Vasile Popescu - Fizica - Probleme 2009[1]

 

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA” BUCUREŞTI  CATEDRA DE FIZICĂ            V. A. POPESCU      PROBLEME REZOLVATE DE FIZICĂ  VOL. I        pentru uzul studenţilor             

  C U P R I N S        MECANICĂ ANALITICĂ ................................................................ 

3

OSCILAȚII ŞI UNDE MECANICE ................................................. 

9

TERMODINAMICĂ ........................................................................ 

48

FIZICĂ STATISTICĂ ..................................................................... 

115

BIBLIOGRAFIE ............................................................................. 

162

       

MECANICĂ ANALITICĂ    1. Să  se  studieze  căderea  unui  corp  pe  un  plan  înclinat  folosind  ecuațiile  Lagrange de speța I‐a şi a II‐a.    R.:                    sin sin    

   cos

        

   sin

cos          cos  

    2 În  cazul  căderii  corpului  pe  planul  înclinat,  când  luăm  în  considerare  frecarea,  ecuațiile Lagrange de speța I‐a    ,

1, 2, … ,  

se reduc la o singură ecuație    Deoarece  0 ,

 ,

 

obținem:         = m g sinα    μ m g cosα         =  sinα μ cosα (mişcare uniform accelerată).  Soluția acestei ecuații este de forma: 

 

  2 unde    şi   se determină din condițiile inițiale.  Ecuațiile Lagrange de speța a II‐a sunt valabile în cazul în care neglijăm frecarea.  Deoarece avem un singur grad de libertate, aceste ecuații   ,

1, 2, … ,  

se reduc la o singură ecuație    ,   

2

,

0

2 ,

0

   sin  

     sin     

   sin        sin ,   

 

Înlocuind în ecuația Lagrange de speța a II‐a obținem:   

   sin  

 sin    ⇒     Dacă la t = 0,  

2 ,  rezultă: 

, 

sin

 

sin .  2 2. Să  se  arate  că  pentru  căderea  liberă  a  unui  punct  material  în  câmp  gravitațional (z = gt2/2) acțiunea S are o valoare mai mică decât pentru o mişcare virtuală  z1  =  C1t,  unde  C1  este  o  constantă  ce  se  va  determina  din  condiția  ca  la  extremitățile  intervalului de timp [0, τ ] între care se calculează acțiunea, mişcarea virtuală să coincidă cu  cea reală.     R.:                        2

       

2    

2

  ⇒  

  ⇒  

   ⇒  

·

2

   ⇒    

2

3

2

2

2

 

 

Pentru  t = τ   rezultă:  2

    ⇒   

2

 

Înlocuind   în   obținem:  3   0,375    8 8 4  , adică valoarea acțiunii  corespunzătoare  mişcării  naturale  este     

minimă. 

Deci  

 

  Hamilton. 

3. Să  se  studieze  căderea  unui  corp  pe  un  plan  înclinat  folosind  ecuațiile  lui   

R.:   ,    

2

     sin         sin    

2

   

     sin  

2

   sin  

2 2

Ecuațiile lui Hamilton sunt:   

 

     sin    

 

     

 

   sin    

2

 

⇒ 

   sin  

Eliminând p din cele două ecuații obținem:   

 

     

   

 

 

⇒ 

sin     ⇒    

 

sin  

Mişcarea  este  complet  determinată  dacă  se  cunoaşte  coordonata  şi  impulsul  la  momentul inițial.  0 ⇒  

;   

  ⇒     

 

2

sin  

  4. Să se arate că problema mişcării a două particule ce interacționează se poate  reduce la aceea a mişcării unui singur corp.    R.:  Se  descompune  mişcarea  sistemului  în  două  mişcări:  cea  a  centrului  de  inerție (centrul de masă sau centrul de greutate) şi cea a particulelor în raport cu acesta.  Vectorul de poziție al centrului de inerție al celor două particule este definit prin relația:    Vectorul  exprimă poziția relativă a celor două particule. 

 

  Energia  potențială  de  interacțiune  a  celor  două particule depinde numai de distanța dintre  | |.  ele  Deoarece  originea  O  este  arbitrară,  putem  alege  un  sistem  de  coordonate  cu  originea  în  centrul de inerție, adică 

 

0          Înlocuind  

 

 = 0 

  în ultima relație obținem:  0     ⇒      

,

 

Funcția Lagrange a sistemului este dată de relația:  2

2

|

|

2

·

2

unde 

 

     ⇒  

 

2

·

 

2  

se numeşte masă redusă.  Funcția  Lagrange  obținută  coincide  formal  cu  funcția  Lagrange  a  unui  punct  material de masă m care se mişcă într‐un câmp exterior determinat de  .    5. Să se determine traiectoria unei particule care se mişcă într‐un câmp central  de forțe folosind ecuația Lagrange de speța a II‐a.    R.: Sistemul  este  conservativ,  deoarece  energia  potențială  a  unei  particule  care  se mişcă într‐un câmp central de forțe depinde numai de distanța r. În coordonate polare,  funcția Lagrange este:   

2 Din ecuația Lagrange de speța a II‐a:  0 

rezultă că impulsul generalizat asociat coordonatei ciclice   se conservă:   

. 

Deoarece energia totală E a unui sistem conservativ este constantă, putem scrie:  . 

2 Eliminând   din ultimele două relații obținem: 

2

2

     ⇒       

2

 

 

Din relațiile:  ,   

,    

 

rezultă:  ·

 

 

 

 

2 Aceasta este ecuația traiectoriei punctului material în coordonate polare.  În cazul atracției universale:   

0, 

expresia de sub radical se poate scrie astfel:  2

2

 

Notând 

λ

2

 ,     

 

obținem:    arccos  

 

λ

λ

1 2  

1

2

 

1

 

cos

unde   ,    

2

1

 

Astfel am obținut ecuația unei conice cu focarul în originea coordonatelor, p şi e  fiind parametrul, respectiv excentricitatea orbitei.  Pentru E  0 (e  1) traiectoria va fi o elipsă, pentru E  0 (e  1) traiectoria va  fi o parabolă, iar pentru E  0 (e  1) traiectoria va fi o hiperbolă.    6. Să se arate că pentru un oscilator armonic liniar care oscilează după legea    cos   volumul din spațiul fazelor se conservă.    R.:            sin   Eliminând  timpul  între  expresiile  lui  p  şi  q  rezultă  că  traiectoria  punctului  figurativ în spațiul fazelor este elipsa  1  La momentul  t = 0  avem   cos  ,    

       sin  

Astfel putem exprima  p  şi  q în funcție de   şi   :     cos  cos  sin sin  

⇒ 

 

 

 sin

 cos

 sin cos

 

 

 sin

cos  

 sin

sin cos

Deoarece  rezultă: 

·

   

adică pentru un sistem conservativ este valabilă teorema lui Liouville.     

 

 

Determinantul funcțional (iacobianul) este:  , ,

sin

 cos

1 

 

cos

 

OSCILAŢII ŞI UNDE MECANICE    1. Un  cilindru  de  secțiune  S,  înălțime  h  şi  densitate  ρc  este  introdus  vertical   într‐un lichid cu densitatea ρl, efectuând o mişcare oscilatorie armonică. Să se scrie legea  de mişcare ştiind că la momentul inițial t = 0 oscilatorul se află în poziția y0 şi are viteza v0.    R.: La echilibru static FA = G, adică      

 

 

 

  Pentru o poziție intermediară, forța rezultantă este de natură elastică:           

 

   

             ⇒ 

       

          ⇒  

       

   

Folosind condițiile inițiale pentru ecuațiile:   sin

 

   cos

obținem: 

 

 sin  ,        

   cos  

  ,      

 sin      

 sin

 

 

arctg

 

 

2. Să se determine soluția ecuației de mişcare a unui oscilator liniar armonic cu  ajutorul legii conservării energiei.    R.: Din legea conservării energiei  1 2

rezultă:  2

1 2

  2

     ⇒     

2

      ⇒      

2

       ⇒ 

2

 

2

1

2

2

Notând   

2 şi folosind relația  arcsin  obținem:   

2  

arcsin

2

2

 

√1

 arcsin   

    ⇒ 

2

       ⇒      sin 2

sin

 

 

2

 

Notând  2

 ,   

 ,    

obținem:             

 sin

 

 

 

       ⇒ 

3. Să se determine ecuația mişcării unui pendul plan de masă  m  şi lungime l  al  cărui  punct  de  suspensie  execută  oscilații  orizontale  de  forma     =  cosωt.  La  momentul  inițial  t =  0  unghiul   dintre  pendul  şi  verticală  este  ,  iar  viteza  corespunzătoare  este   . Oscilațiile pendulului se vor considera mici, iar masa firului neglijabilă.    R.: Alegem drept coordonată generalizată unghiul  .    cos

 sin    cos  

   sin

   cos  

     sin    

 

cos  

  2

sin

2

cos

2

 sin

2

2

 sin 2

2

 sin  cos  sin

 sin

 cos

 sin

 cos

 sin

 cos

 sin

 

   cos  

 cos  

 cos

 sin

 sin

 sin  

 sin  

Înlocuind în ecuația Lagrange  0  obținem:   sin

 cos

 cos       ⇒      

 sin

 cos

 cos  

În cazul micilor oscilații  sin

   ,   cos

1 ,   

/ 

putem scrie  cos

 

Soluția generală a acestei ecuații neomogene se exprimă ca suma dintre soluția  generală a ecuației omogene 

 cos

 

şi soluția particulară a ecuației neomogene, care se alege de forma membrului drept   cos Pentru determinarea lui B impunem ca    sin  cos

   să verifice ecuația de mai sus. Avem: 

 ,    

 cos

 cos cos

 

      ⇒      

 

Astfel soluția ecuației este:   cos

 cos

 

 Constantele  A  şi     se determină din condițiile inițiale:  0     ⇒       

 cos

 sin

      ⇒     

 sin  cos

 sin       

   sin

 

 

arctg

 

 

4. Să se determine pulsațiile unui sistem format din două corpuri de masă  m ,  cuplate la câte un resort de constantă elastică  k . Corpurile sunt legate împreună printr‐un  al treilea resort de constantă de elasticitate  k’ .   

   

R.: Energia cinetică  T , energia potențială  U  şi funcția lui Lagrange  L  sunt date  de relațiile:  2

 

2

 

 

2 2

2

1 2

1 2 Din ecuațiile Lagrange 

  1 2

0  ,    

 

0 

obținem:   ,

 ,

 ,   

 , 

 ,     

 

 

0 

0 

⇒ 

 

 

0 

 

0 

Impunem soluții de forma:   cos

 ,   

 cos

 

Înlocuind în ecuații rezultă:   

 sin

 ,

 cos

 ,   

 

 sin

 ,   

 cos

 

 

cos

cos

cos

0 

 

0 

⇒  

  cos

cos

cos

0

 

0 

Pentru  a  avea  soluții  nebanale  trebuie  ca  determinantul  coeficienților  necunoscutelor    şi    să fie nul.  0     ⇒    

 

        ⇒ 

0      ⇒ 

       ⇒        

  2

      ⇒       

 

  5. Spotul unui galvanometru oscilează în jurul diviziunii zero. La două oscilații  succesive în acelaşi sens spotul ajunge la diviziunile  20 şi   17. Care  va fi deviația  spotului la a 5‐a oscilație?    R.: Amplitudinea oscilațiilor se modifică după legea:   ,

 ,   ,   …    ,    ⇒    

 , 

  ,    ·

      ⇒ 

·

 

  Înlocuind valorile numerice obținem:  20 ·  

17 20

10,44 

6. Un  pendul  matematic  de  lungime    l  efectuează  o  mişcare  amortizată.  Ştiind  că după un timp  t  de oscilație pendulul a pierdut   %  din energia sa, să se determine:  a) coeficientul de amortizare    ;  b) perioada proprie     şi pulsația proprie   ;  c) pseudopulsația     şi pseudoperioada    ;  d) decrementul logaritmic  Λ ;  e) raportul între amplitudinea inițială şi amplitudinea după n oscilații complete.  Aplicaţie.  I. l  = 0,5 m,  t  = 8’ ,    = 99 ,   n  = 100 ,   g  = 9,8 m/s2.  II. l  = 0,5 m,  t  = 1 s ,    = 99 ,   n  = 1 ,   g  = 9,8 m/s2.    R.: a) Deoarece după timpul  t  pendulul a pierdut   %  din energia sa rezultă că  1

100

100   100

Putem determina raportul amplitudinilor întrucât energia este proporțională cu  pătratul amplitudinii:  √100   10 Coeficientul de amortizare se determină din relația:        ⇒     

10

      ⇒      ln 10

√100

      ⇒ 

ln √100

 

ln 10

ln √100

 

b) Perioada proprie a pendulului     şi pulsația proprie  

 sunt date de relațiile: 

 

2 2

⇒ 

  

 

c) Pseudopulsația     şi pseudoperioada     se determină astfel:   

2

 

2

⇒ 

 

d) Decrementul logaritmic se determină astfel:   

Λ = 

 

e) Raportul amplitudinilor este:  Λ 

  Înlocuind valorile numerice obținem:  I.   4,7970522 · 10  ;   1,4192269   ;    4,4271861 

/  ;   

4,4271887 

/  ; 

1,4192277   ;   Λ = 6,8081096· 10  ;  1,9754791 

Se constată că:  5,9 · 10   adică oscilația este foarte puțin amortizată. 

II.    2,3 

 ;  

3,78 

1,42   ;    /  ;   

4,43 

/  ; 

1,66   ;   Λ = 3,82 ;    45,6 

extreme. 

În  acest caz oscilația este puternic amortizată.    7. Oscilațiile amortizate ale unui punct material sunt descrise de ecuația  cos   Să  se  determine  momentele  de  timp  la  care  punctul  material  atinge  pozițiile 

  R.: Momentele de timp la care punctul material atinge poziții extreme sunt date  de condiția ca dx/dt = 0, adică  cos  cos tg

0      ⇒ 

 sin  ,             ⇒       

arctg

0      ⇒ 

sin

0, 1, 2, …   1

arctg

 

  8. Un corp cu masa  m , suspendat de un resort cu constanta elastică  k  execută  oscilații într‐un mediu a cărui forță de rezistență este proporțională cu viteza. Cunoscând  ,  amplitudinea  forței  armonice  perturbatoare   coeficientul  de  amortizare    , precum condițiile inițiale   ,  să se determine:  a) pulsația proprie   ;  b) pseudopulsația   ;  c) legea de mişcare a oscilatorului amortizat în absența forței exterioare;   ;  d) legea de mişcare a oscilatorului de la punctul c) pentru   e) pulsația   corespunzătoare rezonanței amplitudinii oscilatorului forțat;  f) amplitudinea elongației  A şi valoarea acesteia la rezonanță   .  Aplicaţie.   10 N ,    = 10 cm,    = 20 cm/s ,   m = 5 kg ,  k = 500 N/m ,    = 6  ,       =  = 3   = 18 

  R.:  

. 

a)                  b)    

 

       ⇒ 

  

 

c)  Deoarece  

, ecuația de mişcare are forma    cos

 

La momentul inițial  t  = 0 avem:   cos   6 

 cos

 sin   

8 

 sin     ⇒     

8

3   4

arctg

      ⇒        tg

3        ⇒  4

8

 cos

 sin       ⇒    

 8 

  , 

3   4

8

cos d) Deoarece   

6 

cos arctg

  3   4

8

,  ecuația de mişcare are forma:  |λ |

|λ |

 

  unde   

λ

 

 

λ

, 

 

Astfel  λ

λ

 

La  t = 0:   

 

λ

λ

   

⇒ 

 

 

λ

λ

λ

λ

λ  

    

Adunând relațiile obținem: 

λ

λ

λ

e)                  

2  ,

     ⇒     

λ

λ      ,    λ

  4

 ,      

Introducând valorile numerice obținem:  a)  500   rad/s  5 b  

    

10 rad/s 

2

 

36 rad⁄s  

√100

c) 

20 8 · 10

arctg 10 √2 2

d) 

 

10√2  

 ,

18 

 , λ

8  rad⁄s 

3 4

arctg 10√2

20

3 · 10 5    cm   ,     33 3 3 În acest caz mişcarea este aperiodică: 

e)  f) 

√100 10 N 5 kg

2

N  ,    kg

2 m 2·6·8

 

cos 8

5 3

4

   cm  

 

    cm  

72 rad/s 

64

 , 

25    cm   3

5,3 rad/s 

2 m 100

4

 ,   λ  =   33 

   3 

25 3

1  

4 · 36 · 64

0,0208 m 

0,0195 m 

1,95 cm 

2,08 cm 

  9. O sursă punctiformă izotropă emite unde sferive de frecvență ν. La distanța    față de sursă, amplitudinea de deplasare a particulelor din mediu este   şi în  punctul  P  situat la distanța   față de sursă este de  η  ori mai mică decât   . Să  se determine coeficientul  δ  de amortizare al undei şi amplitudinea de oscilație a  vitezei particulelor în punctul  P.  Aplicaţie:  ν 1,45 kHz;   5 m , 5 · 10  m , 10 m , η  3.  R.: Funcția de undă sferică amortizată este:    Partea reală a lui   este:     La distanța    față de sursă amplitudinea undei este:   

iar la distanța        de unde: 

η

 

Logaritmând ultima relație obținem:  ln

η 

ln η 

      ⇒      

     

Din expresia vitezei:  | |

sin

 

obținem:  |

|

2 ν 

    ⇒     |

|

2 ν       ⇒        |

2 ν 

|

η

  

Înlocuind valorile numerice obținem:  0,08 m  ,

|

|

1,52 · 10  m/s 

  10.    Un corp execută oscilații forțate. Pentru două valori    şi    ale pulsației  forței periodice externe, amplitudinea vitezei corpului este jumătate din valoarea maximă a  acestei amplitudini. Să se determine:  a) pulsația proprie de oscilație a corpului   ;  b) coeficientul de amortizare  δ ;  c) factorul de calitate Q ;  d) pseudopulsația în cazul unor oscilații amortizate, în absența forței externe.  Aplicaţie.   9 rad/s ,      4 rad/s .    R.: a) Din expresia elongației:   cos obținem viteza     şi amplitudinea vitezei    sin

 

 :   

 ,     4

unde:    ,    

4 Valoarea maximă a amplitudinii vitezei   0     ⇒     

 

 este determinată de condiția:  4

Valoarea maximă a amplitudinii vitezei este: 

0      ⇒     

 

2

4

 

Pulsațiile    şi    ale forței periodice externe pentru care amplitudinea vitezei  este jumătate din valoarea maximă a acestei amplitudini se determină din condiția:      ⇒    

2 4

       ⇒       

16

0       ⇒       

2√3  Deoarece  

0 ,

 

4

 √3 

4

      ⇒ 

 2√3  

      ⇒ 

3

 

 , vom alege soluțiile: 

3

√3    ,   

3

√3   

Se constată că:  3

         ⇒       

3

    

b) Deoarece:  2√3  

rezultă:  2√3

 

c) Factorul de calitate este:  2

  

d) Pseudopulsația oscilațiilor amortizate este dată de relația:       Înlocuind valorile numerice obținem:  6 rad/s ,

5 2√3

s  ,

6√3   ,    5

5,82 rad/s 

  11.    Să  se  determine  valorile  defazajului  dintre  forța  periodică  externă  şi  elongația corespunzătoare condiției de rezonanță pentru:  a) amplitudinea elongației;   b) energia potențială medie;  c) amplitudinea vitezei;  d) puterea disipată medie;  e) energia cinetică medie;  f) puterea totală medie. 

  R.: a) Defazajul  ϕ  este determinat de relația:  2 tg   Amplitudinea elongației este:   

4 0     ⇒     

       ⇒       tg

2

Am folosit pentru elongație expresia   b)  2

2

2

c)  

 sin

d)  

·

. 

cos

 

      ⇒       tg

 ,      

0      ⇒      

 cos

 

4 0      ⇒       

  

  

  2

      ⇒      tg

∞      ⇒       

·

sin 2

0       ⇒        

2

2

    

  

 

       ⇒       

2

  

e)   2

2

 ,

sin

0       ⇒       

4

       ⇒       

2

   

  

f)   ·

cos

 sin

2

Deoarece  rezultă: 

sin  , 2

sın2

0 ,

 ,

sin

cos 2

 sin2

 cos

sin  cos

 

1   2        ⇒      

 

0      ⇒       

       ⇒       

2

  

  12.    Să  se  determine  valorile  defazajului       dintre  răspunsul  cinetic     corespunzând condiției de rezonanță pentru:  a) amplitudinea elongației;  b) energia potențială medie;  c) amplitudinea vitezei;  d) puterea disipată medie;  e) energia cinetică medie;  f) puterea totală medie.    R.:  Din expresia elongației   cos   obținem viteza   şi defazajul      : 

excitația  

 sin

 cos

 cos

2 2

  şi  

 

  

a) , b)  Din problema anterioară rezultă:  tg

2

     ⇒     

2

arctg  2

arctg

2

        ⇒    

  

c) , d) , e) , f)  2

        ⇒        

0   

  13.    Să  se  scrie  direct  soluția  ecuației  oscilațiilor  electromagnetice  într‐un  circuit RLC serie folosind analogia dintre mărimile electrice şi mecanice.    R.: Ecuația oscilațiilor amortizate este:  0 

2 unde:  2   ,     

 

În cazul unui circuit RLC serie, ecuația corespunzătoare este:  1 Există corespondențele 

0 

 ,

 , 2

   ,

 

1

 ,

1    ,

 ,

 ,    λ

 

. 

