4.1 DEFINICION DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

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Juan Jose Calderon Juarez
4.1 DEFINICION DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES.
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f(x, y) es el rango de f.
En la función dada por z = f(x, y), x y y son las variables independientes y z es la variable dependiente.
Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n variables donde los dominios consisten en triadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y n-adas (x1, x2,…, xn). En todos los casos, rango es un conjunto de números reales.
Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga explícitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio de la función dada por
f(x, y) = x2 + y2
se supone que es todo plano xy. Similarmente, el dominio de
f(x, y) = ln xy
es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano para lo que xy > 0. Esto consiste en todos los puntos del primer y tercer cuadrante.

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4.2 GRAFICA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES.
Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La grafica de una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) para los que z = f(x, y) y (x, y) está en el dominio de f. Esta grafica pude interpretase geométricamente como una superficie en el espacio. En la figura 13.2 hay que observar que la gráfica de z = f(x, y) es una superficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto de (x, y) en D.

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4.3 CURVAS DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES.
Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campo escalar en el que el escalar z = f(x, y) se asigna al punto (x, y). Un campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de f(x, y) es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura 13.5 muestra las curvas de nivel de igual presión, llamadas isobaras. Las curvas de nivel que representan puntos de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isotermas, como se muestra en la figura 13.6. Otro uso común de curvas de nivel es la representación de campos de potencial eléctrico. En este tipo de mapa, las curvas de nivel se llaman líneas equipotenciales.

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4.4 DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACION GEOMETRICA.

Si z = f(x, y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y son las funciones fx y fy definidas por
fx(x, y) = limΔx 0fx+ Δx,y-f(x,y)Δx

fy(x, y) = limΔy 0fx,y+ Δy-f(x,y)Δy

Siempre y cuando el límite exista.
Esta definición indica que si z = f(x, y), entonces para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para calcular fy, se considera x constante y se deriva con respecto a y.

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4.5 DERIVADA DIRECCIONAL.
Derivada direccional y vector gradiente. Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:

(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior). Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

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4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación. Por ejemplo, la función z = f(x, y) tiene las siguientes derivadas de segundo orden.
Derivar dos veces con respecto a x:

x ( f x) = ^2f x^2 = fxx'

Derivar dos veces con respecto a y:

y ( f y) = ^2f y^2 = fyy'

Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

y ( f x) = ^2f y x = fxy'

Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

x ( f y) = ^2f x y = fyx'

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).

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4.7 INCREMENTOS, DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA.
INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
En esta sección se generalizan los conceptos de incrementos y deferenciales a funciones de dos o más variables. Recuérdese que, dada y = f(x), se definió la diferencia de y como
dy = f'(x)dx.
Terminología similar se usa para una función de dos variables, z = f(x, y). Es decir, Δx y Δy son los incremento en x y en y, y el incremento en z está dado por
Δz = f(x + Δx,y + Δy) – f(x, y)

DEFINICION DE DIFERENCIAL TOTAL
Si z = f(x, y) y Δx y Δy son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las variables independientes x y y son
dx = Δx y dy = Δy
y la diferencial total de la variable dependiente z es
dz = z xdx + z ydy = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy.
Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo, si w = f(x, y, z, u), entonces dx = Δx, dy = Δy, dz = Δz, du = Δu, y la diferencial total de w es
dw = w xdx + w ydy + w zdz + w udu
REGLA DE LA CADENA
El trabajo con diferenciales de la sección anterior proporciona las bases para la extensión de la regla de la cadena a funciones de dos variables. Hay dos casos: el primer caso cuando w es una función de x y y, donde x y y son funciones de una sola variable independiente t.
REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Sea w = f(x, y), donde f es una función derivable de x y y. Si x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y
dwdt = w x dxdt + w y dydt.

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4.8 DERIVACIÓN PARCIAL IMPLÍCITA
Esta sección concluye con una aplicación de la regla de la cadena para determinar la derivada de una función definida implícitamente. Supóngase que x y y están relacionadas por la ecuación F(x,y)=0, donde se supone que y=f(x) es función derivable de x. Para hallar dy/dx, se podría recurrir a las técnicas vistas de la sección 2.5. Sin embargo, se verá que la regla de la cadena proporciona una útil alternativa. Si se considera la función dada por

W= F(x,y)= F(x,f(x))
Se puede aplicar el teorema para obtener:

dw/dx= Fx (x,y) dx/dx + Fy (x,y) dy/dx
Como w= F(x,y)= 0 para toda x en el domino de f, se sabe que dw/dx=0 y se tiene:

Fx(x,y) dx/dx + Fy (x,y) dy/dx= 0
Ahora, si Fy(x,y) es diferente de 0 se puede usar el hecho de que dx/dx= 1 para concluir que:

dy/dx= -Fx(x,y)/Fy(x,y)
Un procedimiento similar puede usarse para encontrar las derivadas parciales de funciones de varias variables definidas implícitamente.

