #ás "ácil#ente san!o la #a)inaria !e la $eo#etr&a !i"erencial' !e la cal el cálculo vectorial "or#a n scon/nto.