În cazul amortizărilor intense    ,   

 

1 2

soluția ecuației este:  λ

λ

λ

λ

λ

 ,  ,    λ

 

√

   

1 2

4

Pentru regimul critic 

  ,    λ

1

 ,

2

 

  ,    În cazul amortizărilor slabe   

 ,   

1 2

 

 

cos

  ,    

cos

  ,   

2

 

4

 

 

√

obținem: 

1

 

√

putem scrie: 

 

 

  1

 

4

Decrementul logaritmic  Λ , timpul de relaxare τ  , constanta de  timp  τ , factorul  de calitate  Q şi energia totală  E sunt date de relațiile: 

Λ

   

2

 

  ,   Λ  

1

τ

τ

  ,  

2  

2  

2

  ,

τ

1   ,   τ 2

sin sin

cos 1

cos

 

1

4

  ,   

2

  ,   

1

 

  ,   ,

  1 4

 

14.   Să  se  scrie  direct  mărimile  caracteristice  şi  soluția  ecuației  oscilațiilor  electromagnetice  într‐un  circuit  RLC  serie  alimentat  de  o  sursă  de  tensiune     ,  folosind analogia dintre mărimile electrice şi cele mecanice.    R.: Ecuația oscilațiilor forțate este:  2

cos

 

unde  2  ,

 ,

 

Pentru un circuit RLC serie, ecuația corespunzătoare este:  1

cos

 

În regim staționar soluția ecuației este:   cos  cos

 ,   

4

 ,

2

 ,   tg  ,    tg

1

 

1

 

Pulsația     a  forței  exterioare  pentru  care  amplitudinea  oscilației  forțate  este  maximă (rezonanța de amplitudine) este:  2

1

1 2

1

 ,

2

 

În acest caz amplitudinea  A  şi  tg   devin:   ,

2

1

2

tg

 ,      tg

2

 ; 

1 2

 

4

Rezonanța cinetică a vitezei, a puterii disipate medii, a energiei cinetice medii şi  a puterii totale medii are loc pentru:  1   √   15.   Să  se  determine  amplitudinea,  faza  şi  ecuația  mişcării  rezultate  din  compunerea următoarelor două oscilații paralele:  cos 10

4

 

2 cos 10  

2

 

R.:    2 1

4

cos

4 cos 5

1 · sin 1 · cos

5

5

4

√2   2

 

2

arctg 1

2√2   

2 cos

4

sin cos √2 2 2 √2 2

2 sin

4

4

2√2   

sin cos

tg

 

2

2√2 cos 10

1

arctg 1

2√2 

2√2    

 

16.   Să  se  determine  amplitudinea,  faza  şi  ecuația  mişcării  rezultate  din  compunerea  a    N    oscilații  paralele  de  amplitudini  egale,  care  diferă  între  ele  printr‐o  diferență de fază constantă  ∆  .    R.: Considerăm oscilațiile:  ∆

 ,

∆

 ,

∆

 , …  ,

   

Oscilația rezultantă este descrisă de elongația:    … 

∆

1 1

∆

∆

 ,   

  … 

∆

  …    ∆

1 1

1 1

∆

∆

∆

∆

1 1

∆

Folosind formulele: 

obținem: 

∆ sin 2

∆

∆

2

∆   ,   sin 2

∆

2

 

 

∆ ∆

∆ ∆

 

∆ 2   ∆ sin 2

∆ 2         ⇒      ∆ sin 2 ∆ sin 2  ,   φ ∆ sin 2 sin

∆

φ  ,

 

sin

∆

1

 

∆   2

17.   Să  se  scrie  ecuația  mişcării  rezultate  din  compunerea  următoarelor  două  oscilații perpendiculare  cos 10   2 cos 10

  2 Să  se  arate  că  raza  vectoare  a  punctului  ce  descrie  mişcarea  rezultantă  mătură  suprafețe egale în intervale egale de timp.    R.: Ecuația mişcării rezultante este:  2 2 1

2

2

 cos

2

 cos

sin

2

sin

 

       ⇒       

1

2

1   

Traiectoria este o elipsă raportată la axele sale. Viteza areolară este:  1 2 10 sin 10  ,    1 2

cos 10 · 20 sin 10

10 sin 10  cos 10

2

sin 10 10 sin

 ,  20 sin 10 2 cos 10

2 2       

 cos10 10

2 2

     · 10 sin 10

10 sin 10 m    s

  10

2

 

2   18.   Să se determine amplitudinile maximă şi minimă, faza, frecvența bătăilor şi  ecuația mişcării rezultante din compunerea următoarelor două oscilații paralele de pulsații  foarte apropiate  2 cos 10         cm   cos 11             cm     R.:   2 cm , 1 cm ,    10  rad/s, 11 rad/s, 0   

2

cos 4

 ,      

1

tg

       ,       

sin

tg

2 cos

sin

sin cos

2

ν

ν

1 tg     3 2 1  Hz    2

      ⇒       ν

2

1 tg   3 2

2 3 cos 2

2

Ecuația mişcării rezultante este:   cos

 ,     √5

      ⇒      

2

4 cos   cos

 

2

sin

2

arctg

ν

   2

cos

2 2

4 cos   1 

2

cos 2 sin

√5

4 cos      

3 

1 rad/s 

21 2

21  rad/s  2

1 tg    3 2

arctg

  19.    Să se arate că prin suprapunerea a două mişcări oscilatorii polarizate eliptic  în sensuri contrare se poate obține o oscilație liniară.    R.:  Considerăm o oscilație polarizată eliptic dreapta  cos

,  1 

cos

sin

2

, 

şi o oscilație polarizată eliptic stânga  cos

,  1 

cos

2

sin

, 

Compunând cele două oscilații obținem o mişcare oscilatorie care se efectuează  după axa  Ox  şi are o amplitudine dublă celei inițiale:  2 cos 0     

 

20.   Să se arate că o mişcare periodică nearmonică descrisă de funcția  

 

     

,

{

0 

2

,

0

2

  poate  fi  exprimată  ca  o  sumă  de  mişcări  armonice  cu  pulsațiile  pulsația fundamentală, iar  1  sunt pulsațiile armonicelor.    R.:    Considerăm forma reală a seriei Fourier:   cos 

2 2

2

 ,   

 , unde 

 sin 

cos

 

 este 

  2

 ,   

 

sin

   

şi forma ei complexă   ,    1

,    

1 2

 ,   

2

 

Calculăm coeficienții Fourier:  2

2 2

 

1

·

sin

2

cos

·0

sin 2

2

·

1

cos

2

·0

2

 

  2

  2

2

·

2  sin  

cos ·

2 2

1

sin sin

·

0 

cos

2

 

2

 

1

cos

  2

  ·

2

  2

sin ·

2

·0

0 

·0

 

  ·

2

cos ·

2

2

1

cos 

2 Rezultă: 

cos    

4

2

1

{ 

1

2

cos

4

· 2sin

2

sin

2

 

      0,      n  par  4

sin

4

,

impar  sin 3 3

sin

, ,…

0 ,

2 2

 ,   | | 1

2

 ,   

2     

sin 5 5

  …   

 impar  

 impar  

 

   în care amplitudinea   21.    Se consideră o funcție aleatoare   sin b    este  constantă,  iar  faza  inițială   este  o  variabilă  aleatoare  uniform  distribuită  în  intervalul   0, 2 . Să se determine:  a) valoarea medie   ;   ;  b) valoarea pătratică medie   c) funcția de autocorelație    ;  d) densitatea spectrală de putere    .    R.:  a)  1 1    sin     cos

2

·

cos 2  cos

cos

2

·0

sin 2  sin

(valoarea medie nu poate caracteriza procesele aleatoare). 

cos

  0 

b)  1

 

sin

 

·

2

2

 

c)  lim

lim

cos

lim

·

lim

·

2

lim

2

cos 1

lim sin 2

2

2

sin

4

 

4

lim cos

 

2

sin 2

 

 

  2

2

 

cos

2

 

0 ,    pentru   lim

 

 

2

sin

sin

 

lim

2

2

  şi  2   sunt factori neglijabili față de   d) 

4

 

 

 cos 2

2

2

lim

2

sin

cos

deoarece   

iar  

 sin

2

cos

2

 

cos

lim

2

1

4

 

lim

∞ .  ·

2

 

 

 

lim

 

 

cos

2

2

 sin

 sin

2

2

cos

cos

2

2

 sin

 sin

2

2

 

 

4

2  sin

lim

2  sin

2

2       ⇒ 

 

2

 

  22.   Se dă funcția de autocorelație   | |

· cos

 

Să se determine şi să se reprezinte grafic densitatea spectrală de putere    R.:    | |

  ·

 

2  

· cos

 

 

 

 

   

   

. 

       ⇒ 

 

   

Am folosit o integrală de tipul  cos

 

 

  23.   Două unde armonice plane se propagă pe aceeaşi direcție şi în acelaşi sens  având  vitezele  de  propagare     şi     şi  lungimile  de  undă   λ  şi   λ  .  Să  se  determine  distanța    d  dintre  două  puncte  succesive  în  care  oscilațiile  celor  două  unde  sunt  în  fază.  Care este viteza de deplasare a unor astfel de puncte?  Aplicaţie.   300 m/s;   280 m/s;   λ 0,4 m;   λ 0,5 m.      R.: Considerăm două unde descrise de funcțiile de undă      ,       Presupunem că la distanța  

 

 se produce o concordanță de fază:  0 

Concordanța de fază imediat următoare se produce la acelaşi moment de timp în  punctul de abscisă    pentru   2   Scăzând cele două relații obținem:  2       ⇒  2      ⇒        2

2 2

λ

2

2       ⇒         ⇒        

λ

λ λ λ

λ

  

Impunând  condiția  ca  cele  două  unde  să  fie  în  fază  în  punctul  de  abscisă    momentul  t  şi în punctul de abscisă     la momentul  t’ , obținem:  0 

 la 

0  Scăzând aceste două relații obținem:  0      ⇒  0       ⇒         ⇒  2

2

λ 2

2

λ

λ λ

λ

λ

λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ

       ⇒ 

  

Înlocuind valorile numerice obținem  d  = 2 m,  v  = 380 m/s.    24.    Într‐o  bară  elastică  de  lungime    ℓ    se  propagă  unde  longitudinale.  Să  se  determine soluția ecuației de propagare, lungimea de undă a undelor staționare şi ecuațiile  planelor nodale şi ventrale în următoarele cazuri:  a) bara este fixată la ambele capete;  b) un capăt al barei este fix, iar celălalt liber;  c) ambele capete ale barei sunt libere.    R.: Ecuația de propagare a undelor longitudinale este:  1 0  unde      este viteza de propagare a undei.  Rezolvăm această ecuație prin metoda separării variabilelor:   

.

Impunând ca această soluție să verifice ecuația, obținem:    ,   

 

0      ⇒       

0   

unde  k =  /  .  Soluția acestei ecuații este:   sin 

cos

  

a) În  cazul  când  bara  este  fixată  la  ambele  capete,  soluția  trebuie  să  satisfacă  condițiile la limită  0 0 , ℓ 0. În acest caz obținem  B  = 0 ,  sin kℓ = 0.  kℓ = n   ,    n =  1, 2, . . .  Rezultă:  sin unde    Pentru  un    n    dat,    folosind principiul superpoziției: 

.

 ,   

sin

 

ℓ

 

.  ℓ   este  o  soluție  particulară.  Soluția  generală  se  obține 

,

spațială: 

ℓ

,

sin

ℓ

   

ℓ

 

Lungimea  de  undă   λ    a  undei  staționare  rezultă  din  condiția  de  periodicitate  sin

ℓ

sin 

λ

ℓ

λ

2ℓ

sin

λ

       ,      ℓ

2

      ⇒ 

2

ℓ   

Rezultă  că  lungimea  barei  se  exprimă  ca  un  număr  întreg  de  semiunde.  Din  condiția ca funcția de undă să se anuleze la orice moment  t  se determină ecuația planelor  nodale  ℓ sin 0      ⇒        ,     0, 1, 2, …   ℓ deoarece  sin 0. Înlocuind  ℓ  în funcție de lungimea de undă obținem: 

λ 2

  

Rezultă că planele nodale sunt perpendiculare pe axa  Ox  şi sunt distanțate între  ele cu  λ ⁄2.  Planele  ventrale  se  determină  din  condiția  ca  funcția  de  undă  să  fie  maximă  în  orice moment  ℓ λ sin 1    ⇒       2 1 2 1  ,     0, 1, 2, …     ℓ 2 4 deoarece    sin 2

b) La capătul fix  

0

1

1.  2 0 , iar la cel liber    ℓ

0 ,   

ℓ

(deformația fiind nulă). În acest caz rezultă:  0 ,    cos ℓ

0    ⇒      ℓ

2

1

2

 ,    

0  0, 1, 2, …  

,

λ

4ℓ 2

1

sin 2

      ,     ℓ

2

2

1

ℓ

1

2

λ 4

1

 

λ

2ℓ        ,      2 1

       ,     

       ,     

1

ℓ

2ℓ

2

λ

1

4

        ,

2

  

0, 1, 2, …   

c) În cazul când ambele capete ale barei sunt libere condițiile la limită sunt:  0 ,      Rezultă  

0   ⇒     ℓ

0 , sin ℓ

2ℓ

λ

λ

 ,   ℓ 2

 ,    cos

,

2

λ

1

4

0 

ℓ

 ,   

ℓ

ℓ

2

1

λ

 ,    

2

1, 2, …    

ℓ  ,     2

 ,      ,

ℓ

 ,   

0, 1, 2, …  

  25.    Fie  un  tub  sonor  de  lungime    ℓ  .  Cunoscând  viteza       a  sunetului  să  se  determine  numărul  modurilor  proprii  de  oscilație  a  coloanei  de  aer  din  tub,  a  căror  frecvențe sunt mai mici decât  ν .  Se vor analiza două cazuri:  a) tubul este închis la un capăt;  b) tubul este deschis la ambele capete.  Aplicaţie.  ℓ = 0,85 m;    =340 m/s;  ν  = 1250 Hz.    R.: a)  ℓ

2

λ

1

4 Pentru  n = 0 rezultă 

2

1

4ν

     ⇒      ν

λ

 ,    ν 4 Diferența frecvențelor consecutive este:  ℓ

ν

ν

sau   

2

2

1

4ℓ

1

4ℓ

 ,   

0, 1, 2, … 

 . 

1

2 1   4ℓ 4ℓ 2ℓ Frecvențele posibile se determină din condiția 

ν ν

ν

2ℓ

ν ν

ν  ,    ν

0, 1, 2, …  

ν

2ℓ

 

Înlocuind valorile numerice obținem: 

ν

100 Hz ,  ν

ν

5,75    ⇒     

200 Hz ,   

0, 1, 2, 3, 4, 5. 

Astfel avem 6 moduri de vibrație ale căror frecvențe nu depăşesc 1250 Hz:  (100, 300, 500, 700, 900, 1100) Hz  b)  

λ

ℓ

2 2ν 1  rezultă: 

Pentru  

     ⇒     ν

2ℓ

 ,    

1, 2, …  

λ

 ,    ν   2 2ℓ Diferența frecvențelor a două armonice consecutive  este:  ℓ

 

ν

 

ν

1

2ℓ

2ℓ

2ℓ

 

  Frecvențele posibile se determină din condiția 

ν

ν

ν

ν  ,   

0, 1, 2, …  

sau 

ν

2ℓ

ν      ⇒      

ν

ν

2ℓ

  

Înlocuind valorile numerice obținem: 

ν

200 Hz ,  ν

ν

5,25    ⇒     

200 Hz ,   

0, 1, 2, 3, 4, 5 

astfel  că  avem  tot  6  moduri  de  vibrație  (200,  400,  600,  800,  1000,  1200)  Hz  ale  căror  frecvențe nu depăşesc 1250 Hz.    26.   Să  se  determine  valorile  proprii  şi  funcțiile  proprii  ale  undelor  staționare  formate  într‐o  membrană  dreptunghiulară  de  laturi    a    şi    b ,  fixată  pe  contur.  Discutați  cazul degenerării:    R.: Într‐un spațiu bidimensional, ecuația undelor este  1

0 

Vom determina soluția acestei ecuații folosind metoda separării variabilelor  , ,

Rezultă:   ,   

   ,   

 

0  Împărțind ecuația cu  

 obținem:  1

1

0 

unde    Ecuația obținută este echivalentă cu următoarele două ecuații:  1 1

0     ⇒      

0 

0     ⇒      

0 

Soluțiile acestor ecuații sunt:  sin

cos

 ,     

sin

cos

     

Membrana fiind fixată pe contur, din condițiile la limită obținem:  0

0      ⇒       

0

0     ⇒     

0 

 ,

 ;      ,

 

1, 2, …  

Nu am luat   0 , 0  deoarece în aceste cazuri se obține soluția banală. Se  constată că vectorul de undă    , pulsația    , frecvența  ν   şi lungimea de undă sunt mărimi  cuantificate:   ,

,

,

,

 ,    ν

,

,

2

 ,    λ

2 ,

,

 ,    

 

unde    este densitatea masică superficială a membranei omogene, iar  T  este densitatea  liniară  a  forței  de  tensiune  care  este  independentă  de  direcție.  Lungimile  de  undă  ale  undelor staționare formate în membrană se numesc valori proprii 

λ

2 ,

  ,     ,

1, 2, …  

iar funcțiile proprii sunt  ,

, ,

sin

sin

 

  

În cazul în care     problema este nedegenerată deoarece unei valori proprii  îi corespunde o singură funcție de undă proprie. 

Dacă     ,  membrana  prezintă  o  degenerare  de  ordinul  doi,  întrucât  unei  valori proprii îi corespund două funcții proprii.  Ca exemplu considerăm cazul în care   2 λ, λ,   1 2 sin

,

sin

2

 

,

 ,

sin

,

2

sin

 

 

,

 

27.    Să se obțină soluția ecuației undelor transversale într‐o coardă în cazul în  care se ține seama de gravitație.    R.: Accelerația în câmp gravitațional va fi:    Condițiile inițiale sunt:  ,0

,0

  ,   

0 

Deoarece coarda este fixată la capete avem următoarele condiții la limită:  0,

0 ,     ℓ,

Pentru  a  înlătura  termenul    înlocuirea  ,

0 

   care  împiedică  separarea  variabilelor  se  face  ,

 

      ⇒      

 ,   

ψ

 

Condițiile la limită devin  0,

0    ⇒      0,

0

0 

ℓ,

0     ⇒       ℓ,

ℓ

0 

Se alege  ψ  astfel ca   ψ ψ 0

0     ⇒     

ψ

     ⇒      ψ 0 ,   

ℓ

0 ,

0    ⇒      

ℓ

ℓ

2

,0

2

ℓ

0 . Rezultă:   

2

ℓ

2 Condițiile inițiale devin       ⇒     

0

     ⇒     

ψ

,0

0 ,

2      ⇒     

0     ⇒      

ℓ 2

      ⇒ 

ℓ  

,0

 

,0

,0

0 

Condițiile la limită sunt:  0,

0 ,      ℓ,

Deoarece am ales  ψ  astfel ca  

ψ

0  0  rezultă ecuația 

1

0 

care  are  forma  ecuației  de  propagare  a  undelor  transversale  în  coardă  când  nu  se  ține  seama de gravitație.  Soluția acestei ecuații este:  2 ℓ sin   · sin cos   , ℓ ℓ ℓ ℓ Astfel soluția finală a ecuației în câmp gravitațional este:  2 ℓ

,

ℓ

ℓ

2

sin

 

ℓ

· sin

ℓ

cos

ℓ

2

ℓ  

  28.   Care este timpul  τ necesar unei unde sonore să parcurgă în aer distanța  ℓ   dintre punctele  A  şi  B  dacă temperatura aerului variază liniar între aceste puncte de la      la   ?  Aplicaţie.    ℓ 1 m , 300 K ,    310 K ,    1,4 , 8310  J⁄mol K ,    29  kg⁄kmol.    R.: Viteza sunetului în aer este:  √   unde    Dependența liniară a temperaturii cu distanța     față  de punctul A este de forma    unde constantele  a  şi  b  se determină din condițiile:  0      ⇒       ·0      ⇒         ℓ

      ⇒       

Din expresia vitezei 

ℓ

       ⇒     

ℓ

 

  obținem 

ℓ

2

ℓ

√ ℓ

ℓ

2

√

√

√

     ⇒      

ℓ

          ⇒ 

√

2ℓ

  

Înlocuind valorile numerice obținem  2,86 · 10  s    29.   O lentilă acustică biconvexă simetrică, din oțel, se află în aer la temperatura   t.  Cunoscând  raza  dioptrilor  sferici    r  ,  modulul  de  elasticitate  al  lentilei    E  ,  densitatea  lentilei     ,  masa  molară  a  aerului    M    şi  exponentul  adiabatic      pentru  aer,  să  se  determine:  a) viteza sunetului în aer    ;   b) viteza sunetului în lentila de oțel   ț  ;  c) indicele de refracție acustic al lentilei  n ;  d) distanța focală a lentilei.  Aplicaţie.  0,5 m;    2 · 10  N⁄m  ;   7800  kg⁄m  ; 20 C ;    1,4 ;    29  kg⁄kmol ; 

8310  J⁄kmol K 

  R.: a)      b)    

ț

c)  d) 

ț

1

1

1

1

2

  1

 ,    

2

1

 

Înlocuind valorile numerice obținem  342,9  m⁄s  ;   (lentilă divergentă). 

ț

5063,7  m⁄s ;     

6,8 · 10  ;   

 0,3 m 

30.   O undă sonoră armonică plană de frecvență  ν  se propagă în aer. Cunoscând  temperatura aerului t , presiunea    şi amplitudinea suprapresiunii    să se determine:  a) impedanța acustică  Z ;  b) intensitatea acustică  I  a undei ;  c) amplitudinea     a vitezei de oscilație a particulelor de aer;  d) amplitudinea  A  de oscilație a particulelor de aer;  e) presiunea acustică eficace.  Aplicaţie.  ν 100 Hz ;      29  kg⁄kmol ;    1,4 ;    8310  J⁄kmol K ;  20

101325  N⁄m ;    

 ;  

R.: a)   ,

1  N⁄m  

173,15

      ⇒      

 ,

 

  

b)  2

 ,     

2

  

c)   |

|

      ⇒       

 ,     

 

d)        ⇒        

   2 ν

e)  √2 

  

Înlocuind valorile numerice obținem:  342,9  m⁄s ;  

1,2  kg⁄m  ;    2,4 · 10

 

m⁄s ;   

411,5  kg⁄m · s ;    3,8 · 10  m ; 

1,2 · 10

 W⁄m  ; 

0,7  N⁄m   

31.    Un  punct  P  se  află  la  distanța    r    față  de  o  sursă  sonoră  punctiformă  izotropă,  cu  frecvența    ν    şi  puterea    P . Neglijând  amortizarea  şi  considerând  că  viteza  sunetului în aer este    , să se determine în punctul P:   ;  a) amplitudinea oscilațiilor presiunii acustice   b) amplitudinea oscilațiilor particulelor de gaz  A ;  c) deformația relativă maximă    .   Aplicaţie.   1 m ;   ν 500 Hz ;    1 W ;    340  m⁄s  ;   1,293  kg⁄m  

  R.:  a)  Intensitatea  undelor  sonore  poate  fi  exprimată  în  funcție  de  presiunea  dinamică maximă   , viteza sunetului     şi densitatea aerului   :    

2

Dar 

 

4 Egalând cele două expresii obținem: 

  

2 b) 

     ⇒       2 ν 

 2 ν        ⇒       

d) Deformația relativă maximă este: 

2 ν 

      ⇒       

  

Înlocuind valorile numerice obținem:  8,4  ⁄  ;    6,1 · 10    ;  

5,6 · 10  

  32.    O sursă de oscilații cu frecvența  ν  este aşezată în apă. Intensitatea undelor  elastice emise de sursă este  I . Să se determine amplitudinea  A  a oscilațiilor moleculelor  de apă, accelerația maximă     a acestora şi amplitudinea     a vitezei de oscilație. Se  cunoaşte viteza undelor în apă     şi densitatea apei   .  Aplicaţie.   ν 1 kHz , 1  W⁄m  ,     1450  m⁄s ;      10  kg⁄m     R.:  Din expresia intensității şi a presiunii dinamice maxime obținem:  2

  ,    

      ⇒        1

2

       ⇒      

2

           ,        

2 ν   

Viteza moleculelor este:  sin iar accelerația se obține prin derivare: 

 

2

       ⇒  

cos

 

Accelerația maximă a moleculelor de apă este:         ⇒        |

2

|

  

Amplitudinea vitezei de oscilație este:         ⇒        |

2

|

  

Înlocuind datele numerice obținem:  2 · 10  rad⁄s  ;     |

|

1,87 · 10  m ;   

7,38  m⁄s  ;   |

|

 m⁄s. 