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4.9 GRADIENTE.
El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes, algunas de las cuales se describen más adelante en esta misma sección.
Definición de gradiente de una función de dos variables.
sea z =fx,yuna funcion de xy y tal que fx y fy existen. Entonces el gradiente
de f, denotado por f(x,y), es el vector.

fx,y=fxx,yi+fyx,yj.

f se lee como ¨nabla f ¨. Otra notación para el gradiente es grad f(x,y). hay que observar que para cada (x,y), el gradiente f(x,y) es un vector en el plano (no un vector en el espacio).

Sea el vector operador (nabla) definido por:
Entonces, si tienen primeras derivadas parciales continuas en una región (condición que en muchos casos es mas restrictiva de o necesario) se puede definir:
1. Gradiente se define el gradiente de por

Una interpretación interesante es que si es la ecuación de una superficie es una normal a esta superficie.

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4.10 CAMPOS VECTORIALES.
Definición: Un campo vectorial en Rn es una función F:AϵRn Rn que asigna a cada punto x en su dominio A un vector F(x).
Podemos ilustrar gráficamente F adhiriendo una flecha a cada punto. De manera análoga, una función ƒ:AϵRn Rn que asignan un número a cada punto se llama campo escalar.
Por ejemplo, un campo vectorial F(x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1F2 F3 de modo que F(x,y,z)= ( F1(x,y,z), F2(x,y,z), F3(x,y,z)). Si campo de F1F2F3 es una función Ck, en el sentido expresado en el capitulo 2. Se supone que los campos vectoriales son, al menos de clase, C1, a no ser que se diga lo contrario.

Figura 3.3.1 Un campo vectorial F asigna un vector (Flecha) F(x) a cada punto x de su dominio.
Es conveniente trazar la flecha que representa F(x) de modo que comience en x, no en el origen ( que es como se acostumbra trazar vectores). Consideramos este vector desplazado con su cola en x como equivalente al vector correspondiente que comience en 0.En el resto del libro nos ocuparemos principalmente de campos vectoriales en R2y R3, de modo que el termino "campo vectorial" significara un campo vectorial en R2 o R3, al menos que se diga lo contrario.
Definición: Si F es un campo vectorial una línea de flujo para F es una trayectoria σ(t) tal que
σ'(t)= F(σ(t)).
Esta es, F produce el campo de velocidad de la trayectoria σ(t).
Geométricamente, el problema de hallar una línea de flujo que pase por un punto dado x0 para un campo vectorial dado F, es el de insertar una curva por el campo vectorial de manera que el vector tangente a la curva coincida con el campo vectorial. Analiticamente el problema de hallar una línea de flujo que pase por x0 en el tiempo t=0 implica resolver la ecuación diferencial con condición inicial x0; esto es,
σ'(t)= F(σ(t)); σ'(t)= x0.
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4.11 ROTACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL.
El teorema 15.1 tiene un análogo para campos vectoriales en el espacio. Antes de establecer ese resultado, se da la definición del rotacional de un campo vectorial en el espacio.
DEFINICION DEL ROTACIONAL EN UN CAMPO VECTORIAL.
El rotacional de: Fx,y,z=Mi+Nj+Pk es

rotFx,y,z= XFx,y,z

= P y- N zi- P x- M zj+ N x- M yk
La nación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente f como el resultado del operador diferencial que actúa sobre la función f. en este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica para recordar para recordar la fórmula para el rotacional.
rot Fx,y,z= x Fx,y,z

ijk x y zMNP

= P y- N zi- P x- M zj+ N x- M yk

Sea un campo vectorial solenoidal el cual es dos veces diferenciable.
Asumamos que v(x) decrece suficientemente rápido cuando ""x"" 8. Definamos
Entonces, A es un potencial vectorial para v, esto es,
Una generalización de este teorema es la descomposición de Helmholtz la cual establece que cualquier campo vectorial puede descomponerse como una suma de campo vectorial solenoidal y un campo vectorial no rotacional.

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NOMBRE: Juan José Calderón Juárez
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4.1 DEFINICION DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

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