1,17 · 10

 

33.    O  locomotivă  Diesel  are  un  claxon  cu  aer  comprimat.  Claxonul  Diesel  produce  un  sunet  de  nivel  de  intensitate  sonoră       şi  de  frecvență    ν  .  Cunoscând  intensitatea acustică de referință    , densitatea aerului     şi viteza sunetului în aer    , să  se determine:  a) intensitatea acustică a sunetului emis  I ;  b) presiunea acustică maximă    ;   ;  c) viteza maximă a moleculelor de aer   d) amplitudinea oscilațiilor moleculelor de aer  A .  Aplicaţie.  110 dB , ν 250 Hz ;   10  W⁄m  ;   1,29  kg⁄m  ;    334  m⁄s la 20 0C    R.: a)   10 log

      ⇒        

· 10

 

2

  

 

b)         ⇒       

2

c) 

       ⇒        

       ⇒       

  

d)  sin

      ⇒        |

|

        ⇒         

|

2 ν Înlocuind valorile numerice obținem:  0,1  J⁄m · s ;    9,3  N⁄m  ;    431 kg⁄m · s ;  0,02  m⁄s ,        1,4 · 10  m. 

|   

34.    Un rezonator Helmholtz este format dintr‐o sferă metalică cu pereții subțiri  având  două  orificii  de  diametre  diferite  aşezate  diametral  opus.  Deschiderea  principală  serveşte la pătrunderea vibrațiilor în interiorul rezonatorului, iar deschiderea de diametru  mai mic are rolul de a indica prezența rezonanței cu ajutorul urechii sau a unui instrument  electroacustic.  Să  se  determine  frecvența  proprie    ν    a  unui  rezonator  Helmholtz  cunoscând volumul     ocupat de aer la echilibru, densitatea aerului    , presiunea aerului    , secțiunea tubului cu diametru mai mare  S  şi lungimea acestui tub  l .  Aplicaţie.  10  m  , 1,293  kg⁄m  ;   101325  N⁄m  ,  10  m  , 10  m , 1,4    R.: 

  ) pistonul  A  de secțiune  S  şi masă  m  se află în punctul O.  La echilibru ( Dacă pistonul este deplasat pe distanța     apare o forță  ∆   care tinde să readucă pistonul în poziția de echilibru. Volumul variază cu    ∆ Dacă  deplasarea  pistonului  are  loc  rapid,  putem  considera  că  gazul  suferă  o  transformare adiabatică  ∆ ∆ ∆ ∆       ⇒      ∆       ⇒              ⇒         Ecuația de mişcare a pistonului este:  0       ⇒      

0        ⇒        

 

Dacă lungimea  l  a tubului este suficient de mică, putem să considerăm că masa  de  gaz  cuprinsă  în  acest  tub  joacă  rolul  unui  piston  de  masă    .  Înlocuind    m  în  expresia lui    obținem:       ,      

ν

1 2

Înlocuind valorile numerice obținem  ν  

2 ν        ⇒ 

   167 Hz. 

35.   Să  se  determine  nivelul  de  intensitate  sonoră  dacă  intensitatea  sunetului  este de  10  W⁄m  (vorbirea în şoaptă).    R.:   10 log   10

 W⁄m   ,   

10

 W⁄m   ,   

20 dB. 

 

36.   Zgomotul unui motor are nivelul de intensitate sonoră de 60 dB. Care este  nivelul intensității sonore dacă ar lucra zece asemenea motoare?    R.:   10    

60    ⇒

10 log 10 log

10 log

10   10

 

 

}

    ⇒    

10 log 10

37.    Să  se  determine  amplitudinea  suprapresiunii    sunetului dacă nivelul de intensitate sonoră este de 100 dB.    R.:   10 log 10 100 100

 W m  ,     20 log

2 · 10

10 log

10

20 log 2 · 10

   şi  intensitatea 

  N⁄m   la 20 C 

       ⇒                ⇒        

70 dB 

2  N⁄m   10

 W⁄m  

  38.    Câte persoane ar trebui să vorbească în şoaptă pentru a produce o senzație  egală cu cea produsă de o singură persoană vorbind normal dacă pentru vorbirea în şoaptă  nivelul de intensitate auditivă este de 20 foni, iar pentru vorbirea normală este de 50 foni?    R.:        1 kHz 10 log   ⇒ 10 log 10 log      ⇒  10 log

 

} 

50

20

      ⇒       

10 log

10

  

 Rezultă  că  intensitatea  acustică  în  vorbirea  obişnuită  este  de  1000  de  ori  mai  mare decât intensitatea acustică la vorbirea în şoaptă. Deci trebuie ca 1000 de persoane să  vorbească  în  şoaptă  pentru  a  produce  o  senzație  egală  cu  cea  produsă  de  o  singură  persoană.    39.   Să  se  determine  durata   ∆   a  unei  oscilații  de  pulsație      pentru  ca  abaterea  ∆   să fie de   %  din   . Ce întindere  ∆   are pachetul de unde dacă viteza de  grup a undei este   ?  Aplicaţie.  6 · 10 rad⁄s ,    3 · 10 m⁄s ,    10  5   R.: Vom folosi relațiile de incertitudine  ∆ ·∆ 2   ,    ∆ · ∆ 2   unde  ∆   ,      ∆ 100 ∆ Rezultă:  2 2 ∆      ⇒      ∆ · 100    ∆ ∆

∆

2   ,    ∆ ∆

      ⇒       ∆

2 ∆

  

Înlocuind valorile numerice obținem:  ∆

6 · 10  rad s  ,    ∆ 5

5 · 10 3

 s  ,     ∆

 

5 · 10  m. 

40.   Un  observator  imobil  percepe  oscilațiile  emise  de  două  diapazoane  dintre  care  unul  se  apropie,  iar  celălalt  se  îndepărtează  pe  aceeaşi  direcție  şi  cu  aceeaşi  viteză.  Observatorul  înregistrează  bătăi  de  frecvență    ν  .  Să  se  determine  viteza       a  diapazoanelor, cunoscând frecvența acestora  ν   şi viteza sunetului în aer    .  Aplicaţie.  ν 2 Hz  ,    ν 680 Hz  ,     340 m · s     R.:  Datorită efectului Doppler, observatorul va percepe frecvențele 

ν pentru diapazonul care se îndepărtează şi 

ν pentru diapazonul care se apropie.  Frecvența bătăilor este 

ν

ν

   

ν ν

2ν

ν

ν

1

ν

     ⇒      ν

1

2ν

ν

      ⇒ 

ν

0     ⇒      

ν

ν

ν

ν

ν

ν ν

,

ν

     ⇒ 

  

Am ales semnul    deoarece   0.  Înlocuind valorile numerice obținem:  0,499  m⁄s 0,5 m⁄s.    41.   Un receptor şi o sursă de frecvență  ν   se află pe axa    . Sursa efectuează  oscilații armonice de‐a lungul axei cu pulsația     şi amplitudinea    . Pentru ce valoare a lui    lărgimea benzii de frecvență percepute de receptor este  ∆ν  ? Viteza sunetului este   .  Aplicaţie.  ν 2000 Hz ,     0,5 m ,   ∆ν 200 Hz ,     340  m⁄s.    R.:  Când  sursa  se  îndepărtează  de  observatorul  imobil,  frecvența  minimă  receptată este  

ν

ν

 

iar când sursa se apropie de receptor frecvența maximă receptată este 

ν

ν

 

unde 

 

este viteza maximă de oscilație a sursei.  Lărgimea benzii recepționate va fi  1 1 ∆ν ν ν ν ∆ν

2ν

∆ν

∆ν

1

      ⇒      

ν

,

Am luat semnul     deoarece   0.  Înlocuind valorile numerice obținem  33,9  rad⁄s        

2ν

ν

0      ⇒       

ν

2ν

∆ν ∆ν

∆ν

ν

1   

34 rad⁄s.  

      ⇒ 

TERMODINAMICĂ      1. Folosind ecuația termică de stare a gazului ideal, să se determine coeficienții  termoelastici    ,   şi  χ  .    R.: Din ecuația termică de stare a gazului ideal    obținem:  1 1 1   1

1

1

χ

1

1

  1

 

 

2. Să se arate că energia internă a unui gaz ideal este o funcție de stare.    R.: Energia internă a unui gaz monoatomic ideal este:  3   2 unde   este numărul de molecule, iar   este constanta lui Boltzmann ( 1,38 · 10 Dacă exprimăm energia internă în variabilele  T  şi  V    ,   atunci  3 0·   2

J⁄K . 

dU  este o diferențială totală exactă dacă    Avem:  0

0 ;   

3 2

0 

Rezultă că energia internă este o funcție de stare deoarece  dU  este o diferențială  totală exactă.    3.   Să se arate că lucrul mecanic este o mărime de proces.    R.:   đ     0·   1 ;   

0

0 

Deoarece  đ   nu este o diferențială totală exactă, lucrul mecanic este o mărime  de proces, adică depinde de drum (de stările intermediare).    4.  Să se arate că pentru un mol de gaz ideal cantitatea de căldură este o mărime  de proces. Se dau expresiile cantității de căldură elementare:  đ

 

 

đ

 

 

đ

 

  R.: Folosim relația lui Robert‐Meyer pentru un mol de gaz ideal:    şi ecuația termică de stare       ⇒     

  ,    

 

đ

 

 

đ

 

 

đ

 

Impunând condiția ca  đ   să fie diferențială totală exactă rezultă:        ⇒      

0     ⇒       

      ⇒     

0     ⇒       

      ⇒      

     ⇒      

0   

 

0   

     

 

Se poate arăta că numai în cazul apei la 4 0C putem avea   .  Deci cantitatea de căldură este o mărime de proces.    5.   Folosind ecuația termică de stare a gazului ideal să se arate că temperatura  este o funcție de stare.    R.: Ecuația termică de stare a gazului ideal este    Diferențiind această relație obținem: 

  Rezultă 

1

 

1

  ;   

 

Aşadar  dT  este o diferențială totală exactă.    6.  Într‐un cilindru cu piston sunt    litri de apă la temperatura   . Cunoscând  pentru apă coeficientul de dilatare termică     şi coeficientul de comprimare izotermă      să se calculeze lucrul mecanic efectuat într‐o comprimare izotermă în care presiunea creşte  de la    la   , urmată de o încălzire izobară în care temperatura creşte de la     la   .  Aplicaţie.  10 l ,       300 K ,        2 · 10 K  , 4 · 10 m ⁄N ,   1 atm ,        

R.:  

1

2 atm ,      

       ⇒       

1

600 K. 

 

      ⇒        

 

Lucrul mecanic elementar în variabilele  T  şi  p  are expresia   

đ  

  La comprimarea izotermă,  

0:  ·

đ   La încălzirea izobară,  

   

2

0:  đ

 

        ⇒       

  

2

  10 · 10

· 4 · 10 4 · 10 1 · 10  J  2 2 · 10 · 2 · 10 · 10 · 10 · 300 J

6 · 10  J  120 J 

119,94 J. 

 

7.  Un  fir  de  aluminiu  de  lungime     ,   modul  de  elasticitate    E  ,  secțiune     ,  coeficient de dilatare     este supus unei întinderi izoterme prin creşterea forței de la  0  la    urmată  de  o  răcire  în  care  temperatura  scade  de  la     la    . Să  se  determine  lucrul  mecanic efectuat în fiecare din aceste procese.  Aplicaţie.  ⁄  ,    1   ,    1,2 · 10 10    ,     2,3 · 10    ,  10   ,   

 

300   ,    

299,986  . 

R.: 

 

  Lucrul mecanic este 

đ

 

 

unde     ,      Dar 

1

      ⇒      

0 

     şi      

 

Rezultă:  đ đ

 

       ⇒       

 

  2

2

 

đ

 

       ⇒        

 

Înlocuind valorile numerice obținem:  4,2 · 10  J  ,    

 

3,2 · 10  J 

8.  Să se determine coordonatele punctului în care izoterma critică are un punct  de  inflexiune  în  planul    ,   pentru  un  gaz  real  a  cărui  ecuație  termică  de  stare  este  ecuația Van der Waals  .   

R.: În diagrama   ,

  izoterma critică are reprezentarea din figură:  Pentru  izoterma  este  asemănătoare cu aceea a unui gaz perfect.  În  punctul  de  inflexiune  tangenta  este  orizontală.  În  punctul  critic  avem  următoarele relații:  0 

, ,

0 

 

, ,

Din ecuația Van der Waals şi din condițiile de mai sus rezultă:  2

 , sau 

2

2

0 ,    

6

3

 ,      

0 

 

Împărțind ultimele relații membru cu membru obținem:  2        ⇒        3 3  şi    se obțin uşor din relațiile de mai sus:  8 27

        ,      

27

  

  

Constantele     ,   şi    R    pot  fi  exprimate  în  funcție  de  coordonatele  punctului  critic:  3

  ,     

3

  ,     

8 3

 

Înlocuind    ,   şi  R  în ecuația Van der Waals obținem: 

3

8 3

3 Împărțind ecuația cu  

 

  rezultă „ecuația redusă”  3

1 3

8 3

 

unde    ,    

  ,    

 

„Ecuația  redusă”  este  de  aceeaşi  formă  cu  ecuația  Van  der  Waals  dar  are  avantajul că nu depinde de natura gazului real.    9.      Să  se  exprime  coeficientul  de  dilatare  termică  la  presiune  constantă     ,   coeficientul termic al presiunii    şi coeficientul de comprimare izotermă     pentru un gaz  .  Van der Waals şi să se verifice relația     R.: Diferențiind ecuația Van der Waals la presiune constantă obținem:  2

      ⇒ 

2

 

2

sau   

2 Coeficientul de dilatare termică   

1

 

devine    

2

Diferențiind ecuația Van der Waals la volum constant rezultă:        ⇒       Coeficientul termic al presiunii  devine 

1

   

1

 

 

sau     Diferențiind ecuația Van der Waals le temperatură constantă obținem  2

0      ⇒  2

0       ⇒   

2 Coeficientul de comprimare izotermă  1

 

devine    

2

Relația     se verifică uşor.    10.   Să se arate că între susceptibilitatea izotermă   

χ

 , 

susceptibilitatea adiabatică (izentropă) 

χ

 , 

capacitatea calorică la magnetizare constantă  đ

 

şi capacitatea calorică la câmp magnetic constant  đ

 

există relația 

χ  

χ  

R.: Folosim relația ciclică corespunzătoare unui număr par de factori 

1  în care se constată o simplificare formală a lui  

 ,

 ,

  şi  

. Rezultă: 

 

χ

·χ ·

       ⇒      χ

χ  

Această relație poate fi obținută şi în alt mod: 

χ

, ,

·

, ,

, ,

·

·χ ·

χ  

  11.    Să  se  determine  lucrul  efectuat  la  magnetizarea  izotermă  a  unui  corp  paramagnetic dacă magnetizația  M  satisface legea lui Curie   

 , 

unde     este intensitatea câmpului magnetic, iar  C  este constanta lui Curie.    R.: Lucrul elementar necesar magnetizării corpului se exprimă astfel:    đ unde  V  este volumul sistemului, iar     este permeabilitatea magnetică a vidului. Rezultă:   

 

2

unde  V  a fost presupus constant.   Dacă magnetizarea se face într‐un câmp magnetic constant, atunci   

 

12.    Să  se  determine  lucrul  efectuat  de  un  câmp  electric  pentru  a  modifica  polarizarea electrică a unui dielectric.    R.: Vectorul de polarizare     se exprimă astfel: 

χ

1

 

unde  χ   este susceptibilitatea electrică a dielectricului,     este permitivitatea electrică  a  vidului,     este permitivitatea relativă a dielectricului sau constanta dielectrică, iar     este  intensitatea câmpului electric.  Lucrul transferat de la câmpul electric la dielectric este:  1

1 2

 

13.      Să  se  arate  în  ce  caz  un  gaz  ideal  care  suferă  o  transformare  adiabatică  urmată de o transformare izocoră are starea finală pe aceeaşi izotermă cu starea inițială. Să  se compare panta adiabatei cu panta izotermei.    R.:     Ecuația  primului  principiu  al  termodinamicii pentru transformările 1‐2 şi  2‐3 este:        ⇒  0    ⇒      |

|

 

     ⇒ 

 

0      ⇒     

 

Deoarece  energia  internă  a  gazului  ideal  depinde  numai  de  temperatură,  din    rezultă că   .  inegalitatea   Stările 1 şi 3 se află pe aceeaşi izotermă     dacă    , adică  | Deoarece  

|

      ⇒        |

|

 

 , din relația    

Rezultă    

  adică adiabata se află sub izotermă în diagrama   ,

 . 

14.   Se comprimă izoterm un volum    de gaz ideal de la presiunea    până la  presiunea   . Să se determine lucrul mecanic şi cantitatea de căldură schimbate de gaz cu  exteriorul. Cum se modifică aceste mărimi în cazul unei detente izoterme în care presiunea  inițială este   , iar presiunea finală este   ?  Aplicaţie.  20 l ,    1 atm ,    100 atm.    R.: La comprimarea izotermă    ln ln

 

  

Într‐o transformare izotermă a gazului ideal, energia internă nu se schimbă:    deoarece energia internă a gazului ideal depinde numai de temperatură. 

Din ecuația primului principiu al termodinamicii    rezultă:     Astfel gazul cedează o cantitate de căldură mediului înconjurător, egală cu lucrul  mecanic primit.  În cazul detentei izoterme:    adică gazul primeşte o cantitate de căldură egală cu lucrul mecanic cedat.  Înlocuind valorile numerice obținem:  100 · 10 1 · 10 · 20 · 10 ln 9,21 · 10  J 9,21 kJ  1 · 10 9,21 kJ ,    9,21 kJ ,    9,21 kJ    15.  Un gaz ideal monoatomic de masă  m  şi volum    este comprimat adiabatic  de la presiunea    la presiunea   . Să se calculeze lucrul mecanic şi variația temperaturii  gazului.  De  câte  ori  este  mai  mare  lucrul  mecanic  la  comprimarea  adiabatică  decât  la  comprimarea izotermă?  Aplicaţie.  4 g , 4 g⁄mol  , 20 l ,    1 atm , 100 atm , 8,31  J⁄mol · K    R.: Energia internă a unui mol de gaz perfect monoatomic este:  3   2 Căldura molară la volum constant se determină astfel:  3   2 Din relația lui Robert‐Mayer     rezultă:  5 5  ,       2 3 Din ecuația adiabatei    se obține:     Lucrul mecanic primit de gaz la comprimarea adiabatică este: 

     ⇒ 

1 1   

1 sau         ⇒       

1

1

1

  

Variația  energiei  interne  se  obține  din  ecuația  primului  principiu  al  termodinamicii    ,          Din ecuația adiabatei    rezultă:  1

1

1

·

1 1

      ⇒ 

  

sau  1

1

 

Numărul de moli se determină pe baza relației:     La comprimarea izotermă  ln

  

Înlocuind valorile numerice obținem:  1 · 10  m   100 · 10 15,9 kJ  ,    1 mol  ,   

20 · 10

⁄

1,26 · 10  m  ,    1280 K ,

15,9 kJ ,  9,2 kJ 

1,7 

  16.   Să se compare creşterea temperaturii gazului ideal monoatomic cu a gazului  ideal biatomic într‐o comprimare adiabatică.    R.: Din expresiile căldurilor molare 

2

rezultă: 

2

 ,   

 ,   

2 2

  2

  ,     

  

unde    i  reprezintă  numărul  de  grade  de  libertate  ale  moleculelor  gazului  şi  are  valorile:   3 pentru  gazele  monoatomice,    5 pentru  gazele  biatomice  şi    6 pentru  gazele  poliatomice.  Astfel, pentru gazul monoatomic  3 5 5    ,     ,      2 2 3 iar pentru gazele biatomice:  5 7 7    ,     ,      2 2 5 Pentru un mol de gaz ideal şi pentru acelaşi lucru mecanic  1

1

  ,     1 1

 

5    3

  17.    Să  se  determine  variația  energiei  interne  a  unui  gaz  ideal,  lucrul  mecanic  efectuat  de  gaz  şi  cantitatea  de  căldură  primită  la  o  transformare  izocoră  urmată  de  una  izobară.  Aplicaţie.  10  N⁄m   ,    273 K  ,     1 m     R.:     Scriind  ecuațiile  de  stare  corespunzătoare  pentru punctele marcate în figură, avem:         ⇒      ⇒     

1    ·

2   

     ⇒     

   

  3

·

 

Întrucât   ,  2 variația energiei interne în urma celor două transformări este: 

 ⇒     

 

∆

1   2 2 2 În transformarea izocoră   0  lucrul mecanic efectuat este zero,   transformarea izobară lucrul mecanic efectuat este: 

0. În 

1  

∆

Cantitatea de căldură primită de gaz în cursul celor două transformări este:  1 2 1   2 unde  s‐au  folosit  expresiile  pentru  căldurile  molare  în  funcție  de  numărul  gradelor  de  libertate  i  şi de constanta  R .  La acelaşi rezultat se poate ajunge şi pe calea următoare:        ⇒  ∆

∆

2 Înlocuind valorile numerice pentru cazul   ∆

2,2 · 10  J ,   

1

1   5 ,

5 · 10  J ,   

2 se obține:  2,7 · 10  J 

 

18.    Considerăm  o  transformare  ciclică  reversibilă  a  unui  mol  de  gaz  perfect,  reprezentată printr‐un triunghi în diagrama   , .   

Să  se  determine  lucrul  mecanic  şi  cantitatea  de  căldură  în  transformările  1 2 ,  2 3  şi  3 1 în funcție de    şi de  coordonatele  punctelor  1,  2  şi  3  în  cazul  particular  2  , 2 .  Să se arate că  lucrul  mecanic  şi  cantitatea  de  căldură  depind de drum, fiind mărimi de proces.   

  R.:          

2

          

0   

  s‐a evaluat din aria trapezului de baze    şi   şi de înălțime   Din relația lui Robert‐Mayer      rezultă:  1

      ⇒       

 

1

      ,     

  ,      

1

. 

     

Ecuațiile termice de stare sunt:       ,    

1

   ,     

       ⇒       

    

1

  

       ⇒       

1

  

1

Pentru un ciclu reversibil este valabil „principiul de echivalență”  0  0     ⇒     În cazul particular  

2  ,  

3 2 3 2

 ,      ,    

1

Deoarece 

2  obținem: 

0  1

  

 ,    

0 , 

 ,     

  

2

  1  

3

 

2

rezultă că  L  şi  Q  sunt mărimi de proces. Cazul     19.   Se dă ciclul din figură: 

 

1

1  este exclus, deoarece  

1. 

 

Substanța  de  lucru  este  un  mol  de  gaz  ideal  cu    i    grade  de  libertate.  Să  se  determine  temperatura       în  funcție  de  temperatura       şi  de  raportul       al  volumelor.  Să  se  exprime  randamentul  ciclului  în  funcție  de  temperatura       şi  de  mărimea   .      R.: Cantitatea de căldură schimbată pe porțiunea  AB  a ciclului este dată de:   

ln

ln

Ecuațiile de stare în punctele  B  şi  C  sunt:  :  

               ⇒       

:  

       ⇒            ⇒       

 

Cantitatea de căldură schimbată pe porțiunea  AB  a ciclului este dată de: 

0 

2

0  2 (sistemul cedează căldură exteriorului, iar gazul se răceşte).  În fine, cantitatea de căldură schimbată pe porțiunea  CA  a ciclului este dată de:  2 (sistemul primeşte căldură din exterior, astfel că gazul se încălzeşte).  Randamentul ciclului este:  | | η 1   unde 

0 

0  2

|

0   ,    |

  2 Introducând aceste expresii în formula pentru randamentul ciclului obținem: 

η

1

Întrucât  

2

2

2

1

ln

ln

2 ⁄   rezultă: 

η

1

2 ln

2

  2

1

1 2

2

1

1

  

  20.   Să se arate că entalpia reacției chimice  1   2 variază puțin cu temperatura în intervalul (298‐1000) K.  Capacitatea  calorică  molară  a  gazelor  la  presiune  normală  variază  cu  temperatura după legea         J⁄mol · K   Pentru temperatura standard, variația entalpiei în cursul reacției este:  ∆ 284  kJ⁄mol  Se dau:  ‐ pentru   :  25,7  J⁄mol · K ,    1,3 · 10  J⁄mol · K  ,    3,86 · 10  J⁄mol · K   ‐ pentru  CO:  26,9  J⁄mol · K ,    7 · 10  J⁄mol · K  ,    8,2 · 10  J⁄mol · K   ‐ pentru   :  26  J⁄mol · K ,    4,35 · 10  J⁄mol · K  ,    1,48 · 10  J⁄mol · K     R.:  Reacția chimică este de forma: 

 

în care 

1 2 Vom folosi formula lui Kirchhoff: 

  ,     

 

∆

∆

 

unde:  26 26,9

7 · 10

1,48 · 10

4,35 · 10

1 25,7 2 3 · 10

8,2 · 10 13,75

 

1,3 · 10 1,2 · 10

 

3,86 · 10  

Înlocuind în formula lui Kirchhoff şi integrând obținem:  ∆

∆

3 · 10 2

13,75

unde: 

1,2 · 10 3

1000 K ,      ∆

Avem: 

∆

9652,5

Diferența relativă  ∆

13667,9

∆ |∆

298 K  3894,1  J⁄mol

121,3 284000

|

 

121,3  J⁄mol 

4,3 · 10  

este foarte mică, ceea ce arată că entalpia de reacție depinde puțin de temperatură.    21.      Căldura  molară  a  unui  gaz  la  presiunea  de  o  atmosferă,  în  intervalul  de  temperatură (273‐1500) K, variază cu temperatura după legea empirică    Să  se  determine  căldura  molară  medie  şi  variația  entalpiei  dacă  temperatura  creşte de la     la   .   Aplicaţie.  300 K ,    400 K ,    29,1  J⁄mol · K ,    8,37 · 10  J⁄mol · K    J⁄mol · K  

2,01 · 10

 

R.: Căldura molară medie este definită prin relația:  1 Înlocuind  

 

 din formula empirică obținem:  1 2

3

 

2

  

3

Din definiția capacității calorice la presiune constantă    obținem: 

  Integrând această relație rezultă:  ∆

∆

 

2 Pentru un mol de gaz:  ∆

 

3

2

 

3

Pentru datele din problemă, care corespund hidrogenului gazos, obținem:  29,1

29,4 · 10 ∆

 J⁄mol · K

24,67 · 10  

29,05  J⁄mol · K 

2905  J⁄mol. 

 

22.    Să  se  stabilească  relația  între  coeficientul  de  comprimare  izotermă,  coeficientul de comprimare adiabatică şi indicele adiabatei.    R.:   1 1   ,       

 

   Aceasta  este  relaţia  lui  Reech  care  arată  că  indicele  adiabatei  este  egal  cu  raportul  între  coeficientul  de  comprimare  izotermă  şi  coeficientul  de  comprimare  adiabatică.         

23.   Să se exprime viteza sunetului      în funcție de:  a) coeficientul de comprimare adiabatică (izentropică)    şi de densitatea   ;  b) coeficientul  adiabatic     , presiunea     şi  densitatea     corespunzătoare  stării de echilibru.    R.:  a)  1

1

1

1

1

       ⇒       

     ⇒ 

  

Am considerat că masa fluidului este constantă.  b) Din ecuația termică de stare a gazului ideal    pentru un proces izoterm rezultă  0       ⇒      

 

Din legea lui Reech     obținem:    1

        ⇒       

  

Aceeaşi relație se obține diferențiind ecuația adiabatei:  .  0        ⇒       

0       ⇒    

Din  

⁄   în care masa fluidului este constantă, obținem: 

        ⇒              ⇒      

           ⇒ 

      ⇒       

 

  24.   Să se determine viteza unui sunet ce se propagă într‐un gaz real descris de  ecuația Van der Waals.    R.:    ⁄   în care  m  este constant. 

Am folosit formula lui Reech şi relația   Pentru un gaz Van der Waals 

  2

  ,       2

 

 

⁄ ).  unde  M  este masa molară a gazului  (   25.  Un calorimetru din cupru de masă     şi căldură specifică     este străbătut  de o țeavă goală din aluminiu de masă    şi căldură specifică   . În calorimetru se află o  cantitate      de  apă  cu  căldura  specifică     la  temperatura    . La  un  moment  dat  prin   cu  un  debit  de    d   kilograme  pe  secundă.  Să  se  țeavă  trece  apă  la  temperatura    determine temperatura de echilibru  T  după un timp t.  Aplicaţie.  10 kg ,    0,2 kg ,    20 kg ,    0,02  kg⁄s ,    300 K ,   

370 K ,   

390  J⁄kg · K ,   

910  J⁄kg · K ,   

4185  J⁄kg · K ,    

60 s.  

R.:  Într‐un  interval  de  timp    dt , temperatura  calorimetrului  creşte  cu    dT . La  echilibru, cantitatea de căldură cedată de apa din țeavă este egală cu cantitatea de căldură  primită de țeavă, calorimetru şi apa din calorimetru:  · unde   ·

·

 

  este masa de apă ce trece prin țeavă în timpul  dt . Rezultă:   

Prin integrare obținem:  ln

 

unde    C    este  constanta  de  integrare,  care  se  determină  din  condiția  ca  la    temperatura calorimetrului să fie     . Rezultă:  0      ⇒       ln

ln

0  

      

Practic echilibrul se obține în fiecare moment de timp dacă țeava are forma unei  serpentine. Înlocuind valorile numerice obținem:  304 K .   

26.    Să  se  determine  pentru  un  gaz  perfect  randamentul  ciclului  din  figură,  format din trei procese: izobar, adiabatic şi izoterm. 

  Să se arate că variația entropiei pe drumul ABC este egală cu variația entropiei  pe drumul AC.    R.: Pe izobara AB sistemul primeşte cantitatea de căldură   0  Pe izoterma CA sistemul cedează căldura  ln

 

0 ,      

 

Randamentul ciclului este: 

η

1

|

|

1

Din relația lui Robert‐Mayer 

ln

1

ln

 

  obținem: 

1

η

 ,    

1

1

  ,    

1

ln

 

 

Pe izobara AB avem:    iar pe adiabata BC    Din ultimele relații obținem:   

η

1

ln

  

Pe izobara AB:       ⇒       ∆

ln

 

ln

        

Pe adiabata BC:  ∆

Pe izoterma CA: 

0  ln

∆

ln

∆

∆ ∆

∆

ln

 

ln

 

 

Relația  ∆

este verificată, deoarece:  ln 1

ln

ln

∆ ln

∆

 

       ⇒        

ln

       ⇒        

ln ln

        ⇒        

1

ln

ln ln

 

            ⇒         ⇒ 

  Astfel am verificat că entropia este o funcție de stare.    27.   Să se determine randamentul unui ciclu format din două izoterme şi două  politrope.  Să  se  particularizeze  expresia  randamentului  pentru  cazurile  în  care  în  locul  politropelor se folosesc adiabate, izobare sau izocore.    R.: 

 

Sistemul primeşte cantitatea de căldură  ln

0 

ln

0 

şi cedează cantitatea de căldură  Randamentul ciclului este: 

η

1

|

|

ln

1

ln

 

Din ecuațiile politropelor      rezultă:         ⇒        

 

şi prin urmare 

η

ln

1

ln

ln

ln

η

   ln

 

Pentru cazul în care în locul politropelor se folosesc adiabate, atunci  

η

1

0 şi 

  

Pentru un ciclu format din două izoterme şi două izocore,  

η

  şi 

   ln

iar pentru un ciclu format din două izoterme şi două izobare, 

η

  şi  

   ln

  28.   Se consideră un motor cu explozie care funcționează după un ciclu Otto care  este format din două izocore şi două adiabate, substanța de lucru fiind un gaz perfect. Să se  determine randamentul ciclului Otto din figură.   

R.: Randamentul ciclului este: 

η unde: 

 

  1

|

|  

      ,        

 

Astfel: 

η

1

  

Din ecuațiile adiabatelor AB şi CD     

rezultă    şi prin urmare 

η

1

1

1

       ⇒        η

       ,       η

1

1

  

sau 

η

1

  

  29.   Un ciclu Diesel ideal este format din două adiabate, o izobară şi o izocoră. Să  se  determine  randamentul  acestui  ciclu  în  funcție  de  rapoartele    ⁄  , ⁄  şi  de  exponentul adiabatic    . 

  R.: Randamentul ciclului este definit ca raportul între lucrul mecanic efectuat şi  căldura primită  | | η 1 1   unde 

      ,         Înlocuind  

 

 în expresia lui  η  obținem: 

 şi  

η

1

1

1

Pe izobara BC avem    iar pe adiabatele AB şi CD avem:     

 

 

Rezultă: 

η

1

1

1

 

1

1

η

1

1

1

 

 

1

1

 

         ⇒ 

   1

Ciclul este numit ideal întrucât substanța de lucru este un gaz perfect.    30.   Un ciclu Joule după care funcționează o turbină cu gaz sau un pulsoreactor  este format din două izobare şi două adiabate. Să se determine randamentul ciclului Joule  din figură în funcție de raportul volumelor   ⁄  şi de exponentul adiabatic    . Substanța  de lucru este un gaz perfect.   

 

  R.:  Randamentul ciclului este: 

η unde 

1

|

|  

      ,        

 

Rezultă: 

η

1

 

Din ecuațiile adiabatelor AB şi CD obținem:        ⇒      

  ,     

η

1

1 1

        ⇒         η

       ⇒       

1

  

 

sau 

η

1

  

 

31.  O  maşină  Carnot  funcționează  folosind  drept  sursă  caldă  un  gaz  la  temperatura     şi  capacitatea  calorică     ,  iar  ca  sursă  rece  un  alt  gaz  la  temperatura    şi  capacitatea  calorică     . Maşina  funcționează  până  când  cele  două  gaze  ating  temperatura comună    . Să se determine temperatura    .    R.: Într‐un  proces ciclic reversibil variația entropiei este egală cu 0.  ∆ 0  Dar  đ đ ∆ ∆ ∆   ln

ln

ln  

ln

ln

1      ⇒       

0       ⇒ 

         ⇒ 

 

 

  32.   O  maşină  frigorifică  de  putere    P  produce  gheață  la  temperatura      prin  răcirea  apei  aflate  la  temperatura     . Cunoscând  durata  unui  ciclu  frigorific    t , căldura  specifică a apei    ,  căldura specifică a gheții    ,  căldura latentă de topire a gheții     să  se determine:  a) coeficientul de eficacitate frigorifică  e ;  b) cantitatea de căldură    primită de la sursa rece;  c) masa de gheață produsă în unitatea de timp;  d) coeficientul de eficacitate caloric  e’  al unei pompe termice care ar funcționa  între aceleaşi temperaturi.  Aplicaţie.  300 K ,    263 K ,    10 s ,    4185  J⁄kg · K ,   200 W ,    2093  J⁄kg · K ,     320  kJ⁄kg .    R.: a)     b)  ·        ,       c) 

       ⇒       

  

 

   

   ,   

273    

           

 

  

d)     Înlocuind valorile numerice obținem:  7,1 ;     

14200 J ;      

2000 J ;    

0,03 kg ;    

0,003 kg ;    

8,1 

Rezultă că într‐o secundă se obțin trei grame de gheață.    33.   Să se arate că variația entropiei unui gaz ideal nu depinde de drum în cazul  unui  proces  izocor  în  care  temperatura  şi  presiunea  se  dublează,  în  cazul  unui  proces  izobar în care temperatura şi volumul se dublează şi în cazul unui proces izoterm în care  presiunea se dublează, iar volumul se înjumătățeşte.    R.: Într‐un proces izocor în care  2  , 2   ,  volumul este constant:  ·2 2

 

Variația entropiei este aceeaşi pe trei drumuri diferite:  ∆

ln

ln ∆

1

Într‐un proces izobar în care  

ln

1

ln

ln 2 

ln 2 

1

ln 2   

2 , presiunea este constantă:   

1 ln

1

1

ln 2 ,       ∆ 2  ,

ln ∆

∆

ln 2

·2 2

În acest caz  ∆

ln 2

ln

ln

∆

1

ln 2

ln 2 1

ln 2 

ln 2 

ln 2  ,      ∆

Într‐un  proces  izoterm  în  care    constantă: 

1

1 2  ,

ln 2    ⁄2 ,   temperatura  este 

2

·

1 2

 

În acest caz cele trei drumuri diferite pentru care variația entropiei este aceeaşi  sunt următoarele:  ln

∆

ln ∆

∆

1

ln

ln 2

ln

ln

ln 2

1

1 2

ln

1 2

ln 2

ln 2

0 

0 

0 ,        ∆

ln 2   

Variația entropiei este negativă deoarece la comprimare sistemul primeşte lucru  mecanic şi cedează o cantitate de căldură ( 0).  ⁄ La destindere,   2 , 2 ,  rezultă:  ln 2   

∆ Pentru gaze biatomice  

1,4  şi avem inegalitățile:  ∆

∆

∆

 

 

34.      Un  corp  cu  masa     ,  căldura  specifică  la  presiune  constantă     şi  temperatura     este  pus  în  contact  cu  un  corp  cu  masa     ,    căldura  specifică     şi  temperatura    . După un timp cele două corpuri ajung în starea de echilibru termic. Să se  determine  variația  entropiei  fiecărui  corp  şi  variația  entropiei  sistemului  format  din  cele  două corpuri dacă    .  Aplicaţie.  1 kg ;  300 K ;  400 K ;   910  J⁄kg · K  Al ; 

390  J⁄kg · K  Cu   

  R.: Din condiția de echilibru termic    rezultă temperatura de echilibru     Încălzirea  izobară  a  primului  corp  este  ireversibilă,  dar  variația  entropiei  fiind  independentă  de  drum  vom  considera  o  transformare  izobară  reversibilă  între  aceleaşi  două stări ca şi transformarea reală:  đ

         ∆

ln

  

Folosind acelaşi raționament şi pentru corpul care se răceşte obținem:  ∆

ln

  

Entropia fiind o mărime aditivă, variația entropiei sistemului va fi:  ∆

∆  

∆

∆

ln

 

ln

  

Înlocuind valorile numerice obținem:  86,73  J⁄K  ,   ∆

330 K ,   ∆

75,02  J⁄K ,   ∆

11,7  J⁄K 

Deoarece  ∆ 0 rezultă că entropia sistemului creşte, procesul fiind ireversibil.    35.   În două vase se găsesc cantități egale (n moli) dintr‐un gaz ideal la aceeaşi  temperatură    T  şi  la  presiunile     ,  respectiv    .  Să  se  determine  variația  de  entropie  a  acestui sistem dacă vasele sunt puse în comunicație între ele.  Aplicaţie.  1 atm ,    2 atm ,    1 kmol ,    8310  J⁄kmol · K    R.: În starea inițială gazele au entropia  2

ln

ln

ln

2

2

ln

ln

2

 

În starea finală, după difuzie  2

ln

unde 

2

ln

2

2

 

 

deoarece   ,   

 ,   

2

 

Variația entropiei gazelor este:  ∆

2

ln

2

ln

ln

Deoarece  4 rezultă  ∆  

4

 

 

0 , adică procesul de difuzie este ireversibil.   Înlocuind valorile numerice obținem:  ∆ 9468,7  J⁄K 

36.   Să se determine variația de entropie a unui gaz ideal care suferă o detentă  adiabatică în vid (detentă Joule) cunoscând că inițial gazul ocupă un volum    la presiunea    şi temperatura    , iar în urma destinderii adiabatice gazul ocupă un volum   2 . 

Aplicaţie.  10  

10   ⁄

 ,   

 ,   

300  . 

  R.: La detenta Joule gazul perfect nu schimbă căldură şi lucru mecanic cu mediul  exterior (đ 0 , đ 0). Rezultă:   đ  đ 0     ⇒       .     ⇒       .     Variația de entropie  ∆   a gazului care suferă o detentă izotermă ireversibilă  este  aceeaşi  ca  în  cursul  unei  detente  izoterme  reversibile  având  aceleaşi  extremități  deoarece entropia este o funcție de stare.  Astfel   

∆ unde în cazul unui proces izoterm 

ln

 

Rezultă:  ∆

ln ∆

 

ln

 

ln 2  

Înlocuind valorile numerice obținem:  ∆ 0,23  J⁄K 

37.      Un  gaz  ideal  monoatomic  suferă  o  comprimare  izotermă  reversibilă  la  temperatura     de  la  presiunea     la  presiunea    ,  urmată  de  o  destindere  adiabatică  reversibilă de la presiunea    şi temperatura    până la presiunea    şi temperatura    .  Să se determine variația entropiei, variația energiei interne şi temperatura finală după  N   transformări reversibile succesive de comprimare şi detentă adiabatică.  Aplicaţie.  5  ,    1 atm ,    100 atm ,    300 K ,   3 1 kmol ,    8310  J⁄kmol · K ,     2.    R.: La o comprimare izotermă variația entropiei este  ∆

ln

ln

ln

 

La o detentă adiabatică reversibilă variația entropiei este nulă.   Entropia fiind o mărime aditivă, după  N  transformări succesive de comprimare  şi destindere adiabatică   ∆

      ln

Ecuația adiabatei în variabilele  T  şi  p  este: 

  

.  Pentru prima destindere adiabatică această relație devine:      ,     

 

Pentru a doua destindere adiabatică avem:   

 

După  N  transformări   

  

Variația energiei interne este  ∆

 

1 ∆

1

 

Înlocuind valorile numerice obținem:  ∆

76,5  kJ⁄K  ,   

7,5 K ,   ∆

3,6 · 10  J . 

  38.      Un  gaz  perfect  aflat  la  presiunea       şi  temperatura       este  comprimat  adiabatic  până  la  presiunea     după  care  este  răcit  izocor  până  la  temperatura  inițială   . În continuare gazul este comprimat adiabatic până la    şi răcit izocor până la  . Să se  determine numărul de comprimări adiabatice necesare pentru ca   ⁄  .  Aplicaţie.  300   ,    1 atm ,    10 atm ,    1,4 ,    1 8 · 10  .    R.: 

Punctele    ,  ,  , …    , parametrii    ,  ,  , unde 

   se află pe izoterma    . Starea  1  este caracterizată de 

      ⇒      

      ⇒        

       ⇒       

 

       ⇒       

În starea     parametrii gazului sunt  

 ,

       ⇒       

 ,

  

 , unde 

       ⇒       

 

În starea  2   avem:       ⇒      

 ,    

      

       ⇒       

        ⇒        

  

În general    

     ⇒       

ln ln

 ,

1

      ⇒       

ln

ln         ⇒ 

ln ln 1

 

Înlocuind  datele  numerice  rezultă    10,034 .  Întrucât  pentru    ∞ rezultă    vom lua   11 .    39.      Să  se  exprime  entropia  unui  gaz  Van  der  Waals  în  funcție  de  parametrii    şi    .    R.: Diferențiala entropiei în variabilele  T  şi  V  este:  1

 

Din ecuația energiei    şi din ecuația termică de stare a gazului Van der Waals 

 

  obținem:    ,      

       ⇒ 

  ,         

Se constată că energia internă a gazului real depinde de volum.  Înlocuind în prima relație obținem:  1

1

 

 

 

 

 

      ⇒    

Integrând ultima relație rezultă:  ln

ln

  

unde  ln

ln

  

 

40.      Densitatea  volumică  de  energie    u  a  radiației  termice  de  echilibru  este  funcție  numai  de  te,peratura    T  .  Dacă  ecuația  de  stare  a  radiației  de  echilibru  are  forma   ⁄3 , unde     este presiunea „gazului de fotoni”, să se determine:  a) dependența de temperatură a lui    ;  b) densitatea de entropie şi ecuația transformării adiabatice;  c) randamentul ciclului Carnot elementar în care temperaturile izotermelor sunt  foarte apropiate (T  şi  T –dT).    R.: a) Energia internă a radiației termice de echilibru care ocupă volumul  V  este           ⇒        

 

Din ecuația energiei    rezultă  ·

1 3

3

        ⇒       

4 3

3

       ⇒       

4 

  

Am trecut de la derivata parțială la derivata totală întrucât     depinde numai de   T . Integrând obținem:  ln

4 ln

ln        ⇒         ln

ln

ln        ⇒       

  

Rezultă  că  densitatea  volumică  de  energie  a  radiației  termice  de  echilibru  este  proporțională  cu  puterea  a  patra  a  temperaturii.  Deoarece    4 ⁄  ,  unde     este  radianța integrală a corpului negru, rezultă          ⇒            4 Am obținut formula lui Stefan Boltzmann.  b) Deoarece    , din principiul doi al termodinamicii obținem:  4

đ 4 3

4

3

4 3

4 3

3 4 3

   

  

Constanta de integrare s‐a luat egală cu zero deoarece conform principiului trei  al termodinamicii pentru   0  ( 0) entropia este egală cu zero. Densitatea de entropie  este:  4        ⇒           3 Într‐un proces adiabatic                 Astfel am obținut ecuația adiabatei în variabilele  T  şi  V .  c)   Ciclul  Carnot  elementar  la  care  este  supus  „gazul  de  fotoni”  permite  calculul  lucrului cedat de sistem mediului exterior      3 care  s‐a  aproximat  cu  mărimea  ariei  unui  dreptunghi deoarece  T  şi  T –dT sunt foarte  apropiate.   

đ

 

 

Cantitatea de căldură primită de sistem pe izoterma  BC  este:    4     3 3 În acest caz am ținut seama că pe izotermă     este constant şi deci    đ

 

 

 

η Dar 

đ đ

  3

4   3

 

         ⇒          η

4

  

        ⇒        η

4

  

Dacă  foloseam  direct  formula  randamentului  ciclului  Carnot  obțineam  acelaşi  rezultat: 

η  

 

41.  Să se determine diferența    pentru un gaz Van der Waals.  Aplicaţie.  0,55  J · m ⁄mol  ,       647,65 K ,    5,6 · 10  m ⁄mol ,    3,05 · 10

 

1

 m ⁄mol ,     

8,31  J⁄mol · K 

R.:     Diferențiind ecuația Van der Waals   

la volum constant obținem:    Diferențiind aceeaşi ecuație la presiune constantă, rezultă:   

2 Astfel  2

1

1

2

2   

În variabilele  p  şi  V  rezultă:  1

2

 

Înlocuind valorile numerice obținem:  8,34  J⁄mol · K  Abaterea relativă față de gazul ideal este  3,61 · 10  .   

 

42.    Să  se  arate  că  la  efectul  Joule‐Thomson  în  cazul  unui  gaz  Van  der  Waals  curba de inversie este o parabolă în coordonate   ,  .    R.: În cazul detentei Joule‐Thomson  0      ⇒       

 

Curba de inversie este locul geometric al punctelor pentru care  0      ⇒       

   

Înlocuind căldura latentă  h  din relația lui Clapeyron    obținem:     Din condiția de inversie  

  rezultă: 

      ⇒        

       ⇒       

       ⇒               ∗  

unde  nRT  a fost înlocuit din formula Van der Waals    Diferențiind ecuația Van der Waals la presiune constantă obținem:  2

       ⇒  2

 

Înlocuind acest rezultat în   ∗   obținem:  2

       ⇒ 

2 2

3

       ⇒  0       ⇒       2

3

0       ⇒ 

2

2

0        ⇒      

3

 

3

3

care este ecuația unei parabole de forma     unde 

1

2

 ,    

 ,    0 ,     3 3 Această ecuație se poate pune sub forma  2

 ,    

 

0  unde 

3 2

1 2

 , 

4 4

3

 , 

  2 Astfel  ecuația  parabolei  cu  vârful  în  punctul     

în planul   3

Pentru  

, 3  este: 

,

 

0   

3

0  obținem intersecțiile parabolei cu axa  pV  0      şi       

2

 

Diagrama   ,   este numită diagrama lui Amagat.  Coeficientul lui Joule‐Thomson   1   este pozitiv în interiorul parabolei şi negativ în exteriorul ei.  În cazul în care    0  prin destindere adiabatică ireversibilă   care  

0  , gazul se va răci   0 

prin destindere adiabatică ireversibilă gazul se va încălzi  

0  . 

0  , iar în cazul în 

Efectul Joule‐Thomson se anulează dacă  0  adică pe parabola cu axa orizontală.    43.      Să  se  determine  temperatura  de  inversie  a  unui  gaz  Van  der  Waals  corespunzătoare anulării efectului Joule‐Thomson.    R.: Efectul Joule‐Thomson se anulează dacă  1 0  Temperatura care satisface această relație este temperatura de inversie.  1 1 0       ⇒          1 Diferențiind ecuația Van der Waals la presiune constantă se obține:   

2  

2 2

 

  44.  Să  se  determine  temperatura  de  inversie  în  funcție  de  constantele       şi       din ecuația Van der Waals.  Aplicaţie.  3,4 · 10  J · m · mol  ,    2,37 · 10  m · mol    heliu  ,  8,31 J · mol · K .    R.: În coordonatele lui Amagat   , ,  parabola de inversie întâlneşte axa     în originea axei şi în punctul determinat de relația  2

  Izoterma  care  trece  prin  punctul  0, 2 ⁄  este izoterma de inversie          ⇒ 

2 2

  

34,5 K ,  în  acord  În  cazul  heliului    cu valoarea experimentală   34 K.  

sub 34 K.  

Astfel pentru a răci heliul prin efect Joule‐Thomson trebuie ca temperatura să fie 

Temperatura de lichefiere a heliului este de 4,2 K.    45.   Să se arate că la detenta adiabatică reversibilă a unui gaz, cu cedare de lucru  mecanic mediului exterior, are loc o răcire a gazului.    R. Într‐un proces adiabatic (izentropic)  đ

1

1

0      ⇒ 

       ⇒       

         ⇒ 

   În cazul unui proces izoterm din diferențiala entalpiei     obținem:    Folosind a patra relație a lui Maxwell    rezultă        ⇒       

      ⇒ 

   Deoarece în procesul destinderii izentrope  0 ,     rezultă  adică gazul se răceşte.     

0 ,     0 

0 ,     

0     

  46.   Să se arate că      R.: Deoarece 

1

    ,    

  0 

Astfel coeficientul Joule‐Thomson      diferă de coeficientul de variație a temperaturii cu presiunea la entropie constantă    Acest rezultat este în acord cu faptul că metoda de răcire bazată pe un proces de  destindere  adiabatică  reversibilă  este  mai  eficace  decât  metoda  Joule‐Thomson  care  se  bazează pe un proces ireversibil:     

47.   Să se obțină o expresie aproximativă a coeficientului Joule‐Thomson   

în cazul în care produsul constantelor    şi  b  din ecuația lui Van der Waals se neglijează.    R.:  Diferențiind  ecuația  Van  der  Waals  la  presiune  constantă  şi  neglijând  termenii ce conțin produsul     obținem:  2

1

1 2

1

2 2

2 1

2

2

      ⇒      

Înlocuind în expresia coeficientului Joule‐Thomson   1

 

2

 

       ⇒ 

 

obținem:  2

2        ⇒       

  

Temperatura de inversie se obține din condiția  2

0           48.   Să se arate că     R.: Din condiția ca  đ

 

  nu depinde de volum pentru un gaz Van der Waals. 

ℓ

đ

să fie diferențială totală exactă rezultă 

ℓ ℓ

 

 

Înlocuind căldura latentă  ℓ  din relația lui Clapeyron  ℓ

 

obținem:        ⇒     Din ecuația Van der Waals    rezultă         ⇒      

      ⇒        0       ⇒      

. 

  49.   Să se determine energia internă a unui gaz Van der Waals.    R.: Exprimăm  dU  în variabilele  T  şi  V :    Prin definiție 

0      ⇒ 

  iar pentru un gaz Van der Waals    Rezultă:     nu depinde de volum, prin integrarea 

Întrucât pentru un gaz Van der Waals   relației obținem: 

  1

 

 

1

 

 

unde   

 

reprezintă  energia  internă  a  gazului  real  ce  ocupă  volumul     la  temperatura     .  ⁄   reprezintă energia   are semnificația energiei cinetice a gazului, iar   Termenul   potențială  de  interacțiune  dintre  moleculele  gazului.  Energia  internă  este  definită  numai  până la o constantă aditivă    . Se poate determina exact numai variația energiei interne.    50.      Să  se  determine  cu  cât  scade  temperatura  unui  mol  de  gaz  într‐o  detentă  Joule dacă starea inițială a gazului este caracterizată de volumul    şi temperatura    . Se  va  considera  că  volumul  final  este  de  două  ori  mai  mare  decât  volumul  inițial.  Se  cunosc  căldura molară a gazului şi constanta     din ecuația termică de stare Van der Waals.  Aplicaţie.  0,024 m  ,    293 K ,      R.: În detenta lui Joule 

28,46 J · mol

·K

 ,   

0       ⇒       

ℓ

 

ℓ 

Înlocuind căldura latentă  ℓ  din relația lui Clapeyron  ℓ obținem:  

 

0,366 J · m · mol   ℓ

       ⇒ 

   Diferențiind ecuația Van der Waals    la volum constant rezultă         ⇒        

 

Înlocuind în ecuația încadrată obținem:    Deoarece  

  nu depinde de volum, prin integrarea relației de mai sus rezultă:  1

      ⇒        Pentru  

1  mol,  

 ,

1

  

2  obținem:    

2 Înlocuind valorile numerice obținem:  0,27 

0,27   

Acest rezultat este în acord cu datele experimentale.    51.   Un lichid se află în starea determinată de temperatura  T , presiunea  p  şi  volumul  molar    V  .  Cunoscând  coeficientul  de  dilatare  termică       şi  coeficientul  de  comprimare izotermă     să se determine căldurile latente  ℓ  şi    ,   , coeficienții   ,    şi constanta     din ecuația Van der Waals.  Aplicaţie.  300   ,    1   ,    1,8 · 10 2,2 · 10   R.: Din relațiile lui Clapeyron  ℓ

 

⁄  ,    

 

 

⁄

8,31  ⁄

 ,     

şi din formulele de definiție a coeficienților     şi       1 1   ,       rezultă: 

 ,    

2,9 · 10   ·   

 

 

 , 

      

     ⇒     ℓ

       ,      

 

Deoarece        ⇒      

 

obținem:  ℓ

  

Din ecuațiile   

 ,    

 

şi din relațiile lui Clapeyron rezultă:  ℓ

          

  

Pentru un proces izobar        ⇒       

ℓ  

 ,     

     ⇒ 

ℓ ℓ       ,     

  

Din ecuația Van der Waals    obținem:   ,      ℓ

 ,    ℓ ℓ

      ⇒       

    

Înlocuind valorile numerice obținem:  ℓ

1,3 · 10 N⁄m

13 atm ,    12 atm ,    

1,6 · 10

m

 m ⁄mol

1,78 · 10 3,9 · 10

mol ,    

 J · m ⁄mol  

Observaţie. Coeficientul    împreună cu  ℓ  şi  p  sunt mărimi intensive, iar coeficientul  

V

  6,8 · 10

1,8 · 10

 J⁄mol · K , 

 m ⁄mol ,  

  împreună cu  h  şi  V  sunt mărimi extensive.    52.   Să se determine variația temperaturii unui lichid într‐un proces reversibil  de  comprimare  adiabatică  dacă  starea  inițială  este  caracterizată  de  presiunea      şitemperatura     ,  iar  în  starea  finală  presiunea  este     .  Se  dau:  coeficientul  de  dilatare  termică    , căldura specifică la presiune constantă      şi densitatea     a lichidului.  Aplicaţie.  1 atm ,     10 atm ,     300 K ,     2 · 10  K  ,  4185  J⁄kg · K ,    

10  kg⁄m  

  R.: Într‐un proces adiabatic  đ În problema anterioară am obținut 

0   

Deci: 

 

sau 

0 

0      ⇒      

 

      ⇒    

Integrând această relație obținem:  ln ln

           ⇒         

ln

   

∆ În cazul aplicației numerice obținem:  300,013 K ,    ∆ Deoarece  ∆

0,013 K 

 , puteam trece de la variații infinitezimale la variații finite  ∆

∆

0,0129 K

0,013 K 

şi obținem practic acelaşi rezultat.  Deoarece     ,  ,  ,   şi  ∆   sunt  mărimi  pozitive,  a  rezultat  că  la  compresia  reversibilă  a  lichidului  într‐o  incintă  adiabatică  are  loc  o  creştere  a  temperaturii.  Totuşi,  pentru apa aflată într‐un anumit domeniu de temperaturi   0  şi deci  ∆ 0 , adică are  loc o răcire. 

  53.      Să  se  determine  variația  elementară  a  temperaturii    dT  a  unui  lichid  în  funcție de variația elementară a suprafeței lichid‐vapori  dA  în decursul unei transformări  izentrope.    R.: Pentru a creşte cu  dA  suprafața liberă a unui lichid în contact cu vaporii săi  saturați, trebuie furnizat lucrul mecanic  đ   unde     este coeficientul de tensiune superficială.  În expresia cantității de căldură  đ    este  capacitatea  calorică  a  lichidului  de  suprafață  constantă,  iar    h  este  cantitatea  de  căldură corespunzătoare unei variații izoterme a suprafeței.  Din condițiile ca     đ  đ        ⇒          şi  đ        ⇒           să fie diferențiale totale exacte obținem:    

         ⇒          

1

1

1

          ⇒ 

   Egalând ultimele două relații încadrate obținem:           ⇒          

  

Pentru ca  h  să fie pozitiv este necesar ca   0  adică       trebuie  să  fie  o  funcție  descrescătoare  de  temperatură.  Pentru  un  proces  izentropic  0        ⇒        

            ⇒ 

    

54.   O sursă electrică funcționează adiabatic debitând un curent de intensitate  I   în  timpul   ∆  .  Cunoscând  temperatura  inițială     ,  capacitatea  calorică  a  sursei       şi  coeficientul    unde  e  este tensiunea electromotoare, să se determine variația temperaturii  ∆  .  Aplicaţie.  2   ,    ∆ 50   ,     300   ,      418  ⁄  ,  4,8 · 10

  ⁄  

  R.: Energia electrică furnizată de sursă este  đ  ,       unde  semnul  minus  are  semnificația  că  sursa  furnizează  o  sarcină    Idt    sau  că  sursa  primeşte o sarcină negativă  đ  .   Cantitatea de căldură se exprimă în funcție de capacitatea calorică a sursei     şi  de căldura latentă izotermă a sursei  đ   Din condiția ca    đ  đ        ⇒            şi  đ        ⇒           să fie diferențiale totale exacte obținem:    

         ⇒          

1

1

          ⇒ 

   Din relațiile încadrate obținem:           ⇒          

  

Pentru un proces izentropic  0      ⇒     

0     ⇒       

 

    ⇒       1

      ⇒      

  

Prin integrare obținem:  ∆

  

Înlocuind valorile numerice obținem:   0.34 K 

299,66 K ,    ∆

  55.      Un  fir  metalic  de  densitate  volumică     ,  coeficient  de  dilatare  liniară     ,  căldură  specifică  la  presiune  constantă     ,  de  secțiune    s , care  se  află  la  temperatura    T   este întins de o forță a cărei variație este df . Presupunând că transformarea este adiabatică,  să se determine variația  dT  a temperaturii firului.    R.: Din formula coeficientului de dilatare liniară  1 1   rezultă:    Diferențiind energia liberă   

obținem: 

  Pe baza primului principiu al termodinamicii  đ

đ

 

putem scrie: 

 

Relația  lui  Maxwell  corespunzătoare  se  obține  din  condiția  ca    dF    să  fie  diferențială totală exactă:    Pe baza principiului doi al termodinamicii rezultă:  đ

      ⇒      

        ⇒   

Dacă  tracțiunea  are  loc  rapid,  atunci  transformarea  poate  fi  considerată  adiabatică şi deci  đ

0        ⇒        

 

       ⇒ 

       ⇒        

       ⇒   

Pentru majoritatea corpurilor obişnuite   0 , adică are loc o răcire a firului  metalic. Excepție face cauciucul negru, care la o tracțiune adiabatică se încălzeşte.    56.   Să se determine variația  ∆   a temperaturii unui fir de cupru la o întindere  adiabatică prin creşterea forței de la  0  la  f . Se cunosc: densitatea volumică a cuprului    ,  coeficientul  de  dilatare  liniară     ,  secțiunea  firului  s  ,  căldura  specifică  la  presiune  constantă     şi temperatura inițială    .  Aplicaţie.  10 N ,     8900  kg⁄m  ,     1,5 · 10  K  ,  10  m  ,    

390  J⁄kg · K ,    

300 K   

  R.: Din problema precedentă obținem:    Integrând rezultă:  ln

       ⇒        

  

Înlocuind valorile numerice obținem:  299,986    (temperatura scade)  ∆    0.014 K    57.   Să se rezolve problema anterioară fără a folosi energia liberă.    R.: Pe baza primului principiu al termodinamicii          ⇒   đ đ đ          ⇒    Din condiția ca  dU  să fie o diferențială totală exactă rezultă: 

       ⇒       ⇒     Din condiția ca 

đ

       

să fie o diferențială totală exactă obținem:        ⇒       

1

1

        ⇒ 

   Comparând relațiile încadrate rezultă          ⇒         đ

 

0             ⇒                         ⇒        

Deoarece  ∆

       ⇒   

  putem scrie ultima relație pentru mărimi finite  ∆  

∆

  58.  Să se determine variația energiei libere la o comprimare izotermă a unui gaz  Van der Waals dacă volumul gazului variază de la    la    .   Aplicaţie.  300 K ,     5 · 10  m ⁄mol ,     4 · 10  m ⁄mol ,  0,5  J · m ⁄mol  ,     3 · 10  m ⁄mol ,       R.: Diferențiala energiei libere are expresia    Într‐o transformare izotermă  

0  đ  

8,31  J⁄mol · K 

Pentru un gaz perfect la temperatură constantă     0       ⇒      

0       ⇒      

 

Diferențiala entalpiei libere fiind    rezultă că într‐un proces izoterm al unui gaz ideal    đ   Pentru un gaz Van der Waals      ln

∆ 1

ln

1

 

 

Pentru un mol de gaz  ∆

1

ln

1

 

Înlocuind datele numerice obținem  ∆ 771,98  J⁄mol .    59.      Un  pendul  metalic  de  torsiune  de  capacitate  calorică    C , căldură  latentă  izotermă  L , unghi de torsiune    , constantă de torsiune  t(T) , care se află la temperatura  T   este  torsionat  cu  un  unghi   ∆  . Considerând  că  transformarea  este  adiabatică,  să  se  determine variația  ∆   a temperaturii pendulului dacă  ∆  .    R.: Diferențiind energia liberă    obținem:  2     Pe baza primului principiu al termodinamicii  đ

đ

 

putem scrie:   

2

 

 

       ⇒        

Condiția ca  dF  să fie diferențială totală exactă este 

 

 

  Pe baza principiului doi al termodinamicii  đ

 

rezultă     Din relațiile încadrate obținem    Pentru o transformare adiabatică  0       ⇒       

đ

 

Astfel    Pentru  ∆

 

  putem scrie  ∆

∆   

  60.   Să se deducă relațiile lui Maxwell pentru un condensator la care volumul  V   dintre armături este umplut cu un dielectric izotrop aflat la presiunea  p  şi temperatura  T .  Condensatorul  electric  este  încărcat  cu  sarcina    q    prin  aplicarea  la  armături  a  unei  diferențe de potențial    .     R.: Condensatorul umplut cu dielectric este caracterizat la echilibru de perechile  de  variabile  conjugate    ,  , ,   şi   ,  , în  care    p , T  şi       sunt  mărimi  intensive,  iar  V ,  S  şi  q  sunt mărimi extensive.   Lucrul  elementar   đ   este  format  din  lucrul  mecanic  al  forțelor  de  presiune     şi din lucrul datorat forțelor electrostatice    :  đ

 

 

Luând  mărimile    S ,  V  şi    q  ca  variabile  independente,  din  primul  principiu  al  termodinamicii obținem:   đ

đ        ⇒       

 

 

Definind o energie internă  rezultă 

   

 

        ⇒ 

 

         

în care variabilele independente sunt  S ,  V  şi    .  La fel putem scrie relațiile   ,

 ,     

 

 ,    

 ,    

 ,   

 ,    

   

, , , , , ,  şi   depind numai de mărimile de stare  T , S , p ,  V , q şi   , fiind deci diferențiale totale exacte.  Astfel putem scrie relațiile:   ,     

,

,

,

,

,

,

 ,    

,

,

,

,

,

,

 ,      ,     ,

,

,

,

 ,    

,

,

,

,

 ,      ,    

,

,

 ,    

,

 ,   , 

,

,

 ,     ,

 , 

,

,

 ,    

 , 

,

,

,

,

,

 , 

,

,

 ,    

,

 , 

,

,

,

 ,    

,

 ,    

 ,    

,

 , 

,

,

,

,

 ,    

,

 ,     

,

,

 

Relațiile ce conțin derivata entropiei constituie relațiile lui Maxwell.    61.    Să  se  deducă  relațiile  lui  Clapeyron  şi  derivatele  capacităților  calorice  în  raport cu variabilele  p  şi  V  pentru condensatorul din problema precedentă.    R.: Cantitatea de căldură elementară schimbată cu mediul exterior poate fi scrisă  sub forma  đ ℓ   , , Pe baza principiului doi al termodinamicii rezultă 

đ

ℓ

,

,

 

Din problema precedentă   

đ đ

dS , 

 şi 

ℓ ,

,

 

,

,

ℓ

,

 ,     

,

 ,     1

, .

,

ℓ

1

,

,

,

,

1

 

  fiind diferențiale totale exacte, putem scrie 

,

1

ℓ

,

ℓ ,

,

ℓ ,

,

1

  ,      

        ⇒ 

,

, ,

,

        ∗  

       ⇒          ∗∗  

1

, ,

ℓ

,

  ,     

,

           ∗∗∗  

Comparând relațiile  ∗   şi   ∗∗∗   obținem relațiile lui Clapeyron  ℓ

           ,         

,

,

                ∗∗∗∗  

Din   ∗∗   şi   ∗∗∗∗   rezultă  1

,

         ⇒ 

.

,

.

,

   ,

1

.

,

         ⇒ 

.

,

.

,

   ,

.

  62.    Să  se  obțină  capacitățile  calorice    ,  şi    ,  în  funcție  de  derivatele  de  ordinul doi ale energiei interne şi ale entalpiei în raport cu entropia pentru condensatorul  electric.    R.:  ,  se obține din relațiile 

 ℓ

,

,

,

.

ℓ

.

 

Pentru un proces la volum constant şi la o diferență de potențial constantă  ,

         ⇒           

.

  

, .

Deoarece 

 

 

rezultă    .

 

, . ,

 se obține pe baza relațiilor  ,

,

Pentru un proces la   ,

.,

,

.,  obținem         ⇒        

,

 

,

,

  

, ,

Din relația   

 

rezultă    ,

Astfel 

  

, .

  63.      Să  se  arate  că  la  creşterea  diferenței  de  potențial  dintre  armăturile  unui  condensator  electric  are  loc  o  contracție  a  volumului  dielectricului  (fenomenul  de  electrostricțiune).    R.:  Exprimând  elementul  de  volum  dV    în  funcție  de  variabilele     ,   şi      obținem 

  La presiune şi temperatură constantă    ,

Pentru 

 

rezultă 

    ,

Astfel 

,

  ,

Din relația 

 

obținem         ⇒         ,

 

,

,

Integrând (   variază de la  0  la    ) obținem  ∆

  2 Variația volumului este un efect pătratic care nu depinde de semnul lui    .  ,

  deci    

 

,

,

sunt  mărimi  pozitive,  deoarece  la  creşterea  presiunii  dielectricului  creşte  numărul  de  molecule  polarizabile  pe  unitatea  de  volum,  care  conduce  la  o  creştere  a  constantei  dielectrice a mediului şi deci a capacității condensatorului. Deoarece    , acest lucru  conduce la o creştere a sarcinii  q . Rezultă că  q  şi  p  variază în acelaşi sens.  Astfel,  dacă  potențialul       creşte,  atunci  are  loc  o  micşorare  a  volumului  dielectricului  şi  invers,  la  o  micşorare  a  diferenței  de  potențial,  volumul  mediului  dintre  armături creşte (fenomenul de electrostricțiune).    64.      Să  se  arate  că  în  condiții  normale  (20  0C,  1  atm),  energia  mecanică  şi  cantitatea  de  căldură  au  valori  mici  în  comparație  cu  energia  electrică  furnizată  de  generator unui condensator electric.  Aplicaţie (pentru CS2):  1,7 · 10 2,63 ,     

 

 ,    101325  ⁄

2,4 · 10    ,    

293,15   . 

 ,     

R.: Din problema precedentă  ∆

 

2

Pentru un lichid variația volumului este mică, astfel că lucrul mecanic primit este  ∆

 

2

Energia electrică dată de generator la  

.,

1 2

Astfel 

.,  este 

 

   Din expresia lui  dS  ,

 

rezultă    ,

Din 

 

se obține  ,

,

Astfel  ,

 

      ⇒        

,

  

Cantitatea  de  căldură  schimbată  de  sistem  cu  exteriorul  la  încărcarea  condensatorului la presiune şi temperatură constante este  đ

,

,

 

Prin integrare rezultă    

2 Astfel    

Înlocuind valorile numerice obținem   ⁄ 6,5 · 10  ,   ⁄ 0,27.   Semnul  minus  din  ultimul  raport  arată  că  la  încărcarea  izotermă  a  condensatorului  sistemul  cedează  căldură  mediului  exterior.  Energia  mecanică  primită  la 

încărcare este o mică fracție din energia internă. Variația energiei interne reprezintă 73%   din  energia  dată  de  generator.  Energia  înmagazinată  poate  fi  recuperată  la  descărcarea  izotermă a condensatorului.    65.   Să se stabilească relația:    şi să se particularizeze la cazul în care magnetizația  M  satisface legea lui Curie 

χ

 

În relațiile de mai sus    este capacitatea calorică la magnetizare constantă,    este  capacitatea  calorică  la  câmp  magnetic  constant,     este  permeabilitatea  magnetică  a  vidului,  χ  este susceptibilitatea magnetică,  C  este constanta lui Curie, iar  V  este volumul.    R.:   , , ,   , , , , ,         ⇒ 

   Diferențiala energiei interne se exprimă astfel  đ unde  

 

đ

  este lucrul de polarizare magnetică.  Diferențiala energiei libere şi cea a entalpiei libere se obțin uşor     

Introducând    ,       

 

 

obținem:    ,    

 

  ş      sunt diferențiale totale exacte deoarece depind numai de mărimi de  stare. Din condiția ca     sau     să fie diferențială totală exactă obținem  ,

,

Înlocuind în expresia pentru   ,

 

  rezultă          ⇒        

  

Particularizând pentru     obținem         ⇒       

  ,     

·

·

       ⇒ 

     66.   Să se arate că la creşterea intensității câmpului magnetic are loc o variație a  volumului mediului aflat în acest câmp (fenomenul de magnetostricțiune).    R.:  Exprimând  elementul  de  volum  dV    în  funcție  de  variabilele     ,   şi      obținem    La presiune şi temperatură constantă 

Luând entalpia liberă de forma 

,

   

rezultă 

  ,

  ,

  ,

La o substanță paramagnetică    şi deci  ∆

0 .  La o substanță feromagnetică putem scrie 

χ   unde susceptibilitatea depinde de  H  şi  p .   Astfel 

χ

  ,

Integrând ( H variază de la  0  la  H ) obținem  ∆

χ 2

,

 

Modificarea formei unui corp feromagnetic în timpul procesului de magnetizare  se  numeşte  magnetostricțiune.  Dimensiunea  liniară  a  corpului  pe  direcția  magnetizației  proprii suferă o variație  ∆ℓ⁄ℓ  de ordinul a 10   10  .    67.   Să se arate că viteza sunetului într‐un gaz molecular biatomic paramagnetic  depinde de intensitatea câmpului magnetic  H . Se va presupune că gazul este un gaz ideal  care verifică legea lui Curie  .    R.: Diferențiala entalpiei libere    este    Din această relație rezultă    La  

.  şi  

,

. obținem 

  , Înlocuind    rezultă 

 

,

2

,

2

,

Capacitatea calorică la  

 

.  şi  

 

.  este obținută astfel 

đ ,

,

,

,

Analog se obține capacitatea calorică la   ,

,

1

,

.  şi   1

,

,

 

.   

,

Din definiția indicelui adiabatei obținem  , ,

1

,

       ⇒         1

  

,

Rezultă că viteza sunetului    depinde de intensitatea câmpului magnetic  H .  Pentru un gaz paramagnetic biatomic ideal,    7 5 1,4 ,  ,     1,4 ,    .  , , 2 2   68.   Să se determine variația entropiei la presiune constantă a unui corp chimic  pur de masă  m , de la  0 K  până la temperatura de vaporizare    , cunoscând temperatura  de  topire     ,  căldura  latentă  de  topire     ,   căldura  latentă  de  vaporizare     , căldura  specifică la presiune constantă a corpului în stare solidă     şi căldura specifică la presiune  constantă a corpului în stare lichidă   ℓ  .  Aplicaţie (pentru apă).  273,15 K ,    373,15 K ,    3,348 · 10  J⁄kg ,  1 kg ,    2,253 · 10  J⁄kg ,     2093  J⁄kg · K ,    ℓ 4185  J⁄kg · K ,     1 atm .         R.: Conform principiului trei al termodinamicii, entropia unui corp chimic pur la   0  K    este    0  .  Astfel  variația  de  entropie  cerută  este  chiar  entropia  la  presiunea    p  şi  la  temperatura de vaporizare    .  ,

ℓ

 

,

 

ln

 

ℓ ln

 

Am folosit faptul că la  0 K ,  0 .  Înlocuind valorile numerice obținem  , 2,032 · 10  J⁄kg .    69.   Să se arate că  lim

0 

 

,

unde  M  este magnetizația, iar  H  este intensitatea câmpului magnetic.    R.: Lucrul  de  polarizare  magnetică  este     , unde    V  este  volumul,  iar    este permeabilitatea vidului.  Lucrul elementar total este  đ   Diferențiala energiei interne se exprimă astfel   đ

đ

 

Diferențiind energia liberă   

obținem 

  sau    Deoarece    dG  depinde  numai  de  mărimi  de  stare,  rezultă  că  este  o  diferențială  totală exactă şi deci   

,

,

Conform principiului trei al termodinamicii la  0 K  entropia nu depinde de nici  un parametru, adică  lim  

Rezultă că 

0 

,

lim  

0  ,

  70.      Să  se  determine  variația  temperaturii  de  tranziție  a  staniului  cenuşiu  în  staniu alb la presiunea   p  dacă la  presiunea    temperatura  de  tranziție  este     . Se dau: 

densitățile staniului cenuşiu    şi a staniului alb   , masa atomică a staniului  M  şi căldura  latentă de tranziție    .  Aplicaţie.  100 atm , 1 atm  101325  N⁄m   ,     291 K ,      5,75 · 10  kg⁄m  ,    

7,3 · 10  kg⁄m  ,     

118,7  kg⁄kmol ,  

2,24 · 10  J⁄kmol . 

  R.: Variația volumului este 

1

∆

1

 

Din ecuația lui Clausius Clapeyron  1

 

1

obținem  ∆

∆ ·∆  

Înlocuind valorile numerice obținem  ∆

 m ⁄kmol ,       ∆

 4,38 · 10

 5,8 K . 

  71.      Un  lichid  aflat  la  temperatura     şi  presiunea     este  comprimat  la  temperatură  constantă.  Să  se  determine  presiunea  la  care  are  loc  solidificarea  lichidului  dacă la presiunea atmosferică    topirea are loc la temperatura    , iar căldura latentă de  topire este    . Se cunosc densitățile   ℓ  şi    pentru corpul lichid şi pentru corpul solid în  condiții  normale.  Se  presupune  că  presiunea  de  echilibru  este  o  funcție  liniară  de  temperatură.  Aplicaţie (la benzen)  279 K ,    101325  N⁄m  ,    278.4 K ,      1,3 · 10  J⁄kg ,  ℓ

880  kg⁄m ,      

  R.: Ecuația lui Clausius Clapeyron este  1

1031  kg⁄m  .     1

   ,      

1

 

ℓ

∆

1

1

∆  

ℓ

∆   Solidificarea lichidului are loc la o presiune mai mare decât presiunea normală,  deoarece şi temperatura este mai mare decât cea de topire normală. (Excepție face gheața,  la care presiunea şi temperatura au variații opuse şi deci  p  ∆ ) .  Înlocuind datele numerice obținem 

∆ 16,8 · 10   ⁄  ,       17,8 · 10   ⁄     72.  Un  lichid  aflat  la  temperatura     şi  presiunea     este  comprimat  la  temperatură  constantă.  Să  se  determine  presiunea  la  care  are  loc  vaporizarea  lichidului  dacă la presiunea atmosferică    vaporizarea are loc la temperatura    , iar căldura latentă  de vaporizare este    . Se cunosc densitățile    şi    pentru corpul lichid şi pentru vaporii  lichidului în condiții normale. Se presupune că presiunea de echilibru este o funcție liniară  de temperatură.  Aplicaţie (la apă)  374 K ,    101325  N⁄m  ,    373 K ,      2,26 · 10  J⁄kg ,  958,8  kg⁄m ,         R.: Din ecuația lui Clausius Clapeyron  1

1

0,60  kg⁄m  .    

1

   ,      

 

obținem  ∆

1

1

∆  

∆   ⁄ Temperatura  de  fierbere  creşte  cu  creşterea  presiunii    0 .  Înlocuind  datele numerice obținem  1,05 · 10   ⁄   ∆ 3638  ⁄  ,         73.      Să  se  determine  căldura  latentă      corespunzătoare  temperaturii    T   cunoscând  temperatura  critică     de  trecere  a  unui  metal  din  starea  normală  în  starea  supraconductoare şi câmpul magnetic critic   la  0 K.  Aplicaţie (pentru aluminiu)  1,18 K ,    1,05 · 10  T ,     0,2 K ,     2700  kg⁄m  .    R.:  Intensitatea  câmpului  magnetic  critic       variază  cu  temperatura    T  după  legea  1

 

Inducția  magnetică     ,  intensitatea  câmpului  magnetic      şi  magnetizația     (momentul magnetic al metalului pe unitatea de volum) sunt legate prin relația    Lucrul  de  polarizare  magnetică  este     este permeabilitatea vidului.  Lucrul elementar total este 

 , unde    V    este  volumul,  iar  

đ

 

Variația energiei interne este   đ

 

đ

Considerând o unitate de masă din metalul ce suferă transformarea obținem   

 

unde       este  momentul  de  dipol  pe  unitatea  de  masă.  Diferențiind  energia  liberă  a  unității de masă    obținem      La presiune constantă    Pentru  o  variație  a  temperaturii  cu    dT    corespunzătoare  variației    d  a  intensității câmpului magnetic critic, condiția de continuitate a entalpiei libere la trecerea  din starea normală în starea supraconductoare este       ⇒     

 

unde indicele  N  corespunde stării normale, iar indicele  S  stării supraconductoare.  Rezultă    Căldura  latentă  a  unității  de  masă  este    .  Înlocuind    relația de mai sus se obține o expresie analoagă formulei lui Clausius‐Clapeyron 

 în 

  În  starea  normală,  magnetizația    0 , iar  în  starea  supraconductoare    0 (efectul Meissner).    0       ⇒          Deci     Dar  2 Pentru   de căldură. Deoarece 

       ⇒      

  rezultă  

2

1

  

0 , adică la schimbarea stării nu are loc un transfer 

1

 

relația de mai sus devine  2 Luând  

 , 

1

  

  rezultă  2

1

 

Înlocuind valorile numerice obținem  2 · 1,05 · 10 2700 · 4 · 10

0,2 1,18

0,2 1,18

1

1,81 · 10

J⁄kg 

  74.     Temperatura  critică  de  trecere  a  unui  metal  din  starea  normală  în  starea  supraconductoare este    . Să se determine temperatura  T’  la care căldura specifică nu se  schimbă la această tranziție de fază.  Aplicaţie (la aluminiu):   1,18   .    R.: Pentru unitatea de masă putem scrie  đ   ,       ,       ,        unde  c , 

 şi   sunt călduri specifice.  Din formula căldurii latente  2

 

1

 

obținem  2

rezultă 

 

1

Din condiția de continuitate a căldurii specifice          ⇒       1

0     ⇒      1

0     ⇒  2

√3

0      ⇒     1

  

Înlocuind valoarea numerică a lui     obținem  0,68   

3

0      ⇒ 

75.    La  temperatura     ,  entropia  stării  supraconductoare    0 . Să  se  determine entropia corespunzătoare stării normale pentru aceeaşi temperatură şi variația      a căldurilor specifice pentru     cunoscând câmpul magnetic critic     la  0 K .  Aplicaţie (la aluminiu):  1,18 K ,     

1,05 · 10  T ,   

2700  kg⁄m  ,    

0,2 K ,   

27  kg⁄kmol . 

R.: Căldura latentă de transformare a unității de masă este   

0     ⇒  

Pentru    ,

   

2

1

  

Deoarece    dar  2

1

 

iar  1

2

1

1

3

 

Astfel  2 Pentru  

1

3

 

  obținem  4

 

0 . Tranziția de la starea normală la starea supraconductoare  În acest caz,   este  o  tranziție  de  fază  de  ordinul  doi,  deoarece  căldura  latentă  este  nulă,  iar  căldurile  specifice  suferă  o  discontinuitate.  Descreşterea  entropiei  datorită  răcirii  de  la  starea  normală  la  starea  supraconductoare  ne  arată  că  starea  supraconductoare  este  mai  ordonată decât starea normală, deoarece entropia este o măsură a dezordinii sistemului. O  parte  sau  toți  electronii  (excitați  termic  în  starea  normală)  sunt  ordonați  în  starea  supraconductoare. Luând    ,    rezultă  2

1

    ,    

4

Înlocuind valorile numerice obținem  9.05 · 10  J⁄kg · K  0,24  J⁄kmol · K  0,11  J⁄kg · K  

  

FIZICĂ STATISTICĂ      1. Considerăm  un  sistem  izolat,  alcătuit  din  două  subsisteme  la  temperaturile  apropiate    şi    , despărțite printr‐un perete adiabatic şi care conțin câte un mol de gaz  ideal.  Să  se  determine  de  câte  ori  este  mai  mare  probabilitatea  termodinamică      ca  temperatura  subsistemelor  să  devină  aceeaşi,  decât  probabilitatea  termodinamică      ca  subsistemele  să  rămână  la  temperaturile  avute  inițial,  în  urma  îndepărtării  peretelui  izolant. Volumele celor două compartimente sunt egale.    R.: Raportul celor două probabilități se obține astfel  ln

  ,    

ln

       

⁄

 

⁄

   

 

T 

 

 

 

T   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  şi     sunt entropiile sistemului în starea de echilibru, respectiv de dezechilibru.  2

ln

ln ln

ln

2   ,    

ln ln

2

2 ln

ln 2 ln 2 ln

 

2

       ⇒ 

ln 2  

ln

ln

ln

ln

 

 

Rezultă    ,     

3 2

3 2

 

4

 

Rezultă că    întrucât   6,023 · 10   part/kmol.    2. La temperatura de  0 K , atomii unui solid sunt perfect ordonați într‐o rețea  cristalină. Odată cu creşterea temperaturii o parte din atomi părăsesc pozițiile de echilibru  şi  migrează  spre  suprafața  cristalului.  Aceste  defecte  se  numesc  defecte  Schottky.  Să  se  determine  dependența  de  temperatură  a  concentrației    ⁄   de  defecte  Schottky,  considerând că în cristal se află  N  atomi şi că energia de formare a unui defect este    . 

  R.: Energia cristalului cu  n  defecte este    unde     este energia cristalului ideal, iar  n  este numărul de defecte.  Entropia cristalului se exprimă astfel      se determină pe baza formulei lui Boltzmann  ln   unde  P  este probabilitatea termodinamică şi reprezintă numărul de configurații distincte  compatibile cu macrostarea în care există  n  defecte.  Din  totalul  de       poziții  se  obțin  toate  configurațiile  posibile  prin  permutarea acestor poziții, deci  ! , dar care nu sunt toate distincte. Prin permutarea  defectelor între ele şi prin permutarea atomilor din nodurile rețelei nu se obțin configurații  distincte. Deci  !   ! ! ln ! ln ! ln !   ln

ln

       ⇒ 

ln

ln

ln

ln

 

Am  folosit  formula  lui  Stirling  deoarece  am  presupus  că    N  şi    n  sunt  numere  foarte mari.  Starea  de  echilibru  e  aceea  pentru  care  entropia    S  este  maximă,  iar  energia  liberă  F  este minimă.    ln

ln

ln

 

Punând condiția de minim al energiei libere în raport cu numărul  n  de defecte  obținem  0     ⇒       ln

1

ln        ⇒       

⁄

1

      ⇒       

1 ⁄

1

1

ln ⁄

0      ⇒  1       ⇒ 

  

  3. Să se determine energia medie a unui oscilator folosind distribuția canonică  dacă energia cuantificată a oscilatorului este  1 ν  ,      0 , 1 , 2 ,   .  .  .    2   R.: Pe baza distribuției canonice, probabilitatea ca o particulă să se afle în starea  energetică     este 

∑

∑

Energia medie a oscilatorului este 

ν

2

∑

ν 2

ν 2

ν

ν

ν 

ν

ν ν

1

ν

∑

ν

1

ln

2

ν

ν ν

1

         ⇒ 

ν

      ⇒         

ν ν

2

 

 

ν

1

ν

2

ν

ν 

∑

2

ln 1

 

ν

ν

ν ν

ν La  

ν

∑

ln

2

 

∑

ν

ν 

∑

1 2

∑

∑ ∑

1

  ,       

   1

0 K  ∞      ⇒       

ν⁄

ν⁄

1      ⇒        

ν ν

ν⁄

1

       ⇒ 

ν

0       ⇒        

2

 

Deci la zero absolut încetează mişcarea de translație a oscilatorului rămânând o  energie de vibrație nenulă   ν⁄2  numită energie de zero.    4. Să se exprime energia internă  U  cu ajutorul funcției de partiție  ⁄

…   

R.:  

⁄

…  …  1

… 

⁄

 

⁄

… 

 

⁄

        ⇒           

… 

1 ·  

Dar  ln

 

⁄

 

Astfel 

ln

  Pentru un sistem de  N  particule 

 

ln

 

 

  5. Considerăm  un  gaz molecular  care  satisface  legea repartiției  Maxwell.  Să  se  determine pentru o moleculă:  a) energia cinetică medie    ;   ;   b) energia cinetică pătratică medie  c) abaterea pătratică medie a energiei    .    R.: a)  ⁄

4 2

 

2

2

·

3

3 2

        ⇒         

  

b)  4 Din relația de recurență 

4

⁄

·4 1

  ,     

2

obținem 

5 2

Rezultă 

  ,     

1 2

15 4 c) 

2 

5 3 · 2 2

unde  2

 

2

15 1 · 4 2

 

 

  

15 4

9 4 3 2

       ⇒    

  6. Două molecule de gaz ideal care au masele    şi     se mişcă cu vitezele      şi    . Să se determine viteza medie de mişcare relativă.    R.: Ecuațiile de mişcare pentru cele două molecule sunt 

        ⇒         

         

        ⇒         

         

Conform legii a treia a dinamicii  

   .  1

 

1

1 Notând     ,    

1

1

1 1

       ⇒         

 

rezultă  1

 

Această relație arată că mişcarea relativă poate fi studiată cu o ecuație de acelaşi  tip  ca  aceea  pentru  mişcarea  unei  singure  particule  de  masă      (masa  redusă)  şi  de  coordonată egală cu coordonata relativă.   În mişcarea relativă una din particule poate fi considerată în repaus, iar cea de‐a  doua în mişcare (dar cu masa    ) cu viteza    .   atunci  Dacă moleculele sunt identice   1 1 1 2           ⇒             2 Viteza medie relativă     se obține din formula pentru viteza medie    în care în loc de  m  se pune   ⁄2 . Deci   8         ⇒         .  √2   2 Astfel viteza medie relativă este mai mare decât viteza medie de agitație termică.    7. Să  se  determine  numărul  relativ  de  molecule  de  oxigen  a  căror  viteză  este  cuprinsă în intervalul    , ∆  , la temperatura  T . Se dă masa molară a oxigenului  M .  Aplicaţie.  300 K , 200  m⁄s  ,    ∆ 210  m⁄s ,    32  kg⁄kmol , 8310  J⁄kmol · K    R.:  ⁄

4 ∆

2

 

 

⁄

4

2

∆  

⁄

∆

4

∆  

2 Înlocuind datele numerice obținem  ∆ 0,011 

  8. Fie un catod metalic plan având secțiunea  s  şi temperatura  T . Considerând  că  electronii  din  interiorul  metalului  se  supun  statisticii  Maxwell,  să  se  determine  intensitatea  curentului  termoelectronic  prin  suprafața    s  .  Se  dă  lucrul  de  extracție  al  electronilor din metal  W .    R.:  Pentru  apariția  emisiei  termoelectronice  este  necesar  ca  energia  cinetică  a  electronilor să fie mai mare sau cel puțin egală cu lucrul mecanic de extracție. Viteza inițială     se obține din relația  2

        ⇒        

2

 

unde    m  este  masa  unui  electron.  Intensitatea  curentului  care  trece  prin  suprafața    s  în  unitatea de timp este egală cu sarcina cuprinsă într‐un cilindru de suprafață  s  şi înălțime  egală  cu     ,   unde       este  componenta  vitezei  electronilor  perpendiculară  pe  suprafața  catodului. Volumul acestui cilindru fiind  s  , rezultă     unde  e  este sarcina unui electron, iar     este numărul de electroni din unitatea de volum.  Intensitatea medie a curentului termoelectronic este   

unde 

  ⁄

 

2

  ⁄

        ⇒      ⁄

2

  ·

2

2

 

⁄

 

2

2

1 2

⁄ ⁄

 

 , 

2

   

 ⇒ 

Aceasta  este  formula  lui  Richardson.  Pentru  metale  această  formulă  este  inaplicabilă  în  practică.  În  cazul  semiconductorilor,  această  relație este  în  concordanță  cu  rezultatele experimentale.    9. Să se determine numărul mediu de ciocniri     ale moleculelor unui gaz  în  unitatea  de  timp  cunoscând  drumul  liber  mediu    λ    şi  viteza  pătratică  medie    .  √ Aplicaţie.  λ   4 · 10  m ,      900  m⁄s .     R.:  Drumul  liber  mediu  este  distanța  medie  parcursă  de  o  moleculă  dată  între  două ciocniri succesive cu alte molecule.  

λ  

         ⇒          8 · 3

1

1

 

λ

8

λ

        ⇒         

λ

 

 

2 · 10  s

8 · 3

  8 3

1

3

 

λ 1

·

λ

 

 

  10.     Să  se  determine  masa  minimă  ce  poate  fi  măsurată  cu  o  balanță  cu  fir  de  cuarț, la temperatura  T , cunoscând constanta elastică  k  a resortului.  Aplicaţie.  300 K ,    6 · 10  N⁄m ,      1,38 · 10  J⁄K ,      9,8  m⁄s  .    R.:  Variațiile presiunii aerului înconjurător şi mişcarea termică a mecanismului  balanței  fac  ca  masa  măsurată  să  varieze  haotic  în  jurul  unei  valori  medii.  Masa  cea  mai  mică  care  poate  fi  măsurată  cu  ajutorul  balanței  este  cea  pentru  care  alungirea  firului  nu   .  este mai mică decât abaterea pătratică medie  √  

 

Probabilitatea ca lungimea firului să varieze cu  d   este  dP .   ,      1       ⇒       

  2

·

 

  ,      

1 ,      

1       ⇒        

2

 

  ,      

2

        ⇒ 

2

  ,  

 

 

2

 

·

2

2

1   2

 ,      2

       ⇒       

2

 

       ⇒         

        

   

  

Înlocuind valorile numerice obținem  1,6 · 10  kg .    11.    O  oglindă  suspendată  de  un  fir  de  cuarț  suferă  oscilații  aleatorii  în  care  unghiul     are abaterea pătratică medie    . Să se determine modulul de torsiune D.  Aplicaţie.    4,18 · 10  ,     300 K ,       1,38 · 10  J⁄K .         R.: În cazul micilor oscilații, pe baza principiului echipartiției  energiei pe grade  de libertate   

2

2

       ⇒       

  

Înlocuind datele problemei obținem   9,9 · 10  Nm .    12.    Folosind repartiția la echilibru în statistica Maxwell‐Boltzmann  ·

 ,      

 ,     

1

 

să  se  scrie  expresiile  pentru  următoarele  mărimi  termodinamice:  energia  internă,  capacitatea  calorică  la  volum  constant,  entropia,  energia  liberă,  presiunea,  entalpia  şi  entalpia liberă. Probabilitatea termodinamică în statistica Maxwell‐Boltzmann este  !  

!

 

R.: Energia internă este    ,        

          ⇒  

  

⁄

ln

ln

      ⇒       1

ln

       ⇒        ln 1

        ⇒         ln

          ⇒ 

        ⇒ 

  

Capacitatea calorică la volum constant este        ⇒       

ln

2 2

ln

ln

ln

         ⇒ 

  

Entropia se determină cu ajutorul relației lui Boltzmann  ln

ln !

!

ln

ln

·

1

ln       ⇒        

 

 

ln        ⇒ 

ln ln

ln

 

!

ln

 ,      ln  

ln

ln

ln

ln

 ,     

ln

ln

ln

ln

ln

ln !

ln

      ,       

        ⇒  ln

 

Energia liberă este         ⇒          Cunoscând funcția de partiție   termodinamice.  Presiunea         ⇒        Entalpia 

ln     ,

  putem obține teoretic toate mărimile  ln

  

ln

       ⇒         

ln ln

ln

        ⇒ 

  

Entalpia liberă este 

ln

ln ln

ln

 ⇒       

  

  13.    Să se determine funcția de partiție, energia internă, entropia şi capacitatea  calorică la volum constant a unui gaz molecular în care fiecare moleculă are două nivele de  energie electronice de aceeaşi degenerescență.    R.:   ⁄ ⁄   Notând cu    temperatura caracteristică şi alegând ca energie de referință   ⁄

1 Energia internă este  ln  

       ⇒         ⁄

 

⁄

1

   ⁄

       ⇒       

⁄

1

0 , obținem 

  

⁄

1

Entropia se determină pe baza formulei  ln

⁄

ln

ln

ln

ln

1

⁄

1

⁄

⁄

1

⁄

 

⁄

1

  

Capacitatea calorică la volum constant este  ⁄

⁄

1

⁄ ⁄

1 ⁄

 

⁄

1

⁄ ⁄

·

        ⇒         

⁄

 

       ⇒   

⁄

    

⁄

1

  14.    Să se determine probabilitățile de ocupare a nivelelor de energie, funcția de  partiție  z  şi energia internă  U  pentru un sistem molecular ce conține  N  molecule în care  fiecare moleculă are două nivele de energie     şi       de ponderi statistice     şi,  respectiv    . Acest sistem este în echilibru cu un termostat la temperatura  T  şi ascultă de  statistica Maxwell‐Boltzmann.  Aplicaţie.  6,023 · 10  molec.⁄kmol ,     2,21 · 10  J ,     0 J ,  5 ,    

 

10 ,    

300 K ,     

 J⁄K .      

1,38 · 10

R.:   ⁄

⁄

⁄

 ,     

⁄

     ⇒       

⁄

1

⁄

⁄

      ⇒      

⁄

⁄

·

⁄

⁄

       ⇒ 

  

⁄

1

ln

       ⇒ 

⁄

     ⇒        1

 

⁄

  

⁄

1 ⁄

 

  

1

⁄

⁄ ⁄

⁄ ⁄

⁄

 

        ⇒ 

⁄ ⁄

1

  

Înlocuind valorile numerice obținem  0,46 ;    Pentru 

0,54 ;     0       ⇒       

1 ;    

7,2 · 10  J⁄kmol

0 , iar pentru  

720  J⁄mol .  

∞     ⇒        

8,9 · 10  J⁄kmol . 

1

  15.   Să se determine capacitatea calorică la volum constant   molecular  în  care  fiecare  moleculă  are  trei  nivele  de  energie     ,  ,  .   de ponderi statistice    , Aplicaţie.  6,023 · 10  molec.⁄kmol ,     300 K , ∆ 1 ,    

2 ,    

1 ,    

  pentru un sistem   ,  echidistante   1 eV  , 

 J⁄K .       

1,38 · 10

  R.:     ∆

∆

 

Pentru  a  obține  o  expresie  mai  simplă  pentru    z  alegem  originea  energiilor  în   0 . 

∆ ⁄

Energia internă este  ln  

∆ ⁄

·

∆ ⁄

∆

 

∆

∆

Pentru  

·

1 ,

∆ ⁄ ch

obținem  ∆

4 2 · 2 ch 2 2 ch

∆

∆

 

∆

 

∆ ⁄

∆

∆

4 ∆ ⁄

  

∆ ⁄

2  rezultă  4

∆ Notând cu  

 

·  ∆

∆ ⁄

∆

∆ ⁄

∆

∆

·

∆ ⁄

∆ ⁄

∆ · ∆

 

2

∆ ⁄

∆ ⁄

2

∆ ⁄

 

∆ ⁄

  şi folosind formulele     ,    1

2 ∆

 

ch

4 1 ch 4 1 ch

2ch

2

   ∆

·

1       ⇒  1 ch

∆ 2 Pentru  ∆ 2

ch

∆

       ⇒       

∆ ch 2

2

2

0    rezultă  ∆

∆ ∞ ,    ch 2

∆

∆

   

2 ∆

    

∆

Pentru  N 

∆ ch 2

  ,

2 ∆

 

∆ ⁄

∆

2 Valoarea maximă a lui  

 

0  ⇒   

2

  rezultă   

  

∆

   

∆

∆

4

4

 

 

  obținem   

∆ ⁄   este temperatura caracteristică.  Pentru   ∞  obținem  ∆ ∆      0  ,     ch 2 2

Pentru  N 

    

∆

 

  ,     unde  

  

∆ 2

 

2

       ⇒       

      

   1 

∆

 

  variază ca  

1

 . 

  se obține din condiția 

2 ch

∆ 2

· 2ch

∆ 2

·

∆ ch 2

∆ 2

1

sh

∆ 2

0 

Numărătorul este nul dacă  ∆ ∆  sh       ⇒  2 2 ∆ ∆   coth 2 2 Această ecuație are soluția  2 ch

∆ 2

∆ 2

1,2 ⇒

2 

2

1,2  ⇒   

2,4 ⇒

0,42.  

Reprezentarea grafică a lui   ⁄   în funcție de   ⁄   este cea de mai sus.  Înlocuind valorile numerice în formula încadrată obținem  3,9 · 10  J⁄K .   

16.   Într‐un vas cilindric de rază  R  şi lungime  ℓ  care se roteşte în jurul axei sale   Oz  cu  o  viteză  unghiulară     ,  se  găseşte  un  gaz  perfect  la  temperatura    T .  Numărul  de  molecule din cilindru este  N . Să se determine:  a) repartiția concentrației moleculelor de gaz în funcție de distanța până la axa  de rotație  r ;  b)  repartiția presiunii gazului în funcție de  r ;  c) presiunea pe axa de rotație şi presiunea pentru    .    R.:  a)  Numărul  de  molecule  de  gaz  aflate  într‐un  cilindru  elementar  având  volumul  dV  este   

 

 

unde   C  este o constantă, iar    este energia potențială care se determină ținând cont că  forța centripetă a unei molecule de masă  m  derivă dintr‐un potențial.        ⇒      

 

     ⇒       

 

 

 

      ⇒ 

 

  2 Exprimăm  dV  în coordonate cilindrice    cos     sin    

 

 

 

 

  unde  

  cos   sin 0

   

 

sin   cos 0

 

0 0 1

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  determină repartiția concentrației moleculelor la distanța  r .     

 

Constanta  C  se determină din condiția de normare       ⇒      

ℓ

 

 

      ⇒ 

 

 

       

2 ℓ

2 ℓ

2 2

2 ℓ

      ⇒ 

 

1

·

Rezultă 

 

2 ℓ

1

1

·

1

       ⇒        

 

 

  

1 b) Pentru un gaz perfect presiunea este    Deci             ⇒  2 ℓ

 

         1 ⁄

  

c)   2 ℓ

1

·

  1

⁄

2 ν 

    ,      

  17.    Un gaz se află în câmp gravitațional, considerat omogen. Să se determine:  a) repartiția concentrației moleculelor de gaz în funcție de înălțimea  z  față de  suprafața pământului;  b) repartiția presiunii gazului în funcție de  z ;  c) înălțimea     la care presiunea scade de  e  ori;  d) energia potențială a unei molecule şi contribuția sa la capacitatea calorică la  volum constant pentru cazul când înălțimea coloanei de gaz  h  este mult mai mare decât    .    R.: a)  Numărul  de  molecule  de  gaz  aflate  într‐un  cilindru  vertical  elementar  de  volum         este   

 

 

 

 

Concentrația moleculelor de gaz este determinată de     

 

Considerând un cilindru vertical de înălțime  h  care conține  N  molecule putem  obține constanta  C  astfel 

     ⇒     

  1

 

 ,     1

 

1

 

1 

 

 ,     

 

       ⇒       

1

  1 ⁄

 

 

⁄

1

⁄

⁄

 

  

⁄

1  ,      

⁄ ⁄

  ,     

 

⁄

1

b) Pentru un gaz ideal 

c) Pentru  

 

   

⁄

1

  trebuie să avem    ⁄

⁄

     ⇒      

       

d) Energia potențială medie a unei molecule este    ,    

   

 

⁄

 

 

 

∞   ⁄ ⁄

Rezultă 

      ⇒ 

  ⁄

 

 

 

  ⁄

  ⁄

  putem lua  

 

⁄

  ,       ⁄

Pentru  

  

1

  ,    

 

  ,     

 

   

1

 

 

1          ⇒       

1

 

      18.   Un atom de argint se deplasează în lungul axei  O  cu viteza    . Pe o distanță   ℓ    acționează  un  câmp  magnetic  neuniform  de  inducție    B  ale  cărui  linii  de  câmp  sunt  ⁄  . Momentul magnetic de spin  orientate în lungul axei  Oz  şi al cărui gradient este   transportat de electronul optic (de valență) al atomului de argint este egal cu magnetonul  Bohr‐Procopiu     . Masa  atomică  a  argintului  este    A  .  Să  se  determine  deviația  pe  verticală a atomului de argint la ieşirea din câmpul magnetic.  Aplicaţie.  600  m s ,   ℓ

6 · 10  m ,    9,27 · 10

1 T ,   

 A · m  ,    

10  T ,    

107,87  kg⁄kmol , 

6,023 · 10  atomi⁄kmol . 

 

R.: Energia potențială  U  de interacțiune dintre momentul magnetic propriu      al electronului optic şi câmpul magnetic de inducție     este    · 

  cos

 ,

 

Forța  care  acționează  asupra  atomului  de argint este   cos

 ,

 

Sub acțiunea acestei forțe, atomul suferă  o deviație de‐a lungul axei  z .  1        cos  ,   2 2 2 ⁄   obținem  Înlocuind    

 cos  ,   2 Deoarece  în  experiența  lui  Stern  şi  Gerlach  se  obțin  două  urme  distincte  simetrice  față  de  axa    O  rezultă   cos  ,  1 (valoarea    1 corespunde  orientării  momentului magnetic de spin     în aceeaşi direcție şi acelaşi sens cu     pentru care  z  este  pozitiv).   .  Pentru   ℓ  rezultă   ℓ   2

Rezultă 

⁄

Masa unui atom de argint este  

 ,  unde  

  este numărul lui Avogadro. 

ℓ

·   2 Deviația  va  fi  cu  atât  mai  mare  cu  cât   ℓ  şi    ⁄   sunt  mai  mari.  Înlocuind  2,6 · 10  m .  valorile numerice obținem     19.    Să  se  determine  entropia  unui  sistem  format  din    n    atomi  de  argint  pe  metru cub aflați într‐un câmp de inducție  B  la temperatura  T .  Aplicaţie.  ⁄ 6,023 · 10  atomi⁄kmol · m  ,    1 T ,     300 K ,  9,27 · 10  

 A · m  ,     

1,38 · 10

 J⁄K . 

R.: Din cei  n  atomi,  

 atomi vor avea energia        când momentele magnetice     se orientează paralel cu     şi   atomi vor avea energia        când momentele magnetice     sunt antiparalele cu    .  Pornind  de  la  o  repartiție  oarecare  a  celor    n    atomi,  se  pot  obține  alte    !   repartiții prin permutarea atomilor între ei. Dar dacă permutăm doi atomi de pe nivelul de  energie     nu  obținem  o  configurație  distinctă.  Deci  vom  împărți    !   la   !   .  La  fel  dacă  permutăm  oricare  din  cei     atomi  aflați  pe  nivelul  de  energie     nu  vom  obține  o  nouă  repartiție. Deci vom împărți şi la   ! .   Astfel numărul configurațiilor distincte la echilibru este dat de relația  !   ! ! Folosind formula lui Boltzmann  ln   obținem  ln ! ln ! ln !   Deoarece  n ,   şi     sunt numere foarte mari, putem folosi formula lui Stirling  ln !

ln

 

ln

!

ln

 

ln

!

ln

   obținem 

Înlocuind în  S  şi ținând seama că   ln

ln

ln Din problema precedentă avem 

ln

⁄ ⁄

⁄

     ⇒ 

ln

 

⁄

ln

 

 

⁄ ⁄

 

⁄

⁄

⁄

⁄

Notând cu 

⁄

 

 

⁄

 

 

obținem    ,      ln

 ln

ln

ln

ln

1

 

ln ln

La temperaturi foarte joase   ln

ln

ln

1

ln ∞    ⇒     

ln

1

 

 

  th 0 ,   

 

ln

ln ln

ln

       ⇒ 

 ln

ln ln

 

∞  ln

ln 1

0 ,     ln

  1 1

 ,     th

Deci   ,    

0 ,   

 

0 

Acest  rezultat  este  în  acord  cu  principiul  III  al  termodinamicii.  La  temperaturi  foarte mari   ∞ , 0  2 ,    th 0     ln 2       ⇒        Comparând  relația    2  . Dar 

  ln 2  

  ln   cu  rezultatul  în  cazul  temperaturilor  mari  rezultă    

⁄

 

 ,   adică  există  aceeaşi  probabilitate  de  Pentru    ∞ , 0     ⇒       apariție a ambelor stări posibile (cu     paralel cu     şi cu     antiparalel cu    ).  Înlocuind  valorile  numerice  obținem    5,76 · 10  J⁄K . În  cazul  temperaturilor  foarte  mari  se  obține  practic  acelaşi  rezultat  întrucât      este  foarte  mic  (la  300  K  ,   2,24 · 10   .  

  20.   Să  se  determine  energia  internă  în  funcție  de  temperatură  pentru  un  sistem  format  din    n  atomi  de  argint  pe  metru  cub  aflați  într‐un  câmp  de  inducție    B  .  Care  sunt  populațiile celor două nivele de energie?  Aplicaţie.  ⁄ 6,023 · 10  atomi⁄kmol · m  ,    1 T ,     300 K ,  9,27 · 10

 A · m  ,     

 J⁄K . 

1,38 · 10

  R.: Energia internă  U  şi numărul de atomi de argint  n  sunt date de relațiile    ,    

 

  ,    

 

   

  Din aceste două relații putem determina complet  

 şi  

    ⇒      

 . 

       ⇒    ,     

   

Aceste expresii nu sunt funcții explicite de temperatură. Din problema precedentă  ln Înlocuind  

 şi  

ln

ln

 

  în  S  obținem 

ln

ln

ln

 

Temperatura termodinamică de echilibru este dată de relația  1 ,

1

  1

ln

  1        ⇒ 

ln 1

        ⇒       

ln

ln

1

ln

       ⇒       

         ⇒  ⁄

  1

           ⇒ 

⁄

  

sau 

⁄

  ⁄

1  

⁄

1

⁄

1

⁄

      ⇒ 

⁄

1

1

       ⇒ 

             

⁄

1

  

Aceste  relații  au  fost  deduse  în  problema  precedentă  pe  baza  distribuției  Boltzmann  ⁄ ⁄

⁄

 

⁄

1

⁄ ⁄

⁄

⁄

1

 

Înlocuind datele numerice obținem  12,56  J⁄m  ,

3,0183 · 10  atomi⁄kmol · m  , 

3,0047 · 10  atomi⁄kmol · m        .  Se constată că     21.   Să se determine magnetizația M şi susceptibilitatea magnetică χ a atomilor  de argint care se deplasează într‐un câmp de inducție  B  la temperatura camerei  T . Se dau:   numărul de atomi de argint pe metru cub  n  şi magnetonul Bohr‐Procopiu    .  Aplicaţie.  ⁄ 6,023 · 10  atomi⁄kmol · m  ,    1 T ,     300 K ,  9,27 · 10  A · m  ,      1,38 · 10  J⁄K .    R.: Momentele magnetice      se pot orienta paralel sau antiparalel cu    . Astfel,  energia potențială de interacție       este    pentru atomii care au momentul magnetic     paralel cu     şi    pentru atomii care au momentul    antiparalel cu    . Pe baza distribuției Boltzmann putem  scrie  .

  ,    

1     ⇒       .

1     ⇒      . ⁄ ⁄

  ⁄

⁄

⁄

1   ⇒ 

 

Probabilitatea de a găsi un atom cu momentul magnetic de spin paralel cu     la  temperatura  T  este 

⁄ ⁄

 

⁄

iar  probabilitatea  de  a  găsi  un  atom  cu  momentul  magnetic  de  spin  antiparalel  cu      la  temperatura  T  este  ⁄

⁄

 

⁄

Rezultă    sau  ⁄

⁄

       ⇒       

  

Magnetizația  este  definită  ca  momentul  magnetic  al  substanței  pe  unitatea  de  volum    unde  

 

 

  

  este momentul magnetic mediu al unui atom    Deoarece 

⁄

rezultă  ⁄

1 2 2

⁄

⁄

⁄

 

1  ⁄

  ,     ·

⁄

1

        ⇒        

    

Astfel magnetizația este     Susceptibilitatea magnetică a substanței este 

χ

     ⇒        χ

  

Se  constată  că  susceptibilitatea  magnetică  a unei  substanțe  paramagnetice este  invers proporțională cu temperatura absolută a substanței (legea lui Curie). 

χ

 

Dacă  temperatura  creşte,   χ  şi    M    scad  (agitația  termică  se  opune  orientării  momentelor magnetice).  Înlocuind valorile numerice obținem 

2

4,5 · 10

 ,    

12,5 A · m  ,     χ

1,0045  ,    

12,5  A · m⁄T 

Rezultă că la temperatura de 300 K numărul de momente magnetice paralele cu     este puțin mai mare decât numărul momentelor antiparalele cu    .     22.   Un gaz ideal format din  N  atomi de substanță paramagnetică, fiecare atom  având  un  moment  magnetic     , este  plasat  într‐un  câmp  magnetic  extern  uniform  de  inducție     . Să  se  determine  dependența  momentului  magnetic  total    M    al  gazului  în  funcție de temperatura  T .    R.:  Presupunem  că  inducția      este  orientată  în  lungul  axei    Oz . Energia  unui  atom în câmp magnetic este      ·    cos   Conform distribuției canonice, repartiția atomilor la echilibru este dată de relația:  ⁄

 

 

unde funcția de partiție  z  este  ⁄

iar  

 

  este elementul de unghi solid,   sin   Calculând funcția de partiție obținem   

2

sin  

 

cos

 

 .  

 

 

sin  

 

2 4

2 Rezultă 

 

sin  

 

  2

cos ⁄

 sh   ,      

 

   

 

 

 

   

4

 sh Probabilitatea  ca  un  atom  să  aibă  momentul  magnetic  orientat  după  o  direcție  cuprinsă între    şi     față de axa  Oz  este    sin        2  sh unde am integrat după    . 2   Momentul  magnetic  al  substanței  paramagnetice    momentelor magnetice ale atomilor    cos    

 

   este  suma 

unde     cos   este proiecția lui     pe axa  Oz .  Rezultă      cos   sin      2  sh Derivând  

 

2

 

cos

2  

 

cos  

·

2 sh

2 sh

·

1 4 · 2

 

1 · 2

4

sh ch

cos

cos

 

 

  ,  sh         ⇒ 

ch

sh  

1

coth

       ⇒ 

  

coth  

 

  în raport cu  a  obținem 

Rezultă 

4

 

cos  

2 sh

Pentru    1  (temperaturi  joase  sau  inducție mare),   1 coth 1 ,     0  rezultă     .  În  acest  caz  toate  momentele  magnetice  ale  atomilor  sunt  aliniate  în  lungul  inducției  magnetice  (fenomenul de saturație). 

rezultă 

În câmpuri magnetice slabe şi la temperaturi obişnuite   1   coth 3

Susceptibilitatea este 

3

χ

 

3  

 

 ,    

3  

1 ,   

 

 

Aceasta este legea lui Curie, unde  C  este constanta lui Curie.    23.  Să se determine inducția magnetică  B  aplicată unor atomi de argint pentru  ca temperatura caracteristică a momentelor magnetice ale atomilor să fie egală cu unitatea.   .  Se cunoaşte magnetonul Bohr‐Procopiu   Aplicaţie.  9,27 · 10

 A · m  ,     

1,38 · 10

 J⁄K . 

  R.: Raportul    este o mărime adimensională. Rezultă că mărimea    reprezintă o temperatură numită temperatură caracteristică.  Deoarece       ,      , rezultă  2 Pentru  

·

       ⇒       

  

2

1    rezultă 

   2 Înlocuind valorile numerice obținem   0,7   .  Dacă  temperatura  sistemului  este  redusă     practic  toate  momentele  magnetice  ale  atomilor  se  află  pe  nivelul  de  energie  inferior     . În  acest  caz  nu  există  energie suficientă pentru a excita atomii pe nivelul superior. Dacă temperatura este mare   ⁄2 .   , atunci     24.  Să se determine funcția de partiție  z  pentru mişcarea de translație a unui  gaz  perfect  aflat  într‐o  incintă  paralelipipedică  de  dimensiuni    a  ,    b  ,    c  ,    cunoscând  temperatura    T  ,  masa  unei  molecule    m    şi  valorile  proprii  permise  ale  energiei  de  translație a unei molecule  ħ  ;      ,  ,   1 , 2 , …   2   R.: Pentru un ansamblu    ,  ,   dat, ponderea statistică    este egală cu 1.  exp  ,

ħ

exp

2

·

 

 ,

ħ

exp

·

2

exp

ħ 2

 

Întrucât  ħ

1  ,    

ħ

1  ,    

ħ

2 2 2 putem aproxima fiecare sumă cu o integrală.  Astfel pentru un kilomol de  H2 ,   2  kg⁄kmol , luând   temperatură caracteristică  ħ 6,63 · 10 · 6,023 · 10 2 8 8 8 · 2 · 0,1 · 1,38 · 10

1     10  m  obținem o  3,8 · 10

 K 

Deci    .  Putem scrie  exp

 

Dar  exp

 

exp 1 2

 ,

exp

 

exp

exp

 

1 2

 

  1 2

 

  

  

Rezultă  1 2 unde    

⁄

       ⇒       

2

2 ħ

⁄

  

 . 

25.      Să  se  determine  funcția  de  partiție  pentru  mişcarea  de  rotație  a  unui  gaz  perfect biatomic.    R.: a) Cazul clasic.  Legătura dintre coordonatele carteziene  şi cele sferice este    sin   cos     sin   sin     cos   unde    r    este  raza  traiectoriei  pe  care  se  realizează rotația ( r   constant).  Derivând  în  raport  cu  timpul  aceste  coordonate  şi  ținând  seama  că  raza    traiectoriei  este  constantă  (corespunde  stării de echilibru) obținem      cos   cos

    sin   sin  

      cos   sin

    sin   cos       sin  

Energia cinetică a mişcării de rotație este 

unde 

 

2  

este masa redusă.  Rezultă 

cos

2 cos

 cos

 sin

sin

2    sin   cos   sin   cos  cos

sin

unde 

… 

·

1 … 

⁄

·

 

 

    şi de componentele   sin   obținem 

 

2 

Funcția de partiție este 

 sin

 

       ⇒ 

 sin

sin   2   în funcție de momentul de inerție             şi      sin  

Exprimând   momentului cinetic  

  sin

2    sin   cos   sin   cos

cos

2

 sin

 

 

…

· sin

 

… sin

 

  

Deoarece  sin  

 

 cos

2 ,    

2  ,    

 

rezultă  …   

sin

… 

 

… 

  √2 4

  2

sin

 

 

… 

2

4

     

 

  8

        

    

b)  Cazul  cuantic.  În  mecanica  cuantică  energia  de  rotație  a  unei  molecule  biatomice este  ħ 1   ,     ħ   ,     0 , 1 , 2 , … , ∞  2 2 unde  j  este numărul cuantic de rotație, iar  h  este constanta lui Planck. Nivelele de energie  de rotație sunt degenerate, ponderea statistică a unui nivel fiind   2 1 .   Funcția de partiție cuantică este   

        ⇒        

2

1

ħ

  

Introducând  temperatura  caracteristică    ħ ⁄2   şi  considerând  un  gaz  biatomic nehidrogenoid pentru care     , putem înlocui suma cu o integrală  2 Notând  

   

1

1         ⇒        

rezultă 

2

1             ⇒ 

  2

8

  2 2   luăm   1  obținem acelaşi rezultat. Pentru Cl2,   0,35 K , iar  Dacă în   0,08 K  în timp ce pentru  H2,   85,5 K , ceea ce arată că pentru hidrogen  pentru K2,   aproximația de mai sus nu este valabilă.     26.   Să se determine energia liberă şi entropia pentru mişcarea de rotație a unui  gaz biatomic.    R.: a) Cazul clasic. Din problema anterioară rezultă  8

8

  ln

ħ   ,     ħ 2

 ,             ⇒        

ln     1           ⇒ 

ln

1

ln

  

b) Cazul cuantic. Din problema precedentă rezultă  2

ln

1

 

2

1

  

2

 

ln

2

∑

1

2

1

∑

2

1

  

1

Pentru  molecule  nehidrogenoide,  temperatura  caracteristică      este  mai  mică  decât temperatura de lichefiere a gazului şi deci     astfel că în acest caz    ln   1           ⇒ 

ln  

1

ln

 

Pentru  N  molecule rezultă  1

ln

 

Deci  în  acest  caz  limită  entropia  cuantică  are  aceeaşi  expresie  cu  entropia  clasică.  Graficul  entropiei  în  acest  caz  are  forma din figura alăturată. 

  27.   Să se determine temperatura de echilibru şi să se exprime energia internă  în funcție de temperatură pentru un cristal format din  N  atomi identici aşezați într‐o rețea  tridimensională.  Fiecare  atom  poate  executa  oscilații  armonice  după  fiecare  din  cele  trei  direcții, independent de atomii vecini. Se va folosi formula lui Boltzmann şi statistica Bose‐ Einstein.    R.: Unui atom îi corespund 3 oscilatori unidimensionali de energie 

ν

3

Pentru cei  N  atomi energia de vibrație este   …

ν

ν

2

  3

ν

  2 O  stare  a  sistemului  este  caracterizată  de  3N  numere  cuantice    , , … ,   care pot lua valorile  0, 1, 2, . . . Numărul stărilor cuantice este determinat de numărul de  moduri  în  care  se  poate  forma  numărul  întreg      …     cu  ajutorul  celor    3N   numere  cuantice.  Numărul  de  modalități  de  a  repartiza           particule  indiscernabile  în    3   compartimente  este  dat  de  probabilitatea  termodinamică  din  statistica Bose‐Einstein  1 !     3 1 !   ! 1 !     ! 3 1 ! Pentru un număr mare de atomi putem neglija unitatea față de  3N  astfel că 

       

3 ! 3

!   !

Înlocuind  P  în formula lui Boltzmann   obținem 

ln

   

   

3

   

3

!

ln

ln   şi folosind formula lui Stirling 

ln

   

   

ln

ν ν

ln

   

ν

3 2 3 2

ln ν

ν 3

ln

ν

2

3

2

ν ν

3 ln 2

3 ln 2 3 3

ν

ln

2

3 2

ν

ν

ln

3 2

ν

1 2

ν

3 ln 3

3 2

ν

ν

3 2

ν

1 2

3

3 ln 2 3

ν

3

1 ,

3 ln 3 3 ln 3

1

1

ν

3 ln

3 3 2

3

1

2 2

ν 3 3

ν ν

3

2

1   2

ν

3 3 3 3

1 2 1 ν 2

3 3

ν ν

2 2 2

ν

2

ν  

ν ν

1 1 2 3 ν 1 2

 

3 ln 3

1 2

ν

ν

 

 

       ⇒  3

 

3

ν 3 ν 2 Temperatura termodinamică de echilibru este dată de relația:  3

 

3   2

ν

3 2

!

   

       

3 2

ln 3

3

Înlocuind    rezultă: 

!

 

 

3

ν

ln

3

ν

2

ν

2

3 1 ·   2 3 ν 3

1

ν 3 3

2 2

ln

3

ν

ν

ν

2

3

2

3

ν

ν

ln

ν

2

ν

1

3

3

ν

2              ⇒        

ν

 

2

ν

3

ν

3

 

ν

3 2

1

ν

3

2 2

2 2

1

ν

ν

3 ν

2

 

ν

           ⇒  

ν

3

2

 

2

2 3 ν 3 ν 1 · 2 3 ν

        ⇒       

ν

3

ν

ν

3

 

ν ν

          ⇒ 

ν

         ⇒ 

        ⇒     1

  

1

  28.    Să  se  determine  capacitatea  calorică  la  volum  constant  a  unui  kilomol  de  cupru la temperatura  T .  Aplicaţie.  300 K ,   ν

8310  J⁄kmol · K ,    

4,8 · 10  Hz ,    

6,63 · 10

 J · s 

  R.: Energia internă a unui kilomol de cristal este 

ν

3 3

ν

 

1

ν

1

ν

         ⇒ 

1 ν

ν ν

ν

2

  ν 

3

ν

3

  ,       

  

1

Înlocuind  valorile  numerice  obținem  o  valoare  care  concordă  cu  datele  experimentale.  2,368 · 10  J⁄kmol · K        

29.   Rezolvând ecuația lui Schrödinger pentru o particulă aflată într‐o groapă de  potențial  paralelipipedică  de  dimensiuni    a  ,  b  ,  c    cu  pereții  infiniți  se  obțin  valori  cuantificate ale vectorului de undă   ,    unde  

 ,   

 

 ,

 ,     adică    ,  , 1 , 2 , …   Să  se  determine  densitatea  stărilor  în  spațiul  impulsurilor     , densitatea  stărilor în spațiul energiei     şi numărul de oscilatori din unitatea de volum a căror  frecvență  este  cuprinsă  în  intervalul    ν  , ν ν . Se  vor  particulariza  rezultatele  pentru  fotoni.     ,  ,   există         stări  R.:  În  paralelipipedul  de  dimensiuni    cuantice     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Relația dintre impulsul     şi vectorul de undă       ħ       

ħ

ne permitem să scriem   

 

 ,   

 

 

ħ

 

 ,    

ħ

 

8

     ,       ħ   ħ 2 Numărul  de  stări  fiind  pozitiv  vom  lua  numai  o  optime  din  spațiul    0 ,   0 . Deoarece energia depinde numai de     vom avea   

 

4 4

0 ,  

    

Această  expresie  este  foarte  generală,  fiind  valabilă  şi  pentru  particule  relativiste.  Deoarece  pentru  un  impuls  dat  un  foton  poate  avea  două  stări  posibile  de  polarizare (două direcții independente de polarizare)  2· Pentru foton     Înlocuind  

ν ν

        ⇒       

4

8

  

 , unde  c  este viteza luminii în vid. Rezultă:  8

 

 

8

        ⇒         

  

ν   obținem  8

·

ν ·

ν       ⇒        

ν

8 ν

ν   

Pentru un interval de frecvențe   ν , ν

ν ν

ν    egal cu unitatea rezultă  8 ν

  

Observaţie.    poate fi determinat direct ca raportul dintre volumul unui  domeniu     4   şi volumul unei celule elementare    .    30.   Să se determine densitatea de energie spectrală volumică a corpului negru  pe baza statisticii Bose‐Einstein a unui număr nedeterminat de fotoni.    R.:  Undele  electromagnetice  dintr‐o  incintă  aflată  la  temperatura    T    sunt  echivalente cu un ansamblu de fotoni care ascultă de statistica Bose‐Einstein. Numărul de  fotoni nefiind constant, repartiția la echilibru este dată de relația 

ν  

  ,     

 

1 Dacă presupunem că energia variază continuu atunci în locul relației precedente  vom scrie    1 unde densitatea stărilor în spațiul energiei a fost determinată în problema anterioară  8

 

Rezultă  8 ⁄

Înlocuind  

ν   obținem 

8

 

ν ν

  1 Energia fotonilor pe unitatea de volum a căror frecvență este cuprinsă între ν  şi   ν ν  este  ν ν 8 ν ν ν ν   ν⁄ ν, ν  1 unde   ν,   este densitatea de energie spectrală volumică  ν

ν,

8 ν

 

1

·

ν⁄

ν ν⁄

1

  

Aceasta este formula lui Planck.    31.      Să  se  determine  entropia  şi  presiunea  radiației  într‐o  incintă  aflată  la  temperatura  T .   

Einstein 

R.:  Entropia  se  exprimă  în  funcție  de  probabilitatea  termodinamică  Bose‐ 1 ! 1 !

!

!

!

!  

Utilizând formula lui Boltzmann  ln

rezultă  ln

!

  ln

!

ln

ln

!

 

ln ln

        ⇒ 

ln

ln

 

Repartiția la echilibru în statistica Bose‐Einstein este dată de relația  0       ⇒ 

  ,      1 1 1

⁄

1 1

⁄

1

1

⁄

1 ⁄

1

 

1

⁄

1

1

1

⁄

 

⁄

 

Înlocuind în  S  obținem  ln

⁄

ln

1 1 ⁄

ln 1

 

Energia totală a radiațieieste    Rezultă:  ⁄

ln 1

 

Întrucât nivelele de energie sunt foarte apropiate, putem aproxima energia cu o  mărime care variază continuu astfel că vom putea înlocui suma cu o integrală  ln 1

⁄

Dar densitatea de stări în spațiul energiei este  8  

 

 

Rezultă  ·

8

⁄

ln 1

8

⁄

ln 1

8

⁄

ln 1

8

·

8

1 3

1

   

⁄

 

⁄ ⁄

1

 

 

⁄

8

 

3

1

8

 

⁄

 

1 3

 

ln 1

1 3

       ⇒ 

 

·3

·

15

 

⁄

Energia totală  U  este  ν,

ν

ν ν

8

ν⁄

ν

8

ν ν⁄

1

 

1

⁄

8

 

·

Înlocuind  U  în  S  obținem  8 15 3 · 15 Energia liberă este  8

8 15

8

1

15

4 ·   3 Presiunea radiației în incintă este 

Entalpia liberă este 

 

15

4 3

1 3

4   3

32 45 8

3

8 45

45

 

 

1     3 3

1   3

·

0 

Acest  lucru  rezultă  şi  direct  din  relația     ,  unde    N    este  numărul  de  particule,  iar      este  potențialul  chimic,  care  este  proporțional  cu  un  multiplicator 

Lagrange ce apare în cazul când numărul de particule este fix. Deoarece pentru fotoni acest  număr este nedeterminat, se ia   0  şi deci rezultă că   0 .    32.   Să se determine energia liberă  F  pentru un număr de bozoni determinat.    R.: În problema anterioară s‐a obținut entropia  ln

ln

 

Înlocuind    ,     

0        

1

în  S  obținem 

⁄

1 1

1 ⁄

1

⁄

ln

 

ln

 

1

 

⁄

1 ⁄

ln 1

 

Dar    ,      

 

ln 1

⁄

Rezultă 

ln 1

  ⁄

  ⁄2   obținem: 

 , suma cu o integrală,     cu  

   

⁄

ln 1

  Înlocuind     cu  

       ⇒ 

 

ln 1 ·4

  4

 

ln 1 ln 1

   

4 4

√2 √2

√

 

⁄

√   ln 1  

ln 1

   

·

Notând     ,    

 

rezultă  √  ln 1 √  

 

  √  

 

1

1 · 4 √2

⁄

⁄

1 ·4

√2

 

   

1 √  

√

1

·4

√2  

√ ⁄

1

 

        ⇒ 

√   1

 

 

√  

Calculele se fac în funcție de valorile lui  a .    33.      Să  se  determine  numărul  de  fotoni  pe  unitatea  de  volum  dintr‐o  incintă  aflată la temperatura  T .  Aplicaţie.  6,63 · 10  J · s ,    3 · 10  m⁄s .  300 K ,    1,38 · 10  J⁄K ,      R.: Repartiția fotonilor la echilibru în statistica Bose‐Einstein este    1 Asimilând factorul de degenerescență cu densitatea de stări  ⁄

8

8

putem determina numărul de fotoni din unitatea de volum 

 

1

1 ⁄

8 ⁄

1 8

Notând cu  

⁄

1

⁄

1 ⁄

 

1

 

  1

⁄

  obținem   

1 1

2

2,4 · 8  

1

2

2,4 

  

Înlocuind valorile numerice obținem  5 · 10  fotoni⁄m  

  34.   Să se determine capacitatea calorică la volum constant aunui solid aflat la  temperatura    T    cunoscând  viteza  undelor  acustice  longitudinale    ℓ   şi  viteza  undelor  acustice transversale    .  Aplicaţie.  10 K ,    ℓ 3,73 · 10  m⁄s  ,    1,64 · 10  m⁄s  ,    6,63 · 10  J · s ,  1,38 · 10

J⁄K  ,    

6.023 · 10  fononi⁄kmol ,    

1,053 · 10  kg⁄m  ,   

107,87  kg⁄kmol . 

  R.: Expresia generală a densității stărilor în spațiul impulsurilor este  4

 

⁄  .  Pentru fonon, la fel ca şi pentru foton,   Densitatea stărilor undelor longitudinale este   4

ℓ

ℓ

ℓ

4

 

  ℓ

iar densitatea stărilor undelor transversale este   2·

4

 

8

 

unde  factorul    2    se  datorează  faptului  că  pentru  un  vector  de  undă      există  două  unde  transversale. Densitatea de stări a fononilor este 

4

1

 

ℓ

2

 

ℓ

Numărul de stări cuantice diferite fiind egal cu numărul gradelor de libertate ale  sistemului  3N , rezultă că energia unui fonon în modelul Debye are o limită superioară     .  3       ⇒      

4

1

 

2

3       ⇒       

ℓ ⁄

4

 

1

2 3

ℓ

9

3       ⇒        

1

4

 

2

ℓ  

Se  defineşte  temperatura  caracteristică   ⁄ astfel că  ⁄

9 1

4

2

 

ℓ

Funcția 

4

1

 

2

 

ℓ

este o parabolă pentru     şi este nulă pentru    .  Deoarece  numărul  de  stări  este  determinat,  iar  numărul  de  fononi  este  nedeterminat  (ca  la  fotoni)  rezultă  că  probabilitatea  de  ocupare  a  unei  stări  este  dată  de  formula Bose‐Einstein  1   ⁄ 1 Trecând  de  la  distribuția  discontinuă  după  energii  la  cea  continuă  vom  determina energia internă  U  şi capacitatea calorică    .  ·

·

1

4

⁄

4

1  

1

 

2 ⁄

ℓ

1

2

·

⁄

1 ⁄

ℓ

Notând  

⁄

  obținem  4 1   ℓ

2

1

1

⁄

1

 

    

          

La temperaturi joase   limita superioară a integralei cu  ∞ . 

⁄   tinde la infinit. În acest caz vom înlocui 

 , iar   4

1 16 15 La temperaturi înalte  

1  

1

2

1

 

⁄

1

  

ℓ

 ,  

⁄

4   15

1 3

1

  ,    

3

  

Pentru     rezultă   3   (legea lui Dulong şi Petit).  Înlocuind valorile numerice obținem  ⁄

9 1

4

215 K 

2

ℓ

12 5

195,5  J⁄kmol · K 

  35.   Să se determine abaterea pătratică medie relativă a energiei    pentru un dielectric aflat la temperatura    , unde     R.: Din problema precedentă rezultă  4 1 2  

 este temperatura Debye.  ⁄ 1

⁄ ⁄

ℓ

    

Făcând schimbarea de variabilă   ⁄ şi ținând seama că   4

 

     ⇒       

 ,   

  

⁄

1

2

 

∞   obținem  4 1

ℓ

rezultă 

ℓ

2

9 4

1 ℓ

Înlocuind  1

 

 

2

·

  15

3 5

  12 5

 ,    

       ⇒       

1

20 3

 

    

Întrucât  pentru  argint    215     rezultă  că  pentru  eşantioane  mici  la  temperaturi scăzute fluctuațiile sunt importante.    36.      Să  se  determine  impulsul  şi  energia  corespunzătoare  nivelului  Fermi  în  funcție de numărul de electroni din unitatea de volum.  Aplicaţie.  9,108 · 10  kg , 6,63 · 10  J · s ,    63,55  kg⁄kmol ,       9 · 10  kg⁄m .    R.: Electronii au spinul  1⁄2 , iar ponderea statistică este  2  deoarece proiecția  spinului pe axa   Oz  este   1⁄2 . După principiul lui Pauli fiecare nivel de energie poate fi  ocupat de cel mult doi electroni cu spinii opuşi (un electron are proiecția spinului  1⁄2 , iar  celălalt  are  proiecția  spinului  egală  cu    1⁄2 ).  Nivelul  Fermi  este  ultimul  nivel  ocupat  la  temperatura de  0 K.   Modulul impulsului electronului este limitat de valoarea energiei Fermi        2 unde    m    este  masa  electronului.  Numărul  de  stări  cuantice  pentru  care  electronii  au  impulsul cuprins între  p  şi    este  4   2 2 unde factorul  2  se datorează multiplicității spinului electronului. Numărul de electroni cu  impulsul între  0  şi    va fi  8 4 8         ⇒  2 2 3 2

 

3

     ⇒       

3 2

⁄

  

⁄   este numărul de electroni din unitatea de volum.  La  acelaşi  rezultat  se  ajunge  calculând  în  două  moduri  diferite  volumul  din  spațiul fazelor ocupat de  N  electroni. Acest volum este egal cu produsul dintre volumul din  spațiul obişnuit  V  şi volumul sferei Fermi din spațiul impulsurilor, adică    4   · 3 Pe  de  altă  parte,  volumul  unei  celule  din  spațiul  fazelor  este     şi  pe  baza  principiului de excluziune al lui Pauli nu pot exista decât doi electroni pe celulă, dar care au  unde  

spinii  antiparaleli.  La    0  K    toate  nivelele  de  energie  până  la  nivelul  Fermi  fiind  ocupate,  rezultă că volumul din spațiul fazelor pcupat de cei  N  electroni este    2 Egalând cele două volume obținem    4 ·       ⇒        3 2 Energia nivelului Fermi este 

6,023 · 10 · 9 · 10 63,55

6,63 · 10 8 · 9,108 · 10

3 8

⁄

  

8,5 · 10  electroni⁄kmol  ⁄

3 · 8,5 · 10 4 3

 

2

⁄ 3 1 ·        ⇒          2 2 4 Înlocuind valorile numerice obținem 

6,63 · 10 2

⁄

3

1,3 · 10

 kg · m⁄s 

⁄

· 8,5 · 10

1,13 · 10

 J

7,1 eV 

  37. Să sedetermine energia totală a electronilor unui metal la  0 K .    R.: Energia totală a gazului electronic la  0 K  este  2

·2

4

·

4

Din problema precedentă avem 

 

2 3   40

 

3

 

⁄

3 Rezultă 

4 5

⁄ ⁄

  

  38.      Să  se  determine  impulsul  mediu,  energia  medie  şi  viteza  medie  a  electronilor unui metal la  0 K .    R.:  Numărul  de  electroni  având  impulsul  între  p    şi      se  determină  ca  raportul  între  volumul  din  spațiul  fazelor  cuprinse  între    p    şi      şi  volumul  unei  jumătăți de celulă din spațiul fazelor care corespunde unui electron cu o anumită orientare  a proiecției spinului.   ·4 ·4 2· 2   Impulsul mediu este 

2

3 4

3   4

        ⇒ 

⁄

3 3 8

  

Numărul  de  electroni  având  energia  între  E    şi   

  se  obține  pe  baza 

relațiilor  2 2·

 ,      

  √2 2· ·4 ·2

·4 ⁄

8√2 

·

          ⇒ 

√2

⁄

 

 

Energia medie este  ⁄

3 5

⁄

3 40

⁄

3

Din relația  

       ⇒ 

  

 

rezultă  3 8

         ⇒          

⁄

3

 

Se constată că    unde  E  a fost calculat în problema anterioară.   Expresia lui     poate fi obținută şi din relația  3

 

8

corespunzătoare energiei Fermi. 

· 8√2   

⁄

⁄

3 8 ·   3 2 ⁄

·

8

 

⁄

 

39.   Să se determine presiunea unui gaz electronic la  0 K .  Aplicaţie.  1,13 · 10

 J ,   

8,5 · 10  electroni⁄kmol 

  R.: Presiunea se poate determina pe baza energiei libere  F    ,      La  0 K , F 

 

 , deci   

Dar  U  la  0 K  este  3 40

3 5 2 3 ·   3 40

3

⁄

1   20

⁄

 

3

2     5

3

⁄

 

  ⁄

 

1   20

·8

       ⇒ 

  

Înlocuind valorile numerice obținem  3,8 · 10  N⁄m  

3,79 · 10  atm . 

Acest  calcul  nu  ține  seama  de  repulsia  coulombiană  a  electronilor  şi  nici  de  faptul  că  electronii  se  află  în  gropi  de  potențial  finite  care  ar  conduce  la  o  presiune  potențială  negativă.  Altfel  presiunea  foarte  mare  obținută  ar  permite  electronilor  să  părăsească metalul.    40.   Să se determine primele două derivate ale funcției Fermi  1   ⁄ 1 pentru    .    R.:   ⁄ 1      ⁄ 1 1     4 ⁄

1

1

⁄

2 1

⁄ ⁄

 

0  Rezultă că     este un punct de inflexiune al funcției Fermi.    41.   Să se determine densitatea de saturație a curentului termoelectronic emis  de  o  suprafață  metalică  omogenă,  dacă  gazul  electronic  din  metal  se  supune  statisticii  Fermi‐Dirac.   

R.: Conform legii de distribuție Fermi‐Dirac    1 Trecând  de  la  distribuția  discontinuă  după  energii  la  cea  continuă,  trebuie  să  înlocuim  gradul  de  degenerare      al  nivelului      cu   Γ⁄  , unde  Γ    este  elementul  de  volum  din  spațiul  fazelor,  iar      este  volumul  unei  celule  elementare  din  spațiul  fazelor.  Întrucât volumul din spațiul obişnuit este uniform, vom integra după acest volum şi astfel   , unde  factorul    2    a  fost  introdus  pentru  a  în  locul  lui      vom  pune    2 ⁄   lua  în  considerare  cele  două  orientări  ale  spinului  electronului  (degenerarea  de  spin).  ⁄2  , rezultă  că  numărul  de  electroni  ale  căror  Deoarece      va  fi  înlocuit  cu    componente ale impulsului sunt cuprinse între    ,    ,  ,    ,  ,      este  2     , ,   1 Numărul  de  electroni  care  au  componenta      a  impulsului  cuprinsă  între    şi    se  obține  integrând    , ,   după  toate  valorile  posibile  ale  lui       şi      . Trecând  la  coordonatele  polare,  în  spațiul  componentelor       şi        ale  impulsului  obținem    cos  ,      sin  ,      ,            ⁄

2

 

 

⁄

⁄

  1

⁄

Făcând substituțiile  2 obținem 

2 4

 

       ⇒       

 

 

·2

ln

 

4

 

1 4

ln 4

    ,       

1

4

ln ln 1

ln

1

1 ⁄

   

Numărul de electroni care străbat o suprafață  S  perpendiculară pe axa     într‐ un  timp    dt    şi  care  au  viteza      este  egal  cu  produsul  dintre  volumul  cilindrului  de  ⁄  , adică    şi numărul de electroni din unitatea de volum   secțiune  S  şi înălțime   ·

 

Intensitatea curentului corespunzător este 

  unde  e  este sarcina electronului. Densitatea curentului va fi  4 Punând  

⁄

ln 1

⁄2   rezultă           ⇒         4

  ⁄

ln 1

 

Densitatea curentului de saturație se obține integrând după    .  

 

4

⁄

ln 1

 

 , ținând seama că 

 

Deoarece  electronii  nu  ies  din  metal  la  temperatura camerei rezultă că   . În  practică se consideră că    .   Deci  ⁄ ⁄ 1  ln 1

 ,    

1 

4   4

⁄

4

⁄

⁄

 

⇒ 

  

Aceasta este formula lui Dushman. În cazul metalelor vom folosi această formulă  şi nu expresia lui Richardson.                 

BIBLIOGRAFIE    1. I.  M.  Popescu,  G.  F.  Cone,  G.  A.  Stanciu  –  Culegere  de  probleme  de  fizică,  Editura  Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.  2. G.  F.  Cone  –  Probleme  rezolvate  de  fizică,  vol.  I,  II,  III,  Litografia  Institutului  Politehnic Bucureşti, 1974, 1975,1976.  3. M.  Stan,  Şt.  Tudorache  –  Culegere  de  probleme  de  fizică,  vol.  I  şi  II,  Litografia  Institutului Politehnic Bucureşti, 1972.  4. I.  Becliu  –  Culegere  de  probleme  de  fizică,  vol.  I,  Litografia  Institutului  Politehnic  Bucureşti, 1979.   5. C. Chahine, P. Devaux – „Thermodynamique statistique à partir de problèmes et de  résumés de cours”, Dunod, Paris, 1970.  6. C. Chahine, P. Devaux – „Thermodynamique statistique”, Paris, 1976.  7. M.  Ignat  –  Întrebări  şi  exerciții  de  termodinamică  şi  fizică  statistică,  Editura  Ştiințifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981.